Home Explore ຄະນິດສາດ_mathematic-tg

ຄະນິດສາດ_mathematic-tg

Published by thongla4567, 2021-08-13 02:11:15

Description: ຄະນິດສາດ_mathematic-tg

Read the Text Version

Pages:

ĺĿōĪĦĹŁŒ x 1 2 ģŌŗ İŀĮŏħıĮŉ ĤļĦĺĵŉ ıĮŉ ĭŒ ńŏĻĵœ Ł. Ĥ. ļĦń īŁĵĺĪň ıĮŉ įĹģĤļĦŏħıĮŉ x1 x2 x3 1 2 1 2 x3 4 x3 2 įĪŉ ŌĲŃģĻĪŀ 1) ħĦŒ ŉ ōīĵœ ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦīŁŗ ĸŁīŒ ŗŐİĮ:ńœ ĺ. Ĩ. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 2) ĻńįĺĮŃ ĥŁœ ŢŒ ŅĦŌİŀĮĽįň ģįŀ ĺŁģ ĵĸń ĹĦĺĦň ŌĭŒ ŉŁ h, ĸĹĦĩŁĹŌĭŒ ŉŁĺļĦŌĭŒ ņļĸĹĦĺĦň ōĸĿ ĸĹĦģĹŁœ ĦŌĭŒ ŉŁŢŒ ŅĦĺĹŒ ĮĺŁĵĤļĦĸĹĦĺĦň . ħĦŒ ŉ ĤŋĮįŗĵŁĪĤļĦĻńįĮĮŀœ īŁĵ h. ōĸĹœ ōīĵœ ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦīŁŗ ĸŁĭŒ ńģŁŗ ĮĪŉ įŗĸŃĵŁĪĤļĦĻńį. ĬŁœ ĹŁŒ Ļńį ĪĦŒ ŀ ģŁŒ ĹĮĵœń ń įŗĸŃĵŁĪŌĭŒ ŉŁ 50 dm3 ōĸĹœ ĵĮŀ ħĿĵĸń ĹĦĺĦň ŌĭŒ ŉŁŏĪ? įĪŉ ōģ:œ h ŌİŀĮĸĹĦĺĦň ĤļĦĻńį; ŏĻœ L ŌİŀĮĸĹĦĩŁĹ: L 2h, l ŌİŀĮĸĹĦģĹŁœ Ħ: l 1 h, 3 įŗĸĵŃ ŁĪ: V Llh h(2h)(1)h 2 h3, 33 ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦ V (h) 2 h3 3 145

3) ħĦŒ ŉ ōģĺœ ĵŉ ıĮŉ ōĸĿ ļĿĺĵŉ ıĮŉ īŒ ŗŐİĮ.œń 6. x3 1 0 x3 1 (x 1)(x2 x 1 ) 0 x 1; (x2 x 1 ! 0, \\) x3 1 ! 0 (x 1)(x2 x 1) ! 0 x ! 1 ŌĳŁĿĹŁŒ x2 x 1 ! 0, \\ 8. 2x3 5x2 5x 6 0 ŌĽŉŁĨļģ 2(3)3 5(3)2 5(3) 6 0 ĺĿĮĮŀœ 3 ŌİŀĮŏħıĮŉ ŢŒ ŅĦĤļĦĺĵŉ ıĮŉ . ŌĽŉŁŏĨĹœ ĭŃ ńĤļĦĽļģŌĮ:ń 2 -5 -5 6 3 2 1 -2 0 ĺĵŉ ıĮŉ ĺŁĵŁĪĤŋĮ 2x3 5x2 5x 6 (x 3)(2x2 x 2) 0 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ x1 3; x2 1 17 ; x3 1 17 4 4 4) ħĦŒ ŉ ōĩģĳĿĻĳŇ Īŉ īŒ ŗŐİĮŌńœ İŀĮĺĹŒ ĮĥĮň : Ĥ. ŌĽŉŁĥĪŃ ŐĸŒ P(1) (1)3 6(1)2 5(1) 12 0 ĺĿĮĮŀœ -1 ŌİŀĮĽŁģŢŒ ŅĦĤļĦ P(x) ŌĽŉŁŏĨĹœ ĭŃ ńĤļĦĽļģŌĮ:ń -1 6 -5 -12 -1 -1 7 -12 0 (1)(1) 6 7; 7(1) (5) 12; 12(1) 12 0 ŌĽŉŁŐĪœ P(x) (x 1)(x2 7x 12) (x 1)(x 3)(x 4) ōģļœ Ŀĺĵŉ ıĮŉ : 2x3 5x2 5x 6 ! 0 (x 3)(2x2 x 2) ! 0 x º 1 17 , 1 17 ª @3;f> » 4 4 « ¼ ¬ 146

ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ6) ŏĮģŁĮĤŁĩŌĥŒ ļņ ĦŐĴĴœŁ x ļĮŀ ŌĳŒ ŃĮŐĪģœ Łŗ ŐĸŌĭŒ ŉŁģįŀ P(x) x3 40x2 400x (ĻĹŉ ŢĹŒ ĩĳĮŀ ģįń ). ŌĵŒļņ ŌĳŒ ŃĮĤŁĩŐĪœ 10 ļĮŀ ŌĳŒ ŃĮŐĪģœ Łŗ ŐĸŌĭŒ ŉŁŏĪ? ħĿĤŁĩħģŀ ļĮŀ ħŒĦŅ ŐĪŌœ ĭŒ ŉŁĭŅĮ? įĪŉ ōģ:œ ŌĵŒļņ ĤŁĩŐĪœ 10 ļĮŀ ħĿŐĪģœ Łŗ Őĸ: P(x) P(10) 103 40(102 ) 400(10) 1000 ĳĮŀ ģįń ĻŊņ 1 ĸŁœ Įģįń . ŌĳŒ ŃĮħĿŐĪŌœ ĭŒ ŉŁĭŅĮŌĵŒļņ P(x) 0 x3 40x2 400x 0 x(x 20)2 0 x 0; x 20 ŌĳŒ ŃĮħĿŐĪŌœ ĭŒ ŉŁĭŅĮŌĵŒļņ ŌĳŒ ŃĮĤŁĩŐĪœ 20 ļĮŀ . 8) ŏĻœ a b c 4, ab bc ca 5, abc 1. ħĦŒ ŉ Ĩļģ a3 b3 c3. ŌĽŉŁĤĿĻĩŁĩ: (a b c)3 >(a b) c@3 (a b)3 3(a b)2 c 3(a b)c2 c3 a3 3a2b 3ab2 b3 3a2c 6abc 3b2c 3ac2 3bc2 c3 a3 b3 c3 6abc 3a(ab ac) 3b(ab bc) 3c(ac bc) 43 a3 b3 c3 6(1) 3a(5 bc) 3b(5 ac) 3c(5 ab) 64 a3 b3 c3 6 3a(5 1 ) 3b(5 1) 3c(5 1) abc a3 b3 c3 6 15a 3 15b 3 15c 3 64 a3 b3 c3 3 15(4) a3 b3 c3 7 147

ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ9) ŏĻœ D, E ōĸĿ J ŌİŀĮŏħıĮŉ ĤļĦĺĵŉ ıĮŉ x3 kx2 2x 1 0 . ħĦŒ ŉ ĨļģĥŁŒ ĤļĦ k ŌĳŒ ņļŏĻœ D 3 E 3 J 3 8 . įĪŉ ōģ:œ ŌĽŉŁĵń D, E ōĸĿ J ŌİŀĮŏħıĮŉ ĤļĦĺĵŉ ıĮŉ ĭŒ ńŏĻĺœ ĿĮĮŀœ : D 3 kD 2 2D 1 0, E 3 kE 2 2E 1 0 J 3 kJ 2 2J 1 0 ŌĽŉŁįĹģĳŁģĨŁœ ĩōĸĹœ įĹģĳŁģĤĹŁŌĤŉœŁģĮŀ ŐĪ:œ D 3 E 3 J 3 k(D 2 E 2 J 2 ) 2(D E J ) 3 0 8 k ¬ª(D E J )2 2(DE EJ DJ )º¼ 2(D E J ) 3 0 8 k ª¬(k)2 2(2)¼º 2(k) 3 0 k3 6k 5 0 (k 1)(k 2 k 6) 0 k 1; k 1 5 ; k 1 5 22 10) ŏĻœ 2 3 ŌİŀĮŏħıĮŉ ĤļĦ x3 ax2 13x b 0 ōĸĿ a ōĸĿ b ŌİŀĮħŁŗ ĮĹĮİģŉ ģĿī.Ń ģ. ħĦŒ ŉ ĨļģħŁŗ ĮĹĮİģŉ ģĿīŃ a ōĸĿ b. Ĥ. ħĦŒ ŉ ĨļģŏħıĮŉ ļŒ Įņ ĤļĦĺĵŉ ıĮŉ Į.œń ōĮĿĮŁŗ : ŌĵŒļņ 2 3 ŌİŀĮŏħıĮŉ ĤļĦĺĵŉ ıĮŉ ōĸĹœ ħŁŗ ĮĹĮĥŁĪĥňŒ 2 3 ģŌŗ İŀĮŏħıĮŉ ŌĨŒ ŀĮĪŋĹ. ŌĽŉŁōĭĮ x ĪĹœ ĩĥŁŒ ĪĦŒ ŀ ģŁŒ ĹŐĪ:œ (2 3)3 a(2 3)2 13(2 3) b 0 (2 3)3 a(2 3)2 13(2 3) b 0 ħŁģ 2 ĺĵŉ ıĮŉ 2 īĹŉ ĸįŀ ŌĽŉŁĺŁĵŁĪĨļģĥŁŒ ĤļĦ a ōĸĿ b. ŐĪ.œ ħŁģĮĮŀœ ģĺŗ ŁĵŁĪŏĨĺœ Īň ıĮŉ įĹģŏħıĮŉ ŌĳŒ ņļĨļģĻŁŏħıĮŉ ĭń 3. 148

įĪŉ ĭń 15 īŁŗ ĸŁĽŁģĤĮŀœ ĺļĦ ōĸĿ ĽŁģĤĮŀœ ĺŁĵ ŌĹĸŁ 6 ĨŒĹŉ ĵĦ 1. ħĪŇ İĿĺĦŉ - ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮĺŁĵŁĪĨļģŌĤĪģŁŗ ĮĪŉ , ĨļģŌĤĪĥŁŒ ōĸĿ ĺŁĵŁĪōīĵœ ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦ ĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) x ōĸĿ f (x) 3 x - ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮĺŁĵŁĪōīĵœ ŌĺŀœĮĺĿōĪĦĤļĦīŁŗ ĸŁĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮĩŁœ ĩĤĿŢŁĮŌĺŀĮœ ĺĿ ōĪĦĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) x ōĸĿ f (x) 3 x - ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮĺŁĵŁĪĮŁŗ ŏĨŌœ ĺŀĮœ ĺĿōĪĦŌĳŒ ņļōģĺœ ĵŉ ıĮŉ ōĸĿ ļĿĺĵŉ ĺĵŉ ıĮŉ ĭŒ ńĵŌń ĸģ ĽŁģ 2. ŌĮļņœ ŏĮīĮŉœ īŗ - īŁŗ ĸŁ f (x) x ōĵĮŒ īŁŗ ĸŁĽŁģĤĮŀœ ĺļĦĭŒ ńĵŌń ĤĪģŁŗ ĮĪŉ ōĵĮŒ >0 , f> ōĸĿ ĵŌń ĤĪĥĮŇ ĥŁŒ ōĵĮŒ >0 , f> - īŁŗ ĸŁ f (x) 3 x ōĵĮŒ īŁŗ ĸŁĽŁģĤĮŀœ ĺŁĵĭŒ ńĵŌń ĤĪģŁŗ ĮĪŉ ōĵĮŒ @ f , f> ōĸĿ ĵŌń ĤĪĥĮŇ ĥŁŒ ōĵĮŒ @ f , f> - ŌĤĪģŁŗ ĮĪŉ ĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) g(x) ōĵĮŒ ŐĪħœ ŁģģŁĮōģļœ Ŀĺĵŉ ıĮŉ g(x) t 0 - ŌĺŀœĮĺĿōĪĦĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) x a b ŐĪħœ ŁģģŁĮĩŁœ ĩĤĿŢŁĮŌĺŀœĮĺĿ ōĪĦĤļĦīŁŗ ĸŁ y x īŁĵōģĮ ox ŌĭŒ ŉŁģįŀ a ĻĹŉ ŢĹŒ ĩ (ĩŁœ ĩŐİĭŁĦĤĹŁ ĵĬņ Łœ ĹŁŒ a ! 0 , ĩŁœ ĩŐİĭŁĦĨŁœ ĩĵĬņ Łœ ĹŁŒ a 0 ) ōĸĿĩŁœ ĩĤĿŢŁĮīŁĵōģĮ oy ŌĭŒ ŉŁģįŀ b ĻĹŉ ŢĹŒ ĩ (ĩŁœ ĩĤĮŅœ ŌĭŃĦĬŁœ ĹŁŒ b ! 0 , ĩŁœ ĩĸĦŉ ĸĵŇŒ ĬŁœ ĹŁŒ b 0 ) 3. ĺŒ ģņ ŁĮĺļĮ: İœņĵīŁŗ ĸŁĽŋĮ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 4. ģĪŃ ħĿģŁŗ : È ¡¬ÃÆÓÔ¢ÓÔ. 5. ÒÁ ¢¾ ¡ÃÆ Á ¡: - Ò¤¤É ÀÉ À¡¬ÃÆ ÓÔ.È - Æ ¡ÑÂ Á¼ÃÉÁÓÔ¢.Ê 149

66.. ĥĥŁŁŗŗ īīļļįįįįĪĪŉŉ ŌŌĲĲŃŃģģĻĻĪĪŀŀ 1. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 2. ģ. x 64 Ĥ. x 2 6 ĥ. x 1 r 5 Ħ. 0 d x 1 ħ. 1 d x 5 Ĩ. 3 d x d 7 ĩ. 7 d x d 8 2 ĺ. 5 d x d 1 6 2 Ī. 3 d x d 7 ī. 7 x 8 Ĭ. 3. ģ. m 2 Ĥ. 2 d m 5 ĥ. m 5 Ħ. m ! 5 ĥ. m 2 2 1 2 2 4. ģ. m 0 Ĥ. 0 m 1 Ħ. m 0 ĻŊņ m ! 1 2 2 5. 1 d m d 1 2 ĺĵŉ ıĮŉ ħĿĵń ŢŒ ŅĦŏħıĮŉ 2 m 1 ĻŊņ m ! 1 2 ĺĵŉ ıĮŉ įŒ ŗĵŏń ħıĮŉ 2 150

6. ģ. y 3 x 1 5 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ŌĵĪŀ İŋŒ ĮŎĥĦœ A1, 5 Ĥ. y 23 2x 1 5 , ŌĵĪŀ İŋŒ ĮŎĥĦœ B 1,5 151

ĥ. y 5 3 x 1 , ŌĵĪŀ İŋŒ ĮŎĥĦœ C 1,5 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດĦ. y 4 33 1 x , ŌĵĪŀ İŒŋĮŎĥĦœ D 1, 4 7. ģ. x ! 1 Ĥ. 0 d x d 1, x t 2 152

ĳŁģĭń VI ĤļįŌĤĪ ōĸĿ ģŁĮīŒ ŗŌĮŒ ļņ ĦĤļĦīŁŗ ĸŁ įĪŉ ĭń 16 ĤļįŌĤĪ ōĸĿ ģŁĮīŒ ŗŌĮŒ ļņ ĦĤļĦīŁŗ ĸŁ I. ĤļįŌĤĪĤļĦīŁŗ ĸŁ ŌĹĸŁ 3 ĨŒĹŉ ŎĵĦ 1. ħĪŇ İĿĺĦŉ ŌĳŒ ņļŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮĺŁĵŁĪĥĪŃ ŐĸĤŒ ļįŌĤĪĤļĦīŁŗ ĸŁ. 2. ŌĮļņœ ŏĮīĮŉœ īŗ ĮĩŃ Łĵ. ŏĻœ f ŌİŀĮīŁŗ ĸŁĭŒ ńĵŌń ĤĪģŁŗ ĮĪŉ ōĸĿ ŌĤĪĥĮŇ ĥŁŒ ŌİŀĮļĿĮģŇ ĵŇŒ ĤļĦħŁŗ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ĮĹĮ ħĦŃ . ĬŁœ ĹŁŒ ĥŁŒ ĤļĦ f (x) ŌĤŉœŁŏģħœ Łŗ ĮĹĮħĦŃ L ŌĵŒļņ ĥŁŒ ĤļĦ x ŌĤŉœŁŏģœ a (x o a) ōĸĹœ L ŌļĮńœ ĹŁŒ ĤļįŌĤĪ f ĶŌŒň ĵĪŀ x a ōĸĿ ĺĮŀ ĩĿĸģŀ ĪĹœ ĩ lim f (x) L . xoa ĻŊģŀ ŌģĮ. ŌĵŒļņ k ŌİŀĮīĹŉ ĥĦŉ ĥŁŒ , lim f x L, lim g x M ōĸĹœ xoa xoa 1. lim k k. xoa 2. lim kf (x) k lim f (x) kL. xoa xoa 3. lim ª¬f x g x º¼ lim f x lim g x L M. xoa xoa xoa 4. lim ª¬f x g x º¼ lim f x lim g x L M. xoa xoa xoa 5. lim ¬ªf x .g x º¼ lim f x.lim g x L.M xoa xoa xoa 6. lim f x lim f x L , (M z 0) M xoa g x xoa lim g x xoa 153

3. ĺŒ ģņ ŁĮĽŋĮ-ģŁĮĺļĮ ĺŒ ĭņ Œ ńŏĨŏœ ĮģŁĮĺļĮĻĹŉ ĤĮŗœ ńœ ĵń ģĿĪŁĮ, ĺŒ ĦŃ ĭŒ ńŏĨĤœ ŋĮģĿĪŁĮ ōĸĿ ŌĥŒ ļņ Ħħģŀ ĥĪŃ Őĸ.Œ 4. ģĪŃ ħĿģŁŗ ģŁĮĽŋĮ-ģŁĮĺļĮ ģĪŃ ħĿģŁŗ 1. ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮīŒ ĵņ ĥŁŒ ĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) 2x 1 ŏĺīŒ ŁīĿĸŁĦĸĵŇŒ Į:œń x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,9999 1,999999 2,8 f x ōĸĹœ ĺĦŀ ŌģĪ: ŌĵŒļņ x ŌĤŉœŁŏģœ 2 Ōįļœņ ĦĨŁœ ĩ ōĸĹœ f (x) 2x 1 ŌĤŉœŁŏģœ ..?... ŌĨŒ ĦŃ ŌĳŒ ŃĮĺĮŀ ĩĿĸģŀ lim f (x) 3 x o 2 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮīŒ ĵņ ĥŁŒ ĤļĦīŁŗ ĸŁ f (x) 2x 1ŏĺīŒ ŁīĿĸŁĦĸĵŇŒ Į:ńœ x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001 f x ōĸĹœ ĺĦŀ ŌģĪ: ŌĵŒļņ x ŌĤŉœŁŏģœ 2 Ōįļņœ ĦĤĹŁ ōĸĹœ f (x) 2x 1 ŌĤŉœŁŏģœ ..?... ŌĨŒ ĦŃ ŌĳŒ ŃĮĺĮŀ ĩĿĸģŀ lim f (x) 3 x o 2 ĺĦŀ ŌģĪ lim f (x) lim f (x) 3 x o2 xo2 ħŁģĮĮŀœ , ħŒĦŅ ōĮĿĮŁŗ ĹŁŒ ŏĮģĸŗ ĿĮĮń Ōœń ĳŒ ŃĮĹŁŒ ĵĤń ļįŌĤĪĤļĦ f (x) 2x 1 ŌĵŒļņ x ŌĤŉœŁŏģœ 2 , ĤļįŌĤĪĮœń ŌĭŒ ŉŁģįŀ 3 ōĸĿ ĺĮŀ ĩĿĸģŀ lim f (x) 3 . xo2 154

ħŁģĮńœ ĥŏň ĻĮœ ĩŃ Łĵ ōĸĿ ōĮĿĮŁŗ : ŏĻŌœ ļŉŁŏħŏĺīŒ Œ ĵņ : - ÀÒ¼ÉÒÃ É “É x ŌĤŉœŁŏģœ a ” ħĿĵń 2 ĥĹŁĵţŁĩĥ:ņœ 1. ĥŁŒ ĤļĦ x ŌĤŉœŁŏģœ a -Ōįļœņ ĦĨŁœ ĩ (x a) ĺĮŀ ĩĿĸģŀ ĪĹœ ĩ x o a 2. ĥŁŒ ĤļĦ x ŌĤŉœŁŏģœ a Ō- įļņœ ĦĤĹŁ (x ! a) ĺĮŀ ĩĿĸģŀ ĪĹœ ĩ x o a - ŌĵŒļņ lim f (x) L1 ōĸĿ lim f (x) L2 . xoa xoa lim f (x) lim f (x) lim f (x) . xoa xoa xoa - ĬŁœ ĹŁŒ L1 z L2 ħŒĦŅ ĺĿĻŇŊįŐĪĹœ ŁŒ įŒ ŗĵń lim f (x) . xoa ģĪŃ ħĿģŁŗ 2. ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮĳŃħŁĸĿĮŁīŁŗ ĸŁ f (x) ĪĦŒ ŀ Ľįň ĸĵŇŒ Įœń y ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 2y x 2 2 ōĸĹœ ĨļģĻŁ: ģ. f (1); lim f (x); lim f (x); lim f (x) x o1 x o1 x o1 Ĥ. f (2); lim f (x); lim f (x); lim f (x) xo2 xo2 xo2 ĥ. f (1); lim f (x); lim f (x); lim f (x) x o 1 x o 1 x o 1 155

ģĪŃ ħĿģŁŗ 3. ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮĳŃħŁĸĿĮŁīŁŗ ĸŁ f (x) 1 ŌĵŒļņ xz0 ĪĦŒ ŀ Ľįň ĸĵŇŒ Įńœ x ōĸĹœ ĨļģĻŁ: ģ. lim f (x) x o0 Ĥ. lim f (x) x o0 ĥ. lim f (x) xof Ħ. lim f (x) x of - ĥŏň ĻĻœ Ŋģŀ ŌģĮ ĺŁŗ ĸįŀ ĥĪŃ ŐĸĤŒ ļįŌĤĪ. - ĥōň ĮĿĮŁŗ ģŁĮĥĪŃ ŐĸĤŒ ļįŌĤĪ:ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ lim(2x2 3x 4) , lim x2 4 , lim 5t 5 , lim (2x3 11x2 12x) , xo5 xo2 x 2 to0 t x of lim x2 x , lim( x2 1 x) , xof 3 x xof - ĵļįţŁĩŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮōģįœ Īŉ ŌĲŃģĻĪŀ ħŁŗ ĮĹĮŢŒ ŅĦ. 5. ÒÁ ¢¾ ¡ÃÆ ģŁĮĹĪŀ ōĸĿ İĿŌĵĮń ıĮŉ ģŁĮĽŋĮĤļĦĮģŀ ĽŋĮĻĹŉ ĤĮŗœ œń ōĵĮŒ ħŁģģŁĮŌĽŀĪģĪŃ ħĿ ģŁŗ ĻŊņ įĪŉ ģĹĪģŁĮļœ ĩ. 6. įĪŉ ōģįœ Īŉ ŌĲŃģĻĪŀ 1. a. lim x2 x 2 lim (x 1)(x 2) lim x 2 3. x2 1 xo1 (x 1)(x 1) xo1 x 1 2 x o1 b. lim x2 x2 lim x 2 lim 1 1. 7x 10 xo2 (x 2)(x 5) xo2 x 5 7 xo2 156

c. lim 5t3 8t2 lim t2 (5t 8) lim 5t 8 8 1. to0 3t4 16t2 to0 t2 (3t2 16) to0 3t2 16 16 2 d. lim x3 8 lim (x 2)(x2 2x 4) lim x2 2x 4 12 3. x2 4 xo2 (x 2)(x 2) xo2 x 2 4 xo2 e. lim (1 h)4 1 lim ª¬(1 h)2 1º¼ ¬ª(1 h)2 1º¼ ho0 h ho0 h lim ¬ª2h h2 ¼º ª¬(1 h)2 1º¼ ho0 h lim > 2 h@ ª¬(1 h)2 1º¼ 4. ho0 f. lim t2 8 3 lim t2 89 lim t2 1 to1 t 1 to1 t 1 t2 8 3 to1 t 1 t2 8 3 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດlim t 1 2 1 . to1 t2 8 3 6 3 x 2 x 2 x g. lim x lim lim x 2x 2x xo0 2 x 2 x xo0 2 x (2 x) xo0 2x lim 2 x 2 x 2 xo0 2 § 1 1 · 1 § 1 1 x · 1 § 11 x · h.lim ©¨ 1 x ¹¸ lim x ¨©¨ 1 x ¸¹¸ lim ¨ ¸ xo0 x ¨ ¸ xo0 x x xo0 © 1 1 x 1 x ¹ lim 1 1. xo0 1 1 x 1 x 2 i. x 2 lim x2 4x x(x 4) lim x x 2 16. lim xo4 x 2 xo4 x4 xo4 1 j. lim 3x 3 lim x3 1 lim 1 0. x2/3 5 x of x o f 2 lim x 3 x o f 1 x3 x o f x3 k. lim 4x2 1 lim 4x2 2x lim 2(x) 2. xof x 1 xxof lim xxof xxof 157

l. lim (x x2 5x ) lim x2 x2 5x lim 5x lim 5x 5 . x of xof x x2 5x xof x x2 xof 2x 2 m. lim( x2 3x x) lim x2 3x x2 lim 3x lim 3x 3 . xof xof x2 3x x xof x2 x xof 2x 2 n. lim ( x2 x 1 x2 1) lim x2 x 1 x2 1 x of xof x2 x 1 x2 1 lim x lim x 1 . xof x2 x2 xof 2x 2 2. ģ. lim ax2 b 4 ax2 b (x 2)(x 2) x2 4 xo2 x 2 a 1, b 4. Ĥ. lim x2 ax b 2 lim x2 ax b x2 ax b (x 2)x x2 2x x2 3x 2 xo2 (x 2)(x 1) xo2 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ a 2, b 0. lim x a b 1 lim x a b2 °a b2 1 xo1 x 1 4 ® xo1 x 1 x a b ĥ. ¯° 1 a b 4 a 3, b 2. Ħ. lim a x 3 4 b 2a 4 0 a 2, b lim 2 x 3 4 xo1 x 1 xo1 x 1 b lim 2 x 3 4 lim 4(x 3) 16 xo1 x 1 xo1 x 1 2 x 3 4 lim 4(x 1) lim 4 1. xo1 x 1 2 x 3 4 xo1 2 x 3 4 2 158

II. ģŁĮīŒ ŗŌĮŒ ļņ ĦĤļĦīŁŗ ĸŁ ŌĹĸŁ 1 ĨŒĹŉ ŎĵĦ 1. ħĪŇ İĿĺĦŉ ŌĳŒ ņļŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮĺŁĵŁĪģĹĪŌįŒ ĦŃ ģŁĮīŒ ŗŌĮŒ ļņ ĦĤļĦīŁŗ ĸŁĶŌŒň ĵĪŀ ŢŒ ŅĦ. 2. ŌĮļœņ ŏĮīĮŉœ īŗ ĮĩŃ Łĵ. ŏĻīœ Łŗ ĸŁ f (x) ĭŒ ńīļįĺĿŢļĦĭĦŀ ĺŁĵŌĦŒļņ ĮŐĤĸĵŇŒ Į:œń 1. f (a) ĻŁĥŁŒ ŐĪœ 2. lim f (x) ĻŁĥŁŒ ŐĪœ xoa 3. f (a) lim f (x) xoa ŏĮģĸŗ ĿĮĮń œń ŌĳŒ ŃĮĹŁŒ f (x) īŒ ŗŌĮŒļņ ĦĶŌŒň ĵĪŀ xສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດa. ļŁĪŎĽĵĺŁĵŌĦŒļņ ĮŐĤģŁĮīŒ ŗŌĮŒļņ ĦĮœń ŌİŀĮŌĦŒļņ ĮŐĤĭŒ ńĹŁŒ f (x) ģŁŗ ĮĪŉ ĶŌŒň ĵĪŀ x a ōĸĿ f (a) lim f (x) . xoa 3. ĺŒ ģņ ŁĮĽŋĮ-ģŁĮĺļĮ ĺŒ ĭņ Œ ńŏĨŏœ ĮģŁĮĺļĮĻĹŉ ĤĮŗœ ńœ ĵń ģĿĪŁĮ ōĸĿ ĺŒ ĦŃ ĭŒ ńŏĨĤœ ŋĮģĿĪŁĮ. 4. ģĪŃ ħĿģŁŗ ģŁĮĽŋĮ-ģŁĮĺļĮ - ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮĳŃħŁĸĿĮŁīŁŗ ĸŁĭŒ ńĵŌń ĺŀœĮĺĿōĪĦĸĵŇŒ Į.ńœ y 1 x o 1 159

ŎĪĩŏĻĨœ ļģĻŁ: 1. f (0) ? 2. lim f (x) ? ō- ĸĿ lim f (x) ? x o0 xo0 ħŁģĮĮŀœ ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮĺĿĻŇŊįĹŁŒ ĵń ĻŊņ ĹŁŒ įŒ ŗĵń lim f (x) . ōĸĹœ ĥħň ŒĦŅ ōĮĿĮŁŗ ĹŁŒ īŁŗ ĸŁ xo0 f (x) įŒ ŗīŒ ŗŌĮŒļņ ĦĶŒň x 0 ōĸĿ ĥŏň ĻĤœ ĺŗœ Ħŀ ŌģĪīŒ ŗŐİĮ.œń ĪĦŒ ŀ ŏĮīĹŉ ĶŁŒ ĦĤŁœ ĦŌĭŃĦĮ,ńœ īŁŗ ĸŁ f (x) įŒ ŗīŒ ŗŌĮŒ ļņ ĦĶŒň x 0 ŌĺŀœĮĺĿōĪĦĤļĦ f (x) ĤŁĪĶŌŒň ĵĪŀ x 0 . ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦīŁŗ ĸŁīŒ ŗŌĮŒ ļņ ĦħĿįŒ ŗŌİŀĮŌĺŀĮœ ĤŁĪ. - ¤È ÊÂ À¾¡ÀÉ ÉÅ - ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮĳŃħŁĸĿĮŁ¸- È¾ ª¿ì¾ 2x 1; x 3 f (x) ®°3 ; 3 d x 5 īŒ ŗŌĮŒ ļņ ĦĶŒň x 3 ōĸĿ x 5 ĻŊņ įŒ ŗ? °¯x 2; x t 5 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 5. ģŁĮĹĪŀ ōĸĿ İĿŌĵĮń ıĮŉ ĹĪŀ ōĸĿ İĿŌĵĮń ıĮŉ ģŁĮĽŋĮĤļĦĮģŀ ĽŋĮĻĹŉ ĤŗĮœ ńœ ōĵĮŒ ħŁģģŁĮŌĽŀĪģĪŃ ħĿģŁŗ ĻŊņ įĪŉ ģĹĪģŁĮļœ ĩ. 6. įĪŉ ōģįœ Īŉ ŌĲŃģĻĪŀ x2 1, 1 d x 0 ®°°°12x, ,x 0 x 1 1 3. ŏĻīœ Łŗ ĸŁ f (x) °°2x 4, 1 x 2 ¯°0, 2 x 3 a. ŌĤĪģŁŗ ĮĪŉ ĤļĦ f (x) ōĵĮŒ [1, 0[]0, 2[]2,3[ ŌĺŀœĮĺĿōĪĦĵĽń įň ĽŁŒ ĦĪĦŒ ŀ Į:ńœ 160

b. f (1) (1)2 1 0, f (2) ÉÀ À Æ . c. - lim f (x) lim (x2 1) 0 . x o1 x o 1 d. f (x) įŒ ŗīŒ ŗŌĮŒļņ ĦĶŒň x 1 ŌĳŁĿĹŁŒ įŒ ŗĵń lim f (x) ōĸĿ įŒ ŗīŒ ŗŌĮŒļņ ĦĶŒň x 2 x o 1 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ŌĳŁĿĹŁŒ f (x) įŒ ŗģŁŗ ĮĪŉ ĶŌŒň ĵĪŀ x 2 . Ax B, x d 1 4. ŏĻīœ Łŗ ĸŁ f (x) °®3x, 1 x 2 ¯°Bx2 A , 2 d x ĬŁœ f īŒ ŗŌĮŒļņ ĦĶŒň x 1 ōĸĹœ ŐĪœ AB 3 (1) ĬŁœ f īŒ ŗŌĮŒļņ ĦĶŒň x 2 ōĸĹœ ŐĪœ 4B A 6 (2) ħŁģ (1) ōĸĿ (2) ŐĪœ A 6, B 3 . 161

¼Ã VII Æ À ¾ ¢¾ À ¤Ê Æ¼Ã 17 ÁÔÉ ¢ ¢¾ ÆÀ¾ I. Á ÉÔ¢¡¾É ¢¾ ÀÂÇ ¡Ò¾ 2 ÉÆÒ£ 1. Ç Æ ¡ÉÅ¤ÊÁÓÔ: - Â ¥¾ÉÁÉÔ¢¡¾É - ÃÒÁ ÉÔ¢¡¾É - Â¥¾ÉÀ ÂÇ¡ÁÊ Â . ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 2. ¡ÅÊ ¤ÊÆÀ Â 1. ¤Ê À ¾ y f (x) . ¡ÉÅ x ÉÔ x1 ¥ x2 ¢¾ÊÒÉÔ¢ x ¢É 'x x2 x1 ¢¾ ÉÔ¢¼ÃÉ ÔÉ ÒÊ y ¢É 'y f (x2 ) f (x1) . ¡ÂÉ ¡ÊÃÁ ÒÉ 'y f (x2 ) f (x1) f (x1 'x) f (x1) ÒÉÁ 'x x2 x1 'x ÉÔ¢¡¾É y ¡ÅÉ¼ÔÁ ÔÉ ¢ x ¤ÒÉ >x1, x2 @. ÃÊ¬ÉÄ , Á ÉÔ¢¡¾ÉÊÃ ¢É À Â Ç ¡ÊÁ PQ ¤ÓÈ ¾ÇÉ Ê:Ã y Q(x2 , f (x2 )) P(x1, f (x1)) 'y O x1 x2 x1 'xx 'x 162

Â 2. ¡ÉÅ 'x o 0 ÙÅ x ÔÉ ¢¬Ê x1 , Á ÉÔ¢¡¾É y ¡ÅÉ ¼ÔÁÔÉ ¢ x ¢É lim 'y lim f (x2 ) f (x1) lim f (x1 'x) f (x1) 'x'xo0 x2 ox1 x2 x1 'xo0 'x ¡ÉÂÃ ÉÅÒÉ Á ÔÉ ¢ y ¡ÉÈ Á x1 . 3. ÉÅ ÓÔ- Å¼É ¤ÃÉ ¤Ê ÆÒÊÀ ÊÃ Ã , ÉÂ ¼Ã¤É Ê Ô ¢¾ ¡ÅÉ Á Â¥¾É (Ê )Ã . 4. Â ÀÓÔ- Â À 1. ¤Ê y f (x) x3 . ¤Ê ÁÓÔÂ ¥¾É: ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ . 'y f (4) f (2) . 'y f (4) f (2) ... 28. 'x 4 2 - È¢ÀÁ ÓÔ: “28 ¢ÊÃ É Á ÉÔ¢¡¾É y ¼ÔÁÔÉ ¢ x ÊÁ ¢É x 2 ¡Â x 4 ” ¡ÉÂ ÒÒÉ: “¡ÉÅ x [2, 4] ÔÉ ¢ 1 ÒÆ ¬ÉÒ ¢¾ÒÊ y ÉÔ¢ 28 ÆÒ¬ÒÉ ¢¾ ÔÉ ¢¤¼Â ¼ÔÒÁ (¡ÒÉ 'y 28 ! 0 )”. 'x - ¤È ÊÂ 1. Â À 2. ¤ÊÁ ÓÔÁ ÔÉ ¢¡¾É ¾À Â ÓÈ¬ÒÉ Æ ¼ÔÁ ÔÉ ¢¾ÁÃ ¡ÉÂ ÔÉ 2 7 ÆÒ¬ÒÉ Ê ¼Á Ã Ò. - È¤Ê Â 2. 163

È¤Ê ÊÀÁ¡: ¤¾À Ã 'x o 0 ÅÙ x ÉÔ¢¬Ê x1 ¡ÁÊ PQ ¡Á¡ÁÊ ÂÁ ¡ÊÁ £Ê y f (x) ÈÉ¡Á x x1 ¢¾ lim f (x1 'x) f (x1) 'x 'xo0 ¢ÉÀ Â Ç ¡ÊÁ Â ÉÁ É Ò. - È À¢Ê Æ ¡¾. ÉÆ À Â Ç ¡ÁÊ ÂÁ y f (x) x3 ¼ÉÃÉÈ x 2 ¢¾ ÔÆ Æ ¡ÁÊ Â .ÃÊ ÂÀ 3. ¤Ê ÁÓÔÀÂ Ç¡ÁÊ Â Á y f (x) x3 ¼ÉÃ ÉÈ x 1 ¢¾ ÔÆ Æ ¡ÊÁ Â Ê.Ã Â À 4. ¤ÊÁÓÔ¢ÊÆ¡ÑÂ ÁÀ Ò¬ÄÉ . ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 5. ÒÁ ¢¾ ¡ÃÆ ÒÁ ¢¾ ¡Ã Æ ÓÔÁÓÔÆÒÀÊ ÃÊ ¢É ¡ÓÁ Â À ÙÅ Æ ÒÊ. 6. Æ¢ÊÆ ¡ÑÂÁ 1. ÁÔÉ ¢¡¾É À ¾ y f (x) ¡ÅÉ ¼Ô¤É x ¼ÃÉÔÉ ¢ÁÊ ¢É x x1 ¡Â x x1 h ¼ÉÃÀ Æ ¤Ê É¥À ÊÃ: 1.1 f (x) 4x 1 ¡ÅÉ x1 2 ¢¾ x1 h 5 'y f (5) f (2) 21 9 4. 'x 5 2 3 1.2 f (x) x2 2x ¡ÉÅ x1 1 ¢¾ x1 h 4 'y f (4) f (1) 8 1 3. 'x 3 1 3 1.3 f (x) 1 ¡ÉÅ x1 1 ¢¾ x1 h 1, 02 x 'y f (1, 02) f (1) 0,98 1 1. 'x 1, 02 1 0, 02 164

1.4 f (x) x 4 ¡ÉÅ x1 0 ¢¾ x1 h 12 'y f (12) f (0) 4 2 1 . 'x 12 0 12 6 1.5 f (x) 1 ¡ÅÉ x1 1 ¢¾ x1 h 1, 01 x2 1 'y f (1, 01) f (1) 0, 495 0,500 0,50. 'x 1, 011 0, 01 1.6 f (x) 1 ¡ÉÅ x1 a ¢¾ x1 h ah x2 'y f (a h) f (a) (a 1 1 a2 (a h)2 2a h 'x aha h)2 a2 a2 (a h)2 h a2 (a h)2 . h 1.7 y x2 1 ¡ÅÉ x1 a ¢¾ x1 h a h ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 'y f (a h) f (a) (a h)2 1 (a2 1) 2a h. 'x a h a h 2. y x2 , ¡ÉÅ x1 2 ¢¾ x1 h 5 'y f (5) f (2) 25 4 7. 'x 5 2 3 ÒÒÉ ¡ÉÅ ÊÓÈ¾Ç Á ÔÉ ¢ 2 ÒÆ ¬ÒÉ ¥¡Á 5 ÒÆ ¬ÉÒ ¢¾ÒÊ ¡ÅÊ¼ÉÃÁÉÔ¢¡¾É 7 ÒÆ ¬ÉÒ ÙÅ ¢É¾ÔÉ ¢¢É ¾ÆÒ¬ÉÒÊÓÈ Ç¾Á ¤¾ÒÉ 2 5 ¢¾ÊÒ¡ÊÅ ¼ÃÉÁ ÔÉ ¢ 7 ÒÆ ¬ÉÒ. 3. V 100S h, ¡ÅÉ h1 1 ¢¾ h2 10 'V V (10) V (1) 1000S 100S 100S . 'h 10 1 9 ÒÒÉ ¡ÅÉ ¾ÒÈ¼ÀÉ Æ ÊÃÉÔ¢ 1 cm ¤¾ÒÉ 1 10 ¢¾ÊÒ ¾À ÂÁÉÔ¢ 100S cm3. 165

4. Ê ÒÉÆÊ ¼Ä¤¾Â ÂÊ x Á ¢É 1 x2 35x 25 £¾. ÉÆ 4 ÁÔÉ ¢¡¾É ÆÊ¼Ä¡ÅÉ ¼ÔÁÀÒÂÊ ¤¾Â ÂÊÁÊ ¢É 100 Á¡Â 150 Á Ê ¼ÁÃ Ò. Æ ¢Ê. 'y f (150) f (100) 10900 6025 97,5. ÒÒÉ¡ÉÅ ¡ÃÉ ÅÙ ÇÙ 'x 150 100 50 Æ ¾Â 1 Á ¾ÂÆ Â 100 150 Á ¢¾ÊÒÊ ¡ÃÉ ÅÙ ÙÇ¼Ä 97,5 £¾ ¾À Á . 5. ÒÁ¬Ç ÉÄ ¡ÅÉ¼ÉÃ Æ Æ s 64t 16t2 ¡ÂÉ s ¢¼¥¾¼ÃÒÆ ¬ÒÉ ¡Á ¢Á ¢¾ t ¢¼¡Ò¾ÃÒÆ ¬ÒÉ ¡ÁÒÂ ¼Ã. ÆÉ ÁÉÔ¢ ¡¾É¥¾¼¡ÉÅ¼ÔÁ¡Ò¾ÊÁ¢É t 2 ÒÂ¼Ã ¡Â t 5 ÒÂ ¼Ã Ê ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ¼Á ÃÒ. Æ ¢Ê. 's s(5) s(2) 80 64 48. ÒÒÉ ¤¥¾ 2 5 ÒÂ ¼Ã 't 5 2 3 ÁÙ¡¾ÉÃ ¡ÉÅ ¼,ÉÃ ÒÁÇ ¡ÊÃ ÅÉ ¼ÃÉ ÊÒÒ¥Ò¡¾É 48 ¢Á ÒÉÀ Â¼Ã ¢¾ ¡ÅÉ¼ÉÃ¥¤¼Â ¼¾Æ¼ÉÃ À Æ ¤¾Æ ¡ÁÊ¡ÆÊ . 6. ÉÆ À Â Ç ¡ÁÊÂÁ¡ÊÁ£Ê¼ÃÉÀÆ¤¾Ê ÇÉ ÊÃ 6.1 f (x) 2x2 É¡È Á x 1 Æ¢.Ê lim 'y lim f (1 'x) f (1) lim 2(1 'x)2 2 'x'xo0 'xo0 'x 'xo0 'x lim 4'x 2('x)2 lim 4'x 2('x)2 4. 'xo0 'x 'xo0 'x ÁÉÊÁ , À Â Ç¡ÁÊÂÊÃ ¡¼ÆÉ Á 4. 6.2 f (x) x2 x 1 ¡ÉÈ Á x 1 Æ¢.Ê lim 'y lim f (1 'x) f (1) lim (1 'x)2 (1 'x) 11 'x'xo0 'xo0 'x 'xo0 'x 166

lim 3'x ('x)2 3. 'xo0 'x ÁÉ ÊÁ , À ÂÇ¡ÊÁÂÊÃ ¡¼ÆÉÁ 3. 6.3 f (x) 2x ¡ÉÈ Á x 2 Æ ¢.Ê lim 'y lim f (2 'x) f (2) lim 2(2 'x) 2 'xo0 'x 'xo0 'x 'xo0 'x lim 4 2'x 2 lim 2'x 1. 2 'xo0 'x 'xo0 'x 4 2'x 2 ÁÉÊÁ , À ÂÇ¡ÁÊ ÂÃÊ ¡¼ÆÉÁ 1 . 2 6.4 f (x) 2x 2 ÈÉ¡Á x 1 . x ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ Æ¢Ê. lim 'y lim f (1 'x) f (1) 2(1 'x) 2 4 'xo0 'x lim 1 'x 'xo0 'x 'xo0 'x 2 4'x 2('x)2 2 4 4'x lim 1 'x lim 2('x)2 0. 'xo0 'x 'xo0 'x(1 'x) ÉÁÁÊ , À ÂÇ ¡ÁÊ ÂÃÊ ¡¼ÉÆ Á 0. II. Æ À¾ ¡Ò¾ 2 ÆÒÉ £ 1. ÇÆ ¡ÅÉ ¤Ê Á ÓÔ: - Â¥¾ÉÆ À ¾À ¾À ¾Á ¼ÉÃÓÔÉ. - ÃÒ¼Ê¡¾ÂÆÀ¾¡ÉÈ Á¬ÉÄ. 167

2. ¡ÊÅ ¤ÊÆ À Â 1. ¡ÅÉÃ lim 'y lim f (x1 'x) f (x1) ¡ÉÂ¡ÃÊ¡ÃÊÒÉÆ À 'x'xo0 'xo0 'x À ¾ y f (x) ÉÈ¡Á x x1 ¡ÉÂ Á ¾ÁÒÊ f '(x1) ÅÙ df . dx x x1 ÁÉ ÊÁ, f '(a) ¡Â ÀÂ Ç¡ÁÊ£Ê y f (x) ÉÈ x a . ¡ÂÉ Á ¾ÁÆ À¾À¾ y f (x) ÉÈ x (¼ÉÆÒ¥) ÒÊ f '(x) , y ' , df (x) ÅÙ dy . dx dx ¡ÉÅÃ f '(x1) ¡ÂÉ ÒÉ À ¾ y f (x) Ã Æ À¾¡ÈÉ Á x x1 . ¡ÉÅ y f (x) ÃÆ À¾¼ÈÉ Ç ¡Á¤ÒÉ @a,b> ¡ÉÂ ÒÉ y f (x) ÃÆ À¾¤ÉÈ ÒÉ @a,b> . ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ÁÙ ¡. Ê ÒÉ y f (x) ÃÆ À ¾ÉÈ¡Á x a ¢¾ÒÊ y f (x) À¡É ÉÅ¡ÉÈ Á x a. ÂÈ. lim> f (x) f (a)@ lim f (x) f (a) (x a) f '(a).0 0 xoa xoa x a lim f (x) f (a) lim(x a) xoa x a xoa ¥Ê lim f (x) f (a) ¡ÂÉ¢ÒÉ y f (x) ÀÉ¡ÅÉ ÈÉ¡Á x a . xoa 3. ÉÅÓÔ- É¼Å Ã¤É ¤Ê ÒÆ ÊÀ ÃÊ Ã ¢¾ ÉÂ ¼É¤Ã Ê Ô. 4. ÂÀÓÔ- - ¤Ê f (x) 4x 5 . ¤Ê ÁÓÔÂ ¥¾É lim f (x h) f (x) Ê ¼ÁÃ ho0 h Ò. 168

- ¤È Ê Â 1, ÂÆÀ ¾. - Â ÀÊ¡¼Â ,ÃÊ ¤ÊÁÓÔ Á ¡ f '(x) ¡ÉÅ f (x) 4x 5 . - ¤Ê f (x) x2 , ¤Ê ÁÓÔ f '(x) . - ¤È Ê ÙÁ ¡ ÔÉ ÒÁ ÃÆÀ ¾ ¢¾ ÀÉ¡ÅÉÀ¾ Ê¼ÁÂ È . - ¤ÊÁÓÔÁ ¡ÉÀ¡ÉÅ À¾ f (x) x É¡È Á x 0 ¢ÒÉ É ÀÉ Ã Æ À ¾¡ÈÉ Á x 0 . - ¢È ÀÈ Â ¥¾É ÆÀ¾ ¢¾ Æ ÆÒÉ Â¥¾ÉÁÉÉÒ. - ¤ÊÁÓÔÂ ¥¾É Æ À¾À¾ÀÒ¬ÉÄ. - ¤È Ê Â 2, Æ À ¾ÊÁ È . - ¤ÊÁ ÓÔÂ ¥¾ÉÆ À¾ÊÁ ¢¾ ÊÁ À¾ÀÒ¬ÉÄ. 5. ÒÁ ¢¾ ¡ÃÆ ÒÁ ¢¾ ¡Ã ÆÓÔÁÓÔÒÆ ÊÀÊÃ ¢É¡ÓÁ Â À ÙÅ Æ ÒÊ . ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 6. Æ¢ÊÆ¡ÑÂ Á 1. f (x) ¼ÉÃ À Æ ¤Ê¢É¾ÊÀ É¥À Ã¤Ê Ê f '(x) 1) f (x) 6x 1 f '(x) 6 2) f (x) 3x2 2x 1 f '(x) 6x 2. 3) f (x) 4x2 2x f '(x) 8x 2. 4) f (x) x3 1 f '(x) 3x2. 5) f (x) 2x3 6x f '(x) 6x2 6. 6) f (x) x 2 f '(x) 1. 7) f (x) 2 x2 1 ( x 1 2 . x 1 1) 169

8) f (x) 1 f '(x) 1 x 2x x 9) f (x) 1 ( x 2 x 1) x2 1 2 10) f (x) 2 f '(x) (3x 6 5)2 3x 5 2. ÆÉ dy À¾¼ÉÃ À Æ ¤Ê ÉÀ¥ÃÊ dx 1) y 4 2x 3x2 5x3 8x4 9x5 dy 2 6x 15x2 32x3 45x4. dx 2) y 1 3 2 dy 1 6 6 . x x2 x3 dx x2 x3 x4 3) y 3 3x2 1 dy 2x 1 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 5x dx 3 3x2 2 2x 5x 4) y x4 1 x3 1 dy 4x3 4 3x2 1 . x2 x dx x3 x2 5) f (x) (6x2 1)(3x 5) df 12x(3x 5) 3(6x2 1) 54x2 60x 3. dx 6) f (x) (4x2 1)( x 1) df 8x( x 1) 1 (4x2 1). dx 2 x 3. ÉÆ f '(x) À ¾¼ÉÃ ÀÆ ¤Ê É¥À ÊÃ Æ ¢Ê. 1) f (x) 3 2x f '(x) 2(3 2x) 2(3 2x) (3 12 . 2) f (x) 3 2x (3 2x)2 2x)2 3) f (x) 2 x 1 f '( x) 2(x2 1) 2x(2x) 2 x 2 2 . x2 (x2 1)2 (x2 1)2 x 1 f '( x) x2 2x 2 (2x 2)(x 1) 2x 2 x2 2x 2 2 x2 x2 2x 2 . x2 2x 2 170

4) f (x) (1 5x)6 f '(x) 6(1 5x)5 (5) 30(1 5x)5. 5) f (x) (3x x3 1)6 f '(x) 6(3x x3 1)5 (3 3x2 ). 6) f (x) § x ·5 f '( x) 5 § x x ·4 (x 1 5x4 ©¨ x 1¸¹ ©¨ 1 ¸¹ 1)2 (x 1)6 . 7) f (x) (6x 4)3 (8x3 6x) f '(x) 18(6x 4)2 (8x3 6x) (24x2 6)(6x 4)3. 4. ¤Ê f (x) x8 12x5 4x4 10x3 6x 5 . ÆÉ f '(x), f \"(x), f '''(x), f (4) (x) . Æ¢.Ê f (x) x8 12x5 4x4 10x3 6x 5 f '(x) 8x9 60x4 16x3 30x2 6 f \"(x) 72x8 240x3 48x2 60x f \"'(x) 576x7 720x2 96x 60 f (4) (x) 4032x6 1440x 96. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ II. È Â¥¾ÉÆÀ¾ ¢¤¡Ê ÁÒÉ : (c) ' 0 (x)' 1 (xn ) ' nxn1, n \\, n z 0 ( x)' 1 2x § 1 ·' 1 ¨© x ¸¹ x2 171

¤Ê c ¢ÉÒÆ ÆÉ, f ¢¾ g ¡Á À ¾¼ÉÃÃ ÆÀ¾. ¢¤Ê ¡ÁÒÉ: (cf ) ' cf ' ( f g) ' f ' g ' ( f g) ' f ' g ' ( f g)' f ' g f g ' § f ·c f ' g f g ' ¨ ¸ g2 © g ¹ [ f (g(x))]' f '(g(x)) g '(x) ([ f (x)]n ) ' n[ f (x)]n1 f '(x) . ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ Â 2. y '' f \"(x) d2y f '(x) ' d § dy · ¢É Æ À ¾ÊÁ y f (x) dx2 dx ©¨ dx ¸¹ y ''' f '''(x) d3y d §d2y· ¢ÉÆ À ¾ÊÁ y f (x) dx3 ¨ ¸ dx © dx2 ¹ # y(n) f (n) (x) dny d § d n1 y · ¢É Æ À¾ÁÊ n y f (x) dxn dx ¨ dxn1 ¸ © ¹ 172

Æ¼Ã 18 À¤Ê ÆÀ¾ I. ÁÉÔ¢, Æ Æ¡ÁÊÂ ¢¾ ¡ÊÁÁÊ ¡Ò¾ 2 ÒÉÆ £ 1. Ç Æ ¡ÉÅ ¤Ê Á ÓÔ: - ¢ÊÆ¡¾¼ÃÉ É ÉÔÒÁ ÁÉÔ¢ Ê¼ÁÃÒ. - ÔÆ Æ¡ÊÁ Â ¢¾ ¡ÊÁ ÊÁ . - ¡ÁÊ ÂÓÉÒ ¢¾ ¡ÁÂ 2 ¡ÁÊ £Ê. 2. ¡ÊÅ ¤ÊÆ À ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ (1) ¡ÉÅ ¡ÂÉ ¡ÃÊ lim 'y lim f (x1 'x) f (x1) ÒÉÁ ÉÔ¢ 'x'xo0 'xo0 'x y ÈÉ¡Á x1 ¢¾ lim 'y dy . ÉÁÊÁ , Á ÔÉ ¢ y ÈÉ 'xo0 'x dx ¡Á x1 ¢É dy ¡ÉÂÒÒÉ ¡ÅÉ x ÉÔ¢¬Ê ¬ÄÉ ÅÙ 1 ÒÆ dx x x1 ¬ÒÉ x1 ¢¾ÒÊ y ÉÔ¢ dy . dx x x1 (2) ¡ÉÅ , f '(x0 ) ¢É À ÂÇ¡ÁÊ ÂÁ ¡ÁÊ£Ê y f (x) ÈÉ ¡Á (x0, y0 ) . ÁÉ ÁÊ, ÆÆ¡ÊÁ Â Á ¡ÁÊ£Ê y f (x) ¡ÉÈ Á (x0, y0 ) ¢É y y0 f '(x0 ) x x0 ¡ÁÊ ÉÅ¼ÃÉ ÁÊ ¤¡Ê ÊÁ Â Á¡ÊÁ £Ê y f (x) É¡È Á (x0, y0 ) ÃÒÉÅ É ¡ÊÁ ÊÁ Á¡ÊÁ ÁÊ È¡É ÁÊÁ ¦. 173

ÁÊ ¡ÁÊ ÉÅ ¢¾ f '(x0 ) ¢ÉÀ ÂÇ ¡ÊÁÂ Á¡ÁÊ£Ê y f (x) ÈÉ¡Á (x0, y0 ) ÉÄ ¥Ê Æ Æ ¡ÁÊÊÁ Á ¡ÊÁ£Ê y f (x) ¡ÉÈ Á (x0 , y0 ) ÁÉ:ÊÃ y y0 f 1 (x x0 ) ¡ÅÉ f '(x0 ) z 0 '(x0 ) ¡ÂÉ ¡ÊÁ Â ¢¾ ¡ÊÁÁÊ¢ÉÁ ÓÈ¾ÇÉ ÊÃ y y f x y0 P x0 , y0 x O x0 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 3. ÉÅÓÔ- É¼Å É¤Ã ¤Ê ÒÆ ÀÊ ÃÊ Ã , ÉÂ ¼Ã¤É Ê Ô ¢¾ ¡ÅÉÁÂ¥¾É (Ê)Ã . 4. Â ÀÓÔ- - Á ÓÔÅ ÉÔÒÁÁÉÔ¢ y ÈÉ¡Á x1 , ÂÆ À¾ ¢¾ Ò¼Ê ¡¾Â ÆÀ ¾. - È¢À 2 ¡ÊÅ ¤ÊÆ À Æ ÊÃ. - È À¢Ê Æ ¡¾ ¾ÉÇÊÃ Ê¼ÁÃÒÀ . È ¢Á ¡ÊÆ¬ÒÉ Æ ¬ÄÉ ÒÊ ¾À Â 5 m3 / s . ÉÆ Á ÔÉ ¢ ¾ÁÃ ¬ÉÒÆ ¡ÉÅ ¾Á ÃÒ 10 m. - ¤Ê Á ÓÔ¢Ê Æ ¡¾: ÁÊÀ ¬ÉÄ ¡Á ÓÈÒ¼ÉÃ ¡Ã ÁÊÉÁ Ò 100 cm ¢¾ 174

¾ÒÈ 120 cm . É ÀÊ¡ÊÆ¤ÁÒÊ ÁÒ¥Ò 60 cm3 / s . ¡ÉÅ ÊÀ ¤Á¾Ã ÁÈ 80 cm , ÆÉ Â ¥¾É¾Á ÊÀ ¤Á È ÊÄ ÒÊ Á Ò¥Ò¡¼ÉÆ ¤? - ÈÀ¢Ê Æ ¡¾: 1) ÆÉ Æ Æ¡ÁÊÂ ¢¾ ¡ÁÊ ÁÊ Á¡ÊÁ £Ê y x2 3x 4 ¡ÉÈ Á (2, 6) . 2) ÆÉÆ Æ ¡ÁÊ Â Á¡ÁÊ£Ê y x3 3x2 ¢¾ ¡ÁÊ Â ÃÊÉ ¡Á (1, 4) . 3) ¤Ê C1 : y x2, C2 : y x2 2x 1. ÉÆ ÆÆ¡ÁÊÂ ÓÒÉ ¡ÊÁ£Ê Ê.Ã - ¤Ê Á ÓÔ¢ÊÆ¡ÑÂ Á À Ò¬ÉÄ . 5. ÒÁ ¢¾ ¡ÃÆ ÒÁ ¢¾ ¡Ã Æ ÓÔ ÁÓÔÒÆ ÀÊ ÃÊ ¢É ¡ÓÁ Â À ÙÅ Æ ÒÊ . ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 6. Æ¢ÊÆ¡ÑÂÁ 1. ¡ÉÅÈ ¾Æ¡ÆÊ ¼¡ÉÃ Á ÓÈ ¬ÒÉ Æ ÊÒ¾À Â 2 cm3 / s . ÉÆ Á¡ÃÉ ÄÊ ¾ÁÃ ¡ÅÉ¾À Â¡¼ÆÉÁ 50cm3 . Æ¢Ê. V 4 Sr3 dV 4Sr2 dr 3 dt dt V 4 Sr3 50 r 75 3 3 2S dV 4Sr2 dr dr 1 dV 1 ·2 (2) | 0,006628 dt dt dt 4Sr2 dt ¸¸¹ § 75 4S ¨¨© 3 2S 175

¡ÉÂ ÒÒÉ È ¾Æ ¡ÆÊ ÒÊ À¾Â 2 cm3 / s ¡ÉÅ À¾Â ¡¼ÆÉ Á 50cm3 ¢¾ÒÊ ¾Á Ã ¡ÉÃ ÊÄ 0,0066 Á Ã¢Á ÀÉÒÂ ¼.Ã 2. É ¡Á ÀÊÁ ¬ÄÉ¡ÁÓÈ Ò, ¡ÉÂ¡ÁÊÉ ¤ÒÒ 10 m ¢¾ ¾ÒÈ 10 m. ¡ÉÂ¡ÁÉ ÀÊ¡ÆÊ ÉÒÊ Á 4 m3/mn. ÒÉ ¾ÁÈ ÄÊ ÒÊ Á¡¼ÆÉ ¤ÁÙ¾Á ÊÀ È 6 m. Æ ¢Ê. V 1 S r 2h §r h r h· 1 S § h ·2 h S h3 dV S h2 dh 3 ¨© 5 10 2 ¹¸ 3 ©¨ 2 ¸¹ 12 dt 4 dt 4 S 162 dh dh 1 | 0,0199 16S 4 dt dt ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ¡ÉÂ ÒÒÉ ÉÊÀ ¡ÊÆ É ÃÊÒÊ ¾À Â 4 m3/mn ÙÁ ¾ÁÀÊ È 6 m ¾Ò¾Á ÀÊ¡ÃÉ ÄÊ 0,0199 ¢Á ÀÉ ¼.Ã 3. ÆÉ Æ Æ ¡ÊÁÂ ¢¾ ¡ÁÊ ÊÁÁ¡ÁÊ £Ê ÉÀ¥ÊÃ É¡È Á ¼ÃÉÀÆ ¤.Ê 1. y x3 2x2 ¡Á (1, 1) Æ ¢.Ê y x3 2x2 y '(1) 3 4 1 ÆÆ¡ÊÁ Â : y (x 1) 1 x 2. ÆÆ¡ÁÊ ÁÊ : y (x 1) 1 x. 2. y 2x4 6x2 8 ¡Á (2,16) Æ ¢Ê. y 2x4 6x2 8 y '(2) 8(2)3 12(2) 40 ÆÆ ¡ÊÁ Â : y 40(x 2) 16 40x 64. Æ Æ ¡ÁÊ ÁÊ : y 1 (x 2) 16 1 x 321. 40 40 20 y 2x 1 ¡Á (1, 4) 3. x Æ¢.Ê y 2x 1 y '(1) 2 1 1 x 176

Æ Æ¡ÁÊ Â : y (x 1) 4 x 3. ÆÆ ¡ÁÊÁÊ : y (x 1) 4 x 5. 4. ÉÆ ÆÆ ¡ÊÁ Â Á y x3 3x2 1 ¢¾ ¡ÁÊ Â ÃÊÉ¡Á ¡ÆÊ . Æ¢.Ê ¤Ê x0 ¡Á¡Á Â . ÆÆ¡ÁÊÂ ¼ÃÉ ÓÃ È ÓÉ y f '(x0 )x 3x02 6x0 x . x0 : x03 3x02 1 3x02 6x0 x0 x03 3x02 1 3x03 6x02 2x03 3x02 1 0 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດx0 1, x0 1 2 ÉÁ ÊÁ, Æ Æ ¡ÊÁÂ ¼ÉÃ Ã 2 ¡ÁÊ : y 3x ¢¾ y 15 x . 4 5. ÆÉ ÆÆ ¡ÁÊÂ Á ÓÒÉ ¾ÒÉ y x2 ¢¾ y x2 3x 2 . Æ¢.Ê ¤Ê x a ¡Á¡Á Â ÈÉ C : y x2 . ÆÆ¡ÊÁ Â ¼ÉÃ ÓÃ È ÓÉ y f '(a)x a2 2ax a2 ¡ÁÊÅÉ ¥ÊÃ ÂÁ C ' : y x2 3x 2 , ¢ÒÉ ÆÆ 2ax a2 x2 3x 2 ÅÙ Æ Æ x2 (3 2a)x 2 a2 0 Ã Ô¢¤É Æ ÔÒ. ÉÁÁÊ ' (3 2a)2 4(2 a2 ) 0 a 1 12 ÆÆ ¡ÁÊÂ ¼ÉÃ¢É y 1 x 1 . 6 144 177

6. ¤Ê C1 : y x3 x2 12x 1 ¢¾ C2 : y x3 2x2 a . ÉÆ É a ¡ÅÉ¤Ê C1 Ã¡ÁÂÁ C2 . Æ¢.Ê ¤Ê C1 : y x3 x2 12x 1 f (x) ¢¾ C2 : y x3 2x2 a g(x) . ¢¾ x x0 ¡Á ¡Á Â ¥Ê: f (x0 ) g(x0 ) ¢¾ f '(x0 ) g '(x0 ) . Ê¥Ã :Ê ° x03 x02 12x0 1 x03 2x02 a ® 3x02 2x0 12 3x02 4x0 °¯ x0 2, x0 1. ¡ÉÅ x0 2 ¥Ê 8 4 24 1 8 8 a a 21. ¡ÉÅ x0 1 ¥Ê 1112 1 1 2 a a 6. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ÉÁ ÊÁ, C1 ÂÁ C2 ¡ÅÉ a 6 ÙÅ a 21 . II. ÒÉÄÊ, ÒÉ¢Ó, ÉÙÇ ¢¾ É¬ÊÇÀ¾ ¡Ò¾ 2 ÉÒÆ £ 1. ÇÆ ¡ÅÉ ¤Ê Á ÓÔ¢ÊÆ ¡¾¼ÃÉ ÉÔÉ ÒÁÉÙÇ ¢¾ É ¬Ê Ç À ¾. 2. ¡ÊÅ¤ÆÊ À ÁÙ ¡. ¤Ê f ¡ÁÀ ¾¼ÉÃ Ã Æ À ¾¤ÒÉ ]a,b[ . - ÊÒÉ f '(x) ! 0 ¤ÒÉ ]a,b[ ¢¾ÊÒ f ¡Á À¾ÊÄÙ¤ÒÉ >a,b@ . - Ê ÒÉ f '(x) 0 ¤ÒÉ ]a,b[ ¢¾ÊÒ f ¡Á À¾¢ÓÙ¤ÒÉ >a,b@ . 178

¡ÅÉÀ¾ f ÊÄÙ ¤ÒÉ >a,b@ ¡ÂÉ¡ÊÃ >a,b@ ÒÉÒÉÄÊ f ¢¾ ¡ÉÅ À¾ f ¢ÓÙ¤ÒÉ >a,b@ ¡ÂÉ¡ÃÊ >a,b@ ÒÉ ÒÉ¢Ó f .¡ÉÅ À¾ f ÊÄÙ¤ÒÉ [a, c] ¢¾ ¢ÓÙ ¤ÒÉ [c, b] : y f c f b f a ac b x ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ¤À¾ÃÃÊ f (c) ¡ÁÉ ÙÇ f ¼É¡Ã ÉÂ¡¤¡Ê¢Ê ¡Á x c ÙÅ ¤ÒÉ [a,b] , ¡ÂÉ ¥ÉÀ ¡Ê ÉÂ ¤¼ÆÒÉ ¡ÀÆ f . ¡ÉÃ¡ÊÃ ÉÙ ÇÊÒÃ É ÉÙ Ç ¼Ô (¼Ô¤¡É Á ¼ÃÉ ÈÉÊ¢Ê ¡Á x c ). É¥À ¤Ê À ÒÉÉ ÙÇ ¢¼É Ù Ç¼Ô. ¡ÉÅ À ¾ f ¢ÓÙ¤ÒÉ [a, c] ¢¾ ÊÄÙ ¤ÒÉ [c,b] : y f c f b f a a cb x ¤¾À Ã ÊÃ f (c) ¡Á É¬Ê Ç f ¼Ã¡É ÉÂ¡¤¡Ê ¢Ê ¡Á x c . ¡ÃÉ¡ÃÊ É ¬Ê ÇÊÃ ÒÉÉ¬Ê Ç ¼Ô. ¥ÀÉ ¤Ê ÀÒÉÉ ¬Ê Ç ¢¼É¬Ê Ç ¼Ô. 179

ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ3. ÉÅ ÓÔ- ¼ÅÉ ¤ÃÉ ¤Ê ÒÆ ÀÊ ÊÃ Ã , ÂÉ ¼¤ÉÃ Ê Ô ¢¾ ¡ÉÅÁÂ¥¾É (Ê)Ã . 4. ÂÀ ÓÔ- - ¤ÊÁÓÔÁ ¡¡ÁÊ ¢À¾ f (x) x2 ¢¾ f (x) x2 £¤Ê ¡Æ ¤¤ÉÁ¡ÀÂ Ç ¡ÁÊ Â ¼ÉÃ ÉÈ¤¡Ê Á x 0 ¡ÊÅ Ê ¢¾ ¡ÊÅÒ: f (x) x2 ¢ÓÈÉ ÒÉ¤¡Ê Á x 0 ¡ÊÅ Ê ¢¾ À Â Ç ¡ÊÁÂ ÈÉ ÒÉ Ã¡Ê ÁÉ ¾Æ, f (x) x2 ÄÊ ÉÈ ÒÉ ¤¡Ê Á x 0 ¡ÊÅÒ ¢¾ À Â Ç ¡ÊÁÂÈÉ ÒÉ¡ÃÊ ÁÉÒ ¢¾ f (0) 0 ¡Á É¬ÊÇÁ . f (x) x2 ÄÊ ÈÉ ÒÉ ¤¡Ê Á x 0 ¡ÅÊ Ê ¢¾ ÀÂ Ç¡ÁÊÂ ÈÉ ÒÉ ¡ÃÊ Á ÉÒ, f (x) x2 ¢ÓÈÉÒÉ¤Ê¡Á x 0 ¡ÊÅÒ ¢¾ À Â Ç¡ÁÊÂÈÉ ÒÉ¡ÃÊ ÁÉ¾Æ ¢¾ f (0) 0 ¡Á É Ù ÇÁ. - ÊÃ, È¤¡Ê ÊÅ¤ÆÊÀ Æ . - È À¢Ê Æ ¡¾: ÉÆ ÒÉÄÊ , ÒÉ ¢Ó, É ¤É Ç ¢¾ É ¬Ê Ç À¾ f (x) x4 2x2 - ¤ÊÁÓÔ¢Ê Æ ¡¾: 1) ¤ÊÀ ¾ f (x) x3 x2 8x 1. ÆÉ É ÙÇ ¢¾ É ¬Ê ÇÀ ¾Ã.Ê 2) ¤ÊÀ¾ f (x) x3 3x 6, 3 d x d 3. ÉÆ ÉÙ Ç ¢¾ 2 É¬ÊÇ f . - ¤Ê ÁÓÔ¢ÊÆ ¡ÑÂÁ À Ò¬ÉÄ . 180

5. ÒÁ ¢¾ ¡ÃÆ ÒÁ ¢¾ ¡Ã ÆÓÔÁÓÔÒÆ ÊÀ ÃÊ ¢É¡ÓÁÂÀ ÙÅ ÆÒÊ . 6. Æ¢ÊÆ ¡ÑÂ Á 7. ÆÉ ÒÉ ÄÊ ¢¾ ÒÉ ¢ÓÀ¾¾ÉÇ ÊÃ 1) f (x) x2 4x 5 Æ ¢.Ê f (x) x2 4x 5 f '(x) 2x 4 2 ÁÉ ÊÁ , ] f, 2] ¡ÁÒÉ ¢Ó ¢¾ [2, f[ ¡ÁÒÉ ÊÄ f (x) x2 4x 5 . ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 2) f (x) 1 2x x2 Æ ¢.Ê f (x) 1 2x x2 f '(x) 2 2x 1 ÁÉÁÊ, ] f,1] ¡ÁÒÉ ÊÄ ¢¾ [1, f[ ¡Á ÒÉ ¢Ó f (x) 1 2x x2 . 3) f (x) 1 x3 x2 3x 2 3 1 3 Æ ¢.Ê f (x) 1 x3 x2 3x 2 f '(x) x2 2x 3 3 ÉÁ ÁÊ , ] f, 1][3, f[ ¡ÁÒÉÊÄ ¢¾ [1,3] ¡ÁÒÉ¢Ó f (x) 1 x3 x2 3x 2 . 3 4) f (x) x3 3x 2 . Æ ¢Ê. f (x) x3 3x 2 f '(x) 3x2 3 ! 0,x \\. ÉÁ ÊÁ , f (x) x3 3x 2 ÊÄ Ù¤ÒÉ ] f, f[ . 181

8. ÆÉ ¡É k ¡ÅÉ ¤Ê À ¾ y 2x3 kx2 kx ÄÊ Ù. Æ¢Ê. y 2x3 kx2 kx y ' 6x2 2kx k y ' 6x2 2kx k ! 0,x \\ ¡ÉÅ ' ' k 2 6k 0 ÁÉ ÁÊ , y 2x3 kx2 kx ÊÄ Ù¡ÅÉ 0 k 6. 9. ÉÆ ÉÙ Ç ¢¾ É ¬Ê ÇÀ ¾¾ÇÉ Ê:Ã 1) f (x) 1 x3 2x2 5x 3 3 Æ ¢Ê. f (x) 1 x3 2x2 5x 3 f '(x) x2 4x 5 3 5 1 ÁÉÁÊ , f (5) fmax 91 , f (1) f min 17 . 3 3 2) f (x) 1 3x 4x2 x3ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ Æ¢Ê. f (x) 1 3x 4x2 x3 f '(x) 3 8x 3x2 1 3 3 ÁÉÁÊ , f § 1 · f min 13 , f (3) f max 19. ¨© 3 ¹¸ 27 3) f (x) 2x3 3x2 12x, 2 d x d 4. Æ¢Ê. f (x) 2x3 3x2 12x f '(x) 6x2 6x 12 6 x2 x 2 1 2 ÉÁ ÁÊ , fmin min^f (2), f (2)` min^4, 20` 20, fmax max^f (1), f (4)` max^7,32` 32. 182

4) f (x) x3 3x2 4, 3 d x d 2. Æ ¢Ê. f (x) x3 3x2 4 f '(x) 3x2 6x 3(x2 2) 0,x [3, 2] ÁÉÁÊ , f (x) x3 3x2 4, 3 d x d 2 ¢ÓÙ, fmin f (2) 16, fmax f (3) 4. 10. ÆÉÉ a,b, c ¢¾ ÉÙÇ À¾ f (x) x3 ax2 bx c ¡ÅÉ À¾ÃÊ ÃÉ Ù Ç ÅÙ ¬ÊÇÈ¡É Á x 2 , x 2 ¢¾ É¬Ê ÇÀ 3 ¾¢ÊÃ É 0. Æ¢.Ê f '(x) 3x2 2ax b 22 3 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ f '(x) 3x2 2ax b (3x 2)(x 2) 3x2 8x 4 a 4,b 4. fmin f (2) 0 8 16 8 c 0 c 0. 11. ÆÉ¡É k ¡ÅÉ ¤ÊÆ Æ ¥ÀÉ ÊÃ Ã 3 ¤Æ¼ÉÃ¡ÁÀ ÒÂ: 1) 2x3 3x2 12x k 0 Æ¢.Ê 2x3 3x2 12x k 0 k 2x3 3x2 12x f (x) f '(x) 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1) 2 1 fmax f (2) 20, fmin f (1) 7. ÆÆ 2x3 3x2 12x k 0 Ã 3 ¤Æ ¼ÃÉ¡Á À ÒÂ¡ÉÅ 7 k 20. 183

2) x3 2x2 4x k 0 Æ ¢.Ê x3 2x2 4x k 0 k x3 2x2 4x f (x) f '(x) 3x2 4x 4 2 2 3 f min f (2) 8, fmax f ( 2 ) 40 . 3 27 Æ Æ x3 2x2 4x k 0 Ã 3 ¤Æ ¼ÉÃ¡ÁÀÒÂ ¡ÅÉ 8 k 40 . 27 12. ÒÂÀ Ò¡ÊÁÂ Á y x3 2x2 4x ¢¾ ¡ÁÊÂ ÊÃÉ ¡Á (0, k). Æ ¢.Ê ¤Ê x0 ¡Á ¡ÁÂ. Æ Æ¡ÊÁÂ ¼ÃÉ ÓÃ È ÓÉ y f '(x0 )x k 3x02 4x0 4 x k ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ Æ Æ¡ÉÅ x0 : x03 2x02 4x0 3x02 4x0 4 x0 k x03 2x02 4x0 3x02 4x0 4 x0 k k 2x03 2x02 g(x0 ) g(x0 ) . ÀÒ¡ÁÊÂ ¡¼ÆÉ Á À Ò¤Æ ¼É¡Ã Á À ÒÂÆ Æ k g '(x0 ) 6x02 4x0 2x0 (3x0 2) - 2 0 3 g min g( 2 ) 8 , g max g(0) 0. 3 27 ÉÁ ÁÊ, - ¡ÉÅ k 8 ÙÅ k ! 0 Æ Æ k g(x0 ) Ã 1 ¤Æ¼É¡Ã ÁÀÒÂ, ¡ÉÂ 27 ¤À¾ÃÃÊ ¡Ã ÊÁÂÔ¢É 1 ¡ÁÊ . 184

- ¡ÉÅ k 8 ÅÙ k 0 ÆÆ k g(x0 ) Ã 2 ¤Æ¼É¡Ã ÁÀÒÂ , ¡ÉÂ 27 ¤¾À Ã ÊÃ ¡Ã ÁÊÂ Ô¢É 2 ¡ÁÊ. - ¡ÉÅ 8 k 0 Æ Æ k g(x0 ) Ã 3 ¤Æ¼¡ÉÃ Á ÀÒÂ , ¡ÂÉ ¤ 27 À¾Ã ÊÃ Ã¡ÊÁ Â Ô¢É 3 ¡ÊÁ. 13. ¤¼Ê ÀÉÆ¾ÒÈ 2x ¢¾ a ¢É ¾Á Ã ¼ÀÉ Æ ÃÊ. ¼ÀÉ ÆÊ¢Ã ¤¬ÒÉ Æ ¾Á Ã 2. . ÆÉ Ô a x. . ÔÀ¾Â ¼ÉÀ ÆÃÊ x. . À¾Â Ù Ç ¼ÀÉÆÊ.Ã ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ Æ¢.Ê ¾Á ¡ÉÂ Å¤ 2 Â Â ¡ÂÉ ¼ÀÉ Æ ¢¾ ¬ÉÒÆ ÃÊ ¡Á¢É Æ ¢¾ ÓÈ ¢ÉÃ ¾À Á ÁÉ:ÊÃ ¥ÊÃ Ê: . a2 x2 4 a 4 x2 . . V S a2 (2x) 2S (4 x2 )x 2S (4x x3). . V ' 2S (4 2x2 ) 2 2 Vmax V ( 2) 2S (4 2 2 2) 4S 2. 185

14. ¤Ê¼ÀÉ Æ ¬ÉÄ ¢¤Ò¼ÔÉ ¼¾ÉÃ ÒÈ ¡¼ÉÆÁ 12 ¢¾ ¾Á Ã ÊÅ ¡¼ÆÉÁ 6. ÆÉÀ¾Â Ù Ç ¼ÀÉ Æ .ÊÃ Æ¢.Ê ¾Á¡ÂÉ Å¤ 2 ÂÂ ¡ÂÉ ¼ÀÉ Æ ¢¾ Ò¼ÔÉ Ê¡Ã Á ¢É r 12 h ¥Ê: 12 h h 2(6 r), 6 6 6r ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ V S r2h 2S r2 (6 r) 2S (6r2 r3), V ' 2S (12r 3r2 ) 6S r(4 r) Vmax V (4) 64S . III. Ò£Ê, ¡Á ÔÉ £Ê , Ç¾Â ¢¾ É¤ÊÔ ¡Ò¾ 2 ÆÒÉ £ 1. ÇÆ ¡ÉÅ ¤Ê ÁÓÔ - Ò£Ê ¢¾ ¡ÁÔÉ £Ê¡ÊÁ ¢À¾. - Â¥¾É Ç¾Â . - ¤Ê Ç ¾Â¡ÉÅÉ ¤Ê ÔÀÒ¬ÄÉ. 186

ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ2. ¡ÊÅ ¤ÊÆ À ÙÁ¡ (ÔÉ ÒÁÆÀ ¾ÁÊ ¢¾ Ò£Ê ): - ¡ÊÁ ¢À¾ y f (x) £ÊÄÊ¤ÒÉ ¼ÃÉ f \"(x) 0. - ¡ÊÁ ¢À¾ y f (x) £Ê ¾Æ¤ÒÉ ¼ÃÉ f \"(x) ! 0. - ¤Æ Æ Æ f \"(x) 0 ¢ÉÆÒ x ¡ÁÔÉ £Ê . Â . ¤Ê y f (x) ¡ÁÀ¾¼ÉÃ Ã ÆÀ¾. ¡ÉÂ ¡ÊÃ dy f '(x)dx ÒÉÇ ¾Â y f (x) . ÙÁ ¡. ¡ÅÉ ÓÊÈÉ Â f (a) ¢¾ 'x ¬Ê Ù ¤Ê È ÉÀ¥ÊÃ ¡ÉÅ Â ¥¾É É ¤ÊÔ f (a 'x) : f (a 'x) | f (a) dy. 3. ÅÉ ÓÔ- ÉÅ¼ÃÉ¤Ê¤ÒÆ ÀÊ ÃÊ Ã , ÉÂ ¼ÃÉ¤Ê Ô ¢¾ ¡ÉÅ Á Â¥¾É (Ê )Ã . 4. ÂÀÓÔ- - ¤ÊÁÓÔÁ ¡Ò£Ê ¡ÊÁ ¢À¾ f (x) x2 ¢¾ f (x) x2 £¤ÊÁ ÈÉÁ¡ÉÅ Æ À ¾ÊÁ . - ¤Ê ÁÓÔÁ ¡Ò£Ê¡ÁÊ ¢À ¾ f (x) x3 £¤Ê ÁÈÉ Á ¡ÉÅ ÆÀ¾ÊÁ. - ÃÊ È¤Ê ÙÁ ¡ÉÔÒÁÆÀ¾ÁÊ ¢¾ Ò£Ê . - ¤ÊÁÓÔÒÉÄÊ, ÒÉ¢Ó, ÉÙÇ , É¬ÊÇ, ÒÉ£Ê ¾Æ , ÒÉ£Ê ÄÊ , ¡ÁÔÉ £Ê ¢¾ ¢Ê ¡ÁÊ ¢À¾ f (x) x4 4x3. - ÈÀ ¢Ê Æ ¡¾: ÆÉ ÒÉÄÊ, ÒÉ ¢Ó, É ¤É Ç ¢¾ É ¬Ê ÇÀ¾ f (x) x4 2x2 187

- È¤Ê ÂÇ ¾Â. - ÈÀ ¢Ê Æ ¡¾: ¤Ê y x3 2x2. . ÉÆ dy . . ÉÆ dy ¤¾À Ã x 2 ¢¾ dx 0,1. - È¡¬Ã ¼ÃÉ È f (a 'x) | f (a) dy. - È À¢Ê Æ ¡¾: 1) ÉÆ ¤ÊÇ¾Â ¡ÉÅ É¤Ê Ô 3 65. 2) ÆÇ Æ ÒÁ ¢¼¾ÁÃ¬ÉÒÆ¬ÉÄ ¢É 21 cm ¢¾ ÉÂ ÔÉ ¤ÒÁ ¢¼ÊÃÀ¡É Ã 0,05 cm. ÒÉ É Â ÔÉ Ù Ç ¤¤Ê É ÒÁ¢¼¡ÊÃ ÉÅ Â ¥¾ÉÀ¾Â ¬ÉÒÆÁÉÉÒ¢É¡¼ÉÆ ¤? - ¤ÊÁ ÓÔ¢Ê Æ ¡ÑÂÁÀ Ò¬ÄÉ. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 5. ÒÁ ¢¾ ¡ÃÆ ÒÁ ¢¾ ¡Ã Æ ÓÔÁ ÓÔÒÆ ÊÀ ÊÃ ¢É ¡ÓÁ Â À ÅÙ Æ ÒÊ . 6. Æ¢ÊÆ¡ÑÂÁ 15. ÉÆÒÉÊÄ , ÒÉ ¢Ó, É Ù Ç, É¬Ê Ç , ÒÉ £Ê¾Æ , ÒÉ£Ê ÊÄ, ¡Á ÉÔ£Ê ¢¾ ¢Ê ¡ÊÁ ¢À¾¾ÉÇ ÃÊ: 1) f (x) x3 x. Æ ¢Ê. f '(x) 3x2 1 1 1 3 3 f \"(x) 6x 0 188

ÄÊ, ¢Ó, É Ù Ç, É¬ÊÇ , ÒÉ£Ê ¾Æ , ÒÉ£Ê ÄÊ ¢¾ ¡ÁÉÔ£Ê: x f 1 0 1 3 3 f 2 0 2 f f (x) f 3 3 2. 33 (0, 0) ¡Á ¡Á ÔÉ £Ê , fmax 2 , fmin 33 33 ¡ÁÊ ¢: ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 2) f (x) x4 6x2. Æ ¢Ê. f '(x) 4x3 12x 4x(x2 3) 3 0 3 f \"(x) 12x2 12 12(x2 1) 189 1 1

ÊÄ, ¢Ó, É ÙÇ, É ¬Ê Ç, ÒÉ£Ê¾Æ, ÒÉ £Ê ÊÄ ¢¾ ¡ÁÔÉ £Ê : x f 3 1 0 1 3 f f (x) f 9 5 0 5 9 f (1, 5) ¢¾ (1, 5) ¡Á¡Á ÔÉ £Ê . fmax 0, fmin 9. 3) f (x) x4 3x3 3x2 x.ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ Æ ¢.Ê f '(x) 4x3 9x2 6x 1 (x 1)2 (4x 1) 1 1 4 1 f \"(x) 12x2 18x 6 6(x 1)(2x 1) 1 2 ÄÊ , ¢Ó, ÉÙÇ, É¬ÊÇ, ÒÉ£Ê¾Æ, ÒÉ£ÊÊÄ ¢¾ ¡ÁÉÔ£Ê: x f 1 1 1 f 4 2 f (x) f 2 1 3 f 32 8 , 11 ¢¾ 1,3 ¡Á ¡ÁÉÔ£Ê . fmin 3. ÀÉÃ fmax . 2 8 32 190

4) f (x) 3x5 5x3 3. 0 Æ ¢.Ê f '(x) 15x4 15x2 15x2 (x2 1) 1 1 f \"(x) 15(4x3 2x) 30x(2x2 1) 1 2 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 0 1 2 ÊÄ , ¢Ó, ÉÙ Ç, É ¬ÊÇ , ÒÉ £Ê ¾Æ, ÒÉ £ÊÄÊ ¢¾ ¡Á ÉÔ£Ê: x f 1 1 0 1 f f 2 21 1, fmax f (x) f 5 7 3 3 3 7 1 42 42 1 , 7 3 ,0,3 ¢¾ 2 42 1 ,3 7 ¡Á ¡ÁÉÔ£Ê . fmin 5. 2 42 191

16. ÆÉ Ç¾ÂÀ¾¾ÇÉ ÃÊ: 1) f (x) x5. Æ ¢Ê. f '(x) 5x4 df 5x4dx. 2) f (x) 4 x. Æ¢Ê. f '(x) 1 3 df 41 3 dx. 4x 4x 4 3) f (x) x2 . Æ ¢.Ê f '(x) 2x 3 7 df 2x 7 32 dx. 2x 32 17. ÆÉ ¤Ê Ç ¾Â ¡ÉÅ Â ¥¾ÉÉ ÀÒ¾ÉÇ:ÊÃ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 1) 36,1 Æ ¢Ê. ¤ÊÈ f (a 'x) | f (a) dy £¤Ê f (x) x, a 36 ¢¾ 'x 0,1 ¥Ê: dy 1 dx 1 'x , 2x 2x 36,1 36 0,1 | 36 1 (0,1) 6 1 | 6, 008. 2 36 120 2) 3 1, 02 4 1, 02 Æ ¢Ê. ¤Ê È f (a 'x) | f (a) dy £¤Ê f (x) 3 x 4 x, a 1 ¢¾ 'x 0, 02 ¥Ê: § ·§ · ¨ 1 1 ¸ ¨ 1 1 ¸ dy¨ 3x 2 4x 3 ¸ dx ¨ 3x 2 4x 3 ¸ 'x ©¨ 3 4 ¹¸ ©¨ 3 4 ¸¹ § 1 1 · (0, 02) 7u 2 7, ©¨ 3 4 ¹¸ 12 100 600 3 1, 02 4 1, 02 f (1 0, 02) | 3 1 4 1 dy 2 7 | 2, 012. 600 192

3) 1,976 Æ ¢Ê. ¤Ê È f (a 'x) | f (a) dy £¤Ê f (x) x6, a 2 ¢¾ 'x 0, 03 ¥:Ê 1,976 | 26 dy 64 6(2)5(0, 03) 58, 24. 4) 1 10,1 Æ¢.Ê ¤ÊÈ f (a 'x) | f (a) dy £¤Ê f (x) 1 , a 10 ¢¾ 'x 0,1 ¥:Ê x 1 | 1 dy 1 1 (0,1) 1 1 0, 099. 10,1 10 10 102 10 1000 18. Æ Ç ÆÒÁ ¢¼¾ÁÃ¢É Æ ¬ÉÄ ¢É 24 cm ¢¾ É ÂÔÉ ¤ ÒÁ¢¼ÊÃ ¡ÀÉ Ã 0,2 cm. ÒÉÉÂÉÔÙÇ¤¤ÊÉÒÁ¢¼ÊÃ ¡ÉÅ Â ¥¾¡É ÅÊ ¼ÉÃ ¢ÉÆ ÉÁÉÒ¢É¡¼ÆÉ ¤? ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ Æ¢Ê. ¤Ê A S r2 ¢É ¡ÅÊ ¼ÉÃ¢É Æ ÉÁ ÉÒ, ¡ÉÂ r 24, 'r 0, 2. dA A'(r)dr 2S rdr 2S (24)(0, 2) | 30,1714 ¢ÒÉ É ÂÉÔÙ Ç¡ÅÉ ¤Ê É ÒÁ ¢¼ÃÊ¡ÉÅ Â ¥¾¡É ÊÅ ¼ÃÉ ¢ÉÆÁÉÉÒ¢É 30,1714 cm2 . 193

¼Ã VIII ¡ÆÊ À¾ ¢¾ Á Â Æ ¼Ã 19 ÁÂ ÀÉ Ã I. ¡ÊÆ À ¾ ¡Ò¾ 1 ÒÆÉ £ 1. ÇÆ ¡ÅÉ ¤Ê Á ÓÔ¡ÊÆ À¾ À ¾À ¾Á¼ÉÃÉ Á -1. 2. ¡ÊÅ ¤ÊÆ À Â 1. ¡ÂÉ¡ÒÆÊÒÉÀ ¾ F (x) ¢É ¡ÆÊ À ¾À ¾ f (x) ¤ÒÉ I ÊÒÉ F '(x) f (x) ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ÙÁ ¡ 1 ¤Ê F (x) ¡Á ¡ÆÊÀ¾À ¾ f (x) ¤ÒÉ I ¥Ê F (x) C À¢É¡ÊÆ À¾À ¾ f (x) ¤ÒÉ I ¡ÂÉ C ¡ÁÀÒÆ É¤¬ÄÉ . ÙÁ ¡ 2 ¤Ê f (x) ¡Á À ¾É¡À ÉÅ ¤ÒÉ I , ¤Ê x0 ¢¾ y0 ¼ÃÉ¡Á À ÒÂ ¡Ã ÊÆ À ¾ F (x) ÔÁÔÒ f (x) ÉÈ¤ I £ÒÉ F (x0 ) y0 . 3. ÅÉÓÔ- ÅÉ¼¤ÃÉ ¤Ê ÆÒÊÀ ÃÊ Ã ¢¾ ÂÉ ¼¤ÉÃ Ê Ô. 4. ÂÀÓÔ- - ¤ÊÁ ÓÔÀ ¾¼ÃÉÆ À¾Á¢É : 1) f (x) 1 x2 2) f (x) 2 5x3 3x2 1. - ¤È Ê Â¡ÊÆÀ¾. 194

Pages:

thongla4567

ຄະນິດສາດ_mathematic-tg

Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!

Create your own flipbook

TOP SEARCH

business design fashion music health life sports home marketing children

ຄະນິດສາດ_mathematic-tg

Description: ຄະນິດສາດ_mathematic-tg

Read the Text Version

thongla4567

TOP SEARCH

RELATED PUBLICATIONS