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ຄະນິດສາດ_mathematic-tg

Published by thongla4567, 2021-08-13 02:11:15

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3 13 13 12) ³ x x 1 dx ³ x(x 1)dx ³ x(x 1)dx ³ (x2 x)dx ³ (x2 x)dx 0 01 01 § x3 x2 · 1 § x3 x2 · 3 1 1 9 9 1 1 29 . ¨ 3 2 ¸ 0 ¨ 3 2 ¸ 1 32 232 6 © ¹ © ¹ 3 23 13) ³ x2 4 dx ³ (x2 4)dx ³ (x2 4)dx 0 02 § x3 4x · 2 § x3 4 x · 3 23 . ¨ 3 ¸ 0 ¨ 3 ¸ 2 3 © ¹ © ¹ 3 23 14) ³ x2 2x dx ³ x2 2x dx ³ x2 2x dx 0 02 § x3 x2 · 2 § x3 x2 · 3 8. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ¨3¸ ¨ 3 ¸ 2 3 © ¹ © ¹ 0 3. ħĦŒ ŉ ōģĺœ ĵŉ ıĮŉ ŌĳŒ ņļĨļģ f (x) ōĸĿ ĥŁŒ ĤļĦ a : 1 1) f (x) x 2³ f (t)dt 0 įĪŉ ōģ.œ f (x) x 2K § 1 · x 1. ¨©¨ K ¸¸¹ ³ t2K dt 12KK 1 2 2 0 f (x) x 1. 1 2) f (x) x ³ tf (t)dt 0 įĪŉ ōģ.œ f (x) xK § 1 · x 2. ¨¨© K ¸¸¹ 3 ³ttK dt 1K K 2 32 3 0 f (x) x 2 . 3 204

1 3) f (x) 2x2 x³ f (t)dt 0 įĪŉ ōģ.œ f (x) 2x2 Kx 1 2x2 4 x. 3 ³ 2t2 Kt dt 0 § 2 K K 4 · 32 3 ¸¹¸ ©¨¨ K f (x) 2x2 4 x. 3 x ³4) f (t)dt x3 2x2 x 4 . a įĪŉ ōģ.œ ĥĪŃ ŐĸıŒ Įŉ īŁŗ ĸŁīŁĵīĹŉ İŒŋĮ x ŐĪœ f (x) 3x2 4x 1. ōĭĮ x a ŏĺĺŒ ĵŉ ıĮŉ ĺĦŀ ĥĿĮĪŃ ĭŒ ńŏĻĵœ Ł ŐĪ:œ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 0 a3 2a2 a 4 a 1. ^ `x 4. ŏĻœ f (x) min x3 1,3 x , F (x) ³ f (t)dt. 1 ħĦŒ ŉ ōīĵœ ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦ y f (x) ōĸĿ ĨļģĥŁŒ ĻŊŁĩĺĪŇ ōĸĿ ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĤļĦ F (x). įĪŉ ōģ.œ ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦ y f (x) x F (x) ³ f (t)dt F '(x) f (x) 1 Fmin 1 1 2, Fmax F (1) ³ f (t)dt ³ t3 1 dx 1 1 33 F (3) ³ f (t)dt ³ 3 t dx 2. 11 205

2 5. ŏĻœ I (a) a 3³ x x a dx . ħĦŒ ŉ Ĩļģ I (a) , ĥŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ ĤļĦ I (a) ōĸĿ ĥŁŒ 0 ĤļĦ a ĭŒ ńŌĽŀĪŏĻœ I (a) ĵĥń ŁŒ Ţļœ ĩĺĪŇ . įĪŉ ōģ.œ - ŌĵŒļņ a d 0 ŐĪœ 2 § x3 x2 · 2 3¨¨© 3 2 ¹¸¸ 0 a 3 x2 ax dx 0 ³I(a) a a 5a 8, - ŌĵŒļņ 0 d a d 2 ŐĪœ §a 2 · a 3¨¨© 0 dx ¸¸¹ ³ ³I(a) dx x2 ax x2 ax a ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດa§§ x3 a x2 · a § x3 a x2 · 2 · a3 5a 8, 3¨©¨ ¨¨© 3 2 ¸¸¹ 0 ¨¨© 3 2 ¹¸¸ ¸ a ¹¸ - ŌĵŒļņ a t 2 ŐĪœ a § x3 a x2 · 2 7a 8. 3¨¨© 3 2 ¹¸¸ 0 2 I (a) a 3³ x2 ax dx 0 ŌĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦ y I (a) : ŌĵŒļņ 0 d a d 2 ŐĪœ I '(a) 3a2 5 I 5 3 5 8 10 5 | 3, 7 3 3 3 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , Imin I 5 8 10 5 ŌĵŒļņ a 5 . 3 3 3 3 206

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1.4 y 4 x2, 1 d x d 2. Æ ¢.Ê ³A2 4x x3 2 9. (4 x2 )dx 1 3 1 2. ÉÆ¡ÊÅ ¼ÉÃ ¡¼ÉÃÂ ¾Ê ÊÒ¡ÊÁ ¢¼ÃÉÀ Æ ¤ÊÉÀ¥ÊÃ Á ¢ x 2.1 f (x) 6 x x2 Æ ¢Ê. 6 x x2 0 x 2, x 3. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ-2 3 A 1 (3 2)3 125 . 66 2.2 f (x) x3 4x2 3x Æ¢.Ê x3 4x2 3x 0 x 0, x 1, x 3. 0 1 3 13 ³ ³A (x 34x2 3x)dx (x 34x2 3x)dx 01 1 4 3 § 1 x4 4 x3 3 x2 · 3 5 § 81 36 27 5 · 4 3 2 ¨© 4 3 2 ¸¹ 1 12 ¨© 4 2 12 ¸¹ 37 . 12 210

2.3 f (x) x3 4x2 4x Æ¢Ê. x3 4x2 4x 0 x(x 2)2 0 x 0, x 2. 0 2 2 ³A (x 34x2 4x)dx 0 § 1 x4 4 x3 2x2 · 2 4 32 8 4. ¨© 4 3 ¸¹ 0 3 3 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 3. ÆÉ ¡ÅÊ ¼Ã¾É ÒÉ¡ÁÊ £Ê ¼ÉÃÀÆ¤ÊÉ¥À ÃÊ 3.1 f (x) x2 2x 3 ¢¾ g(x) x 5 Æ¢.Ê x2 2x 3 x 5 x2 x 2 0 x 2, x 1. A 1 (1 2)3 27 . 66 3.2 y x2 2x 3 ¢¾ y 2x 4 Æ¢Ê. x2 2x 3 2x 4 x2 1 0 x 1, x 1. A 1 (11)3 8 4 . 6 63 3.3 y x2 4x 10 ¢¾ y 14 2x x2 Æ¢Ê. x2 4x 10 14 2x x2 2(x2 x 12) 0 x 3, x 4. A 2 (4 3)3 343 . 63 211

4. ÆÉ¡ÅÊ ¼É¾Ã ÒÉ¡ÁÊ£Ê y 3 x2 x ¢¾ y 2x 3, 2 d x d 4. Æ¢Ê. 3 x2 x 2x 3 x2 x 6 0 x 3, x 2. 24 A ³ 3 x2 x (2x 3) dx ³ 2x 3 (3 x2 x) dx 2 2 24 ³ x2 x 6 dx ³ x2 x 6 dx 2 2 x3 x2 6x 2 x3 x2 6x 4 3 2 2 3 2 2 56 38 73 . 33 3 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 5. ÆÉ ¡ÊÅ ¼¾ÃÉ ÒÉ¡ÁÊ £Ê y x2 2x 3 ¢¾ y 3 x, 2 d x d 3. Æ ¢.Ê x2 2x 3 3 x x2 x 6 0 x 2, x 3. A 1 (3 2)3 125 . 66 6. ÉÆ ¡ÅÊ ¼¾ÃÉ ÒÉ ¡ÁÊ £Ê y x2 1 ¢¾ y 2x 2, 1 d x d 2. Æ¢Ê. 22 A ³ x2 1 (2x 2) dx ³ x2 2x 3 dx 9. 1 1 212

7. ¤Ê S(a) ¢É¡ÊÅ¼ÉÃ ¡¼ÉÃ ÒÊ ¡ÁÊ y x2 1 ¢¾ y ax. ÆÉ É a ¡ÉÅ¤Ê S(a) ÃÉ¬Ê Ç ¢¾ É ¬ÊÇÊ.Ã Æ¢.Ê x2 1 ax x2 ax 1 0 x a r ' . 2 1 (E D )3 1§a ' a ' ·3 1 1 3 6 6 ©¨¨ 2 2 ¸¸¹ 6 6 a2 4 . S(a) 3 ' ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ Smin 1 23 4 , ¡ÉÅ a 0. 3 6 8. ¤Ê T(a) ¢É ¡ÊÅ ¼ÉÃ¡¼ÉÃ ÊÒ¡ÊÁ y x2 ¢¾ ¡ÁÊ ÉÅ L ¼ÉÃÃ À ÂÈ a ¢¾ É¡Á (1, 2) . ÆÉÉ a ¡ÅÉ ¤Ê T(a) Ã É¬Ê Ç ¢¾ ¡ÊÅ ¼ÃÉ¬ÊÇ.ÊÃ Æ¢Ê. L : y 2 a(x 1) y ax a 2 x2 ax a 2 x2 ax a 2 0, ' a2 4a 8 (a 2)2 4. 1§a ' a ' ·3 3 6 ¨¨© 2 2 ¹¸¸ (a 2)2 4 . T (a) 1 (E D )3 16 3 16 6 ' Tmin 1 23 4 , ¡ÉÅ a 2. 3 6 213

II. Â¥¾ÉÀ¾ÂÓÈ Ê¼¥ÉÃ Ê ÂÉÊ¢ ¡Ò¾ 2 ÆÉÒ£ 1. ÇÆ ¡ÉÅ ¤ÊÁ ÓÔÂ ¥¾É À¾Â ÓÈ Ê ¼Ã¥É ÊÂÉ ¡¼ÉÃ ÊÒ¡ÊÁÉÅ ÙÅ ¡ÊÁ ÊÁ ÉÃÊ ¢ ÅÙ ¢. 2. ¡ÊÅ ¤ÊÆ À (1) ¤Ê f (x) ¡Á À ¾ÉÀ¡ÅÉ ¢¾ f (x) t 0 ¤ÒÉ >a,b@ , R ¢É¡¼ÃÉÊÒ¡ÊÁ y f (x), y 0, x a, x b . ¢¤¡Ê Á ÒÉ À¾Â V ÓÈÊ Á ¼Ã¥É ÊÃÉ¡ R b Ê ¢ x ¡¼ÉÆ Á V ³ S[f (x)]2 dx . a (2) ¤Ê g ¡ÁÀ¾À¡É ÉÅ ¢¾ g( y) t 0 ¤ÒÉ >c, d @, ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ R ¢É ¡¼ÃÉ ÊÒ¡ÊÁ x g( y), x 0, y c, y d . ¢¤¡Ê ÁÒÉ À¾Â V ÓÈ ÊÁ¼¥ÉÃ Ê ÃÉ ¡ R d Ê ¢ y ¡¼ÉÆ Á V ³ S[g(y)]2 dy . c (3) ¤Ê f ¢¾ g ¡ÁÀ¾À¡É ÉÅ ¢¾ f (x) t g(x) , ¡ÂÉ a d x d b . R ¢É¡¼ÉÃ ÒÊ ¡ÁÊ y f (x), y g(x), x a, x b ¢¤Ê¡Á ÒÉ ¾À Â V ÓÈ ÊÁ ¼Ã¥É Ê ÉÃ ¡ R Ê ¢ x ¢É b ^ `³V S [f (x)]2 [g(x)]2 dx a 214

ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ(4) ¤Ê f ¢¾ g ¡ÁÀ ¾À¡É ÉÅ ¢¾ f ( y) t g( y) ¡ÉÅ c d y d d . R ¢É¡¼ÃÉÒÊ ¡ÊÁ x f ( y), x g( y), y c, y d ¢¤Ê¡Á ÒÉ ¾À Â V ÓÈ ÊÁ¼ÃÉ¥ÊÃÉ ¡ R b ^ `³Ê¢ y ¢É V S [f (y)]2 [g(y)]2 dy a 3. ÉÅ ÓÔ- ÉÅ¼É¤Ã Ê¤ÒÆ ÀÊ ÊÃ Ã , ÉÂ¼¤ÃÉ Ê Ô ¢¾ ¡ÅÉ ÁÂ ¥¾É (Ê )Ã . 4. Â ÀÓÔ- - ¤Ê ÁÓÔÂ ¥¾É V ¾À ÂÒ¼ÔÉ ¾Á Ã ÅÊ r 1¢¾ ¾ÒÈ b h 1 È ¡¾Â ¢¾ Á Â V ³ S[f (x)]2 dx . a - È¤¡Ê ÊÅ ¤ÊÆ À (1) ¢¾ (2). - È¢À Á ÓÔ¢Ê Æ¡¾ ÆÉ ¾À Â ÓÈ ÊÁ ¼Ã¥É ÊÉÃ ¡¼ÉÃ Â ¾Ê ÊÒ¡ÁÊ £Ê x 1 y , 0 d y d 4 Ê¢ y . 2 - ¤È ¡Ê ÊÅ ¤ÆÊ À (3) ¢¾ (4). - ¢È À ÁÓÔ¢ÊÆ ¡¾: 1) ÉÆ¾À Â ÓÈ ÊÁ¼¥ÉÃ Ê ÃÉ ¡¼ÉÃÂ¾ÊÊÒ¡ÊÁ £Ê y x ¢¾ y x2 Ê ¢ x . 2) ÉÆ ¾À ÂÓÈ Ê Á ¼É¥Ã Ê ÉÃ ¡¼ÃÉ Â¾Ê ÒÊ ¡ÊÁ £Ê y x ¢¾ y x2 Ê¢ y. - ¤ÊÁÓÔ¢Ê Æ¡ÑÂÁ À Ò¬ÉÄ . 215

5. ÒÁ ¢¾ ¡ÃÆ ÒÁ ¢¾ ¡ÃÆÓÔÁ ÓÔÆÒÀÊ ÊÃ ¢É¡ÓÁ Â À ÅÙ Æ ÒÊ . 6. Æ¢ÊÆ¡ÑÂ Á ÉÆ ¾À Â ÓÈ ÊÁ ¼¥ÉÃ Ê ÉÂ ¡¼ÃÉ ÒÊ ¡ÁÊ¼É¤Ã Ê¾ÇÉ ÊÃ Ê ¢¼ÃÉ À Æ¤Ê 1. x y 1, x 0, y 0 Ê ¢ x. Æ¢.Ê V 1Sr2hສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດS. 3 3(r 1,h 1) 2. y x2, y 0, x 2 Ê ¢ x. Æ¢Ê. 2 2 2 32S . dx S x4dx ³ ³VSx2 0 05 216

3. y x2 4x, y 0 Ê¢ x. Æ ¢Ê. 4 2 4 512S . dx S x4 8x 3 16x2 dx S³ ³ Vx2 4x 15 00 4. y x2 1, y x 3 Ê ¢ x. Æ¢Ê. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 2 2 117S . S (x 3)2 (x2 1)2 dx S x4 x2 6x 8 dx ³ ³ V 51 1 5. y x 1, x 2, x 5, y 0 Ê ¢ x. Æ¢Ê. 217

6. y 6 x2, y 2 Ê ¢ y. Æ ¢Ê. 6 2 6 S³ 6 y dy S ³ 6 y dy V 8S . 22 7. x y2, x 2y Ê ¢ y. Æ¢.Ê y2 2y y 0, y 2.ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 2 2 64S . S 2 y2 ( y2 )2 dy S 4 y2 y4 dy ³ ³V 0 0 15 8. x 4y y2, x 0 Ê ¢ y. Æ¢Ê. y2 2y y 0, y 2. 4 2 4 512S . dy S 16 y2 8 y3 y4 dy ³ ³ V S 4y y2 15 00 218

9. y x2 2, x 0, x 1, y 0 Ê¢ y. Æ ¢Ê. y2 2y y 0, y 2. ³ ³3 V Sr2h S 2 2 3 5S . y 2 dy 3S S y 2 dy ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ (r 1,h 3) 2 2 10. y x 2, x 11, y 0 Ê¢ y. Æ¢Ê. y2 2y y 0, y 2. ³ ³ 3 V S r2h S y2 2 2 dy 3 1332S . 5 363S S y4 4 y2 4 dy (r 11,h 3) 00 219

¼Ã IX ¥Ç ÂÂ ¡Ò¾ 8 ÒÆÉ £ Æ¼Ã 22 ÈÊÅ ¥ÇÂ Â 1. ÇÆ ¡ÉÅ ¤Á ÓÔ: - À¤Ê È ÅÊ ¥Ç ¡ÆÊ ¤Â¥¾.É - ¢Ê Æ Æ ¢¾ ¡É. 2. ¡ÅÊ¤ÆÊ À È ÊÅ ¥Ç Â ,Â ÈÇ È , È¥ÇÂ ÂÇ È ÔÉ Æ È ¡Á Æ Ò, È ÔÉ ÆÒ¡Á ÆÈ 3. ÅÉ ÓÔ ÄÊ¢ÓÔ, Á ¼Á 4. Â ÀÓÔ- È ¡¬ÃÆÓÔ¢ÓÔ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 5. ÒÁ ¢¾ ¡ÃÆ Á¡: - Ò¤¤É ÉÀ À ¡¬Ã Æ ÓÔ.È - ÃÉÒÓÒÉ ¢¾É Æ ¤¢Ê Â À . - ÂÁ ÂÀ. - Æ¡ÑÂ Á¼ÃÉ Á ÓÔ¢Ê. 220

6. ĥŁŗ īļįįĪŉ ŌĲŃģĻĪŀ 1D | 57D 1. Æ 180D 18D 32D 15D 9D ½Ô S S 8S S S S1 10 45 12 20 180 2. ÔÉ ÇÒ¾ÉÇÃÊ¡ÁÇ ¾Æ ¢¾ ÉÔÇ ¾Æ ¾ÉÇÃ¡Ê Á ÇÒ. . 320D . 220D . 31S . 3S . 325D . 230D 16 5 . 27S . 9S 16 5 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 3. ¢ÊÆÆ ¢¾ ÆÆ¤¡Ê ÅÉ¥¾ÇÉ:ÃÊ . x 2S , x 4S ¢É¤Æ ÆÆ cos x 1 , 0 x 2S. 33 2 . 2S x d S ¢É ¤ÆÆ Æ cos x 1 , S x d S. 3 22 . 5S d x 0 0 x d S ¢É ¤ÆÆ Æ cos x t 1 , 2S x 0. 33 2 . 3S x 5S ¢É ¤Æ ÆÆ cos x 1 , 3S x 2S 23 22 4. É ÀÒ¥ÀÉ Ã:Ê . sin105D 1 6 2 4 . sin135D 2 2 221

. tan 75D 3 3 3 3 . cos 225D 2 2 . tan15D 4 2 3 2 3 3 1 . sin 22,5D sin § 45D · 1 cos 45D ©¨¨ 2 ¸¸¹ 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 0,5858 2 = 2 2 42 2 2 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ sin 22,5D 1 0,5858 2 . cos 22,5D cos § 45D · 1 cos 45D ¨¨© 2 ¸¹¸ 2 1 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 1 2 2 1 2 1,4142 1 3,4142 2 22 tan 22,5D tan § 45D · 1 cos 45D 1 cos 45D 1 0,5858 ¨ 2 ¸ 1 cos 45D © ¹ 2 2 1 cos 45D 1 3, 4142 2 2 5858 0, 4142 34142 222

. cos170D sin 200D cos 70D sin 280D cos170D cos 70D sin 200D sin 280D cos 180D 10D sin 180D 20D cos 90D 20D sin 270D 10D cos10D sin 20D sin 20D cos10D cos10D sin 20D sin 20D cos10D 0 5. ¤Ê 0 D S , 0 E S , tan D 2, tan E 3. 22 ÉÆ É tan D E ¢¾ Ç D E. Æ¢:Ê tan D E tanD tan E 1 tanD tan E ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 23 5 1 tan D E 1 ¢¾ 5 1 23 0 D S , 0 E S ¥Ê D E 3S . 22 4 6. ¤Ê S D 3S , 3S E 2S, sin D 3 , sin E 15 . 22 5 17 ÆÉÉ sin D E ¢¾ cos D E. Æ¢Ê: 1 sin2 E 1 § 17 ·2 8 ¡ÓÆ Ã cosE ©¨ 15 ¹¸ 17 ¡ÓÆÃ cos D 1 sin2 D 1 § 3 ·2 4 ©¨ 5 ¸¹ 5 sin D E sinD cos E cosD sin E 223

§ 3 · § 8 · § 4 · § 15 · 24 60 84 0, 98 ©¨ 5 ¸¹ ¨© 17 ¹¸ ¨© 5 ¹¸ ¨© 17 ¹¸ 85 85 85 cosD E cos D cosE sin D sin E § 4 · § 8 · § 3 · § 15 · 32 45 13 0,15 ¨© 5 ¸¹ ¨© 17 ¹¸ ¨© 5 ¸¹ ©¨ 17 ¸¹ 85 85 85 7. ¡É ÀÒÀÉ¥Ê:Ã . sin x cos x § 2 sin x 2 cos x · 2 ¨©¨ 2 2 ¸¸¹ 2 sin x sin 45D cos x cos 45D 2 sin x 45D ¡ÅÉ 1 d sin x 45D d 1 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ¡ÓÆ ¥Ê 2 d 2 sin(x 45q) d 2 ÁÊ 2 d sin x cos x d 2 . sin x 3 cos x 2 § 1 sin x 3 cos x · ¨¨© 2 2 ¸¸¹ 2 sin x sin 30D cos x cos 30D 2sin x 30D ¡ÅÉ 1 d sin x 30D d 1 ¡ÓÆ ¥Ê 2 d 2 sin(x 45q) d 2 ÊÁ 2 d sin x 3 cos x d 2 224

. sin x cos x 2 § 2 sin x 2 cos · 2 2 ©¨¨ 2 2 x ¸¸¹ 2 sin x sin 45D cos x cos 45D 2 2 sin x 45D 2 ¢ÒÉ É 1 d sin x 45D d 1 ¡ÓÆ ¥Ê 2 d 2 sin(x 45q) d 2 2 2 d 2 sin(x 45q) 2 d 2 2 ÊÁ 2 2 d sin x cos x 2 d 2 2 . 1 sin x 3 cos x 3 cos x sin x 1 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ§3cos x 1 sin x · 1 2 ¨©¨ 2 2 ¸¹¸ 2 cos x cos 30D sin x sin 30D 1 2 cos x 30D 3 ¡ÅÉ 1 d cos x 30D d 1 ¥:Ê 2 d 2 cos x 30D d 2 2 3 d 2 cos x 30D 3 d 2 3 1 d 2 cos x 30D d 5 ÁÊ 1 d 1 sin x 3 cos x d 5 8. ¤Ê cos T 1 , S T 2S. ÆÉ É cos T 52 cos § T · 1 cos T 1 1 6 0, 6 0, 7745 ¨© 2 ¸¹ 2 5 10 2 225

9. ¤Ê sin T 3 , 0 T S . ÆÉ É tan T . 52 2 É ÅÉ cosT 1 sinT 1 § 3 ·2 16 4 ©¨ 5 ¸¹ 25 5 tan T 1 cosT 1 cosT 1 4 1 2 1 cosT 5 2 1 cosT 1 4 3 5 2 10. ¤Ê T 18D. . Á ¡ ¤Ê T 18D ¥Ê 3T 2T 5T 90q S 2 ¥Ê 2T S 3Tສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດÄÉ ¥sin§S 3T · sin 2T 2 ©¨ 2 ¸¹ Ã ¼¬ÄÉ sin § S 3T · cos 3T (ÇÆÔ) ©¨ 2 ¸¹ ÊÁ sin 2T cos 3T . É sin18D ¢¾ cos18D. 11. É sin 65D sin185D sin 235D. sin 60D 5D sin 180D 5D sin 240D 5D sin 60D cos 5D cos 60D sin 5D sin180D cos 5D cos180D sin 5D sin 240D cos 5D cos 240D sin 5D 3 cos 5D 1 sin 5D sin 5D 3 cos 5D 1 sin 5D 0 22 22 226

ĳŁģĭń X ŌĹŀģŌīń įĪŉ ĭń 23 ŌĹŀģŌīń ŌĹĸŁ 10 ĨŒĹŉ ŎĵĦ 1. ħĪŇ İĿĺĦŉ ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮĺŁĵŁĪ: - ĮŁŗ ŏĨĺœ Īň ĤļĦĨŁĮ, ıĮŉ ĥĮň ĺĿģŁōĸĤļĦĺļĦŌĹŀģŌīń ŌĳŒ ņļĨļģĸĹĦĩŁĹĤļĦ ŌĺŀĮœ ħļĵģŁĦ ōĸĿ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň ĹĦŉ ĵĮŉ . - įļģĭŒ ńīĦŀœ ĺŁŗ ĳĪŀ ĤļĦĺļĦŌĺŀĮœ ĨŒ ņ ōĸĿ ĥĪŃ ŐĸĵŒ ĵň ĸĿĻĹŁŒ ĦĺļĦŌĺŀœĮĨŒ .ņ - ĥĪŃ ŐĸŐŒ ĸĩĿĻŁŒ ĦĸĿĻĹŁŒ ĦĺļĦŌĵĪŀ ŏĮģŁĦĻŁĹ. 2. ŌĮļœņ ŏĮīĮŉœ īŗສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ - ŌĹŀģŌīōń ĵĮŒ İĿĸŃĵŁĮĭŒ ńĵĭń Ħŀ ĤĿŢŁĪ, ĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦ. - ŌĹŀģŌīĭń Œ ńĵŌń ĵĪŀ ģģŉ ōĸĿ ŌĵĪŀ İŁĩŌīŀĦģĮŀ ŌļĮœń ĹŁŒ ŌĹŀģŌīĺń Įň . - ıĮŉ ĥĮň ĺĿģŁōĸĤļĦĺļĦŌĹŀģŌīń uG ª x1 º vG ªx2 º uG vG x1x2 y1 y2 z1z2 « » « » « y1 » ōĸĿ « y 2 » ōĵĮŒ ¬« z1 »¼ ¬« z2 ¼» - ŌĹŀģŌīń uG ªxº GG G « y»» ĺŁĵŁĪĤŋĮŏĮĽįň ĤļĦ i , j ōĸĿ k « ŐĪōœ ĵĮŒ ¬« z »¼ uG GG G xi yj zk GG G xi yj zk - ŎĵĪĮň ĤļĦŌĹŀģŌīń uG ōĵĮŒ uG x2 y2 z2 - ŌĹŀģŌīń GGG ŌļĮńœ ĹŁŒ ŌĹŀģŌīĻń Ĺŉ ŢĹŒ ĩŌĨŒ ĦŃ ĹŁŒ GG GG GG 0 i , j,k ij j k i k - ŌĹŀģŌīĭń Œ ńĺŁœ ĦħŁģĺļĦŌĵĪŀ 3. ĺŒ ģņ ŁĮĺļĮ: İœŅĵīŁŗ ĸŁĽŋĮ 227

ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ4. ģĪŃ ħĿģŁŗ ģŁĮĽŋĮ-ģŁĮĺļĮ ĥĺň ĿŌŢńįĪŉ ĽŋĮīŁĵōįįĽŋĮ. 5. ģŁĮĹĪŀ ōĸĿ İĿŌĵĮń ıĮŉ ĺĦŀ ŌģĪħŁģ: - ĥĹŁĵŏĺŏŒ ħīŒ ŗģŁĮĮŁŗ ĺĿŌŢńįĪŉ ĽŋĮĤļĦĥ.ň - įĪŉ ŌĲŃģĻĪŀ ĭŒ ńĮģŀ ĽŋĮōģ.œ 6. ĥŁŗ īļįįĪŉ ŌĲŃģĻĪŀ įĪŉ ŌĲŃģĻĪŀ 1. (ŏĮōįįĽŋĮŢŁœ ĭń 257) 1. B(3,1,3) , C(3,4,3) , D(3,4,0) , E(1,4,0) , G(1,1,3) , H (1,1,0) 2. 1). D(2,0,0) 2). H (0,4,0) 3). F(0, 0, 2) 4). A(2,4,0) 5). C(2,0,2) 6). G(0, 4, 2) 3. 1). (x,0,0) 2). (0, y, 0) 3). (0, 0, z) 4). (x, y,0) 5). (x, 0, z) 6). (0, y, z) 228

4. A(1, 2, 0) B(1, 2, 1) C(1,3, 2) D(2, 1, 1) ŌįŒ ĦŃ īŁĵĽįň ōīĵœ ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 5. ĺŁŗ ĸįŀ ŌĵĪŀ P(3, 4,6) - ŌĦŁŉ ĺŁĩĺŁģŌĭŃĦŢŁœ ĳŋĦ XY ōĵĮŒ (3, 4,0) - ŌĦŁŉ ĺŁĩĺŁģŌĭŃĦŢŁœ ĳŋĦ XZ ōĵĮŒ (3,0,6) - ŌĦŁŉ ĺŁĩĺŁģŌĭŃĦŢŁœ ĳŋĦ YZ ōĵĮŒ (0, 4,6) ĺŁŗ ĸįŀ ŌĵĪŀ Q(5, 2,6) - ŌĦŁŉ ĺŁĩĺŁģŌĭŃĦŢŁœ ĳŋĦ XY ōĵĮŒ (5, 2,0) - ŌĦŁŉ ĺŁĩĺŁģŌĭŃĦŢŁœ ĳŋĦ XZ ōĵĮŒ (5,0,6) - ŌĦŁŉ ĺŁĩĺŁģŌĭŃĦŢŁœ ĳŋĦ YZ ōĵĮŒ (0, 2, 6) 6. PQ (3 1)2 (2 3)2 (1 6)2 11 25 27 3 7. AB (3 1)2 (7 2)2 (9 1)2 16 25 64 105 AC (111)2 (4 2)2 (2 1)2 100 4 1 105 BC (11 3)2 (4 7)2 (2 9)2 196 9 49 254 Ľįň ĺŁĵōħ ABC ōĵĮŒ Ľįň ĺŁĵōħĭŋŒ Ħ 229

įĪŉ ŌĲŃģĻĪŀ 2. (ŏĮİœŅĵōįįĽŋĮŢŁœ ĭń 263) oG G GGGG 1. 1). MN (2 1)i (2 2) j (4 1)k 3i 4 j 3k o G G G GGG NM (1 2)i (2 2) j (1 4)k 3i 4 j 3k o GG G GG G 2). MN (2 4)i (2 1) j (4 7)k 6i j 11k o GG G GG G NM (4 2)i (1 2) j (7 4)k 6i j 11k o G G G GG G 3). MN (8 5)i (6 7) j (4 9)k 3i j 5k o G G G GG G NM (5 8)i (7 6) j (9 4)k 3i j 5k o G G G GG G 4). MN (3 0)i (7 8) j (3 9)k 3i j 6k o G G G GG G NM (0 3)i (8 7) j (9 3)k 3i j 6k G G G G G GG GG 5). ħŁģ i 4 j k x(i j ) y( j i ) z(2k j ) G GG ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດG GG i 4 j k (x y)i (x y z) j 2zk x y 1 4 (1) °®x y z (2) (3) °¯2z 1 ŌļŉŁ (1)+(3) ŐĪœ x y z 3 aG G ª 2º ª2º ª4º 3b « » 3««3»» ««9»» 2. 1). « 0 » «¬ 3 »¼ ¬«1»¼ «¬6¼» 5aG G ª 2º ª2º ª12º b 5«« » ««3»» « » 2). 0 » « 3 » ¬« 3 ¼» «¬1»¼ ¬« 14 ¼» 4aG G ª 2º ª2º ª16º 4b 4«« » 4««3»» ««12»» 3). 0 » «¬ 3 ¼» «¬1¼» ¬« 8 ¼» aG G ª 2º ª2º ª 6º 2b « » 2««3»» «« 6»» 4). « 0 » «¬ 3 »¼ ¬«1»¼ ¬« 1 »¼ 230

5aG G (5aG G ª 12 º b b) « » 5). ŌĹŀģŌīģń Ħŉ ģĮŀ ĤŁœ ĵģįŀ ōĵĮŒ « 3 » «¬14¼» aG G (aG G ª6º 2b 2b ) « » 6). ŌĹŀģŌīģń Ħŉ ģĮŀ ĤŁœ ĵģįŀ ōĵĮŒ « 6 » «¬1¼» o ª2º «« 4»» 7). ĵń RS ¬« 4 »¼ o ª2º ŌĹŀģŌīĻń Ĺŉ ŢĹŒ ĩĭŒ ńĵĭń ŃĪģĦŉ ģĮŀ ĤŁœ ĵģįŀ o ōĵĮŒ RS 1 «« 4»» o 6 ¬« 4 ¼» RS RS ª 1º ª 3 º ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ « » «« 6»» 3. « 2 » ĤĿŢŁĮģįŀ ¬« 1 »¼ ¬« 3»¼ įĪŉ ŌĲŃģĻĪŀ 3. (ŏĮİœŅĵōįįĽŋĮŢŁœ ĭń 268) o GG G 1. 1). OA 2i j 3k oGG G 2). PQ i 3 j 2k o GG 3). MN 2i 2k 2. 1). 14 , 21 , 2 41 o 2). AB 54 3. x 27 , y 4 , z 42 4. 1). 1 G 2 G 3 G i j k 14 14 14 2). 1 G 8 G 7 G i j k 114 114 114 231

5. 1). 2 G 4 G 6 G i j k 14 14 14 2). 2 G 16 G 14 G i j k 114 114 114 6. o GG ŎģĨĮŃ įļģĭŃĪōĸĿĸĹĦōĵĮŒ ¨¨§© 1 , 0, 4 ¸·¹¸ i 4k 17 17 1). AB o GG G ŎģĨĮŃ įļģĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦōĵĮŒ §¨©¨ 3 , 8, 11 ·¹¸¸ 3i 8 j 11k 194 194 194 2). MN o GG ŎģĨĮŃ įļģĭŃĪ ōĸĿ ĸĹĦōĵĮŒ §¨©¨ 7, 1, 8 ¹·¸¸ 7i j 8k 114 114 114 3). ST oG G 7. PQ 3i 4 j 2k o GG ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ OR 5i 2k oG G u 3i 4 j 2k ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ o // uK PQ įĪŉ ŌĲŃģĻĪŀ 4. (ŏĮİŅœĵōįįĽŋĮŢŁœ ĭń 254) 1. ģ. uG vG (1)(3) 3(0) (1)(4) 1 Ĥ. uG vG (1)(3) 0(1) (1)(0) 3 2. ģ. T S , Ĥ. T are cos § 6 7 · 2 ©¨ 3 ¸¹ aG G aG cG ª 4º ª 2 º ª 4º ª 6 º b « » « » « » «« 3»» 3. ģ. « 2 » « 7 » « 2 » 8 (30) 38 «¬ 4 »¼ ¬« 7»¼ ¬« 4 »¼ ¬« 0 »¼ (aG bG)(aG G §¨ ª 4º ª2º ¸· ¨§ ª 4º ª2º ·¸ ª 2º ª 2º b) ¨ « » « » ¸ ¨ « » « » ¸ « » « » Ĥ. ¨ « 2 » « 7 » ¸ ¨ « 2 » « 7 » ¸ « 9 » « 9 » 94 © ¹ © ¹ «¬ 4 »¼ «¬ 7¼» ¬« 4 »¼ ¬« 7¼» «¬ 3»¼ «¬ 3»¼ 232

bG(aG G ª 2 º § ª4º ª 2 º · ª 2 º ª2º b) « »¨« » « »¸ « » « » ĥ. « 7 »¨« 2 » « 7 »¸ « 7 » « 9 » 80 ¬«7¼» ©¨ ¬« 4 »¼ ¬«7¼» ¹¸ ¬«7¼» «¬3»¼ (aG bG)(aG G § ª4º ª 2 º · § ª4º ª 2 º · ª2º ª6º b) ¨ « » « » ¸ ¨ « » « » ¸ « » ««5»» Ħ. ¨ « 2 » « 7 » ¸ ¨ « 2 » « 7 » ¸ « 9 » 66 ©¨ «¬ 4 »¼ ¸¹ ©¨ «¬ 4 ¼» ¹¸ ¬«7¼» ¬«7»¼ ¬«3»¼ «¬11»¼ 4. ª 2 º ª1º ª2º ª1º ģ. ĵń «« 2»» ««2»» 0 ĺĿĮĮŀœ ŌĹŀģŌīń «« 2»» īĦŀœ ĺŁģģįŀ ŌĹŀģŌīń ««2»» «¬ 1 ¼» ¬«2»¼ ¬« 1 ¼» ¬«2¼» ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ª2º ª 2 º ª2º ª 2 º Ĥ. ĵń ««1»» «« 2»» 4 z 0 ĺĿĮĮŀœ ŌĹŀģŌīń ««1»» įŒ ŗīĦŀœ ĺŁģģįŀ ŌĹŀģŌīń «« 2»» «¬2¼» «¬ 1 ¼» «¬2»¼ ¬« 1 »¼ vG wG 5. ŏĻœ T ōĵĮŒ ĵĵň ĸĿĻĹŁŒ Ħ vG ōĸĿ wG ħĿŐĪœ cosT vG wG ĽĹňœ ŁŒ ĵĵň İĿģļįĸĿĻĹŁŒ Ħ uG ōĸĿ vG ŌĭŒ ŉŁ S ĺĿĮĮŀœ cos S uG vG 5 5 uG vG ļģń ĪŁœ ĮŢŒ ŅĦ uG vG vG wG ĻŊņ uG vG2 vG wG 2 uG2 2uGvG vG2 vG2 2vGwG wG 2 ōīŒ uG wG vG wG uG vG vG wG uG vG uG vG ħŁģ cosT vG wG ħĿŐĪœ cosT uG vG uG vG cosT cos S cos§¨S S ·¸ 5 © 5¹ cosT cos 4S 5 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ T 4S 5 233

ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດĳŁģĭń XI ŌĸĤŁĹŌŃ ĥŁĿŏĮōıĮŒ ĳŋĦ įĪŉ ĭń 24 Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩ ŌĹĸŁ 2 ĨŒĹŉ ŎĵĦ 1. ħĪŇ İĿĺĦŉ ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮĺŁĵŁĪįļģĽįň ĽŁŒ Ħ, ļĦŉ İĿģļįĳņœĮĬŁĮ ōĸĿ ĥĮŇ ĸģŀ ĺĿĮĿĤļĦĽįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩīŁŒ Ħő. 2. ŌĮļœņ ŏĮīĮŉœ īŗ - Ľįň ĹĦŉ ĵĮŉ ōĵĮŒ Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮīĪŀ Ľįň ħĹĩ ĪĹœ ĩōıĮŒ ĳŋĦĭŒ ńĤĿŢŁĮ ģįŀ ĳœņĮĤļĦĽįň ħĹĩĮĮŀœ . - Ľįň ōļĮĸįŃ ōĵĮŒ Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮīĪŀ Ľįň ħĹĩĪĹœ ĩōıĮŒ ĳŋĦĭŒ ńİĿģļį ģįŀ ĳņœĮĤļĦĽįň ħĹĩĮĮŀœ ŌİŀĮĵĵŇ ŏĪŢŒ ŅĦ. - Ľįň İŁķŁŎįĮ ōĵĮŒ Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮīĪŀ Ľįň ħĹĩĪĹœ ĩōıĮŒ ĳŋĦĭŒ ń ĤĿŢŁĮģįŀ ŌĺŀœĮŏĻģœ Łŗ ŌĮĪń ĤļĦĽįň ħĹĩĮĮŀœ . - Ľįň ļōń İģŎįĮ ōĵĮŒ Ľįň ŢŁœ īĪŀ ħĹĩĭŒ ńŐĪħœ ŁģģŁĮīĪŀ Ľįň ħĹĩĪĹœ ĩōıĮŒ ĳŋĦĭŒ ń īĦŀœ ĺŁģģįŀ ĳņœĮĤļĦĽįň ħĹĩĮĮŀœ (ōıĮŒ ĳŋĦĭŒ ńĤĿŢŁĮģįŀ ōģĮ). 3. ĺŒ ģņ ŁĮĽŋĮ-ģŁĮĺļĮ - įĮŀ ĭĪŀ , ĹĦŉ ĹŋĮ, Ľįň ģļœ ĮĭŒ ńĺĿōĪĦŌĬĦŃ ģŁĮīĪŀ ĪĹœ ĩōıĮŒ ĳŋĦŏĻŌœ İŀĮĽįň ĹĦŉ ĵĮŉ , Ľįň ōļĮĸŃį, Ľįň İŁķŁŎįĮ ōĸĿ Ľįň ļōń İģŎįĮ. - ĬŁœ ĵŌń ĦŒļņ ĮŐĤģĮŗ Łŗ ŏĨŎœ İķōģķĵĤļĦĥļĵĳŃĹŌī.ń - İœŅĵōįįĽŋĮĥĿĮĪŃ ĺŁĪ ĵ.5 234

4. ģĪŃ ħĿģŁŗ - ĮŁŗ ĳŁĮģŀ ĽŋĮĺĦŀ ŌģĪĽįň ģļœ ĮĭŒ ńĺĿōĪĦŌĬĦŃ ģŁĮīĪŀ ĪĹœ ĩōıĮŒ ĳŋĦŏĻīœ Īŀ ŌİŀĮĽįň ĹĦŉ ĵĮŉ , Ľįň ōļĮĸŃį, Ľįň İŁķŁŎįĮ ōĸĿ Ľįň ļōń İģŎįĮ. - ĮŁŗ ĳŁĮģŀ ĽŋĮōīĵœ Ľįň ĭŒ ńĺĿōĪĦŌĬĦŃ ŌĵĪŀ ĺĵŇ , ŌĺŀĮœ ĮŁŗ , ōģĮĺĵŇ . - ĮŁŗ ĳŁĮģŀ ĽŋĮĮŁŗ ŏĨļœ Īŀ īŁĺĹŒ Į AF e ŏĮģĸŗ ĿĮń e 1ōĸĿ e z 1. AK 5. ģŁĮĹĪŀ ōĸĿ İĿŌĵĮń ıĮŉ - ĺĦŀ ŌģĪħŁģģŁĮİĿīįŃ Īŀ ģĪŃ ħĿģŁŗ . - ĺĦŀ ŌģĪħŁģģŁĮōģįœ Īŉ ŌĲŃģĻĪŀ ĻŊņ ģŁĮōģįœ Īŉ ĭĪŉ ĺļįŌĺŀĦ. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 6. ĥŁŗ īļį ĻŊņ ģŁĮōģįœ Īŉ ŌĲŃģĻĪŀ 1) ŌĽŉŁĤĮœŅ ģŁŗ ĸĦŀ ĺļĦĤļĦ MF e . MH ħĿŐĪœ MF 2 e2MH 2 MF 2 e2MH 2 0 . 2) ħŁģ MF 2 e2MH 2 MF 2 e2M ' K 2 M ' M 2 M ' F 2 e2M ' K 2 0 ŐĪ:œ M 'M 2 M ' F 2 e2M ' K 2 M 'M 2 M ' F eM ' K M ' F eM ' K 0 3) ĬŁœ ĹŁŒ e 1 - ħĦŒ ŉ Ĩōœń ħĦĹŁŒ : M ' F M ' K 2M ' A ōĸĿ M ' F M ' K KF ħŁģ M 'F eM 'K M ' F eM 'K ŌĽŉŁŐĪ:œ + M ' F M ' K M ' A AF M ' A AK 2M ' A AF AK ōīĹŒ ŁŒ AF AK AF AK 0 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , M ' F M ' K 2M ' A . + M ' F M ' K M ' A AF M ' A AK AF AK KA AF ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , M ' F M ' K KF . 235

JJJJJG JJJJJG JJJJJG JJJJJG JJJJJG JJJG - ħĦŒ ŉ ģĹĪĥĮņ ŌįŒ ĦŃ ĹŁŒ M ' F M ' K M ' F M ' K 2M ' A<KF ōĸĿ M 'M2 JJJJJG JJJG 2AM '<KF + ħŁģ M ' F M ' K 2M ' A ōĸĿ M ' F M ' K KF JJJJJG JJJJJG JJJJJG JJJJJG JJJJJG JJJG ŌĽŉŁŐĪœ M ' F M ' K M ' F M ' K 2M ' A<KF . + ħŁģ M 'M 2 M 'F M ' K M ' F M ' K 0 ŌĽŉŁŐĪœ JJJJJG JJJJJG JJJJJG JJJJJG JJJJJG JJJG M 'F M 'K M 'F M 'K 2AM ' KF M 'M 2 0 M ' M 2 < 0 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ , M ' M 2 JJJJJG JJJG 2AM '< KF . 4) ĬŁœ ĹŁŒ e z 0 - ħĦŒ ŉ Ĩōńœ ħĦĹŁŒ M ' F eM ' K 1 eM ' A ōĸĿ M ' F eM ' K 1 eM ' A ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ ħĦŒ ŉ Ĩōœń ħĦĹŁŒ M ' F eM ' K 1 eM ' A ŌĽŉŁĵń M ' F eM ' K M ' A AF e M ' A AK M ' A eM ' A AF eAK 1 eM ' A AF eAK ħŁģ AF e ŏĮģĸŗ ĿĮń A ĶĭŒň ļŒ ĮĨŒ ņ >FK @ħĿŐĪœ AF eAK 0 AK ĺĿĮĮŀœ M ' F eM ' K 1 eM ' A ħĦŒ ŉ Ĩōńœ ħĦĹŁŒ M ' F eM ' K 1 eM ' A ŌĽŉŁĵń M ' F eM ' K M ' A AF e M ' A AK M ' A eM ' A AF eAK 1 eM ' A AF eAK ħŁģ AF e ŏĮģĸŗ ĿĮń A ĶĮŒň ļģĭļŒ ĮĨŒ ņ >FK @ AK ħĿŐĪœ AF e AK 0 ĺĿĮĮŀœ M ' F eM ' K 1 eM ' A - ħĦŒ ŉ ģĹĪĥĮņ ŌįŒ ĦŃ ĹŁŒ M ' M 2e21JJJJJG JJJJJG M ' A<M ' A' 236

ŏĻœ A' ŌİŀĮŌĵĪŀ ŢŒ ŅĦĶĮŒň ļģ >FK @ ħŁģ M ' F eM ' K M ' A' A' F e M ' A' A' K M ' A'eM ' A' A' F e A' K 1 eM ' A' A' F e A' K ħĿŐĪœ M ' F eM ' K 1 eM ' A' ŌĳŁĿĹŁŒ A' F eA' K 0 ħŁģ M 'M 2 M ' F eM ' K M ' F eM ' K 0 ŌĽŉŁŐĪ:œ JJJJJG JJJJJG JJJJJG JJJJJG M 'A M 'A' M 'A M 'A' M ' M 2 1 e 1 e 0 M 'M2 e 1 e 1 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ M ' M 2 e2 1 JJJJJG JJJJJG M ' AM ' A' . ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 237

įĪŉ ĭń 25 Ľįň İŁķŁŎįĮ ŌĹĸŁ 2 ĨŒĹŉ ŎĵĦ 1. ħĪŇ İĿĺĦŉ ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮĺŁĵŁĪ: - įļģļĦŉ İĿģļįĳœņĮĬŁĮĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ: ŌĵĪŀ ħļĵ, ōģĮĺĵŇ , ħĪŇ ĺĵŇ , ŌĺŀĮœ ĮŁŗ . - ĨļģĻŁīĹŉ İĿĺŁĮĤļĦŌĵĪŀ ħļĵ, ħĪŇ ĺĵŇ . - ģŁŗ ĮĪŉ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦŌĺŀĮœ ĮŁŗ ōĸĿ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ Gĳļœ ĵĭĦŀ ōīĵœ ŌĺŀœĮ G ĺĿōĪĦĪĦŒ ŀ ģŁŒ ĹŏĮĸĿįįŉ ŌĺŀĮœ ŌĥŉœŁĻĹŉ ŢĹŒ ĩīĦŀœ ĺŁģ O , i, j - ōģįœ Īŉ ŌĸģģŋŒ Ĺģįŀ ģŁĮĳĹŉ ĳĮŀ ģĮŀ ĸĿĻĹŁŒ ĦĽįň İŁķŁŎįĮģįŀ ŌĺŀĮœ ĨŒ īņ ŁŒ Ħő. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 2. ŌĮļœņ ŏĮīĮŉœ īŗ - ĺĵŉ ıĮŉ y2 4cx ŌļĮńœ ĹŁŒ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵ:ń + ħļĵ A0,0 + ōģĮĺĵŇ ' : y 0 + ħĪŇ ĺĵŇ F c,0 + ŌĺŀœĮĮŁŗ D : x c - ĺĵŉ ıĮŉ x2 4cy ŌļĮœń ĹŁŒ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵ:ń + ħļĵ A0,0 + ōģĮĺĵŇ ' : x 0 + ħĪŇ ĺĵŇ F0, c + ŌĺŀœĮĮŁŗ D : y c - ĺĵŉ ıĮŉ y k 2 4cx h ŌļĮœń ĹŁŒ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵ:ń + ħļĵ Zh, k + ōģĮĺĵŇ ' : y k + ħĪŇ ĺĵŇ F c h, k + ŌĺŀĮœ ĮŁŗ D : x c h 238

ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ- ĺĵŉ ıĮŉ x h2 4cy k ŌļĮńœ ĹŁŒ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵ:ń + ħļĵ Zh, k + ōģĮĺĵŇ ' : x h + ħĪŇ ĺĵŇ F h, c k + ŌĺŀĮœ ĮŁŗ D : x c k - ĺĵŉ ıĮŉ Ay2 By Cx D 0 ōĵĮŒ ĺĵŉ ıĮŉ ŏĮĽįň ĭŒĹŉ ŐİĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ ĭŒ ńĵĦń ŁŒ İŁķŁŎįĮŌİńĪŐİŌįļœņ ĦĤĹŁ ĻŊņ ĨŁœ ĩ. - ĺĵŉ ıĮŉ Ax2 Bx Cy D 0 ōĵĮŒ ĺĵŉ ıĮŉ ŏĮĽįň ĭŒĹŉ ŐİĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ ĭŒ ńĵĦń ŁŒ İŁķŁŎįĮĻĦŁĩ ĻŊņ ĤĹŁŗœ . 3. ĺŒ ģņ ŁĮĽŋĮ-ģŁĮĺļĮ - įĮŀ ĭĪŀ , ĹĦŉ ĹŋĮ, Ōħĩœ īŁģŁŎķ. - ĬŁœ ĵŌń ĦŒļņ ĮŐĤģĮŗ Łŗ ŏĨŎœ İķōģķĵĤļĦĥļĵĳŃĹŌī.ń - İŅœĵōįįĽŋĮĥĿĮĪŃ ĺŁĪ ĵ.5, ŌļģĿĺŁĮļŒ Įņ őĭŒ ńĵĤń ĵŗœ Įň ģŋŒ Ĺģįŀ Ľįň İŁķŁŎįĮ. 4. ģĪŃ ħĿģŁŗ ģŁĮĽŋĮ-ģŁĮĺļĮ ģ. ģĪŃ ħĿģŁŗ ĭń 1: ĮŁŗ ĳŁĮģŀ ĽŋĮĺĦŀ ŌģĪĺĵŉ ıĮŉ ōĸĿ ļĦŉ İĿģļįĳœņĮĬŁĮĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵħń ļĵĶŌŒň ĵĪŀ ŌĥŉœŁ O0,0 ĳļœ ĵĭĦŀ ĺĦŀ ŌģĪĹĭŃ ńōģįœ Īŉ ŌĲŃģĻĪŀ ŏĮ īĹŉ ĶŁŒ Ħ 1 ōĸĿ 2. ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮōģįœ Īŉ ŌĲŃģĻĪŀ Ĥŗœ 1.ģ, 1.Ĥ, 2.ģ, 2.ĥ ŏĮ Ļļœ ĦĽŋĮ. Ĥ. ģĪŃ ħĿģŁŗ ĭń 2: ĮŁŗ ĳŁĮģŀ ĽŋĮĺĦŀ ŌģĪĺĵŉ ıĮŉ ōĸĿ ļĦŉ İĿģļįĳņœĮĬŁĮĤļĦĽįň İŁķŁ ŎįĮĭŒ ńĵħń ļĵĶŌŒň ĵĪŀ ŌĥŉœŁ Zh, k ĳļœ ĵĭĦŀ ĺĦŀ ŌģĪĹĭŃ ńōģįœ Īŉ ŌĲŃģĻĪŀ ŏĮīĹŉ ĶŁŒ Ħ 1 ōĸĿ 2. ŏĻĮœ ģŀ ĽŋĮōģįœ Īŉ ŌĲŃģĻĪŀ Ĥŗœ 4.ģ, 4.ĥ, 1.Ħ, 1.ħ ŏĮĻļœ ĦĽŋĮ. 5. ģŁĮĹĪŀ ōĸĿ İĿŌĵĮń ıĮŉ - ĺĦŀ ŌģĪħŁģģŁĮİĿīįŃ Īŀ ģĪŃ ħĿģŁŗ . - ĺĦŀ ŌģĪħŁģģŁĮōģįœ Īŉ ŌĲŃģĻĪŀ ĻŊņ ģŁĮōģįœ Īŉ ĭĪŉ ĺļįŌĺŀĦ. 239

6. ōģįœ Īŉ ŌĲŃģĻĪŀ 1. ģ. D : x 2; F2,0 . ŏĻœ Px, y ŌİŀĮŌĵĪŀ ŢŒ ŅĦĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ. HP PH A D ĶŒň H H 2, y īŁĵĮĩŃ ŁĵŌĽŉŁŐĪ:œ PF 2 PH 2 x 22 y 02 x 22 y y2 2 KA F x 22 y2 x 22 2 0 2 x2 2x 4 y2 x2 4x 4 2 y2 8x . y2 8x ōĵĮŒ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńīļœ ĦģŁĮ. Ĥ. D : y 3; F0,3 ŌĽŉŁĵń H x,3. ŏĻœ Px, y ŌİŀĮŌĵĪŀ ŢŒ ŅĦĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 4 PH A D ĶŒň H H x,3 īŁĵĮĩŃ ŁĵŌĽŉŁŐĪ:œ F 2 P PF 2 PH 2 x 02 y 32 x x2 y 32 4 2 A 0 2 4 x2 y 32 y 32 2 K x2 y2 6y 9 y2 6x 9 4 H x2 12 y . x2 12 y ōĵĮŒ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńīļœ ĦģŁĮ. ĥ. D : x 4; F 4,0 ĥĪŃ ŐĸōŒ įįĪŋĹģĮŀ ģįŀ Ĥŗœ ģ. ŌĽŉŁĵń H 4, y ōĸĿ y2 16x ōĵĮŒ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńīļœ ĦģŁĮ. Ħ. D : x 1; F 5,2 . ŏĻœ Px, y ŌİŀĮŌĵĪŀ ŢŒ ŅĦĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ. PH A D ĶŒň H H 1, y īŁĵĮĩŃ ŁĵŌĽŉŁŐĪ:œ PF 2 PH 2 x 52 y 22 x 12 y y2 x 52 y 22 x 12 240

y 22 x 12 x 52 y 22 x 1 x 5x 1 x 5 y 22 12x 2 ōĵĮŒ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńīļœ ĦģŁĮ. x2 12 y ōĵĮŒ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńīļœ ĦģŁĮ. ħ. D : y 4; F2,2 . ŏĻœ Px, y ŌİŀĮŌĵĪŀ ŢŒ ŅĦĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ. PH A D ĶŒň H H x,4 īŁĵĮĩŃ ŁĵŌĽŉŁŐĪ:œ PF 2 PH 2 x 22 y 22 x x2 y 42 x 22 y 42 y 22 x 22 y 4 y 2y 4 y 2 x 22 4y 3 ōĵĮŒ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭńīļœ ĦģŁĮ. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 2. ĨļģĻŁīĹŉ İĿĺŁĮĤļĦħĪŇ ĺĵŇ ōĸĿ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦŌĺŀĮœ ĮŁŗ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńĵĺń ĵŉ ıĮŉ ĸĵŇŒ Į:œń ĺŒ ĦŃ ĭŒ ńĥĹĮŌļŉŁŏħŏĺ:Œ ŏĮģĸŗ ĿĮŌń ĺŀĮœ ĺĿōĪĦĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ: ĵĺń ĵŉ ıĮŉ x2 4cy ħĿŐĪ:œ ĵĺń ĵŉ ıĮŉ y2 4cx ħĿŐĪ:œ + ħļĵ A0,0 + ħļĵ A0,0 + ōģĮĺĵŇ ' : x 0 + ōģĮĺĵŇ ' : y 0 + ħĪŇ ĺĵŇ F0, c + ħĪŇ ĺĵŇ Fc,0 + ŌĺŀœĮĮŁŗ D : y c + ŌĺŀĮœ ĮŁŗ D : x c ģ. x2 10 y ħŁģ x2 4cy ŌĽŉŁŐĪœ 4c 10 c 5. 2 ħŒĦŅ ŐĪœ F¨§0, 5 ¸· ōĸĿ D: y 5. © 2¹ 2 241

Ĥ. x2 10 y . ĥĪŃ ŐĸōŒ įįĪŋĹģĮŀ ģįŀ Ĥŗœ ģ. ħŒĦŅ ŐĪœ F §¨ 0, 5 ¸· ōĸĿ D: y 5. © 2 ¹ 2 ĥ. y2 8x ħŁģ y2 4cx ŌĽŉŁŐĪœ 4c 8 c 2 . ħŒĦŅ ŐĪœ F 2,0 ōĸĿ D : x 2 . Ħ. x2 8y .ĥĪŃ ŐĸōŒ įįĪŋĹģĮŀ ģįŀ Ĥŗœ ģ. ħŒĦŅ ŐĪœ F 0,2 ōĸĿ D : y 2 . ħ. y2 6x .ĥĪŃ ŐĸōŒ įįĪŋĹģĮŀ ģįŀ Ĥŗœ ĥ. ħŒĦŅ ŐĪœ F¨§ 3 ,0¸· ōĸĿ D:x 3. ©2¹ 2 ĺ. x2 y İŒŋĮŌİŀĮ x2 4 y ōĸĹœ ĥĪŃ ŐĸōŒ įįĪŋĹģĮŀ ģįŀ Ĥŗœ ģ. 4 ħŒĦŅ ŐĪœ F0,1 ōĸĿ D : y 1. ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ 3. ĨļģĻŁĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮ ōĸĿ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦŌĺŀœĮĮŁŗ ŌĵŒļņ ĽŌňœ ĵĪŀ ħļĵ O0,0 ōĸĿ ŌĵĪŀ ĺĵŇ ĭŒ ńģŁŗ ĮĪŉ ŏĻĪœ ĦŒ ŀ īŒ ŗŐİĮ:œń ĺŒ ĦŃ ĭŒ ńĥĹĮŌļŉŁŏħŏĺ:Œ HP HP KA F KA F ŌĽŉŁĵń Px, y , Fc,0 ōĸĿ H c, y ŌĽŉŁĵń Px, y , F0, c ōĸĿ H x,c 242

ģ. ŏĻœ F3,0 ħĿŐĪœ H 3, y īŁĵĮĩŃ Łĵ, ŌĽŉŁŐĪ:œ PF 2 PH 2 x 32 y 02 x 32 y y2 x 32 y2 x 32 y2 12x . ĺĿĮĮŀœ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńīļœ ĦģŁĮ ōĵĮŒ y2 12x ōĸĿ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦ ŌĺŀĮœ ĮŁŗ ōĵĮŒ D : x 3 (ŌįŒ ĦŃ ĹĭŃ ńĥĪŃ ŐĸĶŒ ĤŒň ŗœ 2.ĥ). Ĥ. ŏĻœ F 4,0 . ŎĪĩİĿīōŃ ōįįĪŋĹģĮŀ ģįŀ Ĥŗœ 3.ģ ŌĭŃĦĮœń ħĿŐĪœ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦ Ľįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńīļœ ĦģŁĮĥ:ņ y2 16x ōĸĿ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦŌĺŀœĮĮŁŗ ōĵĮŒ D : x 4 (ŌįŒ ĦŃ ĹĭŃ ńĥĪŃ ŐĸĶŒ ĤŒň ŗœ 2.ĥ). ĥ. ŏĻœ F ¨§ 0, 3 ¸· ħĿŐĪœ H ¨§ x, 3 ·¸ . © 2 ¹ © 2 ¹ īŁĵĮĩŃ Łĵ, ŌĽŉŁŐĪ:œສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ PF 2 PH 2 x 02 §¨ y 3 ¸·2 x x2 §¨ y 3 ¸·2 © 2¹ © 2¹ x2 §¨ y 3 ¸·2 ¨§ y 3 ¸·2 x2 6 y . © 2¹ © 2¹ ĺĿĮĮŀœ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńīļœ ĦģŁĮ ōĵĮŒ x2 6 y ōĸĿ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦ ŌĺŀĮœ ĮŁŗ ōĵĮŒ D : y 3 (ŌįŒ ĦŃ ĹĭŃ ńĥĪŃ ŐĸĶŒ ĤŒň ŗœ 2.ģ). 2 Ħ. ŏĻœ F§¨0, 4 ¸· . ŎĪĩİĿīįŃ Īŀ ōįįĪŋĹģĮŀ ģįŀ Ĥŗœ 3. ĥ ŌĭŃĦĮœń ħĿŐĪœ ĺĵŉ ıĮŉ © 3¹ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńīļœ ĦģŁĮĥ:ņ x2 16 y ōĸĿ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦŌĺŀœĮĮŁŗ ōĵĮŒ 3 D: y 4 (ŌįŒ ĦŃ ĹĭŃ ńĥĪŃ ŐĸĶŒ ĤŒň ŗœ 2.ģ). 3 4. ĨļģĻŁīĹŉ İĿĺŁĮĤļĦŌĵĪŀ ħļĵ, ħĪŇ ĺĵŇ ōĸĿ ĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦŌĺŀœĮĮŁŗ īŁĵĺĵŉ ıĮŉ ĤļĦĽįň İŁķŁŎįĮĭŒ ńģŁŗ ĮĪŉ ŏĻīœ Œ ŗŐİĮ.ńœ ĺŁŗ ĸįŀ ŌĺŀœĮĺĿōĪĦ ŏĻĥœ Įň Łŗ ĳŁĮģŀ ĽŋĮōīĵœ . 243

ĺŒ ĦŃ ĭŒ ńĥĹĮŌļŉŁŏħŏĺ:Œ İŋŒ Įĺĵŉ ıĮŉ ŏĮĽįň ĽŁŒ Ħ İŋŒ Įĺĵŉ ıĮŉ ŏĮĽįň ĽŁŒ Ħ Ay2 By Cx D 0 ŏĻŌœ İŀĮĺĵŉ Ax2 Bx Cy D 0 ŏĻŌœ İŀĮĺĵŉ ıĮŉ y k 2 4cx h ŌĨŒ ĦŃ ħĿŐĪ:œ ıĮŉ x h2 4cy k ŌĨŒ ĦŃ ħĿŐĪ:œ - ŌĵĪŀ ħļĵ: Zh; k - ŌĵĪŀ ħļĵ: Zh; k - ōģĮĺĵŇ : ' : y k - ōģĮĺĵŇ : ' : x h - ħĪŇ ĺĵŇ : F c h, k - ħĪŇ ĺĵŇ : F h, c k - ŌĺŀœĮĮŁŗ : D : x c h ŌĺŀœĮĮŁŗ : D : x c k ģ. ŏĻœ y2 6 y 4x 1 0 ŌĽŉŁĵ:ń y2 6 y y 32 9 . ĺĿĮĮŀœ y2 6 y 4x 1 y 32 9 4x 1 0 ສະຫງວນລິສຂ.ະວ.ສິສດ y 32 4x 8 4x 2 . ŌĨŒ ĦŃ ŌĽŉŁŐĪœ h 2; k 3 ōĸĿ c 1. ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ŌĽŉŁŐĪ:œ ŌĵĪŀ ħļĵ:Z2,3, ħĪŇ ĺĵŇ : F 1,3 ōĸĿ ŌĺŀœĮĮŁŗ : D : x 3 . Ĥ. ŏĻœ y2 4 y x 5 0 ŌĽŉŁĵ:ń y2 4 y y 22 4 . ĺĿĮĮŀœ y2 4 y x 5 y 22 4 x 5 0 y 22 x 1 . ŌĨŒ ĦŃ ŌĽŉŁŐĪœ h 1; k 2 ōĸĿ c 1 . ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ŌĽŉŁŐĪ:œ 4 ŌĵĪŀ ħļĵ:Z1,2 , ħĪŇ ĺĵŇ : F¨§ 5 ,2·¸ ōĸĿ ŌĺŀĮœ ĮŁŗ : D : x 3. ©4 ¹ 4 ĥ. ŏĻœ x2 3y 8x 1 0 x2 8x 3y 1 0 ŌĽŉŁĵń x 42 16 3y 1 0 x 42 3y 15 3y 5 ŌĽŉŁŐĪœ h 4; k 5; c 3. 4 ĪĦŒ ŀ ĮĮŀœ ħŒĦŅ ŐĪ:œ Z 4,5; F § 4, 17 · ōĸĿ D: y 23 . ©¨ 4 ¸¹ 4 244

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