คู่มือรูปแบบการสอนแก้ปัญหา

98 เฉลยใบงานท่ี 5 เร่อื ง ลมิ ิตของลำดบั (1)  คำชี้แจง : 1) หาคา่ lim an เม่อื กำหนด an โดยพจิ ารณากราฟ n→ 1. an = 1 2n lim an = 0 และเป็นลำดบั ลเู่ ขา้ (convergent sequence) n→ 2. an = 2 lim an = 2 และเป็นลำดับลูเ่ ข้า (convergent sequence) n→

99 3. an= 1 + (-1)n n lim an = 1 และเปน็ ลำดบั ลูเ่ ขา้ (convergent sequence) n→ 4. an = 2n - 1 lim an = ไม่มลี มิ ติ และเปน็ ลำดบั ล่อู อก (divergent sequence) n→ 5. an = (-1)n+1 lim an = ไมม่ ลี ิมิต และเปน็ ลำดับแกวง่ กวัด (oscillating sequence) n→

100 คำชีแ้ จง :2) จงเขยี นกราฟเพอื่ ตรวจสอบดูวา่ ลำดับ an = 5 เป็นลำดับล่เู ขา้ หรือเปน็ n3 ลำดบั ลอู่ อก ถา้ เป็นลำดบั ลู่เข้า มลี ิมิตของลำดบั เป็นเท่าใด x1 234… f(x) 5 5555 8 27 64 n3 จะเห็นวา่ เมือ่ n มคี า่ มากขึ้นไม่มีทีส่ ้ินสดุ ค่าของพจน์ท่ี n จะลดลงเขา้ ใกล้ 0 แตจ่ ะไม่เท่ากบั 0 ดงั กราฟ ดังน้ัน lim 5 เทา่ กับ 0 เป็นลำดบั ลเู่ ข้า n3 n→

101 แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 6 เรื่อง ลมิ ติ ของลำดบั (2) เวลา 3 ช่วั โมง กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ คณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 5 (ค33203) ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 6 หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 1 เรือ่ ง ลำดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เวลา 30 ช่ัวโมง ครูผสู้ อน นางสทุ ธดา เหลืองหอ่ ใชส้ อนวนั ที่ ......................................... 1. ผลการเรียนรู้ ระบไุ ด้วา่ ลำดับที่กำหนดใหเ้ ป็นลำดับลู่เขา้ หรอื ลูอ่ อก 2. จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ 1) ตรวจสอบการหาลิมติ ของลำดบั โดยใช้ทฤษฎบี ทเกี่ยวกับลิมติ ของลำดับได้ (K) 2) แสดงวิธกี ารหาลมิ ิตของลำดบั โดยใช้ทฤษฎีบทได้ (P) 3) ใฝเ่ รียนรแู้ ละมีความมุ่งมน่ั ในการทำงานเก่ียวกบั การนำความรเู้ รอ่ื งการใชท้ ฤษฎบี ทเก่ียวกับ ลมิ ิตของลำดับ (A) 3. สาระการเรยี นรู้ ทฤษฎบี ทเกี่ยวกับลมิ ติ ของลำดับ 4. สาระสำคญั /ความคดิ รวบยอด ทฤษฎีบทเกยี่ วกับ lim an n→ ทฤษฎีบท 1 ให้ r เป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ จะได้วา่ 1 lim nr =0 และ lim nr หาคา่ ไม่ได้ n→ n→ ทฤษฎบี ท 2 ให้ r เป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ ทีไ่ ม่เทา่ กบั ศูนย์ ถา้ r < 1 แลว้ lim rn= 0 n→ ถา้ r > 1แล้ว lim rn หาค่าไม่ได้ n→ ทฤษฎบี ท 3 ให้ an, bn, tn เปน็ ลำดับของจำนวนจรงิ A, B เป็นจำนวนจรงิ และ c เปน็ คา่ คงตวั ใด ๆ โดยที่ lim an = A และ lim bn = B จะได้ว่า n→ n→ 1. ถ้า tn = c และ lim tn = lim c =c n→ n→ 2. lim can = cn→lim an = cA n→ 3. lim (an + bn ) = lim an + lim bn =A+B n→ n→ n→ 4. nl→im(an - bn ) = lim an - lim bn =A-B n→ n→ 5. nl→im(an  bn ) = lim an  lim bn = AB n→ n→

102 6. ถ้า bn ≠ 0 ทกุ จำนวนเตม็ บวก n และ B ≠ 0 แล้ว lim  an  = lim an = A  bn  B n→   n→ lim bn n→ ทฤษฎีบท 4 ให้ an เปน็ ลำดบั ของจำนวนจริงท่ีมากกว่าหรือเทา่ กับ 0 และให้ m เปน็ จำนวนเต็มที่มากกว่าหรอื เทา่ กับ 2 ถ้า lim an = L แลว้ lim m an = m lim an n→ n→ n→ 5. สมรรถนะสำคญั ของผู้เรยี น 1) ความสามารถในการสอื่ สาร 2) ความสามารถในการแกป้ ญั หา 6. กจิ กรรมการเรยี นรู้ รูปแบบการสอนแกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตร์เพื่อพฒั นาความสามารถในการแกป้ ัญหาและ ความสามารถในการคดิ ขั้นสงู ช่วั โมงท่ี 1 ขนั้ ท่ี 1 ทำความเข้าใจปัญหา 1. ครใู ชแ้ ผนผงั ในการทบทวนโดยให้นกั เรยี นช่วยกนั เตมิ ชอ่ งว่างให้สมบูรณ์ และครตู ง้ั คำถาม เพ่อื นำไปสูก่ ารอภิปรายรว่ มกันเกย่ี วกับลิมติ ของลำดบั และนกั เรยี นร่วมกนั สรปุ ลำดบั อนันต์ท่เี ป็น ลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณติ เปน็ แผนผงั ดังน้ี ลาดับอนนั ต์ทีเ่ ปน็ ลาดับเลขคณิต ( a1, a1,+d , a1,+2d … ) d=0 d≠0 ลมิ ติ ลู่เขา้ ลมิ ติ ลอู่ อก ลิมติ เทา่ กบั a 1 ลิมิตหาค่าไมไ่ ด้

103 ลาดับท่ีเป็นลาดับเรขาคณติ ( a1, a1r, a1r2, … ) -1< r < 1 r=1 r ≤ -1 หรอื r > ลิมิตลูเ่ ข้า ลิมติ ลู่เขา้ ลมิ ติ ลู่ออก ลมิ ติ เทา่ กบั 0 ลิมติ เท่ากับ a 1 ลมิ ติ หาคา่ ไม่ได้ ข้ันที่ 2 คดิ วิธหี าคำตอบเพอื่ วางแผนแกป้ ญั หา 1. ครใู หน้ กั เรียนร่วมแสดงความคิดเหน็ จากคำถามดงั กลา่ วว่า นกั เรยี นสามารถระบปุ ญั หาได้ หรือไม่และมีแนวคดิ ในการอธิบายเกย่ี วกับลิมติ ของลำดับดังกล่าวไดอ้ ย่างไร 2. ครอู ธบิ ายใช้ส่ือในโปรแกรม power point เกี่ยวกับ ทฤษฎบี ทของลมิ ิต ดังนี้ ลิมติ ของลำดบั (2) (limit of sequence) ทฤษฎบี ท 1 ให้ r เป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ จะไดว้ า่ ทฤษฎีบท 2 1 ทฤษฎบี ท 3 lim nr =0 และ lim nr หาคา่ ไม่ได้ n→ n→ ให้ r เปน็ จำนวนจริงบวกใด ๆ ที่ไม่เทา่ กับศนู ย์ ถ้า r < 1 แลว้ lim rn= 0 n→ ถ้า r > 1แลว้ lim rn หาค่าไมไ่ ด้ n→ ให้ an, bn, tn เป็นลำดบั ของจำนวนจริง A, B เปน็ จำนวนจริง และ c เป็นคา่ คงตัวใด ๆ โดยที่ lim an = A และ lim bn = B จะได้ว่า n→ n→ 1. ถ้า tn = c และ lim tn = lim c = c n→ n→ 2. lim can = cn→lim an = cA n→ 3. lim (an + bn ) = lim an + lim bn =A+B n→ n→ n→

104 ลิมติ ของลำดบั (2) (limit of sequence) 4. nl→im(an - bn ) = lim an - lim bn =A-B ทฤษฎบี ท 4 n→ n→ 5. nl→im(an  bn ) = lim an  lim bn = AB n→ n→ 6. ถา้ bn ≠ 0 ทกุ จำนวนเตม็ บวก n และ B ≠ 0 แลว้ lim an lim  an  = = A  bn  n→ B n→   lim bn n→ ให้ an เป็นลำดับของจำนวนจริงที่มากกว่าหรอื เทา่ กับ 0 และให้ m เป็นจำนวนเต็มทม่ี ากกว่าหรือเท่ากบั 2 ถ้า lim an = L แล้ว lim m an = m lim an n→ n→ n→ ตัวอยา่ ง กำหนด an จงหาลิมติ ของลำดบั ต่อไปน้ี n วธิ ที ำ 1) ลำดับ an =  - 1 2 จากทฤษฎบี ท 2 เม่ือ r เป็นจำนวนจรงิ r < 1 แล้ว lim rn= 0 n→  1 ฉะนน้ั r = - 2 แสดงว่า r <1 lim  - 1 n = 0 2 n→  ดังนัน้ lim an = 0 ตอบ n→ 2) an =  - 5 n 4 จากทฤษฎีบท 2 เมื่อ r เปน็ จำนวนจริง r > 1 แลว้ lim rn หาค่าไม่ได้ n→  5 ฉะนน้ั r= - 4 แสดงวา่ r >1 lim  - 5 n หาคา่ ไม่ได้ 4 n→  ดังนัน้ lim an หาคา่ ไม่ได้ ตอบ n→

105 ข้นั ท่ี 3 แสดงวธิ กี ารหาคำตอบอย่างสร้างสรรค์ 3. ครใู ห้แบง่ นักเรยี นเป็นกลุ่มย่อยกลุม่ ละ 3-5 คน แบบคละความสามารถทางคณิตศาสตร์ เกง่ ปานกลาง อ่อน และใหน้ ักเรยี นแบ่งหน้าที่ของสมาชกิ ในกลุ่ม และทำใบงานที่ 6 เรอื่ ง ลิมิตของ ลำดับ (2 ) ข้อ 1-3 4. ครใู ชค้ ำถามกระตนุ้ ให้นักเรียนลงมือปฏบิ ัติกจิ กรรมดว้ ยตนเองอย่างอสิ ระ แล้วแสดง ความคิดเหน็ ในแนวทางการแกป้ ัญหาของตนเองตอ่ กลุ่ม แลว้ สมาชกิ กลุ่มรว่ มกันพจิ ารณาตรวจสอบ และประเมินทางเลือกในการแก้ปัญหา หากลวิธีท่ดี ีที่สดุ ที่ตรงกบั สถานการณแ์ ละมีความเหมาะสม เปน็ ไปได้และดำเนินการแก้ปญั หาของกลมุ่ ข้นั ท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยทุ ธวิธีแก้ปญั หา 5. ครสู ุ่มให้ตัวแทนกลุ่มแตล่ ะกลุ่มนำเสนอกระบวนการแก้ปัญหา กลวิธที ่ใี ช้แกป้ ัญหาและ คำตอบของปญั หาท่ีกลมุ่ ได้รว่ มกันพจิ ารณาตัดสนิ ใจเลือกไว้ 6. ครใู ช้คำถามนำในการกระตนุ้ ให้นักเรียนรว่ มอภปิ รายสรุปจากการเรียนในชัว่ โมงน้ี เพือ่ แสดงความคิดเหน็ เก่ยี วกับวธิ ีการแกป้ ญั หาและผลลพั ธ์ทไี่ ดข้ องนักเรียนวา่ ถูกตอ้ ง ตรงกันหรอื ไม่ แลว้ ครชู ่วยสรุปเพิ่มเตมิ เรือ่ ง ทฤษฎบี ทเกีย่ วกบั ลิมติ ใหน้ ักเรียนบันทกึ ลงในสมุดและยกตัวอย่าง ประกอบ ดงั นี้ ทฤษฎีบทเก่ยี วกบั ลิมิต ทฤษฎีบท 1 ให้ r เป็นจำนวนจรงิ บวกใด ๆ จะได้ว่า lim 1 = 0 และ lim nr หาค่าไม่ได้ nr n→ n→  ทฤษฎบี ท 2 ให้ r เปน็ จำนวนจริงบวกใด ๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ ถ้า r < 1 แล้ว lim rn= 0 n→  ถา้ r > 1 แลว้ lim rn หาค่าไม่ได้ n→ 

106 ชวั่ โมงที่ 2 ขนั้ ท่ี 1 ทำความเข้าใจปัญหา 1. ครูชวนนักเรียนพูดคุยเพ่ือใหน้ ักเรียนไดท้ บทวนเก่ยี วกับทฤษฎีบทเกย่ี วกบั ลิมิต ดังนี้ ➢ lim 1 มีลมิ ิตเป็นเทา่ ใด จากทฤษฎีบทใด n2 n→∞ (แนวคำตอบ มลี ิมติ เป็น 0 จากทฤษฎบี ท 1 ) ➢ lim 2n มีลิมติ เปน็ เท่าใด จากทฤษฎีบทใด n→∞ (แนวคำตอบ หาคา่ ไมไ่ ด้ จากทฤษฎีบท 2 ) 2. เม่ือนกั เรียนเข้าใจในปัญหาดีแลว้ ครูกำหนดสถานการณป์ ัญหาทางคณติ ศาสตรท์ ี่ตอ้ งการ สอน ดงั น้ี ค่าของ lim 1+3n2 มีค่าเทา่ ใด n2 n→∞ ขนั้ ที่ 2 คิดวิธหี าคำตอบเพื่อวางแผนแกป้ ัญหา 3. ครใู หน้ กั เรยี นร่วมแสดงความคิดเห็นจากคำถามดงั กล่าวว่า นกั เรยี นสามารถระบุปญั หาได้ หรอื ไม่ และมีแนวคดิ ในการเลอื กใช้กลวธิ ีใดในการแก้ปัญหา 4. ครอู ธิบายโดยใชส้ ่ือในโปรแกรม powerpoint เกยี่ วกับเกี่ยวกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมติ ดงั น้ี ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต ทฤษฎบี ท 3 ให้ an, bn, tn เป็นลำดับของจำนวนจริง A, B เป็นจำนวนจริงและ c เปน็ ค่าคงตัวใด ๆ โดยท่ี lim an = A และ lim bn = B จะไดว้ า่ n→ n→ 1. ถ้า tn = c และ lim tn = lim c = c 2. n→ n→ lim can = cn→lim an = cA 3. n→ an + lim nl→im(an + bn ) = lim bn =A+B n→ n→

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมติ 107 ตอบ 4. nl→im(an - bn ) = lim an - lim bn =A-B ตอบ 5. n→ an n→ nl→im(an bn ) = lim lim bn = AB   n→ n→ 6. ถา้ bn ≠ 0 ทุกจำนวนเต็มบวก n และ B ≠ 0 แลว้จงหnl→iาmลมิ ติ bขanอn งลำ=ดบั nnll→→aiimmn=bannn5= A B ตวั อยา่ งที่ 1 วธิ ีทำ lim 5 = 5 lim 1 n→ n n→ n = 5(0) =0 ดังนน้ั lim 5 = 0 n→ n + 3n2 n2 ตัวอย่างท่ี 2 จงหาลิมิตของลำดบั an = 1 วธิ ที ำ lim 1 + 3n2 = lim  1 + 3n2  n2  n2 n2  n→ n→ = lim  1 + 3  n2 n→ = lim 1 + lim 3 n2 n→ n→ =0+3 =3 + 3n2 ดังนัน้ lim 1 n2 =3 n→

108 ขน้ั ที่ 3 แสดงวิธีการหาคำตอบอยา่ งสรา้ งสรรค์ 5. ให้นักเรยี นเขา้ กลุ่มย่อยกลุ่มเดิมเหมือนช่วั โมงท่ผี ่านมา ครกู ำหนดสถานการณป์ ญั หาทาง คณิตศาสตร์ให้นักเรียนชว่ ยกันเสนอความคิดวิธีหาคำตอบให้หลากหลายเพอื่ นำมาวางแผนแกป้ ัญหา โดยใหน้ กั เรียนทำลงในสมดุ ของตนเอง สถานการณ์คณติ ศาสตร์ จงหาลมิ ติ ของลำดบั an = 4 - 3n + n2 2n2 - 3n + 5 6. ครคู อยกระต้นุ ให้นักเรียนแสดงความคดิ เห็นในแนวทางการแกป้ ญั หาของตนเองต่อกลุ่ม และสุม่ ตัวแทนกลุ่มในการเฉลยสถานการณป์ ัญหา โดยใชก้ ระบวนการแกป้ ญั หา 5 ข้นั ตอน (แนวคำตอบ 1) ระบุปัญหา ลมิ ติ ของลำดับ an = 4 - 3n + n2 2n2 - 3n + 5 2) เลือกใชก้ ลวิธใี นการแก้ปญั หา ใชท้ ฤษฎีบทเกย่ี วกับลมิ ิต ทฤษฎบี ท 3 3) ดำเนินการแกป้ ัญหา ( )lim 4- 3n + n2 n2 4 - 3 + 1 ( )n→ 2n2 - 3n +5 = lim n2 n 3 5 n→ n2 2- n + n2 4 - 3 +1 n2 n = lim 3 5 n→ 2- n + n2 lim 4 - lim 3 + lim 1 n2 n n→ = n→ n→ lim 2 - lim 3 + lim 5 n n2 n→ n→ n→ = 0-0+1 = 1 2-0+0 2 4 - 3n + n2 ดงั นัน้ lim 2n2 - 3n2 + 5 = 1 ตอบ 2 n→

109 4) ตรวจสอบการแก้ปญั หา อาจใช้เคร่อื งคำนวณหรือใช้โปรแกรม GSP ในการดูกราฟ 5) ประยกุ ต์ใช้ความรกู้ บั ความรู้ใหม่ ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกบั ลมิ ิตแก้สถานการณ์ คณติ ศาสตร์คล้ายสถานการณ์เดิมหรอื เป็นสถานการณ์ใหม่ 7. ครใู ห้นกั เรียนทำใบงานที่ 6 เร่ือง ลิมิตของลำดบั (2) ขอ้ 4-7 โดยลงมือปฏิบัติกิจกรรม ดว้ ยตนเองอย่างอสิ ระ แลว้ แสดงความคดิ เหน็ ในแนวทางการแกป้ ัญหาของตนเองต่อกลมุ่ แลว้ สมาชกิ กล่มุ รว่ มกนั พิจารณาตรวจสอบและประเมนิ ทางเลือกในการแกป้ ัญหา ทำการเลือกกลวธิ ที ่ีดที สี่ ดุ มีความเหมาะสม เป็นไปได้และดำเนินการแก้ปัญหาของกลุ่ม พร้อมท้งั สังเกตพฤติกรรมการทำงาน ข้ันท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยุทธวิธแี กป้ ญั หา 8. ครสู มุ่ ตัวแทนกลุ่มแตล่ ะกลมุ่ ให้นำเสนอกระบวนการแกป้ ัญหา กลวธิ ีทใ่ี ชแ้ กป้ ัญหา คำตอบของปญั หาท่ีกลมุ่ ได้รว่ มกนั พจิ ารณาตัดสินใจเลือกไว้ รวมถึงแตล่ ะกลุ่มได้ผลการศึกษา เหมือนกนั หรือตา่ งกันอย่างไร เพราะเหตุใด 9. ครซู ักถาม อภิปราย ผลลพั ธ์ที่ไดข้ องแตล่ ะกลมุ่ แตกต่างกัน และให้นกั เรียนสรปุ เก่ยี วกบั เรอ่ื งทฤษฎีบทเกีย่ วกบั ลิมติ และครชู ว่ ยสรุปเพมิ่ เตมิ เม่ือพบว่านกั เรียนสรุปได้ไม่ครอบคลมุ เน้อื หา หรอื ไดม้ โนมติที่ยังไมช่ ัดเจนถูกตอ้ ง ดงั น้ี ทฤษฎีบท 3 ให้ an, bn, tn เป็นลำดบั ของจำนวนจรงิ A, B เปน็ จำนวนจรงิ และ c เป็น คา่ คงตวั ใด ๆ โดยที่ lim an = A และ lim bn = B จะได้ว่า n→ n→ 1. ถ้า tn = c และ lim tn = lim c =c 2. n→ n→ lim can = cn→lim an = cA 3. n→ + bn ) = + lim =A+B nl→im(an lim an bn n→ 4. n→ nl→im(an - bn ) = lim an - lim bn =A-B 5. n→ n→ nl→im(an bn ) = lim an lim bn = AB   n→ n→ 6. ถา้ bn ≠ 0 ทุกจำนวนเต็มบวก n และ B ≠ 0 lim an แล้ว lim  an  = = A  bn  n→ B n→   lim bn n→

110 10. ครูมอบหมายงานใหน้ ักเรยี นเขียนขอ้ สรุปของลิมติ ของลำดับในสมุด และให้นักเรียนไป ศึกษาคน้ คว้าเพม่ิ เติมจากหนงั สือเรยี นหนังสือเรยี นรายวิชาเพ่มิ เติม คณิตศาสตร์ เลม่ 6 ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 4-6 หน้า 25 ขอ้ 2 - 3 ช่ัวโมงที่ 3 ขน้ั ท่ี 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครูชวนนักเรยี นพูดคุยเพ่ือให้นักเรยี นได้ทบทวนเก่ียวกับทฤษฎีบทเกยี่ วกบั ลิมติ 1 – 3 2. ครสู อบถามเกยี่ วกบั การศึกษาคน้ คว้าเพิม่ เติม และการทำแบบฝกึ หัด 1.1 ข ข้อ 3 วา่ นกั เรยี นไดข้ ้อสรุป lim an อย่ใู นรูปเศษส่วนของพหุนาม อยา่ งไร n→ (แนวคำตอบ สรุปวธิ กี ารหา lim an จากตัวอยา่ งท่ี 1-3 เราสามารถหาลิมติ ได้ดงั น้ี n→ 1) ลำดบั ท่มี พี จนท์ ัว่ ไปอยูใ่ นรปู เศษส่วนของพหุนาม ซ่ึงกำลงั สูงสดุ ของตัวเศษนอ้ ยกวา่ ตวั ส่วน เปน็ ลำดับ ลู่เข้า และคา่ ของลิมติ เท่ากับศูนย์เสมอ 2) ลำดับท่ีมีพจนท์ ว่ั ไปอยู่ในรปู เศษสว่ นของพหุนาม ซ่งึ กำลังสูงสุดของตัวเศษกับ ตวั ส่วนเทา่ กนั เป็นลำดับลเู่ ข้า และค่าของลมิ ิตเท่ากบั ผลหารของสมั ประสิทธิข์ องกำลงั สงู สดุ ที่เทา่ กัน 3) ลำดับที่มีพจนท์ วั่ ไปอยู่ในรปู เศษส่วนของพหุนาม ซ่ึงกำลงั สูงสดุ ของตวั เศษมากกวา่ ตัวสว่ น เป็นลำดับลอู่ อก) 3. ครูกำหนดสถานการณป์ ัญหาทางคณิตศาสตรท์ ่ีตอ้ งการสอน ดงั นี้ จงหาลิมติ ของลำดบั an = n2 + n3 3 n+1 n2 - ข้นั ท่ี 2 คิดวธิ ีหาคำตอบเพอื่ วางแผนแก้ปญั หา 4. ครใู ห้นักเรียนรว่ มแสดงความคดิ เหน็ จากคำถามดงั กลา่ ววา่ นักเรียนสามารถระบุปัญหาได้ หรือไม่ และมแี นวคดิ ในการเลือกใช้กลวิธใี ดในการแกป้ ัญหา แล้วให้นักเรยี นทดลองใช้วิธีการใน ทฤษฎบี ท 3 อภปิ รายคำตอบท่ีได้ 5. ครใู หน้ ักเรยี นรว่ มอภปิ รายวธิ กี ารและการวางแผนในการแก้สถานการณ์ที่กำหนดให้

111 6. ครขู ออาสมัครตวั แทนนักเรยี นในการแสดงวธิ ีการแกป้ ัญหาสถานการณ์ที่กำหนดให้ (แนวคำตอบ เราไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทเกีย่ วกับลิมิตของลำดับโดยตรง เพราะ lim n2 n→ n + 1 n3 และ lim n2 - 3 หาค่าไม่ได้ จงึ ตอ้ งจดั รูปของ an ก่อนหาลมิ ิต n→ เน่ืองจาก n2 + n3 = n2 (n2 - 3) + n2 (n + 1) n+ n2 - 3 (n + 1)(n2 - 3) 1 = n4 - 3n2 + n4 + n3 n3 + n2 - 3n - 3 2n4 + n3 - 3n2 = n3 + n2 - 3n - 3 ( ( ) )= n4 2 + 1 - 3 n n2 1 1 3 3 n4 n + n2 - n3 - n4 2 + 1 - 3 n n2 = 1 1 3 3 n n2 n3 n4 + - - n2 n3 2 + 1 - 3 n+1 n2 - n n2 เพราะฉะนัน้ lim + = lim 1 1 3 3 3 n→ n n2 n3 n4 n→ + - - lim 2 + lim 1 - lim 3 n n2 = n→ n→ n→ lim 1 + lim 1 - lim 3 - lim 3 n n2 n3 n4 n→ n→ n→ n→ = 2+0-0 = หาคา่ ไม่ได้ 0+0-0-0 ดงั น้นั lim n2 + n3 3 หาค่าไมไ่ ด้ ตอบ n→ n + 1 n2 -

112 7. นกั เรียนช่วยกนั อธิบายโดยใชส้ อ่ื ในโปรแกรม powerpoint เกีย่ วกบั เกีย่ วกับทฤษฎบี ท เกยี่ วกับลมิ ติ ทฤษฎบี ทเกี่ยวกับลิมิต ทฤษฎีบท 4 ให้ an เป็นลำดับของจำนวนจรงิ ทมี่ ากกว่าหรือเทา่ กับ 0 และให้ m เปน็ จำนวนเตม็ ทีม่ ากกวา่ หรอื เทา่ กบั 2 ถ้า lim an = L แล้ว lim m an = m lim an n→ n→ n→ ตวั อย่างท่ี 1 จงหาลมิ ติ ของลำดับ an = 4n - 1 n-1 1 วธิ ที ำ เนือ่ งจาก lim 4n - 1 4- n n→ n - 1 = lim 1 n n→ 1 - ( )= n→lim 4 - 1 n lim 1 1- n ( )n→ = 4 1 =4 จะไดว้ ่า lim 4n - 1 = lim 4n - 1 n→ n - 1 n→ n - 1 =4 =2 เข้าใจแลว้ ค่ะ ดงั นนั้ lim 4n - 1 = 2 n→ n - 1 ตอบ

113 ขน้ั ท่ี 3 แสดงวธิ กี ารหาคำตอบอย่างสรา้ งสรรค์ 8. ให้นักเรียนเข้ากลมุ่ ย่อยกลุ่มเดิมเหมือนชว่ั โมงท่ีผ่านมา ครูกำหนดสถานการณป์ ัญหาทาง คณติ ศาสตร์ใหน้ กั เรียนชว่ ยกันเสนอความคิดวธิ หี าคำตอบใหห้ ลากหลายเพอื่ นำมาวางแผนแก้ปญั หา โดยใหน้ กั เรียนทำลงในสมดุ ของตนเอง สถานการณค์ ณิตศาสตร์ จงหาลิมิตของลำดับ cn = 5 n2 - 4n 32n2 - 3n 9. ครคู อยกระตนุ้ ใหน้ ักเรียนแสดงความคดิ เห็นในแนวทางการแก้ปัญหาของตนเองต่อกลุ่ม และสมุ่ ตวั แทนกลุ่มในการเฉลยสถานการณป์ ัญหา โดยใชก้ ระบวนการแกป้ ัญหา 5 ขนั้ ตอน n2 - 4n (แนวคำตอบ 1) ระบุปัญหา ลิมิตของลำดบั cn = 5 32n2 - 3n 2) เลอื กใชก้ ลวธิ ีในการแก้ปญั หา หาลมิ ติ ของลำดับน้ี โดยใช้ทฤษฎีบทเกยี่ วกับลมิ ติ ทฤษฎีบท 4 3) ดำเนนิ การแก้ปัญหา เนือ่ งจาก lim n2 - 4n ( )= limn2 1- 4 32n2 - 3n ( )n→n2 32 - n n→ 3 n ( )= lim1- 4 ( )n→ n 3 32 - n lim 1 - lim 4 n→ n→ n = - lim 3 lim 32 nn→ n→

114 = 1-0 32 - 0 1 = 32 ซ่งึ มากกวา่ 0 จึงได้ lim 5 n2 - 4n = 5 lim n2 - 4n 32n2 - 3n n→ 32n2 - 3n n→ =5 1 32 1 = 2 ดังนนั้ ลำดบั cn = 5 n2 - 4n เปน็ ลำดบั ลเู่ ข้า และมีลมิ ิตเปน็ 1 ตอบ 32n2 - 3n 2 4) ตรวจสอบการแก้ปัญหา อาจใช้เคร่อื งคำนวณหรอื ใชโ้ ปรแกรม GSP ในการดูกราฟ 5) ประยุกต์ใช้ความรูก้ บั ความรู้ใหม่ ใชท้ ฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตแก้สถานการณ์ คณิตศาสตร์ใหม่ 10. ครใู หน้ กั เรียนทำใบงานที่ 6 เรื่อง ลมิ ติ ของลำดบั (2) ขอ้ 8-10 โดยลงมอื ปฏบิ ตั กิ จิ กรรม ดว้ ยตนเองอย่างอสิ ระ แล้วแสดงความคิดเห็นในแนวทางการแก้ปญั หาของตนเองต่อกลุ่ม แล้วสมาชิก กลุ่มรว่ มกนั พิจารณาตรวจสอบและประเมนิ ทางเลือกในการแกป้ ัญหา ทำการเลือกกลวธิ ที ่ีดที ีส่ ุด มีความเหมาะสม เป็นไปได้และดำเนนิ การแกป้ ัญหาของกลุ่ม พรอ้ มทั้งสงั เกตพฤตกิ รรมการทำงาน ข้ันที่ 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยุทธวธิ ีแก้ปญั หา 11. ครสู มุ่ ตวั แทนกลุ่มแตล่ ะกลมุ่ ให้นำเสนอกระบวนการแก้ปญั หา กลวธิ ีท่ีใชแ้ กป้ ัญหา คำตอบของปญั หาท่ีกลุ่มได้รว่ มกนั พจิ ารณาตัดสนิ ใจเลือกไว้ รวมถงึ แตล่ ะกลุ่มไดผ้ ลการศึกษา เหมือนกันหรือตา่ งกันอย่างไร เพราะเหตุใด 12. ครซู ักถาม อภิปราย ผลลัพธ์ที่ไดข้ องแต่ละกลุม่ แตกตา่ งกนั และใหน้ กั เรียนสรุปเก่ียวกับ เรอ่ื งทฤษฎีบทเกี่ยวกบั ลมิ ิตและครชู ว่ ยสรุปเพม่ิ เตมิ เมื่อพบวา่ นกั เรยี นสรปุ ได้ไมค่ รอบคลุมเน้ือหา หรือไดม้ โนมติที่ยงั ไมช่ ัดเจนถูกตอ้ ง ดงั นี้

115 ทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิต ทฤษฎบี ท 1 ให้ r เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ จะไดว้ ่า ทฤษฎีบท 2 1 ทฤษฎบี ท 3 lim nr = 0 และ lim nr หาคา่ ไม่ได้ n→ n→ ให้ r เปน็ จำนวนจรงิ บวกใดๆ ทไี่ มเ่ ท่ากบั ศนู ย์ ถา้ r < 1 แลว้ lim rn= 0 n→ ถา้ r > 1 แล้ว lim rn= หาคา่ ไมไ่ ด้ n→ ให้ an, bn, tn เปน็ ลำดบั ของจำนวนจริง A, B เปน็ จำนวนจรงิ และ c เป็น ค่าคงตัวใด ๆ โดยท่ี lim an = A และ lim bn = B จะได้ว่า n→ n→ 1. ถา้ tn = c และ lim tn = lim c = c n→ n→ 2. lim can = c lim an = cA n→ n→ 3. nl→im(an + bn ) = lim an + lim bn = A + B n→ n→ 4. nl→im(an - bn ) = lim an - lim bn =A - B n→ n→ 5. nl→im(an  bn ) = lim an  lim bn = AB n→ n→ 6. ถา้ bn ≠ 0 ทกุ จำนวนเตม็ บวก n และ B ≠ 0 แล้ว an = lim an = A n→ bn lim b n B n→ ทฤษฎีบท 4 ให้ an เปน็ ลำดับของจำนวนจริงทม่ี ากกวา่ หรือเทา่ กับ 0 และให้ m เป็นจำนวนเตม็ ที่มากกว่าหรือเท่ากบั 2 ถ้า lim an =L แล้ว lim m an = m lim an n→ n→ n→

116 13. ครูมอบหมายงานใหน้ ักเรยี นเขยี นข้อสรปุ ของลิมิตของลำดับในสมดุ และให้นักเรียนไป ศึกษาคน้ คว้าเพม่ิ เติมจากแหล่งเรียนรู้เพมิ่ เตมิ 7. การวดั และประเมินผล รายการวดั วิธกี าร เครอ่ื งมือ เกณฑ์การประเมิน การประเมินระหว่าง การจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ 1) ลิมติ ของลำดบั (2) - ตรวจใบงานที่ 6 - ใบงานท่ี 6 - ร้อยละ 70 ผ่านเกณฑ์ 2) พฤติกรรม - สังเกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต - ระดับคุณภาพ 2 การทำงานรายบุคคล ผา่ นเกณฑ์ การทำงาน พฤติกรรมการ รายบุคคล ทำงานรายบคุ คล 3) พฤตกิ รรม - สังเกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต - ระดับคณุ ภาพ 2 การทำงานกลมุ่ การทำงานกลุ่ม พฤติกรรม ผ่านเกณฑ์ การทำงานกลมุ่ 4) คุณลกั ษณะ - สงั เกตใฝ่เรยี นรู้ - แบบประเมิน - ระดับคุณภาพ 2 อนั พงึ ประสงค์ และมุ่งมน่ั ใน คณุ ลกั ษณะ ผ่านเกณฑ์ การทำงาน อันพึงประสงค์ 8. สอ่ื /แหลง่ การเรียนรู้ 8.1 ส่ือการเรียนรู้ 1) สอ่ื ในโปรแกรม power point เรอ่ื ง ลมิ ิตของลำดับ 2) หนงั สือเรียนรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ เล่ม 6 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 4-6 3) ใบงานที่ 6 เรื่อง ลมิ ติ ของลำดบั (2) 8.2 แหลง่ การเรยี นรู้ 1) ห้องเรยี น , หอ้ งสมุด 2) อนิ เทอรเ์ นต็ https://www.youtube.com/watch?v=O0l9vwCj3ZA

117 ใบงานที่ 6 เรื่อง ลิมติ ลำดับ (2)  คำชี้แจง : ให้นักเรียนใช้ทฤษฎีเกี่ยวกับลิมิตของลำดับ เพื่อตรวจสอบว่าลำดับในแต่ละข้อเป็นลำดับ ลเู่ ขา้ หรือลอู่ อก 1. an = 8 3n ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ... ................................................................................................................................................................ 2. an = 8n 7n ................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 3. an = (-1)n ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ... ................................................................................................................................................................

118 4. an = 6n - 4 6n ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ... ................................................................................................................................................................ 5. an = 4 + 5n n2 ................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 6. an = 3n2 - 5n 7n - 1 ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ... ................................................................................................................................................................ 7. an = 4n2 - 2n + 3 n2 ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ... ................................................................................................................................................................

119 8. an = 3n + 1 5n + 2 ................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 9. an = n2 - 1 4n ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 10. an = 1 - 1 n n+1 ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... .......... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

120  เฉลยใบงานท่ี 6 เรือ่ ง ลมิ ติ ของลำดับ(2) คำชแี้ จง : ใหน้ กั เรียนใช้ทฤษฎีเกี่ยวกับลิมิตของลำดบั เพ่อื ตรวจสอบว่าลำดับในแต่ละข้อเป็นลำดับลู่ เข้าหรอื ลู่ออก 1. an = 8 3n วิธีทำ lim an = lim 8 n→ 3n n→ =0 ดังนั้น lim an เป็นลำดับลู่เข้า n→ 2. an = 8n 7n วิธีทำ lim an = lim 8n 7n n→ n→ = lim  8 n 7 n→ = หาค่าไม่ได้ ดงั นน้ั lim an เป็นลำดบั ลู่ออก n→ 3. an = (-1)n lim an = lim (-1)n n→ วิธีทำ n→ = หาค่าไม่ได้ ดังนัน้ lim an เป็นลำดบั ลอู่ อก n→ 4. an = 6n - 4 6n = lim 6n - 4 วธิ ีทำ lim an n→ 6n n→

121 = lim  6n - 4  6n 6n n→ =1-0 =1 ดงั นั้น lim an เปน็ ลำดับลเู่ ขา้ 4 + 5n n→ n2 5. an = วธิ ที ำ lim an = lim 4 + 5n n2 n→ n→ = lim  4 + 5n  n2 n2 n→ =0+0 =0 ดงั นั้น lim an เปน็ ลำดับลูเ่ ข้า n→ 6. an = 3n2 - 5n 7n - 1 วิธที ำ lim an = lim 3n2 - 5n n→ 7n - 1 n→ ( )= lim n2 3 - 5 ( )n→ n 7 1 n2 n - n2  3- 5    = lim  7 n   n 1  n→ - n2 = 3-0 0-0 = หาคา่ ไมไ่ ด้ ดังนน้ั lim an เป็นลำดับลูอ่ อก n→

122 7. an = 4n2 - 2n + 3 n2 วธิ ที ำ lim an = lim 4n2 - 2n + 3 n→ n2 n→ = lim  4n2 - 2n + 3   n2 n2 n2  n→ = lim  4 - 2 + 3  n n2 n→ =4-0+0 =4 ดังนัน้ lim an เปน็ ลำดับลเู่ ขา้ n→ 8. an = 3n + 1 5n + 2 วิธที ำ lim an = lim 3n + 1 5n + 2 n→ n→ = lim 3 • 3n 52 • 5n n→ = lim 3  3 n 25 5 n→ = 3 (0) 25 =0 ดังนน้ั lim an เปน็ ลำดบั ลู่เขา้ n→ 9. an = n2 - 1 4n วธิ ีทำ lim an = lim n2 - 1 n→ 4n n→ ( )= lim n2 1- 1 n2 n→ 4n

123 n 1- 1 = lim n2 n→ 4n 1- 1 n2 = lim n→ 4 = 1-0 4 = 1 4 ดงั นน้ั lim an เป็นลำดับลเู่ ขา้ n→ 10. an = 1 - 1 n n+1 วิธที ำ lim an = lim 1 - 1 n→ n n + 1 n→ = lim (n + 1) - n n→ n(n + 1) = lim n2 1 1 + n→ ( ( ) )= n2 1 n2 1 lim n2 1 n2 n→ + 1 = lim n2 1 n2 n→ 1 + = 1 0 0 + =0 ดังน้นั lim an เป็นลำดบั ลเู่ ข้า n→

124 แผนการจัดการเรยี นรูท้ ่ี 7 เร่ือง สัญลักษณแ์ ทนการบวก เวลา 3 ชัว่ โมง กลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ คณิตศาสตรป์ ระยุกต์ 5 (ค33203) ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 6 หน่วยการเรียนรูท้ ่ี 1 เรอ่ื ง ลำดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เวลา 30 ช่ัวโมง ครูผู้สอน นางสทุ ธดา เหลืองหอ่ ใช้สอนวันท่ี ......................................... 1. ผลการเรยี นรู้ หาผลบวกของอนุกรมอนันต์ 2. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ 1) เขียนสญั ลักษณ์แทนการบวกและหาผลบวกของอนุกรมจำกัดและอนกุ รมอนันต์ได้ (K) 2) แสดงวธิ ีการหาผลบวกอนุกรมจำกัดและอนกุ รมอนนั ต์ได้ (P) 3) ใฝเ่ รียนรู้ ความมุ่งมัน่ ในการทำงานเก่ียวกบั การนำความรเู้ รอ่ื งสญั ลักษณแ์ ทนการบวก (A) 3. สาระการเรยี นรู้ สัญลักษณแ์ ทนการบวก 4. สาระสำคญั /ความคดิ รวบยอด n สญั ลักษณแ์ ทนการบวกสามารถเขยี นแทนด้วย ai = a1 + a2 + a3 + … + an i=1 สมบตั ขิ อง  n 1) c = nc เม่ือ c เปน็ คา่ คงตัว i=1 nn  2) cai = c ai เมื่อ c เป็นค่าคงตวั i=1 i=1 n nn   3) (ai + bi ) = ai + bi i=1 i=1 i=1 n nn   4) (ai - bi ) = ai - bi i=1 i=1 i=1

125 สูตรที่สำคญั 1) n i = n(n + 1) i=1 2 2) n i2= n(n + 1)(2n + 1) i=1 6 3)n i3 =  n(n + 1) 2 i=1 2 5. สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน 1) ความสามารถในการคดิ (ทักษะการคิดคล่อง) 2) ความสามารถในการแกป้ ัญหา 6. กจิ กรรมการเรียนรู้ รูปแบบการสอนแก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์เพื่อพฒั นาความสามารถในการแก้ปัญหาและ ความสามารถในการคดิ ขั้นสูง ชว่ั โมงท่ี 1 ข้นั ที่ 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครใู ห้นกั เรียนรว่ มกนั อภปิ รายจากการพจิ ารณาลำดับ เมื่อเรานำลำดบั จำกดั และลำดบั อนันต์มาเขียนในรูปการบวก เรยี กว่า อนกุ รม และยกตวั อย่างประกอบ ดังนี้ ➢ อนกุ รมจำกดั กำหนดให้ an = 5, 10, 15, 20, 25 อนุกรมของลำดับน้ี คอื 5 + 10 + 15 + 20 + 25 = 75 ➢ อนกุ รมอนนั ต์ กำหนดให้ an = 5, 10, 15, 20, 25, ... อนุกรมของลำดับนี้ คือ 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + … 2. ครตู งั้ คำถามนกั เรยี นวา่ ถ้าทำการบวกจำนวนมากเช่นนีจ้ ะหาผลบวกได้อยา่ งไร และมีอปุ สรรคในการเขียนอยู่ในรูปผลบวกอยา่ งไร ใชว้ ิธกี ารใดในการแก้ปัญหา (แนวคำตอบ ไม่สะดวกในการเขียนอยู่ในรปู ผลบวก ,ใช้สัญลักษณแ์ ทนการบวก )

126 3. เมื่อนักเรียนเข้าใจในปัญหาดีแล้ว ครูกำหนดสถานการณ์ปญั หาทางคณิตศาสตร์ ทต่ี อ้ งการสอน ดังนี้ เขยี นสัญลกั ษณ์แทนการบวก 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 ได้อย่างไร และผลบวกมีคา่ เท่าใด ข้นั ท่ี 2 คิดวิธหี าคำตอบเพ่อื วางแผนแกป้ ัญหา 1. ครใู ห้นกั เรียนร่วมแสดงความคิดเหน็ จากคำถามดงั กล่าววา่ นกั เรยี นสามารถระบปุ ญั หาได้ หรอื ไม่และมีแนวคดิ ในการอธิบายเก่ียวกับการเขยี นสัญลกั ษณ์แทนอนุกรมดังกล่าวได้อย่างไร 2. ครอู ธบิ ายสัญลกั ษณแ์ ทนการบวกและการเขยี นสญั ลกั ษณ์แทนอนุกรมนี้ พร้อมยกตวั อย่าง ประกอบใช้ส่อื ในโปรแกรม power point เก่ียวกบั สัญลักษณแ์ ทนการบวก ดงั น้ี สัญลกั ษณแ์ ทนการบวก เพื่อความสะดวกสามารถใช้สัญลักษณ์อักษรกรีก เรียกว่า “ซิกม่า” เป็นสัญลักษณ์แทนการบวก n  ซึง่ แทนอนุกรมจำกัด a1 + a2 + a3 + ... + an ดว้ ยสัญลักษณ์ ai และเขยี น ai แทนอนุกรม i=1 i=1 n  อนันต์ a1 + a2 + a3 + ... + an + ... ตัวแปร i ที่ปรากฏในสัญลักษณ์ ai หรือ ai เรียกว่า i=1 i=1 ดชั นีซ่ึงจะกำหนดพจนแ์ รกและพจนส์ ุดท้ายของอนกุ รม ดัชนไี มจ่ ำเป็นต้องเริ่มจาก 1 เสมอไป ตัวอย่างท่ี 1 เขียนสญั ลักษณ์แทนการบวก 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 วิธีทำ 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = ∑i7=1 i2 ตอบ 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 140

127 สัญลกั ษณ์แทนการบวก 10 ตวั อยา่ งท่ี 2 จงแสดงว่า 3 = 30 i=1 10 วธิ ีทำ 3 = 3 + 3 + 3 + … + 3 (มี 3 จำนวน 10 จำนวน) i=1 = 3 × 10 = 30 ตอบ 4 ตวั อย่างท่ี 3 จงแสดงว่า (i2 - i + 1) i=1 4 วธิ ที ำ (i2 - i + 1) = (12 - 1 + 1) + (22 - 2 + 1) + (32 - 3 + 1) + (42 - 4 + 1) i=1 = 1 + 3 + 7 + 13 = 24 ตอบ ตวั อยา่ งท่ี 4 จงเขยี น 2x + 4x2 + 6x3 + 8x4 + 10x5 โดยใช้สัญลกั ษณ์ วิธที ำ 2x + 4x2 + 6x3 + 8x4 + 10x5 = (2)1x + (2)2x2 + (2)3x3 + (2)4x4 + (2)5x5 5 ตอบ =2ixi i=1 10 10  ตัวอยา่ งท่ี 5 จงแสดงวา่ 2( i2 ) = 2 ( i2 ) i=1 i=1 10 วธิ ที ำ 2( i2 ) = (2)(12 ) + (2)(22 ) + (2)(32 ) + … + (2)(102 ) i=1 10 ตอบ = 2(12 + 22 + 32 + … + 102 ) = 2 ( i2 ) i=1 10 10 10 ตัวอย่างที่ 6 จงแสดงวา่ (i + 3) = i + 3 i=1 i=1 i=1 10 วธิ ที ำ (i + 3) = (1 + 3) + (2 + 3) + (3 + 3) + ... + (10 + 3) i=1 = (1 + 2 + 3 + … + 10) + (3 + 3 + 3 + … + 3) มี 10 จำนวน 10 10 ตอบ = i + 3 i=1 i=1

128 ขั้นที่ 3 แสดงวธิ ีการหาคำตอบอยา่ งสรา้ งสรรค์ 3. ครใู ห้แบ่งนักเรียนเปน็ กลมุ่ ย่อยกลุ่มละ 3-5 คน แบบคละความสามารถทางคณิตศาสตร์ เก่ง ปานกลาง อ่อน และให้นักเรยี นแบ่งหน้าที่ของสมาชกิ ในกลุ่ม และทำใบงานท่ี 7 เรื่อง สัญลักษณ์ แทนการบวก ตอนที่ 1 4. ครใู ชค้ ำถามกระต้นุ ใหน้ ักเรยี นลงมอื ปฏบิ ตั ิกิจกรรมด้วยตนเองอย่างอสิ ระ แลว้ แสดง ความคิดเห็นในแนวทางการแกป้ ัญหาของตนเองตอ่ กลมุ่ แล้วสมาชิกกลมุ่ รว่ มกันพิจารณาตรวจสอบ และประเมนิ ทางเลอื กในการแกป้ ัญหา หากลวธิ ที ่ีดีทสี่ ดุ ท่ีตรงกับสถานการณ์และมีความเหมาะสม เป็นไปได้และดำเนนิ การแกป้ ัญหาของกลุม่ ขนั้ ที่ 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยุทธวธิ ีแก้ปญั หา 5. ครูสมุ่ ให้ตัวแทนกล่มุ แตล่ ะกลุ่มนำเสนอกระบวนการแกป้ ัญหา กลวธิ ที ่ีใชแ้ ก้ปญั หาและ คำตอบของปัญหาที่กลุ่มไดร้ ่วมกนั พิจารณาตัดสินใจเลือกไว้ 6. ครใู ชค้ ำถามในการกระตุน้ ให้นักเรียนรว่ มอภปิ รายสรุปจากการเรียนในชว่ั โมงน้ี เพ่อื แสดงความคิดเห็นเกีย่ วกับวิธีการแกป้ ญั หาและผลลพั ธท์ ่ไี ด้ของนักเรยี นวา่ ถูกตอ้ ง ตรงกันหรือไม่ สัญลกั ษณ์แทนการบวก ใชส้ ญั ลักษณ์อักษรกรีก เรียกวา่ “ซิกมา่ ” เป็นสัญลักษณ์แทนการบวก n ซ่งึ แทนอนุกรมจำกดั a1 + a2 + a3 + ... + an ด้วยสัญลกั ษณ์ ai i=1  และเขยี น ai แทนอนกุ รมอนันต์ a1 + a2 + a3 + ... + an + ... ตัวแปร i ทปี่ รากฏใน i=1 n  สญั ลักษณ์ ai หรอื ai เรียกว่า ดัชนีซงึ่ จะกำหนดพจนแ์ รกและพจนส์ ุดท้ายของอนุกรม i=1 i=1

129 ชัว่ โมงที่ 2 ขนั้ ที่ 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครูชวนนักเรียนพูดคุยเกย่ี วกบั การเขยี นสัญลักษณแ์ ทนการบวก แล้วใหน้ กั เรยี นหาผลบวก แข่งกัน ดังนี้ ➢ ∑i6=1 10i2 เขยี นแทนด้วย (แนวคำตอบ 10(12)+ 10(22) +10(32)+ 10(42) 10(52)+ 10(62) =910 ) ➢ ∑i8=1 5i เขียนแทนดว้ ย (แนวคำตอบ 5(1)+ 5(2) +5(3) +5(4) +5(5) +5(6) +5(7) +5(8) =180 ) 2. เม่ือนกั เรียนเข้าใจในปญั หาดีแล้ว ครูกำหนดสถานการณ์ปญั หาทางคณติ ศาสตร์ท่ีตอ้ งการ สอน ดังนี้ 5 55 จงแสดงว่า (2i - 3) = 2i - 3 i=1 i=1 i=1 ขนั้ ที่ 2 คิดวิธีหาคำตอบเพ่อื วางแผนแกป้ ัญหา 3. ครใู ห้นักเรยี นรว่ มแสดงความคิดเหน็ จากคำถามดงั กล่าวว่า นกั เรียนสามารถระบปุ ญั หาได้ หรือไม่ และมแี นวคดิ ในการเลอื กใชก้ ลวธิ ใี ดในการแก้ปัญหา 5 55 ( แนวคำตอบ จงแสดงวา่ (2i - 3) = 2i - 3 i=1 i=1 i=1 5 วธิ ที ำ (2i - 3) = [2(1) - 3] + [2(2) - 3] + [2(3) - 3] + [2(4) - 3] + [2(5) - 3] i=1 = [2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + 2(5)] + (- 3 - 3 - 3 - 3 - 3) = (2)(1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (-3)(5) 55 ตอบ = 2i - 3 i=1 i=1

130 4. ครอู ธบิ ายโดยใชส้ ่อื ในโปรแกรม power point เก่ียวกบั เก่ียวกับสัญลักษณ์แทนการบวก สัญลักษณแ์ ทนการบวก สรปุ สมบัติของสัญลกั ษณแ์ ทนการบวก n สตู รผลบวกท่ีสำคัญ ดังน้ี 1) c = nc เมอ่ื c เป็นค่าคงตัว i=1 nn  2) cai = c ai เมือ่ c เป็นค่าคงตวั i=1 i=1 n nn   3) (ai + bi ) = ai + bi i=1 i=1 i=1 n nn   4) (ai - bi ) = ai - bi i=1 i=1 i=1 1)n i = n(n + 1) i=1 2 2) n i2= n(n + 1)(2n + 1) i=1 6 3)n i3 =  n(n + 1) 2 i=1 2 n ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาผลบวก 20 พจนแ์ รกของอนกุ รม (2i + 5)2 i=1 วิธที ำ ให้ผลบวก n พจน์แรก = 4  n(n + 1)(2n + 1)  + 20  n(n + 1)  + 25(n)  6   2  ผลบวก 20 พจนแ์ รก = 4  (20)(21)(41)  + 20  20(21)  + 25(20)  6   2  = 11,480 + 4,200 + 500 = 16,180 ดงั นัน้ ผลบวก 20 พจนแ์ รก คอื 16,180 ตอบ

131 ตัวอยา่ งที่ 2 จงหาผลบวกของอนุกรม (1)(2)+ (3)(4) + (5)(6) + ... + (2n - 1)(2n) n วิธที ำ ผลบวกของอนุกรม n พจน์แรก = (2i - 1)(2i) i=1 n = (4i2 - 2i) i=1 nn = 4i2 - 2i i=1 i=1 = 4  n(n + 1)(2n + 1)  - 2  n(n + 1)   6   2  = 2 (n2 + n)(2n + 1)  - (n2 + n) 3 = 2 (2n3 + n2 + 2n2 + n) - n2 - n 3 = 4 n3 + 2n2 + 2 n - n2 - n 33 = 4 n3 + n2 - 1 n 33 = 1 n(4n2 + 3n - 1) 3 1 = 3 n(4n - 1)(n + 1) ดังนน้ั ผลบวกของ (1)(2)+ (3)(4) + (5)(6) + ... + (2n - 1)(2n) = 1 n(4n - 1)(n + 1) 3 = 1 n(4n - 1)(n + 1) 3 ขัน้ ที่ 3 แสดงวธิ ีการหาคำตอบอย่างสร้างสรรค์ 5. ใหน้ ักเรยี นเข้ากลุ่มย่อยกลมุ่ เดิมเหมือนชว่ั โมงทผ่ี ่านมา ครูกำหนดสถานการณป์ ญั หาทาง คณิตศาสตร์ให้นักเรยี นช่วยกันเสนอความคิดวิธหี าคำตอบใหห้ ลากหลายเพอ่ื นำมาวางแผนแก้ปญั หา โดยใหน้ ักเรียนทำลงในสมดุ ของตนเอง

132 n สถานการณค์ ณิตศาสตร์ จงหาผลบวก n พจนแ์ รก (i2 - i + 1) i=1 6. ครูคอยกระต้นุ ใหน้ กั เรยี นแสดงความคิดเหน็ ในแนวทางการแกป้ ญั หาของตนเองต่อกลุ่ม และสุม่ ตวั แทนกลุ่มในการเฉลยสถานการณป์ ัญหา โดยใช้กระบวนการแกป้ ัญหา 5 ขัน้ ตอน n แนวคำตอบ 1) ระบปุ ญั หา หาผลบวก n พจนแ์ รก (i2 - i + 1) i=1 2) เลอื กใช้กลวิธีในการแก้ปัญหา ใช้สูตรการหาผลบวกท่สี ำคญั n nnn 3) ดำเนินการแก้ปัญหา (i2 - i + 1) = i2 - i + 1 i=1 i=1 i=1 i=1 = n(n + 1)(2n + 1) - n(n + 1) + n 62 = (n2 + n)(2n + 1) - (n2 + n) + n 62 = 2n3 + n2 + 2n2 + n - 3  n2 + n  + 6n 6  6  6 = 2n3 + 3n2 + n - 3n2 - 3n + 6n 6 = 2n3 + 4n 6 = 2n(n2 + 2) 6 = n (n2 + 2) 3 ดังน้ันn (i2 - i + 1) = n (n2 + 2) ตอบ i=1 3 4) ตรวจสอบการแก้ปัญหา โดยครูผู้สอนและนักเรยี นชว่ ยตรวจสอบการแก้ปัญหา 5) ประยกุ ต์ใช้ความรกู้ บั ความรใู้ หม่ ใชแ้ กส้ ถานการณค์ ณิตศาสตรใ์ หม่

133 7. ครใู ห้นักเรียนทำใบงานที่ 7 เร่ือง สัญลกั ษณแ์ ทนการบวก ตอนท่ี 2 โดยลงมือปฏิบัติ กจิ กรรมด้วยตนเองอย่างอิสระ แลว้ แสดงความคิดเหน็ ในแนวทางการแกป้ ัญหาของตนเองต่อกลมุ่ แล้วสมาชกิ กล่มุ ร่วมกนั พิจารณาตรวจสอบและประเมนิ ทางเลือกในการแก้ปัญหา ทำการเลอื กกลวธิ ี ท่ีดีที่สุด มีความเหมาะสม เป็นไปได้และดำเนนิ การแก้ปญั หาของกล่มุ พร้อมทง้ั สงั เกตพฤติกรรม การทำงาน ขั้นที่ 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยทุ ธวิธีแก้ปัญหา 8. ครสู ุ่มตวั แทนกลุ่มแตล่ ะกลุม่ ให้นำเสนอกระบวนการแก้ปญั หา กลวธิ ีที่ใช้แกป้ ัญหา คำตอบของปญั หาที่กลุม่ ได้ร่วมกนั พิจารณาตดั สนิ ใจเลือกไว้ รวมถึงแต่ละกลุม่ ไดผ้ ลการศึกษา เหมือนกันหรือต่างกันอย่างไร เพราะเหตุใด 9. ครซู กั ถาม อภิปราย ผลลัพธ์ท่ีไดข้ องแต่ละกลมุ่ แตกต่างกัน และให้นกั เรียนสรุปเกี่ยวกบั เรอื่ งสรุปสมบัตขิ องสัญลักษณ์แทนการบวกและสตู รที่สำคญั ของสัญลกั ษณ์แทนการบวกและครชู ว่ ย สรปุ เพิ่มเติม เมื่อพบว่านกั เรยี นสรปุ ไดไ้ ม่ครอบคลมุ เนื้อหา หรอื ไดม้ โนมตทิ ่ียังไมช่ ดั เจนถูกต้อง ดังน้ี สรุปสมบัตขิ องสญั ลกั ษณแ์ ทนการบวก สูตรผลบวกทสี่ ำคัญ ดงั นี้ n n i = n(n + 1) 2 1) i=1 1) c = nc เมอื่ c เปน็ ค่าคงตวั i=1 n i2= n(n + 1)(2n + 1) nn 2) i=1 6  2) cai = c ai เม่ือ c เปน็ ค่าคงตวั i=1 i=1 3)n i3 =  n(n + 1) 2 n nn i=1 2   3) (ai + bi ) = ai + bi i=1 i=1 i=1 n nn   4) (ai - bi ) = ai - bi i=1 i=1 i=1 10. ครูมอบหมายงานให้ศกึ ษาค้นคว้าเพม่ิ เติมจากหนังสือเรียนหนังสอื เรียนรายวชิ าเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ เลม่ 6 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4-6 หนา้ 53

134 ชว่ั โมงท่ี 3 ขั้นท่ี 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครูชวนนักเรียนพูดคุยเพื่อให้นักเรียนได้ทบทวนเกย่ี วกบั สมบัตแิ ละสูตรทส่ี ำคัญของ สญั ลักษณแ์ ทนการบวก 2. ครสู อบถามเกยี่ วกับผลการศึกษาคน้ คว้าเพม่ิ เติม และสมุ่ ถามนักเรียนอธิบายแนวคดิ ใน การหาผลบวก จากหนังสอื เรียนหนังสอื เรียนรายวชิ าเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เลม่ 6 ชั้นมัธยมศกึ ษา ปีที่ 4-6 หน้า 53 ขั้นท่ี 2 คดิ วิธีหาคำตอบเพ่ือวางแผนแก้ปัญหา 3. ครใู ห้นกั เรียนรว่ มแสดงความคิดเหน็ จากคำถามดงั กล่าววา่ นกั เรียนสามารถระบปุ ญั หาได้ หรือไม่ และมแี นวคดิ ในการเลือกใชก้ ลวิธใี ดในการแกป้ ัญหา 4. ครใู ห้นกั เรยี นรว่ มอภปิ รายวิธีการและการวางแผนในการแก้สถานการณ์ท่ีกำหนดให้   10 4i + 1  = 10  4i + 1  - 5  4i + 1  5 i=1 5 i=1 5 i=6 10 5 (4i + 1) -  = 1 1 (4i + 1) 5 i=1 5 i=1    =1410 10 1 - 1 4 5 i + 5 1 5 i=1 5 i=1 i=1 i+ i=1 = 1 4 (10)(11) + (10)(1) - 1 4 (5)(6) + (5)(1)  5 2 5 2 = 230 - 65 5 5 = 46 - 13 = 33 ดงั นนั้ 10  4i + 1  = ตอบ ค่าของ i=6 5 33

135 7. ครอู ธบิ ายโดยใช้ส่ือในโปรแกรม powerpoint เกี่ยวกับ การนำความรู้เก่ยี วกับสัญลักษณ์ แทนการบวกไปใช้แกป้ ญั หา การนำความร้เู รอ่ื งสัญลกั ษณ์แทนการบวกไปใช้แกป้ ัญหา 15 ตัวอย่าง จงหาคา่ ของ (k + 2)2 k=-2 15 15  วธิ ีทำ จาก (k + 2)2 = (-2 + 2)2 + (-1 + 2)2 + (0 + 2)2 + (k + 2)2 k=-2 k=1 15 = 0 + 1 + 4 + (k2 + 4k +4) i=1 15 15 15 = 5 + k2 + 4k + 4 i=1 i=1 i=1 = 5 + (15)(16)(31) + 4 (15)(16) + 60 62 = 5 + 1,240 + 480 + 60 = 1,785 ตอบ 15 ดังนนั้ คา่ ของ (k + 2)2 = 1,785 k=-2 ตวั อย่าง จงหาผลบวกของจำนวนเต็มบวกค่ีต้ังแต่ 31 ถงึ 101 วธิ ที ำ จำนวนเต็มบวกคี่ตั้งแต่ 31 ถงึ 101 ได้แก3่ 1 + 33 + 35 + 37 + 39 + ... + 99 + 101 อนุกรมขา้ งตน้ มาจากลำดับเลขคณิตทีม่ ี a1 = 31, d = 2 สามารถเขยี นพจน์ทวั่ ไป an = 31 + (n - 1)(2) = 2n + 29 เมอ่ื กำหนดพจนส์ ดุ ทา้ ย 101 = 31 + 2n – 2 2n = 72 , n = 36 ฉะน้ัน ผลบวก คอื 36 36 an = (2n + 29) n=1 n=1

136 36 36 = 2n +29 n=1 n=1 = 2(36)(37) + (29)(36) 2 = 1,332 + 1,044 = 2,376 ตอบ ดงั นัน้ ผลบวกของจำนวนเตม็ บวกคีต่ ั้งแต่ 31 ถงึ 101 คอื 2,376 ข้ันที่ 3 แสดงวิธกี ารหาคำตอบอยา่ งสรา้ งสรรค์ 8. ใหน้ กั เรียนเข้ากลุ่มย่อยกลุ่มเดมิ เหมือนชว่ั โมงท่ผี ่านมา ครกู ำหนดสถานการณ์ปัญหาทาง คณติ ศาสตร์ใหน้ ักเรียนชว่ ยกันเสนอความคิดวิธหี าคำตอบใหห้ ลากหลายเพ่ือนำมาวางแผนแกป้ ัญหา โดยให้นักเรียนทำลงในสมดุ ของตนเอง สถานการณค์ ณติ ศาสตร์ จงแสดงว่า ∑ni=1 6i = 3n(n + 1) 9. ครคู อยกระตุน้ ให้นักเรยี นแสดงความคิดเห็นในแนวทางการแก้ปัญหาของตนเองต่อกลุ่ม และส่มุ ตวั แทนกลมุ่ ในการเฉลยสถานการณ์ปัญหา โดยใช้กระบวนการแก้ปัญหา 5 ขั้นตอน (แนวคำตอบ 1) ระบุปัญหา แสดงวา่ ∑in=1 6i = 3n(n + 1) 2) เลือกใชก้ ลวธิ ใี นการแกป้ ญั หา สตู รสำคญั ของสัญลกั ษณแ์ ทนการบวก 3) ดำเนินการแก้ปัญหา ∑ni=1 6i = 3n(n + 1) ∑in=1 6i = 6 ∑in=1 i ∑ni=1 6i = 6 ∑in=1 i n(n + 1) = 6( 2 ) n ∑ 6i = 3n(n + 1) i=1 4) ตรวจสอบการแก้ปัญหา กับสถานการณ์คณติ ศาสตร์ที่กำหนดให้ 5) ประยุกตใ์ ช้ความรู้กบั ความรใู้ หม่ ใชท้ ฤษฎีบทเกยี่ วกบั คณิตศาสตรใ์ หม่

137 10. ครใู หน้ ักเรียนทำใบงานที่ 7 เร่ือง สญั ลกั ษณ์แทนการบวก ตอนท่ี 3 โดยลงมือปฏบิ ัติ กิจกรรมดว้ ยตนเองอย่างอิสระ แลว้ แสดงความคิดเหน็ ในแนวทางการแกป้ ัญหาของตนเองต่อกล่มุ แลว้ สมาชกิ กลุ่มรว่ มกนั พจิ ารณาตรวจสอบและประเมนิ ทางเลือกในการแก้ปัญหา ทำการเลอื กกลวิธี ทดี่ ีทสี่ ดุ มีความเหมาะสม เป็นไปได้และดำเนินการแก้ปญั หาของกลุม่ พร้อมทงั้ สังเกตพฤติกรรม การทำงาน ข้นั ที่ 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยุทธวิธีแก้ปญั หา 11. ครูสุ่มตวั แทนกลุ่มแตล่ ะกลุม่ ให้นำเสนอกระบวนการแกป้ ัญหา กลวธิ ที ใ่ี ช้แกป้ ญั หา คำตอบของปญั หาที่กลุ่มไดร้ ่วมกนั พจิ ารณาตัดสนิ ใจเลือกไว้ รวมถึงแตล่ ะกลมุ่ ได้ผลการศึกษา เหมอื นกนั หรือต่างกนั อย่างไร เพราะเหตุใด 12. ครูซักถาม อภปิ ราย ผลลัพธ์ท่ีไดข้ องแต่ละกล่มุ แตกต่างกนั และให้นักเรียนสรุปเก่ียวกบั เรอ่ื งสญั ลกั ษณแ์ ทนการบวกและครูชว่ ยสรุปเพม่ิ เติม เมื่อพบวา่ นักเรยี นสรุปได้ไมค่ รอบคลมุ เน้อื หา หรอื ไดม้ โนมติท่ยี งั ไมช่ ดั เจนถูกต้อง ดงั นี้ สรปุ สมบัติของสัญลักษณแ์ ทนการบวก สตู รผลบวกท่สี ำคัญ ดงั นี้ n 1) n i = n(n + 1) i=1 2 1) c = nc เมอื่ c เปน็ คา่ คงตัว i=1 nn 2) n i2= n(n + 1)(2n + 1) i=1 6  2) cai = c ai เมือ่ c เป็นคา่ คงตัว i=1 i=1 3)n i3 =  n(n + 1) 2 n nn i=1 2   3) (ai + bi ) = ai + bi i=1 i=1 i=1 n nn   4) (ai - bi ) = ai - bi i=1 i=1 i=1 13. ครูมอบหมายงานให้นักเรียนทำแบบฝกึ หดั ในหนังสือเรียนรายวิชาเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ เล่ม 6 ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 4-6 หนา้ 55 และศึกษาคน้ คว้าเพิ่มเตมิ จากแหลง่ เรียนรู้ตา่ ง ๆ

138 7. การวัดและประเมินผล รายการวดั วธิ ีการ เครื่องมอื เกณฑ์การประเมนิ - ใบงานที่ 7 การประเมินระหว่าง - ร้อยละ 70 ผ่านเกณฑ์ การจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ - ระดับคณุ ภาพ 2 ผ่านเกณฑ์ 1) สัญลกั ษณ์แทนการบวก - ตรวจใบงานที่ 7 - ระดับคณุ ภาพ 2 2) พฤติกรรม - สังเกตพฤติกรรม - แบบสังเกต ผ่านเกณฑ์ การทำงานรายบคุ คล การทำงาน พฤติกรรมการ รายบคุ คล ทำงานรายบคุ คล - ระดับคุณภาพ 2 3) พฤตกิ รรม ผ่านเกณฑ์ การทำงานกลุ่ม - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต การทำงานกลุ่ม พฤติกรรม 4) คุณลักษณะ การทำงานกลมุ่ อันพงึ ประสงค์ - สังเกตใฝเ่ รยี นรู้ และมงุ่ ม่ันใน - แบบประเมนิ การทำงาน คุณลักษณะ อันพึงประสงค์ 8. สือ่ /แหล่งการเรียนรู้ 8.1 สื่อการเรยี นรู้ 1) สื่อในโปรแกรม power point เรอื่ ง สญั ลักษณแ์ ทนการบวก 2) หนังสือเรยี นรายวชิ าเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ เล่ม 6 ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4-6 3) ใบงานที่ 7 เร่อื ง สัญลกั ษณ์แทนการบวก 8.2 แหล่งการเรียนรู้ 1) หอ้ งเรยี น , ห้องสมดุ 2) อินเทอรเ์ น็ต https://www.youtube.com/watch?v=YK_sGWfSIK8

139 ใบงานที่ 7 เร่ือง สญั ลักษณ์แทนการบวก  ตอนท่ี 1 คำช้ีแจง : ให้นกั เรียนเขยี นอนุกรมตอ่ ไปนี้ โดยใชเ้ ครอ่ื งหมาย ∑ 1. 12 + 22 + 32 + 42 + 52 เขียนแทนด้วย ........................................................................................................................... 2. [2(1) - 1] + [2(2) - 1] + [2(3) - 1] + [2(4) - 1] เขียนแทนด้วย ............................................................................................................................. 3. 1 + 1 + 1 + 1 +…+ 1 +… 2 4 8 16 2n เขยี นแทนด้วย ........................................................................................................................... 4. 1  4 + 2  5 + 3  6 + 4  7 + 5  8 +… + n(n+3) + … เขยี นแทนด้วย ........................................................................................................................... 5. 3 + 6 + 9 + 12 + … +3n เขยี นแทนด้วย ........................................................................................................................... ตอนท่ี 2 คำชแ้ี จง : ให้นกั เรียนหาคำตอบและแสดงวิธีคิด 20 1. 3i i=1 ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................ 10 2. (2i + 2) i=1 ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ .... ................................................................................................................................................................

140 10 3. (i2 + 3) i=1 ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ .... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 8 4. (i + 1)(i2 - 1) i=1 ....................................................................................................................................... ......................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................ 5. ∑ni=1 1 i(i+1) ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ตอนท่ี 3 คำช้ีแจง : ใหน้ กั เรียนหาคำตอบและแสดงวิธีคดิ โดยใชส้ มบัตขิ อง ∑ 1. จงหาผลบวกของจำนวนเต็มท่ีอยูร่ ะหว่าง 50 ถึง 299 เมื่อจำนวนดังกลา่ วหารด้วย 6 ลงตัว .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................

141 2. จงแสดงว่า ∑in=1(6i + 5) = (3n2 + 8n) ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ เรามาแลกเปลีย่ นเรียนรดู้ ว้ ยกันนะ

142  เฉลยใบงานที่ 7 เรอื่ ง สัญลักษณแ์ ทนการบวก  ตอนที่ 1 คำชแี้ จง : ให้นักเรียนเขยี นอนุกรมต่อไปนี้ โดยใช้เครอื่ งหมาย ∑ 1. 12 + 22 + 32 + 42 + 52 5 เขียนแทนด้วย i2 i=1 2. [2(1) - 1] + [2(2) - 1] + [2(3) - 1] + [2(4) - 1] 4 เขยี นแทนด้วย (2k - 1) k=1 3. 1 + 1 + 1 +1 +…+ 1 +… 2 4 8 16 2n เขียนแทนดว้ ย 1 2n n=1 4. 1  4 + 2  5 + 3  6 + 4  7 + 5  8 +… + n(n+3) + … เขียนแทนดว้ ย ∑∞1 n(n + 3) 5. 3 + 6 + 9 + 12 + … +3n เขียนแทนดว้ ย ∑1n 2i ตอนท่ี 2 คำช้แี จง : ใหน้ ักเรยี นหาคำตอบและแสดงวิธคี ดิ 20 = 3 (20)(20 + 1)  2 1. 3i i=1 = 630 20 20 วิธที ำ 3i = 3i i=1 i=1 20 ดังนั้น 3i = 630 i=1

143 10 2. (2i + 2) i=1 10 10 10 วธิ ที ำ (2i + 2) = 2i + 2 i=1 i=1 i=1 = 2 (10)(10 + 1)  + 2(10) 2 = 110 + 20 = 130 10 ดงั นัน้ (2i + 2) = 130 i=1 10 3. (i2 + 3) i=1 10 10 10 วิธที ำ (i2 + 3) = i2 + 3 i=1 i=1 i=1 = 10(10 + 1)(20 + 1) + 3(10) 6 = 385 + 30 = 415 10 ดังน้ัน (i2 + 3) = 415 i=1 8 4. (i + 1)(i2 - 1) i=1 88  วิธที ำ (i + 1)(i2 - 1) = (i3 + i2 - i - 1) i=1 i=1 8 8 88 = i3 + i2 - i - 1 i=1 i=1 i=1 i=1 =  8(8 + 1) 2 + 8(8 + 1)(16 + 1) - 8(8 + 1) - 1(8) 2 6 2 = 1,296 + 204 – 36 – 8 = 1,456

144 8 ดังนนั้ (i + 1)(i2 - 1) = 1,456 i=1 5. ∑ni=1 1 i(i+1) วธิ ีทำ ∑in=1 1 = ∑ni=1(1i − 1) i(i+1) i+1 = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1)+ . . . +(1 − 1 ) 2 23 34 n n+1 = (1 − ������ ) ������+������ = ( ������ ) ������+������ 1 =(n) ดังน้นั ∑ni=1 i(i+1) n+1 ตอนที่ 3 คำช้ีแจง : ให้นกั เรยี นหาคำตอบและแสดงวิธคี ิดโดยใช้สมบตั ิของ ∑ 1. จงหาผลบวกของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 50 ถึง 299 เมื่อจำนวนดงั กล่าวหารด้วย 6 ลงตวั วธิ ที ำ จำนวนเต็มทอ่ี ยูร่ ะหว่าง 50 ถึง 299 เม่ือจำนวนดงั กลา่ วหารดว้ ย 6 ลงตัว ไดแ้ ก่ 54 + 60 + 66 + 72+ ... + 294 อนกุ รมข้างตน้ มาจากลำดับเลขคณติ ทมี่ ี a1 = 54, d = 6 สามารถเขยี นพจน์ท่วั ไป an = a1 + (n - 1)(d) -------- an = 54 + (n - 1)(6) = 6n+48 294 = 54 + (n - 1)(6) 294 – 54 = (n - 1)(6) 240/6 = n – 1 n = 40+1 n = 41 ดงั น้นั ผลบวก คือ ∑4n1=1 an = ∑n41=1(6n + 48) 41 41 = 6 ∑ n + ∑ 48 n=1 n=1 = 6(41)(42) + (48)(41) 2 = 5,166 + 1,968 = 7,134 ดงั นั้น ผลบวกของจำนวนเตม็ ท่อี ยู่ระหวา่ ง 50 ถึง 299 ทหี่ ารดว้ ย 6 ลงตวั เท่ากับ 7,134 ตอบ

145 2. จงแสดงวา่ ∑in=1(6i + 5) = (3n2 + 8n) n n วธิ ีทำ n ∑(6i + 5) = ∑ 6i + ∑ 5 i=1 i=1 i=1 = 6 ∑in=1 i + ∑ni=1 5 = 6(n(n+1)) + 5n 2 = 3n2 + 3n + 5n = 3n2 + 8n นน่ั แสดงว่า ∑in=1(6i + 5) = (3n2 + 8n) เราเขา้ ใจและได้คำตอบถกู ต้องด้วย

146 แผนการจัดการเรียนร้ทู ี่ 8 เรอื่ ง การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ เวลา 2 ชัว่ โมง กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ คณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 5 (ค33203) ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 6 หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 1 เร่อื ง ลำดบั อนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ เวลา 30 ช่วั โมง ครผู ู้สอน นางสุทธดา เหลืองหอ่ ใชส้ อนวนั ที่ ......................................... 1. ผลการเรียนรู้ หาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 2. จุดประสงค์การเรยี นรู้ 1) อธบิ ายเก่ยี วกับการหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ ได้ (K) 2) แสดงการหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิตได้ (P) 3) ใฝเ่ รยี นรู้ ความมุง่ ม่นั ในการทำงานเกย่ี วกับนำความรู้เกี่ยวกบั การหาผลบวก n พจนแ์ รก ของอนกุ รมเลขคณิตไปประยุกต์ใช้ในชีวติ จริงได้ (A) 3. สาระการเรยี นรู้ การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต 4. สาระสำคัญ/ความคิดรวบยอด อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series) คือ อนุกรมที่ได้มาจากลำดับเลขคณิตโดยที่ผลต่างร่วม ของลำดับเลขคณิต จะเป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย ซ่ึงผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม เลขคณติ เขียนแทนดว้ ย n n 2 2 Sn = [2a1 + (n - 1)d] = (a1 + an ) 5. สมรรถนะสำคัญของผู้เรยี น 1) ความสามารถในการคิด (ทักษะการคดิ คล่อง) 2) ความสามารถในการแกป้ ัญหา 6. กจิ กรรมการเรยี นรู้ รปู แบบการสอนแกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตร์เพ่ือพฒั นาความสามารถในการแกป้ ัญหาและ ความสามารถในการคดิ ขน้ั สงู

147 ช่วั โมงท่ี 1 ขั้นที่ 1 ทำความเข้าใจปัญหา 1. ครูอธบิ ายจุดประสงคก์ ารเรยี นแล้วให้นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง การหา ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 2. ครใู หน้ ักเรยี นรว่ มกันอภิปรายและทบทวนความรเู้ ก่ียวกับอนุกรมและสัญลกั ษณข์ อง อนุกรม ดงั น้ี ➢ ตวั อย่างอนกุ รมเลขคณิต คือ 5 + 10 + 15 + 20 + 25 ➢ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รม หมายถงึ ผลบวกต้ังแตพ่ จน์ท่ี 1 ถงึ พจน์ท่ี n ซง่ึ จะเขยี นแทนดว้ ย Sn 3. ครสู มุ่ นกั เรยี นทบทวนความรู้เก่ียวกบั สูตรอนุกรมเลขคณิต an = a1 + (n - 1)d ให้ Sn เปน็ ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตทม่ี ี a1 เปน็ พจน์แรก และ d เป็น ผลต่างรว่ ม จะได้ Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + nd) n n ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต Sn = 2 [2a1 + (n - 1)d] หรอื Sn = 2 (a1 + an ) 4. เมื่อทบทวนให้นักเรียนเข้าใจดีแล้ว ครูกำหนดสถานการณ์ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ ทต่ี ้องการสอน ดงั น้ี อนกุ รมเลขคณิตชุดหนง่ึ มี a1 = 4, n = 10 และ a10 = 49 จงหา d และ Sn ข้นั ที่ 2 คดิ วิธีหาคำตอบเพ่ือวางแผนแกป้ ัญหา 5. ครใู หน้ กั เรียนร่วมแสดงความคิดเหน็ จากคำถามดงั กล่าววา่ นักเรยี นสามารถระบุปัญหาได้ หรอื ไม่และมีแนวคดิ ในการอธิบายเก่ยี วกับอนุกรมเลขคณติดังกล่าวได้อย่างไร 6. ครอู ธบิ ายสัญลักษณแ์ ทนการบวกและการเขียนสญั ลักษณ์แทนอนุกรมนี้ พร้อมยกตัวอย่าง ประกอบใช้สื่อในโปรแกรม power point เก่ียวกบั ดงั นี้