คู่มือรูปแบบการสอนแก้ปัญหา

248 แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 14 เรือ่ งการนำความร้เู กยี่ วกับลำดบั อนันต์และอนกุ รมอนันต์ไปใชใ้ นการแก้ปญั หา(2) เวลา 3 ช่ัวโมง กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ คณิตศาสตรป์ ระยุกต์ 5 (ค33203) ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6 หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 1 เรอ่ื ง ลำดบั อนันต์และอนุกรมอนนั ต์ เวลา 30 ช่ัวโมง ครูผ้สู อน นางสทุ ธดา เหลืองห่อ ใช้สอนวนั ท่ี ......................................... 1. ผลการเรียนรู้ นำความรเู้ กี่ยวกับลำดับอนันต์และอนุกรมอนนั ต์ไปใช้ในการแกป้ ัญหาได้ 2. จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 1) ประยุกตใ์ ช้การนำความรเู้ กีย่ วกบั ลำดับอนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ไปใช้ในการแก้ปัญหา ตา่ ง ๆ ได้ (K) 2) เขยี นแสดงขน้ั ตอนการนำความรเู้ ก่ยี วกบั ลำดบั อนนั ต์และอนกุ รมอนันต์ไปใช้ใน การแกป้ ัญหาต่าง ๆ ถูกต้อง (P) 3) นำความรเู้ กยี่ วกบั ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ไปใช้ในการแก้ปญั หาในชีวติ จริงได้ (A) 3. สาระการเรียนรู้ การนำความรู้เก่ยี วกับลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ไปใช้ในการแกป้ ัญหา (1) 4. สาระสำคัญ/ความคดิ รวบยอด การนำความรเู้ ก่ียวกับลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ไปใชใ้ นการแกป้ ัญหาตา่ ง ๆ ได้ เช่น การเพิ่มจำนวนของสง่ิ มีชีวิตบางชนิด ปัญหาท่ีทำให้เกิดผลกระทบตอ่ ส่ิงแวดล้อม เปน็ ต้น อาศยั ความรู้ในการแกป้ ญั หาจาก อนุกรม a1+ a2 + a3 + ... ว่า อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series) ให้ Sn เป็นผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ ทม่ี ี a1 เปน็ พจน์แรก และ r เป็นอตั ราสว่ นร่วม จะได้ Sn= a1+ a1r + a1r2 + ... + a1rn - 1 ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต คือ Sn= a1 (rn - 1) r-1 และ อนุกรมอนันต์ a1+ a2 + a3 + ... + an + ... อนุกรมเรขาคณิต มี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็น อัตราส่วนร่วม ถ้า r < 1 แล้วอนุกรมนี้ เป็นอนุกรมลู่เข้า และมี a1 เป็นผลบวกของอนุกรม 1-r อนนั ต์ 5. สมรรถนะสำคัญของผู้เรยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแก้ปญั หา

249 6. กิจกรรมการเรยี นรู้ รูปแบบการสอนแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์เพ่ือพฒั นาความสามารถในการแกป้ ัญหาและ ความสามารถในการคิดข้ันสงู ชั่วโมงท่ี 1 ข้นั ท่ี 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครชู วนสนทนาและพดู คยุ เกี่ยวกับสภาพปญั หาสง่ิ แวดล้อมในปัจจุบนั เชน่ ปัญหาการเน่าเสยี ของแม่นำ้ หรือผลกระทบจากโรงงานอุตสาหกรรมต่อสง่ิ แวดลอ้ ม 2. ครูใหน้ ักเรยี นอภิปรายเกยี่ วกับการนำความรู้เกีย่ วกบั ลำดบั อนันต์และอนุกรมอนันต์ไปใช้ ในการแกป้ ัญหาในชวี ิตจริงที่เรยี นมาในชัว่ โมงที่แล้ว และทใ่ี ห้นกั เรียนไปสืบค้นเพิ่มเติม 3. ครสู มุ่ นักเรียนให้เสนอสถานการณ์ทนี่ กั เรียนไดไ้ ปสบื คน้ มาเพิ่มเติมและจับคู่พดู คุยแลกเปล่ียน สงิ่ ที่นักเรียนได้คน้ ควา้ มา 4. ครูใช้คำถามกบั นกั เรยี นว่าสามารถระบปุ ัญหาไดห้ รือไม่และมแี นวคิดอย่างไรในวธิ กี ารหา คำตอบเพอ่ื วางแผนแกป้ ัญหาทีน่ กั เรยี นสืบคน้ มา 5. ครเู ปิดโอกาสให้นักเรียนรว่ มอภปิ รายกนั และทบทวนความรู้เกี่ยวกบั การนำความรู้ไปแกโ้ จทย์ ปัญหาพร้อมกบั ทบทวนบทนิยามและทฤษฎบี ทผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ และ อนกุ รมเรขาคณิตที่เป็นอนกุ รมอนนั ต์ ดังน้ี อนุกรม a1+ a2 + a3 + ... ว่า อนุกรมเรขาคณติ (Geometric Series) ให้ Sn เปน็ ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ ทีม่ ี a1 เปน็ พจน์แรก และ r เปน็ อตั ราสว่ นร่วม จะได้ Sn= a1+ a1r + a1r2 + ... + a1rn - 1 ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต คอื Sn= a1 (rn - 1) r-1 และ อนุกรมอนันต์ a1+ a2 + a3 + ... + an + ... อนุกรมเรขาคณิต มี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็น อัตราส่วนร่วม ถ้า r < 1 แล้วอนุกรมนี้ เป็นอนุกรมลู่เข้า และมี a1 เป็นผลบวกของอนุกรม 1-r อนนั ต์ ทฤษฎบี ท กำหนดให้อนุกรมเรขาคณติ มี a1 เปน็ พจนแ์ รก และ r เปน็ อัตราส่วนร่วม ถ้า r < 1 แล้วอนกุ รมนี้ เป็นอนุกรมลู่เขา้ และมี a1 เป็นผลบวกของอนุกรม 1-r ถา้ r > 1 แลว้ อนกุ รมนี้เป็นอนุกรม ลอู่ อก 6. ครูยกตวั อย่างเพมิ่ เติมในการนำความรเู้ ก่ียวกบั ลำดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์ไปใช้ เช่น การเพ่ิมจำนวนของสิง่ มีชีวติ บางชนดิ ปัญหาท่ที ำใหเ้ กิดผลกระทบตอ่ สงิ่ แวดล้อม เปน็ ต้น โดยใชส้ ื่อใน โปรแกรม power point ดงั น้ี

250 การนำความรูเ้ กยี่ วกับลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ไปใช้ในการแกป้ ัญหา การเพิ่มจำนวนของส่งิ มีชีวติ บางชนดิ ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี สถานการณ์ปัญหา แบคทเี รยี กล่มุ หน่งึ ขยายพันธโ์ ดยเพิ่มขึ้น 20 % ในแตล่ ะชั่วโมง ถ้าเดิมมีแบคทีเรีย 1,000 ตัว จงหาว่า เมื่อเวลาผ่านไปในเวลา t ชั่วโมง จะมีแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเท่าใด และถ้าตอ้ งการใช้แบคทเี รยี ในการย่อยสลายสารอินทรีย์ในซากส่งิ มชี วี ติ จำนวน 10,000 ตวั ในเวลา 10 ชั่วโมง จะไดจ้ ำนวนแบคทีเรยี เพยี งพอในการนำไปใชห้ รอื ไม่ อย่างไร ภาพตัวอย่างเชอ้ื แบคทเี รีย ทมี่ า : https://pixabay.com ,qimono วิธที ำ เดิมมแี บคทเี รยี 1,000 ตวั เม่อื เวลาผา่ นไป 1 ชวั่ โมง จะมแี บคทเี รีย (120)(1,000) = 1,200 ตวั 100 เมื่อเวลาผา่ นไป 2 ช่ัวโมง จะมแี บคทีเรยี (120)2 (1,000) = 1,440 ตวั 100 เมื่อเวลาผา่ นไป 3 ช่วั โมง จะมแี บคทเี รยี (120)3 (1,000) = 1,728 ตวั 100 เมื่อเวลาผา่ นไป t ช่ัวโมง จะมีแบคทีเรยี (120)t (1,000) ตวั 100 ดังนน้ั เมอ่ื เวลาผ่านไปในเวลา t ชั่วโมง จะมีแบคทเี รยี เพ่ิมขึ้น (120)t (1,000) ตวั 100 ถา้ ต้องการใช้แบคทเี รยี ในการยอ่ ยสลายสารอินทรยี ์ในซากสิ่งมีชวี ติ จำนวน 10,000 ตวั ในเวลา 10 ชัว่ โมง เมอ่ื t=10 ;จะมีแบคทเี รีย a10 = (120)10 (1,000) ≈6,191ตวั 100 ดงั น้ัน จำนวนแบคทีเรยี ไม่เพยี งพอในการนำไปใช้ เนือ่ งจากแบคทเี รียท่ีได้ในเวลา 10 ชว่ั โมง รวมประมาณ Sn= a1 (rn - 1) = (1,000) [(656510−)−1 1] ≈ 25,959 ตวั มากกว่า 10,000 ตวั r-1 ดงั น้นั จะไดจ้ ำนวนแบคทีเรียเพยี งพอในการนำไปใช้ยอ่ ยสลายสารอินทรยี ใ์ นซากส่ิงมีชีวิต

251 7. ครตู งั้ คำถามกบั นักเรยี นในการแกป้ ญั หาจากสถานการณ์น้ีใช้ความร้ใู นเร่ืองใดบ้าง (แนวคำตอบ ลำดบั เรขาคณิตและผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต ) 8. ครใู ชค้ ำถามกระตุ้นให้นกั เรียนแลกเปล่ียนเรยี นรู้ เปิดโอกาสซักถามในประเด็นท่ียังไม่เข้าใจ และชว่ ยกันอธบิ ายให้เขา้ ใจ 9. เมื่อนักเรยี นเข้าใจปัญหาและการแกป้ ญั หาดีแล้ว ครูมอบหมายใหน้ กั เรียนค้นคว้าเพิ่มเตมิ จาก หนังสือเรียนหรอื สบื ค้นจากอนิ เทอรเ์ นต็ เพอื่ กำหนดสถานการณป์ ัญหา คู่ละ 1 สถานการณ์ ขั้นที่ 2 คิดวิธีหาคำตอบเพ่อื วางแผนแก้ปญั หา 10. ครใู ช้คำถามกบั นกั เรียนว่าสามารถระบปุ ัญหาไดห้ รอื ไมแ่ ละมแี นวคิดอย่างไรในวธิ กี ารหา คำตอบเพือ่ วางแผนแกป้ ัญหาดังกลา่ ว 11. ครสู ่มุ นักเรียนให้อธบิ ายผลการคน้ ควา้ หาสถานการณ์ปัญหาของคตู่ นเองและมอบหมาย ให้บันทกึ สถานการณ์ของคนู่ ักเรยี นอน่ื ๆ 2- 3 คู่ ลงในสมดุ ขัน้ ที่ 3 แสดงวธิ ีการหาคำตอบอยา่ งสร้างสรรค์ 12. ครใู ห้นกั เรียนพิจารณาเลือกปัญหาทน่ี กั เรียนคิดว่าเปน็ การนำความรู้เกีย่ วกบั ลำดับอนันต์และ อนุกรมอนันต์ไปใช้ในการแก้ปญั หาได้ และใหช้ ว่ ยกันประเมินทางเลือกในการแกป้ ญั หา 13. ครใู ห้นกั เรยี นทั้งคู่ออกมานำเสนอวิธีการหาคำตอบท่ีได้คดิ ไว้ แลว้ ใหน้ กั เรียนคนอน่ื ๆ เสนอ ความคดิ เหน็ ในการหาคำตอบด้วยวธิ ีการอื่น ๆ หากลวิธีทด่ี ที ี่สดุ ทต่ี รงกบั สถานการณแ์ ละมีความ เหมาะสม เปน็ ไปไดร้ ่วมกัน ขัน้ ที่ 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยุทธวิธีแก้ปญั หา 14. ครใู หน้ กั เรียนชว่ ยกนั ตรวจคำตอบและสรปุ ว่ากลวธิ ที ใ่ี ชแ้ ก้ปญั หาที่เหมาะสมในการแก้ปัญหา 15. ครใู ช้คำถามกระตุ้นให้นักเรยี นร่วมอภิปรายเพื่อสรุปจากการเรียนในชั่วโมงน้ี และครชู ว่ ยสรปุ เพมิ่ เติม เมื่อพบวา่ นักเรียนสรุปได้ไมค่ รอบคลมุ เน้ือหา หรอื ไดม้ โนมตทิ ี่ยังไม่ชัดเจนถูกต้อง ดังนี้ ให้ Sn เป็นผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตท่ีมี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอตั ราส่วนรว่ ม จะได้ Sn= a1+ a1r + a1r2 + ... + a1rn - 1 ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ Sn= a1 (rn - 1) r-1

252 ช่ัวโมงที่ 2 ขั้นที่ 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครชู วนสนทนาและพูดคยุ เก่ียวกับสภาพปญั หาสง่ิ แวดล้อมในปจั จบุ นั เชน่ ปัญหาทที่ ำให้ เกิดผลกระทบตอ่ สง่ิ แวดลอ้ ม ไดแ้ ก่ มลพิษจากโรงงานอตุ สาหกรรม , น้ำมันร่ัวในทะเล เป็นต้น 2. ครใู หน้ ักเรียนรว่ มกันอภปิ รายเกี่ยวกบั การนำความรเู้ กย่ี วกับลำดับอนนั ต์และอนุกรม อนันต์ไปใช้ในการแก้ปัญหาในชีวติ จรงิ 3. ครตู ัง้ คำถามนกั เรียนวา่ ถา้ ตอ้ งการวเิ คราะห์เพอื่ หาคำตอบจากปญั หาดงั กล่าว นักเรียนจะ มีวิธกี ารอย่างไร (แนวคำตอบ ดำเนินการแก้ปัญหาตามขนั้ ตอนของกระบวนการคดิ วิเคราะห์ และใช้ หลักการทางคณิตศาสตร์ แบบนริ นยั )ไดแ้ ก่ 1) ขนั้ กำหนดสง่ิ ทต่ี อ้ งการวเิ คราะห์ 2) ขน้ั กำหนดปญั หา/วัตถปุ ระสงค์ 3) ข้ันกำหนดหลักการ/กฎเกณฑ์ 4) ข้ันพิจารณาแยกแยะหรือแจกแจงข้อมูล 5) ขั้นสรปุ คำตอบ 4. เมอ่ื นกั เรยี นเขา้ ใจปัญหาและการแก้ปญั หาดแี ลว้ ครกู ำหนดสถานการณใ์ ห้นกั เรียน คิดวางแผนแกป้ ัญหา ดงั นี้ ถังบรรจสุ ารพิษซึ่งเกน็ ไวใ้ ต้ดินเพ่ือใหย้ ่อยสลายตวั เองเกดิ รอยรา้ วจงึ ทำให้สารพษิ แพร่กระจายซึมผ่านเนือ้ ดิน ในเวลาหน่ึงปี สารพิษดังกล่าวแพร่กระจายไปได้ไกลเป็น ระยะทาง 1,500 เมตร เมอื่ ส้ินปที ีส่ อง สารพิษแพร่ต่อไปได้อีก 900 เมตร และเมื่อส้ินปีทีส่ ามสารพิษ แพรต่ ่อไปได้อีก 540 เมตร อยากทราบวา่ 1) ถ้าอตั ราการแพร่กระจายของสารพิษดงั กล่าวเปน็ เชน่ น้ีไปเรอื่ ย ๆ เมือ่ สน้ิ ปีที่สบิ สารพิษ ดงั กล่าว จะแพร่ไปได้ไกลเทา่ ใด และสารพิษดงั กลา่ วจะแพร่กระจายไปไกลถึงโรงเรียนแหง่ หน่งึ ซง่ึ ตง้ั อยู่ห่างจากจดุ ฝงั ถังบรรจสุ ารพษิ ออกไป 4 กโิ ลเมตรหรือไม่ อยา่ งไร 2) ถา้ อัตราการแพรก่ ระจายของสารพษิ ดงั กลา่ วเปน็ เช่นนีไ้ ปเร่อื ย ๆ เวลาผา่ นไป อย่างต่อเน่อื งไมส่ ิ้นสุดระยะทางที่สารพิษแพร่กระจายเป็นเทา่ ใด

253 ขนั้ ท่ี 2 คดิ วิธีหาคำตอบเพอื่ วางแผนแกป้ ัญหา 5. ครใู ห้นกั เรียนร่วมแสดงความคิดเห็นจากคำถามดังกลา่ ววา่ นกั เรยี นสามารถระบุปญั หาได้ หรอื ไม่และมีแนวคิดการนำความรูเ้ ก่ยี วกบั ลำดับอนันต์และอนุกรมอนนั ต์ไปใชใ้ นการแก้ปญั หา ไดอ้ ย่างไร 6. ครใู ห้นักเรียนอาสาสมัครแสดงความคิดเหน็ จากคำถามถงึ แนวคดิ การนำความรู้เกยี่ วกับ ลำดบั อนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา ขนั้ ท่ี 3 แสดงวธิ ีการหาคำตอบอยา่ งสรา้ งสรรค์ 7. ครใู ห้แบง่ นักเรียนเขา้ เปน็ กลุ่มยอ่ ย กลุ่มละ 4 คนและทำใบงานที่ 14 เรอ่ื ง ปัญหาท่ีทำให้ เกดิ ผลกระทบตอ่ สิง่ แวดลอ้ ม 8. ครใู ช้คำถามกระตนุ้ ใหน้ ักเรยี นลงมือปฏบิ ัตกิ ิจกรรมด้วยตนเองอย่างอสิ ระ แลว้ แสดงความ คดิ เหน็ ในแนวทางการแกป้ ญั หาของตนเองต่อกล่มุ แล้วสมาชิกกลมุ่ ร่วมกนั พจิ ารณาตรวจสอบและ ประเมินทางเลือกในการแก้ปัญหา หากลวธิ ีทด่ี ที สี่ ดุ ที่ตรงกับสถานการณ์ มีความเหมาะสม และ เป็นไปได้และดำเนนิ การแกป้ ัญหาร่วมกนั ขั้นท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยทุ ธวิธแี ก้ปัญหา 9. ครสู ่มุ ให้ตัวแทนกลุ่มแตล่ ะกลุ่มนำเสนอกระบวนการแก้ปญั หา กลวิธที ่ใี ชแ้ กป้ ัญหาและ คำตอบของปญั หาท่ีกลุ่มไดร้ ว่ มกนั พิจารณาตัดสนิ ใจเลือกไว้ 10. ครมู อบหมายให้นกั เรียนศกึ ษาคน้ คว้าเพิ่มเตมิ มาคนละ 1 โจทย์พร้อมทั้งแสดงวิธที ำในสมุด จากแหลง่ เรียนรู้ ครูแนะนำแหล่งสืบค้นและใหน้ ักเรยี นนำข้อมูลทสี่ ืบค้นบนั ทึกในสมดุ แล้วนำมา แลกเปล่ียนเรียนรู้ในช่วั โมงถดั ไป 11. ครใู ชค้ ำถามกระตุ้นใหน้ ักเรียนรว่ มอภิปรายเพื่อสรปุ จากการเรยี นในช่ัวโมงน้ี และครชู ว่ ย

254 สรปุ เพิ่มเตมิ เม่อื พบว่านกั เรียนสรปุ ได้ไม่ครอบคลมุ เน้ือหา หรือได้มโนมตทิ ี่ยังไม่ชดั เจนถูกตอ้ ง อนุกรม a1+ a2 + a3 + ... วา่ อนกุ รมเรขาคณติ (Geometric Series) ให้ Sn เปน็ ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ ท่มี ี a1 เป็นพจน์แรก และ r เปน็ อัตราส่วนรว่ ม จะได้ Sn= a1+ a1r + a1r2 + ... + a1rn - 1 ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต คอื Sn= a1 (rn - 1) r-1 และ อนุกรมอนันต์ a1+ a2 + a3 + ... + an + ... อนุกรมเรขาคณิต มี a1 เป็นพจน์แรก และ r เปน็ อตั ราสว่ นรว่ ม ถา้ r < 1 แล้วอนุกรมน้ี เป็นอนุกรมลู่เข้า และมี a1 เป็นผลบวกของ 1-r อนุกรมอนนั ต์ ทฤษฎบี ท กำหนดให้อนุกรมเรขาคณติ มี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอตั ราสว่ นรว่ ม ถ้า r < 1 แลว้ อนกุ รมน้ี เปน็ อนกุ รมลู่เขา้ และมี a1 เปน็ ผลบวกของอนุกรม 1-r ถา้ r > 1 แล้วอนกุ รมนเ้ี ปน็ อนุกรม ลอู่ อก ชวั่ โมงที่ 3 ขัน้ ท่ี 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครขู ออาสาสมัครใหน้ ักเรียนอภิปรายผลจากการท่ีนกั เรยี นไปคน้ คว้าเพิ่มเติมเกี่ยวกบั การนำ ความรู้เกย่ี วกับลำดบั อนันต์และอนกุ รมอนันต์ไปใชใ้ นการแกป้ ัญหาในชวี ติ จริง 2. ครเู ปิดโอกาสให้นักเรยี นไดซ้ ักถามข้อสงสัย แลกเปลยี่ นความคิดเห็นเกี่ยวกับวธิ ีแก้ปญั หา สถานการณ์ทนี่ กั เรียนอาสาสมคั รนำเสนอ 3. ครูใหน้ กั เรียนแลกเปลย่ี นความคิดเหน็ จำแนกประเภทเกีย่ วกับโจทยห์ รอื สถานการณ์ท่ี คน้ คว้าเพ่ิมเตมิ เกย่ี วกบั การนำความรู้เกีย่ วกบั ลำดับอนนั ต์และอนุกรมอนันต์ไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา ในชีวิตจริง

255 ขนั้ ที่ 2 คดิ วิธหี าคำตอบเพ่ือวางแผนแกป้ ญั หา 4. ครแู บ่งนักเรียนเปน็ กลุม่ ยอ่ ยกลมุ่ ละ 3-5 คน ตามประเภทของโจทย์ปัญหาทีจ่ ำแนกได้ ให้อยู่กล่มุ เดยี วกัน และใหน้ ักเรยี นนำโจทย์ปญั หาของนกั เรยี นทไ่ี ดค้ ้นคว้ามาแลกเปลย่ี นเรยี นรกู้ นั ภายในกลุ่ม 5. ให้สมาชิกทกุ คนในกล่มุ ช่วยกันคดั เลือกโจทย์ที่สมาชกิ นำมาร่วมกนั พจิ ารณาตรวจสอบ และประเมนิ ทางเลือกในการแกป้ ัญหา 6. ครใู ช้คำถามกระตุ้นใหน้ ักเรียนแสดงความคิดเห็นให้ได้มากที่สดุ เพื่อหากลวิธีท่ีดีทีส่ ุดทีต่ รงกบั สถานการณ์และมีความเหมาะสม เปน็ ไปได้ หรือมขี ั้นตอนของกระบวนการคิดวิเคราะห์ทมี่ คี วาม ถูกต้อง ชดั เจน ขัน้ ที่ 3 แสดงวธิ ีการหาคำตอบอย่างสรา้ งสรรค์ 7. ครกู ระตนุ้ ให้นักเรียนทุกคนช่วยกนั หาคำตอบแลกเปลย่ี นแนวคดิ ระหวา่ งนกั เรียนที่เกง่ และอ่อน 8. ครใู หน้ กั เรยี นแตล่ ะกลุม่ แสดงวธิ ีการแก้ปัญหาเป็นขัน้ ตอน แล้วนำเสนอโจทยท์ ีไ่ ด้แสดงวิธีการ หาคำตอบอย่างสรา้ งสรรค์ โดยเขยี นใส่กระดาษปรู๊ฟที่ครูเตรยี มไว้และนำไปตดิ บรเิ วณภายใน ห้องเรียน ขน้ั ที่ 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยทุ ธวธิ ีแก้ปญั หา 9. ครูใหน้ กั เรียนทุกคนเดินดกู ารนำเสนอกระบวนการแกป้ ัญหา พร้อมท้งั พจิ ารณาคำตอบ ของเพอ่ื นแลว้ ใหน้ ักเรียนตดิ กระดาษโนต้ แถบกาวในโจทย์ท่ีนักเรยี นสนใจ แล้วนำมาบันทึกลงสมดุ 10. ครใู หน้ กั เรยี นร่วมกันอภิปรายเพ่อื สรุปผลจากการเรยี นในช่ัวโมง ดงั นี้ การนำความร้เู ก่ียวกับลำดบั อนันต์และอนุกรมอนันต์ไปใช้ในการแกป้ ัญหา สามารถใช้การหา ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ คือ Sn= a1 (rn - 1) และ อนุกรมเรขาคณิต r-1 มี a1 เป็นพจนแ์ รก และ r เป็นอัตราสว่ นรว่ ม ถา้ r < 1 แล้วอนุกรมน้ี เป็นอนุกรมลู่เข้า และมี a1 เป็นผลบวกของอนุกรม ถ้า r > 1 แล้วอนกุ รมนี้เป็นอนุกรม ลู่ออก 1-r

256 7. การวดั และประเมินผล รายการวดั วิธีการ เครื่องมือ เกณฑ์การประเมนิ การประเมินระหว่าง - รอ้ ยละ 70 ผา่ นเกณฑ์ การจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้ - ระดับคุณภาพ 2 1) การนำความรู้เก่ยี วกับ - ตรวจใบงานท่ี 14 - ใบงานที่ 14 ผ่านเกณฑ์ ลำดับอนันต์และอนุกรม อนนั ต์ไปใช้ในการแกป้ ัญหา - ระดบั คณุ ภาพ 2 ผา่ นเกณฑ์ 2) พฤตกิ รรม - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต การทำงานรายบุคคล - ระดับคุณภาพ 2 การทำงาน พฤติกรรมการ ผา่ นเกณฑ์ รายบุคคล ทำงานรายบคุ คล 3) พฤตกิ รรม - สังเกตพฤติกรรม - แบบสังเกต การทำงานกลุม่ การทำงานกลุ่ม พฤติกรรม การทำงานกลมุ่ 4) คณุ ลักษณะ - สังเกตใฝ่เรยี นรู้ - แบบประเมิน อนั พึงประสงค์ และมงุ่ มน่ั ใน คณุ ลกั ษณะ การทำงาน อันพงึ ประสงค์ 8. สื่อ/แหลง่ การเรยี นรู้ 8.1 สอ่ื การเรยี นรู้ 1) สอ่ื ในโปรแกรม power point เรอ่ื ง การนำความรู้เกีย่ วกบั ลำดบั อนันต์และอนุกรมอนันต์ ไปใช้ในการแก้ปญั หา 2) หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ เลม่ 6 ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 4-6 3) ใบงานที่ 14 เร่อื ง ปญั หาท่ีทำใหเ้ กิดผลกระทบต่อส่ิงแวดล้อม 4) กระดาษปร๊ฟู และกระดาษโนต้ แถวกาว 8.2 แหล่งการเรียนรู้ 1) ห้องเรียน , หอ้ งสมดุ 2) อนิ เทอร์เน็ต https://www.youtube.com/watch?v=YK_sGWfSIK8

257 ใบงานท่ี 14 เรอ่ื ง ปัญหาทที่ ำให้เกิดผลกระทบต่อสิง่ แวดลอ้ ม  คำชแ้ี จง : ใหน้ ักเรยี นหาคำตอบโดยแสดงวธิ ีคดิ ถงั บรรจุสารพิษซึง่ เก็นไว้ใต้ดนิ เพ่ือให้ย่อยสลายตวั เองเกดิ รอยร้าวจงึ ทำใหส้ ารพิษ แพรก่ ระจายซึมผา่ นเนื้อดนิ ในเวลาหน่งึ ปี สารพษิ ดงั กล่าวแพรก่ ระจายไปได้ไกลเปน็ ระยะทาง 1,500 เมตร เม่ือส้ินปที ่ีสอง สารพิษแพรต่ ่อไปได้อีก 900 เมตร และเม่ือสิ้นปีท่สี ามสารพิษแพร่ต่อไป ไดอ้ ีก 540 เมตร อยากทราบว่า 1) ถ้าอตั ราการแพรก่ ระจายของสารพษิ ดงั กล่าวเป็นเช่นนี้ไปเร่ือย ๆ เมอื่ ส้ินปีทีส่ ิบ สารพษิ ดงั กลา่ ว จะแพรไ่ ปได้ไกลเท่าใด และสารพิษดงั กลา่ วจะแพร่กระจายไปไกลถงึ โรงเรยี นแหง่ หน่งึ ซง่ึ ตัง้ อยู่หา่ งจากจดุ ฝงั ถงั บรรจสุ ารพษิ ออกไป 4 กโิ ลเมตรหรือไม่ อยา่ งไร 2) ถา้ อัตราการแพรก่ ระจายของสารพษิ ดังกลา่ วเป็นเช่นนไ้ี ปเรอื่ ย ๆ เวลาผา่ นไป อยา่ งต่อเนือ่ งไมส่ น้ิ สุดระยะทางที่สารพิษแพร่กระจายเป็นเทา่ ใด วิธที ำ ตามข้ันตอนของกระบวนการคดิ วเิ คราะห์ 1) ขั้นกำหนดสง่ิ ท่ีต้องการวเิ คราะห์ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2) ขัน้ กำหนดปัญหา/วัตถปุ ระสงค์ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

258 3) ข้นั กำหนดหลักการ/กฎเกณฑ์ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4) พจิ ารณาแยกแยะหรือแจกแจงขอ้ มูล ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5) ขั้นสรปุ คำตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

259 เฉลยใบงานที่ 14 ปัญหาทที่ ำใหเ้ กดิ ผลกระทบต่อสิง่ แวดลอ้ ม  คำช้แี จง : ใหน้ กั เรยี นหาคำตอบโดยแสดงวิธคี ดิ ถังบรรจสุ ารพษิ ซง่ึ เก็นไว้ใต้ดินเพื่อให้ย่อยสลายตัวเองเกดิ รอยรา้ วจงึ ทำให้สารพิษ แพรก่ ระจายซมึ ผา่ นเน้ือดิน ในเวลาหนึ่งปี สารพษิ ดงั กล่าวแพรก่ ระจายไปได้ไกลเปน็ ระยะทาง 1,500 เมตร เมื่อสิ้นปที สี่ อง สารพิษแพรต่ ่อไปได้อีก 900 เมตร และเม่ือส้นิ ปที ีส่ ามสารพิษแพร่ต่อไป ได้อีก 540 เมตร อยากทราบว่า 1) ถา้ อตั ราการแพรก่ ระจายของสารพิษดงั กล่าวเปน็ เชน่ นี้ไปเรือ่ ย ๆ เมือ่ ส้ินปีทส่ี บิ สารพษิ ดังกล่าว จะแพรไ่ ปได้ไกลเทา่ ใด และสารพิษดังกล่าวจะแพรก่ ระจายไปไกลถงึ โรงเรียนแหง่ หนงึ่ ซง่ึ ตั้งอยู่หา่ งจากจดุ ฝงั ถังบรรจุสารพษิ ออกไป 4 กิโลเมตรหรือไม่ อยา่ งไร 2) ถ้าอัตราการแพรก่ ระจายของสารพิษดังกล่าวเปน็ เช่นนี้ไปเรือ่ ย ๆ เวลาผ่านไป อย่างต่อเนอ่ื งไม่สิ้นสดุ ระยะทางทสี่ ารพิษแพร่กระจายเป็นเท่าใด วธิ ที ำ ตามข้ันตอนของกระบวนการคดิ วเิ คราะห์ (ข้ึนอย่กู ับดลุ ยพนิ จิ ของครูผู้สอน) 1) ถา้ อัตราการแพรก่ ระจายของสารพิษดงั กล่าวเปน็ เช่นนไ้ี ปเรอ่ื ย ๆ เมอื่ สน้ิ ปที ่ีสบิ สารพิษ ดังกล่าว จะแพร่ไปได้ไกลเท่าใด และสารพิษดังกล่าวจะแพร่กระจายไปไกลถึงโรงเรียนแห่งหนึ่งซ่ึง ต้ังอยหู่ า่ งจากจดุ ฝงั ถงั บรรจุสารพษิ ออกไป 4 กิโลเมตรหรอื ไม่ อย่างไร 1) ข้ันกำหนดส่ิงทีต่ อ้ งการวิเคราะห์ กำหนดให้ an เป็นระยะทางทส่ี ารพิษแพร่กระจายต่อจากตำแหนง่ เดมิ เม่ือเวลาผ่านไป n ปี กำหนด a1 = 1,500 , a2 = 900 , a3 = 540 ,r = 900 = 3 1,500 5 (3)n−1 จะได้ Sn = 1,500 + 900 + 540+. . . +1,500 5 2) ขน้ั กำหนดปัญหา/วตั ถปุ ระสงค์ - ระยะการแพรก่ ระจายเม่อื สิน้ ปที ส่ี ิบ - นำระยะการแพรก่ ระจายมาเปรียบเทียบกับระยทางของโรงเรียนแหง่ หน่ึง ซง่ึ ตง้ั อยหู่ า่ งจากจุดฝงั ถงั บรรจสุ ารพษิ

260 3) ข้ันกำหนดหลกั การ/กฎเกณฑ์ ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตทมี่ ี a1 เปน็ พจนแ์ รก และ r เป็นอตั ราส่วนร่วม จะได้ Sn= a1 + a1r + a1r2 + ... + a1rn - 1 ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ Sn= a1 (rn - 1) r-1 4) ขน้ั พจิ ารณาแยกแยะหรือแจกแจงข้อมลู เมอื่ สนิ้ ปที ่ี 10 จะได้ S10 = 1,500 + 900 + 540+. . . +1,500 (3)9 (1,500)(1−(35)10) 5 1−53 S10 = = (1,500)(1−(53)10) 2 5 (1,500)(1−(35)10) = 2 5 = (5) (1,500) (1 − (3)10) 25 = (3,750) (1 − (3)10) = 3,727.325 5 5) ขน้ั สรุปคำตอบ ดังนั้น เมื่ออัตราการแพร่กระจายของสารพิษดังกล่าวเป็นเช่นนี้ไปเร่ือย ๆ เมื่อสิ้นปีที่สิบ สารพิษดังกล่าว จะแพร่ไปได้ไกล3,727.325 เมตร และสารพิษดังกล่าวจะไม่แพร่กระจายไปไกลถึง โรงเรียนเนื่องจากระยะทางการแพร่กระจายน้อยกว่าที่ตั้งของโรงเรียนที่อยู่ห่างจากจุดฝังถังบรรจุ สารพิษออกไป 4 กโิ ลเมตร วิธีทำ 2) อัตราการแพร่กระจายของสารพิษดังกล่าวเป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ เวลาผ่านไปอย่างต่อเนื่อง ไม่ส้ินสดุ ระยะทางท่ีสารพษิ แพร่กระจายเทา่ ใด 1) ขั้นกำหนดสง่ิ ทีต่ ้องการวเิ คราะห์ กำหนดให้ S∞ เป็นอัตราการแพร่กระจายของสารพิษดังกล่าวเป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ เวลาผา่ นไปอยา่ งต่อเนื่องไม่ส้ินสุด กำหนด a1 = 1,500 , a2 = 900 , a3 = 540 ,r = 900 = 3 1,500 5 จะไดร้ ะยะทางท่สี ารพษิ แพร่กระจาย S∞ = 1,500 + 900 + 540+. .. 2) ขน้ั กำหนดปัญหา/วตั ถุประสงค์ - ระยะทางที่สารพิษแพร่กระจาย เมอ่ื เวลาผา่ นไปอยา่ งตอ่ เนื่องไม่สนิ้ สุด - 3) ข้ันกำหนดหลักการ/กฎเกณฑ์ เป็นอนกุ รมเรขาคณิตทเี่ ป็นอนกุ รมอนันต์ทม่ี ี a1 เปน็ พจนแ์ รก และ r เปน็ อัตราส่วนรว่ ม ถา้ r < 1 แลว้ อนกุ รมนี้ เปน็ อนุกรมลเู่ ข้า และ S∞ = a1 เปน็ ผลบวกของอนกุ รม 1−r

261 4) ขนั้ พิจารณาแยกแยะหรือแจกแจงข้อมูล S∞ = 1,500 1−35 (5) (1,500)= 3,750 S∞ = 2 5) ข้ันสรปุ คำตอบ ดงั น้ัน ถ้าอัตราการแพร่กระจายของสารพิษดงั กล่าวเป็นเชน่ นไี้ ปเรื่อย ๆ เวลาผ่านไปอย่างต่อเนอ่ื งไมส่ นิ้ สุด ระยะทางท่สี ารพิษแพร่กระจายได้ 3,750 เมตร ให้นำควำมรู้ไปใช้ แกป้ ัญหำในชีวติ จรงิ ดว้ ยนะคะ

262 บนั ทึกผลหลงั การจัดการเรียนรู้ แผนการจดั การเรยี นรูท้ ี่ ................ เรอื่ ง ……………………..........................…… เวลา ……. ชั่วโมง สอนวันท่ี ……........………………… ด้านความรู้ (K) ............................................................................................... ................................................................. ................................................................................................ ................................................................ ............................................................................................................................................................ .... ............................................................................................................................... ................................. ............................................................................................................................. ................................... ดา้ นทักษะ/กระบวนการ (P) ................................................................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ........................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ดา้ นคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์ (A) ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................ ................................................................ ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ... สมรรถนะทส่ี ำคญั ของผู้เรยี น .................................................................................................... ............................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ .................................................................................................................................... ............................ ปญั หา/อุปสรรค ......................................................................................... ....................................................................... ................................................................................................ ................................................................ ...................................................................................................................................................... .......... ......................................................................................................................... ....................................... ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางแก้ไข ........................................................................................................ ........................................................ .............................................................................................................................................................. .. ................................................................................................................................ ................................ ลงช่อื ................................................. ครผู ้สู อน (......................................... )

263 การวดั และประเมนิ ผล รูปแบบการสอนแก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์เพื่อพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาและ ความสามารถในการคิดขนั้ สงู เรื่องลำดบั อนันต์และอนกุ รมอนนั ต์ สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษา ปที ี่ 6 ใชก้ ารวัดและประเมนิ ผลตามผลลพั ธ์ที่คาดหวัง ดังน้ี 1. วัดความสามารถในการแกป้ ญั หาทางคณิตศาสตร์ โดยใชแ้ บบทดสอบวัดความสามารถ ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ มีลักษณะเป็นแบบทดสอบแบบอัตนัยจำนวน 3 ข้อ ข้อคำถามเป็น ลักษณะของโจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ กำหนดสถานการณ์ปัญหาให้ ให้นักเรียนแสดงวิธีทำและ เขียนแสดงวิธคี ิดในการแก้ปัญหา ซงึ่ ประเดน็ ในการวัดจะครอบคลุมผลลัพธ์ที่คาดหวงั คอื 1) สามารถ ระบปุ ญั หา 2) สามารถเลอื กใช้กลวธิ ีแก้ปญั หา 3) สามารถดำเนินการแก้ปญั หา 4) สามารถตรวจสอบ การแก้ปัญหา 5) สามารถประยุกตใ์ ช้ความรูก้ ับปญั หาใหม่ โดยมเี กณฑก์ ารใหค้ ะแนนความสามารถใน การแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ แบบรบู ริค ( Rubric scoring) แบบวิเคราะห์ ( Analytic scoring) 2. วดั ความสามารถการคิดขั้นสงู 2 ลกั ษณะ คอื 1) ความสามารถในการคิดวิเคราะห์ อย่างสร้างสรรค์และมีวิจารณญาณ เครื่องมือที่ใช้ในการวัด จะใช้แบบสังเกตพฤติกรรมของนักเรียน ในการทำกิจกรรมสร้างองค์ความรู้ โดยพิจารณาความสามารถในการใช้กระบวนการคิดวิเคราะห์ ในแต่ละขั้นตอน ความคิดคล่องแคล่ว ความคิดยืดหยุ่น ความคิดริเริ่ม ความสมเหตุสมผลในการ จัดลำดับความสำคัญของวิธีการและการตัดสินใจเลือกวิธีที่ดีที่สุด 2) ความสามารถในการแก้ปัญหา อย่างสร้างสรรค์และมีวิจารณญาณ เครื่องมือที่ใช้ในการวัดประกอบด้วยแบบสังเกตพฤติกรรมของ นักเรยี นในการทำกิจกรรมแก้ปัญหา แบบทดสอบแบบอตั นัย จำนวน 2 ข้อ โดยพจิ ารณาความสามารถ ในการใช้กระบวนการในการแก้ปัญหาในแต่ละขั้นตอน ความคิดคล่องแคล่ว ความคิดยืดหยุ่น ความคิดริเริ่ม ความสมเหตุสมผลในการจัดลำดับความสำคัญของวิธีการและการตัดสินใจเลือกวิธีที่ดี ท่ีสุด 3. วดั ผลสมั ฤทธิท์ างการเรียนคณติ ศาสตร์ โดยใช้แบบทดสอบวดั ผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จำนวน 30 ข้อ(ข้อสอบที่มีค่าความยากง่าย และมีคา่ อำนาจจำแนกเหมาะสม) เป็นการวัดความรู้ ทกั ษะและความสามารถตามวตั ถปุ ระสงค์ของการ เรยี นคณติ ศาสตรต์ ามสาระน้นั ๆ ว่าบรรลผุ ลสำเรจ็ ตามจดุ ประสงค์ที่กำหนดไวเ้ พยี งใด

264 แบบทดสอบวัดความสามารถในการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ คำชี้แจง ให้นกั เรียนอ่านสถานการณ์ปัญหา พร้อมทง้ั เขียนแนวทางในการแก้ปัญหาเพอ่ื หา คำตอบ โดยการแสดงวิธกี ารหาคำตอบ 5 ขนั้ ตอน ตามลำดับ ดงั น้ี 1. ระบุปัญหา ( อธิบายถึงความสัมพนั ธข์ องสง่ิ ที่โจทย์กำหนดใหแ้ ละสง่ิ ที่โจทยต์ ้องการทราบ ) 2. เลอื กใชก้ ลวธิ แี กป้ ญั หา ( ระบหุ รอื เลือกวธิ ีทเี่ หมาะสมทีส่ ุด แลว้ กำหนดเปน็ รายละเอียดหรือ ขนั้ ตอนในการดำเนินการ ) 3. ดำเนนิ การแก้ปัญหา ( แสดงข้ันตอนในการแก้ปัญหาตามกลวิธีหรือแนวทางการแก้ปัญหาจากท่ีได้ วางแผน ) 4. ตรวจสอบการแกป้ ญั หา ( เขยี นอธบิ ายเหตผุ ลของคำตอบอยา่ งสมเหตุสมผลและมีความสอดคล้อง กบั เง่ือนไขของปญั หาท่ีกำหนด ) 5. ประยกุ ตใ์ ช้ความรู้กับปัญหาใหม่ ( นำความรู้หรือประสบการณท์ ี่ได้รับจากกระบวนการแก้ปัญหา เดิมไปประยกุ ต์ใชแ้ ก้ปัญหากับสถานการณ์ปัญหาอ่นื ๆ ) สถานการณป์ ัญหา 1. กำหนดให้ an = 1, 4 , 7, 10 , . .. 5+6 2+3 8+9 11+12 1) ใหห้ าพจน์ทั่วไปของลำดับน้ี 2) จงตรวจสอบวา่ เปน็ ลำดับลเู่ ข้าหรอื ลำดบั ลู่ออก 2. จงหาผลบวกของจำนวนเต็มทอ่ี ยูร่ ะหว่าง 9 และ 199 เม่ือจำนวนดงั กล่าวหารดว้ ย 8 ลงตัว และ เม่ือจำนวนดงั กลา่ วหารด้วย 8 ไม่ลงตัว 3. ในการสร้างพีระมิดโดยการนำอฐิ รูปสี่เหลย่ี มจัตุรสั มาเรียงต่อกนั เปน็ ชั้น ๆ ไปเรื่อย ๆ ทั้งหมด 150 ช้ัน โดยกำหนดให้ชั้นแรกหรือชัน้ บนสดุ ของพรี ะมดิ มอี ิฐ 1 ก้อน ชน้ั ทสี่ องมีอฐิ 4 กอ้ น ช้ันทสี่ ามมอี ฐิ 9 กอ้ น ช้นั ท่ีสีม่ อี ิฐ 16 ก้อน เป็นเช่นนไี้ ปเร่อื ย ๆ จนครบ 150 ชน้ั อยากทราบวา่ จะตอ้ งใช้อฐิ จำนวนเทา่ ไร ในการสรา้ งพีระมดิ น้ี

265 กระดาษคำตอบการวัดความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ โรงเรียนกบนิ ทร์วทิ ยา อำเภอกบนิ ทรบ์ รุ ี จงั หวดั ปราจนี บุรี ชือ่ ........................................................................................ช้ัน...................เลขท.ี่ ... .............. คำชี้แจง ใหน้ ักเรียนอ่านสถานการณ์ปญั หา พรอ้ มทั้งเขียนแนวทางในการแกป้ ญั หา เพอ่ื หาคำตอบ โดยการแสดงวิธีการหาคำตอบ 5 ข้ันตอน ตามลำดบั ดังน้ี 1. กำหนดให้ an = 1, 4 , 7, 10 , . .. 5+6 2+3 8+9 11+12 1) ใหห้ าพจน์ทวั่ ไปของลำดับนี้ 2) จงตรวจสอบว่าเปน็ ลำดบั ลู่เข้าหรอื ลำดบั ลอู่ อก วธิ ที ำ 1. ระบุปญั หา ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................... 2. เลอื กใช้กลวธิ แี กป้ ญั หา ........................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... 3. ดำเนนิ การแก้ปัญหา ............................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................... ................................................................. ............................................................................................................................. ................................... 4. ตรวจสอบการแก้ปญั หา ........................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................... 5. ประยกุ ต์ใช้ความรกู้ ับปญั หาใหม่ .............................................................................................. ............................................................................................................................. ...................................

266 2. จงหาผลบวกของจำนวนเต็มทอ่ี ยรู่ ะหวา่ ง 9 และ 199 เม่ือจำนวนดังกลา่ วหารดว้ ย 8 ลงตัว และ เมอื่ จำนวนดังกล่าวหารดว้ ย 8 ไม่ลงตัว วธิ ีทำ 1. ระบุปัญหา ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................... 2. เลอื กใชก้ ลวิธแี ก้ปัญหา ........................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... 3. ดำเนนิ การแกป้ ัญหา ............................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................... ................................................................. ............................................................................................................................. ................................... .......................................................................................................................................................... ...... ............................................................................................................................ .................................... ............................................................................................................................. ................................... 4. ตรวจสอบการแก้ปญั หา ........................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................................. ................... 5. ประยุกต์ใช้ความรู้กับปัญหาใหม่ .............................................................................................. ............................................................................................................................. ...................................

267 3. ในการสรา้ งพรี ะมดิ โดยการนำอฐิ รปู สเี่ หลีย่ มจตั รุ สั มาเรียงต่อกันเป็นชั้น ๆ ไปเรื่อย ๆ ทง้ั หมด 150 ช้นั โดยกำหนดให้ชน้ั แรกหรอื ชน้ั บนสดุ ของพีระมดิ มีอิฐ 1 ก้อน ชนั้ ท่ีสองมีอิฐ 4 ก้อน ชนั้ ที่สามมอี ฐิ 9 ก้อน ชัน้ ที่สม่ี ีอิฐ 16 ก้อน เปน็ เชน่ นไ้ี ปเร่ือย ๆ จนครบ 150 ชัน้ อยากทราบว่า จะต้องใช้อฐิ จำนวนเท่าไร ในการสร้างพรี ะมดิ นี้ วธิ ีทำ 1. ระบุปญั หา ............................................................................................................................. .................................................................................................................................. .............................. 2. เลอื กใชก้ ลวิธีแก้ปัญหา ........................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ 3. ดำเนนิ การแก้ปญั หา ............................................................................................................... .................................................................................................................................... ............................ ...................................................................................................... .......................................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................... ................................................................. 4. ตรวจสอบการแกป้ ัญหา ........................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... 5. ประยกุ ตใ์ ชค้ วามรูก้ ับปญั หาใหม่ .............................................................................................. ........................................................................................................... .....................................................

268 แนวคำตอบการวัดความสามารถในการแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์ โรงเรียนกบินทร์วทิ ยา อำเภอกบินทร์บรุ ี จงั หวดั ปราจีนบุรี 1. กำหนดให้ an = 1 , 4 , 7 , 10 ,. .. 2+3 5+6 8+9 11+12 1) ใหห้ าพจนท์ ว่ั ไปของลำดับน้ี 2) จงตรวจสอบว่าเป็นลำดบั ลเู่ ข้าหรอื ลำดบั ลู่ออก วธิ ที ำ 1. ระบุปญั หา โจทย์กำหนดให้ an = 1 , 4 , 7 , 10 , . .. 2+3 5+6 8+9 11+12 โจทย์ตอ้ งการทราบ พจน์ทัว่ ไปของลำดับน้ี และลำดับนล้ี ู่เขา้ หรอื ลำดับลู่ออก 2. เลือกใช้กลวิธแี ก้ปญั หา 2.1 จัดลำดับใหอ้ ยูใ่ นรปู อย่างงา่ ยกอ่ น 2.2 วิเคราะห์องคป์ ระกอบของโจทย์ทก่ี ำหนดมาให้ ได้แก่แยกตวั เศษของลำดับและตัวส่วน ของลำดบั พจิ ารณาวา่ เป็นลำดบั เลขคณติ ลำดบั เรขาคณติ หรือไม่ใชท่ ้ังลำดับเลขคณิตและลำดับ เรขาคณิต 2.3 เช่ือมโยงความรู้เร่ืองการหาพจน์ท่วั ไปของลำดับ 2.4 เชอื่ มโยงความรเู้ ร่ืองลิมติ ของลำดบั 3. ดำเนนิ การแกป้ ัญหา 147 10 1 4 7 10 an = 2 + 3 , 5 + 6 , 8 + 9 , 11 + 12 , . . . = 5 , 11 , 17 , 23 , . .. เป็นลำดบั ท่มี ตี วั เศษของลำดับ คอื 1, 4, 7, 10, … ซึง่ เปน็ ลำดับเลขคณิต ท่มี ี a1 = 1 , d= 4 -1=3 และมีพจน์ทว่ั ไป คือ an = ������1 + (������ − 1)������ an = 1 + (������ − 1)(3) an = 1 + 3������ − 3 an = 3������ − 2 และตวั สว่ นของลำดบั คอื 5, 11, 17, 23, … ซึ่งเป็นลำดับเลขคณติ ท่ีมี a1 = 5 , d= 11 -5=6 และมีพจน์ทว่ั ไป คือ an = ������1 + (������ − 1)������ an = 5 + (������ − 1)(6) an = 5 + 6������ − 6

269 an = 6������ − 1 ดงั นั้น พจนท์ ั่วไปของลำดับ an = 1 , 4 , 7 , 10 , . .. คอื an = 3������−2 2+3 5+6 8+9 11+12 6������−1 พจิ ารณา lim ������������ = lim 3������−2 n→∞ ������→∞ 6������−1 = lim ������(3−���2���) ������(6−���1���) ������→∞ = lim (3−���2���) (6−���1���) ������→∞ = lim 3−���l���i→m∞���2��� ������→∞ 6−���l���i→m∞���1��� lim ������→∞ = 3 −2(0) 6 −0 =3 6 =1 2 ดังนัน้ lim 3������−2 = 1 เปน็ ลำดบั ลู่เขา้ ������→∞ 6������−1 2 4. ตรวจสอบการแก้ปัญหา lim an จาก lim  an  = = A สามารถหาลมิ ิตของลำดบั ได้ เปน็ ลำดับลู่เขา้  bn  n→ B n→   lim bn n→ 5. ประยกุ ตใ์ ช้ความรู้กับปญั หาใหม่ นำไปแกป้ ัญหากับสถานการณโ์ จทย์คลา้ ย ๆ กัน 2. จงหาผลบวกของจำนวนเต็มทอี่ ยรู่ ะหว่าง 9 และ 199 เม่ือจำนวนดงั กลา่ วหารดว้ ย 8 ลงตัว และ เมือ่ จำนวนดงั กลา่ วหารด้วย 8 ไม่ลงตัว วิธที ำ 1. ระบุปัญหา โจทย์กำหนดให้ จำนวนเตม็ ที่อยู่ระหวา่ ง 9 และ 199 ทหี่ ารดว้ ย 8 ลงตัว และ หารด้วย 8 ไมล่ งตัว โจทยต์ ้องการทราบ ผลบวกของจำนวนเต็มที่จำนวนเตม็ ท่ีอย่รู ะหวา่ ง 9 และ 199 ทหี่ ารด้วย 8 ลงตัว และ หารด้วย 8 ไม่ลงตัว

270 2. เลือกใชก้ ลวิธแี ก้ปัญหา 2.1 วิเคราะห์หาจำนวนเตม็ ท่ีอยู่ระหวา่ ง 9 กับ 199 ที่หารดว้ ย 8 ลงตัว 2.2 หาจำนวนเตม็ ท่อี ยู่ระหว่าง 9 กับ 199 ทหี่ ารด้วย 8 ลงตวั มีทง้ั หมดก่ีพจน์ 2.3 หาผลบวกของจำนวนเต็มท่อี ยูร่ ะหว่าง 9 กับ 199 ท่หี ารด้วย 8 ลงตัว 2.4 หาจำนวนเต็มทีอ่ ยู่ระหวา่ ง 9 กบั 199 มีทง้ั หมดกี่พจน์ 2.5 หาผลบวกของจำนวนเต็มที่อย่รู ะหว่าง 9 กบั 199 2.6 หาหาผลบวกของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 9 กับ 199 ที่หารด้วย 8 ไมล่ งตวั จากการ นำผลบวกในขอ้ 2.ถ ลบกับผลบวกในขอ้ 2.3 3. ดำเนนิ การแก้ปญั หา ลำดับของจำนวนเต็มที่อย่รู ะหวา่ ง 9 กับ 199 ที่หารดว้ ย 8 ลงตัว คือ 16, 24, 32, … ,192 จาก an = ������1 + (������ − 1)������ จะได้ 192 = 16 + (������ − 1)(8) ������ = ( 192−16) + 1 8 ������ = 23 หาผลบวกของจำนวนเต็มทอี่ ยู่ระหว่าง 9 กบั 199 ท่ีหารด้วย 8 ลงตวั จาก Sn = ������ (������1 + ������������) 2 จะได้ S23 = 23 (16 + 192) 2 = 2,392 ดังนน้ั ผลบวกของจำนวนเต็มทีอ่ ยรู่ ะหว่าง 9 กบั 199 ท่ีหารด้วย 8 ลงตัว เท่ากับ 2,392 ลำดับของจำนวนเต็มท่ีอยูร่ ะหว่าง 9 กบั 199 คือ 10, 11, 12, … ,198 ซง่ึ มี 189 จำนวน จาก Sn = ������ (������1 + ������������) 2 จะได้ S189 = 189 (10 + 198) 2 = 19,656 ดงั น้ัน ผลบวกของจำนวนเตม็ ที่อยู่ระหว่าง 9 กับ 199 เท่ากบั 19,656

271 จะได้ผลบวกของจำนวนเต็มที่อยูร่ ะหว่าง 9 กบั 199 ท่หี ารดว้ ย 8 ไมล่ งตวั เท่ากับ 19,656 -2,392 = 17264 4. ตรวจสอบการแกป้ ัญหา เปน็ การหาผลบวกท่สี อดคลอ้ งกับสิง่ ทโ่ี จทย์กำหนดให้และต้องการ ทราบ 5. ประยุกต์ใชค้ วามรกู้ ับปัญหาใหม่ นำไปแกป้ ัญหากับสถานการณ์โจทย์คล้าย ๆ กัน 3. ในการสร้างพรี ะมดิ โดยการนำอฐิ รูปส่เี หลีย่ มจตั รุ ัสมาเรียงตอ่ กันเปน็ ช้ัน ๆ ไปเร่อื ย ๆ ท้ังหมด 150 ชั้น โดยกำหนดให้ช้ันแรกหรือชน้ั บนสุดของพีระมดิ มอี ฐิ 1 ก้อน ชนั้ ที่สองมีอิฐ 4 กอ้ น ชน้ั ทีส่ ามมอี ิฐ 9 ก้อน ชั้นที่ส่มี ีอฐิ 16 ก้อน เปน็ เชน่ นีไ้ ปเรอ่ื ย ๆ จนครบ 150 ช้ัน อยากทราบวา่ จะต้องใชอ้ ิฐจำนวนเทา่ ไร ในการสร้างพรี ะมดิ นี้ วธิ ีทำ 1. ระบุปัญหา โจทย์กำหนดให้ การสร้างพรี ะมดิ โดยการนำอฐิ รปู สเี่ หลีย่ มจัตรุ สั มาเรียงต่อกัน เป็นชน้ั ๆ ไปเรอ่ื ย ๆ ท้งั หมด 150 ช้ัน โดยกำหนดให้ชั้นแรกหรือชน้ั บนสดุ ของพีระมิดมีอิฐ 1 ก้อน ช้ันทสี่ องมีอฐิ 4 กอ้ น ชัน้ ท่ีสามมอี ิฐ 9 ก้อน ชัน้ ทสี่ ีม่ ีอฐิ 16 ก้อน เปน็ เชน่ นี้ไปเร่ือย ๆ จนครบ150 ช้นั โจทยต์ อ้ งการทราบ จะต้องใช้อิฐจำนวนเทา่ ไร ในการสรา้ งพีระมิดน้ี 2. เลือกใช้กลวธิ ีแก้ปญั หา 2.1 วเิ คราะห์หาลำดบั จากจำนวนอิฐ 2.2 พจิ ารณาว่าเป็นลำดบั เลขคณิต ลำดับเรขาคณิตหรือไมใ่ ช่ทั้งลำดบั เลขคณิตและลำดับ เรขาคณติ 2.3 เขียนพจน์ท่ัวไปของลำดับ 2.4 วเิ คราะหก์ ารหาผลบวกของลำดบั 3. ดำเนินการแก้ปัญหา จากโจทย์ จำนวนอิฐแต่ละพจน์เขยี นเรยี งลำดับได้ ดงั น้ี 1, 4, 9, 16, … , a150 จำนวนอิฐแต่ละพจน์เขียนในรปู เลขยกกำลังได้ ดงั น้ี 12, 22, 32,42 , … ,1502 ลำดบั นี้ไม่ใช่ทั้งลำดบั เลขคณิตและลำดบั เรขาคณิต สามารถหาผลบวก จาก 12+ 22+ 32+42 + … + 1502 = ∑���1���=510 ������2

272 จะได้ = 150(150+1)[2(150)+1 6 = 25( 151)(301) = 1,136,275 นัน่ คอื จะต้องใช้อิฐ ในการสร้างพีระมิดท้ังหมด 1,136,275 ก้อน 4. ตรวจสอบการแก้ปัญหา เป็นการหาผลบวกทส่ี อดคล้องกับส่งิ ท่โี จทย์กำหนดให้และตอ้ งการ ทราบ 5. ประยุกต์ใชค้ วามรู้กับปัญหาใหม่ นำไปแกป้ ัญหากับสถานการณโ์ จทย์คล้าย ๆ กัน

273 แบบทดสอบวัดความสามารถในการแก้ปญั หาอย่างสร้างสรรคแ์ ละมวี ิจารณญาณ คำชแ้ี จง ให้นกั เรียนอา่ นสถานการณป์ ญั หา พร้อมทงั้ เขยี นแนวทางในการแก้ปัญหาเพื่อหาคำตอบ สถานการณป์ ญั หาที่ 1 บริษัทแหง่ หนงึ่ มงี บรายจ่ายของปีแรกอยู่ที่ 2.5 พันล้านบาท แตเ่ น่ืองจาก ราคาน้ำมนั ทสี่ งู ขนึ้ บรษิ ัทจึงวางแผนทีจ่ ะประหยดั งบประมาณโดยปรับลดงบรายจ่ายลง 20% ของปีกอ่ นหนา้ 1) จงเขียนงบรายจา่ ยในปีที่ n 2) จงคำนวณงบรายจา่ ยของสี่ปีแรกหลังจากปรับลดงบ 3) จงตรวจสอบวา่ ลำดบั ของงบรายจ่ายนเี้ ปน็ ลำดบั ลเู่ ขา้ หรือไม่ 1. ทำความเข้าใจปญั หา 1.1 ส่งิ ท่โี จทย์ต้องการ คือ........................................................................................................ ...................................................................................................................................... .......................... ........................................................................................................ ........................................................ ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ 1.2 สิ่งที่โจทย์กำหนด คือ......................................................................................................... ..................................................................................................................................... ........................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................ ................................................................ ............................................................................................................................. ................................... 1.3 ข้อมูลท่จี ำเป็นตอ้ งใชแ้ ก้ปัญหา มอี ะไรบา้ ง คือ.................................................................. ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................................ .................... ............................................................................................................... ................................................. 2. คดิ วธิ หี าคำตอบเพื่อวางแผนแกป้ ญั หา นกั เรียนเลือกใช้วธิ กี ารใดในการแก้ปัญหา ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ...................................

274 3. แสดงวิธีการหาคำตอบอยา่ งสร้างสรรค์ ใหน้ ักเรยี นเขยี นแสดงวิธหี าคำตอบตามที่ได้ วางแผนไว้ ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... .......................................................................................................................................... ...................... คำตอบ ................................................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... 4. ขั้นตรวจคำตอบและสรุปยทุ ธวธิ แี ก้ปัญหา ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................ ................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................................................. ... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................ ................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................................................. ...

275 สถานการณป์ ัญหาท่ี 2 เรือไวกง้ิ เป็นเครอื่ งเล่นชนิดหนง่ึ ในสวนสนุก ถ้าในการแกว่งครง้ั แรก วัดระยะของหวั เรือไวกงิ้ เม่ือแกว่งจากตำแหน่งซ้ายสุดไปถึงขวาสุดได้ 75 เมตร และการแกวง่ ครง้ั ตอ่ ไป มีระยะสนั้ ลงเปน็ 3 ของระยะเดมิ จงหาว่าหากไม่มกี ารหยุดกะทนั หนั เรือไวก้ิงจะแกว่ง 5 ไปมา ต้ังแต่เร่ิมตน้ เปน็ ระยะทง้ั หมดเทา่ ใด 1. ทำความเข้าใจปัญหา 1.1 สิ่งทโ่ี จทย์ตอ้ งการ คือ........................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ 1.2 สิง่ ที่โจทย์กำหนด คือ......................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... .................................................................................. .............................................................................. 1.3 ข้อมูลทจี่ ำเป็นต้องใชแ้ กป้ ัญหา มีอะไรบา้ ง คอื .................................................................. ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... .............................................................................................................................. .................................. 2. คดิ วิธีหาคำตอบเพ่ือวางแผนแก้ปญั หา นกั เรยี นเลอื กใชว้ ธิ กี ารใดในการแก้ปัญหา ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ......................................................................................... ....................................................................... ............................................................................................................................. ................................... ...................................................................................................................................................... .......... ......................................................................................................................... ....................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ...................................

276 3. แสดงวธิ ีการหาคำตอบอยา่ งสรา้ งสรรค์ ใหน้ กั เรียนเขยี นแสดงวธิ ีหาคำตอบตามท่ีได้ วางแผนไว้ ............................................................................................................................... ................................. .................................................................................................. .............................................................. ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................................................... . ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ คำตอบ ............................................................................................................................. .................... ............................................................................................................. ................................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... 4. ขัน้ ตรวจคำตอบและสรปุ ยุทธวธิ ีแกป้ ัญหา ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... .................................................................................................................................... ............................ ....................................................................................................... ......................................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... .................................................................................................................................... ............................

277 แนวคำตอบการวดั ความสามารถในการแกป้ ญั หาอย่างสร้างสรรคแ์ ละมวี ิจารณญาณ กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 6 คำช้แี จง ให้นกั เรียนอา่ นสถานการณ์ปญั หา พร้อมท้ังเขียนแนวทางในการแก้ปญั หาเพ่ือหาคำตอบ สถานการณป์ ัญหาที่ 1 บริษัทแห่งหนึ่งมีงบรายจา่ ยของปีแรกอยู่ท่ี 2.5 พนั ล้านบาท แตเ่ นอื่ งจาก ราคาน้ำมนั ที่สูงขึน้ บรษิ ัทจึงวางแผนท่จี ะประหยดั งบประมาณโดยปรับลดงบรายจ่ายลง 20% ของปีกอ่ นหนา้ 1) จงเขยี นงบรายจ่ายในปีที่ n 2) จงคำนวณงบรายจ่ายของสปี่ ีแรกหลงั จากปรับลดงบ 3) จงตรวจสอบวา่ ลำดับของงบรายจ่ายนเ้ี ป็นลำดบั ล่เู ขา้ หรือไม่ 1. ทำความเข้าใจปญั หา 1.1 สิง่ ทโ่ี จทยต์ อ้ งการ คือ เขียนงบรายจ่ายในปที ่ี n , คำนวณงบรายจ่ายของ สี่ปีแรกหลังจากปรับลดงบ , ตรวจสอบวา่ ลำดับของงบรายจ่ายนี้เป็นลำดบั ลเู่ ข้าหรอื ไม่ 1.2 สิ่งทโี่ จทย์กำหนด คือ งบรายจ่ายของปีแรกอยทู่ ่ี 2.5 พันล้านบาท แต่เน่ืองจาก ราคานำ้ มันทส่ี ูงขน้ึ บริษัทจึงวางแผนทจี่ ะประหยดั งบประมาณโดยปรบั ลดงบรายจา่ ยลง 20% ของปีกอ่ นหน้า 1.3 ขอ้ มลู ท่จี ำเปน็ ต้องใช้แกป้ ัญหา มอี ะไรบา้ ง คือ รายจ่ายของปแี รกอยู่ที่ 2.5 พนั ล้านบาทปรบั ลดงบรายจ่ายลง 20% ของปีกอ่ นหน้า 2. คิดวิธหี าคำตอบเพื่อวางแผนแกป้ ัญหา นกั เรยี นเลือกใชว้ ธิ กี ารใดในการแก้ปัญหา หาลำดับเรขาคณติ และอนุกรมอนันต์ทีเ่ ป็นอนุกรมเรขาคณิต 3. แสดงวธิ กี ารหาคำตอบอย่างสรา้ งสรรค์ ให้นักเรียนเขียนแสดงวิธีหาคำตอบตามท่ีได้ วางแผนไว้ กำหนดให้ 1) an เป็นงบรายจา่ ยปกตทิ ่ีถกู ตัดลงเม่ือเวลาผา่ นไป n ปี ให้ A แทนงบรายจ่ายปกตเิ ป็น 2.5 พันลา้ นบาท สิ้นปที ี่ 1 จะได้ a1 = ������ − 20 (������) = 4 (������) 100 5

278 สิ้นปีที่ 2 จะได้ a2 =4 A − 20 (4 A) = (4)2 (A) สิน้ ปีที่ 3 5 100 5 5 จะได้ a3 = (4)2 A − 20 (4)2 A= (4)3 (A) 5 100 5 5 ⋮ สิน้ ปที ี่ n จะได้ an = (4)n (A) 5 ดงั น้นั เม่อื เวลาผา่ นไป n ปี งบรายจา่ ยเปน็ 2.5 (4)n พนั ลา้ นบาท 5 2) งบรายจา่ ยเมอ่ื สิน้ ปีท่ี 1 เปน็ 4 (2.5) = 2 พนั ล้าน 5 งบรายจา่ ยเมื่อสน้ิ ปีท่ี 2 เปน็ (4)2 (2.5) = 1.6 พันล้าน 5 งบรายจ่ายเมอื่ สิ้นปีท่ี 3 เป็น (4)3 (2.5) = 1.28 พนั ล้าน 5 งบรายจา่ ยเม่อื ส้นิ ปีที่ 4 เป็น (4)4 (2.5) = 1.024 พนั ลา้ น 5 ดังนนั้ งบรายจา่ ยในสปี่ แี รก หลังถกู ตัดงบเป็น 2 ,1.6 , 1.28 และ 1.024 พันล้านบาท ตามลำดบั 3) เนอื่ งจาก |4| < 1 จะได้ lim 2.5 (4)n = 0 5 n→∞ 5 ดงั นน้ั ลำดับของงบรายจ่ายนี้เป็นลำดับล่เู ขา้ 4. ข้ันตรวจคำตอบและสรปุ ยทุ ธวิธีแก้ปัญหา คำตอบสอดคล้องกับเง่อื นไขที่โจทยก์ ำหนด และเลือกใช้ลำดับเรขาคณติ และอนุกรมอนันต์ ท่เี ป็นอนุกรมเรขาคณิตในการแก้ปัญหาเป็นวิธีท่ีดีทส่ี ุด

279 สถานการณป์ ญั หาที่ 2 เรือไวก้ิงเป็นเครือ่ งเล่นชนิดหนง่ึ ในสวนสนกุ ถ้าในการแกว่งครง้ั แรก วดั ระยะของหัวเรือไวกงิ้ เมื่อแกวง่ จากตำแหนง่ ซ้ายสุดไปถึงขวาสุดได้ 75 เมตร และการแกวง่ ครง้ั ต่อไป มรี ะยะส้นั ลงเป็น 3 ของระยะเดิม จงหาวา่ หากไม่มกี ารหยุดกะทันหัน เรือไวกิ้งจะแกว่ง 5 ไปมา ตง้ั แตเ่ ร่ิมต้นเป็นระยะทัง้ หมดเท่าใด 1. ทำความเข้าใจปญั หา 1.1 สง่ิ ทโี่ จทยต์ อ้ งการ คือ เรอื ไวกิ้งจะแกวง่ ไปมา ตัง้ แต่เริม่ ตน้ เปน็ ระยะท้งั หมดเทา่ ใด 1.2 สิ่งที่โจทย์กำหนด คือ การแกว่งครง้ั แรกวดั ระยะของหัวเรือไวกง้ิ เม่ือแกว่งจากตำแหน่ง ซ้ายสดุ ไปถงึ ขวาสดุ ได้ 75 เมตร และการแกว่งคร้ังต่อไป มีระยะสั้นลงเปน็ 3 ของระยะเดิม 5 1.3 ข้อมลู ท่ีจำเป็นตอ้ งใช้แก้ปัญหา มอี ะไรบา้ ง คือ ระยะทางการแกวง่ ครงั้ แรก การแกว่ง ครัง้ ทสี่ อง 2. คดิ วธิ หี าคำตอบเพื่อวางแผนแก้ปัญหา นกั เรียนเลือกใช้วิธีการใดในการแก้ปัญหา เขยี นอนุกรมแล้วใช้ความรูเ้ ก่ียวกบั อนุกรมอนันต์ทีเ่ ปน็ อนุกรมเรขาคณติ 3. แสดงวิธกี ารหาคำตอบอย่างสรา้ งสรรค์ ใหน้ ักเรยี นเขยี นแสดงวิธีหาคำตอบตามที่ได้ วางแผนไว้ วธิ ที ำ การแกวง่ ครงั้ แรกวัดระยะของหวั เรือไวกง้ิ เมอื่ แกวง่ จากตำแหนง่ ซา้ ยสดุ ไปถึงขวาสดุ ได้ 75 เมตร การแกว่งคร้ังที่สอง ไดร้ ะยะทาง 75(3) เมตร 5 การแกวง่ คร้ังท่ีสาม ไดร้ ะยะทาง 75(3)(3) = 75(3)2 เมตร 55 5 ระยะทางท่ีได้จากการแกว่งคร้งั ใหม่เป็นเชน่ นี้ไปเร่ือย ๆ ดงั น้นั เรอื ไวกิง้ จะแกวง่ ไปมาต้ังแต่เรม่ิ ต้นจากจุดสูงสุดเป็นระยะทางเทา่ กับ 75 + 75(3) + 75(3)2+. . . = 75(1 + 3 + (3)2+. . . ) : r= (3) r < 1 55 55 5 = 75 (1−1 53)

280 = 75 (5) 2 = 187.5 ดงั น้นั หากไม่มีการหยุดกะทันหัน เรอื ไวกิง้ จะแกว่งไปมา ตัง้ แต่เรมิ่ ต้นเปน็ ระยะทั้งหมด 187.5 เมตร 4. ขัน้ ตรวจคำตอบและสรปุ ยทุ ธวธิ แี กป้ ญั หา สอดคล้องกับทฤษฎบี ท กำหนดใหอ้ นกุ รมเรขาคณติ มี a1 เป็นพจน์แรก และ r เปน็ อตั ราสว่ น รว่ ม ถา้ r < 1 แลว้ อนกุ รมน้ี เป็นอนกุ รมลู่เขา้ และมี a1 เป็นผลบวกของอนุกรม ถา้ r > 1 1-r แล้วอนกุ รมนี้เป็นอนกุ รมลอู่ อก คำตอบสอดคล้องกับเงื่อนไขท่ีโจทยก์ ำหนด และกลวิธที ่ีเลอื กใช้อนุกรมอนันต์ท่เี ป็นอนุกรม เรขาคณติ ในการแก้ปัญหาเป็นวธิ ที ่ดี ที ีส่ ุด

281 เกณฑก์ ารประเมินแบบทดสอบอตั นัย กำหนดคะแนนดงั น้ี ระดบั คะแนน เกณฑ์การให้คะแนน รายการประเมิน การคดิ แก้ปญั หา 5 คำตอบถกู ต้องมีการใช้วิธีดำเนนิ การแก้ปัญหาได้อยา่ ง ชดั เจนถกู ตอ้ งและมีกระบวนการแก้ปัญหาครบทุก ขัน้ ตอน 4 คำตอบไม่ถูกต้องแต่มกี ารใช้วิธีดำเนนิ การแก้ปัญหาได้ อย่างชัดเจนถูกต้องและมีกระบวนการแก้ปัญหาครบ ทุกขน้ั ตอน 3 คำตอบถกู ต้องแต่มรี อ่ งรอยการใช้กระบวนการ แก้ปัญหาบางข้นั ตอน 2 คำตอบไม่ถูกต้องแต่มีรอ่ งรอยการใช้กระบวนการ แกป้ ัญหาบางขนั้ ตอน 1 คำตอบถกู ต้องแตไ่ ม่มีการแสดงวิธีทำตามกระบวนการ แก้ปญั หา

282 แบบทดสอบวดั ผลสัมฤทธิ์ทางการเรยี น เร่อื ง ลำดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 6 รายวชิ าคณติ ศาสตรป์ ระยกุ ต์ 5 (ค 33203) ภาคเรยี นท่ี 2 ปกี ารศกึ ษา 2561 โรงเรยี นกบนิ ทรว์ ิทยา สำนักงานเขตพื้นท่ีการศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 7 คำชแ้ี จง 1) ขอ้ สอบฉบบั นี้เปน็ ขอ้ สอบแบบปรนยั 4 ตัวเลือก จำนวน 30 ขอ้ ข้อละ 1 คะแนน เวลา 50 นาที 2) ใหน้ กั เรยี นทำเคร่ืองหมาย () ลงในชอ่ ง  ในกระดาษคำตอบและทดเลขในกระดาษทีแ่ จกให้ 1. ข้อใดกล่าวไม่ถกู ต้องเกีย่ วกบั ความหมายลำดบั ก. ฟงั กช์ นั ท่ีมีโดเมนเปน็ เซตของจำนวนเต็ม ข. ฟงั ก์ชนั ที่มโี ดเมนเปน็ เซตของจำนวนเต็มบวก n จำนวนแรก ค. ฟงั กช์ ันท่ีมีโดเมนเปน็ เซตของจำนวนเต็มบวกตัง้ แต่ 1 ถงึ n ง. ฟังกช์ ันที่มโี ดเมนเปน็ เซตของจำนวนเต็มบวกท่เี รยี งจากน้อยไปมาก โดยเร่มิ ตั้งแต่ 1 2. สพี่ จนแ์ รกของลำดบั an = (−1)n(n + 2) ตรงกับขอ้ ใด ก. -3 , -4 , -5 , -6 ข. 3 , 4 , 5 , 6 ค. -3 , 4 , -5 , 6 ง. 3 , -4 , 5 , -6 3. ขอ้ ใดถูกตอ้ ง ก. 12, 23, 34, 45, … เป็นลำดบั จำกัด ข. -3, -5, -7, -9, … ,-1,000 เป็นลำดับจำกัด ค. 2, -2, 2, -2, 2 , -2, … , 2 เป็นลำดับอนันต์ ง. 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, … ,0.0000002 เปน็ ลำดบั อนันต์ 4. ขอ้ ใดเป็นพจน์ท่วั ไปของลำดับ -2, 8, -24, 64 ก. an = (2)n(n) ข. an = (2)n(−n) ค. an = (−2)n(−n) ง. an = (−2)n(n) 5. ลำดับในขอ้ ใดเปน็ ลำดบั เลขคณติ ข. 4 , 8 , 16 , 32 , 64 ก. 1 , 2 , 4 , 7 , 11 ง. 32 , 40 , 48 , 56 , 64 ค. 12 , 8 , 5 , 3 , 2

283 6. ขอ้ ใดเป็นพจน์ทวั่ ไปของลำดับ a , a+3 , a+6 , … ก. an = 3n + a + 3 ข. an = 3n − a + 3 ค. an = 3n + a − 3 ง. an = 3n − a − 3 7. ถา้ 5, x , 20 เปน็ ลำดบั เรขาคณติ แล้วลำดบั น้ีมอี ตั ราส่วนรว่ ม ตรงกับขอ้ ใด ก. ± 1 ข. ± 2 ค. ± 5 ง. ± 10 8. พจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต 7, 14, 28, … ตรงกบั ขอ้ ใด ก. 7 × 2n−1 ข. 7 × (1)n−1 ค. 7 × (1)n 2 2 ง. 7 × 2n 9. ลำดบั ในข้อใดเป็นลำดบั คอนเวอรเ์ จน (ล่เู ขา้ ) ก. an = 3n2−2 ข. an = 2+2n2 2n+1 3n ค. an (−1)n ง. an = (−1)n+1 = 1 + n 10. ลำดับในข้อใดเปน็ ลำดบั ไดเวอร์เจน (ล่อู อก) = 2n ก. an ข. an = 5 n n+1 1 ค. an = (2)n ง. an = n 2n+2 3 11. ลมิ ิตของลำดบั an = 4+5n ตรงกบั ข้อใด n ก. 0 ข. 4 ค. 5 ง. หาคา่ ไมไ่ ด้ 12. คา่ ของ lim 2+4n2 ตรงกบั ข้อใด n2 n→∞ ก. 0 ข. 4 ค. 8 ง. หาคา่ ไม่ได้ 13. ข้อใดตอ่ ไปนี้ถูกต้อง 3 ข. 4 = 60 ก. (2i 3 − 1) = 69  (−3)i i =1 i=1 ค. 4 i i 1 = 116 ง. 5 i2 = 2,897 + 60 2i −1 15   i=1 i=1

284 14. คา่ ของ 15 เทา่ กบั ข้อใด  (i + 5) i=1 ข. 180 ง. 1,295 ก. 20 ค. 195 15. ขอ้ ใดเป็นผลบวกของจำนวนเตม็ คบี่ วก 100 จำนวนแรก ก. 10,000 ข. 10,100 ค. 10,200 ง. 10,300 16. ขอ้ ใดเปน็ ผลบวก 20 พจน์แรกของจำนวนเต็มท่ีอยู่ระหว่าง 100 ถงึ 300 ทหี่ ารด้วย 6 ลงตวั ก. 2,040 ข. 2,160 ค. 3,100 ง. 3,180 17. ขอ้ ใดเป็นผลบวกของ 1+ 3 + 9+ … +2,187 ก. 3,120 ข. 3,280 ค. 3,340 ง. 3,420 18. ถา้ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 64+32+16+... เทา่ กับ 511 แลว้ n มคี า่ ตรงกบั ข้อใด 4 ก. 6 ข. 7 ค. 8 ง. 9 19. กำหนดอนุกรม 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 ขอ้ ใดกล่าวถกู ต้อง 10 100 1,000 10n ก. เป็นอนกุ รมลู่เข้า และมผี ลบวกเทา่ กบั 1 9 ข. เปน็ อนุกรมลเู่ ข้า และมีผลบวกเท่ากับ 1 10 ค. เปน็ อนุกรมลู่ออก และมีผลบวกเท่ากับ 1 11 ง. เปน็ อนุกรมลูอ่ อก และหาผลบวกไมไ่ ด้ 20. ขอ้ ใดเป็นผลบวกของ 8 + 4 – 4 – 8 + … ขอ้ ใดกล่าวถูกต้อง ก. เป็นอนกุ รมลูเ่ ข้า และมีผลบวกเทา่ กับ 0 ข. เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้า และมผี ลบวกเท่ากับ 1 2 ค. เป็นอนกุ รมลู่ออก และมีผลบวกเท่ากบั 8 ง. เป็นอนุกรมลอู่ อก และหาผลบวกไม่ได้

285 21. ค่าของ 1 + 0.2 + 0.034 + 0.00034 + 0.0000034 +... ตรงกับขอ้ ใด ก. 1 116 ข. 1 234 450 450 ค. 1 116 ง. 1 234 495 990 22. ผลบวกของอนกุ รมอนันต์ 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 +∙∙∙ เทา่ กับข้อใด 5∙6 6∙7 7∙8 (n+4)(n+5) ก. 1 ข. 1 50 6 ค. 1 ง. 2 55 23. ผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนุกรม1• 2 + 2 • 3 + 3 • 4 + 4 • 5 + ...+ n(n +1) เทา่ กับข้อใด ก. 340 ข. 440 ค. 6,400 ง. หาคา่ ไมไ่ ด้ 24. คา่ ของ x ทท่ี ำให้ 1+ x + x2 + x3 +... = 2 เท่ากับข้อใด 3 ก. – 1 ข. − 1 2 ค. 1 ง. 1 2 25. ผลบวกของอนกุ รมอนันต์ 3 + 9 + 27 + ... เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี 4 16 64 ก. 3 ข. 5 2 ค. 2 ง. 3 26. พิจารณาข้อความต่อไปน้ี ข้อใดเปน็ จรงิ 2 (1) ผลบวกของอนุกรม 1 -1 + 1 -1+ ... เทา่ กบั 0 (2) ผลบวกของอนุกรม 1 − 1 + 1 − 1 + ... เทา่ กบั 0 2222 ก. ข้อ (1) และ ข้อ ( 2) จรงิ ข. ขอ้ (1) และ ข้อ ( 2) ไมจ่ ริง ค. ข้อ (1) จรงิ แต่ข้อ ( 2) ไม่จริง ง. ขอ้ (1) ไม่จริง แต่ขอ้ ( 2) จรงิ 27. ลกู บอลลูกหนึ่งถกู ปล่อยลงจากทีส่ งู 120 เมตร เมื่อลูกบอลกระทบพนื้ จะกระดอนขนึ้ สูง 2 ของความสงู ทต่ี กลงมาทุกคร้ังดังนัน้ ระยะทางท้ังหมดที่ลูกบอลเคลอ่ื นท่จี นกว่าจะหยุดนิ่ง 3 เทา่ กับข้อใด ก. 720 เมตร ข. 600 เมตร ค. 480 เมตร ง. 360 เมตร

286 28. วรี ะศักด์มคี วามชื่นชอบในการเล่นกิจกรรมทา้ ทายอย่างบันจจี มั ป์ (bungee jump) ที่ผ้เู ลน่ กระโดดลงมาจากทส่ี งู โดยมปี ลายเชือกด้านหนงึ่ ผูกตดิ ลำตัวหรือหวั เข่าของผ้เู ล่น ปลายเชือก อีกด้านหนึ่งผูกตดิ ไวก้ ับฐานกระโดด วีระศกั ด์ิใชเ้ ชอื กยาว 200 ฟุต กระโดดบันจจี ัมปจ์ าก ฐานกระโดด และพบว่าหลงั จากในแต่ละคร้ังท่เี ขาดิ่งลงถงึ ตำแหนง่ ต่ำสุด เชือกที่มคี วาม ยดื หยนุ่ สูงจะดึงตวั เขาใหล้ อยขึ้นเปน็ ระยะทาง 80 % ของระยะทางทเี่ ขาดิ่งลงถึงตำแหน่ง ต่ำสุด อยากทราบว่าระยะทางทว่ี รี ะศักดิเ์ คลื่อนท่ีลอยข้นึ และดงิ่ ลงทง้ั หมดรวมระยะทางกฟี่ ตุ ก. 1,000 ข. 1,200 ค. 1,500 ง. 1,800 ใชส้ ถานการณต์ ่อไปน้ี ตอบคำถามข้อ 29-30 “เรือบรรทุกขนส่งน้ำมันเกิดอุบตั ิเหตลุ ม่ กลางทะเล ทำใหน้ ้ำมนั กระจายลอยบนผวิ นำ้ ใน เวลาหนึง่ วัน น้ำมันดงั กลา่ วแพร่กระจายเปน็ วงกว้างได้ไกลเปน็ ระยะทาง 1,200 เมตร เม่ือ ส้นิ วนั ทส่ี อง น้ำมนั แพร่กระจายต่อไปได้อกี 900 เมตร และเมื่อสน้ิ วันท่ีสาม นำ้ มัน แพร่กระจายไปได้อีก 675 เมตร” 29. ถ้าอัตราการแพรก่ ระจายของนำ้ มนั ดังกล่าวเป็นเช่นนไี้ ปเร่ือย ๆ เมอื่ ครบ 10 วนั การ แพร่กระจายน้ำมนั ดังกลา่ วจะแพร่ไปได้ไกลรวมก่เี มตร ก. (1,200)(1 − (3)9) ข. (4,800)(1 − (3)9) 44 ค. (1,200)(1 − (3)10) ง. (4,800)(1 − (3)10) 44 30. เมือ่ ครบ 10 วนั นำ้ มนั ดงั กล่าวจะแพร่กระจายไปใกลถงึ แหล่งน้ำจืด ซ่ึงห่างจากจดุ เกดิ เหตุ เรือลม่ เปน็ ระยะทาง 5 กิโลเมตร หรอื ไม่ อย่างไร ก. นำ้ มันแพร่กระจายไปไมถ่ ึงแหล่งนำ้ จดื เนือ่ งจากแพรก่ ะจายได้ไกลสดุ เพียง 1,200เมตร ข. นำ้ มนั แพร่กระจายไปถึงแหล่งน้ำจดื เนอ่ื งจากแพรก่ ะจายได้ไกลสดุ เพียง 5,500เมตร ค. นำ้ มันแพรก่ ระจายไปไม่ถึงแหลง่ น้ำจืด เน่ืองจากแพร่กะจายได้ไกลสุดเพียง 4,800เมตร ง. น้ำมันแพร่กระจายไปถึงแหลง่ นำ้ จืด เน่อื งจากแพร่กะจายได้ไกลสดุ เพยี ง 6,000เมตร

287 เฉลยแบบทดสอบวดั ผลสัมฤทธิท์ างการเรียน เรอ่ื ง ลำดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 รายวิชาคณติ ศาสตร์ประยุกต์ 5 (ค 33203) โรงเรยี นกบนิ ทรว์ ิทยา ข้อที่ คำตอบท่ีถูก ขอ้ ที่ คำตอบที่ถกู ขอ้ ที่ คำตอบทีถ่ กู 1 ก 11 ค 21 ก 2 ค 12 ข 22 ค 3 ข 13 ข 23 ข 4 ง 14 ค 24 ข 5 ง 15 ก 25 ก 6 ค 16 ง 26 ข 7 ข 17 ข 27 ข 8 ก 18 ง 28 ง 9 ค 19 ก 29 ง 10 ก 20 ก 30 ค

288 บรรณานกุ รม กระทรวงศึกษาธกิ าร. (2551). หลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพืน้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์ครุ สุ ภาลาดพรา้ ว. กาญจนา ชนุ บุญมา. (2551). การพัฒนากิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ืองลำดบั และ อนุกรมสำหรับนกั เรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 ตามแนวคิดทฤษฎี คอนสตรัคติวสิ ต์. วทิ ยานิพนธ์ปริญญาศึกษาศาสตรมหาบัณฑติ สาขาวิชาหลกั สตู รและการสอน บัณฑติ วิทยาลัย มหาวิทยาลัยขอนแก่น. ชลธิชา ธรรมใจ. (2557). การสรา้ งแบบฝึกเสริมทักษะพ้ืนฐานก่อนเรยี น เร่ืองลำดบั และอนกุ รม สำหรบั นักเรียนชัน้ มัธยมศึกษาตอนปลาย โรงเรียนจอมทอง จังหวดั เชียงใหม่.การค้นควา้ แบบอิสระปริญญา ศึกษาศาสตรมหาบัณฑิต สาขาวชิ าหลักสตู รและการสอน บณั ฑติ วทิ ยาลัยมหาวทิ ยาลยั เชียงใหม่. ชาญณรงค์ เฮียงราช. (2555).เอกสารประกอบการอบรมการจดั กจิ กรรมการเรียนรทู้ ่เี นน้ ทักษะ การคิดวิเคราะห์. ขอนแก่น : สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ศกึ ษา คณะศึกษาศาสตร์ มหาวทิ ยาลัยขอนแก่น. (เอกสารอัดสำเนา). เชดิ ศกั ด์ิ ภกั ดวี โิ รจน์. (2556). การศกึ ษาทกั ษะในการแก้โจทยป์ ัญหา เร่ือง การประยุกต์ของ สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว โดยใชร้ ูปแบบการสอนตามแนวคดิ ทฤษฎคี อนสตรคั ติวิสต์ ทเ่ี นน้ ขนั้ ตอนแก้ปญั หาของ Polya สำหรบั นักเรยี นช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 2. วทิ ยานพิ นธ์ ปรญิ ญาศึกษาศาสตรมหาบัณฑิต สาขาวิชาหลักสูตรและการสอน บัณฑิตวทิ ยาลยั มหาวิทยาลัยขอนแกน่ . ณรงค์ ปั้นนิ่ม และคณะ. (2554). หนงั สือเรียน รายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษา ปีที่ 4-6 เล่ม 6 กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษา ขั้นพนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. พมิ พ์ครง้ั ที่ 6. กรงุ เทพฯ: ไทยร่มเกล้า จำกัด. ปนัดดา ปิยะวรากร. (2559). การพฒั นาการจัดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลมิ ติ และ ความต่อเน่อื งของฟังกช์ นั ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 6 โดยใชก้ ารเรยี นรู้การใช้ปัญหาเปน็ ฐาน ท่ีมีต่อผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน การคิดวิเคราะห์ และความพึงพอใจต่อการเรียนรู้ คณิตศาสตร์. วิทยานิพนธ์ปริญญาศึกษาศาสตร มหาบัณฑิตสาขาวิชาหลกั สูตรและการสอน บัณฑิตวทิ ยาลัยมหาวทิ ยาลยั สโุ ขทยั ธรรมาธริ าช. พชั ราภรณ์ ทองนาค. (2559). ผลของการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ตามแนวคดิ แบบฮวิ รสิ ติกสร์ ว่ มกับ เทคนคิ Think Talk Write ทม่ี ตี ่อความสามารถในการแก้ปัญหา และความสามารถใน การสือ่ สารทางคณิตศาสตร์ ของนักเรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4. วทิ ยานิพนธป์ รญิ ญา การศกึ ษามหาบัณฑติ สาขาวิชาคณิตศาสตร์ บณั ฑิตวทิ ยาลยั มหาวิทยาลัยศรนี ครินทร์ วโิ รฒ. พชั รี ปยิ ภณั ฑ์. (2555). การพฒั นากระบวนการจัดการเรียนรู้เพ่ือส่งเสริมการคดิ เชงิ คณติ ศาสตร์ สำหรบั นกั เรยี นชัน้ มัธยมศกึ ษา. วทิ ยนิพนธ์การศกึ ษาศาสตรมหาบัณฑิต, สาขาวิชาหลักสูตร และการสอน บัณฑิตวิทยาลยั มหาวิทยาลัยขอนแก่น.

289 มณีรตั น์ พันธตุ า. (2556). การศกึ ษาความสามารถในการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์และผลสมั ฤทธิ์ ทางการเรียนของนักเรียนช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 โดยใชร้ ูปแบบ SSCS รว่ มกับกระบวนการ แก้ปัญหาของ Polya.ปริญญานิพนธม์ หาบณั ฑติ , มหาวิทยาลยั ศรีนครินทรวิโรฒ. วราภรณ์ วรรณผอ่ ง. (2552). การพฒั นากจิ กรรมการเรียนรูว้ ชิ าคณิตศาสตร์ตามหลกั ซิปปา เรอื่ ง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั สำหรบั นกั เรยี นระดบั ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6 โรงเรียนนวมนิ ทราชินทู ิศ เตรยี มอุดมศึกษาพัฒนาการ. ปริญญานพิ นธม์ หาบัณฑติ , มหาวทิ ยาลัยศรนี ครินทรวิโรฒ. เวชฤทธิ์ อังกนะภัทรขจร. (2555). ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ : เอกสารคำสอน วิชา 410541 (Mathematical skills and processes). ชลบรุ ี : ภาควชิ าการจัดการ เรียนรู้ คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยบูรพา. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2554). ครูคณติ ศาสตร์มืออาชีพ เสน้ ทาง สู่ความสำเรจ็ . กรุงเทพฯ: กรมวิชาการ กระทรวงศกึ ษาธกิ าร. . (2554). คมู่ อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ เล่ม 6 ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4-6 กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาข้นั พืน้ ฐาน พุทธศกั ราช 2551. 3,000 เลม่ . พมิ พ์คร้ังท่ี 1. กรุงเทพฯ: สกสค. ลาดพรา้ ว. . (2554). หนังสือเรยี นรายวชิ าเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 6 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4-6 กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. 250,000 เลม่ . พิมพค์ ร้ังท่ี 1. กรงุ เทพฯ: สกสค. ลาดพร้าว. . (2555). การวดั ผลประเมนิ ผลคณิตศาสตร์.กรุงเทพฯ : ซเี อ็ดยเู คชนั . สริ ภพ สินธุประเสริฐ. (2559). ผลของการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้โดยใชก้ ลวิธเี อสคิวอารค์ วิ ซคี ิว ร่วมกับคำถามระดบั สูงที่มีต่อความสามารถในการแก้ปัญหาและผลสัมฤทธทิ์ างการเรียน คณติ ศาสตร์เรือ่ ง สถิติของนักเรียนช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 .ปรญิ ญานพิ นธม์ หาบัณฑิต มหาวิทยาลัยศรนี ครนิ ทรวิโรฒ. สรุ ยี ์ จันทรตั นา. (2555). การเปรยี บเทยี บผลสัมฤทธ์ทิ างการเรียนการคดิ วเิ คราะหแ์ ละแรงจูงใจ ใฝ่สมั ฤทธข์ิ องนกั เรียนช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 ระหว่าง การจดั กจิ กรรมการเรยี นรูต้ าม แนวคิด ทฤษฎพี หุปญั ญาและการจดั กิจกรรมการเรียนรูต้ ามแนวคิดทฤษฎีคอนสตรคั ติวิสต์เรอ่ื งลิมิตและความต่อเน่อื งของฟังก์ชัน.ปรญิ ญานพิ นธ์มหาบัณฑิต, มหาวทิ ยาลยั ศรนี ครินทรวิโรฒ. เสรี ทองลอยและศรสี ุดา ทองลอย. (2556). การวัดผลและการสรา้ งแบบสอบผลสัมฤทธิ์. พิมพ์คร้ังที่ 9. กรุงเทพฯ: จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย.