คู่มือรูปแบบการสอนแก้ปัญหา

48 2. ครูกำหนดสถานการณป์ ัญหาทางคณิตศาสตร์ท่ีตอ้ งการสอน ดังนี้ 3. กำหนดลำดบั เลขคณติ 1, 9, 17, 25, 33, … ให้ตรวจสอบว่า 5,224 เป็นจำนวน ที่อยใู่ นลำดับนหี้ รือไม่ ขัน้ ท่ี 2 คดิ วธิ หี าคำตอบเพ่ือวางแผนแกป้ ญั หา 4. ครใู หน้ กั เรยี นรว่ มแสดงความคดิ เห็นจากคำถามดังกลา่ วว่า นักเรยี นสามารถระบปุ ัญหาได้ หรือไม่และมีแนวคดิ ในการเลือกใชก้ ลวธิ ีใดในการแกป้ ญั หา 5. ครอู ธบิ ายโดยใชส้ อ่ื ในโปรแกรม power point เกี่ยวกบั การนำความรเู้ รอื่ งลำดับเลขคณิต ไปประยุกตใ์ ช้ ดงั นี้ การประยกุ ต์ใช้ลำดับเลขคณิต การนำความรเู้ รื่องลำดบั เลขคณิตไปประยุกต์ใช้ ในการแกป้ ัญหาได้หลายอย่าง เชน่ ➢ ในการอธิบายจำนวนทป่ี รากฏในลำดับเลขคณิต ➢ การหาพจน์ที่ไม่ปรากฏในลำดบั ทกี่ ำหนดให้เชน่ พจน์ท่ี 100 เปน็ ตน้ ➢ การหาจำนวนพจนท์ หี่ ารลงตัวดว้ ยจำนวนเตม็ ตา่ ง ๆ กำหนดลำดับเลขคณติ 1, 9, 17, 25, 33, … ใหต้ รวจสอบวา่ 5,224 เป็นจำนวนทีอ่ ยูใ่ น ลำดับน้หี รือไม่ วธิ ที ำ จากโจทย์ a1 = 1, a2 = 9 และ d = a2 - a1 = 9 - 1 = 8 จากสตู รการหาพจน์ที่ n ของลำดบั เลขคณิต จะได้วา่ an= a1 + (n - 1)d 5,224 = 1 + (n - 1)(8) ทำไดแ้ ล้ว 5,224 = 1 + 8n - 8 5,224 = 8n - 7 8n = 5,231 n = 5,231 8 n = 653.857 จะได้ว่า n ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก ดงั นนั้ 5,224 ไมอ่ ยู่ในลำดบั เลขคณิต 1, 9, 17, 25, 33, … ตอบ

49 การประยุกตใ์ ชล้ ำดับเลขคณิต การหาพจน์ท่ีไม่ปรากฏในลำดบั ทก่ี ำหนดใหเ้ ช่น พจนท์ ่ี 100 เปน็ ตน้ ตวั อยา่ ง จงหาพจน์ท่ี 100 ของลำดบั เลขคณติ ถ้ากำหนดพจน์แรก และพจน์ท่ี 2 มีค่าเทา่ กบั 1 และ 4 ตามลำดบั วิธีทำ จากโจทย์ a1 = 1, a2 = 4 และ d = a2 - a1 = 4 - 1 = 3 , n =100 จากสูตรการหาพจนท์ ่ี n ของลำดับเลขคณิต จะไดว้ ่า an = a1 + (n - 1)d a100 = 1 + (100 - 1)(3) = 298 ดังนน้ั พจน์ที่ 100 ของลำดบั เลขคณติ คือ 298 ตอบ การหาจำนวนพจนท์ ีห่ ารลงตัวด้วยจำนวนเต็มต่าง ๆ ตัวอยา่ ง จงหาวา่ จำนวนนับ 1 ถึง 2,000 มีทัง้ หมดก่จี ำนวนท่ีหารดว้ ย 7 ลงตวั วธิ ีทำ เริม่ ด้วยการหาจำนวนแรก และจำนวนสดุ ทา้ ยที่ 7 หารลงตัวจากจำนวนนับ 1 ถึง 2,000 จะได้ว่า จำนวนแรก คือ 7 และ จำนวนสดุ ทา้ ย คือ 1,995 จากจำนวนที่ 7 หารลงตัวดังกลา่ ว เมอื่ นำมาเขยี นเรียงลำดบั จากน้อยไปมาก ทำให้ไดล้ ำดับเลขคณิต ทม่ี ผี ลต่างร่วมเปน็ 7 โดยที่ a1 = 7 สมมติให้ พจนท์ ่ี n เท่ากับ 1,995 จากสูตรการหาพจน์ท่ี n ของลำดับเลขคณิต จะไดว้ า่ an= a1 + (n - 1)d 1,995 = 7 + (n - 1)(7) 1,995 = 7 + 7n - 7 1,995 = 7n n = 285 ดังน้ัน จำนวนนับ 1 ถึง 2,000 จะมีจำนวนที่หารด้วย 7 ลงตวั มีท้งั หมด 285 จำนวน ตอบ ลำดับเลขคณติ ชว่ ยแก้ปัญหาน้ีได้

50 ขน้ั ที่ 3 แสดงวิธกี ารหาคำตอบอย่างสรา้ งสรรค์ 6. ครกู ำหนดสถานการณป์ ัญหาทางคณิตศาสตร์ให้นักเรียนคิดวธิ หี าคำตอบเพือ่ วางแผน แก้ปญั หาแลว้ ให้นักเรยี นเขา้ กลุ่มยอ่ ยกลมุ่ เดมิ และใหน้ ักเรียนทำใบงานท่ี 3 เรื่อง ลำดับเลขคณติ ข้อ 3- 5 7. ครใู ช้คำถามกระตนุ้ ให้นักเรียน ลงมอื ปฏบิ ตั กิ จิ กรรมดว้ ยตนเองอย่างอิสระ แลว้ แสดง ความคิดเห็นในแนวทางการแกป้ ัญหาของตนเองต่อกล่มุ แลว้ สมาชกิ กล่มุ รว่ มกนั พิจารณาตรวจสอบ และประเมินทางเลือกในการแกป้ ัญหา ก่อนเลือกกลวิธที ี่ดีที่สดุ ทตี่ รงกับสถานการณ์และมีความ เหมาะสมเปน็ ไปไดแ้ ละดำเนนิ การแกป้ ัญหาของกลุ่ม พรอ้ มทง้ั สงั เกตพฤติกรรมการทำงาน ขั้นท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยุทธวธิ แี ก้ปัญหา 8. ครถู ามตัวแทนกล่มุ แตล่ ะกลมุ่ ให้นำเสนอกระบวนการแกป้ ัญหา กลวธิ ที ใี่ ช้แก้ปัญหา คำตอบของปัญหาท่ีกลุ่มไดร้ ่วมกันพิจารณาตดั สนิ ใจเลือกไว้ รวมถึงปญั หาในการดำเนินการแก้ปัญหา 9. ครซู กั ถาม อภปิ ราย ผลลพั ธท์ ่ีได้ของแตล่ ะกลุ่มแตกต่างกนั หรือไม่ และใหน้ กั เรียน ยกตัวอย่างเกี่ยวกบั การนำความรเู้ รื่องลำดับเลขคณิตไปประยุกตใ์ ช้ในชวี ิตประจำวนั 10. ให้นกั เรยี นสรุปเกีย่ วกบั เร่ืองที่เรยี น และครูช่วยสรปุ เพ่ิมเติม เมอื่ พบวา่ นักเรยี นสรุปได้ ไมค่ รอบคลุมเนื้อหา หรอื ไดม้ โนมตทิ ี่ยังไม่ชดั เจนถูกต้อง และให้นกั เรยี นไปศึกษาคน้ ควา้ เพม่ิ เติมจาก หนังสือเรียนหนังสอื เรียนรายวชิ าเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์ เล่ม 6 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4-6 หรอื สืบคน้ จากอนิ เทอรเ์ น็ต เช่น https://krusand.files.wordpress.com/2014/06/e0b8a5e0b8b3e0b894e0b8b1e0b89a e0b981e0b8a5e0b8b0e0b8ade0b899e0b8b8e0b881e0b8a3e0b8a1.pdf การประยุกตใ์ ชล้ ำดับเลขคณิต ➢ ในการอธบิ ายจำนวนทป่ี รากฏในลำดับเลขคณติ ➢ การหาพจนท์ ี่ไม่ปรากฏในลำดับท่กี ำหนดใหเ้ ชน่ พจน์ท่ี 100 เปน็ ตน้ ➢ การหาจำนวนพจนท์ ่หี ารลงตัวด้วยจำนวนเตม็ ต่าง

51 7. การวัดและประเมนิ ผล รายการวดั วธิ ีการ เครอ่ื งมอื เกณฑก์ ารประเมนิ - ใบงานท่ี 3 การประเมนิ ระหว่าง - รอ้ ยละ 70 ผา่ นเกณฑ์ การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ - ระดบั คุณภาพ 2 ผ่านเกณฑ์ 1) ลำดบั เลขคณติ - ตรวจใบงานท่ี 3 - ระดับคุณภาพ 2 2) พฤตกิ รรม - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต ผา่ นเกณฑ์ การทำงานรายบุคคล การทำงาน พฤติกรรมการ รายบุคคล ทำงานรายบคุ คล - ระดบั คุณภาพ 2 3) พฤติกรรม ผ่านเกณฑ์ การทำงานกล่มุ - สังเกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต การทำงานกลุม่ พฤติกรรม 4) คุณลกั ษณะ การทำงานกลุ่ม อันพงึ ประสงค์ - สงั เกตใฝเ่ รียนรู้ และมงุ่ ม่นั ใน - แบบประเมนิ การทำงาน คณุ ลกั ษณะ อนั พึงประสงค์ 8. ส่ือ/แหลง่ การเรียนรู้ 8.1 สื่อการเรียนรู้ 1) สอื่ ในโปรแกรม power point เร่อื ง ลำดับเลขคณติ 2) หนงั สือเรียนรายวิชาเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์ เล่ม 6 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4-6 3) ใบงานที่ 3 เร่อื ง ลำดับเลขคณิต 8.2 แหลง่ การเรยี นรู้ 1) หอ้ งเรยี น , หอ้ งสมดุ 2) อนิ เทอรเ์ นต็

52 ใบงานท่ี 3 เร่ือง ลำดบั เลขคณติ  คำชีแ้ จง : ให้นักเรยี นหาคำตอบ พรอ้ มแสดงวิธีการหาคำตอบ 1. จงบอกวา่ ลำดับทก่ี ำหนดใหต้ ่อไปนี้ ลำดับใดเป็นลำดบั เลขคณติ ถ้าเปน็ ลำดับเลขคณิตให้ หาผลต่างรว่ มของลำดบั น้ัน ๆ ดว้ ย 1) −2,  4,   10,  16, … ,  6n − 8 2) 7, 9, 11, 13 ,  …, (2n + 5) 3) 6, -6,  6, -6, …, 6(-1)n - 1 4) 4, 2, 0, -2, …, (6 - 2n)

53 5) 3,  1,   1 , 1 , … ,  9 (1)������ 39 3 2. จงหาพจนท์ ว่ั ไปของลำดับเลขคณิตต่อไปนี้ 1) -1 , 1 , 1 , … 6 62 2) 8, 28, 48, … 3) a, a + 2, a + 4, …

54 4) 19.74, 22.54, 25.34, … 5) 3a + 2b, 2a + 4b, a + 6b , … 3. กำหนดลำดับเลขคณิต 1, 4, 7, 10, 13, … ให้ตรวจสอบว่า 5,998 เป็นจำนวนที่อยู่ในลำดับนี้ หรอื ไม่ 4. ถ้าผลบวกของสามพจน์แรกของลำดับเลขคณิต คือ 12 และผลบวกของกำลังสามของแต่ละพจน์ คอื 408 จงหาลำดบั นี้

55 5. กำหนดให้พจน์ที่ 7 และพจน์ที่ 11 ของลำดับเลขคณิตคือ 7b + 5c และ 11b + 9c ตามลำดับ จงหาพจน์แรกและผลตา่ งรว่ มของลำดบั เลขคณิตน้ี

56 เฉลยใบงานที่ 3 เร่อื ง ลำดบั เลขคณติ  คำชแี้ จง : ให้นกั เรียนหาคำตอบ พร้อมแสดงวธิ ีการหาคำตอบ 1. จงบอกว่าลำดับที่กำหนดให้ต่อไปนี้ ลำดับใดเป็นลำดับเลขคณิต ถ้าเป็นลำดับเลขคณิตให้หา ผลตา่ งรว่ มของลำดับนัน้ ๆ ดว้ ย 1) −2,  4,   10,  16, … ,  6������ − 8 วธิ ที ำ a1 =   −2, a2 =  4 a3 =  10, a4 =  16 a2- a1 =  4  − (−2) =  6 a3- a2 =  10  −  4  =  6 a4- a3 =  16  −  10 =  6 นั่นคอื ลำดับนีม้ ผี ลต่างรว่ ม d = 6 ดังน้ัน ลำดับ −2,  4,   10,  16, … ,  6n − 8 เป็นลำดบั เลขคณติ และมผี ลตา่ งรว่ ม d = 6 2) 7, 9, 11, 13 ,  …, (2n + 5) วิธที ำ a1 =  7, a2 =  9, a3 =  11, a4 =  13 a2- a1 =  9  −  7  =  2 a3- a2 =  11  −  9  =  2 a4- a3 =  13  −  11  =  2 นน่ั คอื ลำดับน้ีมผี ลต่างรว่ ม d = 2 ดงั นน้ั ลำดบั 7, 9, 11, 13 ,  …, (2n + 5) เปน็ ลำดับเลขคณติ และมีผลต่างร่วม d = 2

57 3) 6, -6,  6, -6, …, 6(-1)n - 1 วธิ ที ำ a1 =  6, a2 =  -6, a3 =  6, a4 =  -6 a2- a1 =  - 6  −  6  =  -12 a3- a2 =  6 - (-6)   =  12 a4- a3 =   − 6  −  6  =  -12 นน่ั คอื ลำดับนไ้ี ม่มีผลต่างรว่ ม ดงั นั้น ลำดบั 6, -6,  6, -6, …, 6(-1)n - 1 ไมเ่ ปน็ ลำดบั เลขคณิต 4) 4, 2, 0, -2, …, (6 - 2n) วธิ ีทำ a1 =  4, a2 =  2, a3 =  0, a4 =  -2 a2- a1 =  2  −  4  =  -2 a3- a2 =  0  −  2  =  -2 a4- a3 =   − 2  −  0  =  -2 นัน่ คือ ลำดบั นี้มีผลตา่ งร่วม d = -2 ดงั น้นั ลำดับ 4, 2, 0, -2, …, (6 - 2n) เป็นลำดับเลขคณิต และมีผลตา่ งรว่ ม d = -2 5) 3,  1,   1 , 1 , … ,  9 (1)������ 39 3 วธิ ที ำ a1 =  3, a2 =  1, a3 =   1 , a4 =  1 3 a2- a1 =  1  −  3  =  -2 9 a3 −  a2 =  1 −  1 =   -2 3 3 =   1   −   1   =   1   −   3   =   -2  a4- a3 93 99 9 น่ันคือ ลำดับน้ีไม่มผี ลต่างรว่ ม ดงั น้นั ลำดับ 3,  1,   1 , 1 , … ,  9 (1)������ ไม่เปน็ ลำดับเลขคณิต 39 3 หมั่นเรยี นรู้ และฝึกฝนนะคะ

58 2. จงหาพจนท์ ั่วไปของลำดบั เลขคณติ ตอ่ ไปนี้ 1) -1 , 1 , 1 , … 6 62 วธิ ีทำ ลำดับเลขคณิต -1 , 1 , 1 , … 6 62 a1 =   -1 ,  d  = 1 - (-1)   =   2 =  1 6 6 66 3 จาก an =   a1 +   (n  −  1)d an =   -1   +   (n  −  1)(1) 6 3 an =   -1   +   1 n - 1 3 63 an = 1n - 1 - 2 6 6 3 an = 1n - 3 = 1n - 1 6 2 3 3 ดงั นน้ั ลำดบั -1 , 1, 1 , … มพี จนท์ ่ัวไป คือ an = 1n - 1 2 6 6 2 3 2) 8, 28, 48, … วธิ ีทำ ลำดับเลขคณติ 8, 28, 48, … a1 =  8, d  =  28  −  8  =  20 จาก an =   a1 +   (n  −  1)d an =  8  +   (n  −  1)(20) an =  8  +  20n  −  20 an =  20n  −  12 ดังนน้ั ลำดบั 8, 28, 48, … มพี จน์ท่ัวไป คอื an =  20n  −  12

59 3) a, a + 2, a + 4, … วธิ ที ำ ลำดบั เลขคณติ a, a + 2, a + 4, … a1= a, d =(a + 2) – a = 2 จาก an =   a1 +   (n  −  1)d an =  a  +   (n  −  1)(2) an =  a  +  2n  −  2 an =  2n  +  a  −  2 ดงั นั้น ลำดบั a, a + 2, a + 4, … มพี จน์ทวั่ ไป คอื an =  2n  +  a  −  2 4) 19.74, 22.54, 25.34, … วธิ ีทำ ลำดบั เลขคณิต 19.74, 22.54, 25.34, … a1 =  19.74, d  =  22.54  −  19.74  =  2.8 จาก an =   a1 +   (n  −  1)d an =  19.74  +   (n  −  1)(2.8) an =  19.74  +  2.8n  −  2.8 an =  2.8n  −  16.94 ดังนัน้ ลำดับ 19.74, 22.54, 25.34, … มีพจน์ท่วั ไป คอื an =  2.8n  −  16.94 5) 3a + 2b, 2a + 4b, a + 6b , … วธิ ีทำ ลำดบั เลขคณิต 3a + 2b, 2a + 4b, a + 6b , … a1 =  3a  +  2b, d  = (2a  +  4b)   −   (3a  +  2b)   =   − a  +  2b จาก an =   a1 +   (n  −  1)d an =  3a  +  2b  +   (n  −  1)(-a  +  2b) an =  3a  +  2b + (-a + 2b)n - (-a + 2b) an =  3a  +  2b + (-a + 2b)n + a - 2b an =   (-a + 2b)n + 4a ดังนน้ั ลำดับ 3a + 2b, 2a + 4b, a + 6b , …มพี จนท์ ว่ั ไปคือ an =   (-a + 2b)n + 4a

60 3. กำหนดลำดบั เลขคณิต 1, 4, 7, 10, 13, … ให้ตรวจสอบว่า 5,998 เปน็ จำนวนท่อี ยใู่ นลำดับนี้ หรือไม่ วิธีทำ จากโจทย์ a1 = 1, a2 = 4 และ d = a2 - a1 = 4 - 1 = 3 ตอบ จากสตู รการหาพจนท์ ่ี n ของลำดบั เลขคณิต จะได้ว่า an= a1 + (n - 1)d 5,998 = 1 + (n - 1)(3) 5,998 = 1 + 3n - 3 5,998 = 3n - 2 3n = 6,000 n = 6,000 3 n = 200 จะไดว้ ่า n เปน็ จำนวนเต็มบวก ดงั นัน้ 5,998 ไม่อยู่ในลำดบั เลขคณิต 1, 4, 7, 10, 13, … 4. ถา้ ผลบวกของสามพจน์แรกของลำดบั เลขคณิต คอื 12 และผลบวกของกำลังสามของแต่ละพจน์ คอื 408 จงหาลำดับนี้ วิธีทำ กำหนดให้ ลำดบั เลขคณติ a1, a1+ d, a1+ 2d, … เราสามารถกำหนดพจนแ์ รก a1= a - d นนั่ คือ สามลำดับแรกสามารถเขยี นเปน็ a - d, a, a + d, … ผลบวกของสามพจนแ์ รก 12 = (a - d) + a + (a + d) = 3a a =4 ผลบวกของกำลังสามของแต่ละพจน์ คอื (a - d)3+ a3+ (a + d)3= 408 แทนค่า a = 4 จะได้ (4 - d)3+ 43+ (4 + d)3= 408 64 - 48d + 12d2- d3+ 64 + 64 + 48d + 12d2+ d3 = 408 24d2+ 192 = 408 24d2 = 216 d2 = 9 d = ±3 ดังน้นั ลำดบั สามพจนเ์ รียงกัน คอื 1, 4, 7 หรอื 7, 4, 1 ตอบ

61 5. กำหนดใหพ้ จน์ที่ 7 และพจน์ท่ี 11 ของลำดับเลขคณติ คือ 7b + 5c และ 11b + 9c ตามลำดบั จงหาพจนแ์ รกและผลตา่ งรว่ มของลำดับเลขคณิตนี้ วธิ ีทำ ให้ a1, a7, a11 เปน็ พจนท์ ี่ 1, 7, 11 ของลำดับเลขคณติ จะได้ว่า a7 = 7b + 5c a1+ 6d = 7b + 5c …………………..……….(1) a11 = 11b + 9c …………………..……….(2) a1+ 10d= 11b + 9c (2) - (1) จะได้ 4d= 4b + 4c d=b+c นำ d= b + c ไปแทนใน (1) a1+ 6(b + c) = 7b + 5c a1+ 6b + 6c= 7b + 5c a1 = b - c ดงั นัน้ พจน์แรกของลำดบั เลขคณติ น้ี คือ a1= b - c ผลต่างรว่ มของลำดบั เลขคณติ นี้ คอื d= b + c หนทู ำไดแ้ ล้ว

62 แผนการจดั การเรยี นร้ทู ี่ 4 เรื่อง ลำดับเรขาคณิต เวลา 3 ช่ัวโมง กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ คณติ ศาสตรป์ ระยุกต์ 5 (ค33203) ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 1 เรอื่ ง ลำดับอนันต์และอนุกรมอนนั ต์ เวลา 30 ชว่ั โมง ครผู ูส้ อน นางสุทธดา เหลืองห่อ ใชส้ อนวนั ท่ี ......................................... 1. ผลการเรยี นรู้ นำความรูเ้ รือ่ งลำดบั และอนกุ รมไปใชแ้ กป้ ัญหาได้ 2. จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ 1) อธบิ ายเกีย่ วกบั ความหมาย การหาพจนท์ ่ัวไปของลำดบั เรขาคณติ ได้ (K) 2) แสดงวธิ ีการแก้ปัญหาเกีย่ วกบั ลำดบั เรขาคณิตได้ (P) 3) ใฝ่เรียนร้แู ละมีความมุ่งมนั่ ในการทำงานเกีย่ วกบั ความร้เู ก่ยี วกับลำดบั เรขาคณติ ไปประยกุ ต์ ใชใ้ นชวี ติ จรงิ ได้ (A) 3. สาระการเรยี นรู้ ลำดบั เรขาคณิต 4. สาระสำคัญ/ความคดิ รวบยอด ลำดบั เรขาคณติ (geometric sequence) คือ ลำดบั ซงึ่ มีอตั ราสว่ นของพจน์ที่ n + 1 ตอ่ พจนท์ ี่ n เปน็ ค่าคงตวั ทเ่ี ท่ากัน สำหรับทกุ จำนวนเต็มบวก n และเรียกค่าคงตัวท่เี ปน็ อตั ราสว่ นนว้ี า่ อัตราสว่ นรว่ ม (common ratio) 5. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รียน 1) ความสามารถในการสือ่ สาร 2) ความสามารถในการแก้ปัญหา 6. กจิ กรรมการเรียนรู้ รปู แบบการสอนแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์เพ่ือพฒั นาความสามารถในการแกป้ ัญหาและ ความสามารถในการคดิ ข้นั สูง ชวั่ โมงท่ี 1 ขั้นท่ี 1 ทำความเข้าใจปัญหา 1. ครทู บทวนความร้เู กย่ี วกบั ลำดบั เลขคณิต และแสดงให้เหน็ ว่า มลี ำดับชนิดอ่ืนทไ่ี มใ่ ช่ ลำดับเลขคณิต และต้ังคำถามเพื่อนำไปสู่การอภิปรายร่วมกัน

63 เชน่ 1) 2, 4, 8, 16 2) 5, 25, 125, 625 3) 100, 10, 1, 0.1 4) 3, -12, 48, -192 ➢ ลำดับทก่ี ำหนดให้เป็นลำดับเลขคณติ หรือไม่ เพราะเหตุใด (แนวคำตอบ ไม่ใช่ เนื่องจากมีผลต่างรว่ มไมเ่ ท่ากัน) ➢ ถา้ ลำดบั ทย่ี กตวั อย่างแต่ละคมู่ ีการเปลย่ี นแปลงอยา่ งไร (แนวคำตอบ เพมิ่ ข้ึนและลดลง จากการคณู หรอื หาร ดว้ ยจำนวนทีเ่ ทา่ กัน ) ➢ จากตวั อยา่ งจำนวนใดบ้างทนี่ ำมาคณู (แนวคำตอบ 2 , 5 , 1 , -4 ตามลำดบั ) 10 2. ครูให้นกั เรียนยกตวั อย่างเพ่ิมเติม เพอ่ื ให้นักเรยี นเกิดการเช่อื มโยงความรู้ และสุ่มให้นกั เรยี น ตอบจำนวนที่นำมาคูณหรือหารจากตัวอย่างท่ีนกั เรยี นยกตัวอยา่ งเพิม่ เติม 3. ครยู กตัวอย่างเพ่ิมเติมจากปัญหาทางคณติ ศาสตรท์ ่ตี ้องการสอนให้เป็นสถานการณ์ปัญหา ทเ่ี กีย่ วขอ้ งหรอื คล้ายคลงึ หรือเปน็ สถานการณ์ในบรบิ ทจริงของนกั เรยี น ให้นักเรยี นวิเคราะห์ทำความ เข้าใจกับสถานการณป์ ัญหา โดยใช้กระบวนการแก้ปญั หา 5 ข้ันตอนคือ 1) ระบุปัญหา 2) เลือกใช้ กลวิธีในการแกป้ ญั หา 3) ดำเนินการแก้ปญั หา 4) ตรวจสอบการแกป้ ัญหา 5) ประยกุ ตใ์ ชค้ วามรูก้ ับ ความรใู้ หม่ และให้นักเรยี นสงั เกตคำตอบท่ไี ด้ จะเหน็ วา่ ลำดับในข้อ 1-3 จะมีอตั ราสว่ นของพจนห์ ลงั กบั พจน์หน้าท่อี ยตู่ ิดกันเทา่ กนั ดังนี้ ตวั อยา่ ง 1) 1, 3, 9, 27, 51 ลำดบั เพม่ิ ขนึ้ ด้วยการคูณ 3 2) 10, -10, 10, -10, 10 ลำดับเพ่ิมข้นึ และลดลงด้วยการคูณ -1 3) 9, 1 , 1 , 1 , … ลำดับท่ลี ดลงด้วยการคูณ 1 หรอื หาร 9 9 81 729 9 จากตัวอย่างที่กำหนดให้ เรยี กว่าลำดบั อะไร ข้นั ที่ 2 คดิ วิธหี าคำตอบเพื่อวางแผนแก้ปัญหา 4. ครใู หน้ กั เรยี นรว่ มแสดงความคิดเหน็ จากคำถามดังกล่าววา่ นักเรยี นสามารถระบุปญั หาได้ หรอื ไม่และมีแนวคดิ ในการอธิบายลำดบั ดังกล่าวได้อยา่ งไร 5. ครอู ธบิ ายใชส้ ื่อในโปรแกรม powerpoint เกยี่ วกับ ลำดับเรขาคณติ ดังนี้

64 ลำดับเรขาคณติ (geometric sequence) บทนิยาม ลำดบั เรขาคณติ (geometric sequence) คอื ลำดับทมี่ อี ตั ราส่วนของพจน์ท่ี n + 1 กับพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัวเสมอว่า ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence) และเรียก อตั ราส่วนท่ีเปน็ ค่าคงตัวนนั้ ว่า อตั ราสว่ นรว่ ม (common ratio) จากบทนิยามจะเห็นวา่ ลำดับ a1, a2, a3, …, an, … จะเปน็ ลำดับเรขาคณิตก็ตอ่ เมือ่ มีค่าคงตัว r ที่ r = an+1 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n นักเรียนสามารถเขียนแสดงลำดับ an เรขาคณติ a1, a2, a3, …, an, … โดยใช้พจนท์ ่ัวไปของลำดับได้ ดังน้ี ให้ a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นค่าคงตวั นักเรียนเคย เรยี นแล้ว จะได้ a2= a1r a3= a2r = (a1r)r = a1r2 a4= a3r = (a1r2)r = a1r3 ⋮⋮ an= an - 1r = (a1rn - 2)r = a1rn - 1 ดงั นั้น พจนท์ ่ี n หรือพจนท์ ั่วไปของลำดบั เรขาคณติ คือ an= a1rn - 1 เมื่อ a1 คือ พจน์ท่ี 1 ของลำดบั เรขาคณติ r คือ อตั ราส่วนรว่ มของลำดบั เรขาคณติ n คอื ลำดับท่ี n ของลำดบั เรขาคณิต an คอื พจนท์ ี่ n หรอื พจน์ท่ัวไปของลำดับเรขาคณติ ตวั อย่าง ใหน้ ักเรยี นพิจารณาวา่ ลำดับที่กำหนดในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี เปน็ ลำดบั เรขาคณิต หรือไม่ 1) 3, 15, 75, 375, … 2) 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , … 23456 วิธที ำ ลำดบั ท่ีเป็นลำดับเรขาคณติ ต้องมีอตั ราส่วนรว่ ม r = an+1 ซง่ึ เปน็ ผลตา่ งของ an สองพจน์ใด ๆ ท่อี ย่ตู ิดกนั 1) หาค่า a2 = 15 = 5 ตอบ a1 3 a3 = 75 = 5 a2 15 a4 = 375 = 5 a3 75 ดังน้ัน ลำดบั 3, 15, 75, 375, … เปน็ ลำดับเรขาคณติ a3 1 1 3 3 a2 4 1 4 2) หาคา่ = 4 = × = 1 3 1 a4 1 4 4 a3 = 5 = 5 × 1 = 5 1 4

65 ลำดับเรขาคณติ (geometric sequence) เนื่องจาก a3 ≠ a4 จะไดว้ ่าลำดับนี้มีอัตราสว่ นรว่ มของสองพจน์ใด ๆ ที่อยู่ตดิ กนั ไม่เท่ากนั a2 a3 ดังนัน้ ลำดบั 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , … ไม่เป็นลำดบั เรขาคณิต ตอบ 23456 ตัวอย่าง ให้นกั เรียนหาพจน์ท่วั ไปของลำดับเรขาคณิต -3, -6, -12, … วธิ ีทำ จากลำดับเรขาคณิตที่กำหนด a1= -3, a2= -6 ง่ายกวา่ ทค่ี ดิ ไวน้ ะ จะได้ r = a2 = -6 = 2 a1 -3 และจาก an= a1rn - 1 จะได้ an= (-3)(2)n - 1 ดงั นั้น พจนท์ ่ัวไปของลำดบั น้ี คือ an= (-3)(2)n - 1 ตอบ ตัวอยา่ ง ใหน้ ักเรียนหาพจนท์ ว่ั ไปของลำดบั เรขาคณติ ab3, a2b2, a3b, … วิธีทำ จากลำดับเรขาคณิตที่กำหนด a1= ab3, a2= a2b2 จะได้ r= a2 = a2b2 = a ไปค้นคว้า a1 ab3 b เพิม่ เตมิ กัน และจาก an= a1rn - 1 ตอบ จะได้ an= ab3 (a)n - 1 b an= ab3× an - 1 bn - 1 an= an bn - 4 ดงั นั้น พจนท์ ัว่ ไปของลำดับน้ี คอื an= an bn - 4 6. ครใู ห้นักเรียนรว่ มแสดงความคดิ เหน็ จากตวั อย่างการหาพจน์ทวั่ ไป แลว้ ให้นักเรยี น วเิ คราะห์ทำความเขา้ ใจกับสถานการณป์ ัญหา โดยใช้กระบวนการแกป้ ัญหา 5 ข้ันตอนคือ 1) ระบุปัญหา (การหาพจนท์ ั่วไปของลำดบั เรขาคณิต )

66 2) เลอื กใชก้ ลวิธใี นการแก้ปัญหา (นำส่งิ ท่ีโจทยก์ ำหนดให้ หา r และแทน ใน an= a1rn - 1 3) ดำเนนิ การแกป้ ัญหา (คำนวณแกส้ มการและจัดรปู ให้อยู่ในรปู อยา่ งง่าย ) 4) ตรวจสอบการแก้ปญั หา ( เม่ือแทนค่าหาพจน์ท่ี 1, 2, 3, … แล้วไดต้ รงกับโจทย์ ที่กำหนดให้ ) 5) ประยุกตใ์ ช้ความรู้กับความรใู้ หม่ (แนวคำตอบ เชอื่ มโยงในการหาพจน์ถัดไป หรอื การหาพจน์ทโ่ี จทย์ต้องการ ) ขัน้ ที่ 3 แสดงวิธกี ารหาคำตอบอย่างสรา้ งสรรค์ 7. ครใู ห้แบง่ นักเรยี นเป็นกลุ่มย่อยกลุ่มละ 3-5 คน แบบคละความสามารถทางคณิตศาสตร์ เก่ง ปานกลาง อ่อน และให้นกั เรยี นแบง่ หน้าท่ีของสมาชิกในกลุ่ม รับใบงานที่ 4 เร่ือง ลำดับ เรขาคณติ ทำข้อ 1- 2 ใหญ่ 8. ครใู ชค้ ำถามกระตุ้นให้นักเรยี นลงมอื ปฏบิ ตั กิ ิจกรรมดว้ ยตนเองอย่างอสิ ระ แลว้ แสดง ความคิดเหน็ ในแนวทางการแก้ปญั หาของตนเองตอ่ กลุ่ม แลว้ สมาชกิ กลุม่ รว่ มกนั พิจารณาตรวจสอบ และประเมินทางเลือกในการแกป้ ญั หา หากลวธิ ีท่ดี ที ่สี ุดท่ตี รงกับสถานการณ์และมีความเหมาะสม เป็นไปไดแ้ ละดำเนนิ การแก้ปัญหาของกลมุ่ ขัน้ ท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยุทธวธิ แี ก้ปัญหา 9. ครสู ุม่ ให้ตัวแทนกลมุ่ แตล่ ะกลุ่มนำเสนอกระบวนการแกป้ ัญหา กลวิธที ่ีใช้แกป้ ญั หาและ คำตอบของปญั หาท่ีกลมุ่ ได้รว่ มกนั พจิ ารณาตดั สินใจเลือกไว้ 10. ครใู ช้คำถามนำในการกระตุ้นให้นักเรียนร่วมอภิปรายสรปุ จากการเรียนในชั่วโมงน้ี เพอ่ื แสดงความคดิ เหน็ เกย่ี วกับวธิ ีการแกป้ ัญหาและผลลัพธท์ ี่ได้ของนักเรียนวา่ ถกู ตอ้ ง ตรงกันหรอื ไม่ แลว้ ครชู ่วยสรปุ เพม่ิ เติม เร่ือง ความหมายและการหาพจน์ทั่วไปของลำดบั เรขาคณิต ดังนี้

67 รปู แบบการกำหนดลำดบั 1) ลำดบั a1, a2, a3, …, an, … จะเปน็ ลำดบั เรขาคณิต กต็ อ่ เมื่อ มคี ่าคงตวั r ท่ี r = an + 1 สำหรบั ทุกจำนวนเตม็ บวก n an 2) การหาพจนท์ ัว่ ไปของลำดบั เรขาคณติ หาไดจ้ าก an= a1rn - 1 ชวั่ โมงท่ี 2 ขนั้ ท่ี 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครูตั้งคำถามเพ่ือให้นักเรยี นทบทวนการตรวจสอบว่าเปน็ ลำดับเรขาคณติ และการหา พจนท์ ่ัวไปของลำดับเรขาคณิต ➢ เราจะทราบไดอ้ ยา่ งไรวา่ ลำดับท่ีกำหนดให้เปน็ ลำดบั เรขาคณิต (แนวคำตอบ มคี ่าคงตัว r ท่ี r = an + 1 เทา่ กนั สำหรบั ทุกจำนวนเต็มบวก n ) an ➢ หาพจน์ทัว่ ไปของลำดับเรขาคณิตได้อย่างไร (แนวคำตอบ an= a1rn - 1 ) 2. ครูกำหนดสถานการณป์ ญั หาทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสอน ดงั น้ี ลำดบั เรขาคณติ ชุดหน่ึงมีพจน์ท่หี นึ่งเทา่ กับ 2 มีอตั ราสว่ นร่วมเท่ากบั 3 อยากทราบวา่ จำนวน 13,122 เปน็ พจน์ทเ่ี ท่าใดของลำดับเรขาคณิตน้ี ขัน้ ที่ 2 คิดวิธีหาคำตอบเพื่อวางแผนแกป้ ญั หา 3. ครใู หน้ ักเรยี นร่วมแสดงความคดิ เหน็ จากคำถามดังกล่าวว่า นกั เรยี นสามารถระบุปญั หาได้ หรอื ไม่ และมีแนวคดิ ในการเลือกใช้กลวธิ ใี ดในการแก้ปัญหา 4. ครอู ธบิ ายโดยใชส้ ่ือในโปรแกรม powerpoint เกี่ยวกบั การนำความร้เู รือ่ งลำดับเรขาคณิต ไปประยุกตใ์ ช้ ดงั นี้

68 การประยุกตใ์ ชล้ ำดับเรขาคณิต การนำความร้เู ร่ืองลำดบั เรขาคณิตไปประยุกต์ใช้ ในการแก้ปญั หาได้หลายอย่าง เชน่ ➢ การหาพจน์ท่ีไม่ปรากฏในลำดบั ท่ีกำหนดให้ ลำดับเรขาคณติ ชุดหนึง่ มพี จน์ทีห่ นงึ่ เทา่ กับ 2 มอี ัตราส่วนร่วมเท่ากับ 3 อยากทราบว่า 13,122 เปน็ พจน์ท่ีเทา่ ใดของลำดบั เรขาคณิตนี้ วิธีทำ โจทยก์ ำหนด a1 =  2, r = 3, an= 13,122 จากสตู รการหาพจนท์ ี่ n ของลำดบั เรขาคณิต จะได้ว่า an= a1rn - 1 เย่ยี มมากเลย 13,122= 2(3)n - 1 6,561 = 3n - 1 38 = 3n - 1 n-1 =8 n =9 ดงั น้นั 13,122 เปน็ พจน์ท่ี 9 ของลำดับเรขาคณิต ตอบ ลำดับเรขาคณติ ชดุ หน่งึ มพี จน์ที่ 8 เปน็ 128 เทา่ ของพจน์ที่ 1 ถา้ พจน์ท่ี 5 เทา่ กบั 48 จงหาพจน์ที่ 10 ของลำดบั เรขาคณติ ถ้ากำหนดพจน์แรก และพจน์ท่ี 2 มีคา่ เทา่ กบั 1 และ 4 ตามลำดบั วธิ ที ำ จากสูตรการหาพจน์ท่ี n ของลำดับเรขาคณติ จะได้ว่า an = a1rn - 1 a8 = a1r7 และ a8 = 128a1 น่ันคอื 128a1 = a1r7 r7 = 128 = 27 r =2 เนือ่ งจาก a5 = a1r4 และ a5 = 48 a1r4 = 48 ไดค้ ำตอบเท่ากันเลย a1(2)4 = 48 จะได้ a1 = 3 จาก an = a1rn - 1 a10 = 3(2)9= 1,536 ดงั นั้น พจน์ท่ี 10 ของลำดบั เรขาคณิต คือ 1,536 ตอบ

69 ขน้ั ท่ี 3 แสดงวธิ ีการหาคำตอบอยา่ งสร้างสรรค์ 5. ให้นกั เรียนเข้ากลุ่มย่อยกล่มุ เดิม ครูกำหนดสถานการณป์ ัญหาทางคณติ ศาสตร์ให้นักเรยี น ช่วยกันเสนอความคดิ วิธีหาคำตอบใหห้ ลากหลายเพ่ือนำมาวางแผนแกป้ ญั หา สถานการณค์ ณติ ศาสตร์ เม่อื นำจำนวนจำนวนหน่ึงไปบวกกับ 3, 20, 105 ตามลำดับผลบวกทไ่ี ด้ ของแต่ละจำนวนจะเปน็ พจน์สามพจน์ทีเ่ รียงกันในลำดบั เรขาคณติ จงหาจำนวนทน่ี ำไปบวก 6. ครคู อยกระตุน้ ใหน้ ักเรียนแสดงความคิดเห็นในแนวทางการแกป้ ัญหาของตนเองต่อกลุ่ม และสุ่มตวั แทนกลุ่มในการเฉลยสถานการณป์ ัญหา โดยใช้กระบวนการแกป้ ญั หา 5 ขน้ั ตอน (แนวคำตอบ กำหนดให้จำนวนที่นำไปบวกนัน้ คอื x (ระบปุ ญั หา ) จะได้จำนวนในลำดับ คือ a1 = 3 + x a2 = 20 + x a3 = 105 + x เนื่องจาก r = a2 = 20 + x (เลือกใชก้ ลวิธีในการแก้ปัญหา) จะได้ (ดำเนินการแกป้ ญั หา) a1 3 + x r = a3 = 105 + x a2 20 + x 20 + x = 105 + x 3+x 20 + x (20 + x)(20 + x) = (105 + x)(3 + x) 400 + 40x + x2 = 315 + 108x + x2 400 + 40x = 315 + 108x 85 = 68x x = 85 68 ดังนน้ั จำนวนท่ีนำไปบวกนนั้ คอื 85 ( ประยกุ ตใ์ ช้ความรกู้ บั ความรูใ้ หม่ ) 68 (แนวคำตอบ เชื่อมโยงในการแก้โจทยป์ ญั หาเก่ยี วกบั ลำดับเรขาคณิต ) 7. ครใู ห้นักเรียนทำใบงานท่ี 4 เร่ือง ลำดบั เรขาคณิต ข้อ 3 - 4 โดยลงมอื ปฏิบัติกจิ กรรมด้วย ตนเองอยา่ งอิสระ แล้วแสดงความคดิ เหน็ ในแนวทางการแก้ปัญหาของตนเองตอ่ กลุม่ แล้วสมาชกิ กลมุ่

70 ร่วมกนั พจิ ารณาตรวจสอบและประเมินทางเลือกในการแก้ปัญหา ทำการเลือกกลวธิ ที ี่ดีที่สุด มีความเหมาะสม เป็นไปได้และดำเนินการแก้ปัญหาของกลุ่ม พร้อมท้ังสังเกตพฤติกรรมการทำงาน ขัน้ ท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยุทธวิธีแกป้ ัญหา 8. ครถู ามตัวแทนกลุ่มแต่ละกลมุ่ ให้นำเสนอกระบวนการแก้ปัญหา กลวิธที ใ่ี ช้แก้ปัญหา คำตอบของปญั หาที่กลุ่มได้รว่ มกันพจิ ารณาตัดสินใจเลือกไว้ รวมถงึ ปญั หาในการดำเนนิ การแกป้ ญั หา 9. ครซู ักถาม อภปิ ราย ผลลัพธท์ ่ีไดข้ องแต่ละกลมุ่ แตกต่างกนั หรอื ไม่ และใหน้ ักเรียน ยกตัวอย่างเกี่ยวกับการนำความร้เู รอ่ื งลำดบั เรขาคณิตไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นชวี ติ ประจำวนั 10. ใหน้ ักเรียนสรปุ เกยี่ วกับเร่ืองทเี่ รียน และครูช่วยสรปุ เพมิ่ เติม เมอ่ื พบวา่ นกั เรียนสรุปได้ ไมค่ รอบคลุมเนื้อหา หรอื ได้มโนมติทีย่ งั ไมช่ ดั เจนถกู ต้อง และให้นักเรียนไปศึกษาคน้ คว้าเพม่ิ เติมจาก หนังสือเรียนหนังสือเรยี นรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ เล่ม 6 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4-6 หนา้ 11 ชั่วโมงที่ 3 ขัน้ ท่ี 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครูตง้ั คำถามเพ่ือใหน้ ักเรยี นทบทวนการนำความรูเ้ ร่ืองลำดับเรขาคณติ ไปประยุกต์ใช้ ในการแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในชัว่ โมงท่ีผ่านมา เชน่ ➢ นกั เรยี นสามารถนำความรูเ้ ร่อื งลำดับเรขาคณติ ไปแก้ปัญหาได้อย่างไร ( แนวคำตอบ นำไปหาพจนท์ ี่ n ตามท่ีโจทยต์ ้องการได้ ) ➢ หาอตั ราสว่ นร่วมและพจนท์ วั่ ไปของลำดับเรขาคณติ ได้อยา่ งไร (แนวคำตอบ r = an+1 ,an= a1rn - 1 ตามลำดบั ) an 2. ครูกำหนดสถานการณ์ปัญหาในชวี ิตประจำวันท่ีต้องการสอน ดงั นี้ ปรีชาเรม่ิ ฝากเงนิ ด้วยเงินตน้ 10,000 บาทและอัตราดอกเบย้ี ทบตน้ 5% ต่อปี จงหาสูตร การคิดจำนวนเงนิ ในบญั ชหี ลังจากคดิ ดอกเบีย้ แล้วเม่ือสิน้ ปีท่ี n

71 ขนั้ ที่ 2 คดิ วิธหี าคำตอบเพือ่ วางแผนแกป้ ญั หา 3. ครใู ห้นกั เรียนรว่ มแสดงความคดิ เหน็ จากคำถามดังกลา่ ววา่ นักเรยี นสามารถระบปุ ญั หาได้ หรอื ไม่ และมีแนวคิดในการเลอื กใช้กลวิธีใดในการแกป้ ัญหา 4. ครอู ธิบายโดยใชส้ ่อื ในโปรแกรม power point เก่ยี วกับการนำความรูเ้ รอ่ื งลำดับเรขาคณิต ไปประยุกต์ใช้ ดงั นี้ การประยุกตใ์ ช้ลำดับเรขาคณติ ในชีวิตประจำวนั ปรชี าเริ่มฝากเงินดว้ ยเงินตน้ 10,000 บาทและอัตราดอกเบยี้ ทบตน้ 5% ต่อปี จงหาสตู ร การคดิ จำนวนเงินในบัญชีหลงั จากคดิ ดอกเบ้ยี แลว้ เมอ่ื สิ้นปีที่ n วธิ ที ำ ให้ a1, a2 , a3 , …, an แทนจำนวนเงนิ ในบัญชีหลังจากคดิ ดอกเบ้ยี เมอ่ื สิ้นปี ท่ี 1, 2, 3, …, n เมื่อส้นิ ปีท่ี 1 จะได้ a1 =จำนวนเงนิ ในบญั ชขี องปีที่ 1 + ดอกเบย้ี ปีท่ี 1 a1 = A + (0.05)A = (1.05)A เมอ่ื ส้ินปีที่ 2 จะได้ a2 =จำนวนเงนิ ในบัญชีของปีท่ี 2 + ดอกเบี้ยปที ี่ 2 a2 = (1.05)A + (0.05)(1.05)A = 1 + 0.05(1.05)A = (1.05)2 A เมื่อส้นิ ปที ่ี 3 จะได้ a3 =จำนวนเงนิ ในบญั ชีของปีท่ี 3 + ดอกเบ้ียปที ่ี 3 a3 = (1.05)2 A + (0.05) (1.05)2 A = 1 + 0.05(1.05)2 A = (1.05)3A เม่ือสิน้ ปีท่ี n จะได้ an = จำนวนเงนิ ในบัญชีของปีที่ n + ดอกเบ้ียปที ่ี n an = (1.05)n - 1A + (0.05) (1.05)n - 1 A = [1 + 0.05](1.05)n - 1A = (1.05)nA ดงั นั้น สูตรการคิดจำนวนเงนิ ในบัญชีหลงั จากคิดดอกเบีย้ แลว้ เม่อื สิ้นปีที่ n คือ an= (1.05)n10,000 ซึง่ เป็นพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิตท่มี ีพจนแ์ รก คอื 10,500 และมี 1.05 เป็นอตั ราสว่ นรว่ ม ตอบ

72 การประยุกต์ใช้ลำดับเรขาคณิตในชีวติ ประจำวัน ถ้ามูลค่าของรถยนตค์ นั หนง่ึ จะลดลง 10% ของมูลคา่ เดมิ ถ้ารถยนต์คันน้นั ถกู ใช้ไป ทกุ 1 ปี ชาญชยั ซอ้ื รถยนตค์ ันนนั้ มาในราคา 500,000 บาท จงหาราคาของรถยนต์ดงั กล่าว เมอ่ื ถกู ใช้ไปแลว้ เปน็ เวลา 6 ปี วิธที ำ จากโจทย์ ซ้ือรถยนตร์ าคา 500,000 จะได้ a1= 500,000 รถยนตร์ าคาลดลง 10% จะได้ r = 90% = 0.9 ให้ a1, a2 , a3 , …, a6 แทนราคารถยนตเ์ มอ่ื สิน้ ปที ่ี 1, 2, 3, …, 6 ตามลำดบั จาก an = a1rn - 1 เมอ่ื สนิ้ ปีที่ 6 จะได้วา่ a7= (500,000)(0.9)6 a7= (500,000)(0.531441) a7= 265,720.5 ดังนน้ั ราคาของรถยนต์เมื่อถกู ใชไ้ ปแลว้ 6 ปี เท่ากับ 265,720.50 บาท ตอบ ข้ันที่ 3 แสดงวธิ กี ารหาคำตอบอยา่ งสรา้ งสรรค์ 5. ให้นกั เรยี นเข้ากลุ่มย่อยกลมุ่ เดิม ครกู ำหนดสถานการณป์ ญั หาให้นักเรียนชว่ ยกันเสนอ ความคิดวธิ ีหาคำตอบให้หลากหลายเพื่อนำมาวางแผนแก้ปัญหา สถานการณ์ปัญหา การศกึ ษาการกำจัดสารพิษ ชนิดหนึง่ จากโรงงานอุตสาหกรรม โดยการฝงั ไวใ้ ตด้ นิ และปล่อยใหส้ ลายตัวเองตามธรรมชาติ พบวา่ ในแตล่ ะปสี ารพิษดังกลา่ วจะสลายตัวโดยมี น้ำหนกั ลดลงเหลือครงึ่ หน่ึงจากนำ้ หนกั เดิม และเปน็ ท่ยี อมรับกนั ว่าปรมิ าณสารพิษดังกลา่ วทีต่ ำ่ กวา่ 1 กรัม ในธรรมชาติ จึงจะถือว่าปลอดภัย อยากทราบวา่ จะต้องฝงั สารพิษชนดิ นี้ทม่ี นี ำ้ หนัก 1 กโิ ลกรัม ไว้นานเท่าใด จงึ จะถือวา่ ดินบรเิ วณทฝี่ ังสารพษิ มีความปลอดภยั 6. ครคู อยกระตนุ้ ใหน้ ักเรยี นแสดงความคิดเห็นในแนวทางการแกป้ ัญหาของตนเองต่อกลุ่ม และสุ่มตวั แทนกลุ่มในการเฉลยสถานการณ์ปัญหา โดยใชก้ ระบวนการแก้ปัญหา 5 ขั้นตอน ดังน้ี

73 (ระบุปัญหา ) อยากทราบว่าจะต้องฝังสารพิษชนดิ นี้ท่ีมนี ้ำหนัก 1 กิโลกรมั ไว้นานเท่าใด วิธที ำ กำหนดใหล้ ำดับ an แทนปริมาณของสารพิษท่ยี ังคงอยู่เมื่อเรม่ิ ตน้ ของปีท่ี n a1 แทน ปรมิ าณสารพิษเมอ่ื เริ่มตน้ ของปีที่ 1 ซ่ึงเท่ากบั 1 กิโลกรัมหรอื 1,000 กรมั an - 1 จากอตั ราการสลายตัว จะได้ r = an = 2 = 1 an - 1 an - 1 2 จะไดล้ ำดับเรขาคณติ ทม่ี ีอตั ราสว่ นร่วม คอื 1 2 การคำนวณหาปริมาณของสารพษิ ทีย่ งั คงอยขู่ องการเริ่มตน้ ในปีต่อ ๆ ไป ได้ดงั น้ี (เลือกใชก้ ลวธิ ีในการแกป้ ญั หา) an= a1rn - 1 (ดำเนินการแกป้ ญั หา) a2 = a1r = (1,000)  1  = 500 2 2 a3 = a1r 2 = (1,000)  1 = 250 2 3 a4 = a1r 3 = (1,000)  1 = 125 2 a10 = a1r 9 = (1,000)  1 9 = 1.953125 2 10 a11 = a1r10 = (1,000)  1 = 0.9765625 2 ดงั น้ัน ปรมิ าณสารพษิ จะต่ำกวา่ 1 กรมั เมื่อเริ่มตน้ ของปีท่ี 11 หรือเมอ่ื เวลาผา่ นไปนาน 10 ปี ตอบ ( ประยุกต์ใชค้ วามรกู้ ับความรู้ใหม่ เช่ือมโยงในการแกโ้ จทย์ปญั หาเกย่ี วกบั ลำดบั เรขาคณิต ในสถานการณ์ปัญหาอน่ื ๆ ) 7. ครูใหน้ กั เรียนทำใบงานที่ 5 เร่ือง ลำดับเรขาคณติ ข้อ 5-6 โดยลงมือปฏิบตั ิกจิ กรรมดว้ ย ตนเองอยา่ งอิสระ แลว้ แสดงความคิดเห็นในแนวทางการแก้ปญั หาของตนเองตอ่ กลมุ่ แล้วสมาชิกกลุ่ม ร่วมกนั พิจารณาตรวจสอบและประเมินทางเลือกในการแก้ปัญหา ก่อนเลือกกลวธิ ที ด่ี ีทส่ี ดุ ท่ีตรงกบั สถานการณ์และมีความเหมาะสมเป็นไปได้และดำเนนิ การแก้ปญั หาของกลุ่ม พร้อมทงั้ สงั เกต พฤติกรรมการทำงานของนักเรียน

74 ข้ันที่ 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยุทธวิธีแก้ปญั หา 8. ครสู ุ่มถามตวั แทนกลมุ่ แตล่ ะกลมุ่ ให้นำเสนอกระบวนการแก้ปัญหา กลวธิ ีทีใ่ ช้แก้ปญั หา คำตอบของปัญหาที่กลุม่ ไดร้ ่วมกนั พิจารณาตดั สินใจเลือกไว้ รวมถงึ ปญั หาในการดำเนินการแก้ปัญหา และคำตอบท่ีได้ 9. ครูซกั ถาม อภปิ ราย ผลลัพธท์ ่ีไดข้ องแต่ละกลมุ่ แตกต่างกันหรือไม่ และให้นกั เรยี น ยกตัวอยา่ งเกยี่ วกับการนำความรู้เร่ืองลำดับเรขาคณิตไปประยกุ ต์ใชใ้ นชีวิตประจำวันเพิ่มเตมิ 10. ครูกระต้นุ ใหน้ ักเรียนสรปุ เกี่ยวกับเนอ้ื หาลำดบั เรขาคณิตทเ่ี รยี น และครชู ว่ ยสรุปเพ่มิ เตมิ เมอ่ื พบวา่ นกั เรียนสรุปได้ไม่ครอบคลมุ เนื้อหา หรือไดม้ โนมติที่ยงั ไมช่ ัดเจนถูกต้อง และใหน้ กั เรียนไป ทำการบ้านในหนังสอื เรียนหนังสือเรยี นรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 6 ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4-6 หน้า 12 และให้บันทึกสรปุ เกย่ี วกบั ลำดับเรขาคณติ ดังนี้ • ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence) คือ ลำดับซึ่งมีอัตราส่วนของพจน์ที่ n + 1 ต่อพจน์ ที่ n เป็นคา่ คงตัวที่เทา่ กนั สำหรบั ทกุ จำนวนเตม็ บวก n และเรียกค่าคงตัวทเี่ ป็นอตั ราส่วนน้ี ว่า อัตราสว่ นร่วม (common ratio) • สตู รการหาพจน์ทัว่ ไปของลำดับเรขาคณิต การหาอัตราส่วนร่วม r = an + 1 การหาพจนท์ ั่วไป an= a1rn - 1 an 7. การวดั และประเมินผล รายการวดั วิธีการ เคร่อื งมือ เกณฑก์ ารประเมิน - ใบงานท่ี 4 การประเมินระหว่าง - รอ้ ยละ 70 ผ่านเกณฑ์ การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ - ระดบั คุณภาพ 2 ผ่านเกณฑ์ 1) ลำดบั เรขาคณติ - ตรวจใบงานที่ 4 2) พฤติกรรม - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต การทำงานรายบุคคล การทำงาน พฤติกรรมการ รายบุคคล ทำงานรายบคุ คล

75 รายการวัด วิธีการ เครื่องมอื เกณฑ์การประเมนิ 3) พฤติกรรม - ระดบั คณุ ภาพ 2 การทำงานกลมุ่ - สังเกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต ผ่านเกณฑ์ การทำงานกลุ่ม พฤติกรรม 4) คุณลกั ษณะ การทำงานกลุ่ม - ระดบั คณุ ภาพ 2 อนั พงึ ประสงค์ - สงั เกตใฝเ่ รยี นรู้ ผ่านเกณฑ์ และม่งุ มั่นใน - แบบประเมิน การทำงาน คณุ ลักษณะ อนั พึงประสงค์ 8. ส่ือ/แหลง่ การเรียนรู้ 8.1 สือ่ การเรยี นรู้ 1) ส่ือในโปรแกรม power point เร่อื ง ลำดับเรขาคณิต 2) หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ เล่ม 6 ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4-6 3) ใบงานที่ 4 เร่อื ง ลำดบั เรขาคณิต 8.2 แหล่งการเรียนรู้ 1) หอ้ งเรียน , ห้องสมดุ 2) อินเทอรเ์ น็ต

76 ใบงานท่ี 4 เรอ่ื ง ลำดบั เรขาคณติ  คำชี้แจง : ให้นกั เรยี นหาคำตอบ พร้อมแสดงวธิ ีการหาคำตอบ 1. จงเขยี น 5 พจนแ์ รกของลำดับเรขาคณิต เมือ่ กำหนดพจน์แรก คือ 5 และอตั ราสว่ นร่วม คอื 3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงหาพจนท์ ี่ 6 ของลำดับเรขาคณติ ทม่ี พี จน์แรก a1= 8 และอตั ราสว่ นรว่ ม r = -2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. จงหาค่า k จากลำดบั เรขาคณิต k - 2, k - 6, 2k + 3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

77 4. กำหนดให้ 1 , 1 , 1 เป็นลำดบั เรขาคณติ และ a, b, 6 เปน็ ลำดับเลขคณิต จงหา a + b 16 a b 5. ในจังหวัดหน่ึงมีประชากร 1,000,000 คน ถา้ จำนวนประชากรในจงั หวัดนเี้ พม่ิ ขึ้น 2 % ทกุ ปี จงหาจำนวนประชากรในจงั หวัดนใ้ี นอีก 10 ปีขา้ งหน้า ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6. ในการเพาะเชอ้ื แบคทีเรียคร้งั หนงึ่ พบวา่ ทุก ๆ 1 นาที เช้ือแบคทเี รยี จะเพิ่มขึน้ 25 % ของจำนวนท่ีมีอยู่ขณะน้นั ถ้าเร่ิมเพาะเชือ้ แบคทีเรีย 2 × 103 ลา้ นตัว จงหาจำนวนแบคทีเรีย เม่ือเวลาผา่ นไป 5 นาที ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

78 เฉลยใบงานท่ี 4 เร่ือง ลำดบั เรขาคณิต  คำช้แี จง : ใหน้ ักเรียนหาคำตอบ พรอ้ มแสดงวิธีการหาคำตอบ 1. จงเขยี น 5 พจนแ์ รกของลำดับเรขาคณิต เมอื่ กำหนดพจนแ์ รก คือ 5 และอตั ราสว่ นรว่ ม คอื 3 วธิ ที ำ จากโจทย์ a1= 5, r = 3 จาก an= a1rn - 1 จะได้ a1= 5 a2= a1r = 5 × 3 = 15 a3= a1r2= 5 × 32 = 45 a4 = a1r3= 5 × 33= 135 a5= a1r4 = 5 × 34 = 405 ดังนัน้ ห้าพจนแ์ รกของลำดบั เรขาคณติ คือ 5, 15, 45, 135, 405 2. จงหาพจน์ท่ี 6 ของลำดบั เรขาคณิตทีม่ ีพจน์แรก a1= 8 และอตั ราสว่ นร่วม r = -2 วธิ ที ำ จากโจทย์ a1= 8, r = -2 จาก an= a1rn - 1 จะได้ a6 = a1r5 a6= (8)(-2)5 a6= -256 ดังนั้น พจนท์ ่ี 6 ของลำดับเรขาคณติ มีค่าเทา่ กับ -256

79 3. จงหาคา่ k จากลำดบั เรขาคณิต k - 2, k - 6, 2k + 3 วธิ ีทำ จากโจทย์ a1= k - 2, a2= k - 6, a3= 2k + 3 จาก r = an + 1 an จะได้ r = a2 = a3 a1 a2 ฉะนน้ั k - 6 = 2k + 3 k-2 k-6 (k - 6)(k - 6) = (2k + 3)(k - 2) k2 - 6k - 6k + 36 = 2k2 - 4k + 3k - 6 k2 - 12k + 36 = 2k2 - k - 6 k2 + 11k - 42 = 0 (k + 14)(k - 3) = 0 k = -14, 3 ดงั น้นั ค่า k เทา่ กบั -14, 3 1 1 1 4. กำหนดให้ 16 , a , b เป็นลำดับเรขาคณติ และ a, b, 6 เปน็ ลำดับเลขคณติ จงหา a + b วธิ ีทำ เมอื่ 1 , 1, 1 เปน็ ลำดบั เรขาคณิต 16 a b จะได้ r = a2 = a3 a1 a2 11 ฉะนัน้ a = b 1 1 16 a ………………………. (1) 16 = a ………………………. (2) ab 16b = a2 เมือ่ a, b, 6 เปน็ ลำดับเลขคณิต จะได้ d = a2 - a1= a3 - a2 ฉะนนั้ b - a = 6 - b 2b = a + 6 a +6 b = 2

80 แทนคา่ b= a+6 ใน (1) 2 a+6 จะได้ 16 2  = a2 8(a + 6) = a2 8a + 48 = a2 a2 - 8a - 48 = 0 (a - 12)(a + 4) = 0 a = 12, -4 แทนค่า a = 12 ใน (2) b = 12 + 6 = 9 2 แทนค่า a = -4 ใน (2) b = -4 + 6 = 1 2 ฉะน้ัน a = 12, b = 9 หรือ a = -4, b = 1 คา่ ของ a + b = 12 + 9 = 21 หรอื a + b = (-4) + 1 = -3 ดงั นั้น ค่าของ a + b เท่ากบั 21 หรือ -3 ตอบ 5. ในจังหวัดหนง่ึ มีประชากร 1,000,000 คน ถ้าจำนวนประชากรในจงั หวัดนเ้ี พิ่มขึ้น 2 % ทกุ ปี จงหาจำนวนประชากรในจังหวัดนีใ้ นอีก 10 ปีข้างหนา้ วธิ ที ำ พจิ ารณาจำนวนประชากรใน 2 ปแี รก ดังน้ี เริ่มตน้ = 1,000,000 ครบ 1 ปี = ประชากรเดมิ + ประชากรท่ีเพม่ิ = 1,000,000 + 1,000,000(0.02) = 1,000,000(1+0.02) = 1,000,000(1.02) ครบ 2 ปี = 1,000,000(1.02) + 1,000,000(1.02) (0.02) = 1,000,000(1.02)(1+0.02) = 1,000,000(1.02)(1.02) = 1,000,000(1.02)2

81 จะเหน็ ว่า จำนวนประชากรในแต่ละปี เมอ่ื เขยี นเรียงลำดับ จะเป็นลำดับ เรขาคณติ ท่มี ีอตั ราส่วนร่วมเป็น 1.02 ดงั น้ี 1,000,000, 1,000,000(1.02), 1,000,000(1.02)2, ...ตอ้ งการหาจำนวนประชากรเม่ือครบ 10 ปี หรอื พจน์ท่ี 11 (a11) ของลำดบั น้ี จาก an = a1rn-1 a11 = 1,000,000(1.02)10 ≈ 1,000,000(1.218994) ≈ 1,218,994 ดังนนั้ ในอกี 10 ปขี า้ งหน้า จังหวดั น้จี ะมปี ระชากรประมาณ 1,218,994 คน ตอบ 6. ในการเพาะเชื้อแบคทเี รยี คร้ังหนงึ่ พบวา่ ทุก ๆ 1 นาที เชอ้ื แบคทีเรยี จะเพิ่มข้ึน 25 % ของจำนวนที่มีอยู่ขณะนนั้ ถ้าเริ่มเพาะเช้อื แบคทีเรยี 2 × 103 ลา้ นตัว จงหาจำนวนแบคทเี รีย เมอื่ เวลาผา่ นไป 5 นาที วธิ ที ำ ทุก ๆ 1 นาที แบคทีเรยี เพมิ่ ขึน้ 25 % 1 นาทีผ่านไป จะมแี บคทีเรยี 2 × 103 × 125 100 2 นาทีผ่านไป จะมีแบคทเี รยี 2 × 103 × (110250)2 ในทำนองเดยี วกนั 5 นาทีผา่ นไป จะมีแบคทีเรีย 2 × 103 × (110250)5 = 2 × 103 × (45)5 ≈ 6.10 × 103 จะเห็นวา่ จากปัญหาน้ี จะมีลักษณะเปน็ ลำดับเรขาคณติ ที่อัตราสว่ นรว่ มเทา่ กบั 125 100 และพจน์แรกเทา่ กับ 2 × 103 ส่ิงทตี่ อ้ งการทราบก็คือพจน์ท่ี 6 จงึ สามารถคำนวณได้ โดยใชส้ ตู ร an = a1rn-1 a6 = a1r5 = 2 × 103 × (110205)5

82 = 2 × 103 × (45)5 ตอบ ≈ 6.10 × 103 ดงั น้นั เม่อื เวลาผา่ นไป 5 นาที จะมแี บคทเี รยี ประมาณ 6.10 × 103 ลา้ นตัว ถา้ ใฝ่เรียนรู้ จะเปน็ คนเก่ง

83 แผนการจดั การเรยี นรูท้ ี่ 5 เรอ่ื ง ลมิ ติ ของลำดบั (1) เวลา 2 ชั่วโมง กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ คณติ ศาสตรป์ ระยกุ ต์ 5 (ค33203) ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 เร่ือง ลำดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เวลา 30 ชั่วโมง ครผู ้สู อน นางสุทธดา เหลืองห่อ ใช้สอนวนั ท่ี ......................................... 1. ผลการเรยี นรู้ ระบุได้ว่าลำดับท่ีกำหนดใหเ้ ป็นลำดบั ลู่เขา้ หรือลอู่ อก 2. จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 1) อธิบายเกย่ี วกับชนดิ ลมิ ติ ของลำดบั ได้ (K) 2) แสดงวธิ กี ารหาลิมิตของลำดบั โดยใชก้ ราฟได้ (P) 3) ใฝเ่ รียนรู้และมีความมุ่งม่ันในการทำงานเกยี่ วกับการนำความรู้เก่ียวกับลมิ ิตของลำดับไป ประยกุ ต์ใช้ในชีวติ จรงิ ได้ (A) 3. สาระการเรียนรู้ ลมิ ิตของลำดับ 4. สาระสำคญั /ความคดิ รวบยอด ลำดับลู่เข้า (convergent sequence) คือ ลำดับที่ n มีค่ามากขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด ลำดับจะเข้า ใกลห้ รอื เทา่ กบั ค่าคงตวั จำนวนใดจำนวนหน่ึง หรอื อาจกลา่ วไดว้ ่าเป็นลำดับอนนั ตท์ ่มี ลี ิมติ ลำดบั ลูอ่ อก (divergent sequence) คือ ลำดับท่ี n มีคา่ มากขน้ึ ไมม่ ที ีส่ ิ้นสดุ ลำดับจะไม่เข้า ใกล้หรือเท่ากับค่าคงตัวจำนวนใดจำนวนหนึ่ง หรืออาจกล่าวได้ว่าเป็นลำดับอนันต์ทีไ่ ม่มีลิมิต รวมถึง ลำดับแกว่งกวัด (oscillating sequence) ซึ่งมีลักษณะของกราฟขึ้นและลงสลับกันโดยไม่เข้าใกล้ จำนวนใดจำนวนหนึ่ง 5. สมรรถนะสำคญั ของผูเ้ รยี น 1) ความสามารถในการส่ือสาร 2) ความสามารถในการแก้ปัญหา 6. กิจกรรมการเรยี นรู้ รูปแบบการสอนแก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์เพ่ือพฒั นาความสามารถในการแกป้ ัญหาและ ความสามารถในการคดิ ขัน้ สูง

84 ชว่ั โมงที่ 1 ขั้นท่ี 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครแู จง้ จุดประสงคก์ ารเรยี นและทบทวนความร้เู กี่ยวกับชนดิ ของลำดับจำกดั และลำดับ อนนั ต์ ในเน้อื หาของระดับช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 จะศึกษาสมบตั ิบางประการของลำดบั โดยจะ พจิ ารณาพจนท์ ี่ n ของลำดับ เมื่อ n มีค่ามากข้ึนโดยไมม่ ที สี่ น้ิ สดุ (ลำดบั อนันต์) 2. ครตู งั้ คำถามเพือ่ นำไปสกู่ ารอภปิ รายรว่ มกัน เกย่ี วกับความหมายของลำดับอนันต์ ➢ ลำดับอนนั ต์ เป็นอยา่ งไร และยกตวั อย่างลำดบั อนนั ต์ (แนวคำตอบ ลำดับอนนั ต์ (infinite sequence) เปนลาํ ดับทม่ี โี ดเมนเปนจำนวนเต็มบวก เช่น 2, 4, 6, 8,…) ➢ ถ้าเป็นกราฟของลำดับอนนั ต์ จะมีลกั ษณะอย่างไร (แนวคำตอบ เพม่ิ ข้ึนและลดลง ไปเร่ือย ๆ ไมม่ สี น้ิ สุด) 3. ครูยกตัวอยา่ งเพ่ิมเติมจากปัญหาทางคณติ ศาสตรท์ ่ีต้องการสอนใหเ้ ปน็ สถานการณ์ปัญหา ทเี่ กย่ี วขอ้ งหรอื คล้ายคลึงหรอื เปน็ สถานการณใ์ นบรบิ ทจริงของนกั เรียน ใหน้ กั เรียนวเิ คราะหท์ ำความ เขา้ ใจกับสถานการณ์ปัญหา โดยใชก้ ระบวนการแกป้ ญั หา 5 ขน้ั ตอนคือ 1) ระบปุ ัญหา 2) เลอื กใช้ กลวิธีในการแก้ปญั หา 3) ดำเนินการแกป้ ัญหา 4) ตรวจสอบการแกป้ ญั หา 5) ประยุกตใ์ ช้ความรูก้ ับ ความรใู้ หม่ และใหน้ ักเรยี นสังเกตคำตอบทีไ่ ด้ ดังน้ี ตวั อยา่ ง an=3

85 จากกราฟ จะเห็นว่า เม่ือ n มคี ่ามากขึน้ ไมม่ ที ส่ี ิ้นสุด คา่ ของพจน์ท่ี n จะเทา่ กบั 3 ดังนัน้ ลำดับ an = 3 มลี ิมติ เท่ากับ 3 เขียนแทนด้วย lim 3 = 3 n→ ลำดับทน่ี ำมาหาลิมติ ของลำดับตอ้ งเปน็ ลำดบั ชนิดใดและจะพิจารณาอย่างไร ขั้นท่ี 2 คดิ วิธหี าคำตอบเพื่อวางแผนแก้ปัญหา 4. ครใู ห้นกั เรยี นรว่ มแสดงความคิดเหน็ จากคำถามดังกลา่ วว่า นกั เรยี นสามารถระบุปัญหาได้ หรือไม่และมีแนวคิดในการอธิบายเกย่ี วกบั ลมิ ติ ของลำดบั ดงั กลา่ วไดอ้ ย่างไร 5. ครอู ธิบายใช้สื่อในโปรแกรม power point เกี่ยวกบั ลิมิตของลำดบั ดังนี้ ลิมิตของลำดบั (limit of sequence) ลมิ ิตของลำดบั (limit of sequence) แบ่งออกเปน็ 2 ชนิด ซ่งึ พจิ ารณาจาก n ทมี่ ีคา่ มากขน้ึ ไมม่ ีทสี่ นิ้ สุด ลำดับจะเข้าใกล้หรือเท่ากับค่าคงตวั จำนวนใดจำนวนหน่ึง เราเรยี กลำดับเหลา่ น้ีวา่ “ลำดับท่ีมลี มิ ติ ” หรือ “ลำดับลู่เขา้ ” (convergent sequence) และ เมื่อ n มีค่ามากขึ้น ไมม่ ที ่ี สิน้ สุด ลำดบั จะไม่เขา้ ใกลห้ รือเท่ากบั ค่าคงตัวจำนวนใดจำนวนหนง่ึ หรือเข้าใกล้คา่ คงตัวมากกว่า 1 จำนวน เราเรยี กลำดับเหลา่ นวี้ ่า “ลำดบั ไมม่ ลี ิมิต” หรอื “ลำดบั ลอู่ อก” (divergent sequence) เชน่ 1) จากกราฟ จะเห็นว่า เมื่อ n มีค่ามากขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด ค่าของพจน์ที่ n จะลดลงและเข้าใกล้ 0 แตจ่ ะไมเ่ ท่ากบั 0 1 lim 1 n n→ n ดังน้ัน ลำดับ an = มีลมิ ิตเทา่ กบั 0 เขยี นแทนด้วย =0 ( ลำดบั ลู่เขา้ )

86 ลิมติ ของลำดบั (limit of sequence) 2) จากกราฟ จะเหน็ วา่ เม่ือ n มีค่ามากขน้ึ ไม่มที สี่ ิ้นสุด คา่ ของพจน์ท่ี n จะลดลงไมม่ ีทีส่ ้ินสุด ดงั นนั้ ลำดบั an = -2n ไม่มลี ิมติ เขยี นแทนด้วย lim (-2n) หาค่าไม่ได้ ( ลำดับลู่ออก ) n→ 3) n จากกราฟ จะเห็นวา่ เมื่อ n เป็นจำนวนคบี่ วก ค่าของพจนท์ ่ี n จะเทา่ กับ -2 และเม่ือ n เป็น จำนวนคู่บวกคา่ ของพจน์ท่ี n จะเทา่ กบั 2 ดังนน้ั เมือ่ n มคี ่ามากขึ้นไม่มีทสี่ ิน้ สดุ ค่าของพจนท์ ี่ n จะไม่เข้าใกล้จำนวนใดจำนวนหน่ึง นั่นคือ ลำดับ an = 2(-1)n ไม่มีลิมิต หรือเขียนแทนด้วย lim 2(-1)n หาคา่ ไมไ่ ด้ n→ กราฟในข้อ 3) เป็นลำดับลู่ออกที่มีลักษณะของกราฟขึ้นลงสลับกัน โดยไม่เข้าใกล้จำนวนใด จำนวนหน่ึงวา่ ลำดบั แกวง่ กวดั (oscillating sequence)

87 ลมิ ิตของลำดับ (limit of sequence) • ลำดบั ท่นี ำมาพจิ ารณาลิมิตของลำดับตอ้ งเป็นลำดบั อนนั ต์ โดยลำดบั อนนั ต์ทม่ี ลี มิ ติ เรียกวา่ ลำดบั ลเู่ ขา้ และลำดับอนันตท์ ี่ไมม่ ลี มิ ิต เรียกว่า ลำดบั ลู่ออก • ให้ L เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ ท่เี ป็นลิมิตของลำดับ an เม่ือ n มีค่ามากขนึ้ ไมม่ ีท่ีสิ้นสดุ พจนท์ ่ี n ของลำดบั จะเข้าใกล้หรือเท่ากับจำนวนจริง L เพียงจำนวนเดียว เขียนแทนด้วย lim an = L อา่ นวา่ ลมิ ิตของลำดับ an เมื่อ n มีค่ามากข้ึนไม่มีท่ีส้ินสุดเท่ากับ L n→ • ลำดบั ลเู่ ข้า (convergent sequence) คือ ลำดบั ที่ n มีคา่ มากขน้ึ ไม่มที ีส่ ิ้นสดุ ลำดบั จะเขา้ ใกลห้ รือเทา่ กบั ค่าคงตัวจำนวนใดจำนวนหนง่ึ • ลำดบั ลู่ออก (divergent sequence) คอื ลำดบั ท่ี n มีคา่ มากขึ้นไมม่ ที สี่ ิ้นสดุ ลำดบั จะไมเ่ ขา้ ใกล้หรอื เทา่ กบั คา่ คงตัวจำนวนใดจำนวนหนึ่ง จากกราฟ จะเหน็ ว่า เม่ือ n มีคา่ มากข้ึนไม่มีที่ส้ินสดุ ค่าของพจนท์ ่ี n จะมากขึ้น ไม่มที ่สี นิ้ สุด กราฟนีม้ ลี มิ ิตของลำดับเปน็ เชน่ ไร เขยี นสญั ลกั ษณไ์ ดอ้ ย่างไร 6. ครใู หน้ ักเรยี นร่วมแสดงความคดิ เหน็ จากตวั อย่าง แล้วให้นักเรียนวเิ คราะห์ทำความเขา้ ใจ กับสถานการณป์ ัญหา โดยใช้กระบวนการแกป้ ญั หา 5 ขั้นตอน คือ 1) ระบปุ ัญหา (กราฟน้ีมลี มิ ติ ของลำดบั เป็นเชน่ ไร เขียนสัญลกั ษณ์ได้อย่างไร) 2) เลอื กใช้กลวิธีในการแก้ปญั หา ( พจิ ารณาจากลักษณะของกราฟลำดบั จะไม่ เขา้ ใกล้หรือเท่ากับค่าคงตัวจำนวนใดจำนวนหนึ่ง )

88 3) ดำเนนิ การแก้ปญั หา (เม่ือแทนค่า n ท่มี ีค่าเพม่ิ ข้นึ แลว้ คา่ ของฟังก์ชันมคี ่า เพ่ิมขน้ึ ) 4) ตรวจสอบการแก้ปญั หา ( เม่ือแทนค่าหาพจน์ท่ี 1, 2, 3, … แล้วได้ลำดับจะ ไมเ่ ขา้ ใกลห้ รือเท่ากับค่าคงตวั จำนวนใดจำนวนหน่งึ ลำดบั an = 2n ไมม่ ลี มิ ิต เขยี นแทนด้วย lim 2n n→ หาค่าไม่ได้ เปน็ ลำดับลอู่ อก ) 5) ประยกุ ต์ใชค้ วามรู้กบั ความรใู้ หม่ ( พจิ ารณากับกราฟของลำดับชนิดอน่ื ๆ) ขัน้ ท่ี 3 แสดงวิธีการหาคำตอบอยา่ งสร้างสรรค์ 7. ครใู ห้แบง่ นักเรียนเปน็ กลมุ่ ย่อยกลุ่มละ 3-5 คน แบบคละความสามารถทางคณิตศาสตร์ เก่ง ปานกลาง ออ่ น และให้นักเรยี นแบ่งหน้าที่ของสมาชิกในกลมุ่ รบั ใบงานท่ี 5 เรื่อง ของลำดบั ทำข้อ 1 ใหญ่ 8. ครใู ชค้ ำถามกระตุน้ ให้นกั เรยี นลงมือปฏบิ ตั กิ จิ กรรมดว้ ยตนเองอย่างอสิ ระ แล้วแสดง ความคดิ เหน็ ในแนวทางการแก้ปญั หาของตนเองต่อกลุม่ แล้วสมาชกิ กลุ่มรว่ มกันพจิ ารณาตรวจสอบ และประเมนิ ทางเลือกในการแกป้ ัญหา หากลวิธที ดี่ ีทส่ี ดุ ท่ตี รงกับสถานการณ์และมีความเหมาะสม เป็นไปไดแ้ ละดำเนินการแก้ปัญหาของกลุม่ ขน้ั ที่ 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยุทธวธิ แี ก้ปญั หา 9. ครูสมุ่ ให้ตวั แทนกลุ่มแตล่ ะกลุ่มนำเสนอกระบวนการแกป้ ัญหา กลวธิ ีทีใ่ ช้แกป้ ัญหาและ คำตอบของปัญหาท่ีกลุม่ ไดร้ ่วมกนั พิจารณาตดั สนิ ใจเลือกไว้ 10. ครใู ช้คำถามนำในการกระตนุ้ ใหน้ กั เรยี นร่วมอภิปรายสรปุ จากการเรียนในชว่ั โมงนี้ เพื่อแสดงความคิดเห็นเกยี่ วกับวิธกี ารแกป้ ัญหาและผลลพั ธ์ที่ได้ของนักเรยี นวา่ ถูกตอ้ ง ตรงกันหรอื ไม่ แลว้ ครูชว่ ยสรุปเพ่มิ เติม เรอ่ื ง ลิมติ ของลำดับ ให้นักเรยี นบันทึกลงในสมดุ ดังน้ี

89 ลมิ ิตของลำดับ (limit of sequence) • ลำดับทนี่ ำมาพิจารณาลมิ ิตของลำดบั ต้องเป็นลำดบั อนนั ต์ โดยลำดบั อนนั ต์ท่ีมีลมิ ติ เรยี กว่า ลำดับล่เู ข้า และลำดับอนนั ต์ที่ไม่มลี ิมิต เรยี กวา่ ลำดับลอู่ อก • ให้ L เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ ท่ีเปน็ ลมิ ติ ของลำดบั an เม่ือ n มีค่ามากข้ึนไม่มที ีส่ ิน้ สดุ พจน์ที่ n ของลำดับจะเข้าใกล้หรือเท่ากับจำนวนจริง L เพียงจำนวนเดียว เขียนแทนด้วย lim an = L อ่านวา่ ลมิ ิตของลำดบั an เม่ือ n มีค่ามากขึ้นไม่มีท่ีส้ินสุดเท่ากับ L n→ • ลำดบั ลู่เขา้ (convergent sequence) คือ ลำดบั ท่ี n มีค่ามากขึ้นไมม่ ีท่ีสิ้นสุด ลำดับจะ เข้าใกลห้ รือเทา่ กับค่าคงตวั จำนวนใดจำนวนหน่ึง • ลำดบั ลู่ออก (divergent sequence) คอื ลำดบั ที่ n มีค่ามากข้นึ ไมม่ ที สี่ ้ินสุด ลำดบั จะไม่ เข้าใกล้หรือเท่ากับคา่ คงตวั จำนวนใดจำนวนหนง่ึ ช่ัวโมงท่ี 2 ข้นั ท่ี 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครูตัง้ คำถามเพ่ือใหน้ ักเรียนทบทวนเกย่ี วกบั ลิมิตของลำดบั ดังนี้ ➢ ลำดับท่นี ำมาพจิ ารณาลิมติ ของลำดับตอ้ งเป็นลำดบั ชนิดใด มีก่ีแบบ เขียนอยา่ งไร (แนวคำตอบ ลำดับอนันต์ มี 2 แบบ ไดแ้ ก่ลำดบั ลเู่ ข้า (convergent sequence) และลำดบั ที่ไมม่ ลี มิ ติ หรอื ลำดบั ลู่ออก (divergent sequence) เขียนแทนด้วย lim an ) n→ 2. ครูกำหนดสถานการณ์ปญั หาทางคณิตศาสตร์ท่ีต้องการสอน ดังน้ี ถา้ ลำดับอนันต์ที่นำมาพิจารณา เป็นลำดบั เลขคณิตและลำดบั เรขาคณติ จะตรวจสอบการเป็นลำดบั ลูเ่ ข้าและลำดับลอู่ อกอย่างไร ขัน้ ที่ 2 คดิ วิธหี าคำตอบเพื่อวางแผนแกป้ ัญหา 3. ครใู หน้ กั เรยี นร่วมแสดงความคดิ เหน็ จากคำถามดังกล่าวว่า นกั เรียนสามารถระบุปญั หาได้ หรือไม่ และมีแนวคดิ ในการเลือกใชก้ ลวิธใี ดในการแก้ปัญหา

90 4. ครอู ธิบายโดยใช้สื่อในโปรแกรม power point เก่ียวกับลิมติ ของลำดบั ในกรณีท่ีลำดับ อนนั ตท์ ่นี ำมาพิจารณา เป็นลำดับเลขคณิตและลำดบั เรขาคณติ จะตรวจสอบการเป็นลำดับลเู่ ข้า และลำดับลอู่ อก ดงั น้ี ลมิ ติ ของลำดบั อนันต์ ลำดบั เลขคณติ ท่เี ปน็ ลำดบั อนนั ต์ ที่มีa1เป็นพจนแ์ รกและdเปน็ ผลตา่ งร่วมมีพจนท์ ่ีn คอื an= a1+ (n - 1)d ในการหาลมิ ติ ของลำดบั จะตอ้ งหา lim an จะพบว่า n→ 1) ลำดับเลขคณิตท่มี ี d = 0 จะเปน็ ลำดับลูเ่ ขา้ และมลี ิมิตเทา่ กับ a1 2) ลำดบั เลขคณิตทม่ี ี d ≠ 0 จะเปน็ ลำดบั ลูอ่ อก ลำดบั เรขาคณิตทเี่ ปน็ ลำดบั อนันตท์ ่ีมี a1 เปน็ พจน์แรก และ r เป็นอตั ราส่วนรว่ ม มพี จน์ท่ี n a1rn - 1 คือ an = ในการหาลิมติ ของลำดับ จะต้องหา lim an จะพบวา่ n→ 1) ลำดับเรขาคณติ ที่มี r < 1 เปน็ ลำดับลเู่ ข้าทีม่ ีลิมติ เทา่ กับ 0 2) ลำดบั เรขาคณิตที่มี r = 1 เปน็ ลำดบั ลเู่ ข้าทม่ี ลี มิ ิตเทา่ กบั a1 3) ลำดับเรขาคณิตที่มี r นอกเหนอื จากขอ้ 1) และ 2) เปน็ ลำดบั ลู่ออก ตวั อย่าง ใหห้ าลมิ ติ ของลำดับตอ่ ไปน้ี โดยการวาดกราฟ 5 n3 1) an = n2 2) an = วธิ ที ำ 1) an = n2 เขียนเปน็ ลำดับไดด้ ังน้ี 1, 4, 9, ..., n2, ... จะเห็นว่า เมื่อ n มีค่ามากขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด ค่าของพจน์ที่ n จะมีค่ามากขึ้นไม่มีท่ี สน้ิ สดุ และ ไมเ่ ขา้ ใกล้จำนวนใดจำนวนหน่ึง ดังกราฟ ลำดับนี้เป็นลำดับล่อู อก ดังน้ัน lim n2 เปน็ ลำดบั ลอู่ อก จงึ หาคา่ ไมไ่ ด้ n→

91 ลมิ ติ ของลำดับเลขคณิต 2) an = 5 เขียนเปน็ ลำดับได้ดังน้ี 5, 5 , 5 , …, 5 , … n3 8 27 n3 จะเหน็ วา่ เมือ่ n มคี ่ามากข้นึ ไมม่ ที ่ีส้ินสุด คา่ ของพจน์ท่ี n จะลดลงเข้าใกล้ 0 แตจ่ ะไมเ่ ทา่ กบั 0 ดงั กราฟ ลำดบั น้เี ปน็ ลำดบั ลูเ่ ข้า ดังนน้ั lim 5 เท่ากับ 0 เป็นลำดับลเู่ ขา้ n3 n→ ข้ันที่ 3 แสดงวธิ ีการหาคำตอบอย่างสรา้ งสรรค์ 5. ใหน้ ักเรยี นเขา้ กลมุ่ ย่อยกลมุ่ เดิมเหมือนช่วั โมงทผี่ า่ นมา ครกู ำหนดสถานการณ์ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ให้นักเรยี นช่วยกันเสนอความคิดวิธหี าคำตอบใหห้ ลากหลายเพื่อนำมาวางแผนแก้ปัญหา โดยใหน้ กั เรียนทำลงในสมดุ ของตนเอง สถานการณค์ ณิตศาสตร์ จงเขียนกราฟเพ่ือตรวจสอบดวู ่าลำดับ an= 1 + (-1)n เปน็ ลำดบั n ล่เู ข้าหรอื เปน็ ลำดบั ลู่ออก ถา้ เป็นลำดับลู่เข้า มีลิมติ ของลำดับเป็นเทา่ ใด

92 6. ครูคอยกระตนุ้ ใหน้ ักเรียนแสดงความคิดเหน็ ในแนวทางการแกป้ ญั หาของตนเองต่อกลุ่ม และสุ่มตัวแทนกลุ่มในการเฉลยสถานการณป์ ัญหา โดยใช้กระบวนการแกป้ ญั หา 5 ข้นั ตอน (แนวคำตอบ 1) ระบุปัญหา เขียนกราฟเพื่อตรวจสอบดวู ่าลำดบั an= 1 + (-1)n เป็นลำดบั ล่เู ขา้ n หรอื เป็นลำดับลู่ออก ได้อย่างไร 2) เลอื กใช้กลวิธใี นการแก้ปญั หา สรา้ งตารางและหาค่าของฟังก์ชัน … x1234 f(x) 0 3 2 5 เขา้ ใกล้ 1 2 3 4 3) ดำเนนิ การแกป้ ัญหา เขียนกราฟ และพจิ ารณาว่ากราฟลู่เข้าหรือลู่ออก ตรวจสอบการแก้ปญั หา จากกราฟ จะเห็นวา่ เมอ่ื n มีคา่ มากขึ้นไมม่ ที สี่ ้นิ สุด คา่ ของพจนท์ ่ี n จะเขา้ ใกล้ 1 แต่ไมเ่ ทา่ กับ 1 4) ตรวจสอบการแกป้ ัญหา อาจใชเ้ คร่ืองคำนวณในการช่วยตรวจสอบ 5) ประยุกต์ใชค้ วามรกู้ บั ความร้ใู หม่ ดงั นั้น ลำดับ an = 1+ (-1)n n มีลิมติ เทา่ กับ 1 เขียนแทนดว้ ย lim 1 + (-1)n = 1 n→ n 7. ครใู ห้นักเรียนทำใบงานที่ 5 เร่ือง ลิมิตของลำดับ ข้อ 2 โดยลงมือปฏิบัติกิจกรรมด้วย ตนเองอยา่ งอสิ ระ แล้วแสดงความคดิ เหน็ ในแนวทางการแก้ปญั หาของตนเองตอ่ กลมุ่ แล้วสมาชิกกล่มุ ร่วมกันพจิ ารณาตรวจสอบและประเมินทางเลือกในการแก้ปัญหา ทำการเลอื กกลวธิ ที ่ีดที ส่ี ุด มีความเหมาะสม เปน็ ไปได้และดำเนนิ การแก้ปัญหาของกลุ่ม พรอ้ มท้ังสังเกตพฤติกรรมการทำงาน

93 ขน้ั ท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยทุ ธวิธแี กป้ ญั หา 8. ครสู ่มุ ตัวแทนกลุ่มแตล่ ะกลุม่ ให้นำเสนอกระบวนการแกป้ ญั หา กลวิธที ใ่ี ช้แกป้ ญั หา คำตอบของปัญหาที่กลุ่มได้ร่วมกนั พจิ ารณาตดั สินใจเลือกไว้ รวมถึงแต่ละกลุ่มได้ผลการศึกษา เหมือนกันหรือต่างกันอย่างไร เพราะเหตุใด 9. ครูซักถาม อภิปราย ผลลัพธท์ ี่ไดข้ องแตล่ ะกลมุ่ แตกตา่ งกัน และใหน้ ักเรียนสรุปเกยี่ วกับ เรอ่ื งลมิ ิตของลำดับ และครูช่วยสรุปเพ่ิมเตมิ เมื่อพบวา่ นกั เรยี นสรุปได้ไม่ครอบคลมุ เน้ือหา หรือได้ มโนมตทิ ี่ยังไมช่ ดั เจนถูกต้อง ลิมติ ของลำดบั อนันต์ ดังนี้ • ลำดับลู่เข้า (convergent sequence) คอื ลำดบั ที่ n มคี า่ มากขึ้นไม่มีทส่ี นิ้ สุด ลำดับจะเข้า ใกลห้ รอื เท่ากับคา่ คงตัวจำนวนใดจำนวนหน่งึ • ลำดับลู่ออก (divergent sequence) คอื ลำดบั ท่ี n มีคา่ มากขน้ึ ไม่มที ่สี ิน้ สุด ลำดับจะไม่เข้า ใกลห้ รอื เท่ากบั ค่าคงตวั จำนวนใดจำนวนหนึง่ • ลำดับเลขคณิตที่เป็นลำดับอนันต์ท่ีมีa1เป็นพจน์แรกและdเป็นผลต่างร่วมมีพจน์ที่nคือ an= a1+ (n - 1)d ในการหาลมิ ิตของลำดับจะต้องหา lim an จะพบวา่ n→ 1) ลำดับเลขคณติ ทีม่ ี d = 0 จะเป็นลำดบั ลเู่ ข้าและมลี ิมติ เท่ากับ a1 2) ลำดับเลขคณติ ท่มี ี d ≠ 0 จะเปน็ ลำดบั ลอู่ อก • ลำดับเรขาคณติ ทเ่ี ป็นลำดับอนันตท์ ่ีมี a1 เปน็ พจนแ์ รก และ r เปน็ อตั ราส่วนร่วม มพี จนท์ ี่ n คอื an= a1rn - 1 • ในการหาลมิ ิตของลำดับ จะตอ้ งหา lim an จะพบวา่ n→ 1) ลำดับเรขาคณติ ที่มี r < 1 เปน็ ลำดบั ลู่เขา้ ท่มี ีลิมติ เท่ากบั 0 2) ลำดับเรขาคณิตท่มี ี r = 1 เป็นลำดับลเู่ ขา้ ที่มลี มิ ติ เท่ากบั a1 3) ลำดับเรขาคณติ ท่ีมี r นอกเหนอื จากขอ้ 1) และ 2) เป็นลำดบั ล่อู อก 10. ครูมอบหมายงานให้นักเรียนเขยี นข้อสรุปของลิมติ ของลำดับในสมดุ และให้นักเรยี นไป ศกึ ษาคน้ ควา้ เพิม่ เติมจากหนงั สือเรยี นหนังสอื เรยี นรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ เล่ม 6 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4-6 หนา้ 25 ขอ้ 1

94 7. การวัดและประเมินผล รายการวัด วิธีการ เครื่องมือ เกณฑ์การประเมนิ - ใบงานที่ 5 การประเมนิ ระหวา่ ง - รอ้ ยละ 70 ผา่ นเกณฑ์ การจัดกิจกรรมการเรียนรู้ - ระดับคณุ ภาพ 2 ผ่านเกณฑ์ 1) ลิมติ ของลำดับ (1) - ตรวจใบงานท่ี 5 - ระดบั คณุ ภาพ 2 2) พฤติกรรม - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต ผ่านเกณฑ์ การทำงานรายบุคคล การทำงาน พฤติกรรมการ รายบุคคล ทำงานรายบคุ คล - ระดบั คุณภาพ 2 3) พฤติกรรม ผา่ นเกณฑ์ การทำงานกลมุ่ - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต การทำงานกลุม่ พฤติกรรม 4) คุณลกั ษณะ การทำงานกลมุ่ อนั พึงประสงค์ - สงั เกตใฝ่เรียนรู้ และมุ่งมัน่ ใน - แบบประเมนิ การทำงาน คณุ ลักษณะ อนั พึงประสงค์ 8. สือ่ /แหล่งการเรยี นรู้ 8.1 สือ่ การเรียนรู้ 1) ส่ือในโปรแกรม power point เรื่อง ลมิ ิตของลำดับ 2) หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เลม่ 6 ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 4-6 3) ใบงานท่ี 5 เรือ่ ง ลิมิตของลำดบั (1) 8.2 แหลง่ การเรียนรู้ 1) ห้องเรยี น , ห้องสมดุ 2) อนิ เทอร์เน็ต

95 ใบงานท่ี 5 เร่ือง ลิมิตลำดบั  คำช้ีแจง : 1) หาคา่ lim an เมือ่ กำหนด an โดยพจิ ารณากราฟ n→ 1. an = 1 2n ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 2. an = 2 ................................................................................................................................................................ .............................................................................................................................................. ..................

96 3. an= 1 + (-1)n n ................................................................................................................................................................ 4. an = 2n - 1 .......................................................................................................................................................... ...... 5. an = (-1)n + 1 ................................................................................................................................................................

97 คำช้ีแจง :2) จงเขียนกราฟเพอื่ ตรวจสอบดูวา่ ลำดับ an = 5 เปน็ ลำดบั ลู่เข้าหรอื เปน็ n3 ลำดับลู่ออก ถา้ เป็นลำดบั ลูเ่ ขา้ มีลิมติ ของลำดบั เป็นเท่าใด x1 234… f(x) 5 5555 8 27 64 n3 จะเห็นว่า เมื่อ n มีค่ามากขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด ค่าของพจน์ที่ n จะลดลงเข้าใกล้ 0 แต่จะไม่ เทา่ กับ 0 ดังกราฟ ดงั นั้น lim 5 เทา่ กบั 0 เป็นลำดับลู่เขา้ n3 n→