คู่มือรูปแบบการสอนแก้ปัญหา

148 การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ ตวั อยา่ งท่ี 1 อนกุ รมเลขคณติ ชดุ หน่งึ มี a1 = 4, n = 10 และ a10 = 49 จงหา d และ Sn วธิ ีทำ เนอื่ งจาก an = a1 + (n - 1)d จะได้ a10= 4 + (10 - 1)d 49 = 4 + (10 - 1)d d=5 n เน่ืองจาก Sn = 2 (a1 + an ) n = 10 จะได้ S10 = 10 (a1 + a10 ) 2 = 5(4 + 49) S10 = 265 ดงั น้นั d = 5 และ S10 = 265 ตอบ ตัวอยา่ งที่ 2 อนุกรมเลขคณิตชุดหนึ่ง มี an = 23, d = 3 และ Sn = 98 จงหา a1 และ n วธิ ที ำ เน่ืองจาก an= a1 + (n -1)d จะได้ 23 = a1 + (n -1)(3) 26 = a1 + 3n ........................ (1) n เนื่องจาก Sn = 2 (a1 + an ) จะได้ 98 = n (a1 + 23) 2 196 = a1n + 23n ........................ (2) จาก (1) a1 = 26 - 3n ........................ (3) แทนคา่ a1 ใน (2) จะได้ a1 = 26 - 3n จาก (3) 196 = (26 - 3n)n + 23n 196 = 26n - 3n2 + 23n 3n2 - 49n + 196 = 0 (3n - 28)(n - 7) = 0

149 การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต n = 28 , 7 3 เนอื่ งจาก n ต้องเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น n = 7 แทนคา่ n = 7 ใน (3) จะได้ a1= 26 - 3(7) = 5 ดงั นัน้ a1 = 5 และ n = 7 ตอบ ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาผลบวก 20 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ 3 + 5 + 7 + ... วธิ ที ำ จากอนุกรม 3 + 5 + 7 + ... จะพบวา่ อนุกรมดังกลา่ วเปน็ อนกุ รมเลขคณิต ซง่ึ a1 = 3 และ d = 2 จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d] 2 จะได้ว่า S20 = 20 [2(3) + (20 - 1)(2)] 2 S20 = 440 ดังนนั้ ผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 3 + 5 + 7 + ... เทา่ กับ 440 ตอบ ขัน้ ท่ี 3 แสดงวธิ กี ารหาคำตอบอยา่ งสร้างสรรค์ 7. ครใู หน้ กั เรยี นแต่ละคนคดิ โจทย์อนุกรมเลขคณิต และแสดงวธิ คี ดิ โดยครูสุ่มโจทย์ที่น่าสนใจ มาเป็นตัวอย่าง 8. ครใู ห้แบง่ นักเรียนเป็นกล่มุ ย่อยกลมุ่ ละ 3-5 คน แบบคละความสามารถทางคณิตศาสตร์ เกง่ ปานกลาง อ่อน และใหน้ ักเรียนแบ่งหน้าที่ของสมาชิกในกลุ่ม และนำโจทย์อนุกรมเลขคณติ ท่ี นกั เรียนคิดมาแลกเปลย่ี นและตรวจสอบภายในกลุ่ม แลว้ รับใบงานที่ 8 เร่ือง การหาผลบวก n พจน์แรก ของอนุกรมเลขคณิต

150 9. ครูใช้คำถามกระตนุ้ ใหน้ กั เรียนลงมือปฏบิ ตั กิ จิ กรรมด้วยตนเองอย่างอิสระ แล้วแสดง ความคดิ เหน็ ในแนวทางการแกป้ ญั หาของตนเองต่อกลุ่ม แลว้ สมาชิกกลมุ่ รว่ มกันพจิ ารณาตรวจสอบ และประเมินทางเลอื กในการแกป้ ัญหา หากลวิธที ีด่ ที สี่ ุดทต่ี รงกับสถานการณแ์ ละมีความเหมาะสม เป็นไปได้และดำเนินการแกป้ ญั หาของกลุ่ม ขัน้ ท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยุทธวิธีแก้ปัญหา 10. ครสู ุ่มให้ตัวแทนกลุม่ แต่ละกลุ่มนำเสนอกระบวนการแก้ปัญหา กลวธิ ีท่ีใชแ้ กป้ ัญหาและ คำตอบของปัญหาท่ีกลมุ่ ไดร้ ่วมกันพจิ ารณาตัดสนิ ใจเลือกไว้ 11. ครใู ช้คำถามในการกระตนุ้ ให้นักเรยี นรว่ มอภิปรายสรปุ จากการเรียนในช่ัวโมงนี้ เพอ่ื แสดงความคดิ เห็นเก่ียวกับวิธีการแก้ปัญหาและผลลพั ธ์ท่ีไดข้ องนักเรียนวา่ ถกู ต้อง ตรงกันหรือไม่ 12. ครใู ชค้ ำถามในการกระตุ้นให้นักเรยี นรว่ มอภิปรายสรุปจากการเรียนในชัว่ โมงนี้ เพือ่ แสดงความคิดเหน็ เก่ยี วกับวิธีการแก้ปญั หาและผลลัพธ์ท่ีไดข้ องนักเรยี นวา่ ถกู ตอ้ ง ตรงกันหรือไม่ สรปุ ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ ให้ Sn เปน็ ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตทม่ี ี a1 เปน็ พจน์แรก และ d เป็นผลตา่ งร่วม จะได้ Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + nd) n n ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต Sn = 2 [2a1 + (n - 1)d] หรอื Sn = 2 (a1 + an ) ชัว่ โมงท่ี 2 ข้นั ท่ี 1 ทำความเข้าใจปัญหา 1. ครูใหน้ ักเรียนแสดงความคิดเห็น ร่วมอภปิ รายเก่ยี วกับการนำความรู้การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตไปใช้ในการแก้ปัญหาในชวี ิตประจำวนั แล้วให้นกั เรียนยกตวั อยา่ ง สถานการณ์ทีส่ ามารถนำความรู้การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิตไปใช้

151 2. ครูยกตัวอยา่ งโจทย์ปัญหาท่ีนำความรู้การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตไปใช้ เชน่ นาฬิกาเรอื นหน่ึงตีทุก ๆ 1 ชวั่ โมง โดยตี 1 ครงั้ เมอ่ื เวลา 1 นาฬิกา ตี 2 ครง้ั เมื่อเวลา 2 นาฬิกา ตี 3 ครงั้ เมื่อเวลา 3 นาฬกิ า เป็นดังนเ้ี รื่อย ๆ ไป ในเวลา 24 ช่ัวโมง นาฬิกาเรอื นนี้ ตที ้ังหมดกี่คร้ัง ข้นั ที่ 2 คดิ วิธีหาคำตอบเพอ่ื วางแผนแก้ปญั หา 3. ครใู หน้ กั เรียนรว่ มแสดงความคดิ เห็นจากคำถามดงั กล่าววา่ นกั เรียนสามารถระบปุ ัญหาได้ หรอื ไม่ และมแี นวคิดในการเลือกใช้กลวิธีใดในการแกป้ ัญหา วิธีทำ จำนวนครัง้ ทีน่ าฬิกาเรอื นน้ีตเี ปน็ 1, 2, 3, ..., 24 เปน็ ลำดับเลขคณติ ทม่ี ี d = 1 ต้องการหา 1 + 2 + 3 + ... + 24 เป็นอนกุ รมเลขคณิตจำนวน 24 พจน์ n เนอ่ื งจาก Sn = 2 [2a1 + (n - 1)d] จะได้วา่ S24 = 24 [2(1) + (24 - 1)(1)] 2 S24 = 12(25) S24 = 300 ดังน้ัน ในเวลา 24 ชว่ั โมง นาฬิกาเรอื นนี้ตที ง้ั หมด 300 คร้ัง ตอบ 4. ครอู ธบิ ายโดยใช้ส่ือในโปรแกรม power point เกี่ยวกบั โจทย์ปัญหาการหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ โจทย์ปญั หาการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ ตัวอยา่ งท่ี 1 พอ่ คา้ คนหนึ่งไดร้ บั รายไดจ้ ากการขายของเดือนแรก 3,600 บาท และรายได้ดงั กล่าว จะเพิ่มขน้ึ เดือนละ 200 บาททุกเดอื น จงหารายได้ท้ังหมด เม่ือเขาทำงานครบ 12 เดือน วิธที ำ จากขอ้ มลู ที่กำหนดให้ จะพบวา่ รายได้แตล่ ะเดอื นของเขาจะเปน็ ดงั น้ี 3600, 3800, 4000, ... ดังนั้น เงินเดือนท้งั 12 เดอื นของเขา คอื S12 = 3,600 + 3,800 + 4,000 + ... (รวม 12 เดอื น) ซึ่งอนุกรมดังกล่าวเปน็ อนุกรมเลขคณติ ที่ a1 = 3600, d = 200, n = 12 12 [2(3,600) ดงั นน้ั S12 = 2 + (12 - 1)(200)] = 56,400 ดังน้ัน รายไดท้ ้ังหมดเมือ่ เขาทำงานครบ 12 เดือน เทา่ กับ 56,400 บาท ตอบ

152 ตัวอย่างท่ี 2 วัตถุช้ินหนงึ่ ถูกปล่อยลงจากเครอ่ื งบิน ซึ่งสงู จากพ้ืนโลก 3,600 ฟตุ และ วัตถดุ ังกล่าวนัน้ จะเคลื่อนท่ีไดร้ ะยะทาง 16 ฟตุ ในวนิ าทีแรก 48 ฟุตในวนิ าทีทสี่ อง 80 ฟตุ ในวินาทที ี่สาม เปน็ เชน่ นเี้ ร่อื ย ๆ จงหาว่า วัตถดุ งั กล่าวใชเ้ วลาเคล่อื นที่กีว่ นิ าทจี งึ จะถงึ พื้นผิวโลก วิธีทำ จากขอ้ มูลท่กี ำหนดให้ จะพบว่าระยะท่วี ัตถุเคลื่อนทใี่ นแต่ละวินาทีเปน็ ดังนี้ 16, 48, 80, ... ลำดับเลขคณติ ดงั กลา่ ว มี a1 = 16, d = 32 ระยะทางทีว่ ัตถตุ ก คือ 16 + 48 + 80 + ... ซ่ึงมี Sn = 3,600 n จาก Sn = 2 [2a1 + (n - 1)d] จะได้ 3,600 = n [2(16) + (n - 1)(32)] 2 3,600 = n16 + 16(n - 1) 3,600 = n(16 + 16n - 16) 3,600 = 16n2 60 = 4n n = 15 ดงั น้ัน วตั ถุดังกล่าวต้องใช้เวลา 15 วินาที จึงจะเคล่อื นที่มาถงึ พ้นื ผิวโลก ตอบ ขั้นที่ 3 แสดงวิธกี ารหาคำตอบอย่างสร้างสรรค์ 5. ครใู หน้ ักเรยี นเข้ากลุม่ ย่อยกลุ่มเดิมเหมือนชวั่ โมงทผี่ ่านมา แลว้ ใหน้ ักเรยี นสบื คน้ โจทย์ปัญหา อนุกรมเลขคณิต จากแหล่งความรู้อ่ืน ๆ เชน่ หนงั สือเรียน หรือเวบ็ ไซต์ตา่ ง ๆ และรวบรวมโจทย์ท่ี นา่ สนใจ พร้อมวธิ คี ดิ มากลมุ่ ละ 2 ขอ้ แลว้ แสดงความคิดเหน็ ของตนเองในแนวทางการแก้ปัญหาต่อ กลมุ่ แล้วสมาชิกกล่มุ ร่วมกนั พิจารณาตรวจสอบและประเมนิ ทางเลือกในการแก้ปัญหา ทำการเลือก กลวิธที ่ดี ีที่สดุ มีความเหมาะสม เป็นไปได้และดำเนินการแก้ปัญหาของกลมุ่ พรอ้ มทง้ั สังเกตพฤติกรรม การทำงานและเตรียมนำเสนอ 6. เม่ือนกั เรียนเลือกกลวธิ ีทด่ี ีท่ีสุดได้แลว้ ครใู หน้ กั เรยี นเขยี นข้ันตอนการแก้ปัญหา จากโจทยท์ ่ี นักเรียนสบื ค้นมาลงในสมุด แล้วเลอื กโจทย์ไวน้ ำเสนอ 1 ข้อ ขนั้ ท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยทุ ธวิธีแก้ปญั หา 7. ครสู ุม่ ตัวแทนกลมุ่ แตล่ ะกลุ่มให้นำเสนอกระบวนการแก้ปัญหา กลวธิ ีที่ใชแ้ ก้ปัญหาคำตอบของ ปัญหาท่ีกล่มุ ไดร้ ่วมกันพิจารณาตดั สินใจเลอื กไว้ รวมถงึ แต่ละกลมุ่ ไดผ้ ลการศึกษาเหมอื นกันหรือ ตา่ งกนั อยา่ งไร เพราะเหตุใด

153 8. ครูซกั ถาม อภปิ ราย ผลลพั ธ์ท่ีไดข้ องแต่ละกลุ่มแตกตา่ งกัน และให้นักเรียนสรปุ เกยี่ วกับ เร่ืองสรุปสมบัตขิ องสัญลกั ษณ์แทนการบวกและสตู รท่สี ำคญั ของสญั ลักษณ์แทนการบวกและครชู ว่ ย สรปุ เพิ่มเติม เมื่อพบวา่ นักเรยี นสรปุ ไดไ้ ม่ครอบคลมุ เน้ือหา หรือไดม้ โนมตทิ ี่ยังไม่ชดั เจนถูกต้อง 9. ครูมอบหมายงานให้ศึกษาคน้ ควา้ เพ่ิมเตมิ จากแหลง่ เรียนรู้เพ่มิ เติมคนละ 1 ขอ้ แล้วให้นักเรียนทำ แบบทดสอบหลงั เรียน เรื่อง ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต 7. การวัดและประเมนิ ผล รายการวัด วธิ ีการ เคร่ืองมือ เกณฑก์ ารประเมิน การประเมินระหว่าง - ร้อยละ 70 ผา่ นเกณฑ์ การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ - ระดับคุณภาพ 2 ผ่านเกณฑ์ 1) การหาผลบวก n พจน์ - ตรวจใบงานท่ี 8 - ใบงานที่ 8 แรกของอนุกรมเลขคณิต - ตรวจแบบทดสอบ - แบบทดสอบ - ระดับคณุ ภาพ 2 ผ่านเกณฑ์ 2) พฤติกรรม - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต การทำงานรายบุคคล - ระดบั คุณภาพ 2 การทำงาน พฤติกรรมการ ผ่านเกณฑ์ รายบคุ คล ทำงานรายบคุ คล 3) พฤตกิ รรม - สังเกตพฤติกรรม - แบบสังเกต การทำงานกลุ่ม การทำงานกลุม่ พฤติกรรม การทำงานกลมุ่ 4) คุณลกั ษณะ - สงั เกตใฝ่เรียนรู้ - แบบประเมนิ อนั พงึ ประสงค์ และมงุ่ ม่ันใน คณุ ลกั ษณะ การทำงาน อันพงึ ประสงค์

154 8. สอื่ /แหลง่ การเรยี นรู้ 8.1 สื่อการเรียนรู้ 1) สอ่ื ในโปรแกรม power point เรอื่ ง การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 2) หนังสอื เรียนรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ เล่ม 6 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 4-6 3) ใบงานที่ 8 เรอ่ื ง การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ 4) แบบทดสอบ เรอ่ื ง การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 5) เฉลยแบบทดสอบ เรอ่ื ง การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต 8.2 แหลง่ การเรยี นรู้ 1) หอ้ งเรยี น , ห้องสมดุ 2) อนิ เทอรเ์ นต็ https://www.youtube.com/watch?v=YK_sGWfSIK8

155 แบบทดสอบก่อนเรียน เรอ่ื ง การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ คาํ ช้ีแจง ใหนกั เรียนทำเคร่ืองหมายกากบาท (x) ลงในชอง ก, ข, ค หรอื ง ทีถ่ ูกตองที่สุด 1. ขอ้ ใดเปน็ อนกุ รมเลขคณิต ก. √2+ 3√2+ 9√2+ 27√2 ข. 3 + 6 + 12 + 24 + … ค. 3 + 2+ 5 + 3 + … ง. 1 + 3 + 6 + 9 + … 2 2 2. ผลบวกของ 10 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ (-4) + (-2) + 0 + 2 + … มคี า่ เทา่ กบั ข้อใด ก. 70 ข. 60 ค. 50 ง. 40 3. ผลบวกของ 7 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ 30 + 20 + 10 + … มคี ่าเท่ากับข้อใด ก. 420 ข. 100 ค. 80 ง. 0 4. ผลบวกของจำนวนคตี่ ง้ั แต่ 1 ถงึ 99 มคี ่าเทา่ กับขอ้ ใด ก. 100 ข. 150 ค. 2,000 ง. 2,500 5. ถ้าลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่งมีพจน์แรกและพจนท์ ่ี 5 เปน็ 5 และ 25 ตามลำดบั แล้วผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนกุ รมนเี้ ท่ากับข้อใด ก. 300 ข. 275 ค. 250 ง. 210 6. ถ้าอนุกรมเลขคณิตหนง่ึ มี S5 = 40, S7 = 77 แลว้ a1 และ d มคี ่าตรงกบั ข้อใด ก. a1 = 1, d = 2 ข. a1 = -2, d = 1 ค. a1 = 3, d = 2 ง. a1 = 2, d = 3 7. นายไกแ่ จเ้ ก็บเงินฝากธนาคารทุกเดือน โดยจะฝากเงนิ เพม่ิ ขึ้นจากเดือนกอ่ นหนา้ 100 บาท ถา้ เดอื นแรกเขาฝากเงิน 100 บาท เขาจะใช้เวลาเทา่ ไรจึงจะมเี งนิ ฝากในธนาคาร 21,000 บาท ก. 1 ปี 8 เดอื น ข. 1 ปี 11 เดือน ค. 2 ปี 1 เดอื น ง. 2 ปี 3 เดอื น 8. ถา้ (-10) + (-5) + 0 + 5 + 10 + … เป็นอนกุ รมเลขคณิตแลว้ ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง ก. S5 = 0 ข. S6 + S3 = 0 ค. S5 – S4 = S3 ง. S5 – S4 = a5

156 9. ในการวงิ่ รอบสนามกีฬาของเด็กหญิงฟ้า พบวา่ เมื่อวงิ่ ครบ 1 รอบจำนวนก้าวในการวงิ่ จะเพ่ิมข้ึน 10 ก้าว หากในรอบแรกเด็กหญิงฟา้ วง่ิ ได้ 1,000 ก้าว เม่ือครบ 10 รอบจำนวนกา้ ว ในการว่งิ ของ เดก็ หญิงฟา้ ตรงกบั ข้อใด ก. 20,000 กา้ ว ข. 10,850 ก้าว ค. 10,500 กา้ ว ง. 10,450 กา้ ว 10. โก้ออมเงินทุกวนั โดยวันแรกเก็บได้ 1 บาท วันท่ีสอง 2 บาท วันที่สาม 3 บาท ถา้ โก้ ทำเชน่ น้ีไปเร่ือย ๆ จนครบ 30 วนั เขาจะออมเงินไดท้ ้ังหมดเทา่ ใด ก. 490 บาท ข. 475 บาท ค. 465 บาท ง. 450 บาท      

157 แบบทดสอบหลังเรยี น เรื่อง การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต คาํ ชีแ้ จง ใหนกั เรียนทำเครื่องหมายกากบาท (x) ลงในชอง ก, ข, ค หรอื ง ทีถ่ ูกตองท่ีสดุ 1. ขอ้ ใดเป็นอนุกรมเลขคณติ ข. 3 + 2 + 5 + 3 + … ก. 1 + 3 + 6 + 9 + … 2 2 ค. 3 + 6 + 12 + 24 + … ง. √2+ 3√2+ 9√2+ 27√2 2. ผลบวกของ 10 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ (-4) + (-2) + 0 + 2 + … มีค่าเทา่ กบั ข้อใด ก. 40 ข. 50 ค. 60 ง. 70 3. ผลบวกของ 7 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 30 + 20 + 10 + … มคี ่าเทา่ กับข้อใด ก. 0 ข. 80 ค. 100 ง. 420 4. ผลบวกของจำนวนคี่ต้งั แต่ 1 ถึง 99 มีคา่ เท่ากับขอ้ ใด ก. 100 ข. 150 ค. 2,000 ง. 2,500 5. ถา้ ลำดับเลขคณิตลำดับหนง่ึ มีพจนแ์ รกและพจน์ที่ 5 เป็น 5 และ 25 ตามลำดับ แล้ว ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมนีเ้ ทา่ กับข้อใด ก. 210 ข. 250 ค. 275 ง. 300 6. ถา้ อนุกรมเลขคณิตหน่งึ มี S5 = 40, S7 = 77 แลว้ a1 และ d มีค่าตรงกบั ข้อใด ก. a1 = -2, d = 1 ข. a1 = 1, d = 2 ค. a1 = 2, d = 3 ง. a1 = 3, d = 2 7. นายไกแ่ จ้เกบ็ เงินฝากธนาคารทกุ เดือน โดยจะฝากเงนิ เพมิ่ ขึ้นจากเดือนกอ่ นหน้า 100 บาท ถา้ เดอื นแรกเขาฝากเงนิ 100 บาท เขาจะใชเ้ วลาเท่าไรจงึ จะมเี งนิ ฝากในธนาคาร 21,000 บาท ก. 2 ปี 1 เดือน ข. 2 ปี 3 เดอื น ค. 1 ปี 8 เดอื น ง. 1 ปี 11 เดือน

158 8. ถา้ (-10) + (-5) + 0 + 5 + 10 + … เป็นอนุกรมเลขคณิตแลว้ ข้อใดต่อไปน้ีไม่ถูกต้อง ก. S5 – S4 = a5 ข. S5 – S4 = S3 ค. S6 + S3 = 0 ง. S5 = 0 9. ในการวิ่งรอบสนามกีฬาของเด็กหญิงฟ้า พบวา่ เม่ือวิง่ ครบ 1 รอบจำนวนกา้ วในการวง่ิ จะเพิ่มข้ึน 10 ก้าว หากในรอบแรกเดก็ หญิงฟา้ วิ่งได้ 1,000 ก้าว เมอ่ื ครบ 10 รอบจำนวนกา้ ว ในการวิ่ง ของเดก็ หญงิ ฟ้าตรงกับข้อใด ก. 10,450 ก้าว ข. 10,500 ก้าว ค. 10,850 กา้ ว ง. 20,000 ก้าว 10. โก้ออมเงินทุกวนั โดยวันแรกเกบ็ ได้ 1 บาท วันท่ีสอง 2 บาท วนั ที่สาม 3 บาท ถ้าโก้ทำเช่นนี้ไปเร่ือย ๆ จนครบ 30 วัน เขาจะออมเงนิ ไดท้ ั้งหมดเท่าใด ก. 450 บาท ข. 465 บาท ค. 475 บาท ง. 490 บาท 

159 กระดาษคำตอบแบบทดสอบ เรือ่ ง การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ ช่อื – นามสกุล.....................................................................ชน้ั ..................... เลขท.่ี ............ ก่อนเรยี น หลงั เรียน ข้อ ก ข ค ง ขอ้ ก ข ค ง 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7. 8. 8. 9. 9. 10. 10. คะแนนทไ่ี ด้ คะแนนทไี่ ด้ ---------------- ---------------- คะแนนเต็ม คะแนนเต็ม (10) (10)

160 เฉลยแบบทดสอบ เร่ือง การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ ก่อนเรียน หลังเรยี น ข้อ ตวั เลือก ขอ้ ตวั เลือก 1. ค. 1. ข. 2. ค. 2. ข. 3. ง. 3. ก. 4. ง. 4. ง. 5. ข. 5. ค. 6. ง. 6. ค. 7. ก. 7. ค. 8. ค. 8. ข. 9. ง. 9. ก. 10. ค. 10. ข. นกั เรยี นเก่ง ทกุ คนเลย ค่ะ

161 ใบงานท่ี 8 เรือ่ ง การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต  คำชแ้ี จง : ใหน้ ักเรยี นหาคำตอบจากโจทยท์ ก่ี ำหนดให้ 1. จงหาพจน์ที่ 18 และผลบวก 18 พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต 2 + 6 + 10 + ... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ....................................................................................................................................................... ......... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 2. จงหาผลบวกของจำนวนเต็มคบู่ วก 100 จำนวนแรก ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ....................................................................................................................................... ......................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 3. จงหาผลบวกของจำนวนเต็ม ซึ่งจำนวนเต็มแต่ละจำนวนดงั กล่าวต้องมีคา่ ระหว่าง 20 ถึง 80 และ หารด้วย 3 ลงตวั ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... . .................................................................................................................................. .............................. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

162 4. อนกุ รมเลขคณิตชดุ หน่ึง มพี จน์ท่ี 13 เท่ากบั 27 และพจนท์ ่ี 7 มีคา่ เปน็ สามเท่าของพจน์ที่ 2 จงหาผลบวก 12 พจนแ์ รก ............................................................................................................................................. ................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ .......................................................................................................................................... ...................... ................................................................................................................................................................ 5. กองไม้ซุงกองหนึ่ง มีซุง 24 ท่อนในชั้นแรก 23 ท่อนในชั้นที่สอง 22 ท่อนในชั้นที่สาม เป็นดังนี้ เร่อื ย ๆ ไปถา้ ช้ันสุดท้ายมีซุง 10 ทอ่ น จงหาว่ากองไมน้ ม้ี ีซุงท้งั หมดก่ีท่อน ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................... ............................. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................ ................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... เราทำได.้ ..เราชว่ ยสอนได้นะ

163  เฉลยใบงานท่ี 8 เรื่อง การหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต  คำชีแ้ จง : ใหน้ กั เรียนหาคำตอบจากโจทยท์ กี่ ำหนดให้ 1. จงหาพจนท์ ี่ 18 และผลบวก 18 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ 2 + 6 + 10 + ... วธิ ที ำ จากโจทย์ a1 = 2, d = 4 หาพจนท์ ่ี 18 จาก an = a1 + (n - 1)d a18 = 2 + (18 - 1)(4) a18 = 2 + 68 a18 = 70 จาก Sn = n (a1 + an ) 2 S18 = 18 (2 + 70) 2 S18 = 9(72) S18 = 648 ดังนัน้ a18 = 70 และ S18 = 648 2. จงหาผลบวกของจำนวนเต็มคู่บวก 100 จำนวนแรก วธิ ที ำ จากโจทย์ อนุกรม คอื 2 + 4 + 6 + 8 + ... + a100 มี a1 = 2, d = 2 จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d] 2 จะไดว้ า่ S100 = 100 [2(2) + (100 - 1)(2)] 2

164 S100 = 50(4 + 198) S100 = 10,100 ดังนั้น ผลบวกจำนวนเตม็ คบู่ วก 100 พจนแ์ รก คือ 10,100 3. จงหาผลบวกของจำนวนเต็ม ซึ่งจำนวนเต็มแต่ละจำนวนดังกล่าวต้องมคี ่าระหว่าง 20 ถึง 80 และ หารดว้ ย 3 ลงตวั วธิ ีทำ จากโจทย์ อนกุ รมดงั กลา่ ว คอื 21 + 24 + 27 + ... + 78 มี a1 = 21, d = 3, an = 78 จาก an = a1 + (n - 1)d 78 = 21 + (n - 1)(3) 57 = (n - 1)(3) n - 1 = 19 n = 20 จาก Sn = n (a1 + an ) 2 S20 = 20 (21 + 78) 2 S20 = 10(99) S20 = 990 ดงั น้ัน ผลบวกของจำนวนเตม็ คอื 990 4. อนุกรมเลขคณิตชุดหนึ่ง มีพจน์ที่ 13 เท่ากับ 27 และพจน์ที่ 7 มีค่าเป็นสามเท่าของพจน์ที่ 2 จงหาผลบวก 12 พจนแ์ รก วธิ ที ำ จากโจทย์ a13 = 27 หรือ a1 + 12d = 27 ........................ (1)

165 และ a7 = 3a2 จะได้ a1 + 6d = 3(a1 + d) หรือ 2a1 - 3d = 0 ........................ (2) (1) × 2; 2a1 + 24d = 54 ........................ (3) (3) - (2); 27d = 54 d =2 แทนคา่ d = 2 ใน (1) จะได้ a1 + 12(2) = 27 ดังน้ัน a1 = 3 ตอ้ งการหาผลบวก 12 พจนแ์ รก จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d] 2 จะไดว้ ่า S12 = 12 [2(3) + (12 - 1)(2)] 2 S12 = 168 ดังนนั้ ผลบวก 12 พจนแ์ รก เท่ากบั 168 5. กองไม้ซุงกองหนึ่ง มีซุง 24 ท่อนในชั้นแรก 23 ท่อนในชั้นที่สอง 22 ท่อนในชั้นที่สาม เป็นดังน้ี เรอื่ ย ๆ ไป ถา้ ช้ันสุดทา้ ยมซี งุ 10 ทอ่ น จงหาวา่ กองไม้นม้ี ีซุงทง้ั หมดก่ที ่อน วิธที ำ จากโจทย์ จะไดว้ า่ 24 + 23 + 22 + ... + 10 a1 = 24, d = -1, an = 10 จาก an = a1 + (n - 1)d 10 = 24 + (n - 1)(-1) 10 = 24 - n + 1

166 n = 15 จาก Sn = n (a1 + an ) 2 S15 = 15 (24 + 10) 2 S15 = 15 (34) 2 S15 = 255 ดงั น้นั กองไมน้ ้ีมซี ุงท้ังหมด 255 ทอ่ น

167 แผนการจัดการเรียนรูท้ ่ี 9 เรอื่ ง การหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ เวลา 2 ช่ัวโมง กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ คณิตศาสตรป์ ระยกุ ต์ 5 (ค33203) ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 1 เร่ือง ลำดบั อนันต์และอนุกรมอนันต์ เวลา 30 ชวั่ โมง ครผู สู้ อน นางสทุ ธดา เหลืองห่อ ใชส้ อนวนั ที่ ......................................... 1. ผลการเรยี นรู้ หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตและอนุกรมเรขาคณติ 2. จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 1) อธิบายเกี่ยวกับการหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ ได้ (K) 2) แสดงการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ ได้ (P) 3) ใฝ่เรยี นรู้ ความมงุ่ มนั่ ในการทำงานเก่ยี วกบั นำความรเู้ กี่ยวกับการหาผลบวก n พจน์แรก ของอนกุ รมเรขาคณติ ไปประยุกตใ์ ชใ้ นชวี ิตจรงิ ได้ (A) 3. สาระการเรียนรู้ การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ 4. สาระสำคัญ/ความคิดรวบยอด ถ้า a1, a2 , a3 , ... เป็นลำดับเรขาคณิต แล้วจะเรียกอนุกรม a1+ a2 + a3 + ... ว่า อนุกรมเรขาคณติ (Geometric Series) ให้ Sn เปน็ ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ ท่ีมี a1 เปน็ พจน์แรก และ r เป็นอตั ราส่วนร่วม จะได้ Sn= a1 + a1r + a1r2 + ... + a1rn - 1 ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต คือ Sn= a1 (rn - 1) r-1 5. สมรรถนะสำคญั ของผูเ้ รยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแก้ปญั หา 6. กิจกรรมการเรยี นรู้ รูปแบบการสอนแกป้ ญั หาทางคณิตศาสตร์เพื่อพฒั นาความสามารถในการแก้ปัญหาและ ความสามารถในการคิดขั้นสงู

168 ชั่วโมงที่ 1 ข้นั ท่ี 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครอู ธิบายจุดประสงคก์ ารเรียนรู้แลว้ ใหน้ ักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรยี นเรื่อง การหา ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ 2. ครใู ห้นักเรียนรว่ มกันอภิปรายและทบทวนความรเู้ กย่ี วกับอนุกรมและสัญลกั ษณ์ของ อนกุ รม จากสือ่ ในโปรแกรม power point ดงั น้ี ➢ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม หมายถึง ผลบวกตั้งแต่พจนท์ ี่ 1 ถึงพจน์ที่ n ซง่ึ จะเขยี นแทนด้วย Sn ➢ ตัวอยา่ ง ถ้าให้ a1, a2, a3, ..., an เปน็ ลำดบั เรขาคณติ จะได้ a1 + a2 + a3 + ... + an เป็นอนกุ รมเรขาคณิต และ r เป็นอัตราสว่ นร่วมของลำดบั เรขาคณติ กเ็ ปน็ อัตราส่วนรว่ มของอนุกรมเรขาคณติ ดว้ ย เช่น (1) 1, 3, 9, 27, 81 เปน็ ลำดบั เรขาคณิต ท่ีมคี ่า r = 3, a1 = 1 ดงั นั้น 1 + 3 + 9 + 27 + 81 เป็นอนุกรมเรขาคณิต ทีม่ ีค่า r = 3, a1 = 1 (2) 1, 2, 4, 8, ..., 2n – 1 เปน็ ลำดับเรขาคณติ ที่มีคา่ r = 2, a1 = 1 ดงั นน้ั 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2n – 1 เป็นอนกุ รมเรขาคณิต ท่ีมคี า่ r = 2, a1 = 1 (3) 1 , 1 , 1 , 1 , … เปน็ ลำดับเรขาคณิต ที่มคี ่า r = 12, a1 = 1 2 4 8 16 ดังนน้ั 1 + 1 + 1 + 1 + … เปน็ อนุกรมเรขาคณติ ท่ีมีคา่ r = 12, a1 = 1 2 4 8 16 3. ครใู ชค้ ำถามและสมุ่ นักเรยี นทบทวนความรเู้ กี่ยวกบั สูตรอนุกรมเรขาคณิต พรอ้ มท้ังอธิบาย เพิม่ เตมิ - นักเรยี นคิดว่า ในการหาอนุกรมเรขาคณิตก็จะมสี ตู รการหา “เหมือน” หรอื “ตา่ งกัน” เพราะเหตุใด (แนวคำตอบ ตา่ งกนั เพราะลำดบั เลขคณิต จะมผี ลต่างรว่ ม คอื d แต่ลำดับเรขาคณติ จะมอี ัตราร่วม คอื r)

169 ให้ Sn เป็นผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต ท่ีมี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็น อัตราส่วนรว่ ม จะได้ Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an Sn = a1 + a1r + a1r2 + . . . + a1rn – 2 + a1rn – 1 …………….. (1) (1)  r ; rSn = a1r + a1r2 + a1r3 + . . . + a1rn – 2 + a1rn – 1 + a1rn …………….. (2) (2) – (1) ; rSn - Sn = a1rn – a1 (r – 1)Sn = a1(rn – 1) Sn = a1(rn - 1) เม่อื r  1 สูตรที่ 1 หรอื Sn = r-1 สตู รที่ 2 สูตรที่ 3 จะได้ Sn = -a1(1 - rn) Sn = - (1 - r) แต่ an = จะได้ Sn = a1(1 - rn) เมื่อ r  1 1-r a1 - a1rn-1 r 1-r a1rn-1 เม่อื r  1 a1 - anr 1-r ขนั้ ท่ี 2 คดิ วิธหี าคำตอบเพอ่ื วางแผนแกป้ ัญหา 1. ครใู หน้ กั เรยี นรว่ มแสดงความคดิ เห็นจากสถานการณ์คณิตศาสตร์ทีค่ รูกำหนด ดังนี้ กำหนดให้ 1, 5, 25, ... เปน็ ลำดับเรขาคณิต จงหาผลบวก 10 พจนแ์ รกของลำดบั นี้ 2. ครูตงั้ คำถามกับนกั เรยี นวา่ สามารถระบปุ ัญหาไดห้ รือไม่และมแี นวคิดในการอธิบาย เกี่ยวกับการหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตดังกลา่ วได้อยา่ งไร 3. ครอู ธิบายการหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ พรอ้ มยกตวั อยา่ ง ประกอบใช้สอ่ื ในโปรแกรม power point ดังนี้

170 การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต อนุกรมเรขาคณติ (Geometric Series) คอื a1 + a2 + a3 + ... ให้ Sn เปน็ ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ ที่มี a1 เปน็ พจน์แรก และ r เป็น อัตราส่วนรว่ ม จะได้ Sn= a1+ a1r + a1r2 + ... + a1rn - 1 สูตร ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต Sn = a1(rn - 1) เม่ือ r  1 สตู รที่ 1 r-1 เม่ือ r  1 สตู รท่ี 2 เมื่อ r  1 สตู รท่ี 3 Sn = a1(1 - rn) 1-r Sn = a1 - anr 1-r ตัวอย่างท่ี 1 กำหนดให้ 1, 5, 25, ... เปน็ ลำดับเรขาคณติ จงหาผลบวก 10 พจนแ์ รก ของลำดบั นี้ วิธีทำ 1 + 5 + 25 + 125 + ... หาผลบวก 10 พจนแ์ รก จะได้ a1 = 1, r = 5, n = 10 จาก Sn = a1 (rn - 1) Sn r-1 (1)(510 - 1) S10 = 5-1 ดงั นัน้ S10 = 510 - 1 ตอบ 4 ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาพจนท์ ่ี 7 และผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนุกรม 1 + 1 + 2 + … 239 วิธีทำ จากโจทย์ 1 + 1 + 2 + … หาผลบวก 7 พจนแ์ รก 239 1 1 2 จะได้ a1 = 2 , a2 = 3 , a3 = 9

171 r = a2 = 1 ÷ 1 = 1 × 2 = 2 a1 3 2 3 3 ต้องหาพจนท์ ี่ 7 หรอื a7 จาก an = a1rn - 1 6 a7 =  1   2 2 3 a7 =  1  26  = 25 2 36  36 จาก Sn = a1 (rn - 1) r-1 6 - 1 ( ) ( )S7 = 1  2 2  3 2 -1 ใชอ้ ีกสตู รกไ็ ด้ 3 คำตอบเดยี วกนั ( )= 1  26 - 1 ตอบ 2  36 - 1 3 =  - 3   26 - 1 2  36 = 3  1 - 26  2  36  ดังนั้น S7 = 3 - 25 = 36 - 26 = 665 2 35 2(3)5 486 ขัน้ ท่ี 3 แสดงวธิ กี ารหาคำตอบอย่างสร้างสรรค์ 4. ครกู ำหนดโจทย์ปัญหาและให้นักเรยี นทำลงในสมุดโดยให้นักเรียนทบทวนสถานการณ์ ปัญหา วเิ คราะหก์ ระบวนการในการแกป้ ัญหาวางแผนหากลวธิ ีในการแก้ปัญหาอย่างหลากหลาย

172 โดยใช้กระบวนการแกป้ ญั หา4 ขน้ั ตอนคือ คอื 1) โจทย์ให้อะไร 2) คิดวธิ ีหาคำตอบ 3) แสดงวธิ หี า คำตอบ 4) ตรวจคำตอบโดยครูเป็นผู้ชี้แนะ เพื่อให้นักเรียนได้ศึกษาค้นคว้า หาแนวทางการแกป้ ญั หา เช่น อนุกรมเรขาคณิตชุดหนงึ่ มีพจนแ์ รกเท่ากับ 160 อตั ราสว่ นรว่ ม 3 อนกุ รมนี้มีกี่พจน์ 2 จึงจะทำให้ Sn = 2,110 วิธีทำ จากโจทย์ a1 = 160, r = 3 , Sn = 2,110 2 a1 (rn - 1) จาก Sn = r-1 ( )2,110 160  3 n 1 Sn  2 = - 3 2 - 1 ( )2,110 160  3 n - 1  = 2 1 2 1,055 = 160  3 n - 1 2 1,055 =  3 n - 1 160 2 n 211 + 1 =  3 32 2 n  3 = 243 2 32 n 5  3 =  3 2 2 n= 5 ดังน้นั อนุกรมชดุ น้ี มี 5 พจน์ จงึ จะทำให้ Sn = 2,110

173 5. ครใู ห้แบง่ นักเรยี นเป็นกล่มุ ย่อยกลมุ่ ละ 3-5 คน แบบคละความสามารถทางคณิตศาสตร์ เกง่ ปานกลาง อ่อน และให้นักเรียนแบ่งหน้าท่ีของสมาชิกในกลุ่ม และรับใบงานท่ี 9 เรื่อง การหา ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ข้อ 1-3 6. ครใู ช้คำถามกระต้นุ ให้นักเรยี นลงมอื ปฏบิ ัตกิ จิ กรรมดว้ ยตนเองอยา่ งอิสระ แลว้ แสดง ความคิดเห็นในแนวทางการแก้ปัญหาของตนเองตอ่ กลมุ่ แล้วสมาชกิ กลมุ่ รว่ มกนั พิจารณาตรวจสอบ และประเมินทางเลือกในการแกป้ ัญหา หากลวธิ ีท่ีดีท่สี ดุ ที่ตรงกับสถานการณแ์ ละมีความเหมาะสม เปน็ ไปไดแ้ ละดำเนนิ การแกป้ ญั หาของกลุ่ม ขั้นที่ 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยทุ ธวิธแี ก้ปญั หา 7. ครสู ุม่ ให้ตัวแทนกลุ่มแต่ละกลุ่มนำเสนอกระบวนการแกป้ ัญหา กลวิธที ใ่ี ชแ้ ก้ปญั หาและ คำตอบของปญั หาท่ีกลุม่ ได้ร่วมกนั พจิ ารณาตดั สินใจเลือกไว้ 8. ครใู ชค้ ำถามในการกระต้นุ ให้นกั เรยี นร่วมอภิปรายสรปุ จากการเรยี นในช่ัวโมงนี้ เพื่อแสดงความคิดเห็นเก่ยี วกับวิธีการแก้ปญั หาและผลลัพธ์ทไี่ ดข้ องนักเรียนวา่ ถกู ตอ้ ง ตรงกันหรือไม่ 9. ครใู ชค้ ำถามในการกระตนุ้ ให้นกั เรียนรว่ มอภิปรายสรปุ จากการเรียนในชวั่ โมงนี้ เพ่อื แสดงความคดิ เหน็ เกยี่ วกับวิธีการแก้ปัญหาและผลลัพธท์ ไ่ี ดข้ องนักเรียนวา่ ถกู ต้อง ตรงกนั หรอื ไม่ ให้ Sn เปน็ ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิตท่มี ี a1 เป็นพจนแ์ รก และ r เป็น อตั ราสว่ นร่วม จะได้ Sn= a1+ a1r + a1r2 + ... + a1rn - 1 สูตร ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ a1(rn - 1) Sn = r-1 เมื่อ r  1 สูตรท่ี 1 Sn = a1(1 - rn) เมื่อ r  1 สตู รที่ 2 1-r Sn = a1 - anr เมื่อ r  1 สูตรที่ 3 1-r

174 ชวั่ โมงท่ี 2 ขั้นที่ 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครูให้นักเรียนแสดงความคิดเห็น รว่ มอภปิ รายเก่ียวกบั การนำความรู้ผลบวก n พจน์แรก ของอนกุ รมเรขาคณิต ไปใช้ในการแก้ปัญหาในชีวิตประจำวันแล้วใหน้ ักเรยี นยกตัวอยา่ งสถานการณ์ ที่สามารถนำความรู้เรื่องผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต ไปใช้ 2. ครูยกตัวอย่างโจทยป์ ัญหาท่ีนำความรู้อนุกรมเรขาคณิตไปใช้ เช่น นายชาครติ ฝากเงินไว้กับธนาคารเป็นรายเดือน เดือนละ 100 บาทในแต่ละปี ตอ่ มานายชาคริต มีรายไดม้ ากข้ึน จึงฝากเงนิ เพ่ิมอีก 20% ของจำนวนเงนิ ทเ่ี ขาฝากตลอด ปีทผี่ า่ นมา เมื่อสนิ้ ปที ่ี 6 นายชาคริตมีความจำเปน็ ต้องถอนเงินท่ีฝากไว้ นายชาคริตจะมี เงินไมร่ วมดอกเบีย้ เป็นเงินก่บี าท ขน้ั ที่ 2 คดิ วิธหี าคำตอบเพ่อื วางแผนแกป้ ญั หา 3. ครใู ห้นกั เรยี นรว่ มแสดงความคิดเห็นจากคำถามดังกล่าววา่ นกั เรยี นสามารถระบุปญั หาได้ หรือไม่ และมีแนวคดิ ในการเลือกใชก้ ลวิธใี ดในการแกป้ ัญหา วิธีทำ ให้ an แทน จำนวนเงินท่ีนายคณติ ฝากไว้ในแตล่ ะปี จะได้ a1 = 100 × 12 = 1,200 120 6 a2 = 1,200 × 100 = 1,200 × 5 a3 = 1,200 × 6  × 120 = 1,200 ×  6 2 5 100 5 ⋮ เนอื่ งจาก Sn = a1 (rn - 1) r-1 1,200  6 6 - 1 6 5 S6 = 5 -1

175 = 1,200(46,656 - 15,625)5 15,625 = (1,200)(31,031)(5) 15,625 = 11,915.90 ดงั นนั้ นายคณติ จะมีเงนิ ฝากไมร่ วมดอกเบย้ี เท่ากบั 11,915.90 บาท ตอบ 4. ครนู ำเสนอเนื้อหาโดยใชส้ ือ่ ในโปรแกรม power point เกี่ยวกบั โจทย์ปัญหาการหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต เพ่ิมเติม โจทย์ปญั หาการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ตัวอยา่ งท่ี 1 ผจู้ ดั การฝ่ายขายของบริษัทแหง่ หนึ่งตง้ั ใจจะเพม่ิ ยอดขายใหม้ ากขนึ้ 2% ของยอดขายเดิมทุกเดือน ถา้ ขณะท่เี ขาวางแผนคอื เดอื นมกราคมเขามียอดขาย 100,000 บาท ต่อเดือน ถ้าเปน็ ไปตามเป้าที่วางไว้เมอ่ื ถึงสน้ิ เดือนมิถนุ ายน เขาจะมียอดขายสะสมเทา่ ใด วิธีทำ พจิ ารณายอดขายในแต่ละเดือน ดงั น้ี เดอื นมกราคม = 100,000 เดอื นกุมภาพันธ์ = ยอดขายเดอื นแรก + ยอดขายเดือนท่ี 2 = 100,000 + 100,000(0.02) = 100,000(1+0.02) = 100,000(1.02) เดอื นมนี าคม = 100,000(1.02) + 100,000(1.02) (0.02) = 100,000(1.02)(1+0.02) = 100,000(1.02)(1.02) = 100,000(1.02)2 พิจารณาลำดับ 100,000, 100,000(1.02), 100,000(1.02)2 พบว่าเป็นลำดับเรขาคณติ ทีม่ ี a1 = 100,000 และ r = 1.02 ต้องการหา S6

176 จาก Sn = a1(rn - 1) เม่อื r  1 สตู รที่ 1 r-1 จะได้ S6 = 100,000((1.02)6-1) 1.02-1 ≈ 630,811.50 ดังนนั้ เมอื่ ถึงส้ินเดอื นมถิ นุ ายน เขาจะมยี อดขายสะสม 630,811.50 บาท ขัน้ ที่ 3 แสดงวธิ ีการหาคำตอบอย่างสรา้ งสรรค์ 5. ครูให้นักเรียนเข้ากลุม่ ย่อยกลุ่มเดมิ เหมือนชัว่ โมงท่ีผ่านมา แลว้ ให้นกั เรียนทำใบงานท่ี 9 เร่ือง การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ข้อ 4-5 โดยให้นักเรยี นแตล่ ะคนลงมือปฏบิ ตั ิ กจิ กรรมการแกป้ ญั หาดว้ ยตนเองอยา่ งอสิ ระตามท่ีได้เลือกกลวิธีแกป้ ญั หาไว้ นำเสนอแนวคดิ แนวทาง การแก้ปัญหาของตนเอง อธิบายความคิดของตนเองต่อกลุ่ม แลกเปลี่ยนความรู้ระหว่างกันกลุ่ม ร่วมกันพจิ ารณาตัดสนิ ใจ เลอื กกลวิธีทดี่ ีที่สดุ ที่ตรงกบั สถานการณ์และมคี วามเหมาะสมเป็นไปได้และ ดำเนินการแกป้ ญั หาของกลมุ่ ขนั้ ท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยทุ ธวิธีแก้ปญั หา 6. ครสู ่มุ ตัวแทนกล่มุ แต่ละกลุ่มให้นำเสนอกระบวนการแก้ปัญหา กลวิธีทใี่ ชแ้ ก้ปญั หาคำตอบของ ปัญหาที่กลุ่มได้รว่ มกนั พิจารณาตดั สินใจเลอื กไว้ รวมถึงแตล่ ะกลุ่มได้ผลการศึกษาเหมอื นกนั หรือ ต่างกนั อย่างไร เพราะเหตใุ ด 7. ครซู กั ถาม อภิปราย ผลลัพธ์ทีไ่ ดข้ องแตล่ ะกลุม่ แตกตา่ งกัน และใหน้ ักเรียนสรปุ เก่ยี วกับ เร่ืองการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตและครูชว่ ยสรปุ เพม่ิ เตมิ เมื่อพบว่านักเรียนสรปุ ได้ ไมค่ รอบคลมุ เนื้อหา หรอื ได้มโนมตทิ ี่ยงั ไม่ชดั เจนถูกต้อง 8. ครแู นะนำให้ศกึ ษาค้นควา้ เพ่มิ เตมิ จากแหลง่ เรียนรู้ ครูแนะนำแหล่งเรียนรู้และแหลง่ สืบคน้ เพ่มิ เติมแล้วใหท้ ำแบบทดสอบหลงั เรยี น เรื่อง การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต

177 7. การวดั และประเมนิ ผล รายการวัด วธิ ีการ เครือ่ งมือ เกณฑ์การประเมนิ การประเมนิ ระหวา่ ง - ร้อยละ 70 ผ่านเกณฑ์ การจัดกิจกรรมการเรียนรู้ - ระดับคุณภาพ 2 ผา่ นเกณฑ์ 1) การหาผลบวก n พจน์ - ตรวจใบงานที่ 9 - ใบงานท่ี 9 แรกของอนุกรมเรขาคณติ - ตรวจแบบทดสอบ - แบบทดสอบ - ระดบั คณุ ภาพ 2 ผา่ นเกณฑ์ 2) พฤตกิ รรม - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต การทำงานรายบุคคล - ระดบั คุณภาพ 2 การทำงาน พฤติกรรมการ ผ่านเกณฑ์ รายบคุ คล ทำงานรายบุคคล 3) พฤตกิ รรม - สังเกตพฤติกรรม - แบบสังเกต การทำงานกลมุ่ การทำงานกลุม่ พฤติกรรม การทำงานกลุ่ม 4) คณุ ลกั ษณะ - สงั เกตใฝเ่ รยี นรู้ - แบบประเมนิ อันพงึ ประสงค์ และมุ่งมั่นใน คุณลักษณะ การทำงาน อันพึงประสงค์ 8. สอ่ื /แหล่งการเรยี นรู้ 8.1 สอื่ การเรยี นรู้ 1) สอื่ ในโปรแกรม power point เรื่อง การหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต 2) หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ เลม่ 6 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4-6 3) ใบงานที่ 9 เร่อื ง การหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ 4) แบบทดสอบ เร่อื ง การหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ 5) เฉลยแบบทดสอบ เรอื่ ง การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต 8.2 แหล่งการเรยี นรู้ 1) ห้องเรยี น , หอ้ งสมดุ 2) อนิ เทอร์เน็ต https://www.youtube.com/watch?v=YK_sGWfSIK8

178 แบบทดสอบก่อนเรียน เรอ่ื ง การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ คาํ ช้ีแจง ใหนักเรยี นทำเคร่ืองหมายกากบาท (x) ลงในชอง ก, ข, ค หรือ ง ทถี่ ูกตองที่สุด 1. ข้อใดต่อไปนีเ้ ป็นอนุกรมเรขาคณิต ก. 1 + 1 + 1 + 1 +… ข. 2 + 10 + 50 + 250 + … 2 4 6 8 ง. 3 + 6 + 18 + 72 + … 1 1 1 1 ค. 3 + 6 + 8 + 10 + … 2. ผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ 30 + 60 + 120 + ... ตรงกับขอ้ ใด ก. 6,750 ข. 7,650 ค. 8,760 ง. 9,560 3. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 1 + 1 + 2 + … ตรงกบั ข้อใด 10 5 5 ก. 101.2 ข.102.3 ค. 103.4 ง.104.5 4. ผลบวกของอนุกรมเรขาคณติ 1 – 2 + 4 – 8 + ... + 256 ตรงกบั ข้อใด ก. 171 ข. -171 ค. 85 ง. -85 5. ผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตที่มีพจนแ์ รกเทา่ กบั 6 และมอี ตั ราส่วนร่วม เทา่ กบั 2 ตรงกับขอ้ ใด ค. 762 ง. 823 ก. 258 ข. 485 6. พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ ทีม่ ผี ลบวก 6 พจน์แรกเท่ากับ 441 และมีอตั ราสว่ นรว่ ม เท่ากับ 2 ตรงกับข้อใด ก. 5 ข. 6 ค. 7 ง. 8 7. อนุกรมเรขาคณิตอนุกรมหนงึ่ มีพจน์แรกเท่ากับ 5 และอัตราส่วนรว่ มเท่ากับ 3 ถา้ ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมนี้เท่ากบั 605 แล้วค่าของ n ตรงกับข้อใด ก. 2 ข. 3 ค. 4 ง. 5

179 8. ถ้าอนกุ รมเรขาคณิตมีพจนท์ ่ี 3 เทา่ กบั -9 มอี ตั ราส่วนร่วมเท่ากับ -3 แลว้ ผลบวก 6 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตนเี้ ทา่ กับข้อใด ก. -9 ข. 27 ค. -81 ง. 182 9. น้องออมเก็บเงินคา่ ขนมวันละ 5, 10, 20, … บาทตามลำดบั เมื่อครบ 10 วัน นอ้ งออมจะเกบ็ เงินไดเ้ ท่ากับขอ้ ใด ก. 5,115 ข. 4,012 ค. 2,048 ง. 1,024 10. พนักงานขายของบรษิ ัทแหง่ หน่ึงตง้ั ใจจะเพิ่มยอดขายให้มากข้ึน 5 % ของยอดขาย เดมิ ทุกเดอื น ถา้ เดือนแรกเขามยี อดขาย 100,000 บาทต่อเดือน ถา้ เปน็ ไปตามเปา้ ท่ี วางไว้ เมอ่ื ถึงสิ้นเดอื นท่หี ก เขาจะมยี อดขายสะสมเทา่ ใด {กำหนด (1.05)6 = 1.34} ก. 600,000 บาท ข. 600,005 บาท ค. 605,000 บาท ง. 680,000 บาท      

180 แบบทดสอบหลังเรยี น เร่อื ง การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต คําชี้แจง ใหนกั เรยี นทำเคร่ืองหมายกากบาท (x) ลงในชอง ก, ข, ค หรือ ง ท่ีถูกตองที่สดุ 1. ขอ้ ใดต่อไปนเี้ ปน็ อนกุ รมเรขาคณิต ก. 3 + 6 + 18 + 72 + … ข. 1 + 1 + 1 + 1 + … 3 6 8 10 1 1 1 1 ค. 2 + 10 + 50 + 250 + … ง. 2 + 4 + 6 + 8 + … 2. ผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณติ 30 + 60 + 120 + ... ตรงกับขอ้ ใด ก. 9,560 ข. 8,760 ค. 7,650 ง. 6,750 3. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ 1 + 1 + 2 + … ตรงกับขอ้ ใด 10 5 5 ก. 104.5 ข. 103.4 ค. 102.3 ง. 101.2 4. ผลบวกของอนุกรมเรขาคณติ 1 – 2 + 4 – 8 + ... + 256 ตรงกับขอ้ ใด ก. -85 ข. 85 ค. -171 ง. 171 5. ผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิตท่ีมีพจน์แรกเท่ากบั 6 และมอี ัตราส่วนร่วม เทา่ กบั 2 ตรงกบั ข้อใด ค. 485 ง. 258 ก. 823 ข. 762 6. พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตทมี่ ผี ลบวก 6 พจน์แรกเท่ากับ 441 และมอี ัตราส่วนรว่ ม เท่ากับ 2 ตรงกับข้อใด ก. 8 ข. 7 ค. 6 ง. 5 7. อนุกรมเรขาคณติ อนกุ รมหนงึ่ มีพจนแ์ รกเทา่ กบั 5 และอตั ราส่วนรว่ มเทา่ กบั 3 ถ้าผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมน้ีเท่ากับ 605 แล้วคา่ ของ n ตรงกบั ขอ้ ใด ก. 5 ข. 4 ค. 3 ง. 2

181 7. ถา้ อนุกรมเรขาคณติ มพี จน์ท่ี 3 เท่ากับ -9 มอี ตั ราส่วนรว่ มเท่ากบั -3 แลว้ ผลบวก 6 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ นี้เท่ากับขอ้ ใด ก. 182 ข. -81 ค. 27 ง. -9 9. น้องออมเกบ็ เงินคา่ ขนมวันละ 5, 10, 20, … บาทตามลำดับ เม่ือครบ 10 วัน นอ้ งออมจะเก็บเงนิ ได้เทา่ กับข้อใด ก. 1,024 ข. 2,048 ค. 4,012 ง. 5,115 10. พนักงานขายของบรษิ ัทแหง่ หน่ึงต้งั ใจจะเพ่ิมยอดขายให้มากข้นึ 5 % ของ ยอดขายเดมิ ทกุ เดือน ถ้าเดอื นแรกเขามยี อดขาย 100,000 บาทต่อเดือน ถ้าเปน็ ไปตามเป้าทว่ี างไว้ เมื่อถงึ สิน้ เดือนท่หี ก เขาจะมยี อดขายสะสมเทา่ ใด {กำหนด (1.05)6 = 1.34} ก. 680,000 บาท ข. 605,000 บาท ค. 600,005 บาท ง. 600,000 บาท 

182 กระดาษคำตอบแบบทดสอบ เร่ือง การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณติ ชอ่ื – นามสกลุ .....................................................................ชน้ั ..................... เลขท.่ี ............ กอ่ นเรยี น หลงั เรยี น ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7. 8. 8. 9. 9. 10. 10. คะแนนทไี่ ด้ คะแนนทไ่ี ด้ ---------------- ---------------- คะแนนเต็ม คะแนนเตม็ (10) (10)

183 เฉลยแบบทดสอบ เร่ือง การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ก่อนเรยี น หลงั เรยี น ขอ้ ตัวเลอื ก ขอ้ ตวั เลือก 1. ข 1. ค 2. ข 2. ค 3. ข 3. ค 4. ก 4. ง 5. ค 5. ข 6. ค 6. ข 7. ง 7. ก 8. ง 8. ก 9. ก 9. ง 10. ง 10. ก นกั เรยี นเก่ง ทกุ คนเลย คะ่

184 ใบงานที่ 9 เรอื่ ง การหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต  คำชแี้ จง : ใหน้ กั เรียนหาคำตอบโดยแสดงวิธีคดิ 1. จงหาผลบวกของ 1 +  3  + 3 + 3 3  + … 30 พจน์แรก ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงหาผลบวกของ 1 + 4 + 16 + ... + 16,384 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. กำหนดให้ r = 2, S5 = 372 จงหา a1 และ a5 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

185 4. กำหนดให้ r = 2, an = 112, Sn = 217 จงหา n และ a1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. เมือ่ นำจำนวนหนงึ่ ไปบวกกับทกุ จำนวนตอ่ ไปน้ี คือ 3, 20 และ 105 แล้วทำใหจ้ ำนวนทเี่ กดิ ใหม่ เรียงกนั เปน็ ลำดับเรขาคณติ จงหาจำนวนน้ัน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ เก่งมาก ๆ เลย

186  เฉลยใบงานที่ 9 เรือ่ ง การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณติ  คำชแ้ี จง : ให้นกั เรียนหาคำตอบโดยแสดงวธิ คี ิด 1. จงหาผลบวกของ 1 +  3  + 3 + 3 3  + … 30 พจน์แรก วธิ ีทำ จากโจทย์ a1 = 1, r = 3 และ n = 30 จาก Sn = a1 (rn - 1) r-1 S30 = (1) ( 3 )30 - 1 3 -1 S30 = 315 - 1 3 -1 ดงั นัน้ ผลบวกของ 1 +  3  + 3 + 3 3  + … 30 พจน์แรก เท่ากับ 315 - 1 3 -1 2. จงหาผลบวกของ 1 + 4 + 16 + ... + 16,384 วิธีทำ จากโจทย์ a1 = 1, r = 4 และ an = 16,384 จาก an = a1rn – 1 จะได้ 16,384 = (1)(4)n - 1 47 = 4n – 1 ฉะนัน้ 7 = n – 1 n =8

187 จาก Sn = a1 (rn - 1) r-1 S8 = (1)(48 - 1) 4-1 S8 = 65,536 - 1 3 S8 = 21,845 ดังนนั้ จงหาผลบวกของ 1 + 4 + 16 + ... + 16,384 เทา่ กบั 21,845 3. กำหนดให้ r = 2, S5 = 372 จงหา a1 และ a5 วธิ ีทำ จากโจทย์ r = 2 และ S5 = 372 จาก Sn = a1 (rn - 1) r-1 จะได้ 372 = a1 (25 - 1) 2-1 372 = a1 (25 - 1) 372 = a1 (31) a1 = 12 จาก an = a1rn – 1 a5 = a1 (25 - 1 ) 2-1 a5 = (12)(2)5 - 1 a5 = (12)(2)4

188 a5 = 192 ดังนนั้ a1 = 12 และ a5 = 192 4. กำหนดให้ r = 2, an = 112, Sn = 217 จงหา n และ a1 วิธที ำ โจทยก์ ำหนด r = 2, an = 112, Sn = 217 จาก Sn = a1 (rn - 1) r-1 จะได้ 217 = a1 (2n - 1) 2-1 217 = a1 (2n - 1) ..................... (1) จาก an = a1rn - 1 ..................... (2) 112 = a1(2n - 1) (1) ÷ (2), 217 = a1 (2n - 1) 112 a1 (2n - 1 ) (2n - 1 )(217) = (2n - 1)(112) 2n (217) = (2n )(112) - 112 2 108.5(2n)= (2n)(112) – 112 3.5(2n) = 112 2n = 32 2n = 25 n =5 ใน (1) แทนค่า n = 5 217 = a1(25 - 1)

189 217 = a1(31) a1 = 7 ดังนนั้ a1 = 7 และ n = 5 5. เมื่อนำจำนวนหนึ่งไปบวกกับทุกจำนวนต่อไปนี้ คือ 3, 20 และ 105 แล้วทำให้จำนวนที่เกิดใหม่ เรยี งกันเป็นลำดับเรขาคณิต จงหาจำนวนน้ัน วธิ ีทำ ลำดับเรขาคณติ คอื 3 + x, 20 + x, 105 + x จะไดว้ ่า r = 20 + x = 105 + x 3+x 20 + x (20 + x)(20 + x) = (105 + x)(3 + x) 400 + 40x + x2= 315 + 108x + x2 400 – 315 = 108x - 40x 85 = 68x x = 85 68 ดงั นนั้ จำนวนทีบ่ วกเพม่ิ คอื 85 68

190 แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 10 เรอ่ื ง อนุกรมอนนั ต์ทีเ่ ป็นอนุกรมเรขาคณิต เวลา 2 ชั่วโมง กลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์ประยกุ ต์ 5 (ค33203) ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 6 หน่วยการเรยี นร้ทู ี่ 1 เรอ่ื ง ลำดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์ เวลา 30 ชั่วโมง ครูผ้สู อน นางสุทธดา เหลืองห่อ ใชส้ อนวันที่ ......................................... 1. ผลการเรียนรู้ 1) ระบุได้วา่ อนุกรมที่กำหนดให้เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้าหรือลู่ออก 2) หาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ได้ 2. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ 1) อธบิ ายเกย่ี วกบั อนุกรมอนันต์ท่ีเปน็ อนุกรมเรขาคณติ ได้ (K) 2) หาคา่ อนุกรมอนันตท์ ี่เปน็ อนุกรมเรขาคณิตได้ถูกต้อง (P) 3) ใฝ่เรียนรู้ ความม่งุ มนั่ ในการทำงานเกยี่ วกบั อนุกรมอนนั ต์ทเ่ี ปน็ อนุกรมเรขาคณติ ไปประยุกตใ์ ช้ในชีวติ จริงได้ (A) 3. สาระการเรียนรู้ ผลบวกอนุกรมอนนั ต์ 4. สาระสำคญั /ความคดิ รวบยอด สูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ Sn= a1 (rn - 1) เมื่อ r  1 ถ้า n มีค่า r-1 เพิ่มขึ้นไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด อนุกรมเรขาคณิตจะเป็นอนุกรมอนันต์ และมีผลบวกของอนุกรม เปลี่ยนแปลงไปตามคา่ ของ rn ซึง่ จะใหบ้ ทนิยามและทฤษฎบี ทในการพิจารณาค่า ดงั นี้ บทนยิ าม กำหนดอนุกรมอนันต์ a1+ a2 + a3 + ... + an + ... ให้ S1, S2 , S3 , ..., Sn , ... เป็น ลำดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้ ถ้าลำดับ Sn เปน็ ลำดบั ลูเ่ ข้า โดย lim Sn = S เม่อื S เปน็ จำนวน n→ จริงแลว้ จะกล่าววา่ อนกุ รม a1+ a2 + a3 + ... + an + ... เปน็ อนุกรมล่เู ข้า (Convergent Series) และ เรยี ก S ว่า ผลบวกของอนุกรม ถา้ ลำดับ Sn เป็นลำดบั ลู่ออก จะกลา่ ววา่ อนุกรม a1+ a2 + a3 + ... + an + ... เป็นอนกุ รมลู่ออก (Divergent Series) ทฤษฎีบท กำหนดใหอ้ นกุ รมเรขาคณิต มี a1 เป็นพจนแ์ รก และ r เปน็ อัตราส่วนรว่ ม ถ้า r < 1 แล้วอนุกรมนี้ เป็นอนุกรมลู่เข้า และมี a1 เป็นผลบวกของอนุกรม ถ้า r > 1 แล้วอนุกรมนี้เป็น 1-r อนุกรมลู่ออก

191 5. สมรรถนะสำคญั ของผู้เรยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแก้ปัญหา 6. กิจกรรมการเรียนรู้ รูปแบบการสอนแกป้ ญั หาทางคณติ ศาสตร์เพ่ือพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาและ ความสามารถในการคดิ ขนั้ สงู ชวั่ โมงที่ 1 ขั้นท่ี 1 ทำความเข้าใจปัญหา 1. ครูอธิบายจดุ ประสงค์การเรียนรู้แลว้ ให้นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียนเร่ือง อนุกรม อนนั ต์ที่เป็นอนกุ รมเรขาคณติ 2. ครใู หน้ ักเรยี นรว่ มกันอภปิ รายและทบทวนความรู้เก่ียวกับการผลบวก n พจนแ์ รกของ อนกุ รมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต ดังน้ี ➢ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิตมีสตู รการหา คือ n n Sn = 2 [2a1 + (n - 1)d] = 2 (a1 + an ) ➢ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ มีสตู รการหา คอื Sn= a1 (rn - 1) r-1 3. ครอู ธบิ าย อนุกรมจำกัด อนุกรมอนันต์ อนุกรมลเู่ ขา้ และอนุกรมลู่ออก จากสอื่ ใน โปรแกรม power point ดงั น้ี อนุกรมอนนั ต์ บทนิยาม กำหนดอนกุ รมอนันต์ a1+ a2 + a3 + ... + an + ... ให้ S1, S2 , S3 , ..., Sn , ... เป็นลำดับของผลบวกย่อยของอนกุ รมน้ี ถ้าลำดับ Sn เปน็ ลำดับลเู่ ขา้ โดย lim Sn = S เมื่อ S เป็นจำนวนจรงิ แล้ว n→ จะกลา่ ววา่ อนกุ รม a1+ a2 + a3 + ... + an + ... เป็นอนกุ รมลู่เข้า (Convergent Series) เรยี ก S วา่ ผลบวกของอนุกรม ถ้าลำดับ Sn เปน็ ลำดบั ลูอ่ อก จะกลา่ ววา่ อนุกรม a1+ a2 + a3 + ... + an + ... เปน็ อนุกรมลู่ออก (Divergent Series)

192 ทฤษฎบี ท กำหนดให้อนุกรมเรขาคณิต มี a1 เป็นพจนแ์ รก และ r เปน็ อตั ราส่วนร่วม ถ้า r < 1 แล้วอนกุ รมนีเ้ ป็นอนุกรมลูเ่ ขา้ และมี a1 เปน็ ผลบวกของอนุกรม 1-r ถา้ r > 1 แลว้ อนุกรมนเ้ี ปน็ อนกุ รมลู่ออก ขั้นท่ี 2 คดิ วิธหี าคำตอบเพ่ือวางแผนแก้ปัญหา 1. ครใู ห้นกั เรียนร่วมแสดงความคิดเห็นจากสถานการณ์คณติ ศาสตรท์ คี่ รูกำหนด ดังน้ี อนกุ รม 2  + 8  + 32  + 128  + … + 22n - 1  + … เปน็ อนกุ รมล่เู ข้าหรอื ลอู่ อก 3 9 27 81 3n 2. ครูต้ังคำถามกับนกั เรียนวา่ สามารถระบุปัญหาได้หรือไม่และแนวคดิ ในวธิ ีหาคำตอบเพอื่ วางแผนแก้ปญั หา ดังกล่าวได้อย่างไร 3. ครอู ธิบายอนุกรมอนนั ตท์ เ่ี ปน็ อนกุ รมเรขาคณติ พร้อมยกตัวอยา่ งประกอบ โดยใชส้ อ่ื ใน โปรแกรม power point ดงั น้ี อนุกรมอนนั ตท์ ่ีเปน็ อนุกรมเรขาคณติ ตัวอย่างท่ี 1 อนุกรม 2  + 8  + 32  + 128  + … + 22n - 1  + … เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้าหรือลอู่ อก 3 9 27 81 3n 2 4 วธิ ที ำ อนกุ รมทีก่ ำหนดให้เปน็ อนกุ รมเรขาคณติ ทมี่ ี a1 = 3 และ r= 3 เนือ่ งจาก r > 1 อนกุ รมนีจ้ ึงเปน็ อนุกรมลู่ออกอนุกรม ตวั อย่างที่ 2 16 + 12 + 9 + ... + 16 3 n - 1 + ... เป็นอนกุ รมลเู่ ข้าหรอื ลอู่ อก 4 วธิ ีทำ อนกุ รมท่ีกำหนดใหเ้ ปน็ อนุกรมเรขาคณติ ท่มี ี a1 = 16 และ r = 3 4 เน่อื งจาก r < 1 อนุกรมนจ้ี ึงเป็นอนุกรมลู่เขา้ และมผี ลบวกของอนุกรม เทา่ กบั a1 = 16 = 64 ตอบ 1- r 1- 3 4

193 2 4 8  2 n - 1 3 3 27 3 ตวั อย่างท่ี 3 อนุกรม 1- + - + … + - + … เปน็ อนุกรมล่เู ข้าหรือลู่ออก วิธที ำ อนกุ รมทก่ี ำหนดให้เป็นอนกุ รมเรขาคณิตทมี่ ี a1 = 1 และ r = - 2 3 เนอื่ งจาก r < 1 อนุกรมนจ้ี ึงเปน็ อนกุ รมลู่เข้า เท่ากบั a1 1 =3 ตอบ 1-r 5 ( )และมผี ลบวกของอนุกรม = 2 3 1- - 4. ครใู หน้ ักเรยี นรว่ มแสดงความคดิ เหน็ จากตวั อย่างดงั กล่าว แลว้ ใหน้ กั เรียนวเิ คราะห์ ทำความเข้าใจกับสถานการณ์ปญั หา โดยใชก้ ระบวนการแก้ปญั หา 5 ข้นั ตอน คอื 1) ระบปุ ญั หา (อนกุ รมทกี่ ำหนดให้เปน็ อนุกรมลู่เข้าหรือลอู่ อก ถ้าเป็นอนุกรมล่เู ขา้ ใหห้ าผลบวก) 2) เลือกใช้กลวธิ ีในการแก้ปญั หา ( พจิ ารณาอัตราสว่ นร่วม ตามทฤษฎีบท ดงั น้ี กำหนดให้อนุกรมเรขาคณติ มี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนรว่ ม ถา้ r < 1 แล้วอนุกรมนี้ เป็นอนกุ รมลเู่ ข้า และมี a1 เปน็ ผลบวกของอนกุ รม ถา้ r > 1 แลว้ อนกุ รมนี้เปน็ อนุกรมลอู่ อก ) 1-r 3) ดำเนินการแก้ปัญหา (หาอัตราส่วนร่วมและหาผลบวกอนกุ รมอนนั ต์) 4) ตรวจสอบการแก้ปัญหา ( ใชท้ ฤษฎีบทในการตรวจสอบผลลพั ธ์) 5) ประยกุ ต์ใช้ความร้กู บั ความรูใ้ หม่ ( ในโจทย์ปญั หาคณิตศาสตรแ์ บบอ่ืน ๆ ) ขนั้ ที่ 3 แสดงวธิ กี ารหาคำตอบอย่างสรา้ งสรรค์ 5. ครใู ห้แบง่ นักเรยี นเปน็ กลุ่มย่อยกลมุ่ ละ 3-5 คน แบบคละความสามารถทางคณิตศาสตร์ เกง่ ปานกลาง อ่อน และใหน้ ักเรียนแบ่งหน้าท่ีของสมาชกิ ในกลุ่ม และรับใบงานท่ี 10 เรื่อง อนุกรม อนนั ต์ที่เป็นอนกุ รมเรขาคณิต ข้อ 1 ใหญ่ 6. ครูใชค้ ำถามกระตุ้นใหน้ กั เรียนลงมอื ปฏบิ ตั ิกิจกรรมดว้ ยตนเองอย่างอิสระ แลว้ แสดง ความคิดเห็นในแนวทางการแกป้ ญั หาของตนเองต่อกลุ่ม แลว้ สมาชิกกลุ่มร่วมกันพิจารณาตรวจสอบ

194 และประเมินทางเลือกในการแก้ปญั หา หากลวิธที ่ีดที ่ีสดุ ทตี่ รงกับสถานการณแ์ ละมีความเหมาะสม เปน็ ไปได้และดำเนนิ การแก้ปัญหาของกลุ่ม ขน้ั ท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยทุ ธวธิ ีแกป้ ญั หา 7. ครสู มุ่ ให้ตัวแทนกลุม่ แต่ละกลุ่มนำเสนอกระบวนการแก้ปญั หา กลวิธที ี่ใช้แก้ปัญหาและ คำตอบของปัญหาที่กลุม่ ได้รว่ มกนั พิจารณาตดั สนิ ใจเลือกไว้ 8. ครแู นะนำใหศ้ กึ ษาคน้ ควา้ เพ่ิมเตมิ จากแหล่งเรยี นรู้ ครูแนะนำแหลง่ สบื ค้นและมอบหมาย ใหน้ กั เรยี นนำข้อมูลท่สี บื คน้ บันทกึ ในสมุดแล้วนำมาแลกเปลย่ี นเรยี นรใู้ นช่วั โมงถดั ไป 9. ครใู ชค้ ำถามกระตุน้ ใหน้ ักเรียนรว่ มอภปิ รายเพ่ือสรุปจากการเรียนในช่วั โมงน้ี สรุปอนุกรมอนันต์ท่ีเป็นอนุกรมเรขาคณติ • กรณีที่เป็นอนกุ รมอนันต์ ซงึ่ พจิ ารณาไดจ้ าก lim Sn ทงั้ 3 กรณี ดังน้ี n→ a1 กรณที ่ี 1 r <1 จะไดว้ ่า lim Sn = 1- r เป็นอนุกรมลเู่ ขา้ n→ กรณที ่ี 2 r =1 จะไดว้ ่า lim Sn = lim na1 ซึ่งหาคา่ ไม่ไดเ้ ป็นอนกุ รมล่อู อก n→ n→ กรณที ี่ 3 r > 1 เนอื่ งจากไม่สามารถหา lim rn ได้ ดังนนั้ n→ lim Sn = lim a1 (1 - rn ) ย่อมไมส่ ามารถหาคา่ ไดเ้ ชน่ กัน จึงเป็นอนุกรมลู่ออก) 1 - r n→ n→ ชัว่ โมงท่ี 2 ขนั้ ที่ 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครูสมุ่ นักเรียนใหเ้ สนอผลการสืบค้นเก่ียวกบั อนุกรมอนนั ตท์ ่ีเปน็ อนุกรมเรขาคณิต 2. ใหน้ กั เรยี นทบทวนเก่ยี วกับทฤษฎบี ทอนุกรมอนนั ต์ และความคดิ เห็นในการนำความรู้ไปใช้ แลว้ ให้นกั เรียนยกตัวอยา่ ง 3. ครยู กตัวอย่างโจทยป์ ัญหาท่ีนำความรู้อนุกรมอนนั ต์ทเ่ี ป็นอนุกรมเรขาคณติ ไปใช้ เชน่ จงเขียนทศนยิ มซำ้ 0.6• ให้อยู่ในรปู เศษส่วนได้อย่างไร

195 ขัน้ ท่ี 2 คิดวิธหี าคำตอบเพอ่ื วางแผนแกป้ ัญหา 3. ครใู หน้ กั เรยี นร่วมแสดงความคดิ เห็นจากคำถามดงั กลา่ ววา่ นักเรียนสามารถระบุปญั หาได้ หรอื ไม่ และมีแนวคิดในการเลอื กใชก้ ลวธิ ใี ดในการแกป้ ัญหา 4. ครนู ำเสนอเน้ือหาโดยใช้สื่อในโปรแกรม power point เกีย่ วกับการนำความรู้อนกุ รม อนนั ต์ทีเ่ ปน็ อนุกรมเรขาคณติ ไปใช้ การนำความรู้อนกุ รมอนันต์ท่ีเป็นอนกุ รมเรขาคณิตไปใช้ ตวั อย่างที่ 1 จงเขยี นทศนิยมซ้ำ 0.6• ให้อยใู่ นรปู เศษสว่ น วธิ ีทำ จาก 0.6• = 0.666... = 0.6 + 0.06 + 0.006 + .... = 6 + 6 + 6 + …. 10 100 1,000 6 6 6 = 10 + 102 + 103 + …. อนุกรมท่ไี ด้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 = 6 และ r = 1 10 10 เนือ่ งจาก r < 1 อนกุ รมนีจ้ ึงเปน็ อนุกรมลู่เข้าและมผี ลบวกของอนกุ รม 6 เท่ากบั a1 = 10 1 = 2 ตอบ 1-r 10 3 1 - ตัวอยา่ งท่ี 2 เครือ่ งยงิ ลูกบอลขึน้ ไปในความสูง 10 เมตร แลว้ ลกู บอลตกลงมาและกระดอนขน้ึ ไป 75% ของความสูงเดิมในแต่ละครั้ง จงหาระยะเคล่ือนท่ีทั้งหมดในแนวตัง้ ของลูกบอล วิธที ำ ระยะเคลือ่ นทใี่ นแนวต้ังของลกู บอลเมื่อถูกยงิ ขนึ้ ไปและตกลงมาจนถึงพ้ืนดนิ รวม 20 เมตร ระยะเคล่ือนทใ่ี นแนวต้ังของลกู บอลเมื่อกระดอนขนึ้ ไปคร้ังที่ 1 ตกลงมาจนถงึ พื้นดนิ มรี ะยะทางคอื 10 (3) + 10 (3) = 20 (3) เมตร 44 4 ระยะเคล่อื นท่ีในแนวตั้งของลูกบอลเมื่อกระดอนขน้ึ ไปครงั้ ท่ี 2 ตกลงมาจนถงึ พ้ืนดนิ มรี ะยะทางคอื 10 (3) (3) + 10 (3) (3) = 20 (3)2 เมตร 44 44 4 ระยะทางการกระดอนของลูกบอลเปน็ เชน่ นี้ไปเรื่อย ๆ

196 จะได้ระยะเคลอื่ นท่ใี นแนวตงั้ ของลูกบอล = 20 + 20 (3) + 20 (3)2 +… 44 3 = 20 + 20 ( 4 ) 1−43 3 = 20 + 20 ( 4 ) 1 4 = 20 + 20(3) = 20 + 60 = 80 ดังนน้ั ระยะทางการเคลอื่ นท่ขี องลูกบอลในแนวต้ังรวมทงั้ หมด 80 เมตร ตอบ ขน้ั ท่ี 3 แสดงวธิ ีการหาคำตอบอยา่ งสร้างสรรค์ 5. ครูใหน้ ักเรยี นเข้ากลมุ่ ย่อยกลุ่มเดมิ เหมือนชวั่ โมงที่ผ่านมา แลว้ ให้นกั เรยี นทำใบงานที่ 10 เรอ่ื ง อนุกรมอนันตท์ ่ีเปน็ อนุกรมเรขาคณิต ข้อ 2-5 โดยนักเรียนแต่ละคนได้ลงมือปฏิบัติ 6. กจิ กรรมการแก้ปัญหาดว้ ยตนเองอย่างอิสระตามทไ่ี ด้เลือกกลวธิ ีแกป้ ัญหาไว้ นำเสนอ แนวคิด แนวทางการแก้ปัญหาของตนเอง อธิบายความคิดของตนเองต่อกลุ่ม แลกเปลย่ี นความรู้ ระหว่างกันกลุ่มร่วมกันพิจารณาตัดสนิ ใจ เลอื กกลวิธีท่ีดีที่สดุ ที่ตรงกบั สถานการณ์และมีความ เหมาะสมเป็นไปไดแ้ ละดำเนินการแกป้ ัญหาของกลมุ่ ขัน้ ท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยทุ ธวธิ ีแก้ปญั หา 7. ครูซักถาม อภิปราย ผลลัพธ์ท่ีไดข้ องแต่ละกลมุ่ แตกต่างกันหรอื ไม่ และใหน้ กั เรียนร่วมกัน สรปุ และ ครชู ว่ ยสรุปเพิ่มเติมเมื่อพบว่านักเรยี นสรุปได้ไม่ครอบคลุมเนื้อหา หรือได้มโนมติท่ยี ังไม่ชดั เจน ถูกต้อง 8. ครูให้ทำแบบทดสอบหลังเรยี น เรื่อง อนุกรมอนันต์ท่ีเป็นอนุกรมเรขาคณติ

197 7. การวัดและประเมินผล รายการวดั วธิ กี าร เครือ่ งมอื เกณฑก์ ารประเมิน การประเมนิ ระหวา่ ง - ร้อยละ 70 ผา่ นเกณฑ์ การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ - ระดบั คณุ ภาพ 2 ผา่ นเกณฑ์ 1) อนุกรมอนันตท์ ่ีเป็น - ตรวจใบงานท่ี 10 - ใบงานท่ี 10 อนุกรมเรขาคณติ - ตรวจแบบทดสอบ - แบบทดสอบ - ระดับคุณภาพ 2 ผา่ นเกณฑ์ 2) พฤติกรรม - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต การทำงานรายบุคคล - ระดบั คณุ ภาพ 2 การทำงาน พฤติกรรมการ ผา่ นเกณฑ์ รายบคุ คล ทำงานรายบคุ คล 3) พฤตกิ รรม - สังเกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต การทำงานกลมุ่ การทำงานกล่มุ พฤติกรรม การทำงานกลุ่ม 4) คุณลกั ษณะ - สงั เกตใฝเ่ รยี นรู้ - แบบประเมิน อนั พงึ ประสงค์ และมงุ่ มน่ั ใน คณุ ลักษณะ การทำงาน อนั พึงประสงค์ 8. ส่ือ/แหลง่ การเรียนรู้ 8.1 สอ่ื การเรียนรู้ 1) สื่อในโปรแกรม power point เรือ่ ง อนุกรมอนันตท์ ีเ่ ป็นอนุกรมเรขาคณิต 2) หนังสือเรยี นรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ เลม่ 6 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4-6 3) ใบงานที่ 10 เรือ่ ง อนกุ รมอนนั ต์ทีเ่ ปน็ อนุกรมเรขาคณติ 4) แบบทดสอบ เรื่อง อนกุ รมอนันตท์ เ่ี ปน็ อนุกรมเรขาคณติ 5) เฉลยแบบทดสอบ เร่อื ง อนกุ รมอนนั ต์ทเ่ี ป็นอนุกรมเรขาคณิต 8.2 แหลง่ การเรียนรู้ 1) ห้องเรียน , ห้องสมดุ 2) อนิ เทอรเ์ น็ต https://www.youtube.com/watch?v=GRHJBya251Y