คู่มือรูปแบบการสอนแก้ปัญหา

198 แบบทดสอบก่อนเรียน เรอ่ื ง อนุกรมอนนั ตท์ เี่ ป็นอนกุ รมเรขาคณติ คาํ ชแ้ี จง ใหนักเรยี นทำเคร่ืองหมายกากบาท (x) ลงในชอง ก, ข, ค หรอื ง ทีถ่ ูกตองท่ีสดุ 1. ค่าของ x ท่ที ำให้ 1 + x + x2 + x3 +... = 2 เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ 3 ก. – 1 ข. 1 ค. 1 ง. − 1 2 2 2. ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ 3 + 9 + 27 + ...เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ ง. 3 4 16 64 2 ก. 3 ข. 5 ค. 2 2 3. ผลบวกของอนุกรมอนันต์ 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + ...เท่ากับข้อใด 224 ก. 1− 2 ข. 2 2 − 2 ค. 2 2 + 2 ง. 1 2 4. ผลบวกของอนุกรมอนันต์ − 2 + 1 − 1 + 1 + ... เท่ากบั ข้อใด 24 ก. − 2 ข. 4 ค. − 4 ง. − 5 3 3 3 5. ลกู บอลลูกหน่งึ ถูกปล่อยลงจากที่สูง 120 เมตร เมือ่ ลูกบอลกระทบพ้ืน จะกระดอนข้นึ สงู 2 ของความสงู ท่ตี กลง มาทกุ ครัง้ ระยะทางท้ังหมดทล่ี ูกบอลเคล่อื นท่จี นกว่าจะหยุดนิ่ง 3 เท่ากับขอ้ ใด ก. 500 เมตร ข. 600 เมตร ค. 480 เมตร ง. 360 เมตร      

199 แบบทดสอบกอ่ นเรียน เรอ่ื ง อนกุ รมอนันต์ท่ีเปน็ อนกุ รมเรขาคณติ คําชี้แจง ใหนักเรยี นทำเครื่องหมายกากบาท (x) ลงในชอง ก, ข, ค หรอื ง ทถี่ ูกตองท่ีสดุ 1. ค่าของ x ทท่ี ำให้ 1 + x + x2 + x3 +... = 2 เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 3 ก. – 1 ข. 1 ค. − 1 ง. 1 2 2 2. ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ 3 + 9 + 27 + ...เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี ง. 3 4 16 64 2 ก. 2 ข. 5 ค. 3 2 3. ผลบวกของอนุกรมอนันต์ 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + ...เท่ากับข้อใด 224 ก. 2 2 + 2 ข. 2 2 − 2 ค. 1− 2 ง. 1 2 4. ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ − 2 + 1 − 1 + 1 + ... เทา่ กบั ข้อใด 24 ก. − 2 ข. − 4 ค. − 5 ง. 4 3 3 3 5. ลูกบอลลูกหนงึ่ ถกู ปล่อยลงจากที่สูง 120 เมตร เมื่อลูกบอลกระทบพ้ืน จะกระดอนขึ้นสงู 2 ของความสงู ทตี่ กลง มาทุกครั้ง ระยะทางทั้งหมดท่ลี ูกบอลเคลือ่ นท่จี นกว่าจะหยุดน่ิง 3 เทา่ กับขอ้ ใด ก. 360 เมตร ข. 480 เมตร ค. 500 เมตร ง. 600 เมตร 

200 กระดาษคำตอบแบบทดสอบ เร่อื ง อนกุ รมอนันต์ทีเ่ ป็นอนุกรมเรขาคณิต ชื่อ – นามสกลุ .....................................................................ช้ัน..................... เลขท.ี่ ............ กอ่ นเรยี น หลงั เรยี น ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. คะแนนทไี่ ด้ คะแนนทไี่ ด้ ---------------- ---------------- คะแนนเตม็ คะแนนเต็ม (5) (5)

201 เฉลยแบบทดสอบ เรื่อง อนุกรมอนนั ตท์ ี่เป็นอนกุ รมเรขาคณติ ก่อนเรยี น หลงั เรยี น ขอ้ ตัวเลอื ก ข้อ ตวั เลอื ก 1. ง 1. ค 2. ก 2. ค 3. ค 3. ก 4. ค 4. ข 5. ข 5. ง นกั เรยี นเก่ง ทกุ คนเลย คะ่

202 ใบงานท่ี 10 เรือ่ ง อนุกรมอนนั ต์ทเี่ ป็นอนุกรมเรขาคณิต  คำช้แี จง : ให้นกั เรยี นหาคำตอบโดยแสดงวธิ ีคดิ 1. จงตรวจสอบว่าอนกุ รมอนนั ต์ต่อไปนี้ อนกุ รมใดเปน็ อนุกรมล่เู ข้า หรอื อนุกรมลู่ออก ถ้าเป็นอนุกรม ลู่เข้า จงหาผลบวกของอนกุ รม 1) 8 + 10 + 12 + ... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2) 9 + 3 - 3 - 9 - ... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3) 1 + 32  + 49  + 287  + … ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4) -4 + 1 - 1  + 1  - 1  + … 4 16 64 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

203 5) 4 + 8 + 16 + 32 + ... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6) 0.2 + 0.025 + 0.00025 + 0.0000025 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 7) 1 + 4  + 4  + … + 4  + … 7 49 7n - 1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงแสดงว่า ทศนยิ มซ้ำ 0.9• มีค่าเทา่ กบั 1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

204 3. ปล่อยลูกบอลจากความสูง 6 เมตร ลูกบอลกระดอนขึ้นมา 75% ของความสูงเดิมในแต่ละคร้ัง จงหาระยะเคล่อื นที่ท้ังหมดในแนวตัง้ ของลูกบอล ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. จงหาค่า x ทท่ี ำให้ 1 + x + x2 + x3 + ... + xn - 1 + ... = 2 3 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

205 5. พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ a, อัตราส่วนร่วม คือ r กำหนดให้ a = 12r ผลบวกอนันต์ เทา่ กบั 4 จงหาพจน์ที่สามของอนกุ รม ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ฝกึ ใชก้ ระบวนการ แกป้ ญั หานะคะ

206 เฉลยใบงานที่ 10 อนุกรมอนนั ต์ทเ่ี ป็นอนกุ รมเรขาคณิต  คำช้แี จง : ใหน้ ักเรียนหาคำตอบโดยแสดงวธิ คี ิด 1. จงตรวจสอบว่าอนุกรมอนนั ตต์ ่อไปน้ี อนุกรมใดเปน็ อนกุ รมล่เู ขา้ หรืออนุกรมล่อู อก ถ้าเป็นอนุกรม ลู่เขา้ จงหาผลบวกของอนุกรม 1) 8 + 10 + 12 + ... ตอบ เป็นอนกุ รมลู่ออก 2) 9 + 3 - 3 - 9 - ... ตอบ เปน็ อนุกรมลู่ออก 3) 1 + 2  + 4  +  8  + … 3 9 27 ตอบ เป็นอนุกรมลู่เขา้ มผี ลบวกเท่ากับ 3 4) -4 + 1 - 1  + 1  - 1  + … 4 16 64 ตอบ เป็นอนกุ รมลเู่ ข้า มีผลบวกเท่ากบั - 16 5 5) 4 + 8 + 16 + 32 + ... ตอบ เป็นอนกุ รมลู่ออก 6) 0.2 + 0.025 + 0.00025 + 0.0000025 ตอบ เปน็ อนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ 223 990

207 7) 1 + 4  + 4  + … + 4  + … 7 49 7n - 1 ตอบ เป็นอนุกรมลู่เขา้ มผี ลบวกเท่ากบั 14 3 2. จงแสดงว่า ทศนยิ มซ้ำ 0.9• มีค่าเท่ากับ 1 วิธีทำ จาก 0.9• = 0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... = 9  + 9  + 9  + … 10 100 1,000 = 9  + 9  + 9  + … 10 102 103 อนกุ รมทไ่ี ดเ้ ปน็ อนุกรมเรขาคณติ ท่ีมี a1 = 9 และ r = 1 10 10 เนือ่ งจาก r < 1 อนกุ รมน้ีจึงเป็นอนุกรมล่เู ขา้ 99 และมผี ลบวกของอนกุ รม เทา่ กบั a1 = 10 1 = 10 =1 1-r 10 9 1- 10 ดงั น้นั 0.9• = 1 3. ปล่อยลูกบอลจากความสูง 6 เมตร ลูกบอลกระดอนขึ้นมา 75% ของความสูงเดิมในแต่ละครั้ง จงหาระยะเคลื่อนทที่ ้งั หมดในแนวต้ังของลูกบอล วธิ ีทำ ระยะทางเคลื่อนทใี่ นแนวตงั้ ของลกู บอล เมื่อเรม่ิ ปลอ่ ยลูกบอลถงึ พนื้ ดนิ มีระยะทาง 6 เมตร ลูกบอลกระดอนขึ้นมา 75% ของความสงู เดิม เท่ากบั 3 ของความสูงเดิม 4 ระยะเคลอ่ื นท่ใี นแนวต้งั ของลูกบอล เมอื่ กระดอนขน้ึ ครง้ั ที่ 1 จนถงึ พื้นดินมรี ะยะทางขึ้นและลง

208 คือ 6 3  + 6 3  = 12 3  เมตร 4 4 4 ระยะเคลอื่ นท่ีในแนวต้งั ของลกู บอล เมื่อกระดอนขึ้นคร้งั ที่ 2 จนถึงพน้ื ดินมรี ะยะทาง คือ 6 3  3  + 6 3  3  = 12 3 2 เมตร 4 4 4 4 4 ระยะของการกระดอนของลูกบอลเปน็ เชน่ นเ้ี ร่อื ย ๆ จะไดร้ ะยะเคลอ่ื นทใ่ี นแนวตง้ั ของลกู บอล เท่ากบั 6 + 12 3  + 12 3 2 + 12 3 3 + … = 6 + 12  3  +  3 2 +  3 3 + … 4 4 4 4 4 4 9 12  = 6 +  10  1  1 - 10 = 6 + 36 = 42 ดงั นนั้ ตั้งแตป่ ล่อยลกู บอลเคลื่อนทใ่ี นแนวตงั้ เปน็ ระยะทางท้งั หมด 42 เมตร 4. จงหาคา่ x ท่ที ำให้ 1 + x + x2 + x3 + ... + xn - 1 + ... = 2 3 วธิ ที ำ อนกุ รมที่กำหนดใหเ้ ปน็ อนกุ รมเรขาคณิตที่มี a1 = 1 และ r = x เนอ่ื งจากเปน็ อนกุ รมลู่เข้าทมี่ คี า่ เทา่ กับ 2 3 ดงั น้ัน a1 = 2 1-r 3 a1 = 2 1-x 3 3 = 2(1 - x) 3 = 2 - 2x

209 2x = -1 x =-1 2 ดังนน้ั คา่ x ทีท่ ำใหอ้ นุกรมเป็นจรงิ คือ - 1 2 5. พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ a, อัตราส่วนร่วม คือ r กำหนดให้ a = 12r ผลบวกอนันต์ เทา่ กบั 4 จงหาพจน์ท่สี ามของอนุกรม วธิ ีทำ จากโจทย์ a1 = a, r = a, S =4 12 การทอี่ นุกรมเรขาคณติ สามารถหาผลบวกอนนั ตไ์ ด้ r < 1 จาก S = a1 1-r 4 = a 1 - a 12 4 = a 12 - a 12 4 = 12a 12 - a 4(12 - a) = 12a 48 - 4a = 12a 48 = 16a a= 3

210 ดังนั้น r = 3 = 1 12 4 พจนท์ ี่ 3 ของอนกุ รมจาก Sn = a1 (rn - 1) r-1 ( )S3 3  1 3 - 1  -1 = 4 1 4 3 1 - 1 64 = 3 4 - = -4  - 63  64 = 63 16 ดงั น้ัน พจนท์ ่ี 3 ของอนุกรม คอื 63 16

211 แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 11 เร่ือง อนุกรมอนนั ต์รปู แบบอ่ืน ๆ เวลา 1 ช่ัวโมง กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์ประยุกต์ 5 (ค33203) ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี 1 เร่อื ง ลำดับอนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ เวลา 30 ช่ัวโมง ครูผสู้ อน นางสทุ ธดา เหลืองห่อ ใช้สอนวันท่ี ......................................... 1. ผลการเรยี นรู้ 1) ระบุได้วา่ อนุกรมท่ีกำหนดให้เปน็ อนุกรมลูเ่ ข้าหรือลูอ่ อก 2) หาผลบวกของอนุกรมอนันตไ์ ด้ 2. จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ 1) อธบิ ายเกยี่ วกับอนุกรมอนันต์รปู แบบอื่น ๆ ได้ (K) 2) แสดงวธิ ีหาค่าอนุกรมอนันตร์ ปู แบบอืน่ ๆ ได้ถูกต้อง (P) 3) ใฝ่เรยี นรู้ ความมงุ่ มน่ั ในการทำงานเกย่ี วกบั อนุกรมอนนั ต์รปู แบบอน่ื ๆ ไปประยุกตใ์ ช้ใน ชวี ติ จรงิ ได้ (A) 3. สาระการเรยี นรู้ ผลบวกอนุกรมอนันต์รปู แบบอ่ืน ๆ 4. สาระสำคัญ/ความคดิ รวบยอด อนุกรมอนันต์รูปแบบอื่น ๆ ที่เขียนในรูปของ  บางอนุกรมไม่สามารถนำสมบัติของ  มาใช้ได้ จึงต้องนำความรู้พื้นฐานในเรื่องอื่นมาช่วยเพื่อจัดรูปพจน์ทั่วไปของอนุกรมให้สะดวกใน การหาผลบวกมากยิง่ ขึ้น และใชก้ ารพจิ ารณาตามบทนิยาม ดังน้ี กำหนดอนุกรมอนันต์ a1+ a2 + a3 + ... + an + ... ให้ S1, S2 , S3 , ..., Sn , ... เป็นลำดับของ ผลบวกย่อยของอนุกรมนี้ ถ้าลำดับ Sn เป็นลำดับลู่เข้า โดย lim Sn = S เมื่อ S เป็นจำนวนจริงแล้ว n→ จะกล่าวว่า อนุกรม a1+ a2 + a3 + ... + an + ... เป็นอนุกรมลู่เข้า (Convergent Series) เรียก S ว่า ผลบวกของอนุกรม ถ้าลำดับ Sn เป็นลำดับลู่ออก จะกล่าวว่าอนุกรม a1+ a2 + a3 + ... + an + ... เปน็ อนกุ รมลอู่ อก (Divergent Series) 5. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแก้ปัญหา

212 6. กิจกรรมการเรยี นรู้ รูปแบบการสอนแกป้ ญั หาทางคณิตศาสตร์เพื่อพัฒนาความสามารถในการแกป้ ัญหาและ ความสามารถในการคดิ ขั้นสงู ขนั้ ท่ี 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครูกลา่ วทักทายและกระตนุ้ ให้นกั เรยี นรว่ มกนั อภิปรายทบทวนความเกยี่ วกับการผลบวก อนุกรมอนนั ตท์ ่ีเปน็ อนุกรมเรขาคณิต บทนิยาม กำหนดอนุกรมอนันต์ a1+ a2 + a3 + ... + an + ... ให้ S1, S2 , S3 , ..., Sn , ... เปน็ ลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรมน้ี ถา้ ลำดับ Sn เป็นลำดับลเู่ ขา้ โดย เมอื่ S เป็นจำนวนจรงิ แล้ว lim Sn = S n→ จะกล่าวว่า อนกุ รม a1+ a2 + a3 + ... + an + ... เปน็ อนุกรมลเู่ ข้า (Convergent Series) เรียก S ว่า ผลบวกของอนุกรม ถา้ ลำดบั Sn เปน็ ลำดับลูอ่ อก จะกลา่ ววา่ อนุกรม a1+ a2 + a3 + ... + an + ... เป็นอนกุ รมลู่ออก (Divergent Series) ทฤษฎบี ท กำหนดใหอ้ นุกรมเรขาคณติ มี a1 เป็นพจนแ์ รก และ r เปน็ อัตราส่วน รว่ ม ถ้า r < 1 แล้วอนกุ รมน้ีเป็นอนกุ รมลู่เขา้ และมี a1 เปน็ ผลบวกของ 1-r อนุกรม ถ้า r > 1 แลว้ อนกุ รมนีเ้ ป็นอนุกรมลู่ออก 2. ครูยกตัวอย่างอนุกรมอนันตแ์ ละใช้คำถามกระตุน้ ให้นักเรยี นอภิปรายเกย่ี วกบั ตวั อย่าง อนุกรมอนันต์ ดังน้ี 1 1 1 1 • • • n(n + 1) อนกุ รม 1 2  + 2 3  + 3 4  + … +  + … เปน็ อนกุ รมลู่เข้าหรือล่อู อก ➢ อนุกรมอนันต์นี้เป็นอนุกรมอนกุ รมเลขคณติ หรอื อนุกรมเรขาคณติ (แนวคำตอบ อนุกรมอนันต์น้ีท่ไี มใ่ ช่อนกุ รมเลขคณติ และอนกุ รมเรขาคณติ ) 3. ครจู ดั และออกแบบสถานการณป์ ัญหาทางคณติ ศาสตร์ที่ต้องการสอนให้เป็นสถานการณ์ ปญั หาท่ีเกยี่ วข้องหรือคลา้ ยคลึงหรอื เปน็ สถานการณใ์ นบริบทจริงของนกั เรยี น ให้นักเรยี นวเิ คราะห์ ทำความเข้าใจกบั สถานการณ์ปัญหา โดยใชก้ ระบวนการแก้ปัญหา 5 ขั้นตอนคอื 1) ระบุปญั หา 2) เลอื กใช้กลวิธีในการแก้ปญั หา 3) ดำเนินการแก้ปัญหา 4) ตรวจสอบการแกป้ ญั หา 5) ประยกุ ตใ์ ช้ ความรู้กับความรใู้ หม่

213 ข้ันท่ี 2 คดิ วธิ ีหาคำตอบเพ่ือวางแผนแกป้ ัญหา 4. ครูตง้ั คำถามกบั นักเรยี นวา่ สามารถระบปุ ัญหาไดห้ รือไม่และแนวคิดในวิธีหาคำตอบเพือ่ วางแผนแกป้ ัญหา ดงั กลา่ วได้อยา่ งไร 5. ครอู ธบิ ายอนุกรมอนันตร์ ูปแบบอนื่ ๆ พร้อมยกตัวอย่างประกอบ โดยใชส้ ื่อในโปรแกรม power point ดงั น้ี อนกุ รมอนนั ตร์ ูปแบบอืน่ ๆ การแสดงวา่ อนุกรมอนนั ตใ์ ดจะเปน็ อนุกรมลู่เข้าหรอื ลูอ่ อก ทำได้ ดังน้ี 1) พจิ ารณาลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม และหาสูตรผลบวกย่อย n พจนแ์ รกของ อนุกรม เรียกวา่ Sn 2) พจิ ารณาลิมติ ของลำดับ Sn ถา้ lim Sn = S เมือ่ S เปน็ จำนวนจรงิ จะไดว้ ่าอนุกรมนั้นเปน็ n→ อนกุ รมลเู่ ขา้ และมผี ลบวก เทา่ กบั S ถ้าลำดบั Sn ไมม่ ีลมิ ิต จะไดว้ า่ อนกุ รมนั้นเป็นอนุกรมลอู่ อก อนกุ รมเทเลสโคป (Telescoping series) หลักการหาผลบวก ให้จดั รปู แตล่ ะพจนใ์ นอนุกรม ให้เปน็ ผลลบ โดยเมือ่ แยกเปน็ ผลลบได้แล้ว พจน์ค่ทู ่อี ยูต่ ดิ กนั จะมบี างตวั ตัดกนั ได้ วธิ กี ารจดั รปู ใหพ้ จนใ์ นอนกุ รมเปน็ ลบ จะทำได้ 2 วิธี ไดแ้ ก่ การใช้คอนจเู กต กับการแยกเศษสว่ น อนกุ รมอนนั ต์ a1+ a2 + a3 + ... + an + ... สามารถเขยี นในรปู ดังน้ี a1 + a2 + a3 + a4 +…+ an +… =(b1-b2) + (b2-b3) + (b3-b4) +…+ (bn-bn-1) + … เม่ือ a1=b1-b2 , a2= b2-b3 , …, + an= (bn-bn-1) ดงั นน้ั a1 + a2 + a3 + a4 +…+ an = b1 - bn+1 ตัวอย่างที่ 1 อนุกรม 1 1 2  + 1  + 1  + … + 1  + … • 2•3 3•4 n(n + 1) เป็นอนกุ รมลู่เข้าหรอื ลู่ออก วธิ ที ำ พจิ ารณา 1 = k+1-k k(k + 1) k(k + 1) = k+1 - k k(k + 1) k(k + 1)

214 =1 - 1 k k+1 1  + 1  + 1  + 1  + … + 1 จะได้วา่ Sn = 12 23 34 45 n(n + 1) =  1  - 1  +  1  - 1  +  1  - 1  + … +  1  - n 1 1  1 2 2 3 3 4 n + =1- 1 n+1 เนอ่ื งจาก lim Sn = lim  1 - n 1 1  = 1 + n→ n→ ดังน้ัน อนุกรมอนนั ต์ท่กี ำหนดใหเ้ ปน็ อนกุ รมล่เู ข้า และมผี ลบวกเท่ากับ 1 ตอบ ตวั อยา่ งที่ 2 อนกุ รมนเ้ี ปน็ อนกุ รมลู่เขา้ หรอื ลู่ออก 1 + 1 1  + 1 2  + 1 3  + … + n 1 n - 1  + … 2+ 3+ 4+ + วธิ ที ำ พจิ ารณา k 1 k-1 = 1  k- k-1 + k + k - 1  k - k - 1  = k - k-1 k - (k - 1) 1 = k - k-1 1 1+ 1 1 n + n-1 จะได้วา่ Sn = 0  +  2+ 1  + 3+ 2  + … + = ( 1 - 0) + ( 2 - 1) + ( 3 - 2) + … +  ( n - 1 - n - 2 ) + ( n - n - 3 ) =n เนื่องจาก lim Sn = lim n ซึง่ หาค่าไม่ได้ n→ n→ ดงั นน้ั อนกุ รมอนนั ต์ทก่ี ำหนดให้เป็นอนุกรมลอู่ อก ตอบ

215 6. ครใู หน้ ักเรียนรว่ มแสดงความคิดเห็นจากตวั อย่างดังกลา่ ว แล้วให้นกั เรียนวิเคราะห์ ทำความเข้าใจกบั สถานการณ์ปญั หา โดยใชก้ ระบวนการแก้ปญั หา 5 ข้ันตอน คอื ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม ..... (1) 13 + 232 + 333  + 4 34  + … + n3n  + … วธิ ีทำ จากอนุกรม 13 + 232 + 333  + 4 34  + … + n3n  + … ให้ Sn แทนผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม จะได้ว่า 13 + 232 + 333  + 4 34  + … + n3n คูณด้วย 3 ทัง้ สองข้าง จะได้ 3Sn  = 1 32  + 2  33  + 3  34  + 4  35  + … + n  3n - 1 นำ (1) - (2), ..... (2) จะได้ -2Sn  = (3 + 32  + 33  + 34  + 35  + … + 3n ) - n  3n - 1 โดยอาศัยสตู รการหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ จะได้ -2Sn = 3(1 - 3n ) - n 3n - 1 1-3 3 (3n - -2Sn = 2 1) - n3n - 1 Sn = - 3 (3n - 1) + n 3n + 1 4 2 - 3 (310 - 10  311 ดังน้ัน S10 = 4 1) + 2 = - 311 + 3 + 5(311 ) 44 3 1 = 4 + 311  5 - 4  = 3 + 19  311 ตอบ 42 1) ระบุปญั หา (อนกุ รมทก่ี ำหนดให้เป็นอนุกรมเลขคณิตหรืออนุกรมเรขาคณติ หรือ เป็นอนกุ รมแบบอ่นื ๆ พร้อมทง้ั หาผลบวก)

216 2) เลอื กใช้กลวธิ ีในการแก้ปญั หา ( หากเปน็ อนุกรมเทเลสโคป (Telescoping series) ใชห้ ลกั การหาผลบวกของอนุกรมเทเลสโคป (Telescoping series) ผลลพั ธ)์ 3) ดำเนินการแก้ปญั หา (หาผลบวกตามข้นั ตอนของอนกุ รมเทเลสโคป) 4) ตรวจสอบการแก้ปัญหา ( ใช้หลักการของอนกุ รมเทเลสโคป ในการตรวจสอบ 5) ประยกุ ต์ใช้ความรกู้ บั ความรใู้ หม่ ( ในโจทย์ปญั หาคณิตศาสตร์แบบอืน่ ๆ ) ขนั้ ท่ี 3 แสดงวธิ ีการหาคำตอบอยา่ งสร้างสรรค์ 7. ครใู ห้แบง่ นักเรียนเป็นกล่มุ ย่อยกล่มุ ละ 3-5 คน แบบคละความสามารถทางคณิตศาสตร์ เกง่ ปานกลาง อ่อน และใหน้ ักเรียนแบ่งหน้าท่ีของสมาชกิ ในกลุ่ม และรับใบงานที่ 11 เรื่อง อนุกรม อนนั ต์แบบอื่น ๆ 8. ครูใช้คำถามกระต้นุ ให้นกั เรยี นลงมือปฏบิ ตั กิ ิจกรรมดว้ ยตนเองอย่างอิสระ แลว้ แสดง ความคดิ เหน็ ในแนวทางการแก้ปัญหาของตนเองต่อกล่มุ แลว้ สมาชกิ กลมุ่ ร่วมกันพิจารณาตรวจสอบ และประเมนิ ทางเลอื กในการแก้ปัญหา หากลวธิ ที ดี่ ที ่ีสุดทต่ี รงกบั สถานการณ์และมีความเหมาะสม เปน็ ไปไดแ้ ละดำเนนิ การแก้ปัญหาของกลุม่ ขัน้ ท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยุทธวิธีแก้ปญั หา 9. ครสู มุ่ ให้ตวั แทนกลุ่มแต่ละกลุ่มนำเสนอกระบวนการแก้ปัญหา กลวิธที ีใ่ ชแ้ กป้ ญั หาและ คำตอบของปญั หาท่ีกลมุ่ ได้ร่วมกันพิจารณาตัดสินใจเลือกไว้ 10. ครูแนะนำใหศ้ กึ ษาค้นคว้าเพิ่มเตมิ จากแหลง่ เรยี นรู้ ครแู นะนำแหลง่ สบื คน้ และมอบหมาย ใหน้ ักเรียนนำข้อมลู ท่สี บื คน้ บันทึกในสมดุ แล้วนำมาแลกเปล่ยี นเรยี นรู้ในชั่วโมงถัดไป 11. ครใู ชค้ ำถามกระตนุ้ ให้นักเรยี นร่วมอภปิ รายเพ่ือสรปุ จากการเรยี นในชั่วโมงน้ี

217 สรปุ อนุกรมเทเลสโคป หลักการหาผลบวก ใหจ้ ดั รปู แตล่ ะพจน์ในอนุกรม ให้เปน็ ผลลบ โดยเมือ่ แยกเปน็ ผลลบได้ แล้วพจน์คู่ที่อยู่ติดกันจะมีบางตัวตัดกันได้ วิธีการจัดรูปให้พจน์ในอนุกรมเป็นลบ จะทำได้ 2 วิธี ไดแ้ ก่ การใช้คอนจูเกต กับการแยกเศษสว่ น อนกุ รมอนันต์ a1+ a2 + a3 + ... + an + ... สามารถเขยี นในรูป ดังน้ี a1 + a2 + a3 + a4 +…+ an +… =(b1-b2) + (b2-b3) + (b3-b4) +…+ (bn-bn-1) + … เมอื่ a1=b1-b2 , a2= b2-b3 , …, + an= (bn-bn-1) ดงั นน้ั a1 + a2 + a3 + a4 +…+ an = b1 - bn+1 7. การวดั และประเมินผล รายการวดั วิธีการ เคร่ืองมอื เกณฑ์การประเมิน การประเมินระหวา่ ง - รอ้ ยละ 70 ผา่ นเกณฑ์ การจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ - ระดบั คณุ ภาพ 2 ผ่านเกณฑ์ 1) อนุกรมอนนั ต์ - ตรวจใบงานที่ 11 - ใบงานท่ี 11 รูปแบบอ่ืน ๆ - ตรวจแบบทดสอบ - แบบทดสอบ - ระดับคุณภาพ 2 ผ่านเกณฑ์ 2) พฤติกรรม - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต การทำงานรายบุคคล - ระดับคณุ ภาพ 2 การทำงาน พฤติกรรมการ ผา่ นเกณฑ์ รายบุคคล ทำงานรายบคุ คล 3) พฤตกิ รรม - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต การทำงานกลุ่ม การทำงานกลมุ่ พฤติกรรม การทำงานกล่มุ 4) คณุ ลักษณะ - สังเกตใฝ่เรยี นรู้ - แบบประเมิน อนั พงึ ประสงค์ และมงุ่ มน่ั ใน คณุ ลักษณะ การทำงาน อนั พึงประสงค์

218 8. สอื่ /แหลง่ การเรยี นรู้ 8.1 สอ่ื การเรียนรู้ 1) ส่ือในโปรแกรม power point เร่ือง อนุกรมอนนั ตร์ ปู แบบอน่ื ๆ 2) หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์ เล่ม 6 ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4-6 3) ใบงานท่ี 11 เร่อื ง อนกุ รมอนนั ต์รูปแบบอ่นื ๆ 8.2 แหล่งการเรยี นรู้ 1) หอ้ งเรยี น , ห้องสมดุ 2) อนิ เทอร์เน็ต https://www.youtube.com/watch?v=YHVExJh3s2E

219 ใบงานท่ี 11 เรอ่ื ง อนุกรมอนนั ต์รูปแบบอืน่ ๆ  คำช้แี จง : ใหน้ ักเรยี นหาคำตอบโดยแสดงวธิ คี ดิ 1. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 1 1  + 2  1  + 3  1  + 4  1  + … + n  1  + … 3 9 27 81 3n ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

220 2. จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปน้ี เปน็ อนกุ รมล่เู ขา้ หรือลู่ออก ถ้าเปน็ อนุกรมลู่เขา้ จงหาผลบวก  1 k=1 (4k - 3)(4k + 1) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ใครทำใบงานเสรจ็ แลว้ บ้างคะ

221 เฉลยใบงานท่ี 11 อนกุ รมอนนั ต์รปู แบบอ่ืน ๆ  คำช้ีแจง : ให้นักเรียนหาคำตอบโดยแสดงวธิ ีคดิ 1. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 1 1 1 1  + … + n 1 1 3  + 2  9  + 3  27  + 4  81  3n  + … วิธที ำ จากอนุกรม 1 1  + 2  1  + 3  1  + 4  1  + … + n  1  + … 3 9 27 81 3n ให้ Sn แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม จะไดว้ า่ Sn  = 1 1  + 2  1  + 3  1  + 4  1  + … + n  1 ..... (1) 3 32 33 34 3n ..... (2) คูณดว้ ย 1 ท้งั สองขา้ งจะได้ 3 1 Sn = 1  1  + 2  1  + 3  1  + 4  1  + … + (n - 1)  1 + n  1 1 3 32 33 34 35 3n 3n + นำ (1) - (2) จะได้ 2 Sn =   1 + 1 + 1 + 1 + … + 1  - n 3 3 32 33 34 3n 3n + 1 โดยอาศัยสูตรการหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต จะได้ Sn( ) ( )2= 1 1 - 1 n - n 3 3  3n + 1 3 1- 1 3

222 2 Sn = 1  1 -  1 n  - n 1 3 2 3  3n + Sn = 3  1 -  1 n  - n 4  3  2 • 3n ดงั นนั้ S10 = 3  1 -  1 10  - 10 = 3  1 -  1 10  - 5 ตอบ 4 3  2  310 4  3  310 2. จงพจิ ารณาว่าอนุกรมต่อไปน้ี เปน็ อนกุ รมลูเ่ ข้าหรือลู่ออก ถ้าเปน็ อนุกรมลเู่ ขา้ จงหาผลบวก  1 k=1 (4k - 3)(4k + 1) วิธีทำ จาก Sn =  (4k - 1 + 1) จะได้ k=1 3)(4k Sn = 1  + 1  + 9 1  + … + (4n - 1 + 1) 15 59 13 3)(4n จาก 1 = 1  1 3 - 1 1  (4n - 3)(4n + 1) 4 4n - 4n + จะได้ Sn = 1  1 - 1   + 1  1  - 1   + … + 1  1 3  - 1 1  4 5 4 5 9 4 4n - 4n + = 41 1 - 15   +  1  - 91   + … +  1 3  - 4n1+ 1  5 4n - = 1  1 - 1 1  4 4n + และ lim Sn = lim 1  1 - 1 1  = 1 (1 - 0) = 1 4 4n + 4 4 n→ n→ ดงั นั้น อนกุ รมนเ้ี ป็นอนุกรมล่เู ขา้ และมีผลบวกเทา่ กับ 1 4

223 แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 12 เรอื่ ง การหาผลบวกอนกุ รมอนันตโ์ ดยใชผ้ ลบวกย่อยของอนกุ รม เวลา 1 ชั่วโมง กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ คณิตศาสตรป์ ระยุกต์ 5 (ค33203) ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6 หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 เรื่อง ลำดับอนนั ต์และอนุกรมอนันต์ เวลา 30 ช่วั โมง ครผู ้สู อน นางสทุ ธดา เหลืองหอ่ ใชส้ อนวันท่ี ......................................... 1. ผลการเรียนรู้ 1) ระบุไดว้ ่าอนุกรมท่ีกำหนดใหเ้ ป็นอนุกรมลเู่ ขา้ หรือลู่ออก 2) หาผลบวกของอนุกรมอนนั ตไ์ ด้ 2. จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 1) อธิบายเกีย่ วกบั การหาผลบวกของอนกุ รมโดยใช้ผลบวกยอ่ ยของอนุกรมได้ (K) 2) แสดงวิธีการหาผลบวกของอนุกรมโดยใชผ้ ลบวกย่อยของอนุกรมได้ (P) 3) นำความรเู้ กย่ี วกับการหาผลบวกของอนุกรมโดยใช้ผลบวกย่อยของอนุกรมไปประยุกต์ใชใ้ น ชีวติ จรงิ ได้ (A) 3. สาระการเรยี นรู้ การหาผลบวกของอนุกรมโดยใช้ผลบวกย่อยของอนุกรม 4. สาระสำคญั /ความคดิ รวบยอด การหาผลบวกของอนุกรมโดยใชผ้ ลบวกยอ่ ยของอนุกรม เป็นการโดยการนำผลบวกของแตล่ ะ อนกุ รมมาบวกกันตามลำดับ และใช้การพิจารณาตามบทนิยาม ดงั นี้  บทนิยาม กำหนดอนุกรมอนันต์ an และให้ S1, S2 , S3 , ..., Sn , ... เป็นลำดับของผลบวก n=1 ยอ่ ยของอนุกรมนี้ ถ้าลำดับ Sn เป็นลำดับลเู่ ขา้ โดย lim Sn = S เมือ่ S เป็นจำนวนจริง และจะกล่าว n→  ว่า อนุกรม an เป็นอนุกรม ล่เู ข้า (Convergent series) เรยี ก S ว่า ผลบวกของอนุกรม ถ้า n=1  ลำดับ Sn เป็นลำดับลอู่ อก จะกล่าวว่า อนกุ รม an เป็นอนกุ รมลูอ่ อก (Divergent series) n=1

224 5. สมรรถนะสำคัญของผเู้ รียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป้ ญั หา 6. กจิ กรรมการเรยี นรู้ รูปแบบการสอนแกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตร์เพ่ือพฒั นาความสามารถในการแก้ปัญหาและ ความสามารถในการคดิ ข้นั สูง ขั้นที่ 1 ทำความเข้าใจปัญหา 1. ครกู ลา่ วทักทายและกระตุ้นใหน้ กั เรยี นรว่ มกันทบทวนความเกี่ยวกับผลบวกของอนกุ รม อนันต์ ดังน้ี  1) อนุกรม an เปน็ อนกุ รมลู่เขา้ กต็ ่อเมื่อ lim Sn หาค่าได้ n=1 n→  2) ถา้ อนกุ รม an เปน็ อนุกรมลู่เข้า แล้ว lim an = 0 แต่ถา้ lim an = 0 แล้ว n=1 n→ n→ ไมส่ ามารถสรปุ ได้ว่า เปน็ อนกุ รมลู่เข้า  3) ถา้ lim an  0 แล้ว อนกุ รม an เป็นอนุกรมลู่ออก n→ n=1 2. ครูยกตัวอยา่ งการหาผลบวกของอนุกรมโดยใชผ้ ลบวกย่อยของอนุกรม ใชค้ ำถามกระตุ้นให้ นกั เรียนอภปิ รายเกยี่ วกบั ตัวอยา่ ง ดงั น้ี 1 1 1  + … + n(n1+ อนุกรม 12  + 23  + 34 1) เป็นอนุกรมลเู่ ขา้ หรือลู่ออก ➢ อนกุ รมอนนั ต์นเ้ี ป็นอนกุ รมอนกุ รมเลขคณติ หรืออนุกรมเรขาคณติ (แนวคำตอบ อนุกรมเทเลสโคป (Telescoping series) 3. ครจู ัดและออกแบบสถานการณป์ ัญหาทางคณิตศาสตร์ทตี่ ้องการสอนให้เปน็ สถานการณ์ ปญั หาท่ีเก่ยี วข้องหรือคล้ายคลงึ หรอื เป็นสถานการณ์ในบริบทจรงิ ของนักเรียน ให้นักเรียนวเิ คราะห์ทำ ความเข้าใจกบั สถานการณ์ปัญหา โดยใชก้ ระบวนการแก้ปัญหา 5 ขัน้ ตอนคอื 1) ระบปุ ัญหา 2) เลือกใช้กลวธิ ใี นการแก้ปัญหา 3) ดำเนนิ การแกป้ ัญหา 4) ตรวจสอบการแก้ปัญหา 5) ประยุกตใ์ ช้ ความรกู้ บั ความรู้ใหม่

225 ข้นั ที่ 2 คดิ วธิ หี าคำตอบเพื่อวางแผนแกป้ ญั หา 4. ครูตง้ั คำถามกับนักเรียนวา่ สามารถระบปุ ัญหาได้หรือไมแ่ ละแนวคิดในวิธีหาคำตอบเพอ่ื วางแผนแกป้ ัญหา ดงั กล่าวได้อย่างไร 5. ครอู ธบิ ายการหาผลบวกอนกุ รมอนนั ตโ์ ดยใชผ้ ลบวกย่อยของอนุกรมพรอ้ มยกตวั อยา่ ง ประกอบ โดยใช้สือ่ ในโปรแกรม power point ดังนี้ การหาผลบวกอนุกรมอนันต์โดยใชผ้ ลบวกยอ่ ยของอนุกรม การแสดงว่าอนกุ รมอนนั ตใ์ ดจะเป็นอนุกรมลเู่ ข้าหรือลู่ออก ทำได้ ดังนี้ 1. พจิ ารณาลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรม และหาสตู รผลบวกยอ่ ย n พจน์แรกของ อนกุ รม เรียกวา่ Sn 2. พิจารณาลิมิตของลำดับ Sn ถ้า lim Sn = S เมอ่ื S เปน็ จำนวนจริง จะไดว้ ่าอนุกรมนน้ั เป็น n→ อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวก เท่ากับ S ถา้ ลำดบั Sn ไมม่ ลี ิมิต จะไดว้ ่าอนุกรมนนั้ เป็นอนุกรมลอู่ อก  1) อนุกรม สรุปได้ดังน้ี an เป็นอนกุ รมลู่เข้า ก็ตอ่ เมื่อ lim Sn หาคา่ ได้ n=1 n→  2) ถ้าอนุกรม an เป็นอนุกรมลู่เขา้ แลว้ lim an = 0 แตถ่ า้ lim an = 0 n=1 n→ n→ แลว้ ไมส่ ามารถสรุปไดว้ ่า เป็นอนุกรมลเู่ ข้า  3) ถ้า lim an  0 แลว้ อนุกรม an เปน็ อนุกรมลอู่ อก n→ n=1 ตวั อย่างที่ 1 พิจารณาผลบวกยอ่ ยของอนุกรม 1  + 1  + 1  + … + n(n1+ 1) 12 23 34 ดังนี้ 1 1 S1 = 12 = 2 S2 = 1 + 1 = 1 + 1 = 4 = 2 12 23 2 23 6 3 1 1 1 4 1 9 3 S3 = 12 + 23 + 34 = 6 + 34 = 12 = 4

226 เมื่อนำผลบวกย่อยเขียนเรียงตามลำดับจะได้ 1, 2, 3, 4 , ..., Sn , ... เรียกลำดับนี้ว่า 2 3 4 5 ลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม n พจน์แรก จากลำดับของผลบวกยอ่ ยขา้ งต้น สามารถหาพจน์ n n ทัว่ ไปได้ คอื n + 1 เขียนแทนด้วย Sn และ lim Sn = lim n + 1 = 1 ซ่ึงเปน็ ไปตามบทนิยาม n→ n→ ตัวอย่างที่ 2 ใหห้ าผลบวก n พจนแ์ รกและผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ต่อไปน้ี (ถ้ามลี ิมิตของ Sn) วธิ ที ำ จากอนกุ รม 1  +  1  +  1  + … +  1 15 59 9 13 (4n - 3)(4n + 1) หาลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมไดด้ ังน้ี 1 1 S1 = 15 = 5 S2 = S1 + 1 = 1 + 1 = 10 = 2 59 15 59 59 9 1 1 1 1= 27 3 S3 = S2 + 9 13 =  15 + 59  + 9 13 9 13 = 13 S4 = S3 + 1 =  1 + 1 + 9 1  + 1 = 52 = 4 13 17 15 59 13 13 17 13 17 17 ⋮ 1 2 3 4 5 9 13 17 เมอื่ นำผลบวกย่อยเขยี นเรยี งตามลำดับจะได้ , , , , ..., Sn , ... ซ่ึ งมีพจนท์ ัว่ ไป คอื n 1 4n + ดงั นนั้ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รม เท่ากบั n 4n + 1 n 1 1 จาก lim Sn = lim 4n + 1 = 4 นัน่ คอื ผลบวกของอนุกรมอนนั ต์น้ี เทา่ กบั 4 ตอบ n→ n→

227 6. ครใู ห้นักเรยี นรว่ มแสดงความคิดเห็นจากตัวอย่างดงั กล่าว แลว้ ให้นักเรยี นวิเคราะห์ ทำความเข้าใจกบั สถานการณ์ปัญหา โดยใชก้ ระบวนการแก้ปัญหา 5 ข้ันตอน คอื ตัวอย่างท่ี 3 กำหนดอนุกรม 13 + 23 + 33 + ... + n3 + ... ใหต้ รวจสอบวา่ เป็นอนกุ รมลูเ่ ข้า หรือลู่ออก โดยใชล้ ำดับของผลบวกยอ่ ยของอนุกรม วิธีทำ จากอนุกรม 13 + 23 + 33 + ... + n3 หาลำดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรมไดด้ งั นี้ S1 = 13 = 1 S2 = S1 + 23 = 13 + 23 = 9 S3 = S2 + 33 = 9 + 33 = 36 S4 = S3 + 43 = 36 + 43 = 100 ⋮ เมอื่ นำผลบวกย่อยเขียนเรยี งตามลำดับจะได้ 1, 9, 36, 100, ..., Sn, ... ผลบวกยอ่ ยแตล่ ะ พจนเ์ ขียนในรปู เลขยกกำลงั ไดด้ งั นี้ 12, 32, 62, 102, ... ซึ่งฐานของเลขยกกำลังแตล่ ะพจนเ์ ขียนใน รปู การบวกของจำนวนนบั ได้เป็น 12, (1 + 2)2, (1 + 2 + 3)2, (1 + 2 + 3 + 4)2, ... จะได้วา่ พจน์ทัว่ ไป คอื (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)2 สังเกตวา่ 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n เปน็ อนกุ รมเลขคณติ ซ่ึงหาผลบวกได้จาก สตู รอนุกรมเลขคณิต Sn = n (a1 + an ) 2 จะไดว้ า่ Sn = n (1 + n) 2 = n(n + 1) 2 ดงั นนั้ ผลบวกของอนุกรม 13 + 23 + 33 + ... + n3 + ... เทา่ กบั n(n + 1) 2  2  จาก lim Sn = lim  n(n + 1) 2 จะไดว้ า่ lim Sn ไม่มีลมิ ิต  2  n→ n→ n→ ดังนน้ั อนกุ รม 13 + 23 + 33 + ... + n3 + ... เป็นอนกุ รมลอู่ อก ตอบ

228 1) ระบปุ ัญหา (ให้ตรวจสอบว่าเป็นอนกุ รมลเู่ ขา้ หรือลู่ออก โดยใชล้ ำดับของ ผลบวกยอ่ ยของอนุกรม) 2) เลือกใช้กลวธิ ใี นการแก้ปญั หา ( พิจารณาลำดบั ของผลบวกย่อยของอนกุ รม และ หาสูตรผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รกของอนุกรม เรยี กว่า Sn ) 3) ดำเนนิ การแก้ปัญหา (ถ้า lim Sn = S เม่อื S เปน็ จำนวนจริง จะไดว้ ่าอนุกรมเปน็ n→ อนกุ รมลเู่ ข้า และมผี ลบวก เทา่ กับ S ถา้ ลำดบั Sn ไม่มลี มิ ติ จะได้วา่ อนุกรมน้ันเป็นอนกุ รมลู่ออก 4) ตรวจสอบการแก้ปญั หา ( ใช้หลกั การตามนยิ ามและทฤษฎีบท ) 5) ประยกุ ตใ์ ช้ความรู้กบั ความรูใ้ หม่ ( ในโจทยป์ ัญหาคณิตศาสตรแ์ บบอื่น ๆ ) ขัน้ ที่ 3 แสดงวิธีการหาคำตอบอย่างสร้างสรรค์ 7. ครใู ห้แบง่ นักเรียนเป็นกลุม่ ย่อยกลุ่มละ 3-5 คน แบบคละความสามารถทางคณิตศาสตร์ เกง่ ปานกลาง อ่อน และให้นักเรียนแบง่ หนา้ ที่ของสมาชิกในกลุ่ม และรับใบงานที่ 12 เรื่อง การหา ผลบวกอนกุ รมอนนั ต์โดยใชผ้ ลบวกย่อยของอนุกรม 8. ครใู ชค้ ำถามกระตนุ้ ใหน้ ักเรยี นลงมือปฏบิ ัติกิจกรรมด้วยตนเองอย่างอสิ ระ แล้วแสดงความ คิดเห็นในแนวทางการแกป้ ญั หาของตนเองต่อกลุ่ม แล้วสมาชิกกล่มุ ร่วมกันพจิ ารณาตรวจสอบและ ประเมนิ ทางเลือกในการแก้ปัญหา หากลวิธีที่ดที สี่ ุดทีต่ รงกับสถานการณ์และมีความเหมาะสมเป็นไป ได้และดำเนนิ การแก้ปญั หาของกล่มุ ข้นั ที่ 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยุทธวธิ ีแกป้ ญั หา 9. ครูสุม่ ให้ตวั แทนกลมุ่ แต่ละกลุ่มนำเสนอกระบวนการแก้ปญั หา กลวธิ ีท่ีใช้แกป้ ัญหาและ คำตอบของปัญหาที่กลมุ่ ได้ร่วมกนั พิจารณาตดั สินใจเลือกไว้ 10. ครูแนะนำให้ศึกษาคน้ คว้าเพิ่มเติมจากแหลง่ เรยี นรู้ ครแู นะนำแหลง่ สบื คน้ และมอบหมาย ให้นกั เรยี นนำข้อมูลทสี่ ืบค้นบันทกึ ในสมุดแล้วนำมาแลกเปลี่ยนเรียนรู้ในชัว่ โมงถดั ไป 11. ครใู ชค้ ำถามกระตนุ้ ใหน้ ักเรียนร่วมอภปิ รายเพื่อสรุปจากการเรยี นในช่วั โมงนี้ และครชู ว่ ย สรุปเพม่ิ เติมเม่อื พบว่านกั เรียนสรุปได้ไม่ครอบคลมุ เนื้อหา หรอื ไดม้ โนมติทีย่ ังไมช่ ัดเจนถูกตอ้ ง

229 การหาผลบวกอนุกรมอนันต์โดยใช้ผลบวกย่อยของอนกุ รม อนกุ รมการหาผลบวกของอนุกรมโดยใช้ผลบวกย่อยของอนุกรม ทำได้ดังน้ี  กำหนดอนุกรมอนันต์ an และให้ S1, S2 , S3 , ..., Sn , ... เป็นลำดับของผลบวกยอ่ ย n=1 ของอนกุ รม ทำการหาลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรม  ➢ หา lim Sn = S เม่ือ S เปน็ จำนวนจริง และจะกลา่ วว่า อนุกรม an เป็น n→ n=1 อนุกรมล่เู ข้า (Convergent series) เรยี ก S ว่า ผลบวกของอนุกรม นั่นคือ ลำดับ Sn เปน็ ลำดับล่เู ขา้  ➢ หาลำดบั Sn แลว้ หาค่าไม่ได้ จะกลา่ ววา่ อนกุ รม an เปน็ อนกุ รมลู่ออก n=1 (Divergent series) 7. การวดั และประเมินผล รายการวัด วธิ ีการ เคร่อื งมอื เกณฑ์การประเมิน การประเมินระหว่าง - ร้อยละ 70 ผา่ นเกณฑ์ การจัดกิจกรรมการเรียนรู้ - ระดับคณุ ภาพ 2 1) การหาผลบวกอนุกรมอนนั ต์ - ตรวจใบงานท่ี 12 - ใบงานที่ 12 ผ่านเกณฑ์ โดยใชผ้ ลบวกย่อยของอนุกรม - ตรวจแบบทดสอบ - แบบทดสอบ - ระดบั คณุ ภาพ 2 2) พฤตกิ รรม - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต ผ่านเกณฑ์ การทำงานรายบุคคล การทำงาน พฤติกรรมการ รายบคุ คล ทำงานรายบุคคล 3) พฤติกรรม การทำงานกลุ่ม - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต การทำงานกลุม่ พฤติกรรม การทำงานกลุม่

230 รายการวัด วิธกี าร เคร่ืองมอื เกณฑก์ ารประเมนิ 4) คณุ ลักษณะ - สังเกตใฝเ่ รยี นรู้ - แบบประเมิน - ระดบั คุณภาพ 2 อันพงึ ประสงค์ และมงุ่ มั่นใน คณุ ลกั ษณะ ผา่ นเกณฑ์ การทำงาน อันพึงประสงค์ 8. ส่ือ/แหล่งการเรยี นรู้ 8.1 ส่ือการเรยี นรู้ 1) ส่ือในโปรแกรม power point เรือ่ ง การหาผลบวกอนุกรมอนันตโ์ ดยใชผ้ ลบวกย่อยของ อนุกรม 2) หนงั สือเรียนรายวิชาเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ เล่ม 6 ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 4-6 3) ใบงานท่ี 12 เรื่อง การหาผลบวกอนกุ รมอนนั ตโ์ ดยใชผ้ ลบวกย่อยของอนกุ รม 8.2 แหล่งการเรยี นรู้ 1) หอ้ งเรยี น , หอ้ งสมดุ 2) อนิ เทอรเ์ นต็ https://www.youtube.com/watch?v=YHVExJh3s2E

231 ใบงานท่ี 11 เร่อื ง การหาผลบวกอนุกรมอนนั ตโ์ ดยใชผ้ ลบวกยอ่ ยของอนุกรม  คำช้แี จง : ใหน้ กั เรียนหาคำตอบโดย 1. จงพิจารณาวา่ อนุกรม 1  + 1  + 1  + … เปน็ อนกุ รมลูเ่ ข้าหรอื อนุกรมล่อู อก 12 23 34 ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ..................................................................................................................................................... ........... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 2. กำหนดให้นักเรียนสร้างอนุกรมลู่เข้า และหาผลบวกของอนุกรมนั้นโดยใช้วิธีผลบวกย่อยของ อนกุ รม ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................... ....... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

232 เฉลยใบงานท่ี 12 การหาผลบวกของอนกุ รมโดยใช้ผลบวกยอ่ ยของอนุกรม  คำชี้แจง : ให้นักเรยี นหาคำตอบโดยแสดงวธิ คี ดิ 1. จงหาผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนกุ รม 1 1 1 1  + … + n 1 1 3  + 2  9  + 3  27  + 4  81  3n  + … วธิ ที ำ จากอนุกรม 1 1  + 2  1  + 3  1  + 4  1  + … + n  1  + … 3 9 27 81 3n ให้ Sn แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม จะได้ว่า Sn  = 1 1  + 2  1  + 3  1  + 4  1  + … + n  1 ..... (1) 3 32 33 34 3n คูณดว้ ย 1 ทง้ั สองขา้ งจะได้ 3 1 Sn = 1  1  + 2  1  + 3  1  + 4  1  + … + (n - 1)  1 + n  1 1 ..... (2) 3 32 33 34 35 3n 3n + นำ (1) - (2) จะได้ 2 Sn =   1 + 1 + 1 + 1 + … + 1  - n 3 3 32 33 34 3n 3n + 1 โดยอาศยั สูตรการหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต จะได้ ( ) ( )2Sn= 1 1 - 1 n - n 3 3  3n + 1 3 1- 1 3 2 Sn = 1  1 -  1 n  - n 1 3 2  3  3n +

233 Sn = 3  1 -  1 n  - n 4  3  2 • 3n ดังนัน้ S10 = 3  1 -  1 10  - 10 = 3  1 -  1 10  - 5 ตอบ 4  3  2  310 4 3  310 2. จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ เป็นอนกุ รมลู่เขา้ หรือลู่ออก ถ้าเป็นอนุกรมลเู่ ข้าจงหาผลบวก  1 k=1 (4k - 3)(4k + 1) วธิ ีทำ จาก Sn =  (4k - 1 + 1) จะได้ k=1 3)(4k Sn = 1  + 1  + 9 1  + … + 1 15 59 13 (4n - 3)(4n + 1) จาก (4n - 1 = 1  1 3 - 1 1  3)(4n + 1) 4 4n - 4n + จะได้ Sn = 1  1 - 1   + 1  1  - 1   + … + 1  1 3  - 1 1  4 5 4 5 9 4 4n - 4n + = 41 1 - 15   +  1  - 91   + … +  1 3  - 4n1+ 1  5 4n - = 1  1 - 1 1  4 4n + และ lim Sn = lim 1  1 -1 1  = 1 (1 - 0) = 1 4 4n + 4 4 n→ n→ ดังนั้น อนกุ รมนี้เป็นอนกุ รมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากบั 1 4

234 แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 13 เรอ่ื ง การนำความร้เู ก่ียวกับลำดบั อนนั ต์และอนกุ รมอนันต์ไปใชใ้ นการแก้ปัญหา เวลา 3 ช่ัวโมง กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ คณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 5 (ค33203) ช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 6 หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 เรื่อง ลำดบั อนนั ต์และอนุกรมอนันต์ เวลา 30 ชัว่ โมง ครูผ้สู อน นางสทุ ธดา เหลืองห่อ ใช้สอนวนั ท่ี ......................................... 1. ผลการเรียนรู้ นำความรูเ้ กย่ี วกบั ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ไปใช้ในการแก้ปัญหาได้ 2. จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 1) ประยกุ ตใ์ ช้การนำความร้เู กย่ี วกบั ลำดบั อนันต์และอนุกรมอนันต์ไปใชใ้ นการแก้ปัญหา ตา่ ง ๆ ได้ (K) 2) เขยี นแสดงขน้ั ตอนการนำความรูเ้ กีย่ วกับลำดับอนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ไปใชใ้ น การแก้ปัญหาตา่ ง ๆ ถูกต้อง (P) 3) นำความรเู้ ก่ียวกบั ลำดับอนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ไปใชใ้ นการแกป้ ญั หาในชวี ติ จริงได้ (A) 3. สาระการเรยี นรู้ การนำความรูเ้ กยี่ วกบั ลำดับอนนั ต์และอนุกรมอนันต์ไปใช้ในการแก้ปัญหา (1) 4. สาระสำคญั /ความคดิ รวบยอด การนำความรูเ้ กี่ยวกบั ลำดับอนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ไปใช้ในการแก้ปัญหาตา่ ง ๆ ได้ เชน่ การรวมระยะทางการเคลื่อนที่ การหาความยาวรอบรูปเรขาคณติ เป็นต้น อาศยั ความรูใ้ น การแก้ปัญหาจากบทนยิ ามและทฤษฎบี ท บทนิยาม กำหนดอนุกรมอนนั ต์ a1+ a2 + a3 + ... + an + ... ให้ S1, S2 , S3 , ..., Sn , ... เป็นลำดับของผลบวกย่อยของอนกุ รมน้ี ถ้าลำดับ Sn เป็นลำดบั ลู่เข้า โดย lim Sn = S n→ เมอื่ S เปน็ จำนวนจรงิ แลว้ จะกล่าวว่า อนกุ รม a1+ a2 + a3 + ... + an + ... เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้า (Convergent Series) เรียก S วา่ ผลบวกของอนกุ รม และถา้ ลำดบั Sn เป็นลำดับลู่ออก จะกลา่ ววา่ อนุกรม a1+ a2 + a3 + ... + an + ... เปน็ อนุกรมลู่ออก (Divergent Series) ทฤษฎบี ท กำหนดใหอ้ นุกรมเรขาคณติ มี a1 เปน็ พจนแ์ รก และ r เปน็ อัตราส่วนร่วม ถา้ r < 1 แล้วอนุกรมน้ี เป็นอนกุ รมลเู่ ข้า และมี a1 เปน็ ผลบวกของอนกุ รม 1-r ถ้า r > 1 แลว้ อนุกรมน้เี ป็นอนกุ รม ลอู่ อก 5. สมรรถนะสำคัญของผเู้ รียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป้ ัญหา

235 6. กจิ กรรมการเรยี นรู้ รปู แบบการสอนแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์เพ่ือพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาและ ความสามารถในการคิดขน้ั สูง ชว่ั โมงที่ 1 ขนั้ ที่ 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครชู วนพูดคยุ เก่ยี วกบั การหาผลบวกของอนกุ รมโดยใชผ้ ลบวกยอ่ ยของอนุกรมทเ่ี รียนมาแล้ว 2. ครูเปิดโอกาสใหน้ ักเรยี นรว่ มอภิปราย แสดงความคิดเหน็ ในการนำความรเู้ ก่ยี วกบั ลำดบั อนนั ต์ และอนุกรมอนันต์ไปใชใ้ นการแก้ปญั หาในชวี ิตจรงิ 3. ครใู ห้นกั เรียนทบทวนบทนยิ ามและทฤษฎบี ทของอนุกรมเรขาคณติ ท่ีเปน็ อนุกรมอนนั ต์ ดงั น้ี บทนิยาม กำหนดอนุกรมอนันต์ a1+ a2 + a3 + ... + an + ... ให้ S1, S2 , S3 , ..., Sn , ... เปน็ ลำดับ ของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้ ถา้ ลำดบั Sn เปน็ ลำดับลเู่ ข้า โดย เม่ือ S เป็นจำนวนจริงแล้วจะกลา่ ววา่ อนุกรม a1 + a2 + a3 + ... + an + ... เป็น lim Sn = S n→ อนุกรมลเู่ ขา้ (Convergent Series) เรยี ก S ว่า ผลบวกของอนกุ รม ถา้ ลำดับ Sn เปน็ ลำดบั ลู่ออก จะ กลา่ ววา่ อนุกรม a1+ a2 + a3 + ... + an + ... เปน็ อนกุ รมลอู่ อก (Divergent Series) ทฤษฎีบท กำหนดให้อนุกรมเรขาคณิต มี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนร่วม ถา้ r < 1 แลว้ อนกุ รมน้ี เปน็ อนกุ รมลู่เข้า และมี a1 เป็นผลบวกของอนุกรม 1-r ถ้า r > 1 แลว้ อนกุ รมนี้เป็นอนกุ รม ลูอ่ อก 4. ครยู กตัวอยา่ ง การเพม่ิ จำนวนของสงิ่ มชี วี ิตบางชนดิ และใชค้ ำถามกระตุน้ ให้นักเรยี นอภิปราย เก่ียวกับการนำความรเู้ กี่ยวกับลำดับอนนั ต์และอนุกรมอนันต์ไปใชใ้ นการหาระยะทางการเคล่อื นที่ ไดอ้ ย่างไร 5. ครใู ห้นักเรียนจบั คูช่ ่วยกนั กำหนดสถานการณ์ปัญหาคู่ละ 1 สถานการณ์ ในการหาระยะทาง การเคลอื่ นท่ีของวัตถุในแนวดงิ่ หรือแนวราบ 6. ครูสุ่มนักเรียนใหอ้ ธิบายสถานการณป์ ญั หาของคตู่ นเอง ในการหาระยะการเคลอ่ื นทขี่ องวตั ถุ ในแนวด่ิงหรือแนวราบ ขัน้ ท่ี 2 คิดวิธีหาคำตอบเพือ่ วางแผนแกป้ ญั หา 7. ครยู กตวั อย่างและตั้งคำถามกับนกั เรยี นว่าสามารถระบุปัญหาได้หรอื ไมแ่ ละแนวคิดในวธิ ีหา คำตอบเพื่อวางแผนแก้ปัญหา ดงั กล่าวไดอ้ ย่างไร โดยใช้สอ่ื ในโปรแกรม power point ดังนี้

236 การนำความรู้เกย่ี วกับลำดับอนนั ต์และอนกุ รมอนันต์ไปใชใ้ นการแก้ปญั หา การรวมระยะทางการเคลื่อนทขี่ องวตั ถุ ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี สถานการณ์ปัญหา ลูกบอลลูกหนึ่งถูกปล่อยลงมาจากความสูง 10 เมตร ลูกบอลกระดอน ขึ้นมา 80 % ของความสูงเดิมในแต่ละครั้ง ระยะทางการเคลื่อนที่ของลูกบอลในแนวตั้งรวม ทง้ั หมดกี่เมตร 10ม. วธิ ที ำ ระยะเคลือ่ นทใ่ี นแนวต้ังของลกู บอลเมือ่ เริ่มปลอ่ ยลูกบอลถึงพ้ืนดนิ มรี ะยะทาง 10 เมตร ระยะกระดอนข้ึนมา 80% ของความสงู เดมิ มคี ่าเทา่ กบั 4 ของความสูงเดมิ 5 ระยะเคลอื่ นที่ในแนวตั้งของลูกบอลเมื่อกระดอนข้ึนครั ้งที่ 1 จนถึงพ้ืนดนิ มรี ะยะทางคือ 10 (4) + 10 (4) = 20 (4) เมตร 55 5 ระยะเคลอื่ นท่ีในแนวต้ังของลูกบอลเม่ือกระดอนขึ้นครั ้งที่ 2 จนถึงพื้นดนิ มรี ะยะทางคอื 10 (4) (4) + 10 (4) (4) = 20 (4)2 เมตร 55 55 5 ระยะทางการกระดอนของลูกบอลเป็นเชน่ น้ไี ปเร่ือย ๆ จะได้ ระยะเคลอ่ื นท่ใี นแนวตงั้ ของลกู บอล = 10 + 20 (4) + 20 (4)2 +… 55 4 = 10 + 20 ( 5 ) 1−54 4 = 10 + 20 ( 5 ) 1 5 = 10 + 20(4) = 10 + 80 = 90 ดงั น้ัน ระยะทางการเคลอื่ นท่ีของลกู บอลในแนวตง้ั รวมทง้ั หมด 90 เมตร

237 8. ครใู ห้นกั เรียนพดู คุยกบั คู่ของนกั เรยี นในการวางแผนในการแก้ปัญหาจากสถานการณ์ ทน่ี ักเรยี นช่วยกนั คดิ และต้ังคำถามกับนักเรยี นวา่ สามารถระบุปัญหาไดห้ รอื ไม่และมแี นวคิดในวธิ ี หาคำตอบเพื่อวางแผนแกป้ ญั หาอย่างไร ขัน้ ที่ 3 แสดงวิธกี ารหาคำตอบอย่างสรา้ งสรรค์ 9. ครใู ห้นกั เรยี นและคู่ของตนเองเขา้ กล่มุ ย่อยกลุ่มละ 4 คน และใหน้ กั เรยี นแบ่งหน้าท่ขี องสมาชิก ในกลุ่ม 10. ครใู ชค้ ำถามกระตุ้นให้นักเรียนอธบิ ายสถานการณ์ปัญหาของตนเองและสมาชิกในกลุ่มเลือก สถานการณ๋ทจ่ี ะทำการแกป้ ัญหา ลงมือปฏบิ ัติกจิ กรรมด้วยตนเองอย่างอิสระ แล้วนำเสนอความคดิ ในแนวทางการแกป้ ัญหาของตนเองต่อกลมุ่ แล้วสมาชิกกลุ่มร่วมกันพจิ ารณาตรวจสอบและประเมิน ทางเลอื กในการแกป้ ญั หา หากลวิธีทีด่ ีท่สี ุดท่ตี รงกับสถานการณ์และมีความเหมาะสม เป็นไปได้แล้ว ดำเนินการแก้ปญั หาของกลุม่ ขนั้ ท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยุทธวธิ ีแกป้ ัญหา 11. ครสู ุ่มให้ตวั แทนกลมุ่ แต่ละกลุ่มนำเสนอกระบวนการแก้ปญั หา กลวิธที ี่ใชแ้ ก้ปญั หาและ คำตอบของปัญหาที่กลุ่มได้ร่วมกนั พิจารณาตดั สินใจเลือกไว้ แลว้ ให้นกั เรยี นร่วมกนั ตดั สินในกลวธิ ีใน การแกป้ ัญหาท่ีถูกต้องและมคี วามเหมาะสมกบั สถานการณ์ท่ีสุด 12. ครแู นะนำให้ศึกษาค้นควา้ เพิ่มเตมิ จากแหลง่ เรยี นรู้ ครูแนะนำแหลง่ สืบค้นและมอบหมาย ให้นักเรยี นนำข้อมูลทีส่ บื ค้นบันทกึ ในสมดุ แลว้ นำมาแลกเปลย่ี นเรียนรูใ้ นชวั่ โมงถดั ไป 13. ครใู ช้คำถามกระต้นุ ใหน้ ักเรียนร่วมอภปิ รายเพื่อสรุปจากการเรียนในชัว่ โมงน้ี และครชู ว่ ย สรปุ เพิม่ เติม เม่อื พบวา่ นักเรียนสรุปได้ไม่ครอบคลุมเน้ือหา หรือได้มโนมตทิ ่ียงั ไม่ชดั เจนถูกตอ้ ง ทฤษฎีบท กำหนดให้อนุกรมเรขาคณิต มี a1 เป็นพจนแ์ รก และ r เปน็ อตั ราส่วนรว่ ม ถา้ r < 1 แลว้ อนกุ รมน้ี เป็นอนุกรมลเู่ ข้า และมี a1 เป็นผลบวกของอนกุ รม 1-r ถ้า r > 1 แลว้ อนุกรมน้เี ปน็ อนุกรม ลู่ออก

238 ชั่วโมงที่ 2 ขั้นท่ี 1 ทำความเข้าใจปัญหา 1. ครใู หน้ ักเรยี นร่วมกันอภปิ รายจากการทน่ี ักเรียนไปค้นคว้าเพิ่มเตมิ เกี่ยวกบั การนำความรู้ เกีย่ วกบั ลำดบั อนนั ต์และอนุกรมอนันต์ไปใชใ้ นการแกป้ ัญหาในชวี ติ จริง 2. ครูตั้งคำถามนกั เรียนว่าถา้ ต้องการวเิ คราะหเ์ พือ่ หาคำตอบจากปัญหาดังกล่าว นักเรยี นจะ มวี ิธกี ารอย่างไร (แนวคำตอบ ดำเนนิ การแก้ปญั หาตามขน้ั ตอนของกระบวนการคิดวิเคราะห์ และใช้ หลักการทางคณิตศาสตร์ แบบนิรนยั )ไดแ้ ก่ 1) ขั้นกำหนดส่งิ ที่ตอ้ งการวเิ คราะห์ 2) ขน้ั กำหนดปญั หา/วัตถุประสงค์ 3) ขนั้ กำหนดหลกั การ/กฎเกณฑ์ 4) ขน้ั พจิ ารณาแยกแยะหรือแจกแจงข้อมูล 5) ข้ันสรุปคำตอบ 3. เม่ือนกั เรยี นเข้าใจในปัญหาดีแลว้ ครูกำหนดสถานการณ์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ทตี่ ้องการสอน ดังน้ี รูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่ารปู หนึ่งมีดา้ นยาวด้านละ 10 นิ้ว รปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ รปู ท่สี องเกิดจากการลากส่วนของเส้นตรงเชอ่ื มจุดกึง่ กลางดา้ นท้ังสามของ รปู สามเหล่ยี มด้านเทา่ รูปแรกและสามเหลย่ี มดา้ นเทา่ รูปที่สามเกิดจากการลากสว่ นของ เส้นตรงเช่ือมจดุ กึ่งกลางดา้ นทงั้ สามของรปู สามเหลยี่ มด้านเท่ารูปท่ีสองและสร้างรูป สามเหลีย่ มดา้ นเทา่ เช่นนเ้ี ร่ือย ๆ ไป จงหาผลบวกของความยาวของเสน้ รอบรูปของ รปู สามเหลีย่ มดา้ นเทา่ ทง้ั หมด ถ้ากระบวนการนี้ เกิดขน้ึ อยา่ งตอ่ เน่ืองไมส่ ้นิ สุด ขัน้ ที่ 2 คิดวธิ ีหาคำตอบเพื่อวางแผนแกป้ ัญหา 4. ครใู หน้ กั เรียนรว่ มแสดงความคิดเห็นจากคำถามดงั กล่าวว่า นกั เรียนสามารถระบุปญั หาได้ หรอื ไม่และมีแนวคิดในการอธิบายเกีย่ วกบั การเขียนสญั ลกั ษณ์แทนอนกุ รมดงั กล่าวได้อย่างไร 5. ครอู ธบิ ายการนำความรเู้ ก่ยี วกบั ลำดบั อนนั ต์และอนุกรมอนันต์ไปใช้ในการแก้ปัญหา ดำเนนิ การแก้ปญั หาตามขน้ั ตอนของกระบวนการคิดวิเคราะห์ พรอ้ มยกตัวอยา่ งประกอบโดยใช้สื่อใน

239 โปรแกรม power point ดังนี้ การนำความรู้เกย่ี วกับลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ไปใชใ้ นการแก้ปัญหา รูปสามเหล่ียมดา้ นเท่ารปู หนงึ่ มดี า้ นยาวดา้ นละ 10 นิว้ รูปสามเหล่ยี มด้านเทา่ รูปที่สอง เกิดจากการลากส่วนของเส้นตรงเชอ่ื มจุดกึ่งกลางด้านทงั้ สามของรปู สามเหลี่ยมด้านเทา่ รปู แรกและ สามเหลีย่ มด้านเทา่ รูปทีส่ ามเกดิ จากการลากส่วนของเสน้ ตรงเชอื่ มจดุ ก่ึงกลางด้านทงั้ สามของรูป สามเหลยี่ มด้านเท่ารปู ที่สองและสร้างรูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่าเช่นนีเ้ รื่อย ๆ ไป จงหาผลบวกของ ความยาวของเสน้ รอบรปู ของรูปสามเหล่ยี มดา้ นเท่าท้งั หมดถา้ กระบวนการน้ี เกิดขนึ้ อย่างตอ่ เน่ือง ไม่ส้ินสุด วิธีทำ 1) ขัน้ กำหนดสิ่งท่ตี ้องการวิเคราะห์ - รปู สามเหล่ียมด้านเท่ารูปหนง่ึ มดี า้ นยาวดา้ นละ 10 นว้ิ - เกดิ ขน้ึ อยา่ งตอ่ เน่ือง ไม่สน้ิ สุด 2) ขั้นกำหนดปญั หา/วตั ถุประสงค์ - ความยาวของเสน้ รอบรปู ของรปู สามเหลยี่ มดา้ นเทา่ ท้ังหมด 3) ขัน้ กำหนดหลักการ/กฎเกณฑ์ เป็นอนุกรมเรขาคณิตท่ีเป็นอนกุ รมอนนั ต์ทมี่ ี a1 เปน็ พจนแ์ รก และ r เปน็ อตั ราสว่ นร่วม ถา้ r < 1 แล้วอนุกรมน้ี เป็นอนุกรมลูเ่ ข้า และมี a1 1-r เป็นผลบวกของอนกุ รม 4) ขนั้ พจิ ารณาแยกแยะหรือแจกแจงข้อมูล - ความยาวรปู สามเหล่ียมดา้ นเท่ารูปหนึ่งมดี ้านยาวด้านละ 10 น้วิ - รปู สามเหล่ียมด้านเทา่ รูปที่สองเกดิ จากการลากสว่ นของเสน้ ตรงเชื่อมจุดก่ึงกลาง ดา้ นทัง้ สามของรปู สามเหลยี่ มด้านเท่ารูปแรก - สร้างรูปสามเหล่ยี มดา้ นเท่าเช่นนี้เร่ือย ๆ ไป 5) ขน้ั สรุปคำตอบ เทา่ กบั 30 นิว้ - ความยาวของเส้นรอบรปู สามเหลยี่ มรูปแรก - ความยาวของเสน้ รอบรูปสามเหลย่ี มรูปท่ีสอง เท่ากบั 15 นว้ิ - ความยาวของเส้นรอบรูปสามเหล่ยี มรปู ทส่ี อง เท่ากบั 7.5 น้ิว - ผลบวกของความยาวของเส้นรอบรูปสามเหลย่ี มรปู ทั้งหมด เท่ากบั 30 =60 นวิ้ 1−12

240 ขนั้ ที่ 3 แสดงวิธกี ารหาคำตอบอย่างสรา้ งสรรค์ 6. ครใู ห้แบ่งนักเรียนเขา้ เป็นกลุ่มย่อยกลุ่มเดมิ กลุ่มละ 4 คนและทำใบงานท่ี 13 เร่ือง การหา ความยาวรอบรูปเรขาคณติ 7. ครูใชค้ ำถามกระตุ้นให้นักเรยี นลงมอื ปฏบิ ตั ิกจิ กรรมดว้ ยตนเองอย่างอสิ ระ แล้วแสดงความ คดิ เห็นในแนวทางการแก้ปัญหาของตนเองต่อกลุ่ม แล้วสมาชกิ กลุม่ ร่วมกนั พจิ ารณาตรวจสอบและ ประเมนิ ทางเลือกในการแก้ปัญหา หากลวธิ ที ี่ดีทส่ี ดุ ทตี่ รงกับสถานการณ์และมีความเหมาะสม เป็นไปได้และดำเนนิ การแกป้ ัญหาของกลุ่ม ขน้ั ท่ี 4 ตรวจคำตอบและสรปุ ผลยุทธวิธีแก้ปญั หา 8. ครสู มุ่ ให้ตวั แทนกลุม่ แตล่ ะกลุ่มนำเสนอกระบวนการแกป้ ญั หา กลวิธีท่ีใช้แกป้ ัญหาและ คำตอบของปัญหาที่กลมุ่ ได้รว่ มกนั พิจารณาตดั สินใจเลือกไว้ แล้วให้นกั เรียนรว่ มกนั ตัดสนิ ในกลวธิ ใี น การแกป้ ัญหาท่ีถูกต้องและมีความเหมาะสมกับสถานการณ์ทีส่ ุด 9. ครมู อบหมายให้นกั เรียนศกึ ษาคน้ ควา้ เพิ่มเติมจากแหลง่ เรียนรู้ ครูแนะนำแหลง่ สบื คน้ มาคนละ 1 โจทย์พรอ้ มท้งั แสดงวธิ ที ำในสมดุ และใหน้ กั เรยี นนำข้อมูลท่สี บื คน้ บันทึกในสมดุ แลว้ นำมา แลกเปลีย่ นเรยี นรูใ้ นชว่ั โมงถดั ไป 10. ครใู ช้คำถามกระตุ้นใหน้ ักเรียนรว่ มอภปิ รายเพ่ือสรุปจากการเรยี นในชั่วโมงนี้ และครูช่วย สรปุ เพิ่มเตมิ เม่ือพบวา่ นักเรียนสรปุ ได้ไม่ครอบคลมุ เนื้อหา หรือได้มโนมติท่ยี ังไม่ชดั เจนถูกต้อง กำหนดให้อนุกรมเรขาคณติ มี a1 เป็นพจนแ์ รก และ r เป็นอัตราส่วนร่วม ถ้า r < 1 แล้วอนุกรมน้ี เปน็ อนุกรมล่เู ขา้ และมี a1 เปน็ ผลบวกของอนกุ รม 1-r ถ้า r > 1 แล้วอนุกรมน้เี ป็นอนกุ รม ลู่ออก

241 ชว่ั โมงที่ 3 ข้นั ท่ี 1 ทำความเขา้ ใจปัญหา 1. ครขู ออาสาสมคั รนกั เรยี นอภปิ รายผลจากการทนี่ ักเรียนไปคน้ คว้าเพิ่มเตมิ เก่ยี วกับการนำ ความรู้เกยี่ วกบั ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ไปใช้ในการแก้ปญั หาในชวี ิตจรงิ 2. ครเู ปดิ โอกาสให้นักเรียนได้ซกั ถามขอ้ สงสัย แลกเปลี่ยนความคดิ เห็นเกี่ยวกบั โจทย์ วธิ ีทำ ท่นี ักเรยี นอาสาสมคั รนำเสนอ 3. ครกู ระตุ้นให้นักเรยี นไดท้ บทวนขัน้ ตอนของกระบวนการคดิ วิเคราะห์ ดงั น้ี แนวคำตอบ ดำเนนิ การแกป้ ัญหาตามขน้ั ตอนของกระบวนการคดิ วิเคราะห์ ได้แก่ 1) ขน้ั กำหนดสิ่งทตี่ อ้ งการวิเคราะห์ 2) ข้ันกำหนดปัญหา/วัตถปุ ระสงค์ 3) ขน้ั กำหนดหลักการ/กฎเกณฑ์ 4) ข้ันพิจารณาแยกแยะหรือแจกแจงข้อมลู 5) ข้นั สรปุ คำตอบ ขั้นที่ 2 คดิ วธิ หี าคำตอบเพ่ือวางแผนแกป้ ัญหา 4. ครใู หแ้ บ่งนกั เรยี นเขา้ เป็นกลมุ่ ย่อยกลุ่มเดมิ กล่มุ ละ 4 คนและนำโจทย์ปัญหาของนักเรยี น ทีไ่ ปค้นควา้ มาแลกเปลยี่ นเรียนรกู้ นั ภายในกลมุ่ 5. ให้สมาชกิ ทุกคนในกลุม่ ชว่ ยกันคัดเลือกโจทย์ที่สมาชิกนำมา รว่ มกันพิจารณาตรวจสอบ และประเมินทางเลือกในการแก้ปัญหา หากลวธิ ีทด่ี ที สี่ ดุ ท่ีตรงกับสถานการณ์และมีความเหมาะสม เปน็ ไปได้หรือมีขน้ั ตอนของกระบวนการคดิ วเิ คราะห์ มีความถกู ต้อง ชดั เจน แลว้ บนั ทกึ ลงสมุด 6. ให้แตล่ ะกลุ่มคดิ โจทย์หรอื คน้ ควา้ หาโจทยใ์ หมเ่ พม่ิ เติมอีกกลมุ่ ละ 1 โจทย์ แลว้ คดิ วางแผน ในการแกป้ ญั หาและดำเนินการระบุตามขน้ั ตอนของกระบวนการคดิ วเิ คราะห์

242 ขั้นที่ 3 แสดงวิธกี ารหาคำตอบอย่างสร้างสรรค์ 7. ครใู ชค้ ำถามกระตนุ้ ให้นักเรียนแสดงความคิดเห็นในแนวทางการแก้ปญั หาของตนเอง ตอ่ กลมุ่ แล้วสมาชกิ ภายในกลุ่มรว่ มกันสรุปประเมินทางเลือกในการแกป้ ญั หา หากลวธิ ีที่ดที ส่ี ุด ท่ีตรงกับสถานการณ์และมีความเหมาะสมเป็นไปไดแ้ ละดำเนนิ การแก้ปัญหาของกลุ่ม 8. แต่ละกลุม่ นำเสนอโจทย์ท่ีได้แสดงการหาคำตอบ โดยเขียนใสก่ ระดาษปรฟู๊ ท่ีครเู ตรยี มไว้ ให้และนำไปติดบรเิ วณภายในห้องเรียน ขนั้ ที่ 4 ตรวจคำตอบและสรุปผลยทุ ธวธิ แี กป้ ัญหา 9. ครูใหน้ กั เรียนทุกคนเดินดกู ารนำเสนอกระบวนการแก้ปญั หา พร้อมท้งั ตรวจคำตอบของ เพื่อนแลว้ ใหน้ กั เรียนเลอื กโจทยท์ น่ี กั เรียนสนใจ บนั ทึกลงสมุด 10. ครใู หน้ ักเรยี นรว่ มกันอภปิ รายเพอ่ื สรุปจากการเรียนในช่วั โมงน้ี และครชู ว่ ยสรปุ เพม่ิ เติม เม่ือพบว่านกั เรยี นสรุปได้ไม่ครอบคลมุ เน้ือหา หรือได้มโนมติที่ยงั ไมช่ ัดเจนถูกต้อง 1. การหาลำดบั ของผลบวกย่อยของอนกุ รม  ➢ หา lim Sn = S เมื่อ S เป็นจำนวนจรงิ และจะกล่าวว่า อนกุ รม an n→ n=1 เป็นอนกุ รมลเู่ ข้า (Convergent series)  ➢ หาลำดับ Sn แล้วหาค่าไม่ได้ จะกล่าววา่ อนกุ รม an เปน็ อนุกรมลอู่ อก n=1 (Divergent series) 2. ทฤษฎีบท กำหนดให้อนุกรมเรขาคณิต มี a1 เป็นพจนแ์ รก และ r เปน็ อัตราส่วน รว่ ม ถา้ r < 1 แลว้ อนกุ รมนี้ เป็นอนกุ รมลู่เข้า และมี a1 เปน็ ผลบวกของอนุกรม 1-r ถา้ r > 1 แล้วอนกุ รมนเี้ ป็นอนกุ รม ล่อู อก

243 7. การวดั และประเมนิ ผล รายการวัด วธิ กี าร เคร่ืองมอื เกณฑ์การประเมนิ การประเมนิ ระหวา่ ง - รอ้ ยละ 70 ผา่ นเกณฑ์ การจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ - ระดับคุณภาพ 2 1) การนำความรเู้ กีย่ วกบั - ตรวจใบงานท่ี 13 - ใบงานที่ 13 ผ่านเกณฑ์ ลำดับอนันต์และอนุกรม อนันต์ไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา - ระดบั คณุ ภาพ 2 ผา่ นเกณฑ์ 2) พฤตกิ รรม - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต การทำงานรายบุคคล - ระดับคุณภาพ 2 การทำงาน พฤติกรรมการ ผา่ นเกณฑ์ รายบคุ คล ทำงานรายบคุ คล 3) พฤตกิ รรม - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต การทำงานกลุ่ม การทำงานกล่มุ พฤติกรรม การทำงานกลมุ่ 4) คุณลักษณะ - สงั เกตใฝเ่ รียนรู้ - แบบประเมิน อันพึงประสงค์ และมุ่งมนั่ ใน คุณลกั ษณะ การทำงาน อันพึงประสงค์ 8. สื่อ/แหลง่ การเรยี นรู้ 8.1 สอ่ื การเรยี นรู้ 1) สอ่ื ในโปรแกรม power point เรื่อง การนำความรู้เกยี่ วกบั ลำดบั อนนั ต์และอนุกรมอนันต์ ไปใช้ในการแกป้ ญั หา 2) หนังสอื เรียนรายวิชาเพม่ิ เติม คณิตศาสตร์ เลม่ 6 ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4-6 3) ใบงานที่ 13 เร่ือง การหาความยาวรอบรูปเรขาคณติ 8.2 แหลง่ การเรยี นรู้ 1) ห้องเรยี น , ห้องสมดุ 2) อินเทอร์เนต็ https://www.youtube.com/watch?v=YK_sGWfSIK8

244 ใบงานที่ 13 เรอ่ื ง การหาความยาวรอบรูปเรขาคณติ  คำชแ้ี จง : ให้นักเรียนหาคำตอบโดยแสดงวิธีคดิ สถานการณ์ปญั หา ถ้าลากส่วนของเส้นตรงเชอื่ มจุดก่ีงกลางดา้ นของรปู สีเ่ หลีย่ มจัตรุ ัสที่มคี วามยาว รอบรูปยาว 20 หน่วย จะได้รูปส่ีเหลี่ยมจัตรุ สั ใหม่ ดังรูป โดยกระบวนการเกิดรูปใหมข่ องรูปสี่เหล่ยี ม จตั ุรสั เกิดขนึ้ ต่อเน่ืองอยา่ งไม่ส้นิ สุด ผลบวกของความยาวของเสน้ รอบรูปของรปู ส่เี หลยี่ มจัตุรัสทั้งหมด เทา่ ใด วิธีทำ ตามขัน้ ตอนของกระบวนการคิดวิเคราะห์ 1) ขนั้ กำหนดสิ่งท่ตี อ้ งการวิเคราะห์ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2) ขั้นกำหนดปญั หา/วัตถุประสงค์ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

245 3) ข้ันกำหนดหลักการ/กฎเกณฑ์ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4) พจิ ารณาแยกแยะหรือแจกแจงขอ้ มูล ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5) ขั้นสรุปคำตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

246 เฉลยใบงานที่ 13 การหาความยาวรอบรปู เรขาคณิต  คำชี้แจง : ให้นักเรยี นหาคำตอบโดยแสดงวิธคี ดิ สถานการณป์ ัญหา ถ้าลากส่วนของเส้นตรงเชอ่ื มจุดกง่ี กลางด้านของรูปสี่เหลีย่ มจตั รุ ัสที่มคี วามยาว รอบรูปยาว 20 หน่วย จะได้รูปสี่เหลี่ยมจัตรุ ัสใหม่ ดังรูป โดยกระบวนการเกิดรูปใหมข่ องรูปสี่เหล่ยี ม จตั รุ สั เกดิ ขนึ้ ต่อเน่ืองอยา่ งไม่สนิ้ สดุ ผลบวกของความยาวของเสน้ รอบรปู ของรปู ส่เี หลย่ี มจตั ุรัสทั้งหมด เทา่ ใด วิธที ำ ตามขัน้ ตอนของกระบวนการคดิ วเิ คราะห์ (ขนึ้ อยกู่ บั ดลุ ยพินิจของครผู ู้สอน) 1) ขั้นกำหนดสิ่งที่ต้องการวเิ คราะห์ ลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจดุ ก่ีงกลางด้านของรูปสี่เหล่ียมจัตรุ สั ท่มี คี วามยาวรอบรปู ยาว 20 หน่วย จะได้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหม่ โดยกระบวนการเกิดรูปใหม่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเกิดขึ้น ต่อเนอ่ื งอยา่ งไม่สน้ิ สุด 2) ข้นั กำหนดปัญหา/วัตถุประสงค์ - หาความยาวของดา้ นและความยาวรอบรูปสเ่ี หลีย่ มจัตุรสั รูปแรก รปู ทีส่ อง รปู ท่ีสาม - หาผลบวกของความยาวของเสน้ รอบรูปของรูปสเ่ี หลยี่ มจตั ุรสั ท้งั หมด 3) ข้นั กำหนดหลกั การ/กฎเกณฑ์ เป็นอนุกรมเรขาคณติ ทเี่ ปน็ อนกุ รมอนันต์ทมี่ ี a1 เป็นพจนแ์ รก และ r เป็นอตั ราส่วนรว่ ม ถา้ r < 1 แลว้ อนุกรมนี้ เป็นอนกุ รมล่เู ขา้ และมี a1 เป็นผลบวกของอนุกรม 1-r 4) ข้ันพจิ ารณาแยกแยะหรือแจกแจงข้อมลู ในกระบวนการเกดิ รูปใหม่ของรูปส่ีเหล่ียมจตั รุ ัสเกิดขึน้ ต่อเนื่องอยา่ งไมส่ ิ้นสดุ จากโจทย์ ความยาวรอบรูปแรกยาว 20 หน่วย นัน่ คอื รปู สเี่ หลีย่ มจัตรุ ัสรูปแรกมีดา้ นยาว 5 หนว่ ย ดา้ นของรูปสีเ่ หลีย่ มจตั รุ ัสรูปทส่ี องยาว √(5)2 + (5)2 = √50 = 5√2 หน่วย 22 42 จะได้ความยาวรอบรูปของรูปส่ีเหล่ียมจตั รุ สั รูปทส่ี องมคี วามยาว 10√2 หนว่ ย

247 ด้านของรปู สเี่ หลย่ี มจัตุรสั รปู ทสี่ ามยาว √(5√2)2 + (5√2)2 = √25 = 5 หนว่ ย 22 42 จะได้ความยาวรอบรปู ของรปู สเี่ หลย่ี มจตั ุรัสรปู ที่สามมีความยาว 10 หน่วย 5) ขั้นสรปุ คำตอบ น่ันคอื ผลบวกของความยาวของเส้นรอบรปู ของรูปสเ่ี หลีย่ มจตั รุ ัสท้งั หมด 20 + 10√2 + 10 + 5√2 +… = (1−20√22) = 20(2 + √2) ดังนั้น ผลบวกของความยาวของเสน้ รอบรูปของรูปสเี่ หลี่ยมจตั รุ ัสท้งั หมด 20(2 + √2) หน่วย เขา้ ใจแล้วนะคะ