คณิตศาสตร์ พค21001 ม.ต้น

94 2. จงหาพืน้ ท่ีสวนท่แี รเงา ตวั เลขทเี่ ขยี นกํากับไวถือวาเปนความยาวของดา นและมีหนว ยความยาวเปนเมตร ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

95 2.6 พื้นที่รปู หลายเหล่ียม การหาพน้ื ที่รปู หลายเหลยี่ ม ใชว ิธีแบง รูปหลายเหลย่ี ม เปนรูปสี่เหลยี่ มยอ ยๆ แลว หาพน้ื ท่ขี องรปู แตล ะรปู นาํ ผลลพั ธม ารวมกัน แตบางครัง้ อาจใชว ิธีตอเติมรปู เพือ่ ใหเ กดิ รปู เหล่ยี มใหมแ ลว นาํ มาหักลบกนั ดงั ตวั อยา ง ตวั อยาง จงหาพื้นทร่ี ปู เหลยี่ มที่แรเงา วิธีทาํ ลากตอ EF และ HG ทําใหเกดิ เปนรูปสเี่ หลี่ยมมุมฉากยอ ย 3 รปู คอื ฀DEJC, ฀ FGKJ, ฀ ABKH จากรปู EJ = 6 เซนตเิ มตร FJ = 4 เซนตเิ มตร พน้ื ทีร่ ูปหลายเหลยี่ ม ABCDEFGH = พ.ท.฀DEJC + พ.ท.฀ FGKJ + พ.ท.฀ ABKH = ( 26) + (14) + (310) = 12 + 4 + 30 ตารางเซนติเมตร ดงั นน้ั พนื้ ที่รูปหลายเหล่ยี ม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนตเิ มตร 2.7 พ้นื ทร่ี ูปวงกลม การหาพน้ื ทข่ี องรูปวงกลมโดยวธิ แี บง ออกเปน สวนเล็กๆ แลวนาํ แตละสว นมาสลบั กนั ดังรูป

96 จะเห็นไดวา ถา ย่ิงแบงสวนยอ ยใหมจี ํานวนมากขน้ึ รูปสเ่ี หลี่ยมท่ีไดจะมรี ปู ใกลเ คยี งกบั รปู สี่เหลีย่ มผนื ผา โดยมีสวนสูงใกลเ คยี งกบั รศั มีของวงกลม ความยาวของฐาน ใกลเคียงกับคร่งึ หนึง่ ของเสน รอบวง หรอื 1 2r  r 2 จากสตู ร พนื้ ที่ ฀ ผืนผา = ฐาน สูง = r r = r 2 สูตร พ้นื ท่ีวงกลม =r2 เมอื่   22 หรือ 3.14 โดยประมาณ 7 r แทนความยาวรศั มี ตวั อยา ง จงหาพ้ืนทว่ี งกลมทีม่ ีรัศมยี าว 7 เซนตเิ มตร วธิ ีทาํ พื้นที่วงกลม = r 2 พืน้ ท่วี งกลม = = 22  7  7 ตารางเซนตเิ มตร 7 154 ตารางเซนตเิ มตร

97 แบบฝกหดั ที่ 5 1. จงหาพ้ืนท่สี ว นทแ่ี รเงา ตวั เลขที่เขยี นกาํ กับดานมหี นว ยเปน เซนติเมตร และจุด O แทน จดุ ศูนยก ลางของวงกลม 1

98 สรุปสูตรการหาพ้ืนที่

99

100 เร่อื งท่ี 4 การแกโ จทยป ญหาเก่ียวกับพ้ืนทใี่ นสถานการณตางๆ ตวั อยา ง ทด่ี นิ รปู สี่เหลีย่ มผืนผากวา ง 12 เมตร ยาว 20 วา ตอ งการทําถนนในท่ีดนิ กวา ง 1 วา โดยรอบถนนจะ มีพนื้ ทีก่ ตี่ ารางวา วิธีทํา พน้ื ทที่ งั้ หมด = 12  20 พ้ืนท่ีรปู ใน = 240 ตารางวา พ้ืนทถ่ี นน  พ้ืนท่ีถนน = 10  18 = 180 ตารางวา = 240 – 180 = 60 ตารางวา ตวั อยาง หอ งๆ หนงึ่ 6.5 เมตร กวา ง 4 เมตร ตอ งการปกู ระเบ้อื งรปู สี่เหล่ยี มจตั ุรัส ซึง่ มคี วามกวางดา นละ 25 เซนตเิ มตร จะตอ งใชก ระเบื้องก่ีแผน วิธีทาํ หองหนง่ึ มคี วามยาว 6.5 เซนติเมตร = 650 เซนตเิ มตร ความกวา ง 4 เมตร = พ้ืนที่หอง = 400 เซนติเมตร พ้ืนที่กระเบ้ือง = 400  650 = 260,000 เซนตเิ มตร ตองใชก ระเบื้อง = 25  25 = 625 ตารางเซนติเมตร ดงั นั้น ตอ งใชกระเบื้อง 416 แผน 260,000  416 แผน 625

101 แบบฝกหดั ที่ 6 1. แผนผงั บา นหลงั หน่งึ มีลกั ษณะและขนาดดงั รปู ถาบริเวณทีแ่ รเงาตอ งการเทปูนซเี มนต โดยเสียคา ใชจ า ยตาราง เมตรละ 250 บาท จะตองเสียคาใชจ า ยท้งั หมดกบี่ าท กําหนดความยาวมีหนว ยเปนเมตร 2. ตองการตดั เส้ือตัวหน่ึงมลี กั ษณะดังรูป จะตองใชผ า กต่ี ารางเมตร (ไมคดิ ตะเข็บ) ความยาวทกี่ ําหนดมี หนวยเปน เซนตเิ มตร

102 เร่อื งท่ี 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนกั ในชวี ติ ประจาํ วันบางคร้งั เราอาจตอ งการทราบรายละเอียดเกีย่ วกับเวลา ระยะทาง ขนาด หรอื น้าํ หนัก ของสง่ิ ตา งๆ แตไมส ะดวกทจี่ ะวดั ส่ิงตางๆ เหลา น้นั เน่อื งจากมขี อ จํากดั บางประการ ตวั อยา งเชน ตอ งการวดั ความยาว และความกวางของสนามฟตุ บอลของโรงเรียน แตไ มมีอุปกรณท ่ีเหมาะสม ทาํ ใหต อ งมี กป่ี ระมาณอยางครา วๆ ซึ่งในบางครั้งอาจจะถูกตอง หรอื อาจผิดไปจากความเปนจรงิ บาง เราเรยี กวธิ กี าร ประมาณในลกั ษณะน้ีวา การคาดคะเน การคาดคะเนปรมิ าณตา งๆ เชน ชว งเวลา ระยะทาง ขนาด และนํ้าหนกั ของส่งิ ตา งๆ ผูคาดคะเนมกั ใชสายตารวมกับประสบการณข องผคู าดคะเนเอง ซ่ึงในการคาดคะเนแตละครงั้ อาจถกู ตองพอดี หรืออาจมี ขอ ผดิ พลาดเกิดข้ึนบา งกไ็ ด เราเรียกขอ ผิดพลาดนี้วา ความคลาดเคลอื่ นและความคลาดเคลอ่ื นคํานวณไดจ าก ผลตางของปริมาณท่ีคาดคะเนไวก บั ปริมาณท่ีวดั ไดจ ริง เชน คะเนวา หนังสอื เรียนกวาง 15 เซนตเิ มตร ยาว 20 เซนตเิ มตร และหนา 1 เซนติเมตร แตเม่ือวดั จริง พบวาหนังสือเรียนกวาง 14.6 เซนติเมตร ยาว 20.9 เซนตเิ มตร และหนา 1 เซนตเิ มตร ดงั นน้ั คะเนความกวาง และความยาวของหนังสอื เรียนคลาดเคลือ่ นไป 0.4 และ 0.9 ตามลาํ ดบั (15.0 เซนติเมตร – 14.6 เซนติเมตร = 0.4 เซนติเมตร และ 20.9 เซนติเมตร – 20 เซนตเิ มตร = 0.9 เซนตเิ มตร สว นความหนาคาดคะเนไดถ กู ตอ งไม คลาดเคลือ่ นเลย ) หมายเหตุ บางครัง้ อาจพบการใชส ญั ลกั ษณ  ตามความคลาดเคล่ือน เชน เครือ่ งบรรจนุ ้าํ ไดข วด ละ 1,000 ลกู บาศกเ ซนติเมตร  5 ลูกบาศกเ ซนติเมตร หมายความวา โดยปกติแลวนา้ํ ด่ืมท่บี รรจขุ วดโดย เครอ่ื งนจ้ี ะมีปริมาตร 1,000 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร แตอ าจจะมีบางขวดทม่ี ปี รมิ าตรมากกวา หรือนอ ยกวา 1,000 ลกู บาศกเซนติเมตร ซึง่ ปริมาตรที่คลาดเคลอ่ื นน้ีไมเ กนิ 5 ลกู บาศกเซนตเิ มตร น่นั คือ นํา้ ด่ืมที่บรรจขุ วดจะมี ปรมิ าตรตง้ั แต 995 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร ถงึ 1,005 ลกู บาศกเ ซนติเมตร

103 แบบฝก หดั ท่ี 7 1. จงคาดคะเนเวลาหรอื ชวงเวลาใหเหมาะสมกับสถานการณตอไปนี้ 1) ฟาใกลส วา ง อากาศเย็นสบาย ไกตวั ผูตีปก และสง เสยี งขนั มีนา้ํ คา งจบั ตามยอดหญา นา จะเปน เวลาประมาณ...................นาฬกิ า 2) เมือ่ อยกู ลางแจงดวงอาทิตยอ ยูต รงศรี ษะพอดี เงาของตัวเองอยูบนพื้นท่ยี ืนอยพู อดี นา จะเปน เวลา ประมาณ...................นาฬกิ า 3) ในจงั หวัดทางภาคเหนอื เปนเวลาเชาตรู ฟา สวา งแลว แตย ังไมเ ห็นพระอาทิตย ทอ งฟาขมกุ ขมวั อากาศ หนาวเยน็ จดั นาจะเปน ฤด.ู ...................และควรจะเปน ชว งเดือน..................... 2. จงวงกลมลอมรอบขอทเ่ี หมาะสมทีส่ ุด สําหรบั ใชห นวยในการคาดคะเน ระยะทาง นาํ้ หนัก หรอื ขนาดของสงิ่ ตอไปน้ี 1) ความยาวของคตั เตอร ก. 1.5 มลิ ลิเมตร ข. 15 เซนตเิ มตร ค. 15 เมตร 2) นา้ํ หนกั ของมะพรา ว 1 ผล ก. 1 กรมั ข. 1 กโิ ลกรมั ค. 1 ตัน 3) ปรมิ าณของนม 1 กลอ ง ก. 4 512 เซนติเมตร3 ข. 4 512 ฟุต3 ค. 4 512 เมตร3 4) รถกระบะ 4.1 มนี ้ําหนัก ก. 10 กิโลกรมั ข. 100 กิโลกรัม ค. 1 ตนั 4.2 ความกวา ง ก. 160 เซนตเิ มตร ข. 16 ฟตุ ค. 16 เมตร 4.3 ความยาว ก. 5 ฟตุ ข. 5 เมตร ค. 5 วา 4.4 ความสงู ก. 160 มิลลิเมตร ข. 1,600 มิลลเิ มตร ค. 16,000 มิลลิเมตร 5) เกาอน้ี ง่ั 5.1 กวา ง ยาว สงู ก. 40 5080 มลิ ลเิ มตร3 ข. 40 5080 เซนตเิ มตร3 ค. 4 58 เมตร3 5.2 นาํ้ หนกั ก. 10 กิโลกรัม ข. 100 กิโลกรัม ค. 1 ตัน

104 3. ทางหลวงสายพหลโยธนิ กรงุ เทพฯ-แมสาย ยาว 952 กโิ ลเมตร รถประจําทางปรบั อากาศวง่ิ บนทางหลวง สายน้ตี ลอดเสน ทางดว ยอตั ราเรว็ 80-100 กโิ ลเมตรตอ ช่วั โมง (1) รถประจาํ ทางปรับอากาศใชเวลาวง่ิ ตลอดเสน ทางนานเทาไร (2) ถา รถออกจากกรงุ เทพฯ ประมาณ 18.00 นาฬกิ า จะถงึ แมสายในชว งใด (3) ถา ตอ งการใหถงึ แมสายประมาณเทยี่ งวนั ท่ี 16 กนั ยายน จะตองออกจากกรุงเทพฯ เวลาเทา ไร 4. ลิฟตข องโรงแรมแหงหน่งึ บรรทกุ ผูโ ดยสายไดเทย่ี วละไมเกิน 10 คน (600 กิโลกรมั ) บางครัง้ มี ผโู ดยสารเขา ลิฟตเ พยี ง 8 คน ลฟิ ตจะมเี สียงเตอื น บางครง้ั มผี ูโ ดยสาร 12 คน ลฟิ ตไมมเี สียงเตอื นยังใชงาน ไดเ ปน เพราะเหตใุ ด จงอธิบาย 5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรงุ เทพฯ-บา นคลองพราน จงั หวดั นราธวิ าส) 1,352 กโิ ลเมตร ทางหลวงสาย มิตรภาพ (กรุงเทพฯ-จังหวดั หนองคาย) 508 กโิ ลเมตร ทางหลวงสายสุขมุ วิท (กรงุ เทพฯ-จงั หวดั ตราด) 400 กโิ ลเมตร (1) ถาขับรถจากบานคลองพรานตามทางหลวงสายเพชรเกษมผา นกรงุ เทพฯ แลวมุง สูจ งั หวดั หนองคายตามทางหลวงสายมิตรภาพ ดวยอัตราเรว็ ในชว ง 90-100 กโิ ลเมตรตอ ชวั่ โมง จะใชเวลาประมาณกี่ ช่ัวโมง (2) ถา เดนิ ทางจากกรุงเทพฯ ไปตามทางหลวงสายเพชรเกษม เวลา 12.00 นาฬิกา วนั นี้ จะถงึ จงั หวดั นราธวิ าสเมอื่ ใด โดยใชอ ตั ราความเรว็ 100 กโิ ลเมตรตอช่ัวโมง (3) ถา ตอ งการเดนิ ทางจากกรงุ เทพฯ ไปจงั หวดั ตราดทางหลวงสายสขุ มุ วิท และถึงจงั หวดั ตราด ประมาณเทยี่ งวัน จะตองออกจากกรงุ เทพฯ เวลาใด เม่อื ใชอ ตั ราความเรว็ 80 กโิ ลเมตรตอ ชั่วโมง (4) ใหน ักเรยี นเปรียบเทยี บความยาวของทางหลวงท้ังสามสาย

105 บทที่ 6 ปรมิ าตรและพนื้ ทผี่ วิ สาระสาํ คัญ การหาพน้ื ทผ่ี ิวและปริมาตรของ ปริซึม พรี ะมดิ ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม จําเปน จะตองรู กระบวนการคดิ และการใชสูตร เพอ่ื สะดวกในการคาํ นวณอนั จะเปน ประโยชนตอ การนําไปใชในชวี ติ จรงิ ผลการเรียนรทู ีค่ าดหวัง 1. อธบิ ายลกั ษณะและสมบตั ขิ องปรซิ ึม พีระมดิ ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม หาปริมาตรและ พนื้ ทผ่ี วิ ของปริซึมได 2. สามารถหาปรมิ าตรและพ้ืนท่ผี วิ ของทรงกระบอกได 3. สามารถหาปรมิ าตรของพรี ะมิด กรวยและทรงกลมได 4. เปรยี บเทยี บหนว ย ความจุ หรือหนว ยปรมิ าตรในระบบเดยี วกนั หรอื ตา งระบบ และเลือกใช หนวยการวัดเกย่ี วกบั ความจหุ รือปรมิ าตรไดอยางเหมาะสม 5. ใชค วามรูเกย่ี วกบั ปรมิ าตรและพืน้ ทผี่ ิวแกปญหาในสถานการณตา ง ๆ ได 6. ใชก ารคาดคะเนเกย่ี วกับปรมิ าตรและพ้ืนทผ่ี วิ ในสถานการณตา ง ๆ ไดอยางเหมาะสม ขอบขา ยเนอ้ื หา เรื่องท่ี 1 ลักษณะสมบตั ิและการหาพื้นที่ผวิ และปริมาตรของปริซึม เรื่องที่ 2 การหาปรมิ าตรและพ้นื ทผ่ี วิ ของทรงกระบอก เรอ่ื งที่ 3 การหาปรมิ าตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม เรื่องที่ 4 การเปรียบเทียบหนว ยปริมาตร เรื่องท่ี 5 การแกโจทยปญ หาเก่ียวกบั ปรมิ าตรและพื้นท่ผี วิ เรื่องท่ี 6 การคาดคะเนปรมิ าตรและพื้นที่ผวิ

106 เรือ่ งท่ี 1 ลกั ษณะสมบัติและการหาพ้ืนทผ่ี วิ และปริมาตรของปริซึม พนื้ ทผ่ี วิ และปริมาตรของปรซิ มึ รูปเรขาคณติ สามมิติที่มหี นา ตดั (ฐาน)ท้งั สองเปนรปู หลายเหล่ยี มที่เทา กนั ทกุ ประการและ อยูใ นระนาบทข่ี นานกนั มหี นา ขา งเปน รปู สีเ่ หลีย่ มดานขนาน เรยี กวา ปรซิ มึ สวนตา งๆ ของปรซิ ึมมีชอ่ื เรียกดังน้ี เราเรียกช่ือปรซิ มึ ชนิดตาง ๆ ตามลกั ษณะของฐานของปรซิ มึ ดงั ตวั อยาง ปรซิ มึ สี่เหลยี่ มผนื ผา ปรซิ มึ สามเหลย่ี ม ปรซิ มึ สี่เหลี่ยมคางหมู ปรซิ ึมหาเหลย่ี ม ปรซิ มึ หกเหลย่ี ม สตู ร การหาพ้นื ทผี่ ิวของปรซิ มึ = พ้นื ท่ผี วิ ขาง + พน้ื ทผี่ วิ หนา ตัด ปริมาตรปรซิ มึ = พนื้ ทีฐ่ าน x สงู

107 ตัวอยา ง 1 จงหาพื้นทผ่ี ิวของปริซมึ ตอ ไปน้ี กําหนดความยาวทีห่ นว ยเปน เซนติเมตร วิธที าํ พ้นื ท่ผี วิ ดา นขาง 4 ดา น = 2(3 x5) + 2 ( 4 x 5) = 70 ตารางเซนติเมตร พื้นท่ีหนา ตดั = 2 ( 3 x 4) = 24 ตารางเซนตเิ มตร พืน้ ที่ผวิ ของปริซึม = 70 + 24 = 94 ตารางเซนตเิ มตร ตวั อยาง 2 จงหาปริมาตรของปริซึมตอ ไปน้ี (ความยาวที่กาํ หนดใหมหี นว ยเปนเมตร) วิธที าํ ปรมิ าตรปริซมึ = พน้ื ท่ีฐาน x สงู = (4 x 5) x 8 = 160 ลูกบาศกเมตร แบบฝก หดั ท่ี 1 จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซมึ ตอไปนี้

108 เรอ่ื งที่ 2 การหาปรมิ าตรและพน้ื ทีผ่ วิ ของทรงกระบอก ทรงกระบอก คอื ทรงสามมิติท่ีมีฐานเปนรปู วงกลมท่ีเทา กนั ทุกประการ และอยใู นระนาบทข่ี นาน กัน ซ่งึ เมือ่ ตัดทรงสามมติ ินด้ี ว ยระนาบที่ขนานกับฐานแลวจะไดรอยตดั เปนวงกลมที่เทากนั ทกุ ประการกบั ฐานเสมอ พน้ื ท่ีผวิ ของทรงกระบอก เมอ่ื คลี่ผวิ ขา งของทรงกระบอกใด ๆ พบวา จะเปนรูปสีเ่ หลี่ยมผืนผาที่มีความยาวเทา กบั เสน รอบ ฐานวงกลม และสวนสูงเทากับความสงู ของทรงกระบอก สตู ร พน้ื ทผ่ี ิวของทรงกระบอก = พื้นทผี่ ิวขา ง + พนื้ ทฐ่ี านทั้งสอง = 2rh  2r 2 เมอื่ r แทน รัศมขี องฐานของทรงกระบอก h แทน ความสงู ของทรงกระบอก

109 ปรมิ าตรทรงกระบอก = พ้นื ที่ฐาน x สูง จาก ปริมาตรของปริซึม = r 2 h ปรมิ าตรทรงกระบอก สูตร ปริมาตรทรงกระบอก = r 2 h ตวั อยา งที่ 5 กระปองทรงกระบอกใบหนึ่งมีรัศมี 7 เซนติเมตร และสูง 10 เซนติเมตร ก) ตองการปด กระดาษรอบขา งและปด ฝาทั้งสองจะตอ งใชกระดาษกต่ี ารางเซนตเิ มตร ข) กระปอ งใบน้มี คี วามจกุ ลี่ กู บาศกเ ซนตเิ มตร วธิ ที าํ ก) พน้ื ท่ฐี านทั้งหมด = 2r 2 = 2  22  7  7 7 = 308 ตารางเซนตเิ มตร พนื้ ทีผ่ วิ ขา ง = ความยาวรอบฐาน x สูง = 2r  h = 2  22  7 10 7 = 440 ตารางเซนติเมตร พ้นื ทีผ่ วิ กระปอ ง = 308 + 440 = 748 ตารางเซนตเิ มตร ข) ปริมาตร = พ้นื ท่ฐี าน x สงู = r 2 h = 22  7  7 10 7 = 1,540 ลูกบาศกเซนตเิ มตร ดงั นนั้ ก. ตองใชก ระดาษ 748 ตารางเซนตเิ มตร ข. กระปอ งมคี วามจุ 1,540 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร

110 แบบฝกหดั ท่ี 2 1. จงหาปริมาตร และพื้นท่ผี วิ ท้ังหมดของทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร มีเสน ผา นศนู ยก ลาง 14 เซนติเมตร .................................................................................................... ..................................................................... ....................................................................................................... .................................................................. ......................................................................................... ................................................................................ .................................................................................................... ..................................................................... ......................................................................................................... ................................................................ ........................................................................................... 2. จงหาปรมิ าตรของทรงกระบอกใบหนึง่ ทม่ี ีรศั มขี องฐาน 3.5 นว้ิ และสูง 5 น้วิ .................................................................................................... ..................................................................... .............................................................................................................. ........................................................... ................................................................................................ ......................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ................................................................................................................ ......................................................... ............................................................................................ 3. จงหาปริมาตรและพน้ื ท่ีผิวทงั้ หมดของถังเก็บนาํ้ รูปทรงกระบอกใบหนง่ึ ท่ีมีรัศมที ี่ฐาน 3 เมตร สูง 4 เมตร 90 เซนติเมตร .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ............................................................................................................................................................. ............ .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ............................................................................................................................................................... .......... .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ................................................................................................................................................................. ........ .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... .....................................................................

111 เรื่องที่ 3 การหาปรมิ าตรของพรี ะมดิ กรวยและทรงกลม 3.1 พน้ื ท่ผี วิ และปรมิ าตรของพีระมดิ พรี ะมิด คือ ทรงสามมิตทิ ี่มีฐานเปน รปู เหลย่ี มใดๆ มยี อดแหลม ซง่ึ ไมอ ยูในระนาบเดยี วกับฐาน และหนาทกุ หนาเปนรูปสามเหลยี่ ม ทมี่ ีจดุ ยอดรว มกนั ท่ียอดแหลม ลกั ษณะของพรี ะมดิ ตรง 1. หนา ของพีระมดิ ตรงเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 2. สนั ของพรี ะมิดตรงจะยาวเทา กันทกุ เสน 3. ความสูงเอยี งของพรี ะมดิ ตรง ดานเทา มมุ เทา จะยาวเทากนั ทกุ เสน 4. ปริมาตรของพรี ะมดิ เปน หนง่ึ ในสามของปรมิ าตร ปริซึมทม่ี ีฐานเทา กับพรี ะมิด และมีสวนสูง เทา กับพรี ะมิด สตู ร พนื้ ท่ผี ิวขา งของพรี ะมิด 2= 1  ความยาวรอบฐาน x สงู เอียง พืน้ ทีผ่ วิ ทั้งหมดของพีระมิด = พ้ืนทผ่ี ิวขา ง + พน้ื ทีฐ่ าน ปริมาตรของพรี ะมดิ = 1  พื้นที่ฐาน x สูง 3

112 ตัวอยางท่ี 3 พรี ะมดิ ฐานสเ่ี หล่ยี มผืนผา กวา ง 10 เซนติเมตร ยาว 18 เซนติเมตร และความสงู ของพีระมดิ เปน 12 เซนติเมตร จงหาความสงู เอียงของพีระมดิ ทั้งสองดาน 1. ความสูงเอียงดานกวา ง a 2  122  92 =144 + 81 a 2  225 a 15เซนตเิ มตร 2. ความสูงเอยี งดา นยาว c 2  52  122 = 25 + 144 = 169 c = 13 เซนตเิ มตร ตัวอยา งท่ี 4 พีระมิดแหง หนึ่งมีฐานเปน รูปสีเ่ หลี่ยมจตั ุรสั ยาวดานละ 6 เมตร สงู เอยี ง 5 เมตร และสูงตรง 4 เมตร จงหาพนื้ ท่ีผิวและปรมิ าตรของพรี ะมดิ วธิ ที าํ พน้ื ทผ่ี ิวขา งของพีระมิด = 1  ความยาวรอบฐาน x สูงเอยี ง พ้นื ท่ีฐาน 2 ดังน้ันพน้ื ทผ่ี วิ ของพีระมดิ ปริมาตรของพีระมดิ = 1  (6x4) x 5 2 = 60 ตารางเมตร = 6x6 = 36 ตารางเมตร = 60 + 36 = 96 ตารางเซนติเมตร = 1  พ้ืนทีฐ่ าน x สงู 3 = 1  36 x 4 3 = 48 ลกู บาศกเมตร

113 แบบฝก หดั ที่ 3 1. จงหาปรมิ าตรและพน้ื ที่ผวิ ทั้งหมดของพรี ะมดิ ท่ีสูง 6 เซนติเมตร ฐานเปน รปู สี่เหล่ียมจตั รุ สั ยาวดา นละ 16 เซนตเิ มตร .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ........................................................................................................................ ................................................. .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... .......................................................................................................................... ............................................... .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ............................................................................................................................ ............................................. .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... 2. จงหาพื้นทผ่ี วิ เอียงของพีระมดิ ฐานรูปหกเหลยี่ มดา นเทา มมุ เทา ยาวดานละ 4 เซนติเมตร สงู เอยี ง 7.5 เซนตเิ มตร .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... .......................................................................................................................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ..................................................................................................... .................................................................... ...................................................................................... ................................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... .....................................................................

114 3.2 พนื้ ท่ผี วิ และปริมาตรของทรงกรวย กรวย คอื ทรงสามมิตทิ ี่มฐี านเปน รปู วงกลม มยี อดแหลมท่ไี มอยูบนระนาบเดียวกบั ฐาน และเสน ท่ี ตอระหวา งจุดยอดกับจดุ ใด ๆ บนเสน รอบวงของฐาน เรยี กเสน ตรงนว้ี า “สงู เอียง” สูงตรง สงู เอยี ง พ้นื ที่ผิวของกรวย การหาพ้ืนที่ผิวเอียงของกรวย ทําไดโดยตัดกรวยตามแนวสงู เอียงแลวคล่ีแผอ อกจะเกดิ เปน รปู สามเหล่ยี มฐานโคง h สูตร พืน้ ท่ีผิวของกรวย =  rl   r 2 เมือ่ r เปน รัศมขี องฐานกรวย l เปนความยาวของสงู เอียง ปริมาตรของกรวย ความสมั พนั ธข องปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอก จะเหมอื นกับความสมั พนั ธข องปริซมึ กบั พรี ะมดิ ท่มี ีสวนสงู และพน้ื ทีฐ่ านเทากัน นน่ั คือ

115 ปรมิ าตรของกรวย เปน 1 ของปริมาตรของทรงกระบอก ทมี่ พี ื้นท่ีฐานและสวนสงู เทากับกรวย 3 สตู ร ปรมิ าตรของกรวย = 1  r 2 h 3 เมอ่ื r แทน รัศมขี องฐานกรวย h แทน ความสงู ของกรวย ตัวอยางที่ 6 จงหาพ้ืนทีผ่ วิ และปรมิ าตรของกรวย ซึง่ สงู 24 เซนติเมตร และเสน ผา นศนู ยก ลาง 14 เซนติเมตร วธิ ีทํา รศั มี = 14  7 เซนตเิ มตร 2 หาความสูงเอียง (l) จาก ABO l 2  242  72 = 625 = 576 + 49 l = 25 เซนตเิ มตร พน้ื ทผ่ี ิวขาง =  rl พ้ืนท่ีฐาน = = 22  7  25 = 7 = = 550 ตารางเซนตเิ มตร r 2 22  7  7 7 154 ตารางเซนตเิ มตร พน้ื ทผี่ วิ ทัง้ หมด = พนื้ ทผ่ี ิวขา ง + พน้ื ที่ฐาน = 550 + 154 = 704 ตารางเซนติเมตร ปริมาตรของกรวย = 1  r 2 h 3 = 1  22  7  7  24 3 7 = 1,232 ลกู บาศกเซนตเิ มตร พ้นื ท่ผี ิวทัง้ หมด 704 ตารางเซนติเมตร ปรมิ าตรของกรวย 1,232 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร

116 แบบฝกหดั ท่ี 4 1. จงหาปรมิ าตร และพน้ื ทผี่ ิวทงั้ หมดของกรวยกลมที่สงู 24 เซนติเมตร มเี สนผานศูนยก ลาง 14 เซนตเิ มตร .................................................................................................... ..................................................................... ...................................................................................... ................................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ...................................................................................................... ................................................................... ........................................................................................ ................................................................................. ............................................................................................ 2. จงหาปรมิ าตรและพื้นทผี่ วิ ทัง้ หมดของกรวยกลมท่สี งู เอียง 5 เซนตเิ มตร มีเสนผา นศนู ยก ลาง 8 เซนตเิ มตร (ตอบในรปู ) .................................................................................................... ..................................................................... .......................................................................................................................................................... ............... .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ............................................................................................................................................................ ............. ............................................................................................ ............................................................................ 3. จงหาปรมิ าตรจรวดทรงกระบอกมปี ลายเปน กรวย มีเสนผา นศนู ยก ลาง 14 เซนติเมตร ความยาว ทรงกระบอก 30 เซนติเมตร ความสูงยอดกรวย 12 เซนตเิ มตร ............................................................................................. ............................................................................ .................................................................................................... ..................................................................... ............................................................................................................. ............................................................ ............................................................................................... .......................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ............................................................................................................... .......................................................... ................................................................................................. ........................................................................ .................................................................................................... ..................................................................... ......................................................................................................................................................... ................

117 3.3 พืน้ ท่ีผวิ และปรมิ าตรของทรงกลม ทรงกลม คอื ทรงสามมิตทิ ีม่ ผี ิวโคง เรยี บ และจุดทกุ จดุ อยบู นผวิ โคง อยูหา งจากจดุ คงทจ่ี ุดหนง่ึ เปน ระยะเทา กัน จุดคงที่ เรียกวา จุดศูนยก ลางของทรงกลม ระยะทเ่ี ทา กัน เรยี กวา รศั มขี องทรงกลม พ้ืนที่ผวิ ของทรงกลม พน้ื ท่ีผิวของทรงกลม เปน สีเ่ ทา ของพ้นื ทีว่ งกลม ซง่ึ มีรศั มีเทากับรศั มีของทรงกลม จาก พน้ื ทขี่ องรปู วงกลม = r 2 ดงั น้ัน พื้นท่ผี วิ ของทรงกลม = 4 r2 สตู ร พ้ืนทผ่ี ิวของทรงกลม = 4 r2 ปริมาตรของทรงกลม ปริมาตรของทรงกลมอาจหาไดจากการทดลองหาความสมั พันธระหวางปริมาตรของคร่งึ วงกลมกบั ปริมาตรของกรวย ขอกาํ หนด 1) ครึ่งของทรงกลมที่มรี ัศมี r หนวย 2) กรวยท่ีมรี ัศมีเทากบั คร่งึ ทรงกลม r หนว ย และสว นสงู ของกรวย (h) เปน 2 เทา ของรศั มี ฐานของกรวย คอื 2r หนวย

118 สตู ร ปรมิ าตรของทรงกลม = 4 r 3 3 เมื่อแทน r รศั มีของทรงกลม ตวั อยา งที่ 7จงหาปริมาตรและพ้ืนทผ่ี ิวของลูกโลกพลาสตกิ ซึ่งมรี ศั มียาว 7 เซนติเมตร วิธีทาํ พ้ืนท่ผี วิ ทรงกลม = 4 r 2 = 4  22  7  7 7 = 616 ตารางเซนตเิ มตร ปริมาตรทรงกลม = 4 r 3 3 = 4  22  7  7  7 37 = 4,312 3 = 1,437.3 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร พน้ื ท่ผี วิ ของทรงกลม = 616 ตารางเซนติเมตร ปริมาตรของทรงกลม = 1,437.3 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร

119 แบบฝกหดั ท่ี 5 1. จงหาปรมิ าตรและพื้นทผ่ี ิวของทรงกลมซงึ่ มเี สนผานศนู ยกลาง 14 เซนติเมตร .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... .......................................................................................................................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ...................................................................................... ................................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ...................................................................................................... ................................................................... 2. ทรงกลมมีปริมาตร 38,808 ลกู บาศกเซนตเิ มตร จงหารัศมแี ละพ้นื ท่ีผิว ........................................................................................................................ ................................................. .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... .......................................................................................................................... ............................................... .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... 3. ทรงกลมมพี ืน้ ทีผ่ ิว 616 ตารางน้วิ จงหาปรมิ าตรของทรงกลม .................................................................................................... ..................................................................... ......................................................................................................................................................... ................ .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ........................................................................................................................................................... .............. .................................................................................................... ..................................................................... 4. โลหะกลมลกู หนง่ึ รศั มีภายนอก 21 เซนตเิ มตร รศั มีภายใน 7 เซนติเมตร จงหาปริมาตรเนือ้ โลหะ .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ........................................................................................................................................................... .............. .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ............................................................................................................................................................. ............

120 เร่ืองที่ 4 การเปรียบเทียบหนวยปริมาตร การตวง คอื การนําสง่ิ ท่ตี องการหาปริมาตรใสใ นภาชนะทใ่ี ชสําหรับตวง หนว ยการตวงทน่ี ยิ ม และใชก นั มาก คอื ลิตร 1 ลิตร = 1,000 มิลลลิ ิตร 1,000ลติ ร = 1 กโิ ลลิตร เมอ่ื เทยี บกับหนวยปริมาตร หนว ยการตวงในมาตราไทย เปน หนว ยการตวงที่นยิ มใชก นั มาก คือ 1 ถงั = 20 ลิตร(ทะนานหลวง) 1 เกวยี น = 100 ถงั 1 เกวียน = 2 ลูกบาศกเมตร 1 เกวียน = 2,000 ลิตร 1 ลิตร = 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 10 มลิ ลลิ ติ ร = 1 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร 1 ลกู บาศกเ มตร = 1,000 ลิตร 1 ลูกบาศกเมตร = 1,000,000 ลกู บาศกเซนตเิ มตร 1 แกลลอน = 4.546 ลติ ร 1 ลกู บาศกนวิ้ = 16.103235 ลกู บาศกเ ซนติเมตร 1 ลกู บาศกนว้ิ = 0.0164 ลิตร 1 ลกู บาศกฟุต = 1.728 ลกู บาศกน ว้ิ 1 ลกู บาศกฟ ุต = 28.32 ลิตร 1 บารเ รล = 158.98 ลิตร

121 ตัวอยางที่ 1อางนํา้ ทรงสีเ่ หลี่ยมมมุ ฉากใบหนง่ึ กวาง 30 เซนติเมตร ยาว 50 เซนตเิ มตรและสูง 40 เซนติเมตร 1. อา งใบนจี้ นุ ้าํ กี่ลติ ร 2. ถา มีนํา้ บรรจุเตม็ อา งและน้าํ 1 ลกู บาศกเซนตเิ มตร หนกั 1 กรมั จงหานาํ้ หนักของนา้ํ ในอา ง ใบน้ี วธิ ที ํา1. ปรมิ าตรของอางนํา้ = ความกวางความยาวความสูง แทนคา ปริมาตรของอา งนํา้ = 30  50  40 = 60,000 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร เมอ่ื เทยี บกบั หนว ยปริมาตร 1,000 ลูกบาศกเซนตเิ มตร = 1 ลติ ร 60,000 ลกู บาศกเซนตเิ มตร  60,000 = 60 ลิตร 1,000 2.น้ํา 1 ลูกบาศกเ ซนติเมตร หนกั 1 กรัม น้าํ 60,000 ลูกบาศกเซนตเิ มตร หนัก 60,000 กรมั  60,000 = 60 กโิ ลกรมั 1,000 ตอบ 60 กิโลกรัม ตวั อยางท่ี 2 ถังเก็บน้ําฝนทรงกระบอกเสนผา นศนู ยก ลางภายใน 3 เมตรสงู 5 เมตรคิดเปน ปริมาตรของนาํ้ ก่ลี ติ ร วธิ ีทาํ ปรมิ าตร = r2 h = 22 1.5 1.5  5 7 = 35.36 ลกู บาศกเมตร = 35.36 X 1,000,000 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร = 35,360,000 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร เนอ่ื งจาก 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1 ลติ ร ดงั นัน้ 35,360,000 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร = 35,360,000 = 35,360 ลิตร 1,000

122 แบบฝก หดั ท่ี 6 1. สระแหงหน่ึงเปน รปู สี่เหล่ยี มผืนผา กนสระกวาง 5 วา ลกึ 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถา ใชเคร่อื งสบู นา้ํ ออกจาก สระไดนาทลี ะ 9,000 ลติ ร จะตองใชเวลาสูบน้ําเทาไร ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 2. อา งเลีย้ งปลาทรงสี่เหลี่ยมมมุ ฉากกวาง 90 เซนตเิ มตร ยาว 1.2 เมตร จนุ าํ้ 540 ลิตร ตองการปกู ระเบอ้ื ง ภายในอา งดวยแผน กระเบือ้ งรูปสเี่ หลย่ี มจตั ุรสั ยาวดา นละ 10 เซนตเิ มตร ตองใชก ระเบอ้ื งอยางนอ ยทีส่ ดุ เทาไร ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 3. น้าํ ยาบว นปากขวดหนงึ่ ปรมิ าตรสทุ ธิ 700 มลิ ลลิ ิตร ใชอมปว นปากคร้ังละ 10 มลิ ลลิ ิตร วนั ละ 2 ครง้ั จะ ใชไ ดก ีว่ ัน ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 4. ถงั น้ําทรงลกู บาศกยาวดา นละ 2 เมตร จุนํ้าไดก่ลี ิตร ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 5. ถงั ทรงสีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากวดั ภายในกวาง 90 เซนตเิ มตร ยาว 1.50 เซนตเิ มตร สงู 1.20 เมตร บรรจุน้ําเต็มถงั ถาตอ งการตวงนาํ้ จากถังใสแกลอนซ่งึ มีความจุ 4.5 ลติ ร จะไดน้าํ ทง้ั หมดกีแ่ กลอน ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

123 เรื่องที่ 5 การแกโ จทยป ญหาเก่ยี วกับปรมิ าตรและพนื้ ที่ผวิ ตวั อยาง ลังกระดาษบรรจกุ ลองซีดี วดั ความยาวภายในไดก วา ง 12 เซนตเิ มตร บรรจุ ยาว 14 เซนตเิ มตร และสงู 15 เซนตเิ มตร และบรรจุกลองซีดีเต็มลังพอดี ลังกระดาษนมี้ ปี รมิ าตรเทาไร และถาหยบิ กลองซีดีออกมา 1 กลอ ง ซ่งึ มีปริมาตร 270 ลกู บาศกเ ซนติเมตร กลอ งซดี จี ะหนาเทาไร วิธที าํ ลงั กระดาษมปี ริมาตร = พน้ื ที่ฐาน x สูง = (12 x 14) x 15 = 2, 520 ลูกบาศกเซนติเมตร กลอ งซีดี 1 กลอ ง มีปริมาตร = พืน้ ทฐ่ี าน x หนา 270 = (12 x 15) x หนา หนา = 270 กลอ งใสซดี ีมีความหนา = 12 15 1.5 เซนตเิ มตร ลังกระดาษมปี รมิ าตร 2,520 ลกู บาศกเ ซนติเมตร ตัวอยา ง นา้ํ ขนั ครงึ่ วงกลมรัศมี 3 นิว้ ตกั นา้ํ ใสถ ังทรงกระบอกท่ีมีรศั มี 10 นวิ้ และสูง 27 นว้ิ กค่ี รงั้ น้ําจงึ จะ เตม็ ถัง วธิ ที าํ ปรมิ าตรน้าํ 1 ขนั = 1 ของปริมาตรของทรงกลม 2 = 1  4 r 3 23 = 1  4 333 23 = 18 ลกู บาศกน วิ้ ปริมาตรถังทรงกระบอก = r 2h = 102  27 = 2,700  ลูกบาศกน ้ิว จะตอ งตักนาํ้ = 2,700 ครง้ั ตอบ 18 = 150 คร้งั 150 ครง้ั

124 แบบฝก หดั ท่ี 7 1. ถงั เกบ็ นํา้ มันของปม แหงหน่งึ เปนรูปทรงกลม มเี สน ผา นศนู ยกลาง 7 เมตร ตองการทาสีครึ่ง ทรงกลมบน โดยเสียคาทาสตี ารางเมตรละ 40 บาท ตองเสยี คา ทาสีกบี่ าท .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ......................................................................................................................... ................................................ .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ........................................................................................................................... .............................................. .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... 2. หินออนทรงลูกบาศกม ขี นาดดา นละ 2.1 เมตร ถา ตองการกลงึ ใหเปน รปู ทรงกลมใหม ขี นาดเสนผา น ศูนยก ลางเทากบั ความยาวของดา นลูกบาศก จงหาวา จะตองกลึงหินออกไปปริมาตรเทา ใด .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ................................................................................................................................. ........................................ .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ................................................................................................................................... ...................................... .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... 3. นําแทงตะกว่ั ทรงสเ่ี หลีย่ มมมุ ฉากกวาง 8 นิ้ว ยาว 11 นว้ิ หนา 5 นิ้ว ไปหลอมเปนลกู ปนทรงกลมขนาด รศั มี 1 น้วิ จะหลอมไดก ่ลี กู .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... .......................................................................................................................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... .......................................................................................................................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... ..................................................................... ..........................................................................................................................................................................

125 เร่อื งท่ี 6 การคาดคะเนเก่ียวกบั ปรมิ าตรและพืน้ ทผี่ ิว การคาดคะเนพนื้ ที่ เปน การประมาณพื้นที่อยา งคราวๆ จากการมองโดยอาศยั ประสบการณและ ความรูเกย่ี วกับขนาดและความยาวมาชวยในการเปรียบเทยี บและตดั สินใจ เพือ่ ใหใ กลเ คยี งกบั พน้ื ที่จริงมาก ท่สี ุด หนว ยพื้นท่ที นี่ ิยมใช คือ ตารางเซนตเิ มตร(ซม.2 ) ตารางเมตร(ม.2) และตารางวา(วา2) การคาดคะเนพน้ื ที่ของรปู หลายเหลย่ี ม ตวั อยา ง จงคะเนหาพืน้ ท่ีรูปหลายเหล่ียมตอไปนี้

126 วธิ ีคดิ ในบางครงั้ การหาพน้ื ที่รูปหลายเหล่ยี มตา งๆ ทไ่ี มไ ดร ะบหุ นวยความยาว เราอาจจะใชว ธิ กี ารสราง หนวยตาราง 1 หนว ย คลุมพนื้ ท่ีดงั กลา ว โดยกําหนด แทนพื้นที่ 1 หนวย หรอื แทนพืน้ ที่ 1 ตารางเซนตเิ มตร หรอื แทนพ้นื ท่ี 1 ตารางเมตร หรอื แทนพน้ื ที่ 1 ตารางวา จากรูปภาพนบั รปู ได 22 รปู ซง่ึ แทนพน้ื ที่ 22 ตารางหนว ย ดังน้ันพน้ื ทร่ี ปู หลายเหลย่ี ม = 22 ตารางหนว ย

127 บทท่ี 7 คูอนั ดับและกราฟ สาระสําคญั คอู นั ดับ เปน การจับครู ะหวางสมาชกิ สองตวั จากกลมุ เพอ่ื นาํ ไปจัดทํากราฟบนระนาบพกิ ดั หา ปรมิ าณ ความเก่ยี วขอ งของปริมาณสองชดุ ผลการเรียนรูท ีค่ าดหวงั 1. อานและอธบิ ายความหมายคูอันดับได 2. อานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกิ ัดฉากทก่ี ําหนดใหได 3. เขียนกราฟแสดงความเกย่ี วขอ งของปริมาณสองชุดทกี่ ําหนดใหไ ด ขอบขายเนอ้ื หา เรื่องที่ 1 คูอันดบั เรือ่ งท่ี 2 กราฟของคูอันดบั เร่ืองที่ 3 การนาํ คอู ันดับและกราฟไปใช

128 เรือ่ งที่ 1 คอู ันดบั คูอ นั ดับ (Ordered pairs) เปน การจบั คูร ะหวา งสมาชกิ สองตัวจากกลมุ 2 กลุมทีม่ ีความสัมพนั ธ ภายใตเ งื่อนไขที่กาํ หนด เขียนแทนดว ยสญั ลกั ษณ (a , b) อานวา คอู ันดับเอบี เรียก a วา สมาชกิ ตวั หนา หรอื สมาชกิ ตวั ทหี่ นง่ึ และเรยี ก b วา สมาชิกตวั หลงั หรอื สมาชิกตัวท่สี องดังแผนภาพ เขียนเปนคอู ันดบั ไดด งั น้ี (1, 12), (2,24), (3,36), (4,48) หมายเหตุ คอู นั ดับ (1,a)  (a,1) ถากาํ หนด ( a , b ) และ ( x , y ) เปนคอู ันดบั 2 คใู ดๆ จะไดว า ( a , b ) = ( x , y ) กต็ อเมือ่ a = x และ b = y เชน 1. ( x , y ) = (5 , 12) ดงั นั้น x = 5 และ y = 12 2. (x – 3, y – 2 ) = (0,0) วธิ ีทาํ x – 3 = 0 และ y – 2 = 0 ดงั นั้น x = 3 และ y = 2

129 แบบฝกหดั ที่ 1 1. จงเขียนคอู ันดับจากแผนภาพท่ีกาํ หนดใหต อไปน้ี 1) .................................................................................................... ................................................................ 2) ..................................................................................................................................................................... 3) .................................................................................................... ................................................................ 2. จงหาคา x และ y จากเงื่อนไขที่กําหนดใหใ นแตละขอ ตอ ไปนี้ 1). (x,y) = (4,3) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………….

130 2). (x,y)= (y,2) ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. 3). (x,0)= (6,y) ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. 4). (x+1,y) = (5,4) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………….

131 เรอ่ื งท2่ี กราฟของคูอันดบั กราฟของคอู นั ดบั เปนแผนภาพที่แสดงความสมั พันธร ะหวางสมาชิกของกลมุ หนึ่งกลับสมาชิกของ อีกกลมุ หนึง่ โดยใชเสน จาํ นวนในแนวนอนหรือแนวตัง้ ใหต ัดกันเปน มมุ ฉาก ที่ตําแหนงของจุดท่ีแทนศูนย (0) ซ่งึ เราเรียกวา จดุ กาํ เนิด ดงั ภาพ เสนจาํ นวนในแนวนอน หรือแกน X และเสน จาํ นวนในแนวตงั้ หรือแกน Y อยบู นระนาบเดยี วกัน และแบงระนาบออกเปน 4 สว นเรยี กวา จตุภาค (Quadrant) การอา นและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกิ ัดฉากท่ีกําหนดให

132 ตาํ แหนง ของจดุ A คอื (1, 2) ตาํ แหนงของจุด B คือ (-2, 3) ตาํ แหนงของจุด C คอื (-3, 2) ตําแหนง ของจุด D คือ (2, -4) เรยี กจดุ ที่แทนตําแหนงคูอ ันดบั วากราฟของคอู นั ดบั และเรยี กตําแหนงของคูอนั ดบั วา พกิ ดั ตัวอยาง กําหนด A = (-4, 6), B = (3, -5), C = (2, 2), D = (-1, -2) จุด A, B, C, D อยใู นจดุ ภาคใด วธิ ีทํา จุด A = (-4,6) อยูในจตภุ าคท่ี 2 จดุ B = (3,-5) อยใู นจตภุ าคท่ี 4 จดุ C = (2,2) อยใู นจตภุ าคท่ี 1 จุด D = (-1,-2) อยใู นจตภุ าคท่ี 3

133 แบบฝกหดั ที่ 2 1.จงหาพกิ ดั ของจุด A, B, C, D ในแตล ะขอ 1.1 .................................................................................................... ..................................................................... ...................................................................................... ................................................................................... 1.2 .................................................................................................... ..................................................................... .................................................................................................... .....................................................................

134 2. จงเขียนกราฟของคูอ นั ดบั ในแตละขอ 1). (1, 2), (-2, 4), (3, -6), (4, 0) 2). (5, -1), (2, 2), (-4, 3), (-2, 0)

135 เร่อื งที่ 3 การนาํ คูอนั ดับและกราฟไปใช เราสามารถนําคอู นั ดับและกราฟไปใชใ นชวี ติ ประจําวนั ได ซึง่ จะกลา วในตัวอยา งตอไปนี้ ตัวอยา งที่ 1 กราฟท่ีแสดงปรมิ าณนํา้ มัน (ลิตร) และราคานา้ํ มนั (บาท)ของวนั ท่ี 5 เดอื นมนี าคม ป 2552 ซง่ึ มีราคา ลิตรละ 19 บาท วธิ ีทํา ราคานาํ้ มนั (บาท) ปริมาณน้ํามัน (ลิตร) ตวั อยา งท่ี 2 จากกราฟในตวั อยา งที่ 1จงตอบคําถามตอไปนี้ (1) นํา้ มัน 9 ลิตร ราคาเทาใด (2) เงนิ 209 บาทซอ้ื นา้ํ มนั ไดก่ลี ิตร วิธที าํ

136 (1) จากตาํ แหนง แสดงปริมาณนาํ้ มนั 9 ลิตรลากเสน ตรงใหขนานกับแกนต้งั ไป ตดั กราฟและจากจดุ ที่ตัดกราฟลากเสนตรงขนานแกนนอนไปตดั แกนท่ีแสดงราคานาํ้ มนั เปน เงนิ 171 บาท ดงั นัน้ นาํ้ มนั 9 ลติ ร เปน ราคา 171 บาท (2)จากตําแหนง แสดงราคาน้าํ มัน 209 ลติ รลากเสนตรงใหข นานกบั แกนนอนไปตดั กราฟและจากจดุ ที่ตดั กราฟลากเสน ตรงขนานแกนตงั้ ไปตัดท่ีแกนแสดงจํานวนนาํ้ มันเปน ปรมิ าณ 11 ลิตร ดงั นั้น เงิน 209 ลิตร จะซอ้ื น้ํามนั ได 11 ลติ ร แบบฝกหดั ท่ี 3 กราฟขางลา งแสดงการเดินทางของอนวุ ฒั นแ ละอนุพนั ธ

137 จงใชก ราฟที่กําหนดใหต อบคําถามตอไปนี้ 1.อนวุ ัฒนอ อกเดนิ ทางกอ นอนพุ นั ธก ชี่ วั่ โมง 4.อนวุ ฒั นออกเดนิ ทางนานเทา ไรจงึ จะหยดุ พกั ................................................................. ................................................................. 2.อนุพันธใชเ วลาเดินทางกชี่ ัว่ โมงจึงทันอนวุ ฒั น 5.ตําแหนง ทีอ่ นวุ ฒั นห ยดุ พกั หางจากตาํ แหนง ท่ี อนุพันธออกเดินทางกกี่ โิ ลเมตร ................................................................. ................................................................. 3. อนุพันธเ ดนิ ทางทนั อนวุ ฒั นเ ม่อื ทั้งสอง เดนิ ทางไดก ีก่ ิโลเมตร .................................................................

138 บทที่ 8 ความสัมพันธระหวา งรปู เรขาคณติ สองมติ ิและสามมิติ สาระสําคัญ รูปเรขาคณิตสองมิติ และสามมิติ มคี วามสมั พนั ธก นั เปนอยางมาก เหมาะที่จะนาํ ไปใชใ นการ ประดิษฐเปนรปู ลกู บาศกและใชประโยชนใ นชีวิตประจําวนั ผลการเรียนรทู คี่ าดหวงั 1. อธิบายลกั ษณะของรปู เรขาคณติ สามมติ ิจากภาพสองมิตทิ ก่ี ําหนดใหไ ด 2. ระบุภาพสองมติ ิทไ่ี ดจ ากการมองดานหนา ดานขา ง ดานบน ของรูปเรขาคณติ สามมติ ทิ ี่ กาํ หนดใหได 3. วาดหรอื ประดษิ ฐรปู เรขาคณติ ทป่ี ระกอบข้นึ จากลูกบาศกเ ม่อื กาํ หนดภาพสองมิตทิ ี่ไดจากการ มองทางดานหนา ดา นขาง หรอื ดา นบนได ขอบขายเนอื้ หา เร่อื งท่ี 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมติ ทิ เ่ี กดิ จากการคลรี่ ปู เรขาคณติ สามมิติ เร่ืองท่ี 2 ภาพสองมติ ทิ ่ไี ดจ ากการมองดา นหนา ดานขาง หรอื ดา นบนของรูปเรขาคณติ สามมิติ เร่ืองที่ 3 การวาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณติ ที่ประกอบขนึ้ จากลกู บาศก

139 เรื่องที่ 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมติ ิท่ีเกดิ จาการคล่ีรปู เรขาคณติ สามมติ ิ รปู เรขาคณิตมีสวนเก่ียวขอ งสัมพันธกับชีวติ ประจําวันมนุษยตั้งแตอดีตจนถึงปจจุบัน ส่ิงแวดลอม ตางๆที่อยูรอบตัวเราลวนเปนไปดวยวัตถุรูปเรขาคณิต นอกจากน้ีเราใชเรขาคณิตเพื่อทําความเขาใจหรือ อธิบายสงิ่ ตางๆรอบตวั เชน ในการสาํ รวจพนื้ ที่ สรางผังเมือง เปนตน ภาพของรปู เรขาคณติ รปู เรขาคณติ เปนรูปท่ปี ระกอบดว ย จุด ระนาบ เสนตรง เสน โคง ฯลฯ อยางนอ ยหนึง่ อยาง ตัวอยางภาพเรขาคณิตสองมติ ิ ตวั อยา งรปู เรขาคณิตสามมิติ จะเหน็ วา รปู เรขาคณติ สามมติ ิ หรือทรงสามมิติ มสี วนประกอบของรูปเรขาคณติ หนง่ึ มติ ิและสอง มิติ

140 รูปคล่ขี องรูปเรขาคณติ สามมติ ิ รูปคล่ขี องรูปเรขาคณติ สามมิติ หรือทรงสามมติ ใิ ดๆ เปน รปู เรขาคณติ สองมิติท่สี ามารถนาํ มา ประกอบกนั แลวไดทรงสามมติ ิ พจิ ารณาทรงสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากที่มีความกวาง ความยาว และความสงู 1 หนวย เทา กนั ซง่ึ เราเรียกทรง สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากนี้วา “ลูกบาศก”

141 แบบฝกหดั ที่ 1 1. จงบอกชนดิ ของรูปเรขาคณิตสามมติ ิท่มี รี ปู คล่ีดังตอ ไปน้ี 1. ……..………………………...…. 2. ….………………………………. 3. …….…………………………….. 4. …..……………………………….

142 2. จงเขยี นรปู คลีข่ องรปู เรขาคณติ สามมติ ใิ นแตละขอตอ ไปนี้

143 เร่อื งท่ี 2 ภาพสองมติ ิทไี่ ดจ ากการมองดา นหนา ดา นขาง หรอื ดานบนของ รูปเรขาคณิตสามมิติ โดยทว่ั ไปการเขียนรปู เรขาคณติ สองมิติ ในการอธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมติ ิ นยิ มเขยี น 3 ภาพ ซ่งึ ประกอบดว ย ภาพที่ไดจ ากการมองทางดานหนา ดานขา ง และดา นบน ดังตวั อยา ง ตัวอยาง จงแรเงาพรอ มทั้งเขียนรูปเรขาคณิตสองมิตสิ วนทเ่ี ปน ดา นบน ดานหนา และดานขา งของทรงสาม มิติทก่ี ําหนดใหตอ ไปนี้