หนังสือเรียนสาระความรู้พื้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตร์ (พค21001) ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น

หนงั สอื เรยี นสาระความรพู ืน้ ฐาน รายวิชา คณิตศาสตร (พค21001) ระดบั มธั ยมศึกษาตอนตน (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2554) หลักสตู รการศกึ ษานอกระบบระดบั การศึกษาขน้ั พน้ื ฐาน พุทธศกั ราช 2551สาํ นกั งานสง เสรมิ การศกึ ษานอกระบบและการศกึ ษาตามอธั ยาศยั สาํ นกั งานปลดั กระทรวงศกึ ษาธกิ าร กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

2หนงั สือเรียนสาระความรพู น้ื ฐานรายวิชา คณติ ศาสตร (พค21001)ระดบั มธั ยมศึกษาตอนตนฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ.2554ลิขสทิ ธิ์เปนของ สาํ นกั งาน กศน. สาํ นกั งานปลดั กระทรวงศึกษาธกิ ารเอกสารทางวิชาการลาํ ดบั ที่ 7/2555

3

สารบัญ 4เรอื่ ง หนาคาํ นาํ 3สารบัญ 4คําแนะนําการใชหนังสือ 5โครงสรางวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน 6บทที่ 1 จาํ นวนและการดาํ เนินการ 7บทท่ี 2 เศษสว นและทศนยิ ม 18บทที่ 3 เลขยกกําลัง 46บทที่ 4 อตั ราสว นและรอยละ 58บทที่ 5 การวดั 75บทที่ 6 ปรมิ าตรและพ้นื ทผ่ี วิ 106บทที่ 7 คอู ันดบั และกราฟ 128บทที่ 8 ความสัมพันธของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ 138บทท่ี 9 สถิติ 151บทท่ี 10 ความนาจะเปน 182บทท่ี 11 การใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชีพ 192

5คาํ แนะนําการใชแ บบเรยี น หนังสือเรียนสาระความรูพืน้ ฐาน รายวิชา คณิตศาสตร พค 21001 ระดับมัธยมศึกษาตอนตน เปนหนังสือเรียนทีจ่ ัดทําขึน้ สําหรับผูเ รียนที่เปนนักศึกษานอกระบบ ในการศึกษาหนังสอื เรยี นสาระความรูพื้นฐาน รายวชิ า คณติ ศาสตร ผเู รยี นควรปฏบิ ัติดงั นี้ 1. ศึกษาโครงสรางรายวิชาใหเขา ใจในหวั ขอสาระสาํ คญั ผลการเรยี นรูทค่ี าดหวงั และขอบขายเนื้อหา 2. ศึกษารายละเอียดเนื้อหาของแตละบทอยางละเอียด และทํากิจกรรมตามที่กําหนด แลวตรวจสอบกบั แนวตอบกจิ กรรมทกี่ ําหนด ถาผูเรียนตอบผิดควรกลบั ไป ศึกษาและทําความเขาใจในเนื้อหานั้นใหมใหเขาใจกอนที่จะศกึ ษาเรือ่ งตอไป 3. ปฏิบัติกิจกรรมทา ยเร่ืองของแตล ะเรื่อง เพื่อเปนการสรุปความรูความเขาใจของ เนอื้ หาในเรอ่ื งน้นั ๆ อกี คร้งั และการปฏิบตั ิกิจกรรมของแตล ะเนอ้ื หาในแตละ เรื่อง ผูเรยี นสามารถนําไปตรวจสอบกับครแู ละเพอื่ นๆ ท่ีรว มเรียนในรายวิชา และระดบั เดยี วกนั ได 4. แบบเรยี นเลมนีม้ ี 10 บท บทที่ 1 จาํ นวนและการดาํ เนินการ บทที่ 2 เศษสว นและทศนยิ ม บทที่ 3 เลขยกกําลัง บทที่ 4 อตั ราสว นและรอยละ บทที่ 5 การวดั บทท่ี 6 ปรมิ าตรและพ้นื ทผี่ ิว บทที่ 7 คอู ันดับและกราฟ บทท่ี 8 ความสัมพันธของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ บทท่ี 9 สถิติ บทที่ 10 ความนาจะเปน

6 โครงสรา งรายวชิ าคณิตศาสตร ระดบั มัธยมศกึ ษาตอนตน สาระสําคัญ ใหผเู รยี นมคี วามรคู วามเขา ใจเกี่ยวกบั จาํ นวนและการดําเนินการ เศษสว น และทศนิยม เลขยกกาํ ลงั อัตราสวน สดั สว น และรอยละ การวัด ปริมาตรและพืน้ ที่ผวิ คอู ันดบั และกราฟความสัมพันธระหวางรูปทรงเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ สถิติ และความนาจะเปน ผลการเรียนรทู คี่ าดหวงั 1. ระบุหรือยกตัวอยางเกี่ยวกับจํานวนและการดาํ เนนิ การ เศษสว นและทศนิยม เลขยก กําลงั อตั ราสว น สัดสว น รอยละ การวัด การหาปริมาตรและพ้นื ท่ีผิว คูอนั ดบั และกราฟ ความสัมพันธร ะหวา งรปู เรขาคณติ สองมิติ สามมิติ สถิติ และความนาจะเปน 2. สามารถคิดคาํ นวณและแกป ญหาโจทยท ใี่ ชในชีวิตประจาํ วัน ขอบขา ยเน้ือหา บทที่ 1 จาํ นวนและการดาํ เนินการ บทที่ 2 เศษสว นและทศนยิ ม บทที่ 3 เลขยกกําลัง บทท่ี 4 อตั ราสว นและรอยละ บทท่ี 5 การวดั บทท่ี 6 ปรมิ าตรและพ้นื ทผี่ วิ บทที่ 7 คอู นั ดบั และกราฟ บทที่ 8 ความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ บทที่ 9 สถิติ บทท่ี 10 ความนาจะเปน สอ่ื การเรียนรู 1. ใบงาน 2. หนังสือเรียน

7 บทท่ี 1จาํ นวนและการดําเนนิ การสาระสําคัญ เร่ืองของจาํ นวนและการดําเนินการ เปนหลักการเบื้องตนที่เปนพื้นฐานในการนําไปใชในชีวิตจริงเกี่ยวกับการเปรียบเทียบ การบวก การลบ การคูณ และการหารผลการเรยี นรทู คี่ าดหวัง 1. ระบุหรือยกตวั อยางจาํ นวนเต็มบวก จาํ นวนเต็มลบ และศนู ยได 2. เปรยี บเทยี บจาํ นวนเต็มได 3. บวก ลบ คูณ หาร จาํ นวนเตม็ และอธบิ ายผลทเี่ กดิ ขึ้นได 4. บอกสมบัติของจํานวนเต็มและนําความรูเกี่ยวกับสมบัติของจํานวนเต็มไปใชไดขอบขา ยเน้ือหา เรื่องที่ 1 จาํ นวนเตม็ บวก จํานวนเตม็ ลบ และศนู ย เร่ืองท่ี 2 การเปรยี บเทยี บจาํ นวนเตม็ เร่ืองท่ี 3 การบวก การลบ การคณู และการหารจาํ นวนเตม็ เรื่องท่ี 4 สมบัติของจํานวนเต็มและการนําไปใช

8เร่อื งที่ 1 จาํ นวนเตม็ บวก จํานวนเตม็ ลบ และศูนย จาํ นวนเต็มประกอบไปดวย จํานวนเตม็ บวก จาํ นวนเต็มลบ และจํานวนเตม็ ศูนย ดังโครงสรางตอไปน้ี จาํ นวนเต็มจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มศนู ย จํานวนเต็มลบจาํ นวนเตม็ บวก คือ จํานวนนบั เปน จํานวนชนดิ แรกท่มี นษุ ยร จู ัก มคี ามากกวาศูนย จํานวนนบั จาํ นวนแรก คอื 1 จาํ นวนทีอ่ ยถู ดั ไปจะเพ่ิมข้นึ ทีละ 1 เสมอ เห็นวาไมสามารถหาจํานวนนับที่มากที่สุด และสามารถเขียนจํานวนนบั เรยี งตามลําดับไดด งั นี้ 1, 2, 3,... ไปเรือ่ ยๆ จาํ นวนนับเหลาน้ีอาจเรียกไดวา“จาํ นวนเตม็ บวก” ถานําจาํ นวน 0 และจาํ นวนเตม็ บวกมาเขยี นแสดงดว ยเสน จาํ นวนได ดงั น้ีจาํ นวนเตม็ ศนู ย มีจาํ นวนเดียว คอื ศูนย(0) สาํ หรับ 0 ไมเปน จาํ นวนนบั เพราะจะไมกลาววามีผูเรยี นจํานวน 0 คน แตศูนยก ็ไมไดหมายความวา ไมมีเสมอไป เชน เมือ่ กลาวถึงอุณหภูมิ เพราะทําใหเราทราบและเกดิ ความรูส ึกขณะอณุ หภูมิ 0 องศาเซลเซียสไดจาํ นวนเตม็ ลบ หมายถึงจํานวนที่ตรงขามกับจํานวนเต็มบวก มีคานอยกวาศูนย (0) มีคาลดลงเรื่อยๆ ไมมที ส่ี ้นิ สดุ เชน -1, -2, -3, .... พิจารณาจากเสนจํานวน จะเห็นวาจํานวนที่อยูทางซายของ 0 เปนระยะทาง 1 หนว ย เขียนแทนดว ย -1 อานวา ลบหนึ่ง จากจํานวนที่อยูทางซายของ 0 สองชอง เขียนแทนดวย -2 อา นวา ลบสอง ถาอยูทางซายของ 0 สามชอง เขียนแทนดว ย -3 อานวา ลบสาม

9เร่ืองที่ 2 การเปรยี บเทียบจํานวนเต็ม จาํ นวนเตม็ 2 จํานวน เม่อื นาํ มาเปรยี บเทียบกนั จะไดวา จาํ นวนหนง่ึ ทม่ี ากกวา จาํ นวนหนง่ึหรอื จาํ นวนหนง่ึ ท่ีนอ ยกวา อีกจาํ นวนหนง่ึ หรือจาํ นวนทง้ั 2 จํานวนเทา กนั เพียงอยางใดอยา งหนง่ึเทา นั้น ถา a, b, c เปน จํานวนธรรมชาติใดๆ แลว a – b = c แลว a มากกวา b a – b = - c แลว b มากกวา a หรอื a นอ ยกวา b a – b = 0 แลว a เทากับ b เครื่องหมายที่ใช > แทนมากกวา < แทนนอยกวา = แทนเทากับ หรือเทากัน การเปรียบเทียบจํานวนเต็มสามารถเปรียบเทียบจากเสนจํานวนไดดังนี้ จากเสน จาํ นวนจะเห็นวา 4 > 3 > 2 > 1 > 0 > -1 > -2 > -3 ซง่ึ จะเห็นไดว า จาํ นวนที่อยูบนเสนจํานวนดานขวามีคามากกวาจํานวนที่อยูดานซายเสมอ

10 แบบฝกหดั ที่ 11. จงเลอื กจาํ นวนเตม็ บวก จาํ นวนเตม็ ลบ และจาํ นวนเตม็ จากจาํ นวนตอไปน้ี- 1, 4 , 0, - 3, 500 , 500 − 2 1000 250 จาํ นวนเตม็ บวก ประกอบดวย............................................................................................... จาํ นวนเต็มลบ ประกอบดวย............................................................................................... จาํ นวนเต็ม ประกอบดวย..............................................................................................2. จงเติมเครื่องหมาย < หรือ > เพอื่ ใหป ระโยคตอ ไปน้ีเปน จรงิ 1) -4 ..................................... 3 2) -4 .................................... -3 3) -2 ..................................... -5 4) 4..................................... -2 5) 4..................................... -83. จงเรียงลําดับจํานวนเต็มจากนอยไปหามาก 1) -2, -8, -4, -15, -20, -7 ………………………………………………………………………………………………….. 2) 4, -8, 0, -2, 16, -17 …………………………………………………………………………………………………..

112.1 จาํ นวนตรงขา มของจาํ นวนเตม็ถา a เปนจํานวนใดๆ จํานวนตรงขามของ a มเี พยี งจาํ นวนเดยี ว เขยี นแทนดวย -aพจิ ารณาจากเสน จํานวน จํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบจะอยูคนละขางของศูนย (0) และอยหู า งจาก 0 เปนระยะเทากัน เชน -3 กับ 3 เปนจํานวนตรงขามกัน ซง่ึ สรุปไดว า สําหรบั จํานวนเต็ม a ใดๆ จํานวนตรงขามของ a คอื –a และจํานวนตรงขามของ -a คอื – a เนื่องจากจํานวนตรงขามของ(-a) เขยี นแทนดวย – (-a) ดงั นน้ั – (-a) = a เชน จํานวนตรงขามของ (-3) เขยี นแทนดวย –(-3) คือ 32.2 คาสัมบรู ณข องจาํ นวนเตม็สัญลักษณของคาสมั บูรณ ไดแกขอ สงั เกต เม่ือ a แทนจาํ นวนใดๆ พิจารณาจากเสน จาํ นวนจะเห็นวา คา สัมบรู ณข อง 2 เทากับ 2 เขียนในรูปสัญลกั ษณ 2 = 2 คาสัมบรู ณข อง -2 เทากบั 2 เขยี นในรปู สัญลักษณ − 2 = 2 ซ่งึ สรุปไดว า คา สมั บรู ณของจาํ นวนใดๆ เทา กบั ระยะทางที่จํานวนนน้ั อยูหา งจาก 0 บนเสนจาํ นวน

12 แบบฝก หดั ที่ 21. จงเติมคําวา “มากกวา” หรือ “นอ ยกวา ” หรือ “เทากับ” 1) คา สัมบรู ณของ (-3).................................................คา สมั บูรณข อง 3 2) จํานวนตรงขามของ (-4) .........................................จาํ นวนตรงขามของ 4 3) จํานวนตรงขามของ 5 ..............................................จํานวนตรงขามของ -5 4) คา สัมบูรณข อง A....................................คาสัมบรู ณของ(-A) เมือ่ A เปน จาํ นวนใดๆ 5) จํานวนตรงขามของ A ...........................จํานวนตรงขามของ (-A) เมอ่ื A เปน จาํ นวนใดๆ2. จงเติมเครื่องหมาย <, > หรือ = ลงในชองวาง 1) – (- 5) ............................................5 2) จํานวนตรงขามของ 8 .........................................8 3) จํานวนตรงขามของ (-8).......................................(-8) 4) − 25......................................... − 25 5) − 20.........................................(− 20) 6) − 25.......................................... − 5 7) จํานวนตรงขามของ (-2) .........................................จํานวนตรงขามของ(-7) 8) จํานวนตรงขามของ 32.............................................จํานวนตรงขามของ 77

13เร่ืองที่ 3 การบวก การลบ การคณู และการหารจาํ นวนเตม็ 3.1 การบวกจาํ นวนเตม็ 1). การบวกจาํ นวนเตม็ บวกดวยจาํ นวนเตม็ บวก หาผลบวกดว ยการนาํ คา สัมบูรณมาบวกกนั แลว ตอบเปนจํานวนเตม็ บวก เชน 2 + 3 = 5 พิจารณาจากเสนจาํ นวน เริม่ ตนที่ 0 นับไปทางขวา 2 ชอง และนับเพิ่มไปทางขวาอีก 3 ชอง จะสิน้ สดุ ท่ี 5 จะได 5 เปนผลบวกของ 2 กับ 3 2). การบวกจาํ นวนเตม็ ลบดว ยจาํ นวนเตม็ ลบ หาผลบวกดว ยการนาํ คา สัมบูรณม าบวกกนั แลว ตอบเปนจํานวนเตม็ ลบ เชน(-2) + (-3) = (-5) พจิ ารณาจากเสน จาํ นวน เริม่ ตนท่ี 0 นับไปทางซาย 2 ชอง และนับเพิ่มไปทางซายอีก 3 ชอ ง จะสิน้ สุดท่ี -5 จะได -5 เปนผลบวกของ -2 กบั -3 3). การบวกจํานวนเตม็ บวกดวยจาํ นวนเตม็ ลบ 3.1 กรณที ่ีจํานวนเต็มบวกมีคาสมั บูรณมากกวา หาผลบวกดว ยการนาํ คา สมั บูรณมาลบกนั แลวผลลพั ธเปน จาํ นวนเต็มบวก เชน 12 + (-8) = 4พิจารณาจากเสนจํานวน เริ่มตนที่ 0 นับไปทางขวา 12 ชอ ง เมอ่ื บวกดว ย -8 ใหนบั ลดไปทางซายอีก 8 ชองจะสิ้นสดุ ที่ 4 จะได 4 เปนผลบวกของ 12 กับ -8

14 3.2 กรณีที่ จํานวนเต็มลบมีคาสมั บูรณม ากกวา หาผลบวกดว ยการนาํ คา สัมบูรณม าลบกนั แลว ผลลัพธเปนจาํ นวนเต็มลบ เชน 3 +(-10) = -7 พิจารณาจากเสน จาํ นวน เร่ิมตนที่ 0 นับไปทางขวา 3 ชอง เมอ่ื บวกดว ย – 10 ใหน ับลดไปทางซายอีก 10 ชองจะสน้ิ สดุ ที่ -7 จะได -7 เปนผลบวกของ 3 กับ -10 4). การบวกจาํ นวนเตม็ ลบดว ยจาํ นวนเตม็ บวก 4.1 กรณที ีจ่ ํานวนเต็มบวกมคี าสัมบูรณม ากกวา หาผลบวกดว ยการนาํ คา สัมบูรณม าลบกนั แลว ผลลพั ธเปน จํานวนเต็มบวก เชน (-3) + 5 = 2 พจิ ารณาจากเสนจาํ นวน เรมิ่ ตนที่ 0 นับไปทางซาย 3 ชอง เมอ่ื บวกดว ย 5 ใหนับเพิ่มไปทางขวาอีก 5 ชองจะส้ินสุดที่ 2 จะได 2 เปนผลบวกของ -3 กับ 3 4.2 กรณีจาํ นวนเตม็ ลบมคี า สัมบรู ณมากกวา หาผลบวกดว ยการนาํ คา สัมบูรณม าลบกนั แลว ผลลัพธเปน จํานวนเต็มลบ เชน (-5) + 3 = -2 พิจารณาจากเสนจํานวน เร่ิมตนท่ี 0 นับไปทางซาย 5 ชอง เมอ่ื บวกดว ย 3 ใหนับเพิ่มไปทางขวาอกี 3 ชองจะส้นิ สดุ ที่ -2 จะได -2 เปนผลบวกของ -5 กบั 3

15 แบบฝก หดั ที่ 31. จงแสดงการหาผลบวกของสองจาํ นวนทก่ี าํ หนดให โดยใชเ สน จาํ นวน 1. 3+2 2. (-3)+(-2) 3. 2+1 4. (-2)+(-1) 5. 5+ (-1) 6. (-1) +5 7. (-5) +3 8. 3 + (-5)

16 2. จากผลการบวกโดยใชเสน จาํ นวน จงเตมิ คาํ ตอบตอ ไปน้ีใหสมบูรณ ผลบวกของ a กบั b เทากนั หรือไมก บั a + bประโยคแสดงผลบวกของ a+b คาสมั บรู ณข อง a คา สัมบรู ณข อง b คา สมั บูรณของ(a+b) เทา กนั1. 3+2 = 5 32 52. (-3)+(-2) = -53. 2+1 = 34. (-2)+(-1) = -35. 5+ (-1) = 46. (-1) +5 = 47. (-5) +3 = -28. 3 + (-5) = -2สรุป หลักการบวกจํานวนเต็ม 1. การบวกระหวา งจาํ นวนเต็มบวกดว ยจาํ นวนเตม็ บวก ใหน าํ คา สมั บรู ณมาบวกกัน แลวตอบเปนจํานวนเต็มบวก 2. การบวกจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ ใหนําคาสมั บูรณมาบวกกันแลวตอบเปนจาํ นวนเตม็ ลบ 3. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ท่ีจํานวนเตม็ บวกมคี าสัมบรู ณมากกวาใหนําคาสัมบูรณม าลบกนั แลว ตอบเปน จาํ นวนเต็มบวก 4. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ที่จํานวนเต็มลบมีคาสมั บูรณม ากกวาใหนําคา สัมบูรณมาลบกัน แลวคําตอบเปนจํานวนเต็มลบ 5. การบวกระหวา งจาํ นวนเต็มบวกกบั จาํ นวนเต็มลบที่มีคาสมั บูรณเ ทา กัน ผลบวกเปน 03.2 การลบจาํ นวนเต็ม ทบทวนจํานวนตรงขามของจํานวนเต็มดังตอไปนี้ จํานวนตรงขามของ 3 คือ -3 จํานวนตรงขามของ – 3 คอื 3 และ 3+(-3) = 0 จํานวนตรงขามของ -3 เขยี นแทนดว ย –(-3) ดงั น้ี –(-3) = 3

17พิจารณาการลบจํานวนเต็มสองจาํ นวนทก่ี าํ หนดใหด งั น้ี 1. 3 – 2 2. 3 – 5โดยพิจารณาทั้งสองแบบ1. แสดงการหาผลลบของสองจาํ นวนทก่ี าํ หนดให โดยใชเ สน จาํ นวน 1). 3 – 2 = 12). 3 – 5 = -22. แสดงการหาผลลบโดย กาํ หนดให – b แทนจํานวนตรงขามของ b แลวพิจารณาคาของ a + (-b)ประโยคแสดงผลลัพธข อง a – b a b (-b) ประโยคแสดงผลลัพธของ a + (-b)1). 3 – 2 = 1 3 2 (-2) 3 + (-2) = 12). 3 – 5 = -2 3 5 (-5) 3 + (-5) = -2จากการลบจาํ นวนเตม็ สองจาํ นวนทง้ั 2 แบบจะเหน็ ไดวา กาํ หนด (-b) เปนจํานวนตรงขามของ b ผลลพั ธของ a-b และผลลัพธข อง a+(-b) มีคาเทากันดังนน้ั การลบจํานวนเต็ม เราอาศัยการบวกตามขอตกลงดังตอไปนี้ ตัวตงั้ – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบน่ันคือ เมื่อ a และ b แทนจํานวนใดๆ a –b = a + จํานวนตรงขามของ b หรอื a – b = a + (-b)

18 แบบฝกหัดที่ 41. จงทาํ ใหเ ปนผลสําเรจ็ 1. (-12) – 7……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………. 2. 7 – (-12)……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………. 3. (-8) – (-5)……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………. 4. (-5) – (-8)……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………. 5. [8 – (-2)] – 6……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………. 6. 8 – [(-2) – 6]……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….2. จงหาคาของ a – b และ b – a เม่ือกําหนด a และ b ดงั ตอ ไปน้ี 1. a = 5, b = (-3)……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………. 2. a = (-14), b = (-6)……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………. 3. a = (-4), b = (-4)……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….

193.3 การคณู จํานวนเตม็ 1) การคณู จาํ นวนเตม็ บวกดวนจาํ นวนเตม็ บวก เชน 3 × 5 = 5 + 5 + 5 = 15 7×4= 4+4+4+4+4+4+4 = 28 การคณู จาํ นวนเตม็ บวกดว ยจํานวนเตม็ บวกนน้ั ไดค าํ ตอบเปน จาํ นวนเตม็ บวกทม่ี คี าสัมบรู ณเ ทา กับผลคูณของคา สมั บรู ณข องสองจาํ นวนนน้ั 2) การคณู จาํ นวนเตม็ บวกดวยจาํ นวนเตม็ ลบ เชน 3 × (-8) = (-8) + (-8) + (-8) = -24 2 × (-7) = (-7) + (-7) = -14 การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มลบท่มี คี า สมั บูรณเทากับผลคูณของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น3) การคณู จาํ นวนเตม็ ลบดว ยจาํ นวนเตม็ บวกเชน (-7) × 4 = 4 × (-7) (สมบัติการสลับที่การคูณ)= (-7) + (-7)+ (-7) + (-7)= -28การคูณจาํ นวนเตม็ ลบดวยจาํ นวนเตม็ บวก ไดค ําตอบเปนจาํ นวนเต็มลบที่มคี าสัมบูรณเทากับผลคูณของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น 4) การคณู จาํ นวนเต็มลบดวยจาํ นวนเตม็ ลบ เชน (-3) × (-5) = 15 ( -11) × (-20) = 220 การคณู จํานวนเตม็ ลบดวยจาํ นวนเต็มลบ ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มบวกท่มี คี าสัมบรู ณเทากับผลคูณของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น

20จงหาผลลัพธ แบบฝก หดั ท่ี 51). [(-3) × (-5)] × (-2) 6). (-5) × [6 + (-6)]…………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………2). (-3) × [(-5) × (-2)] 7). [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2]…………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………3). [4 × (-3)] × (-1) 8). (-7) × [(-5) + 2]…………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………4). 4 × [(-3) × (-1)] 9). [5 × (-7)] + [5 × 3]…………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………5). [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)] 10). 5 × [(-7) + 3]…………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………

213.4 การหารจาํ นวนเตม็ การหารจํานวนเต็ม เมื่อ a, b และ c แทนจาํ นวนเตม็ ใดๆ ที่ b ไมเทากับ 0 จะหาผลหารไดโดยอาศยั การคูณ ดังนี้ ตัวตง้ั ÷ ตวั หาร = ผลลพั ธ มคี วามหมายเดียวกบั ผลลัพธ × ตวั หาร = ตัวตัง้ ถา a ÷ b = c แลว a = b × c การหาผลหาร − 25 จะตองหาจํานวนท่ีคูณกับ 5 แลว ได -25 ดงั นน้ั − 25 = −5 55 การหาผลหาร 25 จะตอ งหาจํานวนที่คณู กับ -5 แลว ได 25 ดงั นน้ั 25 = −5 −5 −5จากการหาผลหารขางตนจะไดวา ถา ท้ังตัวต้งั หรือตัวหาร ตัวใดตัวหน่ึงเปนจาํ นวนเตม็ ลบโดยท่ีอกี ตัวหนง่ึ เปน จาํ นวนเตม็ บวกคําตอบเปนจํานวนเต็มลบ ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลหารของคาสัมบูรณของสองจาํ นวนน้นั การหาผลหาร − 25 จะตองหาจํานวนทค่ี ณู กับ -5 แลว ได -25 ดงั นน้ั − 25 = 5 −5 −5 การหาผลหาร 25 จะตอ งหาจาํ นวนท่ีคูณกบั 5 แลว ได 25 ดงั นัน้ 25 = 5 55จากการหาผลหารขางตนจะไดวา ถาทัง้ ตวั ตั้งและตวั หารเปนจาํ นวนเตม็ บวกทั้งคูหรอื จํานวนเต็มลบท้งั คู คาํ ตอบเปนจาํ นวนเต็มบวก ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลหารของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น

22 แบบฝก หดั ที่ 61. จงเติมคาํ ตอบใหสมบูรณเ พอ่ื แสดงหลักของความสัมพันธระหวางการหารและการคูณ ตอไปนี้ประโยคที่แสดงความสัมพันธ a = b × c ประโยคที่แสดงความสัมพันธ a ÷ b = c หรอื a ÷ c = b10 = 5 x 2 10 ÷ 5 = 2 หรอื 10 ÷ 2 = 535 = 7 x 5 (-14) ÷7 = (-2) หรอื (-14) ÷ (-2) = 733 = 3 x 11(-14) = 7 x (-2)(-21) = 7 x (-3)(-15) = 3 x (-5)10 = (-5) x (-2)จงหาผลหาร 4. (-72) ÷ 9 ……………………………………………1. 17 ÷ 17 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. [(-51) ÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)] ……………………………………………2. 23 ÷ (-23) ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 6. [(-72) ÷ 9] ÷ [ 16 ÷ (-2)] ……………………………………………3. 15 ÷ (-3) ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………

17เรอื่ งท่ี 4 สมบตั ิของจาํ นวนเต็มและการนาํ ไปใช4.1 สมบตั เิ กย่ี วกบั การบวกและการคูณจาํ นวนเตม็1). สมบตั กิ ารสลับที่ถา a และ b แทนจาํ นวนเตม็ ใดๆa+b = b+a (สมบัติการสลับที่การบวก)a×b = b×a (สมบัติการสลับที่การคูณ)2) สมบตั กิ ารเปลีย่ นหมูถา a และ b แทนจาํ นวนเตม็ ใดๆ(a + b) + c = a + (b + c) (สมบตั กิ ารเปล่ียนหมูการบวก)(a × b) × c = a × (b × c) (สมบัติการเปลี่ยนหมูการคูณ)3) สมบตั กิ ารแจกแจง ถา a และ b แทนจาํ นวนเตม็ ใดๆ a + (b × c) = ab + ac และ (b + c) × a = ba + ca4.2 สมบตั ขิ องหนึง่ และศูนย 1). สมบตั ิของหนง่ึ 1). ถา a แทนจาํ นวนใดๆ แลว a × 1 = 1 × a = a 2). ถา a แทนจาํ นวนใดๆ แลว a = a 1 2).สมบัติของศูนย 1). ถา a แทนจาํ นวนใดๆ แลว a + 0 = 0 + a = a 2). ถา a แทนจาํ นวนใดๆ แลว a × 0 = 0 × a = 0 3). ถา a แทนจาํ นวนใดๆ ทไี่ มใช 0 แลว 0 = 0 (เราไมใช 0 เปนตวั หาร a ถา a แทนจาํ นวนใดๆ แลว a ไมมีความหมายทางคณิตศาสตร) 0 4). ถา a และ b แทนจาํ นวนใดๆ และ a × b = 0 แลว จะได a = 0 หรอื b = 0 บทท่ี 2 เศษสวนและทศนิยม

18สาระสําคัญ การอาน เขยี นเศษสว น และทศนิยมโดยใชสมบัติ การบวก การลบ การคณู การหารการเปรียบเทียบ และการแกโจทยปญหาตามสภาพการณจรงิ ไดผลการเรยี นรทู ่ีคาดหวัง 1. บอกความหมายของเศษสวนและทศนิยมได 2. เขียนเศษสวนในรูปทศนิยมและเขียนทศนิยมซ้ําในรูปเศษสวนได 3. เปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยมได 4. สามารถบวก ลบ คณู หาร เศษสวนและทศนยิ มได และอธิบายผลท่ีเกดิ ขึน้ ได 5. นําความรูเกี่ยวกับเศษสวนและทศนิยมไปใชแ กโจทยป ญหาขอบขา ยเน้ือหา เร่ืองที่ 1 ความหมายของเศษสวนและทศนิยม เรื่องที่ 2 การเขียนเศษสวนดวยทศนิยม และการเขียนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน เร่ืองท่ี 3 การเปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยม เร่ืองที่ 4 การบวก ลบ คูณ หาร เศษสวนและทศนิยมเรอ่ื งที่ 1 ความหมายของเศษสว น และทศนยิ ม 1.1 เศษสวน หมายถงึ สว นตางๆ ของจาํ นวนเต็มทีถ่ ูกแบงออกเปนสว นละเทาๆ กัน การนาํ เสนอเศษสว นสามารถนําเสนอไดทัง้ แบบรปู ภาพ หรอื แบบเสน จํานวน เชน

19รูปวงกลม 1 วง แบง ออกเปน 4 สวนเทา ๆ กนัหรอื สวนท่แี รเงาเปน 1 สว นใน 4 สว น เขยี นแทนดวย 1 อา นวา “เศษหนง่ึ สว นส”่ี 4 1 หนว ยบนเสน จาํ นวนแบง ออกเปน 5 สว นเทา ๆ กัน จดุ A อยหู า งจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 3 สวน ใน 5 สวน ดังน้ัน A แทนดว ย 3 5 จุด B อยูห า งจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 7 สว น ใน 5 สวน ดงั นน้ั B แทนดว ย 7 หรือ 1 2 55 จดุ C อยหู างจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 13 สวน ใน 5 สวน ดงั น้ัน C แทนดวย 13 หรอื 2 3 55 จดุ D อยูห างจาก 0 ไปทางซายมือเปนระยะ 8 สวน ใน 5 สว น ดงั นั้น D แทนดวย − 8 หรอื −13 55เศบษทสนวนิยาม เศษสว นเปนจํานวนทเ่ี ขยี นอยูในรูป เมอ่ื a และ b เปน จาํ นวนเตม็ โดยท่ี b ไมเ ทากบั ศูนย เรียก a วา \"ตวั เศษ\" เรียก b วา \"ตวั สว น”\" อา นวา เศษหนง่ึ สว นหา อา นวา เศษหนง่ึ สว นสอง อานวา ลบเศษสามสวนสอง อานวา ลบเศษสีส่ วนสาม

20ตวั อยางที่ 1 จงเตมิ เศษสวนลงใน ใหถ ูกตอง1.2. ทศนยิ ม ทศนยิ ม คือ จํานวนที่อยูในรูปทศนยิ มประกอบดวยสองสวนคือ สวนท่ีเปน จาํ นวนเตม็และสวนท่เี ปน ทศนิยม และมจี ุด (.) ค่ันระหวา งจาํ นวนเต็มกบั สว นทเ่ี ปน ทศนยิ มทศนิยมแบงไดเ ปน 2 ชนิด คอื1. ทศนิยมแบบไมซ้ํา เชน 1.5 , 2.35, 3.14, ...2 ทศนิยมซํา้ แบงเปน 2.1 ทศนิยมซํา้ ศูนย เชน 1.5000 … เขียนแทนดวย 1.5 เขยี นแทนดวย 0.003 0.0030000 … ถา ตวั ซํา้ เปน 0 ไมนยิ มเขียน 2.2 ทศนยิ มที่ตวั ซาํ้ ไมเปน ศูนย เชน0.3333… เขยี นแทนดวย 0.3 อา นวา ศูนยจุดสามสามซํา้

211.414141 … เขยี นแทนดวย 1.41 อา นวา หนง่ึ จดุ สีห่ นึ่งสี่หน่งึ ซ้ํา0.213213213 … เขยี นแทนดวย 0.213 อา นวา ศูนยจ ดุ สองหนึ่งสาม สองหน่ึงสามซา้ํ2.10371037 … เขยี นแทนดวย 2.1037 อา นวา สองจดุ หนง่ึ ศูนยสามเจด็ หน่ึงศนู ยส ามเจด็ ซา้ํ1. จงเตมิ เศษสว นลงใน แบบฝกหัดที่ 1 ใหถ ูกตอ ง1)2)2. จงเขยี นเสน จาํ นวนแลว หาจดุ ทแ่ี ทนจาํ นวนตอ ไปน้ี 1) 4 , 1 1 , 20 8 28 2) 1 1 , 4 3 , 29 2 66จงเขียนจาํ นวนตอไปน้ใี หอยูในรปู ของทศนยิ ม 2. 12 = .................................1. 6 = ………………………… 100 10 4. 1 + 2 + 3 = ..............3. 357 = ................................ 10 100 1000 1000เร่อื งท่ี 2 การเขยี นเศษสวนดวยทศนยิ ม และการเขียนทศนิยมซ้าํ เปนเศษสว น 2.1 การเขยี นเศษสวนดวยทศนยิ ม

22 เศษสวนและทศนิยมอาจเปลี่ยนรูปกันได หมายความวา เศษสวนสามารถเขียนในรูปของทศนิยมได และทศนิยมสามารถเขียนในรูปของเศษสวนไดเชนเดียวกัน เชน 1. ทําสวนใหเ ปน 10 , 100 , 1,000,....... เชน 0.2 = 2 10 0.25 =  2 × 1  + 5 × 1   10   100  = 2+ 5 10 100 = 25 100 เพ่ือใหเ กิดความรวดเร็วในการเปล่ียนทศนิยมเปนเศษสว น อาจทําไดโดยการเล่อื นจดุ ทศนยิ มและตวั หารเปนจาํ นวน 10, 100 หรอื 1,000 ขึน้ อยกู ับจํานวนทศนิยม เชน ถาทศนิยม 1ตาํ แหนง ตวั ทเ่ี ปนสว นกจ็ ะเปน 10 ถา 2 ตาํ แหนง ตวั ทเ่ี ปนสว นกจ็ ะเปน 100 หรือสรปุ ไดว า จํานวน0 ทถ่ี ัดเลข 1 จะเทากับจํานวนตําแหนงของทศนิยม หมายเหตุ เศษสว นที่เปน ลบเมอื่ เขยี นใหอยใู นรปู ทศนิยมจะไดทศนยิ มท่ีเปนลบ เชน − 7 = − 0.7 , − 39 = − 0.039 10 1,000 2.2 การเขยี นทศนิยมซํ้าเปน เศษสวน ทศนยิ มซ้ํา คอื จํานวนเต็มของทศนยิ มทซี่ ้ําๆ กัน เชน 0.777.... เขยี นแทนดว ย 0.7เมอ่ื จะเขียนใหเปนเศษสว น สามารถทาํ ไดดงั นี้ตัวอยา งท่ี 1 จงเปล่ียน 0.7 ใหเ ปน เศษสว นวธิ ีทาํ 0.7 = 0.77777..... = Xให X = 0.77777… -------------- (1)(1) × 10 ------> 10X = 7.7777… -------------- (2)(2) –(1) ------> 10X – X = 7.7777… - 0.777… 9X = 7 X= 7 9 ∴ 0.7 = 7 9ตวั อยา งท่ี 2 จงเปลี่ยน 1.213 เปนเศษสว นจาก 1.213 = 1.2131313…

23ให x = 1.2131313… -------------- (1)(1) × 10 10x = 12.131313….. ---------------(2) ---------------(3)(1) × 1,000 1,000x = 1213.131313…(3) – (2) 1,000x – 10x = 1213 – 12 990x = 1213 – 12 x = 1213 −12 990 x = 1201 990ดงั นนั้ 1.213 = 1201 990จากตวั อยา ง สรุปไดว า การเปลยี่ นทศนิยมซ้าํ เปนเศษสวนโดยวธิ ลี ัด ทําไดด งั น้ี1. 0.3417 = 3417 − 37 9900 = 3383 9900เศษ เขยี นจาํ นวนทง้ั หมดลบดว ยจาํ นวนทไ่ี มซ ํา้ สว น แทนดว ย 9 เทากับจาํ นวนท่ีซํา้ และแทนดว ย 0 เทากับจํานวนไมซาํ้2. 1.315 = 1315 −133. 3.1043 990 = 1302 = 651 990 495 = 31043 − 310 9900 = 30733 9900 แบบฝกหัดที่ 2

241. จงเปลย่ี นเศษสว นตอไปน้ีใหเ ปนทศนิยม โดยการทําสวนใหเปน 10 , 100 ,1,000, .......1) 9 2) 1 3 4 4........................................................... ........................................................................................................................ ............................................................3) 39 4) 7 40 25............................................................ ........................................................................................................................ ............................................................5) 1 6) 8 8 125............................................................ ........................................................................................................................ ............................................................2. จงเปลี่ยนเศษสวนตอไปนี้เปนทศนิยม โดยการหารเศษสวน1) 9 2) 3 1 11 7............................................................ ........................................................................................................................ ............................................................3) 7 4) 5 16 4............................................................ ........................................................................................................................ ............................................................5) 5 6) 8 3 6 5............................................................ ........................................................................................................................ ............................................................เร่ืองท่ี 3 การเปรียบเทยี บเศษสวนและทศนยิ ม 3.1 การเปรยี บเทยี บเศษสวน

25 เศษสวนที่เทากัน การหาเศษสวนที่เทากัน ใชจํานวนที่ไมเทากับศูนยมาคูณหรือหารทั้งตัวเศษและตวั สว น เชน 3 = 3× 2 = 6 3 = 6 = 9 เปน เศษสว นท่ีเทากัน 4 4×2 8 4 8 12 3 = 3×3 = 9 4 4 × 3 12 12 = 12 ÷ 2 = 6 12 = 6 = 2 เปนเศษสวนทเี่ ทา กัน 18 18 ÷ 2 9 18 9 3 12 = 12 ÷ 6 = 2 18 18 ÷ 6 3 เศษสว นทไ่ี มเทากัน การเปรียบเทียบเศษสว นท่ไี มเ ทากันตองทาํ สว นใหเ ทา กัน โดยนํา ค.ร.น. ของตัวสว นของเศษสวนที่ตองการเปรียบเทียบกัน คณู ท้งั ตัวเศษและตัวสว น เมอ่ื ตัวสว นเทา กันแลวใหนําตัวเศษมาเปรียบเทียบกัน เชน 4 มากกวาหรอื นอยกวา 7 5 10 ค.ร.น. ของ 5 และ 10 คอื 10 4 = 4×2 = 8 5 5 × 2 10 จะเหน็ วา 8 > 7 ดังนน้ั 8 > 7 หรอื 4 > 7 10 10 5 10 ยงั มวี ธิ เี ปรียบเทยี บโดยใชผ ลคูณไขว ถา ผลคณู ขา งใดมคี า มากกวา เศษสวนขา งนั้น จะมีคามากกวา เชน 4 7 5 10 เปรียบเทียบ 4 ×10 กบั 5× 7 จะเหน็ วา 40 > 35 ดงั น้ัน 4 > 7 5 10 ตัวอยา งท่ี 1 จงเปรียบเทียบ 7 และ 11 12 18

26วธิ ที ี่ 1 หา ค.ร.น. ของ 12 และ 18 ได 36ทําสวนของเศษสวนทั้งสองใหเปน 36 7×3 = 21 = 36 12 × 3 22 11× 2 36 18 × 2จะได 22 > 21 36 36ดังน้ัน 11 > 7 18 12วธิ ีที่ 2 7 11 12 18ผลจากการคูณไขว จะได และ 12 × 11 7 × 18จะเหน็ วา 126 < 132ดังนัน้ 7 < 11 12 18 2.1 เปรยี บเทียบทศนยิ ม การเปรียบเทียบทศนยิ มทเ่ี ปนบวก ใหพ ิจารณาเลขโดดจากซา ยไปขวา ถาเลขโดดตัวใดมีคามากกวาทศนิยม จํานวนน้ันจะมคี ามากกวา เชน 38.586 กับ 38.498 ทศนิยมในตาํ แหนง ท่ี 1 ของทัง้ 2 จาํ นวนมเี ลขโดดคือ 5 และ 4 ตามลําดับ จะเห็นไดว า 5 มากกวา 4ดังนัน้ 38.586 มากกวา 38.498 การเปรียบเทียบทศนิยมที่เปนลบ เชน -0.7 กับ -0.8 คาสมั บรู ณของ -0.7 เทากับ 0.7 คาสัมบรู ณของ -0.8 เทากับ 0.8 จาํ นวนทมี่ ีคาสัมบูรณน อยกวา จะเปนจาํ นวนทีม่ ีคา มากกวา ดังนนั้ - 0.7 มากกวา - 0.8 แบบฝกหัดท่ี 31. ใหเตมิ ตัวเศษหรือตวั สว นของเศษสว นลงใน เพ่อื ใหไดเ ศษสวนท่เี ทากัน

272. ใหเ ตมิ เครื่องหมาย > , < หรอื = ลงใน ใหถ ูกตอ ง3. ใหนกั ศึกษาเตมิ เคร่ืองหมาย > , < หรอื = ระหวา งจํานวนสองจาํ นวน1) -0.500 ..............0.501 2) 103.012 ...................... – 0.5013) 5.28 .................... 5.82 4) – 5.28 .......................... -5.28

285) 8.354 ................. 8.534 6) -8.544 ........................... -8.5347) -13.06 ................. 13.06 8) 103.012 ....................... -103.0129) -5.125 .................. -5.1250 10) -7.10 ......................... -7.014. ใหนักศึกษาเรียงลําดับจํานวนตอไปนี้จากคานอยไปคามาก 1) -1.724, -1.738, 0.832, -2.000 2) -30.710, -31.170, -31.107, 30.017 3) 83.000, -38.000, -83.001, -138.500 4) -34.50, -37.40, -41.54, -39.62, -42.50เร่ืองที่ 4 การบวก ลบ คณู หารเศษสวนและทศนิยม 4.1 การบวกเศษสวน วิธีการหาผลบวกของเศษสวน สามารถทําไดดังนี้

291) หา ค.ร.น.ของตัวสว น2) ทาํ เศษสว นแตล ะจาํ นวนใหม ีตวั สว นเทา กับ ค.ร.น.ที่หาไดจากขอ 13) บวกตวั เศษเขา ดว ยกนั โดยท่ีตวั สวนยงั คงเทา เดิมตัวอยางท่ี 1 จงหาผลบวกวิธที ํา ค.ร.น. ของ 3 กบั 4 คอื 12 = 4+9 12 12 ตอบ4.2 การลบเศษสวนการลบเศษสว น ใชห ลกั การเดียวกันกับการลบจํานวนเต็ม คือ ตัวตงั้ - ตวั ลบ = ตวั ตงั้ + จํานวนตรงขามของตัวลบตวั อยา งที่ 1 จงหาผลลบวิธที าํ ค.ร.น. ของ 6 และ 12 คอื 12 = =  5 × 2  +  7 ×1   6 × 2  12 ×1 = = 10 + 7 12 12

30 17 = 15=12 12ตอบแบบฝกหดั ที่ 4

311. ใหหาผลลพั ธตอ ไปนี้2. ใหเตมิ จาํ นวนลงใน แลวทาํ ใหป ระโยคเปนจริง3. ใหห าจํานวนมาเติมลงใน แลวทาํ ใหป ระโยคเปนจริง4. ใหห าผลลัพธตอไปนี้