4.8 Cambio de base 377 19. En P3 exprese el polinomio 2x3 23x2 1 5x 2 6 en términos de la base polinomial 1, 1 1 x, x 1 x2, x2 1 x3. 20. En 2 suponga que ( x ) B1 2 , donde B1 1 , 2 . Escriba x en términos de la base 1 1 3 0 B2 3 , 5 . 1 21. En P3 exprese el polinomio 4x2 2x 1 5 en términos de la base polinomial 1, 1 2x, (1 2x)2, (1 2x)3. 2 1 0 1 22. En 2 suponga que (x)B1 41 , donde B1 01 , 11 , 01 . Escriba x en términos de 3 1 0 la base B2 00 , 21 , 15 . 23. En 2, ( x ) B1 4 donde B2 5 ⎪⎧⎛ 1⎞ , ⎛ 21⎞ ⎪⎫ . Escriba x en términos de la base 1 ⎩⎪⎨⎝⎜ 21⎟⎠ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎬ ⎪⎭ B2 2 , 3 . 1 2 ¥ 2´ 24. En P2 , (x)B1 ¦ 13µµ¶µ , donde B1 5 {1 2 x, 3x, x2 2x 21}. Escriba x en términos de la base ¦§¦ B2 5 {3 2 2x, 1 1 x, x 1 x2}. De los problemas 25 al 34 utilice el teorema 2 para determinar si el conjunto de vectores dado es linealmente dependiente o independiente. 25. En P2: 2 1 3x 1 5x2, 1 2 2x 1 x2, 21 1 6x2 26. En P2: 23 1 x2, 2 2 x 1 4x2, 4 1 2x 27. En P2: 2 1 x, x2 1 x 1 1 28. En P2: x 1 4x2, 22 1 2x, 2 1 x 1 12x2 29. En P2: 22 1 4x 22x2, 3 1 x, 6 1 8x 30. En P2: x2 1 1, x 1 1, x 1 2, x2 1 4 31. En P3: 1 1 x2, 21 2 3x 1 4x2 1 5x3, 2 1 5x 2 6x3, 4 1 6x 1 3x2 1 7x3 ⎛ 2 0⎞ ⎛ −3 −2⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 11 2⎞ 32. En M22: ⎝⎜ 3 4⎠⎟ , ⎜⎝ 7 1⎟⎠ , ⎜⎝ −1 −3⎠⎟ , ⎜⎝ −5 −5⎠⎟ ⎛ 1 −3⎞ ⎛ 1 4⎞ ⎛ −1 6⎞ ⎛ 0 0⎞ 33. En M22: ⎜⎝ ⎟⎠ , ⎝⎜ 5 0⎠⎟ , ⎜⎝ −1 3⎟⎠ , ⎜⎝ 3 0⎠⎟ ⎛ a 0⎞ ⎛ b c⎞ ⎛ d e⎞ ⎛ g h⎞ 34. En M22: ⎜⎝ 0 0⎟⎠ , ⎜⎝ 0 0⎠⎟ , ⎝⎜ f 0⎠⎟ , ⎝⎜ j k ⎠⎟ donde acfk ≠ 0
378 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales * CÁLCULO 35. En Pn sean p1, p2, . . . , pn+1, n 1 1 polinomios tales que pi(0) 5 0 para i 5 1, 2, . . . , n 1 1. Demuestre que los polinomios son linealmente dependientes. 36. En el problema 35, en lugar de pi(0) 5 0, suponga que pi( j) 5 0 para i 5 1, 2, . . . , n 1 1 y para alguna j con 1 # j # n, donde pi( j) denota la j-ésima derivada de pi. Demuestre que los polinomios son linealmente dependientes en Pn. 37. En Mmn sean A1, A2, . . . , Amn, mn matrices cuyas componentes en la posición 1,1 son cero. Demuestre que las matrices son linealmente dependientes. *38. Suponga que los ejes x y y en el plano se rotan en sentido positivo (al contrario de las ma- necillas del reloj) un ángulo θ (medido en radianes). Esto da nuevos ejes que se denotan por (x9, y9). ¿Cuáles son las coordenadas x, y de los vectores de la base i y j rotados? 39. Demuestre que la matriz del cambio de coordenadas en el problema 38 está dada por A1 sen en cos . 40. Si en los problemas 38 y 39, θ 5 π/6 5 30˚, escriba el vector ⎛ −4⎞ en términos de los nuevos ejes coordenados x9 y y9. ⎝⎜ 3⎠⎟ ⎛ 2⎞ 41. Si θ 5 π/4 5 45˚, escriba ⎜⎝ −7⎟⎠ en términos de los nuevos ejes coordenados. 42. Si θ 5 2π/3 5 120˚, escriba ¥ 4´ en términos de los nuevos ejes coordenados. ¦§ 5µ¶ 43. Sea C 5 (cij) una matriz invertible de n 3 n y sea B1 5 {v1, v2, . . . , vn} una base para el espacio vectorial. Sea c1 5 ⎛ c11 ⎞ 5 c2 5 ⎛ c12 ⎞ cn 5 ⎛ c1n ⎞ ⎜ c21 ⎟ ⎜ c22 ⎟ ⎜ c2 n ⎟ ⎜ \" ⎟ B1 ⎜ \" ⎟ B1 ⎜ \" ⎟ B1 ⎜⎝⎜ ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ ⎟⎠⎟ ⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟ cn1 cn2 cnn Demuestre que B2 5 {c1, c2, . . . , cn} es una base para V. 44. Sean B1 y B2 dos bases para el espacio vectorial V de dimensión n y sea C la matriz de tran- sición de B1 a B2. Demuestre que C 21 es la matriz de transición de B2 a B1. 45. Demuestre que (x)B1 5vecCtoAr(xi )eBn1 para toda x en un espacio vectorial V si y sólo si CA 5 I [sugerencia: Sea xi el B1. Entonces (xi)B1 tiene un uno en la posición i y un cero en otra parte. ¿Qué puede decirse sobre CA(xi)B1?]. RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN I. c) II. a) III. d) MATLAB 4.8 1. Sea B 5 {v1, v2}, donde v1 1 y v2 1 . Observe que B es una base para 2. Para w 1 1 ¥ a´ en 2, (w)B ¦§ bµ¶ significa que w 5 av1 1 bv2.
4.8 Cambio de base 379 M a) Para los vectores w dados, escriba el sistema de ecuaciones para encontrar (w)B, es decir, encuentre a y b y resuelva a mano. Verifique dando lincomb(v1 v2, w) (use el archivo lin- comb.m de la sección MATLAB 3.1). i w 1 ii. w 3 2 4 b) (Lápiz y papel) En general, explique por qué ¥ a´ es una solución al sistema cuya ma- triz aumentada es [v1 v2|w]. §¦ b¶µ 1 2 3 4 1 2. Sea B 2 , 5 , 5 , 8 y w 2 . Nos referimos al vector i en B como vi. 1 3 0 3 3 9 2 2 1 1 a) Verifique que B es una base para 4. ¥ x1 ´ b) (Lápiz y papel) Escriba el sistema de ecuaciones para encontrar (w)B ¦ x2 µ , las coor- ¦ µ ¦ µ §¦ x3 µ¶ x4 denadas de w con respecto a B. Demuestre que [v1 v2 v3 v4|w] es la matriz aumentada para el sistema. c) Resuelva el sistema para (w)B. Verifique que w 5 A(w)B, donde A 5 [v1 v2 v3 v4]. d) Para las bases B 5 {v1, v2, v3, v4} y los vectores w dados, encuentre (w)B y verifique que w 5 A(w)B, donde A 5 [v1 v2 v3 v4]. 1 2 3 4 i. B 1 , 3 , 2 , 4 1 2 .5 1 4 10 1.5 2.5 w 5 round(10*(2*rand(4,1)–1)) ii. Para B, genere cuatro vectores aleatorios de 4 3 1 (verifique que forman una base). Para w genere un vector aleatorio de 4 3 1. 3. Sea B 5 {v1, v2, v3, v4} como en el problema 2a) de esta sección de MATLAB. Sea ¥ 1´ ¥ 0´ ¥ 0´ ¥ 0´ w1 ¦ 0µµ w2 ¦ 1µµ w3 ¦ 0µµ w4 ¦ 0µµ ¦ 0µ ¦ ¦ 1µ ¦ ¦ ¦ 0µ ¦ ¦ 0µ §¦ 0µ¶ §¦ 0¶µ ¦§ 0µ¶ ¦§ 1¶µ a) (Lápiz y papel) Argumente las razones por las cuales si encuentra rref de la matriz [v1 v2 v3 v4 w1 w2 w3 w4] 5 [v1 v2 v3 v4 eye(4)], entonces la 5ª columna de rref es (w1)B, la 6ª columna es (w2)B, y así sucesivamente. b) Encuentre (w1)B, (w2)B, (w3)B y (w4)B. Forme C, la matriz cuya i-ésima columna es igual a (wi)B. Verifique que C es igual a la inversa de A 5 [v1 v2 v3 v4]. Utilice las observaciones del inciso a) para explicar por qué.
380 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales 1 c) Sea w 2 . Observe que w 5 1w1 1 (22w2) 1 3w3 1 4w4 3 4 iii. Resuelva [A|w] 5 [v1 v2 v3 v4|w] para encontrar (w)B. iii. Verifique que Cw 5 A21w 5 (w)B [aquí, C es la matriz del inciso b)]. iii. (Lápiz y papel) C se llama matriz de transición, ¿de dónde a dónde? Utilizando el subinciso ii) y recordando lo que son las columnas de C, explique por qué (w)B 5 1(w1)B 2 2(w2)B 1 3(w3)B 1 4(w4)B d) Repita el inciso c) para B y w en el problema 2di) en esta sección de MATLAB. 4. a) Lea el problema 9 de MATLAB 4.4. Explique por qué ahí se encontraron las coordena- das de un polinomio en términos de la base canónica para polinomios. b) Resuelva los problemas 18 a 20 de esta sección. 1 2 3 11 5. Sea B 5 {v1, v2, v3} 5 , 33 , 23 1 1 2 21 , Sea C 5 {w1, w2, w3} 5 01 , 89 a) Verifique que B y C son bases para 3. Haga W 5 [w1 w2 w3] y V 5 [v1 v2 v3]. b) (Lápiz y papel) Escriba los tres sistemas de ecuaciones necesarios para expresar cada vector en B como una combinación lineal de vectores en C. Explique por qué las solu- ciones a estos sistemas se pueden encontrar resolviendo el (los) sistema(s) con la matriz aumentada [w1 w2 w3|v1 v2 v3]. c) Resuelva el (los) sistema(s) para encontrar (v1)C, (v2)C y (v3)C y forme la matriz D 5 [(v1)C (v2)C (v3)C]. 1 d) Sea x 23 . Encuentre (x)B y (x)C. Verifique que (x)C 5 D(x)B. Repita para un vector aleatorio x de 3 3 1. e) Con W y V dados en el inciso a), encuentre W 21V y compárelo con D. f ) Repita los incisos a) a e) con 1 2 3 4 1 2 3 4 2 5 5 8 1 3 2 4 B 1 , 3 , 3 , 9 , C 1 , 2 , , 0 2 2 1 .5 1 4 10 1.5 2.5 donde x es un vector aleatorio de 4 3 1.
4.8 Cambio de base 381 g) (Lápiz y papel) Explique por qué W 21V 5 D en dos formas: iii. Con base en los procesos de solución de [W|V] para encontrar D. iii. Interpretando W 21 y V como matrices de transición que incluyen las bases canó- nicas. 6. Empleando lo aprendido en el problema 5 de esta sección de MATLAB: a) Trabaje los problemas 22 al 24. b) Genere una base aleatoria B para 5 y una base aleatoria C para 5. Encuentre la matriz de transición, T, de B a C. Verifique su respuesta generando un vector aleatorio x en 5, encontrando (x)B y (x)C y mostrando que T(x)B 5 (x)C. 7. Sean B y C como se dieron en el problema 5a) de esta sección de MATLAB. Sea D la base ⎧⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ .5⎞ ⎫ ⎩⎪⎨⎪⎜⎜⎝⎜ ⎪ 85⎟⎠⎟⎟ , ⎜ 73⎠⎟⎟⎟ , ⎜ .51⎟⎠⎟⎟ ⎬ ⎝⎜⎜ ⎜⎜⎝ ⎪ ⎭ a) Encuentre T, la matriz de transición de B a C. Encuentre S, la matriz de transición de C a D. Encuentre K, la matriz de transición de B a D. b) Dé una conclusión sobre la manera de encontrar K a partir de T y S. Pruebe su conclu- sión. Explique su razonamiento. c) Repita los incisos a) y b) para tres bases aleatorias (B, C y D) para 4. 1 2 3 4 11 8. Sea B 5 {v1, v2, v3} 5 , 33 , 23 . Sea A 3 19 1294 . 3 24 a) Verifique que Av1 5 3v1, Av2 5 2v2 y Av3 5 5v3. 1 b) Suponga que x 5 21v1 1 2v2 1 4v3. Observe que (x)B 5 24 . Encuentre z 5 Ax, des- ¥ 3 0 0´ pués encuentre (z)B y verifique (z)B 5 D(x)B, donde D 5 ¦ 0 2 05µµµ¶ . ¦¦§ 0 0 c) Sea x 5 av1 1 bv2 1 cv3. Repita el inciso b) para otros tres juegos de a, b y c. d) Sea V 5 [v1 v2 v3]. Demuestre que A 5 VDV 21. e) Repita los incisos a) a d) para 1 1 2 37 33 28 B 21 , 01 , 89 A 48.5 44.5 1318.5 12 12 Verifique que Av1 5 2v1, Av2 5 4v2 y Av3 5 .5v3 y utilice 1 0 0 D .50
382 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales f ) (Lápiz y papel) Suponga que B 5 {v1, v2, v3} es una base y Av1 5 rv1, Av2 5 sv2 y Av3 5 tv3. Suponga que x 5 av1 1 bv2 1 cv3. Pruebe que (z)B 5 D(x)B, donde z 5 Ax y ¥ r 0 0´ D ¦ 0 s 0t µ¶µµ . ¦§¦ 0 0 Considerando este hecho y pensando en términos de matrices de transición, expli- que por qué A 5 VDV 21, donde V 5 [v1 v2 v3]. 9. Cambio de base por rotación en 2 Sean e1 y e2 la base canónica para 2, donde e1 es un vector unitario a lo largo del eje x y e2 es un vector unitario a la largo del eje y. Si se rotan los ejes un ángulo u en sentido positivo alrededor del origen, entonces e1 rota a un vector v1 y e2 rota a un vector v2 tal que {v1, v2} es una base para 2. a) (Lápiz y papel) Demuestre que v1 5 ⎛ cos (θ)⎞ y v2 5 ⎛ 2sen (θ)⎞ ⎜⎝ sen (θ)⎟⎠ ⎝⎜ cos (θ)⎠⎟ v2 e2 v1 u u e1 b) Sea V 5 [v1 v2]. Entonces v1 5 Ve1 y v2 5 Ve2. Exploraremos la geometría de w 5 av1 1 bv2, es decir, la geometría de las combinaciones lineales en términos de la nueva base. Nos interesa la relación de las combinaciones lineales con la rotación. Suponga que x 5 ae1 1 be2. Entonces w 5 av1 1 bv2 5 Vx representa el vector x rotado en sentido positivo un ángulo u alrededor del origen. El programa de MATLAB que se muestra a continuación ayuda a visualizar esta geometría. Grafica los vectores como segmentos de recta que comienzan en el origen. El vector x se grafica en rojo y el vector w en azul. Observe cómo w (el vector azul) es la rotación positiva u de v (el vector rojo). Si está utilizando la versión 4.0 de MATLAB, dé el comando plot primero y después los dos comandos de axis. Vea la gráfica después de los comandos axis. Precaución. La impresión de la gráfica producida directamente de la pantalla no mostrará lon- gitudes iguales ni los ángulos rectos como tales. a51;b52; % define vector a rotar x5[a;b];M5norm(x); th5pi/2; % Ángulo de rotación v15[cos(th);sin(th)]; v25[2sin(th);cos(th)]; V5[v1,v2]; % Matriz de cambio de base w5V*x; % rotación del vector x plot([0,x(1)],[0,x(2)],9r9,[0,w(1)],[0,w(2)],9b9) axis square
4.8 Cambio de base 383 axis([2M M 2M M]); grid title(9Vector origina: rojo, Vector rotado: azul9) xlabel(9x9) ylabel(9y9) Repita las instrucciones anteriores, modificando los valores para a y b. Repita las instrucciones anteriores para θ 5 2π/2, π/4, 2π/4, 2π/3 y un ángulo arbi- trario. Para cada ángulo, elija dos a y b. Cuando termine con esta parte dé el comando clf (doc clf) para borrar la figura utilizada. c) Digamos que una base tiene orientación dada por θ si es una base obtenida rotando la base canónica en sentido positivo alrededor del origen un ángulo θ. Suponga que {v1, v2} es una base con orientación dada por θ. Suponga que v1 y v2 representan direcciones de sensores para un dispositivo de rastreo. El dispositivo regis- tra la localización de un objeto como coordenadas con respecto a la base {v1, v2}. Si dos dispositivos tienen orientaciones diferentes, ¿cómo puede hacer uso uno de la informa- ción recabada por el otro? Esto incluye traducir las coordenadas en términos de una de las bases a coordenadas en términos de la otra base. iii. Suponga que B 5 {v1, v2} es una base con orientación dada por π/4 y C 5 {w1, w2} es una base con orientación dada con 2π/3. Encuentre la matriz de transición T de la base B a la base C. Encuentre la matriz de transición S de la base C a la base B. (Nota. Las líneas 3, 4 y 5 en el programa de MATLAB del inciso b) da un ejemplo de cómo encontrar una base con orientación π/2.) iii. Suponga que el dispositivo con orientación dada π/4 localiza un objeto con coor- denadas [0.5; 3]. Encuentre las coordenadas del objeto respecto al dispositivo con orientación 2π/3. Explique su proceso. Verifique su resultado encontrando las co- ordenadas estándar del objeto haciendo uso de las coordenadas [0.5; 3] para la primera base B y encuentre las coordenadas estándar del objeto empleando las co- ordenadas encontradas para la segunda base C. iii. Suponga que el dispositivo con orientación 2π/3 localiza un objeto con coordenadas [2; 21.4]. Encuentre las coordenadas del objeto respecto al dispositivo con orienta- ción π/4. Explique su proceso. Verifique su respuesta igual que en el subinciso ii). iv. El archivo rotcoor.m de MATLAB ayuda a visualizar el proceso anterior. El formato es rotcoor(E, F, c), donde E y F son matrices de 2 3 2 cuyas columnas forman una base para 2 y c es una matriz de 2 3 1 que representa las coordenadas de un vector con respecto a la base dada por E. Se muestra en una figura los vectores que forman a la matriz E en color rojo y los vectores que forman a la matriz F en color verde. Se observa el vector resultado de la combinación lineal de la base E y la combinación lineal resultante para la base F en color azul. El archivo se presenta a continuación; function rotcoor(E,F,c) % % ROTCOOR funcion que grafica el vector c de la base E como un vector % de la base F % % E: matrix 2x2, columnas son una base
384 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales % F: matriz 2x2, columnas son una base % c: vector de 2x1 con respecto a la base E % definición de matriz de transición de base E a base F T5F\\E; % vector c en base F v1=T*c; % Puntos necesarios para las gráficas origen=[0;0]; OE1=[origen,E(:,1)]; OE2=[origen,E(:,2)]; OF1=[origen,F(:,1)]; OF2=[origen,F(:,2)]; OE1mE2=[origen,E*c]; E1mE2=[E(:,1)*c(1),E*c]; E2mE1=[E(:,2)*c(2),E*c]; F1mF2=[F(:,1)*v1(1),F*v1]; F2mF1=[F(:,2)*v1(2),F*v1]; plot(OE1(1,:),OE1(2,:),’r:*’,OE2(1,:),OE2(2,:),’r:*’); hold on plot(c(1)*OE1(1,:),c(1)*OE1(2,:),’r:’,c(2)*OE2(1,:),c(2)*OE2 (2,:),’r:’) text(E(1,1)/2,E(2,1)/2,’\\bf E_1’,’Color’,’red’); text(E(1,2)/2,E(2,2)/2,’\\bf E_2’,’Color’,’red’); h=plot(OE1mE2(1,:),OE1mE2(2,:),’-b*’); set(h,’LineWidth’,2) text(OE1mE2(1,2)/2,OE1mE2(2,2)/2,’\\bf Ec=Fv1’,’Color’,’blue’) plot(E1mE2(1,:),E1mE2(2,:),’r:’) plot(E2mE1(1,:),E2mE1(2,:),’r:’) title([‘E_1c_1+E_2c_2=[‘ num2str(E(:,1)’),’](‘,num2str(c(1)), ...‘)+[‘ num2str(E(:,2)’),’](‘,num2str(c(2)),’)’]) xlabel([‘F_1v1_1+F_2v1_2=[‘ num2str(F(:,1)’),’](‘,num2str(v1 (1)),...‘)+[‘ num2str(F(:,2)’),’](‘,num2str(v1(2)),’)’]) plot(OF1(1,:),OF1(2,:),’g:*’,OF2(1,:),OF2(2,:),’g:*’); plot(v1(1)*OF1(1,:),v1(1)*OF1(2,:),’g:’,v1(2)*OF2(1,:),v1(2)* OF2(2,:),’g:’) text(F(1,1)/2,F(2,1)/2,’\\bf F_1’,’Color’,’green’); text(F(1,2)/2,F(2,2)/2,’\\bf F_2’,’Color’,’green’); plot(F1mF2(1,:),F1mF2(2,:),’g:’) plot(F2mF1(1,:),F2mF1(2,:),’g:’) grid on axis square Utilice este archivo para visualizar los resultados de los subincisos ii) y iii). Verifique sus respuestas para dichos subincisos utilizando la información en la pantalla. Por ejem- plo, en ii), E será la base para la orientación de π/4, F la base para la orientación 2π/3 y c 5 [0.5; 3].
4.8 Cambio de base 385 10. Cambio de base por rotaciones en 3; inclinar, desviar, rodar a) (Lápiz y papel) En 3 se puede rotar en sentido positivo alrededor del eje x, del eje y o del eje z (los ejes x, y y z forman un sistema coordenado de la mano derecha). Sean e1, e2 y e3 los vectores unitarios de la base canónica en las direcciones positivas de los ejes x, y y z, respectivamente. iii. Una rotación positiva un ángulo u alrededor del eje z producirá una base {v, w, e3}, donde v es el vector obtenido al rotar e1 y w es el vector obtenido al rotar e2. Usando los diagramas siguientes como guía, demuestre que ⎛ cos (θ)⎞ ⎛2sen (θ)⎞ v 5 ⎜ sen (θ )⎟⎟ y w 5 ⎜ cos (θ )⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎝⎜ 0 ⎟⎠ z y e3 w w e2 v u e1 u u xv e2 y u x e1 a) b) Sea Y 5 [v w e3]. Interprete Y como matriz de transición. iii. Una rotación positiva un ángulo a alrededor del eje x producirá una base {e1, v, w}, donde v es el vector obtenido al rotar e2 y w es el vector obtenido al rotar e3. Usando los diagramas siguientes como guía, demuestre que ¥ 0´ ¥ 0´ v = ¦ cos (A ))¶µµµ y w = ¦ sceons ((AA))µµµ¶ ¦§¦ sen (A ¦¦§ w z z e1 e3 e2 wv v a a a a e1 y e2 y b) x a) Sea R 5 [e1 v w]. Interprete R como una matriz de transición. iii. Una rotación positiva un ángulo u alrededor del eje y producirá una base {v, e2, w}, donde v es el vector obtenido al rotar e1 y w es el vector obtenido al rotar e3. Em- pleando los diagramas siguientes como guía, demuestre que
386 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales ⎛ cos(ϕ) ⎞ ⎛ sen (ϕ)⎞ v = ⎜ 0 ⎟ y w = ⎜ cos0(ϕ)⎟⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜ sen (ϕ)⎟⎟⎠ ⎝⎜⎜ − z z w e3 w e3 w w e1 w e2 y x e1 w x (positivo) v v a) b) Sea P 5 [v e2 w]. Interprete P como una matriz de transición. b) (Lápiz y papel) Suponga que Y es una matriz como la obtenida en el inciso ai) para un ángulo θ, R es una matriz como la obtenida en el inciso aii) para un ángulo α, y P es una matriz como la obtenida en el inciso aiii) para un ángulo ϕ. Las matrices Y, R y P para cualesquiera tres ángulos tienen interpretaciones geomé- tricas similares a la de una matriz de rotación en 2. Sea M cualquiera de estas matrices de rotación. Sea u 5 ae1 1 be2 1 ce3. Entonces r 5 Mu dará las coordenadas estándar del vector obtenido al rotar el vector u. Haciendo uso de esta interpretación geométrica, explique por qué la matriz YR representa una rotación positiva un ángulo a alrededor del eje x seguida de la rotación positiva un ángulo u alrededor del eje z. ¿Qué matriz representará una rotación positiva un ángulo θ alrededor del eje z se- guida de una rotación positiva un ángulo α alrededor del eje x? ¿Puede esperarse que esta matriz dé el mismo resultado que la matriz del párrafo anterior? ¿Por qué? c) Las rotaciones de las que se ha hablado son de utilidad para describir la posición de una nave espacial (o un avión). La posición es la orientación rotacional de la nave alrededor de su centro. Aquí se supone que la nave tiene un conjunto de ejes a través de su centro de masa tales que los ejes x y y forman un ángulo recto (como un eje que va de atrás hacia adelante de la nave y el otro de lado a lado) y el eje z es perpendicular a los ejes x y y para formar un sistema de la mano derecha. Se pueden hacer correcciones a la posición realizando rotaciones, como las descri- tas en el inciso a). Sin una forma de control de posición un satélite comienza a girar. Una rotación alrededor del eje z se denomina maniobra de desviación, una rotación alrededor del eje x se denomina maniobra de giro, y una rotación del eje y se denomina maniobra de inclinación. Suponga que el conjunto de ejes de la nave está alineado inicialmente con un siste- ma de referencia fijo (ejes que representan una base canónica). La posición de la nave puede darse mediante una matriz cuyas columnas son vectores unitarios en las direccio- nes de los ejes asociados con la nave. iii. Encuentre la matriz que representa la posición de la nave después de realizar una maniobra de inclinación con un ángulo π/4, seguida de una maniobra de giro con un ángulo de 2π/3, y después una maniobra de desviación con un ángulo de π/2.
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 387 PROBLEMA iii. Realice las mismas maniobras en diferente orden y compare las posiciones (describa el orden de las maniobras). PROYECTO iii. Repita para otro conjunto de ángulos para cada tipo de maniobra, es decir, en- cuentre las posiciones derivadas de realizar las maniobras en dos órdenes distintos (describiendo los órdenes) y compare dichas posiciones. d) Suponga que dos satélites con diferentes posiciones deben transferir información entre sí. Cada satélite registra la información en términos de su sistema de coordenadas; es decir, registra la información como coordenadas referidas a la base de los vectores uni- tarios que definen su sistema de ejes. Además del ajuste por localización (que es simple- mente una traslación), la transferencia de información requiere del uso de una matriz de transición de las coordenadas de un satélite a las coordenadas del otro. iii. Considere que la orientación de una nave es la dada en el inciso ci) y la orientación de la otra es la dada en el inciso cii). Suponga que la primera nave registra la locali- zación de un objeto como p5[0.2;0.3;–1]. Traduzca esta información al sistema de coordenadas de la segunda nave. Verifique el resultado encontrando las coordenadas estándar del objeto con la lectura de la primera nave y después encontrando las co- ordenadas estándar del objeto con la lectura ajustada de la segunda nave. iii. Repita para dos naves cuyas orientaciones se generaron en el inciso ciii). e) Opcional Suponga que su nave tiene una matriz de posición dada por A 5 orth(rand(3)). Experimente con las maniobras de inclinación, desviación y giro para realinear la nave con el sistema de referencia fijo (base canónica). 11. Combine los problemas 9 y 10 de esta sección de MATLAB. 4.9 BASES ORTONORMALES Y PROYECCIONES EN Rn En n se vio que n vectores linealmente independientes constituyen una base. La base canónica E 5 {e1, e2, . . . en } es la de mayor uso. Estos vectores tienen dos propiedades: iii. ei ? ej 5 0 si i ≠ j iii. ei ? ei 5 1 DEFINICIÓN 1 Conjunto ortonormal en Rn Se dice que un conjunto de vectores S 5 {u1, u2, . . . , uk} en n es un conjunto orto- normal si ui ? uj 5 0 si i ≠ j (1) ui ? ui 5 1 (2) Si sólo se satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal. Como se trabajará ampliamente con el producto escalar en esta sección, recordaremos algunos hechos básicos (vea el teorema 1.6.1, página 59). Sin mencionarlos de nuevo en forma explícita, se utilizarán en el resto de esta sección. Si u, v y w están en n y α es un número real, entonces u?v5v?u (3)
388 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales (4) (5) (u 1 v) ? w 5 u ? w 1 v ? w (6) u ? (v 1 w) 5 u ? v 1 u ? w (7) (αu) ? v 5 α(u ? v) u ? (αv) 5 α(u ? v) Ahora se presenta otra definición útil. DEFINICIÓN 2 Longitud o norma de un vector Si v P n, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, está dada por |v| 5 v ⋅ v (8) Nota. Si v 5 (x1, x2, . . . , xn), entonces v ? v 5 x12 x22 ... xn2 . Esto significa que (9) v ? v $ 0 y v ? v 5 0 si y sólo si v 5 0 De esta forma se puede obtener la raíz cuadrada en (8), y se tiene |v| 5 v ⋅ v $ 0 para toda v P n (10) |v| 5 0 si y sólo si v 5 0 (11) EJEMPLO 1 La norma de un vector en R2 EJEMPLO 2 Sea v 5 (x, y) P 2, entonces |v| 5 x2 1 y2 cumple con la definición usual de longitud de un EJEMPLO 3 vector en el plano (vea la ecuación 3.1.1, página 222). La norma de un vector en R3 Sea v 5 (x, y, z) P 3, entonces |v| 5 x2 1 y2 1 z2 como en la sección 3.3. La norma de un vector en R5 Sea v 5 (2, 21, 3, 4, 26) P 5, entonces |v| 5 4 111 9 116 1 36 5 66 . Ahora puede establecerse otra vez la definición 1: Un conjunto de vectores es ortonormal si cualquier par de ellos es ortogonal y cada uno tiene longitud 1. Los conjuntos de vectores ortonormales son bastante sencillos de manejar. Se verá un ejemplo de esta característica en el capítulo 5. Ahora se probará que cualquier conjunto finito de vectores ortogonales diferentes de cero es linealmente independiente.
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 389 TEOREMA 1 Si S 5 {v1, v2, . . . , vk} es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces DEMOSTRACIÓN S es linealmente independiente. Suponga que c1v1 1 c2v2 1 . . . 1 ckvk 5 0. Entonces, para cualquier i 5 1, 2, . . . , k 0 0 vi (c1v1 c2v2 c1vi ck vk) vi c1 (v1 vi ) c2 (v2 vi ) ci (vi vi ) ck (vk vi ) c10 c2 0 ci vi 2 ck 0 ci vi 2 Como vi ≠ 0 por hipótesis, |vi|2 . 0 y se tiene ci 5 0. Esto es cierto para i 5 1, 2, . . . , k, lo que completa la prueba. Ahora se verá cómo cualquier base en n se puede “convertir” en una base ortonormal. El método descrito a continuación se denomina proceso por ortonormalización de Gram-Schmidt.† TEOREMA 2 Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt DEMOSTRACIÓN Sea H un subespacio de dimensión m de n. Entonces H tiene una base ortonormal.‡ Sea S 5 {v1, v2, . . . , vm} una base de H. Se probará el teorema construyendo una base ortonormal a partir de los vectores en S. Antes de dar los pasos para esta construcción, se observa el hecho sencillo de que un conjunto de vectores linealmente independiente no contiene al vector cero (vea el problema 25). Paso 1. Elección del primer vector unitario Sea u1 v1 (12) Entonces v1 u1 ¥ v1 ´ ¥ v1 ´ ¥ 1 ´ 1 u1 ¦ v1 µ .¦ v1 µ ¦ µ v1 v1 § ¶ § ¶ ¦§ 2 ¶µ v1 De manera que |u1| 5 1. Paso 2. Elección de un segundo vector ortogonal a u1 u⋅v En la sección 3.2 (teorema 5, página 237) se vio que, en 2, el vector w = u 2 2 v es uv v v ortogonal a v. En este caso es la proyección de u sobre v. Esto se ilustra en la 2 v figura 4.5. Resulta que el vector w dado es ortogonal a v cuando w y v están en n para cual- vu quier n $ 2. Observe que como u1 es un vector unitario, u1 u1 (v u1 ) u1 para cual- quier vector v. Sea v92 5 v2 2 (v2 ? u1) u1 (13) † Jörgen Pederson Gram (1850-1916) fue un actuario danés que estuvo muy interesado en la ciencia de la medida. Erhardt Schimdt (1876-1959) fue un matemático alemán. ‡ Observe que H puede ser n en este teorema. Es decir, n mismo tiene una base ortonormal.
390 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales Figura 4.5 y u 2 ⎛ u ⋅ v ⎞ v 5 w u ⎜ ⎟ El vector w = u 2 u ⋅ v v ⎜⎝ v 2 ⎟⎠ 2 v es ortogonal a v. v u⋅v x 0 2 v 5proyvu v entonces va2 u1 v2 u1 (v2 u1 ) (u1 u1 ) v2 u1 (v u1 ) 1 0 de manera que v92 es ortogonal a u1. Más aún, por el teorema 1, u1 y v92 son linealmente independientes. v92 ≠ 0 porque de otra manera v2 (v2 u1 ) u1 (v2 u1 ) v1, lo que con- v1 tradice la independencia de v1 y v2. Paso 3. Elección de un segundo vector unitario Sea u2 va2 (14) va2 entonces es evidente que {u1, u2} es un conjunto ortonormal. Suponga que se han construido los vectores u1, u2, . . . uk (k , m) y que forman un conjunto ortonormal. Se mostrará cómo construir uk11. Paso 4. Continuación del proceso Sea v+1 v (v+1 u1 ) u1 v+ u u p (15) entonces para i 5 1, 2, . . . , k vk+1 ui v k+1 ui (v k+1 u1 ) (u1 ui ) (v k+1 u2 ) (u2 ui ) p (v k+1 ui ) (u1 ui ) p (v k+1 uk ) (uk ui ) Pero uj ? ui 5 0 si j ≠ i y ui ? ui 5 1. Por lo tanto, vk+1 ui vk1 ui v k+1 ui 0 Así, {u1, u2, . . . uk, v9k11} es un conjunto linealmente independiente, ortogonal y v9k11 ≠ 0. Paso 5 Sea uk11 5 v9k11/|v9k11|. Entonces es claro que {u1, u2, . . ., uk, uk11} es un conjunto ortonor- mal y se puede continuar de esta manera hasta que k 11 5 m con lo que se completa la prueba. Nota. Como cada ui es una combinación lineal de vectores vi, gen {u1, u2, . . ., uk } es un subespacio de gen {v1, v2, . . . , vn} y como cada espacio tiene dimensión k, los espacios son iguales.
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 391 EJEMPLO 4 Construcción de una base ortonormal en R3 Solución «¥ 1´ ¥ 0´ ¥ 1´ º ®®¬¦¦¦§ ® Construya una base ortonormal en 3 comenzando con la base {v1, v2, v3} 5 01µµµ¶ , ¦ 11µ¶µµ , ¦ 01¶µµµ » . ¦§¦ ¦§¦ ® ¼ Se tiene |v1| 5 Entonces Como Continuando, se tiene v93 5 v3 2 (v3 ? u1)u1 2 (v3 ? u2)u2 Por último |v93| 5 Así, una base orto- normal en 3 es Este resultado debe verificarse. EJEMPLO 5 Una base ortonormal para un subespacio de R3 Solución Encuentre una base ortonormal para el conjunto de vectores en 3 que está sobre el plano «¥ x´ º ¬®®¦¦¦§ 0 ®» . P yz µµ¶µ : 2x y 3z ® ¼ Como se vio en el ejemplo 4.6.3, página 333, una base para este subespacio de dos dimensiones es y y
392 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales Continuando, se define v92 5 v2 2 (v2 . u1)u1 6 6 0 5 5 12 3 13 5 5 0 1 Por último, |v92| 5 De esta forma, una base ortonormal es Para verificar esta respuesta, se observa que 1) los vectores son ortogonales, 2) cada uno tiene longitud 1 y 3) cada uno satisface 2x 2y 1 3z 5 0. En la figura 4.6a se dibujaron los vectores v1, v2 y u1. En la figura 4.6b se dibujaron los vectores 6 6 6 5 53 5 y se sumó a v2 usando la regla del paralelogramo para obtener v92 5 5 . 12 12 5 5 0 0 1 Por último, u2 es un vector unitario a lo largo de v92. Ahora se definirá un nuevo tipo de matriz que será muy útil en los capítulos que siguen. DEFINICIÓN 3 Matriz ortogonal (16) Una matriz Q de n 3 n se llama ortogonal si Q es invertible y Figura 4.6 Q21 5 Qt Los vectores u1 y u2 forman una base ortogonal para ⎛ 6⎞ el plano generado por los ⎜2 vectores v1 y v2. z z ⎜ 5 ⎟ ⎛ 0⎞ ⎟ ⎛ 6⎞ ⎜ ⎟ v2 5 ⎜⎜⎜⎝13⎟⎠⎟⎟ ⎜2 ⎟ v ′2 5 ⎜ 3 ⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜2 12 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ 5 ⎟ ⎜ 13⎟⎟⎠⎟ ⎝⎜⎜ ⎝ 0⎠ v 5 2 y 0 y ⎛ 6⎞ 0 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜2 ⎟ ⎜ 02⎠⎟⎟⎟ v1 5 ⎜⎜⎜⎝02⎟⎟⎟⎠ ⎜ 70 ⎟ ⎛ 1⎞ v1 5 ⎜⎜⎝ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ 5⎟ x ⎜ 5⎟ ⎜ ⎟ u2 5 ⎜ 3⎟ x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u1 5 2 70 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ u1 5 ⎜ 2 ⎟ ⎜⎟ ⎝⎜⎜ 5 ⎠⎟⎟ ⎜ 5⎟ 7 ⎜⎟ ⎜⎝ 0 ⎠⎟ 0 ⎜ 5⎟ ⎝⎜ 0 ⎟⎠ a) b)
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 393 Observe que si Q21 5 Qt, entonces QtQ 5 I. No es difícil construir matrices ortogonales, de acuerdo al siguiente teorema. TEOREMA 3 La matriz Q de n 3 n es ortogonal si y sólo si las columnas de Q forman una base orto- DEMOSTRACIÓN normal para n. Sea oo o Entonces a11 a21 ... an1 Qt a12 a22 ... an2 o o o a1n a2n ... ann Sea B 5 (bij) 5 QtQ. Entonces (17) bij a1i a1 j a2i a2 j p ani anj ci c j donde ci denota la i-ésima columna de Q. Si las columnas de Q son ortonormales, en- tonces bij 0 si i j (18) 1 si i j Es decir, B 5 I. Inversamente, si Qt 5 Q21, entonces B 5 I de manera que (18) se cumple y (17) muestra que las columnas de Q son ortonormales. Esto completa la prueba. EJEMPLO 6 Una matriz ortogonal Del ejemplo 4, los vectores forman una base ortonormal en 3. Así, la matriz Q 5 es una matriz ortogonal. Para verificar esto se observa que En la prueba del teorema 2 se definió v92 5 v2 2 (v2 ? u1)u1. Pero como se ha visto, (v2 ? u1)u1 5 proyu1 v2 (ya que |u1|2 5 1). Ahora se ampliará este concepto de proyección sobre un vector a proyección sobre un subespacio.
394 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales DEFINICIÓN 4 Proyección ortogonal Sea H un subespacio de n con base ortonormal {u1, u2, . . . , uk}. Si v P n, entonces la proyección ortogonal de v sobre H, denotada por proyH v está dada por (19) Observe que proyH v P H. EJEMPLO 7 Proyección ortogonal de un vector sobre un plano x 3 0 Encuentre proyπ v, donde π es el plano yz : 2x y 3z y v es el vector 24 . Solución Del ejemplo 5, una base ortonormal para π es Entonces La notación de la proyección proporciona una forma conveniente para escribir un vector en n en términos de una base ortonormal. TEOREMA 4 Sea B 5 {u1, u2, . . . , un} sea una base ortonormal para n y sea v P n. Entonces DEMOSTRACIÓN 1 (20) Esto es, v 5 proyRn v. Como B es una base, se puede escribir v de manera única como v 5 c1u1 1 c2u2 1 . . . 1 cnun. Entonces v ? ui 5 c1(u1 ? ui) 5 c2 (u2 ? ui) 1 . . . 1 ci (ui ? ui) 1 . . . 1 cn(un ? ui) 5 ci ya que los vectores ui son ortonormales. Como esto se cumple para i 5 1, 2, . . . , n, la demostración queda completa.
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 395 EJEMPLO 8 Expresión de un vector en términos de una base ortonormal ⎛ 2⎞ Escriba el vector ⎜ −13⎠⎟⎟⎟ en 3 en términos de la base ortonormal ⎝⎜⎜ Solución Antes de continuar, es necesario que una proyección ortogonal esté claramente definida, lo que significa que la definición de proyH v es independiente de la base ortonormal elegida en H. El siguiente teorema se hace cargo de este problema. TEOREMA 5 Sea H un subespacio de n. Suponga que H tiene dos bases ortonormales, {u1, u2, . . . , uk} y {w1, w2, . . . , wk}. Sea v un vector en n. Entonces DEMOSTRACIÓN (21) Elija vectores uk11, uk12, . . . , un tales que B1 5 {u1, u2, . . . , uk, uk11, . . . , un} sea una base ortonormal para Rn (esto se puede hacer igual que en la prueba del teorema 2).† Después B2 5 {w1, w2, . . . , wk, uk11, uk12, . . . , un} es también una base ortonormal para n. Para ver esto, observe primero que ninguno de los vectores uk11, uk12, . . . , un puede expresarse como una combinación lineal de w1, w2, . . . , wk porque ninguno de estos vec- tores está en H y {w1, w2, . . . , wk} es una base para H. Así, B2 es una base para n porque contiene n vectores linealmente independientes. La oportunidad de los vectores en B2 se deduce de la manera en que se escogieron (uk1j es ortogonal a todo vector en H para j 5 1, 2, . . . , n 2 k). Sea v un vector en n. Entonces del teorema 4 [ecuación (20)] (22) La ecuación (21) se deduce de la ecuación (22). † Primero debemos encontrar vectores vk11, vk12, … , vn tales que {u1, … , uk, vk11, … , vn} sea una base para 2. Esto se puede hacer como en la prueba del teorema 4.6.4, página 336; vea también el problema 4.6.32.
396 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales DEFINICIÓN 5 Complemento ortogonal Sea H un subespacio de n. El complemento ortogonal de H denotado por H', está dado por H' 5 {x P n: x ? h 5 0 para toda h P H} TEOREMA 6 Si H es un subespacio de n, entonces DEMOSTRACIÓN iii. H' es un subespacio de n. TEOREMA 7 DEMOSTRACIÓN iii. H ∩ H' 5 {0}. iii. dim H' 5 n 2 dim H. iii. Si x y y están en H' y si h P H, entonces (x 1 y) ? h 5 x ? h 1 y ? h 5 0 1 0 5 0 y (ax ? h) 5 a(x ? h) 5 0, de manera que H' es un subespacio. iii. Si x P H ∩ H', entonces x ? x 5 0, de manera que x 5 0, lo que muestra que H ∩ H' 5 {0}. iii. Sea {u1, u2, . . . , uk} una base ortonormal para H. Por el resultado del problema 4.6.32 de la página 340, esto puede expandirse a una base B para n: B 5 {u1, u2, . . . , uk, vk11, . . . , vn}. Utilizando el proceso de Gram-Schmidt, se puede convertir a B en una base ortonormal para n. Igual que en la prueba del teorema 2, la base que ya es ortonormal u1, u2, . . . , uk no cambia en el proceso y se obtiene la base ortonormal B1 5 {u1, u2, . . . , uk, uk11, . . . , un}. Para completar la prueba es necesario demos- trar, únicamente, que {uk11, . . . , un} es una base para H'. Como los vectores ui son independientes, debe demostrarse que generan a H'. Sea x P H'; entonces por el teorema 4 x (x u1 ) u1 (x u2 ) u2 ... (x uk ) uk (x uk1) uk1 ... (x un ) un Pero (x ? ui) 5 0 para i 5 1, 2, . . . , k, ya que x P H' y ui P H. Por lo tanto, x 5 (x ? uk11)uk11 1 . . . 1 (x ? un)un. Esto muestra que {uk11, . . . , un} es una base para H', lo que significa que dim H' 5 n 2 k. Los espacios H y H' permiten “descomponer” cualquier vector en n. Teorema de proyección Sea H un subespacio de n y sea v P n. Entonces existe un par único de vectores h y p tales que h P H, p P H', y v 5 h 1 p. En particular, h 5 proyH v y p 5 proyH' v de manera que v h p = proyH v + proyH> v (23) Sea h 5 proyH v y sea p 5 v 2 h. Por la definición 4 se tiene h P H. Ahora se mostrará que p P H'. Sea {u1, u2, . . . , uk} una base ortonormal para H. Entonces
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 397 h 5 (v ? u1) u1 5 (v ? u2) u2 1 . . . 1 (v ? uk)uk Sea x un vector en H. Existen constantes a1, a2, . . . , ak, tales que Entonces (24) Como ui ? uj «0, ix j por ®¬1, i j, , es sencillo verificar que el producto escalar (24) está dado kk ¤ ¤p x = Ai (v ui ) Ai (v ui ) 0 i 1 i 1 Así, p ? x 5 0 para todo x P H, lo que significa que p P H'. Para demostrar que p 5 proyH' v, se amplía {u1, u2, . . . , uk} a una base ortonormal en n: {u1, u2, . . . , uk, vk11, . . . , un}. Entonces {vk11, . . . , un} es una base para H' y, por el teorema 4, Esto prueba la ecuación (23). Para probar la unicidad, suponga que v 5 h1 2 p1 5 h2 – p2, donde h1, h2 P H y p1, p2 P H'. Entonces h1 2 h2 5 p1 2 p2. Pero h1 2 h2 P H y p1 2 p2 P H', de manera que h1 2 h2 P H ∩ H' 5 {0}. Así, h1 2 h2 5 0 y p1 2 p2 5 0, lo que completa la prueba. EJEMPLO 9 Descomposición de un vector en R3 «¥ x´ º ⎛ 3⎞ ¬®®§¦¦¦ ® En 3 sea P yz µµ¶µ : 2x y 3z 0 » . Exprese el vector ⎜ − 42⎟⎟⎟⎠ en términos de h 1 p, donde ⎜⎝⎜ ® ¼ h P π y p P π'. Solución Una base ortonormal para π es y del ejemplo 7, h 5 proyπ v 1 7 . Entonces 4 7 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 20⎞ 7 ⎛ 3⎞ ⎜ 7 ⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 h 5 ⎜⎜⎝⎜224⎟⎠⎟⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜⎜2170 ⎟ p5 v 2 ⎜ 2 7 ⎟ 5 ⎟ ∈π ⊥ . ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 30 ⎟ ⎜⎝⎜ 7 ⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜ 7 ⎠⎟⎟ Observe que p ? h 5 0.
398 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales El siguiente teorema es muy útil en estadística y otras áreas de aplicación. Se dará una aplicación de este teorema en la siguiente sección y se aplicará una versión amplificada de este resultado en la sección 4.11. TEOREMA 8 Teorema de aproximación de la norma DEMOSTRACIÓN Sea H un subespacio de n y sea v un vector en n. Entonces proyH v es la mejor aproxi- mación para v en H en el sentido siguiente: si h es cualquier otro vector en H, entonces 22 (25) Del teorema 7, v 2 proyH v P H'. Se escribe El primer término de la derecha está en H', mientras que el segundo está en H, así (26) Ahora 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Pero |proyH v 2 h|2 . 0 porque h ≠ proyH v. Por lo tanto, es decir 22 22 BASES ORTOGONALES EN R3 CON COEFICIENTES ENTEROS Y NORMAS ENTERAS En ocasiones es útil construir una base ortogonal de vectores donde las coordenadas y la nor- ma de cada vector son enteros. Por ejemplo, ⎧⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ − 1⎞ ⎫ ⎪⎨⎩⎪⎜⎜⎜⎝ ⎪ 21⎟⎟⎟⎠ , ⎜ − 21⎟⎟⎟⎠ , ⎜ 22⎟⎟⎟⎠ ⎬ ⎜⎜⎝ ⎜⎜⎝ ⎪ − ⎭ constituye una base ortogonal en 3 donde cada vector tiene norma 3. Otro ejemplo, ⎧⎛ 12⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ − 25⎞ ⎫ ⎪⎩⎪⎨⎜⎜⎜⎝ ⎪ 34⎠⎟⎟⎟ , ⎜ 43⎟⎟⎟⎠ , ⎜ 48 ⎟ ⎬ ⎜⎝⎜ ⎝⎜⎜ 36 ⎟⎟⎠ ⎪ − − ⎭
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 399 es una base ortogonal en 3 cuyos vectores tienen normas 13, 5 y 65, respectivamente. Resulta que encontrar una base como ésta en 3 no es tan difícil como parece. Anthony Osborne y Hans Liebeck abordan este tema en su interesante artículo “Orthogonal Bases of 3 with Inte- ger Coordinates and Integer Lenghts” en The American Mathematical Monthly, vol. 96, núm. 1, enero de 1989, pp. 49-53. Esta sección se cierra con un teorema importante. TEOREMA 9 Desigualdad de Cauchy-Schwarz en n DEMOSTRACIÓN Sean u y v dos vectores en n. Entonces iii. |u ? v| # |u||v|. iii. |u ? v| 5 |u||v| sólo si u 5 0 o v 5 lu para algún número real l. iii. Si u 5 0 o v 5 0 (o ambos), entonces (27) se cumple (ambos lados son iguales a 0). Si se supone que u ≠ 0 y v ≠ 0. Entonces De este modo 2u ⋅ v ≤ 2, de ⋅manera que u ⋅ v ≤ 1y u ⋅ v ≤ u v . En forma similar, uv uv 2 comenzando con 0 # u v , se llega a u v r 1, o sea, u ? v $ 2|u||v|. Con uv uv estas dos desigualdades se obtiene 2|u||v| # u ? v # |u||v| o |u ? v| # |u||v| iii. Si u 5 lv, entonces |u ? v| 5 |lv ? v| 5 |l||v|2 y |u||v| 5 |lv||v| 5 |l||v||v| 5 |l||v|2 5 |u ? v|. Inversamente, suponga que |u ? v| 5 |u||v| con u ≠ 0 y v ≠ 0. Entonces u v 1, de manera que u v p1. uv uv Caso 1: u v 1. Entonces como en i) uv 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 5⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ u2v u 2 v u 2 v 522 2u ⋅ v 5 2 2 2 5 0. u v ⎝u v⎠ ⎝u v⎠ uv Así u v u uv 0 u = v = Lv v Caso 2: u v 1. Entonces uv
400 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales 2 de manera que u v 2 2u v 2 2 = 0 uv uv u v y u uv u v = Lv v Problemas 4.9 AUTOEVALUACIÓN Indique si las siguientes aseveraciones son falsas o verdaderas II I. El conjunto {(1, 1), (1, 21)} es un conjunto ortonormal en 2. I II. El conjunto ®«¥ 1, 1 ´ , ¥ 1, 1 ´ º® es un conjunto ortonormal en 2. ¬®§¦ 2 2 ¶µ ¦§ 2 ¶µ » 2 ®¼ III. Toda base en n se puede convertir en una base ortonormal utilizando el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt. IV. La matriz ¥1 1´ §¦1 1¶µ es ortogonal. I V. La matriz es ortogonal. Elija el inciso que responda la siguiente pregunta VI. ¿Para cuáles de las siguientes matrices Q21 es igual a Qt? a) b) c) d) De los problemas 1 al 17 construya una base ortonormal para el espacio o subespacio vectorial dado. ¥1´ ¥ 1´ 1. En 2, comenzando con los vectores básicos ¦§1µ¶ , §¦ 1µ¶ . 2. H 5 {(x, y) P 2: x 1 y 5 0}. 3. H 5 {(x, y) P 2: x 2 y 5 0}. 4. H 5 {(x, y) P 2: ax 1 by 5 0}. ¥ a´ ¥ c´ 5. En 2, comenzando con §¦ bµ¶ , ¦§ d ¶µ , donde ad 2 bc ≠ 0.
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 401 6. π 5 {(x, y, z): 2x 2 y 2 z 5 0} 7. π 5 {(x, y, z): 3x 2 2y 1 6z 5 0} 8. π 5 {(x, y, z) P 3: x 1 2y 1 3z 5 0} 9. L 5 {(x, y, z): x/2 5 y/3 5 z/4} 10. L 5 {(x, y, z): x 5 3t, y 5 22t, z 5 t; t real} 11. L 5 {(x, y, z) P 3: x 5 t, y 5 2t, z 5 22t; t P } 12. H 5 {(x, y, z, w) P 4: 2x 2 y 1 3z 2 w 5 0} 13. π 5 {(x, y, z): ax 1 by 1 cz 5 0}, donde abc ≠ 0 14. L 5 {(x, y, z): x/a 5 yb 5 z/c}, donde abc ≠ 0 15. H 5 {(x1, x2, x3, x4, x5) P 5: 2x1 2 3x2 1 x3 1 4x4 2 x5 5 0} 16. H 5 {(x1, x2, x3, x4, x5) P 5: x1 1 2x2 2 2x3 2 x4 2 x5 5 0} 17. H es el espacio de soluciones de x2 y1 z50 22x 1 2 y 2 3z 5 0 4x 28y 15z 5 0 *18. Encuentre una base ortonormal en 4 que incluya los vectores [Sugerencia: primero encuentre dos vectores v3 y v4 para completar la base.] ¥ 2 1 2´ ¦ 3 3 3 µ ¦ 1 2 2 µ ¦ 3 3 µ 19. Demuestre que Q ¦ 3µ es una matriz ortogonal. ¦ 1 2 1 µ ¦ µ § 3 3 3¶ 20. Demuestre que si P y Q son matrices ortogonales de n 3 n, entonces PQ es ortogonal. 21. Verifique el resultado del problema 20 con 22. Demuestre que si Q es una matriz ortogonal simétrica, entonces Q2 5 I. 23. Demuestre que si Q es ortogonal, entonces det Q 5 ± 1. ¥ sen t cos t´ 24. Demuestre que para cualquier número real t, la matriz A §¦ cos t sen t ¶µ es ortogonal.
402 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales 25. Sea {v1, v2, . . . , vk} un conjunto de vectores linealmente independientes en Rn. Pruebe que vi ≠ 0 para i5 1, 2, . ..,k [Sugerencia: si v1i 5. .0. entonces es sencillo encontrar constantes c1, c2, . . . , ck con ci ≠0 tales que c1v1 1 c2v2 1 ckvk 5 0]. De los problemas 26 al 34 se dan un subespacio H y un vector v. a) Calcule proyH v; b) Encuen- tre una base ortonormal para H'; c) Escriba v como h 1 p donde h P H y p P H'. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. Sean u1 y u2 dos vectores ortonormales en Rn. Demuestre que |u1 2 u2| 5 2. 36. Si u1, u2, . . . , un son ortonormales, demuestre que |u1 1 u2 1 . . . 1 un|2 5 |u1|2 1 |u2|2 1 . . . 1 |un|2 5 n 37. Encuentre una condición sobre los números a y b tales que ®«¥ a´ , ¥ b´ º® y «®¥ a´ , ¥ b´ ®º forman una base ortonormal en R2. ®¬§¦ bµ¶ §¦ a µ¶ » ¬®§¦ bµ¶ §¦ a¶µ » ¼® ¼® 38. Demuestre que cualquier base ortonormal en R2 es de una de las formas dadas en el pro- blema 37.
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 403 39. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, pruebe que si |u 1 v| 5 |u| 1 |v|, entonces u y v son linealmente dependientes. 40. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, pruebe la desigualdad del triángulo: |u 1 v| # |u| 1 |v| [Sugerencia: obtenga la expansión de |u 1 v|2 .] 41. Suponga que x1, x2, . . . , xk son vectores en Rn (no todos cero) y que |x1 1 x2 1 . . . 1 xk| 5 |x1| 1 |x2| 1 . . . 1 |xk| Demuestre que dim gen {x1 1 x2 1 . . . 1 xn} 5 1 [sugerencia: utilice los resultados de los problemas 39 y 40]. 42. Sea {u1, u2, ..., u1n}. una base ortonormal en Rn y sea v un vector en Rn. Pruebe que |v|2 5 |v ? u1|2 1 |v ? u2|2 . . 1 |v ? un|2. Esta igualdad se llama igualdad de Parseval en Rn. 43. Demuestre que para cualquier subespacio H de Rn, (H')' 5 H. 44. Sean H1 y H2 dos subespacios de Rn y suponga que H'1 5 H'2. Demuestre que H1 5 H2. 45. Sean H1 y H2 dos subespacios de Rn, demuestre que si H1 ( H2, entonces H'2 ( H'1. 46. Demuestre el teorema generalizado de Pitágoras: sean u y v dos vectores en Rn con u ' v. Entonces |u 1 v|2 5 |u|2 1 |v|2 RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN I. F II. V III. V IV. F V. V VI. c) MANEJO DE LA CALCULADORA En la página 230 se indicó la forma para encontrar la longitud o norma de un vector en R2 con la HP 50g. En la página 242 se mostró cómo encontrar el producto punto de dos vectores en R2. Los mismos procedimientos se pueden emplear para Rn. Por ejemplo, la secuencia de teclas 3[ ] “ ” 1 SPC 3 SPC 4 SPC 3 ENTER ALPHA ALPHA A B S ENTER da como resultado 35 ≈ 5.9160798. La imitación del procedimiento de la página 249 dará a ? b, donde a y b están en Rn para cualquier n . 2. MATLAB 4.9 Recordatorio de MATLAB u ? v se calcula con u9*v o v9 *u. |v| se calcula con sqrt(v9*v) o norm(v). proyv u se calcula con ((u9*v)/(v9*v))*v (el vector proyección de u sobre v). 1. Encuentre bases ortonormales para el espacio generado por cada conjunto de vectores dado, usando el proceso de Gram-Schmidt. Verifique sus respuestas probando que el con-
404 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales junto de vectores obtenido es ortonormal y que cada vector en el conjunto original es una combinación lineal del conjunto de vectores obtenido. ⎧⎛ 0 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎪ ⎧⎛ −1 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎫ ⎪⎪⎨⎜⎜ −2 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎜ 1⎟⎟ ⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎝⎜⎜⎜ ⎪ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 4⎟ ⎬ a) 2 ⎟ , ⎜ 40⎟⎟⎠⎟ ⎬ b) −3 ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟⎟⎠ ⎜⎝⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , ⎜ 1⎟⎟ ⎭ ⎪⎪⎩⎝⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎠⎟ − −3 ⎜⎝ 0 ⎝⎜ ⎪ ⎪ 1 ⎠⎟ 5 ⎠⎟ ⎭⎪ ⎧⎛ −1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎫ c) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎜⎝⎜⎜⎜ ⎪ 2 ⎟ , ⎜ − 1 ⎟ , ⎜ − 2⎟⎟ , ⎜ 2⎟⎟ ⎪ d) Genere cuatro vectores aleatorios en 6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1⎟ ⎬ 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ − 4⎟⎠ ⎪ 1 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 1⎠⎟ ⎜⎝ ⎪⎭ 2. Encuentre una base ortonormal para «¥ x ´ º ®®®®¬¦¦¦¦§ ® H y µ x y 3z w 0®» µ zµ ® w¶µ ®¼ Sugerencia: primero encuentre una base para H encontrando una base para las soluciones de Ax 5 0, donde A 5 (1, 21, 3, 1), y después aplique el proceso de Gram-Schmidt. ¥ a´ ¥ b´ 3. a) (Lápiz y papel) Suponga que v = ¦§ bµ¶ y z = ¦§ aµ¶ . Suponga que v1 5 v/|v| y v2 5 z/|z|. Demuestre que {v1, v2} forma una base ortonormal en símbolo 2 siempre que a y b no sean ambas cero. b) Para ¥ 1´ forme v1 y v2 como en el inciso a). Sea w 3 Calcule p1, el vector v = §¦ 2µ¶ , 4 . proyección de w sobre v1, y p2, el vector proyección de w sobre v2. Recuerde la geome- tría de una proyección usando el archivo prjtn.m. Utilice los comandos prjtn(w,v1) y prjtn(w,v2), el archivo se encuentra en la sección MATLAB 3.2 (en la pantalla de gráfi- cos, w tendrá etiqueta U y v1 o v2 etiqueta V). M c) Verifique que w 5 p1 1 p2 5 (w ? v1)v1 1 (w ? v2)v2. Dé el comando lincomb(v1,v2,w). (El archivo lincomb.m se encuentra en la sección MATLAB 3.1). Describa de qué manera se refleja la geometría de la proyección y de la combinación lineal en la gráfica que se presenta. Precaución. La impresión directa de la pantalla NO conserva longitudes ni ángulos rec- tos. Para verificar que los números desplegados en la pantalla de gráficas son w ? v1 y w ? v2, dé los comandos format rat w9*v1 w9*v2 ¥ 1´ ¥ 4´ d) Repita los incisos b) y c) para v = ¦§ 2¶µ y w = ¦§ 2¶µ . e) Repita los incisos b) y c) para v y w de su elección.
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 405 f ) (Lápiz y papel) Explique de qué forma ilustra este problema el teorema 7 de esta sec- ción, donde H es gen {v}. ¥ 2´ 4. a) Sea v un vector longitud 1 en la dirección de §¦ 1µ¶ (divida el vector entre su longitud). ¥ 3´ Sea w 5 §¦ 5¶µ , encuentre p, el vector proyección de w sobre v y calcule |w – p|. b) Elija cualquier valor escalar para c; haga z 5 cv y verifique que |w – z| $ |w – p|. Repita para otros tres valores de c. Explique la relación entre esto y el teorema 8, donde H es gen {v}. c) Repita los incisos a) y b) con w = ⎛ − 3⎞ . ⎝⎜ 2⎠⎟ d) Repita los incisos a) y b) para vectores v y w arbitrarios. e) (Lápiz y papel) En el siguiente diagrama esquemático etiquete con p al vector proyec- ción de w sobre v, y localice w – p y w – z. Explique la manera en que estos diagramas ilustran la geometría del teorema 8, donde H es el subespacio gen {v}. w w v v z z 5. Proyección sobre un plano en R3 ¥ 1´ ¥ 0´ a) Sea v1 ¦ 23¶µµµ y v2 ¦ 12¶µµµ . §¦¦ §¦¦ Encuentre una base ortonormal {z1, z2} para el plano dado por gen {v1, v2} usando el pro- ceso de Gram-Schmidt. ¥ 1´ b) (Lápiz y papel) Verifique que z = ¦ 12µµµ¶ es perpendicular tanto a v1 como a v2 y por lo ¦§¦ tanto, es perpendicular a H 5 gen {v1, v2}. Sea n 5 z/|z|. Explique por qué n es una base ortonormal para H'. c) La definición 4 dice que la proyección de un vector w sobre H está dada por proyH w 5 (w ? z1)z1 1 (w ? z2) z2. El teorema 7 dice que w 5 proyH w 1 proyH' w, que puede rexpre- sarse como proyH w 5 w 2 proyH' w. Para cuatro vectores w de 3 3 1 arbitrarios, calcule proyH w de las dos maneras y compare los resultados (nota. Como H' es de dimensión uno, proyH' w es igual al vector proyección de w sobre n). d) (Lápiz y papel) El siguiente diagrama ilustra la geometría de proyH w 5 w 2 proyH' w. En el diagrama, localice h 5 proyH' w, bosqueje w – h y verifique que es paralela a p, la proyección de w sobre el plano.
406 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales w n p 6. Para los vectores v1, . . . , vk, si se forma la matriz A 5 [v1 . . . vk], entonces el comando de MATLAB B 5 orth(A) producirá una matriz B cuyas columnas forman una base ortonor- mal para el subespacio H 5 imagen de A 5 gen {v1, . . . , vk}. a) Sea {v1, v2, v3} el conjunto de vectores en el problema 1b) de esta sección de MATLAB. Encuentre A y B según se describió. Verifique que las columnas de B son ortonorma- les. b) Sea x un vector aleatorio de 3 3 1; encuentre Ax. Explique por qué Ax está en H. El teorema 4 dice que si w está en H, entonces w 5 (w ? u1)u1 1 . . . 1 (w . uk)uk, donde {u1, . . . , uk} es una base ortonormal para H. Verifique esto para w 5 Ax usando el hecho de que ui es la i-ésima columna de B. c) Repita las instrucciones de los incisos a) y b) para {v1, v2, v3, v4}, donde cada vi es un vector aleatorio de 6 3 1 y x es un vector aleatorio de 4 3 l. 7. Genere cuatro vectores aleatorios en R6, v1, v2, v3, v4. Sea H 5 gen {v1, v2, v3, v4}. Sea A 5 [v1 v2 v3 v4] y B 5 orth(A). Sea ui la i-ésima columna de B. a) Sea w un vector aleatorio de 6 3 l. Encuentre la proyección de w sobre H, p 5 proyH w usando la definición 4. Calcule Verifique que z 5 Btw y p 5 BBtw. Repita para otro vector w. b) Sea x un vector aleatorio 4 3 1 y forme h 5 Ax. Entonces h está en H. Compare |w – p| y |w – h|. Repita para otros tres vectores x. Escriba una interpretación de sus observa- ciones. c) Sea z 5 2v12 3v3 1 v4. Entonces H 5 gen {v1, v2, v3, z} (aquí H es el subespacio descrito en los incisos anteriores de este problema). ¿Por qué? Sea C 5 [v1 v2 v3 z] y D 5 orth(C). Entonces las columnas de D serán otra base ortonormal para H. Sea w un vector aleatorio de 6 3 l. Calcule la proyección de w sobre H utilizando B y la proyección de w sobre H usando D. Compare los resultados. Repita para otros dos o más vectores w. Escriba la interpretación de sus observaciones. d) (Lápiz y papel) Si {u1, . . . , uk} es una base ortonormal para un subespacio H y B es la matriz [u1, . . ., uk] pruebe que la proyección de w sobre H es igual a BBtw. 8. a) (Lápiz y papel) Si A es una matriz real, explique por qué el espacio nulo de At es perpendicular a la imagen de A; es decir, si H 5 Im(A), entonces el espacio nulo (At) 5 H'.
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 407 b) Sea A una matriz aleatoria real de 7 3 4. Sea B 5 orth(A) y sea C 5 null(A9) (entonces las columnas de B forman una base ortonormal para H 5 Im(A) y las columnas de C forman una base ortonormal para H'). Verifique que las columnas de C son ortonor- males. c) Sea w un vector aleatorio de 7 3 1. Encuentre h, la proyección de w sobre H y p, la pro- yección de w sobre H' (vea el problema 7 de esta sección de MATLAB). Verifique que w 5 p 1 h. Repita para otros tres vectores w. d) Verifique que BBt 1 CCt 5 I, donde I es la matriz identidad. e) (Lápiz y papel) Pruebe la relación en el inciso d). 9. a) (Lápiz y papel) Suponga que {u1, . . . , un} es una base ortonormal para n y B es la matriz [u1 . . . un]. Sea v un vector en n. Haciendo uso del teorema 4, explique por qué se pueden encontrar las coordenadas de v respecto a la base {u1, . . . , un} mediante Btv. b) (Lápiz y papel) Recuerde que si u es el ángulo entre u y w, entonces cos (u) 5 u ? w/|u||w|. Suponga que |w| 5 1. Usando el teorema 4, pruebe que las coordenadas de w respecto a una base ortonormal se pueden interpretar como los cosenos de los ángulos que forma w con cada uno de los vectores de la base; es decir, la coordenada de w que corresponde al coeficiente del i-ésimo vector de la base es igual al coseno del ángulo entre w y ese vector. c) Verifique esta interpretación encontrando los ángulos entre el vector dado w y la base ortonormal {v1, v2} para 2. Primero, haga un bosquejo a mano para decidir qué ángu- los espera (utilice el comando acos de MATLAB. Con doc acos se obtiene una descrip- ción. Para cambiar el ángulo de radianes a grados, multiplique por 180/π). ¥ 1´ iii. w 5 vector de longitud 1 en la dirección de ¦§1¶µ ¥ 1´ ¥ 0´ v1 §¦ 0µ¶ v2 §¦ 1µ¶ ¥ 1´ iii. w = §¦ 0¶µ ¥ 1´ v1 5 vector de longitud 1 en la dirección de §¦1µ¶ ¥ 1´ v2 5 vector de longitud 1 en la dirección de ¦§ 1¶µ «¥ 2´ ¥ 2´ ¥ 1´ º ®¦ ¦ ¦ ® ®®¬®®®¦¦¦§¦¦ 3 µ ¦ 13 µµµ ¦ 3 µ ® 1 2 µ ¦ ¦ 2 µ ® d) Verifique que µ , ¦ , ¦ µ » es una base ortonormal para 3. Sea s 11 . 3µ ¦ 3µ ¦ 3µ ® µ ¦ µ ¦ µ ® 1 µ § 2 µ § 2 µ ®¼ 3¶ 3¶ 3¶ Encuentre los ángulos entre s y cada vector de la base. Primero construya w 5 s/|s|. Los ángulos entre w y los vectores de la base serán iguales a los ángulos entre s y estos vec- tores. Repita para otro vector s. 10. Verifique que las siguientes matrices son ortogonales.
408 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales 1 1 1 1 4 6 12 2 1 1 14 a) B b) 6 1 B1 12 4 6 1 13 14 34 39 c) 26 29 2 B2 d) orth(rand(3)) 5 B3 26 22 19 e) [u1 u2 u3] 5 B4, donde {u1, u2, u3} es la base obtenida al aplicar el proceso de Gram- ⎧⎛ −1 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎫ Schmidt a ⎨⎪⎩⎪⎜⎜⎝⎜ ⎪⎬ . 2 ⎟ , ⎜ 11⎠⎟⎟⎟ , ⎜ 2 ⎟ ⎪ 3 ⎟⎠⎟ ⎜⎝⎜ ⎝⎜⎜ 4 ⎟⎠⎟ ⎭ 11. a) Verifique que cada una de las siguientes matrices es ortogonal. B1B2, B1B3, B2B4 y B3B4, donde B1, B2, B3 y B4 son las matrices del problema 10 anterior. b) (Lápiz y papel) Trabaje el problema 16 de esta sección de MATLAB. 12. a) Encuentre la inversa de cada matriz en el problema 10 anterior y verifique que las inver- sas son ortogonales. b) (Lápiz y papel) Pruebe que la inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogo- nal. 13. a) Encuentre el determinante de cada matriz en el problema 10. Formule una conclusión sobre el determinante de una matriz ortogonal. b) (Lápiz y papel) Pruebe su conclusión. c) Revise (o resuelva) el problema 2 de MATLAB 3.4. Suponga que u, v y w son vectores en 3 que forman un paralelepípedo. Si Q es una matriz ortogonal de 3 3 3, explique por qué Qu, Qv y Qw forman un paralelepípedo con el mismo volumen que el formado por u, v y w. 14. Matrices ortogonales: longitud y ángulo Recuerde que si u es el ángulo entre u y w, enton- ces cos (u) 5 u ? w/|u||w|. a) Sea Q la matriz ortogonal B1 en el problema 10 anterior. Elija dos vectores aleatorios u y w. Calcule y compare la longitud de v y la longitud de Qv. Calcule y compare el coseno del ángulo entre v y w y el coseno del ángulo entre Qv y Qw. Repita para un total de tres pares de vectores elegidos v y w. b) Repita el inciso a) para otra matriz ortogonal del problema 10. Repita el inciso a) para Q 5 orth(2*rand(5)–1) (verifique primero que esta Q es ortogonal). Escriba una inter- pretación de sus observaciones de los incisos a) y b). c) Sea Q 5 orth(2*rand(6)–1). Verifique que Q es una matriz ortogonal y por ende que las columnas de Q forman una base ortonormal para 6. Sean x y z dos vectores aleatorios de 6 3 l. Encuentre xx, las coordenadas de x res- pecto a la base dada por las columnas de Q. Encuentre zz, las coordenadas de z respecto a esta misma base. Compare |x – z| con |xx – zz|. Repita para otro par de vectores x y z y describa sus observaciones. d) El inciso c) tiene algunas ramificaciones importantes. En cualquier cálculo o medición se introducen errores. Un aspecto importante al diseñar algortimos numéricos hace refe-
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en Rn 409 rencia a los errores compuestos o acumulados. Se puede interpretar |x – z| como un error; por ejemplo, x puede representar los valores teóricos y z una aproximación. Explique cómo puede verse en las observaciones del inciso c) que el cambio del proceso a las coor- denadas de una base ortonormal no acumula (incrementa) un error que ya está presente. ¿Por qué el cambio de regreso a coordenadas estándar tampoco aumenta el error? e) (Lápiz y papel) Si Q es una matriz ortogonal y v y w son vectores, pruebe que Qv ? Qw 5 v ? w. Utilice esta demostración para probar que |Qv| 5 |v| y que el coseno del ángulo entre Qv y Qw es igual al coseno del ángulo entre v y w. f ) (Lápiz y papel) Pruebe sus observaciones en el inciso c) (explique primero por qué al encontrar las coordenadas de un vector x respecto a las columnas de Q se obtiene lo mismo que al multiplicar x por una matriz ortogonal). 15. Matrices de rotación Será necesario haber completado los problemas 9 y 10 de MATLAB 4.8. Si sólo ha terminado el problema 9, se pueden resolver los incisos a) y b) para 2. a) Considere la matriz de rotación V en el problema 9b) y las matrices de rotación P, Y y R del problema 10a) de MATLAB 4.8. Elija un valor para el ángulo de rotación, por ejemplo, π/4 y verifique (usando el ángulo que eligió) que cada matriz V, P, Y y R es ortogonal. Repita para otros dos ángulos. b) (Lápiz y papel) Como una matriz de rotación de n 3 n es ortogonal, las columnas de la matriz forman una base ortonormal para n. ¿Por qué? ¿Por qué puede esperarse este tipo de geometría? c) (Lápiz y papel) Recuerde que en el problema 10 de MATLAB 4.8, la posición de la nave se encuentra haciendo las maniobras de inclinación, desviación y giro en algún orden. Esto lleva a una matriz de posición que se forma con el producto de algunas de las matrices de rotación P, Y y R. Explique por qué la matriz de posición es una matriz ortogonal. d) Suponga que la orientación original de un satélite está dada por las maniobras de incli- nación, desviación y giro de manera que su matriz de posición es ortogonal. El centro de control (orientado a lo largo de las coordenadas estándar) verifica periódicamente la posición del satélite pidiéndole las lecturas (en coordenadas del satélite) de objetos con localización conocida en el centro de control. Cierto satélite envía las siguientes lecturas (que se ajustan para tomar en cuenta las distintas localizaciones del centro de control y del satélite): ¥ .7017 ´ ¥ 1´ v1 ¦ .70017µ¶µµ para un objeto en ¦ 00µ¶µµ (coordenadas estándar) ¦¦§ ¦¦§ ¥ .2130´ ¥ 0´ v2 ¦ ..29103903µµµ¶ para un objeto en ¦ 01µ¶µµ (coordenadas estándar) ¦§¦ ¦§¦ ¥ .1025´ ¥ 0´ v3 ¦ ..04712265µµµ¶ para un objeto en ¦ 01¶µµµ (coordenadas estándar) ¦§¦ ¦¦§ Explique por qué el centro de control está al corriente de que algo no funciona con el satélite [sugerencia: explique primero por qué la matriz [v1 v2 v3] debe ser igual a A21I,
410 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales ¥ 1 0 0´ donde I ¦ 0 1 10µµµ¶ y A es la matriz de posición del satélite. Recuerde que las lecturas ¦§¦ 0 0 ¥ 1´ ¥ 0´ ¥ 0´ son las coordenadas de ¦ 00µµµ¶ , ¦ 10µµ¶µ y ¦ 01¶µµµ respecto al sistema de coordenadas del satélite §¦¦ §¦¦ §¦¦ dadas por A, la matriz de posición. ¿Qué tipo de matrices deben ser A y A21?]. e) Suponga que la nave se orienta con una maniobra de inclinación, un ángulo de π/4, seguida de una desviación con un ángulo de 2 π/3 y después un giro con un ángulo de π/6. Encuentre la matriz de posición. Encuentre los ángulos entre cada uno de los ejes coordenados de la nave y el eje x estándar, es decir, los ángulos entre las columnas de la matriz de posición y el vector ¥ 1´ ¦ 00¶µµµ . Encuentre los ángulos entre los ejes coordenados de la nave y el eje y estándar, y §¦¦ los ángulos entre cada eje coordenado de la nave y el eje z estándar (vea el problema 9 de esta sección de MATLAB). Explique su procedimiento. 16. a) Sea x un vector aleatorio de 3 3 1. Sea v 5 x/|x|. Encuentre la matriz H 5 I 2 2vvt, donde I es la matriz identidad de 3 3 3. Verifique que H es ortogonal. Repita para otros dos vectores x (recuerde que el comando eye crea una matriz identidad). b) Repita el inciso a) para x, un vector aleatorio de n 3 1 con dos valores diferentes de n (aquí I será la matriz identidad de n 3 n). c) (Lápiz y papel) Si v es un vector de longitud 1 en n, pruebe que H 5 I 2 2vvt es una matriz ortogonal. d) Geometría Las matrices que se acaban de construir se denominan reflectores elementa- les. Sea v un vector unitario en 2 y construya H como antes. Sea x cualquier vector en 2. Entonces Hx es la reflexión de x a través de la recta perpendicular a v. El siguiente programa de MATLAB ilustra esta geometría. El vector z calculado es x 2 proyv x, por lo tanto, será un vector perpendicular a v. Así, z representa la recta perpendicular a v. Esta recta está dibujada con una línea punteada en color magenta. La recta determinada por v se representa con una línea azul discontinua. El vector x original está trazado en negro y el vector reflejado h está dibujado en rojo. Los renglones del programa que preceden a la instrucción de graficar se necesitan para establecer la perspectiva de los ejes de manera adecuada para que las longitudes iguales se vean igua- les y los ángulos rectos se vean como tales. Cuando termine esta parte, borre la ventana de gráficos con el comando clf. Introduzca los vectores vv y x de 2 3 1: v=vv/norm(vv); % Vector unitario con la dirección de vv z=x-(x’*v)*v; % Proyección perpendicular de x % con respecto a vv H=eye(2)-2*v*v’; % Operador de reflexión h=H*x; % Imagen del vector x a través de la reflexión aa=[x’,z’,h’,-z’,v’,-v’]; m=min(aa);M=max(aa); plot([0 z(1)],[0,z(2)],’m:’,[0,-z(1)],[0,-z(2)],’m:’,... [0 v(1)],[0,v(2)],’b--’,[0,-v(1)],[0,-v(2)],’b--’,... [0 x(1)],[0,x(2)],’k--’,[0,h(1)],[0,h(2)],’r’)
4.10 Aproximación por mínimos cuadrados 411 axis([m M m M]); axis(‘square’); grid title(‘Magenta z, Azul v, Negra x, Roja h’) Los vectores sugeridos son vv =[0;1] x =[3;3] vv =[1;1] x =[–1;2] vv =[1;1] x =[4;2] e) Observando la geometría, dé una conclusión de la relación entre H y H21. Pruebe su conclusión para cuatro matrices H generadas igual que en los incisos a) y b). PROBLEMA 17. Trabaje los problemas 9 y 10 de MATLAB 4.8 y el problema 15 de esta sección (de MATLAB). PROYECTO 4.10 APROXIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS En múltiples problemas de las ciencias biológicas, físicas y sociales resulta útil describir la re- lación entre las variables de los mismos por medio de una expresión matemática. Así, por ejemplo, se puede describir la relación entre el costo, el ingreso y la ganancia con la fórmula sencilla P5R2C En un contexto distinto, se puede representar la relación entre la aceleración debida a la gravedad, el tiempo que un objeto ha caído y la altura a la que estaba mediante la ley física donde s0 es la altura inicial del objeto y v0 es la velocidad inicial. Por desgracia, no es fácil obtener fórmulas como las anteriores. Muy a menudo los cien- tíficos o los economistas tienen que trabajar con grandes cantidades de datos para encontrar relaciones entre las variables de un problema. Una manera común de hacer esto es ajustar una curva entre los distintos puntos de datos. Esta curva puede ser recta o cuadrática o cúbica, y así sucesivamente. El objetivo es encontrar la curva del tipo específico que se ajuste “mejor” a los datos dados. En esta sección se muestra cómo lograr esto cuando se tienen dos variables en el problema. En cada caso se supone que existen n puntos de datos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn). En la figura 4.7 se indican tres de las curvas que se pueden utilizar para ajustar datos. y yy Figura 4.7 x x x a b c Tres curvas en el plano xy.
412 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales APROXIMACIÓN POR UNA RECTA Antes de continuar, debe aclararse qué quiere decir “mejor ajuste”. Suponga que se busca la recta de la forma y 5 b 1 mx que mejor represente a los n datos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn). La figura 4.8 ilustra lo que ocurre (utilizando tres datos). En esta figura se ve que si se supone que las variables x y y están relacionadas por la fórmula y 5 b 1 mx, entonces, por ejemplo, para x 5 x1 el valor correspondiente de y es b 1 mx1. Esto es diferente del valor “real”, y 5 y1. En 2 la distancia entre los puntos (a1, b1) y (a2, b2) está dada por d 5 (a1 2 a2 )2 1 (b1 2 b2 )2 Por lo tanto, al determinar la manera de elegir la recta y 5 b 1 mx que mejor se aproxima a los datos dados, es razonable usar el criterio de seleccionar aquella que minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores y de los puntos y el valor y correspondiente a la recta. Observe que como la distancia entre (x1, y1) y (x1, b 1 mx1) es y1 2(b 1 mx1), el problema (para los n datos) puede establecerse como sigue: Problema de mínimos cuadrados en el caso de una recta Encuentre números m y b tales que la suma [y1 2 (b 1 mx1)]2 1 [y2 2 (b 1 mx2)]2 1 . . . 1 [yn 2 (b 1 mxn)]2 (1) sea mínima. Para estos valores de m y b, la recta y 5 b 1 mx se llama aproximación por la recta de mínimos cuadrados a los datos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn). Una vez definido el problema se busca un método para encontrar la aproximación de míni- mos cuadrados. Lo más sencillo es escribir todo en forma matricial. Si los puntos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) están todos sobre la recta y 5 b 1 mx (es decir, si son colineales), entonces se tiene y1 b mx1 y2 b mx2 oo o yn b mxn o y 5 Au (2) 1 Figura 4.8 1 Los puntos sobre la recta tienen coordenadas (x, b 1 mx). 1 51
4.10 Aproximación por mínimos cuadrados 413 donde y1 1 x1 y y2 , A 1 x2 y u b (3) o m o o y 1 x Si los puntos no son colineales, entonces y 2 Au ≠ 0 y el problema se convierte en Forma vectorial del problema de mínimos cuadrados Encuentre un vector u tal que la forma euclideana |y 2 Au| (4) sea mínima Observe que en 2, |(x, y)| 5 x2 1 y2 , en 3, |(x, y, z)| 5 x2 1 y2 1 z2 , etc. Entonces, minimizar (4) es equivalente a minimizar la suma de cuadrados en (1). Encontrar el vector u que minimiza no es tan difícil como parece. Como A es una matriz de n 3 2 y u es una matriz de 2 3 1, el vector Au es un vector en n que pertenece a la imagen de A. La imagen de A es un subespacio de n cuya dimensión es a lo más dos (ya que cuando mucho dos columnas de A son linealmente independientes). Así, por el teorema de aproximación de la norma en n (teorema 8, página 405), (4) es un mínimo cuadrado Au 5 proyH y donde H es la imagen de A. Se ilustrará esto con una gráfica para el caso de n 5 3. En 3 la imagen de A será un plano o una recta que pasa por el origen (ya que éstos son los únicos subespacios de 3 de dimensión uno o dos). Vea la figura 4.9. El vector que minimiza se denota por u. De la figura (y del teorema de Pitágoras) se deduce que |y 5 Au| es mínima cuando y 2 Au es ortogonal a la imagen de A. Es decir, si u es el vector que minimiza, entonces para todo vector u P 2 Au ' (y 2 Au ) (5) Usando la definición de producto escalar en n, se encuentra que (5) se vuelve Au (y Au) 0 fórmula (6), página 121 ( Au)t (y Au) 0 teorema 1 ii), página 120 (ut At )(y Au) 0 Figura 4.9 2 y 2 Au es ortogonal a Au.
414 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales (6) (7) o ut(Aty 2 AtAu ) 5 0 La ecuación (6) se cumple para todo u ∈ R2 sólo si Aty 2 AtAu 5 0 Al despejar u de (7) se obtiene Solución al problema de mínimos cuadrados para un ajuste por línea recta Si A y y son como se definieron en (3), entonces la recta y 5 mx + b da el mejor ajuste (en el sentido de mínimos cuadrados) para los puntos ( x1, y1 ), ( x2 , y2 ),..., ( xn, yn ) ¥ b´ cuando §¦ m¶µ 5 u y u 5 (AtA)21 Aty (8) Aquí se ha supuesto que AtA es invertible. Éste siempre es el caso si los n datos no son co- lineales. La demostración de este hecho se deja para el final de esta sección. EJEMPLO 1 La recta que mejor se ajusta para cuatro datos Encuentre la recta que da el mejor ajuste para los datos (1, 4), (22, 5), (3, 21) y (4, 1). Solución En este caso ¥1 1´ ¥ 4´ ¦ 1 2 µ , At ¥ 1 1 1 1´ y ¦ 5µµ A ¦ µ ¦§ 1 2 3 4 ¶µ y=¦ ¦1 3µ ¦ 1µ §¦ 1 4¶µ §¦ 1µ¶ Entonces At A ¥ 4 6´ ( At A) 1 1 ¥ 30 6´ y §¦ 6 30µ¶ , 84 ¦§ 6 4µ¶ ¥ 4´ u ( At A) 1 At y 1 ¥ 30 6´ ¥ 1 1 1 1 ´ ¦ 5 µ 84 §¦ 6 4¶µ §¦ 1 2 3 4 µ¶ ¦ µ ¦ 1 µ ¦§ 1µ¶ 1 ¥ 30 6´ ¥ 9´ 1 ¥ 300´ z ¥ 3.57´ 84 ¦§ 6 4¶µ §¦ 5¶µ 84 §¦ 74µ¶ ¦§ 0.88µ¶ Por lo tanto, la recta que mejor se ajusta está dada por y 5 3.57 2 0.88x Esta recta y los cuatros datos se bosquejan en la figura 4.10.
4.10 Aproximación por mínimos cuadrados 415 Figura 4.10 La recta que mejor se ajusta a los cuatro puntos es y 5 3.57 2 0.88x. APROXIMACIÓN CUADRÁTICA Ahora se desea ajustar una curva cuadrática a los n datos. Recuerde que una curva cuadrática en x es cualquier expresión de la forma y 5 a 1 bx 1 cx2 (9) La ecuación (9) es la ecuación de una parábola en el plano. Si los n datos estuvieran sobre la parábola, se tendría y1 a bx1 cx12 (10) y2 a bx2 cx22 ooo o yn a bxn cxn2 Para y1 1 x1 x12 a x2 x22 y y2 , A 1 o y u = bc (11) xn o o yn 1 o xn2 El sistema (10) se puede volver a escribir como y 5 Au al igual que antes. Si los datos no se encuentran todos sobre la misma parábola, entonces y 2 Au ≠ 0 para cualquier vector u, y de nuevo el problema es Encontrar un vector u en 3 tal que | y 2 Au | sea mínima. Utilizando un razonamiento similar al anterior, se puede demostrar que si cuando menos tres de las xi son diferentes, entonces AtA es invertible y el vector que minimiza al vector u está dado por u 5 (AtA)21Aty (12)
416 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales EJEMPLO 2 El mejor ajuste cuadrático para cuatro puntos Encuentre el mejor ajuste cuadrático para los datos del ejemplo 1. Solución Aquí Entonces ⎛1 1 1⎞ ⎛1 1 1 1⎞ ⎛ 4⎞ A 5 ⎜ 1 22 4⎟⎟ , At 5 ⎜ 1 22 3 4⎟⎟ y ⎜ 5⎟⎟ ⎜ ⎜ y5⎜ ⎜1 3 9⎟ ⎜21⎟ ⎝⎜1 4 16⎠⎟ ⎝⎜1 4 9 16⎠⎟ ⎝⎜ 1⎠⎟ y y Así, el mejor ajuste cuadrático para los datos está dado por la parábola y 5 3.75 2 0.81x 20.04x2 La figura 4.11 presenta una gráfica de la parábola y los cuatro puntos. Nota. Si n es grande, entonces el cálculo de (AtA)21 puede llevar a una gran cantidad de errores numéricos. En este caso es mucho más eficiente encontrar u resolviendo el sistema (AtAu ) 5 Aty por descomposición LU. De hecho, resolver AtAu 5 Aty por este método es casi siempre más eficiente que calcular (AtA)21 cuando n . 3. 2 Figura 4.11 La ecuación cuadrática y 5 3.75 2 0.81x 2 0.04x2 es 2 el mejor ajuste cuadrático para los cuatro puntos. 5 2 2
4.10 Aproximación por mínimos cuadrados 417 EJEMPLO 3 El mejor ajuste cuadrático para cinco puntos puede proporcionar una estimación para g El método de ajuste de curvas se puede utilizar para medir las constantes físicas. Suponga, por ejemplo, que se deja caer un objeto desde una altura de 200 metros. Se toman las siguientes mediciones: Tiempo transcurrido Altura (en metros) 0 200 1 195 2 180 4 120 6 25 Si un objeto en la altura inicial, en reposo, se deja caer, entonces su altura después de t segundos está dada por s 5 200 2 1 gt2 2 Para estimar g, se puede encontrar un ajuste cuadrático para los cinco puntos dados. Los coeficientes del término t2 serán, si las mediciones son buenas, una aproximación razonable al número 2 1 g. Utilizando la notación anterior, se tiene 2 1 0 0 200 1 1 1 1 1 195 1 2 4 , t 0 1 y y 180 0 1 36 1 4 16 4 16 120 1 6 36 25 Entonces y ⎛ 200⎞ 1 ⎛ 5912 −3924 508⎞ ⎛ 1 1 11 1⎞ ⎜ 195⎟⎟ 7504 4596 24 366⎟⎠⎟⎟ ⎜ 180⎟ u = ⎜ −3924 − 704 −710146⎟⎠⎟⎟ ⎜ 0 1 4 16 ⎜ 120⎟⎟ ⎜⎝⎜ 508 ⎜⎝⎜ 0 1 ⎜ ⎜ ⎝⎜ 25 ⎠⎟ 1 ⎛ 5 912 −3 924 508⎞ ⎛ 720⎞ 1 ⎛1 504 080⎞ ⎛ 200.44⎞ 504 4 596 7504 = 7 ⎜ −3 924 − 704 −710146⎟⎠⎟⎟ ⎜ 13 178355 ⎠⎟⎟⎟ = ⎜ −8 242600⎠⎟⎟⎟ ≈ ⎜ − 14..1936⎟⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 508 ⎜⎜⎝ ⎜⎝⎜ − 35 ⎜⎝⎜ − Los datos se ajustaron con la ecuación cuadrática y se tiene que 1 g ≈ 4.69, o sea, s(t) 5 200.44 21.13t 24.69t2 2 g ≈ 2(4.69) 5 9.38 m/seg2
418 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales Esto es razonablemente cercano al valor correcto de 9.81 m/seg2. Para obtener una aproxima- ción más exacta de g sería necesario obtener observaciones más precisas. Observe que el térmi- no 21.13t representa una velocidad inicial (hacia abajo) de 1.13 m/seg. Se observa aquí que las aproximaciones de polinomios de grado más alto se obtienen de manera idéntica. Vea algunos detalles en los problemas 7 y 9 de esta sección. Concluiremos esta sección demostrando el resultado que garantiza que la ecuación (8) será siempre válida, excepto cuando los puntos estén en una misma recta vertical. TEOREMA 1 Sea (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), n puntos en 2, y suponga que no todas las xi son iguales. DEMOSTRACIÓN Entonces si A está dada como en (3), la matriz AtA es una matriz invertible de 2 3 2. Nota. Si x1 5 x2 5 x3 5 . . . 5 xn, entonces todos los datos están sobre la recta vertical x 5 x1 y la mejor aproximación lineal es, por supuesto, dicha recta. Se tiene 1 x1 A 1 x2 o o 1 xn Como no todas las xi son iguales, las columnas de A son linealmente independientes. Ahora bien 1 x1 n At n xi 1 1 p 1 1 x2 A x1 x2 p xn i1 o o n n 1 xn i1 xi i1 xi2 Si AtA no es invertible, entonces det AtA 5 0. Esto significa que n 2 n xi (13) i1 i i1 1 x1 Sea u 1 y x x2 . Entonces o o 1 xn de manera que la ecuación (13) se puede establecer como |u||x|2 5 |u ? x|2 y sacando raíz cuadrada se obtiene |u ? x| 5 |u||x| Ahora, la desigualdad de Cauchy-Schwarz (página 399) dice que |u ? x| # |u||x| en donde la igualdad se cumple si y sólo si x es una constante múltiplo de u. Pero u y x son las columnas de A que son linealmente independientes, por hipótesis. Esta contradic- ción prueba el teorema.
4.10 Aproximación por mínimos cuadrados 419 Problemas 4.10 AUTOEVALUACIÓN I. La recta de mínimos cuadrados para los datos (2, 1), (21, 2) y (3, 25) minimizará a) [2 2 (b 1 m)]2 1 [21 2 (b 1 2m)]2 1 [3 2 (b 2 5m)]2 b) [1 2 (b 1 2m)]2 1 [2 2 (b 1 m)]2 1 [25 2 (b 1 3m)]2 c) [1 2 (b 1 2m)]2 1 |2 2 (b 1 m)| 1 |25 2 (b 1 3m)| d) [1 2 (b 1 2)]2 1 [2 2 (b 2 1)]2 1 [25 2 (b 1 3)]2 De los problemas 1 al 3 encuentre la recta que se ajusta mejor a los puntos dados. 1. (1, 3), (22, 4), (7, 0) 2. (23, 7), (4, 9) 3. (1, 3), (4, 6), (22, 5), (3, 21) De los problemas 4 al 6 encuentre el mejor ajuste cuadrático para los puntos dados. 4. (2, 25), (3, 0), (1, 1), (4, 22) 5. (27, 3), (2, 8), (1, 5) 6. (1, 21), (3, 26), (5, 2), (23, 1), (7, 4) 7. La ecuación cúbica general está dada por a 1 bx 1 cx2 1 dx3 Demuestre que la mejor aproximación cúbica a n puntos está dada por a u b ( At A)1 At y c d donde y es como se definió y 1 x1 x12 x13 x2 x22 x23 A 1 o o o o 1 xn xn2 xn3 8. Encuentre la mejor aproximación cúbica para los puntos (3, 22), (0, 3), (21, 4), (2, 22) y (1, 2). 9. El polinomio general de grado k está dado por a0 1 a1x 1 a2x2 1 . . . 1 akxk Demuestre que el polinomio de grado k que mejor se ajusta a los n puntos está dado por a0 u a1 ( At A)1 At y o ak
420 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales donde 1 x1 x12 p x1k x2 x22 p x2k A 1 o o xn o xn2 o p xnk 1 10. Los puntos (1, 5.52), (21, 15.52), (3, 11.28) y (22, 26.43) están todos en una parábola a) Encuentre la parábola b) Demuestre que |y 2 Au | 5 0. 11. Un fabricante compra grandes cantidades de refacciones para cierta máquina. Él encuen- tra que este costo depende del número de cajas compradas al mismo tiempo y que el costo por unidad disminuye conforme el número de cajas aumenta. Supone que el costo es una función cuadrática del volumen y de las facturas anteriores obtiene la siguiente tabla: Número de cajas Costo total compradas (dólares) 10 150 30 260 50 325 100 500 175 670 Encuentre su función de costo total. 12. Una persona lanza una pelota al aire en dirección hacia abajo. La altura que alcanza está dada por s(t) 5 s0 1 v0t 1 1 gt2. Se toman las siguientes mediciones: 2 Tiempo transcurrido Altura (segundos) (pies) 1 57 1.5 67 2.5 68 4 9.5 Usando los datos, estime: a) La altura a la que se dejó caer la pelota b) La velocidad inicial c) g (en pies/seg2)
4.10 Aproximación por mínimos cuadrados 421 MANEJO DE LA CALCULADORA En estadística, un problema importante es encontrar la recta de mínimos cuadrados. En el contexto de estadística, el procedimiento para hacerlo se denomina regresión lineal. Encontrar el mejor ajuste cuadrático se conoce como regresión cuadrática. La regresión lineal es una herramienta de uso común y prácticamente todas las calculadoras que gra- fican pueden calcular los valores de m y b una vez que se introducen los datos. Todos los cálculos estadísticos se realizan oprimiendo las teclas STAT y eligien- do el tipo de trabajo que se está interesado en realizar, por ejemplo, seleccionando la opción 1 se trabaja con estadísticas donde sólo se tiene una variable, la opción 3 propor- ciona herramientas para hacer ajustes de curvas a datos presentados como colecciones de puntos. Se volverá a calcular la recta de regresión para los datos del ejemplo 1: (1, 4), (22, 5), (3, 21) y (4, 1). Presione STAT 3 ENTER . Aparece la siguiente pantalla con el campo SDAT marcado que es donde se guardan el conjunto de puntos con los cuales se va a calcuar el ajuste. Oprimendo la tecla marcada como EDIT se obtiene la siguiente pantalla que es donde se escriben los datos, utilizaremos la primera columna para los valores de x y la segunda columna para los valores de y. Para introducir el primer punto oprimimos la secuencia de teclas 1 SPC 4 ENTER con lo que se obtiene la siguiente pantalla.
422 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales A continuación oprimimos para dejar al cursor al inicio del se- gundo renglón como se muestra a continuación Introducimos el segundo punto, 2 +/–w SPC 5 ENTER . En esta ocasión ya no hay que regresar el cursor al inicio del tercer renglón. Introducimos el tercer punto, 3 SPC 1 +/–w ENTER Introducimos el cuarto punto, 4 SPC 1 ENTER Para terminar oprimimos ENTER lo que nos lleva a la siguiente pantalla. En el segundo renglón se puede especificar cuál columna utilizar para los valores de x y de y, en este caso no hay necesidad de cambiar nada. Seleccionamos el modelo a ajustar
4.10 Aproximación por mínimos cuadrados 423 y que en este caso es una recta por lo que debemos escoger el modelo de Linear Fit y oprimir la tecla OK. Aparecen los resultados de este ajuste en los renglones del 1 al 3, en el tercer renglón aparece la ecuación de la recta que se ajusta, de la mejor forma, en el sentido de mínimos cuadrados, a los puntos proporcionados. Para poder leer completamente el renglón, con las teclas del cursor seleccionamos el renglón 3 y oprimimos la tecla VIEW Finalmente oprimimos la tecla TEXT y ahora ya podemos leer la ecuación de la recta. Siguiendo un procedimiento similar podemos leer el valor del coeficiente de correla- ción y el valor de la covariancia.
424 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales Es posible hacer ajustes a polinomios de cualquier grado, en el Manual del Usuario de la calculadora aparece un programa para lograr este objetivo (capítulo 18). De los problemas 13 al 16 encuentre, con ocho cifras decimales, la recta de regresión para los datos dados. 13. (57, 84); (43, 91); (71, 36); (83, 24); (108, 15); (141, 8) 14. (0.32, 14.16); (20.29, 51.3); (0.58, 213.4); (0.71, 229.8); (0.44, 19.6); (0.88, 246.5) 15. (461, 982); (511, 603); (846, 429); (599, 1722); (806, 2415); (1508, 3295); (2409, 5002) 16. (20.0162, 20.0315); (20.0515, 20.0813); (0.0216, 20.0339); (0.0628, 20.0616); (0.0855, 20.0919); (0.1163, 20.2105); (0.1316, 20.3002); (20.4416, 20.8519) En los problemas 17 a 20 encuentre la curva de regresión cuadrática para los datos que se proporcionan. 17. Los datos del problema 13. 18. Los datos del problema 14. 19. Los datos del problema 15. 20. Los datos del problema 16. RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN I. b) MATLAB 4.10 1. Considere el conjunto de datos (1, 2), (2, .5), (21, 4), (3.5, 21), (2.2, .4) y (4, 22). Sea x un vector de 6 3 1 que contiene las coordenadas x y sea y un vector de 6 3 1 con las coorde- nadas y. a) Dé A 5 [ones(6,1),x] y explique por qué A es la matriz utilizada para encontrar el ajuste a estos datos con la recta de mínimos cuadrados. b) Encuentre la solución de mínimos cuadrados u 5 (AtA)21Aty. Encuentre v 5 A\\y y com- pare con u (el comando diagonal invertida “\\” en MATLAB encuentra la solución de mínimos cuadrados para un sistema de rango completo sobredeterminado). c) Encuentre |y 2 Au|. Elija w 5 u 1 [.1;- .5], encuentre |y 2 Aw| y compare con |y 2 Au|. Repita para otros dos vectores w. Explique qué parte de la teoría de aproximación por mínimos cuadrados ilustra esto.proyH y d) La teoría de aproximación por mínimos cuadrados asegura que Au 5 proyH y, donde H es la imagen de A y u es la solución de mínimos cuadrados. Encuentre proyH y usando B 5 orth(A) como en el problema 7a) de MATLAB 4.9. Verifique que Au 5 proyH y.
4.10 Aproximación por mínimos cuadrados 425 e) La visualización de los datos y del ajuste con la recta de mínimos cuadrados puede ser de utilidad. El siguiente programa de MATLAB encuentra los coeficientes para el ajuste con la recta, genera varios valores de la coordenada x (el vector s), evalúa la ecuación de la recta para estos valores, grafica el conjunto de datos originales con signos de * en blanco, y grafica la recta de mínimos cuadrados. Nota. Por supuesto, para graficar una recta no se requiere evaluar la ecuación para varios valores, por lo que en realidad no es necesario encontrar el vector s. Sin embargo, para graficar ajustes con polinomios de grado más alto (o exponenciales) se necesita evaluar la función para varios valores de x. La generación de s se incluye aquí para proporcionar el modelo de MATLAB que necesitará sólo pequeñas modificaciones para otro tipo de ajustes. u 5 A\\y s 5 min(x):(max(x)–min(x))/100:max(x); fit 5 u(1)+u(2)*s plot(x,y9,w*9,s,fit) u 5 A\\y; % Resuelve el problema de mínimos cuadrados s 5 linspace(min(x)–0.5,máx(x) 1 0.5,100); % puntos a graficar ajuste_a_recta 5 u(1) 1 u(2)*s; % evaluación de la recta clf % borrar la ventana de gráficas plot(s,ajuste_a_recta,9r9,9LineWidth9,2); % graficar la % recta ajustada hold on % Mantener fija la gráfica plot(x,y,9bx9,9MarkerSize9,10,9LineWidth9,2); % graficar % los datos originales grid % desplegar cuadrícula legend(9Recta de ajuste9,9Datos9) % deplegar rótulo Title([9Recta: ‘,num2str(u(2)),9x 1 9,num2str(u(1))]) %deplegar %título ¿Parece un ajuste razonable la recta de mínimos cuadrados para estos datos? f ) Utilice la ecuación de mínimos cuadrados para aproximar un valor de y para x 5 2.9. 2. Considere los datos en el problema 11 de esta sección. Sea x un vector de 5 3 1 que con- tiene los valores del número de cajas compradas. Sea y el vector de 5 3 1 con los valores correspondientes del costo total. a) El problema pide un ajuste cuadrático. Dé A 5 [ones(5,1) x x. ^2] y explique por qué esta matriz es la matriz usada para ese ajuste. Nota. El punto (.) antes del símbolo “^” es importante. Le dice a MATLAB que eleve al cuadrado cada componente del vector x. b) Siga las mismas instrucciones de los incisos b) al e) del problema 1 anterior, excepto para el inciso b), seleccione w como un vector de 3 3 1, por ejemplo w 5 u 1 [.1;-.2;-.05]; para el inciso e) use fit 5 u(1)1u(2)*s1u(3)*s.^2;. c) Usando la ecuación cuadrática de mínimos cuadrados, estime el costo total para 75 cajas y estime el costo total para 200 cajas. 3. Trabaje el problema 12 de esta sección. 4. Es importante observar las gráficas de los datos y la solución de mínimos cuadrados. Una solución de mínimos cuadrados puede verse bastante afectada por uno o dos puntos. Al- gunos datos pueden ser muy distintos al resto de los ellos. Éstos se denominan puntos dispersos. Los puntos dispersos pueden indicar errores en los datos o un comportamiento poco usual que puede investigarse más a fondo.
426 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales a) Sean x y y dos vectores que representan los datos del problema 1 de esta sección. Se agregará el punto (1.5, 23.8) al conjunto de datos. Sea r 5 1.5 y t 5 23.8. Forme xx 5 [x;r] y yy 5 [y;t]. iii. Dé el comando plot(xx,yy,9m*9), localice el dato adicional y explique por qué se puede considerar un punto disperso. iii. Se graficará la recta de ajuste de mínimos cuadrados para los datos originales y el mismo ajuste para los datos aumentados en la misma gráfica para que se puedan comparar. Encuentre u, la recta de solución de mínimos cuadrados para los datos en x y y. Encuentre uu, la recta de solución de mínimos cuadrados para los datos en xx y yy. Forme s igual que en el problema le) anterior usando xx en lugar de x. Encuentre fit igual que en el problema le) usando u y encuentre fit1 usando uu. Dé el comando plot(x,y,9bx9,r,t,9mo9,s,fit,9r9,s,fit1,9g9) Este comando graficará los datos originales con una x azul (bx en el comando) y el punto disperso con una vocal o magenta (mo). La recta de ajuste para los datos originales quedará en rojo (r) y la de los datos aumentados en verde (g). iii. Describa el efecto del punto disperso sobre la recta de ajuste de mínimos cuadrados. ¿Qué recta piensa usted que representa mejor los datos? b) Repita el inciso a) para r 5 4.9 y t 5 4.5. 5. a) Para los datos en el problema de calculadora 16: Encuentre la matriz A para la recta de ajuste de mínimos cuadrados y después en- cuentre u, la solución de mínimos cuadrados. Encuentre B, la matriz para un ajuste cuadrático de mínimos cuadrados y después encuentre v, la solución de mínimos cuadrados. Encuentre |y 2 Au| y |y 2 Bv|. Grafique los datos y ambas curvas de mínimos cuadrados en la misma gráfica: ge- nere s y fit igual que en el problema le) anterior y genere fitq 5 v(1) 1 v(2)*s 1 v(3)*s. ˆ2;. Después, dé plot(x,y,9bx9,s,fit,9r9,s,fitq,9b9). Analice cuál de los dos (recta o cuadrático) es un mejor ajuste. Justifique su conclu- sión con el trabajo realizado. b) Repita el inciso a) para el problema de calculadora 14. 6. Se tomaron, del World Almanac, los siguientes datos sobre eficiencia de combustible en mi/gal (millas por galón, mpg) para automóviles de pasajeros en Estados Unidos. Año Promedio de mpg para automóviles de pasajeros en Estados Unidos 1980 1981 15.2 1982 15.9 1983 16.7 1984 17.1 1985 17.8 1986 18.2 1987 18.3 1988 19.2 20.0
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