5.2 Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo 477 EJEMPLO 9 Núcleo e imagen de un operador integral CÁLCULO 1 Sea V 5 C [0, 1] y defina J: C[0, 1] : S por Jf 5 ∫0 f (x) dx (vea el ejemplo 5.1.12, página 464). 1 Entonces nu J 5{ f H C[0, 1] : ∫0 f (x) dx 5 0}. Sea a un número real. Entonces la función 1 constante f (x) 5 a para x ∈C[0, 1] : está en C[0, 1] y ∫0 α dx 5α. Como esto se cumple para todo número real a, se tiene que Im J 5 . En la siguiente sección se verá que toda transformación lineal de un espacio vectorial de di- mensión finita en otro se puede representar por una matriz, lo que permitirá calcular el núcleo y la imagen de cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita encontrando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Problemas 5.2 AUTOEVALUACIÓN De los siguientes enunciados, indique si son verdaderos o falsos. I. Sea T: V S W una transformación lineal. En ocasiones es posible encontrar tres vectores diferentes v1 ∈ V, v2 ∈ V y w ∈ W tales que Tv1 5 Tv2 5 w. II. Si T v1 5 T v2 como en el problema 1, entonces v1 – v2 ∈ nu T. III. Si T es una transformación lineal de v en w, entonces la imagen de T es w. IV. Sea v1, v2, . . . , vn una base para n y sea w1, w2, . . . , wn una base para Pn21. Enton- ces existen dos transformaciones lineales S y T tales que T v1 5 w1 y S wi 5 vi para i 5 1, 2, . . . , n. V. Si T: 2 S 2 es una transformación lineal y T ⎛ 0⎞ 5 ⎛ 0⎞ , entonces T es la trans- formación cero. ⎝⎜ 0⎠⎟ ⎝⎜ 0⎟⎠ VI. Existe una transformación lineal T de 5 S 5 con r(T ) 5 ν(T ). VII. Suponga que T: M22 S M22 con r(T ) 5 4. Si TA 5 ⎛ 0 0⎞ , entonces A 5 ⎛ 0 0⎞ ⎜⎝ 0 0⎠⎟ ⎝⎜ 0 0⎟⎠ . De los problemas 1 al 13 encuentre núcleo, imagen, rango y nulidad de la transformación lineal dada. ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ ⎛ z⎞ ⎝⎜ y⎟⎠ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝ y⎟⎠ 1. T: R2 S R2; T 5 2. T: R3 S R2; T ⎜ y⎟⎟ 5 ⎜ z ⎠⎟ ⎝⎜ 3. T: R2 S R2; T ⎛ x ⎞ 5 ⎛ 3x ⎞ 4. T: R2 S R; T ⎛ x⎞ 5 x 1 y ⎝⎜ y ⎠⎟ ⎝⎜ 22 x ⎟⎠ ⎜⎝ y⎟⎠ ⎛ x⎞ 5. T: R4 S R2; T ⎜ y ⎟ 5 ⎛ x 1 z⎞ ⎜ z ⎟ ⎝⎜ y 1 w⎠⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ w⎟⎠
478 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales 6. T: M22 S M22; T(A) 5 AB, donde B 5 ⎛ 1 2⎞ ⎝⎜ 0 1⎟⎠ 7. T: R S P3; T(a) 5 a 1 ax 1 ax2 1 ax3 8. T: R2 S P3; T ⎛ a ⎞ 5 a 1 bx 1 (a 1 b)x2 1 (a 2 b)x3 ⎜⎝ b ⎟⎠ CÁLCULO *9. T: Mnn S Mnn; T(A) 5 At 1A 10. T: C1[0, 1] → C[0, 1]; Tf 5 f 9 11. T: C2[0, 1] → C[0, 1]; Tf 5 f 0 12. T: C[0, 1];S R; Tf 5 f ⎛ 1⎞ ⎜⎝ 2⎟⎠ 13. T: 2 S 2; T es una rotación de π/3 14. Sea T: V S W una transformación lineal, sea {v1, v2, . . . , vn} una base para V y suponga que T vi 5 0 para i 5 1, 2, . . . , n. Demuestre que T es la transformación cero. 15. En el problema 14 suponga que W 5 V y T vi 5 vi para i 5 1, 2, . . . , n. Demuestre que T es el operador identidad. 16. Sea T: V S 3. Demuestre que Im T es cualquiera de las siguientes: a) {0}; b) una recta que pasa por el origen; c) un plano que pasa por el origen; d) 3. 17. Sea T: 3 S V. Demuestre que nu T es uno de los cuatro espacios enumerados en el pro- blema 16. 18. Encuentre todas las transformaciones lineales de 2 en 2 tales que la recta y 5 0 se trans- forma en la recta x 5 0. 19. Encuentre todas las transformaciones lineales de 2 en 2 que llevan a la recta y 5 ax a la recta y 5 bx. 20. Encuentre una transformación lineal T de 3 S 3 tal que nu T 5 {(x, y, z): 2x 2 y 1 z 5 0}. 21. Encuentre una transformación lineal T de 3 S 3 tal que * CÁLCULO Im T 5 {(x, y, z): 2x 22 y 1 z 5 0}. 22. Defina T: Mnn S Mnn Por TA 5 A 2 At. Demuestre que nu T 5 {matrices simétricas de n 3 n} e Im T 5 {matrices antisimétricas de n 3 n}. 23. Defina T: C 1[0, 1] S C [0, 1] por Tf(x) 5 xf 9(x). Encuentre el núcleo y la imagen de T. *24. En el problema 5.1.51 se le pidió que demostrara que un conjunto de transformaciones lineales de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W, denotadas por L(V, W) es un es- pacio vectorial. Suponga que dim V 5 n , q y dim W 5 m , q. Encuentre dim L(V, W). 25. Sea H un subespacio de V donde dim H 5 k y dim V 5 n. Sea U el subconjunto de L(V, V) que tiene la propiedad de que si T ∈ U, entonces T h 5 0 para todo h ∈ H. a) Demuestre que U es un subespacio de L(V, V). b) Encuentre dim U. *26. Sean S y T en L(V, V) tales que ST es la transformación cero. Demuestre o contradiga que TS es la transformación cero.
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 479 RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN I. V II. V III. F IV. F V. F VI. F VII. V 5.3 REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Si A es una matriz de m 3 n y T: n S m está definida por Tx 5 Ax, entonces, como se observó en el ejemplo 5.1.7 de la página 462, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de n en m existe una matriz A de m 3 n tal que Tx 5 Ax para todo x ∈ n. Este hecho es de gran utilidad. Como se dijo en la observación de la página 476, si Tx 5 Ax, entonces nu T 5 NA e Im T 5 RA. Más aún, ν(T) 5 dim nu T 5 ν(A) y ρ(T) 5 dim Im T 5 ρ(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de n S m determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx 5 Ax, se puede evaluar Tx para cualquier x en n mediante una simple multiplicación de matrices. Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vecto- riales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz. TEOREMA 1 Sea T: n S m una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m 3 n, DEMOSTRACIÓN AT tal que Tx 5 ATx para toda x ∈ n (1) Sea w1 5 Te1, w2 5 Te2, . . . , wn 5 Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w1, w2, . . . , wn y hagamos que AT denote también a la transformación de n S m, que multiplica un vector en n por AT. Si wi 5 ⎛ a1i ⎞ para i 5 1, 2, … , n ⎜ a2i ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ o ⎟ ⎜⎜⎝ ami ⎟⎠⎟ entonces i-ésima posición ⎛ 0⎞ ⎛a a p a1i p a1n ⎞ ⎜ 0⎟⎟ ⎛ a1i ⎞ 11 12 p a2i p a2 n ⎟ ⎜ o⎟ ⎜ a2i ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a21 a22 o p o ⎟ ⎜ ⎜ o ⎟ AT ei 5 ⎜ o o p ami amn ⎟⎠⎟ ⎜ 5 ⎜⎝⎜ ami ⎠⎟⎟ 5 wi am1 ⎜ ⎜⎝⎜ am2 ⎜ 0⎟ ⎜ ⎟ o ⎟ ⎝⎜ 0⎟⎠ De esta forma, ATei 5 wi para i 5 1, 2, . . . , n. De acuerdo al teorema 5.2.2 de la página 472, T y la transformación AT son la misma porque coinciden en los vectores básicos.
480 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx 5 ATx y que Tx 5 BTx para todo x ∈ n. Entonces ATx 5 BTx, o estableciendo CT 5 AT 2 BT, se tiene que CTx 5 0 para todo x P n. En particular, CTei 5 0 para i 5 1, 2, . . . , n. Pero como se deduce de la demostración de la primera parte del teorema, CTei es la columna i de CT. Así, cada una de las n columnas de CT es el m-vector cero, la matriz cero de m 3 n. Esto muestra que AT 5 BT y el teorema queda demostrado. Observación 1. En este teorema se supone que todo vector en n y m está expresado en térmi- nos de los vectores de la base estándar en esos espacios. Si se eligen otras bases para n y m, por supuesto, se obtendrá una matriz AT diferente. Para ilustrar este caso, vea el ejemplo 4.8.1 de la página 371 o más adelante, el ejemplo 8. Observación 2. La demostración del teorema muestra que es sencillo obtener AT como la ma- triz cuyas columnas son los vectores Tei. DEFINICIÓN 1 Matriz de transformación La matriz AT en el teorema 1 se denomina matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T. Nota. La matriz de transformación AT está definida usando las bases estándar tanto en n como en m. Si se utilizan otras bases, se obtendrá una matriz de transformación diferente. Vea el teorema 3 de la página 482. En la sección 5.2 se definieron la imagen, el rango, el núcleo y la nulidad de una transformación lineal. En la sección 4.7 se definieron la imagen, el rango, el espacio nulo y la nulidad de una matriz. La prueba del siguiente teorema es consecuencia del teorema 1 y se deja como ejercicio (vea el problema 44 de esta sección). TEOREMA 2 Sea AT la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal T. En- tonces i. Im T 5 Im A 5 CAT ii. r(T) 5 r(AT) iii. nu T 5 NAT iv. ν(T) 5 ν(AT) EJEMPLO 1 Representación matricial de una transformación de proyección Encuentre la matriz de transformación AT correspondiente a la proyección de un vector en 3 sobre el plano xy. ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ Solución Aquí T ⎜ yz ⎟⎟⎟⎠ 5 ⎜ 0y⎠⎟⎟⎟ . En particular, T ⎜ 00⎟⎠⎟⎟ 5 ⎜ 00⎟⎠⎟⎟ , T ⎜ 01⎟⎟⎠⎟ 5 ⎜ 10⎟⎟⎟⎠ y T ⎜ 01⎠⎟⎟⎟ 5 ⎜ 10⎟⎟⎟⎠ . Así, ⎜⎝⎜ ⎝⎜⎜ ⎜⎝⎜ ⎝⎜⎜ ⎜⎝⎜ ⎝⎜⎜ ⎜⎝⎜ ⎜⎝⎜ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 481 ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ AT 5 ⎜ 0 1 00⎟⎟⎠⎟ . Observe que AT ⎜ yz ⎠⎟⎟⎟ 5 ⎜ 0 1 00⎟⎟⎟⎠ ⎜ yz ⎠⎟⎟⎟ 5 ⎜ 0y⎠⎟⎟⎟ . ⎜⎜⎝ 0 0 ⎜⎝⎜ ⎝⎜⎜ 0 0 ⎜⎝⎜ ⎜⎝⎜ EJEMPLO 2 Representación matricial de una transformación de R3 en R4 ⎛ x⎞ ⎛ x2y ⎞ ⎜ yz ⎠⎟⎟⎟ Defina T : 3 en 4 por T ⎜⎝⎜ ⎜ y1z ⎟ 5⎜ ⎟ ⎜ 2x2 y2z ⎟ ⎜⎝2x 1 y 1 2z⎟⎠ Encuentre AT, nu T, Im T, ν(T ) y r(T ). ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛21⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛1 21 0⎞ ⎜ 00⎟⎠⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 01⎠⎟⎟⎟ ⎜ 01⎟⎟⎠⎟ ⎜ 1⎟⎟ 1 1⎟⎟ Solución T ⎝⎜⎜ 5 ⎜ 2⎟ , T ⎜⎜⎝ 5 ⎜ 1⎟⎟ , y T ⎜⎜⎝ 5 ⎜ 21⎟ . Así AT ⎜ 0 21⎟ ⎜ 21⎠⎟ ⎜ ⎜ 2⎠⎟ 5⎜ 21 2⎟⎠ ⎜⎝ ⎜21⎟ ⎝⎜ ⎜2 1 ⎝⎜ 1⎠⎟ ⎝⎜ 21 Observe (a manera de verificación) que ⎛1 21 0⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x2y ⎞ 1 1⎟⎟ ⎜ yz ⎟⎟⎠⎟ ⎜ ⎜ 0 21⎟ ⎜⎝⎜ 5 ⎜ y1z ⎟ ⎜ 21 2⎠⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 1 ⎝⎜ 2x2 y2z ⎟ ⎜⎝ 21 2x 1 y 1 2z⎟⎠ Ahora se calculan el núcleo y la imagen de A. La forma escalonada por renglones de ⎛ 1 21 0⎞ ⎛ 1 21 0⎞ ⎜ 0 1 1⎟⎟ es ⎜ 0 1 1⎟⎟ . Esta forma tiene tres pivotes, de manera que ⎜ ⎜ 0 1⎟ ⎜ 2 21 21⎟ ⎜ 0 ⎝⎜ 21 1 2⎠⎟ ⎝⎜ 0 0 0⎠⎟ ya que r(A ) 1 ν(A ) 5 3 r(A ) 5 3 y ν(A ) 5 3 2 3 5 0 ⎧⎛ 1⎞ ⎛21⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ ⎩⎪⎨⎪⎪⎪⎝⎜⎜⎜⎜ ⎪ Esto significa que nu T 5 {0}, Im T 5 gen 0⎟⎟ , ⎜ 1⎟⎟ , ⎜ 1⎟⎟ ⎪⎬, ν(T ) 5 0 y r(T ) 5 3. 2⎟ ⎜ ⎜ ⎪ 21⎠⎟ ⎜21⎟ ⎜ 21⎟ ⎭⎪ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎜⎝ 2⎠⎟ EJEMPLO 3 Representación matricial de una transformación de R3 en R3 ⎛ x⎞ ⎛ 2x 2 y 13z⎞ Defina T: 3S 3 por T ⎜ y⎟⎟ 5 ⎜ 4 x 2 2 y 1 6 z ⎟ . Encuentre AT , nu T, Im T, ν(T ) y r(T ). ⎜ ⎜ ⎟ ⎝⎜ z ⎠⎟ ⎜⎝ 26x 1 3y 2 9z ⎠⎟ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 21⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 3⎞ Solución Como T ⎜ 00⎠⎟⎟⎟ 5 ⎜ 264⎟⎟⎠⎟ , T ⎜ 01⎟⎟⎠⎟ 5 ⎜⎝⎜⎜223⎟⎠⎟⎟ y T ⎜ 01⎠⎟⎟⎟ 5 ⎜ 269⎠⎟⎟⎟ se tiene ⎜⎝⎜ ⎜⎝⎜ ⎜⎝⎜ ⎜⎝⎜ ⎝⎜⎜
482 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales ⎛ 2 21 3⎞ AT 5 ⎜ 4 22 269⎟⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 26 3 teorema 2 ii) ⎧⎛ 2⎞ ⎫ Del ejemplo 4.7.4 de la página 346, se ve que r(A ) 5 r(T ) 5 1 e Im T 5 gen ⎨⎩⎪⎪⎝⎜⎜⎜ 264⎟⎟⎟⎠ ⎪⎬. ⎪ ⎭ Entonces ν(T ) 5 2. teorema 2 iii) Para encontrar NA 5 nu T, se reduce por renglones para resolver el sistema Ax 5 0: ⎛ 2 21 3 | 0⎞ ⎛ 2 21 3 | 0⎞ ⎜ 4 22 6 | 00⎠⎟⎟⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 0 0 | 00⎟⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜ 26 3 29 | ⎜⎜⎝ 0 0 0 | ⎛ x⎞ Esto significa que ⎜ yz ⎠⎟⎟⎟ ∈ NA si 2x 2 y 1 3z 5 0, o sea, y 5 2x 1 3z. Estableciendo primero ⎝⎜⎜ x 5 1, z 5 0 y después x 5 0, z 5 1, se obtiene una base para NA: ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ ⎨⎩⎪⎪⎜⎝⎜⎜ ⎪ nu T 5 N A 5 gen 20⎠⎟⎟⎟ , ⎜ 13⎠⎟⎟⎟ ⎬ ⎜⎝⎜ ⎪ ⎭ EJEMPLO 4 Representación matricial de una transformación cero EJEMPLO 5 Es fácil verificar que si T es la transformación cero de n S m, entonces AT es la matriz cero de m 3 n. De igual manera, si T es la transformación identidad de n S n, entonces AT 5 In. Representación matricial de una transformación cero Se vio en el ejemplo 5.1.8 de la página 462, que si T es la función que rota a todo vector en 2 ⎛ cos θ 2sen θ⎞ un ángulo u, entonces AT 5 ⎜⎝ sen θ cos θ⎟⎠ . Ahora se generalizará el concepto de representación matricial a espacios arbitrarios de dimen- sión finita. TEOREMA 3 Sean V un espacio vectorial de dimensión n, W un espacio vectorial de dimensión m y T: V → W una transformación lineal. Sea B1 5 {v1, v2, . . . , vn} una base para V y sea B2 5 {w1, w2, . . . , wn} una base para W. Entonces existe una matriz única AT de m 3 n tal que (Tx)B2 5 AT (x)B1 (2)
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 483 Observación 1. La notación (2) es la notación de la sección 4.8 (vea la página 366). Si ⎛c ⎞ ⎛c ⎞ 1 1 x ∈ V 5 c1v1 1 c2v2 1 . . . 1 cnvn, entonces ( x ) B1 5 ⎜ ⎟ . Sea c 5 ⎜ ⎟ , entonces Ac es un ⎜ c2 ⎟ ⎜ c2 ⎟ T ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜⎜ o ⎠⎟⎟ ⎜⎜⎝ o ⎟⎠⎟ cn cn ⎛d ⎞ ⎛d ⎞ 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ d2 ⎟ ⎜ d2 ⎟ m-vector que se denotará por d 5 ⎜ o ⎟ . La ecuación (2) dice que (Tx ) B2 5 ⎜ , es decir ⎝⎜⎜ dm ⎟⎟⎠ o ⎟ ⎝⎜⎜ dm ⎟⎠⎟ Tx 5 d1w1 1 d2w2 1 . . . 1 dmwm. Observación 2. Como en el teorema 1, la unicidad de AT es relativa a las bases B1 y B2. Si se cambian las bases AT cambia (vea los ejemplos 8 y 9, y el teorema 5). Si se usan las bases estándar, entonces esta AT es la AT de la definición 1. DEMOSTRACIÓN Sean T v1 5 y1, T v2 5 y2, T vn 5 yn. Como y1 ∈ W, se tiene que para i 5 1, 2, . . . , n y1 5 a1iw1 1 a2iw2 1 . . . 1 amiwm, Para algún conjunto (único) de escalares a1i, a2i, . . . , ami y se escribe ( y1 )B2 5 ⎛ a11 ⎞ , ( y2 )B2 5 ⎛ a12 ⎞ , . . . , ( y ) B2 5 ⎛ a1n ⎞ ⎜ a ⎟ ⎜ a ⎟ n ⎜ a2 n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 21 ⎟ ⎜ 22 ⎟ ⎜ o ⎟ ⎜⎜⎝ ⎟⎠⎟ ⎜⎝⎜ ⎟⎟⎠ ⎝⎜⎜ amn ⎠⎟⎟ o o am1 am2 Esto significa, por ejemplo, que y1 5 a11w1 1 a21w2 1 . . . 1 am1wm. Ahora se define AT 5 ⎛ a11 a12 p a1n ⎞ ⎜ a21 a22 p a2 n ⎟ ⎜ o o ⎟ ⎜ a a ⎟ ⎜⎜⎝ p o ⎟⎟⎠ m1 m2 a mn Como ⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ 5 ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 1⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ o⎟ ⎜ ⎜ (v1 )B1 ⎜ , (v2 )B1 5 ⎜ 0⎟ , . . . , (v ) 5 ⎜ ⎟ n B1 ⎜ o ⎟ ⎜⎝ 0⎠⎟ ⎜ o ⎟ ⎝⎜ 1⎠⎟ ⎜⎝ 0⎟⎠
484 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales se tiene, como en la prueba del teorema 1, i-ésima posición ⎛ a11 a12 p a1n ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ a21 a22 p a2 n ⎟ ⎜ o ⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎛a ⎞ a p ⎜ o⎟ 1i ⎜ A (v ) ⎜ o i2 p o ⎟ ⎜ 1⎟⎟ 5 ⎜ a ⎟ 5 (yi ) 5⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2i ⎟ B2 T 1 B1 ⎜ a o a ⎟ ⎜ ⎜ o ⎟ ⎜ i1 am2 in ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜⎝⎜ ⎠⎟⎟ ⎜ a ⎜o o⎟ o ⎟ mi ⎟ ⎜⎝ am1 amn ⎠⎟ ⎜⎝ 0⎠⎟ Si x está en V, entonces ⎛c ⎞ y 1 ( x ) B1 5 ⎜ ⎟ ⎜ c2 ⎟ ⎜ o ⎟ ⎜⎜⎝ cn ⎟⎠⎟ ⎛ a11 a12 p a1n ⎞ ⎛ c1 ⎞ ⎛ a11c1 1 a12 c2 1p1 a1n cn ⎞ ⎜ a21 a22 p a2 n ⎟ ⎜ c2 ⎟ ⎜ a21c1 1 1p1 a2 n cn ⎟ AT ( x ) B1 5 ⎜ o o ⎟ ⎜ o ⎟ 5 ⎜ a22 c2 ⎟ ⎜ am1 am2 p ⎜ cn ⎟ ⎜ o 1 1p1 ⎝⎜⎜ o ⎟ ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ ⎜⎝⎜ am1c1 o o ⎟ amn ⎟⎠⎟ amn ⎟⎠⎟ am2 c cn 2 ⎛a ⎞ ⎛a ⎞ ⎛a ⎞ 11 12 1n 5 c ⎜ ⎟ 1 c ⎜ ⎟ 1 p 1 cn ⎜ ⎟ 1 ⎜ a21 ⎟ 2 ⎜ a22 ⎟ ⎜ a2 n ⎟ ⎜ o ⎟ ⎜ o ⎟ ⎜ o ⎟ ⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟ ⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜ ⎟⎟⎠ am1 am2 amn 5 c1(y1 )B2 1 c2 (y2 )B2 1 p 1 cn (yn )B2 De manera similar, Tx 5 T (c1v1 1 c2v2 1 . . . 1 cnvn) 5 c1T v1 1 .c.2T. 1v2 1 . . . 1 cnT vn 5 c1y1 1 c2y2 1 . . . 1 cnvyn, de manera que T (x)B2 5 (c1y1 1 c2y2 1 cnvyn)B2 5 c1(y1)B2 1 c2(y2)B2 1 . . . 1 cn(yn)B2 5 AT(x)B1. Así, T (x)B2 5 AT(x)B1. La prueba de la unicidad es exactamente igual que la prueba de unicidad en el teorema 1. El siguiente resultado es consecuencia del teorema 4.7.7 de la página 350, y generaliza el teore- ma 2. Su demostración se deja como ejercicio (vea el problema 45 de esta sección). TEOREMA 4 Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V 5 n. Sea T: V → W una transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las bases B1 en V y B2 en W. Entonces i. r(T) 5 r(AT) ii. ν(A) 5 ν(AT) iii. ν(A) 1 r(T) 5 n Nota. i) y ii) implican que r(AT) y ν(AT) son independientes de las bases B1 y B2.
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 485 EJEMPLO 6 Representación matricial de una transformación de P en P 23 Solución Defina T : P2 S P3 por (T p)(x) 5 xp (x). Encuentre AT y úsela para determinar el núcleo y la imagen de T. Utilizando las bases estándar B1 5 {1, x, x2} en P2 y B2 5 {1, x, x2, x3} en P3, se tiene ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ (T (1)) 5 (x) 5 ⎜ 1⎟⎟ , (T ( x)) 5 (x2 ) 5 ⎜ 0⎟⎟ y (T (x2 )) 5 (x3 ) 5 ⎜ 0⎟⎟ Así, AT 5 ⎜ 1 0 0⎟⎟ . ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 1 0⎟ B2 B2 ⎜ 0⎟ B2 B2 ⎜ 1⎟ B2 B2 ⎜ 0⎟ ⎜0 ⎝⎜ 0⎟⎠ ⎜⎝ 0⎠⎟ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎝⎜ 0 0 1⎟⎠ ⎧⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ ⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎜⎜⎜⎝⎜ ⎪ Es evidente que r(A) 5 3 y que una base para RA es 1⎟⎟ , ⎜ 0⎟⎟ , ⎜ 0⎟⎟ ⎪⎬. Por lo tanto, Im T 5 0⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎪ 0⎠⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎠⎟ ⎪⎭ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝ gen {x, x2, x3}. Como ν(A) 5 3 2 r(A) 5 0, se ve que nu T 5 {0}. EJEMPLO 7 Representación matricial de una transformación de P3 en P2 Solución Defina T: P3 S P2 por T (a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3) 5 a1 1 a2x2. Calcule AT y utilícela para encon- trar el núcleo y la imagen de T. Utilizando las bases estándar B1 5 {1, x, x2, x3} en P3 y B2 5 {1, x, x2} en P3, de inmediato ⎛ 0⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ se ve que (T (1))B2 5 ⎜ 00⎟⎟⎟⎠ , (T (x))B2 5 ⎜ 00⎟⎠⎟⎟ , (T (x2 )) B2 5 ⎜ 01⎟⎠⎟⎟ y (T (x3 ))B2 5 ⎜ 00⎟⎠⎟⎟ , por lo que ⎜⎝⎜ ⎜⎜⎝ ⎜⎝⎜ ⎜⎜⎝ ⎛ 0 1 0 0⎞ ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ ⎪⎨⎪⎩⎜⎝⎜⎜ ⎪ AT 5 ⎜ 0 0 0 0⎟⎟ . Es obvio que r(A) 5 2 y una base para RA es 0⎟⎟ , ⎜ 0⎟⎟ ⎬ de manera que ⎜ 0 1 0⎠⎟ 0⎠⎟ ⎜ 1⎟⎠ ⎪ ⎝⎜ 0 ⎝⎜ ⎭ Im T 5 gen {1, x2}. Entonces, ν(A) 5 4 22 5 2, y si AT ⎛ a0 ⎞ 5 ⎛ 0⎞ entonces a1 5 0 y a2 5 0. ⎜ a ⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎠⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝⎜ ⎝⎜⎜ ⎟⎟⎠ a2 a3 ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ ⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎜⎜⎝⎜⎜ ⎪ Por lo tanto a0 y a3 son arbitrarios y 0⎟⎟ , ⎜ 0⎟⎟ ⎪ es una base para NA de manera que {1, x3} es una base para nu T. 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎬ 0⎟⎠ ⎜ 1⎠⎟ ⎪ ⎝⎜ ⎪⎭ En todos los ejemplos de esta sección se ha obtenido la matriz AT utilizando la base están- dar en cada espacio vectorial. Sin embargo, el teorema 3 se cumple para cualesquiera bases en V y W. El siguiente ejemplo ilustra esto.
486 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales EJEMPLO 8 Representación matricial relativa a dos bases no estándar en R2 Defina T: 2S 2 por T ⎛ x⎞ 5 ⎛ x 1 y⎞ . Usando las bases B1 5 B2 5 ⎪⎧⎛ 1⎞ , ⎛ 23⎞ ⎫⎪ calcule AT. ⎝⎜ y⎠⎟ ⎜⎝ x 2 y⎟⎠ ⎩⎪⎨⎝⎜ 21⎠⎟ ⎝⎜ 2⎟⎠ ⎬ ⎪⎭ Solución Se tiene T ⎛ 1⎞ 5 ⎛ 0⎞ y T ⎛ 23⎞ 5 ⎛ 21⎞ . Como ⎛ 0⎞ 5 26 ⎛ 1⎞ 2 2 ⎛ 23⎞ , se encuentra que ⎝⎜ 21⎟⎠ ⎝⎜ 2⎟⎠ ⎜⎝ 2⎠⎟ ⎝⎜ 25⎠⎟ ⎝⎜ 2⎠⎟ ⎜⎝ 21⎟⎠ ⎜⎝ 2⎟⎠ ⎛ 0⎞ 5 ⎛26⎞ . De manera similiar ⎛ 21⎞ 517 ⎛ 1⎞ 1 6 ⎛ 23⎞ por lo que ⎛ 21⎞ 5 ⎛ 17⎞ . Así ⎝⎜ 2⎠⎟ ⎝⎜22⎠⎟ ⎝⎜25⎟⎠ ⎝⎜ 21⎟⎠ ⎜⎝ 2⎟⎠ ⎜⎝25⎠⎟ ⎜⎝ 6⎠⎟ B2 B2 AT 5 ⎛26 17⎞ . Para calcular, por ejemplo, T ⎛ 24⎞ primero se escribe ⎛ 24⎞ 5 213 ⎜⎝⎛ 211⎞⎠⎟ 2 3 ⎜⎝22 6⎟⎠ ⎜⎝ 7⎟⎠ ⎝⎜ 7⎠⎟ ⎛ 23⎞ ⎛ 24⎞ ⎛ 213 ⎞ ⎛ ⎛ 24⎞ ⎞ ⎛ 24⎞ ⎛ 213 ⎞ ⎝⎜ 2⎠⎟ , de manera que ⎜⎝ 7⎟⎠ 5 ⎝⎜ 23⎟⎠ . Entonces ⎜⎝ T ⎜⎝ 7⎟⎠ ⎟⎠ 5 AT ⎜⎝ 7⎠⎟ 5 AT ⎜⎝ 23⎠⎟ 5 B2 B1 B1 ⎛26 17 ⎞ ⎛ 213 ⎞ 5 ⎛ 27⎞ . Por lo tanto, T ⎛ 24⎞ 5 27 ⎛ 1⎞ ⎛ 23⎞ 5 ⎛ 3⎞ . ⎜⎝22 6⎟⎠ ⎜⎝ 23⎟⎠ ⎜⎝ 8⎠⎟ ⎜⎝ 7⎟⎠ ⎝⎜ 21⎠⎟ 1 8⎜⎝ 2⎟⎠ ⎜⎝ 211⎠⎟ Observe que T ⎛ 24⎞ 5 ⎛ 24 1 7⎞ 5 ⎛ 3⎞ , lo que verifica los cálculos. ⎝⎜ 7⎠⎟ ⎜⎝ 24 2 7⎟⎠ ⎝⎜ 211⎠⎟ Para evitar confusión, a menos que se establezca de forma explícita algo distinto, siempre se calculará la matriz AT respecto a la base canónica.† Si T: V S V es una transformación lineal y se utiliza alguna otra base B, entonces se hará referencia a AT como la matriz de transformación ⎛26 17⎞ de T respecto a la base B. Así en el último ejemplo, AT 5 ⎜⎝22 6⎟⎠ , es la matriz de transforma- ⎧⎪⎛ 1⎞ ⎛ 23⎞ ⎫⎬⎪. ción de T respecto a la base ⎪⎩⎨⎝⎜21⎟⎠ , ⎝⎜ 2⎟⎠ ⎭⎪ Antes de terminar esta sección, debe responderse una pregunta obvia. ¿Para qué molestar- se en utilizar otra base que no sea la estándar cuando los cálculos son, como en el ejemplo 8, bastante más complicados? La respuesta es que con frecuencia es posible encontrar una base B* en n para la que la matriz de transformación respecto a B* es una matriz diagonal. Es muy sencillo trabajar con matrices diagonales, como se verá en el capítulo 6, y existen muchas ven- tajas al escribir una matriz en forma diagonal. EJEMPLO 9 La representación matricial de una transformación lineal respecto a dos bases no estándar en R2 puede ser diagonal Defina T : 2 S 2 por T ⎛ x⎞ 5 ⎛ 12x 110 y⎞ . Encuentre AT respecto a las bases B1 5 B2 5 ⎝⎜ y⎟⎠ ⎜⎝ 215 x 2 13 y ⎟⎠ ⎪⎧⎛ 1⎞ , ⎛ 2⎞ ⎫⎬⎪. ⎩⎪⎨⎜⎝ 21⎟⎠ ⎝⎜ 23⎟⎠ ⎪⎭ † Esto es, en cualquier espacio en el que se haya definido la base estándar.
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 487 Solución ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛26⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ T ⎜⎝21⎟⎠ 5 ⎜⎝22⎠⎟ y T ⎝⎜ 23⎠⎟ 5 ⎜⎝ 9⎠⎟ . Entonces ⎝⎜22⎠⎟ 5 2 ⎝⎜21⎠⎟ 1 0⎝⎜ 23⎠⎟ , así ⎝⎜22⎠⎟ 5 ⎝⎜ 0⎟⎠ . De B2 ⎛26⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛26⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 2 0⎞ manera similar, ⎝⎜ 9⎟⎠ 5 0⎜⎝21⎠⎟ 2 3⎜⎝ 23⎟⎠ , así ⎜⎝ 9⎠⎟ 5 ⎜⎝23⎠⎟ . Por lo tanto AT 5 ⎝⎜ 0 23⎟⎠ . B2 Existe otra forma de resolver este problema. Los vectores ⎛ 1⎞ y ⎛ 2⎞ se expresan en ⎝⎜21⎠⎟ ⎝⎜ 23⎟⎠ términos de la base estándar S 5 ⎪⎧⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎪⎫⎬. Esto es ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 (21) ⎛ 0⎞ y ⎛ 2⎞ 5 2 ⎛ 1⎞ ⎨⎪⎩⎝⎜ 0⎠⎟ ,⎝⎜ 1⎟⎠ ⎪⎭ ⎝⎜21⎟⎠ 51⎝⎜ 0⎟⎠ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎝⎜ 23⎟⎠ ⎝⎜ 0⎟⎠ 1 (23) ⎛ 0⎞ . Entonces la matriz A 5 ⎛1 2⎞ es la matriz cuyas primera y segunda columnas ⎝⎜ 1⎠⎟ ⎜⎝21 23⎟⎠ representan las expansiones de los vectores en B1 en términos de la base estándar. A partir del pro- cedimiento descrito en la página 371, la matriz A21 5 ⎛ 3 2⎞ es la matriz de transición de S a ⎜⎝ 21 21⎟⎠ B1. De manera similar, la matriz de A es la matriz de transición de B1 a S (vea el problema 4.8.44, pá- gina 378). Ahora suponga que x está expresada en términos de B1. Entonces Ax es el mismo vector ahora escrito en términos de S. Sea C 5 ⎛ 12 10⎞ . Entonces CAx 5 T(Ax) es la imagen de Ax ⎝⎜215 213⎠⎟ escrita en términos de S. Por último, como se busca T(Ax) en términos de B1 (ése era el problema), se premultiplica por la matriz de transición A21 para obtener (Tx)B1 5 (A21CA)(x)B1. Es decir, AT 5 A21CA 5 ⎛ 3 2⎞ ⎛ 12 10⎞ ⎛ 1 2⎞ 5 ⎛3 2⎞ ⎛ 2 26⎞ 5 ⎛ 2 0⎞ ⎝⎜ 21 21⎠⎟ ⎜⎝215 213⎠⎟ ⎜⎝21 23⎠⎟ ⎜⎝ 21 21⎟⎠ ⎝⎜22 9⎟⎠ ⎝⎜ 0 −3 ⎠⎟ como antes. Este resultado se resume a continuación. TEOREMA 5 Sea T: n S m una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de transfor- mación de T respecto a las bases estándar Sn y Sm en n y m, respectivamente. Sea A1 la matriz de transición de B1 a la base Sn en n y sea A1 la matriz de transición de B2 a la base Sm en m. Si AT denota la matriz de transformación de T respecto a las bases B1 y B2, entonces AT 5 A221CA1 (3) En el ejemplo 9 se vio que al observar la transformación lineal T respecto a la nueva base, la matriz de transformación AT resulta ser una matriz diagonal. Se regresará a este procedimiento de “diagonalización” en la sección 6.3. Se observará que dada una transformación de n en n, con frecuencia es posible encontrar una base B tal que la matriz de transformación de T respecto a B es diagonal.
488 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales GEOMETRÍA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES DE R2 EN R2 Sea T : 2 S 2 una transformación lineal con representación matricial AT. Ahora se demostra- rá que si AT es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión de una o más trans- formaciones especiales, denominadas expansiones, compresiones, reflexiones y cortes. EXPANSIONES A LO LARGO DE LOS EJES X O Y Una expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica a la coordenada x de un vector en 2 por una constante c . 1. Esto es T ⎛ x⎞ 5 ⎛ cx⎞ ⎝⎜ y⎟⎠ ⎝⎜ y ⎠⎟ ⎛ 1⎞ ⎛ c⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ c 0⎞ Entonces T ⎝⎜ 0⎠⎟ 5 ⎝⎜ 0⎠⎟ y T ⎜⎝ 1⎠⎟ 5 ⎝⎜ 1⎠⎟ , de manera que si AT 5 ⎜⎝ 0 1⎠⎟ , se tiene T ⎛ x⎞ 5 ⎛ x⎞ 5 ⎛ c 0⎞ ⎛ x⎞ 5 ⎛ cx⎞ ⎝⎜ y⎠⎟ A⎝⎜ y⎟⎠ ⎜⎝ 0 1⎠⎟ ⎝⎜ y⎠⎟ ⎜⎝ y ⎠⎟ De manera similar, una expansión a lo largo del eje y es una transformación lineal que multi- ⎛ x⎞ ⎛ cx⎞ plica la coordenada y de todo vector en 2 por una constante c . 1. Como antes, si T ⎜⎝ y⎟⎠ 5 ⎝⎜ y ⎟⎠ , ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x ⎞ entonces la representación matricial de T es AT 5 ⎝⎜ 0 c⎠⎟ de manera que ⎜⎝ 0 c⎟⎠ ⎜⎝ y⎠⎟ 5 ⎜⎝ cy⎟⎠ . yy y Figura 5.5 Dos expansiones: x a) Se comienza con este x x rectángulo. a c b) Expansión en la direc- b ción de x con c 5 2. c) Expansión en la direc- ción de y con c 5 4. COMPRESIÓN A LO LARGO DE LOS EJES X O Y Una compresión a lo largo de los ejes x o y es una transformación lineal que multiplica a la co- ordenada x o y de un vector en 2 por una constante positiva c , 1. La representación matricial de una compresión es la misma que para una expansión, excepto para la compresión 0 , c , 1, mientras que para la expansión c , 1. En la figura 5.6 se ilustran dos compresiones.
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 489 Figura 5.6 y y y Dos compresiones: x a) Se comienza con este rectángulo. b) Compresión a lo largo x del eje x con c 5 . x b c c) Compresión a lo largo a del eje x con c 5 . REFLEXIONES Existen tres tipos de reflexiones que serán de interés. En el ejemplo 5.1.1 de la página 458 se vio que la transformación T ⎛ x⎞ 5 ⎛ x⎞ ⎜⎝ y⎟⎠ ⎜⎝ 2y ⎠⎟ refleja al vector en 2 respecto al eje x (vea la figura 5.1). En el ejemplo 5.1.6 de la página 461, se vio que la transformación T ⎛ x⎞ 5 ⎛ 2x ⎞ ⎝⎜ y⎟⎠ ⎜⎝ y⎠⎟ refleja al vector en 2 respecto al eje y (vea la figura 5.2). Ahora ⎛1 0⎞ ⎛ x⎞ 5 ⎛ x⎞ y ⎛ 21 0⎞ ⎛ x⎞ 5 ⎛ 2x ⎞ ⎝⎜ 0 21⎠⎟ ⎜⎝ y⎟⎠ ⎜⎝ 2y ⎠⎟ ⎝⎜ 0 1⎠⎟ ⎝⎜ y⎟⎠ ⎝⎜ y⎠⎟ de manera que ⎛1 0⎞ es la representación matricial de la reflexión respecto al eje x y ⎛ 21 0⎞ ⎝⎜ 0 21⎠⎟ ⎝⎜ 0 1⎠⎟ es la representación matricial de la reflexión respecto al eje y. Por último, el mapeo T ⎛ x⎞ ⎛ y⎞ ⎜⎝ y⎟⎠ 5 ⎜⎝ x ⎠⎟ que intercambia x y y, tiene el efecto de reflejar un vector en 2 respecto a la recta x 5 y (vea la figura 5.7). Figura 5.7 5 2 5 Reflexión de un vector en 2 respecto a la recta 2 x 5 y: a) (2, 5) se obtiene refle- jando (5, 2) respecto a la recta y 5 x. b) (1, 24) se obtiene refle- jando (24, 1) respecto a la recta y 5 x. a) b)
490 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales Figura 5.8 yy y Dos cortes a lo largo del 2 eje x: a) Comenzamos con este 2 rectángulo. a) x x x b) Corte a lo largo del eje x con c 5 2. b) c) c) Corte a lo largo del eje x con c 5 22. Si T ⎛ x⎞ 5 ⎛ y⎞ , entonces T ⎛ 1⎞ 5 ⎛ 0⎞ y T ⎛ 0⎞ 5 ⎛ 1⎞ , de manera que la representación matricial ⎝⎜ y⎠⎟ ⎝⎜ x ⎟⎠ ⎝⎜ 0⎠⎟ ⎜⎝ 1⎠⎟ ⎝⎜ 1⎟⎠ ⎜⎝ 0⎟⎠ de la transformación lineal que refleja a una vector en 2 respecto a la recta x 5 y es A 5 ⎛ 0 1⎞ ⎜⎝ 1 0⎠⎟ CORTES Un corte a lo largo del ⎛ x⎞ y lo convierte en un nuevo vector 1eyjecyx⎟⎞⎠e,sddoonnddeecuensautnraancsofonrstmaancteióqnuqeupeuteodme asearlpvoescittoivra⎜⎝ y⎠⎟ ⎛x ⎜⎝ o negativa. En la figura 5.8 se ilustran dos cortes a lo largo del eje x. Sea T un corte a lo largo del eje x. Entonces T ⎛ 1⎞ 5 ⎛ 1⎞ y T ⎛ 0⎞ 5 ⎛ 0 1c ⋅ 1⎞ 5 ⎛ c⎞ de ma- ⎝⎜ 0⎠⎟ ⎝⎜ 0⎠⎟ ⎝⎜ 1⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 1⎟⎠ nera que la representación matricial T es ⎛1 c⎞ . Por ejemplo, en la figura 5.8b, c 5 2, así ⎝⎜ 0 1⎟⎠ AT 5 ⎛ 1 2⎞ y AT 5 ⎛ 3⎞ 5 ⎛ 1 0⎞ ⎛ 3⎞ 5 ⎛ 7⎞ ⎝⎜ 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 2⎠⎟ ⎝⎜ 2 1⎟⎠ ⎝⎜ 2⎟⎠ ⎜⎝ 2⎟⎠ En la figura 5.8c, c 5 22. Así, AT 5 ⎛ 1 22⎞ ⎝⎜ 0 1⎟⎠ , AT ⎛ 3⎞ 5 ⎛ 1 22⎞ ⎛ 3⎞ 5 ⎛ 21⎞ ⎝⎜ 2⎠⎟ ⎝⎜ 0 1⎠⎟ ⎝⎜ 2⎟⎠ ⎜⎝ 2⎟⎠ y AT ⎛ 0⎞ 5 ⎛ 1 22⎞ ⎛ 0⎞ 5 ⎛ 24⎞ ⎜⎝ 2⎠⎟ ⎜⎝ 0 1⎟⎠ ⎝⎜ 2⎟⎠ ⎜⎝ 2⎟⎠ Observe que AT ⎛ 3⎞ 5 ⎛ 1 22⎞ ⎛ 3⎞ 5 ⎛ 3⎞ . Es decir, un corte a lo largo del eje x deja sin cambio ⎜⎝ 0⎠⎟ ⎝⎜ 0 1⎠⎟ ⎜⎝ 0⎠⎟ ⎜⎝ 0⎟⎠ a los vectores con coordenada y igual a cero. Un corte a lo largo del eje y es una transformación que toma a un vector ⎛ x⎞ y lo convierte ⎜⎝ y⎠⎟ ⎛ ⎞ en un nuevo vector ⎜⎝ y x cx⎠⎟ , donde c es una constante que puede ser positiva o negativa. En la 1 figura 5.9 se ilustran dos cortes a lo largo del eje y.
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 491 Figura 5.9 y Dos cortes a lo largo del y y eje y: x a) Se comienza con este 2 rectángulo. a) x x b) Corte a lo largo del eje b) y con c 5 3. c) Corte a lo largo del eje y con c 5 23. c) Si T es un corte a lo largo del eje y, entonces T ⎛ 1⎞ 5 ⎛ 1⎞ y T ⎛ 0⎞ 5 ⎛ 0⎞ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝ c⎟⎠ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎜⎝ 1⎟⎠ de manera que AT 5 ⎛ 1 0⎞ . Por ejemplo, en la figura 5.9b, c 5 3, así ⎜⎝ c 1⎟⎠ AT 5 ⎛ 1 0⎞ y AT 5 ⎛ 1⎞ 5 ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1⎞ 5 ⎛ 1⎞ ⎝⎜ 3 1⎠⎟ ⎜⎝ 4⎠⎟ ⎝⎜ 3 1⎟⎠ ⎝⎜ 4⎟⎠ ⎜⎝ 7⎠⎟ En la figura 5.9c, c 5 23, así AT 5 ⎛ 1⎞ 5 ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1⎞ 5 ⎛ 1⎞ y AT 5 ⎛ 1⎞ 5 ⎛1 0⎞ ⎛ 1⎞ 5 ⎛ 1⎞ ⎜⎝ 4⎠⎟ ⎝⎜ 23 1⎟⎠ ⎜⎝ 4⎠⎟ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎝⎜ 23 1⎠⎟ ⎜⎝ 0⎠⎟ ⎜⎝ 23⎟⎠ Observe que AT 5 ⎛ 0⎞ 5 ⎛ 1 0⎞ ⎛ 0⎞ 5 ⎛ 0⎞ . Esto es, los cortes a lo largo del eje y dejan sin ⎜⎝ 4⎠⎟ ⎜⎝ 23 1⎠⎟ ⎜⎝ 4⎠⎟ ⎝⎜ 4⎟⎠ cambio a los vectores con coordenadas x igual a cero. En la tabla 5.1 se resumen estos tipos de transformaciones lineales. Tabla 5.1 Transformaciones lineales especiales de 2 en 2 Transformación Representación matricial de la transformación AT Expansión a lo largo del eje x Expansión a lo largo del eje y ⎛c ⎞ c . Compresión a lo largo del eje x ⎝⎜ ⎠⎟ Compresión a lo largo del eje y Reflexión respecto a la recta y 5 x ⎛ ⎞ c . ⎝⎜ c⎟⎠ ⎛c ⎞ , c , ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛ ⎞ , c , ⎝⎜ c⎠⎟ ⎛ ⎞ ⎝⎜ ⎟⎠
492 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales Tabla 5.1 Transformaciones lineales especiales de 2 en 2 (continuación) Reflexión respecto al eje x ⎛ ⎞ ⎜⎝ 2⎠⎟ Reflexión respecto al eje y ⎛ 2 ⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ Corte a lo largo del eje x ⎛ c⎞ ⎝⎜ ⎠⎟ Corte a lo largo del eje y ⎛ ⎞ ⎜⎝ c ⎠⎟ En la sección 1.10 se estudiaron las matrices elementales. La multiplicación de una matriz por una matriz elemental tiene el efecto de realizar una operación elemental con renglones en esa matriz. La tabla 5.2 enumera las matrices elementales en 2. Tabla 5.2 Matrices elementales en 2 Operación elemental Matriz Ilustración con renglones elemental R1 : cR1 ⎛c ⎞ ⎛ x y⎞ 5 ⎛ cx cy⎞ ⎛ c ⎞ ⎝⎜ ⎟⎠ ⎝⎜ z w⎠⎟ ⎜⎝ z w ⎟⎠ R2 : cR2 ⎝⎜ ⎠⎟ ⎛ ⎞ ⎛ x y⎞ 5 ⎛ x y⎞ R1 : R1 1 cR2 ⎛ ⎞ ⎜⎝ c⎟⎠ ⎝⎜ z w⎠⎟ ⎜⎝ cz cw⎠⎟ ⎝⎜ c⎠⎟ R2 : R2 1 cR1 ⎛ c⎞ ⎛ x y⎞ 5 ⎛ x 1 cz y 1 cw⎞ ⎛ c⎞ ⎜⎝ ⎠⎟ ⎝⎜ z w⎠⎟ ⎝⎜ z w ⎟⎠ R1 N R2 ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛ ⎞ ⎛ x y⎞ 5 ⎛ z x y⎞ ⎛ ⎞ ⎝⎜ c ⎟⎠ ⎝⎜ z w⎠⎟ ⎝⎜ 1 cx w 1 cy⎟⎠ ⎝⎜ c ⎠⎟ ⎛ ⎞ ⎛ x y⎞ 5 ⎛ z w⎞ ⎛ ⎞ ⎝⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ z w⎠⎟ ⎝⎜ x y ⎟⎠ ⎝⎜ ⎠⎟ TEOREMA 6 Toda matriz elemental E de 2 3 2 es uno de los siguientes: DEMOSTRACIÓN i. La representación matricial de una expansión a lo largo del eje x o y ii. La representación matricial de una compresión a lo largo del eje x o y iii. La representación matricial de una reflexión respecto a la recta y 5 x iv. La representación matricial de un corte a lo largo del eje x o y v. La representación matricial de una reflexión respecto del eje x o y vi. El producto de la representación matricial de una reflexión respecto al eje x o y y la representación matricial de una expansión o compresión. Se hará referencia a las tablas 5.1 y 5.2 Caso 1: E 5 ⎛ c 0⎞ c.0 Ésta es la representación matricial de una expan- ⎜⎝ 0 1⎠⎟ , sión a lo largo del eje x si c . 1 o una compresión a lo largo del eje x si 0 , c , 1.
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 493 Caso 2: E 5 ⎛ c 0⎞ c,0 ⎝⎜ 0 1⎟⎠ , Caso 2a: c 5 21 Entonces E 5 ⎛ 21 0⎞ ⎝⎜ 0 1⎟⎠ , que es la representación ma- tricial de una reflexión respecto al eje y. Caso 2b: c , 0, c Z 21 Entonces 2c . 0 y E 5 ⎛ c 0⎞ 5 ⎛ 21 0⎞ ⎛2c 0⎞ ⎜⎝ 0 1⎟⎠ ⎝⎜ 0 1⎟⎠ ⎝⎜ 0 1⎠⎟ que es el producto de la representación matricial de una reflexión respecto al eje y y la repre- sentación matricial de una expansión (si 2c . 1) a lo largo del eje x. Caso 3: E 5 ⎛ 1 0⎞ c.0 Lo mismo que el caso 1 con el eje y en lugar del eje x. ⎝⎜ 0 c⎟⎠ , Lo mismo que el caso 2 con los ejes intercambiados Caso 4: E 5 ⎛ 1 0⎞ c,0 ⎜⎝ 0 c⎟⎠ , Ésta es la representación matricial de un corte a lo largo del eje x. Caso 5: ⎛1 c⎞ E 5 ⎝⎜ 0 1⎠⎟ Ésta es la representación matricial de un corte a lo largo del eje y. Caso 6: E 5 ⎛ 1 0⎞ ⎝⎜ c 1⎟⎠ Ésta es la representación matricial de una reflexión respecto a la recta y 5 x. Caso 7: ⎛0 1⎞ E 5 ⎝⎜ 1 0⎟⎠ En el teorema 1.10.3 de la página 126, se demostró que toda matriz invertible se puede ex- presar como el producto de matrices elementales. En el teorema 6 se demostró que toda matriz elemental en 2 se puede expresar como el producto de representaciones matriciales de expan- siones, compresiones, cortes y reflexiones. Por esto, se tiene el siguiente resultado TEOREMA 7 Sea T: 2 S 2 una transformación lineal tal que su representación matricial es inver- tible. Entonces T se puede obtener como una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones. Nota. De acuerdo al teorema de resumen de la página 353, AT es invertible si y sólo si ρ(AT) 5 2. Pero según el teorema 4, ρ(AT) 5 ρ(A). Esto significa que AT es invertible respecto a todas las bases en 2 o no es invertible respecto a alguna.
494 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales EJEMPLO 10 Descomposición de una transformación lineal en 2 en una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones Considere la transformación T: 2S 2 con representación matricial AT 5 ⎛ 1 2⎞ . Usando ⎝⎜ 3 4⎠⎟ la técnica de la sección 1.10 (vea el ejemplo 3 de la página 127), AT se puede escribir como el producto de tres matrices elementales: ⎛1 2⎞ 5 ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 2⎞ (4) ⎝⎜ 3 4⎟⎠ ⎜⎝ 3 1⎠⎟ ⎜⎝ 0 22⎟⎠ ⎝⎜ 0 1⎟⎠ Ahora representa un corte a lo largo del eje y (con c 5 3) ⎛1 0⎞ ⎜⎝ 3 1⎟⎠ ⎛ 1 2⎞ representa un corte a lo largo del eje x (con c 5 2) ⎜⎝ 0 1⎠⎟ ⎛1 0⎞ 5 ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ representa una expansión a lo largo del eje y (con c 5 2) ⎝⎜ 0 22⎠⎟ ⎝⎜ 0 21⎟⎠ ⎝⎜ 0 2⎠⎟ seguida de una reflexión respecto al eje x. Así, para aplicar T a un vector en 2, se tiene que i. Cortar a lo largo del eje x con c 5 2. ii. Expandir a lo largo del eje y con c 5 2. iii. Reflejar respecto al eje x. iv. Cortar a lo largo del eje y con c 5 3. Observe que estas operaciones se realizan en el orden inverso en que se escriben las matrices en (4). Para ilustrar esto, suponga que v 5 ⎛ 3⎞ . ⎜⎝ 22⎟⎠ Entonces Tv 5 AT v 5 ⎛ 1 2⎞ ⎛ 3⎞ 5 ⎛ 21⎞ ⎜⎝ 3 4⎟⎠ ⎝⎜ 22⎠⎟ ⎝⎜ 1⎠⎟ Usando las operaciones i) a iv) se tiene que ⎛ 3⎞ Corte ⎛1 2⎞ ⎛ 3⎞ 5 ⎛ 21⎞ Expansión ⎛1 0⎞ ⎛ 21⎞ 5 ⎛ 21⎞ ⎝⎜ 22⎠⎟ ⎜⎝ 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 22⎠⎟ ⎝⎜ 22⎟⎠ ⎜⎝ 0 2⎟⎠ ⎝⎜ 22⎟⎠ ⎝⎜24⎟⎠ Reflexión ⎛1 0⎞ ⎛ 21⎞ 5 ⎛ 21⎞ Corte ⎛1 0⎞ ⎛ 21⎞ 5 ⎛ 21⎞ ⎜⎝ 0 21⎠⎟ ⎝⎜ 24⎠⎟ ⎝⎜ 4⎟⎠ ⎝⎜ 3 1⎠⎟ ⎜⎝ 4⎠⎟ ⎝⎜ 1⎟⎠ En la figura 5.10 se bosquejan estos pasos.
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 495 Figura 5.10 y yy Descomposición de la transformación lineal T 5 ⎛ 3⎞ 5 ⎛1 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎜⎝ −2 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 4⎟⎠ ⎜⎝ −2 ⎠⎟ en una sucesión de cortes, x x x expansiones y reflexiones: 2 2 2 2 2 c) a) Se comienza con ese a) b) vector. y b) Vector obtenido por el corte a lo largo del eje x con c 5 2. c) Vector obtenido al y expandir a lo largo del 2 eje y con c 5 2. d) Vector obtenido al refle- jar respecto al eje x. e) Vector obtenido por el x 2 x corte a lo largo del eje y con c 5 3. d) e) Problemas 5.3 AUTOEVALUACIÓN ⎛ x⎞ ⎛ z⎞ I. Si T: 3S 3 es la transformación lineal T ⎜ y⎟⎟ 5 ⎜ 2x ⎟ , entonces AT 5 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ y⎟⎠ ⎛ 0 21 0⎞ ⎛ 0 0 1⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 0 0 1⎞ a) ⎜ 0 0 1⎟⎟ b) ⎜ 21 0 0⎟⎟ c) ⎜ 0 21 0⎟⎟ d) ⎜ 0 1 0⎟⎟ ⎜ 0 0⎟⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝⎜ 1 ⎜⎝ 0 1 0⎠⎟ ⎝⎜ 0 0 1⎠⎟ ⎜⎝ 21 0 0⎠⎟ II. _______ representa(n) una expansión a lo largo del eje y. ⎛2 0⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎜⎝ 0 1⎟⎠ 0⎟ ⎜⎝ 0 2⎟⎠ a) b) ⎜ 2 1⎠⎟ c) d) ⎜ 1 ⎟ ⎝⎜ 0 ⎜⎝ 0 2 ⎠⎟ III. ______ representa(n) una expansión a lo largo del eje x. a) ⎛ 21 0⎞ b) ⎛1 0⎞ c) ⎛1 3⎞ ⎜⎝ 0 1⎟⎠ ⎝⎜ 0 21⎟⎠ ⎜⎝ 0 1⎟⎠ ⎛ 1⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ d) ⎜ 1 ⎜⎝ 3 1⎠⎟ ⎝⎜ 0 13⎟⎠⎟ e) f) ⎜ 1 ⎟ ⎝⎜ 3 1⎠⎟ De los problemas 1 al 38 encuentre la representación matricial AT de la transformación lineal T, nu T, Im T, ν(T ) y r(T ). A menos que se especifique otra cosa, suponga que B1 y B2 son bases canónicas.
496 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales ⎛ x⎞ ⎛ x 2 2 y⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x1y ⎞ ⎝⎜ y⎠⎟ ⎜⎝ 2x 1 y⎠⎟ ⎝⎜ y⎠⎟ 1. T: R2 S R2; T 5 2. T: R2 S R3; T 5 ⎜ x 2 3yy⎟⎟⎠⎟ ⎝⎜⎜ 2x 1 ⎛ 2x⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x 2 y 1 z ⎞ ⎜⎝ 22x 1 y 2 2z ⎟⎠ 3. T: R S R3; T (x) 5 ⎜ 2x⎟⎟ 4. T: R3 S R2; T ⎜ zy⎟⎟⎟⎠ 5 2 ⎜ ⎝⎜⎜ ⎝⎜ x⎠⎟ 5. T: R2 S R2; T ⎛ x⎞ 5 ⎛ ax 1 by⎞ 6. T: R2 S R2; T ⎛ x⎞ 5 ⎛ x 1 y⎞ ⎜⎝ y⎟⎠ ⎝⎜ cx 1 dy ⎟⎠ ⎝⎜ y⎟⎠ ⎜⎝ 2x 1 y ⎟⎠ ⎛ x⎞ ⎛ x 2 y 1 2z⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 2x 1 2 y 1 z⎞ 7. T: R3 S R3; T ⎜ y⎟⎟ 5 ⎜ 3x 1 y 1 4z ⎟ 8. T: R3 S R3; T ⎜ y⎟⎟ 5 ⎜ 2x 2 4 y 2 2z ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎝ z ⎠⎟ ⎝⎜ 5x 2 y 1 8z ⎟⎠ ⎜⎝ z ⎠⎟ ⎜⎝ 23x 1 6 y 1 3z ⎟⎠ ⎛ x⎞ ⎛ x 2 y 1 2z 1 3w ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x 2 y 1 2z 1 w⎞ ⎜ ⎜ x y 1 4z 1 3w⎟⎟ 9. T: R4 S R3; T ⎜ y ⎟ 5 ⎜ 1 6z 1 6w⎠⎟ 10. T: R4 S R4; T ⎜ y ⎟ 5 ⎜⎜ 2x 1 z 1 2w⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎜ ⎟ ⎜⎝ z⎟ w⎟⎠ ⎜ z ⎟ ⎜ x 2 2 y 15z 1 4w⎟ ⎝⎜ w⎟⎠ ⎝⎜ 2x 2 y 1 z 2 w ⎠⎟ ⎛ w⎞ 11. T: R4 S R2; T ⎜ x ⎟ 5 ⎛ aw 1 bx⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎝ cy 1 dz ⎟⎠ ⎜ y⎟ ⎜⎝ z ⎠⎟ 12. T: R2 S R2; T ⎛ x⎞ 5 ⎛ x 2 2y⎞ ; B1 5 B2 5 ⎧⎪⎛ 1⎞ , ⎛ 3⎞ ⎫⎪ ⎝⎜ y⎠⎟ ⎝⎜ 2x 1 y ⎠⎟ ⎪⎩⎨⎜⎝ 22⎟⎠ ⎝⎜ 2⎠⎟ ⎬ ⎭⎪ 13. T: R2 S R2; T ⎛ x⎞ 5 ⎛ 4x 2 y⎞ ; B1 5 B2 5 ⎪⎧⎛ 21⎞ , ⎛ 4⎞ ⎫⎪ ⎝⎜ y⎟⎠ ⎜⎝ 3x 1 y ⎠⎟ ⎪⎨⎩⎝⎜ 1⎠⎟ ⎝⎜ 3⎠⎟ ⎬ 2 ⎭⎪ ⎛ x⎞ ⎛ 2x 1 y 1 z ⎞ ⎜⎝ y 2 3z ⎟⎠ 14. T: R3 S R2; T ⎜ zy⎟⎟⎟⎠ 5 ; ⎝⎜⎜ ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎫ ⎪⎧⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎪⎫ B1 5 ⎪⎩⎪⎨⎝⎜⎜⎜ 01⎟⎠⎟⎟ , ⎪ ⎨⎩⎪⎜⎝ 21⎠⎟ ⎜ 01⎠⎟⎟⎟ , ⎜⎝⎜⎜11⎠⎟⎟⎟ ⎬ ; B2 5 , ⎝⎜ 3⎟⎠ ⎬ ⎜⎜⎝ ⎪ ⎪⎭ ⎭ ⎛ x⎞ ⎛ x 2 y⎞ ⎧⎪⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎪⎫ ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ ⎜⎝ y⎠⎟ ⎩⎨⎪⎜⎝ 1⎠⎟ ⎜⎝ 2⎠⎟ ⎬ B2 5 ⎪⎨⎩⎪⎝⎜⎜⎜ 201⎟⎟⎟⎠ , ⎪ 15. T: R2 S R3; T 5 ⎜ 2x 1 y ⎟ ; B1 5 , ⎪⎭ ; ⎜ 02⎟⎠⎟⎟ , ⎜ 25⎟⎟⎠⎟ ⎬ ⎜⎝⎜ y ⎟⎟⎠ ⎜⎝⎜ ⎝⎜⎜ ⎪ ⎭ 16. T: P2 S P3; T(a0 1 a1x 1 a2x2) 5 a1 2 a1x 1 a0x3 17. T: R S P3; T(a) 5 a 1 ax 1 ax2 1 ax3 18. T: P3 S R; T(a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3) 5 a2 19. T: P3 S P1; T(a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3) 5 (a1 1 a3)x 2 a2 20. T: P4 S P4; P(a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3 1 a4x4) 5 a4x4 1 a2x2 1 a0
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 497 21. T: P3 S P2; T(a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3) 5 (a0 2 a1 1 2a2 1 3a3) 1 (a1 1 4a2 1 3a3)x 1 (a0 1 6a2 1 5a3)x2 ⎛a b⎞ 5 ⎛ a 2 b 1 2c 1 d 2a 1 2c 1 2d⎞ 22. T: M22 S M22; T ⎜⎝ c d ⎠⎟ ⎝⎜ a 2 2b 1 5c 1 4d 2a 2 b 1 c 2 d ⎠⎟ 23. T: P4 S P3; P(a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3 1 a4x4) 5 a3x3 1 a1x 24. T: M22 S M22; T ⎛ a b⎞ 5 ⎛ a 1 b 1 c 1 d a1b1c⎞ ⎜⎝ c d ⎠⎟ ⎝⎜ a 1 b a ⎠⎟ 25. T: P2 S P3; T [ p (x)] 5 xp(x); B1 5 {1, x, x2}; B2 5 {1, (1 1 x), (1 1 x)2, (1 1 x)3} 26. T: P2 S P3; Tp (x) 5 xp(x) 1 p(x); B1 5 {1, x, x2}; B2 5 {1, (x 2 1), (x 2 1)(x 2 2), (x 2 1)(x 2 2)(x 2 3)} CÁLCULO 27. D: P4 S P3; Dp (x) 5 p9(x) CÁLCULO * CÁLCULO 28. T: P4 S P4; Tp (x) 5 xp9(x) 2 p(x) CÁLCULO * CÁLCULO 29. D: Pn S Pn 2 1; Dp (x) 5 p9(x) * CÁLCULO * CÁLCULO 30. D: P4 S P2; Dp (x) 5 p0(x) CÁLCULO 31. D: P2 S P2; Dp (x) 5 p0(x) 1 2p9(x) 1 p(x) CÁLCULO CÁLCULO 32. T: P4 S P4; Tp (x) 5 p0(x) 1 xp9(x) 1 2p(x) 33. D: Pn S Pn 2 k; Dp (x) 5 p(k)(x) 34. T: Pn S Pn; Tp (x) 5 xnp(n) (x) 1 xn21p(n21)(x) 1 . . . 1 xp9(x) 1 p(x) ∫35. 1 J: Pn S R; Jp 5 p(x) dx 0 ∫36. 1 p( x )]2 J: Pn S R; Jp 5 dx [ 0 ⎛ a⎞ 37. T: R3 S P2; T ⎜ b⎟⎟ 5 a 1 bx 1 cx 2 ⎜ ⎝⎜ c⎟⎠ 38. T: P3 S 3; T(a0 1 a1x 1 a2x2 1 a3x3) 5 ⎛ a3 2 a2 ⎞ ⎜ a 1 a ⎟ ⎜ ⎟ 1 3 ⎜⎝ a 2 a ⎟⎠ 2 1 39. Defina T: Mmn S Mnm por TA 5 At. Encuentre AT respecto a las bases canónicas en Mmn y Mnm. *40. Defina T: 2S 2 por T ⎛ x⎞ 5 ⎛ x 1 iy ⎞ . Encuentre AT . ⎜⎝ y⎠⎟ ⎝⎜ (1 1 i)y 2 x⎟⎠ 41. Sea V 5 gen {1, sen x, cos x}. Encuentre AD, donde D: V S V está definida por Df (x) 5 f 9(x). Encuentre imagen D y nu D. 42. Conteste las preguntas del problema 41 dado V 5 gen {ex, xex, x2ex}. 43. Defina T: 2 S 2 por Tx 5 proyH x, donde H 5 gen{(1 2)(1, i)}. Encuentre AT. 44. Demuestre el teorema 2. 45. Demuestre el teorema 4.
498 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales De los problemas 46 al 53 describa en palabras las transformaciones lineales T: 2 S 2 que tienen la representación matricial AT. 2⎞ 1⎠⎟ ⎛ 4 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎛1 ⎜⎝ 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 21⎠⎟ ⎜⎝ 0 46. AT 5 47. AT 5 ⎜ 41 ⎟⎠⎟ 48. AT 5 49. AT 5 ⎝⎜ 0 ⎛1 23⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎜⎝ 0 1⎠⎟ ⎜⎝ −5 1⎠⎟ ⎜⎝ 1 0⎠⎟ 50. AT 5 51. AT 5 ⎜ 1 ⎟ 52. AT 5 53. AT 5 ⎝⎜ 2 1⎠⎟ En los problemas 54 al 63 escriba la representación matricial de 2 3 2 de la transformación lineal dada y bosqueje la región obtenida al aplicar esa transformación al rectángulo dado. y 54. Expansión a lo largo del eje y con c 5 2 x y 2 55. Compresión a lo largo del eje x con c 5 1 4 2 x y 2 x 56. Corte a lo largo del eje x con c 5 22 2 2 2 2 y 57. Corte a lo largo del eje y con c 5 3 x 2 2 2 y 58. Corte a lo largo del eje y con c 52 1 2 2 2 2 x 59. Corte a lo largo del eje y con c 5 1 5 y 2 2 x 2 2 2
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 499 2 y 60. Reflexión respecto al eje x 2 2 x 61. Reflexión respecto al eje y 2 y x 2 2 y 62. Reflexión respecto a la recta y 5 x 2 2 2 x 2 y 2 2 63. Reflexión respecto a la recta y 5 x x 2 2 2 2 De los problemas 64 al 71 exprese cada transformación lineal con matriz de transformación dada AT, como una sección de expansiones, compresiones, reflexiones y cortes. 64. AT 5 ⎛ 2 21⎞ ⎛ 3 2⎞ ⎛ 0 22⎞ ⎛ 3 6⎞ ⎜⎝ 5 0⎟⎠ 65. AT 5 ⎝⎜ 21 4⎠⎟ 66. AT 5 ⎝⎜ 3 25⎟⎠ 67. AT 5 ⎜⎝ 4 2⎟⎠ ⎛ 0 3⎞ ⎛ 0 22⎞ ⎛ 3 7⎞ ⎛ 21 10⎞ 68. AT 5 ⎜⎝ 1 22⎠⎟ 69. AT 5 ⎝⎜ 5 7⎠⎟ 70. AT 5 ⎝⎜24 28⎠⎟ 71. AT 5 ⎝⎜ 6 2⎠⎟ RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN I. b) II. c) III. c, d)
500 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales MATLAB 5.3 M En los problemas de esta sección se hace referencia al archivo grafics/grafics1 de MATLAB; en la suposición de que trabajó los problemas de MATLAB 5.1. 1. Considere el rectángulo en la figura 5.8a). Desarrolle una matriz de puntos y líneas para éste. a) Sea T la transformación que expande a lo largo de eje y por un factor de 3 y comprime a lo largo del eje x por un factor de 1 . Encuentre su representación matricial y, sobre los 2 mismos ejes, grafique el rectángulo original y su imagen transformada usando el archivo grafics/grafics1. b) Utilizando las representaciones adecuadas y el archivo grafics/grafics1, reproduzca las imágenes de las transformaciones de corte en las figuras 5.8b) y 5.8c). c) Con la representación matricial correcta y el archivo grafics/grafics1, en los mimos ejes coordenados, grafique el rectángulo original y la imagen después de aplicar una transfor- mación de corte a lo largo del eje y con c 5 22. 2. La representación matricial de una composición de transformaciones lineales es el producto de las representaciones matriciales de las transformaciones individuales en el orden adecua- do. Si T: 2 S 2 con representación matricial A y S: 2 S 2 con representación matricial B, entonces T(S(x)) 5 ABx. a) (Lápiz y papel) Encuentre la matriz R que representa la rotación positiva (sentido con- trario a las manecillas del reloj) alrededor del origen, un ángulo x/2 y la matriz E que representa la expansión a lo largo del eje x por un factor de 2. b) Introduzca las matrices de puntos y líneas para la figura dada en el problema 1a) de MATLAB 5.1. Haciendo uso del archivo grafics/grafics1, en los mismos ejes grafique la figura, la imagen de la figura después de rotar primero y luego expandir, y la imagen de la figura después de expandir primero y luego rotar. Utilice un color diferente y (símbolo para el punto) para cada gráfica. Necesitará la instrucción hold on después de cada lla- mada a grafics/grafics1. Tendrá que ajustar el parámetro M al llamar grafics hasta que las tres figuras se ajusten correctamente en la pantalla. No guarde esta gráfica. Lo que importa es encontrar la M adecuada (si utiliza la función grafics1 no es necesario el pro- cedimiento para ajustar el valor de M, la función selecciona un valor de M adecuado). Con esa M encontrada, en el mismo conjunto de ejes, grafique la figura y la imagen de la rotación primero y después la expansión. Etiquete esta gráfica, asegurándose de decir qué imágenes se graficaron [utilice la ayuda para explorar los comandos title(título), xlabel(etiqueta x) y ylabel(etiqueta y)]. Repita para la figura y la imagen con la expansión primero y la rotación después. Describa la comparación entre las dos gráficas. Explique cuando menos una caracterís- tica de la geometría de las gráficas que permita conocer qué tipo de transformación se realizó primero. 3. Proyecciones Sea v un vector en n con longitud 1. Sea T: n S n dada por T(x) 5 proyv x 5 (v ? x)v
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 501 a) (Lápiz y papel) Demuestre que T es lineal. Demuestre que la representación matricial, P, de T (respecto a la base canónica), está dada por P 5 (ν1v ν2v . . . νnv) Aquí νi se refiere a la componente i de v. Recuerde que se ha supuesto que v tiene lon- gitud 1. b) Suponga que v es un vector de longitud 1 en 2 dado por v 5 (1 0)t. i. Utilice el archivo grafics/grafics1 para encontrar la matriz P que representa la proyec- ción sobre v. Introduzca las matrices de puntos y líneas del problema la) de MATLAB 5.1. Sobre el mismo conjunto de ejes, grafique la figura original y la imagen de la fi- gura después de aplicar la transformación P. Use colores y/o símbolos distintos. Para cada punto clave en la figura original, identifique el punto de su imagen después de aplicar la transformación. Haga lo mismo para dos de los segmentos de recta de la figura original. ii. (Lápiz y papel) Utilice P para encontrar una base para el núcleo y la imagen de la transformación. Describa la forma en que la geometría de la proyección sobre v expli- ca estos resultados. c) Repita las instrucciones del inciso b) para el vector v de longitud 1 en la dirección de w 5 (1 1)t (para encontrar v, divida w entre su longitud). d) Repita las instrucciones del inciso b) para el vector v de longitud 1 en la dirección de w 5 (21 1)t. e) Repita los incisos b) a d) para una figura creada por usted. 4. Reflexiones Sea v un vector en 2 de longitud 1. La transformación que refleja un vector dado x en 2 a través de la recta determinada por v es una transformación lineal. Por lo tanto, tiene una representación matricial. Se llamará F a esta representación. a) (Lápiz y papel) Explique por qué 2proyv x 5 x 1 Fx, utilizando el siguiente diagrama. Con esto, dé un razonamiento de por qué F 5 2P 2 I, donde P es la representación ma- tricial de la proyección sobre v e I es la matriz identidad de 2 3 2. v x Fx b) Encuentre la matriz F, como en el análisis anterior, representando la transformación de la reflexión al otro lado del eje x. Aquí v 5 (1 0)t. Utilice la matriz de puntos y líneas del problema 1a) de MATLAB 5.1 y el archivo grafics/grafics1 para dibujar, en los mismos ejes, la figura original y su imagen después de
502 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales aplicar la reflexión dada. Para cada punto clave en la figura original, identifique su ima- gen bajo la transformación. Haga lo mismo para dos segmentos de recta de la figura ori- ginal. Verifique que las imágenes son las reflexiones dadas de los segmentos originales. c) Repita las instrucciones del inciso b) para la reflexión respecto a la recta y 5 2x. Aquí el vector v es el vector de longitud 1 en la dirección de w 5 (21 1)t. d) Repita los incisos b) y c) para una figura creada por usted. PROBLEMA 5. Cree un diseño o una figura usando una o dos figuras originales y aplicándoles varias trans- formaciones. Utilice grafics/grafics1 y la instrucción hold on (necesitará dar el comando hold PROYECTO on después de cada llamado a grafics/grafics1). Si grafica una figura transformada que decide desechar, la puede “borrar” volviendo a graficarla usando la opción de color ‘w’, que es el color del fondo de la figura, al llamar grafics/grafics1. Un problema, sin embargo, es que puede borrar partes de las líneas de otras figuras que sí quiera conservar. De ser así, simplemente vuelva a graficar las que quiera con- servar que fueron afectadas. Si desea trasladar una figura a unidades en la dirección x y b unidades en la dirección y y tiene n puntos, utilice la matriz de puntos dada por newpts 5 pts 1 [a*ones(1,n); b*ones(1,n)], donde pts es la matriz de puntos original para la figura. 6. Sea T: 4 S 4 una transformación lineal definida por ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ 0⎟⎟ 5 ⎜ 21⎟⎟ , T ⎜ 21⎟⎟ 5 ⎜ 0⎟⎟ T⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 3⎟ ⎜ 7⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ 6⎟ ⎝⎜ 21⎠⎟ ⎝⎜ 2⎟⎠ ⎜⎝ 3⎠⎟ ⎝⎜ 22⎟⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 5⎞ ⎜ 2⎟⎟ 5 ⎜ 21⎟⎟ , T ⎜ 2⎟⎟ 5 ⎜ 1⎟⎟ T⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 17⎟ ⎜⎝ 22⎠⎟ ⎜⎝ 4⎟⎠ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎜⎝210⎟⎠ a) Verifique que el siguiente conjunto {v1, v2, v3, v4} es una base para 4 y por lo tanto T está bien definida. ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 4⎞ ⎫ ⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎜⎜⎜⎜⎝ ⎪ 0⎟⎟ , ⎜ 21⎟⎟ , ⎜ 2⎟⎟ , ⎜ 2⎟⎟ ⎪ 3⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 1⎟ ⎬ 21⎟⎠ ⎜ 4⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎠⎟ ⎪ ⎝⎜ 3⎠⎟ ⎝⎜ 22⎠⎟ ⎝⎜ ⎪⎭ b) Encuentre la representación matricial, C, de T respecto a las bases canónicas. Recuerde que necesita encontrar T(ei) para i 5 1, . . . , 4 y que T(ei) es una combinación lineal de {T(v1), . . . , T(v4)}, donde los coeficientes de las combinaciones lineales son las coordena- das de ei respecto a la base {v1, v2, v3, v4}. c) Sea A la matriz [ v1 v2 v3 v4] y sea B la matriz cuyas columnas son los lados derechos de las igualdades en la definición de T; es decir,
5.4 Isomorfismos 503 ⎛ 3 2 1 5⎞ B 5 ⎜ 21 0 21 1⎟⎟ . ⎜ 61 17⎟ ⎜7 ⎝⎜ 2 22 4 210⎟⎠ Verifique que la representación matricial, C, de la transformación T satisface C 5 BA21. Ex- plique por qué esto es cierto usando los conceptos de coordenadas y matrices de transición. d) Usando C, encuentre una base para el núcleo y la imagen de T. 7. Sea T: 2 S 2 una transformación definida por una rotación negativa de π/4 respecto al ori- gen, después una expansión a lo largo del eje x por un factor de 2 y una expansión a lo largo del eje y por un factor de 3, seguidas de una rotación positiva de π/4 respecto al origen. a) Encuentre la representación matricial de T respecto a la base canónica. b) Encuentre la representación matricial de T respecto a la base. B 5 ⎪⎧⎛1⎞ , ⎛21⎞ ⎪⎫ ⎩⎨⎪⎝⎜1⎟⎠ ⎝⎜ 1⎠⎟ ⎬ ⎪⎭ c) Explique la manera en la cual se puede describir la geometría de T únicamente en térmi- nos de expansiones en ciertas direcciones. 5.4 ISOMORFISMOS En esta sección se introduce una terminología importante y después se demuestra un teorema que muestra que todos los espacios vectoriales de n dimensiones son “en esencia” el mismo. DEFINICIÓN 1 Transformación uno a uno Sea T: V S W una transformación lineal; entonces T es uno a uno, escrito 1-1, si Tv1 5 Tv2 implica que v1 5 v2 (1) Es decir, T es 1-1 si y sólo si todo vector w en la imagen de T es la imagen de exactamente un vector de V. Nota. Una transformación 1-1 se llama también inyectiva. TEOREMA 1 Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces T es 1-1 si y sólo si nu T 5 {0}. DEMOSTRACIÓN Suponga que nu T 5 {0} y Tv1 5 Tv2. Entonces Tv1 2 Tv2 5 T(v1 2 v2) 5 0, lo que signi- fica que (v1 2 v2) ∈ nu T 5 {0}. Así, v1 2 v2 5 0, por lo tanto, v1 5 v2, lo que muestra que T es 1-1. Ahora se probará que si T es 1-1, entonces nu T es 1-1, entonces nu T 5 {0}. Suponga que T es 1-1 y v ∈ nu T. Entonces Tv 5 0. Pero también T 0 5 0. Así, como T es 1-1, v 5 0. Esto completa la prueba.
504 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales EJEMPLO 1 Una transformación 1-1 de 2 en 2 EJEMPLO 2 Defina T : 2S 2 por T ⎛ x⎞ 5 ⎛ x 2 y⎞ Es sencillo encontrar AT 5 ⎛ 1 21⎞ ⎜⎝ y⎠⎟ ⎜⎝ 2x 2 y ⎟⎠ ⎜⎝ 2 1⎟⎠ y ρ(AT) 5 2; así, ν(AT) 5 0 y NAT 5 nu T 5 {0}. Por lo tanto T es 1-1. Una transformación de 2 en 2 que no es 1-1 Defina T : 2S 2 por T ⎛ x⎞ 5 ⎛ x 2 y⎞ . Entonces AT 5 ⎛ 1 21⎞ ⎝⎜ y⎟⎠ ⎜⎝ 2x 1 y ⎠⎟ ⎝⎜ 2 22⎟⎠ , ρ(AT) 5 1 y ν(AT) 5 1; por 2 lo tanto, ν(T ) 5 1 y T no es 1-1. Observe, por ejemplo, que T ⎛ 1⎞ 5 0 5 T ⎛ 0⎞ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎝⎜ 0⎠⎟ DEFINICIÓN 2 Transformación sobre Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces se dice que T es sobre W o simple- mente sobre, si para todo w ∈ W existe cuando menos una v ∈ V tal que Tv 5 w. Es decir, T es sobre W si y sólo si Im T 5 W. Nota. Una transformación sobre se denomina también suprayectiva. EJEMPLO 3 Cómo determinar si una transformación es sobre En el ejemplo 1, ρ(AT) 5 2; entonces Im T 5 2 y T es sobre. En el ejemplo 2, ρ(AT) 5 1 e Im T 5 gen ⎪⎧⎛ 1⎞ ⎫⎪ ≠ 2, por lo tanto, T no es sobre. ⎪⎨⎩⎝⎜ 2⎟⎠ ⎬ ⎪⎭ TEOREMA 2 Sea T : V S W una transformación lineal y suponga que dim V 5 dim W 5 n. DEMOSTRACIÓN i. Si T es 1-1 entonces T es sobre. ii. Si T es sobre, entonces T es 1-1. Sea AT una representación matricial de T. Entonces si T 1-1, nu T 5 {0} y ν(AT) 5 0, lo que significa que ρ(T ) 5 ρ(AT) 5 n 2 0 5 n de manera que Im T 5 W. Si T es sobre, entonces ρ(AT) 5 n, por lo tanto ν(T ) 5 ν(AT) 5 0 y T es 1-1. TEOREMA 3 Sea T: V S W una transformación lineal. Suponga que dim V 5 n y dim W 5 m. En- DEMOSTRACIÓN tonces ii. Si n . m, T no es 1-1. ii. Si m . n, T no es sobre. ii. Sea {v1, v2, . . . , vn} una base para V. Sea wi 5 Tvi para i 5 1, 2, . . . , n y observe el conjunto S 5 {w1, w2, . . . , wn}. Como m 5 dim W, n, el conjunto S es linealmente independiente. Así, existen escalares, no todos cero, tales que c1w1 1 c2w2 1 . . . 1
5.4 Isomorfismos 505 cnwn 5 0. Sea v 5 c1v1 1 c2v2 1 . . . 1 cnvn. Como los elementos vi son linealmente independientes y como no todos los coeficientes ci son cero, se ve que v Z 0. Pero Tv 5 T(c1v1 1 c2v2 1 . . . 1 cnvn) 5 c1Tv1 1 c2Tv2 1 . . . 1 cnTvn 5 c1w1 1 c2w2 1 . . . 1 cnwn 5 0. Por lo tanto, v ∈ nu T y nu T ≠ {0}. ii. Si v ∈ V, entonces v 5 .a.1v. 111aanT2vv2n15. . . 1 anvn para .a.lg.u1noasnwesn.caAlasír,e{swa11,, a2, . . . , an y Tv 5 a1Tv1 1 a2Tv2 1 a1w1 1 a2w2 1 w2, . . . , wn} 5 {Tv1, Tv2, Tvn} genera a la imagen de T. Entonces, del problema 4.6.34 de la página 346, r(T) 5 dim Im T # n. Como m . n, esto muestra que Im T ≠ W. Entonces T no es sobre. EJEMPLO 4 Una transformación de 3 en 2 no es 1-1 EJEMPLO 5 ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 1 2 3⎞ Sea T : 3S 2 dada por T ⎜ y⎟⎟ 5 ⎜⎝ 4 5 6⎠⎟ ⎜ y⎟⎟ . Aquí n 5 3 y m 5 2, de manera que T no es ⎜ z ⎟⎠ ⎜ z ⎠⎟ ⎝⎜ ⎝⎜ 1-1. Para ver esto, observe que ⎛ 21⎞ ⎛ ⎛ 21⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎝⎜ 1 2 3⎞ ⎜ ⎝⎜ 6⎟⎠ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 3⎞ T ⎜ 2⎟⎟ 5 4 5 6⎠⎟ ⎜ 2⎟⎟ 5 y T ⎜ 24⎟⎟ 5 ⎝⎜ 4 5 6⎠⎟ ⎜ 24⎟⎟ 5 ⎝⎜ 6⎟⎠ ⎜ 0⎠⎟ ⎝⎜ 0⎟⎠ ⎜ 3⎠⎟ ⎜ 3⎠⎟ ⎝⎜ ⎝⎜ ⎜⎝ Es decir, dos vectores diferentes en 3 tienen la misma imagen en 2. Una transformación lineal de R2 en R3 no es sobre ⎛ x⎞ ⎛1 2⎞ ⎛ x⎞ ⎝⎜ y⎠⎟ ⎝⎜ y⎟⎠ Sea T : 2S 3 dada por T 5 ⎜ 3 64⎟⎠⎟⎟ . En este caso n 5 2 y m 5 3, por lo que T no es ⎜⎜⎝ 5 sobre. Para demostrar esto, debe encontrarse un vector en que no esté en la imagen de T. Un ⎛ 0⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 0⎞ ⎜⎝ y⎟⎠ ejemplo de vector así es ⎜ 01⎟⎟⎠⎟ . Esto es, no existe un vector x 5 en 2 tal que Tx 5 ⎜ 0⎟⎟ Esto ⎜⎜⎝ ⎜ ⎝⎜ 1⎠⎟ ⎛ x⎞ ⎛ 0⎞ ⎜⎝ y⎠⎟ se prueba suponiendo que T 5 ⎜ 0⎟⎟ . Es decir, ⎜ ⎝⎜ 1⎟⎠ ⎛1 2⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ x 1 2y⎞ ⎛ 0⎞ ⎝⎜ y⎠⎟ ⎜ 3 64⎟⎟⎟⎠ 5 ⎜ 01⎠⎟⎟⎟ o ⎜ 3x 1 4 y ⎟ 5 ⎜ 01⎟⎟⎟⎠ ⎜⎝⎜ 5 ⎜⎜⎝ ⎜⎝⎜ 5x 1 6 y ⎟⎠⎟ ⎜⎝⎜ Reduciendo por renglones se tiene ⎛1 2 | 0⎞ ⎛ 1 2 | 0⎞ ⎛ 1 2 | 0⎞ ⎜ 3 4 | 0⎟⎟ ⎜ 0 22 | 0⎟⎟ ⎜ 0 22 | 0⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝⎜ 5 6 | 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 24 | 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 | 1⎟⎠ ⎛ 0⎞ La última línea se lee 0?x 1 0? y 5 1. Por lo tanto, el sistema es inconsistente y ⎜ 01⎟⎟⎠⎟ no está en la imagen de T. ⎝⎜⎜
506 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales DEFINICIÓN 3 Isomorfismo Sea T : V S W una transformación lineal. Entonces T es un isomorfismo si T es 1-1 y sobre. DEFINICIÓN 4 Espacios vectoriales isomorfos Se dice que los espacios vectoriales V y W son isomorfos si existe un isomorfismo T de V sobre W. En este caso se escribe V _ W. Observación. La palabra “isomorfismo” proviene del griego isomorphus que significa “de igual forma” (iso 5 igual; morphus 5 forma). Después de unos ejemplos se verá la relación tan cer- cana que tienen las “formas” de los espacios vectoriales isomorfos. Sea T : n S n y sea AT la representación matricial de T. Ahora bien, T es 1-1 si y sólo si nu T 5 {0}, lo que se cumple si y sólo si ν(AT) 5 0 si y sólo si det AT ≠ 0. Por ello, se puede extender el teorema de resumen (visto por última vez en la página 353) en otra dirección. TEOREMA 4 Teorema de resumen (punto de vista 7) Sea A una matriz de n 3 n; entonces las 11 afirmaciones siguientes son equivalentes, es decir, cada una implica a las otras 10 (de manera que si una es cierta, todas son cier- tas): i. Es invertible. ii. La única solución al sistema homogéneo Ax 5 0 es la solución trivial (x 5 0). iii. El sistema Ax 5 b tiene una solución única para cada n-vector b. iv. A es equivalente por renglones a la matriz identidad, In, de n 3 n. v. A se puede expresar como el producto de matrices elementales. vi. La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes. vii. Las columnas (y renglones) de A son linealmente independientes. viii. det A ≠ 0. ix. ν(A) 5 0. x. ρ(A) 5 n. xi. La transformación lineal T de n en n definida por Tx 5 Ax es un isomorfismo. Ahora se verán algunos ejemplos de isomorfismos entre otros pares de espacios vectoriales. EJEMPLO 6 Un isomorfismo entre R3 y P 2 ⎛ a⎞ Defina T : 3 S P2 por T ⎜ b⎟⎟ 5 a 1 bx 1 cx2. Es sencillo verificar que T es lineal. Suponga que ⎜ ⎛ a⎞ ⎜⎝ c⎠⎟ T ⎜ b⎟⎟ 5 0 5 0 1 0x 1 0x2. Entonces a 5 b 5 c 5 0. Es decir, nu T 5 {0} y T es 1-1. Si ⎜ ⎜⎝ c⎟⎠
5.4 Isomorfismos 507 p(x) 5 a0 1 a1x 1 a2x2, entonces p(x) 5 T ⎛ a0 ⎞ . Esto significa que Im T 5 P2 y T es sobre. Por ⎜ a1 ⎟ ⎜ ⎟ lo tanto, 3 _ P2. ⎜⎝ ⎠⎟ a 2 Nota. Dim 3 5 dim P2 5 3. Entonces por el teorema 2, una vez que se sabe que T es 1-1, tam- bién se sabe que es sobre. Esto ya se verificó, aunque no era necesario hacerlo. EJEMPLO 7 Un isomorfismo entre dos espacios vectoriales de dimensión infinita CÁLCULO Sea V 5 { f ∈ C 1[0, 1]: f (0) 5 0} y W 5 C 1[0,1]. Sea D: V S W está dado por Df 5 f 9. Suponga que Df 5 Dg. Entonces f 9 5 g9 o ( f – g)9 5 0 y f (x) 2 g(x) 5 c, una constante. Pero f (0) 5 g(0) x 5 0, de manera que c 5 0 y f 5 g. Entonces D es 1-1. Sea g ∈ C 1[0,1] y sea f (x) 5 g(t) dt . ∫0 Entonces, por el teorema fundamental de cálculo, f ∈ C 1[0, 1] y f 9(x) 5 g(x) para todo x ∈ [0, 1]. 0 Más aún, como ∫0 g(t) dt 5 0, se tiene que f (0) 5 0. Por lo tanto, para todo g en W existe una f ∈ V tal que Df 5 g. Así, D es sobre y se ha demostrado que V _ W. El teorema que sigue ilustra la similitud entre dos espacios vectoriales isomorfos. TEOREMA 5 Sea T : V S W un isomorfismo DEMOSTRACIÓN i. Si v1, v2, . . . , vn genera a V, entonces Tv1, Tv2, . . . , Tvn genera a W. ii. Si v1, v2, . . . , vn son linealmente independientes en V, entonces Tv1, Tv2, . . . , Tvn son linealmente independientes en W. iii. Si {v1, v2, . . . , vn} es una base en V, entonces {Tv1, Tv2, . . . , Tvn} es una base en W. iv. Si V tiene dimensión finita, entonces W tiene dimensión finita y dim V 5 dim W. i. Sea w ∈ W. Entonces como T es sobre, existe un vector v ∈ V tal que Tv 5 w. Como los vectores vi generan a V, se puede escribir v 5 a1v1 1 a2v2 1. . . 1 anvn, de manera que w 5 Tv 5 a1Tv1 1 a2Tv2 1... 1 anTvn y eso muestra que {Tv1, Tv2, . . . , Tvn} genera a W. ii. Suponga que c1Tv1 1 c2Tv2 1 . . .1 c.n.T1vn 5 0. Entonces T(c1v1 1 c2v2 1 .. c.215c.nv.n.) 5 0. Así, como T es 1-1, c1v1 1 c2v2 1. cnvn 5 0, lo que implica que c1 5 5 cn 5 0 ya que los vectores vi son independientes. iii. Esto se deduce de las partes i) y ii). iv. Esto se deduce de la parte iii). Por lo regular es difícil demostrar que dos espacios vectoriales de dimensión infinita son iso- morfos. Sin embargo, para los espacios de dimensión finita es muy sencillo. El teorema 3 dice que si dim V ≠ dim W, entonces V y W no son isomorfos. El siguiente teorema muestra que si dim V 5 dim W, y si V y W son espacios vectoriales reales, entonces V y W son isomorfos. Esto es, Dos espacios reales de dimensión finita de la misma dimensión son isomorfos.
508 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales TEOREMA 6 Sean V y W dos espacios reales† de dimensión finita con dim V 5 dim W. Entonces DEMOSTRACIÓN V _ W. Sea {v1, v2, . . . , vn} una base para V y sea {w1, w2, . . . , wn} una base para W. Defina la transformación lineal T por Tvi 5 wi para i 5 1, 2, . . . , n (2) Según el teorema 5.2.2, página 472 existe exactamente una transformación lineal que sa- tisface la ecuación (2). Suponga que v ∈ V y Tv 5 0. Entonces si v 5 c1v1 1 c2v2 1 . . . 1 c2Tv2 1 . . . . . . 1 cnwn 5 0. cnvn se tiene que Tv 5 c1Tv1 1 linealmente 1indcenTpevnn d5ieCntecs1,wc1115cc22w52 1. . . 5 cn 5 0. Por Pero como w1, w2, . .. , wn son lo tanto, v 5 0 y T es 1-1. Como V y W tienen dimensión finita y dim V 5 dim W, T es sobre por el teorema 2 y la prueba queda completa. Este último resultado es esencial en el álgebra lineal. Nos indica que si se conoce un espacio vectorial real de dimensión n, se conocen todos los espacios vectoriales reales de dimensión n. Es decir, si se asocian todos los espacios vectoriales isomorfos, entonces n es el único espacio de dimensión n sobre los reales. Problemas 5.4 AUTOEVALUACIÓN Indique si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos. III. Una transformación lineal de n → m con n ≠ m no puede ser 1-1 y sobre a la vez. III. Si dim V 5 5 y dim W 5 7, es posible encontrar un isomorfismo T de V en W. III. Si T es 1-1, entonces nu T 5 {0}. IV. Si T es un isomorfismo de un espacio vectorial V en 6, entonces ρ(T ) 5 6. V. Si AT es una matriz de transformación de un isomorfismo de 6 en 6, entonces det AT ≠ 0. 1. Demuestre que T: Mmn S Mnm definida por TA 5 At es un isomorfismo. 2. Demuestre que T: n S n es un isomorfismo si y sólo si AT es invertible. *3. Sean V y W dos espacios vectoriales reales de dimensión n y sean B1 y B2 dos bases para V y W, respectivamente. Sea AT la matriz de transformación relativa a las bases B1 y B2. Demues- tre que T: V S W es un isomorfismo si y sólo si det AT ≠ 0. 4. Encuentre un isomorfismo entre Dn, las matrices diagonales de n 3 n con elementos reales, y n. [Sugerencia: Analice primero el caso n 5 2.] † Es necesaria la palabra “reales” porque es importante que los conjuntos de escalares en V y W sean el mismo. De otra manera, la condición T(av) 5 aTv puede no cumplirse porque v ∈ V, Tv ∈ W, y av o aTv pueden no estar definidas. El teorema 6 es cierto si se omite la palabra “real” y en su lugar se imponen las condiciones de que V y W estén definidos con el mismo conjunto de escalares (como por ejemplo).
5.4 Isomorfismos 509 CÁLCULO 5. ¿Para qué valor de m es isomorfo a m el conjunto de matrices simétricas de n 3 n? CÁLCULO 6. Demuestre que el conjunto de matrices simétricas de n 3 n es isomorfo al conjunto de ma- trices triangulares superiores de n 3 n. 7. Sea V 5 P4 y W 5 {p ∈ P5: p(0) 5 0}. Demuestre que V _ W. 8. Defina T : Pn S Pn por Tp 5 p 1 p9. Demuestre que T es un isomorfismo. 9. Encuentre una condición sobre los números m, n, p, q tales que Mmn _ Mpq. 10. Demuestre que Dn _ Pn21. 11. Pruebe que cualesquiera espacios vectoriales complejos de dimensión finita V y W con dim V 5 dim W son isomorfos. 12. Defina T: C [0, 1] S C [3, 4] por Tf (x) 5 f (x 2 3). Demuestre que T es un isomorfismo. 13. Sea B una matriz invertible de n 3 n. Demuestre que T: Mmn S Mnm definida por TA 5 AB es un isomorfismo. 14. Demuestre que la transformación Tp(x) 5 xp9(x) no es un isomorfismo de Pn en Pn. 15. Sea H un subespacio del espacio V de dimensión finita con producto interno. Demuestre que T: V S H definida por T v 5 proyH v es sobre. ¿Bajo qué circunstancias será 1-1? 16. Demuestre que si T: V S W es un isomorfismo, entonces existe un isomorfismo S: W S V tal que S (T v) 5 v. Aquí S se llama transformación inversa de T y se denota por T 21. 17. Demuestre que si T: n S n está definido por T x 5 Ax y si T es un isomorfismo, entonces A es invertible y la transformación inversa T 21 está dada por T 21x 5 A21x. 18. Encuentre T 21 para el isomorfismo del problema 7. *19. Considere el espacio C 5 {z 5 a 1 ib, donde a y b son números reales e i 2 521}. Demues- tre que si los escalares se toman como reales, entonces C _ 2. *20. Considere el espacio n 5 {(c1, c2, . . . , cn): ci ∈ C y los escalares son reales}. Demuestre que n _ 2n. [Sugerencia: vea el problema 19.] RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN I. V II. F III. V IV. V V. V MATLAB 5.4 1. Sea T : 4 S 4 una transformación definida por T(vi) 5 wi para i 5 1, . . . , 4, donde ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 22⎞ ⎛ 3⎞ ⎫ ⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎝⎜⎜⎜⎜ ⎪⎪ {v1 , v 2 , v3 , v 4}5 0⎟⎟ , ⎜ 1⎟⎟ , ⎜ 1⎟⎟ , ⎜ 4⎟⎟ ⎬ 0⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎪ 0⎟⎠ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟⎠ ⎜ 1⎟⎠ ⎭⎪ ⎝⎜ 0⎠⎟ ⎜⎝ ⎝⎜
510 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 21⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎜⎝⎜⎜⎜ ⎪ {w 1 , w 2 , w 3 , w 4 } 5 2⎟⎟ , ⎜ 5⎟⎟ , ⎜ 21⎟⎟ , ⎜ 3⎟⎟ ⎪ 1⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 7⎟ ⎬ 0⎟⎠ ⎜ 3⎟ ⎜ 21⎟ ⎜ 7⎠⎟ ⎪ ⎝⎜ 2⎟⎠ ⎜⎝ 2⎠⎟ ⎝⎜ ⎭⎪ a) Verifique que el conjunto {v1, v2, v3, v4} es una base para 4 y, por lo tanto, que T está bien definida. b) Verifique que el conjunto {w1, w2, w3, w4} es una base para 4. ¿Por qué se puede concluir que T es un isomorfismo? c) Encuentre la representación matricial, A, de T respecto a la base canónica (vea el pro- blema 6 de MATLAB 5.3). Utilice la representación matricial para encontrar una base para el núcleo y la imagen de T y verifique así, que T es un isomorfismo. Verifique que A es invertible. d) Suponga que S: 4 S 4 es la transformación definida por S(wi) 5 vi, para i 5 1, . . . , 4. Encuentre una representación matricial, B, de S y verifique que B 5 A21. 5.5 ISOMETRÍAS En esta sección se describe un tipo especial de transformación lineal entre espacios vectoriales. Se comienza con un resultado sumamente útil. TEOREMA 1 Sea A una matriz de m 3 n con elementos reales.† Entonces para cualesquiera dos vec- tores x ∈ n y y ∈ m: (Ax) ? y 5 x ? (Aty) (1) DEMOSTRACIÓN Ecuación (6) Teorema 1ii) Ley asociativa para la Ecuación (6) p. 120 p. 119 multiplicación de matrices p. 120 Ax ? y 5 (Ax)ty 5 (xtAt)y 5 xt(Aty) 5 x ? (Aty) Recuerde que en el teorema 4.9.3 de la página 393, se demostró que la matriz Q con ele- mentos reales es ortogonal si Q es invertible y Q 21 5 Q t. En el teorema 4.9.3, de la página 393 se demostró que Q es ortogonal si y sólo si las columnas de Q forman una base ortonormal para n. Ahora sea Q una matriz ortogonal de n 3 n y sea T: n S n una transformación lineal definida por Tx 5 Qx. Entonces, usando la ecuación (1), se calcula (Tx ? Ty) 5 Qx ? Qy 5 x ? (QtQy) 5 x ? (Iy) 5 x ? y † Este resultado se puede extender fácilmente a matrices con componentes complejas. Vea el problema 21 de esta misma sección.
5.5 Isometrías 511 En particular, si x 5 y, se ve que Tx ? Tx 5 x ? x o sea |Tx| 5 |x| para todo x en n. DEFINICIÓN 1 Isometría Una transformación lineal T: n S n se denomina isometría si para cada x en n |Tx| 5 |x| (2) Debido a la ecuación (2) se puede decir que: una isometría en n es una transformación lineal que preserva la longitud en n. Note que (2) implica que |Tx 2 Ty| 5 |x 2 y| (3) [ya que Tx 2 Ty 5 T (x 2 y)]. TEOREMA 2 Sea T una isometría de n S n y suponga que x y y están en n. Entonces Tx ? Ty 5 x ? y (4) Esto es, una isometría en n preserva el producto escalar. DEMOSTRACIÓN |Tx 2 Ty|2 5 (Tx 2 Ty) ? (Tx 2 Ty) 5 |Tx|2 2 2Tx ? Ty 1 |Ty|2 (5) |x 2 y|2 5 (x 2 y) ? (x 2 y) 5 |x|2 2 2x ? Ty 1 |y|2 (6) Como |Tx 2 Ty|2 5 |x 2 y|2, |Tx|2 5 |x|2 y |Ty|2 5 |y|2, las ecuaciones (5) y (6) mues- tran que 22Tx ? Ty 5 22x ? y o Tx ? Ty 5 x ? y Cuando se desarrolló la ecuación (2) se demostró que si la representación matricial de T es una matriz ortogonal, entonces T es una isometría. Inversamente, suponga que T es una isome- tría. Si A es la representación matricial de T, entonces para cualesquiera x y y en n de (4) de (1) x ? y 5 Tx ? Ty 5 Ax ? Ay 5 x ? AtAy x ? y 2 x ? AtAy 5 0 o x ? (y 2 AtAy) 5 0
512 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales Entonces (vea la página 395) y 2 AtAy ∈ ( n)ą 5 {0} Se ve que para toda y ∈ n y 5 AtAy (6) Esto implica que AtA 5 I, de manera que A es ortogonal. Se ha demostrado el siguiente teorema: TEOREMA 3 Se dice que una transformación lineal T: n S n es una isometría si y sólo si la repre- sentación matricial de T es ortogonal. ISOMETRÍAS DE R2 Sea T una isometría de 2 S 2. Sea u 1 5 T ⎛ 1⎞ y u2 5 T ⎛ 0⎞ ⎝⎜ 0⎟⎠ ⎜⎝ 1⎠⎟ Entonces u1 y u2 son vectores unitarios [por la ecuación (2)] y de (4) u1 ⋅ u2 5 ⎛ 1⎞ ⋅ ⎛ 0⎞ 50 ⎝⎜ 0⎟⎠ ⎝⎜ 1⎠⎟ Por lo tanto u1 y u2 son ortogonales. De la ecuación 3.1.7 de la página 227, existe un número θ, con 0 # θ , 2π tal que R R Como u1 y u2 son ortogonales, Dirección de u2 5 dirección de u1 En el primer caso R R RR En el segundo caso R R RR
5.5 Isometrías 513 Con lo que la representación matricial de T es RR RR RR RR Del ejemplo 5.1.8 de la página 462, se ve que Q1 es la representación matricial de una trans- formación de rotación (un ángulo u en el sentido contrario a las manecillas del reloj). Es fácil verificar que RR RR RR RR pero la transformación T: 2 S 2 dada por: T ⎛ x⎞ 5 ⎛1 0⎞ ⎛ x⎞ 5 ⎛ x⎞ ⎝⎜ y⎟⎠ ⎜⎝ 0 21⎟⎠ ⎝⎜ y⎠⎟ ⎜⎝ 2y ⎟⎠ es una reflexión de ⎛ x⎞ respecto al eje x (vea el ejemplo 5.1.1, página 458). Entonces se tiene el ⎝⎜ y⎠⎟ siguiente teorema. TEOREMA 4 Sea T: 2 S 2 una isometría. Entonces T es i. una transformación de rotación, o bien ii. una reflexión respecto al eje x seguida de una transformación de rotación. Las isometrías tienen algunas propiedades interesantes. TEOREMA 5 Sea T: n S n una isometría. Entonces i. Si u1, u2, . . . , un es un conjunto ortogonal, entonces Tu1, Tu2, . . . , Tun es un conjunto ortogonal. ii. T es un isomorfismo. DEMOSTRACIÓN ii. Si i ≠ j y ui ? uj 5 0, entonces (Tui) ? (Tuj) 5 ui ? uj 5 0, lo que prueba i). ii. Sea u1, u2, . . . , un una base ortonormal para n. Entonces por la parte i) y el hecho de que |Tui| 5 |ui| 5 1, se encuentra que Tu1, Tu2, . . . , Tun es un conjunto ortonormal en n. Por el teorema 4.9.1 de la página 389, estos vectores son linealmente indepen- dientes y por lo tanto forman una base para n. Entonces Im T 5 n, lo que prueba que nu T 5 {0} [ya que ν(T ) 1 r(T ) 5 n]. Se concluye esta sección con una descripción de cómo extender el concepto de isometría a un espacio arbitrario con producto interno. Recuerde de la página 434 que un espacio V con producto interno ||v|| 5 (v, v)1/2 (Recuerde que, con el fin de evitar confusiones, se usan dobles barras para denotar una norma.)
514 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales DEFINICIÓN 2 Isometría Sean V y W dos espacios vectoriales reales (o complejos) con producto interno y sea T: V S W una transformación lineal. Entonces T es una isometría si para todo v ∈ V ||v||V 5 ||Tv||W (7) Los siguientes dos hechos son consecuencia inmediata: primero, como T(v1 2 v2) 5 Tv1 2 Tv2, se tiene que para todo v1 y v2 en V ||Tv1 2 Tv2||W 5 ||v1 2 v2||V Segundo, TEOREMA 6 Sea T: V S W una isometría. Entonces para todo v1 y v2 en V (Tv1, Tv2) 5 (v1, v2) (8) Es decir, una isometría preserva los productos internos. La demostración del teorema 6 es idéntica a la prueba del teorema 2 con productos internos en V y W en lugar de producto escalar en n. DEFINICIÓN 3 Espacios vectoriales isométricamente isomorfos Se dice que dos espacios vectoriales V y W con el mismo conjunto de escalares son isométricamente isomorfos si existe una transformación lineal T: V S W que sea tanto isometría como isomorfismo. TEOREMA 7 Cualesquiera dos espacios reales de dimensión n con producto interno son isométri- DEMOSTRACIÓN camente isomorfos. Sean {u1, u2, . . . , un} y {w1, w2, . . . , wn} dos bases ortonormales para V y W, respectiva- mente. Sea T: V S W la transformación lineal definida por Tui 5 wi, i 5 1, 2, . . . , n. Si se puede demostrar que T es una isometría, entonces la demostración queda completa, ya que de acuerdo con el razonamiento del teorema 5 se llega a que T es también un isomorfismo. Sean x y y en V. Entonces existen conjuntos de números reales c1, c2, . . . , dcCnno,uymn))do15,lodcs21,ud.i1.s1o. ,ncdo2ndrt2tao1lneso. rq.mu. ea1lxecs5,nd(xnc.1,uDy1)e15mc(a2(unc2e1u1r1a1.si.mc.21iula2 rc1,nuc.no.ym.yo15Tcxndu15nu),1 c(1d1T1udu121u1211dc22u.T2. u1.211. .d..nu1.n.. .c12w2d1nwn.)). . 1 cnwn, 1 . . . 1 cnwn), 1 cnTun 5 c1w1 1 5 c1d1 1 se obtiene (Tx, Ty) 5 ((c1w1 1 c2w2 ortonormales. (d1w1 1 d2w2 1 .. c2d2 1 . . . 1 cndn, porque los wi son Esto completa la prueba.
5.5 Isometrías 515 EJEMPLO 1 Una isometría entre R3 y P [0, 1] 2 Este teorema se ilustra mostrando que 3 y P2[0, 1] son isométricamente isomorfos. En 3 se usa ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ ⎪⎩⎪⎨⎝⎜⎜⎜ ⎪ la base estándar 0⎟⎟ , ⎜ 1⎟⎟ , ⎜ 0⎟⎟ ⎬ En P2 se usa la base ortonormal {1, 3 (2x 21), 5(6x2 2 0⎠⎟ ⎜ 0⎠⎟ ⎜ 1⎟⎠ ⎪ ⎜⎝ ⎝⎜ ⎭ 6x 11)}. (Vea el ejemplo 4.11.8, página 435.) Sean x 5 ⎛ a1 ⎞ y y 5 ⎛ a2 ⎞ dos vectores en 3. En- ⎜ b1 ⎟ ⎜ b2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎟ ⎝⎜ ⎟⎠ c c 1 2 ∫tonces (x, y) 5 x ? y 5 a1a2 1 b2b21 c2c2. Recuerde que en P2[0, 1] se definió ( p, q) 5 1 p(x)q(x) dx. 0 ⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ Defina T ⎜ 00⎟⎟⎠⎟ 5 1, T ⎜ 01⎟⎠⎟⎟ 5 3 (2x 2 1) y T ⎜ 0⎟⎟ 5 5(6x2 2 6x 11); por lo tanto ⎜⎜⎝ ⎜⎜⎝ ⎜ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎛ a⎞ T ⎜ b⎟⎟ 5 a 1 b 3 (2x 21) 1 c 5(6x2 2 6x 11) ⎜ ⎜⎝ c⎟⎠ y ∫1 3 (2x 21) 1 c1 5(6x2 2 6x 11)] (Tx, Ty) 5 0 [a1 1 b1 0 3 [a 1 b 3 (2x 21) 1 c 5(6x2 2 6x 11)] dx 2 22 1 1 3 (2x 21)2 1 [5(6x2 11)2 ] dx 1 bb c ∫ ∫ ∫5 a a 2 6x 12 0 0 12 dx 1 c dx 0 12 1 ∫1 (a1b2 1 a2b1) 0 3 (2x 21) dx ∫1 5(6x2 2 6x 11) dx 1 (a1c2 1 a2c1 ) 0 ∫1 3 (2x 21)][ 5(6x2 2 6x 11)] dx 1(b c 1 b c ) [ 12 21 0 5 a1a2 1 b1b2 1 c1c2 Aquí se ahorró tiempo usando el hecho de que {1, 3 (2x 21), 5(6x2 2 6x 11)} es un con- junto ortonormal. Por lo tanto, T: 3 S P2[0, 1] es una isometría.
516 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales Problemas 5.5 AUTOEVALUACIÓN Indique si los enunciados siguientes son falsos o verdaderos I. La transformación lineal T: n S n es una isometría si ||Tx|| 5 ||x|| para todo x en . II. La transformación lineal T : n S n es una isometría si las columnas de su represen- tación matricial son ortogonales por pares. III. La transformación lineal T : n S n es una isometría si las columnas de su represen- tación matricial son ortogonales por pares y cada columna tiene norma 1. IV. Si T : 2S 2 es una isometría, entonces T ⎛ 3⎞ es ortogonal aT ⎛ 2⎞ . ⎜⎝22⎠⎟ ⎜⎝ 3⎟⎠ V. Si T : n S n es un isomorfismo, entonces T es una isometría. VI. Si T : n S n es una isometría, entonces T es un isomorfismo. 1. Demuestre que para cualquier número real θ, la transformación T : n S n definida por Tx 5 Ax, donde ⎛ sen θ cos θ 0⎞ A 5 ⎜ cos θ 2sen θ 0⎟⎟ ⎜ ⎝⎜ 0 0 1⎟⎠ es una isometría. 2. Haga lo mismo para la transformación T, donde ⎛ cos θ 0 2sen θ⎞ A 5 ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ sen θ 0 cos θ ⎠⎟ 3. Sean A y B matrices ortogonales de n 3 n. Demuestre que T : n S n definida por Tx 5 ABx, es una isometría. 4. Encuentre AT si T es la transformación de 3 S 3 definida por ⎛ 2/3⎞ ⎛1/ 2⎞ ⎛ 1/3⎞ ⎛ 21/ 6 ⎞ ⎛ 2/3⎞ ⎛ 1/ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜21/ ⎟ T ⎜ 1/3⎟⎟ 5 ⎜ 1/ 2 ⎟ T ⎜ 2/3⎟⎟ 5 ⎜ 1/ 6 ⎟ T ⎜ 22/3⎟⎟ 5 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 2/3⎟⎠ ⎜ ⎜ 1/3⎠⎟ 3⎟ ⎜⎝22/3⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎝ ⎟ ⎜⎝ ⎜ 3⎠⎟ 0 2/ 6 ⎠ ⎝ 1/ Demuestre que AT es ortogonal. 5. Demuestre el teorema 6. 6. Sea T : 2 S 2 una isometría. Demuestre que T preserva los ángulos. Es decir, (ángulo entre x y y) 5 (ángulo entre Tx y Ty). 7. Dé un ejemplo de una transformación lineal de 2 sobre 2 que preserve los ángulos y no sea una isometría. 8. Para x, y P n con x y y ≠ 0, defina: (ángulo entre x y y) 5 < (x, y) 5 cos21 [(x ? y)/|x||y|]. Demuestre que si T : n S n es una isometría, entonces T preserva los ángulos. 9. Sea T : n S n una isometría y sea Tx 5 Ax. Demuestre que Sx 5 A21x es una isometría.
5.5 Isometrías 517 De los problemas 10 al 14 encuentre una isometría entre los pares de espacios dados. CÁLCULO 10. P1 [21, 1], R2 * CÁLCULO 11. P3 [21, 1], R4 12. M22, R4 * CÁLCULO 13. M22, P3 [21, 1] 14. Dn y n (Dn 5 conjunto de matrices diagonales de n 3 n). 15. Sea A una matriz de n 3 n con elementos complejos. Entonces la transpuesta conjugada de A, denotada por A*, está definida por (A*)ij 5 a—ji . Calcule A* si A 5 ⎛ 11 i 24 1 2i⎞ . ⎝⎜ 3 6 2 3i⎠⎟ 16. La matriz compleja A de n 3 n se llama hermitiana† si A* 5 A. Demuestre que la matriz A 5 ⎛ 4 2i 32 2i⎞ es hermitiana. ⎝⎜ 31 6 ⎠⎟ 17. Demuestre que si A es hermitiana, entonces las componentes de la diagonal de A son reales. 18. La matriz compleja A de n 3 n se llama unitaria si A* 5 A2l. Demuestre que la matriz ⎛ 11 i 32 2i ⎞ A 5 ⎜ 2 26 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 231 2i ⎟ es unitaria. 1 i ⎜ ⎟ ⎝ 2 26 ⎠ 19. Demuestre que A es unitaria si y sólo si las columnas de A forman una base ortonormal en n. 20. Demuestre que si A es unitaria, entonces |det A| 5 1. 21. Sea A una matriz de n 3 n con componentes complejas. En n, si x 5 (ccnd—1,nc. 2(,V.e.a. , cn) y y 5 (d1, d2, . . . , dn), defina el producto interno (x, y) 5 c1d—1 1 c2—d2 1. .. 1 el ejemplo 4.11.2.) Pruebe que (Ax, y) 5 (x, A*y.) *22. Demuestre que cualesquiera dos espacios vectoriales complejos con producto interno de la misma dimensión (finita) son isométricamente isomorfos. RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN I. V II. F III. V IV. V V. F VI. V MATLAB 5.5 1. a) (Lápiz y papel) Considere la definición de isometría y explique, usando geometría, por qué la rotación respecto al origen y la reflexión a través de una recta determinada por un vector de longitud 1 en 2 son isometrías. b) Elija tres valores para un ángulo θ y verifique para cada uno que la representación ma- tricial (respecto a la base canónica) de la rotación positiva por un ángulo u es una matriz ortogonal. Genere tres vectores aleatorios v de longitud 1. Para cada uno, verifique que la repre- sentación matricial (respecto a la base canónica) de la reflexión a través de v es una matriz ortogonal. Refiérase al problema 4 de MATLAB 5.3 para el análisis de la reflexión. † Llamada así en honor del matemático francés Charles Hermite (1822-1901).
518 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales c) (Lápiz y papel) Pruebe en general que la representación matricial de una rotación es una matriz ortogonal y que la representación matricial de una reflexión es una matriz ortogonal. d) La teoría de isometrías de 2 en 2 implica que una reflexión a través de un vector v de longitud 1 debe ser una reflexión a través del eje x seguida de una rotación. Un vector de longitud 1 se puede representar como (cos (a) sen (a))t. Genere un vector aleatorio w y divídalo entre su longitud para producir un vector v de longitud 1. Encuentre a mediante alpha 5 a tan(v(2)/v(1)) (si la primera componente de v es cero, entonces a 5 6 π/2). Encuentre la representación matricial F de una reflexión a través de v y verifique que F 5 RX, donde R es la representación matricial para una rotación positiva de u 5 2a, y X es la representación matricial de una reflexión respecto al eje x. Repita para otros dos vectores w. e) (Lápiz y papel) Pruebe el resultado del inciso d). [Sugerencia: Encuentre una expresión general para F en términos de a y utilice las identidades trigonométricas.] 2. Trabaje el problema 4 anterior. Además, verifique que la transformación T mapea una base ortonormal sobre una base ortonormal. ¿Es siempre cierto esto para una isometría? ¿Por qué? RESUMEN (p. 460) (p. 472) r Transformación lineal (p. 475) Sean V y W dos espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ∈ V un vector único Tv ∈ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar a, T(u 1 v) 5 Tu 1 Tv y T(av) 5 aTv r Propiedades básicas de las transformaciones lineales Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces, para todo vector u, v1, v2, . . . , vn en V y todo escalar a1, a2, . . . , an i. T(0) 5 0 ii. T(u – v) 5 Tu 2 Tv iii. T(a1v1, a2v2, . . . , anvn) 5 a1Tv1, a2Tv2, . . . , anTvn r Núcleo e imagen de una transformación lineal Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V S W una transformación lineal. Entonces el núcleo de T, denotado por nu T, está dado por nu T 5 {v ∈ V: Tv 5 0} La imagen de T, denotada por Im T está dada por Im T 5 {w ∈ W: Tv para algún v ∈ V} nu T es un subespacio de V e Im T es un subespacio de W.
Resumen 519 r Nulidad y rango de una transformación lineal (p. 476) Si T es una transformación lineal de V en W, entonces nulidad de T 5 ν(T) 5 dim nu T rango de T 5 ρ(T) 5 dim Im T r Matriz de transformación Sea T: símbolo n S n una transformación lineal. Entonces existe una matriz única de m 3 n, AT, tal que (pp. 480, 481) Tx 5 ATx para toda x ∈ n La matriz AT se llama matriz de transformación de T. (p. 480) r 4FBAT la matriz de transformación correspondiente a una transformación lineal T. Entonces i. Im T 5 RAT 5 CAT ii. ρ(T ) 5 r(AT) iii. nu T 5 NA iv. ν(T ) 5 ν(AT) r Representación matricial de una transformación lineal (p. 482) Sea V un espacio vectorial real de dimensión n, W un espacio vectorial real de dimensión m y T: V S W una transformación lineal. Sean B1 5 {v1, v2, . . . , vn} una base para V y B2 {w1, w2, , wn} una base para W. Entonces existe una matriz única AT de m 3 n, tal que (Tx)B2 5 AT(x)B1 AT se denomina representación matricial de T respecto a las bases B1 y B2. (p. 484) r 4FBOV y W dos espacios vectoriales de dimensión finita con dim V 5 n. Sea T: V S W una transformación lineal y sea AT una representación matricial de T. Entonces i. ρ(T ) 5 r(AT) ii. ν(T ) 5 ν(AT) iii. ν(T ) 1 r(T ) 5 n r Transformación uno a uno (p. 503) (p. 503) Sea T: V S W una transformación lineal. Se dice que T es uno a uno, descrito 1-1, si Tv1 5 Tv2 implica que v1 5 v2. Esto es, T es 1-1 si todo vector w en la imagen de T es la imagen de exacta- mente un vector en V. r 4FBT: V S W una transformación lineal; entonces T es 1-1 si y sólo si nu T 5 {0} r Transformación sobre (p. 504) Sea T: V S W una transformación lineal. Se dice que T es sobre W o simplemente sobre, si para todo w ∈ W existe al menos un v ∈ V tal que Tv 5 w. Es decir, T es sobre W si y sólo si Im T 5 W.
520 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales (p. 504) (p. 504) r 4FBT: V S W una transformación lineal y suponga que dim V 5 dim W 5 n: (p. 506) i. Si T es 1-1, entonces T es sobre. (p. 506) ii. Si T es sobre, entonces T es 1-1. (p. 506) (p. 506) r 4FBT: V S W una transformación lineal. Suponga que dim V 5 n y dim W 5 m. Entonces i. Si n . m, T no es 1-1. (p. 507) ii. Si m . n, T no es sobre. (p. 511) r Isomorfismo Sea T: V S W una transformación lineal. Se dice que T es un isomorfismo si T es 1-1 y sobre. r Espacios vectoriales isomorfos Los espacios vectoriales V y W son isomorfos si existe un isomorfismo T de V sobre W. En este caso, se escribe V _ W. r $VBMFTRVJFSBEPTFTQBDJPTWFDUPSJBMFTSFBMFTEFEJNFOTJÓOàOJUBDPOMBNJTNBEJNFOTJÓOTPO isomorfos. r Teorema de resumen Sea A una matriz de n 3 n. Entonces las siguientes 11 afirmaciones son equivalentes: i. Es invertible. ii. La única solución al sistema homogéneo Ax 5 0 es la solución trivial (x 5 0). iii. El sistema Ax 5 b tiene una solución única para cada n-vector b. iv. A es equivalente por renglones a la matriz identidad, In, de n 3 n. v. A se puede expresar como el producto de matrices elementales. vi. La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes. vii. Las columnas (y renglones) de A son linealmente independientes. viii. det A ≠ 0. ix. ν(A) 5 0. x. ρ(A) 5 n. xi. La transformación lineal T de n en n definida por Tx 5 Ax es un isomorfismo. r 4FBT: V S W un isomorfismo: i. Si v1, v2, . . . , vn genera a V, entonces Tv1, Tv2, . . . , Tvn genera a W. ii. Si v1, v2, . . . , vn son linealmente independientes en V, entonces Tv1, Tv2, . . . , Tvn son lineal- mente independentes en W. iii. Si {v1, v2, . . . , vn} es una base en V, entonces {Tv1, Tv2, . . . , Tvn} es una base en W. iv. Si V tiene dimensión finita, entonces W tiene dimensión finita y dim V 5 dim W. r Isometría Una transformación lineal T: n S n se llama isometría si para todo x en n |Tx| 5 |x|
Ejercicios de repaso 521 r 4JT es una isometría de n S n, entonces para todo x y y en n (p. 511) (p. 513) |Tx 2 Ty| 5 |x 2 y| y Tx ? Ty 5 x ? y (p. 512) r 4FBT: n S n una isometría, entonces: (p. 514) i. Si u1, u2, . . . , un es un conjunto ortogonal, entonces Tu1, Tu2, . . . , Tun es un conjunto orto- gonal. ii. T es un isomorfismo. r 6OBUSBOTGPSNBDJÓOMJOFBMT: n S n es una isometría si y sólo si la representación matricial de T es ortogonal r 4FBOV y W dos espacios vectoriales reales (complejos) con producto interno y sea T: V S W una transformación lineal. Entonces T es una isometría si para cada v ∈ V ||v||V 5 ||Tv||W r Espacios vectoriales isométricamente isomorfos (p. 514) (p. 514) Se dice que dos espacios vectoriales V y W son isométricamente isomorfos si existe una transfor- mación lineal T: V S W que es tanto un isomorfismo como una isometría. r $VBMFTRVJFSB EPT FTQBDJPT SFBMFT EF EJNFOTJÓOn con producto interno son isométricamente isomorfos. EJERCICIOS DE REPASO En los ejercicios 1 al 8 determine si la transformación dada de V a W es lineal. 1. T : 2 S 2; T (x, y) 5 (0, 2y) 2. T : 3 S 3; T (x, y, z) 5 (1, y, z) 3. T : 3 S 3; T (x, y, z) 5 ( y, z, 1) 4. T : 2 S ; T (x, y) 5 x/y 5. T : P1 S P2; (Tp)(x) 5 xp (x) 6. T : P1 S P3; (Tp)(x) 5 x2p (x) 1 2xp (x) 1 p (x) 7. T : P2 S P2; (Tp)(x) 5 1 1 p (x) 8. T : C [0, 1] S C [0, 1]; Tf (x) 5 f (1) En los ejercicios 9 al 15 encuentre el núcleo, imagen, rango y nulidad de la transformación lineal dada. ⎛ x⎞ ⎛ 2 21⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 1 2 21⎞ ⎛ x⎞ ⎝⎜ y⎠⎟ ⎜⎝ 4 7⎠⎟ ⎝⎜ y⎠⎟ 9. T : 2S 2; T 5 10. T : 3S 3; T ⎜ y⎟⎟ 5 ⎜ 2 4 3⎟⎟ ⎜ y⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ 1 2 26⎠⎟ ⎝⎜ z ⎟⎠ ⎛ x⎞ ⎛ y⎞ ⎝⎜ 2x ⎟⎠ 11. T : 3S 2; T ⎜ y⎟⎟ 5 12. T : P2 S P4; Tp(x) 5 x2p (x) ⎜ z ⎟⎠ ⎜⎝ 13. T : P1 S P3; (Tp)(x) 5 x2p (x) 1 2xp (x) 1 p (x) 14. T : M22 S M22; T(A) 5 AB, donde B 5 ⎛1 1⎞ ⎝⎜ 21 1⎟⎠
522 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales 15. T : C [0, 1] S ; Tf 5 f (1) De los ejercicios 16 al 23 encuentre la representación matricial de la transformación lineal dada y encuentre su núcleo, imagen, nulidad y rango. 16. T : 2 S 2; T (x, y) 5 (0, 2y) 17. T : 3 S 2; T (x, y, z) 5 (y, z) 18. T : 4 S 2; T (w, x, y, z) 5 (aw 1 bx, cy 1 dz) 19. T : 4 S 2; T (x, y, z, w) 5 (x 2 2z, 2y 1 3w) 20. T : P3 S P4; (Tp)(x) 5 xp (x) 21. T : P1 S P3; (Tp)(x) 5 x2p (x) 1 2xp1 1 p (x) 22. T : M22 S M22; TA 5 AB, donde B 5 ⎛ 21 0⎞ ⎜⎝ 1 2⎟⎠ 23. T : 2S 2; T (x, y) 5 (x 2 y, 2x 1 3y); B 5 ⎧⎪⎛1⎞ , ⎛ 1⎞ ⎪⎫ ; B 5 ⎪⎧⎛ 21⎞ , ⎛ 4⎞ ⎫⎪ 1 ⎩⎪⎨⎝⎜1⎠⎟ ⎜⎝ 2⎟⎠ ⎬ 2 ⎩⎨⎪⎜⎝ 3⎠⎟ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎬ ⎪⎭ ⎭⎪ De los ejercicios 24 al 27 describa en palabras la transformación lineal T: 2 S 2 con la repre- sentación matricial AT dada. ⎛ 3 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 25⎞ ⎝⎜ 0 1⎠⎟ ⎝⎜ 22 1⎟⎠ ⎝⎜ 0 1⎟⎠ 24. AT 5 25. AT 5⎜ 13⎟⎠⎟ 26. AT 5 27. AT 5 ⎝⎜ 0 De los ejercicios 28 al 31 escriba la representación matricial de 2 3 2 de las transformaciones lineales dadas y haga un bosquejo de la región obtenida cuando se aplica la transformación al rectángulo dado. y 28. Expansión a lo largo del eje x con c 5 3 x y 29. Compresión a lo largo del eje y con c 5 1 2 3 x 2 2 2 30. Reflexión respecto a la recta y 5 x y x 2 2
Ejercicios de repaso 523 y 2 2 31. Corte a lo largo del eje x con c 5 23 2 x 2 De los ejercicios 32 al 35 escriba cada matriz de transformación AT como una sucesión de ex- pansiones, compresiones, reflexiones y cortes. 32. AT 5 ⎛1 3⎞ 33. A 5 ⎛ 0 5⎞ 34. A 5 ⎛26 4⎞ 35. AT 5 ⎛ 2 1⎞ ⎝⎜22 2⎠⎟ T ⎜⎝ 23 2⎟⎠ T ⎜⎝ 1 3⎠⎟ ⎝⎜ 1 5⎠⎟ CÁLCULO 36. Encuentre un isomorfismo T : P2 S 3. 37. Encuentre una isometría T : 2 S P1[21, 1].
Capítulo 6 VALORES CARACTERÍSTICOS, VECTORES CARACTERÍSTICOS Y FORMAS CANÓNICAS 6.1 VALORES CARACTERÍSTICOS Y VECTORES CARACTERÍSTICOS Sea T: V S W una transformación lineal. En diversas aplicaciones (una de las cuales se da en la siguiente sección) resulta útil encontrar un vector v en V tal que Tv y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y un escalar λ tal que Tv 5 λv (1) Si v Z 0 y λ satisface (1), entonces λ se denomina un valor característico de T y v un vector característico de T correspondiente al valor característico λ. El propósito de este capítulo es investigar las propiedades de los valores característicos y vectores característicos. Si V tiene di- mensión finita, entonces T se puede representar por una matriz AT. Por esta razón se estudiarán los valores y los vectores característicos de las matrices de n 3 n. DEFINICIÓN 1 Valor característico y vector característico Sea A una matriz de n 3 n con componentes reales.† El número λ (real o complejo) se denomina valor característico de A si existe un vector diferente de cero v en n tal que Av = λv (2) El vector v Z 0 se denomina vector característico de A correspondiente al valor caracte- rístico λ. † Esta definición es válida si A tiene componentes complejas; pero como las matrices que se manejaban tienen, en su mayoría, componentes reales, la definición es suficiente para nuestros propósitos.
6.1 Valores característicos y vectores característicos 525 Nota. Los valores y vectores característicos también se denominan valores y vectores propios o eigenvalores y eigenvectores; la palabra “eigen” es la palabra alemana para “propio”. Observación. Como se verá (ejemplo 6) una matriz con componentes reales puede tener valores y vectores característicos complejos. Por esta razón, en la definición, se asegura que v ∈ n. No se usarán en este libro muchos hechos sobre los números complejos. En el apéndice 2 se hace una presentación de unos cuantos de ellos que sí son necesarios. EJEMPLO 1 Valores característicos y vectores característicos de una matriz de 2 3 2 ⎛ 10 218⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 10 218⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ Sea A 5 ⎜⎝ 6 211⎟⎠ . Entonces A⎝⎜ 1⎠⎟ 5 ⎜⎝ 6 211⎠⎟ ⎜⎝ 1⎠⎟ 5 ⎜⎝ 1⎠⎟ . Así, λ1 5 1 es un valor caracte- ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ rístico de A con el correspondiente vector característico v1 5 ⎝⎜ 1⎟⎠ . De manera similar, A⎜⎝ 2⎠⎟ 5 ⎛ 10 218⎞ ⎛ 3⎞ ⎛26⎞ ⎛ 3⎞ ⎝⎜ 6 211⎠⎟ ⎜⎝ 2⎟⎠ 5 ⎜⎝24⎠⎟ 522 ⎝⎜ 2⎠⎟ de modo que λ2 5 22 es un valor característico de A con el ⎛ 3⎞ correspondiente vector característico v2 5 ⎝⎜ 2⎟⎠ . Como se verá enseguida, éstos son los únicos valores característicos de A. EJEMPLO 2 Valores característicos y vectores característicos de la matriz identidad Sea A 5 I, entonces para cualquier v ∈ n, Av 5 Iv 5 v. Así, 1 es el único valor característico de A y todo v Z 0 ∈ n es un vector característico de I. Se calcularán los valores y vectores característicos de múltiples matrices en esta sección. Pero primero es necesario probar algunas técnicas que simplificarán estos cálculos. Suponga que λ es un valor característico de A. Entonces existe un vector diferente de cero ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ v 5⎜ x2 ⎟ Z 0 tal que Av 5 λv 5 λ/v. Reescribiendo esto se tiene ⎜\"⎟ ⎝⎜ xn ⎟⎠ (A 2 λI)v 5 0 (3) Si A es una matriz de n 3 n, la ecuación (3) corresponde a un sistema homogéneo de n ecuacio- nes con las incógnitas x1, x2, … , xn. Como se ha supuesto que el sistema cuenta con soluciones no triviales, se concluye que det (A 2 λI) 5 0. De forma inversa, si det (A 2 λI) 5 0, entonces la ecuación (3) tiene soluciones no triviales y λ es el valor característico de A. Por otro lado, si det (A 2 λI) Z 0, entonces la única solución a (3) es v 5 0 de manera que λ no es un valor característico de A. Resumiendo estos hechos, se tiene el siguiente teorema. TEOREMA 1 Sea A una matriz de n 3 n. Entonces λ es un valor característico de A si y sólo si p(λ) 5 det (A 2 λI) 5 0 (4)
526 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas DEFINICIÓN 2 Ecuación y polinomio característicos La ecuación (4) se denomina la ecuación característica de A; p(λ) se denomina el poli- nomio característico de A. Como será evidente en los ejemplos, p(λ) es un polinomio de grado n en λ. Por ejemplo, si ⎛a b⎞ ⎛a b⎞ ⎛λ 0⎞ ⎛a2λ b ⎞ A 5 ⎝⎜ c d⎟⎠ , entonces A 2 λI 5 ⎝⎜ c d⎟⎠ 2 ⎝⎜ 0 λ⎟⎠ 5 ⎝⎜ c d 2 λ⎟⎠ y p(λ) 5 det (A 2 λI) 5 (a 2 λ)(d 2 λ) 2 bc 5 λ2 2 (a 1 d)λ 1 (ad 2 bc). De acuerdo con el teorema fundamental del álgebra, cualquier polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos tiene exactamente n raíces (contando multiplicidades). Esto sig- nifica, por ejemplo, que el polinomio (λ 2 1)5 tiene cinco raíces, todas iguales al número 1. Como cualquier valor característico de A es una raíz de la ecuación característica de A, se concluye que Contando multiplicidades, toda matriz de n 3 n tiene exactamente n valores característicos. TEOREMA 2 Sea λ un valor característico de la matriz A de n 3 n y sea Eλ 5 {v: Av 5 λv}. Entonces DEMOSTRACIÓN Eλ es un subespacio de n. Si Av 5 λv, entonces (A 2 λI)v 5 0. Así Eλ es el espacio nulo de la matriz A 2 λI, que por el ejemplo 4.6.10, página 343, es un subespacio† de n. DEFINICIÓN 3 Espacio característico Sea λ un valor característico de A. El subespacio Eλ se denomina espacio característico o propio‡ de A correspondiente al valor característico λ. Ahora se probará otro resultado útil. TEOREMA 3 Sea A una matriz de n 3 n y sea λ1, λ2, … , λm valores característicos distintos de A (es DEMOSTRACIÓN decir, λi Z λj si i Z j) con vectores característicos correspondientes v1, v2, … , vm. Entonces v1, v2, … , vm son linealmente independientes. Esto es: los vectores característicos corres- pondientes a valores característicos distintos son linealmente independientes. Se llevará a cabo la demostración por inducción matemática. Comenzando con m 5 2, suponga que c1v1 1 c2v2 5 0 (5) Multiplicando ambos lados de (5) por A se tiene 0 5 A(c1v1 1 c2v2) 5 c1Av1 1 c2Av2 † En el ejemplo 4.6.10, página 343 se vio que NA es un subespacio de Rn si A es una matriz real. La extensión de este resultado a Cn no presenta dificultades. ‡ Observe que 0 ∈ E ya que E es un subespacio. Sin embargo, 0 no es un vector característico. λ λ
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