Álgebra lineal sexta edición Stanley I. Grossman S.

Respuestas a los problemas impares 727 17. Nu(T) es un subespacio de 3 que con- 25. a) Suponga que T1, T2 ∈U . Entonces pa- tiene al origen. Por lo tanto del ejemplo ra cada h ∈ H, (T1 1T2 )h 5T1h 1T2h 5 4.6.9, ImT o es a) {0}, o b) una recta que pasa por el origen, o c) un plano que pasa 0 1 0 5 0 , y (αT )h 5 α(T h) 5 α ⋅ 0 5 0. por el origen, o d) 3. 11 ⎛ 12c ⎞ Por lo que U es un subespacio de L(V, ⎜ V). c a ⎟ 2 ⎟ 19. Tx 5 Ax donde A 5 ⎜ b a d ⎠⎟⎟ , c, d ∈ . b) dimU 5 n(n 2 k). De hecho extendien- ⎜⎝⎜ d do una base de H,{u1 , . . . , uk}, a una ⎛ 1 0 0⎞ base de V, {u1 , . . . , un}, por lo tanto T ∈ U ⇔ T(u1) 5 . . . 5 T(uk) 5 0. En 21. T 5 ⎜⎜⎜⎝202 1 00⎟⎟⎠⎟ 1 particular T (uk 11), , T (un ) son n 2 k vectores arbitrarios en el espacio V de 23. Nu T 5{ f ∈C1[0, 1]: xf ′(x) 5 0, ∀x ∈[0, 1]} dimensión n. Por lo que si T (ui ) 5 u j ; 5 f (x) constante ∈[0, 1] ij Im T 5{xf (x): f (x) ∈C[0, 1]}. Tij (ul ) 5 0, l Z i, k , i # n, 1# j # n, entonces Tij son una base de U. Problemas 5.3, página 495 1. ⎛1 22⎞ ; Nu(T ) 5 {0}; imagen T 5 2 ⎧⎛23⎞ ⎫ ⎝⎜21 1⎠⎟ Nu(T ) 5 gen ⎩⎪⎪⎨⎝⎜⎜⎜ ⎪ 21⎟⎠⎟⎟ ⎬; ρ(T ) 5 2, ⎪ ν(T) 5 0, ρ(T) 5 2 ⎭ ⎛ 2⎞ ν(T ) 51 3. AT 5 ⎜ 21⎟⎟ , Nu(T ) 5{x ∈ | x 5 0} , ⎛ 1 21 2 3⎞ ⎜ ⎝⎜ 1⎠⎟ 9. ⎜ 0 1 4 63⎟⎟⎠⎟ ; imagen T 5 ⎜⎝⎜ 1 0 6 ⎧⎛ 2⎞ ⎫ ⎪⎩⎪⎨⎜⎝⎜⎜ ⎬⎪, ν(T ) 5 0, Im T 5 gen 211⎟⎠⎟⎟ ⎪ ρ(T ) 51 ⎧⎛ 1⎞ ⎛21⎞ ⎫ ⎭ ⎩⎪⎨⎪⎜⎜⎝⎜ 01⎟⎠⎟⎟ ⎪ gen , ⎜ 01⎟⎟⎟⎠ ⎬; Nu(T ) 5 ⎝⎜⎜ ⎪ ⎭ 5. AT 5 ⎛ a b⎞ . Si a 5 b5c 5 d 5 0, T es la ⎧⎛26⎞ ⎛26⎞ ⎫ ⎝⎜ c d ⎠⎟ ⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎜⎜⎜⎜⎝ ⎬⎪⎪; gen 24⎟⎟ , ⎜ 23⎟⎟ ⎪ transformación cero de modo que Nu(T ) 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎪⎭ 0⎠⎟ ⎜ 1⎠⎟ 5 2, ν(T) 5 2, Im T 5{0}, ρ(T) 5 0. Si ⎝⎜ ad 2 cb 5 0 y suponga que al menos uno ρ(T ) 5 2, ν(T ) 5 2. de los coeficientes a, b, c, d es diferente de cero. Sin pérdida de generalidad, sea a ≠ 0. ⎛ a b 0 0 ⎞ 5 ⎝⎜ 0 0 c d ⎟⎠ Entonces ρ(T ) 51, ν(T) 5 1, 11. AT , Nu(T ) 5 gen ⎪⎧⎛ 2b⎞ ⎪⎫ Im T 5 gen ⎪⎧⎛ a⎞ ⎫⎪ . ⎪⎧⎛⎜2 b ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫ ⎪⎩⎨⎜⎝ a⎟⎠ ⎬ ⎩⎨⎪⎝⎜ c ⎟⎠ ⎬ ⎪⎪⎜ a ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪ ⎪⎭ ⎭⎪ ⎨⎜ 1 ⎟ ⎜ d ⎟ ⎪⎪⎬, ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ c ⎟ ⎪ Nu(T ) 5 gen ⎪⎜ ⎟ , ⎜ 2 ⎟ ⎪ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1 21 2⎞ ⎧⎛ 1⎞ ⎛21⎞ ⎫ ⎪⎪⎨⎩⎜⎝⎜⎜ ⎪ 7. ⎜ 3 1 84⎟⎠⎟⎟ ; imagen T 5 gen 53⎟⎟⎠⎟ , ⎜⎜⎜⎝211⎟⎠⎟⎟ ⎬; ⎪⎩⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎪⎭ ⎜⎜⎝ 5 21 ⎪ ⎭ ν(T) 5 2, Im T 5 2, ρ(T) 5 2.

728 CAPÍTULO 5 ⎛ 11 33 ⎞ ⎛ 21 1 21⎞ 13. A 5 7 7 , ρ(T) 5 2, ν(T) 5 0, T ⎜⎝ ⎠⎟ ⎜ 3⎟⎟ , ρ(T) 5 3, ν(T) 5 0, 2 6 31 1 22 21⎟ 7 7 25. AT 5⎜ 0 1 ⎜ Nu T 5 {0}, Im T 5 2. ⎜⎝ 0 0 1⎠⎟ ⎛1 21⎞ 15. AT 5 ⎜ 14 11 ⎟ , ρ(T) 5 2, ν(T) 5 0, Nu(T ) 5 {0}, Im(T ) 5 gen{x, x2 , x3} ⎜ 5 10 ⎟ ⎜⎝ 1 2 ⎠⎟ 5 5 ⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 21 ⎞ ⎫ ⎛ 0 1 0 0 0⎞ ⎪⎩⎪⎨⎝⎜⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 27. ⎜ 0 0 2 0 0⎟⎟ ; imagen D 5 P3; ⎠⎟⎟ ⎜⎝⎜ ⎟⎟⎠ ⎬ ⎜ 0 0 3 0⎟ Nu(T ) 5 {0}, (Im T ) = gen 14 , 11 ⎪ ⎜0 B2 5 10 ⎭ 1 2 ⎜⎝ 0 0 0 0 4⎟⎠ 5 5 ⎛1⎞ nu D 5 2; ρ( D) 5 4, ν( D) 51. 17. AT 5 ⎜ 1⎟⎟ , ρ(T) 5 1, ν(T) 5 0, ⎛ 0 1 0 0 p 0⎞ ⎜ ⎜1⎟ ⎜⎝1⎠⎟ ⎜ 0 0 2 0 p 0 ⎟ ⎜ 0 0 3 p ⎟ 29. ⎜ 0 0 ⎟; Nu(T ) 5 {0}, Im T 5 gen{11 x 1 x2 1 x3}. ⎜ ⎟ ⎜ o o o o o ⎟ ⎛0 0 21 0⎞ ⎜⎝ 0 0 0 0 p n ⎟⎠ 19. AT ⎜⎝ 0 1 0 1⎠⎟ , ρ(T) 5 2, ν(T) 5 2, imagen D 5 Pn21; nu D 5 R; ρ(D) 5 n, ν(D) 51. Nu(T ) 5 gen{1, x3 21}, Im T 5 P 1 ⎛ 1 2 2⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 1 21 2 3⎞ 31. AT 5 ⎜ 0 1 4⎟⎟ , Nu(T ) 5 ⎜ 0⎟⎟ , ν(T) 5 0, ⎜ ⎜ ⎜ 1 4 3⎟⎟ ; imagen T 5 ⎝⎜ 0 0 1⎠⎟ ⎜⎝ 0⎠⎟ 21. ⎜ 0 0 6 5⎠⎟ ⎝⎜ 1 Im(T) 5 3, ρ(T) 5 3. gen {11 x2 , 211 x, 31 3x 1 5x2}5 33. Sea m ∈ R, se define a VmBk 5 m(m 21) (m 2 2) p (m 2 k 11),1# k # m. P2; Nu(T ) 5 gen {x2 2 4x 2 6}; AD 5 (aij ) ∈ ,(n2k11)3(n11) ρ(T ) 5 3, ν(T ) 51. ai, k1i 5 Vk 1 i 21Bk , ⎛ 0 0 0 0 0⎞ 1# i # n 2 k 11, aij 5 0 en otro caso. 23. AT 5 ⎜ 0 1 0 0 0⎟⎟ , ρ(D) 5 n 2 k 11, ν(D) 5 (n 11) 2 ρ(D) 5 k, ⎜ 0 0 0 0⎟ Nu( D) 5 gen{1, x, x2 , . . . , xk21}, ⎜0 Im( D) 5 gen{1, x, x2 , . . . , xn2k }5 Pn2k ⎜⎝ 0 0 0 1 0⎟⎠ ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎪ 5 ⎪⎪⎨⎜⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎬⎪⎪, ν(T) 5 ⎛ 1, 1, . . . , 1⎞ 0⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ AJ 5 ⎜⎝1, 2 3 11⎟⎠ Nu(T ) gen , ⎜ 1⎟ , ⎜ 3, 35. , ρ(J ) 51, ⎪⎜ 00⎟⎟⎟⎠ ⎜ 00⎟⎟⎟⎠ ⎜ 01⎟⎟⎟⎠ ⎪ n ⎩⎪⎪⎝⎜⎜ ⎜⎜⎝ ⎝⎜⎜ ⎪ ⎭⎪ ν(J ) 5 0 , Nu(J ) 5{0}, Im(J ) 5 . ⎧⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ ⎛ 1 0 0⎞ ⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎜⎜⎜⎝⎜ ⎪ 1⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎪ 37. ⎜ 0 1 0⎟⎟ ; imagen T 5 P2; 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎬ ⎜ Im(T ) 5 gen 0⎠⎟ , ⎜ 1⎟⎠ ⎪ , ρ(T) 5 2 ⎝⎜ 0 0 1⎟⎠ ⎝⎜ ⎭⎪ nu 5T 5{0}; ρ(T ) 5 3, ν(T ) 5 0.

Respuestas a los problemas impares 729 ⎛ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎞ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0⎟⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0⎟ ⎜⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0⎟ 39. Por ejemplo, en M34, A 5 ⎜ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎟⎟ T ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0⎟ ⎜⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0⎟ ⎜⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1⎠⎟ ⎧1, si i 5 km 1 l ⎪ y j 5 (l 2 1)n 1 k 1 1 ⎪⎪ para k 5 1, 2, . . . , n 2 1 En general, AT 5 (aij), donde aij 5 ⎨ y l 5 1, 2, . . . , m de otra manera ⎪ ⎪ ⎩⎪0, ⎛ 0 0 0⎞ 53. Reflexión con respecto a la recta y 5 x. 41. ⎜ 0 0 201⎟⎟⎟⎠ ; imagen D 5 ⎜⎝⎜ 0 1 ⎛1 0⎞ 55. 4 1⎠⎟ ; ⎜⎝ gen {sen x, cos x}; nu D 5 ; 0 ρ(D) 5 2, ν(D) 5 1. y ⎛ 1 2i / 2⎞
2 43. ⎜ 2 1 ⎟   
  ⎜ ⎟  ⎝i / 2 2⎠ 45. Sean B1 y B2 dos bases para V y W, respec-
2    tivamente. Se tiene (Tv)B2 5 AT(v)B1 para  todo v ∈ V. Entonces v ∈ Nu(T) si y sólo x si Tv 5 0 si y sólo si AT(v)B1 5 (0)B1 si y sólo   si (v)B1 ∈ nu AT. Así, el núcleo de T 5 NAT de manera que ν(T) 5 ν(AT). Si w ∈ ima- ⎛1 0⎞ ; gen T, entonces Tv 5 w para algún v ∈ V, 57. ⎝⎜ 3 1⎠⎟ con lo que AT(v)B1 5 (Tv)B2 5 (w)B2. Esto y significa que (w)B2 ∈ RAT. De este modo RAT 5 imagen T de manera que ρ(T) 5 ρ(AT).
  Como ν(AT) 1 ρ(AT) 5 n, del teorema 4.7.5, se ve que también ν(T) 1 ρ(T) 5 n.  x
 2 47. Comprensión a lo largo del eje y con c 5 1
2 2  4
2 2 49. Corte a lo largo del eje x con c 5 2 51. Corte a lo largo del eje y con c 5 1 2

730 CAPÍTULO 5 ⎛ 1⎞ ⎛21 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 210⎞ ⎜1 15⎟⎟⎠ ; 71. ⎜⎝ 0 1⎟⎠ ⎝⎜ 6 1⎠⎟ ⎝⎜ 0 62⎟⎠ ⎝⎜ 0 0⎟⎠ 59. ⎝⎜ 0 MATLAB 5.3 y 1. a) El siguiente es un posible programa:
2   
   pts 5 [0 3 3 0;0 0 2 2] Ins 5 [1 2 3 4;2 3 4 1]  x A 5 [.5 0;0 3] grafics(pts,Ins,9b9,9*9,10)
2 
 hold on 2  grafics(A*pts,Ins,9g9,9o9,10) 2 hold off 61. ⎛21 0⎞ b) Utilice A = [1 2;0 1] para corte en la ⎜⎝ 0 1⎠⎟ ; figura 5.8a) y use A 5 [1 -2;0 1] para el corte en la figura 5.8b). Al llamar a y grafics será suficiente con usar M = 7.
2 
2 c) Utilice A 5 [1 0;-2 1]. Será suficiente con usar M 5 6.  x
2 2
22 3. a) Al demostrar que T es lineal, use las propiedades del producto punto: (v ? 63. ⎛0 1⎞ αx) 5 α(v ? x) y v ? (x + y) 5 v ? x + ⎜⎝ 1 0⎠⎟ ; v ? y. Para encontrar la representación matricial use el hecho de que T(ei) 5 y (v ? ei)v 5 viv.  b) P 5 [1 0;0 0]. Una base para la imagen es v y una base para el núcleo es w 5
2 2  x (0 1)t, un vector que es perpendicular
2 a v. Para proyectar un vector sobre v, se baja una perpendicular desde el
2 2
2 punto terminal del vector a la recta de- terminada por v. Así, por ejemplo, si ⎛3 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛1 2⎞ un vector es perpendicular a v, la pro- 65. ⎜⎝ 0 1⎠⎟ ⎝⎜21 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 13 ⎠⎟ yección es el vector cero. Toda proyec- 14 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 ción sobre v es paralela a v, por lo que 3 es evidente que v es una base para la imagen. ⎛ 3 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 2⎞ 67. ⎜⎝ 0 1⎠⎟ ⎜⎝ 4 1⎠⎟ ⎝⎜ 0 21⎟⎠ ⎝⎜ 0 6⎟⎠ ⎝⎜ 0 1⎟⎠ c) y d) Similar a b). Una base para la imagen será v y una base para el nú- 69. ⎛0 1⎞ ⎛ 5 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 7⎞ cleo será un vector perpendicular a v. ⎝⎜ 1 0⎠⎟ ⎝⎜ 0 1⎟⎠ ⎝⎜ 0 21⎠⎟ ⎝⎜ 0 2⎠⎟ ⎜⎝ 0 15 ⎠⎟ ⎛ 2.5 2.5⎞ 7. a) A 5 ⎜⎝2.5 2.5⎠⎟ Multiplique las representaciones indi- viduales de las matrices en el orden co-

Respuestas a los problemas impares 731 rrecto: (rotación positiva) (expansión) c) T expande por un factor de 2 en la di- (rotación negativa). rección del primer vector de la base en B y expande por un factor de 3 en la ⎛ 2 0⎞ dirección del segundo vector de la base b) A 5 ⎝⎜ 0 3⎠⎟ en B. Problemas 5.4, página 508 1. Como (αA)t 5 αAt y (A 1 B)t 5 At 1 Bt, T 19. Para z 5 a 1 ib ∈ defina Tz 5 (a, b) ∈ es lineal. At 5 0 si y sólo si A 5 0 de manera que Nu(T) 5 {0} y T es 1-1. Para cualquier 2. Entonces T(z1 1 z2) 5 T((a1 1 a2) 1 matriz A, (At)t 5 A, por lo que T es sobre. i(b1 1 b2)) 5 (a1 1 a2, b1 1 b2) 5 (a1, b1) 1 (a2, b2) 5 Tz1 1 Tz2. Si α ∈ , entonces 3. i) Si T es un isomorfismo, entonces Tx 5 T(αz) 5 T(α(a 1 ib)) 5 T(αa 1 iαb) 5 ATx 5 0 si y sólo si x 5 0. Así, por el teorema de resumen, det AT ≠ 0. (αa, αb) 5 α(a, b) 5 αTz. Por lo tanto, ii) Si det AT ≠ 0, entonces ATx 5 0 tie- T es lineal. Por último, si T(z) 5 (0, 0), ne una solución trivial. Así T es 1-1, y como V y W son de dimensión infinita, entonces es claro que z 5 a 1 ib 5 0 1 i0 T también es sobre. 5 0. Por lo tanto T es 1-1 y como dim (sobre los reales) 5 dim 2 5 2, T es un isomorfismo. 5. m 5 [n(n 1 1)]/2 dim {A: A es n 3 n y MATLAB 5.4 simétrica}. 1. b) Explique por qué T es uno a uno y so- 7. Defina T: P4 → W como Tp 5 xp. Tp 5 0 bre 4. implica p(x) 5 0; es decir, p es el polino- mio cero. Así T es 1-1, y como dim W 5 c) A 5 WV 21, donde la columna i de W 5, T es también sobre. es wi y la columna i de V es vi (para ver por qué, utilice lo siguiente: T(e) 5 9. mn 5 pq. α1w1 + . . . + α4w4, donde las αi son las coordenadas de e respecto a la base en 11. La demostración del teorema 6 prueba la V; cómo se encuentran las coordena- afirmación bajo el entendimiento de que das, y que una combinación lineal de los escalares c1, c2, . . . , cn son números vectores se puede representar como complejos. multiplicación por la matriz cuyas co- lumnas son los vectores). 13. T(A1 1 A2) 5 (A1 1 A2)B 5 A1B 1 A2B 5 TA1 1 TA2; T(αA) 5 (αA)B 5 α(AB) 5 ⎛ 1 0 .5 24⎞ αTA. Así T es lineal. Suponga que TA 5 0. Entonces AB 5 0. Como B es invertible, A 5 ⎜ 2 1 1 29⎟⎟ se puede multiplicar por la izquierda por ⎜ B21 para obtener A 5 ABB21 5 0B21 5 0, ⎜ 1 1 0 0⎟ o sea, A 5 0. Por lo tanto, T es 1-1 y como ⎝⎜ 0 2 0 21⎟⎠ dim Mnn 5 n2 , q, T es un isomorfismo. ⎛22 1 1 21⎞ 15. Elija h ∈ H. Después proyH h 5 h de ma- nera que T es sobre. Si H 5 V, entonces T ⎜ 2 21 0 1⎟⎟ también es 1-1. A21 5 ⎜ ⎜ 38 218 22 10⎟ 17. Como T es un isomorfismo, Nu(T) 5 nu ⎜⎝ 4 22 0 1⎠⎟ A 5 {0} de manera que, por el teorema de resumen, A es invertible. Si x 5 T 21y, El núcleo será 0, la imagen será 4 y A entonces Tx 5 Ax 5 y con lo que x 5 es invertible ya que la forma escalona- A21y porque A21 existe. Por lo tanto, T 21y da reducida por renglones de A es la 5 A21y para todo y ∈ n. identidad. d) La matriz para S será VW 21, que es A21.

732 CAPÍTULO 5 Problemas 5.5, página 516 1. Tx ? Ty 19. Sea A* 5 B 5 (bij) y sea ci la columna i de A. Entonces AB 5 1 5 (δij) donde ⎛ x1 sen θ 1 x2 cos θ⎞ ⎛ y1 sen θ1 y2 cos θ⎞ x cos sen θ⎟⎟ y cos θ2 y sen θ⎟⎟ 5 ⎜ θ 2 x ? ⎜ δ ij 5 ⎧1, si i 5 j ⎜ 1 2 ⎜ 1 2 ⎨⎩0, si i ≠ j ⎜⎝ x3 ⎠⎟ ⎝⎜ y3 ⎠⎟ nn 5 x1 y1(sen2θ 1 cos2θ) ∑ ∑Pero δij 5 aik bkj 5 aik akj 5 k21 k21 1 x y (sen 2θ 1 cos2θ) 2 2 ci ? c j 5 δij . 1 x y 3 3 5x y 1x y 1x y 21. Como la i-ésima componente de Ax es 11 2 2 33 5x?y n (todos los demás términos en el producto ∑ aij x j , se tiene (Ax, y) 5 escalar se eliminan). j51 3. Usando el teorema 1, Tx ? Ty 5 nn (ABx) ? (ABy) 5 x ? (AB)t(ABy) 5 x ? (BtAt)(AB)y 5 x ? (B21A21AB)y 5 ∑ ∑ aij x j yi . Similarmente, si A*5 x?y i51 j51 5. La misma demostración que para el teore- ma 2 excepto que se sustituye (x, y) en lu- B 5 (b ), (x, A * y) 5 gar de x ? y y (Tx, Ty) en lugar de Tx ? Ty. ij nn nn ∑ ∑ ∑ ∑x j bij yi 5 x j bij yi 5 i51 j51 j51 i51 nn nn ∑ ∑ ∑ ∑x jaij yi 5 aij x j yi 5 j51 i51 i51 j51 (Ax, y). 7. Tx ? αx donde α es un escalar y α Z 0 o 1. MATLAB 5.5 9. Tx ? Ty 5 x ? y 5 Ax ? Ay y At 5 A21 de 1. a) La rotación y la reflexión preservan la manera que A 5 (A21)t. Entonces x ? y 5 longitud. x ? (Iy) 5 x ? (A21)tA21y 5 A21x ? A21y 5 Sx ? Sy de manera que Sx 5 A21y es una c) Escriba una representación general isometría. para cada matriz y demuestre que la matriz multiplicada por su transpuesta 11. T(a 1 a x 1 a x2 1 a x3)5 3 es igual a la matriz identidad. Para la 01 2 reflexión use F 5 2P 2 I, donde pri- (a / 2 2 5/2 2)a , 02 (3/2)a1 2 (3 7 /2 2)a3, ⎛ ν12 νν ⎞ 2 ⎜ ν1ν2 1 (3 5/2 2)a2 , (5 7 /2 2)a3 ) mero se demuestra que P 5 ⎝ ⎟ . ν22 ⎠ 13. ⎛a b ⎞ 5 (a / 2 2( 5/2 2 )c, Utilice el hecho de que ν12 1 ν22 51. T ⎜⎝ c d ⎠⎟ d) Algunos puntos clave en el programa (3/2)b 2 (3 7 /2 2)d, son (3 5/2 2)c, (5 7 /2 2)d) th 5 atan(v(2)/v(1)) R 5 [cos(th) 2sen(th); 15. A * 5 ⎛ 12 i 3⎞ sen (th) cos (th)]; ⎝⎜ 24 2 2i 6 1 3i⎠⎟ F 5 2*[v(1)*v v(2)*v]2eye(2) 17. Si A es hermitiana, entonces A* 5 A. En X 5 [1 0;0 21] particular, las componentes diagonales de e) Para la reflexión, sea F 5 2P 2I, don- A no se mueven cuando se toma la trans- de P es la misma que en el inciso c) an- puesta, por lo que a–ii 5 aii, que quiere de- cir que aii es real. terior, con ν1 5 cos(α) y ν2 5 sen(α) y simplifique.

Respuestas a los problemas impares 733 Ejercicios de repaso del capítulo 5, página 521 1. Lineal. ⎛1 0⎞ 3. No es lineal ya que 21. AT ⎜ 0 3⎟⎟ , Nu(T ) ⎛ 0⎞ , ν(T) 5 0, T (α x(x, y, z)) Z αT (x, y, z) . 5⎜ 1 0⎟ 5 ⎜⎝ 0⎟⎠ 1⎠⎟ 5. Lineal. ⎜ ⎝⎜ 0 7. No lineal ya que T(p1 1 p2) 5 1 1 p1 1 p2, pero ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ Tp1 1 Tp2 5 (1 1 p1) 1 (1 1 p2) ⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎜⎝⎜⎜⎜ ⎪ 5 2 1 p1 1 p2. Im(T ) 5 gen 0⎟⎟ , ⎜ 3⎟⎟ ⎪⎬, ρ(T) 5 2. 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎪ 0⎠⎟ ⎜ 1⎟⎠ ⎪⎭ ⎝⎜ 9. Nu(T) 5 ⎪⎧⎛ 0⎞ ⎬⎫⎪; imagen T 5 2; 1 ⎛ 20 5⎞ ⎪⎩⎨⎜⎝ 0⎟⎠ ⎭⎪ 13 ⎜⎝ 33 5⎟⎠ 23. AT 5 , Nu(T ) 5{0}, ν(T) 5 0, ρ(T) 5 2, ν(T) 5 0. ⎧⎛ 0⎞ ⎫ ⎧⎪⎛ 20 ⎞ ⎛ 33 ⎞ ⎬⎫⎪, (Im(T )B2 5 gen ⎪⎩⎨⎜⎝ 13 , ⎝⎜ 13 ⎟⎠ ⎭⎪ ρ(T) 5 2. ⎟⎠ 11. Nu(T) 5 gen ⎨⎪⎪⎩⎝⎜⎜⎜ 01⎟⎟⎟⎠ ⎪ ; imagen T 5 2; 5 5 ⎬ 13 13 ⎪ ⎭ 25. Compresión a lo largo del eje y, con fac- tor de un tercio. ρ(T) 5 2, ν(T) 5 1. ⎛1 0⎞ ⎜ 2 1⎟⎟ ⎛ 0⎞ 27. Corte a lo largo del eje x con factor 25. 5⎜ 1 2⎟ ) 5 ⎝⎜ 0⎠⎟ 13. AT , Nu(T , ν(T) 5 0, ⎜ ⎝⎜ 0 1⎠⎟ 29. ⎛1 0⎞ , ⎝⎜ 0 ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ 1 ⎟⎠ ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎜⎜⎜⎜⎝ ⎪⎪ 3 ⎬ Im(T ) 5 gen 2⎟⎟ , ⎜ 1⎟⎟ ⎪ , ρ(T) 5 2. 1 1⎟ ⎜ 2⎟ ⎭⎪ 0⎟⎠ ⎜ 1⎠⎟ 0.8 ⎜⎝ 0.6 t t y 15. Nu(T ) 5{ f ∈C[0, 1]: f (1) 5 0}, Im(T ) 5 , ⎛⎝⎜22, 2 1⎞ 0.2 ⎛ , 2 1⎞ ρ(T) 5 1, ν(T) 5 q. 3⎟⎠ ⎝⎜51 3⎠⎟ 0 t t 22 ⎧⎛ 1⎞ ⎫ 24 ⎩⎪⎨⎪⎜⎝⎜ 0⎟⎟ ⎬⎪, 22 21 0 1 2 3 4 5 0⎠ ⎪ x ⎭ 17. AT ⎛ 0 1 0 ⎞ , Nu(T ) 5 gen 5 ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ ⎛1 23⎞ 31. ⎜⎝ 0 1⎟⎠ . ν(T) 5 1, Im(T) 5 2, ρ(T) 5 2. ⎛ 1 0 22 0⎞ 6t t 19. ⎝⎜ 0 2 0 3⎠⎟ ; imagen T 5 2; 5.5 220 218 216 214 ⎧⎛ 2⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ x ⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎜⎜⎝⎜⎜ ⎬⎪⎪; 5 Nu(T) 5 gen 0⎟⎟ , ⎜⎜23⎟⎟ ⎪ 4.5 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎭⎪ 0⎠⎟ ⎝⎜ 2⎟⎠ y4 3.5 ρ(A) 5 ν(A) 5 2. 212 2t10 28 t 26 3 2.5 42 222

734 CAPÍTULO 6 ⎛0 5⎞ 5 ⎛2 1⎞ 5 ⎛ 0 1⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 5⎞ 33. ⎜⎝ 23 2⎠⎟ 35. ⎝⎜ 1 5⎟⎠ ⎜⎝ 1 0⎟⎠ ⎜⎝ 2 1⎠⎟ ⎜⎝ 0 29⎟⎠ ⎝⎜ 0 1⎟⎠ ⎛0 1⎞ ⎛ 23 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 2 2⎞ . 37. T ⎛ a⎞ 5 a1 3 bx . ⎜⎝ 1 0⎠⎟ ⎜⎝ 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 5⎟⎠ ⎝⎜ 0 ⎜⎝ b⎠⎟ 2 2 3 1⎠⎟ CAPÍTULO 6 Problemas 6.1, página 536 1. 24, 3; E24 5 gen ⎧⎪⎛1⎞ ⎪⎫ ; 15. 3, 1 1 i 3 , 1 2 i 3 ⎨⎩⎪⎜⎝1⎟⎠ ⎬ 2 22 2 ⎭⎪ ⎧⎛ ⎞⎫ E3 5 gen ⎧⎪⎛ 2⎞ ⎫⎪ E3 5 gen ⎨⎪⎪⎩⎜⎜⎜⎝ 22 ⎟⎠⎟⎟ ⎭⎪⎬⎪ ⎩⎨⎪⎝⎜25⎠⎟ ⎬ 1 ⎪⎭ 1 3. 22, 22; E22 5 gen ⎧⎪⎛1⎞ ⎪⎫⎬, la multiplici- ⎧ ⎛ 27 2 i5 3 ⎞⎫ ⎩⎪⎨⎝⎜1⎟⎠ ⎭⎪ ⎪⎪1 ⎜ 1 1 i3 3 ⎟ ⎪⎪ dad geométrica para el valor característico 5 ⎪⎨2 ⎜ ⎟⎬ E 3 gen ⎪⎩ ⎜ 1 ⎟⎪ 11i 2 ⎝ ⎠ ⎪⎭ 22 es 1. 2 5. 23, 23; E23 5 [2, la multiplicidad geomé- ⎧ ⎛ 27 1 i5 3 ⎞⎫ trica para el valor característico 23 es 2. ⎪⎪1 ⎜ 1 2 i3 3 ⎟ ⎪⎪ ⎨⎪2 ⎜ ⎟⎬ ⎪⎧⎛11 3i⎞ ⎪⎫⎬, E 3 5 gen ⎩⎪ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎩⎨⎪⎜⎝ 25 ⎟⎠ ⎪⎭ 12i 2 ⎝ ⎠ ⎪⎭ 7. 2 1 3i, 2 2 3i; E2 1 3i 5 gen 2 E2 1 3i 5 gen ⎧⎪⎛12 3i⎞ ⎫⎪ . ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎫ ⎨⎪⎩⎝⎜ 25 ⎟⎠ ⎬ ⎪⎭ 17. 1, 1, 2; E1 5 gen ⎨⎩⎪⎪⎜⎜⎜⎝ 03⎠⎟⎟⎟ , ⎜ 03⎟⎟⎟⎠ ⎪⎬; ⎝⎜⎜ ⎪ 9. 22 1 5i, 22 2 5i ⎭ E2215i 5 gen ⎧⎪⎛ i ⎞ ⎪⎫ ⎩⎪⎨⎜⎝ 1 ⎠⎟ ⎬ ⎧⎛ 2⎞ ⎫ ⎭⎪ ⎩⎪⎪⎨⎜⎜⎜⎝ ⎪⎬, E2 5 gen 12⎟⎠⎟⎟ ⎪ la multiplicidad geomé- ⎪⎧⎛ ⎞ ⎫⎪ ⎭ E2225i 5 gen ⎩⎪⎨⎝⎜ 2i ⎠⎟ ⎬⎭⎪ 1 trica para el valor característico 1 es 2. 11. 1, 1, 10; ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ 19. 1, 2, 5 ⎪⎩⎨⎪⎜⎝⎜⎜ ⎪ E1 5 gen 220⎠⎟⎟⎟ , ⎜ 221⎟⎟⎠⎟ ⎬ ; ⎧⎛ 1⎞ ⎫ ⎜⎝⎜ ⎪ ⎭ E1 5 gen ⎪⎪⎩⎨⎜⎜⎜⎝ 00⎠⎟⎟⎟ ⎪ ⎬ ⎧⎛ 2⎞ ⎫ ⎪ ⎪⎨⎪⎩⎜⎜⎜⎝ ⎪ ⎭ 5 21⎟⎟⎟⎠ ⎬ E10 gen ⎪ ; ⎭ ⎧⎛ 2⎞ ⎫ ⎪⎨⎩⎪⎜⎜⎝⎜ ⎪ la multiplicidad geométrica de 1 es 2 E2 5 gen 01⎠⎟⎟⎟ ⎬ ⎪ ⎧⎛1⎞ ⎫ ⎭ 13. 1, 1, 1; E1 5 gen ⎨⎪⎪⎩⎜⎜⎝⎜11⎟⎠⎟⎟ ⎪ ; la multiplicidad ⎧⎛ 3⎞ ⎫ ⎬ ⎪⎨⎪⎩⎜⎝⎜⎜ ⎪ ⎪ E5 5 gen 22⎟⎠⎟⎟ ⎬ ⎭ ⎪ ⎭ geométrica es 1 (multipl. alg., 3)

Respuestas a los problemas impares 735 ⎧⎛1⎞ ⎫ ⎧⎛ 1⎞ ⎫ An . En cambio, suponga que ν es un valor ⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎜⎜⎜⎜⎝ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎜⎜⎜⎝⎜ ⎪ 21. 1, 0 E1 5 gen 1⎟⎟ ⎪ , E0 5 gen 0⎟⎟ ⎪⎬, la característico complejo de An con vector 1⎟ ⎬ 0⎟ ⎪ 1⎟⎠ ⎪ 0⎟⎠ ⎪⎭ característico asociado x. Sea λ 5 n ν una ⎪⎭ de las n raíces complejas de ν. Entonces multiplicidad geométrica para el valor ca- ∏n ⎛ ⎞2πij racterístico 0 es 1. An 2 νI 5 j 51 ⎝⎜ A 2 e n λI ⎟⎠ . Sea y0 5 x y ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ ∏m ⎛ ⎞2πij ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎜⎝⎜⎜⎜ ⎪ 0⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎪ ym 5 j 51 ⎜⎝ A 2 e n λI ⎟⎠ x, m 51, ..., n. Como 0⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎬ 23. a, a, a, a; Ea 5 gen 0⎠⎟ , ⎜ 1⎟ , ⎜ 1⎟⎠ ⎪ , yn 5 ( An 2 νI )x 5 0, existe una constante ⎝⎜ ⎪⎭ k . 0 suficientemente pequeño con yk 5 0. ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎛ ⎞2πij la multiplicidad geométrica para el valor Dado que k . 0, yk 21 Z 0 y ⎜⎝ A 2 e n λI ⎟⎠ característico a es 3. 2 πik yk 21 5 yk 5 0. Esto dice que e n λ es un ⎧⎛ 1⎞ ⎫ valor característico de A, de modo que ⎛ ⎞2πik 2πik n ⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎜⎝⎜⎜⎜ 0⎟⎟ ⎪ λl 5e n λ, para algún l. Pero λ n 5⎝⎜ e n λ⎠⎟ 0⎟ ⎪⎬, l 25. a, a, a, a; Ea 5 gen 0⎟⎠ ⎪ la multiplici- ⎭⎪ 5λn 5ν, esto es v 5 λnl . Esto muestra que cada valor característico de An es la dad geométrica para el valor característi- n-ésima potencia de algún valor caracte- co a es 1. rístico de A. 27. 3, 4 37. Se tiene que p(A)xi 5 p(λi) xi para 1 # i # k. Entonces p(λi ), 1# i # k, son valores ⎧⎛ 1 ⎞⎫ ⎧⎛ 0 ⎞⎫ 5 gen ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎜⎜⎜⎝⎜ 0 ⎪⎪ 5 gen ⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎜⎝⎜⎜⎜ 0 ⎠⎟⎟⎟⎟ ⎪⎪⎭⎪⎪⎬ característicos de p(A). 0 ⎟ ⎬ 1 E3 0 ⎟ ⎪ E4 0 39. Utilizando los resultados de los problemas ⎟ ⎪⎭ ⎟⎠ 23-26, se tiene que λ 5 2 es un valor ca- 29. Observe que det (At 2 λI) 5 det (A 2 λI)t racterístico con multiplicidad algebraica 4. 5 det (A 2 λI). Entonces los polinomios ca- racterísticos de A y At son iguales, por tanto Para A1 la multiplicidad geométrica es 4. sus valores característicos son iguales. Para A2 la multiplicidad geométrica es 3. Para A3 la multiplicidad geométrica es 2. Para A4 la multiplicidad geométrica es 1. 31. Observe que A21 existe si y sólo si Ax 5 0 ⎛1⎞ ⎛1⎞ únicamente cuando x 5 0, esto es, si y sólo si 0 no es un valor característico de A. 41. Observe que A ⎜⎜1⎟⎟ 5 ⎜ 1⎟⎟ ya que la suma ⎜ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎜1⎠⎟ ⎝⎜1⎟⎠ 33. Para cada λ1, 1# i # k, existe un vec- tor xi Z 0 tal que Axi 5 λ1xi. Ahora, de las columnas de A es 1. Por lo tanto 1 ( A 2 αI )xi 5 Axi 2 αxi 5 (λi 2 α)xi. Por es un valor característico de At con vector lo tanto λi 1 α, i # i # k son valores ca- racterísticos de ( A 2 αI ). En cambio, si ⎛1⎞ ( A 2 αI )x 5 λx, entonces Ax 5 (λ 1 α)x, característico ⎜ 1⎟⎟ . De modo que 1 es un ⎜ por lo que λ 1 α 5 λi, esto es, λ 5 λi 2 α. ⎜\"⎟ ⎝⎜1⎟⎠ 35. Sea xi el vector característico asociado al valor característico λi de la matriz A. En- valor característico de A ya que det (A 2 I) tonces An (xi ) 5 An 21( Axi ) 5 An 21(λixi ) 5 5 det( A 2 I ) 5 0 λi An 21xi. Al repetir el argumento anterior ⎛a 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ n 2 1 veces se llega a que Anxi 5 λinxi, por lo 43. Revise que ⎝⎜ c d ⎟⎠ ⎜⎝ 1⎠⎟ ⎝⎜ 1⎠⎟ 5 d . tanto cada λ n es un valor característico de i

736 CAPÍTULO 6 los valores característicos son 45. ,; , con vectores característicos , ., ; , , 47. , los valores característicos son , ,;; con vectores característicos ⎛ (.355477975436, 0.) (.656603950803, 0.) (1.37121250621E-2, -4.58555951253E-2) (1.37121250621E-2, 4.58555951253E-2) (8.46815933238E-2, 0.)⎞ (-.567724652955, 0.) (-9.83665213641E-2, -.300432679563) (-9.83665213641E-2, .300432679563) ⎜ (.508924413742, 0.) (1., 0.) (1., 0.) (-.303086039306, 0.) ⎟ ⎜ (1., 0.) (-.458255573315, 7.03515044225E-2) (-.458255573315, -7.03515044225E-2) ⎟ ⎜ (.99961452009, 0.) (-.4695934249, 0.) (-.213974046817, .240504338382) (-.213974046817, -.240504338382) ⎟ (-.497033946918, 0.) (1., 0.) ⎜ ⎟ ⎜ (.904803830267, 0.) (-.766844189822, 0.) ⎟ ⎝ (1., 0.) (.183522037169, 0.) ⎠ 49. 5. 51. 2. MATLAB 6.1 ans 5 (A 2 3*eye(3))*w;. Verifique que ans 5 0. 1. a) al c) Por ejemplo, para demostrar que ay 1 bz es un vector propio con valor d) Los vectores propios para un valor propio 3: propio dado forman un subespacio. y 5 [3;4;5]; z 5 [4;913]; a 5 3*rand(1); 3. a) al c) 1) Polinomio característico 5 λ2 b 5 4*(2*rand(1) 2 (1); 1 λ 2 12, los valores propios son λ 52 w 5 a*y 1 b*z;

Respuestas a los problemas impares 737 4 con vector propio (1 1)9 y λ5 3 con λI con (A 2 λI)t? ¿De qué manera se vector propio (2.4 1)t. 6) Polinomio ca- relaciona det(Ct) con det(C)? racterístico 5 λ2 2 4λ 1 13, los valores propios son λ 5 2 1 3i con vector pro- 7. Conclusión final: si x es un vector propio pio (2.2 2.6i 1)t y λ 5 2 2 3i con vec- de A con valor propio λ, entonces x es un tor propio (2.2 1 6i 1)t. 8) Polinomio vector propio de A2 con valor propio λ2. característico 5 2λ 1 2λ2 1 λ 2 2, los En el inciso c), compare la forma escalo- valores propios son λ 5 2 con vector nada por renglones de A 2 λI y A2 2 λ2I propio (1 3 1)t, λ 5 1 con vector pro- para ver que los vectores propios serán los pio (3 2 1)t y λ521 con vector propio mismos. Sugerencia: Suponga que Ax 5 (1 0 1)t. 13) Polinomio característico λx, reescriba y simplifique A2x 5 A(Ax). 52λ3 2 λ2 2 λ 2 1, los valores propios son λ521 con vector propio (0 21 1) 9. Las matrices simétricas tendrán valores t, λ 5 i con vector propio (1 1 i 1 1)t y propios reales. Las matrices simétricas de λ 5 2i con vector propio (1 2 i 1 1) la forma AAt tendrán valores propios rea- t. Observe que (21)n se necesita porque les no negativos. poly encuentra det(λ I 2 A) en lugar de det(A 2 λI). 11. a) 4 # X # 4, por lo que se necesitan cua- tro colores. e) D(k,k) es un valor propio para A con vector propio V(:,k). Para normalizar b) 3.13 # X # 4.44, por lo que se necesi- un vector x para que tenga norma 1, tan cuatro colores. encuentre x/norm(x). c) 3.2 # X # 4.6, por lo que se necesitan 5. a) Los polinomios característicos de A y cuatro colores. At son los mismos. Por lo tanto, los va- lores propios serán los mismos. d) 2.23 # X # 3, por lo que se necesitan tres colores. b) Sugerencia: Debe considerar det(At 2 λI). ¿De qué manera se relaciona At 2 e) 2.5 # X # 4, por lo que se necesi- tan cuatro colores. Tendrá que expe- rimentar para ver si se puede o no ha- cer con tres. Problemas 6.2, página 551 pj,n pa,n Tn pj,n/pa,n Tn/Tn21 1. 0 12 12 0 — n 36 7 43 5.14 3.58 21 19 40 1.11 0.930 0 45 149 2.31 — 1 104 291 891 2.06 — 2 600 2.08 — 5 16 090 7 737 23 827 2.08 1.44 10 23 170 11 140 34 310 19 20 Observe que los valores propios son 1.44 y 20.836. Los vectores propios correspondientes son ⎛ 2.09⎞ ⎛23.57⎞ ⎜⎝ 1 ⎠⎟ y ⎝⎜ 1 ⎠⎟ .

738 CAPÍTULO 6 3. pj,n pa,n Tn pj,n/pa,n Tn/Tn21 n 0 20 20 0 — 0 80 16 96 5 4.8 1 64 69 133 0.928 1.39 2 1 092 498 1 590 2.19 — 5 42 412 22 807 65 219 1.86 — 10 3.69 3 107 1.95 3 107 5.64 3 107 1.89 — 19 7.82 3 107 4.14 3 107 11.96 3 107 1.89 2.12 20 Los valores propios son 2.12 y 21.32 con de pájaros jóvenes a adultos a la larga vectores propios correspondientes se puede encontrar mediante la razón ⎛1.89⎞ y ⎛ 23.03⎞ . de las componentes del vector propio ⎜⎝ 1 ⎠⎟ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ asociado al valor propio más grande o se puede encontrar dividiendo la tasa 5. De la ecuación (9), pn ≈ a1λ1nvi para n de nacimiento entre el valor propio grande. más grande. Si v1 5 ⎛ x⎞ , entonces 3. a) El valor propio más grande de la ma- ⎝⎜ y⎠⎟ triz es 1.2718, el otro valor propio es estrictamente menor en magnitud y p j,n ≈ a1λ1n x 5 x; ⎛ 2λ k ⎞⎛ existe un vector propio para el valor pa,n a1λ1n y y pero ⎜⎝ α β2λ1⎠⎟ ⎝⎜ propio más grande con todas las com- ponentes positivas. Bajo estas condi- ⎛ x⎞ 5 ⎛ 0⎞ de manera que 2λ1x 1 ky 5 0 y ciones se ha visto que Tn/Tn21 se acerca ⎜⎝ y⎠⎟ ⎜⎝ 0⎟⎠ al valor propio más grande. x 5 k . Entonces b) Sugerencia: la población de adultos en y λ1 el año siguiente consistirá en los nue- vos adultos de la población de jóvenes p j,n ≈ x ≈ k para n grande. 1 los adultos que normalmente so- pa,n y λ1 MATLAB 6.2 breviven 2 los adultos muertos por la caza. Los adultos muertos por la caza 1. a) Después de dos años (redondeando), son h 3 (población de adultos). hay 21 jóvenes y 18 adultos; después de 5 años, 103 jóvenes y 44 adultos; c) Las componentes de los vectores Anp0 después de 10 años, 587 jóvenes y 282 serán cada vez más pequeñas, decre- adultos, y después de 20 años, 21 965 ciendo hasta cero. El valor propio más grande es menor que 1. jóvenes y 10 513 adultos. d) El valor de h que mantiene la población b) pj,n/pa,n es 2.0895 o 2.0894 para n 5 21 a estable a la larga es h 5 4. Para esta h, 25 y Tn/Tn21 es 1.4358 para n 5 21 a 25. el valor propio más grande es 1. Estos resultados son los límites corres- 5. a) La componente i de Pnx representa el pondientes con que se puede concluir. número de casas que compran el pro- c) Los valores propios son 1.4358 y ducto i después de n meses. Cuando n crece, Pnx parece acercarse a un vector 2.8358. El valor propio más grande fijo, (900500 1600)t, lo que implica que el porcentaje de mercado de cada pro- es igual al límite proyectado de Tn/ ducto se estabiliza a través del tiempo. Tn21. La población crece ya que Tn ≈ 1.4358Tn21 y 1.4358 es mayor que b) El valor propio más grande es 1 y los 1. Las razones w1/w2, el límite de pj,n/ otros valores propios son estrictamente pa,n y k/λ son todas 2.0895. La razón

Respuestas a los problemas impares 739 menores en magnitud. Cualquier vec- c) El valor propio más grande es l. Se tor inicial no será perpendicular al encuentra 1000w/sum(w), donde w es vector propio correspondiente al valor el vector propio asociado con el valor propio de 1(debe explicar por qué), de propio 1; esto da un vector en la direc- manera que la extensión de la teoría ción del vector propio cuyas compo- dice que Pnx se acercaría a algún múl- nentes suman 1000. Esta distribución tiplo fijo del vector propio. Se ve que a la larga tiene aproximadamente 333 el vector límite y es igual a 3 000 3 (el automóviles en la oficina 1, 238 en la vector propio normalizado de manera oficina 2 y 429 en la 3. que las componentes sumen 1). d) Pt tiene un valor propio de 1 y por lo tanto también P. Problemas 6.3, página 562 1. Sí; C 5 ⎛ 1 2⎞ ⎛ 1 1 1⎞ ⎝⎜ 1 25⎠⎟ , ⎜ 11 ⎟⎟⎟⎠ 13. Sí; C 5 ⎜⎝⎜ 0 1 1 0 C 21 AC 5 ⎛ 24 0⎞ ⎝⎜ 0 3⎟⎠ ⎛ 2 0 0⎞ ⎜ ⎟ C21 AC 5 ⎜⎝⎜ 0 2 0 ⎟⎠⎟ 0 0 1 ⎛1 1⎞ C 21 AC 5 ⎛ 2 0⎞ 3. Sí; C 5 ⎝⎜1 4⎟⎠ , ⎝⎜ 0 21⎠⎟ ⎛ 5 5⎞ ⎛ 2 2 1⎞ ⎜⎝ 2 2 1 i⎠⎟ , ⎜ ⎟ 5. Sí; C 5 2 i 15. Sí; C 5 ⎝⎜⎜ 1 0 3 ⎟⎠⎟ 2 3 0 C 21 AC 5 ⎛ 1 1 i 0⎞ ⎛ 2 0 0⎞ ⎜⎝ 0 12 i⎠⎟ . C21 AC 5 ⎜ 0 21 0 ⎟ ⎝⎜⎜ 0 0 1 ⎠⎟⎟ ⎛ 21 2i 3 21 1i 3 ⎞ 55 55 ⎟ 7. Sí; C 5 ⎜ 1 1 ⎠⎟⎟ ⎜⎜⎝ ⎛ 12i 2 11i 2 215 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2 2 3i 0⎞ ⎜ 21 2i 2 ⎟ C21 AC 5 ⎜⎝⎜ 0 2 1 3i ⎠⎟⎟ 17. Sí; C 5 ⎜ 21 1i 2 33 21 ⎟ ⎜⎝⎜ 3 1 3 1 5 ⎟⎟⎠ ⎛ 3 1 1⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎛ 7 1 i2 2 0 0 ⎞ ⎜ 0 72i2 2 ⎟ 9. Sí; C 5⎜⎝⎜⎜12 3 01⎟⎟⎠⎟ ; C21 AC 5 ⎜ 0 2 201⎠⎟⎟⎟ . C21 AC 5 ⎜ 0⎟ 1 ⎜⎜⎝ 0 0 0 ⎜ 23 ⎟ ⎝0 ⎠ ⎛ 1 1 3⎞ ⎛1 22 0 0⎞ ⎜ ⎟ 5 0 11. Sí; C 5 ⎝⎜⎜ 3 0 2 ⎟⎠⎟ ⎜ 1 0 21i 0 ⎟ 1 1 1 ⎜ 55 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎛ 2 0 0⎞ 19. Sí; C 5 ⎜ 0 0 0⎟ C21 AC 5 ⎜ 01 ⎟⎟⎠⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜⎜ ⎜ 22i ⎟ 0 21 ⎜⎝ 0 55 ⎟⎠ 0 0

740 CAPÍTULO 6 ⎛ 4 4 0 0⎞ 5 x. Como C es invertible, Im(C) 5 [n. ⎜ ⎟ Entonces existe z tal que Cz 5 y, y ACz 5 C21 AC 5 ⎜ 0 3 0 0 ⎟ x. Por lo tanto Im( A) ⊆ Im( AC). Suponga x ∈Im( AC). Entonces existe z tal que ACz ⎜ 0 0 i 0⎟ 5 x. Sea y 5 Cz, entonces Ay 5 x. Por lo ⎝⎜ 0 0 0 i ⎟⎠ tanto Im( AC) ⊆ Im( A) e Im( A) 5 Im( AC) y por lo tanto ρ( AC) 5 ρ( A). Entonces 21. Como A es semejante a B, B 5 D21 AD ρ( A) 1 ν( A) 5ρ(CA) 1 ν(CA) ⇒ ρ( A) 5ρ(CA). para alguna matriz D invertible. B es Por lo que ρ( A) 5 ρ( AC) 5 ρ(CA). Como semejante a C, C 5 E21BE para alguna C21 es invertible, ρ(C21 AC) 5 ρ(( AC)C21 ) matriz E invertible. Entonces C 5 E21D21 5 ρ( A). Esto es, ρ(B) 5 ρ( A) y por lo tan- ADE 5 (DE)21 A(DE). Por lo tanto A es to ν( A) 5 ν(B). semejante a C. 25. Como A es semejante a B, B 5 D21 AD 23. Suponga que C es invertible. Si x ∈ Nu(A) entonces CAx 5 C0 5 0. Por lo tanto para alguna matriz D invertible. Entonces x ∈ Nu(CA). Si x ∈ Nu(CA) entonces 1 Ax 5 0 ya que Nu(C) 5 0. De modo que det B 5 det(D21AD) 5 det A det D 5 x ∈ Nu(A) si y sólo si x ∈ Nu(CA). Por lo det D tanto ν(CA) 5 ν (A). Ahora suponga que det A. x ∈ Im(A). Entonces existe y tal que Ay 27. A20 5 ⎛ 1 0⎞ . ⎜⎝ 0 1⎠⎟ 1 ⎛ 24 3810 2 5 22 3810 1 2 22 3810 1 4⎞ 9 ⎜ 2810 28 22 3810 1 2⎟⎟ . 29. A10 52 ⎜ 22 3 810 1 2 22 3810 2 5⎟⎠ ⎜⎝ 24 3 810 1 4 22 3810 1 2 31. Como A es diagonalizable, A es similar a la matriz diagonal D 5 diag(λ1, λ2 ,..., λn ). En- tonces det A 5 det D 5 λ1λ2 !λn. 33. Se introduce la matriz de interés . A continuación se guarda la ma- triz en la variable A , se encuentra la matriz de vectores caracterís- ticos y los valores característicos de la matriz que se encuentra en la primera posición de la pila . Se obtiene como resultado ⎛1 20.238764... 20.493123...⎞ ⎜ 0.491290... 20.594350... 0.9517040...⎟⎟⎟⎠ ⎜⎝⎜ 0.706072... 1

Respuestas a los problemas impares 741 35. Si se repite el procedimiento del problema 33 se obtiene como resultado ⎛ 0.355... 0.656... 20.001... 2 i0.004... 0.001... 1 i0.004... 0.008...⎞ ⎜ 0.508... 20.567... 20.009... 2 i0.300... 20.009... 1 i0.300... 20.303...⎟⎟ ⎜ ⎜ 0.999... 1 1 1⎟ ⎜ 1 0.458... 2 i0.007... 20.766...⎟⎟ ⎜ 0.904... 20.469... 0.458... 2 i0.007... ⎜⎝ 1 20.497... 20.213... 1 i0.240... 20.213... 1 i0.240... 0.183...⎠⎟ MATLAB 6.3 5. Ax 5 λx dice que A expande o comprime a x. Si A es diagonalizable, entonces A 1. Este problema ilustra que CAC21 y A tie- expande o comprime cada vector propio nen los mismos valores propios. por un factor dado por el valor propio asociado. ⎛2 2 0 0⎞ ⎛1 3 4⎞ c) Expande la dirección dada por (1 2 1) 3. a) D 5⎜⎝⎜⎜ 0 3 03⎟⎟⎠⎟ ; C 5 ⎜ 1 4 193⎠⎟⎟⎟ t en un factor de 2 y expande la direc- 0 0 ⎜⎝⎜ 1 5 ción dada por (1 1)t en un factor de 3. Para bosquejar la imagen del rectán- ⎛21i 0 0 0 ⎞ gulo, tome la diagonal que va de (21, 21) a (1, 1) y expanda por un factor de b) D 5 ⎜ 0 21i 0 0 ⎟ 3 en cada dirección; tome la otra dia- ⎜ ⎟, gonal y expanda por un factor de 2 en ⎜0 0 22i 0 ⎟ cada dirección. ⎜⎝ 0 0 0 2 2 i⎟⎠ d) i) Ni expande ni comprime en la direc- ⎛ 1 0 1 0⎞ ción de (1 1 1)t, expande en un fac- tor de 2 en la dirección de (3 4 5)t, y ⎜ i i 2i 2i ⎟ comprime en un factor de .5 en la C 5⎜ ⎟ dirección de (4 9 13)t. ⎜ 0 2 0 2⎟ ⎝⎜2 i 11 i i 12 i⎠⎟ Problemas 6.4, página 573 ⎝⎠ 1. Q 5 ⎛ 2/ 5 1/ 5⎞ D 5 ⎛ 5 0⎞ ⎛23 0 0⎞ ⎜ ⎟, ⎜⎝ 0 2 5⎟⎠ 112 2 ⎟ ⎝1/ 5 5 ⎜ 2 2/ 5⎠ D ⎜ 0 0 0⎟ 12 2/ 2 ⎟⎠ ⎛2 1 1⎞ ⎛ 4 0⎞ ⎝⎜ 0 ⎝⎜ 0 2⎟⎠ . 3. Q 5 ⎜ 2 2 ⎟ , D 5 ⎝ ⎠ 1 1 ⎛2 2 1 2 ⎞ ⎛ 0 0 0⎞ 2 2 3 3 3 ⎛1 1 1⎞ ⎛2 0 0⎞ 9. Q 5 ⎜ 2 2 1 ⎟ , D 5 ⎜ 0 3 60⎟⎟⎠⎟ 6 2 201⎟⎠⎟⎟ . ⎜ 3 3 3 ⎟ ⎝⎜⎜ 0 0 ⎜2 3⎟ 0 5. Q 5⎜2 1 1 1 ⎟ , D 5 ⎜ 0 ⎜⎝ 1 2 2 2 ⎠⎟ ⎜ 2 6 3 ⎟ ⎜⎝⎜ 0 3 3 3 ⎠ ⎝0 22 1 11. Sea u un vector propio correspondiente a 6 3 λ con |u| 5 1. Entonces Qu 5 λu y 1 5 |u| 5 |Q21Qu| 5 |λQ21u| 5 |λQtu| 5 |λQu| 5 ⎛ 1/ 2 1 1⎞ (ya que Q es simétrica) |λ2u| 5 λ2 |u| 5 λ2. ⎜ 2 Entonces λ2 5 1 y λ 561. 7. Q 5 ⎜21/ 2 2⎟ ⎜⎜⎝ 0 1 1 ⎟, 2 2 2 ⎠⎟⎟ 1/ 2 21/

742 CAPÍTULO 6 13. 1 5 det I 5 det(Q21Q) 5 det(QtQ) 5 ⎛ λ1 u1t Au2 ! u1t Aun ⎞ (detQt)(detQ) 5 (detQ)2 2 ya que det At ⎜ ut2 Au2 ! ut2 Aun ⎟ 5 det A para cualquier matriz A. Así, ⎜0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎛a c⎞ ⎜⎜⎝ \" \" \" ⎠⎟⎟ ⎜⎝ b d ⎟⎠ 0 Aun det Q 56 1 y 5 Qt 5 u t Au 2 ! utn n ⎛d 2 b ⎞ Au1thAourja5—(2QAtuA1tQ? )2ut 5j 5—Q—AtAut1(t 2Q? ut)jt 5 0 si j Z 1. det ⎟ 5—QtAt 2Q 5 ⎜ det Q Q ⎟ 2Q t 2A tQ 2Q tAQ, 2 Q21 5 ⎜ At ⎝⎜⎜2 c a⎟ 5 ya que 5 A* 5 A. det Entonces, 2QtAQ es hermitiana, que quie- Q det Q ⎟⎠ Si det Q 5 1, entonces c 5 2b. Si det Q 5 re decir que los ceros en el primer renglón 21, entonces c 5 b. de 2QtAQ deben ser los mismos que los ceros en la primera columna. El resto de 15. Si la matriz A de 2 3 2 tiene vectores pro- dlaeldteemoroesmtraac3i,ódnosnigduee2Qcot msuosteitnuylae prueba pios ortogonales, entonces A es ortogo- a Qt. nalmente diagonalizable, lo que significa que, de acuerdo con el teorema 4, A es 21. U5 1 ⎛211i 1⎞ simétrica. 3 ⎜⎝ 1 11 i⎠⎟ ; 17. Sea λ un valor propio de A con vector U∗AU 5 ⎛ 21 0⎞ ⎜⎝ 0 8⎟⎠ propio v y suponga que A* 5 A . Enton- ces λ (v, v) 5 (λv, v) 552λ(A(vv,, v) 5 (v, A*v) MATLAB 6.4 5 (v, Av) 5 (v, λ v) v2λ). Como v ≠ de manera 1. a) Ingredientes: debido a la elección 0, esto quiere decir que λ 5 aleatoria, se esperan valores propios distintos. Cualquier múltiplo de un que λ es real. vector propio es un vector propio. Los vectores propios para valores propios 19. Use el problema 14 después de demostrar distintos de una matriz simétrica son que a cada valor propio de multiplicidad ortogonales. algebraica k le corresponden k vectores propios ortonormales. Sea Q obtenida b) El comando eig produce un conjunto exactamente igual que en la demostración de vectores propios ortonormales. 1daeQl.tt.eAo. 2Qr1emouan 2Q?3.2tvARnQe. cQ.u|tQe5rtdAe2Q2Qq2u12ey(uIA,|v5e)s5|sAium12?il2aIv|r1; Utilice este conjunto para Q. Como Q 2QtAQ 5 (2QtA)Q será entonces ortogonal, Qt será igual a Q21. 5  u1t A ( u1 , u ,
, u )  ut2 A 3. a) Hechos básicos a usar: si se multiplica  una columna o renglón de una matriz   2 n por c se multiplica el determinante por c. Un múltiplo de un vector propio es  utn A todavía un vector propio para el mis- mo valor propio. 5  u1t  ( Au1, Au2 ,
, Aun ).  ut2  b) Hechos básicos a usar: una matriz or-   togonal tiene columnas ortonormales;   un vector perpendicular a (a b)t es ya   sea (b 2a)t o (2b a)t (o un múltiplo de u t éstos). Use el hecho de que el determi- n nante es igual a 1. bAλul11theu?mo1)2uraa51;1be52λin)et1nyo(,unc(o1ct,uem1uts,1o2Q)A(5*tuAu1tQ1,2λ)u1551)55(uλ1u1t,1t(Ap? ou2u1r)1 5 (u1t, c) Como Qt 5 Q21, primero se hace una el pro- rotación negativa de un ángulo, luego 515

Respuestas a los problemas impares 743 se expande o comprime a lo largo de go del eje x y se expande por 4 a los ejes x y y como lo indica la diago- lo largo del eje y, después se hace nal de la matriz, y después se rota de una rotación positiva de θ. Vea las regreso, es decir, se hace una rotación siguientes figuras. Esto tiene el mis- positiva del mismo ángulo. mo efecto que expandir por 3 en la dirección (1 21)t y expandir por 4 d) i) Se hace una rotación negativa de θ en la dirección de (1 1)t. 5 245°, se expande por 3 a lo lar-     x  y    y yy     2˚   2˚  y   xxx x   a
b
c
d
y ii) Rotación negativa de θ 5 150°, ex- pansión por 3 a lo largo del eje x y 3 150º x expansión por 2 a lo largo del eje 2 y, y después rotación positiva de θ. La imagen del círculo unitario se bosqueja en la figura. Problemas 6.5, página 583 1. ⎛3 21⎞ ⎛ x⎞ ⋅ ⎛ x⎞ 5 5; x′2 1 y′2 51, es una elipse con centro ⎜⎝ 2 1 0⎠⎟ ⎜⎝ y⎟⎠ ⎜⎝ y⎠⎟ 55 42 ⎛ 2 2⎞ en el origen. 26 2 6 13 ⎜ 32 13 ⎟ 2 ⎜ 26 2 6 13 26 1 6 13 ⎟ Q 5 ⎜ ⎟ 31 13 ⎟ ⎜ ⎜⎝ 26 1 6 13 ⎠⎟ 5 ⎛ 0.9571 0.2898⎞ 1 ⎜⎝2 0.2898 0.9571⎠⎟ ; 21 . x′2 2 y′2 51; 1 12 ⎛ 10 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎜⎝ 13 1 3⎟⎠ ⎜⎝ 13 2 3⎠⎟ hipérbola;θ 5 5.989 5 343º 2 3. ⎛3 1⎞ ⎛ x⎞ ⋅ ⎛ x⎞ 5 5, ⎛0 1 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ 1 ⎛1 21⎞ ⎜⎝ 1 3⎠⎟ ⎝⎜ y⎟⎠ ⎜⎝ y⎟⎠ 2 y⎠⎟ ⋅ ⎜⎝ y⎟⎠ 2 ⎝⎜1 1⎠⎟ , 5. ⎝⎜ 0⎟⎠ ⎝⎜ 51, Q5 1 2 ⎛1 21⎞ ⎛ 4 0⎞ π ⎛ 1 0⎞ π, x′2 2 y′2 51 , es Q5⎜ 2 2 5 ⎜⎝ 0 2⎟⎠ , θ 5 , ⎝⎜ 2 4 22 ⎝ ⎟ , D 4 D 5 2 1 ⎟⎠ , θ 5 1 1 ⎠ 0 2 2 2

744 CAPÍTULO 6 una hipérbola con centro en el origen. 2 10 1 5 21 . 10 5 12 . 5 10 1 5 2 10 ⎛1 2 3 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ 2 ⎜⎝ y⎠⎟ ⎝⎜ y⎟⎠ 15. ⎝⎜ 4⎠⎟ ⋅ 51, 2 3 ⎛0 1⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ 2 ⎝⎜ y⎠⎟ ⎝⎜ y⎠⎟ 7. ⎝⎜ 1 2 ⋅ 5 a > 0; ⎛ ⎞ 2 0⎟⎠ ⎜ 21 1 2 11 2 ⎟ ⎜ 422 2 412 2 ⎟ ⎛ 12 1 2⎞ Q 5 , Q5⎜ ⎟; 21 1 ⎝21 2 1 2⎠ ⎜⎝ 422 2 412 2 ⎠⎟ x′2 2 y′2 51; hipérbola; θ 57 π/4 5 315°. ⎛ 513 2 0 ⎞ 2a 2a 2 D 5 ⎜ 523 2 ⎟ , θ ≈ 5.515 rad, ⎜ 0 2 ⎟ ⎝ ⎠ 9. Lo mismo que en el problema 5, excepto 5 1 3 2 x′2 1 5 2 3 2 y′2 51, es una que ahora se tiene una hipérbola con los 22 papeles de x9 y y9 cambiados; como a , 0, se tiene elipse con centro en el origen. y′2 2 x′2 51 2 (2 2a) (2 2a) 1 11. ⎛21 1⎞ ⎛ x⎞ ⋅ ⎛ x⎞ 5 0; 21 1 . ⎝⎜ 1 21⎟⎠ ⎝⎜ y⎠⎟ ⎝⎜ y⎟⎠ 1 2 Q 5 ⎛1 2 21 2⎞ ⎜ ⎟; ⎝1 2 1 2⎠ 2 y92 5 0, que es la ecuación de una recta que pasa por el origen; θ 5 π/4 5 45°. ⎛6 5 ⎞ ⎛ x ⎞ ⋅⎜⎝⎛ x⎞ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ y ⎠⎟ y⎟⎠ 17. ⎜⎝ 5 2 5 2 7; 2 6 ⎛ 1 1⎞ ⎛1 21⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ 5 ⎜⎝2 2 2 ⎛ 21/ 26 ⎞ 13. ⎝⎜21 3⎠⎟ ⎜⎝ y⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ y⎟⎠ 55, Q ⎟ , Q 5 ⎜ 5/ 26 ⎟; 1 1 ⎠ 2 2 ⎝1/ 26 5/ 26 ⎠ D 5 ⎛ 2 1 2 0⎞ θ 5 7π , y′2 2 x′2 51; hipérbola; ⎜ ⎟, 4 (14/13) (14/13) ⎝0 22 2⎠ x′2 1 y′2 5 5, es una elipse con θ ≈ 0.197 ≈ 11.31° 11 21 2 22 2 ⎛ 1 21 21⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ centro en el origen. 19. ⎜⎜⎜⎝2211 1 211⎟⎠⎟⎟ ⎜ zy⎟⎟⎠⎟ ⋅ ⎜ zy⎟⎟⎟⎠ ; 21 ⎜⎝⎜ ⎝⎜⎜

Respuestas a los problemas impares 745 ⎛1/ 3 1/ 2 1/ 6 ⎞ todos los valores característicos de A son ⎜ 21/ 2 ⎟ positivos. Q 5 ⎜1/ 3 ⎝⎜⎜1/ 3 0 1/ 6 ⎟ ; ⎛ 3 0⎞ 2 2/ 6 ⎟⎠⎟ 33. A 5 ⎜⎝ 0 2⎠⎟ ; λ 5 2, 3; la forma cuadrá- 2 x′2 12 y′2 12z′2 tica es positiva definida. ⎛1 1 3 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ 35. Definida negativa. 2 2 ⎜1 0⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟⎟ 37. Es indefinida. 21. ⎜2 1 ⎜ y ⎟ ⋅ ⎜ , 39. Es positiva definida. ⎝⎜ 3 0 1⎠⎟ ⎜⎝ z ⎠⎟ ⎜⎝ z ⎟⎠ 2 41. Es indefinida. ⎛1 1 3⎞ 43. Negativa definida. ⎜2 25 2 5⎟ Q5⎜ 0 1 ⎟ , 45. i) Si det A Z 0, entonces ni λ1 ni λ2 son 23 10 ⎟ cero. Así, con d 5 0, la ecuación (22) ⎜⎝ 2 1 10 2 ⎠ se convierte en λ1x92 1 λ2 x92 5 0. Si 2 3 ahora tanto λ1 como λ2 son positivos o 1 5 negativos, la ecuación se satisface sólo 25 cuando x9 5 0 y y9 5 0, lo que corres- ponde al punto (0, 0). Si λ1 y λ2 tienen 2 1 10 x′2 1 y′2 1 2 2 10 z′2 signos opuestos, entonces las ecuacio- 22 nes se convierten en x956 λ2 y9, 2λ1 ⎛ 1 21 0⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ que son las ecuaciones de dos rectas. Si det A 5 0, entonces una de las dos, 23. ⎜ 21 2 211⎟⎟⎠⎟ ⎜ yz ⎟⎟⎟⎠ ⋅ ⎜ yz ⎟⎟⎠⎟ , λ1 o λ2 es cero, y la ecuación se con- ⎝⎜⎜ 0 21 ⎜⎜⎝ ⎜⎝⎜ vierte en x9 5 0 o y9 5 0, cada una de las cuales es la ecuación de una recta. ⎛ 1 1 1⎞ C 5 ⎝⎜⎜⎜211 0 11⎟⎠⎟⎟ , y′2 1 3z′2 22 ⎛1 0 1 0⎞ 2 ⎜ ⎟ 25. ⎜ 0 1 0 2 1 ⎟ . 2 ⎜1 0 0 0⎟ ⎝⎜ 2 0 1⎟⎠ 2 1 0 2 27. Observe que det A , 0 ya que por hipóte- MATLAB 6.5 sis tenemos una hipérbola. Por lo tanto det A , 0 para cualquier valor de d y la ⎛ 2 .5⎞ ecuación representa una hipérbola para 1. Para el problema 12, A 5 ⎝⎜ .5 1⎟⎠ . El án- cualquier valor de d diferente de cero. gulo de rotación es θ 5 202.5 y la ecua- 29. Si a 5 c entonces cot 2θ 5 0 ⇒ 2θ 56 π ción es 2.207lx’2 1 .7929y’2 5 4. Se trata 2 de una elipse y det(A) . 0. Se muestra el π bosquejo. ⇒ 5 θ 56 4 . y 202.5º 31. F(x) 5 Ax ⋅ x 5 Dx9 ⋅ x9. D 5 diag(λ1,..., λn ) . c5 4 Pero si Dx9 ⋅ x9 . 0, para todo x9 ∈ n, en- 2.2071 tonces λi $ 0, 1# i # n . Si Dx9 ⋅ x9 . 0 para d5 4 todo x9 Z 0, entonces De1 ⋅ e1 5 λ1 . 0, .7929 De2 ⋅ e2 5 λ2 . 0 , . . . , Den ⋅ en 5 λn . 0. Si λ1 . 0,1# i # n, entonces Dx9 ⋅ x95 λ1( x1′)2 x 1!1 λ2 ( xn′ )2 5 F(x) $ 0, para todo x9 ∈ c n y F(x) 5 0 si y sólo si x 5 0. Por lo x9 d tanto F(x) es positiva definida si y sólo si y9

746 CAPÍTULO 6 3. Para el problema 4, A 5 ⎛ 0 .5⎞ y y9 ⎝⎜ .5 0⎠⎟ . El ángu- x 2 lo de rotación es θ 5 3 150 y la ecuación 2 es 2.5x92 1 .5x92 5 1. Es una hipérbo- la y det(A) , 0. Se muestra el bosquejo. x9 Problemas 6.6, página 592 1. No. 3. No. 5. Sí. ⎛22⎞ 7. Sí 9. No. 11. Sí ( A 1 2 I )v 2 5 v1 ⇒ v2 5 ⎜ 21⎟⎟ , ⎜ ⎝⎜ 3⎠⎟ 13. Sí. 15. Sí. 17. Sí. ⎛ 2⎞ 19. 5 ⎛1 6 ⎞ 5 ⎛ 25 1⎞ . ( A1 2I )v3 5 v2 ⇒ v3 5 ⎜ 221⎠⎟⎟⎟ . Por tanto ⎜⎝1 7 ⎝⎜ 0 25⎟⎠ ⎜⎝⎜ C 1⎟⎠ , J ⎛1 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛25 22 2⎞ ⎛22 1 0⎞ ⎝⎜1 0⎠⎟ , ⎜⎝ 3⎠⎟ 21. C 5 J 5 3 . C 5 ⎜⎜⎜⎝273 21 221⎟⎟⎟⎠ , J 5 ⎜ 0 22 221⎠⎟⎟⎟ . 0 3 ⎝⎜⎜ 0 0 ⎛ 1⎞ r k 23. λ 521, ( A1 I )v1 = 0 ⇒ v1 = ⎜ 10⎠⎟⎟⎟ , 27. Utilizando inducción se mostrará que N ⎝⎜⎜ 5 ⎛ 0(k 2 r 11) 3 (r 21) Nk 2r 11 ⎞ . ⎜⎝⎜ 0(r 21) 3 (r 21) ⎟⎠⎟ ⎛ 0⎞ 0( r 21) 3 (k 2 r ) ( A 1 I )v2 5 v1 ⇒ v2 5 ⎜ 11⎠⎟⎟⎟ , Si r 5 1, el resultado es verdadero. Su- ⎜⎜⎝ ponga que el resultado es verdadero para r 5 l. Sea Nk 5 (nij) y N l 5 (aij). Entonces k k ⎛ 1⎞ ∑N l 11 5 bij 5 nisasj. Si j # l k ⎜ 1⎟⎟ . (bij) donde ⎜ ( A1 I )v3 5 v2 ⇒ v3 5 s 51 ⎜⎝ 21⎠⎟ 1 1 o i $ k 2 1, entonces bij 5 0. Si j . l 1 1 e i , k 2 1, entonces bij 5 ni, i 11 ai 11, j Por lo tanto ⎧1, si (i, j) 5 (α, α 1 r 11), ⎛ 1 0 1⎞ ⎛21 1 0⎞ 5 ai 1 1, j 5 ⎪ α 51, 2,..., k 2 r 21 ⎨ ⎪⎩0, de otro modo C 5 ⎜ 1 1 211⎠⎟⎟⎟ , J 5 ⎜ 0 21 211⎠⎟⎟⎟ . ⎜⎝⎜ 0 1 ⎜⎝⎜ 0 0 lo que significa que ⎛ 25⎞ N l 11 5 ⎛ 0(k 2 l)3 (l) N k 2l ⎞ . k ⎜⎝⎜ 0l 3l 0l 3 ( k2 ⎟⎠⎟ ⎜ 273⎠⎟⎟⎟ 25. λ 522, ( A 1 2 I )v1 5 0 ⇒ v1 5 ⎜⎝⎜ , l ) Por tanto Nk tiene índice de nilpotencia k.

Respuestas a los problemas impares 747 ⎛21 0 0 0⎞ ⎛21 1 0 0⎞ ⎛21 0 0 0⎞ ⎛21 1 0 0⎞ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ , 29. ⎜ 0 21 0 , ⎜ 0 21 0 ⎜ 0 21 0 0⎟⎟ , ⎜ 0 21 0 0⎟⎟ . ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 2 0⎟ ⎜ 0 0 2 0⎟ ⎜ 0 0 2 1⎟ ⎜ 0 0 2 1⎟ ⎜⎝ 0 0 0 2⎟⎠ ⎝⎜ 0 0 0 2⎠⎟ ⎜⎝ 0 0 0 2⎠⎟ ⎝⎜ 0 0 0 2⎠⎟ ⎛ 3 0 0 0⎞ ⎛ 3 1 0 0⎞ ⎛ 3 1 0 0⎞ 31. ⎜ 0 3 0 0⎟⎟ ⎜ 0 3 0 0⎟⎟ ⎜ 0 3 1 0⎟⎟ ⎜ 0 3 ⎜ ⎜ 0⎟ ⎜0 0⎟ ⎜ 0 0 3 0⎟ ⎜ 0 0 3 ⎝⎜ 0 0 0 24⎟⎠ ⎝⎜ 0 0 0 24⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 24⎠⎟ Los bloques de Jordan se pueden permutar en la diagonal. ⎛ 4 0 0 0 0⎞ ⎛ 4 1 0 0 0⎞ ⎛ 4 1 0 0 0⎞ ⎜ 0 4 0 0 0⎟⎟ ⎜ 0 4 0 0 0⎟⎟ ⎜ 0 4 1 0 0⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 33. ⎜ 0 0 4 0 0⎟ ⎜ 0 0 4 0 0⎟ ⎜ 0 0 4 0 0⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0 0 0 23 ⎜ 0 0 0 23 ⎜ 0 0 0 23 ⎜⎝ 0 0 0 0 2 3⎟⎠ ⎝⎜ 0 0 0 0 2 3⎟⎠ ⎝⎜ 0 0 0 0 2 3⎟⎠ ⎛ 4 1 0 0 0⎞ ⎛ 4 1 0 0 0⎞ ⎛ 4 0 0 0 0⎞ ⎜ 0 4 1 0 0⎟⎟ ⎜ 0 4 0 0 0⎟⎟ ⎜ 0 4 0 0 0⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 4 0 0⎟ ⎜ 0 0 4 0 0⎟ ⎜ 0 0 4 0 0⎟ ⎜ 1⎟⎟ ⎜ 1⎟⎟ ⎜ 1⎟⎟ ⎜ 0 0 0 23 ⎜ 0 0 0 23 ⎜ 0 0 0 23 ⎝⎜ 0 0 0 0 2 3⎟⎠ ⎝⎜ 0 0 0 0 2 3⎠⎟ ⎜⎝ 0 0 0 0 2 3⎟⎠ Los bloques de Jordan se pueden permutar en la diagonal. ⎛ 2 0 0 0 0 0 ⎞ ⎛ 2 0 0 0 0 0⎞ ⎜ 0 22 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 22 1 0 0 0⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜0 ⎟ ⎜0 0 22 0 0⎟ 35. ⎜ 0 22 0 0 0 ⎟ , ⎜ 0 0 22 0 0⎟⎟ , ⎜ 0 0 22 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎜ 0 0 0 0 22 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 22 0⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 0 0 22⎠ ⎝ 0 0 0 0 0 22⎠ ⎛ 2 0 0 0 0 0⎞ ⎛ 2 0 0 0 0 0⎞ ⎜ 0 22 1 0 0 0⎟⎟ ⎜ 0 22 1 0 0 0⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜0 0 22 1 0⎟ ⎜0 0 22 1 0⎟ ⎜ 0 0 22 0 0⎟⎟ , ⎜ 0 0 22 0 0⎟⎟ , ⎜ 0 ⎜ 1 0 0 ⎜ 0 0 0 0 22 0⎟ ⎜ 0 0 0 0 22 0⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 0 0 22⎠ ⎝ 0 0 0 0 0 22⎠ ⎛ 2 0 0 0 0 0⎞ ⎜ 0 22 1 0 0 0⎟⎟ ⎜ ⎜ 0 0 22 1 0 0⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0 0 0 22 1 ⎜ 0 0 0 0 22 1⎟ ⎜⎟ ⎝ 0 0 0 0 0 22⎠ 37. Como C21 AC 5 J , entonces det C21det A det C 5 det A 5 det J 5 λ1λ2 !λn.

748 CAPÍTULO 6 multiplicidades algebraica y geométri- ca para los valores propios de J. MATLAB 6.6 c) Para λ 5 2, la columna 1 es un vec- 1. a) Demuestre que tor propio y la columna 2 es un vec- (A 2 2I)(col 1) 5 0, tor propio generalizado; tiene multi- (A 2 2I)(col 2) 5 0 y plicidad algebraica 2 y multiplicidad (A 2 3I)(col 3) 5 0. Para el inciso iv) geométrica l. Para λ 5 3, la columna utilice las propiedades de semejanza 3 es un vector propio y la columna 4 para concluir que A y J tienen los mis- un vector propio generalizado; tiene mos valores propios con las correspon- multiplicidad algebraica 2 y multiplici- dientes multiplicidades algebraica y dad geométrica l. geométrica. Es sencillo determinar las Problemas 6.7, página 604 1. 1 ⎛ 5e2 4t 1 2e3t 2e2 4t 2 2e3t ⎞ 5. et ⎛ 2 sen t 1 cos t 25sen t ⎞ 7 ⎝⎜ 5e2 4t 2 5e3t 2e2 4t 1 5e3t ⎠⎟ ⎝⎜ sen t 22 sen t 1 cost⎠⎟ . 3. ⎛ et cos(2t) et sen(2t)⎞ 7. e2 3t ⎛ 12 7t 27t ⎞ ⎜⎝2et sen(2t) et cos(2t)⎟⎠ ⎝⎜ 7t 11 7t⎟⎠ 9. e2 5t ⎛12 7t 7t ⎞ ⎝⎜ 27t 11 7t⎠⎟ ⎛ 1 ⎛ et 1 2t cos ⎛ 3t ⎞ ⎞ 1 ⎛ et 2 2t ⎡ ⎛ 3t ⎞ 2 ⎛ 3t ⎞ ⎤⎞ 1 ⎛ et 2 2t ⎡ ⎛ 3t ⎞ 1 ⎛ 3t ⎞ ⎤⎞ ⎞ ⎜ 3 ⎜ ⎜ ⎟⎟ 3 ⎜⎜⎝ ⎢cos ⎜ 2 ⎟ 3 sen ⎜ 2 ⎟ ⎥⎥⎦⎠⎟⎟ 3 ⎝⎜⎜ ⎢cos ⎜ 2 ⎟ 3 sen ⎜ 2 ⎟ ⎥⎥⎦⎠⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2e 2 ⎝ 2 ⎠⎠ e2 ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎠ e2 ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎠ ⎟ ⎝ ⎝ ⎟ ⎜ ⎜ ⎛ ⎡ ⎤⎞ ⎛ 3t ⎞ ⎞ ⎛ ⎡ ⎤⎞ ⎟ 11. ⎜ 1 ⎜⎜⎝ et 2 2t ⎢cos ⎛ 3t ⎞ 1 ⎛ 3t ⎞ ⎥⎦⎥⎠⎟⎟ 1 ⎜ et 1 2t cos ⎛ ⎟⎟ 1 ⎝⎜⎜ et 2 2t ⎢cos ⎛ 3t ⎞ 2 ⎛ 3t ⎞ ⎥⎦⎥⎟⎠⎟ ⎟ ⎜ 3 ⎢⎣ ⎜ 2 ⎟ 3 sen ⎜ 2 ⎟ 3 ⎝ ⎜ 2 ⎠⎠ 3 ⎢⎣ ⎜ 2 ⎟ 3 sen ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ e2 ⎝ ⎠ ⎠ 2e 2 ⎝ e2 ⎝ ⎠ ⎠ ⎟ ⎝ ⎝ ⎜ 1 ⎛ et 2 2t ⎡ ⎛ 3t ⎞ 2 ⎛ 3t ⎞ ⎤⎞ 1 ⎛ et 2 2t ⎡ ⎛ 3t ⎞ 1 ⎛ 3t ⎞ ⎤⎞ 1 ⎛ et 1 2t cos ⎛ 3t ⎞ ⎞ ⎟ ⎜ 3 ⎝⎜⎜ ⎢cos ⎜ 2 ⎟ 3 sen ⎜ 2 ⎟ ⎦⎥⎥⎟⎠⎟ 3 ⎝⎜⎜ ⎢cos ⎜ 2 ⎟ 3 sen ⎜ 2 ⎟ ⎦⎥⎥⎠⎟⎟ 3 ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎝⎜ e2 ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎠ e2 ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 2e 2 ⎝ 2 ⎠⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ 13. x(t ) 5 et ⎛ a ⎞ , ambas poblaciones crecen a una tasa proporcional a et. ⎜⎝ ⎠⎟ 4a 3 (( )) ( )15. ⎛ ⎞ x(t ) 5 e 3t ⎜ x1 (0) 2t x1(0) 1 x2 (0) ⎟ . x1(0) 2 t x1(0) 1 x2 (0) 5 0 ⇒ t 5 x1(0) ⎝ x2 (0) 1t x1(0) 1 x2 (0) ⎠ x1(0) 1 x2 (0) ⎛0 2α x1(0) 0⎞ α x1(0) 2β 00⎟⎟⎟⎠ x(t), 17. a) x9(t ) 5 ⎜ 0 ⎝⎜⎜ 0 β ( )⎛ ⎜ x1 (0) 1 ⎡ x2 (0) 2α x1(0)e(α x1(0) 2β)t 1 α x1(0) ⎤ ⎣⎡α x1(0) 2β⎤⎦⎞⎟ ⎢⎣ ⎥⎦ x(t ) 5 ⎜ x2 (0)e(αx1(0) 2β)t ⎟ . ⎜ ⎟ ( )⎜ ⎟ ⎠⎟ ⎜⎝ x3 (0) 1 ⎡ x2 (0) βe(αx1(0) 2 β)t 2β ⎤ ⎡⎣α x1(0) 2β⎦⎤ ⎢⎣ ⎦⎥

Respuestas a los problemas impares 749 b) Si α x1(0) , β, entonces x2′ , 0 lo que 25. Jt 5 λIt 1 N3t. Entonces implica que la enfermedad no produ- e Jt 5 e(λIt 1 N3t ) 5 eλIt e N3t. Por lo tanto cirá una epidemia. ⎛ eλt 0 0 ⎞⎛1 t ⎞t 2 c) Si α x1(0) . β, entonces x2′ . 0 lo que e λt 1 2 implica que la enfermedad producirá e Jt 5 ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ una epidemia. ⎜ ⎟ ⎜ t ⎟ 19. x 5 3e22t 2 2e23t . ⎝⎜ 0 0 eλt ⎠⎟ ⎝⎜ 0 0 1 ⎠⎟ 21. x 5 1 sen 2t. ⎛1 t ⎞t 2 2 1 2 5 e λt ⎜ 0 ⎟ ⎜ t ⎟ ⎝⎜ 0 0 1 ⎠⎟ 23. N 2 5 N 3N 5 27. e At 5 e22t 3 3 ⎛ 0 1 0⎞ ⎛ 0 1 0⎞ ⎛ 0 0 1⎞ ⎛ 1 2 3 t 2 5t 2 218t 1 5 t 2 27t 2 5 t 2 ⎞ ⎜ t 7 3t 2 2 2 ⎜ 01⎟⎟⎟⎠ ⎜ 01⎟⎠⎟⎟ ⎜ 00⎟⎠⎟⎟ , ⎜ ⎟ ⎝⎜⎜ 0 0 ⎜⎝⎜ 0 0 5 ⎜⎜⎝ 0 0 2 1 211t 1 3 t 2 24t 2 3 t 2 ⎟ . 0 0 0 0 0 0 2 2 ⎜⎝ 2t 1 7t 2 25t 2 7 t 2 1 1 10t 1 7 t 2 ⎟⎠ 2 2 N 3 5 N 2 N 3 5 ⎛ e2t te2t 0 0 ⎞ 3 3 ⎜ ⎟ ⎛ 0 0 1⎞ ⎛ 0 1 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ 29. e At 5⎜ 0 e2t 0 0 ⎟ . ⎜ 0 0 00⎟⎟⎟⎠ ⎜ 0 0 10⎠⎟⎟⎟ 5 ⎜ 0 0 00⎟⎟⎠⎟ . ⎜ 0 0 e3t te3t ⎟ ⎜⎜⎝ 0 0 ⎝⎜⎜ 0 0 ⎝⎜⎜ 0 0 ⎝⎜ 0 0 0 e3t ⎠⎟ Problemas 6.8, página 613 1. a) p(λ) 5 λ2 1 λ 212 5 0; ⎛ 3 2 3 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ b) p( A) 5 A2 1 A 212I 2 ⎜ 2 3 6 2 33⎠⎟⎟⎟ 5 ⎜ 0 0 00⎠⎟⎟⎟ ⎜⎜⎝ 0 23 ⎜⎝⎜ 0 0 5 ⎛14 2⎞ 1 ⎛2 2 2 2⎞ ⎜⎝ 5 11⎟⎠ ⎝⎜ 2 5 1⎟⎠ c) A21 no existe. 1 ⎛212 0⎞ 5 ⎛0 0⎞ 5. a) p(λ) 5 3λ2 2 3λ 115 0 ⎝⎜ 0 212⎟⎠ ⎜⎝ 0 0⎠⎟ b) p( A) 52 A3 1 3A2 2 3A 1 I 1 ⎛ 21 2 2⎞ ⎛1 2 3 3⎞ ⎛ 0 0 3⎞ 12 ⎜⎝ 25 2⎠⎟ c) A2 1 5 5 2⎜⎜⎝⎜ 3 28 160⎠⎟⎟⎟ 1 ⎜ 3 29 189⎟⎟⎟⎠ 6 215 ⎜⎝⎜ 9 2 24 3. a) p(λ) 52λ3 1 4λ2 2 3λ ⎛ 0 3 0⎞ ⎛1 0 0⎞ b) p( A) 52A3 1 4 A2 2 3A 2 ⎜ 0 0 93⎠⎟⎟⎟ 1 ⎜ 0 1 10⎟⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜ 3 29 ⎝⎜⎜ 0 0 ⎛ 5 2 9 4⎞ ⎛ 0 0 0⎞ 52 ⎜ 2 9 18 2 95⎟⎟⎟⎠ 5 ⎜ 0 0 00⎠⎟⎟⎟ ⎜⎝⎜ 4 29 ⎜⎜⎝ 0 0 ⎛ 8 212 4⎞ ⎛3 23 1⎞ 1 ⎜ 2 12 24 2 128⎟⎟⎟⎠ c) A2 1 5 ⎜ 1 0 00⎟⎟⎟⎠ ⎝⎜⎜ 4 2 12 ⎝⎜⎜ 0 1

750 CAPÍTULO 6 ⎝⎠ 9. a) p(λ) 5 (a 2 λ)4 7. a) p(λ) 52 λ3 1 6λ2 118λ 1 9 5 0 b) p( A) 52 A3 1 6 A2 118 A 1 9I b) p( A) 5 (aI 2 A)4 ⎛ 63 54 108 ⎞ ⎛ 0 2 b 0 0⎞ 4 52 ⎜ 180 189 332154⎟⎠⎟⎟ 5 ⎜ 0 0 2 c 0⎟⎟ ⎝⎜⎜ 168 204 ⎜ 0 0 2d⎟ ⎜0 ⎝⎜ 0 0 0 0⎠⎟ ⎛ 18 72 54⎞ 1 ⎜⎝⎜⎜115008 162 225126⎟⎟⎠⎟ ⎛ 0 0 0 0⎞ 114 5 ⎜ 0 0 0 0⎟⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎛ 36 218 54⎞ ⎝⎜ 0 0 0 0⎠⎟ 1 ⎜ 72 2 18 15048⎟⎟⎠⎟ ⎝⎜⎜ 18 90 ⎛1/a 2 b/a2 cb/a3 2 bcd/a4 ⎞ ⎛ 9 0 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎜ 1/a 2 c/a2 ⎟ ⎜ 0 0 cd/a3 ⎟ 1 ⎜ 09⎠⎟⎟⎟ 5 ⎜ 00⎠⎟⎟⎟ c) A2 1 5 ⎜ 0 0 1/a ⎜⎝⎜ 0 9 ⎜⎝⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎜ 2 d/a2 ⎟ ⎟ ⎝0 1/a ⎠ 1 ⎛2 27 18 2 9⎞ 11. a) λ ≤ 7 y Re λ ≥ 13 9 6 c) A2 1 5 ⎜ 26 3 60⎠⎟⎟⎟ ⎝⎜⎜ 19 2 11 13. a) λ ≤ 10.5 y 210.5 ≤ Re λ ≤ 5.75 y5
z y5
z
x 2  1 y 5 
x11y5 
x21y5  
x 2  1 y 5    x5z 2 2 2 2 2  x5z 
x 2  1 y 5  
x1 1y5 
x21y5 
x 2  1 y 5    15. Como A es simétrica, los valores propios # ri de manera que 10 2 | 0 2 aii| 5 |aii| # ri, lo que es imposible ya que A es un de A son reales. Entonces, por el teorema determinante con diagonal estrictamente dominante. Por lo tanto, λi Z 0 para i 5 1, de Gershgorin, 2, … , n y det A Z 0. λ 5 Re λ ≥ 4 2 (2 111 1 ) 5 3 . MATLAB 6.8 4 4 1. Para el problema 1, A21 5 1/12(I 1 A). 17. a) F (λ) 5 B0C0 1 B0C1λ 1 B1C0λ 1 B1C1λ2 Para el problema 13, A21 5 2I 2 A 2 b) P( A)Q( A) 5( B0 1 B1 A) 3(C0 1C1 A) 5 A2. B0C0 1 B0C1 A1 B1 AC0 1 B1 AC1 A F ( A) 5 B0C0 1 B0C1 A1 B1C0 A1 B1C1 A2 3. Debe observarse que los asteriscos (*) blancos están dentro de la unión de los F(A) 5 P(A)Q(A) si y sólo si C0A 5 AC0 círculos. (en el tercer término) y AC1A 5 C1A2 en el cuarto término. 19. det A 5 λ1, λ2, … , λn. Si det A 5 0, en- tonces λi 5 0 para alguna i. Pero |λi 2 aii|

Respuestas a los problemas impares 751 Ejercicios de repaso del capítulo 6, página 620 ⎪⎧⎛1⎞ ⎪⎫ ⎧⎪⎛ 2⎞ ⎪⎫ 13. La matriz es simétrica, ⎨⎪⎩⎝⎜1⎟⎠ ⎬ ⎩⎨⎪⎜⎝1 ⎟⎠ ⎬ 1. 4, 2 2; E4 5 gen ; E2 2 5 gen ⎪⎭ ⎛2 1 1 0⎞ ⎪⎭ ⎜ 2 2 0⎟⎟ , ⎜ Q 5 1 1 2 2 ⎜⎝ 0 0 1⎟⎠ 3. 2, E2 5 gen ⎧⎪⎛ 1⎞ ⎪⎫ ⎨⎩⎪⎝⎜ 0⎠⎟ ⎬ ⎭⎪ ⎛ 2 0 0⎞ 5. Los valores propios son 1, 2 1, 5, Q AQ 5 ⎜ 0 6 203⎟⎟⎠⎟ . ⎜⎝⎜ 0 0 ⎧⎛21⎞ ⎫ ⎧⎛ 1⎞ ⎫ E1 5 gen ⎪⎨⎩⎪⎝⎜⎜⎜ ⎬⎪, ⎪⎩⎨⎪⎝⎜⎜⎜ ⎪ 10⎟⎠⎟⎟ ⎪ E21 5 gen 2 ⎟ ⎬ , ⎭ 27 ⎠⎟⎟ ⎪ ⎭ 15. La matriz es simétrica, ⎧⎛21⎞ ⎫ ⎛3 0 22⎞ E25 5 gen ⎩⎪⎪⎨⎜⎜⎜⎝ ⎪ 13 13 ⎟ 11⎟⎟⎠⎟ ⎬ . Q 5 ⎜ ⎪ ⎜ 0 1 0 ⎟, ⎭ ⎜⎝ 2 0 3 ⎠⎟ 13 13 7. 1, 3, 3 1 2i, 3 2 2i; ⎛16 0 0⎞ ⎧⎛1 ⎞ ⎫ ⎧⎛1⎞ ⎫ Q AQ 5 ⎜ 0 22 2100⎠⎟⎟⎟ . ⎜⎜⎝ 0 0 ⎩⎪⎨⎪⎪⎪⎝⎜⎜⎜⎜ 2⎟⎟ ⎪ ⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎝⎜⎜⎜⎜100⎟⎟⎟⎠⎟ ⎪ E1 5 gen 0⎟ ⎪ ; E3 5 gen ⎪ ; 0⎠⎟ ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ ⎛ 2 1 1 ⎞ ⎪⎭ ⎪⎭ ⎜ 0⎟ ⎜2 2⎟ ⎧⎛ 0 ⎞ ⎫ 17. Q 5 ⎜ 1 1⎟ ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎜⎜⎜⎜⎝ ⎪ 0⎟ 0 ⎟ ⎬⎪ ; ⎜ 5 gen ⎟ ⎪ ⎜2 2⎟ E 21⎟ ⎭⎪ 31 2i ⎜⎝ 0 0 1 ⎠⎟ ⎟ 2i⎠ ⎧⎛ 0 ⎞ ⎫ ⎛0 0 0 ⎞ 2i 5 gen ⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎜⎜⎜⎜⎝ ⎪ E 0 ⎟ ⎪ QT AQ 5 ⎜ 0 4 0 ⎟ 32 ⎟ ⎬ ⎝⎜⎜ 0 0 23 ⎟⎠⎟ 1⎟ ⎪ ⎟ ⎭⎪ 2i⎠ ⎛2 3 1⎞ ⎛ 2 0⎞ ⎛ 1 1 1 21⎞ ⎝⎜ 4 1⎟⎠ ⎝⎜ 0 2 3⎟⎠ 9. C 5 ; C 2 1 AC 5 C 5 ⎜⎜21 0 0 0⎟⎟ ; ⎜0 1 0 0⎟ 2 19. ⎛ 1⎞ ⎜⎝21 21 21 2⎟⎠ 7 6i 15 , ⎜ 2 ⎟ ⎛21 0 0 0⎞ 2 5 gen ⎜ ⎟ 11. λ1, 2 5 Eλ1 ⎜ 15 1 i 15 ⎟ , ⎜ 0 21 0 0⎟⎟ C21 AC 5 ⎜ ⎜⎟ ⎜ 0 0 3 0⎟ ⎝ 4 30 ⎠ ⎝⎜ 0 0 0 3⎠⎟ ⎛ 1⎞ Eλ2 ⎜ 2 ⎟ 21. x′2 1 y′2 51; elipse 5 gen ⎜ ⎟. 8/(3 1 2 ) 8/(3 2 2 ) ⎜ 15 2 i 15 ⎟ ⎜⎟ ⎝ 4 30 ⎠

752 APÉNDICES 23. y′2 2 x′2 51: hipérbola 31. e22t ⎛ 12 2t 4t ⎞ 10/( 13 1 3) 10/( 13 2 3) 5 ⎝⎜⎜ 2t 11 2t ⎟⎟⎠ 25. 5(x9)2 5 21. ⎛2 21⎞ ⎛ 22 1⎞ 33. p( A) 5 A3 2 7 A2 119 A 2 23I ⎝⎜1 0⎠⎟ ; ⎝⎜ 0 22⎟⎠ 27. C 5 C21 AC 5 A21 52 1 (2A2 1 7 A 219I ) 23 ⎛ 25 22 2 ⎞ ⎛ 21 1 0 ⎞ ⎛ 4 213 21 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ 29. C 5 ⎜⎝⎜ 23 21 1 ⎟⎠⎟ , J 5 ⎜⎝⎜ 0 21 1 ⎟⎟⎠ 5 23 ⎝⎜⎜ 4 10 21 ⎟⎠⎟ 7 3 22 0 0 21 3 24 5 APÉNDICES Problemas A1, página 627 1. Primero, ¿es cierto para n 5 1? 2 5 1 (1 1 1); 5 3k 2 1 k 1 6k 1 4 sí lo es. Ahora suponga que es cierto para 22 n 5 k. Entonces 2 1 4 1 6 1 . . . 1 2k 5 k(k 1 1). Ahora se debe demostrar que es 5 3k 2 1 7k 1 4 cierto para n 5 k 1 1; es decir, se debe 2 demostrar que 2 1 4 1 6 1 . . . 1 2k 1 2(k 1 1) 5 (k 1 1)[(k 1 1) 1 1]. Se sabe que 5. ¿Es cierto para n 5 1? Sí, 2 1 4 1 6 1 . . . 1 2k 1 2(k 1 1) 5 k(k 1 1) 1 2(k 1 1) (hipótesis de inducción) 5 ⎛ 1 ⎞ 1 1 1 (k 1 2)(k 1 1) 5 (k 1 1)[(k 1 1) 1 1]. ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 2 1 5 , 51. 3. Primero, ¿es cierto para n 5 1? Ahora suponga que es cierto para n 5 k; 2 5 1(3?111) ; sí lo es. Ahora suponga 2 ⎛ 1⎞ k 1 ⎛ 1 ⎞ k 11 ⎝⎜ 2 ⎟⎠ k ⎝⎜ 2 ⎠⎟ que es cierto para n 5 k. Entonces 2 1 5 es decir, , . Entonces 5 18 1!1 (3k 21) 5 k(3k 11) . 1⎛ 1⎞k , 1⎛ 1⎞ 51 , 1, ya que 2k 2 2 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ 2 ⎜⎝ k ⎟⎠ 2k k 11 Debe demostrarse que es cierto para n 5 . k 1 1 si k . 1. k 1 1; es decir, debe demostrarse que 2 1 5 18 1!1 (3k 21) 1 (3k 1 2) 7. ¿Es cierto para n 5 1? Sí, ya que 1 1 2 5 5 (k 11) ⎡⎣3(k 11) 11⎤⎦ 22 21. Ahora suponga que es cierto para n 5 k; esto es, 1 1 2 1 4 1 . . . 1 2k 5 2k11 2 21. Debe demostrarse que es cierto para 5 (k 11)(3k 1 4) n 5 k 1 1, o que 1 1 2 1 4 1 . . . 1 2k 1 2k11 5 2k12 21. Se suma 2k11 a ambos 2 lados de la hipótesis de inducción y se ob- 5 3k 2 1 7k 1 4 tiene 2 1 1 2 1 4 1 … 1 2k 1 2k11 Se suma 3k 1 2 a ambos lados de la ecua- 5 2k11 2 1 1 2k11 ción en la hipótesis de inducción y se ob- 5 2 ? 2k11 2 1 tiene 5 2k12 2 1 2 1 5 18 1!1 (3k 21) 1 (3k 1 2) 9. ¿Es cierto para n 5 1? Sí, ya que 11 1 5 2 5 k(3k 11) 1 (3k 1 2) 2 2 2 1 . Ahora suponga que es cierto 21

Respuestas a los problemas impares 753 para n 5 k; es decir, 1? 2 1 3 ? 4 1!1 (2k 21)(2k ) 5 k(k 11)(4k 21) 11 1 1 1 1!1 1 5 2 2 1 3 2 4 2k 2k Ahora se prueba para n 5 k 1 1; esto es, Se debe probar para n 5 k 1 1; esto es, 1? 2 1 3 ? 4 1 (2k 21)(2k ) 1 11 11 1 1!1 1 1 1 522 1 (2k 11)(2k 1 2) 2 4 2k 2k 11 2k 11 5 (k 11)(k 1 2)(4k 1 3) Sume 1 a ambos lados de la hipótesis 3 2k 11 5 4k 3 115k 2 117k 1 6 de inducción para obtener 3 11 11 1 1!1 1 1 1 Se suma [2(k 1 1) 2 1][2(k 1 1)] 5 (2k 1 2 4 2k 2k 11 1)(2k 1 2) a ambos lados de la hipótesis de inducción. Se obtiene 522 1 1 1 1 2k 2k 1 1? 2 1 3 ? 4 1!1 (2k 21)(2k ) 1 (2k 11)(2k 1 2) 52 2 2 1 1 2k 11 2k 11 5 k(k 11)(4k 21) 1 (2k 11)(2k 1 2) 3 5 2 2 1 2k 11 5 4k 3 1 3k 2 2 k 1 4k 2 1 6k 1 2 3 11. ¿Es cierto para n 5 1? Sí, 13 5 12 (111)2 . 4 5 4k 3 1 3k 2 2 k 1 12k 3 118k 1 6 33 Ahora suponga que es cierto para n 5 k; 5 4k 3 115k 2 117k 1 6 es decir, 3 13 1 23 1 33 1! 1 k 35 k 2 (k 11)2 Algunos de los ejercicios utilizan el hecho 4 de que si un entero m es divisor de un en- tero a y es divisor de otro entero b, enton- Se tiene que demostrar para n 5 k 1 1; ces a 1 b es divisible entre m. esto es, 15. ¿Es cierto para n 5 1? Sí, ya que 12 1 1 13 1 23 1 33 1! 1 k 3 1 (k 11)3 5 2 es par. Suponga que k2 1 k es par. Ahora pruebe para k 1 1; es decir, se tie- 5 (k 11)2[(k 11) 11]2 ne que demostrar que (k 11)2 1 (k 11) es 4 par. Pero 5 k 4 1 6k 3 113k 2 112k 1 4 (k 11)2 1 (k 11) 5 k 2 1 2k 111 k 11 4 5(k2 1 k) 1(2k 1 2) Sume (k 1 1)3 a ambos lados de la hipóte- Ahora 2 es divisor de k2 1 k por hipótesis sis de inducción. de inducción. Es evidente que 2k es divisi- ble entre 2 y que 2 es divisible entre 2. Por 13 1 23 1! 1 k 3 1 (k 11)3 lo tanto, 2 es divisor de k2 1 k 1 2k 1 2, lo que quiere decir que es par. 5 k 2 (k 11)2 1 (k 11)3 4 17. ¿Es cierto para n 5 1? Sí, porque 1(12 1 5) 5 6 es divisible entre 6. Ahora suponga que 5 k 4 1 2k 3 1 k 2 1 k 3 1 3k 2 1 3k 11 es cierto para k, esto es, que k(k2 1 5) es 4 divisible entre 6. Ahora se debe probar que (k 1 1) [(k 1 1)2 1 5] es divisible entre 6. 5 k 4 1 2k 3 1 k 2 1 4k 3 112k 2 112k 1 4 44 5 k 4 1 6k 3 113k 2 112k 1 4 4 13. ¿Es cierto para n 5 1? Sí, 1 ? 2 5 1? (111) ? (4 21) Suponga que es cierto 3 para n 5 k; es decir,

754 APÉNDICES (k 11)[(k 11)2 1 5] 5 ak abkb (ya que la multiplica- 5 (k 11)(k 21 2k 1 6) ción es conmutativa) 5 (k 11)(k 21 5 1 2k 11) 5 k(k 2 1 5) 1 (k 2 1 5) 5 ak 11bk 11 1 k(2k 11)1 (2k 11) 23. Del teorema 2.2.1, det A1A2 5 detA1 det 5 k(k 2 1 5) 1 3(k 2 1 k ) 1 6 A2, así que el resultado se cumple para n 5 2. Suponga que se cumple para n 5 k. Ahora k(k2 1 5) es divisible entre 6 por la Entonces, hipótesis de inducción; es claro que 3(k2 1 k) es divisible entre 3 y es par, por el pro- detA1A2 . . . AkAk 1 1 blema 15, entonces es divisible entre 6, y 5 detA1A2 . . . Ak detAk 1 1 por supuesto 6 es divisible entre 6, de ma- nera que 6 es divisor de la expresión dada. (usando el resultado para n 5 2) 5 (detA1 detA2 . . . detAk) detAk 1 1 19. El problema es cierto si n 5 1 pues x1 2 1 es divisible entre x 2 1. Ahora suponga (usando el resultado para n 5 k) que xk 2 1 es divisible entre x 2 1. Se tie- 5 detA1 detA2 . . . detAk detAk 1 1, ne que demostrar que xk11 2 1 es divisible que es el resultado para n 5 k 1 1. entre x 2 1. Ahora bien, 25. n 5 1; hay exactamente dos subconjuntos xk 11 215 xk x 215 xk x 2 x 1 x 21 de un conjunto con un elemento: el con- 5 x( xk 21) 1 ( x 21). junto mismo y el conjunto vacío. Ahora suponga que hay exactamente 2k sub- El primer término es divisible entre x 2 1 conjuntos de un conjunto con k elemen- por la hipótesis de inducción, y el segun- tos. Considere un conjunto A con k 1 1 do término en la suma es divisible por elementos. Elimine uno y llámelo ak1l. El x 2 1; entonces x 2 1 es divisor de la ex- resto de los elementos forma un conjunto presión dada. con k elementos. Este conjunto tiene 2k subconjuntos. Agregue ak1l a cada uno de 21. Si n 5 1, (ab)1 5 a1b1 5 ab, de manera que estos 2k subconjuntos para obtener otros es cierto. Ahora supóngalo para n 5 k; 2k subconjuntos. En otras palabras, A tiene es decir, (ab)k 5 akbk. Debe demostrarse 2k subconjuntos que contienen al elemento para k 1 1; es decir, (ab)k 11 5 ak 11bk 11 ak1l y 2k subconjuntos que no lo contienen; Ahora bien, esto hace un total de 2k 1 2k 5 2k11 sub- conjuntos. (ab)k 11 5 (ab)k (ab) 5 ak bk ab 27. No es cierto para n 5 2. En este caso, S1 y S2 son ajenos y, por lo tanto, no se puede decir que h1 5 h2. Problemas A2, página 638 1. 9 2 7i. 3. 9 1 2i. 5. 29 1 2i. 27. 3 3 1 3i 29. 22 3 2 2i 7. 227 1 5i. 2i π 2i p 9. 22i 5 2e 2 23πi 13. 3 2ei(7π 4) 5 3 2e2i(π 4) 31. 2 3 2 3 3i 33. 2e 4 512 i 2 2 11. 2 2e 4 . 2pi 15. 6e(π/6)i 35. 31 4i 37. 4 2 6i. 17. 3 2 i 5 2e 6 39. 27i 5 7i 2 pi 2 pi 41. 7e 7 19. 211 i 3 5 2e 3 21. e3pi 521 23. e2πi 51 25. 2 2 2 i 2 3pi 45. e20.012i 44 43. 7e 5

Respuestas a los problemas impares 755 47. Buscamos los números z 5 α 1 iβ tal que zn 1 an 21zn 21 1! 1 a1z 1 a0 5 0 5 0 5 z 52z , por lo tanto z 52z ⇒ α 1 iβ 5 zn 1 an 21zn 21 1! 1 a1z 1 a0 5 2(α 1 iβ) ⇒ α 1 iβ 52(α 2 iβ) ⇒ α 5 0, esto significa que los únicos números que z n 1 an 21 zn 21 1! 1 a1 z 1 a0 (ya que las tienen la propiedad z 52z son aquellos ai son reales) 5 z n 1 an 21z n 21 1! 1 a1z que su parte real es cero, es decir, z es un imaginario puro. 1 a0 5 p( z ) 5 0 49. La ecuación de una circunferencia centra- Aquí, se ha usado el hecho de que para da en el origen de radio unitario se puede cualquier entero k. (zk ) 5 ( z )k. escribir como x2 1 y2 51. Sea z 5 x 1 iy entonces | z |2 5 zz 5 (x 1 iy)(x 1 iy) 5 55. Como (cos θ 1 i sen θ)1 5 cos 1 ? θ 1 i sen x2 1 y2; por lo tanto un círculo unitario se 1 ? θ, la fórmula de DeMoivre se cumple puede representar por | z |51. para n 5 1. Suponga que se cumple para n 5 k; es decir, (cos θ 1 i sen θ)k 5 cos kθ 51. Es el conjunto de puntos que incluyen al 1 i sen kθ. Entonces (cos θ 1 sen θ)k 1 1 5 círculo de radio a centrado en z0 y a todo (cos θ 1 i sen θ)k (cos θ 1 i sen θ) 5 (cos kθ su interior. 1 i sen kθ) 3 (cos θ 1 i sen θ) 5 [cos kθ cos θ 2 sen kθ sen θ] 1 i[sen kθ cos θ 1 53. Suponga que p(z) 5 zn 1 an 21zn 21 1!1 cos kθ sen θ] 5 cos (kθ 1 θ) 1 i sen (kθ 1 a1z 1 a0 5 0 . Entonces θ) 5 cos (k1 1)θ 1 i sen (k1 1)θ, que es la fórmula de DeMoivre para n 5 k 1 1. Problemas A3, página 647 1. 0.33333333 3 100 n 21 n 21 n 21 3. 20.35 3 1024 ∑ k(k 11) 5 ∑ k 2 1 ∑ k k 51 k 51 k 51 5. 0.77777777 3 100 5 (n 21)n(2n 21) 1 (n 21)n 7. 0.77272727 3 101 62 9. 20.18833333 3 102 (n3 2 n) multiplicaciones y sumas. La 11. 0.23705963 3 109 3 13. 0.83742 3 10220 operación 3) requiere 15. εa 5 0.1, εr 5 0.0002 ∑n 21 5 (n 21)n 5 n2 2 n multiplicaciones 22 17. εa 5 0.005, εr 5 0.04 k 19. εa 5 0.00333 . . . , εr L 0.57143 3 1023 21. εa 5 1, εr L 0.1419144 3 1024 k 51 23. Existen tres operaciones diferentes: 1) di- y sumas. Si se suman estas fracciones se vidir el renglón i entre aii; 2) multiplicar el renglón i por aii, j . i y restarlo del ren- obtienen los resultados deseados. glón j; 3) hacer una sustitución regresiva. 25. Existen tres operaciones: 1) dividir el ren- ∑La operación 1) requiere n k 5 n(n 11) glón i entre aii ; 2) multiplicar el renglón k 51 2 i por aii, j . i y restarlo del renglón j; 3) multiplicaciones. La operación 2) requiere guardar los n elementos en la diagonal y multiplicarlos al final. La operación 1) re- ∑quieren 21 5 n(n 21) multiplicaciones. k k 51 2 La operación 2) requiere ∑n 21 5 n(n 21)(2n 21) multiplicaciones. k2 k 51 6 La operación 3) requiere n 2 1 multipli- caciones. La suma es

756 APÉNDICES n 21 ⎡⎣3n 1 n(2n 21) 1 6 ⎤⎦ 5 1 (n 21)(2n2 1 27. 7 545 microsegundos 5 7.545 3 1023 se- 6 6 gundos. 2n 16) 5 1 (2n3 1 4n 26) 5 n3 1 2 n 21 29. mqn multiplicaciones y mq(n 2 1) sumas. 6 33 multiplicaciones. Un cálculo similar lleva al número de sumas dadas en la tabla A.l. Problemas A4, página 655 toria más sencilla. En el problema 6 el 1. x1 5 1.6, x2 5 20.800002 (el valor real es pivoteo da respuestas mucho más exac- 20.8), x3 5 23.7 tas.) Los errores relativos con pivoteo 3. x1 5 20.000001, x2 5 22.61001, x3 5 4.3. La solución exacta es (0, 22.61, 4.3) son 1 5 0.0017, 0, y 1 5 0.0025. 600 400 5. a) con pivoteo: x1 5 5.99, x2 5 22, x3 5 3.99 7. Una solución redondeada con tres cifras b) sin pivoteo: x1 5 6, x2 5 22 y x3 5 4 (Sí, significativas es x1 5 1 050 y x2 5 21 000. algunas veces es mejor seguir la trayec- La solución exacta es x1 5 15 650 ≈ 1 204 y 13 x2 5 15 000 ≈ 21154. Los errores relativos 13 son 0.1279 L 13% y 0.1334 L 13%.

ÍNDICE Aditivo(a) polinomio, 526 Cuadrática identidad, 282 valor, 525 aproximación, 415 inverso, 282 vector, 525 ecuación, 576 Carroll, Lewis, 203 forma, 576, 582 Adjugada de una matriz, 205 Cauchy, Augustin-Lonis (1789-1857), 203 Adjunta de una matriz, 205 Cayley, Arthur (1821-1895), 71, 608 Cuaterniones, 42, 48 Ajuste Cero espacio vectorial de dimensión, 335 De Moivre, Abraham (1667-1754), 637 de polinomios a puntos, 35 matriz, 45 De Morgan, Augustus (1806-1871), 627 de recta por partes, 431 solución, 37 Deformaciones anticlinales, 429 Análisis de insumo-producto, 17, 104 transformación, 461 Descomposición de un vector, 397 Ángulo entre vector, 43, 222 Desigualdad de Cauchy-Schwarz, 241, dos planos, 274 Cerradura dos vectores, 234 bajo la multiplicación por un escalar, 441 Ángulos directores, 248 Desigualdad del triángulo, 225, 253, Antisimétrica, matriz, 121, 196 282 Aproximación bajo la suma, 282 403, 441 por mínimos cuadrados, 411 Ciclo no dirigido, 331 Desplazamiento, 430 por una recta, 412 Ciclos en digráficas, 331, 364 Desviar, 385 Área generada Circunferencia, 578 Determinante(s), 99, 168 por dos vectores, 258 Circunferencias de Gershgorin, 610 por una matriz, 176 Cofactor(es), 171 breve historia de los, 203 Argumento de un número complejo, expansión por, 172 de una matriz de 2 3 2, 100, 168 633, 634 Columna de una matriz, 45 Arista de una gráfica, 152 Compatible bajo la multiplicación, 60 interpretación geométrica de, 175, Axioma de elección, 448 Complejidad computacional, 642 178, 257 Complejo, Balanceo de reacciones químicas, 41 plano, 632 de una matriz de 3 3 3, 169 Base, 226, 332, 348 Componente (Vea también: Elemento) de una matriz de n 3 n, 172 de u en la dirección de v, 238, 251 de una matriz triangular, 173 cambio de, 366 de un vector, 43 de Vandermonde, 197 canónica, 332 de una matriz, 45 propiedades de los, 182 prueba de existencia de, 444 Compresión a lo largo del eje x o del eje Determinantes e inversas, 204 Biyección, 506 y, 488 Diagonal Conjugado de un número complejo, 632 de una matriz, 94, 172 C[0, l], 285 Conjunto generado principal, 94 C[a, b], 285 por un conjunto de vectores, 301 Dígitos significativos, 640 C1[0, l], 295 por un espacio vectorial, 300, 447 Digráfica, 331, 364 C(n21) [0, l], 327 Conjunto potencia, 445 Dimensión, 335 C, 44 Convergencia (numérica), 642 Dirección de un vector, 222, 223, 247 Cn, 44, 285 Coordenadas cartesianas en R3, sistema Disco de archivos m, 656 Cadena, 155, 446 de, 246 Distancia de un punto a una recta, 62 Corte, 490, 491 Distribución de calor, 33 2-cadena, 155 Cosenos directores, 248 Dodgson, Charles (1832-1898) [Lewis 3-cadena, 155 Cota superior, 446 Carroll], 203 n-cadena, 155 Cramer, Cabriel (1704-1752), 212, 213 Dominio indirecto, 157 redundante, 155 Crecimiento de población, 427, 546, 600 Cadena de Markov, 84 Criptografía, 117 eA, 597 Cambio de base, 366 Ecuación Característica(o) ecuación, 526 cartesiana de un plano, 267 diferencial matricial, 596 matriz de solución principal, 598 vectorial de una recta, 263

758 Índice de dimensión infnita, 335 Hipérbola, 579 dimension de, 335 Hiperplano, 340 Ecuaciones isométricamente isomorfo, 514 Hipótesis de inducción, 624 diferenciales, 91, 595 isomorfo, 506 de primer orden, 596 producto interno, 432 Identidad de segundo orden, 91 real, 282 aditiva, 282 valor inicial de, 595 subespacio de un, 288 matriz, 94 estándar de una cónica, 578 trivial, 283 operador, 462 paramétricas de una recta, 264 Espacios vectoriales isomorfos, 506 transformación, 462 simétricas de una recta, 264 isométricamente, 514 Estabilidad (numérica), 642 Igualdad de Parseval, 403 Eigenespacio o espacio propio, 526 Euler, Leonhard (1707-1783), 68, 635 Imagen Eigenvalor o valor propio, 525 Expansión a lo largo del eje x o del eje y, 488, 489 de un vector, 474 multiplicidad algebraica del, 528 por cofactores, 171 de una matriz, 343 multiplicidad geométrica del, 534 Exponente, 640 de una transformación lineal, 474 Eigenvector o vector propio, 525 Inclinar, 385 generalizado, 590, 594 Factorización LU de una matriz, 136, 184 Índice Eje Flujo de tráfico, 34 de Gold, 554 x, 244 Forma de nilpotencia, 83 y, 244 de una sumatoria, 67 z, 244 cartesiana de un número complejo, Inducción matemática, 622 Ejes principales, 578 631 historia de la, 627 teorema, 578 Inverso (a) Elemento (Vea también: Componente) cuadrática indefinida, 585 aditivo, 282 de un vector, 43 escalonada por renglones, 13 de una matriz, 88, 95 de una matriz, 45 escalonada reducida por renglones, 13 maximal, 446 matricial de un sistema de procedimiento de cálculo de la, Eliminación de Gauss-Jordan, 9, 15 99 modificación de, 646 ecuaciones, 88 Eliminación gaussiana, 15, 136 polar de un número complejo, 635 y determinantes, 207 con pivoteo completo, 651 Formula de una matriz elemental, 126 con pivoteo parcial, 649 de De Moivre, 637 transfonmación, 504 Elipse, 579 de Euler, 635 Inyección, 504 Elipsoide, 582 Función vectorial, 596 Isometría, 511, 514 Equilibrio, 604 Isomorfismo, 506 Error absoluto, 641 Gauss, Karl Friedrich (1777-1855), 9, 21 Jacobi, Carl Gustav (1804-1851), 203 acumulado, 641 (semblanza) Jordan cuadrático medio, 438 de área, 438 Geología petrolera, 429 forma canónica de, 588 de redondeo, 641 Gershgorin, S., 611 matriz de, 586 máximo, 438 Gibbs, Josiah Willard (1839-1903), 259 matriz de bioques de, 586 relativo, 642 Jordan, Camille (1838-1922), 586 Escalar, 48 (semblanza) Jordan, Wilhelm (1844-1899), 9 Espacio Girar, 385 de las columnas de una matriz, 344 Grado cero, 284 Kelvin, Lord, 42 de los renglones de una matriz, 344 Gráfica, 54, 153, 544, 553 de soluciones, 336 Laplace, Piem-Simon (1749-1827), 203 nulo de una matriz, 337, 343 arista de una, 153 Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716), propio, 526 conexa, 544 Espacio vectorial, 220, 281 dirigida, 153 203 axiomas de, 282 Lema de Zorn, 448 base para, 226, 332 representación matricial de una, Leontief complejo, 286 153 complemento ortogonal de un, 326 modelo de insumo-producto de, 18, de dimensión cero, 335 número cromático de una, 544 34, 103 de dimensión fnita, 335 vértice de una, 153 Gram, Jörgen Pederson, (1850-1916), matriz de, 103 389 Leontief, Wassily, 18 Ley Hamilton, Sir William Rowan, 42, 48, 52 (semblanza), 226, 254, 259, 604 antisimétrica, 445

Índice 759 asociativa producto de, 60 hermitiana, 517, 571 de la multiplicación de matrices, 63 semejantes, 555, 556 idempotente, 197 de la multiplicación por un escalar, identidad, 94 282 ortogonalmente, 574 imagen de una, 344 de la suma de matrices, 50 suma de, 48 inversa de una, 88, 95, 207 de la suma de vectores, 282 y sistemas de ecuaciones lineales, 87 invertible, 95 Matriz, 9, 45 kernel de una, 343 conmutativa adjugada de una, 204 mal condicionada, 654 de la suma de matrices, 50 adjunta de una, 204 menor de una, 171 de la suma de vectores, 282 antisimétrica, 121, 196 nilpotente, 83 del producto escalar, 59 aumentada, 9 no singular, 95 cero, 45 norma de una, 597 de los cosenos, 216, 236 cofactor de una, 171 notación de corchetes para, 46 distributiva columna de una, 45 nulidad de una, 343 componente o elemento de una, 45 ortogonal, 123, 196, 242, 392, 510 para el producto escalar, 59 con diagonal estrictamente ortogonalmente diagonalizable, 568 para el producto vectorial, 256 polinomio característico de una, 526 para la multiplicación de dominante, 614 rango de una, 344 cuadrada, 45 renglón de una, 45 matrices, 64 de adyacencia, 544 simétrica, 119 para la multiplicación por un de banda, 33 de bloques, 83 y diagonalización ortogonal, 567 escalar, 50 de bloques de Jordan, 586 singular, 95 para la suma de vectores, 282 de coeficientes, 9 tamaño de una, 45 reflexiva, 444 de contacto, 84 tecnológica, 104 transitiva, 445 de contacto directo, 62 Transpuesta conjugada de una, 441 Lineal de contacto indirecto, 63 combinación, 64, 300, 446 de incidencia, 154 516, 571 dependencia, 314 de Jordan, 586 transpuesta de una, 118 interpretaci6n geométrica de la, de Leontief, 103 traza de una, 440 de m 3 n, 9, 45 triangular, 83, 110, 128, 173 en R3, 317 de permutación, 140 triangular inferior, 110, 128, 173 función, 464 de población, 86 triangular superior, 83, 110, 113, independencia, 226, 314, 446 de probabilidad, 77 operador, 460 de rotación, 409 128, 173 transformación (vea Transformación de solución principal, 598 unitaria, 441, 517, 571 de transformación, 480 valor propio de una, 524 lineal) de transición, 84, 368, 369 valor y vector propio de una, 525 Longitud de un vector, 222, 388 determinante de una, 100, 168 vector propio de una, 524 diagonal, 109 vector y valor característico de una, Mmrp, 285 diagonal de una, 94, 173 Maclaurin, Colin (1698-1746), 213 diagonal principal de una, 94 525 Magnitud diagonalizable, 557 Maurolicus, Franciscus (1494-1575), 627 Menor de una matriz, 171 de un número complejo, 633 ortogonalmente, 567 de un vector, 222, 246 eA, 597 de segundo orden, 200 Manejo de calculadora, 26, 40, 55, 80, ecuación característica de una, 536 Mínimos cuadrados, aproximación por, elemental, 124 112, 122, 149, 179, 231, 242, 253, 438 263, 356, 403, 421, 442, 538, 563 inversa de una, 127 Modelo Mantisa, A-l 9 espacio de las columnas de una, 345 MATLAB, vea el indice de problemas, espacio de los renglones de una, 345 competitivo, 600 tutoría y aplicaciones de MATLAB espacio nulo de una, 337, 343 presa-depredador, 601, 602 en la página xviii espacio propio de una, 526 Multiplicación Uso de MATLAB, 656 forrna escalonada por renglones de de matriz por bloques, 66, 83 Matrices por un escalar compatibles bajo la multiplicación, 60 una, 13 equivalentes por renglones, 103 forma escalonada reducida por de matrices, 49 iguales, 46 de vectores, 282 incompatibles, 60 renglones de una, 13 Multiplicidad multiplicación por un escalar, 48 algebraica, 528 ortogonalmente semejantes, 573 geométrica, 534 producto exterior de, 83

760 Índice Negativa proyección, 396, 437 notación de la transpuesta para el, definida, 585 transformación de proyección, 463 120 semidefinida, 585 vectores, 75, 236, 250, 388, 434 Ortogonalmente exterior de matrices, 83 Nilpotente, matriz, 83 diagonalizable, matriz, 568 interno, 58, 432 Nivel semejantes, matrices, 573 Ortonormales, conjunto de vectores, espacio con, 432 de datos regionales, 430 punto, 58 de desprendimiento, 430 388, 434 Propiedad anticonmutativa del No singular, matriz, 45 infinito, 436 Norma producto cruz, 256 de la máxima suma por renglones P, 301 Propio Pn, 285 de una matriz, 597 Pn[0, 1], 295 subespacio, 294 de un vector, 388, 434 Parte imaginaria de un número valor, 525 de una matriz, 597 vector, 525 Núcleo complejo, 631 Proyección de un vector de una matriz, 343 Parte real de un número complejo, 631 en 2, 237 de una transformación lineal, 475 Palalelepípedo, 258 en 3, 251 espacio nulo, 338, 343 Pascal, Blaise (1623-1662), 627 ortogonal, 394, 437 Nulidad Pendiente de una recta, 1 Punto de una matriz, 343 flotante de una transformación lineal, 476 no definida, 1 Número Perturbaciones, 116 aritmética de, 640 cromático, 544 Pitágoras, teorema generalizado de, número de, 640 de dígitos significativos, 640 inicial, 221 imaginario, 574, 633 403 terminal, 221 Número complejo, 44, 630, 631 Pivote, 13, 650 Puntos dispersos, 425 argumento de un, 633, 634 conjugado de un, 632 columna, 650 , 44, 296 forma cartesiana de un, 631 Pivoteo 2, 44, 281 forma polar de un, 635 3, 44, 244, 281 imaginario, 574, 633 completo, 651 magnitud de un, 633 parcial, 649 subespacios, 337 módulo de un, 633 Plano, 19, 266 n, 44, 283 parte imaginaria de un, 631 cómo dibujarlo, 267 Rango parte real de un, 631 complejo, 632 Números directores, 248 ecuación cartesiana de, 266 de una matriz, 345 representación paramétrica de, 274 de una transformación lineal, 476 Octantes, 246 xy, 267 Recta, 1 Operaciones xz, 267 ecuación paramétrica de una, 265 yz, 267 ecuaciones simétricas de una, 265 elementales con renglones, 10 Planos ecuación vectorial de una, 264 heredadas, 288 ángulo entre, 274 en el espacio, 264 Operador coordenados, 245, 267 pendiente de una, 1 diferencial, 464 ortogonales, 273 Rectas integral, 464 paralelos, 269 paralelas, 3 Ordenamiento Pliegue de falla inclinada, 431 perpendiculares, 3 parcial, 444 Polinomio de Legendre normalizado, Redondeo, 641 total, 445 error de, 641 Origen, 243 440 Reducción por renglones, 10 Ortogonal(es) Positiva notación para la, 10 bases, en 3 con coeficientes enteros Reflexiones, 489 definida, 585 elementales, 410 y normas enteras, 398 semidefinida, 585 Regla complemento, 326, 396, 437 Proceso de ortonormalización de de Cramer, 212 funciones, 434 de la mano derecha, 256 matriz, 123, 196, 242, 392, 510 Gram-Schmidt, 389 Relación simbiótica, 600, 603 planos, 273 Producto Renglón de una matriz, 45 Representación matricial de una cruz, 254 transformación lineal, 479 magnitud del, 256 de matrices, 60 escalar, 58, 59, 233

Índice 761 Representación paramétrica de un no trivial, 37 de una matriz, 118 plano, 274 Subespacio, 288 operador, 464 Trayectoria, 155 Rotación propio, 294 redundante, 155, 156 matriz de, 409 reglas para verificar, 294 Traza de una matriz, 440 transformación de, 462 trivial, 294 Triangular inferior Submatriz, 66 matriz, 110, 128, 173 Schmidt, Erhardt (1876-1959), 389 Suma Triangular superior Secciones cónicas, 578 de matrices, 48 matriz, 83, 110, 113, 128, 172 de vectores, 282 Triple producto degeneradas, 580 Superficies cuadráticas, 582 cruz, 262 Segmento(s) de recta dirigido(s), 220, Suprayección, 503 escalar, 256 Sustitución 246 hacia adelante, 138 interpretación geométrica de1, 258 equivalentes, 221, 246 regresiva, 15, 138, 651 Trivial Segundo orden Sylvester, James Joseph (1814-1897), ecuación diferencial de, 91 45, 203 espacio vectorial, 283 menor de, 200 solución, 37 Seki Kôwa (1642-1708), 203 Tamaño de una matriz, 45 subespacio, 294 Semejanza Tasa relativa de crecimiento, 595 Truncado, 641 transformación de, 555 Teorema de aproximación de la norma, Series de Fourier, 436 Unidad imaginaria, 633 S (sigma), 67 398, 438 Unitario(a) Sigma, notación con, 67 Teorema Signo de sumatoria, 67 matriz, 441, 517, 571 Simétrica de Cayley-Hamilton, 609 vector, 226, 247 matriz, 119 de Pitágoras generalizado, 403 Uno a uno, transformación, 503 Singular, matriz, 91 de proyección, 403, 437 Sistema de coordenadas rectangulares de resumen, 4, 106, 128, 209, 320, Valor inicial, 595 Valor propio, 525 en 3, 246 353, 506, 535 Sistema de ecuaciones del círculo de Gershgorin, 611 multiplicidad algebraica del, 528 fundamental del álgebra, 526 multiplicidad geométrica del, 534 consistente, 12 Teoría de gráficas, 152, 544, 555 Vandermonde, A. T. (1735-1796), 197 diferenciales de primer orden, 596 Tema ordenada, 244 Vector, 42, 43, 220 equivalente, 3 Transformación característico, 525 homogéneo, 36 cero, 461 cero, 43, 222 de proyección ortogonal, 463 columna,43, asociado, 89 de reflexión, 458, 461, 489 componentes de un, 43, 222, 238, 251 espacio de soluciones de un, 337 de rotación, 462 de materias primas, 440, 460 solución cero a un, 37 de semejanza, 555 de precios, 58 solución trivial a un, 37 identidad, 461 de producción, 459 soluciones no triviales a un, 37 inversa, 509 definición algebraica de, 222, 246 inconsistente, 3, 12, 13 matriz de, 480 definición geométrica de, 221, 246 Sistema Transformación lineal, 460 demanda, 58 derecho, 244 cero, 461 dirección de un, 222, 223, 247 homogéneo asociado, 89 identidad, 461 elementos de un, 222 izquierdo, 244 imagen de una, 475 longitud de un, 222, 388 Sistema(s) de ecuaciones lineales, 2, 7 inversa, 509 magnitud de un, 222, 246 consistente, 12 núcleo de una, 475 multiplicación por un escalar, 282 en forma matricial, 88 nulidad de una, 476 n-vector, 42, 43 equivalentes, 3 propiedades de una, 472 norma de, 388, 434 espacio de soluciones para, 337 rango de una, 476 normal, 256, 266 homogéneo, 36 representación matricial de una, propio, 525 inconsistente, 3, 12, 13 número infinito de soluciones, 3, 11 479 generalizado, 590, 594 solución a, 2 sobre, 504 proyección de un, 238, 251 solución única, 2, 9 uno a uno, 504 punto inicial de un, 221 Sobre, transformación, 504 Transpuesta punto terminal de un, 221 Solución conjugada de una matriz, 441, 517, 571 renglón, 42, 43 a un sistema de ecuaciones, 2

762 Índice linealmente independientes, 226, 314 triple producto cruz de, 262 multiplicación por un escalar de, 282 Vectores de la base representación de un, 220, 246 ortogonales, 75, 237, 250, 387, 434 unitario, 226, 247 ortonormales, 387, 435 en 2, 226 Vector propio, 525 paralelos, 236, 250 en 3, 249 generalizado, 590, 594 perpendiculares, 237, 250 Vértice de una gráfica, 153 Vectores, 42, 282 producto cruz de, 254 Vértices adyacentes, 544 ángulo entre dos, 234 producto escalar de, 58, 59, 234 Volumen generado por tres vectores, 262 combinación lineal de, 64, 300 producto punto de, 58, 59, 234 conjunto generado por, 301 producto vectorial de, 254 Whitehead, Alfred North, 630 coplanares, 274 surna de, 282 Wronsiki, J. M. H. (1778-1853), 326 en el espacio, 243, 246 triple producto escalar de, 256 Wronskiano, 326 en el plano, 220 linealmente dependientes, 314 Zorn, Max A. (1906-1993), 448