Respuestas a los problemas impares 677 El programa es similar excepto que y se necesitan más pasos en la reduc- las matrices elementales son de 4 3 4 ción. Problemas 1.11, página 147 1. ⎛1 0⎞ ⎛ 1 2⎞ b) ⎛ 9 , 2 4⎞ ⎝⎜ 3 1⎟⎠ ⎝⎜ 0 22 ⎠⎟ ⎝⎜7, 4 8⎟⎠ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 21 5⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 4 1 5⎞ 3. ⎜⎝26 1⎟⎠ ⎝⎜ 0 33⎠⎟ 25. a) L 5 ⎜ 0 1 01⎟⎟⎟⎠ U 5 ⎜ 0 3 7⎟⎟ ⎝⎜⎜ 0 ⎜⎜⎝ 0 0 ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 2 3 1 ⎞ 2 2 2 ⎠⎟ 3 3 5. A 5 ⎜ 2 1 1 0 ⎟ ⎜ 0 7 2 5 ⎟ ⎛ 0 0 1⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 00⎟⎟⎠⎟ ⎜⎝ 5 17 1⎟⎠ ⎝⎜ 0 0 2 46 ⎟⎠ P 5 ⎝⎜⎜ 0 1 2 7 7 1 0 ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 3 9 22 ⎞ ( )b)2 1 , 2 7 , 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 2 7. A 5 ⎜ 2 1 0 ⎟ ⎜ 0 221 12 ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠ 4 6 89 ⎛ 1 0 0 0⎞ 3 21 21 ⎛ 1 0 0 0⎞ ⎛ 1 2 21 4⎞ 27. a) L 5 ⎜ 0 1 0 0⎟⎟ ⎜ 0⎟ ⎜0 1 1 1⎠⎟ ⎜ 0 1 0 0⎟⎟ ⎜ 0 21 5 8⎟⎟ ⎝⎜ 2 9. ⎜ ⎜ 1 5 ⎜ 2 1 1 0⎟ ⎜ 0 0 22 212⎟ 2 21 7 ⎝⎜ 1 3 4 1⎟⎠ ⎝⎜ 0 0 0 24⎟⎠ ⎛2 0 3 1⎞ ⎛ 1 0 0 0⎞ ⎛1 21 5 8⎞ U ⎜ 0 4 21 5 ⎟ 5⎜ ⎟ ⎜0 0 7 2 3 ⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 21 1 24⎟⎟ ⎝⎜ 0 0 2 2 ⎟⎠ ⎜ 1 1 0 ⎜ 0 11. A 5 0 81 ⎜ 1 23 1 0⎟ ⎜0 0 23 216⎟ 7 ⎜⎝ 2 1 5 1⎠⎟ ⎜ 0 0 0 56 ⎟ ⎛ 0 0 1 0⎞ 3 ⎝ 3 ⎠ ⎜ 0⎟⎟ P 5 ⎜ 0 1 0 13. ⎜⎛⎝2131 , 4⎞ ⎜ 1 0 0 0⎟ 3⎠⎟ ⎜⎝ 0 0 0 1⎠⎟ ( )15. ( )b) ,25 5 2 73 , 4 , , 253 7 162 81 33 33 54 162 ( )17.2 63 , 5 2 34, ⎛ 1 0 0 0⎞ 27 14 t ⎜ 0 1 0 0⎟⎟ ; 29. L 5 ⎜ 51 3 ( )19. 113 x5 51 ⎜ 0 0 1 0⎟ 21. ( )t2 541 , 3 , ,169 31 ⎝⎜ 2 2 2 2 2 8 1⎠⎟ 1008 56 72 5 5 5 252 ⎛ 5 22 23 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎜ 0 2 23 4 ⎟ ⎜ ⎟ U 5⎜ 0 25 ⎟ ; 23. a) L 5 ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 21 ⎟ ⎝ 0 1 ⎠ 2 ⎝⎜ 0 0 0 182 ⎟⎠ 3 25 ⎛ 1 21 2 ⎞ ⎛ 0 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ U 5 ⎜ 0 3 2 ⎟ ⎜ 1 0 0 0⎟⎟ ⎝ 0 0 ⎠ ⎜ 8 P 5 3 ⎜ 0 1 0 0⎟ ⎛ 0 1 0⎞ ⎜⎝ 0 0 0 1⎟⎠ ⎜ ⎟ P 5 ⎜⎝ 0 0 1 ⎠⎟ 1 0 0 21 5 t 91 91 ( )x 5 2 1 57 7 91
678 CAPÍTULO 1 n ⎛ 3 22 21 2 ⎞ ⎜ ⎟ ∑31. Sea B 5 LM , bii 5 lik mki. Como L y M U 5⎜ 0 17 1 2 14 ⎟ ; k 51 3 3 3 son triangulares inferiores con unos en la ⎝⎜⎜ 0 0 4 0 ⎟⎟⎠ 0 0 0 0 diagonal principal, se tienen las siguientes condiciones: lik 5 0 si k . i, mik 5 0 si i . k, lii 5 1 si mii 51. Por lo que si k . i o i . k ⎛ 1 0 0 0⎞ tenemos lik mki 5 0. Si k 5 i se tiene liimii 51. ⎜ 0 1 0 0 ⎟ n ⎜ 0 0 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ ∑De modo que bii 5 lik mki 51. Por otro P 5 n k 51 ⎝ 0 0 1 0⎠ ∑lado, bij 5 lik mkj, mkj 5 0 si j . k, lik 5 0 k 51 si k . i. que j . i. Si k # i, en- Suponga tonces k , j y por lo tanto mkj 5 0. Si ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 2 1⎞ k . i entonces lik 5 0. Entonces si j . i, lik mkj 5 0 y por lo tanto bij 5 0. Por lo que 43. L 5 ⎜ 2 1 1 01⎠⎟⎟⎟ ; U 5 ⎜ 0 9⎟ LM es una matriz triangular inferior con ⎜⎜⎝ 2 ⎝⎜⎜ 0 02 ⎟⎟⎠ 3 2 2 3 unos en la diagonal principal. ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 21 2 1⎞ ⎛ 1 0 0⎞ 33. A 5 ⎜⎜⎜⎝2242 1 10⎠⎟⎟⎟ ⎜ 0 0 00⎟⎟⎟⎠ , x ∈R 45. L 5 ⎜ 1 1 0⎟⎟ ; x ⎝⎜⎜ 0 0 ⎜ 2 ⎝⎜ 3 11 1⎠⎟ 4 6 35. A 5 ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 2⎞ ⎛ 4 21 2 1⎞ ⎜⎝ 2 1⎟⎠ ⎝⎜ 0 0⎟⎠ ⎜ 9⎟ U 5 ⎜⎜⎝ 0 3 5 ⎠⎟⎟ ⎛ 1 0 0 0⎞ ⎛21 1 4 6⎞ 0 2 2 35 37. A 5 ⎜⎜22 1 0 0⎟⎟ ⎜ 0 1 8 14⎟⎟ 0 3 22 ⎜ ⎜ 0 3 1 0⎟ ⎜ 0 0 223 237⎟ ⎝⎜ 21 4 1 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 0⎠⎟ ⎛ 1 0 0 0 0⎞ ⎛ 1 0 0 0⎞ ⎛ 2 21 1 7⎞ ⎜ 21 1 0 0 0⎟⎟ ⎜ 47. L5⎜ 2 2 1 0⎟ , j ∈ R; ⎜3 1 0 0⎟⎟ ⎜ 0 7 2 1 2 9 ⎟ ⎜ 8 1 0 0⎟⎟ 1 1 ⎜ 2 2 2 ⎟ ⎜ 1 39. ⎜2 2 c 21 1 6 ⎜1 0⎟ ⎜ 0 0 0 0⎟ 4 23 ⎜⎝ 2 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠ ⎜⎝ 24 9 9 j 1⎟⎠ 8 23 2 donde c es cualquier número real. ⎛21 2 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 0⎞ ⎜ 0 8 6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜4 ⎟ U 5⎜ 0 23 ⎟ 41. L 5 ⎜ 3 1 0 0 ⎟ ; ⎜ 0 4 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 22 23 1 0⎟ 0 0 ⎝⎜ 1⎠⎟ 2 24 0 ⎝⎜ 0 0 0 ⎠⎟ 3 49. La factorización L de la matriz da por resultado: [[ 16 0 0 0] [ 4 10.75 0 0] [ 13 22.0625 14.9534883721 0 ] [ 2 21.625 8.72093023256 8.29237947123]]
Respuestas a los problemas impares 679 La factorización U de la matriz da por resultado: [[ 1 .3125 2.5 .25 ] [0 1 [0 0 1.67441860465 2.837209302326 ] [0 0 1 2.132192846034 ] 0 1 ]] [[ 0 0 0 1 ] y la matriz de permutación da como resultado: [0 1 0 0] [0 0 1 0] [ 1 0 0 0 ]] 51. Después de hacer la factorización LU (A, L, U, P) de la matriz, encontramos que L (ENTER) da: [[ 71 0 0 0 0] [ 35 69.676056338 0 0 0] [ 14 38.0704225352 79.5154639175 0 0 ], [ 14 14.0704225352 19.5967252881 233.4575239664 0 ] [ 23 24.9014084507 24.2302405498 231.3474653183 14.7770382416 ]] U (ENTER) da: .830985915493 .915492957746 2.30985915493 ] [[ 1 2.647887323944 21.57994744289 2.129775621589 2.561956741459] [0 1 1 .227926876702 1.48061713989 ] [0 0 0 1 .112687668795 ] [0 0 0 0 1 ]] [0 0 [[ 0 0 1 0 0 ] [0 0 0 1 0] y la matriz de permutación P (ENTER) da: [ 0 0 0 0 1 ] [0 1 0 0 0] [ 1 0 0 0 0 ]] 53. Después de hacer la factorización LU (A, L, U, P) de la matriz, encontramos que L [[ 1 0 0 0 0 ] [[ 1 2 0 0 0 ] [ 0 5 0 0 0] [ 0 1 1.2 .2 0 ] (ENTER) da: [ 1 0 3 0 0 ] . U (ENTER) da: [ 0 0 1 0 0 ] y la [ 0 0 0 5 0] [ 0 0 0 1 1.2 ] [ 0 0 2 3 21.6 ]] [ 0 0 0 0 1 ]] [[ 1 0 0 0 0 ] [ 00 1 0 0 ] matriz de permutación P (ENTER) da: [ 0 1 0 0 0 ] [ 00 0 0 1 ] [ 0 0 0 1 0 ]]
680 CAPÍTULO 1 MATLAB 1.11 ⎛ 1 0 0⎞ L 5 ⎜ 1.25 1 01⎠⎟⎟⎟ ⎜⎝⎜ .5 24 1. El programa sería el mismo que en el pro- blema 3a) de MATLAB 1.10: ⎛ 8 2 24 6⎞ 3. Consulte la interpretación en el problema 3 de MATLAB 1.10. El programa es muy U 5 ⎜ 0 21.5 23 1.65⎟⎟⎠⎟ similar excepto que se necesitan seis ma- ⎜⎜⎝ 0 0 0 trices elementales para completar la reduc- ción y cada matriz elemental es de 4 3 4. ⎛⎞ Problemas 1.12, página 158 ⎛ 0 1 1 0⎞ ⎛ 1 1 0 2 0⎞ ⎜ 0 0 0 0⎟⎟ ⎜ 0 0 1 0 1⎟⎟ ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ 1. ⎜1 9. A2 5 ⎜ 0 1 2 1 1⎟ . Por lo tanto ⎜⎝ 1 0 0 0⎠⎟ ⎜ 2 1 1 1 0⎟⎟ ⎜ ⎜⎝ 1 2 1 1 0⎟⎠ ⎛ 0 0 1 0 0⎞ existen 21 2-cadenas. ⎜ 1 0 0 1 0⎟⎟ ⎛ 0 1 3 1 2⎞ ⎜ 3. ⎜ 0 1 0 1 0⎟ ⎜ 1⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 1 1 1 0 ⎜ 2 1 1 1 ⎜⎝ 0 1 0 0 0⎠⎟ A3 5 ⎜ 3 2 2 3 1⎟ . Por lo tanto ⎜ 1⎟⎟ ⎜ 1 3 3 2 ⎜⎝ 1 2 2 3 1⎟⎠ 1 2 existen 42 3-cadenas. 5. ⎛ 5 3 3 4 1⎞ ⎜ 1 3 3 2 1⎟⎟ ⎜ A4 5 ⎜ 3 5 7 4 3⎟ . Por lo tanto ⎜ 2⎟⎟ 34 ⎜ 4 4 4 6 ⎜⎝ 3 3 5 4 3⎠⎟ 2 existen 86 4-cadenas. 1 11. Dado el camino redundante del vértice A 7. al vértice B, es posible construir un cami- no más corto desde A hasta B si se evita pasar más de una vez por cualquier vérti- ce. Por lo tanto, el camino más corto que une a dos vértices no es redundante. 5 3 13. Dominancia directa: P1 sobre P2; P3 sobre 4 P1, P5, P6; P5 sobre P4; y P6 sobre P2, P4. Dominancia indirecta: P3 sobre P2, P4.
Respuestas a los problemas impares 681 Ejercicios de repaso del capítulo 1, página 164 ( )1. ⎛ 1 21 2 4⎞ ,1 10 ⎜ 13⎟⎠⎟⎟ 77 ⎜⎝⎜ 3. No hay solución 35. 21 2 0 2 3 21 5. (21/3, 0, 7/3) ⎛ 1 21 2 4⎞ 7. (0, 0, 0) ⎯⎯→ ⎜ 0 1 2 277⎠⎟⎟⎟ ⎝⎜⎜ 0 5 25 9. x1 5 95 , x2 5 5 , x3 52 23 ⎛ 1 21 2 4⎞ 83 83 83 ⎯⎯→ ⎜ 0 1 2 2472⎠⎟⎟⎟ ⎝⎜⎜ 0 0 215 11. (0, 0, 0) 13. (0, 0) ⎛ 1 21 2 4⎞ 15. (0, 2, 21, 3) ⎯⎯→ ⎜ 0 1 2 7⎟⎟ ⎜ ⎜ 14 ⎟ 17. (0, 0, 0, 0) ⎜⎝ 0 0 1 5 ⎟⎠ (Forma escalonada por renglones) ⎛26 3⎞ ⎛ 1 0 4 11⎞ 19. ⎜ 0 192⎟⎟⎠⎟ ⎯⎯→ ⎜ 0 1 2 7⎟⎟ ⎜⎜⎝ 6 ⎜ ⎜ 14 ⎟ ⎜⎝ 0 0 1 5 ⎟⎠ ⎛ 16 2 3⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ 5 ⎟ 21. ⎜⎜⎜⎝223260 10 2161⎟⎟⎠⎟ 1 0 0 2 7 ⎟ 8 1 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎯⎯→ ⎜ 0 5⎟ ⎛ 1 21⎞ ⎛24 7⎞ ⎛ 14 220⎞ ⎜ 14 ⎟ ⎜ ⎟ 23. 6 ⎜ 3 242⎠⎟⎟⎟ 2 2 ⎜ 0 263⎠⎟⎟⎟ 5 ⎜⎜⎝⎜21180 2108⎟⎟⎟⎠ ⎝ 0 0 1 5⎠ ⎝⎜⎜ 21 ⎝⎜⎜ 2 (Forma escalonada reducida por renglones) ⎛ 2 3 5⎞ ⎛ 0 21 2⎞ ⎛1 3 ⎞ ⎛ 4 2 3 ⎞ ⎝⎜ 0 2 ⎝⎜ 11 11 ⎠⎟ 25. ⎜ 21 6 64⎟⎠⎟⎟ ⎜⎜⎜⎝273 1 25⎟⎟⎠⎟ 37. 1⎟⎠ ; la inversa es . ⎜⎝⎜ 1 0 3 1 2 11 11 ⎛226 16 35⎞ ⎛ 3 4⎞ 39. ⎜⎝ 0 0⎠⎟ , no existe inversa. 5 ⎜⎝⎜⎜224128 19 3320⎟⎠⎟⎟ 17 27. ⎛9 10⎞ ⎛ 21 2 0⎞ ⎛ 1 22 0⎞ ⎝⎜ 30 32⎟⎠ 41. ⎜ 4 1 2233⎟⎟⎠⎟ ⎯⎯→ ⎜ 0 9 2233⎠⎟⎟⎟ ⎜⎝⎜ 2 4 ⎝⎜⎜ 0 9 29. Forma escalonada reducida por renglo- ⎛ 1 22 0 ⎞ nes. ⎜ 1 21⎟⎟ ; 31. Está en forma escalonada por renglones. ⎯⎯→ ⎜ 0 3⎟ 33. Forma escalonada reducida por renglo- ⎜ 0 0 ⎟⎠ nes. ⎝⎜ 0 no es invertible.
682 CAPÍTULO 1 ⎛ 2 0 4⎞ ⎛ 5 2 22⎞ ⎛ 0 0 1⎞ 6 3 43. ⎜⎝⎜⎜201 12⎟⎠⎟⎟ ⎜1 211⎠⎟⎟⎟ ⎜ 00⎟⎟⎟⎠ 3 la inversa es ⎝⎜⎜ 2 61. ⎜⎜⎝ 0 1 1 3 3 1 0 2 1 2 1 6 3 45. ⎛1 23⎞ x 5 ⎛ 4⎞ ; ⎛ 1 23⎞ ⎜⎝ 2 2⎟⎠ ⎝⎜ 3⎟⎠ 63. ⎝⎜ 0 1⎠⎟ A21 5 ⎛ 1 3 ⎞ ; x 5 ⎛ 17 ⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎝⎜ 2 4 8 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 ⎟⎠ 1 1 2 5 65. ⎜ 0 1 230⎟⎟⎠⎟ 4 8 8 ⎜⎜⎝ 0 0 ⎛ 2 0 4⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 7⎞ ⎜ 12⎟⎟⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎜ 245⎟⎠⎟⎟ 47. ⎜⎝⎜ 21 3 ⎜⎜⎝ x2 ⎟⎟⎠ 5 ⎝⎜⎜ ; 67. ⎛2 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 2 1 ⎞ 0 1 x3 ⎝⎜ 0 1⎠⎟ ⎜⎝21 1⎠⎟ 3⎜⎝ 0 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 1⎠⎟ 1 0 2 ⎛ 5 4 212⎞ ⎛2 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 2 1 ⎞ 69. ⎝⎜ 0 1⎟⎠ ⎝⎜24 1⎠⎟ ⎝⎜ 0 2 1 0⎟⎠ A21 5 6 ⎜ 2 4 26 ⎟ ⎜⎜⎝ 21 22 6 ⎠⎟⎟ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 22 5⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 5 4 212⎞ ⎛ 7⎞ ⎛ 2 41 ⎞ 71. ⎜ 2 1 01⎟⎟⎠⎟ ⎜ 0 21 22273⎠⎟⎟⎟ ; ⎜ x2 ⎟ ⎜ 2 4 6 ⎜⎜⎝ 4 25 ⎜⎝⎜ 0 0 ⎝⎜⎜ x3 ⎟⎠⎟ 1 ⎝⎜⎜ 21 22 ⎟ ⎜ 24⎟⎟ ⎜ ⎟ 5 6 26 ⎟ ⎜ 5 ⎜ 2 16 ⎟ 3 ( ),76 6⎟⎠ ⎜⎝ 5⎠⎟ ⎝⎜ ⎟⎠ 27 7 31 2 9 , 2 29 6 27 ⎛ 2 21⎞ ⎛ 1 0 0⎞ 49. ⎜ 3 02⎟⎟⎟⎠; ninguna 73. L 5 ⎜ 1 1 10⎟⎟⎟⎠ , ⎝⎜⎜ 1 ⎝⎜⎜ 3 2 3 0 4 21⎞ t ⎛ 2 ⎛3 5 8⎞ 3⎠⎟ 5 ⎜⎝ 21 51. ⎛2 21⎞ , la matriz es U 5 ⎜ 0 4 2 14 ⎟ ⎜⎝ 21 3⎠⎟ ⎜ 3 3 ⎟ ⎜⎝ 0 0 1 ⎠⎟ 2 simétrica ⎛ 0 1 0⎞ ( )P ⎜ 10⎟⎠⎟⎟ ; ⎛ 0 25 26⎞ 5 ⎜⎝⎜ 0 0 247, 19, 11 1 0 2 53. At 5 ⎜ 5 0 240⎠⎟⎟⎟ ; A es antisimétrica. ⎜ 4 ⎜⎝ 6 ⎛ 0 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 1 21 4 6⎞ 75. ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 1 1 0 1 ⎟ ⎜ 21 2 5 7⎟⎟ 55. ⎜ 5 3 28⎟ ; simétrica ⎝ 0 1 0 0⎠ ⎜4 ⎜⎝ 6 7 28 9⎠⎟ 2 ( )57. 21 ⎛ 2 0⎞ Ft 1 F21 5 ⎝⎜ 5 2 2 ⎟⎠ 1 3 0 5 77. ⎛ 1 2 0⎞ 59. ⎜ 0 1 01⎠⎟⎟⎟ 54 ⎜⎜⎝ 0 0
Respuestas a los problemas impares 683 CAPÍTULO 2 Problemas 2.1, página 177 1. 210 3. 29 5. 2 7. 4 elementos de la diagonal de A son dife- 9. 28 11. 126 13. 296 rentes de cero. ⎛ a11 a12 ! a1n ⎞ ( )19. El área generada por los vectores u1, u2 ⎜ ⎟ es u1 u2 , el área generada por v1, v2 es ⎜ 0 a22 ! a2 ⎟ ( ) ( ) ( )v1 v2 5 Au1 Au2 5 A u1 u2 15. Sea A 5 ⎜ \" n ( )5 A u1 u2 . \" $ \"⎟ 21. 31202 ⎝⎜ 0 0 ! ann ⎟⎠ 23. 0.0879836 ⎛ b11 b12 ! b1n ⎞ ⎜ ⎟ MATLAB 2.1 ⎜ 0 b22 ! b2 n ⎟ y B 5 ⎜ \" \" $ \" ⎟ 1. A es invertible si det(A) Z 0 y es no inver- ⎟ tible si det(A) 5 0. Las matrices construi- ⎜ das en el inciso bii) nunca son invertibles ⎜⎝ 0 0 ! bnn ⎠⎟ y los determinantes serán cero (considere que los números muy pequeños son cero entonces det A 5 a11a22 !ann debido a errores de redondeo). y det B 5 b11b22 !bnn. Por otro lado 3. det(A 1 B) Z det(A) 1 det(B) ⎛ a11b11 * ! * ⎞ ⎜ ⎟ 5. det(A21) 5 1/det(A). Sugerencia: use AA21 AB 5 ⎜ 0 a22b22 ! * ⎟ 5 1 y saque determinantes en ambos lados. ⎜\" \" $ \"⎟ 7. a) det(M) 5 det(A) det(D) ⎜⎝ 0 0 ! annbnn ⎟⎠ b) det(M) 5 det(A) det(D) det(F). donde * representa términos que no juegan un papel importante en la demostración, por lo que det AB 5 a11b11a22b22 !annbnn 5 (a11a22 !ann )(b11b22 !bnn ) 5 (det A)(det B). 17. Como A es triangular, det A 5 a11a22 !ann. Entonces det A Z 0 si y sólo si aii Z 0 para 1# i # n. Esto es, det A Z 0 si y sólo si los Problemas 2.2, página 194 1. 28 3. 212 5. 255 Suponga que para n 5 k 2 1, el determi- 7. 32 9. 225 11. 218 nante es 11 x1 1!1 xk 21. Entonces res- tando el segundo renglón del primero, 13. 2260 15. 1 17. 0 19. abcd 21. a2d 2 2 b2c2 23. 66 11 x1 x2 x3 ! xn x1 11 x2 x3 ! xn 25. 2480 27. 28 29. 28 x1 11 x3 ! xn \" x2 \" $\" 31. 2240 33. 216 35. 216 \" x1 x3 ! 11 xn 37. Se prueba utilizando inducción. Si n 5 2, x2 entonces 11 x1 x2 511 x1 1 x2. x1 11 x2
684 CAPÍTULO 2 1 21 0 !0 41. Si n es impar, entonces det A 5 (21)n 3 11 x2 det A 52det A, por lo tanto det A 5 0. x1 x3 ! xn 5 x1 x2 11 x3 ! xn 1 x1 y1 \" $\" 1 y2 \" \" 43. 1 x2 y3 x2 ! 11 xn 2 x1 x3 1 x3 se suma la primera columna a la segunda 5 1 x2 2 x1 x3 2 x1 2 y2 2 y1 y3 2 y1 10 0!0 x1 11 x1 1 x2 x3 ! xn Observe las figuras siguientes: xn y x1 x1 1 x2 11 x3 ! \" \"\" \"$ x1 x1 1 x2 x3 ! 11 xn xy 11 x1 1 x2 x3 ! xn xy 51 x1 1 x2 11 x3 ! xn x $ \" \" \" x1 1 x2 x3 ! 11 xn xy 511 x1 1 x2 1!1 xn. y Por la hipótesis de inducción se llega a la conclusión. a11 a12 ! a1n x2xy2y 39. Dado A 5 a21 a22 ! a2n . Sumemos u \"\" \" x2xy2y an1 an2 ! ann u los renglones 1, 2,…, n 2 1 al renglón n, en- x a11 a12 ! a1n El área A del triángulo es la mitad del área del tonces se obtiene A 5 a21 a22 ! a2 n paralelogramo generado por los vectores u1 y \" \" \" u2 que, por el resultado del problema 2.1.19 está dada por an1 an2 ! ann A 5 6 1 x2 2 x1 x3 2 x1 a11 a12 ! a1n 2 y2 2 y1 y3 2 y1 5 a21 a22 ! a2n 5 0 \"\" \" 0 0!0 111 1 1 1 a2 2 a1 a3 2 a1 a2 2 a1 a3 2 a1 a22 2 a1a2 a32 2 a1a3 a2 (a2 2 a1 ) a3(a3 2 a1 ) 45. D3 5 a1 a2 a3 5 0 a2 2 a1 a3 2 a1 5 1 5 a12 a22 a32 0 a22 2 a1a2 a32 2 a1a3 1 a3 2 a1 ) 5 (a2 2 a1 )(a3 2 a1 ) 1 1 5 (a2 2 a1 ) a2 a3 (a3 2 a1 a2 a3 5 (a2 2 a1 )(a3 2 a1 )(a3 2 a2 )
Respuestas a los problemas impares 685 1 1 1!1 a1 a2 a3 ! an 47. a) Dn 5 a12 a22 a32 ! an2 . \" \" \"$\" an21 an21 an21 ! an21 1 2 3 n n 21 ∏b) Utilizando inducción. Para el caso n 5 2, D2 5 a2 2 a1. Suponga Dn 21 5 (aj 2 ai ). i 51 j.i Entonces 11 1!1 0 a2 2 a1 a3 2 a1 ! an 2 a1 a22 2 a1a2 a32 2 a1a3 ! an2 2 a1an Dn 5 0 \" \" \"$\" 0 a2n 21 2 a1a2n 21 a3n 21a1a2n 21 ! ann 21a1ann 21 1 1!1 a2 a3 ! an a32 ! an2 ( ) ( )5 a2 2 a1 ! an 2 a1 a22 \" $\" \" an22 ! an22 an22 3 n 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n21 n ∏ ∏5 a2 2 a1 ! an 2 a1 Dn 21 5 a2 2 a1 ! an 2 a1 a j 2 ai = a j 2 ai i 51 i 51 j.i j.i ⎛ 0 2⎞ 2 diagonal y las componentes de la diagonal 49. a) ⎜⎝ 0 0⎠⎟ 5 0 y 2 es la menor potencia. se quedan igual cuando se obtiene la trans- puesta. Así Qt 5 Q. Ahora, si P es una ma- ⎛ 0 1 3⎞ 3 triz de permutación, entonces b) ⎜ 0 0 40⎠⎟⎟⎟ 5 0 y 3 es la menor poten- P 5 Pn Pn 2 1 … P2P1 ⎜⎝⎜ 0 0 donde cada Pi es una matriz de permuta- ⎛ 0 1 3⎞ 2 ⎛ 0 0 4⎞ ción elemental. Entonces, por el teorema 1: det P 5 det Pn det Pn 2 1 … det P2 det P1 cia ya que ⎜ 0 0 40⎠⎟⎟⎟ 5 ⎜ 0 0 00⎟⎠⎟⎟ Z 0. 5 (21)n por el resultado del problema 52. ⎜⎜⎝ 0 0 ⎝⎜⎜ 0 0 Además, por el teorema 1.9.1ii) 51. Por el teorema 4 se tiene det A2 5 det A 3 Pt 5 P1t P2t Pt Pnt det A 5 det A. Si det A Z 0, entonces det A 5 P1P2 n 21 5 1. La respuesta es 0 o 1. Pn 21Pn 53. Sea Q una matriz de permutación elemental Así Pt es una matriz de permutación y como antes, de manera que Q se obtiene intercambian- det Pt 5 (21)n 5 det P do dos renglones, el i y el j, de l. El renglón MATLAB 2.2 j de I tiene un 1 en la columna j, así que el 1. det(kA) 5 kn det(A), donde A es de n 3 n. renglón i de Q tiene un 1 en la columna j. Sugerencia: en kA se multiplica cada uno de los n renglones de A por k. Es decir, Qji 5 1. Similarmente, Qij 5 1. En- tonces Qij 5 Qji. Las únicas componentes diferentes de cero de Q son los unos en la
686 CAPÍTULO 2 det EB 5 c det B. E es la matriz obtenida al multiplicar el renglón i de l por c. En- Problemas 2.3, página 204 tonces 1. EB es la matriz obtenida al permutar dos det E 5 c det I 5 c renglones de B. Por la propiedad 4, det y det EB 5 c det B 5 det E det B EB 5 2det B. Por el problema 2.2.42, det E 5 21. Entonces 2det B 5 det E det B. 3. EB es la matriz obtenida al multiplicar el renglón i de B por c. Por la propiedad 2, Problemas 2.4, página 209 1. ⎛ 1 2 1 ⎞ det A 52 1 5 1 . Problema 15. 2 2 28 det A ⎜⎝ ⎠⎟ 2 1 3 21. Por el teorema 2, (A)(adj A) 5 (det A)I. 4 4 Por el teorema 4 det A 5 0. Por lo tanto (A)(adj A) es la matriz cero. 3. det A 5 0; la matriz no es invertible. ⎛ 13 2 1 2 1 ⎞ 8 2 8 ⎜ 1 3⎟ 5. ⎝⎜⎜ 2 15 ⎠⎟⎟ 8 2 8 2 ⎛ cos θ sen θ 0⎞ 5 0 1 4 4 ⎜ 01⎟⎠⎟⎟ 5 cos2 θ 1 sen2 θ 51, 23. det ⎜⎝⎜ 2sen θ cos θ 0 0 ⎛ 1 2 1 2 1 ⎞ 3 4 6 ⎜ 1 1⎟ 7. ⎝⎜⎜ 0 ⎠⎟⎟ 0 4 2 2 ∀θ, por lo tanto la matriz tiene inversa que es 1 1 4 2 ⎛ cos θ sen θ 0⎞21 ⎛ cos θ ⎛ 0 1 21⎞ ⎜ 2sen θ cos θ 10⎟⎠⎟⎟ 5 ⎜ sen θ 2sen θ 0⎞ ⎜⎝⎜ 0 0 ⎜⎝⎜ 0 cos θ 10⎟⎟⎠⎟ . 9. ⎜ 2 22 211⎟⎟⎠⎟ 0 ⎝⎜⎜ 21 1 11. det A 5 0; la matriz no es invertible. MATLAB 2.4 13. det A 5 0; la matriz no es invertible. ⎛ 0 1 0 2⎞ 1. Para n , m, es decir, más columnas que renglones, det(AtA) 5 0 (o muy pequeño ⎜ 1 21 22 2⎟⎟ debido a errores de redondeo), así, AtA es 15. ⎜ no invertible. Para n . m, es decir, más ⎜ 0 1 3 23⎟ renglones que columnas, AtA puede ser ⎝⎜22 2 3 22⎠⎟ invertible. 17. det A 5 3, A21 5 1 ⎛ 5 21⎞ det A5 1 3. Se tiene que la forma escalonada reduci- 3 ⎜⎝ 22 1⎠⎟ ; 3 da por renglones de A es la identidad por lo que A es invertible, aunque, por cons- 51. trucción, está muy cerca de ser no inverti- det A ble. Se tiene que det(A) 5 6.55, que no es cercano a cero. 1 ⎛22 22 29⎞ 28 19. det A 5 228, A21 52 ⎜ 20 28 65⎟⎠⎟⎟ ; ⎜⎜⎝ 22 22
Respuestas a los problemas impares 687 Problemas 2.5, página 214 1. x1 5 25, x2 5 3 MATLAB 2.5 3. x1 5 2, x2 5 5, x3 5 23 1. Utilizando el programa del problema se 5. x1 5 45 , x2 52 11 , x3 5 23 observa que la regla de Cramer necesita 13 3 13 más tiempo para resolver el problema que la descomposición LU. 7. x1 5 3 , x2 5 3 , x3 5 1 2 2 2 9. x1 5 21 , x2 5 171 , x3 52 284 , x4 5 2 182 9 29 29 29 Ejercicios de repaso del capítulo 2, página 218 1. 24 3. 3 5. 60 11 1 7. 7 9. 34 7 7 21 ⎛ 1 24⎞ 19. x1 5 , x2 5 11 ⎝⎜ 22 23⎠⎟ 11. ⎛ 1 0 21⎞ ⎛ 1 0 21⎞ 21. x1 5 23, x2 512, x3 5215 13. ⎜ 0 2 1 04⎟⎟⎟⎠ 15. ⎜ 1 21 10⎟⎟⎠⎟ ⎜⎝⎜ 23 2 ⎜⎝⎜ 21 1 0 17. La matriz no tiene inversa 23. x1 5 22 , x2 5 94 , x3 52 6 , x4 5 63 13 13 13 13 CAPÍTULO 3 17. a) (6, 9) y Problemas 3.1, página 228 1. v 5 4 2, θ 5 π 4 3. v 5 7, θ 520.8571 x 5. v 5 4 2, θ 5 2 p 4 7. v 5 2, θ 5 π b) (23, 7) 6 9. v 5 7, θ 5 2.4279 y 11. v 5 2, θ 521.0472 2 13. v 5 2, θ 522.0944 x 15. v 5 89, θ 522.1294
688 CAPÍTULO 3 19. a) u 1 v 522i 1 3j, 37. v 5 2 i 2 3 j b) u 2 v 5 6i 2 9j, 55 c) 3u 5 6i 2 9j, d) 27v 5 28i 2 42j, 39. a) u 1 v 52 1 i 1 1 j e) 8u 2 3v 5 28i 2 42j, 22 f ) 4v 2 6u 5228i 1 42j. b) 2u 2 3v 5 7 i 2 12 j 195 195 21. i 5 12 1 02 51 c) 3u 1 8v 52 2 i 1 7 j j 5 02 112 51 53 53 ⎛ a ⎞ 2 ⎛ b ⎞2 41. Sea p 5 (c, d ) y Q 5 (c 1 a, d 1 b). El ⎝⎜ 1 ⎠⎟ ⎜⎝ a2 1 b2 ⎠⎟ 23. u5 1 IIIF a2 b2 vector PQ 5 Q 2 P 5 (c 1 a 2 c, d 1 b 2 d) 5 (a, b) con la misma dirección que 5 a2 1 b2 51 el vector (a, b). a2 1b2 a2 1b2 43. v 5 (4 cos p, 4 senp) 5 (24, 0) b Dirección de |u| 5 tan21 a2 1b2 45. ⎛ p , 1 sen p⎞ ⎛ 1, 1⎞ 5 ⎝⎜1 cos 4 4 ⎟⎠ 5 ⎝⎜ 2 2 ⎠⎟ a a2 1b2 tan21 ⎛ b ⎞ 5 dirección de v. ( )47.⎛ 6 cos 2p , 6 sen 2p⎞ 5 3, 3 3 ⎜⎝ a ⎠⎟ ⎝⎜ 3 3 ⎟⎠ 25. 1 (4i 26j) 49. Sea u 5 (u1 1 u2 ) y v 5 (v1, v2 ) 52 | u 1 v |2 5 u12 1 u22 1 v12 1 v22 1 2(u1v1 1 u2v2 ) 5 | u |2 1 | v |2 1 2(u1v1 1 u2v2 ) 27. |v| 5 5 u 5 v/|v| 5 (23/5)i 1 (4/5)j Si v 5 au, entonces | u 1 v |2 ( ) ( )29. 1 2 i 1 1 2 j si a . 0; 5| u |2 1 a2 | u |2 1 2a | u |2 ( ) ( )2 1 2 i 2 1 2 j si a , 0 ( )5 | u | 1 a | u | 2 31. sen θ 523 13 , cos θ 5 2 13 | u 1 v |5| u |1a | u | 33. v 52 1 i 2 1 j 5|u|1|v| 22 Asegurarse que la calculadora esté en ( ) ( )35. u 5 52 v 52 4 52 i 1 6 52 j modo de coordenadas cilíndricas, esto se puede garantizar con la siguiente secuencia Observe que la dirección de v 5 dirección de u 2 π. ALPHA ALPHA C Y L l N 51.
Respuestas a los problemas impares 689 53. 15) norma 5 2.2361, dirección 5 1.1071 55. b) 57. 52) norma 5 2.9915, dirección 5 20.9521 59. 54) norma 5 2.9915, 61. dirección 5 22.1895 MATLAB 3.1 56) norma 5 114.74, dirección 5 22.1008 1. a) 1) norma 5 5.6569, 58) norma 5 114.74, dirección 5 0.7854 dirección 5 21.0408 3) norma 5 2.6458, dirección 5 20.85707 60) norma 5 0.086426, 5) norma 5 5.6569, dirección 5 1.4001 dirección 5 22.3562 7) norma 5 2, 62) norma 5 0.086426, dirección 5 0.5236 dirección 5 1.7415 9) norma 5 2.6458, dirección 5 2.4279 11) norma 5 2, dirección 5 21.0472 13) norma 5 2, dirección 5 22.0944
690 CAPÍTULO 3 Problemas 3.2, página 239 1. 0 ; 0 d) No existe α ∈ R con la que se pueda resolver el problema. 3. u ? v 5211, cosϕ 52 11 ≈ 20.9648 130 23. De b) la única solución da vectores para- lelos opuestos. 5. u ? v 5 (α)(0) 1 (0)(β) 5 0; cos ϕ 5 0 7. 20; 20 25. proy v u 5 25 (i 1 j) 5 25 i 2 5 j 29 2 2 2 9. 222; 222 5 53 29. proy v u 5 2 95 i 2 133 j 11. u ? v 5 αβ 2 βα 5 0 74 74 13. Paralelos 31. proy vu 5 5 (2i 1 3j) 5 10 i 1 15 j 13 13 13 y 33. [(α 1β) 2]i 1[(α 1β) 2]j u x 35. proy v u 5 16 i 2 24 j 13 13 v 37. proy 5 α 2 β (i 1 j) 2 v u 2 2 39. Para que v y proyv u tengan direcciones opuestas, se necesita que a1a2 1 b1b2 , 0 15. u ⋅ v 5236, cos ϕ 52 11 ≈ 20.9231, los 130 41. P:Q 5 3i 1 j; R:S 5 9i 1 2j; vectores no son ni paralelos ni ortogona- proy P:Q : 5 29 (3i 1 j) 5 87 i 1 29 j RS 10 10 10 les. 6 proy R:S P:Q 5 29 (9i 1 2 j) 5 261 i 1 58 j. 5 85 85 85 4 v 3 26 24 u 43. Suponga que u y v son ortogonales. En- 2 02 tonces ϕ 5 π/2. Por tanto cos(π/2) 5 u ? v 1 |u||v| 0 5 0 ⇒ u ? v 5 0. Suponga que u · v 5 0. Por 21 22 tanto, cos ϕ 5 0 ⇒ ϕ 5 π 2 ⇒ u y v son or- 23 210 togonales. 28 22 45. El vector de dirección de la línea es v 5 c i 17. u ? v 5 (2)(26) 1(3)(4) 5 0 1 cos ϕ 5 0 1 2 c j. Entonces ab v 5 bi 2 aj 5 u ⇒ a ϕ 5 π/2 1 u y v son ortogonales. u es bc 19. u ? v 5 214 no son ni paralelos ni orto- gonales. paralelo a la línea ax 1 by 1 c 5 0. 21. a) α 527, b) α 5 4 , 47. Sean A, B, C las representaciones de los 7 puntos (a1, b1), (a2, b2) y (a3, b3) respectiva- mente. También, sean A, B y C las repre- ( )c) α 5 2 56 6 53 3 37 sentaciones de los ángulos en los vértices correspondientes.
Respuestas a los problemas impares 691 A:C 5 a3 2 a1 i 1 b3 2 b1 j; A:B5 a2 2 a1 i 1 b2 2 b1 j; cos A 5 a2 2 a1 a3 2 a1 1 b2 2 b1 b3 2 b1 a2 2 a1 2 1 b2 2 b1 2 a3 2 a1 2 1 b3 2 b1 2 De manera similar, cos B 5 ( )( ) ( )( )a1 2 a2 a3 2 a2 1 b1 2 b2 b3 2 b2 ( ) ( ) ( ) ( )a1 2 a2 2 1 b1 2 b2 2 a3 2 a2 2 1 b3 2 b2 2 y cosC 5 ( )( ) ( )( )a1 2 a3 a2 2 a3 1 b1 2 b3 b2 2 b3 . ( ) ( ) ( ) ( )a1 2 a3 2 1 b1 2 b3 2 a2 2 a3 2 1 b2 2 b2 2 49. Sean y 5 mx 1 c y (a, b) una línea no vertical en cualquier punto. Sea (x, y) cualquier punto en la línea. Para minimizar la distancia entre (a, b) y la línea, minimice d 5 (x 2 a)2 1 (y 2 b)2. d 5 (x 2 a)2 1 (mx 1 c 2 b)2 . d95 2( x 2 a) 1 2(mx 1 c 2 b)(m) 5 0 ⇒ x 5 a 1 bm 2 cm . 11 m2 Entonces y 5 am 1 bm2 1 c Sea u 5(a 2 x)i 1 (b 2 y)j5 am2 2 bm 1 cm i1 b 2 am 2 c j. 11 m2 11 m2 11 m2 Sea v 5 vector de dirección de la línea 5 c i 1 cj. Por tanto m u ? v 5 acm 2 bc 1 c2 1 bc 2 acm 2 c2 5 0. Si tenemos una línea vertical entonces x 5 c. A 11 m2 continuación necesitamos minimizar d 5 (c 2 a)2 1 ( y 2 b)2. d95 2( y 2 b) 5 0 ⇒ y 5 b ⇒. La distancia más corta entre un punto y una línea se mide a lo largo de la línea y a través del punto y perpendicular a la línea. 51. La línea tiene la ecuación y 5 (23/2)x; la Una vez guardado el programa aparecerá línea perpendicular que pasa por (3, 7) es en alguno de los elementos del menú, en y 5 (2/3)x 1 5. Estas líneas se intersecan este caso en la primera posición en (230/13, 45/13). Entonces se presiona la d5 ⎛ 32 30 ⎞ 2 1 ⎛ 7 2 45⎞ 2 5 2 197 ⎜⎝ 13 ⎟⎠ ⎜⎝ 13 ⎟⎠ 13 53. Secuencia de instrucciones para producir un vector unitario con la misma dirección que el vector que se encuentra en la pri- mera posición de la pila . primera tecla de la izquierda del primer Guardamos el programa con el nombre renglón de la calculadora y se ejecuta el programa con el vector que se encuentra en la primera posición de la pila y se ob- UNIVEC . tiene el vector
692 CAPÍTULO 3 el programa PROY al apretar la primera tecla del primer renglón de la calculadora , que en este caso es donde se ha guardado el programa, como resultado se tiene [0.273…, 0.9621…]. 55. [0.1761…, 20.9844…] y 57. [20.3282…, 0.9446…] 59. Secuencia de instrucciones que calculan [0.0157…, 0.000229…] la proyección de u sobre v donde u se en- cuentra en la segunda línea de la pila y u se encuentra en la primera línea de la pila , guardamos el programa con el nombre de PROY , ahora ya se tie- 61. [17318.030…,49128.610…] ne el programa guardado con el nombre de PROY . Se escribe el vector u MATLAB 3.2 tor v , seguido del vec- 1. 27) proy_vu 5 [1.5, 1.5] , se ejecuta 28) proy_vu 5 [22.5, 22.5] 29) proy_vu 5 [0, 20] 30) proy_vu 5 [2.5882, 0.64706] 31) proy_vu 5 [20.15385, 0.23077] 32) proy_vu 5 [0.76923, 1.1538]
Respuestas a los problemas impares 693 Problemas 3.3, página 251 1. 40 35. 3u 2 2v 510i 2 3j1 2k 37. i 270j 1 54k 3. 3 39. 16i 1 29j 1 42k 41. (3t 2 2u) ⋅ (5v 1 2w) 52345 5. |v| 5 3 v/|v| 5 j cos α 5 0, cos β 5 1, 43. 35 2 (210) 5 45 cos γ 5 0. 7. 3; 21, 0, 0 9. v 5 17, cos α 5 4 , cos β 52 1 , 45. ϕ 5 cos−1 t ? w 5 cos−1 210 ≈ 1.7560 17 17 |t||w| 5 2 59 cos γ 5 0 5 w? t 5 −10 (3i 1 4j 1 k) ( )47.proy tw |t|2 t 2 11. | v | 5 43, 23 , 25 , 23 43 43 43 52 13. 3; 1 3; 1 3; 11 3 523 i 2 4 j2 k. 55 15. | v | 5 3, 2 1 , 1 , 1 49. Como los segmentos de recta PS y SR son 333 perpendiculares (en la figura 3.26), el trián- gulo PSR es un triángulo rectángulo y 17. | v | 5 85, 6 85, 7 85, 0 PR2 5 PS 2 1 SR2 (i) 19. 3; 21 3; 21 3; 1 3 Pero el triángulo PRQ es también un trián- gulo rectángulo de manera que 21. 78; 2 78; 5 78; 27 78 PQ2 5 PR2 1 RQ2 (ii) 23. 29; 22 29; 23 29; 24 29 Combinando (i) y (ii) se obtiene (iii) PQ2 5 PS 2 1 SR2 1 RQ2 25. 4 3i 1 4 3j 1 4 3k Como las coordenadas x y z de P y S son iguales 27. (1 26 )i 2 (3 26 )j 1 (4 26 )k PS 2 5 ( y2 2 y1 )2 (iv) 29. R 5 (23, y, z), y, z arbitrarias; este con- De manera similar junto de puntos constituye un plano pa- ralelo al plano yz. RS 2 5 ( x2 2 x1 )2 (v) 31. u ? v 5|cos ϕ| # 1. Así, y RQ2 5 ( z2 2 z1 )2 (vi) |u||v| |u ? v| # |u||v|. Entonces Entonces, usando (iv), (v) y (vi) en (iii) se |u 1 v|2 5 (u 1 v) ? (u 1 v) llega a 5|u|2 1 2u ? v 1|v|2 # |u|2 1 2|u||v| 1|v|2 PQ2 5 ( x2 2 x1 )2 1 ( y2 2 y1 )2 1 ( z2 2 z1 )2 5 (|u| 1|v|)2 51. i) Si v 5 αu, entonces cos ϕ 5 u ? v 5 α|u|2 33. 26j 1 9k |u||v| |α||u|2 561. Si u y v son paralelos, entonces u 56 v de manera que v 56|v| u 5 αu |u| |v| |u|
694 CAPÍTULO 3 ii) Si u ? v 5 0, entonces cos ϕ 5 0 y ϕ 56π . programa UNIVEC que en esta oca- Si 2 sión ocupa la tercera posición del primer ϕ 56 π ,entonces u ? v 5 |u||v| 2 cos ϕ 5 0. 53. Copiamos dos veces el vector (0.2316, renglón , con 0.4179, 20.5213) ya que lo utilizaremos una vez para encontrar su magnitud y otra utilizando el programa UNIVEC de la sección 3.2 para calcular el vec- tor dirección. , componentes y obtenemos la magnitud . Intercambiamos renglones 55. magnitud 5 5.227988…, dirección 5 (0.202984…, 0.919885…, 0.335570) y ejecutamos el 57. proyvu 5 (218.3996..., 216.8663..., 11.1712...) 59. proyvu 5 (57.4451..., 271.4959..., 310.5072...) Problemas 3.4, página 260 21. [ 236, 22, 28] 23. 12i 1 4j 1 4k 1. 26i 2 3j 25. 22bci 1 2acj 3. 215k 27. 6[2(9 181)i 2 (6 181)j 5. 7i 7. 12i 1 8j 2 21 1 (8 181)k] 9. (bc 2 ad)j 11. 25i 2 j 1 7k 29. sen w 5 5 13. [28, 0, 8] 29 15. 0i 1 0j 1 0k 17. 8i 1 17j 1 7k 31. Área 5 5 5 19. 29i 1 39j 1 61k
Respuestas a los problemas impares 695 33. Área 5 523 41. u1v ≠ 0 entonces u paralelo a v ⇔ u3v50 35. Área 5 a2b2 1 a2c2 1 b2c2 Si u y v son paralelos y diferentes de cero entonces existe alguna constante t ? 0 tal 37. Sea u 5 (u1, u2 , u3 ) , v 5 (v1, v2 , v3 ) que v 5 tu, entonces | u 3 v |2 5 | u |2| v |2 2 (u ? v)2 u 3 v 5 u 3 tu 5 t(u 3 u) 5 0 u 3 v 5 (u2v3 2 u3v2 )i 1 (u3v1 2 u1v3 )j El converso. Suponga u 3 v 5 0, donde u y v son diferentes de cero. Sea w en ángulo en- 1 (u1v2 2 u2v1 )k tre u y v. Pero sen w 5 | u 3 v | 5 0 5 0. | u 3 v |2 5 (u2v3 2 u3v2 )2 1 (u3v1 2 u1v3 )2 |u||v| |u||v| Por lo tanto w 5 0 o u– lo que significa que 1 (u1v2 2 u2v1 )2 u y v son paralelos. 5 u 2 v 2 2 2u2v3u3v2 1 u 2 v 2 1 21 0 2 3 3 2 43. Volumen 5 3 0 2 5 23 1 u 2 v12 2 2 u 3v1u1v 3 1 u12 v 2 0 27 3 3 3 1 u12 v 2 2 2 u1v 2 u 2 v1 1 u 2 v12 2 2 Sumando u12 v12 2 u12 v12 1 u 2 v 2 2 u 2 v 2 2 2 2 2 1 u 2 v 2 2 u 2 v 2 3 3 3 3 5 u12 v12 1 u12 v 2 1 u12 v 2 1 u 2 v12 1 u 2 v 2 45. Del ejercicio 39 se puede obtener que 2 3 2 2 2 u1 u2 u3 1 u 22 v 2 1 u 23 v12 1 u 32 v 2 1 u 32 v 2 (u 3 v) ? w 5 v1 v2 v3 3 2 3 w1 w2 w3 2 ⎡⎣ u12 v12 1 u 22 v 2 1 u 23 v 2 1 2 u1v1u 2 v 2 2 3 u1 v1 w1 5 u2 v2 w2 1 2u1v1u3v3 1 2u2v2u3v3 ⎦⎤ u3 v3 w3 ( )( )5u121 u 2 1 u 2 v12 1 v 2 1 v 2 2 3 2 3 2 (u1v1 1 u2v2 1 u3v3 )2 5 | u |2| v |2 2 (u ? v)2 El volumen de Au, Av, Aw 39. (u 3 v) ? w 5 u ? (v 3 w) | (Au 3 Av) ? Aw | 5 | Au Av Aw | u 5 (u1, u2 , u3 ) 5 | A[u v w]| v 5 (v1, v2 , v3 ) 5 | A || u v w | w 5 (w1, w2 , w3 ) 56| A | u 3 v 5 (u2v3 2 u3v2 )i 1 (u3v1 2 u1v3 )j (volumen generado p 1 (u1v2 2 u2v1 )k por u, v, w). (u 3 v) ? w 5 u2v3w1 2 u3v2w1 47. Sea u 5 (u1, u2 , u3 ), v 5 (v1, v2 , v3 ) y 1 u3v1w2 2 u1v3w2 w 5 (w1, w2 , w3 ) 1 u1v2w3 2 u2v1w3 i jk 5 u1(v2w3 2 v3w2 ) u 3 (v 3 w) 5 u 3 v1 v2 v3 1 u2 (v3w1 2 v3w3 ) w1 w2 w3 1 u3 (v1w2 2 v2w1 ) v 3 w 5 (v2w3 2 v3w2 )i 1 (v3w1 2 v1w3 )j 5 u ? (v 3 w) 1 (v1w2 2 v2w1 )k
696 CAPÍTULO 3 i jk u 3(v 3 w) 5 u1 u2 u3 v2 w3 2 v3w2 v3w1 2 v1w3 v1w2 2 v2 w1 5 ⎡⎣u2 (v1w2 2 v2w1 ) 2 u3 (v3w1 2 v1w3 )⎤⎦ i 1 ⎣⎡u3 (v2w3 2 v3w2 ) 2 u1(v1w2 2 v2w1 )⎤⎦ j 1 ⎣⎡u1(v3w1 2 v1w3 ) 2 u2 (v2w3 2 v3w2 )⎤⎦ k 5 ⎡⎣v1(u2w2 1 u3w3 ) 2 w1(u2v2 1 u3v3 )⎤⎦ i 1 ⎣⎡v2 (u3w3 1 u1w1 ) 2 w2 (u3v3 1 u1v1 )⎤⎦ j 1 ⎣⎡v3 (u1w1 1 u2w2 ) 2 w3 (u2v2 1 u1w1 )⎤⎦ k 1 v1u1w1i 2 v1u1w1i 1 v2u2w2 j2 v2u2w2 j1 v3u3w3k 2 v3u3w3k 5 ⎡⎣v1(u1w1 1 u2 w2 1 u3w3 ) 2 w1(u2v2 1 u1v1 1 u3v3 )⎤⎦ i 1 ⎣⎡v2 (u1w1 1 u2 w2 1 u3w3 ) 2 w2 (u2v2 1 u1v1 1 u3v3 )⎤⎦ j 2 ⎡⎣v3 (u1w1 1 u2w2 1 u3w3 ) 2 w3 (u2v2 1 u1v1 1 u3v3 )⎤⎦ k 5 ⎡⎣(u ? w)v1 2 (u ? v)w1⎦⎤ i 1 ⎡⎣(u ? w)v2 2 (u ? v)w2⎤⎦ j 1 ⎣⎡(u ? w)v3 2 (u ? v)w3⎤⎦ k 5 (u ? w)v 2 (u ? v)w 49. 51. El resultado es MATLAB 3.4 1. 2) u 3 v 5 [27, 21, 7] 3) u 3 v 5 [212, 29, 0] Problemas 3.5, página 270 4) u 3 v 5 [1, 21, 1] 10) u 3 v 5 [ a*d, b*c, 2a*c] 1. v 5 2i 1 j 2 4k; x 5 2 2 t, y 5 1 1 t, z 5 3 2 4t; (x 2 2)/(21) 5 y 2 1 5. v 5 (2 2 2)i 1 (0 2 3)j 1 (24 1 4)k 523j 5 (z 2 3)/(24) xi 1 yj 1 zk 5 2i 1 3j 2 4k 1 t(23j); x 5 2, y 5 3 2 3t, z 524; x 5 2, z 524 3. v 522j, xi 1 yj1 zk 5 i 1 (12 2t)j1 k, x 51, z 51 7. v 5 (212 7)i 1 (22 21)j 1 (3 2 3)k 528i 2 3j; xi 1 yj 1 zk 5 7i 1 j 1 3k
Respuestas a los problemas impares 697 1 t(28i 2 3j); x 5 7 2 8t, y 512 3t, z 5 3; 31. Sea v 5 (a, b, c). v · (3, 2, 21) 5 0 y x27 5 y 21 z53 v · (24, 4, 1) 5 0 da ⎛3 2 21 00⎯⎞⎠⎟ ⎯→ , ⎜⎝24 4 1 8 23 9. x 5 2 1 2t, y 5 2 2 t, z 5 1 2 t; ⎛ 1 26 0 0⎞ . Si dejamos que c 5 20, en- (x 2 2)/2 5 (y 2 2)/(21) ⎜⎝ 0 20 21 0⎟⎠ 5 (z 2 1)/(21) tonces b 5 1 y a 5 6. Por tanto, v 5 (6, 11. x 5 21, y 5 22 2 3t, z 5 5 1 7t; x 5 1 y 1, 20) es perpendicular tanto a L1 como a 7y 1 3z 51 L2. El punto P 5 (2, 5, 1) está sobre L1 y el punto Q 5 (4, 5, 22) está sobre L2. De 13. v 5 3j, xi 1 yj1 zk 522i 1 (31 3t)j1 7k, manera que la distancia entre L1 y L2 está x 522, z 5 7 dada por 15. xi 1 yj 1 zk 5 ai 1 bj 1 ck 1 t(dk); : 5 : ? v v 5 : ? v 5 48 . x 5 a, y 5 b, z 5 c 1 dt; x 5 a, y 5 b proyv PQ PQ PA 457 |v|2 |v| 17. v 5 3i 1 6j 1 2k; x 5 4 1 3t, y 5 1 1 6t, 33. 1(x 2 0) 1 0(y 2 0) 1 0(z 2 0) 5 0; x 5 0 z 5 26 1 2t; (x 2 4)/3 5 (y 2 1)/6 35. z 5 0 5 (z 1 6)/2 37. 1(x 2 1) 1 0(y 2 2) 1 1(z 2 3) 5 0; 19. El vector v1 5 a1i 1 b1j 1 c1k es paralelo a x1z54 L1, mientras que el vector v2 5 a2i 1 b2j 1 39. y 1 z 5 5 c2k es paralelo a L2. Así, L1 ą L2 si v1 ą v2 o 41. 23x 24y 1 z 5 45 v1 ? v2 5 0. Pero v1 ? v2 5 a1a2 1 b1 b2 1 c1 c2. 43. 4y 2 3z 5 2 45. 20x 1 13y 2 3z 5 58 21. 3i 1 6j 1 9k 5 3(i 1 2j 1 3k), por lo que 47. 212x 2 21y 1 22z 5 63 los vectores directores de las rectas son 49. 2x 2 y 5 2 paralelos. Observe que no son coinciden- 51. Dado que las ecuaciones son equivalen- tes ya que, por ejemplo, el punto (1, 23, 23) está sobre L1 pero no sobre L2. tes, π1 y π2 son coincidentes. 53. Coincidentes. 23. Si tuvieran un punto en común se tendría 55. Ninguna de las anteriores. 57. No son ortogonales, paralelos ni coinci- 22t511s 1 1 t 5 22s dentes. 22t 5 3 1 2s 59. ⎛ 3 21 4 3⎞ ⎛1 3 211 211⎞ La solución única de las primeras dos 210 37 36⎠⎟ ecuaciones es s 5 22, t 5 3; pero este par no satisface la tercera ecuación. ( )( )25. a) t 5 1 ⎝⎜24 22 7 8⎟⎠ ⎯⎯→ ⎜⎝ 0 186 3 3 ( )b) Sea z 5 t entonces la línea de intersección 1518 / 115 138 / 11, t 5 4 está dada por x 521 2 1 t, y 5218 1 11 30( )c)/2 t 5 3 37 t, y z 5 t . 5 10 5 2 27. x 5 y 5 z 10 13 22 6 61. (x, y, z) 5 (211/4, 23/2, 0) 1 t(9, 16, 2) 29. Al igual que en los problemas previos, te- 63. 13 69 nemos ⎛ 22 3 5 0⎞ ⎛ 2 1 6 0⎞ . Si 8 ⎜⎝ 4 22 1 0⎯⎟⎠ ⎯→ ⎝⎜ 0 4 11 0⎟⎠ 65. hacemos que c 5 8, entonces b 5 222 y 35 67. Sea Q 5 ( x0, y0, z0 ). Suponga que P 5 ( x1, a 5 213. Por tanto la línea x 5 22 2 13t, y1, z1 ) está en el plano. P:Q 5 ( x0 2 x1, y0 y 5 3 2 22t, z 5 4 1 8t satisface las con- diciones.
698 CAPÍTULO 3 2 y1, z0 2 z1 ). De acuerdo con el proble- 71. Si u y v no son vectores no nulos y copla- ma 62, tenemos nares, en π, entonces la línea que pasa por w y es paralela a v, se encuentra con la lí- D5 : ? n nea a través de 0 y de u en un determinado PQ punto α u. De manera similar, la línea que pasa por w y es paralela a u se encuentra |n| con la línea que pasa a través de 0 y v en un punto βv. Por tanto, αu, βv son lados 5 a( x0 2 x1 ) 1 b( y0 2 y1 ) 1 c( z0 2 z1 ) de un paralelogramo con diagonal w, esto |n| es, αu 1 βv 5 w. 5 ax0 1 bx0 1 cx0 2 d a2 1 b2 1 c2 69. n1 5 (3, 21, 4) y n2 5 (24, 22, 7); 73. Son coplanares en π: x 222y 217z 5 0 ϕ 5 cos21 (3, 21, 4) ? (24, 22, 7) 75. No son coplanares. (3, 21, 4) (24, 22, 7) 77. No coplanar; u ? (v 3 w) 5 29 5 cos21 18 ≈ 1.1319 26 29 Ejercicios de repaso del capítulo 3, página 277 1. |v| 5 3 2, θ 5 π 4 13. P:Q 5 4i 2 4j 3. |v| 5 13, θ 5 arctan ⎛ 3⎞ ≈ 0.9828 15. a) 23v 5 9i 112j b) u 1 v 527i 2 3j ⎝⎜ 2 ⎠⎟ c) 3u 2 6v 5212i 1 3j 1 18i 1 24j 5 6i 1 27j 5. |v| 5 3 11 5 2; tan ϕ 5 1 ⇒ ϕ 5 π 6 3 17. |v| 5 2; u 5 1 (2i 1 j) 2 7. |v| 512 2, θ 5 5π 4 ( ) ( )19. 2 29 i 1 5 29 j, |v| 5 29 9. 2i 1 2j 21. 3 i1 4 j, |v| 5 5 y 5 5 23. 2 2 i 2 4 j P:Q 20 20 25. |v| 5 65; cos ϕ 5 4 ; sen ϕ 5 27 v 65 65 x 27. |v| 5 2; u1 5 1 (i 1 j); u2 5 1 (2i 2 j) 2 2 11. P:Q 5 7i 1 3j 29. v 5 2 cos π i 1 2 sen π j 5 i 1 3j 33 y 31. j v 33. 2 7 3i 1 7 j 2 2 35. 0; 0 x 2 37. u ⋅ v 5226, cos ϕ 52 26 2 170 2 2 2 2 39. v 521 2 u ⇒u y v son paralelos. 2 2
Respuestas a los problemas impares 699 41. Ninguna 51. 15 i 1 10 j y 13 13 53. 2 3 i 2 7 j v 2 2 x u 2 2 55. proy v u 5 26 i 2 12 j 5 5 57. (4 1 5)2 1 (2121)2 1 (7 2 3)2 5 101 43. Paralelos 59. (2 2 0)2 1 (27 2 5)2 1 (0 1 8)2 y 5 212 5 2 53 v x 61. 130; 0, 3 130 , 11 130 u 63. v 5 7, cos α 5 2 , cosβ 5 3 , cos γ 52 6 2 2 77 7 45. Son ortogonales. 65. P:Q 527i 1 2j 1 5k; P:Q 5 78 y u 5 27 i 2 2 j 1 5 k 78 78 78 2 2 2 x 67. u 2 v 5 4i 2 4j 2 2k 2 2 29 2 69. proy v w 5 38 (23i 1 2 j 1 5k ) 2 5 27 i 2 9 j 2 45 k 38 38 38 2 2 71. 26 i 1 52 j1 13 k 2 21 21 21 47. a) u ? v 5 8 1 3α 5 0 ⇒ α 528 3 73. 2u 1 6v 1 3 proy v 5 b) 2u 5 4i 1 6j ⇒ α 5 6 w c) |u| 5 13; |v| 5 α2 116; 2130 7 i 1 92 7 j 1138 7 k cos ϕ 5 3a 1 8 5 1 13a2 1 208 2 75. cos ϕ 5 8 5 8 5 4 ; ⇒ 18α2 1 96α 1128 513α2 1 208 14 38 532 133 ⇒ 5α2 1 96α 2 80 5 0 ⇒ (5α 2 4)(α 1 20) 5 0 ⎛ 4 ⎞ , que es aproximada- ⇒ α 5 4 5, 220α 524 5 ⇒ ϕ 5 π 4 ϕ 5 arccos ⎝⎜ 133 ⎠⎟ mente 69.78. 3α 1 8 5 3 i jk 13α2 1 208 2 77. u 3 v 5 3 21 0 524i 212j 1 2k 2 04 d) ⇒ 36α2 1192α 1 256 i jk 79. u 3 v 5 4 21 7 525i 2 41j 2 3k 5 39α2 1 624 ⇒ 3α2 2192α 1 368 5 0 27 1 22 ⇒ α 5 96 6 52 3 i jk 3 81. u 3 v 5 1 21 3 525i 210j 2 k 49. proy v u 5 14 ( i 2 j) 5 7i 2 7 j 22 23 4 2
700 CAPÍTULO 3 |u 3 v| 5 126 5 3 14 por lo tanto no existe punto de intersec- ción. 5 10 1 u1 5 14 i2 3 14 j2 14 k; u2 5 2u1 91. v1 5 4i 1 3j 2 2k; v2 5 5i 1 j 1 4k. ij k 3 3 v 5 v1 3 v2 5 4 3 22 514i 2 26j 211k 83. v 5 4i 2 7j 1 2k 51 4 ecuación vectorial: xi 1 yj 1 zk 5 3i 2 j 1 4k 1 t(4i 2 7j 1 2k) La línea es: ecuación paramétrica: x 5 3 1 4t, x 521114t, y 5 2 2 26t, z 5 4 211t. y 5212 7t, z 5 4 1 2t ecuación simétrica: x 1 3 5 y 11 5 z 2 4 93. 0(x 21) 1 2( y 1 4) 2 3(z 2 6) 5 0 4 27 2 ⇒ 2 y 2 3z 5226 85. O:R 5 (24i 1 j) 1 t(7i 2 j 1 7k); 95. P 5 (22, 4, 1), Q 5 (3, 27, 5), x 524 1 7t, y 512 t, z 5 7t; R 5 (21, 22, 21); P:Q 5 5i 211j 1 4k; Q:R 524i 1 5j 2 6k; (x 1 4) 7 5 ( y 21) (21) 5 z 7 87. v 5 (b 2 c) i 1 bj 1 ck, ∀b, c R, : : i jk 3 PQ QR n 5 3 5 5 211 4 Ec. vectorial 5 i 1 j 1 k 1 t ⎡ (b 2 c) i 1 bj 24 5 26 ⎣⎢ 3 5 46i 114j 1 69k 1 ck ⎤ , ∀b, c ∈R 46(x 1 2) 114(y 2 4) 1 69(z 21) 5 0 ⎦⎥ ⇒ 46x 114 y 1 69z 5 33 Ec. paramétrica: x 511 t (b 2 c) , y 51 97. x 5 1 2 9 t , y 5 7 2 11 t, z 5t 3 2 2 2 2 1 tb, z 5 a 1 ct, ∀b, c ∈R 99. x 5 3y 2 6 , z 52 3a 2 Ec. simétrica: 3 x 21 5 y 21 5 z 21 , b2c b c 101. (3, 0, 0) es un punto en el plano. Sea p 5 (12 3)i 1 (22 2 0)j 1 (3 2 0)k ∀b, c ∈R 2 {0} 89. Necesitaremos 3 2 2t 523 1 s ⇒ t 5 6 2 s; 522i 2 2j 1 3k, n 5 2i 2 j 2 k 2 proy n p 5 25 ( 2 i 2 j 2 k ) 4 1 t 5 2 2 4s ⇒ t 522 2 4s, y 6 22 1 7t 511 6s ⇒ t 5 3 1 6s ; 5 210 i 1 5 j 1 5 k 7 6 66 6 2 s 522 2 4s ⇒ s 5210 7, y d 5 proynp 5 150 5 5 2 66 22 2 4s 5 3 1 6s ⇒ s 5217 22; 103. cos21 21 207 7
Respuestas a los problemas impares 701 CAPÍTULO 4 Problemas 4.2, página 286 1. Sí aditivo 2x y V es una cerradura bajo la adición. Entonces x 1 z 5 x 1(2x 1 y) 3. No; iv); tampoco vi) se cumple si α , 0 5 (x 2 x) 1 y 5 0 1 y 5 y. Suponga que existen z y z9 tales que x 1 z 5 y y x 1 z9 5. Sí 5 y. Entonces z 5 2x 1 y 5 z9. Por lo que z es única. 7. No. Como se requiere que todos los poli- nomios sean de grado 5, cualquier polino- 27. Sean y y y2 soluciones a la ecuación. En- mio de grado menor no pertenece al con- tonces junto, por lo que no existe neutro aditivo ya que 0 no es un polinomio de grado 5. y1′′1 a( x ) y1′ 1 b( x) y ( x) 5 0 1 9. Sí, i) ⎛ 0 a⎞ 1 ⎛0 α⎞ 5 ⎛ 0 a 1α⎞ y ⎜⎝ b 0 ⎠⎟ ⎜⎝ β 0 ⎠⎟ ⎜⎝ β 0⎟⎠ ; b 1 y2′′ 1 a( x ) y2′ 1 b( x) y ( x ) 5 0 2 iii) ⎛0 0⎞ ∈V ; α ⎛ 0 a⎞ 5 ⎛0 αa⎞ ∈V Entonces ⎝⎜ 0 0⎠⎟ ⎜⎝ b 0 ⎟⎠ ⎜⎝ αb 0⎟⎠ el resto de los axiomas se derivan del teo- ( y1 1 y2 )0 1 a(x)( y1 1 y2 )9 rema 1.5.1 1 b(x)( y1 1 y2 ) 11. Sí, es un espacio vectorial trivial. 5 [ y1′′1 a( x ) y1′ 1 b( x ) y ] 1 13. No; iii) 0 ∉V ; iv) si p(x) ∈V , entonces 1[ y2′′1 a(x) y2′ 1 b(x) y2 ] 2p(x) ∉V dado que no tiene un término constante positivo; vi) no se sostiene si 501050 α, 0. de manera que y1 1 y2 es una solución. Si- 15. Sí milarmente, (αy1)0 1 a(x)(αy19) 1 b(x) (αy) 5 α[y10 1 a(x)y19 1 b(x)y1] 5 α ? 0 5 0, con 17. No; i), iii), iv), vi) no se cumplen lo que αy1 también es una solución, y la cerradura se cumple. Como 2y1 5 (21)y 19. Sí 21. Sí también es una solución, se tiene el inver- 23. Suponga que 0 y 09 son identidades aditi- so aditivo. Es sencilla la deducción de los vas. Entonces, por definición de identidad aditiva, 0 5 0 1 09 y 09 5 09 1 0 5 0 1 09. otros axiomas. Así, 0 5 09. MATLAB 4.2 25. Para x, y en V defina z como z 5 2x 1 y. z existe ya que toda x tiene un inverso 1. Demostración de programa vctrsp.m Problemas 4.3, página 297 1. No; porque a(x, y) x H si a , 0 13. H no es un subespacio. ⎛a 11 a⎞ 1 3. H es un subespacio. ⎜⎝ 0 0⎟⎠ 5. H no es un subespacio. (1, 0) F H, pero ⎛b 11 b⎞ 5 ⎛ a 1 b 2 1 a 1 b⎞ ∉H 2(1, 0) 5 (2, 0) F H. ⎝⎜ 0 0⎟⎠ ⎝⎜ 0 0⎠⎟ 7. Sí 15. Sí 9. H es un subespacio. 17. H es un subespacio. 11. H es un subespacio. 19. H es un subespacio.
702 CAPÍTULO 4 21. H es un subespacio. 0 de manera que αx1 ∈ H y H es un sub- espacio. 23. H es un subespacio. 25. H no es un subespacio. H no contiene a 0. 31. Sean u 5 (x1, y1, z1, w1) y v 5 (x2, y2, z2, w2) ∈ H. Entonces u 1 v 5 (x1 1 x2, y1 1 y2, z1 27. a) Si A1, A2 ∈ H1, entonces (A1 1 A2)11 5 1 z2, w1 1 w2) y a(x1 1 x2) 1 b(y1 1 y2) 1 (A1)11 1 (A2)11 5 0 1 0 5 0 y (αA1)11 5 c(z1 1 z2) 1 d(w1 1 w2) 5 (ax1 1 by1 1 cz1 α(A1)11 5 α0 5 0, de manera que H1 es 1 dw1) 1 (ax2 1 by2 1 cz2 1 dw2) 5 0 1 un subespacio. Si A1, A2 ∈ H2, enton- 0 5 0, de manera que u 1 v ∈ H. Similar- ces mente, αu 5 (αx1, αy1, αz1, αw1) y a(αx1) 1 b(αy1) 1 c(αz1) 1 d(αw1) 5 α(ax1 1 by1 A 5 ⎛ 2b1 a1 ⎞ 1 cz1 1 dw1) 5 α0 5 0, de manera que αu 1 ⎝⎜ a1 b1 ⎠⎟ ∈ H. Por lo tanto, H es un subespacio. A 5 ⎛ 2b2 a2 ⎞ 33. Sean x, y ∈ H. Entonces x 5 u1 1 v1 y 2 ⎝⎜ a2 b2 ⎟⎠ u2 1 v2, donde u1, u2 ∈ H1 y v1, v2 ∈ H2. Entonces x 1 y 5 (u1 1 v1) 1 (u2 1 v2) 5 A1 1 A2 5 ⎛ 2(b1 1 b2 ) (a1 1 a2 )⎞ (u1 1 u2) 1 (v1 1 v2), Como H1 y H2 son ⎝⎜ (a1 1 a2 ) (b1 1 b2 ) ⎠⎟ subespacios, u1 1 u2 ∈ H1, y v1 1 v2 ∈ H2, de manera que x 1 y ∈ H. De igual ma- 5 ⎛2c d⎞ ∈ H2. Además, ⎜⎝ d c⎠⎟ nera, αx 5 α(u1 1 v1) 5 αu1 1 αv1. Pero αu1 ∈ H1 y αv1 ∈ H2, por lo que αx ∈ H y ⎛2αb αa ⎞ H es un subespacio. αA1 5 ⎜⎝ 1 1 ⎟⎠ 35. Sean v1 5 ⎛ x1 ⎞ y v2 5 ⎛ x2 ⎞ . v1 no es un αa1 αb1 ⎝⎜ y ⎟⎠ ⎜⎝ y ⎠⎟ ⎛2c d⎞ ∈ H2 1 2 ⎜⎝ d c⎠⎟ 5 múltiplo de v2 ya que los vectores no son y por lo tanto H2 también es un subes- ⎛x x ⎞ pacio. colineales. Sea A 5 1 2 . Entonces ⎝⎜ ⎠⎟ y1 y2 b) H 5 H1 ∩ H2 5 det A 5 x1 y2 2 x2 y1. Si det A 5 0, en- ⎪⎧ ⎛ 0 a⎞ tonces x1 y2 5 x2 y1, o sea, x1 /x2 5 y1 /y2 ⎨ ⎜⎝ a 0⎟⎠ ⎩⎪ A ∈ M 22 : A 5 para algún (si x2 5 0 o y2 5 0, se puede obtener una conclusión similar). Sea c 5 x1 /x2 5 y1 /y2. a ⎫⎪⎬. Entonces x1 5 cx2 y y1 5 cy2, de manera ⎭⎪ escalar Si A1, A2 ∈ H, entonces que v1 5 cv2 lo que contradice lo estableci- do. Así, det A ≠ 0. Sea v 5 ⎛ x⎞ cualquier ⎜⎝ y⎟⎠ ⎛0 a1 ⎞ ⎛ 0 a2 ⎞ A1 5 0 ⎟⎠ , A2 5 ⎜⎝ a 0 ⎠⎟ , A1 otro vector en 2. Se quiere encontrar es- ⎜⎝ a 1 2 calares a y b tales que v 5 av1 1 bv2, o 1 A 5 ⎛0 a1 1 a2 ⎞ 5 ⎛ 0 b⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛ ax1 1 bx2 ⎞ 2 0 ⎟⎠ ⎜⎝ b 0⎟⎠ ⎝⎜ y⎟⎠ ⎝⎜ y1 ⎟⎠ ⎜⎝ y2 ⎠⎟ ⎝⎜ ay1 1 by2 ⎟⎠ ⎝⎜ a1 1 a2 5 a 1 b 5 ∈ H y αA1 5 ⎛ 0 αa1 ⎞ 5 o sea, ⎜⎝ αa1 0 ⎟⎠ ⎛ ⎞ ⎛0 c⎞ ∈H ⎝⎜ x1 x2 ⎟⎠ ⎛ a ⎞ 5 ⎛ x ⎞ ⎝⎜ c 0⎟⎠ y1 y2 ⎝⎜ b ⎠⎟ ⎝⎜ y ⎟⎠ 29. Si x1, x2 ∈ H, entonces, A(x1 1 x2) 5 Ax1 es decir, 1 Ax2 5 0 1 0 5 0, de manera que x1 1 x2 ∈ H. Además, A(αx1) 5 αAx1 5 α0 5 ⎛ a⎞ 5 ⎛ x⎞ A⎜⎝ b⎠⎟ ⎜⎝ y⎟⎠
Respuestas a los problemas impares 703 Como det A ≠ 0, este sistema tiene una so- MATLAB 4.3 lución única ⎛ a⎞ 5 A21 ⎛ x⎞ . Entonces v ∈ 1. Verifique que S 2 S9 5 0. Sugerencia: ⎝⎜ b⎠⎟ ⎜⎝ y⎠⎟ use la definición para demostrar que una matriz W es simétrica; es decir, demuestre H, lo que muestra que 2 ( H. Pero como que wij 5 wji. H ( 2, se tiene que H 5 2 Problemas 4.4, página 303 1. Sí 3. Sí 5 (αc1)v1 1 (αc2)v2 1 . . . 1 (ack)vk están contenidos en gen {v1, v2, . . . , vk}. ⎛ 1 21 5 | x⎞ 21. Utilice la inducción sobre n. Suponga que 5. ⎜ 2 2 2 | y⎟⎟ → ⎜ v1 ∈ H. De acuerdo con el teorema 4.3.1, ⎝⎜ 3 3 3 | z ⎟⎠ αv1 ∈ H para todo escalar α. Por tanto, gen{v1} 8 H. Suponga que gen{v1, v2, . . . ⎛1 0 3 | y/41x/2 ⎞ , vn} 8 H, y vn11 ∈ H. Sea v 5 α1v1 1 α2v2 1 1 αnvn 1 αn11vn11. Se asume que α1v1 ⎜ 0 1 22 | y / 42 x / 2 ⎟ . 1 1 αnvn ∈ H, y el teorema 4.3.1 impli- ⎜ ⎟ ca que αn11vn11 ∈ H. Si se aplica de nuevo ⎝⎜ 0 0 0 | z 2 (3 / 2) / y⎟⎠ el teorema 4.3.1, se tiene que v ∈ H. Por Por lo tanto, sólo podemos resolver si inducción, si {v1, v2, . . . vn} 8 H, entonces z 2 (3/2)y 5 0, que es la ecuación del pla- gen{v1, v2, . . . vn} 8 H. no que pasa por el origen. Por tanto los vectores no generan 3 7. Sí 9. Sí 23. Dado que v1 3 v2 es perpendicular a v1, v2, de ahí al plano generado por v1, v2, v1 11. No; por ejemplo x F gen {1 2 x, 3 2 x2} 3 v2 ? x 5 0 es la ecuación de un plano, el cual contiene a1v1 1 a2v2. Al expandir el 13. Sí producto cruz se muestra que (y1 z2 2 z1 y2)x 1 (z1 x2 2 x1 z2)y 1 (x1 y2 2 x2 y1)z 5 15. No generan M22. 0, es una ecuación de un plano que pasa 17. Suponga que a1x2 1 b1x 1 c1 y a2x2 1 b2x por el origen, el cual contiene H 5 gen 1 c2 generan P2. Sea vi 5 (ai, bi, ci) para i 5 1, 2. Sea αx2 1 βx 1 γ ∈ P2 un poli- {v1, v2}. Dado que v1, v2 no son paralelos v1 nomio diferente de cero tal que (α, β, γ) · 3 v2 ≠ 0, de modo que esta ecuación es la ecuación de un plano (y no sólo 0 5 0). vi 5 0. [Observe que podemos encontrar un polinomio diferente de cero con estas ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 1⎞ características, dado que (α, β, γ) ? vi 5 0 25. Considere ⎝⎜ 0 1⎟⎠ , ⎜⎝ 0 21⎟⎠ , ⎝⎜ 1 0⎠⎟ y es un sistema homogéneo de 2 ecuaciones ⎛ 0 1⎞ ⎝⎜21 0⎠⎟ . Observe que cada matriz es in- y tres incógnitas.] Suponga que αx2 1 βx vertible. 1 γ 5 d1(a1x2 1 b1x 1 c1) 1 d2(a2x2 1 b2x 1 c2). Por tanto, (α, β, γ) ? (α, β, γ) 5 (α, ⎛a b⎞ 5 a ⎡⎛ 1 0⎞ 1 ⎛ 1 0⎞ ⎤ β, γ) ? (d1v1 1 d2v2) 5 0. Pero esto es una ⎜⎝ b d ⎠⎟ 2 ⎣⎢⎜⎝ 0 1⎠⎟ ⎜⎝ 0 ⎥ contradicción, dado que (α, β, γ) ≠ 0. Por 21⎠⎟ ⎦ lo tanto esos dos polinomios no pueden 2d ⎡⎛ 1 0⎞ 2 ⎛ 1 0⎞ ⎤ 1 b ⎡⎛ 0 1⎞ 2 ⎣⎢⎝⎜ 0 21⎟⎠ ⎝⎜ 0 1⎟⎠ ⎥ 2 ⎢⎣⎝⎜ 1 0⎠⎟ generar P2. ⎦ 19. u 5 c1v1 1 c2v2 1 . . . 1 ckvk y v 5 d1v1 1 ⎛ 1⎞ ⎤ ⎡⎛ 0 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎤ d2v2 1 . .. ⎝⎜ 0 0⎟⎠ ⎥ c ⎣⎢⎜⎝ 21 0⎟⎠ ⎜⎝ 0 d1)v1 1 (c2 1 dkvk. Por tanto, u 1 v 5 (c1 1 1 21 ⎦ 2 2 2 1 0⎟⎠ ⎥ 1 d2)v2 1. . . 1 (ck 1 dk)vk y αu ⎦
704 CAPÍTULO 4 MATLAB 4.4 c) El cuarto vector no era necesario, 3. a) i) El sistema de ecuaciones es lo que corresponde al hecho de que 1 5 1c1 2 1c2 2 3c3 x4 era la variable arbitraria natural. 24 5 1c1 1 1c2 1 0c3 d) Se tiene que v4 5 v1 2 2v2 1 v3. De- La solución es c3 arbitrario y c1 5 muestre que la forma escalonada redu- 21.5 2 1.5c3 y c2 5 22.5 1 1.5c3. cida por renglones de la matriz, cuyas ii) La solución es c3 arbitraria y c1 5 22 2 3.2857c3 y c2 5 1 1 .8571c3. columnas son los vectores en el sub- b) Para i), w 5 21.5v1 2 2.5v2 conjunto, no tiene renglones de ceros y 5 w 5 24v1 1 3 v3 y w 5 24v2 2 v3. tiene un pivote en cada columna. 5. a) La razón es que la forma escalonada e) Los vectores no necesarios son el terce- reducida por renglones de A no tiene renglones de ceros. ro y el quinto. El primero w 5 2v1 1 4v2 2 v4 y el segundo b) La forma escalonada reducida por ren- w 5 21v1 1 7v2 2 2v4; v3 5 2v1 1 2v2 glones de A tiene un renglón de ceros, y v5 5 2v1 1 v2 2 2v4. por lo que habrá alguna w para la que 9. b) El término constante de r es 2 3 (térmi- el sistema cuya matriz aumentada es no constante de p) 23 3 (término cons- [A w] no tenga solución y, por lo tan- to, w no será una combinación lineal tante de q) y esto se cumple para los co- de las columnas de A. Experimente eficientes de los términos en x, x2 y x3. para encontrar una w de este tipo por c) Expresados como vectores de 3 3 1 se prueba y error, eligiendo valores para w y verificando si hay una solución. tiene ⎛21⎞ p 5 ⎜ 02⎠⎟⎟⎟ ⎜⎝⎜ ⎧⎛22⎞ ⎛ 8⎞ ⎛ 9⎞ ⎫ ⎪⎩⎨⎪⎝⎜⎜⎜ ⎪ 7. a) La forma escalonada reducida por conjunto 5 205⎟⎟⎟⎠ , ⎜⎜⎝⎜2269⎟⎠⎟⎟ , ⎝⎜⎜⎜2271⎠⎟⎟⎟ ⎬ ⎪ renglones no tiene renglones de ceros ⎭ (por lo que la solución existe) y hay al p es una combinación lineal con p 5 p1 2 p2 1 p3, donde pi se refiere al i-ésimo menos una columna sin pivote, lo que polinomio en el conjunto. El conjunto implica que habrá una variable arbi- de polinomios genera a todo P2. d) p 5 3p1 1 2p2 1 p3; el conjunto no pue- traria en la solución. de ser generador, por el problema 18. b) Para la primera w dada se tiene x1 5 2 2 x4, x2 5 21 1 2x4, x3 5 2 2 x4 y e) Sí, ya que la forma escalonada redu- x5 5 1. Así, w 5 2v1 2 v2 1 2v3 1 v5. Para la cida por renglones de la matriz, cuyas segunda w dada se tiene x1 5 23 2 x4, x2 5 6 1 2x4, x3 5 1 2 x4 y x5 5 1. columnas son los vectores que repre- Entonces, w 5 23v1 1 6v2 1 v3 1 v5. sentan los polinomios dados, no tiene renglones de ceros. Problemas 4.5, página 323 1. Independiente. 9. Independiente. 3. Dependientes. 11. Independientes. 5. ⎛22⎞ ≠ a ⎛ 4⎞ de modo que es linealmente 13. Linealmente dependiente. ⎝⎜ 3⎠⎟ ⎜⎝ 7⎠⎟ 15. Linealmente dependiente, pues 4 vectores independiente. en 3 son siempre dependientes (teorema 2). 7. Dependiente (por el teorema 2).
Respuestas a los problemas impares 705 17. Independiente. ⎛1 21 7 21 | 0⎞ → 19. Independiente. 39. ⎜⎝ 2 3 28 1 | 0⎟⎠ 21. Linealmente dependiente. ⎛1 21 7 21 | 0⎞ → 23. Linealmente dependiente. ⎜⎝ 0 5 222 3 | 0⎠⎟ 25. Linealmente dependiente. ⎛ 1 0 13 / 5 22 / 5 | 0⎞ 27. Linealmente independiente. ⎜⎝ 0 1 222 / 5 3 / 5 | 0⎟⎠ . aaa Así es que si se resuelve en términos de x3, 11 12 13 x4, da por resultado 29. a21 a22 a23 5 0, vea la solución 1.4.20. ⎛ x1 ⎞ ⎛213 / 5⎞ ⎛ 2 / 5⎞ a31 a32 a33 ⎜ x ⎟ ⎜⎜23 / 5⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎛ 2⎞ ⎛24⎞ ⎜ 2 5 x ⎜ 22 / 5⎟⎟ 1 x ⎝⎜ 1⎟⎠ . ⎜⎜⎝ 3 ⎜ 4 ⎟ ⎜ 1⎟ 31. Observe que 22 ⎜⎜23⎟⎟ 5 ⎜ 6⎟⎟ . Por tanto x3 ⎟ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜ ⎜⎝ 1⎠⎟ ⎜⎝22⎠⎟ x4 ⎟⎠ el conjunto de vectores es linealmente de- pendiente para todo número real α. ⎛ 13⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ 261⎟⎠⎟ ⎜ x2 ⎟ 33. Si v1, . . . , vn son linealmente dependien- 41. x3 ⎜⎝ 5 ⎜ x3 ⎟ tes, entonces existe una solución no trivial ⎜⎝ ⎠⎟ (c1, . . . , cn) de c1 v1 1 . . . 1 cn vn 5 0. En- tonces (c1, . . . , cn, 0) es una solución no ⎛ 0⎞ ⎛ 21⎞ ⎛ 21⎞ trivial de c1 v1 1 . . . 1 cn vn 1 cn11vn11 5 0. Por tanto, v1, . . . , vn, vn11 son linealmente 43. 5 ⎜ 1⎟⎟ 1 ⎜ 0⎟⎟ 1 ⎜ 0⎟⎟ , con c1, c2, independientes. ⎜ ⎜ ⎜ 0⎟ x c ⎜ 0⎟ c ⎜ 1⎟ c ⎜ 0⎟⎟ 1 2 ⎜ 0⎟⎟ 3 ⎜ ⎜ 1⎟⎟ ⎜ ⎜ 35. Suponga que v1 y v2 son linealmente de- ⎜ pendientes. Entonces v2 5 αv1 para algún ⎝⎜ 0⎠⎟ ⎝⎜ 0⎠⎟ ⎝⎜ 1⎟⎠ α ≠ 0. Entonces v1 ? v2 5 α|v1|2 ≠ 0 dado que v1 es un vector diferente de cero. Esto c3 arbitrarias. contradice el que v1 y v2 sean ortogonales. Por tanto, v1 y v2 son linealmente indepen- 45. a) u ? v 5 0 ⇒ (1, 2, 3) ? (v1, v2, v3) 5 0 dientes. ⇒ v1 1 2v2 1 3v3 5 0 37. Suponga que v1, v2, . . . , vn son linealmen- Como tenemos una ecuación y tres in- cógnitas tenemos un número infinito de te independientes. Entonces a1v1 1 a2v2 soluciones, tenemos que mostrar que 1 . . . 1 an vn 5 0 sólo tiene la solución las soluciones son un espacio vectorial, de modo que si escogemos w y z tales trivial. Así es que al resolver no hay varia- que bles arbitrarias, por lo cual cada columna u?w50 y u?z50 en la forma escalonada por renglones tie- u ? (w 1 z) 5 u ? w 1 u ? z 5 0 ne un pivote. Dado que hay n renglones y La suma w 1 z cumple con que per- tenece al mismo conjunto que w, z. Si n columnas, cada renglón tiene un pivote, ahora u ? (aw) 5 a(u ? w) 5 0 también aw pertenece al conjunto [ la solución es decir, no hay reglones que sean cero infinita forma un subespacio de R3. en la forma escalonada. En cambio, si la forma escalonada por renglón de A no contiene un renglón de ceros, esto implica que la única solución a Ax 5 0 es x 5 ⎧⎛ ⎞ ⎛ 23 ⎞ ⎫ ⎨⎩⎪⎪⎝⎜⎜⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪ 0, dado que n renglones distintos de cero 22 ⎠⎟⎟ , ⎜⎝⎜ 1 ⎟⎠⎟ ⎬ 1 ⎪ implican n pivotes. Por tanto, v1, v2, . . . , b) 0 ⎭ vn son linealmente independientes.
706 CAPÍTULO 4 i jk En virtud de la sustitución regresiva, tene- c) 22 1 0 5 i 1 2j 1 3k mos an 5 0, an 21 5 0, . . . ,va1 215v201, a1. 5 0. 23 0 1 Por tanto, v1, v1 1 v2, . . . , .. 1 vn son linealmente independientes. d) u 5 w ⇒ que son linealmente depen- 57. Si todos los vectores son el vector cero, dientes. entonces hemos terminado. Si no, enton- e) H consiste de todos los vectores per- pendiculares a u, H es el plano normal ces sin perder la generalidad, asuma que a u ? w 5 x 3 y es perpendicular al plano. Como u y w son perpendicula- v1 es un vector diferente de cero. Dado res al mismo plano, deben ser lineal- que {v1, v2} es linealmente dependiente, v2 mente dependientes. 5 a1v1 para al menos una a1. Como {v1, v3} es linealmente dependiente, v3 5 a2v1 47. Se pueden escribir tres ecuaciones con para al menos una a2. Si continuamos con cuatro incógnitas, el sistema es homogé- este procedimiento, vemos que cada vec- neo y siempre tiene un número infinito de soluciones. tor es un múltiplo de v1. f1 ( x ) f2(x) p fn(x) 49. Se tiene un sistema de n 1 1 ecuaciones con 59. f1′( x ) f2′(x) p fn′(x) n 1 2 incógnitas, el sistema es homogéneo por lo que tiene infinitas soluciones. o ooo f (n21) (x) f ( n21) ( x ) p fn(n21) ( x) 2 1 51. Suponga que A1, A2, A3, A4, A5, A6 y A7 61. Necesitamos 12c 11c 5 (1 2 c)2 2 están en M32. Considere resolver a1A1 1 a2A2 1 a3A3 1 a4A4 1 a5A5 1 a6A6 1 a7A7 11c 12c 5 0 para (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7). Esto genera seis ecuaciones homogéneas con (1 1 c)2 52 4c ≠ 0. Por lo tanto, los vecto- res son linealmente independientes si c ≠ 0. siete incógnitas. Entonces, sin importar 63. Suponga que {v1, v2, . . . , vn, v} es un con- las matrices dadas, habrá siempre una junto linealmente dependiente. Como {v1, solución no trivial. Así que cualquiera de v2, . . . , vn} es un conjunto linealmente in- las siete matrices de M32 son linealmente dependiente, entonces v 5 a1v1 1 . . . 1 dependientes. an vn para al menos una a1, . . . , an ∈ R en 53. Observe que S1 ∩ S2 es un subconjunto tanto de S1 como de S2, cada uno de los virtud del problema 56. Entonces v ∈ gen cuales es un conjunto linealmente inde- {v1, v2, . . . , vn}, que es una contradicción. pendiente. Entonces, en virtud del pro- Por lo tanto {v1, v2, . . . , vn, v} es un con- junto linealmente independiente. blema 43 S1 ∩ S2 es linealmente indepen- diente. (Observe que el conjunto vacío de 65. 1 2 x2, 1 1 x2, x. (Cualquier cuadrática con un término x diferente de cero fun- vectores es linealmente independiente, así cionará.) que no se requiere que S1 ∩ S2 sea un con- MATLAB 4.5 junto no vacío.) 1. En cada caso, se ingresa la matriz aumen- 55. Sea a1v1 1 a2(v1 1 v2) 1 . . . 1 an (v1 1 v2 1 tada A. Si rref(A) tiene una columna en la .. . izquierda sin pivote en ella, entonces los 1 . 1 vn) 5 0. Entonces, .te1neamn)vo2s1(a.1 1 a2 vectores son dependientes, de lo contrario .. 1 an)v1 1 (a2 1 . . .. 1 son independientes. an vn 5 0. Como {v1, v2, . . . , vn} es un con- 1) Linealmente independientes. 2) Linealmente independientes. junto linealmente independiente, tenemos 3) Linealmente dependientes. 4) Linealmente dependientes. a 1a 1 p 1a 50 n 12 a2 1 p 1 an 5 0 o an 5 0
Respuestas a los problemas impares 707 5) Linealmente independientes. de la ecuación. Para el inciso e) supon- 6) Linealmente independientes. ga que α1v1 1 . . . 1 αkvk 1 . . . 1 αnvn 7) Linealmente dependientes. 5 0, donde αk ≠ 0. Entonces utilice 8) Linealmente independientes. esto para despejar vk. 9) Linealmente independientes. 10) Linealmente independientes. 9. a) La forma escalonada reducida por ren- 11) Linealmente independientes. glones, cuyas columnas son los vecto- 12) Linealmente independientes. res en el conjunto dado, tiene un pivote 13) Linealmente dependientes. en cada columna pero tiene un renglón 14) Linealmente independientes. de ceros. 15) Linealmente dependientes. 16) Linealmente dependientes. b) La forma escalonada reducida por renglones de la matriz, cuyas columnas 3. Las columnas siempre serán dependientes son los vectores en el conjunto dado, en una matriz que tiene más columnas que no tiene renglones de ceros pero tiene renglones. Sugerencia: ¿qué puede decir al menos una columna sin pivote. sobre la localización de los pivotes en la forma escalonada reducida por renglones c) No. de tal matriz? 11. 17) Linealmente independiente. 5. a) Az es una combinación lineal de las columnas de A. 18) Linealmente dependiente. b) Primero genere un vector aleatorio z del 19) Linealmente independiente. lado derecho y después haga w 5 Az, donde A es la matriz cuyas columnas 20) Linealmente independiente. son los vectores en el conjunto dado. 21) Linealmente independiente. c) {v1, . . . , vk, w} es linealmente depen- diente. Problemas 17, 19 y 20: el conjunto es in- dependiente. Problema 18: el conjunto es 7. a) Las columnas sin pivote en la forma dependiente y 3x 1 5x2 5 213(2x) 1 escalonada reducida por renglones 5(x2 2 2x). Problema 22: el conjunto es corresponden a las columnas que se dependiente y x3 1 18x 2 9 5 8.7273(2x) crearon como combinaciones lineales 1 3.1818(x3 23) 1 .5455(11 x 24x3) (los de otras columnas. coeficientes exactos son 96/11, 35/11 y 6/11). c) Las columnas de A son dependientes. e) Alguna o algunas columnas de A son 13. Sea A una matriz aleatoria del tamaño de- seado. Encuentre A(:) y observe que crea combinaciones de columnas anteriores la representación vectorial de A como se de A. describió en MATLAB 4.4, problema 10. f ) Sugerencia: para el inciso c) reescriba Pruebe la independencia o dependencia la combinación lineal con 0 en un lado de los vectores. Sugerencia: las matrices en Mmn están representadas por vectores con mn componentes. Problemas 4.6, página 339 1. No; no genera. ⎛22⎞ ⎧⎛ 2 / 3⎞ ⎛22⎞ ⎫ 3. Sí. 5. Sí. z ⎜ 01⎠⎟⎟⎟ ; ⎩⎪⎪⎨⎜⎜⎜⎝ 01⎠⎟⎟⎟ , ⎜ 01⎟⎟⎠⎟ ⎪ es una base. ⎜⎜⎝ ⎝⎜⎜ ⎬ 7. No; no genera. 9. Sí. ⎪ ⎭ 11. No todos los vectores son colineales. 13. No. ⎛ x⎞ ⎛ (2 / 3) y 2 2x⎞ ⎛ 2 / 3⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 3t⎞ ⎛ 3⎞ ⎧⎛ 3⎞ ⎫ ⎩⎨⎪⎪⎜⎜⎜⎝ ⎪ 15. ⎜ zy⎟⎟⎟⎠ 5 ⎜ y⎟⎟ 5 y ⎜ 01⎠⎟⎟⎟ 1 17. ⎜ y⎟⎟ 5 ⎜⎜22t ⎟ 5 t ⎜ 22⎟⎟ ; 22⎟⎟ ⎬ ⎜⎜⎝ ⎜ z⎠⎟ ⎜⎜⎝ ⎜ z ⎠⎟ ⎝⎜ t ⎟ ⎜ 1⎟⎠ 1⎟⎠ ⎪ ⎜⎝ ⎝⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎭
708 CAPÍTULO 4 19. a) Suponga que (x1, y1, z1, w1) y (x2, y2, z2, 23. ⎛1 22 | 0 ⎞ ⎛ 1 0 | 0 ⎞ . w2) están en H. Entonces, a(x1 1 x2) 1 ⎜ ⎟ →⎜ ⎟ b(y1 1 y2) 1 c(z1 1 z2) 1 d(w1 1 w2) ⎝ 3 1 | 0⎠ ⎝ 0 1 | 0⎠ 5 ax1 1 by1 1 cz1 1 dw1 1 ax2 1 by2 1 cz2 1 dw2 5 0 y a(αx1) 1 b(αy1) 1 La solución es el subespacio trivial. c(αz1) 1 d(αw1) 5 α(ax1 1 by1 1 cz1 1 dw1) 5 0. ⎧⎛22⎞ ⎫ Por tanto, H es un subespacio de R4. ⎪⎨⎪⎩⎜⎝⎜⎜ ⎪ 25. 23⎟⎟ ⎬ b) Dado que abcd ≠ 0, a es diferente de 1⎠⎟ ⎪ ⎭ cero. Entonces, 27. El espacio solución es el trivial. ⎛ x ⎞ ⎛2(by 1 cz 1 dw) / a⎞ ⎧⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎫ ⎜ y ⎟ 5 ⎜ y⎟⎟ 5 29. ⎪⎩⎪⎨⎝⎜⎜⎜ 0 0 00⎟⎟⎠⎟ , ⎜ 0 1 00⎟⎟⎠⎟ , ⎜ 0 0 01⎟⎠⎟⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ z⎟ 0 0 ⎝⎜⎜ 0 0 ⎝⎜⎜ 0 0 ⎬; ⎜ z⎟ ⎜ ⎪ ⎝⎜ w⎟⎠ ⎝⎜ w⎠⎟ ⎭ ⎛2b / a⎞ ⎛2c / a⎞ ⎛2d / a⎞ genera a D3 5 3. ⎜ 1⎟⎟ 1 z ⎜ 0⎟⎟ 1 w ⎜ 0⎟⎟ . 31. Sean A H Snn y B H Snn. Entonces, A 1 y⎜ ⎜ ⎜ 0⎟ B 5 At 1 Bt 5 (A 1 B)t. Por lo tanto, A 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ ⎜ 1 B H Snn. Además, αA 5 αAt 5 (αA)t. ⎝⎜ 0⎠⎟ ⎝⎜ 0⎠⎟ ⎜⎝ 1⎠⎟ Así que αA ∈ Snn. En virtud del teorema 4.3.1, Snn es un subespacio de Mnn. Para i Por tanto, una base para H es # j, sea bij la matriz n 3 n con bij 5 bji 5 1 y 0 en cualquier lado. Observe que ambas ⎧⎛2b / a⎞ ⎛2c / a⎞ ⎛2d / a⎞ ⎫ ⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎜⎝⎜⎜⎜ ⎪ Bij son simétricas y linealmente indepen- 1⎟⎟ , ⎜ 0⎟⎟ , ⎜ 0⎟⎟ ⎬⎪. dientes, y cada matriz simétrica se puede ⎜ ⎜ 0⎟ ⎪ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟⎠ ⎪⎭ escribir como una combinación lineal de 0⎟⎠ ⎝⎜ 0⎠⎟ ⎝⎜ Bij. Por tanto, {Bij : 1 # i # j # n} es una c) dim H 5 3 base para Snn y gen Snn 5 n 1 (n 2 1) 1 ⎛ xx12⎟⎟⎞ ⎛ xx21⎞⎟⎟ ⎛1⎞ ∑(n 2 2) 1 . . . 1 2 1 1 5 n k 5 n(n 11). ⎜ ⎜ ⎜⎜0⎟⎟ ⎜ ⎜ k51 2 21. ⎜ x3⎟⎟ 5 ⎜ x3⎟⎟ 5 x1 ⎜0⎟ 1 33. En virtud del problema 4.5.55, son lineal- ⎜ x4⎟⎟ ⎜ ⎜⎜0⎟⎟ mente independientes. En virtud del teo- ⎜ x5⎠ ⎜ x4 ⎟ ⎜⎝2⎟⎠ rema 5, constituyen una base para V. ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎝2 x1 2 3x2 1 x3 1 4 x4⎠ 35. Suponga que existe v ∈ K tal que v F H. ⎛ 0⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ Sea {u1, u2, . . . , un} una base para H. En- ⎜ 1⎟⎟ ⎜⎜0⎟⎟ ⎜⎜0⎟⎟ tonces, {u1, u2, . . . , un, v} es un conjunto ⎜ linealmente independiente contenido en ⎜ 0⎟ 1 ⎜1⎟ 1 ⎜0⎟ x2 ⎜ 0⎟⎟ x3 ⎜⎜0⎟⎟ x4 ⎜⎜1⎟⎟ K. Esto implica que dim K $ n 1 1 . n 5 ⎜ dim H, lo cual es una contradicción. Por ⎝⎜23⎠⎟ ⎝⎜1⎟⎠ ⎝⎜4⎟⎠ lo tanto H 5 K. Por tanto, los vectores 37. Si H 5 V, entonces K 5 {0}. Si H 5 {0}, ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ entonces K 5 V. Suponga que H es un ⎜⎜0⎟⎟ ⎜ 1⎟⎟ ⎜⎜0⎟⎟ ⎜⎜0⎟⎟ subespacio propio. Sea {v1, v2, . . . , vk} ⎜ una base para H y sea dim V 5 n. En ⎜0⎟ , ⎜ 0⎟ , ⎜1⎟ y ⎜0⎟ ⎜⎜0⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜⎜0⎟⎟ ⎜⎜1⎟⎟ virtud del problema 32, existen vectores ⎜ ⎜⎝2⎟⎠ ⎝⎜23⎟⎠ ⎜⎝1⎠⎟ ⎜⎝4⎠⎟ {vk 11, vk 12, . . . , vn}, tal que {v1, v2, . . . , vn} es una base para V. Sea k 5 gen {vk 11, forman una base para H. vk 12, ..., vn. Resulta evidente que H 1 K 5 V. Suponga que v ∈ H ∩ K. Entonces,
Respuestas a los problemas impares 709 kn 34, podemos reducir este conjunto genera- dor hasta que tengamos un conjunto que ∑ ∑v 5 αivi 5 βivi , lo cual da como re- genere a H y que sea linealmente indepen- i51 i5k11 diente. Por tanto, H tiene una base. kn a 1 11a a 1 a 43. 1 0 1 5 1 0 1 52a(a 2 a) 5 0 . ∑ ∑sultado αivi 2 βivi 5 0. Por tanto, i51 i5k11 0a a 0a0 cada αi 5 0 y cada βj 5 0, y de aquí se des- Los vectores nunca forman una base para prende que H ∩ K 5 {0}. Es falso que K sea 3, dado que para todos los valores de a, único, por ejemplo si H 5 ⎪⎧⎨α ⎛ 1⎞ ⎪⎫ 5 eje x los vectores son dependientes. ⎪⎩ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎬ ⎪⎭ MATLAB 4.6 en R2, K puede ser cualquier línea que pase 1. La base necesita generar todo n y ser independiente. ¿Qué propiedades de la por el 0, con pendiente diferente de cero. forma escalonada reducida por renglones de la matriz, cuyas columnas son los vec- 39. Suponga que v1, v2 y v3 son coplanares. Si tores de la base, reflejan cada una de estas los vectores son paralelos, dim gen {v1, v2, propiedades de la base? v3} 5 1. Si al menos dos de los vectores no son paralelos, entonces, dim gen {v1, v2, v3} 3. a) El nuevo conjunto no generará a 5 2. Por tanto, en cualquier caso, dim gen todo n. {v1, v2, v3} # 2. Por otra parte, asuma que b) El nuevo conjunto no será indepen- diente. dim gen {v1, v2, v3} # 2. Si la dimensión es c) Sugerencia: piense en las propiedades, 1, sea {v} una base. Entonces v1 5 αv, v2 5 de tener o no un renglón de ceros en la forma escalonada reducida por renglo- βv y v3 5 γv. Si la dimensión es 1, entonces nes y de tener o no un pivote en cada columna. α, β o γ sea cero. Podemos asumir que α ≠ 5. b) A es invertible si y sólo si las columnas 0. Entonces, v2 5β v1 y v3 5 γ v1, lo cual de A forman una base. α α c) Sugerencia: A es invertible si y sólo si demuestra que los vectores son paralelos. la forma escalonada reducida por ren- glones de A es la identidad. ¿Cómo se Si la dimensión es 2, sea {u, v} una base. refleja esto en las propiedades de esta forma para concluir que las columnas Entonces, v1 5 α1u 1 β1v, v2 5 α2u 1 β2v y de A forman una base para n? v3 5 α3u 1 β3v. Por tanto, v1 ? (v2 3 v3) 5 v1 ? [α2α3(u 3 u) 1 β2α3(v 3 u) 1 α2β3(u 3 v) 1 β2β3(v 3 v)] 5 α1(α2β3 1 β2α3)[u ? (u 3 v)] 1 β1(α2β3 2 β2α3)[v ? (u 3 v)] 5 0. 41. Si H 5 V, entonces H tiene una base. Su- ponga que H es un subespacio propio de V, entonces, como V tiene dimensión fini- ta, se desprende que H es generado por un número finito de vectores. Sea {v1, v2, . . . , vk} un subconjunto de H que genera a H. Con el método que se usó en el problema Problemas 4.7, página 353 11. ρ 5 3, ν 5 1 1. ρ 5 2, ν 5 0 3. ρ 5 2, ν 5 1 1 21 2 3 13. 0 1 0 1 521 ≠ 0 ⇒ ρ5 4; ν 5 4 2 4 50 1 21 2 5. 3 1 4 5 22 ≠ 0 ⇒ ρ5 3; ν 5 32 35 0 1 010 0 001 21 0 4 15. ρ 5 2, ν 5 2 17. ρ 5 3, ν 5 1 7. ρ 5 2, ν 5 1 19. ρ 5 2, ν 5 1 9. ρ 5 2, ν 5 2
710 CAPÍTULO 4 21. Base para el rango A 5 ⎪⎧⎛ 1⎞ , ⎛21⎞ ⎪⎬⎫; ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎫ ⎨⎪⎩⎜⎝ 3⎠⎟ ⎝⎜ 1⎠⎟ ⎭⎪ ⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎝⎜⎜⎜⎜ ⎪ base para NA 5 3⎟⎟ , ⎜ 3⎟⎟ ⎪ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎬ ⎛1 21 2 | 0⎞ → ⎛ 1 21 2 | 0⎞ 0⎟⎠ ⎜ 1⎠⎟ ⎪ ⎜⎝ 3 1 0 | 0⎟⎠ ⎜⎝ 0 4 26 | 0⎠⎟ ⎜⎝ ⎭⎪ → ⎛ 1 0 1/ 2 | 0⎞ ; base para 27. En virtud del problema 17, dim CA 5 3. ⎜⎝ 0 1 23 / 2 | 0⎟⎠ Observe que las primeras tres columnas de A son linealmente independientes. La base ⎧⎛21 / 2⎞ ⎫ ⎧⎛21⎞ ⎛21⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ N A 5 ⎪⎩⎪⎨⎜⎜⎜⎝ ⎬⎪ . 3 / 21⎟⎟⎠⎟ ⎪ para el rango A 5 ⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎜⎜⎝⎜⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 2⎟⎟ ⎬⎪⎪. ⎭ 4⎟ ⎜ ⎜ ⎪ 3⎟⎠ , ⎜ 0⎟ , ⎜22⎟ ⎪⎭ 23. Observe que c2 5 22c1, y c3 5 2c1, enton- ⎝⎜21⎟⎠ ⎝⎜ 0⎠⎟ ⎧⎛21⎞ ⎫ Continuando con la reducción ces, la base para el rango A 5 ⎩⎪⎪⎨⎝⎜⎜⎜ 223⎟⎟⎟⎠ ⎪ ⎛21 21 0 0 | 0⎞ ⎬ ⎪ ⎜ 0 0 2 3 | 0⎟⎟ → ⎭ ⎜ ⎜ 4 0 22 1 | 0⎟ ⎝⎜ 3 21 0 4 | 0⎟⎠ ⎛21 2 1 | 0⎞ ⎛21 2 1 | 0⎞ ⎜ 2 22 24 | 0⎟⎟ → ⎜ 0 0 0 | 0⎟⎟ ⎛ 1 1 0 0 | 0⎞ ⎜ ⎜ ⎝⎜23 6 3 | 0⎠⎟ ⎜⎝ 0 0 0 | 0⎠⎟ ⎜ 0 24 22 1 | 0⎟⎟ → ⎜ ⎜ 0 0 2 3 | 0⎟ ⎧⎛ 2⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ ⎝⎜ 0 0 0 0 | 0⎟⎠ ⎪⎪⎨⎩⎜⎜⎜⎝ ⎪ ⇒ x1 5 2x2 1 x3; base para N 5 01⎟⎟⎠⎟ , ⎜ 11⎟⎠⎟⎟ ⎬ A ⎜⎝⎜ ⎪ ⎭ ⎛ 1 0 0 1 | 0⎞ 25. Observe que en virtud del problema 15, ⎜ 0 1 0 21 | 0⎟⎟ . ⎜ dim CA 5 2, y las primeras dos columnas ⎜ 0 0 1 3 / 2 | 0⎟ de A son linealmente independientes. La ⎜⎝ 0 0 0 0 | 0⎟⎠ ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 21⎞ ⎫ ⎧⎛ 21⎞ ⎫ ⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎜⎜⎜⎜⎝2211⎠⎟⎟⎟⎟ ⎪ ⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎝⎜⎜⎜⎜23 / ⎪⎪ base para el rango A , ⎜ 0⎟⎟ ⎪ base para NA 5 1⎟⎟ ⎬ ⎜ ⎬ 2⎟ ⎪ ⎜ 22⎟ ⎪ 1⎠⎟ ⎭⎪ ⎜⎝ 21⎠⎟ ⎭⎪ ⎛ 1 21 2 1 | 0⎞ ⎛ 1 22 3⎞ ⎛1 22 3⎞ ⎛ 1 22 3⎞ ⎜⎜21 0 1 2 | 0⎟⎟ → ⎜ 1 22 5 4 | 0⎟ 29. ⎜ 2 21 4⎟⎟ → ⎜ 0 3 2⎟⎟ → ⎜ 0 3 2⎟⎟. ⎝⎜ 2 21 1 21 | 0⎟⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 3 23 3⎟ ⎜ 0 3 26⎟ ⎜ 0 0 8⎟ ⎜⎝ 2 1 0⎠⎟ ⎝⎜ 0 5 26⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0⎠⎟ ⎛ 1 21 2 1 | 0⎞ ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎫ ⎜ 0 1 23 23 | 0⎟⎟ → ⎨⎪⎪⎩⎜⎜⎜⎝223⎟⎟⎠⎟ , ⎜ 23⎠⎟⎟⎟ ⎜ 03⎠⎟⎟⎟ ⎪ ⎜ ⎜⎝⎜ ⎜⎜⎝ ⎬ ⎜ 0 0 0 0 | 0⎟ Base , ⎪ ⎭ ⎝⎜ 0 0 0 0 | 0⎠⎟ ⎛ 1 0 21 22 | 0⎞ ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎜⎜⎝⎜⎜ 0 ⎠⎟⎟⎟⎟ ⎪⎪⎪⎭⎪⎬ ⎜ 0 1 23 23 | 0⎟⎟ 31. 21 ⎟ , ⎜ 2 ⎟ , ⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎜ 0 0 0 0 | 0⎟ ⎜⎝ 0 0 0 0 | 0⎠⎟ 1⎟ ⎜ 22 ⎟ ⎜ 21 ⎟⎠ ⎝⎜ 3 ⎠⎟ ⎜⎝
Respuestas a los problemas impares 711 33. No 45. Como ρ(A) 5 5, los cinco renglones de A son linealmente independientes. Entonces 35. ρ(A) 5 ρ(A, b) por lo que se tiene solu- los cinco renglones de (A, b) son lineal- ción única. mente independientes y ρ(A, b) 5 5. ⎛ 1 22 1 1 | 2⎞ 47. Por el problema 43, ρ(A) 5 ρ(AD) 5 ρ(C(AD)) 5 ρ(B). 37. ⎜ 3 0 2 22 | 28⎟⎟ → ⎜ 4 21 21 | 1⎟ 49. ii) Si existe una x ≠ 0 tal que Ax 5 0, en- ⎜0 0 3 21 | 0⎟⎠ tonces A(αx) 5 αAx 5 0 para todo α ⎝⎜ 5 ∈ de manera que ν(A) 5 dim NA $ 1 y ρ(A) 5 n 2 ν(A) # n 2 1 , n. ⎛ 1 22 1 1 | 2⎞ ii) Si ρ(A) , n, entonces ν(A) 5 n 2 ρ(A) ⎜ 0 6 21 25 | 214⎟⎟ → . 0 de manera que existe una x ≠ 0 tal ⎜ que Ax 5 0. ⎜ 0 4 21 21 | 1⎟ ⎝⎜ 0 10 22 26 | 212⎠⎟ ⎛ 1 22 1 1 | 2⎞ ⎧⎛ 187⎞ ⎛ 246⎞ ⎫ ⎜ 0 6 21 25 | 214⎟⎟ 51. Imagen A 5 gen ⎨⎪⎩⎪⎜⎜⎜⎝ 235⎟⎟ , ⎜ 51⎟⎟ ⎬⎪; ⎜ 257⎠⎟ ⎜ ⎪ ⎜ 0 0 1 27 | 231⎟ ⎭ ⎜⎝ 0 0 1 27 | 234⎠⎟ ⎝⎜2148⎠⎟ ρ(A) 5 3 ≠ 4 5 ρ(A, b) ⇒. No hay solu- ρ(A) 5 2; ν(A) 5 3 ción. ⎧⎛ .0284⎞ ⎛ 2.0311⎞ ⎪⎜ 39. Dado que A es una matriz cuadrada trian- 53. Imagen A 5 gen ⎪⎨⎪⎜⎜ 20.5110⎟⎟ , ⎜⎜2.1216⎟⎟ , gular inferior con ceros en la diagonal, el ⎩⎪⎪⎪⎜⎜⎝⎜ 2.0965⎟ ⎜2.4270⎟ renglón superior está compuesto sólo por .0795⎟⎟ ⎜ .0905⎟⎟ ceros, así que hay menos de n pivotes en la 2.0110⎠⎟ ⎜ diagonal en forma escalonada. Por tanto, ⎝⎜ 2.3365⎟⎠ ρ(A) , n. ⎛20.207⎞ ⎛ .0431⎞ ⎫ ⎪ 41. ρ(At) 5 dimensión del espacio de las co- ⎜ 2.1811⎟⎟ ⎜ .0904⎟⎟ ⎪⎪ lumnas de At 5 dimensión del espacio de ⎜ ⎜ .3574⎟ ⎬ los renglones de A 5 dimensión del espa- ⎜2.5847⎟ , ⎜ cio de las columnas de A (por el teorema ⎜ .1604⎟⎟ ⎜ 2.4730⎟⎟ ; ρ(A) 5 4; ν(A) 5 1 4) 5 ρ(A). ⎜ ⎜ .3101⎟⎠ ⎝⎜ 2.4243⎟⎠ ⎝⎜ ⎪ ⎪ ⎭⎪ 43. ii) Sea H 5 imagen de A y sea {v1, v2, . . . , MATLAB 4.7 vk} una base para H. Como B es in- vertible, NB 5 {0}, lo que significa que 1. a) A continuación se dan las bases para {Bv1, Bv2, . . . , Bvk} es un conjunto li- los espacios nulos y sus respectivas di- nealmente independiente en m y, por mensiones. lo tanto, es una base para la imagen ⎧⎛26⎞ ⎛26⎞ ⎫ ⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎜⎜⎜⎜⎝2041⎟⎟⎟⎠⎟ ⎪⎪ BA. Entonces ρ(BA) 5 k 5 ρ(A). ⎜ 23⎟⎟ ⎬ ⎜ 0⎟ ⎪ ii) Como C es invertible, imagen C 5 n. Problema 7: , ⎜ 1⎠⎟ ⎪⎭ Sea h ∈ H; entonces existe x ∈ n tal ⎝⎜ que Ax 5 h. Como imagen C 5 n, existe y ∈ n tal que Cy 5 x. Entonces Dimensión 5 2 ACy 5 h. Así, H ( imagen AC. Si v ∈ imagen AC, existe u en n tal que ⎧⎛26⎞ ⎫ ACu 5 v. Pero entonces v 5 A(Cu) de ⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎝⎜⎜⎜⎜2401⎠⎟⎟⎟⎟ ⎪⎪ manera que v ∈ imagen A 5 H. Por lo Problema 8: ⎬ tanto, imagen AC ( H de manera que ⎪ imagen AC 5 H y ρ(A) 5 ρ(AC). ⎪⎭ Dimensión 5 1
712 CAPÍTULO 4 ⎧⎛ 0⎞ ⎫ eficientes es B, donde las columnas ⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎜⎜⎝⎜⎜ ⎪ de N son los lados derechos. Para Problema 10: 0⎟⎟ ⎪ la primera matriz en el problema 2 0⎟ ⎬ de MATLAB, 0⎟⎠ ⎪ ⎪⎭ ⎛22 21⎞ Dimensión 5 0 ⎜ 23 21⎟⎟ ⎜ B 5⎜ 1 0⎟ ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎫ ⎜ 21⎟⎟ ⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎜⎜⎜⎝⎜ ⎪ ⎜ Problema 11: 3⎟⎟ ⎜ 3⎟⎟ ⎪ 0 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎬ 0⎟⎠ , ⎜ 1⎟⎠ ⎪ ⎝⎜ 0 1⎟⎠ ⎜⎝ ⎪⎭ Para la segunda matriz en el pro- Dimensión 5 2 blema 2 de MATLAB, sea R 5 rref(A). Entonces B 5 [[2R(:,4); ⎧⎛1⎞ ⎛22⎞ ⎛23⎞ ⎫ 1; 0][2R(:,5);0;1]]. ⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎜⎝⎜⎜⎜100⎟⎟⎠⎟⎟ ⎪⎪ Problema 12: , ⎜ 0⎟⎟ , ⎜ 0⎟⎟ ⎬ b) Sea R 5 rref(A) y B 5 [[2;1;0;0;0][2R ⎜ ⎜ 0⎟ ⎪ (1,5);0;2R(2,5);2R(3,5);1]]. Debe ob- ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎠⎟ ⎪⎭ servar que todos los elementos en A*N ⎝⎜ 0⎠⎟ ⎝⎜ están más cerca de cero, los valores ver- daderos. Dimensión 5 3 ⎧⎛ 21⎞ ⎫ 5. a) Demuestre que Ax 5 b. ⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎝⎜⎜⎜⎜21.511⎟⎟⎠⎟⎟ ⎪⎪ b) Utilice N 5 null(A). Problema 13: ⎬ c) Primero genere un vector aleatorio z ⎪ de 2 3 1 (ya que la base contendrá dos ⎪⎭ vectores). Después haga w 5 Nz y de- muestre que A(x 1 w) 5 b. Dimensión 5 1 ⎧⎛22⎞ ⎛21⎞ ⎫ 7. a) Los renglones diferentes de cero de ⎪⎜ ⎪ rref(A9) proporcionan una base para ⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎜⎜⎜⎝⎜⎜ 23⎟⎟ ⎜ 21⎟⎟ ⎪⎪ el espacio de los renglones de At, así, 1⎟ ⎜ ⎬ sus transpuestas dan una base para el 0⎟⎟ ⎜ 0⎟ ⎪ espacio de las columnas de A. Problema vii): 0⎟⎠ , ⎜ 21⎟⎟ ⎪ ⎜ ⎭⎪ b) La matriz deseada será la transpuesta ⎜⎝ 1⎠⎟ de los renglones diferentes de cero de la forma escalonada reducida por renglo- Dimensión 5 2 nes de At. Para verificar las combina- ciones lineales, utilice la matriz descri- c) Al encontrar los vectores para la base, ta como la matriz de coeficientes y use el proceso involucra escribir la solu- A para los lados derechos. En seguida ción como una combinación lineal de se muestran las matrices cuyas colum- los vectores, y los coeficientes de la nas forman una base para imagen A. combinación lineal son las variables arbitrarias. d) La dimensión es igual al número de va- ⎛ 1 0⎞ riables arbitrarias. 3. a) ii) Esta base para el espacio nulo tiene Problema 7: ⎜ 0 1⎟⎟ el mismo número de vectores que ⎜ la base encontrada a partir de la ⎝⎜ 1 1⎟⎠ forma escalonada reducida por ren- glones. ⎛ 1 0⎞ iii) Por ejemplo, rref([B N]) resolverá Problema 11: ⎜ 0 1⎟⎟ el o los sistemas cuya matriz de co- ⎜ 1⎟ ⎜2 ⎜⎝ 1 21⎟⎠
Respuestas a los problemas impares 713 ⎛ 1⎞ matriz cuyas columnas forman una base Problema 12: ⎜⎜22⎟⎟ a partir del problema 7 de MATLAB. Estas matrices tendrán el mismo número ⎜ 2⎟ de columnas (es decir, cada base contie- ⎝⎜ 3⎠⎟ ne el mismo número de vectores). Para verificar las combinaciones lineales, vea ⎛ 1 0 0⎞ rref([O B]) y rref([B O]). Problema 13: ⎜ 0 1 0⎟⎟ 13. e) El rango es igual al número de pivotes. ⎜ f ) A es invertible si y sólo si rango(A) 5 n ⎜ 0 0 1⎟ 5 tamaño de A. ⎝⎜ 1 1 1⎠⎟ g) Para la matriz de 5 3 5, genere una 9. a) Consulte la sección 4.4. matriz aleatoria de 5 3 5 y verifique b) Para i), la base consiste en las colum- que sea invertible. Si lo es, cambie tres nas 1 y 3 de A. Para ii) la base consiste columnas para que sean combinacio- en todas las columnas de A. Para iii), nes lineales de las otras dos. la base consiste en las columnas 1, 2 y 4 de A. Asegúrese de usar las colum- 15. Para que exista una solución, la matriz nas de A no de la forma escalonada aumentada tendrá el mismo rango que A. reducida por renglones de A. Sugerencia: piense en la localización de c) Para el problema 7, una base consiste los pivotes en la forma escalonada redu- en las columnas 1 y 2 de A. Para el pro- cida por renglones de la matriz aumenta- blema 11, una base está formada por las da y en la forma escalonada reducida por columnas l y 2 de A. En el problema 12, renglones de A. una base consiste en la primera columna de A. En el problema 13, una base está 17. a) El rango de AB es igual a k. formada por las columnas 1, 2 y 3 de A. b) al d) La conclusión final debe ser 11. Sea O la matriz cuyas columnas forman que rango (AB) # mín(rango(A), una base obtenida al usar orth y sea B la rango(B)). Problemas 4.8, página 376 1. x 1 y ⎛ 1⎞ 1 x 2 y ⎛ 1⎞ 5 ⎛ x⎞ x 1 z ⎛1⎞ ⎛ x⎞ 2 ⎜⎝ 1⎟⎠ 2 ⎝⎜ 21⎠⎟ ⎜⎝ y⎟⎠ 2 ⎜⎜1⎟⎟ 5 ⎜ y⎟⎟ ⎝⎜1⎟⎠ ⎜ z ⎟⎠ ⎜⎝ 3. 2x 2 3 y ⎛ 22⎞ 1 23x 1 2 y ⎛ 23⎞ 5 ⎛ x⎞ 5 ⎝⎜ 23⎟⎠ 5 ⎝⎜ 22⎠⎟ ⎜⎝ y⎟⎠ ⎛ 1 21 0⎞ 1 ⎛ 1 1 21⎞ 2 11. C 5 ⎜⎝⎜⎜201 1 11⎟⎠⎟⎟ ; C21 5 ⎜ 21 1 211⎟⎟⎟⎠ ; 0 ⎜⎜⎝ 1 1 5. C 5 ⎛21 21⎞ ; C21 5 1 ⎛ 22 21⎞ ⎜⎝22 2⎠⎟ 4 ⎝⎜ 22 1⎠⎟ ; ⎛ x⎞ ⎛ x 1 y 2 z⎞ 1 ⎛22 21⎞ ⎛ x⎞ 5 ⎛ (22 x 2 y) / 4⎞ C21 ⎜ zy⎟⎠⎟⎟ 5 2 ⎜⎜⎜⎝2xx 1 y 2 zz⎟⎟⎟⎠ ⎝⎜22 1⎟⎠ ⎜⎝ y⎟⎠ ⎝⎜ (22 x 1 y) / 4⎟⎠ ⎜⎜⎝ 1 y 1 1 ⎛ dx 2 by ⎞ 2 1 10 z ⎛ 2⎞ ⎛21⎞ 7. ad 2 bc ⎜⎝ 2cx 1 ay ⎟⎠ 6x 11y 2x 117 y 2 7z 13. 31 ⎜ 1⎟⎟ 1 31 ⎜ 4⎟⎟ ⎜ 3⎠⎟ ⎜ 5⎟⎠ ⎝⎜ ⎜⎝ x 2 z ⎛ 1⎞ 2x 12 y 2 z ⎛ 0⎞ 7x 1 13 y 2 9z ⎛ 3⎞ ⎛ x⎞ 2 2 31 9. ⎜ 0⎟⎟ 1 ⎜ 1⎟⎟ 1 1 ⎜⎜22⎟⎟ 5 ⎜ y⎟⎟ ⎜ 21⎟⎠ ⎜ 0⎠⎟ ⎜⎝24⎠⎟ ⎜ z ⎠⎟ ⎝⎜ ⎝⎜ ⎝⎜
714 CAPÍTULO 4 15. a0 1 a1x 1 a2 x2 será un renglón de ceros. Así que A no es 5 (a0 1 a1 1 a2 )1 invertible, lo cual implica que los polino- 1 a1(x 21) 1 a2 (x2 21) mios son linealmente dependientes. 17. 1 (a0 1 a1 1 a2 )( x 1 1) 1 1 (2a0 1 a1 2 a2 ) 37. Observe que la matriz A (como en el 2 2 ejemplo 5) tiene el primer renglón de ce- ros. Por lo tanto A no es invertible lo que (x 21) 1 a2 (x2 21)2 5 a0 1 a1x 1 a2 x2 implica que las matrices son linealmente dependientes. 19. 2x3 2 3x2 1 5x 2 6 5216(1) 110( x 11) 39. Como los elementos de la base son (1, 0) y (0, 1) en las coordenadas x9 2 y9 co- 2 5( x 1 x2 ) 1 2( x2 1 x3 ) rresponden a (cos u, sen u) y (2sen u, cos u) en las coordenadas x 2 y, la matriz de ⎛ 1 1 1 1⎞ cambio de coordenadas es 21. C 5 ⎜ 0 21 22 23⎟⎟ ; ⎛ cos u sen u ⎞ ⎜ 0 1 3⎟ ⎝⎜ 2sen u cos u ⎠⎟ ⎜0 ⎝⎜ 0 0 0 21⎠⎟ A21 5 ⎛ 1 1 1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 2 5⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ C21 5 ⎜ 0 21 22 23⎟⎟ ; 41. ⎜ 2 1 ⎟ ⎛ 2 ⎞ 5 ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝⎜ 27 ⎟⎠ ⎜ ⎜ 0 0 1 3⎟ ⎜ 1 ⎟⎠ ⎝⎜ 9⎟ ⎜⎝ 2 2 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 21⎠⎟ ⎛ 5⎞ ⎛ 8⎞ ⎛ C1i ⎞ ⎜ \" ⎟ ⎜ 21⎟⎟ ⎜⎜27⎟⎟ 43. Observe que (Ci)B1 5 ⎜ ⎟ . Como C es ⎜ C21 5 5 . ⎝⎜ Cni ⎟⎠ ⎜ 4⎟ ⎜ 4⎟ ⎝⎜ 0⎟⎠ ⎝⎜ 0⎟⎠ invertible, las n columnas de C son lineal- Entonces, 4x2 2 x 1 5 5 8(1) 2 7(1 2 x) mente independientes. Entonces Ci, i 5 1 4(1 2 x)2. 1, . . . , n son independientes. Como dim V 5 n por el teorema 5 de la sección 4.6 ⎛ 2⎞ ⎛ 22⎞ ⎛ 23⎞ B2 5 {C1, . . . , Cn} es una base en V. ⎜⎝ 25⎠⎟ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎜⎝ 2⎠⎟ 23. 5 a 1 a ; ⎛ ⎞ 11 21 ⎜ ⎜ r11 r12 ! r1n \" \" $ ⎟ ⎛ 7⎞ 5 ⎛ 22⎞ 1 ⎛23⎞ 45. Sea CA 5 ⎟ . Suponga ⎜⎝ 3⎠⎟ ⎝⎜ 1⎟⎠ ⎝⎜ 2⎠⎟ a12 a22 . Entonces, ⎝⎜ rn1 rn2 ! rnn ⎟⎠ a11 5 11, a21 5 28, a12 5 223, a22 5 13. CA 5 I. Entonces (x)B1 5 I (x)B1 5 CA ⎛ 11 223⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 67⎞ (x)B1, para cada x ∈ V. Suponga (x)B1 5 (x)B2 5 ⎝⎜28 13⎠⎟ ⎝⎜21⎟⎠ ⎝⎜245⎠⎟ 5 CA(x)B1, para cada x ∈ W. Sea B1 5 {V1, ⎛ 1⎞ ⎜ 0\" ⎟⎟⎟ 5 CA . .. , Vn}. Entonces (V1)B1 5 ⎜ 0⎠ 25. Linealmente independiente . Pero forma si- ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ r11 ⎞ ⎜ 27. Linealmente dependiente. ⎜ ⎟ ⎜ 0\" ⎟⎟⎟ ⎜ r12 ⎟ ⎝ ⎜ 0 ⎟ CA ⎜ 5 ⎜ \" ⎟ , de 29. Linealmente independiente. ⎜ \" ⎟ ⎜ ⎜ rn1 ⎟ ⎝ ⎜ ⎟ 31. Linealmente independiente. 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ ⎠ 33. Linealmente independiente. ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ 35. pi( j) (0) 5 0 implica que el coeficiente del ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ milar para Vz 5 ⎜ 1 ⎟ , . . . , Vn ⎜ 0 ⎟ 5 se término xj es cero para cada polinomio. ⎜ \" ⎟ ⎜ \" ⎟ Entonces, el renglón j 1 1 de la matriz A ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ llega a que CA 5 I.
Respuestas a los problemas impares 715 MATLAB 4.8 la matriz de transición T de B a C será igual a C21B (explique esto). 1. a) iii) w 5 1.5v1 1 .5v2 ⎛27 212 19⎞ iii) w 5 .5v1 1 3.5v2 T 5 ⎝⎜⎜⎜261 211 2128⎟⎟⎟⎠ , 3. a) Para encontrar las coordenadas de un 2 vector w respecto a la base {v1, . . . , v4}, resuelva el sistema de ecuaciones para ⎛ 0 0 21⎞ escribir w como una combinación li- neal de los vectores de la base; esto es, S 5 ⎜ 0 21 2809⎟⎟⎠⎟ , resuelva el sistema ⎜⎝⎜ 2 6 [v1 v2 v3 v4 | w]. ⎛21 22 2⎞ ⎛284 45 25 21⎞ K 5 ⎜ 23 27 2104⎠⎟⎟⎟ ⎜⎜⎝ 30 68 ⎜ 19 210 1 25⎟⎟ b) ii C 5 ⎜ 1 25⎟ ⎜ 21 211 b) K 5 ST ⎜⎝ 24 2 0 1⎟⎠ 9. a) Utilice trigonometría básica. c) iii) (w)B 5 (2105 22 26 24)t. c) i) Tanto B como C tendrán la forma iii) Sugerencia: (w)B 5 Cw 5 combi- nación lineal de las columnas de ⎛ cos (θ) 2sen (θ)⎞ ⎜⎝ sen (θ) cos (θ)⎟⎠ C, donde los coeficientes en la para alguna θ. Se tiene que combinación lineal son los ele- ⎛ .2588 .9659⎞ mentos de w. ⎝⎜2.9659 .2588⎟⎠ ⎛27 213 19⎞ T 5 y 5. c) D 5 ⎜⎜26 211 18⎟⎟ S 5 ⎛ .2588 2.9659⎞ ⎝⎜ 1 2 22⎟⎠ ⎝⎜ .9659 .2588⎟⎠ d) (x)B 5 solución a [v1 v2 v3 | x] 5 ii) Las coordenadas con orientación (26 2 21)t. (x)C 5 solución 2π son (3.0272 .2935)t y las coor- a [w1 w2 w3 | x] 5 (23 24 0)t. 3 denadas estándar son (21.7678 e) D 5 W21V. 2.4749)t. Por ejemplo, para encon- trar las coordenadas estándar a ⎛227 2165 25 281⎞ partir de las coordenadas respecto a B, encuentre Bx, donde x contie- ⎜ 7 40 24 21⎟⎟ . ne las coordenadas respecto a B. f) D5 ⎜ 37 26 17⎟ ⎜6 ⎜⎝ 21 26 1 22⎟⎠ iii) Las coordenadas con orientación 7. a) Sea B la matriz cuyas columnas son π son (1.8699 1.5695)t y las co- los vectores de la base en el conjunto o4rdenadas estándar son (.2124 B y similarmente para C. Por ejemplo, 2.4321)t. Problemas 4.9, página 400 ⎛1/ 2⎞ ⎛21/ 2⎞ 5. Sea v1 5 ⎛ a⎞ y v2 5 ⎛ c ⎞ . Como ad 2 bc ≠ 0, 1. ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜⎝ b⎠⎟ ⎝⎜ d ⎟⎠ ⎝1/ 2⎠ ⎝ 1/ 2⎠ ⎛ 1⎞ entonces, | v1 | ≠ 0. Por tanto, ⎜ 2 ⎟ ⎛ a/ a2 1 b2 ⎞ ⎛ c⎞ 3. ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ u1 5 ⎜ ⎟ v29 5 ⎝⎜ d ⎟⎠ ⎝ b/ a2 1 b2 ⎠ ⎝⎜ 2 ⎟⎠
716 CAPÍTULO 4 2 ac 1 bd ⎛ a/ a2 1 b2 ⎞ 5 ⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ a2 1 b2 ⎜ a2 1 b2 ⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 1⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎝ b/ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛2b(ad 2 bc) / (a2 1 b2 )⎞ ad 2 bc 15. Los vectores ⎜ 0⎟ , ⎜ 0⎟ , ⎜ 1⎟ y ⎜ 0⎟ forman ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 1⎟⎟ ⎜⎝ a(ad 2 bc) / (a2 1 b2 )⎠⎟ , |v29| 5 a2 1 b2 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝⎜ 2⎟⎠ ⎝⎜23⎠⎟ ⎜⎝ 1⎠⎟ ⎜⎝ 4⎟⎠ y u2 5 ⎛2b/ a2 1 b2 ⎞ . ⎛ 1/ 5⎞ ⎜ ⎟ ⎝ b/ a2 1 b2 ⎠ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ , ⎧⎛22⎞ ⎛ 2 / 3⎞ ⎫ una base para H. Entonces u1 5 ⎜ ⎟ 7. El conjunto de vectores ⎩⎪⎪⎨⎜⎜⎝⎜ 0⎟⎟ , ⎜ 1⎟⎟ ⎪ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎠⎟ ⎬ 1⎠⎟ ⎜⎝ ⎪ ⎝⎜ 2/ 5⎟⎠ ⎭ forma una base para π. Por tanto, u1 5 ⎛ 0⎞ ⎛ 1/ 5⎞ ⎛ 6/ 5⎞ ⎛22/ 5⎞ ⎛ 2 / 3⎞ ⎛22/ 5⎞ ⎜ 1⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 1⎟⎟ 0⎟ 1 ⎜ ⎜ 0⎟ , ⎜ 0⎟⎟ , v29 5 ⎜ 1⎟⎟ 2 24 ⎜ 0⎟⎟ , 5 ⎜ 0⎟⎟ 6 ⎜ 0⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0⎟⎠ 35 ⎜ 5⎟⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ 1/ 5⎠⎟ ⎜⎝ ⎝⎜ v29 5 ⎜ 5⎜ 0⎟ 1/ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎜ ⎛ 2/15⎞ ⎛ 2 5/35⎞ ⎝⎜23⎠⎟ ⎜⎝ 2/ 5⎠⎟ ⎜⎝23/ 5⎠⎟ ⎜ 1⎟⎟ y u2 5 ⎜ 3 5/7⎟⎟ . ⎛ 6/ 70⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 1/ 5⎞ ⎜ ⎜ 0⎟⎟ ⎝⎜ 4/15⎠⎟ ⎝⎜ 4 5/35⎟⎠ 0⎟ 1 ⎜ 70 ⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5/ ⎜ ⎜ 0⎟ 2 ⎜ 5⎟⎠ u2 5 ⎜ 0⎟⎟ , v39 5 ⎜ 1⎟ 2 9. {(2/ 29, 3/ 29, 4/ 29)} ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟⎟ 5⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝⎜23/ 70⎟⎠ ⎜⎝ 1⎠⎟ ⎝⎜ 2/ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎜2 ⎜ 5 ⎟ ⎜ 45 ⎟ ⎛ 6/ 70⎞ ⎛21/7⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4⎟ 11. ⎜ 1 ⎟, ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3/14⎟⎟ 45 ⎟ ⎜ 5/ 70 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ ⎜ 5⎜ 0⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5⎟ 3 0⎟⎟ ⎜ ⎝ ⎝⎜ ⎜ 1/14⎠⎟ 0⎠ 45 ⎟⎠ 70 ⎜ ⎜⎝ ⎜ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 23/ 70 ⎠ ⎛2b/ a2 1 b2 ⎞ ⎜ ⎟ 13. u1 5 ⎜ a/ a2 1 b2 ⎟ , ⎛22/ 210 ⎞ ⎜ ⎝ 0⎠⎟ ⎜ 3/ 210 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ y u3 5 ⎜ 14/ 210 ⎟ . Para encontrar u4, calcu- ⎛2c⎞ ⎛2b/ a2 1 b2 ⎞ ⎜ 0⎟ bc ⎜ ⎟ v29 5 ⎜ 0⎟⎟ 2 ⎜ a/ a2 1 b2 ⎟ ⎝⎜⎜ 1/ 210 ⎟⎠⎟ ⎜ a2 1 b2 ⎜ ⎜⎝ a⎠⎟ 0⎟⎠ ⎝ lamos v49 5 v4 2 (v4 ? u1) u1 2 (v4 ? u2) u2 2 5 ⎛ 2ca2 / (a2 1 b2 ) ⎞ , y ⎛ 1/ 5⎞ ⎝⎜ 2abc / a 2 1 b2 ⎟⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0⎟⎟ ⎜ 0⎟ ? 5 ⎜ 8⎜ (v4 u3) u3 ⎜ 0⎟ ⎟ ⎛ 2ac (a2 1 b2 )(a2 1 b2 1 c2 ) ⎞ ⎜ 1⎟⎟ 2 ⎜ 0⎟ ⎜ 5⎜ 50⎠⎟⎟⎟ ⎜ (a2 1 b2 )(a2 1 b2 1 c2 ⎟ u2 5 ⎜ 2bc/ )⎟ ⎜ ⎝⎜ 4⎠⎟ ⎜⎝⎜ 2/ ⎜ (a2 1 b2 )/ (a2 1 b2 )(a2 1 b2 1 c2 ) ⎟ ⎝ ⎠
Respuestas a los problemas impares 717 ⎛ 6/ 70 ⎞ ⎛22/ 210 ⎞ ⎛ 2ac/ (a2 1 b2 )(a2 1 b2 1 c2 )⎞ ⎫ ⎜ (a2 1 b2 )(a2 1 b2 1 c2 ⎟ ⎪⎪ ⎜ 5/ 70 ⎟ ⎜ 3/ 210 ⎟ ⎜ 2bc/ )⎟ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 12 ⎜ 0⎟⎟ 2 4 ⎜ ⎟ ⎝⎜ (a2 1 b2 )/ 1 210 ⎜ 14/ 210 ⎟ ⎟ ⎪ 70 ⎜ ⎜ (a2 1 b2 )(a2 1 b2 1 c2 ) ⎠⎟ ⎭⎪ 0⎟ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝⎜ 1/ 210 ⎠⎟⎟ ⎜⎝23/ ⎠ 70 es una base ortonormal para H. Así que ⎛ 28/15⎞ ⎛ 28/ 465⎞ proyHv 5 0 1 0 5 0. 465⎟⎟ ⎜ 4/5⎟⎟ ⎜ 12/ 465⎟⎟ . b) Después de resolver el sistema u1 ? x ⎜ ⎜ 24/ 465⎟ 5 0, u2 ? x 5 0, hallamos que {(a, b, ⎜24/15⎟ , y entonces u4 5 ⎜ 15/ 465⎟⎠⎟ c)} es una base para H' y por lo tanto, 5 ⎜ ⎜ 1⎟⎟ ⎜ 4/ ⎜ ⎝⎜⎜ {(a/ a2 1 b2 1 c2 , b/ a2 1 b2 1 c2 , ⎝⎜ 4/15⎠⎟ c/ a2 1 b2 1 c2 )} es una base ortonormal. 17. {(27/ 66, 21/ 66, 4/ 66)} c) v 5 0 1 v. ⎛2 1 2 2 ⎞ ⎛ 18 ⎞ 3 3 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 19. Qt 5 ⎜ 1 2 2 ⎟ y QtQ 5 I 5 QQt 29 3 3 3 ⎜ 27 ⎟ ⎝⎜ 2 2 2 1 ⎟⎠ 31. a) ⎜ 29 ⎟ 3 3 3 ⎜ ⎟ 1 ⎛12 8 212 8⎞ ⎜ 36 ⎟ 3⎜ ⎟ ⎝⎜ 24 ⎠⎟ 21. PQ 5 3 2 ⎝11 8 12 8⎠ ⎛ 12 8 11 8⎞ ⎧ ⎞ ⎛ 28 ⎞⎫ 1 3⎜ ⎟ ⎪⎛ ⎟ ⎜ 377 ⎟⎪ (PQ)t 5 23 ⎟ ⎜ 12 3 2 ⎝212 8 12 8⎠ ⎪⎜ 3 ⎟ ⎜ 377 ⎟⎪ ⎪⎪ ⎜ ⎟ ⎜ 13 ⎪⎪ 1 ⎛18 0⎞ b) ⎨ ⎜ 2 ⎟ , ⎜ 2 377 ⎟ ⎬ (PQ)(PQ)t 5 18 ⎜⎝ 0 18⎠⎟ 5 I ⎪ ⎜ 13 ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎜⎝ ⎟⎪ 0 ⎠⎟ ⎜⎝⎜ ⎟⎠⎟ ⎪ 23. I 5 Q21Q 5 QtQ. Pero det (QtQ) 5 det Qt ⎩⎪ ⎪⎭ det Q 5 det Q det Q 5 (det Q)2. Como 1 5 det I 5 det QtQ 5 (det Q)2 ⎛ 18 ⎞ ⎛ 11 ⎞ se tiene det Q 5 61 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 29 ⎟ ⎜ 29 ⎟ 25. Si vi 5 0, entonces 0v1 1 0v2 1 . . . 1 0vi21 c) ν 5 ⎜ 27 ⎟ 1 ⎜ 2 ⎟ 1 vi 1 0vi11 1 . . . 1 0vn 5 0, lo que impli- ⎜ 29 ⎟ ⎜ 29 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ca que los vectores vi son linealmente de- ⎜ 36 ⎟ ⎜ 27 ⎟ pendientes. Así, vi ≠ 0 para i 5 1, 2, . . . , n. ⎜⎝ 29 ⎟⎠ ⎝⎜ 29 ⎠⎟ ⎛ 1⎞ ⎛⎜2 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎧⎛ 0⎞ ⎛ 1⎞ ⎫ ⎜ ⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎜⎜⎝⎜⎜ ⎪ 27. a) ⎜ 122 ⎠⎟⎟⎟⎟ , b) 2 ⎟ , c) ν 5 ⎜ 2 ⎟ 1 ⎜ 2 ⎟ 33. a) El conjunto de vectores 0⎟⎟ , ⎜ 1⎟⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎬ ⎜⎝⎜ ⎜ 1⎟ ⎜⎝⎜ 1 ⎠⎟⎟ ⎜⎝⎜ 2 23 ⎠⎟⎟ 0⎠⎟ ⎜ 3⎠⎟ ⎪ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ 2 ⎜⎝ ⎪⎭ h ∈H p ∈H⊥ forma una base para H, y por ende 29. a) Podemos asumir que a ≠ 0. Con base ⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎜⎜⎜⎛⎝⎜ ⎛ 11⎞ ⎫ ⎜ en el problema 13, ⎧⎨⎪⎪⎛⎜⎜2ab// a2 1 b2 ⎞ 0⎞ , ⎜ 1/ 11⎟⎟ ⎪ es una base ortonor- ⎩⎪⎪⎜⎜⎝ ⎟ 0⎟⎟ ⎜ 1/ 101⎠⎟⎟⎟ ⎪ 1⎟ ⎜⎜⎝ ⎬ a2 1 b2 ⎟ , 0⎟⎠ 3/ ⎪ 0⎠⎟⎟ ⎪ ⎭
718 CAPÍTULO 4 mal. De manera que proyH |x1 1 . . . 1 xn11| 5 |x1| 1 . . . 1 |xn| 1 |xn11| 5 |x1 1 . . . 1 xn| 1 |xn11| ⎛ 0⎞ ⎛ 4/11⎞ ⎛ 4/11⎞ v 5 ⎜ 0⎟⎟ 1 ⎜ 4/11⎟⎟ 5 ⎜ 4/11⎟⎟ . Del problema 39 se tiene que xn11 5 ⎜ ⎜ ⎜ l(x1 1 . . . 1 xn) por lo tanto xn11 ∈ gen ⎜ 3⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 3⎟ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎝⎜12/11⎠⎟ ⎝⎜12/11⎠⎟ {. x. 1.,, ..., xn} por lo tanto dim gen {x1, xn11} 5 1. b) Al resolver el sistema ui ? x 5 0 da como 43. Sea v ∈ H. Entonces para cada k ∈ H', ⎧⎛21⎞ ⎛23⎞ ⎫ v ? k 5 0 ⇒ v ∈ (H')', ⇒ H8(H')', en- resultado ⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎜⎜⎜⎝⎜ ⎪ 1⎟⎟ , ⎜ 0⎟⎟ ⎪ para una base tonces V1k 5 0 para cada k ∈ H'. Supon- ⎜ 0⎟ ⎬ ga que v ∈ (H')', entonces v ? k 5 0 para 0⎟ ⎜ 1⎠⎟ ⎪ 0⎟⎠ ⎝⎜ ⎠ ⎭⎪ cada k ∈ H'. Por el teorema 7, existe h ∈ ⎝ H y p ∈ H' tal que V 5 h 1 p. Entonces ⎧⎛21/ 2⎞ ⎛23/ 22⎞ ⎫ v ? p 5 0 5 h ? p 1 p ? p 5 p ? p ⇒ p 5 0. de H. Así que ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎜⎜⎝⎜⎜ 1/ 2 ⎟ ⎜ 23/ 33⎟⎟ ⎪ De modo que V ∈ H y (H')'8H, por lo ⎟ ⎜ 2/ 220⎠⎟⎟⎟ ⎪ 0⎟⎟ , ⎜ ⎬ tanto H 5 (H')'. ⎜⎜⎝ ⎪ 0⎠ ⎪ 45. Sea h ∈ H1'. Entonces h ? v 5 0 para cada ⎭ V ∈ H2. Como, H1(H2 entonces h ? v 5 0 es una base ortonormal para H. para cada V ∈ H1. Por lo tanto h ∈ H1' y H2'(H1'. ⎛ 4/11⎞ ⎛23/2⎞ ⎛ 3/22⎞ c) ⎜ 4/11⎟⎟ 1 ⎜ 3/ 2⎟⎟ 1 ⎜ 3/ 22⎟⎟ MATLAB 4.9 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 3⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎝⎜12/11⎟⎠ ⎜⎝ 0⎠⎟ ⎝⎜21/11⎟⎠ 1. El programa para el inciso b) es: ⎛ 4/11⎞ ⎛215/11⎞ z1 5 w1/norm(w1), t2 5 w2 2 (w29*z1)*z1; ⎜ 4/11⎟⎟ 1 ⎜ 18/11⎟⎟ . z2 5 t2/norm(2), 5⎜ ⎜ 0⎟ t3 5 w3 2 (w39*z1)*z1 ⎜ 3⎟ ⎜ 2 (w39*z2)*z2; ⎝⎜12/11⎠⎟ ⎜⎝ 21/11⎠⎟ z3 5 t3/norm(t3) 35. |u1 2 u2|2 5 (u1 2 u2) ? (u1 2 u2) 5 |u1|2 Verifique la ortogonalidad encontrando 22u1 ? u2 1 |u2|2 5 1 1 0 1 1 5 2 ⇒ |u1 z1 ? z2, z1 ? z3 y z2 ? z3. Verifique las com- 2 u2| 5 2 . binaciones lineales encontrando la forma 37. Para tener independencia lineal se necesi- escalonada reducida por renglones de la ta que a2 1 b2 ? 0. Para tener ortonorma- lidad se necesita que a2 1 b2 5 1. matriz [ z1 z2 z3 | w1 w2 w3 ]. 39. Suponga que |u 1 v| 5 |u| 1 |v|. Entonces 3. a) al c) |u 1 v|2 5 (u 1 v) ? (u 1 v) 5 |u|2 1 2u ? v p1 5 (1 2)t y p2 5 (24 2)t. Recuerde que 1 |v|2 por otro lado |u 1 v|2 5 (|u| 1 |v|)2 una proyección sobre un vector baja 5 |u|2 1 2|u||v|) 1 |v|2, igualando ambas ecuaciones se tiene 2u ? v 5 2|u||v| lo que una perpendicular a la recta determi- implica que u 5 lv para algún escalar l por lo que los vectores son linealmente de- nada por el vector de manera que, en pendientes. la gráfica de la combinación lineal, el 41. Utilizando inducción. Cuando n 5 1, se paralelogramo dibujado será un rec- tángulo. d) p1 5 (1.6 3.2)t y p2 5 (2.4 21.2)t. f ) La proyección sobre v2 es la proyección sobre H'. tiene x1 ? 0 y dim gen {x1} 5 '. Asuma ⎧⎛2.2673⎞ ⎛ .8729⎞ ⎫ que el resultado es cierto para k 5 n, |x1 5. a) {z1, z1} 5 ⎪⎪⎨⎩⎝⎜⎜⎜ ..85031485⎠⎟⎟⎟ , ⎜⎝⎜⎜ 2..42136842⎟⎟⎟⎠ ⎪ 1. .. 1 xn| 5 |x1| 1 . . . 1 |xn| y dim gen ⎬ ⎪ {x1, . . . , xn} 5 1. Cuando k 5 n 1 ' ⎭
Respuestas a los problemas impares 719 b) Porque la dimensión de H' es 1 y n es c) i) Cada ángulo es de 45°. Asegúrese de perpendicular a H. encontrar w introduciendo el vector dado y después dividiendo por su c) Compare norma. p 5 (z19*w)*z1 1 (z29*w)*z2 con ii) El ángulo con v1 es de 135° y el án- q 5 w 2 (n9*w)*n. gulo con v2 es de 45°. d) d) Todos los ángulos son los mismos e iguales a 54.74°. 2 11. Sugerencia: demuestre que (AB)t(AB) 5 1 usando las propiedades de A, B y la trans- puesta. 13. a) det (Q) 5 61. b) Sugerencia: encuentre el determinante de ambos lados de QQt 5 1. c) |det (Q)| 5 1. 7. a) Primero calcule 15. b) La base canónica es ortonormal y la q 5 u19*w*u1 1 u29*w*u2 rotación preserva la longitud y los án- 1 u39*w*u3 1 u49*w*u4 gulos. y compare con p 5 B*B9*w. c) Los productos de matrices ortogonales b) Seleccione x, un vector de 4 3 l. Ob- son ortogonales. servará que |w 2 p| es más pequeño que |w 2 h| ya que p es el vector en H d) [ v1 v2 v3 ] no es una matriz ortogonal. que está más cerca de w. ⎛ .9186 2.2500 .3062⎞ c) p 5 BBtw 5 DDtw. e) A 5 YRP 5 ⎝⎜⎜⎜22..31573668 .4330 ..83853369⎟⎟⎠⎟ d) Sugerencia: consulte el inciso a). Pien- 2.8660 se que w ? ui es u9i * w y observe que ese renglón i de Bt es u9i . Recuerde que La matriz B siguiente contiene los nue- una combinación lineal de vectores se puede interpretar como una multipli- ve ángulos. La primera columna de B cación por la matriz cuyas columnas son los vectores. contiene los ángulos entre el eje x es- 9. a) Sugerencia: interprete v ? ui como u9i * tándar y los ejes x, y y z del satélite, v y utilice el hecho de que el renglón i de Bt es u9i . respectivamente. De manera similar, la b) Utilice los hechos de que ui y w tienen segunda columna contiene los ángulos normas iguales a 1. entre el eje estándar y y las coordena- das del satélite, y la tercera columna contiene los ángulos entre el eje están- dar z y las coordenadas del satélite: ⎛ 23.28° 100.18° 110.70°⎞ B 5 ⎜⎝⎜⎜10724..4187°° 64.34° 16509..3000°°⎠⎟⎟⎟ 27.88° Problemas 4.10, página 419 5. y 5 13 536 1 10 800 x 1 1 584 x2 5 184 5 184 5 184 1. y 5 408 2 57 x ≈ 3.24 2 0.45x 126 126 ≈ 2.611 2.08x 1 0.31x2 3. y 5 162 2 10 x ≈ 1.932 0.12x Ésta es la ecuación de la parábola que pasa 84 84 por los tres puntos.
720 CAPÍTULO 4 7. El argumento aquí es casi paralelo a los ar- lo lineal es gumentos dados para las aproximaciones lineales y cuadráticas. 9. Ésta es una generalización del problema 7. 11. y ≈ 108.71 1 4.906x 2 0.00973x2 17. Construimos la matriz de Vandermonde 13. Escogemos la función a realizar con los datos de las abscisas . Una vez en la . Escribimos la pantalla de interfase con la calculadora matriz de datos de las ordenadas introducimos y encontramos los datos a los que se hará el ajuste, los parámetros . Ya que se tie- nen los datos se presiona “OK” y se ob- y 5 2217.42127707 2 3.39135881734x 1 tiene el mejor modelo lineal junto con in- 0.0135739160172x2 formación relevante sobre la calidad del 19. Construimos la matriz de Vandermonde con los datos de las abscisas ajuste . , escribimos la El mejor modelo lineal es el siguiente matriz de datos de las ordenadas . . Encontramos 15. Repitiendo el procedimiento del ejercicio los parámetros 13 con los datos del ejercicio 15 se obtiene y 5 253.8851803867 1 2.01798202762x , el mejor mode- 1 0.0000405643704608x2
Respuestas a los problemas impares 721 MATLAB 4.10 El ajuste cuadrático es y 5 41.5798 2 51.2577x 59.5481x2 con la norma del 1. b) u 5 (2.9535 21.1813)9; por lo tanto, error de mínimos cuadrados igual a la recta es y 5 2.9535 2 1.1813x. 15.2469. En apariencia el ajuste cuadrá- tico es mejor: la norma es más pequeña c) Utilice el comando norm de MATLAB. y los puntos * se ven mucho más cerca- |y 2 Au| 5 4.066 y |y 2 Aw| 5 2.9712. nos al ajuste. Sin embargo, observe que un punto se puede considerar disperso. La suma de los cuadrados de las dife- rencias en las coordenadas y entre la 7. El ajuste de recta es y 5 40.8537 1 .0066x recta de mínimos cuadrados y los pun- y el ajuste cuadrático es y 5 278 1 .32x tos es menor que si se usa cualquier 2.0002x2. El ajuste cuadrático parece otra recta. mejor, y con esto se puede concluir que el d) Recuerde que proyH y 5 BBty. producto será más fuerte si la temperatu- e) y 5 2.4722. ra es de 8000. 3. g ≈ 230.6364, va ≈ 60.9470 y la altura so- 9. La recta de mínimos cuadrados es bre el suelo es ≈ 10.8977. y 520.34184x 1 0.16454 5. a) El ajuste de recta es y 5 2.1942 1 1.1921x con la norma del error de Con x la fracción molecular de Ca y y el mínimos cuadrados igual a .4419. El coeficiente de distribución Fe-Mg. ajuste cuadrático es y 5 2.0423 2 .7078x 25.7751x2, con la norma del error de mínimos cuadrados igual a .1171. El ajuste cuadrático es un poco mejor: la norma es más pequeña y los puntos * parecen más cercanos al ajus- te cuadrático. b) El ajuste de recta es y 5 35.9357 283.4269x, con la norma del error de mínimos cuadrados igual a 25.3326. Problemas 4.11, página 439 vii) (A, αB) 5 ((A——α,BB, )A5) 5 (αB, A) 5 α(B, A) 5 α α (A, B) 1. i) (A, A) 5 a121 1 a222 1 . . . 1 an2n $ 0. 3. Sea Ei la matriz de n 3 n con un 1 en la ii) (A, A) 5 0 implica que ai2i 5 0 para i 5 posición i, i y 0 en otra parte. Es sencillo 1, 2, . . . , n de manera que A 5 0. Si A 5 0, entonces (A, A) 5 0. ver que {E1, E2, . . . , En} es una base orto- normal para Dn. iii) (A, B 1 C) 5 a11(b11 1 c11) 1 . . . 1 ann(bnn 1 cnn) 5 a11b11 1 a11c11 1 . . . 1 5. ⎪⎧⎛ 1, i ⎞ , ⎛ i, 1 ⎞ ⎫⎪ annbnn 1 anncnn 5 (a11b11 1 . . . 1 annbnn) ⎩⎪⎨⎝⎜ 2 2 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎟⎠ ⎬ 1 (a11c11 1 . . . 1 anncnn) 5 (A, B) 1 2 ⎪⎭ (A, C). 7. ⎪⎧ 1, 3 x, 5 (3x 2 2 1) ⎫⎪ iv) Similarmente (A 1 B, C) 5 (A, C) 1 ⎨ 2 2 8 ⎬ (B, C). ⎩⎪ ⎭⎪ v) (A, B) 5 (B, A) 5 (B—, A), ya que to- 9. Primero observe que si A 5 (aij), y Bt 5 dos los elementos son reales y aiibii 5 (bji), entonces biiaii. n vi) (αA, B) 5 (αa11)b11 1 . . . 1 (αann)bnn 5 α [a11b11 1 . . . 1 annbnn] 5 α (A, B). ∑( ABt )ij 5 aa ik jk k51
722 CAPÍTULO 4 de manera que vi) (αp, q) 5 [αp(a)]q(a) 1 [αp(b)]q(b) nn 1 [αp(c)]q(c) ∑∑tr( ABt ) 5 aij bij 5 α[p(a)q(a) 1 p(b)q(b) i51 j51 1 p(c)q(c)] i) (A, A) 5 tr(AAt) 5 α(p, q). ∑ ∑5 n ⎛ n ai2j ⎞ $ 0 vii) (p, αq) 5 (αp, q) 5 α (q, p) 5 i51 ⎜⎝ j51 ⎟⎠ α(p, q) ii) (A, A) 5 0 implica que ai2j 5 0 para b) No, ya que ii) se viola. Por ejemplo, sea todo i y j con lo que A 5 0. Inversa- a 5 1, b 5 21 y p(x) 5 (x 2 1)(x 1 1) 5 x2 2 1 ≠ 0. Entonces p(a) 5 p(b) 5 mente, si A 5 0, entonces At 5 0 y 0 de manera que (p, p) 5 0 aun cuando p [ 0. De hecho, para cualquier polino- AAt 5 0 por lo que tr(AAt) 5 0. mio q, se tiene que (p, q) 5 0. iii) (A, B 1 C) 5 tr [A(B 1 C)t] 1 tr [A(Bt 15. 31 1 Ct)] 5 tr (ABt 1 ACt) 5 tr(ABt) 1 tr(ACt) 5 (A, B) 1 (A, C). iv) De manera similar, (A 1 B, C) 5 (A, C) 1 (B, C). nn ∑∑v) (A, B) 5 a b 5 tr(BAt) 1 (B, A). ij ij i51 j51 vi) (αA, B) 5 tr(αABt) 5 α tr(ABt) 5 17. 0 # ⎛ ⎛ | u | 2 | v ⎞ , ⎛ | u | 2 | v | ⎞ ⎞ α(A, B). ⎝⎜ ⎜⎝ u v |⎟⎠ ⎜⎝ u v ⎠⎟ ⎠⎟ vii) (A, αB) 5 (αB, A) 5 α(B, A) 5 α(A, B). 5 (u, u) 2 (u, u) 2 (v, u) | u |2 | u | | v | | u | | v | ⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞ 11. ⎝⎜ 0 0⎟⎠ , ⎜⎝ 0 0⎠⎟ , ⎝⎜ 1 0⎠⎟ , ⎜⎝ 0 1⎠⎟ 1 (v, v) | v |2 13. a) i) (p, p) 5 p(a)2 1 p(b)2 1 p(c)2 $ 0. 5 | u |2 2 ⎡ (u, v) 1 (u, v) ⎤ | u |2 ⎢ | u|| v | ⎥ ii) (p, p) 5 0 implica que p(a) 5 p(b) ⎣ ⎦ 5 p(c) 5 0. Pero una cuadrática puede tener a lo más dos raíces. 1 | v |2 Entonces p(x) 5 0 para toda x. In- | v |2 versamente, si p ; 0, entonces p(a) 5 p(b) 5 p(c) 5 0, de manera que Ahora si z 5 a 1 bi, entonces z 1 –z 5 (a 1 (p, p) 5 0. bi) 1 (a 2 bi) 5 2a 5 2 Re z(y z 2 –z 5 2bi 5 2ilmz). Así, (u, v) 1 (u, v) 5 2 Re (u, v), y iii) (p, q 1 r) 5 p(a)(q(a) 1 r(a)) 1 p(b)(q(b) 1 r(b)) se tiene 2 2 2 Re(u, v) $o sea, Re(u, v) #1. 1 p(c)(q(c) 1 r(c)) | u || v | | u || v | 5 [p(a)q(a) 1 p(b)q(b) Sea λ un número real. Entonces 0 # ((λu 1 1 p(c)(q(c)] (u, v)v), (λu 1 (u, v)v)) 5 λ2|u|2 1 |(u, v)|2|v|2 1 [p(a)r(a) 1 p(b)r(b) 1 λ(u, v)(u, v) 1 λ(u, v)(v, u) 5 (ya que λ 1 p(c)r(c)] es real) λ2|u|2 1 2λ|(u, v)|2 1 |(u, v)|2|v|2. La última línea es una ecuación cuadrática en 5 (p, q) 1 (p, r). λ. Si se tiene aλ2 1 bλ 1 c $ 0, entonces la ecuación aλ2 1 bλ 1 c 5 0 puede tener iv) De manera similar, (p 1 q, r) 5 a lo más una raíz real y, por lo tanto, b2 2 (p, r) 1 (q, r). 4ac # 0. Así, 4(|(u, v)|2)2 2 4|u|2|(u, v)|2|v|2 # 0 o |(u, v)|2 # |u|2|v|2 y |(u, v)| # |u| |v|. v) (p, q) 5 p(a)q(a) 1 p(b)q(b) 1 p(c)(q(c) 19. H' 5 gen {(215x2 1 16x 2 3), (20x3 2 30x2 1 12x 2 1)} 5 q(a)p(a) 1 q(b)p(b) 1 q(c)p(c) 5 (q, p).
Respuestas a los problemas impares 723 21. 1 1 2x 1 3x2 2 x3 5 30x2 152x 119 b 20 iii) ( f , g 1 h) 5 ∫a f (g 1 h) 1 (220x3 1 30x2 212x 11) 20 b 23. 2 1 3 ⎛ 2 2 8 ⎞ 3(2x 21) 5 ∫a f g 1 f h 5( f , g) 1( f , h) π ⎝⎜ π π2 ⎟⎠ iv) Similar al inciso iii) 1 5 ⎛ 2 1 24 2 96 ⎞ ⎜⎝ π π2 π3 ⎟⎠ bb 3 5(6x2 2 6x 11) v) ( f , g) 5 ∫a f g 5 ∫a g f y ≈ 20.8346x2 2 0.2091x bb 11.0194 (g, f ) 5 ∫a g f 5 ∫a g f ⎛1 1⎞ bb ⎜ 2 2 ⎟ vi) (α f , g) 5 ∫a α f g 5 α ∫a f g 25. A * 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ bb ⎝⎜2 1 2 i 1 1 i ⎠⎟ 2 2 2 2 vii) ( f , αg) 5 ∫a f (αg) 5 ∫a f αg Verifique que A*A 5 I. b 27. Se verifican las siete condiciones en la pá- 5α ∫a f g 5α( f , g) gina 432. 29. π b b f 2 1 f 2 $0 MATLAB 4.11 f f5 1. Consulte el problema 1 de MATLAB 4.9. Necesitará calcular un t4 y un z4. a ∫ ∫i) 3. El inciso a) funciona porque (w, ui) es ( f, f )5 a1 2 igual a ui9*w por definición. Consulte el problema 7 de MATLAB 4.9. ya que f12 $ 0 y f22 $ 0 ii) Se deduce del inciso i) Problemas 4.12, página 449 en una cadena. Los primeros k conjun- tos forman una cadena y, por la hipótesis 1. Sea L un conjunto linealmente inde- de inducción, uno de ellos contiene a los pendiente en V. Sea S la colección de otros k 2 1 conjuntos. Llame a este con- todos los subconjuntos linealmente inde- junto Ai. Entonces Ai 8 Ak+1 o bien Ak+1 pendientes de V, parcialmente ordenados 8 Ai . En cualquier caso se encontró un por inclusión tales que cada conjunto conjunto que contiene a los otros k sub- en S contiene a L. La demostración sale conjuntos y el resultado es cierto para igual que la del teorema 2. n 5 k 1 1. Esto completa la demostra- ción por inducción. 3. El resultado es cierto para n 5 2. Supon- ga que es cierto para n 5 k. Considere los k 1 1 conjuntos A1, A2, . . . , Ak, Ak+1 Ejercicios de repaso del capítulo 4, página 455 1. Sí; dimensión 2; base {(1, 0, 1), (0, 1, 22)} 7. Sí; dimensión [n(n 1 1)]/2; base {(Eij: j $ i)}, donde Eij es la matriz con un 1 en la 3. No, ya que si (x, y, z) satisface x 1 y 1 posición i, j y 0 en otra parte. z # 0, entonces 2(x, y, z) satisface x 1 y 1 z $ 0 y este punto no pertenece a la 9. Sí; la base es {1, x, x2, x3, x4}; dimensión primera desigualdad. 55 5. No, no lo es; (1, 24, 3) satisface la ecua- 11. Sí; la base es: ción, pero (21, 4, 23) no.
724 CAPÍTULO 4 ⎧⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎧⎛1 ⎞ ⎛ 21⎞ ⎫ ⎪⎩⎪⎨⎝⎜⎜⎜ ⎪⎩⎪⎨⎜⎜⎝⎜ ⎬⎪ , 0 0⎟⎟ , ⎜ 1 0⎟⎟ , ⎜ 0 1⎟⎟ ν( A) 51, rango A 5 gen 02⎟⎟⎟⎠ , ⎜ 202⎟⎟⎟⎠ ⎪ 0 ⎜ ⎜ 0⎟⎠ ⎜⎜⎝ ⎭ 0⎟⎠ ⎝⎜ 0 0⎠⎟ ⎝⎜ 0 ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎫ ρ( A) 5 2. ⎜ 0 0⎟⎟ , ⎜ 0 0⎟⎟ ⎪ dimensión 5 5. 37. Imagen A 5 3, NA 5 {0}; ρ(A) 5 3, ⎜ ⎜ 1⎟⎠ ⎬; ν(A) 5 0. ⎝⎜ 1 0⎠⎟ ⎝⎜ 0 ⎪ ⎭ 13. Sí; dimensional infinito. ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎫ ⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎜⎜⎜⎜⎝ ⎪ 15. Linealmente dependiente. 39. N 5 gen 2⎟⎟ , ⎜ 7⎟⎟ ⎬⎪ , ν( A) 5 2, 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎪ A 0⎠⎟ ⎜ 2⎟⎠ ⎪⎭ ⎜⎝ 17. Linealmente dependiente. 19. El conjunto de vectores no es linealmente 5 ⎧⎪⎛ 1⎞ ⎛ 21⎞ ⎫⎪ ρ( 5 independiente. ⎨⎩⎪⎝⎜ 3⎠⎟ ⎜⎝ 21⎟⎠ ⎬ ⎭⎪ 21. Linealmente dependiente. C A gen , , A) 2 23. Linealmente independiente. 1 3 25 ⎛ 1 21 2 3⎞ ⎛ 1 21 2 3⎞ 25. a) 5 5 0 5 52180 ⇒ linealmente in- 41. ⎜ 0 1 21 0⎟⎟ → ⎜ 0 1 21 0⎟⎟ ⎜ ⎜ 1 21 0⎟ ⎜ 1 22 3 3⎟ ⎜ 0 24 6 dependiente. ⎜⎝ 2 23 5 6⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 21 0⎠⎟ 2 3 21 ⎛ 1 0 1 3⎞ ⎧⎛21⎞ ⎛23⎞ ⎫ ⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎜⎜⎜⎝⎜ ⎪ b) 5 1 22 24 5 0 ⇒ linealmente de- → ⎜ 0 1 21 0⎟⎟ ; N 5 gen 1⎟⎟ , ⎜ 0⎟⎟ ⎪⎬ ; ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎪ pendiente. ⎜0 0 0 A 1⎟ ⎜ 1⎠⎟ ⎪⎭ 4 6 22 ⎝⎜ 0 0⎟⎠ 0⎠⎟ ⎝⎜ 27. y 5 2x/3 base: ⎪⎧⎛ 3⎞ ⎫⎬⎪; dimensión 5 1 ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 21⎞ ⎫ ⎨⎪⎩⎝⎜ 2⎟⎠ ⎪⎭ ⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎝⎜⎜⎜⎜ ⎪ 0⎟⎟ ⎜ 1⎟⎟ ⎪ ν( A) 5 2, rango A 5 gen 1⎟ , ⎜ 22⎟ ⎬ , 2⎠⎟ ⎜ 23⎠⎟ ⎪ 29. Dimensión 3; base {(1, 0, 3, 0), (0, 1, ⎜⎝ ⎭⎪ 21, 0), (0, 0, 1, 1)}, (x, z, y, w) 31. Dimensión 4; base {D1, D2, D3, D4}, don- ρ( A) 5 2. de Di es la matriz con un número en la posición (i, i ) y 0 en otra parte. ⎛1 1 0⎞ ⎛ 3 23 2 ⎞ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ 43. C 5 ⎜ 0 1 2 ⎟ ; C21 5 ⎜ 2 3 22 ⎟ ; ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 0 1 0⎞ ⎛ 0 0 1⎞ 0 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 22 33. ⎝⎜ 0 0 0⎟⎠ , ⎝⎜ 0 0 0⎠⎟ , ⎝⎜ 0 0 0⎠⎟ , ⎜⎝ 1 5 2 2 ⎟⎠ ⎛ 0 0 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎛23⎞ ⎛217 / 5⎞ ⎝⎜ 1 0 0⎠⎟ , ⎝⎜ 0 1 0⎠⎟ , ⎜⎝ 0 0 1⎠⎟ la dimensión es 6. C21 ⎜ 42⎟⎟⎠⎟ 5 ⎜ 2 / 55⎟⎟⎠⎟ ⎜⎝⎜ ⎜⎝⎜ 18 / ⎛ 1 21 3⎞ ⎛ 1 21 3⎞ ⎛ 1 0 2⎞ 45. x 5 ⎛ 1 0⎞ 52 1 ⎛ 1 1⎞ 1 3 ⎛1 0⎞ ⎝⎜ 0 2⎟⎠ 2 ⎜⎝ 0 0⎟⎠ 2 ⎝⎜1 0⎠⎟ 35. ⎜ 2 0 24⎟⎟⎟⎠ → ⎜ 0 2 222⎠⎟⎟⎟ → ⎜ 0 1 201⎟⎠⎟⎟ ; ⎜⎝⎜ 0 22 ⎜⎝⎜ 0 22 ⎜⎜⎝ 0 0 1 1 ⎛ 0 0⎞ 2 1 ⎛ 0 1⎞ 2 ⎝⎜ 1 1⎠⎟ 2 ⎝⎜ 0 21⎠⎟ ⎧⎛22⎞ ⎫ N A 5 gen ⎪⎨⎩⎪⎜⎜⎝⎜ ⎪ 1⎟⎟ ⎬ , ⎧⎪ 1 ⎛ 2⎞ 1 ⎛23⎞ ⎪⎫ 1⎟⎠ ⎪ ⎨ 13 ⎜⎝ 3⎠⎟ ⎭ 47. ⎩⎪ , 13 ⎜⎝ 2⎟⎠ ⎬ ⎭⎪
Respuestas a los problemas impares 725 ⎛1/ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜⎟ 22 49. ⎜1/ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜1/ 3⎟⎠ c) ⎜ 1 ⎟ 1 ⎜ 2 1 ⎟ ⎜ 2 ⎜ 2 2 ⎟ ⎝⎜⎜ ⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟ 1⎟ 1 2 ⎟⎟⎠ 2 1 1 2 2 ⎛ 4⎞ ⎛21/ 3⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 2 7 ⎞ 3 ⎜⎟ 3 3 ⎜ ⎟ ⎜⎜2 ⎟ ⎜ 7⎟ 51. a) ⎜ 2 1 ⎟ b) ⎜ 1/ 3⎟ c) 1 ⎟ 1 ⎜ 3⎟ 55. proy ex 52 1 (5e2 1 25)x2 1 1 (5e2 167) 3 3 28 14 ⎜ 3⎠⎟ ⎜⎝ 5 ⎠⎟ ⎝ 1/ ⎜⎝ 5 ⎠⎟ ⎝⎜ 7 ⎟⎠ 1 3 3 3 21 1 (13e 2 2 61) P2 [0, 2] ⎛ 1⎞ ⎧⎛ 1/ 2⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ 2 ⎪⎜ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪⎨⎩⎪⎪⎜⎜⎜⎝⎜ 0 ⎟ ⎜ 1/ 2 ⎟ ⎪ 57. y 5 1 (7x2 1 9x 216) 53. a) ⎜ 1 ⎟ b) 21/ ⎟ , ⎜ 0 2 ⎟ ⎬ 6 ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ 21/ ⎟ ⎪ 0 2 ⎟⎟⎠ ⎝⎜⎜ ⎟⎟⎠ ⎪ 1 ⎭ ⎝⎜⎜ 2 ⎟⎟⎠ 1 2 CAPÍTULO 5 Problemas 5.1, página 464 1. Lineal. 3. Lineal. 5. Lineal. 5 AtA 1 AtB 1 BtA 1 BtB 7. No lineal, ya que Pero ⎛ ⎛ x⎞ ⎞ ⎛ αx⎞ ⎛ 1⎞ T(A) 1 T(B) 5 AtA 1 BtB ⎜ ⎟ ⎜⎝ αz⎟⎠ T ⎜ α ⎜ y⎟⎟ ⎟ 5 T ⎜ αy⎟⎟ 5 ≠ T(A 1 B) ⎝⎜ ⎜ z ⎟⎠ ⎠⎟ ⎜ αz ⎟⎠ a menos que AtB 1 BtA 5 0. ⎜⎝ ⎝⎜ 21. Lineal. mientras que 23. No lineal a menos que α 5 1 ya que ⎛ x⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ α⎞ T (αD) 5 I 1 αD Z α(I 2 D) 5 αT (D). ⎝⎜ z⎟⎠ ⎝⎜ αz⎟⎠ αT ⎜ zy⎟⎟⎟⎠ 5 α 5 25. Lineal. ⎜⎜⎝ 27. Lineal. 9. No lineal ya que 29. No lineal ya que ⎛⎛ x⎞⎞ ⎛ αx⎞ ⎛ α2x 2 ⎞ ⎛ x⎞ T (αp(x)) 5 αp(x) 1[αp(x)]2 Z αT ( p(x)) ⎝⎜ α ⎜⎝ y⎟⎠ ⎟⎠ ⎜⎝ αy⎠⎟ ⎝⎜ αy ⎠⎟ ⎜⎝ y⎠⎟ T 5T 5 Z αT 31. No lineal a menos que α 5 1 ya que T (αf ) 5 αf (x) 11 Z α( f (x) 11) 11. Lineal 13. Lineal 15. Lineal 5 αT ( f (x)) 17. No lineal, ya que 33. Lineal. ⎛ ⎛ x⎞⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ 35. Lineal. ⎜⎜ y ⎟ ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ y ⎟ 37. Lineal. T ⎜α⎜ ⎟ ⎟ 5 α2T ⎜ ⎟ αT ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ z⎟⎟ 39. La transformación T hace una rotación ⎜ ⎟ ⎜ z⎟ ⎜ z⎟ de vectores en el plano xy de 180°. ⎝ ⎝⎜ w⎟⎠ ⎠ ⎜⎝ w⎟⎠ ⎜⎝ w⎟⎠ si α ≠ 1 o 0 19. No lineal, ya que T(A 1 B) 5 (A 1 B)t(A 1 B) 5 (At 1 Bt)(A 1 B)
726 CAPÍTULO 5 ⎛3 2 1 ⎞ αTy 5 (αT )x 1 (αT )y y(αT )(βx) 5 αβT (x) 41. a) Aθ 5 ⎜⎝ 2 2 ; 5βαT (x) 5β(αT )x entonces se tiene ce- ⎠⎟ rradura con el producto escalar. Observe 1 3 que la transformación neutra es la trans- 2 2 formación cero, y para cada elemento T ∈ L(V , W ), entonces (2T ) ∈ L(V , W ) y b) Aθ ⎛ 23⎞ 5 ⎛ 2 413 3⎞ T 1 (2T ) 5 0. El resto de los axiomas se ⎝⎜ 4⎟⎠ ⎜⎜⎝ 2 3 ⎟⎟⎠ satisface a partir de las reglas de la suma y la multiplicación por escalar de funcio- 314 nes. 2 MATLAB 5.1 43. La transformación T rota a los vectores en sentido contrario a las manecillas del 1. La figura es un perro sin cola. Los puntos reloj un ángulo θ en torno al eje y en un son asteriscos (*) rojos y se tiene 220 # plano paralelo al plano xz. x,y # 20. 45. T ( A) 5 T ⎛ a11 a12 a13 ⎞ 5 ⎛ a11 a12 ⎞ ⎜ a21 a22 a23 ⎟ ⎝⎜ a a ⎠⎟ ⎜ a a ⎟ ⎝⎜ ⎟⎠ 21 22 a 32 33 31 47. T (0) 5T (x 2 x) 5T (x) 2T (x) 5 0, si V y 3. a) Las dos escalas, de x y y del perro es- W son diferentes los dos ceros pueden ser tán duplicadas. Por ejemplo, el ancho diferentes. de una pata se duplica y la altura se duplica. 49. T (αv) 5 (u0 , αv) 5 α(u0 , v) Z α(u0 , v) 5 α αT (v) a menos que α ∈ L b) La primera matriz duplica la escala de x y deja la escala de y igual. Entonces, 51. Sea T1 ∈ L(V , W ) y T2 ∈ L(V , W ) . Como por ejemplo, el ancho de una pata se (T1 + T2 )(x + y) = T1(x + y) + T2 (x + y) duplica pero la altura es la misma. La = T1(x) + T1(y) + T2 (x) + T2 (y) segunda matriz duplica la escala de y y = (T1 + T2 )(x) + (T1 + T2 )(y), deja la de x como está. Así, por ejem- y además (T1 1T2 )(αx) 5T1(αx) 1T2 (αx) plo, el ancho de la pata es la misma 5 α(T1(x) 1T1(y)) 5 α(T1 1T2 )(x), se tiene pero la altura es el doble. cerradura en la adición. Como (αT )( (x 1 y) 5 αT (x 1 y) 5 α(Tx 1Ty) 5 αTx 1 c) La matriz multiplica la escala de x por r y la escala de y por s. Problemas 5.2, página 477 1. Núcleo 5 {(0, y); y ∈ }, es decir, el eje y; 9. Núcleo 5 {A: At 5 2A} 5 {A: A es anti- imagen 5 {(x, 0): x ∈ }, es decir, el eje simétrica}; imagen 5 {A: A es simétrica}; x; ρ(T) 5 ν(T) 5 1. ρ(T) 5 (n2 1 n)/2; ν(T) 5 (n2 2 n)/2. 3. Núcleo 5 {x| x 5 0}, ν(T ) 5 0, Im T 5 11. Nu(T ) 5 { f (t) | f (t) 5 a0 1 a1t, a0 , a1 ∈ }, ν(T ) 5 2, Im T 5{ f ∈C[0, 1]}; ρ(T ) 5 q. ⎧ 2 | y 522 x ⎬⎫, ρ(T ) 51. ⎨(x, y) ∈ 3 ⎭ 13. Nu(T ) 5{(0, 0)} , ν(T ) 5 0, Im T 5 2, ⎩ ρ(T ) 5 2. 5. Nu(T ) 5{(x, y, z, w) | x 52z y y 52w} , 15. Para todo v ∈V , v 5 a1v1 1 a2v2 1 p 1 anvn ν(T ) 5 2 , Im T 5 2, ρ(T ) 5 2. para algún (a1, a2 , , an ). Entonces Tv 5T (a1v1 1 a2v2 1 p 1 anvn ) 7. Nu T 5 ⎪⎧⎛ 0 0 ⎞ ⎪⎫ , 5 a1Tv1 1 a2Tv2 1 p 1 anTvn ⎪⎨⎩⎝⎜ 0 0 ⎟⎠ ⎬⎪⎭ 5 a1v1 1 a2v2 1 p 1 anvn Imagen 5 M22 , Por lo tanto T es el operador identidad. p(T ) 5 4, v(T ) 5 0
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- 269
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- 285
- 286
- 287
- 288
- 289
- 290
- 291
- 292
- 293
- 294
- 295
- 296
- 297
- 298
- 299
- 300
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- 306
- 307
- 308
- 309
- 310
- 311
- 312
- 313
- 314
- 315
- 316
- 317
- 318
- 319
- 320
- 321
- 322
- 323
- 324
- 325
- 326
- 327
- 328
- 329
- 330
- 331
- 332
- 333
- 334
- 335
- 336
- 337
- 338
- 339
- 340
- 341
- 342
- 343
- 344
- 345
- 346
- 347
- 348
- 349
- 350
- 351
- 352
- 353
- 354
- 355
- 356
- 357
- 358
- 359
- 360
- 361
- 362
- 363
- 364
- 365
- 366
- 367
- 368
- 369
- 370
- 371
- 372
- 373
- 374
- 375
- 376
- 377
- 378
- 379
- 380
- 381
- 382
- 383
- 384
- 385
- 386
- 387
- 388
- 389
- 390
- 391
- 392
- 393
- 394
- 395
- 396
- 397
- 398
- 399
- 400
- 401
- 402
- 403
- 404
- 405
- 406
- 407
- 408
- 409
- 410
- 411
- 412
- 413
- 414
- 415
- 416
- 417
- 418
- 419
- 420
- 421
- 422
- 423
- 424
- 425
- 426
- 427
- 428
- 429
- 430
- 431
- 432
- 433
- 434
- 435
- 436
- 437
- 438
- 439
- 440
- 441
- 442
- 443
- 444
- 445
- 446
- 447
- 448
- 449
- 450
- 451
- 452
- 453
- 454
- 455
- 456
- 457
- 458
- 459
- 460
- 461
- 462
- 463
- 464
- 465
- 466
- 467
- 468
- 469
- 470
- 471
- 472
- 473
- 474
- 475
- 476
- 477
- 478
- 479
- 480
- 481
- 482
- 483
- 484
- 485
- 486
- 487
- 488
- 489
- 490
- 491
- 492
- 493
- 494
- 495
- 496
- 497
- 498
- 499
- 500
- 501
- 502
- 503
- 504
- 505
- 506
- 507
- 508
- 509
- 510
- 511
- 512
- 513
- 514
- 515
- 516
- 517
- 518
- 519
- 520
- 521
- 522
- 523
- 524
- 525
- 526
- 527
- 528
- 529
- 530
- 531
- 532
- 533
- 534
- 535
- 536
- 537
- 538
- 539
- 540
- 541
- 542
- 543
- 544
- 545
- 546
- 547
- 548
- 549
- 550
- 551
- 552
- 553
- 554
- 555
- 556
- 557
- 558
- 559
- 560
- 561
- 562
- 563
- 564
- 565
- 566
- 567
- 568
- 569
- 570
- 571
- 572
- 573
- 574
- 575
- 576
- 577
- 578
- 579
- 580
- 581
- 582
- 583
- 584
- 585
- 586
- 587
- 588
- 589
- 590
- 591
- 592
- 593
- 594
- 595
- 596
- 597
- 598
- 599
- 600
- 601
- 602
- 603
- 604
- 605
- 606
- 607
- 608
- 609
- 610
- 611
- 612
- 613
- 614
- 615
- 616
- 617
- 618
- 619
- 620
- 621
- 622
- 623
- 624
- 625
- 626
- 627
- 628
- 629
- 630
- 631
- 632
- 633
- 634
- 635
- 636
- 637
- 638
- 639
- 640
- 641
- 642
- 643
- 644
- 645
- 646
- 647
- 648
- 649
- 650
- 651
- 652
- 653
- 654
- 655
- 656
- 657
- 658
- 659
- 660
- 661
- 662
- 663
- 664
- 665
- 666
- 667
- 668
- 669
- 670
- 671
- 672
- 673
- 674
- 675
- 676
- 677
- 678
- 679
- 680
- 681
- 682
- 683
- 684
- 685
- 686
- 687
- 688
- 689
- 690
- 691
- 692
- 693
- 694
- 695
- 696
- 697
- 698
- 699
- 700
- 701
- 702
- 703
- 704
- 705
- 706
- 707
- 708
- 709
- 710
- 711
- 712
- 713
- 714
- 715
- 716
- 717
- 718
- 719
- 720
- 721
- 722
- 723
- 724
- 725
- 726
- 727
- 728
- 729
- 730
- 731
- 732
- 733
- 734
- 735
- 736
- 737
- 738
- 739
- 740
- 741
- 742
- 743
- 744
- 745
- 746
- 747
- 748
- 749
- 750
- 751
- 752
- 753
- 754
- 755
- 756
- 757
- 758
- 759
- 760
- 761
- 762
- 763
- 764
- 765
- 766
- 767
- 768
- 769
- 770
- 771
- 772
- 773
- 774
- 775
- 776
- 777
- 778
- 779
- 780
- 781
- 782
- 783
- 784
- 785
- 786
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 500
- 501 - 550
- 551 - 600
- 601 - 650
- 651 - 700
- 701 - 750
- 751 - 786
Pages:
