แผนการจัดการเรียนรู้

หนว ยการเรยี นรูเรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ น หนวยการเรียนรูที่ 3 รหสั ค32202 ชือ่ รายวิชา คณติ ศาสตร 4 กลุมสาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 30 ชั่วโมง ผสู อน นางสาวศศิวิมล คำดีเจรญิ โรงเรียนราชประชานุเคราะห 31 จงั หวัดเชียงใหม -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. สาระการเรยี นรู / ผลการเรียนรู สาระ จำนวนและพชี คณิต เขาใจความหลากหลายของการแสดงจํานวน ระบบจํานวน การดําเนนิ การของจาํ นวน ผลทีเ่ กดิ ขึ้นจาก การดาํ เนินการ สมบัตขิ องการดําเนินการ และนําไปใช ผลการเรียนรู 1. เขาใจจาํ นวนเชิงซอ นและใชสมบัตขิ องจํานวนเชงิ ซอนในการแกป ญ หา 2. หารากท่ี n ของจํานวนเชิงซอ น เม่ือ n เปน จาํ นวนนบั ท่ีมากกวา 1 3. แกส มการพหุนามตัวแปรเดียวดกี รีไมเกินส่ีทมี่ ีสมั ประสิทธเ์ิ ปน จำนวนเต็ม และนำไปใชใ นการ แกปญหา 2. สาระสำคญั จำนวนเชงิ ซอ น คอื จำนวนท่ีเขียนอยูในรปู z = a + bi เมื่อ a และ b เปนจำนวนจรงิ ใดๆ และ i = −1 เรยี ก a วา สวนจริง (real part) ของ z และเขียนแทนดวย Re(z) เรยี ก b วา สว นจินตภาพ (imaginary part) ของ z และเขยี นแทนดวย Im(z) สมบัติเชิงพชี คณิตของจำนวนเชงิ ซอ น 1. สมบัติเชิงพชี คณิตของจำนวนเชงิ ซอ น สมบตั ิ กำหนด z1 = a + bi และ z2 = c + di เมอ่ื a, b, c และ d เปนจำนวนจรงิ จะกลาวไดวา 1. z1 = z2หรอื a + bi = c + di ก็ตอเมื่อ a = c และ b= d 2. z1+ z2 = (a + bi)+(c + di) = (a + c) + (b+ d)i 3. kz1= k(a + bi) = ka + kbiเม่ือ k เปน คาคงตวั 4. z1z2 =(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)i 2. สมบัติทเ่ี กย่ี วขอ งกบั การบวกของจำนวนเชงิ ซอ น สมบัติ 1. สมบัติปดของการบวก ถา z1และ z2 เปน จำนวนเชงิ ซอน แลว z1+ z2 เปนจำนวนเชิงซอ น 2. สมบตั กิ ารสลบั ที่ของการบวก ถา z1และ z2 เปน จำนวนเชงิ ซอ น แลว z1+ z2= z2+ z1 3. สมบัติการเปลยี่ นหมูของการบวก ถา z1, z2และ z3 เปน จำนวนเชงิ ซอน แลว (z1+ z2) + z3= z1+ (z2 + z3) 4. สมบัติการมเี อกลักษณข องการบวก

สำหรับจำนวนเชิงซอ น a + bi ใดๆ เมอื่ a และ b เปน จำนวนจรงิ จะมจี ำนวนเชิงซอ น 0 + 0iซงึ่ (a + bi) + (0 + 0i) = a + bi และ (0 + 0i) + (a + bi) = a + bi เรียกจำนวนเชิงซอ น 0 + 0i วา เอกลักษณข องการบวกของจำนวนเชิงซอน 5.สมบตั ิการมีตัวผกผันของการบวก สำหรบั จำนวนเชงิ ซอน a + bi ใดๆ เมื่อ a และ b เปนจำนวนจริง จะมจี ำนวนเชิงซอน -a - bi ซ่งึ (a + bi) + (-a - bi) = 0 + 0i และ (-a - bi) + (a + bi) = 0 + 0i เรียกจำนวนเชิงซอ น -a - bi วา ตวั ผกผนั ของการบวกของ a + bi 3. การลบจำนวนเชงิ ซอน บทนยิ าม กำหนด z1และ z2 เปน จำนวนเชิงซอ นใด ๆ จะไดวา z1- z2= z1+ (-z2) 4. สมบตั ิทเ่ี ก่ียวขอ งกบั การคูณของจำนวนเชงิ ซอน สมบัติ 1. สมบัตปิ ด ของการคณู ถา z1และ z2 เปนจำนวนเชิงซอน แลว z1z2 เปนจำนวนเชงิ ซอ น 2. สมบตั กิ ารสลบั ท่ขี องการคณู ถา z1และ z2 เปน จำนวนเชิงซอน แลว z1z2= z2z1 3. สมบัติการเปลยี่ นหมขู องการคณู ถา z1, z2และ z3 เปน จำนวนเชงิ ซอ น แลว (z1z2)z3= z1(z2z3) 4. สมบัติการมเี อกลกั ษณข องการคณู สำหรบั จำนวนเชิงซอ น a + bi ใดๆ เมอื่ a และ b เปน จำนวนจรงิ จะมีจำนวนเชิงซอน 1 + 0iซงึ่ (a + bi)(1 + 0i) = a + bi และ (1 + 0i)(a + bi) = a + bi เรียกจำนวนเชิงซอน 1 + 0i วา เอกลกั ษณของการคูณของจำนวนเชิงซอน 5.สมบตั กิ ารมตี ัวผกผันของการคณู สำหรบั จำนวนเชงิ ซอ น a + bi ใดๆ เมือ่ a และ b เปนจำนวนจริง a b จะมีจำนวนเชิงซอ น a2 + b2 − a2 + b2 i ซ่ึง (a + bi)  a2 a b2 − a2 b i  =1 + 0i + + b2 และ  a2 a b2 − a2 b i (a + bi) =1 + 0i + + b2 เรยี กจำนวนเชิงซอ น a2 a − a2 b i วา ตัวผกผนั ของการคูณของ a + bi + b2 + b2 6.สมบตั กิ ารแจกแจง

ถา z1, z2และ z3 เปน จำนวนเชงิ ซอ นแลว z1(z2+z3) = z1z2 + z1z3 และ (z1+z2)z3 = z1z3 + z2z3 5. การหารจำนวนเชิงซอน บทนิยาม กำหนด z1และ z2 เปนจำนวนเชิงซอ นใด ๆ จะไดวา z1÷ z2= z1z2-1 z1 เมือ่ z2≠ 0 และเขยี นแทนดวย z1÷ z2= z2 6. สังยคุ ของจำนวนเชงิ ซอน บทนิยาม ให z = a + bi เปน จำนวนเชิงซอนจะเรยี กจำนวนเชิงซอน a – bi วาเปนสงั ยุคของ z เขยี นแทน ดว ยสัญลกั ษณ z =a + bi =a − bi สมบัติ ให z = a + bi เปน จำนวนเชิงซอน จะไดว า 1. z = z 2. zz= a2 + b2 1 3. Re(=z) 2 (z + z ) 4. Im=(z) 1 (z − z ) 2i 5. z1 ± z2 = z1 ± z2 6. z1z2 = z1 z2 7.  z1  = z1 เมอ่ื z2 ≠ 0  z2  z2   8. ถา z ≠ 0 แลว 1 =  1  z z กราฟและคาสมั บูรณของจำนวนเชิงซอน ระนาบเชิงซอนประกอบดวย 2 แกน คือ แกนนอน เรียกวา แกนจริง และแกนต้ัง เรียกวา แกนจินตภาพให z = a+biจะไดจ ดุ (a,b) หรือเวกเตอรท ม่ี ีจุด (0,0) เปน จดุ เริ่มตน และจดุ (a,b) เปนจดุ สิน้ สดุ ดังรูป Y Y b z(a,b) b z(a,b) (0,0) a X a X คา สมั บรู ณข องจำนวนเชงิ ซอ น คอื |z| = |a + bi| = a2 + b2 สมบัติ คาสัมบรู ณข องจำนวนเชิงซอน ให z และ w เปน จำนวนเชิงซอ น และ |z| = a2 + b2

1. |z|2 = z z 2. |z| = |-z| = | z | 3. |zw| = |z||w| 4. |z + w| ≤ |z| + |w| 5. |z - w| ≥ |z| - |w| z |z| 6. w = |w| เมือ่ w≠0 7. |z|-1 = 1 = | 1 | เมื่อ z≠0 z z 8. |zn| = |z|nเมอื่ z ≠ 0 และ n เปน จำนวนเต็มใดๆ 9. |z| = 0 ก็ตอเมอื่ z = 0 รากท่สี องของจำนวนเชิงซอ น ให z = a + bi และr = a2 + b2 รากทส่ี องของ z คอื ±  r + a + r − a i  เมอ่ื b ≥ 0  2 2  ±  r+a − r − ai  เมอ่ื b < 0 2 2  คำตอบของสมการพหนุ ามกำลังสอง ax2 + bx + c = 0 เมอื่ a,bและ c เปน จำนวนจรงิ และ a ≠ 0 คือ x= −b ± b2 − 4ac เม่ือ b2 − 4ac ≥ 0 2a | b2 x = −b ± 2a − 4aci เมอ่ื b2 − 4ac < 0 จำนวนเชงิ ซอนในรปู เชิงขวั้ คอื z = r(cosθ+i sinθ) หรอื z = r cisθ เรยี กมมุ θวา อารกิวเมนต( argument) ของ z ใชสญั ลกั ษณ Arg(z) ทฤษฎีบทของจำนวนเชงิ ซอ นในรปู เชงิ ขว้ั ให z , z1 และ z2เปนจำนวนเชิงซอ น 1. =z1z2 r1r2 [r cos(θ1 + θ2 )] + isin(θ1 + θ2 )] 1 1 2. z = r (cos θ − is in θ) 3. =z1 r1 [r cos(θ1 − θ2 )] + i sin(θ1 − θ2 )] เมือ่ z2 ≠ 0 4. z2 r2 Arg(z1z2) = z =r[(cos(−θ) + isin(−θ)] Arg(z1) + Arg(z2) Arg  z1  = Arg(z1) - Arg(z2)  z2  

ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร กำหนดให z = r(cosθ+i sinθ) และ n เปน จำนวนเต็มบวก จะได zn = rn [(cos(nθ) + isin(nθ)] รากที่ n ของจำนวนเชงิ ซอ น รากท่ี n ของจำนวนเชงิ ซอน เขยี นแทนดว ยสญั ลกั ษณ n z θ + 2kπ + 2kπ ให z เปนจำนวน=เชิงซอ น จะไดว า n z n r cos n  + i sin  θ n  เม่อื k = 0, 1, 2, …, n-1 รากที่ n ของจำนวนเชงิ ซอ นใดๆ จะมี n ราก(คำตอบ) 1. ถา z1, z2, z3, …, znเปนรากที่ n ของ z แลว |z1| = |z2| = |z3| = … = |zn| 2. ถา z1, z2, z3, …,znเปนรากที่ n ของ z แลว z1 + z2 + z3 + … + zn = 0 ทฤษฎีบท ทฤษฎบี ทหลักมลู ของพีชคณติ ให p(x) เปนพหนุ ามทม่ี ีดีกรมี ากกวา หรือเทากับ 1 สมการ p(x) = 0 จะมคี ำตอบท่ีเปนจำนวนเชงิ ซอนอยา ง นอ ย 1 คำตอบ ทฤษฎีบท ถา p(x) เปน พหนุ ามดีกรี n เมือ่ n ≥1 แลว สมการ p(x) = 0 จะมีคำตอบทั้งหมด n คำตอบ เม่ือ นับคำตอบทีซ่ ำ้ กนั ดวย ทฤษฎบี ท ทฤษฎบี ทตวั ประกอบ กำหนด p(x) เปนพหุนามท่ีมีดีกรีมากกวาหรือเทากับ 1 จะไดวา พหุนาม p(x) มี x – c เปนตัวประกอบก็ ตอเมอ่ื p(c) มี x – c เปนตัวประกอบก็ตอเม่ือ p(c) = 0 ทฤษฎบี ท ทฤษฎบี ทตวั ประกอบจำนวนตรรกยะ กำหนด p(x) เปนพหุนามในรูป anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 โดยท่ี n เปน จำนวนเตม็ บวก an, an-1, …, a1,a0 เปน จำนวนเตม็ ซ่ึง an ≠ 0 k ถา x - m เปนตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เปนจำนวนเต็ม ซ่ึง m ≠ 0และ ห.ร.ม. ของ m และ k คอื 1 แลว m หาร anลงตัว และ k หาร a0 ลงตัว ทฤษฎบี ท ให p(x) เปนพหนุ ามดกี รีมากกวาหรอื เทา กบั 1 และสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปน จำนวนจรงิ ถา z เปน คำตอบของ สมการ p(x) = 0 แลว สังยคุ ของ z จะเปน คำตอบของสมการดวย 3. สาระการเรยี นรู ดานความรู 1. นกั เรียนสามารถบอกสว นจริงและสวนจินตภาพของจำนวนเชิงซอนได 2. นกั เรียนสามารถบอกสมบตั ิเชงิ พีชคณติ ของจำนวนเชงิ ซอ นได 3. นักเรยี นสามารถเขยี นกราฟในระนาบเชิงซอ นได 4. นกั เรียนสามารถบอกสมบตั ิคาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอ นได 5. นักเรียนสามารถหารากทส่ี องของจำนวนเชิงซอนได 6. นักเรยี นสามารถหาคาอารก ิวเมนตของจำนวนเชิงซอ นได

7. นกั เรียนสามารถหาคำตอบของสมการพหนุ ามตัวแปรเดยี วได ดา นทกั ษะ / กระบวนการ/ทักษะการคดิ 1. ทกั ษะการแกปญหา 2. ทกั ษะการคิด คุณลกั ษณะอนั พึงประสงค 1. มีวนิ ัย 2. ใฝเรยี นรู 3. มงุ ม่นั ในการทำงาน สมรรถนะของผเู รียน 1. ความสามารถในการคดิ 2. ความสามารถในการแกป ญ หา 3. ความสามารถในการใชท กั ษะชวี ติ 4. สอื่ การเรียนรู 1. แบบฝก หัด 2. หนงั สือเรยี น คูม อื 3. แบบทดสอบกอนเรียน/หลังเรียน 4. ใบงาน 5. การประเมนิ ผลรวบยอด ช้ินงานหรอื ภาระงาน 1. ใบงาน 2. แบบฝกหดั

การประเมนิ ผล ระดับคณุ ภาพ ประเดน็ การ 4 32 1 ประเมนิ (ดีมาก) (ด)ี (พอใช) (ปรับปรุง) ใบงาน / ทำไดอ ยา งถูกตองรอย ทำไดอยา งถกู ตอง ทำไดอยางถกู ตอ งรอ ยละ ทำไดอ ยา งถูกตอ ง แบบฝก หดั ละ 80 ขนึ้ ไป รอยละ 70-79 40-69 ต่ำกวา รอยละ 40 มคี วามรบั ผิดชอบ ทำงานเสรจ็ และสงตรง ทำงานเสรจ็ และ ทำงานเสรจ็ แตสง ชา ทำ ทำงานไมเสร็จ ตอ งาน เวลา ทำถูกตอง สงตรงเวลา ทำ ไมถกู ตอง และไมมคี วาม สงไมต รงเวลา ทำ ละเอยี ด ถกู ตอ ง ละเอยี ด ละเอยี ดในการทำงาน ไมถูกตอ ง และไม ทไี่ ดร ับมอบหมาย ใหไ ด มีความละเอียดใน การทำงาน มคี วามรอบคอบใน มกี ารวางแผน มกี ารวางแผน มีการวางแผน ไมมีการวางแผน การทำงาน การดำเนินการอยาง การดำเนินการ การดำเนินการอยางไม การดำเนินการ ครบทุกข้นั ตอน และ อยา งถูกตอ ง อยางไมม ขี นั้ ตอน แตไ มครบถวน ครบทุกขนั้ ตอน มีความผดิ พลาด ถกู ตอ ง ตอ งแกไ ข การประเมินผล ระดบั คณุ ภาพ ประเดน็ การ ประเมนิ 4 32 1 เกณฑก ารประเมนิ สามารถแกปญ หา สามารถแกปญ หา สามารถแกป ญ หา ไมสามารถแกป ญ หา การแกปญหาโดย โดยใชส มบัตขิ อง โดยใชส มบัติของ โดยใชส มบตั ขิ อง โดยใชส มบตั ขิ อง ใชส มบตั ิของ จำนวนเชิงซอ น จำนวนเชงิ ซอนดวย จำนวนเชงิ ซอ นได จำนวนเชิงซอนได จำนวนเชิงซอ น ดวยตนเองไดอยาง ตนเองไดอ ยาง โดยมีครแู นะนำ อยา งถกู ตอง ตองดู (K) ถูกตอ งแมนยำ พรอ ม ถูกตองแมน ยำ บางครัง้ ตวั อยา ง หรือครู ทง้ั อธิบายใหเพ่อื น แนะนำ เขาใจได เกณฑก ารประเมนิ สามารถหารากที่ n สามารถหารากที่ n สามารถหารากที่ n ไมส ามารถรากท่ี n การหารากที่ n ของจำนวนเชิงซอน ของจำนวนเชิงซอน ของจำนวนเชิงซอน ของจำนวนเชิงซอน ของจำนวน ดวยตนเองไดอยา ง ดว ยตนเองไดอยาง ไดโดยมีครแู นะนำ ไดอ ยางถกู ตอ ง ตองดู เชงิ ซอน ถกู ตอ งแมนยำ พรอ ม ถกู ตองแมน ยำ บางครง้ั ตวั อยา ง หรอื ครู (K) ทัง้ อธิบายใหเ พ่ือน แนะนำ เขา ใจได

ประเดน็ การ ระดับคณุ ภาพ ประเมนิ 4 32 1 เกณฑก ารประเมิน สามารถหาการหาผล สามารถหาการหาผล สามารถหาการหา ไมสามารถหาการหา การหาคำตอบของ คณู เชงิ สเกลารแ ละ คูณเชงิ สเกลารแ ละ ผลคณู เชิงสเกลาร ผลคณู เชงิ สเกลาร สมการพหนุ ามตัว หาผลคูณเชิงเวกเตอร หาผลคูณเชิง และหาผลคณู เชิง และหาผลคณู เชิง แปรเดยี ว( K ) ดวยตนเองอยาง เวกเตอร เวกเตอร ไดโดยมี เวกเตอร ดวยตนเอง ถกู ตองแมนยำ พรอม ดวยตนเองอยาง ครแู นะนำบางคร้ัง อยางถกู ตอง ตองดู ทัง้ อธิบายใหเพื่อน ถูกตอ งแมน ยำ ตวั อยา ง หรือครู เขาใจได แนะนำ เกณฑการประเมิน สามารถนำความรู สามารถนำความรู สามารถนำความรู ไมสามารถนำความรู การนำความรู เก่ียวกบั จำนวน เก่ยี วกับจำนวน เก่ียวกบั จำนวน เก่ียวกบั จำนวน เกย่ี วกบั จำนวน เชิงซอนไปใชในการ เชงิ ซอนไปใชในการ เชิงซอนไปใชในการ เชิงซอนไปใชในการ เชงิ ซอนไปใชใ น แกป ญ หาดวยตนเอง แกป ญ หาดว ยตนเอง แกปญหาได โดยมี แกปญ หาดว ยตนเอง การแกป ญ หา ( P ) อยา งถูกตอ งแมน ยำ อยา งถกู ตองแมน ยำ ครแู นะนำบางครงั้ อยา งถกู ตอ ง ตองดู พรอ มทง้ั อธิบายให ตัวอยา ง หรอื ครู เพ่ือนเขาใจได แนะนำ เกณฑประเมนิ ดาน สามารถปฏิบตั ิไดด วย สามารถปฏิบตั ติ น สามารถปฏบิ ตั ิได ไมสามารถปฏิบัตไิ ด คณุ ลักษณะฯ ( A ) ตนเองหรือเปน ตามคำแนะนำ บางตามคำแนะนำ ตามคำแนะนำหรือ แบบอยา งแกผอู ่ืนได หรือช้แี นะในการ หรอื คำชแี้ นะในการ ช้แี นะดว ยตนเองแต ในการปฏิบตั งิ านทาง ปฏบิ ตั ิงานทาง ปฏิบัติงานทาง ตองมีการกำกับและ คณติ ศาสตรอ ยา งมี คณิตศาสตรอยา งมี คณิตศาสตรอ ยางมี ตดิ ตามอยเู สมอใน ระบบ มคี วามซ่อื สัตย ระบบ มคี วามซือ่ สตั ย ระบบ มีความ การปฏิบัตงิ านทาง สจุ รติ มวี นิ ัย ใฝ สจุ รติ มีวนิ ยั ใฝเ รยี นรู ซื่อสตั ย สจุ ริต คณติ ศาสตร เรียนรมู ีความมงุ มน่ั มคี วามมงุ มัน่ ในการ มวี ินยั ใฝเ รยี นรู อยางมีระบบ มีความ ในการทำงาน มจี ติ ทำงาน มจี ิต ซื่อสตั ย สจุ ริต สาธารณะ สาธารณะ การประเมินผลรวมมีระดบั คณุ ภาพดังนี้ ระดับ 4 = คะแนนรวม 12 – 16 ระดบั 3 = คะแนนรวม 8 – 11 ระดบั 2 = คะแนนรวม 4 – 7 ระดับ 1 = คะแนนรวมนอยกวา 4

6. กิจกรรมการเรียนรู ช่ัวโมงท่ี 1 เรอ่ื ง จำนวนเชงิ ซอ น ทดสอบกอ นเรยี นเรยี นเรือ่ ง จำนวนเชิงซอ น ขอสอบปรนยั จำนวน 20 ขอ ช่วั โมงที่ 2-3 เรื่อง จำนวนเชิงซอ น จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนชี้แจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากนั้นใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากนั้นทำแบบฝกหัด 1.1 เร่ือง จำนวนเชิงซอน 7 ในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ชั้น มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เปนรายบุคคล ชว่ั โมงที่ 4 เรอ่ื ง จำนวนเชงิ ซอ น จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนช้ีแจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากนั้นใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากน้ันทำแบบฝกหัด 1.1 เรื่อง จำนวนเชิงซอน 8 ในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ชั้น มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เปนรายบคุ คล ชวั่ โมงที่ 5-6 เร่อื ง สมบัตเิ ชงิ พชี คณติ ของจำนวนเชงิ ซอน จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนช้ีแจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากน้ันใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากนั้นทำแบบฝกหัด 1.2 เร่ือง สมบัติพีชคณิตของจำนวนเชิงซอน หนา 19 ในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร เลม 2 ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 เปนรายบคุ คล ชัว่ โมงที่ 7 เรอื่ ง สมบัติเชิงพีชคณติ ของจำนวนเชงิ ซอ น จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนชี้แจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากนั้นใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากน้ันทำแบบฝกหัด 1.2 เรื่อง สมบัติพีชคณิตของจำนวนเชิงซอน หนา 19 ในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร เลม 2 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เปนรายบุคคล ชั่วโมงท่ี 8-9 เร่ือง สมบตั เิ ชงิ พีชคณติ ของจำนวนเชงิ ซอ น จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนช้ีแจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากน้ันใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากนั้นทำแบบฝกหัด 1.2 เร่ือง สมบัติพีชคณิตของจำนวนเชิงซอน หนา 20 ในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณติ ศาสตร เลม 2 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เปนรายบคุ คล ชัว่ โมงที่ 10 เร่อื ง รากที่สองของจำนวนเชิงซอน จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนชี้แจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากน้ันใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากน้ันทำแบบฝกหัด 1.3 เรื่อง รากที่สองของจำนวนเชิงซอน หนา 26 ในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 เปน รายบคุ คล

ชว่ั โมงที่ 11-12 เรอื่ ง รากที่สองของจำนวนเชิงซอ น จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนชี้แจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากน้ันใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากน้ันทำแบบฝกหัด 1.3 เรื่อง รากที่สองของจำนวนเชิงซอน หนา 26 ในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 เปน รายบคุ คล ชว่ั โมงท่ี 13 เรือ่ ง รากท่สี องของจำนวนเชงิ ซอน จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนชี้แจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากนั้นใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากน้ันทำแบบฝกหัด 1.3 เรื่อง รากที่สองของจำนวนเชิงซอน หนา 26 ในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร เลม 2 ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เปน รายบคุ คล ชวั่ โมงที่ 14-15 เรือ่ ง กราฟและคา สัมบรู ณ จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนชี้แจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากน้ันใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากนั้นทำแบบฝกหัด 1.4 เร่ือง กราฟและคาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอน หนา 33 ในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณติ ศาสตร เลม 2 ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เปนรายบคุ คล ชัว่ โมงที่ 16 เร่ือง กราฟและคา สัมบูรณ จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนชี้แจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากนั้นใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากนั้นทำแบบฝกหัด 1.4 เร่ือง กราฟและคาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอน หนา 34 ในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร เลม 2 ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 เปนรายบคุ คล ช่ัวโมงที่ 17-18 เรื่อง กราฟและคาสมั บูรณ จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนชี้แจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากนั้นใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากนั้นทำแบบฝกหัด 1.4 เรื่อง กราฟและคาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอน หนา 34 ในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณติ ศาสตร เลม 2 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เปนรายบคุ คล ชั่วโมงที่ 19 เร่อื ง จำนวนเชงิ ซอนในรปู เชงิ ขัว้ จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนช้ีแจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากนั้นใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากนั้นทำแบบฝกหัด 1.5 เรื่อง รูปเชิงข้ัวของจำนวนเชิงซอน หนา 46 ในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เปน รายบุคคล

ชวั่ โมงที่ 20-21 เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ นในรปู เชงิ ข้ัว จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนชี้แจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากนั้นใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากนั้นทำแบบฝกหัด 1.5 เร่ือง รูปเชิงข้ัวของจำนวนเชิงซอน หนา 46 ในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร เลม 2 ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เปนรายบคุ คล ชว่ั โมงที่ 22 เรอื่ ง รากท่ี n ของจำนวนเชงิ ซอน จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนชี้แจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากนั้นใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากน้ันทำแบบฝกหัด 1.6 เร่ือง รากที่ n ของจำนวนเชิงซอน หนา 52 ในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร เลม 2 ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 5 เปน รายบคุ คล ช่ัวโมงท่ี 23-24 เรื่อง รากท่ี n ของจำนวนเชิงซอน จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนช้ีแจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากนั้นใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากนั้นทำแบบฝกหัด 1.6 เรื่อง รากท่ี n ของจำนวนเชิงซอน หนา 52 ในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เปนรายบคุ คล ชวั่ โมงที่ 25 เร่อื ง รากท่ี n ของจำนวนเชงิ ซอน จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนชี้แจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากน้ันใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากน้ันทำแบบฝกหัด 1.6 เร่ือง รากท่ี n ของจำนวนเชิงซอน หนา 52 ในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 เปนรายบุคคล ชัว่ โมงที่ 26-27 เร่อื ง สมการพหุนาม จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนช้ีแจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากน้ันใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากน้ันทำแบบฝกหัด 1.7 เรื่อง สมการพหุนามตัวแปรเดียว หนา 59 ในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 5 เปนรายบุคคล ชัว่ โมงที่ 28 เรือ่ ง สมการพหนุ าม จัดการเรียนรูแบบมโนทศั น (Concept Based Teaching) โดยครูผสู อน ช้แี จงการจัดการเรียนการสอนใหนกั เรียนเขาใจโดยการสาธติ ยกตัวอยางประกอบ จากนั้นใหนักเรียนศึกษาและสรุป ความคิดรวบยอดของตนเอง จากน้ันทำแบบฝกหัด 1.7 เรื่อง สมการพหุนามตัวแปรเดียว หนา 59 ในหนังสือเรียน รายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร เลม 2 ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 5 เปน รายบคุ คล ช่วั โมงท่ี 29-30 เร่อื ง สมการพหนุ าม จัดการเรียนรูแบบมโนทัศน (Concept Based Teaching) โดยครูผูสอนช้ีแจงการจัดการเรียนการสอนให นักเรียนเขาใจโดยการสาธิต ยกตัวอยางประกอบ จากนั้นใหนักเรียนศึกษาและสรุปความคิดรวบยอดของตนเอง จากนั้นทำแบบฝกหัด 1.7 เร่ือง สมการพหุนามตัวแปรเดียว หนา 60 ในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เปนรายบคุ คล

7. สื่อการเรยี นรู 1. แบบฝกหดั 1.1 เรอ่ื ง จำนวนเชงิ ซอน 2. แบบฝก หดั 1.2 เร่ือง สมบัตพิ ีชคณติ ของจำนวนเชงิ ซอ น 3. แบบฝก หัด 1.3 เร่ือง รากท่สี องของจำนวนเชิงซอน 4. แบบฝก หัด 1.4 เร่อื ง กราฟและคาสัมบรู ณข องจำนวนเชงิ ซอน 5. แบบฝก หดั 1.5 เรอ่ื ง รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซอน 6. แบบฝก หัด 1.6 เรื่อง รากที่ n ของจำนวนเชิงซอ น 7. แบบฝก หดั 1.7 เรอ่ื ง สมการพหุนามตวั แปรเดียว 8. ใบงานท่ี 3.1 เรือ่ ง แผนผงั ของจำนวนจรงิ 9. ใบงานท่ี 3.2 เรอื่ ง สมบัตขิ องสังยุคของจำนวนเชิงซอ น 10. ใบงานท่ี 3.3 เรื่อง ระบบพกิ ดั ฉากของจำนวนจริง 11. ใบงานท่ี 3.4 เรอ่ื ง รากที่สองของจำนวนจรงิ 12. ใบงานท่ี 3.5 เรอ่ื ง การหาคา r และ θของจำนวนเชิงซอ น 13. ใบงานท่ี 3.6 เรื่อง การหารากที่ n 14. ใบงานท่ี 3.7 ก เร่อื ง ชนิดของฟง กชนั 15. ใบงานที่ 3.8 ข เรอื่ ง สมการพหนุ าม

กลุมสาระการเรยี นรูคณิตศาสตร แผนการจดั การเรียนรูที่ 1 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 5/1 ภาคเรียนที่ 2 ปการศกึ ษา 2563 หนว ยการเรยี นรู จำนวนเชงิ ซอน เรอ่ื ง จำนวนเชงิ ซอน ใชเวลา 4 ชวั่ โมง/คาบ ********************************************************************************* ผลการเรยี นรู 1. เขาใจจาํ นวนเชงิ ซอนและใชส มบตั ขิ องจาํ นวนเชิงซอนในการแกปญ หา 2. หารากที่ n ของจาํ นวนเชิงซอ น เม่ือ n เปน จาํ นวนนบั ทม่ี ากกวา 1 3. แกส มการพหุนามตวั แปรเดยี วดกี รไี มเ กินสีท่ ่มี ีสมั ประสิทธเ์ิ ปน จำนวนเตม็ และนำไปใชใ นการแกป ญ หา จดุ ประสงคการเรยี นรู 1. สามารถบอกสว นจริงและสวนจินตภาพของจำนวนเชงิ ซอนได (K) 2. มคี วามสามารถในการสื่อสาร สื่อความหมายทางคณิตศาสตร การเขยี นจำนวนเชงิ ซอน และการนำเสนอ อภปิ รายบทนิยามของจำนวนเชิงซอ นได (P) 3. รบั ผดิ ชอบตอ หนา ที่ท่ไี ดรับมอบหมาย (A) สาระสำคญั จำนวนเชงิ ซอน คือ จำนวนทีเ่ ขยี นอยใู นรปู z = a + bi เม่ือ a และ b เปนจำนวนจริงใดๆ และi = −1 เรียก a วา สวนจรงิ (real part) ของ z และเขียนแทนดวย Re(z) เรียก b วา สวนจินตภาพ (imaginary part) ของ z และเขยี นแทนดวย Im(z) สาระการเรยี นรู จำนวนเชิงซอนและสมบัตขิ องจำนวนเชงิ ซอน กิจกรรมการเรียนรู  แนวคิด/รปู แบบการสอน/วธิ ีการสอน/เทคนคิ : Concept Based Teaching ชั่วโมงที่ 1 ขั้นนำ 1.ครูแจกใบงานท่ี 3.1 เรื่อง แผนผังของจำนวนจริง เม่ือนักเรียนทำใบงานเสร็จแลว ครูและนักเรียน รว มกันเฉลยคำตอบทีถ่ กู ตอ ง 2.ครูใหนักเรียนพิจารณา สมการพหุนามบางสมการในระบบจำนวนจริง เชน x2+1 = 0 และใหนักเรียน ชวยกันหาคำตอบของสมการพหุนาม x2+1 = 0จะไดว า x2 + 1 = 0 x2 = -1

x = ± −1 ซึง่ ไมใ ชจ ำนวนจรงิ จะเห็นไดชัดวาไมมีจำนวนจริง x ใดๆ ที่ทำใหสมการเปนจริง จึงกลาวไดวา สมการพหุนาม x2+1 = 0 ไมมี คำตอบของสมการที่เปนจำนวนจริง เพ่ือใหสมการพหุนามน้ีมีคำตอบจึงมีการสรางระบบจำนวนเชิงซอนขึ้นเพื่อให สมการพหุนามทง้ั หมดมีคำตอบทง้ั ทีเ่ ปน จำนวนจรงิ และไมใชจ ำนวนจริง ขนั้ สอน 1. ครูอธิบายใหนกั เรียนไดเขาใจวา เม่อื กำหนดให −1 แทนดว ยสัญลกั ษณi (มาจาก imaginan) จำนวน 2. ใหนักเรียนพิจารณาวาจำนวนจนิ ตภาพอ่ืนๆ เชน −2 , −3 , −4 เปนตน จะเขยี นในรปู ci ไดอยา งไร (แนวคำตอบ : −2= 2 × −1= 2i −3= 3 × −1= 3i )−4= 4 × −1= 4i= 2i ดังน้ันจำนวนในวิชาคณิตศาสตรจึงสามารถมีไดท้ังจำนวนจริงและจำนวนที่ไมใชจำนวนจริงหรือจำนวน จินตภาพ (imaginarynumber) รวมจำนวนท้ังสองชนดิ เรียกวา “จำนวนเชิงซอน” นิยมเขียนอยใู นรูป z = a + bi หรือ(a,b) เมอ่ื a และ b เปนจำนวนจริงใดๆ และ i = −1 เรยี ก a วา สว นจริง (real part) ของ z และเขยี นแทนดวย Re(z) เรียก b วา สว นจนิ ตภาพ (imaginary part) ของ z และเขียนแทนดวย Im(z) 3. ครยู กตวั อยา งจำนวน 1 + i , -4i , -3 – 2i , 5.5 แลว ใหนักเรยี นชวยกนั พิจารณาวา • จำนวนใดบา งทเี่ ปน จำนวนเชงิ ซอ น (แนวคำตอบ : ทุกจำนวนเปน จำนวนเชิงซอ น) • ใหน ักเรยี นบอกสวนจรงิ สวนจินตภาพและจำนวนจินตภาพของแตละจำนวน (แนวคำตอบ : สว นจรงิ สว นจนิ ตภาพ จำนวนจินตภาพ จำนวน 1+i 1 1i -4i 0 -4 -4i -3 – 2i -3 -2 -2i 5.5 5.5 00 4. จากการยกตัวอยางจำนวนในขอ 3 ครูอธิบายใหนักเรียนไดเขาใจวาจำนวนท่ีมีแตจำนวนจินตภาพเพียง อยา งเดียว เชน –4i เราเรยี กวา “จำนวนจินตภาพแท” 5. ครูเขยี นบทนิยามของจำนวนเชิงซอนบนกระดาน และขยายความของบทนยิ ามใหนักเรียนเขา ใจมากยิง่ ข้นึ ขั้นสรปุ 1. ครใู หนกั เรียนแตละคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียนรายวชิ าเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เร่อื งจำนวน เชิงซอนจากนน้ั สมุ นักเรยี นออกนำเสนอคำตอบหนา ชนั้ เรียน โดยครตู รวจสอบความถกู ตอ ง

2. ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 4-5 คน แลวชวยกันหาคำตอบในแบบฝกหัด 1.1 ขอ 1-3 ระดับพ้ืนฐาน จากนั้นใหนักเรียนจับคูกับกลุมอ่ืน เพ่ือแลกเปลี่ยนกันตรวจคำตอบและรวมกันอภิปรายคำตอบท่ีนักเรียนตอบไม ตรงกนั โดยครูคอยสงั เกตและใหค ำแนะนำกบั นักเรยี น ชัว่ โมงท่ี 2 ขั้นนำ ครูทบทวนเน้ือหาจากชั่วโมงกอนหนาเร่ืองสมการพหุนามและจำนวนเชิงซอน เพ่ือใหนักเรียนเขาใจมาก ยิ่งขน้ึ ขั้นสอน 1. ครใู หนักเรียนพิจารณาหาคา ของ i ยกกำลัง n ดงั นี้ จากนยิ าม i0 =1 และ i = i ( )i2 =−1 2 =−1 i3 =i2 ⋅i =(−1) ⋅i =−i i4 =i2 ⋅i2 =(−1) (−1) =1 i5 = i4 ⋅i = i i6 =i4 ⋅ i2 =−1 i7 =i4 ⋅ i3 =−i i8 = i4 ⋅i4 = 1 จะเหน็ วาคาของ in มีความสัมพันธร ะหวางผลหารและเศษของการหาร n ดว ย 4 จงึ สรุปคา ของ in ดงั น้ี in =1เมอื่ n ÷ 4 แลว เหลือเศษ 0 (หารลงตัว) in = i เมอื่ n ÷ 4 แลว เหลอื เศษ 1 in = −1เมือ่ n ÷ 4 แลว เหลอื เศษ 2 in = −i เมอื่ n ÷ 4 แลว เหลือเศษ 3 2.ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุม ละ 3 คน แลวชวยกันหาคำตอบในแบบฝกหัด 1.1 ขอ 4 แลวนักเรียนและครู รวมกันเฉลยคำตอบทีถ่ ูกตอ ง ขนั้ สรปุ 1. ครูใหแตละคนนักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เร่ือง จำนวนเชิงซอนเพ่ือตรวจสอบความเขาใจเรือ่ งการบวกลบท่ีอยูในรูป i ยกกำลัง n แลว สุมนักเรยี นเฉลยคำตอบ โดย ครตู รวจสอบความถูกตอง ชัว่ โมงท่ี 3 ขน้ั นำ 1.ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 3 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 หนวยเร่ือง จำนวนเชิงซอนเรือ่ งการบวกลบทอ่ี ยใู นรปู I ยกกำลงั n

ข้ันสอน 1. ครใู หน กั เรียนพิจารณาการหาผลบวกของ i ยกกำลงั n เมอื่ n แทนจำนวนนับใด ๆ เชน ผลบวกของ i + i2 + i3 + i4 = i + (−1) + (−i) +1 = 0 i2 + i3 + i4 + i5 = (−1) + (−i) +1+ i = 0 2.ครูใหนักเรียนรวมกันพิจารณาความสัมพันธของผลบวกของ iยกกำลัง n ที่เรียงลำดับ จะพบวา “ผลบวก ของ in 4 จำนวนทีเ่ รียงลำดับตอ กันจะรวมกนั ไดเทา กับ0 เสมอ” ข้นั สรปุ 1. ครูใหนักเรียนจับคูกัน แลวชวยกันทำแบบฝกหัด 1.1 ขอ 5 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เรอื่ ง จำนวนเชงิ ซอ นจากนน้ั นกั เรยี นและครรู วมกันเฉลยคำตอบบนกระดาน ช่วั โมงท่ี 4 ขน้ั นำ 1.ครใู หน ักเรียนพิจารณาการหาผลคณู ของ I ยกกำลงั n เมื่อ n แทนจำนวนนับใด ๆ เชนผลคูณของ i ⋅i2 ⋅i3 ⋅i4 =(i)(−1)(−i)(1) =−1 i3 ⋅i4 ⋅i5 ⋅i6 =(−i)(1)(i)(−1) =−1 2.ครูใหน ักเรยี นรวมกันพจิ ารณาความสัมพนั ธข องผลคณู ของ i ยกกำลงั n ท่ีเรียงลำดบั จะพบวา “ผลคณู ของ in 4 จำนวนท่ีเรียงลำดับตอกนั จะมผี ลคณู เทากับ -1 เสมอ” ขั้นสอน 1. ครูใหนักเรียนจับคูและแตละคูศึกษาตัวอยางที่ 4 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เร่ือง จำนวนเชิงซอนแลวแลกเปล่ียนความรูกับคูของตนเอง จากน้ันครูใหนักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือ เรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เร่ือง จำนวนเชิงซอนแลวครูสุมนักเรียนทีละคูใหเฉลยคำตอบบน กระดานโดยครตู รวจสอบความถกู ตอ ง 2. ครูใหนักเรียนแบงกลมุ กลุมละ 3 คน แลว รวมกันทำแบบฝกหัด 1.1 ขอ 6 ระดับทาทาย ในหนังสือเรียน รายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เร่ือง 1 จำนวนเชิงซอนและครูสุมเลือกนักเรียน 1 กลุมออกมานำเสนอ แนวคิดในการหาคำตอบ ขั้นสรุป 1. ครถู ามคำถามเพื่อสรปุ ความรูรวบยอดของนกั เรียนดงั นี้ 1.1 จำนวนเชงิ ซอนมกี ่สี วนประกอบดว ยอะไรบาง (แนวคำตอบ : 2 สวนคือ สวนจรงิ และสวนจินตภาพ) 1.2 การเขยี นจำนวนเชงิ ซอ นสามารถเขยี นแทนดว ยสัญลักษณแบบใด

(แนวคำตอบ : จำนวนเชิงซอนใดๆ แทนดวย z เมื่อ a และ b เปนจำนวนจริงใด ๆ จำนวนจริงแทนดวย a จำนวนจินตภาพแทนดวย bi ดัง้ นัน้ z = a + biหรือ (a,b) 1.3 กำหนดให z =2 - 3i ใหนกั เรียนระบุสว นจรงิ และสว นจนิ ตภาพ (แนวคำตอบ : สวนจรงิ คือ 2 และสว นจนิ ตภาพคือ 3 ) 1.4 การหาคาของ i ยกกำลงั n หาไดอยา งไร (แนวคำตอบ : in= 1เม่ือ n ÷ 4 แลว เหลือเศษ 0 (หารลงตวั ) in= i เมอ่ื n ÷ 4 แลว เหลือเศษ 1 in= -1เมอ่ื n ÷ 4 แลว เหลือเศษ 2 in= -iเม่อื n ÷ 4 แลว เหลอื เศษ 3) 1.5 ผลบวกและผลคณู ของiยกกำลัง n ที่เรยี งลำดับตดิ กนั 4 จำนวนมีความสัมพันธอยางไร (แนวคำตอบ : “ผลบวกของ in 4 จำนวนทีเ่ รยี งลำดับตอกันจะรวมกนั ไดเ ทากบั 0 เสมอ” แล ะ“ผลคณู ของ in 4 จำนวนทเ่ี รยี งลำดบั ตอกันจะมผี ลคณู เทากบั -1 เสมอ”) สอ่ื /แหลง การเรียนรู 1. หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพิ่มเติม คณติ ศาสตร ม.5 เร่อื ง จำนวนเชิงซอ น 2. แบบทดสอบกอ นเรยี น 3. ใบงานที่ 3.1 แผนผังของจำนวนจรงิ การวดั ผลและประเมนิ ผล วิธกี าร เครือ่ งมือ เกณฑการประเมิน - ตรวจแบบทดสอบกอนเรยี น - แบบทดสอบกอนเรยี น รายการวัด - รอยละ 60 ผานเกณฑ 7.1 ประเมินระหวางการจดั - สงั เกตพฤติกรรมการทำงาน - แบบสงั เกตพฤติกรรมการ - ระดับคุณภาพ 2 ผา น กิจกรรมการเรยี นรู รายบุคคล ทำงานรายบุคคล เกณฑ 1) จำนวนเชิงซอน - สังเกตพฤตกิ รรมการทำงาน - แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการ - ระดับคณุ ภาพ 2 ผาน ทำงานกลมุ เกณฑ 2) พฤตกิ รรมการทำงาน กลุม - แบบประเมินคุณลักษณะอันพงึ - ระดบั คณุ ภาพ 2 ผาน รายบุคคล - สังเกตความมวี นิ ัย ใฝเรียนรู ประสงค เกณฑ 3) พฤติกรรมการทำงาน และมุง มน่ั ในการทำงาน กลุม 4) คณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค เกณฑก ารตัดสิน - รายบุคคล นักเรยี นมีผลการเรยี นรไู มต ำ่ กวาระดับ 2 จงึ ถือวาผา น - รายกลุม รอยละ....75....ของจำนวนนักเรยี นทัง้ หมดมผี ลการเรยี นรไู มต ำ่ กวา ระดับ 2

ขอ เสนอแนะ ใชส อนได ควรปรับปรุง ลงชื่อ ( นางสาวปวรศิ า กา วงควิน ) หวั หนา กลมุ สาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร วันท่.ี .......เดือน..............พ.ศ............

ใบงานท่ี 3.1 เรอื่ ง แผนผงั ของจำนวนจรงิ คำชี้แจง : ใหน กั เรยี นเตมิ ชอ งวา งในแผนผังของจำนวนจริงใหส มบรู ณ จำนวนจรงิ

ใบงานที่ 3.1 เฉลย เรอ่ื ง แผนผังของจำนวนจรงิ คำชี้แจง : ใหน ักเรียนเติมชองวางในแผนผังของจำนวนจริงใหส มบูรณ จำนวนจริง จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนเต็ม เศษสวนทีไ่ มใชจำนวนเต็ม จำนวนเต็มลบ ศนู ย จำนวนเต็มบวก เศษสว น ทศนยิ มซำ้

แบบทดสอบกอนเรียน หนว ยการเรียนรูท่ี 3 จำนวนเชงิ ซอ น คำชีแ้ จง : ใหน กั เรียนเลือกคำตอบที่ถูกตองที่สุดเพียงขอเดียว 1.จำนวนในขอใดไมใ ชจำนวนจริง 8. ขอ ใดตอ ไปน้ีมคี า ตรงกับ |-3i| ก.0.6 ข. − 8 ก. −3 ข. − 3 ค. −8 ง. 3 −8 ค. 3 ง. -3 2. ขอ ใดกลา วถงึ จำนวนเชงิ ซอ นไดถกู ตอง 9. ขอใดสรปุ ถูกตอ ง ก. จำนวนท่ซี อนกนั หลายจำนวน ก. จำนวนเชงิ ซอ นมสี มบตั ิการสลบั ทก่ี ารบวกและ ข. จำนวนทุกจำนวนท่สี ามารถแสดงไดบนเสน การลบ จำนวน ข. จำนวนเชิงซอนมีสมบัติการเปลยี่ นกลุม การคณู ค. จำนวนที่ประกอบดว ยจำนวนตรรกยะและ และการหาร อตรรกยะ ค.จำนวนเชิงซอนมสี มบัติการมเี อกลักษณการคูณ ง. จำนวนที่ประกอบดวยจำนวนจรงิ และจำนวน คอื (1,1) จินตภาพ ง. จำนวนเชิงซอนมสี มบัตปิ ด การบวกและการคูณ 3. ขอใดเปนจำนวนจริง 10. ถากำหนดให z = (3,-1) แลวขอใดกลาวถูกตอง ก. -z = (-3,1) ข. z = (-3,1) ก. 2i ข. 2 1 −1 −2 ค. |z| = (3,1) ง. z-1 = ( 3 , 1 ) ค.( −4 )2 ง. 0.1 - i 11. รากทส่ี องของ -7 – 24iตรงกบั ขอ ใด 4. ขอใดมคี า เทา กับ 2 + 2i ก. 3 – 4iและ -3 + 4i ข. 3 – 4iและ -3 - ก. 4i ข. 2 + −2 ค. 2 - −4 ง. 2 + −4 ค. 3 + 4iและ -3 + 4i ง. -3 - 4iและ -3 + 4i 5.กราฟของ 2 + 2i อยูในจตภุ าคใด 12. ขอ ใดเปน คำตอบของสมการ 5x2+ 2x + 1 = 0 ก. จตุภาคท่ี 1 ข.จตภุ าคที่ 2 −1 ± 2i 1 ± 2i ค. จตุภาคที่ 3 ง.จตุภาคที่ 4 ก. 5 ข. 5 6. ขอใดเปนกราฟของ −1 ค. −3 , 1 ง. 3 , 1 5 5 5 5 13.จำนวน 2+2i เขยี นใหอยใู นรูปเชิงขัว้ ไดตรงกบั ขอ ใด π π ก. ข. ก. 2 (cos 4 + i sin 4 ) ข. 2 (cos π − i sin π ) 4 4 ค. ง π π ค. 2 2 (cos 4 + i sin 4 ) .7. คา สมั บูรณของ 2 – 2iมคี าตรงกับขอ ใด ง. 2 2 (cos π − i sin π ) ก. − 8 ข. 8 4 4 ค. -4 ง. 4

ใชข อมูลตอไปน้ีตอบคำถามขอ 14 – 17 1 π π กำหนด=ให z1 6(cos 3 + i sin 3 ) 17. (z1 )3 มคี า ตรงกบั ขอ ใด + 2kπ + 2kπ ก. 2(cos π 3 + i sin π 3 ) =z2 2(cos π + i sin π ) เมื่อ k = 0,1,2 6 6 14. z1z2มคี า ตรงกบั ขอใด π + 2kπ π + 2kπ ข. 2(cos 9 + i sin 9 ) π π ก. 12(cos 18 + i sin 18 ) เมอ่ื k = 0,1,2 ข. 8(cos π + i sin π ) ค. 3 6  cos( π + 2kπ ) + i sin( π + 2kπ )  18 18 9 3 9 3 π π2 ) เม่อื k = 0,1,2 ค.12(cos 2 + i sin 6  cos(1π8 2kπ i sin( 1π8 2kπ 3 3 π π ง. 3 + ) + + )  2 2 ง. 8(cos + i sin ) เมอ่ื k = 0,1,2 15. z1 มีคา ตรงกับขอ ใด 18. ขอใดเปน คำตอบของสมการz2 + 1 = 0 z2 ก. 1 ข. -1 π π ค. i ง. i2 ก. 3(cos 6 + i sin 6 ) 19. ขอใดเปนคำตอบของพหุนาม x4 – 6x2 – 40 = 0 ข. 4(cos π + i sin π ) ก. {10, -10} ข. {2i, -2i} 6 6 ค. { 10 , - 10 } ง. { 10 , - 10 , 2i, -2i} π π 20. สมการพหนุ ามดีกรีต่ำสดุ ทเ่ี ปน ไปได ซง่ึ มี ค. 3(cos 2 + i sin 2 ) สัมประสทิ ธิ์เปน จำนวนจรงิ แทนดวย k มี 2iและ 5 ง. 4(cos π + i sin π ) เปน คำตอบซ้ำ 1 ครง้ั และ 2 ครั้งตามลำดบั 2 2 สมการนนั้ ตรงกับขอ ใด 16. (z2 )3 มีคาตรงกบั ขอ ใด ก. (x4 – 10x3 + 29x2 – 40x + 100) = 0 ข. k(x4 – 10x3 + 29x2 – 40x + 100) = 0 ก. 23 (cos π + i sin π ) ค. (x4 + 25x2 + 100) = 0 2 2 π π ง. k(x4 + 25x2 + 100) = 0 ข. 3 2 (cos 216 + i sin 216 ) ค. 23 (cos π + i sin π ) 8 8 ง. 3 2 (cosπ + isinπ) เฉลย 1. ค 2. ง 3. ข 4. ง 5. ก 6. ข 7. ข 8. ค 9. ง 10. ก 11. ก 12. ก 13. ค 14. ค 15. ก 16. ก 17. ง 18. ค 19. ง 20.ก

แบบบันทกึ หลังการจดั กิจกรรมการเรียนรู ชือ่ หนว ยการเรียนรูท ี่ 3 เรอื่ ง จำนวนเชงิ ซอ น แผนการเรียนรูท ี่ 1 เรอื่ ง จำนวนเชิงซอ น รายวชิ า คณติ ศาสตร 4 รหสั วิชา ค32202 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5/1 ครูผสู อน นางสาวศศิวิมล คำดเี จริญ ตำแหนง ครูผชู วย เวลาทใี่ ช 4 ชวั่ โมง ************************* บนั ทกึ หลงั การจดั การเรียนรู ความเหมาะสมของกิจกรรมการเรียนรู  ดี  พอใช  ปรบั ปรุง ความเหมาะสมของเวลาท่ีใชใ นการทำกจิ กรรม  ดี  พอใช  ปรับปรุง ความเหมาะสมของสือ่ การเรียนรู  ดี  พอใช  ปรบั ปรงุ ความเหมาะสมของเกณฑก ารประเมนิ  ดี  พอใช  ปรับปรงุ อ่ืน ๆ ............................................................................................................................................................ สรปุ ผลการประเมินผเู รียน นกั เรียนจำนวน…….คน คดิ เปนรอยละ………..มีผลการเรยี นรูฯ อยใู นระดับ 1 นกั เรียนจำนวน…….คน คดิ เปน รอ ยละ………..มผี ลการเรยี นรฯู อยใู นระดบั 2 นักเรียนจำนวน…….คน คดิ เปน รอยละ………..มผี ลการเรยี นรฯู อยใู นระดับ 3 นักเรียนจำนวน…….คน คดิ เปนรอ ยละ………..มผี ลการเรยี นรูฯ อยูในระดบั 4 สรปุ โดยภาพรวมมีนักเรียนจำนวน………คน คดิ เปนรอ ยละ………ทผ่ี านเกณฑร ะดบั 2 ขึ้นไป ซง่ึ สูง (ต่ำ) กวา เกณฑท ีก่ ำหนดไวร อยละ………มนี ักเรียนจำนวน………คน คดิ เปนรอยละ…… ที่ไมผา นเกณฑท ก่ี ำหนด ขอ สงั เกต/คนพบ จาการตรวจผลงานของนกั เรยี นพบวา 34. นกั เรยี น ............... คน สามารถพจิ ารณาปญ หาเกย่ี วกับการจดั ส่งิ ของตาง ๆ - นักเรียนผา นเกณฑระดับ 2 ขึน้ ไป จำนวน ......................... คน - นกั เรยี นไมผ า นเกณฑร ะดบั 2 จำนวน ......................... คน 35. ดา นทักษะกระบวนการ นกั เรียนผานเกณฑการประเมนิ ในแตล ะดา น ดงั นี้ ทักษะการแกไ ขปญหา - นักเรียนผา นเกณฑด มี าก (ระดับ 4) จำนวน ......................... คน - นกั เรยี นผา นเกณฑด ี (ระดับ 3) จำนวน ......................... คน - นักเรยี นผานเกณฑพ อใช (ระดับ 2) จำนวน ......................... คน - นกั เรียนตอ งปรับปรงุ (ระดับ 1) จำนวน ......................... คน

ทักษะการเชื่อมโยงทางคณติ ศาสตร - นกั เรียนผานเกณฑดีมาก (ระดบั 4) จำนวน ......................... คน - นักเรยี นผา นเกณฑด ี (ระดับ 3) จำนวน ......................... คน - นกั เรียนผานเกณฑพอใช (ระดับ 2) จำนวน ......................... คน - นกั เรยี นตองปรบั ปรงุ (ระดบั 1) จำนวน.......................... คน 36. ดา นคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค นกั เรียนผา นเกณฑการประเมนิ ในแตละดาน ดงั นี้ ความรอบคอบในการทำงาน - นักเรยี นผานเกณฑด ีมาก (ระดบั 4) จำนวน ......................... คน - นักเรยี นผา นเกณฑด ี (ระดบั 3) จำนวน ......................... คน - นกั เรียนผานเกณฑพ อใช (ระดบั 2) จำนวน.......................... คน - นักเรยี นตอ งปรบั ปรุง (ระดบั 1) จำนวน.......................... คน ความรบั ผดิ ชอบในการทำงาน - นกั เรยี นผานเกณฑด มี าก (ระดบั 4) จำนวน ......................... คน - นกั เรยี นผานเกณฑด ี (ระดับ 3) จำนวน ......................... คน - นักเรียนผา นเกณฑพอใช (ระดับ 2) จำนวน ......................... คน - นกั เรยี นตอ งปรบั ปรุง (ระดบั 1) จำนวน ......................... คน แนวทางการแกไขปญ หาเพือ่ ปรับปรงุ 1. นกั เรียนท่ไี ดคะแนนอยูในระดบั ที่ 2, 3 และ 4 ไดจ ากกจิ กรรมสอนเสรมิ โดย ใหท ำแบบฝก หัดเพ่มิ เติม เปน การบาน ............................................................................................................................... 2. นกั เรียนที่ไดค ะแนนอยูใ นระดบั ท่ี 1 ไดจ ากกจิ กรรมสอนซอ ม โดย ใหท ำแบบฝกหดั เพมิ่ เติม เปนการบา น .............................................................................................................................. 3. ดานทักษะกระบวนการ นักเรียนผานเกณฑ 1 (ตองปรับปรุง) ครูไดอธิบายและชี้แจงเกณฑ ให นักเรียนทราบเปนรายบุคคลวา นักเรียนจะตองแกไขและทำอยางไรบางตามเกณฑทายแผนการจัดการเรียนรู ใน ดานทักษะการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร และการคดิ วเิ คราะห 4. ดานคุณลักษณะอันพึงประสงค นักเรียนผานเกณฑ 1 (ตองปรับปรุง) ครูไดอธิบายและชี้แจง เกณฑ ใหนักเรียนทราบเปนรายบุคคลวา นักเรียนจะตองแกไขและทำอยางไรบางตามเกณฑทายแผนการ จดั การเรยี นรู ในดานการทำงานเปน ระบบ ความรอบคอบ ผลการพัฒนา พบวานักเรียนที่ไดระดับ 1 จำนวน.................... คน จาก ......................... คน สามารถบอกสวน จริงและสวนจินตภาพของจำนวนเชิงซอนได และไดผลการเรียนรูอยูในระดับ 2 สวนอีก............... คน ยังตอง ปรับปรุงแกไขตอไปซ่ึงผูสอนไดแนะนำให................................................................................................ และ ปรับปรงุ งานอกี ครง้ั

พบวานักเรียนที่ไดระดับ 2 จำนวน.................... คน จาก ......................... คน สามารถบอกสวนจริง และสวนจินตภาพของจำนวนเชิงซอนได โดยใชสมบัติของจํานวนเชิงซอน ซ่ึงผูสอนไดแนะนำให ............................................................................................................................................................................................. พบวา นักเรียนที่ไดระดับ 3 จำนวน.................... คน จาก ......................... คน สามารถบอกสวนจริง และสว นจนิ ตภาพของจำนวนเชงิ ซอ นได โดยใชสมบัตขิ องจาํ นวนเชิงซอ น ซ่งึ ผูสอนไดแนะนำให พบวานกั เรียนที่ไดร ะดับ 4 จำนวน.................... คน จาก ......................... คน สามารถบอกสวนจรงิ และสวนจนิ ตภาพของจำนวนเชิงซอนได โดยใชสมบตั ขิ องจํานวนเชิงซอ น ซ่ึงผสู อนไดแนะนำให ผลการจัดกจิ กรรมการเรียนรู ปญหาทพี่ บ แนวทางแกไข ขอคนพบระหวาง ท่มี ีการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู เนือ้ หา กจิ กรรมการเรยี นรู สอ่ื ประกอบการเรยี นรู พฤตกิ รรม/การมีสวนรวมของผเู รียน ลงช่ือ …..........………….......................…….. ครูผูจัดกิจกรรมการเรียนรู ( นางสาวศศวิ ิมล คำดเี จริญ ) ตำแหนง ครผู ูชว ย

กลมุ สาระการเรยี นรูค ณิตศาสตร แผนการจดั การเรยี นรทู ่ี 2 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5/1 ภาคเรยี นท่ี 2 ปก ารศกึ ษา 2563 หนวยการเรียนรู จำนวนเชิงซอน เรอื่ ง สมบัติเชงิ พีชคณติ ของจำนวนเชิงซอน ใชเวลา 5 ชว่ั โมง/คาบ ********************************************************************************* ผลการเรยี นรู 1. เขาใจจาํ นวนเชงิ ซอนและใชสมบตั ขิ องจํานวนเชิงซอ นในการแกปญ หา 2. หารากที่ n ของจํานวนเชิงซอ น เม่ือ n เปน จาํ นวนนบั ที่มากกวา 1 3. แกส มการพหุนามตัวแปรเดยี วดกี รีไมเ กินสท่ี ีม่ ีสมั ประสทิ ธิ์เปนจำนวนเต็ม และนำไปใชในการ แกป ญ หา จุดประสงคก ารเรียนรู 1. บอกสมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ นได (K) 2. แกปญ หาโดยใชสมบตั ิเชิงพีชคณติ ของจำนวนเชิงซอนได (P) 3. รับผิดชอบตอหนาทที่ ่ีไดรับมอบหมาย (A) สาระสำคญั 1. สมบัตเิ ชงิ พีชคณิตของจำนวนเชงิ ซอน สมบัติ กำหนด z1 = a + bi และ z2 = c + di เมื่อ a, b, c และ d เปน จำนวนจริง จะกลาวไดวา 1. z1 = z2หรอื a + bi = c + di ก็ตอเม่ือ a = c และ b= d 2. z1+ z2 = (a + bi)+(c + di) = (a + c) + (b+ d)i 3. kz1= k(a + bi) = ka + kbiเม่อื k เปนคาคงตวั 4. z1z2 =(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)i 2. สมบตั ิทเ่ี ก่ียวของกบั การบวกของจำนวนเชงิ ซอน สมบตั ิ 1. สมบัติปด ของการบวก ถา z1และ z2 เปน จำนวนเชิงซอน แลว z1+ z2 เปนจำนวนเชิงซอ น 2. สมบตั ิการสลบั ท่ขี องการบวก ถา z1และ z2 เปน จำนวนเชงิ ซอน แลว z1+ z2= z2+ z1 3. สมบตั กิ ารเปลยี่ นหมูของการบวก ถา z1, z2และ z3 เปน จำนวนเชิงซอน แลว (z1+ z2) + z3= z1+ (z2 + z3) 4. สมบัตกิ ารมีเอกลกั ษณข องการบวก สำหรับจำนวนเชงิ ซอนa + bi ใดๆ เมือ่ a และ b เปน จำนวนจรงิ จะมจี ำนวนเชิงซอน 0 + 0iซง่ึ (a + bi) + (0 + 0i) = a + bi และ (0 + 0i) + (a + bi) = a + bi เรยี กจำนวนเชิงซอน 0 + 0i วา เอกลักษณข องการบวกของจำนวนเชิงซอน

5.สมบตั กิ ารมตี วั ผกผันของการบวก สำหรับจำนวนเชิงซอ น a + bi ใดๆ เมือ่ a และ b เปนจำนวนจริง จะมจี ำนวนเชงิ ซอ น -a - bi ซึง่ (a + bi) + (-a - bi) = 0 + 0i และ (-a - bi) + (a + bi) = 0 + 0i เรียกจำนวนเชิงซอน -a - bi วา ตัวผกผันของการบวกของ a + bi 3. การลบจำนวนเชงิ ซอ น บทนยิ าม กำหนด z1และ z2 เปน จำนวนเชิงซอนใด ๆ จะไดว า z1- z2= z1+ (-z2) 4. สมบัติทเ่ี ก่ยี วของกับการคณู ของจำนวนเชงิ ซอน สมบัติ 1. สมบัติปดของการคณู ถา z1และ z2 เปนจำนวนเชงิ ซอน แลว z1z2 เปนจำนวนเชงิ ซอน 2. สมบตั กิ ารสลบั ท่ีของการคูณ ถา z1และ z2 เปน จำนวนเชิงซอน แลว z1z2= z2z1 3. สมบตั ิการเปลีย่ นหมขู องการคูณ ถา z1, z2และ z3 เปน จำนวนเชิงซอ น แลว (z1z2)z3= z1(z2z3) 4. สมบัติการมีเอกลักษณของการคณู สำหรบั จำนวนเชงิ ซอน a + bi ใดๆ เมื่อ a และ b เปนจำนวนจริง จะมีจำนวนเชิงซอ น 1 + 0i ซง่ึ (a + bi)(1 + 0i) = a + bi และ (1 + 0i)(a + bi) = a + bi เรียกจำนวนเชิงซอ น 1 + 0i วา เอกลกั ษณข องการคูณของจำนวนเชิงซอน 5.สมบตั กิ ารมตี วั ผกผนั ของการคณู สำหรับจำนวนเชงิ ซอ น a + bi ใดๆ เม่ือ a และ b เปนจำนวนจรงิ จะมีจำนวนเชงิ ซอ น a b a2 + b2 − a2 + b2 i ซึง่ (a + bi) a2 a − a2 b i  =1 + 0i + b2 + b2 a b และ  a2 + b2 − a2 + b2 i (a + bi) =1 + 0i เรียกจำนวนเชิงซอน a2 a − a2 b i วา ตวั ผกผันของการคูณของ a + bi + b2 + b2 6.สมบัติการแจกแจง ถา z1, z2และ z3 เปนจำนวนเชิงซอ นแลว z1(z2+z3) = z1z2 + z1z3 และ (z1+z2)z3 = z1z3 + z2z3 5. การหารจำนวนเชงิ ซอน บทนิยาม กำหนด z1และ z2 เปน จำนวนเชิงซอ นใด ๆ จะไดว า z1÷ z2= z1z2-1 z1 เม่ือ z2≠ 0 และเขียนแทนดวย z1÷ z2= z2

6. สงั ยคุ ของจำนวนเชงิ ซอ น บทนิยาม ให z = a + bi เปน จำนวนเชิงซอนจะเรยี กจำนวนเชงิ ซอ น a – bi วาเปนสงั ยคุ ของ z เขยี นแทนดว ยสัญลกั ษณ z =a + bi =a − bi สมบัติ ให z = a + bi เปนจำนวนเชงิ ซอ น จะไดวา 1. z = z 2. zz= a2 + b2 1 3. Re(=z) 2 (z + z ) 4. Im=(z) 1 (z − z ) 2i 5. z1 ± z2 = z1 ± z2 6. z1z2 = z1 z2 7.  z1  = z1 เมื่อ z2 ≠ 0  z2  z2   8. ถา z ≠ 0 แลว 1 =  1  z z สาระการเรียนรู จำนวนเชิงซอนและสมบัติของจำนวนเชิงซอน กจิ กรรมการเรียนรู  แนวคดิ /รูปแบบการสอน/วิธีการสอน/เทคนคิ : Concept Based Teaching ชัว่ โมงท่ี 1 ขน้ั นำ 1.ครทู บทวนความรู เรื่อง การดำเนินการเชิงพชี คณิตของจำนวนจริง ไดแ ก การบวก และการคณู 2.ครใู หน ักเรียนทบทวนสมบัติทเ่ี กยี่ วกับการบวกและการคณู ของจำนวนจรงิ ขั้นสอน 1. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายเก่ียวกับการดำเนินการของจำนวนเชิงซอน2 จำนวนใดๆ โดย กำหนดให

z1 = a + bi และ z2 = c + di เมอ่ื a, b, c และ d เปน จำนวนจรงิ จากนัน้ ครูตั้งคำถามวา • z1จะเทา กับ z2 ไดเ มื่อมเี ง่ือนไขใด (แนวคำตอบ : เมอื่ a = c และ b= d ) • z1+ z2 มคี าเทา กับเทา ใด (แนวคำตอบ : (a + bi)+(c + di) = (a + c) + (b+ d)i) • z1z2 มคี าเทากับเทาใด (แนวคำตอบ : (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)i) 2. ครูยกตวั อยา งใหน กั เรยี นหาผลบวกและผลคูณของ z1 และ z2 ในแตล ะขอตอ ไปน้ี 1) z1 = 2 + 3i , z2 = 2 - 3i i 2) z1 =1 + i , z2 = -3 - 2 (แนวคำตอบ : 1.z1+z2 = (2 + 3i) +(2 - 3i) = (2 + 2) + (3i - 3i) =4 z1z2 = (2 + 3i)(2 - 3i) = 4 + 6i – 6i – 9i2 = 4 – 9(-1) = 13 i) + (-3 - 2i) 2.z1+z2=(1 + (1 – 3 ) + (i - 2i ) z1z2=(1 = -2 +2i = i)(-3 - --212i 3) (i-1- )i22 + -3 - i = -3 - 27 = 2 =− 7 − 25i) 2 ขัน้ สรปุ 1. ครูใหนักเรียนแตละคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เร่ือง จำนวนเชิงซอนจากนนั้ นกั เรียนและครูรวมกันเฉลยคำตอบ โดยครูเขยี นแสดงวิธีทำบนกระดาน

ช่ัวโมงที่ 2 ขัน้ นำ 1.ครตู ัง้ คำถามเพือ่ ทบทวนความรขู องนักเรยี น โดยมแี นวคำถาม ดงั นี้ • นักเรยี นวาสมบตั ิการบวกของจำนวนจริงมีอะไรบาง (แนวคำตอบ : สมบตั ขิ องจำนวนจรงิ เกย่ี วกบั การบวกถา a, b และ c เปนจำนวนจริง สมบตั ิ การบวก ปด 1. a + b ∈ R การสลับท่ี 2. a + b = b + a การเปลี่ยนกลมุ 3. (a + b) + c = a + (b + c) การมเี อกลกั ษณ 4. มจี ำนวนจรงิ 0 ซ่งึ 0 + a = a = a + 0 การมีอนิ เวอรส 5. สำหรับ a จะมีจำนวนจริง -a โดยที่ (-a) + a = 0 = a + (-a) การแจกแจง เรียก -a วา อนิ เวอรสการบวกของ a 6. a(b + c) = ab + ac ข้ันสอน 1.ครูถามนักเรียนตอวาถาเปนจำนวนเชิงซอนแลวจะมีสมบัติการบวกเชนเดียวกับจำนวนจริงหรือไม (ม/ี ไมม )ี 2. ครูใหนักเรียนพิจารณาสมบัติที่เก่ียวของกับการบวกของจำนวนเชิงซอนในหนังสือเรียนรายวิชา เพม่ิ เติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เร่ือง จำนวนเชงิ ซอนทลี ะขอดงั นี้ 1. สมบตั ิปดของการบวก ถา z1 และ z2 เปนจำนวนเชงิ ซอน แลว z1+ z2 เปน จำนวนเชิงซอน 2. สมบัติการสลบั ที่ของการบวก ถา z1 และ z2 เปนจำนวนเชิงซอ น แลว z1+ z2= z2+ z1 3. สมบัตกิ ารเปล่ยี นหมขู องการบวก ถา z1, z2 และ z3 เปนจำนวนเชงิ ซอน แลว (z1+ z2) + z3= z1+ (z2 + z3) 4. สมบตั กิ ารมีเอกลักษณของการบวก สำหรบั จำนวนเชงิ ซอน a + bi ใดๆ เมือ่ a และ b เปนจำนวนจรงิ จะมจี ำนวนเชงิ ซอ น 0 + 0iซึง่ (a + bi) + (0 + 0i) = a + bi และ (0 + 0i) + (a + bi) = a + bi เรยี กจำนวนเชงิ ซอน 0 + 0i วา เอกลักษณข องการบวกของจำนวนเชิงซอ น 5.สมบตั กิ ารมตี วั ผกผนั ของการบวก

สำหรบั จำนวนเชิงซอ น a + bi ใดๆ เม่ือ a และ b เปนจำนวนจรงิ จะมีจำนวนเชิงซอน -a - bi ซ่งึ (a + bi) + (-a - bi) = 0 + 0i และ (-a - bi) + (a + bi) = 0 + 0i เรียกจำนวนเชงิ ซอน -a - bi วา ตัวผกผันของการบวกของ a + biเขียนแทนดวย –z 3. ครูพิจารณาใหนักเรียนเห็นวาหากนำเรื่องตัวผกผันของการบวกไปใชในการผลลบของจำนวน เชงิ ซอนไดดัง นยิ ามตอไปนกี้ ำหนด z1และ z2 เปนจำนวนเชงิ ซอนใด ๆ จะไดว า z1- z2= z1+ (-z2) 4. ครยู กตัวอยางการลบของจำนวนเชงิ ซอ น (3 – 2i) – (10 + i) = (3 – 2i) + (-10 - i) = -7 – 3i 5. ครูใหนักเรียนจับกลุม กลุมละ 3 – 4 คน จากน้ันใหนักเรียนชวยกันพิจารณาตัวอยางท่ี 7 และ ตวั อยา งท่ี 8 ในหนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิม่ เติม คณติ ศาสตร ม.5 เลม 2 เร่ือง จำนวนเชงิ ซอ น ขน้ั สรุป 1. ครูใหนักเรียนแตละกลุมทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เร่ือง จำนวนเชิงซอนเพื่อตรวจสอบความเขาใจเร่อื งการลบของจำนวนเชงิ ซอ น 2. ครูใหนักเรียนทำแบบฝกทักษะ 1.2 ขอ 1-3 และขอ 6,7 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เรื่อง จำนวนเชิงซอ น ชัว่ โมงท่ี 3 ขนั้ นำ 1. ครูใหนักเรียนบอกสมบัติการคูณของจำนวนจริงและใหนักเรียนเช่ือมโยงกับสมบัติการคูณของ จำนวน เชิงซอ น เชนเดียวกบั การพจิ ารณาสมบตั กิ ารบวกในช่ัวโมงที่ 2 สมบตั ิของจำนวนจริงเกย่ี วกบั การบวกถา a, b และ c เปนจำนวนจริง สมบัติ การคูณ ปด 1. ab ∈ R การสลับที่ 2. ab = ba การเปลย่ี นกลมุ 3. (ab)c = a(bc) การมเี อกลักษณ 4. มจี ำนวนจรงิ 1, 1 ≠ 0ซง่ึ 1a = a การมอี ินเวอรส 5. สำหรับ a ท่ีไมเปน 0 จะมีจำนวนจริง a-1 โดยที่ (a-1)a = 1 = a(a-1) เรียก a-1วา อนิ เวอรสการคูณของ a การแจกแจง 6. a(b + c) = ab + ac

ขั้นสอน 2.ครใู หนกั เรียนรวมกันพิจารณาสมบัติที่เก่ยี วของกับการคูณของจำนวนเชิงซอนในหนาท่ี 13 ทีละ ขอ ตอไปนี้ 1. สมบตั ิปด ของการคณู ถา z1และ z2 เปนจำนวนเชิงซอน แลว z1z2 เปน จำนวนเชงิ ซอน 2. สมบัตกิ ารสลบั ทข่ี องการคณู ถา z1และ z2 เปน จำนวนเชิงซอ น แลว z1z2= z2z1 3. สมบัติการเปลีย่ นหมขู องการคณู ถา z1, z2และ z3 เปน จำนวนเชงิ ซอ น แลว (z1z2)z3= z1(z2z3) 4. สมบัติการมเี อกลักษณของการคณู สำหรับจำนวนเชงิ ซอ น a + bi ใดๆ เมื่อ a และ b เปนจำนวนจรงิ จะมีจำนวนเชิงซอ น 1 + 0i ซงึ่ (a + bi)(1 + 0i) = a + bi และ (1 + 0i)(a + bi) = a + bi เรียกจำนวนเชิงซอ น 1 + 0i วา เอกลักษณของการคณู ของจำนวนเชิงซอ น 5.สมบัติการมีตัวผกผันของการคูณ สำหรับจำนวนเชิงซอน a + bi ใดๆ เม่อื a และ b เปน จำนวนจริง a b จะมจี ำนวนเชิงซอ น a2 + b2 − a2 + b2 i ซึง่ (a + bi) a2 a − a2 b i  =1 + 0i + b2 + b2 a b และ  a2 + b2 − a2 + b2 i (a + bi) =1 + 0i เรยี กจำนวนเชิงซอน a2 a − a2 b i วา ตวั ผกผนั ของการคูณของ a + bi + b2 + b2 6.สมบัตกิ ารแจกแจง ถา z1, z2และ z3 เปนจำนวนเชงิ ซอ นแลว z1(z2+z3) = z1z2 + z1z3และ (z1+z2)z3 = z1z3 + z2z3 ขน้ั สรปุ 1. ครูใหนักเรียนแบงกลุมกลุมละ 3 – 4 คน ศึกษาตัวอยางท่ี 9 จากหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เร่อื งจำนวนเชิงซอนจากน้นั ครใู หน ักเรยี นทำ “ลองทำดู” เรื่องการหาตัวผกผนั การคูณ ของจำนวนเชงิ ซอ น

ช่ัวโมงที่ 4 ขัน้ นำ 1. ครูใหนักเรียนประยุกตการนำตัวผกผันการคูณของจำนวนเชิงซอน (z-1) มาใชในการหาผลหารของ จำนวนเชิงซอ น เชน กำหนดให z1 = a + bi และ z2 = c + di เม่อื a, b, c และ d เปน จำนวนจรงิ แลว z1 z2 = z1z2-1 น่ันเอง ดังบทนยิ ามในหนังสอื เรียนหนา 14 คือ กำหนด z1และ z2 เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ จะไดว า z1 ÷ z 2= z1z2-1 เมือ่ z 2≠ 0 และเขียนแทนดว ย z1÷ z2= z1 z2 2. ครยู กตัวอยาง เชน กำหนดให z1 = 1+2i z2 = 2 + 3i 1 1 + 2i z1÷ z2 = z1z2-1 = (1+2i ) ÷ (2 + 3i ) = ( 1+2i ) (2 + 3i ) = 2 + 3i ข้ันสอน 1. ครใู หน ักเรียนพจิ ารณาผลคูณของจำนวนเชงิ ซอ นแตละคตู อ ไปนี้ 1) (2+3i)(2 - 3i) = 4 – 6i + 6i -9i2 = 4 + 9 = 13 2) (1 – i)(1 + i) = 1 – i + i – i2 = 1 - i2= 1 – (-1) = 2 3) ( 2 + 5i)( 2 − 5i) = 2 + 5 = 7 2. ครูช้ีใหนักเรียนเห็นวา ผลคูณของจำนวนเชิงซอนในขอ 1)–3) เปนการคูณจำนวนเชิงซอนที่อยูในรูป (a+bi)(a-bi) เมื่อ a, b เปนจำนวนจริง และผลคูณของจำนวนเชิงซอนท้ังสามขอเปนจำนวนจริงซึ่งเราจะเรียก a–bi วาเปนสังยคุ ของจำนวนเชงิ ซอน a + bi 3. ครูยกบทนิยามเร่ืองสังยุคของจำนวนเชิงซอนในหนังสือเรียนหนา 15 ดังนี้ ให z = a + bi เปน จำน วน เชิงซอน จะเรียกจำน วน เชิงซอน a–bi วาเป น สังยุคของ z เขียน แท น ดวยสัญ ลักษ ณ z =a + bi =a − bi 4. จากคำถามในชั่วโมงที่ 4 ท่ีวาในการหาผลหารของจำนวนเชิงซอนสามารถใชวิธีอ่ืน ๆ ไดอีกหรือไม 1 + 2i น้ันใหนักเรียนพิจารณาการหารจำนวนเชิงซอน 2 + 3i ถาเราทำใหตัวสวนกลายเปนจำนวนจริงได จะยังถือวา เปน รปู แบบการหารจำนวนเชงิ ซอนอยหู รอื ไม (แนวคดำงั นตอ้ันบ21++:32ไiiเมรเาปสนามาเชรนถใ1ช+5ส 2งัi ยเุคขขียอนงไตดวั เปสวน น51ค+อื 252i + 3i นำมาคูณทง้ั ตวั เศษและตัวสวน จะได 1+2i 1+2i 2-3i 2+3i = 2+3i x 2-3i

= -3i + 4i - 6i2 4+9 2 -6(-1) + i = 13 สวน จะเห็นวาเราสามารถหาผลหารของจ=ำนว18น3+iเช) ิงซอนได โดยใชสังยุคของตัวสวนนำมาคูณท้ังตัวเศษและตัว 5. ครูใหนักเรียนสังเกตตัวอยางท่ี 11 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เร่ือง จำนวนเชงิ ซอนเพื่อพจิ ารณาหาผลลพั ธของการหารโดยใชสงั ยคุ 6. ครูใหนักเรียนจับคูกันอภิปรายแนวคิดในการหาคาจำนวนเชิงซอน โดยใชสังยุคหาจำนวนเชิงซอนใน ตวั อยา งท่1ี 2 ในหนงั สือเรียนรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอน ขน้ั สรุป 1. ใหนกั เรยี นจับคูแลวรว มกันอภิปรายตัวอยา งท่ี 10ในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอนวา เปน การหาผลหารของจำนวนเชิงซอ นโดยใชว ิธกี ารใด (แนวคำตอบ : ใชการแทนคา ตามบทนิยาม) จากนั้นใหนักเรียนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เร่ือง จำนวน เชงิ ซอนเพอื่ ตรวจสอบความเขาใจของนกั เรียน 2. ครถู ามนักเรียนตอวา ในการหาผลหารของจำนวนเชงิ ซอ นสามารถใชว ิธอี น่ื ๆ ไดอีกหรือไม อยางไร (แนวคำตอบ : ไมไ ด) ช่วั โมงท่ี 5 ขัน้ นำ 1.ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3 คน แลวทำ ใบงานท่ี 3.2 เร่ือง สมบัติของสังยุคของจำนวน เชิงซอน 2. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายขอคนพบที่ไดจากการทำใบงาน แลวรวมกันสรุปเปนสมบัติของสัง ยุคของจำนวนเชิงซอ น ขั้นสอน 1. ครูใหนักเรียนพิจารณาสมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอนในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เรื่องจำนวนเชิงซอ นดังน้ี ให z = a + bi เปนจำนวนเชิงซอ น จะไดว า 1. z = z 2. zz= a2 + b2

3. Re(=z) 1 (z + z ) 2 1 4. Im=(z) 2i (z − z ) 5. z1 ± z2 = z1 ± z2 6. z1z2 = z1 z2 7.  z1  = z1 เมื่อ z2 ≠ 0  z2  z2   8. ถา z ≠ 0 แลว 1 =  1  z z 2. ครูใหนักเรียนทำแบบฝกทักษะ 1.2 ขอ 10-11 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ นจากน้นั นักเรียนและครูชวยกนั เฉลย โดยครเู ขยี นคำตอบบนกระดาน ขนั้ สรปุ 1. ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3 คน แลวรวมกันทำแบบฝกทักษะ 1.2 ขอ 12 ระดับทาทายใน หนังสอื เรียนรายวชิ าเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร ม.5เลม 2 หนว ยการเรียนรูท ี่ 1จำนวนเชงิ ซอ น 2. ครใู หนกั เรียนชวยกนั บอกสมบตั ิเชงิ พีชคณติ ของจำนวนเชิงซอน 3. ครูใหนักเรยี นเขียนสรุปความรรู วบยอดเร่อื ง สมบัติเชิงพชี คณิตของจำนวนเชงิ ซอนลงในสมดุ สอ่ื /แหลงการเรียนรู 1. หนงั สือเรยี นรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ม.5 เรอื่ ง จำนวนเชิงซอน 2. ใบงานที่ 3.2 สมบตั ิของสังยคุ ของจำนวนเชิงซอน การวัดผลและประเมนิ ผล วิธีการ เครื่องมือ เกณฑการประเมิน รายการวัด - ตรวจใบงานท่ี 3.2 สมบตั ิ - ใบงานท่ี 3.2 สมบัติของสัง - รอ ยละ 60 ผา นเกณฑ 7.1 ประเมนิ ระหวา งการจดั ของสงั ยุคของจำนวนเชิงซอน ยุคของจำนวนเชิงซอน กจิ กรรมการเรียนรู 1) จำนวนเชงิ ซอ น 2) พฤติกรรมการทำงาน - สงั เกตพฤติกรรมการ - แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการ - ระดบั คุณภาพ 2 ผาน รายบุคคล ทำงานรายบุคคล ทำงานรายบุคคล เกณฑ 3) พฤตกิ รรมการทำงาน - สังเกตพฤตกิ รรมการ - แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการ - ระดบั คณุ ภาพ 2 ผาน กลมุ ทำงานกลุม ทำงานกลุม เกณฑ

4) คณุ ลกั ษณะอนั พงึ - สงั เกตความมวี ินยั ใฝ - แบบประเมินคุณลักษณะอนั - ระดบั คุณภาพ 2 ผาน พงึ ประสงค เกณฑ ประสงค เรยี นรู และมงุ มั่นในการ ทำงาน เกณฑก ารตัดสนิ - รายบุคคล นกั เรยี นมีผลการเรยี นรไู มต่ำกวา ระดับ 2 จึงถอื วาผาน - รายกลมุ รอ ยละ....75....ของจำนวนนักเรยี นทง้ั หมดมีผลการเรียนรไู มต ่ำกวาระดับ 2 ขอเสนอแนะ ใชสอนได ควรปรบั ปรุง ลงชอื่ ( นางสาวปวริศา กาวงคว ิน ) หวั หนา กลุมสาระการเรียนรคู ณิตศาสตร วันท่ี........เดอื น..............พ.ศ............

ใบงานที่ 3.2 เรอ่ื ง สมบตั ขิ องสังยคุ ของจำนวนเชงิ ซอ น คำชี้แจง : ใหน กั เรยี นแสดงวิธีทำเพอื่ หาคาของจำนวนเชิงซอ นในแตล ะขอตอไปน้ี กำหนดให z1 = 2 – i z2 = 3 + 2i เม่อื z1และz2เปน จำนวนเชงิ ซอน 1. z1= ……………………………………………..….. z2 = ……………………………………………………………..….. 2. z1= ……………………………………………..….. z2 = …………………………………………………….……..….. 3. z1 z1 = …………………………………………………………………………………………………………………………..…... 1 4. 2 ( z1 + z 2 ) = ……………………………………………………………………..…………………………………………... 5. 1 ( z1 − z2 ) = ……………………………………………………………………..…………………………...……………... 2 6. z1 + z2 = ……………………………………………………………………..…………………………………………..……... 7. z1 + z2 = ……………………………………………………………………..…………………………………………………... 8. z1z2 = ……………………………………………………………………..………………………………………………………... 9. z1z2 = ……………………………………………………………………..…………………………….……………….……... 10. z1 z2 = ……………………………………………………………………..………………………………………………...…... z1 11. z2 = ……………………………………………………………………..…………………………………………………….... 12. z1 = ……………………………………………………………………..……………………………………….…………... z2 13.  z1  = ……………………………………………………………………..…………………………….………….……...  z2    1 14. z1 = ……………………………………………………………………..…………………………………………………..... 15.  1  = ……………………………………………………………………..……………………………………………...  z1   

ใบงานท่ี 3.2 เฉลย เรือ่ ง สมบตั ขิ องสงั ยคุ ของจำนวนเชงิ ซอ น คำชีแ้ จง : ใหน กั เรียนแสดงวธิ ีทำเพ่อื หาคาของจำนวนเชิงซอ นในแตละขอตอ ไปนี้ กำหนดให z1 = 2 – i z2 = 3 + 2i เมื่อ z1 และ z2 เปน จำนวนเชิงซอน 1. z1= 2+i z2 =3 – 2i 2. z1 = 2 – I z2 =3 + 2i 3. z1 z1 = (2 – i)(2 + i) = 4 + 2i – 2i – i2 = 4 + 1 = 5 1 4. 2 ( z1 + z2 ) = 12[(2 – i) + (3 + 2i)] = 12(5 +i) 5. 1 ( z1 − z2 ) = 21[(2 – i) - (3 + 2i)] =12(-1 - 3i) 6. 2 (��2�-�i)��+���(�3��+�2�i�) = 5�+i = 5 –I z1 + z2 = 7. z1 + z2 = (2+i) + (3 – 2i) = 5 - i 8. z1z2 = (2 – i) (3 + 2i) = 6 + 4i – 3i - 2i2 = 8 + i 9. z1z2 = 8-i 10. z1 z2 = (2+i)(3 – 2i) = 6 – 4i + 3i – 2i2 = 8 - i z1 11. z2 = 2-i 3 + 2i 12. z1 = 2+i z2 3 - 2i 13.  z1  = 2+i  z2  3 - 2i  1  z1 1 14. = 2+i 15.  1  = 1  z1  2+i  

แบบบันทึกหลงั การจดั กจิ กรรมการเรยี นรู ช่ือหนวยการเรยี นรทู ี่ 3 เรอ่ื ง จำนวนเชงิ ซอน แผนการเรียนรูที่ 2 เรื่อง สมบัติเชงิ พีชคณิตของจำนวนเชงิ ซอ น รายวิชา คณติ ศาสตร 4 รหสั วิชา ค32202 ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5/1 ครผู สู อน นางสาวศศวิ มิ ล คำดีเจรญิ ตำแหนง ครผู ชู ว ย เวลาที่ใช 5 ชั่วโมง ************************* บันทกึ หลงั การจดั การเรยี นรู ความเหมาะสมของกิจกรรมการเรียนรู  ดี  พอใช  ปรับปรุง ความเหมาะสมของเวลาทใ่ี ชในการทำกิจกรรม  ดี  พอใช  ปรับปรงุ ความเหมาะสมของส่อื การเรยี นรู  ดี  พอใช  ปรับปรุง ความเหมาะสมของเกณฑการประเมิน  ดี  พอใช  ปรับปรงุ อ่ืน ๆ ............................................................................................................................................................ สรุปผลการประเมนิ ผเู รียน นักเรยี นจำนวน…….คน คดิ เปน รอ ยละ………..มผี ลการเรยี นรูฯ อยูในระดับ 1 นกั เรียนจำนวน…….คน คิดเปนรอ ยละ………..มผี ลการเรยี นรฯู อยูในระดบั 2 นักเรียนจำนวน…….คน คดิ เปน รอยละ………..มผี ลการเรยี นรูฯ อยูในระดับ 3 นกั เรียนจำนวน…….คน คิดเปน รอยละ………..มีผลการเรยี นรฯู อยใู นระดับ 4 สรุปโดยภาพรวมมีนกั เรยี นจำนวน………คน คิดเปนรอ ยละ………ทผี่ า นเกณฑระดับ 2 ขึ้นไป ซงึ่ สงู (ต่ำ) กวา เกณฑท่กี ำหนดไวรอยละ………มีนกั เรยี นจำนวน………คน คดิ เปนรอยละ…… ทไี่ มผา นเกณฑทีก่ ำหนด ขอสังเกต/คนพบ จาการตรวจผลงานของนักเรยี นพบวา 37. นกั เรียน ............... คน สามารถพจิ ารณาปญหาเกย่ี วกบั การจัดสง่ิ ของตา ง ๆ - นกั เรยี นผานเกณฑระดับ 2 ขน้ึ ไป จำนวน ......................... คน - นกั เรียนไมผา นเกณฑร ะดบั 2 จำนวน ......................... คน 38. ดานทกั ษะกระบวนการ นกั เรยี นผา นเกณฑก ารประเมนิ ในแตล ะดาน ดังนี้ ทักษะการแกไ ขปญหา - นกั เรียนผานเกณฑดมี าก (ระดบั 4) จำนวน ......................... คน

- นกั เรียนผานเกณฑด ี (ระดับ 3) จำนวน ......................... คน - นักเรยี นผานเกณฑพ อใช (ระดบั 2) จำนวน ......................... คน - นักเรยี นตองปรบั ปรุง (ระดบั 1) จำนวน ......................... คน ทกั ษะการเชอ่ื มโยงทางคณติ ศาสตร - นักเรียนผา นเกณฑดีมาก (ระดับ 4) จำนวน ......................... คน - นกั เรียนผา นเกณฑด ี (ระดับ 3) จำนวน ......................... คน - นกั เรียนผา นเกณฑพ อใช (ระดับ 2) จำนวน ......................... คน - นกั เรยี นตองปรับปรุง (ระดับ 1) จำนวน.......................... คน 39. ดา นคุณลักษณะอนั พึงประสงค นักเรียนผานเกณฑการประเมนิ ในแตละดา น ดังน้ี ความรอบคอบในการทำงาน - นักเรยี นผานเกณฑด ีมาก (ระดบั 4) จำนวน ......................... คน - นกั เรียนผานเกณฑด ี (ระดับ 3) จำนวน ......................... คน - นักเรียนผา นเกณฑพอใช (ระดับ 2) จำนวน.......................... คน - นกั เรียนตองปรับปรุง (ระดบั 1) จำนวน.......................... คน ความรับผิดชอบในการทำงาน - นักเรยี นผานเกณฑดีมาก (ระดบั 4) จำนวน ......................... คน - นักเรยี นผา นเกณฑด ี (ระดับ 3) จำนวน ......................... คน - นักเรยี นผานเกณฑพอใช (ระดับ 2) จำนวน ......................... คน - นกั เรยี นตองปรบั ปรุง (ระดบั 1) จำนวน ......................... คน แนวทางการแกไขปญหาเพอื่ ปรบั ปรงุ 1. นักเรียนท่ไี ดค ะแนนอยใู นระดบั ที่ 2, 3 และ 4 ไดจ ากกิจกรรมสอนเสริมโดย ใหท ำแบบฝกหดั เพ่มิ เตมิ เปน การบาน ............................................................................................................................... 2. นกั เรียนท่ีไดคะแนนอยใู นระดับที่ 1 ไดจ ากกจิ กรรมสอนซอม โดย ใหท ำแบบฝกหัดเพิม่ เตมิ เปนการบา น .............................................................................................................................. 3. ดานทักษะกระบวนการ นักเรียนผานเกณฑ 1 (ตองปรับปรุง) ครูไดอธิบายและชี้แจงเกณฑ ให นักเรียนทราบเปนรายบุคคลวา นักเรียนจะตองแกไขและทำอยางไรบางตามเกณฑทายแผนการจัดการเรียนรู ใน ดา นทักษะการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร และการคิดวิเคราะห 4. ดานคุณลักษณะอันพึงประสงค นักเรียนผานเกณฑ 1 (ตองปรับปรุง) ครูไดอธิบายและชี้แจง เกณฑ ใหนักเรียนทราบเปนรายบุคคลวา นักเรียนจะตองแกไขและทำอยางไรบางตามเกณฑทายแผนการ จดั การเรียนรู ในดานการทำงานเปนระบบ ความรอบคอบ

ผลการพัฒนา พบวานักเรียนที่ไดระดับ 1 จำนวน.................... คน จาก ......................... คน สามารถบอกสมบัติ เชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอนได และไดผลการเรียนรูอยูในระดับ 2 สวนอีก............... คน ยังตองปรับปรุง แกไขตอไปซ่ึงผูสอนไดแนะนำให................................................................................................ และปรับปรุง งานอกี คร้ัง พบวา นักเรียนทไี่ ดระดับ 2 จำนวน.................... คน จาก ......................... คน สามารถบอกสมบัตเิ ชิง พชี คณิตของจำนวนเชิงซอ นได โดยใชส มบัตขิ องจํานวนเชิงซอ น ซ่ึงผสู อนไดแนะนำให.................................. ......................................................................................................................................................................... พบวานักเรยี นที่ไดระดับ 3 จำนวน.................... คน จาก ......................... คน สามารถบอกสมบัติ เชิงพชี คณติ ของจำนวนเชิงซอ นได โดยใชส มบัตขิ องจาํ นวนเชงิ ซอ น ซ่งึ ผูสอนไดแ นะนำให............................. ......................................................................................................................................................................... พบวา นกั เรยี นทไี่ ดระดับ 4 จำนวน.................... คน จาก ......................... คน สามารถบอกสมบตั ิเชงิ พีชคณติ ของจำนวนเชิงซอนได โดยใชสมบตั ขิ องจํานวนเชิงซอ น ซ่งึ ผสู อนไดแนะนำให. ................................. ......................................................................................................................................................................... ผลการจัดกจิ กรรมการเรียนรู ขอ คนพบระหวาง ปญ หาที่พบ แนวทางแกไ ข ทมี่ กี ารจัดกจิ กรรมการเรียนรู เนื้อหา กิจกรรมการเรยี นรู ส่อื ประกอบการเรียนรู พฤตกิ รรม/การมีสวนรว มของผเู รียน

ลงชือ่ …..........………….......................…….. ครูผูจ ัดกิจกรรมการเรยี นรู ( นางสาวศศิวมิ ล คำดเี จรญิ ) ตำแหนง ครผู ูช ว ย แผนการจดั การเรียนรทู ่ี 3 กลุมสาระการเรียนรูคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5/1 ภาคเรยี นท่ี 2 ปการศกึ ษา 2563 หนว ยการเรยี นรู จำนวนเชงิ ซอน เรอ่ื ง กราฟและคา สมั บูรณ ใชเวลา 4 ชวั่ โมง/คาบ ********************************************************************************* ผลการเรยี นรู 1. เขาใจจาํ นวนเชิงซอนและใชสมบตั ขิ องจาํ นวนเชิงซอนในการแกป ญ หา 2. หารากท่ี n ของจาํ นวนเชิงซอ น เม่ือ n เปน จาํ นวนนับทม่ี ากกวา 1 3. แกส มการพหุนามตัวแปรเดยี วดีกรไี มเ กนิ สีท่ ่ีมีสมั ประสิทธิ์เปน จำนวนเตม็ และนำไปใชในการ แกป ญ หา จดุ ประสงคการเรียนรู 1. เขยี นกราฟในระนาบเชงิ ซอนได (K) 2. สามารถบอกสมบัติคา สัมบรู ณข องจำนวนเชงิ ซอ นได (K) 3. นำสมบตั คิ า สัมบรู ณข องจำนวนเชิงซอนไปใชในการแกปญหาได (P) 4. รับผิดชอบตอ หนาที่ท่ีไดร ับมอบหมาย (A) สาระสำคญั ระนาบเชงิ ซอนประกอบดวย 2 แกน คือ แกนนอน เรยี กวา แกนจรงิ และแกนตั้ง เรยี กวา แกนจินตภาพ ให z = a+biจะไดจ ดุ (a,b) หรือเวกเตอรทม่ี จี ดุ (0,0) เปน จดุ เรมิ่ ตน และจุด (a,b) เปนจดุ สนิ้ สดุ ดังรูป Y Y b z(a,b) b z(a,b) (0,0) a X a X คา สัมบรู ณข องจำนวนเชิงซอ น คือ |z| = |a + bi| = a2 + b2 สมบตั ิ คาสัมบรู ณข องจำนวนเชิงซอ น ให z และ w เปนจำนวนเชิงซอน และ |z| = a2 + b2 1. |z|2 = z z

2. |z| = |-z| = | z | 3. |zw| = |z||w| 4. |z + w| ≤ |z| + |w| 5. |z - w| ≥ |z| - |w| z |z| 6. w = |w| เมื่อ w ≠ 0 7. |z|-1 = 1 = | 1 | เมอื่ z ≠ 0 z z 8. |zn| = |z|nเมื่อz ≠ 0 และ n เปน จำนวนเต็มใดๆ 9. |z| = 0 ก็ตอเมือ่ z = 0 สาระการเรยี นรู กราฟและคา สัมบรู ณ กจิ กรรมการเรยี นรู  แนวคดิ /รูปแบบการสอน/วธิ ีการสอน/เทคนิค : Concept Based Teaching ชั่วโมงที่ 1 ขน้ั นำ 1. ครูยกตัวอยางสถานการณเก่ียวกับการหาพิกัดตำแหนงของส่ิงตาง ๆ ถาเรามีแนววัดระยะเพียง แนวเดียวเชน เสนจำนวนที่เราใชเขียนแสดงจำนวนปกติ และถาเราบอกวาของช้ินน้ีอยูตรงกับ 5 บนเสน จำนวน แตเราจะทราบไดอยางไรวาของส่ิงน้ีอยูหางออกไปจากเสนจำนวนน้ีเทาใด จึงจำเปนตองมีเสนจำนวน อีกแนวในแนวตั้งฉากกัน ทำใหเราอานพิกัดของสิ่งของใดๆ ได ในระบบสองมิติก็จะชวยใหทราบตำแหนงได แมนยำขึ้น ทั้งแนวนอนและแนวต้ัง เราเรียกวา ระบบพิกัดฉาก มีเสนจำนวนในแนวนอน เรียกวา แกน x และ เสนจำนวนในแนวต้ังเรียกวา แกน y ตัดกันเปนมุมฉากท่ีจุด x เปน 0 และ y เปน 0 เรียกวา จุดกำเนิด มีการ อานคา x และคา y ในรูปคูอนั ดับ (x,y) เรียกวา พกิ ดั (x,y) 2. ครูแจกใบงานที่ 3.3 เร่อื งระบบพิกดั ฉากของจำนวนจริง เมอ่ื นกั เรยี นทำใบงานเสรจ็ แลว ครแู ละ นกั เรยี นรว มกนั เฉลยคำตอบ ขั้นสอน 1. ครูอธิบายนักเรียนวา เรามีระนาบจำนวนไวเพื่อแสดงตำแหนงไดใน 2 มิติ คือ ระยะแนวนอน และระยะแนวต้งั ในระบบพกิ ัดฉาก และสามารถบอกตำแหนงของจุดใดจดุ หนึ่งในรปู คอู นั ดบั พิกดั 2. ครูถามใหนกั เรยี นไดเปรยี บเทยี บกบั จำนวนเชงิ ซอ นวา • นกั เรยี นสามารถแทนจำนวนเชงิ ซอ น (a,b) ใดๆ ดวยจดุ บนระนาบในระบบพิกดั ฉากไดห รอื ไม (แนวคำตอบ : ได)

• จากขอคำถามขางตน ถา แทนไดจะสามารถแทนไดอยา งไร (แนวคำตอบ : แทนแกน x หรือแกนนอนวา แกนจริง (real axis) และเรียกแกน y หรอื แกนตั้งวา แกนจินต ภาพ (imaginary axis) ) • นกั เรยี นจะเรียกระนาบที่ใชแ สดงพิกดั ของจำนวนเชงิ ซอ นใด ๆ วาอยางไร (แนวคำตอบ : ระนาบเชงิ ซอ น) 3. ครูยกตัวอยางใหนักเรียนศึกษาการเขียนจุดในระนาบเชิงซอน ตัวอยางที่ 13 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เร่ือง จำนวนเชงิ ซอนโดยครูมีคำถามประกอบคอื • นกั เรียนคิดวาคอู นั ดบั ใดๆ ท่ีกำหนดใหจะแสดงจดุ ไดเ ชนเดยี วกบั ระนาบจำนวนจริงไดหรือไม • ครูยกตัวอยาง คูอันดับ (4,0) ใหนักเรียนหาระยะท่ีแกน x เปน 4 ตัดต้ังฉากกับระยะที่แกน y มีคาเปน 0 ดังรูปใน ตัวอยา งท่ี 13 จากหนงั สอื เรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณติ ศาสตร ม.5 เลม 2 เรอ่ื ง จำนวนเชงิ ซอน 4. ครูช้ีใหนักเรียนเห็นวาการเขียนกราฟของจำนวนเชิงซอน a+biหรือ (a,b) สามารถทำไดโดยเขียนจุดลงใน ระนาบเชิงซอน 5. ครูใหนักเรียนทำกิจกรรมลองทำดูในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เรื่อง จำนวน เชงิ ซอ นจากนน้ั สุมเรยี กนักเรยี นเพอ่ื ใหอธิบายแนวคิดของตนเอง ขัน้ สรปุ 1. ครถู ามนักเรยี นวาถากำหนดจำนวนเชงิ ซอน a+bi และจำนวนเชิงซอนที่ยังไมใ ชผลสำเร็จ เชน i2(3+3i) จะ สามารถเขยี นกราฟได หรือไม (แนวคำตอบ : ได) 2. ใหนักเรียนจับกลุมกลุมละ 3-4 คน ทำกิจกรรมลองทำดู ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ น และแบบฝกทกั ษะ 1.3 ขอ 1 และ 2 ชว่ั โมงที่ 2 ขั้นนำ 1. ครใู หนักเรียนจับคศู ึกษาตวั อยา งที่ 14 ในหนงั สือเรียนรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เร่อื ง จำนวน เชงิ ซอนและใหน ักเรยี นชว ยกนั บอกขอสรปุ ของแนวทางกี่ดำเนินการ (แนวคำตอบ : ข้ันท่ี 1 ดำเนินการจำนวนเชิงซอนเหลาน้ันใหอยูในรูป a+bi กอนข้ันท่ี 2 ใหคา a แทนที่แกน x และคา b แทนทีแ่ กน y) ขน้ั สอน 1. ครถู ามคำถามนักเรยี น ดังน้ี • ถาเราแสดงจำนวนเชิงซอนเปนเวกเตอรได เราสามารถหาความยาวของกราฟของจำนวนเชิงซอนน้ันไดหรือไม อยางไร (แนวคำตอบ : ได โดยการใชท ฤษฎีบทพที าโกรัส)

2. ครยู กตวั อยา งการหาความยาวของกราฟของจำนวนเชิงซอ น a+bi ใดๆ เชน • จงหาความยาวของกราฟของ 2+3i แนวคิด 1) วาดกราฟของจำนวนเชิงซอน2+3i Y 3 2) พิจารณา a = 2 คือระยะแกน x = 2 หนวย X b = 3(0,0ค)ือระยะแก2 น y = 3 หนว ย 3) สมมตใิ ห ความยาวของกราฟ 2+3i แทนดว ย u ดังน้ัน u2= 22 + 32 =4+7 = 13 นั่นคือ u = 13 หนว ย 3. ครูบอกนักเรียนวาเราจะเรียกการหาความยาวของกราฟของจำนวนเชิงซอนวาคาสัมบูรณของ จำนวนเชิงซอ น z เขยี นแทนดว ยสัญลักษณ |z| หรอื เรียกวาการหาขนาดของ z แทนดวยสญั ลกั ษณ r 4. ครูยกตัวอยางการหาคาสัมบูรณของจำนวนเชงิ ซอนตอ ไปนี้ 1) i(3-2i) แนวคดิ i(3 - 2i) = 3i + 2 = (3,2) |z| = 22 + 32 = 13 2) i2(3i3 + i2) แนวคดิ i2(3i3 + i2) = 3i5 – i4 = 3i – 1 = (-1, 3) |z| = (−1)2 + 32 = 10 3) 3 − 3i 1 + 3i แนวคดิ 3− 3i = 3− 3i ⋅ 1 − 3 1+ 3i 1+ 3i 1 − 3 = 3−3 3i − 3i + 3i2 1+3 = −4 3i 4 = − 3i เขียน z ในรปู a + bi = 0 − 3i เขยี น z ในรูป (a,b) = (0, − 3 )

จะได |z| = 02 + (− 3 )2 = 3 ขัน้ สรุป 1. ใหนักเรียนแตละคนศึกษาตัวอยางที่ 15 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เรื่อง จำนวนเชิงซอน จากนั้นใหนักเรียนทำกิจกรรมลองทำดูในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เรอ่ื ง จำนวนเชงิ ซอ น 2. ใหนักเรียนจับคูแลวทำแบบฝกทักษะ 1.3 ขอท่ี 4 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เรอ่ื ง จำนวนเชงิ ซอนจากนั้นสลบั คูกนั ตรวจคำตอบ ช่วั โมงที่ 3 ขน้ั นำ ไดหรอื ไม เชน |z – 2 + i| = 2 แนวคิด z = a + bi หรือ x + yi |z – 2 + i| = 2 จะได | x + yi – 2 + i| = 2 | (x– 2) + (y + 1)i| =2 (x − 2)2 + (y + 1)2 = 2 1. ครูถามนักเรียนวาจากการหาคาสัมบูรณของโจทยในขอ 1. ไดความสัมพันธใกลเคียงกับ สมการชนิดใดหรือกราฟใด (แนวคำตอบ : กราฟของวงกลมท่ีมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (h,k) รัศมียาว r หนวย มีสมการรูป มาตรฐานคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2)) ข้ันสอน 1. ครูใหนกั เรียนพจิ ารณาสมการ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 2 แลว ยกกำลังสองทั้ง 2 ขางของ สมการจะได ( )(x − 2)2 + (y + 1)2 2 =22 (x − 2)2 + (y + 1)2 =22 2. ครูถาม โดยมีแนวคำถาม ดงั น้ี • นักเรียนเห็นหรือไมวาตรงกบั สมการชนดิ ใด (แนวคำตอบ : สมการวงกลม) • จากนน้ั ครถู ามนักเรยี นตอ วา สามารถเขยี นกราฟไดหรือไม อยา งไร (แนวคำตอบ : ได เขียนกราฟโดยมี (h,k) = (2,-1) และมี r = 2 ดงั น้ี Y X (0,0)

3. ครูใหน กั เรียนพิจารณาวา ถา เปล่ยี นจากความสมั พันธทเ่ี ปนสมการ สามารถเปลย่ี นเปน อสมการไดห รอื ไม (แนวคำตอบ : ได) จากน้ันใหน กั เรียนพจิ ารณา เชน |z – 2 + i| ≥ 2 จะได (x − 2)2 + (y + 1)2 ≥ 22 จากน้นั ครูถามนกั เรียนตอ วา • สามารถเขยี นกราฟของอสมการหาคาสมั บรู ณของจำนวนเชิงซอ นไดห รอื ไม อยางไร (แนวคำตอบ : ได ดังน้ีกราฟของอสมการ (x-2)2+(y+1)2≥22 จะได คำตอบที่เปน กราฟของวงกลม (x-2)2+(y+1)2≥22และคำตอบ (x,y) ที่มคี ามากกวา ดังน้ี ) 4. ครูใหนกั เรยี นสังเกตวากราฟของอสมการคาสัมบรู ณท ี่อยูในรูปสมการวงกลม ถาเปนเคร่ืองหมาย <หรือ >กแ็ สดงวาไมตองหาความสมั พนั ธทีเ่ ทา กบั ไดแก • (x − h)2 + (y − k)2 > r2 หมายความวา เราไมใชคา (x,y) ท่ีสัมพันธกับ (x-h)2 + (y-k)2 = r2 จึงใช เสน ประเขยี นแทนเสนรอบวงกลมท่มี ีจุดศนู ยก ลางที่ (h,k) รศั มี r แลวแรเงาคำตอบ (x,y) ทกุ คา ท่อี ยูภายนอกวงกลมนั้น • (x − h)2 + (y − k)2 < r2 หมายความวา เราไมใชคา (x,y) ท่ีสัมพันธกับ (x-h)2 + (y-k)2 = r2 จึงใช เสน ประเขยี นแทนเสน รอบวงกลมทมี่ จี ดุ ศูนยก ลางท่ี (h,k) รศั มี r แลว แรเงาคำตอบ (x,y) ทกุ คา ทอี่ ยภู ายในวงกลมนนั้ • (x − h)2 + (y − k)2 ≥ r2 หรือ (x − h)2 + (y − k)2 ≤ r2 หมายความวา เราตองการใชคา (x,y) ท่ี สัมพันธกับ (x-h)2 + (y-k)2 = r2 จึงใชเสนทึบเขียนแทนเสนรอบวงกลมที่มีจุดศูนยกลางท่ี (h,k) รัศมี r แลวแรเงาคำตอบ ภายในหรอื ภายนอกวงกลมตามเครือ่ งหมายอสมการ 5. ครูถามนกั เรียนวา ถาโจทยใ หเ ขียนกราฟของ z แตมีกำกับมาวา Re(z) หรือ Im(z) จะเขียนกราฟอยางไร (แนวคำตอบ : ถาเปน Re(z) จะวาดกราฟเฉพาะสวนจริงจะไดสมการคือ x = a แตถาเปน Im(z) จะ วาดกราฟเฉพาะสวนจนิ ตภาพ จะไดส มการคือ y = b) 6. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 16-17 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เร่ือง จำนวน เชงิ ซอน

ข้นั สรุป 1. ครูแบงกลุมนักเรียน กลุมละ 3-4 คน แลวใหนักเรียนทำแบบฝกหัด 1.3 ขอ 5 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เร่ือง จำนวนเชงิ ซอนจากนน้ั ครูและนักเรยี นรวมกันเฉลยคำตอบ ช่วั โมงที่ 4 ข้นั นำ 1. ครูใหนักเรียนเปดหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เรื่อง จำนวนเชิงซอน สงั เกตการณพิสูจนสมบัตขิ องคา สัมบรู ณของจำนวนเชิงซอ นขอ 1-3 ดงั นี้ 1) |z|2 = z z 2) |z| = |-z| = | z | 3) |zw| = |z||w| 2. จากน้ันครูยกตัวอยางเพื่อแสดงใหนักเรียนเห็นวาการณพิสูจนสมบัติของคาสัมบูรณของจำนวน เชิงซอนขออ่ืนๆ เปนจริง โดยครูตั้งคำถาม ดังนี้ กำหนดให z = 1 + 2i และ w = 2 + 3i แลวใหนักเรียน รว มกนั หาคาตอไปนี้ |z| z 1) |w| และ w 2) |z + w| และ |z| + |w| 3) |z - w| และ |z| - |w| แนวคดิ 1) |z| = 12 + 22 =5 |w| = 22 + 32 =13 |z| 5 |w| = 13 =wz 21=++ 32i =8 + i  8 2 +  1 2 = 64 + 1 = 5 3 13 13 169 13 z จะเห็นวา สมบตั ิ |z| = w เปน จรงิ |w| 2) หา |z + w| = |1 + 2i + 2 + 3i| = |3 + 5i| = 32 + 52 = 9 + 25 = 34 ≈5.830 |z| + |w| = 5 + 13 ≈ 2.236 + 3.605 ≈ 5.842 จะเห็นวาสมบัติ |z + w| ≤ |z| + |w| เปน จรงิ 3) หา |z - w| = |1 + 2i – (2 + 3i)| = |-1 - i| = (−1)2 + (−1)2 = 2 ≈ 1.414 |z| - |w| = 5 − 13 ≈ 2.236 - 3.605 ≈ -1.37 จะเหน็ วา สมบตั ิ |z - w| ≥ |z| - |w| เปนจริง

ขั้นสอน 1 1 z z 1.ครูใหน กั เรียนแตละคนหาคา ของ |z|-1 , และ | | เมอื่ กำหนดให z = 1 + 2i จากนั้นให นกั เรยี นรว มกันสรปุ วา |z|-1 = 1 = | 1 | เมือ่ z≠0 z z 2. ครถู ามนกั เรียนตอวา เมอ่ื กำหนดให z = 0 จะสามารถหาคา |z| ไดเทา ไร จากน้นั ครูสรุปให นักเรยี นเห็นวา |z| = 0 ก็ตอ เม่อื z = 0 3. ครใู หน ักเรียนแบง กลมุ กลมุ ละ 3 คน แลวรวมกนั ทำThinking Time ในหนังสอื เรยี นรายวิชา เพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ นและทำกจิ กรรมถอดรหัสจำนวนเชิงซอ นในหนงั สอื เรียน รายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ม.5 เลม 2 เรื่อง จำนวนเชิงซอน ขั้นสรปุ 1. ครถู ามตอบนกั เรยี นเพือ่ ทบทวนขนั้ ตอนการวาดกราฟในระนาบเชิงซอน 2. ครใู หนักเรยี นเขยี นสรุปความรรู วบยอดเรื่อง สมบัติคา สมั บรู ณของจำนวนเชิงซอน ส่อื /แหลงการเรยี นรู 1. หนังสือเรยี นรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ม.5 เรอื่ ง จำนวนเชิงซอ น 2. ใบงานที่ 3.3 เรอื่ ง ระบบพกิ ัดฉากของจำนวนจรงิ การวัดผลและประเมนิ ผล วิธีการ เครอื่ งมอื เกณฑการประเมนิ - ตรวจใบงานท่ี 3.3 เรอ่ื ง รายการวัด ระบบพิกดั ฉากของจำนวน - ใบงานที่ 3.3 เรื่อง ระบบ - รอ ยละ 60 ผา นเกณฑ 7.1 ประเมินระหวางการจัด จรงิ พิกัดฉากของจำนวนจริง กิจกรรมการเรยี นรู 1) จำนวนเชงิ ซอน 2) พฤตกิ รรมการทำงาน - สงั เกตพฤตกิ รรมการ - แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการ - ระดบั คณุ ภาพ 2 ผาน รายบุคคล ทำงานรายบุคคล ทำงานรายบคุ คล เกณฑ 3) พฤตกิ รรมการทำงาน - สังเกตพฤติกรรมการ - แบบสงั เกตพฤติกรรมการ - ระดับคณุ ภาพ 2 ผาน กลุม ทำงานกลุม ทำงานกลุม เกณฑ

4) คณุ ลกั ษณะอนั พงึ - สงั เกตความมวี ินยั ใฝ - แบบประเมินคุณลักษณะอนั - ระดบั คุณภาพ 2 ผาน พงึ ประสงค เกณฑ ประสงค เรยี นรู และมงุ มั่นในการ ทำงาน เกณฑก ารตัดสนิ - รายบุคคล นกั เรยี นมีผลการเรยี นรไู มต่ำกวา ระดับ 2 จึงถอื วาผาน - รายกลมุ รอ ยละ....75....ของจำนวนนักเรยี นทง้ั หมดมีผลการเรียนรไู มต ่ำกวาระดับ 2 ขอเสนอแนะ ใชสอนได ควรปรบั ปรุง ลงชอื่ ( นางสาวปวริศา กาวงคว ิน ) หวั หนา กลุมสาระการเรียนรคู ณิตศาสตร วันท่ี........เดอื น..............พ.ศ............