chinh-phuc-vdc-giai-tich-luyen-thi-thpt-nam-2023-phan-nhat-linh

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( ) ( )f −x2 + 2x + 2021 Ta có y = = 1+ 2021 −2021(−2x + 2) f  −x2 + 2x  y = ( ) ( ) ( )f −x2 + 2x f −x2 + 2x f 2 −x2 + 2x Do đó y = 0  ( )−2021(−2x + 2) f  −x2 + 2x =0 ( )f 2 −x2 + 2x  x=1  x=1 −x2 + 2x = −1  ( ) −2021(−2x + 2) f   x =1 2 −x2 + 2x = 0   −x2 + 2x = 0  x = 0; x = 2 TXĐ .   −x2 + 2x = 1  (x − 1)2 = 0  Vậy hàm số có 3 cực trị. Câu 39: Chọn A ( )Xét hàm số y = x6 + (4 + m) x5 + 16 − m2 x4 + 2 có TXĐ là D = . ( ) ( )Ta có y = 6x5 + 5(4 + m)x4 + 4 16 − m2 x3 = x3 6x2 + 5(4 + m) x + 4 16 − m2  .  x = 0 ( )y = 0  6 x2 + 5(4 + m)x + 4 16 − m2 . =0 Do x = 0 là một nghiệm của phương trình y = 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 khi và chỉ khi y đổi dấu từ (−) sang (+) khi qua điểm x = 0 . ( )Đặt g(x) = 6x2 + 5(4 + m)x + 4 16 − m2 . Trường hợp 1: x = 0 là nghiệm của phương trình g (x) = 0 . Suy ra m = 4 hoặc m = −4 . x = 0  Với m = 4, g(x) = 6x2 + 40x = 0  x = − 20 . 3 Khi đó phương trình y = 0 có x = 0 là nghiệm bội 4 nên y không đổi dấu khi qua điểm x = 0. Suy ra x = 0 không là điểm cực trị của hàm số. Vậy m = 4 không thỏa mãn. Với m = −4 , loại do m là số nguyên dương. Trường hợp 2: x = 0 không là nghiệm của phương trình g (x) = 0 hay m  4 . ( )Ta có y = x3.g(x) ; g(0) = 4 16 − m2 .  lim g(x)  0 đổi dấu từ (−) (+) khi qua điểm chỉ ( )x→0+ y sang x =0 khi và khi 0 xl→im0− g x ( ) 4 16 − m2  0  −4  m  4 . Mà m là số nguyên dương nên ta có m 1,2,3 hay S = 1,2,3 . Vậy tổng các phần tử của tập hợp S là 1 + 2 + 3 = 6 . Câu 40: Chọn B ( ) ( )Ta có y = 6x5 + 5(2 + m) x4 + 4 4 − m2 x3 = x3 6x2 + 5(2 + m)x + 4 − m2 . Chinh phục các bài toán VD - VDC: Cực trị của hàm số | 96

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 y = 0  x3 = 0 + m)x + 4 − m2 = 0(*). 6x2 + 5(2 (*) có  = 49m2 + 100m + 4 = (49m + 2)(m + 2) .   0  Với mọi m nguyên dương thì  −5( 2 + m ) 0 do đó ta xét các trường hợp sau:  6 Trường hợp 1: 4 − m2 0  0 m 2: (*) có hai nghiệm âm phân biệt (x1 , x2 x1  x2 ) , ta có  m  0 bảng xét dấu y như sau: Lúc này x = 0 là điểm cực tiểu. Trường hợp 2: 4 − m2  0  m  2: (*) có hai nghiệm trái dấu x1 , x2 ( x1  0  x2 ) , ta có bảng  m  0 xét dấu y như sau: Từ đây suy ra x = 0 là điểm cực đại. Trường hợp 3: (*) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm, lúc này x = 0 là nghiệm bội 4 của đạo hàm nên không phải là điểm cực trị. Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Tổng các phần tử của S bằng 52. Câu 41: Chọn D Tập xác định: D = . ( ) ( )Đạo hàm y = 8x7 + 5(m − 2) x4 − 4 m2 − 4 x3 = x3 8x4 + 5(m − 2) x − 4 m2 − 4  = x3 .g ( x ) ,  ( )với g(x) = 8x4 + 5(m − 2)x − 4 m2 − 4 . ( )Ta có lim g(x) = g(0) = −4 m2 − 4 . x→0 ( )Trường hợp 1: g(0)  0  −4 m2 − 4  0  m(−; −2)  (2; +) . Khi x → 0− thì y = x3.g(x) → 0+ ; khi x → 0+ thì y = x3.g(x) → 0−  y đổi dấu từ dương sang âm qua x = 0  hàm số đạt cực đại tại x = 0 . ( )Trường hợp 2: g(0)  0  −4 m2 − 4  0  m(−2; 2) . Khi x → 0− thì y = x3.g(x) → 0− ; khi x → 0+ thì y = x3.g(x) → 0+  y đổi dấu từ âm sang dương qua x = 0  hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 . ( )Trường hợp 3: g(0) = 0  −4 m2 − 4 = 0  m = 2 Với m = 2 , ta có y = 8x7  y đổi dấu từ âm sang dương qua x = 0  hàm số đạt cực tiểu tại 97 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số x = 0. ( ) ( )Với m = −2 , ta có y = x3 8x7 − 20x = x4 8x6 − 20  y không đổi dấu qua x = 0  hàm số không đạt cực trị tại x = 0 . Như vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0  m  (−2; 2 . Do m nguyên nên m −1;0;1; 2 . Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 42: Chọn C ( ) ( )Xét hàm số y = f x2 − 2x + m + 1 có y = (2x − 2) f  x2 − 2x + m + 1 . ( )x = 1 x = 1 x = 1   y = 0   f  x2 − 2x + m + 1 = 0   x2 − 2x + m + 1 = −1   − x2 + 2x − 2 = m .  − 2x + m + 1 = 3 + 2x + 2 = m  x2  − x2   Vẽ đồ thị hai hàm số y = g(x) = −x2 + 2x − 2 và y = h(x) = −x2 + 2x + 2 . ( )Để hàm số y = f x2 − 2x + m + 1 có 3 điểm cực trị thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hai hàm số trên tại hai điểm phân biệt khác 1 hoặc 3 điểm phân biệt trong đó có một điểm có hoành độ bằng x = 1  −1  m  3 . Vì m nguyên nên m −1,0 ,1,2 . Câu 43: Chọn B ( )Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm ) và trục Ox là: x3 − 3x2 − m2 − 2 x + m2 = 0 ( ) (x − 1) x2 − 2x − m2 = 0  x = 1  x = 1  .  x2 − 2x − m2 = 0 x = 1 1+ m2  ( ) ( )Suy ra (Cm ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt A 1 − 1 + m2 ;0 ,B(1;0),C 1 + 1 + m2 ;0 và AC = 2 1 + m2 . ( )Ta có, y = 3x2 − 6x − m2 + 2 , y = 0  3x2 − 6x − m2 + 2 = 0 1 , phương trình (1) luôn có 2 nghiệm x1 , x2 với mọi giá trị của tham số m . Áp dung định lý x1 + x2 = 2 Vi-et ta có  −m2 + 2 . x1.x2 = 3 Gọi hai điểm cực trị là M (x1; y1 ) ,N (x2 ; y2 ) . Chinh phục các bài toán VD - VDC: Cực trị của hàm số | 98

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 y=−2 x + 2m2 + 2 . 3 3 ( )Đường thẳng qua hai điểm cực trị M,N là m2 + 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )Nên ta có MN = 2+4 1 + 4 2  x2 − x1 9 m2 + 1 2 x2 − x1 2 =  9 m2 +1  x2 + x1 2 − 4x1x2   1 4 2  4  4 1 + m2 + 16 1 + m2 3  9  3  3 27 ( ) ( ) ( ) ( )= m2 + +1 4 − 2 − m2 =   Theo giả thiết MN = AC 4 + 16 3 1+ m2  4 + 16 3 = 4 1+ m2 =2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + m2 1 + m2 1+ m2 1+ m2 3 27 3 27 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 + m2 + 16 1 + m2 3 = 4 1+ m2  4 + 16 1+ m2 2 = 4  1+ m2 2 = 9 3 27 3 27 2  1 + m2 = 3  m =  3 − 1 . 22 Câu 44: Chọn D Ta có y = −(m − 2)(m + 2)(m + 1)x4 − 2(m + 1)x2 + 3 . Trường hợp 1: m = 2  y = −6x2 + 3 , thỏa mãn. Trường hợp 2: m = −2  y = 2x2 + 3 , loại. Trường hợp 3: m = −1  y = 3 , loại. Trường hợp 4: 2(m − 2)(m + 2)(m + 1)2  0  (m − 2)(m+ 2)  0  −1 m 2.  − ( 2)( 2)(m 1)  m − m + +  0 m + 1  0 Trường hợp 5: 2(m − 2)(m + 2)(m + 1)2  0  (m − 2)(m + 2)  0  m  2.  − ( m − 2)( m + 2) (m + 1)  0  m + 1  0 Vậy m  −1. Câu 45: Chọn B Ta có y = 4x4 − 8mx2 + 3m2 + 2  y = 16x3 − 16mx Giải phương trình y = 0  16x3 − 16mx = 0  x = 0 (*) x2 = m Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị A,B,C khi và chỉ khi phương trình y = 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt, tức là phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0  m  0 . ( ) ( ) ( )Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A 0; 3m2 + 2 , B − m; −m2 + 2 , C m; −m2 + 2 . Nhận xét: Tam giác ABC luôn cân tại A và có Oy là trục đối xứng. Gọi H là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC suy ra AH  Oy và AH là đường cao cũng là đường phân giác trong góc A nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác thì I  AH hay I  Oy . Vì tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp nằm trên đường thẳng x + y − 2 = 0 nên I là giao điểm của đường thẳng x + y − 2 = 0 với Oy . Suy ra tọa độ của I là nghiệm của hệ 99 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số x = 0 − 2 = 0  x = 0  I (0; 2) . x + y y = 2 Phương trình đường thẳng BC : y = −m2 + 2 . Phương trình đường thẳng AC : x = y − 3m2 − 2  x + y − 3m2 − 2 = 0 m −4m2 m 4m2  4m mx + y − 3m2 − 2 = 0. Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác nên d(I, AC) = d(I ,BC)  3m2 = m2 (m  0)  16m3 + 1 = 3  16m3 + 1 = 9  m = 1 (thỏa mãn). 16m3 + 1 32 Vậy m= 1 . 32 Câu 46: Chọn C Bảng biến thiên của hàm số f ( x) : Cách 1: Giải trực tiếp ( )( )x3 − 3x 3x2 − 3 ( ) ( )Ta có: y = f x3 − 3x + m  y = x3 − 3x f  x3 − 3x + m  x = 0 x = 0   x =  3 x =  3 hoặc  x = 1 ( )Phương trình y = 0 y không xác định khi: x = 1  f  x3 − 3x + m =0  x3 − 3x + m = 0     x3 − 3x + m = 2  x = 0  x =  3  x = 1 .  x3 − 3x = −m    x3 − 3x = 2−m ( ) ( )Đặt h x = x3 − 3x  h x = 3x2 − 3 có đạo hàm h(x) = 0  x = 1 . Bảng biến thiên của hàm số h(x) : Chinh phục các bài toán VD - VDC: Cực trị của hàm số | 100

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 ( )Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để hàm số y = f x3 − 3x + m có 7 cực trị thì số nghiệm bội lẻ của phương trình y = 0 phải là 7. Yêu cầu bài toán  2 − m = 2  m = 0. −m = 0 ( )Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên là m = 0 thoả mãn hàm số y = f x3 − 3x + m có đúng 7 cực trị. Cách 2: Ghép trục kết hợp với phương pháp đánh giá Đặt u = x3 − 3x + m  u = ( )( )x3 − 3x 3x2 − 3 . x3 − 3x u = 0  Cho u = 0 hoặc u không xác định khi: u = 1 . u =  3 Kết hợp với bảng biến thiên của y = f ( x) , ta thấy để hàm số y = f (u) có 7 cực trị thì m  2 và trong (m; 2 + m) không chứa điểm cực trị nào của f ( x) . Yêu cầu bài toán  m = 0 . ( )Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên là m = 0 thoả mãn hàm số y = f x3 − 3x + m có đúng 7 cực trị. 101 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Cách 3: Ghép trục kết hợp với phương pháp tịnh tiến đồ thị. Đặt u = x3 − 3x  u = 3x2 −3 . Cho u = 0  u = −1 . u = 1 ( )Hàm số y = f u + m được tạo thành từ việc tịnh tiến qua trái m đơn vị (m  0) , rồi lấy đối xứng qua trục Oy . ( )Ta thấy để hàm số y = f u + m có 7 cực trị thì số cực trị dương của f (u + m) phải là 3  0  m 1. Kết hợp m   m = 0 . ( )Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên là m = 0 thoả mãn hàm số y = f x3 − 3x + m có đúng 7 cực trị. Câu 47: Chọn D Ta có f ( x ) = ( x + 3)( x − 4) = 0  x = −3 . x = 4 ( )Tính đạo hàm, y = f  x2 − 3x + m x2 − 3x + m (2x − 3) . x2 − 3x + m x = 3 xx2=−233x x = 3  2 x2 − 3x  2 y = 0  x2 − 3x + m = 0  + m = 0  x2 − 3x = −m (1)  + m = 4  x2 − 3x + m = −3 (VN ) x2 − 3x = 4 − m (2)   x2 x2 − 3x + m = −4 x2 − 3x = −4 − m (3)  − 3x + m = 4 ( )Đặt g x = x2 − 3x , khảo sát hàm số y = g(x) , ta được bảng biến thiên như bên dưới. Chinh phục các bài toán VD - VDC: Cực trị của hàm số | 102

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Để hàm số có nhiều điểm cực trị nhất khi và chỉ khi −m − 4  −9  m  − 7 . 44 Kết hợp với điều kiện m  −10; 5 suy ra tập giá trị m là S = −10,−9,−8,...,−2 . Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số m bằng −54 . Câu 48: Chọn D ( )Hàm số y = x3 + (m + 2) x2 + mx − m2 có 5 điểm cực trị  y = x3 + m + 2 x2 + mx − m2 có hai ( ) ( )điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành  x3 + m + 2 x2 + mx − m2 = 0 1 có ba nghiệm phân biệt. ( ) ( )Ta có x = −m x3 + m+2 x2 + mx − m2 = 0  (x + m) x2 + 2x − m = 0  x2 + 2x − m = 0 (2) . Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác −m  m + 1  0  0  m  −1  3 . m2 − 3m m  0,m Do m nguyên và −4  m  6 nên suy ra m 1; 2; 4; 5 . Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 49: Chọn B Xét phương trình x2 − 2mx + 1 = 0 có  = m2 − 1 . Trường hợp 1. Nếu  = m2 − 1  0 thì ta có : ( ) ( )Hàm số y = f x = x2 − 2mx + 1 + 4x = x2 − 2 m − 2 x + 1 . Dễ thấy hàm số này không tồn tại điểm cực đại. Trường hợp 2. Nếu  = m2 − 1  0  mm−11; khi đó hai nghiệm phân biệt của phương trình x2 − 2mx + 1 = 0 lần lượt là x1 = m − m2 − 1; x2 = m + m2 − 1 . ( ) ( )Với x  x1  x  x2 thì y= f x = x2 − 2mx + 1 + 4x = x2 − 2 m−2 x + 1 không có điểm cực đại.  ( ) ( )Với x1  x  x2 thì y = f x = −x2 + 2mx − 1 + 4x = −x2 + 2 m + 2 x − 1 . ( )Hàm số này có điểm cực đại là: x = m + 2 và giá tri cực đại là: y = f m + 2 = m2 + 4m + 3 . Suy ra điều kiện: x1  x = m + 2  x2  m − m2 − 1  m + 2  m+ m2 − 1  m + 2   f ( ) = m2 + 4m + 3  ( 3; 4 ) 3  m2 + 4m + 3  4 103 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mm2 +2 m  − 5 −m2 −  −1  2  4  5 5  −2 − 5  m  −4 . 4m + 3 5  m  −2 + m2 + 4m + 3  3 mm  −4  0 ( )Suy ra 10 −2 − 5  10m  −40  −42,3  10m  −40  10m −42; −41  m −4,2; −4,1 = S . Vậy S có 2 phần tử. Câu 50: Chọn A Đặt: u = f 2 (x) − 2 f (x)  u = 2 f (x)( f (x) − 1) . u = 0  x a; 2 trong đó Cho  b  a  c  2  d. x  b; c; d Bảng biến thiên của hàm số u = f 2 (x) − 2 f (x) : 2 ( ) ( ) ( )Mặt khác: g(x) = f u − m  g(x) = u − m  f  u − m . Do đó số điểm cực trị của hàm số g(x) = f f 2 (x) − 2 f (x) − m chính là số nghiệm nghiệm bội lẻ của hệ: u − m = 0 u =m u =m  x   = b; d  x b; a; c; 2;d ( ) u m − 2; m + 2  u−m 0  a; c; 2; = = 2 ( ) f  u − m 0  u − m  ( )Hàm số g(x) = f f 2 (x) − 2 f (x) − m có nhiều điểm cực trị nhất khi và chỉ khi: −1  m−2  15  1 m  13 . Do m nguyên nên có 11 giá trị của m thỏa mãn. −1  m+2  15 Câu 51: Chọn D Ta có: f (x) = 0  x = 1 3m) x + 2m2 − 2m = 0(*) x2 + (1 − ( )(*) = (1− 3m)2 − 4 2m2 − 2m = (m + 1)2 . g(x) = f ( x + m). x x Trường hợp 1: m = −1 . Chinh phục các bài toán VD - VDC: Cực trị của hàm số | 104

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Phương trình g(x) =0  x = 0   x =0  x = 0 .  =1  x =2  =  2  x + m  x Vậy nhận m = −1 . Trường hợp 2: m  −1 . Khi đó (*) có 2 nghiệm phân biệt m − 1 và 2m . x = 0 x = 0   Phương trình g(x) =0   x +m =1  x = 1− m +m  = −1(VN)  x  x  = m−1   x + m = 2m  x = m Khả năng 1: 1 − m  m  m  1 2 Yêu cầu bài toán  1 − m  0  m  1. m  1 ⎯m⎯⎯−5;⎯5→ m   Vậy 2 . −5; − 4; − 3; − 2; 0 m  −1 Khả năng 2: 1 − m  m  m  1 2 Yêu cầu bài toán  m  0 .  Vậy m  1 ⎯m⎯⎯−5;⎯5→m  1; 2; 3; 4; 5 . 2 Vậy có 11 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 52: Chọn D ( )Với mỗi tham số m thì số điểm cực trị của hàm số y = f x 3 − 3 x + m + 2021 + 2022m3 ( )và y = f x 3 − 3 x + m + 2021 bằng nhau. ( )Do đó ta chỉ cần tìm giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f x 3 − 3 x + m + 2021 có đúng 11 điểm cực trị. ( )Xét x  0 : Hàm số có dạng y = f x3 − 3x + m + 2021 . ( ) ( )Khi đó ta có đạo hàm như sau: y = 3x2 − 3 f  x3 − 3x + m + 2021 . Do nghiệm của phương trình x3 − 3x + m + 2021 = 4 là các nghiệm bội bậc chẵn của phương trình y = 0 nên ta chỉ cần quan tâm đến các nghiệm còn lại. Tức là x = 1 (do x  0) x = 1 (do x  0) ( )3x2 − 3 = 0  x3 − 3x + m + 2021 = −1 m + 2021 = −x3 + 3x −1 y = 0   x3 − 3x + m + 2021 = 0  x3 − 3x + m + 2021 = 1   + 2021 = −x3 + 3x +1  f  m x3 − 3x + m + 2021 = 2 m + 2021 = −x3 + 3x + 2 Vẽ đồ thị ba hàm số y = −x3 + 3x − 1 ; y = −x3 + 3x + 1 ; y = −x3 + 3x + 2 với x  0 trên cùng một hệ trục 105 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )Hàm số y = f x 3 − 3 x + m + 2021 có đúng 11 điểm cực trị ( ) Hàm số y = f x3 − 3x + m + 2021 có đúng 5 điểm cực trị dương ( ) Phương trình f  x3 − 3x + m + 2021 = 0 có đúng 4 nghiệm bội lẻ dương và khác 1  Đường thẳng y = m + 2021 cắt đồ thị ba hàm số y = −x3 + 3x − 1 ; y = −x3 + 3x + 1 ; y = −x3 + 3x + 2 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ dương khác 1  −1  m + 2021  1  −2022  m  −2020 . 2  m + 2021  3 −2019  m  −2018 Do điều kiện m nguyên nên m = −2021 . Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 53: Chọn B x = 12 Phương trình f '(x) = 0  x = 0 x = 2 Bảng xét dấu: Do đó hàm số y = f ( x) đạt cực trị tại x = 0 và x = 2 . ( ) ( )Xét y = f x2 − 2022x + 2021m có y' = (2x − 2022). f ' x2 − 2022x + 2021m . x = 1011 ( ) y' = 0   f ' x2 − 2022x + 2021m = 0  x2 − 2022x + 2021m = 0  x2 − 2022x = −2021m    x2 − 2022x + 2021m = 2 x2 − 2022x − 2 = −2021m  ( ) ( )Xét các hàm số g x = x2 − 2022x và h x = x2 − 2022x − 2 , với x  0 . g'( x) = 2x − 2022 ; g'(x) = 0  x = 1011 Bảng biến thiên: Chinh phục các bài toán VD - VDC: Cực trị của hàm số | 106

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Vậy hàm số có 3 điểm cực trị dương  −10112 − 2  −2021m  −10112  −2021m  0  1022121  m  1022123  2021   2021 . m  0 Kết hợp với giả thiết  m −2020; −2019;...;0 Câu 54: Chọn D Xét f (x) = x2 + 10x = 0  x = 0 . x = −10 ( ) ( ) ( )Xét y = f x4 − 8x2 + m  y = 4x3 − 16x f  x4 − 8x2 + m . 4x3 − 16x = 0 y = 0    f  ( )Cho . x4 − 8x2 + m =0 Xét phương trình: 4x3 − 16x =0  x = 0 . x = 2 ( )Xét phương trình: x4 − 8x2 + m = 0 −x4 + 8x2 = m (1) f x4 − 8x2 + m =0   x4 − 8x2 + m = −10 −x4 + 8x2 = m + 10 . (2) ( ) ( )Đề hàm số y = f x4 − 8x2 + m có đúng 9 điểm cực trị thì phương trình f  x4 − 8x2 + m = 0 cần có 6 nghiệm đơn x  0 và x   2 . ( )Xét hàm số g x = −x4 + 8x2 có g'(x) = −x3 + 16x = 0   x=0 . x = 2 Ta có bảng biến thiên: Xét hai đường thẳng d1 : y = m, d2 : y = m + 10 song song với trục Ox . Vì m + 10  m (m  ) , nên đường thẳng d2 nằm trên đường thẳng d1 . Phương trình (1) có 2 nghiệm và phương trình (2) có 4 nghiệm 107 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số  0  m + 10  16  −10  m 0. Vì m nên  m −9;...; −1 . m  0 ( )Vì x = 0 đã là cực trị của hàm số y = f x4 − 8x2 + m nên ta lấy cả trường hợp m = 0 . Vậy có 10 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn. Chinh phục các bài toán VD - VDC: Cực trị của hàm số | 108

1Phan Nhật Linh ỨNG DỤNG ĐẠOChHinhÀpMhục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỦ ĐỀ 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa • Cho hàm số xác định trên D ▪ Số A được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu:  f (x)  A;x  D , ta kí hiệu A = max f (x) xo  D : f (x0 ) = A xD ▪ Chú ý: Nếu f (x)  A;x  D thì ta chưa thể suy ra A = max f (x) xD ▪ Số a được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu:  f (x)  a; x  D a , ta kí hiệu a = min f (x) xD  f (x0 )= xo  D : ▪ Chú ý: Nếu f (x)  a;x  D thì ta chưa thể suy ra a = min f (x) xD 2. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hai biến. • Các bài toán hai biến (Yêu cầu: tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hoặc tìm tập giá trị). ▪ Sử dụng phương pháp thế y = h(x) từ giả thiết vào biểu thức P cần tìm cực trị, khi đó P = f (x) với x [a;b] → đưa về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của bài toán một biến. ▪ Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản (có thể dùng để giải quyết các bài toán một biến) ▪ Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực không âm a + b  2 ab  4ab  (a + b)2  (a − b)2  0 ▪ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho các số thực a, b, c, d ( )( )(ax + by)2  a2 + b2 x2 + y2 . Dấu “=” xảy ra khi a = b xy • Một số bổ đề cơ bản dùng trong các bài toán hai biến ( )( )▪ x + y 2 x2 + y2 và x2 + xy + y2  3 (x + y)2 xy   4 42 109 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )( )▪ x3 + y3  x + y x2 + y2  (x + y)3  xy(x + y) 24 ▪ Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân số 1 + 1  4 x y x+y 3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối • Bổ đề: Cho hàm số y = f (x) . Biết rằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng A và a  max f (x) = A và min f (x) = a . Khi đó max f (x) = max A ; a . xD xD xD Dạng 1: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) + m trên D luôn nhỏ hơn k (k  ) ▪ Bước 1: Tìm min f (x) và max f (x) , giả sử min f (x) = a và max f (x) = A . Khi đó xD xD xD xD max f (x) = max A + m ; a + m . xD  ▪  A+m k Bước 2: Tìm m để max A+m ; a+m  k   a+m k  VÍ DỤ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x3 − 12x + m trên đoạn 1; 3 không vượt quá 20 A. 33 B. 36 C. 34 D. 35  LỜI GIẢI Đặt g(x) = x3 − 12x + m  g(x) = 3x2 − 12 = 0  x = 2 (1; 3)  = −2  (1; 3) x Ta có: g(1) = m − 11; g(2) = −16; g(3) = m − 9 Suy ra: min g(x) = m − 16; max g(x) = m − 9 1;3 1;3  Do đó: max g(x) = max m − 9 ; m − 16 1;3 Từ đó suy ra:  m − 9  20  −20  m − 9  20  −11  m  29  −4  m 29  −20  m − 16  20 −4  m  36  m − 16  20 Vậy có 34 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn. Dạng 2: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) + m trên D bằng k ▪ Bước 1: Tìm min f (x) và max f (x) , giả sử min f (x) = a và max f (x) = A . Khi đó xD xD xD xD max f (x) = max A + m ; a + m . xD ▪ Bước 2: Tìm m để  A+m =k a+m k  A+m k  a+m =k Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 110

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 VÍ DỤ 2: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x3 − 12x + m trên đoạn 1; 3 bằng 10 . Tổng các phần tử của S bằng A. 26 B. 40 C. 10 D. 25  LỜI GIẢI Đặt g(x) = x3 − 12x + m  g(x) = 3x2 − 12 = 0  x = 2 (1; 3)  = −2  (1; 3) x Ta có: g(1) = m − 11; g(2) = −16; g(3) = m − 9 . Suy ra: min g(x) = m − 16; max g(x) = m − 9 1;3 1;3  Do đó: max g(x) = max m − 9 ; m − 16 1;3  m − 9 = 10 m = 19  m − 16  10 m = −1 Trường hợp 1:    m = 19.  m − 16  10   m − 9  10 m−9  10  m − 16 = 10  Trường hợp 2:   m = 26  m = 6. m = 6 Vậy S = 19;6 nên tổng các phần tử của S bằng 25 . Dạng 3: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) + m trên D đạt nhỏ nhất. ▪ Bước 1: Tìm min f (x) và max f (x) , giả sử min f (x) = a và max f (x) = A . Khi đó xD xD xD xD max f (x) = max A + m ; a + m . xD  ▪ M  A+m Bước 2: Đặt M = max A+m ; a+m    a+m  2M  A+m + a+m M 2M  A + m + −a − m  A − a Dấu bằng xảy ra khi  A+ m = a+m  A + m = −a − m  m = − A+ a  A+ m + −a − m 2   0 VÍ DỤ 3: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x3 − 12x + m trên đoạn 1; 3 đạt nhỏ nhất A. m = 25 B. m = 5 C. m = 12 D. m = 50 2 7 3  LỜI GIẢI Đặt g(x) = x3 − 12x + m , dễ thấy min g(x) = −16; max g(x) = −9 1;3 1;3 Ta có: m = A + a = −9 − 16 = 25 2 22 Dạng 4: Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) + m trên D đạt nhỏ nhất. ▪ Bước 1: Nhận thấy, y = f (x) + m  0,x  D nên min f (x) + m  0 . Dấu bằng xảy ra khi và xD chỉ khi phương trình f (x) + m = 0 có nghiệm. ▪ Bước 2: Tìm m để phương trình f (x) + m = 0 có nghiệm. 111 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số VÍ DỤ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x3 − 12x + m trên đoạn 1; 3 đạt nhỏ nhất A. m = 25 B. m = 5 C. m = 12 D. m = 50 2 7 3  LỜI GIẢI Nhận thấy f (x)  0,x  1; 3 nên min f (x)  0 . x1;3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi phương trình x3 − 12x + m = 0 có nghiệm. Vì x3 − 12x  −16; −9 khi x  1; 3 nên −m  −16; −9  m  9;16 . Dạng 5: Cho hàm số y = f (x) + m . Tìm m để min y + max y = h (h  0)  ;   ;  ▪ Bước 1: Tìm min f (x) và max f (x) , giả sử min f (x) = a và max f (x) = A .  ;   ;   ;   ;    min y  A + m ; a + m   ;  ▪ Bước 2:   max y  A + m ;0; a + m  ;   min y = a + m   ;  Trường hợp 1: a+m  0   y =  h = A + a + 2m .  max A+m  ;   min y = −a − m Trường hợp 2: A + m  0  m ;;ax y = −A − m  h = −A − a − 2m hợp a + m  0  min y = 0 h = A+m m ;;ax y = A + m; − a − m h = −a − m  Trường 3:  A + m  0    VÍ DỤ 4: Cho hàm số y = x4 − 2x3 + x2 + a . Có bao nhiêu số thực a để min y+ max y = 10 ? 1;2 1;2 A. 3 B. 5 C. 2 D. 1  LỜI GIẢI Chọn C. Đặt y = x4 − 2x3 + x2 + a = f (x) . Xét hàm số f (x) = x4 − 2x3 + x2 + a Khi đó f (x) = 4x3 − 6x2 + 2x = 2x(2x2 − 3x + 1) = 0  x  0; 1 ;1 .  2     f (x)  0,x  1; 2 và f (1) = a; f (2) = a + 4 . Ta có x  1; 2 thì max y  a ,a+4 .  a ,0, a + 4 min y  Xét các trường hợp: TH 1: a  0  max y = a + 4; min y = a  2a + 4 = 10  a = 3 (nhận) TH 2: a  −4  max y = −a; min y = −a − 4  −a − 4 − a = 10  a = −7 (nhận) TH 3: a  0  −4  a  0  min y = 0; max y a + 4; −a  a + 4 = 10  a =6 (loại). a + 4  0 −a = 10 a = −10 Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 112

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 B VÍ DỤ MINH HỌA CÂU 1. Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d và hàm số y = xf (x) cùng đạt cực tiểu tại x = 1 và có tổng hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số bằng 4 (các nghiệm bội chỉ tính là một). Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f (x) trên đoạn  1 ; 4 lần lượt là  và 2 +1. Giá trị của số thực   2 bằng A. − 27 . B. − 16 . C. − 11 . D. − 32 . 320 291 108 307  LỜI GIẢI Chọn D Xét y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d có f (x) = 3ax2 + 2bx + c và f (x) = 6ax + 2b Xét y = g(x) = xf (x) có g(x) = f (x) + x. f (x) và g(x) = 2 f (x) + x. f (x) Vì cả hai hàm số f (x) và g(x) cùng đạt cực tiểu tại x = 1 nên ta có  f (1) = 0 3a + 2b + c = 0  6a + 2b  0 3a + 2b + c = 0 (1)  f (1)  0   a + b + c + d = 0 (2) 3a + b  0 (3) g(1) = 0  f (1) + 1. f (1) = 0  g(1)  0 2 f (1) + 1. f (1)  0 ( )Xét phương trình hoành độ f (x) = x. f (x)  (x − 1) ax3 + bx2 + cx + d = 0 (4) Từ (2) suy ra đa thức ax3 + bx2 + cx + d có nghiệm x = 1. Khi đó ax3 + bx2 + cx + d = (x − 1) ax2 + (a + b)x + (a + b + c) Từ đó suy ra phương trình (4) tương đương với x = 1 (5) ax2 + (a + b) x + (a + b + c) = 0 Từ (1) suy ra đa thức ax2 + (a + b) x + (a + b + c) có nghiệm x = 1. Như vậy để tổng các nghiệm của phương trình (4) bằng 4 thì phương trình (5) phải có một nghiệm bằng 1 và một nghiệm bằng 3, nên 9a + 3(a + b) + (a + b + c) = 0  13a + 4b + c = 0 (6) b = −5a c = 7a Từ (1), (2), (3) và (6) ta được d = −3a a  0 x = 1 f (x) = ax3 − 5ax2 + 7ax − 3a f (x) = 3ax2 − 10ax + 7a ,  Vậy với a  0 , ta có f ( x) = 0  x = 7 3 113 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số = − 32a , min f − 32a =   = − 32 ( ) ( )Vậy max f x x = 9a . Ta có  27   = 307  1 ;4 27  1 ;4 9a = 2 + 1 a  2  2 27 307 distance CÂU 2. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực nguyên tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số x3 − 3x2 − m 12 . Tổng bình phương giá trị của các phần tử của x3 − 3x2 − m 2 + 25 13 ( )f (x) = trên đoạn 0; 4 bằng S bằng: A. 68 . B. 80 . C. 100 . D. 41 .  LỜI GIẢI Chọn B Ta có f (x) = x3 − 3x2 − m ( )x3 − 3x2 − m 2 = ( )x3 − 3x2 − m 2 + 25 ( )x3 − 3x2 − m 2 + 25 Đặt t = x3 − 3x2 −m với t  −4 − m;16 − m . Khi đó xét hàm số g(t) = t2 t2 + 25 Ta có g(t) = t2  144  t2  144 với t  −4 − m;16 − m t2 + 25 169 (m + 4)2  122  4  m  28  4 m  8. Suy ra m = 4  −16  m  8 m = 8 − 16)2  122 ( m Thử lại: Với m = 4  t  −8;12  g(t) = 144  t = 12 (thỏa) 169 Với m=8  t  −12; 4  g(t) = 144  t = −12 (thỏa) 169 Vậy S = 4; 8. Suy ra 42 + 82 = 80 distance CÂU 3. Cho hàm số y = f (x) có f (x)  0 với x  . Biết rằng trên đoạn −1;1 , hàm số ( )y = f x4 − 6x2 − 4x đạt giá trị nhỏ nhất tại x = mcos n ( m,n, p  ; n  p ; n là phân số tối giản). Giá pp trị m + n.p bằng A. 1 . B. 2 . C. 47 . D. 65 .  LỜI GIẢI Chọn C ( ) ( )Ta có y = 4x3 − 12x − 4 . f  x4 − 6x2 − 4x . Do f (x)  0 với x  nên y = 0  4x3 − 12x − 4 = 0  x3 − 3x = 1 (1). Bảng biến thiên của hàm số g(x) = x3 − 3x − 1 trên đoạn −1;1 : Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 114

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Suy ra x3 − 3x = 1  x = x0 (−1;0) . Đặt x = 2 cost , t    ; 2  , phương trình (1) trở thành:  2 3    8cos3 t − 6cost = 1  cos 3t = 1  3t =   + k2  t =   + k2 , k  . 23 93 Vì t    ; 2  nên t = 5 . Do đó trên đoạn −1;1 , y = 0  x = 2cos 5 .  2 3  9 9   ( )Bảng biến thiên của hàm số y = f x4 − 6x2 − 4x trên đoạn −1;1 : ( )Do đó, trên đoạn −1;1 , hàm số y = f đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 2cos 5 . x4 − 6x2 − 4x 9 Vậy m = 2 , n = 5 , p = 9 hay m + n.p = 47 . CÂU 4. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm ( )f ' x = x2021 − x với mọi số thực x , đồng thời f (0) = 2020 và z, t là hai số thực tùy ý thỏa mãn z  t  −1 . Giá trị lớn nhất của f (t) − f (z) bằng A. 1010 . B. − 505 . C. − 1010 . D. 505 . 1011 1011 1011 1011  LỜI GIẢI Chọn D  ( )( ) ( )( )Ta có f ' x = x2021 − x nên f x = f ' x dx = x2021 − x dx = 1 x2022 − 1 x2 + C . 2022 2 Mà f (0) = 2020  C = 2020 . Suy ra f (x) = 1 x2022 − 1 x2 + 2020 . 2022 2 = 1 x2022 − 1 x2 + 2020 có  x=0 2022 2  ( )( ) ( )Xét hàm số  f x f' x = 0  x2021 − x = 0  x x2020 − 1 = 0  x = 1 . x = −1 Bảng biến thiên: 115 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Trên −1; +) để f (t) − f (z) đạt giá trị lớn nhất thì f (t) đạt giá trị lớn nhất và f (z) đạt giá trị nhỏ nhất. Theo giả thiết thì z  t  −1 nên min f (z) = f (1) = 1 − 1 + 2020 . (−1;+) 2022 2 Do t  −1; z) và f (z) đạt GTNN tại z=1 nên max f (t) = f (0) = 2020 . (−1;1) Vậy giá trị lớn nhât của f (t) − f (z) bằng 2020 −  1 − 1 + 2020  = 1 − 1 = 505 .nce  2022 2  2 2022 1011   CÂU 5. Cho hàm số f (x) = ax5 + bx3 + cx , (a  0,b  0) thỏa mãn f (3) = − 7 ; f (9) = 81 . Gọi S là tập 3 hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho max g(x) + min g(x) = 86 với −1;5 −1;5 g(x) = f (1 − 2x) + 2. f (x + 4) + m . Tổng của tất cả các phần tử của S bằng A. 11 . B. −80 . C. −148 . D. −74 .  LỜI GIẢI và f (x) = 5ax4 + 3bx2 + c . Chọn D Ta có: f (x) = ax5 + bx3 + cx , (a  0,b  0) là hàm số lẻ trên Khi đó: g(x) = −2 f (1 − 2x) + 2 f (x + 4) = −2 5a (1 − 2x )4 + 3b (1 − 2 x )2 + c  + 2 ( x + 4 ) 5a ( x + 4 )4 + 3b ( x + 4 )2 + c    = 10a ( x + 4)4 − (1 − 2x)4  + 6b ( x + 4)2 − (1 − 2x)2    ( )( )=  2x)2  )2 )2 10a  (x + 4)2 + (1 − (x + 4)2 − (1− 2x)2  + 6b ( x + 4 − (1 − 2x   ( )= 4)2 )2   4)2 2x)2 + 6b 10a (x + − (1− 2 x   (x + + (1 − ( )=  4)2 2x)2 + 6b  0 x  −1; 5 . 30a(1 + x)(5 − x)  (x + + (1− Suy ra hàm số g(x) đồng biến trên đoạn −1; 5 nên ta có: g(−1)  g(x)  g(5)  f (3) + 2 f (3) + m  g(x)  f (−9) + 2 f (9) + m  3 f (3) + m  g(x)  − f (9) + 2 f (9) + m (Do f (x) là hàm số lẻ)  3 f (3) + m  g(x)  f (9) + m  m − 7  g(x)  m + 81 Trường hợp 1: Nếu (m − 7 ) ( m + 81)  0  m  7 (*) thì m  −81 max g(x) + min g(x) = 86  m − 7 + m + 81 = 86 −1;5 −1;5  2m + 74 = 86  m = 6 (loại do (*) ). m = −80 min g(x) = 0 ( )  −1;5 Trường hợp 2: Nếu (m − 7)(m + 81)  0  −81  m  7 (* *) thì m−1a;5x g x = max 7 − m; m + 81 . Khi đó: max g(x) + min g(x) = 86  max7 − m; m + 81 = 86 −1;5 −1;5 Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 116

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 m + 81 = 86 7 − m  m + 81  7m−+m81=876 − m  m = 5 ( thỏa mãn). m = −79 Vậy tổng của tất cả các phần tử của S bằng: 5 + (−79) = −74 . CÂU 6. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn −4; 4 và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. – 4 -3 -2 1 2 3 4 54 03 -2 -5 -6 ( )Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của m  −4; 4 để hàm số g(x) = f x3 + 2x + 3 f (m) có giá trị lớn nhất trên đoạn −1;1 bằng 8? A. 11 . B. 9 . C. 10 . D. 12 .  LỜI GIẢI Chọn A Đặt t = x3 + 2x , với x  −1;1 ta có t(x) = 3x2 + 2  0, x  −1;1 . Do đó, t  −3; 3 . Khi đó, xét hàm số y = f (t) + 3 f (m) trên đoạn −3; 3 , ta có t = −2 y = f (t) ; y = 0  t = 1 . t = 2 Ta có: y(−2) = f (−2) + 3 f (m) = 5 + 3 f (m) ; y(1) = f (1) + 3 f (m) = −6 + 3 f (m) và y(2) = 4 + 3 f (m) . Nhận xét rằng y(1)  y(2)  y(−2) nên max g(x) = y(−2) hoặc max g(x) = y(1) . −1;1 −1;1 Trường hợp 1: Nếu max g(x) = y ( −2 ) thì ta phải có  5 + 3 f (m) = 8  f (m) = 1. Khi đó có 5 giá trị thực của m trên −1;1   −6 + 3f (m)  8 đoạn −4; 4 thỏa yêu cầu bài toán. Trường hợp 2: Nếu max g(x) = y (1) thì ta phải có  5+3f (m)  8  f (m) = − 2 . Khi đó có 6 giá trị thực của m trên  −6 + 3 f (m) = 8 −1;1  3 đoạn −4; 4 thỏa yêu cầu bài toán. Vậy có tất cả 11 giá trị thực của m trên đoạn −4; 4 thỏa yêu cầu bài toán. CÂU 7. Có bao nhiêu số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 − 2x + m + 4x bằng −1 A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1 .  LỜI GIẢI Chọn D Trường hợp 1: Nếu x2 − 2x + m  0,x     0  1− m  0  m  1 117 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Khi đó, ta có hàm số : y = x2 + 2x + m Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng y(−1) = m − 1  m − 1 = −1  m = 0 không thỏa mãn. Trường hợp 2: Nếu x2 − 2x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt    0  m  1  x1 = 1 − 1 − m x1 = 1 + 1 − m Đặt f (x) = x2 + 2x + m ; g(x) = −x2 + 6x − m ( ) Ta có Miny = min f (x); g(x) = f (−1) = m − 1 hoặc f 1 − 1 − m = 4 − 4 1 − m .  Miny = min −1  1− 1 − m  m = 0 thỏa mãn. f (x);g(x) = f (−1)   m − 1 = −1  Miny = min 1 − 1 − m  −1 m  −3 f (x);g(x) =4−4 1− m     = −9  m 4 − 4 1 − m = −1 m 16 Trường hợp 3: Nếu x2 − 2x + m  0,x  , không xảy ra vì hệ số a = 1  0 Vậy chỉ có m = 0 thỏa mãn bài toán.tance CÂU 8. Cho hàm số f (x) = x2 − 2x − 1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f 2 (x) − 2 f (x) + m trên đoạn −1; 3 bằng 8. A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 2 .  LỜI GIẢI Chọn D Xét bảng biến thiên của hàm số f (x) = x2 − 2x − 1 Nhìn vào bảng biến thiên của hàm số f (x) = x2 − 2x − 1 ta thấy x  −1; 3  f (x)  −2; 2 Đặt t = f (x) , t  −2; 2 .S Khi đó hàm số g(x) = f 2 (x) − 2 f (x) + m trở thành g(t) = t2 − 2t + m Đặt u = t2 − 2t . Ta có bảng biến thiên: Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra −1  u  8 ,t  −2; 2  Bài toán trở thành tìm Max u + m . Ta có: Max u + m = Max −1 + m , 8 + m −1;8 −1;8 −1;8 Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 118

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Trường hợp 1: −1 + m  8+ m  m  −63 . Khi đó Max u+ m = −1 + m = 8  m = 9  m = −7 . 18 m = −7 −1;8 Trường hợp 2: −1 + m  8 + m  m  − 63 . Khi đó Max u + m = m + 8 = 8  m = 0  m = 0 . 18 m = −16 −1;8 Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. ( )CÂU 9. Gọi  là giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x4 − 2mx3 + m2 + 1 x2 − 2mx − m2 + 2m . Khi tham số m = m0 thì  đạt giá trị lớn nhất bằng max . Giá trị của biểu thức T = m0 + max bằng A. 2 . B. 0 . C. −4 . D. 1 .  LỜI GIẢI Chọn D Ta thấy f  1  = − 3 m2 + 3m+ 5 = 1 − 3  m − 1 2  1 . Dấu bằng xảy ra khi m= 1.  2  4 4 16 2 4  2  2 2 Gọi  là giá trị nhỏ nhất của f (x) . Khi đó   f  1  = 1 (1).  2  2   Ta chứng tỏ rằng dấu bằng ở (1) xảy ra, tức là tồn tại m để  = 1 . 2 Thật vậy, khi m = 1 , ta có hàm số y = x4 − x3 + 5 x2 − x + 3 . 2 44 Khi đó y = 4x3 − 3x2 + 5 x − 1 và y = 0  x = 1 . 22 Bảng biến thiên của hàm số này là Qua bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 1 . 22 Vậy, giá trị nhỏ nhất  của f (x) đạt giá trị lớn nhất  max = 1 khi m = m0 = 1 . 2 2 Do đó T = m0 + max = 1 . CÂU 10. Cho hàm số y = x − 2m2 − m . Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để x−1 max y = 2 max y − 4 . Tập S tương ứng là 2;3 4;5 A. 1 . B.  . C. (0;1) . D.  1 ; 1  .  2    LỜI GIẢI Chọn B Tập xác định: D = (−;1)  (1; +) . Ta có: y = 2m2 + m − 1 = (2m − 1)(m + 1) (x − 1)2 . (x − 1)2 m = −1 Trường hợp 1:   Hàm số đã cho trở thành y = 1  max y = 1; max y = 1  max y  2 max y − 4. m = 1 2 2;3 4;5 2;3 4;5 119 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . Trường hợp 2: −1  m  1  y  0  Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. 2  Hàm số nghịch biến trên các khoảng (2; 3) ,(4; 5)  = 2 − 2m2 − m = −2m2 − m + 2 ( )max y = y 2 1  2;3 4   = 4 − 2m2 − m 3 ( )m4;a5x y = y  max y = 2 max y − 4  −2m2 − m + 2 = 2 4 − 2m2 − m − 4 2;3 4;5 3 m = 2(L) −6m2 4m2 2m2   − 3m + 6 = −4 − − 2m  + m − 10 = 0  m = −5 (L). 2 Trường hợp 3: m  1  y  0  Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.  2 m  −1  Hàm số đồng biến trên các khoảng (2; 3) ,(4; 5) .  3 − 2m2 − m ( )max y = y 3 = 2  2;3 5 3 − 2m2 − m 5 − 2m2 − m    max y = 2 max y − 4  = − 4 = 5 − 2m2 − m 2;3 4;5 22 ( )m4;a5x y = y 4  0 = −3 (Vô lý). Vậy không có giá trị m để max y = 2 max y − 4 .stance 2;3 4;5 CÂU 11. Cho hàm số y = f (3 − 2x) có bảng biến thiên như hình vẽ x – ∞ 3/2 2 5 +∞ y4 6 1 –∞ –∞ Có bao nhiêu số tự nhiên m để hàm số g(x) = 2 f (x2 − 4x + 3) − m có giá trị lớn nhất? A. 1 . B. 3 . C. 4 . D. 2 .  LỜI GIẢI Chọn B Đặt t = 3 − 2x , ta có: Bảng biến thiên của hàm số y = f (t) cũng là bảng biến thiên của hàm số y = f (x) . Bảng biến thiên của hàm số y = f (x) . Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 120

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Ta có: u = x2 − 4x + 3 = (x − 2)2 − 1  −1  u  −1; +) . Từ bảng biến thiên của f (x)  f (u) (−2; 4  2 f (u) (−4;8  −4 − m  2 f (u) − m  8 − m Đặt g(u) = 2 f (u) − m Để g(u) có giá trị lớn nhất thì 8 − m  0  m2.   m + 4 8 − m Vì m là số tự nhiên  m 0;1; 2 . CÂU 12. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới với m là tham số thực. ( )Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f (3x − m) + 2 f x2 − 2x đạt giá trị lớn nhất. Tổng giá trị tất cả các phần tử thuộc tập S bằng A. −2 . B. 0 . C. 6 . D. 3 .  LỜI GIẢI Chọn B Nhận thấy, max f (x) = f (3) = 4  f (x)  f (3) = 4 với x  .  f (3x − m)  f (3) = 4  x2 − 2x  f (3) = 4 ( )  ( )Ta f có:  f (3x − m) + 2 f x2 − 2x  4 + 2.4 = 12 . 3x − m = 3 m = 3x − 3 x2 − 2x = 3 x Dấu bằng xảy ra khi  x = −1  m = −6;6 = 3 Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử thuộc tập S bằng 0 . CÂU 13. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m  −100;100 để hàm số y = x2 − 4x − mx có giá trị nhỏ nhất nhỏ hơn −4 . Số phần tử của tập S bằng A. 191 . B. 186 . C. 192 . D. 187 .  LỜI GIẢI 121 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ). Chọn A ( )Ta có: x2 − 4x − mx  min x2 − 4x − mx  −4,x   mx  x2 − 4x + 4 (đúng với mọi x  Với x = 0  0  1 (thỏa mãn) Với x  0 , ta chia các trường hợp như sau: x  0 x2 − 4x + 4 mx 0x − 4 + 4 mx  x x  4 x2 − 4x + 4 x  4   4  m 4  m  −8  −8  m  1(*) mx x −x2 + 4x + 4  x − 4 + x m  1 0mx  m  1 0mx−x 4 4 + 4 + x Lấy phần bù trên của điều kiện (*) ta được: ( )Để min m  −8 ⎯m⎯ ⎯; m⎯−⎯100⎯;100⎯→ −100  m  −9 x2 − 4x − mx  −4 thì m  1 2  m  100 Vậy có tất cả 191 giá trị nguyên m thỏa mãn điều kiện. CÂU 14. Cho hàm số f (x) = x3 − 3mx . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  −20; 20 để hàm số f (x) tồn tại giá trị nhỏ nhất trên 1; 3) ? A. 30 . B. 29 . C. 31 . D. 28 .  LỜI GIẢI Chọn A Đạo hàm f (x) = 3x2 − 3m ( )Nếu m  0 thì hàm số có điểm cực tiểu là x = m và f m = −2m m . Để hàm số f (x) = x3 − 3mx tồn tại giá trị nhỏ nhất trên 1; 3) thì xảy ra các trường hợp sau: Trường hợp 1: f (1)  f (3)  1 − 3m  27 − 9m  m  13 . 3 Trường hợp 2: f (1)  f (3)  1 − 3m  27 − 9m  m  13 . 3 Khi đó hàm số f (x) phải có điểm cực tiểu nằm trong (1; 3) và giá trị cực tiểu tương ứng phải nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tại f (3) .  m (1; 3)  1  m 9  3  m  9  m  f (3)  m ra:  −2m . ( )Suy f 27 − 9m Kết hợp điều kiện m  13  13  m  9 ⎯m⎯ ⎯;m⎯−⎯20;⎯20⎯→−20  m  8 . 33 Vậy có tất cả 29 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn. Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 122

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = (x + 1)(x − 1)2 (x − 2) . Giá trị nhỏ nhất của hàm số Câu 2: Câu 3: g(x) = f (x)+ 1 x3 −x−2 trên đoạn −1; 2 bằng Câu 4: 3 A. f (2) − 4 . B. f (1) − 8 . C. f (0) − 2 . D. f (−1) − 4 . 3 3 3 Cho hàm số y= x+m ( m là tham số thực). Gọi m0 là giá trị của m thỏa mãn min y = 3 . x−1 2;4 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m0  −1. B. m0  4. C. 1  m0  3. D. 3  m0  4. ( )Cho hàm số f (x) = 10x + x và hàm số g(x) = x3 − mx2 + m2 + 1 x − 2 . Gọi M là giá trị lớn ( )nhất của hàm số g x + f (x) trên đoạn 0;1 . Khi M đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của tham số m bằng A. 21 . B. 6 . C. 21 . D. 5 . 2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên và hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Trên ( )−2; 4 , gọi  x 1 x0 là điểm mà tại đó hàm số g(x) = f  2 + − ln x2 + 8x + 16 đạt giá trị lớn nhất. Khi đó x0 thuộc khoảng nào? A.  1 ; 2  B.  −1; 1  C.  −1; − 1  D.  2; 5   2   2   2   2  Câu 5: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f (x) là đường cong trong hình vẽ. 123 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f (2x + 1) − 4x − 3 trên đoạn −1; 1  bằng 2  A. f (0) . B. f (−1) + 1. C. f (1) − 3 . D. f (2) − 5 . Câu 6: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Giá trị lớn nhất của hàm số ( )g(x) = f + 1 x3 − 3x2 + 8x + 1 4x − x2 33 trên đoạn 1; 3 bằng A. 12 . B. 10 . C. 4 . D. 7 . 3 3 Câu 7: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ ( )Đặt g(x) = x2 − 4x + f x2 − 4x + 8 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên 0; 4 là A. 10 2 − 4 . B. 10 2 − 1 . C. 10 2 . D. 8 2 − 4 . Câu 8: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y = f (x) = −3x2 + 6x . Biết f (0) = −1 , giá trị lớn nhất của Câu 9: ( )hàm số g(x) = f −3; 1  x2 − 3x + 2 + 2022 trên đoạn 2  bằng A. f  21  + 2022 . B. 2024 . C. 2025 . D. f  3  + 2022 .  16   2  Cho hàm số y = f (x) , đồ thị của hàm số y = f (x) là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f (3x) + 3x2 − 4x + 1 trên đoạn − 2 ; 2  bằng 3 3  Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 124

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 A. f (0) + 1 . B. f (6) . C. f (2) − 1 . D. f (−3) + 8 . 3 Câu 10: Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên . Hàm số f (x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây. Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f (2x2 + x) − 2x2 −x trên đoạn −1; 1  là 2  A. f (1) + 1 . B. f  1  − 1 . C. f (−3) + 3 . D. f  − 1  + 1 .  8  8  8  8 Câu 11: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn −2; 4 . Giá trị của M 2 + m2 bằng A. 52. B. 2. C. 40. D. 20. 125 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu 12: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( )g(x) = f + 1 x3 − 3x2 + 8x + 1 4x − x2 33 trên đoạn 1; 3 . A. 15. B. 25 . C. 19 . D. 12. 3 3 Câu 13: Cho hàm số bậc ba y = f (x) có bảng biến thiên của hàm số g(x) = f (x − 1) + 2 như sau ( )Giá trị lớn nhất của hàm số y = f − 3 sin x − cos x + 2 + 2cos 2x + 4sin x − 1 là: A. 2. B. 4. C. −9. D. −2. Câu 14: Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên trên đoạn −4; 4 như sau Có bao nhiêu giá trị của tham số m  −3; 2 để giá trị lớn nhất của hàm số ( )g(x) = f (m) 11 x3 + 3 x + f trên đoạn  −1; 1 bằng 2 . A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. Vô số. Câu 15: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn f (−6) = 42 và bảng xét dấu đạo hàm như ( )Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f − 3x4 + 12x2 −15 + 2x6 + 6x4 − 48x2 trên đoạn −1;1 bằng A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. Câu 16: Cho các số thực x, y thỏa mãn x 1 − y2 + y 1 − x2 = 1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 126

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của K = 2(x + y) + m bằng 2 . Tích các phần tử của S bằng A. −2 − 2 2 . B. 2 + 2 2 . C. 2 − 2 2 . D. −2 + 2 2 . Câu 17: Cho x và y là các số thực dương thỏa x + y = 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4 + 1 4 x 4y A. 5 . B. 4 . C. 34 . D. 28 . 5 5 ( )Câu 18: Cho các số thực dương a,b thỏa mãn 2 a2 + b2 + ab = (a + b)(ab + 2) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4  a3 + b3  − 9  a2 + b2  thuộc khoảng nào?  b3 a3   b2 a2  A. ( − 6 ; − 5) . B. ( − 10 ; − 9) . C. ( − 11 ; − 9) . D. ( − 5 ; − 4) . Câu 19: Cho Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m không vượt quá 2022 để bất phương trình f m − mf (x) −1 3 f 2 (x) đúng với mọi x  −2; 3 ? 4 (x) A. 1875 . B. 1872 . C. 1874 . D. 1873 . Câu 20: Cho hàm số y = g (x) thỏa mãn 2g3 (x) − 6g2 (x) + 7g(x) = 3 − (2x − 3) 1 − x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2g(x) + x A. 6 . B. 0 . C. 1 . D. 4 . Câu 21: Cho hàm số f (x) = 2 x + 1 + m với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên x+1+1 dương của m để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn −1;8 nhỏ hơn 3 . Số phần tử của tập S là: A. 1 . B. 3 . C. 0 . D. 2 . Câu 22: Cho hàm số y = 2x + m . Biết min y + 3max y = 10 . Chọn khẳng định đúng x+1 0;2 0;2 A. m (1; 3) . B. m  3; 5) . C. m (5;7) . D. m  7;9) . Câu 23: Hàm số y = f (x) có đạo hàm trên đoạn −4; 4 , có các điểm cực trị trên khoảng (−4; 4) là 127 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số −3; − 4 ;0; 2 và có đồ thị như hình vẽ. 3 ( )Đặt g(x) = f ( )+ m x3 + 3x với m là tham số. Gọi m1 là giá trị của m để max g x = 2022 , x0; 1 ( )m2 bằng là giá trị của m để min g x = 2004 . Giá trị của m1 − m2 x−1; 0 A. 12. B. 13. C. 11. D. 14. Câu 24: Cho hàm số y = x + m với m là tham số thực, thoả mãn : min y + max y = 17 . Mệnh đề nào x+1 1;2 1;2 6 dưới đây đúng? A. m  0 . B. 2  m  4 . C. m  4 . D. 0  m  2 . Câu 25: Biết rằng các số thực a,b thay đổi sao cho hàm số f (x) = −x3 + (x + a)3 + (x + b)3 luôn đồng biến trên khoảng (−; +) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + b2 − 4a − 4b + 2 . A. −2 . B. −4 . C. 2 . D. 0 . Câu 26: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = 2x − m x+1 trên đoạn 0; 2 bằng 2 . Tổng các phần tử của S bằng A. 0. B. –1. C. 1. D. 2. Câu 27: Cho hàm số f (x) = m. x − 1 ,. Gọi m1; m2 là hai giá trị của m thỏa mãn min f (x) + max f (x) = m2 −1. Giá trị của m1 + m2 bằng 2;5 2;5 A. 5. B. −3. C. 1. D. 3. Câu 28: Cho hàm số y = x4 − 4x3 + 4x2 + a . Có bao nhiêu số thực a để max y + min y = 11 2 ,3 2 ,3 A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . Câu 29: Cho hàm số f (x) = x − 2m . Gọi S là tập hợp các giá trị m nguyên sao cho min f (7 sin x) = 0 x+1 0;2   . Tổng các phần tử của S bằng A. 10 . B. 3 . C. 15 . D. 6 . Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 128

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Câu 30: Cho biết hàm số y = f (x) = x2 − 4x − 1 + m có giá trị lớn nhất bằng 3 khi x  0; 3 . Số các giá trị của tham số m thỏa mãn là A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . Câu 31: Cho hàm số f (x) = x − m2 trên 0; 3 có giá trị lớn nhất bằng 5. Tích các giá trị của m bằng x+1 A. −5 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Câu 32: Tìm tổng các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − x2 + 6x + 9 − m trên đoạn 0;1 bằng 5 . B. 10 . C. 14 . D. 5 . A. 24 . Câu 33: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 1 x4 + 1 43 ( )f (x) = x3 − m2x2 + m m2 − 2 trên đoạn 0; 2 luôn bé hơn hoặc bằng 5? A. 0. B. 4. C. 7. D. 8. Câu 34: Cho hàm số f (x) = x6 + x3 + m − 2x3 . Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) bằng 1 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 1 . B. 5 . C. 2 . D. 0 . 4 4 Câu 35: Cho hàm số f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + m . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn. −1; 3 . Giá trị nhỏ nhất của M bằng A. 57 . B. 59 . C. 5 . D. 16 . 2 2 2 Câu 36: Cho hàm số f (x) = −x3 + 3x và g(x) = f (2 + sin x) + m ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để max g(x) + min g(x) = 50 ? A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Câu 37: Cho hàm số f (x) = 4x4 − ax2 + b , trong đó a, b là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên đoạn −1;1 bằng 1 . Tính a+b. 2 A. 1 . B. 4. C. 7 . D. 9 . 22 2 Câu 38: Gọi S là tập các giá trị của tham số m để hàm số f (x) = x2 − 4x + m − 1 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn −1; 3 bằng 4. Tổng các phần tử của tập S bằng A. 0 . B. 5 . C. 1 . D. 8 . Câu 39: Cho hàm số f (x) = 4x4 − ax2 + b , trong đó a, b là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên đoạn −1;1 bằng 1 . Tính a+b. 2 129 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số D. 9 . A. 1 . B. 4. C. 7 . 2 22 Câu 40: Tổng các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = 3x4 − 4x3 − 6mx2 +12mx + m trên đoạn 1; 2 bằng 18. A. − 17 . B. − 3 . C. 3. D. 2. 7 7 Câu 41: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) = 2x3 − 12x2 + 9x + m + 8 + 9x (với m là tham số) trên đoạn 0; 5 bằng 78. Tính tổng các giá trị của tham số m ? A. 6 . B. 12 . C. 7 . D. 8 . Câu 42: Cho hàm số y= x2 − 2mx + 1 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  −10;10 để x2 − x + 2 giá trị lớn nhất của hàm số lớn hơn hoặc bằng 4. A. 14 B. 10 C. 20 D. 18 Câu 43: Cho hàm số y = f (x) đồ thị như hình vẽ Đặt g(x) = f (x) −  1+ 2m − 1− 2m  . Với giá trị nào của m thì giá trị nhỏ nhất 1 − 2 x + f  22  của hàm số g(x) là 0 . A. Không tồn tại. B. 0 . C. 1 . D. − 1 . 2 2 Câu 44: Cho hàm số f (x) = x4 − 2x2 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = f (cos x + 1) + m đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của S bằng A. 4 . B. −7 . C. − 7 . D. 6 . 2 Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 130

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Câu 45: Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. y 2 3x -1 O1 -2 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn −10 ;0 sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm g(x) = 2 f (x) + m − 4 + f (x) − 3 trên đoạn −1; 3 lớn hơn 1 ? A. 9 . B. 8 . C. 10 . D. 6 . Câu 46: Tổng các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 3x + m trên đoạn 0; 2 bằng 5 là bao nhiêu? A. 6 . B. 0 . C. 8 . D. 10 . Câu 47: Cho các số thực x,y thoả mãn max5;9x + 7y − 20  x2 + y2  2x + 8 .Gọi M, m lần lượt là  y  1 giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x − 2y . Tính M − m A. 1 + 3 5 . B. 2 2 . C. 1 + 2 2 . D. 2 + 3 5 . Câu 48: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn (x + y)3 + 4xy  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( )A = 5 x4 + y4 + x2y2 − 4 x2 + y2 + 2 bằng A. 14 . B. 15 . C. 14 . D. −14 . 16 15 Câu 49: Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x + y = 1. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của ( )( )biểu thức S = 4x2 + 3y 4y2 + 3x + 25xy lần lượt là A. M = 25 , m = 12. B. M = 12, m = 191. C. M = 25 , m = 191. D. M = 25 , m = 0. 2 16 2 16 2 Câu 50: Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn 4x3 + x = 2y + 1 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức y+1 S = 8x − y + 3 . B. 7 . C. 9 . D. 10 . 2 A. 4 . Câu 51: Cho các số thực x, y, z không đồng thời bằng 0 thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2  3 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy − yz − zx − x2 2022 z2 là + y2 + A. 1 . B. 3 . C. 669 . D. −671 . 131 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn B Ta có g(x) = f (x) + x2 − 1. ( )( )Khi đó: g(x) = 0  (x + 1)(x − 1)2 (x − 2) + x2 − 1 = 0  x2 − 1 x2 − 3x + 3 = 0  x = 1. Do phương trình x2 − 3x + 3 = 0 vô nghiệm. Bảng biến thiên: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và giá trị nhỏ nhất bằng g(1) = f (1) − 8 . 3 Câu 2: Chọn B Câu 3: Câu 4: Ta có: y = −m −1 . Với x  1. (x − 1)2 Nếu −m − 1  0  m  −1  y  0  hàm số đã cho đồng biến trên 2; 4  min y = y(2) = m + 2 . 2;4 Theo giả thiết: m + 2 = 3  m = 1 ( loại). Nếu −m − 1  0  m  −1  y  0  hàm số đã cho nghịch biến trên 2; 4  min y = y(4) = 4 + m . 2;4 3 Theo giả thiết: m + 4 = 3  m = 5 . Vậy m0 = 5. 3 Chọn B Đặt t = x + f (x) vì x  0;1  t  1;12 . ( )Xét g(t) = t3 − mt2 + m2 + 1 t − 2 trên 1;12 ( ) g'(t) = 3t2 − 2mt + m2 + 1 có ' = m2 − 3 m2 + 1 = −2m2 − 3  0 m .  g'(t)  0t  1;12  y = g(t) đồng biến trên 1;12 . Vậy M = max g(t) = g(12) = 12m2 − 144m + 1738 . t1;12  M đạt giá trị nhỏ nhất khi m = 144 = 6 . 2.12 Chọn B Ta có: g(x) = 1 f  x + 1 − x2 2x + 8 = 1 f  x + 1 − 2 . 2 2 + 8x + 16 2 2 x+4 Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 132

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023  x 1 4 x +1, ; khi đó: (1)  f (t) = 2 .  2  x+4 2 ( )g(x) = 0  t+1 f + = (1). Đặt t= t  0; 3 Ta có đồ thị biểu diễn sự tương giao của hai đồ thị là: Dựa vào đồ thị ta có GTLN của g(x) là tại g(1) hoặc g(3) . a  2  ( t ) 3  2  2ln t + 1 − f (t) a  3 1  + a  + 1 1 a   ( ) ( )Ta thấy: (t ) t 1 − f dt  f − t dt  f (t) − 2ln t + 1  2ln(a + 1) − f (a) − 2ln 2 + f (1)  f (3) − 4ln 2 − f (a) + 2ln (a + 1)  f (1) − f (3) + 2ln 2  0 (*) ( )Xét  x 1 g(1) = f (1) − 4ln 2 g(3) = f (3) − 8ln 2 . g(x) = f  2 + − ln x2 + 8x + 16 , khi đó: và  g(1) − g(3) = f (1) − f (3) + 4ln 2 , từ (*) ta suy ra  g(1) − g(3)  0  g(1)  g(3) . Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại t = 1  x = 0 . Câu 5: Chọn C Xét hàm số g(x) = f (2x + 1) − 4x − 3 trên đoạn −1; 1  , ta có g(x) = 2 f (2x + 1) − 4 . 2   2x + 1 = −1 x = −1 Suy ra g(x) = 0  f (2x + 1) = 2  2x + 1 = 1  x = 0 . 2x + 1 = 2  x = 1 2 Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) = f (2x + 1) − 4x − 3 trên đoạn −1; 1  như sau: 2  Vậy min g(x) = g(0) = f (1) − 3 . −1; 1  2  133 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu 6: Chọn D ( )Ta có: g(x) = (4 − 2x) f  4x − x2 + x2 − 6x + 8 ( ) ( )= 2(2 − x) f  4x − x2 + (x − 4)(x − 2) = (2 − x) 2 f  4x − x2 + 4 − x . ( )Ta thấy 3  4x − x2  4 , x  1; 3  f  4x − x2  0 . Hơn nữa, 4 − x  0,x  1; 3 . ( )Suy ra 2 f  4x − x2 + 4 − x  0 . Do đó, g(x) = 0  x = 2 Bảng biến thiên Vậy max g(x) = g(2) = f (4) + 7 = 0 + 7 = 7 . 1;3 Câu 7: Chọn A Đặt y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d  f (x) = 3ax2 + 2bx + c . Từ đồ thị hàm số y = f (x) , ta có f (0) = −1  d = −1 , suy ra f (x) = ax3 + bx2 + cx − 1 . Ta cũng có  f (−1) = 1  −a + b − c = 2 a = 1 .  f (1) = −3 a + b + c = −2  b = 0   3a + 2b + c = 0 c = −3  f (1) = 0 Như vậy y = f (x) = x3 − 3x − 1 . Đặt t = x2 − 4x + 8  t2 = x2 − 4x + 8 , x  0; 4 . Ta có bảng biến thiên Suy ra 4  t2  8  2  t  2 2 . Hàm số g(x) thành h(t) = t2 − 8 + f (t) . Xét hàm số h(t) = t2 − 8 + f (t) trên 2; 2 2  . Ta có: h ( t ) = 2t + f (t)  0, t  2; 2 2  , (vì   từ đồ thị của hàm số f (t) suy ra f (t)  0, t  2; 2 2  ).  Như vậy hàm số h(t) = t2 − 8 + f (t) đồng biến trên 2; 2 2  , suy ra  ( )min h(t) = h(2) = 4 − 8 + f (2) = −3 = min g(x); max h(t) = h 2 2 = 10 2 − 1 =max g(x) 2; 2 2  0; 4 2; 2 2  0; 4   Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên 0; 4 là: 10 2 − 4 . Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 134

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Câu 8: Chọn C Hàm số y = f (x) có đạo hàm y = f (x) = −3x2 + 6x và f (0) = −1 nên hàm số: y= f (x) = −x3 + 3x2 − 1. Cho f (x) = 0  x = 0 x = 2 Bảng biến thiên:  = 3  −3; 1 x 2 2    x = 1 −3; 1   2  2x − 3 = 0   ( )Xét:  x −3; 1 g(x) = (2x − 3). f  x2 − 3x + 2 = 0  x2 − 3x + 2 = 0   = 2  −3; 2  − 3x + 2 = 2  = 0  1  x2 x 2     = 3  −3; 1  x 2   Bảng biến thiên của hàm số y= g(x) trên đoạn −3; 1  là: 2  Suy ra: max g(x) = g(0) = f (2) + 2022 = 2025 . −3; 1  2  Câu 9: Chọn C Xét hàm số g(x) = f (3x) + 3x2 − 4x + 1 trên đoạn − 2 ; 2  . 3 3  Đạo hàm g(x) = 3 f (3x) + 6x − 4 . Cho g(x) = 0  3 f (3x) = −6x + 4 . Đặt t = 3x . Vì x  − 2 ; 2  nên t  −2; 2 khi đó phương trình trở thành: f (t) = − 2t + 4 (*). 3 3  33 135 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Theo đồ thị có (*)  t = −1  x = −1 . t = 2  = 3 x 2 3 Bảng biến thiên hàm số y= g(x) trên đoạn − 2 ; 2  3 3  ( ) ( )Vậy min g x = g  2  = f 2 −1. − 2 2   3  3 3 ; 3  Câu 10: Chọn D Vì hàm số f (x) liên tục trên nên hàm số g(x) = f (2x2 + x) − 2x2 −x liên tục trên −1; 1  . 2  Ta có: g(x) = (4x + 1) f (2x2 + x) − (4x + 1) = ( 4 x + 1)  f (2 x2 + x) − 1  4x + 1 = 0 x = − 1  4  4x + 1 = 0 2 x2 + x = −2 ( vo nghiem) x = 0; x = − 1 (nghiem kep)  = 2 Cho g(x) = 0   f (2x2 + x) = 1  2x2 + x = 0(nghiem kep)  x  1 ; x = −1 2x2 + x = 1 2 2x2 + x = 3  x = 1; x = − 3 2 Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 136

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f (2x2 + x) − 2x2 − x trên đoạn −1; 1  là g  − 1  = f  − 1  + 1. 2  4   8  8 Câu 11: Chọn A Từ đồ thị của hàm số y = f (x) ta thấy −4  y  6 khi −2  x  4 . Do đó M = max f (x) = 6 tại x = 2 và m = min f (x) = −4 tại x = 0 . −2; 4 −2; 4  M2 + m2 = 62 + (−4)2 = 52 . Câu 12: Chọn D ( )Ta có g(x) = f 4x − x2 + 1 x3 − 3x2 + 8x + 1 33 ( ) ( )Đạo hàm g(x) = (4 − 2x) f  4x − x2 + x2 − 6x + 8 = (2 − x) 2 f  4x − x2 + 4 − x . Với x  1; 3 thì 4 − x  0 ; 3  4x − x2  4 nên dựa vào bảng biến thiên ta suy ra ( ) ( )f  4x − x2  0 . Vậy: 2 f  4x − x2 + 4 − x  0 , x  1; 3 . ( )Bảng biến thiên của hàm số g(x) = f + 1 x3 − 3x2 + 8x + 1 4x − x2 33 trên đoạn 1; 3 Suy ra max g(x) = g(2) = f (4) + 7 = 12 . 1; 3 Câu 13: Chọn B Bằng cách đổi biến ta rút được f (x) = g(x + 1) − 2 . Suy ra bảng biến thiên của hàm số f (x) là: 137 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Đặt t = 3 sin x − cos x = 2 sin x −   , ta có 0  sin  x −   1 t  0; 2  −t + 2  0; 2 6   6  ( )Suy ra f − 3 sin x − cos x + 2 = f (−t + 2)  2 , dấu \" = \" xảy ra được khi x =  . 6 Ta có ( )2cos 2x + 4sin x − 1 = 2 1 − 2sin2 x + 4sin x − 1 = −4sin2 x + 4sin x + 1 = −(2sin x − 1)2 + 2  2 Dấu \" = \" xảy ra được khi x =  . 6 ( )Suy ra y = f − 3 sin x − cos x + 2 + 2cos 2x + 4sin x − 1  4 , dấu \" = \" xảy ra được khi x =  . 6 ( )Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = f − 3 sin x − cos x + 2 + 2cos 2x + 4sin x − 1 là 4. Từ đồ thị ta có: −7  m  1 . Vậy S = −6; −5; −4; −3; −2; −1;0 Câu 14: Chọn A Đặt t = x3 + 3 x . Xét hàm số h(x) = x3 + 3x , x  −1;1 có đạo hàm h(x) = 3x2 + 3  0 , x  −1;1 . ( )Bảng biến thiên của t = h x ( )Vậy t  0; 4  max f t =3. t0;4 Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 138

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 m = a ; a  (−4; −3)  m = b ; b  (−3; −1) Mặt khác max g(x) = 11  max f (t) + f (m) = 11  f ( m) = 5  m = c ; c  (−1;0) . x−1;1 2 t0;4 2 2 m = d ; d  (0; 2) Vì m  −3; 2 nên có tất cả 3 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 15: Chọn D ( )Đặt y = g(x) = f − 3x4 + 12x2 − 15 + 2x6 + 6x4 − 48x2 ( ) ( )g(x) = −12x3 + 24x f  −3x4 + 12x2 −15 + 12x5 + 24x3 −96x ( ) ( ) ( )( )= − 12x x2 − 2 f  −3x4 + 12x2 −15 + 12x x2 − 2 x2 + 4 ( ) ( ) ( )= −12x   x2 − 2  f  − 3x4 + 12x2 −15 − x2 + 4  . ( )Vì 2 − 3x4 + 12x2 −15 = −3 x2 − 2 − 3  −3 ( ) ( ) ( ) f  −3x4 + 12x2 −15  0  f  − 3x4 + 12x2 −15 − x2 + 4  0 x = 0   g(x) = 0  12x3 − 24x = 0  x = 2 . x = − 2 Bảng biến thiên: Ta có min g(x) = g(−1) = g(1) = f (−6) − 40 = 2 . Câu 16: Chọn B Điều kiện: x, y  −1;1. Đặt x = sin ; y = sin  với  ,   −  ;   . 2 2  Giả thiết  sin.cos + cos.sin  = 1  sin( +  ) = 1   +  =  và  ,  0;   . 2  2 Khi đó 2(x + y) + m = 2(sin + cos ) + m = 2 2 sin  +   + m  2 + m; 2 2 + m.  4    ( )Kmax =  m +2 = 2 2  m = −2 − 2 2 2+ m  2 m = − 2 2 x+y + m = max m+2; 2 2+m = 2   2 2 + m = max   m + 2  2 139 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )( )Vậy tích của các phần tử của S là −2 − 2 − 2 = 2 + 2 2. Câu 17: Chọn A Cách 1: Ta có: x + y = 5  y = 5 − x . Vì x, y  0 nên 0  x  5 . 44 4 Khi đó, P = 4 + 1 = 4 − 1 . x 4  5  x 4x − 5 4 − x  Đặt f (x) = 4 − 1 , x   0 ; 5  , f (x) = − 4 + (4x 4 5)2 ,  4  x2 − x 4x − 5   f (x) = 0  (4x − 5)2 = x2  15x2 − 40x + 25 = 0  x = 1 x = 5 (loại) 3 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra min f (x) = 5 khi x = 1 . x 5   0 ; 4   Vậy Pmin =5 khi x=1 và y= 1 . 4 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Schwarz (bất đẳng thức cộng mẫu số) a1 + a2 + ... + an 2 . b1 + b2 + ... + bn ( )Cho b1 ,b2 ,...,bn  0 , ta có: a12 + a22 + ... + an2  b1 b2 bn Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = ... = an . b1 b2 bn Với x  0,4y  0 , áp dụng bất đẳng thức trên ta được: P=4+ 1 22  1 2  2 + 1 2 (vì x + y = 5 )  2   2  = +  =5 x 4y x y x+y 4 1 Đẳng thức xảy ra khi 2 = 2  x = 4y hay x = 1, y = 1 . xy 4 Câu 18: Chọn A ( )Vì a,b dương nên từ giả thiết 2 a2 + b2 + ab = (a + b)(ab + 2) , ta chia hai vế cho ab ( )2  a b  2  1 1  a2 + b2 + ab = (a + b)(ab + 2)  2  b + a  + 1 = (a + b) +  a + b  .    Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 140

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si cho hai số dương (a + b) và 2  1 + 1  :  a b   (a + b) + 2  1 + 1   2 (a + b).2  1 + 1  = 2 2  a + b + 2  .  a b   a b   b a  Dấu \" = \" xảy ra khi (a + b) = 2  1 + 1  .  a b  Suy ra 2  a + b  + 1  2 2  a + b + 2  . Đặt t = a + b ,(t  0).  b a   b a  b a    t  5 . Do đó, ta có điều kiện t  5 .  2 Khi đó: 2t + 1  2 2(t + 2)  4t2 − 4t − 15  0  3 2 t  − 2 Mặt khác: P = 4  a3 + b3  − 9  a2 + b2  = 4  a + b 3 − 3  a + b  − 9  a + b 2   b3 a3   b2 a2  b a   b a b a  − 2  ( ) ( )= 4 t3 − 3t − 9 t2 − 2 = 4t3 − 9t2 − 12t + 18. Đặt f (t) = 4t3 − 9t2 − 12t + 18  f '(t) = 12t2 − 18t − 12  0,t  5 . 2 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có, Min  f (t) = f 5 = − 23 . t 5   2  4 2 ;+ − 23 a + b = 5 a = 2 4  b a 2 b = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là khi   ba = .  1 1  = 1 (a + b) = 2  a + b  2  Câu 19: Chọn D Điều kiện: mf (x)  0 vì f (x)  0 x  −2; 3  m  0 . Ta có f m − mf (x) − 1  3 f 2 (x)  f m − mf (x) + f 2 (x)  f 2 (x) + 1 4 (x) (x) 4  m − f (x)  f 2 (x)+1   m f (x) 2 f 2 (x)+1   f (x) 2   −    f (x)   f (x) 2  m −  − f 2 (x)+1  2  f (x) 141 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số  m  f 2 (x) + 1 f (x) + 1 f (x) f (x)   2   1  m−  f 2 (x) + 1 f (x) + 2 f (x) f (x)   m  max   f 2 (x) + 1 f (x) + 1 f (x) f ( x )     2       m  min − 1     f 2 (x) + 1 f (x) + 2 f (x) f ( x )      m 4+2 17 x  −2; 3  m 4−2 17 (vo ly)  ( )2  m  4 + 2 17 149,96 . Vì m  2022 . Nên có 2022 − 150 + 1 = 1873 . Câu 20: Chọn D Điều kiện xác định của phương trình là x  1 . Ta có: 2g3 (x) − 6g2 (x) + 7g(x) = 3 − (2x − 3) 1 − x  2g3 (x) − 6g2 (x) + 6g(x) − 2 + g(x) −1 = −(2x − 2) 1− x + 1− x  2(g(x) − 1)3 + g(x) − 1 = 2(1− x) 1− x + 1− x 3 1 − x + 1 − x (1) ( )( ) 2 g(x) − 1 3 + g(x) − 1 = 2 Xét hàm số f (t) = 2t3 + t . Dễ thấy f (t) đồng biến trên . (2) Từ (1) và (2) suy ra g(x) − 1 = 1 − x  g(x) = 1 + 1 − x . Do đó P = 2 + 2 1 − x + x . Ta có P = −1 + 1; P = 0  x = 0 1− x Vậy max P = 4  x = 0. Câu 21: Chọn A Đặt t = x + 1 , khi đó mới mọi x  −1;8  t  0; 3 . Bài toán trở thành tìm m để hàm số f (t) = 2t + m có giá trị lớn nhất trên đoạn 0; 3 nhỏ hơn 3 . Xét f (t ) = 2−m . t+1 (t + 1)2 Trường hợp 1: f (t)  0  m  2 (*) thì hàm số đạt giá trị lớn nhất tại t = 3 . Khi đó Max f (t) = f (3) = 6 + m . Theo bài ra ta có 6 + m  3  m  6 , kết hợp với điều kiện (*) suy ra 0;3 4 4 m  2. Trường hợp 2: f (t)  0  m  2 (* *) thì hàm số đạt giá trị lớn nhất tại t = 0 . Khi đó Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 142

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Max f (t) = f (0) = m . Theo bài ra ta có m  3 , kết hợp với điều kiện (* *) suy ra 2  m  3 . 0;3 Vậy S = 1. Câu 22: Chọn A Ta có y = 2−m (x + 1)2 Trường hợp 1: Nếu 2 − m  0  m  2 thì min y = f (0) = m; max y = f (2) = m + 4 3 0; 2 0; 2 Khi đó min y + 3max y = 10  m + m + 4 = 10  m = 3 ( loại) 0;2 0;2 Trường hợp 2: Nếu 2 − m  0  m  2 thì max y = f (0) = m; min y = f (2) = m + 4 3 0; 2 0; 2 Khi đó min y + 3max y = 10  3m + m + 4 = 10  m = 2,6 ( tm) 0;2 0;2 3 Vậy m = 2,6  (1; 3) . Câu 23: Chọn D ( ) ( )Ta có: g(x) = 3x2 + 3 . f  x3 + 3x x3 + 3x = −3 x  −0,82  x3 4 x ( )Cho x3 + 3x = − 3 x  −0 , 42 g(x) = 0  f  x3 + 3x = 0  x3  x = 0 . + 3x = 0  0,6 + 3x = 2 max g(x) = g(0) = f (0) + m = 2022  m = 2019  ( ) ( ) ( )Vậy: x0;1  x =g −1 =f −4 + m = 2004  m =   m1 − m2 = 2019 − 2005 = 14. min g 2005  x−1; 0 Câu 24: Chọn D \\−1 . Có y = 1−m . TXĐ: D = (x + 1)2 Trường hợp 1: m = 1  y = 1 là hàm hằng và không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trường hợp 2: m  1  Hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định (−; −1) , (−1; +) . min y = y(1) ( ) m11;;a22x y = y 2 ( )min y = y 2  min y + max y = y (2) + y (1) = 2 + m + 1 + m . ( )m11;;a22x y = y 1 1;2 1;2 32 Theo giả thiết: min y + max y = 17  2 + m + 1 + m = 17  4 + 2m + 3 + 3m = 17  5m = 10  m = 2 . 1;2 1;2 6 3 26 143 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu 25: Chọn A Xét hàm số f (x) = −x3 + (x + a)3 + (x + b)3 . Tập xác định: D = . ( )Ta có f (x) = −3x2 + 3(x + a)2 + 3(x + b)2 = 3x2 + 6(a + b) x + 3 a2 + b2 . Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng (−; +)  f (x)  0,x  (−; +) .    0  18ab  0  ab  0 . Với ab  0 ta có P = a2 + b2 − 4a − 4b + 2  a2 + b2 + 2ab − 4a − 4b + 2  P  (a + b)2 − 4a − 4b + 2  P  (a + b − 2)2 − 2  P  −2 Đẳng thức xảy ra khi a + b = 2  a = 0 hoặc a =2 . ab = 0 b = 2 b =0 Vậy minP = −2 khi a = 0 hoặc a = 2 b = 2 b = 0 . Câu 26: Chọn A Đặt f (x) = 2x − m . x+1 Ta có hàm số y= f (x) liên tục trên 0; 2 và có đạo hàm f ( x) = ( m+2 . x + 1)2 Nếu m = −2 thì hàm số f (x) = 2, x  −1. Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn 0; 2 bằng 2 . Do đó m = −2 thỏa mãn yêu cầu bài toán (*) .  ( ) ( ) ( )Nếu m  −2 thì M = max f x = max f 0 ; f 2 = max  m ; m− 4  .  3  x0;2 m m   Phác thảo đồ thị hàm số y = m và đồ thị hàm số y = m − 4 trên cùng một hệ trục tọa độ ta 3 được: Khi m  −2 thì 2 = M = −m  m = −2 (loại). Khi −2  m  1 thì 2 = M = 4 − m  m = −2 (loại). 3 + Khi m  1 thì 2 = M = m . Suy ra m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán (* *) . Từ (*) và (* *) suy ra S = −2; 2 do đó tổng các phần tử của S bằng 0. Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 144

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Câu 27: Chọn D Điều kiện xác định: x  1 . Ta có : f '(x) = m , 2 x−1 Trường hợp 1: m  0 ta có : f '(x) = m  0 2 x−1 Khi đó : min f (x) = f (2) = m ; max f (x) = f (5) = 2m 2;5 2;5 Theo giả thiết : min f (x) + max f (x) = m2 − 1 2;5 2;5  = 3 + 13 (TM) m Ta có: m + 2m = m2 − 1  m2 − 3m − 1 = 0   2  = 3 − 13 (loai) m 2 Trường hợp 2: m  0 ta có : f '(x) = m  0 2 x−1 Khi đó : min f (x) = f (5) = 2m ; max f (x) = f (2) = m 2;5 2;5 Theo giả thiết: min f (x) + max f (x) = m2 − 1 2;5 2;5  = 3 + 13 (loai) m Ta có: 2m + m = m2 − 1  m2 − 3m − 1 = 0   2  = 3 − 13 (TM) m 2 Vậy m1 + m2 = 3 + 13 + 3 − 13 = 3. 2 2 Câu 28: Chọn A Đặt y = x4 − 4x3 + 4x2 + a = f (x) . Xét hàm số f (x) = x4 − 4x3 + 4x2 + a . Khi đó f (x) = 4x3 − 12x2 + 8x = 4x(x2 − 3x + 2) = 0  x 0;1; 2 .  f (x)  0,x  2; 3 và f (2) = a; f (3) = a + 9 .   Ta có x  2; 3 thì max y  a ,a+9 .  a ,0, a + 9 min y  Xét các trường hợp: a  0  max y = a + 9; min y = a  2a + 9 = 11  a = 1 , nhận. a  −9  max y = −a; min y = −a − 9  −a − 9 − a = 11  a = −10 , nhận. a  0  0  −9  a  0  min y = 0; max y a + 9; −a . a + 9  a + 9 = 11  a = 2 (loại) −a = 11 a = −11 Do đó a −10; 1 . Vậy tồn tại hai giá trị a thỏa mãn. 145 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716