chinh-phuc-vdc-giai-tich-luyen-thi-thpt-nam-2023-phan-nhat-linh

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu 29: Chọn D Đặt t = 7 sin x khi đó ta có x  0;    t  0;7 2  Yêu cầu bài toán  min f (t) = 0 0 ;7  Ta có: f (t) = t − 2m luôn xác định trên 0; 7  t+1 Với m = − 1 thì f (t) = 1  Loại m = − 1 22 Với m  − 1 thì ta có: f (0) = −2m; f (7) = 7 − 2m . Ta xét các trường hợp sau: 28 Trường hợp 1: f (0). f (7)  0  −2m. 7 − 2m  0  0  m  7 82 Khi đó: min f (t) = 0  0  m  7 thỏa yêu cầu bài toán 0 ;7  2 Mà m nguyên nên m 0;1; 2; 3 Trường hợp 2: f ( 0). f (7 )  0  −2m. 7 − 2m  0  m  7 8   m 2 0 Khi đó: min f (t)  0  Không có giá trị m thỏa đề bài. 0 ;7  Do đó: S = 0;1; 2; 3. Vậy tổng các phần tử của S bằng 6 . Câu 30: Chọn A Đặt g(x) = x2 − 4x − 1 + m . Ta có: g(x) = 2x − 4 ; g(x) = 0  x = 2 .  Ta có: g(0) = −1 + m ; g(2) = −5 + m ; g(3) = −4 + m suy ra ymax = −5 + m ; −1 + m .  −5 + m  −1 + m  −5 + m  −1 + m  −5 + m = 3  Trường hợp 1:   m = 2  m = 2 . m = 8  −5 + m  −1 + m  −5 + m  −1 + m  −1 + m = 3  Trường hợp 2:   m = 4  m = 4 . m = −2 Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn đề bài. Câu 31: Chọn A Với x  0; 3 thì f (x) = x − m2 = x − m2 . x+1 x+1 y = x − m2 max y = y 3 = 3 − m2 ; x+1 ( ) ( )Hàm đồng biến trên 0; 3 nên 0;3 4 min y = y 0 = −m2 0;3 m2 + 3 − m2 + m2 − 3 − m2 4 4 = 5  3 + 3m2 + 5m2 − 3 = 40  max f (x) = 0;3 2 Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 146

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 m2  37  3  5m2 − 3 = 37 − 3m2  m= 5.  m2 = 5(tm)  m2 = −17(l) Câu 32: Chọn A Xét hàm số g(x) = x3 − x2 + 6x + 9 − m  g(x) = 3x2 − 2x + 6  0,x   max y = max 9 − m , 15 − m 0; 1  9−m = 5 m = 4  9−m  15 m = 14 Trường hợp 1:  −m   m = 14  9 − m  15 −m   15 − m = 5 m = 10 m = 20 Trường hợp 2:  9−m  15 −m   m = 10   9 − m  15 −m  Vậy m = 10; m = 14 thỏa mãn bài toán  tổng các giá trị của tham số m bằng 24 . Câu 33: Chọn B g(x) = 1 x4 + 1 43 ( )Xét hàm số m2 − 2 x3 − m2x2 + m trên đoạn 0; 2. ( ) ( )Ta có g(x) = x3 + m2 − 2 x2 − 2m2x = x(x − 2) x + m2  0, x  0; 2. Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên 0; 2 1 x4 + 1 43 ( )Để giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = m2 − 2 x3 − m2x2 + m trên đoạn 0; 2 luôn bé  g ( 0 )  5 m  5  g ( 2 )  −5 ( )hơn hoặc bằng 5   4 + 8 m2 − 2 − 4m2 + m  −5 . 3  3 − 185  m  3 + 185 ⎯m⎯ ⎯→m −1;0;1; 2. 88 Câu 34: Chọn B Tập xác định: y = f (x) = x6 + x3 + m − 2x3 . Đặt t = x3 hàm số ban đầu trở thành hàm số y = g(t) = t2 + t + m − 2t , t  . Tam thức bậc hai h(t) = t2 + t + m có biệt thức  = 1 − 4m . Ta xét 2 trường hợp sau: Trường hợp 1:  = 1 − 4m  0  m  1  h(t) = t2 + t + m  0, t  . 4 Khi đó, y = g(t) = t2 + t + m − 2t = t2 − t + m = t − 1 2 +m− 1 m− 1, t  .   4 4 2  min f (x) = min g(t) = g  1  = m − 1 .  2  4 x t   147 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Theo đề min f (x) = 1  m  1  m  1  m= 5.  −  4 x m 4 = 1 m = 4 1 5 4 4 Trường hợp 2:  = 1 − 4m  0  m  1  h(t) = t2 + t + m có 2 nghiệm phân biệt t1 , t2 4 (t1  t2 ) . Vì t1 + t2 = −1  0  tt11  t2  0 .  0  t2 Nếu t1  t2 0 thì P = t1t2 = m  0 kết hợp với m 1 ta có 0m 1. 4 4 Khi đó: g  1  = 3+m − 1  0  min g(t)  3+m −1 0  2  4 t 4   ( ) ( )Nếu t1  0  t2 thì g t2 = t22 + t2 + m − 2t2 = −2t2  0  min g t  0. t Suy ra trong trường hợp 2 hàm số y = g (t) không thể có giá trị nhỏ nhất bằng 1 trên . Vậy m = 5 . Suy ra tổng các phần tử của S là 5 . 44 Câu 35: Chọn B Đặt g(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + m trên −1; 3 . ( )Ta có: g(x) = 12x3 − 12x2 − 24x = 12x x2 − x − 2 . x = −1  −1; 3  Cho g(x) = 0   x = 0  −1; 3  x = 2  −1; 3  g(−1) = m − 5 ; g(0) = m ; g(2) = m − 32 ; g(3) = m + 27 Thấy: m − 32  m − 5  m  m + 27,m  . Vậy max = max m − 32 ; m + 27 . −1;3 Trường hợp 1: m + 27  m − 32  m  5 . 2 Khi đó M = m − 32  59 ,m  5  min M = 59 . 22 2 Trường hợp 2: m + 27  m − 32  m  5 . 2 Khi đó M = m + 27  59 ,m  5  min M = 59 . 22 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 59 . 2 Câu 36: Chọn C ( ) ( ) ( )Đặt t = 2 + sin x  1; 3  g = t3 −  = 50 . t − 3t m ,t  1; 3 max g t + min g t 1;3 1;3 Xét hàm số: y = t3 − 3t − m  y = 3t2 − 3  0 t  1; 3 . Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 148

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023  max g(t) = max −m − 2 ; 18 − m  1;3 mm11;;ii33nn  y(1) ( 3) ( ) = = −m − 2 , y = 18 − m  g ( t ) = min −m − 2 ; 18 − m . g t 0 Trường hợp 1: Nếu −m − 2  0  m  −2 thì max g(t) = 18 − m = 18 − m 1;3 ( ) ( )m1;i3n g t = −2 − m = −m − 2  −2 − m + 18 − m = 50  m = −17 t / m . Trường hợp 2: Nếu 18 − m  0  m  18 thì min g(t) = 18 − m = m − 18 1;3 ( ) ( )m1;a3x g t = −2 − m = m + 2  m + 2 + m − 18 = 50  m = 33 t / m Trường hợp 3: Nếu (−m − 2)(−m + 18)  0  −2  m  18 thì  max g(t) = max −m − 2 ; 18 − m 1;3( )  . min g t = 0  1;3  ( )Nhận xét: max g t 1;3 = max −m − 2 ; 18 − m  50 , m  −2;18  m  . Vậy m −17; 33 . Câu 37: Chọn D ( )Ta có max f x =1 nên 4x4 − ax2 + b  1 ,x  −1;1 . −1 ; 1 2 2  f (1)  1  4−a+b  1  4− a+ b  1  f  2  2  f 2     b1  1  Khi đó ta có:  (0)  1   2   b  2 .   1  2  4. 1 − a. 1 + b    42 1  −2 + a − 2b   2  1   2   2   2 Suy ra 4 − a + b + b − 2 + a − 2b  4 − a + b + b + −2 + a − 2b  2  2  4 − a + b + b + −2 + a − 2b  2 . Dấu '' = '' xảy ra khi: 4 − a + b = 1  2 a = 4 Trường hợp 1: b = 1  b = 1 .  2 2 −2 + a − 2b = 1  Thử lại ta thấy giá trị lớn nhất của f (x) = 4x4 − 4x2 + 1 trên đoạn −1;1 bằng 1. 2 2 149 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 − a + b = − 1   2 a = 8 b Trường hợp 2: b = −1   = 7 (loại).  2 2 −2 + a − 2b = −1 b = − 1  2 Vậy a + b = 9 . 2 Câu 38: Chọn C Đặt g(x) = x2 − 4x + m − 1 . Ta có g(x) = 2x − 4  g(x) = 0  2x − 4 = 0  x = 2 . Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) . Dựa vào bảng biên thiên của hàm số g(x) ta có: Trường hợp 1: Nếu (m + 4)(m − 5)  0 thì min f (x) = min g(x) = 0 . −1;3 −1;3 Trường hợp 2: Nếu (m + 4)  0  m  −4 thì min f (x) = min g(x) = m+4 = 4  m =0 (l)  (tm) . −1;3 −1;3 m = −8 Trường hợp 3: Nếu (m − 5)  0  m  5 thì min f (x) = min g(x) = m − 5 = 4  m = 1 (l)  (tm) . −1;3 −1;3 m = 9 Vậy S = 9; −8 nên tổng các phần tử của S là 9 − 8 = 1 . Câu 39: Chọn D ( )Ta có max f x =1 nên 4x4 − ax2 + b  1 ,x  −1;1 . −1 ; 1 2 2  f (1)  1  4−a+b  1  4− a+ b  1  f  2  2  f 2     b1  1  Khi đó ta có:  (0)  1   2   b  2 .   1  2  4. 1 − a. 1 + b    42 1  −2 + a − 2b   2  1  2   2   2 Suy ra 4 − a + b + b − 2 + a − 2b  4 − a + b + b + −2 + a − 2b  2  2  4 − a + b + b + −2 + a − 2b  2 . Dấu '' = '' xảy ra khi: Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 150

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 4 − a + b = 1  2 a = 4 Trường hợp 1: b = 1   = 1 .  2 b 2 −2 + a − 2b = 1  Thử lại ta thấy giá trị lớn nhất của f (x) = 4x4 − 4x2 + 1 trên đoạn −1;1 bằng 1. 2 2 4 − a + b = − 1   2 a = 8 b Trường hợp 2: b = −1   = 7 (loại).  2 2 −2 + a − 2b = −1 b = − 1  2 Vậy a + b = 9 . 2 Câu 40: Chọn B Xét hàm số f ( x) = 3x4 − 4x3 − 6mx2 +12mx + m có ( ) ( )f ( x) = 12x3 −12x2 −12mx +12m = 12 x3 − x2 − mx + m = 12( x −1) x2 − m Cho f (x) = 0  12( x −1)( x2 − m) = 0  x =1 .  m  x2 = Với m  1 ta có f ( x) đồng biến trên khoảng (1; 2) max f ( x) = f (2) = m +16  1;2   m1;i2n f (x) = f (1) = 7m −1  max f ( x) = max m +16 ; 7m −1 . 1;2 Trường hợp 1. max f (x) = m +16 = 18  m = 2 (L) m = −34 1;2 Kiểm tra m = −34 có 7.(−34) −1 = 239  18 (Loại) m = 19 (L)  7 Trường hợp 2. max f (x) = 7m −1 = 18  1;2 −17 m = 7 Kiểm tra m = −17 có −17 +16 = 25  18  m = −17 thỏa mãn. 77 7 7 ( )Với 1  m  4 thì m (1; 2 và f m = −3m2 + 8m m + m. Bảng biến thiên: 151 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Đặt u = m (1  u  2), f (u) = −3u4 + 8u3 + u2  = 6  42  (1; 2) u 6 Có f (u) = −12u3 + 24u 2 + 2u = 0   u = 0 (1; 2)  f (u)  0 u (1; 2) ( ) f (u) đồng biến trên khoảng (1; 2)  f (u)  f (1) = 6 hay f m  6 Do đó max f ( x) = max7m −1; m +16 1;2 Trường hợp 1. max f ( x) = m +16 = 18  m = 2 1;2 Kiểm tra m = 2 có 7.2 −1 = 13  18  m = 2 thỏa mãn Trường hợp 2. max f ( x) = 7m −1 = 18  m = 19 1;2 7 Kiểm tra m = 19 có 19 +16 = 131  18 (Loại) 77 7 Với m  4 ta có f ( x) nghịch biến trên khoảng (1; 2) . Mà m +16  20  18 nên max f (x)  18. 7m −1  27  18 1;2 Vậy m  2; −17  thì giá trị lớn nhất của hàm số y = 3x4 − 4x3 − 6mx2 +12mx + m trên đoạn   7 1; 2 bằng 18. Từ đó tổng các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2 − 17 = − 3 . 77 Câu 41: Chọn D Do giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) = 2x3 − 12x2 + 9x + m + 8 + 9x ( m là tham số) trên đoạn 0; 5 là 78 nên 2x3 − 12x2 + 9x + m + 8 + 9x  78 x  0; 5 và dấu bằng phải xảy ra tại ít nhất một điểm  2x3 − 12x2 + 9x + m + 8  78 − 9x x  0; 5   78 − 9x  0 dung x  0; 5  78  2x3 − 12x2 + 9x + m +8 9x − 78 − 9 x  −2x3 + 12x2 − 86  m  −2x3 + 12x2 − 18x + 70 x  0; 5 ( ( ) )  m  max −2x3 + 12x2 − 86  m  −22   m x0;5 70  m  30  min −2x3 + 12x2 − 18x +  x0;5 Và dấu bằng phải xảy ra nên m = −22 . Vậy tổng tất cả giá trị m là 8   m = 30 Câu 42: Chọn A Theo đề ra ta có max  x 2 − 2mx + 1   4  x2 − x + 2    Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 152

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Ta có lim x2 − 2mx + 1 = 1 do đó luôn tồn tại max  x2 − 2mx + 1  trên thoả yêu cầu bài x2 − x + 2   x→  x2 − x + 2  toán. Ta tìm m để max  x2 − 2mx + 1   4,x   x2 − x + 2    Ta có x2 − 2mx + 1  4,x    x2 − 2mx + 1  −4,x  x2 − x + 2  x2 − x + 2 1  4,x   +  x2 − 2mx 2  x2 − x +  5x2 − (2m + 4) x + 9  0,x   m2 + 4m − 41  0  −2 − 3 5m −2 +3 5 −3x2 − (2m − 4) x − 7  0,x  m2 − 4m − 17  0  21  m  2 + 21 2 −  2 − 21  m  −2 + 3 5 Khi đó max  x2 − 2mx + 1   4  m  2 − 21 .  x2 − x + 2    −2 + 3 5   m Giá trị nguyên của tham số m  −10;10 là m −10; −9;...; −3; 5;6;...;10 . Câu 43: Chọn D Điều kiện xác định của hàm số g(x) là 1 − 2 x  0  − 1  x  1 . 22 Ta có: f (x)  0 và − 1 − 2 x  −1 Do đó: f (x) − 1−2 x  −1 .Dấu bằng xảy ra khi:  f (x) = 0  x=0  x = 1 1 −2  g(x)  f  1 + 2m − 1 − 2m  − 1  2 2  Để giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) là 0 thì:  1+ 2m − 1 − 2m  − 1 = 0   1 + 2m − 1 − 2m  = 1 f  22  f  2 2  Từ đồ thị hàm số  1 + 2m − 1 − 2m = − 1 22 2   1 + 2m + 2 = 1 − 2m 1 + 2m + 2+2 2 + 4m = 1 − 2m  −1  m   −1  m 1 1+ 2m − 1− 2m = − 2   1   2 2 2 2     2 + 4m = −2m − 1   2 + 4m = −2m − 1   −2m − 1  0     m−1 m=−1. 2 2  −1 m 1   22  −1 m 1   22 153 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu 44: Chọn C Đặt t = cos x + 1, t  0; 2 . Khi đó y = t4 − 2t2 + m với t  0; 2 . Xét f (t) = t4 − 2t2 + m với t  0; 2 . t = 0 (nhan)  f (t) = 4t3 − 4t =0 t =1 (nhan) . t = −1(loai) Ta có f (0) = m , f (1) = −1 + m , f (2) = 8 + m . Do đó max f (t) = 8 + m , min f (t) = m − 1 . 0;2 0;2 Suy ra max f (t) = m+8+m−1 + m+8−m+1 = 2m + 7 +9 . 0;2 22 Ta có max y = max f (t) = 2m + 7 + 9  9 . 0;2 22 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2m + 7 = 0  m = − 7 . 2 Câu 45: Chọn B Đặt f (x) = t,t  −2; 2 ( ) ( )min g −1; 3 suy ra x 1 g x  1,x  −1; 3  2t + m − 4 + t − 3  1,t  −2 ; 2   2t + m − 4 + t − 3  1  −2 ; 2  ,t  2t + m − 4 + t − 3  −1   2t + m −4  −t +4  −2 ; 2  2t + m − 4  −t + 4 ,t  −2; 2  2t + m −4  −t ,t 2t + m − 4  t − 4 2  t − 2  2t + m − 4  −t + +2 m  −3t + 8 m  14 m  14 m  −t  m  −2  −t + 2  ,t  −2; 2  m  −2  +6 m  −3t 4  m  0(VL) Do m  −10;0  m −10; − 9;...; − 3 Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 46: Chọn B Xét hàm số f (x)= x3 − 3x + m , ta có f (x)= 3x2 − 3 . Ta có bảng biến thiên của f (x) : Trường hợp 1: 2 + m0  m − 2 . Khi đó max f (x) = −(− 2 + m)= 2− m 0; 2 Khi đó 2 − m = 5  m= − 3 (thỏa mãn). Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 154

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Trường hợp 2: 2+ m  0  − 2  m 0 . m  0 Khi đó : m− 2 = 2 − m 2  2 + m max f (x) = −(− 2 + m)= 2− m 0; 2 Khi đó 2 − m = 5  m= − 3 (loại). Trường hợp 3: m  0 0  0 m  2 . − 2 + m Khi đó: m− 2 = 2 − m 2 2 + m  max f (x) = 2 + m . Khi đó 2 + m = 5 m= 3 (loại). 0; 2 Trường hợp 4: − 2 + m0  m 2 . Khi đó max f (x) = 2 + m 0; 2 2 + m = 5 m = 3 (thỏa mãn). Vậy tổng các giá trị của m là 0 . Cách khác: (Dùng công thức tính nhanh) Ta có A = max f (x) = m + 2 , a = min f (x) = −2 + m 0;2 0;2 ( )Nên max f x = m+2−2+m + m + 2 − (−2 + m) =5  2m + 4 =5 m = 3 . 0;2 2 2 m = −3 Câu 47: Chọn A    x2 + y2  5 Từ giả thiết ta có (x − 1)2 + y2  9 .  x − 9 2 +  y − 7 2  25  2   2  2  Tập hợp điểm (x, y) thoả mãn yêu cầu bài là phần được tô trên hình vẽ kể cả biên. Ta thấy (C1 ) cắt (C3 ) tại hai điểm phân biệt trong đó có điểm (2,1) thoả mãn yêu cầu bài toán. 155 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Xét đường thẳng  đi qua (x, y) thoả mãn yêu cầu bài toán: x − 2y = c . x − 2y đạt giá trị nhỏ nhất khi  đi qua (2,1) nên m = 0 . (C2 ) : x2 + y2 = 2x + 8  (x − 1)2 + y2 = 9 . ( )x − 2y = (x − 1) + (−2) y + 1  1+ (−2)2 .9 + 1 = 3 5 + 1. 1 : x − 2y − 1 − 3 5 = 0 . 1 cắt (C2 ) tại điểm thoả mãn bài toán. Khi đó M = 3 5 + 1 . Vậy M − m = 3 5 + 1 . Câu 48: Chọn B , kết hợp với giả thiết (x + y)3 + 4xy  2 suy ra Ta có, (x + y)2  4xy, x, y  (x + y)3 + (x + y)2  2  x + y  1. ( ) ( ) ( ) ( )A = 5 5 2  x4 + y4 + x2y2 −4 x2 + y2 +2 = 2  x2 + y2 + x4 + y4  − 4 x2 + y2 +2  2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 x2 + y2 2 x2 + y2  − 4 x2 + y2 + 2 = 15 x2 + y2 2 x2 + y2 + 2.  2  4 2  + −4  Đặt t = x2 + y2  (x + y)2  1 . Do đó, A  15 t2 − 4t + 2 22 4 Ta có bảng biến thiên của hàm số f (t) = 15 t2 − 4t + 2 trên  1 ; +  như sau  2  4  ( )Qua bảng biến thiên ta có min f t = f  1  = 15 . t 1 ;+  2  16 2 Tức là, A  15 , dấu “=” xảy ra khi x = y = 1 . 16 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 15 . 16 Câu 49: Chọn C Do x  0, y  0 nên 0  x,y  1. x + y = 1 y = 1− x Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 156

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 ( )( )Thay y = 1 − x vào biểu thức S ta được: S = 4x2 + 3(1 − x) 4(1 − x)2 + 3x + 25x(1 − x) ( )( )= 4x2 − 3x + 3 4x2 − 5x + 4 + 25x − 25x2 = 16x4 − 32x3 + 18x2 − 2x + 12 Đặt S = S(x) = 16x4 − 32x3 + 18x2 − 2x + 12 với 0  x  1. Ta có S(x) = 64x3 − 96x2 + 36x − 2. Xét phương trình x = 1  (0;1)  2 ( )S(x) = 0  64x3 − 96x2 + 36x − 2 = 0  (2x − 1) x 2 + 3  (0;1). 32x2 − 32x + 2 = 0   = 4 x = 2− 3  ( 0; 1) 4 Ta có S (0) = 12; S(1) = 12; S  1  = 25 ;  2 + 3  = 191 ; S  2 − 3  = 191 .  2  2 S 4  16  4  16   ( ) ( )Do đó maxS = S  1  = 25 =  2 − 3  =  2 + 3  = 191 . 0;1  2  2 S 4   4  16 x  và minS x S 0;1  = 2− 3  = 2 + 3 x 4 3 x 4 . Vậy M = 25 khi x = y = 1 . Và m = 191 khi  hoặc  2 2 16 3 y = 2 + y = 2 − 4 4 Câu 50: Chọn D Theo giả thiết y  0 nên ta có 4x3 + x = 2y + 1  4x3 + x = 2y + 1( y + 1) y+1 ( ) 8x3 + 2x = 2y + 1(2y + 2)  (2x)3 + 2x = 2y + 1 3 + (2y + 1) . Xét f (t) = t3 + t . Ta có f (t) = 3t2 + 1  0,t  nên hàm số f (t) đồng biến trên . ( )Do đó f (2x) = f 2y + 1  2x = 2y + 1  4x2 = 2y + 1  y = 2x2 − 1 . 2 Do y  0 và 2x = 2y + 1 nên x  1 . 2 ( )Khi đó S = 8x − y + 3 = 8x − 2x2 + 2 = −2 x2 − 4x + 4 + 10 = 10 − 2(x − 2)2  10 . 2 Vậy maxS = 10 khi x = 2 . 157 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu 51: Chọn D Ta phải chứng minh x2 + y2 + z2  xy − yz − zx, x, y,z  . Thật vậy, ta có x2 + y2 + z2  xy − yz − zx  1 (x − y)2 + 1 (z + y)2 + 1 (x + z)2  0 . 222 Khi đó P = xy − yz − zx − x2 2022  x2 + y2 + z2 − x2 2022 + y2 + z2 + y2 + z2 Đặt t = x2 + y2 + z2 , t  0; 3 . Khi đó, ta có P f (t) = t − 2022 t f '(t) = 1+ 2022  0,t (0; 3  f (t) đồng biến và liên tục trên (0; 3 . Vậy P  f (3) = −671 . t2 Do đó maxP = −671 khi x = y = 1; z = −1 hoặc x = y = −1; z = 1. Chinh phục các bài toán VD - VDC: Max- min của hàm số | 158

1Phan Nhật Linh ỨNG DỤNG ĐẠOChHinhÀpMhục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỦ ĐỀ 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa • Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +) ; (−;b) hoặc (−; +) ). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim y = y0 ; lim y = y0 . x→+ x→− • Định nghĩa 2: Đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim y = +; lim y = +; lim y = −; lim y = −. x→x0+ x→x0− x→x0+ x→x0− 2. Các phương pháp giái toán nâng cao Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa tham số • Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số y = f (x) ta thực hiện các bước sau: ▪ Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số y = f (x) ▪ Bước 2: Tìm giới hạn của f (x) khi x tiến đến biên của miền xác định. ▪ Bước 3: Từ các giới hạn và định nghĩa tiệm cận suy ra phương trình các đường tiệm cận. • Đặc biệt: Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y= f (x) ta có thể làm như sau: g(x) ▪ Bước 1: Tìm tập xác định D. ▪ Bước 2: Tìm tiệm cận ngang: Ta tính các giới hạn: lim y; lim y và kết luận tiệm cận ngang x→+ x→− Tìm tiệm cận đứng: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp hoặc phân tính nhân tử để đơn giản biểu thức f (x) về dạng tối giản nhất có thể từ đó kết luận về tiệm cận đứng. g(x) Chú ý: Nếu bậc của f (x) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của g(x) thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang. Nếu bậc của f (x) lớn hơn bậc của thì g(x) đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. 159 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Dạng 2: Các bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số Một số loại toán thường gặp: • Loại 1: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = ax + b với c  0 . cx + d ▪ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi ad − bc  0 . • Loại 2: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c với a  0 . x − x0 ▪ Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi g(x) = ax2 + bx + c = 0 không có nghiệm x = x0  g (x0 )  0 . ▪ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi g(x) = ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x = x0  g (x0 ) = 0 . • Loại 3: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y= x − x0 (C) với a0. ax2 + bx + c ▪ Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi g(x) = ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt khác x0    0 . 0 g(x0 )  ▪ Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi g (x) = 0 có nghiệm kép   = 0 . ▪ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi g (x) = 0 vô nghiệm    0 . • Loại 4: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = ( ax2 + bx + c ) (C) với a  0, x1  x2 − x2 x − x1 ) (x ▪ Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi phương trình g(x) = ax2 + bx + c = 0 không nhận x1 , x2 là nghiệm   g ( x1 )  0 .  g ( x2 )  0  ▪ Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi phương trình g(x) = ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x = x1 hoặc x = x2   g ( x1 ) = 0 (Chú ý hai điều kiện này không đồng thời xảy ra).  g ( x2 ) = 0  ▪ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi g(x) = ax2 + bx + c = 0 nhận x = x1 và x= x2 là nghiệm   g ( x1 ) = 0 .  g ( x2 ) = 0  • Loại 5: Biện luận số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y= f (x) g(x) . ▪ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bậc của mẫu số lớn hơn hoặc bậc của mẫu số và phải tồn tại các giới hạn lim y hoặc lim y . x→+ x→− Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 160

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 B VÍ DỤ MINH HỌA CÂU 1. Cho y = f (x) là hàm bậc 4 và có bảng biến thiên như hình vẽ sau: x –∞ 0– 0 +0 +∞ y' + 1 0 1 – y -3 –∞ –∞ Đồ thị hàm số g(x) = x2 − 2 có mấy đường tiệm cận đứng? f 2 (x)+ 3 f (x)−4 A. 5 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .  LỜI GIẢI Chọn D Đặt f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e,a  0 . Ta có f (x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d . ( ) ( )Đồ thị hàm số có các điểm cực trị: A(0; −3) ,B − 2;1 ,C 2;1 nên ta có hệ sau:   f(0) = 0  d = 0 a = −1  (0 )  cb f = −3 e = −3 = 0 = 4 ( )f  2 = 0  8 2a + 6b + 2 2c = 0  . Vậy f (x) = −x4 + 4x2 − 3.  ( ) −8 2a + 6b − 2 2c = 0 d = 0  4a + 2 2b + 2c + 2d + e = 1 e = −3 f − 2 =0 ( )f 2 =1  x2 − 2 x2 − 2 1. x4 − 4x2 + 4 x4 − 4x2 − 1 x4 − 4x2 −1 f (x)−1 f (x)+ 4 ( )( ) ( )( )( )( )Khi đó g(x) = = = x2 − 2 ( )( )Do phương trình x2 − 2 x4 − 4x2 − 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt: x =  2; x =  2 + 5 nên đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận đứng. CÂU 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để đồ thị hàm số y = x2 + 2x + 3 + ax có tiệm cận ngang. B. 3 . C. 0 . D. 2 . A. 1 .  LỜI GIẢI Chọn D Hàm số y = x2 + 2x + 3 + ax có tập xác định D = . ( )Xét I = lim  2+ 3  x→+ x x2 + a. x2 + 2x + 3 + ax = lim x  1+ x→+ Ta có: lim  1+ 2 + 3  = 1+ a .  x x2 + a x→+ Nếu 1 + a  0 thì I =  , khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang phía + . Nếu 1 + a = 0  a = −1 , ta có: 161 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (I = lim )x2 + 2x + 3 − x = lim 2x + 3 2+ 3 x→+ x→+ x =1. = lim x2 + 2x + 3 + x x→+ 2+ 3 1+ x x2 +1 Khi đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang. ( )Xét J = lim  2 3  x→− x x2 + a. x2 + 2x + 3 + ax = lim x  − 1 + + x→− Ta có: lim  − 1+ 2 + 3  = a−1.  x x2 + a x→− Nếu a − 1  0 thì J =  , khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang về phía − . Nếu a − 1 = 0  a = 1 , ta có: (J = lim )x2 + 2x + 3 + x = lim 2x + 3 = lim 2+ 3 = −1. x→− x→− x x2 + 2x + 3 − x x→− 1+ 2+ 3 −1 x x2 − Khi đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = −1 là tiệm cận ngang. Vậy để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì a = 1 hoặc a = −1. CÂU 3. Cho hàm số y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e với a,b,c,d,e là các số thực và a  0 , có bảng biến thiên như sau: x –∞ 0– 0 +0 +∞ y' + -1 0 2 – y -3 –∞ –∞ Đồ thị hàm số y= x2 có bao nhiêu tiệm cận đứng? f 2 (x)+ 3 f (x) A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 6 .  LỜI GIẢI Chọn A Ta có f 2 (x) + 3 f (x) = 0  f (x)  f (x) + 3 = 0   f (x) = 0 .  f (x) = −3  Từ bảng biến thiên ta có f ( x ) = 0   x = x1 (0  x1  1 ) .  (x2  1 x = x2 )  f (x) = (x − x1 )(x − x2 )h(x) ( trong đó h(x) là hàm bậc hai và vô nghiệm). Từ bảng biến thiên f ( x) = −3  x = x3 (x3  −2 )  f (x) + 3 = a x2 (x − x3 )(x − x4 )  = x4 (x4  1 ) x x = 0 y = x2 = x2 f 2 (x)+ 3f (x) (x − x1 )(x − x2 )h(x)ax2 (x − x3 )(x − x4 ) Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 162

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 = a( x − x1 )(x − x2 1 x − x3 )(x − x4 ) . )h(x)( Vậy đồ thị hàm số y= x2 có 4 tiệm cận đứng. f 2 (x)+ 3 f (x) CÂU 4. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ Biết f (x)  0 ,  x  −1 và f (x)  0 ,  x  1 . Khi đó, tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2021 là xf (x + 1) xf (x + 1) + 1 − 2 A. 1 . B. 3 . C. 4 . D. 2 .  LỜI GIẢI Chọn D Ta có: xf (x + 1) xf (x + 1) + 1 − 2 = 0 (1) . ( )Đặt t = xf (x + 1) (t  0) , ta được phương trình: t t2 + 1 = 2  t3 + t − 2 = 0  t = 1. xf (x + 1) = 1  xf (x + 1) − 1 = 0 . Đặt t = x + 1  x = t − 1 , ta được phương trình: (t − 1) f (t) − 1 = 0  f (t) = 1 (2) . t −1 Nhận thấy đồ thị của các hàm số y = f (t) ,y = 1 chỉ cắt nhau tại 1 điểm do đó phương trình (2) có t −1 nghiệm duy nhất  (1) có nghiệm duy nhất, suy ra đồ thị có 1 tiệm cận đứng. Mặt khác: lim f (x + 1) = +  lim 2021 = a  0 x→+ x→+ xf (x + 1) xf (x + 1) + 1 − 2 163 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lim xf (x + 1) = −  lim 2021 không tồn tại. x→− x→+ xf (x + 1) xf (x + 1) + 1 − 2 Do đó đường thẳng y = a là tiệm cận ngang. CÂU 5. Tập tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = −2x2 + 5x − 2 có ( )x6 + 6x4 − m3x3 + 3 5 − m2 x2 − 6mx + 10 đúng hai đường tiệm cận là S = (a;b . Tính T = 5a + 8b . A. T = 43 . B. T = 30 . C. T = 31 . D. T = 18 .  LỜI GIẢI Chọn B Ta thấy −2x2 + 5x − 2 có nghĩa khi −2x2 + 5x − 2  0  2x2 − 5x + 2  0  1  x  2 . 2 Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận khi và chỉ khi phương trình: ( )x6 + 6x4 − m3x3 + 3 x2 − 6mx + 10 = 0 (*) có đúng hai nghiệm phân biệt trên  1 2 5 − m2  2 ; . 3 +3 ( ) ( )Từ (*) ta có = (mx + 1)3 + 3(mx + 1) . x2 + 2 x2 + 2 Xét hàm số f (t) = t3 + 3t với t  , f (t) = 3t2 + 3  0,t  , nên hàm số đồng biến ( )Do đó f x2 + 2 = f (mx + 1)  x2 + 2 = mx + 1  m = x + 1 = g(x) x 1  1 2 1 x = 1 x  2 x2  Xét hàm số g(x) = x + trên ; , ta có g(x) = 1− ; g(x) = 0  x = −1   1 ; 2 .  2 Bảng biến thiên của hàm số g(x) : Từ đó ta suy ra 2 m 5 , hay m   2; 5  . Vậy a= 2; b = 5 T = 5a + 8b = 10 + 20 = 30 . 2  2  2 CÂU 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn −5; 5 để đồ thị hàm số y = x3 x+1 m có đúng một tiệm cận đứng? − 3x2 − A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 5 .  LỜI GIẢI Chọn A Đồ thị hàm số y = x3 x+1 m có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình x3 − 3x2 − m = 0 − 3x2 − có đúng 1 nghiệm khác −1. Ta có x3 − 3x2 − m = 0  m = x3 − 3x2 . Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 164

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Xét hàm số g(x) = x3 − 3x2  g(x) = 3x2 − 6x  g(x) = 0  x = 0 x = 2 Từ bảng biến thiên suy ra m  0. m  −4 Mà m là tham số nguyên thuộc đoạn −5; 5 suy ra m −5;1; 2; 3; 4; 5 . Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn −5; 5 thoả mãn yêu cầu bài toán. x2 − 3x + 2 có đồ thị (C) , với m và n là hai tham số nguyên. Hỏi có tất (x − m) x2 − n2 ( )CÂU 7. Cho hàm số y= cả bao nhiêu bộ số (m;n) để (C) có đúng 2 đường tiệm cận (nếu chỉ xét TCĐ và TCN)? A. 5 . B. 7 . C. 6 . D. 11 .  LỜI GIẢI Chọn D ( )( )Ta có lim y = lim x2 − 3x + 2 1− 3 + 2 x→ x→ x − m x2 − n2 = lim x x2 x3 = 0 nên đường thẳng y = 0 luôn là đường x→  m  n2   1 − x   1 − x2  tiệm cận ngang của (C) ,m,n  . Do đó (C) có đúng 2 đường tiệm cận khi và chỉ khi (C) có một đường tiệm cận đứng tức là mẫu số có đúng 1 nghiệm mà không phải là nghiệm của tử số, hàm số. ( )Mặt khác, y = x2 − 3x + 2 (x − 1)(x − 2) = (x − m)(x −n)(x + n) . (x − m) x2 − n2 Trường hợp 1: (x − 2) m = 1  y = (x − n)(x + n) . Trường hợp này có 3 giá trị nguyên của n thỏa mãn là n 2; −2;0 . Trường hợp 2: (x − 1) m = 2  y = (x − n)(x + n) . Trường hợp này có 3 giá trị nguyên của n thỏa mãn là n 1; −1;0 . Trường hợp 3: (x −2) n = 1  y = (x − m)(x + 1) . Trường hợp này có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn là m 2; −1 . Trường hợp 4: (x − 2) n = 2  y = (x − m)(x + 2) . Trường hợp này có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn là m 1; −2 . 165 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Trường hợp 5: (x −2) n = −1  y = (x − m)(x + 1) . Trường hợp này có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn là m 2; −1 . Trường hợp 6: (x − 1) n = −2  y = (x − m)(x + 2) . Trường hợp này có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn là m 1; −2 . Trường hợp 7: m  1,m  2 (x − 1)(x − 2) có 3 nghiệm của mẫu đều không là nghiệm n  1,n  2  y = (x − m)(x − n)(x + n) của tử. Nên yêu cầu bài toán tương đương m = n = 0 . Vậy có 11 cặp (m;n) nguyên thỏa mãn đề bài. CÂU 8. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  −20; 20 để đồ thị của hàm số x+3 −2 + x2 − m ( )y = m3 − 3m + 2 x + 2021 có đúng 1 đường tiệm cận (nếu chỉ tính tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)? A. 2 . B. 13 . C. 3 . D. 1 .  LỜI GIẢI Chọn B Điều kiện xác định  x  −3 .  x2  m  Xét m3 − 3m + 2 =0  m =1 . m = −2 Khi m = 1 , ta có y = x+3−2 + 2021 dễ thấy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm đứng x = −1 và 1 đường x2 − 1 tiệm cận ngang y = 2021, nên m = 1 không thỏa mãn. Khi m = −2 ta có y = x+3−2 + 2021 đồ thị hàm số chỉ có 1 đường tiệm ngang y = 2021 nên m = −2 x2 + 2 thỏa mãn. Xét m3 − 3m + 2  0  m  1. m  −2 ( )  −,khi m3 − 3m + 2  0 Khi đó lim  x→+  x+3 −2 + m3 − 3m + 2 x + 2021 =  m3 − +  . x2 − m  + , khi 0 3m 2 Lúc này đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang. Từ đây yêu cầu bài toán tương đương với đồ thị hàm số có đúng 1 đường tiệm cận đứng. hay phương trình x2 = m có đúng 1 nghiệm trên tập −3; + ) (1) . Lập bảng biên thiên hàm số f (x) = x2 trên −3; + ) . Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 166

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu (1)  m  9 , từ giả thiết thì m 0;10;11; ..., 20 . m = 0 Vậy có tất cả 13 giá trị tham số trị nguyên m  −20; 20 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nhận xét: Trường hợp phương trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm trùng với nghiệm x = 1 trên tử đã được xét ở trên khi m = 1 nên không xét lại. CÂU 9. Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y = 20 + 6x − x2 có đúng hai đường tiệm x2 − 8x + 2m cận đứng là: A. 12 . B. 7 . C. 13 . D. 17 .  LỜI GIẢI Chọn B Điều kiện: 6x − x2  0   0  x  6 x2 − 8x + 2m x2 − 8x + 2m  0 0 Khi đó, nếu D là tập xác định của hàm số thì D  0;6 và Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = a thì lim y = + (hoặc lim y = + hoặc lim y = − hoặc x→a+ x→a− x→a+ lim y = − ). x→a− ( ) ( )Ta thấy khi 0  a  6 thì lim 20 + 6x − x2 hoặc lim 20 + 6x − x2 sẽ luôn là một số dương xác định. x→a+ x→a− ( )Do  đó để x=a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì  lim x2 − 8x + 2m = 0  và hàm số phải xác định x→a+ x2 − 8x + 2m = 0 ( ) lim x→a− tại lân cận a. Suy ra a là nghiệm của phương trình x2 − 8x + 2m = 0 . Để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận đứng thì phải tồn tại 2 giá trị a phân biệt là nghiệm của phương trình x2 − 8x + 2m = 0 đồng thời hàm số đã cho xác định tại lân cận a . Trước hết ta tìm m để phương trình x2 − 8x + 2m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc 0;6 Ta có x2 − 8x + 2m = 0  2m = −x2 + 8x Xét hàm số g(x) = −x2 + 8x ; g'(x) = −2x + 8 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta được 12  2m  16  6  m  8 Với m =6 ta được y = 20 + 6x − x2 . Hàm số có tập xác định D = 0; 2) . Khi đó hàm số chỉ có duy nhất x2 − 8x + 12 1 tiệm cận đứng là x = 2 nên ta loại m = 6. 20 + 6x − x2 x2 − 8x + 14 ) (Với 2;6 . Khi đó hàm số m =7 ta được y = . Hàm số có ập xác định D = 0; 4 − 2  4+ có 2 tiệm cận đứng là x = 4 − 2 và x = 4 + 2 nên ta nhận m = 7. Vậy có duy nhất giá trị nguyên m = 7 thỏa yêu cầu bài toán. 167 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số CÂU 10. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m  (0; 2021 sao cho đồ thị hàm số y= x2022 + x − 2 có đúng một tiệm cận đứng? x2 − (m − 2)x + 2 A. 2021 . B. 2015 . C. 2017 . D. 2016 .  LỜI GIẢI Chọn C Với x  2 thì x2022 + x − 2  0. Xét phương trình x2 − (m − 2) x + 2 = 0(1) ,x  2 . Ta có (1)  m = x + 2 + 2 (2) x Yêu cầu bài toán  phương trình (2) có đúng 1 nghiệm thuộc 2; +) khi và chỉ khi đường thẳng (d) : y = m cắt đồ thị y = g(x) = x + 2 + 2 tại duy nhất 1 điểm trên 2; +) (*) . x Ta có : g ( x) = 1 − 2 x2 Bảng biến thiên của g(x) (*)  m5 mà  m . Suy ra m 5;6;...; 2021 . Suy ra có 2017 số cần tìm. m (0; 2021 Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 168

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y= x2 − 3x + 2 có một mx2 + 4x đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang. Tổng các phần tử của S bằng A. 4 . B. −4 . C. −6 . D. 2 . Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc −10 ; 10 để đồ thị hàm số y = (x − 1). x2 + 3x x2 + (m + 1) x − m − 2 có đúng ba đường tiệm cận? A. 19 . B. 18 . C. 17 . D. 20 . Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc −10;10 để đồ thị hàm số y = (x − 1) x2 + 3x x2 + (m + 1) x − m − 2 có đúng ba đường tiệm cận? A. 19 . B. 18 . C. 17 . D. 20 . Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = 1 + −2x2 + 9x − 4 Câu 5: ( )1 − m3 x3 + 3x2 + 3x + 1 (với m là tham số) có đúng một đường tiệm cận. A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1 . Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ; f (x)  0 , x  và lim f (x) = 3 và lim f (x) = + . x→− x→+ Số tiệm cận của hàm số h(x) = 5 + 2022 x+ 1 là x2 + 15 f (x) A. 1 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . Câu 6: Cho hàm số bậc ba f (x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Với giá trị nào của m thì hàm số g(x) = m−x có 5 tiệm cận đứng? f 2(x) − 2 f (x) A. m  2 . B. m  2 . C. m  2 . D. m  2 . 169 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu 7: Cho f (x) là hàm bậc bốn và có bảng biến thiên như hình vẽ ( )x2 − 4 (x − 2) Đồ thị hàm số g(x) = f (x) − 1 có mấy đường tiệm cận? A. 3 . B. 4 . C. 1 . D. 2 . Câu 8: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tổng số ( )x2 − 1 (x − 1) đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số g(x) = f 2 (x) − 4 f (x) bằng A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 9: Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g(x) = 1 có ( )3 f x3 − 3x − m 8 tiệm cận đứng? B. 6 . C. 5 . D. 3 . A. 4 . Câu 10: Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = x2 − 2mx + 2m2 − 3m + 3 x3 − 3x2 − m có ít nhất một tiệm cận đứng tiếp xúc với đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9 . Tính tổng các phần tử của tập S . A. 6 . B. −4 . C. 2 . D. 5 . Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 170

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Câu 11: Cho hàm số y = f (x) là hàm số bậc bốn và có bảng biến thiên như sau Đồ thị hàm số g(x) = x4 − 2x2 có bao nhiêu đường tiệm cận f 2 (x)+ 2 f (x)− 3 A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Câu 12: Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d,(a  0) có đồ thị như hình bên. Gọi S là tập các giá trị nguyên của m thuộc khoảng (−2019; 2021) để đồ thị hàm số (x + 1) f (x) ( )( )g(x) = có 5 đường tiệm cận (tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang). f (x) − 2 x2 − 2mx + m + 2 Số phần tử của tập S là A. 4036. B. 4034. C. 2017. D. 2016. Câu 13: Cho hàm số bậc ba f (x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số g(x) = ( )x2 − 3x + 2 2x − 1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? x  f 2 (x) − f ( x )  A. 5 . B. 4 . C. 6 . D. 3 . 171 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu 14: Cho hàm số y = f (x) liên tục tại mọi điểm thuộc \\−1; 3 và có bảng biến thiên như sau Đồ thị hàm số g(x) = 2020 + f (x) có tổng số tất cả các đường tiện cận đứng và đường tiệm 2 f (x)− f 2 (x) cận ngang là B. 5 . C. 6 . D. 3 . A. 4 . Câu 15: Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số ( ) ( )x2 − 4 4 .(x − 3). x3 + 1 y = f ( f (x) − 1) là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Câu 16: Cho hàm số y = x + 1 có đồ thị (C) . Tìm tham số a để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang và ax2 + 1 tồn tại tiếp tuyến của (C) cách một tiệm cận ngang một khoảng bằng 2 − 1. A. a = 2 . B. a = 3 . C. a  0 . D. a = 1. Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x3 x−1 có + 3x2 + m + 1 đúng một tiệm cận đứng. A. m  −4  B. m  −5  C. −5  m  −1. D. m  −5  m  0 m  −1 m  −1 Câu 18: Cho số thực a  0 .Gọi (C) là đồ thị của hàm số  2x −1 khi x  0  ( )y  ax2 (x − 3) ( )f  − 3x + 2x  2x + . = x = 2x + 3x+2 khi x  0 4 4 1  Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 172

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Biết rằng các đường tiệm cận của (C) đều nằm phía trên trục Ox , diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường tiệm cận của (C) và đường thẳng y = x có dạng S = 1 em − n . Tính a mn 2 A. 4 . B. 32 . C. −8 . D. 8 . Câu 19: Có hai giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx + x2 − 2x + 3 có một tiệm cận ngang là 2x −1 y = 1 . Tổng hai giá trị này bằng? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Câu 20: Cho hàm số y = x + 1 có đồ thị (C) . Tồn tại a  để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ax2 + 1 ngang và đường tiệm cận ngang đó cách đường tiếp tuyến của (C) một khoảng bằng 2 − 1. Giá trị của a thuộc tập nào trong các đáp án sau? A. (3; 5) . B. (1; 3) . C. (1; 5) . D. (0; 5) .  x2 − x4 − x3 + 1 khi x  1  x−1 khi x  1 Câu 21: Gọi (C) là đồ thị hàm số y= . Gọi S = a  |x = a  4x2 + 2x + 1 + 2x + 2020  hoặc y = a là tiệm cận của (C) . Tính tổng các phần tử của S . A. 2022 . B. 2020 . C. 4045 . D. 4043 . 2 2 x2 − 2 x + 2 neu x  2  Câu 22: Đồ thị hàm số y = f (x) =  x(x − 2)2 neu x  2 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? C. 3 . D. 4 .   4x2 + x + 1 + 2x A. 1 . B. 2 . Câu 23: Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số đường tiệm cận đứng của hàm ( ) ( )x2 − 4 . x2 + 2x số y =  f (x)2 + 2 f (x) − 3 là A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 2 . Câu 24: Tìm m để đồ thị hàm số y = mx + x2 + 3 − 1 có 2 đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận x2 + x ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2 . A. m = −1 . B. m = 0 . C. m = 2 . D. m = 1 . 173 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu 25: Cho hàm số g(x) = 2018 − m với h(x) = mx4 + nx3 + px2 + qx (m ,n, p ,q  ) . Hàm số h(x) − m2 y = h(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới Tìm các giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = g (x) là 2 . A. 11 . B. 10 . C. 9 . D. 20 . Câu 26: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới đây Gọi tập S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m  −10;10 để đồ thị hàm số y= x−2 có đúng hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của tập S là: f 2 (x) − mf (x) A. 9. B. 12. C. 13. D. 8. Câu 27: Cho hàm số y= x−m  m  − 3  có đồ thị (C). Giả sử M(xM ; yM ) là 1 điểm bất kỳ thuộc 2x + 3  2  (C). Gọi A, B lần lượt là khoảng cách từ M tới các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của (C). Biết diện tích MAB bằng 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. m   5 ; − 11 . B. m  − 5 ; − 121. C. m  − 5 ; 121. D. m   5 ; 121.  2 2   2  2  2   Câu 28: Cho hàm số y= 2x + 2 có đồ thị (C). Giả sử M(xM ; yM ) là điểm thuộc (C) thỏa mãn tổng x−1 khoảng cách từ M tới trục hoành và đường tiệm cận đứng của (C) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của xM + yM bằng B. −2. C. 1. D. −1. A. 2. Câu 29: Cho hàm số y = 2mx + 3 có đồ thị (C) và I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) .Gọi x−m S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho tiếp tuyến tại điểm M trên đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm A,B và tam giác IAB có diện tích bằng 64 .Tổng các phần tử của tập hợp S là A. 58 . B. 2 58 . C. −2 58 . D. 0 . Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 174

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Câu 30: Cho hàm số y = 2x − 1 có đồ thị (C) và I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Giả sử x+1 M (x0 ; y0 ) là điểm trên đồ thị (C) có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với (C) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại hai điểm A,B thỏa mãn IA2 + IB2 = 40 . Giá trị của biểu thức P = x02 + y02 + x0y0 bằng A. 8 . B. 3 . C. 5 . D. 7 . Câu 31: Cho hàm số y= x−2 có đồ thị là (C) . Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận và M (x0 ; y0 ) là x+1 điểm nằm trên (C) với x0  0 . Biết tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại hai điểm P và Q sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IPQ lớn nhất. Tính tổng x0 + y0 . A. x0 + y0 = 0 . B. x0 + y0 = 2 + 2 3 . C. x0 + y0 = 2 . D. x0 + y0 = 2 3 . Câu 32: Cho hàm số y = 2x − 1 có đồ thị là (C) . Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận và M là điểm 2x − 2 nằm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1 . Tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại hai điểm A và B . Hoành độ của điểm M thuộc khoảng nào sau đây để P = IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất? A. (−4;1) . B. (−; −4) . C. (4; +) . D. (1; 4) . Câu 33: Cho hàm số y = x − 1 có đồ thị là (C) . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận và x+3 M (x0 ; y0 ) là một điểm thuộc (C) . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của (C) lần lượt tại hai điểm A , B sao cho IA2 + IB2 = 32 . Tìm tọa độ điểm M biết y0  0 . A. (−5; 3) . B.  2 ; 1 . C.  3 ; 1  . D. (−1; − 1) .    3   5    Câu 34: Cho hàm số y = 2x − 1 có đồ thị (C) . Có bao nhiêu điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng x−1 cách từ M đến hai đường tiệm gấp 2 lần tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (C ) ? A. 0 . B. 1 . C. 4 . D. 2 . 175 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn C Câu 2: Câu 3: Ta có lim x2 − 3x + 2 = 1. Suy ra để hàm số có một tiệm cận ngang thì m  0 (1). mx2 + 4x m x→ Lại có x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) . mx2 + 4x x(mx + 4) Để đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng thì m thỏa mãn m + 4 = 0  m = −4 2m + 4 = 0 m = (2). −2 Từ (1) và (2) suy ra để đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang thì m = −4 . Vậy tổng các phần tử của S bằng −6 . m = −2 Chọn A Điều kiện: x  0 . x  −3 Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có 2 tiệm cận ngang y = 1 và y = −1. Xét phương trình x2 + (m + 1) x − m − 2 = 0  x = 1 x = −m − 2 . Vì x = 1 là nghiệm của tử số nên đồ thị hàm số có ba đường đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có một tiệm cận đứng nữa là x = −m − 2 . Khi đó −m − 2 0  m  −2 −m − 2  −3 m  1 . Vì m nguyên thuộc −10;10 nên m −10; − 9; − 8;....; − 2;1; 2;...;10 Vậy có 19 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B Xét x2 + 3x  0  x  −3  x  0 . ( )lim y x  1 − 1  .x 1+ 3  1 − 1  . 1+ 3 ( )x→+  x  x x  + x = lim x − 1 x2 + 3x = lim = lim = 1. x2 + m+1 x−m−2  m+1 −m − 2  + m+1 −m − 2 x→+ x→+ x2  1 + x + x2  x→+ 1 x2 x Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 . ( ) ( )lim y x  1 − 1 . −x 1+ 3 −  1 − 1 . 1+ 3 ( )x→− x x x x = lim x − 1 x2 + 3x = lim = lim = −1 x2 + m+1 x−m−2  1 m+ 1 −m − 2  x→+ 1 + m + 1 + −m − 2 x→− x→− x2 + x + x2  x2 x Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = −1. Xét x2 + (m + 1)x − m − 2 =0 x =1 x . = −m − 2 Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 176

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 −m − 2  1 m  −3 Khi đó, đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận khi và chỉ khi −m − 2  −3  m  1 . −m − 2  0 m  −2 Lại có m  và m  −10;10 nên m  1;10  −10; −2\\−3 . Do vậy có 18 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 4: Chọn B −2x2 + 9x − 4  0 1  x  4  kiện  ( )Điều  1− m3 x3 + 3x2 + 3x + 1  0  2  x3 + 3x2 + 3x + 1  m3x3 1  x  4  1  x  4     2  2 . (x + 1)3  m3x3 x + 1  mx Do 1  x  4 nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. phương trình 2 Suy ra đồ thị có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi ( )1− m3 x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0 (1) có đúng một nghiệm thuộc đoạn  1 ; 4 .  2 Ta có (1)  x+1 = mx  m = x + 1   5 ; 3 ,  x   1 ; 4 . x  4  2 So với điều kiện, suy ra 5  m  3 . Vậy có một giá trị nguyên m = 2 thỏa mãn. 4 Câu 5: Chọn A Ta có: y = f (x) liên tục trên ; f (x)  0 , x  Mà x2 + 15  0, x  và x + 1  0  x  −1 Suy ra tập xác định của hàm số y = h(x) : D = −1; +) . Xét: lim ( ) ( )f5+ 2022 x+1  = lim f 5 + lim 2022 x+1 = 0 . x x2 +1  x x2 +1 x→+ x→+ x→+ Suy ra y = 0 là tiệm cận ngang. Vậy hàm số y = h(x) có 1 đường tiệm cận ngang. Câu 6: Chọn D Xét hàm số g(x) = m−x f 2(x) − 2 f (x) Biểu thức m − x xác định khi m − x  0  x  m(1) Ta có: f 2(x) − 2 f (x) = 0 (2)   f (x) = 0  x = x1  (−2; −1)  fx) = 2 x = 0  x =  = x2 (1; 2) x −1 x = 2 Hàm số có 5 tiệm cận đứng khi phương trình (2) có 5 nghiệm thỏa mãn điều kiện của (1) m2 177 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu 7: Chọn D Xét phương trình f ( x) − 1 = 0  x = 2(b2) .  = −2 ( b2 ) x Do f (x) là hàm số bậc bốn có lim f (x) = − nên f (x) − 1 = a(x + 2)2 (x − 2)2 (a  0) . x→+ ( )Khi đó, g(x) = x2 − 4 (x − 2) = a ( 1 2) . a(x + 2)2 (x − 2)2 x+ ( )Do lim g x = lim 1 = 0 và lim g(x) = lim 1 2) = 0 , nên y=0 là tiệm cận ngang ( )x→+ x→+ a x + 2 x→+ x→+ a(x + của đồ thị hàm số. ( ) ( )Và lim g x = lim 1 = − và lim g x = lim 1 = + , nên x = −2 là tiệm ( ) ( )x→−2+ x→−2+ a x + 2 x→−2− x→−2− a x + 2 cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số g(x) có 2 đường tiệm cận. Câu 8: Chọn A Câu 9: Tiệm cận đứng: Dựa vào đồ thị ta có: f (x) = m(x − a)(x − 1)2 ,m  0,a  −1  f (x) − 4 = m(x + 1)2 (x − b) ,m  0,b  1. Ta có: g(x) = (x + 1)(x − 1)2 = (x + 1)(x − 1)2 = m2 ( x − a) ( 1 + 1) ( x − b ) . f (x)  f (x) − 4 m2 (x − a)(x − 1)2 (x + 1)2 (x − b) x Dễ thấy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận đứng x = a,x = −1,x = b . Tiệm cận ngang: Ta có: lim y = lim y = 0. Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y = 0 . x→− x→+ Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận. Chọn C ( )Đồ thị hàm số g(x) = 1 có 8 tiệm cận đứng khi phương trình 3 f x3 − 3x = m ( )3 f x3 − 3x − m ( )hay f x3 − 3x = m có đúng 8 nghiệm phân biệt. 3 Đặt u = x3 − 3x  u = 3x2 − 3  u = 0  x = 1 . Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta có đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A(x1; 3) ,B(x2 ; −1) với −2  x1  0  2  x2 . Bảng ghép trục Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 178

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 ( )Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f x3 − 3x = m có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 3 1  m  3  3  m  9 mà m  Z  m 4,5,6,7,8 . 3 Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m . Câu 10: Chọn B ( )Ta có  = m2 − 2m2 − 3m + 3 = −m2 + 3m − 3  0 với mọi giá trị của m . Suy ra x2 − 2mx + 2m2 − 3m + 3  0 với mọi giá trị của x  R . Gọi  : x + c = 0 là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9 . Khoảng cách từ tâm I (1; − 2) đến đường thẳng  bằng bán kính R = 3 . Suy ra d(I;) = 1+c = 3  1 + c = 3  c = 2 1 + c = −3 c = −4 Vậy đường thẳng  có phương trình x + 2 = 0  x = −2 hoặc x − 4 = 0  x = 4 . Đồ thị hàm số y = x2 − 2mx + 2m2 − 3m + 3 có ít nhất một đường tiệm đứng tiếp xúc với đường x3 − 3x2 − m tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9 . Suy ra phương trình x3 − 3x2 − m = 0 có nghiệm x = −2 hoặc x = 4 .  (−2)3 − 3(−2)2 − m = 0  −20 − m = 0  m = −20 . 0 16 − m = 0 m = 16 43 − 3.42 − m = Vậy tổng các phần tử của tập S là −20 + 16 = −4 . Câu 11: Chọn C Mẫu của g(x) là một đa thức bậc 8 nên lim g(x) = 0 nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x→− ( x→+ ) g(x) là đường thẳng y = 0. 179 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số  x = − 2   x = 2 f 2 ( x ) + 2 f ( x ) − 3 = 0   f ( x ) = 1   x = 0 do đó ( )Ta có:  f ( x ) = −3    x = a, a  −  2 ( )x = b, b  2 ( )( ( )() )g(x) = x2 x4 − 2x2 = 2 x+ 2 x− 2 f 2 (x)+ 2 f (x) − 3 2 2 2 (x − a)(x −b) nên x2 x+ x− lim g(x) = lim 1 (x − a)(x − b) = y0  R nên đường thẳng x=0 không phải 2 x→0 x→0 x + ( )( )1) 2 x− là tiệm cận đứng của đồ thị g(x) . ( )( )2) lim g(x) = lim 1 = + nên đường thẳng x = − 2 là x→(− 2 )+ ( )( )x→(− 2)+ x + 2 x − 2 x − a x − b tiệm cận đứng của đồ thị g(x) . ( )( )3) lim g(x) = lim 1 = − nên đường thẳng x = 2 là tiệm x→( 2 )+ x→( 2)+ x + 2 x − 2 (x − a)(x − b) cận đứng của đồ thị g(x) . ( )( )4) lim g(x) = lim 1 = − nên đường thẳng x = a là tiệm cận ( )( )x→a+ x→a+ x + 2 x − 2 x − a x − b đứng của đồ thị g(x) . ( )( )5) lim g(x) = lim 1 = + nên đường thẳng x = b là tiệm cận ( )( )x→b+ x→b+ x + 2 x − 2 x − a x − b đứng của đồ thị g(x) . Vậy đồ thị hàm số g(x) có 5 đường tiệm cận. Câu 12: Chọn C Đồ thị của hàm số y = f (x) đi qua bốn điểm (−2;0) ,(−1; 2) ,(1;0),(2; 2) nên ta có −8a + 4b − 2c + d = 0  a = 1 3 . −a + b − c + d = 2  = 2 2 a + b + c + d = 0 b = 0 8a + 4b + 2c + d = 2  = c − d 1 ( )Do đó, f (x) = 1 x2 − 3x + 2 = 1 (x − 1)2 (x + 2) . 22 Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 180

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 (x + 1) 1 (x − 1)2 (x + 2) g(x) = 2 2 ( )( )1 x3 − 3x − 2 x2 − 2mx + m + 2 2 (x + 1) (x − 1)2 (x + 2) 2 x−1 x+2 == ( ) ( )(x − 2)(x + 1)2 x2 − 2mx + m + 2 (x − 2)(x + 1) x2 − 2mx + m + 2 x  −2 x Điều kiện xác định của g(x) là x  2  −1 x2 − 2mx + m + 2  0 Dễ thấy đồ thị hàm số g(x) có duy nhất tiệm cận ngang là y = 0 , các đường thẳng x = 2; x = −1 là những tiệm cận đứng. Bởi thế, để đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận thì đồ thị này phải có thêm 2 tiệm cận đứng nữa. Tức là, phương trình x2 − 2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2;1; −1 và cùng lớn hơn hoặc bằng −2 . Đặt h(x) = x2 − 2mx + m + 2 , điều kiện kể trên tương đương với m  2 m  −1 '  0 m2 − m − 2  0 m  2 h ( 2 ) h (1) h ( −1) − m  3  0  (6 − 3m)(3 m)(3m + 3)  0  m  2; m  3; m  −1   m h(−2)  0  m  −6  6  −1 6 + 5m  0 m  5 −  x1 + x2  −4 2m  −4 5  −2 Vậy các giá trị nguyên của m  (−2019; 2021) thỏa yêu cầu bài toán là 4; 5;...; 2020 , có 2017 giá trị nguyên. Câu 13: Chọn B x = 0 x = 0  Ta có x  f 2 ( x ) − f ( x ) =0    f ( x) = 0   f 2 ( x ) − f (x) =0   f ( x) = 1 x = 0 loại do điều kiện x  1 2 f (x) = 0 cho nghiệm x = a  1 ; x = 2 là nghiệm kép 2 f (x) = 1 cho ba nghiệm đơn x = 1; x = b; x = c Khi đó có thể viết mẫu thành x(x − a)(x − b)(x − 1)(x − c)(x − 2)2 .g(x) trong đó g(x) vô nghiệm; tử phân tích thành (x − 1)(x − 2) 2x − 1 . ( )Suy ra g(x) = x2 − 3x + 2 2x − 1 2x −1 = x(x − a)(x − b)(x − c)(x − 2).g(x) x  f 2 (x) − f ( x )  Ta dễ dàng kiểm tra được hàm sô có 4 tiệm cận đứng là x = a; x = b; x = c; x = 2 . 181 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu 14: Chọn B x  −1; 3 x  −1; 3  Điều kiện xác định:  f (x )  0   f ( x )  (0; 2 )  D = (−; a)  (b;c)\\1.  2 f (x) − f 2 (x)  0 Ta có: lim g(x) = lim 2020 + f (x) = 2021  y = 2021 là TCN của đồ thị hàm số g(x) . x→− f (x)→1+ 2 f (x) − f 2 (x) lim g(x) = lim 2020 + f (x) = + x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g(x) . ( )( ) ( )x→a− f (x)→2− f x 2 − f x lim g(x) = lim 2020 + f (x) = +  x = b là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g(x) . ( )( ) ( )x→b+ f (x)→0+ f x 2 − f x lim g(x) = lim 2020 + f (x) = + x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g(x) . ( )( ) ( )x→1− f (x)→2− f x 2 − f x lim g(x) = lim 2020 + f (x) = + x = c là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g(x) . ( )( ) ( )x→c− f (x)→0+ f x 2 − f x Vậy đồ thị hàm số đã cho có 5 đường tiệm cận. Câu 15: Chọn B Ta có: f ( f (x) − 1) = 0   f (x) − 1 = −1   f (x) = 0  f (x) − 1 = 2  f (x) = .   3 f ( x) = 0  x = −1 (boi 4) ; f ( x) = 3  x = −2 (kep) x = 2 (boi 4) x = 3 (kep) x = 2 x 4 x = −2 = 3 (x − 3) ( ) ( )Ta lại có x2 − 4 x3 + 1 = 0  . Trong đó x = −2 và x=2 là nghiệm bội 4.  x = −1 x = 3 và x = −1 là nghiệm đơn. Suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận đứng là x = −1 và x = 3 . Bậc của f ( f (x) − 1) = 16  lim y = 0  y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x→ Suy ra hàm số y = ( ) ( )x2 − 4 4 (x − 3) x3 + 1 có 2 TCĐ và 1 TCN. f ( f (x) − 1) Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 182

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Câu 16: Chọn D ax2 + 1 − (x + 1). ax Ta có: y = ( ) ( )ax2 + 1 = ax2 + 1 − ax2 − ax = 1 − ax ax2 + 1 ax2 + 1 ax2 + 1 ax2 + 1 ax2 + 1 Với a  0 không có TCN. Với a  0 có 2 TCN: y =  1 a Tiếp tuyến song song với TCN suy ra y = 0 . Suy ra x0 =1 là hoành độ tiếp điểm a Khi đó tiếp tuyến là y = y  1  = 1+ 1 .  a  a Theo yêu cầu bài toán, ta có 1 + 1  1 = 2 − 1 . Thử đáp án chọn a = 1 aa Câu 17: Chọn D Điều kiện xác định x3 + 3x2 + m + 1  0. Đặt g(x) = x3 + 3x2 + m + 1. Ttường hợp 1: g(1) = 0  m = −5. Khi đó g(x) = x3 + 3x2 −4 = (x − 1)(x + 2)2  y = x−1 (x − 1)(x + 2)2 Suy ra đường thẳng x = 1 không là TCĐ. có: lim y = lim x − 1 = + , lim y = lim x − 1 = + suy ra đường x−1 x+2 2 x−1 x+2 2 ( )( ) ( )( )Ta x→2+ x→2+ x→2− x→2− thẳng x = 2 là TCĐ. Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng x = 2 . Trường hợp 2: g(1)  0  m  −5 Đồ thị của hàm số y= x3 x−1 có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình + 3x2 + m + 1 ( )x3 + 3x2 + m + 1 = 0 có đúng một nghiệm . x  1 .  m = − x3 + 3x2 + 1 có đúng một nghiệm x1 ( )Xét hàm số: f (x) = − x3 + 3x2 + 1 ( ) ( )Ta có x = 0 f(x) = − 3x2 + 6x , f(x) = 0  − 3x2 + 6x = 0  x = −2  Bảng biến thiên: 183 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Để phương trình có đúng một nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số ( )y = − x3 + 3x2 + 1 tại một điểm duy nhất. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m  −5 thì đồ thị m  −1 hàm số có đúng một TCĐ. Kết luận: m  −5 là giá trị cần tìm. m  −1 Câu 18: Chọn B 3x+2 9t+1 9 Ta có lim y = lim  1 + 3 4 = lim  1 + 1  8 = e8  2x + 1   t  x→+ x→+ t→+ Nếu a  4 thì lim y = 0  loại a  4 . x→− Nếu a = 4 thì lim = lim ( )(2x − 1) 4x2 − 3x − 2x =8 x→− x→− 3 −3x(x − 3) 2x −1 = + . ( )lim y = lim ( )x→0− x→0− 4x2 − 3x + 2x x − 3 Vậy (C) có hai đường tiệm cận ngang là y= 8;y 9 1 tiệm cận đứng là x = 0. 3 = e8 , và có 1  8 9  9 8  1  9 64  1 9 32 . Vậy a.m.n = 4. 9 . 32 2  3 8   8  2  4  4 9 49 Ta có S=  + e   e − =  e − = e − = 32 . 3  9  2 Câu 19: Chọn A Khi x → + : mx + x 1 − 2 + 3 mx + x 1 − 2 + 3  1− 2 + 3  m+ 1 − 2 + 3 y= x x2 = x x2 = x m + x x2  x x2 = 2x −1 2x −1 x  1  2− 1 2 − x  x Ta có: lim y = m + 1 = 1  m = 1. x→+ 2 Khi x → − : Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 184

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 mx + x 1 − 2 + 3 mx − x 1 − 2 + 3  1− 2 + 3  m− 1 − 2 + 3 y= x x2 = x x2 = x m − x x2  x x2 = 2x −1 2x −1  1  2− 1 x  2 − x  x Ta có: lim y = m − 1 = 1  m = 3 . Vậy tổng hai giá trị m bằng 4. x→− 2 Câu 20: Chọn D Nhận xét: Khi a = 0 thì y = x + 1: Hàm số không có tiệm cận. Với a  0, hàm số có tập xác định D =  − 1 ; 1  , không tồn lại lim y , lim y , suy ra đồ    −a −a  x→+ x→− thị hàm số không tồn tại tiệm cận ngang Với a  0 , ta có: lim x + 1 = 1 và lim x + 1 = − 1 x→+ ax2 + 1 a x→− ax2 + 1 a Như vậy, đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 1 và y = − 1 aa ( ) x+1 ' ax2 +  y' =  = 1 − ax ax2 + 1 ax2 + 1 1 Tiếp tuyến song song với tiệm cận ngang nên y'(xo ) =0 suy ra x0 = 1 ; y0 = 1+ 1 a a Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tọa độ  1; 1+ 1  là: y = 1+ 1  a a  a Khoảng cách giữa tiệm cận ngang và tiếp tuyến của (C) một khoảng bằng 2 − 1 nên Trường hợp 1. 1+ 1 − 1 = a = 1 (tm) aa 2 − 1  a = 0 (ktm) Trường hợp 2. 1 + 1 + 1 = 2 − 1 . Vậy a = 1 aa Câu 21: Chọn B Ta có: ( )lim y = lim x2 − x4 − x3 + 1 = lim x4 − x4 + x3 − 1 (x − 1) x2 + x + 1 = lim ( ) ( )x→+ x→+ x−1 ( ) ( )x→+ x − 1 x2 + x4 − x3 + 1 x→+ x − 1 x2 + x4 − x3 + 1 x2 + x + 1 =1 ( )= lim x→+ x2 + x4 − x3 + 1 2 ( )lim y = lim  2x + 1  1 + 2x +1  2 x→− x→− 4x2 + 2x + 1 + 2x + 2020 = lim  4x2 + 2020 = − + 2020 x→− − 2x 185 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lim y = lim x2 − x4 − x3 + 1 = lim x3 − 1 = lim x2 + x + 1 =3 ( )( ) ( )x→1+ x−1 x→1+ x→1+ x − 1 x2 + x4 − x3 + 1 x→1+ x2 + x4 − x3 + 1 2 ( )lim y = lim 4x2 + 2x + 1 + 2x + 2020 = 2022 + 7 . x→1− x→1− Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1 ; y = − 1 + 2020 . 22 Vậy tổng các phần tử của S là 1 +  − 1 + 2020  = 2020 . 2  2  Câu 22: Chọn C  1 2   x3 x4  x2 − 2 x + 2  1 1 −2 +  x x− 2  x −2 2  có: lim y = lim 2 = lim  . x  = 0  x→+ x→+ x→+ ( )Ta    1   y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (lim y = lim )4x2 + x + 1 + 2x = lim x+1 = lim 1+ 1 =−1 x→− x x→− x→− 4x2 + x + 1 − 2x x→− 4+ 1+ 1 −2 4 x x2 −  y = − 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 4 y = lim x2 − 2 x + 2 = lim x4 − 4x − 8 = lim x3 + 2x2 + 4x + 4 x x− 2 x→2+ x x − 2 2 x2 + 2 x + 2 x→2+ x x − 2 x2 + 2 x + 2 lim x→2+ 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )x→2+ ( )Vì xl→im2+ ( ( )) ( ) lim x→2+ x3 + 2x2 + 4x + 4 = 28 =0 va x(x − 2) x2 + 2 x+2 >0, x  2 x(x − 2) x2 + 2 x + 2 Nên lim y = +  x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x→2+ Vậy đồ thị hàm số trên có tất cả 3 đường tiệm cận Câu 23: Chọn A ( )( )x2 − 4 x2 + 2x = x(x + 2)2 (x − 2) y = . ( x ) 2 (x) − 3 ( x ) 2  f +2f  f + 2 f (x) − 3 x = 0 Xét x(x + 2)2 (x − 2) = 0  x = −2 . x = 2 x = a(a  −2)  x = 0 Ta có:  f (x)2 + 2 f (x) − 3 = 0  f (x) = 1      x = b ( b  2) .  f ( x ) = −3 x = 2   x = −2 Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 186

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Dựa vào đồ thị ta thấy các nghiệm x = 0; x = 2 là các nghiệm kép. Vì y = f (x) là hàm bậc bốn nên đa thức  f (x)2 + 2 f (x) − 3 có bậc là 8. Vậy y = x(x + 2)2 (x − 2) với k  0. k2x2 (x + 2)2 (x − 2)2 (x − a)(x − b) Vậy hàm số có 4 tiệm cận đứng là x = 0; x = 2; x = a; x = b . Câu 24: Chọn A m− 12 + 3 − 1 lim y = lim x2 x Tập xác định: D = (−; − 1)  (0; + ) . Ta có =1−m x→− x→− − 12 + 1 x m+ 12 + 3 − 1 lim y = lim x2 x = m+1 x→+ x→+ 12 + 1 x Suy ra để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang thì m + 1  1 − m  m  0 lim y = lim mx + x2 + 3 −1 = + ; lim y = lim mx + x2 + 3 −1 = + khi m  1 x2 + x x2 + x − khi m  1 x→0+ x→0+ x→−1− x→−1− Vậy khi m  0,m  1 thì đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = m + 1; y = 1 − m và 2 đường tiệm cận đứng là x = 0; x = −1 . Để 2 đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2 thì 1.2 m = 2  m = 1 Đối chiếu điều kiện m = −1 . Câu 25: Chọn B x = −1  Ta có h(x) = 4mx3 + 3nx2 + 2px + q . Từ đồ thị ta có h(x) = 0  x = 5 và (m  0) . 4 x = 3 Suy ra h ( x ) = 4m( x + 1)  x − 5 ( x − 3) = 4mx3 − 13mx2 − 2mx + 15m .  4   Suy ra h(x) = mx4 − 13 mx3 − mx2 + 15mx + C . Từ đề bài ta có C = 0 . 3 Vậy h(x) = mx4 − 13 mx3 − mx2 + 15mx . Xét h(x) − m2 − m = 0  m = x4 − 13 x3 − x2 + 15x − 1 33 . x = −1  Xét hàm số f (x) = x4 − 13 x3 − x2 + 15x − 1  f (x) = 4x3 − 13x2 − 2x + 15 = 0  x = 5 . 3 4 x = 3 187 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Bảng biến thiên Để đồ thị hàm số g(x) có 2 đường tiệm cận đứng  phương trình h(x) − m2 − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt  phương trình m = x4 − 13 x3 − x2 + 15x − 1 có 2 nghiệm phân biệt. 3 Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện m  0 ta có − 35  m  −1. 3 Do m nguyên nên m −11; − 10;...; − 2. Vậy có 10 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 26: Chọn B Xét hàm y= g(x) = x−2 với x  2. f 2 (x) − mf (x) Khi đó f 2 ( x ) − mf ( x ) = 0   f ( x ) = m  f ( x ) = 0  x = a (a  −1)  Phương trình f ( x ) = 0  x = b (−1  b  2) x = c (c  2, c  n) Với x = a , x = b loại vì không thõa điều kiện. Với x = c, lim g(x) = − nên đường x = c là một tiệm cận đứng của đồ thị g(x) . x→c+ Đồ thị g(x) có hai đường tiệm cận đứng  f (x) = m có một nghiệm x  2 và x  c Dựa vào bảng biến thiên của y = f (x), f (x) = m có một nghiệm x2 và xc  m  −2 . m  0 Câu 27: Chọn A Với m  − 3 , đồ thị (C) có đường tiệm cận đứng là x = − 3 và tiệm cận ngang y = 1 . 2 22 Khoảng cách từ M tới đường tiệm cận đứng: d1 = xM + 3 . 2 Khoảng cách từ M tới đường tiệm cận ngang: d2 = xM − m − 1 = −2m − 3 2m + 3 2xM + 3 2 =. 2(2xM + 3) 2 2xM + 3 Từ giả thiết, MAB vuông tại M nên SMAB = 1 MA.MB = 1 d1.d2 = 1 d1d2 = 2 2 2 Do đó xM + 3 . 2 2m + 3 =2 2m + 3 =8 2m + 3 = 8  m = 5 2 2xM + 3 2m + 3 = −8  m = 2 − 11 2 Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 188

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Câu 28: Chọn D Đồ thị (C) có đường tiệm cận đứng x = 1. Ta có M (C) nên yM = 2xM + 2 . xM − 1 Khoảng cách từ M tới đường tiệm cận đứng: d1 = xM − 1 . Khoảng cách từ M tới trục hoành: d2 = yM = 2xM + 2 . xM − 1 Tổng khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng và trục hoành: d = d1 + d2 = xM − 1 + 2xM + 2 xM − 1 Nếu xM  1, ta có d= xM − 1 + 2 xM + 1 2 2 xM + 1  2 2.2 = 4 xM − 1 Nếu −1  xM  1, ta có 2xM + 2 + 2xM + 2 1− xM 1− xM =( )d1− + = + xM 2 −1 − xM = 2 + (−1 − xM )(1 − xM ) + 2xM + 2 = 2 + xM2 − 1 + 2xM + 2 = 2 + (xM + 1)2  2. 1− xM 1 − xM 1− xM Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xM = −1. Nếu xM  −1, ta có d = 1− xM + 2xM + 2  1− xM 2 xM − 1 Vậy d  2, dấu bằng chỉ xảy ra khi xM = −1, do đó M (−1;0). Câu 29: Chọn D Đồ thị (C) : y = 2mx + 3 có tiệm cận đứng x = m và tiệm cận ngang y = 2m nên giao điểm của x−m hai tiệm cận là I (m; 2m) . Giả sử M  x0 ; 2mx0 +3   (C )  x0 − m  Phương trình tiếp tuyến  với (C) tại M là y = − 2m2 +3 ( x − x0 ) + 2mx0 +3 . x0 − m (x0 − m)2 Tiếp tuyến cắt TCĐ x=m tại A  m; 2mx0 + 2m2 + 6  , cắt tiệm cận ngang tại B ( 2 x0 − m; 2m)  x0 − m  Ta có IA = 4m2 + 6 và IB = 2 x0 − m . Diện tích tam giác IAB là x0 − m SIAB = 64  1 IA.IB = 64  1 4m2 + 6 .2 x0 −m = 64  4m2 +6 = 64  m=  58 2 2 x0 − m 2 Vậy S = 58  58  = 0 . 2 +  − 2  Câu 30: Chọn D Đồ thị (C) : y = 2x − 1 có tiệm cận đứng x = −1 và tiệm cận ngang y = 2 nên I (−1; 2) . x+1 189 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Vì M (C) nên M  x0 ; 2x0 − 1  , ( x0  0)  x0 + 1  Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là y = ( 3 1)2 (x − x0 ) + 2x0 − 1 . + x0 + 1 x0  A  −1; 2x0 −4  , B ( 2x0 + 1; 2) . Ta có IA = 6 và IB = 2 x0 + 1 .  x0 +1  x0 + 1 Khi đó IA2 + IB2 = 40  36 + 4(x0 + 1)2 = 40 , x0 0 (x0 + 1)2  ( x0 + 1)4 − 10(x0 + 1)2 +9 = 0  ( x0 + 1)2 = 1   x0 = 0 (l)  x0 = 2  y0 = 1. ( x0 + 1)2 = 9  x0 = −2 (l)  = 2 (n)   x0 x0 = −4 (l) Suy ra M (2;1) . Giá trị của biểu thức P = 7. Câu 31: Chọn A Đồ thị (C) có đường tiệm đứng x = −1 và đường tiệm cận ngang y = 1 . Giao điểm hai đường tiệm cận I (−1;1) . Gọi M  x0 ; x0 − 2   (C ) với x0  0 . Ta có y = 3 .  x0 + 1  (x + 1)2 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là y = ( 3 1)2 (x − x0 ) + x0 − 2 . + x0 + 1 x0 Tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt tiệm cận đứng tại điểm P  −1; x0 − 5  và cắt tiệm cận ngang  x0 + 1  tại điểm Q ( 2x0 + 1;1) . Ta có SIPQ = 1 IP.IQ = 1 6 .2 x0 +1 =6. 2 2 x0 + 1 Mặt khác SIPQ = pr  r = SIPQ = 6 nên r đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi p đạt giá trị nhỏ p p nhất hay chu vi tam giác IPQ đạt giá trị nhỏ nhất. Mà chu vi tam giác IPQ : ( ) ( )C = IP + IQ + PQ = IP + IQ + IP2 + IQ2  2 + 2 IP.IQ = 2 + 2 12 Nên chu vi tam giác IPQ nhỏ nhất khi IP = IQ  6 = 2 x0 +1   x0 = −1 + 3 x0 + 1  = −1 − . x0 3 ( )Do x0  0 nên x0 = −1 + 3  M −1 + 3 ;1 − 3 . Vậy x0 + y0 = 0 . Câu 32: Chọn D Đồ thị (C) có đường tiệm đứng x = 1 và đường tiệm cận ngang y = 1 . Giao điểm hai đường tiệm cận I (1;1) . Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 190

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Gọi M  x0 ; 2x0 − 1   (C ) với x0  1. Ta có y = − ( 2 )2 .  2x0 − 2  − 2x 2 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là y = − 2 2)2 ( x − x0 ) + 2x0 − 1 . 2x0 − 2 (2x0 − Tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt tiệm cận đứng tại A  1; x0 1  và cắt tiệm cận ngang tại  x0 −  điểm B ( 2 x0 − 1;1) . Ta có IA + IB = 1 1 + 2 ( x0 − 1)  2 2 x0 −  = 2+ 2 x0 = 2 Suy ra Min(IA + IB) = 2 2 khi 1 1 = 2 ( x0 − 1)   . x0 − x0 2− 2 2 Do x0 1 nên x0 = 2+ 2 . Vậy x0 = 2+ 2 . 2 2 Câu 33: Chọn A Đồ thị (C) có tiệm cận đứng x = −3 và tiệm cận ngang y = 1 . Giao điểm của hai đường tiệm cận I (−3;1) . Ta có điểm M ( x0 ; y0 )  (C )  M  x0 ; x0 − 1  và y = 4 , x  −3 .  x0 + 3  (x + 3)2 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có dạng y = ( x0 4 3)2 (x − x0 ) + x0 − 1 . + x0 + 3 Cho y = 1  (x0 + 3)2 = 4x − 4x0 + (x0 − 1)(x0 + 3)  x = 2x0 + 3 . Cho x = −3  y = ( x0 4 3)2 (−3 − x0 ) + x0 −1 = x0 − 5 . + x0 +3 x0 + 3 Suy ra tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt tiệm cận đứng tại  −3 ; x0 − 5  và cắt tiệm cận A  x0 + 3  ngang tại điểm B(2x0 + 3;1) . ( ) ( )Ta có IA2 + IB2 = 32  64 2 xx00 + 3 = 2  x0 = −1 x0 + 3 +4 x0 + 3 = 32  + 3 = −2   x0 = −5 2  Với x0 = −1  y0 = −1 . Với x0 = −5  y0 = 3 . Vậy M (−5; 3) . 191 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu 34: Chọn C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng d1 : x = 1 và tiệm cận ngang d2 : y = 2 . Giả sử M  x0 ; 2x0 − 1   (C ) với x0 1.  x0 − 1  Ta có: d( M;d1 ) = x0 − 1 ; d(M;d2 ) = 2x0 − 1 − 2 = 1 x0 − 1 x0 − 1 Theo đề bài: x0 − 1 + 1 = 2 x0 − 1 . 1 =2  x0 −1 = 1 xx00 = 2 . x0 − 1 x0 − 1 = 0 Vậy có 2 điểm M thỏa mãn đề bài. Chinh phục các bài toán VD - VDC: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | 192

1Phan Nhật Linh ỨNG DỤNG ĐẠOChHinhÀpMhục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỦ ĐỀ 5 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Bài toán: Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f (x) hoặc y = f (x) . Tìm số giao điểm hoặc số nghiệm của phương trình y = f u(x) hoặc biện luận theo tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán đưa ra. Đây là dạng toán hay và khó được các SGD và các trường Chuyên trên cả nước khai thác một cách triệt để. Để giải quyết các bài toán này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp biện luận truyền thống hoặc tối ưu hơn là phương pháp ghép trục (hoặc ghép bảng biến thiên). Đi vào từng ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, chúng ta sẽ hình dung và hiểu sâu hơn về dạng toán này. Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị Cho 2 hàm số y = f (x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C) và (C) : ▪ Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C) là f (x) = g(x) () ▪ Giải phương trình tìm x thay vào f (x) hoặc g(x) để suy ra y và tọa độ giao điểm ▪ Số nghiệm của phương trình () là số giao điểm của (C) và (C) Dạng 2: Sự tương giao của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất ▪ Xét sự tương giao giữa đồ thị (C) : y = ax + b và đường thẳng d : y = kx + cx + d ▪ Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: ax + b = kx +  x  − d ()  c cx + d g(x) = Ax2 + Bx + C = 0 Bài toán biện luận số giao điểm của hai đồ thị Trường hợp 1: Xét A = 0  Kết luận về số giao điểm. Trường hợp 2: Xét A  0 ▪ d cắt (C) tại hai điểm phân biệt  g(x) = 0 hai nghiệm phân biệt khác −d c  = B2 − 4AC  0    2 g  −d  A. −d  −d   c  = c + B. c + C  0 193 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ▪ d cắt (C) tại điểm duy nhất  g (x) có nghiệm kép khác −d hoặc g(x) có hai nghiệm phân biệt c   g( x) = 0   g  −d  −d  c   0 c   trong đó có một nghiệm x =     0   g( x) g  −d  = 0   c     g( x)  0  −d g g(−xc)d= 0 ▪ d không cắt (C)  g(x) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng c  = 0 Bài toán liên quan đến tính chất các giao điểm Phần này, ta chỉ xét bài toán mà có liên quan đến d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. ▪ Bước 1. Tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt  = B2 − 4AC  0 −d   g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác c    −d  A. −d 2 −d (1) g  c   c  c    =  + B. + C  0 ▪ Bước 2. Khi đó gọi A(x1; kx1 + ),B(x2 ; kx2 + ) là tọa độ hai giao điểm x1 + x2 = − B  = A Với x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0 nên theo định lý Viet ta có x1x2 C A ▪ Bước 3. Theo yêu cầu bài toán, ta tìm giá trị của tham số chú ý đối chiếu với điều kiện (1) để chọn đáp án đúng. Dạng 3: Sự tương giao của đồ thị hàm số trùng phương Xét sự tương giao đồ thị (C) : y = ax4 + bx2 + c(a  0) và trục hoành có phương trình y = 0 Phương trình hoành độ giao điểm (C) và trục hoành là ax4 + bx2 + c = 0(1) Bài toán liên quan đến số giao điểm Số giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành chính là số nghiệm của phương trình (1) . Đặt t = x2  0 thì (1) thành at2 + bt + c = 0 (2)   = b2 − 4ac  0 t1 ▪ (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt  (2) có 2 nghiệm dương phân biệt   + t2 = −b  0 a t1.t2 = c  0 a ▪ (C) cắt trục hoành tại đúng 3 điểm phân biệt  (2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0. Chinh phục các bài toán VD - VDC: Sự tương giao của đồ thị hàm số | 194

Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 ▪ (C) cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt  (2) có nghiệm kép dương hoặc (2) có hai nghiệm trái dấu. ▪ (C) cắt trục hoành tại điểm duy nhất  (2) có nghiệm kép bằng 0 hoặc (2) có một nghiệm bằng 0 hoặc một nghiệm âm. ▪ (C) không cắt trục hoành  (2) vô nghiệm, có nghiệm kép âm hoặc có 2 nghiệm phân biệt đều âm ▪ Một số bài toán có thể thay trục hoành thành d : y = m hoặc (P) : y = mx2 + n , phương pháp giải hoàn toàn tương tự như trên. Bài toán liên quan đến tính chất giao điểm Tìm điều kiện để (C) : y = ax4 + bx2 + c(a  0) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A,B,C,D thỏa mãn điều kiện cho trước. ▪ Bước 1: Tìm điều kiện để (1) có 4 nghiệm phân biệt   = b2 − 4ac  0 t1  (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t1 và t2   + t2 = − b  0 (*) a t1.t2 = c  0 a ▪ Bước 2: Giả sử t1  t2  0 khi đó các nghiệm của (1) sắp xếp theo thứ tự tăng dần là − t1 ; − t2 ; t2 ; t1 , xử lý điều kiện và tìm giá trị của tham số. ▪ Đặc biệt: Khi hoành độ 4 điểm A,B,C,D lập thành cấp số cộng hoặc AB = BC = CD khi: t1 − t2 = 2 t2  t1 = 3 t2  t1 = 9t2 195 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716