เชาวฤทธิ์ พันธ์ทอง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบงบทท่ี 5 การออกแบบจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ระดบั ประถมศกึ ษา สาระการเรยี นรู้ 1. ทักษะทจี่ าเป็นในการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตรร์ ะดบั ประถมศึกษา 2. การออกแบบการจดั การเรยี นร้คู ณิตศาสตรร์ ะดับประถมศึกษา จุดประสงค์การเรยี นรู้ 1. เพือ่ ศึกษาทกั ษะทีจ่ าเปน็ ในการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์ระดบั ประถมศึกษา 2. เพอ่ื ศึกษาแนวทางการออกแบบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ระดับประถมศึกษา 5.1 ทักษะทีจ่ าเป็นในการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ระดบั ประถมศึกษา คณิตศาสตร์มีความสาคัญต่อมนุษย์เป็นอย่างมากท้ังในด้านการศึกษาและการพัฒนาคน มี นักวิชาการกล่าวถึงความสาคัญของคณิตศาสตร์ไว้เป็นจานวนมาก กัญญา โพธิวัฒน์ (2542) กล่าวถึง ความสาคัญของคณติ ศาสตรไ์ ว้ ดงั น้ี 1. ความสาคัญในแง่ชีวิตประจาวัน สมัยก่อนประวัติศาสตร์ คณิตศาสตร์มีความสาคัญต่อ ชีวิตประจาวันของมนุษย์ ในรูปของการจับคู่ ซ่ึงเป็นมโนภาพพ้ืนฐาน อันจะนาไปสู่มโนภาพ เร่ือง จานวนหรือการนบั ตอ่ มามีการคานวณ บวก ลบ คูณ หาร เก่ียวกับจานวน เรขาคณิต สาหรับตัด แบ่ง ที่ดนิ ทาเกษตรอยา่ งครา่ ว ๆ ตลอดจนสิง่ ก่อสร้างตา่ ง ๆ ซึ่งเกี่ยวกบั ขนาดและรูปทรง ในการ ค้าขายก็มี การคิดคานวณ ปัจจุบันในสังคมโลกสามารถติดต่อสื่อสารกันได้อย่างรวดเร็ว ท้ังในด้าน สังคม เศรษฐกิจ การเมือง หรือวัฒนธรรมอื่น ๆ เพราะได้รับอิทธิพลจากวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี คณิตศาสตร์ ซ่ึงมีความจาเป็นจะต้องใช้ก็มีความซับซ้อนเพ่ิมขึ้นเร่ือย ๆ มีความจาเป็นต้องเรียนเลข ฐานอื่น ๆ นอกจากฐานสิบ เพราะเลขฐานเหล่าน้ันเป็นวิธีการของอุปกรณ์เคร่ืองมือหลายอย่าง เช่น คอมพิวเตอร์ เป็นต้น เราอาจจะไม่ได้ใช้พืชคณิตในการคานวณซ้ือขาย แต่อาจจะต้องใช้วิชาความ น่าจะเป็นและสถิติ (Probability and Statistics) แทน เพราะวิชาเหล่าน้ีช่วยตัดสินใจได้ดีกว่าใช้ แคลคูลัสคานวณอัตราขึ้นลงของราคาสินค้าวิศวกรต้องรู้จักเรขาคณิตพรรณนา ( Descriptive Geometry) หรือ แคลคูลัส นักธุรกิจต้องรู้จักการบัญชี รู้การใช้โปรแกรมเส้นตรง ( Linear Programming) และ สถิติ แมก้ ระทัง่ ในวิชาโหราศาสตรก์ ็ต้องคานวณองศาของดวงดาว เป็นต้น 2. ความสาคัญในแง่ภาษาอื่น ๆ คณิตศาสตร์เป็นเรื่องของปริมาณ หรือจานวนหรือ ขนาด ย่อมมีความจาเปน็ ทจี่ ะตอ้ งเขา้ มามบี ทบาทในศาสตรส์ าขาต่างๆทม่ี ่งุ พัฒนาไปข้างหน้า ยิ่ง คณิตศาสตร์

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 127 พัฒนาไปมากเพียงใดศาสตร์เหล่านี้กย็ ่ิงได้ใชค้ วามเจรญิ ทางคณิตศาสตร์มาเป็นเครื่องมือ พัฒนาตนเอง มากข้ึนเพียงนั้นเป็นต้นว่า ฟิสิกส์เดิมใช้แต่วิชาพืชคณิต (Algebra) ต่อมาในสมัยของ นิวตัน ก็ได้ใช้ แคลคูลัส มีการใช้แคลคูลัสของการแปรผัน (Calculus of Variation) เรขาคณิตดิฟเฟอ เรนเชียล (Differential Geometry) มีกลศาสตร์ควอนตั้ม (Quartum Macenics) ฯลฯ จนอาจกล่าวได้ ว่า ฟสิ กิ ส์กบั วชิ าคณติ ศาสตรไ์ มส่ ามารถแยกจากกันได้อย่างเด็ดขาดแม้ในวิชาสังคมศาสตร์และพฤติกรรม ศาสตร์ ปจั จบุ ันใช้การศกึ ษาในเชิงวเิ คราะห์ เชน่ จติ วิทยา เศรษฐศาสตร์ ประชากรศาสตร์ เป็นต้น 3. ความสาคัญในแง่การคิด คณิตศาสตร์เป็นเร่ืองของเหตุผล วิชาคณิตศาสตร์สอนให้คน ได้ รู้จักใช้เหตุผล โครงสร้างของวิชาคณิตศาสตร์เองยังมีบทบาทต่อการแก้ปัญหาหรือต่อวิชาการคิด ของ มนุษย์ สามารถคิดได้อย่างมีเหตุผล อย่างมีระบบระเบียบ มีลาดับ มีความถูกต้องชัดเจน ไม่ด่วน สรุป ตามสามัญสานกึ ซ่ึงคุณสมบตั ิเหล่าน้ผี ้เู รยี นคณิตศาสตร์ยอ่ มสามารถสรา้ งและสะสมได้ 4. ความสาคัญในแง่การสร้างคุณลักษณะ คือ ความเป็นผู้มีเหตุผลกระบวนการทาง คณิตศาสตร์ตอ้ งมเี หตุผลหรอื ทฤษฎีมาสนับสนุนประกอบการพิสูจน์ความเป็นผู้มีลักษณะนิสัยละเอียด และสุขุมรอบคอบ ความเป็นผู้มีไหวพริบ และปฏิภาณท่ีดีที่เกิดจากการท าโจทย์คณิตศาสตร์ท่ีต้อง อาศัยเทคนิคนานาประการเพ่ือแก้โจทย์ปัญหาให้สาเร็จ ฝึกให้พูดและเขียนตามความคิด คุณสมบัติ เหล่านี้จะสะสมในตัวผู้เรียนคณิตศาสตร์ทีละน้อยจนเป็นนิสัยในที่สุด คณิตศาสตร์มีบทบาทสาคัญยิ่ง ต่อการพัฒนาความคิดของมนุษย์ทาให้มนุษย์มีความคิด สร้างสรรค์คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ ระเบียบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาแลสถานการณ์ ได้อย่างถี่ถ้วนรอบคอบ ทาให้สามารถ คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจและแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้อง เหมาะสม คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือใน การศกึ ษาวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี ตลอดจนศาสตร์อ่นื ๆ ที่เกยี่ วข้อง คณิตศาสตร์จึงมีประโยชน์ต่อ การดารงชีวิตช่วยพัฒนาคุณภาพชีวิตให้ดีข้ึน นอกจากนี้ คณิตศาสตร์ยังช่วยพัฒนาคนให้เป็นมนุษย์ที่ สมบูรณ์ มีความสมดุลท้ังทางร่างกาย จิตใจ สติปัญญาและอารมณ์ สามารถคิดเป็น ทาเป็น แก้ปัญหา เป็น และสามารถอยู่ร่วมกบั ผอู้ ืน่ ได้อยา่ งมคี วามสขุ ฉวีวรรณ เศวตมาลย์ (2545) กล่าวถงึ ความสาคัญของคณิตศาสตร์ว่าเป็นวิชาที่มี วิวัฒนาการ มาเป็นเวลานานนับแต่ยุคอารยธรรมโบราณ และมีอิทธิพลต่อชีวิตความเป็นอยู่ของมนุษย์ จนถึง ปัจจุบันและคาดว่าจะยังทรงอิทธิพลอยู่ต่อไปในอนาคตปัจจุบันคณิตศาสตร์ได้แตกแขนง ออกเป็น หลายสาขา แตล่ ะสาขายังแตกก่งิ กา้ นออกไปอกี มากมาย ซ่งึ แต่ละก่ิงก้านมีเนื้อหาสาระอยู่ จานวนมาก เกินกว่าที่บุคคลหน่ึงจะสามารถเรียนรู้ได้หมดด้วยเหตุนี้จึงเป็นไปไม่ได้ที่เราจะศึกษาและ เรียนรู้ทุกสิ่ง ทุกอย่างที่เก่ียวกบั คณติ ศาสตร์ แตส่ งิ่ ท่ีทาได้ คอื การพยายามทาความเข้าใจในธรรมชาติ ทั่ว ๆ ไปของ คณิตศาสตร์ โครงสร้าง และองค์ประกอบที่สาคัญของคณิตศาสตร์ น่ันคือศึกษาเฉพาะ ส่วนท่ีเป็น “หลกั พ้นื ฐานทางคณติ ศาสตร์” โดยศึกษาประวัตคิ วามเป็นมาของคณิตศาสตร์ตั้งแต่สมัย เร่ิมต้นจนถึง ปัจจุบัน เพื่อให้เห็นวิวัฒนาการและช่วงเวลาท่ีคณิตศาสตร์แต่ละสาขาได้เกิดข้ึน ซึ่งจะได้ นามาใช้เป็น

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 128 ข้อมูลในการพิจารณาประกอบการตัดสินใจในการพัฒนาหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับ โรงเรียน และ ระดับชนั้ อื่น ๆ คณิตศาสตร์เป็นวิชาท่ีมีความสาคัญเป็นอย่างยิ่ง เพราะเป็นเคร่ืองมือการเรียนรู้ในศาสตร์ สาขาต่างๆ มีความสาคัญต่อชีวิตประจาวัน และพัฒนาวิธีคิด ของมนุษย์ ทาให้เป็นคนมีนิสัยสุขุม รอบคอบและมีเหตุผลทีจ่ ะนามาใชใ้ นการตัดสนิ ใจได้ ในอดีตการจดั การเรียนรู้จะเน้นบทบาทของครูใน ฐานะเป็นผู้จัดการเรียนรู้ หรือท่ีเรียกว่าเป็นการจัดการเรียนรู้โดยยึดครูเป็นศูนย์กลาง (Teacher Centered) ครูจะเปน็ ผู้ท่มี ีบทบาทหนา้ ทห่ี าความรู้มาจัดการเรียนรู้แก่ผู้เรียน โดยครูส่วนใหญ่ก็จะเคย ชินกับการสอนแบบเดิม ๆ ท่ีเคยปฏิบัติมา แต่ในปัจจุบันมีการกาหนดนโยบายการจัดการศึกษาที่ เปล่ยี นไป การจัดการเรียนรู้ในปัจจุบันจะเน้นท่ีผู้เรียนเป็นสาคัญ หรือท่ีเรียกว่า เป็นการจัดการเรียนรู้ โดยยึดผู้เรียนเป็นศูนย์กลาง (Student centered หรือ Child Centered) ซึ่งเป็นรูปแบบการจัดการ เรียนรู้ที่ถูกกาหนดไว้ในพระราชบัญญัติการศึกษาแห่งชาติ ที่ครูทุกคนจะต้องมีทักษะต่าง ๆ ทาสาคัญ สาหรับการจัดการเรียนรู้โดยยึดผู้เรียนเป็นสาคัญ จึงเป็นความจาเป็นที่ครูทุกคนจะต้องให้ความสนใจ กับรายละเอียดในส่วนนี้ โดยจะต้องศึกษาทาความเข้าใจ และหาแนวทางมาใช้ในการปฏิบัติให้ประสบ ผลสาเร็จ ทักษะการสอน ทักษะการสอนคือความสามารถในการปฏิบัติการสอนด้านต่าง ๆ อย่างชานาญซึ่งครอบคลุม การวางแผนการเรียนการสอน การออกแบบการเรียนการสอนการจัดการเรียนการสอนการใช้วิธีการ สอนเทคนคิ การสอนรปู แบบการเรยี นการสอนระบบการสอน สื่อการสอนการประเมินผลการเรียนการ สอนรวมทงั้ การใช้ทฤษฎี หลักการเรียนรู้ วิธีการสอนและรูปแบบการสอนต่าง ๆ ทักษะสาคัญท่ีผู้สอน ควรฝกึ ปฏิบตั แิ ละคานึงถงึ ในการสอน คือ 1. ทักษะการนาเข้าส่บู ทเรยี น (Set Induction) จดุ มงุ่ หมาย 1) เพ่อื ให้ผู้เรยี นเกิดความพร้อมในการท่ีจะเรียน 2) เพอ่ื โยงประสบการณ์เดิมของผเู้ รียนเข้ากับประสบการณใ์ หม่ทจ่ี ะสอน 3) เพ่อื จดั บรรยากาศของการเรียนใหเ้ ป็นท่ีนา่ สนใจอยากเรยี นรู้ 4) เพอื่ กาหนดขอบเขตของบทเรียน 5) เพอื่ ให้ผเู้ รียนรคู้ วามหมาย รคู้ วามคิดรวบยอด และหลักการของบทเรียนใหม่ การใชท้ กั ษะการนาเขา้ สู่บทเรียน 1) กอ่ นเริ่มบทเรียนทจ่ี ะสอน

129 2) กอ่ นเร่มิ การอธบิ ายและซักถาม 3) กอ่ นจะตงั้ คาถาม 4) กอ่ นจะให้นัดเรียนอธบิ าย 5) ก่อนจะให้นักเรยี นดภุ าพยนตร์ 6) ก่อนทจ่ี ะทากิจกรรมต่างๆ เทคนคิ การนาเขา้ สบู่ ทเรยี น 1) ใชอ้ ปุ กรณ์ที่สมั พนั ธ์กบั เนื้อหาวชิ า เชน่ ใช้ของจริง รูปภาพ เป็นต้น 2) ให้นักเรยี นลองทากจิ กรรมบางอยา่ งทส่ี ัมพนั ธ์กับบทเรยี น 3) เลา่ นทิ าน หรือเหตกุ ารณ์ตา่ ง ๆ โยงมาส่บู ทเรยี นทจี่ ะสอน 4) ตงั้ ปญั หา ทายปัญหา เพื่อเร้าความสนใจของนักเรยี นใหค้ ิดหาคาตอบ 5) สนทนาซกั ถามถึงเรื่องต่าง ๆ เพือ่ นาเข้าสู่บทเรยี น 6) เลน่ ละคร หรอื การแสดงบทบาทสมมติ เพอื่ ใหผ้ ้เู รยี นสนใจ 7) ร้องเพลงซ้งึ เปน็ เพลงเก่ยี วขอ้ งกบั เรื่องท่จี ะสอน 8) สาธติ ทดลอง เพ่อื นาเข้าสู่เร่อื งทีจ่ ะสอน 9) ทาสิ่งแปลกๆไปจากเดมิ เพอื่ เป็นการเรยี นร้องความสนใจของนกั เรียน 10) ให้นกั เรียนฟังเสยี งตา่ ง ๆ เพือ่ เป็นการนาเข้าส่กู ารเรียน มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 2. ทกั ษะการอธิบาย (Presentation) การอธบิ ายเป็นความจาเป็นสาหรบั ผู้สอน เพราะเป็นการส่ือความระหว่างผู้เรียนกับผู้สอนให้มี ความเขา้ ใจตรงกัน การยกตวั อยา่ งประกอบการอธิบายเพื่อขยายสาระสาคัญ อาจทาได้ 2 แบบ คอื แบบนิรนัย เป็นการอธิบายโดยบอกกฎ หรือหลักการ แล้วจึงยกตัวอย่าง ขยายกฎ หรือ หลักการนน้ั ๆ ให้เขา้ ใจชัดเจนมากขน้ึ แบบอุปนัย เป็นการยกตัวอย่างรายละเอียดย่อย ๆ ท่ีเข้ากับความรู้และประสบการณ์ของ นกั เรียน ซึ่งเข้าใจงา่ ย และนาไปสกู่ ารสรปุ เปน็ กฎ หรอื เปน็ หลักการภายหลัง ลกั ษณะการอธบิ าย 1) เวลาทีใ่ ชใ้ นการอธบิ ายไม่นานเกินควร เวลาทใี่ ช้ทัง้ หมดไมเ่ กนิ 10 นาที 2) ภาษาท่ีใช้ง่ายตอ่ ความเขา้ ใจ รัดกุมไม่เยน้ เยอ้ 3) สอื่ การสอน หรือตวั อย่างนา่ สนใจ ช่วยให้เขา้ ใจไดง้ ่ายขึน้ 4) คลอบคมุ ใจความสาคญั ไดค้ รบถ้วน 5) การอธบิ ายเริ่มจากเรอ่ื งท่ีเข้าใจงา่ ยไปหาเรื่องท่ีเข้าใจยาก 6) ทา่ ทางในการอธิบายน่าสนใจ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 130 7) ใช้แนวคิด หรือถ้าเป็นการอธิบายของนักเรียนให้ใช้ความรู้ที่ได้จากการเรียนมาเป็น แนวทางในการอธิบายดว้ ยความเข้าใจ 8) มีการสรุปผลการอธิบายด้วย 3. ทักษะการใช้คาถาม (Question) คาถามนับเป็นส่ิงสาคัญในการเรียนการสอน โดยเฉพาะอย่างย่ิงการศึกษาในปัจจุบันท่ีเน้นให้ เด็กคิดเป็น แก้ปัญหาเป็น ซึ่งการที่จะให้บรรลุเปูาหมายดังกล่าว ผู้สอนควรมีวิธีการและเทคนิคต่างๆ มายมาย ส่ิงหน่ึงทสี่ าคัญคอื การใช้คาถาม ประเภทของคาถาม คาถามที่ใช้ความคิดเป็นพ้ืนฐาน เป็นคาถามง่ายๆไม่ต้องใช้ความคิดลึกซ้ึงอะไรมากนัก แบ่ง ออกเป็น 2 ประเภท 1) คาถามทีจ่ ะได้คาตอบจากความรู้ทีเ่ รยี นมาแล้ว เพอื่ ทดสอบความจา 1.1) คาถามที่ต้องการคาตอบวา่ ใชห่ รอื ไม่ใช่ 1.2) คาถามท่ตี อ้ งการคาตอบเดียว หรอื ประโยคสัน้ ๆ 2) คาถามทผ่ี ตู้ อบตอ้ งอาศยั ประสาทสมั ผสั ของตน จากการสังเกต และประสบการณ์ คาถามเพ่ือคิดค้น เป็นคาถามท่ีผู้ตอบจะต้องใช้ขั้นตอนของความคิดลึกซ้ึงกว่าความคิด พ้นื ฐาน เชน่ 1) ความเขา้ ใจ เป็นคาถามที่ตอ้ งใชค้ วามรูเ้ ดมิ มาแก้ไขปัญหาใหม่ 2) การนาไปใช้ เป็นคาถามทต่ี ้องอาศัยความคดิ พ้นื ฐานและความเข้าใจ 3) การเปรียบเทยี บ เปน็ คาถามทต่ี อ้ งวเิ คราะหเ์ รือ่ งราววา่ สิ่งไหนสาคญั 4) เหตุผล เป็นคาถามท่ีต้องทราบความสัมพันธ์ของเรื่องราว อะไรก่อน อะไรหลัง สาเหตุ มาจากอะไร 5) สรุปหลกั การ เปน็ คาถามท่ีมีการวเิ คราะห์สาเหตุ หรือความสาคัญของเรื่องราวนั้น แล้ว รวมทง้ั ความสมั พันธ์ของเรอื่ งราว คาถามที่ขยายความคดิ เปน็ คาถามท่ไี มไ่ ด้กาหนดแนวคาตอบ ไดแ้ ก่ 1) การคาดคะเน เป็นคาถามเชิงสมมตุ ิฐาน คาดการณ์ คาตอบเป็นไปหลายทาง 2) การวางแผน เปน็ คาถามที่ผู้ตอบตอ้ งเสนอแนวคดิ วางโครงการ 3) การประเมินคา่ คาถามเพือ่ ให้เกดิ การวนิ ิฉยั ตีค่าออกมาได้ เทคนคิ การใช้คาถาม 1) ถามด้วยความมนั่ ใจ ผ้สู อนตอ้ งเตรยี มคาถามไวเ้ พือ่ ใหเ้ กิดความมัน่ ใจ 2) ถามอย่างกลมกลืน กลมกลนื กบั เน้อื หา กิจกรรมท่ีกาลงั เรยี นอยู่

131 3) ถามโดยใช้ภาษาท่พี ดู เขา้ ใจง่าย ใช้ภาษาให้เหมาะสมกับระดับผเู้ รียน 4) การให้นกั เรียนมีโอกาสตอบหลายคนในการสอน 5) การเลอื กถาม ครคู วรเลือกถามผู้เรยี นบางคน เพอื่ จุดประสงคข์ องครู 6) การเสริมกาลงั ใจ หรือใหผ้ ลย้อนกลับ 7) ใชค้ าถามหลายๆประเภทในการสอนแตล่ ะครงั้ 8) การใชก้ ริ ิยา ทา่ ทาง เสียงในการประกอบการถาม 9) การใชค้ าถามรุก คือ การใชค้ าถามต่อเนือ่ งอีก เพอื่ ให้ผู้เรยี นแสดงความรมู้ ากขึ้น มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 4. ทกั ษะการเสรมิ กาลังใจ (Reinforcement) การเสรมิ กาลงั ใจ หมายถงึ การให้กาลังแก่ผู้เรียน เช่น การให้คาชมเชย หรือ แสดงพฤติกรรม ท่ปี รารถนาดแี ก่ผเู้ รียน ทาให้ผู้เรยี นมีเจตคตทิ ่ดี ใี นการเรียนและมีความเช่อื มนั่ ในตนเอง ประเภทของการเสริมกาลงั ใจ 1) การเสริมกาลังใจทเี่ กิดขนึ้ จากการตอ้ งการภายในของผ้เู รียน 2) การเสริมกาลงั ภายนอก 2.1) การเสริมกาลังใจโดยให้นกั เรียนมสี ว่ นรว่ มในการชมเชย 2.2) การเสริมกาลงั ใจด้วยการใหร้ างวัล และสญั ลักษณต์ า่ งๆ 2.3) การเสรมิ กาลังใจด้วยการใหผ้ เู้ รียนเหน็ ความก้าวหน้าของตนเอง หลักการเสริมกาลังใจ 1) นักเรยี นควรไดร้ บั การเสรมิ กาลังใจทนั ทีเมอ่ื แสดงพฤติกรรมสอดคล้องกบั เปูาหมาย 2) ควรเลอื กวิธกี ารเสริมกาลังใจใหเ้ หมาะสมกับนักเรยี นแต่ละคน 3) วธิ ีการเสริมกาลังควรสอดคลอ้ งกบั พฤติกรรมท่ีผู้เรียนแสดงออก 4) การลงโทษนนั้ ไมค่ วรใชเ้ ปน็ การเสริมกาลังใจแตเ่ ป็นการขจดั พฤติกรรมเทา่ นนั้ 5) ครูควรระลึกเสมอว่า การเสริมกาลังใจอาจมีผลสาหรับผู้เรียนหนึ่งคน แต่ไม่มีผลต่อ ผู้เรียนอกี คน เทคนิคการเสรมิ กาลังใจ 1) เสริมกาลังใจในจงั หวะท่ีเหมาะสม 2) เสริมกาลงั ใจยอ้ นกลบั 3) ไม่พูดเกนิ ความจรงิ 4) ไม่ใชค้ าพดู ทจี่ ากดั ในวงแคบใชว้ ธิ ีการเสริมกาลงั ใจหลายๆวิธี 5) ไม่ควรเสริมกาลังใจบางประเภทบอ่ ยเกินไป 6) ใช้วิธกี ารเสริมกาลังใจตา่ งๆกนั และในโอกาสต่างๆกัน

132 7) การเสรมิ กาลังใจควรเป็นไปในทางบวกมากกวา่ ทางลบ 8) การเสริมกาลังใจไมค่ วรมาจากครเู พยี งอย่างเดยี ว ควรใชส้ ่ิงแวดลอ้ มร่วมดว้ ย 9) เสรมิ กาลงั ใจโดยใชค้ าพดู ท่ีเหมาะสมกับวยั และความสามารถของนกั เรียน 10) หาวิธีการเสริมกาลังใจทเ่ี หมาะสมกบั ลักษณะของผเู้ รียน 5. ทกั ษะการสรปุ บทเรยี น (Set Closure) การสรุปบทเรยี นเป็นการทผี่ ู้สอนพยายามให้นักเรียนรวบรวมความคิด ความเข้าใจของตนเอง จากการเรียนรู้ท่ีผ่านมา ว่าได้สาระสาคัญ หลักเกณฑ์ ข้อเท็จจริง หลักการ หรือแนวความคิดสาคัญ ในช่วงการสอนนั้นอย่างไรบ้าง ทั้งนี้เพื่อให้นักเรียนได้รับประเด็นสาคัญของบทเรียนได้ถูกต้องว่ามีไร บ้าง และจะนาความรใู้ หมไ่ ปสมั พนั ธก์ บั ความรเู้ ดมิ อย่างไร รปู แบบของการสรปุ บทเรยี น 1) การสรุปด้านเน้ือหาสาระ คือ การเชือ่ มโยงความรู้ หรือเน้ือหาสาระทส่ี าคัญเข้าด้วยกนั 2) การสรุปดา้ นความคดิ คอื การทาให้เห็นแนวความคดิ เกยี่ วกบั การเรียนรู้ เทคนคิ การสรปุ บทเรยี น 1) สรปุ โดยการอธบิ ายสัน้ ๆชัดเจน ทบทวนสาระทเ่ี รียนมา 2) สรปุ โดยการใชอ้ ปุ กรณ์ หรือรปู ภาพประกอบ 3) สรปุ โดยการสนทนาซกั ถาม 4) สรุปโดยการสรา้ งสถานการณ์ 5) สรุปโดยนทิ าน หรอื การยกสุภาษติ 6) สรปุ โดยการปฏบิ ัติ ทักษะที่ได้แสดงไว้ข้างต้นเป็นทักษะที่ผู้สอนควรได้มีการฝึกเป็นพื้นฐานก่อน เพื่อให้เกิดความ คลอ่ ง ความชานาญ เม่อื ผสู้ อนฝึกจนเกิดทกั ษะดีแล้วในขณะทท่ี าการเรียนการสอนก็จะเกิดความม่ันใจ และประสบความสาเรจ็ ในการจดั การเรียนการสอนไดเ้ ปน็ อย่างดี มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 6. ทักษะการเร้าความสนใจ (Stimulation) การเร้าความสนใจเป็นสิ่งท่ีสาคัญอย่างยิ่งที่จะช่วยให้การเรียนการสอนประสบผลดี เพราะจะ ช่วยให้ครูปรับปรุงวีการสอนให้เด็กเกิดความสนใจที่จะเรียน และติดตามกิจกรรมโดยตลอด ไม่เบ่ือ หนา่ ยดงั นั้น การเรา้ ความสนใจเดก็ อยตู่ ลอดเวลาการสอนของครูจึงจาเป็นต้องพยายามใช้เทคนิคต่างๆ มาชว่ ย ประโยชน์ของการเร้าความสนใจ 1) ทาให้เดก็ มีความพรอ้ มทจี่ ะเรียนบทเรยี นนน้ั

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 133 2) ทาใหเ้ ด็กมีความสนใจในบทเรยี นอยา่ งสม่าเสมอ 3) ทาใหค้ รมู ีความม่ันใจในการสอนเม่อื เด็กสนใจเรยี น เทคนิคการเรา้ ความสนใจ 1) การใชส้ ีหนา้ ท่าทางประกอบการสอน มีการใช้ท่าทางประกอบการสอนจะทาให้ผู้เรียน สนใจการเรยี นดขี น้ึ 2) การใช้ถ้อยคาและน้าเสียง ถ้อยคาท่ีครูใช้และน้าเสียงเป็นสิ่งที่กระตุ้นให้ผู้เรียนสนใจ เรียน เสียงที่ราบเรยี บ ไมม่ ีการเนน้ หนักเบา จะทาใหก้ ารเรยี นน้ันไม่น่าสนใจ 3) การเครื่องไหวของครู ครูควรเคลื่อนไหวขณะสอน ครูควรเปล่ียนจุดน่ัง และจุกยืนของ ตน เพราะจะทาให้ผเู้ รียนมคี วามกระตนื รอื รน้ มากขึน้ 4) การเน้นจุดสาคัญของเร่ือง และการเว้นระยะการพูด หรืออธิบาย ถ้าครูผู้สอนต้องการ ใหผ้ ้เู รียนเกิดความสนใจ และเอาใจใส่ตอนท่ีสาคัญ ครูควรฝึกการเน้นคาพูด สาเนียง จังหวะ เพื่อเป็น การช่วยใหน้ ักเรียนเกิดความสนใจ 7. ทกั ษะการใช้กระดาน 1) ครูควรทาความสะอาดกระดานทุกคร้ังที่เขา้ สอน และควรลบใหส้ ะอาดให้เป็นนสิ ยั 2) ในการเขียนกระดานทุกคร้ังไม่ควรเขยี นทเี ดียวท้ังแผน่ ควรแบง่ ออก 3 สว่ น 3) ในการเขยี นกระดานควรเขียนจากซา้ ยมือไปขวามือ 4) ถา้ มหี ัวขอ้ เรอ่ื ง ควรเขยี นไวต้ รงกลางกระดานทเี่ ราแบง่ ไว้ 5) ขณะเขียนต้องยืนห่างกระดานพอประมาณ แขนเหยยี ดตรง จับชอลก์ ทามมุ 45 องศา 6) ในการเขียนตวั หนงั สอื ตอ้ งใหเ้ ป็นเสน้ ตรงไม่คดเค้ียว 7) ถ้าตอ้ งการอธบิ ายขอ้ ความบนกระดาน ไมค่ วรยืนบัง ควรใช่ไม้ชี้ 8) ถา้ มีข้อความสาคัญควรใชช้ อล์กขดี เสน้ ใต้ 9) ควรใชช้ อลก์ สี เมอ่ื ต้องการเนน้ ข้อความใดโดยเฉพาะ 10) เขยี นคาตอบของผ้เู รยี นลงบนกระดาน เพอื่ เป็นการเสรมิ กาลงั ใจ 11) การใช้เครือ่ งมอื ในการเขียนรปู ทรง ผู้สอนควรเตรียมเครอื่ งให้พร้อม 12) เปดิ โอกาสให้ผู้เรียนไดม้ ีสว่ นรว่ มในการใชก้ ระดาน 13) ถ้าข้ึนเรือ่ งใหมค่ วรลบของเก่าใหห้ มดเสยี ก่อน 14) การลบกระดาน โดยลบจากบนลงลา่ ง และลบไปในทางเดียวกนั 8. ทกั ษะการใชก้ ิริยาวาจา ทา่ ทางในการสอน

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 134 การใช้วาจา กริ ยิ า ท่าทางในการสอน นับวา่ เป็นส่ิงสาคัญอย่างยิ่งของครู เพราะการท่ีนักเรียน จะเกิดความพอใจและสนใจที่จะเรียนน้ัน บุคลิกภาพของครูเป็นส่ิงสาคัญอย่างหน่ึง เพราะบุคลิกภาพ ของครู รวมท้ังความสามารถ ในการส่ือความหมายระหว่างครูกับนักเรียนจะช่วยให้นักเรียนไม่น่าเบื่อ และสนใจตอ่ การสอนของครู เทคนคิ การใชว้ าจา กริ ยิ า ท่าทางประกอบการสอน และบุคลิกภาพ 1) การเคล่อื นไหวและเปลย่ี นอริ ิยาบถ เริ่มแรกทเ่ี ขา้ มาในห้องเรียนครคู วรเดินด้วยท่าทาง ที่เหมาะสมสง่างามและดูเป็นธรรมชาติ การเดินดูนักเรียนในขณะอยู่ในห้องเรียนต้องเดินดูให้ทั่ว ๆ มี การเขา้ ใกล้นกั เรยี น เม่อื นักเรียนตอ้ งการความชว่ ยเหลือแนะนา 2) การใช้มือและแขน ใช้มือประกอบท่าทางในการพูด ซ่ึงจะเป็นสิ่งดึงดูดความสนใจของ นกั เรียน เพราะนักเรียนสนใจดูสิ่งที่เคล่ือนไหวมากกว่าส่ิงที่นิ่ง การใช้มือและแขนควรใช้ให้สัมพันธ์กับ เรอ่ื งทส่ี อน และมองดูไม่ขดั ตา 3) การแสดงออกทางสีหน้า สายตา เป็นส่วนหน่ึงของการส่ือความหมายกับผู้เรียน ผเู้ รียนจะเข้าใจความรสู้ ึก หรอื เข้าใจอารมณ์อยา่ งไรในขณะสอน 4) การทรงตัว การวางท่าทาง ควรวางท่าให้เหมาะสม ไม่ดูตึงเครียด หรือเกร็งเกินไป ควรวางทา่ ทางและทรงตัวขณะสอนใหด้ ูเป็นธรรมชาตแิ ตก่ ็ไมด่ ูปล่อยตามสบายจนเกนิ ไป 5) การใชน้ า้ เสียง เสียงของครูนับว่าเป็นส่ิงสาคัญ เพราะเป็นการส่ือความหมายของครูไป ยงั นกั เรียนเสยี งท่ชี ดั เจนเหมาะสม ไม่ช้า หรือเร็วเกินไป มีการออกเสียงการใช้ถ้อยคาได้ถูกต้อง จะทา ให้ส่ือความเขา้ ใจได้เป็นไปตามวตั ถปุ ระสงคท์ ี่ตัง้ ไว้ 6) การแต่งกาย นับเป็นสิ่งสาคัญของครูในการส่งเสริมบุคลิกภาพเพื่อดึงดูดความสนใจ ของนักเรยี น ครูควรแต่งการให้เรียนรอ้ ยเหมาะสม เพราะถ้าครูแต่งการสวยเด่นเกินไปนักก็จะให้ความ สนใจกบั การแต่งกายของครูมากกวา่ บทเรยี น 9. ทักษะการใชอ้ ปุ กรณก์ ารสอน (Media Presentation) อปุ กรณ์การสอน จะช่วยให้การเรียนรู้มีความหมายมากขึ้น เพราะอุปกรณ์การสอนจะเป็นจุด รวมความสนใจ สามารถเพ่มิ ความเป็นรูปธรรม และความเป็นจริงต่อการเรียนรู้ได้มากขึ้น อุปกรณ์การ สอนจะเป็นเครื่องกระตุ้นให้ผู้เรียนเกิดความคิด มองเห็นความสัมพันธ์ของเร่ืองราวหรือสิ่งที่จะเรียนรู้ ได้มากขน้ึ และสามารถจาเร่อื งราวได้อยา่ งแมน่ ยา ประโยชนข์ องอุปกรณ์การสอน 1) กระตนุ้ ให้ผ้เู รียนเกดิ ความสนใจการเรยี นยง่ิ ขึน้ 2) ให้โอกาสแกผ่ ู้เรยี นไดม้ ีสว่ นรว่ มในกจิ กรรมการเรียนการสอน 3) ทาใหผ้ ้เู รียนเกิดแนวคิด และความเข้าใจเรว็ ข้ึน

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 135 4) ทาให้ผเู้ รียนเกดิ ทักษะในการศึกษาหาความรู้ไดด้ ้วยตนเอง 5) ทาให้ผู้เรียนสามารถจดจาเรอื่ งราวไดอ้ ย่างแมน่ ยา 6) ชว่ ยเพิม่ พูนประสบการณ์เดิมของผเู้ รียน การเตรยี มอปุ กรณ์ 1) ก่อนทจี่ ะเตรียมอุปกรณก์ ารสอน ควรมีการวางแผนการสอน และอุปกรณ์ที่นามาใช้ 2) ควรมกี ารจดั ทาอุปกรณก์ ารสอนท่ีสามารถทาได้ดว้ ยตนเอง 3) ควรมีการสารวจอปุ กรณท์ ี่จะนามาใชเ้ สียก่อนวา่ มคี วามพร้อมหรือไม่ 4) ควรทดลองใชอ้ ุปกรณท์ ่ีเตรียมไว้เสียก่อนจะนาไปใช้จรงิ 5) สารวจจดั เตรยี มห้องเรียน สถานท่ีกอ่ นทจ่ี ะทาการสอน ข้อควรพิจารณาในการเลอื กอปุ กรณ์ 1) เลอื กอุปกรณก์ ารสอนทเี่ หมะสมกบั ระดับวยั 2) ควรเลอื กอปุ กรณ์ชนดิ ทป่ี ลอดภัยเทา่ นัน้ 3) ขนาดอุปกรณ์ควรเหมาะสม 4) สีอุปกรณท์ ใี่ ชค้ วรดงึ ดดู ความสนใจของผเู้ รยี น 5) ควรเลอื กอุปกรณท์ แ่ี ปลกจากสิ่งท่ีผู้เรยี นเคยเห็นจาเจ 6) ไม่ควรใชอ้ ุปกรณ์ที่ชารุด หรอื เกา่ เกนิ ไป 7) เลือกอปุ กรณใ์ นปรมิ าณท่พี อเหมาะทจี่ ะใช้ในการสอน 8) เลือกอปุ กรณท์ สี่ มั พันธก์ ับบทเรียน เทคนิคการใชอ้ ุปกรณก์ ารสอนอย่างมปี ระสิทธภิ าพ 1) ใช้อุปกรณก์ ารสอนอยา่ งคล่องแคลว่ 2) แสดงอุปกรณ์ใหเ้ ห็นได้ชดั ทัว่ ท้ังหอ้ ง 3) ควรหาทต่ี ง้ั วาง แขวนอปุ กรณท์ ่มี ีขนาดใหญ่ 4) ควรใชไ้ ม้ยาว และมีปลายแหลมชแ้ี ผนภูมิ แผนที่ กระดาษดา 5) ควรนาอปุ กรณ์มาวางเรยี งกนั ไวเ้ ปน็ ลาดับ 6) ควรเลือกใช้เครอื่ งมือประกอบอุปกรณ์ใหเ้ หมาะสม 7) ควรมีการเตรียมผูเ้ รยี นล่วงหน้ากอ่ นใช้อปุ กรณ์ 8) ควรใชอ้ ปุ กรณ์ให้คุ้มค่ากบั ทีไ่ ด้เตรียมมา 9) พยายามเปิดโอกาสให้ผเู้ รยี นไดร้ ว่ มกจิ กรรม 10) ควรคานงึ ถงึ ความปลอดภยั ในการใชอ้ ุปกรณ์บางชนิด 5.2 การออกแบบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตรร์ ะดับประถมศึกษา

136 หลักการออกแบบการเรยี นรู้ (ล้วน สายยศ และอังคณา สายยศ 2554 : 34-35) จดุ มุ่งหมาย คือ จุดที่ต้องพยายามไปให้ ถึงเป็นส่ิงที่หวังไว้ในอนาคต เป็นเครื่องบอกทิศทางให้ผู้ทางานอย่างหนึ่งพยายามไปให้ถึงจุด น้ัน เปรียบเสมือนผู้กาหนดทิศทาง ดังนั้น จุดมุ่งหมายทางการศึกษา จึงเป็นการกาหนดทิศทางของ กิจกรรมทางการศกึ ษาให้ได้ดงั ท่ีพงึ ประสงค์ไว้ (ไพฑูรย์ สินลารัตน์ 2551 : 106) การกาหนดจุดมุ่งหมายเป็นงานท่ีมีความสาคัญ เพราะ จุดมุ่งหมายทก่ี าหนดขึน้ จะเหน็ แนวทางในการกาหนดเนอื้ หา การเลือกวิธีสอน กิจกรรมการเรียนการ สอน ตลอดจนการวัดผล จึงควรมีลักษณะที่ชัดเจนและเป็นไปได้ในเชิงปฏิบัติ สิ่งท่ีสาคัญอยู่ตรงที่ว่า ต้องรู้ให้แน่ชัดเสียแต่ต้นว่า วิชานี้ บทนี้ จะต้องวัดอะไรบ้าง จะต้องวัดมากน้อยอย่างละเท่าไร และ จะต้องวัดด้วยวิธีใด ซ่ึงจัดว่าเป็นส่ิงแรกท่ีสาคัญท่ีสุดของขบวนการวัดผล ดังน้ันการท่ีจะตอบคาถาม ดังกล่าวน้ันได้ จึงจาเป็นที่จะต้องรู้ถึงจุดมุ่งหมายของวิชา หรือบทเรียนนั้นเสียก่อนว่าต้องการให้เกิด ส่ิงใดกับผู้เรียนบ้าง จึงจะสามารถทาการวัดได้อย่างถูกต้อง หากพิจารณาจากกระบวนการสอนท่ี เรยี กวา่ OLE จะประกอบดว้ ย 1. Objective คอื จุดม่งุ หมาย 2. Learning Experience คอื การจัดประสบการณก์ ารเรยี นรู้ 3. Evaluation คือการประเมนิ ผล ซึ่งท้ัง 3 สว่ นจะตอ่ เนื่องเปน็ วงจรการเรียนการสอน แสดงเปน็ วงจรดงั นี้ Objective มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง Evaluation Learning Experience

137 ภาพที่ 2.5 วงจรการเรยี นการสอน แนวทางการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง คณิตศาสตร์ เป็นวิชาทีม่ เี น้อื หาส่วนใหญ่เป็นนามธรรม ยากแก่การทาความเข้าใจ ดังน้ัน การ เรียนรู้คณิตศาสตร์จึงต้องใช้เทคนิควิธีสอนหลาย ๆ วิธี เพื่อกระตุ้นให้ผู้เรียนอยากเรียนรู้มีการ เรียนรู้ ตามลาดับข้ันจากง่ายไปหายาก สอนจากสิ่งท่ีเป็นรูปธรรมไปสู่สิ่งท่ีเป็นนามธรรม ซ่ึงมีนักการ ศึกษา หลายท่านได้นาเสนอแนวคดิ ในการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ไว้ ดังนี้ เสาวลักษณ์ สุริยะ (2540) ได้กล่าวถึง การเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่ทาให้เกิด ความคิดรวบยอด ตอ้ งมขี ั้นตอน ดงั น้ี 1. ใหน้ ักเรยี นได้ค้นพบด้วยตนเอง 2. เปดิ โอกาสใหน้ ักเรียนไดเ้ รยี นรู้ด้วยวธิ ีการตา่ ง ๆ เพราะบางคนอาจเรยี นได้ดีโดย การ สมั ผัสบางคนเรียนไดด้ โี ดยการดู 3. พยายามพัฒนาความสัมพันธ์และรูปแบบระหวา่ งเรื่องตา่ ง ๆ ที่จะต้องเรียนให้ นักเรียน เข้าใจเร่ืองหน่งึ เพ่ือจะชว่ ยให้เข้าใจเรอ่ื งอืน่ ๆ ด้วย 4. ให้แรงจูงใจแกน่ ักเรยี น 5. กระตุ้นใหน้ ักเรียนไดส้ ังเกตดูความกา้ วหนา้ ของตนเอง 6. ให้นกั เรียนตืน่ ตวั อยูเ่ สมอในการเรียน 7. เปิดโอกาสใหน้ ักเรียนแสดงความคิดเห็นส่วนตัว 8. ใชส้ ่ือการเรียนรชู้ นดิ ตา่ ง ๆ ใหเ้ หมาะสม ชมนาด เชื้อสวุ รรณทวี (2547, อ้างถงึ ใน พันทิพา ทับเทย่ี ง 2550) ได้กล่าวถึง หลักการเรียนรู้ ว่า ควรใช้ยุทธวิธีการเรียนรู้ให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้ เข้าใจและค้นพบตนเอง เกิด ความคิดสร้างสรรค์ เกิดการประยุกต์ใช้ได้ การเรียนรู้คณิตศาสตร์ไม่ควรเป็นเพียงการบอก ควรใช้คาถามช่วยกระตุ้นให้ ผู้เรยี นได้คดิ และค้นพบหลกั เกณฑ์ ข้อเท็จจรงิ ต่าง ๆ ดว้ ยตนเอง มีทักษะใน กระบวนการคิดแก้ปัญหา ทางคณิตศาสตร์ จัดกิจกรรมให้ผู้เรียนสนุกสนานกับการเรียนคณิตศาสตร์ ปลูกฝังให้นักเรียนรู้คุณค่า ของการเรยี นคณิตศาสตรส์ ามารถนาไปใช้ในชีวิตประจาวันได้และเป็น เครื่องมือในการเรียนรู้เร่ือง อื่น ๆ หรือวิชาอน่ื ตอ่ ไป ในการเรียนการเรียนรู้คณิตศาสตร์จึงควร คานึงถึงผู้เรียน ผู้สอน ตลอดจนวิธีการ เรยี นรู้ซ่ึงหมายถึงกจิ กรรม หรอื กระบวนการต่าง ๆ ทค่ี รูผู้สอน จะนามาใช้ เพ่ือให้การเรียนรู้บรรลุตาม เปูาหมายที่วางไว้ ครูผู้สอนจึงต้องรู้หลักการเรียนรู้ ตลอดจน ต้องคานึงถึงหลักการเรียนรู้ต่าง ๆ ตาม จิตวทิ ยาการเรียนรู้ ควรสอดแทรกจติ วิทยาการเรียนรู้ไวใ้ น กจิ กรรมต่าง ๆ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 138 สมุ านิน ร่งุ เรอื งธรรม (2542) ได้กลา่ วถึง หลักการเรียนรู้คณิตศาสตร์ว่าเป็นการ รวบรวมแนว วิธีการเรียนรู้ แนวคิดทางการศึกษาและหลักจิตวิทยาแห่งการเรียนรู้แล้วนามาบูรณาการเข้าด้วยกัน เป็นหลกั การเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ซง่ึ สรุปไดด้ ังน้ี 1. สอนใหเ้ ด็กเรยี นรโู้ ดยผ่านประสบการณ์ตรง 2. สอนโดยคานึงถึงธรรมชาตขิ องเด็กในวัยต่าง ๆ และคานึงถึงความแตกตา่ งระหวา่ ง บุคคล 3. ดัดแปลงการเรียนรู้ให้เหมาะสมกับความเจริญงอกงามของเดก็ 4. สอนใหเ้ ดก็ ได้รบั ความรทู้ กั ษะ ทศั นคติ กิจนสิ ยั และความประพฤตดิ ี 5. สอนให้เด็กเกดิ ความสนใจ เกิดความพอใจ และมีความตง้ั ใจ 6. สอนให้รูจ้ ดุ ม่งุ หมายของการเรียน และการนาไปใชแ้ กป้ ัญหาต่าง ๆ ได้ 7. สอนให้เดก็ มีสว่ นรว่ มในการเรียน และแสดงความคดิ เหน็ การแก้ไขปญั หา และการร่วม วดั ผลด้วย 8. สอนโดยมีการเตรยี มการเรยี นรอู้ ย่างดี 9. สอนโดยใช้อุปกรณ์ และเครือ่ งช่วยสอน โดยเฉพาะอุปกรณ์ทางโสตทศั นวัสดุ 10. การเรยี นร้โู ดยเริม่ ตน้ และกาหนดขนึ้ จากปญั หา 11. สอนโดยวิธแี นะและยั่วยใุ ห้เด็กใช้ความสังเกตพจิ ารณาเหตุผล 12. สอนจากส่ิงทง่ี ่ายไปหาส่งิ ทยี่ าก 13. สอนจากส่ิงท่เี ปน็ รปู ธรรมไปหานามธรรม 14. สอนให้ได้เหน็ จรงิ เห็นจัง และเขา้ ใจบทเรยี นอย่างแจ่มแจง้ 15. สอนโดยแบง่ กลมุ่ นักเรยี น ตามความสามารถ ความสนใจและความพอใจ 16. สอนตามหลกั การวิธีการทางวิทยาศาสตร์ 17. สอนตามระเบียบกฎการเรยี นรู้ของเด็ก 18. สอนให้เกิดความคิดรเิ ริ่มสร้างสรรค์ บรรพต สุวรรณประเสริฐ (2544) ได้เสนอสมมติฐานซึ่งเป็นท่ียอมรับในการที่ จะนาไปปฏิบัติ เพ่ือช่วยการเรียนรู้คณิตศาสตร์ให้ได้มากที่สุดน่ันคือ แนวคิดที่จะช่วยให้ครูหรือผู้สอน คณิตศาสตร์ เข้าใจว่ากระบวนการเรยี นรู้เกิดขึ้นได้อย่างไรซ่ึงแนวคิดดังกล่าวจะช่วยให้ครูหรือผู้สอนกาหนดเง่ือนไข ให้กับผู้เรียน เพ่ือจะทาให้ผู้เรียนรับเอาพฤติกรรมที่ต้องการไปปฏิบัติและถ่ายทอด พฤติกรรมไปตาม จุดประสงค์ของการเรียนรู้ สมมตฐิ านต่างๆ มดี ังน้ี 1. ผูเ้ รียนแตล่ ะคนจะเรียนคณิตศาสตร์ที่เปน็ พฤติกรรมใหม่ได้จากสภาพแวดลอ้ ม รอบตัว ทัง้ หมดของผเู้ รยี น

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 139 2. การเรยี นรคู้ ณิตศาสตรจ์ ะเกดิ ขน้ึ เมื่อผู้เรียนเห็นวา่ พฤติกรรมท่ตี อ้ งเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ น้ันมี ประโยชนแ์ ละมีบทบาทต่อความสนใจของผู้เรยี น 3. การเรียนรู้คณติ ศาสตรจ์ ะเกดิ ขนึ้ เมือ่ ผู้เรียนคดิ วา่ สิง่ ท่เี รียนน้ันมคี วามหมายต่อ ตัวผูเ้ รยี น และสามารถนาไปใช้ได้ 4. การเรยี นรู้คณิตศาสตร์จะเกิดขน้ึ เมอ่ื ผ้เู รียนมคี วามสนใจมากอ่ น และสามารถใช้ ความจา ของความร้เู ดิมท่จี าเปน็ มาประกอบการเรียนรู้คณิตศาสตร์กบั ส่ิงใหม่ได้ 5. การเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์จะเกิดขึ้นเม่อื ผเู้ รียนได้ทราบถงึ จุดมุ่งหมายท่ตี ้องการ 6. การเรยี นรคู้ ณิตศาสตรจ์ ะเกิดขึ้นเมื่อผเู้ รยี นไดล้ งมือกระทาดว้ ยตนเองมากกวา่ การเรียนรู้ โดยฟงั จากครูหรือผู้สอนเท่านั้น 7. การเรยี นรู้คณิตศาสตร์จะเกดิ ขน้ึ ไดเ้ มื่อพฤติกรรมทผ่ี ดิ ถูกกาจัดออกไปและเม่อื ผู้เรยี น สามารถแยกพฤติกรรมทขี่ ดั แยง้ ต่อพฤติกรรมการเรียนรู้ 8. การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์จะเกดิ ขนึ้ ได้เมื่อผ้เู รียนแสดงใหเ้ หน็ วา่ มคี วามก้าวหน้าไป ตาม จุดประสงคท์ ่ีกาหนดไว้ 9. การเรยี นร้คู ณิตศาสตร์จะเกดิ ขน้ึ ได้เม่ือแผนการเรยี นการเรียนรไู้ ด้พัฒนา พฤติกรรมของ ผเู้ รยี นอย่างตอ่ เนอ่ื ง 10. การเรียนรู้คณิตศาสตร์จะเกิดขนึ้ เม่ือผู้เรยี นมโี อกาสปฏบิ ตั ติ ่อการแกป้ ญั หาใน หลาย รปู แบบและในเน้ือหาท่ีแตกต่างกัน 11. การเรยี นรคู้ ณิตศาสตรจ์ ะเกิดขึน้ ได้เม่ือผเู้ รยี นมโี อกาสเห็นความสมั พนั ธข์ อง พฤติกรรม ใหม่กับพฤติกรรมเก่า และรู้ว่าทาอยา่ งไรจงึ จะมเี ทคนิคในการรับพฤติกรรมใหม่มาเป็นของ ตนเอง สถาบนั ส่งเสรมิ การเรยี นรู้วทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (2548 ) ได้เสนอแนวทางในการวางแผนการ เรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ในประถมศึกษา เปน็ 6 ข้นั ดงั น้ี 1. ทบทวนความรูเ้ ดิม เป็นขัน้ เตรียมความพร้อมของนกั เรียนเพ่อื เชื่อมความรเู้ ดิมท่ี นักเรียน เคยเรียนมาแลว้ กบั ความรใู้ หม่ใหเ้ ป็นเร่อื งเดยี วกันอนั จะทาให้นกั เรยี นเกิดความเขา้ ใจและมี ความคิด รวบยอดในเรอ่ื งน้ัน ๆ อย่างแจม่ แจ้ง 2. ข้นั สอนเนื้อหาใหม่ ขน้ั น้จี ะต้องเลือกใชว้ ธิ ีการเรียนรูใ้ หส้ อดคล้องกบั เนื้อหาแต่ ละบทวิธีใด วิธหี น่ึง มกี ารจัดลาดับขน้ั การเรียนรู้ ดังน้ี 2.1 ข้ันจดั กจิ กรรมโดยใชข้ องจริง เป็นขั้นทีพ่ ยายามนารปู ธรรมมาใชเ้ พ่ือนกั เรียน สามารถสรปุ ไปส่นู ามธรรม 2.2 ขนั้ จดั กิจกรรมโดยใชร้ ปู ภาพ เป็นขัน้ ทใ่ี ชร้ ปู ภาพแทนของจรงิ ทใี่ ชส้ อนไปแล้ว 2.3 ขัน้ ใชส้ ญั ลกั ษณ์หลักจากท่นี ักเรยี นเรยี นรูจ้ ากขัน้ ที่ใชข้ องจริงมาเป็นรูปภาพ ประกอบการเรยี นรู้แล้ว ครูอธบิ ายโดยใชป้ ระโยคสญั ลักษณ์

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 140 3. ขั้นสรปุ ไปสู่วิธลี ัด กอ่ นจะสรุป ครตู ้องตรวจสอบดูวา่ นักเรียนมคี วามเข้าใจเน้อื หา ใหมท่ ่ี จะสอนหรือไม่ ถ้ายังไมเ่ ข้าใจกอ็ าจเริ่มตัง้ แต่ทบทวนความรู้เดมิ เป็นต้น มาหรือจะเร่มิ เนอ้ื หา ใหมท่ ี่ แล้วแต่ความจาเปน็ แต่ละเรือ่ ง ถ้านักเรยี นเข้าใจแล้วในกรณที เี่ นอ้ื หาใหมน่ ัน้ มีวิธีและวิธีลดั ใน การคดิ อยดู่ ้วยกจ็ ะช่วยสรุปหลกั เกณฑใ์ นการคดิ นาเข้าส่วู ธิ ีลดั เพอ่ื นาไปใชต้ ่อไป ซง่ึ ในการสรปุ ควรให้ นักเรียน เปน็ ผู้สรปุ เอง โดยครูเปน็ ผซู้ กั ถามเพอื่ ชี้แนะ 4. ขนั้ ฝกึ ทกั ษะ เมอ่ื นักเรียนเขา้ ใจวิธลี ัดแล้ว จงึ ใหน้ กั เรยี นฝึกทกั ษะด้วยการท า แบบฝกึ หัด จากบทเรียนหรอื บตั รงาน 5. ข้ันความร้ไู ปใช้ประโยชน์ในชวี ิตประจาวัน และใช้ในวิชาอ่ืนทเ่ี กยี่ วข้องโดยให้ นกั เรียน โจทย์ปญั หา หรือกจิ กรรมท่ีมักประสบในชวี ติ ประจาวนั 6. ขน้ั ประเมนิ ผล เป็นการประเมินเพ่ือการปรับปรงุ การเรียนการเรียนรู้และตัดสินผล การ เรยี น โดยจะต้องนาผลการประเมินไปเก็บสะสม เพ่ือประกอบการประเมินการผ่านจุดประสงคใ์ น สมุด ประจาชนั้ ด้วย แนวทางในการจัดเรียนรู้คณิตศาสตร์ตามแนวคิดของ นักการศึกษาน้ันเป็นหลักการเรียนรู้ท่ี รวบรวมแนววิธีการเรียนรู้ แนวคิดทางการศึกษา จิตวิทยาการ เรียนรู้ องค์ประกอบของการเรียนรู้ ประกอบดว้ ย ครู ผ้เู รยี น วิธีสอน ส่อื การเรยี นการเรยี นรู้ จดั กิจกรรมการเรียนการเรียนรูโ้ ดยยึดผู้เรียน เป็นสาคัญ คือ การเปิดโอกาสให้ผู้เรียนได้คิดและแก้ปัญหา ด้วยตนเอง ได้ศึกษาค้นคว้าจากส่ือและ เทคโนโลยีต่าง โดยอิสระ ผู้สอนมีส่วนช่วยในการจัดเนื้อหา สาระและกิจกรรมให้สอดคล้องกับความ สนใจและความถนัดของผู้เรียน โดยคานึงถึงความแตกต่าง ระหว่างบุคคล ผู้สอนท าหน้าที่เป็นท่ี ปรกึ ษา ใหค้ าแนะนาและชแี้ นะข้อบกพรอ่ งของผู้เรยี น การออกแบบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ 1. การจัดประสบการณก์ ารเรียนรเู้ กย่ี วกบั จานวนและการดาเนนิ การ การจัดประสบการณ์การเรียนรู้เกี่ยวกับจานวนนับ จานวนเต็ม เศษส่วนทศนิยม และ การ ดาเนนิ การต้องเขา้ ใจความหมายของจานวนนับจานวนเต็ม เศษส่วนทศนิยม ตลอดจน การดาเนินการ จึงจะเปน็ พ้ืนฐานทช่ี ว่ ยให้สามารถออกแบบกจิ กรรมการเรยี นร้ทู ี่สรา้ งความเข้าใจให้กับนักเรียนในเรื่อง ตา่ งๆ เหลา่ นไ้ี ด้ 1) จานวนและระบบการเขียนตัวเลขแสดงจานวน จานวนเป็นคาอนิยาม เม่ือพูดถึงจานวน มักจะนึกถึงจานวนท่ีใช้ในการนับส่ิงของ เช่น 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 จานวนดังกล่าวเรียกว่า จานวนนบั ซงึ่ เป็นส่วนหนงึ่ ของจานวนจรงิ ระบบการเขยี นตัวเลขแสดงจานวนประกอบด้วยสัญลักษณ์ พ้ืนฐานและข้อตกลงในการเขียน โดยใช้สัญลักษณ์พื้นฐานที่กาหนด ระบบการเขียนตัวเลขแสดง

141 จานวนท่นี ยิ มใชก้ ันในปัจจุบัน คือระบบ เลขฮินดูอารบิกเป็นระบบฐานสิบ มีสัญลักษณ์พื้นฐานที่ใช้สิบ ตัว ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และ 0 ในระบบฐานสิบอาศัยการนับเป็นกลุ่มละสิบ เมื่อครบสิบใน หลักใดจะทดข้ึนเปน็ หนงึ่ หนว่ ยของหลักท่ีอยู่ถัดไป ทางซ้ายมือ ซ่ึงมีช่ือตามลาดับจากน้อยไปมาก ดังน้ี หลกั หน่วย หลกั สบิ หลักร้อย หลักพนั หลักหม่ืน หลัก แสนหลักล้าน สาหรับนักเรียนช้ันประถมศึกษา ท่เี ร่มิ ตน้ เรียนจานวนนับทม่ี ีสองหลกั ครูควรเริ่มต้นให้นักเรียน นับส่ิงของ เมื่อครบสิบแล้วให้มัดเป็นมัด ของสิบไว้ เม่อื นกั เรียนจดั ส่ิงของได้ ดังรปู มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง สบิ หน่วย 37 ครูจะเขียนตัวเลขแทนจานวนเปน็ 37 อ่านว่า สามสบิ เจ็ด ตวั เลข 3 มดั ละสบิ อยู่ 3 มดั มคี ่า 30 ตัวเลข 7 มที ไี่ ม่ไดม้ ัดอีก 7 ดงั นน้ั จงึ มีสงิ่ ของอยู่ 37 หนว่ ย นนั่ คือ 37 = 30 +7 กรณีทเ่ี พมิ่ จานวนให้มากข้ึนกใ็ ช้หลักการนาเสนอเช่นเดียวกัน แต่อาจใช้รูปภาพแสดงจานวน เพ่ือให้นักเรียนได้คุ้นเคยกับการเห็นแนวทางในการจัดส่ิงของสิบชิ้นเป็นหนึ่งกลุ่ม กลุ่มน้ีคือ กลุ่มของ สิบ และเม่ือกลุ่มของสิบมีครบสิบกลุ่มก็จะจัดเป็นกลุ่มใหม่ กลุ่มใหม่ในครั้งน้ีจึงเป็นกลุ่มของร้อย และ ถ้ากลุ่ม ของร้อยมีครบสิบกลุ่มก็จะต้องจัดรวมกันเป็นกลุ่มใหม่ โดยกลุ่มใหม่ครั้งนี้จะเป็นกลุ่มของพัน ดาเนนิ การ เชน่ นีไ้ ปเรอ่ื ย ๆ 10 กลุ่มของ 1 เทา่ กับ 10 10 กลมุ่ ของ 10 เทา่ กับ 100

142 253 เขยี นรปู ภาพแสดงจานวนได้ดงั น้ี มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบงรอ้ ย สบิ หน่วย 2 53 2 ) ค่ า ประจาหลกั และการเขียนจานวนในรูปกระจาย 2.1) ค่าประจาหลัก การเขยี นตวั เลขแสดงจานวนนับจะใชเ้ ลขโดด 10 ตัว แสดงจานวนใน แต่ละเลขโดดทางขวาสุดอยู่ในหลักหน่วยถัดจากหลักหน่วยมาทางซ้ายจะเป็นเลขโดดอยู่ใน หลักสิบ หลักรอ้ ย หลักพัน หลักหมืน่ หลกั แสน หลักล้าน … ตามลาดับ เลขโดด เมื่ออยู่ในหลักต่าง ๆ จะแสดง จานวนต่างกัน เพราะค่าประจาหลักทางซ้ายจะ เป็น 10 เท่า ของหลักทางขวาที่อยู่ติดกัน กล่าวคือ หลกั เลขแตล่ ะหลกั มีค่าประจาหลกั ดงั น้ี หลัก คา่ ประจาหลกั หลกั หนว่ ย เทา่ กบั 1 หลักสิบ เป็น 10 เทา่ ของหลักหนว่ ย = 10 x1 = 10 หลกั รอ้ ย เป็น 10 เทา่ ของหลกั สิบ = 10 x 10 = 100 หลกั พนั เปน็ 10 เท่าของหลกั ร้อย = 10 x 100 = 1,000 หลักหมนื่ เป็น 10 เทา่ ของหลักพนั = 10 x 1,000 = 10,000 หลักแสน เปน็ 10 เทา่ ของหลักหมนื่ = 10 x 10,000 = 100,000 หลักลา้ น เป็น 10 เท่าของหลกั แสน = 10 x 100,000 = 1,000,000 2.2) ค่าของเลขโดดในแต่ละหลัก ตัวเลขที่เขียนแสดงจานวนนับประกอบด้วยเลขโดดใน ต่าง ๆ ซึ่งอาจมีหน่ึงหลัก หรือมากกว่าหน่ึงหลัก เลขโดดในแต่ละหลักจะแสดงจานวนใดขึ้นอยู่กับค่า หลักของหลักท่ีเลขโดดน้ันอยู่ เชน่ จานวน 2,375,902 หลัก เลขโดด มคี ่า หลกั หนว่ ย 2 2x1=2 หลกั สบิ 0 0 x 10 = 0

143 หลักร้อย 9 9 x 100 = 900 หลกั พนั 5 5 x 1,000 = 5,000 หลกั หม่ืน 7 7 X 10,000 = 70,000 หลกั แสน 3 3 x 100,000 = 300,000 หลกั ลา้ น 2 2 x 1,000,000 = 2,000,000 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง2.3) การเขียนตัวเลขแสดงจานวนนับในรูปกระจาย เป็นการเขียนตัวเลขในรูปการบวก คา่ ของ เลขโดดในแตล่ ะหลัก ถา้ เลขโดดในหลักใดเป็น 0 อาจไม่เขียน 0 ก็ได้ เชน่ จานวน 2,714,960 7 อยู่ในหลกั ล้าน มคี ่า 2 x 1,000,000 = 2,000,000 1 อยใู่ นหลักแสน มคี า่ 9 x 100,000 = 900,000 4 อยใู่ นหลักหม่นื มีคา่ 1x 10,000 = 10,000 9 อยู่ในหลักพนั มคี า่ 5 x 1,000 = 5,000 6 อยู่ในหลกั รอ้ ย มคี า่ 0 x 100 = 0 0 อยู่ในหลักสบิ มีคา่ 7 x 10 = 70 3 อยู่ในหลกั หนว่ ย มคี า่ 3 x 1 = 3 ดังนั้น เม่อื เขยี น 2,714,960 ในรูปกระจาย จะได้ 2,714,960 = (2x1,000,000)+(7x100,000)+(1x10,000)+(4x1,000)+(9x100)+(6x10)+(0x1) = 2,000,000 + 700,000 + 10,000 + 4,000 + 900 + 60 + 0 3) การบวกและการลบจานวนนับ จะกล่าวถึงความหมายของการบวก ความหมายของการ ลม และตัวอย่างการใช้สอ ตารางหน่วย แผ่นตารางสิบ และแผ่นตารางร้อย เพื่อสร้างความเข้าใจ เก่ยี วกับการบวก และการลบ 3.1) การบวกจานวนนบั ความหมายการบวก การบวกเปน็ การนับรวมจานวนสง่ิ ต่าง ๆ ตง้ั แต่สองกลุ่มข้ึนไป ตัวนับ 3 แท่ง รวมกับตวั นับอกี 2 แทง่ รวมเปน็ ตวั นับ 5 แท่ง

144 การนบั สงิ่ ของรวมกนั อาจแนะนาให้นักเรียนใชว้ ิธีนบั ตอ่ โดยเร่ิมจากสงิ่ ใดสิ้งหนึ่ง เช่น มีดินสอ สีอยู่ 3 แท่ง นามาเพ่มิ อกี 2 แทง่ รวมเป็นดินสอ 5 แทง่ ใชว้ ิธีนับตอ่ โดยใหน้ บั ของจรงิ ประกอบดังนี้ “มดี ินสอสีอยู่ 2 แทง่ นบั ต่อจากสองดังนี้ สาม ส่ี ห้า ได้คาตอบคอื รวมเปน็ ดนิ สอสี 5 แท่ง” การบวกจานวนนบั ท่มี ผี ลลพั ธ์ไมเ่ กิน 20 กอ่ นที่จะให้นักเรียนหาผลบวกของจานวน นับทีม่ ี ผลลัพธ์ไม่เกิน 20 ควรทบทวนนกั เรยี นในเรอ่ื งการบวกครบสิบ โดยส่ือทจ่ี ับต้องได้ประกอบหรือ ใช้ภาพประกอบเพ่ือ ใหไ้ ด้ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 1 + 9 = 10 2 + 8 = 10 3 + 7 = 10 4 + 6 = 10 5 + 5 = 10 6 + 4 = 10 7 + 3 = 10 8 + 2 = 10 9 + 1 = 10 เม่ือนกั เรียนสามารถบวกครบสบิ คลอ่ งแคลว่ แล้ว จึงเพมิ่ การฝกึ ทักษะการบวกจานวน สอง จานวนทีม่ ีผลลพั ธ์ไม่เกิน 20 สาหรบั การบวกจานวนท่ีมีสองหลกั กับจานวนที่มีหน่ึงหลักท่ีผลลัพธ์ ไม่เกนิ 20 อาจใช้วธิ ดี ังน้ี วธิ ที ่ี 1 ใชว้ ธิ นี บั ต่อ เช่น 12 + 5 กน็ ับต่อจาก 12 เป็น 13, 14, 15, 16, 17 ดังนั้น 12 + 5 = 17 วิธีที่ 2 ใช้การเขียนจานวนท่ีมากกว่า 10 ในรูปของการกระจายเพ่ือรวมจานวนที่ไม่ครบสิบ เข้ากนั ก่อน เชน่ 12 + 5 = มขี ัน้ ตอนการคิดดงั นี้ ขน้ั ที่ 1 เขยี นจานวนที่มากกวา่ 10 ในรปู กระจาย จะได้ 12 + 5 = 10 + 2 + 5 ขน้ั ที่ 2 หาผลบวกของจานวนที่ไม่ครบ 10 จะได้ 10 +7 ขน้ั ท่ี 3 หาผลบวกของจานวนทค่ี รบสิบกับผลบวกของจานวนที่ไมค่ รบสิบ จะได้ 17

145 การบวกจานวนนับที่มีผลลัพธ์มากกว่า 20 อาจใช้แผ่นตารางหน่วย แผ่นตารางสิบ และแผน่ ตารางร้อย เพื่อสร้างความเขา้ ใจในเรอ่ื งการบวกจานวนนบั 3.2) การลบจานวนนับ ความหมายของการลบ การลบในความหมายของการเอาออก การลบเป็นการนา จานวนหน่งึ ออกจากอกี จานวนหนง่ึ แลว้ หาจานวนท่ีเหลือ เอาออกไป 2 แท่ง มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง มดี ินสอ 5 แทง่ เหลอื ดนิ สอ 3 แทง่ การลบจานวนสองจานวนที่มีตัวตั้งไม่เกิน 9 อาจเร่ิมต้นการลบโดยการนับลดและ ใช้สือ่ ตัวนับประกอบ เชน่ มีดินสออยู่ 5 แทง่ เอาออกไป 2 ตวั ก็เริ่มนบั สสี าม จะเหลือดนิ สอ 3 แท่ง การลบจานวนสองจานวนที่มีตัวต้ังไม่เกิน 20 อาจเร่ิมต้นด้วยการฝึกให้นักเรียนหา ของจานวนสองจานวนท่ีมตี ัวตัง้ ไม่เกนิ 10 โดยอาจใช้ของจรงิ หรอื ภาพประกอบ เช่น 10 - 1 = 9 10 - 2 = 8 10 - 3 = 7 10 - 4 = 6 10 - 5 = 5 10 - 6 = 4 10 - 7 = 3 10 - 8 = 2 10 - 9 = 1

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 146 เม่ือนักเรียน สามารถหาผลลบของจานวนสองจานวนที่มีตัวตั้งเป็น 10 ได้อย่างคล่องแคล่ว แลว้ ต่อจากน้ันจงึ เร่มิ สอนการลบจานวนที่มสี องหลกั กบั จานวนทม่ี หี นง่ึ หลกั ซึ่งอาจสอนวิธคี ิดดงั น้ี คือ วิธีที่ 1 ใชว้ ิธนี ับลด เชน่ 17 - 6 กน็ บั ลดจาก 17 เป็น 16, 15, 14, 13, 12, 11 ดงั น้นั 17 - 6 = 11 วธิ ที ่ี 2 อาจกระจายจานวนทม่ี ากกว่า 10 ก่อนแล้วจึงลบ ดงั ตวั อย่างเช่น ข้นั ที่ 1 เขียนจานวนทม่ี ากกวา่ 10 ในรปู กระจาย จะได้ 13 - 8 = (3 + 10) - 8 ข้ันท่ี 2 หาผลลบของจานวนที่กระจาย 10 จะได้ 3 + (10 - 8) ขนั้ ท่ี 3 หาผลบวกของจานวนที่เหลอื จะได้ 3 + 2 = 5 3.3) การคูณจานวนนบั ความหมายของการคูณ การคูณในความหมายของการบวกซ้า ๆ กัน ของจานวนที่ เท่ากนั หรือการรวมกันของกลมุ่ ที่เทา่ กนั เช่น ดินสอ 3 กลุม่ กลมุ่ ละ 5 แทง่ ดงั น้ันมีดินสอ 5 + 5 + 5 = 3 x 5 = 15 แทง่ แตค่ วามหมาย ของ 3 x 5 จะไม่เหมือนกบั 5 x 3 ดินสอ 5 กล่มุ กลมุ่ ละ 3 แท่ง ดงั นั้นมีดนิ สอ 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 x 3 = 15 แท่ง ความหมายตา่ งกันแต่มีผลลพั ธ์ท่ีเท่ากัน คอื 15 การคณู ในความหมายของการหาพน้ื ทข่ี องรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากโดยการนับตารางหน่วย เชน่ กาหนดให้ ชอ่ ง แทนพ้ืนท่ี 1 ตารางหน่วย รูปสเี่ หลี่ยมมุมฉากที่ประกอบด้วยตารางที่มี 3 แถว แต่ ละแถวมี 7 ชอ่ ง จะมพี ้นื ที่ 3 x 7=21 ตารางหนว่ ย 3 7

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 147 เมื่อนักเรยี นเข้าใจความหมายของการคณู แล้ว นักเรียนสามารถหาผลคูณของจานวน ที่มีหน่ึง หลักกับจานวนที่มีหนึ่งหลักได้ ซ่ึงอาจใช้ความหมายในแง่ของการบวกซ้า ๆ กัน หรือการคูณ ในแง่ของการหา พื้นท่ขี องรูปสเี่ หล่ยี มมมุ ฉากโดยการนบั ตารางหน่วย ช่วยหาผลคูณก็ได้ เช่น 1x3=3 2x3=6 3x3=9 4 x 3 = 12 3.4) การหารจานวนนบั ความหมายการหาร โดยทั่วไปจะสอนความหมายของการหารในแง่ของการแบ่ง ส่ิงของจานวนออกเปน็ กลุม่ กลมุ่ ละเท่าๆ กัน ซง่ึ การแบง่ มี 2 ลักษณะ คอื 1) แบ่งแล้วลงตัวไม่เหลือเศษ เช่น มีดินสอ 12 แท่ง จัดเป็นกลุ่มเท่าๆ กัน จะจัดได้ 4 กลมุ่ ๆ ละ 3 แทง่ เท่า ๆ กนั ทุกกล่มุ ดงั นัน้ มีดนิ สอ 12 - 3 - 3 - 3 - 3 = 0 ได้ 4 กลมุ่ ดังนนั้ 12 ÷ 3 = 4 (อ่านวา่ 12 หารด้วย 3 เทา่ กบั 4) เรยี กว่า หารลงตัว 2) แบง่ ไม่ลงตวั เหลอื เศษ เชน่ มีดินสอ 14 แทง่ จัดเปน็ กลมุ่ ๆ ละ 3 แท่ง จะจัดได้ 4 กลุม่ ๆ ละ 3 แทง่ เท่า ๆ กัน ทกุ กลมุ่ และเหลอื ดินสออกี 1 แทง่

148 ดังนนั้ มดี นิ สอ 10 - 3 - 3 - 3 ได้ 3 กลมุ่ เหลอื เศษ 1 แท่ง ดงั น้ัน 10 ÷ 3 = 3 เศษ 1 (อา่ นวา่ 10 หารด้วย 3 เทา่ กับ 3 เศษ 1) เรยี กวา่ หารไมล่ งตัว 4) เศษส่วนและการดาเนินการ เศษส่วนเป็นสัญลักษณ์ใช้เขียนแทนจานวน เช่น , , แทนจานวนส่วนแบ่งท่ีกล่าวถึง 1 ส่วน 3 ส่วน และ 5 ส่วน จากส่วนแบ่งท่ีเท่าๆ กันทั้งหมด 2 ส่วน 4 ส่วน และ 7 ส่วน ตามลาดับ สัญลักษณ์ท่ีเขียนแสดงเศษส่วน ประกอบด้วย ตัวเศษ แสดงจานวนส่วน แบ่งท่ีกล่าวถึง ซ่ึงจะเขียนไว้ด้านบน ตัวส่วน แสดงจานวนส่วนแบ่งท้ังหมดท่ีเท่าๆ กัน ซ่ึงจะเขียนไว้ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง ด้านลา่ ง และมเี ส้นคัน่ ระหว่างตวั เศษและตวั ส่วน เช่น , 4.1) ความหมายของเศษส่วน เศษส่วน (Fraction) คือ จานวนท่ีเขียนในรูป ������ โดยที่ a ������ และ b เปน็ จานวนเตม็ และ b ≠ 0 และ a เป็นตัวเศษ (Numerator) b เป็นตัวส่วน (Denominator) เชน่ ความหมายของ รปู ส่ีเหล่ยี ม 1 รปู แบง่ เปน็ 2 ส่วนเทา่ ๆ กนั แต่ละส่วนเปน็ 1 ส่วน ใน 2 ส่วนของรูป เขียนแทนดว้ ย อ่านว่า เศษหน่งึ ส่วนสอง (เรียก 1 วา่ ตัวเศษ และเรยี ก 2 ว่า ตวั ส่วน) 4.2) เศษสว่ นท่ีเท่ากันและเศษสว่ นอย่างตา่ สว่ นที่แรเงาแสดง แบ่งส่วนทแ่ี รเงาออกเปน็ 2 ส่วน 3 สว่ น และ 4 ส่วนเทา่ ๆกันตามลาดบั จะได้ ส่วนท่แี รเงาแสดง

149 ส่วนทีแ่ รเงาแสดง และสงั เกตว่า สว่ นท่แี รเงาของ มพี ้นื ที่เทา่ กนั ดงั นั้น และ เปน็ เศษสว่ นอย่างต่า การทาเศษส่วนให้เท่ากัน อาจทาได้โดยนาจานวนท่ีเท่ากัน ซ่ึงไม่ใช่ศูนย์มาคูณท้ังตัว เศษ และตัวส่วนหรือหารท้ังตัวเศษและตัวส่วน และตัวเศษส่วนที่ไม่มีจานวนนับใดท่ีมากกว่า 1 หาร ทงั้ ตัวเศษและตัวส่วนไดล้ งตวั เรยี กเศษส่วน นนั้ ว่า เศษสว่ นอยา่ งต่า 4.3) เศษสว่ นแท้ เศษเกิน และจานวนคละ จานวนเศษสว่ นทีต่ วั เศษมคี ่านอ้ ยกว่าตวั ส่วน เรียกว่า เศษสว่ นแท้ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง (ตัวเศษมีคา่ น้อยกว่าตัวส่วน 1 < 2) (ตวั เศษมคี า่ น้อยกวา่ ตัวสว่ น 2 < 4) (ตวั เศษมคี า่ น้อยกวา่ ตวั สว่ น 3 < 6) เปน็ เศษสว่ นแท้ จานวนเศษสว่ นที่ตวั เศษมคี ่าเท่ากบั หรอื มากกว่าตัวส่วน เรียกว่า เศษเกนิ เป็นเศษเกิน เศษเกนิ สามารถเขยี นได้ในรปู ของจานวนคละ (จานวนคละ คือจานวนท่ีประกอบด้วย จานวนเต็มและเศษส่วนแท้)

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 150 (เขยี นแยกเปน็ 2 สว่ น) กับอกี + = 1 + โดยท่ี ( = 1) 1+ = ดงั นั้น = เรยี ก ว่า หนึง่ เศษหนึง่ สว่ นสอง โดยที่ เป็นจานวนคละ 4.4) การบวกเศษสว่ น บวกเศษสว่ น ดว้ ยเศษส่วนทมี่ ตี วั สว่ นเทา่ กัน รวมกับ เศษสว่ นทัง้ 2 จานวน มีตัวสว่ นเท่ากัน คือ 10 สามารถนาตัวเศษมารวมกันไดเ้ ลย รวมกับ += = บวกเศษสว่ นด้วย เศษส่วนทีม่ ีตวั สว่ นไมเ่ ทา่ กนั

151 รวมกับ เศษส่วน 2 จานวนนี้บวกกันโดยตรงไม่ได้ เพราะตัวส่วนไม่เท่ากัน ต้องปรับขนาดให้ เท่ากนั ก่อนท่จี ะนามาบวกกนั มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบงรวมกบั ( = คณู ด้วย = ) คณู ด้วย รวมกบั += = 4.5) การลบเศษส่วน ลบเศษส่วน ดว้ ยเศษสว่ นทม่ี ตี ัวสว่ นเท่ากัน เอาออก เศษส่วนทัง้ 2 จานวน มีตัวสว่ นเทา่ กนั คอื 10 สามารถนาตวั เศษหกั ออกไดเ้ ลย เอาออก += =

152 ลบเศษสว่ น ดว้ ยเศษส่วนทีม่ ตี วั สว่ นไมเ่ ทา่ กัน เอาออก เศษส่วน 2 จานวนนี้บวกกันโดยตรงไม่ได้ เพราะตัวส่วนไม่เท่ากัน ต้องปรับขนาดให้ เท่ากันกอ่ นที่จะนามาบวกกนั มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง เอาออก ( = คูณดว้ ย = ) เอาออก คณู ด้วย เอาออก -= = 4.5) การคูณเศษสว่ น การคูณเศษส่วนด้วยจานวนนับ ให้นาจานวนนับมาคูณกับตัวเศษ โดยตัวส่วนคง เดิม หรอื ถ้าตัวส่วนหารจานวนนับลงตัว ให้นาตวั สว่ นหารจานวนนบั แล้วจงึ คูณกบั ตวั เศษ สองชุด ของ = 2 X = คูณ = การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน ให้นาตัวเศษคูณกับตัวเศษ และนาตัวส่วนคูณกับตัว ส่วน หรือถ้ามีตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วน ให้นาตัวประกอบร่วมมาหารทั้งตัวเศษและตัว ส่วนก่อน

153 X = คณู = คูณ การคณู เศษส่วนด้วยจานวนคละ ใช้วิธีทาจานวนคละให้เป็นเศษเกินก่อน แล้วจึงนา ตวั เศษคูณกบั ตัวเศษ และนาตัวส่วนคูณกับตัวสว่ น X1 = X = คูณ = มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบงคณู 4.4) การหารเศษส่วน การหารจานวนใดๆ ด้วยเศษส่วน อาจคิดได้จากการนาจานวนนั้นมาคูณกับส่วนกลับ ของเศษสว่ นท่ีเป็นตัวหาร และการหารเศษส่วนด้วยจานวนนับอาจคิดได้จากการคูณเศษส่วนท่ีเป็นตัว ตัง้ กับสว่ นกลับของจานวนทเี่ ป็นตวั หาร หลักการหารเศษสว่ น มดี งั น้ี การหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คือ การแบ่งเศษส่วนออกเป็นส่วนเท่า ๆ กันด้วย เศษสว่ น เชน่ ÷ คือ การแบง่ ด้วย จะไดเ้ ป็น ÷ จะแบง่ ด้วย จะได้ ท่เี ทา่ กัน 2 สว่ น ดังน้นั ÷ = 2 หรอื หาคาตอบได้จากการคูณจานวนนั้นสลับส่วนเป็นส่วน และกลับส่วนเป็นเศษกลับ ของเศษส่วนที่เป็นตัวหาร ดงั น้ี ÷= X คูณ = =2 คูณ

154 การหารเศษสว่ นดว้ ยจานวนเต็ม คือ การแบ่งเศษส่วนออกเป็นส่วนเท่า ๆ กัน ด้วย จานวนเต็ม เช่น ÷ 4 คือ การแบง่ ออกเปน็ 4 ส่วนเท่า ๆ กนั จะได้เป็น มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง ÷ 4 จะแบ่ง ออกเปน็ 4 จะได้ ทเี่ ท่ากัน ดงั นั้น ÷ 4 = หรอื หาคาตอบได้จากการคณู จานวนน้ันสลบั ส่วนเป็นส่วน และกลับส่วนเป็นเศษกลับ ของเศษสว่ นทเ่ี ปน็ ตัวหาร ดงั น้ี ÷4= ÷ = X คณู = คูณ 5) อัตราส่วน สัดส่วน การพัฒนามโนมติของอัตราส่วนต้องจัดกิจกรรมให้ครอบคลุมการ เปรียบเทียบเชิงการคูณ การสร้างหน่วยประกอบ การเชื่อมโยงกับเศษส่วน อัตราส่วนในฐานะที่เป็น ผลหาร ของปริมาณสองปริมาณและการเท่ากันของอัตราส่วนอย่างไม่จากัดจานวนซ่ึงนาไปสู่การ พฒั นามโนมติของสดั สว่ น 5.1) ความหมายของอัตราส่วน การเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณ ท้ังที่เป็นหน่วย เดยี วกัน และหนว่ ยทตี่ ่างกัน เรียกวา่ อัตราส่วน (ratio) เมอื่ a และ b มากกวา่ 0 อัตราส่วนของปริมาณ a ต่อปริมาณ b เขียนแทนด้วย a : b หรอื ������ ������

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 155 เรยี ก a วา่ จานวนแรกของอตั ราสว่ น และเรยี ก b วา่ จานวนหลังของอตั ราสว่ น เมื่อ a ≠ b ตาแหน่งของจานวนในอัตราส่วนมีความสาคัญ กล่าวคือ อัตราส่วน a : b จะไมเ่ ท่ากบั b : a เชน่ ในห้องเรียนช้ันประถมศึกษาปีท่ี 4 มีจานวนนักเรียนชาย 22 คน จานวนนักเรียน หญงิ 23 คน จานวนนกั เรยี นชาย ตอ่ นักเรียนหญงิ เขยี นในรปู อตั ราส่วนได้เปน็ 20 : 25 หรือ ไม่ใช่อัตราส่วนเดียวกันกับ 25 : 20 เพราะ อัตราส่วน 25 : 20 ในที่น้ีจะหมายถึง จานวนนักเรียนชาย 25 คน ต่อจานวนนกั เรยี นหญงิ 20 คน การเขียนอัตราส่วนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณท่ีมีหน่วยเป็นอย่าง เดียวกัน ไมน่ ยิ มเขยี นหน่วยกากับไว้ เช่น อัตราส่วนของปริมาณนา้ มะนาว 2 ชอ้ น ต่อปรมิ าณนา้ เชอื่ ม 5 ช้อน เขียนเปน็ 2 : 5 อัตราส่วนของจานวนนักกฬี าชาย 8 คน ต่อนกั กีฬาหญิง 15 คน เขยี นเป็น 8 : 15 การใชอ้ ตั ราสว่ นแสดงการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณที่มีหน่วยต่างกัน มักเขียน หน่วยกากับ ไวด้ ว้ ย เชน่ คา่ โดยสารรถประจาทางตลอดสายคนละ 12 บาท หมายถึง อตั ราส่วนของจานวนคน โดยสารรถประจาทางต่อค่าโดยสารเป็นบาท เขยี นเปน็ 1 คน : 12 บาท น้าผลไม้ 12 กล่อง ราคา 150 บาท หมายถึง อัตราส่วนของจานวนน้าผลไม้เป็น กลอ่ งตอ่ ราคาเป็นบาท เขยี น เปน็ 12 กล่อง : 150 บาท รถยนต์วิ่งได้ระยะทาง 100 กิโลเมตร ในเวลา 55 นาที หมายถึง อัตราส่วนของ ระยะทางท่รี ถยนต์ วงิ่ ไดต้ อ่ เวลา เขยี นเป็น 100 กิโลเมตร : 55 นาที 5.2) อตั ราสว่ นทเี่ ท่ากัน อัตราส่วนทม่ี ีขนาดเท่ากันแต่เขียนต่างกัน เม่ืออัตราส่วนที่ถูก คณู หรอื หารท้งั สว่ นแรกและส่วนทสี่ องดว้ ยจานวนทีเ่ ทา่ กันแลว้ อัตราสว่ นนั้นยงั คงเดมิ เช่น พนักงานของร้านพิซซ่าตราจสอบปริมาณซอสพริก และซอสมะเขือเทศ ท่ีลูกค้าใช้ รบั ประทานกับพซิ ซ่ามีความสัมพันธ์กัน คือ เม่อื ซอสพรกิ หมดไป 2 ขวด ซอสมะเขอื เทศจะหมดไป 3 ขวด เม่ือซอสพริกหมดไป 4 ขวด ซอสมะเขือเทศจะหมดไป 6 ขวด เป็นเช่นนี้ไปเร่ือย ๆ ดังน้นั อัตราสว่ นของปริมาณซอสพริกต่อปรมิ าณซอสมะเขอื เทศ เปน็ 2 : 3 หรอื 4 : 6 หรือ 6 : 9 อาจ กลา่ วได้ว่า อตั ราสว่ นของปริมาณซอสพริกต่อปริมาณซอสมะเขือเทศนี้ เป็นอัตราส่วนท่ีเท่ากันเขียนได้ เป็น 2 : 3 = 4 : 6 = 6 : 9 หรือ = =

156 = = = มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง แทน ซอสพรกิ แทน ซอสมะเขือเทศ อตั ตาส่วนท่ีเทา่ กันข้างตน้ น้ีมีความเก่ยี วขอ้ งกบั อตั ราส่วน 2 : 3 หรือ เชน่ 2 : 3 = (2 x 2) : (3 x 2) = 4 : 6 หรือ = คูณ = 6 : 9 = (6 ÷ 3) : (9 ÷ 3) = 2 : 3 หรือ คณู = = หารดว้ ย หารดว้ ย แนวคิดดังกล่าวน้ีนาไปใช้ในการทาอัตราสว่ นให้เทา่ กนั กับอัตราส่วนทก่ี าหนดให้ ซึ่งทาได้โดย นาจานวนนับใด ๆ มาคูณ หรือ หาร ทั้งจานวนแรกและจานวนหลังของอัตราส่วนที่กาหนดให้ จะได้ อตั ราสว่ นใหมท่ เ่ี ทา่ กบั อัตราส่วนเดิมกลา่ ว คอื เมือ่ m เป็นจานวนจริงบวก a : b = am : bm เชน่ การหาอตั ราส่วนทเี่ ทา่ กับ 2 : 4 มาอีก 2 จานวน 2:4 = = คณู = 2:4 = คูณ = หารดว้ ย = หารดว้ ย

157 ดงั นน้ั อัตราส่วนทเ่ี ทา่ กบั 2 : 4 คือ 4 : 8 และ 1 : 2 การตรวจสอบการเท่ากันของอตั ราสว่ นโดยใช้หลักการคณู ไขว้ ถ้าอัตราส่วน ������ = ������ เม่ือนา b และ d คูณไข้ว ทั้งสองข้างของอัตราส่วน จะได้ ad = bc มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง������������ โดยที่ b ≠ 0 และ d ≠ 0 เช่น ต้องการตรวจสอบว่า อัตราสว่ น 3 : 4 และ 6 : 8 เทา่ กันหรือไม่ = พิสูจนด์ ว้ ยการคณู ไข้ว 3 x 8 = 24 และ 6 x 4 = 24 ผลท่ีได้ 24 = 24 ดังนัน้ 3 : 4 = 6 : 8 อัตราสว่ นท้ังสองเป็นอตั ราสว่ นท่ีเทา่ กัน ตอ้ งการตรวจสอบวา่ อตั ราสว่ น 3 : 10 และ 7 : 22 เท่ากันหรอื ไม่ = พิสูจน์ด้วยการคูณไขว้ 3 x 22 = 66 และ 7 x 10 = 70 ผลทีไ่ ด้ 66 ≠ 70 ดังน้ัน 3 : 10 ≠ 7 : 22 อัตราสว่ นท้ังสองเปน็ อัตราสว่ นท่ีไม่เทา่ กัน 5.3) อัตราส่วนของปริมาณมากกว่าสองปริมาณ การเปรียบเทียบปริมาณมากกว่า สองปรมิ าณในความหมายของอตั ราส่วน สัดส่วน (proportion) ประโยคที่แสดงการเท่ากันของอัตราส่วนสองอัตราส่วน เช่น 2 : 3 = 10 : 15 เปอร์เซน็ ต์ รอ้ ยละ รอ้ ยละหรอื เปอร์เซน็ ต์ เป็นอัตราส่วนท่ีแสดงการเปรียบเทียบ จานวนใดจานวนหนึง่ กับ 100 เชน่ เขยี นแทนดว้ ย ร้อยละ 5 หรอื 5% เขียนแทนด้วย รอ้ ยละ 8 หรือ 80%

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 158 ในการแปลงอตั ราส่วนให้เปน็ รอ้ ยละ จะต้องทาจานวนหลังของอัตราส่วนให้เป็น 100 เช่น 7:10 = 70 : 100 = 70% หรอื ร้อยละ 70 = = 25% หรือ ร้อยละ 25 2. การจัดประสบการณก์ ารเรียนรเู้ กย่ี วกบั พชี คณติ การจัดประสบการณ์การเรียนรู้เกี่ยวกับพีชคณิตซึ่งเป็นภาษาทางคณิตศาสตร์ท่ีใช้สัญลักษณ์ แทนส่ิงท่ีสนใจศึกษา การศึกษาพีชคณิตก็เหมือนกับการศึกษาภาษาภาษาหน่ึง ซึ่งการศึกษาภาษาจะ เริ่มจากการศึกษาพยัญชนะ (alphabet) ไวยากรณ์ (grammar) แล้วนาไปสร้างประโยค (structure) พีชคณิตก็เช่นเดียวกันจะเร่ิมจากการศึกษาสัญลักษณ์ (symbols) การดาเนินการ (operations) แล้ว นาไปหาข้อสรปุ ทีเ่ ปน็ กฎ สตู รหรือทฤษฎีบท เพือ่ นาไปใชแ้ ก้ปญั หาต่อไป เปรียบเทยี บใหเ้ หน็ ดังน้ี สาหรับพีชคณิต เม่ือได้ข้อสรุปท่ีเป็นกฎหรือสูตรแล้ว หากแทนสัญลักษณ์ด้วยจานวน รูป ทั่วไปของข้อสรุปที่ได้จะเป็นจริงสาหรับทุก ๆจานวนท่ีกล่าวถึง เช่น ถ้าแทน x ด้วยจานวนเต็ม ก็จะ เป็นจริงสาหรับทุก ๆ จานวนเต็ม จึงมีคากล่าวว่า “พีชคณิตเป็นรูปท่ัวไปของเลขคณิต” (Algebra is the generalization of Arithmetics) หลักสตู รการศึกษาขั้นพืน้ ฐาน ระดบั ประถมศึกษาได้กาหนดให้นักเรียนเรียนรู้สาระพีชคณิต ต้ังแต่ระดับประถมศึกษา โดยกาหนดขอบเขตเนื้อหาของพีชคณิตให้นักเรียนได้เรียนรู้ ในแต่ระดับชั้น ดงั น้ี 1) แบบรูป ประกอบดว้ ย แบบรูปของจานวน แบบรูปของรูปเรขาคณิตและปัญหาเก่ียวกับ แบบรูป จะเห็นว่าหลักสูตรได้กาหนดให้นักเรียนได้เรียนรู้พีชคณิตตั้งแต่ระดับชั้นประถมศึกษา โดยให้ เรียนรู้เก่ียวกับ แบบรูป (pattern) โดยเปูาหมายการเรียนพีชคณิตในระดับประถมศึกษา คือเมื่อมี สถานการณห์ รอื ปัญหาเราจะแปลงสถานการณห์ รอื ปัญหาให้อยู่ในรูปสัญลกั ษณ์ แลว้ จึงลงมือแก้ปัญหา ตามกระบวนการแก้ปัญหาในเรอ่ื งน้ัน ๆ การเรยี นรู้วชิ าคณิตในหลักสตู รการศึกษาขั้นพื้นฐาน ระดับช้ัน ประถมศึกษา จะใหน้ ักเรียนได้เรียนรู้ เริ่มตัง้ แต่ แบบรปู (pattern) ของจานวนทเ่ี รียงลาดบั จากน้อยไป หามากหรอื จากมากไปหาน้อย โดยเพ่ิมขนึ้ หรอื ลดลงครงั้ ละเทา่ ๆ กนั เชน่ 2, 4, 6, 8,… เพ่ิมขึ้นทีละ 2 15, 12, 9, 6,… ลดลงทีละ 3 เป็นต้น

159 การเรียนรแู้ บบรปู ดงั กล่าวเน้นใหน้ กั เรียน ไดฝ้ ึกการสงั เกตและพิจารณาหาความสัมพันธ์กัน ของจานวนที่อยตู่ ดิ กนั จากแบบรูปของจานวนท่ีทราบค่าชัดเจน จากนั้นจะเพ่ิมความซับซ้อนในระดับที่ สงู ข้นึ ตอ่ ไป ถึงแบบรูปท่ีมีพจน์ทั่วไปแทนดว้ ยตวั แปร เช่น 2, 4, 6, 8 , …, 2n 1, 3, 5, 7, …, 2n-1 เปน็ ต้น นอกจากแบบรูปของจานวนแลว้ ยังมแี บบรูปในลกั ษณะอนื่ ๆ อกี ดงั ตัวอย่าง 1. 2. แบบรูปสามารถนามาใช้พัฒนาแนวคิดของนักเรียนได้ดีโดยเฉพาะนักเรียนท่ีสนใจและชอบ เกย่ี วกับการคดิ และการแก้ปัญหาแนวทางการพัฒนาการคิดและการแก้ปัญหาของนักเรียนโดยใช้แบบ รูปสามารถดาเนนิ การได้ดังน้ี กาหนดแบบรปู แล้วใหน้ กั เรียนสังเกต และตอบคาถาม ดังตัวอย่าง มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง ชุดท่ี 12 3 จานวนรูป 14 9 ชดุ ท่ี 10 จะมี จานวน .................... รูป ชดุ ที่ 100 จะมี จานวน .................... รูป ชดุ ที่ n จะมี จานวน .................... รปู

160 เพื่อให้สามารถอธิบายเหตุผลในการหาจานวน ได้ง่ายอาจนาข้อมูลท่ีได้จากแบบรูปมา สร้างเปน็ ตารางแสดงความสมั พันธ์ ของข้อมูลเพือ่ นาไปสู่ข้อสรปุ ในการหารปู ท่วั ไปของแบบรูปดงั น้ี ชดุ ท่ี (n) 1 2 3 4 … n จานวนรูป 1 4 9 …… … 1x1 2x2 3x3 4x4 … nxn มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบงจากตาราง สรุปไดว้ า่ ชดุ ที่ n จานวนรูป เท่ากับ nxn รูป ข้อสรุปที่ได้นี้เป็นเพียงข้อความคาดการณ์เท่านั้นเพ่ือให้สามารถใช้ในกรณีท่ัวไปได้ จะต้อง พิสจู นก์ ่อนว่าขอ้ สรุปทีไ่ ดน้ น้ั เปน็ จริงสาหรับทุก ๆ จานวนเตม็ บวก n 2) สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ประโยคสัญลักษณ์ท่ีแสดงการเท่ากันของปริมาณสอง ปริมาณ จะเรียกว่า สมการ ส่วนประโยคสัญลักษณ์ท่ีแสดงการไม่เท่ากันของปริมาณสองปริมาณ จะ เรยี กว่า อสมการ การศึกษาสมการและอสมการจะเป็นการศึกษาว่าค่าของตัวแปร มีค่าเป็นเท่าใดท่ีทา ใหป้ ระโยคสญั ลกั ษณ์นั้นเปน็ จริง ซ่ึงคา่ ที่ทาให้ประโยคสญั ลักษณ์เปน็ จริงจะเรียกวา่ คาตอบของสมการ การสอนสมการจะต้องกล่าวถึงลักษณธของสมการหรืออสมการ คาตอบของสมการและวิธีการหา คาตอบของสมการ คาตอบของสมการ การหาคาตอบของสมการ ซ่ึงต่อไปจะเรียกว่า การแก้สมการ หาก สมการท่ีกาหนดมคี วามซับซ้อน เชน่ 3x-2 = 4(x+1) การหาคาตอบของสมการโดยการลองแทนค่าตัว แปรในสมการเพ่ือหาค่าที่ทาให้สมการเป็นจริง อาจต้องเสียเวลานาน เพื่อให้สามารถหาคาตอบของ สมการได้ถกู ตอ้ งรวดเร็ว จะใชส้ มบัติของจานวนจรงิ ดังตอ่ ไปนี้ สมบตั ิของการเท่ากนั (Property of Equality) สาหรับจานวนจรงิ a, b และ c ใดๆ 1. ถา้ a = b แล้ว a + c = b + c สมบตั กิ ารเท่ากนั สาหรบั การบวก 2. ถา้ a = b แล้ว a - c = b – c สมบัตกิ ารเทา่ กนั สาหรับการลบ 3. ถ้า a = b แลว้ ac = bc ; c ≠ 0 สมบัติการเท่ากนั สาหรบั การคูณ 4. ถ้า a = b แล้ว = ; c ≠ 0 สมบตั ิการเท่ากนั สาหรับการหาร 5. ถ้า a = b แลว้ b = a สมบตั ิสมมาตร 6. ถ้า a = b และ b = c แลว้ a = c สมบัติถา่ ยทอด นอกจากสมบัติของการเท่ากันแล้วยังอาจต้องใช้สมบัติของจานวนจริงเก่ียวกับการ บวกและการคูณในการหาคาตอบของสมการ ดังน้ี

161 สมบัติของจานวนจรงิ เกยี่ วกบั การบวกและการคูณ สาหรับจานวนจริง a, b และ c ใดๆ 1. a + b = b + a สมบตั ิการสลับท่สี าหรับการบวก 2. ab = ba สมบตั กิ ารสลบั ทสี่ าหรับการคูณ 3. ( a + b ) + c = a + ( b + c) สมบตั ิการเปล่ียนหม่สู าหรับการบวก 4. (ab)c = a(bc) สมบัตกิ ารเปลี่ยนหมู่สาหรบั การคูณ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 5. a(b + c) = ab + ac สมบตั กิ ารการแจกแจง เช่น การแก้สมการ 3x – 3 = 12 พร้อมตรวจสอบคาตอบที่ได้ การหาค่า x ที่เป็น คาตอบของสมการเป็นการดาเนินการโดยใช้สมบตั ิการเทา่ กนั ของจานวนจรงิ ดังน้ี จาก 2x – 9 = 19 จะได้ 2x – 9 + 9 = 19 + 9 บวก 9 ท้งั สองข้างของสมการ (สมบัติการเทา่ กันของการบวก) 2x = 28 ������ = หารทงั้ สองข้างของสมการด้วย 2 (สมบัตกิ ารเทา่ กันของการหาร) x = 14 ตรวจสอบคาตอบโดยการแทนค่า x = 14 ในสมการ 2x – 9 = 19 จะได้ 2(14) – 9 = 19 28 – 9 = 19 19 = 19 สมการเปน็ จรงิ ดังนน้ั 14 เปน็ คาตอบของสมการ 3. การจดั ประสบการณก์ ารเรยี นร้เู ก่ียวกับการวดั การจัดประสบการณ์การเรียนรู้เก่ียวกับความยาว ระยะทาง น้าหนัก พื้นท่ี ปริมาตรและ ความจุ เงินและเวลา หน่วยวัดระบบต่างๆ การคาดคะเนเกี่ยวกับการวัด อัตราส่วนตรีโกณมิติ การ แกป้ ัญหาเกย่ี วกับการวดั และการนาความร้เู กี่ยวกับการวัดไปใช้ในสถานการณ์ต่างๆ ในชีวิตประจาวัน ของมนุษย์ต้องเก่ียวข้องกับการวัดอยู่ตลอดเวลา เช่น เมื่อเราต้องการทราบสัดส่วนของร่างกายตนเอง เราก็ต้องวัดส่วนต่างๆ ของร่างกายว่ามีขนาดเท่าไร เม่ือเราต้องการทราบว่าวันนี้เรามี น้าหนักเพ่ิมข้ึน เท่าไร เราก็ต้องวัดน้าหนักของตัวเองในวันนี้เทียบกับน้าหนักเม่ือวาน เมื่อเราต้องการเดินทางไปที่ใด เราก็ต้องทราบว่าสถานที่แห่งน้ันอยู่ใกล้หรือไกลเพียงใด เพ่ือจะได้กะเวลาท่ีใช้ในการเดินทาง ให้ เหมาะสม หรือในแต่ละวันคนเราควรด่ืมน้าเท่าไรจึงจะเหมาะสมกับน้าหนักของตนเอง สิ่งต่าง ๆ ท่ี

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 162 กลา่ วมานล้ี ว้ นเกี่ยวข้องกับการวัดท่ีอยู่ในชีวิตประจาวันของมนุษย์ทั้งสิ้น โดยทั่วไปเมื่อกล่าวถึงการวัด คนเรามักนึกถึงแต่การวัดความยาวเพียงอย่างเดียว แท้จริงแล้ว การวัดมีหลายลักษณะ ครอบคลุมถึง การวดั ความยาว การวัดระยะ การวดั น้าหนัก การวัดเวลา การวัดปริมาตร นอกจากนี้แล้วยังมีการวัด อ่ืน ๆ อีกหลายประเภท อาทิ การวดั พื้นที่ การวั คา่ ของเงนิ ความหมายของการวัด เป็นการหาปริมาณของส่ิงที่ไม่ทราบค่าโดยเปรียบเทียบกับ ปริมาณของสิ่งท่ีทราบค่าอยู่แล้ว สิ่งท่ีทราบค่าอยู่แล้วคือ “หน่วย การวัด” สิ่งที่ไม่ทราบค่าคือสิ่งที่ ต้องการวัด ปริมาณของส่ิงที่ไม่ทราบค่า คือจานวนที่แสดงว่าสิ่งท่ีไม่ทราบค่านั้นเป็นก่ีเท่าของหน่วย การวัด หน่วยการวัด คือปริมาณท่ีทราบค่า ใช้สาหรับนาปริมาณท่ีไม่ทราบค่ามาเปรียบเทียบ มนุษย์เรารู้จักการวัดกันมานานแล้ว เพราะมนุษย์ไม่สามารถผลิตสินค้าและบริการ ทุก ๆ อย่างด้วย ตนเองได้ จึงจาเป็นที่จะต้องแลกเปลี่ยนสินค้ากัน และการแลกเปลี่ยนที่ดีที่สุดนั้นก็จาเป็นท่ี จะต้องมี การช่ังตวงวัดที่เป็นมาตรฐาน ซึ่งเป็นมาตราที่คนทั่วไปยอมรับ ดังนั้น มาตราชั่ง ตวง วัด จึงได้ถือ กาเนิดขึ้นมา ในสมัยก่อนจะกาหนดหน่วยการวัดโดยนาไปสัมพันธ์กับความยาวของส่วนต่าง ๆ ของ ร่างกาย ใน การตั้งชื่อหน่วยการวัดบางทีก็นาชื่อส่วนของร่างกายน้ันเป็นช่ือของหน่วยการวัดเลย เช่น น้ิว (อียิปต์โบราณ) เป็นหน่วยการวัดที่เทียบกับความกว้างของนิ้วหัวแม่มือ ฟุตเป็นหน่วยการวัดท่ี เทียบกับความยาวของเรา โดยวัดจากส้นเท้าไปยังน้ิวเท้า (ฟุตเป็นคาทับศัพท์ภาษาอังกฤษ คือ foot แปลว่า เท้า) สิ่งที่นามาสัมพันธ์กับหน่วยการวัดท่ีกาหนดข้ึนเรียกว่า มาตรฐานการวัด (Standard of Mee Surement) ในสมยั โบราณที่ใช้ความยาวของส่วนต่าง ๆ ของร่างกายเป็นมาตรฐานการวัดจึงทา ใหเ้ กดิ ความคลาดเคลือ่ นเพราะคนเรามีความยาวของส่วนต่างๆ ของร่างกายไม่เท่ากัน แต่ในปัจจุบันได้ มีการกาหนดมาตรฐานการวัดท่ีเป็นสากลขึ้น เพื่อให้ส่ือความหมายได้ตรงกันและเพ่ือปูองกันการ ไดเ้ ปรียบเสยี เปรียบซง่ึ กนั และกัน เม่ือมีการติดต่อซอ้ื ขายแลกเปลีย่ นสินคา้ ระบบหน่วยการวดั ระบบหนว่ ยการวัดท่ีเป็นมาตรฐานสากลซึ่งใช้กันแพร่หลายทั่วไปมีอยู่ 2 ระบบ คือ ระบบอังกฤษ และระบบเมตริก นอกจากระบบหน่วยการวัดท้ังสองแล้ว บางประเทศ ยังคงใช้ระบบการวัดแบบประเพณี นิยมสาหรับการวัดที่ใช้ภายในประเทศและใช้ระบบการวัดแบบ มาตรฐานสากลอยา่ งใดอยา่ งหน่งึ เมื่อติดต่อ กับต่างประเทศ ตัวอย่างเช่น ประเทศไทย ซึ่งประเทศไทย ได้ใช้ระบบการวัดแบบเมตริก แต่ในขณะเดียวกัน ไทยเราก็ยังคงใช้ระบบการวัดแบบประเพณีนิยมอยู่ หลายอยา่ ง เช่น การวัดท่ีดิน ระบบหน่วยการวัดแบบอังกฤษได้พัฒนาข้ึนในประเทศอังกฤษและใช้กัน อยา่ งแพรห่ ลายในกลมุ่ ประเทศทเี่ ปน็ หรือเคยเป็นอาณานิคมของอังกฤษ ส่วนระบบหน่วยการวัดแบบ เมตริกได้พัฒนาขึ้นในประเทศ ฝร่ังเศสและใช้กันอย่างแพร่หลายในยุโรปและหลายประเทศท่ีไม่ใช้ ภาษาอังกฤษเป็นภาษาแม่ เนอื่ งจากระบบหน่วยการวัดแบบเมตริกใชร้ ะบบตัวเลขฐานสิบ เช่นเดียวกับ ตวั เลขฮนิ ดอู ารบิกท่ใี ชก้ ันทัว่ ไป ระบบการวดั นี้จงึ เปน็ ระบบการวัดท่ีสะดวก เข้าใจง่ายกว่าระบบหน่วย

163 การวัดแบบอังกฤษซ่ึง ไม่มีระบบตัวเลขฐานใดฐานหนึ่งแน่นอน เพื่อประโยชน์ในการติดต่อค้าขาย ระหว่างประเทศ เคร่ืองมือวัด ความถูกต้องของการวัดขึ้นอยู่กับองค์ประกอบหลายอย่าง องค์ประกอบที่ สาคัญอย่างหนี้ คุณภาพของเคร่ืองมือวัด ตลอดจนการเลือกใช้และวิธีการใช้เครื่องมือวัดอย่างถูกต้อง และเหมาะสม ท่ีต้องการวัด มนุษย์พยายามสร้างเครื่องมือวัดแบบต่าง ๆ เพ่ือให้สอดคล้องกับ วัตถุประสงค์ท่ีใช้ ด้าน ของเคร่ืองมือวัด เช่น ไม้เมตร เทป ใช้สาหรับวัดความยาว เป็นต้น ลักษณะที่ สาคัญของเครื่องมือวัดคือ ต้อง การแบ่งส่วนแสดงอยู่ เครื่องมือวัดบางชนิดแบ่งส่วนไว้ละเอียด บาง ชนิดก็แบ่งไว้หยาบ ๆ อย่างไรก็ตาม ไม่ว่าการแบ่งส่วนบนเคร่ืองมือจะแบ่งละเอียดสักเพียงใด เม่ือ นาไปใช้วัด ถ้าพิจารณาให้ละเอียดข้ึน เช่น ใช้แว่นขยายส่องดู จะพบว่าสามารถวัดละเอียดกว่าน้ันได้ เสมอ ท้งั นี้เป็นเพราะการวัดมีลักษณะที่สาคญั ประการหน่งึ กล่าวคือการวดั ให้ใกล้เคียงของจริงเท่านั้น ดงั นนั้ การวัดทีด่ ที สี่ ดุ คือการวัดทใ่ี ห้คา่ ใกลเ้ คยี ง ความเปน็ จริงมากทีส่ ดุ นนั่ เอง สาระการเรียนรู้เรื่องการวัดประกอบด้วย การวัดความยาว และระยะทาง การวัดพ้ืนที่ การวัดนา้ หนัก (การชัง่ ) การวดั ปรมิ าตรและความจุ (การตวง และการหาปริมาตร) มาตราส่วน การวัด เวลาและคา่ ของเงิน หนว่ ยการวดั ระบบตา่ ง ๆ การคาดคะเนเก่ียวกับการวัด โดยในหลักสูตรจะเน้นท้ัง ความเข้าใจพื้นฐานเก่ียวกับการวัด ทักษะในการวัด และการคาดคะเนขนาดของสิ่งของที่ต้องการวัด รวมทง้ั การแก้ปญั หาเกย่ี วกับการวดั และการนาความรู้ เกยี่ วกับการวดั ไปใช้ในสถานการณ์ต่าง ๆ 1) การวัดเชิงเส้น การวัดเชิงเส้นมี 2 ลักษณะ ได้แก่ การวัดความยาวและการวัดระยะ คาวา่ “ความยาว” และ “ระยะ” มคี วามหมายต่างกัน มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง ความยาวของดินสอ ระยะหา่ งระหว่างเสาไฟ ระบบหน่วยการวัดความยาวและระยะ เน่ืองจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา กลา่ วถึงระบบหน่วยการวัดความยาวและระยะ 2 ระบบ คอื ระบบเมตรกิ และระบบแบบไทย ดงั นี้

164 ระบบหน่วยการวัดความยาวและระยะแบบเมตกิ 10 มิลลิเมตร (มม.) เป็น 1 เซนตเิ มตร (ซม.) 10 เซนติเมตร (ซม.) เป็น 1 เดซเิ มตร (ดม.) 10 เดซเิ มตร (ดม.) เป็น 1 เมตร (ม.) 10 เมตร (ม.) เป็น 1 เดคาเมตร (เด.ม.) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 10 เดคาเมตร (เด.ม.) เป็น 1 เฮกโตเมตร (ฮม.) 1 เฮกโตเมตร (ฮม.) เป็น 1 กโิ ลเมตร (กม.) ระบบหน่วยการวดั ความยาวและระยะแบบเมตริกทีใ่ ชใ้ นชีวติ ประจาวัน เนื่องจากประเทศไทยยังไม่พัฒนาระบบการวัดที่ละเอียดจึงอาศัยระบบหน่วยการวัดแบบ เมตรกิ สาหรับใช้ในการวัด ดังนี้ 10 มลิ ลิเมตร เป็น 1 เซนตเิ มตร 1,000 มลิ ลิเมตร เป็น 1 เมตร 100เซนติเมตร เปน็ 1 เมตร 1,000 เมตร เป็น 1 กโิ ลเมตร ระบบหนว่ ยการวดั ความยาวและระยะแบบไทย 12 นิว้ เป็น 1 คบื 2 คืบ เปน็ 1 คอก 4 ศอก เป็น 1 วา 20 วา เป็น 1 เส้น 400 เส้น เป็น 1 โยชน์ ระบบหนว่ ยการวัดความยาวและระยะแบบไทยเทยี บกบั ระบบเมตริก 1 คืบ เปน็ 25 เซนติเมตร 1 ศอก เปน็ 50 เซนตเิ มตร 1วา เปน็ 2 เมตร 1 เสน้ เป็น 40 เมตร 25 เสน้ เป็น 1 กโิ ลเมตร 1 โยชน์ เป็น 16 กโิ ลเมตร ที่มา: สุรวิทย์ กองสาสนะ (2525) สารานกุ รมไทยสาหรบั เยาวชน เล่ม 6 หน้า 127 การสอนการวัดเชงิ เสน้ หมายความถึงการวดั ความยาวและการวัดระยะ มหี ลักการทส่ี าคญั ดงั น้ี

165 1. นกั เรยี นสามารถเข้าใจได้ว่าระยะทางระหว่างของสองส่ิงย่อมไม่เปลี่ยนแปลงถึงแม้จะ มลง สงิ่ ใดหนงึ่ มาอยรู่ ะหวา่ งของสองสง่ิ น้ันกต็ าม 2. เนื่องจากการวัดเป็นเรื่องของการเปรียบเทียบ ก่อนเรียนการวัดโดยใช้หน่วยการวัด นักเรียนควรรู้จักการเปรียบเทียบโดยยังไม่ต้องใช้หน่วยการวัดก่อน การเปรียบเทียบเหล่าน้ีทาได้โดย การนาสิ่งของมาลง มาวางเทียบกันโดยตรงเพื่อดูว่าส่ิงไหน “ยาวกว่า (สูงกว่า หนากว่า)” “สั้นกว่า (เตย้ี กว่า บางกว่า) \" หรือ“ยาวเทา่ กัน (สูงเท่ากนั หนาเท่ากนั )” 3. การสอนการวัดควรใช้สถานการณ์ปัญหาในชีวิตจริงเป็นสิ่งเร้า เพ่ือให้นักเรียนใช้การ ทดลอง เพื่อหาคาตอบ ซ่ึงเป็นการฝึกให้นักเรียนได้ศึกษาค้นคว้าด้วยตนเอง ฝึกให้นักเรียนได้คิด ได้ลง มือปฏิบัติ และหาข้อสรุปด้วยตนเองเท่าที่จะสามารถทาได้ อีกท้ังยังเป็นการฝึกทักษะการแก้ปัญหา เกย่ี วกับการวัด และการนาความร้เู กี่ยวกับการวดั ไปใชใ้ นสถานการณ์ ตา่ ง ๆ 4. การสอนการวัดควรกระตุ้นให้นักเรียนฝึกใช้ทักษะและกระบวนการแก้ปัญหาที่ หลากหลาย พยายามแสวงหาคาตอบดว้ ยวธิ ีตา่ ง ๆ 5. การสอนการวัดควรเร่ิมต้นฝึกการวัดโดยไม่ใช้หน่วยมาตรฐานก่อน เพราะจะช่วยให้ นักเรียน เขา้ ใจความหมายของหนว่ ยการวัดได้ดี ตอ่ ไปจงึ สอนการวดั โดยใช้หน่วยมาตรฐาน 6. การสอนการวัดควรส่งเสริมและฝึกฝนให้นักเรียนมีความสามารถในการคาดคะเน ความยาวและ ระยะทางซงึ่ เป็นทกั ษะทมี่ ปี ระโยชนใ์ นชีวิตประจาวัน มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 2) การวัดน้าหนัก เป็นการวัดน้าหนักของสิ่งของส่ิงของต่างๆ รอบตัวเรามีน้าหนักอาจ ทดลองโดยให้ยกสิ่งของ ท่ีมีน้าหนักต่างกันอย่างชัดเจน แล้วเปรียบเทียบน้าหนักซ่ึงจะพบว่า สิ่งของ บางอยา่ งมีน้าหนักมาก สง่ิ ของ บางอย่างมนี ้าหนักนอ้ ย ระบบหนว่ ยการช่งั น้าหนกั แบบเมตรกิ 10 มิลลกิ รัม (มก.) เปน็ 1 เซนติกรมั (ซก.) 10 เซนตกิ รัม (ซก) เปน็ 1 เดซิกรมั (ดก.) 10 เดซิกรมั (กก.) เป็น 1 กรัม (ก.) 10 กรัม (ก.) เปน็ 1 เดคากรมั (เด.ก.) 10 เดคากรมั (เด.ก.) เปน็ 1 เฮกโตกรัม (ฮก.) 10 เฮกโตกรมั (ฮก.) เปน็ 1 กโิ ลกรัม (กก.) 1,000 กโิ ลกรมั (กก.) เปน็ 1 เมตริกตัน ระบบหน่วยการช่ังน้าหนักแบบไทย 2 เฟอ่ื ง เป็น 1 สลงึ 4 สลงึ เป็น 1 บาท

166 4 บาท เปน็ 1 ตาลึง 20 ตาลึง เปน็ 1 ชงั่ 50 ช่ัง เปน็ 1 หาบ ระบบหน่วยการช่ังนา้ หนกั แบบไทยเทยี บกบั แบบเมตรกิ 1 บาท เป็น 15 กรัม 1 ชงั่ หลวง เปน็ 600 กรัม มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 1 หาบหลวง เป็น 60 กิโลกรมั หน่วยการช่ังท่ีใช้ในชีวิตประจาวัน หน่วยการช่ังที่ใช้ในชีวิตประจาวันได้แก่ บางหน่วย ของระบบเมตริกและบางหน่วยของระบบไทย หน่วยการช่ังในระบบเมตริกที่ใช้กันอยู่โดยท่ัวไปได้แก่ เมตรกิ ตัน กโิ ลกรมั และกรัม ส่วนหน่วยอ่ืนก็มี มิลลิกรัม ซ่ึงส่วนใหญ่ใช้ในห้องปฏิบัติการวิทยาศาสตร์ ท่ีต้องการความละเอียดในการชั่งสูง ในการซื้อขาย ตามท้องตลาดไม่นิยมใช้หน่วยกรัมเป็นเศษของ กิโลกรัม แต่นิยมใช้คาว่า ขีด แทน ซึ่งมีค่าเท่ากับ 100 กรัม สาหรับหน่วยการชั่งแบบไทยท่ียังมีใช้อยู่ กันบ้างได้แก่ น่ัง บาท สลึง เฟื้อง ซึ่งหน่วยบาท สลึง และ เฟ่ือง ใช้เฉพาะการช่ังทอง นอกจากน้ีไทย เรายังใช้หน่วยกะรัต (Carat) ซ่ึงเป็นหน่วยมาตรฐานสากลในการวัดน้าหนักเพชร พลอย หน่ึงกะรัต มี คา่ เท่ากบั 20 เซนตกิ รมั หรือ 200 มิลลิกรมั การสอนการวดั น้าหนกั มีหลักการสาคญั ดงั นี้ 1. การสอนการวัดน้าหนักควรให้นักเรียนได้มีประสบการณ์ในการเปรียบเทียบน้าหนัก กันโดยตรง การเปรียบเทียบน้าหนักน้ีต่างไปจากการเปรียบเทียบความยาว หรือปริมาตร เพราะการ เปรียบ เทียบน้าหนักใช้การมองดูอย่างเดียวไม่ได้ ต้องใช้การสัมผัส คือ ลองยกดู จึงจะทราบได้ว่า สิ่ง ใดหนัก หรือ เบากว่ากันในข้ันนี้นักเรียนควรได้ข้อสังเกตด้วยว่า ขนาดของวัตถุไม่สัมพันธ์กับน้าหนัก ของช้ินใหญ่อาจ มีน้าหนักเบากว่าของช้ินเล็กก็ได้ การเปรียบเทียบควรให้ครอบคลุมแนวคิดท้ังสาม อยา่ ง คือ หนกั กวา่ กัน เบากวา่ กนั และหนักเทา่ กนั และควรครอบคลมุ การเรียงลาดับด้วย 2. ควรใช้กิจกรรมประเภทการทดลองง่ายๆ เพ่ือแสดงให้เห็นว่าสิ่งของท่ีมีน้าหนัก ตา่ งกนั ได้รบั แรงดึงดูดของโลกต่างกัน ซึ่งทาได้โดยนาวัตถุท่ีมีน้าหนักไม่เท่ากันแขวนกับลวดสปริง จะ เห็นวา่ การยึดของ ลวดสปรงิ จะแตกต่างกนั 3. การสอนการช่ังนา้ หนักควรให้นักเรียนได้มีประสบการณ์จากการช่ังน้าหนักโดยไม่ใช้ หนว่ ย มาตรฐานก่อน แล้วจงึ ให้มีประสบการณ์ในการชง่ั นา้ หนกั โดยใชห้ น่วยมาตรฐาน 4. นักเรียนจะสามารถทาความเข้าใจเร่ืองการชั่งน้าหนักได้ดีเมื่อมีประสบการณ์ตรงใน การใชเ้ ครื่องชง่ั 5. นักเรยี นควรได้ศึกษาท้ังวิธีการใชแ้ ละวิธีการเก็บรกั ษาเคร่ืองช่งั ใหถ้ ูกวธิ ี

167 6. ครูควรสนับสนุนให้นักเรียนนาความรู้ในเร่ืองน้าหนักไปใช้ให้เป็นประโยชน์ใน ชีวิตประจาวนั โดย เฉพาะเวลาซือ้ ขาย เพื่อไมใ่ ห้เสียเปรียบผ้ขู าย และในกรณที ่ีซื้อของที่ได้รับการบรรจุ ในภาชนะเรียบร้อยแล้ว ควรรู้จักอ่านน้าหนักสุทธิท่ีระบุไว้บนภาชนะนั้นเพ่ือช่วยในการตัดสินใจเลือก ซอ้ื ของแทนการดูเฉพาะรูปรา่ ง หรอื ขนาดของภาชนะท่ีบรรจุ 7. การสอนการวัดน้าหนัก ควรส่งเสริมและฝึกฝนให้นักเรียนมีความสามารถในการ คาดคะเน น้าหนัก 8. การจัดกจิ กรรมการเรยี นการสอน การชัง ควรเป็นกิจกรรมที่ท้าทายให้คาดเดา หรือ กระตุ้นให้ คดิ วเิ คราะห์ และนา่ สนใจ 3) การวัดปริมาตร เป็นการคานวณเกี่ยวกับการวัดบริเวณของรูปเรขาคณิต 3 มิติ เชน่ เดยี วกบั พื้นท่ซี ง่ึ เปน็ แนวคดิ เก่ียวกับการวดั บรเิ วณของระนาบ การวัดปริมาตรนอกจากจะอยู่ในรูป ของการหาปรมิ าตรของวัตถุและการหาความจุดังกล่าวข้างต้นแล้ว ยังอยู่ในรูปของการหาปริมาตรของ สิ่งของซ่ึงได้แก่ ของเหลวและของอ่ืน ๆ ที่ตวงได้ การตวงเป็นการวัดปริมาตรของส่ิงของหรือความจุ ของภาชนะ โดยจะตอ้ งวดั ทงั้ 3 มติ ิ คือ ความ กวา้ ง ความยาว และความสูงหรือความลึก การตวงเพื่อ หาปริมาตรของส่ิงของ มี 2 ลักษณะ คือ การตวงของ แห้ง และการตวงของเหลว มาตราสากลที่นิยม ใช้ในการตวงอย่างหนึ่งคือ ลิตร ความจุ 1 ลิตร เท่ากับ 1 ลูกบาศก์เดซิเมตร หรือ 1,000 ลูกบาศก์ เซนตเิ มตร (ซซี ี) ภาชนะท่มี คี วามจุ 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร จะมีความจุเท่ากับถังรูปลูกบาศก์ ซึ่งมีความ กว้าง ความยาว และความสูงด้านละ 1 เซนติเมตร หรือจะกล่าวว่าถังรูปลูกบาศก์น้ีมีปริมาตร 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร แม้ว่า ลูกบาศก์นั้นเป็นรูปทรงต้นก็จะกล่าวว่า ปริมาตรของลูกบาศก์น้ันเท่ากับ 1 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตรเช่นเดยี วกนั มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง สูง กว้าง ยาว จะได้ สตู รปริมาตรของทรงสเ่ี หลี่ยมมมุ ฉาก = ความกว้าง x ความยาว x ความสงู

168 หน่วยการวัดปริมาตร หน่วยการวัดปริมาตรมีสมบัติเช่นเดียวกับหน่วยการวัดพ้ืนท่ีกล่าวคือ ต้องสามารถครอบคลมุ บรเิ วณ ทีต่ ้องการวัดได้ท้ังหมด จากการทดลองพบว่าหน่วยทีเ่ หมาะสมที่สุดควร มีลักษณะเป็นรูปลูกบาศก์ จึงได้ กาหนดให้ลูกบาศก์หน่วยเป็นหน่วยการวัดปริมาตร โดยท่ีปริมาตร 1 ลูกบาศก์หนว่ ย หมายถงึ ทรงสีเ่ หลีย่ ม มุมฉากท่ีมีด้านกว้างด้านยาวและด้านสูงแต่ละด้านยาว 1 หน่วย ถ้าความยาวของด้านมีหน่วยเป็นเซนติเมตร หน่วยการวัดปริมาตรก็จะเป็นลูกบาศก์เซนติเมตร ดังน้ัน จึงกลา่ วได้ว่าลกั ษณะของหนว่ ยปริมาตรข้นึ อยู่ กับลกั ษณะของหน่วยวัดความยาว มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง ระบบหน่วยการวัดปรมิ าตร ระบบหน่วยการวัดปริมาตรที่พบในหลักสูตรระดับประถมศึกษา และมธั ยมศึกษาตอนต้นมที ้งั 2 ระบบ คือ ระบบเมตริก และระบบอังกฤษ ในการใช้หน่วยการวัดในแต่ ละระบบไม่ไดน้ ามาใชท้ ุก หน่วย แต่นามาใช้เพียงบางหน่วยเท่าน้ัน เพื่อให้มองเห็นภาพรวมของระบบ หนว่ ยจึงขอเสนอระบบหน่วยท้ัง สามระบบดงั นี้ ระบบหนว่ ยการวัดปริมาตรแบบเมตริก 10 มิลลิลติ ร (มล.) เปน็ 1 เซนตลิ ติ ร (ชล.) 10 เซนติลติ ร (ซล.) เปน็ 1 เดซิลิตร (ดล.) 10 เดซลิ ิตร (ดล.) เป็น 1 ลติ ร (ล.) 10 ลิตร (ล.) เป็น 1 เดคาลติ ร (เด.ล.) 10 เดคาลิตร (เด.ล.) เป็น 1 เฮกโตลิตร (ฮล.) 10 เฮกโตลิตร (ฮล.) เป็น 1 กิโลลิตร (กล.) ในระบบเมตริก หน่วยหลักคือลิตร หน่วยลิตรไม่มีลิตรมาตรฐานเป็นตัวกาหนด แต่ลิตร เป็นหน่วย ท่ีสร้างข้ึนมาจากหน่วยอื่น ได้แก่ หน่วยความยาว โดยกาหนดให้ หน่ึงลิตรเทียบเท่าหน่ึง ลูกบาศก์เดซิเมตร หรือหน่ึงพันลูกบาศก์เซนติเมตร ความสัมพันธ์ระหว่างหน่วยการวัดปริมาตรที่ใช้ ลติ รเป็นหน่วยหลกั กบั ทใ่ี ช้ หน่วยความยาวเมตรเป็นหน่วยหลัก มีความสัมพันธ์กันดังแสดงให้เห็นเป็น ตัวอยา่ งเฉพาะบางหน่วย ดังนี้ 1 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร เปน็ 1 มิลลลิ ิตร 1 ลูกบาศก์เดซิเมตร เป็น 1 ลิตร 1,000 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร เป็น 1 ลติ ร 1 ลกู บาศกเ์ มตร เป็น 1 ลติ ร ระบบหนว่ ยการวัดแบบอังกฤษ ถึงแมใ้ นทางราชการจะกล่าวว่า ประเทศไทยใช้ระบบ เมตริก แต่ในทางปฏิบัติจะพบว่าคนไทยใช้ระบบการวัดหลายระบบผสมกัน โดยเฉพาะในเรื่องการตวง 3 ระบบ คอื เมตรกิ ไทย และอังกฤษ สาหรับระบบการวัดแบบอังกฤษมีใช้อยู่ 4 หน่วยคือ ช้อนโต๊ะ ถ้วย ตวง และแกลลอน มาตราตวงระบบองั กฤษ เปน็ ดังนี้

169 3 ชอ้ นชา เปน็ 1 ชอ้ นโตะ๊ 16 ชอ้ นโต๊ะ เปน็ 1 ถ้วย 2 ถว้ ย เปน็ 1 ไปท์ 2 ไปท์ เปน็ 1 ควอท 4 ควอท เปน็ 1 แกลลอน 2 แกลลอน เป็น 1 เปก มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง การสอนการวัดปริมาตรมีหลักการท่ีควรต้องคานงึ ถึงดังต่อไปน้ี 1. การสอนเปรียบเทียบเป็นพื้นฐานของการวัด นักเรียนควรมีประสบการณ์ในการนา สงิ่ ของ ซ่งึ มลี ักษณะคลา้ ยกนั มาเปรียบเทียบกันโดยตรง เพื่อความเข้าใจเกี่ยวกับความแตกต่างกันของ ปริมาตรเช่นเปรียบเทยี บความจุของขวดนา้ อัดลมขนาดใหญก่ ับขนาดเลก็ เป็นต้น การเปรียบเทียบควร ให้ครอบคลุมแนวคิดท้ังสามอย่างคือ ใหญ่กว่ากัน เล็กกว่ากัน และเท่ากัน และควรครอบคลุมการ เรยี งลาดบั ด้วย 2. การสอนปริมาตรควรพฒั นาความเขา้ ใจเกีย่ วกบั ความหมายของปริมาตรในแง่ของการ กินเน้ือที่ ของวัตถุโดยอาศัยการทดลอง เช่นให้นักเรียนหยิบหนังสือเล่มเล็กและเล่มใหญ่ใส่ลงใน กระเป๋าหนังสือเพือ่ ดวู ่าหนงั สือเลม่ ใดกินเนื้อท่ีมากกวา่ กนั 3. การสอนหน่วยการวัดปริมาตรควรเร่ิมจากการวัดโดยใช้หน่วยที่ไม่เป็นมาตรฐานก่อน วดั โดยใช้หน่วยมาตรฐาน 4. การฝึกให้นักเรียนสร้างเครื่องมือสาหรับวัด จะช่วยให้นักเรียนเข้าใจเรื่องของหน่วย การวัด วิธีวดั ได้ดียง่ิ ข้นึ 5. การสอนการวัดปริมาตรควรเร่ิมต้นจากการหาปริมาตรด้วยการทดลองไปสู่การหา ปรมิ าตร การใชส้ ูตร 6. การสอนการวัดปริมาตรควรส่งเสริมและฝึกฝนให้นักเรียนมีความสามารถในการ คาดคะเนปรมิ าตร 4) การวัดพื้นที่ เป็นการคานวณเก่ียวกับการวัดบริเวณ (region) ของรูปเรขาคณิตศาสตร์ 2 มติ ิ ประกอบดว้ ยรูปส่ีเหล่ยี ม รปู สามเหล่ียม และรูปวงกลม ดังนี้ การหาพืน้ ท่ีของรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก หาไดจ้ าการเอาความยาวของด้านกว้างคูณความยาวของด้านยาว (ดา้ ยยาวต้องมคี วามยาวมากกวา่ ด้านกว้าง) ความกว้าง ความยาว

170 พ้นื ท่รี ปู ส่ีเหลยี่ มมุมฉาก = ความกวา้ ง x ความยาว แต่เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ได้แก่ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ดังน้ัน ถ้า ตอ้ งการแยกสูตรเฉพาะสาหรับการหาพ้นื ท่ีของรปู ส่เี หล่ียมผืนผา้ และรปู สเี่ หล่ียมจตั ุรัสจะได้ดงั นี้ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบงความกวา้ งความยาวด้าน ความยาว ความยาวดา้ น พื้นทีร่ ปู สี่เหลยี่ มผืนผา้ =ความกวา้ งxความยาว พืน้ ท่รี ปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั =ความยาวดา้ นxความยาวด้าน การหาพ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมมีพ้ืนที่เป็นคร่ึงนึงของรูปสี่เหลี่ยม ดังนั้น การ หาพ้นื ที่จงึ แบ่งครง่ึ จากรปู สี่เหลี่ยม (คูณด้วย ) ถ้าต้องการแยกสูตรเฉพาะสาหรับการหาพื้นที่ของรูป สเ่ี หล่ยี มผนื ผา้ และรูปสเี่ หลีย่ มจัตุรสั จะไดด้ งั น้ี ความสงู ความยาวฐาน พ้ืนที่รูปสามเหลี่ยม = x ความสงู x ความยาวฐาน การหาพืน้ ทีข่ องรูปสี่เหลยี่ มด้านขนาน การแปลงรปู สเ่ี หล่ยี มดา้ นขนาน ให้อยู่ในรูปสีเ่ หลีย่ มมมุ ฉาก ความสงู ความ สงู ความยาวฐาน ความยาวฐาน

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 171 พื้นท่ีรปู สเ่ี หล่ยี มด้านขนาน = ความสูง x ความยาวฐาน การหาพ้ืนท่ีของรูปสี่เหล่ียมขนมเปียกปูน หาได้จากความยาวของเส้นทแยงมุม โดยแปลงรูปให้เป็น รูปสเ่ี หลยี่ มมุมฉาก ความยาวของเสน้ ทแยงมุม a a b พนื้ ท่รี ูปสี่เหลีย่ มขนมเปยี กปูน = x a = x (b x a); (b x a) คอื ผลคณู ความยาวของเสน้ ทแยงมมุ พ้นื ทรี่ ปู ส่ีเหล่ียมขนมเปยี กปูน = x ผลคูณความยาวของเสน้ ทแยงมุม การหาพ้ืนที่ของรูปสี่เหล่ียมรูปว่าว หาได้จากความยาวของเส้นทแยงมุม โดยแปลงรูปให้เป็นรูป สี่เหล่ียมมมุ ฉาก ความยาวของเสน้ ทแยงมมุ a

172 a พ้ืนทร่ี ูปสเ่ี หลี่ยมขนมเปียกปนู = x a = x (b x a) ; (b x a) คอื ผลคูณความยาวของเส้นทแยงมุม พื้นทร่ี ูปส่ีเหลี่ยมขนมเปียกปูน = x ผลคูณความยาวของเส้นทแยงมุม มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง การหาพื้นที่ของรูปส่ีเหล่ยี มคางหมู หาไดจ้ ากการแปลงรปู สเ่ี หลย่ี มคางหมูใหเ้ ปน็ รปู สเี่ หล่ยี มมุมฉาก a aa h 2 22 hh 2 a b a 2 2 b พน้ื ทร่ี ูปสเี่ หลีย่ มคางหมู = ความกวา้ ง x ความยาว = x( +b+ ) = x (a + b) ; (a + b) คือผลบวกความยาวด้านคขู่ นาน = x (a + b) x h ; h คอื ความสงู ระหวา่ งด้านคขู่ นาน พืน้ ท่รี ูปสเ่ี หลยี่ มคางหมู = x ผลบวกความยาวดา้ นคูข่ นาน x สงู การหาพนื้ ที่ของรปู วงกลม หาไดจ้ ากการแปลงรปู วงกลมให้เปน็ รปู ส่ีเหลีย่ มมุมฉาก

173 พน้ื ทข่ี องรูปวงกลม = ความกว้าง x ความยาว ความกวา้ งเทา่ กับรัศมีรปู วงกลม = x (2πr) x r ความยาวเท่ากบั ครึ่งนึงของความยาวรอบรูป พน้ื ทช่ี องรปู วงกลม = πr2 (2πr) คือ ความยาวรอบรูปวงกลม มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง5) การวัดเวลา แนวคิดพื้นฐานซึ่งเกี่ยวข้องกับเวลาได้แก่ ลาดับของเหตุการณ์ กล่าวคือ เมื่อมีเหตุการณ์สองอย่าง (ซ่ึงไม่เกิดข้ึนในขณะเดียวกัน) เกิดขึ้น ย่อมมีลาดับของการเกิดเหตุการณ์ท่ี แน่นอนตายตวั เสมอ น่นั คอื เหตกุ ารณใ์ ดเหตกุ ารณห์ น่งึ ยอ่ มเกดิ ขึ้นก่อนอกี เหตุการณ์หน่ึงเสมอ และใน ระหว่างเหตุการณท์ ้งั สองนนั้ ยอ่ มมชี ว่ งของเวลาเกดิ ขึน้ นับเป็นเวลาหลายพันปีล่วงมาแล้วท่ีมนุษย์พยายามศึกษาค้นคว้าเกี่ยวกับเวลา ในอดีต กาลมนุษย์ผูก เวลาไว้กับตนเอง จึงได้จัดลาดับเหตุการณ์ออกเป็นอดีต ปัจจุบันและอนาคต แต่ต่อมา แนวคิดเกย่ี วกบั เวลา เปลย่ี นแปลงไป เวลากลายเป็นสงิ่ อสิ ระจากมนุษย์ เร่ิมจากอดีตท่ีเป็นอนันต์ไปถึง อนาคตท่เี ปน็ อนนั ต์ ตอ่ มา ไอนส์ ไตน์จงึ เปน็ ผใู้ หแ้ นวคดิ ใหม่เก่ียวกับเวลาว่า เวลาเป็นเรื่องของการรับรู้ กล่าวคือเวลาจะไม่มีความหมาย เลยถ้าไม่มีเหตุการณ์เข้ามาเกี่ยวข้อง เช่นเดียวกับสี สีจะไม่มี ความหมายเลยถา้ ไมใ่ ช้ตาดู ดังนัน้ จงึ กล่าวได้ วา่ เวลาย่อมไม่เป็นอิสระจากลาดับเหตุการณ์ท่ีเกี่ยวข้อง กับเวลาน้ัน มนุษย์รู้จักการบอกเวลาหรอื วัดเวลามาเมือ่ หลายพันปีล่วงมาแล้ว โดยอาศัยการสังเกตจาก ปรากฏการณ์ธรรมชาติ ในสมัยดึกดาบรรพ์ มนุษย์ต้องติดตามการผ่านไปของวันหนึ่งๆ เพื่อให้ตนเอง ทราบ ว่า เม่ือใดเป็นเวลาล่าสัตว์หรือเม่ือใดเป็นเวลาหาท่ีพักอาศัย มนุษย์ในยุคโบราณรู้จักความ แตกต่างกันระหว่าง กลางคืนและกลางวัน และบางที่ก็เป็นการพอเพียงแล้วสาหรับยุคนั้น แต่เมื่อ ชีวิตประจาวันมีความซับซ้อน มากขึ้น การรู้เวลาอย่างแน่นอนจึงสาคัญมากขึ้น เรื่องที่เราบอกเวลาได้ อย่างไร เป็นเรื่องของความเจริญ ก้าวหน้านั้นเอง ความรู้ในเรื่องทิศทางและฤดูกาลจึงเป็นเรื่องสาคัญ ต่อมามนุษย์จงึ พัฒนาเครอื่ งมือสาหรบั วดั เวลาข้ึน ได้แก่ ปฏิทินและนาฬกิ า ปฏิทิน พจนานุกรมศัพท์ภูมิศาสตร์ฉบับราชบัณฑิตยสถาน พ.ศ. 2523 อธิบาย ความหมายของ ปฏิทนิ ว่า “ระบบการวัดแบ่งช่วงเวลาให้เป็นวัน เดือน ปี โดยอาศัยหลักการทางดารา ศาสตร์ เพ่ือใช้สาหรับ เป็นหน่วยกาหนดนับอายุ กาหนดพิธีการต่างๆ และบันทึกเหตุการณ์ที่สัมพันธ์ กับชีวิตประจาวันของมนุษย์ ปฏิทินที่นิยมใช้กันในปัจจุบันคือ ปฏิทินแบบเกรกอเรียน” ตามช่ือของ สันตะปาปาเกรกอรี ปฏิทินที่พบเห็นกันอยู่ในปัจจุบันมีลักษณะการบอกวัน เดือน ปี 2 แบบ คือแบบ หน่ึงบอกวนั เดือน ปี ทางสุริยคติ สว่ นอกี แบบหนงึ่ บอกวัน เดือน ปี ทั้งทางสุริยคติและจันทรคติควบคู่ กันไป สาหรับประเทศไทย นับทางจันทรคติ โดยตั้งต้นปีใหม่ท่ีเดือนห้า ขึ้นหน่ึงคา และเรียงลาดับ เดือน ตอ่ ไปเป็นเดอื นหก เจด็ แปด เก้า สิบ สิบเอ็ด สิบสอง แล้วตามด้วยเดือนอ้าย เดือนยี เดือนสาม

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 174 และ เดือนส่ี ในสมัยรัชกาลท่ี 5 ได้บัญญัติให้ใช้เดือนทางสุริยคติตามแบบสากล จึงได้ใช้ช่ือท้ังสิบสอง ราศีมาตั้ง เป็นชือ่ เดือน เช่น เมษายน หมายความว่า ดวงอาทิตย์ได้มาอยู่ในราศีเมษ (มีรูปดาวนักษัตร ประจาราศีเป็น รปู แกะ) พฤษภาคม ดวงอาทิตย์ไดม้ าอยใู่ นราศพี ฤษภ (รูปโค) เป็นต้น ลาดับต่อไปตาม นกั ษตั รประจาราศี และใหป้ ใี หม่ตัง้ ต้นทเ่ี ดอื นเมษายน ศักราช ศักราชท่ีปรากฎในปฏิทินของไทยได้แก่ พุทธศักราช (พ.ศ.) พุทธศักราชเป็น ศกั ราชที่ พุทธศาสนิกชนกาหนดขึ้น โดยถือเอาปีที่พระพุทธเจ้าเสด็จดับขันธ์ปรินิพพานเป็นปีที่ 1 เมื่อ คานวณนบั ตามจันทรคติ วนั ขน้ึ ปีใหม่จงึ ตรงกบั วนั แรม 1 ํคา่ เดือน 6 ต่อมาในสมัยกรุงรัตนโกสินทร์ได้ มีการตัง้ ศกั ราช รตั นโกสินทร์ศกข้ึนและได้กาหนดให้วันข้ึนปีใหม่ตรงกับวันท่ี 1 เมษายน ต่อมาในสมัย พระบาทสมเด็จ พระมงกุฎเกล้าเจ้าอยู่หัว ทรงเปล่ียนมาใช้พุทธศักราชแทนรัตนโกสินทร์ศก แต่ยังคง ใช้วันข้ึนปีใหม่เป็นวัน ที่ 1 เมษายนเหมือนเดิม ต่อมาในสมัยจอมพล ป.พิบูลสงครามเป็น นายกรัฐมนตรี ได้เปลี่ยนมาใช้วันที่ 1 มกราคมเป็นวันขึ้นปีใหม่ โดยเริ่มตั้งแต่วันท่ี 1 มกราคม พุทธศักราช 2484 เปน็ ตน้ ไป ทงั้ นีเ้ พ่อื ใหเ้ หมือน อยา่ งนานาอารยประเทศท้ังหลาย การบอกศักราชใน ปฏิทนิ นอกจากจะบอกพทุ ธศักราชแล้ว ปฏิทินส่วนใหญ่ยังบอกคริสต์ศักราช (ค.ศ.) ด้วย คริสต์ศักราช เป็นปีท่ีคริสต์ศาสนิกชนกาหนดข้ึนโดยถือเอาปีประสูติของพระเยซูคริสต์เป็น ปีท่ี 1 พุทธศักราช มากกว่าคริสต์ศักราช 543 ปี เมื่อเปล่ียน ค.ศ. เป็น พ.ศ. จึงต้องนา 543 บวก ถ้าเปล่ียน พ.ศ. เป็น ค.ศ. จงึ ตอ้ งนา 543 ลบออก ปีสุริยคติ คือระยะเวลาท่ีโลกโคจรรอบดวงอาทิตย์หน่ึงรอบมีระยะเวลานานเท่ากับ 365.24224 วัน แตเ่ นื่องจากการนบั วันเป็นเศษไม่สะดวก ในการจัดทาปฏิทินเกรกอเรียนจึงกาหนดให้ ปีหนึ่งมี 365 วนั ถ้วน เรียกว่าปีปกติสุรทิน หรือปีธรรมดา และในปีหนึ่งๆ กาหนดให้มี 12 เดือน เพ่ือ แก้เศษของวันท่ีหายไป จึงกาหนดให้เพิ่มวันพิเศษข้ึนหนึ่งวันทุกส่ีปี ดังน้ัน ในปีที่สี่จึงเรียกว่าปี อธิกสุรทิน ซ่ึงมี 366 วัน วันท่ีเพิ่ม เข้าไปนี้ให้เพิ่มเข้าในเดือนกุมภาพันธ์ของปีคริสต์ศักราชที่หารด้วน 4 ลงตัว เดอื น คอื เวลาท่ีดวงจันทร์โคจรรอบโลกหน่ึงรอบ ปีสุริยคติแบ่งออกเป็น 12 เดือนตาม จกั รราศี การ เรียกชื่อราศีเรียกตามชื่อกลุ่มดาวซึ่งได้รับการบัญญัติช่ือตามรูปร่างสมมติของกลุ่มดาวที่ เรียงรายกันอยู่เป็น รูปต่างๆ แล้วนาช่ือราศีเหล่าน้ันมาตั้งเป็นชื่อเดือนสุริยคติ โดยนาคาว่า “อายน” หรอื “อาคม” ต่อท้าย เพ่ือ ให้เป็นเครื่องสังเกตได้ง่ายว่า ถ้าเดือนใดลงท้ายด้วย “ยน” เดือนนั้นมี 30 วนั สว่ นเดือนท่ีลงท้ายด้วย “คม” จะมี 31 วัน คาว่า “อายน” หรือ “อาคม” นี้เป็นภาษาบาลีท้ังสอง คา แปลว่า “การมาถึง” ส่วนอีกเดือนหนึ่งซ่ึง พิเศษออกไปมี 28 วันบ้าง 29 วันบ้าง ใช้คา “อาพันธ์” ตอ่ ทา้ ยเขา้ ไป คาว่า “อาพันธ์” เปน็ ภาพ แปลว่า “ผูกพันหรอื ตดิ ต่อ วัน หนงั สือการรักษาเวลามาตรฐานของประเทศไทยของกรมอุทกศาสตร์อธิบายว่า วัน สรุ ิยคติ คอื เวลาที่โลกหมุนรอบตวั เองหนงึ่ รอบ โดยถือเอาดวงอาทิตย์เป็นหลกั ซงึ่ หมายความว่า เม่ือเม

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 175 ริเดยี นใด เมรเิ ดียนหน่ึงของโลกผา่ นจดุ ศนู ย์กลางของดวงอาทติ ย์ 2 คร้ัง เรียกว่าโลกหมุนหน่ึงรอบหรือ หน่ึงวันจริง ความนานของวันจริงแต่ละวันไม่เท่ากันทุกวันซ่ึงเป็นเพราะการเคลื่อนที่ของโลกรอบดวง อาทิตย์ไม่สม่าเสมอกัน และแกนโลกเอนทับเส้นทางโคจรปรากฏของดวงอาทิตย์ จึงได้กาหนดวันข้ึน ใหมเ่ รียกวา่ วนั สมมติ ซ่ึงมี ความนานของแต่ละวันคงท่ี เพื่อประโยชน์ในการสร้างเคร่ืองมือสาหรับวัด เวลาซ่ึงคือนาฬิกา การเรียกช่ือวันท้ัง 7 วันว่า วันอาทิตย์ จันทร์ อังคาร พุธ พฤหัสบดี ศุกร์ และเสาร์ เชื่อวา่ เรียกตาม ชาวอินเดีย เวลา การวัดเวลาโดยการสังเกตปรากฏการณ์ธรรมชาติเป็นการวัดเวลาที่มีความ ยาวนานทง้ั ส้ิน แม้แต่ “วัน” ซึง่ เปน็ หน่วยท่สี ั้นท่สี ุดกย็ งั มคี วามยาวนาน มนษุ ย์มคี วามต้องการการวัดท่ี ละเอียดไปกว่านน้ั อกี จึงคดิ สร้างเครอื่ งมอื สาหรับวัดเวลาในแต่ละวันข้ึนเรียกว่า “นาฬิกา” เชื่อกันว่า ชาวอยี ปิ ต์เป็นผู้ริเริ่มประดิษฐ์นาฬิกา นาฬิกาชนิดแรกนี้คือนาฬิกาแดดซึ่งสร้างข้ึนโดย อาศัยหลักการ สังเกตเหตกุ ารณ์ท่ีเกดิ ขนึ้ สม่าเสมอเปน็ ประจา กล่าวคอื มนษุ ยส์ งั เกตเห็นการเปลี่ยนแปลง ของเงาเม่ือ ดวงอาทิตย์เคล่อื นไปอยู่ตามตาแหนง่ ตา่ งๆ จงึ ทาเครอื่ งหมายไวบ้ นพน้ื ดนิ เพอ่ื แสดงตาแหน่ง ของเงาใน เวลาตา่ งๆ กนั ตอ่ มาได้มกี ารใช้ท่อนโลหะแทนเงาบนพื้นดินหรือพื้นโลหะแทน ในระยะเวลา ใกล้เคียง กันนี้ มนุษย์ยังรู้จักใช้นาฬิกาทรายและนาฬิกาน้าซ่ึงสร้างข้ึนโดยอาศัยอัตราการไหลของทรายและน้า ผ่านรูเล็กๆ ที่เจาะไว้เพื่อบอกเวลา ต่อมาจึงมีการประดิษฐ์นาฬิกาที่มีกลไกประเภท ที่ใช้ตัวจักรและ ฟันเฟืองอาศัยการควบคุมเวลาโดยการแกว่งของลูกตุ้ม ต่อจากน้ันการประดิษฐ์นาฬิกาจึงมี วิวฒั นาการตอ่ มาเรือ่ ยๆ จนในปจั จบุ นั มีนาฬิกาหลายชนดิ หลายประเภท มที ง้ั ประเภทท่มี ีเข็มบอกเวลา และ ไม่มีเขม็ บอกเวลา คือมีแตต่ ัวเลขปรากฏใหเ้ หน็ ตัวอย่างของนาฬิกาในปัจจุบันได้แก่ นาฬิกาไฟฟูา นาฬิกา ผลึก (Crystal Clock) นาฬิกาคอมพิวเตอร์ เป็นต้น ระบบหน่วยเวลา ตามมาตรฐานสากล มาตราเวลาเปน็ ดงั น้ี 1 ปี มี 365 วัน หรือ 366 วนั ในปีอธิกสรุ ทนิ 1 วนั มี 24 ชวั่ โมง 1 ชั่วโมง มี 60 นาที 1 นาที มี 60 วนิ าที การบอกเวลาของไทยกาหนดให้วันหนึ่งมี 24 ช่ัวโมง ตามมาตรฐานสากล โดยแบ่งเป็น กลางวัน 12 ช่ัวโมง และกลางคืน 12 ชั่วโมงการนับวันเร่ิมตั้งแต่ดวงอาทิตย์ขึ้นไปและสิ้นสุดเอาเมื่อ ดวงอาทิตย์ข้ึนอีกคร้ัง หนึ่ง การบอกเวลากลางวันใช้คาว่า “โมง” และกลางคืนใช้คาว่า “ทุ่ม” คาว่า “โมง” และ “ทุ่ม” มาจากเสียง ฆ้องและกลองที่ใช้ตีบอกเวลาในสมัยโบราณ และถึงแม้ในปัจจุบันจะ เลิกใชก้ ารตฆี อ้ งและกลองบอกเวลา แตย่ งั คงใช้คาว่า “โมง” และ “ทมุ่ ” สาหรบั บอกเวลาอยู่ การสอนการวัดเวลา เน่ืองจากเวลาเป็นนามธรรมมาก และการวัดเวลาก็มีลักษณะแปลก ไปกวา่ การวัดแบบอ่นื เพราะ ทกุ คร้ังที่วดั เวลา เวลาจะเลยผา่ นไปและไม่สามารถหวนกลับมาวัดใหม่ได้