เชาวฤทธิ์ พันธ์ทอง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 176 อกี ดังนั้น การสอนเวลาถงึ แม้ จะตอ้ งยดึ หลักการของการสอนการวัดเช่นเดียวกับการสอนการวัดแบบ อน่ื ๆ แต่การสอนการวัดเวลาจะต้องมีลักษณะการสอนท่ีเฉพาะ เพ่ือช่วยให้นักเรียนพัฒนาความเข้าใจ ได้อยา่ งแทจ้ ริง ดงั หลกั การสอนทพ่ี อสรปุ ได้ดงั นี้ 1. เพยี เจตค์ ้นพบว่าเด็กๆ มักนาเวลาไปสัมพันธ์กับความเร็ว ดังตัวอย่างการทดลองที่เขา ค้นพบขึ้น โดยนาตุ๊กตาไขลานมาสองตัว ให้เริ่มออกเดินจากตาแหน่งเดียวกันเดินไปพร้อมๆ กันและ หยุดพร้อมกันใน กรณีน้ีเด็กๆ จะยอมรับได้ว่า ตุ๊กตาท้ังสองตัวเร่ิมและหยุดในเวลาเดียวกัน แต่เมื่อไข ลานใหต้ กุ๊ ตาตวั หนึ่ง เดนิ ไดเ้ ร็วกวา่ และเมอื่ ถึงเวลาหยุดปรากฏวา่ ตกุ๊ ตาตัวนเี้ ดนิ ไปไดไ้ กลกว่า ในกรณีน้ี เด็กบางคนจะไม่ยอมรับ ว่าตุ๊กตาทั้งสองตัวหยุดในเวลาเดียวกัน เด็กเหล่านี้จัดอยู่ในประเภทไม่มี ความสามารถในการอนุรักษ์เวลา (Conservation of Time) เมื่อเรียนเกี่ยวกับเวลาเด็กเหล่าน้ีอาจจะ ไม่สามารถทาความเข้าใจได้อยา่ งแทจ้ ริง ดังนน้ั ครูจงึ ควรจัดประสบการณ์เพื่อส่งเสริมความเข้าใจเร่ือง เหลา่ นี้ใหแ้ ก่เดก็ 2. เนื่องจากแนวคดิ พน้ื ฐานในเร่อื งของเวลา คือ ลาดับเหตุการณ์ ดังน้ัน การสอนเวลาควร เริ่ม จากการให้ประสบการณ์แก่นักเรียนในรูปของกิจกรรมที่เก่ียวข้องกับการเรียงลาดับเหตุการณ์ กอ่ นหลงั ชน ให้นักเรียนเรียงลาดบั เหตกุ ารณใ์ นการแต่งตวั มาโรงเรยี น หรือเรียงลาดับเหตุการณ์ต้ังแต่ ต่ืนนอน จนมาโรงเรยี น เป็นต้น หลงั จากนนั้ ใหน้ กั เรียนวาดภาพลาดับของเหตุการณ์ ในการเรียงลาดับ เหตกุ ารณ์น้ี ควรครอบคลุมเหตุการณป์ ระเภทที่วัตถมุ ีการเปลี่ยนแปลงด้วย เช่น เปุาลูกโปุงแล้วลูกโปุง พองขึ้น เทยี นไข ทจ่ี ดุ ไว้ส้นั ลง เป็นตน้ 3. การสอนเวลาควรจดั ประสบการณใ์ ห้มีการเปรียบเทยี บเวลาโดยยงั ไม่ต้องใช้หน่วยการวัด ก่อน คอื ใหน้ าเหตกุ ารณ์มาเปรียบเทียบกันโดยตรง เพ่ือดูว่าเหตุการณ์ใดใช้เวลามากน้อยกว่ากัน เช่น ใหเ้ ดก็ สองคนกลัดกระดมุ เส้อื แล้วดวู า่ ใครใช้เวลามากน้อยกว่ากัน ให้นักเรียนเปรียบเทียบเวลาท่ีใช้ใน การแปรงฟัน และอาบนา้ เปน็ ตน้ 4. การสอนการวัดเวลาควรใช้กิจกรรมประเภทท่ีให้นักเรียนได้สัมผัสกับเวลาจริงๆ จัดให้มี กิจกรรม ที่หลากหลาย มีกิจกรรมกลุ่มย่อยเพื่อพัฒนาให้นักเรียนเกิดความเข้าใจอย่างแท้จริง โดยเริ่ม พัฒนาความ รู้สึกเกี่ยวกับหน่วยของเวลาให้กับนักเรียน เช่น ให้นักเรียนหลับตาเป็นเวลา 1 นาที เพ่ือให้รู้จักเวลา 1 นาที ว่านานเท่าใดและให้นักเรียนอภิปรายถึงความเข้าใจเฉพาะบุคคล หลังจากนั้น จึงแนะนาช่วงเวลา 5, 10, 15 และ 30 นาทีให้กะประมาณเวลาจากการทางานต่างๆ และวาดรูป นาฬกิ าตามชว่ งกจิ กรรมตา่ งๆ 5. การสอนวิธีวัดเวลา ควรใช้กิจกรรมท่ีช่วยให้นักเรียนเกิดแนวคิดว่าเหตุการณ์ใดก็ตามท่ี เกดิ ขน้ึ สม่าเสมอย่อมสามารถนามาใช้เป็นวิธีวัดได้ เช่น ถ้าเราใช้นิ้วเคาะโต๊ะเป็นจังหวะสม่าเสมอ เรา ก็สามารถนาวิธี เคาะโต๊ะมาเป็นวิธีวัดได้ ครูควรเปิดโอกาสให้นักเรียนคิดหาวิธีวัดแบบต่างๆ แล้ว เปรยี บเทียบกันดูว่าวิธีใด ใช้ได้ดีกว่ากัน และควรให้นักเรียนได้ศึกษาวิธีวัดท่ีคนโบราณเคยใช้ ได้แก่วิธี

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 177 วัดโดยใช้การไหลของน้าหรือ ทรายผ่านรูเล็กๆ หรือใช้ตาแหน่งของเงาที่เกิดจากการเคล่ือนที่ของดวง อาทิตย์ไปในเวลาตา่ งกนั เปน็ ต้น 6. การสอนวธิ วี ัดเวลาโดยใช้นาฬิกา ควรเรม่ิ จากการให้นักเรียนสังเกตความสม่าเสมอในการ เคลื่อนที่ของเข็มวินาที ซ่ึงอาจทาได้โดยการใช้นิ้วเคาะโต๊ะตามจังหวะการเคลื่อนที่ของเข็มวินาที และ เพื่อให้ นักเรียนเข้าใจว่าหน้าปัดนาฬิกามีการแบ่งออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน ครูอาจใช้วิธีให้นักเรียน เปรียบเทยี บจานวน คร้งั ของการเคาะโตะ๊ เมือ่ เขม็ วนิ าทีผา่ นเลขต่างๆ ไป เช่น จาก 12 ไป 1 จาก 1 ไป 2 จาก 2 ไป 3 เป็นต้น ด้วย วิธีน้ีจะช่วยให้นักเรียนได้สัมผัสกับความนานของเวลาเป็นวินาที หรือ อาจจะใหน้ ักเรยี นคิดกจิ กรรมขึน้ เอง เชน่ วัดเวลาที่ใช้เม่ือเดินจากโต๊ะของนักเรียนมาท่ีโต๊ะครู วัดเวลา ที่ใชเ้ ม่ือเขียนตัวเลข 1-10 เปน็ ต้น 7. การสอนการบอกเวลาควรเร่ิมจากการบอกเวลาโดยใช้ภาษาพูดจนคล่อง แล้วจึงหัดบอก เวลา โดยใช้ภาษาเขยี น 8. การสอนประสบการณ์เร่มิ ต้นในการบอกเวลา ควรเร่มิ จากเวลาเปน็ ช่วั โมง เช่น 2 นาฬิกา 5 นาฬิกา ให้นักเรียนเข้าใจว่าเข็มยาวเดินไป 1 รอบจะเท่ากับเข็มส้ันเดินจากตัวเลขหน่ึงไปยังตัวเลข ถัดไป ครูสาธิตโดยใช้นาฬิกาจริง ให้นักเรียนลาดับเวลาสาหรับกิจกรรมต่างๆ และวาดรูปนาฬิกาตาม ชว่ งกจิ กรรม ต่างๆ หลงั จากนนั้ ฝึกบอกเวลาคร่ึงชั่วโมง และ ช่ัวโมง (15 นาที) หลังจากนั้นฝึกนับเวลา ที่ละ 5 นาที หลังจากนับเวลาท่ีละ 5 นาทีแล้ว ควรรู้จักนาฬิกาท่ีแสดงวงนอกเป็นนาที ทุกๆ 5 นาที ทากิจกรรมและควรนาตัวเลขในวงนอกออกแล้วจึงฝึกการบอกเวลาท่ีละเอียดข้ึน ในข้ันน้ีนักเรียนควร สังเกตว่า มีช่องแบ่ง 5 ช่อง ในทุกๆ ช่วงตัวเลขบนหน้าปัด จึงสามารถฝึกบอกตาแหน่งท่ีละเอียดได้ เชน่ 8 : 07 เช่อื มโยงการบอก เวลาไปสู่การเขียนจากนาฬิกา digital เช่น 8 : 20 อ่านว่า 8 นาฬิกา 20 นาที 9. การสอนความสัมพันธ์ของหน่วยเวลาที่วัดด้วยนาฬิกา ได้แก่วินาที นาทีชั่วโมง ควรให้ นักเรียน สังเกตการเคลื่อนที่ของเข็มนาฬิกาจริง เมื่อมองเห็นความสัมพันธ์แล้วจึงใช้นาฬิกาจาลอง ฝกึ ฝนให้แม่นยาขนึ้ 10. การสอนการวัดเวลาโดยใชน้ าฬกิ า ควรให้นักเรียนเหน็ ความจากดั ของเวลาท่ีวัดได้โดยใช้ นาฬิกาว่า วัดได้เพียง 12 ชั่วโมง นาฬิกาจึงเป็นเคร่ืองมือท่ีเหมาะสมในการวัดเวลาช่วงส้ัน แล้วให้ นกั เรยี น อภิปรายเกี่ยวกับเคร่อื งมอื วัดเวลาชนิดอ่นื ซง่ึ เหมาะสาหรบั วัดเวลาช่วงยาว ซึง่ ได้แก่ปฏิทิน 11. การสอนการวัดเวลาช่วงนานเป็นปี เดือน สัปดาห์ วัน ควรใช้การเปรียบเทียบกับ เหตกุ ารณ์ เพ่ือใหช้ ่วงเวลาเหลา่ น้นั มคี วามหมายกบั ตัวเด็ก เช่น ช่วงเวลาเป็นปี ได้แก่ จากวันเปิดเรียน ช้ันประถมศึกษาปีท่ี 1 จนถึงวันเปิดเรียนชั้นประถมศึกษาปีท่ี 2 (ในกรณีที่เปิดเรียนวันเดียวกัน) จาก วันเกิดตอนอายุ 7 ขวบ จนถึงวันเกิดตอนอายุ 8 ขวบ จากวันปีใหม่ถึงวันปีใหม่อีกปีหนึ่ง เป็นต้น ช่วงเวลาเป็นเดือน เช่น จากการช่ัง น้าหนักครั้งที่แล้วถึงการช่ังน้าหนักคร้ังน้ี (ในกรณีที่โรงเรียนช่ัง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 178 นา้ หนกั ทุกเดือน) ช่วงเวลาเป็นสัปดาห์ เชน่ จากการเรียนวิชาพลศึกษาคร้ังท่ีแล้วถึงการเรียนพลศึกษา ครงั้ นี้ ในกรณีทน่ี กั เรยี นเรยี นวิชาพลศกึ ษาสปั ดาห์ ละครั้ง) ช่วงเวลาเป็นวัน เช่น จากการต่ืนนอนตอน เช้าถึงการต่ืนนอนตอนเชา้ ของอกี วันหนงึ่ เป็นต้น 12. กิจกรรมเก่ียวกับการบันทึกพฤติกรรมตามเวลาช่วงต่างๆ ช่วยส่งเสริมความเข้าใจเรื่อง เวลาได้ เป็นอยา่ งดี 13. การสอนการวัดเวลาควรส่งเสริมและฝึกฝนให้นักเรียนมีความสามารถในการคาดคะเน เวลา 6) การวดั คา่ เงนิ ระบบการซ้อื ขายของคนในสมยั โบราณเร่ิมต้นจากการแลกเปล่ียนส่ิงของ เครื่องใช้ซึ่งกันและกันเพื่อ ให้แต่ละฝุายได้สิ่งของตามท่ีตนต้องการ วิธีการนี้ทาให้มีความจากัดใน ส่ิงของทนี่ ามาแลกเปลยี่ นกันและยงั มีปญั หาดา้ นความสะดวกสบาย ความรวดเร็วและความยุติธรรมใน การแลกเปลี่ยน ต่อมาคนจึงพยายาม แสวงหาวิธีการใหม่เพ่ือแก้ปัญหาดังกล่าว วิธีการนี้คือ การหา สิ่งของมาเป็นส่ือกลางในการแลกเปลี่ยน ใน ระยะแรกๆ สิ่งของที่นามาใช้เป็นสื่อกลางของการ แลกเปล่ียนได้แก่ ส่ิงที่มีประโยชน์ต่อการดารงชีวิต เช่น ข้าว เคร่ืองครัว สัตว์เล้ียง เป็นต้น และนี่เอง เป็นจุดกาเนิดของแนวคิดเก่ียวกับเงิน ซ่ึงหมายถึงอะไรก็ได้อันเป็น ยอมรับของบุคคลในการใช้เป็น ส่ือกลางในการแลกเปลี่ยน เน่ืองจากสื่อกลางในการแลกเปล่ียนดังกล่าวยังมีปัญหาด้านความ สะดวกสบาย คนจึงแสวงหา ส่ือกลางแบบอ่ืนที่สามารถใช้ได้สะดวกสบายขึ้นในท่ีสุดจึงเลือกใช้ชิน โลหะดว้ ยเหตผุ ลหลายประการ ได้แก่ โลหะมีความคงทนไม่สึกหรอง่าย โลหะมีหลายชนิดแต่ละชนิดมี ค่าในตัวของมันเอง และยังคงมีค่าตาม น้าหนักด้วย นอกจากนี้ชินโลหะยังสามารถทาให้เป็นหน่วยที่ เล็กลงได้ ชนิ้ โลหะท่ีใชม้ รี ูปรา่ งลักษณะและ ขนาดแตกต่างกันออกไป ที่มีรูปร่างลักษณะกลมแบนแบบ เหรียญที่ใช้กันอยู่ในปัจจุบันพบว่ามีใช้กันในแถบ เอเชียไมเนอร์ (Asia Minor) เม่ือประมาณ 600 ปี ก่อนคริสต์ศักราช นอกจากการใช้เหรียญแล้ว ยังมีผู้คน พบว่ามีการใช้กระดาษหรือที่เรียกว่าธนบัตร เป็นสื่อกลางด้วย โดยในราวปีคริสต์ศักราช 1200 มีผู้ค้นพบว่า จีนเป็นชาติแรกที่เริ่มใช้ธนบัตร แต่จะ เรมิ่ ใช้มาต้ังแต่เมอ่ื ไรไม่ปรากฏต่อมาชาวอาหรับได้นาธนบัตรเข้าไปใช้ในยุโรปแล้วแพร่หลายไปท่ัวโลก ในระยะแรกของการใช้ธนบัตรการยอมรับเป็นไปได้ยาก เนื่องจากเป็นสิ่งที่ ไม่มีค่าในตัวเองเหมือนเงิน เหรียญ แตใ่ นปจั จุบันธนบัตรเป็นท่ียอมรับกนั อยา่ งกวา้ งขวาง เพราะธนบัตรเบา ไม่กินเนื้อท่ี พกพาติด ตัวไปไหนมาไหนได้สะดวก แนวความคดิ เกย่ี วกับเงินตราของไทย การใช้ส่ือกลางในการแลกเปลี่ยนสินค้าเกิดข้ึน ในประเทศไทยครั้งแรกใน กลุ่มบุคคลผู้มีอันจะกิน เช่น พ่อค้า สื่อกลางที่ใช้ได้แก่ เงิน โดยยึดเอา น้าหนักและความบริสุทธิ์ของเนื้อเงิน เป็นสาคัญ คาว่า “เงินตรา” เกิดข้ึนเมื่อมีการตีตราของบุคคลที่ เช่อื ถอื ได้เพอื่ รับรองเนือ้ เงนิ ท่นี ามาใช้เปน็ ส่ือกลางในการแลกเปลี่ยนสินค้านั้นเป็นเน้ือเงินบริสุทธ์ิและ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 179 มีน้าหนักกาหนดแน่นอน ดังน้ัน เงินตรา คือ วัตถุที่ใช้ในการแลกเปลี่ยนชื่อขาย เป็นตัวแทนการวัด มูลค่าของสินค้าที่แลกเปลี่ยนกัน ในอดีตเริ่มจากการ ใช้เปลือกหอย อัญมณี แล้วพัฒนามาเป็นโลหะ ปจั จบุ ันใช้เป็นเหรียญกษาปณแ์ ละธนบัตร ชนิดของเงินตราของไทย ประเทศไทยได้ตราพระราชบัญญัติที่เกี่ยวข้องกับเงินตรา หลายฉบับ พอสรุปรวมความหมายได้ว่า เงินตรา คือ เหรียญกษาปณ์และธนบัตรหรือบัตรธนาคารท่ี ชาระหนีไ้ ดต้ ามกฎหมาย ซึง่ ตรงกับความหมาย อย่างแคบๆ ของคาว่า Currency ซึ่งกล่าวว่า คือ วัตถุ ที่ใช้เป็นสื่อกลางในการแลกเปล่ียน ซ่ึงจะทาด้วย เนื้อเงินหรือโลหะหรือกระดาษก็ได้ทั้งส้ิน และเป็น วัตถุที่ชาระหน้ีไดต้ ามกฎหมายโดยรัฐบาลหรือบุคคลอื่นใด ท่ีได้รับอนุญาตตามกฎหมาย เช่น ธนาคาร กลางเป็นผจู้ าหน่ายให้ประชาชนใช้ ดังนี้ 1. เหรียญกษาปณ์ จากหลักฐานที่พบ สันนิษฐานได้ว่าเงินตราที่ใช้ในสมัยสุโขทัยตอน ปลายคือ เงินพดด้วงซึ่งเป็นเงินแท้มีลักษณะเป็นก้อนหนาประมาณครึ่งเซนติเมตรและกว้างประมาณ หนึ่งเซนติเมตร ตีตราเป็นรูปร่างต่างๆ กัน เงินพดด้วงได้ใช้ต่อเนื่องกันมาโดยมีรูปร่างลักษณะ ขนาด และตราแตกต่างกันไป จนถึงสมัยรัชกาลที่ 4 ซ่ึงเป็นสมัยท่ีไทยติดต่อค้าขายกับต่างประเทศ ประกอบ กับมีผู้ทาเงินพดด้วงปลอมกันมาก พระบาทสมเด็จพระจอมเกล้าเจ้าอยู่หัวจึงมีพระราชดารัสให้จัดต้ัง โรงกษาปณ์ทาเหรียญแบนขึ้นตามลักษณะสากลนิยม โดยสร้างขึ้นท่ีหน้าพระคลังมหาสมบัติใน พระบรมมหาราชวัง ซงึ่ เปน็ ทส่ี าหรบั ทาเงนิ พดด้วงมาแต่ก่อน พระราชทานนามว่า “โรงกระสาปณ์สิทธิ การ” โรงกษาปณ์นี้สร้างและติดตั้งเครื่องจักร เสร็จเรียบร้อยเม่ือต้นปี พ.ศ. 2403 ในสมัยรัชกาลท่ี 5 ได้ทรงพระกรุณาโปรดเกล้าให้สร้างโรงกษาปณ์ขึ้นใหม่ ท่ีคลองหลอด ดังท่ีเห็นกันอยู่ในปัจจุบัน โรง กษาปณ์ใหม่สรา้ งเสร็จเม่ือปี พ.ศ. 2445 2. ธนบัตร ประเทศไทยเริ่มใช้ธนบัตรครั้งแรกในรัชสมัยพระบาทสมเด็จพระจอมเกล้า เจ้าอยู่หัว รัชกาลท่ี 4 ธนบัตรเร่ิมแรกพิมพ์จากประเทศเยอรมนี ในปี พ.ศ. 2433 แต่มิได้ประกาศใช้ จนถึง พ.ศ. 2445 ก่อนการประกาศใช้ธนบัตรรัฐบาลเคยอนุญาตให้ธนาคารบางแห่งออกธนาคารบัตร ใช้แทนเงินได้ ผู้ถือบัตร มีสิทธินาไปข้ึนเงินจากธนาคารที่ระบุไว้ในบัตรน้ัน ธนาคารเหล่าน้ีได้เลิกออก ธนาคารบัตรเม่ือรัฐบาลประกาศ ใช้ธนบัตรเมื่อ พ.ศ. 2445 ในปัจจุบันธนาคารแห่งประเทศไทยใน ฐานะธนาคารกลางเปน็ ผทู้ ีอ่ อกธนบัตรของ รฐั บาลตามพระราชบัญญัติเงนิ ตรา หนว่ ยเงินตราของไทย หน่วยเงนิ ตราเป็นหน่วยวัดที่มีลักษณะแตกต่างไปจากหน่วยวัด อื่นๆ เชน่ หน่วยความยาว หน่วย พื้นท่ี หรือหน่วยน้าหนัก ทั้งนี้ เป็นเพราะหน่วยเงินตราใช้สาหรับวัด ค่าซึ่งเป็นลักษณะที่เปล่ียนแปลงได้ ไม่แน่นอนตายตัวเหมือนหน่วยวัดอื่นๆ ค่าของเงินขึ้นๆ ลงๆ ได้ เม่อื นามาสัมพนั ธก์ บั สินค้า ระบบหน่วยเงินตราของไทย หน่วยเงินตราที่เคยใช้กันอยู่ในอดีตได้แก่ชั่งตาลึงบาท สลึงเฟ้ือง ไพอัฐโสฬสซึ่งมีความสัมพันธ์กัน อย่างไม่มีระบบที่แน่นอน ทาให้ยากแก่การคิดคานวณ ใน

180 สมัยรัชกาลที่ 5 พระเจ้าบรมวงศ์เธอกรมหมื่น มหิศราชหฤทัย จึงได้ทรงคิดแก้ไขหน่วยเงินตราให้เป็น เพียงบาทกับสตางค์ โดยกาหนดให้ 1 บาท มี100 สตางค์ ถึงแม้จะมีการถกเถียงกันมากในการเปลี่ยน หน่วยเงินตรา แต่ในที่สุดก็มีการประกาศใช้เบี้ยสตางค์ ทองขาวเมื่อ 21 สิงหาคม 2441 ความ ยากลาบากในการใช้หน่วยใหม่มีอยู่เพียงระยะหน่ึงคือระยะท่ีคนยังติด อยู่กับหน่วยเก่า ต่อมาปัญหา ต่างๆ ก็เร่ิมหมดไปเม่ือคนเริ่มชินกับหน่วยใหม่ หน่วยเงินตราของไทยที่ใช้กันอยู่ในปัจจุบันนี้นอกจาก บาทและสตางคแ์ ล้วยงั ใชส้ ลงึ ดว้ ย เนื่องจาก สลึงเม่อื เทียบเป็นสตางคแ์ ลว้ ได้ 25 สตางคพ์ อดีหน่วยเป็น มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง สลงึ จงึ ยงั ไมห่ มดไประบบหน่วยเงินตราของไทย ที่ใช้ในปจั จบุ ันจึงเปน็ ดังนี้ 25 สตางค์ เปน็ 1 สลึง 4 สลึง เป็น 1 บาท 100 สตางค์ เปน็ 1 บาท การสอนค่าของเงนิ ตรา การสอนเงนิ ตราในระดับประถมศึกษาควรเน้นให้นักเรียนได้มี ประสบการณ์ที่เป็นรูปธรรมให้มาก ที่สุด ทั้งนี้ เพราะแนวคิดด้านเงินตราเป็นเร่ืองเก่ียวกับค่าของเงิน ซึ่งเป็นนามธรรมมากสาหรับนักเรียน และ เน่ืองจากเงินตราเป็นส่วนหนึ่งของการดารงชีวิตของ นักเรียน นักเรียนจึงต้องเร่ิมเรียนเรื่องนี้ตั้งแต่ในระดับ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ซ่ึงนับว่าเป็นเร่ืองยาก ไม่ใช่น้อยสาหรับนักเรียน ครูจึงจาเป็นต้องแสวงหาวิธีการ สอนแบบต่างๆ เพ่ือจะช่วยให้นักเรียน สามารถทาความเข้าใจเรื่องค่าของเงินได้ ส่วนในระดับมัธยมศึกษา จะปรากฏเนื้อหาเรื่องของเงินตรา เฉพาะในหลักสูตรเพิ่มเติมของชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 1 เท่าน้ัน ซ่ึงเป็นเรื่อง เก่ียวกับดอกเบ้ียและโบนัส ดังน้ัน ในการสอนเรือ่ งเงินตราครูต้องคานึงถึงลาดับขั้นของเน้ือหาวิชาเป็น อย่างดี เพ่ือให้นักเรียนเกิด ความเขา้ ใจ สามารถเชอ่ื มโยงความร้ไู ปใช้ในการเรียนและชีวติ ประจาวนั ได้ 4. การจัดประสบการณก์ ารเรยี นรู้เกย่ี วกบั เรขาคณติ การจัดประสบการณ์การเรียนรู้เก่ียวกับรูปเรขาคณิตและสมบัติของรูปเรขาคณิตหน่ึงมิติ สองมิติ และสามมิติ การนึกภาพแบบจาลองทางเรขาคณิต ทฤษฎีบททางเรขาคณิต โดยมีหลักการ สาหรับการจดั การเรียนรดู้ ังนี้ 1. การเริ่มต้นศึกษาเรขาคณิตเราจาเป็นต้องมีคาศัพท์เบ้ืองต้นท่ีจะใช้ในการนิยามและ อธิบายสง่ิ อนื่ ๆ ซึง่ โดยปกตจิ ะเรม่ิ ตน้ ด้วยคาศัพท์ 3 คาท่ีกาหนดเปน็ คาอนิยาม โดนก จุด เส้นตรง และ ระนาบ แล้วนาคาเหล่าน้ีไปใช้ในการให้นิยามคาอ่ืนๆ เช่น ส่วนของเส้นตรง รังสี เส้นตรง มุม เส้น ขนาน 2. รูปเรขาคณิตสองมิติบนระนาบ เช่น รูปหลายเหล่ียม วงกลมและวงรี สาหรับรูปใน ปริภูมิสามมิติ เรียกว่า รูปเรขาคณิตสามมิติ หรือเรขาคณิตรูปทรง เช่นรูปมุมฉาก ทรงกระบอก กรวย ทรงเจด็ หน้า

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 181 3. คาว่า ความเท่ากันทุกประการ ใช้ในความหมายของการมีมาตรการวัดเดียว)ส่วนของ เส้นตรงสอง เส้น มีความเท่ากันทุกประการ ถ้าส่วนของเส้นตรงทั้งสอง ยาวเท่ากัน และมุมสองมุมมี ความเท่ากัน ทุกประการ ถา้ มมุ ทง้ั สองมุม องศาเทา่ กัน ซงึ่ เราจะไมค่ านึงถึงลักษณะอ่ืน เช่น สี ํน้าหนัก และความแข็งแรงอมมาตรการวัดเดยี วกัน 4. การจัดประสบการณ์การเรียนรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตจะเน้นผู้เรียนเป็นศูนย์กลาง โดยให้ ผู้เรียนทากิจกรรมเพื่อสารวจสมบัติต่างๆ ทางเรขาคณิตแล้วสรุปเป็นองค์ความรู้ด้วย ตนเอง ซ่ึง ครผู ้สู อนเปน็ เพยี งผู้ชแ้ี นะและคอยตรวจสอบความถูกต้อง อย่างไรก็ตามการ เรียนการสอนเรขาคณิต ควร คานึงถึงระดับขั้นของแวนฮีลีเก่ียวกับความคิดทางเรขาคณิต ซึ่งประกอบด้วยความรู้ความเข้าใจ ทาง เรขาคณติ ของนกั เรยี น 5 ขนั้ ตอน คือ การมองเห็น การวิเคราะห์ การพิสูจน์อย่างไม่เป็นแบบแผน การพสิ จู นอ์ ย่างมีแบบแผนและการคิด ขนั้ สุดยอดตามลาดบั ดังนี้ ข้ันท่ี 1 การมองเห็น (visualization) ในข้ันนี้ผู้เรียนสามารถรับรู้รูปเรขาคณิตทั้งรูป สามารถบอก ชื่อรูปเรขาคณิตท่ีมองเห็นได้แต่ไม่รับรู้สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่าง สมบัติภายใน ระหว่างรปู เรขาคณิต เชน่ บอกความแตกต่างระหวา่ งวงกลมกับวงรไี มไ่ ด้ ข้ันที่ 2 การวิเคราะห์ (analysis) ในขั้นน้ีผู้เรียนสามารถรับรู้สมบัติของรูปเรขาคณิต สามารถ รู้จักรูปเรขาคณิตโดยอาศัยสมบัติและรู้สมบัติต่างๆ จากการสังเกต การวัด การสร้างรูปและ การจาลอง แตไ่ มส่ ามารถเชอ่ื มโยงสมบัติของรปู หนง่ึ กับอีกรูปหนึ่งได้ ขั้นที่ 3 การพิสูจน์อย่างไม่เป็นแบบแผน (informal deduction) ในข้ันน้ีผู้เรียน สามารถเข้าใจบทบาทของนิยาม สามารถเชื่อมโยงสมบัติของรูปเรขาคณิตท้ังท่ีเป็นสมบัติของรูป เดียวกันและต่างรูปกันได้ สามารถลาดับสมบัติต่างๆ ของรูปและระหว่างรูปเรขาคณิตได้ เช่น การ จาแนกรูปเรขาคณิต สามารถบอก ว่าสมบัติข้อหนึ่งเกิดจากสมบัติอีกข้อหนึ่ง แต่ผู้เรียนยังไม่เข้าใจ บทบาทของสจั พจน์และการเชือ่ มโยง ของข้อความตา่ งๆ โดยใช้ตรรกศาสตร์ ขั้นที่ 4 การพิสูจน์อย่างมีแบบแผน (formal deduction) ในข้ันน้ี ผู้เรียนสามารถ เข้าใจความสาคัญของการอนุมานว่าเป็นหนทางในการสร้างและพัฒนาทฤษฎีบทต่างๆ ของเรขาคณิต เขา้ ใจบทบาทของสัจพจน์และทฤษฎีบท เขา้ ใจโครงสรา้ งทางตรรกวทิ ยาของการพิสจู น์ ข้ันท่ี 5 การคิดขั้นสุดยอด (rigor) ในข้ันน้ี ผู้เรียนสามารถคิดอย่างเป็นนามธรรม เข้าใจบทบาทและความจาเป็นของการพิสูจน์ทางอ้อม การพิสูจน์แบบการแย้งสลับท่ี สามารถสร้าง ทฤษฎีบทในระบบสัจพจน์กันออกไป เช่น ระบบฮิลแบร์ต นอกจากน้ีผู้เรียนสามารถวิเคราะห์ เปรยี บเทียบระบบต่างๆ อาทิ การเปรียบเทียบเรขาคณติ ระบบยคุ ลิดกบั เรขาคณติ นอกระบบยุคลิด ในระดบั ประถมศกึ ษาการจดั การเรียนรุ้จะเป็นการฝึกปฏบิ ตั ติ ามสาระการเรียนรู้ดงั นี้ 1) จุด เสน้ ตรงและระนาบ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 182 1.1) จุด เนื่องจากมโนภาพของจุดเป็นนามธรรม ทาให้ไม่สามารถศึกษาจากจุดจริงๆ ได้เราจึงต้องใช้ สิ่งท่ีเป็นรูปธรรมช่วยในการเรียนรู้ เมื่อเรามองภาพจากโทรทัศน์สีจะพบว่ามีสีที่ แตกต่างกันเป็นจานวนมาก ซึ่งความจริงแล้วภาพที่เห็นเกิดขึ้นจากสีจานวน 3 สี คือ สีแดง สีน้าเงิน และสีเหลอื งน่นั เอง ภาพจากจอโทรทัศน์สีส่วนใหญ่จะประกอบด้วยสีมากกว่า 3 แสนจุดสี ถ้าเราขยาย ภาพนั้นก็จะเห็นเป็นจุดสีจานวนมาก แต่ละจุดสีที่เราเห็นข้างต้นในทางเรขาคณิต เราเรียกว่า จุด (point) เป็นที่สงั เกตไดว้ ่ารูปเชิงเรขาคณิตทั้งหมดประกอบขึ้นมาจากจุดต่างๆ ท้ังส้ิน และส่ิงท่ีสาคัญก็ คอื เราใชจ้ ุดในการบอกตาแหนง่ ต่างๆ โดยตกลงกันว่าเม่ือพิจารณาถึงจุดจะไม่กล่าวถึงความยาว ความ กว้างและความสูงของจุด เม่ือมีจุดหลายจุดท่ี ต้องพิจารณาจึงจาเป็นต้องกาหนดชื่อ โดยใช้ตัวอักษร ตวั พิมพ์ใหญใ่ นภาษาอังกฤษ เชน่ A, B, C, D, .... แทน กาหนดจุด 2 จดุ คือ จดุ A และจดุ B สามารถแทนด้วยรปู ดงั นี้ • A เรยี กว่า จุด A เขียนแทนดว้ ย A • B เรยี กว่า จุด B เขยี นแทนดว้ ย B 1.2) เส้นตรง มโนภาพของเส้นเป็นนามธรรมเช่นเดียวกับจุด เราจึงต้องใช้สิ่งที่เป็น รูปธรรมชวย การรับรู้ดังเช่น ทางเดินที่แน่นอนของวัตถุที่เคลื่อนที่ เส้นเชือกที่มีความยาวไม่จากัด สิ่ง สาคัญก็คือ เมอ กล่าวถึงเส้นในท่ีนี้เราจะหมายถึง เส้นตรง ซึ่งเส้นตรงเป็นเส้นที่มีความยาวไม่จากัด สามารถตอ่ ออกไป สองข้างโดยไม่มีที่ส้ินสุด แต่ไม่มีความกว้างและความสูง ไม่โค้งงอ รูปท่ีเป็นมโนมติ ของเสน้ ตรงเป็นดังนี้ การเขียนสญั ลกั ษณ์แทนเส้นตรงเราจะใช้ตัวอักษรตัวเขียนเล็กในภาษาอังกฤษ เช่น 1, m, n, ... แทนดังน้ี m เรยี กวา่ เส้นตรง m ซ่ึงเขียนแทนด้วย m

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 183 ถ้าเรารู้ว่าเส้นตรง m ประกอบด้วยจุด 2 จุด คือ จุด A และจุด B เราจะเรียกว่า เส้นตรง AB หรอื เสน้ ตรง BA จะเขียนแทนดว้ ย AB หรือ BA ตามลาดบั การมีหัวลูกศร แสดงว่า ต่อเส้นตรงออกไป ไดใ้ นทิศทางของหวั ลูกศรนนั้ ดังรปู B A 1.3) ระนาบ เปน็ คาอนยิ ามอีกคาศัพทห์ นง่ึ เช่นเดียวกบั จุดและเส้น สงิ่ ที่เป็นรูปธรรมท่ี ชว่ ยในการเรยี นรมู้ โนมตสิ ว่ นหนึ่งของระนาบ เช่น พื้นห้อง ฝาผนัง แผ่นกระดาษ พ้ืนโต้ะหรือกระดาน ดา ส่ิงท่ีสาคัญ คือเม่ือกล่าวถึงระนาบ เราจะไม่พิจารณาความหนาหรือความสูง โดยทั่วไปเราจะใช้รูป สี่เหลยี่ มแทนระนาบ ดังเช่น การเขยี นสัญลักษณ์แทนระนาบ โดยท่ัวไปจะใช้ตัวอักษรตัวพิมพ์ใหญ่ในภาษาอังกฤษ เช่น M O, P, ... แทนดังนี้ M เรียกว่าระนาบ M ถา้ เราร้วู ่าระนาบประกอบด้วยจดุ 3 จดุ คอื จุด A จุด B และจุด C เราเรียกว่า ระนาบ ABC ดังรปู ข้างล่าง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 184 เรยี กว่า ระนาบ ABC 2) ส่วนของเส้นตรงและรังสี ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับส่วนของเส้นตรงและรังสี โดยเราจะใช้ คาศัพท์ของจุด เสน้ และระนาบมาให้นยิ าม ดังนี้ 2.1) สว่ นของเส้นตรง บทนยิ าม คอื สว่ นของเส้นตรง คอื สว่ นหนงึ่ ของเสน้ ตรงทมี่ จี ดปลายสองจดุ ในรูปข้างต้นเป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรง AB เขียนแทนด้วย ̅A̅̅B̅ ซึ่งมี จุด A และจุด B เป็นจุด ปลาย บางครั้งส่วนของเส้นตรง AB อาจเรยี กว่าสว่ นของเสน้ ตรง BA และเขียนแทนดว้ ย B̅̅̅A̅ 2.2) รังสี บทนยิ าม รงั สี คอื ส่วนหนึ่งของเสน้ ตรงที่มจี ุดปลายเพียงจุดเดียว ในรูปข้างต้นเป็นรังสี AB เขียนแทนด้วย ⃗A⃗⃗⃗B⃗ ซ่ึงมี จุด A เป็นจุดปลายของ ⃗A⃗⃗⃗B⃗ เราจะพบว่า รังสี AB และรงั สี BA ไม่ใช่รงั สีเดยี วกัน เราอาจเรียกวา่ ⃖B⃗⃗⃗A⃗⃗ เปน็ รังสตี รงข้ามของ ⃗A⃗⃗⃗B⃗ หัวลูกศรของรังสี แสดง ว่าต่อรังสีออกไปได้ในทศิ ทางของหวั ลกู ศรนนั้ 3) มุมและการวดั มุม ในชีวิตประจาวันเราได้คุ้นเคยกับสิ่งท่ีมีลักษณะเป็นมุม เช่น บานประตูบ้าน หลังคา บา้ น และกรอบรปู ลว้ นมีมมุ เข้ามาเกีย่ วข้อง 3.1) มุม บทนิยาม มุม คือ รังสีสองเส้นท่ีมีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน เรียกรังสีสองเส้นนั้นว่า แขนของ มมุ เรียกจุดปลายทีเ่ ปน็ จุดเดยี วกนั วา่ จุดยอดมุม B

185 จดุ ยอดมุม A C จากรูป เรียกว่า มุม BAC เขียนแทนด้วย B̂AC อาจเรียกว่า มุม CAB เขียนแทนด้วย ĈAB โดยท่ี ⃗A⃗⃗⃗B⃗ และ ⃗A⃗⃗⃗⃗C เป็นแขนของมมุ และ A เปน็ จดุ ยอดมุม 3.2) การวัดมมุ จากรูปมุมข้างต้น ขนาดของมุม B̂AC เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ m(BAC) วิชาเรขาคณิต โดยท่ัวไปเราจะวัดขนาดของมุมโดยใช้หน่วยที่เรียกว่า องศา (degree) เครื่องมืออันหนึ่งที่สามารถใช้ วัดขนาดของมุมได้ ก็คือ โพรแทรกเตอร์ เนื่องจากมีรอยขีดเบน หน่วย องศา ความยาวของรังสีท่ี เปลี่ยนแปลงไปจะไม่ทาให้ขนาดของมุมเปล่ียนตามไปด้วย ต่อไปจะกล่าวถึง สมบัติบางอย่างที่สาคัญ สาหรับการวดั มุมและการสร้างมมุ 3.3) การจาแนกมุม เราสามารถจาแนกมุมตามขนาดของมุม ดังน้ี 1. มุมแหลม : ขนาดของมุมอยู่ระหวา่ ง 0 และ 90 องศา 2. มุมฉาก : ขนาดของมุมเทา่ กบั 90 องศา 3. มุมปูาน : ขนาดของมมุ อยรู่ ะหวา่ ง 90 และ 180 องศา 4. มมุ ตรง : ขนาดของมุมเท่ากบั 180 องศา 5. มมุ กลับ : ขนาดของมมุ อยูร่ ะหวา่ ง 180 และ 360 องศา 3.4) มมุ ประกอบมมุ ฉากและมุมประกอบสองมุมฉาก บทนิยาม มุมประกอบมุมฉาก คือ มุมสองมุมท่ีขนาดของมุมรวมกันได้เท่ากับ 90 องศา เรียกมุมแต่ละ มุม ว่าส่วนเตมิ เตม็ ซึ่งกันและกัน มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง A B

186 เรยี ก มมุ A และมมุ B วา่ สว่ นเตมิ เต็ม เรยี ก มุม A ว่า สว่ นเติมเต็มของ มมุ B หรือ มมุ B เป็นสว่ นเติมเตม็ ของมุม A บทนิยาม มุมประกอบสองมมุ ฉาก คอื มุมสองมมุ ทม่ี ีขนาดของมมุ รวมกันได้เท่ากับ 180 องศา เรียกมมุ แต่ละมมุ ว่าส่วนเตมิ ตอ่ ซึง่ กันและกนั AB เรียก มุม A และมมุ B วา่ ส่วนเตมิ ต่อ เรยี ก มมุ A ว่า สว่ นเติมต่อของมุม B หรือ มมุ B เป็นสว่ นเตมิ ตอ่ ของมุม A มมุ ประกอบมุมฉากและมุมประกอบสองมมุ ฉากไมจ่ าเป็นต้องเป็นมมุ ประชดิ กนั บทนยิ าม มุมตรงขา้ ม คอื มุมสองมุมทแี่ ขนของมมุ เกดิ จากเสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกัน AB เรยี ก มุม A และมมุ B ว่า มมุ ตรงข้าม เรยี ก มมุ A และ มมุ B จะมขี นาดเทา่ กนั 4) เส้นขนานและสมบัติของเส้นขนาน เส้นตรงซึ่งตัดกับเส้นตรงอีกสองเส้นท่ีจุดสองจุด เราเรยี กวา่ เสน้ ตดั ขวาง กาหนดเส้นตรง ตดั เสน้ ตรง m และ n จะเกิดเป็นมุม 8 มุม โดยกลุ่มแรกมี 4 มุมซึ่งเกิดจากเส้นตัดขวางตัดเส้นตรงเส้นแรกและ กลุ่มที่สองมีอีก 4 มุมซ่ึงเกิดจากเส้นตัดขวาง ตัด เสน้ ตรงเสน้ ท่สี อง ดังรูป มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 187 กล่มุ แรก มี 4 มมุ คอื ̂ ̂2 ̂ ̂ , เป็นมมุ ภายนอก กลุ่มที่สอง มี 4 มุม คอื ̂ ̂ ̂ ̂ เปน็ มุมภายใน เราสามารถพจิ ารณามมุ แต่ละค่จู ากมุมทั้ง 8 มุมข้างตน้ ซ่งึ มมุ แต่ละค่จู ะมีชื่อเรยี กเฉพาะ 1.1 มุมภายในทอี่ ยบู่ นข้างเดียวกันของเส้นตัด ̂ และ ̂ เปน็ มุมภายในทอ่ี ยู่บนขา้ งเดียวกันของเส้นตดั ̂ และ ̂ เปน็ มุมภายในทอี่ ยบู่ นข้างเดียวกนั ของเสน้ ตดั 1.2 มุมภายนอกท่อี ยูบ่ นข้างเดียวกันของเสน้ ตดั ̂ และ ̂ เปน็ มุมภายนอกทอ่ี ย่บู นขา้ งเดยี วกันของเสน้ ตดั 2̂ และ ̂ เป็นมมุ ภายนอกที่อยบู่ นขา้ งเดียวกันของเสน้ ตัด 1.3 มมุ แย้งภายในหรอื มุมแย้งภายนอก ̂ และ ̂ เป็นมุมแยง้ ภายใน ̂ และ ̂ เปน็ มมุ แยง้ ภายนอก ̂ และ ̂ เป็นมมุ แย้งภายใน 2̂ และ ̂ ก็เปน็ มุมแย้งภายนอก 1.4 มุมภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ย่ตู รงขา้ มบนข้างเดยี วกนั ของเส้นตัด ̂ และ ̂ เปน็ มุมภายนอกและมุมภายในทอ่ี ยูต่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตัด 2̂ และ ̂ เป็นมุมภายนอกและมุมภายในท่ีอย่ตู รงขา้ มบนข้างเดียวกันของเส้นตัด ̂ และ ̂ เปน็ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดยี วกนั ของเสน้ ตัด ̂ และ ̂ เปน็ มุมภายนอกและมมุ ภายในท่อี ยู่ตรงข้ามบนขา้ งเดียวกนั ของเสน้ ตัด 1.5 มุมตรงขา้ ม ̂ และ ̂ เป็นมุมตรงขา้ มกนั 2̂ และ ̂ เป็นมุมตรงข้ามกัน ̂ และ ̂ เป็นมมุ ตรงข้ามกัน ̂ และ ̂ เป็นมมุ ตรงข้ามกนั

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 188 โดยปกติเม่ือกล่าวถึงมุมแย้งจะหมายถึงมุมแย้งภายในเท่าน้ัน และบางคร้ังเม่ือเรากล่าวถึงมุม ท่ีสมนยั กันเราจะหมายถงึ มุมภายนอกและมมุ ภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้าง เดียวกันของเส้นตัด เส้นขนานและความสัมพันธ์ระหว่างมุม เราคงเคยเห็นสิ่งที่เกี่ยวข้องกับเส้นขนานใน ชีวิตประจาวัน เช่น ขอบของหน้าต่าง แสงท่ีลอดผ่านช่องต่างๆ และรางรถไฟ ซึ่งสามารถให้นิยาม เกย่ี วกบั การขนานกนั ดังนี้ บทนยิ าม ระนาบสองระนาบขนานกัน เมือ่ ระนาบทั้งสองน้ีไม่มจี ุดร่วมกนั บทนยิ าม เส้นสองเสน้ ทอี่ ยู่บนระนาบเดยี วกัน ขนานกัน เมื่อเส้นท้ังสองนไ้ี ม่ตัดกัน ส่วนเส้นตรง อยู่บน ระนาบเดียวกันและไมต่ ัดกันเราเรยี กว่า เสน้ ไขวต้ า่ งระนาบ บทนิยาม ส่วนของเส้นตรงหรือรังสีเส้นหนึ่งขนานกับส่วนของเส้นตรงหรือรังสีอีกเส้นหน่ึงเม่ือเส้น ดังกลา่ วเป็นส่วนประกอบของเสน้ ตรงที่ขนานกนั สมบัติของเส้นขนาน จากการทดลองเราจะพบว่าเส้นขนานคู่หนึ่งที่มีเส้นตัดขวางเม่ือเราใช้ พร แทรกเตอร์วัดขนาดของมมุ ค่ตู ่างๆ จะเป็นไปตามทฤษฎบี ทต่อไปน้ี ทฤษฎบี ท ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วขนาดของมุมภายในท่ีอยู่บนข้างเดียวกันของ เส้นตัดรวมกนั เป็น 180 องศา ทฤษฎบี ท ถา้ เส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมเี สน้ ตดั แลว้ มุมแย้งจะมีขนาดเทา่ กนั ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกันและมีเสน้ ตดั แลว้ มุมภายนอกและมุมภายในทอี่ ย่ตู รงขา้ มบน การพิสูจน์การขนานกันของเส้นตรงสองเส้น ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หน่ึงทาให้ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนชา เดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากันแล้วเส้นตรงคู่นั้นจะ ขนานกนั จากสจั พจนน์ ี้เราสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทตา่ งๆ ดังนี้ ทฤษฎีบทถ้าเส้นตรงเส้นหน่ึงตัดเส้นตรง คหู่ นงึ่ ทาให้มมุ แย้งเท่ากันแลว้ เสน้ ตรงคู่นนั้ จะขนานกนั ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งทาให้ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้น ตดั รวมกันเป็น 180 องศาแล้วเส้นตรงค่นู นั้ จะขนานกนั ทฤษฎีบท เส้นตรงคหู่ นึง่ ต้ังฉากกับเส้นตัดเส้นหนึง่ แล้วเสน้ ตรงคู่นั้นจะขนานกนั ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกับเส้นท่ีสามแล้วเส้นตรงท้ังสองน้ันจะขนานกัน หมายเหตุ สามารถศึกษาแนวทางการพิสูจนไ์ ด้จากเอกสารทางเรขาคณิตต่างๆ

189 5) รูปเรขาคณิตสองมิติ รูปเรขาคณิตสองมิติแบ่งเป็น 2 กลุ่ม ตามหลักลักษณะของด้าน ของรูป ดังนี้คือ กลุ่มท่ีมีด้านเป็น ส่วนของเส้นตรง กลุ่มนี้ก็คือ รูปหลายเหล่ียม (Polygons) ส่วนอีก กลุ่มหน่ึงเป็นกลุ่มที่มีด้านเป็นเส้นโค้ง เช่น วงกลม วงรี กลุ่มนี้ไม่มีช่ือเรียกเฉพาะ แต่ในท่ีน้ีจะกล่าว เฉพาะรูปหลายเหล่ียม 5.1) รูปหลายเหลี่ยม เบ้ืองตน้ จะเป็นการแนะนาเกี่ยวกับ รปู ปดิ และรปู เปิด ดงั นี้ เมอื่ เราใช้ดินสอหรือปากกาจดลงบนส่วนใดส่วนหนึง่ ของกระดาษแล้วลากไปในลักษณะ ใดก็ได้ ถ้าหากปลายดินสอหรือปากกาวนกลับมาที่จุดเดิมสิ่งที่เกิดข้ึน เรียกว่า รูปปิด แต่ถ้าหากไม่วน กลับมาท่ี จุดเดมิ สิง่ ที่เกิดขึ้นเรียกว่า รูปเปดิ ดังเช่น มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง รูปปดิ รูปเปดิ บทนิยาม รูปหลายเหล่ียม เป็นรูปเรขาคณิตปิดในระนาบที่เกิดจากการต่อจุดปลายของส่วนของ เสน้ ตรง แตล่ ะเส้นกับจดุ ปลายของส่วนของเส้นตรงอกี เส้นหนึ่งโดยส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้นจะตัดกัน ทจี่ ุดปลาย เพยี งจุดเดียวเท่าน้ันและไม่มีส่วนของเส้นตรงใดๆ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ส่วนของเส้นตรง แต่ละเส้น เรียกว่า ด้าน ของรูปหลายเหลี่ยม จุดปลายแต่ละจุดท่ีส่วนของเส้นตรงตัดกัน เรียกว่า จุด ยอด ของรูปหลายเหลี่ยม รปู หลายเหลย่ี ม รปู ไม่เป็นเหล่ียม รูปหลายเหล่ียมอาจมีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน มุมทุกมุมมีขนาดเท่ากันอย่างใดอย่างหนึ่ง หรือ ทง้ั สองอย่างกไ็ ด้ เราเรยี กรูปหลายเหล่ียมท่มี ีด้านทุกดา้ นยาวเท่ากันและมุมทุกมุมมีขนาดเท่ากันว่า รูป หลายเหล่ียมด้านเท่า มุมเท่า หรือรูปหลายเหล่ียมปกติ และรูปหลายเหลี่ยมที่มีจานวนด้านน้อยท่ีสุด คือ รูปสามเหลี่ยม สาหรับรูปหลายเหล่ียม รูปอ่ืนๆ จะมีรูปสามเหล่ียมเป็นส่วนประกอบ กล่าวคือ สามารถแบ่งก้ันเป็นรูปสามเหล่ยี มไดเ้ สมอ เช่น

190 บทนิยาม เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหล่ียม คือ ส่วนของเส้นตรงซึ่งลากต่อระหว่างมุมตรงข้ามของรูป หลายเหลี่ยม มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง บทนิยาม รปู หลายเหล่ียมนูน คือ รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่มีเส้นเช่ือมจุดสองจุดใดๆ อยู่ภายนอกรูปหลาย เหลย่ี มนัน้ สว่ นรูปหลายเหล่ียมเว้า คือ รูปหลายเหล่ียมที่มีเส้นเชื่อมจุดสองจุดอย่างน้อยหนึ่งเส้นท่ีอยู่ ภายนอกรปู หลายเหล่ียมนัน้ รูปหลายเหลี่ยมนูน รูปหลายเหล่ียมเว้า 5.2) รปู สีเ่ หลย่ี มด้านขนาน บทนิยาม รูปสเี่ หล่ียมดา้ นขนาน คอื รูปสีเ่ หลี่ยมทมี่ ดี ้านตรงขา้ มขนานกันสองคู่ รูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน ท่ีมีด้านท้ังสี่ยาวเท่ากันและแต่ละมุมไม่เป็นมุมฉาก เรียกว่ารูปสี่เหล่ียมขนม เปียกปูน รปู สี่เหลี่ยมดา้ นขนาน ท่ีมมี มุ แต่ละมุมเปน็ มมุ ฉาก เรียกวา่ รปู สี่เหลยี่ มมุมฉาก รปู สเี่ หล่ยี มมุมฉากที่มดี า้ นทุกดา้ นยาวเทา่ กนั เรยี กวา่ รปู สีเ่ หลี่ยมจตั ุรัส รูปสเี่ หล่ียมมมุ ฉากทีไ่ ม่เป็นรปู สเี่ หลย่ี มจัตรุ สั เรียกวา่ รปู สีเ่ หล่ียมผนื ผ้า

191 รปู สีเ่ หล่ียมด้านขนาน รูปส่ีเหลยี่ มขนมเปยี กปูน รปู ส่เี หลี่ยมผนื ผา้ รูปส่ีเหล่ยี มจัตุรสั รปู สเ่ี หลี่ยมมุมฉาก รูปสเี่ หลี่ยมด้านขนาน มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบงสมบตั ขิ องรปู ส่เี หลีย่ มดา้ นขนาน มีดงั น้ี 1) เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหล่ียมด้านขนานย่อมแบ่งรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานออกเป็น รปู สามเหล่ียม สองรปู ทเ่ี ทา่ กันทกุ ประการ 2) มมุ ตรงขา้ มของรปู สีเ่ หลย่ี มด้านขนานยอ่ มมีขนาดเท่ากนั 3) ด้านตรงขา้ มของรปู สเี่ หล่ียมดา้ นขนานยอ่ มยาวเทา่ กนั 4) มุมท่ีอยตู่ ิดกนั ของรปู สเี่ หลยี่ มดา้ นขนานมีขนาดรวมกันเท่ากบั 180 องศา 5) เส้นทแยงมมุ ของรปู ส่ีเหลย่ี มดา้ นขนานยอ่ มแบง่ ครง่ึ ซ่ึงกันและกัน รปู สีเ่ หล่ียมขนมเปยี กปนู รูปสีเ่ หลี่ยมผนื ผ้า รปู สเ่ี หลยี่ มจตั ุรสั เป็นรูปสี่เหล่ียมด้านขนาน ชนิดหนึ่ง เป็นรูปส่ีเหลี่ยม ดังกล่าวน้ีจึงมีสมบัติของรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนานท้ังหมด อีกทั้งยังมีสมบัติ บางอย่าง นอกจากสมบัติของรูปสเ่ี หล่ียมดา้ นขนาน ดงั เชน่ สมบัติที่เกี่ยวข้องกับเสน้ ทแยงมมุ 1) เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหล่ยี มขนมเปยี กปนู ทงั้ สองเสน้ ตั้งฉากกนั 2) เสน้ ทแยงมมุ ของรูปสี่เหล่ียมผนื ผา้ ท้ังสองเส้นยาวเทา่ กัน 3) เส้นทแยงมุมของรปู สีเ่ หล่ยี มจตั รุ ัสทง้ั สองเสน้ ตงั้ ฉากกันและยาวเทา่ กนั ด้วย 5.2) รูปส่เี หล่ยี มคางหมู บทนิยาม รูปส่ีเหลยี่ มคางหมู คอื รปู สเ่ี หล่ยี มทีม่ ีดา้ นตรงขา้ มขนานกนั หนง่ึ ค่ดู า้ นท่ีขนานกันเราเรียกว่า ฐาน ส่วนดา้ นท่ีไมข่ นานกนั เราเรยี กว่า ด้านประกอบ เสน้ เชอื่ มจุดกง่ึ กลางของด้านสองด้านท่ีไม่ขนาน กัน เรยี กว่า เส้นมธั ยฐาน ดา้ นประกอบ ฐาน

192 รูปส่เี หล่ียมคางหมูมสี มบตั ิต่างๆ ดังนี้ 1) รปู สี่เหล่ียมคางหมทู ี่มดี า้ นคู่ทไี่ ม่ขนานกันยาวเท่ากัน เราเรียกรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนั้น ว่า รปู สเ่ี หล่ยี มคางหมหู น้าจัว่ ซึง่ มุมทฐี่ านมีขนาดเท่ากัน 2) เส้นทแยงมุมของรปู สเี่ หลย่ี มคางหมหู น้าจัว่ มีความยาวเทา่ กนั 3) เส้นมัธยฐานของรูปส่ีเหล่ียมคางหมูย่อมขนานกับฐานและมีความยาวเท่ากับคร่ึง หนง่ึ ของผลบวกของความยาวของฐานท้งั สอง สามารถแสดงเหตุได้ 6) รปู เรขาคณติ สามมติ ิ รปู เรขาคณิตสามมิติท่ีกล่าวถึงจะเป็นทรงตันเชิงเรขาคณิตคือ ทรงหลายหน้า (polyhedron) ซ่ึงเป็นทรงท่ีปิดล้อมด้วยส่วนของระนาบท่ีเป็นรูปหลายเหล่ียม เรียกรูปหลายเหล่ียม ดังกล่าวว่า หน้า (เรียกสว่ นตัดของหน้าสองหนา้ ว่า สันหรือเส้นขอบ (edge) และเรียกจุดหรือมุมที่เส้น ขอบพบกันว่า จดุ ยอด (vertices) การเรียกชือ่ เฉพาะของทรงหลายหนา้ 6.1) ปรซิ ึม (Prisms) เปน็ ทรงหลายหน้าท่ีมีหน้าตัดหัวท้ายเป็นรูปหลายเหลี่ยมซ่ึงเท่ากันทุก ประการและขนานกัน เรียกหน้าตัดว่า ฐาน (Base) ของปริซึม ส่วนด้านที่เหลือแต่ละด้านจะเป็นรูป สเี่ หล่ยี ม ดา้ นขนาน การเรียกชือ่ ปรซิ มึ จะเรยี กตามลักษณะของรปู หลายเหลยี่ มทเ่ี ป็นฐานของปริซึมน้ัน เช่น ปริซึมฐานสามเหลีย่ ม (Triangular Prisms) จะมฐี านเปน็ รปู สามเหลยี่ ม ปริซึมฐานห้าเหลยี่ ม (Pentagonal Prisms) จะมฐี านเปน็ รูปห้าเหลยี่ ม มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 193 6.2) พีระมิด (Pyramids) เป็นทรงหลายหน้าซ่ึงมีฐานเป็นรูปหลายเหล่ียม มีหน้าอ่ืนๆ เป็น รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันโดยที่จุดยอดน้ีไม่อยู่ในระนาบเดียวกับฐาน เรียกใดๆ และมีหน้าอื่นๆ เปน็ รูปจุดยอดขา้ งต้นวา่ ยอดของพรี ะมิด การเรียกช่ือพีระมิดจะเรียกตามลักษณะของรูปหลายเหลี่ยม ทเี่ ป็นฐานของพีระมดิ นัน้ เช่น ลานหกเหลยี่ ม (Hexagonal Pyramid) จะมีฐานเป็นรูปหกเหลี่ยม 6.3) ทรงกระบอก (Cylinders) เป็นทรงสามมิติท่ีมีฐานท้ังสองเป็นวงกลมซ่ึงเท่ากันทุก ประการและขนานกนั 6.4) กรวย (Cone) เป็นทรงสามมิติท่ีวงกลมเพียงวงเดียวเป็นฐานและผิวด้านข้างที่เกิดจาก สวนของเสน้ ตรงท่ีเช่ือมโยงจุดตรึงจดุ หนง่ึ ทไี่ มอ่ ยู่บนระนาบเดียวกับฐานกับจุดแต่ละจุดท่ีอยู่บนฐานนั้น เรยี กจดุ ตรงว่าจดุ ยอดของกรวย

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 194 6.5) ทรงกลม (Spheres) เป็นทรงสามมิติท่ีมีผิวโค้งซ่ึงจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ จดหน่ึงเป็น ระยะทางเท่ากัน เรียกจุดตรึงว่า จุดศูนย์กลาง ของทรงกลม และเรียกระยะระหว่างจุดศูนย์กลาง ของ ทรงกลมกับจุดใดๆ บนทรงกลมวา่ รศั มขี องทรงกลม 5. การจดั ประสบการณก์ ารเรยี นร้เู ก่ียวกบั สถติ ิและความนา่ จะเปน็ การจัดประสบการณ์การเรียนรู้เก่ียวกับเป็นการกาหนดประเด็น การเขียนข้อคาถามการ กาหนดวิธีการศึกษา การเก็บรวบรวมข้อมูล การจัดระบบข้อมูล การนาเสนอข้อมูล ค่ากล่างและการ กระจายของข้อมูล การวิเคราะห์และการแปลความข้อมูล การสารวจความคิดเห็น ความน่าจะเป็น การใช้ความรู้เกี่ยวกับสถิติและความน่าจะเป็นในการอธิบายเหตุการณ์ต่างๆ และช่วยในการตัดสินใจ ในการดาเนนิ ชวี ิต 1. สถิติและความน่าจะเป็นเก่ียวข้องกับข้อมูลข่าวสารและโอกาส จึงมีความจาเป็นท่ีต้องจัด เนื้อหาสาระให้นักเรียนได้เรียนศึกษาต้ังแต่ชั้นประถมศึกษา โดยท่ีนักเรียนในระดับประถมศึกษาควร เข้าใจและสามารถรับรขู้ า่ วสารได้อย่างรู้ทัน ส่วนนักเรียนในระดับมัธยมศึกษาควรจะรู้จักการวิเคราะห์ ขอ้ มลู เพ่อื มาแกป้ ัญหาเรือ่ งท่สี นใจ 2.การจัดการเรียนการสอนท่ีจะทาให้ผู้เรียนเข้าใจจะต้องทาให้ผู้เรียนเห็นวัตถุประสงค์ และ ประโยชน์ของการเรียน กิจกรรมท่ีจัดที่จัดจะต้องให้ผู้เรียนได้สืบเสาะหาความรู้เองจะทาให้องค์ความ รู้อยู่กับผู้เรียนได้นาน การแบ่งกลุ่มจึงเป็นกระบวนการเรียนการสอนท่ีจะช่วยให้การสืบเสาะง่ายขึ้น นอกจากนี้ยังฝึกให้ผู้เรียนรู้จักการทางานเป็นทีม การรับการรับฟังความคิดเห็นของผู้อ่ืน การยอมรับ

195 ผลสรุปจากการประชุมของกลุ่ม และยังอาจทาให้ผู้เรียนมีความคิดสร้างสรรค์เพราะได้ค้นพบส่ิงใหม่ๆ จากการสบื เสาะความรขู้ องทมี ในยุคโลกาภิวัตน์ เป็นยุคท่ีเต็มไปด้วยข้อมูลข่าวสารที่สามารถเข้าถึงประชาชนได้ง่าย ข้อมูล ข่าวสารเหล่าน้ีบางชนิดเป็นข้อเท็จจริง บางข้อมูลข่าวสารก็เป็นเร่ืองของความไม่แน่นอน การบริหาร จัดการข้อมูลข่าวสารที่ดีจะทาให้ได้สารสนเทศที่สามารถนาไปใช้ประโยชน์ในการแก้ปัญหาทั้งหน้าที่ การงาน และชีวิตส่วนตัว ตลอดจนถึงต่อสังคมรอบข้าง การบริหารจัดการข้อมูลดังกล่าวเป็นเรื่องของ สถติ แิ ละความน่าจะเป็นซ่ึงเป็นสว่ นหนึ่งของวิชาคณติ ศาสตร์ การจัดการเรียนการสอนวิชาสถิติและความน่าจะเป็นจึงจาเป็นต้องให้เด็กเรียนรู้ตั้งแต่ ประถมศึกษาซ่ึงตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ได้กาหนดเป็นสาระ หลกั ของกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ในช่ือ การวิเคราะห์ข้อมูลและความน่าจะเป็น โดยมีเน้ือหา สาระ ดังนี้ การกาหนดประเด็น การเขียนข้อคาถาม การกาหนดวิธีการศึกษา การเก็บรวบรวมข้อมูล การจดั ระบบขอ้ มลู การนาเสนอข้อมูล ค่ากลางและการกระจายของข้อมูล การวิเคราะห์และการแปล ความขอ้ มูลการสารวจความคิดเห็น ความน่าจะเป็น การใช้ความรู้เก่ียวกับสถิติและความน่าจะเป็นใน การอธิบายเหตุการณ์ต่าง ๆ และช่วยในการตัดสินใจในการดาเนินชีวิตประจาวัน จากเนื้อหาสาระ มาตรฐานการวิเคราะห์ข้อมูลและความน่าจะเป็น ได้กาหนดคุณภาพของผู้เรียนและสาระการเรียนรู้ แกนกลางในแตล่ ะระดบั ชนั้ ดังน้ี มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง สาระสาคญั ของสถิติ 1.ขอ้ มูล ในยคุ โลกาภวิ ัตนเ์ ราจะพบวา่ มีข้อมูลข่าวสารมากมายท่ีอยู่รอบตัวเรา ไม่ว่าจะเป็นข้อมูลที่มา จากสื่อโทรทัศน์ หนังสือพิมพ์ บุคคลท่ีอยู่รอบข้าง ฯลฯ ตลอดจนเครือข่ายอินเตอร์เน็ต ซ่ึงถือว่าเป็น แหล่งข้อมูลท่ีใหญ่ท่ีสุดท่ีมีการส่งต่อและแบ่งข้อมูลที่เข้าถึงผู้ส่งและผู้รับได้เร็วท่ีสุด ทาให้เป็น แหล่งข้อมูลที่สามารถเข้าถึงได้เร็ว การใช้ข้อมูลข่าวสารจากแหล่งต่างๆ ดังกล่าวข้างต้น จึงต้อง ระมัดระวังว่ามีการใช้ข้อมูลที่มีคุณภาพการบริหารจัดกา รข้อมูลเพ่ือให้ได้ข้อมูลท่ีมีคุณภาพหรือท่ี เรียกว่าสารสนเทศ จึงเป็นส่ิงจาเป็นและสาคัญระเบียบวิธีการทางสถิติซึ่งประกอบด้วยการเรียนรู้ ลักษณะข้อมูลทตี่ อ้ งนามาใช้ในการตอบคาถามหรือปัญหาท่ีต้องการทราบ การเก็บรวบรวมข้อมูล การ วิเคราะห์ข้อมูลเพ่ือสรุปสาระสาคัญของข้อมูล และการนาเสนอข้อมูลที่ทาให้ผู้อ่านเข้าใจง่ายและ ถูกต้อง เพ่ือนาไปใช้ จึงเป็นหลักการที่ผู้เรียนหรือผู้ใช้ข้อมูลจะต้องเข้าใจและนาไปใช้ได้ การแบ่ง ประเภทของข้อมูลข้ึนอยู่กับรูปแบบที่ต้องการทราบ ซึ่งโดยท่ัวไปจะแบ่งประเภทของข้อมูลใน 3 รปู แบบ รูปแบบข้อมูล ประเภทของขอ้ มูล

196 ลักษณะของข้อมลู เชิงปรมิ าณและเชิงคุณภาพ ทม่ี าของข้อมลู ปฐมภูมิและทตุ ยิ ภูมิ ช่วงเวลาอา้ งองิ อนกุ รมเวลาและภาคตัดขวาง 2. การเก็บรวบรวมขอ้ มูลมหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง ก่อนที่จะจัดเก็บรวบรวมข้อมูล เราจะต้องทราบก่อนว่าเรากาลังหาคาตอบของอะไร หรือหา คาตอบเพื่อสนับสนุนสมมติฐานอะไร คาตอบของคาถามหรือสมมติฐานเหล่านี้ต้องชัดเจนเพื่อใช้ กาหนดข้อมูลและประชากรหรือขอบข่ายที่เป็นไปได้ทั้งหมดของข้อมูล ต่อจากน้ันก็ต้องพิจารณาว่า ขอ้ มูลท่ีต้องการสามารถไดท้ ่ไี หน ถ้าพบวา่ เปน็ ข้อมูลท่มี ีการเก็บ รวบรวมอยู่แล้ว ก็ต้องพิจารณาว่าเป็น ข้อมูลท่ีตรงตามความต้องการและยังเป็นปัจจุบันอยู่หรือไม่ ถ้าใช่เราก็ควรจะเก็บรวบรวมมา ข้อมูลที่ เก็บรวบรวมไดจ้ ะเปน็ ขอ้ มลู ทตุ ิยภมู ิ คือไปเกบ็ รวบรวมข้อมลู จากแหล่งท่ีมีการเก็บข้อมูลเหล่าน้ีอยู่แล้ว ถ้าข้อมูลท่ีต้องการไม่เคยมีใครเก็บหรือมีแต่ไม่สะดวกท่ีจะไปเก็บ เราต้องจัดเก็บเอง ซึ่งการเก็บ รวบรวมข้อมูลน้ี ถ้าจานวนประชากรมีไม่มาก และสามารถเก็บหมดทุกหน่วยงานของประชากรจะ เรียกว่าสามะโน แต่ถ้ามีการเก็บจากบางหน่วยประชากรจะเรียกว่า การสารวจ ซึ่งจะต้องมีการวาง แผนการเกบ็ ขอ้ มลู หน่วยตา่ งๆ เพ่ือให้แนใ่ จว่าเป็นตัวแทนท่ีดีของประชากร นอกจาการเก็บข้อมูลแบบ สารวจแล้ว ยังมีการเก็บรวบรวมข้อมูลด้วยวิธีอ่ืนอีกคือ การบันทึกหรือการทะเบียน และการทดลอง ซึง่ การเก็บรวบรวมขอ้ มลู เอง ข้อมูลทไี่ ด้จะเรียกว่า ข้อมูลปฐมภูมิ สาหรบั การสมุ่ ตัวอยา่ งทส่ี ามารถใชเ้ ป็นตวั แทนทีด่ ขี องประชากรมวี ิธสี มุ่ 4 วธิ ี คอื 1. การสุ่มแบบง่าย (Simple Random Sampling) เป็นวิธีที่ทุกหน่วยของประชากรมี โอกาสทจี่ ะถกู เลอื กเทา่ ๆ กนั 2. การสุ่มแบบมีระบบ (Systematic Random Sampling) เป็นวิธีที่จะกาหนดลาดับท่ี ให้กับทุกหน่วยแล้วสุ่มลาดับที่เริ่มต้นให้หน่วยแรกของกลุ่มตัวอย่าง และทุกหน่วยที่ห่าง ออกไป K ลาดับจะเป็นหน่วยตัวอย่าง โดยท่ี k = N/n เมื่อ N คือจานวนประชากร และ n เป็นจานวนตวั อยา่ งท่ีต้องการ 3. การสุ่มแบบช้ันเชิงภูมิ (Stratified Random Sampling) เป็นวิธีท่ีจะแบ่งประชากร ออกเป็นส่วนทไ่ี ม่ซา้ กัน แล้วสมุ่ ตัวอย่างของกลมุ่ ออกมาอยา่ งเปน็ อิสระตอ่ กัน 4. การสุ่มแบบแบ่งกลุ่ม (Cluster Random Sampling) เริ่มด้วยแบ่งประชากรออกเป็น ประชากรย่อยตามสภาพภูมิศาสตร์ หรือตามสภาพท่ีจะทาการเก็บรวบรวมข้อมูลได้ สะดวก แล้วสุม่ ตวั อยา่ งซ่ึงอาจแบง่ เปน็ ยอ่ ยไปได้อีก 3. การวเิ คราะหข์ อ้ มลู

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 197 ค่ากลาง ตัวอย่างผู้อานวยการโรงเรียน ต้องการรณรงค์ให้นักเรียนรักการอ่าน โดยวางแผน ในการซ้ือหนังสือที่นักเรียนสนใจเข้าห้องสมุด ดังนั้น ข้อมูลท่ีต้องการ คือ รายช่ือหนังสือที่มีอยู่ใน หอ้ งสมดุ ประเภทหนังสือที่นกั เรียนอยากอ่าน และบรรยากาศห้องสมดุ ทค่ี วรจะเป็น จะเห็นว่าข้อมูลทั้ง สามเป็นข้อมูลเชิงคุณภาพการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงคุณภาพโดยการสรุปสาระสาคัญจะแสดงในลักษณะ ของข้อมูลท่ีมีความนิยมสูงสุด (ส่วนใหญ่จะแสดงในลักษณะร้อยละ) ซ่ึงถือเป็นค่ากลางหรือค่าที่ สามารถเปน็ คาตอบของคาถามทต่ี ้องการได้ค่ากลางชนดิ นี้คอื ฐานนยิ ม (Mode) ฐานนิยม คือคา่ ของขอ้ มูลทีม่ คี วามถ่ีสงู สดุ หรือค่าที่เป็นลักษณะส่วนใหญ่ของข้อมูล ตัวอย่าง ที่ผู้เรียนจะเห็นได้ชัด คือการเลือกต้ังสมาชิกสภาผู้แทนราษฎร ซึ่งจะเลือกคนที่ได้รับการเลือกจาก ประชากรสงู สดุ 4. การนาเสนอขอ้ มลู ในข้อมลูที่ผ่านมาได้กล่าวถึง การสรุปสาระสาคัญของข้อมูลด้วยค่ากลาง และค่าการกระจาย ของข้อมูล ซ่ึงถือเป็นการนาเสนอข้อมูลรูปแบบหนึ่ง เพราะสามารถอธิบายลักษณะของข้อมูลว่าเป็น อย่างไร การนาเสนอข้อมูลยังมีอีกหลายรูปแบบโดยบางแบบเหมาะที่จะใช้นาเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพ บางรูปแบบเหมาะท่ีจะใช้ขอ้ มูลเชิงปริมาณทง้ั ท่ีเป็นอนกุ รมเวลา หรอื ภาคตดั ขวาง บางรูปแบบใช้ได้กับ ข้อมูลทุกชนิด รูปแบบการนาเสนอ เช่น ตาราง แผนภูมิแท่ง แผนภูมิรูปวงกลม และกราฟเส้น การ นาเสนอจะนาเสนอในรูปแบบใดข้ึนอยู่กับลักษณะข้อมูลและวัตถุประสงค์ การนาเสนอในรูปแบบบ ตารางเหมาะกับข้อมูลท่ีมีการจะนาเสนอมาก การนาเสนอในรูปแบบแผนภูมิ จะดึงดูดความสนใจของ ผู้อ่านมากกว่า แต่เรื่องที่นาเสนอต้องมีไม่มาก แผนภูมิเชิงเดียว เปูนการนาเสนอข้อมูลท่ีต้อง เปรียบเทียบเรื่องเดียว แต่ถ้าต้องการเปรียบเทียบมากกว่า 1 เร่ือง ต้องใช้แผนภูมิเชิงซ้อน สาหรับ แผนภูมวิ งกลมเปน็ การนาเสนอข้อมูลในเรอ่ื งเดียวกัน โดยตอ้ งการเปรียบเทยี บเปน็ เปอร์เซนต์ 5.3 บทสรุป ทักษะการสอนคือความสามารถในการปฏิบัติการสอนด้านต่าง ๆ อย่างชานาญซ่ึงครอบคลุม การวางแผนการเรียนการสอน การออกแบบการเรียนการสอนการจัดการเรียนการสอนการใช้วิธีการ สอนเทคนิคการสอนรูปแบบการเรยี นการสอนระบบการสอน ส่ือการสอนการประเมินผลการเรียนการ สอนรวมทัง้ การใช้ทฤษฎี หลักการเรียนรู้ วิธีการสอนและรูปแบบการสอนต่าง ๆ ทักษะสาคัญท่ีผู้สอน ควรฝึกปฏิบัติและคานึงถึงในการสอน คือ ทักษะการนาเข้าสู่บทเรียน (Set Induction) ทักษะการ อธิบาย (Presentation) ทักษะการใช้คาถาม (Question) ทักษะการเสริมกาลังใจ (Reinforcement) ทักษะการสรุปบทเรียน (Set Closure) ทักษะการเร้าความสนใจ (Stimulation) ทักษะการใช้ กระดาน ทักษะการใช้กิริยาวาจา ท่าทางในการสอน และทักษะการใช้อุปกรณ์การสอน (Media Presentation)

198 การออกแบบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ประกอบไปด้วย การจัดประสบการณ์การเรียนรู้เก่ียวกับ จานวนและการดาเนินการ การจัดประสบการณ์การเรียนรู้เก่ียวกับพีชคณิต การจัดประสบการณ์การ เรยี นรูเ้ กยี่ วกับการวดั การจัดประสบการณ์การเรียนรู้เก่ียวกับเรขาคณิต และการจัดประสบการณ์การ เรียนรู้เก่ียวกับสถิติและความน่าจะเป็น 5.4 คาถามท้ายบท 1. อธิบายทักษะการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ระดับประถมศึกษา 2. อธบิ ายขั้นตอนการจัดประสบการณ์การเรยี นรเู้ ก่ียวกบั จานวนและการดาเนนิ การ 3. อธบิ ายขน้ั ตอนการจัดประสบการณก์ ารเรียนรเู้ กย่ี วกบั พีชคณิต 4. อธิบายขน้ั ตอนการจดั ประสบการณ์การเรียนรู้เกี่ยวกบั การวดั 5. อธบิ ายขั้นตอนการจัดประสบการณก์ ารเรียนรู้เกย่ี วกับเรขาคณติ 6. อธบิ ายขั้นตอนการจัดประสบการณ์การเรยี นรูเ้ ก่ยี วกับสถิตแิ ละความนา่ จะเปน็ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบงบทท่ี 6 การพัฒนาสมรรถนะการแกป้ ญั หาทางคณติ ศาสตร์ สาระการเรียนรู้ 1. ความหมายและความสาคัญของการแก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์ 2. ลกั ษณะของปัญหาทางคณิตศาสตร์และประเภทของปัญหาทางคณิตศาสตร์ 3. กระบวนการและขน้ั ตอนการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ 4. ยุทธวิธีในการแกป้ ญั หาทางคณติ ศาสตร์ จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ 1. เพ่อื ใหเ้ กิดความคดิ รวบยอดความหมายและความสาคัญของการแก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์ 2. เพ่ือให้เกิดความคิดรวบยอดลักษณะของปัญหาทางคณิตศาสตร์และประเภทของปัญหาทาง คณติ ศาสตร์ 3. เพื่อให้เกิดความคิดรวบยอดกระบวนการและข้ันตอนการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ 4. เพื่อให้เกิดความคดิ รวบยอดยทุ ธวธิ ใี นการแกป้ ญั หาทางคณติ ศาสตร์ คณิตศาสตร์เป็นกลุ่มสาระการเรียนรู้หน่ึงในหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐานที่มี ความสาคัญเป็นอย่างย่ิง เป็นเคร่ืองมือในการเรียนรู้ที่จะนาไปสู่การเรียนรู้ในกลุ่มประสบการณ์อื่นๆ และการเรยี นในระดับทส่ี ูงขน้ึ เป็นกลมุ่ สาระท่ชี ่วยพัฒนาคนให้รู้จกั คดิ อยา่ งมเี หตุผล มีระเบียบขั้นตอน ในการคิด ทาให้ผู้เรียนเกิดพัฒนาการด้านความคิด มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ช่วยเสริมสร้างความมี เหตุผล รู้จักการคิดอย่างมีระบบระเบียบ มีการวางแผนที่ดี มีความสามารถในการตัดสินใจ สามารถ คาดการณ์ วางแผนในการแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องเหมาะสม (สิริพร ทิพย์คง. 2545: 112-115) จาก ความสาคัญดังกล่าว กระทรวงศึกษาธิการจึงจัดให้มีการศึกษาคณิตศาสตร์ในทุกระดับชั้นของ การศึกษาภาคบังคับเพื่อพัฒนาเด็กและเยาวชนไทยทุกคนให้มีความรู้ มีทักษะและกระบวนการทาง คณติ ศาสตร์ที่จาเป็นสาหรับการดารงชีวิตในสังคม และเพื่อให้การจัดการศึกษาคณิตศาสตร์ของชาติมี คุณภาพท่ีน่าเช่ือถือ จึงมีการกาหนดมาตรฐานสาหรับการจัดการศึกษาคณิตศาสตร์ภาคบังคับไว้เพ่ือ อธิบายวา่ เยาวชนทุกคนควรรแู้ ละสามารถปฏบิ ัติได้ตามสาระที่กาหนดไว้ในมาตรฐานเม่ือถึงช่วงเวลาที่ กาหนด ดังนั้นสถานศึกษาต่างๆ ที่มีหน้าที่รับผิดชอบจัดการศึกษาคณิตศาสตร์ภาคบังคับ จึงต้องจัด การศึกษาคณิตศาสตร์อย่างมีคุณภาพ เพื่อให้เยาวชนทุกคนได้มีความรู้ มีทักษะและกระบวนการทาง คณติ ศาสตร์ตามทีก่ าหนดไว้ในมาตรฐานการศึกษาคณิตศาสตร์ภาคบังคับ

190 6.1 ความหมายและความสาคญั ของการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ 6.1.1 ความหมายของการแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง ปัญหา หมายถึง สถานการณ์ท่ีเผชิญอยู่และต้องการค้นหาคาตอบ โดยท่ียังไม่รู้วิธีการหรือ ขัน้ ตอนที่จะได้คาตอบของสถานการณ์นนั้ ในทนั ที ปัญหาทางคณิตศาสตร์ หมายถึง สถานการณ์ท่ีเก่ียวกับคณิตศาสตร์ซ่ึงเผชิญอยู่และต้องการ ค้นหาคาตอบ โดยท่ียังไม่รู้วิธีการหรือขั้นตอนท่ีได้คาตอบของสถานการณ์ นั้นในทันที และการ แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ หมายถึง กระบวนการในการประยุกต์ความรู้ทางคณิตศาสตร์ ขั้นตอนและ กระบวนการแก้ปัญหา ยุทธวิธีแก้ปัญหา และประสบการณ์ที่มีอยู่ไปใช้ในการค้นหาคาตอบของปัญหา ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมีนักวิชาการด้านคณิตศาสตร์ ทั้งต่างประเทศและในประเทศได้กล่าวถึง ความหมายของการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ ไวด้ งั นี้ บรูคเนอร์ และกรอสนิเคิล (Brucker; & Grossnicle. 1957: 301) ได้กล่าวว่า ปัญหา คณิตศาสตร์ เปน็ สถานการณท์ ่ีเก่ียวกบั ปริมาณทน่ี กั เรยี นไมส่ ามารถตอบได้ทันทีโดยวิธีท่ีเคยชินและส่ิง ที่เปน็ ปญั หาของนักเรยี นเมือ่ วานนีอ้ าจจะไม่ใชป่ ัญหาในวนั นีก้ ไ็ ด้ แอนเดอรส์ นั และพงิ ก้ี (Andersons; & Pingry. 1973: 228) กล่าววา่ ปญั หาทางคณิตศาสตร์ เป็นสถานการณ์หรือคาถามที่ต้องการวิธีการแก้ไขหรือหาคาตอบ ซ่ึงผู้ตอบจะทาได้ดีต้องมีวิธีการที่ เหมาะสม ใช้ความรู้ ประสบการณ์ และการตดั สนิ ใจ ชาร์ล และเลสเตอร์ (Charles; & Lester. 1982: 5) ได้ให้ความหมายของปัญหาในทานอง เดียวกันแต่ได้เพิ่มประเด็นท่ีว่า การที่จะถือว่าเป็นปัญหา เม่ือบุคคลน้ันต้องการหรืออยากที่จะหา คาตอบ และตอ้ งมคี วามมานะพยายามในการหาคาตอบด้วย ครูอิคแซงค์ และเชฟเฟิล (Cruikshank and Sheffield. 1992: 37) กล่าวว่าปัญหาคาถาม หรือสถานการณ์ที่ทาให้งุนงง ปัญหาควรจะเป็นคาถามหรือสถานการณ์ท่ีไม่สามารถหาคาตอบ ได้ ในทันที ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์มิได้หมายความว่าปัญหาน้ันจะต้องเกี่ยวข้องกับจานวน เท่านนั้ ปญั หาทางคณิตศาสตร์บางปัญหาอาจเก่ยี วขอ้ งกบั ความรู้สกึ หรือการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ โดยไม่จาเปน็ ตอ้ งเกี่ยวขอ้ งกับจานวนกไ็ ด้ จากความหมายข้างต้นการแก้ปัญหาเป็นกระบวนการท่ีผู้แก้ปัญหาต้องใช้องค์ความรู้ ทักษะ กระบวนการ และความเขา้ ใจของตนเองเพอ่ื นามาใช้ในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ท่ียังไม่คุ้นเคย โดย เริ่มจากการเผชิญปัญหาและเง่ือนไขท่ีถูกกาหนดข้ึน ผ่านกระบวนการวางแผน คิดวิเคราะห์ หา แนวทางในการแกป้ ญั หา ดว้ ยยุทธวธิ ีการแก้ปัญหาแบบต่างๆ จนสามารถค้นพบคาตอบ ทรงชยั อกั ษรคดิ (2555: 3) ได้สรุปความหมายของการแกป้ ัญหาว่า หมายถึง ความสามารถ ในการคิดอย่างเป็นนามธรรมที่จะนาไปสู่การแก้ปัญหา การวางแผนในอนาคตและการมองหาความ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 191 ช่วยเหลือจากบุคคลอ่ืนๆ นอกจากคาว่า ปัญหาแล้วยังมีคาท่ีมีความหมายคลายกันแต่มีระดับของ รายละเอียดความยากง่ายในการค้นหาคาตอบที่แตกต่างกันที่ควรนามาพิจารณา คือ คาถาม (Question) แบบฝกึ หัด (Exercise) และ ปญั หา (Problem) คาถาม (Question) เป็นสถานการณ์ท่ีสามรถแก้ได้โดยใช้ความคิดเพียงแค่ความรู้ ความจา แบบฝึกหัด (Exercise) เป็นสถานการณ์ที่ต้องการการฝึกฝนและซักซ้อมทักษะหรือ ขน้ั ตอนวิธกี ารต่างๆ ท่ไี ด้เรียนรมู้ าแลว้ ก่อนหน้าน้ี ปัญหา (Problem) เป็นสถานการณท์ ตี่ อ้ งการการคิดและการสังเคราะห์ความรู้ต่างๆ ที่ ไดเ้ รียนร้เู นอ้ื หามาแล้วก่อนหนา้ นเ้ี พอื่ ใชใ้ นการแก้ปัญหา สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (2550: 7) ได้ให้ความหมายของปัญหา วา่ โดยทัว่ ไปหมายถงึ สถานการณ์ท่ีเผชิญอยู่และตอ้ งการค้นหาคาตอบ โดยที่ยังไม่รู้วิธีการหรือข้ันตอน ที่จะได้คาตอบของสถานการณ์น้ันในทันที ถ้าสถานการณ์นั้นงายเกินไป จนรู้วิธีการหาคาตอบหรือรู้ คาตอบทันทีแล้ว สถานการณ์น้ันก็ไม่ใช่ปัญหาอีกต่อไป อย่างไรก็ตามปัญหาสาหรับคนหนึ่งอาจไม่ใช่ ปัญหาสาหรบั อกี คนหน่งึ กไ็ ด้ สาหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์หมายถงึ สถานการณท์ ี่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ซ่ึงเผชิญอยู่และต้องการค้นหาคาตอบ โดยที่ยังไม่รู้วิธีการหรือขั้นตอนท่ีจะได้คาตอบของสถานการณ์ น้ันในทันที และการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ หมายถึง กระบวนการในการประยุกต์ความรู้ทาง คณิตศาสตร์ ขั้นตอน/กระบวนการแก้ปัญหา ยุทธวิธีการแก้ปัญหา และประสบการณ์ที่มีอยู่ไปใช้ใน การค้นหาคาตอบของปัญหาทางคณติ ศาสตร์ นกั การศึกษาทางดา้ นคณติ ศาสตรห์ ลายทา่ นได้เสนอใหเ้ หน็ ถงึ ความแตกต่างของภาระงานทาง คณิตศาสตรร์ ะหว่าง ปัญหาทแ่ี ท้จริง (Real problem) กับ ปัญหาท่ีคุ้นเคย (Routine problem) โดย ให้ความหมายของปัญหาที่คุ้นเคยเป็นปัญหาท่ีอยู่ในระดับต่ามีไว้เพ่ือฝึกฝนแค่ขั้นความรู้ความจาเป็น หลกั แต่สาหรบั ปัญหาท่แี ทจ้ ริง เปน็ ปญั หาทต่ี ้องการกระบวนการทางสติปัญญาข้ันสูงกว่าซึ่งมีลักษณะ สาคัญดังนี้ (Foong Pui Yee. 2007: 55) 1. เป็นปัญหาทีม่ คี วามซบั ซ้อนไม่ใชค่ ดิ ตามข้ันตอน 2. เปน็ ปัญหาที่เน้นการคิดวเิ คราะห์และใช้ยุทธวธิ ตี ่างๆ อย่างเป็นกระบวนการ 3. เป็นปญั หาทส่ี ่งเสรมิ การสารวจแนวคิด กระบวนการหรือความสมั พนั ธ์ทางคณติ ศาสตร์ 4. เปน็ ปัญหาเชงิ สถานการณ์ท่ีทา้ ทาย น่าสนใจ และกระตุ้นให้เกิดความพยายามหาคาตอบ ประสบการณใ์ นการแกป้ ญั หาท่คี รูผ้สู อนควรนาเสนอให้กับผู้เรียนควรประกอบไปด้วยท้ัง การ แก้ปัญหาท่ีหลากหลายปัญหาที่ใช้ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาเดียวกัน และการแก้ปัญหาเดียวกันท่ีใช้ ยทุ ธวธิ กี ารแก้ปญั หาทหี่ ลากหลาย การแก้ปญั หาไม่ควรใช้วิธีการเหมือนกับการให้ผู้เรียนทาแบบฝึกหัด ท่ีทาซ้าๆ ด้วยปัญหาประเภทเดิมๆ ที่ใช้การแก้แบบเดิมๆ เพียงแบบเดียว แต่ควรใช้ปัญหาท่ีไม่คุ้นเคย

192 สาหรบั ใช้ประเมินหรอื สะทอ้ นความสามารถต่างๆ ที่อยู่ในตัวผู้เรียนผ่านวิธีการแก้ปัญหาที่หลากหลาย และคาตอบตา่ งๆ ของผูเ้ รยี น (Foong Pui Yee. 2007: 54-55) 6.1.2 ความสาคญั ของการแก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ช่วยสร้างเสริมคุณลักษณะที่จาเป็นต่อการดารงชีวิตอ่ืนๆ เช่น การสังเกต ความ ละเอียด ถี่ถ้วนแม่นยา มีสมาธิและรู้จักแก้ปัญหา และโดยเฉพาะอย่างย่ิงในชีวิตประจาวัน เราต้องใช้ ความรู้ และทักษะกระบวนการทาง คณิตศาสตร์เกือบตลอดเวลา เช่น การประมาณค่า การซื้อขาย การดูเวลา การชั่ง การตวง การวัด และอื่นๆ อีกมากท่ีเก่ียวกับจานวนและตัวเลข จึงอาจกล่าวได้ว่า คณติ ศาสตรเ์ ปน็ วิชาทกั ษะทส่ี าคญั และสมั พันธ์กับชีวิตประจาวันอย่างแยกกันไม่ได้ การแก้ปัญหาควร เป็นจุดเน้นของหลักสูตรคณิตศาสตร์และควรเป็นเป้าหมายสาคัญของการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ รวมถึงการเป็นสว่ นท่บี รู ณาการกิจกรรมทงั้ หมดทางคณติ ศาสตร์ การแก้ปัญหาไม่ใช่เป็นหัวข้อเรื่องทาง คณิตศาสตร์ท่ีแยกออกมา แต่ควรเป็นกระบวนการที่สอดแทรกอยู่ในหลักสูตรท่ีมีการจัดสภาพการ เรียนรู้ให้นักเรียนได้รับทั้งแนวคิด (Concept) และทักษะต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ National Council of Teachers of Mathematics (1989: 23) ด้วยความสาคัญดังท่ีได้กล่าวมาแล้วข้างต้นอยู่ใน หลกั การและมาตรฐานสาหรับครูคณติ ศาสตรใ์ นโรงเรียนของสภาครูคณิตศาสตร์แห่งชาติสหรัฐอเมริกา (National Council of Teachers of Mathematics) ท่ีเน้นย้าถึงบทบาทที่สาคัญของการแก้ปัญหา ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ในโรงเรียน และมักสอดคล้องกับหลักการในการจัดการเรียนการสอน คณิตศาสตร์ในโรงเรียนแทบทุกประเทศท่ัวโลกรวมถึงประเทศไทยด้วย ทั้งนี้หากพิจารณาจากกรอบ หลักสูตรคณิตศาสตร์ของประเทศสิงคโปร์ (Singapore Mathematics Curriculum Framework) (Ng Swee Fong. 2007: 17; อ้างอิงจาก ทรงชัย อักษรคิด. 2555: 2) จะพบว่าหลักสูตรคณิตศาสตร์ ของประเทศสิงคโปร์มีเป้าหมายหลักคือการพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (Mathematics Problem Solving) ของนักเรียนในสถานการณ์ท่ีหลากหลายซ่ึงประกอบไปด้วย ปัญหาที่ไม่คุ้นเคย (Non-routine Problems) ปัญหาปลายเปิด (Open-ended Problems) และ ปัญหาในโลกแห่งความเป็นจรงิ (Real-world Problems) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 193 ภาพที่ 6.1 กรอบหลักสตู รคณิตศาสตร์ของประเทศสิงคโปร์ (Singapore Mathematics Curriculum Framework) ทีม่ า : http://timssandpirls.bc.edu/timss2015/encyclopedia/countries/singapore/the- mathematics-curriculum-in-primary-and-lower-secondary-grades/ จากกรอบหลักสูตรคณิตศาสตร์ของประเทศสิงคโปร์ จะเห็นได้ว่าการแก้ปัญหาทาง คณติ ศาสตรจ์ ะประสบความสาเร็จได้ขนึ้ อย่กู บั องคป์ ระกอบสาคญั 5 ด้าน คือ 1. แนวคิด (Concept) ซ่ึงเป็นพ้ืนฐานความรู้ทางคณิตศาสตร์ท่ีจาเป็นสาหรับการแก้ปัญหา ทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ แนวคิดเร่ือง จานวน (Numerical) พีชคณิต (Algebraic) เรขาคณิต (Geometrical) สถติ ิ (Statistics) ความนา่ จะเป็น (Probabilistic) และการวิเคราะห์ (Analytical) 2. ทักษะ (Skill) โดยที่นักเรียนสามารถใช้ทักษะต่างๆ ซ่ึงมีความสัมพันธ์ต่อกันเพ่ือการ แก้ปัญหา ได้แก่ การคานวณเชิงตัวเลข (Numerical calculation) การดาเนินการทางพีชคณิต (Algebraic manipulation) มุมมองเชิงปริภูมิ (Spatial Visualization) การวิเคราะห์ข้อมูล (Data analysis) การวัด (Measurement) การใช้เคร่ืองมือทางคณิตศาสตร์ (Use of mathematics tools) และการประมาณคา่ (Estimation) 3. กระบวนการ (Processes) สาคัญสาหรับนักเรียนต่อการแก้ปัญหา ได้แก่ การให้เหตุผล (Reasoning) การส่ือสารและการเชื่อมโยง (Communication and connection) ทักษะและวิธีการ คิด (Thinking skill and heuristics) และการประยุกต์ใช้และการสร้างตัวแบบ (Applications and modeling) 4. การรู้คิด (Metacognition) ซึ่งเป็นความสามารถของนักเรียนในการกากับความคิดของ ตนเอง (Monitoring of one’s own thinking) และการควบคุมการเรียนรู้ของตนเอง (Self- regulation of learning) 5. เจตคติ (Attitudes) เป็นลักษณะเฉพาะทางการเรียนรู้คณิตศาสตร์ท่ีควรเกิดขึ้นในตัวของ นักเรียน ได้แก่ ความเชื่อ (Beliefs) ความสนใจ (Interest) การเห็นความสาคัญและรู้คุณค่า (Appreciation) ความเชอ่ื ม่ันในตนเอง (Confident) และความเพยี รพยายาม (Perseverance) นอกจากน้ียังมีนักวิชาการด้านคณิตศาสตร์ ท้ังต่างประเทศและในประเทศได้กล่าวถึง ความสาคัญของการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ ไวด้ งั นี้

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 194 ครูลิค และรีส์ (Krulik; & Reys. 1980: 3-4) กล่าวถึงความสาคัญของการแก้ปัญหาทาง คณติ ศาสตร์ พอสรปุ ไดด้ งั นี้ 1. การแก้ปัญหาเป็นเป้าหมายอย่างหนึ่ง (Problem solving as goal) มักมีคาถามว่าทาไม จึงต้องสอนคณิตศาสตร์ หรือเป้าหมายในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์คืออะไร ทั้งนักการศึกษา นัก คณิตศาสตร์ และบุคคลท่ีเกี่ยวข้องมักเข้าใจว่า การแก้ปัญหาเป็นจุดมุ่งหมายสาคัญของการเรียน คณติ ศาสตร์ เมือ่ การแก้ปัญหาถูกนามาพิจารณาว่าเป็นเป้าหมายอย่างหนึ่ง การแก้ปัญหาจึงเป็นอิสระ จากปัญหาเฉพาะ กระบวนการและวิธีการ ตลอดจนเน้ือหาทางคณิตศาสตร์ แต่การพิจารณาที่สาคัญ ตอ้ งคานงึ ว่า จะแก้ปญั หาอยา่ งไร ซ่ึงเป็นเหตุผลแรกสาหรับคณิตศาสตร์ศึกษา ข้อพิจารณานี้มีอิทธิพล ต่อหลักสูตรท้ังหมดและมคี วามสาคัญตอ่ การนาไปใชใ้ นการฝกึ ปฏิบตั ิในหอ้ งเรยี น 2. การแก้ปัญหาเป็นกระบวนการอย่างหนึ่ง (Problem solving as process) การตีความใน ลักษณะน้ีเห็นได้อย่างชัดเจนในการตอบปัญหาของนักเรียน ตลอดจนกระบวนการหรือขั้นตอนที่ กระทาเพื่อให้ได้มาซ่ึงคาตอบ สิ่งสาคัญที่ควรนามาพิจารณา คือ วิธีการ กระบวนการ และยุทธวิธีที่ นักเรียนใช้ในการแก้ปัญหาเป็นสิ่งสาคัญในกระบวนการปัญหา และเป็นจุดสาคัญของหลักสูตร คณติ ศาสตร์ 3. การแกป้ ัญหาเป็นทกั ษะพืน้ ฐานอยา่ งหน่ึง (Problem solving as basic skill) การตีความ ลักษณะนี้จะพิจารณาเฉพาะเนื้อหาที่เป็นโจทย์ปัญหา คานึงถึงรูปแบบการแก้ปัญหา และวิธีการ แก้ปัญหา การพิจารณาถึงการแก้ปัญหาว่าเป็นทักษะพ้ืนฐานจึงมีส่วนช่วยในการจัดการเรียนการสอน ของครผู ู้สอนคณติ ศาสตร์ ซ่ึงต้องประกอบด้วยการสอนทกั ษะ มโนมติ และการแก้ปญั หา สิริพร ทิพย์คง (2536: 157) กล่าวว่า การแก้ปัญหาเป็นส่ิงสาคัญและจาเป็นที่นักเรียนทุกคน ต้องเรียนรู้ เข้าใจ สามารถคิดเป็น และแก้ปัญหาได้ เพื่อนากระบวนการน้ีไปใช้ในการแก้ปัญหาใน ชีวติ ประจาวนั ตอ่ ไป เพราะการท่ไี ด้ฝึกแก้ปัญหาจะช่วยให้นักเรียนรู้จักคิด มีระเบียบข้ันตอนในการคิด รู้จักคดิ อยา่ งมีเหตผุ ล และรู้จกั ตดั สินใจอย่างฉลาด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (2551: 6-7) กล่าวว่า การแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ เป้นกระบวนการในการประยุกต์ความรู้ทางคณิตศาสตร์ ข้ันตอน/กระบวนการแก้ปัญหา ยุทธวิธีการแก้ปัญหา และประสบการณ์ที่มีอยู่ไปใช้ในการค้นหาคาตอบของปัญหาทางคณิตศาสตร์ การแก้ปัญหาเป็นกระบวนการท่ีผู้เรียนควรเรียนรู้ ฝึกฝน และพัฒนาให้เกิดทักษะข้ึนในตัวผู้เรียน การ เรยี นการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์จะชว่ ยให้ผ้เู รียนมแี นวทางการคิดท่ีหลากหลาย มีนิสัยกระตือรือร้น ไม่ย่อท้อ และมีความมั่นใจในการแก้ปัญหาที่เผชิญอยู่ ทั้งภายในและภายนอกห้องเรียน ตลอดจน ทักษะพน้ื ฐานท่ีผ้เู รยี นสามารถนาตดิ ตัวไปใช้ในการแกป้ ัญหาในชวี ติ ประจาวนั ได้นานตลอดชวี ติ 6.2 ลกั ษณะของปญั หาทางคณติ ศาสตรแ์ ละประเภทของปัญหาทางคณติ ศาสตร์

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 195 6.2.1 ลักษณะของปญั หาของปญั หาทางคณติ ศาสตร์ ลกั ษณะของปญั หาทางคณิตศาสตร์ท่ีน่าสนใจควรเป็นปัญหาท่ีนักเรียนไม่ค่อยพบในห้องเรียน ซ่ึงในการตั้งปัญหาควรคานึงถึงความรู้พื้นฐานของผู้แก้ปัญหาและความสามารถในการใช้ภาษาของ ผู้เรยี น ซึ่งมีนักการศึกษาทางด้านคณิตศาสตร์หลายท่านได้อธิบายลักษณะของปัญหาทางคณิตศาสตร์ ดังน้ี ครูลิค และรีส์ (Krulik; & Reys. 1980: 208) ได้กล่าวว่า ไม่ควรเป็นคาถามท่ีวัดเพียงแค่ ความรู้ความจาหรือง่ายเกินไป หรือเป็นคาถามท่ีกว้างมากเกินไป (ฉวีวรรณ เศวตมาลย์. 2544: 7) ลกั ษณะของปัญหาทางคณิตศาสตร์ควรมีความใกล้เคียงกับปัญหาในชีวิตประจาวัน และสถานการณ์ที่ สร้างข้ึนเป็นปัญหา ควรใช้ภาษาหรือบรรยายลักษณะที่ผู้เรียนมีประสบการณ์ ไม่ควรเป็นปัญหาที่ ธรรมดาทั่วๆ ไป (Clyde. 1967: 108) กล่าววา่ ลักษณะของปัญหาที่ดีควรต้องมีคุณลักษณะดังต่อไปน้ี อยา่ งน้อย 1 ข้อ 1. เปน็ ปัญหาท่ีน่าสนใจและท้าทายความสามารถของนกั เรยี น 2. เปน็ ปญั หาที่ต้องใช้ทกั ษะในการสังเกตและการวเิ คราะห์ 3. เปน็ ปัญหาท่ใี ห้โอกาสสาหรับการอธบิ าย และมุ่งให้เกิดปฏสิ ัมพันธร์ ะหว่างกนั 4. เป็นปัญหาทีต้องใช้ความเข้าใจด้านแนวคิดทางคณิตศาสตร์และการประยุกต์ทักษะทาง คณติ ศาสตร์มาช่วยในการแก้ปญั หา 5. เป็นปัญหาท่ีทาให้ได้หลักการทางคณิตศาสตร์ และสามารถอ้างอิงไปยังสถานการณ์อ่ืนๆ ได้ 6. เป็นปัญหาท่ีมีประโยชน์กับปัญหาอ่ืนๆ อีก และมีคาตอบหลายคาตอบหรือสามารถหา คาตอบได้หลายวิธี สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (2551: 171-174) ได้กล่าวถึงลักษณะ ของปญั หาที่ดที ีส่ ง่ เสรมิ ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ มีดังน้ี 1. ปัญหาทดี่ ึงดูดความสนใจ ท้าทายความสามารถของนักเรียน เป็นปญั หาที่ไม่ง่ายเกินไปและ ไมย่ ากเกนิ ไป เพราะถ้าง่ายเกินไปอาจไม่ดึงดูดความสนใจและไม่ท้าทาย แต่ถ้ายากเกินไปนักเรียนอาจ ทอ้ ถอยกอ่ นท่ีจะแก้ปญั หาได้สาเร็จ 2. ปัญหาท่ีแปลกใหม่และเป็นปัญหาท่ีไม่คุ้นเคย ซ่ึงนักเรียนไม่เคยมีประสบการณ์ในการ แก้ปัญหานั้นมากอ่ น เพราะถา้ นกั เรยี นเคยมีประสบการณ์ในการแก้ปัญหานั้นมาแล้ว ปัญหาน้ันก็จะไม่ ใช้ปัญหาท่ีน่าสนใจอีกต่อไป อย่างไรก็ตามสาหรับปัญหาท่ีนักเรียนคุ้นเคย ครูอาจดัดแปลงกาหนด สถานการณ์ข้ึนใหม่หรือเปล่ียนแง่คิดมุมมองของคาถามให้ต่างไปจากเดิม เพื่อให้กลายเป็นปัญหาที่ แปลกใหม่สาหรับนักเรียนกไ็ ด้

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 196 3. ปญั หาทีม่ ีสถานการณท์ ้ังในคณิตศาสตร์ และในบริบทอ่ืนๆ เพื่อให้นักเรียนมีประสบการณ์ ในการแก้ปัญหาที่หลากหลาย และมีประสบการณ์ในการเช่ือมโยงแนวคิดทางคณิตศาสตร์กับแนวคิด ของศาสตร์อื่นๆ ตลอดจนเพ่ือให้นักเรียนเห็นคุณค่าว่าคณิตศาสตร์สามารถประยุกต์ใช้ในบริบทอ่ืนๆ นอกเหนอื จากคณิตศาสตรไ์ ด้ 4. ปัญหาในสถานการณ์จริง ท่ีเหมาะสมกับวัยและระดับพัฒนาการของนักเรียนซึ่งนักเรียน สามารถทาความเข้าใจปัญหาและรับรู้ได้ การได้ลงมือแก้ปัญหาในสถานการณ์จริง จะช่วยให้นักเรียน ได้มีโอกาสฝึกทักษะและกระบวนการด้านการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ ตลอดจนเห็นคุณค่าว่า คณิตศาสตร์สามารถประยกุ ต์ใช้ในการแก้ปัญหาในชวี ิตจริงได้ด้วย 5. ปัญหาที่ส่งเสริมกระบวนการการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เพ่ือให้นักเรียนเข้าใจข้ันตอน และกระบวนการการแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตรท์ ี่ถูกตอ้ ง 6. ปัญหาที่ใช้ยุทธวิธีแก้ปัญหาได้มากกว่าหนึ่งยุทธวิธี เพ่ือเปิดโอกาสให้นักเรียนเลือกใช้และ ปรับยุทธวิธีแก้ปัญหาท่ีเหมาะสมได้หลากหลาย ตลอดจนเพื่อให้นักเรียนตระหนังว่าปัญหาทาง คณิตศาสตร์สามารถใชย้ ทุ ธวธิ ีแก้ปญั หาได้มากกวา่ หนึง่ ยทุ ธวิธี 7. ปญั หาทส่ี ง่ เสรมิ การสารวจ สืบสวน สร้างข้อความคาดการณ์ อธิบาย และตัดสินข้อสรุปใน กรณีทวั่ ไป เพอ่ื ใหน้ ักเรยี นได้มปี ระสบการณ์ในการสารวจ สืบสวน รวบรวมข้อมูล ค้นหาความสัมพันธ์ และแบบรูปท่ีจะนาไปสู่การสร้างข้อคาดการณ์ ตรวจสอบข้อความคาดการณ์ และตัดสินข้อสรุปใน กรณที ั่วไปของตนเอง 8. ปัญหาที่ส่งเสริมขั้นตอนการพัฒนาความคิดของนักเรียนเพ่ือนาไปสู่ความคิดริเริ่ม สรา้ งสรรค์ ซ่ึงประกอบไปดว้ ย การคิดกาหนดปัญหาให้ชัดเจน การคิดหาคาตอบที่หลากหลาย การคิด พิจารณาไตร่ตรอง วิเคราะห์อย่างถ่ีถ้วน รอบคอบและสมเหตุสมผล และตัดสินใจ เอให้นักเรียนได้มี ประสบการณแ์ ละคุ้นเคยกับประบวนการคดิ รเิ ร่มิ สร้างสรรค์ท่ถี กู ตอ้ ง 9. ปัญหาท่เี ปิดโอกาสให้นักเรียนได้คิด อธิบายสิ่งที่ตนคิด และนาเสนอความคิดของตนอย่าง อิสระ เพื่อส่งเสริมให้นักเรียนได้ฝึกทักษะการคิด การให้เหตุผล การส่ือสาร การสื่อความหมายทาง คณติ ศาสตรแ์ ละการนาเสนอ ตลอดจนช่วยใหน้ ักเรียนเข้าใจแนวคิดทางคณิตศาสตร์เหล่าน้ันได้ชัดเจน ย่งิ ขึ้นด้วย 10.ปัญหาที่ใช้ภาษาท่ีเหมาะสมกับวัยและระดับพัฒนาการของนักเรียน เพ่ือไม่ทาให้นักเรียน ต้องมีปญั หากับภาษาทีใ่ ช้ 11.ปัญหาที่ทีข้อมูลขาดหาย ขอ้ มูลเกิน ข้อมูลที่ขัดแย้งกันบ้าง หรืออาจมีคาตอบมากกว่าหนึ่ง คาตอบหรือไม่มีคาตอบเลย เพ่ือส่งเสริมให้นักเรียนได้ฝึกคิดเกี่ยวกับปัญหาตัดสินได้ว่าอะไรคือส่ิงที่ ต้องการค้นหา อะไรคือสิ่งที่กาหนดให้มา มีข้อมูลเพียงพอที่จะแก้ปัญหาได้หรือไม่ หรือข้อมูลเกินหรือ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 197 ขัดแย้งกันบ้างหรอื ไม่ ตลอดจนเพอื่ ใหน้ ักเรียนตระหนักว่าปญั หาทางคณิตศาสตร์อาจมีคาตอบมากกว่า หนึง่ คาตอบ หรอื ไมม่ ีคาตอบเลย 6.2.2 องคป์ ระกอบในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ นักการศึกษาทางด้านคณิตศาสตร์หลายท่านได้อธิบายองค์ประกอบในการแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ ได้ดงั นี้ Clyde (1967: 112) ได้กล่าวถึงองค์ประกอบในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนไว้ ดงั นี้ 1. วุฒภิ าวะและประสบการณ์จะช่วยใหน้ ักเรียนแก้ปญั หาไดด้ ขี ึ้น 2. ความสามารถในการอา่ น 3. สติปัญญา Ausubel (1968: 568) ได้กล่าวว่า ในการแก้ปัญหาโดยท่ัวไปนั้นต้องใช้องค์ประกอบหลาย อย่าง เช่น สติปัญญา และองค์ประกอบทางการคิด เช่น ความยืดหยุ่นทางการคิด การรวบรวม ความคดิ ความตง้ั ใจ Heimer and Trueblood (1977: 31-32) ได้กล่าวว่า องค์ประกอบที่สาคัญบางประการที่มี ผลตอ่ ความสามารถของนักเรียนในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เก่ยี วกบั ภาษาหรอื คาพดู สรุปไดด้ ังน้ี 1. ความรูเ้ กี่ยวกบั คาศพั ทเ์ ฉพาะ 2. ความสามารถในการคานวณ 3. การรวบรวมข้อมลู ทีไ่ มส่ ัมพันธก์ นั 4. ความสามารถในการรับรูถ้ ึงความสัมพนั ธ์ระหว่างขอ้ มูลที่กาหนดมาให้ 5. ความสามารถในการใหเ้ หตผุ ลสาหรบั คาตอบทไี่ ด้ 6. ความสามารถในการเลอื กวธิ กี ารดาเนินการทางคณติ ศาสตรท์ ่ถี ูกต้อง 7. ความสามารถในการคน้ หาขอ้ มูลทีข่ าดหายไป 8. ความสามารถในการเปล่ียนปัญหาที่เป็นประโยตขอ้ ความเปน็ ประโยคสัญลักษณ์ Ploya (1980: 225) ได้กล่าวถึงส่ิงที่สัมพันธ์กับความสามารถในการแก้ปัญหาซ่ึงเป็นสิ่งท่ีมี ส่วนช่วยในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ไว้ คือ ความรู้สึกเกี่ยวกับความเป็นไปได้ของปัญหา ความ เป็นไปไดข้ องคาตอบ และกลวิธีตา่ งๆ เช่น การลองผดิ ลองถูก เปน็ ตน้ Baroody (1993: 2-10) ไดก้ ลา่ ววา่ องค์ประกอบหลกั ของการแกป้ ัญหา 3 ประการ คอื 1. องค์ประกอบทางด้านความรู้ความคิด (Cognitive Factor) ประกอบด้วย ความรู้เกี่ยวกับ มโนมติ และยุทธวธิ ีในการแกป้ ัญหาสาหรับสถานการณ์ใหม่ๆ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 198 2. องค์ประกอบทางด้านความรู้ความรู้สึก (Effective Factor) เป็นแรงขับในการแก้ปัญหา และแรงขับนี้มาจากความสนใจ ความเช่ือม่ันในตนเอง ความพยายามหรือความตั้งใจและความเช่ือขง นักเรียน 3. องค์ประกอบทางด้านการสังเคราะห์ความคิด (Metacognitive Factor) เป็น ความสามารถในการสังเคราะห์ความคิดของตนเองในการแก้ปัญหา ซ่ึงจะสามารถตอบตนเองได้ว่า ทรัพยากรอะไรบ้างที่สามารถนามาใช้ในการแก้ปัญหา และจะติดตามและควบคุมทรัพยากรเหล่านี้ได้ อย่างไร นอกจากจะมีความรู้ความเข้าใจ มียุทธวิธีและการสังเคราะห์ความคิดในการแก้ปัญหา มี ความรู้สกึ ทดี่ ีเป็นแรงขบั เกีย่ วกบั การแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์แลว้ บารูดี้ (Baroody, 1993: 2-10) ยัง กล่าวต่อไปอีกว่า นักแก้ปัญหาท่ีดีต้องมีความยืดหยุ่น เพราะความยืดหยุ่นเป็นความสามารถในการ ปรบั ทรพั ยากรท่ีมีอยู่ในลักษณะบูรณาการองค์ความรู้ในการแกป้ ญั หา ปรีชา เนาว์เยน็ ผล (2537: 81-82) ได้กล่าวถงึ องคป์ ระกอบของความสามารถในการแก้ปัญหา ทางคณติ ศาสตร์ ซ่งึ สามารถสรปุ ไดด้ งั น้ี 1. ความสามารถในการทาความเข้าใจปัญหา ปัจจัยท่ีส่งผลโดยตรงต่อความสามารถด้านน้ี คือ ทักษะการอ่านและการฟัง การทาความเข้าใจปัญหาต้องอาศัยความรู้เก่ียวกับศัพท์ นิยาม มโนมติ และขอ้ เท็จจรงิ ตา่ งๆ ทางคณติ ศาสตร์ท่ีเกี่ยวข้องกับปัญหา ซ่ึงแสดงถึงศักยภาพทางสมองของนักเรียน ในการระลกึ ถงึ และความสามารถนามาเชอื่ มโยงกับปัญหาทกี่ าลังเผชิญอยู่ ปัจจัยอีกประการหนึ่งท่ีช่วย ใหก้ ารทาความเข้าใจปัญหาอยา่ งมีประสิทธิภาพ คือ การร้จู ักเลอื กใชก้ ลวธิ ีมาช่วยในการทาความเข้าใจ ปญั หา เช่น การขีดเสน้ ใต้ขอ้ ความสาคัญ การแบ่งวรรคตอน การจดบันทึกเพ่ือแยกแยะประเด็นสาคัญ การเขียนภาพ หรือแผนภูมิ การสร้างแบบจาลอง การยกตัวอย่างที่วอดคล้องกับปัญหา และการเขียน ปัญหาใหมด่ ้วยคาพดู ของตนเอง 2. ทักษะในการแก้โจทย์ปัญหา ทักษะเดขึ้นจากการฝึกฝนทาบ่อยๆ จนเกิดความชานาญ มี ประสบการณ์ในการเลอื กกลวธิ ีตา่ งๆ เพ่ือนาไปใช้ให้เหมาะสมกับปัญหาผู้แก้ปัญหาที่มีทักษะในการแก้ โจทย์ปญั หาจะสามารถวางแผนเพ่ือกาหนดกลวิธใี นการแก้ปัญหาไดอ้ ยา่ งรวดเร็วและเหมาะสม 3. ความสามารถในการคิดคานวณและความสามารถในการให้เหตุผล การคิดคานวณนับว่า เป็นองค์ประกอบสาคัญของการแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เพราะถึงแม้ว่าจะทาความเข้าใจได้ อยา่ งแจม่ ชดั วางแผนการแกป้ ัญหาไดอ้ ย่างเหมาะสม แต่เมื่อถึงเวลาในการแก้ปัญหาแล้วคิดคานวณไม่ ถูกต้อง การแก้ปัญหาน้ันก็ไม่ประสบผลสาเร็จ โดยเฉพาะอย่างย่ิงทักษะพ้ืนฐานในการบวก ลบ คูณ หาร สาหรับปัญหาที่ต้องการคาอธิบายให้เหตุผล ต้องอาศัยพ้ืนฐานในการเขียนและการพูด มีความ เข้าใจในกระบวนการในการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ความหมายของการพิสูจน์ และวิธีพิสูจน์แบบ ตา่ งๆ เทา่ ท่จี าเปน็ และเพียงพอในการนาไปใช้ในการแกโ้ จทย์ปัญหา

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 199 4. แรงขับ เนื่องจากโจทย์ปัญหาเป็นสถานการณ์ท่ีแปลกใหม่ ไม่สามารถหาคาตอบได้ในทันที ทันใด ผู้แก้ปัญหาจะต้องวิเคราะห์อย่างเต็มท่ีเพ่ือท่ีจะให้ได้คาตอบ ผู้แก้ปัญหาจะต้องมีแรงขับท่ีสร้าง พลังในการคิด ซ่ึงแรงขับนี้ ได้แก่ เจตคติ ความสนใจ แรงจูงใจใฝ่สัมฤทธ์ิ ความสาเร็จ ตลอดจนความ ซาบซ้ึงในการแก้ปัญหา ซ่ึงปัจจัยเหล่าน้ีจะต้องใช้ระยะเวลานานในการปลูกฝังให้เกิดขึ้น โดยผ่าน กจิ กรรมต่างๆ ในการเรยี นการสอน 5. ความยืดหยนุ่ ผ้แู ก้ปัญหาท่ดี รต้องมคี วามยดื หยุ่นในการคิด คือไม่ยึดติดในรูปแบบที่ตนเอง ค้นุ เคย แต่จะยองรบั รปู แบบและวธิ กี ารใหมๆ่ อยู่เสมอ ความยดื หยุ่นเป็นความสามารถในการปรับประ บวนการคิดแก้ปัญหาโดยบูรณาการความเขา้ ใจ ทกั ษะและความสามารถในการแก้ปญั หา ตลอดจนแรง ขบั ทม่ี ีอยู่เช่ือมโยงเข้ากบั ถานการณข์ องปัญหาใหม่ สร้างความรู้ที่สามารถปรับใช้เพื่อแก้ปัญหาได้อย่าง มีประสทิ ธภิ าพ 6.2.3 ประเภทของปัญหาทางคณติ ศาสตร์ จากองค์ประกอบในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ นักการศึกษาทางด้านคณิตศาสตร์ได้แบ่ง ประเภทของปัญหาทางคณติ ศาสตรโ์ ดยใช้เกณฑ์การแบง่ แบบต่างๆ ซ่งึ สามารถสรุปไดด้ ังนี้ 1. พจิ ารณาจากจุดประสงคข์ องปัญหาทางคณติ ศาสตร์ สามารถแบ่งได้ออกเป็น 2 ประเภท (Polya. 1985: 123-128) คอื ปัญหาให้ค้นหา (Problems to Find an answer) เป็นปัญหาในการค้นหาส่ิงท่ี ต้องการ ซ่ึงอาจเป็นปัญหาในเชิงทฤษฎี หรือปัญหาในเชิงปฏิบัติ อาจเป็นรูปธรรมหรือนามธรรม ส่วน สาคัญของปัญหาน้แี บ่งเป็น 3 สว่ นคือ สิ่งทีต่ ้องการหา ข้อมูลทีก่ าหนดให้ และเงอื่ นไข ปัญหาให้พิสูจน์ (Problems to Prove) เป็นปัญหาที่ให้แสดงอย่างสมเหตุสมผล ว่า ข้อความทก่ี าหนดเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ส่วนสาคัญของปัญหาน้ีแบ่งเป็น 2 ส่วนคือ สมมติฐานหรือส่ิงที่ กาหนดให้ และผลสรุปหรือสง่ิ ที่ตอ้ งพิสจู น์ 2. พิจารณาจากตัวผู้แก้ปัญหาและความซับซ้อนของปัญหา แบ่งปัญหาทางคณิตศาสตร์ ออกเป็น 2 ประเภท (Baroody. 1993: 34-36) คอื ปัญหาธรรมดา (Routine Problem) หรือปัญหาอย่างง่าย หรือปัญหาช้ันเดียว (Simple (one step) Translation Problems) เป็นปัญหาท่ีใช้ในการดาเนินการทางคณิตศาสตร์ อย่างเดยี ว และสามารถแก้ปัญหาน้นั โดยตรง ปัญหาไมธ่ รรมดา (Non routine Problem) แบง่ ออกเป็น 7 ลกั ษณะดังน้ี

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 200 1) ปัญหาซับซ้อนหรือปัญหาหลายชั้น (Complex (Multistep) Translation Problems) เป็นปัญหาท่ีจะต้องประยุกต์ใช้ในการดาเนินทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่ 2 การดาเนินการข้ึน ไปในการแกป้ ัญหา 2) ปัญหาท่ีต้องปรับใช้สิ่งอื่นของปัญหา (Other Modification of Translation Problem) เป็นการรวบรวมปัญหาหลายชั้นและชั้นเดียวแล้วเปลี่ยนเป็นวิธีการอื่นๆ เพ่ือต้องการ ความคิดวิเคราะห์ได้แก่ ปัญหาท่ีต้องการหาองค์ประกอบท่ีผิด หรือสิ่งท่ีผิดของโจทย์ปัญหาที่ต้องการ ประยุกต์คาตอบปัญหาที่ให้ข้อมูลมากๆ หรือข้อมูลน้อยๆ หรือข้อมูลที่ไม่ถูกต้อง ปัญหาท่ีสามารถ แก้ปัญหาได้มากกว่า 1 วิธี ปัญหาที่ต้องการคาตอบมากกว่า 1 คาตอบ ปัญหาที่ต้องใช้ความอดทนใน การแก้ปัญหา 3) ปญั หากระบวนการ (Process Problem) เปน็ ปัญหาท่ีตอ้ งใชย้ ุทธวิธตี า่ งๆ ในการ แกป้ ญั หา 4) ปัญหาปริศนา (Puzzle Problem) เป็นปัญหาท่ีมีเทคนิค และต้องการความ ลึกซงึ้ เปน็ ปญั หาเกี่ยวกับกลอุบาย ปญั หาประเภทนีจ้ ะทาใหเ้ กิดความสนกุ สนานและทา้ ทาย 5) ปัญหาเฉพาะที่ไม่ระบุเป้าหมาย (Non goal-Specific Problem) ปัญหาประเภท น้ี มลี ักษณะเปน็ ปญั หาปลายเปิด ซึง่ ไมต่ ้องการหาคาตอบหรือเงื่อนไขคาตอบ 6) ปัญหาประยุกต์ (Applied Problem) ขยายจากสถานการณ์ในชีวิตจรงิ 7) ปัญหายทุ ธวธิ ี (Strategy Problem) กาหนดจุดมงุ่ หมายทจ่ี ะตอ้ งแก้ผู้เรียนบางคน อาจจะมุ่งไปที่คาตอบว่าถูกต้องหรือไม่ แต่ปัญหาประเภทน้ีจะช่วยระบุหรือเน้นยุทธวิธีที่จะช่วยทาให้ เข้าใจปญั หา และกระบวนการในการแกป้ ญั หา 3. พิจารณาตามลักษณะของปัญหา แบ่งปัญหาทางคณิตศาสตร์เป็น 3 ลักษณะ (Bitter, Hatfield and Edwards. 1989: 37) คือ ปัญหาปลายเปิด (Open - Ended) เป็นปัญหาที่มีจานวนคาตอบท่ีเป็นไปได้หลาย คาตอบ ปัญหาเหลา่ นมี้ องว่ากระบวนการแกป้ ญั หาเปน็ ส่งิ สาคัญมากกวา่ คาตอบ ปัญหาใหค้ น้ พบ (Discovery) ปัญหาประเภทน้จี ะให้คาตอบในข้ันสุดท้าย แต่จะมีวิธีการ ที่หลากหลายใหผ้ ้เู รยี นใชใ้ นการหาคาตอบ ปัญหาที่กาหนดแนวทางในการค้นพบ (Guided discovery) เป็นปัญหาที่เป็น ลักษณะร่วมของปัญหา มีเง่ือนไขปัญหา และบอกทิศทางในการแก้ไขปัญหา ผู้เรียนไม่รู้สึกหมดหวังใน การหาคาตอบ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 201 4. พิจารณาจากเป้าหมายของการฝึก แบ่งปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ 6 ประเภท (Charles and Lester. 1982: 6-10) ดังนี้ ปัญหาที่ใชฝ้ ึก (Drill exercise) เป็นปญั หาทใี่ ช้ฝกึ ขั้นตอนวธิ ี และการคานวณเบ้ืองตน้ ปัญหาข้อความอย่างง่าย (Simple translation problem) เป็นปัญหาข้อความที่เคย พบ เช่น ปัญหาในหนังสือเรียน ต้องการฝึกให้คุ้นเคยกับการเปล่ียนประโยคภาษาเป็นประโยค สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เป็นปัญหาข้ันตอนเดียวมุ่งให้มีความเข้าใจมโนมติทางคณิตศาสตร์ และ ความสามารถในการคดิ คานวณ ปัญหาข้อความท่ีซับซ้อน (Complex translation problem) คล้ายกับปัญหา ขอ้ ความอย่างงา่ ยแตเ่ พมิ่ เป็นปญั หาทีม่ ี 2 ขน้ั ตอนหรือมากกว่า หรอื มากกว่า 2 การดาเนนิ การ ปัญหาท่ีเป็นกระบวนการ (Process problem) เป็นปัญหาท่ีไม่เคยพบมาก่อน ไม่ สามารถเปลี่ยนเป็นประโยคทางคณิตศาสตร์ได้ทันที จะต้องจัดปัญหาให้ง่ายข้ึน หรือแบ่งเป็นปัญหา ยอ่ ยๆ แลว้ หารปู แบบทั่วไปของปัญหา ซ่ึงนาไปสู้การคิดและการแก้ปัญหาเป็นการพัฒนายุทธวิธีต่างๆ เพือ่ ความเข้าใจ วางแผนการแกป้ ญั หาและการประเมนิ ผลคาตอบ ปัญหาการประยุกต์ (Applied problem) เป็นปัญหาที่ต้องใช้ทักษะความรู้ มโนมติ และการดาเนินการทางคณิตศาสตร์ การได้มาซึ่งคาตอบต้องอาศัยวิธีทางคณิตศาสตร์เป็นสาคัญ เช่น การจัดกระทา การรวบรวมและการแทนข้อมูล การตัดสินใจเกี่ยวกับข้อมูลในเชิงปริมาณ เป็นปัญหาท่ี เปิดโอกาสให้ผู้เรียนได้ใช้ทักษะกระบวนการ มโนมติ ข้อเท็จจริงในการแก้ปัญหาในชีวิตจริง ซึ่งทาให้ ผ้เู รยี นได้เหน็ ประโยชนแ์ ละเหน็ คุณคา่ ของคณิตศาสตร์ในสถานการณ์ชวี ิตจรงิ ปัญหาปริศนา (Puzzle problems) เป็นปัญหาท่ีบางคร้ังได้คาตอบจากการเดาสุ่มไม่ จาเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาบางคร้ังต้องใช้เทคนิคเฉพาะ บางครั้งต้องใช้วิธีท่ีไม่ธรรมดา หรือต้องใช้ความร้ทู ่ีลกึ ซ้ึง ปัญหาประเภทนจ้ี ะเปิดโอกาสให้ผเู้ รยี นได้ใช้ความคดิ สรา้ งสรรค์ และมีความ ยดื หยนุ่ ในการแก้ปญั หา และเปน็ ปญั หาทม่ี องไดห้ ลายมมุ มอง 5. พิจารณาจากภาระงานคณิตศาสตร์ สามารถแบ่งประเภทของงานและปัญหาทาง คณิตศาสตร์ได้ตามภาพประกอบ (Foong Pui Yee. 2007: 56) แบ่งประเภทของงานและปัญหาทาง คณิตศาสตร์ พบว่า งานทางคณิตศาสตร์แบ่งได้ออกเป็น 2 กลุ่ม คือ โจทย์ที่คุ้นเคย และปัญหา จากท่ี ไดก้ ลา่ วมาแลว้ ข้างตน้ ปญั หาจะไม่ร่วมเอาแบบฝึกหัดในแบบเรียนที่ใช้ฝึกตามวิธีการ เช่น โจทย์ฝึกการ คานวณ ซึ่งปัญหาทางคณิตศาสตร์แบ่งออกได้ 2 กลุ่มใหญ่ๆ คือ ปัญหาท่ีมีโครงสร้างปลายปิด และ ปัญหาท่ีมีโครงสร้างปลายเปิด ทั้งน้ีปัญหาแบบต่างๆ มีบทบาทหน้าที่แตกต่างกันออกไปในการเรียน การสอนคณิตศาสตร์ เช่น ในการสอนเพ่ือแก้ปัญหา (Teaching for problem solving) การสอน เกี่ยวกับการแก้ปัญหา (Teaching about problem solving) หรือการสอนที่ควบคู่ไปกับการ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 202 แก้ปัญหา (Teaching via problem solving) เป็นต้น ซ่ึงปัญหาทางคณิตศาสตร์ในแต่ละประเภทมี รายละเอียดดงั นี้ ปัญหาท่ีมีโครงสร้างปลายปิด (Closed Structure Problems) เป็นปัญหาท่ีมีการวาง โครงสร้างที่ชดั เจน นนั้ คือคาตอบทีถ่ ูกตอ้ งคาตอบหน่ึงของปัญหามักจะถกู กาหนดขึ้นมาได้จากแนวทาง หรือวิธีการในการแก้ปญั หาทีเ่ ฉพาะเจาะจงบางอย่างจากข้อมูลที่จาเป็นซ่ึงกาหนดมาให้ในสถานการณ์ ปัญหา ปัญหาประเภทน้ีประกอบไปด้วย โจทย์ท้าทายในเน้ือหาเฉพาะ และปัญหากระบวนการท่ีเน้น การใชย้ ุทธวิธี ในการจดั การกับปัญหาประเภทน้ีผูแ้ กม้ ักตอ้ งใช้การคดิ เพอ่ื มุง่ สู่ผลลพั ธ์มากกว่าการสร้าง ทกั ษะกระบวนการบางอยา่ งหรือขน้ั ตอนสาคัญบางประการในวิธกี ารท่ีได้มาซง่ึ คาตอบ 1) โจทย์ท้าทายในเนื้อหาเฉพาะ (Challenge Sums/content-specific) มักมี บทบาทในการสอนเพ่ือแก้ปัญหา (Teaching for problem solving) โดยเน้นการเรียนรู้คณิตศาสตร์ สาหรับมุ่งเอาไปใช้ประโยชน์ในการแก้ปัญหาภายหลังจากการได้เรียนรู้เนื้อหาเฉพาะทางคณิตศาสตร์ ไปแล้ว โจทย์ประเภทน้ีมักนามาใช้เพื่อประเมินทักษะการคิดวิเคราะห์ข้ันสูงข้ึน ซึ่งผู้สอนมักสอน ยุทธวิธีเฉพาะที่เรียกว่า การสร้างตัวแบบ (Model method) ให้กับนักเรียนเพื่อแก้โจทย์ปัญหาต่างๆ ทมี่ ีโครงสรา้ งคล้ายๆ กัน ไปส่หู ัวขอ้ ทางคณติ ศาสตรท์ เ่ี กย่ี วขอ้ งกนั เช่น ชาวนาเลย้ี งปลาไวใ้ นบอ่ 1 ใน 3 ของปลาในบ่อเป็นปลาดกุ 2 ใน 9 ของปลาในบ่อเป็นปลาช่อน และที่เหลือเป็นปลาหมอ จานวน 40 ตัว อยากทราบว่าชาวนาเล้ียงปลาไว้ในบ่อทุกชนิดรวมทั้งหมดก่ี ตวั 2) ปัญหากระบวนการที่เน้นการใช้ยุทธวิธี (Process problems/heuristics- strategies) มักมีบทบาทในการสอนเกี่ยวกับการแก้ปัญหา (Teaching about problem solving) ซ่ึงเน้นการใช้ยุทธวิธีแบบต่างๆ นาเข้าสู่การสอนและการแก้ปัญหาที่ไม่คุ้นเคย กล่าวคือ ส่วนใหญ่เป็น ปัญหาทไ่ี มไ่ ด้ช้ีเฉพาะเจาะจงลงไปว่าอยู่ในเนื้อหาหรือบทเรียนทางคณิตศาสตร์เรื่องใด ปัญหาประเทนี้ จะมีกรณีต่างๆ มากมายเพ่ือให้ผู้เรียนได้จัดการและพิจารณา โดยผู้สอนใช้เป็นประโยชน์สาหรับ จุดมุ่งหมายเพ่ือแสดงกระบวนการต่างๆ ที่พัฒนาการคิดและยุทธวิธีการแก้ปัญหาท่ีหลากหลาย เช่น การมองหาแบบรปู การวาดภาพประกอบ เป็นต้น ทั้งน้ีความรู้ด้านเนื้อหาคณิตศาสตร์ท่ีจาเป็นสาหรับ ใช้ในการแก้ปัญหาประเภทนี้จึงควรใช้ประสบการณ์ก่อนหน้าน้ีท่ีมีอยู่ของผู้เรียน และครูครูสอนก็ สามารถบูรณาการยทุ ธวธิ ีต่างๆ เหล่าน้ีเขา้ ไปในการแก้ปญั หาทีส่ ัมพันธ์กบั เนอ้ื หาได้ เชน่ เกษตรกรเล้ียงไก่และหมู นับหัวรวมกันได้ 16 หัว นับขารวมกันได้ 40 ขา อยากทราบว่า เกษตรกรเลี้ยงไก่และหมูอย่างละกตี่ วั ปัญหาท่ีมีโครงสร้างปลายปิด (Closed Structure Problems) เป็นปัญหาที่มี โครงสร้างไม่ค่อยชัดเจน กล่าวคือ อาจขาดข้อมูลหรือเง่ือนไขบางอย่างในตัวปัญหาและไม่ได้มี เป้าหมายท่ีจะกาหนดขั้นตอนวิธีดาเนินการแก้ปัญหาท่ีตายตัวที่จะรับประกันถึงการได้มาซ่ึงคาตอบท่ี

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 203 ถูกต้อง ปัญหาประเภทนี้แบ่งออกเป็น 3 ประเภท ได้แก่ ปัญหาที่ประยุกต์ใช้ในชีวิตจริง ปัญหาที่เน้น การสารวจ และคาถามปลายเปดิ แบบส้นั 1) ปัญหาท่ีประยุกต์ใช้ในชีวิตจริง การแก้ปัญหาจากสถานการณ์ต่างๆ ใน ชีวิตประจาวันมักเริ่มต้นจากสถานการณ์ของโลกแห่งความเป็นจริงของแต่ละบุคคล แล้วมองหา ความสมั พนั ธท์ ่เี กีย่ วขอ้ งกันภายใต้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ เชน่ การแข่งขันฟุตบอลโลกที่ประเทศสเปน ระหว่าง ไทยกับบราซิล แข่งขันเวลา 17.00 น. (เวลา ท้องถ่ิน) ตรงกับประเทศไทยเวลาใด (ประเทศไทย GMT +7.00 และประเทศสเปน GMT +1.00) 2) ปัญหาท่ีเน้นการสารวจ โดยทั่วไปแล้วเรามักจะนากิจกรรมต่างๆ ที่มีลักษณะ แบบปลายเปิดให้นักเรียนได้สารวจ และขยายความรู้ในเน้ือหาคณิตศาสตร์ บางครั้งการสารวจก็เป็น ส่วนขยายของการแก้ปัญหาได้เมื่อกระบวนการเป็นแบบปลายเปิด ซ่ึงครูผู้สอนอาจพัฒนาการสารวจ ทางคณิตศาสตร์ออกไปได้ในแนวทางต่างๆ ท่ีหลากหลายสาหรับนักเรียนที่มีความสามารถท่ีแตกต่าง กัน ปัญหาประเภทนี้เปิดโอกาสให้นักเรียนได้พัฒนาระบบของการสร้างผลลัพธ์จากการสารวจด้วย ตนเอง สร้างตารางข้อมูลเพื่อมองหาความสัมพันธ์และแบบรูปด้วยตนเอง สร้างข้อความคาดการณ์ ตรวจสอบ ตัดสินใจ และนาเสนอในรูปท่ัวไปของส่ิงที่ค้นพบด้วยตนเอง นักเรียนควรได้รับการกระตุ้น ให้คิดด้วยยุทธวิธีแบบอ่ืนๆ โดยการใช้คาถาม เช่น จะเกิดอะไรขึ้น ถ้า... แล้วให้นักเรียนสังเกตการณ์ เปลยี่ นแปลงจากส่งิ ท่เี กิดขน้ึ เชน่ กาหนดให้ 10X10 = 102, 10X10X10 = 103 และ 10X10X10X…X10 = 10n ถา้ m2 = 444,444,444,888,888,889 เมอื่ m เป็นจานวนนบั แลว้ ผลบวกของเลขโดดของ m มีคา่ เป็นเทา่ ใด 3) คาถามปลายเปิดแบบส้ัน ครูผู้สอนสามารถใช้คาถามปลายเปิดแบบสั้นใน บทบาทของการสอนที่ควบคู่ไปกับการแก้ปัญหา (Teaching via problem solving) เพ่ือพัฒนาความ เข้าใจเชิงลึกของแนวคิดทางคณิตศาสตร์และการส่ือสารระหว่างกลุ่มของนักเรียน ลักษณะพิเศษของ คาถามปลายเปิดแบบสั้นนี้คือเป็นคาถามที่มีคาตอบได้มากมายและสามารถแก้ปัญหาได้ในหลายๆ แนวทาง ตัวคาถามไม่สลับซับซอ้ นและยุง่ ยากมากจนเกนิ ไป แตม่ โี ครงสร้างแบบเชิงเดียวท่ีเข้าใจได้ง่าย ดงั ตารางการเปรยี บเทยี บคาถามทค่ี ุ้นเคย กับคาถามปลายเปิดแบบสน้ั คาถามที่ค้นุ เคย 3 X 4 มคี า่ เทา่ กบั เท่าไร คาถามปลายเปดิ แบบสนั้ จงหาจานวนสองจานวนทค่ี ูณกันได้ 12 จากแนวคิดเกีย่ วกับประเภทของปัญหาดังกลา่ วขา้ งตน้ สามารถสรุปได้ว่า ครูผู้สอนควรเข้าใจถึง การใช้ปัญหาประเภทต่างๆ ตามบทบาทหน้าท่ีท่ีแตกต่างกันออกไปในการสอนคณิตศาสตร์ ได้แก่ ใน การสอนเพ่ือแกป้ ัญหา (Teaching for problem solving) จะใชป้ ญั หาประเภท ปัญหากระบวนการท่ี

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 204 เนน้ ใช้ยุทธวิธี หรือ ปัญหาที่ประยุกต์ใช้ในชีวิตจริง หรือ ปัญหาที่เน้นการสารวจ และการสอนที่ควบคู่ ไปกับการแกป้ ญั หา (Teaching via problem solving) จะใช้ปญั หาประเภทคาถามปลายเปิดแบบสนั้ 6.3 กระบวนการและขั้นตอนการแกป้ ญั หาทางคณติ ศาสตร์ 6.3.1 กระบวนการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ กระบวนการในการแกป้ ญั หาทางคณิตศาสตร์ เป็นการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ดาเนินการ อย่ามีระบบแบบแผน มีกระบวนการขั้นตอนที่ชัดเจนในการแก้ปัญหา โดยนักการศึกษาหลายท่านได้ นาเสนอการใช้กระบวนการในการแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ ดงั นี้ กระบวนการแก้ปัญหาที่ยอมรับและนามาใช้กันอย่างแพร่หลาย คือ กระบวนการแก้ปัญหา ตามแนวคิดของ โพลยา (Polya. 1957: 16-17) ได้เสนอขั้นตอนกระบวนการแก้ปัญหา ประกอบด้วย ข้ันตอนสาคัญ 4 กระบวนการ คือ กระบวนการท่ี 1 ทาความเข้าใจปัญหา (Understand the Problem) กระบวนการที่ 2 วางแผนการแก้ปัญหา (Devise a Plan) กระบวนการที่ 3 ดาเนินการ ตามแผน (Carry out the Plan) และกระบวนการท่ี 4 ตรวจสอบผล (Look Back) ภาพที่ 6.2 กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 205 (Polya’s Problem-Solving Cycle) ทม่ี า : http://stagejd.client.cosmicdevelopment.com/wp-content/plugins/fb-instant- articles/vendor/facebook/graph-sdk/09-2010.polya-4-step-problem-solving- model_3070.php กระบวนการท่ี 1 ทาความเข้าใจปัญหา (Understand the Problem) ขั้นตอนน้ีต้อง เขา้ ใจว่าโจทยถ์ ามอะไร โจทยก์ าหนดอะไรมาให้ และเพียงพอสาหรับการแก้ปัญหาน้ันหรือไม่ สามารถ สรุปปัญหาออกมาเป็นภาษาของตนเองได้ ถ้ายังไม่ชัดเจนในโจทย์อาจใช้การวาดรูปและแยกแยะ สถานการณ์หรอื เงื่อนไขในโจทย์ออกเป็นสว่ นๆ ซงึ่ จะชว่ ยทาใหเ้ ข้าใจปญั หามากขนึ้ กระบวนการท่ี 2 วางแผนการแก้ปัญหา (Devise a Plan) ข้ันตอนนี้เป็นการค้นหาความ เชื่อมโยงหรือความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลหรือสิ่งที่โจทย์กาหนดมาให้เพ่ือกาหนดแนวทางหรือแผนใน การแก้ปญั หาถา้ หากไมส่ ามารถหาความสมั พันธไ์ ด้ กค็ วรอาศยั หลีกการของการวางแผนการแก้ปัญหา ดังน้ี 1. เป็นโจทย์ปัญหาที่เคยประสบมาก่อน หรือมีลักษณะคล้ายคลึงกับโจทย์ที่เคยแก้มาก่อน หรือไม่ 2. รู้จักโจทยป์ ญั หาทเ่ี ก่ียวข้องหรือสมั พันธ์กบั โจทย์ท่ีจะแก้หรือไม่เพียงใดและรู้จักทฤษฏีที่จะ แกห้ รอื ไม่ 3. พิจารณาสิ่งท่ีไม่รู้ในโจทย์และพยายามคิดถึงปัญหาที่คุ้นเคย ซ่ึงมีส่ิงท่ีไม่รู้เหมือนกัน และ พิจารณาดวู า่ จะใชว้ ธิ กี ารแกป้ ญั หาทเ่ี คยพบมาก่อนมาใชก้ ับโจทย์ทกี่ าลังจะแก้ไดห้ รือไม่ 4. ควรอา่ นโจทยป์ ญั หาอีกครง้ั และวิเคราะหเ์ พอ่ื ดวู า่ แตกต่างจากปัญหาที่เคยพบหรือไม่ กระบวนการที่ 3 ดาเนินการตามแผน (Carry out the Plan) ขั้นตอนนี้ต้องการให้ นักเรียนลงมือปฏิบัติตามแนวทางหรือแผนท่ีวางไว้ เพ่ือให้ได้คาตอบของปัญหาด้วยการรู้จักเลือก วิธีการคิดคานวณ สมบัติ กฎ หรือสูตรที่เหมาะสม โดยเร่ิมจากการตรวจสอบความเป็นไปได้ของ แผน เพิม่ เตมิ รายละเอียดตา่ งๆ ของแผนให้ชัดเจน แลว้ ลงมือปฏิบัติจนกระทั่งสามารถหาคาตอบได้ กระบวนการท่ี 4 ตรวจสอบผล (Look Back) ขั้นตอนน้ีต้องการให้มองย้อนกกลับไปยัง คาตอบที่ได้มา เพื่อเป็นการตรวจสอบเพ่ือให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ที่ได้ถูกต้องสมบูรณ์ โดยเร่ิมจากการ ตรวจสอบความถูกต้อง ความสมเหตุสมผลของคาตอบและยุทธวิธีแก้ปัญหาท่ีใช้ แล้วพิจารณาว่ามี คาตอบหรือยทุ ธวธิ ีแกป้ ญั หาอย่างอน่ื อีกหรือไม่ กระบวนการแก้ปญั หาของโพลยา ท้งั 4 กระบวนการขา้ งต้นที่นาเสนอ ได้มีการนาไปใช้ในการ เรียนการสอนอย่างกว้างขวาง ปรากฏอยู่ในหนังสือเรียน แบบฝึกหัด และตาราต่างๆ ท่ีเก่ียวกับการ แก้ปัญหา แต่หลายคนมองว่าขั้นตอนการแก้ปัญหาของโพลยาจะต้องดาเนินการทีละขั้น ทาเรียง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 206 ตามลาดับ ไม่สามารถข้ามข้ันตอนได้ และเป็นกระบวนการท่ีเน้นการได้คาตอบมากกว่ากระบวนการ แก้ปัญหา (สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2551: 11) ต่อมาวิลสันและคณะ จึง ได้เสนอแนะกรอบแนวคิดเก่ียวกับกระบวนการแก้ปัญหาท่ีแสดงความเป็นพลวัต มีลาดับไม่ ตายตัว สามารถวนไปวนมาได้ ภาพที่ 6.3 กระบวนการแกป้ ัญหาท่เี ป็นพลวัตตามแนวคิดของวลิ สันและคณะ ที่มา : Wilson; et al. 1993. Mathematical Problem Solving. In Research Ideas for the Classroom: High School. P.61. วิลสัน และคณะ (Wilson; et al. 1993: 60-62) ได้ทาการปรับปรุงกระบวนการแก้ปัญหา 4 ข้ันตอน ของโพลยา โดยเสนอเปน็ แนวคดิ แบบพลวตั ร ดังน้ี เม่ือนักเรียนเผชิญสถานการณ์ท่ีเป็นปัญหา นกั เรยี นจะต้องเร่มิ ทาความเข้าใจกบั ปญั หาก่อน หลังจากน้ันวางแผนแก้ปัญหา พร้อมทั้งกาหนดยุทธวิธี ที่เหมาะสมในการแก้ปัญหานั้น แล้วดาเนินการแก้ปัญหาตามแผนที่วางไว้จนกระทั้งสามารถหาคาตอบ ได้ สดุ ทา้ ยพจิ ารณาความถูกต้อง ความสมเหตุสมผลของคาตอบที่ได้ และยุทธวิธีที่ใช้แก้ปัญหา สาหรับ ทิศทางของลูกศรน้ัน เป็นการแสดงการพิจารณาหรือตัดสินใจท่ีจะเคล่ือนการกระทาจากขั้นตอนหนึ่ง ไปสู่อีกข้ันตอนหนึ่ง หรือพิจารณาย้อนกลับไปข้ันตอนก่อนหน้าเม่ือมีปัญหาหรือข้อสงสัย เช่น เมื่อ นักเรียนทาการแก้ปัญหาในข้ันตอนที่ 1 คือ ขั้นทาความเข้าใจปัญหา และคิดว่ามีความเข้าใจปัญหาดี แลว้ ก็เคลอ่ื นการกระทาไปส้ขู นั้ วางแผนการแกป้ ัญหาหรือในขณะทน่ี ักเรียนดาเนินการตามแผนท่ีวางไว้ ในขั้นตอนท่ี 3 แต่ไม่สามารถดาเนินการต่อไปได้ นักเรียนสามารถย้อนกลับไปเริ่มวางแผนใหม่ใน ขั้นตอนที่ 2 หรือทาความเข้าใจกับปัญหาใหม่อีกครั้งในข้ันตอนที่ 1 ก็ได้ เน่ืองจากกระบวนการ แก้ปัญหาตามแนวคิดของวิลสันและคณะ เป็นการดาเนินการที่เกิดข้ันได้ในการแก้ปัญหาในชีวิตจริง ดังน้ันนักเรียนจึงไม่ต้องเร่ิมต้นใหม่ในข้ันตอนของการทาความเข้าใจปัญหาเสมอไป เรียกกระบวนการ แก้ปัญหาตามแนวคิดของวลิ สันและคณะ ว่าเป็นกระบวนการแก้ปญั หาทเี่ ปน็ พลวัต

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 207 6.3.2 ขัน้ ตอนการแกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตร์ นอกจากน้ียงั มนี ักการศึกษาหลายท่านได้ ออกแบบข้ันตอนสาหรบั การแกป้ ัญหา สามารถสรุป ได้ ดงั นี้ ออสบอรน์ (Osborn. 1989) ได้เสนอขน้ั ตอนการแก้ปัญหาเชิงสรา้ งสรรคไ์ วด้ ังน้ี 1) ขน้ั ตอนคน้ หาความจรงิ (Fact Finding) โดยการใชค้ าถาม “ใคร” 2) ข้ันตอนคน้ หาปัญหา (Problem Finding) โดยระบนุ ิยามของปัญหา 3) ข้ันตอนค้นหาความคิดในการแก้ปญั หา (Idea Finding) โดยการระดมสมอง 4) ขั้นตอนคน้ หาคาตอบ (Solution Finding) โดยใช้ตารางประเมินผล 5) ขั้นตอนยอมรับนาไปปฏิบัติ (Acceptance Finding or Implementation) ครูลิค และรูดนิค (Krulik; & Rudnick. 1993: 39) กล่าวถึง ลาดับข้ันตอนของการแก้ปัญหา ทางคณติ ศาสตร์ 5 ขน้ั ตอน สามารถสรปุ ไดด้ งั น้ี ข้ันที่ 1 การอ่านและคิด (Read and Think) เป็นขั้นที่นักเรียนได้อ่านข้อปัญหาตีความ ภาษา สรา้ งความสมั พันธ์ และระลึกถึงสถานการณ์ท่ีคล้ายคลึงกัน ซึ่งโดยทั่วไปแล้วปัญหาจะประกอบ ไปด้วยข้อเท็จจริงและคาถามอยู่ร่วมกันอาจทาให้เกิดความสับสนได้ ในข้ันนี้นักเรียนจะต้องแยกแยะ ข้อเท็จจริงและข้อคาถาม มองภาพของเหตุการณ์ บอกส่ิงที่กาหนดและส่ิงท่ีต้องการ และกล่าวถึง ปญั หาในภาษาขอตนเองให้ได้ ขั้นท่ี 2 การสารวจและวางแผน (Explore and Plan) ขั้นตอนนี้ผู้เรียนจะต้องวิเคราะห์ และสังเคราะห์ข้อมูลท่ีมีอยู่ในปัญหา รวบรวมข้อมูล พิจารณาข้อมูลที่มีอยู่เพียงพอหรือไม่ เชื่อมโยง ข้อมูลเข้ากับความรู้เดิม เพ่ือหาคาตอบที่เป็นไปได้ แล้ววางแผนเพ่ือแก้ปัญหา โดยนาเอาข้อมูลท่ีมีอยู่ มาสรา้ งเป็นแผนภาพหรอื รูปแบบต่างๆ เชน่ แผนผัง ตาราง กราฟ หรอื วาดภาพประกอบ ข้นั ท่ี 3 การเลือกวิธีการแก้ปัญหา (Select a Strategy) ขั้นตอนน้ีผู้เรียนต้องเลือกวิธีการ ท่ีเหมาะสมท่สี ดุ แต่ละบุคคลจะเลือกใช้วิธีการแก้ปัญหาท่ีแตกต่างกันไป และในการแก้ปัญหาหนึ่งอาจ มกี ารนาเอาหลายวิธกี ารแก้ปญั หามาประยุกตใ์ ชเ้ พอ่ื แก้ปัญหานน้ั กไ็ ด้ ข้ันที่ 4 การค้นหาคาตอบ (Find an Answer) ขั้นตอนน้ีเมทื่อเข้าใจกับปัญหาและเลือก วิธีการในการแก้ปัญหาได้แล้ว นักเรียนควรจะประมาณคาตอบท่ีเป็นไปได้ ในขั้นน้ีนักเรียนควรลงมือ ปฏิบัติด้วยวิธีการทางคณิตศาสตร์ให้ได้มาซึ่งคาตอบท่ีถูกต้อง ซ่ึงจะต้องอาศัยการประมาณค่า การใช้ ทกั ษะการคดิ คานวณ การใชท้ ักษะทางพีชคณิต และการใชท้ กั ษะทางเรขาคณติ ขั้นท่ี 5 การมองย้อนกลับ (Reflect and Extend) ขั้นตอนน้ีถ้าคาตอบที่ได้ไม่ใช่ผลท่ี ต้องการก็ต้องย้อนกลับไปยังกระบวนการเลือกวิธีการแก้ปัญหาเพื่อหาวิธีการที่ใช้ในการหาคาตอบที่ ถูกต้องใหม่ และนาเอาวิธีการท่ีได้มาซึ่งคาตอบที่ถูกต้องไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาในสถานการ ณ์ อ่ืนต่อไป ในข้ันตอนน้ีประกอบด้วย การตรวจสอบ การค้นหาทางเลือกท่ีนาไปสู่ผลลัพธ์ การมอง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 208 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อเท็จจริงและคาถาม การขยายผลลัพธ์ที่ได้ การพิจารณาผลลัพธ์ที่ได้ และการ สร้างสรรค์ปญั หาท่ีนา่ สนใจจากปญั หาเดิม ยพุ ิน พิพิธกุล (2530: 136) ได้นาเสนอแผนผงั ของลาดับขน้ั ของการแกป้ ญั หาทางคณติ ศาสตร์ ภาพท่ี 6.4 ลาดบั ขัน้ การแกป้ ัญหา (ยพุ ิน พิพธิ กุล) ทม่ี า : ยุพนิ พิพธิ กุล, การสอนคณิตศาสตร์. (กรุงเทพฯ: ภาควิชาการมธั ยมศึกษา คณะครศุ าสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลยั . ถ่ายเอกสาร. 2530), หนา้ 136. สิริพร ทิพย์คง (2544: 97) ได้กล่าวถึงการแก้ปัญหาว่า การแก้ปัญหาเป็นหัวใจของการเรียน การสอนคณิตศาสตร์เพราะในการแก้ปัญหา ผู้เรียนต้องใช้ความคิดรวบยอด ทักษะการคิดคานวณ หลักการ กฎ หรือสูตร แต่ผู้เรียนส่วนใหญ่มักไม่ประสบผลสาเร็จ เนื่องจากผู้เรียนมีปัญหาในเร่ือง ทักษะการอ่าน การทาความเข้าใจกับโจทย์ และการวิเคราะห์โจทย์ ซ่ึงในการเร่ิมพัฒนาผู้เรียนให้มี ทักษะกระบวนการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ผู้สอนต้องสร้างพื้นฐานให้ผู้เรียนเกิดความคุ้นเคยกับ กระบวนการแกป้ ัญหาซ่งึ มอี ยู่ 4 ขน้ั ตอน ดงั น้ี 1) การทาความเขา้ ใจปญั หาหรอื วิเคราะห์ปัญหา ผู้เรียนต้องแยกแยะว่าโจทย์กาหนดอะไรมา ให้ โจทย์ต้องการใหห้ าอะไรหรือโจทยถ์ ามอะไร หรือโจทยต์ ้องการพิสจู นอ์ ะไร

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 209 2) การวางแผนแกป้ ัญหา เป็นขั้นตอนทีส่ าคญั ทส่ี ดุ ซง่ึ ผเู้ รียนต้องอาศัยทักษะในการนาความรู้ หลักการ กฎ สูตร หรือทฤษฏีท่ีเรียนรู้มาแล้วมาใช้ เช่น การเขียนภาพลายเส้น การเขียนตาราง แผนภาพ ช่วยในการแก้ปัญหา บางครั้งในบางปัญหาอาจใช้ทักษะในการประมาณค่า การคาดเดา คาตอบมาประกอบด้วย 3) การดาเนินการแก้ปัญหาตามแผนที่ได้วางแผนไว้ ซ่ึงอาจใช้ทักษะการคิดคานวณ หรือการ ดาเนินการทางคณิตศาสตร์ การพสิ ูจน์ 4) การตรวจสอบหรือการมองย้อนกลับ มีวิธีการอื่นในการหาคาตอบอีกหรือไม่ตลอดจนการ พจิ ารณาความสมเหตุสมผลของคาตอบ ทศิ นา แขมณี (2545: 124-125) ได้กล่าวว่า ข้ันตอนในการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์มีดังนี้ 1) การสังเกต ให้นักเรียนได้ศึกษาข้อมูล รับรู้และทาความเข้าใจในปัญหาจนสามารถสรุป และตระหนักในปญั หานน้ั 2) การวิเคราะห์ ให้ผู้เรียนได้อภิปราย หรือแสดงความคิดเห็น เพื่อแยกแยะประเด็นปัญหา สภาพ สาเหตุ และลาดบั ความสาคญั ของปัญหา 3) การสรา้ งทางเลอื ก ให้ผเู้ รยี นไดแ้ สวงหาทางเลอื กในการแก้ปัญหาอย่างหลากหลาย ซึ่งอาจ มีการทดลอง ค้นคว้า ตรวจสอบ เพื่อเป็นข้อมูลประกอบการทากิจกรรมกลุ่ม และควรมีการกาหนด หนา้ ท่ใี นการทางานให้แกผเู้ รียน 4) การเก็บข้อมูลประเมินทางเลือก ผู้เรียนปฏิบัติตามแผนและบันทึกการปฏิบัติงานเพ่ือ รายงาน และตรวจสอบความถกู ตอ้ งของทางเลือก 5) การสรุป ผู้เรยี นสรปุ ความดว้ ยตนเอง ซ่งึ อาจทาในรูปของรายงาน สุวิทย์ มูลคา (2547: 28) ไดน้ าเสนอกระบวนการแกป้ ญั หา ซง่ึ มี 6 ขน้ั ตอน ได้แก่ ข้ันท่ี 1 กาหนดปัญหา เป็นการทบทวนปัญหาที่พบเพื่อทาความเข้าใจให้ถ่องแท้ในประเด็น ต่างๆ รวมทง้ั การกาหนดขอบเขตของปญั หา ข้ันที่ 2 ตัง้ สมมุตฐิ านหรือการหาสาเหตุของปัญหา เป็นการคาดคะเนคาตอบของปัญหาโดย ใช้ความรู้และประสบการณ์ช่วยในการคาดคะเน รวมทัง้ การพจิ ารณาสาเหตขุ องปัญหาว่ามาจากสาเหตุ อะไร หรอื จะมีวิธีการแกป้ ญั หาไดโ้ ดยวิธใี ดบา้ ง ซงึ่ ควรจะตัง้ สมมุติฐานไวห้ ลายๆ อยา่ ง ข้ันท่ี 3 วางแผนแก้ปัญหา เป็นการคิดหาวิธีการ เทคนิคเพ่ือแก้ปัญหาและกาหนดข้ันตอน ย่อยของการแกป้ ัญหาไว้อย่างเหมาะสม ขั้นท่ี 4 เก็บรวบรวมข้อมูล เป็นการค้นคว้าหาความรู้จากแหล่งต่างๆ ตามแผนท่ีวางไว้ซ่ึง ข้นั ตอนนี้จะเปน็ ขนั้ ของการทดลองและลงมือแกป้ ัญหาดว้ ย

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 210 ข้ันท่ี 5 วิเคราะห์ข้อมูลและทดสอบสมมุติฐาน เป็นการนาข้อมูลท่ีรวบรวมได้มาทาการ วิเคราะห์ วนิ ิจฉยั ว่ามคี วามถูกต้องเท่ียงตรงและเชื่อถือได้มากน้อยเพียงใด และทดสอบสมมุติฐานท่ีต้ัง ไว้ ขัน้ ที่ 6 สรุปผล เปน็ การประเมินผลวิธีการแก้ปัญหาหรือการตัดสินใจเลือกวิธีการแก้ปัญหาท่ี ได้ผลดที ีส่ ุด โดยอาจสรุปในรปู ของหลักการท่ีนาไปอธบิ ายคาตอบตลอดจนนาความรไู้ ปใช้ อยา่ งไรกต็ ามเนอ่ื งจากปญั หาทางคณติ ศาสตรท์ ่กี าหนดข้นึ มมี ากมายและหลายลักษณะ ดังนั้น กระบวนการและขั้นตอนของการแก้ปัญหาก็เช่นเดียวกัน ผู้แก้ปัญหาสามารถเลือกระบวนการและ ขั้นตอนการแก้ปัญหาท่ีมีนักการศึกษาท้ังในประเทศและต่างประเทศได้เสนอไว้นาไปใช้ตามลักษณะ ความเหมาสะของปัญหา ตลอดจนบริบทและสภาพแวดล้อมของผู้แก้ปัญหา จากกระบวนการที่ได้ กล่าวมานน้ั ปัจจุบนั ได้มีนักวิชาการหลายท่านได้ทาการวิเคราะห์วิจัยโดยแบ่งข้ันตอนการแก้ปัญหาให้ มคี วามเหมาะสมกับบริบทต่างๆ ของตนเอง หรือมีความละเอียดในข้ันตอนมากย่ิงขึ้น แต่ก็ยังคงอาศัย แนวคิดของกระบวนการแก้ปัญหาตามท่ีได้กล่าวมาโดยเฉพาะกระบวนการแก้ปัญหาของโพลยาเป็น พน้ื ฐาน เชน่ กระบวนการแก้ปัญหาตามรูปแบบ STAR เป็นกลวิธีการใช้ตัวอักษรตัวแรกกลวิธีหน่ึงที่ Maccini and Hughes (2000: 10-21) ได้พัฒนาขึ้นและได้กล่าวถึง กลวิธี STAR นี้ว่าเป็นกลวิธีการ สอนอย่างหน่ึงท่ีช่วยให้นักเรียนสามารถจาขั้นตอนการแก้โจทย์ปัญหาโดยจาตัวอักษรตัวแรกของชื่อ ลาดับขนั้ ในแต่ละข้นั ตอน ซึ่งมี 4 ข้นั ตอนดังนี้ ข้ันที่ 1 S (Search the word problem) การศึกษาโจทย์ปัญหา แยกแยะประเด็นของ ปัญหา ดาเนินการดังน้ี 1. อ่านโจทยป์ ญั หาอย่างละเอียดถี่ถว้ น 2. ถามคาถามต่อตนเองวา่ “รู้ข้อเท็จจรงิ อะไรบ้างจากโจทย์ปัญหา” “โจทยต์ ้องการให้หาอะไร” 3. เขียนขอ้ เทจ็ จริงที่ได้จากโจทย์ ข้ันที่ 2 T (Translate the problem) การแปลงข้อมูลที่มีอยู่ในโจทย์ปัญหาดาเนินการ ดังน้ี 1. เลือกตัวแปร 2. ระบุการดาเนนิ การทางคณิตศาสตร์ 3. แปลงข้อมูลท่ีมีอยู่ในโจทย์ปัญหาไปสู่สมการในแบบรูปภาพหรือสมการทาง คณิตศาสตร์ โดยอาจเลือกใชส้ อ่ื หรือสญั ลักษณ์ ดังนี้

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 211 - สื่อทเ่ี ป็นรปู ธรรม (Concrete application: C) ใช้วัตถจุ ริงหรือสอ่ื เสมือนจรงิ - สื่อท่ีเป็นตัวแทนวัตถุจริง (Semi concrete application: S) วาดรูปภาพ แผนภาพ หรือเขยี นตารางแสดงความหมาย - สญั ลกั ษณ์ท่ีเป็นนามธรรม(Abstract application: A) หานยั ท่วั ไป นาเสนอให้ อยู่ในรูปนพิ จนข์ องพชี คณติ หรอื เขยี นสมการเชิงพีชคณิต ขั้นที่ 3 A (Answer the problem) การหาคาตอบของโจทยป์ ัญหา ดาเนินการหาคาตอบ ท่ถี กู ต้องตามขน้ั ท่ี 2 ข้ันที่ 4 R (Review the solution) ทบทวนคาตอบ ดาเนินการดังน้ี 1. อา่ นโจทยป์ ญั หาซา้ อีกคร้ัง 2. ถามคาถามต่อตนเองว่า “คาตอบที่ได้สอดคลอ้ งกับข้อมูลและเงื่อนไขท่ีกาหนดในปัญหาหรอื ไม่” 3. ตรวจสอบคาตอบ กระบวนการแก้ปัญหาตามรปู แบบ SSCS เปน็ ผลจากการพัฒนาและวิจัยของ Shepardson, Pizzinni and Abell ในปี ค.ศ.1989 ซึ่งได้ทดลองใช้รูปแบบ SSCS ในการแก้ปัญหาโดยมีพื้นฐานมา จากการแก้ปัญหาทางวิทยาศาสตร์ และการศึกษาค้นคว้ารายงานการวิจัยต่างๆ ท่ีเกี่ยวข้องท่ีศูนย์ การศึกษาทางวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยไอโอวา ซื่อรูปแบบ SSCS มาจากการใช้ตัวอักษรตัวแรกของ ช่ือลาดับข้ันทั้ง 4 ข้ันตอน เพื่อความสะดวกในการจดจา (สุภัทรา สิริรุ่งเรือง และชานนท์ จันทรา. 2554: 13-15) ซงึ่ ลาดับข้นั ทัง้ 4 ข้นั ตอน มดี งั น้ี ขั้นท่ี 1 S (Search) ค้นหาปัญหา เป็นการให้นักเรียนใช้การระดมสมองเพ่ือให้เกิดการ แยกแยะประเดน็ ของปัญหาและมองเห็นความสัมพันธ์ของข้อมลู ขั้นที่ 2 S (Solve) แก้ปัญหา นักเรียนต้องวางแผนและดาเนินการตามแผนเพ่ือแก้ปัญหา โดยอาจใช้การรวบรวมและวิเคราะห์ข้อมูลตา่ งๆ ขนั้ ท่ี 3 C (Create) สร้างคาตอบ นักเรียนต้องนาเสนอวิธีการและผลที่ได้จากการแก้ปัญหา อยา่ งเป็นขนั้ ตอนเพ่ือสอื่ สารให้ผอู้ นื่ เขา้ ใจ ข้ันท่ี 4 S (Share) แลกเปล่ียนความคิดเห็น เป็นขั้นตอนท่ีนักเรียนได้นาเสนอความคิดเห็น ของตนเองให้กับผู้อนื่ ในประเดน็ เกีย่ วกับการแก้ปัญหา กระบวนการแก้ปัญหาตามรูปแบบ SSCS มีลักษณะการใช้ตัวอักษรตัวแรกของชื่อบอกลาดับ ขัน้ ทัง้ 4 ขั้นตอน เช่นเดียวกับกระบวนการแก้ปัญหาตามรูปแบบ STAR ซ่ึงเหมาะสมกับการแก้ปัญหา ทางพชี คณติ การจาขัน้ ตอนการแกป้ ัญหาโดยการใช้อักษรตวั แรกของลาดบั ชอ่ื ขั้นตอนในแต่ละขั้น ช่วย

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 212 ให้นักเรียนระลึกลาดับข้ันตอนในการแก้ปัญหาจากคาศัพท์ที่คุ้นเคย และทาให้นักเรียนสามารถแก้ โจทย์ปัญหาทางคณติ ศาสตรไ์ ด้ (ธนะชาติ ถนอมกลุ บตุ ร. 2552: 18) 6.4 ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ ในการแก้ปัญหานอกจากจะต้องมีพ้ืนฐานในการคิดคานวณเพียงพอและการเข้าใจ กระบวนการแก้ปัญหาท่ีดีมากพอแล้ว การเลือกใช้ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาที่เหมาะสมและมี ประสิทธิภาพก็เป็นอีกปัจจัยท่ีสาคัญอีกประการในการช่วยแก้ปัญหาถ้าหากรู้เข้าใจและมีความคุ้นเคย กับยุทธวิธีต่างๆ ที่เหมาะสมและหลากหลายก็จะสามารถเลือกใช้ยุทธวิธีการแก้ปัญหามาใช้ได้ทันที ดังนั้นยุทธวิธีการแก้ปัญหาจึงเป็นเคร่ืองมือท่ีสาคัญในการแก้ปัญหา ซ่ึงมีนักการศึกษาได้เสนอยุทธวิธี การแกป้ ญั หาไว้ ดังน้ี Hatfield, Edwards and Bitter (1993: 50-60) ได้เสนอยทุ ธวธิ ีท่ีใชใ้ นการแก้ปญั หาไว้ ดงั นี้ 1. การประมาณค่าและการตรวจสอบ (Estimation and Check) เป็นวิธีในการเสนอคาตอบ ท่ีใกล้เคียงเพื่อตัดสินว่าแนวทางการแก้ปัญหาน่าจะเป็นวิธรการใดซ่ึงคาตอบท่ีได้อาจจะยังไม่ถูกต้อง คาตอบท่ีประมาณขึ้นมาต้องได้รับการตรวจสอบเพื่อให้เป็นคาตอบที่ถูกต้องแท้จริง การประมาณ คาตอบสามารถทาไดเ้ ป็นประจาจนทาใหเ้ กิดเป็นพน้ื ฐานท่สี าคัญในช้นั เรยี น 2. การหาแบบรูป (Looking for Pattern) โจทย์ปัญหาบางโจทย์มีแนวทางในการหาคาตอบ เพียงวธิ ีการเดยี ง คอื การหาแบบรูปจากขอ้ มลู ที่กาหนดมาให้ และคาดการณ์จากขอ้ มลู ท่ีไมไ่ ดใ้ ห้มา 3. การตรวจสอบว่าข้อมูลมีเพียงพอหรือไม่ (Insufficient Information) เป็นการตรวจสอบ ข้อมลู ทกี่ าหนดมาให้วา่ เพยี งพอต่อการแก้ปัญหาหรือไม่ หรือมสี ว่ นใดที่ขาดหายไป 4. การเขยี นภาพ กราฟ และตาราง (Drawing Picture, Graphs and Table) วิธีนี้จะช่วยให้ เห็นภาพจากปญั หาทยี่ ่งุ ยากหรือปัญหาท่ีเป็นนามธรรม การวาดภาพ กราฟ และตาราง เป็นการแสดง ข้อมลู เชิงจานวนใหเ้ ห็น ช่วยให้มองเห็นความสมั พนั ธ์ระหวา่ งข้อมลู ทปี่ รากฏไดท้ นั ที 5. การตัดข้อมูลท่ีไม่เก่ียวข้องออก (Elimination of Extraneous Data) บางปัญหามีข้อมูล มากมายท้ังท่ีมีความจาเป็นและไม่มีความจาเป็น จึงต้องทาการตัดข้อมูลที่ไม่จาเป็นออกเพื่อที่จะให้ เหลือข้อมูลที่จาเปน็ แทนท่ีจะนาข้อมลู ทัง้ หมดมาใช้ 6. การพัฒนาสูตรและเขียนสมการ (Developing Formula and Writhing Equations) เป็นการพัฒนาสตู รหรือสมการเพอ่ื ใช้แทนค่าจานวนลงไปในการหาคาตอบ 7. การสรา้ งแบบจาลอง (Modeling) การสร้างแบบจาลองของปญั หาจะทาใหม้ คี วามเข้าใจใน หลกั การท่จี าเป็นต่อการดาเนนิ การในการแกป้ ญั หา 8. การทางานแบบย้อนกลับ (Working Backwards) วิธีนี้มักใช้กับการพิสูจน์ทางเรขาคณิต ต้องคิดยอ้ นกลบั ในการหาคาตอบ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 213 9. การเขียนแผนภูมิสายงาน (Flowcharting) การเขียนแผนภูมิสายงานจะช่วยให้เห็นภาพ กระบวนการของการแก้ปัญหา ซ่ึงแผนภูมิสายงานจะเป็นเค้าโครงที่แสดงรายละเอียดของข้ันตอนที่ ตอ้ งดาเนินการตามเง่อื นไขตา่ งๆ ที่ตอ้ งการก่อนทจี่ ะลงมือแกป้ ญั หา 10.การลงมือแก้ปัญหานั้นทันที (Acting Out the Problem) เป็นการลงมือแก้ปัญหาโดย ทันที ซึง่ บางคร้งั จะทาใหข้ ั้นตอนในการแก้ปัญหาน้นั งา่ ยขนึ้ 11.การทาปัญหาให้ง่ายขึ้น (Simplifying the Problem) เป็นการแทนจานวนที่สามารถ คานวณโดยสามารถตรวจสอบความถูกต้องของคาตอบได้ก่อนท่ีจะแก้ปัญหาที่มีอยู่ซึ่งต้องใช้ความรู้ใน การเลือกการดาเนินการท่ีเหมาะสม Foong Pui Yee (2007: 56) ไดเ้ สนอยทุ ธวธิ ใี นการแกป้ ญั หา ดงั นี้ 1. ยุทธวิธีการลงมือปฏิบัติจริง/ทดลอง เป็นการแก้ปัญหาแบบหนึ่งท่ีเป็นไปตามธรรมชาติ โดยปกติอาจทาแบบคร่าวๆ ก่อน ไมเ่ น้นความละเอียดและประณีตเพ่ือให้เห็นภาพรวมของปัญหาก่อน เป็นวิธีที่ดีที่เน้นให้คิดผ่านการลงมือปฏิบัติ และสามารถมองเห็นภาพของสถานการณ์ท่ีเป็นรูปธรรม เข้าใจงา่ ย 2. ยุทธวิธีการใช้แผนภาพหรือวาดตัวแบบ เป็นการอธิบายสถานการณ์และแสดง ความสมั พันธ์ของข้อมูลต่างๆ ของปัญหาด้วยการใช้แผนภาพหรือตัวแบบ ซึ่งจะช่วยให้เข้าใจปัญหาได้ งา่ ยขึน้ และบางครัง้ ก็สามารถหาคาตอบของปญั หาไดโ้ ดยตรงจากแผนภาพหรือตวั แบบน้นั 3. ยุทธวิธีแบ่งปัญหาย่อยหรือทาปัญหาให้ง่ายลง ปัญหาบางปัญหาอาจดูเหมือนเป็นปัญหา ใหญ่ อาจเป็นเพราะขนาดของจานวนหรือความซับซ้อนของปัญหา การแบ่งปัญหาย่อยหรือทาให้ ปญั หางา่ ยลงจะช่วยใหส้ ามารถกาหนดแนวคิดในการแก้ปัญหาและนาแนวคิดน้ันมาใช้ในการแก้ปัญหา ทกี่ าหนดได้ 4. ยุทธวิธีค้นหาแบบรูป การค้นหาแบบรูปเป็นการวิเคราะห์ปัญหาและค้นหาความสัมพันธ์ ของข้อมูลทม่ี ลี ักษณะเป็นระบบหรือแบบรูปในสถานการณ์ปัญหาน้ันๆ แล้วคาดเดาคาตอบ ซึ่งคาตอบ ท่ไี ดจ้ ะถกู ยอมรบั ว่าเป็นคาตอบทถี่ ูกต้องเม่ือผ่านการตรวจสอบยนื ยัน ยุทธวิธีนี้เหมาะกับการแก้ปัญหา ที่เก่ยี วกับจานวนและเรขาคณิต 5. ยุทธวิธีแจกแจงรายการอย่างเป็นระบบ/สร้างตาราง เป็นการจัดระบบข้อมูลโดยแยกเป็น กรณีๆ ท่ีเป็นไปได้ แล้วอาจนาข้อมูลมาใส่ตาราง โดยตารางท่ีสร้างข้ึนจะช่วยในการวิเคราะห์ ความสมั พันธ์นาไปสู่การคน้ พบรปู แบบหรอื ขอ้ คาดการณ์ในการแก้ปัญหา 6. ยุทธวิธเี ขยี นเปน็ ประโยคทางคณติ ศาสตร์ เป็นการแก้ปัญหาโดยการเปลี่ยนภาษาในปัญหา ให้เป็นประโยคทางคณิตศาสตร์ หรือสมมุติตัวไม่ทราบค่า แล้วสร้างความสัมพันธ์ของข้อมูลต่างๆ ตาม เง่อื นไขทปี่ ัญหากาหนด แล้วพจิ ารณาหาคาตอบของปญั หาจากความสมั พันธท์ ส่ี ร้างข้ึน

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 214 7. ยุทธวิธีนึกถึงปัญหาท่ีคล้ายกัน เป็นการเปลี่ยนมุมมองในการแก้ปัญหา หรือพิจารณาว่า เป็นปัญหาท่ีคล้ายกับปัญหาที่ตนเคยแก้มาก่อนหรือไม่ หรือมีบางส่วนท่ีคล้ายกับปัญหาท่ีเคยแก้ และ พิจารณานามาประยกุ ต์ใช้ในการแกป้ ัญหาท่ีกาลงั เผชิญอยู่ 8. ยุทธวิธีการคาดเดาและตรวจสอบ การคาดเดาหรือการลองผิดลองถูกเป็นการพิจารณา ข้อมูล และเงื่อนไขต่างๆ ท่ีปัญหากาหนด ผสมผสานกับประสบการณ์เดิมท่ีเก่ียวข้องมาสร้างข้อ คาดการณ์ แลว้ ตรวจสอบความถูกตอ้ ง ถ้าการคาดเดาไมถ่ ูกตอ้ งก็เดาใหม่โดยอาศัยประโยชน์จากความ ไมถ่ ูกจากการเดาก่อนหนา้ น้มี าเปน็ กรอบแนวทางในการเดาครั้งต่อไป สถาบนั สง่ เสรมิ ารสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.) (2551: 12-13) ไดน้ าเสนอยุทธวิธี การแก้ปัญหา ดังนี้ การแก้ปัญหาหนึ่งๆ นอกจากนักเรียนจะต้องมีความรู้พื้นฐานที่เพียงพอและเข้าใจ กระบวนการแก้ปัญหาดีแล้ว การเลือกใช้ยุทธวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมและมีประสิทธิภาพสูงสุด ก็เป็น อีกปัจจัยหน่ึงที่ช่วยในการแก้ปัญหา ถ้านักเรียนมีความคุ้นเคยกับยุทธวิธีแก้ปัญหาต่างๆ ที่เหมาะสม และหลากหลายแล้ว นักเรียนสามารถเลือกยทุ ธวธิ เี หลา่ นน้ั มาใช้ได้ทนั ที ยุทธวิธีการแก้ปัญหาได้ดีที่พบ บ่อยในคณติ ศาสตร์ ได้แก่ 1. การคน้ หาแบบรูป 2. การสรา้ งตาราง 3. การเขยี นภาพหรอื แผนภาพ 4. การแจงกรณที ่เี ป็นไปได้ทั้งหมด 5. การคาดเดาและตรวจสอบ 6. การทางานแบบยอ้ นกลับ 7. การเขียนสมการ 8. การเปลี่ยนมุมมอง 9. การแบง่ เป็นปญั หายอ่ ยๆ 10.การใหเ้ หตุผลทางตรรกศาสตร์ 11.การใหเ้ หตผุ ลทางออ้ ม จากทีน่ กั การศกึ ษาคณิตศาสตรไ์ ดเ้ สนอยทุ ธวธิ ีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ สามารถนามา ปฏบิ ตั ใิ ชใ้ นการแกป้ ัญหาโดยเลือกใหเ้ หมาะสมกบั ปัญหา ซ่งึ บ้างครั้งปญั หาหน่ึงอาจใช้ยุทธวิธีในการหา คาตอบได้หลายยุทธวิธีขึ้นอยู่กับความถนัดของผู้แก้ แต่ปัญหาบางปัญหาก็ต้องการวิธีในการแก้ปัญหา หลายยุทธวิธีร่วมกันในการแก้ปัญหา ซึ่งขึ้นอยู่กับสถานการณ์ของปัญหา ซึ่งต่อไปนี้จะเป็นการ ประยกุ ต์ใช้ยทุ ธวธิ ตี ่างๆ ในการแกป้ ญั หาเพ่อื หาคาตอบในแตล่ ะยุทธวธิ ี 6.4.1 ยทุ ธวิธกี ารค้นหาแบบรูป

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฎห ู่ม ้บานจอม ึบง 215 การค้นหาแบบรูปเป็นกระบวนการวิเคราะห์ปัญหาและการค้นหาความสัมพันธ์ของข้อมูลที่มี ลกั ษณะเปน็ ระบบหรอื เปน็ รูปธรรมในสถานการณป์ ัญหาน้ันๆ แลว้ คาดเดาคาตอบ ตัวอย่าง เชน่ สมบรู ณ์เรยี งรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสด้วยวิธีการต่อไปน้ี บิลต้องใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในการสร้างภาพ ท่ี 16 จานวนก่ีรูป ที่มา : สถาบันสง่ เสรมิ ารสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) (http://onlinetesting.ipst.ac.th/index.php) กาหนดให้ ภาพที่ 1 เปน็ ลาดบั ท่ี 1 ภาพท่ี 2 เป็นลาดบั ที่ 2 ภาพที่ n เปน็ ลาดบั ที่ n มองหาความสมั พนั ธ์ คอื n x 2 ดังน้นั ภาพท่ี 1 = 1 x 2 = 2 รูปสี่เหลย่ี มจัตุรสั ภาพท่ี 2 = 2 x 2 = 4 รูปสเี่ หล่ียมจัตรุ ัส ภาพที่ 3 = 3 x 2 = 6 รปู ส่เี หลี่ยมจตั รุ ัส ภาพที่ n = n x 2 = 2n รปู สีเ่ หล่ยี มจตั ุรสั ภาพท่ี 16 = 16 x 2 = 32 รปู ส่เี หล่ียมจัตรุ ัส 6.4.2 ยทุ ธวธิ กี ารสรา้ งตาราง การสร้างตารางเป็นกระบวนการจัดข้อมูลลงในตาราง เพื่อช่วยในการวิเคราะห์หา ความสัมพันธ์ เพื่อนาไปสู่การค้นพบแบบรูปความสัมพันธ์หรือข้อค้นพบอ่ืนๆ และแสดงให้เห็นความ เปน็ ไปได้ในกรณีต่างๆ ของปญั หาได้ทั้งหมด ตวั อยา่ ง เช่น ถา้ ทวีพรเร่มิ ต้นนับจาก 2 เพ่ิมขึ้นทีละ 3 จนถึง 449 จะได้ 2, 5, 8, 11, …, 449 โดยมี 2 เป็น จานวนแรก 5 เปน็ จานวนทสี่ อง 8 เป็นจานวนทีส่ าม 449 เปน็ จานวนทเี่ ทา่ ใด ทมี่ า : วัลลภ เฉลมิ สุววิ ฒั นาการ 2550, คณติ ศาสตร์โอลิมปิก 1. (กรุงเทพฯ: แปลนปริทศั น)์ , 53 พิจารณาข้อมูลจากโจทย์ พบว่า นาจานวนมาวางเรียงตามอันดับเร่ิมจาก 2 แล้วเพิ่มขึ้นทีละ สาม แล้วสร้างตาราง