อนุรักษ์ ธัญญเจริญ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง เอกสารประกอบการสอน รายวชิ าระบบจานวน อนุรักษ์ ธัญญเจรญิ คณะวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏหม่บู า้ นจอมบึง 2564

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง เอกสารประกอบการสอน รายวชิ าระบบจานวน อนุรักษ์ ธัญญเจริญ ปร.ด. (คณิตศาสตร์ (นานาชาติ)) วท.ม. (คณติ ศาสตร์) วท.บ. (คณติ ศาสตร์) คณะวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลัยราชภัฏหมู่บ้านจอมบึง 2564

ก คำนำ เอกสารประกอบการสอน รายวิชาระบบจานวน เล่มน้ี จดั ทาขึ้นเพือ่ ประกอบการสอนรายวิชาระบบ จานวน สาหรับนักศึกษาระดับปริญญาตรี ซึ่งเป็นรายวิชาที่อยู่ในหมวดวิชาเอกบังคับของหลักสูตรของกลุ่ม วิชาเอกคณิตศาสตร์ เน้ือหาในเลม่ ประกอบดว้ ยทง้ั ส้นิ 7 บท ได้แก่ บทที่ 1 ประวัติและพฒั นาการของจานวน บทท่ี 2 ความรู้พื้นฐาน บทท่ี 3 จานวนธรรมชาติ บทที่ 4 จานวนเต็ม บทที่ 5 จานวนตรรกยะ บทท่ี 6 จานวนจริง บทที่ 7 จานวนเชิงซ้อน โดยมกี ารรวบรวมท่ีมาและความสาคญั ของจานวนตา่ ง ๆ สัจพจนแ์ ละทฤษฎีบททีส่ าคญั ของจานวน รวมถึง ตวั อย่างเพ่ือใหผ้ ้ศู ึกษาไดท้ าความเข้าใจมากขึ้น เอกสารประกอบการสอน รายวิชาระบบจานวน เล่มน้ี จะถูกนาไปใช้ในการเรียนการสอนอย่าง ต่อเนอ่ื ง เพ่ือปรบั ปรุงและพฒั นาใหเ้ หมาะสมกับผู้เรียน และผ้จู ัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า เอกสารประกอบการ สอน รายวิชา ระบบจานวน เล่มน้ีจะเปน็ ประโยชน์แก่ผู้ท่สี นใจศึกษาเก่ียวจานวนและตวั เลขมากย่ิงขนึ้ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง

ข กิตติกรรมประกำศ ผู้จัดทาเอกสารประกอบการสอน รายวิชา ระบบจานวน เล่มนี้ขอขอบคุณมหาวิทยาลัยราชภัฏ หม่บู า้ นจอมบึงทไี่ ด้มอบทุนสนับสนุนการผลิตตารา/เอกสารประกอบการสอนคุณภาพ ประจาปีงบประมาณ 2564 ขอขอบคุณอาจารย์ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์และคณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีท่ีได้พิจารณาความ เหมาะสมใหไ้ ดร้ ับทนุ สนับสนนุ การผลิตตารา/เอกสารประกอบการสอนคุณภาพ ประจาปีงบประมาณ 2564 ที่สาคัญต้องขอขอบคุณผู้ช่วยศาสตราจารย์ ดร.กฤษณะ โสขุมา ที่เป็นผู้ทรงคุณวุฒิในการตรวจเอกสาร ประกอบการสอนฉบับนี้ พร้อมทั้งให้คาแนะนาเพ่ือนามาปรับปรุงแก้ไขให้เป็นเอกสารประกอบการสอนท่ีมี คุณภาพตามวัตถปุ ระสงค์ อาจารย์ ดร.อนรุ กั ษ์ ธัญญเจรญิ ประธานสาขาวิชาคณติ ศาสตร์ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ค ก สำรบัญ ข คำนำ ค กิตตกิ รรมประกำศ สำรบญั จ สำรบญั รปู ภำพ สำรบญั ตำรำง ฉ แผนบรหิ ำรกำรสอนประจำบทที่ 1 บทที่ 1 ประวัตแิ ละพัฒนำกำรของจำนวน 1 3 1.1 ยุคสมยั อยี ิปต์โบราณ 1.2 ยุคสมยั บาบโิ ลน 3 1.3 ระบบตัวเลขโรมัน 1.4 ระบบตัวเลขโรมัน 6 1.5 ระบบตวั เลขฮินดู-อารบกิ 9 12 แผนบริหำรกำรสอนประจำบทที่ 2 บทท่ี 2 ควำมรูพ้ ้ืนฐำน 15 2.1 โครงสรา้ งของวชิ าคณิตศาสตร์ 19 2.2 ตรรกศาสตร์ 21 2.3 เซต 2.4 การพสิ จู นท์ างคณิตศาสตร์ 21 2.5 ความสมั พันธ์ 23 2.6 ฟงั กช์ นั 31 แผนบริหำรกำรสอนประจำบทท่ี 3 36 บทท่ี 3 จำนวนธรรมชำติ 42 45 3.1 สจั พจน์เปอาโน 3.2 พีชคณติ ของจานวนธรรมชาติ 49 3.3 ลาดบั ของจานวนธรรมชาติ 51 แผนบรหิ ำรกำรสอนประจำบทท่ี 4 51 บทที่ 4 จำนวนเตม็ 53 67 4.1 นยิ ามของจานวนเต็ม 4.2 การดาเนนิ การคู่อนั ดับใน  77 79 79 80

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ง 84 91 4.3 ความสมั พันธ์สมมูล 102 4.4 การดาเนนิ การของจานวนเตม็ 4.5 การจัดอนั ดับเชงิ เสน้ ของจานวนเตม็ 111 113 แผนบรหิ ำรกำรสอนประจำบทท่ี 5 บทท่ี 5 จำนวนตรรกยะ 114 116 5.1 การดาเนนิ การคู่อันดับใน  * 121 5.2 ความสมั พนั ธ์สมมูลบนเซต 127 5.3 การบวกจานวนตรรกยะ 133 5.4 การคณู จานวนตรรกยะ 5.5 การจัดอนั ดับเชิงเสน้ ของจานวนตรรกยะ 143 145 แผนบรหิ ำรกำรสอนประจำบทท่ี 6 บทท่ี 6 จำนวนจรงิ 145 147 6.1 จานวนจรงิ 154 6.2 ส่วนตดั เดเดคนิ ด์ 159 6.3 การบวกสว่ นตดั 169 6.4 การคณู สว่ นตดั 176 6.5 การจัดอันดบั เชงิ เสน้ ของสว่ นตัด 6.6 การกาหนดจานวนจริง 185 187 แผนบรหิ ำรกำรสอนประจำบทที่ 7 บทท่ี 7 จำนวนเชิงซ้อน 187 192 7.1 การดาเนินการของคู่อนั ดับใน  203 7.2 จานวนเชงิ ซ้อน 7.3 จานวนเชงิ ซอ้ นในระบบพิกดั เชงิ ขั้ว 211 ภำคผนวก

จ 3 5 สำรบัญภำพ 5 7 บทท่ี 1 ประวัตแิ ละพฒั นำกำรของจำนวน 8 10 ภาพท่ี 1.1 อักษรภาพไฮโรกลิฟ ภาพท่ี 1.2 Egyptian Fractions 22 ภาพที่ 1.3 ดวงตาฮอรัส ภาพที่ 1.4 แผน่ จารกึ ของชาวบาบิ 146 ภาพท่ี 1.5 ตัวเลขบาบิโลน ภาพที่ 1.6 ตวั เลขมายัน 204 บทท่ี 2 ควำมรพู้ นื้ ฐำน ภาพที่ 2.1 โครงสรา้ งของระบบคณิตศาสตร์ บทท่ี 6 จำนวนจริง ภาพที่ 6.1 แสดงจานวนตรรกยะ 2 บนเส้นจานวน บทที่ 7 จำนวนเชงิ ซอ้ น ภาพท่ี 7.1 จานวนเชงิ ซอ้ น (a,b) ในระบบพิกัดฉาก มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง

ฉ 4 6 สำรบัญตำรำง 6 9 บทที่ 1 ประวตั แิ ละพฒั นำกำรของจำนวน 13 ตารางท่ี 1.1 ภาพสัญลักษณ์อักษรภาพไฮโรกลิฟ 25 ตารางท่ี 1.2 การคณู 7 คูณ 41 25 ตารางที่ 1.3 การคูณ 52 คณู 11 26 ตารางที่ 1.4 การเขยี นตัวเลขบาบิโลน 26 ตารางที่ 1.5 เลขโรมนั 26 บทท่ี 2 ควำมรพู้ นื้ ฐำน ตารางที่ 2.1 ตารางค่าความจรงิ ของตัวเชื่อม “และ” ตารางท่ี 2.2 ตารางค่าความจริงของตวั เชือ่ ม “หรือ” ตารางท่ี 2.3 ตารางคา่ ความจรงิ ของตวั เชื่อม “ถ้า…แล้ว….” ตารางท่ี 2.4 ตารางคา่ ความจรงิ ของตวั เชอ่ื ม “ก็ต่อเม่ือ” ตารางท่ี 2.5 ตารางคา่ ความจรงิ ของนเิ สธ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 1 แผนบรหิ ารการสอนประจาบทที่ 1 เน้ือหาประจาบท บทท่ี 1 ประวตั ิและพัฒนาการของจานวน 1.1 ยคุ สมัยอยี ิปตโ์ บราณ 1.2 ยคุ สมยั บาบิโลน 1.3 ระบบตัวเลขโรมัน 1.4 ระบบตวั เลขโรมัน 1.5 ระบบตัวเลขฮนิ ดู-อารบกิ จดุ ประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม เมอื่ ศึกษาบทท่ี 1 แล้วนักศกึ ษาสามารถ 1. บอกประวตั ิความเป็นมาของตัวเลขได้ 2. บอกลาดับประวตั ิของจานวนของยคุ สมยั ต่าง ๆ ได้ 3. สามารถเขยี นตวั เลขในระบบต่าง ๆ ได้ 4. สามารถแปลงตวั เลขในระบบต่าง ๆ ได้ กิจกรรมการเรยี นการสอนประจาบท 1. ผู้สอนเล่าประวตั ิความเป็นมาของตวั เลขพร้อมยกตวั อย่างประกอบการบรรยาย โดยใช้โปรเจคเตอร์ 2. แบ่งผเู้ รียนเป็นกลมุ่ กลุม่ ละประมาณ 5 คน เพอ่ื ศกึ ษาระบบตวั เลขตา่ ง ๆ แลว้ แลกเปลี่ยนเรียนรกู้ นั ในกลุ่ม 3. ให้ผเู้ รียนนาเสนอแนวคิดของการแปลงตวั เลข 4. ผูส้ อนและผ้เู รยี นร่วมกันอภปิ รายและหาข้อสรุปร่วมกนั อกี ครั้งหนงึ่ 5. ให้ผู้เรียนทาแบบฝกึ หัดบทที่ 1 6. ทดสอบยอ่ ยหลงั จบบทเรียน

2 สอ่ื การเรียนการสอน 1. เอกสารคาสอนวิชาระบบจานวน 2. กระดาษพรู๊ฟและบอร์ด 3. เครอ่ื งฉายโปรเจคเตอร์ 4. หนงั สอื อ่านประกอบค้นควา้ เพิม่ เติม 5. แบบฝึกหดั บทที่ 1 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง การวดั ผลและประเมนิ ผล 1. สงั เกตจากการซกั ถามผ้เู รียน 2. สังเกตจากการนาเสนอผลงาน 3. สังเกตจากการรว่ มกิจกรรม 4. สงั เกตจากพฤตกิ รรมกล่มุ 5. ประเมินจากการทาแบบฝึกหดั 6. ประเมินจากการสอบระหว่างภาคและปลายภาค

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 3 บทที่ 1 ประวตั แิ ละพัฒนาการของจานวน (History and Development of Numbers) ในบทนี้ เราจะศึกษาประวัติและพัฒนาการของจานวนซึ่งเป็นที่ถือว่าเป็นสิ่งท่ีทุกคนใช้ใน ชีวิตประจาวัน ศึกษาวิวัฒนาการของจานวนในแต่ละสมัยและตัวเลข รวมถึงนักคณิตศาสตร์ที่มี ชอ่ื เสยี งเกีย่ วกับตัวเลขและจานวนตง้ั แตใ่ นอดตี จนถงึ ปัจจบุ ัน เม่ือมีคนกล่าวถึงคาว่า “คณิตศาสตร์” หลายท่านคงนึกถึงตัวเลขมาเป็นอันดับแรก เพราะเป็น สิง่ ที่เดน่ ชดั ท่ีสุด จากหนังสอื พจนานุกรม ฉบบั ราชบณั ฑิตยสถาน พ.ศ. 2554 ได้ให้ความหมายของคา ว่า “คณิตศาสตร์” ซึ่งอ่านว่า คะนิดตะสาด หรือ คะนดิ สาด หมายถงึ วิชาว่าด้วยการคานวณ เพราะ มรี ากศัพธ์มาจากคาว่า “คณิต” หมายถึง การนับ การคานวณ หรือวิชาคานวณ และคาว่า “ศาสตร์” หมายถึง ระบบวิชาความรู้หรือการศึกษา ถึงแม้ว่าคณิตศาสตร์จะเป็นศาสตร์ท่ีมุ่งค้นคว้าเก่ียวกับ โครงสร้างนามธรรม สัจพจน์ และการให้เหตุผล ผ่านการสื่อสารทางตรรกศาสตร์สัญลักษณ์และสัญ- กรณ์คณิตศาสตร์ แต่หากศึกษาประวัติและพัฒนาการของจานวนในอดีต จะพบว่ามีจดุ เริ่มต้นมาจาก ธรรมชาติและการใช้ชวี ิตประจาวันเนือ่ งจากมนุษย์ใชต้ ัวเลขแทนจานวน เช่น การบอกจานวนทหารใน กองทพั หรอื จานวนมา้ รบ ขนาดของพืน้ ทเ่ี มืองต่าง ๆ เป็นต้น 1.1 ยคุ สมยั อียปิ ต์โบราณ (Egypt Era) เมือ่ ยุคสมัยมากกวา่ 5,400 กวา่ ปีมาแลว้ ที่ถอื ว่าเป็นอักษรแรกเรมิ่ ของประวตั ิศาสตร์ยคุ โบราณ ชาวอียปิ ต์โบราณมกี ารสือ่ ความหมายของจานวนและตวั เลขต่าง ๆ ดว้ ยอกั ษรภาพทีเ่ รียกว่า ไฮโรกลีฟ (Hieroglyph) หรือ ไฮโรกลีฟอียิปต์ (Egyptian hieroglyphs) อักษรเฮียโรกลิฟฟิกถูกค้นพบจาก แท่งหินโรเซ็ตตา ซึ่งเป็นศิลาจารึกเร่ืองราวต่างๆ ของอารยธรรมอิยิปต์ มีลักษณะเป็นแผ่นที่จารึกบน หบี ศพอียิปต์โบราณที่ถูกค้นพบขึ้น ณ เมืองโรเช็ตตา ประเทศอียิปต์ บนศิลาจารึกประกอบด้วยอักษร (alphabet) 3 ภาษา คือ อักษรไฮโรกลีฟ อักษรเดโมติก และอักษรกรีกโบราณ และสัญรูป (logograph) ภาพที่ 1.1 อักษรภาพไฮโรกลิฟ ท่มี า : Egyptian Mathematics Numbers Hieroglyphs (discoveringegypt.com)

4 อักษรภาพเฮียโรกลิฟได้แสดงถึงการส่ือความหมายของตัวเลขโดยใช้เส้นลักษณะต่าง ๆ หรือ ภาพสญั ลกั ษณ์ เชน่ เสน้ ขีดตรงหมายถงึ คน แทนค่าเลข 1 เสน้ โค้งหลงั คาคว่า หมายถงึ แท่นบชู า แทน คา่ เลข 10 ภาพกบหรอื ลูกอ๊อดหมายถึงการเกดิ แทนคา่ เลข 100,000 เป็นต้น ดังในตารางสัญลกั ษณ์ ของตวั เลข ดังนี้ ตัวเลขอียิปต์ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ตัวเลขฮินดอู ารบคิ 1 10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 ตารางท่ี 1.1 ภาพสญั ลกั ษณ์อักษรภาพไฮโรกลีฟ วธิ ีการเขียนตัวเลขอยิ ิปต์จะนาสญั ลักษณ์มาเรียงกันโดยไม่คานงึ ถึงตาแหน่ง เชน่ แทนจานวน 24 แทนจานวน 143 แทนจานวน 11,111 การบวกกันของจานวนสามารถดาเนินการได้ด้วยการรวมภาพกันของสองจานวน เม่ือมีการ รวมภาพเดียวกันจนถึงค่าของสัญลักษณ์ใหม่ก็ให้เขียนภาพค่าใหม่แทนการเขียนภาพซ้าสิบภาพ เช่น มีค่าเท่ากับ และ มีค่าเท่ากับ เปน็ ตน้ โดยเรมิ่ ต้นจากภาพทีม่ ีคา่ น้อยกอ่ น ดังตัวอย่างต่อไปน้ี รวมกับ มคี า่ เทา่ กับ ในปี 2021 เดทคาจอน (Detkajon) ได้สรุปแนวคิดของเศษส่วนของตัวเลขชาวอียิปต์ โดยปกติ เราจะรู้จักกับเศษส่วนที่เขียนอยู่ในรูปของ x/y โดย x และ y สามารถเป็นเลขจานวนเต็มอะไรก็ได้ เช่น 4/9 หรือ 7/12 ฯลฯ มากมายแลว้ แตจ่ ะเขียน แต่สาหรับชาวอยี ปิ ต์โบราณแลว้ เศษส่วนของพวก เขาจะอยใู่ นรูปของ 1/a + 1/b + 1/c + 1/d + ... ไปเรื่อย ๆ เทา่ น้นั พูดให้ง่ายกค็ ือ \"เศษ\" จะเป็น 1 เท่านั้น ส่วน \"ส่วน\" จะเป็นเลขจานวนเต็มท่ีเพ่ิมจานวนข้ึนเรื่อย ๆ เช่นในกรณีด้านบน a < b < c < d < ... เช่น ถ้าชาวอียิปต์โบราณอยากเขียน 3/5 เขาจะเขียนว่า 1/3 + 1/5 + 1/15 แทน ซ่ึงมีค่า ทางตัวเลขเท่ากันคือ 0.6 และจะเห็นได้ว่า 3 < 5 < 15 เป็นต้น สมมติว่าเราต้องการเขียน 3/5 ก็ นา่ จะเป็น 1/5 + 1/5 + 1/5 แต่ชาวไอยคุปต์ไมไ่ ด้คิดแบบนี้ และไม่มีการคิดแบบนี้ด้วย เขาจะเขียน ในรปู ของ \"ส่วน\" ทีม่ ีจานวนทางตวั เลขทแ่ี ตกตา่ งกันเสมอ ดังนั้นโดยรูปแบบน้ี เศษส่วนใด ๆ ของชาวอียิปต์โบราณจะเขียนอยู่ในรูปของ 1/a + 1/b + 1/c + 1/d + ... เสมอ โดยที่ a < b < c < d < ... ส่วนในทางปฏิบัติ เวลาชาวอียิปต์โบราณเขียน เศษส่วน พวกเขาจะวาดรูป \"ปาก\" ซึ่งเป็นอักษรภาพเสียง /r/ แล้วตามด้วยตัวเลข | คือ 1 และ ∩ คือ 10 ดงั ภาพ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 5 ภาพท่ี 1.2 Egyptian Fractions ทม่ี า : https://i.pinimg.com/.../e204b7942e79e6a9e87cbb1a9afe952c... ดังนั้น 3/4 ซึ่งเขียนอยู่ในรูปของ 1/2 + 1/4 จึงเป็นรูปปาก ตามด้วย | | ซ่ึงหมายถึง 1/2 และปาก ตามดว้ ย | | | | ซง่ึ หมายถึง 1/4 และการท่ีภาพท้ังสองวางอย่ขู า้ งกัน ก็สื่อเปน็ จานวนท่นี ามาบวกกนั ถึงอย่างน้ันชาวอียิปต์โบราณก็ไม่ได้เขียนเศษส่วนโดยใช้อักษรรูปปากเสมอไป แต่ยังมีการใช้ ช้นิ ส่วนตา่ ง ๆ ของภาพ \"ดวงตาฮอรัส\" ในการระบุถึงเศษสว่ นทีม่ คี า่ ทางตัวเลขต่าง ดงั ภาพ ภาพท่ี 1.3 ดวงตาฮอรสั ทม่ี า : https://i.pinimg.com/.../e204b7942e79e6a9e87cbb1a9afe952c... อย่างไรกต็ ามจากตัวอย่างมีการเขยี นจากซ้ายไปขวาเพ่ือให้ผอู้ ่านยคุ ใหมส่ ามารถเข้าใจได้อย่าง ถกู ต้อง แต่ในความเป็นจริงระบบเลขอียิปตไ์ ม่แม่นยา เนื่องจากคา่ เดียวกนั จะสามารถเขียนได้จากขวา ไปซ้ายเพ่ือหาว่าจุดเริ่มต้นและจุดส้ินสุดต้องอยู่บนพื้นฐานของรูปวาดที่มีค่าสูงสุด ดังน้ันจึงมีความ-

6 จาเปน็ ตอ้ งมีจุดอา้ งอิงที่คล้ายกนั หากมกี ารแจกแจงตัวเลขในจานวนมากแบบสุ่ม หากเราพิจารณาการ ดาเนนิ การในการคณู ตามวธิ ีของชาวอียิปต์ เราสามารถทาความเข้าใจไดต้ วั อยา่ งตอ่ ไปนี้ ตัวเลขเรมิ่ ต้น --> 7 คณู 41 <-- ตวั เลขทต่ี อ้ งการคณู 1+1 --> 1 41 <-- 41 บวก 41 2+2 --> 2 82 <-- 82 บวก 82 4 164 ตารางที่ 1.2 การคูณ 7 คูณ 41 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง จากตารางที่ 1.2 เราได้วา่ ผลคณู ของ 7 กับ 41 มีค่าเท่ากับ 41 + 82 + 164 นน่ั คือ 287 ตอ่ ไปพิจารณาการคูณของเลข 52 กับ 8 ดงั ตารางต่อไปน้ี ตัวเลขเริม่ ตน้ --> 52 คูณ 8 <-- ตวั เลขทีต่ ้องการคูณ 1+1 --> 18 <-- 8 บวก 8 2+2 --> 2 16 <-- 16 บวก 16 4+4 --> 4 32 <-- 32 บวก 32 8+8 --> 8 64 <-- 64 บวก 64 16+16 --> 16 128 32 256 <-- 128 บวก 128 ตารางที่ 1.3 การคูณ 52 คณู 8 เนือ่ งจาก 4 + 16 + 32 มคี ่าเท่ากบั 52 ดงั น้ัน 52 คูณ 8 จงึ มคี ่าเท่ากับ 32 + 128 + 256 มี ค่าเทา่ กับ 416 และจะเนได้ว่า คา่ ในตารางมกี ารพจิ ารณาแค่เพียง 32 เน่ืองจากค่าถดั ไปคือ 64 ซ่ึงมี ค่ามากกวา่ 52 จึงไมจ่ าเป็นต้องพิจารณา ระบบการนับจานวนในปัจจุบันเปลี่ยนแปลงมาใชฐ้ านสบิ เพราะเหตผุ ลความคุ้นเคยกับการ ใช้น้ิวมือในการสื่อสาร เม่ือน้ิวมือมีสิบนิ้ว ระบบตัวเลขเบื้องต้นจึงใช้ตัวเลขสิบตัว และใช้ในระบบตัว เลขฐานสิบในยคุ ต่อมา ความสาเรจ็ ท่ีสาคัญของชาวอียิปตโ์ บราณในวิชาคณติ ศาสตร์คือความเรียบงา่ ยและแม่นยา เม่ือ มองไปท่ีอักษรอียิปต์โบราณมันเป็นไปได้เสมอที่จะระบุว่ามีการบันทึกจานวนหลายสิบหลายร้อยหรือ หลายพันรายการบนตน้ กก ทาให้เหน็ ถึงวิวัฒนาการของจานวนทแ่ี รกเริ่มอาจทาให้สับสนและยากที่จะ เข้าใจ แต่เม่ือสามารถศึกษาถึงตัวเลขน้ัน ๆ ได้แล้ว เราพบว่ามีความน่าสนใจและความสวยงามของ ระบบ 1.2 ยคุ สมยั ชาวบาบโิ ลน (Babylonian Era) ตวั เลขบาบิโลเนียนของชาวบาบิโลน ปรากฎอยู่บนแผน่ จารึกน้เี ชือ่ ว่าถูกเขียนขน้ึ เมอ่ื ราว 1800 ปีก่อนคริสต์ศักราช หรือท่ีมีอายุมากกว่า 3,700 ปี มีลักษณะเป็นตารางที่มี 4 คอลัมน์และ 15 แถว

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 7 ในตารางเป็นตัวเลขท่ีเขียนด้วยอักษรรูปลม่ิ (Cuneiform script) ที่ใช้กนั ในยุคน้ัน และในช่วงแรกยัง ไม่พบว่าการสร้างแผ่นจารึกน้ีมีเพื่ออะไร ถูกค้นพบโดย เอ็ดก้า แบงค์ (Edgar Banks) นักโบราณคดี นักการทูต และผู้ค้าวัตถุโบราณ แผ่นจารึกดนิ เหนียวขนาดเล็กนี้มีช่ือว่า Plimpton 322 ปัจจุบันก็คือ บรเิ วณพน้ื ทภี่ าคใตข้ องประเทศอริ กั ภาพที่ 1.4 แผน่ จารึกของชาวบาบิโลน ท่ีมา : https://www.bbc.com/thai/international-58139881 พลิมพ์ทอน 332 (Plimpton 322) ได้สร้างปริศนาให้แก่นักคณิตศาสตร์มานานกว่า 70 ปี ตั้งแต่ถูกเข้าใจว่ามันประกอบด้วยรูปแบบพิเศษของตัวเลขที่เรียกว่า “Pythagorean triples” แด เนียล แมนฟิลล์ (Daniel Mansfield) หนึ่งในทีมวิจัยกล่าว “ปริศนาสาคัญของมันคือวัตถุประสงค์ ทาไมอาลักษณ์ในสมัยโบราณจึงต้องทางานที่ซับซ้อนด้วยการเขียนและจัดเรียงตัวเลขบนแผ่นจารึก ” นกั วิจัยท่มี หาวิทยาลัยนวิ เซาเวลล์ (UNSW) ประเทศออสเตรเลีย ค้นพบวา่ แผ่นจารกึ ดินเหนยี วเก่าแก่ อายุ 3,700 ปีของชาวบาบิโลนท่ีรู้จักกันดี จริง ๆ แล้วมันคือตารางตรีโกณมิติยุคโบราณท่ีมีมาก่อนท่ี ชาวกรีกจะคิดค้นวิชาตรีโกณมิติเป็นพันปี และเป็นไปได้ว่ามันถูกใช้สาหรับการคานวณเพ่ือก่อสร้าง พระราชวงั วหิ าร พีระมดิ ขั้นบนั ได และคลองในสมัยโบราณ สามเหล่ียนปีทาโกรัส (Pythagorean triples) เป็นตัวเลข 3 ตัวที่สอดคล้องกับทฤษฎี สามเหล่ียมมุมฉากของพีทาโกรัสนักคณิตศาสตร์คนสาคัญของโลกที่บอกว่า ผลรวมของค่ากาลังสอง ของความยาวด้านประกอบมุมฉากเท่ากับค่ากาลังสองของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ a2  b2  c2 เช่น 3, 4, 5 หรือ 5, 12, 13 เป็นตน้ ชาวบาบิโลน มีสัญลักษณทเขียนแทนจานวน คือ V แทนหน่ึง < แทนสิบ และแทนการลบมา ต้ังแตสมัยประมาณ 2000-200 ปกอนคริสตศักราช จานวนที่น้อยกวา 60 เขียนโดยใชวิธีรวมค่า สัญลักษณคลา้ ย ๆ กับอยี ปิ ต์ ตวั เลขพนื้ ฐานของชาวบาบิโลนมที ้ังหมด 59 ตวั ดังท่ีแสดงในรูป

8 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ภาพท่ี 1.5 ตวั เลขบาบิโลน ทม่ี า : http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Babylonian_numerals.html เน่ืองจากการเขียนตัวเลขบาบิโลนทาได้ยาก เราจึงมักจะเขียนแทนเลข 1 ของบาบิโลน ดว้ ยวยสัญลกั ษณ V และแทนเลข 10 ดวยสญั ลักษณ < ดงั ตารางตอ่ ไปนี้ จานวน สญั ลกั ษณ์ จานวน สญั ลักษณ์ จานวน สญั ลักษณ์ 1V 21 <<V 41 <<<<V 2 VV 22 <<VV 42 <<<<VV 3 VVV 23 <<VVV 43 <<<<VVV 4 VVVV 24 <<VVVV 44 <<<<VVVV 5 VVVVV 25 <<VVVVV 45 <<<<VVVVV 6 VVVVVV 26 <<VVVVVV 46 <<<<VVVVVV 7 VVVVVVV 27 <<VVVVVVV 47 <<<<VVVVVVV 8 VVVVVVVV 28 <<VVVVVVVV 48 <<<<VVVVVVVV 9 VVVVVVVVV 29 <<VVVVVVVVV 49 <<<<VVVVVVVVV 10 < 30 <<< 50 <<<<< 11 <V 31 <<<V 51 <<<<<V 12 <VV 32 <<<VV 52 <<<<<VV 13 <VVV 33 <<<VVV 53 <<<<<VVV 14 <VVVV 34 <<<VVVV 54 <<<<<VVVV 15 <VVVVV 35 <<<VVVVV 55 <<<<<VVVVV 16 <VVVVVV 36 <<<VVVVVV 56 <<<<<VVVVVV 17 <VVVVVVV 37 <<<VVVVVVV 57 <<<<<VVVVVVV

9 18 <VVVVVVVV 38 <<<VVVVVVVV 58 <<<<<VVVVVVVV 19 <VVVVVVVVV 39 <<<VVVVVVVVV 59 <<<<<VVVVVVVVV 20 << 40 <<<< ตารางที่ 1.4 การเขยี นตวั เลขบาบิโลน ตัวเลขบาบิโลนเปนตัวเลขในระบบฐานหกสิบ ชาวบาบิโลน ถือตาแหนงของสญลักษณเป็น สาคัญ ถาสลับท่ีสัญลักษณ์จะทาใหไดจานวนที่มีคาตางกัน ดังเชน <VV ไมเทากับ V<V จานวนแรก แทนสิบสอง จานวนหลังแทนเจดส็บเอ็ด ดังนั้นเมื่อนาสัญลักษณ์ตัวเดิมไปวางไวในตาแหนงหรือหลัก ทต่ี างกันจะไดค้ า่ ตางกัน ตัวเลขของบาบิโลนเขียนเปนหลัก ๆ แตละหลักเวนระยะหางออกจากกัน โดยที่ในแตละหลัก จะมีคาประจาหลกั เรียงตามลาดบั คอื หลักที่ n 1 จะมีคา่ ประจาหลกั เทา่ กบั 60n และนิยามหลกั ท่ี 1 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง มีคา่ ประจาหลกั เทา่ กบั 600 1 ดงั ตวั อย่างตอ่ ไปนี้ เม่อื เราเขียนเลขบาบิโลน <<<<VVV <VV <<<<<VVVVVV <VVVV เมอ่ื เราพจิ ารณาเลยแต่ละชุดจะได้วา่ 14 43 12 56 ดงั น้ันเราจงึ นาเลขแตล่ ะหลักคณู ด้วยคา่ ประจาหลัก ดังนี้       43 603 12 602  56601  14 600  9, 288, 000  43, 200  3,300 14  9,334,514 ตวั เลขบาบโิ ลนถือวาเปนเลขในระบบตาแหนง เนือ่ งจากการสลบั ตาแหนงของตัวเลขบาบิโลน จะทาใหคาของตวั เลขเปล่ยี นไปดงั ตัวอยางตอไปนี้ 1.3 ระบบตวั เลขชาวมายนั (Mayan number system) หลายพันปกอนที่ชาวยุโรปจะเดนิ ทางมาถึงทวีปอเมริกา มีอารยธรรมท่ีเจริญรุงเรืองในดินแดน เมโสอเมริกาคือ อารยธรรมมายัน (Mayan civilization) อารยธรรมนี้กระจัดกระจายอยูในบริเวณ คาบสมุทรยูคาตัน ภาคใตของประเทศเม็กซิโก มีอาณาเขตลงไปครอบคลุมประเทศกัวเตมาลา ประเทศเบลิซ และประเทศฮอนดูรัสทั้งหมดในปจจุบัน ชาวมายันมีความฉลาดปราดเปร่ืองในศาสตร หลายแขนง ไดแกดาราศาสตร คณิตศาสตร เกษตรกรรม สถาปตยกรรม การชลประทาน การทอผา การทาเครอ่ื งปนดนิ เผา มรี ะบบปฏทิ ินและภาษาเขยี นของตนเอง ชาวมายันมีการจานวนนับที่ไมเหมือนชนชาติใดในโลก โดยจะเริ่มนับจาก 0 เชนลูกคนแรกคือ คนท่ี 0 คนถัดไปเปนคนท่ี 1 2 และ 3 อยางน้ีเปนตน ตัวเลขพ้ืนฐานของชาวมายันมีท้ังหมด 20 ตัว เทากบั จานวนวันใน 1 เดือน และนอกจากนย้ี ังสมมลู กันดวยเนือ่ งจากเริม่ จากเลข 0 จนถึงเลข 19 ดัง แสดงในรูปที่

10 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงภาพท่ี 1.6 ตวั เลขมายัน ทีม่ า : Howard (1969, p15) ระบบปฏิทนิ มายัน เริม่ จาก 20kin(วัน) = 1 uinal (เดือน)6 18 uinal = 1 tun (ป) = 360 วัน 20tun = 1 catun = 7,200 วนั 20catun = 1 baktun =144,000 วัน 20baktun = 1 pictun =2,880,000 วนั 20pictun = 1 calabtun =57,600,000 วัน 20calabtun = 1 kinchiltun =1,152,000,000 วนั 20 kinchiltun = 1 alautun =23,040,000,000วนั โดยมีวันแรกของเดือนคือวันท่ี 0 และวันสุดทายของเดือนคือวันท่ี 19 ทานองเดียวกัน เนื่องจากหน่ึงปมี 18 เดือน จึงเรียกเดือนแรกของป (tun) วาเดือนที่ 0 และเรียกเดือนสุดทายของป ว่าเดือนท่ี 17 นอกจากน้ีเรียกปแรกของ catun วา ปท่ี 0 จนกระท่ังถึงปสุดทายใน catun น้ันๆวา ป ท่ี 19 และเปนเชนนี้เร่อื ย ๆ ในหนวยปฏิทนิ ที่ใหญขึน้ ไป เราจะสังเกตไดวา ชวงระยะเวลา catun กิน เวลาไป 7,200 วัน นับไดประมาณ 19-20 ปตามจริง และชวงระยะเวลา 1 baktun กินเวลาไป 144,000 วนั ซ่งึ เทากับ 394-395 ป เปนเวลาทีย่ าวนานพอสมควรแตก็ไมไดสั้นเกนิ ไปเชน 1 catun ดงั นั้นชาวมายันจึงกาหนดเวลาให 1 baktun เปนหนึ่งรอบปฏิทิน ในการเขียนวนั ที่แบบมายัน นน้ั จะเขียนเปน 5 หลัก คอื pp.qq.rr.ss.tt โดยที่ หลกั แรกนับจากขวามือแสดงวันท่ีในแตละเดือน กาหนดโดยตัวเลข 0-19 หลักท่ี 2 แสดงเดือนที่ในแตละ tun กาหนดโดยตวั เลข 0-17 หลกั ท่ี 3 แสดงลาดับของ tun ในแตละ catun กาหนดโดยตัวเลข 0-19 หลกั ท่ี 4 แสดงลาดับของ catun ในแตละ baktun กาหนดโดยตวั เลข 0-19 และหลักท่ี 5 แสดงลาดับของ baktun ในแตละ pictun กาหนดโดยตวั เลข 0-19 อยางไรก็ตาม นับแตเมื่อสถาปนาอาณาจักรมายันขึ้นเม่ือ 3,116 ปกอนคริสตศักราช ตัวเลข ของมายนั โดยทั่วไปเขียนเปนหลัก ๆ ในแนวตั้ง แตก็มีเขียนในแนวนอนบาง แตละหลักเวนระยะห่าง ออกจากกนั

11 ตวั อยา่ ง 1.1 กาหนดเปนตวั เลขมายัน 5 หลกั ดงั น้ี มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงจากภาพที่ 1.5 แปลออกมาเปนตวั เลขฮนิ ดู-อารบกิ จากบนลงลางไดเปน 13 12 10 11 3 ท้ังน้ตี วั เลขในแตละหลักจะมีคาประจาหลกั เรียงตามลาดบั ดงั น้ี 18x203 = 144,000 เทากบั จานวนวันใน 1 baktun 18x202 = 7, 200 เทากบั จานวนวนั ใน 1 catun 18x201 = 360 เทากบั จานวนวนั ใน 1 tun 201 = 20 เทากับจานวนวันใน 1 เดือน และ 200 = 1 คอื 1 วนั จากนนั้ นาตัวเลขมายัน 5 หลักทแ่ี ปลออกมาเปนตัวเลขฮนิ ดู-อารบิกไปคุณกบั คา่ ประจาหลัก จะได้วา่ (13x144,000)+ (12x7,200)+(10x360)+(11x20)+(3x1) = 1,872,000+86,400+3,600+220+3 = 1,962,223 จากตัวอย่าง ตัวอย่าง 1.5 จะเห็นได้ว่าเมื่อลาดับภาพเปล่ียนไป ค่าของตัวเลขก็จะต้องเปลียน ไปด้วยเนื่องจากต้องนาไปคุณกับค่าประจาตาแหน่งซึ่งขึ้นอยู่กับลาดับภาพน่ันเอง นอกจากน้ี ค่า ประจาหลักของเลขมายันไม่ใช่ระบบเลขฐานย่ีสิบและสิบแปด เพราะเนื่องจากมีคาประจาหลักที่ n เทา่ กับ 20n-1 เม่ือ n=1,2,3,… การแปลงเลขฐานสิบใหเปนสัญลักษณมายันนั้น มี 2 ขั้นตอนเชนกัน ข้ันตอนแรกจะแปลง เลขฐานสิบใหเปนฮินดู-อารบิกฐานปฏิทินมายันเสียกอน แลวจึงเขียนสัญลักษณบาบิโลนแทนเลขแต ละหลกั ทห่ี ามาได ในการแปลงเลขฐานสิบใหเปนฮินด-ู อารบิกฐานปฏทิ นิ มายันนน้ั สามารถทาไดเชนการแปลงเลข ฐานตาง ๆ น่ันคือเราจะทาการหารแลวเกบ็ เศษท่ีไดจากการหารมาเขียนเปนเลขฐานใหม ในการน้ีจะ สังเกตเห็นวาในการเขียนปฏทิ ินแบบมายนั น้ันจะเขียนเปน 5 หลัก ดงั ทกี่ ล่าวไว้ขา้ งต้น ทานองเดียวกัน การเขียนเลขแบบมายันจะมีหลักหนวยท่ีกาหนดโดยตัวเลข 0-19 หลักสิบที่ กาหนดโดยตัวเลข 0-17 และหลักอื่น ๆ หลังจากนี้กาหนดโดยตัวเลข 0-19 เหมือนกันหมด ทั้งนี้ใน การหารเพ่ือเก็บเศษ การหารคร้ังแรกจะไดเศษสาหรับเปนตัวเลขในหลักหนวย จึงตองหาร เลขฐานสิบดวย 20 เพื่อใหไดตัวเลข 0-19 ตามตองการ แตในข้ันท่ี 2 เพื่อใหไดตัวเลข 0-17 จะตอง หารดวย 18 และในขั้นตอนหลงั จากนี้จงึ สามารถหารดวย 20 ตอไปเรอ่ื ย ๆ ขอใหดูตวั อยางตอไปนี้

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 12 ตวั อย่าง 1.2 จงแปลง 4,531,234 ใหเปนสัญลักษณมายนั วิธที า ขัน้ ตอนที่ 1 แปลง 4,531,234 ใหเปนเลขฮินดู-อารบกิ ฐานมายัน (1) 4,531,234 หารดวย 20 ได 226,561 เศษ 14 (2) 226,561 หารดวย 18 ได 12,586 เศษ 13 (3) 12,586 หารดวย 20 ได 629 เศษ 6 (4) 629 หารดวย 20 ได 31 เศษ 9 (5) 31 หารดวย 20 ได 1 เศษ 11 จงึ ไดเลขฐานมายนั เรียงลาดบั จากหลักคาสงู ไปหลกั หนวยเปน 1 11 9 6 13 14 ขั้นตอนที่ 2 เขยี นสัญลกั ษณมายนั โดยใหหลักคาสูงอยูบน หลักหนวยอยลู างสดุ ไดเปน จากตวั อย่าง 1.6 สงั เกตไดว้ ่าในข้นั ที่ 1 ของการแปลงเลขฮินดู-อารบกิ ฐานมายนั คร้ังทีส่ อง จะต้องหารดวย 18 ไม่ใชห่ ารด้วย 20 ซ่ึงไม่เหมือนกบั การแปลงเลขฐานแบบอ่ืน ๆ นน่ั เอง 1.4 ระบบตวั เลขโรมัน (Roman Number Systems) ประวตั ิศาสตรไดบันทึกไววาในราว 753 ปกอนคริสตศักราช ไดมีชนเผาหน่ึงเขามาต้งั ฐ่ินฐาน ในดินแดนแถบลุมแมํนา้ ไทเบอรบรเิ วณแหลมอติ าลีในปจจุบนั โดยเรียกหมูบานของพวกเขาวา “โรม” ตามชื่อของผูนาชนเผาคือ “โรมิวลุส” และ “เรมุส” สองพ่ีนอง และตอมาชนเผานี้ก็ถูกเรียกวา “โรมัน” ตามชื่อหมูบานที่พวกเขาปกหลักอยู ท้ังนี้ไมมีหลักฐานแนนอนวาอพยพมาจากที่ใด ซึ่งใน สถานท่ีเดยี วกนั น้กี ็มชี นเผาอีกชนเผาหน่ึงอพยพมาปกหลักอยูทนี่ ี่และแผนอิทธพิ ลสรางอาณาจักรของ ตนอยูกอนลวงหนาแลวเปนเวลาเกือบ 300 ป คือชาวอีทรัสกัน โดยมีการสถาปนาอาณาจักรอีทรัส กันอยูทางทิศเหนือของโรม ซึ่งดินแดนศูนยกลางของชาวอีทรัสกันน้ีก็คือตรงท่ีเปนแควนทัสคานีย (Tuscany) ในปจจุบัน สวนทางดานทิศใตของแหลมอิตาลีนั้นก็มีชนเผาชาวกรีกไดมาต้ังถ่ินฐานอยู กอนอีกเชนกัน โดยมีศูนยกลางอยูท่ีเมืองเนเปล (Naples) และท่ีเกาะซิซิลี ชาวอีทรัสกันนั้นเปน

13 ชนเผ่าขยันขันแข็งและชางเรียนรูสามารถสรางถาวรวัตถุศาสนสถาน และอาคารบานเรือน พรอมทั้ง วางระบบสาธารณูปโภคตาง ๆ ที่ทาใหดินแดนแหงน้ีกลายเปนอาณาจักรที่มีอารยธรรมเจริญรุงเรือง ขึ้นเปนอยางมากในแถบทะเลเมดิเตอรเรเนียน เมื่อชนเผาชาวโรมันไดอพยพเขามาในดินแดนน้ีก็ สามารถปรับตัวอยูอาศัย กลมกลืนเขากับสังคมทั้งของชาวอีทรัสกันและชาวกรีกไดเปนอยางดี แรกเริ่มทีเดียวนั้นชาวโรมันก็ยังคงอยูภายใตอิทธิพลของกษัตริยแหงอีทรัสกัน ชาวโรมันน้ันประกอบ อาชีพเกษตรกรรมและคาขายอยูกับระหวางชาวอีทรัสกันและชาวกรีก ตอมากป็ ระสบชองทางในการ สรางสังคมของตนเองใหเจริญรุงเรืองข้ึนทัดเทียมอีทรัสกันและกรีก เนื่องจากท่ีต้ังของชาวโรมันอยู กลางระหวางชาวอีทรัสกันและชาวกรีก ทาใหโรมกลายเปนศูนยกลางของการเดินทางติดตอทาการค ากันระหวางชนชาติท้ังสามจนกระทั่งในท่ีสุด จากหมูบานเล็ก ๆ ก็ขยายอาณาบริเวณออกไปเรื่อย ๆ ประกอบกับชาวโรมันเองก็ขยายเผาพันธุของตนขึ้น 35 อยางรวดเร็วดวยเชนกัน จีงทาใหโรมน้ันได กลายสภาพเปนเมืองใหญขึ้นเร่ือยมา ในท่ีสุดเม่ือชาวโรมันสามารถสรางชนชาติของตนเองขึ้นมา ทัดเทียมชนชาติอ่ีนไดแลว ในราว 510 ปกอนคริสตศักราช ชาวโรมันก็ไดเร่ิมยึดอานาจชาวอีทรัสกัน และกรีก แลวสถาปนาอาณาจักรของตนเองดวยการปกครองในแบบสาธารณรัฐขึ้นแทน ประมาณ 300 – 100 ปกอนคริสตศักราช ชาวโรมันนาตัวหนังสือกรีกมาดัดแปลงเปนตัวเลขโรมัน ไดเปนสัญ ลักษณของเลขโรมัน ดังตารางตอ่ ไปนี้ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง เลขโรมนั I V XLC DM 1 5 10 50 100 500 1000 ตัวเลขฮนิ ดู-อา รบิก ตารางท่ี 1.5 เลขโรมนั หลกั การเขยี นตวั เลขโรมันแทนจานวนน้นั มีการกาหนดหลักเกณฑทีเ่ กี่ยวของกับตาแหนงของ ตัวเลข พอจะถือไดวาเปนตวั เลขระบบตาแหนงได หลักการดังกลาวคอื (1) สัญลกั ษณแตละตวั จะเขยี นติดกันไดไมเกนิ 3 ตวั ยกเวนตัว M36 (2) เขยี นโดยใชหลักการนับจานวนตวั เลขปกติ โดยใหเขยี นและอานสัญลกั ษณเรียงลาดบั คาจากมากไปนอย เชน IIII = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 DCCLXVI = 500 + 100 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = 766 (3) ถาสามารถเขียนไดมากกวา 1 แบบ ใหเขยี นแบบที่ใชสัญลกั ษณจานวนนอยทส่ี ดุ เชน VVV =15 และ XV =15 ใหใชแบบหลังเนื่องจากใชสัญลักษณเพยี ง 2 ตวั (4) เพื่อหลกี เล่ียงกฎขอแรก ใหเขยี นตัวเลขทมี่ คี านอยไวหนาตัวเลขทีม่ คี ามากไดเปนกรณี พิเศษ โดยไมถือวาขัดกบั ขอท่ี 2 ตวั เลขพเิ ศษทีอ่ นุญาตมีเพยี ง 6 ตวั เทานนั้ คอื IV = 4 IX = 9 XL = 40 XC = 90 CD = 400 CM = 900

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 14 นอกจากนี้ หลักการเขยี นตัวเลขท่ีมคี านอยไวหนาตัวเลขทมี่ ีคามาก ไมไดถือวาเปนการลบแต อยางใด แตเปนสัญลักษณพิเศษสาหรับเลข 6 ตัวน้ีเทาน้ัน การเขียนแบบอ่ืนใหถือวาเปนการบวก ทั้งส้ิน เชน IM ไมไดถือวาเปน1000 – 1 = 999 แตอยางใด การเขียนสัญลักษณ IM ก็ยังคงมีคาเปน 1 + 1000 = 1001 เพียงแตตองจัดรูปใหมใหถูกตองเปน MI อีกท้ังการใชเคร่ืองหมายขีด ( – ) เขียน บนสัญลักษณพื้นฐาน 6 ตัว คือ V X LCD , , , , และ M โดยสัญลักษณใหมนี้จะมีคาเปน 1,000 เทา ของตัวเลขเดิม เพอ่ื ใหเขยี นตัวเลขแทนจานวนคาสูงข้ึน นัน่ คอื V แทนจานวน 5,000 C แทนจานวน 100,000 X แทนจานวน 10,000 D แทนจานวน 500,000 L แทนจานวน 50,000 M แทนจานวน 1,000,000 เชน เขียน 15,441 เปนเลขโรมัน ไดเปน XVCDXLI น้ันมิไดมีแตเดิมของชาวโรมัน หาก เปนหลกั การท่ีสรางขึ้นมาใหมโดยคนยคุ ปจจุบนั ตวั อยาง 1.3 จงหาคาของเลขโรมนั MCDXXIV วิธีทา ในการอานคาเลขโรมัน ถามีสญั ลกั ษณพิเศษ 6 ตวั เลข จะทาการคดั แยกออกมากอน ทั้งน้ี จะเห็นวามีสัญลักษณ CD = 400 และ IV = 4 ปรากฎอยูดงั นั้น MCDXXIV = M (CD) XX (IV) = M + CD + XX + IV = 1000 + 400 + 20 + 4 = 1424 โดยอาศยั หลักการเดียวกนั เราสามารถแปลงเลขอารบิกฐานสบิ ใหเปนเลขโรมันโดยพจิ ารณา ตัวเลขพิเศษทงั้ 6 กอนเปนอันดบั แรก ดงั ตัวอย่างต่อไปน้ี ตวั อยาง 1.4 จงเขียน 3,954 เปนสญั ลักษณโรมนั วิธีทา 3,954 มตี วั เลขท่ตี องใชสญั ลักษณพเิ ศษคือ 900 และ 4 ดงั นน้ั 3,964 = 3,000 + 900 + 50 + 4 = 6,000 + 900 + 50 + 20 + 4 = MMM + CM + L + X + IV = MMMCMLXIV จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นได้ว่าในการเปล่ียนตัวเลขโรมันจะต้องมีการคานึงถึง ตวั อักษรโรมันท่ีแสดงถึงตัวเลขท่ีพิเศษเป็นอันดับแรกก่อน ไดแ้ ก่ IV = 4 , IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400 และ CM = 900 หลังจากนน้ั จงึ พิจารณาตวั เลขที่เหลอื ต่อไป

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 15 1.5 ระบบฮินดู-อารบิก (Hindi-Arabic Systems) เร่ืองราวเร่ิมมาจากเม่ือพวกพราหมณหรือฮินดูในชมพูทวีปมีการใชเลข 0 ในระบบเลขฐาน 10 ทาใหการเขียนตัวเลขและการคานวณทดไปเร่ือย ๆ อยางเปนระบบจาก 10 เปน 100 จาก 100 เปน 1,000 จาก 1,000 เปน 10,000 ไมมีที่สิ้นสุด เราไมสามารถกลาวไดอยางเต็มปากวาฮินดูเปน พวกแรกท่ีคนพบระบบเลขฐาน 10 เน่ืองจากชาวอียิปตซ่ึงก็ไมไดใชเลข 0 ก็ใชเลขฐาน 10 เชนเดียว กนั เพียงใชสญั ลักษณเปนรูปอ่ืนที่ตางกันแทนเลข 10 100 1,000 จึงยังเปนที่ถกเถียงดวยวาฮินดเู ป็น อารยธรรมแรกท่ีคิดคนการใช 0 หรือไดรับอิทธิพลจากอาหรับ หรืออาหรับรับจากฮินดูพวกท่ีถือขาง ฮินดูนั้นอธิบายวาจารึกของที่พบในอินเดียต้ังแต ค.ศ.595 ไดปรากฏเลข 1-9 และ 0 แลว และยังเป นชวงกอนความเจริญของ 2 อารยธรรมอาหรับ ภายหลังอาหรับนาไปใชและเผยแพรในโลกตะวันตก จึงทาใหเขาใจวาอาหรับเปนผูคนพบและเรียกระบบตัวเลขแบบน้ีวา เลขอารบิก แตเนื่องจากหลักฐาน อะไรก็ไมชัดเจน จึงมีการเรียกระบบตัวเลขนี้อยางประนีประนอมวา ระบบเลขฮินดู-อารบิก (Hindi- Arabic System) ระบบเลขฮินดู - อารบกิ น้ันประกอบดวยตัวเลขโดดที่แตกตางกันท้งั หมด 10 ตวั ได แก 0 1 2 3 4 5 6 7 8 และ 9 แลวจึงสรางตัวเลขแทนจานวนท่ีมีคาตอจากนั้นโดยวนกลับมาใช ตัวเลขเดมิ ที่มีอยู เชน 10 11 12 13 14 15 ไปเร่อื ย ๆ ในระบบฮินดู-อารบิก เราสามารถกระจายตวั เลขออกเปนผลบวกยอยดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยาง 1.5 พจิ ารณา 12,529 = (1x10,000) +(2x1,000) + (5x100) + (2x10) + (9x1) จะไดว้ ่า 12,526 = (1x104) +(2x103) + (5x102) + (2x101) + (9x100) นนั่ คือ เลข 1 อยูในหลกั หมืน่ มีคาประจาหลกั เปน 10,000 เลข 1 จงึ มีคาเทากับ 1 คณู 10,000 เทากับ 10,000 เลข 2 อยูในหลกั พนั มีคาประจาหลักเปน 1,000 เลข 2 จงึ มีคาเทากับ 2 คูณ 1,000 เทากับ 2,000 เลข 5 อยูในหลกั รอย มคี าประจาหลักเปน 100 เลข 5 จึงมีคาเทากบั 5 คณู 100 เทากบั 500 เลข 2 อยูในหลกั สบิ มคี าประจาหลกั เปน 10 เลข 2 จงึ มคี าเทากับ 2 คณู 10 เทากบั 20 เลข 9 อยูในหลักหนวย มีคาประจาหลกั เปน 1 เลข 9 จงึ มีคาเทากับ 9 คณู 1 เทากับ 9 จากตัวอย่างข้างต้น เราจะเห็นได้ว่าเรามักจะเรียกกระบวนการหรือวิธีคิดในลักษณะนี้ว่า ระบบตาแหนง (positional system) นั่นคือการเปล่ียนตาแหนงของสิ่งนั้นก็สามารถเปล่ียนคาของ ตัวเลขนนั้ ไดแ้ มว้ ่าจะมีเลขเดยี วกนั ก็ตาม

16 บทสรุป คณิตศาสตรืไม่เพียงแต่เป็นศาสตร์ที่ว่าด้วยเรื่องตัวเลขดังที่คนในยุคปัจจุบันคุ้นเคย แต่ คณิตศาสตร์ยุคแรกเริ่มเป็นเกร็ดความรู้ในการดารงชีวิต อย่างในอดีตที่ชาวบาบิโลนและชาวอียิปต์ รู้จักเขียนสัญลักษณ์ผ่านการส่ือสารด้วยรูปภาพหรือเส้นแสดงแทนจานวน รู้จักเลข เศษส่วน รู้จักใช้ ลูกคิดบวก ลบ คูณ หารตัวเลข ความรู้เก่ียวกับจานวนได้นามาใช้ ในการติดต่อค้าขาย การเก็บภาษี การรู้จักทาปฏิทิน และการรู้จักใช้มาตรฐานเก่ียวกับ เวลา เช่น 1 ปีมี 365 วัน 1 วันมี 24 ช่ัวโมง 1 ช่ัวโมงมี 60 นาที 1 นาทีมี 60 วินาที ความรู้ทางเรขาคณิต เช่น การวัดระยะทาง การวัดมุม นามาใช้ ในการก่อสร้าง และการรังวัดท่ีดิน เขาสนใจคณิตศาสตร์ในด้านนาไปใช้ให้เป็นประโยชน์ได้เท่าน้ัน ด้วยความหลากหลายแนวคิด วัฒนธรรม และอารยะธรรมคิดค้นขึ้นในแต่ละยุคสมัยทาให้แต่ละ ประเทศย่อมมีสัญลักษณ์แทนตัวเลขท่ีแตกต่างกันไป โดยมีกฎเกณฑ์ที่ค่อย ๆ ทวีเพ่ิมพูนขึ้นมาในแต่ ละยุคสมัย ทาให้คณิตศาสตร์มีการพัฒนาอยู่เสมอ ความรู้ท่ีคิดค้นในอดีตก็ยังเป็นความรู้พื้นฐานที่คน ปัจจบุ นั จาเป็นต้องเรยี นรู้ตงั้ แต่ระดับการศึกษาขนั้ พ็นฐานจนถึงระดับทสี่ งู กว่าปริญญาตรี มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 1 1. ยคุ แรกเริ่มของตวั เลขเริม่ ขึ้นในยุคใด 2. ในยคุ โบราณ สัตวท์ ่นี ามาเป็นสื่อแทนตวั เลข คอื อะไรและมคี วามหมายอยา่ งไร 3. จงเขยี นเลข 4/5 ในรูปแบบของเลขอยี ิปต์ 4. จงหาค่าต่อไปนี้ 4.1 จงหาคาของเลขโรมนั CMLXV 4.2 จงหาคาของเลขอยี ปิ ต 4.3 จงหาค่าของเลขบาบโี ลน <<<<<VVVVVVV <<<VVVV VVVVVVVV <<<<<V 5. จงหาคาของเลขมายนั ตอ่ ไปน้ี 5.1 5.2 5.3

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 17 6. จานวนและตัวเลขในในยคุ โรมนั ตา่ งจากยคุ อียปิ โปราณอย่างไร 7. ตัวเลขบาบิโลนมจี ดุ เดน่ อยา่ งไร เอกสารอา้ งองิ คณะทางานลกู โลกสีเขียว (2562). หนงั สือพิมพ์เพ่ือเครือขา่ ยคนรกั ษธ์ รรมชาตแิ ละสง่ิ แวดล้อม ปีที่ 4 ฉบับที่ 13 ประจาเดือน มกราคม-มนี าคม 2552 จินตนา พ่ึงละออ และ ประยงค์ บุญมงคล. (2564). ประวัติ และพัฒนาการเกี่ยวกับจานวน. สบื คน้ เมอื่ วันท่ี 5 เดอื น มกราคม พ.ศ. 2564. จาก http://saranukromthai.or.th/sub/book/ book.php?book=6&chap=1&page=t6-1-infodetail07.html. จิณดษิ ฐ์ ละออปักษณิ (2562). เอกสารประกอบการสอนวิชาประวัตศิ าสตร์คณติ ศาสตร์. คณิตศาสตร์แบบอยี ิปต์ : การคูณ. สบื ค้นเมอ่ื 11 พฤศจิกายน 2563 จารกึ Plimpton 322. สืบค้นเมือ่ วนั ท่ี 12 เดือน พฤศจกิ ายน พ.ศ. 2564 จาก https://www.bbc.com/thai/international-58139881 จานวนและตวั เลข. สบื คน้ เม่ือ วันท่ี 15 เดือน มีนาคม พ.ศ. 2564 จาก http://www.ptr.ac.th/enet/www/allmedia/Levels/spm/m1/math/figure_and_n umber/page/number.html ยืน ภู่วรวรรณ (2564). สานกั บรกิ ารคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์. สืบค้นเมื่อ วันที่ 15 เดอื น มีนาคม พ.ศ. 2564. จาก http://oho.ipst.ac.th/bookroom/snet2/history_math/math_egypt.htm ระบบเลขอียิปต์. สืบคน้ เมื่อ วนั ที่ 9 เดือน เมษายน พ.ศ. 2564. จาก https://th.sodiummedia.com/3973856-egyptian-number-system-history- description-advantages-and-disadvantages-examples-of-the-ancient-egyptian- number-system สุเทพ จนั ทร์สมศักด์ิ (2538). ระบบจานวน. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพจ์ ฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลยั . สมสวาท สุดสาคร (2542). ระบบจำนวน. (พมิ พ์ครง้ั ที่ 4). กรงุ เทพฯ: มหาวทิ ยาลยั รามคาแหง.

18 สานกั งานราชบณั ฑิตยสภา. (2554). พจนานุกรม ฉบับราชบัณฑิตยสถาน พ.ศ. 2554. สานกั งาน ราชบณั ฑติ ยสภา. สบื ค้นเม่ือ วนั ท่ี 8 เดอื น มกราคม พ.ศ. 2564. จาก https://dictionary.orst.go.th/. อัจจนา ผลานวุ ตั ร (2552). คนพบอารยธรรมโลก กรีกโบราณ. กรงุ เทพฯ : เอเธนสพับลิชช่งิ . อัจจนา ผลานวุ ตั ร (2552). คนพบอารยธรรมโลก จักรวรรดโิ รมนั . กรงุ เทพฯ : เอเธนสพับลิชช่ิง. อจั จนา ผลานวุ ัตร (2552). คนพบอารยธรรมโลก ยุคกลาง. กรงุ เทพฯ : เอเธนสพบั ลชิ ชิ่ง. อัจจนา ผลานวุ ัตร (2552). คนพบอารยธรรมโลก อารยธรรมแรก. กรงุ เทพฯ : เอเธนสพับลชิ ช่งิ . Boyer, C. (1968). A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons. Nattapon Detkajon (2564). เศษสว่ นในอียิปต์โบราณ สืบคน้ เม่อื วนั ที่ 22 เดือน มีนาคม พ.ศ. 2564. จาก https://www.facebook.com/IyakoopSociety/posts/1474457519378453/ Howard, E. (1969). An Introduction to the History of Mathematics. New York: Holts, Rinehart and Winston, Inc. Kahn, C. and Osborne, K. (2005). World History: Societies of the Past. Manitoba: Portage & Main Press. Katz V. (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. New Jersey: Princeton University Press. Thomas, C. (2007). Mayan Calendar Systems. Massachusetts: Harvard University Press. มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 19 แผนบรหิ ารการสอนประจาบทท่ี 2 เนอื้ หาประจาบท บทท่ี 2 ความรพู้ ืน้ ฐานทางคณติ ศาสตร์ 2.1 โครงสรา้ งของวิชาคณติ ศาสตร์ 2.2 ตรรกศาสตร์ 2.3 เซต 2.4 การพสิ จู น์ทางคณิตศาสตร์ 2.5 ความสมั พนั ธ์ 2.6 ฟงั กช์ นั จุดประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม เมอ่ื ศึกษาบทที่ 2 แลว้ นกั ศกึ ษาสามารถ 1. อธิบายสว่ นโครงสรา้ งพ้นื ฐานของวิชาคณติ ศาสตรไ์ ด้ 2. หาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ท่ีกาหนดได้ 3. อธบิ ายประพจนท์ ่ีสมมูลกันได้ 4. อธิบายตวั บ่งปริมาณได้ 5. อธบิ ายและยกตัวอยา่ งการดาเนินการของเซตได้ 6. สามารถแสดงวิธกี ารพิสจู น์ตามสถานการณ์ที่กาหนดได้ 7. ใหเ้ หตผุ ลในการพจิ ารณาความเป็นอนั ดบั เชิงเสน้ ของเซตได้ 8. เข้าใจและอธบิ ายฟังกช์ ันทก่ี าหนดใหไ้ ด้ กิจกรรมการเรยี นการสอนประจาบท 1. ผู้สอนอธิบายนิยาม กฎ สัจพจน์ และทฤษฎีบทพร้อมยกตัวอย่างประกอบการ บรรยาย และถามตอบเพื่อทดสอบความเข้าใจ 2. แบ่งผู้เรียนเป็นกลมุ่ กลุ่มละประมาณ 5 คน เพ่ือศึกษาทฤษฎีบทแล้วอธบิ ายในกลุ่ม พร้อมท้งั นาเสนอแนวคิด 3. ให้ผู้เรียนศกึ ษาเอกสารคาสอนเปรยี บเทยี บกับขอ้ สรุป 4. ผสู้ อนและผู้เรยี นร่วมกันอภปิ รายและหาขอ้ สรุปร่วมกันอีกครัง้ หนึ่ง 5. ให้ผู้เรยี นทาแบบฝกึ หัดบทที่ 2 6. ทดสอบย่อยหลงั จบบทเรยี น

20 ส่อื การเรยี นการสอน 1. เอกสารคาสอนวิชาระบบจานวน 2. Google Classroom 3. เคร่อื งฉายโปรเจคเตอร์ 4. โปรแกรมประชมุ online 5. หนังสอื อ่านประกอบคน้ คว้าเพิ่มเติม 6. แบบฝึกหดั บทที่ 2 การวัดผลและประเมินผล 1. สงั เกตจากการซกั ถามผเู้ รยี น 2. สงั เกตจากการร่วมกิจกรรม 3. สงั เกตจากความสนใจ 4. สังเกตจากการอภิปรายกลุ่มยอ่ ยและอภปิ รายสรปุ 5. ประเมินจากการทาแบบฝึกหดั 6. ประเมนิ จากการสอบระหว่างภาคและปลายภาค มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 21 บทท่ี 2 ความรพู้ ้นื ฐานทางคณติ ศาสตร์ (Basic Knowledge of Mathematics) เราได้รู้จักจานวนท่ีมีวิวัฒนาการจากในอดีตจนถึงปัจจุบันจากบทท่ี 1 มาแล้วน้ัน ซึ่งใน การเรียนวิชาระบบจานวนจาเป็นท่ีต้องต้องมีความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ เช่น โครงสร้างของวิชา คณิตศาสตร์ ตรรกศาสตร์ เซต ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ระเบียบวิธีการพิสูจน์ เป็นต้น ซึ่งเน้ือหา เหล่าน้ีเปน็ ส่วนหนึง่ ในวิชาหลักการทางคณิตศาสตรท์ ่ีมีความสาคัญและจาเป็นสาหรับการศึกษาระบบ จานวนในทุก ๆ บทของเอกสารประกอบการสอนน้ี 2.1 โครงสรา้ งของวิชาคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure) คณิตศาสตร์มีส่วนช่วยในการพัฒนาความคิดและบทบาทของมนุษย์เป็นอย่างย่ิง ทาให้ เกิดความคิดอย่างมีหลักการท่ีว่าด้วยเรื่องเหตุและผล คิดอย่างเป็นระบบ มีทักษะการคิดวิเคราะห์ท่ี ช่วงในการตัดสินใจและแก้ปัญหา สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวน- สุนันทา (2552) กล่าวว่า “โครงสร้างของคณิตศาสตร์ท่ีสมบูรณ์นั้นมีกาเนิดมาจากธรรมชาติ โดย มนุษย์ได้เฝ้าสังเกตความเป็นไปของธรรมชาติ ซ่ึงอาจจะเป็นทางชีววิทยา ฟิสิกส์ จิตวิทยา เศรษฐศาสตร์ ฯลฯ โดยพิจารณาปัญหาต่าง ๆ ของเน้ือหาเหล่าน้ัน แล้วสรุปในรูปนามธรรม สร้าง แบบจาลองทางคณิตศาสตร์ของเนื้อหานั้น ๆ ซึ่งแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วย คาอนิยาม คานิยาม และสัจพจน์จากนั้นจึงใช้ตรรกศาสตร์สรุปออกมาเป็นกฎหรือทฤษฎีบท แล้วนากฎหรือ ทฤษฎีบทเหล่าน้ีไปประยุกต์ใช้ในธรรมชาติต่อไป ด้วยวิธีการดังกล่าวทาให้มนุษย์เข้าใจความเป็นไป ของธรรมชาตไิ ด้ดียงิ่ ข้ึนและในขณะที่นากฎหรือทฤษฎีบทไปประยุกต์ใช้กับธรรมชาติ อาจจะได้ข้อมูล ใหม่ กอ่ ให้เกิดการปรับปรุงแก้ไขแบบจาลอง จนกระท่งั อาจทาใหไ้ ด้กฎหรือทฤษฎบี ททีด่ ีกวา่ เดมิ แล้ว นาไปประยกุ ตใ์ ช้กบั ธรรมชาตอิ ีกครั้งหนึง่ ” หากเราแบ่งธรรมชาติของคณติ ศาสตร์ สามารถแบ่งออกได้เปน็ สองส่วน ประกอบด้วยส่วน แรกระบบคณิตศาสตร์หรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์และสว่ นท่ีสองคือการให้เหตผุ ล (สมัย ยอดอินทร์, 2525: 1) ท้ังสองส่วนนี้ประกอบด้วยอนิยาม นิยาม สัจพจน์ แล้วดาเนินการผ่านหลักการและเหตุผลได้ เป็นทฤษฎบี ท จากน้นั จึงนาไปอธิบายหรือประยุกต์ใช้ในธรรมชาติ ดงั แสดงในภาพตอ่ ไปนี้

22 ธรรมชาติ - อนิยาม จัดทาแบบจาลองทางคณติ ศาสตร์ - นิยาม - สจั พจน์ ใชเ้ หตผุ ลทสี่ มเหตสุ มผล อธบิ ายหรอื ประยกุ ต์ ทฤษฎีบท มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ภาพท่ี 2.1 โครงสร้างของระบบคณติ ศาสตร์ 2.1.1 คาอนิยาม คาอนิยาม (Undefined Terms) หมายถึง คาหรือข้อความท่ีกาหนดข้ึนโดยไม่ต้องให้คา จากัดความ และต้องให้ความหมายหรือคาจากัดท่ีให้เกิดความเป็นสากล เช่น จุด A เส้นตรง เซต สมาชิก ระนาบ เปน็ ตน้ สมสวาท (สมสวาท สดุ สาคร, 2542: 2) ได้กล่าวถึงจุดและเส้นไวว้ ่า จุดหมายถึงสง่ิ ที่ไม่มี ความกว้าง ความยาว ความหนา มีแต่ตาแหน่งจะเห็นได้ชัดว่าขัดแย้งกับการปฏิบัติ ไม่ว่าจะสร้างจุด โดยใช้ปากกาหรือดินสอกต็ ามสามารถวัดความกว้าง ความยาว และความหนาได้ไม่มากก็น้อยจงึ ให้ จดุ เป็นคาอนิยาม ถ้าให้คาจากัดความของเส้นคือสิ่งท่ีไม่มีความกว้าง ความหนา มีแต่ความยาว ก็ ขัดแย้งกับส่ิงท่ีพบเห็นในชีวิตประจา เช่น เชือกหรือเชือกสมอเรือ เส้นก๋วยเต๋ียว เป็นต้น จึงให้ คาวา่ “เส้น” เป็นอนิยาม 2.1.2 บทนยิ าม บทนิยาม (Defined Terms) คาหรือข้อความที่กาหนดข้ึนเพื่อให้เข้าใจตรงกัน ต้อง อธิบายความหมายหรือให้คาจากัดความไว้อย่างชัดเจน โดยอาศัยคาอนิยามหรือนิยามอ่ืน ๆ เช่น รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก คือ รปู สามเหลย่ี มท่ีมมี ุมหนงึ่ มุมเท่ากบั 90 องศา นวลอนงค์ (นวลอนงค์ อทิ ธจิ ีระจรัส, 2541: 41) ได้กาหนดคานิยามที่ดคี วรมีหลกั เกณฑ์ ในการกาหนดดังนี้ 1) ควรระบุสมบตั ทิ ่ีทาใหเ้ ข้าใจได้งา่ ย 2) ควรมีความรดั กุมและประหยดั คา 3) ควรจะใช้คาอนิยามหรือคาท่เี คยให้นยิ ามมาแลว้ 4) คาหรือพจนอ์ นั หน่งึ ควรกาหนดนิยามเพียงอย่างเดยี ว 5) ตอ้ งเปน็ ประพจน์เงื่อนไขไปกลับในรูป p q 6) ไมค่ วรจะมขี ้อโตเ้ ถียงซึง่ ทาให้เกิดการขัดแยง้ ได้ 7) ไมค่ วรกาหนดคานยิ ามขนึ้ มาแล้วไมเ่ คยนาไปใช้ในระบบเลย 8) เมื่อกาหนดแล้วก็ต้องบอกได้ว่า ส่ิงใดเป็นไปตามคานิยามหรือส่ิงใด ไม่ได้เป็นไปตาม คานิยามนนั้

23 2.1.3 สัจพจน์ สัจพจน์ (Axiom / Postulate) หมายถึงข้อความท่ีตกลงกันและยอมรับว่าเป็นความจริง โดยไม่ต้องพิสูจน์ โดยอาศัยใช้อนิยามหรือนิยามมาอ้าง แยกได้เป็นสมมติฐาน สิ่งที่เห็นจริงแล้วและ ข้อตกลง เชน่ เส้นตรงสองเสน้ ตัดกันท่จี ุดเพยี งจุดเดยี วเท่านัน้ สง่ิ ท่ีเป็นสิ่งเดียวกันยอ่ มเทา่ กัน 0 เปน็ จานวนเต็ม ดวงอาทติ ย์ตกทางทิศตะวันตก ลากเสน้ ตรงให้ผา่ นจดุ สองจุดท่ีแตกตา่ งกนั ได้เพียงเส้นเดยี วเทา่ น้นั สจั พจนข์ องเปอาโน (Peano s Postulates) เปน็ ต้น มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 2.1.4 ทฤษฎีบท ทฤษฎีบท หมายถึง ข้อความท่ียอมรับว่าเป็นจริงที่สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ความรู้ของ อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบทผ่านกระบวนการการอ้างเหตุผลท่ีสมเหตุสมผลทางด้าน ตรรกศาสตรเ์ ขา้ มาช่วยในการพิสจู น์ หรืออาจกลา่ ววา่ สัจพจน์ + ตรรกศาสตร์  ทฤษฎบี ท ตวั อยา่ ง 2.1 (สมสวาท สดุ สาคร, 2542: 3) โครงสรา้ งของระบบคณิตศาสตร์ คาอนิยาม: p , q , r คานยิ าม: 1) pr  p prtperm.s.. p a b 2) จานวนตรรกยะคอื จานวนทอ่ี ยู่ในรูป เมื่อ a,b จานวนเตม็ และ b  0 3) จานวนอตรรกยะคือจานวนทไี่ มใ่ ช่จานวนตรรกยะ 4) จานวนจริงคือจานวนตรรกยะหรือจานวนอตรรกยะ สัจพจน์: 1) เม่ือ p, q, r เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ จะได้ (pq)r  pr  qr 2) ผลคณู ของจานวนตรรกยะย่อมเปน็ จานวนตรรกยะ ทฤษฎีบท: ถ้า 2k เป็นจานวนตรรกยะแล้ว 4k เป็นจานวนตรรกยะ 2.2 ตรรกศาสตร์ (Logic) คาว่า ตรรกศาสตร์ (Logic) หมายถึงศาสตร์ท่ีว่าด้วยกฎเกณฑ์ของการให้เหตุผล หรือ เป็นวิชาว่าด้วยเรอื่ งการคดิ หาเหตุผล มีการอ้างเหตผุ ลเพ่ือให้ผลลพั ธ์มีความสมเหตสุ มผลและสามารถ ส่ือสารออกมาในรูปภาษาถ่ายทอดให้ผู้อื่นได้อยา่ งถกู ต้อง จึงเป็นศาสตร์หน่ึงที่สาคัญของมนุษย์ท่ีช่วย พฒั นากระบวนการคดิ ได้เป็นอยา่ งดี อีกทั้งยังเป็นพื้นฐานที่สาคัญในการศึกษาคณติ ศาสตร์เร่ืองอน่ื ๆ

24 2.2.1 ประพจน์และประโยค ประโยค หมายถึง ถ้อยคาที่มีความเกี่ยวข้องกันถูกต้องตามระเบียบของภาษาและมี เน้ือความบริบูรณ์ ประโยคทใี่ ช้ในชีวติ ประจาวันมีหลายประเภท หากจาแนกประโยคตามเจตนาผ้สู ง่ สาร สามารถบแ่ งไดเ้ ปน็ 4 ประเภท ไดแ้ ก่ ประโยคบอกเล่าและประโยคปฏิเสธเท่าน้ัน ดังนิยามต่อไปน้ี บทนิยาม 2.1 ประพจน์ (Propositions) คอื ประโยคหรอื ข้อความท่ีมคี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ หรือ เป็นเทจ็ อยา่ งหนง่ึ อยา่ งใดเพียงอยา่ งเดียวเท่านัน้ (สเุ ทพ จันทร์สมศกั ด,ิ์ 2518: 2) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ตัวอยา่ ง 2.2 จงพิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี วิธที า - 10  3  9 เป็นประพจนท์ ่มี ีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็ - 3 เปน็ จานวนตรรกยะ เปน็ ประพจน์ทม่ี คี า่ ความจริงเปน็ จรงิ 7 - วนั นีฝ้ นตก ไม่เป็นประพจน์ - เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคเหนือของประเทศไทย เป็นประพจน์ที่มีค่าความ จรงิ เปน็ จริง บทนิยาม 2.3 ประโยคเปดิ (Open Sentence) คือประโยคบอกเลา่ หรือประโยคปฏิเสธซึ่งมีตัวแปร แต่ไม่เปน็ ประพจน์และเม่ือแทนตัวแปรดว้ ยสมาชกิ ใด ๆ ในเอกภพสัมพทั ธ์ จะได้ ประโยคท่ีเปน็ ประพจน์ ตวั อย่าง 2.4 จงพิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ วิธที า - กรณุ าสวมหนา้ กากอนามยั และวดั ไขก้ ่อนเขา้ อาคาร เปน็ ประโยคเปดิ - x2  2x 1  0 เป็นประโยคเปดิ เป็นจรงิ - อ้าว !!! มาแล้วทาไมไม่โทรตาม เปน็ ประโยคอทุ าน จึงไมเ่ ปน็ ประโยคเปิด - 1 เป็นจานวนเต็มบวก ไม่เป็นประโยคเปิด เพราะเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริง ในบางข้อความ เราสามารถเปล่ียนประโยคเปิดให้เป็นประพจน์ได้ เช่น สมการ x  y  0 เป็นประโยคเปิด แต่ถ้าเราแทนค่า x  3 และ y  0 ลงในสมการดังกล่าว เราจะได้ ประพจน์ 3 0  0ท่มี ีคา่ ความจริงเป็นเท็จ 2.2.2 ตวั เชอ่ื มทางตรรกศาสตร์ เม่ือเราต้องการเช่ือมประพจน์สองประพจน์หรือหลาย ๆ ประพจน์ เราสามารถ ดาเนินการภายใต้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ท่ีมีลักษณะคล้าย ๆ กับการบวกหรือลบกันของจานวน นั่นเอง โดยท่ัวไปมกั จะใชต้ วั อกั ษรภาษาองั กฤษแทนประพจน์

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 25 2.2.2.1 ตวั เชอ่ื ม”และ” (  ) ถ้าให้ p, q เป็นประพจน์ และสัญลักษณ์  อ่านว่า “และ” ดังน้ันประพจน์ p  q อา่ นวา่ “ p และ q ” มคี ่าความจริงดังตารางต่อไปนี้ p q pq TT T TF F FT F FF F ตารางที่ 2.1 ตารางคา่ ความจรงิ ของตัวเช่อื ม “และ” จากตารางที่ 2.1 จะเห็นได้ว่า ตัวเชื่อมและที่ทาให้ประพจน์ p  q มีความความจริง เป็นจรงิ (T) มีเพียงกรณีเดียว นนั่ คือกรณที ีป่ ระพจน์ p และ q เปน็ จริง (T) 2.2.2.2 ตัวเชอ่ื ม”หรอื ” () ถ้าให้ p, q เป็นประพจน์ และสัญลักษณ์  อ่านว่า “และ” ดังน้ันประพจน์ p  q อา่ นว่า “ p หรอื q ” มคี ่าความจรงิ ดงั ตารางตอ่ ไปนี้ p q pq TT T TF T FT T FF F ตารางที่ 2.2 ตารางคา่ ความจริงของตัวเชื่อม “หรือ” จากตารางท่ี 2.2 จะเห็นได้ว่า ตัวเชื่อมและที่ทาให้ประพจน์ p  q มีความความจริง เปน็ เท็จ (F) มีเพยี งกรณเี ดยี ว นัน่ คอื กรณที ่ีประพจน์ p และ q เป็นเท็จ (F) 2.2.2.3 ตัวเชือ่ ม ”ถา้ …แล้ว….” ( ) ถ้าให้ p, q เป็นประพจน์ และสัญลักษณ์  อ่านว่า “ถ้า…แล้ว….” ดังน้ันประพจน์ p q อา่ นวา่ “ ถ้า p แล้ว q ” มีค่าความจริงดงั ตารางต่อไปน้ี

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 26 p q pq TT T TF F FT T FF T ตารางที่ 2.3 ตารางค่าความจริงของตวั เช่อื ม “ถ้า…แล้ว….” จากตารางท่ี 2.3 จะเห็นได้ว่า ตัวเช่ือมและท่ีทาให้ประพจน์ p q มีความความจริง เปน็ เท็จ (F) มเี พียงกรณเี ดยี ว นนั่ คือกรณที ป่ี ระพจน์ p เป็นจรงิ (T) และ q เปน็ เทจ็ (F) 2.2.2.4 ตวั เชอื่ ม ”ก็ตอ่ เมอื่ ” (  ) ถ้าให้ p, q เป็นประพจน์ และสัญลักษณ์  อ่านว่า “ก็ต่อเม่ือ” ดังนั้นประพจน์ p q อา่ นวา่ “p กต็ อ่ เมื่อ q” มคี า่ ความจรงิ ดงั ตารางตอ่ ไปนี้ p q pq TT T TF F FT F FF T ตารางที่ 2.4 ตารางค่าความจริงของตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” จากตารางท่ี 2.4 จะเห็นได้ว่า ตัวเช่ือมและที่ทาให้ประพจน์ p q มีความความจริง เป็นจริง (T) เม่ือประพจน์ p และ q มีค่าความจริงท่ีเหมือนกัน แต่ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงต่าง จาก q จะทาใหป้ ระพจน์ p q มีความความจริงเป็นเท็จ (F) 2.2.2.5 นิเสธ ( ) ถ้าให้ p เป็นประพจน์ และสัญลักษณ์ อ่านว่า “นิเสธ” ดังน้ันประพจน์ p อ่าน ว่า “นเิ สธ p” หรอื “นเิ สธของ p” มีค่าความจรงิ ดังตารางต่อไปนี้ pp TF FT ตารางที่ 2.5 ตารางค่าความจรงิ ของนเิ สธ จากตารางที่ 2.5 จะเห็นได้ว่า เม่ือเราเติมนิเสธที่หน้าประพจน์ p จะทาให้ค่าความจริง ของประพจน์ p มีคา่ ความจริงตรงขา้ มกบั ประพจน์ p

27 ตวั อย่าง 2.5 จงหานเิ สธของประพจนต์ ่อไปน้ี 1) x เป็นจานวนคู่ 2) x  y  0 3) กฤษฎาเป็นนกั ศกึ ษาสาขาวิชาคณติ ศาสตร์ 4) x2  2x 1 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง5)2ไมใ่ ชจ่ านวนเตม็ วธิ ีทา 1) นเิ สธของประพจน์ x เป็นจานวนคู่ คือ x ไมเ่ ป็นจานวนคู่ หรือ x เปน็ จานวนคู่ค่ี 2) นิเสธของประพจน์ x  y  0 คือ x  y  0 3) นเิ สธของประพจน์ กฤษฎาเป็นนักศึกษาสาขาวิชาคณิตศาสตร์ คอื กฤษฎาไมเ่ ป็น นกั ศึกษาสาขาวิชาคณติ ศาสตร์ 4) นิเสธของประพจน์ x2  2x คือ x2  2x 1 1 5) นเิ สธของประพจน์ 2 ไม่ใช่จานวนเต็ม คือ 2 เป็นจานวนเตม็ ตัวอย่าง 2.6 จงหาค่าความจริงของประพจน์ (p q)(q p) โดยใช้ตารางคา่ ความจริง วิธีทา p q p q p (q p) (p q)(q p) TT T F F T TF F F F F FT F T T T FF T T F T 2.2.3 สจั นริ ันดรแ์ ละสมมูลเชงิ ตรรกศาสตร์ บทนิยาม 2.3 สจั นริ ันดร์ (Tautology) คอื ประพจนท์ ี่มีคา่ ความจริงเปน็ จริงทุกกรณี ประพจนต์ อ่ ไปนเี้ ปน็ สจั นิรันดร์ ใชส้ าหรบั อา้ งเหตุผลในการพสิ ูจน์ทฤษฎีบทตา่ ง ๆ 1) p p (Law of Excluded Middle) 2) (p p) (Law of Contradiction) 3) (p q) p (Law of Simplification) (p  q) q 4) [(p q) (q r)](p r) (Law of Syllogism) 5) (p q) ( q  p) (Law of Contraposition) 6) [(p q)  p] q (Law of Modus Ponens)

28 7) [(p q) q] p (Law of Modus Tollens) 8) p (p q) (Law of Addition) 9) (p p) p (Law of Idempotent) 10) [(p q) p]q (Law of Disjunctive Syllogism) [(p q) q]p (Law of Commutative) 11) (p q) (q  p) (Law of Associative) (pq) (qp) 12) (p q) r p(q  r) (Law of Distributive) (pq)r p(qr) (Law of De Morgan’s) 13) p (q  r) (p q)(p r) p  (q  r) (p  q) (p  r) 14) (p q)  p q (pq)  p q มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง บทนิยาม 2.4 ประพจนข์ ดั แย้ง (Contradiction Proposition) คอื ประพจนท์ ่ีมีค่าความจริงเป็นเท็จ ทกุ กรณี บทนยิ าม 2.5 กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จะเรียกประพจน์ p สมมูลเชิงตรรกศาสตร์ (Logically Equivalent) กบั ประพจน์ ๆ q ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ p และประพจน์ q มี ค่าความจรงิ เหมอื นกนั ทุกกรณี เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ p  q กฎการสมมลู เชิงตรรกศาสตร์ มีดงั นี้ ( p) p ppp Double negation ppp pFp Idempotent Laws pTT Identity Laws pTp pqqp Commutative Laws pqqp pqqp DeMorgan’s Laws Associative Laws (pq) p q Distributive Laws (p q)  p q (pq)r p(qr) (pq)r p(qr) p  (q  r)  (p  q) (p  r) p (q  r)  (p  q)  (p  r)

29 Implication pq pq pq pq Contrapositive pq q p Absorption Laws p (p  q)  p p  (p  q)  p Hypothetical Syllogism p q (q r)  p r Negation for Implication (p q)  p q มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง นอกจากนี้ เรายังสามารถพบกับกฎตรรกศาสตร์ในรูปแบบอ่ืนที่ประยุกต์ใช้จากท่ี กาหนดขา้ งตน้ เชน่ p (q  r)  (p q) (p r) (pq)r (pr)(q r) (pq)r p(q r) เปน็ ตน้ นอกจากนี้ ยังมกี ฏทเี่ ป็นสัจนิรนั ดร์ ได้แก่ p (p  q) Addition Law Excluded Middle p p Contradiction (p p) จากกฎการสมมูลเชิงตรรกศาสตร์และสัจนิรันดร์ของประพจน์ เราจะนามาพิสูจน์ว่า ประพจน์ใด ๆ เปน็ สัจนิรันดร์หรอื สมมูลเชิงตรรกศาสตร์กนั หรอื ไม่ ดงั ตวั อยา่ งต่อไปนี้ ตัวอย่าง 2.6 จงแสดงว่าประพจน์ (p(q p) สมมลู เชิงตรรกศาสตร์กับประพจน์ q p วธิ ีทา (p(q p) กาหนดให้ p (q p) DeMorgan’s Laws p ( q ( p)) DeMorgan’s Laws p( qp) Double negation ( p q)( pp) Distributive Laws ( p q)F Identity Laws ( p q) Identity Laws ( q p) Commutative Laws 2.2.4 ตวั บง่ ปรมิ าณ ในบางข้อความ เราสามารถเปล่ียนประโยคเปิดให้เป็นประพจน์ได้ เช่น สมการ x  4y  3 เมอ่ื เราแทนคา่ x 1 จะทาให้ข้อความข้างต้นเป็นประพจน์ แต่ถา้ เราสนใจตัวเลขหลาย ๆ จานวนแล้วอยากทราบว่า เม่ือเราแทนเลขทุกจานวนลงไปในสมการท่ีเป็นประโยคเปิดแล้วนั้น จะ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 30 ยังสามารถเป็นประพจน์ได้หรือไม่ พิจารณาประโยคเปิดต่อไปนี้เม่ือเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของ จานวนเตม็ 1) สาหรับจานวนเต็ม x ทั้งหมด x2 มากกวา่ 5 พบว่า ประโยคเปิดน้ี มีค่าความจริงของเป็นเท็จ เพราะเมื่อให้ x 1 จะได้ x2 15 2) มจี านวนเต็ม x อยา่ งนอ้ ยหนึ่งจานวน ซึง่ x2 1 พบวา่ ประโยคเปดิ นี้ มคี า่ ความจริงเป็นจริง เพราะมี x  2 ซึ่งทาให้ x2  22 1 จาก 1) และ 2) เมื่อเติมวลี “สาหรับทุหจานวนเต็ม x” หรือ “มีจานวนเต็ม x อย่าง น้อยหน่ึงจานวน” ให้กับประโยคเปิด จะเรียก “สาหรับทุก” และ “มี” ว่า “ตัวบ่งปริมาณ” (Quantifier) บทนยิ าม 2.7 เอกภพสัมพัทธ์ (Universal Set) คือ เซตท่ีกาหนดข้ึนโดยมีขอ้ ตกลงวา่ จะไม่กลา่ วถึง สมาชิกใด ๆ หรือสิ่งใด นอกเหนือจากสมาชิกของเซตที่ได้กาหนดข้ึน เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์  ต่อไปนีเ้ ปน็ เอกภพสัมพัทธ์ เช่น H {x x และ x 15} เอกภพสมั พัทธ์ คอื จานวนจริง G {y y และ y  2} เอกภพสัมพทั ธ์ คอื จานวนตรรกยะ เป็นต้น กาหนดให้  เป็นเอกภพสัมพัทธ์ และ P(x) เป็นประโยคเปิด ตัวบ่งปริมาณแบ่งได้ เป็น 2 ชนิด ดังนี้ 1) ตัวบ่งปริมาณทั้งหมด (Universal Quantifier)  อ่านว่า “สาหรับทุก” (for all) คือตัวบ่งปริมาณที่มีความหมาย ทุกส่ิงทุกอย่างท่ีกล่าวถึงในเอกภพสัมพัทธ์ เช่น ทุก ๆ ทั้งหมด แต่ละ เป็นตน้ เขียนแทนดว้ ย x,P(x) หรือ x  ,P(x) หรือ x[P(x)] 2) ตัวบ่งปริมาณมี (Existential Quantifier)  อ่านว่า “มี” (for some) คือตัวบ่ง ปริมาณที่มีความหมายมีบางส่ิงบางอย่างท่ีกล่าวถึงในเอกภพสัมพัทธ์ เช่น มีอย่างน้อยหนึ่ง บาง สมาชิก เปน็ ต้น เขียนแทนดว้ ย x,P(x) หรอื x  ,P(x) หรอื x[P(x)] ตวั อย่าง 2.8 จงเขียนประพจนต์ อ่ ไปนใ้ี นรปู แบบตวั บ่งปริมาณ 1) เลขยกกาลงั สองของจานวนจริงใด ๆ มีคา่ มากกวา่ หรอื เทา่ กับ 0 2) มจี านวนเตม็ บางจานวนทที่ าให้ y  0 3) สาหรับจานวนจรงิ x ใด ๆ x 1  x 4) ถ้าทกุ ๆ จานวนนับ x มมี ากกว่า 10 แลว้ จะมีจานวนนับ k ทีม่ ีคา่ ไมเ่ กิน 5 วิธีทา 1) x , x2  0

31 2) y , y 0 3) x ,x 1 x 4) (x , x 10) (k , k  5) การศึกษาตวั บ่งปรมิ าณในระดับท่สี ูงข้นึ จะมกี ารการเขียนประพจน์ท่ีมีตัวบ่งปริมาณ 2 ตวั โดยมมี ี P(x,y) เปน็ ประโยคเปิดทมี่ ี x และ y เป็นตัวแปรอิสระ ดงั นี้ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ประพจน์ xy,P(x,y) หรือ xy[P(x,y)] อ่านว่า “ทุก ๆ x และ y ” ประพจน์น้ีจะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเม่ือ ทุก ๆ x และ y ซึ่ง P(x,y) เป็นจริง ดังนั้น เม่ือมีค่า x หรือ y ท่ีทาให้ประพจน์ P(x,y) เป็นเท็จ จะทาให้ประพจน์ xy,P(x,y) เป็นเท็จ เช่น กาหนดใหเ้ อกภพสมั พทั ธค์ ือเซตของจานวนเตม็ จะได้วา่ xy,x2  2xy  y2  0 มคี ่าความจริงเป็นจริง xy,x  y 0 มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ เปน็ ต้น ประพจน์ xy,P(x,y) หรือ xy[P(x,y)] อ่านว่า “ทุก ๆ x มี y ” ประพจน์ น้ีจะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ทุก ๆ x จะมี y ท่ีทาให้ P(x,y) เป็นจริง ดังน้ัน เมื่อมีค่า x บางค่าแต่ไม่สามารถหาค่า y ที่ทาให้ประพจน์ P(x,y) เป็นจริงได้ จะทาให้ประพจน์ xy,P(x,y) เป็นเท็จ เชน่ กาหนดใหเ้ อกภพสัมพัทธค์ อื เซตของจานวนเตม็ บวก จะได้วา่ xy,x  y มคี ่าความจรงิ เป็นจริง xy,y  x มีค่าความจรงิ เปน็ เท็จ เปน็ ต้น ประพจน์ xy,P(x,y) หรือ xy[P(x,y)] อ่านว่า “มี x มี y ” ประพจน์น้ีจะมี ค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเม่ือ จะมีค่า x และ y ท่ีทาให้ P(x,y) เป็นจริง ดังน้ัน เมื่อทุกๆ x และ y ท่ีทาให้ประพจน์ P(x,y) เป็นเท็จ จะทาให้ประพจน์ xy,P(x,y) เป็นเท็จ เช่น กาหนดให้ เอกภพสัมพทั ธค์ อื เซตของจานวนตรรกยะ จะได้วา่ xy,x  y 3 xy,(x  y)2  0 มคี า่ ความจริงเป็นจริง มีคา่ ความจรงิ เป็นเท็จ เป็นต้น ประพจน์ xy,P(x,y)หรือ xy[P(x,y)] อ่านว่า “มี x สาหรับทุก y ” ประพจน์นี้จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ จะมีค่า x สาหรับทุก ๆ y ท่ีทาให้ P(x,y) เป็นจริง ดังน้ัน เมื่อไม่สามารถหาค่า x ที่ทาให้ประพจน์ P(x,y) เป็นเป็นจริงสาหรับทุก y จะทาให้ ประพจน์ xy,P(x,y) เปน็ เทจ็ เชน่ กาหนดใหเ้ อกภพสมั พทั ธ์คอื เซตของจานวนจริง จะได้ว่า xy,x  y  y 1 มีค่าความจริงเปน็ จริง xy, x  y มีค่าความจริงเป็นเท็จ เป็นต้น 2.3 เซต (Sets)

32 ในเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ มักจะมีการพูดถึงเซตในหลาย ๆ เร่ือง จึงจาเป็นที่จะต้องมี ความรู้พื้นฐานที่ช่วยในการศึกษาเร่ืองน้ัน ๆ เซตคือคาที่ใช้แทนกลุ่มของส่ิงท่ีเราสนใจ อาจจะเป็น ตัวเลข ตัวแปร คน สัตว์ ส่ิงของ ดังนั้น เซตจึงเป็นคาอนิยาม ส่ิงที่มีอยู่ภายในเซตเราเรียกว่า “สมาชกิ ” (Element) ของเซต ซ่งึ เซตใดเซตหน่ึงอาจจะมสี มาชิกหรือไม่มสี มาชิกก็ได้ ยกตัวอย่าง เช่น เซตของคนในครอบครวั เซตของพยัญชนะไทย เซตของจานวนนับท่มี ากกวา่ 10 แต่ไมเ่ กิน 20 เซตของรายช่ือตน้ ไม้มงคล เซตของช่ือประเทศในทวปี เอเชีย เซตของคนท่ีมี IQ มากกวา่ 150 เป็นต้น มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 2.3.1 การเขียนเซต ในการเขียนเซตทางคณิตศาสตร์ เราจะใช้สัญลักษณ์ { } แทนเซตที่เราต้องการแสดง ซึ่งในทางคร้ังอาจมีสมาชิกจานวนมาก จึงนิยมใช้ตัวอักษรแทนชื่อของเซต เช่น ตัวภาษาอังกฤษ ตัวพิมพ์ใหญ่ พยัญชนะไทย ตัวแปรโรมัน เป็นต้น และใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็กแทน สมาชิกของเซต วิธกี ารเขยี นเซตแบ่งออกเป็น 2 รปู แบบ ดังนี้ 1) การเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชกิ การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเป็นการเขียนเซตที่แสดงให้เห็นถึงสมาชิกทั้งหมด ภายในเซต เราใชส้ ัญลกั ษณ์ปกี กาเปดิ { เม่ือเร่ิมตน้ สมาชิกและเติมเคร่ืองหมายจุลภาค , คั่นระหวา่ ง สมาชิกแต่ละตัว หากสมาชิกซ้ากันจะนิยมเขียนสมาชิกเพียงตวั เดียวเทา่ นั้น และถ้าสมาชิกของเซตมี จานวนมากจะเขียนสมาชิกสามตัวแรกจากน้ันจะใช้ … แทนสมาชิกตัวท่ีเหลือถัดไปหรืออาจมี สมาชิกตวั สุดท้ายไว้ขา้ งหลงั ก็ได้ เม่ือสมาชกิ ถกู เขียนครบแล้วให้ใส่เคร่อื งหมายปกี กาปิด } ดังตัวอย่าง ตอ่ ไปนี้ BA{{2ร,า4ช,บ6รุ ,ี,..ก.,า1ญ00จ}นบรุ ี, นครปฐม, เพชรบุรี} ก {..., 3,  2, 1, 0,1, 2,...} เป็นตน้ การกล่าวถึงสมาชิกในเซต จะใช้สัญลักษณ์  แทน การเป็นสมาชิก และสญั ลักษณ์  แทนการไมเ่ ป็นสมาชกิ เช่น สมทุ รสงคราม A ราชบุรี A 10B 0B 1 0ก 2 ก เป็นต้น จะเห็นได้ว่าลาดับของการเขียนสมาชิกหรือเซตท่ีมีสมาชิกซ้ากันไม่ได้ส่งผลกระทบต่อเซตน้ัน ๆ แต่หากเปน็ เพยี งการเขียนเพอื่ ให้ผอู้ ่านเกิดความนา่ สนใจและเหน็ ความสวยงานของตวั เลข 2) การเขยี นเซตแบบกาหนดเงอ่ื นไขสมาชกิ การเขียนเซตวิธีน้ีเป็นการเขียนเพื่อลดจานวนการเขียนสมาชิกให้เป็นทุกตัว โดยจะให้ สมาชิกของเซตแทนด้วยตัวแปร ซ่ึงนิยมใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก และกาหนดเงื่อนไขที่

33 เกี่ยวข้องกับตัวแปรน้ันไว้หลังสัญลักษณ์ หรือ : อ่านว่า “โดยที่” คั่นระหว่างตัวแปรกับเงื่อนไข เช่น A  {a 0 a  25} B  { x x เป็นช่อื สัตว์เลย้ี ง} M  {ก ก เปน็ ชอ่ื นักศกึ ษาสาขาวิชาคณิตศาสตร์}  {   2และ 1} เปน็ ตน้ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 2.3.2 ชนดิ ของเซต เราสามารถแบ่งประเภทของเซตได้หลายรูปแบบ เช่น แบ่งประเภทตามจานวน สมาชิก แบ่งประเภทตามนัยสาคัญของสมาชิก เป็นต้น ต่อไปนี้จะเป็นการแบ่งชนิดของเซตตาม จานวนสมาชิก บทนิยาม 2.9 เซตจากดั (Finite Set) คอื เซตทมี่ ีจานวนสมาชกิ เท่ากบั ศนู ย์หรือจานวนเตม็ บวก บทนิยาม 2.10 เซตอนนั ต์ (Infinite Set) คือ เซตทไ่ี ม่ใช่เซตจากดั บทนยิ าม 2.11 เซตว่าง (Empty Set) คือ เซตท่ีไม่มีสมาชิกหรือมีจานวนสมาชิกเท่ากับศูนย์ เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์  หรือ { } พจิ ารณาว่าเซตในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ จะไดว้ ่า A {x x และ 0  x  6} เปน็ เซตจากัด B เปน็ เซตจากดั C {1,2,3, ,100} เป็นเซตจากัด D {x 0  x  2} เป็นเซตอนนั ต์ E {} เปน็ เซตจากดั F {x x เป็นจานวนคูไ่ ม่เกนิ 1000 } เป็นเซตจากดั G {x x เป็นจานวนตรรกยะ } เปน็ เซตอนันต์ H {x x และ 9  x 10} เปน็ เซตจากัด I {x x 0} เปน็ เซตอนันต์ เป็นเซตอนันต์ จะเห็นได้ว่า เซต B, E และ H เปน็ เซตจากัดเพราะวา่ เซตเหล่านเี้ ป็นเซตวา่ ง 2.3.3 เซตยอ่ ย บทนยิ าม 2.12 (สุเทพ ทองอยู่, 2539: 95) กาหนดให้ A และ B เป็นเซต จะกล่าวว่า เซต A เปน็ เซตย่อย (Subset) ของ B ก็ต่อเม่อื สมาชิกทกุ ตวั ของเซต A เป็ น ส ม าชิ ก ข อ งเซ ต B ใช้

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 34 สญั ลกั ษณ์ A  B แทน A เป็นเซตย่อยของ B และ A ไมเ่ ปน็ เซตย่อยของ B ก็ตอ่ เม่ือมสี มาชิกของ A บางตวั ทไี่ มเ่ ปน็ สมาชกิ ของ B ใชส้ ญั ลกั ษณ์ A  B แทน A ไม่เป็นเซตย่อยของ B จากบบทนยิ าม 2.12 อาจกล่าวได้ว่า A  B ก็ต่อเมอ่ื ทุก ๆ สมาชิก xA แลว้ xB ตวั อยา่ ง 2.13 กาหนดเซต A {1,2}, B {2,4}, C {1,2,3} และ D {1} จงพิจารณา ความสมั พนั ธ์ของเซตย่อยในแต่ละเซตที่กาหนด วธิ ที า จากกาหนดใหจ้ ะไดว้ ่า A C, D C และ D  A แต่ B  C เพราะวา่ 4B แต่ 4C D  B เพราะวา่ 1D แต่ 1B A  B เพราะว่า 1A แต่ 1B B  A เพราะวา่ 4D แต่ 4A ทฤษฎีบท 2.14 กาหนดให้ A , B และ C เปน็ เซต 1) A  A 2) ถา้ A  B และ BC แลว้ A C (สเุ ทพ ทองอยู่, 2539: 96) พสิ ูจน์ 1) ให้ xA เนอ่ื งจาก p  p เปน็ สัจนิรนั ดร์ ดังนน้ั xA  xA เปน็ จรงิ เพราะฉะนนั้ A  A 2) สมมติ A  B และ BC ให้ xA เนื่องจาก A  B จะได้ว่า xB เนือ่ งจาก BC จะได้ว่า xC ดังนั้น ถา้ xA  xC นัน่ คือ A C ทฤษฎบี ท 2.15 (สเุ ทพ ทองอยู่, 2539: 97) กาหนด A และ B เป็นเซต จะได้ว่า A  B ก็ ตอ่ เมอื่ A  B และ B  A พสิ จู น์ เนื่องจาก p q สมมลู กับ (p q) (q p) ดงั นั้น A  B (xA  xB) (xA xB)(xBxA) (A B)(BA)

35 2.3.4 การดาเนินการของเซต บทนิยาม 2.16 ยูเนียน (Union) หรือผลผนวกของเซต A และ เซต B คือ เซตของสมาชิกทั้งหมดท่ี อยใู่ นเซต A หรอื อยู่ในเซต B หรืออยู่ในท้ังสองเซตเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ AB สามารถ เขยี นแทนดว้ ย เงือ่ นไข AB {x xA xB} บทนยิ าม 2.17 อนิ เตอรเ์ ซกชัน (Intersection) หรอื ผลตัด ของเซต A แ ล ะ เซ ต B คื อ เซ ต ข อ ง สมาชกิ ท้ังหมดท่อี ยใู่ นเซต A และเซต B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ABสามารถ เขียนแทนด้วยเงือ่ นไข AB {x xA xB} บทนิยาม 2.18 เซตเติมเต็ม (Complement Set) ของเซต A ซ่ึงเป็ นสับเซตของ  คื อ เซตที่ ประกอบด้วยสมาชิกของ  แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Ac ,A หรือ A/ สามารถเขยี นแทนด้วยเง่อื นไข Ac {x x  xA} มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง บทนิยาม 2.19 ผลตา่ ง (Difference) ของเซต A และเซต B คือเซตของสมาชิกซ่ึงอยใู่ นเซต A และไม่อยู่ในเซต B เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ A B สามารถเขียนดว้ ยเง่อื นไข A B {x xA xB} ตัวอย่าง 2.20 กาหนดให้  {0,1, 2, ...,10} , A {1, 2, 3}, B {2, 5, 9,10} และ C {4, 5} จงหา 1) AB 2) B C 3) C c 6) (A B)c 4) A  C 5) (CB) A วิธีทา จากกาหนดให้ จะไดว้ ่า 1) A B {1,2,3,5,9,10} 2) BC {5} 3) Cc {0,1,2,3,6,7,8,9,10} 4) A C {1,2,3} 5) (CB) A {4,5,9,10} 6) (A B)c {0,1,3,4,5,6, ,10} จากการดาเนินการของเซตท่ไี ดก้ ล่าวมาแล้วน้ัน เราจะได้สมบตั ิท่สี าคัญของเซต ดงั น้ี กาหนดให้ A, B และ C เปน็ เซตย่อยของ  1) AA  A 2) AA  A 3) AB  BA

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 36 4) AB  BA 5) A (BC)  (A B)C 6) A (BC)  (A B)C 7) A (BC) (A B)(A C) 8) A (BC) (A B)(A C) 9) (A B)c  Ac Bc 10) (A B)c  Ac Bc 11) A  B  A  Bc 12) A  Bc  A B 13) A (BC) (A B)(A C) 14) A (BC) (A B)(A C) 2.4 การพสิ จู น์ทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Proofs) ในหัวข้อก่อนหน้านี้ เราได้กล่าวถึงสัจพจน์และกฎตรรกศาสตร์ต่าง ๆ ที่ใช้ในการแสดง ความเป็นสัจนิรันด์ิ ดังนั้นในหัวข้อนี้จึงนาเสนอระเบียบวิธีการพิสูจน์ที่มีการอ้างอิงตามหลักการของ เหตุและผล ดงั ตอ่ ไปนี้ 2.4.1 การพสิ จู น์ p q การพสิ ูจน์ p q สามารถแบง่ ออกเปน็ 2 แบบ ดงั น้ี 1) การพสิ ูจน์โดยตรง (Direct Proof) จากตารางคา่ ความจรงิ ของประพจน์ p  q จะเห็นไดว้ า่ ประพจน์ p  q เป็นเท็จเพยี ง กรณเี ดยี ว นั่นคือกรณีที่ p เป็นจริงและ q เปน็ เทจ็ ดังน้นั การพิสูจน์โดยตรงหรือบางคร้ังอาจเรยี นวา่ การพิสูจน์ทางตรง จะสมมติใหป้ ระพจน์ p เป็นจรงิ แล้วแสดงให้เห็นวา่ ประพจน์ q เป็นจริง ตัวอยา่ ง 2.21 จงพิสูจนว์ ่า ถ้า x เป็นจานวนเต็มคแู่ ลว้ x  4 เปน็ จานวนเตม็ คู่ พสิ ูจน์ สมมติ x เปน็ จานวนเต็มคู่ จะแสดงวา่ x  4 เป็นจานวนเตม็ คู่ เน่ืองจาก x เป็นจานวนเตม็ คู่ จะมี n โดยที่ x  2n ดงั นัน้ x  4  2n  4 2(n 2)  2m โดยท่ี m  n  2 นนั่ คอื x  4 เปน็ จานวนเตม็ คู่ 2) การพิสูจน์โดยใช้การแย้งสลับท่ี (Contrapositive Proof)

37 เน่อื งจากประพจน์ p q สมมูลกับประพจน์ q  p ดังนั้นในบางข้อความที่ ไม่สามารถนาข้อสมมติของ p มาช่วยในการพิสูจน์ได้น้ัน จึงจาเป็นต้องใช้การพิสูจน์โดยใช้การแย้ง สลับที่ ในบางคร้ังอาจเรียกการพิสูจน์ทางอ้อม ด้วยการสมมติว่า q เป็นจริง แล้วแสดงให้เห็นว่า p เปน็ จรงิ ตวั อย่าง 2.22 จงพสิ ูจนว์ ่า ถ้า x2 เป็นจานวนเต็มคแี่ ลว้ x เป็นจานวนเตม็ ค่ี พิสจู น์ จะพสิ จู น์โดยใช้การแย้งสลบั ท่ี สมมตใิ ห้ x เป็นจานวนเตม็ คู่ จะแสดงวา่ x2 เป็นจานวนเตม็ คู่ เนื่องจาก x เป็นจานวนเต็มคู่ จะมี n โดยที่ x  2n ดงั นนั้ x2  (2n)2  4n2  2(2n2 )  2m โดยท่ี m  2n2  นนั่ คอื x2 เปน็ จานวนเต็มคู่ เพราะฉะน้ัน ถา้ x2 เปน็ จานวนเตม็ คแ่ี ลว้ x เป็นจานวนเต็มคี่ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 2.4.2 การพสิ ูจน์ p q เนื่องจากประพจน์ p q สมมูลกับประพจน์ (p q) (q p) ดังนั้นจะต้อง แสดงให้ได้ว่า p q เป็นจริง และ q  p เป็นจริง จะสามารถสรุปได้ว่า p q เป็นจริง การพิสจู น์ในรูปแบบนี้จึงเปน็ เปน็ 2 กรณี ดงั ตัวอย่างต่อไปน้ี ตัวอยา่ ง 2.23 จงพิสจู น์วา่ x เป็นจานวนเต็มคู่ กต็ อ่ เมอื่ x  2 เปน็ จานวนเต็มคู่ พิสูจน์ 1) จะพสิ ูจน์วา่ ถา้ x เปน็ จานวนเต็มคู่ แล้ว x  2 เปน็ จานวนเตม็ คู่ สมมติให้ x เปน็ จานวนเตม็ คู่ จะแสดงวา่ x  2 เป็นจานวนเต็มคู่ เนอื่ งจาก x เปน็ จานวนเตม็ คู่ จะมี n ท่ีทาให้ x  2n จะได้ว่า x2 2n2  2(n 1)  2m โดยที่ m  n 1 ดงั นั้น x  2 เปน็ จานวนเตม็ คู่ 2) จะพสิ จู น์วา่ ถ้า x  2 เปน็ จานวนเต็มคู่ แลว้ x เป็นจานวนเตม็ คู่ สมมติให้ x  2 เปน็ จานวนเต็มคู่ จะแสดงว่า x เป็นจานวนเตม็ คู่ เนือ่ งจาก x  2 เป็นจานวนเตม็ คู่ จะมี k ทท่ี าให้ x  2  2k x (x 2)2 จะได้วา่  2k 2  2(k 1)  2p โดยที่ p  k 1

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 38 น่ันคือ x เปน็ จานวนเต็มคู่ ดังนน้ั จึงสรปุ ได้วา่ x เปน็ จานวนเตม็ คู่ ก็ต่อเมอ่ื x  2 เปน็ จานวนเตม็ คู่ 2.4.3 การพสิ ูจน์โดยการแจงกรณี เนื่องจากประพจน์ p q r สมมูลกับประพจน์ (p r) (q r) ดังน้ันเรา เรียกการพิสูจน์ประพจน์ p q r คือการพิสูจน์โดยการแจงกรณี (Proof by case) เพราะ จะตอ้ งแสดงว่าประพจน์ p r เปน็ จริง และ q r เป็นจรงิ ในกรณีที่ต้องการพิสูจน์ประพจน์ (p1  p2 ... pn ) r ให้เป็นจริง ดังน้ันจะต้องแสดง (p1 r), (p2 r),..., (pn r) ใหเ้ ป็นจรงิ ท้ังหมด ตัวอย่าง 2.24 จงพิสูจน์วา่ กาหนดให้ x และ y เปน็ จานวนจริงใด ๆ ถา้ x  0 หรอื y 0 แลว้ xy  0 พสิ ูจน์ ให้ x และ y เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ สมมตใิ ห้ x  0 หรอื y 0 จะแสดงว่า xy  0 โดยการพสิ ูจน์แบบแจงกรณี 1) จะแสดงวา่ ถ้า x  0 แล้ว xy  0 สมมตใิ ห้ x  0 จะได้วา่ xy 0y 0 เพราะฉะนนั้ xy  0 2) จะแสดงว่า ถ้า y 0 แลว้ xy  0 สมมตใิ ห้ y 0 จะได้ว่า xy  x0 0 เพราะฉะน้นั xy  0 จาก 1) และ 2) สรปุ ได้ว่า ถ้า x  0 หรอื y 0 แลว้ xy  0 ตัวอย่าง 2.25 ให้ x เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ จงพิสูจนว์ ่า x2  x เป็นจานวนคู่ พิสจู น์ ให้ x เป็นจานวนเต็มใด ๆ จะพิสูจนแ์ บบแจงกรณที ี่ x เปน็ จานวนคู่และจานวนคี่ 1) จะแสดงวา่ ถ้า x เป็นจานวนคู่ แลว้ x2  x เปน็ จานวนเต็มคู่ สมมติ x เปน็ จานวนคู่ จะได้วา่ จะมี n ท่ีทาให้ x  2n ดังนนั้ x2  x (2n)2  2n 4n2 2n  2(n2  n)  2m โดยที่ m  n2  n นนั่ คือ x2  x เป็นจานวนเต็มคู่ 2) จะแสดงว่าถา้ x เป็นจานวนคี่ แลว้ x2  x เปน็ จานวนเตม็ คู่ สมมติ x เปน็ จานวนค่ี จะไดว้ า่ จะมี n ทีท่ าให้ x  2n 1

39 ดงั นั้น x2  x (2n 1)2  2n 1 4n2 4n12n1 4n2 6n 2  2(2n2 3n 1)  2m โดยที่ m  2n2  3n 1 น่นั คอื x2  x เป็นจานวนเต็มคู่ ดงั นัน้ จากการพสิ จู น์แบบแจงกรณีจึงสรปุ ได้ว่า x2  x เป็นจานวนเตม็ คู่ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 2.4.4 การพิสูจนโ์ ดยการหาขอ้ ขัดแย้ง .ในบางกรณีการพิสูจน์ทางตรงทาได้ยากเพราะข้อสมมติที่มีไม่เพียงพอท่ีจะช่วยในการ พิสูจน์ ดังน้ันจึงมีการนาส่ิงท่ีจะต้องแสดงให้เป็นจริงมาเป็นข้อสมมติเพิ่ม โดยการสมมติให้เป็นเท็จ เราเรียกพิสูจน์ในลักษณะน้ีว่าการพิสูจน์โดยการหาข้อขัดแย้ง (Proof by Contradiction) เป็นการ พิสูจน์ประพจน์ q ว่าเป็นจริง โดยการสมมติให้ประพจน์ q เป็นเท็จ นั่นคือ q เป็นจริง แล้วใช้ สมมติฐานน้ันในการพิสูจน์เพ่ือให้เกิดประโยคที่ขัดแย้งกัน จึงสรุปได้ว่า q เป็นจริง โดยกฎ ตรรกศาสตร์ [ q F] q เปน็ สัจนิรนั ดร์ ตวั อยา่ ง 2.26 จงพสิ ูจนว์ า่ 2 เปน็ จานวนอตรรกยะ พสิ ูจน์ จะพิสูจน์โดยการหาข้อขดั แย้ง สมมติ 2 เป็นจานวนตรรกยะ ดังน้ัน จะมีจานวนเต็ม a และ b  0 ซ่ึง ห.ร.ม. a ของ a และ b เทา่ กับ 1 และ 2  b จะไดว้ า่ 2  a 2 b2 a2 2b2 นนั่ คอื a2 เปน็ จานวนคู่ จะได้ว่า a เปน็ จานวนคู่ ดงั นั้นจะมี จะมี n ซง่ึ a  2n 2b2 a2 จะได้ว่า 2b2 (2n)2 b2  2n2 น่นั คือ b2 เปน็ จานวนคู่ จะได้วา่ b เปน็ จานวนคู่ ดังนนั้ เมื่อ a และ b เป็นจานวนคู่ จะทาให้ ห.ร.ม. ของ a และ b ไม่เทา่ กบั 1 ทาใหเ้ กดิ ขอ้ ขดั แย้ง จงึ สรปุ ไดว้ า่ 2 เป็นจานวนอตรรกยะ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 40 นอกจากจากน้ีเราสามารถใช้การพิสูจน์โดยการหาข้อขัดแย้งมีความคล้ายคลึงกับ การพิสูจน์การเป็นไปได้เพียงอย่างเดียว (Uniqueness) ด้วยการสมมติว่า มีสองสิ่งที่เป็นไปได้หรือ สอดคลอ้ งกับขอ้ สมมติ จากน้นั แสดงให้เหน็ ว่าสองส่งิ น้นั ๆ คอื สงิ่ เดยี วกันหรอื มีค่าเดยี วกันนัน่ เอง ตัวอยา่ ง 2.27 จงพสิ ูจนว์ ่า มีจานวนจรงิ เพยี งคา่ เดียวท่ที าใหส้ มการ x 1  7 เป็นจริง พสิ ูจน์ จากสมการ x 1  7 จะไดว้ ่า x  8 เป็นคาตอบของสมการ สมมตใิ ห้ y เปน็ คาตอบของสมการ โดยท่ี y  8 เน่ืองจาก y เป็นคาตอบของสมการ ดังนั้น y 17 น่ันคอื 8  x  (x 1) 1  7 1  (y 1) 1  y เพราะฉะนั้น คาตอบของสมการจงึ มเี พยี งหน่ึงเดียวคือ x  8 2.4.5 การพสิ จู น์ p q เน่ืองจาก p  q  p q ดังน้ันในการพิสูจน์ประพจน์ p  q จะอาศัยการพิสูจน์ p q เป็นจริง อีกทั้ง p q  q  p  q p ดังน้ันจะพิสูจน์โดยสมมติ p เป็นจริง แล้วจะแสดงว่า q เป็นจริง หรือสมมติ q เป็นจริง แล้วจะแสดงว่า p เป็นจริงก็ได้ การพิสูจน์ ประพจน์ p  q จึงเหมือนกับการพิสูจน์ประพจน์ท่ีเชื่อมด้วย”ถ้า...แล้ว…” เราจึงสามารถใช้การ พิสจู น์ทางตรง การพิสูจนท์ างอ้อม หรอื การพสิ จู นโ์ ดยหาข้อขดั แยง้ มาร่วมดว้ ย ตวั อย่าง 2.28 (พฒั นี อดุ มกะวานชิ , 2559:50) จงพิสูจน์ว่า ถ้าผลคูณของจานวนเต็มสองจานวนเป็น จานวนคู่ แล้วจานวนใดจานวนหน่ึงเปน็ จานวนคู่ พิสจู น์ ให้ x และ y เป็นจานวนเต็มใด ๆ สมมตวิ า่ xy เปน็ จานวนคู่ ดงั นนั้ จะมี n ซง่ึ xy  2n สมมติวา่ x ไมเ่ ปน็ จานวนคู่ นนั่ คอื จะมี m ซง่ึ x  2m 1 ดงั นัน้ 2n  xy  (2m 1)y  2my  y y 2n 2my 2(n my) ฉะนัน้ y เป็นจานวนคู่ เราจึงสรปุ ได้วา่ สาหรับจานวนเต็ม x และ y ใด ๆ ถ้า xy เป็นจานวนคู่ แลว้ x เป็น จานวนคหู่ รือ y เปน็ จานวนคู่ 2.4.6 การพิสจู น์ p q การพิสูจน์ข้อความ p  q เป็นจริงทาได้โดยการแสดงให้เห็นว่าประพจน์ p เป็นจริงและ ประพจน์ q เปน็ จริง ตามกฎตรรกศาสตร์ของประพจน์ท่ีเชอื่ มด้วย ”และ” ท่ีเป็นจริงเพยี งกรณีเดียวเท่านน้ั ดังนั้น หากต้องการพิสจู น์ขอ้ ความทอ่ี ยู่ในรูป r (p q) คือการสมมตใิ ห้ r เป็นจริงก่อน จากนั้นแสดงให้เห็นว่า p และ q เปน็ จรงิ นั่นเอง ตัวอยา่ ง 2.29 กาหนดให้ x และ y เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ จงพสิ จู น์วา่ ถ้า x  y แล้ว

41 x  x  y  y 2 พิสูจน์ สมมติให้ x และ y เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ และ x  y โดยสัจพจน์ของการบวก จะไดว้ า่ x  x  y  x นน่ั คอื 2x  y  x y x x   2 ทานองเดยี วกัน จะได้วา่ x  y  y  yมหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง นั่นคอื x  y  2y x y   y 2 yx xy ดงั น้ัน x 2 และ 2 y นั่นคอื x  x  y  y 2 2.4.7 การพสิ ูจนโ์ ดยอุปนยั เชิงคณติ ศาสตร์ เม่ือตอ้ งการพิสูจนบ์ างขอ้ ความให้เปน็ จรงิ สาหรับทุก ๆ จานวนนับ จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะ แสดงใหเ้ หน็ วา่ เป็นจรงิ ดว้ ยการแทนคา่ จานวนนบั ทุกจานวน ดังน้ันจงึ มกี ารพิสจู น์ทเี่ รียกว่าการพิสูจน์ โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) เพ่ือช่วยให้การพิสูจน์ข้อความให้เป็นจริง สาหรับทุก ๆ จานวนนับ หลักการพิสูจน์เป็นผลจากสมบัติของจานวนนับซ่ึงเราจะกล่าวในบทถัดไป ซง่ึ หลักอปุ นยั เชิงคณิตศาสตร์ มดี งั ทฤษฎีบทตอ่ ไปนี้ ทฤษฎีบท 2.30 (พัฒนี อดุ มกะวานชิ , 2559:64) หลักอปุ นัยเชิงคณติ ศาสตร์ (Principle of Mathematical Induction) กาหนดให้ P(n) แทนขอ้ ความที่มี n เปน็ ตวั แปรโดยที่ n สมมตวิ า่ 1) P(n0 ) เป็นจรงิ เมอื่ n0  และ 2) ถ้า P(k) เป็นจริง สาหรบั จานวนนบั k  n0 แล้ว P(k 1) เปน็ จริง จะได้วา่ P(n) เปน็ จริง สาหรบั ทกุ จานวนนบั n ตวั อยา่ ง 2.31 สาหรบั ทุกจานวนนับ n จงพิสจู น์วา่ 2 4 ...2n  n(n 1) วิธที า ให้ P(n) แทนขอ้ ความ 2 4 ...2n  n(n 1) 1) พจิ ารณากรณี n 1 จะพิสูจน์ P(1) เปน็ จริง เน่ืองจาก 2 1(11) จะได้วา่ 2  2 ดังน้นั P(1) เปน็ จรงิ 2) สมมติ P(k) เป็นจริง โดยที่ k เป็นจานวนนับใด ๆ จะพิสูจน์ P(k 1) เป็น จรงิ เนือ่ งจาก P(k) เป็นจริง จะได้ว่า 2 4 ...2k  k(k 1)

42 ดังนน้ั 2 4 ...2k 2k 2  k(k 1) 2k 2 k2 k2k2  k2 3k  2 (k 1)(k 2) (k 1)[(k 1) 1] น่นั คอื P(k 1) เปน็ จรงิ เพราะฉะนนั้ โดยหลกั อุปนยั เชิงคณติ ศาสตร์ จึงสรุปไดว้ ่า 2 4 ...2n  n(n 1) สาหรบั ทุกจานวนนบั n มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 2.5 ความสมั พนั ธ์ (Relations) ในชีวิตประจาวันของเรามักคุ้นเคยกับคาว่าความสัมพันธ์ในรูปแบบต่าง ๆ เช่น ความสัมพนั ธ์ของคนในครอบครัว ความสัมพนั ธ์ระหว่างประเทศ ความสัมพนั ธข์ องอาชีพการงาน เป็น ต้น หากกล่าวให้เป็นรูปธรรมมากข้ึน ความสัมพันธ์ หมายถึง ความเก่ียวข้องหรือเก่ียวพันกันของส่ิง ตา่ ง ๆ ท่ีมาจากกล่มุ ท่ีตา่ งกันภายใตก้ ฎเกณฑอ์ ย่างใดอย่างหน่ึงรว่ มกัน อีกท้ังลาดบั ในความสัมพนั ธ์ที่ เกี่ยวข้องกันภายในกลุ่ม เช่น ลาดับพ่ีน้องของคนในครอบครัว ลาดับตาแหน่งในบริษัท ลาดับค่าของ จานวน เป็นต้น ในทางคณิตศาสตร์ความหมายของความสัมพนั ธ์กน็ ิยามความหมายทานองเดียวกับที่ ไดก้ ลา่ วไปข้างตน้ อีกท้ังการศกึ ษาเร่ืองความสมั พนั ธ์ยงั เปน็ พ้ืนฐานท่ีสาคัญของการศกึ ษาฟังกช์ ันและ การวิเคราะหเ์ ชงิ คณติ ศาสตรต์ ่อไป บทนยิ าม 2.31 กาหนดให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ ผลคูณคาร์ทเี ซียน (Cartesian Product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมด โดยท่ี aA และ bB หรือ AB {(a,b) aA bB} บทนยิ าม 2.32 กาหนดให้ A และ B เปน็ เซตใด ๆ r เป็นความสัมพนั ธ์ (Relation) จาก A ไป B ก็ตอ่ เม่อื r  AB ถา้ r  AA แล้ว จะกลา่ ววา่ r เปน็ ความสัมพันธ์เซต A ตัวอยา่ ง 2.33 กาหนดให้ A {a,b,c} และ B {1,2} จงยกตัวอย่างความสมั พนั ธ์ A ไป B r1 {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)} r2 {(a,1),(a,2)} วิธีทา r4 {(b,2),(c,1)} r3 {(a,2),(b,1),(b,2)} r5 {(a,2),(b,1),(c,1),(c,2)} r6 {(a,2)} บทนิยาม 2.34 กาหนดให้ r เปน็ ความสมั พนั ธ์จาก A ไป B โดเมน (Domain) ของ r คือ เซตของสมาชกิ ตัวหนา้ ของคู่อนั ดับท้งั หมดใน r เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ Dr หรือ Dr {aA bB,(a,b)r} บทนยิ าม 2.35 กาหนดให้ r เปน็ ความสัมพันธ์ จาก A ไป B เรนจ์ (Range) ของ r