2110-2011 คณิตศาสตร์เครื่องกล

คณติ ศาสตรเ์ ครื่องกล เรียบเรียงโดย ผศ. น.อ. รามจิตติ ฤทธิศร วท.บ. (ทอ. วิศวกรรมเครื่องกล) M.SC. (Mechanical Engineering)

คณติ ศาสตร์เครือ่ งกล เลขรหสั มาตรฐานสากลประจำ�หนังสอื ISBN 978-616-211-744-2 จดั พิมพแ์ ละจัดจำ�หนา่ ย โดย… บรษิ ทั วงั อกั ษร จำ� กัด 69/3 ถนนอรณุ อมรนิ ทร์ แขวงวดั อรณุ เขตบางกอกใหญ่ กรงุ เทพฯ 10600 โทร. 0-2472-3293-5 โทรสาร 0-2891-0742 Mobile 08-8585-1521 Facebook : ส�ำนกั พมิ พ์ วงั อกั ษร e-Mail : [email protected] http://www.wangakson.com ID Line : @wangaksorn พมิ พ์ครั้งท่ี 2 พ.ศ. 2562 สงวนลิขสิทธต์ิ ามพระราชบญั ญัติลิขสทิ ธิ์ พ.ศ. 2537 โดยบรษิ ทั วงั อกั ษร จ�ำ กัด ห้ามนำ�ส่วนใดส่วนหนึ่งของหนงั สือเล่มนี้ ไปท�ำซำ้� ดดั แปลง หรอื เผยแพร่ตอ่ สาธารณชน ไมว่ ่ารปู แบบใด ๆ นอกจากได้รับอนุญาตเป็นลายลกั ษณอ์ กั ษรจากทางบริษัทฯ เท่านนั้ ช่ือและเครือ่ งหมายการค้าอืน่ ๆ ท่อี ้างอิงในหนังสอื ฉบบั น้ี เปน็ สทิ ธโิ ดยชอบด้วยกฎหมายของเจ้าของแต่ละราย โดยบรษิ ทั วงั อักษร จำ�กดั มิได้อา้ งความเปน็ เจ้าของแต่อย่างใด

ค�ำ นำ� วชิ าคณิตศาสตรเ์ ครอื่ งกล มเี น้อื หาครอบคลมุ เรอื่ งการค�ำนวณความยาว พน้ื ท่ี ปริมาตร นำ้� หนกั พกิ ดั ความเผ่ือ ความเร็วตัด ความเร็วรอบ ความเร็วขอบ อัตราทด ระบบส่งก�ำลงั ดว้ ยสายพานและเฟอื ง เวลางานกลงึ ไส เจาะ กดั และเจียระไน อัตราเรียว เกลียว ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติ ผ้เู ขียนไดบ้ รหิ ารสาระ การเรียนรแู้ บง่ เป็น 9 บทเรียน ในแตล่ ะบทเรยี นมุง่ ใหค้ วามส�ำคัญส่วนท่ีเป็นความรู้ ทฤษฎี หลกั การ กระบวนการ และส่วนทีเ่ ปน็ ทกั ษะประสบการณ์เร่งพฒั นาบทบาทของผเู้ รยี นเปน็ ผู้จดั การแสวงหา ความรู้ (Explorer) เป็นผูส้ อนตนเองได้ สร้างองค์ความร้ใู หม่ โดยมงุ่ สร้างความรูเ้ ก่ยี วกับหลกั การ ค�ำนวณเก่ียวกับงานเครื่องกล ค�ำนวณความยาว พ้ืนท่ี น้�ำหนัก การก�ำหนดพิกัดความเผ่ือของช้ินงาน ความเรว็ รอบ ความเรว็ ขอบ ความเรว็ ตดั อตั ราทด ระบบสง่ ก�ำลงั ดว้ ยสายพานและเฟอื งตามหลกั การ เพื่อส่งเสริมสนับสนุนยุทธศาสตร์การพัฒนาระบบคุณวุฒิวิชาชีพ (Vocational Qualification System) ให้สอดคล้องตามมาตรฐานอาชีพ (Occupational Standard) เพื่อสร้างภูมิคุ้มกัน เพิ่มขีด ความสามารถในการแข่งขันของประเทศ กำ�ลังแรงงาน การพัฒนามาตรฐานการปฏิบัติงานระดับชาติ (National Benchmarking) และการวิเคราะห์หน้าท่ีการงาน (Functional Analysis) เพ่อื ใหเ้ กิดผลสำ�เรจ็ ในภาคธรุ กิจ อตุ สาหกรรม และทกุ สาขาอาชีพ เป็นการเตรยี มความพรอ้ มของผเู้ รียนเข้าสู่สนามการเเข่งขัน ในประชาคมอาเซียน ผศ. น.อ. รามจิตติ ฤทธศิ ร

สารบัญ 1 บทที่ 1 เรขาคณิตแนวราบ 2 3 ส่วนของเส้นตรงและรัศมี (Line Segments and Rays) 9 มุม (Angles) 14 สามเหลี่ยม (Triangles) 19 รปู หลายเหล่ียม (Other Polygons) แบบทดสอบและกจิ กรรมการฝึกทักษะ 27 บทท่ี 2 รปู ทรงเรขาคณิต 28 ค�ำ นยิ ามของวงกลม 30 เส้นรอบวง สว่ นของเส้นโคง้ และพื้นทีข่ องวงกลม 33 (Circumference, Arc, Area and Sector) 33 เรขาคณิตทรงตัน (Geometric Solids) 37 ทรงกระบอกและปรซิ ึม 40 กรวยและพรี ะมดิ 42 ฟรัสตัม 43 ทรงกลม 44 การค�ำนวณนำ�้ หนกั ของวัตถุ แบบทดสอบและกิจกรรมการฝึกทักษะ 51 บทที่ 3 งาน พลังงาน และเครื่องมอื กลเบ้ืองต้น 52 53 งาน (Work) 54 ก�ำ ลัง (Power) 56 พลงั งาน (Energy) การเปลยี่ นแปลงของพลังงานกลกบั การเคลอ่ื นทข่ี องวตั ถ ุ

เคร่อื งกลเบือ้ งต้น 58 โมเมนต์ (Moment) 59 คาน (Level) 60 ลอ้ และเพลา (Wheel and Axle) 63 รอก (Pulley) 65 พืน้ เอียง (Inclined Plane) 68 สกรู (Screw) 69 ลิม่ (Wedge) 71 แบบทดสอบและกิจกรรมการฝกึ ทักษะ 73 บทที่ 4 ฟงั ก์ชันตรโี กณมิต ิ 77 มมุ และการวัดมุม 78 ฟังกช์ ันตรีโกณมิต ิ 80 ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิตขิ องมมุ 30°, 45° และ 60° จากรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก 80 การหาคา่ ฟงั ก์ชันตรีโกณมิตจิ ากวงกลมหนงึ่ หนว่ ย 83 การหาคา่ ฟงั ก์ชันตรีโกณมิตขิ องมุมที่อย่บู นแกน x และแกน y 84 ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิของมมุ 30°, 45° และ 60° จากวงกลมหนง่ึ หน่วย 85 คา่ ของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์ของจำ�นวนจริงใด ๆ 89 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติของผลบวกและผลตา่ งของจ�ำ นวนจริงหรอื มมุ 91 ฟงั กช์ ันตรโี กณมิตกิ บั สามเหลีย่ มในระนาบ 92 แบบทดสอบและกจิ กรรมการฝกึ ทกั ษะ 95 บทท่ี 5 พกิ ัดความเผ่อื และงานสวม 98 คา่ พกิ ดั ความเผ่อื และขนาดจ�ำ กัด (Tolerance and Limit) 99 งานสวมและงานระยะคลอน (Fit and Allowance) 100 ลกั ษณะของงานสวม 101 ระบบพกิ ดั (Limit Systems) 103 ระบบการกำ�หนดพกิ ดั ความเผือ่ 104

ชนิดของงานสวมทีน่ ยิ มใช ้ 106 ค่าความเบยี่ งเบนพื้นฐานของพกิ ดั ความเผอ่ื (Fundamental Deviation of Tolerance) 106 ความแน่นในการประกอบ 108 แบบทดสอบและกจิ กรรมการฝึกทักษะ 114 บทที่ 6 ความเรว็ ตดั ความเรว็ รอบ และความเรว็ ขอบ 116 ความหมายของความเร็วตัด ความเรว็ รอบ และความเร็วขอบ 117 การค�ำ นวณหาเวลาในงานกลงึ 118 การค�ำ นวณหาเวลาในงานไส 125 การค�ำ นวณหาเวลางานเจาะ 130 การค�ำ นวณหาเวลางานเจียระไน 139 แบบทดสอบและกิจกรรมการฝึกทักษะ 146 บทท่ี 7 ความเรว็ และอัตราทดของเครอื่ งจกั รกล 150 ความเรว็ 151 อตั ราทดและระบบสง่ ก�ำ ลงั ด้วยฟันเฟอื ง 153 แบบทดสอบและกจิ กรรมการฝกึ ทักษะ 166 บทที่ 8 เรยี วและการกลงึ เรียว 172 ความหมายของเรียว 173 ประเภทของเรียว 175 มาตรฐานของเรยี ว 175 การค�ำ นวณเรยี ว 179 การค�ำ นวณมมุ 186 การกลึงเรียว 188 การตรวจสอบเรยี ว 193 แบบทดสอบและกจิ กรรมการฝึกทักษะ 195

บทที่ 9 เกลยี ว 198 นิยามของเกลยี ว 199 สว่ นต่าง ๆ ของเกลยี ว 200 เกลียวสามเหล่ียม 201 มาตรฐานของเกลยี ว 202 แบบทดสอบและกิจกรรมการฝกึ ทักษะ 217 คำ�ถามเพอ่ื การทบทวน 219 คำ�ศัพท ์ 225 บรรณานกุ รม 230



1บทที่ เรขาคณิต แนวราบ จุดประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม (Behavioral Objective) หลงั จากศึกษาจบบทเรียนน้แี ล้ว นักศึกษามคี วามสามารถดังน้ี 1. อธบิ ายความส�ำ คัญของเรขาคณิต 2. บอกนิยามสว่ นของเสน้ ตรงและเสน้ รัศมี 3. อธิบายลกั ษณะของมุม 4. ยกตวั อย่างมุมชนดิ ตา่ ง ๆ 5. ค�ำ นวณหาคา่ เรเดียนให้เปน็ องศาและองศาเปน็ เรเดียน 6. บอกนยิ ามและชนดิ ของสามเหลย่ี ม 7. ค�ำ นวณหาพื้นทข่ี องรูปสามเหลยี่ ม 8. ระบุชอ่ื ของรปู หลายเหลย่ี ม 9. จำ�แนกประเภทของรปู ส่ีเหลีย่ ม 10. ค�ำ นวณหาความยาวและพนื้ ทีข่ องรปู ส่ีเหลย่ี ม 11. หาความยาวเสน้ รอบรปู และพ้ืนที่ของรปู เหลย่ี ม

1บทที่ เรขาคณติ แนวราบ เรขาคณติ คอื การศกึ ษาในเรอ่ื งราวทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั การวดั ปรมิ าณของความยาว พน้ื ท่ี ปรมิ าตร และ คณุ สมบัติต่าง ๆ ของเสน้ ตรง มุม รูปทรงแบน รปู ทรงตัน และรูปทรงทางเรขาคณติ อื่น ๆ ซง่ึ เปน็ พืน้ ฐาน ท่ีสำ�คญั มากในการศึกษาตอ่ ทางดา้ นวิศวกรรมตอ่ ไป ส่วนของเส้นตรงและรศั มี (Line Segments and Rays) ส่วนของเส้นตรง คือ เส้นที่ลากตรงระหว่างจุด 2 จุด ซึ่งเรียกว่า จุดปลาย (Endpoint) ของเสน้ การเขยี นสญั ลกั ษณข์ องเส้นตรงจะใชว้ ธิ ีเขียนขดี เลก็ ๆ บนตัวอกั ษรทก่ี ำ�กบั จุดปลายของเสน้ ยกตวั อยา่ งเชน่ สว่ นของเสน้ ตรงทเ่ี ชอ่ื มระหวา่ งจดุ A และ B จะเขยี นเปน็ AB เปน็ ตน้ ดงั แสดงในรปู ท่ี 1.1 (a) ซึง่ อาจจะเขียน BA ก็ได้ รัศมีของเส้น คือ ส่วนของเส้นตรงที่เริ่มต้นลากจากจุดปลายเริ่มต้นไปเรื่อย ๆ โดยไม่กำ�หนด ต�ำ แหนง่ ตายตัวของปลายอกี ข้างหน่ึง นยิ มเขยี นปลายดังกลา่ วดว้ ยหวั ลูกศร เมื่อไมม่ ีจุดปลายทีแ่ นน่ อน จงึ ไมส่ ามารถก�ำ หนดความยาวทแ่ี นน่ อนได้ รศั มจี งึ เปน็ เพยี งเสน้ ทใ่ี ชช้ ท้ี ศิ ทางเทา่ นน้ั ดงั นน้ั จากรปู ท่ี 1.1 (b) CD = CE เมือ่ ไมม่ ีจุดปลาย ท่ีแนน่ อ นจงึ ไมส่ า มารถก�ำ ห นดความ ยาวทแ่ี น น่ อนได้ Ray มคี วามยาวไมส่ น้ิ สดุ เรม่ิ ต้นจากจดุ หน่ึงตดั ผ่านอีกจุดหนงึ่ แต่ระยะจากจดุ (c) ถงึ จดุ D และ E สามารถกำ�หนดได้ดงั น้ี 2 บทที่ 1 เรขาคณติ แนวราบ

(a) A B Line Segment AB or BA (b) C D E Ray, or Half - Line C→D A Vertex Side (c) B θ Side C รูปท่ี 1.1 สว่ นของเส้นตรงและรศั มี มุม (Angles) มุมเกดิ จากการที่เส้นรศั มี 2 เสน้ ใช้จุดปลายร่วมกัน เรียกจุดปลายรว่ มกนั นว้ี า่ จดุ ยอดของมมุ BA BA(Vertex) และเรียกเส้นรัศมีว่า แขน (Side) ของมุม จากรูปที่ 1.1 (c) จุดยอดของมุมคือ จุด B และเส้นรัศมีท่ปี ระกอบเปน็ มุม คอื BA และ BC ซึ่งการเรียกช่ือมมุ อาจจะกระท�ำ ไดห้ ลายวธิ ี เชน่ ∠B, ∠ABC, ∠CBA หรือ ∠θ ก็ได้ ขนาดของมุมเกิดขึ้นจากการหมุนเส้นรัศมีเส้นหนึ่งเป็นวงกลม เส้นรัศมีที่อยู่กับที่เรียกว่า แขนตงั้ ต้น (Initial Side) สว่ นเสน้ รัศมที ่ีหมนุ เรยี กวา่ แขนกวาด (Terminal Side) การหมนุ แขนกวาด บทที่ 1 เรขาคณติ แนวราบ 3

Terminal Side 90∘= π Initial Side 2 180∘= π Terminal Side 0∘ (360∘=2π) Initial Side 270∘= 3π 2 รูปท่ี 1.2 การเกิดมมุ อนั เน่ืองจากการหมุนแขนกวาด ครบ 1 รอบจะไดว้ งกลมข้นึ 1 วง ซง่ึ จะมจี ุดศนู ย์กลางของวงกลมอยู่ทจ่ี ดุ ยอดของมมุ น่นั เอง ดังรปู ที่ 1.2 ระบบในการวดั มุมทนี่ ิยมใช้มี 2 แบบ คอื ระบบองศา (Degrees) และระบบเรเดียน (Radians) จากนั้นเมื่อหมุนแขนกวาดในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาไปจนครบ 1 รอบ แล้วกลับมาที่ตำ�แหน่งทับกับ แขนตั้งต้นอีกครั้ง มุมที่กวาดไปได้จะนับเป็น 360 องศา หรือ 2π เรเดียน (360° = 2π rad) ดังนั้น มมุ ทแ่ี ขนกวาดหมนุ ไปไดเ้ พยี งครง่ึ หนง่ึ จงึ เปน็ 180 องศา หรอื π เรเดยี น ในท�ำ นองเดยี วกนั การหมนุ แขน ไหทปรนั ือท1 ีว 3ใ่า 2น πเ ป 4็นเรกขเาดอรียงวนวดั งมตกุมาลมใมนลจร�ำ ึงะดไบับดบ้ 9เรถ0เ้าดไอียมงน่มศีเาแคลรหะื่อรเงนือหอ่ื มงπา2จยากเ°รเ1ดก8ีำ�ย0กน°ับแไ=วลห้πะลัง3raตdใัวนเดลขงั4นบขนั้ออกงขวนงากดลขมอจงึงมไดุม้ 270 องศา ใหท้ ราบใน 1rad = 180° ≈ 180° ≈ 57.296° และในทำ�นองกลับกนั π 3.1416 1° = π ≈ 3.1416 ≈ 0.01745rad จงึ สามารถสรปุ เปน็ สตู รในการเปลย่ี นหนว่ ยการ 180° 180° วดั มมุ ไดด้ ังนี้ 180° π ในการเปลี่ยนเรเดียนใหเ้ ป็นองศา ใหค้ ณู จ�ำ นวนเรเดียนดว้ ย หรอื 57.296° (1.1ก) ในการเปลย่ี นองศาให้เป็นเรเดยี น ให้คณู จ�ำ นวนองศาดว้ ย π หรอื 0.01745 (1.1ข) 180° 4 บทท่ี 1 เรขาคณติ แนวราบ

ตวั อยา่ งท่ี 1.1 จงเปลยี่ น ก) 1.89 และ ข) 5 6π ให้เปน็ องศา วธิ ที ำ� ก) 1.89 เรเดยี น ≈ 1.89 x 57.296° ≈ 108.29 ข) 5π = 5π x 180° = 150° 6 6 π ตัวอย่างที่ 1.2 จงเปล่ียน ก) 120° และ ข) 82.5° ใหเ้ ป็นเรเดียน π 2π วธิ ีท�ำ ก) 120° = 120° x 180° = 3 rad ข) 82.5° ≈ 82.5° x 0.01745 ≈ 1.44 rad ในการเปล่ียนหน่วยระหวา่ งเรเดียนกบั องศา อาจจะใช้สดั ส่วนของความสัมพันธ์นีก้ ไ็ ด้ 18D0° R = π (1.2) โดยท่ี D คือ องศา และ R คอื เรเดียน ตัวอย่างท่ี 1.3 จงเปลี่ยน ก) 120° เป็นเรเดียน และ ข) 5π เปน็ องศา 6 D R 2π วิธีทำ� ก) 180° = π \\ R = 3 ข) D = 5π / 6 \\ D = 150° 180° π ชนิดของมุมแบง่ ไดเ้ ปน็ 4 ชนดิ ดังรูปท่ี 1.3 คือ ก) มมุ ฉาก (Right Angle) คือมุมท่วี ดั ได้ 90° ไมหดมุร้รือทะ่ีวหπ2ัดวไ่าดซงร้ ่ึง9ะจห0ะ°วใช่าถ้สงงึญั 01ล°8ักถ0ษ°งึ ณ9(เ์ 0ปπ2°น็ รถ(0ปู งึ สถπ่ีเึงห)ลπห2ีย่ รม)ือเหล9ร็ก0อื °ๆ0<เ°ขθ<ยี นθ<ไว1ท้<8่ีจ09ดุ °0ย°อแดลคขะ) อมงงมุ)มปมุมาุ้มนขต)ร(มงOมุ b(SแttหurasลeiมghA(tAncAgulnetge)leมA)ุมnมทgุมl่วี eทดั )่ี วัดได้ 180° หรอื π พอดี บทท่ี 1 เรขาคณิตแนวราบ 5

ก.มมุ ฉาก ข.มุมแหลม ค.มุมป้าน ง.มุมตรง รปู ท่ี 1.3 มมุ ท้งั 4 ชนดิ รูปที่ 1.4 แสดงเส้นตรงสองเส้นตัดกันเกิดเป็นมุม A, B, C และ D มุม A และ C เป็นมุมที่อยู่ ตรงกันข้าม เช่นเดียวกันกบั มุม B และ D ในทางเรขาคณติ ถอื ว่ามมุ ตรงกันข้ามที่เกดิ ขึ้นจากการตดั กัน ของเส้นตรงมขี นาดเทา่ กนั C B A D รปู ที่ 1.4 การเกิดมมุ จากเส้นตรง 2 เส้นตัดกัน เสน้ ตดั ขวาง (Transversal Line) คอื เสน้ ท่ลี ากตดั ผ่านเสน้ ตรงตัง้ แต่สองเสน้ ขน้ึ ไป พจิ ารณา รูปที่ 1.5 l คือ เสน้ ตัดขวาง ก่อให้เกิดมมุ ขน้ึ 8 มุม คือ A จนถงึ H เรยี กมมุ C, D, E, F ว่า มุมภายใน (Interior Angle) และเรียกมมุ A, B, G, H วา่ มมุ ภายนอก (Exterior Angle) จากความสมั พนั ธ์ท่ีได้ กลา่ วไปแลว้ จงึ ทำ�ให้มมุ A, C, E, G มีขนาดของมมุ เท่ากันเชน่ เดยี วกับมมุ B, D, F, H l BA CD G F E H รูปท่ี 1.5 เส้นตัดขวาง 6 บทที่ 1 เรขาคณิตแนวราบ

ตวั อย่างที่ 1.4 โครงสร้างบางสว่ นของหอไอเฟลในประเทศฝร่งั เศส มีการออกแบบโดยการใชโ้ ครง ถักโลหะ ลักษณะดงั รปู ซ่งึ AB ขนานกับ CD ถ้า ∠DCB = 53° และ ∠DEB = 115° จงหาขนาดของ มมุ ก) ∠ABC ข) ∠CED และ ค) ∠AEC AB E 115° 53° D C วิธที ำ� ก) ∠ABC เป็นมมุ ไขว้ของ ∠BCD ดังนน้ั ∠ABC = ∠BCD = 53° ข) ∠CED เป็นมุมเสริมของ ∠DEB ดงั นัน้ ∠CED = 180°- ∠DEB = 180° - 115° = 65° ค) ∠AEC และ ∠DEB เปน็ มุมตรงกนั ข้ามของเสน้ ตดั ดังน้ัน ∠AEC = ∠DEB = 115° มีทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับเส้นตรงและมุมอีกหนึ่งทฤษฎีได้กล่าวไว้ว่า ถ้าเส้นขนานถูกลากตัด ดว้ ยเส้นตัดขวาง 2 เสน้ สดั สว่ นของดา้ นท่อี ยู่ตรงข้ามระหว่างเสน้ ขนานจะเท่ากนั พจิ ารณารูปท่ี 1.6 รกแะลำ�หหะวนlา่2ดงใโเหดสย้น้ Pจข1ุดน,ตาPัดน2ถเกูแชกลน่ ำ�ะเหดยีPนว3ดกไเวนัปด้ ก็นว้ ับเยสตน้BัวตCอรักแงษล3ะรดเEังสรFน้ ปู ทรสี่ขวมว่นนทาขนง้ั อกAงนั Cเสแ้นแลตละระถงูกDAตFBัดดดแัง้วลนยะัน้เสDน้ Eตัดเปขน็วาดง้าน2ทีอ่เสยน้ ตู่ รคงอืขา้ lม1 AB BC AC DE = EF = DF (1.3) บทท่ี 1 เรขาคณติ แนวราบ 7

l1 D l2 E A P1 B P2 C F P3 รูปท่ี 1.6 เสน้ ตดั ขวางสองเสน้ ลากผา่ นเส้นขนาน ตัวอย่างที่ 1.5 จงหาระยะทางทใ่ี ชใ้ นการขา้ มทะเลสาบดังรปู CD 168 m A B 100 m E 75 m F วิธีทำ� เส้นตรง AF, BE และ CD ขนานกัน โดยมีเส้นตัดขวาง AC และ DF ลากผ่าน จาก ความสมั พันธ์จะได้ AB BC 100 BC EF = DE แทนคา่ ได้ 75 = 168 ∴ BC = 100(168)/75 = 224 เมตร 8 บทท่ี 1 เรขาคณิตแนวราบ

สามเหล่ยี ม (Triangles) สามเหล่ียมเป็นรูปเหลี่ยมท่ีเกิดจากการประกอบเข้าด้วยกันของด้านท่ีมีความยาวแน่นอน จำ�นวน 3 ดา้ น และมุมภายในสามเหลีย่ มทัง้ สามมมุ รวมกันจะได้ 180° หรือ π เรเดยี นพอดี สามเหลยี่ ม จำ�แนกไดห้ ลายลกั ษณะดังรูปที่ 1.7 1. การแบง่ ลกั ษณะของรปู สามเหลย่ี มโดยการใชด้ า้ นของรปู สามเหลย่ี ม จะแบง่ ไดเ้ ปน็ 3 ชนดิ ไดแ้ ก่ 1.1 สามเหลย่ี มดา้ นไมเ่ ทา่ (Scalene Triangle) คอื สามเหลย่ี มซง่ึ ไมม่ ดี า้ นใดดา้ นหนง่ึ ยาว เทา่ กนั 1.2 สามเหลี่ยมหน้าจั่ว(IsoscelesTriangle)คือสามเหลี่ยมที่มีด้าน2ด้านยาวเท่ากัน แต่ไม่เทา่ กับดา้ นท่สี าม 1.3 สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ (Equilateral Triangle) คอื สามเหลย่ี มทม่ี ดี า้ นเทา่ กนั ทกุ ดา้ น (มุมภายในจะเท่ากบั 60° เทา่ กนั ทุกมุมด้วย) 2. การแบง่ ลกั ษณะของรปู สามเหลย่ี มโดยการใชม้ มุ ของรปู สามเหลย่ี ม จะแบง่ ไดเ้ ปน็ 3 ชนดิ ได้แก่ 2.1 สามเหลย่ี มมมุ แหลม (Acute Triangle) คอื สามเหลย่ี มทม่ี มี มุ ทง้ั 3 มมุ เปน็ มมุ แหลม อาจจะมีขนาดของมมุ เทา่ กนั หรือไมก่ ไ็ ด้ 2.2 สามเหลี่ยมมุมป้าน (Obtuse Triangle) คือ สามเหลี่ยมที่มีมุม 1 มุมเป็นมุมป้าน (มุมมากกว่า 90°) อกี 2 มมุ เปน็ มมุ แหลม 2.3 สามเหลย่ี มมมุ ฉาก (Right Triangle) คอื สามเหลย่ี มทม่ี มี มุ 90° พอดอี ยหู่ นง่ึ มมุ อกี มมุ เปน็ มุมแหลม 1.1 Scalene 1.2 Isosceles 1.3 Equilateral Triangle Triangle Triangle 2.1 Acute 2.2 Obtuse 2.3 Right Triangle Triangle Triangle รปู ท่ี 1.7 แสดงลักษณะของรูปสามเหลย่ี มแบบตา่ ง ๆ 9 บทที่ 1 เรขาคณิตแนวราบ

ตวั อย่างที่ 1.6 จงหาขนาดของมมุ ทส่ี ามของสามเหลยี่ มรูปหนง่ึ ซงึ่ มีขนาดของมุมที่ 1 และ 2 เป็น 37° และ 96° ตามลำ�ดบั วิธที �ำ ทราบว่าผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมเป็น 180° สมมุติให้มุมที่ 3 เป็นมุม ∠A ดังน้นั ∠A = 180° - 37° - 96° = 47° เส้นรอบรูป (Perimeter, P) ของสามเหลี่ยม หมายถึง ผลรวมของความยาวของด้านทั้งสาม ท่ปี ระกอบขน้ึ เปน็ รูปสามเหล่ยี ม ถา้ ก�ำ หนดให้สามเหลยี่ มรูปหน่ึงมีความยาวของดา้ นท้งั สามเป็น a, b และ c ดังนั้น เส้นรอบรปู P จึงเทา่ กับ a + b + c น่ันเอง ตวั อย่างที่ 1.7 ที่ดินรูปสามเหลี่ยมแปลงหนึ่งมีความยาวของด้านทั้งสามวัดได้เป็น 42 เมตร, 36.2 เมตร และ 58.7 เมตร เมื่อปักหลักบอกตำ�แหน่งไว้ที่มุมของที่ดินทั้งสามไว้แล้ว ต้องใช้เชือก ความยาวเทา่ ไรพันที่หลกั ทั้งสามเพอ่ื บอกขนาดของเสน้ รอบรูปของทีด่ ินแปลงนไี้ ดพ้ อดี วธิ ีทำ� P = a + b + c P = 42 + 36.2 + 58.7 = 136.9 เมตร เส้นตรงซ่ึงลากมาจากมุมของสามเหลี่ยมมายังจุดก่ึงกลางของด้านท่ีอยู่ตรงกันข้ามกับมุมน้ัน เรียกว่า เส้นมีเดียน (Median) ดังนัน้ สามเหล่ยี มรูปหน่งึ ใด ๆ จะมีเสน้ มีเดียน 3 เส้น ซ่ึงจะพบวา่ ถ้า ลากเสน้ มเี ดยี นทง้ั สามแลว้ เสน้ จะมาตดั กนั ทจ่ี ดุ เซนทรอยด์ (Centroid, G) ของรปู สามเหลย่ี ม ดงั รปู ท่ี 1.8 ซ่งึ จดุ เซนทรอยด์นี้จะเปน็ จดุ ศนู ยถ์ ่วง (Center of Gravity) ของรปู สามเหลย่ี มด้วย G รูปที่ 1.8 เส้นมีเดยี นและจดุ เซนทรอยด์ เสน้ ตรงซง่ึ ลากมาจากมมุ ยอดของสามเหล่ยี มลงมาตง้ั ฉากกบั ดา้ นท่อี ย่ตู รงขา้ มกบั มมุ น้นั เรียกว่า เสน้ ความสงู (Altitude) ของรูปสามเหล่ียม และเรียกด้านทอี่ ย่ตู รงข้ามวา่ ฐาน (Base) ในการแก้ปญั หา บางอยา่ งอาจจ�ำ เป็นต้องต่อเสน้ ฐานออกมาเพื่อใหต้ ดั กับเสน้ ความสูง ดังรูปที่ 1.9 10 บทที่ 1 เรขาคณติ แนวราบ

Altitude Base Base รปู ท่ี 1.9 เส้นความสูงและฐานของรูปสามเหล่ยี ม พ้ืนท่ี (Area) ของรูปสามเหล่ียมหาได้จากผลคูณของ 1/2 กับความยาวของฐานและความสูง ถ้ากำ�หนดให้ b คือ ความยาวจริงของฐาน (ไม่รวมเส้นต่อ) และ h คือความสูง ดังนั้น เขียนสูตรใน การหาพ้นื ท่ี (A) ของรูปสามเหล่ยี มได้เป็น 1 A = 2 bn (1.4) หนว่ ยของพื้นทีจ่ ะเปน็ ตารางหนว่ ย ตวั อย่างที่ 1.8 จงหาพืน้ ทข่ี องรปู สามเหลี่ยมท่ีมคี วามยาวฐาน 1.2 เมตร และความสูง 4.5 เมตร 1 วิธีท�ำ จากสตู ร A = 2 bn โดยท่ี b = 1.2 และ h = 4.5 แทนค่าได้ A = 1 (1.2)(4.5) 2 ∴ A = 2.7 m2 ในกรณีที่ไม่ทราบความสูงของรูปสามเหลี่ยม ในการหาพน้ื ทขี่ องรูปสามเหลีย่ มอาจกระท�ำ ได้ โดยใช้สตู รของฮีโร่ (Hero’s Formula) ซ่งึ ตอ้ งทราบความยาวของด้านท้งั สามแล้วหาขนาดครึ่งหน่งึ ของเสน้ รอบรปู (Semiperimeter) กำ�หนดให้ a, b และ c เปน็ ความยาวของด้านทั้งสาม ดังนั้น ครึ่งหนึง่ ของเสน้ รอบรปู s จะเป็น a+b+c s= 2 แทนค่าเพือ่ หาพน้ื ท่ีของรปู สามเหลี่ยมตามสูตรของฮีโร่ ดงั น้ี A= (1.5) บทท่ี 1 เรขาคณติ แนวราบ 11

ตัวอย่างท่ี 1.9 จงหาพน้ื ท่ีของรูปสามเหล่ียม ดังรูป 5m 3m 4m วธิ ที ำ� 1 2 วธิ ีที่ 1 จากสูตร A = bn โดยท่ี b = 4 และ h = 3 แทนคา่ ได้ A = 1 bn (4)(3) 2 \\ A = 6 m2 วธิ ีท่ี 2 จากสูตรของฮีโร่ s = a + b + c = 3+4+5 2 2 A = = = \\ A = 6 m2 ไดผ้ ลลัพธ์เท่ากัน ในกรณีท่ีสามเหล่ียมสองรูปมีอัตราส่วนต่อด้านเท่ากันและมีขนาดของมุมท่ีเทียบอัตราส่วน ของด้านนั้น ๆ เท่ากัน เรียกสามเหลี่ยมสองรูปนี้ว่า สามเหลี่ยมคล้าย (Similar Triangle) พิจารณา รูปที่ 1.10 กำ�หนดให้ ∠A ≅ ∠D, ∠B ≅ ∠E และ ∠C ≅ ∠F และด้านทีป่ ระกอบมุมดังกล่าวเป็น สดั สว่ นท่คี งท่ี ตัวอยา่ งเชน่ : 9 ดังนั้น 142 = 9 อตั ราส่วนของด้านที่ประกอบเป็น ∠A คอื 4 : 3 กบั ∠D คือ 12 3 = 3 อัตราส่วนของดา้ นท่ีประกอบเปน็ ∠B คอื 3: 2 กบั ∠E คอื 9 : 6 ดงั น้นั 6 = 9 = 3 2 3 12 6 อตั ราส่วนของดา้ นทีป่ ระกอบเปน็ ∠C คอื 4 :2 กบั ∠D คอื 12 : 6 ดังนนั้ 4 = 2 = 3 12 บทที่ 1 เรขาคณิตแนวราบ

D 4 C 9 12 รูปที่ 1.10 สามเหลยี่ มคล้าย 3 E A 2 B 6F จึงสรุปได้ว่า สามเหลยี่ มท้ังสองรปู เป็นสามเหล่ียมคล้าย ซ่งึ สามารถน�ำ ความสมั พนั ธด์ ังกลา่ ว มาใช้ประโยชนใ์ นการเทียบหาขนาดความยาวของดา้ นทไ่ี มท่ ราบได้ ดงั ตัวอยา่ งตอ่ ไปนี้ ตัวอยา่ งท่ี 1.10 เสาสง่ คลน่ื โทรทศั นท์ อดเงายาว 150 เมตรบนพน้ื ในเวลาเดยี วกนั เสาไมส้ งู 1.6 เมตร ทป่ี กั อยู่ใกล้ ๆ ทอดเงายาว 1.2 เมตร จงประมาณความสงู ของเสาสง่ คลืน่ โทรทศั น์ h 150 m θ 1.6 m θ 1.2 m รูปที่ 1.11 แสดงทฤษฎีสามเหลี่ยมมุมฉากของพิทากอรัส วธิ ที ำ� ลกั ษณะของเงาทท่ี อดทำ�ใหเ้ กดิ สามเหลี่ยมคลา้ ย ดงั นั้น หาคา่ h ไดจ้ าก 1h.6 150 = 1.2 \\ h = 150(1.6) = 200 เมตร 1.2 พิทากอรัสได้ตั้งทฤษฎีที่สำ�คัญมากในการศึกษาด้านเรขาคณิตสำ�หรับสามเหล่ียมมุมฉาก พิจารณาสามเหลี่ยม ABC ในรูปที่ 1.11 ด้าน AC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก (Hypotenuse) ซึ่ง บทท่ี 1 เรขาคณติ แนวราบ 13

จะเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านที่เหลืออีกสองด้านเรียกว่า ด้านประกอบ มุมฉาก (Leg) ก�ำ หนดให้ c เปน็ ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก และ a, b เปน็ ดา้ นประกอบมมุ ฉาก จากทฤษฎขี อง พิทากอรัสจะได้ว่า a2 + b2 = c2 (1.6) ตัวอย่างท่ี 1.11 สามเหลยี่ มมมุ ฉากรปู หนึง่ มดี า้ นประกอบมุมฉากสองดา้ นยาวด้านละ 6 และ 8 น้วิ ตามล�ำ ดับ จงหาความยาวของด้านตรงขา้ มมุมฉาก วิธีทำ� ให้ a = 6 และ b = 8 จากสมการท่ี 1.6 c2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 \\ c = 100 = 10 นวิ้ รูปหลายเหลยี่ ม (Other Polygons) รูปหลายเหลย่ี มเกิดจากการประกอบกนั ของเสน้ อยา่ งนอ้ ย 3 เสน้ จำ�นวนเส้นทเี่ ข้ามาประกอบ จะเท่ากบั จำ�นวนเหลยี่ มของรปู เชน่ รูปสามเหล่ยี ม เกิดจากการประกอบของเสน้ 3 เสน้ เปน็ ต้น รูปเหลี่ยมอื่น ๆ ที่จะพบในการศึกษาด้านเรขาคณิต คือ รูปสี่เหลี่ยม (Quadrilaterals) รูปห้าเหลี่ยม (Pentagon) รูปหกเหลี่ยม (Hexagon) และรูปแปดเหลี่ยม (Octagon) ซึ่งเกิดจากเส้น ที่มีความยาวแนน่ อน 4, 5, 6 และ 8 เส้นมาประกอบกนั เปน็ รปู เหลี่ยมตามล�ำ ดับ รูปสี่เหลย่ี ม รปู สเ่ี หลย่ี มเกดิ จากการประกอบกนั ของเสน้ ตรงสเ่ี สน้ ซง่ึ เรยี กวา่ ดา้ นทง้ั ส่ี เชน่ เดยี วกบั สามเหลย่ี ม มหี ลายลกั ษณะดงั รปู ท่ี 1.11 การเรยี กชอ่ื ชนดิ ของสเ่ี หลย่ี มจะพจิ ารณาตามลกั ษณะเสน้ และมมุ เฉพาะตวั ดังนี้ 1. สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั (Square) คอื สเ่ี หลย่ี มทม่ี ดี า้ นทง้ั สย่ี าวเทา่ กนั และมมุ ทง้ั สเ่ี ปน็ มมุ ฉาก (90°) 2. สีเ่ หล่ยี มผนื ผ้า (Rectangle) คือ ส่ีเหล่ียมท่มี ดี ้านทอ่ี ยตู่ รงขา้ มยาวเท่ากันและขนานกัน มมุ ท้ังสเี่ ปน็ มมุ ฉาก (90°) แต่ดา้ นท่ปี ระกอบเปน็ มมุ ฉากยาวไมเ่ ทา่ กนั 3. สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (Rhombus) คือ รูปคล้ายสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่มุมทั้งสี่ไม่ได้ เป็นมุมฉาก โดยขนาดของมุมที่อยตู่ รงขา้ มจะเท่ากนั 4. สี่เหลี่ยมด้านขนาน (Parallelogram) คือ รูปคล้ายสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่มุมทั้งสี่ไม่ได้เป็น มุมฉาก โดยขนาดของมุมทอ่ี ยตู่ รงขา้ มจะเทา่ กัน 14 บทท่ี 1 เรขาคณิตแนวราบ

5. สเ่ี หล่ยี มคางหมู (Trapezoid) คอื ส่เี หลี่ยมทมี่ ดี ้านท่ีอยู่ตรงขา้ มขนานกันอยา่ งน้อย 1 คู่ แต่ไมจ่ �ำ เป็นตอ้ งยาวเท่ากัน 6. สี่เหลย่ี มหน้าจว่ั (Isosceles Trapezoid) คือ สเี่ หลี่ยมคางหมทู มี่ ดี ้านท่ีอยู่ตรงข้าม 1 คู่ ขนานกัน โดยมเี สน้ ประกอบรปู ยาวเทา่ กัน ท�ำ มุมเทา่ กนั 7. สี่เหลี่ยมรูปว่าว (Kite) คือ สี่เหลี่ยมที่มีด้านติดกันยาวเท่ากัน 2 คู่ Quadrilateral Kite Trapezoid Isosceles Trapezoid Parallelogram Rhombus Rectangle Square รูปท่ี 1.12 สเี่ หล่ียมลักษณะต่าง ๆ ในการหาความยาวเสน้ รอบรปู ของสเ่ี หลย่ี ม กระท�ำ ไดโ้ ดยการรวมความยาวของดา้ นทง้ั สข่ี อง รปู ซ่งึ ในกรณีของสี่เหลี่ยมจตั รุ สั กบั สเ่ี หล่ยี มขนมเปยี กปูนจะค่อนขา้ งง่าย เนอ่ื งจากด้านทงั้ สี่ของรปู จะ ยาวเท่ากนั ดังนน้ั ถ้าก�ำ หนดใหค้ วามยาวของด้านเปน็ s ความยาวของเส้นรอบรูปจึงเป็น 4s P = 4s (1.7) สำ�หรับกรณีของสี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมผืนผ้า และสี่เหลี่ยมรูปว่าว ที่มีด้านเท่ากัน 2 คู่ ดังนัน้ ถา้ กำ�หนดความยาวของด้านหนง่ึ เป็น a อกี ด้านหนงึ่ เปน็ b แลว้ เส้นรอบรปู ของสเ่ี หลี่ยมเหล่านี้ จงึ เป็น 2a + 2b หรอื 2(a + b) P = 2(a + b) (1.8) บทที่ 1 เรขาคณติ แนวราบ 15

ในการหาพนื้ ทีข่ องรูปสเี่ หลย่ี มกระทำ�ไดโ้ ดยการคณู ความยาวฐาน (b) ด้วยความสงู (h) ของรูป โดยท่เี สน้ ความสูงวัดตงั้ ฉากขึน้ ไปจากฐาน ดงั น้ัน ส�ำ หรบั ส่เี หลีย่ มจัตรุ ัส สเ่ี หลี่ยมผืนผา้ ส่เี หลีย่ มขนม เปียกปนู และสี่เหล่ยี มดา้ นขนาน จงึ หาพืน้ ท่ี (A) ไดจ้ ากสูตร A = bh (1.9) สำ�หรับสี่เหลี่ยมคางหมู ต้องทราบค่าเฉลี่ยความยาวของด้านคู่ขนานก่อนที่จะนำ�ไปคูณด้วย ความสูง ดังนน้ั A = 1/2 h(b1 + b2) (1.10) สำ�หรับสี่เหลี่ยมรูปว่าว สามารถหาพื้นที่ได้โดยการคูณ 1/2 ด้วยความยาวของเส้นทแยงมุม ทั้งสองเสน้ ดงั นัน้ A = 1/2 d1d2 (1.11) สำ�หรับรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ ได้แสดงรายละเอียดในการหาความยาวเส้นรอบรูปและพื้นที่ เอาไว้ในรูปที่ 1.13 กรณที ร่ี ปู ทรงเรขาคณติ แบบราบไมส่ ามารถจะบง่ ชไ้ี ดว้ า่ เปน็ รปู เหลย่ี มชนดิ ใด ในการหาความยาว เส้นรอบรูปและพื้นที่นั้นอาจจะใช้วิธีในการแบ่งรูปออกเป็นส่วน ๆ โดยให้มีสัณฐานเป็นรูปเหลี่ยม เพื่อที่จะสามารถค�ำ นวณโดยใชส้ ตู รได้ quadrilateral kite trappezoid isosceles trapezoid parallelogram square รปู ที่ 1.13 สูตรในการหาขนาดความยาวเสน้ รอบรูปและพื้นท่ขี องรปู เหลีย่ มแบบต่าง ๆ 16 บทที่ 1 เรขาคณติ แนวราบ

ตัวอย่างที่ 1.12 จงหาความยาวเสน้ รอบรูปและพน้ื ทขี่ องสีเ่ หลยี่ มผนื ผา้ ซึง่ ยาว 16 เมตร และกว้าง 9 เมตร วิธีท�ำ ในทนี่ ้ี b = 16 และ h = 9 ดังน้ัน จากสมการที่ 1.8 P = 2(a + b) = 2(16 + 9) = 50 เมตร และจากสมการท่ี 1.9 A = bh = 16 x 9 = 144 ตารางเมตร ตัวอยา่ งท่ี 1.13 สเี่ หลยี่ มคางหมูมดี า้ นคู่ขนานยาว 14 และ 18 นิว้ โดยมีความสงู 7 นิ้ว จงหาขนาด ของพนื้ ท่ขี องรปู ส่เี หลี่ยมน้ี วธิ ที �ำ Aใน=ท่ีน1ี้ /b21 = 18 และ b2 = 14 และ h = 7 ดงั นั้น จากสมการท่ี 1.10 h(b1 + b2) = 1/2 (7)(18 + 14) = 112 ตารางเมตร ตวั อยา่ งที่ 1.14 แผ่นโลหะเกิดจากการตัดชิ้นส่วนที่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกจากสี่เหลี่ยมหน้าจั่ว มีมติ ติ า่ ง ๆ ดังรูป จงหาพื้นท่แี ละเสน้ รอบรูปของแผน่ โลหะนี้ 60 mm 42 mm 18 mm 64 mm 80 mm วิธีทำ� เพ่อื ทจี่ ะหาพืน้ ที่ของแผ่นโลหะนี้ ในข้ันแรกต้องหาพนื้ ที่ของสี่เหลย่ี มคางหมูกอ่ นและหักออก ดว้ ยพืน้ ท่ขี องส่ีเหลยี่ มผืนผ้า บทท่ี 1 เรขาคณิตแนวราบ 17

A คางหมู = 1/2 h(b1 + b2) = 1/2 (64)(60 + 80) = 4,480 มิลลเิ มตร A ผนื ผา้ = bh = 42(18) = 756 ตารางมิลลิเมตร \\ พ้นื ทแี่ ผน่ โลหะ = A4,ค4าง8ห0มู – A75ผืน6ผ า้ = – = 3,724 ตารางมิลลิเมตร ในการหาเสน้ รอบรูป พจิ ารณาสัดสว่ นในการแบง่ แล้ว พบว่าตอ้ งการทราบความยาวดา้ น c และ d 80 mm x x 60 mm d d 42 mm 18 mm c c 64 mm A จากรูป ทราบว่า 2x + 60 = 80 ดงั นั้น x = 10 มลิ ลิเมตร หาดา้ น c ได้จากนิยามของพิธากอรัส สมการท่ี 1.6 c2 = 102 + 642 = 100 + 4,096 c = 4,196 ≈ 64.78 มลิ ลิเมตร หาระยะ d ได้โดย d = (60 – 42)/2 = 9 มลิ ลเิ มตร ดังน้ัน ความยาวเส้นรอบรูป ตั้งตน้ วัดจากจุด A ตามเข็มนาฬิกาคือ A = 64.78 + 9 + 18 + 42 + 18 + 9 + 64.78 + 80 = 305.5 มิลลเิ มตร 18 บทที่ 1 เรขาคณิตแนวราบ

แบบทดสอบและกจิ กรรมการฝกึ ทักษะ บทท่ี 1 เรขาคณิตแนวราบ ตอนท่ี 1 อธบิ าย (หมายถงึ การใหร้ ายละเอยี ดเพม่ิ เตมิ ขยายความ ถา้ มตี วั อยา่ งใหย้ กตวั อยา่ งประกอบ) 1. อธบิ ายและยกตวั อยา่ งส่วนของเสน้ ตรง 2. อธิบายและยกตวั อยา่ งรัศมขี องเส้น 3. อธิบายและยกตัวอย่างมุม (Angles) 4. สามเหลย่ี มแบ่งเปน็ 3 ชนิด ไดแ้ กอ่ ะไรบา้ ง และยกตวั อย่างประกอบ 5. อธิบายรูปหลายเหลีย่ มและยกตัวอยา่ งประกอบ ตอนที่ 2 อธบิ ายคำ�ศพั ท์ (หมายถึง การแปลค�ำ ศัพท์ ขยายความ อธิบายเพม่ิ เติม ถา้ มตี วั อยา่ ง ให้ยกตวั อย่างประกอบ) 1. Line Segments and Rays 2. Angles 3. Transversal Line 4. Triangles 5. Perimeter, P 6. Area 7. Other Polygons 8. Rhombus 9. Trapezoid 10. Kite บทที่ 1 เรขาคณติ แนวราบ 19

ตอนท่ี 3 แสดงวิธีทำ� เสน้ ตรง 1. จงหาขนาดของมุม A และ B ของรูปทง้ั 4 น้ี กำ�หนดให้ l1 ขนานกบั l2 38π l1 A = …………………………………………… l2 B = …………………………………………… AB 34π l1 A = …………………………………………… A l2 B = …………………………………………… A = …………………………………………… B B = …………………………………………… l1 l2 70° BA A 51π6 l1 A = …………………………………………… l2 B = …………………………………………… B 20 บทท่ี 1 เรขาคณิตแนวราบ

2. จงหาขนาดของมมุ A และ B ของรปู ด้านล่างนี้ ก�ำ หนดให้ l1 ขนานกบั l2 และ l3 A D l1 B l2 E l3 CF 3. จากรูปที่กำ�หนด มมุ A และ B มขี นาดเท่ากัน จงหาขนาดของมมุ ดงั กลา่ ว 8855° AA ° BB 4. รปู ดา้ นลา่ งแสดงชน้ิ สว่ นของสะพานแขวน ซง่ึ ใชเ้ คเบลิ ในการยดึ ราวสะพานไวก้ บั ขอบของสะพาน จงหาความยาวของระยะ AB 3.6 m 4.8 m 4.5 m AB บทท่ี 1 เรขาคณิตแนวราบ 21

5. ต้องการเช่ือมท่อสองทอ่ นให้ขนานแตต่ า่ งระดับกัน โดยการตอ่ ด้วยทอ่ ทอ่ นกลางดังรูป จงหา ขนาดของมมุ x x สามเหลย่ี ม 6. จงหาความยาวเสน้ รอบรูปและพ้นื ท่ีของรูปสามเหลี่ยมต่อไปน้ี A …………………………………… 6.5 9.7 …………………………………… C 7.2 B A 9 …………………………………… 15 …………………………………… D B 28 C A 41 …………………………………… 15 9 52 C …………………………………… B 22 บทที่ 1 เรขาคณิตแนวราบ

A 101 …………………………………… C …………………………………… 25 20 B D 7. แผน่ โลหะรปู สามเหลย่ี มแผน่ หนง่ึ สรา้ งจากการตดั แผน่ โลหะรปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ ตามแนวทแยงมมุ ถา้ แผน่ โลหะรปู สเ่ี หลย่ี มรปู ผนื ผา้ มคี วามยาว 23 เซนตเิ มตร และสงู 16 เซนตเิ มตร จงหาขนาด พื้นทขี่ องแผน่ โลหะรปู สามเหลยี่ มทถี่ ูกตัดออกมา 8. ลวดนำ�ไฟฟา้ ยาว 30 เมตร นำ�มาดดั ใหม้ ีรูปร่างดงั รูป จงหาความยาวของ x 8m 5m 10 m Ax B 9. ระบบส่งแก๊สแหง่ หนึ่งมีการวางท่อดงั รูป จงหาความยาวของทอ่ ทใ่ี ช้จาก A ไป B A 28 m 97 m B 65 m 62 m 53 m รูปหลายเหล่ยี ม 10. จงหาความยาวเสน้ รอบรปู และพนื้ ที่ของรูปเหลยี่ มตอ่ ไปน้ี 15 cm …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… 15 cm บทท่ี 1 เรขาคณติ แนวราบ 23

25 in …………………………………………………… 9 in …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… 15 41 i n …………………………………………………… 11 21 in …………………………………………………… …………………………………………………… 33 in …………………………………………………… …………………………………………………… 23.4 mm 24.9 mm 11.2 mm 11 21 in …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… 6 21 in …………………………………………………… 16 cm 12 in …………………………………………………… 1 2 in 1 0 cm …………………………………………………… 21 cm …………………………………………………… 12 cm …………………………………………………… …………………………………………………… 24 บทท่ี 1 เรขาคณติ แนวราบ

…………………………………………………… 318 m m …………………………………………………… 213 mm …………………………………………………… …………………………………………………… 20.8 mm …………………………………………………… 21.2 mm …………………………………………………… 15. 7 mm 13.2 mm 14 43 in …………………………………………………… 12 21 in 13 in …………………………………………………… 12 in …………………………………………………… 23 41 in 11. จงหาขนาดของพน้ื ท่สี ระน�ำ้ รูปตวั L นี้ 8’ 16’ 22’ 26’ บทท่ี 1 เรขาคณิตแนวราบ 25

12. จงหาขนาดพื้นที่หน้าตัดของคานรูปตัว I (แนะนำ� : ให้คิดพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและ หักออกดว้ ยพืน้ ทข่ี องสี่เหล่ียมคางหมู 2 รูป) 26 บทท่ี 1 เรขาคณิตแนวราบ

2บทท่ี รูปทรง เรขาคณติ จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม (Behavioral Objective) หลงั จากศึกษาจบบทเรยี นน้แี ลว้ นกั ศกึ ษามคี วามสามารถดังนี้ 1. บอกนิยามของวงกลม 2. ระบสุ ว่ นประกอบของวงกลม 3. คำ�นวณหาความยาวเส้นรอบวงและพืน้ ทข่ี องวงกลม 4. เปรยี บเทยี บเรขาคณิตทรงตันกับเรขาคณติ ระนาบ 5. ยกตัวอย่างรปู ทรงตนั 6. อธบิ ายลกั ษณะของทรงกระบอกและปริซมึ 7. คำ�นวณหาพ้นื ทผ่ี วิ และปริมาตรของทรงกระบอกและปรซิ ึม 8. เขยี นรปู ทรงกรวยแบบตา่ ง ๆ 9. ค�ำ นวณหาพ้นื ที่ผวิ และปริมาตรของกรวยและพีระมดิ 10. ค�ำ นวณหาปรมิ าตรของฟรสั ตมั 11. ค�ำนวณหาน�้ำหนกั ของวัตถุ

2บทท่ี รปู ทรง เรขาคณติ ค�ำ นิยามของวงกลม วงกลมจดั เปน็ รปู ทรงระนาบแบนทางเรขาคณติ เชน่ เดยี วกบั รปู เหลย่ี มอน่ื ๆ แตจ่ ะตา่ งกนั ทว่ี งกลม ไมไ่ ดเ้ กดิ จากการน�ำ จดุ ปลายของสว่ นของเสน้ ตรงแตล่ ะเสน้ มาตอ่ เขา้ ดว้ ยกนั แตเ่ กดิ จากการเชือ่ มตอ่ กลมุ่ ของจุดซึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากจุดร่วมจุดเดียวกัน จุดร่วมดังกล่าวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง (Center) ซึ่งเมื่อเชื่อมต่อกลุ่มของจุดเข้าด้วยกันแล้ว (เส้นสุดท้ายจะกลับมาที่จุดตั้งต้น) จะได้เส้นรอบรูป (Perimeter) ลากล้อมจุดศูนย์กลาง เรียกเส้นรอบรูปนี้ว่า เส้นรอบวงของวงกลม (Circumference) ดังรปู ที่ 2.1 Circle Center รูปที่ 2.1 วงกลม 28 บทท่ี 2 รปู ทรงเรขาคณิต

วงกลมจะประกอบไปด้วยคำ�นิยามสำ�คัญหลายประการ ดังแสดงในรูปที่ 2.2 เชน่ 1. เสน้ รัศมี (Radius) คือ สว่ นของเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางไปยังเสน้ รอบวง 2. เส้นชยา (Chord) คอื ส่วนของเส้นตรงใด ๆ ท่มี จี ุดปลายท้ังสองอยู่บนเส้นรอบวง 3. เส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง (Diameter) คอื เส้นตรงท่ีลากผ่านจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม 4. เสน้ ตดั ผา่ น (Secant) คอื เส้นตรงทีล่ ากตดั ผา่ นเส้นรอบวงสองคร้งั 5. เส้นสัมผัส (Tangent) คือ เส้นที่ลากสัมผัสเส้นรอบวงเพียงหนึ่งจุด ซึ่งเส้นสัมผัสนี้ จะตั้งฉากกับเส้นรศั มีทลี่ ากมาจดท่ีจุดสัมผัสพอดี Secant Diameter Chord Radius Tangent รปู ที่ 2.2 นยิ ามสำ�คัญของวงกลม รูปที่ 2.3 ได้แสดงส่วนประกอบที่สำ�คัญของวงกลมอีกบางส่วน คือ 1) มุมกลาง (Central Angle) หมายถึง มุมซึ่งมีจุดยอดของมุมอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม และ 2) ส่วนของเส้นโค้ง (Arc) คอื เสน้ ทล่ี ากจากจดุ ใด ๆ บนเสน้ รอบวงของวงกลมไปยงั อกี จดุ หนง่ึ บนเสน้ รอบวงแตไ่ มบ่ รรจบครบรอบ โดยทั่วไปขนาดของส่วนของเส้นโคง้ จะอ้างองิ กบั ขนาดของมุมกลางทวี่ ัด เช่น ส่วนของเส้นโคง้ ที่ 20° หรือส่วนโคง้ ของ p/9 เรเดียน เป็นต้น จากรปู ท่ี 2.3 คอื สว่ นของเสน้ โคง้ AB สามารถวดั ได้ 2 ทศิ ทาง ถา้ อา้ งถงึ จดุ ปลายของสว่ นโคง้ คอื A และ B แลว้ สว่ นของเสน้ โคง้ ทม่ี มี มุ นอ้ ยกวา่ เรยี กวา่ สว่ นของเสน้ โคง้ รอง (Minor Arc) แทนดว้ ย สัญลักษณ์ AB และส่วนของเส้นโค้งหลัก (Major Arc) ซึ่งมีมุมมากกว่าแทนด้วยสัญลักษณ์ ABC ความยาวของส่วนของเส้นโค้งบอกได้โดยเขียนตัวอักษร m ไว้หน้าสัญลักษณ์ดังกล่าว ส่วนตัดของ วงกลม (Sector) คอื บรเิ วณทอ่ี ยภู่ ายในวงกลมซึ่งถูกล้อมรอบดว้ ยมุมกลางและส่วนของเส้นโค้ง บทที่ 2 รปู ทรงเรขาคณติ 29

Minor Arc A Sector B q Major Arc C รปู ท่ี 2.3 สว่ นของเสน้ โคง้ และสว่ นตดั เสน้ รอบวง ส่วนของเสน้ โค้ง และพน้ื ทข่ี องวงกลม (Circumference, Arc, Area and Sector) สูตรในการหาเส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลมจะเกี่ยวข้องกับเลขสัดส่วนอนันต์ค่าหนึ่ง เรียกว่า ไพ (Pi) แทนด้วยสัญลักษณ์ p ซึ่งมีค่า 22/7 หรือ 3.1415927… โดยใช้ค่าประมาณ 3.14 ในการคำ�นวณ ความยาวเส้นรอบวง (C) ของวงกลมหาไดจ้ ากความสมั พนั ธ์ C = pd = 2pr (2.1) โดยที่ p = 22/7 หรือ 3.14 d = เส้นผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลม r = รศั มขี องวงกลม เมื่อ d = 2r พืน้ ท่ี (A) ของวงกลมหาไดจ้ ากความสมั พันธ์ A = pr2 (2.2a) อาจจะหาเนขื่อนงาจดาขกองdพ/2น้ื ท=วี่ rงกดลงั นมไัน้ ดค้Aร=า่ วpๆ(dจ/า2ก)2ส=ูตรπ4d2 π ซง่ึ 4 จะมคี า่ ประมาณ 0.785 เม่ือเปน็ เชน่ นี้ A = 0.785d2 (2.2b) 30 บทที่ 2 รปู ทรงเรขาคณติ

ตวั อยา่ งท่ี 2.1 จงหาความยาวเสน้ รอบวงและพืน้ ท่ขี องวงกลมซ่งึ มี ก) เส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง 7 นิ้ว และ ข) รัศมี 8.3 มลิ ลิเมตร วธิ ีทำ� ก) d = 7 นิ้ว 22 C = pd = p(7) = 7 (7) = 22 นิ้ว A = 0.785d2 = 0.785(7)2 = 0.785 x 49 = 38.46 ตารางนิว้ ข) r = 8.3 มิลลเิ มตร C = 2pr = 2p(8.3) ≈ 52.2 มิลลเิ มตร A = pr2 = p(8.3)2 ≈ 216.4 ตารางมลิ ลเิ มตร ขนาดความยาวของส่วนเส้นโค้ง (S) สามารถหาได้โดยตรงจากขนาดของมุม ถ้ามุม 2p เรเดยี น คือ มุมที่ทำ�ให้วงกลมมีขนาดเต็มวงครบ 1 รอบ เช่นนี้ส่วนของเส้นโค้งจึงมีขนาดความยาว เท่ากับเส้นรอบวง คือ 2pr ดังนัน้ มุม p เรเดียนจงึ เปน็ มมุ ทท่ี �ำ ใหว้ งกลมมีขนาดครึ่งรอบ และสว่ นของ เส้นโคง้ จึงมีขนาดความยาวเท่ากับ pr จากความสมั พันธ์ที่ได้กล่าวมานีจ้ งึ ทำ�ให้เกดิ ข้อสรุปว่า มมุ กลาง q เรเดยี นจะมสี ่วนของเสน้ โคง้ ยาว qr เขยี นเปน็ สูตรได้ คอื S = qr (2.3) ในลักษณะเดยี วกัน การหาพน้ื ท่ีของสว่ นตัดของวงกลมสามารถประยกุ ต์ไดจ้ ากสูตรในการหา พืน้ ที่ของวงกลมได้ ดังน้ี 1 วงกลม 1 วง มีมุม 2p เรเดยี น จะมีพ้ืนที ่ pr2 = 2 (2π)r2 วงกลม 1/2 วง มีมมุ p เรเดยี น จะมีพื้นท ี่ 1 πr2 = 1 (π)r2 2 2 1 \\ วงกลม 1/n วง มีมมุ q เรเดยี น จะมพี ื้นที่ = 2 qr2 1 A = 2 qr2 (2.4) บทที่ 2 รูปทรงเรขาคณติ 31

ตวั อยา่ งท่ี 2.2 ตอ้ งการตดั กระดาษรูปทรงขนมพายเพ่อื น�ำ มามว้ นเป็นกรวยจากกระดาษทรงกลม รัศมี 9 นิ้ว ดังรูป โดยต้องการให้กรวยสูง 9 นิ้ว และมีมุมกลาง 105° จงหาขนาดความยาวของ ขอบกระดาษรปู ทรงขนมพาย วิธีทำ� ขอบของกระดาษรูปทรงขนมพายเร่ิมจาก C ไป A จากนัน้ ไป B และกลับไปท่ี C อีกครั้ง ดังนนั้ ความยาวของขอบกระดาษทั้งหมดเป็น CA + AB + mBC = 9 + 9 + mBC = 18 + mBC ในการหาขนาดของ mBC ใชส้ มการท่ี 2.3 B 9 น้วิ A C ในทน่ี ี้ r = 9 และ q = 105° ซึ่งตอ้ งเปลี่ยนเปน็ เรเดียน จากสมการที่ 1.2 D R 7π 180° = π D = 105° จะได้ R = 12 แทนค่าได้ mBC = rq = 9 7π = 21π ≈ 16.5 นว้ิ 12 4 ∴ ความยาวของขอบกระดาษรวม = 18 + 16.5 = 34.5 น้วิ ตัวอย่างท่ี 2.3 ตอ้ งการตัดแผน่ เหลก็ รูปทรงขนมพายจากแผน่ เหลก็ ทรงกลมรศั มี 32 cm ดงั รูป และมมี ุมกาง 80° จงหาพื้นทข่ี องแผน่ เหลก็ รูปทรงขนมพายดงั กลา่ ว 80∘ 32 mm 32 บทที่ 2 รูปทรงเรขาคณิต

วธิ ีท�ำ จากสมการที่ 2.4 ในทน่ี ้ี r = 32 cm และ q = 80° ≈ 1.396 เรเดียน ดงั นน้ั 1 A = 2 qr2 = 1 (1.396)(32)2 2 ≈ 714.752 cm2 เรขาคณิตทรงตนั (Geometric Solids) แมว้ ่าเรขาคณติ ทรงตนั เปน็ รูปทรงแบบ 3 มติ ิ แตส่ ามารถวิเคราะห์หรือเขยี นภาพในลักษณะ ของ 2 มิติ เพื่อให้ง่ายต่อการวิเคราะห์ได้ ข้อแตกต่างของเรขาคณิตทรงตันกับเรขาคณิตระนาบ คือ รปู ทรงตนั นน้ั สามารถสรา้ งแนวเสน้ เพอ่ื ตดั รปู ทรงในการหาขนาดของพน้ื ทห่ี นา้ ตดั ได้ เนอ่ื งจากรปู ทรงตัน มมี ติ ใิ นทางลึกเพมิ่ เข้ามา ตวั อย่างรปู ทรงตัน ไดแ้ ก่ ทรงกระบอก (Cylinders) ปรซิ ึม (Prisms) กรวย (Cones) พีระมดิ (Pyramids) ฟรัสตมั (Frustums) และทรงกลม (Spheres) เปน็ ต้น ทรงกระบอกและปริซมึ ทรงกระบอก ทรงกระบอก เปน็ รปู ทรงตนั มีหน้าตัด ซงึ่ เรยี กวา่ ฐาน 2 ด้าน (บนและล่าง) มีขนาดและรปู ร่าง เหมือนกนั และขนานกนั เสน้ แนวรูป (Segments) ท่ีลากเชือ่ มระหว่างด้านทงั้ สอง ณ ตำ�แหน่งใด ๆ ตอ้ ง ขนานกัน พิจารณารูปที่ 2.4 เส้น AA' , BB' และ CC' คือ เส้นแนวรูปซึ่งจะขนานกัน ซึ่งเมื่อรวม เส้นแนวรูปท้งั หมดเขา้ ดว้ ยกนั จะไดผ้ ิวของทรงกระบอกนน่ั เอง ทรงกระบอกฐานกลม (Circular Cylinder) หมายถงึ ทรงกระบอกทม่ี ฐี าน (Base) เปน็ วงกลม ซึง่ แนวของเสน้ แนวรูปอาจจะเอียงหรือตรงก็ได้ ความสงู ของทรงกระบอก (Height) คอื เส้นต้งั ฉากกบั ระนาบของฐานดา้ นบนลากลงมาตง้ั ฉากกบั ระนาบของฐานดา้ นลา่ ง ซง่ึ จะไดข้ อ้ สงั เกตอกี ประการหนง่ึ วา่ ถ้าเส้นความสูงขนานกับเส้นแนวรูปจะได้ลักษณะของทรงกระบอกตรงฐานกลม (Right Circular Cylinder) น่นั เอง บทท่ี 2 รูปทรงเรขาคณติ 33

A C Altitude or B Base Height A' Base C' B' Cylinder Circular Right Circular Cylinder Cylinder รปู ท่ี 2.4 ทรงกระบอกตันแบบตา่ ง ๆ ปริซึม ปรซิ มึ ดงั รปู ท่ี 2.5 จดั เปน็ ชนดิ หนง่ึ ของทรงกระบอก ซง่ึ มหี นา้ ตดั (ฐาน) ทง้ั ดา้ นบนและดา้ นลา่ ง เปน็ รปู เหล่ยี มเหมือนกันและมีแนวขนานกนั เสน้ แนวรูป (Segments) ที่ลากเชอ่ื มระหวา่ งดา้ นทัง้ สอง ณ ต�ำ แหนง่ ใด ๆ ตอ้ งขนานกนั เรยี กวา่ เสน้ สนั เหลย่ี ม (Lateral Edges) พน้ื ทด่ี า้ นขา้ งของปรซิ มึ เรยี กวา่ หน้า (Faces) ซึ่งจำ�นวนหน้าของปริซมึ จะขึน้ อยู่กับจ�ำ นวนเหลยี่ มของฐาน เช่นเดยี วกับทรงกระบอก ความสงู ของปรซิ มึ คอื เสน้ ตง้ั ฉากกบั ระนาบของฐานดา้ นบนลากลงมาตง้ั ฉากกบั ระนาบของฐานดา้ นลา่ ง ซง่ึ ถา้ เสน้ ความสงู ขนานกับเส้นแนวรูปจะได้ลกั ษณะของปรซิ ึมตรง (Right Prism) Triangular Prism Prism Lateral Edge PRaercatlalnegleuplaipred Right Prism รปู ที่ 2.5 ปรซิ ึมแบบต่าง ๆ 34 บทท่ี 2 รปู ทรงเรขาคณิต

ชื่อของปริซึมจะเรียกตามจำ�นวนเหลี่ยมของฐาน เช่น ถ้าฐานของปริซึมเป็นรูปสามเหลี่ยม เรียกว่า ปริซึมฐานสามเหลี่ยม (Triangular Prism) หรือเป็นรูปสี่เหลี่ยมเรียกว่า ปริซึมฐานสี่เหลี่ยม (Rectangular Prism) ซึ่งถ้าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีความสูงเท่ากับด้านของฐานแล้วจะได้ ลักษณะของลกู บาศก์ (Cube) นน่ั เอง พื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอกและปริซึมนั้น จะแบ่งออกเป็น 2 ส่วน คือ พื้นที่ส่วนที่เป็นฐาน และพื้นที่ส่วนที่เป็นด้านข้าง ในการหาพื้นที่ของส่วนที่เป็นด้านข้างของทรงกระบอกตรงและปริซึม ให้พิจารณาในลักษณะตัดรูปตามเส้นความสูง (h) แล้วคลี่ออกมาเป็นแผ่นซึ่งจะวัดความยาวของ เส้นรอบรูป (p) ได้ โดยจะมพี น้ื ทเี่ ป็น ph ในสว่ นฐานใหใ้ ชห้ ลกั และวิธีในการหาพ้ืนทโี่ ดยท่วั ไป ส�ำ หรบั ปริมาตรหาได้จากการคณู พน้ื ทฐ่ี าน (B) ด้วยความสูง ตารางที่ 2.1 สูตรการหาพนื้ ทผี่ วิ และปริมาตรของทรงกระบอกและปรซิ ึม ทรงตัน พน้ื ทีผ่ วิ ด้านข้าง พน้ื ทีฐ่ าน พน้ื ที่ผิวรวม ปริมาตร L B T V Bh ปรซิ มึ ph 2B L + 2B pr2h ทรงกระบอก 2prh 2pr2 2pr(r + h) p = ความยาวเส้นรอบรปู ของฐาน h = ความสงู B = พ้นื ที่ฐาน r = รศั มขี องฐานทรงกระบอก บทที่ 2 รูปทรงเรขาคณิต 35

ตัวอย่างท่ี 2.4 จงหา ก) พนื้ ทผี่ วิ ด้านขา้ ง ข) พื้นท่ผี ิวรวม และ ค) ปรมิ าตรของปรซิ มึ ฐาน สามเหล่ียมดงั รปู 196 mm 235 mm 78 mm 140 mm วิธีท�ำ ก) จากตารางท่ี 2.1 สตู รในการหาพน้ื ทด่ี า้ นขา้ ง L = ph โดยท่ี p คอื ความยาวเสน้ รอบรปู ของฐาน และ h คอื ความสูง ในที่นี้ h = 235 และเมือ่ รวมความยาวทกุ ดา้ นของฐานจะได้ p = 78 + 140 + 196 = 414 ดังนั้น L = ph = 414 x 235 = 97,290 ข) พืน้ ท่ีฐานซงึ่ เป็นรูปสามเหล่ียมหาไดจ้ ากสตู รของฮีโร่ (สมการท่ี 1.5) B = s(s- a)(s-b)(s- c) แต ่ s = a +b +c = p = 414 = 207 ดังนัน้ 2 2 2 B = ≈ 4,436.23 จากสูตร T = L + 2B T = 97,290 + 2(4,436.23) = 106,162.46 ∴ พ้นื ทีผ่ วิ รวมเทา่ กบั 106,162.46 ตารางมลิ ลิเมตร 36 บทท่ี 2 รูปทรงเรขาคณิต

ค) หาปรมิ าตรจากสูตร V = Bh V = 4,436.23 x 235 = 1,042,514.1 ∴ ปริมาตรของปรซิ มึ ฐานสามเหลย่ี มเป็น 1,042,514.1 ลูกบาศก์มลิ ลิเมตร กรวยและพีระมิด กรวย กรวย ดังรูปที่ 2.6 เป็นรูปเรขาคณิตทรงตันซึ่งมีพื้นฐานโครงสร้างคล้ายทรงกระบอกที่นำ� ฐานด้านบนออก กรวยเกิดจากการลากเส้นแนวรูปจากฐานขึ้นไปรวมกันที่จุด ๆ เดียวเรียกว่า จุดยอด (Vertex) ความสูงของกรวยวัดได้จากเส้นตรงที่ลากจากจุดยอดลงมาตั้งฉากกับระนาบของฐาน กรวย ที่กลา่ วถงึ โดยทวั่ ไป คือ กรวยที่มีฐานกลม (Circular Cone) ซ่ึงอาจจะเปน็ กรวยต้งั ตรง (Right Circular Cone) หรือกรวยเอียง (Slant Cone) ก็ได้ เส้นความสูงสำ�หรับกรวยตั้งตรงเมื่อลากลงมาจากจุดยอด จะตัดฐานวงกลมที่จุดศูนย์กลางพอดี นอกจากนี้ กรวยตั้งตรงยังมีเส้นความสูงเพิ่มขึ้นมาอีกหนึ่งเส้น เรยี กวา่ ความสงู เอียง (Slant Height) ซง่ึ เป็นเส้นตรงที่ลากลงมาจากจุดยอดตามแนวผวิ กรวยตดั กบั เส้นรอบวงของฐานวงกลม Vertex HSelaignhtt oArltHiteuidghet oArltHiteuidghet Cone Circular Cone Right Circular Cone รปู ท่ี 2.6 กรวยแบบต่าง ๆ บทที่ 2 รูปทรงเรขาคณติ 37

พรี ะมิด พีระมดิ คือ กรวยชนดิ หน่ึงซ่ึงมีฐานเป็นรปู เหลีย่ มต่าง ๆ ได้แสดงลกั ษณะและสว่ นประกอบ ต่าง ๆ ของพีระมิด ดังรูปที่ 2.7 ลักษณะพิเศษของพีระมิด คือ ด้านข้างของพีระมิดทุกด้านจะเป็น รปู สามเหลย่ี ม การเรยี กประเภทของพรี ะมดิ กระท�ำ ไดเ้ ชน่ เดยี วกบั ปรซิ มึ คอื เรยี กชอ่ื ตามลกั ษณะของฐาน เช่น พีระมดิ ฐานสามเหลยี่ ม พรี ะมิดฐานหา้ เหลี่ยม เปน็ ตน้ ลกั ษณะของความสูงตรงและความสงู เอยี ง จะพิจารณาได้เชน่ เดยี วกบั กรวย AHlteiotigurhdte LHSEaeldtaieggnrheattl Pyramid Square Pyramid RegulaPryrPaemnitdagonal รูปที่ 2.7 พีระมดิ และองคป์ ระกอบตา่ ง ๆ ปริมาตร (V) ของกรวยและพรี ะมดิ จะมีค่าหน่ึงในสามของพน้ื ทฐ่ี าน (B) คณู กับความสงู ตรง (h) ส�ำ หรบั กรวยตรงและพีระมิดตรง พื้นทีผ่ ิวด้านข้าง (L) จะมีคา่ ครง่ึ หน่ึงของความสูงเอียง (s) คณู ดว้ ย ความยาวเสน้ รอบรปู (p) ของฐาน และถ้าตอ้ งการทราบพืน้ ท่ีผิวทงั้ หมดให้รวมพืน้ ท่ขี องฐานเข้าไปกบั พนื้ ท่ีผวิ ดา้ นข้างด้วย 38 บทท่ี 2 รปู ทรงเรขาคณิต

ตารางที่ 2.2 สูตรการหาพ้ืนท่ผี วิ และปริมาตรของกรวยและพีระมิด ทรงตนั พน้ื ที่ผวิ ดา้ นขา้ ง พื้นท่ีฐาน พนื้ ทผี่ ิวรวม ปริมาตร L B T V พีระมิด 1 ps B 1 ps + B 1 Bh 2 2 3 กรวย prs pr2 pr(r + s) 1 pr2 h 3 p = ความยาวเส้นรอบรปู ของฐาน h = ความสูงตรง B = พื้นที่ฐาน r = รศั มขี องฐานกรวย s = ความสูงเอียง ตัวอยา่ งท่ี 2.5 จะตอ้ งใชแ้ ผ่นโลหะพนื้ ท่ีกีต่ ารางน้ิวในการทจ่ี ะหอ่ เปน็ ภาชนะรูปกรวยดังรปู และ ไดป้ รมิ าตรในการบรรจุเทา่ ไร 5'' 13'' บทที่ 2 รูปทรงเรขาคณติ 39

วธิ ีท�ำ พนื้ ท่ีของแผน่ โลหะหาไดจ้ ากการหาพน้ื ทีผ่ วิ ดา้ นขา้ งของกรวย จากตารางที่ 2.2 สูตรในการหาพ้ืนท่ผี ิวดา้ นขา้ งของกรวย L = prs โดยท่ี r = 5 นว้ิ และ s คอื ความสงู เอยี งของกรวย = 13 นว้ิ p = p(5) (13) = 65p ≈ 204.2 \\ ตอ้ งใชแ้ ผ่นโลหะพ้ืนท่ี 204.2 ตารางนวิ้ จากตารางที่ 2.2 สูตรในการหาปรมิ าตรของกรวย V = 1 pr2 h 3 หา h ได้จากความสัมพันธ์ของพิทากอรสั h2 + 52 = 132 ดังนนั้ h = 132 - 52 = 12 แทนคา่ ได้ 1 V = 3 p52 (12) = 100p ≈ 314.2 \\ ปรมิ าตรท่ีสามารถใชบ้ รรจไุ ดข้ องกรวยเปน็ 314.2 ลกู บาศก์นว้ิ ฟรสั ตัม ฟรสั ตมั เกดิ จากการใชร้ ะนาบทข่ี นานกบั ฐานของกรวยหรอื พรี ะมดิ เขา้ ไปตดั ผา่ นรปู ทรงดงั กลา่ ว ระหว่างจดุ ยอดกับฐาน ดงั รปู ที่ 2.8 ในเบือ้ งตน้ น้จี ะศกึ ษาเฉพาะฟรัสตัมของกรวยตรงและพีระมิดตรง เท่าน้ัน กำ�หนดให้ความสงู ของฟรัสตัมเป็น h และพน้ื ที่ของสว่ นท่ีถูกตดั และฐานเปน็ B1 และ B2 ตาม ล�ำ ดับ ดงั นั้น ปริมาตรของฟรัสตมั หาไดจ้ าก h V = 3 B1 + B2 + B1 B2 (2.5) 40 บทท่ี 2 รปู ทรงเรขาคณิต

r1 S hs r2 รูปท่ี 2.8 ฟรสั ตมั ของรูปกรวยและพีระมดิ กำ�หนดให้ p1 และ p2 เปน็ เสน้ รอบรูปของระนาบท่ีถูกตดั และฐานตามลำ�ดับ และ s คือความ สูงเอียงวัดจากฐานถงึ ระยะท่ีถูกตดั สามารถหาพน้ื ท่ผี ิวดา้ นขา้ ง L ได้จาก s L = 2 (p1 + p2) (2.6) สำ�หรับฟรสั ตมั ของกรวยตรงซึง่ มีรัศมีของระนาบทถ่ี กู ตดั และฐานเป็น r1 และ r2 ตามล�ำ ดับ 2แpละrใ2หส้มpก1าแรลในะกpาร2 หเปาพ็นเ้ืนสท้น่ผี ริวอดบ้าวนงขข้าองงจระะกนลาาบยทเป่ถี ูกน็ ตLดั แ=ละ2sฐา(น2πตาrม1 ล+ำ�2ดπับrด2)ังหนั้นรือp1 = 2pr1 และ p2 = L = πs (r1 + r2) (2.7) ตัวอยา่ งท่ี 2.6 ฐานคอนกรีตของเสาธงมรี ูปทรงเป็นฟรัสตัมของพรี ะมิดฐานสเี่ หลีย่ มจัตุรสั ดงั รูป จงหาราคาของคอนกรีตทใี่ ช้ในการกอ่ สร้างน้ี ถ้าราคาคอนกรีตลกู บาศก์นิว้ ละ 1.50 บาท 12'' 15'' 24'' บทที่ 2 รูปทรงเรขาคณติ 41