(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ม.3 ล.1

150 บทที่ 3 | สมการกำ�ลงั สองตวั แปรเดียว คมู่ ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 15) แนวคิด เนื่องจาก b2 – 4ac = 92 – 4(21)(100) = -8,319 นน่ั คือ b2 – 4ac < 0 ดงั น้นั ไม่มีจ�ำ นวนจรงิ ใดเปน็ ค�ำ ตอบของสมการ 16) แนวค ิด จะ ได ้ y = -68 ± √682 – 4(4)(289) 2(4) y = -8–12 นน่ั คอื ดังน้นั คำ�ตอบของสมการ คอื -8–12 17) แนวค ดิ จะ ได ้ x = -(-16) ± √(-16)2 – 4(4)(-15) 2(4) นั่นค ือ x = 4 + 2√ 31 หรอื x = 4 – √31 2 ดังน้นั ค�ำ ต อบขอ งสมการ คอื 4 + √31 และ 4 – √31 2 2 18) แนวค ิด จะ ได้ z = -24 ± √242 – 4(17)(-20) 2(17) น่นั คอื z = 11—07 หรอื z = -2 ดงั น้ัน คำ�ตอบของสมการ คือ 11—07 และ -2 19) แนวคิด เน่อื งจาก b2 – 4ac = (-2)2 – 4(1)(3) = -8 นั่นคือ b2 – 4ac < 0 ดังนน้ั ไมม่ จี �ำ นวนจริงใดเปน็ คำ�ตอบของสมการ 20) แนวค ดิ จะ ได้ x = -2 ± √22 – 4(1)(-4) 2(1) นน่ั คอื x = -1 + √5 หรอื x = -1 – √5 ดังนั้น คำ�ตอบของสมการ คอื -1 + √5 และ -1 – √5 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | สมการก�ำ ลงั สองตัวแปรเดยี ว 151 3.3 โจทยป์ ญั หาเกีย่ วกบั สมการกำ�ลังสองตัวแปรเดียว (6 ชว่ั โมง) จุดประสงค์ นกั เรยี นสามารถ 1. เขยี นสมการก�ำ ลังสองตัวแปรเดยี วแทนโจทยป์ ัญหา 2. แก้โจทย์ปัญหาเก่ียวกับสมการกำ�ลังสองตัวแปรเดียว พร้อมท้ังตรวจสอบคำ�ตอบและความสมเหตุสมผลของ ค�ำ ตอบท่ไี ด้ ความเข้าใจที่คลาดเคลอ่ื น นักเรียนมักเข้าใจคลาดเคล่ือนว่า คำ�ตอบที่ได้จากการแก้สมการกำ�ลังสองตัวแปรเดียวเป็นคำ�ตอบของปัญหา ซึ่งในความเป็นจริง คำ�ตอบที่ได้จากการแก้สมการอาจไม่ใช่คำ�ตอบของปัญหา เนื่องจากนักเรียนอาจสร้างสมการแทนปัญหา ไมถ่ ูกตอ้ ง หรือคำ�ตอบของสมการไมเ่ ปน็ ไปตามเงือ่ นไขของปญั หา จงึ ตอ้ งมีการตรวจสอบค�ำ ตอบท่ไี ด้กบั เงอ่ื นไขของปญั หา สื่อที่แนะน�ำ ใหใ้ ช้ในขอ้ เสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ - ขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้ ในหัวข้อนี้เป็นเร่ืองการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำ�ลังสองตัวแปรเดียว โดยเน้นให้นักเรียนได้วิเคราะห์ปัญหา สร้างสมการกำ�ลังสองตัวแปรเดียวแทนโจทย์ปัญหา และแก้สมการเพ่ือหาคำ�ตอบ รวมทั้งตรวจสอบคำ�ตอบและความสมเหตุ สมผลของคำ�ตอบทไ่ี ด้ แนวทางการจดั กจิ กรรมการเรียนรูอ้ าจท�ำ ได้ดงั นี้ 1. ครูสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับกระบวนการแก้ปัญหา โดยอาจย้อนถึงการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้น ตวั แปรเดยี ว อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว ซง่ึ มขี น้ั ตอนในการแกป้ ญั หาลกั ษณะเดยี วกนั คอื เรม่ิ ตน้ จากการวเิ คราะห์ เพื่อทำ�ความเข้าใจปัญหา สร้างสมการหรืออสมการแทนปัญหานั้น ดำ�เนินการแก้สมการหรืออสมการเพ่ือหา ค�ำ ตอบ และตรวจสอบค�ำ ตอบพรอ้ มทงั้ ความสมเหตสุ มผลของค�ำ ตอบ เพอื่ เชอื่ มโยงมาสกู่ ารแกโ้ จทยป์ ญั หาสมการ กำ�ลังสองตัวแปรเดยี ว 2. ครูเน้นย้ำ�กับนักเรียนว่า เม่ือแก้สมการได้แล้ว ขั้นตอนที่ต้องทำ�ต่อไปในการแก้โจทย์ปัญหาคือ การตรวจสอบ คำ�ตอบที่ได้กับเงื่อนไขของปัญหา ไม่ใช่ตรวจสอบคำ�ตอบท่ีได้กับสมการกำ�ลังสองตัวแปรเดียวที่สร้างขึ้น เน่อื งจากค�ำ ตอบของสมการอาจไมใ่ ชค่ ำ�ตอบของปญั หา และยำ้�ให้มกี ารตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของคำ�ตอบ ท่ีได้ โดยพจิ ารณาความเปน็ ไปไดข้ องค�ำ ตอบกบั เงือ่ นไขของโจทยป์ ญั หานนั้ ๆ ด้วย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

152 บทที่ 3 | สมการก�ำ ลังสองตัวแปรเดยี ว คมู่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยแบบฝึกหดั แบบฝกึ หดั 3.3 คำ�ชีแ้ จง เฉลยแบบฝึกหัดชุดนี้ ไม่ได้แสดงการแก้สมการโดยละเอียดและไม่ได้แสดงการตรวจสอบคำ�ตอบ แต่ครูควรยำ้� ใหน้ ักเรียนตรวจสอบค�ำ ตอบและความสมเหตุสมผลของค�ำ ตอบจากเง่ือนไขในโจทยท์ ุกครั้ง 1. แนวคดิ 3x + 5 นวิ้ ให้ดา้ นกว้างของรปู สเี่ หล่ียมมมุ ฉากรูปนีย้ าว x นิ้ว ความยาวของดา้ นยาวยาวกวา่ สามเท่าของดา้ นกว้างอยู่ 5 นิ้ว x น้วิ ดงั นั้น ดา้ นยาวของรูปสี่เหลย่ี มมมุ ฉากรปู นี้ยาว 3x + 5 น้ิว เนอ่ื งจากรูปสเี่ หลย่ี มมุมฉากนมี้ พี ้นื ที่ 138 ตารางนว้ิ จะได้สมการเปน็ x(3x + 5) = 138 3x2 + 5x – 138 = 0 จากสมการข้างต้น จะเหน็ วา่ a = 3, b = 5 และ c = -138 จะได ้ b2 – 4ac = 52 – 4(3)(-138) = 1,681 จากสูตร x = -b ± √b2 – 4ac 2a จะได ้ x = -5 ± √1,681 2(3) = -5 ± 41 6 ดงั น้ัน x = 6 หรอื x = - 4—66 เนือ่ งจาก x แทนความยาวของดา้ นของรูปส่ีเหลย่ี มมมุ ฉาก ซึ่งตอ้ งเปน็ จำ�นวนจริงบวก ดังนัน้ จงึ พจิ ารณาเฉพาะ x = 6 ถ้าดา้ นกวา้ งของรปู ส่เี หลีย่ มมมุ ฉากยาว 6 น้วิ จะได้ ด้านยาวยาว (3 × 6) + 5 = 23 นิ้ว น่ันคอื ด้านกวา้ งของรูปส่ีเหลยี่ มมมุ ฉากยาว 6 นว้ิ และด้านยาวยาว 23 น้ิว สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | สมการกำ�ลังสองตัวแปรเดยี ว 153 2. แนวคดิ ให้ ความยาวของฐาน ST เปน็ x เซนติเมตร R ความสงู น้อยกวา่ สองเทา่ ของความยาวของฐาน ST อยู่ 3 เซนตเิ มตร จะได้ ความสูงเป็น 2x – 3 เซนตเิ มตร เนือ่ งจาก พ้ืนท่ีของ ΔRST เทา่ กับ 52 ตารางเซนติเมตร 2x – 3 ST จะไดส้ มการเปน็ –12(x)(2x – 3) = 52 x 2x2 – 3x – 104 = 0 (2x + 13)(x – 8) = 0 ดงั น้ัน 2x + 13 = 0 หรือ x – 8 = 0 x = - 1—23 หรือ จะได ้ x = 8 เน่อื งจาก x เป็นความยาวของฐานของ ΔRST ซง่ึ จะต้องเป็นจ�ำ นวนบวก ดังนน้ั จึงใชเ้ ฉพาะ x = 8 น่นั คอื ความยาวของฐานเป็น 8 เซนตเิ มตร 3. แนวคดิ A ให้ AB ยาว x เซนตเิ มตร จะได้ BC ยาว x – 7 เซนติเมตร และ AC ยาว x + 1 เซนติเมตร x +1 โดยทฤษฎีบทพีทาโกรสั x จะได้สมการเป็น (x + 1)2 = x2 + (x – 7)2 x2 + 2x + 1 = x2 + x2 – 14x + 49 x2 – 16x + 48 = 0 B x – 7 C (x – 4)(x – 12) = 0 ดงั นั้น x – 4 = 0 หรอื x – 12 = 0 จะได้ x = 4 หรอื x = 12 เนอื่ งจาก x แทน ความยาวของ AB ถา้ AB ยาว 4 เซนตเิ มตร จะได ้ BC ยาว 4 – 7 = -3 เซนตเิ มตร ซง่ึ ความยาวจะตอ้ งเปน็ จ�ำ นวนบวก ดงั นนั้ 4 จงึ ไม่ใช่ความยาวของ AB ถา้ AB ยาว 12 เซนตเิ มตร จะได้ BC ยาว 12 – 7 = 5 เซนติเมตร และ AC ยาว 12 + 1 = 13 เซนตเิ มตร นนั่ คือ ความยาวของ AB , BC และ AC เท่ากบั 12, 5 และ 13 เซนติเมตร ตามล�ำ ดบั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

154 บทที่ 3 | สมการกำ�ลงั สองตัวแปรเดียว คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 4. แนวคิด A D P 2x + 1 S 2x – 4 x+2 Q B x+2 C R จากรปู พนื้ ที่ของรปู สี่เหลีย่ มจัตรุ สั ABCD คอื (x + 2)(x + 2) ตารางหน่วย พื้นท่ขี องรปู สเี่ หล่ียมมมุ ฉาก PQRS คือ (2x – 4)(2x + 1) ตารางหน่วย เน่ืองจาก รปู ส่ีเหล่ยี มจตั ุรสั ABCD มพี น้ื ทเี่ ท่ากับรูปสเี่ หล่ียมมมุ ฉาก PQRS จะไดส้ มการเป็น (x + 2)(x + 2) = (2x – 4)(2x + 1) x2 + 4x + 4 = 4x2 – 6x – 4 3x2 – 10x – 8 = 0 (3x + 2)(x – 4) = 0 ดังนน้ั 3x + 2 = 0 หรือ x – 4 = 0 x = - –23 หรือ ( )จะได ้ x = 4 ถ้า x = - –23 = 2 - –32 –4 = - 1—36 จะได้ รปู สเ่ี หลยี่ มมุมฉาก PQRS มีความกว้าง 2x – 4 หนว่ ย เน่ืองจาก ความกว้างของรูปตอ้ งเปน็ จำ�นวนบวก ดังน้นั - 1—36 จึงไม่ใช่ความกว้างของรูปสี่เหลยี่ มมมุ ฉาก PQRS ถ้า x = 4 จะได้ รปู สี่เหล่ยี มจัตุรสั ABCD มคี วามยาวดา้ นละ 4 + 2 = 6 หนว่ ย รูปสเ่ี หลยี่ มมมุ ฉาก PQRS มีความกวา้ ง 2(4) – 4 = 4 หนว่ ย และมีความยาว 2(4) + 1 = 9 หนว่ ย นัน่ คือ รูปส่ีเหล่ียมจัตุรสั ABCD มคี วามยาวด้านละ 6 หน่วย และรปู ส่เี หลีย่ มมุมฉาก PQRS มคี วามกว้าง 4 หน่วย และมีความยาว 9 หนว่ ย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 3 | สมการก�ำ ลังสองตัวแปรเดยี ว 155 5. แนวคิด x ให้ ด้านหน่งึ ของปากถงั น�้ำ ทรงส่เี หลยี่ มมมุ ฉากมคี วามยาวภายใน x นิ้ว เนอ่ื งจาก ความยาวรอบปากถังภายในเท่ากบั 46 นิ้ว 46 – 2x 2 23 – x x ด งั นั้น อีกด้านหน่งึ ข องปากถงั เกบ็ น�ำ้ ม คี วามยาวภายใน = 23 – x นว้ิ เนือ่ งจาก พน้ื ทก่ี ้นถังเป็น 120 ตารางนิ้ว 23 – x จะได้สมการเป็น x(23 – x) = 120 x2 – 23x + 120 = 0 (x – 15)(x – 8) = 0 ดังนน้ั x – 15 = 0 หรอื x – 8 = 0 จะได้ x = 15 หรือ x = 8 ถา้ ด้านหนึ่งของปากถงั น�้ำ ทรงส่ีเหล่ียมมมุ ฉากมคี วามยาวภายใน 15 น้ิว จะได้ อกี ด้านหน่งึ ของปากถังนำ้�มคี วามยาวภายในเป็น 23 – 15 = 8 นิ้ว ถ้าอกี ดา้ นหน่งึ ของปากถังนำ�้ มคี วามยาวภายใน 8 นว้ิ จะได้ อีกด้านหนงึ่ ของปากถังน�้ำ มีความยาวภายในเปน็ 23 – 8 = 15 น้วิ เนอื่ งจาก ถังนำ้�ใบน้จี ุน้�ำ ได้ 720 ลกู บาศก์นิ้ว จากสตู ร ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก = พ้ืนทฐ่ี าน × ความสูง จะได้ 720 = 120 × ความสงู ความสูง = 6 นัน่ คือ ถังน�ำ้ ใบนี้มคี วามสงู 6 น้วิ ดังน้นั ถงั น้�ำ ทรงส่ีเหลี่ยมมมุ ฉาก มขี นาดภายใน คือ กวา้ ง 8 นิ้ว ยาว 15 นิ้ว และสงู 6 น้วิ 6. แนวคิด x 30 ให้ไมท้ ่ที ำ�กรอบรูปมีความกว้าง x นิ้ว 24 + 2x เนื่องจาก รปู มขี นาด 24 × 30 ตารางน้วิ 24 จะได้ กรอบรูปมีความกว้าง 24 + 2x นิ้ว และมคี วามยาว 30 + 2x นวิ้ 30 + 2x x เน่อื งจาก พื้นที่โดยรอบของสว่ นท่เี ปน็ ไมส้ กั ด้านหนา้ ของกรอบรูป เท่ากบั 496 ตารางน้ิว จะไดส้ มการเป็น (24 + 2x)(30 + 2x) – (24 × 30) = 496 720 + 108x + 4x2 – 720 = 496 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

156 บทที่ 3 | สมการก�ำ ลังสองตวั แปรเดียว คู่มอื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 4x2 + 108x – 496 = 0 x2 + 27x – 124 = 0 (x – 4)(x + 31) = 0 ดงั น้นั x – 4 = 0 หรอื x + 31 = 0 จะได้ x = 4 หรอื x = -31 เนือ่ งจาก x เป็นความกวา้ งของไมท้ ีท่ �ำ กรอบรปู ซ่ึงต้องเปน็ จำ�นวนบวก ดังน้นั จึงใช้เฉพาะ x = 4 นน่ั คือ ไมท้ ีท่ ำ�กรอบรปู มคี วามกวา้ ง 4 น้ิว 7. แนวคดิ แนวรั้วบ�าน x จากรูป กำ�หนดให้กรงกระตา่ ยมคี วามกว้าง x เมตร 21 – 2x ถา้ ความยาวของด้านทง้ั สามของกรงกระต่ายรวมกนั เปน็ 21 เมตร x จะได้ กรงกระต่ายมีความยาว 21 – 2x เมตร เนอ่ื งจาก พรกิ หอมตอ้ งการสรา้ งกรงกระตา่ ยใหม้ พี นื้ ที่ 55 ตารางเมตร จะไดส้ มการเป็น x(21 – 2x) = 55 2x2 – 21x + 55 = 0 (2x – 11)(x – 5) = 0 ดังนนั้ 2x – 11 = 0 หรอื x – 5 = 0 จถะา้ กไดร้ งกระตา่ ยมคีx วาม=ก ว้า1—2ง1 1—21 หรอื x = 5 จะได้ กรงกระต่ายมคี วามยาว เมตร = 10 เมตร ( ) 21 – 2 —121 ถ้ากรงกระต่ายมีความกว้าง 5 เมตร จะได้ กรงกระต่ายมคี วามยาว 21 – 2(5) = 11 เมตร นนั่ คือ ถา้ กรงกระต่ายมคี วามกวา้ ง 1—21 เมตร จะมคี วามยาว 10 เมตร และถ้ากรงกระต่ายมคี วามกวา้ ง 5 เมตร จะมคี วามยาว 11 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | สมการก�ำ ลงั สองตัวแปรเดียว 157 8. แนวคิด ให้ก�ำ นนั ชายปลูกต้นมะยงชดิ ทั้งหมด x แถว ถา้ จำ�นวนตน้ มะยงชดิ ในแต่ละแถวน้อยกว่าจำ�นวนแถวอยู่ 10 จะได้ จ�ำ นวนตน้ มะยงชิดในแตล่ ะแถวเปน็ x – 10 ต้น เนอ่ื งจาก กำ�นนั ชายปลูกตน้ มะยงชิดเรียงเปน็ แถวไว้ 2,000 ต้น จะได้สมการเปน็ x(x – 10) = 2,000 x2 – 10x – 2,000 = 0 (x – 50)(x + 40) = 0 ดังนั้น x – 50 = 0 หรือ x + 40 = 0 จะได ้ x = 50 หรือ x = -40 เน่ืองจาก x เป็นจ�ำ นวนแถว ซงึ่ ต้องเป็นจำ�นวนเตม็ บวก ดงั นั้น จงึ พิจารณาเฉพาะ x = 50 ถ้ากำ�นนั ชายปลกู ต้นมะยงชดิ 50 แถว จะได้ จ�ำ นวนตน้ มะยงชิดในแต่ละแถวเปน็ 50 – 10 = 40 ต้น นนั่ คอื สวนก�ำ นนั ชายปลูกตน้ มะยงชิดไว้ 50 แถว แถวละ 40 ต้น สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

158 บทที่ 3 | สมการกำ�ลังสองตัวแปรเดียว คู่มอื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 กิจกรรมทา้ ยบท : โดมิโนสมการกำ�ลงั สอง กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมที่ทบทวนความรู้เรื่องการแก้สมการกำ�ลังสองตัวแปรเดียวในรูปแบบของการเล่นเกม เพื่อให้ นักเรยี นไดฝ้ ึกทักษะการแกส้ มการ อีกทั้ง ยงั เปน็ กิจกรรมทสี่ ่งเสริมกระบวนการคดิ และการพัฒนาความรสู้ กึ เชิงจำ�นวน โดยมี สื่อ/อปุ กรณ์ และข้ันตอนการด�ำ เนินกิจกรรม ดงั นี้ สื่อ/อุปกรณ์ บตั รโดมโิ น 30 ชิน้ /กลมุ่ ตามหนังสอื เรียน หน้า 95 ขั้นตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม 1. ครูแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 4 คน จากน้ันให้นักเรียนแต่ละกลุ่มทำ� “กิจกรรมท้ายบท : โดมิโนสมการ กำ�ลงั สอง” ตามขัน้ ตอนในหนงั สอื เรยี น หนา้ 94 2. ครูใหน้ ักเรยี นช่วยกนั ตรวจสอบวา่ ผู้เล่นในแตล่ ะรอบวางบัตรโดมโิ นถูกต้องตามเงอื่ นไขที่ระบไุ ว้ในกติกาหรือไม่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | สมการกำ�ลงั สองตวั แปรเดียว 159 เฉลยแบบฝึกหดั ท้ายบท 1. 1) แนวคิด จากสมการ x2 + 21x = -110 จะได ้ x2 + 21x + 110 = 0 (x + 11)(x + 10) = 0 ดังนั้น x + 11 = 0 หรอื x + 10 = 0 จะได้ x = -11 หรือ x = -10 ดงั นั้น คำ�ตอบของสมการ คือ -11 และ -10 2) แนวคิด จากสมการ -35 = 2y – y2 จะได ้ y2 – 2y – 35 = 0 (y + 5)(y – 7) = 0 ดงั น้ัน y + 5 = 0 หรือ y – 7 = 0 จะได้ y = -5 หรอื y = 7 ดังนน้ั ค�ำ ตอบของสมการ คือ -5 และ 7 3) แนวคิด จากสมการ y(y – 9) = 36 จะได ้ y2 – 9y – 36 = 0 (y – 12)(y + 3) = 0 ดังนั้น y – 12 = 0 หรือ y + 3 = 0 จะได้ y = 12 หรือ y = -3 ดังน้นั คำ�ตอบของสมการ คอื -3 และ 12 4) แนวคิด จากสมการ 2 + 8x2 + 8x = 0 จะได ้ 4x2 + 4x + 1 = 0 (2x + 1)(2x + 1) = 0 ดังนน้ั 2x + 1 = 0 x = - –21 จะได ้ ดังน้นั คำ�ตอบของสมการ คือ - –21 x2 + 5x = 0 5) แนวคิด จากสมการ จะได้ x(x + 5) = 0 ดังน้นั x = 0 หรือ x + 5 = 0 จะได้ x = 0 หรือ x = -5 ดงั นั้น ค�ำ ตอบของสมการ คือ 0 และ -5 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

160 บทที่ 3 | สมการกำ�ลังสองตัวแปรเดียว คู่มอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 6) แนวคดิ จากสมการ -3y2 = 48y + 144 จะได ้ y2 + 16y + 48 = 0 (y + 12)(y + 4) = 0 ดังนน้ั y + 12 = 0 หรอื y + 4 = 0 จะได้ y = -12 หรอื y = -4 ดังนั้น ค�ำ ตอบของสมการ คือ -12 และ -4 7) แนวคิด จากสมการ x(x + 5) = 2x x2 + 3x = 0 จะได ้ x(x + 3) = 0 ดังน้นั x = 0 หรือ x + 3 = 0 จะได ้ x = 0 หรอื x = -3 ดงั นั้น ค�ำ ตอบของสมการ คอื 0 และ -3 8) แนวคิด จากสมการ 3y2 + 19y + 225 = 29 – 9y + 2y2 จะได ้ y2 + 28y + 196 = 0 (y + 14)(y + 14) = 0 ดังนนั้ y + 14 = 0 จะได ้ y = -14 ดงั นั้น ค�ำ ตอบของสมการ คือ -14 9) แนวคิด จากสมการ 3y(5y – 1) = (10 – 2y)4 จะได้ 3y2 + y – 8 = 0 จะได ้ y = -1 ± √12 – 4(3)(-8) 2(3) -1 +6√ 97 หรือ y = -1 – √97 น่นั ค ือ y = ดงั น ั้น ค�ำ ตอบของสมการ คอื -1 +6√ 97 และ 6 -1 – √97 6 10) แนวคิด จากสมการ (2x + 1)2 = (2 – x)2 จะได ้ 3x2 + 8x – 3 = 0 (3x – 1)(x + 3) = 0 ดงั นัน้ 3x – 1 = 0 หรือ x + 3 = 0 จะได ้ x = –31 หรอื x = -3 ดงั น้ัน ค�ำ ตอบของสมการ คอื –31 และ -3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 3 | สมการกำ�ลงั สองตัวแปรเดียว 161 ค�ำ ชแ้ี จง เฉลยแบบฝึกหัดข้อ 2–8 ไม่ได้แสดงการแก้สมการโดยละเอียดและไม่ได้แสดงการตรวจสอบคำ�ตอบ แต่ครูควรย้ำ� ใหน้ กั เรียนตรวจสอบค�ำ ตอบและความสมเหตุสมผลของคำ�ตอบจากเงอื่ นไขในโจทย์ทกุ ครัง้ 2. แนวคดิ ให้ x แทนอายุของโฟโต้ จะได้ อายขุ องโฟกัสเปน็ x + 4 ปี เนื่องจาก ก�ำ ลังสองของผลรวมของอายขุ องทง้ั สองคนเทา่ กับ 256 จะไดส้ มการเป็น [x + (x + 4)]2 = 256 4x2 + 16x – 240 = 0 x2 + 4x – 60 = 0 (x – 6)(x + 10) = 0 ดังนัน้ x – 6 = 0 หรอื x + 10 = 0 จะได ้ x = 6 หรือ x = -10 เนอ่ื งจาก x แทนอายุ ซงึ่ ตอ้ งเป็นจ�ำ นวนบวก ดงั นนั้ จงึ ใชเ้ ฉพาะ x = 6 นัน่ คอื โฟโต้มีอายุ 6 ปี 3. แนวคิด ใหพ้ ื้นหอ้ งเรยี นนกี้ วา้ ง x เมตร เนอ่ื งจาก พื้นหอ้ งเรียนมีดา้ นยาวยาวกวา่ ดา้ นกว้าง 3 เมตร จะได้ พ้นื ห้องเรียนนยี้ าว x + 3 เมตร เนอ่ื งจาก พื้นห้องเรียนห้องนม้ี พี ื้นที่ 180 ตารางเมตร จะไดส้ มการเป็น x(x + 3) = 180 x2 + 3x – 180 = 0 (x – 12)(x + 15) = 0 ดังนนั้ x – 12 = 0 หรอื x + 15 = 0 จะได ้ x = 12 หรือ x = -15 เนื่องจาก x แทนความกวา้ งของพื้นห้องเรยี น ซึง่ ต้องเป็นจ�ำ นวนบวก ดงั นนั้ จึงพิจารณาเฉพาะ x = 12 ถา้ พื้นหอ้ งเรียนนก้ี วา้ ง 12 เมตร พื้นหอ้ งเรยี นนจี้ ะยาว 12 + 3 = 15 เมตร น่ันคือ ห้องเรยี นนี้กว้าง 12 เมตร และยาว 15 เมตร 4. แนวคดิ ให้ปนี ้ีใยไหมมีอายุ x ปี เน่อื งจาก ปีนคี้ ุณพอ่ มอี ายเุ ปน็ 3 เท่าของใยไหม จะได้ ปีนี้คณุ พอ่ มีอายุ 3x ปี ดังนน้ั สบิ ปที ีแ่ ล้วใยไหมมีอายุ x – 10 ปี และคุณพ่อมีอายุ 3x – 10 ปี สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

162 บทที่ 3 | สมการกำ�ลงั สองตัวแปรเดียว คูม่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 เน่อื งจาก สิบปที แ่ี ล้ว ก�ำ ลงั สองของอายคุ ุณพอ่ มากกวา่ กำ�ลังสองของอายใุ ยไหมอยู่ 1,200 จะไดส้ มการเป็น (3x – 10)2 – (x – 10)2 = 1,200 x2 – 5x – 150 = 0 (x – 15)(x + 10) = 0 ดงั นนั้ x – 15 = 0 หรือ x + 10 = 0 จะได้ x = 15 หรอื x = -10 เน่อื งจาก x แทนอายุ ซงึ่ ต้องเป็นจ�ำ นวนบวก ดงั น้นั จงึ ใชเ้ ฉพาะ x = 15 นน่ั คือ ปนี ้ีใยไหมมอี ายุ 15 ปี 5. แนวคดิ x +1 x Police ให้ลกู เสือหม่ทู ่ี 1 เดินทางมาแล้ว x กโิ ลเมตร เนื่องจาก ลูกเสือหมู่ที่ 2 เดินทางได้ระยะทางมากกวา่ ลกู เสือหมทู่ ี่ 1 อยู่ 1 กิโลเมตร จะได้ ลูกเสอื หมทู่ ี่ 2 เดินทางได้ x + 1 กิโลเมตร เนื่องจาก ลกู เสอื ทงั้ สองหมอู่ ยหู่ า่ งกนั 5 กโิ ลเมตร จากทฤษฎีบทพที าโกรสั จะได้สมการเปน็ x2 + (x + 1)2 = 52 x2 + x – 12 = 0 (x – 3)(x + 4) = 0 ดังนั้น x – 3 = 0 หรอื x + 4 = 0 จะได ้ x = 3 หรอื x = -4 เน่ืองจาก x แทนระยะทาง ซงึ่ ต้องเป็นจำ�นวนบวก ดังนน้ั จึงใชเ้ ฉพาะ x = 3 นัน่ คือ ลกู เสือหม่ทู ่ี 1 เดนิ ทางมาแล้ว 3 กิโลเมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 3 | สมการก�ำ ลังสองตัวแปรเดียว 163 6. แนวคดิ 1 x ม. 2.80 ม. 2x – 5 ม. 1.20 ม. ให้สระวา่ ยน้�ำ กวา้ ง x เมตร เนอ่ื งจาก ดา้ นยาวของสระว่ายน�้ำ ยาวนอ้ ยกว่า 2 เทา่ ของดา้ นกว้างอยู่ 5 เมตร จะได้ สระวา่ ยน้�ำ ยาว 2x – 5 เมตร เน่อื งจาก สระว่ายน�ำ้ มลี กั ษณะเป็นปรซิ มึ ฐานสเี่ หลี่ยมคางหมู 2x – 5 ม. 1.20 ม. 2.80 ม. จะได้ ปรซิ ึมนมี้ พี ืน้ ท่ีฐาน = 2–1(1.20 + 2.80)(2x – 5) = 4x – 10 เซนติเมตร เนื่องจาก ความจุของสระว่ายน�้ำ นเ้ี ป็น 1,400 ลกู บาศกเ์ มตร และ ปริมาตรของปริซมึ = พื้นท่ฐี าน × ความสูง จะได้สมการเปน็ (4x – 10)x = 1,400 2x2 – 5x – 700 = 0 (2x + 35)(x – 20) = 0 ดังนั้น 2x + 35 = 0 หรือ x – 20 = 0 จะได ้ x = -17.5 หรอื x = 20 เน่ืองจาก x แทนความกว้างของสระว่ายน�ำ้ ซง่ึ ตอ้ งเป็นจำ�นวนบวก ดงั น้ัน จึงพจิ ารณาเฉพาะ x = 20 ถ้าสระว่ายนำ�้ กว้าง 20 เมตร จะได้ สระว่ายนำ�้ ยาว 2(20) – 5 = 35 เมตร นัน่ คือ สระวา่ ยน�ำ้ ของลุงปาล์ม ยาว 35 เมตร และกวา้ ง 20 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

164 บทท่ี 3 | สมการก�ำ ลงั สองตวั แปรเดยี ว คมู่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 แนวคดิ 2 2x – 5 ม. x ม. 1.20 ม. 2.80 ม. 2.80 ม. 1.20 ม. x ม. 2x – 5 ม. ใหส้ ระวา่ ยน้ำ�กวา้ ง x เมตร เนือ่ งจาก ด้านยาวของสระว่ายน้ำ�ยาวน้อยกว่า 2 เท่าของดา้ นกวา้ งอยู่ 5 เมตร จะได้ สระว่ายน้ำ�ยาว 2x – 5 เมตร เน่ืองจาก ความจุของสระว่ายนำ้�นีเ้ ป็น 1,400 ลูกบาศกเ์ มตร ซ่งึ มคี วามจุเป็นครงึ่ หน่ึงของ ปรซิ ึมทมี่ ดี า้ นกว้าง x เมตร ด้านยาว 2x – 5 เมตร และสูง 1.20 + 2.80 = 4 เมตร 2–21x[2x–(25xx––57)(040)] จะได้สมการเปน็ = 1,400 = 0 (2x + 35)(x – 20) = 0 ดงั น้ัน 2x + 35 = 0 หรอื x – 20 = 0 จะได ้ x = -17.5 หรือ x = 20 เน่ืองจาก x แทนความกวา้ งของสระวา่ ยน�ำ้ ซึ่งจะต้องเปน็ จำ�นวนบวก ดังนนั้ จงึ พจิ ารณาเฉพาะ x = 20 ถา้ สระว่ายนำ้�กว้าง 20 เมตร จะได้ สระว่ายน้ำ�ยาว 2(20) – 5 = 35 เมตร นนั่ คือ สระว่ายนำ้�ของลงุ ปาลม์ ยาว 35 เมตร และกว้าง 20 เมตร 7. แนวคดิ ใหอ้ ตั ราเรว็ เฉลยี่ ปกติท่ีโฟลค์ ซองปัน่ จักรยาน เปน็ x กิโลเมตร/ชั่วโมง เนื่องจาก โฟล์คซองลงแขง่ ขันป่นั จักรยาน ซงึ่ มรี ะยะทาง 75 กโิ ลเมตร การปน่ั จกั รยาน ระยะทาง (กม.) อัตราเรว็ เฉล่ีย เวลาที่ใช้ (ชม.) ของโฟลค์ ซอง (กม./ชม.) 75 ปั่นปกติ 75 x x 75 ป่นั แขง่ ขนั 75 x + 5 x+5 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | สมการก�ำ ลังสองตวั แปรเดียว 165 เนอ่ื งจาก โฟล์คซองใช้เวลาในการแข่งขนั นอ้ ยลงกวา่ เดิม 30 นาที หรือ 1–2 ชัว่ โมง 75 x    7+55     = 1 จะได้สมการเป็น x – 2 75(xx+(x5+) –5)7 5x = 1 2 2[75(x + 5) – 75x] = x(x + 5) x2 + 5x – 750 = 0 (x – 25)(x + 30) = 0 ดังนั้น x – 25 = 0 หรือ x + 30 = 0 จะได ้ x = 25 หรอื x = -30 เนอื่ งจาก x แทนอตั ราเร็วเฉลี่ยปกติท่โี ฟล์คซองปน่ั จักรยาน ซึ่งตอ้ งเป็นจำ�นวนบวก ดงั น้นั จึงใช้เฉพาะ x = 25 นัน่ คือ โดยปกติแล้ว โฟล์คซองป่นั จักรยานดว้ ยอัตราเร็วเฉลยี่ 25 กโิ ลเมตร/ชัว่ โมง 8. แนวคิด 1 ใหท้ ดี่ นิ รูปสีเ่ หลี่ยมจตั ุรสั แปลงทีห่ นึ่งยาวดา้ นละ x เมตร จะได้ เนอ้ื ทเ่ี ทา่ กบั x2 ตารางเมตร และความยาวรอบท่ดี ินเปน็ 4x เมตร เน่ืองจาก ล้อมรั้วทีด่ ินด้วยลวดหนามส่ชี ัน้ ดังนัน้ ท่ดี นิ แปลงทห่ี นง่ึ ใชล้ วดหนามทั้งหมด 4(4x) = 16x เมตร เนื่องจาก ท่ดี นิ ท้ังสองแปลงใช้ลวดหนามในการล้อมรั้วทงั้ หมด 576 เมตร ดงั นนั้ ท่ีดินรปู ส่ีเหลี่ยมจัตรุ สั แปลงท่ีสองจะใชล้ วดหนาม 576 – 16x เมตร เน่ืองจาก ท่ีดินแปลงทสี่ องลอ้ มรั้วท่ดี ินด้วยลวดหนามสี่ช้นั เชน่ กัน ดังนัน้ แตล่ ะชั้นจะใช้ลวดหนาม 576 – 16x = 144 – 4x เมตร 4 144 – 4x จะได้ ท่ดี นิ แปลงทีส่ องมคี วามยาวด้านละ 4 = 36 – x เมตร และมเี นอ้ื ท่ี (36 – x)2 ตารางเมตร เนอื่ งจาก ท่ีดินทงั้ สองแปลงมเี นอื้ ทีร่ วมกันเป็น 170 ตารางวา หรอื 170 × 4 = 680 ตารางเมตร จะไดส้ มการเปน็ x2 + (36 – x)2 = 680 x2 – 36x + 308 = 0 (x – 14)(x – 22) = 0 จะได ้ x – 14 = 0 หรอื x – 22 = 0 ดงั นั้น x = 14 หรือ x = 22 ถ้าให้ทดี่ ินรปู ส่เี หลยี่ มจัตุรสั แปลงที่หนึ่งยาวดา้ นละ 14 เมตร ซึง่ คดิ เป็น 7 วา จะได้ เนอื้ ทเี่ ทา่ กับ 72 = 49 ตารางวา สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

166 บทท่ี 3 | สมการกำ�ลังสองตัวแปรเดียว คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ทด่ี นิ รูปสเ่ี หลี่ยมจัตุรัสอกี แปลงหน่ึงยาวด้านละ 36 – 14 = 22 เมตร ซงึ่ คดิ เป็น 11 วา จะได้ เนื้อทเ่ี ท่ากับ 112 = 121 ตารางวา ดงั น้ัน ทดี่ นิ แปลงท่ีหนึง่ ของภาคินมีเนอ้ื ท่ี 49 ตารางวา และที่ดนิ แปลงที่สองมพี น้ื ท่ี 121 ตารางวา แนวคดิ 2 ให้ที่ดินรูปสีเ่ หลย่ี มจัตุรสั แปลงทีห่ น่ึงยาวดา้ นละ a วา จะได้ เนื้อทเี่ ทา่ กับ a2 ตารางวา และความยาวรอบท่ีดนิ เป็น 4a วา เนื่องจาก ล้อมร้ัวที่ดนิ ดว้ ยลวดหนามส่ีช้ัน ดังนั้น ทด่ี ินแปลงทหี่ นึ่ง ใช้ลวดหนามทั้งหมด 4(4a) = 16a วา เนื่อง จาก ทด่ี ิน ทงั้ สองแป ลง ใช้ลว ดหนามในการลอ้ มรวั้ ทง้ั หมด 576 เมตร หรอื 576 = 288 วา 2 ดงั นน้ั ที่ดินรูปสเ่ี หลย่ี มจัตรุ สั แปลงที่สองจะใช้ลวดหนาม 288 – 16a วา เน่ืองจาก ทีด่ ินแปลงทีส่ องล้อมร้วั ที่ดนิ ด้วยลวดหนามส่ีชน้ั เช่นกนั ดังนนั้ แต่ละช้นั จะใช้ลวดหนาม 288 – 16a = 72 – 4a วา 4 72 – 4a จะได้ ทีด่ ินแปลงทสี่ องยาวด้านละ 4 = 18 – a วา และมเี น้ือท่ี (18 – a)2 ตารางวา เนือ่ งจาก ที่ดินทั้งสองแปลงมีเนอ้ื ท่รี วมกันเป็น 170 ตารางวา จะได้สมการเป็น a2 + (18 – a)2 = 170 a2 – 18a + 77 = 0 (a – 11)(a – 7) = 0 ดงั นั้น a – 11 = 0 หรอื a – 7 = 0 จะได ้ a = 11 หรือ a = 7 ถา้ ใหท้ ่ีดินรูปส่เี หล่ยี มจัตุรสั แปลงทีห่ น่งึ ยาวด้านละ 11 วา จะได้ เนื้อทเ่ี ท่ากับ 112 = 121 ตารางวา ท่ดี นิ รปู สเี่ หลี่ยมจตั รุ สั อีกแปลงหนง่ึ ยาวด้านละ 18 – 11 = 7 วา จะได้ เนอื้ ทเี่ ท่ากบั 72 = 49 ตารางวา ดงั นน้ั ท่ีดินแปลงทห่ี น่ึงของภาคนิ มเี นือ้ ที่ 49 ตารางวา และท่ดี นิ แปลงท่สี องมพี ้นื ที่ 121 ตารางวา สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 3 | สมการกำ�ลังสองตวั แปรเดยี ว 167 แนวคดิ 3 เน่ืองจาก มลี วดหนามในการลอ้ มรว้ั ทดี่ นิ รปู สเี่ หลย่ี มจตั รุ สั สองแปลง แปลงละสช่ี น้ั ทงั้ หมด 576 เมตร หรอื 576 = 288 วา 2 ดงั น้นั ในการลอ้ มร้ัวลวดหนามที่ดินทง้ั สองแปลง ถา้ ล้อมรวั้ เพียงชน้ั เดยี วจะใช้ลวดหนามทงั้ หมด 288 = 72 วา 4 ให้ท่ดี ินรปู ส่เี หล่ยี มจัตุรัสแปลงทหี่ น่ึงมีความยาวดา้ นละ n วา จะใชล้ วดหนามในการลอ้ มรัว้ หนง่ึ ชั้นเท่ากบั 4n วา และมีเน้อื ที่ท้งั หมด n2 ตารางวา ดงั นน้ั จะเหลอื ลวดหนามในการลอ้ มรว้ั ทด่ี นิ รปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั แปลงทส่ี องชน้ั เดยี วจ�ำ นวน 72 – 4n วา จะได ้ ทดี่ นิ รูป ส่ีเหลยี่ มจ ตั รุ สั แปลง ทส่ี องมีความยาวด้านละ 72 – 4n = 18 – n วา 4 และมีเน้ือท่ีทงั้ หมด (18 – n)2 ตารางวา เน่อื งจาก ทีด่ ินท้งั สองแปลงมเี นื้อที่รวมกนั 170 ตารางวา จะไดส้ มการเป็น n2 + (18 – n)2 = 170 n2 – 18n + 77 = 0 (n – 11)(n – 7) = 0 ดงั นน้ั n – 11 = 0 หรือ n – 7 = 0 จะได้ n = 11 หรอื n = 7 ถา้ ใหท้ ่ดี นิ รูปสีเ่ หล่ียมจตั รุ สั แปลงทีห่ นึง่ ยาวด้านละ 11 วา จะได้ เน้อื ทเ่ี ทา่ กบั 112 = 121 ตารางวา ที่ดินรปู สเี่ หลี่ยมจัตุรัสอีกแปลงหนงึ่ ยาวดา้ นละ 18 – 11 = 7 วา จะได้ เนอ้ื ทเี่ ท่ากับ 72 = 49 ตารางวา ดังนน้ั ทด่ี ินแปลงทีห่ นงึ่ ของภาคนิ มเี นอ้ื ท่ี 49 ตารางวา และที่ดนิ แปลงทสี่ องมพี น้ื ที่ 121 ตารางวา สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

168 บทท่ี 3 | สมการก�ำ ลังสองตัวแปรเดียว คู่มอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ตวั อยา่ งแบบทดสอบทา้ ยบท 1. จงหาคำ�ตอบของสมการตอ่ ไปน้ี (15 คะแนน) 1) x(x – 3) = x 2) (3x + 2)2 = (x – 1)2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | สมการกำ�ลังสองตวั แปรเดียว 169 3) (x – 3)2 + 3 = 2 4) x2 – 2x + 2 = 0 5) 2x2 – 3x + –12 = 0 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

170 บทที่ 3 | สมการกำ�ลังสองตัวแปรเดยี ว คมู่ ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 2. จ�ำ นวนจ�ำ นวนหน่ึงมากกวา่ 5 ถา้ กำ�ลงั สองของผลตา่ งของจำ�นวนนนั้ กับ 5 เทา่ กับสบิ เท่าของผลต่างของจำ�นวนนั้นกบั 5 จงหาจำ�นวนจำ�นวนนนั้ (5 คะแนน) 3. ปัจจบุ ันพอ่ มีอายุมากกว่าแม่ 5 ปี อกี 10 ปขี ้างหนา้ กำ�ลงั สองของอายขุ องพ่อจะมากกว่า 60 เท่าของอายขุ องแมอ่ ยู่ 25 จงหาอายุปจั จบุ นั ของพ่อและแม่ (5 คะแนน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | สมการกำ�ลงั สองตัวแปรเดียว 171 4. รูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหน่ึงมีความยาวของแต่ละด้าน ดังรูป จงหาพ้ืนท่ี รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉากรูปน้ี (5 คะแนน) 13 x + 15 x +8 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

172 บทที่ 3 | สมการก�ำ ลงั สองตัวแปรเดียว คมู่ ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 5. รูปสี่เหล่ียมมุมฉากรูปหนึ่งมีความยาวรอบรูป 20 เซนติเมตร และมีพ้ืนที่ 24 ตารางเซนติเมตร จงหาความยาวของ แต่ละด้านของรูปสเี่ หล่ยี มมมุ ฉาก (5 คะแนน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | สมการก�ำ ลังสองตวั แปรเดยี ว 173 6. ต๊กิ มกี ระดาษรปู สีเ่ หลยี่ มผืนผา้ กวา้ ง 3x + 2 หนว่ ย ยาว 4x + 3 หน่วย เมอื่ ตดั มมุ ทงั้ สอ่ี อกเป็นรูปส่เี หลย่ี มจตั รุ ัสทม่ี ดี า้ นยาว 2 หน่วย และน�ำ มาพบั ขอบให้เป็นทรงสี่เหล่ยี มมุมฉาก จะมคี วามจุเป็น 154 ลกู บาศก์หน่วย จงหาวา่ กระดาษแผ่นน้กี อ่ น ตดั มมุ มีความกวา้ งและความยาวเท่าใด (5 คะแนน) 2 2 3x + 2 4x + 3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

174 บทที่ 3 | สมการก�ำ ลังสองตวั แปรเดยี ว คมู่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยตัวอย่างแบบทดสอบท้ายบท 1. จงหาค�ำ ตอบของสมการต่อไปน้ี (15 คะแนน) 1) x(x – 3) = x แนวคิด x(x – 3) = x x2 – 3x = x x2 – 4x = 0 x(x – 4) = 0 ดงั นั้น x = 0 หรอื x – 4 = 0 จะได้ x = 0 หรอื x = 4 ดงั นนั้ ค�ำ ตอบของสมการ คอื 0 และ 4 2) (3x + 2)2 = (x – 1)2 แนวคิด 1 (3x + 2)2 = (x – 1)2 9x2 + 12x + 4 = x2 – 2x + 1 8x2 + 14x + 3 = 0 (4x + 1)(2x + 3) = 0 ดังน้นั 4x + 1 = 0 หรือ 2x + 3 = 0 จะได ้ x = - 41– หรอื x = - –23 ดงั นนั้ คำ�ตอบของสมการ คือ - 41– - –23 และ แนวคิด 2 (3x + 2)2 = (x – 1)2 (3x + 2)2 – (x – 1)2 = 0 [(3x + 2) + (x – 1)][(3x + 2) – (x – 1)] = 0 (4x + 1)(2x + 3) = 0 ดงั นนั้ 4x + 1 = 0 หรอื 2x + 3 = 0 จะได้ x = - 4–1 หรือ x = - –23 ดังนั้น คำ�ตอบของสมการ คือ - 41– และ - –23 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | สมการก�ำ ลงั สองตัวแปรเดยี ว 175 3) (x – 3)2 + 3 = 2 (x – 3)2 + 3 = 2 แนวคิด (x – 3)2 = -1 จะได้ เนอื่ งจาก จ�ำ นวนจรงิ ใด ๆ ยกก�ำ ลงั สองแล้ว จะต้องเปน็ จ�ำ นวนจริงบวกหรอื ศูนย์ ดงั น้ัน ไม่มีจ�ำ นวนจริงใดยกกำ�ลงั สองแล้วได้ -1 น่ันคือ ไมม่ จี ำ�นวนจรงิ ใดเป็นค�ำ ตอบของสมการ 4) x2 – 2x + 2 = 0 แนวคิด จากสมการ x2 – 2x + 2 = 0 จะได้ a = 1, b = -2 และ c = 2 ดังนั้น b2 – 4ac = (-2)2 – 4(1)(2) = -4 เนอ่ื งจาก b2 – 4ac < 0 ดังนั้น ไมม่ จี ำ�นวนจรงิ ใดเป็นค�ำ ตอบของสมการ 5) 2x2 – 3x + 1–2 = 0 แนวคิด จากสมการ 2 x2 – 3x + –21 = 0 จัดรปู สมการได้เปน็ 4x2 – 6x + 1 = 0 จะได้ a = 4, b = -6 และ c = 1 ดงั น้ัน b2 – 4ac = (-6)2 – 4(4)(1) = 20 -b ± √b2 – 4ac จา กสูตร x = 2a -(-6) ± √20 จะ ได ้ x = 2(4) 3 ± √5 = 3 – √5 4 3 + √5 4 ดงั นน้ั ค�ำ ตอบของสมการ คอื และ 4 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

176 บทท่ี 3 | สมการกำ�ลงั สองตวั แปรเดียว คู่มอื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ความสอดคล้องกับจดุ ประสงคข์ องบทเรยี น ข้อ 1 นักเรียนสามารถแกส้ มการก�ำ ลงั สองตวั แปรเดียว เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเตม็ 15 คะแนน ขอ้ ละ 3 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดงั นี้ ส่วนท่ี 1 การเขียนแสดงการหาค่าตัวแปร ✤ เขยี นแสดงการหาค่าตวั แปรถูกตอ้ งครบถ้วน ได้ 2 คะแนน ได้ 1 คะแนน ✤ เขยี นแสดงการหาค่าตัวแปรถกู ตอ้ งบางส่วน ได้ 0 คะแนน ✤ เขยี นแสดงการหาค่าตวั แปรไม่ถกู ตอ้ ง หรือไม่เขยี น ได้ 1 คะแนน ได้ 0 คะแนน สว่ นท่ี 2 การสรุปคำ�ตอบ ✤ สรุปค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง ✤ สรุปคำ�ตอบไมถ่ ูกต้อง หรือไมส่ รุป 2. จำ�นวนจำ�นวนหนึ่งมากกว่า 5 ถ้ากำ�ลังสองของผลต่างของจำ�นวนน้ันกับ 5 เท่ากับสิบเท่าของผลต่างของจำ�นวนนั้นกับ 5 จงหาจำ�นวนจ�ำ นวนนน้ั (5 คะแนน) แนวคิด ให้ x แทนจำ�นวนจำ�นวนหน่ึงทีม่ ากกว่า 5 จะไดก้ �ำ ลงั สองของผลตา่ งของ x กบั 5 เปน็ (x – 5)2 หรือ (5 – x)2 และสิบเท่าของผลต่างของ x กบั 5 เปน็ 10(x – 5) หรือ 10(5 – x) เน่ืองจาก ก�ำ ลงั สองของผลตา่ งของจ�ำ นวนน้นั กับ 5 เท่ากับสบิ เทา่ ของผลตา่ งของจำ�นวนนั้นกับ 5 กรณที ่ี 1 จะได้สมการเปน็ (x – 5)2 = 10(x – 5) x2 – 10x + 25 = 10x – 50 x2 – 20x + 75 = 0 (x – 15)(x – 5) = 0 ดงั นนั้ x – 15 = 0 หรอื x – 5 = 0 จะได ้ x = 15 หรือ x = 5 เนือ่ งจาก x แทนจ�ำ นวนทีม่ ากกวา่ 5 ดงั นั้น จำ�นวนนั้น คือ 15 กรณีท่ี 2 จะไดส้ มการเปน็ (5 – x)2 = 10(5 – x) 25 – 10x + x2 = 50 – 10x x2 – 25 = 0 (x – 5)(x + 5) = 0 ดังนน้ั x – 5 = 0 หรอื x + 5 = 0 จะได้ x = 5 หรือ x = -5 เน่ืองจาก จ�ำ นวนทตี่ ้องการ มากกวา่ 5 จึงไม่มีค่า x ส�ำ หรบั กรณีน้ี ดงั นัน้ จำ�นวนจำ�นวนน้ัน คอื 15 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 3 | สมการกำ�ลังสองตัวแปรเดยี ว 177 3. ปจั จุบันพ่อมีอายมุ ากกวา่ แม่ 5 ปี อกี 10 ปขี า้ งหน้า กำ�ลังสองของอายุของพอ่ จะมากกว่า 60 เทา่ ของอายุของแม่อยู่ 25 จงหาอายปุ ัจจุบันของพ่อและแม่ (5 คะแนน) แนวคดิ 1 ใหป้ ัจจุบันแม่มีอายุ x ปี เนอื่ งจาก พอ่ มอี ายุมากกวา่ แม่ 5 ปี อายุ (ปี) ปัจจบุ นั อีก 10 ปีขา้ งหนา้ แม่ x x + 10 พ่อ x + 5 x + 15 เน่ืองจาก อกี 10 ปขี า้ งหน้า ก�ำ ลงั สองของอายุของพ่อจะมากกวา่ 60 เทา่ ของอายุของแม่อยู่ 25 จะได้สมการเปน็ (x + 15)2 – 60(x + 10) = 25 x2 – 30x – 400 = 0 (x – 40)(x + 10) = 0 ดังนัน้ x – 40 = 0 หรอื x + 10 = 0 จะได้ x = 40 หรือ x = -10 เนอ่ื งจาก x แทนอายุของแม่ ซึ่งเป็นจ�ำ นวนบวก จงึ พจิ ารณาเฉพาะ x = 40 ดังนั้น ปจั จบุ นั แมม่ อี ายุ 40 ปี และพ่อมอี ายุ 40 + 5 = 45 ปี แนวคิด 2 ให้ปจั จุบันพอ่ มีอายุ y ปี เน่ืองจาก พอ่ มอี ายุมากกวา่ แม่ 5 ปี อายุ (ปี) ปจั จุบนั อกี 10 ปีข้างหนา้ พอ่ y y + 10 แม่ y – 5 y+5 เน่อื งจาก อกี 10 ปขี ้างหนา้ กำ�ลังสองของอายุของพอ่ จะมากกวา่ 60 เทา่ ของอายขุ องแม่อยู่ 25 จะไดส้ มการเปน็ (y + 10)2 – 60(y + 5) = 25 y2 – 40y – 225 = 0 (y – 45)(y + 5) = 0 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

178 บทท่ี 3 | สมการก�ำ ลงั สองตวั แปรเดยี ว คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ดังนั้น y – 45 = 0 หรอื y + 5 = 0 จะได้ y = 45 หรือ y = -5 เนอ่ื งจาก y แทนอายขุ องพอ่ ซ่งึ เปน็ จำ�นวนบวก จงึ พจิ ารณาเฉพาะ y = 45 ดังน้นั ปัจจุบนั พ่อมีอายุ 45 ปี และแมม่ ีอายุ 45 – 5 = 40 ปี 4. รูปสามเหล่ียมมุมฉากรูปหน่ึงมีความยาวของแต่ละด้าน ดังรูป จงหาพ้ืนท่ี รปู สามเหล่ยี มมุมฉากรปู น้ี (5 คะแนน) 13 x + 15 x +8 แนวคดิ เนอ่ื งจาก รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉากมดี ้านตรงขา้ มมมุ ฉากยาว 13 เซนติเมตร และดา้ นประกอบมุมฉากยาว x + 8 เซนตเิ มตร และ x + 15 เซนตเิ มตร จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั จะไดส้ มการเปน็ (x + 8)2 + (x + 15)2 = 132 x2 + 23x + 60 = 0 (x + 3)(x + 20) = 0 ดงั นั้น x + 3 = 0 หรือ x + 20 = 0 จะได ้ x = -3 หรอื x = -20 เนอื่ งจาก ความยาวของด้านประกอบมมุ ฉาก คือ x + 8 เซนตเิ มตร และ x + 15 เซนตเิ มตร ซึง่ จะตอ้ งเปน็ จ�ำ นวนบวก ดังนัน้ x ทีท่ �ำ ใหค้ วามยาวทง้ั สองของดา้ นประกอบมุมฉากเปน็ จำ�นวนบวก คือ x = -3 จะได้ ดา้ นประกอบมุมฉากด้านหนึง่ ยาว -3 + 8 = 5 เซนตเิ มตร และดา้ นประกอบมุมฉากอกี ดา้ นหนึ่งยาว -3 + 15 = 12 เซนตเิ มตร ดังนน้ั รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากมพี ้นื ที่เทา่ กับ –12 × 5 × 12 = 30 ตารางเซนตเิ มตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 3 | สมการกำ�ลงั สองตัวแปรเดียว 179 5. รูปส่ีเหล่ียมมุมฉากรูปหนึ่งมีความยาวรอบรูป 20 เซนติเมตร และมีพ้ืนท่ี 24 ตารางเซนติเมตร จงหาความยาวของ แตล่ ะด้านของรูปสีเ่ หลีย่ มมุมฉาก (5 คะแนน) แนวคดิ ใหด้ ้านหนึ่งของรูปสี่เหลยี่ มมมุ ฉากรูปน้ียาว x เซนตเิ มตร เนอ่ื งจาก ความยาวรอบรูปของรปู สี่เหลี่ยมมมุ ฉากนีเ้ ทา่ กับ 20 เซนตเิ มตร จ ะได้ คว ามยาว อกี ดา้ น หนง่ึ ข องรปู ส ่เี หลย่ี มมมุ ฉากเป็น 20 – 2x = 10 – x เซนติเมตร 2 x ซม. 10 – x ซม. เนื่องจาก พื้นท่ขี องรูปส่ีเหล่ียมมมุ ฉากเท่ากบั 24 ตารางเซนติเมตร จะไดส้ มการเป็น x(10 – x) = 24 x2 – 10x + 24 = 0 (x – 4)(x – 6) = 0 ดงั นั้น x – 4 = 0 หรอื x – 6 = 0 จะได้ x = 4 หรือ x = 6 เน่อื งจาก x แทนความยาวดา้ นหน่ึงของรปู สเ่ี หล่ียมมมุ ฉาก ดังนัน้ x จงึ เป็นได้ทง้ั สองจำ�นวน ถ้าความยาวดา้ นหนึ่งของรปู ส่เี หล่ียมมุมฉาก คือ 4 เซนตเิ มตร จะได้ ความยาวอกี ด้านหน่งึ ของรปู สี่เหล่ียม มุมฉากเป็น 6 เซนตเิ มตร ถ้าความยาวด้านหนึง่ ของรปู ส่ีเหลีย่ มมุมฉาก คอื 6 เซนตเิ มตร จะได้ ความยาวอกี ดา้ นหนง่ึ ของรปู สีเ่ หลี่ยม มุมฉากเป็น 4 เซนตเิ มตร ดงั นั้น รูปสเี่ หลีย่ มมุมฉากมดี ้านคูห่ นง่ึ ยาวดา้ นละ 4 เซนตเิ มตร และด้านอกี คู่หนึ่งยาวด้านละ 10 – 4 = 6 เซนติเมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

180 บทท่ี 3 | สมการกำ�ลังสองตวั แปรเดยี ว คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 6. ติก๊ มีกระดาษรปู สเี่ หลย่ี มผืนผา้ กวา้ ง 3x + 2 หนว่ ย ยาว 4x + 3 หนว่ ย เมอ่ื ตัดมมุ ทง้ั สอ่ี อกเป็นรูปสเี่ หลยี่ มจัตรุ ัสทม่ี ีดา้ นยาว 2 หน่วย และน�ำ มาพับขอบให้เปน็ ทรงส่ีเหลย่ี มมมุ ฉาก จะมีความจุเป็น 154 ลกู บาศก์หนว่ ย จงหาวา่ กระดาษแผ่นนก้ี อ่ น ตดั มมุ มีความกวา้ งและความยาวเทา่ ใด (5 คะแนน) 2 2 3x + 2 2 3x – 2 4x – 1 4x + 3 แนวคดิ เน่ืองจาก ทรงสี่เหล่ยี มมุมฉากมคี วามจเุ ป็น 154 ลกู บาศกห์ น่วย จะได้สมการเป็น (3x – 2)(4x – 1)(2) = 154 12x2 – 11x – 75 = 0 (12x + 25)(x – 3) = 0 ดังนนั้ 12x + 25 = 0 หรือ x – 3 = 0 จะได ้ x = - 1—225 หรือ x = 3 เน่ืองจาก ความยาวด้านของรูปสี่เหลย่ี มต้องเป็นจ�ำ นวนบวก จึงพจิ ารณาเฉพาะ x = 3 ดังนน้ั กระดาษรูปสี่เหล่ียมผนื ผ้ากอ่ นตดั มุมมีความกว้าง 3(3) + 2 = 11 หนว่ ย และยาว 4(3) + 3 = 15 หนว่ ย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 3 | สมการกำ�ลังสองตัวแปรเดยี ว 181 ส�ำ หรบั ข้อ 2–6 ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น ข้อ 2 นกั เรียนสามารถน�ำ ความรูเ้ ก่ยี วกับสมการก�ำ ลังสองตัวแปรเดยี วไปใช้ในการแก้ปัญหา เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็มขอ้ ละ 5 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดงั นี้ สว่ นท่ี 1 การเขียนแสดงที่มาของสมการและการเขยี นสมการ ✤ เขยี นแสดงที่มาของสมการและเขียนสมการถกู ต้อง ได้ 2 คะแนน ✤ เขียนแสดงทมี่ าของสมการ แต่เขียนสมการไมถ่ กู ตอ้ ง หรอื ไมเ่ ขียนแสดงท่มี าของสมการ แต่เขียนสมการถูกต้อง ได้ 1 คะแนน ✤ เขียนแสดงที่มาของสมการและเขียนสมการไมถ่ ูกต้อง หรือไม่เขยี น ได้ 0 คะแนน ส่วนที่ 2 การเขยี นแสดงการหาคา่ ตวั แปร ✤ เขียนแสดงการหาคา่ ตัวแปรถกู ตอ้ งครบถ้วน ได้ 2 คะแนน ✤ เขยี นแสดงการหาค่าตวั แปรถูกตอ้ งบางส่วน ได้ 1 คะแนน ✤ เขียนแสดงการหาค่าตวั แปรไมถ่ ูกต้อง หรอื ไม่เขียน ได้ 0 คะแนน สว่ นที่ 3 การสรปุ ค�ำ ตอบ ✤ สรุปค�ำ ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน ✤ สรุปคำ�ตอบไมถ่ ูกตอ้ ง หรอื ไม่สรุป ได้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

182 บทที่ 3 | สมการก�ำ ลังสองตัวแปรเดยี ว คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | ความคลา้ ย 183 บทที่ 4 ความคลา้ ย ในบทความคล้ายนี้ ประกอบด้วยหวั ขอ้ ยอ่ ย ดงั ตอ่ ไปน้ี 4.1 รปู เรขาคณติ ทค่ี ล้ายกัน 3 ชัว่ โมง 4.2 รูปสามเหล่ียมทีค่ ล้ายกัน 5 ชัว่ โมง 4.3 โจทย์ปัญหาเกีย่ วกับรปู สามเหลี่ยมท่ีคลา้ ยกัน 5 ชว่ั โมง สาระและมาตรฐานการเรียนรู้ สาระท่ี 2 การวดั และเรขาคณติ มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รปู เรขาคณิต สมบัตขิ องรูปเรขาคณติ ความสมั พันธร์ ะหว่างรูปเรขาคณิต และ ทฤษฎีบททางเรขาคณิต และนำ�ไปใช้ ตัวชวี้ ดั เข้าใจและใชส้ มบัตขิ องรปู สามเหล่ียมทคี่ ลา้ ยกนั ในการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์และปญั หาในชวี ิตจริง จุดประสงคข์ องบทเรยี น นักเรียนสามารถ 1. ระบุเง่อื นไขทีท่ ำ�ให้รปู หลายเหล่ียมสองรปู คล้ายกัน และบอกสมบัตขิ องรูปหลายเหลีย่ มท่คี ลา้ ยกนั 2. ระบุเงือ่ นไขทที่ �ำ ให้รูปสามเหล่ยี มสองรปู คลา้ ยกัน และบอกสมบตั ิของรูปสามเหล่ียมท่คี ลา้ ยกนั 3. ใช้สมบัติของรูปสามเหลยี่ มที่คลา้ ยกนั ในการให้เหตุผลและแก้ปัญหา ความเช่ือมโยงระหวา่ งตัวชีว้ ดั กบั จดุ ประสงค์ของบทเรียน เนอ่ื งจากตวั ชว้ี ดั นก้ี ลา่ วถงึ ความเขา้ ใจและการใชส้ มบตั ขิ องรปู สามเหลย่ี มทค่ี ลา้ ยกนั ในการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตรแ์ ละปญั หา ในชวี ติ จรงิ ดงั นน้ั เพอ่ื ใหก้ ารเรยี นรขู้ องนกั เรยี นในเรอ่ื งความคลา้ ยสอดคลอ้ งกบั ตวั ชว้ี ดั ครคู วรจดั ประสบการณใ์ หน้ กั เรยี นสามารถ 1. เข้าใจสมบัติของรูปสามเหล่ียมที่คล้ายกัน ซึ่งสะท้อนได้จากการท่ีนักเรียนสามารถระบุเงื่อนไขเกี่ยวกับขนาดของ มมุ คทู่ สี่ มนยั กนั และอตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ สี่ มนยั กนั ทที่ �ำ ใหร้ ปู หลายเหลยี่ มสองรปู คลา้ ยกนั และบอก สมบตั ิของรูปหลายเหลย่ี มที่คล้ายกนั ซึ่งนำ�ไปสูแ่ นวคดิ เกี่ยวกบั เงอื่ นไขท่ที �ำ ใหร้ ูปสามเหลีย่ มสองรูปคลา้ ยกนั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

184 บทที่ 4 | ความคล้าย คูม่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 2. ใช้สมบัติของรูปสามเหล่ียมท่ีคล้ายกันในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง ซึ่งสะท้อนได้จากการท่ี นักเรียนสามารถใช้สมบัติของรูปสามเหล่ียมท่ีคล้ายกัน ในการแก้ปัญหาหรือให้เหตุผลทางเรขาคณิต และ สถานการณต์ ่าง ๆ ในชวี ิตจรงิ ความคดิ รวบยอดของบทเรยี น รปู เรขาคณติ สองรปู เปน็ รปู ทค่ี ลา้ ยกนั เมอ่ื รปู เรขาคณติ ทง้ั สองนน้ั มรี ปู รา่ งเหมอื นกนั แตอ่ าจมขี นาดเทา่ กนั หรอื แตกตา่ งกนั กไ็ ด้ การตรวจสอบวา่ รปู สามเหลย่ี มสองรปู คลา้ ยกนั ไมจ่ �ำ เปน็ ตอ้ งตรวจสอบครบทกุ เงอ่ื นไข เพยี งแคม่ มี มุ ทม่ี ขี นาดเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ สามคู่ หรอื มอี ตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ทกุ คเู่ ปน็ อตั ราสว่ นทเ่ี ทา่ กนั เพยี งเงอ่ื นไขเดยี ว กเ็ พยี งพอทจ่ี ะสรปุ ไดว้ า่ รปู สามเหลย่ี มสองรปู นนั้ คลา้ ยกนั เราสามารถใชส้ มบตั ขิ องรปู เรขาคณติ ทคี่ ลา้ ยกนั ในการใหเ้ หตผุ ล การพสิ จู นท์ างเรขาคณติ และ การแกป้ ญั หาเก่ียวกบั การหาความยาวของด้านและขนาดของมมุ ของรูปเรขาคณติ ท่ีคล้ายกันได ้ ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ทกั ษะและกระบวนการ 4.1 หวั ข้อ กิจกรรม ทางคณิตศาสตร์ รปู เรขาคณติ 4.2 4.3 ท้ายบท / ท่คี ลา้ ยกนั รูปสามเหลี่ยม โจทย์ปัญหา แบบฝกึ หดั การแกป้ ญั หา ทค่ี ล้ายกนั เกย่ี วกับ ทา้ ยบท การสอื่ สารและการสือ่ ความหมาย ทางคณติ ศาสตร์ รปู สามเหลย่ี ม การเช่ือมโยง ท่คี ลา้ ยกนั การใหเ้ หตผุ ล การคดิ สร้างสรรค์ ✤✤✤✤ ✤✤✤✤ ✤✤✤✤ ✤ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | ความคล้าย 185 ความเช่ือมโยงของความรู้ ความรพู ื้นฐาน ✤ อัตราส่วน อัตราส่วนที่เท่ากัน และสัดส่วน เพ่ือนำ�ไปใช้ในการ ทำ�ความเข้าใจเกี่ยวกับเง่ือนไขและสมบัติของรูปหลายเหล่ียม ทคี่ ลา้ ยกัน รวมทง้ั รูปสามเหลยี่ มสองรปู ทค่ี ล้ายกนั ✤ ความเท่ากันทุกประการ เพื่อใช้เป็นพื้นฐานในการอธิบายรูปท่ี คลา้ ยกนั รวมถงึ การน�ำ ความรเู้ รอ่ื งความเทา่ กนั ทกุ ประการไปใชใ้ น การพสิ จู นท์ ฤษฎบี ทต่าง ๆ ✤ เสน้ ขนาน เพอ่ื ใช้เปน็ พน้ื ฐานในการท�ำ โจทย์ปญั หาตา่ ง ๆ เก่ียวกบั ความคล้าย รวมถึงการนำ�ความรู้เร่ืองเส้นขนานไปใช้ในการพิสูจน์ ทฤษฎบี ทต่าง ๆ ความรู ✤ รปู หลายเหลย่ี มสองรปู คลา้ ยกนั กต็ อ่ เมอื่ รปู หลายเหลย่ี มสองรปู นน้ั ในบทเรยี น มขี นาดของมมุ เท่ากันเป็นคู่ ๆ ทุกคู่ และมอี ัตราสว่ นของความยาว ของดา้ นค่ทู ี่สมนยั กนั ทุกคเู่ ป็นอัตราสว่ นทเ่ี ทา่ กนั ✤ รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเม่ือ รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น มขี นาดของมมุ เท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ หรอื อตั ราสว่ นของความยาว ของด้านคทู่ ่สี มนยั กนั ทกุ คู่เปน็ อตั ราสว่ นทีเ่ ทา่ กนั ✤ สมบัติของรูปหลายเหล่ียมท่ีคล้ายกัน เช่น สมบัติของความคล้าย สมบตั เิ กย่ี วกบั ขนาดของมมุ คทู่ ส่ี มนยั กนั และอตั ราสว่ นของความยาว ของดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ของรปู หลายเหลย่ี ม สมบตั เิ กย่ี วกบั อตั ราสว่ น ของความยาวรอบรปู ของรปู หลายเหลย่ี มทค่ี ลา้ ยกนั กบั อตั ราสว่ นของ ความยาวของดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ของรปู หลายเหลย่ี มทค่ี ลา้ ยกนั ✤ การใชส้ มบตั ขิ องรปู สามเหลย่ี มทค่ี ลา้ ยกนั ในการใหเ้ หตผุ ลและแกป้ ญั หา เชน่ การหาขนาดของมมุ การหาความยาวของดา้ น การใหเ้ หตผุ ล ทางเรขาคณติ การหาความสงู ของตกึ การหาความกวา้ งของแมน่ �ำ้ ความรูในอนาคต การใช้ความรู้เร่ืองความคล้ายในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ เช่น การพิสูจน์สมบัติของอัตราส่วนตรีโกณมิติ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

186 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย ค่มู ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ลำ�ดบั การจดั กิจกรรมการเรียนรขู้ องบทเรยี น ทบทวนความรเู้ รอ่ื งอัตราสว่ น อัตราส่วนทีเ่ ทา่ กัน สัดสว่ น ความเทา่ กนั ทกุ ประการ และเสน้ ขนาน อภิปรายเกยี่ วกับรูปเรขาคณติ ท่ีคล้ายกนั และสมบตั ขิ องความคล้าย ทำ�กจิ กรรมส�ำ รวจรูปหลายเหลย่ี มที่คล้ายกัน เพื่อสรุปเงื่อนไขเกี่ยวกับขนาดของมุมคู่ท่สี มนยั กนั และ อัตราส่วนของความยาวของดา้ นคทู่ ี่สมนยั กันทท่ี �ำ ใหร้ ปู หลายเหลีย่ มสองรปู คล้ายกนั ท�ำ กิจกรรมสำ�รวจรปู สามเหลย่ี มเพ่ือใหน้ กั เรียนสรุปว่า ถา้ รปู สามเหลี่ยมสองรูปมมี ุมที่มีขนาดเท่ากัน เปน็ คู่ ๆ สามคู่ แล้วรปู สามเหลีย่ มสองรูปนั้นจะเปน็ รูปสามเหล่ียมท่คี ลา้ ยกัน ท�ำ กิจกรรมสำ�รวจรูปสามเหล่ียมเพอ่ื ให้นกั เรียนสรปุ ว่า ถ้ารปู สามเหลีย่ มสองรูปมอี ัตราส่วนของความยาว ของด้านค่ทู ี่สมนยั กนั ทุกคเู่ ปน็ อัตราสว่ นที่เท่ากนั แล้วรูปสามเหล่ยี มสองรปู นน้ั จะเป็นรปู สามเหลยี่ มทคี่ ลา้ ยกัน ใชส้ มบัติของรูปสามเหลี่ยมทค่ี ลา้ ยกนั ในการใหเ้ หตผุ ลและแกป้ ัญหา สรปุ บทเรียนเรือ่ งความคล้าย และฝกึ แก้ปัญหาโดยท�ำ กิจกรรมท้ายบทและแบบฝกึ หดั ท้ายบท สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย 187 4.1 รปู เรขาคณิตท่ีคล้ายกนั (3 ชว่ั โมง) จดุ ประสงค์ นักเรียนสามารถ 1. ระบุเง่ือนไขท่ที ำ�ใหร้ ูปหลายเหล่ียมสองรปู คล้ายกัน 2. บอกสมบัติของรูปหลายเหลีย่ มท่คี ลา้ ยกนั ความเข้าใจที่คลาดเคลอ่ื น - สื่อทแ่ี นะนำ�ใหใ้ ช้ในข้อเสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ 1. อุปกรณ์ของกจิ กรรม : สำ�รวจรูปหลายเหลยี่ มท่ีคลา้ ยกนั 2. อุปกรณ์ของกิจกรรม : รูปเหมอื น 3. ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) ขอ้ เสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ ในหัวข้อนี้ เป็นการศึกษาเก่ียวกับเง่ือนไขท่ีทำ�ให้รูปหลายเหล่ียมสองรูปคล้ายกัน รวมถึงสมบัติของรูปหลายเหล่ียม ทคี่ ลา้ ยกนั ซง่ึ ความรใู้ นหวั ขอ้ นจ้ี ะเปน็ พน้ื ฐานในการเรยี นรเู้ รอ่ื งรปู สามเหลยี่ มทคี่ ลา้ ยกนั ในหวั ขอ้ ถดั ไป แนวทางการจดั กจิ กรรม การเรยี นรอู้ าจท�ำ ได้ดังนี้ 1. ครูสนทนากับนักเรยี นเก่ียวกบั สงิ่ ตา่ ง ๆ รอบตัวซ่ึงมีรปู ร่างทคี่ ล้ายกัน เชน่ หน้าจอทีวี กระถางตน้ ไม ้ แกว้ กาแฟ ขนาดตา่ ง ๆ กลอ่ งอาหารชดุ หมอ้ ชุด รูปขยาย รูปยอ่ สิง่ ต่าง ๆ ทีม่ ีรูปรา่ งเหมือนกันหรือคลา้ ยกัน เพอื่ ให้ นกั เรยี นเขา้ ใจเกย่ี วกบั ความคลา้ ยวา่ สงิ่ ทคี่ ลา้ ยกนั จะมรี ปู รา่ งเหมอื นกนั แตอ่ าจมขี นาดเทา่ กนั หรอื แตกตา่ งกนั กไ็ ด้ เพอ่ื น�ำ ไปส่กู ารแนะนำ�รูปเรขาคณิตท่ีคลา้ ยกนั 2. ครใู ห้นักเรยี นท�ำ “กิจกรรม : สำ�รวจรูปหลายเหลีย่ มทค่ี ล้ายกัน” ในหนงั สอื เรยี น หน้า 106–107 โดยสำ�รวจและ สรา้ งขอ้ ความคาดการณเ์ กย่ี วกบั ขนาดของมมุ และอตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ของรปู หลายเหลย่ี ม ท่ีคล้ายกัน เพื่อนำ�ไปสู่เงื่อนไขท่ีทำ�ให้รูปหลายเหล่ียมคล้ายกันตามบทนิยาม หลังจากที่นักเรียนได้ข้อสรุปแล้ว ครูควรยำ้�ว่า ในการตรวจสอบว่ารูปหลายเหล่ียมสองรูปใด ๆ เป็นรูปที่คล้ายกันหรือไม่ จะต้องพิจารณาเงื่อนไข ใหค้ รบทง้ั สองประการ คอื มขี นาดของมมุ เทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ ทกุ คู่ และมอี ตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ทกุ ค่เู ป็นอัตราส่วนทเ่ี ทา่ กัน จะขาดเงอื่ นไขใดเงอื่ นไขหนง่ึ ไมไ่ ด้ ในการท�ำ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจรปู หลายเหลย่ี มทค่ี ลา้ ยกนั ” ขา้ งตน้ น ี้ ครคู วรใหน้ กั เรยี นส�ำ รวจรปู หลายเหลยี่ ม ในลักษณะอ่ืน ๆ เพม่ิ เติม โดยดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP จากมมุ เทคโนโลยี ในหนงั สือเรยี น หน้า 106 เพอื่ สำ�รวจ รูปหลายเหล่ียมท่หี ลากหลายและยืนยันข้อความคาดการณท์ สี่ ร้างให้มคี วามน่าเชือ่ ถอื มากขึ้น สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

188 บทที่ 4 | ความคล้าย คมู่ ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 3. ครูควรเนน้ ย�้ำ เก่ียวกับการเขียนชอ่ื ของรูปหลายเหล่ยี มทีค่ ลา้ ยกนั วา่ จะตอ้ งให้ความส�ำ คัญกับลำ�ดบั ของตัวอกั ษร ทก่ี ำ�กับช่อื ซ่ึงแสดงถงึ การจับครู่ ะหวา่ งมุมและด้านค่ทู ี่สมนัยกัน 4. ครชู ใ้ี หเ้ หน็ สมบตั ขิ องรปู หลายเหลย่ี มทคี่ ลา้ ยกนั อกี ประการหนงึ่ คอื อตั ราสว่ นของความยาวรอบรปู ของรปู สเ่ี หลยี่ ม ท่คี ลา้ ยกันกับอัตราส่วนของความยาวของด้านคูท่ ี่สมนัยกนั ว่า อัตราสว่ นทงั้ สองน้นั เป็นอตั ราสว่ นท่เี ท่ากนั โดยใช้ ตัวอยา่ งท่ี 3 ในหนังสือเรยี น หน้า 113 ครอู าจใชช้ วนคิด 4.4 ในหนงั สือเรยี น หน้า 113 เพอื่ ใหน้ ักเรยี นสำ�รวจเพิ่มเตมิ เกี่ยวกับความสัมพนั ธ์ ของอัตราส่วนของความยาวรอบรูป อัตราส่วนของพ้ืนท่ี และอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ท่ีสมนัยกันของ รปู หลายเหลยี่ มสองรูปทีค่ ล้ายกนั โดยดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP จากมมุ เทคโนโลยี ในหนงั สอื เรยี น หน้า 113 5. ครใู หน้ กั เรยี นทำ� “กจิ กรรม : รูปเหมอื น” ในหนังสือเรยี น หน้า 116–118 เพ่ือใหน้ ักเรยี นน�ำ ความรูเ้ รอื่ งการย่อ และการขยายมาใชใ้ นการเขียนรปู ยอ่ หรือรูปขยาย ซึง่ เป็นรปู เรขาคณิตทค่ี ลา้ ยกนั อีกทั้งกิจกรรมน้เี ป็นกจิ กรรมท่ี เชอื่ มโยงกับงานศิลปะ ครูอาจใหน้ กั เรียนทำ�กิจกรรมนี้และนำ�ผลงานของนักเรยี นมาจัดแสดงบนปา้ ยนิเทศกไ็ ด้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | ความคลา้ ย 189 กจิ กรรม : สำ�รวจรูปหลายเหล่ยี มทค่ี ลา้ ยกนั กจิ กรรมนี้ เปน็ กจิ กรรมทเ่ี นน้ ใหน้ กั เรยี นส�ำ รวจเงอื่ นไขทนี่ �ำ ไปสบู่ ทนยิ ามของรปู หลายเหลยี่ มสองรปู ทค่ี ลา้ ยกนั โดยนกั เรยี น ต้องวัดขนาดของมุมและความยาวของด้านของรูปส่ีเหลี่ยมที่คล้ายกันท่ีกำ�หนดให้ เพื่อสังเกตขนาดของมุมคู่ที่สมนัยกัน และ อตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ สี่ มนยั กนั แลว้ สรา้ งขอ้ ความคาดการณเ์ กยี่ วกบั รปู หลายเหลย่ี มทค่ี ลา้ ยกนั โดยมสี อ่ื /อปุ กรณ์ และขัน้ ตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม ดงั นี้ ส่ือ/อปุ กรณ์ 1. โพรแทรกเตอร์ 2. ไมบ้ รรทัด ข้นั ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม 1. ครใู หน้ กั เรยี นทำ� “กิจกรรม : สำ�รวจรปู หลายเหลี่ยมทีค่ ลา้ ยกัน” ในหนังสือเรยี น หน้า 106–107 โดยให้นกั เรียน วัดขนาดของมุมของรูปสี่เหลี่ยมทั้งสองรูปที่กำ�หนดให้เป็นจำ�นวนเต็ม และวัดความยาวของด้านเป็นทศนิยม หนึง่ ต�ำ แหนง่ แล้วเติมค�ำ ตอบลงในตารางข้อ 1 และ 2 2. ครูให้นักเรียนหาอัตราส่วนของความยาวของด้านท่ีกำ�หนดให้ในข้อ 3 โดยใช้ข้อมูลที่ได้จากตารางในข้อ 2 และ ให้นักเรียนเขียนคำ�ตอบในรูปทศนิยมสองตำ�แหน่ง แล้วตอบคำ�ถามเก่ียวกับมุมคู่สมนัยกันและด้านคู่สมนัยกัน ในข้อ 4 และ 5 3. ครใู หน้ กั เรยี นสงั เกตค�ำ ตอบทไ่ี ดจ้ ากการท�ำ กจิ กรรมขอ้ 3, 4 และ 5 แลว้ สรา้ งขอ้ ความคาดการณเ์ กย่ี วกบั รปู หลายเหลย่ี ม ที่คลา้ ยกัน และนำ�เสนอขอ้ ความคาดการณ์ทไี่ ด ้ 4. ครยู กตวั อยา่ งเพม่ิ เติมจากกจิ กรรมที่นักเรยี นได้ท�ำ หรืออาจดาวน์โหลดไฟล์ GSP จากมมุ เทคโนโลยี ในหนงั สือเรียน หนา้ 106 เพื่อใหน้ ักเรียนเห็นวา่ ไมว่ ่าจะก�ำ หนดรูปหลายเหลย่ี มทค่ี ลา้ ยกันแบบใด ผลสรปุ ท่ีไดย้ ังคงเหมือนเดมิ 5. ครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายเพ่ือสรุปผลจากการทำ�กิจกรรม รวมถึงข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับรูปหลายเหล่ียม ทีค่ ลา้ ยกนั ท้งั นี้ ครอู าจชี้ให้นักเรียนเห็นถงึ ความคลาดเคล่ือนท่ีเกิดจากการวัดของนักเรียน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

190 บทท่ี 4 | ความคล้าย คูม่ ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยกิจกรรม : สำ�รวจรปู หลายเหลี่ยมท่ีคลา้ ยกนั 1. วดั ขนาดของมุมของรปู สเ่ี หลย่ี มทงั้ สอง แล้วเตมิ คา่ ลงในตาราง ขนาดของมุมของ ABCD ขนาดของมุมของ PQRS ˆA = 95 องศา ˆP = 95 องศา ˆB = 112 องศา ˆQ = 112 องศา ˆC = 90 องศา ˆR = 90 องศา ˆD = 63 องศา ˆS = 63 องศา 2. วดั ความยาวของด้านของรูปสเี่ หลย่ี มทัง้ สอง และเติมคา่ ลงในตาราง ความยาวของดา้ นของ ABCD ความยาวของดา้ นของ PQRS AB = 4 เซนตเิ มตร PQ = 6 เซนติเมตร BC = 3 เซนตเิ มตร QR = 4.5 เซนติเมตร CD = 6 เซนตเิ มตร RS = 9 เซนตเิ มตร DA = 5 เซนตเิ มตร SP = 7.5 เซนติเมตร 3. หาอัตราส่วนของความยาวของด้านของรูปสี่เหล่ยี มทง้ั สอง ต่อไปน้ี P—AQB = 6–4 ≈ 0.67 —QBCR = 4—3.5 ≈ 0.67 —CRDS = –69 ≈ 0.67 7—5.5 ≈ 0.67 D—SAP = 4. จากรูปสี่เหลยี่ มทง้ั สอง จงจบั คู่จดุ ยอดท่ีทำ�ใหไ้ ด้มมุ คู่ที่สมนยั กนั มขี นาดเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ ทุกคู่ ˆA = ˆP , ˆB = ˆQ , ˆC = ˆR และ ˆD = ˆS สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | ความคล้าย 191 5. จากมมุ คทู่ ีส่ มนยั กนั ในขอ้ 4 จงระบุ ด้านคทู่ สี่ มนยั กนั AB สมนยั กบั PQ BC สมนยั กับ QR CD สมนยั กบั RS DA สมนัยกับ SP 6. ให้นกั เรียนสร้างขอ้ ความคาดการณ์เก่ียวกบั รปู หลายเหล่ยี มทค่ี ลา้ ยกนั โดยอาศัยคำ�ตอบจากข้อ 3, 4 และ 5 ค�ำ ตอบมไี ด้หลากหลาย เชน่ ✤ รปู หลายเหลี่ยมทคี่ ลา้ ยกนั นา่ จะมีอตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคู่ที่สมนัยกนั เป็นอัตราส่วนที่เท่ากนั ✤ รปู หลายเหลยี่ มท่คี ลา้ ยกนั มีขนาดของมมุ คทู่ สี่ มนัยกันเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ ทกุ ค ู่ ✤ รปู หลายเหลี่ยมทค่ี ลา้ ยกัน มขี นาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ ทุกค่ ู และน่าจะมอี ตั ราส่วนของความยาวของดา้ นคู่ ท่ีสมนยั กันทุกคู่เปน็ อตั ราสว่ นทเี่ ทา่ กนั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

192 บทท่ี 4 | ความคล้าย คู่มอื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 กิจกรรม : รูปเหมอื น กจิ กรรมนี้ เป็นกจิ กรรมท่ีมุ่งใหน้ กั เรียนเขียนรูปยอ่ หรอื รปู ขยายของรูปท่ตี อ้ งการวาด โดยใช้กระดาษตารางทีเ่ ปน็ ตาราง สำ�หรับย่อ หรือตารางสำ�หรับขยาย ซึ่งรูปที่ได้เป็นรูปท่ีคล้ายกับรูปท่ีต้องการวาด โดยมีส่ือ/อุปกรณ์ และขั้นตอนการดำ�เนิน กจิ กรรม ดงั นี้ สอื่ /อปุ กรณ์ 1. รูปตน้ แบบ 2. ไม้บรรทัด 3. กระดาษตารางสำ�หรับย่อหรอื ขยาย ข้ันตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม 1. ครูให้นกั เรยี นศึกษาวธิ ีการในการวาดรปู ย่อหรือรูปขยาย ในหนงั สือเรียน หนา้ 116–118 2. ครใู หน้ กั เรยี นเขยี นรปู ยอ่ ของรปู ลายกระหนก ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 118 หรอื เขยี นรปู ยอ่ หรอื รปู ขยายของรปู ทนี่ กั เรยี น ชนื่ ชอบบนตารางทก่ี �ำ หนด แล้วระบายสตี ามใจชอบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | ความคล้าย 193 เฉลยชวนคดิ ชวนคดิ 4.1 ค�ำ ตอบมีได้หลากหลาย เช่น ipst.me/11399 1. รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก คลา้ ยกันกบั หรอื คล้ายกนั กบั 2. รูปสามเหล่ียมดา้ นเท่า คลา้ ยกันกับ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

194 บทที่ 4 | ความคลา้ ย คู่มอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 3. รูปสามเหลย่ี มหน้าจวั่ คลา้ ยกันกบั 4. รปู สเ่ี หลี่ยมผนื ผา้ คลา้ ยกนั กบั 5. รปู สี่เหล่ยี มขนมเปียกปูน คลา้ ยกันกับ 6. รปู สีเ่ หลยี่ มคางหมหู น้าจวั่ คลา้ ยกันกับ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย 195 R ชวนคิด 4.2 Q ipst.me/11400 M U S V D T L NO C KJ FE AB เนอ่ื งจาก รปู JKLMNO ~ รูป ABCDEF จะได้ อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนยั กนั ของรปู JKLMNO และรูป ABCDEF เป็นดงั นี้ A—JKB = —43.5 = –32 —BKCL = √1√15.2 5 = 49 = 2–3 L—CMD = 2–3 M—DEN = √√188 = 49 = –23 N—EFO = –23 —OFAJ = 2–3 เนือ่ งจาก รูป QRSTUV ~ รปู ABCDEF จะได้ อัตราสว่ นของความยาวของด้านคูท่ ส่ี มนยั กนั ของรปู QRSTUV และรปู ABCDEF ดงั นี้ Q—ARB = —46.5 = –43 —BRCS = √√112.02 5 = 1 96 = –43 —CSDT = –43 TD—UE = √√3128 = 196 = –43 U—EFV = –43 V—FQA = –43 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

196 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย คู่มือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 เนื่องจาก รูป JKLMNO ~ รปู QRSTUV จะได้ อัตราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ ่ีสมนัยกันของรูป JKLMNO และรปู QRSTUV ดังนี้ Q—JKR = –36 = 1–2 —KRLS = √√250 = 14 = 1–2 L—SMT = –42 = 1–2 M—TUN = √√382 = 14 = –12 U—NVO = –42 = 1–2 —VOQJ = –42 = 1–2 ชวนคิด 4.3 1. 12 รูป ipst.me/11401 2. 11 รปู ชวนคิด 4.4 1. อตั ราสว่ นของความยาวรอบรปู ของรปู หลายเหลยี่ มสองรปู ทคี่ ลา้ ยกนั จะเทา่ กบั อตั ราสว่ นของความยาว ipst.me/11402 ของด้านคู่ที่สมนัยกนั เสมอ 2. อตั ราสว่ นของพ้ืนที่ของรูปหลายเหลยี่ มสองรปู ทีค่ ล้ายกนั เท่ากบั กำ�ลงั สองของอัตราสว่ นของความยาว ของด้านคูท่ ี่สมนยั กนั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | ความคล้าย 197 ตวั อย่างการสำ�รวจ โดยใช้ GSP จากมมุ เทคโนโลยี ในหนังสอื เรยี น หนา้ 113 m∠ ABC = 85.22° AB = 4.59 ซม. m∠ DEF = 85.22° DE = 7.87 ซม. AB = 0.58 ความยาวรอบรปู ΔABC = 0.58 m∠ BCA = 66.13° BC = 2.41 ซม. DE ความยาวรอบรูป ΔDEF m∠ CAB = 28.65° CA = 5.00 ซม. m∠ EFD = 66.13° EF = 4.13 ซม. ความยาวรอบรูป ΔABC = 12.00 ซม. พืน้ ที่ ΔABC = 5.50 ซม.2 m∠ FDE = 28.65° FD = 8.58 ซม. BC = 0.58 พ้นื ท่ี ΔABC = 0.34 EF พน้ื ที่ ΔDEF ความยาวรอบรูป ΔDEF = 20.58 ซม. พืน้ ที่ ΔDEF = 16.20 ซม.2 CA ( )AB2 D FD DE = 0.58 = 0.34 A ( )AB BC CA ความยาวรอบรปู ΔABC พนื้ ท่ี ΔABC AB 2 DE DE EF FD ความยาวรอบรูป ΔDEF พื้นท่ี ΔDEF 0.86 0.86 0.86 0.86 0.74 0.74 1.24 1.24 1.24 1.24 1.55 1.55 0.90 0.90 0.90 0.90 0.81 0.81 1.68 1.68 1.68 1.68 2.84 2.84 BC 0.58 0.58 0.58 0.58 0.34 0.34 E F m∠ DAB = 102.94° AB = 3.78 ซม. m∠ SPQ = 102.94° PQ = 2.73 ซม. AB = 1.39 ความยาวรอบรปู ABCD = 1.39 m∠ ABC = 108.09° BC = 5.28 ซม. m∠ PQR = 108.09° QR = 3.81 ซม. PQ ความยาวรอบรปู PQRS m∠ BCD = 56.09° CD = 6.42 ซม. m∠ CDA = 92.87° DA = 3.36 ซม. m∠ QRS = 56.09° RS = 4.63 ซม. BC พืน้ ท่ี ABCD ความยาวรอบรูป ABCD = 18.84 ซม. m∠ RSP = 92.87° SP = 2.42 ซม. QR = 1.39 = 1.93 พน้ื ที่ ABCD = 20.26 ซม.2 พื้นท่ี PQRS C D ความยาวรอบรปู PQRS = 13.58 ซม. CD = 1.39 ( )AB 2 = 1.93 พน้ื ที่ PQRS = 10.52 ซม.2 RS PQ AB DA = 1.39 SP ( )R AB BC CD DA ความยาวรอบรปู ABCD พื้นท่ี ABCD AB 2 S PQ QR RS SP ความยาวรอบรปู PQRS พน้ื ท่ี PQRS PQ 0.65 0.65 0.65 0.65 0.65 0.43 0.43 1.54 1.54 1.54 1.54 1.54 2.36 2.36 P Q 2.27 2.27 2.27 2.27 2.27 5.13 5.13 0.70 0.70 0.70 0.70 0.70 0.49 0.49 1.39 1.39 1.39 1.39 1.39 1.93 1.93 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

198 บทที่ 4 | ความคล้าย ค่มู ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ชวนคดิ 4.5 ipst.me/11403 เฉลยแบบฝึกหดั แบบฝึกหดั 4.1 1. 1) ABCD คล้ายกับ WXYZ เพราะ มีมุมที่มขี นาดเทา่ กันเปน็ คู่ ๆ ทกุ ค่ ู คอื ˆA = Wˆ , ˆB = ˆX , ˆC = ˆY และ ˆD = ˆZ และอตั ราส่วนของความยาวของดา้ นคู่ทีส่ มนยั กนั ทกุ ค่เู ป็นอัตราสว่ นที่เทา่ กัน คอื —WABX = XB—CY = C—YDZ = Z—DWA = 46– = 3–2 2) LONG ไมค่ ล้ายกบั BACK เพราะ แมว้ ่าจะมีมมุ ทมี่ ขี นาดเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ ทกุ คู่ แตม่ อี ตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคู่ท่ีสมนยั กันบางคไู่ ม่เปน็ อตั ราส่วนที่เทา่ กนั เชน่ —BLOA = –87 แต ่ —BLGK = 6–5 2. คล้ายกัน เพราะมมี มุ ทม่ี ขี นาดเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ ทกุ ค ู่ และอตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ สี่ มนยั กนั ทกุ คเู่ ปน็ อตั ราสว่ น ที่เทา่ กนั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคล้าย 199 3. อาจไมเ่ ปน็ รปู ทค่ี ลา้ ยกนั เพราะรปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั สองรปู ใด ๆ อาจมมี มุ ทม่ี ขี นาดไมเ่ ทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ ทกุ ค ู่ ดงั ตวั อยา่ ง 50° 100° 65° 50° 65° 40° 40° 100° 4. คล้ายกนั เพราะมมี มุ ทม่ี ขี นาดเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ ทกุ ค ู่ และอตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ สี่ มนยั กนั ทกุ คเู่ ปน็ อตั ราสว่ น ท่เี ท่ากนั 651°20° 65° 60° 40° 40° 5. อาจไมเ่ ปน็ รปู ทค่ี ลา้ ยกนั เพราะรปู สเ่ี หลย่ี มขนมเปยี กปนู สองรปู ใด ๆ อาจมมี 1มุ 4ท0ม่ี ° ขี นาดไมเ่ ทา่ ก4นั0°เปน็ คู่ ๆ ทกุ คู่ ดงั ตวั อยา่ ง 60° 120° 120° 60° 40° 140° 140° 40° 60° 120° 40° 140° 6. อาจไมเ่ ปน็ รปู ทคี่ ลา้ ยกนั เพราะรปู หกเหลย่ี มดา้ นเทา่ สองรปู ใด ๆ อาจมมี มุ ทม่ี ขี นาดไมเ่ ทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ ทกุ คู่ ดงั ตวั อยา่ ง 3 2 33 22 33 22 3 2 7. คลา้ ยกัน เพราะมมี มุ ทม่ี ขี นาดเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ ทกุ ค ู่ และอตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ สี่ มนยั กนั ทกุ คเู่ ปน็ อตั ราสว่ น ทเ่ี ทา่ กนั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี