(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ม.3 ล.1

300 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลังสอง คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บตั รคำ�ถามท่ี 4 ค�ำ ถาม ตวั เลือกใดแสดงลักษณะของกราฟของสมการ y = -(x – 2)2 – 16 ตวั เลือก กราฟไมต่ ัดแกน X กราฟของสมการ y = (x – 2)2 – 16 เป็นภาพสะทอ้ น โดยมีเสน้ ตรง y = -16 เปน็ เส้นสะท้อน แกนสมมาตรเป็นแกนเดยี วกับ เปน็ พาราโบลาควำ�่ กราฟของสมการ และมจี ดุ สงู สุดอยู่ที่ (2, -16) y = 3(x – 2)2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังกช์ ันกำ�ลงั สอง 301 บัตรค�ำ ถามที่ 5 ค�ำ ถาม ตวั เลือกใดแสดงลักษณะของกราฟของสมการ y = 3x2 + 24x + 49 ตวั เลือก กราฟมีลักษณะเดยี วกับ Y X กราฟของสมการ 11 y = 3(x + 4)2 + 1 10 กราฟผา่ นจุด (-1, 28) 9 8 กราฟไมต่ ัดแกน Y 7 6 5 4 3 2 1 -ค7 ่า-ส6 งู -ส5 ดุ -4ขอ-3ง -y2 เ-ท1 ่าOกับ1 02 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

302 บทท่ี 5 | กราฟของฟังกช์ ันก�ำ ลังสอง คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยบตั รค�ำ ถาม บตั รคำ�ถามท่ี 1 ตัวเลอื กท่ถี ูกตอ้ ง ไดแ้ ก่ เสน้ ตรง x = 0 จดุ ต่�ำ สุดเปน็ จดุ เดียวกบั เปน็ แกนสมมาตร จุดต่ำ�สุดของกราฟของ สมการ y = x2 กราฟของสมการ y = 2.5x2 บัตรค�ำ ถามท่ี 2 ตวั เลือกที่ถูกต้อง ไดแ้ ก่ แกนสมมาตรเป็นแกนเดียวกับ กราฟผา่ นจดุ (2, -12) กราฟของสมการ y = -4x2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลงั สอง 303 บตั รคำ�ถามที่ 3 ตวั เลอื กทถ่ี ูกต้อง ไดแ้ ก่ เส้นตรง x = -5 กราฟตัดแกน Y ท่ีจุด (0, 75) เป็นแกนสมมาตร บัตรค�ำ ถามท่ี 4 ตวั เลือกทถี่ ูกตอ้ ง ไดแ้ ก่ กราฟไมต่ ัดแกน X แกนสมมาตรเปน็ แกนเดียวกับ กราฟของสมการ y = 3(x – 2)2 เป็นพาราโบลาคว่ำ� และมจี ดุ สงู สดุ อยูท่ ี่ (2, -16) บัตรค�ำ ถามท่ี 5 ตวั เลอื กที่ถูกต้อง ไดแ้ ก่ กราฟมีลกั ษณะเดยี วกับ กราฟผา่ นจดุ (-1, 28) กราฟของสมการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี y = 3(x + 4)2 + 1

304 บทที่ 5 | กราฟของฟังก์ชันกำ�ลงั สอง คู่มือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยชวนคดิ ชวนคดิ 5.1 จาก y = ax2 + bx + c ipst .me /114 08 ถา้ a = 0 จะได ้ y = bx + c ดังนั้น ถา้ ให้ a = 0 จะไดส้ มการเชงิ เสน้ สองตัวแปร ซึง่ มีกราฟเปน็ เส้นตรง ชวนคดิ 5.2 สามารถหาจดุ ตัดแกน X และจดุ ตัดแกน Y ของกราฟของสมการ y = ax2 เมอื่ a ≠ 0 ไดโ้ ดย ipst .me/ 114 09 1. พิจารณาจากกราฟ จะไดว้ า่ จุดตดั แกน X และจดุ ตัดแกน Y คอื (0, 0) หรือ 2. หาจดุ ตดั แกน X โดยแทน y ด้วย 0 ในสมการ y = ax2 จะได้ x = 0 ดงั นน้ั จดุ ตัดแกน X คอื (0, 0) หาจดุ ตัดแกน Y โดยแทน x ดว้ ย 0 ในสมการ y = ax2 จะได้ y = 0 ดงั น้นั จุดตดั แกน Y คอื (0, 0) ชวนคิด 5.3 พาราโบลาทก่ี �ำ หนดดว้ ยสมการ y = 4x2 และ y = -4x2 เป็นภาพสะท้อนซ่ึงกนั และกัน โดยมเี ส้นตรง ipst.me/11410 y = 0 หรอื แกน X เป็นเสน้ สะท้อน ชวนคิด 5.4 สมการ y = -ax2 เมื่อ a ≠ 0 มกี ราฟเป็นภาพสะท้อนของกราฟของสมการ y = ax2 เมอื่ a ≠ 0 ipst.me/11411 โดยมีแกน X เปน็ เสน้ สะท้อน ชวนคดิ 5.5 พาราโบลาทก่ี �ำ หนดดว้ ยสมการ y = 4x2 + 1 และ y = -4x2 + 1 เปน็ ภาพสะทอ้ นซง่ึ กนั และกนั โดยมี ipst.me/11412 เสน้ ตรง y = 1 เป็นเส้นสะทอ้ น ชวนคิด 5.6 สามารถหาจุดตัดแกน X และจดุ ตดั แกน Y ของกราฟของสมการ y = ax2 + k เมอื่ a ≠ 0 ไดโ้ ดยก�ำ หนด ipst.me/11413 ให้ตัวแปรใดตวั แปรหนง่ึ ในสมการเปน็ 0 ดงั น้ี สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลังสอง 305 1. หาจุดตดั แกน X โดยแทน y ด้วย 0 ลงในสมการ y = ax2 + k จาก y = ax2 + k จะได้ 0 = ax2 + k เนื่องจาก a ≠ 0 ดังนนั้ x2 = - –ka จากความรูเ้ รอ่ื งรากทส่ี องของจำ�นวนจรงิ จะพจิ ารณาดงั น้ี ✤ ถา้ - –ka เป็นจ�ำ นวนจรงิ บวก จะไดว้ า่ –ka เปน็ จำ�นวนจรงิ ลบ ซ่ึงจะเกดิ จากกรณี เมอ่ื a < 0 และ k > 0 หรือเมื่อ a > 0 และ k < 0 จาก x2 = - –ka และ –ka < 0 จะได ้ | |x2 = –ka | | เนื่องจาก –ka เปน็ จำ�นวนจริงบวก x = - –ka หรือ x = –ka | | | |ดังนัน้ ( | | ) ( | | )จะได้ จดุ ตดั แกน X คือ - –ka , 0 และ –ka , 0 ✤ ถ้า - –ka = 0 x2 = - –ka จาก จะได ้ x2 = 0 x = 0 ดังนน้ั จุดตดั แกน X คือ (0, 0) ✤ ถ้า - –ka เป็นจ�ำ นวนจริงลบ - –ka x2 = จาก จะไดว้ ่า ไม่มีจำ�นวนจริงทแี่ ทน x แลว้ ทำ�ให้ x2 = - –ka ดงั นน้ั กรณีนีจ้ ะไม่มจี ดุ ตดั แกน x 2. หาจดุ ตดั แกน Y โดยแทน x ดว้ ย 0 ลงในสมการ y = ax2 + k จาก y = ax2 + k จะได ้ y = k ดังน้นั จดุ ตดั แกน Y คอื (0, k) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

306 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลงั สอง คู่มือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ชวนคิด 5.7 พาราโบลาทีก่ �ำ หนดสมการ y = 4(x – 2)2 และ y = -4(x – 2)2 เปน็ ภาพสะท้อนซง่ึ กนั และกนั โดยมี ipst.me/11414 เส้นตรง y = 0 หรือแกน X เปน็ เสน้ สะทอ้ น ชวนคิด 5.8 สามารถหาจดุ ตดั แกน X และจุดตัดแกน Y ของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 เมอื่ a ≠ 0 ได้โดย ipst.me/11415 พจิ ารณาจากกราฟ จะได้วา่ จดุ ตัดแกน X คอื (h, 0) หรอื หาจดุ ตัดแกน X โดยแทน y ด้วย 0 ลงในสมการ y = a(x – h)2 จะได้ 0 = a(x – h)2 เนือ่ งจาก a ≠ 0 (x – h)2 = 0 ดังนัน้ จะได้ x – h = 0 x = h ดงั น้นั จดุ ตดั แกน X คอื (h, 0) และหาจดุ ตัดแกน Y โดยแทน x ดว้ ย 0 ลงในสมการ y = a(x – h)2 จะได้ y = a(0 – h)2 y = ah2 ดงั นั้น กราฟจะมีจุดตดั แกน Y เปน็ (0, ah2) ชวนคดิ 5.9 อาจหาคำ�ตอบโดยใช้ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad ซ่ึงคำ�ตอบมีได้หลากหลาย ข้ึนอยู่กับ ipst.me/11416 ระยะหนึ่งหน่วยที่ก�ำ หนด แนวคดิ 1 กำ�หนดให้ปลายเส้นโค้งควำ่�เส้นล่างของสะพานผ่านจุด (0, 0) และใช้พารามิเตอร์กำ�หนด คา่ a, h และ k และเขียนกราฟของฟังกช์ ัน f(x) = a(x – h)2 + k จากนน้ั ปรับคา่ พารามิเตอร์ จนกวา่ จะไดพ้ าราโบลาท่ีทับกับเส้นโคง้ คว�่ำ เส้นล่าง สำ�หรับเส้นโค้งคว่ำ�เส้นบน สามารถใช้พารามิเตอร์กำ�หนดค่า a, h และ k อีกชุดหน่ึง จากนั้นเขยี นกราฟของฟังก์ชัน g(x) = a(x – h)2 + k และปรับค่าพารามเิ ตอร์ จนกว่าจะได้ พาราโบลาทที่ บั กบั เสน้ โคง้ คว�ำ่ เสน้ บน เชน่ เดยี วกบั การหาเสน้ โคง้ คว�่ำ เสน้ ลา่ ง (นกั เรยี นสามารถ สร้างเปน็ แถบเล่ือนในการปรบั ค่า a, h และ k แทนการใช้พารามเิ ตอรก์ ไ็ ด้) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังก์ชนั กำ�ลงั สอง 307 10 a = -0.039 g(x) = a ∙(x – h)2 + k 8 h = 7.70 y = -0.039 (x – 7.70 )2 + 3.95 k = 3.95 6 a = -0.055 4 h = 7.70 f (x) = a ∙(x – h)2 + k y = -0.055 (x – 7.70 )2 + 3.25 2 k = 3.25 5 10 15 20 25 30 -2 แนวคดิ 2 กำ�หนดจุด A เป็นจุดสูงสุดของเส้นโค้งคว่ำ�เส้นล่าง และกำ�หนดจุด B เป็นจุดใด ๆ ที่อยู่บน เสน้ โค้งคว�่ำ เสน้ ล่าง จากนน้ั วัดพิกดั ทหี่ นง่ึ และพกิ ดั ที่สองของจุด A และ จดุ B จะได้ว่า คา่ ของ พิกัดท่ีหนึ่งและพิกัดท่ีสองของจุด A คือ ค่า h และ k ของจุดสูงสุด (h, k) ของพาราโบลา ตามลำ�ดับ จากนั้นแทนคา่ h และ k ลงในสมการ y = a(x – h)2 + k แล้วแทน x และ y ในสมการด้วยพิกัดท่ีหนึ่งและพิกัดท่ีสองของจุด B เพ่ือหาค่า a ก็จะได้ค่า a, h และ k ของสมการของพาราโบลาทที่ ับเสน้ โคง้ คว�่ำ เส้นล่างของสะพาน สำ�หรับการหาสมการของพาราโบลาของเส้นโค้งคว่ำ�เส้นบนสามารถใช้วิธีเช่นเดียวกับ การหาสมการของพาราโบลาของเสน้ โค้งเสน้ ลา่ งได้ 10 xA = 7.71 yA = 3.30 (h, k) 8 6 xB = 4.16 yB = 2.54 4A 2B y = a (x – 7.71 )2 + 3.30 5 10 แทน x ดว� ย 4.16 และแทน y ดว� ย 2.54 จะได� -2 2.54 = a (4.16 – 7.71)2 + 3.30 a = -0.060 y = -0.060 (x – 7.71 )2 + 3.30 15 20 25 30 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

308 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลงั สอง คมู่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยแบบฝกึ หดั แบบฝึกหดั 5.2 ก แนวคิด จัดรปู สมการในแตล่ ะข้อ หากจัดรปู สมการแล้วไดส้ มการอยใู่ นรูป y = ax2 + bx + c เม่อื x, y เปน็ ตัวแปร a, b, c เปน็ คา่ คงตวั และ a ≠ 0 สมการดงั กล่าวจะเป็นสมการของพาราโบลา 1. y = 3x – 5 ไมเ่ ปน็ สมการของพาราโบลา เพราะไมม่ ีพจน์ ax2 เมอ่ื a เปน็ คา่ คงตวั และ a ≠ 0 ทำ�ให้ ไมส่ ามารถเขยี นให้อยใู่ นรูป y = ax2 + bx + c ได้ 2. y = 6 ไม่เปน็ สมการของพาราโบลา เพราะไมม่ ีพจน์ ax2 เม่อื a เป็นคา่ คงตวั และ a ≠ 0 ทำ�ให้ ไม่สามารถเขียนให้อยใู่ นรูป y = ax2 + bx + c ได้ 3. y = x2 + 2x – 3 เป็นสมการของพาราโบลา เพราะสามารถเขียนให้อยู่ในรูป y = ax2 + bx + c ได้เป็น 4. y = -2x2 y = x2 + 2x – 3 โดยท่ี a = 1, b = 2 และ c = -3 เปน็ สมการของพาราโบลา เพราะสามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นรปู y = ax2 + bx + c ได้เป็น y = -2x2 + 0x + 0 โดยท่ี a = -2, b = 0 และ c = 0 5. y = 4x2 – 5 เป็นสมการของพาราโบลา เพราะสามารถเขยี นใหอ้ ยู่ในรูป y = ax2 + bx + c ไดเ้ ป็น 6. y = 4—x 2–—x2 y = 4x2 + 0x – 5 โดยท่ี a = 4, b = 0 และ c = -5 เปน็ สมการของพาราโบลา เพราะสามารถเขยี นให้อยใู่ นรูป y = ax2 + bx + c ไดเ้ ปน็ y = - –21x2 + 2x + 0 โดยที่ a = - –21 , b = 2 และ c = 0 7. y = 6 – x2 เปน็ สมการของพาราโบลา เพราะสามารถเขยี นให้อย่ใู นรปู y = ax2 + bx + c ไดเ้ ปน็ y = -x2 + 0x + 6 โดยที่ a = -1, b = 0 และ c = 6 8. y = 2(x + 3)2 เป็นสมการของพาราโบลา เพราะสามารถเขียนใหอ้ ยูใ่ นรูป y = ax2 + bx + c ได้เป็น 9. y = x(7x + 5) y = 2x2 + 12x + 18 โดยที่ a = 2, b = 12 และ c = 18 เป็นสมการของพาราโบลา เพราะสามารถเขียนให้อยู่ในรูป y = ax2 + bx + c ได้เป็น y = 7x2 + 5x + 0 โดยท่ี a = 7, b = 5 และ c = 0 10. y = x2(x – 1) ไม่เป็นสมการของพาราโบลา เพราะมีพจน์ x3 ทำ�ให้ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป y = ax2 + bx + c ได้ แบบฝกึ หัด 5.2 ข 1. 1) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = 3x2 จะได้กราฟเป็นพาราโบลาหงายท่ีมีแกน Y เป็นแกนสมมาตร จดุ ต�่ำ สดุ ของกราฟ คือ จดุ (0, 0) และกราฟผา่ นจุด (1, 3) และ (2, 12) ดงั นี้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังก์ชนั กำ�ลังสอง 309 Y 12 X 10 246 8 6 4 2 -6 -4 -2 O -2 2) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = –45x2 จะได้กราฟเป็นพาราโบลาหงายที่มีแกน Y เป็นแกนสมมาตร จุดต่ำ�สุดของกราฟ คอื จุด (0, 0) และกราฟผ่านจุด (2.5, 5) และ (5, 20) ดงั นี้ Y 20 15 10 5 -6 -4 -2 O X 246 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

310 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชันกำ�ลงั สอง ค่มู ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 3) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = -5x2 จะได้กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำ�ที่มีแกน Y เป็นแกนสมมาตร จุดสูงสุดของกราฟ คือ จุด (0, 0) และกราฟผ่านจดุ (-1, -5) และ (-2, -20) ดงั น้ี Y -6 -4 -2 O X -5 246 -10 -15 -20 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันก�ำ ลงั สอง 311 4) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = - –13x2 จะได้กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำ�ที่มีแกน Y เป็นแกนสมมาตร จดุ สงู สุดของกราฟ คอื จุด (0, 0) และกราฟผา่ นจดุ (-3, -3) และ (-6, -12) ดังนี้ Y -6 -4 -2 O X -2 2 46 -4 -6 -8 -10 -12 2. แนวคดิ พิจารณาสมการ y = ax2 จ�ำ แนกออกเปน็ 2 กลมุ่ ดังนี้ ✤ กลุ่มท่ี 1 a > 0 ได้แก่ สมการในข้อ 2) ข้อ 4) และขอ้ 6) เนื่องจาก ถ้า |a| มคี ่าน้อยลงเรื่อย ๆ กราฟจะบานมากข้ึนเรอื่ ย ๆ จะได้ว่า พาราโบลา c1 เป็นกราฟของสมการในข้อ 6) y = 3–5x2 พาราโบลา c2 เปน็ กราฟของสมการในข้อ 2) y = x2 พาราโบลา c3 เปน็ กราฟของสมการในข้อ 4) y = –51x2 ✤ กลมุ่ ท่ี 2 a < 0 ได้แก่ สมการในขอ้ 1) ขอ้ 3) และขอ้ 5) เนอ่ื งจาก ถา้ |a| มคี า่ น้อยลงเร่อื ย ๆ กราฟจะบานมากขึน้ เร่อื ย ๆ จะไดว้ ่า พาราโบลา c4 เปน็ กราฟของสมการในขอ้ 5) y = - –16x2 พาราโบลา c5 เปน็ กราฟของสมการในขอ้ 3) y = - –32x2 พาราโบลา c6 เป็นกราฟของสมการในข้อ 1) y = -3x2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

312 บทที่ 5 | กราฟของฟังกช์ นั กำ�ลงั สอง ค่มู อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 3. แนวคดิ กราฟของสมการ y = 4x2 เปน็ พาราโบลาหงาย และกราฟของสมการ y = -4x2 เป็นพาราโบลาคว�่ำ เขียนกราฟของสมการทง้ั สองโดยใชแ้ กนคเู่ ดียวกนั ได้ดงั นี้ Y 6 y = 4x2 4 2 -4 -2 O X -2 24 -4 y = -4x2 -6 จะได้วา่ 1) กราฟทั้งสองมีแกน Y เปน็ แกนสมมาตร 2) จุดต่ำ�สดุ ของกราฟของสมการ y = 4x2 คือ จดุ (0, 0) จุดสงู สดุ ของกราฟของสมการ y = -4x2 คอื จุด (0, 0) 3) คา่ ต่�ำ สุดของ y ของสมการ y = 4x2 คอื 0 ค่าสงู สดุ ของ y ของสมการ y = -4x2 คอื 0 4. แนวคิด พิจารณาจากกราฟของพาราโบลาที่กำ�หนดให้ จะได้ว่า สมการของพาราโบลาอยู่ในรูป y = ax2 เม่ือ a ≠ 0 และเมอ่ื แทน x และ y ด้วยพิกัดทห่ี นงึ่ และพิกดั ทีส่ องของคู่อนั ดับของจดุ ทีก่ ราฟผา่ นลง ในสมการ จะสามารถหาค่า a ไดด้ งั นี้ ( ) เน่ืองจาก กราฟผ่านจุด 3, - –95 แทน x ดว้ ย 3 และแทน y ดว้ ย - –95 ลงในสมการ y = ax2 จะได้ - –95 = a(3)2 - –51 a = สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลังสอง 313 แทน a ด้วย - –51 ลงในสมการ y = ax2 จะได้ y = - –51x2 ( )และเม่ือใชพ้ ิกัดท่ีหน่งึ และพกิ ัดทส่ี องของจุด -2, - –54 และ (0, 0) มาตรวจสอบ จะได้ว่า ค่าเหล่านั้นท�ำ ใหส้ มการ y = - –51x2 เปน็ จริง ( ) ( )ดงั นนั้ สมการของพาราโบลาทผี่ า่ นจดุ -2, - –54 , (0, 0) และ 3, - –95 คือ y = - –51x2 แบบฝึกหดั 5.2 ค 1. 1) แนวคิด พจิ ารณาสมการ y = 5x2 + 4 จะไดก้ ราฟเป็นพาราโบลาหงายท่ีมแี กน Y เป็นแกนสมมาตร จดุ ต�่ำ สุดของกราฟ คือ จุด (0, 4) และกราฟผ่านจุด (1, 9) และ (2, 24) ดงั นี้ Y 25 20 15 10 5 -4 -2 O 24 X สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

314 บทท่ี 5 | กราฟของฟังกช์ ันกำ�ลังสอง คมู่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 2) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = –41x2 – 1 จะไดก้ ราฟเป็นพาราโบลาหงายทมี่ แี กน Y เป็นแกนสมมาตร จดุ ตำ�่ สดุ ของกราฟ คือ จุด (0, -1) และกราฟผา่ นจุด (2, 0) และ (4, 3) ดงั น้ี Y 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 123456 X -1 -2 -3 3) แนวคดิ พจิ ารณาสมการ y = -3x2 – 2 จะไดก้ ราฟเปน็ พาราโบลาคว่�ำ ทม่ี แี กน Y เปน็ แกนสมมาตร จุดสูงสุดของกราฟ คือ จดุ (0, -2) และกราฟผ่านจุด (1, -5) และ (2, -14) ดังน้ี Y -6 -4 -2 O X 246 -5 -10 -15 -20 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชันกำ�ลังสอง 315 4) แนวคิด พจิ ารณาสมการ y = - –13x2 + 2 จะได้กราฟเปน็ พาราโบลาคว่ำ�ทีม่ แี กน Y เปน็ แกนสมมาตร จุดสงู สดุ ของกราฟ คือ จดุ (0, 2) และกราฟผ่านจดุ (-3, -1) และ (-6, -10) ดังน้ี Y -6 -4 -2 O X 246 -2 -4 -6 -8 -10 -12 2. แนวคดิ พิจารณาสมการ y = ax2 + k จำ�แนกออกเปน็ 2 กล่มุ ดังน้ี ✤ กลุ่มท่ี 1 k = 2 ได้แก่ สมการในขอ้ 2) และขอ้ 3) เนอื่ งจาก ถ้า |a| มีค่านอ้ ยลงเรือ่ ย ๆ กราฟจะบานมากข้ึนเร่ือย ๆ จะได้วา่ พาราโบลา c3 เป็นกราฟของสมการในข้อ 2) y = -x2 + 2 พาราโบลา c4 เปน็ กราฟของสมการในขอ้ 3) y = - 41–x2 + 2 ✤ กลุ่มท่ี 2 k = -5 ได้แก่ สมการในขอ้ 1) และขอ้ 4) เน่ืองจาก ถา้ |a| มคี า่ น้อยลงเรื่อย ๆ กราฟจะบานมากขนึ้ เรอื่ ย ๆ จะได้วา่ พาราโบลา c1 เปน็ กราฟของสมการในขอ้ 1) y = 3x2 – 5 พาราโบลา c2 เป็นกราฟของสมการในขอ้ 4) y = –31x2 – 5 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

316 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั ก�ำ ลังสอง คมู่ อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 3. แนวคดิ กราฟของสมการ y = 4x2 + 1 เป็นพาราโบลาหงาย และกราฟของสมการ y = -4x2 + 1 เปน็ พาราโบลาควำ�่ เขียนกราฟของสมการทงั้ สองโดยใช้แกนคู่เดยี วกนั ได้ดังนี้ Y 6 y = 4x2 + 1 4 2 -4 -2 O 2 4X y = -4x2 + 1 -2 -4 จะได้วา่ 1) กราฟทง้ั สองมแี กน Y เปน็ แกนสมมาตร 2) จุดตำ�่ สุดของกราฟของสมการ y = 4x2 + 1 คือ จดุ (0, 1) จดุ สูงสุดของกราฟของสมการ y = -4x2 + 1 คือ จดุ (0, 1) 3) คา่ ตำ่�สุดของ y ของสมการ y = 4x2 + 1 คือ 1 คา่ สูงสุดของ y ของสมการ y = -4x2 + 1 คือ 1 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชันกำ�ลังสอง 317 4. แนวคดิ ค�ำ ตอบของข้อ 1) ถงึ ข้อ 4) สามารถหาได้จากลกั ษณะทัว่ ไปของกราฟของสมการ y = ax2 + k เม่ือ a ≠ 0 ค�ำ ตอบของข้อ 5) สำ�หรบั จดุ ตดั แกน X จะมีคา่ y ของพิกัดเป็น 0 จงึ แทนคา่ y ดว้ ย 0 ลงใน สมการ แล้วแก้สมการหาคา่ x ส�ำ หรบั จุดตัดแกน Y คอื จุดต�ำ่ สดุ หรือจุดสูงสดุ ของกราฟ สมการท่ี 1 : y = 2x2 + 5 1) กราฟเป็นพาราโบลาหงาย 2) จดุ ต�ำ่ สดุ ของกราฟ คอื จดุ (0, 5) 3) คา่ ต�ำ่ สุดของ y คอื 5 4) แกน Y เป็นแกนสมมาตร (หรือเสน้ ตรง x = 0 เป็นแกนสมมาตร) 5) กราฟไมต่ ัดแกน X แต่ตดั แกน Y ที่จดุ (0, 5) สมการท่ี 2 : y = - 4–9x2 + 1 1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่�ำ 2) จุดสงู สดุ ของกราฟ คอื จดุ (0, 1) 3) ค่าสูงสุดของ y คือ 1 4) แกน Y เปน็ แกนสมมาตร (หรือเสน้ ตรง x = 0 เป็นแกนสมมาตร) 5) กราฟตัดแกน X ทีจ่ ดุ - –32, 0 และ –32, 0 และตัดแกน Y ที่จุด (0, 1) ( ) ( ) สมการที่ 3 : y = -3x2 – –13 1) กราฟเปน็ พาราโบลาคว่ำ� ( )2) 0, - –13 3) จดุ สูงสดุ ของกราฟ คือ จุด คา่ สูงสุดของ y คือ - –13 4) แกน Y เปน็ แกนสมมาตร (หรอื เสน้ ตรง x = 0 เป็นแกนสมมาตร) ( ) 5) กราฟไมต่ ัดแกน X แต่ตัดแกน Y ทจ่ี ุด 0, - –13 สมการท่ี 4 : y = -x2 + 5 1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่�ำ 2) จดุ สูงสุดของกราฟ คือ จดุ (0, 5) 3) ค่าสูงสุดของ y คือ 5 4) แกน Y เปน็ แกนสมมาตร (หรือเสน้ ตรง x = 0 เป็นแกนสมมาตร) 5) กราฟตัดแกน X ท่จี ุด (-√5, 0) และ (√5, 0) และตัดแกน Y ท่จี ดุ (0, 5) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

318 บทท่ี 5 | กราฟของฟังก์ชนั กำ�ลงั สอง คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 5. 1) แนวคิด พิจารณาจากกราฟของพาราโบลาที่กำ�หนดให้ จะได้ว่า สมการของพาราโบลาอย่ใู นรปู y = ax2 เมอ่ื a > 0 และเมื่อแทน x และ y ด้วยพิกดั ทหี่ นึ่งและพิกดั ทสี่ องของคู่อันดับของจดุ ทก่ี ราฟ ผา่ นลงในสมการ จะสามารถหาคา่ a ได้ดังนี้ เน่อื งจาก กราฟผา่ นจดุ (1, 2) แทน x ดว้ ย 1 และแทน y ด้วย 2 ลงในสมการ y = ax2 จะได้ 2 = a(1)2 a = 2 แทน a ดว้ ย 2 ลงในสมการ y = ax2 จะได้ y = 2x2 และเม่ือใช้พิกัดทห่ี นึ่งและพกิ ดั ทส่ี องของจุด (-2, 8) และ (0, 0) มาตรวจสอบ จะได้วา่ คา่ เหล่านน้ั ทำ�ให้สมการ y = 2x2 เป็นจริง ดังนั้น สมการของพาราโบลาทผ่ี ่านจดุ (-2, 8), (0, 0) และ (1, 2) คอื y = 2x2 2) ถ้าเลอื่ นขนานกราฟของ y = 2x2 ตามแนวแกน Y ข้ึนไป 3 หน่วย กราฟท่ีได้จะมสี มการเป็น y = 2x2 + 3 3) ถา้ เลอ่ื นขนานกราฟของ y = 2x2 ตามแนวแกน Y ลงมา 5 หน่วย กราฟทไ่ี ดจ้ ะมสี มการเปน็ y = 2x2 – 5 6. แนวคิด พจิ ารณาจากกราฟของพาราโบลาทก่ี ำ�หนดให้ จะได้วา่ สมการของพาราโบลาอยู่ในรูป y = ax2 + k เมื่อ a > 0 ซึง่ มีจดุ ตำ่�สดุ ของกราฟ คือ (0, k) และเน่ืองจากจุด (0, 4) เปน็ จุดตำ�่ สดุ ของกราฟ ดังน้นั k = 4 จงึ ไดส้ มการของพาราโบลาอยู่ในรปู y = ax2 + 4 และเมอื่ แทน x และ y ด้วยพกิ ัดที่หน่ึงและพิกดั ทีส่ องของจดุ ที่กราฟผ่านลงในสมการ y = ax2 + 4 จะสามารถหาคา่ a ไดด้ ังน้ี เนอ่ื งจากกราฟผ่านจุด (-2, 8) แทน x ด้วย -2 และแทน y ด้วย 8 ลงในสมการ y = ax2 + 4 จะได้ 8 = a(-2)2 + 4 a = 1 แทน a ด้วย 1 ลงในสมการ y = ax2 + 4 จะได้ y = x2 + 4 และเม่อื ใชพ้ กิ ัดท่หี น่งึ และพกิ ัดที่สองของจุด (0, 4) และ (3, 13) มาตรวจสอบ จะได้วา่ คา่ เหล่านนั้ ทำ�ให้สมการ y = x2 + 4 เป็นจริง ดงั นั้น สมการของพาราโบลาทผี่ า่ นจดุ (-2, 8), (0, 4) และ (3, 13) คือ y = x2 + 4 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั ก์ชันก�ำ ลงั สอง 319 แบบฝกึ หดั 5.2 ง 1. 1) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = (x + 1)2 จะได้กราฟเป็นพาราโบลาหงายท่ีมีเส้นตรง x = -1 เป็น แกนสมมาตร จุดต่ำ�สดุ ของกราฟ คือ จุด (-1, 0) และกราฟผ่านจุด (-3, 4) และ (-4, 9) ดงั นี้ Y 12 10 X 8 6 246 4 2 -6 -4 -2 O -2 2) แนวคิด พิจารณาสมการ y = -3(x – 1)2 จะได้กราฟเปน็ พาราโบลาคว่ำ�ทีม่ เี ส้นตรง x = 1 เป็น แกนสมมาตร จดุ สงู สดุ ของกราฟ คอื จุด (1, 0) และกราฟผ่านจุด (2, -3) และ (3, -12) ดังนี้ Y -6 -4 -2 O X -2 24 6 -4 -6 -8 -10 -12 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

320 บทที่ 5 | กราฟของฟังก์ชันกำ�ลังสอง คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 3) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = -4(x + 2)2 จะไดก้ ราฟเป็นพาราโบลาควำ่�ท่ีมเี ส้นตรง x = -2 เปน็ แกนสมมาตร จดุ สงู สดุ ของกราฟ คอื จดุ (-2, 0) และกราฟผา่ นจดุ (-3, -4) และ (-4, -16) ดงั น้ี Y -6 -4 -2 O 2 4 6X -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 4) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = (x – 2)2 จะไดก้ ราฟเป็นพาราโบลาหงายที่มเี สน้ ตรง x = 2 เป็น แกนสมมาตร จุดต่�ำ สุดของกราฟ คอื จดุ (2, 0) และกราฟผ่านจดุ (4, 4) และ (5, 9) ดงั น้ี Y 12 X 10 246 8 6 4 2 -6 -4 -2 O -2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั กำ�ลังสอง 321 2. 1) กราฟของ y = -(x + 3)2 เป็นพาราโบลาคว�่ำ และมจี ดุ สูงสุดอยู่ท่ี (-3, 0) ดังนนั้ กราฟของ y = -(x + 3)2 คอื พาราโบลา c3 2) กราฟของ y = (x + 5)2 เปน็ พาราโบลาหงายและมจี ุดตำ�่ สดุ อย่ทู ่ี (-5, 0) ดังนน้ั กราฟของ y = (x + 5)2 คือ พาราโบลา c1 3) กราฟของ y = -(x – 3)2 เป็นพาราโบลาคว�ำ่ และมจี ดุ สงู สดุ อย่ทู ่ี (3, 0) ดังนน้ั กราฟของ y = -(x – 3)2 คอื พาราโบลา c4 4) กราฟของ y = (x – 1)2 เป็นพาราโบลาหงายและมจี ุดต�่ำ สุดอย่ทู ่ี (1, 0) ดงั นนั้ กราฟของ y = (x – 1)2 คือ พาราโบลา c2 3. แนวคิด กราฟของสมการ y = 4(x – 2)2 เป็นพาราโบลาหงาย และกราฟของสมการ y = -4(x – 2)2 เปน็ พาราโบลาควำ�่ เขยี นกราฟของสมการทั้งสองโดยใช้แกนค่เู ดยี วกัน ไดด้ ังนี้ Y 6 y = 4(x – 2)2 4 2 X -6 -4 -2 O 24 6 -2 -4 y = -4(x – 2)2 -6 จะได้วา่ 1) กราฟท้ังสองมเี ส้นตรง x = 2 เปน็ แกนสมมาตร 2) จดุ ตำ�่ สดุ ของกราฟของสมการ y = 4(x – 2)2 คอื จดุ (2, 0) จดุ สงู สดุ ของกราฟของสมการ y = -4(x – 2)2 คือ จุด (2, 0) 3) คา่ ต่�ำ สุดของ y ของสมการ y = 4(x – 2)2 คอื 0 ค่าสงู สุดของ y ของสมการ y = -4(x – 2)2 คอื 0 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

322 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลังสอง คู่มอื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 4. แนวคดิ ค�ำ ตอบของขอ้ 1) ถึงขอ้ 4) สามารถหาได้จากลักษณะท่ัวไปของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 เมอื่ a ≠ 0 คำ�ตอบของขอ้ 5) ส�ำ หรับจดุ ตัดแกน X คอื จดุ ตำ่�สุดหรอื จุดสูงสุดของกราฟ ส�ำ หรบั จดุ ตดั แกน Y จะมีคา่ x ของพิกดั เป็น 0 จงึ แทนค่า x ด้วย 0 ลงในสมการ แล้วแก้สมการหาคา่ y สมการท่ี 1 : y = -(x – 4)2 1) กราฟเปน็ พาราโบลาคว่ำ� 2) จุดสงู สุดของกราฟ คอื จุด (4, 0) 3) คา่ สูงสดุ ของ y คอื 0 4) เสน้ ตรง x = 4 เปน็ แกนสมมาตร 5) กราฟตดั แกน X ทจี่ ดุ (4, 0) และตดั แกน Y ทีจ่ ดุ (0, -16) สมการท่ี 2 : y = -3(x + 2)2 1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่�ำ 2) จุดสูงสดุ ของกราฟ คือ จุด (-2, 0) 3) คา่ สงู สุดของ y คอื 0 4) เสน้ ตรง x = -2 เปน็ แกนสมมาตร 5) กราฟตดั แกน X ที่จุด (-2, 0) และตดั แกน Y ทจี่ ุด (0, -12) ( ) สมการที่ 3 : y = 4 x – 2–1 2 1) กราฟเป็นพาราโบลาหงาย ( )2) จุดต�ำ่ สุดของกราฟ คือ จดุ 2–1, 0 3) ค่าต�ำ่ สุดของ y คอื 0 4กเส:ร้นาyตฟรต=งัดแ–31xก(xน=–X2–13ท)2เปี่จุด็นแ2–1ก,น0สมมแาลตะรตัดแกน ( ) 4) Y ทจ่ี ุด (0, 1) 5) สมการท่ี 1) กราฟเป็นพาราโบลาหงาย 2) จุดตำ่�สดุ ของกราฟ คือ จดุ (3, 0) 3) คา่ ต�ำ่ สุดของ y คอื 0 4) เส้นตรง x = 3 เปน็ แกนสมมาตร 5) กราฟตัดแกน X ท่ีจดุ (3, 0) และตัดแกน Y ทจ่ี ุด (0, 3) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั ก�ำ ลงั สอง 323 5. 1) แนวคิด พิจารณาจากกราฟของพาราโบลาท่ีก�ำ หนดให้ จะได้ว่า สมการของพาราโบลาอยใู่ นรูป y = ax2 เม่ือ a < 0 และเม่ือแทน x และ y ดว้ ยพิกดั ที่หนงึ่ และพกิ ดั ทส่ี องของคอู่ นั ดบั ของจุดทกี่ ราฟ ผา่ นลงในสมการ จะสามารถหาค่า a ไดด้ ังน้ี เน่ืองจาก กราฟผ่านจุด (-2, -4) แทน x ด้วย -2 และแทน y ด้วย -4 ลงในสมการ y = ax2 จะได้ -4 = a(-2)2 a = -1 แทน a ด้วย -1 ลงในสมการ y = ax2 จะได้ y = -x2 และเม่อื ใช้พิกดั ทหี่ นงึ่ และพกิ ดั ที่สองของจดุ (0, 0) และ (3, -9) มาตรวจสอบ จะไดว้ า่ คา่ เหล่าน้นั ท�ำ ให้สมการ y = -x2 เป็นจรงิ ดงั นัน้ สมการของพาราโบลาทผ่ี า่ นจุด (-2, -4) , (0, 0) และ (3, -9) คือ y = -x2 2) ถ้าเลือ่ นขนานกราฟของ y = -x2 ตามแนวแกน X ไปทางขวา 2 หน่วย กราฟที่ได้จะมีสมการเป็น y = -(x – 2)2 3) ถ้าเล่อื นขนานกราฟของ y = -x2 ตามแนวแกน X ไปทางซา้ ย 4 หนว่ ย กราฟทไี่ ดจ้ ะมสี มการเป็น y = -(x + 4)2 6. แนวคดิ พิจารณาจากกราฟของพาราโบลาท่กี �ำ หนดให้ จะได้ว่า สมการของพาราโบลาอยู่ในรูป y = a(x – h)2 เม่อื a > 0 และมีจุดตำ�่ สุดของกราฟ คอื จุด (h, 0) และเนอ่ื งจากจดุ (4, 0) เป็นจดุ ตำ�่ สดุ ของกราฟ ดงั นน้ั h = 4 จงึ ได้สมการของพาราโบลาอยใู่ นรูป y = a(x – 4)2 และเมอ่ื แทน x และ y ดว้ ยพกิ ดั ทห่ี น่ึงและพกิ ดั ท่ีสองของจุดท่กี ราฟผ่านลงในสมการ y = a(x – 4)2 จะสามารถหาคา่ a ได้ดงั น้ี เน่ืองจากกราฟผ่านจดุ (2, 2) แทน x ด้วย 2 และแทน y ดว้ ย 2 ลงในสมการ y = a(x – 4)2 จะได้ 2 = a(2 – 4)2 a = –12 แทน a ดว้ ย a(x – 4)2 จะได้ y = 1–21–2 ลงในสมการ y = (x – 4)2 และเมื่อใช้พกิ ัดทีห่ น่งึ และพิกัดทส่ี องของจดุ (4, 0) และ (8, 8) มาตรวจสอบ จะได้วา่ ค่าเหล่านั้นท�ำ ใหส้ มการ y = 1–2(x – 4)2 เป็นจริง ส(8ถ,าบ8ัน) ส่งคเอืสริมyกา=รสอ1–2น(วxิทย–าศ4า)ส2 ตร์และเทคโนโลยี ดังนนั้ สมการของพาราโบลาท่ีผ่านจุด (2, 2) , (4, 0) และ

324 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันก�ำ ลังสอง คู่มือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 แบบฝกึ หดั 5.2 จ 1. 1) แนวคดิ พิจารณาสมการ y = 4(x – 1)2 – 2 จะไดก้ ราฟเปน็ พาราโบลาหงายท่มี ีเสน้ ตรง x = 1 เป็นแกนสมมาตร จุดต่�ำ สดุ ของกราฟ คือ จดุ (1, -2) และกราฟผ่านจดุ (2, 2) และ (3, 14) ดังนี้ Y 14 2 4 6X 12 10 8 6 4 2 -6 -4 -2 O -2 2) แนวคิด พจิ ารณาสมการ y = -(x + 1)2 – 3 จะได้กราฟเป็นพาราโบลาควำ�่ ทม่ี ีเส้นตรง x = -1 เป็นแกนสมมาตร จุดสงู สุดของกราฟ คือ จดุ (-1, -3) และกราฟผา่ นจุด (0, -4) และ (1, -7) ดงั นี้ Y -6 -4 -2 O 2 4 6X -2 -4 -6 -8 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลังสอง 325 3) แนวคดิ พจิ ารณาสมการ y = -3(x + 1)2 + 3 จะไดก้ ราฟเปน็ พาราโบลาคว�่ำ ท่ีมเี ส้นตรง x = -1 เปน็ แกนสมมาตร จุดสงู สุดของกราฟ คือ จดุ (-1, 3) และกราฟผ่านจดุ (-2, 0) และ (-3, -9) ดังนี้ Y 4 X 2 246 -6 -4 -2 O -2 -4 -6 -8 -10 -12 4) แนวคิด พจิ ารณาสมการ y = (x + 2)2 + 2 จะได้กราฟเปน็ พาราโบลาหงายทีม่ เี สน้ ตรง x = -2 เปน็ แกนสมมาตร จดุ ต�ำ่ สดุ ของกราฟ คือ จุด (-2, 2) และกราฟผา่ นจดุ (0, 6) และ (1, 11) ดังนี้ Y 14 X 12 10 246 8 6 4 2 -6 -4 -2 O -2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

326 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลงั สอง คมู่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 2. แนวคิด 1) กราฟของ y = -(x – 6)2 – 1 เป็นพาราโบลาคว�ำ่ และมีจดุ สงู สดุ อยทู่ ี่ (6, -1) ดงั นน้ั กราฟของ y = -(x – 6)2 – 1 คอื พาราโบลา c4 2) กราฟของ y = (x + 4)2 – 1 เป็นพาราโบลาหงายและมีจดุ ต�ำ่ สดุ อยูท่ ี่ (-4, -1) ดงั นัน้ กราฟของ y = (x + 4)2 – 1 คือ พาราโบลา c1 3) กราฟของ y = -(x – 4)2 เป็นพาราโบลาควำ�่ และมีจดุ สงู สุดอยูท่ ่ี (4, 0) ดังน้นั กราฟของ y = -(x – 4)2 คอื พาราโบลา c3 4) กราฟของ y = (x + 2)2 เป็นพาราโบลาหงายและมจี ุดต�่ำ สดุ อยู่ที่ (-2, 0) ดงั น้นั กราฟของ y = (x + 2)2 คือ พาราโบลา c2 3. แนวคดิ ค�ำ ตอบในขอ้ 1) ถงึ ข้อ 4) สามารถหาไดจ้ ากลักษณะท่วั ไปของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ่ื a ≠ 0 คำ�ตอบในข้อ 5) ส�ำ หรับจุดตดั แกน X จะมีค่า y ของพิกดั เปน็ 0 จึงแทนค่า y ดว้ ย 0 ลงในสมการ แล้วแกส้ มการหาค่า x ส�ำ หรบั จุดตดั แกน Y จะมีค่า x ของพิกัดเปน็ 0 จงึ แทนค่า x ด้วย 0 ลงในสมการ แล้วแก้สมการหาค่า y สมการท่ี 1 : y = -(x – 4)2 + 1 1) กราฟเปน็ พาราโบลาคว่ำ� 2) จุดสงู สดุ ของกราฟ คอื จุด (4, 1) 3) ค่าสงู สดุ ของ y คอื 1 4) เส้นตรง x = 4 เปน็ แกนสมมาตร 5) กราฟตดั แกน X ที่จดุ (3, 0) และจุด (5, 0) และตัดแกน Y ที่จุด (0, -15) สมการท่ี 2 : y = -3(x + 2)2 – 4 1) กราฟเปน็ พาราโบลาคว�ำ่ 2) จุดสูงสดุ ของกราฟ คือ จุด (-2, -4) 3) คา่ สงู สุดของ y คือ -4 4) เสน้ ตรง x = -2 เปน็ แกนสมมาตร 5) กราฟไม่ตัดแกน X แต่ตดั แกน Y ทีจ่ ดุ (0, -16) สมการท่ี 3 : y = 2(x – 3)2 – 8 1) กราฟเปน็ พาราโบลาหงาย 2) จดุ ตำ่�สุดของกราฟ คอื จดุ (3, -8) 3) ค่าต�่ำ สดุ ของ y คอื -8 4) เสน้ ตรง x = 3 เปน็ แกนสมมาตร 5) กราฟตดั แกน X ท่ีจุด (1, 0) และจุด (5, 0) และตดั แกน Y ที่จดุ (0, 10) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟังกช์ นั กำ�ลงั สอง 327 สมการที่ 4 : y = 3–2(x + 3)2 + 1 1) กราฟเปน็ พาราโบลาหงาย 2) จดุ ตำ�่ สุดของกราฟ คอื จดุ (-3, 1) 3) ค่าตำ�่ สุดของ y คอื 1 4) เส้นตรง x = -3 เปน็ แกนสมมาตร 5) กราฟไม่ตัดแกน X แตต่ ดั แกน Y ท่จี ุด (0, 7) 4. 1) แนวคดิ พิจารณาจากกราฟของพาราโบลาทก่ี ำ�หนดให้ จะไดว้ า่ สมการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = ax2 เม่อื a > 0 และเมื่อแทน x และ y ดว้ ยพิกัดที่หนึง่ และพิกัดที่สองของคู่อนั ดับของจุดที่กราฟ ผ่านลงในสมการ จะสามารถหาคา่ a ไดด้ ังน้ี เน่อื งจาก กราฟผา่ นจดุ (-1, 2) แทน x ด้วย -1 และแทน y ดว้ ย 2 ลงในสมการ y = ax2 จะได้ 2 = a(-1)2 a = 2 แทน a ด้วย 2 ลงในสมการ y = ax2 จะได้ y = 2x2 และเมือ่ ใชพ้ ิกดั ท่หี น่ึงและพิกัดทีส่ องของจดุ (0, 0) และ (2, 8) มาตรวจสอบ จะได้วา่ คา่ เหล่านัน้ ท�ำ ให้สมการ y = 2x2 เปน็ จริง ดงั นั้น สมการของพาราโบลาท่ีผ่านจุด (-1, 2) , (0, 0) และ (2, 8) คอื y = 2x2 2) ถ้าเลอ่ื นขนานกราฟของ y = 2x2 ตามแนวแกน X ไปทางขวา 2 หน่วย แล้วเลือ่ นขนานตามแนวแกน Y ขน้ึ ไป 3 หน่วย กราฟที่ไดจ้ ะมีสมการเป็น y = 2(x – 2)2 + 3 3) ถา้ เลอ่ื นขนานกราฟของ y = 2x2 ตามแนวแกน X ไปทางซ้าย 1 หน่วย แลว้ เลอ่ื นขนานตามแนวแกน Y ขึ้นไป 2 หนว่ ย กราฟที่ได้จะมสี มการเป็น y = 2(x + 1)2 + 2 4) ถา้ เลอ่ื นขนานกราฟของ y = 2x2 ตามแนวแกน X ไปทางขวา 4 หนว่ ย แล้วเลอื่ นขนานตามแนวแกน Y ลงมา 3 หนว่ ย กราฟทีไ่ ดจ้ ะมสี มการเปน็ y = 2(x – 4)2 – 3 5) ถ้าเลื่อนขนานกราฟของ y = 2x2 ตามแนวแกน X ไปทางซา้ ย 5 หน่วย แลว้ เล่อื นขนานตามแนวแกน Y ลงมา 2 หน่วย กราฟทีไ่ ด้จะมีสมการเป็น y = 2(x + 5)2 – 2 5. แนวคดิ พจิ ารณาจากกราฟของพาราโบลาทก่ี �ำ หนดให้ จะไดว้ า่ สมการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k เมื่อ a < 0 ซ่ึงมีจดุ สูงสดุ ของกราฟคอื จดุ (h, k) และเนอื่ งจากจดุ (3, 3) เปน็ จุดสูงสดุ ของกราฟ ดงั นน้ั h = 3 และ k = 3 จงึ ไดส้ มการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = a(x – 3)2 + 3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

328 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันก�ำ ลงั สอง ค่มู ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 และเมอ่ื แทน x และ y ดว้ ยพกิ ดั ทห่ี นง่ึ และพกิ ดั ทส่ี องของจดุ ทก่ี ราฟผา่ นลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 3 จะสามารถหาค่า a ไดด้ ังน้ี เนอื่ งจากกราฟผ่านจุด (2, 1) แทน x ดว้ ย 2 และแทน y ดว้ ย 1 ลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 3 จะได้ 1 = a(2 – 3)2 + 3 a = -2 แทน a ด้วย -2 ลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 3 จะได้ y = -2(x – 3)2 + 3 และเม่ือใช้พกิ ดั ที่หนึ่งและพิกัดที่สองของจุด (3, 3) และ (5, -5) มาตรวจสอบ จะได้วา่ ค่าเหล่าน้นั ท�ำ ใหส้ มการ y = -2(x – 3)2 + 3 เป็นจรงิ ดังน้นั สมการของพาราโบลาทผี่ ่านจดุ (2, 1) , (3, 3) และ (5, -5) คือ y = -2(x – 3)2 + 3 แบบฝกึ หดั 5.2 ฉ 1. 1) แนวคิด เขยี นสมการ y = x2 + 6x + 8 ใหอ้ ยใู่ นรูป y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 ไดด้ งั นี้ y = x2 + 6x + 8 = [x2 + 2(x)(3) + 32] – 32 + 8 = (x + 3)2 – 1 พจิ ารณาสมการ y = (x + 3)2 – 1 จะไดก้ ราฟเปน็ พาราโบลาหงายทีม่ ีเส้นตรง x = -3 เปน็ แกนสมมาตร จุดตำ�่ สดุ ของกราฟ คอื จดุ (-3, -1) และกราฟผ่านจุด (-4, 0) และ (-5, 3) ดังนี้ Y 6 2 X 4 2 -6 -4 -2 O -2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังกช์ ันกำ�ลงั สอง 329 2) แนวคดิ เขียนสมการ y = -x2 – 4x – 2 ให้อยใู่ นรูป y = a(x – h)2 + k เมอ่ื a ≠ 0 ได้ดงั นี้ y = -x2 – 4x – 2 = -(x2 + 4x) – 2 = -[(x2 + 2(x)(2) + 22) – 22] – 2 = -(x + 2)2 + 4 – 2 = -(x + 2)2 + 2 พิจารณาสมการ y = -(x + 2)2 + 2 จะได้กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำ�ท่มี เี สน้ ตรง x = -2 เปน็ แกนสมมาตร จดุ ต่�ำ สดุ ของกราฟ คือ จดุ (-2, 2) และกราฟผ่านจุด (-3, 1) และ (-4, -2) ดังนี้ Y 2 1 X 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 -5 2. แนวคิด คำ�ตอบในขอ้ 1) ถึงข้อ 4) สามารถหาไดจ้ ากลกั ษณะทัว่ ไปของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เมอื่ a ≠ 0 คำ�ตอบในข้อ 5) สำ�หรับจุดตัดแกน X จะมีค่า y ของพิกัดเปน็ 0 จึงแทนค่า y ดว้ ย 0 ลงในสมการ แล้วแกส้ มการหาคา่ x ส�ำ หรับจดุ ตดั แกน Y จะมคี า่ x ของพิกัดเปน็ 0 จึงแทนค่า x ดว้ ย 0 ลงในสมการ แล้วแก้สมการหาคา่ y สมการที่ 1 : y = x2 – 6x จาก y = x2 – 6x จะได้ y = [x2 – 2(x)(3) + 32] – 32 = (x – 3)2 – 9 1) กราฟเป็นพาราโบลาหงาย 2) จดุ ตำ่�สุดของกราฟ คือ จดุ (3, -9) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

330 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลังสอง คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 3) ค่าตำ่�สุดของ y คอื -9 4) เส้นตรง x = 3 เปน็ แกนสมมาตร 5) กราฟตัดแกน X ทจ่ี ดุ (0, 0) และจดุ (6, 0) และตัดแกน Y ที่จุด (0, 0) สมการท่ี 2 : y = -x2 – 6x จาก y = -x2 – 6x จะได้ y = -(x2 + 6x) = -[(x2 + 2(x)(3) + 32) – 32] = -(x + 3)2 + 9 1) กราฟเป็นพาราโบลาควำ่� 2) จุดสงู สุดของกราฟ คือ จุด (-3, 9) 3) คา่ สูงสุดของ y คอื 9 4) เส้นตรง x = -3 เปน็ แกนสมมาตร 5) กราฟตดั แกน X ท่จี ดุ (-6, 0) และจดุ (0, 0) และตัดแกน Y ทจี่ ุด (0, 0) สมการที่ 3 : y = -x2 + 6x – 5 จาก y = -x2 + 6x – 5 จะได ้ y = -(x2 – 6x) – 5 { } = - [x2 – 2(x)(3) + 32] – 32 – 5 = -(x – 3)2 + 9 – 5 = -(x – 3)2 + 4 1) กราฟเปน็ พาราโบลาคว�ำ่ 2) จดุ สูงสดุ ของกราฟ คอื จุด (3, 4) 3) ค่าสงู สดุ ของ y คือ 4 4) เส้นตรง x = 3 เปน็ แกนสมมาตร 5) กราฟตดั แกน X ที่จดุ (1, 0) และจุด (5, 0) และตัดแกน Y ท่จี ดุ (0, -5) สมการท่ี 4 : y = 2x2 + 5x + 2 จาก y = 2x2 + 5x + 2 ( ) จะได ้ y = 2 x2 + –45x + 2 {[ ( ) ( ) ] ( ) } = 2 x2 + 2 –45 x + –45 2 – –45 2 + 2 ( ) ( ) 2 = 2 x + –45 2—85 +2 – ( ) ( ) = 2 x + –45 2 – 8–9 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชันก�ำ ลงั สอง 331 1) กราฟเป็นพาราโบลาหงาย ( )2) จุดต่�ำ สดุ ของกราฟ คอื จุด - –45, - 8–9 3) คา่ ต�ำ่ สดุ ของ y คอื - 8–9 4) เสน้ ตรง x = - –45 เป็นแกนสมมาตร ( )5) กราฟตัดแกน X ทีจ่ ดุ (-2, 0) และจดุ - 2–1, 0 และตดั แกน Y ท่จี ุด (0, 2) 3. แนวคดิ พจิ ารณาจากกราฟของพาราโบลาทก่ี �ำ หนดให้ จะไดว้ า่ สมการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k เม่อื a > 0 ซ่งึ มจี ดุ ต�่ำ สุดของกราฟคอื จุด (h, k) และเนอื่ งจากจดุ (-3, -2) เป็นจุดตำ่�สดุ ของกราฟ ดงั น้ัน h = -3 และ k = -2 จึงได้สมการของพาราโบลาอยูใ่ นรปู y = a(x + 3)2 – 2 และเมื่อแทน x และ y ดว้ ยพิกัดที่หนง่ึ และพกิ ัดท่สี องของจดุ ท่กี ราฟผ่านลงในสมการ y = a(x + 3)2 – 2 จะสามารถหาคา่ a ได้ดงั นี้ เนอื่ งจากกราฟผา่ นจุด (-2, 0) แทน x ด้วย -2 และแทน y ด้วย 0 ลงในสมการ y = a(x + 3)2 – 2 จะได้ 0 = a(-2 + 3)2 – 2 a = 2 แทน a ด้วย 2 ลงในสมการ y = a(x + 3)2 – 2 จะได้ y = 2(x + 3)2 – 2 และเม่อื ใช้พิกดั ท่ีหนงึ่ และพิกดั ท่ีสองของจุด (-5, 6) และ (-3, -2) มาตรวจสอบ จะไดว้ า่ ค่าเหล่านน้ั ทำ�ใหส้ มการ y = 2(x + 3)2 – 2 เป็นจริง ดังนนั้ สมการของพาราโบลาท่ีผา่ นจุด (-5, 6) , (-3, -2) และ (-2, 0) คือ y = 2(x + 3)2 – 2 ซง่ึ สามารถเขยี นใหอ้ ย่ใู นรปู y = ax2 + bx + c ไดด้ ังนี้ y = 2(x + 3)2 – 2 = 2(x2 + 6x + 9) – 2 = 2x2 + 12x + 16 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

332 บทที่ 5 | กราฟของฟังก์ชันกำ�ลังสอง คูม่ ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 4. แนวคดิ พจิ ารณาจากสมการทีก่ ำ�หนดให้ จะสามารถจดั ใหอ้ ยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k เม่ือ a ≠ 0 ไดด้ ังน้ี จาก s = -2t2 + 48t + 20 จะได้ s = -2(t2 – 24t) + 20 { } = -2 [(t2 – 2(t)(12) + 122] – 122 + 20 = -2(t – 12)2 + 2(122) + 20 = -2(t – 12)2 + 308 แสดงว่า กราฟของสมการเปน็ พาราโบลาคว่ำ� และจุดสงู สุดของกราฟ คือ จุด (12, 308) 1) เมอ่ื เวลา 0 วนิ าที (t = 0) เปน็ จุดท่ยี งิ ปืนใหญ่อยสู่ ูงจากพนื้ น�้ำ ซ่งึ จะได้ s = -2(0 – 12)2 + 308 = 20 ดังนั้น จุดท่ยี งิ ปืนใหญ่อยสู่ งู จากพนื้ น�้ำ 20 เมตร 2) เนื่องจาก จดุ สงู สดุ ของกราฟ คอื จดุ (12, 308) ดงั นัน้ กระสุนปืนใหญข่ น้ึ ไปไดส้ งู สุดเมอื่ เวลาผ่านไป 12 วินาที หลังจากการยิง และขน้ึ ไปได้สูงสดุ 308 เมตร 3) แทน s ด้วย 180 ลงในสมการท่ีก�ำ หนดให้ จะได้ 180 = -2t2 + 48t + 20 t2 – 24t + 80 = 0 (t – 4)(t – 20) = 0 นั่นคือ t = 4 หรือ t = 20 ดังน้นั กระสุนปนื ใหญ่จะสูงจากพน้ื น�้ำ 180 เมตร หลงั จากยิงไปแลว้ 4 วินาที และ 20 วินาที 4) เน่ืองจากจดุ ทก่ี ระสุนปนื ใหญ่ตกน้ำ�อยตู่ ำ่�กว่าจดุ ที่ยิงปนื ใหญ่ 20 เมตร แสดงวา่ จดุ ทกี่ ระสุนปนื ใหญต่ กนำ�้ สงู -20 เมตร เมอ่ื เทยี บกับจดุ ทยี่ งิ ปืนใหญ่ แทน s ด้วย -20 ลงในสมการ จะได้ -20 = -2t2 + 48t + 20 t2 – 24t – 20 = 0 t = - (-24 ) ± √(-24)2 – 4(1)(-20) 2(1) = 24 ± √656 2 = 12 ± 2√41 นั่นคอื t ≈ -0.81 หรอื t ≈ 24.81 เน่อื งจาก t เป็นเวลา จะได้ t ≥ 0 ดังนัน้ กระสนุ ปนื ใหญจ่ ะตกน้�ำ หลังจากการยงิ ไปแล้ว 24.81 วนิ าที สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังกช์ ันก�ำ ลงั สอง 333 5. แนวคิด สรา้ งแบบจ�ำ ลองเพื่อหาขนาดของทด่ี ินรูปส่เี หลีย่ มมมุ ฉากท่สี อดคลอ้ งกบั สถานการณ์ปญั หา ดังน้ี กำ�หนดให้ ABCD เปน็ รูปส่เี หล่ยี มมมุ ฉากที่มดี ้าน CD D C เปน็ ดา้ นท่อี ยู่ติดคลอง และใหด้ ้าน AD ยาว x เมตร เน่ืองจาก มีวัสดุสำ�หรบั ท�ำ ร้ัวยาว 200 เมตร x x จะได้ ดา้ น AB ยาว 200 – 2x เมตร A 200 – 2x B ถา้ ใหพ้ ้นื ทขี่ อง ABCD เปน็ y ตารางเมตร จะได้สมการเป็น y = x(200 – 2x) เขยี นสมการใหอ้ ยใู่ นรูป y = a(x – h)2 + k ได้ดงั นี้ จาก y = x(200 – 2x) จะได้ y = -2x2 + 200x = -2(x2 – 100x) = -2{[x2 – 2(x)(50) + 502] – 502} = -2(x – 50)2 + 5,000 แสดงวา่ กราฟของสมการเป็นพาราโบลาควำ่� ทม่ี ีจดุ สูงสุด คอื (50, 5,000) จะได้ y มีค่ามากทส่ี ุดเทา่ กบั 5,000 เม่ือ x เทา่ กับ 50 ดังนนั้ ท่ีดินทธ่ี นินทรล์ ้อมร้วั ได้มีพื้นท่มี ากท่ีสุดเท่ากับ 5,000 ตารางเมตร 6. แนวคดิ ให้ ABCD เปน็ รปู ส่เี หลีย่ มมุมฉากทมี่ คี วามยาวรอบรปู D x C 40 – x 40 – x 80 เมตร และให้ดา้ น AB ยาว x เมตร A x B จะได้ดา้ น BC ยาว 80 – 2x เมตร หรอื 40 – x เมตร 2 ถ้าให้พื้นทีข่ อง ABCD เป็น y ตารางเมตร จะได้สมการเปน็ y = x(40 – x) จาก y = x(40 – x) จะได้ y = -x2 + 40x = -{[x2 – 2(x)(20) + 202] – 202} = -(x – 20)2 + 400 แสดงว่า กราฟของสมการเปน็ พาราโบลาคว�่ำ ท่มี ีจดุ สงู สุด คือ (20, 400) จะได้ y มีคา่ มากท่ีสดุ เทา่ กับ 400 เมอื่ x เท่ากับ 20 ดังน้นั รูปส่ีเหล่ียมมุมฉากที่มีความยาวรอบรูปเป็น 80 เมตร จะมีพื้นท่ีมากท่ีสุดเมื่อมีด้านด้านหน่ึงยาว 20 เมตร และมีด้านประกอบมุมฉากของดา้ นน้ยี าว 40 – 20 = 20 เมตร นน่ั คอื รปู สีเ่ หลี่ยมมุมฉากจะมีพน้ื ท่มี ากทสี่ ุด เมอื่ ความกว้างและความยาวเปน็ 20 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

334 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ ันก�ำ ลังสอง คูม่ ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 กจิ กรรมทา้ ยบท : จบั ค.ู่ .. เรยี นรู้สถานท่ีปรศิ นา กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมที่เน้นให้นักเรียนได้ฝึกใช้ความรู้เก่ียวกับลักษณะของกราฟของพาราโบลา ซ่ึงเป็นการพัฒนา ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ์ นการน�ำ เสนอสมการในรูปของกราฟ รวมทงั้ การตีความ แปลความ และสื่อความหมาย จากกราฟ ครอู าจใหน้ กั เรยี นทำ�กิจกรรมนี้นอกเวลาเรยี น โดยมีสือ่ /อปุ กรณ์ และข้ันตอนการดำ�เนินกจิ กรรม ดังนี้ สอื่ /อปุ กรณ์ อปุ กรณ์ส�ำ หรบั สบื ค้นข้อมูล เชน่ สมารต์ โฟน หรอื คอมพวิ เตอร์ ข้นั ตอนการด�ำ เนินกิจกรรม 1. ครูให้นักเรยี นทำ� “กิจกรรมท้ายบท : จับค.ู่ .. เรียนรู้สถานทปี่ รศิ นา” ในหนังสือเรยี น หน้า 209–211 เมื่อนักเรียนได้ ช่อื ของสถานทีป่ รศิ นาแล้ว ครใู หน้ ักเรยี นคน้ หาข้อมูลเกีย่ วกับสถานทน่ี ั้น 2. ครูอาจให้นักเรียนนำ�เสนอข้อมูลเกี่ยวกับสถานที่ปริศนาน้ัน และแลกเปลี่ยนความรู้ร่วมกันในช้ันเรียน โดยครูอาจ เตรียมรูปภาพหรอื เวบ็ ไซต์ของสถานทนี่ นั้ แสดงให้นักเรยี นเหน็ เพ่มิ เติม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังกช์ ันก�ำ ลังสอง 335 เฉลยกิจกรรมท้ายบท : จบั คู.่ .. เรยี นรสู้ ถานที่ปรศิ นา สมการท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ตัวอกั ษรทก่ี ำ�กบั อยบู่ น OC EANOGRAF I C ภาพท่ีแสดงกราฟ สถานทป่ี รศิ นา คอื OCEANOGRAFIC สถานทีป่ รศิ นาเป็นสถานทเ่ี กี่ยวขอ้ งกับอะไร และมีลักษณะพเิ ศษอยา่ งไร Oceanografic เป็นพิพิธภัณฑ์สัตว์น้ำ�ที่ใหญ่ท่ีสุดในทวีปยุโรป ต้ังอยู่ในเมืองวาเลนเซีย ราชอาณาจักรสเปน อาคารทม่ี ชี อ่ื เสยี งทสี่ ดุ ของ Oceanografic คอื อาคารทมี่ ลี กั ษณะเปน็ ทรงพาราโบลาทอ่ี อกแบบโดยสถาปนกิ ทมี่ ชี อื่ เสยี ง คือ Félix Candela ซ่งึ อาคารดังกล่าวได้สื่อความหมายถงึ ดอกบวั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

336 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั ก์ชันกำ�ลงั สอง ค่มู ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยแบบฝกึ หดั ทา้ ยบท 1. แนวคิด f(5) = √52 + 25 = 5√2 และ f(-5) = √(-5)2 + 25 = 5√2 ดงั น้ัน f(5) + f(-5) = 5√2 + 5√2 = 10√2 2. แนวคิด f(2) = 23 – 4(2)2 + 10 = 2 และ f(-4) = (-4)3 – 4(-4)2 + 10 = -118 ดงั นน้ั f(2) + f(-4) = 2 + (-118) = -116 3. แนวคิด g(2a) = 4(2a)2 – 3(2a) – 5 = 4(4a2) – 6a – 5 = 16a2 – 6a – 5 4. แนวคิด h(a – 1) = 2(a – 1) – [(a – 1) – 4]3 = 2a – 2 – (a – 5)3 = -a3 + 15a2 – 73a + 123 5. แนวคิด ค�ำ ตอบในข้อ 1) ถึงข้อ 4) สามารถหาได้จากลักษณะทั่วไปของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เม่อื a ≠ 0 คำ�ตอบในขอ้ 5) ส�ำ หรับจุดตดั แกน X จะมคี า่ y ของพกิ ดั เปน็ 0 จึงแทนคา่ y ดว้ ย 0 ลงในสมการ แล้วแก้สมการหาค่า x สำ�หรับจุดตดั แกน Y จะมีค่า x ของพกิ ัดเป็น 0 จงึ แทนค่า x ดว้ ย 0 ลงในสมการ แลว้ แกส้ มการหาค่า y สมการท่ี 1 : y = 5x2 + 3 1) กราฟเปน็ พาราโบลาหงาย 2) จุดต�่ำ สดุ ของกราฟ คือ จดุ (0, 3) 3) ค่าต�่ำ สุดของ y คอื 3 4) แกน Y เป็นแกนสมมาตร 5) กราฟไมต่ ดั แกน X แตต่ ดั แกน Y ทีจ่ ุด (0, 3) สมการท่ี 2 : y = -2(x – 5)2 1) กราฟเปน็ พาราโบลาคว�่ำ 2) จุดสงู สุดของกราฟ คอื จุด (5, 0) 3) ค่าสูงสดุ ของ y คือ 0 4) เสน้ ตรง x = 5 เปน็ แกนสมมาตร 5) กราฟตดั แกน X ทจ่ี ุด (5, 0) และตัดแกน Y ทีจ่ ดุ (0, -50) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟังก์ชันก�ำ ลงั สอง 337 สมการท่ี 3 : y = 3x2 + 10x + 9 จาก y = 3x2 + 10x + 9 ( ) จะได ้ y = 3 x2 + 1—30x + 9 {[ ( ) ( ) ] ( ) } = 3 x2 + 2(x) 3–5 + 35– 2 – 3–5 2 + 9 ( ) = 3 x + 3–5 2 – 2—35 + 9 ( ) = 3 x + 3–5 2 + –32 1) กราฟเปน็ พาราโบลาหงาย ( ) 2) จดุ ต�่ำ สุดของกราฟ คือ จุด - 3–5 , 32– 3) คา่ ต�่ำ สุดของ y คือ 3–2 4) เสน้ ตรง x = - 3–5 เปน็ แกนสมมาตร 5) กราฟไม่ตัดแกน X แต่ตัดแกน Y ที่จดุ (0, 9) สมการท่ี 4 : y = -4x2 + 4x + 3 จาก y = -4x2 + 4x + 3 จะได ้ y = -4(x2 – x) + 3 {[ ( ) ( ) ] ( ) } = -4 x2 – 2(x) 12– + 12– 2 – 12– 2 + 3 ( ) = -4 x – 12– 2 + 1 + 3 ( ) = -4 x – 12– 2 + 4 1) กราฟเป็นพาราโบลาควำ�่ ( ) 2) จุดสูงสดุ ของกราฟ คือ จดุ 2–1 , 4 3) คา่ สูงสดุ ของ y คอื 4 2–1 เปน็ แกนสมมาตร X ทจี่ ุด 21– , 0 และ 4) 5) ( ) ( ) เสน้ ตรง x = 23– , 0 และตดั แกน Y ท่ีจดุ (0, 3) กราฟตัดแกน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

338 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั กำ�ลังสอง คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 6. 1) แนวคิด พจิ ารณาจากกราฟพาราโบลาทกี่ ำ�หนดให้ จะไดว้ ่า สมการของพาราโบลาอยูใ่ นรูป y = a(x – h)2 + k เมื่อ a > 0 ซ่งึ มจี ดุ ต�ำ่ สุดของกราฟคือ จุด (h, k) และเน่อื งจากจดุ (3, 2) เป็นจุดตำ่�สุดของกราฟ ดงั น้ัน h = 3 และ k = 2 จงึ ไดส้ มการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = a(x – 3)2 + 2 และเมอ่ื แทน x และ y ดว้ ยพกิ ดั ทห่ี นง่ึ และพกิ ดั ทส่ี องของจดุ ทก่ี ราฟผา่ นลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 2 จะสามารถหาค่า a ไดด้ งั น้ี เนือ่ งจากกราฟผา่ นจุด (1, 4) แทน x ดว้ ย 1 และแทน y ดว้ ย 4 ลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 2 จะได้ 4 = a(1 – 3)2 + 2 a = –12 แทน a ดว้ ย –12 ลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 2 จะได้ y = 1–2(x – 3)2 + 2 และเมอื่ ใช้พิกัดที่หน่งึ และพกิ ดั ทส่ี องของจดุ (3, 2) และ (6, 6.5) มาตรวจสอบ จะไดว้ า่ ค่าเหล่านนั้ ทำ�ใหส้ มการ y = –12(x – 3)2 + 2 เปน็ จรงิ ดังนน้ั สมการของพาราโบลาน้ี คือ y = 1–2(x – 3)2 + 2 2) ถ้าเลอ่ื นขนานกราฟของ y = 1–2(x – 3)2 + 2 ตามแนวแกน X ไปทางซา้ ย 5 หน่วย กราฟท่ีได้จะมีสมการเป็น y = –12(x + 2)2 + 2 3) ถา้ เลือ่ นขนานกราฟของ y = 1–2(x – 3)2 + 2 ตามแนวแกน Y ไปดา้ นลา่ ง 2 หนว่ ย กราฟท่ีไดจ้ ะมสี มการเปน็ y = 1–2(x – 3)2 7. แนวคดิ 1 พจิ ารณาจากกราฟพาราโบลาท่ีก�ำ หนดให้ จะไดว้ า่ สมการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k เมือ่ a < 0 ซ่งึ มีจดุ สงู สดุ ของกราฟคือ จุด (h, k) และเน่ืองจากจุด (-1, -3) เป็นจดุ สงู สุดของกราฟ ดงั น้นั h = -1 และ k = -3 จึงไดส้ มการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = a(x + 1)2 – 3 และเมือ่ แทน x และ y ด้วยพกิ ัดทหี่ น่งึ และพิกดั ท่สี องของจดุ ท่กี ราฟผา่ นลงในสมการ y = a(x + 1)2 – 3 จะสามารถหาคา่ a ไดด้ งั น้ี เนอื่ งจากกราฟผา่ นจดุ (-2, -5) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั ก�ำ ลงั สอง 339 แทน x ดว้ ย -2 และแทน y ด้วย -5 ลงในสมการ y = a(x + 1)2 – 3 จะได้ -5 = a(-2 + 1)2 – 3 a = -2 แทน a ดว้ ย -2 ลงในสมการ y = a(x + 1)2 – 3 จะได้ y = -2(x + 1)2 – 3 และเมื่อใชพ้ กิ ดั ที่หน่ึงและพิกัดที่สองของจดุ (-1, -3) และ (1, -11) มาตรวจสอบ จะได้ว่า ค่าเหลา่ นนั้ ทำ�ให้สมการ y = -2(x + 1)2 – 3 เปน็ จรงิ ดังนนั้ สมการของพาราโบลานี้ คอื y = -2(x + 1)2 – 3 เมื่อเลื่อนขนานกราฟของ y = -2(x + 1)2 – 3 ไปทางขวา 4 หน่วย จากนั้นเลื่อนขนานกราฟ ข้ึนไป 5 หน่วย สมการของพาราโบลาท่ไี ด้จากการเล่อื นขนานนี้ คอื y = -2(x – 3)2 + 2 แนวคิด 2 เลอ่ื นขนานจุด (-2, -5) จุด (-1, -3) และจุด (1, -11) ไปทางขวา 4 หน่วย จากนนั้ เลื่อนขนานข้ึนไป 5 หนว่ ย จะได้พกิ ัดของจดุ ใหมเ่ ป็นจุด (2, 0) จดุ (3, 2) และจุด (5, -6) ตามล�ำ ดับ พิจารณากราฟของพาราโบลาทกี่ ำ�หนดให้ จะไดว้ ่า สมการของพาราโบลาอยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k เม่อื a < 0 ซงึ่ มีจดุ สูงสดุ ของกราฟคอื จดุ (h, k) และเนื่องจากจุด (3, 2) เปน็ จุดสงู สดุ ของกราฟ ดงั น้ัน h = 3 และ k = 2 จึงไดส้ มการของพาราโบลาอยู่ในรูป y = a(x – 3)2 + 2 และเมอ่ื แทน x และ y ดว้ ยพกิ ดั ทห่ี นง่ึ และพกิ ดั ทส่ี องของจดุ ทก่ี ราฟผา่ นลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 2 จะสามารถหาค่า a ได้ดงั น้ี เนอ่ื งจากกราฟผา่ นจุด (2, 0) แทน x ด้วย 2 และแทน y ดว้ ย 0 ลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 2 จะได้ 0 = a(2 – 3)2 + 2 a = -2 แทน a ดว้ ย -2 ลงในสมการ y = a(x – 3)2 + 2 จะได้ y = -2(x – 3)2 + 2 และเมื่อใช้พิกดั ท่หี น่ึงและพิกดั ทสี่ องของจุด (3, 2) และ (5, -6) มาตรวจสอบ จะได้วา่ ค่าเหลา่ นนั้ ท�ำ ใหส้ มการ y = -2(x – 3)2 + 2 เป็นจรงิ ดังนนั้ สมการของพาราโบลาทไ่ี ดจ้ ากการเลอื่ นขนานน้ี คือ y = -2(x – 3)2 + 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

340 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลังสอง คูม่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 8. แนวคดิ ให้ ABCD เป็นรูปสเ่ี หลยี่ มมมุ ฉากทม่ี คี วามยาวรอบรปู D x C p – 2x p – 2x p หนว่ ย และใหด้ า้ น AB ยาว x หนว่ ย x x p – 2x หนว่ ย หรอื 2–p – x หน่วย จะไดด้ ้าน BC ยาว 2 A x B ถา้ ให้พ้นื ท่ีของ ABCD เป็น y ตารางหน่วย ( )จะไดส้ มการเปน็ y = x 2–p – x จาก ( )y = x 2–p – x จะได้ ( )y = -x2 + 2–p x {[ ( ) ( ) ] ( ) } = - x2 – 2(x) 4–p + 4–p 2 – 4–p 2 ( ) = - x – 2–p 2 + 1—p62 ( )แสดงวา่ กราฟของสมการเป็นพาราโบลาคว�่ำ ท่มี จี ุดสูงสุด คอื จดุ 4–p, 1—p62 จะได้ y มีค่ามากท่ีสดุ เท่ากบั 1—p62 เมือ่ x เทา่ กับ 4–p ดงั นั้น เราควรก�ำ หนดรูปส่เี หลี่ยมมุมฉากให้มดี ้านดา้ นหนึ่งยาว 4–p หน่วย จะได้ ด้านประกอบมุมฉากของ ดา้ นนย้ี าว p2– – 4–p = 4–p หนว่ ย ท�ำ ใหไ้ ดร้ ปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ทม่ี พี น้ื ทเ่ี ทา่ กบั 1—p62 ตารางหนว่ ย ซง่ึ เปน็ พืน้ ท่มี ากที่สุดตามต้องการ 9. แนวคดิ พิจารณาสมการทก่ี ำ�หนดให้ จะสามารถจัดใหอ้ ยู่ในรปู y = a(x – h)2 + k เมอ่ื a ≠ 0 ไดด้ ังน้ี จาก P = 0.6x2 – 9.6x + 60 จะได้ P = 0.6(x2 – 16x) + 60 = 0.6{[x2 – 2(x)(8) + 82] – 82} + 60 = 0.6(x – 8)2 + 21.6 เมอ่ื 5 ≤ x ≤ 13 แสดงวา่ กราฟเป็นพาราโบลาหงาย และจดุ ต�ำ่ สุดของกราฟ คอื จดุ (8, 21.6) 1) ผลกำ�ไรในการขายข้าวต�ำ่ สดุ อยใู่ นปที ่ี x = 8 หรือ พ.ศ. 2557 และมกี ำ�ไร 21.6 สบิ ล้านบาท หรอื 216 ลา้ นบาท 2) ในปี พ.ศ. 2561 (x = 12) บรษิ ัทมผี ลก�ำ ไรในการขายขา้ วเทา่ กับ 0.6(12 – 8)2 + 21.6 = 31.2 สิบล้านบาท หรือ 312 ล้านบาท 3) บรษิ ทั มีผลก�ำ ไรประมาณ 222 ล้านบาท ในปี พ.ศ. 2556 และ พ.ศ. 2558 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั ก�ำ ลงั สอง 341 ตัวอย่างแบบทดสอบทา้ ยบท 1. จงพจิ ารณาวา่ สมการของพาราโบลาที่กำ�หนดให้ในแตล่ ะข้อสอดคล้องกับกราฟใดตอ่ ไปนี้ (5 คะแนน) 1) y = (x + 4)2 – 1 สอดคลอ้ งกบั กราฟ 2) y = (x – 4)2 + 1 สอดคลอ้ งกับกราฟ สอดคลอ้ งกับกราฟ 3) y = –41 (x – 4)2 + 1 สอดคลอ้ งกับกราฟ 4) y = - 2–1(x – 4)2 + 1 สอดคล้องกับกราฟ 5) y = -3(x + 4)2 – 1 Y c2 c3 c4 c1 5 -8 -6 -4 -2 O 24 68 X c5 -5 c8 c6 c7 2. จงเติมเครื่องหมาย  หน้าขอ้ ความทถี่ ูกต้อง และเติมเครือ่ งหมาย  หนา้ ข้อความที่ไม่ถกู ต้อง พรอ้ มท้ังใหเ้ หตผุ ลประกอบ (20 คะแนน) 1) สมการ y = 2x2 + 3x + 4 เป็นสมการของพาราโบลา เหตผุ ล สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

342 บทท่ี 5 | กราฟของฟังก์ชนั ก�ำ ลงั สอง คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 2) กราฟของสมการ y – x = - –21x – x + 9 เป็นพาราโบลาคว�ำ่ เหตุผล 3) กราฟของสมการ y = 5 – x2 มีจดุ (0, 5) เปน็ จดุ ต่ำ�สดุ เหตผุ ล ( ) 4) แกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = x + –12 2 คอื เส้นตรง x = –12 เหตุผล ( ) ( ) 5) กราฟของสมการ y = 2 x – –23 2 – –25 มจี ดุ ต่ำ�สุด คอื จุด –23, –25 เหตผุ ล 6) จุด (-9, -1) เปน็ จดุ ทอ่ี ยู่บนกราฟของสมการ y = -2x2 + 3x – 4 เหตผุ ล 7) กราฟของสมการ y = 4(x + 2)2 – 2 มีแกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = -2 เหตผุ ล 8) จดุ ต�ำ่ สดุ ของกราฟของสมการ y = 1–4x2 – 3 และจดุ สงู สดุ ของกราฟของสมการ y = - –23x2 + 2 อยหู่ า่ งกนั 5 หน่วย เหตผุ ล 9) กราฟของสมการ y = -2(x – 4)2 – 18 ไมม่ จี ุดตัดแกน X เหตุผล 10) กราฟของสมการ y = -3(x – 5)2 + 10 จะตดั แกน Y ทจ่ี ดุ (0, 65) เหตผุ ล สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟังกช์ นั ก�ำ ลังสอง 343 3. จงเขยี นสมการ y = 3x2 – 12x + 11 ใหอ้ ยู่ในรปู y = a(x – h)2 + k แล้วตอบค�ำ ถามต่อไปนโ้ี ดยไมต่ ้องเขยี นกราฟ (5 คะแนน) 1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำ�หรือพาราโบลาหงาย 2) จุดต�่ำ สุดหรอื จดุ สงู สุดของกราฟเปน็ จดุ ใด และมคี า่ ต่ำ�สุดหรือคา่ สงู สุดของ y เป็นเทา่ ใด 3) กราฟมีเส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร 4. จงเขยี นสมการ y = -x2 + 8x + 12 ใหอ้ ยู่ในรูป y = a(x – h)2 + k แล้วตอบค�ำ ถามตอ่ ไปนีโ้ ดยไม่ต้องเขียนกราฟ (5 คะแนน) 1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่�ำ หรอื พาราโบลาหงาย 2) จดุ ต่ำ�สดุ หรือจดุ สงู สุดของกราฟเปน็ จดุ ใด และมีคา่ ตำ�่ สดุ หรอื คา่ สงู สุดของ y เป็นเทา่ ใด 3) กราฟมเี สน้ ตรงใดเปน็ แกนสมมาตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

344 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันก�ำ ลังสอง ค่มู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 5. กราฟของสมการ y = 4x2 – 12x + c ผ่านจุด (2, -1) จงหาจดุ ตำ�่ สดุ ของกราฟน ี้ (5 คะแนน) 6. สะพานแขวนแห่งหนึ่งแขวนด้วยลวดสลิงท่ีโยงระหว่างยอดเสาสองต้นท่ีอยู่ปลายสะพานซึ่งสูงเท่ากัน ลวดสลิงดังกล่าว หยอ่ นโค้งเปน็ รูปพาราโบลาทีม่ ีสมการ y = 0.01x2 – x + 35 เมอ่ื x แทนระยะทาง (เมตร) ทจี่ ดุ แตล่ ะจุดบนสะพาน อยู่หา่ งจากเสาสะพานทางซา้ ย และ y แทนระยะหา่ งระหว่างลวดสลงิ กบั พื้นสะพาน 1) จงหาระยะหา่ งทน่ี อ้ ยทสี่ ุดระหวา่ งลวดสลงิ กับพน้ื สะพาน (3 คะแนน) 2) เสาสะพานทั้งสองต้นหา่ งกันเทา่ ใด (2 คะแนน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังก์ชันก�ำ ลังสอง 345 7. นาวินมีท่ีดินแปลงหนึ่งอยู่ริมคลองและต้องการแบ่งที่ดินเพ่ือสร้างบ้านริมคลอง โดยล้อมรั้วท่ีดินสำ�หรับสร้างบ้านเป็น รปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากและลอ้ มรว้ั เพยี งสามดา้ น อกี ดา้ นหนง่ึ ตดิ คลองไมต่ อ้ งลอ้ มรว้ั ถา้ นาวนิ มวี สั ดใุ นการลอ้ มรว้ั ยาว 120 เมตร และอยากได้พนื้ ที่ภายในรั้วมากทสี่ ดุ จงหาวา่ นาวนิ จะต้องกำ�หนดขนาดของรัว้ อย่างไร และมพี ื้นท่เี ท่าไร พร้อมทั้งวาดภาพ ประกอบ (7 คะแนน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

346 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลังสอง ค่มู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยตัวอยา่ งแบบทดสอบท้ายบท 1. จงพิจารณาว่าสมการของพาราโบลาที่ก�ำ หนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ สอดคล้องกบั กราฟใดตอ่ ไปนี้ (5 คะแนน) 1) y = (x + 4)2 – 1 สอดคลอ้ งกับกราฟ c1 2) y = (x – 4)2 + 1 สอดคล้องกับกราฟ c3 สอดคลอ้ งกบั กราฟ c4 3) y = –-412–(1x(x– 4)2 + 1 สอดคลอ้ งกบั กราฟ c8 4) y = – 4)2 + 1 สอดคล้องกับกราฟ c6 5) y = -3(x + 4)2 – 1 Y c2 c3 c4 c1 5 -8 -6 -4 -2 O 24 68 X c5 -5 c8 c6 c7 ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถระบลุ กั ษณะพรอ้ มทง้ั เขยี นกราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลงั สองทอ่ี ยใู่ นรปู y = ax2, y = ax2 + k, y = a(x – h)2, y = a(x – h)2 + k และ y = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c, h และ k เปน็ ค่าคงตวั ท่ี a ≠ 0 เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 5 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน ✤ ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ ตอบไม่ถกู ตอ้ ง หรือไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั ก�ำ ลังสอง 347 2. จงเติมเครอ่ื งหมาย  หนา้ ข้อความทถ่ี ูกตอ้ ง และเติมเครอ่ื งหมาย  หนา้ ขอ้ ความที่ไม่ถูกต้อง พรอ้ มท้ังใหเ้ หตผุ ลประกอบ (20 คะแนน)  1) สมการ y = 2x2 + 3x + 4 เป็นสมการของพาราโบลา เหตผุ ล เพราะสมการ y = 2x2 + 3x + 4 อย่ใู นรูป y = ax2 + bx + c โดยท่ี a = 2, b = 3 และ c = 4  2) กราฟของสมการ y – x = - –21=x-–2–1xx+– 9 เป็นพาราโบลาควำ�่ y = - 2–1x +9 ซง่ึ เปน็ สมการเชงิ เสน้ เหตุผล เพราะสมการ y – x x + 9 สามารถจดั รปู ไดเ้ ปน็ สองตวั แปร ดังนนั้ กราฟทไี่ ด้เป็นกราฟเส้นตรง  3) กราฟของสมการ y = 5 – x2 มีจดุ (0, 5) เป็นจุดต่�ำ สดุ เหตผุ ล เพราะสมการ y = 5 – x2 สามารถจดั รูปได้เป็น y = -x2 + 5 ซ่ึงมกี ราฟเป็นพาราโบลาควำ�่ และมจี ุดสงู สดุ คือ จุด (0, 5) ( )  4) แกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = x + 1–2 2 คือ เส้นตรง x = 1–2 ( ) [ ( )] เหตุผล เพราะสมการ y = x + –12 2 สามารถจัดรปู ไดเ้ ป็น y = x – - –12 2 ดงั นน้ั แกนสมมาตรของกราฟของสมการน้ี คอื เสน้ ตรง x = - 1–2 ( ) ( ) 5) กราฟของสมการ y = 2 x – –23 2 – –25 มจี ุดต่ำ�สดุ คอื จุด –23, –25 ( ) ( ) ( ) เหตผุ ล เพราะสมการ y = 2 x – –23 2 – –25 สามารถจดั รูปไดเ้ ป็น y = 2 x – –23 2 + - –25 ( )ดังนน้ั กราฟของสมการนี้เป็นพาราโบลาหงาย มีจุดตำ�่ สดุ คอื จดุ –23, -–25  6) จดุ (-9, -1) เปน็ จุดทอ่ี ย่บู นกราฟของสมการ y = -2x2 + 3x – 4 เหตผุ ล เพราะเมอ่ื แทน x ดว้ ย -9 และแทน y ดว้ ย -1 ลงในสมการ y = -2x2 + 3x – 4 ทำ�ใหไ้ ดส้ มการที่ไมเ่ ปน็ จรงิ ดังน้ัน จดุ (-9, -1) ไม่อยบู่ นกราฟของสมการ y = -2x2 + 3x – 4  7) กราฟของสมการ y = 4(x + 2)2 – 2 มีแกนสมมาตร คอื เสน้ ตรง x = -2 เหตุผล เพราะสมการ y = 4(x + 2)2 – 2 สามารถจดั รูปไดเ้ ปน็ y = 4[x – (-2)]2 – 2 ดงั นัน้ แกนสมมาตรของกราฟของสมการน้ี คอื เสน้ ตรง x = -2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

348 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันก�ำ ลังสอง คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1  8) จดุ ต�ำ่ สดุ ของกราฟของสมการ y = 1–4x2 – 3 และจดุ สงู สดุ ของกราฟของสมการ y = - –23x2 + 2 อยหู่ า่ งกนั 5 หนว่ ย –23–14xx22+– เหตุผล เพราะจดุ ต่ำ�สดุ ของกราฟของสมการ y= 3 คอื (0, -3) และจุดสงู สุดของกราฟของสมการ y =- 2 คือ (0, 2) ดงั นั้น จุดตำ่�สดุ และจุดสูงสดุ ของกราฟท้งั สองอย่หู า่ งกัน 5 หน่วย  9) กราฟของสมการ y = -2(x – 4)2 – 18 ไมม่ ีจดุ ตัดแกน X เหตุผล เพราะกราฟของสมการ y = -2(x – 4)2 – 18 เปน็ พาราโบลาคว่ำ� ที่มจี ุดสูงสดุ อยู่ทีจ่ ุด (4, -18) จะไดว้ า่ กราฟของสมการน้ีไม่ตัดแกน X ดังนน้ั กราฟจงึ ไม่มจี ดุ ตัดแกน X  10) กราฟของสมการ y = -3(x – 5)2 + 10 จะตดั แกน Y ที่จุด (0, 65) เหตุผล เพราะเมอ่ื แทน x ดว้ ย 0 ลงในสมการ y = -3(x – 5)2 + 10 จะได้ y = -65 ดังนนั้ กราฟของสมการ y = -3(x – 5)2 + 10 จะตดั แกน Y ท่ีจุด (0, -65) ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถระบลุ กั ษณะพรอ้ มทง้ั เขยี นกราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลงั สองทอ่ี ยใู่ นรปู y = ax2, y = ax2 + k, y = a(x – h)2, y = a(x – h)2 + k และ y = ax2 + bx + c เม่อื a, b, c, h และ k เป็น ค่าคงตัว ท่ี a ≠ 0 เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน ข้อละ 2 คะแนน โดยแบง่ ให้คะแนน ดงั นี้ ✤ ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน ✤ แสดงเหตผุ ลไดอ้ ยา่ งสมเหตสุ มผล ได้ 1 คะแนน 3. จงเขยี นสมการ y = 3x2 – 12x + 11 ให้อย่ใู นรปู y = a(x – h)2 + k แล้วตอบค�ำ ถามต่อไปนีโ้ ดยไม่ตอ้ งเขียนกราฟ (5 คะแนน) แนวคดิ จาก y = 3x2 – 12x + 11 จะได ้ y = 3(x2 – 4x) + 11 = 3{[x2 – 2(x)(2) + 22] – 22} + 11 = 3(x – 2)2 + 3(-4) + 11 = 3(x – 2)2 – 1 1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำ�หรือพาราโบลาหงาย พาราโบลาหงาย 2) จดุ ต่ำ�สดุ หรอื จดุ สูงสุดของกราฟเปน็ จุดใด และมีคา่ ต�ำ่ สุดหรอื คา่ สูงสดุ ของ y เป็นเท่าใด จดุ ต่�ำ สุดของกราฟเปน็ คอื จุด (2, -1) และมีคา่ ต�ำ่ สุดของ y เป็น -1 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ นั กำ�ลังสอง 349 3) กราฟมเี ส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร กราฟมเี สน้ ตรง x = 2 เปน็ แกนสมมาตร 4. จงเขียนสมการ y = -x2 + 8x + 12 ใหอ้ ยู่ในรูป y = a(x – h)2 + k แล้วตอบคำ�ถามตอ่ ไปนโ้ี ดยไมต่ ้องเขียนกราฟ (5 คะแนน) แนวคิด จาก y = -x2 + 8x + 12 จะได ้ y = -(x2 – 8x) + 12 = -{[x2 – 2(x)(4) +42] – 42} + 12 = -(x – 4)2 + 16 + 12 = -(x – 4)2 + 28 1) กราฟเป็นพาราโบลาคว�่ำ หรอื พาราโบลาหงาย พาราโบลาควำ�่ 2) จุดตำ�่ สดุ หรอื จดุ สงู สุดของกราฟเป็นจดุ ใด และมีค่าตำ่�สุดหรอื คา่ สงู สดุ ของ y เปน็ เทา่ ใด จุดสูงสดุ ของกราฟ คอื จุด (4, 28) และมคี า่ สูงสดุ ของ y เปน็ 28 3) กราฟมีเสน้ ตรงใดเป็นแกนสมมาตร กราฟมเี ส้นตรง x = 4 เปน็ แกนสมมาตร สำ�หรบั ข้อ 3–4 ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรียน ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถระบลุ กั ษณะพรอ้ มทง้ั เขยี นกราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลงั สองทอ่ี ยใู่ นรปู y = ax2, y = ax2 + k, y = a(x – h)2, y = a(x – h)2 + k และ y = ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c, h และ k เป็น คา่ คงตัว ที่ a ≠ 0 เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเตม็ ข้อละ 5 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดงั นี้ ได้ 2 คะแนน ส่วนที่ 1 การเขียนสมการใหอ้ ยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k ได้ 1 คะแนน ✤ เขยี นสมการใหอ้ ยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k ถกู ตอ้ งครบถ้วน ได้ 0 คะแนน ✤ เขียนสมการใหอ้ ยู่ในรูป y = a(x – h)2 + k ถูกต้องบางสว่ น ✤ เขยี นสมการใหอ้ ย่ใู นรปู y = a(x – h)2 + k ไม่ถกู ตอ้ ง หรอื ไมเ่ ขียน สว่ นที่ 2 การตอบคำ�ถาม ✤ ตอบถูกตอ้ ง ไดข้ อ้ ละ 1 คะแนน ✤ ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี