(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ม.3 ล.1

250 บทที่ 4 | ความคลา้ ย ค่มู อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 3. จากรปู กำ�หนดให้ DABC ~ DADE AE = 18.00 ซม. AB = 2.50 ซม. CA = 6.00 ซม. CA = 6.00 ซม. D 10 z y x B E C 12 5 A 1) อตั ราสว่ นของความยาวรอบรปู ของรปู สามเหลย่ี มทงั้ สองรปู เทา่ กบั อตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ สี่ มนยั กนั หรอื ไม่ จงแสดงวิธคี ดิ ประกอบคำ�ตอบ (6 คะแนน) 2) อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหล่ียมท้ังสองรูปเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันหรือไม่ จงแสดงวิธีคดิ ประกอบค�ำ ตอบ (4 คะแนน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย 251 (5 คะแนน) 4. จากรปู กำ�หนดให้ DABC ~ DPQR จงหาค่าของ x + 2y 25.5 y R P A 17 x 10 B 6D CQ 5. จากรูปทกี่ �ำ หนดให้ DRBS และ DTDU คลา้ ยกันหรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด (5 คะแนน) D B 60° 140° 80° 100° Q PR S T U A C E สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

252 บทที่ 4 | ความคล้าย คูม่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 6. ก�ำ หนดให้ AB // CD และ AD ตดั กับ BC ที่จุด E จงแสดงว่า DABE ~ DDCE พร้อมทง้ั หาความยาวของ AE และ CD (6 คะแนน) A 12 B 5 E 8 4 C D 7. ขอ้ ความในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ีถูกหรือผดิ (6 คะแนน) 1) รูปหลายเหลีย่ มสองรูปที่มขี นาดของมมุ เท่ากันเปน็ คู่ ๆ ทุกคู่ เปน็ รูปหลายเหลย่ี มท่คี ลา้ ยกัน 2) รูปหลายเหลีย่ มสองรูปทม่ี ีอตั ราส่วนของความยาวของดา้ นค่ทู ีส่ มนยั กันทกุ คู่เท่ากัน เป็นรปู หลายเหลย่ี ม ทคี่ ลา้ ยกนั 3) รูปสามเหลีย่ มสองรปู ท่มี ขี นาดของมุมเท่ากันเปน็ คู่ ๆ ทกุ ค่ ู เปน็ รปู สามเหลย่ี มที่คล้ายกนั 4) รูปสามเหลีย่ มสองรปู ทมี่ อี ตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ ีส่ มนัยกนั ทุกคเู่ ท่ากนั เป็นรปู สามเหล่ยี ม ทค่ี ลา้ ยกนั 5) ถ้าอัตราส่วนของความยาวรอบรปู ของ DABC ต่อความยาวรอบรูปของ DPQR เท่ากับ 1 : 2 แล้ว DABC ~ DPQR 6) ถ้า DABC ~ DDEF แลว้ อัตราสว่ นของพ้ืนท่ีของรูปสามเหล่ยี มทง้ั สองจะเท่ากบั อตั ราสว่ นของ ความยาวของด้านคทู่ ีส่ มนยั กัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | ความคล้าย 253 8. จากรูป ก�ำ หนดให ้ AB = 15 เซนตเิ มตร AC = 17 เซนตเิ มตร และ DE = 4 เซนตเิ มตร จงหาวา่ พ้ืนทข่ี อง DABC เป็นกเ่ี ทา่ ของพื้นทข่ี อง DADE (7 คะแนน) A Dy C E x B สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

254 บทที่ 4 | ความคลา้ ย คมู่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 9. นมิ่ และนวลต้องการน�ำ ลวดมาดัดเป็นรปู สีเ่ หลีย่ มผนื ผ้า ที่มีดา้ นยาวยาวกว่าดา้ นกวา้ ง 4 เซนตเิ มตร คนละ 1 รปู โดยนมิ่ มีลวดยาว 20 เซนติเมตร และนวลมีลวดยาว 48 เซนติเมตร อยากทราบว่า ลวดดัดรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้าของท้ังสองคน เปน็ รปู ทีค่ ลา้ ยกนั หรือไม่ เพราะเหตุใด (6 คะแนน) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย 255 เฉลยตัวอย่างแบบทดสอบท้ายบท 1. ขอ้ ความต่อไปนีเ้ ปน็ จรงิ หรอื เทจ็ เพราะเหตุใด (กรณีเป็นเท็จ ให้นกั เรยี นยกตวั อย่างค้านโดยใช้เหตุผลหรือใช้รปู ประกอบ) (10 คะแนน) 1) รปู สามเหลยี่ มหนา้ จวั่ ทมี่ ขี นาดของมมุ ทฐี่ านแตล่ ะมมุ เทา่ กบั 70° กบั รปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั ทม่ี ขี นาดของมมุ ยอด เทา่ กับ 40° เปน็ รูปสามเหล่ียมที่คลา้ ยกัน จริง เพราะรปู สามเหล่ยี มทงั้ สองรูปมขี นาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ 2) รปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ ที่มีความยาวของแต่ละด้านเทา่ กบั 8 เซนติเมตร กบั รูปสามเหลีย่ มด้านเทา่ ที่มคี วามยาว ของแต่ละดา้ นเทา่ กับ 12 เซนติเมตร เปน็ รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ค�ำ ตอบมไี ดห้ ลากหลาย เช่น ✤ จรงิ เพราะรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ จะมีขนาดมุมแตล่ ะมมุ เทา่ กับ 60° ทำ�ให้รูปสามเหล่ียมทงั้ สองรูป มขี นาดของมุมเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ สามคู่ ✤ จรงิ เพราะรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ ทง้ั สองรูปมีอัตราส่วนของความยาวของด้านคทู่ ส่ี มนัยกันทกุ คู่ เปน็ อตั ราสว่ นทเ่ี ท่ากัน คือ 1—82 3) รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉากสองรูปใด ๆ เปน็ รูปสามเหลีย่ มทค่ี ลา้ ยกันเสมอ คำ�ตอบมีได้หลากหลาย เชน่ ✤ ไม่จริง เพราะรปู สามเหลี่ยมทัง้ สองรูปอาจมีขนาดของมมุ ไม่เทา่ กันทกุ คู่ ดงั รูป 50° 50° 60° 60° 30° 40° 30° 40° ✤ ไมจ่ ริง เพราะรปู สามเหล่ยี มทง้ั สองรูปอาจมอี ตั ราส่วนของความยาวของดา้ นคู่ท่ีสมนัยกนั ไม่เทา่ กัน ทกุ คู่ ดงั รปู 5 3 4√2 4 5 3 4√2 4 4 4 4 4 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

256 บทที่ 4 | ความคลา้ ย คู่มอื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 4) รปู สี่เหลยี่ มสองรปู ใด ๆ ทมี่ ีขนาดของมุมเท่ากันเปน็ คู่ ๆ สี่คู่ เปน็ รปู ส่ีเหล่ียมท่คี ล้ายกันเสมอ คำ�ตอบมีไดห้ ลากหลาย เชน่ ✤ ไม่จรงิ เพราะรูปสเ่ี หลี่ยมทง้ั สองรปู อาจมรี ูปรา่ งไมเ่ หมอื นกนั ดังรูป ✤ ไมจ่ ริง เพราะรูปสี่เหลยี่ มทง้ั สองรปู อาจมอี ัตราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กันไมเ่ ทา่ กนั ทกุ คู่ ดังรปู 4 8 140° 40° 40° 140° 4 4 4 4 40° 140° 140° 40° 4 8 5) รปู สีเ่ หล่ียมสองรปู ใด ๆ ทีม่ ีความยาวของด้านเทา่ กันทุกดา้ น เปน็ รปู ส่ีเหลีย่ มท่ีคล้ายกันเสมอ ค�ำ ตอบมีได้หลากหลาย เชน่ ✤ ไมจ่ รงิ เพราะรูปส่เี หลี่ยมทง้ั สองรูปอาจมีรปู ร่างไม่เหมอื นกนั เช่น รปู ส่ีเหล่ยี มจตั ุรสั กับรปู สี่เหล่ยี ม ขนมเปยี กปนู ดังรปู ✤ ไมจ่ ริง เพราะรปู สีเ่ หลี่ยมทง้ั สองรูปอาจมีขนาดของมมุ คูท่ ส่ี มนยั กันไม่เท่ากนั ดังรูป ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น ข้อ 1 นกั เรยี นสามารถระบเุ งอ่ื นไขทที่ �ำ ใหร้ ปู หลายเหลย่ี มสองรปู คลา้ ยกนั และบอกสมบตั ขิ องรปู หลายเหลย่ี ม ท่ีคล้ายกัน ขอ้ 2 นักเรยี นสามารถระบุเงือ่ นไขท่ที ำ�ใหร้ ูปสามเหลยี่ มสองรปู คลา้ ยกัน และบอกสมบตั ขิ องรูปสามเหล่ยี ม ท่คี ล้ายกนั เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 10 คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน โดยแบ่งใหค้ ะแนน ดงั น้ี ✤ ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน ✤ แสดงเหตุผลได้อย่างสมเหตุสมผล ได ้ 1 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย 257 2. จงพจิ ารณาว่ารูปสามเหลีย่ มทีก่ ำ�หนดให้ในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ เปน็ รูปสามเหลย่ี มทค่ี ลา้ ยกันหรือไม่ เพราะเหตุใด (6 คะแนน) 1) 62° 62° 28° 28° รปู สามเหลย่ี มที่ก�ำ หนดให้เปน็ รปู สามเหลยี่ มทค่ี ล้ายกนั เพราะมีขนาดของมุมเทา่ กันเป็นคู่ ๆ สามคู่ 2) 100° 30° 80° 50° 100° 30° 70° 30° 80° 50° รูปสามเหล่ียมที่ก�ำ หนดใหไ้ มเ่ ป็นรูปสามเหลยี่ ม3ท0ี่ค° ลา้ ยกัน เพราะมีข70น°าดของมมุ เทา่ กนั เพียงคูเ่ ดียว 3) 25 10 25 15 6 20 15 810 6 8 20 เนือ่ งจาก 1—65 = 5–2 , 2—80 = 52– และ 12—05 = 52– ดงั นัน้ รปู สามเหลย่ี มท่ีก�ำ หนดใหเ้ ปน็ รปู สามเหล่ยี มท่คี ล้ายกัน เพราะ อัตราสว่ นของความยาวของด้านคูท่ ีส่ มนัยกนั ทุกคู่ เป็นอัตราส่วนท่ีเท่ากัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

258 บทที่ 4 | ความคล้าย คู่มอื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรียน ขอ้ 2 นักเรียนสามารถระบุเงือ่ นไขท่ีท�ำ ใหร้ ูปสามเหลี่ยมสองรูปคลา้ ยกนั และบอกสมบัตขิ องรูปสามเหลี่ยม ท่คี ลา้ ยกัน เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน โดยแบ่งให้คะแนน ดงั น้ี ✤ ตอบถกู ต้อง ได ้ 1 คะแนน ✤ แสดงเหตผุ ลได้อย่างสมเหตุสมผล ได ้ 1 คะแนน 3. จากรปู กำ�หนดให้ DABC ~ DADE AE = 18.00 ซม. AB = 2.50 ซม. CA = 6.00 ซม. CA = 6.00 ซม. D 10 z x B y E C 12 5 A 1) อตั ราสว่ นของความยาวรอบรปู ของรปู สามเหลย่ี มทง้ั สองรปู เทา่ กบั อตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ สี่ มนยั กนั หรอื ไม ่ จงแสดงวิธคี ดิ ประกอบคำ�ตอบ (6 คะแนน) แนวคิด เน่ืองจาก DABC ~ DADE จะได้วา่ อตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั ของ DABC และ DADE เปน็ อตั ราสว่ นทเ่ี ทา่ กนั ทกุ คู่ คือ –xz = 1—y2 = 1—55 หรือ –xz = 1—y2 = 1—55 = 1–3 จากรปู สามเหลีย่ มมุมฉาก ABC จะได ้ x2 = 52 + 122 = 169 ดังน้นั x = 13 จาก –xz = –13 หรือ 1—z3 = 1–3 จะได ้ z = 39 จาก 1—y2 = 1–3 จะได้ y = 36 ดงั นน้ั ความยาวรอบรูปของ DABC เท่ากับ 5 + 12 + 13 = 30 หน่วย และ ความยาวรอบรปู ของ DADE เทา่ กับ 15 + 36 + 39 = 90 หน่วย จะได ้ อตั ราสว่ นของความยาวรอบรปู ของ DABC ตอ่ ความยาวรอบรปู ของ DADE เทา่ กบั 93—00 = 31– สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 4 | ความคลา้ ย 259 ดงั นน้ั อตั ราสว่ นของความยาวรอบรปู ของรปู สามเหลย่ี มทง้ั สองรปู เทา่ กบั อตั ราสว่ นของความยาวของ ด้านคู่ที่สมนัยกัน 2) อัตราส่วนของพ้ืนที่ของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันหรือไม่ จงแสดงวธิ ีคดิ ประกอบค�ำ ตอบ (4 คะแนน) แนวคดิ พ้ืนทข่ี อง DABC เท่ากับ 1–2 × 12 × 5 = 30 ตารางหน่วย พื้นท่ขี อง DADE เท่ากับ –12 × 36 × 15 = 270 ตารางหนว่ ย จะได้ อตั ราสว่ นของพนื้ ท่ีของ DABC ตอ่ พืน้ ท่ีของ DADE เท่ากบั —23700 = –19 ดังนัน้ อตั ราสว่ นของพน้ื ทข่ี องรปู สามเหล่ยี มทง้ั สองรูป ไม่เทา่ กบั อตั ราส่วนของความยาวของ ด้านคทู่ ่สี มนยั กนั ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น ข้อ 3 นักเรียนสามารถใชส้ มบัตขิ องรปู สามเหล่ียมท่ีคลา้ ยกนั ในการให้เหตผุ ลและแกป้ ัญหา เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 10 คะแนน ข้อ 1) คะแนนเต็ม 6 คะแนน โดยแบ่งใหค้ ะแนน ดังน้ี สว่ นที่ 1 การเขยี นแสดงการหาค่า x, y, z ✤ เขยี นแสดงแนวคิดและหาคา่ x, y, z ถูกต้อง ได้ 2 คะแนน ✤ เขยี นแสดงแนวคิดถกู ต้อง แตห่ าค่า x, y, z ไม่ถูกตอ้ ง หรือไมเ่ ขยี นแสดงแนวคดิ แตห่ าคา่ x, y, z ถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ ไมเ่ ขยี นแสดงแนวคดิ และหาคา่ x, y, z ไมถ่ กู ต้อง หรือไมเ่ ขยี น ได้ 0 คะแนน ส่วนท่ี 2 การเขียนแสดงการหาความยาวรอบรูป ✤ แสดงการหาความยาวรอบรูปถูกตอ้ งครบถว้ น ได้ 2 คะแนน ✤ แสดงการหาความยาวรอบรูปถูกตอ้ งบางส่วน ได ้ 1 คะแนน ✤ แสดงการหาความยาวรอบรูปไม่ถูกต้อง หรอื ไม่แสดง ได ้ 0 คะแนน ส่วนท่ี 3 การเปรียบเทยี บอตั ราส่วน ✤ เปรียบเทยี บอัตราส่วนถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ เปรียบเทยี บอตั ราส่วนไม่ถูกต้อง หรือไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน ส่วนที่ 4 การสรปุ ค�ำ ตอบ ✤ สรุปคำ�ตอบถูกต้อง ได ้ 1 คะแนน ✤ สรปุ คำ�ตอบไม่ถูกต้อง หรอื ไม่สรุป ได ้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

260 บทท่ี 4 | ความคลา้ ย ค่มู ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ข้อ 2) คะแนนเตม็ 4 คะแนน โดยแบ่งใหค้ ะแนน ดงั นี้ ได ้ 2 คะแนน สว่ นท่ี 1 การเขยี นแสดงการหาพ้ืนที่ ได ้ 1 คะแนน ✤ แสดงการหาพนื้ ท่ีถกู ตอ้ งครบถว้ น ได้ 0 คะแนน ✤ แสดงการหาพน้ื ทีถ่ กู ต้องบางสว่ น ✤ แสดงการหาพ้นื ที่ไมถ่ ูกต้อง หรือไม่แสดง ได้ 1 คะแนน ส่วนที่ 2 การเปรียบเทียบอตั ราสว่ น ได ้ 0 คะแนน ✤ เปรียบเทยี บอตั ราส่วนถกู ตอ้ ง ✤ เปรยี บเทยี บอตั ราสว่ นไมถ่ ูกตอ้ ง หรือไม่ตอบ ได้ 1 คะแนน ส่วนที่ 3 การสรุปคำ�ตอบ ได ้ 0 คะแนน ✤ สรุปคำ�ตอบถูกต้อง ✤ สรปุ คำ�ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไมส่ รุป สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 4 | ความคล้าย 261 4. จากรปู ก�ำ หนดให้ DABC ~ DPQR จงหาคา่ ของ x + 2y (5 คะแนน) P R A x 25.5 10 17 B 6D CQ y แนวคดิ จากรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABD จะได ้ AD2 = 102 – 62 = 64 ดงั น้นั AD = 8 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ADC จะได้ DC2 = 172 – 82 = 225 ดงั นั้น DC = 15 เนอื่ งจาก DABC ~ DPQR จะได ้ 1—x0 = 2—157.5 ดงั นั้น x = 15 และ —2y1 = 2—157.5 ดงั นั้น y = 31.5 จะได ้ x + 2y = 15 + 2(31.5) = 78 ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น ข้อ 3 นกั เรียนสามารถใช้สมบัตขิ องรูปสามเหลีย่ มท่ีคล้ายกนั ในการใหเ้ หตผุ ลและแก้ปญั หา เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 5 คะแนน โดยแบ่งให้คะแนน ดังน้ี ✤ แสดงวธิ ีการในการหาค่า AD, DC, x, y ถกู ตอ้ ง ได้ค่าละ 1 คะแนน ✤ สรปุ คำ�ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

262 บทที่ 4 | ความคลา้ ย คู่มือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 5. จากรปู ท่ีกำ�หนดให้ DRBS และ DTDU คลา้ ยกันหรอื ไม ่ เพราะเหตใุ ด D (5 คะแนน) B 60° 140° 80° 100° Q PR S T U A C E แนวคดิ พิจารณา DRBS เน่ืองจาก PˆRB + BˆRS = 180° (มมุ ตรงมีขนาดเท่ากับ 180°) จะได ้ 140 + BˆRS = 180 (สมบัตขิ องการเท่ากนั ) ดงั นั้น BˆRS = 40° (สมบตั ขิ องการเท่ากัน) เนอื่ งจาก BˆRS + RˆSB + SˆBR = 180° (ขนาดของมมุ ภายในทั้งสามมมุ ของรูปสามเหลย่ี ม รวมกนั เทา่ กบั 180°) จะได้ 40 + 80 + SˆBR = 180 (สมบัตขิ องการเทา่ กัน) ดังนั้น SˆBR = 60° (สมบัติของการเท่ากัน) ในทำ�นองเดยี วกัน เมื่อพิจารณา DTDU จะแสดงได้วา่ DˆUT = 80° และ DˆTU = 40° ดังน้นั DRBS ~ DTDU (มมี ุมทม่ี ีขนาดเทา่ กนั เป็นคู่ ๆ สามคู่) ความสอดคล้องกับจดุ ประสงคข์ องบทเรยี น ขอ้ 2 นกั เรียนสามารถระบุเงือ่ นไขที่ทำ�ให้รูปสามเหลี่ยมสองรูปคลา้ ยกัน และบอกสมบตั ขิ องรูปสามเหลี่ยม ทค่ี ลา้ ยกนั เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน โดยแบง่ ให้คะแนน ดงั นี้ ได้มุมละ 1 คะแนน ✤ แสดงและใหเ้ หตผุ ลไดว้ า่ BˆRS = 40°, SˆBR = 60°, DˆUT = 80° และ DˆTU = 40° ✤ สรุปและใหเ้ หตผุ ลประกอบค�ำ ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 4 | ความคล้าย 263 6. กำ�หนดให ้ AB // CD และ AD ตัดกบั BC ท่ีจุด E จงแสดงวา่ DABE ~ DDCE พรอ้ มทัง้ หาความยาวของ AE และ CD (6 คะแนน) A 12 B 5 E 8 4 CD แนวคดิ พจิ ารณา DABE และ DDCE เน่ืองจาก AB // CD และมี AD เปน็ เส้นตัด (กำ�หนดให)้ จะได้ BˆAE = CˆDE (ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกันและมเี สน้ ตัด แลว้ มุมแย้ง มีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก AB // CD และมี BC เปน็ เส้นตดั (กำ�หนดให)้ จะได้ AˆBE = DˆCE (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกันและมเี ส้นตัด แล้วมมุ แยง้ มขี นาดเท่ากนั ) (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกัน แล้วมมุ ตรงข้ามมขี นาดเทา่ กนั ) เน่อื งจาก AˆEB = DˆEC ดงั นั้น DABE ~ DDCE (มีมมุ ทม่ี ีขนาดเทา่ กันเป็นคู่ ๆ สามคู่) จะได ้ A—8E = 4–5 ดังน้ัน AE = 10 และ —C12D = 54– ดังน้นั CD = 9.6 ความสอดคล้องกบั จุดประสงค์ของบทเรียน ขอ้ 2 นักเรยี นสามารถระบเุ ง่ือนไขทีท่ �ำ ใหร้ ปู สามเหล่ียมสองรูปคลา้ ยกัน และบอกสมบัติของรปู สามเหลีย่ ม ทคี่ ล้ายกัน ข้อ 3 นักเรียนสามารถใชส้ มบตั ิของรปู สามเหลย่ี มทค่ี ล้ายกันในการใหเ้ หตุผลและแกป้ ัญหา เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน โดยแบง่ ให้คะแนน ดังนี้ ✤ แสดงและใหเ้ หตุผลได้วา่ มีมมุ ทมี่ ีขนาดเท่ากนั เป็นคู่ ๆ สามคู่ ได้คลู่ ะ 1 คะแนน ✤ สรุปได้วา่ DABE ~ DDCE และให้เหตุผลได้อยา่ งสมเหตุสมผล ได้ 1 คะแนน ✤ หาความยาวของ AE และ CD ถูกต้อง ไดค้ า่ ละ 1 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

264 บทที่ 4 | ความคลา้ ย คูม่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 7. ขอ้ ความในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนถ้ี ูกหรอื ผดิ (6 คะแนน) ผดิ 1) รปู หลายเหล่ียมสองรูปท่ีมขี นาดของมมุ เทา่ กนั เป็นคู่ ๆ ทุกค ู่ เป็นรูปหลายเหลย่ี มทคี่ ลา้ ยกัน ผิด 2) รูปหลายเหล่ยี มสองรูปทม่ี อี ัตราส่วนของความยาวของดา้ นค่ทู ่สี มนัยกันทุกคู่เท่ากนั เปน็ รูปหลายเหลย่ี ม ที่คล้ายกัน ถกู 3) รูปสามเหลี่ยมสองรปู ทม่ี ขี นาดของมมุ เท่ากันเปน็ คู่ ๆ ทกุ ค ู่ เปน็ รปู สามเหลยี่ มทคี่ ลา้ ยกนั ถกู 4) รปู สามเหลี่ยมสองรปู ที่มอี ัตราส่วนของความยาวของด้านคทู่ ีส่ มนัยกันทุกคู่เท่ากัน เป็นรูปสามเหลีย่ ม ท่ีคลา้ ยกัน ผิด 5) ถ้าอัตราสว่ นของความยาวรอบรูปของ DABC ต่อความยาวรอบรูปของ DPQR เทา่ กบั 1 : 2 แล้ว DABC ~ DPQR ผิด 6) ถา้ DABC ~ DDEF แล้วอตั ราส่วนของพน้ื ทข่ี องรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะเท่ากบั อัตราสว่ นของ ความยาวของด้านคทู่ ี่สมนัยกัน ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถระบเุ งอื่ นไขทท่ี �ำ ใหร้ ปู หลายเหลย่ี มสองรปู คลา้ ยกนั และบอกสมบตั ขิ องรปู หลายเหลย่ี ม ท่คี ลา้ ยกัน ขอ้ 2 นักเรยี นสามารถระบุเงอ่ื นไขทีท่ �ำ ให้รปู สามเหลยี่ มสองรูปคลา้ ยกนั และบอกสมบตั ิของรปู สามเหลี่ยม ทค่ี ลา้ ยกนั เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน ขอ้ ละ 1 คะแนน ✤ ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน ✤ ตอบไม่ถกู ตอ้ ง หรือไม่ตอบ ได ้ 0 คะแนน 8. จากรปู ก�ำ หนดให ้ AB = 15 เซนติเมตร AC = 17 เซนตเิ มตร และ DE = 4 เซนตเิ มตร จงหาว่า พื้นทขี่ อง DABC เป็นกเ่ี ท่าของพนื้ ท่ขี อง DADE (7 คะแนน) A Dy C E x B สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | ความคล้าย 265 แนวคดิ จากรปู จะได ้ DABC ~ DADE (ม ี AˆBC = AˆDE, BˆAC = DˆAE และ AˆCB = AˆED) ดังนัน้ AA—DB = —DBCE = C—EAA หรอื A—ADB = —DBCE = CE—AA พจิ ารณา DABC จะได้ BC2 = AC2 – AB2 = 172 – 152 = 64 ดังนั้น BC = 8 เนื่องจาก CE—AA = —DBCE จะได ้ E—1A7 = 84– ดงั นน้ั EA = 8.5 และ x = AB – AE = 15 – 8.5 = 6.5 เนอื่ งจาก AA—DB = —DBCE จะได ้ A—15D = –84 ดังนั้น AD = 7.5 และ y = AC – AD = 17 – 7.5 = 9.5 เนอ่ื งจาก พื้นท่ีของ DABC = –21 × 8 × 15 = 60 ตารางเซนตเิ มตร พน้ื ที่ของ DADE = –21 × 4 × 7.5 = 15 ตารางเซนตเิ มตร และ พืน้ ท่ขี อง DABC = 60 = 4 พื้นที่ของ DADE 15 ดังนน้ั พืน้ ทข่ี อง DABC เป็น 4 เทา่ ของพนื้ ท่ีของ DADE ความสอดคล้องกับจดุ ประสงคข์ องบทเรยี น ขอ้ 2 นักเรยี นสามารถระบเุ งอ่ื นไขทที่ �ำ ใหร้ ูปสามเหล่ียมสองรูปคล้ายกนั และบอกสมบตั ขิ องรูปสามเหลี่ยม ทีค่ ล้ายกัน ขอ้ 3 นักเรยี นสามารถใชส้ มบัตขิ องรูปสามเหลยี่ มทีค่ ล้ายกันในการให้เหตผุ ลและแกป้ ญั หา เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเตม็ 7 คะแนน โดยแบ่งใหค้ ะแนน ดังน้ี ✤ สรปุ ได้ว่า DABC ~ DADE และให้เหตผุ ลไดอ้ ย่างสมเหตุสมผล ได ้ 1 คะแนน ✤ ตอบไดว้ า่ BC = 8, EA = 8.5, x = 6.5, AD = 7.5, y = 9.5 ได้ค�ำ ตอบละ 1 คะแนน ✤ สรุปคำ�ตอบถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

266 บทท่ี 4 | ความคล้าย คูม่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 9. นม่ิ และนวลตอ้ งการน�ำ ลวดมาดัดเป็นรปู ส่เี หลย่ี มผนื ผ้า ที่มีดา้ นยาวยาวกวา่ ด้านกวา้ ง 4 เซนตเิ มตร คนละ 1 รูป โดยนม่ิ มีลวดยาว 20 เซนติเมตร และนวลมีลวดยาว 48 เซนติเมตร อยากทราบว่า ลวดดัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าของท้ังสองคน เป็นรปู ที่คล้ายกันหรอื ไม่ เพราะเหตุใด (6 คะแนน) แนวคดิ ใหร้ ปู สเ่ี หลี่ยมผืนผา้ กว้าง x เซนติเมตร ดงั นนั้ รปู ส่เี หล่ยี มผนื ผา้ ยาว x + 4 เซนติเมตร จะได้ว่า รปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผ้าจะมคี วามยาวรอบรปู เป็น 2x + 2(x + 4) เซนตเิ มตร เน่อื งจาก นิ่มมลี วดยาว 20 เซนตเิ มตร จะไดส้ มการเปน็ 2x + 2(x + 4) = 20 4x + 8 = 20 ดังน้นั x = 3 จะไดว้ ่า ลวดดัดรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ ของนม่ิ กว้าง 3 เซนตเิ มตร และ ยาว 7 เซนติเมตร เน่ืองจาก นวลมลี วดยาว 48 เซนติเมตร จะไดส้ มการเปน็ 2x + 2(x + 4) = 48 4x + 8 = 48 ดงั นน้ั x = 10 จะไดว้ า่ ลวดดดั รปู สีเ่ หลี่ยมผืนผา้ ของนวล กวา้ ง 10 เซนตเิ มตร และ ยาว 14 เซนตเิ มตร เขยี นรปู ลวดดดั รปู ส่ีเหลีย่ มผนื ผ้าของน่ิมและนวล เพ่ือประกอบการพจิ ารณาไดด้ ังนี้ E 14 F A 7B 3 10 C D น่มิ HG นวล เมื่อพิจารณารูปสเี่ หลี่ยมผืนผา้ ทงั้ สอง จะพบวา่ ถงึ แมว้ า่ จะมขี นาดของมมุ เทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ ทกุ ค ู่ แตม่ อี ตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กนั อยา่ งนอ้ ยหนง่ึ คู่ ท่ีไม่เปน็ อัตราส่วนทีเ่ ทา่ กัน เชน่ —AEFB = 1—74 แต่ —FBGC = 1—30 ดงั น้ัน ลวดดดั รปู ส่เี หล่ยี มผนื ผ้าของนิ่มและนวล ไม่เป็นรูปทีค่ ล้ายกัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 4 | ความคล้าย 267 ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงค์ของบทเรยี น ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถระบเุ งอื่ นไขทที่ �ำ ใหร้ ปู หลายเหลย่ี มสองรปู คลา้ ยกนั และบอกสมบตั ขิ องรปู หลายเหลยี่ ม ทคี่ ล้ายกนั เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน โดยแบง่ ให้คะแนน ดงั น ้ี สว่ นที่ 1 การเขยี นสมการ ✤ เขียนแสดงท่มี าของสมการและเขียนสมการถกู ตอ้ ง ได ้ 2 คะแนน ✤ เขยี นแสดงท่มี าของสมการ แต่เขยี นสมการไม่ถูกตอ้ ง หรือ ไม่เขยี นแสดงท่ีมาของสมการ แตเ่ ขียนสมการถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ ไม่เขียนแสดงทีม่ าของสมการ และเขยี นสมการไม่ถกู ตอ้ ง หรอื ไม่เขยี น ได ้ 0 คะแนน ส่วนที่ 2 การระบขุ นาดของรปู ส่เี หล่ียมผืนผ้า ✤ ระบขุ นาดของรปู ส่เี หลยี่ มผืนผา้ ถกู ตอ้ ง ไดร้ ปู ละ 1 คะแนน ✤ ระบขุ นาดของรูปส่เี หล่ยี มผนื ผา้ ไม่ถกู ตอ้ ง หรอื ไม่ระบุ ได้ 0 คะแนน สว่ นท่ี 3 การสรุปและใหเ้ หตผุ ลประกอบค�ำ ตอบ ✤ สรปุ และให้เหตผุ ลประกอบค�ำ ตอบครบถ้วน ได ้ 2 คะแนน ✤ สรปุ และใหเ้ หตุผลประกอบค�ำ ตอบถูกตอ้ งบางส่วน ได้ 1 คะแนน ✤ สรปุ และใหเ้ หตุผลประกอบไม่ถูกต้อง หรอื ไมส่ รุป ได้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

268 บทที่ 4 | ความคลา้ ย คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟังก์ชันก�ำ ลังสอง 269 บทท่ี 5 กราฟของฟังก์ชันก�ำ ลงั สอง ในบทกราฟของฟังก์ชันกำ�ลังสองนี้ ประกอบด้วยหัวข้อย่อย ดงั ตอ่ ไปนี้ 5.1 แนะน�ำ ฟงั ก์ชัน 2 ชวั่ โมง 5.2 กราฟของฟงั กช์ ันก�ำ ลงั สอง 8 ชวั่ โมง สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้ สาระท่ี 1 จ�ำ นวนและพีชคณิต มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวเิ คราะหแ์ บบรูป ความสมั พันธ์ ฟังก์ชัน ลำ�ดบั และอนกุ รม และน�ำ ไปใช้ ตวั ชีว้ ัด เขา้ ใจและใชค้ วามรเู้ กยี่ วกบั ฟังกช์ นั กำ�ลังสองในการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร ์ จุดประสงค์ของบทเรียน นักเรียนสามารถ 1. ระบลุ กั ษณะพรอ้ มท้งั เขียนกราฟของฟงั ก์ชันก�ำ ลงั สองทอ่ี ยู่ในรปู y = ax2, y = ax2 + k, y = a(x – h)2, y = a(x – h)2 + k และ y = ax2 + bx + c เมอื่ a, b, c, h และ k เป็นค่าคงตวั ท่ี a ≠ 0 2. นำ�ความรู้เก่ียวกับกราฟของฟังกช์ นั ก�ำ ลงั สองไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา ความเชือ่ มโยงระหวา่ งตัวชีว้ ดั กับจุดประสงคข์ องบทเรยี น เน่ืองจากตัวช้ีวัดกล่าวถึงความเข้าใจและการใช้ความรู้เก่ียวกับฟังก์ชันกำ�ลังสองในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ ดังนั้น เพอ่ื ใหก้ ารเรยี นรขู้ องนกั เรยี นในเรอื่ งกราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลงั สองสอดคลอ้ งกบั ตวั ชวี้ ดั ครคู วรจดั ประสบการณใ์ หน้ กั เรยี นสามารถ 1. เข้าใจฟังก์ชันกำ�ลังสอง ซึ่งสะท้อนได้จากการที่นักเรียนรู้จักและอธิบายความหมายของฟังก์ชันและ ฟังก์ชันกำ�ลังสอง ระบุได้ว่ากราฟของฟังก์ชันกำ�ลังสองเป็นพาราโบลา และอธิบายลักษณะท่ัวไปของกราฟ ของฟังก์ชนั กำ�ลงั สองท่อี ยู่ในรปู y = ax2, y = ax2 + k, y = a(x – h)2, y = a(x – h)2 + k และ y = ax2 + bx + c เม่อื a, b, c, h และ k เป็นคา่ คงตวั ท่ี a ≠ 0 พร้อมทง้ั เขยี นกราฟ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

270 บทท่ี 5 | กราฟของฟังกช์ นั กำ�ลังสอง คู่มือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 2. ใช้ความรู้เก่ียวกับฟังก์ชันกำ�ลังสองในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ ซึ่งสะท้อนได้จากการท่ีนักเรียนวิเคราะห์ปัญหา หรือสถานการณ์ เขียนฟังก์ชันกำ�ลังสองหรือสมการของพาราโบลาแทนปัญหาหรือสถานการณ์นั้น และแปล ความหมายจากลักษณะท่ัวไปของสมการของพาราโบลาหรือกราฟของพาราโบลา เพ่ือหาคำ�ตอบของปัญหาหรือ สถานการณน์ ั้น ความคดิ รวบยอดของบทเรียน ฟงั ก์ชันกำ�ลงั สองที่อยู่ในรปู y = ax2 + bx + c เมอื่ a, b, c เป็นคา่ คงตัว และ a ≠ 0 มีกราฟเปน็ พาราโบลา เราสามารถใช้ฟังก์ชันกำ�ลังสองในการจำ�ลองปัญหาหรือสถานการณ์และใช้ความรู้เกี่ยวกับลักษณะของกราฟในการหาคำ�ตอบ ของปัญหา ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ทกั ษะและกระบวนการ 5.1 หัวข้อ กจิ กรรมทา้ ยบท/ ทางคณิตศาสตร์ แนะน�ำ ฟงั ก์ชนั 5.2 แบบฝกึ หดั ทา้ ยบท กราฟของ การแกป้ ัญหา ✤ ฟงั ก์ชันก�ำ ลงั สอง ✤ การสอื่ สารและการสอ่ื ความหมาย ✤ ทางคณิตศาสตร์ ✤ การเชือ่ มโยง การให้เหตุผล ✤ การคดิ สร้างสรรค์ ✤✤ ✤ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังก์ชนั กำ�ลังสอง 271 ความเชือ่ มโยงของความรู้ ความรพู ื้นฐาน ✤ การอ่านคู่อันดบั และการเขียนกราฟของคอู่ ันดับ เพื่อเป็นพน้ื ฐานในการอ่านและ เขยี นกราฟของพาราโบลา ✤ การเล่ือนขนานบนระนาบ เพื่อเป็นพื้นฐานในการทำ�ความเข้าใจการเลื่อนขนาน กราฟ ✤ การสะท้อนบนระนาบ เพื่อเป็นพ้ืนฐานในการลงจุดของคู่อันดับและพิจารณา แกนสมมาตรของกราฟ ✤ การแยกตวั ประกอบโดยท�ำ ใหเ้ ปน็ ก�ำ ลงั สองสมบรู ณ์ เพอ่ื เปน็ พน้ื ฐานในการจดั รปู สมการก�ำ ลังสองใหอ้ ยูใ่ นรปู y = a(x – h)2 + k เมื่อ h, k เปน็ คา่ คงตัว และ a≠0 ✤ การหาค�ำ ตอบของสมการก�ำ ลงั สองตวั แปรเดยี ว เพอื่ เปน็ พน้ื ฐานในการหาค�ำ ตอบ ของปญั หาหรอื สถานการณ์ ความรู ✤ ฟังกช์ นั คือ ความสมั พันธข์ องปริมาณ x และปรมิ าณ y โดยที่ ปรมิ าณ x ในบทเรยี น แต่ละค่า จะมีปริมาณ y ที่สอดคล้องกันเพียง 1 ค่า ในกรณีที่ f เป็น ความสัมพันธ์ท่ีเป็นฟังก์ชัน และค่าของ y ข้ึนอยู่กับค่าของ x จะเขียน แทนดว้ ย y = f(x) และเรียก f(x) วา่ ค่าของฟงั ก์ชัน f ที่ x ✤ ฟังก์ชันกำ�ลังสอง คือ ฟังก์ชันท่ีอยู่ในรูป y = ax2 + bx + c หรือ f(x) = ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c เป็นค่าคงตัว และ a ≠ 0 มกี ราฟเป็น พาราโบลา ✤ ลักษณะกราฟของฟังก์ชันกำ�ลังสองหรือสมการของพาราโบลา พิจารณาได้โดย จดั รปู สมการให้อยูใ่ นรูป y = a(x – h)2 + k เมอื่ h, k เปน็ คา่ คงตัว และ a ≠ 0 ซึ่งลกั ษณะทัว่ ไปของพาราโบลามดี ังน้ี ◆ พาราโบลาเป็นรปู สมมาตร มีเสน้ ตรง x = h เปน็ แกนสมมาตร ◆ พาราโบลาจะมีลักษณะคว�ำ่ หรือหงาย บานมากหรือบานน้อย ข้ึนอยู่กบั ค่า a ◆ จดุ ต�่ำ สดุ หรอื จดุ สงู สดุ ของกราฟอยทู่ จี่ ดุ (h, k) และคา่ ต�ำ่ สดุ หรอื คา่ สงู สดุ ของ y เทา่ กบั k ◆ กราฟทไ่ี ด้จะเป็นภาพทีไ่ ด้จากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ y = ax2 ความรูในอนาคต การใช้ความรู้เก่ียวกับกราฟของฟังก์ชันกำ�ลังสองในการเรียนเร่ืองพาราโบลา ในเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

272 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลงั สอง คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ล�ำ ดับการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ของบทเรยี น เช่ือมโยงความรู้เรือ่ งความสมั พนั ธ์และท�ำ กจิ กรรมเพอ่ื แนะนำ�ฟังก์ชัน อธบิ ายและยกตวั อย่างการใชส้ ัญลักษณ์และการหาค่าของฟงั กช์ ัน สนทนาเกี่ยวกับสิ่งแวดลอ้ มทม่ี ลี กั ษณะเป็นเส้นโคง้ ทางเรขาคณติ และเส้นทางการเคล่อื นท่ีของวัตถทุ ี่มลี กั ษณะเปน็ พาราโบลา รวมถงึ สถานการณ์ทส่ี ามารถแสดงความสมั พันธด์ ้วยพาราโบลา แนะน�ำ ฟังกช์ นั กำ�ลงั สอง และเช่อื มโยงตวั อย่างเพื่อแสดงกราฟของฟงั ก์ชันกำ�ลงั สองเปน็ พาราโบลา ศึกษากราฟของพาราโบลา โดยทำ�กิจกรรมส�ำ รวจลกั ษณะทว่ั ไปของกราฟของสมการทีอ่ ยใู่ นรปู y = ax2, y = ax2 + k, y = a(x – h)2, y = a(x – h)2 + k เม่ือ a, h และ k เปน็ คา่ คงตวั และ a ≠ 0 อธบิ ายการจดั รูปสมการ y = ax2 + bx + c ให้อยู่ในรูป y = a(x – h)2 + k เม่ือ a, b, c, h และ k เปน็ ค่าคงตวั และ a ≠ 0 แกโ้ จทย์ปัญหาโดยเขยี นฟังกช์ นั กำ�ลังสองหรอื สมการของพาราโบลาแทนปัญหา แปลความหมายจาก ลกั ษณะท่วั ไปของสมการของพาราโบลาหรอื กราฟของพาราโบลา เพ่ือหาคำ�ตอบของปญั หา สรุปบทเรียนเร่ืองกราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลงั สอง ฝึกแก้ปญั หาโดยท�ำ กิจกรรมท้ายบทและแบบฝกึ หัดทา้ ยบท สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังกช์ นั กำ�ลงั สอง 273 5.1 แนะน�ำ ฟังก์ชนั (2 ชัว่ โมง) จุดประสงค์ นักเรียนสามารถ 1. อธิบายความหมายของฟงั ก์ชัน 2. หาคา่ ของฟงั กช์ นั f ที่ x หรอื f(x) เมอื่ กำ�หนดคา่ x มาให้ ความเข้าใจท่คี ลาดเคล่ือน นกั เรยี นอาจเขา้ ใจคลาดเคลอ่ื นวา่ ความสมั พนั ธท์ กุ ความสมั พนั ธเ์ ปน็ ฟงั กช์ นั แตใ่ นความเปน็ จรงิ แลว้ มบี างความสมั พนั ธ์ ทไ่ี มเ่ ป็นฟังกช์ นั เชน่ y2 = x ที่ x = 9 จะได้ y สองค่า คอื -3 และ 3 สือ่ ทแ่ี นะนำ�ใหใ้ ชใ้ นข้อเสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้ อุปกรณท์ ่ใี ช้ในกิจกรรมเสนอแนะ 5.1 : ฟังกช์ นั ปรศิ นา ข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ ในหัวข้อนี้จะแนะนำ�ให้นักเรียนได้รู้จักคำ�ว่า “ฟังก์ชัน” โดยขยายความคิดจากความสัมพันธ์ที่นักเรียนได้เรียนมาแล้ว เพ่ือเป็นความรู้พื้นฐานในการเรียนเร่ืองฟังก์ชันในระดับที่สูงขึ้น มุ่งให้นักเรียนได้รู้จักฟังก์ชันและนำ�ไปใช้ในการสื่อสารและ สอ่ื ความหมาย แตไ่ มไ่ ดเ้ นน้ ใหน้ กั เรยี นบอกไดว้ า่ ความสมั พนั ธท์ ก่ี �ำ หนดใหเ้ ปน็ ฟงั กช์ นั หรอื ไม่ แนวทางการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ อาจท�ำ ได้ดังน้ี 1. ครสู นทนากบั นกั เรยี นเพอ่ื ทบทวนความสมั พนั ธข์ องปรมิ าณสองปรมิ าณ โดยใหน้ กั เรยี นยกตวั อยา่ งความสมั พนั ธ์ จากสถานการณ์ในชีวิตประจำ�วัน จากนั้น ครูยกตัวอย่างสถานการณ์ชมธารซื้อส้มสายนำ้�ผ้ึง ในหนังสือเรียน หนา้ 159 เพ่ือทบทวนว่าความสัมพนั ธข์ องปรมิ าณสองปริมาณสามารถแสดงไดใ้ นรูปขอ้ ความ ตาราง แผนภาพ ค่อู นั ดับ กราฟ หรอื สมการ 2. จากสถานการณ์ชมธารซื้อส้มสายนำ้�ผึ้ง ครูให้นักเรียนสังเกตว่า ราคาของส้มสายนำ้�ผ้ึงข้ึนอยู่กับนำ้�หนักของส้ม โดยน�ำ้ หนกั ของสม้ 1 คา่ จะไดร้ าคา 1 คา่ เพอื่ น�ำ ไปสกู่ ารแนะน�ำ วา่ ความสมั พนั ธใ์ นลกั ษณะน้ี ในทางคณติ ศาสตร์ เรียกว่า “ฟังก์ชัน” และเพ่ือให้เข้าใจฟังก์ชันมากข้ึน ครูควรให้นักเรียนทำ� “กิจกรรม : ทำ�ความรู้จักฟังก์ชัน” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 161–162 จากนัน้ ครูให้นักเรยี นสงั เกตวา่ คา่ x แตล่ ะค่าทใี่ สล่ งในเครอ่ื งจักรและผา่ นกระบวนการตามที่ก�ำ หนดไว้ จะไดผ้ ลลพั ธ์ y เพยี งค่าเดยี ว ดงั น้นั ความสัมพนั ธ์ของปริมาณ x และ y จากการทำ�กจิ กรรมข้างต้น จงึ เปน็ ฟงั ก์ชนั ดว้ ย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

274 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั ก์ชันกำ�ลงั สอง คู่มือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 3. ครูควรอธิบายความหมายของฟังก์ชนั แนะน�ำ สญั ลกั ษณ์ y = f(x) และสัญลกั ษณ์ f(x) รวมท้งั การหาคา่ ของ ฟงั กช์ นั โดยอาจใชต้ วั อยา่ งความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งความยาวของดา้ นและพน้ื ทขี่ องรปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ในหนงั สอื เรยี น หน้า 163 4. ครูอภิปรายกับนักเรียนเกี่ยวกับการพิจารณาความสัมพันธ์ท่ีเป็นฟังก์ชัน ซึ่งทำ�ได้โดยการแทนค่า x ลงใน ความสัมพันธ์ด้วยจำ�นวนจริงใด ๆ แล้วแต่ละค่าของ x จะได้ค่า y เพียง 1 ค่า หรือพิจารณาจากกราฟแสดง ความสัมพันธ์ ซึ่งหากค่า x แต่ละค่า ให้ค่า y ท่ีสอดคล้องกันเพียง 1 ค่า ความสัมพันธ์นั้นจะเป็นฟังก์ชัน ดงั ตวั อย่างที่ 1 ในหนังสือเรียน หน้า 163 และบทสนทนาของขา้ วหอมกับขา้ วกล้อง ในหนงั สือเรยี น หนา้ 164 5. ครูอาจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 5.1 : ฟงั ก์ชนั ปรศิ นา” ในคูม่ อื ครู หนา้ 278 ใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ สงั เกตความสัมพันธ์ ระหว่างค่า x และค่า f(x) เพื่อสร้างและทดสอบข้อความคาดการณ์ว่าฟังก์ชันปริศนาคืออะไร ซึ่งครูสามารถ ปรับเปลี่ยนบัตรฟงั ก์ชนั ใหม้ ีความยากง่ายเหมาะสมกบั ความสามารถของนักเรียนได้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั ก�ำ ลงั สอง 275 กจิ กรรม : ทำ�ความรู้จกั ฟงั กช์ ัน กจิ กรรมน้ี เป็นกิจกรรมทเ่ี น้นใหน้ กั เรียนรูจ้ กั และเข้าใจความหมายของฟงั ก์ชนั โดยค�ำ ถามสว่ นใหญ่ไมไ่ ดม้ งุ่ ให้นกั เรยี น ค�ำ นวณ แต่ต้องการฝกึ ให้สงั เกตวา่ เมอ่ื เราแทนค่า x แตล่ ะคา่ ลงในฟงั ก์ชัน แล้วจะไดผ้ ลลพั ธ์ y ออกมาเพียง 1 ค่า เพื่อ น�ำ ไปสู่ความหมายของฟังก์ชัน นอกจากน้ี กิจกรรมน้ียังชว่ ยพฒั นาความสามารถในการนำ�เสนอแนวคดิ และการสอ่ื ความหมาย ทางคณติ ศาสตร์ โดยมีขน้ั ตอนการด�ำ เนนิ กิจกรรม ดงั นี้ สื่อ/อปุ กรณ์ - ขน้ั ตอนการดำ�เนินกิจกรรม 1. ครูให้นักเรียนสังเกตการทำ�งานของเคร่ืองจักรชนิดหนึ่ง ซ่ึงเรียกว่า เคร่ืองจักรฟังก์ชัน ในกิจกรรม ข้อ 1 จากนั้น ครสู ่มุ นกั เรยี นใหอ้ ธิบายหลกั การท�ำ งานของเคร่ืองจกั รฟังกช์ ันแตล่ ะเคร่ือง 2. ครใู หน้ กั เรยี นท�ำ กจิ กรรมในขอ้ 2 โดยใหน้ กั เรยี นใสค่ า่ x ตามทก่ี �ำ หนดใหจ้ ากตาราง แลว้ เตมิ ผลลพั ธ์ y ลงในตาราง ให้ถกู ตอ้ ง พรอ้ มทงั้ เขียนความสัมพนั ธ์ระหวา่ งค่า x และ y ในรปู สมการ จากนั้นครสู มุ่ นกั เรยี นให้น�ำ เสนอค�ำ ตอบ ท่ไี ด้ และให้เพือ่ น ๆ ช่วยกันพิจารณาความถูกตอ้ ง 3. ครอู าจใชค้ �ำ ถามใหน้ กั เรยี นใสค่ า่ x เพมิ่ เตมิ จากทก่ี �ำ หนดใหใ้ นตาราง อาจจะเปน็ เศษสว่ นหรอื ทศนยิ ม เพอื่ ใหน้ กั เรยี น เหน็ ตวั อยา่ งและคำ�ตอบเพม่ิ ข้ึน จากนน้ั ครแู ละนักเรยี นช่วยกนั สรปุ ผลจากการท�ำ กิจกรรมว่า คา่ x แต่ละค่าทใ่ี ส่ ลงในเครอื่ งจกั รและผา่ นกระบวนการตามท่กี �ำ หนดไว้ จะได้ผลลัพธ์ y เพยี งค่าเดยี ว ดังนั้น ความสัมพันธข์ อง ปริมาณ x และ y จากการทำ�กิจกรรมข้างตน้ จึงเป็นฟงั ก์ชันดว้ ย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

276 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั ก์ชันก�ำ ลงั สอง คมู่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยกจิ กรรม : ทำ�ความรู้จักฟังกช์ ัน 2. 1) xy x -8 -4 -2 -1 ÷2 00 63 y 10 5 x 2–x ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งคา่ x และ y ของเครื่องจกั รฟังกช์ ันนี้ สามารถเขยี นใหอ้ ยูใ่ นรูปสมการ ได้เปน็ y = –2x 2) x xy คูณด้วย y -6 0 0.5 -3 1.5 03 จากนน้ั 24 บวกดว้ ย 5 5.5 x 0.5x + 3 3 ความสมั พันธ์ระหว่างค่า x และ y ของเครอ่ื งจกั รฟังกช์ ันนี้ สามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นรปู สมการ ได้เปน็ y = 0.5x + 3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟังก์ชันกำ�ลังสอง 277 3) xy x -2 4 -1 1 ยกก�ำ ลงั y 00 2 11 24 x x2 ความสัมพันธ์ระหว่างค่า x และ y ของเครื่องจกั รฟงั กช์ นั น้ี สามารถเขียนให้อยู่ในรปู สมการ ไดเ้ ป็น y = x2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

278 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชนั กำ�ลงั สอง คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 กจิ กรรมเสนอแนะ 5.1 : ฟังกช์ นั ปริศนา กจิ กรรมนี้ เปน็ กจิ กรรมทเ่ี ปดิ โอกาสใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ สงั เกตความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งคา่ x และคา่ f(x) เพอ่ื สรา้ งและทดสอบ ขอ้ ความคาดการณว์ า่ ฟังก์ชันปริศนาคืออะไร โดยมสี ื่อ/อุปกรณ์ และขน้ั ตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม ดงั นี้ ส่ือ/อุปกรณ์ 1. บตั รฟังกช์ นั ปริศนา 14 ใบ/ชุด 2. ตารางบนั ทึกคะแนน ขั้นตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม 1. ครแู บ่งนกั เรียนเปน็ กลุ่ม กลุม่ ละ 4–5 คน 2. ครูแจกบตั รฟงั ก์ชนั ปรศิ นา 1 ชดุ ให้นักเรียนแต่ละกลมุ่ แล้วใหน้ กั เรยี นเลม่ เกมตามกติกาต่อไปน้ี 1) ในแตล่ ะรอบ จะมีนกั เรยี น 1 คน เปน็ เจ้าของปรศิ นา และนักเรยี นคนอื่น ๆ เปน็ นักพยากรณ์ และจะผลดั กัน เปน็ เจ้าของปริศนาในรอบถดั ๆ ไป 2) ใหเ้ จา้ ของปรศิ นาหยบิ บตั รฟงั กช์ นั ปรศิ นาจากกองขน้ึ มา 1 ใบ โดยไมใ่ หน้ กั พยากรณเ์ หน็ ฟงั กช์ นั ปรศิ นาบนบตั ร จากนน้ั ใหน้ กั พยากรณค์ นแรกบอกคา่ x ทต่ี อ้ งการ แลว้ เจา้ ของปรศิ นาตอ้ งบอกคา่ f(x) ทส่ี อดคลอ้ งกบั คา่ x นน้ั นักพยากรณค์ นถัดไปบอกค่า x ท่ีตอ้ งการ แล้วเจ้าของปรศิ นาบอกคา่ f(x) ท่ีสอดคล้องกับค่า x นั้นเช่นเดมิ ทำ�เชน่ นี้จนกว่านกั พยากรณ์จะทายฟงั ก์ชนั ปริศนาได้ โดยบอกคา่ x และคา่ f(x) ไดไ้ มเ่ กิน 10 คร้งั 3) การคดิ คะแนนจะคดิ คะแนนรวมจาก 2 สว่ น คอื คะแนนทไ่ี ดร้ วมกบั คะแนนพเิ ศษทไ่ี ดร้ บั จากจ�ำ นวนครงั้ ทเี่ หลอื ในการทาย เช่น การคดิ คะแนน เมือ่ นักพยากรณ์ทายฟงั ก์ชนั ปรศิ นา หลงั จากบอกคา่ x ไปแลว้ 3 ครั้ง ◆ ถา้ นกั พยากรณท์ ายฟงั กช์ นั ปรศิ นาถกู นกั พยากรณจ์ ะไดค้ ะแนนคนละ 6 คะแนน รวมกบั คะแนนพเิ ศษ เท่ากับจำ�นวนครง้ั ทีเ่ หลอื ในการทาย นั่นกค็ ือ 7 คร้ัง ดงั นัน้ นักพยากรณแ์ ต่ละคนจะได้คะแนนในรอบการเลน่ นีเ้ ป็น 6 + 7 = 13 คะแนน ◆ ถ้านักพยากรณ์ทายผิด จะต้องเสียคนละ 4 คะแนน และเจ้าของปริศนาจะได้คะแนน 4 คะแนน รวมกบั คะแนนพิเศษเท่ากับจ�ำ นวนคร้ังทเ่ี หลือในการทาย นน่ั กค็ ือ 7 คร้งั ดังนน้ั เจา้ ของปรศิ นาจะไดค้ ะแนนในรอบการเลน่ นเ้ี ป็น 4 + 7 = 11 คะแนน 4) เมอื่ เกมจบ ผู้เล่นทม่ี ีคะแนนรวมสูงสดุ จะเป็นผู้ชนะ 3. ครแู ละนักเรียนร่วมกันอภิปรายถงึ แนวคดิ ในการหาฟงั กช์ ันปรศิ นา เช่น ✤ การแทนค่า x เปน็ จ�ำ นวนเตม็ ที่เรยี งถดั กนั เชน่ -2, -1, 0, 1 ✤ การจดบันทึกคา่ x และค่า y เพ่อื หาแบบรูปของค�ำ ตอบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ นั กำ�ลงั สอง 279 บตั รฟังกช์ ันปริศนา f(x) = x2 – 1 f(x) = 2x + –21 f(x) = x2 – x f(x) = 3(x + 5) f(x) = 1 – x2 f(x) = 5–3x สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

280 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชันกำ�ลังสอง คมู่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 f(x) = (x – 3)2 f(x) = 8 – 2x f(x) = 4–x f(x) = 3x + 5 f(x) = (1 – x)2 f(x) = 4 – x2 ( )f(x) = –2x 2 f(x) = x+3 10 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟังก์ชันก�ำ ลงั สอง 281 ตารางบันทกึ คะแนน คะแนนในรอบท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... รวม ผู้เลน่ 1     ผเู้ ล่น 2   ผเู้ ลน่ 3   ผเู้ ลน่ 4 ผเู้ ล่น 5    แสดงผเู้ ล่นที่เป็นเจ้าของปริศนาในการเล่นแต่ละรอบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

282 บทที่ 5 | กราฟของฟังก์ชนั ก�ำ ลงั สอง คู่มือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยแบบฝึกหัด แบบฝึกหดั 5.1 1. f(3) = 32 + 2(3) = 15 2. f(-2) = 3(-2)3 – 2(-2)2 + 4(-2) – 1 = -41 ( ) ( ) 3. g –21 = 2 –21 – 4 2 = 24–21 4. g(-5) = [1 – 2(-5)]3 – (-5) = 1,336 5. h(-1) = √(-1) + 5 = 2 6. h(a) = (a – 3)2 – a(a) = -6a + 9 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 5 | กราฟของฟังกช์ ันกำ�ลงั สอง 283 5.2 กราฟของฟงั ก์ชันก�ำ ลังสอง (8 ชั่วโมง) จุดประสงค์ นกั เรียนสามารถ 1. อธบิ ายความหมายของฟังกช์ นั กำ�ลังสอง 2. ระบุได้ว่าสมการใดเป็นสมการของพาราโบลา 3. อธิบายลักษณะของพาราโบลาจากสมการ และเขยี นกราฟ 4. แก้ปัญหาโดยใช้ความรูเ้ รอ่ื งกราฟของฟังก์ชนั กำ�ลังสอง ความเข้าใจทคี่ ลาดเคล่ือน นกั เรยี นอาจเขา้ ใจคลาดเคลอ่ื นวา่ จดุ สงู สดุ ของกราฟมคี วามหมายเหมอื นกบั คา่ สงู สดุ หรอื จดุ ต�ำ่ สดุ ของกราฟ มคี วามหมาย เหมือนกบั คา่ ตำ่�สุด เชน่ เข้าใจว่ากราฟของ y = x2 + 2 มีค่าต่ำ�สุดของกราฟเป็น (0, 2) แตใ่ นความเป็นจรงิ จุดสงู สดุ หรือจุดตำ่�สุดเป็นจุดในระนาบที่แสดงตำ�แหน่งสูงท่ีสุดหรือตำ่�ท่ีสุดของกราฟนั้น ส่วนค่าสูงสุดหรือค่าตำ่�สุด เป็นค่าของ y ที่จดุ สงู สดุ หรือจดุ ต่ำ�สดุ เชน่ ✤ กราฟของ y = x2 + 2 มีจุดต�่ำ สุดของกราฟเปน็ (0, 2) และมคี ่าต�่ำ สุดของกราฟเปน็ 2 ✤ กราฟของ y = -x2 + 3 มีจดุ สูงสดุ ของกราฟเปน็ (0, 3) และมคี ่าสูงสุดของกราฟเปน็ 3 สือ่ ทแี่ นะน�ำ ใหใ้ ช้ในขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้ อปุ กรณ์ของกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 : ชปู า้ ยให้ค�ำ ตอบ ขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ ในหวั ขอ้ นเ้ี ปน็ เรอ่ื งเกย่ี วกบั กราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลงั สอง โดยเนน้ ใหน้ กั เรยี นไดร้ จู้ กั กราฟของสมการของพาราโบลา ศกึ ษา สำ�รวจ และสงั เกตลกั ษณะของกราฟของสมการ y = ax2, y = ax2 + k, y = a(x – h)2, y = a(x – h)2 + k และ y = ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c, h และ k เปน็ ค่าคงตวั และ a ≠ 0 เพอื่ สรา้ งข้อสรปุ เกยี่ วกบั ลกั ษณะของกราฟของสมการ แต่ละรปู แบบขา้ งตน้ ได้ แนวทางการจดั กิจกรรมการเรยี นรอู้ าจทำ�ไดด้ ังนี้ 1. ในการเช่อื มโยงสู่ฟังกช์ นั กำ�ลังสอง ครูอาจสนทนาใหน้ ักเรียนสงั เกตสิ่งแวดลอ้ มและสิง่ ก่อสร้างรอบตวั ท่ีมีลักษณะ เปน็ เสน้ โคง้ ทางเรขาคณติ เช่น สายเคเบิลที่ขงึ โยงสะพานแขวน สายนำ�้ พทุ ่พี ุ่งขน้ึ ในชว่ งเวลาต่าง ๆ เส้นทาง การเคลอ่ื นท่ีของวตั ถทุ ีโ่ ยนไปในอากาศ เพอ่ื แนะน�ำ ลักษณะของกราฟพาราโบลา ครูยกตัวอย่างสมการท่ีมีกราฟเป็นพาราโบลา และชี้ให้นักเรียนเห็นว่า สมการดังกล่าวเป็นฟังก์ชันท่ีอยู่ ในรปู y = ax2 + bx + c หรอื f(x) = ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c เปน็ คา่ คงตวั และ a ≠ 0 ซง่ึ เรยี กวา่ ฟงั กช์ ันก�ำ ลังสอง และสมการของฟังกช์ ันกำ�ลังสองนเี้ รยี กว่า สมการของพาราโบลา สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

284 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลงั สอง คูม่ ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 2. ในการสอนเกี่ยวกับลักษณะของกราฟ ครูอาจอภิปรายร่วมกับนักเรียนเก่ียวกับการพิจารณาลักษณะของกราฟ ซง่ึ จะดจู าก กราฟคว�ำ่ หรอื หงาย กราฟบานมากหรอื นอ้ ย จดุ ต�ำ่ สดุ หรอื จดุ สงู สดุ คา่ ต�ำ่ สดุ หรอื คา่ สงู สดุ แกนสมมาตร การเลอื่ นขนานกราฟ ครใู หน้ กั เรยี นส�ำ รวจลกั ษณะของกราฟของพาราโบลาโดยใหน้ กั เรยี นท�ำ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจ กราฟของ y = ax2 เมอื่ a ≠ 0” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 169–174 เพอ่ื สรุปว่า กราฟของพาราโบลาจะเป็น เส้นโค้งเรียบ เมอื่ a > 0 กราฟเปน็ พาราโบลาหงาย มจี ดุ ตำ�่ สุดอยูท่ ่ี (0, 0) มีค่าต่ำ�สดุ เปน็ 0 และเมอ่ื a < 0 กราฟเป็นพาราโบลาควำ่� มีจดุ สูงสดุ อยทู่ ่ี (0, 0) มีค่าสูงสดุ เป็น 0 ซ่ึงกราฟจะบานมากหรอื นอ้ ยขน้ึ อยกู่ ับค่า a และมีแกน Y เป็นแกนสมมาตร ในท�ำ นองเดยี วกนั ครูให้นักเรียนท�ำ กจิ กรรมส�ำ รวจลกั ษณะกราฟที่อย่ใู นรูปอื่น ดงั ต่อไปนี้ ✤ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจกราฟของ y = ax2 + k เมือ่ a ≠ 0” ในหนงั สือเรยี น หนา้ 179–182 ✤ “กจิ กรรม : สำ�รวจกราฟของ y = a(x – h)2 เมือ่ a ≠ 0” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 186–188 ✤ “กิจกรรม : ส�ำ รวจกราฟของ y = a(x – h)2 + k เมอื่ a ≠ 0” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 192–194 จากกิจกรรมสำ�รวจกราฟท้ังส่ีกิจกรรม ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปลักษณะทั่วไปของพาราโบลาที่อยู่ในรูป y = a(x – h)2 + k เม่อื a ≠ 0 ได้ดังน้ี 1) กราฟพาราโบลาเปน็ รูปสมมาตร มเี ส้นตรง x = h เป็นแกนสมมาตร ✤ ถา้ a > 0 กราฟเปน็ พาราโบลาหงาย มีจุดตำ�่ สดุ ที่จดุ (h, k) ค่าต�่ำ สุด เทา่ กบั k ✤ ถ้า a < 0 กราฟเป็นพาราโบลาคว�่ำ มีจุดสูงสุดทจ่ี ุด (h, k) คา่ สูงสดุ เท่ากับ k 2) กราฟจะบานน้อยหรือมากขึ้นอยู่กับค่า a กลา่ วคอื ถา้ |a| มีคา่ น้อยลงเรอื่ ย ๆ กราฟจะบานมากข้ึนเรือ่ ย ๆ ในทางกลับกนั ถา้ |a| มคี ่ามากขึ้นเร่ือย ๆ กราฟจะบานน้อยลงเรอ่ื ย ๆ 3) กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เปน็ ภาพทีไ่ ดจ้ ากการเลอ่ื นขนานกราฟของสมการ y = ax2 ครูอาจให้นักเรียนสังเกตลักษณะของกราฟเพ่ิมเติมโดยดาวน์โหลดไฟล์ GSP จากมุมเทคโนโลยี ท้ายแต่ละ กิจกรรม 3. ครูควรอธิบายและทำ�ความเข้าใจกับนกั เรยี น เพือ่ ชี้ให้เห็นว่า เม่อื ก�ำ หนดสมการท่อี ยู่ในรปู y = ax2 + bx + c เมือ่ a ≠ 0 มาให้ นกั เรยี นสามารถวเิ คราะหล์ กั ษณะของกราฟท่ีก�ำ หนดให้ โดยท�ำ บางส่วนของสมการใหเ้ ป็น กำ�ลงั สองสมบูรณ์ เพอื่ เขียนสมการให้อยูใ่ นรปู y = a(x – h)2 + k เมือ่ a ≠ 0 แล้วใช้ข้อสรปุ เกีย่ วกับลักษณะ ทวั่ ไปของกราฟเพอ่ื บอกลกั ษณะของกราฟของสมการทก่ี �ำ หนด 4. ครูอาจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ : ชูป้ายใหค้ �ำ ตอบ” ในคูม่ ือครู หน้า 296 ให้นักเรียนได้ฝกึ พจิ ารณาสมการของ พาราโบลาเพื่อบอกลักษณะของกราฟของพาราโบลา หรือฝึกพิจารณากราฟของพาราโบลาเพื่อบอกสมการของ พาราโบลา สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟังกช์ นั ก�ำ ลงั สอง 285 5. ครคู วรยกตัวอยา่ งโจทย์ปัญหาทใ่ี ช้ความรู้เกี่ยวกับกราฟของฟังกช์ นั กำ�ลงั สอง เพ่ือให้นักเรยี นเหน็ ถึงการเชื่อมโยง และการประยกุ ตใ์ ช้ความรู้ในการแกป้ ัญหา เช่น ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งสปั ดาห์ที่มลี น้ิ จ่วี างขาย (x) กับราคาลิน้ จ่ี เป็นบาทต่อกิโลกรมั (y) ในปหี น่งึ ในหนงั สือเรียน หนา้ 167 โดยครูแนะน�ำ เพ่มิ เติมวา่ เราสามารถหาไดว้ า่ สปั ดาหท์ มี่ ลี น้ิ จวี่ างขายสปั ดาหใ์ ดมรี าคาลนิ้ จถ่ี กู ทส่ี ดุ ไดจ้ ากการจดั รปู สมการทแี่ สดงความสมั พนั ธน์ น้ั ใหอ้ ยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k เมอื่ a ≠ 0 แทนการแทนคา่ ในการหาค�ำ ตอบ 6. ครูอาจใช้ชวนคดิ 5.9 ในหนงั สอื เรยี น หน้า 206 ซง่ึ มเี จตนาใหน้ กั เรียนได้ประยุกตใ์ ชค้ วามรูเ้ กีย่ วกับกราฟของ ฟงั กช์ นั ก�ำ ลงั สองในการหาสมการของพาราโบลาทสี่ อดคลอ้ งกบั สะพานทก่ี �ำ หนดให้ โดยครอู าจแนะน�ำ ใหน้ กั เรยี น ใช้ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad ในการสำ�รวจ ซึ่งสมการมีได้หลากหลาย ครูจึงควรพิจารณา ความสมเหตุสมผลของวธิ ีการหาค�ำ ตอบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

286 บทที่ 5 | กราฟของฟังก์ชนั ก�ำ ลงั สอง คมู่ อื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 กิจกรรม : ส�ำ รวจกราฟของ y = ax2 เม่อื a ≠ 0 กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมที่เน้นให้นักเรียนสำ�รวจ และสังเกตลักษณะของกราฟของสมการ y = ax2 เม่ือ a ≠ 0 โดยเร่ิมศกึ ษาการเขียนกราฟของพาราโบลาท่ีกำ�หนดดว้ ยสมการ y = ax2 เมอื่ a = 1 เพือ่ ใหน้ กั เรยี นไดส้ งั เกตว่า กราฟมี ลักษณะเป็นเส้นโค้งเรียบ และรู้จักคำ�ต่าง ๆ ที่ใช้ในการอธิบายลักษณะของกราฟ นอกจากน้ี นักเรียนจะต้องสร้างข้อสรุป เกีย่ วกบั ลักษณะของกราฟท่กี �ำ หนดดว้ ยสมการ y = ax2 เมื่อ a < 0 และ a > 0 ได้ โดยมีขน้ั ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม ดังน้ี สือ่ /อปุ กรณ์ - ขั้นตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม 1. ครใู หน้ กั เรยี นศกึ ษาการเขยี นกราฟของพาราโบลาทก่ี �ำ หนดดว้ ยสมการ y = ax2 เมอ่ื a = 1 ในกจิ กรรม ตอนท่ี 1 ขอ้ 1 โดยครเู น้นย�้ำ ว่า จดุ ทงั้ หมดท่ีเกดิ จากคอู่ ันดบั (x, y) ที่สอดคลอ้ งกบั สมการ จะเรยี งกนั เป็นเส้นโค้งเรยี บ ไม่ใชเ่ ป็นสว่ นของเส้นตรงทล่ี ากเชอื่ มตอ่ จดุ แล้วใหน้ กั เรียนตอบคำ�ถามในข้อ 2 เพื่อสรปุ ลกั ษณะของกราฟเกี่ยวกบั แกนสมมาตร ค่าตำ่�สุด และค่าสูงสุด และอาจขยายไปถึงจุดต่ำ�สุดและจุดสูงสุดเพื่อช้ีให้นักเรียนเห็นความแตกต่าง ระหวา่ งคา่ ต�่ำ สดุ กับจดุ ต�ำ่ สุดของกราฟ และค่าสูงสุดกบั จดุ สงู สุดของกราฟ 2. ครูให้นกั เรยี นตอบค�ำ ถามในกิจกรรม ตอนที่ 2 และตอนท่ี 3 แลว้ อภิปรายร่วมกนั เพือ่ สรุปลกั ษณะของกราฟของ สมการ y = ax2 เม่ือ a > 0 และ a < 0 3. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปลกั ษณะของกราฟของพาราโบลาทก่ี �ำ หนดดว้ ยสมการ y = ax2 เมอ่ื a ≠ 0 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟังกช์ นั กำ�ลงั สอง 287 เฉลยกิจกรรม : ส�ำ รวจกราฟของ y = ax2 เมอ่ื a ≠ 0 ตอนท่ี 1 กราฟของ y = ax2 เมอ่ื a = 1 2. 1) พาราโบลาหงาย 2) 9 3) 9 4) -2 และ 2 5) เปน็ รูปสมมาตร โดยมีเส้นตรง x = 0 หรือแกน Y เป็นแกนสมมาตร 6) ค่า y เพิม่ ขนึ้ เร่ือย ๆ 7) 0 8) ค่า y เพ่ิมขนึ้ เรอื่ ย ๆ 9) ค่าตำ�่ สุดของ y เปน็ 0 ไดม้ าจากค่า x เปน็ 0 10) ไม่มี เพราะคา่ y เพ่ิมขึน้ เรือ่ ย ๆ ไม่มที ่ีส้ินสุด ตอนท่ี 2 กราฟของ y = ax2 เมื่อ a > 0 -1 0 12 3 0 28 1. 2 0 –21 2 18 –21 –29 x -3 -2 y = 2x2 y = x2 y = 2x2 18 8 y = –21 x2 –29 2 y = 21–x2 2. Y 18 16 14 12 10 8 6 4 2 -6 -4 -2 O 2 46 X -2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

288 บทท่ี 5 | กราฟของฟังก์ชันกำ�ลังสอง คมู่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 3. 1) เส้นตรง x = 0 หรือแกน Y 2) จุดตำ่�สุดของกราฟของสมการ y = 2x2 คอื (0, 0) และมีคา่ ต�ำ่ สดุ ของ y เป็น 0 จุดต่ำ�สุดของกราฟของสมการ y = x2 คอื (0, 0) และมคี า่ ต่�ำ สดุ ของ y เปน็ 0 จุดต่�ำ สุดของกราฟของสมการ y = –21x2 คือ (0, 0) และมคี ่าต�ำ่ สุดของ y เปน็ 0 3) คา่ a กล่าวคือ ถ้า a มคี ่านอ้ ย กราฟจะบานมาก แตถ่ ้า a มีค่ามาก กราฟจะบานน้อย ตอนที่ 3 กราฟของ y = ax2 เมอ่ื a < 0 1. x -3 -2 -1 0 1 2 3 y = -x2 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 y = -2x2 -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 y = -–21 x2 - 9–2 -2 - 1–2 0 - 1–2 -2 - 9–2 2. Y 2 246 X -6 -4 -2 O y = - 1 x² -2 2 -4 -6 y = - x² -8 y = -2x² -10 -12 -14 -16 -18 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ ันกำ�ลงั สอง 289 3. 1) พาราโบลาคว่ำ� 2) เปน็ รูปสมมาตร โดยมเี ส้นตรง x = 0 หรือแกน Y เป็นแกนสมมาตร 3) คา่ y ลดลงเรอ่ื ย ๆ 4) 0 5) ค่า y ลดลงเรอื่ ย ๆ 6) จดุ สงู สุดของกราฟของสมการ y = -x2 คอื (0, 0) และคา่ สงู สุดของ y เปน็ 0 จุดสูงสดุ ของกราฟของสมการ y = -2x2 คอื (0, 0) และค่าสูงสุดของ y เปน็ 0 จดุ สงู สุดของกราฟของสมการ y = - –21x2 คือ (0, 0) และค่าสงู สดุ ของ y เปน็ 0 7) ค่าสูงสดุ ของ y เป็น 0 ไดม้ าจากค่า x เปน็ 0 8) ไม่มี เพราะ ค่า y ลดลงเรอ่ื ย ๆ ไม่มีทสี่ ้นิ สดุ 9) คา่ a กลา่ วคือ ถา้ a มคี า่ มาก กราฟจะบานมาก แต่ถา้ a มคี ่านอ้ ย กราฟจะบานนอ้ ย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

290 บทท่ี 5 | กราฟของฟังกช์ ันก�ำ ลงั สอง ค่มู ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 กิจกรรม : ส�ำ รวจกราฟของ y = ax2 + k เมอื่ a ≠ 0 กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมท่ีเน้นให้นักเรียนสำ�รวจ และสังเกตลักษณะของกราฟของสมการ y = ax2 + k เม่ือ a ≠ 0 แล้วสร้างข้อสรุปเกย่ี วกบั ลักษณะของกราฟของพาราโบลาทีก่ ำ�หนดด้วยสมการ y = ax2 + k เมอ่ื k < 0 และ k > 0 ได้ โดยมีสอื่ /อุปกรณ์ และขัน้ ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม ดงั นี้ สือ่ /อปุ กรณ์ กระดาษลอกลาย ข้นั ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม 1. ครูใหน้ ักเรยี นศกึ ษา ส�ำ รวจ และสังเกตกราฟของพาราโบลาท่กี �ำ หนดดว้ ยสมการ y = ax2 + k เมอื่ a > 0 ในกจิ กรรม ตอนที่ 1 พรอ้ มทงั้ ตอบค�ำ ถาม โดยครเู นน้ ย�้ำ ใหน้ กั เรยี นสงั เกตความแตกตา่ งของกราฟทเ่ี กดิ ขน้ึ จากคา่ k เมอ่ื k > 0 หรอื k < 0 2. ครูให้นกั เรียนศึกษา ส�ำ รวจ และสังเกตกราฟของพาราโบลาทกี่ ำ�หนดดว้ ยสมการ y = ax2 + k เม่ือ a < 0 ในกิจกรรม ตอนท่ี 2 พร้อมท้ังตอบคำ�ถาม โดยครูเน้นยำ้�ให้นักเรียนสังเกตความแตกต่างของกราฟที่เกิดขึ้นจาก ค่า k เม่ือ k > 0 หรือ k < 0 3. ครแู ละนักเรียนร่วมกนั สรุปลกั ษณะของกราฟของพาราโบลาทกี่ ำ�หนดดว้ ยสมการ y = ax2 + k เม่ือ a ≠ 0 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 5 | กราฟของฟงั กช์ ันก�ำ ลังสอง 291 เฉลยกจิ กรรม : ส�ำ รวจกราฟของ y = ax2 + k เมอ่ื a ≠ 0 ตอนที่ 1 กราฟของ y = ax2 + k เมื่อ a > 0 2. 1) เท่ากันทกุ ประการ 2) เส้นตรง x = 0 หรือแกน Y 3) จดุ ต่ำ�สดุ ของกราฟของสมการ y = 2x2 คือ (0, 0) และคา่ ต�ำ่ สดุ ของ y เป็น 0 จุดต�่ำ สดุ ของกราฟของสมการ y = 2x2 + 2 คือ (0, 2) และค่าต่ำ�สดุ ของ y เปน็ 2 จดุ ต�ำ่ สดุ ของกราฟของสมการ y = 2x2 – 3 คือ (0, -3) และคา่ ต่�ำ สดุ ของ y เป็น -3 4) จดุ ต่ำ�สดุ ของกราฟของสมการ y = 2x2 + 2 อยู่เหนือแกน X และ จุดต�ำ่ สุดของกราฟของสมการ y = 2x2 – 3 อยู่ใต้แกน X 5) กราฟของสมการ y = 2x2 + 2 เปน็ ภาพท่ไี ดจ้ ากการเลอ่ื นขนานกราฟของสมการ y = 2x2 ตามแนวแกน Y ขน้ึ ไป เปน็ ระยะ 2 หน่วย และ กราฟของสมการ y = 2x2 – 3 เปน็ ภาพที่ได้จากการเลอ่ื นขนานกราฟของสมการ y = 2x2 ตามแนวแกน Y ลงมา เปน็ ระยะ 3 หน่วย ตอนที่ 2 กราฟของ y = ax2 + k เม่ือ a < 0 2. 1) เท่ากนั ทุกประการ 2) เสน้ ตรง x = 0 หรอื แกน Y 3) จดุ สงู สุดของกราฟของสมการ y = -2x2 คือ (0, 0) และค่าสงู สดุ ของ y เปน็ 0 จุดสูงสดุ ของกราฟของสมการ y = -2x2 + 2 คือ (0, 2) และค่าสูงสดุ ของ y เป็น 2 จดุ สงู สดุ ของกราฟของสมการ y = -2x2 – 3 คอื (0, -3) และคา่ สงู สดุ ของ y เป็น -3 4) จดุ สงู สุดของกราฟของสมการ y = -2x2 + 2 อยู่เหนือแกน X และ จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 – 3 อย่ใู ตแ้ กน X 5) กราฟของสมการ y = -2x2 + 2 เปน็ ภาพทไ่ี ดจ้ ากการเล่ือนขนานกราฟของสมการ y = -2x2 ตามแนว แกน Y ขนึ้ ไป เป็นระยะ 2 หนว่ ย และ กราฟของสมการ y = -2x2 – 3 เป็นภาพทีไ่ ดจ้ ากการเลอื่ นขนานกราฟของสมการ y = -2x2 ตามแนว แกน Y ลงมา เปน็ ระยะ 3 หนว่ ย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

292 บทที่ 5 | กราฟของฟงั ก์ชันกำ�ลังสอง คมู่ ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 กจิ กรรม : ส�ำ รวจกราฟของ y = a(x – h)2 เมอ่ื a ≠ 0 กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมที่เน้นให้นักเรียนพิจารณาและสังเกตลักษณะของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 เม่อื a > 0 แลว้ ใชก้ ารนกึ ภาพในการอธิบายลักษณะของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 เมื่อ a < 0 ซึ่งนักเรียนจะต้อง สร้างขอ้ สรปุ เก่ียวกับลักษณะของกราฟของพาราโบลาทก่ี ำ�หนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 เมอื่ h < 0 และ h > 0 ได้ โดยมีสอ่ื /อุปกรณ์ และขนั้ ตอนการด�ำ เนนิ กิจกรรม ดงั นี้ สื่อ/อปุ กรณ์ กระดาษลอกลาย ข้ันตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม 1. ครูให้นกั เรียนพจิ ารณาและสงั เกตกราฟของพาราโบลาทีก่ �ำ หนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 เมอื่ a > 0 พร้อมท้ัง ตอบค�ำ ถามทก่ี �ำ หนดในกจิ กรรม ขอ้ 1) ถึง ข้อ 5) โดยครูเน้นย�ำ้ ใหน้ ักเรยี นสังเกตความแตกต่างของกราฟท่เี กิดขึน้ จากคา่ h เมือ่ h > 0 หรอื h < 0 2. ครูให้นักเรียนตอบคำ�ถามเก่ียวกับกราฟของพาราโบลาท่ีกำ�หนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เม่ือ a < 0 ในกิจกรรม ข้อ 6) และข้อ 7) โดยใช้การนึกภาพในการอธิบายลักษณะของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 เมอ่ื a < 0 3. ครูและนักเรยี นร่วมกนั สรปุ ลกั ษณะของกราฟของพาราโบลาทีก่ �ำ หนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เมอื่ a ≠ 0 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟังกช์ นั ก�ำ ลงั สอง 293 เฉลยกจิ กรรม : สำ�รวจกราฟของ y = a(x – h)2 เม่อื a ≠ 0 2. 1) เท่ากนั ทกุ ประการ มีเส้นตรง x = 0 หรอื แกน Y เปน็ แกนสมมาตร 2) กราฟของสมการ y = 2x2 กราฟของสมการ y = 2(x – 3)2 มเี ส้นตรง x = 3 เปน็ แกนสมมาตร กราฟของสมการ y = 2(x + 4)2 มีเสน้ ตรง x = -4 เป็นแกนสมมาตร 3) จดุ ต่�ำ สุดของกราฟของสมการ y = 2x2 คือ (0, 0) และคา่ ต�ำ่ สดุ ของ y เป็น 0 จดุ ต่ำ�สดุ ของกราฟของสมการ y = 2(x – 3)2 คือ (3, 0) และค่าต�ำ่ สุดของ y เป็น 0 จดุ ต�่ำ สดุ ของกราฟของสมการ y = 2(x + 4)2 คือ (-4, 0) และคา่ ต�่ำ สดุ ของ y เปน็ 0 4) จดุ ต�ำ่ สุดของกราฟของสมการ y = 2(x + 4)2 อย่ทู างซา้ ยของแกน Y และ จุดต่�ำ สุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 3)2 อยทู่ างขวาของแกน Y 5) กราฟของสมการ y = 2(x – 3)2 เป็นภาพทไ่ี ด้จากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ y = 2x2 ตามแนวแกน X ไปทางขวา เป็นระยะ 3 หนว่ ย และ กราฟของสมการ y = 2(x + 4)2 เปน็ ภาพทไี่ ดจ้ ากการเลอื่ นขนานกราฟของสมการ y = 2x2 ตามแนวแกน X ไปทางซา้ ย เป็นระยะ 4 หน่วย 6) จดุ สูงสดุ ของกราฟของสมการ y = -2x2 คอื (0, 0) และค่าสูงสดุ ของ y เปน็ 0 จดุ สงู สุดของกราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 คือ (3, 0) และคา่ สูงสดุ ของ y เป็น 0 จุดสงู สุดของกราฟของสมการ y = -2(x + 4)2 คอื (-4, 0) และค่าสูงสุดของ y เปน็ 0 7) กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 เปน็ ภาพทีไ่ ดจ้ ากการเลอ่ื นขนานกราฟของสมการ y = -2x2 ตามแนวแกน X ไปทางขวา เป็นระยะ 3 หน่วย และ กราฟของสมการ y = -2(x + 4)2 เป็นภาพท่ไี ดจ้ ากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ y = -2x2 ตามแนวแกน X ไปทางซา้ ย เป็นระยะ 4 หนว่ ย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

294 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลงั สอง คูม่ ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 กิจกรรม : สำ�รวจกราฟของ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมท่ีเน้นให้นักเรียนพิจารณาและสังเกตลักษณะของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เมอื่ a > 0 แล้วใชก้ ารนึกภาพในการอธิบายลกั ษณะของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เมือ่ a < 0 ซง่ึ นกั เรยี น จะตอ้ งสร้างข้อสรปุ เก่ยี วกับลกั ษณะของกราฟของพาราโบลาท่กี ำ�หนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k เม่ือ h < 0 , h > 0 , k < 0 และ k > 0 ได้ โดยมีส่ือ/อุปกรณ์ และขน้ั ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม ดังน้ี สือ่ /อปุ กรณ์ กระดาษลอกลาย ขนั้ ตอนการด�ำ เนินกิจกรรม 1. ครูให้นักเรียนพิจารณาและสังเกตกราฟของพาราโบลาที่กำ�หนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k เม่ือ a > 0 พร้อมท้ังตอบคำ�ถาม ข้อ 1) ถึง ข้อ 5) โดยครูเน้นย้ำ�ให้นักเรียนสังเกตความแตกต่างของกราฟท่ีเกิดขึ้น เม่อื ค่า k เปล่ยี นแปลงไป 2. ครูอาจตัง้ ค�ำ ถามให้นักเรยี นใช้การนึกภาพในการอธบิ ายลกั ษณะของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a > 0 และคา่ h เปลย่ี นแปลงไป 3. ครูให้นักเรียนตอบคำ�ถามเกี่ยวกับกราฟของพาราโบลาที่กำ�หนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a < 0 ในกิจกรรม ข้อ 6) และข้อ 7) โดยใช้การนึกภาพในการอธิบายลักษณะของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เม่อื a < 0 4. ครูอาจต้ังคำ�ถามให้นักเรียนใช้การนึกภาพในการอธิบายลักษณะของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เมือ่ a < 0 และค่า h เปลีย่ นแปลงไป 5. ครูให้นักเรียนตอบคำ�ถาม ขอ้ 8) และขอ้ 9) และร่วมกันสรุปลกั ษณะของกราฟของพาราโบลาที่กำ�หนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟังก์ชันกำ�ลังสอง 295 เฉลยกจิ กรรม : สำ�รวจกราฟของ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 2. 1) เทา่ กันทกุ ประการ 2) เสน้ ตรง x = 1 3) จดุ ต่ำ�สุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 คือ (1, 0) และค่าตำ�่ สดุ ของ y เปน็ 0 จุดต่�ำ สดุ ของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 + 2 คือ (1, 2) และค่าต�่ำ สดุ ของ y เปน็ 2 จดุ ตำ�่ สดุ ของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 – 3 คือ (1, -3) และค่าต่ำ�สุดของ y เป็น -3 4) จุดตำ�่ สุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 + 2 อยู่เหนอื แกน X และ จุดต�ำ่ สุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 – 3 อยใู่ ต้แกน X 5) กราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 + 2 เป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 ตามแนวแกน Y ขน้ึ ไป เปน็ ระยะ 2 หนว่ ย และ กราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 – 3 เป็นภาพท่ีได้จากการเล่ือนขนานกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 ตามแนวแกน Y ลงมา เปน็ ระยะ 3 หน่วย 6) จดุ สงู สุดของกราฟของสมการ y = -2(x + 3)2 คอื (-3, 0) และคา่ สูงสดุ ของ y เป็น 0 จดุ สงู สดุ ของกราฟของสมการ y = -2(x + 3)2 + 4 คือ (-3, 4) และคา่ สงู สุดของ y เปน็ 4 จดุ สูงสุดของกราฟของสมการ y = -2(x + 3)2 – 5 คอื (-3, -5) และค่าสงู สุดของ y เป็น -5 7) กราฟของสมการ y = -2(x + 3)2 + 4 เป็นภาพที่ไดจ้ ากการเลอื่ นขนานกราฟของสมการ y = -2(x + 3)2 ตามแนวแกน Y ข้นึ ไป เป็นระยะ 4 หนว่ ย และ กราฟของสมการ y = -2(x + 3)2 – 5 เป็นภาพท่ีได้จากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ y = -2(x + 3)2 ตามแนวแกน Y ลงมา เป็นระยะ 5 หน่วย 8) ถ้า k > 0 กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เป็นภาพท่ีไดจ้ ากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ y = a(x – h)2 ตามแนวแกน Y ขน้ึ ไป เป็นระยะ k หนว่ ย ถ้า k < 0 กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เปน็ ภาพที่ไดจ้ ากการเลือ่ นขนานกราฟของสมการ y = a(x – h)2 ตามแนวแกน Y ลงมา เป็นระยะ |k| หนว่ ย 9) ถ้า h > 0 และ k > 0 กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เป็นภาพที่ได้จากการเล่อื นขนานกราฟของสมการ y = ax2 ตามแนวแกน X ไปทางขวา เปน็ ระยะ h หนว่ ย แลว้ เลอ่ื นขนานตามแนวแกน Y ขน้ึ ไป เปน็ ระยะ k หนว่ ย ถา้ h < 0 และ k > 0 กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เป็นภาพทไี่ ดจ้ ากการเลอ่ื นขนานกราฟของสมการ y = ax2 ตามแนวแกน X ไปทางซา้ ย เปน็ ระยะ |h| หนว่ ย แลว้ เลอ่ื นขนานตามแนวแกน Y ขน้ึ ไป เปน็ ระยะ k หนว่ ย ถ้า h < 0 และ k < 0 กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เปน็ ภาพทไี่ ดจ้ ากการเลือ่ นขนานกราฟของสมการ y = ax2 ตามแนวแกน X ไปทางซา้ ย เปน็ ระยะ |h| หนว่ ย แลว้ เลอ่ื นขนานตามแนวแกน Y ลงมา เปน็ ระยะ |k| หนว่ ย ถ้า h > 0 และ k < 0 กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เป็นภาพทีไ่ ด้จากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ y = ax2 ตามแนวแกน X ไปทางขวา เปน็ ระยะ h หนว่ ย แลว้ เลอ่ื นขนานตามแนวแกน Y ลงมา เปน็ ระยะ |k| หนว่ ย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

296 บทที่ 5 | กราฟของฟังกช์ นั ก�ำ ลังสอง คู่มือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 กิจกรรมเสนอแนะ 5.2 : ชปู ้ายใหค้ ำ�ตอบ กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมท่ีเน้นให้นกั เรียนไดฝ้ ึกใชค้ วามร้เู กยี่ วกับลักษณะของกราฟพาราโบลา ซง่ึ เป็นการพัฒนาทักษะ และกระบวนการทางคณิตศาสตรใ์ นด้านการตคี วาม แปลความ และสอื่ ความหมายจากกราฟ รวมทัง้ ทักษะการน�ำ เสนอสมการ ในรูปของกราฟ โดยมสี อ่ื /อปุ กรณ์ และข้ันตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม ดังนี้ สื่อ/อปุ กรณ์ 1. ป้ายคำ�ตอบ 4 สี ไดแ้ ก่ สแี ดง สีเขียว สีเหลอื ง และสฟี ้า 2. บัตรค�ำ ถามพรอ้ มตัวเลือก 5 ใบ ขั้นตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม 1. ครูแบง่ นักเรยี นออกเปน็ กล่มุ กลมุ่ ละ 4 คน แล้วแจกป้ายค�ำ ตอบให้นกั เรยี นในกลุ่ม คนละ 1 ใบ โดยท่ีแตล่ ะคนจะ ได้ป้ายค�ำ ตอบทีม่ ีสตี ่างกนั 2. ครูแสดงบัตรคำ�ถามแล้วให้นักเรียนแต่ละคนพิจารณาตัวเลือกในบัตรคำ�ถามท่ีมีสีเดียวกันกับป้ายคำ�ตอบที่ตนเอง ได้รับ ถ้าตัวเลือกน้ันสอดคล้องกับคำ�ถามให้ชูป้ายคำ�ตอบ โดยแต่ละคำ�ถามอาจมีตัวเลือกท่ีเป็นคำ�ตอบมากกว่า 1 ตวั เลอื ก 3. ถา้ ครพู บว่า มคี �ำ ตอบของนักเรียนบางกลุม่ ไมถ่ กู ต้อง ครูควรเปิดโอกาสให้แตล่ ะกลุม่ ร่วมกันคิดหาค�ำ ตอบทถี่ ูกตอ้ ง 4. ครสู ่มุ นักเรียนมาน�ำ เสนอค�ำ ตอบ และแลกเปลีย่ นความรูก้ ับเพื่อน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟังก์ชนั ก�ำ ลังสอง 297 บัตรคำ�ถามท่ี 1 ค�ำ ถาม Y ตัวเลอื กใดท่สี อดคลอ้ ง กบั กราฟที่ก�ำ หนดให้ 9 8 7 X 6 5 4 3 (1, 2.5) 2 1 -3 -2 -1 (0, 0) 1 2 3 -1 ตัวเลือก เส้นตรง x = 0 จุดต�่ำ สุดเป็นจุดเดียวกบั เปน็ แกนสมมาตร จดุ ต่ำ�สุดของกราฟของ สมการ y = x2 กราฟผ่านจดุ (-1, 2.4) กราฟของสมการ y = 2.5x2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

298 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลงั สอง คมู่ อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บัตรค�ำ ถามท่ี 2 ค�ำ ถาม ตวั เลือกใดแสดงลกั ษณะของกราฟของสมการ y = -4x2 + 4 ตัวเลอื ก แกนสมมาตรเปน็ แกนเดียวกบั จดุ สูงสุดอยู่ทจ่ี ดุ (4, 0) กราฟของสมการ y = -4x2 คา่ สูงสุดของ y เทา่ กบั 0 กราฟผา่ นจดุ (2, -12) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 5 | กราฟของฟงั กช์ นั ก�ำ ลังสอง 299 บัตรคำ�ถามที่ 3 ค�ำ ถาม ตัวเลือกใดแสดงลักษณะของกราฟของสมการ y = 3(x + 5)2 ตวั เลอื ก พาราโบลาคว�่ำ ที่มจี ุดสูงสุด เส้นตรง x = -5 อยู่ทีจ่ ดุ (-5, 0) เป็นแกนสมมาตร กราฟตัดแกน Y ที่จดุ (0, 75) คา่ สูงสดุ ของ y เทา่ กบั 0 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี