GEOGEBRA-ETKiNLiKLERi

İÇİNDEKİLER 9. SINIF 9.1 ÜÇGENLER...............................................................................................................5 9.1.1 Üçgenlerde Temel Kavramlar...............................................................................5 9.1.2 Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik.............................................................................12 9.1.3 Üçgenlerin Yardımcı Elemanları.........................................................................25 9.1.4 Dik Üçgen ve Trigonometri.................................................................................35 9.1.5 Üçgenin Alan......................................................................................................43 10. SINIF 10.1 DÖRTGENLER VE ÇOKGENLER.............................................................................49 10.1.1 Çokgenler.........................................................................................................49 10.1.2 Dörtgenler ve Özellikleri...................................................................................63 10.1.3 Özel Dörtgenler................................................................................................76 10.2 UZAY GEOMETRİ..................................................................................................88 10.2.1 Katı Cisimler......................................................................................................88 11. SINIF 11.1 TRİGONOMETRİ.................................................................................................101 11.1.1 Yönlü Açılar.....................................................................................................101 11.1.2 Trigonometrik Fonksiyonlar...........................................................................109 11.2 ANALİTİK GEOMETRİ..........................................................................................114 11.2.1 Doğrunun Analitik İncelenmesi......................................................................114 11.3 ÇEMBER VE DAİRE.............................................................................................119 11.3.1 Çemberin Temel Elemanları...........................................................................119 11.3.2 Çemberde Açılar.............................................................................................126 11.3.3 Çemberde Teğet.............................................................................................133 11.3.4 Dairenin Çevresi ve Alanı................................................................................139 11.4 UZAY GEOMETRİ................................................................................................146 11.4.1 Katı Cisimler....................................................................................................146 12. SINIF 12.1 TRİGONOMETRİ.................................................................................................151 12.1.1 Toplam-Fark ve İki Kat Açı Formülleri.............................................................151 12.1.2 Trigonometrik Denklemler.............................................................................157 12.2 DÖNÜŞÜMLER...................................................................................................160 12.2.1 Analitik Düzlemde Temel Dönüşümler...........................................................160 12.3. ANALİTİK GEOMETRİ.........................................................................................167 12.3.1 Çemberin Analitik İncelenmesi.......................................................................167 2

11. SINIF (Temel Düzey) TD.11.1 ÜÇGENLER....................................................................................................175 TD.11.1.1 Dik Üçgen..................................................................................................175 TD.11.2 ÇEMBER VE DAİRE........................................................................................186 TD.11.2.1 Çemberin Temel Elemanları......................................................................186 TD.11.2.2 Çemberde Açılar........................................................................................193 TD.11.2.3 Dairenin Çevresi ve Alanı..........................................................................200 12. SINIF (Temel Düzey) TD.12.1 ÖLÇME..........................................................................................................209 TD.12.1.1 Çevre, Alan ve Hacim Ölçme.....................................................................209 TD.12.2 KATI CİSİMLER..............................................................................................229 TD.12.2.1 Küre ve Silindir..........................................................................................229 OLUŞTURMA TARiHi : 2022 3

9. SINIF 4

9.1. ÜÇGENLER 9.1.1. Üçgenlerde Temel Kavramlar ETKİNLİK 1 : Üçgenin açıları ve kenarları arasındaki ilişki Adım 1: Çokgen sekmesini kullanarak bir üçgen çiziniz. Adım 2: Açı sekmesiyle üçgenin iç açılarını gösteriniz. 5

Adım 3: uzaklık veya uzunluk sekmesinden üçgenin kenar uzunluklarını gösteriniz. Adım 4: Açı ve uzunluk değerlerini değiştirerek üçgenin kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkiyi inceleyiniz. ETKİNLİK 2 : Üçgen Eşitsizliği Adım 1: verilen uzunlukta doğru parçası sekmesinden uzunlukları 1 cm, 2cm ve 3 cm olan üç doğru parçası ile uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5cm olan üç doğru parçası çiziniz. Adım 2: 1 cm, 2cm ve 3 cm!lik doğru parçalarıyla bir üçgen oluşturmaya çalışınız. 6

Adım : 3 cm, 4 cm ve 5 cm!lik doğru parçalarıyla bir üçgen oluşturmaya çalışınız. Adım 4: Üçgen oluşup oluşmadığını gözlemleyiniz. Farklı uzunlukta doğru parçalarını deneyip yorumlayınız. ETKİNLİK 3 : üçgenin iki iç açısı toplamı kendine komşu olmayan dış açının ölçüsüne eşittir. Adım 1; Nokta sekmesinden doğrusal olmayan rastgele üç nokta yerleştiriniz. 7

Adım 2: A noktası ile B noktasını, B noktası ile C noktasını birleştiriniz. Daha sonra B ile C noktaları arasına bir D noktasını yerleştirip A noktası ile D noktasını birleştiriniz. Adım 3: ABD, BAD ve ADC açılarını gösteriniz. Daha sonra metin oluşturunuz. Metni oluştururken gelişmiş kısmına tıklayıp geogebra simgesinin olduğu sekmeye tıklayınız. 8

Adım 4: Daha sonra açıları seçerek α + β yazınız. Adım 5: Tekrar metin oluşturarak = ϒ yazınız. 9

Adım 6: Açı değerlerini değiştirerek metindeki değerleri inceleyiniz. ETKİNLİK 4 Üçgenin iç açılar toplamı 180 derecedir. Adım 1: Doğrusal olmayan üç adet nokta alınız ve bunları doğru parçası ile birleştirerek bir üçgen elde ediniz. Daha sonra üçgenin iç açılarını gösteriniz. Adım 2: Giriş kısmına α+β+ϒ yazarak enter tuşuna basınız. 10

Adım 3: ��� açısını oluşturdunuz. Daha sonra metin kısmına gelip α+β+ϒ metnini oluşturunuz. Oluşturduktan sonra = ��� metnini oluşturunuz. Adım 4: Üçgen üzerinde açı ölçülerini değiştirerek sonuçları gözlemleyiniz. 11

9.1.2. Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik Etkinlik 1 : Açı –Açı-Açı bağıntısı 1.Adım:GeoGebra uygulamasından veya geogebra.org sitesine giriş yaptıktan sonra araçlar menüsünden Çokgen seçilir. 2. Boş bir alana tıklanarak üçgen oluşturulur. 3.Üst menüden açı seçilir ve üçgenin içine tıklayınca açları hesaplanır. 12

4.Üst menüden doğru parçası seçilir. 5.Dogru parçası oluşturulur. 5. E noktasını D etrafında B açısı kadar saatin ters yönünde döndürelim. 6. E noktasını D etrafında B açısı kadar saatin ters yönünde döndürelim. 13

7. Üst menüden doğruda ışın seçilir. D noktasından E’ noktasına ışın çizilir. 8. Üst menüden tekrar verilen ölçü açı seçilir ve D noktasını E noktası etrafında saat yönünde döndürelim. 9. D’ noktası oluşur. 10. E noktasından D’ noktasına ışın çizilir. 14

11.üst menüden iki ışının kesişmesi için kesiştire tıklanır. 15

12. tekrardan üst menüden çokgen seçilip üçgen oluşturulur ve menüden açıyı seçip üzerine tıklandığında üç açısının da eşit olduğu görülür. Üçgenlerin kenarlarını değişse de açıların değişmediği görülür. [KAYNAK : https://youtu.be/Y-EWpOjwVUc] Etkinlik 2 : Üçgende benzerliği hesap çizelgesi kullanarak göstermek 1. Geogebra uygulaması veya geogebra.org sitesine giriş yaptıktan hesap tablosu seçilir. 2.Hesap tablosunda (1,3) (3,5) (5,3) noktaları yazılır noktalar oluşur. 3. Üst menüden çokgen seçilir. 16

4.Noktalara tıklanarak üçgen oluşturulur. 5. Üst menüden sürgü seçilir. 6. Boş bir alana tıklanarak sürgünün değerleri girilerek sürgü oluşturulur. 7.Hesap tablosundaki B hücresine k*A1,k*A2 ,k*A3 yazılır. 17

8.k sürgüsünü kaydırdığımızda çizdiğimiz üçgene benzer üç nokta elde ederiz. 9.Üst menüden çokgen seçilip üçgen oluşturulur. 10.k sürgüsü ileri geri oynatıldığında benzer üçgenler oluştuğu görülür. 18

[KAYNAK : https://youtu.be/2GP_09q4Y-k] Etkinlik 3: iki üçgenin benzerliği 1.İlk olarak çokgen kutucuğunda çokgen seçiyoruz. 2. Bir noktaya tıklayarak 4 birim sağ yukarıya çıkarıyoruz. 19

3. adım-B Noktasından 4 birim sağ aşağıya doğru indiriyoruz 4.adım-Bütün noktaları birleştirerek üçgen elde ediyoruz 5.adım -Açı butonuna basarak açıyı seçiniz 6 adım- doğru parçasını seçin 20

7.adım – 1. Üçgeni benzer şekilde üçgene çizelim 8.adım – 2. Üçgeni de bu şekilde çizdik sonra üçgeni hareket ettiğimizde üçgenlerin benzer olduğunu görebiliriz 21

Etkinlik 4: Kenar –Kenar-Kenar bağıntısı 1.Adım:GeoGebra uygulamasından veya geogebra.org sitesine giriş yaptıktan sonra araçlar menüsünden Çokgen seçilir. 2.Boş bir alana tıklanarak üçgen oluşturulur. 3.Üst menüden sürgü seçilir 4.Sürgünün değerleri girilir. 5. Sürgü oluşturulur 22

6.Üst menüden verilen uzunlukta doğru seçilir. 7.Dogru parçasının uzunluğu girilir. 8. Böylece BC doğru parçasına bağlı DE doğru parçası oluşur. 9. Üst menüden çember seçiyoruz. 10.Merkezi D olan bir çember çizilir. 23

11.Merkezi E olan bir çember çizilip iki çember kesiştirilir. 12.DEG noktalarından geçen üçgen çizilir . Sürgü hareket ettirilirse iki üçgenin birbirleri ile orantılı biçimde değiştiği görülür. [KAYNAK : https://youtu.be/Y-EWpOjwVUc] 24

9.1.3. Üçgenlerin Yardımcı Elemanları Etkinlik 1: Üçgende orta dikmenin indirilen kenarı iki eşit parçaya bölmesi ve orta dikme doğrularının kesim noktasının dar açılı üçgen ise iç bölgede olmasını geo gebra yardımı ile gösterelim. 1. Geogebra uygulaması veya geogebra.org sitesine giriş yaptıktan sonra üst menüden çokgen seçeneğini tıklıyoruz. 2. Çokgen seçeneği seçildikten sonra üç nokta belirleyip dar açılı bir üçgen çizilir. 3.Üçgenimizi çizdikten sonra üst menüden 4. Kutuyu tıklayıp orta dikme seçeneği seçilir. 4.Orta dikme seçildikten sonra köşe noktaları ikişer seçilip orta dikme doğruları elde edilir. 25

5.Orta dikmelerin kesişim noktası üçgen dar açılı olduğundan üçgenin iç bölgesinde kalır. 6.Kenarların iki eşit parçaya bölündüğünü gösterelim. Öncelikle kesiştir butonuna tıklayıp üçgen ve orta dikmelerin kesiştiği noktaları buluyoruz. Sonrasında uzunluk veya uzaklık butonuna basıp iki nokta seçip üç kenarında uzunluklarını ayrı ayrı buluyoruz . 26

7. Orta dikme kenarları eşit olarak böldüğünü görmüş olduk. Etkinlik 2: Üçgende dik doğru üçgenin açı durumuna göre üçgenin iç ve dış bölgesinde kesişmesini geo gebra yardımı ile gösterelim. 3. Geogebra uygulaması veya geogebra.org sitesine giriş yaptıktan sonra üst menüden çokgen seçeneğini tıklıyoruz. 4. Çokgen seçeneği seçildikten sonra üç nokta belirleyip geniş açılı bir üçgen çizilir. 27

3.Üçgenimizi çizdikten sonra üst menüden 4. Kutuyu tıklayıp dik doğru seçeneği seçilir. 4.Dik doğru seçildikten sonra köşe noktası ve bu noktaya dik olan doğru seçilir ve bu şekilde doğrular kesişir. 5. Üçgenin iç açıları bulunur. Geniş açılı üçgenin köşelerinden çizilen dik doğruların üçgenin dışında birleştiğini öğrenmiş oluruz. 28

6. Dar açılı bir üçgen ile karşılaştırma yapalım. Çokgen butonuna tıklayıp bir dar açılı üçgen çizelim. Bu üçgene köşelerinden dik doğrular çizelim. 29

Gördüğünüz üzere geniş açılı üçgen ile dar açılı üçgende dik doğrular farklı bölgelerde kesişir. Etkinlik 3: Üçgende açıortayın açıyı iki eşit parçaya ayırdığını geo gebra yardımı ile gösterelim. 1.Geogebra uygulaması veya geogebra.org sitesine giriş yaptıktan sonra üst menüden çokgen seçeneğini tıklıyoruz. 2. Çokgen seçeneği seçildikten sonra üç nokta belirleyip dar açılı bir üçgen çizilir. 3.Üçgenimizi çizdikten sonra üst menüden 4. Kutuyu tıklayıp Açı Ortay seçeneği seçilir. 4.Açıortay seçildikten sonra A,B ve C noktaları seçilip açıortay doğrusu elde edilir. 30

5.Doğru seçildikten sonra BC ve doğrunun kesiştiği yer belirlenir. 6.A açısından çizdiğimiz açıortay doğrusu A açısını iki eşit açıya ayırdığını görmek için iki tarafın açı ölçülerini bulalım. Önce açı butonuna tıklayalım. Sonrasında B,A,E veE,A,C noktalarını seçerek bu noktalar arasında kalan bölgenin açılarını bulalım . 31

Gördüğünüz gibi A açısını açıortay olan AE açıyı iki eşit açıya bölmüş. Etkinlik 4: Üçgende kenarortayın kenarı iki eşit parçaya ayırdığını geo gebra yardımı ile gösterelim. 1. Geogebra uygulaması veya geogebra.org sitesine giriş yaptıktan sonra üst menüden çokgen seçeneğini tıklıyoruz. 2. Çokgen seçeneği seçildikten sonra üç nokta belirleyip dar açılı bir üçgen çizilir. 3.Üçgenimizi çizdikten sonra üst menüden 2. Kutuyu tıklayıp orta nokta veya merkez seçeneği seçilir. 32

4.A ve C noktalarını seçtikten sonra AC arasında bir nokta belinir. 5.Nokta belirlendikten sonra 3.kutuya tıklanılır ve DOĞRU PARÇASI seçeneği seçilir. 6.B ve D noktası doğru parçası ile birleştirilir. 33

7.AD ve DC doğru parçaları birbirine eşit ise BD nin kenarortay görevini gördüğünü söylemiş olabiliriz. Uzunluğu bulmak için 8. Kutuyu tıklayıp uzunluk veya uzaklık ı seçiyoruz. 8. İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için AD ve DC noktaları uzunluğu bulup ikisinin birbirine eşit olduğunu gösterirsek BD nin kenarortay olduğunu göstermiş olduk. 34

9.1..4 Dik Üçgen ve Trigonometri Etkinlik 1 : Çokgen komutunu seçiniz. Dik üçgen çiziniz. Uzaklık veya uzunluk komutunu seçiniz. Kenarlara tıklayarak uzunlukları ölçünüz. Metin komutunu seçiniz. LaTeX formülüyle sin, cos, tan, cot formüllerini yazınız. 35

Böylece A kenarının trigonometrik oranları bulunmuş olur. Kenarlar oynatıldıkça sinA, cosA,tanA ve cotA değerleri de kenarlara göre değişecektir. Aynı şekilde C kenarının da trigonometrik değerleri bulunabilir. 36

Etkinlik 2 : Araç çubuğundaki 5, kutuya ardından açılan çokgen bölümüne tıklayınız. Ve dik köşesi orijin ve dik kenarları eksenler üzerinde olan bir ABC üçgeni oluşturunuz. Daha sonra araç çubuğundaki 10, kutuya ve ardından açılan sürgü sekmesine tıklayınız.D sürgüsü oluşturunuz. Ekranın sol alttaki giriş kısmına SinC=c/b yazınız .daha sonra yine giriş kısmına Genişlet[Çokgen[A,B,C],(d)] yazınız ve enter tuşuna basınız. D sürgüsü sağa doğru sürüklenirse şeklin büyüdüğü görülür. Giriş kısmına SinC=c’/b’ yazılırsa C’ açısının sinüs değeri cebir penceresinde görülür.Cebir penceresine bakıldığında C’ açısının sinüs değeri ile daha önce bulunan C açısının sinüs değerinin eşit olduğu anlaşılır. 37

Sonuç olarak genişletilen üçgenlerin karşılıklı kenarlarının uzunlukları oranı değişmediği için açılarının sinüs değerleri aynı kalmaktadır. [KAYNAK: Pasifik yayınları 9.sinif matematik kitabı] Etkinlik 3: Çember: Merkez ve Yarıçap komutunu seçiniz. Yarıçap uzunluğu değeri “1” olan bir çember çiziniz. Nesne üzerinde nokta komutunu seçiniz. Çemberin üzerine bir nokta koyunuz. 38

Kesiştir özelliğini seçiniz. X ekseninde çember ile 1 değerini kesiştiriyoruz. Bu şekilde C noktası oluşur. Doğru parçası komutu seçilir. 39

A ve B noktaları birleştirilir. Ardından açı komutu seçilir. Sırasıyla C, A ve B noktalarına tıklanıp α açısı bulunur. Dik doğru özelliğini seçiniz. B noktasından X eksenine dik doğru çizilir ve yine B noktasından Y eksenine dik doğru çiziniz. 40

Kesiştir özelliğini seçiniz. Dik doğruların X ve Y ile kesiştiği noktaları işaretliyorz. Böylece D ve E noktaları oluşur. Daha sonra doğru parçası komutunu seçip D ve E noktalarını B noktasıyla birleştiriyoruz. Dik doğruların üzerine sağ tık yapıp dik doğruları gizliyoruz. Giriş kısmına “cos(α)” yazınız ve enter tuşuna basınız. Sol pencerede α nın cos değerini bulmuş olursunuz. a= 0.86 α nın cos değeridir. 41

Bu değer “i” doğrusuyla eşittir. “i” doğrusu da α nın cos değerini verir. Bu, şu şekilde kanıtlanabilir: Uzaklık ve uzunluk komutunu seçiniz. “i” doğrusunun uzunluğunu ölçünüz. Sonuç: cosα=i Buradaki “j” doğrusuda α nın sin değerini verir. Sonuç: sinα=j Kaynak: https://www.youtube.com/watch?v=_BpiSgzhqfM 42

9.1.5. Üçgenin Alanı Etkinlik 1: Üçgenin alanı 1. Geogebra uygulaması veya geogebra.org sitesine giriş yaptıktan sonra üst menüden Nokta seçilir. Koordinat sisteminde herhangi bir yer seçilir. 2. Diğer iki nokta koordinat sisteminde işaretlenir. 3. Üst menüden Çokgen seçilir. 4. Seçilen noktalara birer kez tıklanarak üçgen oluşturulur.Daha sonra üst menüden Alan seçilir. 5. Üçgenin iç bölgesinde herhangi bir yer tıklanınca üçgenin alanı hesaplanmış olur. 43

Etkinlik 2: Üçgenin alanının sürgü ile bulunması 1. Geogebra uygulaması veya geogebra.org sitesine giriş yaptıktan sonra üst menüden Sürgü seçilir. 2. Koordinat sisteminde boş bir yere tıkladıktan sonra Artış 1 olarak Tamam tıklanır. 3. Daha sonra üst menüden Nokta seçilir. Koordinat sisteminde herhangi bir yer seçilir. 4. Diğer iki nokta koordinat sisteminde işaretlenir.A noktasının apsisi a olarak yazılır. 44

5. Üst menüden Çokgen seçilir. 6. Seçilen noktalara birer kez tıklanarak üçgen oluşturulur. Daha sonra üst menüden Alan seçilir. 7. Üçgenin iç bölgesinde herhangi bir yer tıklanınca üçgenin alanı hesaplanmış olur. Sürgü hareket ettirilince üçgenin büyüyüp küçüldüğü ve buna bağlı olarak alanın değiştiği gözlenir. Etkinlik 3: Eşkenar üçgenin alanı 1. Geogebra uygulaması veya geogebra.org sitesine giriş yaptıktan sonra üst menüden Düzgün çokgen seçilir. Koordinat sisteminde herhangi bir yer seçilir. 45

2. Nokta sayısı 3 yazılarak tamam tıklanır. 3. Üst menüden Uzaklık veya uzunluk seçilerek kenar uzunluğu bulunur. 4. Sol altta yer alan hesaplama kısmına tıklanır. 5. Eşkenar üçgenin alan formülü ���2 3 yazılınca alanın hesaplandığı görülür. 4 Etkinlik 4: Üçgenin alanının Heron Formülü(u Formülü) ile Bulunması 1. Geogebra uygulaması veya geogebra.org sitesine giriş yaptıktan sonra üst menüden Nokta seçilir. Koordinat sisteminde herhangi bir yer seçilir. 2. Diğer iki nokta koordinat sisteminde işaretlenir. 46

3. Üst menüden Çokgen seçilir. 4. Seçilen noktalara birer kez tıklanarak üçgen oluşturulur. Daha sonra üst menüden Uzaklık veya uzunluk seçilerek üçgenin kenar uzunlukları bulunur. 5. Sol taraftaki menüye ��� = ���+���+��� formülü yazılır. ��� 6. Son olarak (��� (��� − ���) (��� − ���) (��� − ���)) yazılarak üçgenin alanı bulunmuş olur. 47

10. SINIF 48

10.1. DÖRTGENLER VE ÇOKGENLER 10.1.1 Çokgenler Geogebra ile beşgen yapımı 1-Araçlar kısmından düzgün çokgen seçilir. 2- kenar sayısına 5 yazılır. 3-Belirlenen çokgenimizin iç açılarını bulmak için araçlardan ‘’açı’’ seçilir ve herhangi bir yere tıklanır. 49

4-Beşgenimizin dış açılarını belirlemek için ise doğru çizilir 5- E-A-F olmak üzere sırayla tıklanınca dış açısı bulunur, ayarlardan rengi ayarlanır (isteğe göre) Etkinlik 2: Geogebra ’da sürgü ile çokgen oluşturma 1-önce sürgü kutucuğuna basıp sürgüyü seçiyoruz 2-Sürgü eklemek için ad yerine n veriyoruz minimum 3 maksimum 18 olmak üzere ayarlıyoruz 50