คณิตศาสตร์ ม.ต้น พค21001

95 2. จงหาพ้นื ทสี่ ว นท่ีแรเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับไวถือวาเปนความยาวของดานและมีหนวยความยาว เปน เมตร ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

96 2.6 พน้ื ทร่ี ูปหลายเหล่ียม การหาพ้ืนทร่ี ูปหลายเหลีย่ ม ใชว ธิ ีแบง รูปหลายเหล่ียม เปนรูปสเี่ หลยี่ มยอยๆ แลว หาพ้ืนท่ี ของรปู แตล ะรูปนาํ ผลลัพธมารวมกนั แตบ างครงั้ อาจใชว ิธีตอ เติมรปู เพื่อใหเกิดรปู เหลยี่ มใหมแ ลว นํามาหักลบกนั ดังตัวอยาง ตัวอยา ง จงหาพ้นื ทรี่ ปู เหลยี่ มทแี่ รเงา วธิ ีทํา ลากตอ EF และ HG ทําใหเกิดเปนรปู ส่ีเหลย่ี มมุมฉากยอย 3 รูป คอื DEJC, FGKJ, ABKH จากรูป EJ = 6 เซนติเมตร FJ = 4 เซนตเิ มตร พ้ืนทร่ี ูปหลายเหลีย่ ม ABCDEFGH = พ.ท. DEJC + พ.ท. FGKJ + พ.ท. ABKH = ( 2×6) + (1×4) + (3×10) = 12 + 4 + 30 ตารางเซนติเมตร ดงั น้นั พ้ืนท่ีรูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนติเมตร 2.7 พ้นื ที่รูปวงกลม การหาพืน้ ที่ของรูปวงกลมโดยวิธีแบง ออกเปนสว นเลก็ ๆ แลว นําแตละสวนมาสลบั กัน ดัง รปู

97 จะเหน็ ไดวา ถายิง่ แบง สว นยอยใหม จี าํ นวนมากข้ึน รูปสเี่ หลยี่ มท่ไี ดจ ะมีรปู ใกลเคยี งกบั รปู สเ่ี หล่ยี มผนื ผา โดยมีสวนสูงใกลเคียงกับรัศมีของวงกลม ความยาวของฐาน ใกลเคียงกับครึ่งหนึ่งของเสนรอบวง หรือ 1 (2πr) = πr 2 จากสตู ร พื้นท่ี ผนื ผา = ฐาน × สูง = (πr)× r = πr 2 สูตร พ้ืนทว่ี งกลม = πr 2 เมือ่ π = 22 หรอื 3.14 โดยประมาณ 7 r แทนความยาวรัศมี ตวั อยา ง จงหาพื้นที่วงกลมที่มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร วธิ ที าํ พื้นที่วงกลม = πr 2 พ้ืนทีว่ งกลม = = 22 × 7 × 7 ตารางเซนตเิ มตร 7 154 ตารางเซนตเิ มตร

98 แบบฝกหดั ท่ี 5 1. จงหาพื้นทีส่ ว นทแี่ รเงา ตวั เลขที่เขียนกํากับดานมหี นว ยเปน เซนติเมตร และจุด O แทน จุดศูนยกลางของวงกลม 1

99 สรุปสูตรการหาพ้ืนที่

100

101 เรื่องท่ี 4 การแกโ จทยป ญหาเกย่ี วกบั พ้ืนทีใ่ นสถานการณตางๆ ตวั อยาง ท่ดี ินรปู สเี่ หลยี่ มผืนผา กวาง 12 เมตร ยาว 20 วา ตองการทําถนนในที่ดินกวาง 1 วา โดยรอบถนนจะมพี ื้นท่ีกี่ตารางวา วธิ ีทํา พืน้ ทที่ ง้ั หมด = 12 × 20 = 240 ตารางวา พน้ื ที่รูปใน = 10 × 18 พื้นทถ่ี นน = 180 ตารางวา ∴ พื้นทถ่ี นน = 240 – 180 = 60 ตารางวา ตวั อยาง หองๆ หนึง่ 6.5 เมตร กวาง 4 เมตร ตองการปูกระเบื้องรปู สเ่ี หลยี่ มจตั ุรสั ซ่งึ มีความกวาง ดา นละ 25 เซนตเิ มตร จะตองใชก ระเบื้องกแ่ี ผน วธิ ที ํา หองหน่งึ มคี วามยาว 6.5 เซนตเิ มตร = 650 เซนตเิ มตร ความกวาง 4 เมตร = 400 เซนตเิ มตร พน้ื ทีห่ อง พนื้ ที่กระเบอื้ ง = 400 × 650 = 260,000 เซนตเิ มตร = 25 × 25 = 625 ตารางเซนติเมตร ตอ งใชก ระเบ้ือง = 260,000 = 416 แผน ดงั นั้น ตองใชกระเบ้ือง 416 แผน 625

102 แบบฝกหัดท่ี 6 1. แผนผงั บานหลงั หนึง่ มลี กั ษณะและขนาดดังรปู ถา บริเวณทีแ่ รเงาตอ งการเทปูนซีเมนต โดยเสยี คาใชจายตารางเมตรละ 250 บาท จะตองเสียคาใชจายทั้งหมดกี่บาท กําหนดความยาวมีหนวยเปนเมตร 2. ตองการตดั เสือ้ ตวั หนง่ึ มลี ักษณะดงั รูป จะตองใชผากีต่ ารางเมตร (ไมคิดตะเข็บ) ความยาวที่ กาํ หนดมหี นวยเปน เซนตเิ มตร

103 เรอ่ื งที่ 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนัก ในชีวิตประจําวันบางครั้งเราอาจตองการทราบรายละเอียดเกี่ยวกับเวลา ระยะทาง ขนาด หรือนํ้าหนกั ของส่ิงตางๆ แตไมสะดวกที่จะวัดสงิ่ ตางๆ เหลา น้ัน เนื่องจากมขี อจํากัดบางประการ ตัวอยางเชน ตองการวัดความยาว และความกวางของสนามฟุตบอลของโรงเรียน แตไมมีอุปกรณที่ เหมาะสม ทําใหตองมีกี่ประมาณอยางคราวๆ ซึ่งในบางครงั้ อาจจะถูกตอง หรืออาจผิดไปจากความ เปนจรงิ บา ง เราเรยี กวธิ ีการประมาณในลักษณะน้ีวา การคาดคะเน การคาดคะเนปริมาณตางๆ เชน ชว งเวลา ระยะทาง ขนาด และนาํ้ หนกั ของส่ิงตางๆ ผู คาดคะเนมักใชสายตารวมกับประสบการณของผูคาดคะเนเอง ซึ่งในการคาดคะเนแตละครั้งอาจ ถูกตองพอดี หรืออาจมขี อผิดพลาดเกิดข้ึนบางก็ได เราเรยี กขอผิดพลาดนว้ี า ความคลาดเคล่ือน และ ความคลาดเคลื่อนคํานวณไดจากผลตางของปริมาณที่คาดคะเนไวกับปริมาณที่วัดไดจริง เชน คะเนวา หนงั สือเรยี นกวา ง 15 เซนตเิ มตร ยาว 20 เซนติเมตร และหนา 1 เซนติเมตร แตเมื่อ วดั จรงิ พบวา หนงั สอื เรยี นกวาง 14.6 เซนตเิ มตร ยาว 20.9 เซนตเิ มตร และหนา 1 เซนติเมตร ดังนั้น คะเนความกวาง และความยาวของหนังสือเรียนคลาดเคลื่อนไป 0.4 และ 0.9 ตามลําดับ (15.0 เซนตเิ มตร – 14.6 เซนติเมตร = 0.4 เซนตเิ มตร และ 20.9 เซนติเมตร – 20 เซนตเิ มตร = 0.9 เซนตเิ มตร สวนความหนาคาดคะเนไดถูกตองไมคลาดเคลื่อนเลย ) หมายเหตุ บางคร้ังอาจพบการใชสัญลกั ษณ ± ตามความคลาดเคลื่อน เชน เครื่องบรรจุนา้ํ ไดข วดละ 1,000 ลกู บาศกเซนตเิ มตร ± 5 ลูกบาศกเซนติเมตร หมายความวา โดยปกติแลว นํ้าดม่ื ท่ี บรรจุขวดโดยเครือ่ งน้จี ะมีปริมาตร 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร แตอาจจะมีบางขวดที่มีปริมาตร มากกวา หรอื นอ ยกวา 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร ซึ่งปริมาตรทคี่ ลาดเคลือ่ นนไ้ี มเกิน 5 ลูกบาศก เซนติเมตร นัน่ คือ นํ้าดื่มที่บรรจุขวดจะมีปริมาตรตั้งแต 995 ลูกบาศกเซนติเมตร ถงึ 1,005 ลูกบาศกเซนติเมตร

104 แบบฝกหัดท่ี 7 1. จงคาดคะเนเวลาหรือชวงเวลาใหเหมาะสมกับสถานการณตอไปนี้ 1) ฟาใกลสวา ง อากาศเยน็ สบาย ไกตวั ผตู ปี กและสงเสยี งขัน มีน้ําคา งจับตามยอดหญา นาจะเปนเวลาประมาณ...................นาฬกิ า 2) เม่อื อยกู ลางแจงดวงอาทติ ยอ ยูตรงศีรษะพอดี เงาของตัวเองอยูบนพื้นทยี่ ืนอยพู อดี นาจะ เปนเวลาประมาณ...................นาฬกิ า 3) ในจังหวัดทางภาคเหนือเปนเวลาเชาตรู ฟาสวางแลว แตยงั ไมเห็นพระอาทิตย ทองฟาขมุกขมัว อากาศหนาวเยน็ จดั นา จะเปนฤดู....................และควรจะเปน ชว งเดือน..................... 2. จงวงกลมลอมรอบขอที่เหมาะสมที่สุด สําหรับใชหนวยในการคาดคะเน ระยะทาง น้ําหนัก หรือ ขนาดของสิ่งตอไปนี้ 1) ความยาวของคัตเตอร ก. 1.5 มิลลเิ มตร ข. 15 เซนตเิ มตร ค. 15 เมตร 2) นาํ้ หนกั ของมะพรา ว 1 ผล ก. 1 กรมั ข. 1 กโิ ลกรมั ค. 1 ตนั 3) ปริมาณของนม 1 กลอ ง ก. 4 ×5×12 เซนติเมตร3 ข. 4 ×5×12 ฟตุ 3 ค. 4 ×5×12 เมตร3 4) รถกระบะ 4.1 มีน้าํ หนัก ก. 10 กิโลกรมั ข. 100 กิโลกรมั ค. 1 ตนั 4.2 ความกวา ง ก. 160 เซนตเิ มตร ข. 16 ฟุต ค. 16 เมตร 4.3 ความยาว ก. 5 ฟุต ข. 5 เมตร ค. 5 วา 4.4 ความสงู ก. 160 มิลลิเมตร ข. 1,600 มลิ ลิเมตร ค. 16,000 มิลลเิ มตร 5) เกาอีน้ ่งั 5.1 กวา ง ยาว สูง ก. 40 ×50×80 มลิ ลเิ มตร3 ข. 40 ×50×80 เซนตเิ มตร3 ค. 4 ×5×8 เมตร3 5.2 นาํ้ หนกั ก. 10 กโิ ลกรมั ข. 100 กโิ ลกรมั ค. 1 ตนั

105 3. ทางหลวงสายพหลโยธินกรุงเทพฯ-แมสาย ยาว 952 กิโลเมตร รถประจําทางปรับอากาศวิ่งบน ทางหลวงสายนต้ี ลอดเสน ทางดว ยอตั ราเรว็ 80-100 กิโลเมตรตอ ช่วั โมง (1) รถประจําทางปรับอากาศใชเวลาวิ่งตลอดเสนทางนานเทาไร (2) ถารถออกจากกรุงเทพฯ ประมาณ 18.00 นาฬิกา จะถึงแมสายในชวงใด (3) ถา ตองการใหถึงแมส ายประมาณเทย่ี งวนั ท่ี 16 กันยายน จะตองออกจากกรุงเทพฯ เวลา เทาไร 4. ลฟิ ตของโรงแรมแหงหนึ่งบรรทุกผูโดยสายไดเที่ยวละไมเกนิ 10 คน (600 กิโลกรัม) บางครั้งมี ผูโดยสารเขาลฟิ ตเพยี ง 8 คน ลฟิ ตจะมเี สยี งเตือน บางครง้ั มีผูโดยสาร 12 คน ลิฟตไ มม เี สียงเตือนยงั ใชงานไดเปนเพราะเหตุใด จงอธิบาย 5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรุงเทพฯ-บานคลองพราน จังหวัดนราธิวาส) 1,352 กิโลเมตร ทาง หลวงสายมิตรภาพ (กรงุ เทพฯ-จงั หวดั หนองคาย) 508 กิโลเมตร ทางหลวงสายสุขุมวิท (กรุงเทพฯ- จงั หวดั ตราด) 400 กโิ ลเมตร (1) ถาขับรถจากบานคลองพรานตามทางหลวงสายเพชรเกษมผานกรุงเทพฯ แลวมุงสู จังหวัดหนองคายตามทางหลวงสายมิตรภาพ ดว ยอตั ราเรว็ ในชว ง 90-100 กิโลเมตรตอ ช่ัวโมง จะใช เวลาประมาณกี่ชั่วโมง (2) ถาเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปตามทางหลวงสายเพชรเกษม เวลา 12.00 นาฬกิ า วันน้ี จะ ถึงจังหวดั นราธวิ าสเมื่อใด โดยใชอตั ราความเรว็ 100 กิโลเมตรตอช่ัวโมง (3) ถาตองการเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปจังหวัดตราดทางหลวงสายสุขุมวิท และถึงจังหวัด ตราดประมาณเที่ยงวัน จะตองออกจากกรุงเทพฯ เวลาใด เมื่อใชอัตราความเร็ว 80 กิโลเมตรตอ ชัว่ โมง (4) ใหนักเรียนเปรียบเทียบความยาวของทางหลวงทั้งสามสาย

106 บทท่ี 6 ปริมาตรและพนื้ ท่ผี วิ สาระสําคัญ การหาพื้นทีผ่ วิ และปริมาตรของ ปริซมึ พรี ะมดิ ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม จําเปน จะตอ งรกู ระบวนการคดิ และการใชส ูตร เพ่ือสะดวกในการคํานวณอนั จะเปนประโยชนต อ การ นําไปใชใ นชวี ติ จรงิ ผลการเรยี นรูทคี่ าดหวงั 1. อธิบายลกั ษณะและสมบัติของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม หา ปริมาตรและพน้ื ท่ีผวิ ของปริซึมได 2. สามารถหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอกได 3. สามารถหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลมได 4. เปรยี บเทยี บหนวย ความจุ หรอื หนว ยปรมิ าตรในระบบเดยี วกนั หรือตา งระบบ และ เลอื กใชห นว ยการวัดเกย่ี วกบั ความจหุ รือปรมิ าตรไดอ ยา งเหมาะสม 5. ใชความรเู ก่ียวกบั ปริมาตรและพืน้ ท่ีผวิ แกป ญหาในสถานการณตา งๆ ได 6. ใชก ารคาดคะเนเก่ียวกบั ปริมาตรและพืน้ ทผี่ วิ ในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม ขอบขา ยเน้ือหา เรื่องท่ี 1 ลักษณะสมบตั ิและการหาพ้นื ท่ผี ิวและปริมาตรของปรซิ ึม เรื่องที่ 2 การหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก เรื่องท่ี 3 การหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม เรื่องที่ 4 การเปรียบเทียบหนวยปริมาตร เรื่องท่ี 5 การแกโจทยปญ หาเก่ยี วกบั ปรมิ าตรและพนื้ ที่ผวิ เรื่องท่ี 6 การคาดคะเนปรมิ าตรและพืน้ ทีผ่ วิ

107 เรือ่ งที่ 1 ลกั ษณะสมบัติและการหาพน้ื ที่ผิวและปรมิ าตรของปรซิ มึ พน้ื ที่ผวิ และปรมิ าตรของปริซมึ รูปเรขาคณติ สามมติ ิทมี่ ีหนาตัด (ฐาน) ทั้งสองเปนรูปหลายเหลี่ยมที่เทากันทุกประการและ อยูใ นระนาบท่ขี นานกัน มีหนา ขา งเปน รูปสีเ่ หลีย่ มดานขนาน เรียกวา ปรซิ มึ สว นตา งๆ ของปรซิ มึ มีชอื่ เรียกดงั นี้ เราเรียกชื่อปริซึมชนิดตาง ๆ ตามลักษณะของฐานของปริซึมดังตัวอยาง ปรซิ มึ ส่เี หลย่ี มผืนผา ปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมู ปริซมึ หา เหลยี่ ม ปรซิ ึมหกเหล่ียม สตู ร การหาพ้ืนที่ผิวของปรซิ ึม = พื้นทผี่ วิ ขาง + พนื้ ที่ผิวหนาตัด ปริมาตรปริซึม = พื้นทฐ่ี าน x สงู

108 ตวั อยา ง 1 จงหาพนื้ ที่ผิวของปริซมึ ตอ ไปน้ี กาํ หนดความยาวทห่ี นว ยเปน เซนติเมตร วธิ ีทาํ พืน้ ท่ผี วิ ดา นขาง 4 ดา น = 2(3 x5) + 2 ( 4 x 5) = 70 ตารางเซนตเิ มตร พนื้ ท่ีหนา ตัด = 2 ( 3 x 4) = 24 ตารางเซนตเิ มตร พน้ื ทผ่ี วิ ของปรซิ ึม = 70 + 24 = 94 ตารางเซนตเิ มตร ตัวอยา ง 2 จงหาปริมาตรของปริซึมตอไปนี้ (ความยาวท่ีกาํ หนดใหม หี นวยเปน เมตร) วิธที าํ ปริมาตรปริซึม = พน้ื ท่ีฐาน x สูง = (4 x 5) x 8 = 160 ลูกบาศกเมตร แบบฝกหดั ท่ี 1 จงหาพื้นทีผ่ วิ และปรมิ าตรของปริซมึ ตอไปนี้

109 เรอ่ื งท่ี 2 การหาปรมิ าตรและพ้นื ท่ีผิวของทรงกระบอก ทรงกระบอก คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลมที่เทากันทุกประการ และอยูในระนาบ ท่ีขนานกัน ซง่ึ เมื่อตดั ทรงสามมติ ินี้ดว ยระนาบท่ีขนานกบั ฐานแลว จะไดรอยตัดเปนวงกลมที่เทากัน ทุกประการกับฐานเสมอ พ้ืนทผ่ี วิ ของทรงกระบอก เมื่อคลี่ผิวขางของทรงกระบอกใดๆ พบวา จะเปน รปู สี่เหลี่ยมผืนผาทีม่ คี วามยาวเทา กบั เสน รอบฐานวงกลม และสวนสูงเทากับความสูงของทรงกระบอก สูตร พน้ื ที่ผวิ ของทรงกระบอก = พ้ืนทผี่ ิวขาง + พ้ืนท่ีฐานทงั้ สอง = 2πrh + 2πr 2 เมื่อ r แทน รัศมีของฐานของทรงกระบอก h แทน ความสูงของทรงกระบอก

110 ปริมาตรทรงกระบอก = พ้ืนท่ีฐาน x สงู จาก ปริมาตรของปริซึม = πr 2 h ปริมาตรทรงกระบอก สตู ร ปริมาตรทรงกระบอก = πr 2 h ตัวอยางท่ี 5 กระปองทรงกระบอกใบหนึ่งมีรัศมี 7 เซนตเิ มตร และสูง 10 เซนติเมตร ก) ตองการปดกระดาษรอบขางและปดฝาทั้งสองจะตองใชกระดาษกี่ตาราง เซนตเิ มตร ข) กระปองใบน้มี ีความจุก่ลี ูกบาศกเซนตเิ มตร วธิ ที าํ ก) พ้ืนทฐ่ี านทง้ั หมด = 2πr 2 = 2 × 22 × 7 × 7 7 = 308 ตารางเซนตเิ มตร พน้ื ทีผ่ วิ ขา ง = ความยาวรอบฐาน x สงู = 2πr × h พืน้ ทผ่ี ิวกระปอ ง = 2 × 22 × 7 ×10 7 = = 440 ตารางเซนตเิ มตร = 308 + 440 748 ตารางเซนตเิ มตร ข) ปริมาตร = พื้นท่ฐี าน x สงู = πr 2 h = 22 × 7 × 7 ×10 7 = 1,540 ลูกบาศกเซนติเมตร ดงั น้ัน ก. ตองใชก ระดาษ 748 ตารางเซนตเิ มตร ข. กระปองมีความจุ 1,540 ลูกบาศกเซนตเิ มตร

111 แบบฝก หดั ท่ี 2 1. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. จงหาปริมาตรของทรงกระบอกใบหนึ่งที่มีรัศมีของฐาน 3.5 นวิ้ และสงู 5 นว้ิ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. จงหาปรมิ าตรและพ้ืนท่ผี วิ ท้ังหมดของถังเกบ็ นํา้ รูปทรงกระบอกใบหนงึ่ ที่มรี ัศมีท่ีฐาน 3 เมตร สูง 4 เมตร 90 เซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

112 เรื่องที่ 3 การหาปรมิ าตรของพรี ะมดิ กรวยและทรงกลม 3.1 พืน้ ที่ผวิ และปรมิ าตรของพีระมิด พรี ะมิด คอื ทรงสามมิติทมี่ ฐี านเปนรปู เหลย่ี มใดๆ มยี อดแหลม ซง่ึ ไมอ ยูใ นระนาบเดียวกบั ฐาน และหนา ทุกหนา เปน รปู สามเหลีย่ ม ที่มีจุดยอดรว มกันทย่ี อดแหลม ลักษณะของพรี ะมดิ ตรง 1. หนาของพีระมิดตรงเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 2. สันของพรี ะมิดตรงจะยาวเทากันทุกเสน 3. ความสูงเอียงของพีระมิดตรง ดานเทา มุมเทา จะยาวเทากันทุกเสน 4. ปริมาตรของพีระมิด เปนหนึ่งในสามของปริมาตร ปริซึมที่มีฐานเทากับพีระมิด และมี สวนสูงเทากบั พรี ะมิด สูตร พื้นทผ่ี ิวขา งของพีระมดิ = 1 × ความยาวรอบฐาน x สงู เอยี ง 2 พ้ืนท่ีผวิ ทั้งหมดของพีระมดิ = พ้ืนท่ีผวิ ขา ง + พ้นื ทฐี่ าน ปริมาตรของพีระมิด = 1 × พืน้ ที่ฐาน x สูง 3

113 ตวั อยางท่ี 3 พรี ะมิดฐานส่ีเหลย่ี มผืนผา กวา ง 10 เซนติเมตร ยาว 18 เซนติเมตร และความสูงของ พรี ะมิดเปน 12 เซนติเมตร จงหาความสูงเอียงของพีระมิดทั้งสองดาน 1. ความสูงเอียงดานกวาง a 2 = 122 + 92 =144 + 81 a 2 = 225 a =15 เซนตเิ มตร 2. ความสูงเอียงดานยาว c 2 = 52 + 12 2 = 25 + 144 = 169 c = 13 เซนตเิ มตร ตัวอยางท่ี 4 พรี ะมิดแหง หนึ่งมีฐานเปน รปู สี่เหลยี่ มจัตุรัส ยาวดา นละ 6 เมตร สงู เอยี ง 5 เมตร และ สูงตรง 4 เมตร จงหาพน้ื ทีผ่ ิวและปริมาตรของพรี ะมดิ วธิ ที าํ พนื้ ท่ผี วิ ขา งของพีระมิด = 1 × ความยาวรอบฐาน x สงู เอยี ง พนื้ ทฐ่ี าน 2 ดังนัน้ พนื้ ท่ผี ิวของพีระมดิ ปริมาตรของพีระมิด = 1 × (6x4) x 5 2 = 60 ตารางเมตร = 6x6 = 36 ตารางเมตร = 60 + 36 = 96 ตารางเซนติเมตร = 1 × พน้ื ทีฐ่ าน x สงู 3 = 1 × 36 x 4 3 = 48 ลูกบาศกเมตร

114 แบบฝก หัดที่ 3 1. จงหาปรมิ าตรและพ้นื ท่ผี ิวท้งั หมดของพีระมดิ ทส่ี งู 6 เซนติเมตร ฐานเปนรปู สเี่ หลย่ี มจัตรุ สั ยาว ดา นละ 16 เซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. จงหาพื้นที่ผิวเอียงของพีระมิดฐานรูปหกเหลี่ยมดานเทา มุมเทา ยาวดานละ 4 เซนติเมตร สงู เอยี ง 7.5 เซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

115 3.2 พนื้ ทผ่ี วิ และปรมิ าตรของทรงกรวย กรวย คอื ทรงสามมิตทิ ่ีมฐี านเปนรปู วงกลม มยี อดแหลมทไี่ มอยบู นระนาบเดยี วกับฐาน และเสนท่ตี อ ระหวางจุดยอดกบั จุดใด ๆ บนเสน รอบวงของฐาน เรียกเสนตรงนวี้ า “สงู เอยี ง” สงู ตรง สูงเอยี ง พ้ืนทผ่ี ิวของกรวย การหาพ้นื ทผ่ี ิวเอียงของกรวย ทําไดโ ดยตัดกรวยตามแนวสงู เอียงแลว คล่แี ผอ อกจะเกดิ เปน รูปสามเหลี่ยมฐานโคง h สูตร พ้ืนทผ่ี ิวของกรวย = πrl + πr 2 เมือ่ r เปนรัศมีของฐานกรวย l เปนความยาวของสูงเอียง ปริมาตรของกรวย ความสัมพันธของปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอก จะเหมือนกับความสัมพันธของ ปรซิ ึมกับพีระมดิ ทม่ี ีสวนสูงและพ้ืนท่ีฐานเทา กนั น่ันคอื

116 ปริมาตรของกรวย เปน 1 ของปริมาตรของทรงกระบอก ที่มีพื้นที่ฐานและสวนสูงเทากับ 3 กรวย สตู ร ปริมาตรของกรวย = 1 × πr 2 h 3 เมื่อ r แทน รัศมีของฐานกรวย h แทน ความสูงของกรวย ตวั อยา งท่ี 6 จงหาพ้ืนทผ่ี วิ และปรมิ าตรของกรวย ซงึ่ สงู 24 เซนตเิ มตร และเสน ผา นศูนยก ลาง 14 เซนตเิ มตร รัศมี = 14 = 7 เซนตเิ มตร วธิ ที าํ 2 หาความสูงเอียง (l) จาก  ABO l 2 = 242 + 7 2 = 576 + 49 = 625 l = 25 เซนตเิ มตร พ้นื ทผี่ ิวขาง = πrl พ้นื ทฐี่ าน = 22 × 7 × 25 = 7 = 550 ตารางเซนตเิ มตร = πr 2 = 22 × 7 × 7 7 154 ตารางเซนตเิ มตร พน้ื ที่ผิวทั้งหมด = พน้ื ท่ีผวิ ขา ง + พืน้ ท่ีฐาน = 550 + 154 = 704 ตารางเซนตเิ มตร ปริมาตรของกรวย = 1 × πr 2 h 3 = 1 × 22 × 7 × 7 × 24 37 = 1,232 ลูกบาศกเซนติเมตร พน้ื ท่ผี ิวทัง้ หมด 704 ตารางเซนตเิ มตร ปริมาตรของกรวย 1,232 ลูกบาศกเซนติเมตร

117 แบบฝกหดั ที่ 4 1. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูง 24 เซนติเมตร มีเสน ผา นศูนยกลาง 14 เซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูงเอียง 5 เซนตเิ มตร มเี สนผานศูนยกลาง 8 เซนตเิ มตร (ตอบในรูป π) ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. จงหาปริมาตรจรวดทรงกระบอกมีปลายเปนกรวย มีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร ความยาว ทรงกระบอก 30 เซนตเิ มตร ความสงู ยอดกรวย 12 เซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

118 3.3 พ้ืนท่ผี ิวและปริมาตรของทรงกลม ทรงกลม คอื ทรงสามมติ ทิ ี่มีผวิ โคงเรยี บ และจุดทุกจุดอยูบนผิวโคงอยหู า งจากจุดคงที่จดุ หน่ึงเปนระยะเทากนั จุดคงที่ เรียกวา จุดศูนยก ลางของทรงกลม ระยะท่เี ทากนั เรยี กวา รศั มีของทรงกลม พนื้ ท่ีผิวของทรงกลม พ้ืนที่ผิวของทรงกลม เปนสี่เทาของพื้นที่วงกลม ซึ่งมีรัศมีเทากับรัศมีของทรงกลม จาก พ้นื ทข่ี องรปู วงกลม = πr 2 ดงั น้ัน พน้ื ที่ผิวของทรงกลม = 4 πr 2 สูตร พน้ื ท่ผี วิ ของทรงกลม = 4 πr 2 ปริมาตรของทรงกลม ปริมาตรของทรงกลมอาจหาไดจากการทดลองหาความสัมพันธระหวางปริมาตรของครึ่ง วงกลมกับปริมาตรของกรวย ขอ กาํ หนด 1) ครึ่งของทรงกลมที่มีรัศมี r หนว ย 2) กรวยที่มีรัศมีเทากับครึ่งทรงกลม r หนว ย และสว นสงู ของกรวย (h) เปน 2 เทา ของรัศมี ฐานของกรวย คือ 2 r หนว ย

119 สตู ร ปริมาตรของทรงกลม = 4 πr 3 3 เม่อื แทน r รัศมีของทรงกลม ตัวอยางที่ 7 จงหาปรมิ าตรและพนื้ ท่ีผิวของลูกโลกพลาสตกิ ซง่ึ มีรัศมยี าว 7 เซนติเมตร วิธีทาํ พ้นื ทผ่ี ิวทรงกลม = 4 πr 2 = 4 × 22 × 7 × 7 7 = 616 ตารางเซนตเิ มตร ปริมาตรทรงกลม = 4 πr 3 3 = 4 × 22 × 7 × 7 × 7 37 = 4,312 3 = 1,437.3 ลูกบาศกเซนติเมตร พน้ื ท่ผี วิ ของทรงกลม = 616 ตารางเซนตเิ มตร ปริมาตรของทรงกลม = 1,437.3 ลูกบาศกเซนติเมตร

120 แบบฝก หดั ท่ี 5 1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลมซึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. ทรงกลมมีปริมาตร 38,808 ลกู บาศกเซนตเิ มตร จงหารศั มีและพ้ืนทผ่ี วิ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. ทรงกลมมีพน้ื ท่ผี วิ 616 ตารางนิ้ว จงหาปริมาตรของทรงกลม ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4. โลหะกลมลกู หนึ่ง รัศมภี ายนอก 21 เซนติเมตร รศั มีภายใน 7 เซนตเิ มตร จงหาปรมิ าตรเนอ้ื โลหะ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

121 เรอ่ื งท่ี 4 การเปรยี บเทยี บหนว ยปรมิ าตร การตวง คือ การนาํ สิ่งทต่ี อ งการหาปริมาตรใสในภาชนะท่ีใชสําหรบั ตวง หนว ยการตวง ท่นี ิยมและใชก นั มาก คือ ลติ ร 1 ลติ ร = 1,000 มลิ ลิลติ ร 1,000 ลติ ร = 1 กโิ ลลติ ร เมื่อเทียบกับหนว ยปรมิ าตร หนว ยการตวงในมาตราไทย เปนหนวยการตวงที่นิยมใชกันมาก คอื 1 ถงั = 20 ลติ ร (ทะนานหลวง) 1 เกวียน = 100 ถัง 1 เกวียน = 2 ลูกบาศกเมตร 1 เกวียน = 2,000 ลติ ร 1 ลิตร = 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 10 มิลลิลติ ร = 1 ลูกบาศกเซนติเมตร 1 ลูกบาศกเมตร = 1,000 ลติ ร 1 ลูกบาศกเมตร = 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 1 แกลลอน = 4.546 ลติ ร 1 ลกู บาศกน้วิ = 16.103235 ลูกบาศกเซนติเมตร 1 ลกู บาศกน ้ิว = 0.0164 ลติ ร 1 ลูกบาศกฟุต = 1.728 ลูกบาศกนิ้ว 1 ลกู บาศกฟุต = 28.32 ลติ ร 1 บารเ รล = 158.98 ลติ ร

122 ตัวอยา งท่ี 1 อางน้ําทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใบหนึ่ง กวา ง 30 เซนตเิ มตร ยาว 50 เซนติเมตร และสูง 40 เซนตเิ มตร 1. อางใบน้ีจุน้ํากี่ลติ ร 2. ถา มนี ํา้ บรรจเุ ตม็ อา ง และนาํ้ 1 ลกู บาศกเซนติเมตร หนัก 1 กรัม จงหานํ้าหนักของ นาํ้ ในอา งใบน้ี วธิ ีทํา 1. ปริมาตรของอางน้ํา = ความกวาง × ความยาว × ความสูง แทนคา ปริมาตรของอางน้ํา = 30 × 50 × 40 = 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร เมือ่ เทียบกับหนว ยปรมิ าตร 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1 ลติ ร 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 60,000 = 60 ลติ ร 1,000 2. น้าํ 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนกั 1 กรมั นํ้า 60,000 ลูกบาศกเ ซนติเมตร หนัก 60,000 กรมั = 60,000 = 60 กโิ ลกรมั 1,000 ตอบ 60 กโิ ลกรมั ตวั อยางที่ 2 ถังเก็บน้ําฝนทรงกระบอกเสนผานศูนยกลางภายใน 3 เมตร สงู 5 เมตร คดิ เปน ปริมาตรของน้าํ กี่ลิตร วธิ ที ํา ปริมาตร = πr2 h = 22 ×1.5 ×1.5 × 5 7 = 35.36 ลูกบาศกเมตร = 35.36 X 1,000,000 ลกู บาศกเซนตเิ มตร = 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร เนอ่ื งจาก 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1 ลติ ร ดังน้ัน 35,360,000 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร = 35,360,000 = 35,360 ลติ ร 1,000

123 แบบฝกหดั ท่ี 6 1. สระแหง หนง่ึ เปน รูปสีเ่ หล่ียมผนื ผา กนสระกวาง 5 วา ลกึ 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถาใชเครื่องสบู นํ้า ออกจากสระไดนาทลี ะ 9,000 ลิตร จะตองใชเ วลาสบู นา้ํ เทาไร ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 2. อางเลี้ยงปลาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 90 เซนติเมตร ยาว 1.2 เมตร จุนํา้ 540 ลิตร ตองการปู กระเบือ้ งภายในอา งดว ยแผนกระเบือ้ งรปู ส่เี หล่ียมจัตุรัส ยาวดานละ 10 เซนติเมตร ตองใชก ระเบอ้ื ง อยางนอ ยทส่ี ุดเทา ไร ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 3. นายาบวนปากขวดหนึ่งปริมาตรสุทธิ 700 มิลลิลติ ร ใชอมปว นปากคร้งั ละ 10 มลิ ลิลิตร วันละ 2 ครั้ง จะใชไ ดกวี่ นั ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 4. ถังน้ําทรงลูกบาศกยาวดานละ 2 เมตร จนุ ้าํ ไดกี่ลติ ร ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 5. ถังทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากวัดภายในกวาง 90 เซนตเิ มตร ยาว 1.50 เซนติเมตร สงู 1.20 เมตร บรรจุน้ํา เตม็ ถัง ถาตอ งการตวงน้ําจากถังใสแกลอนซึ่งมีความจุ 4.5 ลิตร จะไดน้าํ ท้งั หมดกี่แกลอน ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

124 เร่อื งที่ 5 การแกโ จทยปญ หาเกีย่ วกับปรมิ าตรและพื้นทีผ่ ิว ตัวอยาง ลังกระดาษบรรจุกลองซีดี วัดความยาวภายในไดกวาง 12 เซนติเมตร บรรจุ ยาว 14 เซนตเิ มตร และสูง 15 เซนตเิ มตร และบรรจุกลอ งซดี เี ตม็ ลังพอดี ลงั กระดาษน้มี ปี รมิ าตรเทา ไร และถา หยบิ กลอ ง ซดี อี อกมา 1 กลอ ง ซงึ่ มปี รมิ าตร 270 ลูกบาศกเซนติเมตร กลองซีดีจะหนาเทาไร วิธที าํ ลังกระดาษมีปริมาตร = พ้นื ทฐ่ี าน x สูง = (12 x 14) x 15 = 2, 520 ลูกบาศกเซนติเมตร กลอ งซดี ี 1 กลอง มีปริมาตร = พ้นื ท่ฐี าน x หนา 270 = (12 x 15) x หนา หนา = 270 กลอ งใสซีดมี คี วามหนา = 12 ×15 1.5 เซนตเิ มตร ลังกระดาษมีปริมาตร 2,520 ลูกบาศกเซนติเมตร ตวั อยาง นาํ้ ขนั ครง่ึ วงกลมรัศมี 3 น้ิว ตักนํ้าใสถ งั ทรงกระบอกทีม่ ีรศั มี 10 น้ิว และสงู 27 น้ิว กี่คร้ัง นาํ้ จงึ จะเตม็ ถงั วิธีทํา ปริมาตรน้ํา 1 ขัน = 1 ของปริมาตรของทรงกลม 2 = 1 × 4 πr 3 23 = 1 × 4 ×π ×3×3×3 23 = 18 π ลูกบาศกน ิว้ ปริมาตรถังทรงกระบอก = πr 2 h = π ×102 × 27 = 2,700 π ลูกบาศกน้วิ จะตองตักนาํ้ = 2,700π ครัง้ ตอบ 18π = 150 คร้ัง 150 ครงั้

125 แบบฝกหัดที่ 7 1. ถงั เก็บนาํ้ มันของปม แหงหนึง่ เปน รปู ทรงกลม มเี สน ผานศนู ยก ลาง 7 เมตร ตองการทาสีครึ่ง ทรงกลมบน โดยเสียคาทาสีตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสียคาทาสีกี่บาท ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. หินออนทรงลูกบาศกมีขนาดดานละ 2.1 เมตร ถาตองการกลึงใหเปนรูปทรงกลมใหมีขนาดเสน ผานศูนยกลางเทากับความยาวของดานลูกบาศก จงหาวาจะตองกลึงหินออกไปปริมาตรเทาใด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. นําแทงตะกั่วทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 8 นว้ิ ยาว 11 น้ิว หนา 5 นว้ิ ไปหลอมเปน ลูกปน ทรงกลม ขนาดรัศมี 1 นิว้ จะหลอมไดกี่ลูก ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

126 เรอ่ื งที่ 6 การคาดคะเนเกย่ี วกบั ปรมิ าตรและพ้นื ทีผ่ ิว การคาดคะเนพื้นที่ เปนการประมาณพื้นที่อยางคราวๆ จากการมองโดยอาศัยประสบการณ และความรูเกี่ยวกับขนาดและความยาวมาชวยในการเปรียบเทียบและตัดสินใจ เพื่อใหใกลเคียงกับ พนื้ ทจ่ี รงิ มากทสี่ ดุ หนวยพ้นื ท่ที นี่ ิยมใช คือ ตารางเซนติเมตร(ซม.2 ) ตารางเมตร(ม.2) และตารางวา (วา2) การคาดคะเนพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม ตัวอยาง จงคะเนหาพ้ืนท่ีรูปหลายเหล่ยี มตอ ไปน้ี

127 วธิ ีคดิ ในบางคร้งั การหาพ้ืนท่ีรปู หลายเหล่ยี มตางๆ ทไี่ มไ ดระบหุ นวยความยาว เราอาจจะใช วธิ ีการสรางหนวยตาราง 1 หนว ย คลุมพื้นท่ดี งั กลาว โดยกาํ หนด แทนพน้ื ท่ี 1 หนวย หรอื แทนพืน้ ท่ี 1 ตารางเซนตเิ มตร หรอื แทนพืน้ ที่ 1 ตารางเมตร หรอื แทนพน้ื ท่ี 1 ตารางวา จากรูปภาพนับรปู ได 22 รูป ซงึ่ แทนพน้ื ท่ี 22 ตารางหนว ย ดงั นนั้ พน้ื ท่ีรปู หลายเหลย่ี ม = 22 ตารางหนวย

128 บทท่ี 7 คูอันดบั และกราฟ สาระสําคัญ คอู ันดับ เปน การจบั ครู ะหวางสมาชิกสองตวั จากกลุม เพ่อื นําไปจดั ทํากราฟบนระนาบพกิ ัด หาปริมาณ ความเกี่ยวของของปริมาณสองชุด ผลการเรียนรูทีค่ าดหวงั 1. อานและอธิบายความหมายคูอันดับได 2. อานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพิกัดฉากที่กําหนดใหได 3. เขียนกราฟแสดงความเกี่ยวของของปริมาณสองชุดที่กําหนดใหได ขอบขา ยเน้ือหา เร่ืองที่ 1 คูอ ันดับ เร่ืองท่ี 2 กราฟของคูอ ันดับ เร่ืองท่ี 3 การนําคูอันดับและกราฟไปใช

129 เรือ่ งที่ 1 คูอ ันดบั คอู ันดับ (Ordered pairs) เปนการจับคูระหวางสมาชิกสองตัวจากกลุม 2 กลมุ ท่ีมี ความสัมพนั ธภายใตเ ง่ือนไขทีก่ ําหนด เขยี นแทนดว ยสัญลักษณ (a , b) อา นวา คอู นั ดับเอบี เรียก a วา สมาชิกตวั หนา หรือสมาชิกตัวที่หนง่ึ และเรียก b วา สมาชิกตัวหลัง หรอื สมาชกิ ตัวที่สอง ดงั แผนภาพ เขยี นเปนคูอันดับไดดงั น้ี (1, 12), (2,24), (3,36), (4,48) หมายเหตุ คูอ ันดบั (1,a) ≠ (a,1) ถา กาํ หนด ( a , b ) และ ( x , y ) เปนคูอันดับ 2 คใู ดๆ จะไดว า ( a , b ) = ( x , y ) กต็ อ เมื่อ a = x และ b = y เชน 1. ( x , y ) = (5 , 12) ดงั นนั้ x = 5 และ y = 12 2. (x – 3, y – 2 ) = (0,0) วิธที ํา x – 3 = 0 และ y – 2 = 0 ดังน้ัน x = 3 และ y = 2

130 แบบฝก หดั ที่ 1 1. จงเขยี นคอู ันดบั จากแผนภาพทก่ี าํ หนดใหต อไปน้ี 1). ………………………………………………………………………………………… 2). ………………………………………………………………………………………… 3). ………………………………………………………………………………………… 2. จงหาคา x และ y จากเงื่อนไขท่กี าํ หนดใหในแตล ะขอตอไปนี้ 1). (x,y) = (4,3) ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 2). (x,y) = (y,2)

131 ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 3). (x,0) = (6,y) ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 4). (x+1,y) = (5,4) ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

132 เรอ่ื งท่ี 2 กราฟของคอู ันดับ กราฟของคูอ ันดับเปนแผนภาพทีแ่ สดงความสัมพันธระหวางสมาชิกของกลุมหนึง่ กลับ สมาชิกของอีกกลุม หนึ่งโดยใชเสนจํานวนในแนวนอนหรือแนวตั้ง ใหตัดกันเปนมุมฉาก ที่ ตาํ แหนง ของจดุ ทแ่ี ทนศนู ย (0) ซง่ึ เราเรยี กวา จดุ กาํ เนิด ดงั ภาพ เสน จาํ นวนในแนวนอน หรอื แกน X และเสน จาํ นวนในแนวตง้ั หรอื แกน Y อยูบนระนาบ เดยี วกนั และแบง ระนาบออกเปน 4 สว นเรยี กวา จตุภาค (Quadrant) การอา นและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกิ ัดฉากทีก่ ําหนดให

133 ตาํ แหนง ของจุด A คอื (1,2) ตาํ แหนง ของจุด B คอื (-2,3) ตาํ แหนง ของจุด C คอื (-3,-2) ตาํ แหนง ของจุด D คอื (2,-4) เรยี กจดุ ท่ีแทนตําแหนงคูอนั ดบั วา กราฟของคูอันดบั และเรยี กตาํ แหนงของคูอันดบั วา พกิ ดั ตวั อยา ง กาํ หนด A = (-4,6) , B= (3,-5) , C= (2,2) , D = (-1,-2) จดุ A, B, C, D อยูในจตุภาคใด วธิ ที าํ จดุ A = (-4,6) อยใู นจตุภาคที่ 2 จดุ B = (3,-5) อยใู นจตภุ าคท่ี 4 จดุ C = (2,2) อยใู นจตภุ าคท่ี 1 จดุ D = (-1,-2) อยใู นจตภุ าคท่ี 3

134 แบบฝก หดั ที่ 2 1. จงหาพกิ ดั ของจดุ A, B, C, D ในแตล ะขอ 1.1 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 1.2 ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

135 2. จงเขียนกราฟของคูอันดบั ในแตละขอ 1). (1, 2), (-2, 4), (3, -6), (4, 0) 2). (5, -1), (2, 2), (-4, 3), (-2, 0)

136 เรือ่ งท่ี 3 การนาํ คูอ ันดบั และกราฟไปใช เราสามารถนําคูอนั ดับและกราฟไปใชใ นชีวิตประจําวันได ซง่ึ จะกลาวในตวั อยางตอไปนี้ ตวั อยางที่ 1 กราฟที่แสดงปริมาณน้ํามัน (ลิตร) และราคาน้ํามัน (บาท) ของวนั ที่ 5 เดือนมีนาคม ป 2552 ซึ่งมีราคาลิตรละ 19 บาท วธิ ที ํา ราคานํา้ มนั (บาท) ปริมาณนํ้ามนั (ลติ ร) ตัวอยางท่ี 2 จากกราฟในตวั อยา งที่ 1 จงตอบคําถามตอไปนี้ (1) นํา้ มัน 9 ลิตร ราคาเทาใด (2) เงนิ 209 บาท ซอ้ื นํ้ามนั ไดก่ีลิตร วธิ ีทาํ

137 (1) จากตาํ แหนง แสดงปรมิ าณนาํ้ มนั 9 ลติ ร ลากเสนตรงใหขนานกับแกนตั้งไป ตดั กราฟและจากจุดทต่ี ดั กราฟลากเสน ตรงขนานแกนนอนไปตดั แกนท่ีแสดงราคานาํ้ มนั เปน เงิน 171 บาท ดงั นนั้ นํ้ามัน 9 ลติ ร เปนราคา 171 บาท (2) จากตาํ แหนง แสดงราคานาํ้ มนั 209 ลติ ร ลากเสน ตรงใหข นานกับแกนนอนไปตัดกราฟและ จากจุดที่ตัดกราฟลากเสนตรงขนานแกนตั้งไปตัดที่แกนแสดงจํานวนน้ํามันเปนปริมาณ 11 ลติ ร ดงั นน้ั เงิน 209 ลติ ร จะซื้อนาํ้ มันได 11 ลติ ร แบบฝก หัดท่ี 3 กราฟขางลางแสดงการเดินทางของอนุวัฒนและอนุพันธ จงใชกราฟที่กําหนดใหตอบคําถามตอไปนี้ 1.อนุวัฒนอ อกเดินทางกอนอนพุ นั ธก ่ชี ั่วโมง 4.อนวุ ัฒนอ อกเดนิ ทางนานเทา ไรจงึ จะหยดุ พกั ................................................................. ................................................................. 2.อนุพันธใชเวลาเดินทางกี่ชั่วโมงจึงทันอนุวฒั น 5.ตาํ แหนง ท่ีอนวุ ัฒนห ยุดพกั หา งจากตาํ แหนง ท่ี อนุพันธอ อกเดินทางก่ีกิโลเมตร ................................................................. ................................................................. 3. อนุพันธเ ดินทางทนั อนุวัฒนเม่ือทง้ั สอง เดินทางไดก ีก่ โิ ลเมตร .................................................................

138 บทท่ี 8 ความสมั พนั ธระหวา งรปู เรขาคณติ สองมิตแิ ละสามมติ ิ สาระสําคัญ รูปเรขาคณิตสองมิติ และสามมิติ มีความสัมพันธกันเปนอยางมาก เหมาะที่จะนําไปใชใน การประดิษฐเปน รูปลูกบาศกแ ละใชป ระโยชนใ นชวี ติ ประจาํ วัน ผลการเรยี นรทู ค่ี าดหวัง 1. อธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติจากภาพสองมิติที่กําหนดใหได 2. ระบุภาพสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง ดานบน ของรูปเรขาคณิตสาม มติ ทิ ีก่ าํ หนดใหได 3. วาดหรือประดษิ ฐร ปู เรขาคณิตท่ีประกอบขึ้นจากลูกบาศกเมื่อกําหนดภาพสองมิติที่ได จากการมองทางดานหนา ดานขาง หรือดานบนได ขอบขา ยเน้ือหา เรื่องท่ี 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมิติที่เกิดจากการคลี่รูปเรขาคณิตสามมิติ เรื่องท่ี 2 ภาพสองมติ ิที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง หรือดา นบนของรปู เรขาคณิตสามมิติ เรื่องที่ 3 การวาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณิตที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศก

139 เร่ืองที่ 1 ภาพของรูปเรขาคณติ สองมติ ทิ เี่ กดิ จาการคล่ีรูปเรขาคณติ สามมิติ รูปเรขาคณิตมีสวนเกีย่ วของสัมพันธกับชีวิตประจําวันมนุษยตัง้ แตอดีตจนถึงปจจุบัน สิ่งแวดลอมตางๆ ที่อยูร อบตัวเราลวนเปนไปดวยวัตถุรูปเรขาคณิต นอกจากนีเ้ ราใชเรขาคณิตเพื่อ ทําความเขาใจหรืออธิบายสิ่งตางๆ รอบตวั เชน ในการสํารวจพ้นื ที่ สรางผังเมือง เปนตน ภาพของรูปเรขาคณิต รูปเรขาคณติ เปน รปู ท่ีประกอบดวย จดุ ระนาบ เสนตรง เสนโคง ฯลฯ อยา งนอยหนง่ึ อยา ง ตวั อยา งภาพเรขาคณิตสองมิติ ตัวอยา งรปู เรขาคณติ สามมติ ิ จะเห็นวา รูปเรขาคณิตสามมิติ หรือทรงสามมิติ มีสวนประกอบของรูปเรขาคณิตหนึ่งมิติ และสองมิติ

140 รูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติ รูปคลี่ของรปู เรขาคณิตสามมิติ หรือทรงสามมิติใดๆ เปนรูปเรขาคณิตสองมิติที่สามารถ นํามาประกอบกันแลวไดทรงสามมิติ พิจารณาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความกวาง ความยาว และความสูง 1 หนวย เทา กัน ซ่ึงเรา เรียกทรงส่เี หล่ียมมุมฉากน้ีวา “ลูกบาศก”

141 แบบฝก หัดที่ 1 1. จงบอกชนิดของรูปเรขาคณิตสามมติ ทิ ่ีมีรปู คลี่ดงั ตอ ไปนี้ 1. ……..………………………...…. 2. ….………………………………. 3. …….…………………………….. 4. …..……………………………….

142 2. จงเขียนรูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติในแตละขอตอไปน้ี

143 เรือ่ งที่ 2 ภาพสองมติ ทิ ่ไี ดจ ากการมองดานหนา ดา นขา ง หรอื ดานบนของรปู เรขาคณติ สามมติ ิ โดยทั่วไปการเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติ ในการอธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติ นยิ มเขยี น 3 ภาพ ซึ่งประกอบดวย ภาพที่ไดจากการมองทางดานหนา ดานขาง และดา นบน ดงั ตวั อยาง ตวั อยา ง จงแรเงาพรอมทั้งเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติสวนที่เปนดานบน ดานหนา และดานขางของ ทรงสามมิติที่กําหนดใหตอไปนี้

144 วิธที าํ