45 แบบฝกหดั ที่ 10 1. ใหนกั ศกึ ษาแกป ญหาโจทยต อไปน้ี 1) เชอื กยาว 17.25 เมตร นําอีกเสนหนงึ่ ยาว 5.2 เมตร มาผกู ตอกันทําใหเสียเชือกตรง รอยตอ 0.15 เมตร นาํ เชือกทีต่ อ แลวมาวางเปนรปู สเี่ หล่ียมผนื ผา ใหด า นกวา งยาวดา นละ 1.5 เมตร ดา นยาวจะยาวดา นละกเ่ี มตร ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………… 2. น้ําตาลถุงหน่งึ หนัก 9.35 กิโลกรมั จํานวน 16 ถงุ ใชท าํ ขนมเฉลย่ี แลว วนั ละ 4.4 กิโลกรมั จะใชนํา้ ตาลไดทั้งหมดกว่ี ัน ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………… 3. หองรปู สี่เหลย่ี มผืนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร นาํ กระเบ้อื งรูปสเ่ี หลยี่ มจัตรุ ัสขนาด 32 ตารางเซนติเมตร มาปูหอ งจะตองใชก ระเบื้องกี่แผน ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………… 4. มีทองคําแทงหนึง่ หนกั 12.04 กรัม ซื้อเพ่ิมอกี 25.22 กรัม แบง ขายไปสองครงั้ หนกั ครัง้ ละ 8.02 กรมั ที่เหลอื นําไปทําแหวน 5 วง หนกั วงละ 3.45 กรัมเทา ๆ กัน จะเหลือทองอีกก่ีกรมั ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ………………………………………………………………………………………………………
46 บทท่ี 3 เลขยกกาํ ลงั สาระสําคัญ สญั ลักษณข องการเขยี นแทนการคูณจาํ นวนเดยี วกนั ซํา้ ๆ หลาย ๆ ครงั้ เขยี นแทนดว ย an อา นวา a ยกกําลัง n และการเขยี นแสดงจาํ นวนในรปู สัญกรณว ิทยาศาสตรได ผลการเรยี นรูทคี่ าดหวัง 1. บอกความหมายและเขียนเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มแทนจํานวนที่ กาํ หนดใหได 2. บอกและนําเลขยกกําลังมาใชใ นการเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได 3. อธิบายการคณู และหารของเลขยกกาํ ลังทมี่ ีฐานเดียวกนั และเลขชกี้ าํ ลงั เปน จํานวนเต็มได ขอบขา ยเน้ือหา เร่ืองท่ี 1 ความหมายและการเขียนเลขยกกําลัง เรื่องที่ 2 การเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร เรื่องที่ 3 การคูณและการหารเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกันและเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
47 เรอื่ งที่ 1 ความหมายและการเขยี นเลขยกกําลงั เลขยกกาํ ลัง หมายถึง การใชส ญั ลกั ษณ เขยี นแทนจาํ นวนทเ่ี กิดข้ึนจากการคูณ ซ้าํ ๆ กนั หลายๆ ครัง้ เชน 3× 3× 3× 3 สามารถเขยี นแทนไดด ว ย 34 อานวา สามยกกาํ ลังส่ี ซึ่งมีบทนิยาม ดงั นี้ บทนิยาม ถา a แทนจาํ นวนใด ๆ และ n แทนจาํ นวนเตม็ บวก “a ยกกําลัง n” หรือ “a กําลงั n” เขยี นแทนดว ย an = a×a×a×......×a n เรียก an วาเลขยกกําลงั ทมี่ ี a เปน ฐานและ n เปน เลขช้ีกาํ ลงั เชน 45 แทน 4 × 4 × 4 × 4 × 4 45 มี 4 เปนฐาน และมี 5 เปนเลขชกี้ ําลงั สัญลกั ษณ 45 อานวา “สย่ี กกําลังหา” หรือ “สกี่ ําลงั หา ” หรือกําลังหา ของสี่ (− 2)6 แทน (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) (− 2)6 มี (− 2) เปน ฐาน และมี 6 เปนเลขชีก้ ําลงั ในทาํ นองเดียวกันสญั ลักษณ (− 2)6 อา นวา “ลบสองทั้งหมดยกกําลังหก” หรือกําลัง หกของลบสอง จงพจิ ารณาตารางตอ ไปน้ี เลขยกกาํ ลงั ฐาน เลขช้กี ําลงั เขยี นในรปู ของการคูณ แทนจาํ นวน 33 3 3 3×3×3 27 4 5 4×4×4×4×4 1,024 45 -2 4 (-2) ×(-2) ×(-2) ×(-2) 16 2 1×1 (− 2)4 1 1 22 1 2 2 4 2 y X×X×X…(y ครงั้ ) x X×X×X…(y คร้งั ) xy ตัวอยาง จงตอบคําถามตอไปนี้ วธิ ที ํา 1. 83 อา นวา 8 ยกกําลัง 3 1. 83 อานวาอยางไร 2. 103 มี 10 เปน ฐาน 2. 103 มจี าํ นวนใดเปน ฐาน 3. 115 มี 5 เปน เลขช้กี าํ ลัง 3. 115 มีจาํ นวนใดเปน เลขช้กี าํ ลัง 4. 53 มีความหมายเทากับ 5 ×5×5 4. 53 มีความหมายอยางไร 5. (− 5)5 อา นวา (-5) ลบหาทั้งหมดยกกําลังหา 5. (− 5)5 อา นวา อยางไร
48 แบบฝกหดั ที่ 1 1. จงเขยี นจาํ นวนตอ ไปนใ้ี นรูปเลขยกกาํ ลงั ทม่ี เี ลขชีก้ ําลงั เปน จํานวนเต็มท่มี ากกวา 1 พรอมท้งั บอกฐานและเลขชก้ี ําลงั 1.1 25 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปน เลขชก้ี าํ ลัง 1.2 64 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขช้ีกาํ ลัง 1.3 169 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขชีก้ ําลัง 1.4 729 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขชก้ี าํ ลัง 1.5 -32 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขชี้กาํ ลัง 1.6 -243 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปน เลขชี้กําลัง 1.7 0.125 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขชกี้ าํ ลัง 2. จงเขยี นจาํ นวนทแ่ี ทนดว ยสญั ลกั ษณตอไปน้ี 2.1 28 =…………………………………=……………………………… 2.2 (− 3)4 =…………………………………=……………………………… 2.3 (0.3)5 =…………………………………=……………………………… 2.4 (0.02)6 =…………………………………=……………………………… 2.5 1 3 =…………………………………=……………………………… 3 2.6 2 3 =…………………………………=……………………………… 7 =…………………………………=……………………………… =…………………………………=……………………………… 2.7 (− 5)4 2.8 − 23 2.9 1 5 =…………………………………=……………………………… 10 2.10 (0.5)6 =…………………………………=………………………………
49 เรอ่ื งที่ 2 การเขยี นแสดงจํานวนในรปู สัญกรณวทิ ยาศาสตร การเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอยใู นรูปสัญกรณว ิทยาศาสตร มีรปู ท่ัวไปเปน A × 10n เม่ือ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจํานวนเตม็ พิจารณาการเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอ ยูใ นรูปสญั กรณว ทิ ยาศาสตรตอไปน้ี 1. 2,000 = 2 × 1,000 = 2 × 103 2. 800,000 = 8 × 100,000 = 8 × 105 ตวั อยางท่ี 1 จงเขียน 600,000,000 ใหอ ยใู นรปู สัญกรณว ิทยาศาสตร วธิ ีทาํ 600,000,000 = 6 × 100,000,000 = 6 × 108 ตอบ 6 × 108 ตวั อยา งท่ี 2 จงเขยี น 73,200,000 ใหอยูใ นรูปสัญกรณว ิทยาศาสตร วธิ ที ํา 73,200,000 = 732 × 100,000 = 7.32 × 100 × 100,000 = 7.32 × 102 × 105 = 7.32 × 107 ตวั อยา งท่ี 3 ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร จงเขยี นใหอ ยใู น รูปสัญกรณวิทยาศาสตร วธิ ที าํ ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร 113,000,000 = 113 × 1,000,000 = 113 × 100 × 1,000,000 = 1.13 × 102 × 106 = 1.13 × 108 ตอบ 1.13 × 108 เมตร
50 แบบฝกหัดที่ 2 1. จงเขยี นจาํ นวนตอ ไปนใ้ี นรปู สัญกรณวทิ ยาศาสตร 1. 400,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 2. 23,000,000,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3. 639,000,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 4. 247,500,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 2. ดาวเสารอยูหางจากดวงอาทิตยประมาณ1,430,000,000 กโิ ลเมตร จงเขียนใหอยใู นรปู สัญกรณ วิทยาศาสตร 1,430,000,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3. สัญกรณวิทยาศาสตรใ นแตละขอตอไปนแ้ี ทนจาํ นวนใด 3.1 2 × 106 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3.2 4.8 × 1013 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3.3 4.03 × 109 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3.4 9.125 × 105 =……………………………………………………………… =………………………………………………………………
51 3. การคูณและการหารเลขยกกาํ ลงั ท่มี ฐี านเดยี วกนั และเปน เลขชก้ี ําลังเปน จาํ นวนเตม็ 3.1 การคณู เลขยกกาํ ลงั เมื่อเลขชี้กําลงั เปน จาํ นวนเตม็ พจิ ารณาการคูณเลขยกกาํ ลังท่ีมฐี านเปน จํานวนเดยี วกนั ตอไปน้ี 23 × 24 = ( 2× 2× 2 )×( 2× 2× 2× 2 ) = 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2 = 27 หรือ 23+4 32 × 33 = (3× 3)× (3× 3× 3) = 3 × 3 × 3 × 3 ×3 = 35 หรอื 32+3 1 3 × 1 2 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 3 3 3 3 3 3 3 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 3 3 3 3 3 = 1 5 หรือ 1 3 + 2 3 3 การคูณเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวกเปนไป ตามสมบัติของการคูณเลขยกกําลังดังนี้ เมอื่ a แทนจาํ นวนใด ๆ m และ n แทนจาํ นวนเตม็ บวก =am × an am+n
52 แบบฝก หดั ที่ 3 1. จงเขยี นจาํ นวนทีแ่ ทนดว ยสญั ลกั ษณตอ ไปนี้ 1.1 25 × 26 =……………………………=………………………………… 1.2 25 × 32 =……………………………=………………………………… 1.3 (2 × 3)3 =……………………………=………………………………… 1.4 (0.75)2 =……………………………=………………………………… 1.5 −12 × 32 =……………………………=………………………………… =……………………………=………………………………… 3 1.6 (− 3× 2)3 1.7 2 3 × 5 4 =……………………………=………………………………… =……………………………=………………………………… 5 2 =……………………………=………………………………… =……………………………=………………………………… 1.8 1 6 × 7 5 7 2 1.9 (0.5)3 1 4 2 1.10 (−11)2 (−11)3 2. จงเขียนผลคูณของจาํ นวนในแตละขอตอไปนี้ในรูปเลขยกกาํ ลงั =……………………………=………………………………… 2.1 22 × 23 × 27 2.2 (− 3)3 × (− 3)× (− 3)5 =……………………………=……………………………… 2.3 5 × 625 × 5 2 =……………………………=………………………………… 2.4 121 × 11 ×112 =……………………………=………………………………… 2.5 (− 3)4 × (− 3)3 × (− 3)7 =……………………………=………………………………
53 3.2 การหารเลขยกกาํ ลังเม่อื เลขช้กี าํ ลงั เปน จาํ นวนเตม็ การหารเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและฐานไมเทากับศูนยมีเลขชี้กําลังเปน จํานวนเต็มบวกในรูปของ am ÷ an จะพจิ ารณาเปน 3 กรณี คือ เมอ่ื m > n , m = n และ m < n ดงั น้ี กรณีท่ี 1 am ÷ an เม่ือ a แทนจํานวนใด ๆ ทีไ่ มใชศ นู ย m,n แทนจาํ นวนเตม็ บวก และ m > n พิจารณาการหารเลขยกกําลังตอไปนี้ 1. 25 = 2×2×2×2×2 22 2×2 2. 37 35 = 2×2×2 = 23 หรือ 25−2 = 3×3×3×3×3×3×3 3×3×3×3×3 = 3 2 หรอื 3 7−5 3. (− 5)8 = (− 5)(− 5)(− 5)(− 5)(− 5)(− 5)(− 5)(− 5) (− 5)3 (− 5)(− 5)(− 5) = (− 5)(− 5)(− 5)(− 5)(− 5) = (− 5)5 หรอื (− )5 8−3 จากการหารเลขยกกําลังขางตนจะเห็นวา ผลหารเปนเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดิม และเลขชี้กําลังเทากับเลขชี้กาํ ลังของตัวตั้ง ลบดวยเลขชี้กําลังของตัวหาร ซึ่งเปนไปตามสมบัติของ การหารเลขยกกําลังดังนี้ เมอ่ื a แทนจาํ นวนใด ๆ ทีไ่ มใ ชศ ูนย m , n แทนจาํ นวนเตม็ บวก และ m > n am ÷ an = am−n
54 ตวั อยางที่ 1 จงหาผลลพั ธ 510 ÷ 54 วิธีทํา 510 = 510−4 54 = 56 ตอบ 56 ตวั อยา งที่ 2 จงหาผลลัพธ (0.2)6 ÷ (0.2)3 วิธีทาํ (0.2)6 = (0.2)6−3 (0.2)3 = (0.2)3 = (0.2)(0.2)(0.2) = 0.008 ตอบ 0.008 กรณีท่ี 2 am ÷ an เมอื่ a แทนจาํ นวนใด ๆ ทไี่ มใ ชศนู ย m , n แทนจาํ นวนเตม็ บวก และ m = n พิจารณา 54 ÷ 54 ถาใชบทนิยามของเลขยกกําลังจะได 54 = 5× 5× 5× 5 54 5×5×5×5 =1 ถาลองใชสมบัติของการหารเลขยกกําลัง am ÷ an = am−n , a ≠ o ในกรณีที่ m = n จะได =54 54−4 54 = 50 แตจากการใชบทนิยามของเลขยกกําลังดังที่แสดงไวขางตน เราไดวา 54 ÷ 54 = 1 ดังนนั้ เพื่อใหสมบัตขิ องการหารเลขยกกําลัง am ÷ an = am−n ใชไ ดใ นกรณีที่ m = n ดวยจึงตองให 50 = 1 ในกรณีทั่ว ๆ ไปมีบทนิยามของ a0 ดงั น้ี บทนยิ าม เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ทีไ่ มใชศ ูนย a0 = 1 จะเหน็ วา am ÷ an = am−n , a ≠ o เปนจริงในกรณที ่ี m = n ดว ย
55 ตวั อยางท่ี 1 จงหาผลลพั ธ 73 × 75 78 วธิ ที ํา 73 × 75 = 73+8 78 78 = 78 78 = 78−8 = 70 =1 ตอบ 1 กรณีที่ 3 am ÷ an เม่อื a แทนจาํ นวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m , n แทนจาํ นวนเตม็ บวก และ m < n พิจารณา 25 ÷ 28 ถาใชบทนิยามของเลขยกกําลัง จะได 25 = 2×2×2×2×2 28 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2 =1 2×2×2 = 1 23 ถาลองใชสมบัติของการหารเลขยกกําลัง am ÷ an = ,am−n a ≠ 0 ในกรณที ี่ m < n จะได 25 = 25−8 28 2 −3 = แตจากการใชบทนิยามของเลขยกกําลังขางตน เราไดวา 25 ÷ 28 = 1 ดงั นั้นเพ่ือให 23 สมบัติของการหารเลขยกกําลัง =am ÷ an am−n ใชไ ดในกรณที ี่ m < n ดวยจงึ ตองให 2−3 = 1 ในกรณที ัว่ ๆ ไปมบี ทนยิ ามของ a−n ดงั น้ี 23 บทนยิ าม เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ทีไ่ มใชศนู ยแ ละ n แทนจาํ นวนเตม็ บวก a−n = 1 an
56 ตัวอยางที่ 1 จงหาผลลพั ธ 116 ×114 ×117 ในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนบวก 1113 ×113 ×112 วิธีทาํ 116 ×114 ×117 = 116+4+7 1113 ×113 ×112 1113+3+2 = 1117 1118 = = 1117−18 = 11−1 ตอบ 1 1 11 11
57 แบบฝก หัดที่ 4 1. จงหาผลลัพธ 1.1 29 ÷ 22 1.2 36 ÷ 3 1.3 113 ÷116 1.4 1 4 ÷ 1 2 5 5 1.5 (0.03)5 ÷ (0.03)4 1.6 (0.8)5 ÷ 4 7 5 1.7 ( )53 × 54 ÷ 57 1.8 ( )76 × 7 ÷ 74 ( )1.9 132 × 134 ÷135 1.10 (m6 ÷ m7 )× m4 เมอ่ื m ≠ 0 2. จงหาผลลัพธตอ ไปน้ีในรูปทม่ี ีเลขชี้กําลังเปน จาํ นวนเต็มบวก 2.1 53 × 5−4 2.2 38 × 3−6 32 2.3 4−6 ÷ 4 2.4 26 × 2−1 (− 2)0 2.5 (1.5)2 (1.5)3 2.6 x2 ÷ x5 เมอ่ื x ≠ 0 2.7 (a3 × a)÷ (a0 × a5 ) เมอ่ื a ≠ 0 2.8 m −7 เมอ่ื m ≠ 0 m −5
58 บทท่ี 4 อัตราสว นและรอยละ สาระสําคัญ 1. อัตราสวนเปนการเปรียบเทียบปริมาณ 2 ปริมาณข้ึนไป จะมหี นวยเหมือนกัน หรอื ตา งกนั ก็ได 2. รอ ยละเปน อตั ราสวนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณหนง่ึ ตอ 100 ผลการเรยี นรูทค่ี าดหวงั 1. บอกและกาํ หนดอัตราสว นได 2. สามารถคาํ นวณสดั สว นได 3. สามารถหาคารอยละได 4. สามารถแกโจทยปญหาในสถานการณตางๆ เกย่ี วกับอัตราสว น สัดสว น และรอยละได ขอบขา ยเน้ือหา เร่ืองท่ี 1 อัตราสว น เรื่องท่ี 2 สดั สว น เร่ืองที่ 3 รอยละ เรื่องที่ 4 การแกโจทยป ญหาเกี่ยวกบั อัตราสว น สดั สว น และรอยละ
59 เร่ืองที่ 1 อัตราสว น อตั ราสว น (Ratio) ใชเปรียบเทียบปริมาณ 2 ปริมาณ หรือมากกวาก็ได โดยท่ีปรมิ าณ 2 ปรมิ าณท่นี ํามาเปรยี บเทยี บกันน้นั จะมหี นว ยเหมือนกนั หรอื ตา งกันก็ได บทนิยาม อัตราสว นของปรมิ าณ a ตอ ปริมาณ b เขยี นแทนดว ย a : b หรือ a b เรียก a วา จํานวนแรกหรือจํานวนท่ีหนึง่ ของอัตราสวน เรียก b วา จาํ นวนหลงั หรอื จาํ นวนทส่ี องของอัตราสวน (อตั ราสว น a : b หรอื a อานวา a ตอ b ) b การเขียนอัตราสว น มี 2 แบบ 1. ปริมาณ 2 ปริมาณมีหนว ยเหมือนกัน เชน โตะ ตวั หนึง่ มีความกวา ง 50 เซนตเิ มตร ยาว 120 เซนตเิ มตร เขยี นเปน อตั ราสว นไดว า ความกวางตอความยาวของโตะ เทากับ 50 : 120 2. ปริมาณสองปริมาณมีหนวยตางกัน เชน นมเปรีย้ ว 4 กลอง ราคา 23 บาท เขยี นเปน อตั ราสว นไดว า อัตราสวนของนมเปรี้ยวเปนกลองตอราคาเปนบาท เปน 4 : 23 ตัวอยางเชน ถาเปน ปริมาณที่มีหนว ยเหมอื นกัน อตั ราสว นจะไมมหี นว ยเขยี นกาํ กบั เชน มานะหนกั 25 กโิ ลกรัม มานีหนกั 18 กโิ ลกรมั จะกลาววาอัตราสวนของน้ําหนักของมานะตอมานีเทากับ 25: 18 หรอื 25 18 ถา เปนปริมาณที่มหี นวยตางกัน อตั ราสว นจะตอ งเขยี นหนวยแตละประเภทกาํ กบั ดวย เชน สดุ าสูง 160 เซนตเิ มตร หนกั 34 กโิ ลกรมั อัตราสวนความสูงตอน้ําหนักของสุดา เทากับ 160 เซนตเิ มตร : 34 กโิ ลกรมั
60 แบบฝก หดั ท่ี 1 1. จงเขียนอัตราสวนจากขอความตอไปนี้ 1). ระยะทางในแผนที่ 1 เซนติเมตร แทนระยะทางจริง 100 กโิ ลเมตร ……………………………………………………………………………………………... 2). รถยนตแ ลน ไดร ะยะทาง 200 กโิ ลเมตร ในเวลา 3 ชว่ั โมง ……………………………………………………………………………………………... 3). โรงเรียนแหงหน่ึงมคี รู 40 คน นกั เรียน 1,000 คน ……………………………………………………………………………………………... 4). อตั ราการเตนของหัวใจมนษุ ยเ ปน 72 คร้ังตอ นาที ……………………………………………………………………………………………... 2. สลากกินแบงรัฐบาลแตละงวดเปนเลข 6 หลัก เชน 889748 ซึ่งมีหมายเลขตางกันทั้งหมด 1,000,000 ฉบับ ในจํานวนทั้งหมดนี้มีสลากที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตวั ทง้ั หมด 10,000 ฉบับ ถูก รางวัลเลขทาย 3 ตวั 4,000 ฉบบั และถูกรางวัลที่ 1 อกี 1 ฉบับ จงเขียนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบจํานวนตอไปนี้ 1) จาํ นวนทถี่ ูกรางวัลที่ 1 ตอทั้งหมด ……………………………………………………………………………………………... 2) จํานวนที่ถูกรางวัลเลขทาย 3 ตัวตอทัง้ หมด ……………………………………………………………………………………………... 3) จํานวนที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตวั ตอท้ังหมด ……………………………………………………………………………………………... 4) อัตราสวนของสลากที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัว ตอเลขทา ย 3 ตวั ……………………………………………………………………………………………... 3. พอ คา จดั ลกู กวาดคละสขี นาดเทา กนั ลงในขวดโหลเดยี วกนั โดยนบั เปน ชดุ ดงั น้ี “ลกู กวาดสแี ดง 3 เม็ด สเี ขยี ว 2 เม็ด สเี หลือง 5 เมด็ ” จงหา 1) อัตราสว นจาํ นวนลกู กวาดสแี ดงตอ ลกู กวาดทง้ั หมด ……………………………………………………………………………………………... 2) อตั ราสว นของจาํ นวนลกู กวาดสแี ดงตอลกู กวาดสเี หลอื ง ……………………………………………………………………………………………... 3) ถาสุมหยิบลูกกวาดขึ้นมาจากโหลจาํ นวน 5 เมด็ นา จะไดล ูกกวาดสใี ดมากที่สุด เพราะ เหตใุ ด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...
61 อตั ราสวนท่เี ทา กัน การหาอัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนดให ทําไดโดยการคูณหรือหารอัตราสว น ทง้ั ตวั แรกและตวั ทส่ี องดว ยจํานวนเดยี วกนั ตามหลักการ ดังนี้ หลกั การคูณ เมอ่ื คูณแตล ะจาํ นวนในอตั ราสว นใดดว ยจาํ นวนเดยี วกนั โดยทีจ่ าํ นวนนนั้ ไม เทากับศูนย จะไดอ ัตราสว นใหมท ่ีเทา กบั อัตราสวนเดิม นนั่ คอื a = a × c = a × d เม่อื c ≠ 0 และ d ≠0 b b×c b×d หลกั การหาร เมอ่ื หารแตล ะจาํ นวนในอตั ราสว นใดดว ยจาํ นวนเดยี วกนั โดยทจ่ี าํ นวนน้ันไม เทากับศูนย จะไดอ ัตราสว นใหมเทากับอัตราสว นเดิม น่นั คือ a = a ÷ c = a ÷ d เมอ่ื c ≠ 0 และ d ≠0 b b÷c b÷d ตวั อยา ง จงหาอัตราสวนอีก 3 อตั ราสวนทเี่ ทากับอัตราสวนทีก่ ําหนด วธิ ที าํ 3 : 4 หรือ 3 3× 4 12 == 4 4 × 4 16 3 3× 9 27 == 4 4 × 9 36 3 = 3×11 = 33 4 4 ×11 44 ดังน้ัน , , เปนอัตราสว นท่เี ทากบั อัตราสว น 3 : 4 การตรวจสอบการเทา กนั ของอัตราสว นใดๆ ทําไดโดยใชลักษณะการคณู ไขว ไดโ ดยใชวธิ ดี งั น้ี เมอ่ื a , b, c และ d เปน จาํ นวนนบั 1) ถา a × d = b × c แลว a = c bd 2) ถา a × d ≠ b × c แลว a ≠ c bd
62 ตัวอยาง จงตรวจสอบวา อตั ราสว นในแตล ะขอ ตอไปน้ีเทา กนั หรือไม 1) 3 และ 5 46 2) 26 และ 39 30 45 1) พิจารณาการคูณไขวข อง 3 และ 5 46 เน่ืองจาก 3× 6 = 18 4 × 5 = 20 ดงั นน้ั 3× 6 ≠ 4 × 5 น่นั คือ 3 ≠ 5 46 2) พิจารณาการคณู ไขวข อง 26 และ 39 30 45 เน่อื งจาก 26 × 45 = 1,170 30 × 39 = 1,170 ดงั นน้ั 26 × 45 = 30 × 39 นัน่ คือ 26 = 39 45 30 แบบฝกหดั ท่ี 2 1. ถาอัตราการแลกเปลี่ยนเงินดอลลารตอเงินหนึ่งบาทเทากับ 1 : 43 จงเติมราคาเงินในตาราง 2. จงเขียนอัตราสว นทเ่ี ทา กบั อัตราสวนทกี่ าํ หนดใหตอไปน้ีมาอีก 3 อัตราสว น 1) 2 = ............................................................................................................................... 3 2) 5 = ............................................................................................................................... 9
63 3. จงตรวจสอบวาอตั ราสว นตอ ไปน้ีเทากันหรอื ไม 4. จงทําใหอตั ราสว นตอไปนี้มีหนวยเดียวกันและอยใู นรปู อยา งงาย ตวั อยาง อัตราสวนความกวางตอความยาวของโตะเปน 50 เซนติเมตร : 1.2 เมตร มีความหมายเหมือนกับ 50 เซนตเิ มตร : 1.2 x 100 เซนตเิ มตร ดังนั้น อัตราสวนความกวางตอความยาวของโตะเปน 50 : 120 หรอื 5 : 12 1) อตั ราสว นของจาํ นวนวนั ท่ีนาย ก. ทํางาน ตอ ชว่ั โมงที่นาย ข. ทํางาน เปน 2 วนั : 10 ชั่วโมง ดังน้นั อตั ราสว นเวลาทน่ี าย ก. ทาํ งาน ตอเวลาทนี่ าย ข. ทํางานเปน ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2) อัตราสวนของระยะทางจากบานไปตลาด ตอระยะทางจากบานไปโรงเรียนเปน 200 เมตร : 1.5 กิโลเมตร ดังนั้น อัตราสวนของระยะทางจากบานไปตลาด ตอระยะทางจากบานไปโรงเรียนเปน ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...
64 อัตราสว นตอ เน่อื ง (อัตราสว นของจาํ นวนหลาย ๆ จาํ นวน) ในสถานการณจริงทีเ่ กีย่ วกับชีวิตประจําวัน เรามักจะพบความสัมพันธของจํานวนหลาย ๆ จํานวน เชน ขนมผิงบา นคุณยาย ใชส วนผสมดงั นี้ แปงขาวเจา 3 ถว ยตวง น้าํ กะทเิ ขม ขน 1 ถว ยตวง น้ําตาลมะพราว 1 ถว ยตวง 2 นน่ั คอื อตั ราสวนของจํานวนแปง ขาวเจาตอนา้ํ กะทเิ ปน 3 : 1 หรอื 6 : 2 อัตราสวนของจาํ นวนนาํ้ กะทติ อนาํ้ ตาลมะพรา วเปน 1 : 1 หรอื 2 : 1 2 อัตราสวนของจํานวนแปงขาวเจาตอน้าํ ตาลมะพราวเปน 3 : 1 หรือ 6 : 1 หรือเขียนในรูป 2 อตั ราสว นของจาํ นวนหลาย ๆ จาํ นวน ดงั น้ี อัตราสวนของแปงขา วเจา ตอ น้าํ กะทิ ตอ นา้ํ ตาลมะพราว เปน 3 : 1 : 1 หรือ 6 : 2 : 1 2 ตัวอยาง หองเรียนหองหนึง่ มีอัตราสวนของความกวางตอความยาวหองเปน 3 : 4 และความสูงตอ ความยาวของหองเปน 1 : 2 จงหาอัตราสวนของความกวาง : ความยาว : ความสูงของหอง วิธีทาํ อัตราสวนความกวาง : ความยาวของหอง เทากับ 3 : 4 อตั ราสว นความสูง : ความยาวของหอง เทากับ 1 : 2 หรอื 1 x 2 : 2 x 2 เทากับ 2 : 4 นั่นคือ อัตราสวนความกวางตอความยาว ตอความสูงของหอง เทากับ 3 : 4 : 2
65 แบบฝก หดั ที่ 3 1. พอ แบง เงนิ ใหล กู สามคนโดยกาํ หนด อตั ราสว นของจาํ นวนเงนิ ลกู คนโต ตอ คนกลาง ตอ คนเลก็ เปน 5 : 3 : 2 จงหาอตั ราสว นตอ ไปน้ี 1) อตั ราสวนจาํ นวนเงนิ ทลี่ ูกคนโตไดร ับตอลกู คนเลก็ ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2) อตั ราสว นจาํ นวนเงินทลี่ กู คนเลก็ ไดร ับตอ ลูกคนกลาง ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 3) อัตราสว นจาํ นวนเงนิ ท่ีลูกคนกลางไดร ับตอ เงนิ ทั้งหมด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 4) อัตราสวนจํานวนเงนิ ท่ลี ูกคนเล็กไดรับตอเงินทง้ั หมด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2. เศรษฐีคนหนึ่งไดเขยี นพินัยกรรมไวก อ นจะเสียชีวิตวา ถา ภรรยาท่ีกาํ ลังต้งั ครรภคลอดลูกเปนชาย ใหแบงเงินในพินัยกรรมเปนอัตราสวนเงินของภรรยาตอบุตรชายเปน 1 : 2 แตถา คลอดลูกเปนหญิง ใหแ บง เงนิ ในพนิ ัยกรรมเปนอัตราสวนเงินของภรรยาตอบุตรหญิงเปน 2 : 1 เม่อื เศรษฐคี นนี้เสียชวี ติ ลงปรากฏวาภรรยาคลอดลูกแฝด เปนชาย 1 คน หญงิ 1 คน จงหาอัตราสว นของเงนิ ในพนิ ยั กรรม ของภรรยาตอบุตรชาย ตอบุตรหญิง ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
66 เรื่องที่ 2 สัดสว น สดั สว นเปน การเขยี นแสดงการเทา กนั ของอัตราสว นสองอตั ราสว น เชน a : b = c : d หรือ a = c อา นวา เอตอบี เทา กับ ซีตอ ดี bd ตวั อยา งที่ จงหาคา m ในสดั สว น 3 = 5 m 12 วธิ ีท่ี 1 3 = 5 m 12 3 = 5× 3 (ทําเศษใหเทากับ 3 โดยคณู ดว ย 3 ) 5 5 m 12 × 3 5 3= 3 m 7.2 ดังนั้น m มีคาเทากับ 7.2 วธิ ที ี่ 2 3 = 5 m 12 3 = 5 (คณู ไขว) m 12 3×12 = m 5 ดงั น้ัน m= 7.2 1. จงเขยี นสดั สวนจากอตั ราสว นตอ ไปน้ี แบบฝกหดั ท่ี 4 1) 3 ตอ 4 เทากับ 6 ตอ 8 …………………………………………………….. 2) A ตอ 7 เทากับ 9 ตอ 27 …………………………………………………….. 3) 12 ตอ 10 เทากับ B ตอ 5 …………………………………………………….. 4) 5 ตอ 4 เทากับ 65 ตอ D …………………………………………………….. 2. จงหาคาตัวแปรจากสัดสว นทก่ี าํ หนดใหตอ ไปน้ี 1) A = 12 3 15 ……………………………………………………..……………………………………………… 2) 3 = 21 B 28 ……………………………………………………..………………………………………………
67 การแกโจทยป ญหาโดยใชสดั สวน ในชวี ิตประจําวันเราจะพบสถานการณท ีต่ องแกไ ขปญหาโดยการใชห ลกั การคิดคาํ นวณ เชน กาํ หนดอัตราสว นของเคร่ืองดื่มโกโกส ําเรจ็ รปู 1 ถว ย ตอ ผงโกโก 2 ชอนโตะ ตอน้ําตาล 1 ชอ นโตะ ตอนํา้ ตมสุก 1 ถวย เทา กบั 1 : 2 : 1 : 1 ถา มผี งโกโกท ้ังหมด 30 ชอนโตะ สมมติวา ชงเครื่องดื่มได A ถวย ใชนา้ํ ตาล B ชอนโตะ ครีมเทียม C ชอ นโตะ และนํา้ ตมสกุ D ถว ย ดงั นน้ั อัตราสว นของจํานวนถวยโกโกที่ชงไดต อจํานวนผงโกโก เทากับ 1 ถว ย ตอ 2 ชอน โตะ หรือ A ถวย ตอ 30 ชอนโตะ นน่ั คอื 1 : 2 = A : 30 หรอื 1 =A จะไดว า 2 30 1 x 30 = Ax2 A = 15 ดงั นนั้ ผงโกโก 30 ชอนโตะ จะชงเคร่ืองดม่ื ได 15 ถว ย ตัวอยาง ซื้อสมโอมา 3 ลูก ราคา 50 บาท ถามีเงิน 350 บาท จะซือ้ สม โอในอัตราเดมิ ไดก ่ีลกู วิธที ํา สมมติ มเี งนิ 350 บาท ซือ้ สมโอได A ลูก ราคาของสมโอ 50 บาท ซื้อได 3 ลกู จะไดวา A × 50 = 3 × 350 = Ä× 50 = 3× 350 50 50 A 21 จะซือ้ สม โอได 21 ลูก
68 แบบฝกหัดที่ 5 1. ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท ถาขาย มะละกอ 15 ผล จะไดเ งินเทาไร ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… 2. กศน.แหงหนึ่งมีนักศึกษาทั้งหมด 400 คน มจี าํ นวนนักศึกษาหญงิ ตอ จาํ นวนนักศกึ ษาชาย เปน 5: 3 จงหาวา มีนักศึกษาชายกี่คนและนักศึกษาหญิงกี่คน ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… 3. พอแบงมรดกใหลูกสองคน โดยอัตราสวนของสวนแบงของลูกคนโตตอสว นแบง ลูกคนเลก็ เปน 7: 3 ถาลูกคนโตไดเงินมากกวาลูกคนเล็ก 80,000 บาท จงหาสวนแบงที่แตละคนไดรับ ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..………………………………………………
69 เร่ืองที่ 3 รอ ยละ ในชวี ติ ประจาํ วัน ผูเ รยี นจะเห็นวาเราเก่ยี วของกับรอยละอยเู สมอ เชน การซื้อขาย กาํ ไร ขาดทุน การลดหรือการเพิ่มทค่ี ดิ เปนรอยละ การคิดภาษีมลู คาเพิ่ม ฯลฯ คําวา รอยละ หรอื เปอรเ ซ็นต เปนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณ หนง่ึ ตอ 100 เชน รอ ยละ 50 หรือ 50% เขยี นแทนดว ย 50:100 หรือ 50 100 รอยละ 7 หรือ 7% เขยี นแทนดว ย 7:100 หรอื 7 100 การเขยี นอัตราสว นใดใหอ ยูใ นรูปรอยละ จะตอ งเขยี นอัตราสวนนัน้ ใหอยใู นรูปทม่ี ีจาํ นวน หลงั อตั ราสว นเปน 100 ดังตวั อยางตอ ไปน้ี 4 = 80 = 80 % 5 100 0.2 = 2 = 20 = 20 % 10 100 การเขยี นรอยละใหเ ปน อัตราสว นทําไดโดยเขยี นอัตราสวนทมี่ จี ํานวนหลงั เปน 100 ดังตวั อยางตอ ไปน้ี 33% = 33 100 25.75 % = 25.75 = 2575 = 103 100 10000 400 ตัวอยาง จงเขยี น 3 ใหอยูในรปู รอยละ 7 วิธีทาํ วิธที ี่ 1 ทาํ ใหอ ัตราสว น 3 โดยมจี าํ นวนหลงั ของอตั ราสว นเปน 100 7 100 300 3× 3= 7 =7 100 7 7× 100 7 ดังนัน้ 3 คดิ เปนรอยละ 300 หรือ 300 % 7 77 วธิ ีท่ี 2 สมมติ 3 = รอยละ A หรอื A 7 100 3 x 100 = Ax7 A= 3×100 = 300 77
70 การคํานวณเก่ียวกบั รอ ยละ ผูเ รยี นเคยคํานวณโจทยปญ หาเกย่ี วกบั รอยละมาแลวโดยไมไดใ ชสดั สว น ตอไปน้ีจะเปน การ นําความรูเรื่องสดั สว นมาใชคํานวณเกีย่ วกับรอยละ ซง่ึ จะพบใน 3 ลกั ษณะ ดงั ตวั อยา งตอ ไปน้ี 1. 25% ของ 60 เทากับเทาไร หมายความวา ถา มี 25 สว นใน 100 สว น แลวจะมีกี่สวน ใน 60 สว น ใหม ี a สว นใน 60 สว น เขียนสดั สว นไดดงั น้ี a = 25 60 100 จะได a ×100 = 60 × 25 ดงั นน้ั a = 60 × 25 100 a = 15 นัน่ คือ 25% ของ 60 คอื 15 2. 9 เปน กเ่ี ปอรเซน็ ตข อง 45 หมายความวา ถามี 9 สว นใน 45 สว น แลวจะมีกส่ี ว น ใน 100 สว น ให 9 เปน x% ของ 45 x% หมายถึง x 100 เขยี นสดั สว นไดดงั น้ี 9 = x 45 100 จะได 9 ×100 = 45× x x = 9 ×100 45 ดังนน้ั x = 20 นั่นคือ 9 เปน 20% ของ 45 3. 8 เปน 25% ของจํานวนใด หมายความวา ถามี 25 สว นใน 100 สว น แลว จะ มี 8 สว นในกส่ี ว น ให 8 เปน 25% ของ y เขยี นสดั สว นไดดงั น้ี 8 = 25 y 100 จะได 8×100 = y × 25 y = 8 ×100 25 ดงั นน้ั y = 32 น้ันคอื 8 เปน 25% ของ 32
71 แบบฝกหดั ที่ 6 1. จงแสดงวิธีหาคําตอบ 1) 15% ของ 600 เทากับเทาไร ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2) 120% ของ 40 เทากับเทาไร ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 3) 28 คิดเปนก่ีเปอรเซ็นต ของ 400 ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 4) 1.5 เปน กเ่ี ปอรเซน็ ตข อง 6 ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 5) 180 เปน 30 % ของจาํ นวนใด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 6) 0.125 เปน 25% ของจาํ นวนใด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...
72 เรือ่ งที่ 4 การแกโ จทยปญหาเก่ียวกับอัตราสว น สดั สวน และรอยละ ใหน กั เรยี นพิจารณาตัวอยางโจทยปญหาและวิธีแกป ญ หาเกยี่ วกบั รอยละ โดยใชสดั สว น หรอื อตั ราสว น ตอไปนี้ ตัวอยาง 1 ในหมูบ านแหง หนึ่งมคี นอาศยั อยู 1,200 คน 6% ของจํานวนคนท่ีอาศยั อยูในหมูบ าน ทํางานในโรงงานสับปะรดกระปอง จงหาจํานวนคนงานที่ทํางานในโรงงานแหงนี้ วิธีทาํ ใหจํานวนคนที่ทํางานในโรงงานสับปะรดกระปอง เปน s คน อัตราสวนของจํานวนคนที่ทํางานในโรงงานตอจํานวนคนทั้งหมด เปน s 1,200 อัตราสวนดังกลา วคดิ เปน 6% = 6 100 เขยี นสดั สว นไดด งั น้ี s =6 1,200 100 จะได s ×100 = 1,200 × 6 ดงั นนั้ s = 1,200 × 6 100 s = 72 นนั่ คอื จํานวนคนงานที่ทํางานในโรงงานสับปะรดกระปองเปน 72 คน ตอบ 72 คน ตัวอยา งที่ 2 โรงเรยี นแหง หนง่ึ มีนกั เรยี น 1,800 คน นักเรียนคนที่หนกั เกิน 60 กโิ ลกรมั มอี ยู 81 คน จง หาวา จาํ นวนนกั เรยี นทห่ี นกั เกนิ 60 กโิ ลกรมั คิดเปนก่ีเปอรเ ซน็ ตของจาํ นวนนกั เรยี นท้ังหมด วธิ ีทํา ใหจํานวนนกั เรยี นทห่ี นกั เกิน 60 กโิ ลกรมั เปน n% ของจาํ นวนนกั เรยี นทง้ั หมด เขยี นสดั สว นไดด งั น้ี n = 81 จะได 100 1,800 n ×1,800 = 100 × 81 ดังนั้น n = 100 × 81 1,800 n = 4.5 นน่ั คือ จาํ นวนนกั เรยี นทห่ี นกั เกนิ 60 กโิ ลกรัมคิดเปน 4.5% ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด ตอบ 4.5 เปอรเ ซน็ ต
73 แบบฝก หัดท่ี 7 จงแสดงวิธีหาคําตอบ 1. นักศึกษา กศน. 500 คน สอบไดเ กรด 4 จาํ นวน 25% ของทง้ั หมด จงหาจาํ นวนนกั ศกึ ษาที่ สอบไดเ กรด 4 ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2. โรงเรยี นแหง หนง่ึ มีนกั เรยี น 2,000 คน เปนชาย 40% ของทั้งหมด ในจาํ นวนนม้ี าจาก ตา งจงั หวัดรอยละ60 จงหา 1) จาํ นวนนกั เรยี นหญงิ ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2) จํานวนนักเรียนชายที่ไมไดมาจากตางจังหวัดทั้งหมด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 3. รา นคา แหง หน่ึงประกาศลดราคาสินคาทุกชนิด รอยละ 20 ถา คณุ แมซอื้ เคร่ืองแกวมาไดรับ สว นลด 250 บาท จงหาวารานคาปดราคาขายผลิตภัณฑน ้ันกอนลดราคาเทาไร ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...
74 4. แผนผงั สนามหญา แหง หนง่ึ กวา ง 5 เซนตเิ มตร ยาว 8 เซนติเมตร ใชมาตราสว น 1 เซนตเิ มตร : 50 เมตร จงหาวาสนามหญาแหงนี้มีพื้นที่เทาไร ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 5. นกนอยฝากเงินไวกับธนาคารเปนเวลา 2 ป อัตราดอกเบ้ียรอยละ 3 ตอ ป คิดดอกเบีย้ ทบตน ทกุ 12 เดอื นและถกู หักภาษดี อกเบีย้ 15% ถา นกนอยฝากเงินไว 10,000 บาท ครบ 2 ป จะมี เงนิ ในบัญชีเทาไร ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 6. วีระซอื้ รถยนตมาคนั หนึ่งราคา 200,000 บาท นําไปขายตอไดกําไรรอยละ 20 ตอมาเอาเงิน ทั้งหมดไปเลนหุนขาดทุนรอยละ 20 วีระจะมเี งินเหลอื จากการเลน หุน เทา ไร ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...
75 บทที่ 5 การวัด สาระสําคัญ 1. การวัดความยาวพื้นที่ ที่มีหนวยตางกันสามารถนํามาเปรียบเทียบกันได 2. เคร่ืองมือการวัด ตอ งเลือกใชใ หเหมาะสมกบั ส่งิ ทจ่ี ะวดั 3. การคาดคะเนเกิดจากประสบการณของผูสังเกตเปนสําคัญ ผลการเรียนรทู ีค่ าดหวัง 1. บอกการเปรียบเทียบหนวยความยาวพื้นที่ในระบบเดยี วกนั และตา งระบบได 2. เลือกใชห นว ยการวัดเกี่ยวกับความยาวและพ้ืนท่ีไดอยา งเหมาะสม 3. แสดงการหาพ้นื ทข่ี องรปู เรขาคณติ ได 4. สามารถแกโ จทยปญ หาเก่ียวกบั พน้ื ทส่ี ถานการณตา ง ๆ ในชวี ิตประจาํ วันได 5. อธิบายวิธีการคาดคะเนและนําวิธีการไปใชในการคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด นาํ้ หนกั ขอบขา ยเน้ือหา เรื่องที่ 1 การเปรียบเทียบหนวยความยาวและพื้นที่ เร่ืองท่ี 2 การเลือกใชห นว ยการวดั ความยาวและพื้นที่ เร่ืองที่ 3 การหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต เร่ืองที่ 4 การแกโจทยปญ หาเก่ียวกับพน้ื ที่ในสถานการณตาง ๆ เร่ืองที่ 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนัก
76 เรือ่ งท่ี 1 การเปรยี บเทยี บหนว ยความยาวและพื้นที่ การวดั การวัดเปนเรื่องที่มีความสําคัญ และจําเปนตอชีวิตประจําวันอยางมากในทุกยุคทุกสมัย ใน แตล ะถ่นิ ฐานแตละประเทศ จะมหี นว ยการวัดทแี่ ตกตางกันออกไป และเมื่อโลกเจริญกาวหนา ทง้ั ดานเทคโนโลยีและการสื่อสาร จึงมีความจําเปนที่ตองมีความชัดเจนของการสื่อสารความหมาย เก่ียวกบั ปรมิ าณของการวัด หนว ยการวัด เพือ่ ใหเกดิ ความสะดวกในการนํามาเปรียบเทียบ และเพอื่ ประโยชนในการใชงาน โดยทั่วไปคนเรามักจะคุนเคยกับการวัด หมายถึง การชั่ง การตวง การวัดความยาว การจับ เวลา เปน ตน ในความเปน จริงนน้ั การวัดมหี ลายอยา งเชน 1. การวัดความยาว มหี นวยเปน มลิ ลิเมตร เซนติเมตร นิว้ ฟตุ เมตร กิโลเมตร 2. การวัดพนื้ ท่ี มีหนวยเปน ตารางวา ตารางเมตร งาน ไร 3. การช่ัง มีหนวยเปน กรมั ขีด ปอนด ตัน 4. การตวง มหี นว ยเปน ลูกบาศกเซนตเิ มตร ลติ ร ถัง 5. การวัดอณุ หภูมิ มีหนวยเปน องศาเซลเซียส องศาฟาเรนไฮต 6. การวดั เวลา มหี นว ยเปน วินาที นาที ช่ัวโมง วัน ป 7. การวดั ความเร็วหรอื อตั ราเรว็ มีหนว ยเปน กโิ ลเมตร/ชว่ั โมง 1.1 การเปรยี บเทียบการวัดความยาว หนวยการวัดความยาวที่นิยมใชกันในประเทศไทย หนว ยการวัดความยาวในระบบองั กฤษ ฟตุ 12 น้วิ เทา กับ 1 หลา ไมล 3 ฟตุ เทากบั 1 1,760 หลา เทากบั 1 หนวยการวัดความยาวในระบบเมตริก 10 มิลลเิ มตร เทา กับ 1 เซนตเิ มตร 100 เซนตเิ มตร เทากบั 1 เมตร 1,000 เมตร เทากบั 1 กโิ ลเมตร หนวยการวัดความยาวในมาตรไทย 12 นวิ้ เทากับ 1 คบื 2 คบื เทา กบั 1 ศอก
77 4 ศอก เทา กบั 1 วา 20 วา เทา กบั 1 เสน 400 เสน เทา กบั 1 โยชน กําหนดการเทยี บ 1 วา เทากบั 2 เมตร หนวยการวัดความยาวในระบบองั กฤษเทียบกบั ระบบเมตริก ( โดยประมาณ ) 1 นิ้ว เทา กับ 2.54 เซนตเิ มตร 1 หลา เทา กับ 0.9144 เมตร 1 ไมล เทากบั 1.6093 กโิ ลเมตร ตวั อยา ง การเปรียบเทียบหนวยการวัดในระบบเดียวกันและตางระบบกัน 1. สดุ าสูง 160 เซนตเิ มตร อยากทราบวาสุดาสงู ก่เี มตร เนอ่ื งจาก 100 เซนติเมตร เทากับ 1 เมตร และสดุ าสงู 160 เซนตเิ มตร ดงั นน้ั สดุ าสงู 160 = 1.60 เมตร 100 2. ความกวางของรั้วบานดานติดถนนเปน 1.05 กิโลเมตร อยากทราบวาความกวางของรั้ว บา นดา นติดกบั ถนนเปนกเ่ี มตร เนอ่ื งจาก 1 กโิ ลเมตร เทากบั 1,000 เมตร และรัว้ บา นกวา ง 1.05 กโิ ลเมตร ดังนั้น ความกวางของรั้วบานเปน 1.05 x 1,000 = 1,050 เมตร 1.2 การเปรยี บเทยี บการวัดพื้นที่ หนว ยการวัดพ้ืนที่ท่ีสาํ คญั ที่ควรรจู กั หนวยการวัดพ้ืนท่ใี นระบบเมตริก 1 ตารางเซนตเิ มตร เทากับ 100 หรอื 102 ตารางมิลลิเมตร เทา กับ 10,000 หรอื 104 ตารางเซนตเิ มตร 1 ตารางเมตร เทา กบั 1,000,000 หรือ 106 ตารางเมตร 1 ตารางกิโลเมตร ตารางนิ้ว ตารางนิ้ว 1 ตารางฟุต หนวยการวดั พืน้ ทใ่ี นระบบอังกฤษ 1 ตารางหลา เทา กับ 144 หรอื 122 เทา กบั 9 หรอื 32 1 เอเคอร 1 ตารางไมล เทากับ 4, 840 ตารางหลา หรอื 1 ตารางไมล เทา กบั 640 เอเคอร เทา กบั 1, 7602 ตารางหลา
78 100 ตารางวา หนวยการวัดพ้นื ท่ีในมาตราไทย 4 งาน เทากบั 1 งาน หรอื 400 ตารางวา เทา กบั 1 ไร เทากบั 1 ไร 1 หนวยการวดั พ้ืนที่ในมาตราไทยเทยี บกับระบบเมตรกิ 1 ตารางวา เทากับ 4 ตารางเมตร หรอื 1 1 งาน เทากับ 400 ตารางเมตร ไร เทา กบั 1, 600 ตารางเมตร ตารางกิโลเมตร เทากบั 625 ไร หนว ยการวัดพ้นื ทีใ่ นระบบอังกฤษกบั ระบบเมตริก ( โดยประมาณ ) 1 ตารางนิ้ว เทา กบั 6.4516 ตารางเซนตเิ มตร 1 1 ตารางฟุต เทา กับ 0.0929 ตารางเมตร 1 1 ตารางหลา เทา กบั 0.8361 ตารางเมตร ตัวอยาง เอเคอร เทา กับ 4046.856 ตารางเมตร ( 2. 529 ไร ) ตารางไมล เทากับ 2.5899 ตารางกิโลเมตร 1. ท่ดี นิ 12.5 ตารางกโิ ลเมตร คดิ เปน กี่ตารางเมตร เนอื่ งจากพืน้ ท่ี 1 ตารางกิโลเมตร เทากบั 106 ตารางเมตร ดงั น้นั พน้ื ที่ 12.5 ตารางกิโลเมตร เทากับ 12.5 x 106 = 1.25 x 107 ตารางเมตร ตอบ 1.25 x 107 ตารางเมตร 2. พ้ืนทีช่ ้นั ลา งของบานรูปสเ่ี หลยี่ มผนื ผากวาง 6 วา ยาว 12 วา ผรู ับเหมาปพู ื้นคิดคาปูพื้น ตารางเมตรละ 37 บาท จะตองเสียคาปูพื้นเปนเงินเทาไร พื้นที่ชั้นลางของบานมีความกวาง 6 วา ความยาว 12 วา ดงั นนั้ พืน้ ที่ชั้นลางของบานมีพืน้ ท่ีเปน 6 x 12 = 72 ตารางวา พื้นที่ 1 ตารางวา เทากับ 4 ตารางเมตร ถา คิดพ้ืนทเ่ี ปน ตารางเมตร พ้นื ที่ชน้ั ลา งของบานมพี ื้นที่เปน 72 x 4 = 288 ตารางเมตร ดังนัน้ เสียคา ปพู ืน้ เปนเงิน 288 x 37 = 10, 656 บาท ตอบ 10, 656 บาท
79 แบบฝกหัดที่ 1 1. จงเติมหนวยความยาวหรือหนวยพื้นที่ใหเหมาะสมกับขอความตอไปนี้ 1) ไมอัดชนิดบางมีความหนาแผนละ 4 ......................................................................................... 2) สมุดปกออนมีความกวาง 16.5 .....................ยาว 24......................หนา 4 ................................ 3) จังหวัดเชยี งใหมแ ละจังหวัดเลยอยูห างกนั ประมาณ 1,600 ...................................................... 4) สนามฟุตบอลแหงหนึ่งมีความกวาง 45 …………… มีความยาว 90 ..................... และถาวงิ่ รอบสนามแหงนี้สามรอบ จะไดระยะทาง 1 ............................... 5) แผน ดสิ กมคี วามกวาง 9 ................... ยาว 9.4 ........................... และหนา 3 ......................... 6) กระดาษ A4 มีพ้นื ที่ประมาณ 630 ......................................... 7) หองเรียนมีพ้นื ทปี่ ระมาณ 80 ................................................ 9) การวัดความยาวของที่ดินในประเทศไทยนิยมใชหนวยเปน ................... หรือ.................... และอาจบอกจํานวนพื้นที่ของที่ดินตามมาตราไทยเปน ..........................หรืออาจบอกโดยใช มาตรเมตริกเปน ........................ กไ็ ด 10) แมน้ําโขงชวงจังหวัดมุกดาหารมีความกวางประมาณ 200 ............................ 2. จงเติมคําลงในชองวางที่กําหนดใหถูกตอง 1) พน้ื ท่ี 1 ไร เทา กับ ..................................... ตารางเมตร 2) พืน้ ท่ี 17 ตารางเมตร คิดเปน พนื้ ที่ .................................. ตารางเซนติเมตร 3) ทด่ี นิ 3,119 ตารางวา เทากับที่ดิน ............................... (ตอบเปนไร งาน ตารางวา) 4) กระดาษแผนหนึ่งมีพ้ืนท่ี 720 ตารางน้ิว กระดาษแผนน้มี พี ้ืนท่ี ............................ ตารางฟุต 5) พื้นที่ 2 ตารางกโิ ลเมตร คดิ เปนพ้นื ท่ี .................... ตารางเซนตเิ มตร (ตอบในรปู A ×10n เมอ่ื 1 ≤ A < 10 และ n เปน จาํ นวนเตม็ ) 6) สวนสาธารณะแหง หน่ึงมีพน้ื ที่ 5 ไร 2 งาน 22 ตารางวา แลวสวนสาธารณะแหงนีจ้ ะมพี นื้ ที่ .................... ตารางวา 7) ท่นี า 2,900,000 ตารางเมตร เทากับที่นา ................................ ตารางกิโลเมตร 8) โลหะแผนหน่ึงมีพ้ืนท่ี 3 ตารางฟุต โลหะแผนน้ีจะมีพ้นื ที่ ................... .. ตารางนิ้ว 9) พ้นื ที่ 9.5 ตารางวา จะเทากับ .......................... ตารางเมตร 10) ลุงสอนมีทดี่ นิ อยู 2 งาน 68 ตารางวา คดิ เปนพน้ื ท่ี ..................... ตารางเมตร แลวถาลุงสอน ขายที่ดินไป ตารางเมตรละ 875 บาท ลุงสอนจะไดรับเงิน ...................... บาท แสดงวาที่ดิน ของลุงสอน ราคาไรละ......................... บาท
80 3. จงตอบคําถามตอไปนี้ พรอมแสดงวธิ ที าํ 1) สวนแหง หนงึ่ มีพน้ื ที่ 4,800 ตารางเมตร คิดเปนพนื้ ท่กี ไ่ี ร 2) พื้นที่ 25 ตารางฟตุ คิดพ้ืนทก่ี ต่ี ารางเซนตเิ มตร 3) ลุงแดงแบงที่ดินใหล ูกชาย 3 คน โดยแบงใหลูกชายคนโตได 2 ไร ลกู ชายคนกลาง 850 ตารางวา และลูกชายคนเล็กได 3,000 ตารางเมตร อยากทราบวาใครไดสวนแบงที่ดินมากที่สุด 4) พืน้ ท่ี 5,625 ไร คิดเปนพ้ืนท่ี กีต่ ารางกิโลเมตร 5) สมเกียรตซิ ้อื โลหะแผน ชนิดหน่งึ 3 ตารางเมตร ราคา 456 บาท สมนึกซื้อโลหะแผน ชนดิ เดยี วกนั 4 ตารางหลา ราคา 567 บาท อยากทราบวาใครซื้อไดถูกกวากัน ตารางเมตรละกี่บาท (กาํ หนด 1 หลา = 90 เซนตเิ มตร)
81 เรอ่ื งที่ 2 การเลือกใชหนวยการวัดความยาวและพ้นื ที่ การวัดความยาว หรือการวดั พืน้ ท่ี ควรเลอื กใชห นว ยการวดั ทเ่ี ปนมาตรฐาน และเหมาะสมกบั ส่งิ ท่ตี อ งการวัด เชน - ความหนาของกระเบื้องหรือความหนาของกระจก ใชห นว ยวดั เปน \"มิลลิเมตร\" - ความยาวของกระเปาหรือความสูงของนักเรียน ใชหนวยวัดเปน \"เซนตเิ มตร\" - ความยาวของถนน ความสูงของตึก ใชหนวยวัดเปน \"เมตร\" - ระยะทางจากรุงเทพฯ ถึงนครศรีธรรมราช ใชหนวยวดั เปน \"กิโลเมตร\" แบบฝก หัดท่ี 2 1.จงเติมหนวยการวดั ท่เี หมาะสมลงในชองวาง 1.ความยาวของรั้วโรงเรียน ………………………………… 2.ความหนาของหนังสือ …………………………………. 3. ระยะทางจากกรุงเทพฯ ถึงเชียงใหม …………………………….. 4. นาํ้ หนกั ของแตงโม ………………………………………….. 5. เวลาที่นักเรียนใชในการวิ่งแขงในระยะทาง 100 เมตร …………………….. 6. อุณหภูมิหอง ..................................... 7. พืน้ ทีส่ วน ...................................... 8. ปริมาณของน้ํา 1 เหยือก ...................................... 9. สว นสงู ของนกั เรยี น ..................................... 10. น้ําหนักของขาวสาร 1 ถุง ....................................
82 เรอ่ื งท่ี 3 การหาพ้นื ทีข่ องรูปเรขาคณติ 1. รปู สามเหลีย่ ม รปู สามเหล่ยี ม คอื รูปปดที่มีดานสามดาน มุมสามมุม เมื่อกําหนดใหดานใดดานหนึ่งเปน ฐานของรูปสามเหลี่ยม แลวมุมที่อยูตรงขามกับฐานจะเปนมุมยอด และถาลากเสนตรงจากมุมยอด มาตง้ั ฉากกับฐาน หรือสวนตอของฐานจะเรียกเสนตัง้ ฉากวาสวนสูง จากรูปสามเหลี่ยม ABC ใหกาํ หนด BC เปน ฐาน เรยี ก A วา มุมยอด เรียก AD วา สว นสูง จากรูปที่ 1 รูปท่ี 2 รปู ท่ี 3 พน้ื ทรี่ ูปสเ่ี หลี่ยมผืนผา ABCD แตล ะรปู เทา กบั 12 ตารางหนวย และพน้ื ทีส่ ามเหลีย่ มแตละรปู เทากบั ครึง่ หนึ่งของพน้ื ท่ีรูปสี่เหลี่ยมผืนผา จากสตู ร พืน้ ที่รูปส่เี หลี่ยมผนื ผา = ฐาน x สูง ดังน้นั พื้นท่ีรูปสามเหลีย่ ม = 1 × ฐาน × สงู 2
83 ตวั อยา ง รูปสามเหล่ียมรปู หนึง่ พนื้ ท่ี 40 ตารางเซนติเมตร และมีฐานยาว 8 เซนติเมตร จะมีความสูง กเ่ี ซนตเิ มตร วธิ ีทาํ ใหความสูงของสามเหลี่ยม h เซนตเิ มตร สตู ร พน้ื ท่ี = 1 × ฐาน × สูง 2 40 = 1 × 8 × h 2 40 × 2 = h 8 10 = h ดังน้ัน ความสงู ของสามเหลยี่ มเทากับ 10 เซนตเิ มตร แบบฝก หัดท่ี 3 1. จงหาพืน้ ท่สี วนที่แรเงาของรปู ตอไปนี้ ตัวเลขทเ่ี ขียนกาํ กบั ดานไวถอื เปนความยาวของดา น และมี หนว ยเปน หนว ยความยาว ....................................................................... .................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................
84 2. รปู สามเหล่ียมหนง่ึ รูปมพี นื้ ท่ี 90 ตารางเซนติเมตร มีฐานยาว 12 เซนติเมตร จะมีความสูง กเี่ ซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม BAC เปนมุมฉาก และกําหนดความยาวของดานดังรูป จงหาความ ยาวของดาน A ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
85 4. จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงาของไมฉากรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีขนาดตามรูป (ความยาวที่กําหนดมี หนว ยเปน เซนติเมตร) 30 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. รูปสี่เหลย่ี ม 2.1 พื้นทขี่ องรูปส่ีเหลย่ี มมมุ ฉาก บทนิยาม รูปสีเ่ หล่ียมมมุ ฉาก คอื รูปส่เี หล่ียมท่ีมีมมุ แตล ะมมุ เปน มุมฉาก รูปส่ีเหลี่ยมมมุ ฉากมี 2 ชนดิ คอื ก) รูปสีเ่ หล่ียมจตั ุรสั เปนรูปส่ีเหลี่ยมมุมฉากทม่ี ดี า นทกุ ดานยาวเทา กัน ข) รปู ส่เี หลย่ี มผืนผา เปนรูปสีเ่ หลยี่ มมุมฉากทีม่ ดี านตรงขามยาวเทากัน
86 ถาแบงรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากออกเปนตาราง ๆ โดยแบงดานกวางและดานยาวออกเปนสวนๆ เทา ๆ กนั แลวลากเสน เช่อื มจุดแบงดังรปู จากรูปตารางเลก็ ๆ ทเ่ี กิดจากแบง แตล ะรปู จะมีความกวาง 1 หนว ย และยาว 1 หนว ย คิด เปน พ้ืนท่ี 1 ตารางหนวย การหาพื้นของสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1 สเ่ี หล่ยี มมมุ ฉากรปู ท่ี 1 มีดานกวาง 3 หนว ย ดา นยาว 3 หนวย เมอ่ื แบง แลว ไดจาํ นวนตาราง 9 ตาราง หรอื มีพื้นที่ 9 ตารางหนว ย สเี่ หล่ยี มมุมฉากรปู ที่ 2 มีดานกวาง 3 หนว ย ดา นยาว 4 หนวย เมอ่ื แบง แลว ไดจาํ นวนตาราง 12 ตาราง หรือมีพ้ืนท่ี 12 ตารางหนว ย การหาพื้นที่ดังกลาว สามารถคํานวณไดจากผลคูณของดานกวางและดานยาว น่นั คอื พื้นที่รูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก = ดา นกวา ง x ดา นยาว ในกรณที เ่ี ปน รูปสี่เหลย่ี มจัตุรสั จะมดี า นกวางเทา กับดา นยาว น่นั คอื พื้นทีร่ ูปสเี่ หลีย่ มมมุ ฉาก = ดา น x ดา น หรือ พ้ืนที่รปู ส่เี หล่ียมมมุ ฉาก = (ดา น)2 ตวั อยา ง จงหาพ้ืนทีข่ องรูปสี่เหลย่ี มตอ ไปน้ี
87 วธิ ที าํ ตอบ (ก) พ.ท. สเี่ หลยี่ มผืนผา = กวาง x ยาว = 5x8 = 40 ตารางหนวย ดังน้นั พืน้ ทส่ี ่ีเหล่ียมผืนผา เทา กบั 40 ตารางหนวย (ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผนื ผา = ดา น x ดา น ตอบ = 4x4 = 16 ตารางเซนตเิ มตร ดงั น้ัน พื้นที่สี่เหล่ยี มผืนผา เทากับ 16 ตารางเซนตเิ มตร (ก) พ.ท. สเ่ี หล่ยี มผนื ผา = (2x3) + (4x7) ตอบ = 6 + 28 = 34 ตารางน้ิว ดงั นน้ั พ้ืนท่สี ่ีเหลี่ยมผืนผา เทากับ 34 ตารางนวิ้ 2.2 พนื้ ทข่ี องรูปส่ีเหลยี่ มดา นขนาน บทนิยาม รูปสเ่ี หลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู
88 การหาพ้ืนทข่ี องรูปสเ่ี หลีย่ มดานขนาน ถารปู ส่เี หลี่ยมดา นขนาน ABCD กาํ หนด a แทนความยาวของดาน AB และ b แทนความ สงู DE จากรูปท่ี 1 ลากเสนทแยงมุม BD และลาก DE ใหต ั้งฉากกบั AB ดังรูปท่ี 2 เราสามารถ ใชพ น้ื ทีข่ องรปู สามเหลีย่ มหาสตู รพ้ืนท่ีของรปู สเี่ หลี่ยมดา นขนาน ABCD ไดด งั น้ี พน้ื ที่ของ ABCD เทากับผลบวกของพื้นที่ ABD และพื้นท่ี CDB เนอ่ื งจาก พื้นที่ ABD เทากับ พ้นื ที่ CDB ดังนนั้ พ้ืนที่ ABCD = 2 เทา ของพืน้ ท่ี ABD = 2 × 1 × a × b 2 สูตรพื้นที่ รูปสเี่ หลย่ี มดานขนาน = ความยาวของฐาน x ความสูง รูปสเี่ หล่ยี มดานขนานทมี่ ีดา นทุกดานยาวเทา กนั และมุมไมเ ปน มุมฉาก เรยี กวา รูปสเี่ หลี่ยม ขนมเปยกปูน ในกรณเี ปน รูปสีเ่ หล่ียมขนมเปย กปนู ถา ลากเสนทแยงมุม แบง รปู ส่เี หลีย่ มออกเปนรปู สามเหลยี่ มสองรปู และไดสูตรดังน้ี สตู รพนื้ ท่ี ขนมเปยกปูน = 1 × ผลคูณของเสนทแยงมุม 2 ตวั อยาง จงหาพื้นท่ขี องสี่เหล่ียมดา นขนาน ABCD วิธีทํา
89 รปู สเ่ี หลย่ี มดา นขนาน = ฐาน × สงู ตอบ = AB × AB = 10 × 7 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นท่สี เี่ หลยี่ มดา นขนาน ABCD = 70 ตารางเซนติเมตร 2.3 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือรูปสเ่ี หลยี่ มทมี่ ดี า นขนานกันหนึง่ คเู ทา นั้น รูปสเี่ หลยี่ มทงั้ สามรูป แตละรูปมีดานขนานกนั เพยี ง 1 คเู ทานั้น รูปสามเหลยี่ มทงั้ สามรูปจึง เปนสี่เหลี่ยมคางหมู รูปสี่เหลีย่ มรปู ท่ี 2 มีดานที่ไมขนานกนั 1 ดา น ต้งั ฉากกับดา นคูขนาน เรยี กรูปสี่เหลีย่ มคาง หมนู ้ีวา สเ่ี หลีย่ มคางหมมู ุมฉาก รูปสเ่ี หล่ียมรปู ท่ี 3 มดี า นทีไ่ มข นานกันยาวเทา กนั เรยี กรูปสี่เหลี่ยมคางหมูน้วี า ส่เี หลย่ี ม คางหมูหนาจั่ว รปู สีเ่ หลย่ี มคางหมู ABCD มดี า น AB ขนานกบั ดา น CD ลาก CE ใหต ้ังฉากกบั AB และลากเสนทแยงมุม AC ดงั รูปท่ี 2 กาํ หนด a แทนความยาวของดาน AB b แทนความยาวของดาน CD c แทนความสูง เราสามารถใชพ ื้นที่ของรปู สามเหล่ียมหาสตู รพื้นทขี่ องรูปสเ่ี หล่ียมคางหมู ABCD ไดดงั น้ี
90 พนื้ ท่ี ABCD เทากับ ผลบวกของ พน้ื ท่ี ABC และพน้ื ที่ ACD จากพืน้ ท่ี ABC = 1×a×c พ้ืนที่ ACD = 2 1 ×b×c ดังนน้ั พน้ื ที่ ABCE = 2 1 × a × e + 1 × b × e = 1 × c × (a + b) 2 2 2 สูตร พนื้ ท่ี คางหมู = 1 × สงู × ผลบวกดา นคขู นาน 2 ตัวอยา ง จงหาพื้นทีข่ องส่ีเหล่ียม ABCD วธิ ีทํา พ้ืนที่สี่เหลีย่ มคางหมู ABCD = 1 × สูง × ผลบวกดานคูขนาน 2 = 1 × DE × (AB + DC) 2 = 1 × 6 × (12 + 8) 2 = 3 × 20 ตารางเซนติเมตร ดงั นั้น พ้นื ทสี่ เ่ี หล่ียมคางหมู ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร 2.4 พืน้ ที่ของสเี่ หล่ยี มรปู วาว บทนิยาม รูปสเ่ี หล่ยี มรปู วา ว คือ รูปส่เี หลีย่ มทีม่ ีดานประชิดกนั ยาวเทา กันสองคู เมื่อลากเสนทแยงมุมของรูปสเี่ หลีย่ มรปู วาว จะพบวา เสนทแยงมุมตัดกันเปนมุมฉาก และ แบง ครงึ่ ซ่ึงกันและกนั
การหาพน้ื ทร่ี ปู ส่ีเหล่ียมรูปวาว 91 รูปสเ่ี หลี่ยมรูปวาว ABCD มี AB = AD และ BC = CD กาํ หนด a แทนความยาวของเสนทแยงมุม AC b แทนความยาวของเสนทแยงมุม BD เสนทแยงมุม AC และ BD ตดั กันท่ีจดุ E ทําให DE ตง้ั ฉากกับ AC BE ตง้ั ฉากกบั AC เราสามารถใชพ ื้นที่รูปสามเหล่ยี มหาสูตรพน้ื ท่สี ่ีเหล่ียมรูปวาว ABCD ไดด งั น้ี พน้ื ที่ ABCD เทา กับ ผลบวกของ พ้นื ท่ี ACD และพื้นที่ ABC จาก ABC = 1 × a × 1 × b ADC = 2 2 ดังน้ัน พน้ื ที่ ABCD = 1 × a × 1 × b พืน้ ที่ ABCD = 2 2 = = 1 × a × 1 × b + 1 × a × 1 × b 2 2 2 2 1 × a × 1 × b + 1 × b 2 2 2 1 × a × b + b 2 2 2 1 ×a×b 2 สูตร พนื้ ที่ส่เี หล่ยี มรปู วาว = 1 × ผลคูณของเสนทแยงมุม 2
92 ตวั อยา ง จงหาพ้นื ท่ีรูปสีเ่ หล่ียมรูปวา ว ABCD ท่ีมี BD =10 เซนตเิ มตร และ AC =12เซนตเิ มตร วธิ ีทํา พื้นทร่ี ปู วา ว = 1 × ผลคูณของเสนทแยงมุม 2 = 1 × AC × BD 2 = 1 ×12 ×10 ตารางเซนตเิ มตร 2 ดงั นัน้ พน้ื ที่รูปสี่เหลย่ี มรปู วาว ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร 2.5 พื้นที่ของรูปสี่เหล่ยี มใดๆ รปู ส่เี หล่ียมใดๆ เปนรปู ส่ีเหลยี่ มท่ีไมเ ขา ลกั ษณะของรูปสีเ่ หล่ยี มขางตน การหาพืน้ ท่ีอาจทํา ไดโดยลากเสน ทแยงมุม แลวหาพื้นที่ของรปู สามเหลย่ี มทเ่ี กิดขนึ้ จากรูปสเี่ หลี่ยม ABCD เปน รูปสี่เหลย่ี มใดๆ จากเสน ทแยงมุม AC จากจดุ B ลากเสน BE ใหต ัง้ ฉากกับ AC D ลากเสน DF ใหต งั้ ฉากกับ AC ซึง่ เสน BE และ DF เรียกวา เสนก่งิ พืน้ ที่ ABCD เทากบั ผลบวกของ พืน้ ท่ี ABC และพื้นท่ี ADC จากพื้นที่ ABC = 1 × AC × BE พ้ืนที่ ABD = 2 1 × AC × DF ดังนน้ั พ้ืนที่ ABCE = 2 = 1 × AC × BE + 1 × AC × DF 2 2 ( )1 × AC × BE + DF 2
93 สูตร พนื้ ท่ีสเี่ หลีย่ มใดๆ = 1 × ความยาวของเสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง 2 ตัวอยา ง จงหาพนื้ ทขี่ องรูปส่ีเหล่ยี ม ABCD มี AC = 10 เซนติเมตร เสนกิง่ DF = 7 เซนตเิ มตร และ EB = 5 เซนตเิ มตร วธิ ที าํ พ้นื ที่ ABCD = 1 × เสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง 2 = 1 × AC × (BE + DF ) 2 = 1 ×10 × (7 + 5) ตารางเซนตเิ มตร 2 ดงั น้นั พ้นื ท่ี ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร แบบฝกหัดท่ี 4
94
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- 269
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- 285
- 286
- 287
- 288
- 289
- 290
- 291
- 292
- 293