พค 21001 คณิตศา่สตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น

942. จงหาพืน้ ท่ีสวนท่แี รเงา ตวั เลขทเี่ ขยี นกํากับไวถือวาเปนความยาวของดา นและมีหนว ยความยาวเปนเมตร………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

952.6 พน้ื ท่รี ูปหลายเหลย่ี ม การหาพนื้ ทร่ี ปู หลายเหลย่ี ม ใชวธิ แี บงรปู หลายเหลยี่ ม เปนรูปสเ่ี หล่ยี มยอยๆ แลว หาพน้ื ทขี่ องรูปแตละรูปนําผลลพั ธม ารวมกนั แตบ างครั้งอาจใชวธิ ตี อ เตมิ รูปเพือ่ ใหเ กิดรปู เหลยี่ มใหมแ ลวนํามาหกั ลบกนัดังตัวอยา งตัวอยาง จงหาพ้ืนที่รูปเหล่ยี มท่แี รเงาวธิ ที าํ ลากตอ EF และ HG ทาํ ใหเ กดิ เปน รูปสเี่ หลี่ยมมมุ ฉากยอ ย 3 รปู คือ DEJC, FGKJ, ABKH จากรปู EJ = 6 เซนติเมตร FJ = 4 เซนติเมตรพน้ื ท่ีรูปหลายเหลีย่ ม ABCDEFGH = พ.ท. DEJC + พ.ท. FGKJ + พ.ท. ABKH = ( 26) + (14) + (310) = 12 + 4 + 30 ตารางเซนตเิ มตรดังนัน้ พืน้ ทร่ี ปู หลายเหลยี่ ม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนติเมตร2.7 พืน้ ทรี่ ูปวงกลม การหาพืน้ ทขี่ องรูปวงกลมโดยวธิ แี บง ออกเปน สว นเล็กๆ แลว นําแตละสว นมาสลบั กนั ดังรปู

96จะเหน็ ไดวา ถาย่งิ แบง สวนยอยใหม จี ํานวนมากขน้ึ รูปสเ่ี หลี่ยมทไ่ี ดจะมีรูปใกลเคยี งกบั รปู สี่เหลีย่ มผนื ผาโดยมีสวนสูงใกลเคียงกบั รัศมขี องวงกลม ความยาวของฐาน ใกลเ คยี งกับครงึ่ หน่ึงของเสน รอบวง หรอื 1 2r  r 2 จากสูตร พนื้ ท่ี ผนื ผา = ฐาน สูง = r r = r 2สูตร พืน้ ที่วงกลม =r2 เมือ่   22 หรอื 3.14 โดยประมาณ 7r แทนความยาวรศั มีตัวอยาง จงหาพน้ื ที่วงกลมท่มี รี ัศมียาว 7 เซนตเิ มตรวิธีทําพ้นื ท่ีวงกลม = r 2พ้นื ที่วงกลม = = 22  7  7 ตารางเซนตเิ มตร 7 154 ตารางเซนตเิ มตร

97 แบบฝกหดั ที่ 51. จงหาพ้ืนท่สี ว นทแ่ี รเงา ตวั เลขที่เขยี นกาํ กับดานมหี นว ยเปน เซนติเมตร และจุด O แทนจดุ ศูนยก ลางของวงกลม 1

98สรุปสูตรการหาพ้ืนที่

99

100เรื่องที่ 4 การแกโ จทยป ญ หาเกยี่ วกับพน้ื ทใี่ นสถานการณต างๆตวั อยาง ทด่ี นิ รูปส่ีเหลย่ี มผืนผา กวาง 12 เมตร ยาว 20 วา ตอ งการทําถนนในที่ดนิ กวาง 1 วา โดยรอบถนนจะมีพ้ืนที่กตี่ ารางวาวิธที ํา พน้ื ทท่ี งั้ หมด = 12  20 = 240 ตารางวา พนื้ ท่รี ูปใน = 10  18 พื้นที่ถนน = 180 ตารางวา  พน้ื ทีถ่ นน = 240 – 180 = 60 ตารางวาตวั อยา ง หองๆ หนึ่ง 6.5 เมตร กวา ง 4 เมตร ตอ งการปกู ระเบอ้ื งรปู สี่เหลี่ยมจัตรุ ัส ซึง่ มคี วามกวางดา นละ 25เซนตเิ มตร จะตองใชกระเบื้องกีแ่ ผนวธิ ีทาํ หองหนึ่งมคี วามยาว 6.5 เซนติเมตร = 650 เซนติเมตร ความกวา ง 4 เมตร = 400 เซนติเมตร พนื้ ท่ีหอ ง = 400  650 = 260,000 เซนติเมตร พื้นทกี่ ระเบ้ือง = 25  25 = 625 ตารางเซนติเมตร ตองใชก ระเบือ้ ง = 260,000  416 แผนดงั นัน้ ตองใชกระเบอื้ ง 416 แผน 625

101 แบบฝกหดั ที่ 61. แผนผงั บา นหลงั หน่งึ มีลกั ษณะและขนาดดงั รปู ถาบริเวณทีแ่ รเงาตอ งการเทปูนซเี มนต โดยเสียคา ใชจ า ยตารางเมตรละ 250 บาท จะตองเสียคาใชจ า ยท้งั หมดกบี่ าท กําหนดความยาวมีหนว ยเปนเมตร2. ตองการตดั เส้ือตัวหน่ึงมลี กั ษณะดังรูป จะตองใชผ า กต่ี ารางเมตร (ไมคดิ ตะเข็บ) ความยาวทกี่ ําหนดมีหนวยเปน เซนตเิ มตร

102เร่อื งที่ 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนกั ในชวี ติ ประจาํ วันบางคร้งั เราอาจตอ งการทราบรายละเอียดเกีย่ วกับเวลา ระยะทาง ขนาด หรอืน้ําหนัก ของสง่ิ ตา งๆ แตไมส ะดวกทจี่ ะวดั ส่ิงตางๆ เหลา น้นั เน่อื งจากมขี อ จํากดั บางประการ ตวั อยา งเชนตอ งการวดั ความยาว และความกวางของสนามฟตุ บอลของโรงเรียน แตไ มมีอุปกรณท ่ีเหมาะสม ทาํ ใหต อ งมีกีป่ ระมาณอยางครา วๆ ซึ่งในบางครั้งอาจจะถูกตอง หรอื อาจผิดไปจากความเปนจรงิ บาง เราเรยี กวธิ กี ารประมาณในลกั ษณะน้ีวา การคาดคะเน การคาดคะเนปรมิ าณตา งๆ เชน ชว งเวลา ระยะทาง ขนาด และนํ้าหนกั ของส่งิ ตา งๆ ผูคาดคะเนมกัใชสายตารวมกับประสบการณข องผคู าดคะเนเอง ซ่ึงในการคาดคะเนแตละครงั้ อาจถกู ตองพอดี หรืออาจมีขอผดิ พลาดเกิดข้ึนบา งกไ็ ด เราเรียกขอ ผิดพลาดนี้วา ความคลาดเคลอื่ นและความคลาดเคลอ่ื นคํานวณไดจ ากผลตางของปริมาณท่ีคาดคะเนไวก บั ปริมาณท่ีวดั ไดจ ริง เชน คะเนวา หนังสอื เรียนกวาง 15 เซนตเิ มตร ยาว 20 เซนตเิ มตร และหนา 1 เซนติเมตร แตเม่ือวดั จริงพบวาหนงั สือเรียนกวาง 14.6 เซนติเมตร ยาว 20.9 เซนตเิ มตร และหนา 1 เซนตเิ มตร ดงั นน้ั คะเนความกวางและความยาวของหนังสอื เรียนคลาดเคลือ่ นไป 0.4 และ 0.9 ตามลาํ ดบั (15.0 เซนติเมตร – 14.6 เซนติเมตร =0.4 เซนตเิ มตร และ 20.9 เซนติเมตร – 20 เซนตเิ มตร = 0.9 เซนตเิ มตร สว นความหนาคาดคะเนไดถ กู ตอ งไมคลาดเคลอ่ื นเลย ) หมายเหตุ บางครัง้ อาจพบการใชส ญั ลกั ษณ  ตามความคลาดเคล่ือน เชน เครือ่ งบรรจนุ ้าํ ไดข วดละ 1,000 ลกู บาศกเ ซนติเมตร  5 ลูกบาศกเ ซนติเมตร หมายความวา โดยปกติแลวนา้ํ ด่ืมท่บี รรจขุ วดโดยเครื่องน้จี ะมีปริมาตร 1,000 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร แตอ าจจะมีบางขวดทม่ี ปี รมิ าตรมากกวา หรือนอ ยกวา 1,000ลกู บาศกเซนติเมตร ซึง่ ปริมาตรที่คลาดเคลอ่ื นน้ีไมเ กนิ 5 ลกู บาศกเซนตเิ มตร น่นั คือ นํา้ ด่ืมที่บรรจขุ วดจะมีปรมิ าตรตง้ั แต 995 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร ถงึ 1,005 ลกู บาศกเ ซนติเมตร

103 แบบฝก หดั ท่ี 71. จงคาดคะเนเวลาหรือชวงเวลาใหเหมาะสมกับสถานการณตอไปน้ี 1) ฟาใกลส วา ง อากาศเย็นสบาย ไกต วั ผูตีปก และสง เสยี งขนั มนี ้าํ คา งจบั ตามยอดหญา นา จะเปนเวลาประมาณ...................นาฬกิ า 2) เม่อื อยูก ลางแจง ดวงอาทติ ยอ ยูต รงศรี ษะพอดี เงาของตัวเองอยบู นพื้นทย่ี ืนอยพู อดี นา จะเปน เวลาประมาณ...................นาฬกิ า3) ในจังหวัดทางภาคเหนอื เปนเวลาเชา ตรู ฟา สวา งแลว แตย ังไมเ ห็นพระอาทิตย ทอ งฟาขมกุ ขมวั อากาศหนาวเย็นจดั นาจะเปน ฤด.ู ...................และควรจะเปน ชว งเดือน.....................2. จงวงกลมลอ มรอบขอท่ีเหมาะสมทส่ี ุด สําหรบั ใชห นวยในการคาดคะเน ระยะทาง นาํ้ หนัก หรอืขนาดของสิง่ ตอ ไปนี้1) ความยาวของคตั เตอรก. 1.5 มลิ ลเิ มตร ข. 15 เซนตเิ มตร ค. 15 เมตร2) น้ําหนกั ของมะพรา ว 1 ผลก. 1 กรมั ข. 1 กโิ ลกรมั ค. 1 ตัน3) ปริมาณของนม 1 กลอ งก. 4 512 เซนติเมตร3 ข. 4 512 ฟุต3 ค. 4 512 เมตร34) รถกระบะ4.1 มีน้ําหนกั ก. 10 กิโลกรมั ข. 100 กิโลกรัม ค. 1 ตนั4.2 ความกวา ง ก. 160 เซนตเิ มตร ข. 16 ฟตุ ค. 16 เมตร4.3 ความยาว ก. 5 ฟตุ ข. 5 เมตร ค. 5 วา4.4 ความสงู ก. 160 มิลลิเมตร ข. 1,600 มิลลเิ มตร ค. 16,000 มิลลิเมตร5) เกาอี้นง่ั5.1 กวา ง ยาว สงู ก. 40 5080 มลิ ลเิ มตร3 ข. 40 5080 เซนตเิ มตร3 ค. 4 58 เมตร35.2 น้าํ หนัก ก. 10 กโิ ลกรัม ข. 100 กิโลกรัม ค. 1 ตัน

1043. ทางหลวงสายพหลโยธนิ กรงุ เทพฯ-แมสาย ยาว 952 กโิ ลเมตร รถประจาํ ทางปรบั อากาศวง่ิ บนทางหลวงสายนตี้ ลอดเสน ทางดวยอตั ราเรว็ 80-100 กโิ ลเมตรตอช่วั โมง (1) รถประจําทางปรับอากาศใชเวลาวง่ิ ตลอดเสน ทางนานเทาไร (2) ถา รถออกจากกรงุ เทพฯ ประมาณ 18.00 นาฬกิ า จะถงึ แมสายในชวงใด (3) ถาตองการใหถงึ แมสายประมาณเทยี่ งวนั ที่ 16 กนั ยายน จะตอ งออกจากกรุงเทพฯ เวลาเทา ไร4. ลฟิ ตข องโรงแรมแหงหน่งึ บรรทกุ ผูโ ดยสายไดเที่ยวละไมเกิน 10 คน (600 กิโลกรมั ) บางครัง้ มีผโู ดยสารเขา ลิฟตเ พียง 8 คน ลฟิ ตจะมเี สียงเตอื น บางครง้ั มผี ูโ ดยสาร 12 คน ลิฟตไมมเี สียงเตอื นยังใชงานไดเ ปนเพราะเหตใุ ด จงอธิบาย5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรงุ เทพฯ-บา นคลองพราน จงั หวดั นราธวิ าส) 1,352 กโิ ลเมตร ทางหลวงสายมิตรภาพ (กรุงเทพฯ-จังหวดั หนองคาย) 508 กโิ ลเมตร ทางหลวงสายสขุ มุ วทิ (กรงุ เทพฯ-จงั หวดั ตราด) 400กโิ ลเมตร (1) ถาขับรถจากบานคลองพรานตามทางหลวงสายเพชรเกษมผา นกรุงเทพฯ แลวมุง สูจ งั หวดัหนองคายตามทางหลวงสายมิตรภาพ ดวยอัตราเรว็ ในชว ง 90-100 กโิ ลเมตรตอชวั่ โมง จะใชเวลาประมาณกี่ช่ัวโมง (2) ถาเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปตามทางหลวงสายเพชรเกษม เวลา 12.00 นาฬิกา วนั นี้ จะถงึ จงั หวดันราธวิ าสเม่อื ใด โดยใชอ ตั ราความเรว็ 100 กโิ ลเมตรตอช่ัวโมง (3) ถาตองการเดนิ ทางจากกรงุ เทพฯ ไปจงั หวดั ตราดทางหลวงสายสขุ มุ วิท และถึงจงั หวดั ตราดประมาณเทย่ี งวัน จะตองออกจากกรงุ เทพฯ เวลาใด เม่ือใชอ ตั ราความเรว็ 80 กิโลเมตรตอ ชั่วโมง (4) ใหน ักเรียนเปรียบเทยี บความยาวของทางหลวงท้ังสามสาย

105 บทที่ 6 ปรมิ าตรและพนื้ ทผี่ วิสาระสําคญั การหาพ้นื ทผ่ี ิวและปรมิ าตรของ ปริซึม พรี ะมดิ ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม จําเปน จะตองรูกระบวนการคดิ และการใชสูตร เพอ่ื สะดวกในการคาํ นวณอนั จะเปน ประโยชนตอ การนําไปใชในชวี ติ จรงิผลการเรียนรทู ีค่ าดหวัง 1. อธิบายลกั ษณะและสมบตั ขิ องปรซิ ึม พีระมดิ ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม หาปริมาตรและ พนื้ ทผ่ี ิวของปริซึมได 2. สามารถหาปริมาตรและพ้ืนท่ผี วิ ของทรงกระบอกได 3. สามารถหาปรมิ าตรของพรี ะมิด กรวยและทรงกลมได 4. เปรยี บเทยี บหนว ย ความจุ หรือหนว ยปรมิ าตรในระบบเดยี วกนั หรอื ตา งระบบ และเลือกใช หนว ยการวดั เกย่ี วกบั ความจหุ รือปรมิ าตรไดอยางเหมาะสม 5. ใชค วามรูเกีย่ วกบั ปรมิ าตรและพืน้ ทผี่ ิวแกปญหาในสถานการณตา ง ๆ ได 6. ใชก ารคาดคะเนเกยี่ วกับปรมิ าตรและพ้ืนทผ่ี วิ ในสถานการณตา ง ๆ ไดอยางเหมาะสมขอบขา ยเน้ือหา เรอ่ื งที่ 1 ลักษณะสมบตั ิและการหาพื้นที่ผวิ และปริมาตรของปริซึม เรื่องท่ี 2 การหาปริมาตรและพ้นื ทผ่ี วิ ของทรงกระบอก เร่อื งท่ี 3 การหาปรมิ าตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม เร่ืองท่ี 4 การเปรียบเทียบหนว ยปริมาตร เรอ่ื งท่ี 5 การแกโจทยปญ หาเก่ียวกบั ปรมิ าตรและพื้นท่ผี วิ เรอ่ื งที่ 6 การคาดคะเนปรมิ าตรและพื้นที่ผวิ

106เรื่องที่ 1 ลกั ษณะสมบัติและการหาพื้นทผ่ี วิ และปริมาตรของปริซึม พนื้ ทผ่ี วิ และปริมาตรของปรซิ มึ รูปเรขาคณติ สามมิติที่มหี นา ตดั (ฐาน)ท้งั สองเปนรปู หลายเหล่ยี มที่เทา กนั ทกุ ประการและอยูใ นระนาบทข่ี นานกนั มหี นา ขา งเปน รปู สีเ่ หลีย่ มดา นขนาน เรยี กวา ปรซิ มึสวนตางๆ ของปรซิ ึมมีชอ่ื เรียกดังน้ีเราเรียกชือ่ ปรซิ มึ ชนิดตาง ๆ ตามลกั ษณะของฐานของปรซิ มึ ดงั ตวั อยางปริซมึ ส่เี หลยี่ มผนื ผา ปรซิ ึมสามเหลย่ี ม ปรซิ มึ สี่เหลี่ยมคางหมูปรซิ ึมหาเหลย่ี ม ปรซิ มึ หกเหลย่ี มสตู ร การหาพ้นื ทผี่ ิวของปรซิ มึ = พ้นื ท่ผี วิ ขาง + พน้ื ทผี่ วิ หนา ตัด ปริมาตรปรซิ มึ = พนื้ ทีฐ่ าน x สงู

107ตวั อยา ง 1 จงหาพื้นทผ่ี ิวของปริซมึ ตอ ไปน้ี กําหนดความยาวทห่ี นว ยเปนเซนติเมตรวิธีทํา พ้นื ท่ผี วิ ดานขา ง 4 ดา น = 2(3 x5) + 2 ( 4 x 5) = 70 ตารางเซนติเมตรพื้นท่ีหนา ตัด = 2 ( 3 x 4) = 24 ตารางเซนตเิ มตรพืน้ ที่ผวิ ของปริซึม = 70 + 24 = 94 ตารางเซนตเิ มตรตวั อยาง 2 จงหาปริมาตรของปริซึมตอ ไปน้ี (ความยาวที่กาํ หนดใหมีหนว ยเปน เมตร)วิธีทาํปรมิ าตรปริซมึ = พนื้ ที่ฐาน x สงู = (4 x 5) x 8 = 160 ลกู บาศกเ มตร แบบฝก หดั ท่ี 1จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซมึ ตอไปนี้

108เรอ่ื งที่ 2 การหาปรมิ าตรและพ้ืนทีผ่ วิ ของทรงกระบอก ทรงกระบอก คอื ทรงสามมิติท่ีมีฐานเปนรปู วงกลมท่ีเทา กนั ทุกประการ และอยใู นระนาบทข่ี นานกัน ซ่งึ เมือ่ ตัดทรงสามมติ ินด้ี ว ยระนาบที่ขนานกับฐานแลวจะไดรอยตดั เปนวงกลมที่เทากนั ทกุ ประการกบัฐานเสมอพน้ื ท่ีผวิ ของทรงกระบอก เมอ่ื คลี่ผวิ ขา งของทรงกระบอกใด ๆ พบวา จะเปนรูปสีเ่ หลี่ยมผืนผาที่มีความยาวเทา กบั เสน รอบฐานวงกลม และสวนสูงเทากับความสงู ของทรงกระบอก สตู ร พน้ื ทผ่ี ิวของทรงกระบอก = พื้นทผี่ ิวขา ง + พนื้ ทฐ่ี านทั้งสอง = 2rh  2r 2 เมอื่ r แทน รัศมขี องฐานของทรงกระบอก h แทน ความสงู ของทรงกระบอก

109ปรมิ าตรทรงกระบอก = พ้นื ที่ฐาน x สงู จาก ปรมิ าตรของปรซิ ึม = r 2 h ปรมิ าตรทรงกระบอก สตู ร ปรมิ าตรทรงกระบอก = r 2 hตวั อยา งที่ 5 กระปองทรงกระบอกใบหนึ่งมีรัศมี 7 เซนติเมตร และสงู 10 เซนตเิ มตร ก) ตอ งการปด กระดาษรอบขา งและปด ฝาทั้งสองจะตอ งใชก ระดาษก่ตี ารางเซนตเิ มตร ข) กระปอ งใบน้มี คี วามจกุ ลี่ กู บาศกเ ซนตเิ มตรวธิ ที าํ ก) พน้ื ท่ฐี านทั้งหมด = 2r 2 = 2  22  7  7 7 = 308 ตารางเซนติเมตร พนื้ ทีผ่ วิ ขา ง = ความยาวรอบฐาน x สูง = 2r  h = 2  22  7 10 7 = 440 ตารางเซนติเมตร พ้นื ทีผ่ วิ กระปอ ง = 308 + 440 = 748 ตารางเซนตเิ มตร ข) ปริมาตร = พ้นื ท่ฐี าน x สงู = r 2 h = 22  7  7 10 7 = 1,540 ลูกบาศกเซนตเิ มตร ดงั นนั้ ก. ตอ งใชก ระดาษ 748 ตารางเซนตเิ มตร ข. กระปอ งมคี วามจุ 1,540 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร

110 แบบฝกหดั ท่ี 21. จงหาปริมาตร และพืน้ ทผ่ี ิวทงั้ หมดของทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร มีเสน ผานศนู ยก ลาง 14เซนติเมตร.................................................................................................... ............................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................. ...........................................................................................................................................................2. จงหาปรมิ าตรของทรงกระบอกใบหนึง่ ทม่ี ีรศั มขี องฐาน 3.5 นว้ิ และสงู 5 น้วิ.................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................3. จงหาปริมาตรและพืน้ ท่ีผวิ ทง้ั หมดของถังเก็บนาํ้ รูปทรงกระบอกใบหนง่ึ ท่ีมีรัศมที ี่ฐาน 3 เมตร สูง 4 เมตร 90 เซนติเมตร.................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................ ......................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................. ......................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................ ......................................................................................................................................................................... .....................................................................

111เรื่องที่ 3 การหาปริมาตรของพีระมดิ กรวยและทรงกลม 3.1 พน้ื ทีผ่ ิวและปริมาตรของพีระมดิ พรี ะมิด คือ ทรงสามมิตทิ ี่มีฐานเปนรปู เหลย่ี มใดๆ มยี อดแหลม ซง่ึ ไมอ ยูในระนาบเดยี วกับฐานและหนา ทกุ หนาเปน รูปสามเหลยี่ ม ทมี่ ีจุดยอดรว มกนั ท่ียอดแหลมลกั ษณะของพรี ะมิดตรง 1. หนา ของพีระมดิ ตรงเปนรูปสามเหล่ยี มหนาจั่ว 2. สนั ของพรี ะมิดตรงจะยาวเทา กันทกุ เสน 3. ความสูงเอียงของพีระมดิ ตรง ดา นเทา มมุ เทา จะยาวเทากนั ทกุ เสน 4. ปริมาตรของพรี ะมดิ เปน หนง่ึ ในสามของปรมิ าตร ปริซึมทม่ี ีฐานเทา กับพรี ะมิด และมีสวนสูง เทา กับพีระมิดสตู ร พื้นท่ผี ิวขา งของพีระมิด = 1  ความยาวรอบฐาน x สงู เอียง 2พ้นื ทีผ่ วิ ท้งั หมดของพีระมิด = พ้ืนทผ่ี ิวขา ง + พน้ื ทีฐ่ านปริมาตรของพีระมดิ = 1  พื้นที่ฐาน x สูง 3

112ตวั อยางท่ี 3 พรี ะมดิ ฐานสเ่ี หล่ยี มผนื ผา กวา ง 10 เซนติเมตร ยาว 18 เซนติเมตร และความสงู ของพีระมดิ เปน12 เซนติเมตร จงหาความสงู เอียงของพีระมิดทั้งสองดาน1. ความสูงเอียงดานกวา ง a 2  122  92 =144 + 81 a 2  225 a 15เซนตเิ มตร2. ความสูงเอยี งดา นยาว c 2  52  122 = 25 + 144 = 169 c = 13 เซนตเิ มตรตวั อยา งท่ี 4 พีระมิดแหง หนึ่งมฐี านเปน รปู สีเ่ หลี่ยมจตั ุรสั ยาวดานละ 6 เมตร สงู เอยี ง 5 เมตร และสูงตรง 4เมตร จงหาพนื้ ท่ีผิวและปรมิ าตรของพีระมดิวธิ ที าํพืน้ ที่ผวิ ขา งของพีระมิด = 1  ความยาวรอบฐาน x สูงเอยี งพ้ืนท่ีฐาน 2ดังน้ันพน้ื ทผ่ี วิ ของพีระมดิปริมาตรของพีระมดิ = 1  (6x4) x 5 2 = 60 ตารางเมตร = 6x6 = 36 ตารางเมตร = 60 + 36 = 96 ตารางเซนติเมตร = 1  พ้นื ทีฐ่ าน x สงู 3 = 1  36 x 4 3 = 48 ลกู บาศกเมตร

113 แบบฝกหดั ที่ 31. จงหาปริมาตรและพน้ื ที่ผวิ ทง้ั หมดของพรี ะมดิ ทีส่ ูง 6 เซนติเมตร ฐานเปนรปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ ัส ยาวดา นละ 16เซนตเิ มตร.................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ......................................................................................................................................................................... .....................................................................2. จงหาพน้ื ทผ่ี วิ เอียงของพรี ะมดิ ฐานรูปหกเหลยี่ มดา นเทา มุมเทา ยาวดา นละ 4 เซนตเิ มตร สงู เอียง 7.5เซนติเมตร.................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................ .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... .....................................................................

1143.2 พนื้ ท่ผี วิ และปริมาตรของทรงกรวย กรวย คอื ทรงสามมิตทิ ี่มฐี านเปน รปู วงกลม มยี อดแหลมท่ไี มอยูบนระนาบเดียวกบั ฐาน และเสน ท่ีตอระหวา งจุดยอดกบั จดุ ใด ๆ บนเสน รอบวงของฐาน เรยี กเสน ตรงนว้ี า “สงู เอียง” สูงตรง สงู เอยี ง พ้นื ที่ผิวของกรวย การหาพนื้ ทีผ่ ิวเอียงของกรวย ทําไดโดยตัดกรวยตามแนวสงู เอียงแลวคล่ีแผอ อกจะเกดิ เปน รปูสามเหล่ยี มฐานโคง hสตู ร พืน้ ท่ีผิวของกรวย =  rl   r 2เมือ่ r เปน รัศมขี องฐานกรวยl เปนความยาวของสงู เอียง ปริมาตรของกรวย ความสัมพนั ธข องปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอก จะเหมอื นกับความสมั พนั ธข องปริซมึ กบัพรี ะมดิ ท่มี ีสวนสงู และพน้ื ทีฐ่ านเทากัน นน่ั คือ

115ปริมาตรของกรวย เปน 1 ของปริมาตรของทรงกระบอก ทมี่ พี ื้นท่ีฐานและสวนสงู เทากับกรวย 3 สูตร ปรมิ าตรของกรวย = 1  r 2 h 3 เมอ่ื r แทน รัศมขี องฐานกรวย h แทน ความสงู ของกรวยตัวอยางท่ี 6 จงหาพ้ืนทีผ่ วิ และปริมาตรของกรวย ซึง่ สูง 24 เซนติเมตร และเสนผา นศนู ยก ลาง 14เซนติเมตร รศั มี = 14  7 เซนตเิ มตรวธิ ีทํา 2 หาความสูงเอียง (l) จาก ABO l 2  242  72 = 625 = 576 + 49 l = 25 เซนติเมตร พ้นื ทผ่ี ิวขาง =  rl พนื้ ท่ีฐาน = 22  7  25 = 7 = = 550 ตารางเซนตเิ มตร = r 2 22  7  7 7 154 ตารางเซนตเิ มตรพ้นื ท่ีผวิ ท้งั หมด = พนื้ ทผ่ี ิวขา ง + พน้ื ที่ฐาน = 550 + 154 = 704 ตารางเซนตเิ มตรปรมิ าตรของกรวย = 1  r 2 h 3 = 1  22  7  7  24 37 = 1,232 ลกู บาศกเซนตเิ มตรพืน้ ที่ผิวทง้ั หมด 704 ตารางเซนติเมตรปริมาตรของกรวย 1,232 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร

116 แบบฝกหดั ที่ 41. จงหาปริมาตร และพื้นทผี่ ิวทั้งหมดของกรวยกลมทสี่ งู 24 เซนตเิ มตร มเี สน ผา นศูนยก ลาง 14 เซนตเิ มตร.................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................2. จงหาปรมิ าตรและพืน้ ที่ผวิ ท้ังหมดของกรวยกลมทส่ี งู เอยี ง 5 เซนตเิ มตร มเี สน ผานศนู ยก ลาง 8 เซนตเิ มตร(ตอบในรปู ).................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................. ......................................................................................................... ............................................................................3. จงหาปรมิ าตรจรวดทรงกระบอกมปี ลายเปนกรวย มเี สนผา นศนู ยก ลาง 14 เซนติเมตร ความยาวทรงกระบอก 30 เซนตเิ มตร ความสงู ยอดกรวย 12 เซนติเมตร............................................................................................. ................................................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................ .............................................................................................................................................................................................................................. ................

1173.3 พน้ื ท่ผี วิ และปรมิ าตรของทรงกลม ทรงกลม คือ ทรงสามมิตทิ ีม่ ผี ิวโคง เรยี บ และจุดทกุ จดุ อยบู นผวิ โคง อยูหา งจากจดุ คงทจ่ี ุดหนง่ึ เปนระยะเทา กนั จุดคงที่ เรียกวา จุดศูนยก ลางของทรงกลม ระยะทเ่ี ทา กัน เรยี กวา รศั มขี องทรงกลมพ้นื ทีผ่ ิวของทรงกลมพ้นื ท่ผี ิวของทรงกลม เปน สีเ่ ทา ของพ้นื ทีว่ งกลม ซง่ึ มีรศั มีเทากับรศั มีของทรงกลมจาก พ้นื ทขี่ องรปู วงกลม = r 2ดงั นัน้ พ้ืนที่ผวิ ของทรงกลม = 4 r2 สตู ร พ้ืนทผ่ี ิวของทรงกลม = 4 r2ปริมาตรของทรงกลม ปริมาตรของทรงกลมอาจหาไดจากการทดลองหาความสมั พันธระหวางปริมาตรของคร่งึ วงกลมกบัปริมาตรของกรวยขอกาํ หนด 1) ครงึ่ ของทรงกลมที่มรี ัศมี r หนวย 2) กรวยท่ีมรี ัศมีเทากบั คร่งึ ทรงกลม r หนว ย และสว นสงู ของกรวย (h) เปน 2 เทา ของรศั มีฐานของกรวย คือ 2r หนวย

118สตู ร ปรมิ าตรของทรงกลม = 4 r 3 3 เมอ่ื แทน r รศั มขี องทรงกลมตวั อยางที่ 7จงหาปรมิ าตรและพ้นื ทผ่ี วิ ของลูกโลกพลาสตกิ ซึ่งมรี ศั มยี าว 7 เซนติเมตรวิธีทาํ พ้ืนท่ผี วิ ทรงกลม = 4 r2 = 4  22  7  7 7 = 616 ตารางเซนตเิ มตร ปริมาตรทรงกลม = 4 r 3 3 = 4  22  7  7  7 37 = 4,312 3 = 1,437.3 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตรพน้ื ท่ผี วิ ของทรงกลม = 616 ตารางเซนติเมตรปริมาตรของทรงกลม = 1,437.3 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร

119 แบบฝกหดั ท่ี 51. จงหาปรมิ าตรและพน้ื ท่ีผวิ ของทรงกลมซึ่งมเี สน ผา นศนู ยก ลาง 14 เซนติเมตร.................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ...................................................................2. ทรงกลมมปี ริมาตร 38,808 ลูกบาศกเซนตเิ มตร จงหารศั มีและพน้ื ท่ีผิว........................................................................................................................ ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... .....................................................................3. ทรงกลมมีพื้นท่ผี ิว 616 ตารางน้วิ จงหาปรมิ าตรของทรงกลม.................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................ .................................................................................................................. .....................................................................4. โลหะกลมลกู หนง่ึ รศั มีภายนอก 21 เซนติเมตร รัศมภี ายใน 7 เซนติเมตร จงหาปรมิ าตรเนอ้ื โลหะ.................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................ .................................................................................................................. ......................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................. ............

120เร่ืองที่ 4 การเปรียบเทยี บหนว ยปริมาตร การตวง คอื การนําสงิ่ ทตี่ องการหาปริมาตรใสใ นภาชนะทีใ่ ชสําหรับตวง หนว ยการตวงทน่ี ยิ มและใชก นั มาก คอื ลิตร1 ลติ ร = 1,000 มิลลิลิตร1,000ลิตร = 1 กโิ ลลติ รเมอ่ื เทยี บกับหนวยปริมาตรหนว ยการตวงในมาตราไทย เปนหนว ยการตวงทีน่ ิยมใชก นั มาก คอื1 ถงั = 20 ลติ ร(ทะนานหลวง)1 เกวียน = 100 ถัง1 เกวียน = 2 ลูกบาศกเ มตร1 เกวียน = 2,000 ลิตร1 ลิตร = 1,000 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร10 มลิ ลลิ ิตร = 1 ลูกบาศกเซนติเมตร1 ลกู บาศกเ มตร = 1,000 ลติ ร1 ลกู บาศกเมตร = 1,000,000 ลูกบาศกเซนตเิ มตร1 แกลลอน = 4.546 ลติ ร1 ลูกบาศกน วิ้ = 16.103235 ลกู บาศกเ ซนติเมตร1 ลกู บาศกนว้ิ = 0.0164 ลติ ร1 ลกู บาศกฟ ุต = 1.728 ลกู บาศกนว้ิ1 ลกู บาศกฟุต = 28.32 ลติ ร1 บารเรล = 158.98 ลติ ร

121ตวั อยา งที่ 1อางนํา้ ทรงสีเ่ หลยี่ มมุมฉากใบหนง่ึ กวา ง 30 เซนติเมตร ยาว 50 เซนติเมตรและสูง 40 เซนติเมตร 1. อา งใบนจี้ นุ ้ํากล่ี ิตร 2. ถา มีน้ําบรรจเุ ต็มอางและนา้ํ 1 ลกู บาศกเซนตเิ มตร หนกั 1 กรมั จงหานาํ้ หนักของนา้ํ ในอา ง ใบน้ีวธิ ีทํา1. ปริมาตรของอา งนา้ํ = ความกวา งความยาวความสงู แทนคา ปริมาตรของอางนาํ้ = 30  50  40 = 60,000 ลกู บาศกเซนตเิ มตร เมือ่ เทยี บกับหนว ยปรมิ าตร 1,000 ลกู บาศกเ ซนติเมตร = 1 ลติ ร 60,000 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร  60,000 = 60 ลิตร 1,000 2.นํ้า 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนกั 1 กรัม นา้ํ 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 60,000 กรมั  60,000 = 60 กโิ ลกรมั 1,000 ตอบ 60 กโิ ลกรมัตวั อยางที่ 2 ถังเก็บน้ําฝนทรงกระบอกเสน ผานศูนยก ลางภายใน 3 เมตรสูง 5 เมตรคิดเปน ปริมาตรของนาํ้กล่ี ิตรวธิ ที ํา ปรมิ าตร = r2 h = 22 1.5 1.5  5 7 = 35.36 ลูกบาศกเ มตร = 35.36 X 1,000,000 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร = 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร เนอ่ื งจาก 1,000 ลกู บาศกเซนตเิ มตร = 1 ลติ ร ดังน้ัน 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 35,360,000 = 35,360 ลิตร 1,000

122 แบบฝก หดั ท่ี 61. สระแหงหน่ึงเปน รปู สี่เหล่ยี มผืนผา กนสระกวาง 5 วา ลกึ 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถา ใชเคร่อื งสบู นา้ํ ออกจากสระไดนาทลี ะ 9,000 ลิตร จะตองใชเวลาสูบน้ําเทาไร……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….2. อา งเลีย้ งปลาทรงสี่เหลี่ยมมมุ ฉากกวาง 90 เซนตเิ มตร ยาว 1.2 เมตร จนุ าํ้ 540 ลิตร ตองการปกู ระเบอ้ื งภายในอา งดวยแผน กระเบือ้ งรูปสเี่ หลย่ี มจตั ุรสั ยาวดา นละ 10 เซนตเิ มตร ตองใชก ระเบอ้ื งอยางนอ ยทีส่ ดุเทาไร……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….3. น้าํ ยาบว นปากขวดหนงึ่ ปรมิ าตรสทุ ธิ 700 มลิ ลลิ ิตร ใชอมปว นปากคร้ังละ 10 มลิ ลลิ ิตร วนั ละ 2 ครง้ั จะใชไ ดก ีว่ ัน……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….4. ถงั น้ําทรงลกู บาศกยาวดา นละ 2 เมตร จุนํ้าไดก่ลี ิตร……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….5. ถงั ทรงสีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากวดั ภายในกวาง 90 เซนตเิ มตร ยาว 1.50 เซนตเิ มตร สงู 1.20 เมตร บรรจุน้ําเต็มถงัถาตอ งการตวงนาํ้ จากถงั ใสแกลอนซ่งึ มีความจุ 4.5 ลติ ร จะไดน้าํ ทง้ั หมดกีแ่ กลอน……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….

123เรือ่ งที่ 5 การแกโ จทยปญ หาเกยี่ วกับปรมิ าตรและพื้นท่ผี วิตัวอยาง ลังกระดาษบรรจกุ ลองซดี ี วดั ความยาวภายในไดก วา ง 12 เซนติเมตร บรรจุ ยาว 14 เซนตเิ มตร และสงู15 เซนติเมตร และบรรจุกลอ งซดี เี ตม็ ลงั พอดี ลังกระดาษน้ีมปี รมิ าตรเทาไร และถาหยิบกลอ งซีดีออกมา 1กลอ ง ซง่ึ มปี รมิ าตร 270 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร กลองซีดจี ะหนาเทาไรวธิ ีทาํ ลงั กระดาษมปี รมิ าตร = พื้นท่ีฐาน x สูง = (12 x 14) x 15 = 2, 520 ลกู บาศกเซนติเมตร กลองซีดี 1 กลอ ง มปี ริมาตร = พนื้ ทฐ่ี าน x หนา 270 = (12 x 15) x หนา หนา = 270 กลอ งใสซ ดี มี ีความหนา = 12 15 1.5 เซนตเิ มตร ลังกระดาษมปี รมิ าตร 2,520 ลูกบาศกเ ซนติเมตรตัวอยาง น้าํ ขนั ครง่ึ วงกลมรศั มี 3 น้วิ ตกั น้าํ ใสถ งั ทรงกระบอกท่ีมรี ัศมี 10 นิ้ว และสงู 27 นิว้ กคี่ รั้งน้ําจงึ จะเตม็ ถงัวธิ ีทาํ ปรมิ าตรนํ้า 1 ขนั = 1 ของปริมาตรของทรงกลม 2 = 1  4 r 3 23 = 1  4 333 23 = 18 ลกู บาศกน ิว้ ปรมิ าตรถงั ทรงกระบอก = r 2h = 102  27 = 2,700  ลกู บาศกน ้ิว จะตอ งตักนํา้ = 2,700 ครั้ง 18 = 150 คร้ัง ตอบ 150 ครง้ั

124 แบบฝก หดั ที่ 71. ถังเก็บนาํ้ มันของปมแหงหนง่ึ เปนรปู ทรงกลม มีเสนผานศนู ยกลาง 7 เมตร ตอ งการทาสคี รง่ึทรงกลมบน โดยเสียคา ทาสีตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสยี คา ทาสกี บ่ี าท.................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................. ......................................................................................................................................................................... .....................................................................2. หินออนทรงลกู บาศกมขี นาดดา นละ 2.1 เมตร ถา ตอ งการกลงึ ใหเปนรปู ทรงกลมใหมขี นาดเสน ผา นศูนยก ลางเทากบั ความยาวของดานลกู บาศก จงหาวาจะตอ งกลึงหินออกไปปริมาตรเทาใด.................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................ .......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... .....................................................................3. นําแทง ตะกวั่ ทรงสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากกวาง 8 นิว้ ยาว 11 นิ้ว หนา 5 นว้ิ ไปหลอมเปน ลูกปน ทรงกลมขนาดรัศมี 1 นิว้ จะหลอมไดก ่ีลูก.................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .....................................................................................

125เร่อื งท่ี 6 การคาดคะเนเก่ียวกบั ปรมิ าตรและพืน้ ทผี่ ิว การคาดคะเนพนื้ ที่ เปน การประมาณพื้นที่อยา งคราวๆ จากการมองโดยอาศยั ประสบการณและความรูเกย่ี วกับขนาดและความยาวมาชวยในการเปรียบเทยี บและตดั สินใจ เพือ่ ใหใ กลเ คยี งกบั พน้ื ที่จริงมากท่สี ุด หนว ยพื้นท่ที นี่ ิยมใช คือ ตารางเซนตเิ มตร(ซม.2 ) ตารางเมตร(ม.2) และตารางวา(วา2)การคาดคะเนพน้ื ที่ของรปู หลายเหลย่ี มตวั อยา ง จงคะเนหาพืน้ ท่ีรูปหลายเหล่ียมตอไปนี้

126วธิ ีคดิ ในบางครงั้ การหาพน้ื ที่รูปหลายเหล่ยี มตา งๆ ทไ่ี มไ ดร ะบหุ นวยความยาว เราอาจจะใชว ธิ กี ารสรางหนวยตาราง 1 หนว ย คลุมพนื้ ท่ีดงั กลา วโดยกําหนด แทนพื้นที่ 1 หนวย หรอื แทนพืน้ ที่ 1 ตารางเซนตเิ มตร หรอื แทนพ้นื ท่ี 1 ตารางเมตร หรอื แทนพน้ื ที่ 1 ตารางวาจากรูปภาพนบั รปู ได 22 รปู ซง่ึ แทนพน้ื ที่ 22 ตารางหนว ยดังน้ันพน้ื ทร่ี ปู หลายเหลย่ี ม = 22 ตารางหนว ย

127 บทท่ี 7คูอนั ดับและกราฟสาระสาํ คัญ คูอ นั ดบั เปนการจบั คูร ะหวางสมาชกิ สองตวั จากกลมุ เพอ่ื นาํ ไปจัดทํากราฟบนระนาบพกิ ดั หาปรมิ าณ ความเก่ยี วขอ งของปรมิ าณสองชดุผลการเรยี นรูที่คาดหวัง 1. อา นและอธบิ ายความหมายคูอันดับได 2. อานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกิ ัดฉากทก่ี ําหนดใหได 3. เขยี นกราฟแสดงความเกย่ี วขอ งของปริมาณสองชุดทกี่ ําหนดใหไ ดขอบขายเนอ้ื หา เรื่องท่ี 1 คูอันดบั เร่ืองท่ี 2 กราฟของคูอ ันดบั เร่ืองท่ี 3 การนําคูอนั ดับและกราฟไปใช

128เรื่องท่ี 1 คอู ันดบั คูอนั ดับ (Ordered pairs) เปน การจบั คูร ะหวา งสมาชกิ สองตัวจากกลมุ 2 กลุมทีม่ ีความสัมพนั ธภายใตเ งือ่ นไขที่กาํ หนด เขียนแทนดว ยสญั ลกั ษณ (a , b) อานวา คอู ันดับเอบี เรยี ก a วา สมาชกิ ตวั หนา หรอื สมาชกิ ตวั ทหี่ นง่ึ และเรยี ก b วา สมาชิกตวั หลงั หรอื สมาชิกตัวท่สี องดังแผนภาพ เขียนเปนคอู ันดบั ไดด งั น้ี (1, 12), (2,24), (3,36), (4,48)หมายเหตุ คอู นั ดับ (1,a)  (a,1) ถากาํ หนด ( a , b ) และ ( x , y ) เปนคอู ันดบั 2 คใู ดๆ จะไดว า ( a , b ) = ( x , y ) กต็ อเมือ่ a = xและ b = y เชน 1. ( x , y ) = (5 , 12) ดงั นั้น x = 5 และ y = 12 2. (x – 3, y – 2 ) = (0,0) วธิ ีทาํ x – 3 = 0 และ y – 2 = 0ดงั น้นั x = 3 และ y = 2

129 แบบฝกหดั ที่ 11. จงเขียนคอู ันดับจากแผนภาพท่ีกาํ หนดใหต อไปน้ี 1).................................................................................................... ................................................................ 2)................................................................................... ................................................................................. 3).................................................................................................... ................................................................2. จงหาคา x และ y จากเงื่อนไขที่กําหนดใหใ นแตละขอ ตอ ไปนี้ 1). (x,y) = (4,3)……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

130 2). (x,y)= (y,2)………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3). (x,0)= (6,y)………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 4). (x+1,y) = (5,4)……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

131เร่อื งท2่ี กราฟของคอู ันดับ กราฟของคอู ันดบั เปนแผนภาพที่แสดงความสัมพันธระหวางสมาชิกของกลมุ หนึ่งกลับสมาชิกของอีกกลมุ หนงึ่ โดยใชเสน จํานวนในแนวนอนหรือแนวตั้ง ใหต ัดกนั เปน มมุ ฉาก ที่ตําแหนงของจุดท่ีแทนศูนย(0) ซ่ึงเราเรียกวา จดุ กําเนดิ ดังภาพ เสนจาํ นวนในแนวนอน หรือแกน X และเสนจํานวนในแนวตงั้ หรือแกน Y อยบู นระนาบเดยี วกันและแบง ระนาบออกเปน 4 สว นเรยี กวา จตุภาค (Quadrant)การอานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกิ ดั ฉากทกี่ าํ หนดให

132ตาํ แหนง ของจดุ A คอื (1, 2)ตาํ แหนงของจุด B คือ (-2, 3)ตาํ แหนงของจุด C คอื (-3, 2)ตําแหนง ของจดุ D คือ (2, -4)เรยี กจดุ ที่แทนตาํ แหนงคูอ ันดบั วากราฟของคอู นั ดบั และเรยี กตําแหนงของคูอนั ดบั วา พกิ ดัตัวอยาง กําหนด A = (-4, 6), B = (3, -5), C = (2, 2), D = (-1, -2) จุด A, B, C, D อยใู นจดุ ภาคใดวธิ ีทํา จุด A = (-4,6) อยูในจตภุ าคที่ 2 จุด B = (3,-5) อยูในจตภุ าคท่ี 4 จดุ C = (2,2) อยูในจตภุ าคที่ 1 จุด D = (-1,-2) อยใู นจตภุ าคที่ 3

133 แบบฝกหดั ท่ี 21.จงหาพิกัดของจดุ A, B, C, D ในแตละขอ1.1.................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ................................................................................... 1.2.................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... .....................................................................

1342. จงเขียนกราฟของคูอ นั ดบั ในแตละขอ 1). (1, 2), (-2, 4), (3, -6), (4, 0)2). (5, -1), (2, 2), (-4, 3), (-2, 0)

135เร่อื งที่ 3 การนาํ คูอนั ดับและกราฟไปใช เราสามารถนําคอู นั ดับและกราฟไปใชใ นชวี ติ ประจําวนั ได ซึง่ จะกลา วในตัวอยา งตอไปนี้ตวั อยางที่ 1 กราฟท่ีแสดงปรมิ าณนํา้ มัน (ลิตร) และราคานา้ํ มนั (บาท)ของวนั ท่ี 5 เดอื นมนี าคม ป 2552 ซง่ึ มีราคาลติ รละ 19 บาทวิธที าํ ราคานาํ้ มนั (บาท) ปริมาณน้ํามัน (ลิตร)ตัวอยางท่ี 2 จากกราฟในตวั อยา งที่ 1จงตอบคําถามตอไปนี้(1) นา้ํ มัน 9 ลิตร ราคาเทาใด(2) เงิน 209 บาทซอ้ื นํา้ มนั ไดก่ลี ิตรวธิ ที ํา

136 (1) จากตาํ แหนง แสดงปริมาณนาํ้ มนั 9 ลิตรลากเสน ตรงใหขนานกับแกนต้งั ไปตดั กราฟและจากจดุ ที่ตัดกราฟลากเสนตรงขนานแกนนอนไปตดั แกนท่ีแสดงราคานาํ้ มนั เปน เงนิ 171 บาทดังนัน้ นาํ้ มนั 9 ลติ ร เปน ราคา 171 บาท(2)จากตําแหนง แสดงราคาน้าํ มัน 209 ลติ รลากเสนตรงใหข นานกบั แกนนอนไปตดั กราฟและจากจดุ ที่ตดักราฟลากเสน ตรงขนานแกนตงั้ ไปตัดท่ีแกนแสดงจํานวนนาํ้ มันเปน ปรมิ าณ 11 ลิตรดงั นั้น เงิน 209 ลิตร จะซอ้ื น้ํามนั ได 11 ลติ ร แบบฝกหดั ท่ี 3กราฟขางลา งแสดงการเดินทางของอนวุ ฒั นแ ละอนุพนั ธ

137จงใชก ราฟทีก่ าํ หนดใหต อบคําถามตอ ไปน้ี1.อนุวฒั นอ อกเดนิ ทางกอ นอนุพนั ธกชี่ ว่ั โมง 4.อนุวัฒนอ อกเดนิ ทางนานเทาไรจงึ จะหยดุ พัก................................................................. .................................................................2.อนุพนั ธใ ชเ วลาเดนิ ทางก่ีชวั่ โมงจึงทนั อนวุ ัฒน 5.ตาํ แหนง ทอ่ี นุวฒั นหยดุ พักหา งจากตําแหนงท่ี อนพุ นั ธออกเดนิ ทางกก่ี ิโลเมตร................................................................. .................................................................3. อนพุ นั ธเดนิ ทางทันอนุวฒั นเ มอ่ื ทั้งสองเดินทางไดก ่กี ิโลเมตร.................................................................

138 บทที่ 8 ความสัมพันธระหวา งรปู เรขาคณติ สองมติ ิและสามมิติสาระสาํ คัญ รูปเรขาคณิตสองมิติ และสามมิติ มคี วามสมั พนั ธก นั เปนอยางมาก เหมาะที่จะนาํ ไปใชใ นการประดิษฐเ ปนรปู ลกู บาศกและใชประโยชนใ นชีวิตประจําวนัผลการเรียนรทู คี่ าดหวงั 1. อธิบายลกั ษณะของรปู เรขาคณติ สามมติ ิจากภาพสองมิตทิ ก่ี ําหนดใหไ ด 2. ระบุภาพสองมติ ิทไ่ี ดจ ากการมองดานหนา ดานขา ง ดานบน ของรูปเรขาคณติ สามมติ ทิ ี่ กาํ หนดใหได 3. วาดหรอื ประดษิ ฐรปู เรขาคณติ ทป่ี ระกอบข้นึ จากลูกบาศกเ ม่อื กาํ หนดภาพสองมิตทิ ี่ไดจากการ มองทางดานหนา ดา นขาง หรอื ดา นบนไดขอบขา ยเนอื้ หา เรื่องท่ี 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมติ ทิ เ่ี กดิ จากการคลรี่ ปู เรขาคณติ สามมิติ เรอ่ื งท่ี 2 ภาพสองมติ ทิ ่ไี ดจ ากการมองดา นหนา ดานขาง หรอื ดา นบนของรูปเรขาคณติ สามมิติ เรอื่ งที่ 3 การวาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณติ ที่ประกอบขนึ้ จากลกู บาศก

139เรื่องที่ 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมติ ิท่ีเกดิ จาการคลีร่ ูปเรขาคณติ สามมติ ิ รปู เรขาคณิตมีสวนเก่ียวขอ งสัมพันธกับชีวติ ประจําวันมนุษยต้ังแตอดีตจนถึงปจจุบัน ส่ิงแวดลอมตางๆที่อยูรอบตัวเราลวนเปนไปดวยวัตถุรูปเรขาคณิต นอกจากน้ีเราใชเรขาคณิตเพื่อทําความเขาใจหรืออธิบายสงิ่ ตางๆรอบตวั เชน ในการสาํ รวจพนื้ ที่ สรางผังเมือง เปนตนภาพของรปู เรขาคณติ รปู เรขาคณติ เปนรูปท่ปี ระกอบดว ย จุด ระนาบ เสนตรง เสนโคง ฯลฯ อยางนอ ยหนึง่ อยางตัวอยางภาพเรขาคณิตสองมติ ิตวั อยา งรปู เรขาคณิตสามมิติ จะเหน็ วา รปู เรขาคณติ สามมติ ิ หรือทรงสามมิติ มสี วนประกอบของรปู เรขาคณติ หนง่ึ มติ ิและสองมติ ิ

140รูปคล่ขี องรูปเรขาคณติ สามมติ ิ รูปคล่ขี องรูปเรขาคณติ สามมิติ หรือทรงสามมติ ใิ ดๆ เปน รปู เรขาคณติ สองมิติท่สี ามารถนาํ มาประกอบกนั แลวไดทรงสามมติ ิ พจิ ารณาทรงสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากที่มีความกวาง ความยาว และความสงู 1 หนวย เทา กนั ซง่ึ เราเรียกทรงสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากนี้วา “ลูกบาศก”

141 แบบฝกหดั ที่ 11. จงบอกชนดิ ของรูปเรขาคณิตสามมติ ิท่มี รี ปู คล่ีดังตอ ไปน้ี1. ……..………………………...…. 2. ….……………………………….3. …….…………………………….. 4. …..……………………………….

1422. จงเขยี นรปู คลีข่ องรปู เรขาคณติ สามมติ ใิ นแตละขอตอ ไปนี้

143เรอื่ งท่ี 2 ภาพสองมติ ิทไี่ ดจ ากการมองดา นหนา ดา นขาง หรอื ดานบนของ รูปเรขาคณิตสามมิติ โดยทว่ั ไปการเขียนรปู เรขาคณติ สองมิติ ในการอธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมติ ิ นยิ มเขยี น 3ภาพ ซ่งึ ประกอบดว ย ภาพที่ไดจ ากการมองทางดานหนา ดานขา ง และดา นบน ดังตวั อยา งตัวอยาง จงแรเงาพรอ มทั้งเขียนรูปเรขาคณิตสองมิตสิ วนทเ่ี ปน ดา นบน ดานหนา และดานขา งของทรงสามมิตทิ ก่ี ําหนดใหตอ ไปนี้