دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني للشعب العلمية سنة ثالثة ثانوي

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺴﻴﺔ ‪ -‬ﺩﻭﺍل ﺍﻟﻘﻭﻯ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻊ‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻠﻲ‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬ ‫ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻓﻲ ‪ Z‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ ﻓﻲ ‪ Z‬‬

‫‪ -‬ﺩﻭﺍل ﺃﺴﻴﺔ – ﺩﻭﺍل ﺍﻟﻘﻭﻯ‬ ‫‪ -‬ﺩﻭﺍل ﺍﻟﺠﺫﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫ ﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻷﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭ ﺘﻔﺴﻴﺭ ﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﺩﻭﺍل ﺃﺴﻴﺔ ﻭ ﺩﻭﺍل ﺍﻟﻘﻭﻯ‪.‬‬‫ ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺩﻭﺍل ﺃﺴﻴﺔ ﻭ ﺩﻭﺍل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻭ ﺩﻭﺍل ﺍﻟﺠﺫﻭﺭ ‪...‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ -‬ﺃﺸﻁﺔ‪.‬‬ ‫‪ – I‬ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ – II‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪a ∈ ∗ −{1} :a‬‬ ‫‪ – III‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺠﺫﺭ ‪n-icim‬‬ ‫‪ – V‬ﺩﻭﺍل ﺍﻟﻘﻭﻱ‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‪.‬‬

‫ﺃﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 1‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪ f‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪( )f x‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪f ( x ) = 10x :‬‬ ‫‪ – 1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ 10x = e xLn10‬ﺤﻴﺙ ‪ e‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻨﻴﺒﻴﺭﻱ ‪.‬‬ ‫‪( ) ( )lim f x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫ﺜﻡ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﺤﺴﺏ ‪:‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪ – 3‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ – 4‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ C‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ) ﺒﻌﺩ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ () (‬ ‫‪‬‬ ‫;‪O‬‬ ‫→‬ ‫→‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬ ‫ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i,‬‬ ‫‪j‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ) 10x = eln10x :‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪elnα = α‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ ) 10x = e xln10 :‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪lnxn = nlnx‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪( )f x = e xln10 :‬‬ ‫‪lim f ( x ) = lim e xln10 = 0‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫∞‪x→ −‬‬ ‫∞‪x→ −‬‬ ‫∞‪lim f ( x ) = lim e xln10 = +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪ (3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪( )f x = e xln10 :‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻷﻨﻬﺎ ﻤﺭﻜﺏ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ x xln10‬ﻭ ‪ x e x‬ﺍﻟﻠﺘﻴﻥ ﺘﻘﺒﻼﻥ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪f ′ ( x ) = ( ln10 ) .e xln10 = ( ln10 ) .10 x‬‬ ‫‪ (4‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪ C‬ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻋﻴﻥ ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﻴﻥ ﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = 0 :‬ﻋﻨﺩ ∞‪( )−‬‬‫‪f‬‬‫‪( )l i m‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪e xLn10‬‬ ‫=‬ ‫× ‪lim L n1 0‬‬ ‫‪e xLn10‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xL n10‬‬‫∞‪x→ +‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ C‬ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻋﺎ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻋﻨﺩ ∞‪( )+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1,5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪-1,5 -1 -0,5 0 0,5 x‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫=‬ ‫‪e − xln 2‬‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪( ) ( )lim f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫ﺜﻡ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ -2‬ﺃﺤﺴﺏ ‪:‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﺃﻨﺸﺊ ﺒﺂﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ γ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪( )f‬‬ ‫) ﺒﻌﺩ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ( ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1 x‬‬ ‫‪= eln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪e xln‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( )f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= e− xln2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪ 1 x‬‬ ‫‪= e− xln2‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪ (2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪:‬‬‫∞‪lim f ( x ) = lim e− xln2 = +‬‬ ‫‪lim f ( x ) = lim e− xln2 = 0‬‬‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺏ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ x − xln2‬ﻭ ‪ x → e x‬ﺍﻟﻘﺎﺒﻠﺘﺎﻥ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻓﻬﻲ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬

‫‪x‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪f ′ x = −ln2 e− xln2 :‬‬‫= ) ‪( ) ( )f ′ ( x‬‬‫‪‬‬‫‪1‬‬ ‫‪‬‬‫‪(−‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪ - (4‬ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ‪:‬‬‫‪ γ‬ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻋﻴﻥ ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﻴﻥ ﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = 0‬ﻋﻨﺩ ∞‪( )+‬‬‫‪( ) ( )lim f x‬‬ ‫‪e− xln2‬‬ ‫∞‪× − xln2 = −‬‬‫∞‪xx → −‬‬ ‫=‬ ‫‪lim e− xln2‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪−ln2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫∞‪xx→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ C :‬ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻋﺎ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪( ).‬‬ ‫‪ -‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ) ‪ (γ‬ﺒﺂﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ a :‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ab = eblna :‬‬ ‫‪ -2‬ﺨﻭﺍﺹ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪• lnab = blna‬‬ ‫‪• ab+b′ = ab .ab′‬‬ ‫•‬ ‫‪a b− b′‬‬ ‫=‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪( )• ab b′ = ab×b′‬‬ ‫‪a b′‬‬ ‫‪• (a.a′)b = ab .a′b‬‬ ‫•‬ ‫‪ a b‬‬ ‫=‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪ a′ ‬‬ ‫‪a′b‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪23‬‬ ‫= ‪π ‬‬‫‪( )‬‬‫‪1‬‬‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 π +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫=‬ ‫;‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫;‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪a ∈ ∗ −{1} :a‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺒﺤﻴﺙ ‪a ≠ 0‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x a x = e xlna‬ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ a‬ﻭ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪expa‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x a x : f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪( )lim f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= lim a x = lim e xlna = 0‬‬ ‫ﺃ( ﻤﻥ ﺃﺠل ‪: a > 1‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫ﻷﻥ ‪lna > 0‬‬ ‫∞‪lim f ( x ) = lim a x = lim e xlna = +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫ﺏ( ﻤﻥ ﺃﺠل ‪lna < 0 : 0 < a < 1‬‬ ‫∞‪lim f ( x ) = lim a x = lim e xlna = +‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → −‬‬

‫‪lim f ( x ) = lim a x = lim e xlna = 0‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪x a x : f‬‬ ‫‪f ( x ) = e xlna‬‬‫‪ x‬ﻭ ‪ x e x‬ﻭ ﻫﻤﺎ ﻗﺎﺒﻠﺘﺎﻥ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺏ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻫﻤﺎ ‪xlna‬‬ ‫ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ f ′‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪f ′ ( x) = ( lna) .e xlna‬‬ ‫• ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ l n a > 0 : a > 1‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ f ′( x ) > 0 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪f‬‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫• ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ lna > 0 : 0 < a < 1‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪f ′ ( x ) < 0‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪0 < a < 1‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪a > 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−∞ +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−∞ +‬‬‫)‪f ′(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪f ′(x‬‬ ‫‪+‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪f (x) 0‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪0 < a < 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪a > 1‬‬ ‫‪2,5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2,5‬‬ ‫‪1,5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 y = ax‬‬ ‫‪1,5‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪y = ax‬‬ ‫‪-1 -0,5 0 0,5 1 1,5x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪-1 -0,5 0 0,5 1 1,5x‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺠﺫﺭ ‪n ∈ ∗ − {1} ، n − ieim‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﺠﺫﺭ ‪ n ∈ ∗ − {1} n − ieim‬ﻟﻌﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪( ):‬‬ ‫• ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭ ﺘﺭﻤﻴﺯ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ ∗ − 1‬ﻭ ﻋﺩﺩ ‪ a‬ﻤﻥ ‪ +‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺠﺫﺭ ‪ n − ieim‬ﻟﻠﻌﺩﺩ} {‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪n a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ n a = an‬ﻭ ‪n 0 = 0‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪: a > 0‬‬ ‫• ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺠﺒﺭﻴﺔ ‪:‬‬‫‪ b, a‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ‪ b ،‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ p, n .‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ ﻭ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ‬ ‫ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪ 1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫‪• n a ×b b =n a.b‬‬ ‫•) (‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a =n‬‬‫•‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a =n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪( )• n a p =n a p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬‫‪• n a =np a p‬‬ ‫‪• n p a =np a‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬‫‪ x n x‬ﺤﻴﺙ }‪ n ، n ∈ ∗ − {1‬ﺜﺎﺒﺕ ﻭ ﻫﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ∞‪[ [0;+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ f x = x n :‬ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ):‬‬ ‫ﻭ ‪f (0) = 0‬‬ ‫‪( )f‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪e‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lnx‬‬ ‫‪x≠0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪lim‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪e1‬‬ ‫‪lnx‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‪′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e1‬‬ ‫‪lnx‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل [∞‪: x ∈ ]0;+‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f ′ x > 0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪( ). x‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ∞‪[ [0;+‬‬

‫ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪0 +‬‬ ‫)‪f ′(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪f (x) 0‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪ -‬ﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ‪ :‬ﺒﻴﺎﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻋﺎ ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﺎ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪( )lim f x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim n x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim x n‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞ ‪xx → +‬‬ ‫∞ ‪xx → +‬‬ ‫‪n‬‬‫∞‪x→ +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= ‪lim x n .x −1‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1− n‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪e 1− n‬‬ ‫‪lnx‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫∞‪x → +‬‬‫ﻋﻨﺩ ‪+∞ :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﻴﺎﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻋﺎ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫‪1− n‬‬ ‫<‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻷﻥ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 1 2 3 4x‬‬ ‫ﺩﻭﺍل ﺍﻟﻘﻭﻯ‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ n ، x → xn : f‬ﻋﺩﺩ ﺜﺎﺒﺕ ﻤﻥ ∗‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ∞‪ 0; +‬ﻭ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪] [xα = eαlnx :‬‬ ‫∞‪lim f ( x) = +‬‬ ‫؛‬ ‫‪lim f ( x) = 0‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪: α > 0‬‬ ‫‪lim f ( x) = 0‬‬ ‫؛‬ ‫‪x>0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪: α < 0‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪lim f ( x) = +‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x>0‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ∞‪ 0;+‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ[ ]‬ ‫‪.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪′‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪α‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪eα‬‬ ‫‪Lnx‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ f ′ ( x ) > 0 : α > 0‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ [∞‪. ]0;+‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ f ′ ( x ) < 0 : α < 0‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ [∞‪. ]0;+‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪α < 0‬‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪0 +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪α > 0‬‬ ‫∞‪0 +‬‬‫)‪f ′(x‬‬ ‫)‪- f ′(x‬‬ ‫‪+‬‬‫‪f ( x) +∞ .‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪+∞ .‬‬ ‫‪00‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻉ ﻻﻨﻬﺎﺌﻲ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ α > 0‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪( )lim f x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪xα‬‬ ‫=‬ ‫= ‪lim xα −1‬‬ ‫‪lim e (α −1)lnx‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪:α‬‬ ‫‪>1‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫∞‪x = +‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻟﻠﺒﻴﺎﻥ ﻓﺭﻉ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪: α < 1‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺒﻴﺎﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻋﺎ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ ) f ( x ) = x : α = 1‬ﺒﻴﺎﻨﻬﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻨﺼﻑ ﺍﻷﻭل ( ‪.‬‬ ‫ﺃﻤﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ α < 0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻋﻴﻥ ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﻴﻥ‬ ‫ﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﻤﻘﺎﺭﺒﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻬﻤﺎ ‪ x = 0 :‬ﻭ ‪. y = 0‬‬ ‫‪α <0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪α > 1 :‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪1,5‬‬ ‫‪1,5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬‫‪0,5‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪0 0,5 1 1,5 2 x‬‬ ‫‪0 0,5 1 1,5 2 x‬‬‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪. 1‬‬‫ﻀﻊ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ √ ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ × ﺃﻤﺎﻡ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ ‪:‬‬‫∈‪x‬‬ ‫ﻤﻊ‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫=‬ ‫‪e − xln 2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬‫∈‪x‬‬ ‫ﻤﻊ‬ ‫‪10x.10− x = 1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪π π = eπ lnπ‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪( ) ( ) ( )3 5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2 .2 = 2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪(π )4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫= ‪( )5‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪( )π‬‬ ‫‪ -6‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪0, 5 x‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪( ).‬‬ ‫‪ -7‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ x 10x‬ﻫﻲ ﻨﻔﺴﻬﺎ ‪.‬‬‫∈ ‪{ }a‬‬ ‫∗‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫‪ -8‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪a x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪.x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪lna‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪-9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪lim 10− x = 0‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫∞‪x → +‬‬

‫‪lim 5− x = 0‬‬ ‫‪-11‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪lim x.3x = 0‬‬ ‫‪-12‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪10x = 10 2 -13‬‬ ‫‪6 53 = 5 -14‬‬ ‫‪lnx‬‬ ‫∈‪x‬‬ ‫∗‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x =e 2‬‬ ‫‪-15‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪lnx‬‬ ‫∈‪x‬‬ ‫∗‬ ‫‪, xx = e x‬‬ ‫‪-16‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ -17‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ x x x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪] [0; +‬‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x (1 + lnx ) × x x‬‬ ‫‪1 lnx‬‬ ‫∈‪x‬‬ ‫∗‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪e‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-18‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-19‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪lim x 2 = +‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫ﺤل ﻓﻲ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪32x − 7.3x + 12 = 0 (1‬‬‫‪10x − 10 2 − 6 = 0 (2‬‬‫‪104x − 4.102x + 3 ≤ 0 (5‬‬ ‫‪ 1 x‬‬ ‫‪> 0,0001‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪10x < 5 (3‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻟﻠﺩﻭﺍل ﺍﻵﺘﻴﺔ ﺜﻡ ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩ ﺍﻷﻁﺭﺍﻑ ‪:‬‬ ‫‪f ( x) = 10 x (2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪3x −1‬‬‫=)‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪f‬‬ ‫=)‪(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪10 x +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫‪f ( x) = ( x + 4) 3x (5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﺜﻡ ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻜل ﻤﻨﻬﺎ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫=)‪(x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪( )f x = 10x2 −2x (1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x) = ln( 2x − 1) (4‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪4x −‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ x( x−1‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫‪52x − 1‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪52x + 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬‫‪.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪10x −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪10 x‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ -2‬ﻟﻴﻜﻥ ) ‪ (C‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺯﻭﺩ ﺒﻤﻌﻠﻡ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪O‬‬ ‫;‬ ‫→‬ ‫‪,‬‬ ‫→‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫ﺃ( ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ C‬ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ‪( ).‬‬ ‫ﺏ( ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪( ). C‬‬ ‫‪ - 3‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ C‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪( ). 0‬‬ ‫‪ - 4‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ) ‪. (C‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪( )f x = 2x − 2− x :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫→→‬ ‫‪‬‬ ‫ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪O; i, j‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ λ‬ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ fλ‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪ . fλ x = λ .3x − 3− x‬ﻨﻔﺭﺽ ) ‪ (C λ‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪( ).‬‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ) ‪. (C−1 ) , (C1 ) , (C0‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬‫‪ f (1‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪. f ( x ) = x x :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ C‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ) (‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪O‬‬ ‫→→‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪;i, j‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪( )g x = x x :‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻜﺘﺏ ‪ g x‬ﺩﻭﻥ ﺭﻤﺯ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ‪( ).‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ γ‬ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫‪1 12‬‬‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 3 .8 3‬‬ ‫‪5 3 .8 3‬‬ ‫‪83‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫‪( )f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪x3 − x :‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪. [1 ;+‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ C‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ) (‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺁﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪O‬‬ ‫;‬ ‫→‬ ‫‪,‬‬ ‫→‬ ‫‪‬‬ ‫ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬

‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪1‬‬ ‫‪√ (5 × (4 √ (3 √ (2 √ (1‬‬ ‫‪√ (10 × (9 √ (8 × (7 × (6‬‬‫‪√ (17 × (16‬‬ ‫‪√ (15 √ (14 √ (13 × (12 × (11‬‬ ‫‪√ (20 √ (19 √ (18‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 32x − 7.3x + 12 = 0 :‬ﺒﻭﻀﻊ ‪ 3x = y‬ﻨﺠﺩ ‪y2 − 7 y + 12 = 0 :‬‬ ‫‪ y2 = 4 ، y1 = 3 ، ∆ = 1‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ 3x = 3 :‬ﺃﻭ ‪3x = 4‬‬ ‫• ‪ 3x = 31‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪x = 1 :‬‬ ‫• ‪ 3x = 4‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ ln3x = ln4 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪xln3 = ln4 :‬‬ ‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪ln 4‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ln 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−6= 0‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪10x − 10 2 − 6 = 0 :‬‬‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10 2‬‬‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ 10 2 = t :‬ﻨﺠﺩ ‪t 2 − t − 6 = 0 :‬‬ ‫‪t2 = 3 ، t1 = −2 ، ∆ = 25‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫‪ -‬ﻟﻤﺎ ‪ t = −2‬ﻓﺈﻥ ‪ 10 2 = −2 :‬ﻤﺭﻓﻭﺽ ﻷﻥ ‪10 2 > 0‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫‪ -‬ﻟﻤﺎ ‪ t = 3 :‬ﻓﺈﻥ ‪ 10 2 = 3 :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ln10 2 = ln3 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪2ln3‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ln10‬‬ ‫=‬ ‫‪ln3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ln10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln 3 ‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ln 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 10x < 5 :‬ﻭﻫﻲ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ln10x < ln5 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫<‬ ‫‪ln5‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪xln10 < ln5‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪ln10‬‬

‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‬ ‫;‬ ‫‪ln 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ln1 0‬‬ ‫‪‬‬‫‪ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫>‬ ‫‪ln 0, 0001‬‬ ‫ﻭﻫﻲ ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫>‬ ‫‪0, 0001‬‬ ‫‪ (4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪− xln2 > −4ln10 :‬‬ ‫‪xln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫>‬ ‫‪ln10−4‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫;‬ ‫‪4.‬‬ ‫‪ln10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫<‪x‬‬ ‫‪4ln10‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ln2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ln2‬‬‫‪ (5‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 104x − 4.102x + 3 ≤ 0 :‬ﺒﻭﻀﻊ ‪ 102x = z‬ﻨﺠﺩ ‪z2 − 4z + 3 ≤ 0 :‬‬ ‫ﻨﺤﻠل ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪z2 − 4z + 3 :‬‬ ‫‪z 2 = 3 ; z1 = 1 ; ∆ = 4‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪z2 − 4z + 3 = ( z − 1) ( z − 3) :‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪( ) ( )104x − 4102x + 3 = 102x − 1 102x − 3 :‬‬ ‫ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ ‪ 102x − 1 :‬ﻭ ‪102x − 3‬‬ ‫‪ 102x − 1 = 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ 102x = 1‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ 2 x = 0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x = 0‬‬ ‫‪ 102x − 1 > 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ 102x > 1‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ 2 x > 0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x > 0‬‬‫‪ 102x −3= 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ 102x = 3‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ ln102x = ln3‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪x = 2xln10 = ln3‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪ln 3‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪2 ln1 0‬‬ ‫‪ 102x − 3 > 0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪ 102x > 3 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ln102x > ln3 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫>‬ ‫‪ln 3‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪2xln10 > ln3 :‬‬ ‫‪2 ln1 0‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪( ) ( )102x − 1 102x − 3 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ln3‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪2ln10‬‬ ‫‪102x − 1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪102x − 3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬‫‪( ) ( )102x − 1 102x − 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫;‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪3x −1‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ 3x − 1 ≠ 0 :‬ﺃﻱ ‪ 3x ≠ 1 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪x ≠ 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ [ ∞ ‪D f = ]− ∞ ; 0 [ ∪ ]0 ; +‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪:‬‬‫‪( )lim f‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪e xln3‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3x −1‬‬ ‫‪e xln3 − 1‬‬‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬‫‪( )lim f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪3x −‬‬‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x<0‬‬ ‫‪x<0‬‬‫‪( )lim f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪3x −‬‬‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x>0‬‬ ‫‪x>0‬‬‫‪( )lim f‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1 −‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬‫∞‪x→ +‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− 3x‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f ( x ) = 10 x :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪:‬‬‫∞‪lim f ( x ) = lim 10 x = lim e x .ln10 = +‬‬‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x→−‬‬‫∞‪lim f ( x ) = lim 10 x = lim e x .ln10 = +‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪10x +‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 10x + 2 ≠ 0 :‬ﺃﻱ ‪10x ≠ −2 :‬‬ ‫ﻭ ﻫﻲ ﻤﺤﻘﻘﺔ ‪ .‬ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪:‬‬

( )lim fx = lim 10 1 2 = lim 1 + 2 = 1 x+ e xln10 2x → −∞ x→−∞ x→−∞( )lim fx = lim 1 2 = lim 1 + 2 = 0 10x + e xln10x → +∞ x → +∞ x→+∞ f ( x) = 1 1 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬4 2 x   − 1  : ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‬- 1 x − 1 ≠ 0 : ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺩﺍ ﻜﺎﻥ‬ f ‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ 2  x ≠ 0 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬  1 x ≠1 : ‫ﺃﻱ‬  2  ]−∞ ;0[ ∪ ]0 ;+∞[ : ‫ﺇﺫﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻫﻲ‬ : ‫ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬-  1 x = e − xln2 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬  2  ( )lim f x = lim 1 −1 = 0 : ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭ‬ e− xln2 x → −∞ x → −∞ ( )lim f x = lim 1 −1 = −1 e− xln2 x → +∞ x→+∞ ( )lim f x = lim 1 1 = +∞ 2 x x→0 x→0   −1  x<0 x<0  1 x > : ‫ﻷﻥ‬  2  −1→0 ( )lim f x = lim 1 1 = −∞ 2 x x→0 x→0   −1  x>0 x>0

‫‪‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫<‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻷﻥ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪−1→0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫∞‪x −∞ 0 +‬‬‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ (5‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f ( x) = ( x + 4) 3x :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩ ﺃﻁﺭﺍﻑ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫‪lim f ( x ) = lim ( x + )3 e xln3 = lim x.e xln3 + 3e xln3 = 0‬‬‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪lim f ( x ) = lim ( x + 3) e xln3 = +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (6‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻫﻲ‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪:‬‬‫‪( )lim f‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x .e − xln 2‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬‫∞‪x→ −‬‬ ‫∞‪x→ −‬‬ ‫∞‪x→ −‬‬ ‫∞‪x→ −‬‬ ‫‪x e − xln 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e − xln 2 = 0‬‬‫‪( ) ( )lim f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪‬‬‫∞‪x→ +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪− xln 2‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( )f x = 10x2 −2x :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻷﻨﻬﺎ ﻤﺭﻜﺏ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪x x2 − 2 x‬‬ ‫ﻭ ‪ x 10x‬ﺍﻟﻘﺎﺒﻠﺘﺎﻥ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪( )f x ( )= e x2 −2x ln10 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪f ′ ( x ) = ( 2 x − 2) ln10.e( x2 −2 )x ln10 :‬‬

‫‪f ′ ( x ) = 2( x − 1) ( ln10) .10x2−2x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻷﻨﻬﺎ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻭ ﻤﺭﻜﺏ ﺩﻭﺍل ﺘﻘﺒل‬ ‫ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪( )f x = e− xln2 − 5e−2 xln2 + 3 :‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪f ′ ( x ) = ( −2ln2) e−2xln2 − ( −ln2) e− xln2 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪′‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫)‪−2ln2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫)‪ln2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪4x −1‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ 4x − 1 ≠ 0‬ﺃﻱ ‪ 4x ≠ 1‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪x ≠ 0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ [∞‪Df = ]−∞ ;0[ ∪ ]0 ;+‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ D f‬ﻷﻨﻬﺎ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺩﻭﺍل ﺘﻘﺒل‬ ‫‪( )f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e xln4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻭ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﻜﺘﺏ ‪= e xln4 − 1 :‬‬ ‫‪( )( ) ( )ln4 .e xLn4 e xln4 − 1 − ln4 .e xln4 .e xln4‬‬‫= ‪( )( )f ′ x‬‬ ‫‪e xln4 − 1 2‬‬ ‫‪( )( )ln4 .e xln4 e xln4 − 1 − e xln4‬‬‫= ‪( )( )f ′ x‬‬ ‫‪e xln4 − 1 2‬‬‫(‪′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪− ( ln4) .4x‬‬ ‫(‪′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪( ln4) .e xln4‬‬ ‫‪4x −1 2‬‬ ‫‪e xln4 − 1 2‬‬‫‪( )f‬‬ ‫=‬ ‫‪( )f‬‬ ‫=‬ ‫‪ (4‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( )f ( x) = ln 2x − 1 :‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ 2x − 1 > 0‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ 2x > 1‬ﺃﻭ ‪x > 0‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪Df = ]0 ; +∞[ :‬‬ ‫ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺏ ﺩﻭﺍل ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ D f‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ ، D f‬ﻭ‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪( )( )f x = ln e xln2 − 1 :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪′‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪ln2) .2x‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‪′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪( ln2) .e xln2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪2x −1‬‬ ‫‪e xln2 − 1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪52 x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ (5‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪52 x‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ﻷﻥ ‪ 52x + 1 ≠ 0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪D f = ]−∞;+∞[ :‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ‪:‬‬‫ﻭ ﻴﻤﻜﻥ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻷﻨﻬﺎ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺩﻭﺍل ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ‬ ‫‪( )f‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪e2 xln5 − 1‬‬ ‫ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪e2 x ln5 + 1‬‬ ‫‪2ln5 .e2xln5 e2xln5 + 1 − 2ln5 e2xln5 e2xln5 − 1‬‬ ‫‪e2xln5 + 1 2‬‬‫= ‪( ) ( ) ( ( ) )f ′ x‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪2ln5 .e2 xln5 e2 xln5 + 1 − e2 xln5 + 1‬‬ ‫‪e2 xln5 + 1 2‬‬ ‫‪( ) ( ) ( )f ′‬‬‫‪x‬‬‫=‬ ‫‪(4ln5) 52x‬‬ ‫‪4 ln5 .e2 xln5‬‬ ‫‪= e2 xln5 + 1 2‬‬ ‫(‪′‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪52x + 1 2‬‬ ‫‪( )( ) ( )f ′‬‬ ‫‪( )f‬‬ ‫=‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ x(x−1‬‬ ‫‪ (6‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪Df = ]−∞;+∞[ :‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬‫ﻭ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﻷﻨﻬﺎ ﻤﺭﻜﺏ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺘﻘﺒﻼﻥ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪( )f x = e− x( x−1)ln3‬‬

f ′ ( x ) = ( −2x + 1) ( ln3) e− x( x−1)ln3 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬  1  x ( x +1)  3  f ′ ( x ) = ( −2 x + 1) ( ln3 ) . : ‫ﺇﺫﻥ‬ . 5‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ D f = ]−∞;+∞[ : f ‫ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬-1 ( )lim f x = lim e xln10 − 1 = −∞ e xln10 x → −∞ x→−∞ 10x − 1 10 x  1 − 1  10 x  10 x ( )lim f x = lim = lim 10 xx→ +∞ x→ +∞ x→ +∞ = lim 1 − 1 x =1 10 x→+∞ ( )f x = e xln10 − 1 e xln10 ( ) ( ) ( )ln10 e xln10 .e xln10 − ln10 e xln10 . e xln10 − 1( ) ( )f ′ x = e xln10 2( ) ( )f ′( x) = ( ln10)10x.10x − ( ln10)10x. 10 x −1 10x 2f ′( x) = ( ln10)10x. 10x − 10x + 1 = ln10 10 x 10 x .10 x : ‫ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬f ‫ ﻭ ﻤﻨﻪ‬f ′ ( x ) > 0 ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ x −∞ +∞f ′′ ( x) + 1 f ( x) −∞

‫ﻭﻤﻨﻪ ‪10x − 1 = 0 :‬‬ ‫‪ -a (2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻊ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪f ( x ) = 0 :‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ 10x = 1 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = 0 :‬ﺇﺫﻥ ‪(C ) ∩ ( y′y) = {0} :‬‬ ‫‪ -b‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﻫﻨﺎﻟﻙ ﻓﺭﻋﻴﻥ ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﻴﻥ ﻭ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = 1‬ﻋﻨﺩ ∞‪+‬‬ ‫‪( )lim f x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪10x − 1‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪x10 x‬‬ ‫∞‪xx → −‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻓﺭﻉ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻋﻨﺩ ∞‪−‬‬ ‫‪ -3‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ‪y = f ′ (0) .( x − 0) + f (0) :‬‬‫‪ f ′ (0) = ln10 ; f (0) = 0‬ﻭﻤﻨﻪ ‪y = xln10 :‬‬ ‫‪ -4‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ) ‪(C‬‬‫‪y‬‬‫‪1‬‬‫‪0,5‬‬‫‪-0,5 0‬‬ ‫‪0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 x‬‬ ‫‪-0,5‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1,5‬‬

. 6‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ Df = ]−∞;+∞[ : f ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ lim f ( x ) = lim 2x − 2− x = +∞ x → +∞ x → +∞ lim f ( x ) = lim 2x − 2− x = −∞ x → −∞ x → −∞ ( )f x = e xln2 − e− xln2 f ′ ( x ) = ln2.e xln2 + ( )ln2 e− xln2 = 2x ln2 + 2− x ln2 ( )f ′ ( x) = 2x + 2− x ln2 ‫ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬f ‫ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬f ′ ( x ) > 0 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ x −∞ +∞ f ′(x) + f (x) +∞ −∞ : ‫ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ y 4 3 2 1-3 -2 -1 0 1 2 3x -1 -2 -3 -4

. 7‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ ] [D f = −∞;+∞ : λ ‫ ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ‬fλ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ( )( )lim x → −∞ f0 x = lim −3− x = −∞ : λ = 0 ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ x→−∞ ( )( )lim x → +∞ f0 x = lim −3− x =0 x → +∞ f0′ ( x ) = ( ln3) × 3− x ( )‫ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬f0 ‫ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬f0′ x ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ x −∞ +∞ f0′ ( x) + f0 ( x) 0 −∞ ( )fλ x = λ .3x − 3− x = λ .e xln3 − e− xln3 : λ > 0 ‫ ﻤﻥ ﺃﺠل‬-( )limfλx= lim λ .e xln3 − e− xln3 = −∞ x → −∞x → −∞( )limfλx= lim λ .e xln3 − e− xln3 = +∞ x → +∞x → +∞ fλ′ ( x ) = λ ( ln3) e xln3 + ( Ln3) e− xln3 = λ ( ln3) .3x + ( ln3) 3− x = ( Ln3) λ .3x + 3− x  ‫ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬f :‫ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬f ′ ( x ) > 0 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ x . −∞ +∞ . fλ′ ( x) + fλ ( x) -∞ . +∞ ] [( )fλ x = λe xln3 − e− xln3 ، D f = −∞; +∞ : λ < 0 ‫ ﻤﻥ ﺃﺠل‬- lim fλ (x) = −∞ lim fλ ( x) = −∞ x→−∞ x → +∞

fλ′ ( x ) = λ ( ln3) .e xln3 + ( )ln3 e− xln3 = ( ln3) λe xln3 + e− xln3  fλ′ ( x ) = ( ln3) λ 3x + 3− x  : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬λ .3x = −3− x : ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬λ .3x + 3− x = 0 : ‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬f ′ ( x ) = 0ln 3 2 x = ln  −1  : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ 32x = −1 : ‫ﺇﺫﻥ‬ 3x = −1 : ‫ﺃﻱ‬  λ  λ 3− x λ : ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ − ln  − 1  : ‫ﺃﻱ‬  λ  x = 2 ln 3λ .3x > −3− x :‫ ﻭ ﻤﻨﻪ‬λ .3x + 3− x > 0 : ‫ ﺘﻜﺎﻓﺊ‬f ′ ( x ) > 032 x < −1 ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ λ .32x > 1 : ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ λ3x > −1 : ‫ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭ‬ λ 3− x 2 x ln 3 < ln  −1  : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ ln 32 x < ln  −1  : ‫ﺇﺫﻥ‬  λ   λ  − ln  − 1   λ  x< : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ 2 xln 3 < − ln  − 1  : ‫ﺇﺫﻥ‬ 2 ln 3  λ   − ln  − 1  ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬ f ‫ﺇﺫﻥ‬   λ   −∞ ;   2 ln 3     − ln  − 1    λ   : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻬﻲ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬  ; + ∞   2ln 3   

x −∞ − ln (− 1 ) : ‫ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ λfλ′ ( x) + +∞ 2ln 3fλ ( x) - f  -ln (- 1 )  λ  2 ln 3 +∞ −∞ y : (C−1 ) ‫( ﻭ‬C1 ) ‫( ﻭ‬C0 ) ‫ﺇﻨﺸﺎﺀ‬ 1,5 (C1) 1 0,5-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 x -0,5 -1 (C0) -1,5 -2 (C-1) -2,5 -3 -3,5

. 8 ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ ( )f x = e xln x ‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬: f ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ Df = ]−∞ ;0[ ∪ ]0 ;+∞[ lim f ( x ) = lim e xln x = 0 x → −∞ x → −∞ ( )lim f x = lim e xln x = lim e−(− x)ln(− x) =1 < << x→0 x→0 x→0 lim f ( x ) = lim e xlnx =1 lim f ( x ) = lim e xlnx =+∞ >> x→0 x→0 x→+∞ x→+∞ ( )f ′ ( x ) = ln x + 1 e xln x ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ f ′( x) =  1.ln x + x. 1  e xln x  x  x = 1 ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬ln x = −1 ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ln x + 1 = 0 ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ f ′(x) = 0 e x= 1 ‫ﺃﻭ‬ x = − 1 ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ e e x > 1 ‫ ﻭﻤﻨﻪ‬ln x > −1 ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ln x + 1 > 0 : ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ‬ f ′(x) > 0 e . ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ f ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ x ∈  −∞; −1  ∪  −1 ; +∞  ‫ﺇﺫﻥ‬  e   e   0 ; 1  ;  -1 ; 0  ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻜل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ f ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ e   ex −∞ − 1 0 1 +∞ e ef ′(x) + - - + f  −1  1 +∞  e f (x)  1   e  f 01

‫ﻫﻨﺎﻟﻙ ‪ 4‬ﻓﺭﻭﻉ ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ‪:‬‬‫‪( )lim f x‬‬ ‫‪e xln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e xlnx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xlnx‬‬‫∞‪xx →+‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞‪xlnx=+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻴﻭﺠﺩ ﻓﺭﻉ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻋﻨﺩ ∞‪+‬‬‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪e1‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪0, 7‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪e−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1, 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ee‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ee‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2,5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1,5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0,5‬‬‫‪-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0‬‬ ‫‪0,5 1 1,5 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ -2‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ‪ g‬ﺯﻭﺠﻴﺔ‪Dg = ]−∞ ;0[ ∪ ]0 ;+∞[ :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ − x ∈ Dg ، Dg‬ﻭ‬ ‫‪ g ( − x ) = − x − x‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ g ( − x ) = g ( x ) :‬ﺇﺫﻥ ‪ g‬ﺯﻭﺠﻴﺔ ‪.‬‬‫‪ g ( x ) = x x‬‬ ‫ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ g x‬ﺩﻭﻥ ﺭﻤﺯ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ‪( )x > 0‬‬‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪)(−‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪x<0‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ) ‪: (γ‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪g ( x) = f ( x) : x > 0‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ) ‪ (γ‬ﻴﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ) ‪ (C‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪]0;+‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ γ : −∞;0‬ﻤﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﻷﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻭﺠﻴﺔ‪] [( ).‬‬

. 9‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ 22 42 52 = 53.53 ; 82 = 83.83 : ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ‬ 11  5 2 4 2 2  5 4 . 5 2 42  2 : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬  3   3 3  ‫ﻭ‬ + 5 3 .8 = + 5 3 .8 3    11  4  2 2  2 2  2 2 2  3  3 3   3 3  = 5 5 + 8 = 53 5 + 8       11  8 2 24 2  8 4 .8 2 5 2 .8 4  2    3 3 3 3  + 5 3 .8 3 = +    1 1 =  8 4 .  8 2 + 2  2 = 2  5 2 + 2 2  3  3   3  53 83 83      : ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ‬ 5 2 + 42 1 +  8 2 + 24  =  5 2 + 2 1  5 2 + 2  =  5 2 + 2 3    3  3   3 5 3 .8 3 2 5 3 .8 3 83 2 83 83 2            . 10‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‬f ‫ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ( )f x = ( )e 1ln x3 − x : x > 1 ‫* ﻤﻥ ﺃﺠل‬ 3 f ( x ) = 0 : x = 1 ‫* ﻤﻥ ﺃﺠل‬ [ [: 1; +∞ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻋﻠﻰ‬ : ‫( ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬1 ( x) 1 ln( x 3 − x ) f (x) = 1 ln( x 3 − x ) 3 3 lim f = lim e = 0 lim lim e =+∞ x →1 x→1 x→+∞ x→+∞ x>1 x>1

‫‪ (2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺏ ﺩﻭﺍل ﻜﺜﻴﺭﺍﺕ ﺤﺩﻭﺩ ﻭ ﻟﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻤﻴﺔ ﻭﺁﺴﻴﺔ ﻓﻬﻲ ﺇﺫﻥ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫[∞‪]1; +‬‬ ‫‪( )( )f ′‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3x2 −1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪x3 − x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫‪e‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪3x2 −1 = 0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬ ‫‪f ′(x) = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3x2 −1 > 0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪x3 − x > 0 : ]1;+‬‬ ‫‪x=−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺃﻭ ‪3 :‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻅﻬﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫‪−∞ -1 − 3‬‬ ‫‪33‬‬ ‫∞‪0 3 1 +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪- - ++‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪- - --‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2 −1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+ + --‬‬ ‫‪+‬‬‫)‪x ( x2 − 1‬‬‫‪3x2 −1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ - -+‬‬ ‫‪+‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ f ′ x > 0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ∞‪ 1;+‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ) ( [ [‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪[1;+‬‬ ‫‪ (3‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ‪( )f 1 = 0 :‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪( ) ( ) ( )lim f‬‬ ‫‪x3 − x‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪( )x>1‬‬ ‫‪x −f‬‬ ‫‪1 = lim‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x3 − x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x−1 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x>1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫‪x>1‬‬

11  x ( x − 1)( x + 1) 3  x ( x + 1)  3 = lim   = lim   = +∞ x→1 ( x − 1)( x − 1)2  x→1 ( x − 1)2  x>1 x>1 . ‫ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‬1 ‫ ﻻ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ‬f ‫ﺇﺫﻥ‬ : ‫ – ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬4x1 +∞f ′(x) +f (x) 0 +∞ : ‫ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ‬- 5 ( ). ‫ ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻋﺎ ﻻﻨﻬﺎﺌﻴﺎ ﻭﺤﻴﺩﺍ‬C ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ‬( )( )lim f x 1xx → +∞ = lim x3 − x 3 x → +∞ x( ( ) )=  x3 − x 1  1 1 3   1   x3 − x 3  1 3lim  = lim   = lim  1 − x 2  =1  x3 3  x3 x→ +∞  x→ +∞ x→ +∞( )( )lim 1x→+∞ f x − x  = lim x3 − x 3 − x x→+∞ 1  2 1  3  3  3+x ( ) ( ) ( )    x3 − x − x x3 − x x3 − x + x 2= lim    x → +∞ 21 ( ) ( )x3 − x 3 + x x3 − x 3 + x2 ( ) 1  3 3   x3 − x − x3   2 1 x3 − x 3 + x x3 − x 3 + x2( ) ( )= lim x→ +∞ x3 − x − x3 21 x3 − x 3 + x x3 − x 3 + x2( ) ( )= lim x → +∞

‫‪lim‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪+x‬‬‫∞‪x→+‬‬‫=) (‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x3 − x‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪3 + x2‬‬ ‫‪‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪+x‬‬‫∞‪x→ +‬‬‫=) (‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x3 − x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪3 + x2‬‬ ‫‪x 2 ‬‬ ‫‪−x‬‬‫‪( )= lim‬‬‫∞‪x→ +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪3 + x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x3 − x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪=0‬‬‫‪( )= lim‬‬‫∞‪x→ +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x3 − x‬‬ ‫‪3+x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ y = x‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺎﺌل ﻋﻨﺩ ∞‪+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺒﺂﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻤﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞ ‪ 1 ; +‬ﻟﻜﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﻓﻲ ﺍﻵﻟﺔ[ [‬ ‫ﺘﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞ ‪. [-1 ; +‬‬

‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻊ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬‫ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺘﺨﻤﻴﻥ ﺴﻠﻭﻙ ﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‪.‬‬ ‫ ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ‪.‬‬ ‫ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺴﻠﻭﻙ ﻭ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬ ‫ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﺘﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ ﺘﻭﻅﻑ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ‪.‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ -‬ﺃﺸﻁﺔ‪.‬‬ ‫‪ – I‬ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ‪.‬‬ ‫‪ – II‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ – III‬ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ‪.‬‬ ‫‪ – V‬ﺘﻜﻨﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﺍﻹﻋﻼﻡ ﻭﺍﻻﺘﺼﺎل‪.‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻭل‪.‬‬

‫ﺃﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ f x = 80 + α e β x‬ﺤﻴﺙ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪( ).‬‬ ‫⎛‬ ‫‪O‬‬ ‫;‬ ‫→‬ ‫‪,‬‬ ‫→‬ ‫⎞‬ ‫ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫‪f‬‬ ‫) ‪ (C‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫⎜⎝‬ ‫⎠⎟‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬‫ﻋﻴﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ) ‪ A ( 0; 5 3‬ﻭ ) ‪ B ( 3; 6 0‬ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﻤﻥ ) ‪. (C‬‬ ‫ﺘﻌﻁﻲ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﺜﻡ ﺘﻌﻁﻲ ﺍﻟﻘﻴﻤﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺩﻭﺭﺘﻴﻥ‬ ‫ﺇﻟﻰ ‪ 10−1‬ﻟﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﻴﻌﻁﻲ ﺇﻨﺘﺎﺝ ﺸﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻴﻭﻡ ‪ n ) n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ (‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ un = 80 − 27.e−0,1n :‬ﻭ ﺤﺩﺓ ﺨﻼل ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻨﻁﻼﻗﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﺃ – ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( u n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﺏ – ﺒﻌﺩ ﻜﻡ ﻴﻭﻡ ﺘﺯﻴﺩ ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻹﻨﺘﺎﺝ ﻋﻠﻰ ‪ 72‬ﻭﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪V‬‬ ‫‪= e−0,1n‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪(V n‬‬ ‫)‬ ‫‪ – 3‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪.‬‬ ‫ﺃ – ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ Vn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( ).‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫ﺏ – ﺍﺤﺴﺏ‪. S = V1 + V2 + ... + V10 :‬‬‫ﺝ – ﻤﺎ ﻫﻭ ﺇﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺩﺓ ‪ 10‬ﺃﻴﺎﻡ ﺤﻴﺙ ﺘﻌﻁﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﺩﻭﺭﺓ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻹﻨﺘﺎﺝ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ α‬ﻭ ‪: β‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ) ‪ A ∈ (C‬ﻭﻤﻨﻪ ‪f ( 0 ) = 5 3 :‬‬ ‫ﻭ ) ‪ B ∈ ( C‬ﻭﻤﻨﻪ ‪f ( 3 ) = 6 0 :‬‬‫‪⎧ α = −27‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪⎧ 80 + α = 53‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫⎨‬ ‫⎨‬‫⎩‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2 7 .e 3 β‬‬ ‫=‬ ‫‪60‬‬ ‫⎩‬ ‫‪80‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪3β‬‬ ‫=‬ ‫‪60‬‬ ‫‪e 3β‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ −27.e3β = −20 :‬ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪3β‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫⎛‬ ‫‪20‬‬ ‫⎞‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪ln e 3β‬‬ ‫=‬ ‫‪ln‬‬ ‫⎛‬ ‫⎞ ‪20‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪27‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫⎝⎜‬ ‫⎠⎟ ‪2 7‬‬‫=‬‫‪αβ‬‬‫‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫‪20‬‬ ‫⎞‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪= −27 :‬‬ ‫‪β‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫⎛‬ ‫‪20‬‬ ‫⎞‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪27‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫‪3‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪27‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺩﻭﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪ α = − 2 7‬ﻭ ‪β − 0,1‬‬ ‫‪-2‬ﺃ( ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ un‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪( ):‬‬ ‫‪( )un+1 − un = 80 − 27.e0,1(n+1) − 80 − 27.e−0,1n‬‬ ‫‪un+1 − un = −27.e−0,1(n+1) + 27.e−0,1n‬‬ ‫‪un+1 − un = −27e−0,1n × e−0,1 + 27.e−0,1n‬‬ ‫‪( )un+1 − un = −27.e−0,1n e−0,1 − 1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ e−0,1 − 1 < 0 :‬ﻭ ‪−27.e−0,1n < 0‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ un+1 − un > 0 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪( ).‬‬ ‫ﺏ( ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻴﺎﻡ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺯﻴﺩ ﺒﻌﺩﻫﺎ ﺍﻹﻨﺘﺎﺝ ﻋﻥ ‪ 72‬ﻭﺤﺩﺓ ‪:‬‬ ‫ﻨﺤل ﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺔ ‪un > 72 :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪80 − 27.e−0,1n > 72 :‬‬ ‫< ‪e−0,1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪−27.e−0,1 > −8 :‬‬ ‫‪27‬‬‫< ‪−0,1n‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫⎛‬ ‫⎞‪8‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪l n e − 0 ,1 n‬‬ ‫<‬ ‫‪ln‬‬ ‫⎛‬ ‫‪8‬‬ ‫⎞‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫⎟⎠ ‪2 7‬‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪27‬‬ ‫⎠⎟‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. n ≥ 13 :‬‬ ‫‪− ln‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪27‬‬ ‫ﺃﻱ ‪n > 1 2 , 1 6 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫>‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪0,1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﻌﺩ ﺜﻼﺜﺔ ﻋﺸﺭ ﻴﻭﻡ ﻴﺯﻴﺩ ﺍﻹﻨﺘﺎﺝ ﻋﻥ ‪ 72‬ﻭﺤﺩﺓ ‪.‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ‪( ):‬‬‫‪V‬‬ ‫‪ – 3‬ﺃ( ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Vn+1 = e−0,1(n+1) = e−0,1n .e−0,1‬‬

‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪Vn+1 = Vn .e −0 ,1 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ ( V n ) :‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪q = e −0,1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫=‬ ‫‪l i m e − 0 ,1 n‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫∞ →‪x‬‬ ‫∞ →‪x‬‬ ‫ﺏ( ﺤﺴﺎﺏ ‪: S‬‬ ‫‪S = V 1 + V 2 + ... + V 10‬‬ ‫‪V1 = e−0,1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫× ‪= V1‬‬ ‫‪1 − q 10‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪1− q‬‬‫‪( )S‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪e − 0 ,1‬‬ ‫‪1 − e −1‬‬‫=‬ ‫‪e − 0 ,1‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− e − 0 ,1‬‬ ‫=‬ ‫‪e − 0 ,1‬‬ ‫×‬ ‫‪1 − e − 0 ,1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺝ( ﺤﺴﺎﺏ ﺇﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﺸﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺩﺓ ‪10‬ﺃﻴﺎﻡ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪S′ = u1 + u2 + ... + u10 :‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪un = 80 − 27.e−0,1n :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪un = 80 − 27.Vn :‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬‫) ‪S ′ = (80 − 27 V1 ) + (80 − 27 V2 ) + ... + (80 − 27 V10‬‬‫) ‪S ′ = 80 + 80 + ... + 80 − 27 (V1 + V2 + ... + V10‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪S ′ = 1 0 × 8 0 − 2 7 × S :‬‬ ‫‪S′‬‬ ‫=‬ ‫‪800‬‬ ‫‪−‬‬ ‫× ‪27‬‬ ‫‪e − 0 ,1‬‬ ‫×‬ ‫‪1 − e −1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪1 − e − 0 ,1‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪. S′ 638 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻹﻨﺘﺎﺝ ﻫﻭ ‪ 638‬ﻭﺤﺩﺓ ‪.‬‬

‫ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ) ‪ p ( n‬ﺨﺎﺼﻴﺔ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ p n‬ﺃﻨﻬﺎ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪( )n‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ n ≥ n0 :‬ﺇﺫﺍ ﺘﺤﻘﻕ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ p ( n ) (1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪. n = n0‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ p n‬ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ﺃﻱ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ) ‪ p ( k‬ﺼﺤﻴﺤﺔ) (‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ p k + 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺤﻴﺙ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻜﻴﻔﻲ ‪( ).‬‬ ‫ﺃﻭ ﺒﻌﺒﺎﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻨﻌﻭﺽ ‪ n‬ﺒﺄﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺘﺄﺨﺫﻫﺎ ﻓﻲ ﻟﻨﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ‪ p k‬ﺜﻡ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ‪( ) ( ). p k + 1‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫‪1+‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪3+‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫)‪n(n + 1‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n = 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 0 = 0 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p 0‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪( ).‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ‪ p k‬ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ‪( ) ( )p k + 1‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪p(k ) :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪k‬‬ ‫=‬ ‫‪k‬‬ ‫‪(k +‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ‪:‬‬‫‪p (k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1):‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3+‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= )‪1‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪+ 1)(k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪k‬‬ ‫‪(k +‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪k (k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1)+‬‬ ‫‪2 (k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= )‪1‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 )(k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p k + 1 :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪( ).‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ p n :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪( ). n‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:2‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬‫‪13‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪n3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n2 (n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1)2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪p (0):13‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪n3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 )2‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ (1‬ﻨﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ) ‪ : p ( 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪0 3 = 1 ( 0 )2 ( 0 + 1 )2 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪ 0 = 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p 0 :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪( ).‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ‪ p k‬ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ‪( ) ( )p k + 1‬‬‫‪p(k ):‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪k3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k 2 (k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 )2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬‫‪p (k + 1):‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪k3‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫(‬ ‫‪k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 )2 (k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 )2‬‬‫‪13‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪k3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 )3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 )2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 )3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫(‬ ‫‪k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 )2‬‬ ‫‪⎡⎣ k 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4(k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎦⎤) ‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 )2 ⎡⎣ k 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎤⎦ ‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫(‬ ‫‪k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 )2 (k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 )2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ) ‪ p ( k + 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭﻋﻠﻴﻪ ) ‪ p ( n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬

‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻫﻲ ﻜل ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( u n‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ﻭ ﻋﻼﻗﺔ ﺘﺭﺒﻁ ‪ un+1‬ﻭ ‪ un‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪ un+1 = f un‬ﺤﻴﺙ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‪( ).‬‬ ‫ﻭ ﺃﺤﻴﺎﻨﺎ ﺘﻌﺭﻑ ﺒﺤﺩﻴﻬﺎ ﺍﻷﻭﻟﻴﻥ ﻭ ﻋﻼﻗﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪: 1‬‬ ‫ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ ‪ un‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ):‬‬ ‫⎧‬ ‫‪u‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2un‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪n≥0‬‬ ‫⎨‬ ‫‪u‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫⎩‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻜل ﻤﻥ ‪. u1 , u2 , u3‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪u1 = 2 u0 + 1 = 2 (1 ) + 1 = 3 : n = 0‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪u 2 = 2 u 1 + 1 = 2 ( 3 ) + 1 = 7 : n = 1‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪u3 = 2 u2 + 1 = 2 ( 7 ) + 1 = 15 : n = 2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ):‬‬‫‪V‬‬ ‫ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ‬ ‫‪n‬‬‫⎪⎧‬ ‫‪VVV1n0‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 Vn+1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪Vn‬‬ ‫‪, n≥0‬‬‫⎨‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬‫⎩⎪‬ ‫=‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻜل ﻤﻥ ‪. V2 , V3 , V4‬‬‫‪V2 = 2V1 − V0 = 2 ( 3 ) − 2 = 4‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪: n = 0‬‬‫‪V 3 = 2 V 2 − V 1 = 2 (4 ) − 3 = 5‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪: n = 1‬‬‫‪V4 = 2V3 − V2 = 2 (5 ) − 4 = 6‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪: n = 2‬‬

‫ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ‬ ‫‪ – 1‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ‪ :‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un n≥n0‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ )ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ() (‬‫ﺇﺒﺘﺩﺍﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ n0‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪un+1 > un ) un+1 ≥ un‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ( ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪. n0‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ‪ :‬ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un n≥n0‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ )ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ() (‬‫ﺇﺒﺘﺩﺍﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ n0‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪un+1 < un ) un+1 ≤ un‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ( ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪. n0‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ‪ :‬ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un n≥n0‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺇﺒﺘﺩﺍﺀﺍ ‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪( )n0‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ un+1 = un‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ‬ ‫ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪. n0‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺭﺘﻴﺒﺔ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺭﺘﻴﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻤﻥ ) ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ( ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ )ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ(‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺃﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ) ﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ( ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ ) I‬ﺭﺘﻴﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ( ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫ﻴﻘﺎل ﻋﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ) (‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ M‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ un ≤ M :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﺩﻨﻰ ‪:‬‬ ‫ﻴﻘﺎل ﻋﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻷﺩﻨﻰ ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ) (‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ m‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ un ≥ m :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫‪ - 4‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﻴﻘﺎل ﻋﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﻤﻥ) (‬ ‫ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻭ ﻤﻥ ﺍﻷﺩﻨﻰ ﺃﻱ ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪ M‬ﻭ ‪m‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ m ≤ un ≤ M :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬

‫‪ ( 4‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺃ – ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ u0‬ﺇﺫﺍ) (‬‫ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪ r‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪: n‬‬‫‪ un+1 = un + r‬؛ ‪ : r‬ﻴﺴﻤﻰ ﺃﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ r = 0‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻭ ﻜل ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ ﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ‪. u0‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ r > 0‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ r < 0‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪u n = 1 0 n + 7 :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ) (‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪: n‬‬ ‫‪u n + 1 − u n = ⎣⎡1 0 ( n + 1 ) + 7 ⎤⎦ − [1 0 n + 7 ] = 1 0‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ r = 10‬ﻭ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪( )u0 = 1 0 × 0 + 7‬‬ ‫ﺃﻱ ‪u0 = 7 :‬‬ ‫ﺏ – ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ‪:‬‬‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ u0‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ r‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ) (‬‫‪ un‬ﻫﻭ ‪ un = u0 + nr :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪( ). n‬‬‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ‪ :‬ﻨﻔﺭﺽ ‪( )p n : un = u0 + nr :‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺀ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n = 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ u0 = u0 :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p 0‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪( ).‬‬

‫‪ -‬ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ‪ p k‬ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ‪( ) ( )p k + 1‬‬ ‫) ‪ uk = u0 + kr : p( k‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬ ‫)‪ uk+1 = u0 + ( k + 1) r : p( k + 1‬ﺘﺒﺭﻫﻥ ‪.‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ uk+1 = uk + r :‬ﺤﺴﺏ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ uk = u0 + kr :‬ﺤﺴﺏ ﻓﺭﻀﻴﺔ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻊ‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪uk+1 = u0 + kr + r :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪( )uk+1 = u0 + k + 1 r :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪( )n‬‬ ‫ﺝ – ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ u0‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( )r‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪s = u0 + u1 + ... + un :‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( )s‬‬ ‫=‬ ‫‪u0 + un‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ s‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻨﺼﻑ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﻀﺭﻭﺏ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻭ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﺨﻴﺭ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ u0 = 3‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( )r = 5‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺠﺎﻤﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪s1 = u0 + u1 + ... + un‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪s2 = u0 + u1 + ... + u10‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪s3 = u3 + u4 + ... + un‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( )s1‬‬‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u0 + un‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ un = u0 + nr :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪un = 3 + 5n :‬‬‫‪s1‬‬ ‫=‬ ‫‪n+‬‬ ‫‪1 (3 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= )‪5n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 (6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪5n‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪. s2‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫(‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪308‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (3‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2 (u3‬‬ ‫‪2 (21 +‬‬‫‪. s3‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ) ‪un‬‬ ‫‪n−‬‬ ‫)‪5n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - 5‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ‪:‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪.‬ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ) ( ) (‬ ‫‪n.‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫= ‪un+1‬‬ ‫‪un + un+2‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ un+1‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﺤﺩﻴﻥ ‪ un‬ﻭ ‪. un+2‬‬ ‫‪ – 2‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺃ – ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ u0‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ) (‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ q‬ﺤﻴﺙ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪: n‬‬ ‫‪ un+1 = un × q‬ﺤﻴﺙ ‪ : q‬ﻴﺴﻤﻰ ﺃﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪( ). un‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q = 1‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪u0‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪( )un = 10n :‬‬ ‫ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻴﻁﻠﺏ ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪( )u0‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪un+1 = 10n+1 = 10n.10‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ un+1 = un .10 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ un :‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪( ).‬‬ ‫ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ q = 10‬ﻭ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪u0 = 100 = 1‬‬ ‫ﺏ – ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ u0‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( )q‬‬

‫ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ‪ un‬ﻴﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ un = u0 .qn :‬ﻤﻥ ﺃﺠل) (‬ ‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪ ):‬ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ (‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ‪( )p n un : u0 .qn :‬‬ ‫‪ -‬ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ u0 = u0 : n = 0‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p 0‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪( ).‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ‪ p k‬ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ‪( ) ( )p k + 1‬‬ ‫‪ p k : uk = u0 .qk‬ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ) (‬ ‫‪ p k + 1 : uk+1 = u0 .qk+1‬ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ) (‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ) uk+1 = uk .q :‬ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ( ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ) uk = u0 .qk :‬ﻓﺭﻀﻴﺔ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ( ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ uk+1 = u0 .qk .q :‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪uk+1 = u0 .qk+1 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ p n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪( ). n‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ u1‬ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ﻓﺈﻥ ‪un = u1 × qn−1‬‬ ‫‪ -‬ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺎﻤﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ p ) up‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ‪( n‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪. un = up × qn− p :‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ un‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪. n‬‬ ‫ﺝ – ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﻌﺎﻗﺒﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ u0‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( ). q‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪s = u0 + u1 + ... + un :‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪s = ( n + 1) u0 : q = 1‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬

‫‪s‬‬ ‫=‬ ‫‪u0‬‬ ‫×‬ ‫‪1 − qn+1‬‬ ‫=‬ ‫‪u0‬‬ ‫‪qn+1 −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪≠1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻜﺎﻥ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1−q‬‬ ‫‪q−1‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫‪1 − qn+1‬‬ ‫‪ s‬ﻫﻭ ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ‪1 − q‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ n + 1‬ﺘﻤﺜل ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ u0 = 20‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( )q = 2‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪.‬‬‫‪s2 = u0 + u1 + ... + u10‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺠﺎﻤﻴﻊ ﺍﻵﺘﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ s1 = u0 + u1 + ... + un‬؛‬ ‫‪s3 = u10 + u11 + ... + u20‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪ un = u0 × qn :‬ﻭﻤﻨﻪ‪un = 20 × 2n :‬‬ ‫‪ (2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺠﺎﻤﻴﻊ ‪:‬‬ ‫* ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪s1 = u0 + u1 + ... + un :‬‬ ‫‪s1‬‬ ‫=‬ ‫‪u0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1 − qn+1‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫×‬ ‫‪1 − 2n+1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪1−q‬‬ ‫‪1− 2‬‬ ‫‪( )s1 = 20 2n+1 − 1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫* ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪s2 = u0 + u1 + ... + u10 :‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻫﻭ ‪11:‬‬ ‫‪1 − q11‬‬ ‫‪1 − 211‬‬ ‫‪1−q‬‬ ‫‪1− 2‬‬‫‪( )s2‬‬‫=‬ ‫‪u0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫×‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪211 − 1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫* ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪s3 = u10 + u11 + ... + u20 :‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻫﻭ ‪20 − 10 + 1 = 11 :‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪u10 = 20 × 210 :‬‬ ‫‪s3‬‬ ‫=‬ ‫‪u10‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1 − q11‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪1−q‬‬ ‫‪1 − 211‬‬ ‫‪1− 2‬‬‫‪( )s3‬‬‫=‬ ‫‪20 × 210‬‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫‪20 × 210‬‬ ‫‪211 − 1‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫ﺩ – ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ‪:‬‬‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ un+1 2 = un .un+2 :‬ﻤﻥ ﺃﺠل) ( ) (‬ ‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫‪ un+1‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﻠﺤﺩﻴﻥ ‪ un‬ﻭ ‪. un+2‬‬ ‫‪ – 5‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫) ‪ ( u n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻭ ‪ p‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( u n‬ﺘﻘﺒل ‪ l‬ﻜﻨﻬﺎﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ‬‫ﻜﺎﻥ ﻤﺠﺎل ﻤﻔﺘﻭﺡ ‪ I‬ﻴﺸﻤل ‪ l‬ﻓﻬﻭ ﻴﺸﻤل ﺃﻴﻀﺎ ﻜل ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺍﺒﺘﺩﺍﺀ ﻤﻥ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ) (‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪=l‬‬ ‫ﻭ ﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﻭ ﻨﻘﻭل ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ‪( ).‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ un :‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ‪( ).‬‬‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺘﺘﻨﺎﻫﻰ ﻨﺤﻭ ∞‪ +‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻜل ﻤﺠﺎل ﻤﻔﺘﻭﺡ ∞‪] [ ( )a;+‬‬‫∈ ‪ a‬ﻴﺸﻤل ﻜل ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺍﺒﺘﺩﺍﺀ ﻤﻥ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻭ ﻨﻜﺘﺏ ‪( ) ( ):‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﻭ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻤﺘﺒﺎﻋﺩﺓ ‪( ).‬‬‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺘﺘﻨﺎﻫﻰ ﻨﺤﻭ ∞‪ −‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻜل ﻤﺠﺎل ﻤﻔﺘﻭﺡ ‪] [ ( )−∞ ;a‬‬‫∈ ‪ a‬ﻴﺸﻤل ﻜل ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺍﺒﺘﺩﺍﺀ ﻤﻥ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻭ ﻨﻜﺘﺏ ‪( ) ( ):‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫ﻭ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻤﺘﺒﺎﻋﺩﺓ‪( ).‬‬

‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪ un = f n :‬ﺤﻴﺙ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل) ( ) (‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ∞‪ a ;+‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪] [.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫‪l‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪lim f ( x ) = l‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬‫‪( )l i m‬‬‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ∞ ‪ lim f x = +‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ∞ ‪ l i m f ( x ) = −‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬‫∞‪n→ +‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻭ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺘﺒﻘﻰ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺒﺸﺭﻁ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻓﻲ‬ ‫ﺃﻜﺒﺭ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ‪. n0‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 4‬‬‫) ‪ (u n‬ﻭ ) ‪ ( V n‬ﻭ ) ‪ ( w n‬ﺜﻼﺙ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻭ ‪ l‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ wn ≤ un ≤ Vn‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻭ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫‪l‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪vn‬‬ ‫=‬ ‫‪l‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 5‬‬ ‫‪ Vn‬ﻭ ‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ ﻋﺩﺩﻴﺘﺎﻥ ‪( ) ( ):‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﺒﺘﺩﺍﺀ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪un ≥ Vn : n0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪v‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﻭ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 6‬‬ ‫‪ Vn‬ﻭ ‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ ﻋﺩﺩﻴﺘﺎﻥ ‪( ) ( ):‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﺒﺘﺩﺍﺀ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪un ≤ Vn : n0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪vn‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﻭ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 7‬‬ ‫‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ u0‬ﻭ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪( )q‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪un = u0qn :‬‬

‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q > 1‬ﻭ ‪ un > 0‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬‫∞‪n→ +‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ un‬ﻤﺘﺒﺎﻋﺩﺓ‪( ).‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q > 1‬ﻭ ‪ u n < 0‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬‫∞‪n→ +‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ un‬ﻤﺘﺒﺎﻋﺩﺓ‪( ).‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪−1 < q < 1‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺔ ‪( ).‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q ≤ −1‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ un‬ﻤﺘﺒﺎﻋﺩﺓ‪( ).‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪un = u0 .enlnq : q > 0‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻷﺴﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﻴﺘﻤﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ ‪:‬‬‫∞‪lim 3n = +‬‬ ‫؛‬ ‫‪lim‬‬ ‫⎛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞n‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠⎟‬‫∞‪n→ +‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬‫‪lim‬‬ ‫⎛‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎞n‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ lim ( − 2 )n‬ﻏﻴﺭ ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ؛‬ ‫⎜⎝‬ ‫‪2‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫∞‪n→ +‬‬‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪ - 5‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻭﺭﺘﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ ) ‪ ( V n‬ﻭ ) ‪ ( u n‬ﺃﻨﻬﻤﺎ ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﺘﺎﻥ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬‫‪( )lim‬‬‫∞‪n→+‬‬‫‪un − vn‬‬ ‫ﺇﺤﺩﺍﻫﻤﺎ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻭ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻭ ﻜﺎﻨﺕ ‪= 0 :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ ‪ Vn‬ﻭ ‪ un‬ﺤﻴﺙ ‪( ) ( ):‬‬ ‫‪vn‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻫل ‪ Vn‬ﻭ ‪ un‬ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﺘﺎﻥ ؟) ( ) (‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ Vn‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‪( ) ( ).‬‬

‫‪( )l i m‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫⎛‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎞‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫⎝⎜‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫⎟⎠‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫∞‪n→ +‬‬ ‫‪un − v n‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ Vn‬ﻭ ‪ un‬ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﺘﺎﻥ ‪( ) ( ).‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪: 8‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ Vn‬ﻭ ‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﺘﻴﻥ ﺤﻴﺙ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ un‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ) ( ) ( ) (‬ ‫‪ Vn‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﺈﻥ ‪( ):‬‬ ‫‪ (1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪un ≤ vn :‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ ‪ Vn‬ﻭ ‪ un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺘﺎﻥ ﻨﺤﻭ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪( ) ( )λ‬‬‫‪un‬‬ ‫‪≤λ‬‬ ‫≤‬ ‫‪v‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪n0‬‬ ‫ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺭﺘﺒﺔ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻓﻔﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ‪:‬‬ ‫‪ Vn -‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻭ ‪ un‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪( ) ( ):‬‬ ‫‪v‬‬ ‫≤‬ ‫‪u‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﻋﺩﺩ‬ ‫ﺃﺠل ﻜل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ Vn (2‬ﻭ ‪ un‬ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺘﺎﻥ ﻨﺤﻭ ‪( ) ( ). 0‬‬ ‫‪v‬‬ ‫≤‬ ‫‪0 ≤ un‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪n‬‬