Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2014 (Full Version - Free Edition)

SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2014 (Full Version - Free Edition)

Published by laris.online, 2021-02-16 01:00:02

Description: SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2014 (Full Version - Free Edition)

Search

Read the Text Version

Trigonometri Kelas XI IPA Jumlah dan Selisih Dua Sudut Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut ������, ������, dan (– ������). ������ ������ Diperoleh dua segitiga ������ ������ yaitu, ∆������������������ dan ∆������������������ ������ ������ dengan ∠������������������ = ∠������������������ ������ ������ ������ sehingga, ������������ = ������������ ������ −������ ������ Dengan membuktikan ������������ = ������������, diperoleh: ������ ������������������(������ + ������) = ������������������ ������ ������������������ ������ − ������������������ ������ ������������������ ������ ������ ������������������(������ − ������) diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif ������������������(������ + (−������)) ������������������(������ + ������) dan ������������������(������ − ������) diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I Jumlah dan Selisih Dua Sudut sin(������ ± ������) = sin ������ cos ������ ± cos ������ sin ������ cos(������ ± ������) = cos ������ cos ������ ∓ sin ������ sin ������ Substitusi ������ = ������ Eliminasi ������������������(������ + ������) = ������������������ ������������ ������������������(������ + ������) dengan ������������������(������ − ������) ������������������(������ + ������) = ������������������ ������������ ������������������(������ + ������) dengan ������������������(������ − ������) Trigonometri Sudut Rangkap Jumlah, Selisih dan Perkalian Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus 1 ⊕ 1 ⊖ Sin 2������ = 2 sin ������ cos ������ cos 2������ = cos2 ������ − sin2 ������ 2 2 Substitusi identitas trigonometri ������������������������ ������ + ������������������������ ������ = ������ ������ + ������ 2������������ ������ − ������ 2������������ ������ + ������ 2������������ ������ − ������ −2������������      Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain ⊕⊖ Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos 2������ = 1 − 2 sin2 ������ cos 2������ = 2 cos2 ������ − 1 Trigonometri Setengah Sudut Khusus untuk tan(������ ± ������), tangen sudut rangkap dan Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut tangen setengah sudut, sin ������ = √1 − cos 2������ cos ������ = √1 + cos 2������ cukup gunakan sifat identitas 2 2 “TAN A = SINA DIPERKOSA” Halaman 150 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengantar Trigonometri. Modul Pengantar Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013. Mengingat materi Trigonometri memerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat pada setiap pokok bahasan. Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokok bahasan Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengantar Trigonometri sebagai penguat penguasaan konsep dasar Trigonometri… Untuk sementara hanya konsep trigonometri kelas X dan XI IPA yang dibahas. Trik Superkilat Cara Mudah Menghafal Rumus Trigonometri kelas X dan XI IPA yang lainnya masih akan dilanjutkan dan dipublish segera…. :) Kunjungi laman http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengantar Trigonometri ini… :) Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 151

SKL 4. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, identitas, dan rumus trigonometri dalam pemecahan masalah. 4. 1. Menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus atau kosinus. Nilai Perbandingan Trigonometri Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana? ������ ������ adalah sisi di depan sudut ������ ������ ������ ������ adalah sisi di depan sudut ������ ������  adalah sisi di depan sudut ������ ������ ������ ������ Aturan Sinus dan Kosinus Aturan Sinus Aturan Kosinus “Ada dua pasangan sudut–sisi yang berhadapan” “Diketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudut” ? ������ ������ ������ ������ ? ������ ������ ������ ������ ������ ? ������ ������ ? sisi – sudut – sudut sisi – sisi – sudut ������ (diketahui satu sisi dan (diketahui dua sisi dan sisi – sudut – sisi sisi – sisi – sisi satu sudut di depannya) (diketahui dua sisi dan dua sudut) sudut yang diapitnya) (diketahui ketiga sisi segitiga) ������ ������ ������ ������2 = ������2 + ������2 − 2������������ cos ������ sin sin ������ sin ������ = = ������ ������2 + ������2 − ������2 2������������ ⇒ cos ������ = Luas Segitiga ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ alas – tinggi sisi – sudut – sisi satu sisi dan semua sudut sisi – sisi – sisi ������ = 1 (������ × ������) ������ = 1 ������������ sin ������ ������ = 1 ������2 sin ������ sin ������ ������ = √������(������ − ������)(������ − ������)(������ − ������) 2 2 2 sin ������ 1 dimana ������ = 2 (������ + ������ + ������) sin ������ = ������ a A = b ������ sin sin B ⇒ ������ = ������ sin ������ ⇒ ������ = ������ sin ������ sin ������ Halaman 152 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Luas Segitiga ������ ������ ������ sisi – sudut – sisi ������ = 1 ������������ sin ������ 2 Luas Segi-n Beraturan Misal segidelapan beraturan. Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki. Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar 360° = 45°. 8 Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut. ������ ������ Luas dan Keliling Segi-n Beraturan 360° ������ ������ ������ sudut pusat = ������������������° ������ ������ = ������ ∙ 1 ������2 sin (36������0°) 2 ������ = ������������√2 (1 − cos (36������0°)) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 153

LOGIKA PRAKTIS Aturan Sinus dan Aturan Kosinus: Segitiga punya tiga unsur atau komponen penyusun, yaitu 3 sisi dan 3 sudut. Untuk menyelesaikan masalah segitiga dengan aturan sinus atau kosinus maka perlu diperhatikan acuan sebagai berikut: Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 3 sisi dan 1 sudut, maka penyelesaiannya adalah harus menggunakan aturan kosinus. Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 2 sisi dan 2 sudut, maka penyelesaiannya adalah: - Jika masing-masing sisi dan sudut saling berhadapan, maka harus menggunakan aturan sinus. - Jika masing-masing sisi dan sudut tidak saling berhadapan, maka periksa dulu apakah: o Diketahui dua sudut, maka penyelesaiannya harus mencari sudut ketiga dulu menggunakan sifat sudut segitiga 180°, dan dilanjutkan menggunakan aturan sinus. o Diketahui satu sudut, maka penyelesaiannya bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari satu sisi yang lain, lalu dilanjutkan dengan aturan sinus. (Atau apabila ada satu pasangan sisi sudut yang berhadapan, bisa menggunakan aturan sinus dulu untuk menentukan pasangan sudut yang lain, lalu menggunakan sifat sudut segitiga 180°) Atau bisa digambarkan seperti berikut: Periksa jumlah komponen yang diketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudut 2 sisi dan 2 sudut Gunakan aturan kosinus Periksa! Apakah kedua pasangan sisi dan sudut tersebut saling berhadapan Saling berhadapan Ada yang tidak berhadapan Gunakan aturan sinus Periksa! Berapa jumlah sudut yang diketahui Dua sudut Satu sudut Cari sudut ketiga, lalu Gunakan aturan kosinus gunakan aturan sinus dilanjutkan dengan aturan sinus Halaman 154 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan unsur atau komponen segitiga menggunakan aturan sinus atau kosinus. Contoh Soal: Diberikan segi empat ABCD seperti gambar di bawah! Panjang BC adalah …. A 10√2 cm B a. 4√2 cm 60° b. 6√2 cm c. 7√3 cm D 30° 45° C d. 5√6 cm e. 7√6 cm Penyelesaian: Pertama kita mempertimbangkan apakah kita akan menggunakan aturan sinus atau aturan kosinus. Lalu pada segitiga yang mana kita akan menerapkan aturan sinus atau kosinus tersebut. Perhatikan gambar, terlihat ada dua segitiga. 1. ∆������������������ dengan diketahui 1 sisi dan 1 sudut. 2. ∆������������������ dengan diketahui 1 sisi dan 2 sudut. Nah, ternyata ∆������������������ tidak bisa kita terapkan aturan sinus atau kosinus, karena aturan sinus dan kosinus bisa digunakan jika minimal diketahui 3 atau lebih unsur atau komponen dari segitiga! Sekarang amati ∆������������������ ternyata sudah diketahui 3 komponen segitiga, sehingga agar ∆������������������ tepat diketahui minimal 3 komponen maka kita harus mencari panjang ������������ terlebih dahulu. Perhatikan ∆������������������, Diketahui 1 sisi dan 2 sudut, ditanyakan 1 sisi ������������. (2 sisi dan 2 sudut) Periksa apakah kedua pasang sisi dan sudut saling berhadapan? A Ya! Maka pada ∆������������������ berlaku aturan sinus: ? D 30° 45° C ������������ ������������ ������������ sin ������ sin ������ sin ������ = ⇒ ������������ = × sin ������ = 10 × sin 30° sin 45° 10 1 = × 2 1 √2 2 10 = √2 = 10 × √2 (rasionalisasi penyebut bentuk akar) √2 √2 = 10√2 2 = 5√2 cm Nah, sekarang perhatikan ∆������������������, A 10√2 cm B Diketahui 2 sisi dan 1 sudut, ditanyakan 1 sisi ������������. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus pada ∆������������������: 60° ? ������������2 = ������������2 + ������������2 − 2 ������������ ������������ cos ������ 5√2 cm = (10√2)2 + (5√2)2 − 2(10√2)(5√2) cos 60 C 1 = 200 + 50 − 200 ∙ 2 = 250 − 100 = 150 cm Jadi, ������������ = √150 = √25√6 = 5√6 cm Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 155

Menentukan luas segi-n beraturan. Contoh Soal: Luas segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah …. a. 192 cm2 b. 172 cm2 c. 162 cm2 d. 148 cm2 e. 144 cm2 Penyelesaian: Ingat luas segitiga: ������ ������ ������ sisi – sudut – sisi ������ = 1 ������������ sin ������ 2 Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari luas salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut. Perhatikan ∆������������������, 1 ������∆������������������ = 2 ������������ ������������ sin ∠������������������ = 1 ∙ 8 ∙ 8 ∙ sin 30° 2 1 O = 32 ∙ 2 ������ 8 = 16 cm2 8 Jadi, luas segi-12 beraturan adalah: ������������������������������−12 ������������������������������������������������������ = 12 × ������∆������������������ A = 12 ∙ 16 B = 192 cm2 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Ingat luas segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar ������ adalah: 1 360° 1 ������������������������������−������ ������������������������������������������������������ = ������ ∙ 2 ������2 sin ������ = 12 ∙ 2 ∙ 82 ∙ sin 30° = 192 cm2 Halaman 156 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menentukan keliling segi-n beraturan. Contoh Soal: Keliling segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah …. a. 96√2 + √3 cm b. 96√2 − √3 cm c. 8√2 + √3 cm d. 8√2 − √3 cm e. √128 − √3 cm Penyelesaian: Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari panjang keliling pada salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut, yaitu panjang sisi ������������. Perhatikan ∆������������������, Diketahui 2 sisi dan 1 sudut ditanyakan 1 sisi ������������. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus: ������������2 = ������2 + ������2 − 2 ������ ������ cos ������ = (8)2 + (8)2 − 2(8)(8) cos 30 1 O = 64 + 64 − 128 ∙ 2 √3 ������ = 128 − 64√3 cm ������ = 8 ������ = 8 Jadi, ������������ = √128 − 64√3 cm A B Sehingga, keliling segi-12 beraturan adalah ������������������������������−12 ������������������������������������������������������ = 12 × ������������ = 12√128 − 64√3 cm = 12 × √64√2 − √3 cm = 12 × 8√2 − √3 cm = 96√2 − √3 cm Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Ingat keliling segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar ������ adalah: ������������������������������−������ ������������������������������������������������������ = ������������√2(1 − cos ������) = 12 ∙ 8 ∙ √2 (1 − 1 √3) = 96√2 − √3 cm 2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 157

Menentukan volume bangun ruang menggunakan aturan sinus atau kosinus. Contoh Soal: D F Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan E panjang rusuk ������������ = 6 cm, ������������ = 3√7 cm, dan ������������ = 3 cm. AC Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah …. a. 55√2 cm3 b. 60√2 cm3 c. 75√3 cm3 d. 90√3 cm3 e. 120√3 cm3 Penyelesaian: B Perhatikan prisma tegak segitiga ABC.DEF berikut: DF E AC B C Perhatikan ∆������������������, A 3 cm 6 cm 3√7 cm B Ingat lagi tentang luas segitiga, ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ alas – tinggi sisi – sudut – sisi satu sisi dan semua sudut sisi – sisi – sisi ������ = 1 (������ × ������) ������ = 1 ������������ sin ������ ������ = 1 ������2 sin ������ sin ������ ������ = √������(������ − ������)(������ − ������)(������ − ������) 2 2 2 sin ������ 1 dimana ������ = 2 (������ + ������ + ������) Ternyata kita bisa menggunakan rumus ������ = √������(������ − ������)(������ − ������)(������ − ������). Yang jadi masalah adalah ada sisi yang memuat bentuk akar. Repot deh perkaliannya nanti. Pilih saja rumus luas segitiga yang ������ = 1 ������������ sin ������, dengan catatan kita harus tahu salah satu sudut dari 2 segitiga tersebut. Akan dicari salah satu sudut segitiga (misalkan ∠������), dengan diketahui 3 sisi segitiga. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus, yaitu: ������������2 = ������������2 + ������������2 − 2 ������������ ������������ cos ������������ Halaman 158 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Sehingga, ������������2 + ������������2 − ������������2 2 ∙ ������������ ∙ ������������ ������������2 = ������������2 + ������������2 − 2 ������������ ������������ cos ������ ⇒ cos ������ = = (6)2 + (3√7)2 − (3)2 2(6)(3√7) = 36 + 63 − 9 36√7 90 = 36√7 = 5 2√7 Jadi, 5 2√7 cos ������ = Nilai kosinus tersebut bisa dinyatakan pada segitiga siku-siku berikut, 2√7 √3 B 5 Sehingga akan diperoleh nilai sinus dari ∠������, sin ������ = √3 2√7 Dari nilai sinus ∠������ dan panjang sisi ������������ dan ������������ dan rumus luas segitiga ������ = 1 ������������ sin ������ diperoleh luas 2 segitiga ������������������, yaitu: ������∆������������������ = 1 ������������ ������������ sin ∠������ 2 = 1 (6)(3√7) ( √3 ) 2 2√7 = 9 √3 cm2 2 Jadi, volum prisma tersebut adalah: ������ = ������������ × ������ = ������∆������������������ × ������ 9 = 2 √3 × 20 = 90√3 cm3 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 159

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Diketahui segienam beraturan. Jika jari-jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, maka luas segienam beraturan tersebut adalah .... ������ 360° 2 ������ A. 150 satuan luas ������������������������������−������ = ������2 sin TRIK SUPERKILAT: B. 150 2 satuan luas Karena bangunnya adalah segienam, berarti C. 150 3 satuan luas ⇒ ������������������������������−6 = 6 (10)2 sin 360° sudut pusatnya 60°, sementara jari-jari 2 6 lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa = 3 ∙ 100 ∙ sin 60° bentuk akar, jadi jawabannya pasti memuat D. 300 satuan luas 1 E. 300 2 satuan luas = 300 ∙ 2 √3 √3 yang berasal dari nilai sin 60°. Dari sini tanpa menghitung kita akan tahu bahwa = 150√3 jawaban yang benar hanya C saja. 2. Panjang jari-jari lingkaran luar segidelapan beraturan adalah 6 cm. keliling segidelapan tersebut adalah .... A. 06 2  2 cm ������ = √������2 + ������2 − 2 ∙ ������ ∙ ������ ∙ cos 360° B. 12 2  2 cm ������ C. 36 2  2 cm ������������������������������−������ = ������ ∙ ������ = ������ ∙ (√������2 + ������2 − 2 ∙ ������ ∙ ������ ∙ cos 36������0°) = ������ ∙ (√2������2 (1 − cos 36������0°)) 6 6 D. 48 2  2 cm 1 E. 2 72 2 2 cm ⇒ ������������������������������−8 = 8 ∙ 6 (√2 (1 − √2) ) ������ = 48√2 − √2 cm 3. Luas segi-12 beraturan adalah 192 cm2. Keliling segi-12 beraturan tersebut adalah .... 1 (21���2���) A. 96 2 3 cm ������ = 12 ∙ 2 ∙ ������2 ∙ sin ⇒ 192 = 3������2 ⇒ ������2 = 64 ⇒ ������ = 8 cm B. 96 2  3 cm ������ = √������2 + ������2 − 2 ∙ ������ ∙ ������ ∙ cos 360° ������ C. 8 2  3 cm ������������������������������−������ = ������ ∙ ������ = ������ ∙ (√������2 + ������2 − 2 ∙ ������ ∙ ������ ∙ cos 36������0°) = ������ ∙ (√2������2 (1 − cos 36������0°)) 8 8 D. 8 2  3 cm (√2 1 E. 128  3 cm 2 ⇒ ������������������������������−8 = 12 ∙ 6 (1 − √3) ) ������ = 96√2 − √3 cm 4. Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah .... A. 432 3 cm Karena bangun ������������������������������−������ = ������ ������2 sin 360° TRIK SUPERKILAT: B. 432 cm segienam, maka ������������������������������−6 2 ������ Karena segienam, berarti sudut segitiga yang = 6 360° pusatnya 60°, sementara jari-jari C. 216 3 cm terbentuk adalah ⇒ = 2 (12)2 sin 6 lingkaran luar adalah bilangan segitiga sama sisi. = bulat tanpa bentuk akar, jadi D. 216 2 cm 12 12 Akibatnya semua sisi 3 ∙ 144 ∙ sin 60° E. 216 cm 1 jawabannya pasti memuat √3 segitiga adalah 12 cm. 432 ∙ 2 √3 yang berasal dari nilai sin 60°. Dari sini tanpa menghitung kita akan 12 = 216√3 cm2 tahu bahwa jawaban yang benar hanya A atau C saja. Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Halaman 160 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

4. 2. Menyelesaikan persamaan trigonometri. Nilai Perbandingan Trigonometri Tabel Nilai Trigonometri ������ ������������������ ������ ������������������ ������ ������������������ ������ 0° 0 1 0 30° 1 1 √3 1 √3 2 2 3 45° 1 √2 1 √2 1 2 2 60° 1 √3 1 √3 2 2 90° 1 0 − Kuadran Relasi Sudut Periodisasi 90° Periksa Sudut sin ������ = sin(□ + ������ ∙ ������������������°) sin + Semua + ������ (180° − ������) cos ������ = cos(□ + ������ ∙ ������������������°) Kuadran II Kuadran I Pilih Acuan 180° 0° ������ (−������) tan ������ = tan(□ + ������ ∙ ������������������°) tanKu+adran III 360° ������ KuadcroansI+V dimana ������ bilangan bulat 270° Genap Ganjil Persamaan Trigonometri 180° ± α 90° ± ������ SEMUA SINdikat 360° − α 270° ± ������ sin ������ = sin ������ ⇒ ������ = □ + ������ ∙ ������������������° TANgan KOSong ������ (180° − ������) Fungsi Fungsi Tetap Berubah cos ������ = cos ������ ⇒ ������ = □ + ������ ∙ ������������������° sin ↔ cos ������ (−������) tan ↔ cot tan ������ = tan ������ ⇒ ������ = □ + ������ ∙ ������������������° Grafik Cek Kuadran ������ Tanda ± sin ������ dimana ������ bilangan bulat Selesai 360° Relasi Sudut Negatif cos ������ sin(−������) = − sin ������ 360° cos(−������) = cos ������ tan(−������) = − tan ������ tan ������ 360° Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 161

LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Persamaan Trigonometri: Persamaan Trigonometri Peta konsep di samping bisa diterjemahkan sebagai berikut: Sederhana o Jika ada persamaan sin ������ = sin ������, maka penyelesaiannya sin ������ = sin ������ ⇒ ������ = □ + ������ ∙ ������������������° adalah: ������ (180° − ������) ������1 = ������ + ������ ∙ 360° ������2 = (180° − ������) + ������ ∙ 360° cos ������ = cos ������ ⇒ ������ = □ + ������ ∙ ������������������° ������ (−������) o Jika ada persamaan cos x = cos α, maka penyelesaiannya adalah: tan ������ = tan ������ ⇒ ������ = □ + ������ ∙ ������������������° x1 = ������ + ������ ∙ 360° ������ x2 = (−α) + ������ ∙ 360° dimana ������ bilangan bulat o Jika ada persamaan tan x = tan α, maka penyelesaiannya adalah: x = ������ + ������ ∙ 180° Nah, proses menentukan persamaan trigonometri sederhana adalah melalui manipulasi aljabar menggunakan identitas trigonometri pada persamaan awal pada soal. Jadi logika praktisnya bisa tergambar dalam diagram di bawah: Misal ditanyakan tentukan himpunan penyelesaian dari: Persamaan Awal pada Soal cos 4������ − cos 2������ = −1 Manipulasi Aljabar Identitas Trigonometri ⇒ (2 cos2 2������ − 1) − cos 2������ = −1 ⇔ 2 cos2 2������ − cos 2������ − 1 = −1 ⇔ 2 cos2 2������ − cos 2������ = 0 ⇔ cos 2������ (2 cos 2������ − 1) = 0 Diperoleh Persamaan Trigonometri Sederhana ⇔ cos 2������ = 0 atau cos 2������ = 1 2 sin ������ = sin ������ cos ������ = cos ������ tan ������ = tan ������ Jadi, untuk cos 2������ = 0 = cos 90°, maka Cari Himpunan Penyelesaian 2������1 = 90° + ������ ∙ 360° ⇒ ������1 = 45° + ������ ∙ 180° 2������2 = −90° + ������ ∙ 360° ⇒ ������2 = −45° + ������ ∙ 180° Jadi, untuk cos 2������ = 1 = cos 60°, maka 2 2������1 = 60° + ������ ∙ 360° ⇒ ������1 = 30° + ������ ∙ 180° 2������2 = −60° + ������ ∙ 360° ⇒ ������2 = −30° + ������ ∙ 180° Dst… dst…. Sehingga akan diperoleh himpunan nilai ������ yang memenuhi persamaan trigonometri tersebut. Halaman 162 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Persamaan Trigonometri dengan Panduan Grafik Trigonometri: Grafik Inti permasalahan tentang persamaan trigonometri adalah menemukan sudut-sudut yang menghasilkan suatu nilai periode perbandingan trigonometri. Sudut-sudut tersebut berulang untuk periode tertentu. 360° Misalnya, berapa saja sih sudut yang dapat menghasilkan nilai periode sinus sama dengan 1? 360° Pernyataan di atas bisa dituliskan dalam bentuk: sin ������ = 1 = sin 90° ⇒ ������ = 90° periode Nah, karena sudah hafal tabel nilai trigonometri dan paham tentang konsep dasar perbandingan trigonometri, maka bisa 360° ditentukan nilai sinus sama dengan 1 dipenuhi oleh sin 90°. Daerah kuadran bernilai positif Padahal, fungsi sinus memiliki grafik yang berulang-ulang sesuai periodenya masing-masing. Sehingga, untuk nilai sinus sama dengan 1 tidak hanya dipenuhi oleh sudut 90°. Namun, masih banyak lagi sudut yang menghasilkan nilai sinus sama dengan 1. Bagaimana cara mudah menyusun rumus perbandingan trigonometrinya? Perhatikan gambar di atas. Grafik sinus berulang-ulang naik turun, seperti huruf “S” tidur terbalik. Berulang-ulangnya setiap 360°. “ “ Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik sinus di kuadran I adalah positif. Nilai sinus akan kembali positif di kuadran II. Jadi, sin ������ = sin ������ ⇒ ������ = □ + ������ ∙ ������������������° ������ (180° − ������) Grafik kosinus berulang-ulang turun naik seperti huruf “C” tidur. Berulang-ulangnya setiap 360°. “ “ Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik kosinus di kuadran I adalah positif. Nilai kosinus akan kembali positif di kuadran IV. (karena grafiknya simetris terhadap sumbu Y, maka kuadran sebelah kiri kuadran I juga positif, kan ya?). Jadi, cos ������ = cos ������ ⇒ ������ = □ + ������ ∙ ������������������° ������ (−������) Grafik tangen berulang-ulang naik terputus-putus. Berulang setiap 180°. Sekarang perhatikan grafiknya, nilai positif hanya di kuadran I dan berulang-ulang setiap 180°. Jadi, tan ������ = tan ������ ⇒ ������ = □ + ������ ∙ ������������������° ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 163

Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri. Contoh Soal: Himpunan penyelesaian dari cos 4������ − cos 2������ = −1 ; 0 ≤ ������ ≤ 360° adalah …. a. {30°, 45°, 135°, 150°, 210°, 225°, 315°, 330°} b. {30°, 60°, 135°, 180°, 210°, 225°, 300°, 330°} c. {0°, 30°, 135°, 150°, 210°, 225°, 300°, 330°} d. {30°, 45°, 120°, 135°, 210°, 225°, 300°} e. {30°, 45°, 135°, 150°, 240°, 225°, 315°} Penyelesaian: cos 4������ − cos 2������ = −1 ⇒ (2 cos2 2������ − 1) − cos 2������ = −1 ⇔ 2 cos2 2������ − cos 2������ − 1 = −1 ⇔ 2 cos2 2������ − cos 2������ = 0 ⇔ cos 2������ (2 cos 2������ − 1) = 0 ⇔ cos 2������ = 0 atau cos 2������ = 1 2 Jadi, untuk cos 2������ = 0 = cos 90°, maka 2������1 = 90° + ������ ∙ 360° ⇒ ������1 = 45° + ������ ∙ 180° untuk ������ = 0 ⇒ ������ = 45° untuk ������ = 1 ⇒ ������ = 225° 2������2 = −90° + ������ ∙ 360° ⇒ ������2 = −45° + ������ ∙ 180° untuk ������ = 1 ⇒ ������ = 225° untuk ������ = 2 ⇒ ������ = 315° Jadi, untuk cos 2������ = 1 = cos 60°, maka 2 2������1 = 60° + ������ ∙ 360° ⇒ ������1 = 30° + ������ ∙ 180° untuk ������ = 0 ⇒ ������ = 30° untuk ������ = 1 ⇒ ������ = 210° 2������2 = −60° + ������ ∙ 360° ⇒ ������1 = −30° + ������ ∙ 180° untuk ������ = 1 ⇒ ������ = 150° untuk ������ = 2 ⇒ ������ = 330° Sehingga himpunan penyelesaian adalah {30°, 45°, 135°, 150°, 210°, 225°, 315°, 330°}. Halaman 164 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Himpunan penyelesaian persamaan cos2x  2cosx  1; 0 x  2π adalah .... ������ 2 A. {0, 1 π, 3 π, 2π } ⇒ cos 2������ − 2 cos ������ = −1 cos ������ = 0 = cos (2 cos2 ������ − 1) − 2 cos ������ + 1= 0 22 Penyelesaiannya: ⇔ 2 cos2 ������ − 2 cos ������ = 0 ������ 1 π, 2 ⇔ 2 cos ������ (cos ������ − 1) = 0 ������ = ± 2 + ������ ∙ 2������ B. {0, 2 3 π, 2π } ⇔ 0 atau cos ������ − 1 = 0 2 cos ������ = 1) ������ = ������ + ������ ∙ 2������ 2) ������ = − ������ + ������ ∙ 2������ C. {0, 1 π, π, 3 π, } ⇔ cos ������ = 0   cos ������ = 1 2 2 ������ 3 22 = 2 = 2 ������ D. {0, 1 π, 2 π } cos ������ = 1 = cos 0 23 Penyelesaiannya: ������ = 0 + ������ ∙ 2������ E. {0, 1 π, π } 2 3) ������ = 0 + ������ ∙ 2������ = 0, 2������ Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 < ������ < 2������ maka yang memenuhi hanya {���2��� , 3 ������} 2 Jika intervalnya diubah 0 ≤ ������ ≤ 2������, maka penyelesaiannya {0, ������ , 3 ������, 2������} 2 2 2. Himpunan penyelesaian persamaan cos4x  3sin 2x  1; 0  x  180 adalah .... 1 A. {120,150} cos 4������ + 3 sin ������ = −1 sin 2������ = − 2 = − sin 30° = sin(−30°) B. {150,165}⇒⇔ (1 − 2 sin2 2������) + 3 sin 2������ + 1 = 0 C. {30,150} ⇔ sin 2������ = − 1 = − sin 150° = sin(−150°) −2 sin2 2������ + 3 sin 2������ + 2 = 0 2 (−sin 2������ + 2)(2 sin 2������ + 1) = 0 Penyelesaiannya: ⇔ − sin 2������ + 2 = 0 atau 2 sin 2������ + 1 = 0 D. {30,165} ⇔ sin 2������ = 2 (mustahil)   sin 2������ = − 1 E. {15,105} 2 1) ������ = −30° + ������ ∙ 360° 2) ������ = −150° + ������ ∙ 360° = −15° + ������ ∙ 180° = −75° + ������ ∙ 180° = 165° = 105° Soal ini tidak ada jawabannya, mungkin maksudnya pilihan jawaban B bukan 150°, tapi salah ketik. Seharusnya 105°. 3. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x  2 sin x  1; 0  x  2 π adalah .... A. {0, π, 3π , 2π} ⇒ cos 2������ − 2 sin ������ = 1 sin ������ = 0 = sin 0 = sin ������ (1 − 2 sin2 ������) − 2 sin 2������ − 1 = 0 3������ 2⇔ sin ������ = −1 = sin 2 −2 sin2 ������ − 2 sin ������ = 0 {0, π, 4π , 2π} ⇔ −2 sin ������ (sin ������ + 1) = 0 Penyelesaiannya: B. 3 ⇔ −2 sin ������ = 0 atau sin ������ + 1 = 0 C. ⇔ 1) ������ = 0 + ������ ∙ 2������ 2) ������ = ������ + ������ ∙ 2������ {0, 2 π, π, 2π} sin ������ = 0      sin ������ = −1 =0 = ������ 3 TRIK SUPERKILAT: 3) ������ = 3������ + ������ ∙ 2������ D. {0, π, 2π} Satu-satunya jawaban yang tidak memuat 2 E. {0, π, 3π} 2������ adalah E. Perhatikan batas yang = 3������ 2 diminta soal. 2������ tidak diikutkan.  2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 165

4. Himpunan penyelesaian persamaan cos2x  3cosx  2  0 untuk 0  x  2π adalah .... 1 ������ A. 0, π , 3 π, 2π ⇒ cos 2������ − 3 cos ������ + 2 = 0 cos ������ = 2 = cos 3  2 2  ⇔ (2 cos2 ������ − 1) − 3 cos ������ + 2 = 0 ���P���e=ny±el���3e���s+aia������n∙n2y���a��� : π 2 cos2 ������ − 3 cos ������ + 1 = 0 3 ⇔ (2 cos ������ − 1)(cos ������ − 1) = 0 B. 0, , 5 π, 2π C.  3  ⇔ 2 cos ������ − 1 = 0 atau cos ������ − 1 = 0 ������ 1 1) ������ = ������ + ������ ∙ 2������ 2) ������ = − 3 + ������ ∙ 2������ π ⇔ cos ������ = 2   cos ������ = 1 3 0, 3 3 2π ������ 5  , 2 π,  = 3 = 3 ������ D. 0, π , π, 2 π cos ������ = 1 = cos 0  2 3  Penyelesaiannya: ������ = 0 + ������ ∙ 2������ E. 0, π , π, 2π 3) ������ = 0 + ������ ∙ 2������  2  = 0, 2������ Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 ≤ ������ < 2������ maka yang memenuhi hanya {0, ������ , 5 ������} 3 3 Jika intervalnya diubah 0 ≤ ������ ≤ 2������, maka penyelesaiannya {0, ������ , 5 ������, 2������} 3 3 Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Halaman 166 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

4. 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangent serta jumlah dan selisih dua sudut. Trigonometri Kelas XI IPA Jumlah dan Selisih Dua Sudut Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut ������, ������, dan (– ������). ������ ������ Diperoleh dua segitiga ������ ������ yaitu, ∆������������������ dan ∆������������������ ������ ������ dengan ∠������������������ = ∠������������������ ������ ������ ������ sehingga, ������������ = ������������ ������ −������ ������ Dengan membuktikan ������������ = ������������, diperoleh: ������ ������������������(������ + ������) = ������������������ ������ ������������������ ������ − ������������������ ������ ������������������ ������ ������ ������������������(������ − ������) diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif ������������������(������ + (−������)) ������������������(������ + ������) dan ������������������(������ − ������) diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I Jumlah dan Selisih Dua Sudut sin(������ ± ������) = sin ������ cos ������ ± cos ������ sin ������ cos(������ ± ������) = cos ������ cos ������ ∓ sin ������ sin ������ Substitusi ������ = ������ Eliminasi ������������������(������ + ������) = ������������������ ������������ ������������������(������ + ������) dengan ������������������(������ − ������) ������������������(������ + ������) = ������������������ ������������ ������������������(������ + ������) dengan ������������������(������ − ������) Trigonometri Sudut Rangkap Jumlah, Selisih dan Perkalian Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus 1 ⊕ 1 ⊖ Sin 2������ = 2 sin ������ cos ������ cos 2������ = cos2 ������ − sin2 ������ 2 2 Substitusi identitas trigonometri ������������������������ ������ + ������������������������ ������ = ������ ������ + ������ 2������������ ������ − ������ 2������������ ������ + ������ 2������������ ������ − ������ −2������������      Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain ⊕⊖ Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos 2������ = 1 − 2 sin2 ������ cos 2������ = 2 cos2 ������ − 1 Trigonometri Setengah Sudut Khusus untuk tan(������ ± ������), tangen sudut rangkap dan Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut tangen setengah sudut, sin ������ = √1 − cos 2������ cos ������ = √1 + cos 2������ cukup gunakan sifat identitas 2 2 “TAN A = SINA DIPERKOSA” Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 167

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Jumlah Selisih Dua Sudut. Intisari dari masalah tentang jumlah selisih sinus kosinus tangen serta masalah tentang jumlah selisih dua sudut adalah kita harus memahami bagaimana konsep awal dari cos(������ + ������). Begitu konsep awal ini dipahami, maka dengan menggunakan konsep-konsep dasar trigonometri di kelas X, maka semua konsep tentang trigonometri di kelas XI IPA akan segera muncul satu-persatu dengan sendirinya. Untuk mendampingi pemahaman konsep dasar yang sudah diperoleh lewat pembelajaran di sekolah, kali ini Pak Anang akan membagikan konsep LOGIKA PRAKTIS dalam menyusun rumus jumlah selisih dua sudut sebagai berikut: Konsep awal yang harus diingat adalah sin(������ ± ������) dan cos(������ ± ������). sin(������ ± ������) = sin ������ cos ������ ± cos ������ sin ������ cos(������ ± ������) = cos ������ cos ������ ∓ sin ������ sin ������ Perhatikan, untuk sin(������ ± ������), diawali huruf “S”, yang secara kreatif imajinatif dimaknai dengan:  SELANG-SELING Keterangan:  SIN  SAMA Selang-seling diambil dari bahasa Jawa, artinya adalah pola yang selalu bergantian. “SELANG-SELING” dimulai dari SIN ������������������(������ ± ������) SAMA Keterangan: tanda plus minusnya Kalau cos(������ ± ������) berarti kebalikannya. Tanda SAMA  SELANG-SELING diawali SIN >< Kembar diawali COS  SAMA >< BERBEDA sin(������ + ������) = sin ������ cos ������ + cos ������ sin ������ sin(������ − ������) = sin ������ cos ������ − cos ������ sin ������ Dimulai dari SIN “SELANG-SELING”, bergantian SIN COS lalu COS SIN Jadi, untuk cos(������ ± ������) tinggal membalik konsep menghafal rumus sin(������ ± ������) di atas.  Tidak SELANG-SELING (KEMBAR)  Bukan SIN (Jadi, dimulai dari cos)  Tidak SAMA (Tanda plus minus berbeda) Tanda BEDA cos(������ + ������) = cos ������ cos ������ − sin ������ sin ������ cos(������ − ������) = cos ������ cos ������ + sin ������ sin ������ Halaman 168 Dimulai dari COS KEMBAR, bergantian COS COS lalu SIN SIN Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Sudut Rangkap. Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada halaman sebelumnya……?? sin(������ + ������) = sin ������ cos ������ + cos ������ sin ������ dan cos(������ + ������) = cos ������ cos ������ − sin ������ sin ������ Asyik…. Nah, konsep kedua yang harus melekat kuat di otak adalah tentang sin 2������ dan cos 2������, diperoleh dari rumus sin(������ + ������) dan cos(������ + ������) dengan mengganti ������ = ������. sin(������ + ������) dan cos(������ + ������) Ganti ������ = ������ sin 2������ dan cos 2������ Konsep untuk mendapatkan sin 2������ adalah: sin(������ + ������) = sin ������ cos ������ + cos ������ sin ������ sin(������ + ������) = sin ������ cos ������ + cos ������ sin ������ sin 2������ = 2 sin ������ cos ������ Konsep untuk mendapatkan cos 2������ adalah: cos(������ + ������) = cos ������ cos ������ − sin ������ sin ������ cos(������ + ������) = cos ������ cos ������ − sin ������ sin ������ cos 2������ = cos2 ������ − sin2 ������ Jadi, sin 2������ = 2 sin ������ cos ������ cos 2������ = cos2 ������ − sin2 ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 169

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Kosinus Sudut Rangkap yang Lain. Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap pada halaman sebelumnya……?? cos 2������ = cos2 ������ − sin2 ������ Asyik…. Nah, konsep ketiga yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus cos 2������ yang lainnya. Rumus kosinus sudut rangkap yang lain diperoleh dari cos 2������ dengan mensubstitusikan identitas trigonometri Pythagoras. cos 2������ = cos2 ������ − sin2 ������ Substitusi sin2 ������ + cos2 ������ = 1 cos 2������ = 2 cos2 ������ − 1 cos 2������ = 1 − 2 sin2 ������ Konsep untuk mendapatkan cos 2������ = 2 cos2 ������ − 1 adalah: cos 2������ = cos2 ������ − sin2 ������ cos 2������ = cos2 ������ − (1 − cos2 ������) sin2 ������ + cos2 ������ = 1 ⇒ sin2 ������ = 1 − cos2 ������ cos 2������ = 2 cos2 ������ − 1 sin2 ������ + cos2 ������ = 1 ⇒ cos2 ������ = 1 − sin2 ������ Konsep untuk mendapatkan cos 2������ = 1 − 2 sin2 ������ adalah: cos 2������ = cos2 ������ − sin2 ������ cos 2������ = (1 − sin2 ������) − sin2 ������ cos 2������ = 1 − 2 sin2 ������ TRIK SUPERKILAT cara menghafalkannya adalah: Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada 2sin2 atau 2cos2. Polanya selalu bentuk pengurangan. cos 2������ = ������ ������ cos 2������ = 2 ������os2 ������ − ������ cos 2������ = ������ ������ ������ Keterangan TRIK SUPERKILAT: cos 2������ = ������ ������ cos 2������ = ������ − 2 ������in2 ������  Ingat posisi huruf alfabet, posisi C lebih awal dari S.  Gunakan singkatan CIS, jadi cos 2������ memiliki dua bentuk lain, yaitu CI dan IS. Halaman 170 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Setengah Sudut. Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap Pythagoras pada halaman sebelumnya……?? cos 2������ = 2 cos2 ������ − 1 cos 2������ = 1 − 2 sin2 ������ Asyik…. Nah, konsep keempat yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri setengah sudut. Rumus trigonometri setengah sudut diperoleh dari konsep “cos 2������ Pythagoras”. Pak Anang menyebut rumus cos 2������ Pythagoras untuk dua konsep atau rumus di atas. “cos 2������ Pythagoras” cos 2������ = 2 cos2 ������ − 1 cos 2������ = 1 − 2 sin2 ������ Invers, “pindah ruas” sampai diperoleh cos ������ dan sin ������ cos ������ = √1 + cos 2������ sin ������ = √1 − cos 2������ 2 2 Konsep rumus trigonometri sudut setengah tersebut SEBENARNYA TIDAK PERLU DIHAFAL………! Kenapa? Karena sebenarnya yang perlu diingat dan dihafal adalah perubahan dari konsep “cos 2������ Pythagoras” menjadi konsep trigonometri sudut setengah hanya mengalami proses invers, alias “pindah ruas” saja. Kesimpulannya, RUMUSNYA TIDAK BERUBAH MAKNA, HANYA BERUBAH FORMASI SAJA…..!!!!! Jadi, misalkan lupa rumus trigonometri setengah sudut tidak jadi masalah, asalkan ingat pola di bawah ini: Konsep trigonometri sudut setengah dan Konsep trigonometri sudut setengah Diketahui sudut rangkap, Diketahui sudut rangkap, ditanya setengah sudut. ditanya setengah sudut. cos 2������ = 2 cos2 ������ − 1 cos 2������ = 1 − 2 sin2 ������ Konsep trigonometri sudut rangkap Konsep trigonometri sudut rangkap Diketahui suatu sudut, Diketahui suatu sudut, ditanya sudut rangkapnya. ditanya sudut rangkapnya. LOGIKA PRAKTIS cara menghafalkannya adalah: Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada angka 2, selalu ada cos2A. Polanya selalu bentuk akar. cos 2������ + ������ − 1 ⇒ cos ������ = √1 + cos 2������ Keterangan TRIK SUPERKILAT: = 2 cos2 2  Dihasilkan dari invers konsep “cos 2������ Pythagoras” cos 2������ = 1 − 2 sin2 ������ ⇒ sin ������ = √1 − cos 2������  Tanda plus minus dilihat dari 2 tanda koefisien trigonometri. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 171

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Jumlah, Selisih, dan Perkalian Trigonometri. Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada TRIK SUPERKILAT paling awal tadi……?? sin(������ ± ������) = sin ������ cos ������ ± cos ������ sin ������ dan cos(������ ± ������) = cos ������ cos ������ ∓ sin ������ sin ������ Asyik…. Nah, konsep kelima yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri jumlah dan selisih sinus kosinus perkalian sinus kosinus. Konsep rumus ini diperoleh dengan mengeliminasi komponen yang sama pada sin(������ + ������) dan sin(������ − ������) serta mengeliminasi komponen yang sama pada cos(������ + ������) dan cos(������ − ������). Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut sin(������ ± ������) cos(������ ± ������) Eliminasi Eliminasi sin(������ + ������) dengan sin(������ − ������) cos(������ + ������) dengan cos(������ − ������) sin(������ + ������) sin(������ + ������) cos(������ + ������) cos(������ + ������) sin(������ − ������) + sin(������ − ������) − cos(������ − ������) + cos(������ − ������) − 2 sin ������ cos ������ 2 cos ������ sin ������ 2 cos ������ cos ������ −2 sin ������ sin ������ (������ + ������) = ������ Substitusi (������ + ������) = ������ (������ + ������) = ������ (������ − ������) = ������ (������ − ������) = ������ + (������ − ������) = ������ − 2������ = (������ + ������) dibagi 2 2������ = (������ − ������) dibagi 2 ������ ������ ������ = ������ (������ + ������) ������ = ������ (������ − ������) sin ������ sin ������ cos ������ cos ������ sin ������ sin ������ cos ������ cos ������ + − + − 1 1 1 1 1 1 1 1 2 sin 2 (������ + ������) cos 2 (������ − ������) 2 cos 2 (������ + ������) sin 2 (������ − ������) 2 cos 2 (������ + ������) cos 2 (������ − ������) −2 sin 2 (������ + ������) sin 2 (������ − ������) LOGIKA PRAKTIS cara membacanya: 1 ⊕ 1 ⊖ Keterangan cara membaca TRIK SUPERKILAT: 2 2 S adalah sin dan C adalah cos. ������������������(������ + ������) + ������������������(������ − ������) = ������ ������������������ ������ ������������������ ������ ������ + ������ 2������������ 1 ⊕ 1 ⊖ (������ + ������) (������ − ������) ������ ������ ������ − ������ 2������������ 2 2 ������ + ������ 2������������ ������ − ������ −2������������      S+S = 2SC S+S = 2SC ������ ������ 1 (������ + ������) 1 (������ − ������) ⊕⊖ 2 2 ⊕⊖ ������������������ ������ + ������������������ ������ = ������ ������������������ ������ (������ + ������) ������������������ ������ (������ − ������) ������ ������ Halaman 172 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

LOGIKA PRAKTIS cara menyusun rumus jumlah, selisih dan perkalian trigonometri: 1 ⊕ 1 ⊖ Keterangan cara menyusun TRIK SUPERKILAT: 2 2 Masih ingat dengan rumus jumlah dua sudut trigonometri kan? ������ + ������ 2������������ sin(������ + ������) = sin ������ cos ������ + cos ������ sin ������ ������ − ������ 2������������ cos(������ + ������) = cos ������ cos ������ − sin ������ sin ������ ������ + ������ 2������������ ������ − ������ −2������������      Ditulis ulang dengan singkat sebagai berikut: ������+= ������������ + ������������ ������+= ������������ − ������������ ⊕⊖ Lihat ruas kiri ada ������ + dan ������ +, Ini yang ditulis di kolom kiri dengan membubuhkan tanda + dan − bergantian. Tanda + dan − ini diperoleh dari proses eliminasi. Jadi, urutannya adalah ������ + ������, lalu ������ − ������, dan ������ + ������ lalu ������ − ������. ������ + ������ ������ − ������ ������ + ������ ������ − ������ Lalu perhatikan ruas kanan, ada berturut-turut adalah ������������, ������������, ������������, dan – ������������. Itulah yang ditulis urut dari atas ke bawah dengan membubuhkan angka 2. Angka 2 tersebut diperoleh dari hasil eliminasi. 2������������ 2������������ 2������������ −2������������      Nah, lalu dikonstruksi seperti pada TRIK SUPERKILAT menjadi bagan di bawah ini: 1 1 2 2 ⊕ ⊖ ������ + ������ 2������������ ������ − ������ 2������������ ������ + ������ 2������������ ������ − ������ −2������������      ⊕⊖ Perhatikan cara membacanya: tanda ⊕ dibaca (������ + ������) dan tanda ⊖ dibaca (������ − ������) ������ + ������ 12→⊕12⊖ 2������������ ������ + ������ ←⊕⊖ 2������������ dibaca: ������������������ ������ + ������������������ ������ = ������ ������������������ ������ (������ + ������) ������������������ ������ (������ − ������) dibaca: ������ ������ ������ ������������������ ������ ������������������ ������ = ������������������(������ + ������) + ������������������(������ − ������) JEMBATAN KELEDAI untuk menghafalkan rumus jumlah selisih dan perkalian trigonometri: Sayang ditambah sayang menjadi dua-duanya sangat cinta. Sayang dikurangi sayang menjadi dua-duanya cintanya sirna. Cinta ditambah cinta menjadi dua-duanya cinta-cintaan. Cinta dikurangi cinta menjadi aduh…. dua-duanya sayangnya sirna. Keterangan: kata aduh dimaknai sebagai tanda negatif (−). Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 173

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rumus Jumlah Selisih Dua Sudut, Jumlah Selisih atau Perkalian untuk Tangen. Nah, konsep keenam atau konsep terakhir yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus jumlah selisih dua sudut untuk tangen, dilanjutkan dengan tangen sudut rangkap, tangen setengah sudut. Khusus untuk tangen sebenarnya jika lupa rumusnya, cukup ingat aja sifat perbandingan untuk tangen, yaitu: “TAN A adalah SINA DIPERKOSA” atau dituliskan sebagai: ������������������ ������ = ������������������ ������ ������������������ ������ Sehingga, tan(������ + ������) = sin(������ + ������) ⇒ tan(������ + ������) = sin ������ cos ������ + cos ������ sin ������ × cos 1 ������ cos(������ + ������) cos ������ cos ������ − sin ������ sin ������ ������ cos 1 cos ������ cos ������ sin ������ cos ������ cos ������ sin ������ = cos ������ cos ������ + cos ������ cos ������ cos ������ cos ������ − sin ������ sin ������ cos ������ cos ������ cos ������ cos ������ sin ������ sin ������ = cos ������ + cos ������ 1 − sin ������ sin ������ cos ������ cos ������ tan ������ + tan ������ = 1 − tan ������ tan ������ Jadi, tan(������ ± ������) = tan ������ ± tan ������ 1 ∓ tan ������ tan ������ Sehingga jika ������ = ������, akan diperoleh: tan(������ + ������) = tan ������ + tan ������ ⇒ tan 2������ = 1 2 tan ������ ������ 1 − tan ������ tan ������ − tan2 Tangen setengah sudut diperoleh dari rumus sinus dan kosinus setengah sudut: sin ������ = √1 − cos 2������ √1 − cos 2������ 2 √1 + 2 2������ tan ������ = sin ������ = cos = √1 − cos 2������ × √1 2 = √11 − cos 2������ cos ������ 2 2 cos + cos 2������ √1 + cos 2������ + 2������ 2 cos ������ = } Jadi, tan ������ = √11 − cos 2������ + cos 2������ Halaman 174 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Rumus Khusus untuk Tangen Khusus untuk tan(������ ± ������), tangen sudut rangkap dan tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas “TAN A = SINA DIPERKOSA” Jumlah dan Selisih Dua Sudut Jumlah dan Selisih Dua Sudut Tangen sin(������ ± ������) = sin ������ cos ������ ± cos ������ sin ������ tan(������ ± ������) = sin(������±������) = tan ������±tan ������ cos(������ ± ������) = cos ������ cos ������ ∓ sin ������ sin ������ cos(������±������) 1∓tan ������ tan ������ Substitusi ������ = ������ Substitusi ������ = ������ ������������������(������ + ������) = ������������������ ������������ ������������������(������ + ������) = ������������������ ������������ ������������������(������ + ������) = ������������������ ������������ Trigonometri Sudut Rangkap Tangen Sudut Rangkap Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus tan 2������ = 1 2 tan ������ ������ Sin 2������ = 2 sin ������ cos ������ cos 2������ = cos2 ������ − sin2 ������ − tan2 Substitusi identitas trigonometri ������������������������ ������ + ������������������������ ������ = ������    Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos 2������ = 1 − 2 sin2 ������ cos 2������ = 2 cos2 ������ − 1 Trigonometri Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut sin ������ = √1 − cos 2������ cos ������ = √1 + cos 2������ tan ������ = sin ������ = √11 − cos 2������ 2 2 cos ������ + cos 2������ TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang lain akan segera diupdate dan dipublish…. Jadi, kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update terbaru TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS nya. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 175

Tipe Soal yang Sering Muncul Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut. Contoh Soal: Diketahui dari sin 75° + cos 75° adalah …. 1 a. 4 √6 b. 1 √2 2 c. 1 √3 2 d. 1 e. 1 √6 2 Penyelesaian: Ingat, sin(������ + ������) = sin ������ cos ������ + cos ������ sin ������ dan cos(������ + ������) = cos ������ cos ������ − sin ������ sin ������. Perhatikan juga bahwa 75° = (45° + 30°). Sehingga, sin 75° + cos 75° = sin(45° + 30°) + cos(45° + 30°) = (sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°) + (cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30°) (21 1 1 12) (12 1 1 21) = √2 ∙ 2 √3 + 2 √2 ∙ + √2 ∙ 2 √3 − 2 √2 ∙ = 1 √6 + 1 √6 4 4 1 = 2 √6 Cara lain untuk soal ini menggunakan TRIK SUPERKILAT ada di halaman 184. Halaman 176 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui perbandingan trigonometri dari dua sudut tersebut. Contoh Soal 1: 4 275, 5 Diketahui sin ������ = dan sin ������ = dengan ������ sudut lancip dan ������ sudut tumpul. Nilai dari cos(������ − ������) = …. a. − 117 125 b. − 100 125 c. − 75 125 d. − 44 125 e. − 21 25 Penyelesaian: Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin ������ = 4 adalah: (Ingat ������ adalah sudut lancip) 5 5 4 Sehingga, cos ������ = 3 5 ������ 3 Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin ������ = 7 adalah: (Ingat ������ adalah sudut tumpul) 25 25 7 Sehingga, cos ������ = − 24 (Ingat nilai cos sudut tumpul adalah negatif) ������ 25 24 Jadi, cos(������ − ������) = cos ������ cos ������ + sin ������ sin ������ = 3 ∙ (− 2254) + 4 ∙ 7 5 5 25 72 28 = − 125 + 125 44 = − 125 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 177

Contoh Soal 2: 4 1132, 5 Pada segitiga ������������������ lancip, diketahui cos ������ = dan sin ������ = maka sin ������ = …. a. 20 65 b. 36 65 c. 56 65 d. 60 65 e. 63 65 Penyelesaian: Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku untuk menyatakan cos ������ = 4 adalah: (Ingat ������ adalah sudut lancip) 5 5 3 Sehingga, sin ������ = 3 5 ������ 4 Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin ������ = 12 adalah: (Ingat ������ adalah sudut lancip) 13 13 12 Sehingga, cos ������ = 5 13 ������ 5 Ingat, besar sudut dalam segitiga ������������������ = 180°. ⇔ ������ + ������ + ������ = 180° ⇔ ������ = 180 − (������ + ������) Sehingga, sin ������ = sin(180° − (������ + ������)) (Ingat sifat relasi sudut antar kuadran sin(180° − ������) = sin ������) ⇔ sin ������ = sin(������ + ������) Jadi, sin ������ = sin(������ + ������) = sin ������ cos ������ + cos ������ sin ������ 3 5 4 12 = 5 ∙ 13 + 5 ∙ 13 15 48 = 65 + 65 63 = 65 Halaman 178 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui pola rumusnya. Contoh Soal: Nilai sin 45° cos 15° + cos 45° sin 15° sama dengan …. 1 a. 2 b. 1 √2 2 c. 1 √3 2 d. 1 √6 2 e. 1 √3 3 Penyelesaian: Ingat, sin ������ cos ������ + cos ������ sin ������ = sin(������ + ������) Sehingga, 1 2 sin 45° cos 15° + cos 45° sin 15° = sin(45° + 15°) = sin 60° = √3 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 179

Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu komponen rumusnya. Contoh Soal: 16, maka nilai dari sin ������ cos ������ Diketahui ������ dan ������ adalah sudut lancip dan ������ − ������ = 30°. Jika cos ������ sin ������ = = …. a. 1 6 b. 2 6 c. 3 6 d. 4 6 e. 5 6 Penyelesaian: Lihat pada soal, diketahui selisih dua sudut ������ − ������, dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni cos ������ sin ������. Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian SELANG-SELING, maka rumus yang digunakan adalah sin(������ − ������). Jadi, sin(������ − ������) = sin ������ cos ������ − cos ������ sin ������ ⇒ sin 30° = sin ������ cos ������ − 1 6 1 1 ⇔ 2 = sin ������ cos ������ − 6 ⇔ 1 + 1 = sin ������ cos ������ 2 6 3 1 ⇔ 6 + 6 = sin ������ cos ������ ⇔ 4 = sin ������ cos ������ 6 Halaman 180 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menentukan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu komponen rumusnya Contoh Soal: ������ 14. Nilai dari cos(������ − ������) 3 Diketahui (������ + ������) = dan sin ������ sin ������ = = …. a. −1 b. − 1 2 c. 1 2 d. 3 4 e. 1 Penyelesaian: Lihat pada soal, diketahui jumlah dua sudut ������ + ������, dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni sin ������ sin ������. Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian KEMBAR, maka rumus yang digunakan adalah cos(������ + ������). Sehingga untuk mencari nilai cos(������ − ������) maka harus komplit terlebih dahulu komponen dari rumusnya, SIN SIN udah ada, tinggal COS COS yang belum ada. Nilai COS COS dicari menggunakan rumus cos(������ − ������): cos(������ + ������) = cos ������ cos ������ − sin ������ sin ������ ������ 1 ⇒ cos 3 = cos ������ cos ������ − 4 ⇔ 1 = cos ������ cos ������ − 1 2 4 1 1 ⇔ 2 + 4 = cos ������ cos ������ ⇔ 2 + 1 = cos ������ cos ������ 4 4 3 ⇔ 4 = cos ������ cos ������ Jadi, cos(������ − ������) = cos ������ cos ������ + sin ������ sin ������ 3 1 = 4 + 4 =1 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 181

Menggunakan rumus perkalian sinus kosinus. Contoh Soal: cos 10° Nilai dari cos 40° cos 50° adalah …. a. 3 b. 2 c. 1 1 d. 12 e. 4 Penyelesaian: Sudut yang digunakan pada soal bukan sudut istimewa. Pada soal terdapat perkalian antara COS dengan COS, maka berlaku konsep perkalian dua kosinus. Jadi, cos 10° cos 10° cos 40° cos 50° 2 cos 40° cos 50° = 1 × (munculkan bentuk 2 cos ������ cos ������ = cos(������ + ������) + cos(������ − ������)) 2 cos 10° 1 12) = 1 × (cos(40° + 50°) + cos(40° − 50°)) (dibagi 2 = dikali 2 cos 10° 2 = cos 90° + cos(−10°) × 1 (ingat relasi sudut negatif, cos(−������) = cos ������) = 2 cos 10° 0 + cos 10° 2 cos 10° = cos 10° =2 Halaman 182 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menggunakan rumus jumlah atau selisih sinus kosinus. Contoh Soal: Nilai dari cos 195° + cos 105° adalah …. 1 a. 2 √6 b. 1 √3 2 c. 1 √2 2 d. 0 e. − 1 √6 2 Penyelesaian: 1 1 2 2 Ingat cos ������ + cos ������ = 2 cos (������ + ������) cos (������ − ������) Jadi, 1 1 2 2 cos 195° + cos 105° = 2 cos (195° + 105°) cos (195° − 105°) = 2 cos 1 (300°) cos 1 (90°) 2 2 = 2 cos 150° cos 45° 1 (21 = 2 (− 2 √3) √2) = − 1 √6 2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 183

TRIK SUPERKILAT Memanipulasi rumus sin + cos atau sin – cos menggunakan relasi sudut antar kuadran. Contoh Soal: Nilai dari sin 75° + cos 75° adalah …. 1 a. 4 √6 b. 1 √2 2 c. 1 √3 2 d. 1 e. 1 √6 2 Penyelesaian: Ingat, nggak ada rumus jadi untuk sinus ditambah kosinus. Yang ada hanyalah sin + sin, sin − sin, cos + cos, dan cos − cos. Nah, supaya bisa menggunakan rumus jumlah selisih sinus kosinus, maka gunakan relasi sudut antar kuadran untuk mengubah sin + cos, menjadi sin + sin atau cos + cos. Ingat, sin(90° − ������) = cos ������ atau cos(90° − ������) = sin ������. Jadi, sin 75° + cos 75° = sin 75° + cos(90° − 15°) = sin 75° + sin 15° 1 1 2 = 2 sin 2 (75° + 15°) cos (75° − 15°) = 2 sin 1 (90°) cos 1 (60°) 2 2 = 2 sin 45° cos 30° = 2 (12 √2) (12 √3) 1 = 2 √6 Kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS terbarunya. Halaman 184 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Diketahui α  β  π dan sin α  sin β  1 dengan α dan β merupakan sudut lancip. Nilai cos(α  β)  .... 34 1 ���3���) A. 1 cos(������ − ������) = cos ������ cos ������ + sin ������ sin ������ (diketahui dari soal sin ������ ∙ sin ������ = 4 dan ������ − ������ = B. 3 ⇒ 1 = cos ������ cos ������ + 1 4 2 4 C. 1 1 ⇔ cos ������ cos ������ = 4 2 cos(������ + ������) = cos ������ cos ������ − sin ������ sin ������ D. 1 4 ⇒ cos(������ + ������) = 1 − 1 4 4 ⇔ cos(������ + ������) = 0 E. 0 2. Diketahui nilai sin α  cos β  1 dan sin (α  β)  3 untuk 0  α  180dan 0  β  90. 55 Nilai sin (α  β)  .... A. 3 sin(������ − ������) = sin ������ cos ������ − cos ������ sin ������ (diketahui dari soal sin ������ ∙ cos ������ = 1 dan sin(������ − ������) = 35) B. 5 5 3 1 2 ⇒ 5 = 5 − cos ������ sin ������ 5 ⇔ cos ������ sin ������ = − 2 5 C.  1 sin(������ + ������) = sin ������ cos ������ + cos ������ sin ������ 5 ⇒ sin(������ + ������) = 1 + (− 25) 1 5 1 D. 5 ⇔ sin(������ + ������) = − 5 E. 3 5 3. Diketahui sin α  3 dan cos  12 ( dan  sudut lancip) . Nilai sin (α  β)  .... 5 13 12 A. 56 5 sin ������ = 3 13 cos ������ = 13 65 ������ 5 3 4 ������ 5 ⇒ sin ������ = 5 B. 48 4 5 12 13 ⇒ cos ������ = 65 C. 36 65 sin(������ + ������) = sin ������ cos ������ + cos ������ sin ������ D. 20 ⇒ sin(������ + ������) = 3 ∙ 12 + 4 ∙ 5 E. 5 13 5 13 65 36 20 16 ⇔ sin(������ + ������) = 65 + 65 65 ⇔ sin(������ + ������) = 56 65 4. Jika A  B  π dan cos A cos B  5 , maka cos(A B)  .... 3 cos ���8��� cos ������ 5 ���3���) cos(������ + ������) = − sin ������ sin ������ (diketahui dari soal cos ������ cos ������ = 8 dan ������ + ������ = 1 A. 4 ⇒ 1 = 5 − sin ������ sin ������ 2 8 1 B. 1 ⇔ sin ������ sin ������ = 8 2 cos(������ − ������) = cos ������ cos ������ + sin ������ sin ������ C. 3 ⇒ cos(������ − ������) = 5 + 1 4 8 8 D. 1 6 3 ⇔ cos(������ − ������) = 8 = 4 E. 5 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 185

5. Nilai dari sin 75  sin165 adalah .... A. 1 2 sin ������ − sin ������ = 2 cos (������ + ������) sin (������ − ������) 4 2 2 ⇒ sin 75° − sin 165° = 2 cos (75° +2165°) sin (75° −2165°) B. 1 3 = 2 cos 120° sin(−45°) (ingat sin(−������) = − sin ������) 4 C. 1 6 = −2 cos 120° sin 45° 4 = −2 cos(180° − 60°) sin 45° (ingat cos(180° − ������) = − cos ������) D. 1 2 = −2 (−cos 60°) sin 45° 2 = 2 cos 60° sin 45 E. 1 6 1 1 2 = 2 ∙ 2 ∙ 2 √2 = 1 √2 2 Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Halaman 186 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

SKL 5. Memahami konsep limit, turunan dan integral dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, serta mampu menerapkannya dalam pemecahan masalah. 5. 1. Menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Limit Aljabar Bentuk Umum lim ������(������) ������→������ Limit ������ → ������ Limit ������ → ∞ “Jika ������(������) terdefinisi” “Jika ������(������) = ������������” “∞������ itu mendekati nol” lim ������(������) = ������(������) ������(������) diubah sehingga lim 1 = 0 ������→������ pembuat nilai 0 hilang. ������������ ������→∞ 0 Pemfaktoran Dikali Sekawan Akar Dibagi Variabel Pangkat Tertinggi lim ������(������) = lim (������ − ������)������(������) lim √2������ − 2 lim 3������2 − 2������ + 4 ������(������) (������ − ������)������(������) 2������ − 4 5������2 + 9������ − 3 ������→������ ������→������ ������→2 ������→∞ Sehingga hilanglah pembuat Bentuk limit tersebut memuat Nilai limit di atas adalah bentuk tak tentu ∞∞, 00, (������−������) bentuk akar yaitu √2������ − 2, yang bagilah semua suku pembilang dan penyebut nilai yaitu (������−������) dengan variabel pangkat tertinggi, yaitu ������2, bentuk sekawannya √2������ + 2. ⇒ lim ������(������) ⇒ lim √2������ − 2 × √2������ + 2 ⇒ ���l���i→m∞ 3������2 − 2������ + 4 ������(������) 2������ − 4 √2������ + 2 ������2 + ������2 − ������2 ������→������ ������→2 5������2 9������ 3 ������2 ������2 ������2 ⇒ ������(������) ⇒ lim (2������ (2������ − 4) + 4) ������(������) − 4)(√2������ ������→2 3 − 0 + 0 5 + 0 − 0 ⇒ lim ������→2 3 Sehingga hilanglah pembuat ⇒ 5 00, 2������−4 nilai yaitu 2������−4 Aturan L’Hôpital Dikali Sekawan Akar “Diturunkan” lim √2������2 + 3������ − 1 − √2������2 − ������ + 5 lim ������(������) = lim ������′(������) ������→∞ ������(������) ������′(������) ������→������ ������→������ Nilai limit adalah bentuk tak tentu ∞ − ∞, kalikan dengan bentuk sekawan akar. lim √2������2 + 3������ − 1 − √2������2 − ������ + 5 × √2������2 + 3������ − 1 + √2������2 − ������ + 5 ������→∞ √2������2 + 3������ − 1 + √2������2 − ������ + 5 Setelah itu lanjutkan dengan membagi variabel pangkat tertinggi. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 187

Limit Trigonometri Sinus dan Tangen Kosinus “Jahat” “Coret Sinta” “Hapus Kosinus” lim sin ������ = lim ������ = 1 lim cos ������ = lim 1 = 1 ������ sin cos ������→0 ������→0 ������ ������→0 ������→0 ������ lim tan ������ = lim ������ = 1 lim cos ������������ = lim 1 = 1 ������ tan cos ������������ ������→0 ������→0 ������ ������→0 ������→0 lim sin ������ = lim tan ������ = 1 tan ������ sin ������ ������→0 ������→0 lim sin ������ = lim tan ������ = 1 sin ������ tan ������ ������→0 ������→0 Kosinus “Baik” adalah Kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0. lim sin ������������ = lim ������������ = ������ ������������ sin ������������ ������ ������→0 ������→0 lim tan ������������ = lim ������������ = ������ ������������ tan ������������ ������ ������→0 ������→0 sin ������������ tan ������������ ������ Ingat lagi identitas trigonometri tan ������������ sin ������������ ������ 1 lim = lim = 1 − cos ������ = 2 sin2 2 ������ ������→0 ������→0 lim sin ������������ = lim tan ������������ = ������ 1 − cos2 ������ = sin2 ������ sin ������������ tan ������������ ������ ������→0 ������→0 Kosinus “Baik” “Ubah Kosinus” lim ������ − ������������������ ������ = lim 2 sin2 1 ������ = lim 2 ∙ sin 1 ������ ∙ sin 1 ������ ������2 ������2 2 2 2 ������→0 ������→0 ������→0 ������ ������ lim ������������������ ������ − ������ = lim −2 sin2 1 ������ = lim −2 ∙ sin 1 ������ ∙ sin 1 ������ ������2 ������2 2 2 2 ������→0 ������→0 ������→0 ������ ������ lim ������ − ������������������ ������������ = lim 2 sin2 1 ������������ = lim 2 ∙ sin 1 ������������ ∙ sin 1 ������������ ������2 2 2 2 ������→0 ������→0 ������2 ������→0 ������ ������ lim ������������������ ������������ − ������ = lim −2 sin2 1 ������������ = lim −2 ∙ sin 1 ������������ ∙ sin 1 ������������ ������2 ������2 2 2 2 ������→0 ������→0 ������→0 ������ ������ lim ������������������ ������������ − ������������������ ������������ = lim 2 sin2 1 ������������ − 2 sin2 1 ������������ = dst dst … ������2 2 ������2 2 ������→0 ������→0 lim ������ − ������������������������ ������ = lim sin2 ������ = lim sin ������ ∙ sin ������ ������2 ������2 ������ ������ ������→0 ������→0 ������→0 lim ������������������������ ������ − ������ = lim − sin2 ������ = lim − sin ������ ∙ sin ������ ������2 ������2 ������ ������ ������→0 ������→0 ������→0 lim ������ − ������������������������ ������������ = lim sin2 ������������ = lim sin ������������ ∙ sin ������������ ������2 ������2 ������ ������ ������→0 ������→0 ������→0 lim ������������������������ ������������ − ������ = lim − sin2 ������������ = lim − sin ������������ ∙ sin ������������ ������2 ������2 ������ ������ ������→0 ������→0 ������→0 lim ������������������������ ������������ − ������������������������ ������������ = lim sin2 ������������ − sin2 ������������ = dst dst … ������2 ������2 ������→0 ������→0 dst … dst … Halaman 188 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Limit. Secara umum proses mengerjakan soal limit adalah sebagai berikut: lim ������(������) ������→������ Substitusi ������ = ������ ke ������(������) Periksa Hasilnya? Bentuk tertentu Bentuk tak tentu (������������ 0 ������ (00 ∞ , ������ = 0, 0 = ∞) Ubah , ∞ , ∞ − ∞, … ) Selesai Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 189

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menggunakan Aturan L’Hopital (Turunan). Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang menghasilkan bentuk tak tentu 0 adalah dengan 0 menggunakan aturan L’Hopital, yaitu mencari turunan dari pembilang dan penyebut. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai. Contoh: lim 2������2 − 7������ + 6 = 0 4������ −8 0 ������→2 Sehingga, diturunkan lim 2������2 − 7������ + 6 = lim 4������ − 7 = 4(2) − 7 = 8 − 7 = 1 4������ −8 4 4 4 4 ������→2 ������→2 disubstitusikan diturunkan Halaman 190 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Asal Muasal TRIK SUPERKILAT Limit Aljabar Menggunakan Modifikasi Aturan L’Hopital (Turunan Modifikasi). Perhatikan misalkan kita hendak mencari penyelesaian dari: lim ���√��� ������(������) − ���√��� ������(������) = …. ℎ(������) ������→������ Bentuk limit tersebut menghasilkan suatu nilai tak tentu yaitu 00. Jadi kesimpulannya adalah: lim ���√��� ������(������) − ���√��� ������(������) = 0 ⇒ untuk ������ → ������ { ���√��� ������(������) − ���√��� ������(������) = 0 ⇒ ���√��� ������(������) = ���√��� ������(������) ℎ(������) 0 ℎ(������) = 0 ������→������ Maka, penyelesaiannya bisa menggunakan aturan L’Hopital, meskipun cukup panjang karena fungsi yang dilimitkan masih memuat bentuk akar. Sehingga dengan menggunakan aturan L’Hopital: lim ���√��� ������(������) − ���√��� ������(������) = lim ������ [���√��� ������(������) − ���√��� ������(������)] ℎ(������) ������������ ������→������ ������→������ ������ ������������ [ℎ(������)] (ingat ������ ( ���√��� ������(������)) = ������ 1 ������������ ������������ (������(������))������) (sehingga ������ (���√��� ������(������)) = 1 (������(������))���1���−1 ∙ ������ ′ (������) = ������ ′ (������) = ������( ������ ′(������) ) ������������ ������ ���√��� ������(������))������−1 ������ ∙ ������−1 (������(������)) ������ ������( ������ ′ (������) − ������( ������′(������) ���√��� ������(������))������−1 ���√��� ������(������))������−1 = lim ℎ′(������) ������→������ (ingat untuk ������ → ������ berlaku ���√��� ������(������) = ���√��� ������(������)) ������( ������ ′ (������) − ������( ������′(������) 1 ���√��� ������(������))������−1 ���√��� ������(������))������−1 ������(���√��� ������(������))������−1 = lim (keluarkan dari kedua ruas) ℎ′(������) ������→������ = ( 1 ) × (lim ������ ′(������) − ������′ (������)) ������( ���√��� ������(������))������−1 ℎ′(������) ������→������ Pangkat Akar Nilai Akar Pangkat Akar − 1 Aturan L’Hopital, tapi tanpa tanda akar Jadi, kesimpulannya jadilah sebuah TRIK SUPERKILAT, yang Pak Anang beri nama, TURUNAN MODIFIKASI. Mengapa? Karena prinsipnya sama dengan proses mencari nilai limit dengan menggunakan aturan L’Hopital, yakni dengan mencari turunan pembilang dan penyebut. Namun, TRIK SUPERKILAT tidak menggunakan tanda akar, dan hasilnya nanti harus dikalikan dengan “sesuatu”. Sesuatu itu adalah, pangkat×(nilai akar)pangkat-1 yang harus diletakkan terbalik dengan letak akar semula. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 191

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menggunakan Modifikasi Aturan L’Hopital (Turunan Modifikasi). Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang memuat bentuk akar dan menghasilkan bentuk tak tentu 0 0 adalah dengan menggunakan modifikasi aturan L’Hopital, yaitu memodifikasi cara mencari turunan dari pembilang atau penyebut bentuk akar. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai. Soal Limit ������ → ������ bentuk 0 yang memuat bentuk akar 0 Perhatikan tiga hal Buang Tanda Akar, Ganti dengan Kurung Pangkat Akar Nilai Akar Letak Akar Turunkan Pembilang Penyebut (Aturan L’Hopital) Keterangan TRIK SUPERKILAT: Kalikan dengan “Sesuatu” Selesai! Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan: pangkat×(nilai akar)pangkat-1 yang letaknya berkebalikan dengan letak akar. Misal soalnya adalah sebagai berikut: lim √3������ + 3 − √5������ − 1 = 0 ������2 − 4 0 ������→2 Maka tiga hal yang harus segera diperhatikan pada soal adalah: lim √3������ + 3 − √5������ − 1 = 0 ������2 − 4 0 Periksa akar pangkat berapa? ������→2 ⇒ ���√��� ⇒ akar pangkat \"������\" lim √3������ + 3 − √5������ − 1 = 0 ������2 − 4 0 Periksa nilai dari akar pada soal. ������→2 ⇒ √������������ + ������ = √������(������) + ������ = √������ = \"������\" Lihat letak akar! lim √3������ + 3 − √5������ − 1 = 0 Kalau di atas tulis di bawah. ������2 − 4 0 Kalau di bawah tulis di atas. ������→2 Apa yang ditulis? ⇒ akar berada di atas ⇒ tulis di bawah pangkat × (nilai akar)pangkat−1 ⇒ pangkat × ������ akar)pangkat−������ (nilai Halaman 192 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Nah sekarang praktek mengerjakan soalnya: Tentukan nilai dari: lim √3������ + 3 − √5������ − 1 = …. ������2 − 4 ������→2 Perhatikan soal! lim √3������ + 3 − √5������ − 1 Buang tanda akar! ������2 − 4 Ganti akar dengan tanda kurung ������→2 lim (3������ + 3) − (5������ − 1) ������2 − 4 ������→2 lim ������ [(3������ + 3) − (5������ − 1)] ������������ ������→2 ������ Gunakan aturan L’Hopital! ������������ [������2 − 4] Mencari turunan dari ������ − ������ −������ −������ −������ pembilang dan penyebut ������������ ������������ ������(������) ������ ⇒ ������������������ = ������������������ = = ������→������ ������→������ Masih ingat apa yang ditulis? −2 × 1 akar)pangkat-1 Pangkat = 2 4 pangkat×(nilai Nilai Akar = 3 ⇒ −������ × ������ ∙ ������ = −������ × ������ = − ������ Letak Akar = di atas ������ (������)������−������ ������ ������ ������������ Selesai…!!!! ∴ lim √3������ + 3 − √5������ − 1 = − 1 ������2 − 4 12 ������→2 Contoh Pengerjaan TRIK SUPERKILAT Modifikasi Aturan L’Hopital Versi Lebih Singkat: Tentukan nilai dari: lim √2������ +1 − √4������ − 3 = …. Keterangan TRIK SUPERKILAT: 5������ − 15 ������→2 Dikalikan “sesuatu” Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan: pangkat×(nilai akar)pangkat-1 Sehingga, Diturunkan tanpa tanda akar yang letaknya berkebalikan dengan letak akar. lim √2������ +1 − √4������ − 3 = lim 2 − 4 × 1 = −2 × 1 = − 1 = − 1 √5 5������ − 10 5 2√5 5 2√5 5√5 25 ������→2 ������→2 Diturunkan tanpa tanda akar Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 193

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Membagi Variabel Pangkat Tertinggi. Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan membagi variabel pangkat tertinggi adalah dengan membandingkan pangkat variabel pada pembilang dan penyebut. Selesai. Soal Limit ������ → ∞ bentuk ∞ ∞ Bentuk umum lim ������1������������ + ������2������������−1 + ������3������������−2 + … + ������������ ������1������������ + ������2������������−1 + ������3������������−2 + … + ������������ ������→∞ Bandingkan pangkat terbesar dari pembilang dan penyebut ������ < ������ ������ = ������ ������ > ������ Nilai limit = 0 Nilai limit = ������1 Nilai limit = ∞ ������1 LOGIKA PRAKTIS menghafalkan: Ingat, kecil ⇒ 0, besar ⇒ ∞ Kalau pangkat terbesar di bawah berarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL…. Kalau pangkat tertinggi di atas berarti tak hingga. Atas itu BEESAAAARRR…. Jika pangkat tertinggi ada di atas dan di bawah, maka lihat koefisiennya saja. Selesai! Misal soalnya adalah sebagai berikut: lim 5������3 + 2������ − 15 = …. Kalau pangkat terbesar di bawah berarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL…. 2������4 − 3������2 + 1 Jadi nilai limitnya sama dengan nol. ������→∞ Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di bawah….. Berarti KEEECIIIIILLLLL…. Sehingga nilai limitnya adalah 0 (nol). Perbandingan koefisien bertanda positif lim 2������3 + 5������2 + 7 = …. Kalau pangkat terbesar di atas berarti tak hingga. Atas itu BEEESAAARR…. 3������2 + 13������ + 5 Jadi nilai limitnya sama dengan positif tak hingga, perbandingannya positif.. ������→∞ Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di atas….. Berarti BEEESAAAARRRRRR…. Sehingga nilai limitnya adalah +∞ (positif tak terhingga). lim 4������3 + 5������ − 21 = …. Kalau pangkat terbesar di atas dan di bawah berarti nilai limitnya adalah hasil 3������3 + 7������2 − 4 pembagian koefisien yang memuat variabel pangkat tertinggi, yaitu 34. ������→∞ Apabila pangkat terbesar ada di atas dan di bawah, maka nilai limitnya adalah hasil pembagian koefisien variabel pangkat tertinggi tersebut. Halaman 194 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Mengalikan Bentuk Sekawan Akar. Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan mengalikan bentuk sekawan akar adalah membandingkan koefisien suku derajat dua dan suku derajat satu di dalam tanda akar. Selesai. Soal Limit ������ → ∞ bentuk ∞ − ∞ Bentuk umum lim √������������2 + ������������ + ������ − √������������2 + ������������ + ������ ������→∞ Bandingkan koefisien suku derajat dua di dalam tanda akar ������ < ������ ������ = ������ ������ > ������ Nilai limit = −∞ Nilai limit = ������−������ Nilai limit = +∞ 2√������ LOGIKA PRAKTIS menghafalkan: Ingat, akar tanda positif ⇒ +∞, akar tanda negatif ⇒ −∞ Kalau koefisien terbesar di akar bertanda positif. Maka nilai limit POSITIF TAK HINGGA…. Kalau koefisien terbesar di akar bertanda negatif. Maka nilai limit NEGATIF TAK HINGGA…. Jika koefisien tertinggi sama pada kedua bentuk akar, maka gunakan rumusnya. Selesai! Misal soalnya adalah sebagai berikut: lim √2������2 + 3������ − 4 − √������2 − 7������ − 1 = …. Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Maka nilai limit adalah POSITIF TAK HINGGAAAAAAA…. ������→∞ Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Sehingga nilai limitnya adalah +∞ (positif tak hingga). lim √������2 + 3������ − 4 − √2������2 − 7������ − 1 = …. Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda negatif. Maka nilai limit adalah NEGATIF TAK HINGGAAAAAAA…. ������→∞ Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Sehingga nilai limitnya adalah −∞ (negatif tak hingga). ������ lim √2������2 + 3������ − 4 − √2������2 − 7������ − 1 = …. Kalau koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar. Maka nilai limit adalah ���2���−√������������…. ������→∞ ������ − ������ Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar. ������−������ 3−(−7) 10 5 5 Sehingga nilai limitnya adalah 2√������ = 2√2 = 2√2 = √2 = 2 √2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 195

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Sinta Coret. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk sinus atau tangen dan menghasilkan 0 bentuk tak tentu 0 adalah dengan mencoret sinus dan tangen sehingga tinggal menyisakan sudutnya saja. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai. Soal Limit Fungsi Trigonometri ������ → 0 bentuk 0 0 Jika limit memuat bentuk sin atau tan, maka coret sin atau tan. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa. lim sin ������ = lim ������ = 1 lim sin ������������ = lim ������������ = ������ ������ sin ������������ sin ������������ ������ ������→0 ������→0 ������ ������→0 ������→0 lim tan ������ = lim ������ = 1 lim tan ������������ = lim ������������ = ������ ������ tan ������������ tan ������������ ������ ������→0 ������→0 ������ ������→0 ������→0 lim sin ������ = lim tan ������ = 1 lim sin ������������ = lim tan ������������ = ������ tan ������ sin ������ tan ������������ sin ������������ ������ ������→0 ������→0 ������→0 ������→0 lim sin ������ = lim tan ������ = 1 lim sin ������������ = lim tan ������������ = ������ sin ������ tan ������ sin ������������ tan ������������ ������ ������→0 ������→0 ������→0 ������→0 Contoh Soal lim ������ sin 2������ = 1 ∙ 2 = 2 5������ tan 3������ 3 ∙ 5 15 ������→0 Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! lim 5������ sin2 2������ = lim 5������ sin 2������ sin 2������ = 5 ∙ 2 ∙ 2 = 20 3������2 tan ������ 3 ������ ������ tan ������ 3 3 ������→0 ������→0 Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! lim 5������2 tan 3������ = lim sin 5������ ������ tan 3������ 2������ = 5 ∙ 5 ∙ 3 = 75 sin3 2������ 2������ sin 2������ sin 2 ∙ 2 ∙ 2 8 ������→0 ������→0 Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! lim sin 3������ + tan 6������ = lim 3������ + 6������ = lim 9������ = 9 4������ 4������ 4������ 4 ������→0 ������→0 ������→0 Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! lim ������(tan 5������2 sin 3������) = lim 5������2 = lim 5������2 = 5 7������ − ������(7������ − 3������) 4������2 4 ������→0 ������→0 ������→0 Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! Halaman 196 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Hapus Kosinus. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus “jahat” dan menghasilkan 0 bentuk tak tentu 0 adalah dengan menghapus fungsi kosinus yang bernilai 1. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai. Soal Limit Fungsi Trigonometri ������ → 0 bentuk 0 0 Jika limit memuat bentuk cos “jahat”, maka hapus cos. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa. lim cos ������ = lim 1 ������ = 1 cos ������→0 ������→0 lim cos ������������ = lim 1 = 1 cos ������������ ������→0 ������→0 Contoh Soal lim cos ������ = lim 1 = 1 = ∞ ������ ������ 0 ������→0 ������→0 Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! lim 3������ = lim 3������ = 0 cos 7������ ������→0 ������→0 Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! lim 2������ cos 5������ = lim 3 2������ ������ = lim 2 = 2 3 sin ������ sin 3 3 ������→0 ������→0 ������→0 Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! lim sin 3������ + ������ cos 2������ = lim 3������ + ������ lim 4������ = lim 4 = 4 tan 5������ cos 7������ 5������ 5������ 5 5 ������→0 ������→0 ������→0 ������→0 Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! lim 2������2 cos ������ = lim 2������ ������ = lim 2 = 2 ������ sin 3������ ������ 3������ 3 3 ������→0 ������→0 ������→0 Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! lim 3������ cos 2������ = lim 3������ = lim 3 = 3 ������ cos2 5������ ������ 1 ������→0 ������→0 ������→0 Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 197

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Ubah Kosinus. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus “baik” dan menghasilkan 0 bentuk tak tentu 0 adalah dengan mengubah fungsi kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0 dengan menggunakan sifat identitas trigonometri. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai. Soal Limit Fungsi Trigonometri ������ → 0 bentuk 0 0 Jika limit memuat bentuk cos “baik”, maka ubah cos. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa. lim ������ − ������������������ ������������ = ������ ������������ ������������ = 1 ������2 ������2 lim ������ ������2 2 ������→0 ������→0 lim ������������������ ������������ − ������ = lim − ������ ������������ ������������ = − 1 ������2 ������2 ������ ������2 2 ������→0 ������→0 lim ������������������ ������������ − ������������������ ������������ = ������ ������������ ������������ − ������ ������������ ������������ = 1 (������2 − ������2) ������2 lim ������ ������ 2 ������→0 ������2 ������→0 lim ������ − ������������������������ ������������ = lim ������������ ������������ = ������2 ������2 ������2 ������→0 ������→0 lim ������������������������ ������������ − ������ = lim − ������������ ������������ = − ������2 ������2 ������2 ������→0 ������→0 lim ������������������������ ������������ − ������������������������ ������������ = lim ������������ ������������ − ������������ ������������ = (������2 − ������2) ������2 ������2 ������→0 ������→0 Contoh Soal lim ������ − ������������������ ������������ = lim ������ ������������ ������������ = lim 2 = 2 3������2 ������ 3 ������ ������ 3 3 ������→0 ������→0 ������→0 Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! lim ������ − ������������������������ ������������ = lim ������������ ������������ = lim 2 ∙ 2 = lim 4 = 4 3������2 3 ������ ������ 3 3 3 ������→0 ������→0 ������→0 ������→0 Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_23.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Limit Fungsi Aljabar dan Limit Fungsi Trigonometri ini…. Halaman 198 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Nilai lim 5x  .... TRIK SUPERKILAT: x0 3  9  x A. −30 lim 5������ = lim 5������ × 3 + √9 + ������ lim 5������ = 5 ∙ 2 ∙3 = −30 ������→0 3 − √9 + ������ −1 1 B. −27 ������→0 3 − √9 + ������ ������→0 3 − √9 + ������ 3 + √9 + ������ C. 15 D. 30 = lim 5������ ∙ (3 + √9 + ������) 9− (9 + ������) ������→0 E. 36 = lim 5������ ∙ (3 + √9 + ������) −������ ������→0 = lim −5 ∙ (3 + √9 + ������) ������→0 = −5 ∙ (3 + √9) = −5 ∙ 6 = −30 2. Nilai lim 1  x  .... TRIK SUPERKILAT: x1 2  x3 1 − ������ = lim 1 − ������ × 2 + √������ + 3 lim 1 − ������ = −1 ∙ 2 ∙2 =4 A. 8 lim ������→1 2 − √������ + 3 −1 1 ������→1 2 − √������ + 3 ������→1 2 − √������ + 3 2 + √������ + 3 B. 4 = lim (1 − ������) ∙ (2 + √������ + 3) C. 0 4 − (������ + 3) D. −4 ������→1 E. −8 = lim (1 − ������) ∙ (2 + √������ + 3) (1 − ������) ������→1 = lim(2 + √������ + 3) ������→1 = 2 + √1 + 3 = 2 + √4 =2+2 =4 3. Nilai lim 2 x 1  ..li.m. 2 − √������ + 1 = lim 2 − √������ + 1 × 2 + √������ +1 TRIK SUPERKILAT: x3 ������→1 ������ − 3 ������ − 3 2 + √������ +1 x3 ������→3 2 − √������ + 1 −1 1 1 1 ������ − 3 1 2∙ 4 A. = lim (������ − 4 − (������ + 1) + 1) lim = ∙ 2 = − 3) ∙ (2 + √������ ������→3 ������→3 4 = lim (������ − (3 − ������) + 1) B.  1 3) ∙ (2 + √������ ������→3 2 = lim −1 C. 1 ������→3 (2 + √������ + 1) D. 2 = 2 −1 + √4 1 E. 4 = − 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 199


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook