Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2014 (Full Version - Free Edition)

SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2014 (Full Version - Free Edition)

Published by laris.online, 2021-02-16 01:00:02

Description: SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2014 (Full Version - Free Edition)

Search

Read the Text Version

4. Nilai lim 1  cos2x  ...���l.���i→m0 1 − cos 2������ = lim 1 − (1 − 2 sin2 ������) TRIK SUPERKILAT: x0 x tan 2x ������ tan 2������ = ������ tan 2������ A. −2 = ������→0 1 − cos 2������ 1 ∙ 2 ∙ 2 B. −1 ������ tan 2������ 2 lim 2 sin2 ������ lim = 1∙2 = 1 C. 0 ������ tan 2������ ������→0 ������→0 lim 2 sin ������ sin ������ ∙ ������ ∙ 2������ ������ tan 2������ ������ 2������ D. 1 ������→0 sin ������ sin ������ 2������ ������ E. 2 ������ ������ tan 2������ 2������ = lim 2 ∙ ∙ ∙ ∙ ������→0 1 2 = 2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ = 1 5. Nilai lim cos4x 1  ...���l.���i→m0 cos 4������ −1 = lim (1 − 2 sin2 2������) − 1 TRIK SUPERKILAT: ������ tan 2������ = x0 x tan 2x = ������→0 ������ tan 2������ cos 4������ −1 − 1 ∙ 4 ∙ 4 4 = −2 sin2 2������ lim ������ tan 2������ = 2 A. lim B. 2 ������ tan 2������ ������→0 1∙2 C. −1 ������→0 = −4 D. −2 −2 sin 2������ sin 2������ ∙ 2������ ∙ 2������ E. −4 lim ������ tan 2������ 2������ 2������ sin 2������ sin 2������ 2������ 2������ ������→0 −2 ∙ 2������ ∙ 2������ ∙ tan 2������ ∙ ������ lim ������→0 = −2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 2 = −4 Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Halaman 200 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

5. 2. Menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi. Simbol Turunan Fungsi Definisi ������ ′(������) = ������′ = ������������ = ������ (������(������)) ������������ ������������ ������ ′(������) = lim ������(������ + ℎ) − ������(������) ℎ ℎ→0 dengan catatan limit ini ada Turunan Fungsi Aljabar Turunan Fungsi Trigonometri ������(������) = ������ → ������′(������) = 0 ������������������ ������ ������(������) = ������������������ → ������′(������) = ������. ������������������−1 ������������������ ������ − ������������������ ������ Sifat: ������′(������) = ������������′ − ������������������ ������ ������(������) = ������������ → ������(������) = ������ ± ������ → ������′(������) = ������′ ± ������′ ������(������) = tan ������ → ������′(������) = sec2 ������ ������(������) = ������ ∙ ������ → ������′(������) = ������′������ + ������������′ ������(������) = cot ������ → ������′(������) = − csc2 ������ ������(������) = sec ������ → ������′(������) = sec ������ tan ������ ������(������) = ������ → ������ ′ (������) = ������′������−������������′ ������(������) = csc ������ → ������′(������) = − csc ������ cot ������ ������ ������2 ������(������) = ������(������) → ������′(������) = ������′(������) ∙ ������′ Aplikasi Turunan Fungsi Gradien Garis Singgung Persamaan Garis Singgung Kurva ������ = ������(������) di titik ������ = ������ di titik (������1, ������1) ������ = ������′(������) ������ − ������1 = ������(������ − ������1) Gradien garis singgung digunakan untuk melihat naik atau turunnya sebuah grafik fungsi. Grafik Fungsi ������ Grafik Fungsi ������ Grafik Fungsi ������ Naik Tidak Naik dan Tidak Turun Turun ������′(������) > 0 ������′(������) = 0 ������′(������) < 0 Titik dimana grafik fungsi ������ tidak naik atau tidak turun disebut titik stasioner. Titik Maksimum Titik Belok Titik Minimum “naik – stasioner – turun” “naik – stasioner – naik” “turun – stasioner – naik” atau “turun – stasioner – turun” Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 201

LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Aljabar. Secara umum turunan fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: ������(������) = ������������������ → ������′(������) = ������ ∙ ������������������−������ ������ ∙ ������������������ ������ ∙ ������������������−������ Proses mencari turunan fungsi ������������������: 1. Kalikan pangkatnya dengan fungsi! 2. Kurangi satu pangkatnya! 3. Selesai! Halaman 202 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: ������������������ ������ Cara membacanya: ������′ = cos ������ ������������������ ������ ������ = sin ������ → ������′ = −sin ������ − ������������������ ������ ������ = cos ������ → ������′ = −cos ������ − ������������������ ������ ������ = −sin ������ → ������′ = sin ������ ������ = −cos ������ → Jadi turunannya sinus adalah kosinus. Turunannya kosinus adalah negatif sinus. KONSEP DASAR Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain diperoleh dengan menggunakan sifat turunan fungsi pembagian: ������ ������′������ − ������������′ ������ = ������ → ������′ = ������ 2 Contohnya bagaimana turunan dari fungsi tan ������? ⇒ ������ = tan ������ = sin ������ → ������ = sin ������ ⇒ ������′ = cos ������ cos ������ ������ = cos ������ ⇒ ������′ = − sin ������ ⇒ ������′ = ������′������ − ������������′ = cos ������ cos ������ − sin ������ (− sin ������) = cos2 ������ + sin2 ������ = 1 = sec2 ������ ������ 2 cos2 ������ cos2 ������ cos2 ������ Jadi, ������ = tan ������ → ������′ = sec2 ������. Silahkan temukan sendiri turunan fungsi cot ������ , sec ������ , dan csc ������ menggunakan aturan dan sifat tersebut!!! LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafalkan Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. ������ = ������������������ ������ }⇒ turunan dari fungsi yang berawalan huruf c selalu negatif ������ = ������������������ ������ fungsi berawalan huruf c hanya kumpul dengan yang berawalan c juga ������ = ������������������ ������ ������������������ ������ dan ������������������ ������ turunannya kembar ������ = ������������������ ������ ⇓ tan ������ cot ������ Cara membacanya: ������ = tan ������ → ������′ = sec2 ������ sec ������ csc ������ ������ = cot ������ → ������′ = − csc2 ������ □������ □������ ������ = sec ������ → ������′ = sec ������ tan ������ ������ = csc ������ → ������′ = − csc ������ cot ������ Tips membaca LOGIKA PRAKTIS: Turunannya tan ������ adalah sec2 ������. Turunannya sec ������ adalah sec ������ tan ������ Turunannya cot ������ adalah – csc2 ������. Turunannya csc ������ adalah − csc ������ cot ������ □������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 203

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Persamaan Garis Singgung Kurva). Kurva ������(������) Tentukan turunan ������(������) yaitu ������′(������) Persamaan Garis Lurus melewati titik (������1, ������1) Gradien Garis Singgung Kurva di ������ = ������ adalah dengan gradien ������ ������ = ������′(������) adalah: ������ − ������1 = ������(������ − ������1) Gradien Garis Singgung Kurva ������(������) di titik (������1, ������1) dengan gradien ������ adalah: (������ − ������1) = ������(������ − ������1) Contoh Soal: Diketahui ℎ adalah garis singgung kurva ������ = ������3 − 4������2 + 2������ − 3 pada titik (1, −4). Titik potong garis ℎ dengan sumbu X adalah …. a. (−3,0) b. (−2,0) c. (−1,0) 1 d. (− 2 , 0) e. (− 1 , 0) 3 Pembahasan: Diketahui kurva ������(������) yaitu: ������(������) = ������3 − 4������2 + 2������ − 3 ⇒ ������′(������) = 3������2 − 8������ + 2 Gradien garis singgung kurva di ������ = 1 adalah: ������ = ������′(������) ⇒ ������ = ������′(1) = 3(1)2 − 8(1) + 2 =3−8+2 = −3 Persamaan garis singgung kurva di titik (1, −4) dengan gradien ������ = −3 adalah: ������ − ������1 = ������(������ − ������1) ⇒ ������ − (−4) = −3(������ − 1) ⇔ ������ + 4 = −3������ + 3 ⇔ ������ = −3������ + 3 − 4 ⇔ ������ = −3������ − 1 Jadi garis ℎ adalah ������ = −3������ − 1. Titik potong garis ℎ terhadap sumbu X terjadi saat ������ = 0, sehingga: ������ = 0 ⇒ 0 = −3������ − 1 ⇔ 3������ = −1 1 ⇔ ������ = − 3 Jadi, titik potong garis ℎ terhadap sumbu X adalah (− 1 , 0). 3 Halaman 204 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi. Hubungan antara Jarak (������), Kecepatan (������), dan Percepatan (������). *) Jika ada soal tentang hubungan antara jarak, kecepatan, dan percepatan pada gerak maka konsep berikut bisa membantu kita dalam mengerjakan soal tersebut: ������ turun Turun artinya turunan fungsi. ������ ������ turun Sehingga cara membacanya seperti ini: Fungsi ������ adalah turunan dari fungsi ������. atau dinotasikan ������ = ������������ = ������′(������) ������������ ������������ ������′(������) Fungsi ������ adalah turunan dari fungsi ������. atau dinotasikan ������ = ������������ = *) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Fisika SMA 2013 SKL 2.1 Kinematika Gerak (http://pak-anang.blogspot.com/2012/12/smart-solution-un-fisika-sma-2013-skl.html) Contoh Soal 1: Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi ℎ meter setelah ������ detik dirumuskan dengan ℎ(������) = 120������ − 5������2, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah …. meter. a. 270 b. 320 c. 670 d. 720 e. 770 Pembahasan: Fungsi yang menyatakan ketinggian peluru adalah ℎ(������). Fungsi yang menyatakan kecepatan peluru adalah ������(������). Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah: ������ ������ ������(������) = ������������ (ℎ(������)) ⇒ ������(������) = ������������ (120������ − 5������2) ∴ ������(������) = 120 − 10������ Suatu peluru dikatakan telah berada di titik tertinggi apabila kecepatannya sama dengan nol. ������(������) = 0 ⇒ 120 − 10������ = 0 ⇔ −10������ = −120 −120 ⇔ ������ = −10 ∴ ������ = 12 s Sehingga tinggi maksimum akan dicapai saat ������ = 12 s, yaitu ℎ(������) = 120������ − 5������2 ⇒ ℎ(2) = 120(12) − 5(12)2 = 1440 − 720 = 720 m Jadi tinggi maksimum peluru adalah 720 m. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 205

Contoh Soal 2: Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu ������ diberikan oleh fungsi ������(������) = 1 ������4 − 3 ������3 − 6������2 + 5������. 4 2 Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat ������ = …. detik a. 6 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1 Pembahasan: Fungsi yang menyatakan jarak tempuh mobil adalah ������(������). Fungsi yang menyatakan kecepatan mobil adalah ������(������). Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah: ������ ������ (14 3 ������(������) = ������������ (������(������)) ⇒ ������(������) = ������������ ������4 − 2 ������3 − 6������2 + 5������) ∴ ������(������) = ������3 − 9 ������2 − 12������ + 5 2 Kecepatan maksimum akan tercapai jika sudah tidak ada lagi percepatan (������(������) = 0). ������ ������ 9 ������(������) = ������������ (������(������)) ⇒ ������(������) = ������������ (������3 − 2 ������2 − 12������ + 5) Sehingga, ∴ ������(������) = 3������2 − 9������ − 12 ������(������) = 0 ⇒ 3������2 − 9������ − 12 = 0 (������������������������������������ 3) ⇔ ������2 − 3������ − 4 = 0 ⇔ (������ + 1)(������ − 4) = 0 pembuat nol ⇒ ������ + 1 = 0 atau ������ − 4 = 0 ⇔ ������ = −1  atau   ������ = 4 TM Karena waktu tidak mungkin negatif, maka untuk ������ = −1 adalah TM (tidak memenuhi). Jadi, kecepatan maksimum mobil akan dicapai saat ������ = 4 detik. Halaman 206 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Fungsi Naik dan Fungsi Turun). Kurva ������(������) Tentukan turunan ������(������) yaitu ������′(������) Periksa nilai ������′(������) pada interval [������, ������] ������′(������) > 0 ⇒ Fungsi ������ naik ������′(������) < 0 ⇒ Fungsi ������ turun “Fungsi Naik” “Fungsi Turun” + ������′(������) − ������′(������) ������ ������ ������ ������ Contoh Soal: Grafik dari ������(������) = 2 ������3 − ������2 − 12������ + 20 naik untuk interval …. 3 a. 3 < ������ < −2 b. −2 < ������ < 3 c. ������ < −2 atau ������ > 3 d. ������ < 2 atau ������ > −3 e. ������ < −3 atau ������ > −2 Pembahasan: Naik atau turunnya grafik fungsi ������(������) dapat dilihat dari nilai ������′(������). 2 ������(������) = 3 ������3 − ������2 − 12������ + 20 ⇒ ������ ′(������) = 2������ − 2������ − 12 Fungsi ������(������) naik apabila ������′(������) > 0. Sehingga, ������′(������) = 0 ⇒ 2������ − 2������ − 12 > 0 (������������������������������������ 2) ⇔ ������2 − ������ − 6 > 0 ⇔ (������ + 2)(������ − 3) > 0 pembuat nol ⇒ ������ + 2 = 0 atau ������ − 3 = 0 ⇔ ������ = −2  atau   ������ = 3 Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan: +− + −2 3 Jadi grafik fungsi ������(������) akan naik dalam interval ������ < −2 atau ������ > 3. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 207

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Titik Stasioner). Kurva ������(������) Tentukan turunan ������(������) yaitu ������′(������) Periksa nilai ������′(������) pada ������ = ������ ������′(������) ≠ 0 ⇒ Fungsi ������ naik atau turun ������′(������) = 0 ⇒ Fungsi ������ stasioner Menentukan jenis titik stasioner grafik fungsi ������(������) Metode grafis Metode analitis (Uji turunan pertama) (Uji turunan kedua) titik titik maksimum minimum +− + ������′(������) ������′′(������) < 0 ������′′(������) = 0 ������′′(������) > 0 ������ ������ Titik Maksimum Titik Belok Titik Minimum stasioner naik turun naik stasioner titik belok TIPS Mengingat Titik Maksimum Minimum: −−+ + ������′(������) Perhatikan Grafik Fungsi ������������������ sin ������ ������ ������ ������ ������(������) = sin ������, 0° ≤ ������ ≤ 360° 360° turun naik TIPS Mengingat Titik Belok: ������������������ cos ������ stasioner stasioner Perhatikan Grafik Fungsi 360° ������(������) = cos ������, 0° ≤ ������ ≤ 360° ������������������������������ turun naik stasioner Halaman 208 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Masalah Maksimum Minimum). Nilai maksimum atau minimum fungsi ������(������) pada interval ������ ≤ ������ ≤ ������ Tentukan nilai ������(������) pada ujung interval Tentukan nilai stasioner ������(������) ������(������) dan ������(������) (Jika ada) Pilih nilai terbesar  nilai maksimum Pilih nilai terkecil  nilai minimum Contoh Soal: Nilai maksimum dari fungsi ������(������) = 1 ������3 − 3 ������2 + 2������ + 9 pada interval −≤ ������ ≤ 3 adalah …. 3 2 a. 9 2 3 5 b. 9 6 c. 10 d. 10 1 2 2 e. 10 3 Pembahasan: Nilai ������(������) pada ujung interval 0 ≤ ������ ≤ 3. 1 3 ������ = 0 ⇒ ������(0) = 3 (0)3 − 2 (0)2 + 2(0) + 9 = 9 ������ = 3 ⇒ ������(0) = 1 (3)3 − 3 (3)2 + 2(3) + 9 = 9 3 2 Fungsi ������(������) stasioner saat ������′(������) = 0. 1 3 ������(������) = 3 ������3 − 2 ������2 + 2������ + 9 ⇒ ������ ′ (������) = ������2 − 3������ + 2 ������′(������) = 0 ⇒ ������2 − 3������ + 2 = 0 ⇔ (������ − 1)(������ − 2) = 0 ⇔ ������ − 1 = 0 atau ������ − 2 = 0 ⇔ ������ = 1 atau ������ = 2 + − + ������′(������) 12 Sehingga, dari sketsa kurva ������(������) pada interval 0 ≤ ������ ≤ 3 terlihat bahwa: ������(������) maksimum di titik ������ = 1 atau mungkin maksimum di ������ = 3 dan ������(������) minimum di ������ = 2. Periksa dulu apakah ������(������) maksimum di ������ = 1 atau di ������ = 3 dengan membandingkan nilai ������(������) pada kedua titik tersebut. 1 3 5 13 32 6 ������ = 1 ⇒ ������(0) = 3 (1)3 − 2 (1)2 + 2(1) + 9 = 9 ������ = 3 ⇒ ������(0) = (3)3 − (3)2 + 2(3) + 9 = 9 Jadi nilai maksimum ������(������) adalah 9 56. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 209

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Penerapan Maksimum Minimum). Y Agar luas daerah arsir maksimum, maka: ������ (12 1 Koordinat titik ������ = (21 ������, 1 ������) 2 2 ������ ������, ������) 1 Luas maksimum ������ = 4 ������������ X ������ Y ������������ + ������������ = ������ Agar luas daerah arsir maksimum, maka: ������ (21 ������ 1 ������������) Koordinat titik ������ = (21 ������ , 1 ������������) ������ 2 ������ 2 ������ ������ , ������ X Luas maksimum ������ = 1 ������ 2 4 ������������ ������ Luas persegi panjang akan maksimum jika bentuknya persegi. ������ = ������ ℓ ������ = ������ } ������ = ������ × ℓ = ������ × ������ = ������2 ������ Untuk penerapan maksimum minimum pada soal cerita, penyelesaiannya adalah sesuai alur berikut: Perhatikan apa yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan Ubah persamaan menjadi satu variabel saja, menggunakan substitusi / eliminasi Periksa keadaan stasioner fungsi Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Turunan Fungsi ini…. Halaman 210 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh Soal: Perhatikan gambar di samping! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum apabila koordinat M adalah …. Y a. (2, 5) 6 b. (3, 4) ������ c. (3, 5) d. (4, 3) 8X e. (5, 3) Pembahasan: Persamaan garis lurus yang melewati titik (8, 0) dan (0, 6) adalah: 6������ + 8������ = 48 Misal koordinat ������ adalah (������, ������). Jadi persegi panjang tersebut memiliki ukuran panjang ������ dan lebar ������. Panjang = ������ Lebar = ������, dari persamaan 6������ + 8������ = 48 ⇒ 8������ = 48 − 6������ ⇔ ������ = 48−6������ 8 3 ⇔ ������ = 6 − 4 ������ Jadi luas persegi panjang adalah: ������ = ������ × ℓ = ������ (6 − 3 ������) 4 3 = 6������ − 4 ������2 ������ = 6������ − 3 ������2 ⇒ ������′ = 6 − 3 ������ 4 2 Luas persegi panjang akan maksimum jika ������′ = 0 3 ������′ = 0 ⇒ 6 − 2 ������ =0 ⇔ − 3 ������ = −6 2 −6 ⇔ ������ = −23 ⇔ ������ = −6 × (− 32) ⇔ ������ = 4 Substitusikan ������ = 4 ke ������ = 6− 3 ������ diperoleh: =3 4 3 ������ = 6 − 4 (4) = 6 − 3 Jadi, luas persegi panjang diarsir akan maksimum jika koordinat ������ = (4, 3) Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Y Agar luas daerah arsir maksimum, maka: ������ (12 1 Koordinat titik ������ = (12 ������, 1 ������) 2 2 ������ ������, ������) 1 Luas maksimum ������ = 4 ������������ ������ X Karena ������ = 8 dan ������ = 6, dan supaya luas daerah arsir maksimum maka koordinat ������ = (4, 3). Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 211

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya (4x2  8x  24) dalam ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah .... ������(������) = 40������ − (4������2 − 8������ + 24)������ = −4������3 + 8������2 + 16������ A. Rp16.000,00 ������(������)akan maksimum untuk ������ yang memenuhi ������′(������) = 0 Karena ������ mewakili jumlah barang, B. Rp32.000,00 ⇒ ������′(������) = 0 tidak mungkin negatif sehingga yang memenuhi hanya ������ = 2 C. Rp48.000,00 ⇔ −12������2 + 16������ + 16 = 0 (dibagi − 4) Substitusikan ������ = 2 ke ������(������), D. Rp52.000,00 ⇔ 3������2 − 4������ − 4 = 0 diperoleh: E. Rp64.000,00 ⇔ (3������ + 2)(������ − 2) = 0 ������(������) = −4(2)3 + 8(2)2 + 16(2) 2 ⇔ ������ = − 3 atau ������ = 2 = −32 + 32 + 32 = 32  2. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya 5x2 10 x  30 dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah .... ������(������) = 50������ − (5������2 − 10������ + 30)������ = −5������3 + 10������2 + 20������ A. Rp10.000,00 ������(������)akan maksimum untuk ������ yang memenuhi ������′(������) = 0 Karena ������ mewakili jumlah barang, B. Rp20.000,00 ⇒ ������′(������) = 0 tidak mungkin negatif sehingga yang memenuhi hanya ������ = 2 C. Rp30.000,00 ⇔ −15������2 + 20������ + 20 = 0 (dibagi − 5) Substitusikan ������ = 2 ke ������(������), D. Rp40.000,00 ⇔ 3������2 − 4������ − 4 = 0 diperoleh: E. Rp50.000,00 ⇔ (3������ + 2)(������ − 2) = 0 ������(������) = −5(2)3 + 10(2)2 + 20(2) 2 ⇔ ������ = − 3 atau ������ = 2 = −40 + 40 + 40 = Rp40 Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Halaman 212 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pengayaan Konsep Dasar Integral Trigonometri Integral Trigonometri Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������ ������ ⅆ������ atau ∫ ������������������ ������ ⅆ������ Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������ ������ ⅆ������ atau ∫ ������������������ ������ ⅆ������ Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������������ ������ ⅆ������ atau ∫ ������������������������ ������ ⅆ������ Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������������ ������ ⅆ������ atau ∫ ������������������������ ������ ⅆ������ Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������������ ������ ������������������������ ������ ⅆ������? Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������������ ������ ������������������������ ������ ⅆ������ Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������������ ������ ������������������������ ������ ⅆ������? Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri? Bagaimana Pola Penyelesaian Integral menggunakan Rumus Reduksi? Dan masih banyak yang lainnya…. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 243

Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������ ������ ⅆ������ atau ∫ ������������������ ������ ⅆ������ Untuk bentuk ∫ tan ������ ⅆ������ dan ∫ cot ������ ⅆ������, maka ubah bentuk tan ������ dan cot ������ menggunakan identitas trigonometri perbandingan. tan ������ = sin ������ cos ������ cot ������ = cos ������ sin ������ Ternyata sudah menjadi sebuah bentuk integral substitusi berikut: ∫ sin ������ ⅆ������ cos������ ������ ∫ cos ������ ⅆ������ sin������ ������ Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut: ∫ 1 ⅆ������ = ln|������| + ������ ������ Serta ingat juga sifat logaritma (ln ������ = ������ log ������ = logaritma natural) berikut: ln 1 = − ln ������ ������ Contoh Soal 1: ∫ tan ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: sin ������ cos ������ ∫ tan ������ ⅆ������ = ∫ ⅆ������ = ∫ sin ������ ⅆ(cos ������) cos ������ − sin ������ 1 = − ∫ cos ������ ⅆ(cos ������) = − ln|cos ������| + ������= − ln |se1c ������| + ������ = ln|sec ������| + ������ Contoh Soal 2: ∫ tan 3������ ⅆ������ = …. Pembahasan: sin 3������ cos 3������ ∫ tan 3������ ⅆ������ = ∫ ⅆ������ = ∫ sin 3������ ⅆ(cos 3������) cos 3������ −3 sin 3������ 1 1 = − 3 ∫ cos 3������ ⅆ(cos 3������) = − 1 ln|cos 3������| + ������= − 1 ln |sec13������| + ������ = 1 ln|sec 3������| + ������ 3 3 3 Halaman 244 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh Soal 3: ∫ cot ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: cos ������ sin ������ ∫ cot ������ ⅆ������ = ∫ ⅆ������ = ∫ cos ������ ⅆ(sin ������) sin ������ cos ������ 1 = ∫ sin ������ ⅆ(sin ������) = ln|sin ������| + ������ Contoh Soal 4: ∫ cot 5������ ⅆ������ = …. Pembahasan: cot 5������ sin 5������ ∫ cot 5������ ⅆ������ = ∫ ⅆ������ = ∫ cos 5������ ⅆ(sin 5������) sin 5������ 5 sin 5������ 1 1 = 5 ∫ cos 5������ ⅆ(cos 5������) = 1 ln|sin 5������| + ������ 5 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 245

Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������ ������ ⅆ������ atau ∫ ������������������ ������ ⅆ������ Untuk bentuk ∫ sec ������ ⅆ������ dan ∫ csc ������ ⅆ������, maka ubah bentuk sec ������ dan csc ������ menggunakan identitas trigonometri perbandingan. sec ������ = 1 cos ������ csc ������ = 1 ������ sin Lalu kita upayakan supaya menjadi bentuk integral substitusi berikut: ∫ sec2 ������ + sec ������ tan ������ ⅆ������ sec ������ + tan ������ Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut: ∫ 1 ⅆ������ = ln|������| + ������ ������ Contoh Soal 1: ∫ sec ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: (sseecc ������ + tan ������������) ������ + tan ∫ sec ������ ⅆ������ = ∫ sec ������ × ⅆ������ = ∫ sec2 ������ + sec ������ tan ������ ⅆ������ sec ������ + tan ������ sec2 ������ = ∫ sec + sec ������ tan ������ ⅆ(sec ������ + tan ������) ������ + tan ������ sec ������ tan ������ + sec2 ������ 1 = ∫ sec ������ + tan ������ ⅆ(sec ������ + tan ������) = ln|sec ������ + tan ������| + ������ Contoh Soal 2: ∫ sec 2������ ⅆ������ = …. Pembahasan: (sseecc 2������ + tan 22������������) 2������ + tan ∫ sec 2������ ⅆ������ = ∫ sec 2������ × ⅆ������ = ∫ sec2 2������ + sec 2������ tan 2������ ⅆ������ sec 2������ + tan 2������ sec2 2������ = ∫ sec + sec 2������ tan 2������ ⅆ(sec 2������ + tan 2������) 2������ + tan 2������ 2 sec 2������ tan 2������ + 2 sec2 2������ sec2 2������ = ∫ sec + sec 2������ tan 2������ ⅆ(sec 2������ + tan 2������) 2������ + tan 2������ 2(sec 2������ tan 2������ + sec2 2������) 1 1 = 2 ∫ sec 2������ + tan 2������ ⅆ(sec 2������ + tan 2������) = 1 ln|sec 2������ + tan 2������| + ������ 2 Halaman 246 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh Soal 3: ∫ csc ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: (ccsscc ������ − cot ������������) ������ − cot ∫ csc ������ ⅆ������ = ∫ csc ������ × ⅆ������ = ∫ csc2 ������ − csc ������ cot ������ ⅆ������ csc ������ − cot ������ csc2 ������ − = ∫ csc ������ csc ������ cot ������ ⅆ(csc ������ − cot ������) − cot ������ − csc ������ cot ������ + csc2 ������ csc2 ������ − = ∫ csc ������ csc ������ cot ������ ⅆ(csc ������ − cot ������) − cot ������ csc2 ������ − csc ������ cot ������ 1 = − ∫ csc ������ − cot ������ ⅆ(csc ������ − cot ������) = ln|csc ������ − cot ������| + ������ Contoh Soal 4: ∫ csc 4������ ⅆ������ = …. Pembahasan: (ccsscc 4������ − cot 44������������) 4������ − cot ∫ csc 4������ ⅆ������ = ∫ csc 4������ × ⅆ������ = ∫ csc2 4������ − csc 4������ cot 4������ ⅆ������ csc 4������ − cot 4������ csc2 4������ − = ∫ csc 4������ csc 4������ cot 4������ ⅆ(csc 4������ − cot 4������) − cot 4������ −4 csc 4������ cot 4������ + 4 csc2 4������ csc2 4������ − = ∫ csc 4������ csc 4������ cot 4������ ⅆ(csc 4������ + cot 4������) − cot 4������ 4(csc2 4������ − csc 4������ cot 4������) 1 1 = 4 ∫ csc 4������ − cot 4������ ⅆ(csc 4������ − cot 4������) = − 1 ln|csc 4������ − cot 4������| + ������ 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 247

Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������������ ������ ⅆ������ dengan ������ = bilangan ganjil? Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������������ ������ ⅆ������ dengan ������ = bilangan ganjil? Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu. sin2 ������ + cos2 ������ = 1 ⇒ sin2 ������ = 1 − cos2 ������ ⇒ cos2 ������ = 1 − sin2 ������ Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut: ∫ sin������ ������ cos ������ ⅆ������ ∫ cos������ ������ sin ������ ⅆ������ Contoh Soal 1: ∫ sin3 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: ∫ sin3 ������ ⅆ������ = ∫ sin2 ������ ∙ sin ������ ⅆ������ = ∫(1 − cos2 ������) sin ������ ⅆ������ = ∫(sin ������ − cos2 ������ sin ������) ⅆ������ = ∫ sin ������ ⅆ������ − ∫ cos2 ������ sin ������ ⅆ������ = − cos ������ − ∫ cos2 ������ sin ������ ⅆ(cos ������) − sin ������ = − cos ������ + ∫ cos2 ������ ⅆ(cos ������) = − cos ������ + 1 cos3 ������ + ������ 3 Contoh Soal 2: ∫ sin5 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: ∫ sin5 ������ ⅆ������ = ∫ sin4 ������ ∙ sin ������ ⅆ������ = ∫(sin2 ������)2 ∙ sin ������ ⅆ������ = ∫(1 − cos2 ������)2 sin ������ ⅆ������ = ∫(1 − 2 cos2 ������ + cos4 ������) sin ������ ⅆ������ = ∫(sin ������ − 2 cos2 ������ sin ������ + cos4 ������ sin ������) ⅆ������ = ∫ sin ������ ⅆ������ − 2 ∫ cos2 ������ sin ������ ⅆ������ + ∫ cos4 ������ sin ������ ⅆ������ = − cos ������ − 2 ∫ cos2 ������ sin ������ ⅆ(cos ������) + ∫ cos4 ������ sin ������ ⅆ(cos ������) − sin ������ − sin ������ = − cos ������ + ∫ cos2 ������ ⅆ(cos ������) − ∫ cos4 ������ ⅆ(cos ������) = − cos ������ + 2 cos3 ������ − 1 cos5 ������ + ������ 3 5 Halaman 248 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh Soal 3: ∫ cos3 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: ∫ cos3 ������ ⅆ������ = ∫ cos2 ������ ∙ cos ������ ⅆ������ = ∫(1 − sin2 ������) cos ������ ⅆ������ = ∫(cos ������ − sin2 ������ cos ������) ⅆ������ = ∫ cos ������ ⅆ������ − ∫ sin2 ������ cos ������ ⅆ������ = sin ������ − ∫ sin2 ������ cos ������ ⅆ(sin ������) cos ������ = sin ������ − ∫ sin2 ������ ⅆ(sin ������) = sin ������ − 1 sin3 ������ + ������ 3 Contoh Soal 4: ∫ cos5 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: ∫ cos5 ������ ⅆ������ = ∫ cos4 ������ ∙ cos ������ ⅆ������ = ∫(cos2 ������)2 ∙ cos ������ ⅆ������ = ∫(1 − sin2 ������)2 cos ������ ⅆ������ = ∫(1 − 2 sin2 ������ + sin4 ������) cos ������ ⅆ������ = ∫(cos ������ − 2 sin2 ������ cos ������ + sin4 ������ cos ������) ⅆ������ = ∫ cos ������ ⅆ������ − 2 ∫ sin2 ������ cos ������ ⅆ������ + ∫ sin4 ������ cos ������ ⅆ������ = sin ������ − 2 ∫ sin2 ������ cos ������ ⅆ(sin ������) + ∫ sin4 ������ cos ������ ⅆ(sin ������) cos ������ cos ������ = sin ������ + ∫ sin2 ������ ⅆ(sin ������) − ∫ sin4 ������ ⅆ(sin ������) = sin ������ − 2 sin3 ������ + 1 sin5 ������ + ������ 3 5 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 249

Contoh Soal 5: ∫ 2 sin3 3������ ⅆ������ = …. Pembahasan: ⅆ(3������) 3 ∫ 2 sin3 3������ ⅆ������ = 2 ∫ sin3 3������ = 2 ∫ sin3 3������ ⅆ(3������) 3 2 = 3 ∫ sin2 3������ ∙ sin 3������ ⅆ(3������) = 2 ∫(1 − cos2 3������) sin 3������ ⅆ(3������) 3 2 = 3 ∫(sin 3������ − cos2 3������ sin 3������) ⅆ(3������) = 2 [∫ sin 3������ ⅆ(3������) − ∫ cos2 3������ sin 3������ ⅆ(3������)] 3 = 2 [(− cos 3������) − ∫ cos2 3������ sin 3������ ⅆ(cos 33������������)] 3 − sin = 2 [− cos 3������ + ∫ cos2 3������ ⅆ(cos 3������)] 3 2 2 = − 3 cos 3������ + 3 ∫ cos2 3������ ⅆ(cos 3������) = − 2 cos 3������ + 2 ∙ 1 cos3 3������ + ������ 3 3 3 2 2 = − 3 cos 3������ + 9 cos3 3������ + ������ Contoh Soal 6: ∫ 3 cos3 5������ ⅆ������ = …. Pembahasan: ⅆ(5������) 5 ∫ 3 cos3 5������ ⅆ������ = 3 ∫ cos3 5������ = 3 ∫ cos3 5������ ⅆ(5������) 5 3 = 5 ∫ cos2 5������ ∙ cos 5������ ⅆ(5������) = 3 ∫(1 − sin2 3������) cos 5������ ⅆ(5������) 5 3 = 5 ∫(cos 5������ − sin2 5������ cos 5������) ⅆ(5������) = 3 [∫ cos 5������ ⅆ(5������) − ∫ sin2 5������ cos 5������ ⅆ(5������)] 5 = 3 [(sin 5������) − ∫ sin2 5������ cos 5������ ⅆ(csoisn55������������)] 5 = 3 [sin 5������ − ∫ sin2 5������ ⅆ(sin 5������)] 5 3 3 = 5 sin 5������ − 5 ∫ sin2 5������ ⅆ(sin 5������) = 3 sin 5������ − 3 ∙ 1 sin3 3������ + ������ 5 5 3 3 3 = 5 sin 5������ − 15 sin3 3������ + ������ Halaman 250 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ∫ ������������������������ ������ ⅆ������ dengan ������ = bilangan ganjil? ∫ sin������ ������ ⅆ������ = (Karena n bilangan ganjil maka ������ = 2������ + 1) = ∫ sin2������+1 ������ ⅆ������ (Ingat sifat pangkat sin2������+1 = sin2������ ������ sin ������) = ∫ sin2������ ������ sin ������ ⅆ������ (Ingat sifat pangkat sin2������ ������ = (sin2 ������)������) = ∫(sin2 ������)������ sin ������ ⅆ������ (Ingat identitas trigonometri sin2 ������ = 1 − cos2 ������) = ∫(1 − cos2 ������)������ sin ������ ⅆ������ (Samakan dulu operator integralnya) = ∫(1 − cos2 ������)������ sin ������ ⅆ(cos ������) − sin ������ = − ∫(1 − cos2 ������)������ ⅆ(cos ������) Ingat Binomial Newton: ������ (������ + ������)������ = ∑ ������������������ ∙ ������������−������ ∙ ������������ ������=1 ������ (1 − cos2 ������)������ = ∑ ������������������ ∙ 1������−������ ∙ (− cos2 ������)������ ������=0 ������ = − ∫ ∑ ������������������ ∙ 1������−������ ∙ (− cos2 ������)������ ⅆ(cos ������) (Ingat 1������−������ = 1 jadi coret saja) ������=0 ������ = − ∫ ∑ ������������������ ∙ (− cos2 ������)������ ⅆ(cos ������) (Keluarkan konstanta dari integral) ������ ������=0 = − ∑ ������������������ ∫(− cos2 ������)������ ⅆ(cos ������) (Ingat (− cos2 ������)������ = ((−1) ∙ cos2 ������ ������) ) ������=0 ������ = − ∑ ������������������ ∫((−1) ∙ cos2 ������)������ ⅆ(cos ������) (Ingat ((−1) ∙ cos2 ������)������ = (−1)������(cos2 ������)������) ������=0 ������ = − ∑ ������������������ ∫(−1)������(cos2 ������)������ ⅆ(cos ������) (Keluarkan konstanta dan (cos2 ������)������ = cos2������ ������) ������=0 ������ = − ∑ ������������������ ∙ (−1)������ ∫ cos2������ ������ ⅆ(cos ������) (Masukkan tanda negatif ke dalam bentuk sigma) ������=0 ������ = ∑(−1) ∙ ������������������ ∙ (−1)������ ∫ cos2������ ������ ⅆ(cos ������) (Ingat (−1) ∙ ������������������ ∙ (−1)������ = (−1)������+1) ������=0 ������ (Ingat ∫ cos2������ ������ ⅆ(cos ������) = 1 1 cos2������+1 ������) = ∑(−1)������+1 ∙ ������������������ ∫ cos2������ ������ ⅆ(cos ������) 2������ + ������=0 ������ = ∙ ������ ������������ ∙ 1 1 cos2������+1 ������ (Rapikan bentuknya) ∑(−1)������+1 2������ + ������=0 ������ = (−1)������+1 ∙ ������������������ cos2������+1 ������ (Hore! Selesai) ∑ 2������ + 1 ������=0 Bilangan segitiga pascal Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari kosinus selalu dalam urutan naik dengan pola bilangan ganjil berawal dari angka 1. Berawal dari negatif, lalu bergantian negatif positif negatif positif dst…. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 251

Contoh Soal 1: Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut: ∫ sin5 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Karena pangkatnya ganjil berarti: ������ = 2������ − 1 ⇒ 5 = 2������ − 1 ⇔ 5 + 1 = 2������ ⇔ 6 = 2������ ⇔ ������ = 3 Jadi kita perlu 3 suku saja…… OK!!!!! ∫ sin5 ������ ⅆ������ = ������������������������������������������ + ������������������������������������������ + ������������������������������������������ + ������ Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban. 1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (cos ������ berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil). Tanda positif negatif ∫ sin5 ������ ⅆ������ = −    +  − + ������ Bilangan segitiga pascal ∫ sin5 ������ ⅆ������ = − ������ + ������   − ������   + ������ Bilangan ganjil ∫ sin5 ������ ⅆ������ = − ������ ������������������������ ������ + ������ ������������������������ ������ − ������ ������������������������ ������ + ������ ������ ������ ������ Jadi penyelesaiannya adalah: 2 1 3 5 ∫ sin5 ������ ⅆ������ = − cos ������ + cos3 ������ − cos5 ������ + ������ Halaman 252 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh Soal 2: Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut: ∫ sin7 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Karena pangkatnya ganjil berarti: ������ = 2������ − 1 ⇒ 7 = 2������ − 1 ⇔ 7 + 1 = 2������ ⇔ 7 = 2������ ⇔ ������ = 4 Jadi kita perlu 4 suku saja…… OK!!!!! ∫ sin7 ������ ⅆ������ = ������������������������������������������ + ������������������������������������������ + ������������������������������������������ + ������������������������������������������ + ������ Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban. 1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (cos ������ berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil). Tanda positif negatif ∫ sin7 ������ ⅆ������ = −    +  −    +  +������ Bilangan segitiga pascal ∫ sin7 ������ ⅆ������ = − ������ + ������   − ������   + ������ + ������ Bilangan ganjil ∫ sin7 ������ ⅆ������ = − ������ ������������������������ ������ + ������ ������������������������ ������ − ������ ������������������������ ������ + ������ ������������������������ ������ + ������ ������ ������ ������ ������ Jadi penyelesaiannya adalah: 3 1 5 7 ∫ sin7 ������ ⅆ������ = − cos ������ + cos3 ������ − cos5 ������ + cos7 ������ + ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 253

Contoh Soal 3: Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut: ∫ sin3 5������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Karena pangkatnya ganjil berarti: ������ = 2������ − 1 ⇒ 3 = 2������ − 1 ⇔ 3 + 1 = 2������ ⇔ 4 = 2������ ⇔ ������ = 2 Jadi kita perlu 2 suku saja…… OK!!!!! ∫ sin3 5������ ⅆ������ = ������������������������������������������ + ������������������������������������������ + ������ Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan menggunakan teknik integral substitusi dulu. Lihat sudutnya sinus 5������, sedangkan operatornya ⅆ������. Jadi ⅆ������ harus disesuaikan menjadi ������(55������). Sehingga, ⅆ(5������) 1 5 5 ∫ sin3 5������ ⅆ������ = ∫ sin3 5������ = ∫ sin3 5������ ⅆ(5������) Artinya, 1 5 ∫ sin3 5������ ⅆ������ = ∫ sin3 5������ ⅆ(5������) Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban. 1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (cos ������ berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil). Tanda positif negatif ∫ sin3 5������ ⅆ(5������) = −    +  +������ Bilangan segitiga pascal ∫ sin3 5������ ⅆ(5������) = − ������ + ������   + ������ Bilangan ganjil ∫ sin3 5������ ⅆ(5������) = − ������ ������������������������ ������������ + ������ ������������������������ ������������ + ������ ������ ������ Jadi penyelesaiannya adalah: 1 1 1 5 3 ∫ sin3 5������ ⅆ������ = 5 ∫ sin3 5������ ⅆ(5������) = ( – cos 5������ + cos3 5������ + ������) = − 1 cos 5������ + 1 cos3 5������ + ������ 5 15 Halaman 254 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ∫ ������������������������ ������ ⅆ������ dengan ������ = bilangan ganjil? ∫ cos������ ������ ⅆ������ = (Karena n bilangan ganjil maka ������ = 2������ + 1) = ∫ cos2������+1 ������ ⅆ������ (Ingat sifat pangkat cos2������+1 = cos2������ ������ cos ������) = ∫ cos2������ ������ cos ������ ⅆ������ (Ingat sifat pangkat cos2������ ������ = (cos2 ������)������) = ∫(cos2 ������)������ cos ������ ⅆ������ (Ingat identitas trigonometri cos2 ������ = 1 − sin2 ������) = ∫(1 − sin2 ������)������ cos ������ ⅆ������ (Samakan dulu operator integralnya) = ∫(1 − sin2 ������)������ cos ������ ⅆ(sin ������) cos ������ = ∫(1 − sin2 ������)������ ⅆ(sin ������) Ingat Binomial Newton: ������ (������ + ������)������ = ∑ ������������������ ∙ ������������−������ ∙ ������������ ������=1 ������ (1 − sin2 ������)������ = ∑ ������������������ ∙ 1������−������ ∙ (− sin2 ������)������ ������=0 ������ = ∫ ∑ ������������������ ∙ 1������−������ ∙ (− sin2 ������)������ ⅆ(sin ������) (Ingat 1������−������ = 1 jadi coret saja) ������=0 ������ = ∫ ∑ ������������������ ∙ (− sin2 ������)������ ⅆ(sin ������) (Keluarkan konstanta dari integral) ������ ������=0 = ∑ ������������������ ∫(− sin2 ������)������ ⅆ(sin ������) (Ingat (− sin2 ������)������ = ((−1) ∙ sin2 ������ ������) ) ������=0 ������ = ∑ ������������������ ∫((−1) ∙ sin2 ������)������ ⅆ(sin ������) (Ingat ((−1) ∙ sin2 ������)������ = (−1)������(sin2 ������)������) ������=0 ������ = ∑ ������������������ ∫(−1)������(sin2 ������)������ ⅆ(sin ������) (Keluarkan konstanta dan (cos2 ������)������ = cos2������ ������) ������=0 ������ = ∑ ������������������ ∙ (−1)������ ∫ sin2������ ������ ⅆ(sin ������) (Ingat (−1) ∙ ������������������ ∙ (−1)������ = (−1)������+1) ������=0 ������ (Ingat ∫ sin2������ ������ ⅆ(sin ������) = 1 1 sin2������+1 ������) = ∑(−1)������ ∙ ������������������ ∫ sin2������ ������ ⅆ(sin ������) 2������ + ������=0 ������ = ∙ ������ ������������ ∙ 1 1 sin2������+1 ������ (Rapikan bentuknya) ∑(−1)������ 2������ + ������=0 ������ = (−1)������ ∙ ������ ������������ sin2������+1 ������ (Hore! Selesai) ∑ 2������ + 1 ������=0 Bilangan segitiga pascal Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari sinus selalu dalam urutan naik dengan pola bilangan ganjil berawal dari angka 1. Berawal dari positif, lalu bergantian positif negatif positif negatif dst…. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 255

Contoh Soal 1: Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut: ∫ cos5 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Karena pangkatnya ganjil berarti: ������ = 2������ − 1 ⇒ 5 = 2������ − 1 ⇔ 5 + 1 = 2������ ⇔ 6 = 2������ ⇔ ������ = 3 Jadi kita perlu 3 suku saja…… OK!!!!! ∫ cos5 ������ ⅆ������ = ������������������������������������������ + ������������������������������������������ + ������������������������������������������ + ������ Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban. 1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (sin ������ berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil). Tanda positif negatif ∫ cos5 ������ ⅆ������ = +    −  + + ������ Bilangan segitiga pascal ∫ cos5 ������ ⅆ������ = + ������   − ������   + ������   + ������ Bilangan ganjil ∫ cos5 ������ ⅆ������ = + ������ ������������������������ ������ − ������ ������������������������ ������ + ������ ������������������������ ������ + ������ ������ ������ ������ Jadi penyelesaiannya adalah: 2 1 3 5 ∫ cos5 ������ ⅆ������ = sin ������ + sin3 ������ − sin5 ������ + ������ Halaman 256 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh Soal 2: Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut: ∫ cos7 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Karena pangkatnya ganjil berarti: ������ = 2������ − 1 ⇒ 7 = 2������ − 1 ⇔ 7 + 1 = 2������ ⇔ 7 = 2������ ⇔ ������ = 4 Jadi kita perlu 4 suku saja…… OK!!!!! ∫ cos7 ������ ⅆ������ = ������������������������������������������ + ������������������������������������������ + ������������������������������������������ + ������������������������������������������ + ������ Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban. 1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (sin ������ berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil). Tanda positif negatif ∫ cos7 ������ ⅆ������ = +    −  +    −   +������ Bilangan segitiga pascal ∫ cos7 ������ ⅆ������ = + ������ − ������   + ������   − ������ + ������ Bilangan ganjil ∫ cos7 ������ ⅆ������ = + ������ ������������������������ ������ − ������ ������������������������ ������ + ������ ������������������������ ������ − ������ ������������������������ ������ + ������ ������ ������ ������ ������ Jadi penyelesaiannya adalah: 3 1 5 7 ∫ cos7 ������ ⅆ������ = sin ������ − sin3 ������ + sin5 ������ − sin7 ������ + ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 257

Contoh Soal 3: Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut: ∫ cos3 5������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Karena pangkatnya ganjil berarti: ������ = 2������ − 1 ⇒ 3 = 2������ − 1 ⇔ 3 + 1 = 2������ ⇔ 4 = 2������ ⇔ ������ = 2 Jadi kita perlu 2 suku saja…… OK!!!!! ∫ cos3 5������ ⅆ������ = ������������������������������������������ + ������������������������������������������ + ������ Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan menggunakan teknik integral substitusi dulu. Lihat sudutnya sinus 5������, sedangkan operatornya ⅆ������. Jadi ⅆ������ harus disesuaikan menjadi ������(55������). Sehingga, ⅆ(5������) 1 5 5 ∫ cos3 5������ ⅆ������ = ∫ cos3 5������ = ∫ cos3 5������ ⅆ(5������) Artinya, 1 5 ∫ cos3 5������ ⅆ������ = ∫ cos3 5������ ⅆ(5������) Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban. 1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (sin ������ berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil). Tanda positif negatif ∫ cos3 5������ ⅆ(5������) = +    −  +������ Bilangan segitiga pascal ∫ cos3 5������ ⅆ(5������) = + ������ − ������   + ������ Bilangan ganjil ∫ cos3 5������ ⅆ(5������) = + ������ ������������������������ ������������ − ������ ������������������������ ������������ + ������ ������ ������ Jadi penyelesaiannya adalah: 1 1 1 5 3 ∫ cos3 5������ ⅆ������ = 5 ∫ cos3 5������ ⅆ(5������) = ( sin 5������ − sin3 5������ + ������) = 1 sin 5������ − 1 sin3 5������ + ������ 5 15 Halaman 258 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������������ ������ ⅆ������ dengan ������ = bilangan genap? Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������������ ������ ⅆ������ dengan ������ = bilangan genap? Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri kosinus sudut rangkap, yaitu. cos 2������ = 2 cos2 ������ − 1 ⇒ cos2 ������ = 1 cos 2������ − 1 2 2 1 1 cos 2������ = 1 − 2 sin2 ������ ⇒ sin2 ������ = 2 − 2 cos 2������ Contoh Soal 1: ∫ sin2 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: (21 1 2 ∫ sin2 ������ ⅆ������ = ∫ − cos 2������) ⅆ������ = 1 ������ − 1 ∫ cos 2������ ⅆ������ 2 2 1 1 ⅆ(2������) = 2 ������ − 2 ∫ cos 2������ 2 = 1 ������ − 1 ∙ 1 ∫ cos 2������ ⅆ(2������) 2 2 2 1 1 = 2 ������ − 4 sin 2������ + ������ Contoh Soal 2: ∫ sin4 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: ∫ sin4 ������ ⅆ������ = ∫(sin2 ������)2 ⅆ������ = ∫ (12 − 1 cos 2 ⅆ������ 2 2������) = ∫ (41 − 1 cos 2������ + 1 cos2 2������) ⅆ������ 2 4 = ∫ (14 − 1 cos 2������ + 1 (21 + 1 cos 4������)) ⅆ������ 2 4 2 = ∫ (41 − 1 cos 2������ + 1 + 1 cos 4������) ⅆ������ 2 8 8 (83 1 1 = ∫ − 2 cos 2������ + 8 cos 4������) ⅆ������ = ∫ 3 ⅆ������ − ∫ 1 cos 2������ ⅆ������ + ∫ 1 cos 4������ ⅆ������ 8 2 8 3 1 1 = 8 ������ − 4 sin 2������ + 32 sin 4������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 259

Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������������ ������ ������������������������ ������ ⅆ������? Nah, untuk bentuk integral ∫ sin������ ������ cos������ ������ ⅆ������, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu. sin2 ������ + cos2 ������ = 1 ⇒ sin2 ������ = 1 − cos2 ������ ⇒ cos2 ������ = 1 − sin2 ������ Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut: ∫ sin������ ������ cos ������ ⅆ������ ∫ cos������ ������ sin ������ ⅆ������ Contoh Soal 1: ∫ sin3 ������ cos2 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: ∫ sin3 ������ cos2 ������ ⅆ������ = ∫ cos2 ������ sin2 ������ ∙ sin ������ ⅆ������ = ∫ cos2 ������ (1 − cos2 ������) sin ������ ⅆ������ = ∫(1 − cos4 ������) sin ������ ⅆ������ = ∫(sin ������ − cos4 ������ sin ������) ⅆ������ = ∫ sin ������ ⅆ������ − ∫ cos4 ������ sin ������ ⅆ������ = − cos ������ − ∫ cos4 ������ sin ������ ⅆ(cos ������) − sin ������ = − cos ������ + ∫ cos4 ������ ⅆ(cos ������) = − cos ������ + 1 cos5 ������ + ������ 5 Contoh Soal 2: ∫ sin2 ������ cos3 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: ∫ sin2 ������ cos3 ������ ⅆ������ = ∫ sin2 ������ cos2 ������ ∙ cos ������ ⅆ������ = ∫ sin2 ������ (1 − sin2 ������) cos ������ ⅆ������ = ∫(1 − sin4 ������) cos ������ ⅆ������ = ∫(cos ������ − sin4 ������ cos ������) ⅆ������ = ∫ cos ������ ⅆ������ − ∫ sin4 ������ cos ������ ⅆ������ = sin ������ − ∫ sin4 ������ cos ������ ⅆ(sin ������) cos ������ = sin ������ + ∫ sin4 ������ ⅆ(sin ������) = sin ������ + 1 sin5 ������ + ������ 5 Halaman 260 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������������ ������ ������������������������ ������ ⅆ������? Nah, untuk bentuk integral ∫ tan������ ������ sec������ ������ ⅆ������, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu. sin2 ������ + cos2 ������ = 1 ⇒ tan2 ������ + 1 = sec2 ������ ⇒ 1 + cot2 ������ = csc2 ������ Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut: ∫ tan������ ������ sec2 ������ ⅆ������, jika pangkat sec ������ genap. ∫ sec������ ������ (sec ������ tan ������) ⅆ������, jika pangkat sec ������ ganjil, atau pangkat tan ������ ganjil. Contoh Soal 1: ∫ tan2 ������ sec2 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Karena pangkat sec ������ genap, maka sisakan bentuk sec2 ������. Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ tan������ ������ sec2 ������ ⅆ������. Okelah kalau begitu. Langsung saja! ∫ tan2 ������ sec2 ������ ⅆ������ = ∫ tan2 ������ sec2 ������ ⅆ(tan ������) sec2 ������ = ∫ tan2 ������ ⅆ(tan ������) = 1 tan3 ������ + ������ 3 Contoh Soal 2: ∫ tan2 ������ sec4 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Karena pangkat sec ������ genap, maka sisakan bentuk sec2 ������. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 ������ + 1 = sec2 ������ Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ tan������ ������ sec2 ������ ⅆ������. ∫ tan2 ������ sec4 ������ ⅆ������ = ∫ tan2 ������ sec2 ������ sec2 ������ ⅆ������ = ∫ tan2 ������ (tan2 ������ + 1) sec2 ������ ⅆ������ = ∫(tan4 ������ + tan2 ������) sec2 ������ ⅆ������ = ∫(tan4 ������ sec2 ������ + tan2 ������ sec2 ������) ⅆ������ = ∫ tan4 ������ sec2 ������ ⅆ������ + ∫ tan2 ������ sec2 ������ ⅆ������ = ∫ tan4 ������ sec2 ������ ⅆ(tan ������) + ∫ tan2 ������ sec2 ������ ⅆ(tan ������) sec2 ������ sec2 ������ = ∫ tan4 ������ ⅆ(tan ������) + ∫ tan2 ������ ⅆ(tan ������) = 1 tan5 ������ + 1 tan3 ������ + ������ 5 3 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 261

Contoh Soal 3: ∫ tan3 ������ sec4 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Cara 1: Karena pangkat sec ������ genap, maka sisakan bentuk sec2 ������. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 ������ + 1 = sec2 ������ Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ tan������ ������ sec2 ������ ⅆ������. ∫ tan3 ������ sec4 ������ ⅆ������ = ∫ tan3 ������ sec2 ������ sec2 ������ ⅆ������ = ∫ tan3 ������ (tan2 ������ + 1) sec2 ������ ⅆ������ = ∫(tan5 ������ + tan3 ������) sec2 ������ ⅆ������ = ∫(tan5 ������ sec2 ������ + tan3 ������ sec2 ������) ⅆ������ = ∫ tan5 ������ sec2 ������ ⅆ������ + ∫ tan3 ������ sec2 ������ ⅆ������ = ∫ tan5 ������ sec2 ������ ⅆ(tan ������) + ∫ tan3 ������ sec2 ������ ⅆ(tan ������) sec2 ������ sec2 ������ = ∫ tan5 ������ ⅆ(tan ������) + ∫ tan3 ������ ⅆ(tan ������) = 1 tan6 ������ + 1 tan4 ������ + ������ 6 4 Cara 2: Karena pangkat tan ������ ganjil, maka sisakan bentuk sec ������ tan ������. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 ������ + 1 = sec2 ������ Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ sec������ ������ (sec ������ tan ������) ⅆ������. ∫ tan3 ������ sec4 ������ ⅆ������ = ∫ tan2 ������ sec3 ������ (sec ������ tan ������) ⅆ������ = ∫(sec2 ������ − 1) sec3 ������ (sec ������ tan ������) ⅆ������ = ∫(sec5 ������ − sec3 ������) (sec ������ tan ������) ⅆ������ = ∫ (sec5 ������ (sec ������ tan ������) − sec3 ������ (sec ������ tan ������)) ⅆ������ = ∫ sec5 ������ (sec ������ tan ������) ⅆ������ − ∫ sec3 ������ (sec ������ tan ������) ⅆ������ = ∫ sec5 ������ (tan ������ sec ������) ⅆ(sec ������) − ∫ sec3 ������ (tan ������ sec ������) ⅆ(sec ������) sec ������ tan ������ sec ������ tan ������ = ∫ sec5 ������ ⅆ(sec ������) − ∫ sec3 ������ ⅆ(sec ������) = 1 sec6 ������ − 1 sec4 ������ + ������ 6 4 Halaman 262 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh Soal 4: ∫ tan3 ������ sec3 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Karena pangkat sec ������ ganjil, maka sisakan bentuk sec ������ tan ������. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 ������ + 1 = sec2 ������ Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ sec������ ������ (sec ������ tan ������) ⅆ������. ∫ tan3 ������ sec3 ������ ⅆ������ = ∫ tan2 ������ sec2 ������ (sec ������ tan ������) ⅆ������ = ∫(sec2 ������ − 1) sec2 ������ (sec ������ tan ������) ⅆ������ = ∫(sec4 ������ − sec2 ������) (sec ������ tan ������) ⅆ������ = ∫(sec4 ������ (sec ������ tan ������) − sec2 ������ (sec ������ tan ������)) ⅆ������ = ∫ sec4 ������ (sec ������ tan ������) ⅆ������ − ∫ sec2 ������ (sec ������ tan ������) ⅆ������ = ∫ sec4 ������ (tan ������ sec ������) ⅆ(sec ������) − ∫ sec2 ������ (tan ������ sec ������) ⅆ(sec ������) sec ������ tan ������ sec ������ tan ������ = ∫ sec4 ������ ⅆ(sec ������) − ∫ sec2 ������ ⅆ(sec ������) = 1 sec5 ������ − 1 sec3 ������ + ������ 5 3 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 263

Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ ������������������������ ������ ������������������������ ������ ⅆ������? Nah, untuk bentuk integral ∫ cot������ ������ csc������ ������ ⅆ������, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu. sin2 ������ + cos2 ������ = 1 ⇒ tan2 ������ + 1 = sec2 ������ ⇒ 1 + cot2 ������ = csc2 ������ Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut: ∫ cot������ ������ csc2 ������ ⅆ������, jika pangkat csc ������ genap. ∫ csc������ ������ (csc ������ cot ������) ⅆ������, jika pangkat csc ������ ganjil, atau pangkat cot ������ ganjil. Contoh Soal 1: ∫ cot2 ������ csc2 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Karena pangkat csc ������ genap, maka sisakan bentuk csc2 ������. Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ cot������ ������ csc2 ������ ⅆ������. Okelah kalau begitu. Langsung saja! ∫ cot2 ������ csc2 ������ ⅆ������ = ∫ cot2 ������ csc2 ������ ⅆ(cot ������) − csc2 ������ = − ∫ cot2 ������ ⅆ(cot ������) = − 1 cot3 ������ + ������ 3 Contoh Soal 2: ∫ cot2 ������ csc4 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Karena pangkat csc ������ genap, maka sisakan bentuk csc2 ������. Gunakan bantuan identitas trigonometri cot2 ������ + 1 = csc2 ������ Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ cot������ ������ csc2 ������ ⅆ������. ∫ cot2 ������ csc4 ������ ⅆ������ = ∫ cot2 ������ csc2 ������ csc2 ������ ⅆ������ = ∫ cot2 ������ (1 + cot2 ������) csc2 ������ ⅆ������ = ∫(cot2 ������ + cot4 ������) csc2 ������ ⅆ������ = ∫(cot2 ������ csc2 ������ + cot4 ������ csc2 ������) ⅆ������ = ∫ cot2 ������ csc2 ������ ⅆ������ + ∫ cot4 ������ csc2 ������ ⅆ������ = ∫ cot2 ������ csc2 ������ ⅆ(cot ������) + ∫ cot4 ������ csc2 ������ ⅆ(cot ������) − csc2 ������ − csc2 ������ = − ∫ cot2 ������ ⅆ(cot ������) − ∫ cot2 ������ ⅆ(cot ������) = − 1 cot3 ������ − 1 tan5 ������ + ������ 3 5 Halaman 264 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh Soal 3: ∫ cot3 ������ csc4 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Cara 1: Karena pangkat csc ������ genap, maka sisakan bentuk csc2 ������. Gunakan bantuan identitas trigonometri 1 + cot2 ������ = csc2 ������ Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ cot������ ������ csc2 ������ ⅆ������. ∫ cot3 ������ csc4 ������ ⅆ������ = ∫ cot3 ������ csc2 ������ csc2 ������ ⅆ������ = ∫ cot3 ������ (1 + cot2 ������) csc2 ������ ⅆ������ = ∫(cot3 ������ + cot5 ������) csc2 ������ ⅆ������ = ∫(cot3 ������ csc2 ������ + cot5 ������ csc2 ������) ⅆ������ = ∫ cot3 ������ csc2 ������ ⅆ������ + ∫ cot5 ������ csc2 ������ ⅆ������ = ∫ cot3 ������ csc2 ������ ⅆ(cot ������) + ∫ cot5 ������ csc2 ������ ⅆ(cot ������) − csc2 ������ − csc2 ������ = − ∫ cot3 ������ ⅆ(cot ������) − ∫ cot5 ������ ⅆ(cot ������) = − 1 cot4 ������ − 1 cot6 ������ + ������ 4 6 Cara 2: Karena pangkat cot ������ ganjil, maka sisakan bentuk csc ������ cot ������. Gunakan bantuan identitas trigonometri cot2 ������ + 1 = csc2 ������ Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ csc������ ������ (csc ������ cot ������) ⅆ������. ∫ cot3 ������ csc4 ������ ⅆ������ = ∫ cot2 ������ csc3 ������ (csc ������ cot ������) ⅆ������ = ∫(csc2 ������ − 1) csc3 ������ (csc ������ cot ������) ⅆ������ = ∫(csc5 ������ − csc3 ������) (csc ������ cot ������) ⅆ������ = ∫ (csc5 ������ (csc ������ cot ������) − csc3 ������ (csc ������ cot ������)) ⅆ������ = ∫ csc5 ������ (csc ������ cot ������) ⅆ������ − ∫ csc3 ������ (csc ������ cot ������) ⅆ������ = ∫ csc5 ������ (cot ������ csc ������) − ⅆ(csc ������) ������ − ∫ csc3 ������ (cot ������ csc ������) ⅆ(csc ������) ������ csc ������ cot − csc ������ cot = − ∫ csc5 ������ ⅆ(csc ������) + ∫ csc3 ������ ⅆ(csc ������) = − 1 csc6 ������ + 1 csc4 ������ + ������ 6 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 265

Contoh Soal 4: ∫ cot3 ������ csc3 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Karena pangkat csc ������ ganjil, maka sisakan bentuk csc ������ cot ������. Gunakan bantuan identitas trigonometri 1 + cot2 ������ = csc2 ������ Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ csc������ ������ (csc ������ cot ������) ⅆ������. ∫ cot3 ������ csc3 ������ ⅆ������ = ∫ cot2 ������ csc2 ������ (csc ������ cot ������) ⅆ������ = ∫(csc2 ������ − 1) csc2 ������ (csc ������ cot ������) ⅆ������ = ∫(csc4 ������ − csc2 ������) (csc ������ cot ������) ⅆ������ = ∫(csc4 ������ (csc ������ cot ������) − csc2 ������ (csc ������ cot ������)) ⅆ������ = ∫ csc4 ������ (csc ������ cot ������) ⅆ������ − ∫ csc2 ������ (csc ������ cot ������) ⅆ������ = ∫ csc4 ������ (cot ������ csc ������) − ⅆ(csc ������) ������ − ∫ csc2 ������ (cot ������ csc ������) ⅆ(csc ������) ������ csc ������ cot − csc ������ cot = − ∫ csc4 ������ ⅆ(csc ������) + ∫ csc2 ������ ⅆ(csc ������) = − 1 csc5 ������ + 1 csc3 ������ + ������ 5 3 Halaman 266 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri? Bentuk Substitusi Turunan Hasil √������2 − ������2 ������ = ������ sin ������ ⅆ������ = ������ cos ������ ⅆ������ √������2 − ������2 = ������ cos ������ √������2 + ������2 ������ = ������ tan ������ ⅆ������ = ������ sec2 ������ ⅆ������ √������2 + ������2 = ������ sec ������ √������2 − ������2 ������ = ������ sec ������ ⅆ������ = ������ sec ������ tan ������ ⅆ������ √������2 − ������2 = ������ tan ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 267

Dan masih banyak yang lainnya…. Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru dari suplemen modul TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Pengayaan Integral Trigonometri ini…. Halaman 268 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengayaan Integral Trigonometri. Modul Pengayaan Integral Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013. Mengingat materi Integral khususnya yang menyangkut Trigonometri memerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat pada setiap pokok bahasan. Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokok bahasan Integral Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengayaan Integral Trigonometri sebagai bukti bahwa Integral Trigonometri itu mudah dipahami dan dikerjakan dengan metode TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION yang menyenangkan sambil menyelami konsep dasar Integral Trigonometri itu sendiri… Untuk sementara hanya beberapa tipe soal integral trigonometri plus integral substitusi trigonometri yang dibahas. Untuk tipe soal yang lain akan segera diupload dan dibagikan. Jadi selalu tunggu di blog Pak Anang ya :) Kunjungi laman http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengayaan Integral Trigonometri ini… :) Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 269

5. 3. Menentukan integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Integral Tak Tentu Definisi “Kebalikan Proses Turunan” ������(������) Integral Turunan ������(������) ������′(������) = ������(������) ⇒ ∫ ������(������) ⅆ������ = ������(������) + ������ Integral Fungsi Aljabar Integral Fungsi Trigonometri ∫ ������������ ⅆ������ = 1 ������������+1 + ������ ������������������ ������ ������+1 ������������������ ������ ������ − ������������������ ������ ∫ ������������������ ⅆ������ = ������+1 ������������+1 + ������ − ������������������ ������ Sifat: ∫ sec2 ������ ⅆ������ = − tan ������ + ������ ∫ ⅆ[������(������)] = ������(������) + ������ ∫ csc2 ������ ⅆ������ = −cot ������ + ������ ∫ ������ ∙ ������(������) ⅆ������ = ������∫ ������(������) ⅆ������ ∫ sec ������ tan ������ ⅆ������ = −sec ������ + ������ ∫ [������(������) ± ������(������)] ⅆ������ = ∫ ������(������) ⅆ������ ± ∫ ������(������) ⅆ������ ∫ csc ������ cot ������ ⅆ������ = −csc ������ + ������ Integral Tertentu Definisi ������ ⅆ������ = ������(������) |������������ = ������(������) − ������(������) ∫ ������(������) ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 213

Teknik Integral Aljabar Integral Langsung “Jika sesuai dengan Rumus Dasar” harus dalam bentuk pangkat ∫ □������ ⅆ□ = 1 □������+1 + ������ ������+1 harus sama ∫ [������(������) ± ������(������)] ⅆ������ = …. boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan tidak boleh perkalian pembagian!!!!! ∫ [������(������) × ������(������)] ⅆ������ = …. ∫ [������������((������������))] ⅆ������ = …. Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut: Diubah Substitusi Parsial ∫ √������ ⅆ������ ∫ 5 ⅆ������ ∫ 3������(������������������ + ������)5 ⅆ������ ∫ 3������2(������������������ + ������)5 ⅆ������ ������2 Bentuk pangkat Bentuk pangkat Fungsi integran dan operator Fungsi integran dan operator belum terlihat!!! belum terlihat!!! masih belum sama masih belum sama 1 ∫ 5������−2 ⅆ������ harus sama harus sama ∫ ������2 ⅆ������ ∫ ������(������ + 3) ⅆ������ ∫ (������ + 1)2 ⅆ������ ∫ 3������(������������������ + ������)5 ⅆ(������������������ + ������) turunan ∫ 3������2(������������������ + ������)5 ⅆ(������������������ + ������) turunan 4������ 4������ Nggak boleh dalam Nggak boleh dalam Sederhanakan! Sederhanakan! bentuk perkalian!!! bentuk perkalian!!! Nggak boleh muncul Tetapi masih muncul variabel ������ variabel ������ ∫ (������2 + 3������) ⅆ������ ∫ (������2 + 2������ + 1) ⅆ������ Perbedaan mendasar antara teknik integral substitusi dengan teknik integral parsial. dan lain-lain … Halaman 214 ∫ ������ ⅆ������ = ������������ − ∫ ������ ⅆ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Aljabar. Secara umum integral fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: ������(������) = ������������������ → ������(������) = ������ ������������+������ + ������ ������+������ ������������������ ������������������+������ ������ ������������+������ ������+������ Proses mencari integral fungsi ������������������ terhadap ������: 1. Tambah satu pangkatnya! 2. Bagi koefisien dengan bilangan hasil langkah pertama! 3. Tambahkan dengan konstanta ������. 4. Selesai! TRIK SUPERKILAT Integral Fungsi Aljabar Pangkat Pecahan. Sebagaimana sudah kita ketahui bersama, bahwa konsep dasar integral adalah sebagai berikut: Lho ini kan saling berkebalikan?  ������(������) = ������������ → ������(������) = ������ ������������+������ + ������ ������+������ Nah, seringkali kita kesulitan mengerjakan integral dengan langkah pasti dan yakin apabila bertemu dengan bentuk pangkat pecahan. Misalnya, 33 (aliaInsgbautaknognsseemp u∫a������k������o(n������s)tⅆan������t=a k���e���∫lu���a���(r������i)nⅆte���g��� ral) ∫ 2������2 ⅆ������ = 2 ∫ ������2 ⅆ������ = 2 ∙ 2 5 + ������ 5 ������2 = 4 5 + ������ 5 ������2 Sesuai konsep integral, pangkatnya kan harus ditambah 1! 3 52, Pangkat 2 ditambah 1 menjadi berapa? kan? Mudah saja, balik angka 5 menjadi 52. 2 Jadi, 3 2 5 ∫ ⅆ������ = 5 + ������ ������ 2 ������ 2 Lho ini kan saling berkebalikan?  Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 215

Teknik Integral Trigonometri Integral Langsung “Jika sesuai konsep 6 Turunan Trigonometri” ∫ sin □ ⅆ□ = − cos □ + ������ ∫ cos □ ⅆ□ = − sin □ + ������ ∫ sec2 □ ⅆ□ = − tan □ + ������ ∫ csc2 □ ⅆ□ = −cot □ + ������ ∫ sec □ tan □ ⅆ□ = −sec □ + ������ ∫ csc □ cot □ ⅆ□ = −csc □ + ������ ∫ [������(������) ± ������(������)] ⅆ������ boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut: Diubah Substitusi Parsial ∫ tan2 ������ ⅆ������ ∫ cot2 ������ ⅆ������ ∫ 2������ sin(������������������ + ������) ⅆ������ ∫ 2������2 sin(������������������ + ������) ⅆ������ Adanya konsep Adanya konsep Fungsi integran dan operator Fungsi integran dan operator integral ������������������������ ������ !!! integral ������������������������ ������ !!! masih belum sama masih belum sama ∫ (sec2 ������ − 1) ⅆ������ ∫ (csc2 ������ − 1) ⅆ������ harus sama harus sama ∫ sin ������������ cos ������������ ⅆ������ ∫ sin2 ������ ⅆ������ ∫ 2������ sin(������������������ + ������) ⅆ(������������������ + ������) turunan ∫ 2������2 sin(������������������ + ������) ⅆ(������������������ + ������) turunan ∫ cos ������������ cos ������������ ⅆ������ ∫ cos2 ������ ⅆ������ 6������ 6������ ∫ sin ������������ sin ������������ ⅆ������ dst … Sederhanakan! Sederhanakan! Diubah menjadi Nggak boleh muncul Tetapi masih muncul bentuk perjumlahan Sin Cos berpangkat genap harus diubah! variabel ������ variabel ������ Ingat Rumus Perkalian Ingat Rumus Sin Cos ∫ ������������������3 ������ cos ������ ⅆ������ ke penjumlahan setengah sudut ������ + ������ 2������������ sin2 ������ = 1 − 1 cos 2������ ������ − ������ 2������������ 22 ������ + ������ 2������������ 1 1 ������ − ������ − 2������������ cos2 ������ = 2 + 2 cos 2������ Fungsi integran dan operator masih belum sama Jadi, ∫ sin4 ������ ⅆ������ ⊕⊖ juga diubah menjadi harus sama ∫ ������ ⅆ������ = ������������ − ∫ ������ ⅆ������ ∫ sin2 ������ sin2 ������ ⅆ������ dan lain-lain … ⅆ(������������������ ������) cos ������ ∫ ������������������3 ������ cos ������ turunan Sederhanakan! Nggak boleh muncul variabel ������ Halaman 216 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum integral fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: ������������������ ������ Cara membacanya: ������������������ ������ ∫ −sin ������ ⅆ������ = − cos ������ + ������ − ������������������ ������ ∫ −cos ������ ⅆ������ = − sin ������ + ������ − ������������������ ������ ∫ −sin ������ ⅆ������ = − cos ������ + ������ ∫ −cos ������ ⅆ������ = − sin ������ + ������ Jadi integralnya sinus adalah negatif kosinus. Integralnya kosinus adalah sinus. KONSEP DASAR Integral Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Dasar dari konsep integral fungsi trigonometri selain sinus kosinus adalah harus paham dan hafal turunan dari fungsi trigonometri. *) Perhatikan konsep berikut: tan ������ cot ������ Cara membacanya: ������ = tan ������ → ������′ = sec2 ������ sec ������ csc ������ □������ □������ ������ = cot ������ → ������′ = − csc2 ������ ������ = sec ������ → ������′ = sec ������ tan ������ ������ = csc ������ → ������′ = − csc ������ cot ������ *) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 SKL 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi, Halaman 203 (http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html) Jadi, dengan melihat bahwa integral adalah lawan dari proses turunan, diperoleh konsep berikut: ∫ sec2 ������ ⅆ������ = − tan ������ + ������ ∫ csc2 ������ ⅆ������ = −cot ������ + ������ ∫ sec ������ tan ������ ⅆ������ = −sec ������ + ������ ∫ csc ������ cot ������ ⅆ������ = −csc ������ + ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 217

Tips dan Trik Integral Trigonometri Intinya pada integral trigonometri harus menguasai bagaimana konsep trigonometri serta bagaimanakah sifat turunan dari fungsi trigonometri. OK! Disamping itu, harus menguasai bagaimana konsep identitas trigonometri yang pernah Pak Anang tulis pada Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 4 Pengantar Trigonometri di laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html Rumus Identitas Trigonometri yang sering digunakan dalam integral adalah: Rumus identitas trigonometri sin2 ������ + cos2 ������ = 1 tan2 ������ + 1 = sec2 ������ 1 + cot2 ������ = csc2 ������ 1 1 sin2 ������ = 2 − 2 cos 2������ cos2 ������ = 1 + 1 cos 2������ 2 2 sin 2������ = 2 sin ������ cos ������ Rumus perkalian trigonometri sin ������ cos ������ = 1 [sin(������ + ������) + sin(������ − ������)] 2 1 cos ������ sin ������ = 2 [sin(������ + ������) − sin(������ − ������)] cos ������ cos ������ = 1 [cos(������ + ������) + cos(������ − ������)] 2 1 sin ������ sin ������ = − 2 [cos(������ + ������) − cos(������ − ������)] Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat ������ dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut: 1 ∫ sin������ ������ (cos ������) ⅆ������ = ������ + 1 sin������+1 ������ + ������ ∫ cos������ ������ (sin ������) ⅆ������ = − ������ 1 1 cos������+1 ������ + ������ + 1 ∫ tan������ ������ (sec2 ������) ⅆ������ = ������ + 1 tan������+1 ������ + ������ ∫ cot������ ������ (csc2 ������) ⅆ������ = − ������ 1 1 cot������+1 ������ + ������ + 1 ∫ sec������ ������ (sec ������ tan ������) ⅆ������ = ������ + 1 sec������+1 ������ + ������ ∫ csc������ ������ (csc ������ cot ������) ⅆ������ = − ������ 1 1 csc������+1 ������ + ������ + Halaman 218 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral dengan Mengubah Bentuk Integral. Seringkali dalam pengerjaan integral kita bertemu dengan integral yang bentuk integralnya “sedikit berbeda” dari konsep dasar, namun sebenarnya apabila kita mau mengubahnya terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat aljabar maupun sifat identitas trigonometri, bentuk integral tersebut bisa kembali sesuai dengan konsep dasar. Seperti telah diketahui bahwa untuk integral fungsi aljabar harus dalam bentuk pangkat dan variabel fungsi integral dengan operator harus sama. Bentuk integral yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. TITIK! Sementara untuk integral fungsi trigonometri harus memenuhi sifat 6 turunan fungsi trigonometri, serta bentuk yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. Serta perkecualian untuk bentuk perkalian tertentu yang bisa diubah menjadi penjumlahan pengurangan lewat rumus perkalian ke penjumlahan trigonometri. TITIK! Berikut ini adalah beberapa contoh penyelesaian integral dengan cara mengubah bentuk integral: Contoh Soal 1: Hasil dari ∫ 35√������2 ⅆ������ = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih berbentuk akar. Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pecahan dong! ∫ 35√������2 ⅆ������ = 3 ∫ 5√������2 ⅆ������ ������ (Ingat ���√��� ������������ = ������ ������ ) 2 (Ingat ������ ⅆ������ = ������ ������ ������+������ + ������ atau TRIK SUPERKILAT di halaman 215) + = 3 ∫ ������5 ⅆ������ ∫ ������ ������ ������ ������ ������ = 3 ∙ 5 7 + ������ 7 ������5 = 15 7 + ������ 7 ������5 Contoh Soal 2: Hasil dari 2 ∫ 5������3 ⅆ������ = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada variabel berpangkat menjadi penyebut. Ubah bentuk tersebut bentuk pangkat negatif dong! ∫ 2 ⅆ������ = (Ingat 1 = ������−������) 5������3 ������������ 2 = ∫ 5 ������−3 ⅆ������ = 2 ∫ ������−3 ⅆ������ 5 2 1 = 5 ∙ −2 ������−2 + ������ = − 1 ������−2 + ������ 5 1 = − 5������2 + ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 219

Contoh Soal 3: Hasil dari 1 ∫ ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian. Ubah bentuk tersebut menjadi bentuk pangkat negatif dong! ∫ 1 ⅆ������ = (Ingat 1 = ������−������) ������ ������������ = ∫ ������−1 ⅆ������ = 1 ������−0 + ������ 0 = tidak terdefinisi Lho kok tidak terdefinisi???????? Ya! Khusus ∫ ������������ ⅆ������ apabila ������ = −1 maka penyelesaiannya tidak menggunakan konsep dasar integral. Jadi, ∫ ������−1 ⅆ������ ≠ 1 1 ������−1+1 + ������ −1 + tetapi menggunakan rumus: ∫ ������−1 ⅆ������ = ∫ 1 ⅆ������ = ln|������| + ������ ������ Halaman 220 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh Soal 5: Hasil dari ∫ ������2(3������ − 5) ⅆ������ = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk perkalian. Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Dengan mengalikan secara distributif! ∫ ������2(3������ − 5) ⅆ������ = ∫(3������3 − 5������2) ⅆ������ (Ingat ∫(������(������) + ������(������)) ⅆ������ = ∫ ������(������) ⅆ������ + ∫ ������(������) ⅆ������ ) = ∫ 3������3 ⅆ������ − ∫ 5������2 ⅆ������ = 3 ������4 − 5 ������3 + ������ 4 3 Contoh Soal 6: Hasil dari ∫(2������ − 3)2 ⅆ������ = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat ������ atau dalam bentuk perkalian sebanyak ������ faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu ������������ = ���⏟��� × ������ × ������ × … × ������. ������������������������������������������������ ������ ������������������������������������ Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Dengan mengalikan sebanyak ������ faktor! ∫(2������ − 3)2 ⅆ������ = ∫(2������ − 3)(2������ − 3) ⅆ������ (Ingat (������ + ������)2 = ������2 + 2������������ + ������2 ) = ∫(4������2 − 12������ + 9) ⅆ������ = 4 ������3 − 6������ 2 + 9������ + ������ 3 Contoh Soal 7: Hasil dari 3 4������5 − 3������ ∫ 2������2 ⅆ������ = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian. Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan dong! Dengan menyederhanakannya dulu, tentunya….. ∫ 4������5 − 3������3 ⅆ������ = ∫ (24������������25 − 3������ 3 ⅆ������ (Ingat ������ + ������ = ������ + ������ ) 2������2 2������ ������ ������ ������ 2) = ∫ (2������3 − 3 ������) ⅆ������ 2 3 ∫ 2������3 3 Menyelesaikan bentuk ∫ 2 ������ ⅆ������ yang paling mudah adalah 2 ) = ⅆ������ − ∫ ������ ⅆ������ 3 3 3 1 2 2 2 2 ( ∫ ������ ⅆ������ = ∫ ������ ⅆ������ = ∙ ������2 + ������ = 2 ������4 − 3 ∙ 1 ������ 2 + ������ 4 2 2 1 3 = 2 ������4 − 4 ������2 + ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 221

Contoh Soal 8: Hasil dari ∫(3 + tan2 ������) ⅆ������ = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar. Bentuk tan2 ������ bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar. Jadi ∫ tan2 ������ ⅆ������ tidak bisa dikerjakan langsung. Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ sec2 ������ ⅆ������ = tan ������ + ������. Ubah bentuk tan2 ������ menjadi bentuk sec2 ������ dong! Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut: tan2 ������ + 1 = sec2 ������ ⇒ tan2 ������ = sec2 ������ − 1 ∫(3 + tan2 ������) ⅆ������ = (Ingat tan2 ������ = sec2 ������ − 1) = ∫(3 + (sec2 ������ − 1)) ⅆ������ = ∫(2 + sec2 ������) ⅆ������ = ∫ 2 ⅆ������ + ∫ sec2 ������ ⅆ������ = 2������ + tan ������ + ������ Contoh Soal 9: Hasil dari ∫(2 cot2 ������ − 5) ⅆ������ = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar. Bentuk cot2 ������ bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar. Jadi ∫ cot2 ������ ⅆ������ tidak bisa dikerjakan langsung. Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ csc2 ������ ⅆ������ = −cot ������ + ������. Ubah bentuk tan2 ������ menjadi bentuk sec2 ������ dong! Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut: 1 + cot2 ������ = csc2 ������ ⇒ cot2 ������ = csc2 ������ − 1 ∫(2 cot2 ������ − 5) ⅆ������ = (Ingat cot2 ������ = csc2 ������ − 1) = ∫(2(csc2 ������ − 1) − 5) ⅆ������ = ∫(2 csc2 ������ − 7) ⅆ������ = ∫ 2 csc2 ������ ⅆ������ − ∫ 7 ⅆ������ = 2 ∫ csc2 ������ ⅆ������ − 7������ + ������ = 2(− cot ������) − 7������ + ������ = −2 cot ������ − 7������ + ������ Halaman 222 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook