Contoh Soal 10: Hasil dari ∫ sin 3������ cos ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk perkalian fungsi trigonometri. Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Ya! Dengan menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus perkalian trigonometri sin ������ cos ������ = 1 [sin(������ + ������) + sin(������ − ������)] 2 1 cos ������ sin ������ = 2 [sin(������ + ������) − sin(������ − ������)] cos ������ cos ������ = 1 [cos(������ + ������) + cos(������ − ������)] 2 1 sin ������ sin ������ = − 2 [cos(������ + ������) − cos(������ − ������)] Jadi, 1 2 ∫ sin 3������ cos ������ ⅆ������ = ∫ [sin(3������ + ������) + sin(3������ − ������)] ⅆ������ = ∫ 1 (sin 4������ + sin 2������) ⅆ������ 2 (21 1 = ∫ sin 4������ + 2 sin 2������) ⅆ������ = ∫ 1 sin 4������ ⅆ������ + ∫ 1 sin 2������ ⅆ������ 2 2 1 1 = 2 ⏟∫ sin 4������ ⅆ������ + 2 ∫⏟ sin 2������ ⅆ������ Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama. Sudut sinus 4������ dan 2������, sementara operator integralnya ⅆ������. Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi! Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 223
Contoh Soal 10: Hasil dari ∫ sin2 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat ������ atau dalam bentuk perkalian sebanyak ������ faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu ������������ = ���⏟��� × ������ × ������ × … × ������. Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! ������������������������������������������������ ������ ������������������������������������ Ya! Jika pangkat ������ adalah pangkat bilangan genap menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus identitas trigonometri sin2 ������ = 1 − 1 cos 2������ 2 2 1 1 cos2 ������ = 2 + 2 cos 2������ Jadi, (21 1 2 ∫ sin2 ������ ⅆ������ = ∫ − cos 2������) ⅆ������ = ∫ 1 ⅆ������ − ∫ 1 cos 2������ ⅆ������ 2 2 1 1 = 2 ������ − 2 ⏟∫ cos 2������ ⅆ������ Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama. Sudut kosinus 2������, sementara operator integralnya ⅆ������. Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi! Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK! Contoh Soal 10: Hasil dari ∫ sin3 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat ������ atau dalam bentuk perkalian sebanyak ������ faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu ������������ = ⏟������ × ������ × ������ × … × ������. Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! ������������������������������������������������ ������ ������������������������������������ Ya! Jika pangkat ������ adalah pangkat bilangan ganjil menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus identitas trigonometri sin2 ������ = 1 − cos2 ������ cos2 ������ = 1 − sin2 ������ Jadi, ∫ sin3 ������ ⅆ������ = ∫ sin2 ������ sin ������ ⅆ������ = ∫(1 − cos2 ������) sin ������ ⅆ������ = ∫(sin ������ − cos2 ������ sin ������) ⅆ������ = ∫ sin ������ ⅆ������ − ∫⏟ cos2 ������ sin ������ ⅆ������ Karena fungsi integran dan operator integral tidak sama. Fungsi integran cos2 ������ sin ������ , sementara operator integralnya ⅆ������. Maka proses perhitungannya dilanjutkan dengan teknik integral substitusi! Yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.OK! Halaman 224 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi. Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral harus dalam bentuk pangkat ∫ □������ ⅆ□ = 1 □������+1 + ������ ������+1 harus sama Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan Teknik Integral Substitusi harus dalam bentuk pangkat ∫ □������ ⅆ∆ belum sama Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi. Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut. Periksa! Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral masih memuat variabel ������? Tidak! Ya! Nggak ada variabel ������ lagi! Masih menyisakan variabel ������! Integral Substitusi Integral Parsial Teknik Tabulasi Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 225
TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Substitusi. Perhatikan konsepnya: ⅆ ⅆ������ (������2 + 4������ − 9) = (2������ + 4) ⇒ ⅆ(������2 + 4������ − 9) = (2������ + 4) ⅆ������ ⇔ ⅆ(������2 + 4������ − 9) = ⅆ������ (2������ + 4) ⇔ ⅆ������ = ⅆ(������2 + 4������ − 9) turunannya (2������ + 4) Jadi ⅆ������ pada soal bisa diganti dengan ������(������(������)) ������′(������) Atau dalam kalimat bisa diartikan sebagai berikut: Jadi, ⅆ������ dapat diganti dengan sebuah fungsi permisalan dibagi oleh turunan fungsi tersebut! Contoh: ∫(3������ − 5)10000000000000 ⅆ������ = ∫(3������ − 5)10000000000000 ⅆ(������������ − ������) turunannya ������ ∫ sin(4������) ⅆ������ = ∫ sin(4������) ⅆ(������������) turunannya ������ ∫ 3������ cos(2������ 2) ⅆ������ = ∫ 3������ cos(2������2) ⅆ(������������������) turunannya ������������ dan lain-lain ….. Nah intisari dari teknik integral substitusi adalah mengupayakan agar turunan fungsi yang disubstitusi bisa membagi habis variabel pada fungsi lain yang tidak disubstitusi. Contohnya: ∫ 3������ cos(2������2) ⅆ������ = ∫ 3������ cos(2������2) ⅆ(2������2) = ∫ 3������ cos(2������2) ⅆ(2������2) = ∫ 3 cos(2������2) ⅆ(2������2) = ∫ 3 cos □ ⅆ□ 4������ 4������ 4 4 Pokoknya variabel ������ Hore!!!!! Hore!!!!!! harus hilang!!! Variabel ������ udah hilang!!!! Sudah sama!!!! Kalau hilang berarti integral substitusi. Kalau enggak hilang berarti integral parsial. Halaman 226 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 1: Hasil dari ∫(������ − 3)(������2 − 6������ + 1)−3 ⅆ������ = …. a. − 1 (������ 2 − 6������ + 1)−4 + ������ 8 b. − 1 (������ 2 − 6������ + 1)−4 + ������ 4 c. − 1 (������ 2 − 6������ + 1)−4 + ������ 2 d. − 1 (������ 2 − 6������ + 1)−2 + ������ 4 e. − 1 (������ 2 − 6������ + 1)−2 + ������ 2 Pembahasan: Perhatikan soal, ∫(������ − 3)(������������ − ������������ + ������)−3 ⅆ������ belum sama Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial. Ganti operator integral ∫(������ − 3)(������������ − ������������ + ������)−3 ⅆ������ ⇒ ∫(������ − 3)(������������ − ������������ + ������)−3 ⅆ(������������ − ������������ + ������) turunannya (������������ − ������) Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel ������? Periksa, apakah hasil (������−3) tidak menyisakan variabel ������? (2������−6) Ternyata hasil dari (������−3) = 1 , dan kita sudah tidak menemukan variabel ������ yang tersisa. (2������−6) 2 Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral substitusi. Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: ∫(������ − 3)(������2 − 6������ + 1)−3 ⅆ������ = ∫(������ 1 3)(������2 − 6������ + 1)−3 ⅆ(������2 − 6������ + 1) (Ingat ∫ 1 □������ ⅆ������ = 1 ∫ □������ ⅆ������) (2������ − 6) 2 2 2 − = ������ ∫(������2 − 6������ + 1)−3 ⅆ(������2 − 6������ + 1) (Ingat ∫ □������ ⅆ������ = ������ 1 1 □������+1 + ������) ������ + 1 ������ = 2 ∙ ((−������) + ������) (������������ − ������������ + ������)(−������)+������ + ������ = 1 ∙ 1 (������2 − 6������ + 1)−2 + ������ 2 (−2) 1 = − 4 (������2 − 6������ + 1)−2 + ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 227
Contoh Soal 2: Hasil dari ∫ 6������√3������2 + 5 ⅆ������ = …. a. 2 (6������2 + 5)√6������2 + 5 + ������ 3 b. 2 (3������2 + 5)√3������2 + 5 + ������ 3 c. 2 (������2 + 5)√������2 + 5 + ������ 3 d. 3 (������2 + 5)√������2 + 5 + ������ 2 e. 3 (3������2 + 5)√3������2 + 5 + ������ 2 Pembahasan: Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: ∫ 6������√3������2 + 5 ⅆ������ = Tanda akar diubah menjadi bentuk pangkat dulu!OK! 1 (Ingat ∫ √□ ⅆ������ = ∫ □2 ⅆ������) 1 = ∫ 6������(3������2 + 5)2 ⅆ������ (Samakan dulu operator integralnya ) = ∫ 6������(3������2 + 1 ⅆ(3������2 + 5) 6������ 5)2 1 (Ingat ∫ □������ ⅆ������ = ������ 1 1 □������+1 + ������) + = ∫(3������2 + 5)2 ⅆ(3������2 + 5) = (������������ ������ ������) (������������������ + ������)������������+������ + ������ + = 1 (3������2 + 3 + ������ 3 5)2 2 2 3 = 3 (3������2 + + ������ 5)2 = 2 (3������2 + 5)1+21 + ������ (Ingat sifat pangkat ������������+������ = ������������ ∙ ������������) 3 2 1 = 3 (3������2 + 5)(3������2 + + ������ 5)2 = 2 (3������2 + 5)√3������2 + 5 + ������ 3 Halaman 228 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3: Hasil dari 3 ∫ 2������ − 5 ⅆ������ = …. Pembahasan: Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: ∫ 3 5 ⅆ������ = 3 ∫ 1 5 ⅆ������ = 3 ∫(2������ − 5)−1 ⅆ������ (Samakan dulu operator integralnya) 2������ − 2������ − ⅆ(2������ − 5) = 3 ∫(2������ − 5)−1 2 = 3 ∫(2������ − 5)−1 ⅆ(2������ − 5) (Buang semua konstanta keluar integral) 2 3 = 2 ln|2������ − 5| + ������ Contoh Soal 4: Hasil dari 3������ − 1 ∫ ������2 − ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: ∫ 3������ − 1 ⅆ������ = ∫ 3������ 1) ⅆ������ (Ingat ������(������) = ������ + ℎ(������������)) ������2 − ������ ������(������ − ������(������)ℎ(������) ������(������) 3������ − 1 = ������ + (������ ������ 1) ������(������ − 1) ������ − ⇒ 3������ −1 = ������(������ − 1) + ������������ 1) ������(������ − 1) ������(������ − 1) ������(������ − ⇔ 3������ − 1 = ������(������ − 1) + ������������ ������ + ������ = 3 } ������ = 1 dan ������ = 2 ������(������ − 1) ������(������ − 1) ������ = 1 3������ − 1 ������������ − ������ + ������������ ⇔ ������(������ − 1) = ������(������ − 1) ⇔ 3������ − 1 = (������ + ������)������ − ������ ������(������ − 1) ������(������ − 1) ⇔ 3������ − 1 = (������ + ������)������ − ������ } ⇒ ∫ 3������ − 1 ⅆ������ = ∫ ������ + (������ ������ 1) ⅆ������ (Ingat, dari perhitungan di atas ternyata ������ = 1 dan ������ = 2) ������2 − ������ ������ − 3������ − 1 1 2 ⇔ ∫ ������2 − ������ ⅆ������ = ∫ ������ + (������ − 1) ⅆ������ = ∫ 1 ⅆ������ + ∫ (������ 2 1) ⅆ������ ������ − = ln|������| + ∫ 2 ⅆ(������ − 1) + ������ − 1 (������ 1) 1 = ln|������| + 2 ∫ (������ − 1) ⅆ(������ − 1) + ������ = ln|������| + 2 ln|������ − 1| + ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 229
Contoh Soal 5: Hasil dari ∫ sin(4������ − ������) ⅆ������ = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri yang sudutnya tidak sama dengan operator integralnya. Maksudnya? Perhatikan sudut fungsi sinus yaitu (4������ − ������). Padahal operator integralnya adalah ⅆ������. Artinya fungsi sinus tersebut diintegralkan terhadap variabel ������. Maka langkah penyelesaiannya adalah mensubstitusi operator integralnya agar sesuai dengan sudut fungsi trigonometrinya. Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: ∫ sin(4������ − ������) ⅆ������ = (Samakan dulu operator integralnya ) = ∫ sin(4������ − ������) ⅆ(4������ − ������) 4 Ternyata tidak ada variabel ������ tersisa. Jadi benar bahwa kita memilih langkah integral substitusi bukan integral parsial. = 1 ∫ sin(4������ − ������) ⅆ(4������ − ������) (Ingat ∫ sin □ ⅆ□ = − cos □ + ������) 4 1 = 4 ∙ (− cos(4������ − ������)) + ������ = − 1 cos(4������ − ������) + ������ 4 Halaman 230 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 5: Hasil dari ∫ sin3 ������ cos ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri beserta turunannya. Maksudnya? Masih ingat dengan 6 turunan fungsi trigonometri kan? ������(������) = sin ������ → ������′(������) = cos ������ ������(������) = cos ������ → ������′(������) = − sin ������ ������(������) = tan ������ → ������′(������) = sec2 ������ ������(������) = cot ������ → ������′(������) = − csc2 ������ ������(������) = sec ������ → ������′(������) = sec ������ tan ������ ������(������) = csc ������ → ������′(������) = − csc ������ cot ������ Coba lihat dan amati 6 fungsi trigonometri dan turunannya di atas. Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat ������ dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut: 1 ∫ sin������ ������ (cos ������) ⅆ������ = ������ + 1 sin������+1 ������ + ������ ∫ cos������ ������ (sin ������) ⅆ������ = − ������ 1 1 cos������+1 ������ + ������ + 1 ∫ tan������ ������ (sec2 ������) ⅆ������ = ������ + 1 tan������+1 ������ + ������ ∫ cot������ ������ (csc2 ������) ⅆ������ = − ������ 1 1 cot������+1 ������ + ������ + 1 ∫ sec������ ������ (sec ������ tan ������) ⅆ������ = ������ + 1 sec������+1 ������ + ������ ∫ csc������ ������ (csc ������ cot ������) ⅆ������ = − ������ 1 1 csc������+1 ������ + ������ + Jadi ∫ sin3 ������ cos ������ ⅆ������ bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi. Dengan mengganti operator integral dari yang semula ⅆ������ menjadi ⅆ(sin ������). Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: ∫ sin3 ������ cos ������ ⅆ������ = (Samakan dulu operator integralnya ) = ∫ sin3 ������ cos ������ ⅆ(sin ������) cos ������ 1 = ∫ sin3 ������ ⅆ(sin ������) (Ingat ∫ sin������ □ ⅆ(sin □) = ������ + 1 sin������+1 □ + ������) = 1 sin4 ������ + ������ 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 231
Contoh Soal 6: Hasil dari ∫ sin3 ������ ⅆ������ = …. Pembahasan: Integral sin atau cos berpangkat ganjil arah penyelesaiannya selalu ke bentuk integral berikut: 1 ∫ sin������ ������ (cos ������) ⅆ������ = ������ + 1 sin������+1 ������ + ������ ∫ cos������ ������ (sin ������) ⅆ������ = − ������ 1 1 cos������+1 ������ + ������ + Jadi, selalu disisakan satu fungsi sin atau cos berpangkat 1. Misalnya ∫ sin3 ������ ⅆ������, maka harus diubah supaya ada suku fungsi integran yang menjadi ∫ cos2 ������ sin ������. Konsep identitas trigonometri yang selalu digunakan jika bertemu sin atau cos pangkat ganjil adalah: sin2 ������ + cos2 ������ = 1 Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: ∫ sin3 ������ ⅆ������ = (Untuk soal integral sin atau cos pangkat ganjil selalu sisakan sin atau cos pangkat 1) Jadi ubah dulu sin������ ������ = sin������−1 ������ sin ������ = ∫ sin2 ������ sin ������ ⅆ������ = ∫(1 − cos2 ������) sin ������ ⅆ������ (Ingat sin2 ������ + cos2 ������ = 1 ⇒ sin2 ������ = 1 − cos2 ������) = ∫(sin ������ − cos2 ������ sin ������) ⅆ������ (Ingat ∫ ������(������) + ������(������) ⅆ������ = ∫ ������(������) ⅆ������ + ∫ ������(������) ⅆ������) = ∫ sin ������ ⅆ������ − ∫ cos2 ������ sin ������ ⅆ������ (Penyelesaian ∫ cos2 ������ sin ������ ⅆ������ lihat Contoh Soal 4) = − cos ������ − ∫ cos2 ������ sin ������ ⅆ(cos ������) (Ingat ∫ cos������ □ ⅆ(cos □) = ������ 1 1 cos������+1 □ + ������) − sin ������ + = − cos ������ + ∫ cos2 ������ ⅆ(cos ������) = − cos ������ + 1 cos3 ������ + ������ 3 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTISnya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!! Halaman 232 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Parsial. Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral harus dalam bentuk pangkat ∫ □������ ⅆ□ = 1 □������+1 + ������ ������+1 harus sama Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan Teknik Integral Parsial atau Metode Tabulasi harus dalam bentuk pangkat ∫ □������ ⅆ∆ belum sama Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi. Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut. Periksa! Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral masih memuat variabel ������? Tidak! Ya! Nggak ada variabel ������ lagi! Masih menyisakan variabel ������! Integral Substitusi Integral Parsial Teknik Tabulasi Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 233
Contoh Soal 1: Hasil dari ∫ ������√������ + 1 ⅆ������ = …. a. 2 (������ + 1)√������ + 1 − 2 (������ + 1)2√������ + 1 + ������ 5 3 b. 2 (3������2 + ������ − 2)√������ + 1 + ������ 15 c. 2 (3������2 + ������ + 4)√������ + 1 + ������ 15 d. 2 (3������2 − ������ − 2)√������ + 1 + ������ 15 e. 2 (������ 2 + ������ − 2)√������ + 1 + ������ 5 Pembahasan: Perhatikan soal, ubah dulu tanda akar menjadi bentuk pangkat, 1 ∫ ������√������ + 1 ⅆ������ = ∫ ������(������ + ������)2 ⅆ������ belum sama Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial. Ganti operator integral 1 (������ + 1 ⅆ(������ + ������) turunannya ������ ∫ ������(������ + ������)2 ⅆ������ ⇒ ∫ ������ ������)2 Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel ������? Periksa, apakah hasil ������ tidak menyisakan variabel ������? 1 Ternyata hasil dari ������ = ������ , dan kita masih menemukan variabel ������ yang tersisa. 1 Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral parsial. 1 ∫ ������(������ + 1)2 ⅆ������ = (Ingat integral parsial ∫ ������ ⅆ������ = ������������ − ∫ ������ ⅆ������) Misal ������ = ������ ⇒ ⅆ������ = 1 ⅆ������ ⇔ ⅆ������ = ⅆ������ 11 Maka ⅆ������ = (������ + 1)2ⅆ������ ⇒ ∫ ⅆ������ = ∫ (������ + 1)2ⅆ������ ⇔ ������ = 2 (������ + 3 3 1)2 1 ⇒ ∫ ������(������ + 1)2 ⅆ������ = ������������ − ∫ ������ ⅆ������ = ������ ∙ ������ (������ + ������ − ∫ ������ (������ + ������ ⅆ������ ������ ������ ������)������ ������)������ = 2 ������(������ + 3 − 2 ∫(������ + 3 ⅆ(������ + 1) 3 3 1 1)2 1)2 = 2 ������(������ + 3 − 2 ∙ 2 (������ + 5 + ������ 3 3 5 1)2 1)2 = 2 ������(������ + 3 − 4 (������ + 5 + ������ 1 3 15 1)2 1)2 (keluarkan FPB-nya (������ + 1)2) = (������ + 3 [23 ������ − 4 (������ + 1)] + ������ 15 1)2 = (������ + 1 + 1) (165 ������ − 145) + ������ 1)2 (������ = (������ + 1 + 1) 2 (3������ − 2) + ������ 15 1)2 (������ = 2 (3������ − 2)(������ + 1)(������ + 1 + ������ 15 1)2 = 2 (3������2 + ������ − 2)(������ + 1 + ������ 15 1)2 = 2 (3������2 + ������ − 2)√������ + 1 + ������ 15 Halaman 234 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2a: Hasil dari ∫(������2 + 1) cos ������ ⅆ������ = …. a. ������2 sin ������ + 2������ cos ������ + ������ b. (������2 − 1) sin ������ + 2������ cos ������ + ������ c. (������2 + 3) sin ������ − 2������ cos ������ + ������ d. 2������2 cos ������ + 2������2 sin ������ + ������ e. 2������ sin ������ − (������2 − 1) cos ������ + ������ Pembahasan: Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: ∫ ⏟(������2 + 1) ⏟cos ������ ⅆ������ = (Ingat integral parsial ∫ ������ ⅆ������ = ������������ − ∫ ������ ⅆ������) ������ ⅆ������ ⅆ������ Misal ������ = 2������ ⇒ ⅆ������ = 2 ⇔ ⅆ������ = 2 ⅆ������ Maka ⅆ������ = cos ������ ⅆ������ ⇒ ∫ ⅆ������ = ∫ cos ������ ⅆ������ ⇔ ������ = sin ������ ⇒ ∫(������2 + 1) cos ������ ⅆ������ = ������������ − ∫ ������ ⅆ������ = (������������ + ������) ∙ ������������������ ������ − ∫ ������������������ ������ ∙ ������������ ⅆ������ = (������2 + 1) sin ������ − ∫ 2������ sin ������ ⅆ������ (Bentuk ∫ 2������ sin ������ ⅆ������ diselesaikan menggunakan teknik integral parsial) ⇒ ∫(������2 + 1) cos ������ ⅆ������ = (������2 + 1) sin ������ − ∫ 2⏟������ ⏟sin ������ ⅆ������ ������ ⅆ������ ⅆ������ Misal ������ = 2������ ⇒ ⅆ������ = 2 ⇔ ⅆ������ = 2 ⅆ������ Maka ⅆ������ = sin ������ ⅆ������ ⇒ ∫ ⅆ������ = ∫ sin ������ ⅆ������ ⇔ ������ = − cos ������ ⇒ ∫(������2 + 1) cos ������ ⅆ������ = (������2 + 1) sin ������ − [������������ − ∫ ������ ⅆ������] + ������1 = (������2 + 1) sin ������ − [2������ ∙ (− cos ������) − ∫ (−cos ������) ∙ 2 ⅆ������ + ������2] + ������1 = (������2 + 1) sin ������ − [(−2������ cos ������) + ∫ 2 cos ������ ⅆ������ + ������2] + ������1 = (������2 + 1) sin ������ − [(−2������ cos ������) + 2 sin ������ + ������2] + ������1 = (������2 + 1) sin ������ + 2������ cos ������ − 2 sin ������ + ⏟������2 + ������1 ������������+������������=������ = (������2 + 1) sin ������ − 2 sin ������ + 2������ cos ������ + ������ = (������2 + 1 − 2) sin ������ + 2������ cos ������ + ������ = (������2 − 1) sin ������ + 2������ cos ������ + ������ Menyelesaikan integral dengan teknik integral parsial bisa juga dilakukan menggunakan metode tabulasi. Langkah penyelesaian integral parsial dengan metode tabulasi adalah memisah bagian yang mudah diturunkan hingga nol, dan bagian yang rumit. Penyelesaian metode tabulasi untuk soal ini ada di halaman berikutnya! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 235
TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Parsial Menggunakan Metode Tabulasi. Contoh Soal 2b: Hasil dari ∫(������2 + 1) cos ������ d������ = …. a. ������2 sin ������ + 2������ cos ������ + ������ b. (������2 − 1) sin ������ + 2������ cos ������ + ������ c. (������2 + 3) sin ������ − 2������ cos ������ + ������ d. 2������2 cos ������ + 2������2 sin ������ + ������ e. 2������ sin ������ − (������2 − 1) cos ������ + ������ Pembahasan TRIK SUPERKILAT Integral Parsial menggunakan Metode Tabulasi: Langkah penyelesaian integral parsial dengan menggunakan metode tabulasi : Buat tabel dengan dua kolom. Isi kolom kiri dengan turunan bagian yang mudah secara terus-menerus hingga turunannya sama dengan nol. Isi kolom kanan dengan integral bagian yang rumit secara terus-menerus sebanyak baris kolom kiri. Kalikan kolom kiri dan kanan dengan arah menyerong serta kalikan juga dengan tanda plus minus bergantian. Ingat! Selalu diawali oleh tanda plus!! Selesai! ∫ (⏟������2 + 1) c⏟os ������ ⅆ������ = (Pisahkan bagian yang mudah diturunkan hingga nol dengan bagian yang rumit) mudah rumit Kolom Kiri Kolom Kanan (Turunkan) (Integralkan) (������2 + 1) cos ������ 2������ sin ������ ⊕ (������2 + 1) sin ������ − cos ������ ⊖ 2������ cos ������ 2 − sin ������ ⊕ −2 sin ������ 0 ∫(������2 + 1) cos ������ d������ = (������2 + 1) sin ������ + 2������ cos ������ − 2 sin ������ + ������ = (������2 + 1) sin ������ − 2 sin ������ + 2������ cos ������ + ������ = (������2 + 1 − 2) sin ������ + 2������ cos ������ + ������ = (������2 − 1) sin ������ + 2������ cos ������ + ������ Penyelesaian menggunakan teknik integral parsial ada di halaman sebelumnya. Coba bandingkan hasilnya! Halaman 236 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri. TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri yaitu tentang: bagaimana cara praktis menguasai konsep integral fungsi trigonometri; ciri-ciri soal integral fungsi trigonometri yang bisa diselesaikan dengan integral langsung atau hanya bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi maupun teknik integral parsial. Semuanya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!! TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri. Sepertinya untuk soal integral UN Matematika SMA 2013 nanti tidak akan muncul soal yang harus dikerjakan dengan teknik integral substitusi trigonometri, yaitu fungsi-fungsi yang memuat bentuk √������ − ������2, √������ + ������2, dan √������2 − ������. Namun untuk TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri juga bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 237
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Cepat Menyelesaikan Integral Tertentu. Perhatikan konsep dasar dari Integral Tertentu ������ ⅆ������ = ������(������) |������������ = ������(������) − ������(������) ∫ ������(������) ������ Contoh Soal 1: Hasil dari 4 ∫ (6������2 − 8������ + 3) ⅆ������ = …. 2 a. 96 b. 108 c. 112 d. 116 e. 128 Pembahasan: Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut: 4 − ������ + 3) ⅆ������ = [2������3 − 1 ������2 + 4 2 ∫ (6������2 3������] 2 2 = (2(4)3 − 1 (4)2 + 3(4)) − (2(2)3 − 1 (2)2 + 3(2)) 2 2 = (2 ∙ 64 − 1 ∙ 16 + 12) − (2 ∙ 8 − 1 ∙ 4 + 6) 2 2 = (128 − 8 + 12) − (16 − 2 + 6) = (132) − (20) = 112 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT hanya mengubah cara perhitungan supaya menjadi lebih sederhana menggunakan kebalikan dari sifat distributif, yakni mengumpulkan faktor yang sama dalam perhitungan. Misal ������(������) = 2������3 − 1 ������2 + 3������ 2 Maka, ������(������) − ������(������) = (2(4)3 − 1 (4)2 + 3(4)) − (2(2)3 − 1 (2)2 + 3(2)) 2 2 = 2(4)3 − 1 (4)2 + 3(4) − 2(2)3 + 1 (2)2 − 3(2) 2 2 1 1 = 2(4)3 − 2(2)3 − 2 (4)2 + 2 (2)2 + 3(4) − 3(2) = 2 (⏟43 − 23) − 1 ⏟(42 − 22) + 3 ⏟(4 − 2) 2 selisihnya ������3 selisihnya ������2 selisihnya ������ 4 − ������ + 3) ⅆ������ = [2������3 − 1 ������2 + 4 2 ∫ (6������2 3������] 2 2 1 = 2(43 − 23) − 2 (42 − 22 ) + 3(4 − 2) = 2(64 − 8) − 1 (16 − 4) + 3(2) 2 1 = 2(56) − 2 (12) + 3(2) = 112 − 6 + 6 = 112 Catatan: TRIK SUPERKILAT Integral tertentu ini hanya berlaku apabila fungsi integrannya adalah fungsi aljabar. Halaman 238 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Integral ini…. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 239
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 3x 1 3x2 2x 7 1. dx Hasil dari 7 .... 1 ∫ 3������ − 1 ⅆ������ = ∫(3������ − 1)(3������2 − 2������ + 7)−7 ⅆ(3������2 − 2������ + 7) 2x − 2������ + (6������ − 2) A. 3 3x2 6 C (3������2 7)7 1 2 B. 7 = ∫(3������2 − 2������ + 7)−7ⅆ(3������2 − 2������ + 7) 1 C = 1 ∙ (− 61) (3������2 − 2������ + 7)−6 + C 4 3x2 2x 7 6 2 −1 C. 1 C = 12(3������2 − 2������ + 7)6 + C 6 3x2 2x 7 6 D. 1 C 12 3x2 2x 7 6 E. 1 C 12 3x2 2x 7 7 2. Hasil dari 3x 3x2 1 dx .... A. 2 (3x2 1) 3x 2 1 C ∫ 3������√3������2 + 1 ⅆ������ = ∫ 3������(3������2 + 1)12 ⅆ(3������2 + 1) 3 6������ B. 1 (3x2 1) 3x2 1 C = 1 ∫(3������2 + 1)21 ⅆ(3������2 + 1) 2 2 1 2 1)32 C. 1 (3x2 1) 3x2 1 C = 12 ∙ 3 ∙ (3������2 + + C 3 = 3 + 1 (3������2 + 1)√3������2 + C D. 1 (3x2 1) 3x2 1 C 2 E. 2 (3x2 1) 3x2 1 C 3 3. Hasil dari 4x 3 4x2 6x 9 9 dx .... A. 1 4x2 6x 9 10 C ∫(4������ + 3)(4������2 + 6������ − 9)9 ⅆ������ = ∫(4������ + 3)(4������2 + 6������ − 9)9 ⅆ(4������2 + 6������ − 9) 10 8������ + 6 1 B. 1 2x 3 20 C = 2 ∫(4������2 + 6������ − 9)9 ⅆ(4������2 + 6������ − 9) 15 = 121∙ 1 ∙ (4������2 + 6������ − 9)10 + C = 20 10 C. 1 2x 3 20 C (4������2 + 6������ − 9)10 + C 20 D. 1 4x2 6x 9 10 C 20 E. 1 4x2 6x 9 10 C 30 2x 2 dx .... 4. Hasil dari 7 2x3 5 5 A. 3 7 2x3 5 3 C ∫ 2������2 5)5 ⅆ������ = ∫ 2������2 ⅆ(2������3 − 5) 7√(2������3 − 7√(2������3 − 5)5 (6������2) 7 = 1 ∫(2������3 − 5)−75 ⅆ(2������3 − 5) 3 B. 6 6 2x3 5 7 C 1 7 3 = 3 ∙ 2 (2������3 − 5)72 + C C. 6 7 2x3 5 6 C = 7 7√(2������3 − 5)2 + C 7 6 D. 7 7 2x3 5 2 C 6 E. 7 2 2x3 5 7 C 6 Halaman 240 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2 5. Nilai dari 4x2 x 5 dx .... 1 2 − ������ + 5) ⅆ������ = [34 ������3 − 1 ������2 + 2 2 A. 33 ∫ (4������2 5������] 6 (43 1 (34 1 1 2 1 2 B. 44 6 = (2)3 − (2)2 + 5(2)) − (1)3 − (1)2 + 5(1)) C. 55 = (332 − 2 + 10) − (34 − 1 + 5) 6 2 153162−−36355 D. 65 = 6 6 = E. 77 = 77 6 6 4 4 6. Nilai dari x2 2x 2 dx .... 2������] 4 [13 (13 (4)3 − (4)2 2(4)) − (13 (1)3 A. 1 − 2������ + 2) ⅆ������ = ������3 − ������2 + 1 = (634 − 16 + 8) + (13 − 1 + 2) − (1)2 + 2(1)) B. ∫ (������2 = − C. 12 14 1 16 64 1 D. 18 = 3 − 8 − 3 − 1 E. 20 = 12 2 2 7. Nilai dari 3x2 3x 7 dx .... 7������] 2 3 3 3 A. 0 − 3������ + 7) ⅆ������ = [������3 − 2 ������2 + 0 = ((2)3 − 2 (2)2 + 7(2)) − ((0)3 − 2 (0)2 + 7(0)) B. ∫ (3������2 6 = (8 − 6 + 14) − (0) 10 0 C. 13 = 16 D. 16 E. 22 3 3 [32 2 Nilai dari 2x2 4x 3 dx .... ∫ (2������2 3������] 1 1 0 A. 27 1 8. + 4������ − 3) ⅆ������ = ������3 + 2������2 + = (32 (3)3 + 2(3)2 + 3(3)) − (32 (1)3 + 2(1)2 + 3(1)) 3 = (138 + 18 + 9) − (23 + 2 + 3) B. 27 1 = (138 + 27) − (32 + 5) 2 C. 37 1 = 27 − 5 + 18 − 2 3 3 3 16 D. 37 1 = 22 + 3 2 = 22 + 5 1 E. 511 3 2 1 = 27 3 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 241
1π 2 9. Nilai dari 2sin 2x 3cosx dx .... ������ ������]102������ 0 sin 2������ − 3 cos ������) ⅆ������ = [− cos 2������ − 3 sin ∫2(2 A. −5 0 B. −1 1 C. 0 = (− cos ������ − 3 sin 2 ������) − (− cos 0 − 3 sin 0) D. 1 = (1 − 3) − (−1 − 0) E. 2 = −2 + 1 = −1 1π 2 10. Nilai dari 3sin 2x cosx dx .... ∫21������(3 21������ 0 sin 2������ − cos ������) ⅆ������ = [− 3 cos 2������ − sin 0 2 ������] A. −2 B. −1 3 0 3 2 1 2 C. 0 = (− cos ������ − sin 2 ������) − (− cos 0 − sin 0) D. 1 = (− 3 − 1) − (− 3 − 0) E. 2 2 2 =2 π 2 11. Nilai dari sin(2x ) dx .... ������ ������ TRIK SUPERKILAT: 0 − ������) ⅆ������ = [− 1 cos(2������ − ������)]2 ∫2sin(2������ 2 ������ ������ A. −2 0 B. −1 0 1 1 ∫2sin(2������ − ������) ⅆ������ = ∫2− sin(2������) ⅆ������ 2 2 C. 0 = (− cos 0) − (− cos(−������)) 00 ������ D. 2 = (− 12) − (12) = [12 cos(2������)]2 E. 4 =1 0 =1 1π 3 12. Nilai dari (sin 2x 3cosx) dx .... ������]31������ ∫31������(sin A. 0 3 2������ + 3 cos ������) ⅆ������ = [− 1 cos 2������ + 3 sin 0 0 2 32 4 1 1 B. 3 3 3 = (− 2 cos 240° + 3 sin 60°) − (− 2 cos 0° + 3 sin 0°) 4 = (− 1 (− 12) + 3 √3) − (− 1 + 0) 2 2 2 C. 1 1 2 3 1 3 1 4 = 4 + 2 √3 + 2 D. 2 1 2 3 = 3 + 3 √3 4 4 2 3 E. 3 1 2 3 = 4 (1 + 2√2) 4 Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Halaman 242 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
5. 4. Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral. Aplikasi Integral Luas Daerah Volume Benda Putar Luas Daerah Dibatasi Kurva Diputar Mengelilingi Sumbu X ������ ������ ������ ������ = ������(������) ������ = ������(������) ������ = ������ ������ = ������ ������ ������ ������ ������ = ������ ∫(������(������))2 ������������ ������ ������ = ������(������) ������ ������ = ������ ������ = ������ ������ ������ = ������ ������ = ������ ������ ������ = − ∫ ������(������) ������������ Diputar Mengelilingi Sumbu Y ������ = ∫ ������(������) ������������ ������ ������ ������ ������ ������ = ������(������) ������ = ������(������) ������ ������ = ������(������) ������ = ������ ������ ������ = ������ ������ = ������ ������ ������ = ������ ������ = ������ ������ ������ = ������ ������ = ������ ∫(������(������))2 ������������ ������ ������ ������ ������ ������ = − ∫ ������(������) ������������ Volume Benda Antara Dua Kurva ������ = ∫ ������(������) ������������ ������ ������ ������1 = ������(������) ������ ������2 = ������(������) ������ ������ ������ = ������(������) ������ ������ = ������ ������ = ������ ������ = ������ ������ ������ ������ = ������ ������ = ������ ������ = − ∫ ������(������) ������������ + ∫ ������(������) ������������ ������ ������ ������ ������ = ������ ∫ [(������(������))2 − (������(������))2] ������������ Luas Daerah Dibatasi Dua Kurva ������ ������ ������1 = ������(������) ������ ������1 = ������(������) ������ ������2 = ������(������) ������2 = ������(������) ������ = ������ ������1 = ������(������) ������2 = ������(������) ������ ������ = ������ ������ = ������ ������ = ������ ������ = ������ ������ = ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ = ∫[������(������) − ������(������)] ������������ ������ = ∫[������(������) − ������(������)] ������������ ������ = ������ ∫ [(������(������))2 − (������(������))2] ������������ ������ ������ ������ Halaman 270 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Luas Daerah) Luas Daerah Dibatasi Diketahui Garis Memotong Dua Kurva Lebar dan Tinggi Kurva di Titik Puncak Y Y Tinggi Tinggi X X Lebar Lebar ������ = 2 × Lebar × Tinggi ������ = 1 × Lebar × Tinggi 3 6 ������������������������������������ = 1 ������������ ������������������������������������ = 1 ������������ 3 6 Y Y ������ (������ , ������) ������ (������ , ������) ������ = ������√������ 6������2 ������ X ������ X ������ = ������2 − 4������������ adalah nilai diskriminan ������������������������������������ = 2 ������������ ������������������������������������ = 1 ������������ persamaan kuadrat: ������������2 + ������������ + ������ = 0. 3 2 Persamaan kuadrat tersebut diperoleh dari persekutuan kedua kurva. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 271
Contoh Soal 1a: Luas daerah yang dibatasi parabola ������ = 8 − ������2 dan garis ������ = 2������ adalah .... a. 36 satuan luas b. 41 1 satuan luas 3 c. 41 2 satuan luas 3 d. 46 satuan luas e. 46 2 satuan luas 3 Pembahasan: Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut: Y Titik potong parabola dengan garis adalah: ������1 = ������2 ������1 = 2������ ⇒ 2������ = 8 − ������2 X ⇔ 2������ − (8 − ������2) = 0 ������2 = 8 − ������2 ⇔ 2������ − 8 + ������2 = 0 ⇔ ������2 + 2������ − 8 = 0 ⇔ (������ + 4)(������ − 2) = 0 ⇔ ������ + 4 = 0 atau ������ − 2 = 0 ⇔ ������ = −4 atau ������ = 2 Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik ������ = −4 dan ������ = 2. Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari luas daerah. Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut: 2 ������ = ∫ [������(������) − ������(������)] ������������ −4 Nah, sekarang kita menentukan ������(������) dan ������(������). Pada interval batas integrasi −4 ≤ ������ ≤ 2, berlaku ������(������) ≥ ������(������). Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa: ������(������) = 8 − ������2 dan ������(������) = 2������ Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut: 2 ������ = ∫ [(8 − ������2) − (2������)] ������������ −4 Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu. 2 ������ = ∫ [(8 − ������2) − (2������)] ������������ −4 2 = ∫ (−������2 − 2������ + 8) ������������ −4 2 = [− 1 ������3 − ������2 + 8������] 3 −4 1 1 = (− 3 (2)3 − (2)2 + 8(2)) + (− 3 (−4)3 − (−4)2 + 8(−4)) = (− 8 − 4 + 16) − (634 − 16 − 32) 3 (−8 − 12 + 48) (64 − 48 − 96) = 3 − 3 = 28 − (− 830) 3 28 80 = 3 + 3 = 108 3 = 36 satuan luas Halaman 272 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 1b: Luas daerah yang dibatasi parabola ������ = 8 − ������2 dan garis ������ = 2������ adalah .... a. 36 satuan luas b. 41 1 satuan luas 3 c. 41 2 satuan luas 3 d. 46 satuan luas e. 46 2 satuan luas 3 Pembahasan TRIK SUPERKILAT: Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kedua kurva. Titik potong parabola dengan garis adalah: Stop sampai sini aja. ������1 = ������2 Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya. ⇒ 2������ = 8 − ������2 ⇔ 2������ − (8 − ������2) = 0 ⇔ 2������ − 8 + ������2 = 0 ⇔ ������2 + 2������ − 8 = 0 ⇔ (������ + 4)(������ − 2) = 0 ⇔ ������ + 4 = 0 atau ������ − 2 = 0 ⇔ ������ = −4 atau ������ = 2 Dari persamaan kuadrat ������2 + 2������ − 8 = 0, diperoleh nilai diskriminan: ������ = ������2 − 4������������ ⇒ ������ = (2)2 − 4(1)(−8) = 4 + 32 = 36 Sehingga luas daerah bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut: ������ = ������√������ = 36√36 = 36 × 6 = 36 satuan luas 6������2 6(1)2 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 273
Contoh Soal 2a: Luas daerah yang dibatasi kurva ������ = ������2, ������ = ������ + 2 , sumbu Y di kuadran I adalah .... a. 2 satuan luas 3 b. 4 satuan luas 3 c. 6 satuan luas 3 d. 8 satuan luas 3 e. 10 satuan luas 3 Pembahasan: Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut: Y Titik potong parabola dengan garis adalah: ������1 = ������2 ������1 = ������2 ������2 = ������ + 2 ⇒ ������2 = ������ + 2 X ⇔ ������2 − (������ + 2) = 0 ⇔ ������2 − ������ − 2 = 0 ⇔ (������ + 1)(������ − 2) = 0 ⇔ ������ + 1 = 0 atau ������ − 2 = 0 ⇔ ������ = −1 atau ������ = 2 Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik ������ = −1 dan ������ = 2. Batas integrasi untuk mencari luas daerah adalah garis ������ = 0 dan ������ = 2. Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut: 2 ������ = ∫ [������(������) − ������(������)] ������������ 0 Nah, sekarang kita menentukan ������(������) dan ������(������). Pada interval batas integrasi 0 ≤ ������ ≤ 2, berlaku ������(������) ≥ ������(������). Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa: ������(������) = ������ + 2 dan ������(������) = ������2 Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut: 2 ������ = ∫ [(������ + 2) − (������2)] ������������ 0 Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu. 2 ������ = ∫ [(������ + 2) − (������2)] ������������ 0 2 = ∫ (−������2 + ������ + 2) ������������ 0 2 = [− 1 ������3 + 1 ������2 + 2������] 3 2 0 1 1 1 1 = (− 3 (2)3 + 2 (2)2 + 2(2)) + (− 3 (0)3 + 2 (0)2 + 2(0)) = (− 8 + 2 + 4) − (0) 3 −8 + 6 + 12 = 3 = 10 satuan luas 3 Halaman 274 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2b: Luas daerah yang dibatasi kurva ������ = ������2, ������ = ������ + 2 , sumbu Y di kuadran I adalah .... a. 2 satuan luas 3 b. 4 satuan luas 3 c. 6 satuan luas 3 d. 8 satuan luas 3 e. 10 satuan luas 3 Pembahasan TRIK SUPERKILAT: Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut: Y Titik potong parabola dengan garis adalah: ������1 = ������2 ������1 = ������2 ������2 = ������ + 2 4 ⇒ ������2 = ������ + 2 ⇔ ������2 − (������ + 2) = 0 2 X 2 ⇔ ������2 − ������ − 2 = 0 ⇔ (������ + 1)(������ − 2) = 0 ⇔ ������ + 1 = 0 atau ������ − 2 = 0 ⇔ ������ = −1 atau ������ = 2 Jadi, kita bisa menggunakan TRIK SUPERKILAT untuk menyelesaikan soal tersebut, dengan langkah berikut: Y YY =4 −4 4 X 2 2 2 2 2X 2X {Luas daerah arsir} = {23 luas segiempat, alas 2 dan tinggi 4} – {luas segitiga, alas 2 dan tinggi 4 − 2 = 2} ������������������������������������ = 2 ������□ − ������∆ 3 2 1 = 3 (2)(4) − 2 (2)(2) = 16 − 2 3 16 − 6 = 3 = 10 satuan luas 3 Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Integral ini…. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 275
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Volume Benda Putar) Volume Benda Putar Dibatasi Kurva dan Garis Sumbu X ������ = ������2√������ ������ 30������3 ������ = ������2 − 4������������ adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat: ������������2 + ������������ + ������ = 0. Persamaan kuadrat tersebut adalah persamaan kurva pada soal. Halaman 276 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 1a: Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva ������ = ������2 − 2������ dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah .... a. 8 ������ satuan volume 15 b. 12 ������ satuan volume 15 c. 16 ������ satuan volume 15 d. 20 ������ satuan volume 15 e. 24 ������ satuan volume 15 Pembahasan: Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut: Y ������ = ������2 − 2������ Titik potong parabola dengan sumbu X adalah: X ������ = 0 ⇒ ������2 − 2������ = 0 ⇔ ������(������ − 2) = 0 ⇔ ������ = 0 atau ������ − 2 = 0 ⇔ ������ = 0 atau ������ = 2 Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik ������ = 0 dan ������ = 2. Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari volume benda putar. Jadi rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut: 2 ������ = ������ ∫ [������(������)]2 ������������ 0 Nah, karena hanya dibatasi sebuah kurva maka jelas bahwa: ������(������) = ������2 − 2������ Sehingga rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut: 2 ������ = ������ ∫ [(������2 − 2������)]2 ������������ 0 Oke, sekarang kita hitung volumenya menggunakan konsep integral tertentu. 2 ������ = ������ ∫ [(������2 − 2������)]2 ������������ 0 2 = ������ ∫ (������4 − 4������3 + 4������2) ������������ 0 2 = ������ [15 ������5 − ������4 + 4 ������3] 3 0 [(51 4 (51 4 = ������ (2)5 − (2)4 + 3 (2)3) + (0)5 − (0)4 + 3 (0)3)] = ������ [(352 − 16 + 332) − (0)] [96 − 240 + 160] = ������ 15 = 16 ������ satuan volume 15 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 277
Contoh Soal 1b: Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva ������ = ������2 − 2������ dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah .... a. 8 ������ satuan volume 15 b. 12 ������ satuan volume 15 c. 16 ������ satuan volume 15 d. 20 ������ satuan volume 15 e. 24 ������ satuan volume 15 Pembahasan TRIK SUPERKILAT: Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kurva dengan sumbu putar. Titik potong parabola dengan garis adalah: Stop sampai sini aja. ������ = 0 Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya. ⇒ ������2 − 2������ = 0 ⇔ ������(������ − 2) = 0 ⇔ ������ = 0 atau ������ − 2 = 0 ⇔ ������ = 0 atau ������ = 2 Dari persamaan kuadrat ������2 − 2������ = 0, diperoleh nilai diskriminan: ������ = ������2 − 4������������ ⇒ ������ = (2)2 − 4(1)(0) =4 Sehingga volume benda putar bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut: ������ = ������2√������ ������ = (4)2√4 ������ =15163×0 2 ������ = 16 ������ satuan volume. 30������3 30(1)3 15 Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Integral ini…. Halaman 278 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x2 4x 3 dan y 3 x adalah .... TRIK SUPERKILAT: 41 satuan luas Y Luas daerah diarsir: ������1 = ������2 6 ������ A. 19 satuan luas 3 ⇒ ������2 − 4������ + 3 = 3 − ������ B. 3 1 ������ = ������2 − 4������ + 3 ������ = ∫ ������1 − ������2 ������������ ⇔ ������2 − 3������ = 0 9 satuan luas ������������������������ ������ = ������2 − 4������������ = 9 2 3X ������ 8 satuan luas ������ = 3 − ������ 3 3 11 satuan luas = ∫ (3 − ������) − (������2 − 4������ + 3) ������������ 6 ������ = ������√������ = 9√9 C. 0 6������2 6 ∙ 12 3 = ∫ (−������2 + 3������) ������������ 0 3 = 27 D. = [− 1 ������3 + 3 ������2] 6 3 2 9 0 2 1 3 1 3 = satuan luas E. = (− 3 (3)3 + 2 (3)2) − (− 3 (0)3 + 2 (0)2) = (−9 + 227) − (0) = 9 satuan luas 2 2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x2 3x 4daedr���TPaa��� heRnmdIKiaybrSasUihr:aP1sEaRnKxmILaaAdsTiah:ladhila.n..j.utkan satuan luas ������ = ������2 + 3������ + 4 Y TRIK SUPERKILAT: A. 2 4 Luas dan akan diupdate ������1 = ������2 3 2 satuan luas 1 ������ = ∫s���e���1ti−ap������2s���a������a��� t. Temukan update terbarunya dan selalu ⇒ ������2 + 3������ + 4 = 1 − ������ B. 4 ������−k1unjungi http://pak-anang.blogspot.com ⇔ ������2 + 4������ + 3 = 0 3 ������������������������ ������ = ������2 − 4������������ = 4 = ∫ (1 − ������) − (������2 + 3������ + 4) ������������ C. 7 −3 4 −1 = ∫ (−������2 − 4������ − 3) ������������ D. 8 ������√������ 4√4 3 satuan luas X −3 −1 6������2 6∙1 satuan luas ������ = 1 − ������ ������ = = -3 -1 = [− 1 ������ 3 − 2������ 2 − 3������] 3 8 −3 6 = = (− 1 (−1)3 − 2(−1)2 − 3(−1)) − (− 1 (−3)3 − 2(−3)2 − 3(−3)) 3 3 = 4 satuan luas E. 15 satuan luas = (13 − 2 + 3) − (9 − 18 + 9) 3 3 4 = 3 satuan luas 3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x2 4x 3 dan y x 1 adalah .... 41 Luas daerah diarsir: satuan luas ������ TRIK SUPERKILAT: A. ������1 = ������2 B. 6 ������ = ������2 − 4������ + 3 ������ = ∫ ������1 − ������2 ������������ 19 satuan luas Y ⇒ ������2 − 4������ + 3 = ������ − 1 3 ������ ⇔ ������2 − 5������ + 4 = 0 4 = ∫ (������ − 1) − (������2 − 4������ + 3) ������������ ������������������������ ������ = ������2 − 4������������ = 9 9 satuan luas 3 1 2 4 = ∫ (−������2 + 5������ − 4) ������������ C. 1 4 ������ = ������√������ = 9√9 = [− 1 ������ 3 + 5 ������ 2 − 4������] 6������2 6 ∙ 12 3 2 8 satuan luas 1 3 27 D. -1 1 34 X = (− 1 (4)3 + 5 (4)2 − 4(4)) − (− 1 (1)3 + 5 (1)2 − 4(1)) 6 3 2 3 2 = 64 80 1 5 = 9 satuan luas E. 11 satuan luas ������ = ������ − 1 = (− 3 + 2 − 16) − (− 3 + 2 − 4) 2 6 = 9 satuan luas 2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 279
4. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y x2 dan y 4x 3 diputar 360° Volume benda putar mengelilingi sumbu X adalah .... Y A. 13 11 π satuan volume ������ = ������2 ������ 3 15 ������ = ������ ∫ ������12 − ������22 ������������ = ������ ∫ (4������ − 3)2 − (������2)2 ������������ ������ 1 3 = ������ ∫ (4������ − 3)2 − (������2)2 ������������ B. 13 4 π satuan volume 1 15 ������ 3 = ������ ∫ (−������4 + 16������2 − 24������ + 9) ������������ 1 3 C. 12 11 π satuan volume = ������������ = [− 1 ������ 5 + 16 ������ 3 − 12������2 + 9������] − ������������ + ������ 5 3 15 1 D. 12 7 π satuan volume = (− 1 (3)5 + 16 (3)3 − 12(3)2 + 9(3)) 15 5 3 − (− 1 (1)5 + 16 (1)3 − 12(1)2 + 9(1)) 5 3 E. 12 4 π satuan volume X 15 13 243 = (− 5 + 144 − 108 + 27) − (− 1 + 16 − 12 + 9) 5 3 = (21156) − (1325) ������ = 4������ − 3 = 184 = 12 4 satuan volume 15 5 5. Volume benda putar yang terjadi������u=n������tu−k������ daerah yang dibatasi oleh kurva y x2 dan y 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah .... Volume benda putar ������ 2 311 π satuan volume Y ������ = ������ ∫ ������12 − ������22 ������������ = − ������ ∫ (−������2)2 − (−2������)2 ������������ A. ������ = −2������ ������ 0 15 2 B. 4 4 π satuan volume 2 X = − ������ ∫ (������4 − 4������2) ������������ 15 ������ = ������ − ������ 0 C. 6 4 π satuan volume 2 15 -4 = −������ [51 ������5 − 4 3 ������3] D. 6 6 π satuan volume 15 ������ = −������2 [(15 0 4 4 (15 3 = −������ (2)5 − 3 (2)3) − (0)5 − (0)3)] E. 17 1 π satuan volume = −������ (352 − 332) 15 = −������ (96 −15160) ������ = 64 ������ = 4 4 ������ satuan volume = ������������ 15 15 6. Volume benda putar yang terjadi−u���n���������t+uk������ daerah yang dibatasi oleh kurva y x2 dengan y 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah .... Volume benda putar A. 2π satuan volume ������ = ������2 Y ������ 2 B. 3 1 π satuan volume 4 ������ = ������ ∫ ������12 − ������22 ������������ = − ������ ∫ (2������)2 − (������2)2 ������������ 15 ������ 0 2 =− ������ ∫ (4������2 − ������4) ������������ C. 4 4 π satuan volum������ =e ������ − ������ 0 2 15 X = −������ [43 ������3 − 1 ������5] 5 D. 12 4 π satuan volume 2 0 [(34 1 (34 1 15 = −������ (2)3 − 5 (2)5) − (0)3 − 5 (0)5)] E. 14 2 π satuan ������ = 2������ = −������ (352 − 332) 15 volume ������ = −������ (96 −15160) = ������������ 64 4 − ������������ + ������ = 15 ������ = 4 15 ������ satuan volume Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Halaman 280 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
SKL 6. Mengolah, menyajikan dan menafsirkan data, serta mampu memahami kaidah pencacahan, permutasi, kombinasi, peluang kejadian dan mampu menerapkannya dalam pemecahan masalah. 6. 1. Menghitung ukuran pemusatan atau ukuran letak dari data dalam bentuk tabel, diagram, atau grafik. Membaca Data Tabel Diagram Grafik Tahun Banyak Siswa 800 800 600 600 2008 500 400 400 2009 400 200 200 2010 600 2011 750 0 0 2012 650 2008 2009 2010 2011 2012 2008 2009 2010 2011 2012 Tahun Tahun Banyak Siswa Banyak Siswa Tabel Distribusi Histogram Poligon Frekuensi Frekuensi Berat Banyak Siswa 14 13 14 (kg) 12 11 12 3 10 40 – 44 7 10 45 – 49 13 87 8 50 – 54 11 6 55 – 59 6 6 4 60 – 64 43 2 Banyak Siswa 6 0 40-44 45-492 Berat (kg) 50-54 55-590 60-64 Banyak Siswa 42 47 52 57 62 Berat (kg) −0,5 Batas Batas +0,5 Bawah Atas Tepi 64 Tepi Bawah 60 Atas 64,5 59,5 1 (60+64) 2 Nilai Tengah Kelas 62 (64,5 − 59,5) Keterangan: Panjang Interval Kelas 5 Pada kelas interval 60 – 64, 60 adalah batas bawah. Pada kelas interval 60 – 64, Pada kelas interval 60 – 64, 60 − 0,5 = 59,5 adalah tepi bawah. 64 adalah batas atas. 64,5 − 69,5 = 5 adalah panjang interval kelas. 64 + 0,5 = 64,5 adalah tepi atas. 1 2 (60 + 64) = 62 adalah nilai tengah kelas Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 281
Histogram dan Poligon Frekuensi Histogram Kelas Interval Nilai Tepi Kelas Nilai Tengah Kelas “Lebar histogram menyatakan “Batas histogram menyatakan “Titik tengah histogram kelas interval” tepi atas dan tepi bawah kelas” adalah nilai tengah kelas” 14 13 14 13 14 13 12 11 12 11 12 11 10 10 10 87 87 87 6 6 6 43 43 43 Banyak Siswa 6 6 6 40-44 45-492 2 2 50-54 55-5900 0 60-64 Banyak Siswa Banyak Siswa 42 47 52 57 62 Berat (kg) Berat (kg) Berat (kg) Poligon Frekuensi Poligon Frekuensi “Titik tengah histogram dihubungkan dengan garis” 14 12 10 8 6 4 2 0 Berat (kg) Banyak Siswa 42 47 52 57 62 Halaman 282 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Distribusi Kumulatif dan Ogive Distribusi Kumulatif Tabel Distribusi Tabel Distribusi Tabel Distribusi Frekuensi Frekuensi Kumulatif Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Lebih Dari “Kurang dari Tepi Atas” “Lebih dari Tepi Bawah” Berat Banyak Siswa Berat Cara mencari ������������ ≤ Berat Cara mencari ������������ ≥ (kg) (kg) ������������ ≤ (kg) ������������ ≥ 3 3 40 40 – 44 7 ≤ 44,5 3 10 ≥ 39,5 6+11+13+7+3 37 45 – 49 13 ≤ 49,5 3+7 23 ≥ 44,5 6+11+13+7 30 50 – 54 11 ≤ 54,5 3+7+13 34 ≥ 49,5 6+11+13 17 55 – 59 6 ≤ 59,5 3+7+13+11 40 ≥ 54,5 6+11 6 60 – 64 ≤ 64,5 3+7+13+11+13 ≥ 59,5 6 Ogive Frekuensi KunulatifOgive Positif Ogive Negatif Frekuensi Kunulatif “Ogive Naik” “Ogive Turun” 45 45 40 40 35 35 30 30 25 25 20 20 15 15 10 10 5 5 0 0 Berat (kg) Berat (kg) Manfaat dan Kegunaan Digunakan untuk menentukan ukuran letak seperti Median, Kuartil, Desil, maupun Persentil Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 283
Ukuran Pemusatan Data Tunggal Mean Median Modus “Jumlah nilai dibagi banyak data” “Nilai tengah data terurut” “Data paling sering muncul” ������̅ = ∑������������ ������������ = ������������+1, untuk ������ ganjil Modus dari data berikut ������ 2 7, 4, 8, 5, 3, 8, 6, 5, 5, 3 adalah: Rata-rata dari 2, 5, 6, 3, 5, 4, 7, 8 Nilai tengah dari data Frekuensi dari setiap data: adalah: 6, 9, 3, 9, 4 adalah: Data 3 4 5 6 7 8 Rata-rata adalah jumlah nilai Terdapat 5 buah data (������ = 5), Frekuensi 2 1 3 1 1 2 dibagi dengan banyaknya data. artinya jumlah data ganjil. Atau dengan mengurutkan data: Hitung jumlah dari semua data Jangan lupa, data harus diurutkan 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8 lalu bagi dengan banyaknya data. terlebih dahulu dari kecil ke besar. Karena data 5 muncul 3 kali, ������̅ = ∑������������ 3, 4, 6, 9, 9 maka nilai modus = 5 ������ 2 + 5 + 6 + 3 + 5 + 4 + 7 + 8 ������������ = ������5+1 Modus dari data berikut = 8 2 7, 6, 8, 5, 9, 8, 6, 8, 6, 4 adalah: = ������6 = 40 2 Frekuensi dari setiap data: 8 = ������3 =5 =6 ������̅ = ���̅��������� + ∑������������ ������������ = ������������ + ���������2���+1 , untuk ������ genap Data 4 5 6 7 8 9 ������ 2 2 Frekuensi 1 1 3 1 3 1 dimana, ������������ = (������������ − ���̅���������) ���̅��������� = rataan sementara Atau dengan mengurutkan data: Nilai tengah dari data 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 Rata-rata dari 2, 5, 6, 3, 5, 4, 7, 8 7, 2, 9, 8, 5, 4 adalah: adalah: Perhatikan, karena data 6 dan 8 Terdapat 6 buah data (������ = 6), sama-sama muncul 3 kali, Misal kita memilih nilai rata-rata artinya jumlah data genap. maka modus = 6 dan 8 sementara adalah ���̅��������� = 5, maka ������������ = ������������ − 5. Jangan lupa, data harus diurutkan Modus dari data berikut terlebih dahulu dari kecil ke besar. 7, 6, 4, 6, 5, 8, 8, 5, 4, 7 adalah: Artinya semua data dikurangi 5. Frekuensi dari setiap data: Sehingga nilai rata-ratanya adalah: 2, 4, 5, 7, 8, 9 Data 4 5 6 7 8 Median adalah rata-rata kedua bilangan ini Frekuensi 2 2 2 2 2 ������������ 2 5 6 3 5 4 7 8 ������������ = ������������ + ���������2���+1 Atau dengan mengurutkan data: ������������ −3 0 1 −2 0 −1 2 3 2 2 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8 ������̅ = ���̅��������� + ∑������������ = ������3 + ������4 Karena data seimbang, ������ 2 semua data sama-sama −3 + 1 − 2− 1 + 2 + 3 muncul sebanyak 2 kali, = 5 + 8 = 5 + 7 maka modus tidak ada. 2 0 12 = 5 + 8 = 2 = 5+0 =6 =5 Halaman 284 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Ukuran Pemusatan Data Berkelompok Mean Median Modus “Jumlah nilai dibagi banyak data” “Nilai tengah data terurut” “Data paling sering muncul” ������̅ = ∑������������������������ ������������ = ������������ + 1 ������ − ������������ ) ∙ ������ ������������ = ������������ + (������ ������ ������) ∙ ������ ∑������������ (2 ������������������ + Data ������������ ������������ ������������������������ Data ������������ Data ������������ Data ������������ 40 – 44 3 42 126 ≤ 45 – 49 7 47 329 40 – 44 3 50 – 54 13 52 676 40 – 44 3 ≤ 44,5 3 45 – 49 7 ������ = ������������ − ������ = ������ 55 – 59 11 57 627 45 – 49 7 ≤ ������������, ������ 10 50 – 54 13 60 – 64 6 62 372 50 – 54 13 ≤ 54,5 23 55 – 59 11 ������ = ������������ − ������������ = ������ 55 – 59 11 ≤ 59,5 34 60 – 64 6 Jumlah 40 2130 60 – 64 6 ≤ 64,5 40 Modus terletak pada ������̅ = ∑������������������������ = ������������������������ Jumlah 40 kelas interval yang memuat data ∑������������ ������������ dengan jumlah frekuensi terbesar. = 53 10 Jumlah data sebanyak ������ = ������������, Data dengan jumlah frekuensi 40 ������ terbesar yaitu sebanyak 13 data = 53,25 sehingga diperoleh ������ ������ = ������������. terletak pada kelas interval ke-3. ������̅ = ���̅��������� + ∑������������ ������������ Median terletak pada Jadi, letak kelas modus yaitu ∑������������ kelas interval yang memuat pada kelas interval 50 – 54, data ke-20, yaitu kelas ke-3. dengan panjang interval 5. dimana, ������������ = (������������ − ���̅���������) Jadi, letak kelas median yaitu Selisih frekuensi kelas modus ���̅��������� = rataan sementara pada kelas interval 50 – 54, terhadap kelas interval dengan panjang interval 5, sebelumnya adalah Misal ���̅��������� = 52, maka serta memiliki frekuensi 13 ������ = ������������ − ������ = ������. ������������ = (������������ − 52). dan nilai tepi bawahnya 49,5. ������������ ������������ ������������ ������������������������ Selisih frekuensi kelas modus terhadap kelas interval 3 42 −10 −30 Sehingga, frekuensi kumulatif sesudahnya adalah kurang dari 49,5 adalah 10. ������ = ������������ − ������������ = ������. 7 47 −5 −35 13 52 0 0 ������ (������ 11 57 5 55 ������������ = ������������ + ������ − ������������) ∙ ������ ������ ������������������ + 6 62 10 60 ������������ = ������������ + (������ ������) ∙ ������ 40 Jumlah 50 = ������������, ������ + (���������������−���������������������) ∙ ������ = 49,5 + (������ ������ ������) ∙ ������ + ∑������������������������ ������������ 30 ������̅ = ���̅��������� + ∑������������ = 52 + ������������ = 49,5 + 50 = 49,5 + 8 13 = 52 + 1,25 = 49,5 + 3,85 = 49,5 + 3,75 = 53,25 = 53,35 = 53,25 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 285
Ukuran Letak Data Berkelompok Quartil Desil Persentil “Membagi 4 bagian sama besar “Membagi 10 bagian sama besar “Membagi 100 bagian sama besar dari data terurut” dari data terurut” dari data terurut” ������������ = ������������ + ������ ������ − ������������) ∙ ������ ������������ = ������������ + ������ ������ − ������������) ∙ ������ ������������ = ������������ + ������ ������ − ������������) ∙ ������ (4 ������������������ (10 ������������������ (100 ������������������ Data ������������ Data ������������ Data ������������ Data ������������ Data ������������ Data ������������ ≤ ≤ ≤ 40 – 44 3 ≤ 44,5 3 40 – 44 3 ≤ 44,5 3 40 – 44 3 ≤ 44,5 3 45 – 49 7 ≤ 49,5 10 45 – 49 7 ≤ 49,5 10 45 – 49 7 ≤ 49,5 10 50 – 54 13 ≤ ������������, ������ 23 50 – 54 13 ≤ ������������, ������ 23 50 – 54 13 ≤ ������������, ������ 23 55 – 59 11 ≤ 59,5 34 55 – 59 11 ≤ 59,5 34 55 – 59 11 ≤ 59,5 34 60 – 64 6 ≤ 64,5 40 60 – 64 6 ≤ 64,5 40 60 – 64 6 ≤ 64,5 40 Jumlah 40 Jumlah 40 Jumlah 40 Misal ditanyakan nilai ������3 = ? Misal ditanyakan nilai ������7 = ? Misal ditanyakan nilai ������75 = ? Jumlah data sebanyak ������ = ������������, Jumlah data sebanyak ������ = ������������, Jumlah data sebanyak ������ = ������������, ������ ������ ������������ sehingga diperoleh ������ ������ = ������������. sehingga diperoleh ������������ ������ = ������������. sehingga diperoleh ������������������ ������ = ������������. ������3 terletak pada ������7 terletak pada ������75 terletak pada kelas interval yang memuat kelas interval yang memuat kelas interval yang memuat data ke-30, yaitu kelas ke-4. data ke-28, yaitu kelas ke-4. data ke-30, yaitu kelas ke-4. Jadi, letak kelas ������3 yaitu Jadi, letak kelas ������7 yaitu Jadi, letak kelas ������75 yaitu pada kelas interval 55 – 59, pada kelas interval 55 – 59, pada kelas interval 55 – 59, dengan panjang interval 5, dengan panjang interval 5, dengan panjang interval 5, serta memiliki frekuensi 11 serta memiliki frekuensi 11 serta memiliki frekuensi 11 dan nilai tepi bawahnya 54,5. dan nilai tepi bawahnya 54,5. dan nilai tepi bawahnya 54,5. Sehingga, frekuensi kumulatif Sehingga, frekuensi kumulatif Sehingga, frekuensi kumulatif kurang dari 54,5 adalah 23. kurang dari 54,5 adalah 23. kurang dari 54,5 adalah 23. ������3 = ������������ + ������ ������ − ������������) ∙ ������ ������7 = ������������ + ������ ������ − ������������) ∙ ������ ������75 = ������������ + (������������������������������������������������������−������ ������������) ∙ ������ (������ ������������������ (������������ ������������������ = ������������, ������ + (���������������−���������������������) ∙ ������ = ������������, ������ + (���������������−���������������������) ∙ ������ = ������������, ������ + (���������������−���������������������) ∙ ������ 35 25 35 = 54,5 + 11 = 54,5 + 11 = 54,5 + 11 = 54,5 + 3,18 = 54,5 + 2,27 = 54,5 + 3,18 = 57,68 = 56,77 = 57,68 Halaman 286 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika (Mean data berkelompok) Cara cepat dan memahami ukuran pemusatan data adalah memahami terlebih dahulu konsep dasar dari mean. Mean atau nilai rata-rata diperoleh dengan menjumlahkan semua nilai lalu dibagi dengan banyaknya data. Ada 3 cara mencari mean (nilai rata-rata): Mean Metode Deviasi Sistem Kode “Menggunakan data sesungguhnya” “Menggunakan selisih data “Menggunakan sistem kode” terhadap rata-rata sementara” ������̅ = ∑������������������������ ������̅ = ���̅��������� + ∑������������������������ ������̅ = ���̅��������� + (∑∑������������������������������������) ∙ ������ ∑������������ ∑������������ Misal ���̅��������� = 52, maka Misal =���̅���������(=������������ 52, maka ������������ = (������������ − 52). ������������ − 52) ������ Semua data dikurangi Bagi semua nilai ������������ dengan rata-rata dugaan. dengan panjang interval kelas. Data ������������ ������������ ������������������������ ������������ ������������ ������������ ������������������������ ������������ ������������ ������������ ������������������������ 40 – 44 3 42 126 3 42 −10 −30 3 42 −2 −6 45 – 49 7 47 329 7 47 −5 −35 7 47 −1 −7 50 – 54 13 52 676 13 52 13 52 0 0 55 – 59 11 57 627 11 57 0 0 11 57 1 11 60 – 64 6 62 372 6 62 5 55 6 62 2 12 10 60 Jumlah 40 2130 40 40 Jumlah 10 Jumlah 50 ������̅ = ∑������������������������ = ������������������������ ������̅ = ���̅��������� + ∑������������������������ = 52 + ������������ ������̅ = ���̅��������� + ∑������������������������ ∙ ������ = 52 + ������������ ∙ ������ ∑������������ ������������ ∑������������ ������������ ∑������������ ������������ = 53 10 = 52 + 1,25 = 52 + ������������ 40 ������������ = 53,25 = 53,25 = 52 + 1,25 = 53,25 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 287
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika (Modus data berkelompok) Untuk data berbentuk tabel, letak modus adalah kelas interval data dengan frekuensi terbanyak, Atau untuk data berbentuk histogram, letak modus adalah kelas interval dengan batang yang paling tinggi. Perhatikan tabel distribusi frekuensi dan histogram berikut: Tabel Distribusi Histogram Frekuensi Berat Banyak Siswa 14 13 (kg) 12 11 3 40 – 44 7 10 45 – 49 13 87 50 – 54 11 55 – 59 6 6 60 – 64 43 Banyak Siswa 6 40-44 45-492 50-54 55-590 60-64 Berat (kg) Nah, konsep modus adalah perpotongan dari dua garis berikut pada histogram: Tabel Distribusi Histogram Frekuensi Berat Banyak Siswa 14 13 (kg) 12 11 3 40 – 44 7 10 45 – 49 13 87 50 – 54 11 55 – 59 6 6 60 – 64 43 Banyak Siswa 6 40-44 45-492 50-54 55-590 60-64 Berat (kg) Letak Modus Perhatikan, ������ ������ ������ TRIK SUPERKILAT: karena ∠������������������ = ∠������������������ dan ∠������������������ = ∠������������������, Jadi, untuk mengingat rumus modus gunakan cara ini: maka ∆������������������ sebangun dengan ∆������������������. ������������ = ������������ + (������+������������) ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ = selisih dengan kelas di atasnya Sehingga diperoleh perbandingan: ������ ������ = selisih dengan kelas di bawahnya ������������ = ������������ ⇒ ������ = ������ − ������ Catatan: ������������ ������������ ������ ������ Biasanya tabel distribusi frekuensi ⇔ ������������ = ������(������ − ������) disusun dari data terkecil ke terbesar. ⇔ ������������ = ������������ − ������������ ⇔ ������������ + ������������ = ������������ ������ ������ ������������ ������������ ⇔ (������ + ������)������ = ������������ ������ + ⇔ ������ = (������ ������) ������ Jadi, nilai modus adalah: ������������ = ������������ + ������ ������������ = ������������ + (������ ������ ������) ������ + Halaman 288 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Statistika (Median data berkelompok) Median adalah nilai tengah dari data terurut, maka otomatis kita harus mengurutkan data terlebih dahulu. Pada data berkelompok, untuk mengurutkan data dapat dilakukan dengan membuat tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Dan secara grafik juga bisa ditentukan dengan menggambar kurva ogive positif. Perhatikan tabel distribusi frekuensi, frekuensi kumulatif kurang dari, dan ogive positif di bawah ini: Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Ogive Positif Frekuensi Kurang Dari Berat Banyak Siswa Berat Cara mencari ������������ ≤ Frekuensi Kunulatif 45 (kg) (kg) ������������ ≤ 40 3 3 35 40 – 44 7 ≤ 44,5 3 10 30 45 – 49 13 ≤ 49,5 3+7 23 25 50 – 54 11 ≤ ������������, ������ 3+7+13 34 20 55 – 59 6 ≤ 59,5 3+7+13+11 40 15 60 – 64 ≤ 64,5 3+7+13+11+13 10 5 0 Letak Berat (kg) Median Misalkan terdapat data sebanyak ������ buah, maka letak median adalah pada data ke - 1 ������. 2 Karena banyakya data adalah 40 buah, maka ������ = 40, sehingga data ke – 1 ������ adalah terletak pada urutan ke-20. 2 Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Ogive Positif Frekuensi Kurang Dari Berat Banyak Siswa Berat Cara mencari ������������ ≤ 45 (kg) (kg) ������������ ≤ 3 3 40 40 – 44 7 ≤ 44,5 3 10 45 – 49 13 ≤ 49,5 3+7 23 Frekuensi Kunulatif 35 ������ ������ 50 – 54 11 ≤ 54,5 3+7+13 34 30 ������ 55 – 59 6 ≤ 59,5 3+7+13+11 40 25 60 – 64 ≤ 64,5 3+7+13+11+13 20 15 10 ������ ������ 5 ������ 0 Letak Berat (kg) Median Perhatikan, karena ∠������������������ = ∠������������������ dan ∠������������������ = ∠������������������, ������ ������ maka ∆������������������ sebangun dengan ∆������������������. ������ Sehingga diperoleh perbandingan: 1 ������ 2 ������ 1 ������ − ������������ ������ ������ 2 ������ ������������������ ������������ = ������������ ⇒ ������ = ������������������ ������ ������������������ ������ ������ − ������������ ������������ ������������ ������ ������ ������ − ������������ ������ ������ ������ ⇔ ������ = 1 ������ − ������������) ������ ������������ ������ ������ ������ (2 ������������������ ������ Jadi, nilai median adalah: ������������ ������������ ������������ = ������������ + ������ ������ ������������ = ������������ + 1 ������ − ������������ ) ������ (2 ������������������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 289
Kesimpulan akhir TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Modus dan Median Data Berkelompok Setelah kita mempelajari konsep dasar dari cara menentukan nilai modus dan median untuk data berkelompok pada halaman sebelumnya, kini saatnya kita merangkum TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS dalam memperkuat konsep dasar Modus dan Median untuk data berkelompok tersebut ke dalam sebuah rangkaian konsep TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang mudah dimengerti yang disusun dalam tabel di bawah ini: Modus Median Ukuran Pemusatan, khususnya nilai Modus dan Median untuk data berkelompok, keduanya sebenarnya memiliki konsep awal yang sama. Persamaan ������������ = ������������ + ( ????? ) ������ ������������ = ������������ + ( ????? ) ������ ????? ????? TRIK “Tepi bawah ditambah sebagian dari panjang interval” SUPERKILAT Perbedaan Modus Median Untuk Modus, nilai perbandingan Untuk Median, nilai perbandingan tersebut adalah selisih frekuensi kelas tersebut adalah selisih antara letak modus dengan kelas sebelum modus dibagi jumlah dari selisih frekuensi kelas median (12 ������) dengan frekuensi kumulatif sebelum kelas median dibagi modus dengan kelas sebelum dan sesudah modus. dengan frekuensi kelas median itu sendiri. ( ������ ) ( ������ ������ − ������������ ) ������ + ������ ������ ������������������ TRIK (atas +atabsawah) *) letak median − ������������ **) SUPERKILAT ������������������ ( ) *) Catatan: Biasanya tabel distribusi frekuensi disusun dari data terkecil ke terbesar. Jadi ������ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas di atasnya. Jadi ������ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas di bawahnya. **) Catatan: Letak median adalah setengah dari banyak data (21 ������). Halaman 290 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Ukuran Letak Data Berkelompok (Median, Kuartil, Desil dan Persentil) Ukuran Letak dari data berkelompok memiliki konsep yang sama persis dengan median data berkelompok. Ya!!!! Karena median adalah ukuran letak yang membagi data terurut menjadi dua bagian sama besar.. Median adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 2 bagian yang sama besar. Nah, Kuartil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 4 bagian yang sama besar. Sementara, Desil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama besar. Nah, Persentil adalah ukuran letak yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama besar. Ukuran Letak untuk data berkelompok tersebut dapat disusun ke dalam sebuah konsep TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang mudah dimengerti yang disusun dalam tabel di bawah ini: Median Ukuran Letak (UL) Ukuran Letak (Kuartil, Desil, dan Persentil) untuk data berkelompok, sebenarnya memiliki konsep awal yang sama dengan konsep nilai Median data berkelompok. Persamaan ������������ = ������������ + (������������������������������������������������M���������������������e���d−ian������������) ������ ������������ = ������������ + (������������������������������������������������U−L ������������) ������ TRIK “(Median 2), (Kuartil 4), (Desil 10), (Persentil 100)” SUPERKILAT Notasi Median Kuartil Desil Persentil ������������ ������������ ������������ ������������ Membagi ������ data terurut menjadi ������ = 1 ������ = 4 ������ = 10 ������ = 100 ������ bagian yang 1 buah UL 3 buah UL 9 buah UL 99 buah UL sama besar (������������) (������1, ������2, ������3) (������1, … , ������9) (������1, … , ������99) Banyaknya UL ������������������ = ������������ + ������ ������ − ������������ ) ������ (������ ������������������ Rumus Dasar ������ Perbedaan ( ������ ������ − ������������ ) ( ������ ������ − ������������ ) ( ������ ������ − ������������ ) ( ������ ������ − ������������ ) ������ ������ ������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 291
Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan ukuran pemusatan dan ukuran letak dari data berbentuk tabel. Contoh Soal: Perhatikan tabel di bawah ini: Data Frekuensi (������������) 45 – 49 7 50 – 54 15 55 – 59 18 60 – 64 11 65 – 69 9 Jumlah 60 Tentukan nilai mean, modus, median, ������3, ������4, ������26 ! Penyelesaian: Mencari nilai mean / nilai rata-rata: Untuk mencari nilai mean atau nilai rata-rata, maka kita harus menentukan: - Nilai tengah (������������ = {47, 52, 57, 62, 67}) - Panjang kelas interval (������ = 5) - Nilai rata-rata sementara / rata-rata dugaan (���̅��������� = 57) TRIK SUPERKILAT: menentukan ���̅���������, dipilih kelas interval yang berada di tengah-tengah. - Kode (������������), yang diperoleh dari (������������ − ���̅���������) dibagi dengan ������ TRIK SUPERKILAT: menentukan ������������, kelas rataan sementara kita kasih angka 0. kelas di atasnya bernilai negatif, −1, −2, −3, dst… kelas di atasnya bernilai positif, 1, 2, 3, dst… - Nilai ������������������������, yaitu hasil perkalian antara ������������ dengan ������������. Nah, sekarang perhatikan tabel di bawah ini: Data Frekuensi Nilai Tengah ������������ ������������������������ (������������) (������������) 45 – 49 7 47 −2 −14 50 – 54 15 52 −1 −15 55 – 59 18 57 0 60 – 64 11 62 1 0 65 – 69 9 67 2 11 Jumlah 60 18 0 Jadi nilai rata-rata adalah: ������̅ = ���̅��������� + (∑∑������������������������������������) ������ = 57 + (600) 5 = 57 + 0 = 57 Mudah bukan?! Halaman 292 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Mencari nilai modus: Untuk mencari nilai modus, maka kita harus menentukan: - Kelas modus adalah kelas interval dengan frekuensi tertinggi, yakni berada di kelas interval ke tiga. - Tepi bawah kelas modus (������������ = 55 − 0,5 = 54,5) - Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas interval sebelumnya (������ = 18 − 15 = 3) TRIK SUPERKILAT: kelas interval sebelumnya adalah kelas interval yang terletak di atas kelas modus. - Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas interval sesudahnya (������ = 18 − 11 = 7) TRIK SUPERKILAT: kelas interval sesudahnya adalah kelas interval yang terletak di bawah kelas modus. Nah, sekarang perhatikan tabel di bawah ini: Data Frekuensi (������������) 45 – 49 7 50 – 54 15 ������ = ������������ − ������������ = ������ 55 – 59 18 60 – 64 11 ������ = ������������ − ������������ = ������ 65 – 69 9 Jumlah 60 Jadi nilai modus adalah: ������ ������������ = ������������ + (������ + ������) ������ = 54,5 + (3 3 7) 5 + = 54,5 + (130) 5 = 54,5 + 1,5 = 56 Mudah bukan?! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 293
Mencari nilai median: Untuk mencari nilai median, maka kita harus menentukan: - Frekuensi kumulatif bawah. - Jumlah frekuensi data (������ = 60) - Karena ditanyakan median maka tentukan nilai 1 ������. (21 ������ = 1 (60) = 30) 2 2 - Letak kelas median. Median terletak pada kelas interval yang memuat data ke-30, dengan melihat kolom frekuensi kumulatif bawah. TRIK SUPERKILAT: Data Frekuensi ������������ TRIK SUPERKILAT: Makna ������������ (������������) 45 – 49 7 7 Terdiri dari data ke 1 s/d data ke 7 50 – 54 15 22 Terdiri dari data ke 8 s/d data ke 22 55 – 59 18 40 Terdiri dari data ke 23 s/d data ke 40 60 – 64 11 51 Terdiri dari data ke 41 s/d data ke 51 65 – 69 9 60 Terdiri dari data ke 52 s/d data ke 60 Jumlah 60 Jadi median terletak pada kelas interval 55 – 59. - Tepi bawah kelas median (������������ = 55 − 0,5 = 54,5) - Frekuensi kumulatif sebelum kelas median (������������ = 22) - Frekuensi kelas median (������������������ = 18) Nah, sekarang perhatikan tabel di bawah ini: Data Frekuensi ������������ (������������) 45 – 49 7 7 50 – 54 15 22 55 – 59 18 40 60 – 64 11 51 65 – 69 9 60 Jumlah 60 Jadi nilai median adalah: 1 ������������ = ������������ + (2 ������ − ������������) ������ ������������������ = 54,5 + (201−822) 5 = 54,5 + (188) 5 = 54,5 + 2,22 = 56,72 Mudah bukan?! Halaman 294 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Mencari nilai Kuartil ke-tiga (������������): Untuk mencari nilai ������3, maka kita harus menentukan: - Frekuensi kumulatif bawah. - Jumlah frekuensi data (������ = 60) - Karena ditanyakan ������3 maka tentukan nilai 3 ������. (43 ������ = 3 (60) = 45) 4 4 - Letak kelas ������3. ������3 terletak pada kelas interval yang memuat data ke-45, dengan melihat kolom frekuensi kumulatif bawah. TRIK SUPERKILAT: Data Frekuensi ������������ TRIK SUPERKILAT: Makna ������������ (������������) 45 – 49 7 7 Terdiri dari data ke 1 s/d data ke 7 50 – 54 15 22 Terdiri dari data ke 8 s/d data ke 22 55 – 59 18 40 Terdiri dari data ke 23 s/d data ke 40 60 – 64 11 51 Terdiri dari data ke 41 s/d data ke 51 65 – 69 9 60 Terdiri dari data ke 52 s/d data ke 60 Jumlah 60 Jadi ������3 terletak pada kelas interval 60 – 64. - Tepi bawah kelas ������3 (������������ = 60 − 0,5 = 59,5) - Frekuensi kumulatif sebelum kelas ������3 (������������ = 40) - Frekuensi kelas ������3 (������������3 = 11) Nah, sekarang perhatikan tabel di bawah ini: Data Frekuensi ������������ (������������) 45 – 49 7 7 50 – 54 15 22 55 – 59 18 40 60 – 64 11 51 65 – 69 9 60 Jumlah 60 Jadi nilai Kuartil ke-3 adalah: 3 ������3 = ������������ + (4 ������ − ������������) ������ ������������3 = 59,5 + (451−140) 5 = 59,5 + (151) 5 = 59,5 + 2,27 = 61,77 Mudah bukan?! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 295
Mencari nilai Desil ke-empat (������������): Untuk mencari nilai ������4, maka kita harus menentukan: - Frekuensi kumulatif bawah. - Jumlah frekuensi data (������ = 60) - Karena ditanyakan ������4 maka tentukan nilai 4 ������. (140 ������ = 4 (60) = 24) 10 10 - Letak kelas ������4. ������4 terletak pada kelas interval yang memuat data ke-24, dengan melihat kolom frekuensi kumulatif bawah. TRIK SUPERKILAT: Data Frekuensi ������������ TRIK SUPERKILAT: Makna ������������ (������������) 45 – 49 7 7 Terdiri dari data ke 1 s/d data ke 7 50 – 54 15 22 Terdiri dari data ke 8 s/d data ke 22 55 – 59 18 40 Terdiri dari data ke 23 s/d data ke 40 60 – 64 11 51 Terdiri dari data ke 41 s/d data ke 51 65 – 69 9 60 Terdiri dari data ke 52 s/d data ke 60 Jumlah 60 Jadi ������4 terletak pada kelas interval 55 – 59. - Tepi bawah kelas ������4 (������������ = 55 − 0,5 = 54,5) - Frekuensi kumulatif sebelum kelas ������4 (������������ = 22) - Frekuensi kelas ������4 (������������4 = 18) Nah, sekarang perhatikan tabel di bawah ini: Data Frekuensi ������������ (������������) 45 – 49 7 7 50 – 54 15 22 55 – 59 18 40 60 – 64 11 51 65 – 69 9 60 Jumlah 60 Jadi nilai Desil ke-4 adalah: 4 ������4 = ������������ + (10 ������ − ������������ ) ������ ������������4 = 54,5 + (241−822) 5 = 54,5 + (128) 5 = 54,5 + 0,56 = 55,06 Mudah bukan?! Halaman 296 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Mencari nilai Persentil ke-26 (������������������): Untuk mencari nilai ������26, maka kita harus menentukan: - Frekuensi kumulatif bawah. - Jumlah frekuensi data (������ = 60) - Karena ditanyakan ������26 maka tentukan nilai 26 ������. (12060 ������ = 26 (60) = 15,6) 100 100 - Letak kelas ������26. ������26 terletak pada kelas interval yang memuat data ke-26, dengan melihat kolom frekuensi kumulatif bawah. TRIK SUPERKILAT: Data Frekuensi ������������ TRIK SUPERKILAT: Makna ������������ (������������) 45 – 49 7 7 Terdiri dari data ke 1 s/d data ke 7 50 – 54 15 22 Terdiri dari data ke 8 s/d data ke 22 55 – 59 18 40 Terdiri dari data ke 23 s/d data ke 40 60 – 64 11 51 Terdiri dari data ke 41 s/d data ke 51 65 – 69 9 60 Terdiri dari data ke 52 s/d data ke 60 Jumlah 60 Jadi ������26 terletak pada kelas interval 50 – 54. - Tepi bawah kelas ������26 (������������ = 50 − 0,5 = 49,5) - Frekuensi kumulatif sebelum kelas ������26 (������������ = 7) - Frekuensi kelas ������26 (������������26 = 15) Nah, sekarang perhatikan tabel di bawah ini: Data Frekuensi ������������ (������������) 45 – 49 7 7 50 – 54 15 22 55 – 59 18 40 60 – 64 11 51 65 – 69 9 60 Jumlah 60 Jadi nilai Persentil ke-26 adalah: ������26 = ������������ + (12060������������������26− ������������) ������ = 50,5 + (15,165− 7) 5 = 50,5 + (81,56) 5 = 50,5 + 2,87 = 53,37 Mudah bukan?! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 297
Menentukan ukuran pemusatan dan ukuran letak dari data berbentuk diagram (Histogram) Untuk menyelesaikan soal dengan bentuk data diagram atau histogram, maka kita harus mengenali dulu label pada sumbu X histogram tersebut. Secara umum ada 3 jenis histogram berdasarkan label pada sumbu X: Kelas Interval Nilai Tepi Kelas Nilai Tengah Kelas “Lebar histogram menyatakan “Batas histogram menyatakan “Titik tengah histogram kelas interval” tepi atas dan tepi bawah kelas” adalah nilai tengah kelas” 14 13 14 13 14 13 12 11 12 11 12 11 10 10 10 87 87 87 6 6 6 43 43 43 Banyak Siswa 6 6 6 40-44 45-492 2 2 50-54 55-590 0 0 60-64 Banyak Siswa Banyak Siswa 42 47 52 57 62 Berat (kg) Berat (kg) Berat (kg) Contoh Soal: Perhatikan gambar berikut: f 10 9 7 6 5 3 134,5 139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5 Nilai Tentukan Median dari data di atas …. Penyelesaian: Ubah dulu histogram menjadi data tabel distribusi frekuensi. f Nilai ������ ������������ 135 – 139 3 3 10 140 – 144 5 8 9 145 – 149 7 15 150 – 154 10 25 7 155 – 159 9 34 6 160 – 164 6 40 5 40 Jumlah 3 134,5 139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5 Nilai Jadi nilai median adalah: 1 ������������ = ������������ + (2 ������ − ������������) ������ = 149,5 + (201−015) 5 = 149,5 + (150) 5 = 149,5 + 2,5 = 152 ������������������ Mudah bukan?! Halaman 298 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan ukuran pemusatan dan ukuran letak dari data berbentuk diagram (Poligon)Banyak Siswa 42 Untuk menyelesaikan soal dengan bentuk data poligon frekuensi, maka kita harus mengenali dulu label pada47 sumbu X. Secara umum label pada sumbu X pada poligon frekuensi adalah nilai tengah dari histogram.52 57 Poligon Frekuensi 62 “Titik tengah histogram dihubungkan dengan garis” 14 12 10 8 6 4 2 0 Berat (kg) Contoh Soal: Berikut ini poligon frekuensi dari data berat badan siswa kelas XII A. Frekuensi 9 6 5 4 3 32 37 42 47 52 57 Berat badan (kg) Modus berat badan siswa …. kg Penyelesaian: Ubah dulu poligon frekuensi menjadi data tabel distribusi frekuensi. 32+37 2 Frekuensi Tepi antara 32 dan 37 adalah nilai tengah antara 32 dan 37 = = 34,5 9 Nilai ������ 30 – 34 3 6 35 – 39 9 5 40 – 44 6 4 45 – 49 5 3 50 – 54 4 55 – 59 3 32 37 42 47 52 57 Berat badan (kg) Jadi nilai modus adalah: 6 (69) ������ + ������������ = ������������ + (������ + ������) ������ = 34,5 + (6 3) 5 = 34,5 + 5 = 34,5 + 3,33 = 37,83 Mudah bukan?! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 299
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- 269
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- 285
- 286
- 287
- 288
- 289
- 290
- 291
- 292
- 293
- 294
- 295
- 296
- 297
- 298
- 299
- 300
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- 306
- 307
- 308
- 309
- 310
- 311
- 312
- 313
- 314
- 315
- 316
- 317
- 318
- 319
- 320
- 321
- 322
- 323
- 324
- 325