Contoh Soal 4: Diketahui (������ ∘ ������)(������) = 2������2 − 10������ + 3 dan ������(������) = ������2 − 5������ + 2, maka ������(������) = ? Penyelesaian: (������ ∘ ������)(������) = 2������2 − 10������ + 3 ������(������(������)) = 2������2 − 10������ + 3 ������(������2 − 5������ + 2) = ⏟2������2 − 10������ + 3 ������������������������������������������������������ ������������������������������������ (������2−5������+2) ������(������2 − 5������ + 2) = 2(������2 − 5������ + 2) − 1 ������(������) = 2������ − 1 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena ������ ∘ ������ = ℎ, maka ������ = ℎ ∘ ������−1. Jadi ������(������) = ℎ(������−1(������)), artinya substitusikan fungsi ������−1 ke fungsi komposisi ℎ. Invers akan dibahas nanti. Contoh Soal 5: Diketahui (������ ∘ ������)(x) = 4������2 − 14������ + 8 dan ������(������) = 2������ − 1, maka ������(������) = ? Penyelesaian: ������������������������������������ (2������ − 1)2 = 4������2 − 4������ + 1, (������ ∘ ������)(������) = 4������2 − 14������ + 8 ������������������������ 4������2 = (2������ − 1)2 + 4������ − 1) ������(������(������)) = 4������2 − 14������ + 8 ������������������������������������ − 5(2������ − 1) = −10������ + 5, ������(2������ − 1) = ⏟������������������ − 14������ + 8 ������������������������ − 10������ = −5(2������ − 1) − 5 ������������������������������������������������������ ������������������������������������ (2������−1) ������(2������ − 1) = (������������ − ������)������ + ������������ − ������ − 14������ + 8 ������(2������ − 1) = (2������ − 1)2 − ������������������ + 7 ������(2������ − 1) = (2������ − 1)2 − ������(������������ − ������) − ������ + 7 ������(2������ − 1) = (2������ − 1)2 − 5(2������ − 1) + 2 ������(������) = ������2 − 5������ + 2 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Karena ������ ∘ ������ = ℎ, maka ������ = ℎ ∘ ������−1. Jadi ������(������) = ℎ(������−1(������)), artinya substitusikan fungsi ������−1 ke fungsi komposisi ℎ. Invers akan dibahas nanti. Halaman 50 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan Invers Fungsi Contoh Soal 1: Jika ������(������) = 2������ − 1, tentukan ������−1(������)! Penyelesaian: ������(������) = 2������ − 1 ������ = 2������ − 1 2������ = ������ + 1 ������ + 1 ������ = ������ +2 1 ������ −1 (������) = 2 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan ������ = 2������ − 1, Urutan operasi yang dilakukan terhadap ������ adalah: 1. Dikalikan 2 2. Dikurangi 1 Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN: 1. Ditambah 1 2. Dibagi 2 Sehingga: ������ + 1 2 ������ −1 (������) = Contoh Soal 2: Jika ������(������) = ������2 − 4������ + 3, tentukan ������−1(������)! Penyelesaian: ������(������) = ������2 − 4������ + 3 ������ = ������2 − 4������ + 3 ������ = ������2 − 4������ + 4 − 1 ������ = (������ − 2)2 − 1 (������ − 2)2 = ������ + 1 ������ − 2 = √������ + 1 ������ = √������ + 1 + 2 ������−1(������) = √������ + 1 + 2 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: ������(������) = ������2 − 4������ + 3 ubah dulu menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna, sehingga menjadi ������(������) = (������ − 2)2 − 1. Urutan operasi yang dilakukan terhadap ������ adalah: 1. Dikurangi 2 2. Dikuadratkan 3. Dikurangi 1 Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN: 1. Ditambah 1 2. Diakar kuadrat 3. Ditambah 2 Sehingga: ������−1(������) = √������ + 1 + 2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 51
Contoh Soal 3: 3������ + 5 ������(������) = 2������ + 1 Tentukan ������−1(������)! Penyelesaian: 3������ + 5 2������ + 4 ������(������) = ������ = 3������ + 5 2������ + 4 ������(2������ + 4) = 3������ + 5 2������������ + 4������ = 3������ + 5 2������������ − 3������ = −4������ + 5 ������(2������ − 3) = −4������ + 5 ������ = −4������ + 5 2������ − 3 ������ −1 (������) = −4������ + 5 2������ − 3 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: ������������ + ������ −������������ + ������ ������(������) = ������������ + ������ ⇒ ������ −1(������) = ������������ − ������ Tukarkan dan ubah tanda diagonal utama. ������(������) = 3������ + 5 ⇒ ������ −1(������) = −4������ + 5 2������ + 4 2������ − 3 Halaman 52 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Diketahui fungsi f (x) 3x 1 dan g(x) 2x2 3. Komposisi fungsi (g f )(x) .... A. 9x2 3x 1 (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) TRIK SUPERKILAT: B. 9x2 6x 3 (������ ∘ ������)(������) artinya substitusikan ������(������) ke ������(������). = ������(3������ − 1) Coba ah iseng saya substitusikan ������ = 0 ke ������(������), C. 9x2 6x 6 ternyata hasilnya ������(������) = −1. = 2(3������ − 1)2 − 3 Iseng lagi ah, saya substitusikan ������ = −1 ke ������(������), Ternyata hasilnya ������(−1) = −1. D. 18x2 12x 2 = 2(9������2 − 6������ + 1) − 3 Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan E. 18x2 12x 1 = 18������2 − 12������ + 2 − 3 jawaban. Mana yang hasilnya −1? Ternyata = 18������2 − 12������ − 1 jawaban E saja! 2. Diketahui fungsi f (x) 2x 3 dan g(x) x2 2x 3. Komposisi fungsi (g f )(x) .... A. 2x2 4x 9 (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) TRIK SUPERKILAT: = ������(2������ − 3) (������ ∘ ������)(������) artinya substitusikan ������(������) ke ������(������). B. 2x2 4x 3 Coba ah iseng saya substitusikan ������ = 1 ke ������(������), C. 4x2 6x 18 = (2������ − 3)2 + 2(2������ − 3) − 3 ternyata hasilnya ������(1) = −1. = (4������2 − 12������ + 9) + (4������ − 6) − 3 Iseng lagi ah, saya substitusikan ������ = −1 ke ������(������), D. 4x2 8x ternyata hasilnya ������(−1) = −4. = 4������2 − 8������ Lalu saya substitusikan 1 ke semua pilihan jawaban. Mana yang hasilnya −4? Ternyata hanya E. 4x2 8x dipenuhi oleh jawaban E saja! 3. Diketahui fungsi f (x) 2x 1 dan g(x) x2 4x. Komposisi fungsi ( f g)(x) .... A. 2x2 8x 2 (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) TRIK SUPERKILAT: = ������(������2 − 4������) (������ ∘ ������)(������) artinya substitusikan ������(������) ke ������(������). B. 2x2 8x 2 Coba ah iseng saya substitusikan ������ = 0 ke ������(������), C. 2x2 8x 1 = 2(������2 − 4������) + 1 ternyata hasilnya ������(0) = 0. = 2������2 − 8������ + 1 Iseng lagi ah, saya substitusikan ������ = 0 ke ������(������), D. 2x2 8x 2 ternyata hasilnya ������(0) = 1. E. 2x2 8x 1 Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan jawaban. Mana yang hasilnya 1? Ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban C saja! Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 53
2. 8. Menyelesaikan masalah program linear. Program Linear Definisi Langkah Penyelesaian Sebuah metode yang digunakan untuk 1. Buat model matematika. memecahkan masalah yang berkaitan 2. Lukis grafik model matematika. dengan optimasi linear (nilai optimum) 3. Tentukan daerah penyelesaian. 4. Cari titik pojok daerah penyelesaian. Konsep yang dibutuhkan 5. Substitusi titik pojok ke fungsi objektif. 6. Pilih nilai optimum. Pertidaksamaan Linear Contoh Soal Program Linear Dua Variabel dan Penyelesaiannya ������ ������������ + ������������ ≥ ������������ Sebuah area parkir dengan luas 3.750 m2, dan maksimal hanya dapat ditempati 300 ������ ������ kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus. O ������ Jika luas sebuah sedan 5 m2 dan bus 15 m2, biaya parkir sebuah sedan dan sebuah bus adalah Rp2.000 dan Rp5.000, maka berapa jumlah sedan dan bus yang parkir supaya pendapatan parkirnya menjadi maksimal! Sistem Pertidaksamaan Linear Banyak kendaraan Sedan Bus Total Dua Variabel Luas kendaraan (������) (������) Biaya Parkir 300 1 1 3750 5 15 2.000 5.000 ������ ������������ + ������������ ≤ ������������ Fungsi kendalanya: ������������ + ������������ ≤ ������������ ������ + ������ ≤ 300 ������ ≥ 0 ������ + 3������ ≤ 750, bentuk sederhana 5������ + 15������ ≤ 3750 ������ ≥ 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif ������ ������ ≥ 0 ������ ≥ 0, jumlah bus tidak mungkin negatif ������ { ������, ������ elemen bilangan cacah. O ������ ������ ������ Fungsi Objektif: ������(������, ������) = 2.000������ + 3.000������ Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan: ������ Model Matematika ������������������ Sebuah area parkir dengan luas 3.750 m2, ������������������ ������������������ ������ dan maksimal hanya dapat ditempati 300 O ������������������ kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus. Jika luas sebuah sedan 5 m2 dan bus 15 m2, Titik potong garis ������ + ������ = 300 dan ������ + 3������ = 750: maka tentukanlah model matematikanya ! ������ = 225 dan ������ = 75 Sedan Bus Total Jadi titik pojoknya adalah: (������) (������) (0, 0), (300, 0), (225, 75), dan (0, 250). 300 Banyak kendaraan 1 1 3750 Uji titik pojok: Luas kendaraan 5 15 (������, ������) ������(������, ������) = 2.000������ + 3.000������ (0, 0) 2.000(0) + 3.000(0) = 0 ������ + ������ ≤ 300 (300, 0) 2.000(300) + 3.000(0) = 600.000 ������ + 3������ ≤ 750, bentuk sederhana 5������ + 15������ ≤ 3750 ������ ≥ 0, jumlah sedan tidak mungkin negatif (225, 75) 2.000(225) + 3.000(75) = 675.000 ������ ≥ 0, jumlah bus tidak mungkin negatif (0, 250) 2.000(0) + 3.000(250) = 750.000 { ������, ������ elemen bilangan cacah. Jadi, pendapatan maksimal adalah Rp750.000 untuk parkir 250 bus. Halaman 54 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT: Dalam mengerjakan soal UN Matematika SMA, materi soal Program Linear memang tipe soal yang menghabiskan banyak waktu. Ya! Penyelesaian Program Linear ini membutuhkan perhitungan yang banyak dan perhitungannya harus dilakukan dengan cermat karena membutuhkan ketelitian tinggi dalam menggambar sketsa grafik, menguji titik untuk menemukan daerah penyelesaian pertidaksamaan, mencari titik potong dua garis, dan mensubstitusi titik pojok ke fungsi objektif untuk menemukan nilai optimum. Padahal waktu yang diberikan untuk setiap soal UN Matematika SMA itu hanya sekitar 3 menit saja! Penjabaran langkah dasarnya sebagai berikut: Pertama, adik-adik harus mengubah soal cerita sehingga bisa dituliskan menjadi model matematika dari beberapa fungsi kendala yang membentuk sistem pertidaksamaan linear dan sebuah fungsi objektif. Kedua, adik-adik harus menggambarkan model matematika tersebut ke dalam bidang koordinat Cartesius. Ketiga, dari gambar grafik model matematika, adik-adik harus bisa menentukan daerah penyelesaian dari fungsi kendala dalam bidang koordinat Cartesius. Keempat, daerah penyelesaian dari fungsi kendala berbentuk poligon, dimana titik-titik sudutnya adalah titik pojok. Adik-adik perlu melihat apakah ada titik pojok yang berupa titik potong dua garis yang koordinatnya perlu dicari menggunakan teknik eliminasi dan substitusi dari kedua persamaan garis tersebut. Kelima, titik-titik pojok tersebut merupakan titik ekstrim yang akan kita periksa nilai fungsi objektifnya. Terakhir, nilai terbesar dari fungsi objektif adalah nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil dari fungsi objektif adalah nilai minimum. Nah, jika terdapat dua titik pojok yang menghasilkan nilai fungsi objektif yang sama, maka penyelesaian nilai optimum terdapat pada sepanjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik pojok tersebut. Perhatikan gambar di bawah: TRIK SUPERKILAT Model Matematika Grafik Max itu YEX Daerah Penyelesaian Urutkan perbandingan ������ ∶ ������ Titik Pojok Letak Fungsi Objektif Substitusi Titik Pojok Nilai Optimum Nah, sebenarnya metode TRIK SUPERKILAT memotong langkah dasar sampai di model matematika saja. Metode TRIK SUPERKILAT menggunakan modifikasi dari teori gradien untuk menyelesaikan program linear. Pertama, apabila yang ditanyakan adalah nilai maksimum, maka tuliskan urutan Y-E-X. (Ingat MAX itu huruf akhirnya X, jadi yang ditulis juga harus berakhiran X). Kalau yang ditanyakan adalah nilai minimum, maka urutannya adalah X-E-Y. Kedua, urutkan nilai dari perbandingan koefisien ������ dan koefisien ������ dari semua fungsi kendala maupun fungsi objektif. Urutkan dari nilai yang terkecil menuju ke nilai terbesar. Terakhir lihat dimana letak perbandingan koefisien ������ dan koefisien ������ dari fungsi objektif. Jika terletak di Y, maka nilai optimal berada di sumbu Y, substitusikan ������ = 0 ke fungsi di sebelahnya. Jika terletak di E, maka nilai optimal berada di perpotongan antara kedua fungsi di sebelahnya. Jika terletak di X, maka nilai optimal berada di sumbu X, substitusikan ������ = 0 ke fungsi di sebelahnya. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 55
Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan nilai optimum fungsi objektif. Contoh Soal: Suatu perusahaan tas dan sepatu memerlukan 4 unsur A dan 6 unsur B perminggu untuk masing-masing hasil produksinya. Setiap tas memerlukan satu unsur A dan dua unsur B, setiap sepatu memerlukan dua unsur A dan dua unsur B. Bila setiap tas untungnya 3000 rupiah, setiap sepatu untungnya 2000 rupiah, maka banyak tas dan sepatu yang dihasilkan per minggu agar diperoleh untung yang maksimal adalah …. a. 2 sepatu b. 3 sepatu c. 3 tas d. 4 tas e. 2 tas dan 2 sepatu Penyelesaian: Model Matematika Tas (������) Sepatu (������) Total 1 2 4 Unsur A 2 2 6 Unsur B Untung 3000 2000 Fungsi kendala: ������ + 2������ ≤ 4 (perbandingan koefisien ������ dan ������ adalah 1/2) 2������ + 2������ ≤ 6 (perbandingan koefisien ������ dan ������ adalah 1) Fungsi objektif: maks 3000������ + 2000������ =…. (perbandingan koefisien ������ dan ������ adalah 3/2) LANGSUNG MASUK KE LANGKAH TRIK SUPERKILAT: Memaksimumkan berarti Y-E-X!!!!! Sumbu ������ Eliminasi Sumbu ������ Urutkan Perbandingan Koefisien X:Y Cari perbandingan koefisien ������ dan ������ untuk masing-masing fungsi kendala dan objektif, lalu urutkan dari kecil ke besar. Sumbu ������ Eliminasi Sumbu ������ 1/2 1 3/2 Letak Fungsi Objektif Eliminasi Sumbu ������ Perhatikan tabel tadi: 1 3/2 Sumbu ������ 1/2 Karena fungsi objektif yang perbandingan koefisiennya adalah 3/2 terletak pada kolom Sumbu ������, maka artinya nilai optimum adalah terletak di sumbu X untuk persamaan yang berada disebelahnya (yaitu persamaan dengan perbandingan koefisien bernilai 1) Artinya substitusikan ������ = 0 untuk persamaan 2������ + 2������ = 6 2������ + 2������ = 6 2������ + 2(0) = 6 ������ = 3 Jadi, agar keuntungan maksimal maka perusahaan tersebut haruslah menjual 3 tas. Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum keuntungan adalah Rp9.000,00. Halaman 56 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan nilai optimum fungsi objektif, ada nilai perbandingan ������ dan ������ yang sama. Contoh Soal : Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah …. TRIK SUPERKILAT: Penyelesaian Cara Biasa: Vitamin Tablet Tablet Jumlah Perbandingan A I II 25 koef ������ dan ������ Model Matematika 5 10 1/2 Fungsi kendala: Vitamin 3 1 5 3/1 5������ + 10������ ≥ 25; B 1/2 3������ + ������ ≥ 5; ������ ≥ 0; ������ ≥ 0, ������, ������ elemen bilangan cacah. Harga 4.000 8.000 Fungsi objektif: Urutkan perbandingan dari kecil ke besar. XEY Minimumkan ������(������, ������) = 4.000������ + 8.000������ 1/2 1/2 2/2 Grafik dan Daerah Penyelesaian Kesimpulan: Y Perhatikan perbandingan fungsi objektif yang bernilai 1/2 terdapat di X dan E, 5 Di X, artinya nilai optimum diperoleh di perpotongan sumbu X dengan fungsi di dekatnya, yaitu fungsi kendala dengan perbandingan 1/2 . Di E, artinya nilai optimum juga diperoleh dari hasil titik 2,5 potong antara fungsi kendala dengan perbandingan 1/2 dan 3/1. 55 X 3 Titik Pojok Dua dari tiga titik pojok sudah bisa dilihat pada grafik yaitu (5, 0) dan (0, 5). Sementara satu titik pojok belum diketahui yaitu titik potong kedua garis. Menentukan titik potong kedua garis menggunakan metode eliminasi substitusi: 5������ + 10������ = 25 × 3 15������ + 30������ = 75 3������ + 10������ = 25 × 5 15������ + 35������ = 25 25������ = 50 50 ������ = 25 ������ = 2 Substitusi ������ = 2 ke salah satu persamaan: 3������ + ������ = 5 3������ + 2 = 5 3������ = 5 − 2 3������ = 3 3 ������ = 3 ������ = 1 Jadi titik potong kedua kurva adalah di titik (1, 2) Sehingga titik pojok adalah (5, 0), (1, 2), dan (0,5) Substitusi Titik Pojok Substitusikan titik-titik pojok tersebut ke fungsi objektif untuk mencari titik manakah yang memiliki nilai objektif paling kecil. Titik pojok (������, ������) Fungsi objektif ������(������, ������) = 4.000������ + 8.000������ (5, 0) 4.000(5) + 8.000(0) = 20.000 + 12.000 = 20.000 (1, 2) 4.000(1) + 8.000(2) = 04.000 + 16.000 = 20.000 (0, 5) 4.000(0) + 8.000(5) = 20.000 + 40.000 = 40.000 Nilai Optimum Dari tabel tersebut diperoleh nilai minimum fungsi objektif ������(������, ������) terjadi pada titik (5, 0) dan (1, 2) yaitu dengan pengeluaran sebesar Rp20.000,00. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 57
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30 gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi, sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp.1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp.800,00, maka biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah .... A. Rp12.000,00 TRIK SUPERKILAT: Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E. B. Rp14.000,00 C. Rp18.000,00 Kapsul Tablet Jumlah Perbandingan Artinya titik minimumnya berada di hasil D. Rp24.000,00 eliminasi kedua fungsi kendala. (Gunakan metode E. Rp36.000,00 koef ������ dan ������ determinan matriks) Kalsium 5 2 60 5/2 |6300 22| |25 6300| |52 22| |52 22| Zat Besi 2 2 30 2/2 ������ = = 60 = 10; ������ = = 30 = 5 6 6 Harga 1.000 800 10/8 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar. Jadi nilai minimumnya adalah: XEY ������(������, ������) = 1.000(10) + 800(5) = Rp14.000,00 2/2 10/8 5/2 2. Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah .... Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada A. Rp13.400.000,00 TRIK SUPERKILAT: (harga dalam ribuan rupiah) di E (titik potong atau hasil eliminasi substitusi dua fungsi kendala) B. Rp12.600.000,00 Sepeda Sepeda Jumlah Perbandingan Gunakan metode determinan matriks gunung balap koef ������ dan ������ |422.0500 2.0100| |1.5100 2.0100| C. Rp12.500.000,00 Jumlah 1 1 25 1/1 8.000 3/4 500 D. Rp10.400.000,00 Harga 1.500 2.000 42.000 5/6 ������ = = = 16; Untung 500 600 E. Rp8.400.000,00 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar. ������ + ������ = 25 ⇒ 16 + ������ = 25 ⇒ ������ = 9; Jadi nilai maksimum adalah: YEX ������(������, ������) = 500(16) + 600(9) = Rp13.400 3/4 5/8 1/1 3. Seorang ibu hendak membuat dua jenis kue. Kue jenis I memerlukan 40 gram tepung dan 30 gram gula. Kue jenis II memerlukan 20 gram tepung dan 10 gram gula. Ibu hanya memiliki persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula 4 kg. jika kue jenis I dijual dengan harga Rp4.000,00 dan kue jenis II dijual Soal ini tidak addaengan harga Rp1.600,00, maka pendapatan maksimum yang diperoleh ibu adalah .... jawabannya, A. Rp30.400,00 Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E mungkin maksudnya B. Rp48.000,00 TRIK SUPERKILAT: (titik potong atau hasil eliminasi substitusi dua fungsi kendala) pilihan jawaban A, B, C. Rp56.000,00 Kue Kue Jumlah Perbandingan Gunakan metode determinan matriks koef ������ dan ������ C, D, dan E kurang jenis I jenis II 6.000 |64..000000 1200| satu angka nol. 4.000 4/2 |4300 2100| D. Rp59.200,00 Tepung 40 20 −20.000 E. Rp72.000,00 3/1 −200 Gula 30 10 ������ = = = 100; 40/16 Harga 4.000 1.600 30������ + 10������ = 4.000 ⇒ 3.000 + 10������ = 4.000 ⇒ ������ = 100; Urutkan perbandingan dari kecil ke besar. Jadi nilai maksimum adalah: YEX ������(������, ������) = 4.000(100) + 1.600(100) = Rp560.000 4/2 40/16 3/1 Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Halaman 58 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2. 9. Menyelesaikan operasi matriks. Matriks Bentuk Umum Operasi Aljabar Matriks ������11 ������12 ⋯ ������1������ ������������×������ = ( ������21 ⋮ ������22 ⋱ ������2������ ⋮ ) Kesamaan Matriks ������������1 ������������2 ⋯ ������������������ “Elemen yang Sama, Nilainya Sama” (���1��� −������5) = (31 −−52) ⇒{ ������ = 3 ������ = −2 Transpose Matriks Penjumlahan Matriks “Tukar Baris Kolom” “Jumlahkan Elemen yang Sama” ������ = (������������ ������������) ⇒ ������������ = (������������ ������������) (������������ ������������) + (������������ ���ℎ���) = (������������ + ������ ������ + ���ℎ���) + ������ ������ + Determinan Matriks 2 × 2 Pengurangan Matriks “Diagonal Utama – Diagonal Samping” “Kurangkan Elemen yang Sama” ������ = (������������ ������������) ⇒ |������| = |������������ ������������| = ������������ − ������������ (������������ ������������) − (������������ ���ℎ���) (������������ − ������ ������ − ���ℎ���) = − ������ ������ − Invers Matriks 2 × 2 Perkalian Matriks dengan Skalar “Pembagian Matriks” “Kalikan dengan Semua Elemen” ������ (������������ ������������) = (������������������������ ������������������������) ������������−1 = ������−1������ = ������ ������ = (������������ ������������) ⇒ ������−1 = 1 (−������������ −������������) |������| Perkalian Matriks dengan Matriks Persamaan Matriks “Syarat Harus Dipenuhi” “Dikali Invers dari Kanan atau Kiri ???” ( ) ( ) =( ) ������×������ sama ������×������ ������×������ ������������ = ������ ⇒ { ������ = ������������−������ ������ = ������−������������ “Jumlah Perkalian Elemen Baris Kolom” (������������ ������������) (������������ ℎ������) = (������������������������ + ������������ ������������ + ������������ℎℎ) + ������������ ������������ + Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 59
TRIK SUPERKILAT: Dalam mengerjakan soal UN Matematika SMA, materi soal Matriks ini boleh dibilang yang paling mudah, asalkan menguasai betul konsep dasar dari Matriks itu sendiri. Mengapa? Karena hanya diperlukan perhitungan aljabar sederhana. Nah, untuk mempercepat proses perhitungan kita bisa menggunakan sifat-sifat dari Operasi Aljabar Matriks, Transpose Matriks, Determinan Matriks, dan Invers Matriks. Sifat Operasi Aljabar Matriks: ������ + ������ = ������ + ������ ������ − ������ ≠ ������ − ������ ������ + (������ + ������) = (������ + ������) + ������ ������(������ + ������) = ������������ + ������������ ������������ ≠ ������������ Sifat Transpose Matriks: (������ + ������)������ = ������������ + ������������ (������������)������ = ������ (������ ∙ ������)������ = ������������ ∙ ������������ (������������)������ = ������������������ Sifat Determinan Matriks: |������������| = |������| 1 |������−1| = |������| |������ ∙ ������| = |������| ∙ |������| ������ ∙ ������ = ������ ⇒ |������| ∙ |������| = |������| |������| |������| ∙ |������| = |������| ⇒ |������| = |������| |(������ ∙ ������)−1| = 1 ∙ 1 |������| |������| Sifat Invers Matriks: ������������−1 = ������−1������ = ������ (������ ∙ ������)−1 = ������−1 ∙ ������−1 Halaman 60 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan Operasi Aljabar Matriks. Contoh Soal 1: 4 −������6), ������ = (−01 Diketahui matriks-matriks ������ = (−1������ 02), + 32), dan ������ = (−42 ���3���) ������ = (������ 5 Jika 2������ − ������ = ������������ maka nilai dari ������ + ������ + ������ = …. a. −6 b. −2 c. 0 d. 1 e. 8 Penyelesaian: 02) − (������ 4 5 −������6) = (−01 32) (−42 ���3���) 2������ − ������ = ������������ ⇒ 2 (−1������ + 40) 4 −������6) = (−−140 −������ + 9) ⇔ (−22������ − (������ + 5 6 ⇔ (−−23������−−���4��� 4 − ������) = (−−140 −������ + 9) 6 6 Dengan menggunakan konsep kesamaan matriks, diperoleh: −2������ − 4 = −10 ⇒ −2������ = −10 + 4 ⇔ −2������ = −6 ⇔ ������ = 3 −3 − ������ = −4 ⇒ −������ = −4 + 3 ⇔ −������ = −1 ⇔ ������ = 1 4 − ������ = −������ + 9 ⇒ 4 − ������ = −(1) + 9 ⇔ 4 − ������ = 8 ⇔ −������ = 8 − 4 ⇔ −������ = 4 ⇔ ������ = −4 Jadi nilai ������ + ������ + ������ = (−4) + (1) + (3) =0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 61
Menentukan Determinan Matriks. Contoh Soal 1: Diketahui matriks ������ = (03 25), dan ������ = (−−137 −01). Jika ������������ = transpos matriks ������ dan ������������ = ������ + ������������, maka determinan matriks ������= …. a. −6 b. −2 c. 0 d. 1 e. 8 Penyelesaian: ������������ = ������ + ������������ ⇒ ������ = ������−1(������ + ������������) 1 = |������| ������������������(������)(������ + ������������ ) = 1 (05 −32) ((−−137 −01) + (32 05)) 15 = 1 (05 −32) (−015 −51) 15 1 = 15 (−3405 −1155) = (−23 −11) Karena ������ = (−23 −11), maka determinan matriks ������ adalah : |������| = |−23 −11| = 2 − 3 = −1 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Sebenarnya metode yang digunakan dalam TRIK SUPERKILAT hampir sama dengan metode Basic Concept, hanya saja kita akan menggunakan sifat determinan untuk mempermudah langkah perhitungan determinan. Perhatikan langkah yang berwarna merah atau biru di bawah ini. ������������ = ������ + ������������ ⇒ |������||������| = |������ + ������������| ⇔ |������| = |������+������������| |������| ������������������������ ������������������������������������������ ������������������������������ ������������������������������������������������������������ ������������������������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ℎ ������������������������ ������������������������������������������ (������ + ������������) ������������������������������������������������ ������ + ������������ = ((−−137 −01) + (32 50)) = (−015 −51) ������������������������, |������ + ������������| = −15 ⇔ |������| = |������+������������| |������| = −15 15 = −1 Halaman 62 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2: Diketahui matriks ������ = (43 −24), dan ������ = (52 −13). Jika ������������ = ������ dan ������−1 adalah invers matriks ������ maka determinan dari matriks ������−1 = …. a. −2 b. −1 c. 1 d. 2 e. 3 Penyelesaian: ������ ∙ ������ = ������ ⇒ ������ = ������ ∙ ������−1 ⇔ ������−1 = (������ ∙ ������−1)−1 ⇔ ������−1 = ������ ∙ ������−1 1 11 = (43 −24) ∙ (−12 53) = 1 (34 −24) (−12 53) 11 1 = 11 (101 −2121) = (10 −21) Karena ������−1 = (10 −21), maka determinan matriks ������−1 adalah : |������−1| = |01 −21| = 0 − 2 = −2 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Sebenarnya metode yang digunakan dalam TRIK SUPERKILAT hampir sama dengan metode Basic Concept, hanya saja kita akan menggunakan sifat determinan untuk mempermudah langkah perhitungan determinan. Perhatikan langkah yang berwarna merah di bawah ini. ������ ∙ ������ = ������ ⇒ ������ = ������ ∙ ������−1 ⇔ ������−1 = (������ ∙ ������−1)−1 ⇔ ������−1 = ������ ∙ ������−1 |������| ⇔ |������−1| = |������| = −22 11 = −2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 63
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Diketahui matriks A = 3 y1 , B = x 56 dan C = 3 91 . 5 3 y Jika A + B – C = 8 5x4 , maka nilai x 2xy y adalah .... x ������ + ������ − ������ = (−8������ −5���4��� ) Substitusi ������ = 2 dan ������ = 4 A. 8 ������ + 2������������ + ������ = 2 + 16 + 4 = 22 B. 12 ⇒ (2������ +6 ������−+46) = (−8������ −5���4��� ) C. 18 − ������ ������ + 6 = 8 D. 20 ∴ ������ = 2 E. 22 ⇔ 2 − ������ = −������ ⇔ ∴ ������ = 4 Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Halaman 64 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2. 10. Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu. Vektor Notasi Vektor Operasi Aljabar Vektor ������3���⃗⃗��� ������1 (������2) ���⃗��� = ������1���⃗��� + ������2���⃗��� + = ������3 Penjumlahan Vektor ���������⃗��� = ������������1���⃗��� + ������������2���⃗��� + ������������3���⃗⃗��� = ������������1 “Jumlahkan Komponen yang Sama” (������������2) ������������3 ������1 ������1 ������1 + ������1 ������1 komponen pada sumbu X ���⃗��� + ���⃗⃗��� = (������2) + (������2) = (������2 + ������2) ������2 komponen pada sumbu Y + ������3 ������3 komponen pada sumbu Z ������3 ������3 ������3 Pengurangan Vektor Panjang Vektor “Kurangkan Komponen yang Sama” “Akar dari jumlah kuadrat” ���⃗��� − ���⃗⃗��� = ������1 − ������1 = ������1 − ������1 |���⃗���| = √������12 + ������22 + ������32 (������2) (������2) (������2 − ������2) − ������3 ������3 ������3 ������3 Vektor Posisi Perkalian Skalar ������(������������, ������������, ������������) “Dua Vektor Harus Searah” ���⃗��� “Kalikan Komponen yang Sama” O ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� = |���⃗���||���⃗⃗���| cos ������ ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� = ������1������1 + ������2������2 + ������3������3 “Titik Koordinat = Komponen Vektor” Perkalian Vektor ������������ “Dua Vektor Harus Tegak Lurus” ���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗��� = ���⃗��� = (������������) “Putar Komponen yang Beda” ������������ ���⃗��� × ���⃗⃗��� = |���⃗���||���⃗⃗���| sin ������ Vektor Pada Dua Titik ���⃗��� ���⃗��� ���⃗⃗��� ������(������������, ������������, ������������) ���⃗��� × ���⃗⃗��� = |������1 ������2 ������3| ������1 ������2 ������3 −���⃗��� ������(������������, ������������, ������������) ���⃗⃗��� O Pembagian Ruas Garis “Belakang Kurangi Depan” “Hasil Kali Silang Dibagi Jumlahnya” ������������ − ������������ ������(������������, ������������, ������������) ���⃗��� = ���������⃗⃗��� + ���������⃗��� ������������ = ���⃗⃗��� − ���⃗��� = (������������ − ������������) ������ + ������ ������������ − ������������ ������ ������(������������, ������������, ������������) ���⃗��� ���⃗��� ������ ������(������������, ������������, ������������) ���⃗⃗��� ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 65
Sifat Operasi Vektor: ���⃗��� + ���⃗⃗��� = ���⃗⃗��� + ���⃗��� (���⃗��� + ���⃗⃗���) + ���⃗��� = ���⃗��� + (���⃗⃗��� + ���⃗���) ���⃗��� + 0 = 0 + ���⃗��� = ���⃗��� ���⃗��� + (−���⃗���) = 0 Sifat Perkalian Skalar (Perkalian Titik/Dot Product) Dua Vektor: ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� = ���⃗⃗��� ∙ ���⃗��� ���⃗��� ∙ (���⃗⃗��� + ���⃗���) = ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� + ���⃗��� ∙ ���⃗��� ���⃗��� ∙ ���⃗��� = |���⃗���|2 ���⃗��� ⊥ ���⃗⃗��� ⇒ ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� = 0 Sifat Perkalian Vektor (Perkalian Silang/Cross Product) Dua Vektor: ���⃗��� × ���⃗��� = ���⃗��� × ���⃗��� = ���⃗⃗��� × ���⃗⃗��� = 0 ���⃗��� × ���⃗��� = ���⃗⃗��� ���⃗��� × ���⃗⃗��� = ���⃗��� ���⃗⃗��� × ���⃗��� = ���⃗��� ���⃗��� × ���⃗��� = −���⃗⃗��� ���⃗⃗��� × ���⃗��� = −���⃗��� ���⃗��� × ���⃗⃗��� = −���⃗��� Halaman 66 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT: Jabarkan Lihat Syarat Hitung Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal operasi aljabar vektor ini, satu hal yang sering ditanyakan adalah hasil operasi perkalian titik terhadap beberapa operasi aljabar penjumlahan maupun pengurangan vektor dengan syarat ada dua vektor yang tegak lurus. Misal diketahui ���⃗���, ���⃗⃗���, dan ���⃗��� . Jika ���⃗��� ⊥ ���⃗⃗���, maka tentukan hasil dari (���⃗��� + ���⃗⃗���) ∙ (���⃗��� − ���⃗���)! Maka jabarkan (���⃗��� + ���⃗⃗���) ∙ (���⃗��� − ���⃗���) = ���⃗��� ∙ (���⃗��� − ���⃗���) + ���⃗⃗��� ∙ (���⃗��� − ���⃗���) = (⃗���⃗��� ∙ ���⃗⃗���) − (���⃗��� ∙ ���⃗���) + (���⃗⃗��� ∙ ���⃗⃗���) − (���⃗⃗��� ∙ ���⃗���) = |⃗���⃗���|������ − (���⃗��� ∙ ���⃗���) + ������ − (���⃗⃗��� ∙ ���⃗���) Tips dan triknya adalah, Lihat syarat, Bahwa kita tidak perlu menghitung hasil perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus. Cukup kalikan pada komponen yang sama untuk menentukan hasil perkalian skalar (perkalian titik atau dot product). Lalu perkalian titik dua vektor yang sama akan menghasilkan nilai yang sama dengan kuadrat panjang vektor tersebut. Perhatikan tulisan berwarna merah (���⃗⃗��� ∙ ⃗���⃗���). Perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus adalah NOL! Perhatikan warna biru (���⃗⃗��� ∙ ⃗���⃗���). Perkalian titik dari dua vektor yang sama adalah KUADRAT PANJANG VEKTOR! Lalu hitung perkalian titiknya. Masih ingat (���⃗��� ∙ ���⃗���) atau (���⃗⃗��� ∙ ���⃗���)? Perkalian titik dua vektor yang tidak tegak lurus itu KALIKAN KOMPONEN YANG SAMA! SELESAI! Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 67
KESIMPULAN LOGIKA PRAKTIS: Satu hal yang unik pada operasi aljabar vektor adalah untuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian titik, semua operasi hanya dilakukan pada KOMPONEN VEKTOR YANG SAMA. Kalau penjumlahan dua vektor, ya jumlahkan komponen-komponen yang sama. Jika pengurangan dua vektor, maka kurangkanlah komponen-komponen yang sama. Dan apabila perkalian titik, juga kalikan komponen-komponen yang sama. PERBEDAAN mendasar hanya ada pada PERKALIAN SILANG, atau dikenal dengan perkalian vektor atau cross product. Triknya adalah sebagai berikut: ���⃗��� ���⃗��� × ���⃗��� = ⃗���⃗��� ⃗���⃗��� + ���⃗��� Jadi kalau perkaliannya dua komponen vektor yang posisinya searah jarum jam hasilnya POSITIF komponen vektor berikutnya. ���⃗��� dikalikan silang dengan ���⃗��� maka hasilnya POSITIF ���⃗⃗���. ���⃗��� dikalikan silang dengan ���⃗⃗��� maka hasilnya POSITIF ���⃗���. ���⃗⃗��� dikalikan silang dengan ���⃗��� maka hasilnya POSITIF ���⃗���. Sehingga, apabila dibalik arah perkalian silangnya, hasilnya NEGATIF. Contohnya yaitu apabila ���⃗��� dikalikan silang dengan ���⃗��� maka hasilnya NEGATIF ���⃗⃗���. ���⃗��� × ���⃗��� = −���⃗⃗��� Halaman 68 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Tegak Lurus. Contoh Soal: ������ 2 2 Diketahui vektor ���⃗��� = (2), ���⃗⃗��� = (−5) dan ���⃗��� = ( 1 ). Jika vektor ���⃗��� tegak lurus dengan vektor ���⃗⃗���, maka 23 −1 tentukan nilai dari 2���⃗��� ∙ (���⃗⃗��� − 3���⃗���) = …. a. 0 b. 6 c. 12 d. 18 e. 24 Penyelesaian: ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� = 0 ���⃗��� ⊥ ���⃗⃗��� ⇒ 2 ������ ⇔ (2) ∙ (−5) = 0 23 ⇔ 2������ − 10 + 6 = 0 ⇔ 2������ − 4 = 0 ⇔ 2������ = 4 ⇔ ������ = 2 Dengan demikian diperoleh: 2 ���⃗��� = (2) 2 Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh: ���⃗��� ⊥ ���⃗⃗��� ⇒ ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� = 0 22 ���⃗��� ∙ ���⃗��� = (2) ∙ ( 1 ) = (2 ∙ 2) + (2 ∙ 1) + (2 ∙ (−1)) = 4 + 2 − 2 = 4 2 −1 2������ ∙ (������ − 3������) = 2���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� − 2���⃗��� ∙ 3���⃗��� = 2(���⃗��� ∙ ���⃗⃗���) − 6(���⃗��� ∙ ���⃗���) = 2(0) − 6(4) = 0 + 24 = 24 Jadi nilai 2������ ∙ (������ − 3������) = 24 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Lihat bahwa ���⃗⃗��� tegak lurus ⃗���⃗���, maka ⃗���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� = ������ Jabarkan perkalian titik pada soal: 2���⃗��� ∙ (���⃗⃗��� − 3���⃗���) = ������(⃗���⃗��� ∙ ���⃗⃗���) − 6(���⃗��� ∙ ���⃗���) = ������ − 6(4) = −24 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 69
Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Berlawanan. Contoh Soal: 12 −2 Diketahui vektor ���⃗��� = ( ������ ), ���⃗⃗��� = (−3) dan ���⃗��� = ( 2 ). Jika vektor ���⃗��� berlawanan dengan vektor ���⃗���, maka −2 1 4 tentukan nilai dari 4���⃗��� ∙ (2���⃗��� − ���⃗⃗���) = …. a. −24 b. 0 c. 12 d. 48 e. 72 Penyelesaian: ���⃗��� berlawanan arah dengan ���⃗��� ⇒ ���⃗��� = −���������⃗��� 1 −2 ⇔ ( ������ ) = −������ ( 2 ) −2 4 Dari persamaan tersebut diperoleh: 1 = −������(−2) ⇒ ������ = 1 2 Maka, ������ = −������(2) ⇒ ������ = (− 12) (2) = −1 Dengan demikian diperoleh: 1 ���⃗��� = (−1) −2 Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh: 12 ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� = (−1) ∙ (−3) = (1 ∙ 2) + ((−1) ∙ (−3)) + ((−2) ∙ 1) = 2 + 3 − 2 = 3 −2 1 1 −2 ���⃗��� ∙ ���⃗��� = (−1) ∙ ( 2 ) = (1 ∙ (−2)) + ((−1) ∙ 2) + ((−2) ∙ 4) = −2 − 2 − 8 = −12 −2 4 4���⃗��� ∙ (2���⃗��� − ���⃗⃗���) = 4���⃗��� ∙ 2���⃗��� − 4���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� = 8(���⃗��� ∙ ���⃗���) − 4(���⃗��� ∙ ���⃗⃗���) = 8(3) − 4(−12) = 24 − (−48) = 72 Jadi nilai 4���⃗��� ∙ (2���⃗��� − ���⃗⃗���) = 72 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Dua vektor itu berlawanan jika angkanya juga saling berlawanan dan berkelipatan. Perhatikan vektor ���⃗��� dan vektor ���⃗��� berikut: 1 −2 ���⃗��� = ( ������ ) dan ���⃗��� = ( 2 ) −2 4 Bandingkan kotak merah dan kotak biru. Logika praktisnya. Kalau −2 itu 1, maka 2 itu −1. Jelas bahwa ������ = −1. Halaman 70 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Sama Panjang. Contoh Soal: 12 −2 Diketahui vektor ���⃗��� = ( ������ ), ���⃗⃗��� = (−3) dan ���⃗��� = ( 2 ). Jika panjang vektor ���⃗��� sama dengan panjang vektor −2 1 4 ���⃗⃗���, dan ������ < 0, maka tentukan nilai dari (���⃗��� + ���⃗⃗���) ∙ (���⃗⃗��� − ���⃗���) = …. a. −5 b. −3 c. 3 d. 9 e. 15 Penyelesaian: |���⃗���|=|���⃗⃗���| ⇒ √(1)2 + (������)2 + (−2)2 = √(2)2 + (−3)2 + (1)2 ⇔ (1)2 + (������)2 + (−2)2 = (2)2 + (−3)2 + (1)2 ⇔ 1 + ������2 + 4 = 4 + 9 + 1 ⇔ ������2 + 5 = 14 ⇔ ������2 + 5 − 14 = 0 ⇔ ������2 − 9 = 0 pembuat nol ⇔ (������ + 3)(������ − 3) = 0 ⇔ ������ + 3 = 0 atau ������ − 3 = 0 ⇔ ������ = −3 atau ������ = 3 Karena syarat ������ > 0, maka ������ = 3. 1 Dengan demikian diperoleh ���⃗��� = ( 3 ) −2 Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh: 12 ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� = ( 3 ) ∙ (−3) = (1 ∙ 2) + (3 ∙ (−3)) + ((−2) ∙ 1) = 2 − 9 − 2 = −9 −2 1 1 −2 ���⃗��� ∙ ���⃗��� = ( 3 ) ∙ ( 2 ) = (1 ∙ (−2)) + (3 ∙ 2) + ((−2) ∙ 4) = −2 + 6 − 8 = −4 −2 4 2 −2 ���⃗⃗��� ∙ ���⃗��� = (−3) ∙ ( 2 ) = (2 ∙ (−2)) + ((−3) ∙ 2) + (1 ∙ 4) = −4 − 6 + 4 = −6 14 |���⃗⃗���|2 = (2)2 + (−3)2 + (1)2 = 4 + 9 + 1 = 14 (���⃗��� + ���⃗⃗���) ∙ (���⃗⃗��� − ���⃗���) = ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� − ���⃗��� ∙ ���⃗��� + ���⃗⃗��� ∙ ���⃗⃗��� − ���⃗⃗��� ∙ ���⃗��� = ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� − ���⃗��� ∙ ���⃗��� + |���⃗⃗���|2 − ���⃗⃗��� ∙ ���⃗��� = (−9) − (−4) + 14 − (−6) = −9 + 4 + 14 + 6 = 15 Jadi nilai (���⃗��� + ���⃗⃗���) ∙ (���⃗⃗��� − ���⃗���) = 15 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Dua vektor itu sama panjang jika kuadrat dari komponennya juga sama. Nah perhatikan vektor ���⃗��� dan ���⃗⃗��� 12 ���⃗��� = ( ������ ) dan ���⃗⃗��� = (−3) −2 1 Ingat pada bilangan kuadrat itu tidak masalah bilangannya positif atau negatif. Karena bilangan positif maupun negatif kalau dikuadratkan hasilnya sama. Bukti: (−2)2 = (2)2 = 4. Sekarang bandingkan bilangan pada vektor ���⃗��� dan ���⃗⃗���. Pada vektor ���⃗⃗��� memuat bilangan 2, 3, dan 1. Logika praktisnya. Karena vektor ���⃗��� sudah ada bilangan 1 dan 2, maka pasti ������ = 3 (pilih yang positif sesuai syarat pada soal ������ > 0). Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 71
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Diketahui vektor p 4 dan 2 Jika a tegak lurus b, maka hasil dari a 2 ; b 3 ; c 1. a 2b . 3c adalah .... 1 6 3 A. 171 Karena ���⃗��� ⊥ ���⃗⃗��� ⇒ ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� = 0 ������ 4 B. 63 C. −63 ⇔ ( 2 ) ∙ (−3) = 0 −1 6 ⇔ 4������ − 6 − 6 = 0 D. −111 ⇔ ������ = 3 E. −171 3−8 6 (���⃗��� − 2���⃗⃗���) ∙ (3���⃗���) = (2 − (−6)) ∙ (−3) −1 − 12 9 −5 6 = ( 8 ) ∙ (−3) −13 9 = −30 − 24 − 117 = −171 2. Diketahui vektor a i x j 3 k , b 2 i j k , dan c i 3 j 2 k Jika a tegak lurus b , maka hasil dari 2 a . b c adalah .... A. −20 2 2−1 Karena ���⃗��� ⊥ ���⃗⃗��� ⇒ ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� = 0 (2���⃗���) ∙ (���⃗⃗��� − ���⃗���) = (2) ∙ ( 1 − 3 ) B. −12 12 C. −10 ⇔ (−������) ∙ ( 1 ) = 0 6 −1 − 2 D. −8 21 E. −1 3 −1 = (2) ∙ (−2) ⇔ 2 − ������ − 3 = 0 6 −3 ⇔ ������ = −1 = 2 − 4 − 18 = −20 3. Diketahui vektor a i 2 j x k , b 3i 2 j k , dan c 2 i j 2 k . Jika a tegak lurus c , maka a b . a c adalah .... A. −4 1+3 1−2 B. −2 Karena ���⃗��� ⊥ ���⃗��� ⇒ ���⃗��� ∙ ���⃗��� = 0 (���⃗��� + ���⃗⃗���) ∙ (���⃗��� − ���⃗���) = ( 2 − 2 ) ∙ ( 2 − 1 ) 12 C. 0 ⇔ ( 2 ) ∙ (1) = 0 −2 + 1 −2 − 2 4 −1 D. 2 −������ 2 =( 0 )∙( 1 ) ⇔ 2 + 2 − 2������ = 0 −1 −4 E. 4 ⇔ ������ = 2 = −4 + 0 + 4 =0 Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Halaman 72 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2. 11. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara dua vektor. Sudut Antara Dua Vektor Diketahui Komponen Vektor Titik Koordinat Panjang dan ResultanVektor ���⃗��� ������ |���⃗���| ������ = ∠(���⃗⃗���, ⃗���⃗���) ������ ������ ������ = ∠(���⃗⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗���, ⃗���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗���) ���⃗⃗��� ������ |���⃗⃗���| ���⃗��� = ������1���⃗��� + ������2���⃗��� + ������3���⃗⃗��� ���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗��� = ���⃗⃗��� − ���⃗��� |���⃗��� + ���⃗⃗���|2 = |���⃗���|2 + |���⃗⃗���|2 + 2|���⃗���||���⃗⃗���| cos ������ ���⃗⃗��� = ������1���⃗��� + ������2���⃗��� + ������3���⃗⃗��� ���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗��� = ���⃗��� − ���⃗⃗��� |���⃗��� − ���⃗⃗���|2 = |���⃗���|2 + |���⃗⃗���|2 − 2|���⃗���||���⃗⃗���| cos ������ Kosinus Sudut Kosinus Sudut Antara Dua Vektor Antara Dua Vektor cos ������ = ⃗���⃗⃗���∙⃗���⃗��� cos ������ = |���⃗⃗⃗���+⃗���⃗⃗���|2 −(|⃗���⃗⃗���|2 +|⃗���⃗⃗���|2) |���⃗⃗⃗���||���⃗⃗���| 2|���⃗⃗⃗���||⃗���⃗⃗���| atau cos ������ = (|���⃗⃗⃗���|2 +|⃗���⃗⃗���|2)−|���⃗⃗⃗���−⃗���⃗⃗���|2 2|���⃗⃗⃗���||⃗���⃗⃗���| Besar Sudut Antara Dua Vektor “Sudut berapa yang nilai cosnya ������\" cos ������ = ������ ⇒ ������ = cos−1(������) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 73
TRIK SUPERKILAT: Tentukan dua vektor Cek Perkalian titik Perkalian titik = 0 Perkalian titik ≠ 0 ������ = 90° Gunakan rumus cos ������ Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal sudut antara dua vektor, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah besar sudut yang dibentuk antara dua vektor. Nah, vektor yang diketahui ada tiga jenis, pertama diketahui komponen vektor, kedua diketahui vektor yang dibentuk oleh dua titik, dan yang terakhir adalah panjang atau resultan vektor. Langkah TRIK SUPERKILAT: Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan dua vektor yang membentuk sudut ������. Kedua, segera tentukan apakah perkalian titik kedua vektor tersebut nol. Jika benar, maka sudut ������ pasti 90°! Kalau perkalian titiknya tidak nol, maka segera tentukan panjang kedua vektor dan gunakan rumus cos ������ yang sesuai dengan kondisi soal. Halaman 74 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras: Masih ingat tripel Pythagoras? Asyik….! Misal vektor ���⃗��� = 3���⃗��� − 4���⃗��� + 12���⃗⃗���, maka tentukan panjang vektor ���⃗���? Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut: |���⃗���| = √32 + (−4)2 + 122 = √9 + 16 + 144 = √169 = 13 Apabila kita ingat bagaimana pola bilangan pada tripel Pythagoras, maka pengerjaan kita seperti berikut: ���⃗��� = ���������⃗��� − ���������⃗��� + ���������������⃗⃗��� 3 4 12 (ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5) 5 12 (ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13) 13 Keterangan: Pertama, abaikan tanda negatif pada setiap komponen vektor. Jadi kita hanya fokus untuk melihat komponen vektor ���⃗��� yaitu 3, 4, 12. Karena kita ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5. Maka 3, 4 kita sederhanakan menjadi 5. Jadi, sekarang komponen vektor semula 3, 4, 5 kini menjadi 5, 12. Nah, karena kita ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13. Maka 5 dan 12 bisa kita sederhanakan menjadi 13. Selesai! Panjang vektor ���⃗��� adalah 13! Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras Tripel Pythagoras yang sering muncul 3 4 5 Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras Khusus bilangan ganjil seperti 3, 5, 7, 9, dst… maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut 5 12 13 dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut! 7 24 25 9 40 41 Contoh: 32 = 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5. Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5. 8 15 17 52 = 25 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13, sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13 53 13 4 5 12 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 75
LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras Bentuk Akar: Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar? Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini. Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan. Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu????? Lihat konsepnya pada gambar di bawah: ������ ������ √������ ������ √������ Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah ������√������ dan ������√������, dan misal sisi miring segitiga siku-siku adalah ������, maka nilai ������ bisa ditentukan oleh: ������2 = (������√������)2 + (������√������)2 ⇒ ������ = √������2������ + ������2������ ⇒ ������ = √������2(������ + ������) ⇒ ������ = √������2√������ + ������ ⇒ ������ = ������√������ + ������ Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini: Tripel Pythagoras bentuk akar ������ √������ + ������ ������ √������ ������ √������ ������ √������ ������ √������ + ������ ������ √������ jumlahkan saja bilangan di dalam akar bilangannya harus sama, kalau nggak sama cari FPBnya Contoh: Cari FPB dari 12 dan 8. 4√13 4√4 8 FPBnya adalah 4. 4√9 Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4. Artinya 12 = 4√9 dan 8 = 4√4, 12 Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah 4√9 + 4 = 4√13 Sekarang mari cermati contoh soal panjang vektor di bawah ini! Misal vektor ���⃗��� = 4���⃗��� − 2���⃗��� + 6���⃗⃗���, maka tentukan panjang vektor ���⃗���? Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut: |���⃗���| = √42 + (−2)2 + 62 = √16 + 4 + 36 = √56 = √4√14 = 2√14 Apabila kita ingat pola bilangan pada tripel Pythagoras bentuk akar, maka pengerjaan kita seperti berikut: ���⃗��� = ���������⃗��� − ���������⃗��� + ���������⃗⃗��� (hanya lihat pada komponen vektor saja, abaikan tanda negatif) 4 2 6 (FPB dari 4, 2, dan 6 adalah 2. Ubah bilangan 4, 2, 6 menjadi 2 dikali akar berapa gitu…) ������√������ ������√������ ������√������ (jumlahkan 4 + 1 + 9) ������√������ + ������ + ������ ������√������������ Halaman 76 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui komponen dua vektor. Contoh Soal: Diketahui vektor ���⃗��� = 4���⃗��� + 2���⃗��� + 2���⃗⃗��� dan ���⃗⃗��� = 3���⃗��� + 3���⃗���. Besar sudut antara vektor ���⃗��� dan ���⃗⃗��� adalah …. a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 Penyelesaian: 4 ���⃗��� = 4���⃗��� + 2���⃗��� + 2���⃗⃗��� = (2) ⇒ |���⃗���| = √42 + 22 + 22 = √16 + 4 + 4 = √24 = √4√6 = 2√6 3 2 ���⃗⃗��� = 3���⃗��� + 3���⃗��� = (3) ⇒ |���⃗⃗���| = √32 + 32 + 02 = √9 + 9 + 0 = √18 = √9√2 = 3√2 0 Dengan demikian diperoleh: cos ������ = ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� |���⃗���||���⃗⃗���| 43 (2) ∙ (3) 2 0 = 2√6 ∙ 3√2 = (4)(3) + (2)(3) + (2)(0) 6√12 = 12 + 6 + 0 6√4√3 18 = 12√3 = 18 × √3 12√3 √3 = 18√3 36 1 = 2 √3 Jadi karena cos ������ = 1 √3, maka besar sudut ������ = 30° 2 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Lihat bahwa ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� ≠ 0, maka jelas jawaban D (90°) pasti salah! Segera cari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar: 4 2√4 ���⃗��� = 4���⃗��� + 2���⃗��� + 2���⃗⃗��� = (2) = (2√1) ⇒ |���⃗���| = 2√4 + 1 + 1 = 2√6 2 2√1 ���⃗⃗��� = 3���⃗��� + 3���⃗��� = 3 = 3√1 ⇒ |���⃗⃗���| = 3√1 + 1 = 3√2 (3) (3√1) 00 Lanjutkan dengan menghitung nilai cos ������ menggunakan rumus: 43 (2) ∙ (3) cos ������ = ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� = 2 ∙ 0 = ������������������ ������������������ ������������������ … |���⃗���||���⃗⃗���| 2√6 3√2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 77
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui beberapa titik koordinat. Contoh Soal: Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika ���⃗⃗��� mewakili ⃗���⃗���⃗⃗���⃗⃗��� dan ���⃗��� mewakili ���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗���, maka sudut yang dibentuk oleh vektor ���⃗⃗��� dan ���⃗��� adalah … a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 Penyelesaian: 62 4 ���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗��� = ���⃗⃗��� − ���⃗��� = (1) − (1) = (0) ⇒ |���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗���| = √42 + 02 + 02 = √16 + 0 + 0 = √16 = 4 22 0 62 4 ⃗���⃗���⃗⃗���⃗⃗��� = ���⃗��� − ���⃗��� = (5) − (1) = (4) ⇒ |���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗���| = √42 + 42 + 02 = √16 + 16 + 0 = √32 = 4√2 22 0 Dengan demikian diperoleh: cos ������ = ⃗���⃗���⃗⃗���⃗⃗��� ∙ ���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗��� |���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗���||���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗���| 44 (0) ∙ (4) = 00 4 ∙ 4√2 (4)(4) + (0)(4) + (0)(0) = 16√2 = 16 + 0 + 0 16√2 16 = 16√2 = 1 √2 = 1 × √2 √2 √2 1 = 2 √2 Jadi karena cos ������ = 1 √2, maka besar sudut ������ = 45° 2 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Lihat bahwa ⃗���⃗���⃗⃗���⃗⃗��� ∙ ���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗��� ≠ 0, maka jelas jawaban D (90°) pasti salah! Lanjutkan segera dengan mencari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar: 62 4 ���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗��� = ���⃗⃗��� − ���⃗��� = (1) − (1) = (0) ⇒ |⃗���⃗���⃗⃗���⃗⃗���| = 4 (karena komponen yang lain nol) 22 0 ⃗���⃗���⃗⃗���⃗⃗��� = ���⃗��� − ���⃗��� = 6 − 2 = 4 = 4√1 ⇒ |���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗���| = 4√1 + 1 = 4√2 (5) (1) (4) (4√1) 22 0 0 serta hasil kali titik dari ⃗���⃗���⃗⃗���⃗⃗��� ∙ ⃗���⃗���⃗⃗���⃗⃗��� tidak mungkin memuat bilangan bentuk akar. 1 2 Karena panjang ������������ memuat bilangan √2. Jadi feeling kita mengatakan bahwa nilai cos ������ = √2, dan satu- satunya jawaban yang mengakibatkan nilai cos ������ = 1 √2 adalah������ = 45°. 2 Halaman 78 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui panjang dan resultan vektor. Contoh Soal: Diketahui|���⃗���| = 2, |���⃗⃗���| = 3, dan |���⃗��� + ���⃗⃗���| = √19. Besar sudut antara vektor ���⃗��� dan ���⃗⃗��� adalah …. a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 Penyelesaian: Ingat |���⃗��� + ���⃗⃗���|2 = |���⃗���|2 + |���⃗⃗���|2 + 2|���⃗���||���⃗⃗���| cos ������ Dengan demikian diperoleh: |���⃗⃗��� + ���⃗⃗���|2 = |���⃗⃗���|2 + |⃗���⃗���|2 + 2|���⃗⃗���||⃗���⃗���| cos ������ ⇔ (√19)2 = (2)2 + (3)2 + 2(2)(3) cos ������ ⇔ 19 = 4 + 9 + 12 cos ������ ⇔ 19 = 13 + 12 cos ������ ⇔ 19 − 13 = 12 cos ������ ⇔ 6 = 12 cos ������ 6 ⇔ 12 = cos ������ ⇔ 1 = cos ������ 2 1 ⇔ cos ������ = 2 Jadi, karena cos ������ = 12, maka besar sudut ������ = 60° Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Ingat kalau diketahui jumlah kedua vektor maka kosinus sudut antara dua vektor adalah: cos ������ = |���⃗��� + ���⃗⃗���|2 − (|���⃗���|2 + |���⃗⃗���|2) 2|���⃗���||���⃗⃗���| = 19 − (4 + 9) 12 19 − 13 = 12 = 6 12 1 = 2 Jadi, karena cos ������ = 12, maka besar sudut ������ = 60° Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 79
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Diketahui vektor 2 3 a dan b adalah .... a 3 dan b 2. Sudut antara vektor 3 ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� 4 TRIK SUPERKILAT: |������||������| Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?. A. 135° cos ∠(���⃗���, ���⃗⃗���) = Kalau nol pasti siku-siku. B. 120° Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor 6 + 6 − 12 C. 90° = √22√29 sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C. D. 60° =0 ∴ cos ������ = 0 ⇒ ������ = 90° E. 45° 2. Diketahui titik A (1, 0, −2), B (2, 1, −1), C (2, 0, −3). Sudut antara vektor AB dengan AC adalah .... A. 30° ⃗���⃗���⃗⃗���⃗⃗��� = ������ − ������ = (1, 0, 1) TRIK SUPERKILAT: B. 45° Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?. C. 60° ���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗��� = ������ − ������ = (1, 0, −1 Kalau nol pasti siku-siku. D. 90° E. 120° cos ∠(⃗���⃗���⃗⃗���⃗⃗���, ���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗���) = ⃗���⃗���⃗⃗���⃗⃗��� ∙ ⃗���⃗⃗⃗���⃗⃗⃗⃗���⃗⃗⃗⃗��� Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor |⃗���⃗���⃗⃗���⃗⃗���||⃗���⃗���⃗⃗���⃗⃗���| sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C. = 1 +0− 1 √2√2 =0 ∴ cos ������ = 0 ⇒ ������ = 90° Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Halaman 80 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
2. 12. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi. Proyeksi Vektor Proyeksi Orthogonal Vektor ���⃗��� pada Vektor ���⃗⃗��� “Bayangan vektor ⃗���⃗��� pada vektor ⃗���⃗���” |���⃗���| ������ |⃗���⃗���| |���⃗⃗���| Proyeksi vektor |���⃗���| pada vektor |���⃗⃗���| adalah vektor |���⃗⃗���| Perhatikan daerah arsir, pada segitiga tersebut berlaku, |���⃗⃗���| cos ������ = |���⃗���| Sehingga, |���⃗���| = |���⃗���| cos ������ Masih ingat dengan sudut antara dua vektor? ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� cos ������ = |���⃗���||���⃗⃗���| sehingga |⃗���⃗���| = |���⃗���| |���⃗���||���⃗⃗���| Panjang Proyeksi Vektor Proyeksi skalar |���⃗⃗���| = ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� |���⃗⃗���| Masih ingat dengan panjang vektor satuan? ���⃗⃗��� ���⃗⃗��� ���̂��� = |���⃗⃗���| sehingga ���⃗⃗��� = |⃗���⃗���| |���⃗⃗���| Vektor Proyeksi Proyeksi vektor ���⃗⃗��� = ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� ���⃗⃗��� |���⃗⃗���|2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 81
TRIK SUPERKILAT: Vektor Proyeksi Perhatikan dua vektor yang terkait. Proyeksi vektor apa ke vektor apa? Proyeksi vektor ���⃗��� pada vektor ���⃗⃗��� Vektor yang diproyeksikan: Diproyeksikan ke vektor apa? Vektor ���⃗⃗��� Vektor ���⃗⃗��� Perhatikan opsi jawaban Pilihan Ganda Cek opsi jawaban yang merupakan kelipatan dari vektor ���⃗⃗��� Hanya ada satu jawaban Lebih dari satu jawaban SELESAI! Lanjutkan dengan rumus ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� dikali ���⃗⃗��� |���⃗⃗���|2 Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada SELESAI indikator soal tentang proyeksi vektor, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah panjang proyeksi vektor atau vektor proyeksi. Nah, jika yang ditanyakan vektor proyeksi maka jawaban yang benar seharusnya adalah kelipatan dari vektor tujuan proyeksi . Kesimpulan Langkah TRIK SUPERKILAT: Perhatikan vektor tempat proyeksi vektor. Kedua, segera tentukan apakah perkalian ada opsi jawaban yang merupakan kelipatan dari vektor tersebut. Jika ada maka kemungkinan besar itulah jawaban yang benar. Kok bisa? Buktinya apa? Perhatikan rumus vektor proyeksi orthogonal berikut: ⃗���⃗��� = ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� ���⃗⃗��� = ������ ���⃗⃗��� = kelipatan ������ dari ���⃗⃗��� ⏟|���⃗⃗���|2 ℎ������������������������������������������ ������������������������������������������������������ Halaman 82 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan panjang proyeksi vektor. Contoh Soal: Diketahui vektor ���⃗��� = 4���⃗��� + 2���⃗��� + 2���⃗⃗��� dan ���⃗⃗��� = 3���⃗��� + 3���⃗���. Panjang proyeksi vektor ���⃗��� pada vektor ���⃗⃗��� adalah …. 1 a. 2 √18 b. √18 c. 2√18 d. 3√18 e. 4√18 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep proyeksi vektor, maka diperoleh: |���⃗���| = ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� |���⃗⃗���| 43 (2) ∙ (3) 2 0 = √32 + 32 + 02 = (4)(3) + (2)(3) + (2)(0) √9 + 9 + 0 12 +6+ 0 = √18 = 18 √18 = 18 ∙ √18 √18 √18 18 = 18 √18 = √18 Jadi, panjang proyeksi vektor ���⃗��� pada vektor ���⃗⃗��� adalah √18. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 83
Menentukan vektor proyeksi. Contoh Soal 1: Diketahui vektor ���⃗��� = 5���⃗��� − 8���⃗��� dan ���⃗⃗��� = 2���⃗��� − ���⃗��� + 2���⃗⃗���, maka vektor proyeksi orthogonal vektor ���⃗��� pada ���⃗⃗��� adalah …. a. ���⃗��� − ���⃗��� − 2���⃗⃗��� b. 2���⃗��� + 4���⃗��� + 4���⃗⃗��� c. 2���⃗��� − ���⃗��� − 4���⃗⃗��� d. 2���⃗��� + 2���⃗��� − ���⃗⃗��� e. 4���⃗��� − 2���⃗��� + 4���⃗⃗��� Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh: ���⃗��� = ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� ���⃗⃗��� |���⃗⃗���|2 52 (−8) ∙ (−1) 02 = (√22 + (−1)2 + 22)2 (2���⃗��� − ���⃗��� + 2���⃗⃗���) = (5)(2) + (−8)(−1) + (0)(2) (2���⃗��� − ���⃗��� + 2���⃗⃗���) 22 + (−1)2 + 22 10 + 8 + 0 = 4+1+4 (2���⃗��� − ���⃗��� + 2���⃗⃗���) = 18 (2���⃗��� − ���⃗��� + 2���⃗⃗���) 9 = 2(2���⃗��� − ���⃗��� + 2���⃗⃗���) = 4���⃗��� − 2���⃗��� + 4���⃗⃗��� Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor ���⃗⃗��� = 2���⃗��� − ���⃗��� + 2���⃗⃗���. Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor ���⃗⃗��� = 2���⃗��� − ���⃗��� + 2���⃗⃗��� hanyalah jawaban E yaitu dua kalinya vektor ���⃗⃗���. Selesai! Halaman 84 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2: Diketahui vektor ���⃗��� = ���⃗��� − 2���⃗��� + ���⃗⃗��� dan ���⃗��� = 2���⃗��� − 2���⃗��� + ���⃗⃗���, maka vektor proyeksi orthogonal vektor ���⃗��� pada ���⃗��� adalah …. a. 2���⃗��� − 2���⃗��� + ���⃗⃗��� b. 7 (2���⃗��� − 2���⃗��� + ���⃗⃗���) 9 c. 1 (2���⃗��� − 2���⃗��� + ���⃗⃗���) 9 d. 9 (2���⃗��� − 2���⃗��� + ���⃗⃗���) 7 e. 1 (2���⃗��� − 2���⃗��� + ���⃗⃗���) 2 Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh: ���⃗��� = ���⃗��� ∙ ���⃗��� ���⃗��� |������|2 12 (−2) ∙ (−2) 11 = (√22 + (−2)2 + 12)2 (2���⃗��� − 2���⃗��� + ���⃗⃗���) = (1)(2) + (−2)(−2) + (1)(1) (2���⃗��� − 2���⃗��� + ���⃗⃗���) 22 + (−2)2 + 12 2 + 4 + 1 = 4 + 4 + 1 (2���⃗��� − 2���⃗��� + ���⃗⃗���) = 7 (2���⃗��� − 2���⃗��� + ���⃗⃗���) 9 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor ���⃗��� = 2���⃗��� − 2���⃗��� + ���⃗⃗���. Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor ���⃗��� = 2���⃗��� − 2���⃗��� + ���⃗⃗��� adalah semua jawaban. Jadi kerjakan dengan cara biasa saja. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 85
Menentukan komponen vektor apabila diketahui panjang vektor proyeksinya. Contoh Soal: 23 Diketahui vektor ���⃗��� = (1) dan ���⃗⃗��� = ( 0 ), dan panjang proyeksi vektor ���⃗��� pada ���⃗⃗��� adalah 2. Maka nilai 2������ = …. ������ −4 a. −2 b. −1 c. 0 d. 1 e. 2 Penyelesaian: Panjang vektor proyeksi vektor ���⃗��� pada ���⃗⃗��� adalah: ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� |���⃗���| = |���⃗⃗���| 23 (1) ∙ ( 0 ) ⇒ 2 = ������ −4 √32 + 02 + (−4)2 ⇔ 2 = (2)(3) + (1)(0) + (������)(4) √9 + 0 + 16 6 +0+ 4������ ⇔ 2 = √25 ⇔ 2 = 4������ + 6 5 ⇔ 10 = 4������ + 6 ⇔ 10 − 6 = 4������ ⇔ 4 = 4������ 4 ⇔ 4 = ������ ⇔ 1 = ������ ⇔ ������ = 1 Jadi nilai dari 2������ = 2(1) = 2 Halaman 86 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 1. Diketahui vektor a 5i 6 j k dan b i 2 j 2k. Proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah .... A. i 2 j 2k Proyeksi ���⃗��� ������������ ���⃗⃗��� = ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� ���⃗⃗��� TRIK SUPERKILAT: B. i 2 j 2k |������|2 Pilihan jawaban harus merupakan kelipatan dari ���⃗⃗���. C. i 2 j 2k Lihat pola tanda pada ���⃗⃗��� plus min min. D. i 2 j 2k = 5 − 12 − 2 ���⃗⃗��� E. 2i 2 j k (√1 + 4 + 4)2 Jadi jawaban yang mungkin saja benar adalah plus min min atau min plus plus. = − 9 ���⃗⃗��� Dan itu hanya dipenuhi oleh pilihan jawaban D. 9 = −���⃗��� + 2���⃗��� + 2���⃗⃗��� 2. Proyeksi orthogonal vektor a 4i j 3k pada b 2i j 3k adalah .... A. 13 (2i j 3k) Proyeksi ���⃗��� ������������ ���⃗⃗��� = ���⃗��� ∙ ���⃗⃗��� ������ 14 |������|2 B. 15 (2i j 3k) = 8 + 1 + 9 (2���⃗��� + ���⃗��� + 3���⃗⃗���) 14 (√4 + 1 + 9)2 C. 8 (2i j 3k) = 18 (2���⃗��� + ���⃗��� + 3���⃗⃗���) 7 14 9 D. 9 (2i j 3k) = 7 (2���⃗��� + ���⃗��� + 3���⃗⃗���) 7 E. 4i 2 j 6k Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 87
2. 13. Menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih. Transformasi Geometri Acuan Translasi Pencerminan Rotasi Dilatasi “Pergeseran” • terhadap ������ = ������ sebesar ������ pusat ������ sebesar ������ pusat ������ • terhadap ������ = ������ • terhadap titik (0, 0) • terhadap ������ = ±������ • terhadap ������ = ������������ + ������ Menggunakan konsep matriks transformasi Bentuk umum Transformasi terhadap Titik Transformasi terhadap Kurva “Bayangan ������(������, ������) adalah ������′(������′, ������′)” “Substitusikan ������, ������ pada fungsi kurva” (������������′′) = ������ (������������) (������������) = ������−1 (������������′′) ������ = Matriks Transformasi ������−1 = Invers Matriks Transformasi Komposisi Transformasi “Ingat (������ ∘ ������) artinya ������ dikerjakan lebih dulu daripada ������” (������������ ∘ … ∘ ������2 ∘ ������1) merupakan komposisi transformasi ������1 dilanjutkan oleh transformasi ������2 dan seterusnya sampai dengan transformasi ������������ Komposisi Komposisi Dua Transformasi Titik Dua Transformasi Kurva “Bayangan ������(������, ������) adalah ������′(������′, ������′)” “Substitusikan ������, ������ pada fungsi kurva” (������������′′) = (������2 ∘ ������1) (������������) (������������) = (������2 ∘ ������1)−1 (������������′′) Halaman 88 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tabel Transformasi Geometri Translasi Translasi Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi 1. Transformasi identitas ������(������, ������) → ������ ������′(������, ������) (������������′′) = (������������ ������������) (������������) 2. Translasi oleh (������������) ������(������, ������) → ������=(������������) ������′(������ + ������, ������ + ������) (������������′′) = (������������ ������������) (������������) + (������������) Pencerminan Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi Pencerminan ������(������, ������) → ������������������Y ������′(−������, ������) (������������′′) = (−������������ ������������) (������������) terhadap garis ������ = …. ������(������, ������) → ������������=������ ������′(������������ − ������, ������) (������′ − ������) = (−������������ ������������) (������ − ������) 1. Pencerminan terhadap ������′ ������ sumbu Y (������ = 0) 2. Pencerminan terhadap garis ������ = ������ Pencerminan Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi terhadap garis ������ = …. ������(������, ������) → ������������������X ������′(������, −������) (������������′′) = (������������ −������������) (������������) 3. Pencerminan terhadap ������(������, ������) → ������������=������ ������′(������, ������������ − ������) sumbu X (������ = 0) (������′ ������′ ������) = (������������ −������������) (������ ������ ������) − − 4. Pencerminan terhadap garis ������ = ������ Pencerminan Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi terhadap titik (…., ….) ������(������, ������) → ������������(0,0) ������′(−������, −������) (������������′′) = (−������������ −������������) (������������) 5. Pencerminan terhadap ������(������, ������) → ������������(������,������) ������′(������������ − ������, ������������ − ������) titik asal ������(0, 0) (������������′′ − ������������) = (−������������ −������������) (������������ − ������������) − − 6. Pencerminan terhadap titik ������(������, ������) Pencerminan Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi terhadap garis ������ = ±������ ������(������, ������) → ������������=������ ������′(������, ������) (������������′′) = (������������ ������������) (������������) 7. Pencerminan terhadap ������(������, ������) → ������������=−������ ������′(−������, −������) (������������′′) = (−������������ −������������) (������������) ������ = ������ 8. Pencerminan terhadap garis ������ = −������ Pencerminan Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi terhadap garis ������ = ������������ ������(������, ������) → ������������=������������ ������′(������′, ������′) (������������′′) = (������������������������������������ ������������ −������������������������������������������������������������) (������������) 9. Pencerminan terhadap ������(������, ������) → ������������ garis ������ = ������������ ������′ = ������ cos 2������ + ������ sin 2������ dimana ������ = tan ������ ������′ = ������ sin 2������ − ������ cos 2������ 10. Pencerminan terhadap ������������=������������+������ ������′(������′, ������′) (������′ ������′ ������) = (������������������������������������ ������������ −������������������������������������������������������������) (������ ������ ������) garis ������ = ������������ + ������ − ������������ − dimana ������ = tan ������ ������′ = ������ cos 2������ + (������ − ������) sin 2������ ������′ = ������ sin 2������ − (������ − ������) cos 2������ + ������ Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 89
Rotasi Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi Rotasi sebesar ������ ������(������, ������) → ������[������,������] ������′(������′, ������′) (������������′′) = (������������������������������������ ������ −������������������������������������������������) (������������) terhadap titik (…., ….) ������ ������′ = ������ cos ������ − ������ sin ������ 1. Rotasi ������° berlawanan ������′ = ������ sin ������ + ������ cos ������ jarum jam terhadap pusat ������(0, 0) ������(������, ������) → ������[������(������,������),������] ������′(������′, ������′) (������������′′ − ������������) = (������������������������������������ ������ −������������������������������������������������) (������������ − ������������) − ������ − 2. Rotasi ������° berlawanan ������′ = (������ − ������) cos ������ − (������ − ������) sin ������ + ������ jarum jam terhadap ������′ = (������ − ������) sin ������ + (������ − ������) cos ������ + ������ pusat ������(������, ������) Dilatasi Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi Dilatasi pusat (…., ….) ������(������, ������) → ������[������,������] ������′(������������, ������������) (������������′′) = (������������ ������������) (������������) faktor dilatasi ������ ������(������, ������) → ������[������(������,������),������] ������′(������′, ������′) (������������′′ − ������������) = (������������ ������������) (������������ − ������������) 1. Dilatasi [������, ������] − − ������′ = ������(������ − ������) + ������ 2. Dilatasi [������(������, ������), ������] ������′ = ������(������ − ������) + ������ Keterangan: Transformasi terhadap titik: Masukkan titik (������, ������) ke matriks transformasi sehingga diperoleh titik bayangan transformasi (������′, ������′). (������������′′) = ������ (������������) Transformasi terhadap fungsi (kurva): Substitusikan ������ dan ������ ke fungsi sehingga fungsi baru hasil transformasi mengandung variabel ������′ dan ������′. Untuk mempermudah gunakan invers matriks: (������������′′) = ������ (������������) ⇒ ������−1 (������������′′) = (������������) ⇔ (������������) = ������−1 (������������′′) Jika matriks transformasinya mudah diinvers menggunakan invers fungsi, maka tidak perlu menggunakan invers matriks. Mubazir. Keterangan warna: = “Transformasi ACUAN”. = “Transformasi TURUNAN”. (������������������������������������ ������������ −������������������������������������������������������������) = “Matriks Transformasi ACUAN” ������������ ������(������, ������) = Persamaan Matriks Transformasinya perlu penyesuaian terhadap “ACUAN”. Halaman 90 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT konsep matriks transformasi untuk pencerminan, rotasi dan dilatasi. LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi ACUAN. Buat dua titik, ������(1, 0) dan ������(0, 1) pada bidang koordinat Transformasikan kedua titik ������(0, 1) ������(1, 0) (−1, 0) Tulis hasil transformasi titik ke dalam matriks kolom (0, −1) Selesailah matriks transformasi kita Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang transformasi geometri, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah bayangan kurva terhadap beberapa transformasi. Untuk transformasi terhadap suatu titik sepertinya peluangnya kecil untuk muncul dalam soal UN 2013 nanti. Nah, sebenarnya ada cara yang cukup mudah untuk mengingat pola matriks transformasi dari pencerminan, rotasi maupun dilatasi. Perhatikan langkah di bawah ini. Hubungan Matriks dan Transformasi Misalkan ������ = (������������ ������������) adalah matriks transformasi ������, maka hasil dari transformasi titik ������(������, ������) adalah: (������������������������′′) = (������������ ������������) (10) = (������������) dan hasil dari transformasi titik ������(������, ������) adalah: (������������������������′′) = (������������ ������������) (10) = (������������) Sehingga proses menyusun matriks transformasi ������ adalah dengan meletakkan titik ������(1, 0) dan ������(0, 1) pada b(������i������d������������a′′n)gakdoaolarhdihnaastillatrluanksitfoartmraanssiftoirtimkaBs,imkaank.aMmisaatrlkikasnt,r(a������n������������������s′′f)oarmdaalsaihtehrasseilbturtaandsfaolarmh:asi dari titik A sedangkan ������ = (������������ ������������) = (������������������������′′ ������������������������′′) Contohnya bagaimana?? Oke, berikut ini beberapa contoh matriks transformasi : Pencerminan terhadap sumbu Y (garis ������ = ������). ������′(−������, ������) ������(������, ������) Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis ������ = 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi ������′(−������, ������). sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya tetap di ������′(������, ������). ������������ Y Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis ������ = 0) adalah: ������′(������,������) ������������������������ = (−������������ ������������) ������������ Y Koordinat ������′(−������, ������) Koordinat ������′(������, ������) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 91
Pencerminan terhadap sumbu X (garis ������ = ������). Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis ������ = 0), ������������ X ������′(������, ������) maka titik A tidak akan berpindah, tetap di A, sehingga koordinatnya tetap di ������′(������, ������). sedangkan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi ������′(������, −������). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis ������ = 0) adalah: ������(������, ������) ������������������������ = (������������ −������������) ������������ X ������′(������, −������) Koordinat ������′(������, ������) Koordinat ������′(������, −������) Pencerminan terhadap titik asal ������(0, 0). ������′(−������, ������) ������(������, ������) Perhatikan sumbu koordinat di samping, ������(0, 0) Untuk pencerminan terhadap titik asal ������(0, 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi ������′(−������, ������). sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya menjadi ������′(������, ������). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap titik asal ������(0, 0) adalah: ������(������, ������) ������������(������,������) = (−������������ −������������) ������(0, 0) (������, −������) Koordinat ������′(−������, ������) Koordinat ������′(������, ������) Pencerminan terhadap garis ������ = ������. ������′(������, ������) Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis ������ = ������, ������(������, ������) maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi ������′(������, ������). dan titik B akan berpindah ke kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi ������′(������, ������). ������ = ������ ������(������, ������) ������′(������, ������) Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis ������ = ������ adalah: ������ = ������ ������������=������ = (������������ ������������) Koordinat ������′(������, ������) Koordinat ������′(������, ������) Halaman 92 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pencerminan terhadap garis ������ = −������. ������′(������, −������) ������(������, ������) Perhatikan sumbu koordinat di samping, ������ = −������ Untuk pencerminan terhadap garis ������ = −������, maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ������′(������, −������). dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ������′(−������, ������). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis ������ = −������ adalah: ������(������, ������) ������������=−������ = (−������������ −������������) ������′(−������, ������) ������ = −������ Koordinat ������′(������, −������) Koordinat ������′(−������, ������) Rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat ������(������, ������). ������′(������, ������) Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat ������(0, 0), ������(������, ������) maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi ������′(������, ������). dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ������′(−������, ������). rotasi 90° berlawanan jarum jam Jadi matriks transformasi rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat ������(0, 0): ������(������, ������) ������������(������,������������°) = (������������ −������������) ������′(−������, ������) rotasi 90° berlawanan jarum jam Koordinat ������′(������, ������) Koordinat ������′(������, ������) Rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat ������(������, ������). ������′(−������, ������) ������(������, ������) Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat ������(0, 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi ������′(−������, ������). dan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi ������′(������, −������). rotasi 180° berlawanan jarum jam Jadi matriks transformasi rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat ������(0, 0): ������(������, ������) ������������(������,������������������°) = (−������������ −������������) ������′(������, −������) rotasi 180° berlawanan jarum jam Koordinat ������′(−������, ������) Koordinat ������′(������, −������) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 93
Rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat ������(������, ������). atau sama dengan Rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat ������(������, ������). ������(������, ������) Perhatikan sumbu koordinat di samping, ������′(������, −������) Untuk pencerminan terhadap rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat ������(0, 0) rotasi 270° berlawanan jarum jam atau sama dengan rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat ������(0, 0), rotasi 90° searah jarum jam maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ������′(������, −������). ������(������, ������) dan titik B akan berpindah kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi ������′(������, ������). ������′(������, ������) Jadi matriks transformasi rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat ������(0, 0) atau sama dengan rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat ������(0, 0): rotasi 270° berlawanan jarum jam rotasi 90° searah jarum jam ������������(������,������������������°) = ������������(������,−������������°) = (−������������ ������������) Koordinat ������′(������, −������) Koordinat ������′(������, ������) Dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar ������ dengan pusat ������(������, ������). ������(������, ������) ������′(������, ������) Perhatikan sumbu koordinat di samping, dilatasi dengan faktor skala k Untuk dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar ������ dengan pusat ������(0, 0), maka titik A berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi ������′(������, ������). dan titik B berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi ������′(������, ������). ������′(������, ������) Jadi matriks transformasi dilatasi faktor skala dilatasi sebesar ������ dan pusat ������(0, 0): ������(������, ������) ������������(������,������) = (������������ ������������) dilatasi dengan faktor skala k Koordinat ������′(������, ������) Koordinat ������′(������, ������) Halaman 94 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pencerminan terhadap garis ������ = ������������, dengan ������ = ������������������ ������. ������′(������������������ ������������ , ������������������ ������������) Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis ������ = ������������ dengan ������ = tan ������, ������ maka titik A akan berputar sejauh 2������, sehingga menjadi ������′(������������������ ������������, ������������������ ������������). ������ dan titik B akan berputar sejauh −(90 − 2������), sehingga menjadi ������′(������������������ ������������, −������������������ ������������). ������(������, ������) Jadi matriks transformasi pencerminan terhadap garis ������ = ������������ dengan ������ = tan ������: ������(������, ������) ������������=������������ = (������������������������������������ ������������ −������������������������������������������������������������) ������������ ������ ������ Koordinat ������′(������������������ ������������, ������������������ ������������) ������������° − ������������ ������′(������������������ (������������° − ������������), − ������������������(������������° − ������������)) Koordinat ������′(������������������ ������������, − ������������������ ������������) atau dengan sifat kuadran bisa diubah menjadi ������′(������������������ ������������, − ������������������ ������������) Rotasi sebesar ������ berlawanan jarum jam dengan pusat ������(������, ������). ������(������, ������) Perhatikan sumbu koordinat di samping, ������′(−������������������ ������, ������������������ ������) ������ ������ Untuk pencerminan terhadap rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat ������(0, 0), maka titik A akan berputar sejauh ������, sehingga koordinatnya menjadi ������′(������������������ ������, ������������������ ������). dan titik B akan berputar sejauh ������, sehingga koordinatnya menjadi ������′(−������������������ ������, ������������������ ������). ������′(������������������ ������ , ������������������ ������) Jadi matriks transformasi rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat ������(0, 0): ������(������, ������) (������������������������������������ ������ −������������������������������������������������) ������ ������������(������,������) = Koordinat ������′(������������������ ������, ������������������ ������) Koordinat ������′(−������������������ ������, ������������������ ������) Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi acuan: Dari semua matriks transformasi yang ada, satu hal yang penting dan yang perlu diingat adalah bagaimana konsep menyusun matriks transformasi tersebut , yaitu: Kolom pertama matriks transformasi adalah bayangan titik ������(������, ������) terhadap transformasi tersebut. Kolom kedua matriks transformasi adalah bayangan titik ������(������, ������) terhadap transformasi tersebut. ������ = (������������ ������������) = (������������������������′′ ������������������������′′) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 95
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi TURUNAN. Masih ingat matriks transformasi acuan kita. Oke saya ingatkan lagi! Berikut ini matriks acuan kita. Semuanya yang berwarna biru memang serba nol! Ini acuan kita. Pencerminan: terhadap garis ������ = ������ (sumbu X) terhadap garis ������ = ������ (sumbu Y) terhadap titik (0, 0) terhadap garis ������ = ±������ terhadap garis ������ = ������������ + ������ Rotasi sebesar ������ berlawanan arah jarum jam dengan pusat ������(������, ������) Dilatasi faktor dilatasi ������ dengan pusat ������(������, ������) Perhatikan yang saya tandai warna biru. Itu yang bisa berubah! Perhatikan perbedaannya dengan transformasi di bawah ini! Pencerminan: pencerminan terhadap garis ������ = ������ pencerminan terhadap garis ������ = ������ pencerminan terhadap titik (������, ������) pencerminan terhadap garis ������ = ������������ + ������ Rotasi rotasi sebesar ������ berlawanan arah jarum jam, tapi dengan pusat rotasi titik ������(������, ������) Dilatasi dilatasi dengan faktor dilatasi ������, tapi dengan pusat rotasi titik ������(������, ������) Tidak perlu khawatir lagi, gunakan LOGIKA PRAKTIS seperti ini: Pertama, lakukan translasi supaya kembali ke posisi transformasi acuan. Misal rotasi sebesar ������, kok pusatnya di titik ������(������, ������) bukan ������(0, 0)? (−−������������) Maka lakukan translasi pada titik tersebut, agar pusatnya menjadi ke ������(0, 0) (������������ − ������������) − Kedua, lakukan transformasi rotasi yang dimaksud! (������������′′) (������������ − ������������) = ������������(������,������) − Ketiga, kembalikan hasil transformasi ke posisi semula dengan mentranslasi balik yaitu ������ = (������������). (������������′′) = ������������(������,������) (������������ − ������������) + (������������) − atau biasa ditulis dengan: (������������′′ − ������������) = ������������(������,������) (������������ − ������������) − − Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi TURUNAN dari matriks transformasi ACUAN: Ingat bentuk matriks transformasi ACUAN, lalu lakukan translasi pada kedua variabel titik awal maupun hasil akhir, sehingga bentuk matriks transformasi TURUNAN sebagai berikut: (������������′′ − ������������) (������������ − ������������) − = ������ − Halaman 96 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk Transformasi pada Kurva terhadap matriks transformasi ������ = (������������ ������������). Masih ingat pengerjaan transformasi pada kurva? Asyik! Kalau transformasi sebuah titik, tinggal masukin aja ke persamaan matriks transformasi. Sedangkan apabila transformasi dilakukan pada sebuah kurva, maka perlu diinvers terlebih dahulu supaya muncul bentuk ������ = … .atau ������ = …. yang kemudian akan disubstitusikan ke persamaan. Nah, ini dia bentuk persamaan matriks transformasinya. (������������) = ������−1 (������������′′) Sekarang misal bunyi soalnya seperti ini: Diketahui persamaan ������������ + ������������ + ������ = ������, maka bayangan persamaan tersebut oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks (������������ ������������) adalah …. ??? Nah, misalkan matriks transformasi ������ adalah ������ = (������������ ������������) dan |������| adalah determinan matriks transformasi tersebut, maka persamaan matriks transformasi menjadi: (������������) = ������−1 (������������′′) ⇒ (������������) = 1 (−������������ −������������) (������������′′) |������| Dari persamaan matriks tersebut diperoleh: 1 ������ = |������| (������������′ − ������������′) ������ = 1 (−������������′ + ������������′) |������| Substitusikan ������ dan ������ pada persamaan ������������ + ������������ + ������ = 0, maka akan diperoleh: ������ [|���1���| (������������′ − ������������′)] + ������ [|���1���| (−������������′ + ������������′)] + ������ = 0 (kalikan semua ruas dengan |������|) ⇒ ������(������������′ − ������������′) + ������(−������������′ + ������������′) + |������|������ = 0 ⇔ ������������������′ − ������������������′ − ������������������′ + ������������������′ + |������|������ = 0 ⇔ ������������������′ − ������������������′ + ������������������′ − ������������������′ + |������|������ = 0 ⇔ (������������ − ������������)������′ + (������������ − ������������)������′ + |������|������ = 0 ⇔ |������������ ������������| ������′ + |������������ ������������| ������′ + |������������ ������������| ������ = 0 TRIK SUPERKILAT: Jadi rumus cepat untuk bayangan garis ������������ + ������������ + ������ = 0 terhadap matriks transformasi ������ = ( ������ ������������): ������ |������������ ������������| ������ + |������������ ������������| ������ + |������������ ������������| ������ = 0 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 97
Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah titik. Contoh Soal 1: Bayangan dari titik ������(3, −5) oleh transformasi ������ = (32) adalah …. a. (5, −8) b. (5, −2) c. (1, −2) d. (−5, 2) e. (−5, 8) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh: (������������′′) = (������������) + (������������) = (−35) + (23) = (−52) Contoh Soal 2: Bayangan dari titik ������(3, −5) oleh pencerminan terhadap garis ������ = −2 adalah …. a. (5, −8) b. (5, −2) c. (1, −2) d. (−5, 2) e. (−5, 8) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pencerminan maka kita harus mengembalikan ke garis acuan yaitu ������ = 0 alias sumbu X, masih ingat kan matriks transformasinya? (������′���+���′ 2) = ������������������������ (������ ������ 2) + ⇒ (������′���+���′ 2) = (10 −01) ((−53) + 2) ⇔ (������′���+���′ 2) = (01 −01) (−33) ⇔ (������������′′) + (20) = (33) ⇔ (������������′′) = (33) − (02) ⇔ (������������′′) = (31) Atau menggunakan pemetaan: ������(������, ������) → ������������=������ ������′(������, ������������ − ������) Jadi: ������′ = ������ = 3 ������′ = 2������ − ������ = 2(−2) − (−5) = −4 + 5 = 1 Jadi bayangan titik tersebut adalah ������′(3, 1) Atau menggunakan grafik. (3, 1) ������ = −2 (3, −5) Halaman 98 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3: Bayangan dari titik ������(−2, 1) oleh rotasi sebesar 45° dengan pusat (1, 2) adalah …. a. (1 − √2, 2 − √2) b. (2 − √2, 1 − √2) c. (−1 + √2, 1 − √2) d. (2 + √2, 2 − √2) e. (1 − √2, 2 + √2) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep rotasi maka kita harus mengembalikan rotasi acuan dengan pusat ������(0, 0) masih ingat kan matriks transformasinya? (������������′′ − 12) = ������������(������,45°) (������������ − 12) − − ⇒ (������������′′ − 12) = (csoins 45° −cosisn4455°°) (−12−−21) − 45° ⇔ (������������′′ − 12) = 1 √2 −2112√√22) (−−31) − (12 √2 2 3 1 2 2 ⇔ (������������′′) + (−−12) = − 3 √2 + 1 √2 ( 2 √2 − 2 ) − √2 ⇔ (������������′′) + (−−12) = ( −√2 ) −2√2 (������������′′) ⇔ = ( −√2 ) − (−−12) −2√2 (������������′′) ⇔ = ( 1 − √2 ) 2 − 2√2 Contoh Soal 4: Bayangan dari titik ������(4, 2) oleh dilatasi dengan faktor dilatasi −2 dan pusat (0, 5) adalah …. a. (8, 4) b. (8, 1) c. (−8, 1) d. (−8, 3) e. (−8, 11) Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep dilatasi maka kita harus mengembalikan ke dilatasi acuan pusat ������(0, 0) masih ingat kan matriks transformasinya? (������ ������′ 5) = ������������(������,−2) (������ ������ 5) ′− − ⇒ (������ ������′ 5) = (−02 −02) (2 4 5) ′− − ������′ ⇔ (������ ′− 5) = (−02 −02) (−43) ⇔ (������������′′) + (−05) = (−68) ⇔ (������������′′) = (−68) − (−05) ⇔ (������������′′) = (−118) Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 99
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- 269
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- 285
- 286
- 287
- 288
- 289
- 290
- 291
- 292
- 293
- 294
- 295
- 296
- 297
- 298
- 299
- 300
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- 306
- 307
- 308
- 309
- 310
- 311
- 312
- 313
- 314
- 315
- 316
- 317
- 318
- 319
- 320
- 321
- 322
- 323
- 324
- 325