วงจรไฟฟ้า 2

วงจรไฟฟ้า 2 ผู้ชว่ ยศาสตราจารยธ์ นากร น้าหอมจนั ทร์ สาขาวิชาวศิ วกรรมไฟฟา้ และพลังงาน คณะวศิ วกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลยั อสี เทริ ์นเอเชยี



วงจรไฟฟา้ 2 ผู้ชว่ ยศาสตราจารยธ์ นากร นา้ หอมจนั ทร์ สาขาวิชาวศิ วกรรมไฟฟา้ และพลังงาน คณะวศิ วกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลยั อสี เทิร์นเอเชยี

วงจรไฟฟ้า 2 ผู้ช่วยศาสตราจารยธ์ นากร นา้ หอมจนั ทร์ สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้าและพลงั งาน คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลยั อสี เทริ น์ เอเชยี สงวนลขิ สทิ ธิ์ตามพระราชบัญญตั ิลิขสทิ ธ์ิ พ.ศ. 2558 การนา้ สว่ นหน่งึ สว่ นใด เพอื่ ตีพิมพ์ ท้าซา้ ดัดแปลงหรอื ประโยชน์ อันหน่งึ อนั ใดเปน็ พเิ ศษ ต้องไดร้ บั อนญุ าตจากมหาวทิ ยาลยั อสี เทิรน์ เอเชีย ขอ้ มลู ทางบรรณานุกรมของส้านักหอสมุดแห่งชาติ National Library of Thailand Cataloging in Publication Data ธนากร นา้ หอมจนั ทร์. วงจรไฟฟ้า 2.-- ปทุมธานี : มหาวิทยาลัยอีสเทริ ์นเอเชยี , 2561. 344 หน้า. 1. วงจรไฟฟา้ . I. ธนากร น้าหอมจันทร์, ผ้วู าดภาพประกอบ. II. ชอ่ื เร่อื ง. 621.3192 ISBN 978-974-398-135-7 จัดพมิ พ์โดย มหาวิทยาลัยอีสเทริ น์ เอเชีย 200 หมู่ 1 ถนนรังสิต-นครนายก ต้าบลรังสิต อา้ เภอธัญบรุ ี ปทุมธานี 12110 โทรศัพท์ 0-2277-1028 โทรสาร 0-2577-1023 พมิ พ์ที่ ศนู ยผ์ ลติ เอกสารทางวชิ าการ มหาวทิ ยาลยั อสี เทิร์นเอเชีย 200 หมู่ 1 ถนนรงั สิต-นครนายก ต้าบลรงั สิต อา้ เภอธญั บรุ ี ปทุมธานี 12110 โทรศัพท์ 0-2277-1028 โทรสาร 0-2577-1023

คำนำ วงจรไฟฟ้า 2 เล่มนี้ เรียบเรียงข้ึนเพื่อใช้ประกอบการเรียนการสอนในหลักสูตรวิศวกรรมไฟฟ้าและ พลังงาน คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยอีสเทิร์นเอเชีย ซ่ึงเป็นรายวิชาพ้ืนฐานท่ีสาคัญสาหรับศึกษาใน สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟา้ และรายวิชาพ้นื ฐานทางวศิ วกรรมท่กี าหนดโดย สภาวิศวกร หนังสือเล่มน้ีได้เรียบเรียงขึ้น โดยมีวัตถุประสงค์เพ่ือให้ผู้เรียนมีความรู้ความสามารถในการวิเคราะห์ วงจรไฟฟ้า ซึ่งกล่าวถึง วงจรอันดับที่หนึ่ง วงจรอันดับท่ีสอง ไซนูซอยด์และเฟสเซอร์ การวิเคราะห์วงจรใน สภาวะคงตัวไฟฟ้ากระแสสลับ การวิเคราะห์กาลังไฟฟ้ากระแสสลับ และวงจรไฟฟ้า 3 เฟส ท้ังนี้ผู้เขียนได้ สอดแทรกการนาโปรแกรม PSpice Student Version มาใชจ้ าลองเหตกุ ารณ์ขอวงจร เพ่อื เปน็ การยนื ยันและ ตรวจสอบผลการคานวณ โดยมีการอธิบายการใช้งานโปรแกรมเบ้ืองต้นในภาคผนวก และมีการอธิบายการใช้ งานเพมิ่ เตมิ ในแตล่ ะบทอกี ดว้ ย วงจรไฟฟ้า 2 แบ่งออกเปน็ 6 บท เนอ้ื หาโดยรวมมี ดงั น้ี บทท่ี 7 วงจรอันดับที่หนึ่ง อธิบายถึงวงจร RC และ RL ปราศจากแหล่งจ่าย ฟังก์ชันภาวะเอกฐาน ผลตอบสนองต่อฟังก์ชันขั้นของวงจร RC และ RL วงจรออปแอมป์อันดับท่ีหน่ึง การวิเคราะห์การตอบสนอง ช่ัวขณะโดยใช้ PSpice Student Version และการประยุกต์ใช้วงจรอันดับที่หน่ึง ได้แก่ วงจรหน่วงสัญญาณ วงจรรเี ลย์ และการใช้ RC ดไิ วเดอร์สาหรบั วัดไฟฟ้าแรงดนั สูงกระแสตรง บทท่ี 8 วงจรอันดับทีส่ อง อธิบายถึง วธิ ีการหาคา่ เรม่ิ ต้นและคา่ สดุ ท้าย การหาผลตอบสนองของวงจร RLC อนุกรมและขนานแบบปราศจากแหล่งจ่าย การหาผลตอบสนองตอ่ ฟังกช์ ันข้นั ของวงจร RLC อนุกรมและ ขนาน วงจรอันดับท่ีสองแบบทั่วไป วงจรออปแอมป์อันดับที่สอง การวิเคราะห์การตอบสนองช่ัวขณะโดยใช้ PSpice Student Version และระบบการจดุ ระเบดิ ในเครอื่ งยนต์ในหัวข้อการประยกุ ต์ใช้วงจรอันดับท่ีสอง บทที่ 9 ไซนูซอยด์และเฟสเซอร์ อธิบายถึงไซนูซอยด์และเฟสเซอร์ ความสัมพันธ์ของเฟสเซอร์ใน องค์ประกอบทางไฟฟ้า อิมพีแดนซ์และแอดมิตแตนซ์ กฎของเคอร์ชอฟฟ์ในโดเมนความถี่ การรวมค่า อิมพีแดนซ์ การวิเคราะห์สภาวะคงตัวแบบไซน์โดยใช้ PSpice Student Version และวงจรบริดจ์ทาง ac ใน หัวขอ้ การประยกุ ต์ใช้ไซนซู อยด์และเฟสเซอร์ บทท่ี 10 การวิเคราะห์วงจรในสภาวะคงตวั ไฟฟา้ กระแสสลบั อธิบายถงึ การวเิ คราะหว์ งจรกระแสสลับ ในสภาวะคงตัวโดยใช้ ระเบียบวิธีแรงดันโนด ระเบียบวิธีกระแสเมซ ทฤษฎีการทับซ้อน การแปลงแหล่งจ่าย วงจรสมมูลของเทวินินและนอร์ตัน วงจรออปแอมป์ในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ การวิเคราะห์วงจรในสภาวะคง ตัวไฟฟ้ากระแสสลับโดยใช้ PSpice Student Version และการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์วงจรในสภาวะคงตวั ไฟฟ้ากระแสสลบั ได้แก่ วงจรออสซลิ เลเตอร์ และระบบวดั ไฟฟา้ แรงดนั สูงกระแสตรงและกระแสสลบั แบบ RC ดิไวเดอร์

ข บทที่ 11 การวิเคราะห์กาลังไฟฟ้ากระแสสลับ อธิบายถึง กาลังไฟฟ้าชั่วขณะ กาลังไฟฟ้าจริงหรือ กาลังไฟฟ้าเฉล่ีย การส่งผ่านกาลังไฟฟ้าสูงสุด กาลังไฟฟ้าเชิงซ้อน ค่าตัวประกอบกาลังไฟฟ้า การวิเคราะห์ กาลังไฟฟ้ากระแสสลับโดยใช้ PSpice Student Version และการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์กาลังไฟฟ้า กระแสสลับ ได้แก่ การวัดค่ากาลังไฟฟ้า วิธีการคานวณค่าใช้จ่ายพลังงานไฟฟ้า และการเปรียบเทียบการใช้ พลังงานไฟฟ้าของระบบควบคุมอุณหภูมิภายในโรงเรือนเพาะปลูกระบบปิดในสภาพอากาศหรือฤดูกาลที่มี ความแตกตา่ งกัน เพอ่ื เป็นพนื้ ฐานการคานวณและการวิเคราะห์ค่ากาลังไฟฟา้ ในวงจรไฟฟา้ 3 เฟส ในบทถดั ไป บทท่ี 12 วงจรไฟฟ้า 3 เฟส อธิบายถึง กล่าวถึง แรงดันไฟฟ้า 3 เฟสสมดุล ระบบไฟฟ้า 3 เฟสสมดุล แบบต่าง ๆ กาลังไฟฟ้าในระบบไฟฟ้า 3 เฟสสมดุล ระบบไฟฟ้า 3 เฟสไม่สมดุล การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า 3 เฟส โดยใช้ PSpice Student Version และการประยกุ ตใ์ ช้วงจรไฟฟ้า 3 เฟส ไดแ้ ก่ การวัดคา่ กาลังไฟฟา้ 3 เฟส และตัวอย่างมาตรการการอนุรักษ์พลังงานไฟฟ้าระบบไฟฟ้า 3 เฟส และแนวทางการอนุรักษ์พลังงานใน สถานศกึ ษา จากหัวข้อท่ีกล่าวมาแล้วผ้เู ขียนได้เช่ือมโยงเนื้อหาที่เกี่ยวข้องในสาขาวชิ าวิศวกรรมไฟฟ้า ได้แก่ วงจร อิเล็กทรอนิกส์ เครื่องมือวัดทางไฟฟ้า วิศวกรรมไฟฟ้าแรงสูง และได้อธิบายถึงการคานวณค่าใช้จ่ายทางไฟฟ้า และตัวอย่างมาตรการการอนุรักษ์พลังงานในระบบไฟฟ้า 3 เฟส ดังแสดงในหัวข้อการประยุกต์ใช้ในแต่ละบท ผู้เขียนหวังเป็นอย่างย่ิงว่า หนังสือเล่มน้ี จะเป็นประโยชน์ต่อผู้เรียน หรือผู้สนใจ รวมถึงนักเรียน นักศึกษาใน ระดบั อาชีวศึกษา สามารถประยุกต์ใชก้ ับรายวิชาในสาขาวิชาวศิ วกรรมไฟฟ้าได้ต่อไป (ผศ.ธนากร น้าหอมจนั ทร์)

สารบญั หน้า 1 บทท่ี 7 วงจรอนั ดับทีห่ นง่ึ 1 7.1 บทนา 1 7.2 วงจร RC ปราศจากแหลง่ จ่าย 6 7.3 วงจร RL ปราศจากแหลง่ จ่าย 13 7.4 ฟงั ก์ชันภาวะเอกฐาน 17 7.5 ผลตอบสนองต่อฟังก์ชันข้ันของวงจร RC 23 7.6 ผลตอบสนองต่อฟังก์ชนั ขั้นของวงจร RL 28 7.7 วงจรออปแอมป์อนั ดับทีห่ นึ่ง 32 7.8 การวิเคราะหผ์ ลตอบสนองชัว่ ขณะ โดยใช้ PSpice Student Version 33 7.9 การประยุกตใ์ ช้วงจรอันดับท่ีหน่งึ 36 7.10 บทสรปุ 38 7.11 แบบฝึกหดั ท้ายบท 44 รายการเอกสารอา้ งอิง 45 45 บทท่ี 8 วงจรอันดับทสี่ อง 45 8.1 บทนา 50 8.2 การหาค่าเร่มิ ตน้ และค่าสุดท้าย 58 8.3 วงจร RLC อนกุ รมปราศจากแหลง่ จ่าย 64 8.4 วงจร RLC ขนานปราศจากแหลง่ จา่ ย 70 8.5 ผลตอบสนองต่อฟังก์ชันขัน้ ของวงจร RLC อนุกรม 72 8.6 ผลตอบสนองต่อฟังก์ชันข้ันของวงจร RLC ขนาน 78 8.7 วงจรอันดับทส่ี องแบบทว่ั ไป 81 8.8 วงจรออปแอมป์อันดับทีส่ อง 83 8.9 การวเิ คราะห์วงจร RLC โดยใช้ PSpice Student Version 86 8.10 การประยุกตใ์ ช้วงจรอันดบั ที่สอง 87 8.11 บทสรปุ 92 8.12 แบบฝกึ หัดท้ายบท รายการเอกสารอ้างองิ

ง สารบญั (ต่อ) หนา้ บทที่ 9 ไซนูซอยดแ์ ละเฟสเซอร์ 93 9.1 บทนา 93 9.2 ไซนซู อยด์ 93 9.3 เฟสเซอร์ 98 9.4 ความสัมพันธ์ทางเฟสเซอรใ์ นองค์ประกอบทางไฟฟ้า 104 9.5 อิมพแี ดนซ์และแอดมิตแตนซ์ 108 9.6 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ในโดเมนความถ่ี 111 9.7 การรวมคา่ อมิ พแี ดนซ์ 112 9.8 การประยุกต์ใช้ไซนูซอยด์และเฟสเซอร์ 118 9.9 บทสรุป 120 9.10 แบบฝึกหดั ทา้ ยบท 121 รายการเอกสารอ้างอิง 124 บทที่ 10 การวเิ คราะห์วงจรในสภาวะคงตัวไฟฟา้ กระแสสลบั 125 10.1 บทนา 125 10.2 ระเบยี บวิธแี รงดันโนด 125 10.3 ระเบยี บวธิ กี ระแสเมซ 128 10.4 ทฤษฎกี ารทบั ซ้อน 130 10.5 การแปลงแหล่งจา่ ย 134 10.6 วงจรสมมลู ของเทวนิ นิ และนอรต์ นั 136 10.7 วงจรออปแอมป์ในวงจรไฟฟ้ากระแสสลบั 141 10.8 การวิเคราะห์วงจรในสภาวะคงตัวไฟฟ้ากระแสสลบั โดยใช้ PSpice Student Version 143 10.9 การประยุกตใ์ ช้การวิเคราะหว์ งจรในสภาวะคงตวั ไฟฟ้ากระแสสลบั 145 10.10 บทสรุป 149 10.11 แบบฝกึ หดั ท้ายบท 150 รายการเอกสารอ้างอิง 156

สารบัญ (ต่อ) จ บทท่ี 11 การวเิ คราะห์กาลังไฟฟ้ากระแสสลับ หน้า 11.1 บทนา 157 11.2 กาลังไฟฟา้ ช่ัวขณะและกาลังไฟฟา้ เฉลย่ี 157 11.3 การส่งผ่านกาลงั ไฟฟา้ เฉล่ียสูงสุด 157 11.4 คา่ ประสิทธิผลหรือค่า RMS 163 11.5 กาลงั ไฟฟ้าปรากฏและตัวประกอบกาลัง 167 11.6 กาลังไฟฟา้ เชงิ ซ้อน 170 11.7 การอนุรักษ์พลงั งานไฟฟา้ กระแสสลบั 173 11.8 การปรับปรุงค่าตวั ประกอบกาลัง 177 11.9 การวเิ คราะห์กาลังไฟฟ้ากระแสสลบั โดยใช้ PSpice Student Version 181 11.10 การประยุกตใ์ ช้การวิเคราะห์กาลังไฟฟา้ กระแสสลบั 184 11.11 บทสรปุ 185 11.12 แบบฝกึ หดั ทา้ ยบท 196 รายการเอกสารอ้างองิ 197 204 บทท่ี 12 วงจรไฟฟ้า 3 เฟส 205 12.1 บทนา 205 12.2 แรงดนั ไฟฟา้ 3 เฟสสมดุล 207 12.3 ระบบไฟฟ้า 3 เฟสสมดลุ แบบ Y-Y 210 12.4 ระบบไฟฟ้า 3 เฟส สมดุลแบบ Y- 214 12.5 ระบบไฟฟ้า 3 เฟส สมดลุ แบบ - 217 12.6 ระบบไฟฟ้า 3 เฟส สมดุลแบบ -Y 218 12.7 กาลังไฟฟา้ ในระบบไฟฟ้า 3 เฟสสมดุล 222 12.8 ระบบไฟฟ้า 3 เฟสไมส่ มดุล 229 12.9 การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า 3 เฟส โดยใช้ PSpice Student Version 232 12.10 การประยุกตใ์ ช้วงจรไฟฟ้า 3 เฟส 237 12.11 บทสรุป 255 12.12 แบบฝึกหดั ท้ายบท 256 รายการเอกสารอา้ งอิง 261

ฉ หนา้ 263 สารบัญ (ต่อ) 273 277 ภาคผนวก ก สมการเชิงเสน้ และเมทริกซผ์ กผนั 283 ภาคผนวก ข จานวนเชงิ ซ้อน 311 ภาคผนวก ค สูตรทางคณิตศาสตร์ 333 ภาคผนวก ง PSpice Student Version 337 ภาคผนวก จ MATLAB อภิธานศัพท์ ดัชนคี าคน้

บทท่ี 7 วงจรอันดบั ทห่ี นง่ึ 7.1 บทนำ จากท่ีได้ศึกษาเกี่ยวกับองค์ประกอบแบบพาสซีฟทั้ง 3 ชนิด คือ ตัวต้านทาน ตัวเก็บประจุ และ ตัวเหน่ียวนาไฟฟ้า (R, L และ C) รวมถึงองค์ประกอบแบบแอคทีฟอีก 1 ชนิด คือ ออปแอมป์ (Op-Amp) ซ่ึงเป็นพื้นฐานที่สาคัญสาหรับการวิเคราะห์วงจรที่ประกอบด้วยองค์ประกอบแบบพาสซีฟ 2 หรือ 3 ชนิด ในวงจรเดียวกัน เช่น วงจรตัวต้านทานและตัวเก็บประจุ (RC) และวงจรตัวต้านทานและตัวเหน่ียวนาไฟฟ้า (RL) เพื่อเป็นพืน้ ฐานในการศกึ ษาทางด้านวงจรอเิ ล็กทรอนกิ ส์ ระบบสอ่ื สาร และระบบควบคมุ ตอ่ ไป การวิเคราะห์วงจร RC และ RL โดยใช้กฎของเคอร์ชอฟฟ์ทาให้ได้สมการเชิงอนุพันธ์ออกมา ซ่ึงเป็น สมการอันดับที่หนึ่ง (first-order) จึงเรียกวงจรแบบนี้ว่า วงจรอันดับที่หน่ึง โดยผลตอบสนองของวงจรจะได้ จากการแกส้ มการเหล่าน้ี ในบทนจ้ี ะอธบิ ายวิธีการวิเคราะหผ์ ลตอบสนองของวงจร RC และ RL ในโดเมนเวลา ท้ังในสภาวะช่ัวขณะหลังจากการเปล่ียนแปลงอย่างทันทีทันใดของแหล่งจ่ายพลังงาน เน่ืองจากการเปิด-ปิด สวิตช์ ในสภาวะคงตัว รวมไปถึงการหาค่าคงท่ีของเวลา (Time constant) ของวงจร โดยมีลาดับหัวข้อ ดังนี้ วงจร RC และ RL ปราศจากแหล่งจ่าย ฟังก์ชันภาวะเอกฐาน ผลตอบสนองต่อฟังก์ชันขั้นของวงจร RC และ RL วงจรออปแอมป์อันดับที่หน่ึง การวิเคราะหก์ ารตอบสนองชัว่ ขณะโดยใช้ PSpice และการประยุกต์ใช้วงจร อันดับที่หนึ่ง ได้แก่ วงจรหน่วงสัญญาณ วงจรรีเลย์ และการใช้ RC ดิไวเดอร์สาหรับวัดไฟฟ้าแรงดันสูง กระแสตรง ตามลาดับ 7.2 วงจร RC ปรำศจำกแหล่งจ่ำย วงจร RC ปราศจากแหล่งจ่าย (Source-free RC Circuit) เกิดข้ึนเม่ือแหล่งจ่ายกระแสตรงถูกปลด ออกจากวงจรอยา่ งทนั ทที นั ใด พลังงานทส่ี ะสมในตัวเกบ็ ประจุจะถูกส่งผ่านใหต้ วั ต้านทาน พิจารณาวงจรตัวต้านทานต่อขนานกับตัวเก็บประจุและแหล่งจ่าย เม่ือวงจรถูกปลดแหล่งจ่ายออก อย่างทันทีทันใด ดังภาพ 7.1 พลังงานที่สะสมหรือถูกชาร์จในตัวเก็บประจุจะจ่ายพลังงานหรือคายประจุ สู่ตัวตา้ นทาน ดงั นน้ั ผลตอบสนองของวงจรจะเกดิ จาก C ในวงจร a iC  iR C v(t) R  ภำพ 7.1 วงจร RC ปราศจากแหลง่ จ่าย

2 จากภาพ 7.1 ถ้ากาหนดให้ v(t) คือ แรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุ C ในวงจร ซึ่งถูกชาร์จประจุมาก่อนหนา้ นนั้ ท่เี วลา t = 0 แรงดนั ไฟฟ้าเรมิ่ ตน้ (Initial voltage) v(0) จะเท่ากับ v(0)  V0 (7.1) พลงั งานท่ีสะสมในตวั เกบ็ ประจุ C จะเทา่ กบั wC (0)  1 CV02 (7.2) 2 KCL โนด a จะได้ iC  iR  0 (7.3) จาก iC  C dv dt และ iR  v R แทน iC และ iR ในสมการ (7.3) จะได้ C dv  v  0 (7.4a) dt R หรือ dv  v  0 (7.4b) dt RC สมการ (7.4b) เปน็ สมการอนพุ ันธอ์ ันดับที่ 1 ซ่งึ สามารถจัดรปู สมการใหม่ได้ ดังนี้ dv   1 dt (7.5) v RC อินทกิ รลั สมการ (7.5) จะได้ ln v   t  ln A RC เม่อื ln A เป็นค่าคงท่ี ซง่ึ จะได้ ln v   t (7.6) A RC จาก elnX = X จะได้ v(t)  Aet / RC เม่ือแรงดนั ไฟฟา้ เร่ิมต้น v(0) = A = V0 จะได้ v(t)  V0et / RC (7.7) สมการ (7.7) คือ แรงดันตกคร่อม R ท่ีเวลา t = 0 v(t) จะเท่ากับแรงดันเริ่มต้น V0 และเม่ือเวลาผ่านไป v(t) จะค่อย ๆ ลดลงจนเขา้ ใกล้ศนู ยแ์ บบเอกซโ์ พเนนเชยี ล ดงั แสดงในภาพ 7.2

3 v(t) Vo 0.368 Vo Voe t / 0  t ภำพ 7.2 ผลตอบสนองของแรงดันไฟฟ้าจากวงจร RC ผลตอบสนองวงจรที่เกิดจากคุณสมบัติของ R และ C ในวงจร ที่ไม่มีแหล่งจ่ายจากภายนอก ซึ่งเรียกว่า ผลตอบสนองทางธรรมชาติของวงจร (natural response) การลดลงของแรงดันจะสัมพันธ์กับ ค่าคงที่ของเวลา (Time constant; ) ซ่ึงค่าคงท่ีของเวลาของวงจร คือ เวลาท่ีแรงดันลดลงเหลือ 1/e หรือ 36.8% ของแรงดันไฟฟา้ เร่มิ ต้น (V0) ถา้ กาหนดให้ t =  ฉะนน้ั V0e / RC  V0e1  0.368V0 (7.8) หรือ   RC ค่าแรงดันไฟฟ้าชว่ั ขณะในเทอมของค่าคงท่ีของเวลา จะได้ v(t)  V0et / (7.9) จากสมการ (7.9) จะได้กระแสไฟฟา้ ท่ไี หลผา่ นตัวตา้ นทาน R (iR) ดงั น้ี iR (t)  v(t)  V0 et / (7.10) R R กาลงั ไฟฟา้ ท่ตี วั ต้านทาน p(t)  vi R  V02 e2t / (7.11) R พลงั งานไฟฟา้ ทีต่ ัวตา้ นทาน  wR (t)  t p dt  t V02 e2t / dt   V02 e2t / t หรือ 0 0R 2R 0 wR (t)  1 CV02 (1  e 2t / ),   RC (7.12) 2 เมื่อ t → , wR () → 1/2 CV02, ซ่ึงก็คือ wC(0) พลังงานเร่ิมต้น (Initial energy) ท่ีสะสมในตัวเก็บประจุ และพลังงานน้จี ะเปน็ พลังงานท่ีสง่ ถา่ ยให้แกต่ ัวตา้ นทาน

4 ตวั อยำ่ ง 7.1 หา vC, vx, ix ทีเ่ วลา t > 0 โดยท่ีแรงดนั เรม่ิ ต้น vC(0) = 12 V จากวงจรดงั ภาพ 7.3 2  ix 4  0.2 F v C  10  v x   ภำพ 7.3 สาหรบั ตวั อยา่ ง 7.1 วิธที ำ จากวงจรดงั ภาพ 7.3 แปลงเป็นวงจร RC ปราศจากแหลง่ จ่าย ไดด้ งั ภาพ 7.4 โดยที่ Req  (2 10) // 4  12  4  3 12  4  3  v 0.2 F  ภำพ 7.4 วงจร RC ปราศจากแหล่งจ่ายจากภาพ 7.3 จากภาพ 7.4 คา่ คงทีข่ องเวลา;  จะหาไดจ้ าก   ReqC  30.2  0.6 s ดงั นน้ั v  v(0)et /  12et / 0.6 V และ vC  v  12e1.66t V จาก vC สามารถหา vx โดยวิธกี ารแบ่งแรงดันในภาพ 7.3 ได้ ดังนี้ vX  10 2 v  0.833(12e1.66t ) 10   9.99e1.66t V และ ix จะได้ ix  vx  0.99e1.66t A 10

5 ตวั อย่ำง 7.2 หา v(t) และพลังงานเริ่มต้นทส่ี ะสมในตัวเกบ็ ประจุ wC(0) ที่เวลา t > 0 จากวงจรดังภาพ 7.5 5 t 0 3  24 V 15 v 10 mF  ภำพ 7.5 สาหรบั ตวั อย่าง 7.2 วิธีทำ ที่เวลา t < 0, สวิตช์ปิดวงจร ภายใต้เง่ือนไขวงจรไฟฟ้ากระแสตรง ตัวเก็บประจุจะมีลักษณะเปิดวงจร ดงั ภาพ 7.6 5 3  24 V 15 vC (0)  ภำพ 7.6 สาหรบั ตวั อยา่ ง 7.2 ดงั นั้น vc (t)  15 5 (24)  18 V, t0 15  แรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุ C จะไม่เปล่ียนในทันทีทันใด ฉะนั้นแรงดันตกคร่อมที่ t = 0- จะเท่ากับ แรงดันท่ี t = 0 หรือ vc (0)  V0  18 V ทเ่ี วลา t > 0 สวติ ช์จะเปดิ วงจร ดังภาพ 7.7 3   10 mF V0  18 V 15 V0  18 V 10 mF  18    ภำพ 7.7 สาหรบั ตัวอย่าง 7.2 คา่ คงท่ขี องเวลา;  จะได้   ReqC  1810103  0.18 s แรงดันตกครอ่ มตัวเกบ็ ประจุ C ทเี่ วลา t > 0 จะหาไดจ้ าก

6 v(t)  vC (0)et /  18et / 0.18 V  18e5.55t V และพลังงานเริ่มตน้ ที่สะสมในตวั เก็บประจุ C จะได้ wC (0)  1 Cv 2  1 (10 103 )  (18)2  1.62 J 2 C 2 ขอ้ สังเกต 7.1 ในกรณีท่ีวงจรประกอบไปด้วยตัวต้านทานหรือตัวเก็บประจุหลายตัว วงจร RC ปราศจากแหล่งจ่าย สามารถหาได้โดยการรวมตัวต้านทานสมมูล Req หรือตัวเก็บประจุสมมูล Ceq เพียงตัวเดียวได้ แต่สาหรับวงจร ที่ประกอบไปดว้ ยหลายแหลง่ จ่าย แรงดนั ทขี่ ัว้ ตวั เก็บประจสุ ามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎกี ารทับซ้อน 7.3 วงจร RL ปรำศจำกแหล่งจำ่ ย วงจร RL ปราศจากแหล่งจ่าย (Source-free RL Circuit) เกิดข้ึนเม่ือแหล่งจ่ายกระแสตรงถูกปลด ออกจากวงจรอยา่ งทันทที ันใด พลังงานทสี่ ะสมในตวั เหนยี่ วนาจะถูกสง่ ผ่านใหต้ ัวตา้ นทาน หากพจิ ารณาวงจรตัวตา้ นทานต่อขนานกบั ตัวเหน่ียวนาและแหลง่ จา่ ย เมือ่ วงจรถกู ปลดแหลง่ จ่ายออก อย่างทนั ทีทันใด ดงั ภาพ 7.8 พลังงานท่สี ะสมในตัวเหนยี่ วนาจะจา่ ยพลังงานสู่ตัวต้านทาน ดังน้นั ผลตอบสนอง ของวงจรจะเกิดจาก L ในวงจร i   L vL R vR   ภำพ 7.8 วงจร RL ปราศจากแหลง่ จา่ ย จากภาพ 7.8 กาหนดให้ i(t) คอื กระแสไฟฟ้าทไ่ี หลผ่านตัวเหน่ียวนา L ท่ีเวลา t = 0 กระแสไฟฟา้ เรม่ิ ต้น จะเทา่ กบั i(0)  I0 (7.13) พลงั งานเริ่มตน้ ท่สี ะสมในตัวเหน่ยี วนา L จะเทา่ กับ (7.14) (7.15) w(0)  1 LI02 2 KVL เมซ RL จะได้ vL vR  0

7 จาก vL  L di dt และ VR  Ri แทนในสมการ (7.15) จะได้ L di  Ri  0 dt หรอื di  R i  0 (7.16) dt L เม่ือสมการ (7.16) เปน็ สมการอนุพนั ธอ์ นั ดบั ที่ 1 สามารถจดั รปู สมการใหม่ และ อินทกิ รัล ไดด้ งั นี้ i(t) di   0t RLdt I0 i ln i i(t )   Rt t  lni(t)  lnI0   Rt  0 I0 L 0 L หรือ ln i(t)   Rt (7.17) I0 L จาก elnX = X จะได้ i(t)  I0eRt / L (7.18) จากสมการ (7.18) แสดงผลตอบสนองทางธรรมชาติ ของวงจร RL ซึ่งกระแสเริ่มต้นจะลดลง แบบเอกซ์โพเนนเชียลเม่ือเวลาผา่ นไป ดงั ภาพ 7.9 โดยคา่ คงท่ีของเวลา  เท่ากบั   L (7.19) R i(t) Io 0.368 Io Tangent at t  0 Ioet / 0 t ภำพ 7.9 ผลตอบสนองของกระแสไฟฟา้ จากวงจร RL

8 คา่ กระแสไฟฟ้าชวั่ ขณะในเทอมของค่าคงท่ีของเวลา จะได้ i(t)  I0et / (7.20) จากสมการ (7.20) จะได้แรงดนั ไฟฟา้ ทีต่ กคร่อมตวั ต้านทาน R (vR) ดังนี้ vR (t)  iR  I0R et / (7.21) และกาลงั ไฟฟ้าทต่ี วั ตา้ นทาน p(t)  vRi  I02R e2t / (7.22) พลงั งานไฟฟา้ ทต่ี วั ต้านทาน wR (t)  0t p dt  t I02 R e 2t / dt   12I02R e2t / t   L R 0 , 0 หรือ wR (t)  1 LI02 (1  e2t / ),   L (7.23) 2 R โดยที่ เมื่อ t → , wR() → 1/2 LI02 ซึ่งก็คือ wL(0) พลังงานเร่ิมต้นท่ีสะสมในตัวเหน่ียวนาและพลังงานนี้ จะเปน็ พลงั งานท่ีจ่ายให้แกต่ วั ต้านทาน ตวั อย่ำง 7.3 หา i(t), ix(t) โดยที่ i(0) = 10 A จากวงจรดังภาพ 7.10 3i 3 i ix 0.5 H 2  1 ภำพ 7.10 สาหรบั ตัวอยา่ ง 7.3 วิธีทำ ใช้ KVL ทั้ง 2 เมซจากภาพ 7.10 ไดด้ งั ภาพ 7.10 3 0.5 H i1 2  i2 3i 1 ภำพ 7.11 สาหรบั ตัวอยา่ ง 7.3

9 เมซ i1 ; 1 di1  2(i1  i2 )  0  di1  4i1  4i2  0 (7.3.1) 2 dt dt เมซ i2; 6i2  2i1  3i1  0  i2  5 i1 (7.3.2) 6 แทนสมการ (7.3.2) ใน (7.3.1) จะได้ di1  2 i1  0 dt 3 หรอื di1   2 dt (7.3.3) i1 3 จากภาพ 7.11 i1 = i ในภาพ 7.10 อนิ ทกิ รัลสมการ (7.3.3) จะได้ ln i i (t)   2 t t  ln i(t)   2 t (7.3.4) i (0) 3 0 i(0) 3 จาก elnX = X แทนในสมการ (7.3.4) จะได้ i(t)  i(0)e(2/3)t  10e(2/3)t A, t  0 แรงดันไฟฟ้าท่ีตกครอ่ มตวั เหน่ียวนา L จะเทา่ กบั v  L di  (0.5)(10)  2 e(2 / 3)t   10 e(2/3)t V dt  3  3 จากภาพ 7.10 R 2  ขนานกบั L 0.5 H ดงั น้ัน ix (t)  v   1.667 e(2 / 3)t A , t 0 2 ตวั อย่ำง 7.4 หา i(t) ที่เวลา t > 0 จากวงจรดังภาพ 7.12 5 t 0 4 i(t) 40 V 12  32 32 4H ภำพ 7.12 สาหรับตัวอย่าง 7.4 วธิ ที ำ จากภาพ 7.12 ทีเ่ วลา t < 0 ภายใตเ้ ง่ือนไขแรงดันไฟฟา้ กระแสตรง ตัวเหน่ียวนาจะมีลักษณะลัดวงจร และตวั ตา้ นทาน 32  ทั้ง 2 ตัว ซ่ึงต่อขนานกนั กบั ตวั เหนยี่ วนาจะไม่มีกระแสไหลผ่าน ดงั ภาพ 7.13

10 5 4 i1 i(t) 40 V 12  16  ภำพ 7.13 สาหรบั ตวั อย่าง 7.4 จากภาพ 7.13 i1 จะหาไดจ้ าก i1  V  40  5A Req 5  (4 //12) สาหรับ i(t) จะหาไดจ้ ากวิธกี ารแบง่ กระแส ดังน้ี i(t)  12 4 i1  3.75 A , t0 12  เมอื่ กระแสทไ่ี หลผ่านตัวเหน่ียวนาจะไม่เปลี่ยนแปลงอย่างทนั ทีทันใด จะได้ i(0)  i(0 )  3.75 A จากภาพ 7.12 ที่เวลา t > 0 สวติ ช์จะเปดิ วงจร แหล่งจา่ ยแรงดันจะถกู ปลดออก จะไดว้ งจร RL ดงั ภาพ 7.14 4 i(t) 12  16  4H ภำพ 7.14 สาหรับตวั อย่าง 7.4 จากภาพ 7.14 แปลงเปน็ วงจร RL อยา่ งงา่ ย จะได้ Req เท่ากบั Req  (12  4) //16  8  และคา่ คงทขี่ องเวลา;  จะหาได้จาก   L  4  1 s Req 8 2 ดงั น้นั i(t)  i(0)et /  3.75e2t A

11 ตวั อยำ่ ง 7.5 หา io , vo , i จากวงจรดังภาพ 7.15 io i(t) 6 4H 7 3  v0  24 V t 0 ภำพ 7.15 สาหรับตวั อย่าง 7.5 วธิ ที ำ จากภาพ 7.15 ท่ีเวลา t < 0 สวิตช์จะเปดิ วงจร ภายใต้เงือ่ นไขแรงดันไฟฟา้ กระแสตรง ตัวเหน่ียวนาจะ มีลักษณะลัดวงจร ดังภาพ 7.16 7 3  v0  io i(t) 24 V 6  ภำพ 7.16 สาหรบั ตวั อย่าง 7.5 จากภาพ 7.16 io = 0 A และ i(t)  V  24  2.4 A , t0 R 73 vo (t)  3i(t)  7.2 V, t  0 ฉะน้ัน i(0) = 2.4 A จากภาพ 7.15 ทเ่ี วลา t > 0 สวติ ช์จะปดิ วงจร แหลง่ จา่ ยแรงดนั จะถกู ปลดออก จะไดว้ งจร RL ดงั ภาพ 7.17 3 io i(t) 6 4H  v0  ภำพ 7.17 สาหรับตวั อย่าง 7.5 จากภาพ 7.17 Req  3 // 6  2  และ   L  4  2s Req 2

12 ซง่ึ จะได้ i(t)  i(0)et /  2.4e0.5t A , t  0 จากภาพ 7.17 ตวั เหน่ียวนาขนานกับตวั ตา้ นทาน จะได้ vo (t)   vL   L di dt   4(1.2e0.5t )  4.8e0.5t V , t  0 และ io (t)  vL   0.8 e0.5t A , t0 6 จาก io(t) , vo(t), i(t) จะได้ io (t)   0A, t0  0.8e0.5t A, t0 vo (t)   7.2V, t0 4.8e0.5t V, t0 i(t)   2.4A, t0 2.4e0.5t A, t0 2.4 i(t)  0.8 io (t) t ภำพ 7.18 i และ io ของวงจรตามภาพ 7.15 ข้อสังเกต 7.2 ในกรณีที่วงจรประกอบไปด้วยตัวต้านทานหรือตัวเหนี่ยวนาหลายตัว วงจร RL ปราศจากแหล่งจ่าย สามารถหาได้โดยการรวมตัวต้านทานสมมูล Req หรือตัวเหน่ียวนาสมมูล Leq เพียงตัวเดียวได้ แต่สาหรับวงจร ท่ปี ระกอบไปดว้ ยหลายแหล่งจา่ ย กระแสท่ีไหลผ่านตวั เหน่ียวนาสามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎกี ารทบั ซ้อน

13 7.4 ฟังกช์ ันภำวะเอกฐำน ฟังก์ชันภาวะเอกฐาน (Singularity Functions) หรือฟังก์ชันสวิตช่ิง (Switching Functions) เป็น ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยในการวิเคราะห์ผลตอบสนองของวงจรไฟฟ้าในสภาวะฉับพลัน (Transient) ได้อย่างมาก การเข้าใจสภาวะเอกฐานจะทาให้ทราบผลตอบสนองของวงจรอันดับที่หนึ่งโดยการประมาณค่า ในขณะเปิดหรอื ปิดสวิตช์ในวงจร ฟงั ก์ชนั ภาวะเอกฐานทใี่ ช้ในการวเิ คราะหว์ งจรมี 3 ชนิด ดงั น้ี 1. ฟังกช์ ันขน้ั หนง่ึ หน่วย (Unit Step Functions) 2. ฟังก์ชนั อิมพลั ส์หน่ึงหนว่ ย (Unit Impulse Functions) 3. ฟังก์ชนั แรมป์หนึง่ หน่วย (Unit Ramp Functions) 7.4.1 ฟงั กช์ ันขนั้ หน่งึ หน่วย Unit Step; u(t) คือ ฟังก์ชันที่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลันจาก 0 เป็น 1 ท่ีเวลา t = 0 ฟังก์ชัน ทางคณติ ศาสตรข์ อง u(t) แสดงดงั สมการ (7.24) ฟงั กช์ ันขน้ั หนึ่งหน่วยแสดงดัง ภาพ 7.19 u(t)  10,, t0 (7.24) t0 u(t) 1 0t ภำพ 7.19 ฟังก์ชนั ขั้นหน่ึงหนว่ ย ถ้าการเปล่ียนแปลงอย่างฉับพลันเกิดข้ึนที่เวลา t = t0 (โดยที่ t0 > 0) จะสามารถหาฟังก์ชันข้ันหน่ึง หน่วยได้โดยการแทนที่ t ในสมการ (7.24) ด้วย t – t0 ฟังก์ชันขั้นหน่ึงหน่วยจะได้ดังสมการ (7.25) และ ภาพ 7.20 (ก) ซ่ึงแสดงถึงการหน่วงเวลา u(t) ไปเป็นเวลา t0 วินาที ในทางตรงกันข้ามถ้าการเปล่ียนแปลง เกิดขึ้นท่ี t0 < 0 ฟังก์ชันขั้นหน่ึงหน่วยจะได้ดังสมการ (7.26) และภาพ 7.20 (ข) ซ่ึงแสดงถึงเวลาเดินไปเป็น เวลา t0 วินาที u(t  t0 )  01,, t  t0 (7.25) t  t0 u(t  t0 )  01,, t  t0 (7.26) t  t0

14 u(t  t0 ) u(t  t0 ) 1 1 0 t0 t  t0 0 t (ก) (ข) ภำพ 7.20 (ก) ฟังก์ชนั ขัน้ หนงึ่ หน่วยทห่ี นว่ งเวลาไป t0 , (ข) ฟงั ก์ชนั ข้นั หนึง่ หนว่ ยท่ีเวลาเดนิ หน้าไป t0 ฟังก์ชันขั้นหน่ึงหน่วยจะใช้เพ่ือแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงสัญญาณแรงดันหรือกระแสไฟฟ้าอย่าง ฉับพลัน เหมือนการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณในวงจรด้านระบบควบคุมและดิจิทัลคอมพิวเตอร์ ตัวอย่างเช่น การเปลี่ยนแปลงของแรงดันไฟฟ้า v(t)  V00,, t  t0 (7.27) t  t0 จากสมการ (7.27) สามารถเขยี นฟังกช์ ันของแรงดันในเทอมของฟงั ก์ชันข้นั หนงึ่ หนว่ ยได้ ดงั น้ี v(t)  V0u(t  t0 ) (7.28) จากสมการ (7.28) ถ้ากาหนดให้ t = t0 ฟงั ก์ชันน้ีจะกลายเป็นฟงั กช์ ันแรงดนั แบบขั้น V0u(t) แหลง่ จ่าย แรงดนั ไฟฟ้า V0u(t) แสดงดงั ภาพ 7.21 (ก) โดยวงจรสมมูลแสดงดงั ภาพ 7.21 (ข) a t 0 a 21  Vou(t )  Vo v v b b (ก) (ข) ภำพ 7.21 (ก) แหลง่ จ่ายแรงดันไฟฟ้า Vou(t), (ข) วงจรสมมูลของภาพ (ก) จากภาพ 7.21 (ข) จะพบว่า ที่เวลา t < 0 ข้ัว a – b จะถูกลัดวงจร (v = 0) และเม่ือเวลา t > 0 สวิตช์จะเปลี่ยนตาแหน่งจาก 1 ไป 2 แรงดันไฟฟ้าท่ีข้ัว a – b จะได้ v = V0 เช่นเดียวกับแหล่งจ่าย กระแสไฟฟ้าดังภาพ 7.22 (ก) และวงจรสมมลู ดงั ภาพ 7.22 (ข) ท่เี วลา t < 0 กระแสไฟฟ้า i ที่ไหลออกจากข้ัว a จะมีค่า i = 0 และเม่ือเวลา t > 0 สวิตช์จะเปลี่ยนตาแหน่งจาก 1 ไป 2 กระแสไฟฟ้า i ท่ีไหลออกจากข้ัว a จะมีค่า i = I0

15 a t0 i a 2 I0u (t ) I0 1 bb (ก) (ข) ภำพ 7.22 (ก) แหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้า I0u(t) , (ข) วงจรสมมูลของภาพ (ก) 7.4.2 ฟังกช์ นั อิมพัลส์หนึง่ หนว่ ย Unit Impulse; (t) หรือฟังก์ชันเดลต้า (Delta Function) คือ ฟังก์ชันที่ได้จากการอนุพันธ์ฟังก์ชัน ข้ันหน่ึงหน่วย u(t) เขียนเป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ได้ดังสมการ (7.29) ฟังก์ชันอิมพัลส์หน่ึงหน่วยแสดงดัง ภาพ 7.23  (t)  d u(t)  Unde0fi,ned, t0 (7.29) dt  0, t0 t0  (t) (1) 0t ภำพ 7.23 ฟงั ก์ชนั อิมพัลส์หนง่ึ หนว่ ย กระแสและแรงดันอิมพัลซ์ท่ีเกิดข้ึนในวงจรไฟฟ้า คือ ผลท่ีเกิดข้ึนจากการเปิด/ปิดสวิตช์หรือเกิดจาก แหล่งจ่ายสญั ญาณอิมพลั ซ์ ขนาดของอมิ พัลซห์ นึ่งหน่วยแสดงได้ดงั สมการ (7.30) 00 (t)dt  1 (7.30) ตวั อย่างฟงั กช์ นั อมิ พัลส์ 5 (t+2), 10 (t), -4 (t-3) แสดงดังภาพ 7.24 10 (t) 5(t 2) 2 1 0 1 2 3 t 4(t 3) ภำพ 7.24 ตวั อย่างฟังกช์ ันอิมพัลส์

16 จากภาพ 7.23  b f (t ) (t  t0 )dt (7.31) a โดยที่ a < t0 < b เนือ่ งจาก  (t-t0) = 0 ยกเวน้ ท่ี t = t0 ดงั นนั้ การอนิ ทกิ รัลจะมคี า่ เปน็ ศูนย์ยกเว้นที่ t0 ดังนัน้ ab f (t) (t  t0 )dt   b f (t0 ) (t  t0 )dt  f (t0 )ab (t  t0 )dt  f (t0 ) a หรอื  b f (t ) (t  t0 )dt  f (t0 ) (7.32) a จากสมการ (7.32) จะเรียกว่าคุณสมบัติการสุ่มสัญญาณ (Sampling) หรือการจดั ลาดับ (Sifting) เม่ือ t0 = 0 แล้ว สมการ (7.32) จะกลายเป็น  0 f (t ) (t )dt  f (0) (7.33) 0 7.4.3 ฟงั ก์ชนั แรมปห์ น่งึ หน่วย Unit Ramp; r(t) คือ ฟงั ก์ชนั ท่ีไดจ้ ากการอนิ ทิกรลั ฟังกช์ นั ขน้ั หนึ่งหน่วย u(t) จะได้ r(t)   t u(t ) dt  t u(t) (7.34)  หรือ r(t)  0t,, t0 (7.35) t0 r(t) 1 r(t  t0 ) 0 1t ภำพ 7.25 ฟงั ก์ชันแรมปห์ นึ่งหน่วย 1 r(t  t0 ) 1 0 t0 t0 1 t  t0 t0 1 0 t (ก) (ข) ภำพ 7.26 ฟงั กช์ ันแรมปห์ น่ึงหน่วย (ก) ทห่ี นว่ งเวลาไป t0 , (ข) ทเ่ี วลาเดินหน้าไป t0

17 เช่นเดียวกับฟังก์ชันข้ันหนึ่งหน่วย การหน่วงเวลาและที่เวลาเดินหน้าไป t0 วินาที ฟังก์ชันแรมป์หนึ่ง หน่วยที่หนว่ งเวลาไป t0 และท่เี วลาเดนิ หนา้ ไป t0 มฟี งั กช์ ันดังสมการ (7.36) และ (7.37) ตามลาดบั r(t  t0 )  t 0, , t  t0 (7.36)  t0 t  t0 r(t  t0 )  t 0, , t  t0 (7.37)  t0 t  t0 ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งฟังก์ชนั สภาวะเอกฐานแสดงไดด้ งั สมการ (7.38) และ (7.39)  (t) du(t ) , u(t)  dr (t) (7.38) dt dt u(t)  t (t)dt, r(t)   t u(t )dt (7.39)  7.5 ผลตอบสนองต่อฟงั ก์ชันขัน้ ของวงจร RC เม่ือวงจร RC ได้รับการจ่ายพลังงานจากแหล่งจา่ ยอยา่ งทนั ทที นั ใด แหลง่ จา่ ยกระแสหรือแรงดนั น้ัน ๆ สามารถจัดให้อยู่ในรปู ของฟังก์ชนั ขนั้ ได้ โดยผลตอบสนองของวงจรจากฟังกช์ นั ดงั กล่าว เรยี กวา่ ผลตอบสนอง ต่อฟังก์ชนั ขั้น (Step response) จะกลา่ วไดว้ า่ ผลตอบสนองต่อฟังก์ชนั ขนั้ คอื ผลตอบสนองของวงจรเม่อื จ่ายแรงดนั หรือกระแสไฟฟ้า กระแสตรงเขา้ กับวงจรอยา่ งทนั ทที ันใด R t0 R  C v VSu(t) Cv VS  (ก) (ข) ภำพ 7.27 วงจร RC ทร่ี บั พลังงานจากแหลง่ จา่ ยแรงดันข้ันบันได จากภาพ 7.27 (ก) ท่ีเวลา t = 0 สามารถแทนด้วยวงจรดังภาพ 7.27 (ข) โดยแหล่งจ่ายไฟฟ้า กระแสตรง Vs เป็นค่าคงที่ ดังน้ัน แรงดันตกคร่อม C คือ ผลตอบสนองของวงจรที่จะพิจารณา เม่ือ V0 คือ แรงดันเรม่ิ ต้นของ C ซงึ่ จะไม่เปลย่ี นแปลงอยา่ งทันทีทนั ใดเมอื่ แหล่งจา่ ยมีการเปล่ยี นแปลง ดังนี้ v(0 )  v(0 )  V0 (7.40) เมือ่ v(0-) และ v(0+) คอื แรงดนั ตกครอ่ ม C ก่อนและหลังสวติ ช์ปิดวงจร ตามลาดับ

18 KCL ภาพ 7.27 (ข) จะได้ C dv  v  Vsu(t)  0 dt R หรือ dv  v  Vs u(t ) (7.41) dt RC RC โดยที่ v คือ แรงดันตกคร่อม C ที่ t > 0 จะได้ dv  v  Vs (7.42) dt RC RC หรือ dv   v  Vs  dv   dt (7.43) dt RC v  Vs RC อนิ ทิกรลั สมการ (7.43) จะได้ ln( v  Vs ) v(t )   t t V0 RC 0 ln(v(t)  Vs )  ln(V0  Vs )   t  0 RC หรือ ln (v  Vs )   t (7.44) (V0  Vs ) RC ยกกาลงั e ทง้ั สองข้างจากสมการ (7.44) จะได้ (v  Vs )  et / ,   RC (V0  Vs ) (v  Vs )  (V0  Vs )et / หรอื v(t)  Vs  (V0  Vs )et / , t  0 (7.45) ฉะน้ัน v(t)  VV0s , (V0  Vs )et / , t0 (7.46)  t0 ซ่ึงสมการ (7.46) คือ ผลตอบสนองสมบูรณ์ (complete response) หรือผลการตอบสนองท้ังหมด (total response) ของวงจร RC เมื่อจ่ายแรงดันไฟฟ้ากระแสตรงเข้าสู่วงจรอย่างทันทีทันใด ถ้า C มีแรงดัน เรมิ่ ตน้ และ Vs > V0 ผลตอบสนองของวงจรจะแสดงดงั ภาพ 7.28

19 v(t) VS Vo 0t ภำพ 7.28 ผลตอบสนองของวงจร RC ทมี่ แี รงดนั เร่มิ ตน้ V0 และถ้า C ไมม่ แี รงดนั เร่มิ ต้น หรือ V0 = 0 จะได้ v(t)  V0s, (1  et / ), t0 (7.47) t0 หรือ v(t)  Vs (1  et / )u(t) (7.48) กระแสไฟฟ้าทไ่ี หลผ่าน C จากสมการ (7.47) เมื่อ i(t) = C dv/dt จะได้ i(t)  C dv  C Vs e t / ,   RC, t 0 dt  หรือ i(t)  Vs et / u(t) (7.49) R ผลตอบสนองวงจร RC ทงั้ กระแสและแรงดันไฟฟา้ แสดงดังภาพ 7.29 v(t) i(t) VS VS R 0 t0 t (ก) ผลตอบสนองของแรงดัน (ข) ผลตอบสนองของกระแส ภำพ 7.29 ผลตอบสนองของวงจร RC ท่ีไม่มแี รงดนั เร่ิมต้นใน C จากสมการ (7.45) v(t)  Vs  (V0  Vs )et / , t 0 และ v(t)  Vs (1  et / )u(t) ซงึ่ จะได้ (7.50) v  v f vn

20 โดยที่ v f  VS (7.51) และ vn  (V0  Vs )et / (7.52) โดยท่ี vn คือ ผลตอบสนองทางธรรมชาติ (Natural response) หรือผลตอบสนองชั่วขณะ (Transient response) ของวงจร ซ่ึงเป็นผลตอบสนองชั่วขณะของวงจรจะลดลงจนถงึ 0 เมือ่ เวลาผา่ นไป (5) vf คือ ผลตอบสนองจากการบังคับ (Forced response) หรือผลตอบสนองในสภาวะคงตัว (Steady- state response) ของวงจรอันเนื่องมาจากแหล่งจ่ายท่ีต่อเข้ากับวงจร ซ่ึงเป็นผลตอบสนองของวงจรหลังจาก ตอ่ แหล่งจา่ ยเข้าสูว่ งจร หรือเรยี กวา่ ผลตอบสนองสภาวะคงตัวไฟฟ้ากระแสตรงของวงจร จากผลตอบสนองทางธรรมชาติ และผลตอบสนองจากการบังคับ จะไดผ้ ลตอบสนองสมบูรณ์ของวงจร ดงั นี้ v(t)  v()  [v(0)  v()]et / (7.53) ในกรณที ส่ี วติ ช์เปล่ียนแปลงทเี่ วลา t = t0 แทนที่ t = 0 ฉะน้นั ผลตอบสนองของวงจรจะได้ ดงั น้ี v(t)  v()  [v(t0 )  v()]e(tt0 ) / (7.54) ข้อสังเกต 7.3 ผลตอบสนองสมบูรณห์ รอื ผลตอบสนองทง้ั หมดของวงจรแบ่งออกเปน็ 2 สว่ น ดังนี้ ผลตอบสนองสมบรู ณ์ = ผลตอบสนองทางธรรมชาติ + ผลตอบสนองจากการบังคบั (พลังงานทส่ี ะสม) (แหลง่ จา่ ยอิสระ) หรอื ผลตอบสนองทงั้ หมด = ผลตอบสนองชว่ั ขณะ + ผลตอบสนองในสภาวะคงตวั (สว่ นทเี่ กิดขน้ึ แล้วสลายไป) (ส่วนที่เกดิ ขน้ึ ถาวร) ตวั อย่ำง 7.6 หา v(t) ท่ี t > 0 และ v(1), v(5) จากวงจรดงั ภาพ 7.30 2 k A B 4 k t 0  0.25mF 20 V 3 k 24 V v  ภำพ 7.30 สาหรับตัวอย่าง 7.6 วธิ ที ำ จากภาพ 7.30 ท่ีเวลา t < 0 สวิตช์อยู่ท่ีตาแหน่ง A แรงดันตกคร่อม C (v) จะเท่ากับแรงดันตกคร่อม R 3 k แรงดันตกครอ่ ม C ที่ t < 0 จะหาไดโ้ ดยวิธีการแบง่ แรงดัน ดังน้ี

21 v(0 )  2k 3k 3k (20)  12 V  แรงดนั ที่ C จะไม่เปลย่ี นแปลงอยา่ งทันทีทันใด ดงั น้นั v(0)  v(0 )  v(0 )  12 V ทเ่ี วลา t > 0 สวิตช์อยู่ท่ตี าแหน่ง B ตัวต้านทาน R 4 k จะตอ่ เขา้ กับ C จะหาค่าคงทข่ี องเวลา  ได้จาก   RThC  (4k)(0.25mF)  1 s ซ่งึ C จะมลี กั ษณะเปดิ วงจรเม่อื อยู่ในสภาวะคงตวั ไฟฟ้ากระแสตรง ซง่ึ v() = 24 V ดังนัน้ จากสมการ (7.53) v(t)  v()  [v(0)  v()]et / จะได้ v(t)  24  (12  24)et V ทเี่ วลา t = 1 v(1)  24 12e1  19.585 V ทเี่ วลา t = 5 v(5)  24 12e5  23.919 V ตวั อย่ำง 7.7 หา i และ v ทีส่ ภาวะคงตวั ไฟฟา้ กระแสตรง จากวงจรดงั ภาพ 7.31 5 i t 0 20u(t) V  12 V 15  v 0.25 F  ภำพ 7.31 สาหรับตวั อย่าง 7.7 วิธีทำ จากภาพ 7.31 ที่เวลา t < 0 และ t > 0 วงจรจากภาพ 7.31 จะเปล่ียนเป็นภาพ 7.32 (ก) และ (ข) ตามลาดบั 5 i 5 i  12 V  15  v 20 V 15  v 0.25F   (ก) t < 0 (ข) t > 0 ภำพ 7.32 สาหรับตัวอยา่ ง 7.7

22 จากนิยามของแหล่งจ่ายแรงดันแบบฟงั ก์ชนั ขน้ั จะได้ 20u(t)  02,0, t0 t0 ทเ่ี วลา t < 0 จากวงจรดงั ภาพ 7.32 (ก) v  12 V, i   v   2.4 A 5 แรงดันท่ี C จะไม่เปล่ียนแปลงอย่างทันทที นั ใด จะได้ v(0)  v(0 )  12 V ที่เวลา t > 0 สวิตช์จะเปิดวงจร (ปลดแหล่งจ่าย 12 V ออก) แหล่งจ่ายแรงดัน 20u(t) จะเร่ิมจ่ายพลังงาน ดงั ภาพ 7.32 (ข) ทีส่ ภาวะคงตวั ไฟฟา้ กระแสตรง C จะมีลกั ษณะเปดิ วงจร จะได้ v()  15 5 (20)  15 V 15  Rth ทีข่ ว้ั C จะได้ Rth  15 // 5  15  4 คา่ คงทข่ี องเวลา;  จะได้   RthC   15  1   15 s  4  4  16 ดงั น้นั v(t)  v()  [v(0)  v()]et / v(t)  15  (12 15)e(16/15)t  (15  3e1.06t ) V จากภาพ 7.32 (ข) เม่ือ i คอื ผลรวมของกระแสท่ีไหลผ่าน R 15  และ C 0.25 F ซ่งึ จะได้ i  v  C dv R dt i  [1  0.2e1.06t ]  [0.25(1.06)(3e1.06t )]  (1  0.6e1.06t ) V หรือ v  1(125V, 3e1.06t )V, t0 t0 และ i   2.4A, t0 (1  0.6e1.06t )A, t0

23 ตรวจสอบโดยใช้ KVL ทเ่ี วลา t > 0 จะได้ v  5i  20 V (15  3e1.06t )  5(1  0.6e1.06t )  20 V 7.6 ผลตอบสนองต่อฟงั กช์ นั ขนั้ ของวงจร RL เมื่อวงจร RL ได้รบั การจา่ ยพลงั งานจากแหลง่ จ่ายอย่างทันทีทันใด แหลง่ จา่ ยกระแสหรือแรงดันน้ัน ๆ สามารถจัดให้อยใู่ นรปู ของฟังก์ชนั ขนั้ ได้ โดยผลตอบสนองของวงจรจากฟังก์ชนั ดงั กลา่ วเรียกวา่ ผลตอบสนอง ต่อฟังก์ชนั ข้นั R t0 R i i  L v(t) VSu(t) L v(t) VS  (ก) (ข) ภำพ 7.33 วงจร RL ทรี่ บั พลังงานจากแหลง่ จา่ ยแรงดนั ข้ันบันได จากภาพ 7.33 (ก) ท่ีเวลา t = 0 แสดงได้ดงั ภาพ 7.33 (ข) ผลตอบสนองของวงจร RL ในสภาวะชว่ั ขณะและสภาวะคงตัวไฟฟ้ากระแสตรง จะหาได้จาก i  in  i f (7.55) โดยที่ in  Ae t / ,   L (7.56) R และ if  VS (7.57) R หรอื i  Ae t /  Vs (7.58) R โดยที่ in คือ ผลตอบสนองทางธรรมชาติ หรือผลตอบสนองชัว่ ขณะของวงจร if คือ ผลตอบสนองจากการบังคับ หรือผลตอบสนองในสภาวะคงตวั ของวงจรของวงจร อนั เน่อื งมาจาก แหลง่ จา่ ยทต่ี ่อเข้ากับวงจร

24 ค่าคงที่ A จาก i หาได้โดย ให้ I0 เป็นกระแสเร่ิมต้น ของ L ซ่ึงได้จากแหล่งจ่ายโดยมีค่ามากกว่า Vs เมอื่ กระแสไฟฟา้ ท่ี L จะไมเ่ ปลี่ยนแปลงอย่างทันทีทันใด จะได้ i(0 )  i(0 )  I0 (7.59) จากสมการ (7.58) ท่ี t = 0 จะได้ I0  A  Vs R ฉะนัน้ A  I0  Vs R แทนคา่ A ในสมการ (7.58) จะได้ i(t)  Vs   I0  Vs et / (7.60) R  R  หรอื i(t)  i()  [i(0)  i()]et / (7.61) โดยท่ี i (0) คือ คา่ เรม่ิ ตน้ ของ i i () คือ ค่าสุดทา้ ยของ i i(t) Io VS R 0t ภำพ 7.34 ผลตอบสนองของวงจร RL ทม่ี กี ระแสเริ่มตน้ I0 สมการ (7.61) ใช้พิจารณาได้เฉพาะผลตอบสนองของวงจรของฟังก์ชันขั้นเท่าน้ัน ส่วนฟังก์ชันสวิตช์ อ่นื สามารถพิจารณาโดย แทน t = t0 ใน t = 0 ในสมการ (7.61) ดงั นี้ i(t)  i()  [i(t0 )  i()]e(tt0 ) / (7.62) ถา้ I0 = 0 จะได้ i(t)  0V,s (1  et / ), t0 (7.63a)  R t0 หรือ i(t)  Vs (1  et / )u(t) (7.63b) R แรงดนั ตกครอ่ ม L จาก v = L di/dt จะได้

25 v(t)  L di  Vs L et / ,   L, t 0 dt R R หรอื v(t)  Vset / u(t) (7.64) i(t) v(t) VS VS R 0 t0 t (ก) ผลตอบสนองของกระแส (ข) ผลตอบสนองของแรงดัน ภำพ 7.35 ผลตอบสนองของวงจร RL ทไ่ี ม่มกี ระแสเร่มิ ต้น ตัวอย่ำง 7.8 หา i ทเี่ วลา t > 0 จากวงจรดงั ภาพ 7.36 t 0 1 4 i 12 V 1 H 2 ภำพ 7.36 สาหรับตวั อยา่ ง 7.8 วิธีทำ จากภาพที่ 7.36 ท่ีเวลา t < 0, R 4  จะถูกลัดวงจร และ L จะมีลักษณะลัดวงจรเมื่ออยู่ในสภาวะ คงตัวไฟฟ้ากระแสตรง กระแสทีไ่ หลผา่ น L ทเี่ วลา t = 0- จะเท่ากบั i(0 )  10  12 A 1 กระแสไฟฟา้ ทไ่ี หลผา่ น L จะไมเ่ ปล่ยี นแปลงอยา่ งทนั ทที ันใด จะได้ i(0)  i(0 )  i(0 )  12 A ทเี่ วลา t > 0, สวิตช์จะเปดิ วงจร จะได้ i()  10  2.4 A Rth ที่ขว้ั L เทา่ กบั 14 Rth  1  4  5 

26 คา่ คงทขี่ องเวลา;  จะได้   L  1/2  1 s Rth 5 10 ดงั นน้ั i(t)  i()  [i(0)  i()]et / i(t)  2.4  (12  2.4)e10t  2.4  9.6e10t A , t  0 ตรวจสอบโดยใช้ KVL ทเี่ วลา t > 0 จะได้ 12  5i  L di dt 5i  L di  [12  48e 10t ]   1 (9.6)(10)e 10t   12 dt  2  ตวั อยำ่ ง 7.9 หา i(t) ทเ่ี วลา t > 0 และ i (2), i (4) จากวงจรดงั ภาพ 7.37 4 t0 P 8 S1 S2 t 3 i 24 V 12 4 H 12 V ภำพ 7.37 สาหรับตัวอยา่ ง 7.9 วิธีทำ จากภาพ 7.37 สวิตช์ S1 ปิดวงจรท่ี t = 0 และ S2 ปิดวงจรที่ t = 3 ดังนั้นจะต้องพิจารณาท่ี 3 ช่วงเวลา ดังนี้ t  0, 0  t  3, t  3 ทเ่ี วลา t < 0, S1 และ S2 เปดิ วงจร จะได้ i(0 )  i(0)  i(0 )  0 A ทเ่ี วลา 0  t  3, S1 ปดิ วงจร และ L 4 H ลดั วงจรจะได้ i()  24  2A 48 Rth  4  8  12 

27   L  4  1 s Rth 12 3 ดงั นัน้ i(t)  i()  [i(0)  i()]et / i(t)  2  (0  2)e3t  2(1  e3t ) A , 0  t  3 ท่ีเวลา t  3 , S2 ปิดวงจร แหล่งจ่ายแรงดัน 12 V ถูกต่อเข้ากับวงจร แต่กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่าน L จะไม่ เปลีย่ นอย่างทันทีทันใด จะได้ i(3)  i(3 )  2(1  e9 )  2 A หา i () ใช้ KCL ทโี่ นด P จะได้ 24  VP  12  VP  VP  VP  15.27 V 4 12 8 i()  VP  15.27  1.908 A 8 8 Rth ทข่ี ้วั L เทา่ กบั Rth  (4 //12)  8  4 12  8  11  4  12 ค่าคงท่ีของเวลา  จะได้   L  4 s Rth 11 ดังนน้ั i(t)  i()  [i(3)  i()]e(t3) / , t  3 ทหี่ น่วงเวลาไป 3 s (t-3) i(t)  1.908  (2  1.908)e(t3) / ,   4 11 i(t)  1.908  0.092e2.75(t3) , t  3 ดังนัน้ i(t)  20(A1, e3t )A, t0 0t3 1.908  0.092e2.75(t3) A, t  3 ซ่งึ จะได้ ทีเ่ วลา t = 2 i(2)  2(1  e6 )  1.995 A ทีเ่ วลา t = 4 i(4)  1.908  0.092e2.75  1.913 A

28 7.7 วงจรออปแอมป์อันดบั ทหี่ น่ึง วงจรออปแอมป์ท่ีประกอบด้วยอุปกรณ์สะสมพลังงาน เช่น วงจรทาอนุพันธ์ และวงจรทาอินทิกรัล ดังแสดงในหัวข้อที่ 6.7.1 และ 6.7.2 สามารถหาผลตอบสนองของวงจรได้ท้ังแบบปราศจากแหล่งจ่าย และแบบผลตอบสนองตอ่ ฟังก์ชันข้ัน ดงั แสดงในตวั อยา่ ง 7.10 – 7.12 ตัวอย่ำง 7.10 หา vo ที่ t > 0 ถ้ากาหนดให้ v(0) = 6 V, Rf = 60 k, R1 = 20 k, C = 4 F จากวงจร ดงั ภาพ 7.38 Rf 1 C2  v 3 vo  R1 ภำพ 7.38 สาหรับตัวอย่าง 7.10 วิธที ำ จากภาพ 7.38 แทนคา่ องค์ประกอบตามทีก่ าหนด ได้ดังภาพ 7.39 60 k 1 4 F 2  20 k 6V 3 vo (0 )  ภำพ 7.39 สาหรบั ตวั อยา่ ง 7.10 จากภาพ 7.39 ใช้ระเบยี บวธิ ีแรงดันโนด KCL ทีโ่ นด 1 จะได้ 0  V1  C dv R1 dt ทโี่ นด 2 และ 3 มีแรงดนั เท่ากัน ดงั น้ัน V2 = 0 ฉะนัน้ V1 – 0 = v หรอื V1 = v จะได้ dv  v  0 dt CR1

29 v(t)  V0et / ,   R1C เม่อื v(0) = 6 V,  = (20k)(4) = 0.08 s ดงั นนั้ v(t)  6e12.5t V ใช้ระเบยี บวธิ แี รงดันโนด KCL ทีโ่ นด 2 จะได้ C dv  0  vo dt Rf หรอื vo   R f C dv dt ดงั น้ัน vo จะเท่ากบั vo   (60103 )(4 106 )(75e12.5t ) vo  18e12.5t V , t  0 ตวั อยำ่ ง 7.11 หา v(t) และ vo(t) จากวงจรดงั ภาพ 7.40 40 k 10 k v1 v 2 F t 0 9V 20 k 20 k  vo  ภำพ 7.40 สาหรบั ตัวอยา่ ง 7.11 วธิ ีทำ จากสมการ (7.53) v(t)  v()  [v(0)  v()]et / , t  0 คา่ คงทีข่ องเวลา;  จะได้   R f C  (40103 )(210-6 )  0.08s ทเี่ วลา t < 0 สวิตช์เปดิ วงจร ดังน้ัน แรงดนั ไฟฟ้าตกครอ่ ม C เปน็ ศนู ย์ v(0) = 0 ท่ีเวลา t > 0 แรงดนั ที่โนด 1: v1  20k (9)  6V 20k  10k

30 เน่ืองจาก ไมม่ อี ปุ กรณ์สะสมพลงั งานในเมซอินพตุ ดงั นั้น v1 จะคงที่ตลอดเวลา t และ C จะมลี ักษณะเปดิ วงจร เมอ่ื อยู่ในสภาวะคงตวั กระแสตรง จากวงจรขยายแบบไม่กลับเฟส จะได้ vo ()  1  40k v1  36  18 V  20k แต่ v1  vo  v ดังนน้ั v()  6 18  12 V ฉะนั้น v(t)  12  [0  (12)]e12.5t  12(e12.5t 1) V , t  0 และ vo (t)  v1 (t)  v(t)  18 12e12.5t V , t  0 ตัวอย่ำง 7.12 หา vo ท่ีเวลา t > 0 ถ้ากาหนดให้ R1 = 20 k, Rf = 60 k, R2 = R3 = 10 k, C = 5 F และ vi = 5u(t) V จากวงจรดงั ภาพ 7.41 Rf R1 R2 vi  R3 C vo  ภำพ 7.41 สาหรบั ตัวอย่าง 7.12 วิธีทำ จากภาพ 7.41 ใช้วงจรสมมูลของเทวนิ ินทีข่ ว้ั ของ C ดงั ภาพ 7.42 จะได้ ดงั ภาพ 7.43 Rf R1 a R2  VTh vi   Vab R3  b ภำพ 7.42 สาหรับตวั อย่าง 7.12

จากวงจรขยายแบบกลับเฟส Vab   Rf vi 31 R1 (7.12.1) ใชว้ ธิ ีการแบง่ แรงดนั จะได้ Vth  R2 R3 R3 Vab   R2 R3 R3 Rf vi   R1 R2 Ro R3  RTh ภำพ 7.43 สาหรบั ตัวอย่าง 7.12 หา Rth จากวงจรดังภาพ 7.43 โดยกาหนดให้ Ro คอื ค่าความตา้ นทานขาออกของออปแอมป์ โดยสมมติให้เปน็ ออปแอมป์ในทางอุดมคติ Ro= 0 จะได้ Rth  R2 // R3  R2R3 (7.12.2) R2  R3 จากสมการ (7.12.1) และ (7.12.2) จะได้ Vth   R2 R3 R3 Rf vi   10k 60k 5u(t)  R1 10k 10k 20k   7.5u(t) V Rth  R2R3  5 k R2  R3 จาก Vth และ Rth จะได้วงจรสมมลู ของเทวินินดงั ภาพ 7.44 5 k 7.5u(t) 5 F จากสมการ (7.50) ภำพ 7.44 สาหรับตวั อย่าง 7.12 vo (t)   7.5(1  et / )u(t)

32 และ   RthC  (5k)(5F)  0.025s ดงั นั้น vo (t)  7.5(e40t 1)u(t) V 7.8 กำรวิเครำะห์ผลตอบสนองชัว่ ขณะ โดยใช้ PSpice Student Version ผลตอบสนองชั่วขณะของวงจร เป็นผลการตอบสนองอย่างทันทีทันใดของวงจร ซ่ึงจะสลายหายไป ตามค่าคงที่ของเวลาของวงจร การจาลองเหตุการณ์ชัว่ ขณะของวงจรโดยใช้ PSpice สามารถนามาใชก้ ับวงจร ที่ประกอบไปด้วยองค์ประกอบประเภทสะสมพลังงานได้ตามท่ีได้อธิบายในหัวข้อท่ี 6.6 การวิเคราะห์วงจรตวั เก็บประจุและตัวเหนี่ยวนาโดยใช้ PSpice Student Version วิธีการวิเคราะห์วงจรช่ัวขณะหรือการวิเคราะห์ ทรานเซ้ียนทโ์ ดยใช้ PSpice แสดงดงั ภาคผนวกท่ี ง.4 การวิเคราะห์หาผลตอบสนองสมบูรณ์ของวงจรจาเป็นต้องทาการวิเคราะห์กระแสตรงเพื่อหาค่า เร่ิมต้นของวงจรเสียก่อน และจึงนาค่าเร่ิมต้นท่ีได้ไปวิเคราะห์หาผลตอบสนองช่ัวขณะของวงจรโดยใช้ PSpice ต่อไป การวเิ คราะหก์ ระแสตรงสามารถทาได้ 2 วธิ ี ดังนี้ 1) คานวณหาค่าเริ่มต้นด้วยมือโดยใช้เง่ือนไขวงจรไฟฟ้ากระแสตรง คือ เปิดวงจรตัวเก็บประจุ และ ลดั วงจรตวั เหนี่ยวนา 2) จาลองเหตุการณ์หาค่าเริม่ ต้นโดยใช้ PSpice ตัวอยำ่ ง 7.13 ใช้ PSpice หาผลตอบสนอง i(t) ท่เี วลา t > 0 จากวงจรดังภาพ 7.45 t 0 4 i(t) 6A 2 3H ภำพ 7.45 สาหรบั ตวั อยา่ ง 7.13 วิธีทำ จากภาพ 7.45 สามารถคานวณหาผลตอบสนองได้ ดังนี้ i(0) = 0 A, i() = 2 A, RTh = 6 ,  = 3/6 = 0.5 s จาก i(t)  i()  [i(t)  i()]et / ดงั นน้ั i(t)  2  [0  2]et / 0.5  2(1  e2t ) A, t  0

33 สาหรบั การจาลองเหตุการณ์ในวงจร โดยใช้ PSpice เพอ่ื หาผลตอบสนองของวงจร สามารถทาได้โดย ใช้ Schematics วาดวงจร จากภาพ 7.45 สวิตช์ปิดวงจรเมื่อ t = 0 ดังนั้นจะใช้อุปกรณ์ Sw_tClose โดยไม่ ต้องกาหนดสภาวะเร่ิมต้นของตัวเหนี่ยวนาแม่เหล็ก เนื่องจาก PSpice จะพิจารณาค่าเริ่มต้นของวงจรโดย อตั โนมตั ิ Schematics ของวงจรดงั ภาพ 7.45 แสดงดงั ภาพ 7.46 ภำพ 7.46 Schematics ของวงจรดังภาพ 7.45 กาหนดเง่ือนไขการจาลองเหตุการณ์ได้ ดังน้ี ใช้คาส่ัง Analysis/Simulate เลือก Transient กาหนด Print Step เป็น 25 ms, Final Step เป็น 5 = 2.5 s และ Step Ceiling เป็น 50 ms ทาการบันทึก ภาพวงจร และจาลองเหตุการณ์ในวงจรหาผลตอบสนองของวงจรโดยใช้คาส่ัง Analysis/Simulate เลือก Trace/Add ให้แสดงผล I(L1) ซ่ึงเป็นกระแส i(t) ท่ีไหลผ่านตัวเหน่ียวนา ตามภาพ 7.45 ซึ่งเป็นไปตามผลการ คานวณดงั แสดงไว้ข้างตน้ พล็อตของ i(t) ซึ่งเป็นไปตามค่าทไี่ ด้มาจากการคานวณดว้ ยมือ แสดงดงั ภาพ 7.47 ภำพ 7.47 ผลการวเิ คราะห์ทรานเซีย้ นทข์ องวงจรตามภาพ 7.46 7.9 กำรประยุกตใ์ ช้วงจรอนั ดับทีห่ นง่ึ วงจร RC และ RL ที่มีใช้ในอุปกรณ์ไฟฟ้าท่ัวไป มักถูกนาไปใช้ประโยชน์ในด้านต่าง ๆ ดังนี้ การกรอง ความถ่ีในวงจรไฟฟ้ากระแสตรง การทาให้สัญญาณเรียบ การส่ือสารดิจิทัล รวมถึงวงจรทาอนุพันธ์ และวงจร

34 ทาอินทิกรัลตามท่ีได้อธิบายในหัวข้อที่ 6.7 และ หัวข้อท่ี 7.7 ซ่ึงแสดงผลตอบสนองของวงจรทั้งสอง หัวข้อนี้ จะอธิบายการประยุกต์ใช้วงจร RC และ RL อีกสองวงจร คือ วงจรหน่วงสัญญาณ (Delay) และวงจรรีเลย์ สัญญาณ (Relay) โดยมีรายละเอียดดังน้ี 7.9.1 วงจรหน่วงสญั ญำณ วงจร RC สามารถทาให้เกิดการหน่วงของเวลาได้ ตัวอย่างวงจรแสดงดังภาพ 7.48 วงจรโดยพ้ืนฐาน ประกอบดว้ ยวงจร RC ทมี่ ตี ัวเกบ็ ประจตุ ่อขนานกับโหลด ตวั อยา่ งกลา่ วถงึ น้ี คือ หลอดไฟฟา้ นอี อน R1 S R2 220 V C 0.1F 140 V Neon lamp ภำพ 7.48 วงจรหนว่ งสัญญาณ RC แหล่งจ่ายแรงดนั ไฟฟ้าดังภาพ 7.48 กาหนดให้มีขนาดเพียงพอต่อการจุดหลอดไฟฟ้าได้ เมือ่ สวิตช์ปิด วงจรแรงดันไฟฟ้าทตี่ ัวเก็บประจไุ ฟฟ้าจะค่อย ๆ ชาร์จหรอื เพิม่ ขึ้นไปยงั คา่ ตามแหลง่ จ่ายแรงดนั ไฟฟา้ ด้วยอัตรา การเพ่ิมข้ึนตามค่าคงที่ของเวลา (R1+R2)C หลอดไฟฟ้าจะเปรียบเหมือนกับวงจรเปิดแต่ยังไม่เปล่งแสงออกมา จนกวา่ แรงดนั ไฟฟ้าที่ตกคร่อมตัวมันจะมคี ่ามากกว่าระดับที่กาหนด เช่น 140 V เม่ือระดับแรงดนั ไฟฟ้าเพ่ิมถึง ค่าดังกล่าวแลว้ หลอดไฟฟ้ากจ็ ะจุดตดิ และเปล่งแสงออกมาอย่างต่อเน่ือง และในขณะท่ีตวั เก็บประจุไฟฟ้าคาย ประจุผ่านหลอดไฟฟ้าดังกล่าว เนื่องจากหลอดไฟฟ้าน้ันจะมีความต้านทานต่าจึงทาให้แรงดันไฟฟ้าท่ีตัวเก็บ ประจุนั้นลดลงอย่างรวดเร็ว ตามค่าคงท่ีของเวลา ( = RC) หลอดไฟฟ้าก็จะดับอีกครั้ง หลอดไฟฟ้าจะเปรียบ เหมือนกับวงจรเปิดและตัวเก็บประจุกลับมาชาร์จอีกคร้ังหน่ึง ซึ่งสามารถทาการหน่วงเวลาใหเ้ รว็ ข้ึนหรอื ชา้ ลง ได้โดยการปรับค่า R2 หลอดไฟติด-ดับ สลับไปมาเรื่อย ๆ ด้วยค่าคงท่ีของเวลา  = (R1+R2)C เพราะว่ามันใช้ ค่าคาบเวลา  เพื่อทาให้แรงดันไฟฟ้าที่ตัวเก็บประจุสูงสุดเพียงพอที่จะทาให้หลอดไฟฟ้าจุดติด หรือ ต่าเพียง พอที่จะทาใหม้ นั ดับลง ตวั อยา่ งการใชว้ งจร RC สาหรับหนว่ งการทางาน เชน่ ไฟกระพรบิ เตอื นบรเิ วณจุดซ่อมถนน เป็นตน้ 7.9.2 วงจรรีเลย์ สวิตช์ที่ควบคุมด้วยสนามแม่เหล็ก เรียกว่า รีเลย์ (Relay) รีเลย์เป็นอุปกรณ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งใช้ สาหรับเปดิ หรอื ปิดสวติ ชส์ าหรับควบคุมวงจรอื่น ภาพ 7.49 (ก) แสดงวงจรรีเลยท์ วั่ ไป โดยวงจรขดลวด (Coil) เป็นวงจร RL ดังแสดงในภาพ 7.49 (ข) โดยที่ R และ L เป็นตัวต้านทานไฟฟ้าและตัวเหน่ียวนาไฟฟ้าของ ขดลวดตามลาดับ เมอื่ สวติ ช์ S1 ในภาพ 7.49 (ก) ปิดลง ขดลวดจะไดร้ ับพลังงาน กระแสของขดลวดจะค่อย ๆ สร้างสนามแม่เหล็กขึ้น เมื่อสนามแม่เหล็กมีความเข้มมากพอที่จะดึงหน้าสัมผัสของสวิตช์ S2 ให้เคล่ือนท่ีปิด

35 วงจรลงมาได้ จุดท่ีสนามแม่เหล็กดึงหน้าสัมผัส S2 ลงมา เรียกว่า รีเลย์พุลอิน (Relay pull in) ช่วงเวลา ระหว่างสวติ ช์ S1 และ S2 ปดิ หรอื ช่วงเวลา td เรียกว่า เวลาหน่วงของรีเลย์ (Relay delay time) รีเลย์ถกู ออกแบบมาใช้ในวงจรดจิ ทิ ัล แต่ในปัจจบุ นั มกี ารใช้รเี ลย์ในวงจรไฟฟ้ากาลงั อย่างแพรห่ ลาย S1 S2 S1 Vs Magnetic field Coil Vs R L ภำพ 7.49 วงจรรเี ลย์ 7.9.3 กำรใช้ RC ดิไวเดอร์สำหรับวดั ไฟฟำ้ แรงดนั สงู กระแสตรง ระบบวัดไฟฟ้าแรงดันสูงแบบ RC ดิไวเดอร์ สามารถใช้วัดไฟฟ้าแรงดันสูงกระแสตรงได้ (สารวย สังข สะอาด; 2549) รายละเอียดแสดงในหัวข้อ 10.9.2 โดย RC ดิไวเดอร์ประกอบไปด้วยโวลเตจดิไวเดอร์แบบ ความต้านทาน ตามท่ีได้อธิบายไว้ในหัวข้อท่ี 2.9.3 และโวลเตจดิไวเดอร์แบบตัวเก็บประจุ ตามที่ได้อธิบายไว้ ในหวั ข้อที่ 6.7.3 นามาต่อขนานกนั (ธนากร นา้ หอมจนั ทร์; 2554) ในหวั ขอ้ นจ้ี ะแสดงผลการจาลองเหตุการณ์ การวัดไฟฟ้าแรงดันสูงกระแสตรงโดยใช้โวลเตจดิไวเดอร์แบบ RC ซึ่งใช้ PSpice จาลองหาผลตอบสนอง v(t) ท่ีเวลา t > 0 เพื่อพิจารณาถึงแรงดันไฟฟ้าที่สะสมในตัวเก็บประจุหลังจากปลดแหล่งจ่ายไฟฟ้าแรงดันสูง กระแสตรงออกจากระบบวัดแรงดนั สูง Schematics ของระบบวดั ไฟฟา้ แรงดนั สูงกระแสตรงโดยใช้ RC ดไิ วเดอร์ แสดงดงั ภาพ 7.50 + Vo_dc - Vs 28 kVdc ภำพ 7.50 Schematics และผลการจาลองเหตกุ ารณข์ อง RC ดิไวเดอร์ กรณวี ดั ไฟฟา้ แรงดนั สงู กระแสตรง

36 กาหนดเง่ือนไขการจาลองเหตุการณ์ได้ ดังน้ี ใช้คาสั่ง Analysis/Simulate เลือก Transient กาหนด Print Step เป็น 0.05 ms, Final Step เปน็ 0.5 ms และ Step Ceiling เป็น 0.1 ms ทาการบนั ทกึ ภาพวงจร และจาลองเหตุการณ์ในวงจรหาผลตอบสนองของวงจรโดยใช้คาสั่ง Analysis/Simulate เลือก Trace/Add ให้แสดงผล V(C_HV: 1) ซ่ึงเป็นแรงดัน v(t) ท่ีตกคร่อมตัวเก็บประจุตามภาพ 7.50 พล็อตของ v(t) แสดงดัง ภาพ 7.51 ภำพ 7.51 ผลการวเิ คราะห์ทรานเซยี้ นท์ของวงจรตามภาพ 7.50 7.10 บทสรุป 1. การวิเคราะห์วงจรในบทนี้ทาได้โดยลดรูปวงจรให้เป็นวงจรสมมูลที่ประกอบด้วยตัวต้านทานและ อุปกรณ์เก็บพลังงานอีก 1 ตัว (ตัวเก็บประจุหรือตัวเหน่ียวนา) การวิเคราะห์วงจร RC และ RL โดยใช้กฎของ เคอร์ชอฟฟ์ทาให้ได้สมการเชงิ อนุพันธ์ออกมา ซึ่งเป็นสมการอันดบั ท่ีหน่ึง จึงเรียกวงจรแบบนวี้ า่ วงจรอันดับที่ หนง่ึ โดยผลตอบสนองของวงจรจะไดจ้ ากการแกส้ มการเหล่านี้ การวเิ คราะหว์ งจร RC และ RL ใน dc ตัวเกบ็ ประจจุ ะเปิดวงจร และตวั เหนย่ี วนาจะลัดวงจร 2. ผลตอบสนองทางธรรมชาติของวงจร หาได้เมอ่ื วงจรปราศจากแหล่งจ่าย โดยมสี มการทว่ั ไป คอื x(t)  x(t)et / เม่ือ x แทนแรงดันตกคร่อม (v) R สาหรับวงจร RC และแทนกระแสท่ีไหลผ่าน (i) R สาหรับวงจร RL ซงึ่ ผลตอบสนองทางธรรมชาตินีจ้ ะสลายหายไปเม่อื เวลาผา่ นไป โดยมีความสมั พันธก์ บั  3. คา่ คงที่ทางเวลา  เปน็ เวลาท่ีแสดงถึงผลการตอบสนองทล่ี ดค่าลงไปเหลือ 1/e ของคา่ เริม่ ต้น โดย ท่ี  = RC, L/R

37 4. ฟงั กช์ ันภาวะเอกฐาน ประกอบด้วย ฟงั กช์ ันขัน้ หนง่ึ หน่วย u(t)  10,, t0 t0 ฟงั ก์ชนั อมิ พัลสห์ นึง่ หนว่ ย  (t)  d u(t )  Unde0fi,ned, t0 dt  0, t0 t0 ฟงั กช์ นั แรมป์หน่ึงหน่วย r(t)  0t,, t0 t0 5. ผลการตอบสนองชั่วขณะเป็นส่วนประกอบของผลการตอบสนองสมบูรณ์ที่จะสลายหายไปตาม เวลา ส่วนผลการตอบสนองในสภาวะคงตัวเป็นพฤติกรรมของวงจรเมื่อถูกป้อนด้วยแหล่งจ่ายอิสระภายนอก เป็นเวลานาน 6. ผลการตอบสนองสมบูรณ์หรือผลการตอบสนองทั้งหมด ประกอบด้วยผลการตอบสนองชั่วขณะ และผลการตอบสนองในสภาวะคงตวั 7. ผลการตอบสนองต่อฟังก์ชันขั้น เป็นผลการตอบสนองของวงจรเม่ือป้อนแหล่งจา่ ยไฟฟ้าเข้าสู่วงจร dc อย่างทันทีทันใด การหาผลการตอบสนองจะต้องทราบค่าเร่ิมต้น x(0+) ค่าสุดท้าย x() และค่าคงที่ทาง เวลา  ผลการตอบสนองต่อฟังกช์ นั ขน้ั มสี มการทัว่ ไป คือ x(t)  x()  [ x(0 )  x()]et / อกี รปู แบบหน่งึ คือ x(t)  x()  [ x(t0 )  x()]e(tt0 ) / หรือ Instantaneous value  Final  [Initial - Final] e(tt0 ) / 8. การหาผลตอบสนองชั่วขณะของวงจร โดยใช้ PSpice ทาได้โดยวิธีการวิเคราะห์ทรานเซ้ียนต์ การกาหนดเวลาการปิด หรือเปิดวงจรของสวิตช์ในวงจร (อุปกรณ์ชื่อ Sw_tClose และ Sw_tOpen) สามารถ กาหนดได้ใน tClose = และ tOpen = ตามลาดับ 9. ตัวอย่างการประยุกต์ใช้วงจร RC และ RL ได้แก่ วงจรหน่วงสัญญาณ วงจรรีเลย์ และการใช้ RC ดิไวเดอร์สาหรับวดั ไฟฟ้าแรงดนั สงู กระแสตรง

38 7.11 แบบฝกึ หดั ทำ้ ยบท 7.1 หา vC, vx, io ทีเ่ วลา t > 0 โดยท่ี vC(0) = 30 V จากวงจรดงั ภาพ 7.52 io 8  12  6  VX 1 F VC  3  ภำพ 7.52 สาหรบั แบบฝึกหัดท้ายบทข้อที่ 7.1 ตอบ vC  30et /4 V v X  10e0.25t V i x   2.5e0.25t A 7.2 หา v(t) และ wc(0) ทเ่ี วลา t > 0 จากวงจรดงั ภาพ 7.53 6 t 0 1  6 24 V F V 12  4  ภำพ 7.53 สาหรบั แบบฝึกหัดทา้ ยบทข้อท่ี 7.2 ตอบ v(t)  8e2t V wC (0)  5.333 J 7.3 หา i, vx กาหนดให้ i(0) = 5 A จากวงจรดังภาพ 7.54 3 i  VX  1 H 1 5 6 2VX ภำพ 7.54 สาหรับแบบฝกึ หัดทา้ ยบทข้อที่ 7.3 ตอบ i(t)  5e53t A, t  0 VX  15e53t V, t  0

39 7.4 หา i(t) ท่เี วลา t > 0 จากวงจรดงั ภาพ 7.55 8 t 0 12  5 A i(t) 5  2H ภำพ 7.55 สาหรับแบบฝกึ หัดท้ายบทข้อท่ี 7.4 ตอบ i(t)  2e2t A, t  0 7.5 หา i, i0, v0 จากวงจรดังภาพ 7.56 3 t0 i 1H 6A io  4 2  VO  ภำพ 7.56 สาหรับแบบฝกึ หัดท้ายบทข้อท่ี 7.5 ตอบ i  4A, t  0 , io  2A, t  0 , 4e2t A, t  0  (4 / 3)e2t A, t  0 vo  8V, t0 (8 / 3)e2t V, t0 7.6 หา v(t) ท่ี t > 0 และ v(t) ที่ t = 0.5 s จากวงจรดงั ภาพ 7.57 2 t 0 6 10 V  1F 50 V V 3  ภำพ 7.57 สาหรับแบบฝึกหัดทา้ ยบทข้อที่ 7.6 ตอบ v(t)   5 15e2t V v(0.5)  0.518 V

40 7.7 หา i(t) และ v(t) ท่สี ภาวะคงตวั ไฟฟ้ากระแสตรงจากวงจรดงั ภาพ 7.58 5 i t 0 20u(-t) V  10  3A V 0.2 F  ภำพ 7.58 สาหรบั แบบฝึกหัดทา้ ยบทข้อที่ 7.7 ตอบ i  0A2,(1  e1.5t )A, t0 v  1200(V1, e1.5t )V, t0 t0 t0 7.8 หา i(t) ทเี่ วลา t > 0 จากวงจรดังภาพ 7.59 i 1.5 H 5  t 0 10  3 A ภำพ 7.59 สาหรับแบบฝึกหัดทา้ ยบทข้อท่ี 7.8 ตอบ i(t)  2  e10t A, t  0 7.9 หา i(t) ทเ่ี วลา t > 0 และ i(1), i(3) จากวงจรดงั ภาพ 7.60 S2 t 2 S1 10  t 0 20  i(t) 6 A 15  5H ภำพ 7.60 สาหรับแบบฝึกหัดทา้ ยบทข้อที่ 7.9 0A, t0 ตอบ i(t)  2(1  e9t )A, 0t2 3.6  1.6e5(t2) A, t  2 i(1)  1.999 A i(3)  3.589 A