أول ثانوي علمي 2018م

‫‪6 )6‬تقوم �شركة �سياحية بتقديم خدماتها لل�سياح على النحو ا آلتي‪ :‬أ�جرة ال�سيارة ‪10‬دنانير‬ ‫م�ضافا إ�ليها ‪ 5‬دنانير عن كل موقع أ�ثري يرغب ال�سائح بزيارته‪ ،‬و إ�ذا أ�راد ال�سائح دليلا‬ ‫�سياح ًّيا في�ستوجب عليه أ�ي�ض ًا دفع ‪ %20‬من مجمل التكاليف‪� ,‬أجب عن ك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫�أ ) أ�كمل الجدول الآتي‪:‬‬ ‫‪54321‬‬ ‫عدد المواقع الأثرية‬ ‫‪20 15‬‬ ‫التكلفة ع = ق(�س)‬ ‫التكلفة مع الدليل هـ(ع) ‪24‬‬ ‫ب ) اكتب قاعدة الاقتران (هـ ‪ o‬ق)(�س) ‪.‬‬ ‫‪7 )7‬يقدم محل تجاري كوبو ًنا مجان ًّيا بقيمة (‪ ) 20‬دينا ًرا‪ ،‬وخ�صم ‪ %20‬على �سعر ا ألجهزة‬ ‫الكهربائية‪� ،‬إذا �أراد �شخ�ص أ�ن ي�شتري ثلاجة بقيمة (�س) دينار‪� .‬أيهما أ�ف�ضل أ�ن يقدم ال�شخ�ص‬ ‫الكوبون أ�ولا ثم يح�صل على الخ�صم‪� ،‬أم �أن يح�صل على الخ�صم ثم يقدم الكوبون؟‬ ‫‪99‬‬

‫‪Inverse Function‬‬ ‫ﺛﺎﻟ ًﺜﺎ‪ :‬اﻻﻗﺘﺮان اﻟﻌﻜﺴﻲ‬ ‫�رتفعت درجة حر�رة طفل فقا�شت و�لدته درجة‬ ‫حر�رته ‪Ã‬يز�ن حر�رة فهرنهايتي ووجدت �أن حر�رته‬ ‫‪ º104‬فكيف تحول هذه �ل�شيدة درجة �لحر�رة من‬ ‫�لقيا�س فهرنهايت إ�لى قيا�س �شل�شيو�س؟ عل ًما باأن �لتحويل‬ ‫من �لقيا�س �شل�شيو�س إ�لى فهرنهايت يعطى بالقاعــدة‬ ‫‪9‬‬ ‫�س درجة �لحر�رة‬ ‫�س ‪ ،32 +‬حيث‬ ‫‪5‬‬ ‫ف(�س) =‬ ‫بال�شل�شيو�س‪ ،‬ف بالفهرنهايت‪.‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫يمثل �ل�شكل (‪ /33– 2‬أ� ) �لاقتر�ن ق‬ ‫و إ�ذ� عك�شت �تـجـاه �ل أا�ـشـهـم في‬ ‫�لمخطط �ل�شهمي في هذ� �ل�شكل‬ ‫فاإنك تح�شل على �لمخطط �ل�شهمي‬ ‫�ل�شكل (‪/33 -2‬ب)‬ ‫�ل�شكل (‪/33 -2‬ب)‬ ‫�ل�شكل (‪� /33 -2‬أ )‬ ‫نلاحظ أ� َّن �ل�شكل (‪/33 -2‬ب) يمثل �قتر�نا جدي ًد� هو ل وعند كتابة �لاقتر�نين ق ‪ ،‬ل‬ ‫كمجموعتين من �ل أازو�ج �لمرتبة ف إا َّن‪:‬‬ ‫ق = {(‪}) 8 ، 4( ، ) 5 ، 3 ( ، ) 7 ، 2 ( ، ) 6 ،1‬‬ ‫ل = {( ‪}) 4 ، 8 ( ) 2 ، 7 ( ، ) 1 ، 6 ( ، )3 ، 5‬‬ ‫وبمقارنة هاتين �لمجموعتين تلاحظ أ�ن كل زوج مرتب في ل‪ ،‬قد نتج عن إ�بد�ل م�شقطي زوج‬ ‫مرتب في ق وي�شمى �لاقتر�ن ل ( القتران الع‪ùµ‬س ‪ ) »s‬للاقتر�ن ق‪ ،‬ويرمز له بالرمز ق‪.1-‬‬ ‫‪100‬‬

‫? ‪?ßMÓJ GPÉe‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1-¥‬‬ ‫‪:óL‬‬ ‫‪¥‬‬ ‫�س �س‬ ‫يمثل �ل�شكل ( ‪ /34– 2‬أ� ) مجال ومد‪� i‬لاقتر�ن ق‬ ‫�س �س‬ ‫و�ذ� عك�شت �تجاه �ل أا�شهم في �ل�شكل‬ ‫( ‪� /34 - 2‬أ ) فاإ ّنك تح�شل على‬ ‫�لمخطط �ل�شهمي في �ل�شكل‬ ‫( ‪/34– 2‬ب )‬ ‫�ل�شكل (‪/34 -2‬ب)‬ ‫�ل�شكل (‪� /34 -2‬أ )‬ ‫ِإ� َّن هـذ� �لمخطط �ل�شهمي في �ل�شكل (‪ /34 – 2‬ب) لا يمثل �قتر�ن ًا‪ .‬لماذ�؟‬ ‫‪.á∏ãeÉC H ∂àHÉLEG ºYO ?GPÉŸh ,»ql °ùµY ¿l GÎbG ¬d ¿GÎbG πc πg‬‬ ‫تعريف‬ ‫ي�شمى �لاقتر�ن و�ح ًد� لو�حد �إذ� كان كل عن�شر في مد�ه هو �شور ًة لعن�شر و�حد فقط في مجاله‪،‬‬ ‫�أي �أ ّنه لكل �س‪� ≠1‬س‪ 2‬في مجال ق فاإن ق (�س‪ ≠ )1‬ق ( �س‪)2‬‬ ‫ويمكن تمييز �قتر�ن �لو�حد لو�حد با�شتخد�م �ختبار �لخط �لافقي‪.‬‬ ‫ا‪N‬تبا‪ Q‬الخ§ ال‪a‬ق»‬ ‫يكون �لاقتر�ن و�حد�ً لو�حد إ�ذ� كان �أي خط م�شتقيم مو� ٍز لمحور �ل�شينات يقطع منحنى‬ ‫�لاقتر�ن في نقطة و�حدة على �ل أاكثر‪.‬‬ ‫‪101‬‬

‫مثال (‪)٢‬‬ ‫أ�ي من �لاقتر�نات �لممثلة في �ل�شكل (‪ُ ) 35 - 2‬يع ُّد �قتر�ن و�حد لو�حد؟ مع ذكر �ل�شبب‪:‬‬ ‫م (�س) = ‪2‬‬ ‫هـ (�س) = �س‪2‬‬ ‫ق (�س) = ‪�3‬س‬ ‫‪¢U ¢U ¢U‬‬ ‫‪¢S ¢S ¢S‬‬ ‫)‪(`L) (Ü‬‬ ‫) ‪(GC‬‬ ‫�ل�شكل ( ‪.) 35 - 2‬‬ ‫الحل‬ ‫با�شتخد�م �ختبار �لخط �لاأفقي تجد �أ َّن‪:‬‬ ‫�ل�شكل ( �أ ) �لاقتر�ن ق �قتر�ن و�حد لو�حد‪ ،‬لاأ َّنه إ�ذ� ُر ِ�ش َم خط �أفقي �شيقطع منحنى �لاقتر�ن في‬ ‫نقطة و�حدة فقط‪.‬‬ ‫�ل�شكل (ب) �لاقتر�ن هـ لي�س �قتر�ن ًا و�حد�ً لو�حد‪ ،‬ل أا َّنه �إذ� ُر ِ�ش َم خط أ�فقي �شيقطع منحنى �لاقتر�ن‬ ‫في نقطتين‪.‬‬ ‫�ل�شكل (جـ) �لاقتر�ن م لي�س �قتر�ن ًا و�حد�ً لو�حد‪ ،‬ل أانه إ�ذ� ُر ِ�ش َم خط أ�فقي �شيقطع منحنى �لاقتر�ن‬ ‫‪a‬ي عدد لا ن¡ا‪F‬ي م‪ ø‬النقاط‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫�ذ� كان ق (�س) = ‪�2‬س‪.1+‬‬ ‫‪� )1‬ر�شم منحنى �لاقتر�ن ق‪.‬‬ ‫‪ )2‬ب ِّي ْن �إذ� كان �لاقتر�ن ق و�حد�ً لو�حد �أم لا‪.‬‬ ‫‪102‬‬

‫مثال (‪)3‬‬ ‫ليكن ق = {( ‪})16 ، 4 ( ، )9 ، 3 ( ، ) 4 ، 2 ( ، ) 1، 1‬‬ ‫جد ق‪ 1-‬كمجموعه �أزو�ج مرتبة‪ ،‬ثم جد‪:‬‬ ‫ق (‪ ، )2‬ق (‪ ، ) 3‬ق‪ ، ) 4( 1-‬ق‪ ( ، )9(1-‬ق ‪ o‬ق‪ ( ، )4()1-‬ق‪ o1-‬ق ) (‪)3‬‬ ‫الحل‬ ‫لاحظ �أ َّن �لاقتر�ن ق و�حد لو�حد‪.‬‬ ‫إ�ذن ق‪})4 ،16( ،)3 ،9( ،)2 ،4( ،)1 ،1({ =1-‬‬ ‫ق (‪ ، 4 = )2‬ق (‪9 = )3‬‬ ‫ق‪ ، 2 = )4( 1-‬ق‪3 = )9(1-‬‬ ‫( ق‪o‬ق‪ = )4( )1-‬ق (ق‪ = ) )4(1-‬ق (‪4= )2‬‬ ‫( ق‪ o1-‬ق ) (‪ = )3‬ق‪( 1-‬ق(‪ = ))3‬ق‪3= )9(1-‬‬ ‫لا بد أ� َّنك لاحظت في مثال (‪� )3‬أ َّن‪:‬‬ ‫( ق‪o‬ق‪ ( ، 4= )4( )1-‬ق‪ o1-‬ق ) (‪ ، 3= )3‬أ�ي �أ َّن‪:‬‬ ‫�شورة �لعن�شر بعد تركيب �لاقتر�ن و �لاقتر�ن �لعك�شي له م�شاوية للعن�شر نف�شه‪.‬‬ ‫و‪üH‬سو‪m Q‬ة عام ‪m‬ة‪� :‬إذ� كان ق �قتر� ًنا و�ح ًد� لو�حد وكان ق‪ 1-‬هو �لاقتر�ن �لعك�شي له فاإِ َّن‪:‬‬ ‫(ق ‪ o‬ق‪�( ) 1-‬س) =�س ‪ ( ،‬ق‪ o1-‬ق ) (�س) = �س وي�شمى �لاقتر�ن �لنا‪ œ‬عن تركيب‬ ‫�لاقتر�ن و�لاقتر�ن �لعك�شي له بالاقتر�ن �لمحايد ‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٢‬‬ ‫إ�ذ� كان هـ = { (‪ ،})6 ،3( ،)4 ،2( ،)2 ،1‬فاأجب ع ّما ياأتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬جد هـ‪ 1-‬كمجموعة أ�زو�ج مرتبة‪.‬‬ ‫‪ )2‬جد (هـ ‪o‬هـ‪( ، )2( )1-‬هـ‪ o1-‬هـ) (‪.)1‬‬ ‫‪103‬‬

‫مثال (‪)4‬‬ ‫إ�ذا كان الاقتران ق (�س)= ‪�3‬س – ‪1‬‬ ‫‪ ) 1‬ار�سم منحنى ق ثم ب ِّين �أ َّن ق اقتران واحد لواحد با�ستخدام اختبار الخط الافقي‪.‬‬ ‫‪ )2‬جد الاقتران العك�سي ق‪.1-‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫الحل‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ )1‬ال�شكل (‪ ) 36 -2‬يمثل منحنى الاقتران ق‬ ‫‪4‬‬ ‫وبا�ستخدام اختبار الخط الافقي يت�ضح �أ َّن‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ق هو اقتران واحد لواحد‪،‬‬ ‫‪4- 3- 2- 1- 0 1 2 3 4 ¢S‬‬ ‫لذا ف إ� َّنه يمكن إ�يجاد ق‪ 1-‬كالآتي‪:‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫الطريقة الاولى‪ :‬ن�ستخدم القاعدة‬ ‫(ق‪ o‬ق‪�( ) 1-‬س) = �س‬ ‫‪4-‬‬ ‫ق (ق‪�( 1-‬س) ) = �س‬ ‫‪6-‬‬ ‫‪3‬ق‪�( 1-‬س) ‪� = 1-‬س‬ ‫ال�شكل ( ‪.) 36 - 2‬‬ ‫‪3‬ق‪�( 1-‬س) = �س ‪1 +‬‬ ‫�س ‪1 +‬‬ ‫ق‪�( 1-‬س) =‬ ‫‪3‬‬ ‫الطريقة الثانية‪ :‬نكتب الاقتران على ال�صورة �ص = ‪�3‬س – ‪1‬‬ ‫ثم نجعل �س مو�ض ًعا للقانون كالآتي‪:‬‬ ‫�ص ‪�3 = 1 +‬س‬ ‫�ص ‪1 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س =‬ ‫‪1‬‬ ‫�س ‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫�س ‪+‬‬ ‫وعليه يكون ق‪�( 1-‬س) =‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪104‬‬

‫مثال (‪)٥‬‬ ‫�إن أ�مكن‬ ‫(�س)‬ ‫ق‪1-‬‬ ‫�س ‪ ،4+‬فجد �لاقتر�ن �لعك�شي‬ ‫‪1‬‬ ‫كان ق (�س) =‬ ‫�إذ�‬ ‫‪2‬‬ ‫الحل‬ ‫�لاقتر�ن ق (�س) و�حد لو�حد (لماذ�؟)‪� ،‬إذن يمكن إ�يجاد ق‪�( 1-‬س)‬ ‫(ق‪ o‬ق‪�( )1-‬س) = �س‬ ‫ق (ق‪�( 1-‬س) ) = �س‬ ‫(�لتعوي�س بقاعدة ق)‬ ‫‪� = 4‬س‬ ‫(�س) ‪+‬‬ ‫ق‪1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(تب�شيط �لمعادلة )‬ ‫‪2‬‬ ‫ق‪�( 1-‬س) = ‪� (2‬س ‪. ) 4-‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫جد �لاقتر�ن �لعك�شي ق‪�( 1-‬س) للاقتر�ن ق (�س) = ‪�2-5‬س ‪.‬‬ ‫مثال (‪)٦‬‬ ‫جد �لاقتر�ن �لعك�شي لكل من �لاقتر�نات �لممثلة في �ل�شكل (‪� )37 -2‬إن أ�مكن‪.‬‬ ‫هـ (�س) = ‪� –2‬س‪2‬‬ ‫ك (�س) = �س‪3‬‬ ‫ق (�س ) = �س‪1+ 2‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫ك(�س) ‪¢U‬‬ ‫ق(�س) ‪¢U‬‬ ‫‪)0،0( ¢S‬‬ ‫‪)1،0( ¢S‬‬ ‫(‪)2،0‬‬ ‫هـ(�س)‬ ‫‪¢S‬‬ ‫�ل�شكل ( ‪.) 37 - 2‬‬ ‫‪105‬‬

‫الحل‬ ‫با�شتخد�م �ختبار �لخط �لاأفقي تجد أ� َّن ك ًلا من �لاقتر�نين ق‪ ،‬هـ لي�س و�حد�ً لو�حد وبالتالي لا‬ ‫يمكن �إيجاد �لاقتر�ن �لعك�شي له ‪.‬‬ ‫أ�ما �لاقتر�ن ك(�س) = �س‪ 3‬فاإ ّنه �قتر�ن و�حد لو�حد‪ ،‬وبالتالي يمكن �إيجاد �لاقتر�ن �لعك�شي له‬ ‫ك‪�(1-‬س) كما ي أاتي‪:‬‬ ‫( ك‪ o‬ك‪�( ) 1-‬س) = �س‬ ‫ك(ك‪�( 1-‬س) ) = �س‬ ‫( ك‪�( 1-‬س) )‪� = 3‬س‬ ‫ك‪�( 1-‬س) = ‪� 3‬س‬ ‫تﺪريﺐ (‪)4‬‬ ‫ِإ�ذ� كان ق(�س) = �س‪ ، 2 - 3‬فجد ق‪�(1-‬س) إ�ن �أمكن‪.‬‬ ‫‪106‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪�1 )1‬إذا كان ق‪ 1-‬هو الاقتران العك�سي للاقتران ق َفجد‪:‬‬ ‫أ� ) (ق ‪ o‬ق‪)4( )1-‬‬ ‫ب) (ق‪ o1-‬ق ) (‪)3-‬‬ ‫جـ ) ق‪ )2(1-‬اذا كان ق(‪2 = )3‬‬ ‫‪2 )2‬جد قاعدة ق‪�( 1-‬س) لكل من الاقترانات لاآتية‪:‬‬ ‫�أ ) ق(�س) = {(‪})3 ،2( ،)2 ،1( ،)1 ،0( ،)0 ،1-( ،) 2- ،3-‬‬ ‫ب) ق(�س) = �س ‪7 +‬‬ ‫جـ ) ق(�س) = ‪� 2 - 6‬س‬ ‫د ) ق(�س) = �أ�س ‪ +‬ب ‪ ،‬أ� ≠ �صفر‬ ‫للاقتران‬ ‫العك�سي‬ ‫الاقتران‬ ‫هو‬ ‫‪�3‬س – ‪4‬‬ ‫=‬ ‫كان ق(�س)‬ ‫إ�ذا‬ ‫ما‬ ‫‪3‬ب ِّي ْن في‬ ‫‪)3‬‬ ‫�س ‪4 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫هـ(�س)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� ) 4‬إذا كان حجم مج�سم بدلالة طول ال�ضلع هو ح= (�س‪3)1+‬حيث �س طول ال�ضلع فجد طول‬ ‫ال�ضلع بدلالة الحجم ح‪.‬‬ ‫‪ ) 5‬جد قاعدة الاقتران الخطي ق الذي يمر بالنقطتين (‪ )3-،3-( ،)0،1-‬ثم جد الاقتران‬ ‫العك�سي ق‪ 1-‬له‪.‬‬ ‫‪ ،‬فجد‪:‬‬ ‫‪� - 1‬س‬ ‫هـ(�س) =‬ ‫‪،‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = ‪�2‬س – ‪5‬‬ ‫‪) 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�أ ) (ق‪o‬هـ)‪�(1-‬س)‬ ‫ب) (ق‪ o1-‬هـ‪�( )1-‬س) ‪.‬‬ ‫‪ُ )7‬ح َّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪107‬‬

‫أﺳﺌﻠﺔ اﻟﻮﺣﺪة‬ :¿Éc GPGE (1 1 > ¢S , 1+2¢S 3>¢S ≥1 , ]¢S] = (¢S)¥ 3 ≤ ¢S , |3-¢S2| .(5)¥ , (3)¥ , (2^1)¥ , (2-)¥ :øe πc ᪫b óL .á≤∏£ªdG ᪫≤dG õeQ áHÉàc ¿hO |¢S| - 2¢S = (¢S)¥ ¿Gôàb’G ∞jô©J óYCG (2 4+¢S4+2¢S = (¢S)¥ ¿Gôàb’G ≈æëæe º°SQG (3 :á«JB’G äÉfGôàb’G øe πc ∞jô©J óYCG (4 |4 + ¢S2| = (¢S)¥ ( GC ] 7 , 1-] ¢S , ¢S + ] 2 – ¢S 1 ] = (¢S)¥ (Ü 3 ] 2 , 2-] ¢S , ] ¢S ] |1 +¢S| = (¢S)¥ (`L 1≥¢S , 3+¢S2-2¢S = (¢S)¥ ( O 2 >¢S>1 , ]1+¢S] 2≤ ¢S , |6-¢S| :á«JB’G ä’OÉ©ªdG øe πc πM áYƒªée óL (5 6 = |6 + ¢S 5 -2¢S| (Ü 5 = |2 - ¢S| ( CG ] ]1- = 1 - ¢S (O 0 = 6 - |¢S| - 2¢S (`L 2 0^3- = 5^7 + ]4 - ¢S] ( h π = ]2 + ¢S5] (`g 108

‫‪ )6‬جد مجموعة حل كل من �لمتباينات �ل آاتية‪:‬‬ ‫�أ ) |‪�3‬س‪8 <|1 +‬‬ ‫ب) |‪�5- 4‬س| ≥ ‪1‬‬ ‫‪� )7‬ر�شم منحنى كل من �لاقتر�نات �لاآتية‪ ،‬حيث �س [‪: ] 2 ، 2-‬‬ ‫�أ ) ق(�س) = |‪� -1‬س| ‪3 +‬‬ ‫ب) هـ(�س) = �س[�س‪]1+‬‬ ‫|�س ‪|2 -‬‬ ‫ع(�س) =‬ ‫جـ )‬ ‫�س ‪2 -‬‬ ‫‪ )8‬حدد مجال كل من �لاقتر�نات �لاآتية‪:‬‬ ‫�س‪3 + 2‬‬ ‫ب) ل(�س) =‬ ‫�س‪�7 - 2‬س ‪10 +‬‬ ‫أ� ) ق(�س) =‬ ‫‪� – 4‬س‪2‬‬ ‫�س ‪5 -‬‬ ‫د ) ك(�س) = ‪� 2‬س‪1 + 3‬‬ ‫‪�3‬س ‪1 +‬‬ ‫جـ) هـ (�س) =‬ ‫�س‪� - 3‬س‬ ‫و ) م(�س) = (�س ‪2)1 +‬‬ ‫‪� + 2-‬س‬ ‫=‬ ‫ع(�س)‬ ‫هـ )‬ ‫�س‪4 + 2‬‬ ‫ز ) د(�س) = �س‪3‬‬ ‫‪ )9‬جد (ق‪o‬هـ)(�س) في كل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫أ� ) ق(�س) = ‪�2‬س ‪ ، 5 +‬هـ (�س) = �س‪3‬‬ ‫ب) ق(�س) = �س ‪ ، 4 +‬هـ (�س) = �س‪1+ 2‬‬ ‫‪109‬‬

:óLho ¿GE á«J’B G äÉfGôàb’G øe πµd »°ùµ©dG ¿Gôàb’G óL (10 3¢S2 +1 = (¢S) `g (Ü 7 + ¢S5 = (¢S)¥ ( GC 1 - ¢S 3 = (¢S)´ (`L ɪe Óv co óéa |1-¢S| = (¢S)Ω , 3( ¢S – 2) = (¢S)`g , ¢S6+ 4 = (¢S)¥ ¿Éc GPGE (11 (¢S) (¥oΩ) (Ü :»JÉC j (¢S) (1-¥o`g) ( O (¢S) (`go¥) ( GC (1-) (Ωo`go¥) ( h (¢S)1-`g (`L (¢S) (1-`go`g) (`g QÉæjO ∞°üf ≈dG áaÉ°VE’ÉH Ωƒ«dG »a ô«fÉfO 8 √QGó≤e ôLÉC H ¢ùHÓe ™æ°üe »a ódÉN πª©j (12 :Ωƒ«dG »a èàæJ á©£b πc øY .ódÉN IôLGC πãªj …òdG ¿Gôàb’G ÖàcG ( GC .øµeCG ¿EG ¿Gôàb’G ò¡d »°ùµ©dG ¿Gôàb’G óL (Ü ,πFGóH á©HQGC Iô≤a πµdh ,Oó©àe øe QÉ«àN’G ´ƒf øe äGô≤a ™°ùJ øe ∫GƒD °ùdG Gòg ¿ƒµàj (13 :í«ë°üdG πjóÑdG õeQ ∫ƒM IôFGO ™°V ,í«ë°U §≤a É¡æe óMGh :ƒg 6 - ¢S2 = (¢S)¥ ¿Gôàb’G ∫Éée (1) 1 + ¢S (∞,1-) (Ü (∞,3] ( GC {1-}- ]3 , ∞-) ( O ]3 , ∞-) (`L 2 >¢S , |1+¢S2| =(¢S)¥ ¿Éc GPGE (2) = (3-)¥ ¿s EÉa , 2 ≤ ¢S , ]4+¢S 0^5] 5 (O 3 (`L 2 (Ü 1 ( CG 110

‫(‪ )3‬مجموعة حل �لمعادلة [‪�0٫5‬س]‪0 = 3-‬‬ ‫د) (‪]8،6‬‬ ‫جـ) [‪)8،6‬‬ ‫أ� ) (‪ ]4،3‬ب) [‪]4،3‬‬ ‫د) [‪]5،5-‬‬ ‫(‪ )4‬مجموعة حل �لمتباينة |‪�2‬س‪ 5≤|1-‬ت�شاوي‪:‬‬ ‫جـ) [‪]2،3-‬‬ ‫�أ ) [‪ ]3،2‬ب) [‪]3،2-‬‬ ‫(‪ )5‬أ� َح ُد �لاقتر�نات �لاآتية هو �قتر�ن و�حد لو�حد‪:‬‬ ‫ب) هـ(�س) =|�س‪|1+‬‬ ‫أ� ) ق(�س) = [�س]‬ ‫د ) ل(�س) = �س‪2‬‬ ‫جـ) ك (�س) = �س‪1-‬‬ ‫هـ(�س)= ‪�4‬س‪ ، 5-‬ف إا َّن (هـ‪o‬ق) (‪= )1-‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‪3‬‬ ‫(‪ )6‬إ�ذ� كان ق(�س) =‬ ‫�س‪+ 2‬‬ ‫جـ)‪ 3-‬د) ‪3‬‬ ‫أ� ) ‪ 9-‬ب) ‪7-‬‬ ‫(‪ *)7‬إ�ذ� كان هـ(�س) = �س ‪ ، 1 -‬ق(�س) = (�س ‪ ،2)3 +‬فاإن ق(هـ(�س)) ت�شاوي‪:‬‬ ‫ب) (�س ‪1 - 2) 2 +‬‬ ‫�أ ) (�س ‪�( )1 -‬س ‪2)3 +‬‬ ‫د ) �س‪8 + 2‬‬ ‫جـ) (�س ‪2)2 +‬‬ ‫(‪ )8‬إ�ذ� كان ق(�س) = ‪�2‬س ‪ ، 3 +‬هـ(�س) = �س‪1- 2‬‬ ‫فاإن (ق‪o‬هـ)(�س) ي�شاوي ‪:‬‬ ‫ب) ‪�2‬س‪2 + 2‬‬ ‫أ� ) ‪�2‬س‪3 + 2‬‬ ‫د ) ‪�4‬س‪�12 + 2‬س ‪8 +‬‬ ‫جـ) ‪�2‬س‪1 + 2‬‬ ‫(‪� )9‬ذ� كان ق(�س) = ‪�3-2‬س ‪ ،‬ف إا َّن ق‪�(1-‬س) =‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫ب)‬ ‫�س ‪2 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫�أ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س ‪2 +‬‬ ‫د)‬ ‫‪� - 2‬س‬ ‫جـ)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫* من �أ�شئلة �لاختبار�ت �لدولية‪.‬‬ ‫‪111‬‬

‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎت و اﻟﻤﺘﺴﻠﺴﻼت‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ واﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫تعد ال أانماط من الفروع المهمة في الريا�سيات وهي كثيرة ومتنوعة‪ ،‬وقد �سبق لك تع ‪t‬ر‪±‬‬ ‫اأنواع منها مثل الهند�سية والعددية‪ .‬إان اهتمام الريا�سيين بال أانماط أادى اإلى توظيفها في تطبيقات‬ ‫عملية في مجالات مختلفة مثل الاقت�ساد والفيزياء والهند�سة وغيرها من العلوم‪.‬‬ ‫�ستتعر‪ ±‬في هذه الوحدة نو ًعا خا ًّ�سا من الاأنماط ُي�سمى المتتاليات والمت�سل�سلات‪ ،‬وتتعر‪±‬‬ ‫طرائق محددة للتعامل مع حدود ومجاميع المتتاليات والمت�سل�سلات الح�سابية والهند�سية‪،‬‬ ‫وتتعر‪ ±‬كذلك على �سلتها بموا�سيع اأخرى في الريا�سيات وتطبيقاتها في الحياة اليومية والعلوم‬ ‫الاأخرى‪.‬‬

‫‪Arithmetic and Geometric‬‬ ‫‪Sequences and Series‬‬ ‫‪ øe ™bƒàj‬ال‪É£‬ل‪QO ó©H Ö‬ا‪ √òg á°S‬ال‪ IóMƒ‬ا‪QOÉb ¿ƒµj ¿C‬ا ‪:≈∏Y‬‬ ‫‪ ‬تمييز المتتاليات الح�سابية والهند�سية‪.‬‬ ‫‪ ‬تحديد خ�سائ�ض المتتاليات الح�سابية والهند�سية‪.‬‬ ‫‪ ‬كتابة حدود متتالية ُع ِل َم حدها العام‪.‬‬ ‫‪ ‬اإيجاد الحد العام لمتتالية‪ ،‬إاذا ُعلمت بع�ض حدودها‪.‬‬ ‫‪ ‬اإيجاد مجموع مت�سل�سلة ح�سابية اأو هند�سية منتهية‪.‬‬ ‫‪ ‬اإيجاد مجموع مت�سل�سلة هند�سية غير منتهية‪.‬‬ ‫‪ ‬تو�سيح العلاقة بين المتتالية الح�سابية والربح الب�سيط والنمو الخطي‪.‬‬ ‫‪ ‬تحديد العلاقة بين المت�سل�سلات الهند�سية والنمو الهند�سي‪.‬‬ ‫‪ ‬حل م�سائل في مواقف حياتية و َن ْم َذ َج ِتها‪.‬‬

‫ﺍﻟمﺘﺘاﻟﻴاﺕ و ﺍﻟمﺘسﻠسﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷوﻝ‬ ‫‪Sequences and Series‬‬ ‫• تتعر‪ ±‬المت�سل�سة‪ ،‬وتميز المنتهية وغير المنتهية منها‪.‬‬ ‫ال‪äÉLÉàæ‬‬ ‫• تكتب مت�سل�سلة ُع ِلم حدها العام‪.‬‬ ‫• تتعر‪ ±‬المتتالية‪.‬‬ ‫• تحل م�سائل في مواقف حياتية با�ستخدام المت�سل�سلات‪.‬‬ ‫• تميز المتتاليات المنتهية وغير المنتهية‪.‬‬ ‫• تجد الحد العام لمتتالية ُع ِل َمت بع�ُض حدودها‪.‬‬ ‫‪Sequence‬‬ ‫أو ًﻻ‪ :‬اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ال�سكل (‪.)1-3‬‬ ‫اأقيمت مباريات كاأ�ض العالم لكرة القدم في القرن‬ ‫الحادي والع�سرين في ال�سنوات‪،2006 ،2002 :‬‬ ‫‪ .2014 ،2010‬إاذا ا�ستمر اإقامة المباريات بهذا‬ ‫الترتيب متى �ستقام المباريات في المرة الثامنة من‬ ‫هذا القرن ؟ هل يمكنك التو�سل إالى قاعدة تجد من‬ ‫خلالها ال�سنوات التي �ستقام فيها هذه المباريات في‬ ‫هذا القرن؟‬ ‫تواجهنا في كثير من ال أاحوال تمعات من ال أاعداد نهتم بترتيبها على النحو الاآتي‪ :‬عن�صر اأول‪،‬‬ ‫عن�صر ثان‪ ،‬عن�صر ثالث‪“ ... ،‬يي ًزا لها عن التجمعات الاأخرى من ال أاعداد التي لاقيمة للترتيب بين‬ ‫عنا�صرها‪.‬‬ ‫تاأمل الترتيب الاآتي لل أاعداد‪... ، 16 ،12 ،8 ،4 :‬‬ ‫اعتما ًدا على هذا الترتيب‪ ،‬ما العدد ال�ساد�ض؟ ما العدد العا�صر؟‬ ‫إاذا “عنت في ترتيب هذه ال أاعداد تد أا جّن العدد ال�ساد�ض = ‪24‬والعدد العا�صر ‪ .40‬وتلاحظ اأ ّجن‬ ‫قيمة العدد ت�سير وفق قاعدة معينة هي‪ :‬العدد = ‪ × 4‬ترتيب العدد‬ ‫ي�سمى ترتيب الاأعداد بال�سورة ‪Éààe ... ،16 ،12 ،8 ،4‬ل«‪ á‬وي�سمى كل عدد منها حداً ويرمز‬ ‫لحدود المتتالية بالرموز‪ . ... ،3ì ،2ì ،1ì‬حيث ح‪ :1‬الحد الاأول‪ ،‬ح ‪ :2‬الحد ا‪،ÊÉãd‬ح‪ :3‬الحد‬ ‫الثالث‪ ،‬وهكذا ‪.‬‬ ‫‪114‬‬

‫في كثير من الحالات تتوالى حدود المتتالية بانتظام اأي تكون هذه الحدود وفق نمط معين أاو اقتران‬ ‫معين بحيث ن�ستطيع معرفة اأي حد في المتتالية اإذا ُعر‪ ±‬ترتيبه‪ .‬لاحظ اأن المتتالية ال�سابقة هي‬ ‫م�ساعفات للعدد ‪ 4‬واأن‪:‬‬ ‫ح‪4 = 1 × 4 = 1‬‬ ‫ح‪8 = 2 × 4 = 2‬‬ ‫ح‪،12 = 3 × 4 = 3‬‬ ‫وهكذا ‪....‬‬ ‫‪∞jô©J‬‬ ‫المتتالية اقتران مجاله مجموعة الاأعداد ال�سحيحة الموجبة (في هذه الحالة ت�سمى متتالية غير منتهية) أاو‬ ‫مجاله مجموعة جزئية من مجموعة الاأعداد ال�سحيحة الموجبة على ال�سورة {‪ ،... ، 3 ، 2 ، 1‬ن}‬ ‫وفي هذه الحالة ت�سمى متتالية منتهية‪ ،‬ومداه مجموعة جزئية من ال أاعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫‪ ،‬حيث (ن عدد �سحيح موجب) متتالية يمكن كتابتها على ال�سورة‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فمثل ًا الاقتران ‪(¥‬ن) =‬ ‫ن‬ ‫‪ ... ،)4(¥ ،)3(¥ ،)2(¥ ،)1(¥‬أاي على ال�سورة‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.... ،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،1 ،2‬‬ ‫الح‪ ó‬ال©‪ ΩÉ‬ل∏‪Éààª‬ل«‪á‬‬ ‫ُي�سمى الحد الذي رتبته ن الحد النوني اأو الحد العام في المتتالية ويرمز له بالرمز ‪ ¿ì‬و‪Éb ƒg‬عد‪ I‬ع‪É‬مة‬ ‫يمكن منها اإيجاد كل حد من حدود المتتالية‪.‬‬ ‫مﺜاﻝ )‪(١‬‬ ‫جد الحد العام ( النوني ) لكل متتالية ‡ا ي أاتي‪:‬‬ ‫‪...، 10 ، 7 ، 4 ، 1)1‬‬ ‫‪� )2‬سفر ‪... ، 15 ، 8 ، 3 ،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،1،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫�سفر‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪- )3‬‬ ‫‪115‬‬

‫الحل‬ ‫‪ )1‬ح‪1 = 1‬‬ ‫ح‪4 = 2‬‬ ‫ح‪7 = 3‬‬ ‫ح‪10= 4‬‬ ‫تلاحظ �أن كل حد يزيد عن الحد ال�سابق له بمقدار ثلاثة‪ ،‬فيكون ح ن = ‪ ( 3 + 1‬ن– ‪)1‬‬ ‫عو�ض بع�ض عنا�صر المجال للت أ�كد من �صحة القاعدة‪.‬‬ ‫‪ )2‬ح‪0 = 1‬‬ ‫ح‪3 = 2‬‬ ‫ح‪8 = 3‬‬ ‫ح‪15 = 4‬‬ ‫تلاحظ �أن كل حد ينق�ص واح ًدا عن مربع ترتيبه‪ ،‬فيكون ح ن = ن‪.1 –2‬‬ ‫ع ِّو�ض بع�ض عنا�صر المجال للت�أكد من �صحة القاعدة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ح‪- = 1‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫ح‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫ح‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫ح‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫ح‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لاحظ أ�ن المتتالية منتهية و�أنه يمكن الح�صول عل كل حد بق�سمة ترتيبه على‪ 2‬ثم طرح ‪ 1‬من ناتج‬ ‫ن‬ ‫الق�سمة‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫�إذن ح ن =‬ ‫‪116‬‬

‫تﺪريﺐ )‪(١‬‬ ‫جد الحد النوني ( العام) لكل من المتتاليات ال آاتية‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪... ،‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،1‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪.... ، 14 ، 11 ، 8 ، 5 )2‬‬ ‫‪¢ûbÉfh ôµq a‬‬ ‫هل من ال�سروري اأن يكون لكل متتالية ح جّد عا جّم؟ حاول أان تجد ح ًّدا عا ًّما لمتتالية‬ ‫الاأعداد الاأولية‪... ، 11 ،7 ، 5 ، 3 ، 2 :‬‬ ‫مﺜاﻝ )‪(٢‬‬ ‫جد الحدود الاأربعة الاأولى لكل من المتتاليات ال آاتية‪:‬‬ ‫(‪)1-‬ن‬ ‫‪2‬ن‬ ‫=‬ ‫حن‬ ‫العام‬ ‫حدها‬ ‫متتالية‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪ )2‬متتالية حدها العام حن = جتا (‪ ×⁰90‬ن)‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫(‪2)1-‬‬ ‫‪ ،‬ح‪= 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪-‬‬ ‫(‪1)1-‬‬ ‫الحل‬ ‫‪4‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ )1‬ح‪= 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫(‪4)1-‬‬ ‫=‬ ‫ح‪4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪-‬‬ ‫(‪3)1-‬‬ ‫=‬ ‫ح‪3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪ )2‬ح‪ = 1‬جتا ‪� = ⁰90‬سفر ‪ ،‬ح‪ = 2‬جتا‪1 - = ⁰180‬‬ ‫ح‪ = 3‬جتا ‪� = ⁰270‬سفر ‪ ،‬ح‪ = 4‬جتا ‪1 = ⁰360‬‬ ‫تﺪريﺐ )‪(٢‬‬ ‫جد الحدود ال أاربعة الاأولى لك ٍّل من المتتاليات التي حدها العام كما ي أاتي‪:‬‬ ‫ن‬ ‫‪ )2‬ح ن = ‪2 – 1‬ن‬ ‫‪1‬‬ ‫ن‪+‬‬ ‫‪)1‬ح ن =‬ ‫‪117‬‬

‫‪¢ûbÉfh ôµq a‬‬ ‫تتكون المتتالية من حدود وتتكون المجموعة من عنا�سر‪ .‬ما الفر‪ ¥‬بين المتتالية والمجموعة؟‬ ‫مﺜاﻝ )‪(٣‬‬ ‫اكتب المتتالية التي حدها العام حن حيث‪:‬‬ ‫إاذا كانت ن عد ًدا فرد ًّيا ≥ ‪5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حن =‬ ‫اإذا كانت ن عد ًدا زوج ًّيا ≥ ‪6‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ن‪2‬‬ ‫ن ‪1-‬‬ ‫الحل‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫ح‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ ،‬ح‪1 = 1- 2 = 2‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫ح‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ،‬ح‪5 = 1- 6 = 6‬‬ ‫‪25‬‬ ‫=‬ ‫‪25‬‬ ‫=‬ ‫ح‪5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ح‪3 = 1- 4 = 4‬‬ ‫‪.5،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المتتالية هي‪، 1 ، 1 :‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪º∏q ©J‬‬ ‫مﺜاﻝ )‪(٤‬‬ ‫المتتالـية التي جميـع حدودهـا‬ ‫اكتب الحد العام للمتتالية ‪.... ، 6 ، 6 ، 6 ، 6‬‬ ‫مت�ساوية ت�سمى متتالية ثابتة‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫حن = ‪6‬‬ ‫تﺪريﺐ )‪(٣‬‬ ‫اكتب المتتالية التي حدها العام حن حيث‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ،‬إاذا كانت ن عد ًدا فرد ًّيا ≥ ‪5‬‬ ‫ن‬ ‫حن =‬ ‫‪ ،‬إاذا كانت ن عد ًدا زوج ًّيا ≥ ‪6‬‬ ‫ن ‪1-‬‬ ‫هل المتتالية منتهية أام غير منتهية؟‬ ‫‪118‬‬

‫نشاط‬ ‫نبات دوار ال�شم�س‪ :‬ت�شكل بذور نبات دوار ال�شم�س نمطين لخطوط حلزونية ي�سير أ�حدهما‬ ‫باتجاه عقارب ال�ساعة و ي�سير الآخر بعك�س ا ّجتاه عقارب ال�ساعة‪.‬‬ ‫عدد الخطوط الحلزونية بالاتجاهين ُي�ش ِّكل حدين متتاليين من متتالية فيبونات�شي‪ ،‬في ال�شكل‬ ‫(‪ )3-3‬عدد الخطوط بعك�س ا جّتاه عقارب ال�ساعة ‪ 21‬ومع عقارب ال�ساعة ‪ ،34‬وفي‬ ‫نباتات أ�خرى يكونان ‪ 55 ،34‬أ�و ‪ .144 ، 89‬ابحث في الانترنت عن نباتات �أخرى غير‬ ‫دوار ال�شم�س تتبع هذا النمط‪ ،‬واكتب تقري ًرا واقر أ�ه أ�مام زملائك‪.‬‬ ‫ال�شكل (‪.)3-3‬‬ ‫‪119‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ ) 1‬اكتب الحد العام لك ٍّل من المتتاليات الآتية‪:‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫أ�‬ ‫‪81‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ب) ‪... ، 1 ، 1- ، 1 ، 1-‬‬ ‫جـ) ‪... ، 3 ، 3 ، 3 ، 3‬‬ ‫‪ )2‬اكتب الحدود الثلاثة الأولى لكل من المتتاليات الآتية واذكر في ما �إذا كانت منتهية �أم غير‬ ‫منتهية‪:‬‬ ‫أ� ) حن = ‪ 3‬ن ‪1 +‬‬ ‫ن‪1-‬‬ ‫حن=‬ ‫ب)‬ ‫ن‪3+‬‬ ‫{‪) (}4 ، 3 ، 2 ، 1‬‬ ‫ن‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ) حن=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،‬ن‬ ‫‪� ) 3‬أجب عن الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫ال�شكل (‪.)2-3‬‬ ‫‪ُ ) 4‬ر ِ�ص َد مذنب هالي من الأر�ض للمرة الأولى‬ ‫في عام ‪1758‬م‪ُ ،‬ر ِ�ص َد للمرة الثانية عام‬ ‫‪1834‬م‪ ،‬وللمرة الثالثة عام ‪1910‬م‪.‬‬ ‫اكتب الحدود ال�ستة الأولى من متتالية‬ ‫�سنوات ر�صد مذنب هالي‪.‬‬ ‫‪ ) 5‬عا�ش فيبونات�شي في الفترة ( ‪1175‬م – ‪1250‬م)‪ ،‬وقد تو�صل في درا�سته �إلى المتتالية الآتية‬ ‫التي عرفت في ما بعد با�سمه‪:‬ح‪ = 1‬ح‪ ، 1 = 2‬حن‪ = 2+‬حن ‪ +‬حن‪ 1+‬اكتب الحدود الع�شرة‬ ‫الأولى منها‪.‬‬ ‫‪120‬‬

‫‪Series‬‬ ‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‪ :‬اﻟﻤﺘﺴﻠﺴﻠﺔ‬ ‫تقوم بع�ض المحلات التجارية بعر�ض ب�ساعتها ب أا�سكال مختلفة‪ .‬في ال�سكل (‪ )4-3‬مجموعة‬ ‫من عبوات الع�سير مرتبة فو‪ ¥‬بع�سها‪ .‬يمكن التعبير عن أاعداد العبوات في ال�سفو‪ ±‬بالمتتالية‪:‬‬ ‫‪12 ،10 ،8 ،6 ،4 ،2‬التي حدها العام حن = ‪2‬ن‬ ‫ال�سكل (‪.)4-3‬‬ ‫مجموع حدود المتتالية ‪:ƒg 12 ،10 ،8 ،6 ،4 ،2‬‬ ‫‪12+10 + 8 + 6 + 4 + 2‬‬ ‫وهذا ال�سكل ُي�سمى ‪ .á∏°ù∏°ùàe‬وا�سح أانك ح�سلت على هذه المت�سل�سلة بو�سع اإ�سارات جمع بين‬ ‫حدود هذه المتتالية ‪.‬‬ ‫لكتابة المجموع ال�سابق بطريقة مخت�صرة ا�ستخدم الريا�سيون الرمز ( ويقراأ �سيجما)‪ ،‬تكتب‬ ‫‪6‬‬ ‫المت�سل�سلة على ال�سورة‪:‬‬ ‫‪2‬ن‬ ‫ن= ‪1‬‬ ‫و ُيقر أا مجموع الاأعداد التي على ال�سورة ‪2‬ن من ن= ‪ 1‬إالى ن=‪ .6‬لاحظ اأن المت¨ير داخل رمز‬ ‫المجموع ن ومن الممكن ا�ستبداله باأي حر‪ ±‬اآخر مثل ي‪ ،‬ك‪ ،‬هـ‪ ...،‬ال‪ .ï‬ي�سمى الحر‪ ±‬الذي‬ ‫أا�سفل الرمزبالدليل وياأخذ أاعدا ًدا �سحيحة موجبة فقط‪ .‬لتجد قيمة اأي تعبير ُكتب با�ستخدام رمز‬ ‫المجموع‪ ،‬ع ِّو�ْض عن التعبير الذي داخل الرمز بال أاعداد ال�سحيحة الموجبة جميعها ابتدا ًء من‬ ‫العدد الذي يقع أا�سفل الرمز إالى العدد الذي يقع اأعلاه ‪.‬‬ ‫‪121‬‬

‫‪∞jô©J‬‬ ‫ف إان‪:‬‬ ‫متتالية‬ ‫ن‬ ‫ح‬ ‫‪،‬‬ ‫‪...‬‬ ‫ح‪،4‬‬ ‫ح‪،3‬‬ ‫ح‪،2‬‬ ‫ح‪،1‬‬ ‫كانت‬ ‫إاذا‬ ‫ن‬ ‫حر= ح‪ +1‬ح‪ +2‬ح‪ +3‬ح‪ + ... + 4‬ح ن ‪ ،‬ت�سمى المت�سل�سلة المرتبطة بهذه المتتالية‪.‬‬ ‫ر= ‪1‬‬ ‫اإذا كانت المتتالية منتهية ف إا َّن المت�سل�سلة المرتبطة بها منتهية‪ ،‬و إاذا كانت المتتالية غير منتهية فاإ َّن‬ ‫المت�سل�سلة المرتبطة بها غير منتهية‪.‬‬ ‫ن‬ ‫ُي�ستخدم الرمز جـن = ح ر ليدل على مجموع أاول ن حدا من حدود المتتالية‪ .‬لاحظ اأن‬ ‫حن = جـ ن‪ -‬جـ ن‪ 1-‬ر= ‪1‬‬ ‫مﺜاﻝ )‪(١‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اكتب المت�سل�سلة ( ‪ 5‬ن – ‪ )2‬دون ا�ستخدام رمز المجموع‪.‬‬ ‫الحل ر= ‪1‬‬ ‫ح‪3 = 2–1×5 =1‬‬ ‫ح‪8 = 2–2×5 = 2‬‬ ‫ح‪13 = 2–3×5 = 3‬‬ ‫ح‪18 =2 –4×5 = 4‬‬ ‫فالمت�سل�سلة هي‪18 + 13 + 8 + 3 :‬‬ ‫مﺜاﻝ )‪(٢‬‬ ‫ا�ستخدم الرمز للتعبير عن المت�سل�سلة المرتبطة بالمتتالية‪:‬‬ ‫‪.....‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪،1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الحل‬ ‫ن‪2‬‬ ‫الحد العام حن =‬ ‫‪122‬‬

‫‪.....‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪+ 1‬‬ ‫∞‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ن= ‪ 1‬ن‪2‬‬ ‫ا�س ُتخدم الرمز ∞ ( مالانهاية) ليدل على أان المت�سل�سلة غير منتهية‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ )‪(١‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ )1‬اكتب المت�سل�سلة … ( … ‪ )1 -‬دون ا�ستخدام رمز المجموع ‪.‬‬ ‫… =‪1‬‬ ‫‪ )2‬اكتب المت�سل�سلة ‪ ... + 64 + 27 + 8 + 1‬با�ستخدام رمز المجموع ‪.‬‬ ‫مﺜاﻝ )‪(٣‬‬ ‫ا�ستخدم الرمز للتعبير عن المت�سل�سلة (‪... + )6×4( + )5×3( + )4×2( + )3×1‬‬ ‫الحل‬ ‫حن = ن (ن‪)2+‬‬ ‫∞‬ ‫ي (ي ‪... + )6 × 4 ( + )5 × 3( + )4 × 2( + )3 × 1( = )2+‬‬ ‫…= ‪1‬‬ ‫مﺜاﻝ )‪(٤‬‬ ‫إاذا كان جـن= ن‪5+2‬ن ‪ ،‬جد الحد النوني لهذه المتتالية‬ ‫الحل‬ ‫الحد ا‪d‬ن‪ ʃ‬حن= جـ ن‪ -‬جـ ن‪1-‬‬ ‫= (ن‪ 5 + 2‬ن ) –( (ن‪ (5 + 2)1-‬ن– ‪) )1‬‬ ‫= ن‪ 5 + 2‬ن ‪ ( -‬ن‪ 2- 2‬ن ‪ 5+ 1 +‬ن– ‪)5‬‬ ‫= ن‪ 5 + 2‬ن– ن‪ 3 –2‬ن ‪ 2 = 4 +‬ن ‪4 +‬‬ ‫تﺪريﺐ )‪(٢‬‬ ‫إاذا كان جـن = ‪ 4‬ن‪ -2‬ن‪ ،‬فجد اأول ‪ 5‬حدود من المت�سل�سلة‪.‬‬ ‫‪123‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ )1‬اكتب الحدود الثلاثة الاأولى لكل من المت�سل�سلات ال آاتية‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 2‬ك ‪) (1 -‬‬ ‫∞‬ ‫‪5‬‬ ‫أا ) ‪6‬ر‬ ‫ب)‬ ‫ر= ‪1‬‬ ‫ك= ‪1‬‬ ‫ر‪1-‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫∞‬ ‫ر‪3+‬‬ ‫ر= ‪1‬‬ ‫جـ) (ن‪ - 2‬ن)‬ ‫ن= ‪1‬‬ ‫‪ )2‬ا�ستخدم رمز المجموع للتعبير عن المت�سل�سلات ال آاتية‪:‬‬ ‫اأ ) ‪.17+ 14 + 11+ 8 + 5 + 2‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب)‬ ‫‪17‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪... +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪-3(+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪-2(+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ) ( ‪- 1‬‬ ‫‪ )3‬اكتب المت�سل�سلات ال آاتية دون ا�ستخدام رمز المجموع‪.‬‬ ‫∞‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫…‬ ‫اأ‬ ‫جـ) (‪ - 8‬ر‪)2‬‬ ‫ب) (ك ‪2)1 -‬‬ ‫…‪+‬‬ ‫)‬ ‫ر= ‪1‬‬ ‫ك= ‪1‬‬ ‫…= ‪1‬‬ ‫‪ )4‬يريد عامر توفير مبل ٍغ من المال ل�صراء جهاز حا�سوب‪ .‬و جّفر في ال أا�سبوع ال أاول ‪ 4‬دنانير وفي‬ ‫الاأ�سبوع الثاني ‪ 8‬دنانير وفي ال أا�سبوع الثالث‪ 12‬ديناراً وهكذا لمدة ‪ 10‬ا�سابيع‪ .‬أاجب عن‬ ‫الاآتي‪:‬‬ ‫اأ ) اكتب الحد العام لمتتالية توفير عامر‪.‬‬ ‫ب) جد المبلغ الذي وفره عامر في ال أا�سبوع العا�صر‪.‬‬ ‫جـ) اكتب المت�سل�سلة التي تعبر عن المبلغ الذي وفره عامر بكتابة حدودها ثم با�ستخدام رمز‬ ‫المجموع ‪.‬‬ ‫‪124‬‬

‫ﺍﻟمﺘﺘاﻟﻴاﺕ وﺍﻟمﺘسﻠسﻼﺕ ﺍﻟﺤساﺑﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜانﻲ‬ ‫‪Arithmetic Sequences and Series‬‬ ‫• تحل م�سائل حياتية ذات علاقة بالمتتاليات‬ ‫ال‪äÉLÉàæ‬‬ ‫والمت�سل�سلات الح�سابية‪.‬‬ ‫• تتعر‪ ±‬المتتالية الح�سابية‪.‬‬ ‫• تجد مجموع مت�سل�سلة ح�سابية‪.‬‬ ‫‪Arithmetic Sequence‬‬ ‫أو ًﻻ‪ :‬اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ‬ ‫بداأ �سخ�ض قيادة �سيارته من اأعلى منحدر‪َ ،‬فقطع في الثانية الاأولى ‪ 6‬اأمتار‪ ،‬وفي كل ثانية‬ ‫بعد ذلك َقطع م�سافة تزيد عن الم�سافة التي قطعها في الثانية ال�سابقة لها مبا�سرة بمقدار ‪1.5‬‬ ‫مت ًرا‪ .‬ما الم�سافة التي َقطعها في الثانية العا�سرة؟‬ ‫اإن الم�سافات التي يقطعها ال�سخ�ض بال أامتار ‪... ،10.5 ،9 ،7.5 ،6 :‬‬ ‫لاحظ اأن الفر‪ ¥‬بين كل حدين متتاليين يكون ثابتا دائما وي�ساوي ‪ 1.5‬مت ًرا ‪.‬‬ ‫ح‪ –4‬ح‪ = 3‬ح‪ –3‬ح‪ = 2‬ح‪ –2‬ح‪1.5 = 1‬مت ًرا‪.‬‬ ‫ُت�سمى هذه ا‪ÉààŸ‬ل«‪ á«HÉ°ùM á‬حدها الاأول ‪C h ، 6‬ا‪ 1.5 É¡°SÉ°S‬ليدل على الفر‪ ¥‬الثابت بين كل حدين‬ ‫متتاليين‪ .‬اأما كتابة الم�سافات المقطوعة على ال�سورة‪:‬‬ ‫‪ ... + 10.5 + 9 + 7.5 + 6‬في�سكل ‪.á«HÉ°ùM á∏°ù∏°ùàe‬‬ ‫‪∞jô©J‬‬ ‫ا‪ÉààŸ‬ل«‪ á‬ا◊‪ :á«HÉ°ù‬متتالية يكون الفر‪ ¥‬بين أاي حدين متتاليين فيها مقدا ًرا ثاب ًتا ي�سمى اأ�سا�ض المتتالية‬ ‫الح�سابية ويرمز له بالرمز ‪ ،O‬ويرمز للحد ال أاول فيها بالرمز ا‪ ،C‬و ُت�سمى المت�سل�سلة المرتبطة بالمتتالية‬ ‫الح�سابية ‪.á«HÉ°ùM á∏°ù∏°ùàe‬‬ ‫مﺜاﻝ )‪(١‬‬ ‫ب جّين ما اإذا كانت المتتاليات أاو المت�سل�سلات ال آاتية ح�سابية أام لا‪ ،‬ثم جد أا�سا�ض الح�سابية منها‪.‬‬ ‫‪... ،7 ،8 ،7 ،8 )2 ... ،7- ،4- ،1- ،2 ،5 )1‬‬ ‫‪1‬‬‫ن( )‬‫‪+1‬‬ ‫∞‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫ن= ‪1‬‬ ‫‪125‬‬

‫الحل‬ ‫‪ )1‬ح‪ –2‬ح‪،3- = 5 -2 = 1‬‬ ‫ح‪ –3‬ح‪، 3- = 2- 1- = 2‬‬ ‫ح‪ –4‬ح‪، ... ،3 - = )1-(– 4- = 3‬‬ ‫حن‪ –1+‬ح ن = ‪ 3 -‬فالمتتالية ح�سابية اأ�سا�سها= ‪3 -‬‬ ‫‪ )2‬بما أان ح‪ –2‬ح‪، 1- =8–7=1‬‬ ‫ح‪ –3‬ح‪ .1 = 7-8 =2‬لا �صرورة لاإكمال البحث‪،‬ل أان‬ ‫ح‪ –3‬ح‪ ≠ 2‬ح‪ –2‬ح‪ ، 1‬فالمتتالية لي�ست ح�سابية‪.‬‬ ‫ن ‪)1+‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حن‪= 1+‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ن‬ ‫‪1‬‬ ‫حن = ‪+ 1‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‬ ‫( ن ‪1+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫ن)‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حن‪ - 1+‬حن = ‪+1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اإذن المتتالية ح�سابية اأ�سا�سها‬ ‫‪3‬‬ ‫تﺪريﺐ )‪(١‬‬ ‫ب ّجين ما اإذا كانت المتتاليات اأو المت�سل�سلات ال آاتية ح�سابية اأم لا‪ ،‬ثم جد اأ�سا�ض الح�سابية‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ن‪3-‬‬ ‫‪ )2‬حن =‬ ‫‪.....‬‬ ‫‪،1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪،1 ،‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫ن‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4( )3‬ن‪)1 +‬‬ ‫ن= ‪1‬‬ ‫لاحظ اأنه يمكن كتابة المتتالية الح�سابية التي حدها ال أاول أا و أا�سا�سها د على ال�سورة ال آاتية‪:‬‬ ‫اأ ‪ ،‬أا ‪ +‬د ‪ ،‬أا ‪2 +‬د‪ ،‬اأ ‪3 +‬د‪ ... ،‬حيث أا ‪ ،‬د عددان ثابتان‪.‬‬ ‫لاحظ اأي�س ًا أان معامل الاأ�سا�ض د في أاي حد يقل واح ًدا عن رتبة ذلك الحد‪ .‬وهذا �سحيح لكل حد‬ ‫من حدود المتتالية الح�سابية‪ ،‬وبذلك يكون‪:‬‬ ‫ا◊‪ ó‬ال©‪ ΩÉ‬ل∏‪Éààª‬ل«‪ á‬ا◊‪ = ¿ì á«HÉ°ù‬ا‪O (1 –¿ ) + C‬‬ ‫‪126‬‬

‫حيث اأ‪ :‬الحد ال أاول في المتتالية ‪ ،‬د‪ :‬اأ�سا�ض المتتالية‪.‬‬ ‫‪¢ûbÉfh ôµq a‬‬ ‫ما المعلومات التي تحتاجها لتعيين متتالية ح�سابية؟‬ ‫مﺜاﻝ )‪(٢‬‬ ‫جد عدد حدود المتتالية الح�سابية ال آاتية‪:‬‬ ‫‪166 - ،... ،10 -،4 - ،2 ،8‬‬ ‫الحل‬ ‫اأ = ‪ ، 8‬د = ‪ ، 6 -‬عدد حدود المتتالية (ن) وهو رتبة الحد الاأخير فيها‪.‬‬ ‫حن = اأ ‪ ( +‬ن– ‪ )1‬د‬ ‫‪ ( + 8 = 166 -‬ن– ‪6 - × )1‬‬ ‫‪ 6 –8 = 166 -‬ن ‪6 +‬‬ ‫‪ 6 - = 180 -‬ن ‪ ،‬ن = ‪ 30‬ح ًدا‬ ‫تم جّعن بقاعدة الحد العام للمتتالية الح�سابية‪ :‬حن = اأ ‪( +‬ن ‪ )1-‬د‬ ‫= أا ‪ +‬ن د ‪ -‬د‬ ‫حن = ( أا ‪ -‬د) ‪ +‬ن د‬ ‫= ن د ‪ +‬ب حيث ب = اأ ‪ -‬د وهي على �سورة معادلة الخط الم�ستقيم �ض = م �ض ‪ +‬جـ‬ ‫اأي أان حدود المتتالية الح�سابية تقع على خط م�ستقيم‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ )‪(٢‬‬ ‫جد عدد حدود المتتالية‪184 ،... ،13 ،10 ،7 ،4 :‬‬ ‫مﺜاﻝ )‪(٣‬‬ ‫و جّفر تاجر ‪ 600‬دينار في ال�سنة الاأولى‪ ،‬وبد أا يزداد توفيره بمقدار ‪ 200‬دينا ٍر �سنو ًّيا عن ال�سنة التي‬ ‫ت�سبقها مبا�صرة‪ .‬اكتب الحد العام للمتتالية ثم جد ما يوفره التاجر في ال�سنة العا�صرة‪.‬‬ ‫‪127‬‬

‫الحل‬ ‫المبالغ التي يوفرها التاجر من ربحه في ال�سنوات المختلفة ت�سكل متتالية ح�سابية فيها‬ ‫أا = ‪ ، 600‬د = ‪200‬‬ ‫فالحد العام للمتتالية هو‪ :‬حن = أا ‪ ( +‬ن– ‪ )1‬د = ‪ ( +600‬ن ‪200 ×)1 -‬‬ ‫والحد العا�صر فيها هو‪ :‬ح‪ 2400 = 200 ×9 +600 = 10‬دينار‬ ‫تﺪريﺐ )‪(٣‬‬ ‫خرطوم مياه م�سنوع من ا÷لد ملفو‪ ±‬على بكرة‪ ،‬ت�ستهلك اللفة ال أاولى ‪� 60‬سم من الخرطوم‬ ‫وت�ستهلك اللفة الثانية ‪� 90‬سم‪ ،‬وت�ستهلك اللفة الثالثة ‪� 120‬سم وهكذا‪ .‬اإذا ا�ستهلكت‬ ‫إاحدى اللفات ‪ 3.3‬م ‪ ،‬ما ترتيب هذه اللفة؟‬ ‫‪،‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ال أاعداد‬ ‫أان‬ ‫اأي‬ ‫‪،‬‬ ‫‪14‬‬ ‫=‬ ‫‪20 +‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ƒg‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪8‬‬ ‫مثل‬ ‫لعددين‬ ‫الح�سابي‬ ‫المتو�سط‬ ‫اأن‬ ‫�ساب ًقا‬ ‫عرفت‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 20 ، 14‬ت�سكل متتالية ح�سابية‪.‬‬ ‫‪ُ :áeÉY IQƒ°üHh‬ت�سمى ال أاعداد أا‪ ،1‬أا‪ ،2‬أا‪ ،... ،3‬اأن متو�سطات ح�سابية بين العددين أا‪ ،‬ب اإذا‬ ‫كانت أا‪ ،‬أا‪ ،1‬اأ‪ ،2‬اأ‪ ،... ،3‬أان‪ ،‬ب متتالية ح�سابية‪.‬‬ ‫عند اإدخال ن من المتو�سطات الح�سابية بين العددين اأ ‪ ،‬ب ي�سبح عدد حدود المتتالية الناتة‬ ‫ب ‪ -‬اأ‬ ‫الاأ�سا�ض د =‬ ‫حن‪ = 2+‬ب ‪،‬‬ ‫( ن ‪ ) 2 +‬ويكون ح‪ = 1‬أا ‪،‬‬ ‫ن‪1+‬‬ ‫مﺜاﻝ )‪(٤‬‬ ‫أادخل ‪ 5‬متو�سطات ح�سابية بين العددين ‪.54 ، 12‬‬ ‫‪42‬‬ ‫ب ‪ -‬اأ‬ ‫الحل‬ ‫‪6‬‬ ‫ن‪1+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫د=‬ ‫ن=‪، 5‬‬ ‫ب = ‪، 54‬‬ ‫أا = ‪، 12‬‬ ‫المتو�سطات الح�سابية هي ‪47 ،40 ،33 ،26 ،19 :‬‬ ‫تﺪريﺐ )‪(٤‬‬ ‫أادخل ‪ 6‬متو�سطات ح�سابية بين العددين ‪10 ،38‬‬ ‫‪128‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪� )1‬أي المتتاليات الآتية ح�سابية مع ذكر ال�سبب؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪... ،7- , 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ )‬ ‫�أ‬ ‫ب) ‪...... ،7 ،5 ،3 ،2‬‬ ‫‪ )2‬جد عدد حدود ك ٍّل من المتتاليتين الح�سابيتين الآتيتين ‪.‬‬ ‫�أ ) ‪1001 ،... ،7 ،5 ،3 ،1‬‬ ‫ب) ‪3.75 ،...، 7 ٫ 5 ، 8٫75 ،10‬‬ ‫‪ ) 3‬كم عدد الأعداد ال�صحيحة الموجبة التي تقبل الق�سمة على ‪ 7‬و أ�قل من ‪450‬؟‬ ‫‪ )4‬يو ّفر موظف ‪ 100‬دينار من راتبه �سنو ًّيا زيادة عما يوفره في ال�سنة التي قبلها‪ ،‬ف إ�ذا و ّفر ‪200‬‬ ‫دينا ٍر في ال�سنة الأولى ف أ�جب عما ي�أتي‪:‬‬ ‫�أ ) اكتب المت�سل�سلة التي تعبر عن مجموع ما يوفره الموظف خلال ‪� 10‬سنوات بذكر الحدود‬ ‫ثم با�ستخدام رمز المجموع‪.‬‬ ‫ب) ما مقدار ما يوفره الموظف في ال�سنة الثامنة؟‬ ‫‪ )5‬و�ضع رجل مبلغ ‪ 600‬دينا ٍر في بنك بح�ساب الربح الب�سيط بفائدة �سنوية مقدارها ‪.٪5‬‬ ‫أ�جب عما ي�أتي‪:‬‬ ‫�أ ) جد فائدة المبلغ بعد ‪� 4‬سنوات‪.‬‬ ‫ب) جد جملة المبلغ بعد ‪� 12‬سنة‪.‬‬ ‫( إ�ر�شاد‪ :‬الربح الب�سيط = المبلغ × �سعر الفائدة × الزمن بال�سنوات )‬ ‫حدودهما‪:‬‬ ‫�إيجاد‬ ‫دون‬ ‫ا=لآتيت‪-‬ين‪13‬ح�نساب‪ّ+‬يت‪2‬ا ِن‬ ‫المتتاليتين‬ ‫مع ذكر ال�سبب �أن‬ ‫بين‬ ‫‪) 6‬‬ ‫ب)حن‬ ‫حن = ‪ 4‬ن ‪3 +‬‬ ‫�أ )‬ ‫‪� )7‬أدخل متو�سطين ح�سابيين بين الع َد َد ْين ‪6 ، 24‬‬ ‫‪129‬‬

‫‪ )8‬يزيد الراتب ال�شهري لمندوب مبيعات ‪ 30‬ديناراً عند بداية كل �سنة من خدمته‪ .‬ف�إذا كان‬ ‫راتبه ال�شهري ‪ 400‬دينا ٍر في بداية ال�سنة ا ألولى من عمله‪ ،‬فاكتب قاعدة الحد العام لرواتب‬ ‫الموظف ال�شهرية بعد ن �سنة ثم اكتب رواتبه ال�شهرية في ال�سنوات الخم�س ا ألولى‪.‬‬ ‫‪� )9‬أ ) �إذا كانت قيا�سات زوايا مثلث ت�شكل متتالية ح�سابية وكان قيا�س الزاوية الكبرى في‬ ‫المثلث ي�ساوي ‪ ،80‬فجد قيا�س الزاويتين المتبقيتين‪.‬‬ ‫ب ) متوازي أ��ضلاع لي�س فيه زاوية قائمة‪ ،‬هل يمكن أ�ن ت�شكل قيا�سات زواياه متتالية‬ ‫ح�سابية؟ مع ذكر ال�سبب‪.‬‬ ‫جـ) �إذا كانت قيا�سات زوايا �شكل رباعي ت�شكل متتالية ح�سابية‪ ،‬فجد قيا�سات زوايا‬ ‫ال�شكل‪ .‬هل يوجد �أكثر من حل للم�س�ألة؟‬ ‫‪130‬‬

‫‪Sum of Arithmetic Series‬‬ ‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻤﺘﺴﻠﺴﻠﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ‬ ‫طلب معلم ال�سف الثالث الاأ�سا�سي من طلابه جمع الاأعداد ال�سحيحة ابتدا ًء من العدد ‪1‬‬ ‫ول¨اية العدد ‪ 100‬معتق ًدا اأن الطلاب �سيحتاجون وق ًتا طوي ًلا للحل‪ُ ،‬فوج‪ Å‬المعلم ب أا ْن أاعطـاه‬ ‫أاحد الطلاب الاإجابة �صري ًعا وقال المجموع ‪ ،5050‬كان هذا الطالب العا‪ ⁄‬ال أالماني الم�سهور‬ ‫جاو�ض ( ‪ )1855 -1777‬الذي ظهر نبوغه في الريا�سيات في وقت مبكر‪.‬‬ ‫وال�س ‪D‬وال ‪ ،‬كيف تو�سل جاو�ض إالى هذا المجموع بهذه ال�صرعة ؟‬ ‫كانت طريقة جاو�ض ÷مع هذه الاأعداد على النحو الاآتي‪:‬‬ ‫جـ = ‪ ، 100 + ... + 3 + 2 + 1‬ويمكن اأي�سا كتابة المجموع على ال�سورة‬ ‫جـ = ‪1 + ... + 98 + 99 + 100‬‬ ‫و با÷مع ينت‪ è‬أان‪:‬‬ ‫‪2‬جـ = (‪ ، )1+100 ( + ... + )1+100 ( + )1+100 ( + )1+100‬عدد الحدود ‪100‬‬ ‫‪ 2‬جـ = ‪)1+ 100 (100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫( ‪)1 + 100‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪5050 = 101‬‬ ‫‪50‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫يمكن ا�ستخدام اأ�سلوب جاو�ض للتو�سل اإلى قاعدة لح�ساب جـ ن من حدود متتالية ح�سابية كما ياأتي‪:‬‬ ‫جـ ن = اأ ‪ ( +‬أا ‪ +‬د) ‪ ( +‬اأ ‪ 2 +‬د) ‪ + ... +‬حن‬ ‫جـ ن=حن‪( +‬حن– د) ‪( +‬حن–‪ 2‬د)‪ + ... +‬أا‬ ‫‪ 2‬جـ ن = ( اأ ‪ +‬حن) ‪ ( +‬اأ ‪ +‬حن) ‪ (+‬أا ‪ +‬حن) ‪ ( + ... +‬اأ ‪ +‬حن)‬ ‫بما أان عدد الحدود ن‬ ‫ف إا َّن‪ ×2 :‬جـ ن = ن ( أا ‪+‬ح ن)‬ ‫ن‬ ‫( اأ ‪ +‬حن)‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ ن=‬ ‫حدودها ن هو‪:‬‬ ‫وحدها ال أاخير حن وعدد‬ ‫الاأول اأ‬ ‫مت�سل�سلة ح�سابية حدها‬ ‫مجموع‬ ‫ن‬ ‫جـ ن =‬ ‫( أا ‪ +‬حن)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪131‬‬

ÒN’C G ó◊G øµj ⁄ GPEGh .á«dÉààŸG øe ÒNC’Gh ∫hC’G ¿Gó◊G ºn ∏p Yo GPEG IóYÉ≤dG √òg ᨫ°U Ωóîà°ùJo :iôNC’G ᨫ°üdG ≈∏Y ∫ƒ°üë∏d , O (1 –¿)+CG =¿ì ¢†jƒ©àH ∂dPh iôNGC ᨫ°U øY åëÑf Éek ƒ∏©e ¿ (O (1–¿) + CG 2) 2 = ¿ `L (١) ‫ﻣﺜﺎل‬ :á«HÉ°ù◊G á∏°ù∏°ùàŸG ´ƒª› óL 26 + 23 + 20 + 17 + 14 + 11 + 8 + 5 + 2 πëdG . 9 ÉgOhóM OóYh 26 ÒNC’G ÉgóMh 2 ∫hC’G ÉgóM á«HÉ°ùM á∏°ù∏°ùàŸG 2¿(2=6¿+`L2á)¨«°ü92dG (¿ì + GC ) ≥«Ñ£àH = 9 `L 126 = 28 × 9 = 2 (١) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ . 60 ájɨdh 1 øe Ak GóàHG áÑLƒŸG áë«ë°üdG OGóYC’G ´ƒª› óL (٢) ‫ﻣﺜﺎل‬ 12 + ... + 60 + 66 + 72 :á«HÉ°ù◊G á∏°ù∏°ùàŸG ´ƒª› óL πëdG 6 - = O ,12 = ¿ì , 72 = GC O ( 1 –¿ ) + GC = ¿ì ,Ohó◊G OóY ó‚ 6 - × ( 1 –¿ ) + 72 = 12 ¿ 6 – 6 + 72 = 12 66 = ¿6 462 = (12 + 72 ) 11 =11`L ´ƒªéŸG 11 = ¿ 2 ᨫ°U ≥«Ñ£àHh 132

(٢) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ .100 ájɨdh 2 øe á«LhõdG OGóY’C G ´ƒª› óL (٣) ‫ﻣﺜﺎل‬ ?öTÉ©dG ÉgóM ɪa ¿10 –2¿ 3 ƒg á«HÉ°ùM á∏°ù∏°ùàe øe ¿ `L ¿Éc GPEG πëdG 9 `L –10`L = 10 ì (9 × 10 –29 × 3) – 10 × 10 –2(10)3 = 47 = 90 + 243 – 100 – 300 = (٤) ‫ﻣﺜﺎل‬ Gók ©≤e 14 ≈dGE ÊÉãdG ∞°üdGh Gók ©≤e 12 ≈dEG ∫h’C G ∞°üdG ™°ùàj ,óYÉ≤ŸG øe ÉØv °U 20 ¬«a ìöùe .ìöùŸG óYÉ≤e OóY óL .Gòµgh ... ,Gók ©≤e 16 ≈dGE ådÉãdG ∞°üdGh πëdG É¡«a á«HÉ°ùM á∏°ù∏°ùàe ¿ƒµJ óM 20 ≈dEG ... + 16 + 14 + 12 = ìöùŸG óYÉ≤e OóY 20 = ¿ , 2 = O ,12 = CG ¿ :èàæj ( O (1–¿) + GC 2 ) 2 = ¿`L IóYÉ≤dG ≥«Ñ£àH (2×19 + 20 12× 2 ) 2 = 20 `L Gók ©≤e 620 = 62 × 10 = ( 38 + 24 ) 10 = (٣) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ 3Ω 5 Ωƒj πc »a ¬æe Üô°ùàjh 3Ω 10 ∫h’C G Ωƒ«dG »a ¬æe Üô°qùJ .3Ω 675 ¬à©°S AÉe ¿GõN :»JÉC j ɪY ÖLCG . Iô°TÉÑe ¬d ≥HÉ°ùdG Ωƒ«dG »a ¬æe Üô°ùJ Ée ≈∏Y IOÉjR .ô°ûY »fÉãdG Ωƒ«dG »a ¿GõîdG øe Üô°ùàJ »àdG AɪdG ᫪c óL (1 ?Éek ɪJ ÉZk QÉa ¿GõîdG íÑ°üj Ωƒj ºc ó©H (2 133

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ )1‬جد مجموع كل من المت�سل�سلات الآتية‪:‬‬ ‫أ� ) ‪� ... + 11 + 8 + 5‬إلى ‪ 16‬ح ًّدا‪.‬‬ ‫ب) ‪8 + ... + 76 + 80 + 84‬‬ ‫‪12‬‬ ‫جـ )‬ ‫(‪3‬ن‪)2-‬‬ ‫ن= ‪1‬‬ ‫‪ ) 2‬تتدحرج كرة على منحدر طوله ‪ 100‬متر‪ ،‬تقطع في الثانية الأولى ‪� 4‬سم وفي الثانية الثانية ‪12‬‬ ‫�سم وفي الثانية الثالثة ‪� 20‬سم‪ ،‬وهكذا‪ .‬كم ثانية تحتاج الكرة للو�صول �إلى نهاية المنحدر؟‬ ‫‪ ) 3‬تتقا�ضى �شركة لحفر ا آلبار ‪ 30‬دينا ًرا عن حفر المتر ا ألول و ‪ 34.5‬دينا ًرا عن حفر المتر الثاني‬ ‫و ‪ 39‬دينا ًرا عن حفر المتر الثالث‪ ،‬وهكذا‪ .‬جد‪:‬‬ ‫�أ ) تكلفة حفر المتر الثاني ع�شر‪.‬‬ ‫ب) مجموع ما تتقا�ضاه ال�شركة عن حفر بئر عمقه ‪ 20‬مت ًرا‪.‬‬ ‫‪� )4‬إذا كان جـ ن لمت�سل�سلة ح�سابية هو ‪3‬ن‪ ، 6 –2‬فما قيمة الحد ال�سابع في المت�سل�سلة؟‬ ‫‪ )5‬كم متو�س ًطا ح�ساب ًيا يمكن �إدخاله بين العددين ‪ 50 ، 2‬بحيث ي�صبح مجموع المت�سل�سلة‬ ‫الح�سابية الناتجة ‪234‬؟‬ ‫‪� )6‬أثبت �أن‪:‬‬ ‫أ� ) جـ ن لمت�سل�سلة الأعداد الفردية الموجبة ‪ = ... + 7 + 5 + 3 +1‬ن‪2‬‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫ن(ن‪)1+‬‬ ‫=‬ ‫ر‬ ‫ر= ‪1‬‬ ‫ ب )‬ ‫جـ) ك = ن× ك ‪ ،‬حيث ك عدد ثابت‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ر= ‪1‬‬ ‫‪ )7‬أ�ثبت �أنه �إذا كان جـ مجموع مت�سل�سلة ح�سابية عدد حدودها (ن) ف�إن قيمة الحد ا ألو�سط فيها‬ ‫جـ‬ ‫زوج ًيا‪.‬‬ ‫الحدود‬ ‫عدد‬ ‫كان‬ ‫‪� ،‬إذا‬ ‫‪2‬جـ‬ ‫ا ألو�سطين‬ ‫ومجموع الحدين‬ ‫فرديا‪،‬‬ ‫الحدود‬ ‫كان عدد‬ ‫�إذا‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫ن‪1+‬‬ ‫رتبته‬ ‫�أو�س ُط واح ٌد‬ ‫ح ٌّد‬ ‫للمت�سل�سلة‬ ‫يوجد‬ ‫مت�سل�سلة (ن) ف إ�نه‬ ‫ملاحظة‪� :‬إذا كان عدد حدود‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫ن زوج ًّيا)‪.‬‬ ‫كان‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫�أو�سطان رتبتاهما‬ ‫�إذا كان ن فرد ًّيا‪ ،‬وحدان‬ ‫‪ 1 +‬إ�ذا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪134‬‬

‫ﺍﻟمﺘﺘاﻟﻴاﺕ وﺍﻟمﺘسﻠسﻼﺕ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜاﻟﺚ‬ ‫‪Geometric Sequences and Series‬‬ ‫• تجد مجموع مت�سل�سلة هند�سية تقاربية غير منتهية‪.‬‬ ‫ال‪äÉLÉàæ‬‬ ‫• تحل م�سائل على مجموع المت�سل�سلة الهند�سية المنتهية‬ ‫• تميز المتتاليات والمت�سل�سلات الهند�سية‪.‬‬ ‫وغير المنتهية‪.‬‬ ‫• تجد مجموع مت�سل�سلة هند�سية منتهية‪.‬‬ ‫‪Geometric Sequences‬‬ ‫أو ًﻻ‪ :‬اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫�سقطت كرة مطاطية من ارتفاع ‪10‬م فو‪� ¥‬سطح الاأر�ض‪،‬‬ ‫اإذا كانت الكرة ترتد بعد كل ا�سطدام بال أار�ض إالى ‪٪50‬‬ ‫من ارتفاعها ال�سابق مبا�سرة‪ .‬فكم �سيكون ارتفاعها بعد‬ ‫ا�سطدامها الخام�ض؟‬ ‫ت أامل المتتالية ‪ . ... ،54 ،18 ،6 ،2‬تلاحظ اأن الحد الثاني ي�ساوي ثلاثة أامثال الحد ال أاول‬ ‫والحد الثالث ي�ساوي ثلاثة اأمثال الحد الثاني وهكذا‪ .‬أاي اأن الن�سبة بين كل حد والحد ال�سابق له‬ ‫‪6‬‬ ‫= ‪ ... ،3‬وهكذا‪ .‬إان هذه المتتالية‬ ‫‪54‬‬ ‫= ‪،3‬‬ ‫‪18‬‬ ‫= ‪،3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مبا�صرة ي�ساوي مقدا ًرا ثاب ًتا‪.‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪6‬‬ ‫و أامثالها ت�سمى ‪Éààe‬ل«‪.á«°Sóæg á‬‬ ‫‪∞jô©J‬‬ ‫ا‪ÉààŸ‬ل«‪ á‬ال¡‪ :á«°Sóæ‬متتالية تكون فيها الن�سبة بين كل حد اإلى الحد ال�سابق له مبا�صرة ن�سبة ثابتة ت�سمى‬ ‫أا�سا�ض المتتالية ويرمز لها بالرمز (ر) و ُيرمز للحد الاأول في المتتالية بالرمز( اأ )‪ُ .‬ت�سمى المت�سل�سلة‬ ‫المرتبطة بالمتتالية الهند�سية ‪.á«°Sóæg á∏°ù∏°ùàe‬‬ ‫لتعيين متتالية هند�سية يكفي معرفة حدها الاأول واأ�سا�سها‪.‬‬ ‫‪135‬‬

‫مﺜاﻝ )‪(١‬‬ ‫اكتب الحدود الخم�سة الاأولى من المتتالية الهند�سية التي حدها الاأول ‪ 3‬و أا�سا�سها ‪.2‬‬ ‫الحل‬ ‫الحد الاأول = ‪ ، 3‬الحد ا‪ ،6 = 2 × 3 =ÊÉãd‬الحد الثالث = ‪،12 = 2 × 6‬‬ ‫الحد الرابع = ‪ ،24 = 2 × 12‬الحد الخام�ض = ‪48 = 2× 24‬‬ ‫تﺪريﺐ )‪(١‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اكتب الحدود الخم�سة الاأولى من المتتالية الهند�سية التي حدها الاأول ‪ 8‬واأ�سا�سها‬ ‫‪2‬‬ ‫لاحظ أان المتتالية الهند�سية التي حدها الاأول ( أا ) واأ�سا�سها (ر) هي ‪ :‬أا‪ ،‬أار‪ ،‬اأر‪ ،2‬أار‪... ،3‬‬ ‫‪µ°ûHh‬ل ‪ ΩÉY‬ا◊‪ ó‬ال©‪ (¿ì) ΩÉ‬ل∏‪Éààª‬ل«‪ á‬ال¡‪ á«°Sóæ‬ال‪ ÉgóM »à‬ا ‪C ) ∫h’C‬ا( ‪C h‬ا‪ = ¿ì :ƒg (Q) É¡°SÉ°S‬ا‪1- ¿Q C‬‬ ‫مﺜاﻝ )‪(٢‬‬ ‫‪... ،‬هند�سية ثم جد حدها ال�ساد�ض‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،2 ،6‬‬ ‫ب ّجين اأن المتتالية‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الحل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫فالمتتالية هند�سية اأ�سا�سها‬ ‫اإذن‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪29‬‬ ‫=‬ ‫‪ ،‬حح‪43‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪32‬‬ ‫=‬ ‫‪ ،‬حح‪32‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫حح‪21‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫ر‪5‬‬ ‫أا‬ ‫=‬ ‫ح‪6‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪3‬‬ ‫تﺪريﺐ )‪(٢‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جد الحد الخام�ض من متتالية هند�سية حدها ال أاول ‪ 4‬و أا�سا�سها ‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¢ûbÉfh ôµq a‬‬ ‫هل يمكن اأن يكون ال�سفر اأحد حدود متتالية هند�سية؟ و�سح إاجابتك‪.‬‬ ‫‪136‬‬

‫مﺜاﻝ )‪(٣‬‬ ‫اكتب المت�سل�سلة الهند�سية ‪ ... + 0.16 + 0.8+ 4‬با�ستخدام رمز المجموع‪.‬‬ ‫= ‪0.2‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫=‬ ‫‪،4‬ر‬ ‫الحل‬ ‫‪4‬‬ ‫اأ =‬ ‫حن = أارن‪)0.2( × 4 = 1-‬ن‪1-‬‬ ‫∞‬ ‫‪)0٫2(4‬ن‪... + 0.16 + 0.8 + 4 = 1-‬‬ ‫ن= ‪1‬‬ ‫تﺪريﺐ )‪(٣‬‬ ‫با�ستخدام رمز المجموع‪.‬‬ ‫‪...+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اكتب المت�سل�سلة الهند�سية ‪+ 1+ 4 + 16 + 64‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مﺜاﻝ )‪(٤‬‬ ‫ا�سترى �سخ�ض �سيارة بقيمة ‪ 20000‬دينا ٍر وخلال ال�سنوات اللاحقة كانت ال�سيارة تفقد‬ ‫‪ ٪10‬من قيمتها �سنو ًّيا‪.‬‬ ‫‪ )1‬اكتب قاعدة الحد العام للمتتالية التي تعطي قيمة ال�سيارة بعد ن �سنة‪.‬‬ ‫‪ )2‬جد قيمة ال�سيارة في بداية ال�سنة ال�ساد�سة لاأقرب دينار‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫بما اأن ال�سيارة تفقد ‪ ٪10‬من قيمتها �سنويًا‪ ،‬فاإن قيمة ال�سيارة في بداية كل عام ت�سبح ‪ ٪90‬من‬ ‫قيمتها في بداية العام ال�سابق له‪.‬‬ ‫‪ )1‬قيمة ال�سيارة في بداية ال�سنة ال أاولى = ‪ 20000‬دينا ٍر‬ ‫\" \" \" \" \" الثانية = ‪)0.9( ×20000‬‬ ‫\" \" \" \" \" ا‪ãdÉãd‬ة = ‪2)0.9( ×20000‬‬ ‫\" \" \" \" \" ن = ‪)0.9( ×20000‬ن ‪1-‬‬ ‫‪ )2‬قيمة ال�سيارة في بداية ال�سنة ال�ساد�سة = ‪ 11810 ≈ 5)0.9( ×20000‬دنانير‪.‬‬ ‫‪137‬‬

‫ﺗﺬﻛﺮ‬ :å«M ¿ ( Q + 1 ) Ω = `L ÖcôŸG íHôdG á∏ªL ÜÉ°ùM ¿ƒfÉb . äGƒæ°ùdG OóY :¿ ,IóFÉØ∏d ájƒÄŸG áÑ°ùædG :Q ,´OƒŸG ≠∏ÑŸG :Ω ,≠∏ÑŸG á∏ªL :`L (٥) ‫ﻣﺜﺎل‬ %4 ÉgQGó≤e ájƒæ°S IóFÉØHh ÖcôŸG íHôdG ÜÉ°ùëH ∂æH ‘ Qm ÉæjO 1000 ≠∏Ñe ¢üî°T ´OhGC á«°Sóæg á«dÉààe πµ°ûJ Qɪãà°S’G äGƒæ°S ∫ÓN ≠∏ÑŸG á∏ªL ¿CG Úr u H .áæ°S πc ájÉ¡f ‘ ±É°†J Ékjƒæ°S .á°SOÉ°ùdG áæ°ùdG ájÉ¡f ‘ QÉæjO Üôb’C ≠∏ÑŸG á∏ªL óL ºK πëdG % 4 =Q ,1000 = GC = 1ì (0^04 + 1) 1000 = 2ì 1+¿ (0^04 +1)1000 = äGƒæ°ùdG øe 1+¿ ó©H ≠∏ÑŸG á∏ªL = 2+¿ ì ¿ (0^04 +1)1000 = äGƒæ°ùdG øe ¿ ó©H ≠∏ÑŸG á∏ªL = 1+¿ ì 1^04 É¡°SÉ°SGC á«°Sóæg á«dÉààŸÉa ¿PGE 1^04 = 0^04+1 = 1+¿(0^04+1) = 2+ ¿¿ìì ¿(0^04+1) 1+ GQk ÉæjO 1217 ≈ 5(0^04+1)1000 = 6ì = á°SOÉ°ùdG áæ°ùdG ájÉ¡f ‘ ≠∏ÑŸG á∏ªL (٤) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ Éjv ƒæ°S %5 ÉgQGó≤e áÑcôe IóFÉa »£©j ∂æH iód äGƒæ°S 8 IóŸ QÉæjO 1500 ≠∏Ñe ´n Op hoCG .QÉæjO ÜôbC’ ≠∏ÑŸG á∏ªL óL áæ°S πc ájÉ¡f ‘ ±É°†J 138

‫في الدر�ض ال�سابق أان�سئت متتاليات ح�سابية باإدخال متو�سطات ح�سابية بين عددين‪� .‬ستكرر‬ ‫العملية في المتتاليات الهند�سية ولكن باإدخال متو�سطات هند�سية‪ .‬و ب�سورة عامة‪:‬‬ ‫ا‪PE‬ا ‪ ¿Éc‬ا‪C h øjOóY Ü , C‬ا‪ øµe‬ا‪ øe OóY OÉéjE‬ا◊‪H ¿¢S ,...,3¢S ,2¢S ,1¢S Ohó‬ح«‪íÑ°üJ å‬‬ ‫‪C‬ا‪Éààe Ü,¿¢S ,... ,2¢S ,1¢S ,‬ل«‪.á«°Sóæg äÉ£°Sƒàe ≈ª°ùJ ¿¢S ,... ,2¢S ,1¢S ¿EÉa ,á«°Sóæg á‬‬ ‫مﺜاﻝ )‪(٦‬‬ ‫اأدخل ‪ 3‬متو�سطات هند�سية بين العددين ‪.160 ،10‬‬ ‫الحل‬ ‫بعد اإدخال المتو�سطات الهند�سية ي�سبح عدد حدود المتتالية ‪. 5 = 2 + 3‬‬ ‫اأ = ح‪ ، 10=1‬ح‪ = 5‬أا ر‪10 ← 4‬ر‪ ← 160 = 4‬ر‪ ← 16 = 4‬ر = ‪2‬‬ ‫وهذا يعني وجود متتاليتين‪.‬‬ ‫ال أاولى‪ :‬عندما ر= ‪ 2‬و‪.160 ، 80 ، 40 ، 20 ، 10 :»g‬‬ ‫والثانية‪ :‬عندما ر= ‪ 2-‬و‪.160 ، 80- ، 40 ، 20- ،10 :»g‬‬ ‫تﺪريﺐ )‪(٥‬‬ ‫‪. 32 ،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بين‬ ‫هند�سيين‬ ‫متو�سطين‬ ‫أادخل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¢ûbÉfh ôµq a‬‬ ‫‪ )1‬اعتما ًدا على مثال (‪ )6‬وتدريب (‪ )5‬متى ينت‪ è‬عن إادخال متو�سطات هند�سية‬ ‫متتاليتان‪ ،‬ومتى تنت‪ è‬متتالية واحدة؟ برر إاجابتك‪.‬‬ ‫‪ )2‬اإذا كان أا ‪ ،‬ب عدد ْي ِن موجبين م ًعا اأو �سالبين م ًعا وكان جـ متو�سطهما الهند�سي‪ ،‬فب ِّين‬ ‫اأ َّن جـ = ‪ ±‬أا × ب‬ ‫‪139‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ )1‬بينّ �أي المتتاليات الآتية هند�سية ثم جد ح َّدها العام‪:‬‬ ‫أ� ) ‪486 ،... ،54 ،18 ،6 ،2‬‬ ‫ب ) ل ‪ 3 ،‬ل‪ 9 ،2‬ل‪ 27 ،3‬ل‪ ، ... ، 4‬ل ≠ �صف ًرا‪.‬‬ ‫جـ) ‪... ، 36- ،24- ،12- ،3-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪- ،1 ،3- ،9‬‬ ‫د) ‬ ‫‪ )2‬اكتب الحدود الخم�سة الأولى لك ٍّل من المتتاليات الهند�سية الآتية‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫ر‬ ‫‪،‬‬ ‫أ� ) �أ = ‪32‬‬ ‫ب) �أ = ‪50‬‬ ‫‪ ،‬ر = ‪0.1-‬‬ ‫جـ) �أ= ‪ ، 81-‬ر = ‪23‬‬ ‫‪ )3‬اكتب المت�سل�سلة الهند�سية ‪ ... + 3 + 6 + 12 + 24‬با�ستخدام رمز المجموع ‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ) 4‬جد ا أل�سا�س والحد العام للمت�سل�سلة الهند�سية (‪)2‬ك ‪.‬‬ ‫ك= ‪1‬‬ ‫‪� )5‬أدخل متو�س ًطا هند�س ًّيا بين كل ع َد َدين في ما ي أ�تي‪:‬‬ ‫�أ ) ‪ 12 ، 3‬ب) – ‪8- ، 2‬‬ ‫‪ )6‬أ�دخل ‪ 4‬متو�سطات هند�سية بين العددين ‪ 256 ، 8‬بحيث ت�شكل ا ألعداد جميعها متتالية‬ ‫هند�سية‪.‬‬ ‫‪ ) 7‬يتزايد عدد �سكان �إحدى القرى ا ألردنية بمقدار‪� %2‬سنوي ًا‪� .‬إذا كان عدد �سكان القرية في‬ ‫�إحدى ال�سنوات ( �أ )‪ ،‬ف�أثبت �أن عدد �سكانها بعد ن �سنة حن = �أ (‪) 0.02+ 1‬ن‪ 1-‬و�أن‬ ‫المتتالية هند�سية‪.‬‬ ‫‪ ) 8‬جد جملة مبلغ (‪ )2000‬دينار ا�ستثمر في بنك بفائدة مركبة معدلها (‪� )% 6‬سنو ًّيا لمدة ‪5‬‬ ‫�سنوات‪.‬‬ ‫‪ )9‬ورقة مربعة ال�شكل طول �ضلعها متر واحد و�سمكها ‪ 1‬ملم ‪ ،‬طويت ‪ 10‬مرات ‪.‬‬ ‫أ� ) اكتب قاعدة الحد العام لم�ساحة الورقة بعد ط ِّيها ‪.‬‬ ‫‪140‬‬

‫ب) اكتب قاعدة الحد العام ل�سمك الورقة بعد ط ِّيها ‪.‬‬ ‫جـ) جد م�ساحة و�سمك الورقة بعد ط ِّيها ‪ 10‬مرات‪.‬‬ ‫‪� )10‬أثبت �أن المتو�سط الح�سابي لأي عددين مختلفين وموجبين أ�كبر من متو�سطها الهند�سي‪.‬‬ ‫‪-‬ب‬ ‫أ�‬ ‫‪.0‬‬ ‫>‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫إ�ر�شاد‪:‬‬ ‫‪� )11‬إذا كانت ك‪ ، 1‬ك‪ ، 2‬ك‪ ... ، 3‬متتالية هند�سية ف�أثبت أ�ن المتتاليات ا آلتية هند�سية‪:‬‬ ‫�أ ) جـ ك‪ ، 1‬جـ ك‪ ، 2‬جـ ك‪ ، ... ، 3‬جـ ≠ �صف ًرا‬ ‫ب ) ك‪ ، 12‬ك‪ ، 22‬ك‪... ، 32‬‬ ‫جـ ) ك‪ ، 31-‬ك‪ ، 32-‬ك‪... ، 33-‬‬ ‫‪� )12‬أثبت أ�ن المتتالية الناتجة من �ضرب الحدود المتناظرة في متتاليتين هند�سيتين تكون هند�سية‬ ‫�أي�ضا‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1�2‬ص ‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� )13‬إذا كانت �س‪� ،‬ص‪ ،‬ع ثلاثة حدود لمتتالية هند�سية ف أ�ثبت أ�ن‬ ‫�ص ‪ -‬ع‬ ‫�ص‪-‬‬ ‫ت�شكل متتالية ح�سابية‪.‬‬ ‫‪141‬‬

‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻤﺘﺴﻠﺴﻠﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ اﻟﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ‪Sum of Finite Geometric Series‬‬ ‫يعاني عامر من ال�سمنة ويريد اإنقا�ض وزنه‪ ،‬فقرر ‡ار�سة الريا�سة والالتزام ببرنام‪ è‬غذائي‬ ‫لمدة ‪� 6‬سهور‪ ،‬من المتوقع أان يخ�صر من وزنه في ال�سهر الاأول ‪ 10‬كغ وفي ال�سهر الثاني‬ ‫‪5‬كغ وفي ال�سهر الثالث ‪ 2.5‬كغ وهكذا‪ .‬جد مجموع ما خ�صره من وزنه في نهاية برنامجه‪.‬‬ ‫مجموع ما خ�صره عامر من وزنه هو ‪ ... + 2.5 + 5 + 10‬اإلى الحد ال�ساد�ض‪.‬‬ ‫إان اإيجاد ناتج ا÷مع بالطريقة العادية يحتاج إالى وقت وجهد كبيرين إاذا كان عدد حدود المت�سل�سلة‬ ‫كبيراً‪ ،‬لذلك لا بد من طريقة ُت�س ّجهل اإيجاد المجموع‪.‬‬ ‫افر�ض أان جـ ن مجموع اأول ن ح ًدا من المت�سل�سلة الهند�سية‪ :‬اأ ‪ +‬اأر ‪ +‬اأر‪ + 2‬اأر‪... +3‬‬ ‫جـ ن = اأ ‪ +‬اأر ‪ +‬اأر‪ + ... + 2‬اأرن‪)1( ............ 1-‬‬ ‫رجـ ن= أار ‪ +‬أار‪ + 2‬اأر‪ + ...+3‬أارن ‪� )2(.............‬صرب طرفي المعادلة في ر‬ ‫بطرح المعادلة (‪ )2‬من المعادلة (‪)2‬‬ ‫رجـ ن– جـ ن = اأرن– أا‬ ‫إاخراج جـ ن عامل ًا م�ستر ًكا من الطر‪ ±‬الاأيمن َو أا من الطر‪ ±‬ال أاي�صر‬ ‫جـ ن(ر– ‪ = )1‬أا(رن– ‪)1‬‬ ‫الق�سمة على ( ر‪)1-‬‬ ‫اأ (رن ‪)1 -‬‬ ‫جـ ن=‬ ‫ر‪1-‬‬ ‫مجموع أاول ن ح ٌّد من مت�سل�سلة هند�سية حدها ال أاول ( أا ) واأ�سا�سها (ر) يرمز له بالرمز جـن‬ ‫ويعطى بالعلاقة ال آاتية‪:‬‬ ‫‪ ،‬ر≠‪1‬‬ ‫أا (رن ‪)1 -‬‬ ‫جـن=‬ ‫ر‪1-‬‬ ‫‪ ،‬ر=‪1‬‬ ‫ن أا‬ ‫‪142‬‬

‫مﺜاﻝ )‪(١‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و أا�سا�سها‬ ‫‪64‬‬ ‫الاأول‬ ‫حدها‬ ‫التي‬ ‫الهند�سية‬ ‫للمت�سل�سلة‬ ‫جـ‪5‬‬ ‫جد‬ ‫‪2‬‬ ‫‪) 3321( 64-‬‬ ‫=( ) )‬ ‫الحل‬ ‫‪1 - 312( 64‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫= ‪124‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪64‬‬ ‫جـ‪= 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تﺪريﺐ )‪(١‬‬ ‫جد مجموع الحدود الخم�سة الاأولى من المت�سل�سلة الهند�سية‪:‬‬ ‫‪... 2 - 4 + 8 – 16‬‬ ‫‪¢ûbÉfh ôµq a‬‬ ‫هل من الممكن اأن تكون المتتالية ح�سابية وهند�سية في اآن واحد؟ أاعط مثالا يدعم ر أايك‪.‬‬ ‫مﺜاﻝ )‪(٢‬‬ ‫‪5‬‬ ‫جد مجموع المت�سل�سلة ‪)0.2(6‬ك‬ ‫الحل ك= ‪1‬‬ ‫المت�سل�سلة هند�سية حدها ال أاول ‪ 1.2= )0.2(6‬واأ�سا�سها ‪0.2‬‬ ‫‪) (1.5‬‬ ‫≈‬ ‫× ‪0.99968‬‬ ‫‪1.2-‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪- 5)0.2‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫=‬ ‫جـ‪5‬‬ ‫‪0.8-‬‬ ‫‪1 - 0.2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫تﺪريﺐ )‪(٢‬‬ ‫‪)0.3(8‬ك‬ ‫جد مجموع المت�سل�سلة الهند�سية‬ ‫ك= ‪1‬‬ ‫‪143‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ ) 1‬جد مجموع كل من المت�سل�سلات الهند�سية الآتية‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حدود‬ ‫‪8‬‬ ‫‪� ... +‬إلى‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-1+3–9‬‬ ‫�أ )‬ ‫‪ ،‬عدد‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ،‬ا أل�سا�س‬ ‫ب) ‬ ‫‪10‬‬ ‫الحدود‬ ‫‪2‬‬ ‫الحد الأول = ‪128‬‬ ‫جـ ) ‪� ... + 1 – 1 + 1 – 1‬إلى ‪ 60‬ح ًّدا ‪.‬‬ ‫‪ )2‬جد المجموع لكل مت�سل�سلة في ما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪ 1‬ن( )‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب)‬ ‫�أ ) (‪)2‬ن‪1-‬‬ ‫ن= ‪1‬‬ ‫ن= ‪1‬‬ ‫وحدها الخام�س ‪ .12‬جد مجموع الحدود ال�ستة ا ألولى‬ ‫‪3‬‬ ‫مت�سل�سلة هند�سية حدها الثاني‬ ‫‪ )3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫من المت�سل�سلة‪.‬‬ ‫‪ُ ) 4‬ح َّل الم�س�ألة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫ما كان ي�صب‬ ‫‪3‬‬ ‫ُ�ص َّب في خزان ماء ‪ 256‬لترا في اليوم الأول‪ ،‬وبعد ذلك كان ُي�صب فيه‬ ‫‪) 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فيه اليوم ال�سابق له مبا�شرة ‪ .‬جد �سعة الخزان �إذا امتلأ بعد ‪� 5‬أيام‪.‬‬ ‫‪144‬‬

‫ﺛﺎﻟ ًﺜﺎ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻤﺘﺴﻠﺴﻠﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ‪Sum of Infinite Geometric Series‬‬ ‫تعلمت �ساب ًقا أان مـجمـوع أاول ن ح ٌّد من حدود مت�سل�سلة هند�سية حدهـا الاأول ( اأ )‬ ‫اأ (رن ‪)1 -‬‬ ‫واأ�سا�سها (ر) هو‪:‬‬ ‫ر‪1-‬‬ ‫‪ ،‬ر≠‪1‬‬ ‫جـن=‬ ‫وال�س ‪D‬وال ال آان هل يمكن إايجاد مجموع مت�سل�سلة هند�سية غير منتهية ؟‬ ‫لل إاجابة عن ال�سو‪D‬ال ال�سابق ادر�ض المت�سل�سلة ال آاتية‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫لاحظ أانه كلما ازدادت قيمة ن تتناق�ض قيم حدود المت�سل�سلة‪ ،‬وكذلك الاأمر بالن�سبة اإلى رن‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫وهكذا‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫)‪6‬‬ ‫(‪110‬‬ ‫‪، ... ،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪= 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫)‪1‬‬ ‫(‪110‬‬ ‫‪1000000‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫وال�سبب ل أان قيمة ‪ >1-‬ر> ‪ . 1‬يمكن القول اأنه عندما تكبر قيمة ن بحيث تقترب من مالا نهاية‬ ‫قيمة رن ت�سبح قريبة من ال�سفر ويمكن إاهمالها وهذا يعني أانه يمكن اإيجاد مجموع مت�سل�سلة هند�سية‬ ‫ر≠‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫أا‬ ‫غير منتهية من هذا النوع وي�سبح القانون‪:‬‬ ‫‪ -1‬ر‬ ‫جـن=‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أان‬ ‫أاي‬ ‫‪9‬‬ ‫‪0.1-1‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10‬‬ ‫و مثل هذه المت�سل�سلات غير المنتهية ت�سمى ‪ á«HQÉ≤J‬لاأن مجموعها عدد حقيقي‪ .‬واإذا ‪ ⁄‬تكن المت�سل�سلة‬ ‫تقاربية ُت�سمى غير تقاربية (‪ )ájóYÉÑJ‬ولا يمكن إايجاد مجموعها‪.‬‬ ‫تكون المت�سل�سلة الهند�سية غير المنتهية التي اأ�سا�سها (ر) وحدها الاأول (اأ) تقاربية إاذا كان‬ ‫مجموعها عدد حقيقي وحيث | ر| >‪ ، 1‬و في هذه الحالة يكون مجموعها‪:‬‬ ‫أا‬ ‫جـن =‬ ‫‪ -1‬ر‬ ‫اأما اإذا كانت| ر| ≤‪ ، 1‬فتكون المت�سل�سلة الهند�سية غير المنتهية غير تقاربية (تباعدية)‪ ،‬لا يمكن‬ ‫اإيجاد مجموع ‪‬دد لها‪.‬‬ ‫‪145‬‬

‫مﺜاﻝ )‪(١‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1- 2‬‬ ‫المت�سل�سلة‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪) (1‬‬ ‫الحل‬ ‫‪2‬‬‫=‪-‬‬ ‫ر‬ ‫‪،‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫اأ‬ ‫فيها‬ ‫لا نهائية تقاربية‬ ‫المت�سل�سلة هند�سية‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫=‬ ‫جـن‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تﺪريﺐ )‪(١‬‬ ‫∞‬ ‫ك( )‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫جد مجموع المت�سل�سلة‬ ‫ك= ‪1‬‬ ‫مﺜاﻝ )‪(٢‬‬ ‫اكتب الك�صر الع�صري الدوري ‪ 0.65‬على �سورة ك�صر‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫يمكن كتابة الك�صر الع�صري الدوري ‪ 0.65‬على ال�سورة‪:‬‬ ‫‪..... + 0.000065 + 0.0065 + 0.65 = 0.65‬‬ ‫وهذه مت�سل�سلة هند�سية لا نهائية تقاربية فيها‪ :‬أا = ‪ ، 0.65‬ر = ‪ 0.01‬مجموعها‪:‬‬ ‫‪65‬‬ ‫=‬ ‫‪0.65‬‬ ‫=‬ ‫‪0.65‬‬ ‫جـ =‬ ‫‪99‬‬ ‫‪0.99‬‬ ‫‪)0.01( -1‬‬ ‫تﺪريﺐ )‪(٢‬‬ ‫اكتب الك�صر الع�صري الدوري ‪ 0.375‬على �سورة ك�صر ‪.‬‬ ‫‪146‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ )1‬جد مجموع المت�سل�سلات اللانهائية الآتية �إن �أمكن‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‬ ‫أ�‬ ‫ب) ‪... + 4 + 4 + 4 + 4‬‬ ‫جـ) ‪.... + 0.008 + 0.8 + 8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪... + 1 +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪16‬‬ ‫د)‬ ‫‪ ) 2‬اكتب كلا من الك�سور الع�شرية الدورية الآتية على �صورة مت�سل�سلة هند�سية لا نهائية ثم‬ ‫ح ّولها �إلى ك�سر عادي ‪.‬‬ ‫جـ) ‪1٫35‬‬ ‫ب) ‪0٫45‬‬ ‫�أ ) ‪0٫3‬‬ ‫‪ )3‬مربع طول �ضلعه ‪� 16‬سم‪ ،‬ن�صفت أ��ضلاعه وو�صل بين نقاط منت�صفات �أ�ضلاعه المتجاورة‬ ‫بقطع م�ستقيمة فتكون مر َّب ٌع �آخر‪ ،‬ثم ُكررت العملية �إلى ما لانهاية‪ .‬جد مجموع م�ساحات‬ ‫المربعات جميعها‪.‬‬ ‫‪ ) 4‬بينّ �أن المت�سل�سلة الآتية هند�سية ثم جد مجموعها‪.‬‬ ‫‪ ،‬ك > �صفر‪.‬‬ ‫‪... -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ك‪1+‬‬ ‫ك‪1+‬‬ ‫ك‬ ‫ك‪2‬‬ ‫∞‬ ‫‪ )5‬جد مجموع المت�سل�سلة (‪)0٫2‬ن‬ ‫ن= ‪1‬‬ ‫ارتفاعها‬ ‫‪3‬‬ ‫�سقطت كرة مطاطية من ارتفاع ‪ 24‬قدم على �سطح �أر�ض م�ستوية‪ ،‬فارتدت إ�لى‬ ‫‪ )6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫وهكذا في كل مرة ت�صطدم بها في ا ألر�ض‪ .‬جد مجموع الم�سافات التي قطعتها الكرة‪.‬‬ ‫‪147‬‬

‫ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫‪ )1‬اكتب قاعدة الحد العام للمتتاليات الاآتية‪:‬‬ ‫اأ ) ‪... ، 17 ، 10 ، 5 ، 2‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪... ،‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ب) ‪، 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪... ،‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،2‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪ )2‬ا�ستخدم رمز المجموع للتعبير عن المت�سل�سلات ال آاتية ‪:‬‬ ‫اأ ) ‪87 + ... + 9 + 6 + 3‬‬ ‫ب) ‪... + 16 – 8 + 4 – 2‬‬ ‫جـ) ‪12×110 + ... + 5×13 + 4×12 + 3×11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪... +‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د)‪-1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ )3‬حدد نوع المتتالية من حيث كونها ح�سابية أاو هند�سية أاو لي�ست كذلك‪ ،‬ثم جد الحدود‬ ‫‪1‬‬ ‫الاأربعة ال أاولى منها ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫ن‬ ‫)‬ ‫ب) حن = ‪( 6‬‬ ‫أا ) حن = ‪4‬ن– ‪1‬‬ ‫د ) ‪... ، 16 ، 8- ، 4 ، 2-‬‬ ‫ن‪1+‬‬ ‫جـ)‬ ‫ن‪2‬‬ ‫‪∞8‬‬ ‫‪ )4‬جد مجموع كل من المت�سل�سلات الاآتية‪:‬‬ ‫أا ) ‪ 58+000+12+10 + 8‬ب) ‪)2(3‬ن جـ) (‪)0.6‬ن‬ ‫ن= ‪ 1‬ن= ‪1‬‬ ‫‪ )5‬جد عدد م�ساعفات العدد ‪ 4‬التي تقع بين ‪.102 ، 10‬‬ ‫‪ )6‬أا ) اأدخل ‪ 4‬متو�سطات ح�سابية بين العددين ‪.9 ، 1-‬‬ ‫ب) اأدخل ‪ 4‬متو�سطات هند�سية بين العددين ‪3 ، 729‬‬ ‫‪� )7‬سخ�ض وزنه ‪ 100‬ك¨م‪ ،‬يريد إانقا�ض وزنه بمعدل ‪ 2‬ك¨م �سهر ًّيا‪ .‬بعد كم �سهر ي�سبح‬ ‫وزنه ‪ 82‬ك¨م؟‬ ‫‪148‬‬