أول ثانوي علمي 2018م

‫‪ )8‬مثلث متطابق ال أا�سلاع طول �سلعه ‪� 16‬سم‪ ،‬ن ّج�سفت أا�سلاعه ثم ُو�سل بينها بقطع‬ ‫م�ستقيمة فت�سكل مثلث ثم ن�سفت اأ�سلاع المثلث ا÷ديد و و�سل بينها فتك ّجون مثلث‬ ‫آاخر ‪ ...‬وهكذا إالى ما لا نهاية‪ .‬جد‪:‬‬ ‫اأ ) مجموع ‪‬يطات المثلثات الناتة ‪.‬‬ ‫ب) مجموع م�ساحات المثلثات الناتة‪.‬‬ ‫‪ )9‬يتزايد عدد �سكان مدينة بمعدل ‪� ٪ 2.5‬سنو ًّيا‪ .‬اإذا كان عدد �سكان المدينة عام ‪2014‬‬ ‫‪É°ùj‬و… ‪ 100000‬ن�سمة‪ .‬فكم �سيبلغ عدد �سكانها بعد ‪� 5‬سنوات؟‬ ‫‪ )10‬أاودع �سخ�ض مبلغ ‪ 10000‬دينار بح�ساب الربح المركب و بفائدة �سنوية مقدارها‬ ‫‪ .٪6‬هل تكفي جملة المبلغ بعد ‪� 10‬سنوات ل�صراء �سيارة ثمنها ‪ 17900‬دينار؟‬ ‫‪.‬‬ ‫ن‬ ‫ح ن‪ > 1+‬ح‬ ‫أان‬ ‫= ن‪ + 2‬ن ‪ ،‬اأثبت‬ ‫ن‬ ‫حدها العام ح‬ ‫في المتتالية التي‬ ‫أا )‬ ‫‪)11‬‬ ‫ن‪ > 1+‬ح ن ‪.‬‬ ‫ح‬ ‫‪1‬‬ ‫ن‬ ‫حدها العام ح‬ ‫في المتتالية التي‬ ‫ب)‬ ‫أان‬ ‫أاثبت‬ ‫‪،‬‬ ‫‪5‬ن‬ ‫=‬ ‫ال أاعداد‬ ‫وك جّونت‬ ‫‪،‬‬ ‫ح�سابية حيث أا ≠ ب≠ جـ‬ ‫جـ متتالية‬ ‫‪،‬ب‪،‬‬ ‫أا‬ ‫اإذا ك ّجونت ال أاعداد‬ ‫‪)12‬‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫هند�سية ‪،‬‬ ‫متتالية‬ ‫اأ‬ ‫أا ‪ ،‬ب ‪ -‬أا ‪ ،‬جـ ‪-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫اأ‬ ‫أا َّن‬ ‫ف أاثبت‬ ‫‪ )13‬اأ ) إاذا ك جّونت ال أاعــداد ‪2‬هـ ‪ +‬ك ‪ 3 ،‬ك – ‪ + 5 ، 5‬ك متتاليـــة ح�سابيــــة حــيث‬ ‫هـ ‪ ،‬ك ≠ ‪ ،0‬فما قيمة الثابتين هـ ‪ ،‬ك ؟ هل المتتالية وحيدة؟‬ ‫ب) اإذا ك جّونت ال أاعداد �ض‪� ، 4 -‬ض ‪� ، 2 +‬ض ‪ 14 +‬متتالية هند�سية فما قيمة �ض؟‬ ‫‪ )14‬اأ ) ثلاثة أاعداد ت�سكل متتالية ح�سابية مجموعها – ‪ 3‬وحا�سل �صربها ‪ ، 24‬ما هذه الاأعداد؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ،‬ما هذه ال أاعداد؟‬ ‫‪8‬‬ ‫وحا�سل �صربها‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ثلاثة أاعداد ت�سكل متتالية ح�سابية مجموعها‬ ‫ب)‬ ‫ارتفاعها‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� )15‬سقطت كرة من ارتفاع ‪ 12‬قدم ًا على �سطح م�ست ٍو وكانت ترتد إالى‬ ‫‪5‬‬ ‫ال�سابق عند ا�سطدامها بالاأر�ض في كل مرة‪ .‬جد مجموع الم�سافات التي قطعتها الكرة‪.‬‬ ‫‪ )16‬يتك ّجون هذا ال�س ‪D‬وال من ت�سع فقرات من نوع الاختيار من متعدد‪ ،‬لكل فقرة اأربعة‬ ‫بدائل‪ ،‬واحد فقط منها �سحيح‪� ،‬سع دائرة حول رمز البديل ال�سحيح‪:‬‬ ‫‪149‬‬

‫د) ‪ 5‬ن– ‪1‬‬ ‫(‪ )1‬قاعدة الحد العام حن للمتتالية ‪ ... ، 13 ، 10 ، 7 ، 4‬هي‪:‬‬ ‫ب) ‪ 3‬ن ‪ 1 +‬جـ) ن ‪1+‬‬ ‫أا ) ‪ 4‬ن‬ ‫(‪ )2‬ما عدد حدود المت�سل�سلة الح�سابية‪. 5.2 – ... - 0.4 – 0.4 + 1.2 + 2 :‬‬ ‫جـ) ‪ 9‬د) ‪10‬‬ ‫اأ ) ‪ 5‬ب) ‪6‬‬ ‫‪ ، ... ،‬هو‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪9‬‬ ‫المتتالية‬ ‫في‬ ‫ال�ساد�ض‬ ‫الحد‬ ‫(‪)3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪-‬‬ ‫د)‬ ‫‪81‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪27‬‬ ‫ب)‬ ‫‪27‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‬ ‫اأ‬ ‫(‪ )4‬الك�صر العادي الذي ي�ساوي الك�صر الع�صري الدوري ‪:ƒg0.18‬‬ ‫‪111‬‬ ‫د)‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪1‬‬ ‫ب)‬ ‫‪20‬‬ ‫)‬ ‫أا‬ ‫‪55‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫(‪ )5‬المتو�سط الهند�سي للعددين – ‪:ƒg 16 - ، 4‬‬ ‫د) ‪10‬‬ ‫جـ) ‪8 -‬‬ ‫ب) ‪10 -‬‬ ‫أا ) ‪12‬‬ ‫∞‬ ‫ر ‪) (1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪ )6‬قيمة‬ ‫ر= ‪1‬‬ ‫د) ‪2 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ) ‪-‬‬ ‫ب) ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫أا‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ) ...‬ي�ساوي‪:‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪ *)7‬مجموع المت�سل�سلة الهند�سية اللانهائية ( ‪- 1‬‬ ‫د) ∞‬ ‫‪3‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪2‬‬ ‫ب)‬ ‫‪5‬‬ ‫)‬ ‫اأ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 4‬وحدها العا�صر ‪ 21‬فما أا�سا�سها؟‬ ‫‪1‬‬ ‫متتالية ح�سابية حدها ال�سابع‬ ‫(‪)8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫د)‬ ‫‪16‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ)‬ ‫ب) ‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫أا‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪ )9‬متتالية هند�سية حدها الثاني ‪ 32‬وحدها الخام�ض ‪ ، 4‬فما حدها ال�سابع؟‬ ‫‪1‬‬ ‫د)‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ)‬ ‫اأ ) ‪ 2‬ب) ‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫* من اأ�سئلة الاختبارات الدولية‪.‬‬ ‫‪150‬‬

151

‫اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫‪4‬‬ ‫منذ البدء اهتم العلماء بح�شاب المثلثات و كان اأكثر اهتمامهم بالزوايا وال أا�شلاع‪ .‬وللمثلثات‬ ‫اأهمية في المجالات كاف ًة مثل الهند�شة‪ ،‬الفلك‪ ،‬الملاحة‪ ،‬والم�شاحة ومع تطور علم الفيزياء‪،‬‬ ‫وظهورعلم التكامل والتفا�شل تطور علم المثلثات وزادت أاهميته‪ ،‬و كان أاول من اهتم بح�شاب‬ ‫المثلثات الفراعنة القدماء وا�شتخدموا هذا العلم في بناء الاأهرامات‪ ،‬ثم اأ�شبح علم ًا م�شتقل ًا بذاته‪،‬‬ ‫واأ�شهر العلماء الم�شلمين المهتمين به ‪( :‬الزرقلي‪ ،‬ون�شير الدين الطو�شي‪ ،‬و أابو عبد اˆ الب ّتاني )‪.‬‬

‫‪Trigonometric Functions‬‬ ‫‪ øe ™bƒàj‬ال‪£‬ال‪ Ö‬ب©‪QO ó‬ا‪ á°S‬ه‪ √ò‬ال‪ IóMƒ‬ا‪C‬ن ‪ƒµj‬ن ‪b‬ا‪QO‬ا ‪:≈∏Y‬‬ ‫‪ ‬التمييز بين التقدير الدائري‪ ،‬و القيا�س ال�شتيني‪ ،‬وح ّل م�شائل عليهما‪.‬‬ ‫‪ ‬ا�شتق�شاء خ�شائ�س الاقترانات المثلثية ( الجيب ‪ ،‬جيب التمام ‪ ،‬والظل )‪.‬‬ ‫‪ ‬ر�شم منحنيات الاقترانات المثلثية يدو ًّيا وبا�شتخدام التكنولوجيا‪.‬‬ ‫‪ ‬إايـجاد الـدورة وال�شـعة والمجال والمدى للاقترانـات المثلثية (جاهـ ‪ ،‬جتاهـ ‪ ،‬ظاهـ)‬ ‫(اإن أامكن ذلك)‪.‬‬ ‫‪ ‬و�شف �شلوك منحنى الاقتران تحت تاأثيرالتحويلات ( الان�شحاب الر أا�شي و ال أافقي)‪.‬‬ ‫‪ ‬تحليل متطابقات مثلثية جبر ًّيا (ت�شمل مجموع زاويتين والفرق بينهما‪ ،‬ن�شف الزاوية‪،‬‬ ‫و�شعف الزاوية)‪.‬‬ ‫‪ ‬برهنة المتطابقات المثلثية‪.‬‬ ‫‪ ‬ح ّل معادلات مثلثية ( الح ‪t‬ل ال أا ّولي والح ‪t‬ل العام ) جبر ًّيا‪.‬‬ ‫‪ ‬ح ّل م�شكلات تتعلق بالاقترانات المثلثية وتبرير الحل‪.‬‬

‫الﺘﻘﺪير الﺪائرﻱ والﻘﻴاﺱ السﺘﻴﻨﻲ‬ ‫الﻔﺼل اﻷول‬ ‫‪Degree and Radian Measure‬‬ ‫ال‪àæ‬ا‪L‬ا‪ä‬‬ ‫• تميز بين التقدير الدائري والقيا�س ال�شتيني وتحول بينهما‪.‬‬ ‫• ت�شتخدم التقدير الدائري لاإيجاد طول قو�س في دائرة‪.‬‬ ‫في لعبة للاأطفال يمكن تركيب م�شمار دائري‬ ‫ل�شباق �شيارتين يتكون من (‪ )10‬قطع متطابقة‪ ،‬كل‬ ‫واحدة منها ت أاخذ �شكل قو�س دائري بحيث يكون طول‬ ‫القو�س الداخلي اأق�شر من طول القو�س الخارجي بمقدار‬ ‫(‪� )3.14‬شم‪ ،‬ما عر�س القطعة؟‬ ‫تعلمت في ال�شفوف ال�شابقة اأن الزاوية عبارة عن �شعاعين منطلقين من النقطة نف�شها‪ ،‬ي�شمى‬ ‫اأحدهما �شلع الابتداء وال�شلع ‪¢U ¢U‬‬ ‫ال آاخر ي�شمى �شلع الانتهاء‪ ،‬ف إاذا‬ ‫‪5130‬‬ ‫‪530¢S‬‬ ‫كان �شلع ابتداء الزاوية منطب ًقا‬ ‫‪¢S‬‬ ‫على محور ال�شينات الموجب‬ ‫ور أا�شها في نقطة ال أا�شل‪ ،‬فاإن‬ ‫هذه الزاوية تكون في الو�شع‬ ‫القيا�شي لها‪ ،‬و ال�شكل (‪¢U ¢U )1-4‬‬ ‫‪5330‬‬ ‫‪5210‬‬ ‫يو�شح بع�س ال أامثلة على هذه‬ ‫‪¢S‬‬ ‫الزوايا‪¢S .‬‬ ‫ال�شكل (‪.)1-4‬‬ ‫‪154‬‬

‫‪ÖdÉ°S É¡°SÉ«b ájhGR‬‬ ‫‪ÖLƒe É¡°SÉ«b ájhGR‬‬ ‫�إذا كان اتجاه الدوران الذي تقا�س به الزاوية‬ ‫‪570-‬‬ ‫‪5290‬‬ ‫عك�س عقارب ال�ساعة يكون قيا�س الزاوية‬ ‫موجب‪ ،‬أ�ما �إذا كان اتجاه الدوران مع‬ ‫ال�شكل (‪.)2-4‬‬ ‫عقارب ال�ساعة يكون قيا�س الزاوية �سال ًبا‪،‬‬ ‫انظر ال�شكل (‪.)2-4‬‬ ‫وقد ت�شترك أ�كثر من زاوية في �ضلع الانتهاء وذلك نتيجة لدوران �ضلع الانتهاء أ�كثر من دورة حول‬ ‫نقطة ا أل�صل‪.‬‬ ‫ويعبر عن ذلك على ال�صورة ( هـ ‪ ×˚360 +‬ن) حيث ن عدد �صحيح‪ < 0 ،‬هـ < ‪.˚360‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫حدد الربع الذي يقع فيه �ضلع الانتهاء ( �أو المحور الذي ينطبق عليه �ضلع الانتهاء ) لكل زاوية‬ ‫‪˚1530 ) 3‬‬ ‫‪ ˚1018 – ) 2‬‬ ‫مما ي�أتي‪:‬‬ ‫ ‪ ˚ 540 )1‬‬ ‫الحل‬ ‫‪� ˚180 =˚360 - ˚540 )1‬إذن �ضلع الانتهاء ينطبق على محور ال�سينات ال�سالب‪.‬‬ ‫‪¢U ˚298- =˚360 + ˚658- , ˚658- = ˚360 + ˚1018 - ) 2‬‬ ‫�ضلع الانتهاء لهذه الزاوية يقع في الربع ا أل ّول‪ ،‬وللت�أكد‬ ‫من ذلك ف إِ� ّن الزاوية الموجبة المقابلة لها هي‪:‬‬ ‫‪( .˚62 =˚360+˚298-‬لاحظ أ� ّن الزاوية ‪¢S‬‬ ‫أ�كملت دورتين وزيادة عليها ‪ ˚298‬بالاتجاه‬ ‫ال�سالب انظر ال�شكل (‪.))3-4‬‬ ‫ال�شكل (‪.)3-4‬‬ ‫‪˚90=˚1440- ˚1530 = 4×˚360-˚1530 )3‬‬ ‫ينطبق �ضلع الانتهاء لهذه الزاوية على محور ال�صادات الموجب‪.‬‬ ‫‪155‬‬

‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫حدد الربع الذي يقع فيه �شلع الانتهاء ( أاو المحور الذي ينطبق عليه �شلع الانتهاء) لكل زاوية‬ ‫في ما ياأتي‪:‬‬ ‫‪˚950 - )3‬‬ ‫‪˚900 )2‬‬ ‫‪˚310 - )1‬‬ ‫لقيا�س وحدات الطول يوجد نظامان عالميان هما النظام المتري ووحدات قيا�شه المتر‬ ‫و أاجزا ؤوه وم�شاعفاته‪ ،‬والنظام الانجليزي ووحداته القدم واأجزاوؤه وم�شاعفاته‪.‬‬ ‫كذلك الزوايا يوجد لها نظامان للقيا�س‪ ،‬الاأول القيا�س ال�شتيني ووحداته الدرجة (‪ )°‬الدقيقة ( ʹ )‬ ‫والثانية ( ˝́ )‪¢U .‬‬ ‫وال آاخر ال‪jó≤à‬ر ال‪ó‬ا‪F‬ر… ووحدة قيا�شه الراديان‬ ‫(‪Q( )Radian‬ا‪ )O‬بحيث يكون‪1:‬راد قيا�س زاوية ‪Q‬‬ ‫)‪¿ÉjQOGQ (1‬‬ ‫مركزية مر�شومة في دائرة الوحدة في الو�شع القيا�شي ‪¢S‬‬ ‫تقابل قو�ش ًا طوله ي�شاوي طول ن�شف قطر هذه‬ ‫الدائرة‪ .‬ويرمز لقيا�شها بالرمز ‪1‬راد‪.‬‬ ‫ولكن كيف يتم التحويل من التقدير الدائري اإلى‬ ‫ال�شكل (‪.)4-4‬‬ ‫القيا�س ال�شتيني وبالعك�س؟‬ ‫يعتمد هذا التحويل ب�شكل اأ�شا�شي على التنا�شب‪،‬‬ ‫حيث‪ ˚180 :‬زاوية مركزية تقابل قو�ًشا طوله ‪ π‬في دائرة الوحدة (عل ًما باإن ‪ π‬هي الن�شبة‬ ‫التقريبية ≈ ‪.) 3.14‬‬ ‫‪156‬‬

‫مثال (‪)2‬‬ ‫حول الزوايا الآتية من القيا�س ال�ستيني �إلى التقدير الدائري‪:‬‬ ‫‪˚300 )3‬‬ ‫‪ ˚700 )2‬‬ ‫‪˚120 )1‬‬ ‫الحل‬ ‫‪π ˚180 ) 1‬‬ ‫‪� ˚120‬س‬ ‫‪π2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪×˚1˚81020‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫�س=‬ ‫هو‪π32‬‬ ‫الوحدة‬ ‫دائرة‬ ‫في‬ ‫‪˚120‬‬ ‫المركزية‬ ‫للزاوية‬ ‫المقابل‬ ‫القو�س‬ ‫أ�ي �أ ّن طول‬ ‫‪π‬‬ ‫‪˚180‬‬ ‫‪) 2‬‬ ‫(تنا�سب)‬ ‫‪� ˚700‬س‬ ‫(اخت�صار)‬ ‫‪π 35‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪×˚1˚87000‬‬ ‫�س=‬ ‫‪9‬‬ ‫ال�ستيني‬ ‫بالقيا�س‬ ‫الزاوية‬ ‫ب�ضرب‬ ‫الدائري‬ ‫التقدير‬ ‫�إلى‬ ‫ال�ستيني‬ ‫القيا�س‬ ‫ُيم‪80‬ك‪π‬ن‪ 1‬ا˚لت (حلومياذلام؟)ن‬ ‫ملاحظة‪:‬‬ ‫بـالمقدار‬ ‫(با�ستخدام الملاحظة ال�سابقة)‬ ‫‪π5‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪×˚300‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪˚180‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫حول الزوايا الآتية من التقدير الدائري �إلى القيا�س ال�ستيني‪:‬‬ ‫‪2π3 ) 1‬ر اد ‬ ‫‪7 )3‬راد‬ ‫‪π5 )2‬راد ‬ ‫‪157‬‬

‫‪˚180‬‬ ‫الحل‬ ‫‪π )1‬راد‬ ‫(تنا�شب)‬ ‫‪π3‬‬ ‫�س‬ ‫‪˚18π0××2π3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(تنا�شب)‬ ‫= ‪˚270‬‬ ‫�س =‬ ‫( اخت�شار)‬ ‫‪˚180‬‬ ‫‪π )2‬‬ ‫‪� π5‬س‬ ‫�س= ‪˚900 = ˚180π× π5‬‬ ‫ملاحظة‪ :‬يمكن التحويل من التقدير الدائري اإلى القيا�س ال�شتيني من خلال �شرب الزاوية‬ ‫بالقيا�س الدائري ِبـالمقدار ‪( .˚1π80‬لماذا؟)‬ ‫‪7‬‬ ‫‪˚1π80‬‬ ‫(با�شتخدام الملاحظة ال�شابقة)‬ ‫‪5400‬‬ ‫=‪َ54‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪×5180‬‬ ‫‪×7‬‬ ‫=‬ ‫‪ 7‬راد ×‬ ‫‪)3‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫‪ )1‬حول الزوايا ال آاتية من القيا�س ال�شتيني إالى التقدير الدائري‪:‬‬ ‫جـ) ‪˚330‬‬ ‫ب) ‪˚720‬‬ ‫اأ )‪˚225‬‬ ‫‪ )2‬حول الزوايا ال آاتية من التقدير الدائري إالى القيا�س ال�شتيني‪:‬‬ ‫‪π‬راد‬ ‫‪π 7‬راد‬ ‫جـ) ‪π 7‬راد‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ب)‬ ‫‪6‬‬ ‫اأ )‬ ‫من تعريف الراديان يمكن ا�شتنتاج أان‪:‬‬ ‫طول القو�س المقابل للزاوية المركزية = ن�شف القطر × قيا�س الزاوية بالتقدير الدائري‬ ‫‪≥f‬‬ ‫= نق × هـ ( بالتقدير الدائري )‬ ‫ل‬ ‫∫‬ ‫‪`g‬‬ ‫‪≥f‬‬ ‫‪158‬‬

‫‪µq a‬ر ‪fh‬ا‪¢ûb‬‬ ‫ا�شتخدم فكرة طول القو�س لا�شتنتاج محيط دائرة ن�شف قطرها نق‪.‬‬ ‫مثال (‪)٤‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪π3‬راد‬ ‫للزاوية‬ ‫المقابل‬ ‫القو�س‬ ‫طول‬ ‫اح�شب‬ ‫�شم‪،‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ي�شاوي‬ ‫قطرها‬ ‫ن�شف‬ ‫دائرة‬ ‫‪2‬‬ ‫الحل‬ ‫ل = نق × هـ‬ ‫( بما اأن هـ بالقيا�س الدائري نعو�س في القانون مبا�شرة )‬ ‫‪π3‬راد‬ ‫‪2‬‬ ‫≈‪�56.52‬شم‪.‬‬ ‫‪3.14‬‬ ‫‪×18‬‬ ‫≈‬ ‫‪π‬‬ ‫=‪18‬‬ ‫×‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫مثال (‪)5‬‬ ‫ي�شاوي ‪�14‬شم‪ ،‬ما طول ن�شف قطرها؟‬ ‫‪π2‬راد‬ ‫دائرة طول القو�س المقابل للزاوية‬ ‫‪3‬‬ ‫الحل‬ ‫ل = نق × هـ‬ ‫‪π2‬راد‬ ‫(تطبيق على القانون)‬ ‫‪3‬‬ ‫نق ×‬ ‫‪=14‬‬ ‫= نق‬ ‫‪π32‬‬ ‫‪×14‬‬ ‫)‬ ‫‪π2‬‬ ‫(�شرب بمقلوب‬ ‫‪3‬‬ ‫≈‬ ‫‪7‬‬ ‫ومنه نق = ‪×21‬‬ ‫‪�6.68‬شم‪.‬‬ ‫‪22‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫دائرة ن�شف قطرها ‪�6‬شم‪ ،‬اح�شب طول القو�س المقابل للزاوية ‪˚120‬‬ ‫‪159‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪π3‬راد‬ ‫ال�ستيني‪:‬‬ ‫الدائري �إلى القيا�س‬ ‫كل ًّا مما ي�أتي من التقدير‬ ‫‪1‬حول‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ جـ‬ ‫‪π25‬راد‬ ‫– ‪ 2‬را د ‬ ‫أ� )‬ ‫‪-‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫ب)‬ ‫‪2 )2‬حول كل ًّا مما ي�أتي من القيا�س ال�ستيني إ�لى التقدير الدائري ‪:‬‬ ‫�أ ) ‪ ˚ 80 -‬ب) ‪ ˚610‬جـ ) ‪˚325‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪O ¢S‬‬ ‫‪3 )3‬بالاعتماد على الر�سم المجاور �أجب عن ك ٍّل‬ ‫‪CG‬‬ ‫مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪`g‬‬ ‫أ� ) ا�ستخدم الزاوية �أ ب هـ لإعطاء مثال على‬ ‫‪530‬‬ ‫زاوية في الو�ضع القيا�سي مع ذكر قيا�سها‪.‬‬ ‫ب ) ا�سـتخدم الـزاويـة جـ ب و لإعطاء مثـال‬ ‫‪h 540 Ü‬‬ ‫على زاوية في الاتجاه ال�سالب مع ذكر‬ ‫‪`L‬‬ ‫قيا�سها‪.‬‬ ‫ال�شكل (‪.)5-4‬‬ ‫‪4 )4‬في �إحدى الكليات ملعب دائري ال�شكل تقام عليه م�سابقات الجري‪ ،‬مق�سم إ�لى حارات‬ ‫عر�ض كل منها ‪1‬م‪ ،‬ن�صف القطر‬ ‫الداخلي للحارة الأولى ‪33‬م‪ ،‬ون�صف‬ ‫القطر الداخلي للحارة الثانية ‪ 34‬م‪ ,‬ما‬ ‫الفرق بين طول الحارتين الأولى والثانية‬ ‫عند إ�نهاء ن�صف لفة؟‬ ‫‪160‬‬

‫‪ُ 5 )5‬ح ّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪6 )6‬اح�سب م�ساحة القطاع الدائري لدائرة ن�صف قطرها ‪�5‬سم قيا�س زاويته المركزية ي�ساوي‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π‬راد‬ ‫حيث هـ مقدرة بالتقدير الدائري)‪.‬‬ ‫نق‪ 2‬هـ‬ ‫‪2‬‬ ‫( علم ًا ب�أ ّن م�ساحة القطاع الدائري =‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7 )7‬قو�س في دائرة طوله ‪�7‬سم يقابل زاوية مركزية قيا�سها ‪ ،˚100‬ما طول قطرها؟‬ ‫‪8 )8‬طول قو�س في قطاع دائري ي�ساوي �أربعة أ�مثال طول ن�صف القطر‪ ،‬هل من الممكن معرفة‬ ‫الزاوية المركزية؟‬ ‫‪�9 )9‬إذا كانت الن�سبة بين قيا�سات زوايا مثلث كن�سبة ‪ ،5 : 3 :2‬فما قيا�س كل من هذه الزوايا‬ ‫بالتقدير الدائري والقيا�س ال�ستيني ؟‬ ‫‪161‬‬

‫ﻗﻮانﻴن اﻻﻗﺘراناﺕ المثﻠثﻴﺔ‬ ‫الﻔﺼل الثانﻲ‬ ‫‪The Lows of Trigonometric Functions‬‬ ‫ال‪àæ‬ا‪L‬ا‪ä‬‬ ‫• تتعرف الاقترانات المثلثية وتجدها لزاوية معطاة‪.‬‬ ‫• تح�شب قيم الاقترانات المثلثية با�شتخدام زاوية المرجع‪.‬‬ ‫عمق الماء عند نقطة معينة في أاحد الموان‪( Å‬د)‬ ‫متر يرتبط بالزمن (ن) �شاعة ح�شب العلاقة ال آاتية‪:‬‬ ‫د = ‪3 - 8‬جتا (‪0.5‬ن) (ن< �شفر)‬ ‫اح�شب عمق الماء في الميناء في ا◊الات الاآتية‪:‬‬ ‫‪ )2‬عند ا÷زر‬ ‫‪ )1‬عند المد‬ ‫تعرفت فيما �شبق على الن�شب المثلثية ال�شتة وهي‪:‬‬ ‫الجيب (جاهـ)‪ ،‬جيب تمام (جتا هـ)‪ ،‬الظل (ظا هـ)‪ ،‬ظل تمام (ظتاهـ)‪ ،‬القاطع (قاهـ )‪ ،‬قاطع‬ ‫تمام (قتاهـ)‪.‬‬ ‫انظر ال�شكل (‪ )6-4‬و تذكر أا ّن‪:‬‬ ‫‪GC‬‬ ‫‪`L r¢S Ü‬‬ ‫ال�شكل (‪.)6-4‬‬ ‫�شفر)‬ ‫≠‬ ‫(جتا� ْس‬ ‫اأ جـ‬ ‫=‬ ‫ججتــاا�� ْسْس‬ ‫� ْس =‬ ‫ظا‬ ‫‪،‬‬ ‫جـ ب‬ ‫=‬ ‫� ْس‬ ‫جتا‬ ‫‪،‬‬ ‫أاجـ‬ ‫=‬ ‫� ْس‬ ‫جا‬ ‫جـ ب‬ ‫اأب‬ ‫اأب‬ ‫‪162‬‬

‫‪(¿) * °180 +°90 …hÉ°ùj É¡°SÉ«b ¿Éc GPGE ±ôq ©e ÒZ ájhGõdG πX ¿ƒµj‬‬ ‫‪?GPÉŸ ,í«ë°U OóY ¿ å«M‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ،‬ظتا�س=‬ ‫‪1‬‬ ‫قتا�س =‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫قا�س‬ ‫أان‬ ‫وتعلمت‬ ‫ظـا�س‬ ‫جـا�س‬ ‫جتـا�س‬ ‫ملاحظة‪ :‬في كل الاقترانات الدائرية المعرفة بدلالة اقتران اآخر في المقام ‪ُ -‬ت�شتثنى الزوايا التي‬ ‫تجعل المقام ي�شاوي �شفر أاينما وردت‪.‬‬ ‫في دائرة الوحدة (الدائرة التي ن�شف قطرها وحدة واحدة) اإذا ‪¢U‬‬ ‫ر�شمت زاوية قيا�شها هـ في و�شعها القيا�شي‪ ،‬فاإن �شلع الانتهاء )‪(¢U,¢S‬‬ ‫‪`g ¢S‬‬ ‫لها �شيقطع الدائرة في نقطة وحيدة (�س‪� ،‬س)‪.‬‬ ‫وطول ال�شلع المقابل للزاوية هـ في المثلث هو ال إاحداثي‬ ‫ال�شادي للنقطة‪ ،‬كما اأن طول ال�شلع المجاور للزاوية هـ هو‬ ‫ال�شكل (‪.)7-4‬‬ ‫الاإحداثي ال�شيني للنقطة‪.‬‬ ‫ينتج مما �شبق اأن جاهـ = �س ‪ ،‬جتا هـ = �س ( عل ًما باأ ّن نق = ‪1‬وحدة)‪.‬‬ ‫‪?áë«ë°U ábÓ©dG √òg ≈≤ÑJ πg IóMGh IóMh øY ô£≤dG ∞°üf ∫ƒW ∞∏àNG GPEG‬‬ ‫مما تقدم باإمكاننا الو�شول إالى التعريف الاآتي‪:‬‬ ‫‪©J‬ر‪∞j‬‬ ‫ي�شمى الاقتران الذي يربط العدد الحقيقي هـ بالاإحداثي ال�شيني لنقطة تقاطع �شلع انتهاء زاوية قيا�شها‬ ‫هـ مع دائرة الوحدة اقتران جيب التمام‪ ،‬و يرمز له ق(هـ) = جتاهـ‪ ،‬وي�شمى الاقتران الذي يربط العدد‬ ‫الحقيقي هـ بال إاحداثي ال�شادي لهذه النقطة اقتران الجيب‪ ،‬ويرمز له بالرمز ق(هـ) = جاهـ‪.‬‬ ‫‪163‬‬

`gÉb É¡Hƒ∏≤e `gÉàL = ¢S ¢U ÉjGhõ∏d á«ã∏ãŸG Ö°ùædG `gÉàb É¡Hƒ∏≤e `gÉL = ¢U `gÉàX É¡Hƒ∏≤e `gÉX = ¢¢SU 590 IóMƒdG IôFGO ‘ á°Uq ÉÿG 43(213,221-()235,121-3) 55120 560(5342,152)(12,312 ) 4 (1,0) 65 ( 1 , 32 ) 5150 530 ( 1 , 3 ) 6 2 2 2 51(800,1-) (0,1) 5ôØ°U ¢S 5360 45 7 (12- , 32 -)5210 5330 (12- , 32 ) 611 6 530(025331-5,21()213-,215) 4 7 21 ()532221,5-25)240 1 ¢U 45 (1-2 ,1-2 ( 1- ,0 ) 45 `g 4 5270 23 ¢S 1 3 1 = 2¢U + 2¢S 2 60 1 1 = `g2ÉL + `g2ÉàL 30 3 164 .)8-4( ‫ال�شكل‬

‫‪،‬‬ ‫‪π‬راد‬ ‫من ال�شكل (‪ )8-4‬يت�شح اأن أاعلى قيمة للجيب هي ‪ ،1‬وهي عند الزاوية التي قيا�شها‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π3‬راد‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الزاوية‬ ‫عند‬ ‫‪،1‬‬ ‫–‬ ‫هي‬ ‫للجيب‬ ‫قيمة‬ ‫و أادنى‬ ‫واأعلى قيمة لجيب التمام هي ‪ ،1‬عند الزاوية �شفر‪ ،‬و أادنى قيمة لجيب التمام هي ‪ 1-‬وهي عند‬ ‫الزاوية ‪π‬راد‪.‬‬ ‫و بذلك يمكن التعبير عن اقتراني الجيب و جيب التمام بال�شورة‪:‬‬ ‫[ ‪ : ]1 ، 1-‬ق(�س) = جا�س ‪.‬‬ ‫ق‪ :‬ح‬ ‫[ ‪ : ]1 ، 1-‬ق(�س) = جتا�س‪.‬‬ ‫ق‪ :‬ح‬ ‫‪µq a‬ر ‪fh‬ا‪¢ûb‬‬ ‫هل ب إامكانك إاثبات أا ّن جا‪2‬هـ ‪ +‬جتا‪2‬هـ = ‪1‬؟ ا�شتعن بال�شكل (‪.)8-4‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫‪ ،‬فجد جتا هـ‪ ،‬ظا هـ‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إاذا كان �شلع انتهاء الزاويـة هـ يقع في الربـع الاأول وكان جاهـ =‬ ‫‪4‬‬ ‫قاهـ‪ ،‬قتاهـ‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫(متطابقة)‬ ‫جا‪2‬هـ ‪+‬جتا‪2‬هـ = ‪1‬‬ ‫( بالتعوي�س عن قيمة جاهـ)‬ ‫)‪ + 2‬جتا‪2‬هـ = ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪4‬‬ ‫(تب�شيط)‬ ‫=‪1‬‬ ‫جتا‪2‬هـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫من الطرفين)‬ ‫‪16‬‬ ‫طرح‬ ‫(‬ ‫‪16‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫جتا‪2‬هـ = ‪-1‬‬ ‫( ُتهمل الاإجابة ال�شالبة لاأن �شلـع الانتهاء للزاوية هـ يقع في الربع‬ ‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫جتاهـ =‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫(تب�شيط)‬ ‫ال أاول)‬ ‫‪165‬‬

‫(تعريف الظل )‬ ‫جـاهـ‬ ‫=‬ ‫ظاهـ‬ ‫(التعوي�س عن قيم جاهـ‪ ،‬جتاهـ)‬ ‫جتاهـ‬ ‫‪1‬‬ ‫(تب�شيط)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪145‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪4‬‬ ‫جا هـ‬ ‫قتاهـ =‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫قاهـ‬ ‫‪15‬‬ ‫جتا هـ‬ ‫طريقة ثانية للحل‪:‬‬ ‫يمكن حل مثال (‪ )1‬با�شتخدام فكرة المثلث القائم الزاوية‪ ،‬وذلك بتكوين المثلث المجاور‪ ،‬ومنه‬ ‫المقابل‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫جاهـ =‬ ‫الوتر‬ ‫‪4‬‬ ‫(نظرية فيثاغور�س)‬ ‫(الوتر)‪( = 2‬ال�شلع‪( + 2)1‬ال�شلع‪2)2‬‬ ‫(تعوي�س)‬ ‫‪( + 2)1( = 16‬ال�شلع‪2)2‬‬ ‫(تب�شيط)‬ ‫(ال�شلع‪15 = 2)2‬‬ ‫(اإهمال الاإ�شارة ال�شالبة (لماذا))؟‬ ‫ال�شلع‪15 = 2‬‬ ‫ال�شلع‪15 = 2‬‬ ‫واإذا ُعلمت اأطوال اأ�شلاع المثلث بال إامكان ا�شتخراج باقي الن�شب المثلثية‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫اإذا كان قتا هـ = ‪ ، 5‬فجد قيمة ك ٍّل من‪ :‬قاهـ ‪ ،‬جاهـ ‪ ،‬جتاهـ‪ ،‬ظاهـ ‪.‬‬ ‫‪166‬‬

‫يمكن ح�ساب الن�سب المثلثية با�ستعمال �أي دائرة �أخرى غير دائرة الوحدة بالاعتماد على‬ ‫ت�شابه المثلثات‪ ،‬انظر ال�شكل الآتي (لماذا يت�شابه المثلثان د ب م ‪ ،‬أ� جـ م؟)‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪Ü‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪`L‬‬ ‫‪`g‬‬ ‫‪Ω CG O‬‬ ‫ال�شكل (‪.)9-4‬‬ ‫ينتج من ت�شابه المثلثين �أن الن�سب بين �أطوال الأ�ضلاع المتناظرة مت�ساوية‪.‬‬ ‫�أي �أن‪:‬‬ ‫= جتاهـ‪،‬‬ ‫مد‬ ‫=‬ ‫م أ�‬ ‫‪،‬‬ ‫جاهـ‬ ‫=‬ ‫بد‬ ‫=‬ ‫جـ �أ‬ ‫مب‬ ‫م جـ‬ ‫بم‬ ‫جـ م‬ ‫وبا إلمكان ح�ساب باقي الن�سب المثلثية بالاعتماد على قيم جاهـ و جتا هـ‪.‬‬ ‫مثال (‪¢U )2‬‬ ‫إ�ذا كان �ضلع الانتهاء لزاوية قيا�سها هـ يمر بالنقطة (‪(4,3) )4 ، 3‬‬ ‫‪`g‬‬ ‫اح�سب قيمة ك ٍّل من‪ :‬جاهـ‪ ،‬جتاهـ‪ ،‬ظاهـ‪ ،‬ظتاهـ‪ ،‬قاهـ‪ ،‬قتاهـ‪¢S .‬‬ ‫)‪(0,0‬‬ ‫الحل‬ ‫�س‬ ‫�ص‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫�ص‬ ‫ظتا هـ =‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫=‬ ‫ظا هـ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ال�شكل (‪.)10-4‬‬ ‫لكن لح�ساب باقي الن�سب المثلثية يلزم معرفة ن�صف قطر الدائرة‪،‬‬ ‫الدائرة التي مركزها (‪ُ )0،0‬يح�سب طول ن�صف القطر با�ستخدام معادلة الدائرة‬ ‫(�س= ‪� ، 3‬ص=‪ 4‬من �إحداثيي النقطة)‬ ‫�س‪� +2‬ص‪ = 2‬ر‪2‬‬ ‫‪167‬‬

‫( تعوي�س قيم �س=‪ 3‬و �س=‪)4‬‬ ‫(‪25 = 2)4 ( + 2 )3‬‬ ‫(ر= ‪ 5-‬مرفو�شة لماذا؟)‬ ‫ر=‪5±‬‬ ‫ر=‪5‬‬ ‫(تعوي�س قيم �س‪� ،‬س‪ ،‬ر)‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ،‬قا هـ =‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ،‬جتا هـ =‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ،‬قتا هـ =‬ ‫‪4‬‬ ‫جا هـ =‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫( لماذا اأُهملت جميع القيم ال�شالبة؟ )‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫إاذا كان �شلع الانتهاء لزاوية قيا�شها هـ يمر بالنقطة ( ‪ ، )12، 5‬اح�شب قيمة ك ٍل من ‪:‬جاهـ‪،‬‬ ‫جتاهـ‪ ،‬ظاهـ‪ ،‬ظتاهـ‪ ،‬قاهـ‪ ،‬قتاهـ‪.‬‬ ‫تعلمت إايجاد الن�شب المثلثية إاذا وقع �شلع الانتهاء للزاوية في و�شعها القيا�شي في الربع‬ ‫الاأول وبالاإمكان ح�شاب الن�شب المثلثية للزوايا التي يقع �شلع الانتهاء لها في الو�شع القيا�شي في‬ ‫ال أارباع الاأخرى بالاعتماد على ما يعرف ب‪õ‬ا‪ ájh‬ال‪ª‬ر‪ ،™L‬وال�شكل (‪ )11-4‬يو�شح زاوية المرجع‬ ‫للزاوية هـ في الاأرباع جميعها‪.‬‬ ‫‪©J‬ر‪∞j‬‬ ‫ت�ش ّمى الزاوية ا◊ا ّدة المح�شورة ب‪� Ú‬شلع انتهاء الزاوية هـ و‪‬ور ال�شينات زاوي َة المرجع للزاوية هـ‬ ‫ويرمز لقيا�شها بالرمز ́هـ‪.‬‬ ‫‪168‬‬

‫‪¢U‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫)‪(¢U,¢S-‬‬ ‫)‪(¢U,¢S‬‬ ‫)‪(¢U,¢S‬‬ ‫‪`n g‬‬ ‫‪`g ¢S‬‬ ‫‪`g ¢S‬‬ ‫‪`g-5180 = `n g‬‬ ‫‪`n g = `g‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫)‪(¢U,¢S‬‬ ‫)‪(¢U,¢S‬‬ ‫‪`n g‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪`n g ¢S‬‬ ‫)‪(¢U- ,¢S-‬‬ ‫)‪(¢U-,¢S‬‬ ‫‪5180-`g = `n g‬‬ ‫‪`g-5360 = `n g‬‬ ‫ال�شكل (‪.)11-4‬‬ ‫انظر ال�شكل ( ‪ )12-4‬ولاحظ العلاقة التي تحدد إ��شارة الن�سب المثلثية بالن�سبة للربع الذي‬ ‫يوجد فيه �ضلع انتهاء زاوية في و�ضعها القيا�سي‪ ،‬حيث يمكن ا�ستنتاج أ� ّن‪:‬‬ ‫جا (‪� -‬س) = ‪ -‬جا�س جتا (‪� -‬س) = جتا �س ظا (– �س) = ‪ -‬ظا �س‬ ‫‪¢SÉL‬‬ ‫‪πc‬‬ ‫‪ÖLƒe ¢SÉàb‬‬ ‫‪ÖLƒe‬‬ ‫‪¢SÉX‬‬ ‫‪¢SÉàL‬‬ ‫‪ÖLƒe‬‬ ‫‪ÖLƒe‬‬ ‫‪¢SÉàX‬‬ ‫‪¢SÉb‬‬ ‫ال�شكل (‪.)12-4‬‬ ‫‪169‬‬

‫مثال (‪)3‬‬ ‫دون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة‪ ،‬جد قيمة كل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪ )4‬جا ‪˚870‬‬ ‫‪ )2‬جا‪ ) 3 ˚330‬ظا ‪˚135‬‬ ‫ ‪ )1‬جتا‪˚240‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫الحل‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪ ) 1‬جتا ‪ - = ˚240‬جتا (‪)˚180-˚240‬‬ ‫‪¢U 5240‬‬ ‫= ‪ -‬جتا (‪0.5 - = )˚60‬‬ ‫‪560 5240‬‬ ‫‪560 5240‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫انظر ال�شكل (‪ /13-4‬أ� )‬ ‫‪¢S‬‬ ‫ال�شكل (‪� /013¢-U4‬أ‪.)56‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪ ) 2‬جا ‪ - = ˚330‬جا (‪)˚330 -˚360‬‬ ‫= ‪ -‬جا (‪0.5 - = )˚30‬‬ ‫‪¢U 5330‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪530‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫انظر ال�شكل (‪ /13-4‬ب)‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪5330‬‬ ‫‪530‬‬ ‫‪5330‬‬ ‫‪¢U 530‬‬ ‫ال�شكل (‪ /1¢3U-4‬ب)‪.‬‬ ‫‪545 ¢U 5135‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪ ) 3‬ظا ‪ - = ˚135‬ظا (‪)˚135-˚180‬‬ ‫‪545 5135‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫= ‪ -‬ظا (‪1- = )˚45‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪545 5135‬‬ ‫انظر ال�شكل (‪ /13-4‬جـ)‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫ال�شكل (‪ /1¢3U-4‬جـ)‪.‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪170‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪530 5870‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪530 5870‬‬ ‫‪530 5870‬‬

‫‪¢U‬‬ ‫‪ )4‬جا ‪ = ˚870‬جا ( ‪)˚720 -˚870‬‬ ‫= جا ‪˚150‬‬ ‫‪530‬‬ ‫‪5870‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫= جا (‪)˚150 -˚180‬‬ ‫= جا (‪0.5 =)˚30‬‬ ‫انظر ال�شكل (‪ /13-4‬د)‬ ‫ال�شكل (‪ /13-4‬د)‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫ي أاتي‪:‬‬ ‫ما‬ ‫جد قيمة‬ ‫الحا�شبة ‪،‬‬ ‫ا�شقتاخ‪1‬دا‪13‬م ا‪π‬لاآلة‬ ‫دون‬ ‫‪ )3‬ظتا‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪ )2‬جتا‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪˚300‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪µq a‬ر ‪fh‬ا‪¢ûb‬‬ ‫طريقتها‪:‬‬ ‫على‬ ‫ك ‪w‬ل‬ ‫( جا‪2‬هـ)‬ ‫قامت طالبتان بتب�شيط المقدار‬ ‫‪)1‬‬ ‫(جتا‪2‬هـ ‪ +‬جا‪2‬هـ)‬ ‫قا‪2‬هـ‬ ‫=‬ ‫‪1+‬‬ ‫ظا‪2‬هـ‬ ‫=‬ ‫جـا‪2‬هـ‬ ‫‪+‬‬ ‫جـا‪2‬هـ‬ ‫كتبت الاأولى‪:‬‬ ‫جـا‪2‬هـ‬ ‫جتـا‪2‬هـ‬ ‫ا‪eƒ∏©Ÿ ∞°VC‬ا‪∂J‬‬ ‫= جا‪2‬هـ‬ ‫جـا‪2‬هـ‬ ‫=‬ ‫( جا‪2‬هـ)‬ ‫كتبت الثانية‪:‬‬ ‫ت�شمى العلاقات‬ ‫‪1‬‬ ‫(جتا‪2‬هـ ‪ +‬جا‪2‬هـ)‬ ‫جا‪ 2‬هـ ‪ +‬جتا‪2‬هـ =‪1‬‬ ‫اأي ا◊ َّل‪� Ú‬شحيح؟ ب ّرر إاجابتك ‪.‬‬ ‫ظا‪ 2‬هـ ‪ = 1+‬قا‪ 2‬هـ‬ ‫ظتا‪ 2‬هـ ‪ = 1+‬قتا‪ 2‬هـ‬ ‫متطابقات فيثاغور�س (لماذا؟)‬ ‫‪171‬‬

‫‪� )2‬إذا كـــان �ضلع الانتهـــاء للزاويــــة هـ في الو�ضع القيا�سي يقع في الربع الثاني‪ ،‬وكان‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪ِ ،‬ج ْد جاهـ‪ ،‬ظاهـ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫جتاهـ‬ ‫قام ها�شم بحل الم�س�ألة بالطريقة الآتية‪:‬‬ ‫فر�ض �أن ́هـ هي زاوية المرجع للزاوية هـ‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إ�ذن جتا ́هـ = ‪ -‬جتاهـ =‬ ‫‪3‬‬ ‫ر�سم المثلث القائم المجاور‪ ،‬وبا�ستخدام نظرية فيثاغور�س‬ ‫ح�سب طول ال�ضلع المجاور للزاوية ́هـ هو ‪، 8‬‬ ‫وقال‪ :‬بما �أن هـ زاوية في الربع الثاني �إذن‪:‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪8‬‬ ‫جا هـ = جا ́هـ =‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ظا هـ = ‪ -‬ظا ́هـ =‬ ‫‪1‬‬ ‫ما ر�أيك في طريقة ها�شم في حل هذه الم�س�ألة؟ ‪1‬‬ ‫‪172‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ) 1‬اح�سب قيمة ك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫؛ ‪ <˚270‬هـ < ‪˚360‬‬ ‫جاهـ �إذا علمت �أن جتاهـ =‬ ‫ )‬ ‫أ�‬ ‫؛ ‪ < ˚180‬هـ < ‪˚270‬‬ ‫؛ ‪ < ˚180‬هـ < ‪˚270‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫قاهـ �إذا علمت أ�ن جاهـ =‬ ‫ب )‬ ‫‪7‬‬ ‫جـ) ظاهـ �إذا علمت �أن ظتاهـ = ‪2‬‬ ‫؛ ‪ <0‬هـ < ‪˚90‬‬ ‫‪4‬‬ ‫جاهـ ‪ ،‬جتاهـ �إذا علمت �أن ظا هـ =‬ ‫د )‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� )2‬أثبت ما ي�أتي‪:‬‬ ‫�أ ) ظا‪2‬هـ ‪ = 1+‬قا‪2‬هـ‬ ‫ب) ظتا‪2‬هـ ‪ = 1+‬قتا‪2‬هـ‬ ‫‪ ) 3‬دون ا�ستخدام ا آللة الحا�سبة‪ ،‬جد قيمة ُك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫�أ ) جا ‪ ˚300‬ب) جتا ‪˚225‬‬ ‫‪π8-‬‬ ‫قا‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫‪π15‬‬ ‫ظا‬ ‫جـ)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ) 4‬عبر عن المقادير الآتية با�ستخدام ن�سب مثلثية أ�خرى‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ -‬هـ)‬ ‫‪2‬‬ ‫) جا(‬ ‫أ�‬ ‫‪ -‬هـ)‬ ‫‪π‬‬ ‫جتا (‬ ‫ب)‬ ‫‪ -‬هـ)‬ ‫‪2π‬‬ ‫ظا (‬ ‫جـ)‬ ‫‪2‬‬ ‫د ) قتا ( ‪ +˚180‬هـ )‬ ‫‪173‬‬

‫هـ ) ظتا (‪ - ˚360‬هـ )‬ ‫و ) جتا (‪ – π‬هـ)‬ ‫‪ُ )5‬ح ّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪ )6‬ب�ِّسط كلاًّ من المقادير الآتية ‪:‬‬ ‫قتا هـ جا هـ‬ ‫)‬ ‫أ�‬ ‫ظتا هـ‬ ‫‪ -1‬جتا‪2‬هـ)‬ ‫(‬ ‫×‬ ‫قا هـ‬ ‫ب)‬ ‫جا هـ‬ ‫‪π‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جتا‬ ‫جـ)‬ ‫جا(‪-‬هـ) ‪1+‬‬ ‫‪ ،‬حيث‪:‬‬ ‫ن‪π‬‬ ‫يعبر عن مبيعات أ�حد الم�صانع المنتجة للع�صير بالعلاقة �ص= ‪ 5.5+13‬جتا‬ ‫‪) 7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫�ص عدد العلب بالمئات‪ ،‬ن الزمن بالأ�سابيع‪ ،‬اح�سب عدد العلب بعد مرور ‪� 6‬أ�سابيع‪.‬‬ ‫‪ ) 8‬قام أ�حد الم�صانع ب�إنتاج �سلعة ما وعند عر�ضها في ال�سوق وجد �أن المبيعـات من هذه‬ ‫ن‪π‬‬ ‫ال�شهـر‬ ‫ن ترتيب‬ ‫‪ ،‬حيث‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪61.7‬جا‬ ‫‪+ 72.4‬‬ ‫�س=‬ ‫ا آلتية‪:‬‬ ‫ال�سلعـــة تتبع المعادلة‬ ‫(كانون ثاني=‪� ،1‬شباط=‪ 2‬وهكذا)‪ ،‬و �س تمثل عدد القطع بالآلاف‪.‬‬ ‫اح�سب المبيعات في الأ�شهر (ني�سان‪ ،‬حزيران ‪،‬ت�شرين �أول‪ ،‬كانون أ�ول) و�أي ا أل�شهر‬ ‫تكون فيها المبيعات نف�ُسها ( برر �إجابتك)‪.‬‬ ‫‪174‬‬

‫اﻗﺘراناﺕ (الﺠﻴﺐ‪،‬ﺟﻴﺐ الﺘماﻡ‪،‬الﻈل)‬ ‫الﻔﺼل الثالﺚ‬ ‫‪Sine,Cosine and Tangent Functions‬‬ ‫ا•ل‪æ‬ت‪à‬را�ش‪L‬مامن‪ä‬حنى اقتران كل من الجيب‪ ،‬جيب التمام ‪ ،‬والظل يدو ًّيا وبا�شتخدام الحا�شوب‪.‬‬ ‫• تجد المجال والمدى والدورة وال�شعة لاقتران مثلثي ( إان أامكن)‪.‬‬ ‫• ت�شف �شلوك منحنى الاقترانات المثلثية تحت ت أاثير التحويلات (الان�شحاب الر أا�شي وال أافقي)‪.‬‬ ‫ال�شكل المجاور يب‪ Ú‬التخطيط النا‪ œ‬عن جهاز‬ ‫لقيا�س نب�شات القلب‪ ،‬والر�شم الموجود ي�شبه إالى‬ ‫حد كبير ر�شومات الاقترانات المثلثية‪ .‬وبذلك‬ ‫يت�شح ارتباطها با◊ياة العملية‪.‬‬ ‫تعتبر الاقترانات المثلثية مثا ًلا على نوع من الاقترانات التي ُتعرف با’‪àb‬را‪f‬ا‪ ä‬ال‪( ájQhó‬اقترانات‬ ‫تكرر نف�شها كل دورة معينة)‪.‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫ار�شم منحنى الاقتران ق(�س) = جا�س حيث �س [ ‪]π2 ،0‬‬ ‫الحل‬ ‫لر�شم منحنى الاقتران ق(�س) = جا�س على الفترة [ ‪ ،] π2 ،0‬نـكون جدو ًلا يحوي قي ًما للمتغير‬ ‫�س ثم نجد قيم ق(�س) المقابلة بتعوي�س قيم �س في الاقتران ق(�س)‪:‬‬ ‫ا÷دول (‪.)1-4‬‬ ‫‪π2‬‬ ‫‪π7‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪π5‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫�س ‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫جا�س ‪0 0.7- 1- 0.7- 0 0.7 1 0.7 0‬‬ ‫‪175‬‬

‫بعد ذلك نعين النقط (�س ‪ ،‬جا�س) الناتجة في الم�شتوى البياني ون�شلها بخ ٍّط منح ٍن أامل�س فنح�شل‬ ‫على ال�شكل ال آاتي‪:‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 ¢S‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫ال�شكل (‪.)14-4‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫ار�شم منحنى الاقتران ق(�س) = جتا�س على الفترة [‪.] π2 ، π2-‬‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫ار�شم منحنى الاقتران ق(�س) = جا�س على الفترة [ ‪.]π4 ،0‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫الحل‬ ‫‪1‬‬ ‫نطبق الخطوات ال�شابقة‬ ‫‪0^5‬‬ ‫فينتج ال�شكل الاآتي‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫لاحظ اأن الاقتران يكرر ‪¢S‬‬ ‫‪0^5-‬‬ ‫نف�شه كل ‪ ˚360‬لذلك‬ ‫‪1-‬‬ ‫�ُشمي ا‪àb‬را‪kf‬ا ‪vjQhO‬ا‪.‬‬ ‫ال�شكل (‪.)15-4‬‬ ‫لاحظ اأن الزوايا (�س‪2 +‬ن× ‪ ،)π‬حيث ن عدد �شحيح‪ ،‬لها �شلع الانتهاء نف�ُشه وبذلك يكون لها‬ ‫نف�س الن�شب المثلثية للزاوية �س ‪.‬‬ ‫‪176‬‬

‫‪©J‬ر‪∞j‬‬ ‫اإذا كان ق(�س ‪ +‬اأ ) = ق(�س) لكل �س في ›ال ق حيث أا عدد ثابت‪ ،‬ف إان ق ُي�شمى اقترا ًنا‬ ‫دور ًّيا‪ ،‬و ُت�شمى اأ�شغر قيمة حقيقية موجبة للعدد اأ التي –قق المعادلة ال�شابقة ‪ In QhO‬ا’‪Îb‬ان ‪.¥‬‬ ‫لاحظ اأن الاقتران جا�س يمكن كتابته على ال�شورة ق(�س)= جا(�س‪ )π2+‬فهو يكرر نف�شه كل‬ ‫‪ π2‬و دورته‪.π2‬‬ ‫‪©J‬ر‪∞j‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) اقترا ًنا دور ًّيا ‪‬دو ًدا ف إان الفرق ب‪ Ú‬اأعلى قيمة للاقتران و أا�شغر قيمة للاقتران‬ ‫مق�شومة على ‪ ،2‬ي�شمى �شعة الاقتران‪ ،‬أاي اأ ّن‪:‬‬ ‫ق‬ ‫للاقتران‬ ‫قيمة‬ ‫‪ -‬أادنى‬ ‫ق‬ ‫للاقترن‬ ‫قيمة‬ ‫اأكبر‬ ‫=‬ ‫ال�شعة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪jh‬ف†‪°‬ل ‪Ñb‬ل ‪ º°SQ‬ا‪æe …C‬ح‪àb’ ≈æ‬ران ‪E …QhO‬ا‪éj‬ا‪ O‬ال‪ h IQhó‬ال‪ á©°ù‬ل‪°ùà‬ا‪ º°SQ »a óY‬ا’‪àb‬ران‪.‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫جد �شعة الاقتران ق(�س)= ‪ 2‬جا�س‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫بما اأ ّن اأكبر قيمة للاقتران (جا�س) هي ‪ 1‬فاإ ّن أاكبر قيمة للاقتران ق(�س) =‪2‬جا�س هي‪:‬‬ ‫‪2 = 1 ×2‬‬ ‫واأ�شغر قيمة للاقتران (جا�س) هي ‪ 1-‬فاإ ّن أا�شغر قيمـة للاقـتران ق(�س) = ‪2‬جا�س هي‪:‬‬ ‫‪2- = 1- ×2‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫(‪)2-‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫=‬ ‫ال�شعة‬ ‫ت�شبح‬ ‫وبذلك‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪177‬‬

‫مثال (‪)٤‬‬ ‫‪.‬‬ ‫�س‬ ‫جتا‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫الاقتران‬ ‫دورة‬ ‫اح�شب‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬ن‪π‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫الحل‬ ‫‪ π4‬ن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ .‬ف إا ّن‪:‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= جتا (‬ ‫جتا‬ ‫أان‬ ‫بما‬ ‫=‪ 3‬جتا‬ ‫(توحيد مقامات الزاوية)‬ ‫�س‬ ‫�س‪+‬‬ ‫�س= ‪ 3‬جتا‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫كل ‪.π4‬‬ ‫إاذن تتكرر كل قيمة من قيم �س = ‪ 3‬جتا‬ ‫اإذن‪ ،‬دورة الاقتران ‪.π4‬‬ ‫يمكن ح�شاب دورة الاقتران ال�شابق بطريقة مختلفة كما ياأتي‪:‬‬ ‫�س‬ ‫( �شرب المتباينة بـالعدد ‪)2‬‬ ‫< ‪π2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪<0‬‬ ‫< ‪، π4‬‬ ‫�س‬ ‫‪<0‬‬ ‫‪.π4‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫–‬ ‫‪π4‬‬ ‫=‬ ‫الاقتران‬ ‫دورة‬ ‫فتكون‬ ‫ب�شكل عام يمكن تحديد دورة الاقتران وال�شعة كما ياأتي‪:‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) = اأ ×جا( ب �س‪ +‬جـ) ‪ ،‬أاو ق(�س) = اأ×جتا(ب �س‪+‬جـ) حيث اأ≠�شف ًرا‪،‬‬ ‫‪π2‬‬ ‫|‪.‬‬ ‫أا‬ ‫ال�شعة = |‬ ‫‪،‬‬ ‫|ب|‬ ‫=‬ ‫الدورة‬ ‫فاإ ّن‬ ‫ب≠�شف ًرا‬ ‫مثال (‪)5‬‬ ‫)‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ق(�س) = ‪ 2‬جتا (�س‪+‬‬ ‫جد الدورة وال�شعة للاقتران‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪.π2‬‬ ‫‪π2‬‬ ‫=‬ ‫‪π2‬‬ ‫=‬ ‫الدورة‬ ‫الحل‬ ‫|‪|1‬‬ ‫|ب|‬ ‫ال�شعة = |‪، 2 = |2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫�س‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫جا‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫جد دورة و�شعة الاقتران‬ ‫‪178‬‬

‫مثال (‪)6‬‬ ‫)‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ار�سم منحنى الاقتران ق(�س) = ظا�س‪ ،‬على الفترة (‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الحل‬ ‫لر�سم منحنى اقتران الظل نكون الجدول الآتي‪ ،‬حيث ن�أخذ قي ًما لـلمتغير �س ثم نجد قيم ق(�س)‬ ‫المقابلة لها بتعوي�ض قيم �س في الاقتران ق(�س)‪.‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪π4‬‬ ‫‪π5‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪π-‬‬ ‫‪π-‬‬ ‫‪π-‬‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ق(�س)‬ ‫غير‬ ‫‪1.7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫غير‬ ‫‪1.7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪1.7-‬‬ ‫غير‬ ‫مع ّرف‬ ‫مع ّرف‬ ‫مع ّرف‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫وم�ضاعفاتها‪ ،‬ثم نعين النقاط‬ ‫‪2‬‬ ‫و‬ ‫‪2‬‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫للر�سم‬ ‫العمودي‬ ‫بالمحاذي‬ ‫يعرف‬ ‫ما‬ ‫نر�سم‬ ‫في الم�ستوى البياني ثم ن�صل بخ ٍّط منح ٍن �أمل�س فيتنج ال�شكل ا آلتي‪:‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫ال�شكل (‪.)16-4‬‬ ‫‪π‬‬ ‫انظر الجدول الآتي‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫لمعرفة �سلوك منحنى اقتران الظل عندما تقترب الزاوية من‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪˚89.99 ˚89.9 ˚89.8 ˚89.6 ˚89.3 ˚89‬‬ ‫غير‬ ‫‪57029.58‬‬ ‫‪572.96‬‬ ‫‪286.48‬‬ ‫‪143.24‬‬ ‫‪81.85‬‬ ‫‪57.29‬‬ ‫ظا�س‬ ‫مع ّرف‬ ‫‪179‬‬

‫نشاط‬ ‫با�ستخدام برمجية �إك�سل ار�سم منحنى الاقتران ق(�س)= جا�س ‪� < ˚0 ،‬س < ‪.˚360‬‬ ‫ ‪ )1‬ن�ضع الم�ؤ�شر في الخلية ‪ A1‬ونقوم ب�إدخال البيانات التي تمثل الزوايا الأ�سا�سية وما‬ ‫يقابلها في الأرباع الأربعة في العمود الأول(‪.)A‬‬ ‫فتظهر القيم في العمود (‪ )A‬كما هو مو�ضح في ال�شكل (‪.)17-4‬‬ ‫ال�شكل (‪.)17-4‬‬ ‫‪� )2‬ضع الم�ؤ�شر في الخلية ‪ .B1‬واكتب قاعدة التحويل من القيا�س ال�ستيني �إلى التقدير‬ ‫الدائري على ال�صورة ‪=(A1*22/7)/180‬‬ ‫كما في ال�شكل (‪ .)18-4‬ثم ا�ضغط ‪Enter‬‬ ‫ال�شكل (‪.)18-4‬‬ ‫‪180‬‬

‫ ‪ )3‬ا�سحب الم�ؤ�شر على جميع الخلايا التي كتبتها ليظهر لك مجموعة القيم في العمود‬ ‫‪ .B‬كما في ال�شكل (‪.)19-4‬‬ ‫ال�شكل (‪.)19-4‬‬ ‫ ‪� ) 4‬ضع الم ؤ��ش��ر في الخلية ‪ ، C1‬ومن تبويبة ال�صيغ )‪ ،(Formulas‬اختر ( إ�دراج) دالة‪،‬‬ ‫فيظهر لك �صندوق حوار �إدراج كما في ال�شكل(‪.)20-4‬‬ ‫ال�شكل (‪.)20-4‬‬ ‫‪181‬‬

‫ ‪ ) 5‬اختر الدالة (‪ )SIN‬وانقر على موافق‪ ،‬يظهر لك �صندوق حوار الدالة كما في‬ ‫ال�شكل(‪ ،)20-4‬اكتب ‪ B1‬في م�ستطيل (‪ ،)Number‬كما في ال�شكل (‪.)21-4‬‬ ‫ال�شكل (‪.)21-4‬‬ ‫ ‪ ) 6‬ا�سحب الم�ؤ�شر على جميع الخلايا التي كتبتها ليظهر لك مجموعة القيم في العمود‬ ‫‪ .C‬كما في ال�شكل(‪)22-4‬‬ ‫ال�شكل (‪.)22-4‬‬ ‫ ‪ ) 7‬ظلل العمودين ‪ A, C‬ثم اختر من تبويبة �إدراج مجموعة مخططات نوع المخطط‪،‬‬ ‫)‪ (LINE‬ثم اختر من الأ�شكال ال�شكل �س‪� ،‬ص مبعثر(‪ )xy-Scatter‬ثم اختر نوع‬ ‫‪182‬‬

‫المنحنى كما في ال�شكل (‪.)23-4‬‬ ‫ال�شكل (‪.)23-4‬‬ ‫‪ )8‬اختر موافق ليظهر لك ر�شم منحنى الاقتران‪:‬‬ ‫ق(�س)= جا �س حيث ‪� < ˚0‬س < ‪ ˚360‬كما في ال�شكل(‪.)24 -4‬‬ ‫ال�شكل (‪.)24-4‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫ا�شتخدم برمجية إاك�شل لر�شم منحنى ك ٍّل من الاقترانات الاآتية‪:‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = جتا �س على الفترة [‪]π2 ، 0‬‬ ‫‪ )2‬هـ(�س) = ‪2‬جتا �س ‪� ،‬س [‪]π2 ، 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫[‪]π2 ، 0‬‬ ‫جتا �س ‪� ،‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )3‬هـ(�س) =‬ ‫‪183‬‬

‫‪µq a‬ر ‪fh‬ا‪¢ûb‬‬ ‫ماذا تلاحظ من خلال حلك لتدريب (‪)3‬؟ ناق�س مع زملائك ما تو�شلت إاليه‪.‬‬ ‫‪] [π‬‬ ‫مثال (‪)٧‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π-‬‬ ‫ار�شم منحنى ق(�س) = جا (‪�2‬س ‪ ) π +‬وجد الدورة وال�شعة له‪� ،‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫الحل‬ ‫‪.π‬‬ ‫=‬ ‫‪π2‬‬ ‫=‬ ‫‪π2‬‬ ‫=‬ ‫الدورة‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫|‬ ‫أا‬ ‫|‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫|ب|‬ ‫ال�شعة‬ ‫‪ )1‬ك ّون جدو ًلا بقيم �س ‪ ،‬ق(�س)‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π-‬‬ ‫‪π-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫�شفر‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫‪¢U‬‬ ‫ق(�س) ‪0 1- 0 1 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )2‬عين النقاط التي ‪üM‬ش∏‪ â‬ع∏يها في الم�شتوى‬ ‫‪1‬‬ ‫البياني‪ ،‬ثم ِ�ش ْل بينها بخ ٍّط منح ٍن أامل�س كما في‬ ‫‪0 ¢S‬‬ ‫ال�شكل ال آاتي‪:‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫ال�شكل (‪.)25-4‬‬ ‫]‬ ‫‪π‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π-‬‬ ‫[‬ ‫‪µq a‬ر ‪fh‬ا‪¢ûb‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫كيف تتوقع أان يكون �شكل منحنى ل(�س) = ‪2‬جا(‪�2‬س ‪� ،)π +‬س‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٤‬‬ ‫ار�شم منحنى ك ٍّل من الاقترانات ال آاتية وجد الدورة وال�شعة لك ٍّل منها‪:‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = ‪3‬جتا ‪�2‬س ‪� ،‬س [‪]π ، 0‬‬ ‫�س‬ ‫‪] [π3‬‬‫‪π-‬‬ ‫[‪]π4 ، 0‬‬ ‫�س‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جتا‬ ‫=‬ ‫ل(�س)‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪،‬‬ ‫) ‪� ،‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )3‬هـ(�س) = ‪2‬جتا (�س ‪+‬‬ ‫‪184‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ )1‬جد الدورة و ال�سعة لك ٍّل من الاقترانات الآتية‪:‬‬ ‫ �أ ) ل(�س) = ‪ 3 -5‬جا (�س ‪)π23 -‬‬ ‫ب) هـ(�س) = ‪ 4 +1‬جا (‪�3‬س ‪)π +‬‬ ‫جـ) ك(�س) = ‪ 2‬جتا ‪� 3‬س‬ ‫ ‪ ) 2‬ار�سم منحنى الاقترانات الآتية ثم قارن منحنى ك ٍّل منها بمنحنى الاقتران جا�س أ�و جتا�س‪:‬‬ ‫‪π2‬‬ ‫[‪0‬‬ ‫]‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫[‪-‬‬ ‫‪� ,‬س‬ ‫ �أ ) ق(�س) = ‪ +2‬جا ‪� 3‬س‬ ‫‪� ,‬س‬ ‫ ب) ل(�س) = جتا (�س‪)π+‬‬ ‫‪]π , π‬‬ ‫‪� ،‬س [‪ ] π2 , 0‬‬ ‫جـ) و(�س) = ‪ 2‬جا�س‬ ‫‪� ،‬س [‪]π2 , 0‬‬ ‫ د ) هـ(�س) = ‪ 4‬جا‪�2‬س‬ ‫هـ) ك(�س) = جا (‪�2‬س‪� ، )π2+‬س [‪]0 , π -‬‬ ‫‪π‬‬ ‫�س‬ ‫[‪]π5 , π‬‬ ‫�س‬ ‫‪،‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫جا‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫ع(�س)‬ ‫و)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫ار�سم منحنى كل من الاقترانين ق (�س) = ‪ -‬جتا�س ‪ ،‬ل( �س) = ‪ -‬جتا (�س‪-‬‬ ‫ ‪) 3‬‬ ‫على الم�ستوى البياني نف�سه واكتب ا�ستنتاجاتك مع التبرير‪.‬‬ ‫ ‪ ) 4‬الجدول ا آلتي يو�ضح معدل ما دفعته �أ�سرة �أردنية ثم ًنا لفواتير الكهرباء في �إحدى ال�سنوات‬ ‫مقر ًبا لأقرب دينار �أردن ّي‪:‬‬ ‫كانون‬ ‫ت�شرين‬ ‫ت�شرين‬ ‫أ�يلول‬ ‫�آب‬ ‫تموز‬ ‫حزيران‬ ‫آ�يار‬ ‫ني�سان‬ ‫آ�ذار‬ ‫�شباط‬ ‫كانون‬ ‫ال�شهر‬ ‫أ�ول‬ ‫ثاني‬ ‫أ�ول‬ ‫ثاني‬ ‫‪28‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪17 15 14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪20 24 29 32‬‬ ‫‪30‬‬ ‫فاتورة‬ ‫الكهرباء‬ ‫مثل نقاط الجدول ( ال�شهر‪ ،‬فاتورة الكهرباء) في الم�ستوى البياني و�صل بينها بخ ٍّط منح ٍن‬ ‫أ�مل�س‪ ،‬ثم اقترح اقترا ًنا يعتمد على اقتران الجيب بحيث يكون ر�سمه البياني ي�شبه الر�سم الناتج‪.‬‬ ‫‪185‬‬

‫الفـترة‬ ‫فـي‬ ‫اقـتران‬ ‫كـل‬ ‫ُيم ّثل‬ ‫الـذي‬ ‫المنحـنى‬ ‫رمــز‬ ‫اكـتب‬ ‫(‪)26-4‬‬ ‫معتمـ ًدا علـى ال�شــكـل‬ ‫‪ ) 5‬‬ ‫[‪ ]π2 , 0‬في ما ي أ�تي‪:‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪CG‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Ü‬‬ ‫‪`L‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪121-‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫ال�شكل (‪.)26-4‬‬ ‫‪ ,‬رمز المنحى هو ‪..........‬‬ ‫جا �س‬ ‫‪1‬‬ ‫أ� ) ق (�س) =‬ ‫‪2‬‬ ‫ب ) ب (�س) = ‪3‬جا �س ‪ ,‬رمز المنحى هو ‪..........‬‬ ‫جـ) هـ (�س) = جا�س ‪ ،‬رمز المنحى هو ‪..........‬‬ ‫‪186‬‬

‫المﻌاﺩﻻﺕ والمﺘﻄاﺑﻘاﺕ المثﻠثﻴﺔ‬ ‫الﻔﺼل الراﺑﻊ‬ ‫‪Trigonometric Identities and Equations‬‬ ‫ال‪àæ‬ا‪L‬ا‪ä‬‬ ‫• تحلل متطابقات مثلثية ت�شمل مجموع زاويتين والفرق بينهما‪ ،‬وتبرهنها‪.‬‬ ‫• تحلل وتبرهن متطابقات مثلثية جبر ًّيا (ت�شمل �شعف الزاوية ون�شفها)‪.‬‬ ‫• تحل معادلة مثلثية من الدرجة الاأولى والثانية‪.‬‬ ‫)‪Trigonometric Identities (1‬‬ ‫أو ًﻻ‪ :‬اﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ )‪(١‬‬ ‫يـمر تيار كهربائي متردد في إاحدى الدارات الكهربائية‪،‬‬ ‫ويـعطــى التيــار ت بالعـلاقـــة ت = ‪ 7‬جــا ‪˚75‬ن‪،‬‬ ‫حيث‪ :‬ن الزمن بالثواني‪ ،‬وقيا�س الزاوية بالدرجات‪.‬‬ ‫هل ت�شتطيع كتابة العلاقة ال�شابقة بطريقة اأخرى؟‬ ‫ت�شتخـدم في مثل هذه الحالة متطابقات مجمـوع زاويتين (الفرق بينهمـا) ل إايجـاد قيم الن�شب‬ ‫المثلثية عند بع�س الزوايا التي يمكن كتابتها على �شكل حا�شل جمع زاويتين أاو الفرق بينهما‪ ،‬إاذا‬ ‫ُعلمت الن�شب المثلثية لك ٍّل منها‪.‬‬ ‫إاذا كان أا ‪ ،‬ب قيا�شين لزاويتين ف إا ّن‪:‬‬ ‫‪ )1‬جتا ( اأ ‪ -‬ب ) = جتا أاجتا ب ‪ +‬جا اأ جا ب‬ ‫‪ )2‬جتا (اأ ‪ +‬ب) = جتا أا جتا ب – جا اأ جا ب‬ ‫‪ )3‬جا( أا ‪ +‬ب) = جا اأجتا ب ‪ +‬جا ب جتا اأ‬ ‫‪ )4‬جا ( أا ‪ -‬ب ) = جا أاجتا ب ‪ -‬جا ب جتا اأ‬ ‫ظا أا ‪ -‬ظاب‬ ‫‪ + 1‬ظا اأ ظاب‬ ‫=‬ ‫ظا ( أا ‪ -‬ب)‬ ‫‪)5‬‬ ‫ظا اأ ‪ +‬ظاب‬ ‫=‬ ‫ظا ( أا ‪ +‬ب)‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪ - 1‬ظا أا ظاب‬ ‫‪187‬‬

‫البرهان‬ ‫برهان الفرع (‪)1‬‬ ‫افتر�ض �أ ّن زاويتين قيا�سهما �أ و ب في دائرة الوحدة‬ ‫كما في ال�شكل (‪ )24-4‬ف�إ ّن‪:‬‬ ‫(جتا �أ ‪ ،‬جا �أ )‬ ‫(جتا ب ‪ ،‬جا ب) جـ أ� ‪ -‬ب‬ ‫د‬ ‫�أ ب‬ ‫م‬ ‫ال�شكل (‪.)24-4‬‬ ‫(قانون الم�سافة بين نقطتين)‬ ‫( جـ د)‪( = 2‬جتا ب – جتا أ� )‪ ( + 2‬جاب ‪ -‬جا أ� )‪2‬‬ ‫= جتا‪2‬ب – ‪ 2‬جتا ب جتا�أ ‪ +‬جتا‪ 2‬أ�‪ +‬جا‪2‬ب ‪2 -‬جا �أجاب ‪+‬جا‪ 2‬أ� ( فك ا ألقوا�س )‬ ‫= (جتا‪ 2‬أ� ‪+‬جا‪ 2‬أ�)‪( +‬جا‪2‬ب ‪ +‬جتا‪2‬ب) ‪ 2-‬جتاب جتا أ�‪ 2 -‬جا �أجاب (تجميع حدود )‬ ‫= ‪ 2 – 2‬جتاب جتا أ� ‪ 2 -‬جا أ�جاب ‪( )1(........‬جا‪2‬هـ‪+‬جتا‪2‬هـ=‪)1‬‬ ‫(جـ د)‪( = 2‬م جـ)‪( +2‬م د)‪ ( 2 – 2‬م جـ )× (م د) ×جتا (�أ‪ -‬ب) (ا�ستخدام قانون جيب التمام)‬ ‫(م جـ = م د = ‪ 1‬أ�ن�صاف �أقطار )‬ ‫= ‪ ×1 × 1 ×2( - 1+ 1‬جتا (�أ‪ -‬ب))‬ ‫= ‪ 2 - 2‬جتا (�أ‪ -‬ب) ‪)2 (.............................‬‬ ‫( طرح ‪ 2‬من الطرفين)‬ ‫من المعادلتين (‪ )1‬و (‪ )2‬ينتج ‪:‬‬ ‫‪ 2 – 2‬جتا ( أ� ‪ -‬ب)= ‪ 2-2‬جتاب جتا أ� ‪ 2 -‬جا أ�جاب‬ ‫( الق�سمة على‪) 2-‬‬ ‫‪ 2-‬جتا (�أ ‪ -‬ب) = ‪ 2 -‬جتا ب جتا أ� ‪2-‬جا أ� جاب‬ ‫ومن ذلك ينتج �أن ‪ :‬جتا (�أ‪ -‬ب) = جتا �أجتاب ‪ +‬جا أ� جا ب‬ ‫‪188‬‬

‫مثال (‪)1‬‬ ‫اأثبت اأ ّن جتا ( أا‪+‬ب)= جتا أا جتاب ‪ -‬جاب جا اأ‬ ‫الحل‬ ‫لاإثبات المتطابقات نبداأ من الطرف ال أايمن لن�شل اإلى الطرف الاأي�شر ( أاو بالعك�س)‪.‬‬ ‫(كتابة اأ‪+‬ب على �شورة أا ‪- -‬ب)‬ ‫الطرف الاأيمن‪:‬جتا ( أا ‪ +‬ب) =جتا (اأ‪ -( -‬ب))‬ ‫( متطابقة (‪))1‬‬ ‫= جتا أاجتا (‪ -‬ب) ‪ +‬جا أا جا (‪ -‬ب)‬ ‫(جتا (– �س )= جتا �س‪ ،‬جا (– �س)= ‪ -‬جا �س)‬ ‫= جتا اأ جتاب ‪ +‬جا أا ×(‪ -‬جاب)‬ ‫= جتا اأجتا ب ‪ -‬جا اأ جا ب‬ ‫وبذلك نكون ح�شلنا على الطرف الاأي�شر‪.‬‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫اأثبت أا ّن جا (اأ‪ +‬ب) = جا اأ جتاب ‪ +‬جا ب جتا اأ‬ ‫الحل‬ ‫الطرف الاأيمن = جا( اأ‪ +‬ب)‬ ‫)==جتجاتا(((‪-π2π2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫(جيب الزاوية = جيب تمام متممتها)‬ ‫‪-‬اأ) ‪ -‬ب)‬ ‫( أا‪+‬ب)‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جتا (‬ ‫جاب (المتطابقة (‪))1‬‬ ‫‪ -‬اأ)‬ ‫‪π‬‬ ‫جا(‬ ‫‪+‬‬ ‫ب‬ ‫جتا‬ ‫أا)‬ ‫‪2‬‬ ‫(جيب الزاوية = جيب تمام متممتها)‬ ‫= جا أاجتا ب ‪+‬جاب جتا أا‬ ‫= الطرف ال أاي�شر‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫اأثبت أا ّن ‪ )1‬جا (‪� + π‬س) = ‪ -‬جا �س‬ ‫‪π3‬‬ ‫�س‬ ‫جتا‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫�س‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫جا‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪ )3‬جتا ( ‪� -π‬س) = ‪ -‬جتا�س‬ ‫‪189‬‬

‫مثال (‪)3‬‬ ‫دون ا�ستخدام ا آللة الحا�سبة اح�سب قيمة ك ٍّل مما ي�أتي‪� ،‬إذا علمت �أ ّن‪:‬‬ ‫جا ‪ = 30‬جتا‪ ، 0٫5 = ˚60‬جتا‪ = ˚30‬جا‪ ، 0٫87 = ˚60‬جا‪ = ˚45‬جتا‪0٫7 = ˚45‬‬ ‫‪ )2‬جا ‪˚75‬‬ ‫ ‪ ) 1‬جتا ‪˚105‬‬ ‫‪ )4‬جتا‪˚24‬جتا ‪ - ˚36‬جا ‪˚24‬جا‪˚36‬‬ ‫‪ ) 3‬ظا ‪˚15‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ ) 1‬جتا (‪ = )˚105‬جتا (‪ = )˚45+˚60‬جتا ‪˚60‬جتا‪ - ˚45‬جا‪˚60‬جا‪( ˚45‬المتطابقة (‪))2‬‬ ‫= ‪0.259 - =0.609- 0.35 =0.7 × 0.87 – 0.7 × 0.5‬‬ ‫(تعوي�ض القيم)‬ ‫(‪)˚30+˚45= ˚75‬‬ ‫‪ ) 2‬جا ( ‪ = )˚75‬جا( ‪)˚30 +˚45‬‬ ‫( المتطابقة (‪))3‬‬ ‫= جا ‪ ˚45‬جتا ‪ + ˚30‬جا ‪ ˚30‬جتا ‪˚45‬‬ ‫= ‪0.959= 0.35+ 0.609 = 0.7 × 0.5 + 0.87 × 0.7‬‬ ‫( تعوي�ض القيم)‬ ‫‪ ) 3‬ظا ‪ =˚15‬ظا ( ‪)˚45 -˚60‬‬ ‫(‪)˚45-˚60=˚15‬‬ ‫= ‪ 1‬ظ‪+‬ا‪0‬ظا‪×˚-6˚06‬ظاظ‪5‬ا‪˚4˚54‬‬ ‫( المتطابقة (‪))5‬‬ ‫‪0.74‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 - 1.74‬‬ ‫=‬ ‫( تعوي�ض القيم)‬ ‫‪2٫74‬‬ ‫‪* 1.74 + 1‬‬ ‫(تب�سيط)‬ ‫= ‪0.27‬‬ ‫( المتطابقة (‪))2‬‬ ‫‪ )4‬جتا‪˚24‬جتا‪ - ˚36‬جا ‪˚24‬جا‪ = ˚36‬جتا (‪)˚24+˚36‬‬ ‫(تب�سيط)‬ ‫= جتا‪˚60‬‬ ‫( تعوي�ض)‬ ‫= ‪0٫5‬‬ ‫‪190‬‬

‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫اح�شب قيمة ك ٍّل مما ياأتي دون ا�شتخدام الاآلة الحا�شبة‪:‬‬ ‫‪ )1‬جتا ‪˚70‬جتا ‪ + ˚25‬جا ‪˚70‬جا‪˚25‬‬ ‫‪ )2‬جتا ‪˚75‬‬ ‫‪ )3‬ظا ‪˚105‬‬ ‫مثال (‪)٤‬‬ ‫إاذا كان جا أا = ‪،0.4‬جتا ب = ‪ 0.3-‬حيث‪ < ˚0 :‬اأ < ‪ < ˚90 ، ˚90‬ب < ‪˚180‬‬ ‫اح�شب قيمة كل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬جا ( اأ ‪ +‬ب)‬ ‫‪ )2‬جتا ( اأ ‪ -‬ب)‬ ‫( تعوي�س جا أا =‪)0.4‬‬ ‫الحل‬ ‫( طرح ‪0.16‬من الطرفين)‬ ‫نجد جتا اأ با�شتخدام المتطابقة جا‪ 2‬أا ‪ +‬جتا‪ 2‬أا = ‪1‬‬ ‫(ن أاخذ الجذر للطرفين)‬ ‫(‪+ 2)0.4‬جتا‪ 2‬أا = ‪1‬‬ ‫(لاأ َّن أا في الربع الاأول)‬ ‫جتا‪ 2‬أا = ‪0.16- 1‬‬ ‫( تعوي�س جتا ب =‪)0.3-‬‬ ‫( طرح ‪ 0.09‬من الطرفين)‬ ‫= ‪0.84‬‬ ‫( ناأخذ الجذر للطرفين)‬ ‫جتا أا = ‪0.91‬‬ ‫( ب في الربع الثاني )‬ ‫نجد جا ب با�شتخدام المتطابقة جا‪2‬ب ‪ +‬جتا‪2‬ب = ‪1‬‬ ‫( المتطابقة (‪))3‬‬ ‫جا‪ 2‬ب ‪1=2)0.3-( +‬‬ ‫جا‪2‬ب = ‪0.09 -1‬‬ ‫جا‪2‬ب = ‪0.91‬‬ ‫جا ب = ‪0.95‬‬ ‫يمكن الاآن ح�شاب المطلوب بتعوي�س القيم المعطاة والمح�شوبة‪:‬‬ ‫‪ )1‬جا (اأ ‪ +‬ب ) = جا اأجتاب ‪ +‬جاب جتا اأ‬ ‫‪191‬‬

‫( تعوي�س القيم)‬ ‫= ‪0.91 ×0.95 +0.3-×0.4‬‬ ‫(تب�شيط )‬ ‫= (‪)0.86 +0.12-‬‬ ‫(المتطابقة (‪))1‬‬ ‫( تعوي�س القيم)‬ ‫= ‪0.74‬‬ ‫( تب�شيط)‬ ‫‪ )2‬جتا ( أا‪ -‬ب) = جتا اأ جتا ب ‪ +‬جا أاجا ب‬ ‫= ‪0.95 × 0.4 +0.3 -×0.91‬‬ ‫= ‪0.38 + 0.27-‬‬ ‫= ‪0.11‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫‪� <˚180 ،‬س< ‪˚270‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إاذا كان جا�س = ‪-‬‬ ‫‪� <˚180 ،‬س< ‪˚270‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫جتا �س= ‪-‬‬ ‫‪13‬‬ ‫فاح�شب قيمة ك ٍّل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬جا (�س‪� -‬س)‬ ‫‪ )2‬جتا (�س‪�+‬س)‬ ‫‪ )3‬ظا (�س‪� -‬س)‬ ‫نحتاج اأحيان ًا أان نكتب الجيب وجيب التمام لزاويتين كحا�شل �شرب وهذه المتطابقات‬ ‫تجعل العمليات الح�شابية �شهلة‪ ،‬والنظرية ال آاتية ت�شتخدم حا�شل �شرب الجيب وجيب التمام‬ ‫لحا�شل جمع جيبين أاو جيبي تمام‪:‬‬ ‫�س ‪� -‬س‬ ‫جتا‬ ‫�س ‪� +‬س‬ ‫جا�س ‪ +‬جا �س = ‪ 2‬جا‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫جا‬ ‫‪2‬‬ ‫جتا‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫جا‬ ‫–‬ ‫جا�س‬ ‫‪)2‬‬ ‫�س‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‬ ‫جتا‬ ‫�س‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫‪2‬جتا‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫جتا‬ ‫‪+‬‬ ‫جتا�س‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪� -‬س‬ ‫�س‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫جا‬ ‫‪2‬‬ ‫جا‬ ‫‪2-‬‬ ‫=‬ ‫جتا�س‬ ‫–‬ ‫جتا�س‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪192‬‬

‫‪� -‬س‬ ‫�س‬ ‫جتا‬ ‫�س ‪� +‬س‬ ‫جا‬ ‫=‪2‬‬ ‫جا �س‬ ‫جا�س ‪+‬‬ ‫الاأولى‬ ‫المتطابقة‬ ‫لبرهنة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪� +‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫اأ‬ ‫نفر�س اأن ‪� :‬س = اأ ‪ +‬ب‬ ‫( لماذا؟)‬ ‫�س‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‬ ‫=‬ ‫ب‬ ‫�س = اأ – ب‬ ‫‪2‬‬ ‫جا (اأ‪ +‬ب ) = جا أا جتا ب ‪ +‬جاب جتا أا‪ ( )1(.........‬المتطابقة (‪))3‬‬ ‫جا ( اأ‪ -‬ب) = جا اأجتا ب ‪ -‬جتا اأ جا ب ‪ ( )2(........‬المتطابقة (‪))4‬‬ ‫( جمع المعادلة (‪ )2(+ )1‬وتب�شيط)‬ ‫= ‪ 2‬جا اأ جتاب‬ ‫(تعوي�س قيم اأ ‪ ،‬ب المح�شوبة )‬ ‫�س ‪� -‬س‬ ‫جتا‬ ‫�س ‪� +‬س‬ ‫جا �س ‪ +‬جا �س = ‪ 2‬جا‬ ‫وهو المطلوب‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٤‬‬ ‫اأثبت باقي اأجزاء المتطابقات في �شفحة ‪.192‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)5‬‬ ‫أاثبت أا ّن‪:‬‬ ‫جا(�س ‪� +‬س)‬ ‫= ظا �س ‪ +‬ظا �س‬ ‫جتا�س جتا�س‬ ‫‪)1‬‬ ‫ظا�س ‪ -‬ظا�س‬ ‫=‬ ‫جا(�س ‪� -‬س)‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪ - 1‬ظا�س ظا�س‬ ‫جتا(�س ‪� +‬س)‬ ‫‪193‬‬

‫مثال (‪)5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬ظا‪8+‬ظ‪7‬ا˚‪˚-78‬ظاظا‪= ˚˚4488‬‬ ‫ب ّين اأ ّن‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الحل‬ ‫( المتطابقة (‪))5‬‬ ‫= ظا (‪)˚48 -˚78‬‬ ‫‪1‬ظا‪8+‬ظ‪7‬ا˚‪˚-78‬ظاظا‪˚˚4488‬‬ ‫( تب�شيط)‬ ‫نبداأ من الطرف الاأيمن‬ ‫(تعوي�س)‬ ‫= ظا(‪)˚30‬‬ ‫الطرف الاأي�شر‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫ججاتا‪˚˚7155‬‬ ‫‪+‬‬ ‫جتجاا‪˚˚7155‬‬ ‫اأثبت أا ّن‬ ‫‪-‬‬ ‫مثال (‪)6‬‬ ‫أاثبت �شحة المتطابقة ‪ :‬ظا ( ‪ - ˚45‬جـ) × ظا (‪+ ˚45‬جـ ) = ‪( 1‬جـ ≠‪)˚225،˚45‬‬ ‫حيث ‪ < ˚0‬جـ < ‪˚ 360‬‬ ‫( المتطابقات(‪))6 ، 5‬‬ ‫الحل‬ ‫نبد أا بالطرف الاأيمن‪ :‬ظا (‪ -˚45‬جـ) × ظا ( ‪ +˚45‬جـ )‬ ‫= ‪1‬ظا‪5+‬ظ‪4‬ا˚‪˚-45‬ظاظاجـجـ × ‪1‬ظا‪5-‬ظ‪4‬ا˚‪˚+45‬ظاظاجـجـ‬ ‫( تعوي�س ظا ‪)1=˚45‬‬ ‫(‪+1‬ظاجـ)‬ ‫×‬ ‫(‪-1‬ظاجـ)‬ ‫=‬ ‫( تب�شيط)‬ ‫‪-1‬ظاجـ‬ ‫‪+1‬ظاجـ‬ ‫=‪1‬‬ ‫(الطرف الاأي�شر)‬ ‫‪194‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ )1‬دون ا�ستخدام ا آللة الحا�سبة جد قيمة ك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫�أ ) جتا‪˚50‬جتا‪ -˚10‬جا‪˚50‬جا ‪˚10‬‬ ‫ب ) جا ‪˚35‬جتا‪ +˚25‬جا ‪˚25‬جتا‪˚35‬‬ ‫جـ) –جا ‪ ˚75‬جا ‪ + ˚15‬جتا ‪ ˚75‬جتا‪˚15‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫جتا‬ ‫‪6‬‬ ‫جا‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫جتا‬ ‫‪3‬‬ ‫جا‬ ‫د)‬ ‫‪ ) 2‬ب�ّسط المقادير الآتية‪:‬‬ ‫�أ ) جتا‪�2‬س جا‪�3‬ص ‪-‬جتا‪�3‬ص جا‪�2‬س‬ ‫ب) جا�س جتا‪�2‬ص ‪+‬جا‪�2‬ص جتا�س‬ ‫جـ) جتا�س جتا‪�3‬س ‪+‬جا�س جا‪�3‬س‬ ‫د ) جا ‪�3‬س جتا�س – جتا ‪�3‬س جا�س‬ ‫هـ ) جتا ‪�7‬ص جتا ‪�3‬ص – جا ‪�7‬ص جا ‪�3‬ص‬ ‫ت�ستثنى الزوايا التي تجعل المقام �صف ًرا أ�و غير‬ ‫‪( ،‬ملاحظة‪:‬‬ ‫ظا(�س‪�-‬ص) ‪+‬ظا�ص‬ ‫)‬ ‫و‬ ‫‪ - 1‬ظا(�س‪�-‬ص) ظا�ص‬ ‫ ‬ ‫مع ّرف)‪.‬‬ ‫‪ )3‬برهن �صحة ك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫�أ ) جتا ‪�3‬س = جتا‪�3‬س – ‪ 3‬جا‪� 2‬س جتا�س‬ ‫ب) جا‪�4‬س ‪+‬جا‪�2‬س = ‪ 2‬جا‪�3‬س جتا�س‬ ‫جـ) (جتا�س‪ +‬جا�س)‪( - 2‬جتا�س‪ -‬جا�س)‪4 = 2‬جا�س جتا�س‬ ‫جتا‪�2‬س‬ ‫)=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫جا�س)‬ ‫(‪- 1‬‬ ‫د ) ‬ ‫جا�س‬ ‫جا�س‬ ‫= ‪2‬ظا�س‬ ‫جتا�س‬ ‫‪-‬‬ ‫جتا�س‬ ‫هـ )‬ ‫‪+1‬جا�س‬ ‫‪-1‬جا�س‬ ‫‪195‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪�،‬ص≠‬ ‫‪π‬‬ ‫= ظا (�س ‪� +‬ص ) ظا (�س ‪� -‬ص ) ‪�( ،‬س ≠‬ ‫ظا‪�2‬س‪-‬ظا‪�2‬ص‬ ‫و )‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ - 1‬ظا‪�2‬س ظا‪�2‬ص‬ ‫�صف ًرا)‬ ‫المقام‬ ‫يجعل‬ ‫ما‬ ‫�أو‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π‬‬ ‫�أو م�ضاعفات‬ ‫‪4‬‬ ‫(�س ≠�ص)‬ ‫ظا�س‪+‬ظا�ص‬ ‫=‬ ‫جا(�س‪�+‬ص)‬ ‫)‬ ‫ز‬ ‫ظا�س‪ -‬ظا�ص‬ ‫جا(�س‪�-‬ص)‬ ‫ ‬ ‫‪:‬‬ ‫أ� ّن‬ ‫‪,‬برهن‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ,‬جا ب =‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� )4‬أب جـ مثلث فيه جا أ� =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جا جـ = ‪1‬‬ ‫فجد ظا ب‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ،‬ظا أ� =‬ ‫‪π‬‬ ‫�أ ‪ +‬ب =‬ ‫‪ )5‬إ�ذا كان قيا�س‬ ‫‪11‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪� )6‬إذا كانت �أ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ زوايا مثلث ف�أثبت أ� ّن‪:‬‬ ‫ظا �أ ‪ +‬ظا ب ‪ +‬ظا جـ = ظا �أ ظاب ظا جـ‬ ‫‪ ) 7‬جد مفكوك ك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫أ� ) جا (�أ ‪ +‬ب ‪ +‬جـ )‬ ‫ب) جتا (�أ ‪ +‬ب ‪+‬جـ )‬ ‫جـ) ظا (�أ ‪ +‬ب ‪ +‬جـ)‬ ‫‪ُ )8‬ح ّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س إ�ذا علمت أ� ّن الزمن ‪ 1‬ثانية ‪.‬‬ ‫‪196‬‬

‫)‪Trigonometric Identities (2‬‬ ‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‪ :‬اﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ )‪(٢‬‬ ‫ت�شتعمل النوافير م�شخات ت�ش‪ ï‬الماء‬ ‫بزوايا ‪‬ددة فت�شنع أاقوا�ًشا‪ ،‬ويعتمد م�شار‬ ‫الـماء على �شرعة ال�شـ‪ ï‬وزاويتـه؛ فعندما‬ ‫يتم �ش‪ ï‬الماء في الهواء ب�شرعة ع وزاوية‬ ‫مقدارها هـ مع خط ال أافق ف إان المعادلت‪Ú‬‬ ‫الاآتيت‪– Ú‬ددان اأق�شى ارتفاع ي�شل اإليه‬ ‫الـماء ل‪ ،‬والم�شافة ال أافقية د‪:‬‬ ‫ع‪2‬جا‪�2‬س‬ ‫د=‬ ‫ع‪2‬جا‪�2‬س‬ ‫ل=‬ ‫جـ‬ ‫جـ‬ ‫جـ ثابت ا÷اذبية الاأر�شية‪ ،‬اكتب الن�شبة ب‪ Ú‬ل و د في اأب�شط �شورة‪.‬‬ ‫اعتما ًدا على المتطابقات في الدر�س ال�شابق يمكن التعبير عن جا‪�2‬س ب�شورة أاخرى‪:‬‬ ‫(‪�2‬س = �س ‪� +‬س)‬ ‫جا (‪�2‬س) = جا ( �س‪�+‬س )‬ ‫(با�شتخدام متطابقة جيب مجموع زاويتين)‬ ‫= جا�س جتا�س ‪+‬جتا�س جا�س‬ ‫( تجميع حدود مت�شابهة)‬ ‫= ‪ 2‬جا�س جتا�س‬ ‫وهذا يمثل برهان الفرع (‪ )2‬من المتطابقات الاآتية‪:‬‬ ‫متطابقات �شعف الزاوية‪:‬‬ ‫‪ )1‬جتا‪�2‬س = جتا‪� 2‬س ‪ -‬جا‪� 2‬س‬ ‫‪ 2 – 1‬جا‪� 2‬س‬ ‫‪ 2‬جتا‪� 2‬س – ‪1‬‬ ‫‪ )2‬جا ‪�2‬س = ‪ 2‬جا�س جتا �س‬ ‫‪2‬ظا�س‬ ‫ظا‪�2‬س =‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪ -1‬ظا‪�2‬س‬ ‫ا�شتخدم ال أا�شلوب نف�شه لبرهنة فرعي (‪.)3( ،)1‬‬ ‫‪197‬‬

‫مثال (‪)1‬‬ ‫‪ ،‬فجد قيمة ُك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫�س<‬ ‫‪� :‬صفر <‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫جا�س‬ ‫أ�ن‬ ‫إ�ذا علمت‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‪ ) 1‬جتا‪�2‬س ‪ )2‬جا‪�2‬س ‪ )3‬ظا‪�2‬س‬ ‫الحل‬ ‫‪ ) 1‬جتا‪�2‬س = ‪ 2 -1‬جا‪� 2‬س ‬ ‫( متطابقة �ضعف الزاوية (‪))1‬‬ ‫( تعوي�ض قيمة جا�س)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪×2–1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ( تب�سيط)‬ ‫ ‬ ‫= ‪19 = 89 -1 = 49 ×2 -1‬‬ ‫‪ )2‬و لح�اسب جا‪�2‬س يلزم �إيجاد جتا �س‪:‬‬ ‫( متطابقة)‬ ‫جا‪� 2‬س ‪ +‬جتا‪� 2‬س = ‪ 1‬‬ ‫( تعوي�ض قيمة جا�س)‬ ‫ ‬ ‫‪ +‬جتا‪�2‬س = ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‬ ‫‪ +‬جتا‪� 2‬س = ‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(تب�سيط)‬ ‫ ‬ ‫‪9‬‬ ‫من الطرفين)‬ ‫‪4‬‬ ‫(طرح‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫جتا‪�2‬س‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫( ن أ�خذ الجذر للطرفين)‬ ‫‪3‬‬ ‫جتا�س =‬ ‫( ال�اسلب ُيهمل لأن الزاوية في الربع ا ألول)‬ ‫جتا�س = ‪ 53‬‬ ‫( متطابقة جيب �ضعف الزاوية)‬ ‫جا ‪�2‬س = ‪2‬جا�س جتا�س ‬ ‫ ‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫جا ‪�2‬س = ‪×2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(تب�سيط)‬ ‫= ‪59 4‬‬ ‫( متطابقة ظا�س)‬ ‫جا‪�2‬س‬ ‫جتا‪�2‬س‬ ‫=‬ ‫‪�2‬س‬ ‫ظا‬ ‫لح�اسب‬ ‫‪)3‬‬ ‫(تعوي�ض ُث ّم تب�سيط)‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫÷‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪198‬‬