أول ثانوي علمي 2018م

‫‪J‬ع ‪s‬ل‪º‬‬ ‫‪ (2‬و‪V‬شع ‪T‬شرط ‪L‬لو�‪� ¢‬أحد �لاأ‪T‬ش‪î‬ا‪ ¢U‬ب‪é‬و�‪Q‬‬ ‫�ل‪Ñ‬ا‪ Ü‬ي‪é‬ع‪g π‬نال∂ نق‪£‬ة مر‪L‬ع و أ�… ‪T‬شرط‬ ‫التحـبـ‪ó‬يو``لل اطلا‪ó‬وال‪F‬ـرـةي‪:‬م�كسيتفديمـاـر ‪n‬ةجل‪�،‬فــــاإس‪ّ n‬نا ألخ�يســاخارا�تس‬ ‫من هذا النوع يعيد التبديل للتبديل الخطي‬ ‫ا÷لو�س تبقى نف�سها وهذا ُي�ْسبه “ا ًما عملية‬ ‫( على ا�ستقامة واحدة) فيكون الجواب هو‬ ‫ترتيب خم�سة اأعداد على دائرة مع ّينة‪ ،‬وما‬ ‫ينطب ُق على خم�سة اأ�سخا�س ينطب ُق على أاي‬ ‫ل(‪!5= )5 ،5‬‬ ‫عد ‪m‬د من ا أل�سخا�س‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫‪ُ )1‬يراد ت�سميم لعبة للاأطفال مكونة من دولب دائري مق�سم اإلى �ستة أاجزاء يراد تلوينها‬ ‫ب�ستة أالوان مختلفة (جميع الدواليب لها الألوان نف�سها)‪ ،‬ما عدد الطرق المتاحة أامام‬ ‫الم�سنع لل إانتاج في الحالت ا آلتية‪:‬‬ ‫‪ �P�E (2‬ل‪ º‬يك‪T ø‬شرط على ترتي‪� Ö‬ل أالو�ن‪.‬‬ ‫‪ )3‬إاذا كان هنال∂ م ؤو�سر يجب اأن يكون عند اللون ا ألحمر‪.‬‬ ‫مثال (‪)٦‬‬ ‫ا�ستخدم الآلة الحا�سبة إليجاد قيمة ل( ‪.)6 ، 8‬‬ ‫فيظهر على ال�سا�سة‬ ‫‪ 6‬ثم‬ ‫ثم ‪ Pr‬ثم‬ ‫الحل‬ ‫ا�سغط على ‪ 8‬ثم‬ ‫‪20160‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)4‬‬ ‫ا�ستخدم ا آللة الحا�سبة في إايجاد قيمة ك ٍّل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ )2‬ل(‪)4 ، 10‬‬ ‫‪ )1‬ل(‪)6 ، 9‬‬ ‫‪ )4‬ل(‪)7 ، 12‬‬ ‫‪ )3‬ل( ‪)8 ، 11‬‬ ‫‪299‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ ) 1‬اح�سب قيمة ُك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫ب) ل ( ‪)1 ،15‬‬ ‫أ� ) ل ( ‪ ) 5 ،10‬‬ ‫جـ ) ل (‪ ) 0 ،14‬د ) ل ( ‪)99 ،100‬‬ ‫هـ ) ل ( ‪)25 ،25‬‬ ‫‪ ) 2‬جد قيمة ن التي تحقق ُك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫ أ� ) ل (ن‪90= )2 ،‬‬ ‫ ب ) ل (ن‪7920 = )4 ،‬‬ ‫جـ) ل (ن‪12 = )4 ،‬ل (ن‪)2 ،‬‬ ‫د ) ل (ن‪ 10 = )3 ، 1+ 2‬ن ل(ن‪)3 ، 1+‬‬ ‫‪ ) 3‬جد قيمة ر التي تحقق ما ي أ�تي‪:‬‬ ‫ل (‪ ،7‬ر)= ‪840‬‬ ‫‪ ) 4‬يريد �شخ�ص اختيار كلمة �سر لأحد المواقع ا إللكترونية‪ ،‬ما عدد الخيارات �أمام هذا ال�شخ�ص‬ ‫في ك ٍّل من الحالات ا آلتية‪:‬‬ ‫ أ� ) �إذا كانت كلمة ال�سر مكونة من ثلاثة �أحرف مختلفة من اللغة العربية يتبعها ثلاثة �أرقام‪.‬‬ ‫ ب) �إذا كانت كلمة ال�سر مكونة من ثلاثة �أحرف مختلفة من اللغة العربية يتبعها ثلاثة �أرقام‬ ‫مختلفة‪.‬‬ ‫‪ ) 5‬بكم طريقة يمكن تكوين عدد مك ّون من ‪ 3‬منازل مختلفة من مجموعة الأرقام{ ‪،7 ،5 ،9‬‬ ‫‪}4،3‬؟‬ ‫‪ ) 6‬بكم طريقة يمكن تكوين كلمة مك ّونة من �أربعة �أحرف مختلفة من مجموعة الحروف { و‪،‬‬ ‫ج‪ ،‬د‪،‬ع‪ ،‬هـ‪� ،‬س‪�،‬ص} بحيث لا ي�شترط أ�ن يكون للكلمة معنى؟‬ ‫‪ ) 7‬بكم طريقة يمكن ت�شكيل لجنة ثلاثية مكونة من رئي�س ونائب للرئي�س و أ�مين �صندوق من‬ ‫بين ع�شرين �شخ ً�صا؟‬ ‫‪ُ ) 8‬ح ّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪300‬‬

‫‪Combinations‬‬ ‫الﺘﻮاﻓﻴﻖ‬ ‫الﻔﺼل الراﺑع‬ ‫ب‬ ‫النتاجات‬ ‫ال�سكل (‪ .)4-6‬أا‬ ‫• تتعرف التوافيق‪.‬‬ ‫• ت�ستخدم التوافيق في ح ّل م�سائل حياتية‪.‬‬ ‫ما عدد الطرائق التي ‪Á‬كن �سلوكها للو�سول من ا‪Ÿ‬دينة‬ ‫( اأ ) إالى ا‪Ÿ‬دينة (ب) من خلال تخطيط ال�سوارع ا‪Ÿ‬و�سح‬ ‫‘ ال�سكل (‪ )4-6‬عل ًما باأن ا◊ركة با‪Œ‬اهي ال�سمال و‬ ‫ال�‪ö‬ق فقط؟‬ ‫مثال (‪)١‬‬ ‫بكم طريقة يمكن �سحب كرتين م ًعا من �سندوق يحتوي على ثلا‪ ç‬كرات مرقمة ‪3 ، 2 ، 1‬؟‬ ‫الحل‬ ‫للح�سول على الكرتين م ًعا فلن يكون الترتيب مه ًّما اأي اأ َّن �سحب الكرتين ‪ 2 ، 1‬م ًعا نف�س �سحب‬ ‫الكرتين ‪ 1 ، 2‬م ًعا وبذل∂ تكون الخيارات لعملية ال�سحب هي‪.3،2 ، 3،1 ، 2،1:‬‬ ‫الحالت التي يكون الترتيب فيها غير مهم ن�ستخدم ما ُي�سمى بالتوا‪a‬ي≥‪،‬و في ما ي أاتي نورد تعريف‬ ‫التوافيق و قاعدة إايجادها‪:‬‬ ‫التوا‪a‬ي≥‬ ‫هي عدد طرائق اختيار ر عن� ً‪ö‬ا من ›موعة عدد عنا�‪ö‬ها ن اإذا كان الترتيب فيها غ‪ Ò‬مهم‬ ‫والتكرار غ‪ Ò‬م�سموح به‪.‬‬ ‫ويرمز لها بالرمز رن ‪ ،‬و ُتقر أا (ن فوق ر) حيث ن‪ ،‬ر عددان طبيعيان ‪ ≥ 0 ،‬ر ≥ ن‪،‬‬ ‫(ن‪-‬رن)!!×ر!‬ ‫=‬ ‫ل(ن ‪ ،‬ر)‬ ‫=‬ ‫رن‬ ‫و ُتعطى بالقاعدة الآتية‪:‬‬ ‫ر!‬ ‫‪301‬‬

‫مثال (‪)2‬‬ ‫جد قيمة ك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‪ )1‬‬ ‫(‪ !52!!×551!!××=)75613-×××7727‬‬ ‫‪7‬‬ ‫الحل‬ ‫‪5‬‬ ‫(تعريف التوافيق)‬ ‫=‬ ‫‪) 1‬‬ ‫(تعريف الم�ضروب)‬ ‫=‬ ‫(اخت�صار)‬ ‫=‬ ‫=== (‪ 1! 5!×3×2×6×!!×)8337×7-××!8588‬‬ ‫(تعريف التوافيق)‬ ‫‪8‬‬ ‫‪) 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(تعريف الم�ضروب)‬ ‫(اخت�صار)‬ ‫= ‪56‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫جد قيمة ك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪)1‬‬ ‫الحل‬ ‫=‪8‬‬ ‫‪!7×8‬‬ ‫(‪= !1×!!)81-8‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ ) 1‬‬ ‫‪1×!7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ) 2‬‬ ‫‪!8×9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪) 3‬‬ ‫=‪9‬‬ ‫‪1×!8‬‬ ‫(‪= !1×!!)91-9‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‪8‬‬ ‫‪!7×8‬‬ ‫(‪= !7×!!)87-8‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪!7×1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪!8×9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‪9‬‬ ‫‪!8×!1‬‬ ‫=‬ ‫(‪!8×!!)98-9‬‬ ‫=‬ ‫ماذا ت�ستنتج؟‬ ‫‪302‬‬

‫‪µq a‬ر ونا‪¢ûb‬‬ ‫ناق�س مع زملائ∂ �سحة العبارات ا آلتية‪:‬‬ ‫=ن‬ ‫ن‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫‪)1‬‬ ‫ن‪1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫ن‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ن‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫جد قيمة ك ٍّل مما ياأتي‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫الحل‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪!7‬‬ ‫=‬ ‫‪!7‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪!0×!7‬‬ ‫‪!)7-7(!7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪!7‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪!7×!0‬‬ ‫=‬ ‫‪!7‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪!)0-7(!0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪!8‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪!0×!8‬‬ ‫=‬ ‫‪!8‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪!)8-8(!8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪!8‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪!8×!0‬‬ ‫=‬ ‫‪!8‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪!)0-8(!0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ماذا ت�ستنتج؟‬ ‫تﺪريﺐ (‪)١‬‬ ‫‪18‬‬ ‫جد قيمة ك ٍّل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪)7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪303‬‬

‫لاحظ �أنه يمكن ح�ساب التوافيق با�ستخدام مثلث با�سكال انظر ال�شكل(‪ /5-6‬أ� )‬ ‫‪1= 1‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪32‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ال�شكل (‪ /5-6‬أ� )‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫قارن هذا ال�شكل مع ال�شكل (‪ /5-6‬ب) و أ�جب عن‬ ‫‪11‬‬ ‫ا أل�سئلة الآتية‪:‬‬ ‫‪121‬‬ ‫‪ )1‬قارن المدخلات المتناظرة في ال�شكلين‬ ‫ماذا تلاحظ؟‬ ‫‪1331‬‬ ‫‪ ) 2‬قارن المدخل الأول بالمدخل الأخير‬ ‫‪14641‬‬ ‫في كل �صف من �صفوف المثلث‬ ‫في ال�شكل(‪/5-6‬ب)‪ ،‬ماذا تلاحظ؟ ‪1 5 10 10 5 1‬‬ ‫ال�شكل (‪/5-6‬ب)‪.‬‬ ‫‪ ) 3‬قارن المدخل الثاني بالمدخل قبل‬ ‫ا ألخير في كل �صف من �صفوف ال�شكل(‪ /5-6‬ب)‪ ،‬ماذا تلاحظ؟‬ ‫‪ ) 4‬عبر عن مدخلات كل �صف من �صفوف المثلث م�ستخد ًما رمز المجموع‪.‬‬ ‫‪ ) 5‬اكتب نواتج جمع كل �صف من �صفوف المثلث على �شكل مت�سل�سلة م�ستخد ًما رمز‬ ‫المجموع‪.‬‬ ‫‪304‬‬

‫اإذا أاجبت إاجابة �سحيحة عن ا أل�سئلة ال�سابقة تكون قد ح�سلت على النتائج ا آلتية‪:‬‬ ‫ن‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫=ن‬ ‫ن‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫=‪1‬‬ ‫ن‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫ن‪-‬ر‬ ‫ر‬ ‫ن‪1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ن‬ ‫= ‪2‬ن‪.‬‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫ن‪-‬ر‬ ‫ر= ‪0‬‬ ‫كما اأ َّن∂ �ستجد أا َّن الحد العام للمت�سل�سلة هو‪2 :‬ن‪.‬‬ ‫من الجدير بالذكر اأن مثلث با�سكال يمتد اإلى ما لنهاية‪ ،‬وال�سكل ا آلتي يو ّ�سح كيفية إايجاد‬ ‫ال�سف ال�سابع‪:‬‬ ‫ال�سف ال�ساد�س ‪1 5 10 10 5 1‬‬ ‫‪+ +++ +‬‬ ‫ال�سف ال�سابع ‪1 6 15 20 15 6 1‬‬ ‫أا�صف لمعلوما‪∂J‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫اأول مــن ح�ســل علــى مثلــث‬ ‫جد عنا�سر ال�سف الثامن‬ ‫با�ســكال هــو عا‪ ⁄‬عربــي م�سلم‬ ‫ا�سمه ‪‬مد بن ا◊�سن الكرخي‪،‬‬ ‫مثال (‪)٥‬‬ ‫لكنــه �سمــم ا‪Ÿ‬ثلث مثلــث قائم‬ ‫الزاويةوهذه �سورة ا‪Ÿ‬ثلث الذي‬ ‫كم عدد الطرائق التي يمكن �سلوكها للو�سول من المدينة اأ‬ ‫�سممــه الكرخــي‪ .‬أامــا مثلــث‬ ‫با�ســكال فهو ا‪Ÿ‬ثلــث نف�سه لكنه‬ ‫اإلى المدينة ب من خلال الترتيب التالي لل�سوارع عل ًما باأن∂‬ ‫ل ت�ستطيع التحر∑ اإل باتجاهي ال�سمال وال�سرق فقط؟‬ ‫متطابق ال�سلع‪.Ú‬‬ ‫�سورة ‪Ÿ‬ثلث الكرخي‪.‬‬ ‫‪1 4 10 20‬‬ ‫الحل ب‬ ‫عدد الطرائق = ‪ 20‬طريقة‬ ‫‪1 3 6 10‬‬ ‫وبا�ستخدام مثلث با�سكال‬ ‫‪12 3 4‬‬ ‫يكون الحل كما في ال�سكل‬ ‫‪ 1 1 1‬أا‬ ‫المجاور‪.‬‬ ‫ال�سكل (‪.)6-6‬‬ ‫‪305‬‬

‫مثال (‪)٦‬‬ ‫ما عدد طرائق تكوين لجنة ت�سم ‪ 5‬رجال و ‪� 6‬سيدات من �سمن مجموعة أا�سخا�س مكونة من‬ ‫‪ 8‬رجال و ‪� 10‬سيدات؟‬ ‫الحل‬ ‫لحظ أا َّن ال ‪n‬ترتيب غير مهم لذا يكون الحل كا آلتي‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫= ‪11760= 210 × 56‬‬ ‫‪6‬‬ ‫×‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫عدد الطرق‬ ‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫جد عدد طرق اختيار لجنة خما�سية من ‪ 7‬رجال و ‪� 6‬سيدا ‪m‬ت ‪ ،‬في ك ٍّل من الحالت‬ ‫ا آلتية‪:‬‬ ‫‪ )1‬ت�سم اللجنة ‪� 3‬سيدات و رجلين‪ )2 .‬ت�سم اللجنة ثلاثة رجال على الأقل‪.‬‬ ‫‪ )3‬رئي�س اللجنة ونائبه من الرجال و الباقي �سيدات‪.‬‬ ‫مثال (‪)٧‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ا�ستخدم ا آللة الحا�سبة إليجاد‬ ‫‪5‬‬ ‫الحل‬ ‫ثم =‬ ‫ا�سغط على ‪ 8‬ثم ‪ shift‬ثم ‪ nCr‬ثم ‪5‬‬ ‫فيظهر على ال�سا�سة ‪56‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)4‬‬ ‫ا�ستخدم ا آللة الحا�سبة في إايجاد‪:‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪306‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫ ‪ ) 1‬اح�سب قيمة ك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫د)‬ ‫‪18‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪9‬‬ ‫ب)‬ ‫ ‬ ‫‪13‬‬ ‫ أ� ) ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‪ )2‬اثبت �أن‪:‬‬ ‫ن>‪2‬‬ ‫= ن‪2‬‬ ‫ن‪1+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪ ) 3‬اح�سب قيمة ن في الحالة الآتية‪:‬‬ ‫= ‪325‬‬ ‫ن‬ ‫ب)‬ ‫= ‪56‬‬ ‫ن‬ ‫أ� )‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‪ )4‬ما عدد المثلثات التي يمكن ت�شكيلها من بين ‪ 6‬نقاط لا تقع على ا�ستقامة واحدة؟‬ ‫ ‪ ) 5‬امتحان مكون من ‪� 10‬أ�سئلة مق�سمة �إلى ق�سمين كل ق�سم مكون من ‪� 5‬أ�سئلة‪ ،‬المطلوب‬ ‫من الطلبة �إجابة ما مجموع ُه ‪ 6‬أ��سئلة من الق�سمين بحيث يجيب على الأقل على �س�ؤالين من‬ ‫الق�سم ا ألول‪ ،‬و�س�ؤالين من الق�سم الثاني على ا ألقل‪ ،‬بكم طريقة يمكن �أ ْن يجيب الطلبة عن‬ ‫ا أل�سئلة؟‬ ‫ ‪ُ )6‬ح َّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫ ‪� ) 7‬صندوق يحتوي على ‪ 5‬كرات بي�ضاء و ‪ 3‬كرات �سوداء و�أربع كرات حمراء‪ ،‬بكم طريقة‬ ‫يمكن �سحب ‪ 3‬كرات م ًعا من ال�صندوق �إذا كان من بين الكرات الم�سحوبة كرة واحدة‬ ‫�سوداء على الأقل؟‬ ‫‪307‬‬

‫ﺃﺳﺌﻠة الﻮﺣﺪﺓ‬ ‫جـ) ‪!8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ب)‬ ‫‪ )1‬اح�سب قيمة ك ٍّل مما ياأتي‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫اأ ) ل(‪)2 ، 6‬‬ ‫‪ )2‬ب�سط المقادير الآتية‪:‬‬ ‫ن!‬ ‫‪-‬‬ ‫(ن‪!)1+‬‬ ‫ب)‬ ‫(ن‪ + !)1+‬ن!‪( -‬ن‪!)1-‬‬ ‫)‬ ‫اأ‬ ‫ن!‬ ‫(ن‪!)1-‬‬ ‫‪ )3‬اح�سب قيمة ن في ما ياأتي ‪ ،‬حيث ن عدد �سحيح موجب‪:‬‬ ‫=‪336‬‬ ‫(ن‪!)3+‬‬ ‫ب)‬ ‫= ‪78‬‬ ‫ن‬ ‫اأ )‬ ‫ن!‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )4‬اح�سب قيمة ر في ما ياأتي‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ر‪1-‬‬ ‫=‬ ‫ر‪2‬‬ ‫‪ )5‬اثبت كل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫ن >‪2‬‬ ‫= ن‪2‬‬ ‫ن‪1+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ن‬ ‫أا )‬ ‫ن‪1-‬‬ ‫ن‪2-‬‬ ‫ب) ل(ن‪ ،1+‬ر) = ل( ن ‪ ،‬ر) ‪ +‬ر ل( ن‪ ،‬ر‪)1-‬‬ ‫ن‪1-‬‬ ‫‪:‬‬ ‫اأثبن‪+‬ت أا‪ّ 1‬ن‪n‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ( ن – ‪2)1‬‬ ‫= ‪49‬‬ ‫ن‪1-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ن‪1+‬‬ ‫ثم اح�سب قيم ن في الحالة الآتية‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )7‬بكم طريقة يمكن إار�سال ‪ 4‬ر�سائل عبر اأربع �سناديق بريد بحيث يو�سع في كل �سندوق‬ ‫ر�سالة؟‬ ‫‪ )8‬في الم�سلع المنتظم القطعة الوا�سلة بين راأ�سين غير متجاورين ت�سمى ُقطراً لل�سكل‪ ،‬ما‬ ‫عدد اأقطار الم�سلع ال�سباعي؟‬ ‫‪� )9‬سندوق يحتوي على بطاقات مرقمة من ‪ ،11-1‬اإذا �ُسح ‪n‬بت بطاقتان م ًعا ع�سوائ ًّيا‪ ،‬ما‬ ‫عدد طرائق اختيار البطاقتين بحيث يكون مجموع العددين الظاهرين فرد ًّيا؟‬ ‫‪308‬‬

Ö°ùMG ,º«≤à°ùe §îH áÑJôe óYÉ≤e 10 ≈∏Y ¢Sƒ∏édG ¿hójôj äÉ«àa 5h ¿É«Ñ°U5 (10 :á«JB’G ä’ÉëdG øe πx c »a á浪ªdG ≥FGô£dG OóY .¢Sƒ∏édG »a QÉ«àN’G ájôM á«Ñ°üdG »£YGC GPGE ( GC .äGQhÉéàe äÉ«àØdG h øjQhÉéàe á«Ñ°üdG ¢Sƒ∏L ∫ÉM »a (Ü .¬àNCG QGƒéH ¢Sƒ∏édG ñGC πc OGQGC h âNCG ¬d º¡æe »Ñ°U πc ¿GC âª∏Y GPEG (`L :áë«ë°U á«JB’G IQÉÑ©dG π©éJ »àdG Q , ¿ º«b Ö°ùMG (11 ¿ = ( Q , ¿)∫ Q 1 -¿ - Q -¿ = ¿ ¿q GC âÑKCG (12 1-Q Q Q Ö«JôJ ∞∏àîj å«ëH êPɪf πªY º∏q ©e OGQCG Oó©àe øe QÉ«àN’G ´ƒf øe QÉÑàNG »a (13 OóY πbCG ɪa 26 áÑ∏£dG OóY ¿Éc GPEG øjôNB’G áÑ∏£dG øY ÖdÉW πc áëØ°U »a á∏Ä°SC’G ?•ô°ûdG Gòg ≥≤ë«d QÉÑàN’G ¬æe ¿ƒµàj ¿GC Öéj á∏Ä°S’C G øe øe É¡∏«µ°ûJ øµªj »àdG äɪ∏µdG OóY Ée ,áª∏c πµ°ûj ±ôMC’G Ö«JôJ ¿Éc GPEG (14 ?∫OÉY áª∏c ±hôM ¢UÉî°TCG (10) ø«H øe á«°SɪN áæéd π«µ°ûJ ` ájô«N áæéd ¢ù°SƒD e ƒgh - óªëe OGQGC (15 ?áæé∏dG √òg π«µ°ûJ øµªj á≤jôW ºµH ,ºgóMGC óªëe ¿ƒµj ¿GC •ô°T ≈∏Y ?±Q ≈∏Y áYƒ°SƒªdG √òg Ö«JôJ øµªj á≤jôW ºµH ,AGõLCG (8) øe áfƒµe áYƒ°Sƒe (16 å«ëH Ωó≤dG Iôµd Éjv QhO á©eÉédG âeÉbGC ,á«∏c nIô°ûY »àæKG äÉ©eÉédG ióMEG º°†J (17 ?ΩÉ≤à°S »àdG äÉjQÉѪdG OóY Ée ,≥jôa á«∏c πc πãªj ,ÜÉàc ,º∏b) ô°UÉæY áKÓK øe áfƒµe IõFÉL Ωó≤J å«ëH É¡HÓW IÉC aɵe ójôJ áª∏©e (18 ¿ÉYƒfh áØ∏àîe Öàc á©HQCGh ,ΩÓb’C G øe áØ∏àîe ´GƒfGC áKÓK ∂dÉæg ¿Éc GPEG (áª∏≤e ?IõFÉédG ô«°†ëJ áª∏©ª∏d øµªj á≤jôW ºµH ,ºdÉ≤ªdG øe ¿ÉØ∏àîe º«≤à°ùe πµ°ûH É¡aƒbh ¬æµªj á≤jôW ºµH ,Qƒªf 5h Oƒ°SCG 4 ¬jód äÉfGƒ«M ÜQóe (19 309

‫بحيث ل يكون أا�سدان بجوار بع�سهما أاو نمران بجوار بع�سهما؟‬ ‫‪ )20‬يتك ّون هذا ال�سوؤال من (‪ )3‬فقرات من نوع اختيار من متعدد‪ ،‬لكل فقرة (‪ )4‬بدائل‪،‬‬ ‫واحد منها فقط �سحيح‪� ،‬سع دائرة حول رمز البديل ال�سحيح‪:‬‬ ‫(‪ *)1‬اإذا كان ن عد ًدا �سحي ًحا موج ًبا بحيث ن>‪ 1‬اأي مما ي أاتي ل ي�ساوي ‪:1‬‬ ‫ن‬ ‫ب)‬ ‫أا ) (ن‪ -‬ن)!‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫د)‬ ‫جـ) ل(ن‪،‬ن)‬ ‫‪0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫(‪ )2‬أاي مما ياأتي ل ي�ساوي‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫د)‬ ‫ل(‪)5،6‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪6‬‬ ‫ب)‬ ‫‪!6‬‬ ‫)‬ ‫اأ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪!6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪!)5-6(!5‬‬ ‫(‪ )3‬بكم طريقة يمكن ترتيب خم�سة كتب ثقافية‪ ،‬اأربعة كتب علمية‪n ،‬وثلاثة كتب‬ ‫دينية‪ ،‬على رف واحد بحيث تكون الكتب ذات النوع الواحد بجانب بع�سها‪.‬‬ ‫ب) ‪!3×!4×!5‬‬ ‫أا ) ‪!3×!3×!4×!5‬‬ ‫د ) ‪3×3×4×5‬‬ ‫جـ) (‪3×)!3×!4×!5‬‬ ‫* ال�س ؤوال من اأ�سئلة الختبارات الدولية‪.‬‬ ‫‪310‬‬

‫قائمة المراجع‬ ‫أ�و اًل‪ :‬المراجع العربية‬ ‫‪ - 1‬وزارة التربية والتعليم‪ ،‬كتاب الريا�ضيات لل�صف العا�شر‪ ،‬الطبعة الثانية‪.‬‬ ‫‪ - 2‬وزارة التربية والتعليم‪ ،)2007( ،‬كتاب الريا�ضات لل�صف ا ألول الثانوي العلمي‪ ،‬الطبعة ا ألولى‪.‬‬ ‫‪ - 3‬د‪ .‬عبد العزيز هيكل‪ ،‬د‪ .‬فاروق عبد العظيم‪ ،)1978( ،‬مبادئ في الريا�ضيات‪.‬‬ ‫‪ - 4‬د‪ .‬عدنان عو�ض‪ ،)1982( ،‬الريا�ضيات العامة‪ ،‬الطبعة الثانية‪.‬‬ ‫ثانيًا‪ :‬المراجع ا ألجنبية‬ ‫‪1- Demona Waits. and others, (2006); Precalculus; 7th Edition.‬‬ ‫‪2- Smedley and Wisemen, (2004); Mathematics Standard level.‬‬ ‫‪3- Fabio Cirrito, (2007); Mathematics Higher level (Core); 3rd Edition.‬‬ ‫‪4- Pelma Vollmar and others; Mathematics for the International Student; 2nd Edition.‬‬ ‫‪311‬‬

‫تـ َّم بحم ِد الل ِه‬