أول ثانوي علمي 2018م

‫‪Functions‬‬ ‫يتوقع من الطال‪H Ö‬ع‪ ó‬د‪Q‬ا�سة ه‪ √ò‬الوح‪ó‬ة اأن ي‪µ‬ون قاد‪Q‬ا على‪:‬‬ ‫‪�� ‬شتق�شاء خ�شائ�س �قتر�نات كثير�ت حدود على �ل�شورة أ��س‪ +3‬ب ‪ ،‬و�قتر�ن �لقيمة‬ ‫�لمطلقة‪ ،‬و�قتر�ن أ�كبر عدد �شحيح‪ ،‬و�لاقتر�ن �لمت�شعب‪ ،‬و�قتر�ن �لجذر �لتربيعي‬ ‫و�لاقتر�ن �لن�شبي بحيث يكون �لب�شط عدد� ثابتا‪.‬‬ ‫‪ ‬ر�شم منحنيات �قتر�نات خا�شة معطا ٍة يدو ًّيا وبا�شتخد�م �لتكنولوجيا‪.‬‬ ‫‪ ‬فهم عملية تركيب �لاقتر�نات‪ ،‬و�لاقتر�ن �لعك�شي‪.‬‬ ‫‪�� ‬شتخد�م تركيب �لاقتر�نات لاإيجاد �لاقتر�ن �لعك�شي‪.‬‬ ‫‪�� ‬شتخد�م �لاقتر�نات �لخا�شة في نمذجة م�شائل حياتية وح ِّلها‪ ،‬مع تبرير �لحل‪.‬‬

‫ﻛثﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪوﺩ ‪Polynomials‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷول‬ ‫ال‪æ‬تا‪L‬ات‬ ‫• ت�شتق�شي خ�شائ�س كثير�ت �لحدود حتى �لدرجة �لثالثة‪.‬‬ ‫حو�س لل�شباحة على �شكل متو�زي م�شتطيلات‬ ‫أ�بعاده من �لد�خل ‪20‬م ‪10 ،‬م ‪5 ،‬م ‪� ،‬أجريت عليه‬ ‫تو�شعة بحيث تم زيادة �أبعاده بمقد�ر مت�شا ٍو من �لاأمتار‪.‬‬ ‫‪� )1‬كتب �لاقتر�ن �لذي يمثل �لفرق بين حجم‬ ‫�لحو�س قبل �لتو�شعة وبعدها‪.‬‬ ‫‪ )2‬هل �لاقتر�ن �لناتج كثير حدود؟ و إ�ن كان كذلك‪ ،‬ما درجته؟ وما معاملات حدوده؟‬ ‫در�شت �شابقا كثي�ت �لحدود وبع�س خ�شائ�شها‪ ،‬و�ل�شورة �لقيا�شية لكثي �لحدود من �لدرجة‬ ‫ن هي ق(�س) = أ�ن �سن ‪ +‬أ�ن‪�1-‬سن‪ + 1-‬أ�ن‪�2-‬سن‪ +..... +2-‬أ�‪ ، 0‬حيث أ�ن≠ ‪ ، 0‬ن ط وت�سمى‬ ‫�لاأعد�د‪� :‬أن‪ ،‬أ�ن‪� ،1-‬أن‪� ،............ ،2-‬أ‪ 0‬معاملات �لاقتر�ن ق وي�شمى �لعدد �أن بالمعامل �لرئي�س‪.‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫حدد درجة كثي �لحدود و�كتب �لمعامل �لرئي�س في كل ‡ا ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = ‪�2‬س‪�7+ 2‬س ‪1+‬‬ ‫تع ‪q‬لم‬ ‫‪ )2‬ك(�س) = ‪�8‬س‪�2+ 4‬س ‪1-‬‬ ‫‪ )3‬هـ(�س) = ‪� -‬س‪1+ 3‬‬ ‫مجال �لاقتر�ن كثير �لحدود هو‬ ‫مجموعة �ل أاعد�د �لحقيقية ح ‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫ومد�ه هو مجموعة �لاأعد�د‬ ‫�لحقيقية ح‪ ،‬أ�و مجموعة جزئية‬ ‫‪ )1‬ق من �لدرجة �لثانية و�لمعامل �لرئي�س فيه ‪.2‬‬ ‫‪ )2‬ك من �لدرجة �لر�بعة و�لمعامل �لرئي�س فيه ‪.8‬‬ ‫منها‪.‬‬ ‫‪ )3‬هـ من �لدرجة �لثالثة و�لمعامل �لرئي�س فيه ‪.1-‬‬ ‫‪50‬‬

‫و�شوف نركز �هتمامنا في هذ� �لدر�س على �لمزيد من خ�شائ�س كثي�ت �لحدود حتى �لدرجة �لثالثة‬ ‫من خلال ر�شمها يدويًا وبا�شتخد�م �لتكنولوجيا‪.‬‬ ‫مثال (‪)٢‬‬ ‫�ر�شم منحنى ق(�س) = �س‪�4 –2‬س ‪� ، 3+‬س [ ‪ ]6،1-‬ومن خلال �لر�شم �أجب عن كل ‡ا ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬جد نقاط تقاطع منحنى الاقتران ق مع محور ال�سينات‪.‬‬ ‫‪ )2‬جد عدد مر�ت �لتغ ّي في �إ�شارة ق‪.‬‬ ‫‪ )3‬جد �أ�شفار �لاقتر�ن ق‪.‬‬ ‫‪ )4‬جد معادلة محور �لتماثل‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫أ�كمل �لجدول �لاآتي‪:‬‬ ‫‪64‬‬ ‫�س ‪3 2 0 1-‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ق(�س) ‪1- 8‬‬ ‫يو�شح �ل�شكل (‪ )1-2‬منحنى �لاقتر�ن ق‪.‬‬ ‫تع ‪q‬لم‬ ‫‪ )1‬يكون �لاقتر�ن ق متز�ي ًد� على‬ ‫مجاله إ�ذ� تز�يدت قيم ق(�س)‬ ‫كلما ز�دت قيم �س‪.‬‬ ‫‪ )2‬يـكون �لاقـتر�ن ق متـنـاقـ ً�شا‬ ‫على مجاله �إذ� تناق�شت قيم‬ ‫ق(�س) كلما ز�دت قيم �س‪.‬‬ ‫�ل�شكل (‪.)1-2‬‬ ‫‪51‬‬

‫ومن ال�شكل نلاحظ �أ ّن‪:‬‬ ‫‪ ) 1‬نقاط تقاطع منحنى الاقتران ق مع محور ال�سينات هي (‪.)0 ، 3( ،)0 ، 1‬‬ ‫‪ ) 2‬عدد مرات التغ ّير في إ��شارة الاقتران ق‪ :‬مرتان‪.‬‬ ‫‪. 3–،‬ب‬ ‫‪1‬‬ ‫الاقتران ق(�س) هي‬ ‫أ��صفار‬ ‫‪) 3‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫‪ 2‬أ�‬ ‫=‬ ‫محور التماثل هي �س‬ ‫معادلة‬ ‫‪) 4‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫با�ستخدام برمجية‪ ،‬اك�سل(‪ )Excel‬ار�سم منحنىق(�س) = �س‪� ،1+3‬س [‪] 3 ،3-‬‬ ‫ومن خلال الر�سم جد عدد المرات التي يقطع بها منحنى الاقتران ق محور ال�سينات‪ ،‬وعدد مرات‬ ‫التغ ّري في إ��شارة ق‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫‪� )1‬شغل برمجية اك�سل‪ ،‬ثم اختر عمودا وليكن العمود (‪ ،)A‬و�ضع الم�ؤ�شر في الخلية )‪ ،(A1‬واكتب‬ ‫القيمة (‪ ،)3-‬ثم �ضع الم ؤ��شر في الخلية (‪ )A2‬واكتب القيمة لاآتية للمتغير �س وهي(‪.)2٫5-‬‬ ‫‪ )2‬ظلل الخليتين في العمود (‪ )A‬ثم ا�سحب الم�ؤ�شر للأ�سفل حتى تظهر آ�خر قيمة للمتغير �س‪ ،‬وهي‬ ‫(‪ )3‬كما في ال�شكل (‪.)2-2‬‬ ‫ال�شكل (‪.)2-2‬‬ ‫‪52‬‬

‫‪� ) 3‬ضع الم ؤ��شر في الخلية (‪ )B1‬واكتب قاعدة الاقتران (‪ =)A1^3+1‬ثم انقر (‪.)Enter‬كما في‬ ‫ال�شكل (‪.)3-2‬‬ ‫ال�شكل (‪.)3-2‬‬ ‫‪� )4‬ضع الم�ؤ�شر في الخلية (‪ )B1‬وا�سحب الم�ؤ�شر �إلى جميع الخلايا لتظهر لك مجموعة �صور قيم‬ ‫المتغير �س في العمود (‪ )B‬كما في ال�شكل (‪.)4-2‬‬ ‫ال�شكل (‪.)4-2‬‬ ‫‪53‬‬

‫‪ ) 5‬ظلل العمودين (‪ )A , B‬واختر من تبويبة ( إ�دراج) مجموعة مخططات‪ .‬نوع المخطط (‪)Line‬‬ ‫ثم اختر من لاأ�شكال (�س‪� ،‬ص مبعثر) (‪ ،)xy- scatter‬كما في ال�شكل (‪.)5-2‬‬ ‫ال�شكل (‪.)5-2‬‬ ‫‪ )6‬اختر نوع المنحنى ثم انقر (موافق) ليظهر لك ر�سم منحنى الاقتران‪:‬‬ ‫ق(�س) = �س‪ 1+3‬بالفترة[‪ ]3 ،3-‬كما في ال�شكل (‪.)6- 2‬‬ ‫ال�شكل (‪.)6-2‬‬ ‫نلاحظ من الر�سم �أن‪:‬‬ ‫عدد المرات التي قطع بها منحنى ق محور ال�سينات‪ :‬مرة واحدة فقط وهي النقطة (‪ ,)0 ،1-‬وعدد‬ ‫مرات التغ ّري في �إ�شارة ق مرة واحدة فقط‪.‬‬ ‫‪54‬‬

‫‪?≥HÉ°ùdG ∫ÉãŸG ‘ ¥ ¿GÎbÓd ¢ù«FôdG πeÉ©ŸG IQÉ°TEG Ée‬‬ ‫‪?¬dÉ› πc ≈∏Y ¥ ¿GÎb’G ójGõàH ∂dP ábÓY Éeh‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫با�شتخد�م برمجية �ك�شل �ر�شم منحنى �لاقتر�ن ق‪:‬‬ ‫ق(�س) = ‪� -8‬س‪� ،3‬س [ ‪ ، ]4 ، 2-‬ثم جد عدد �لمر�ت �لتي يقطع بها منحنى �لاقتر�ن‬ ‫ق محور �ل�شينات‪ ،‬وعدد مر�ت �لتغ ّي في �إ�شارة ق‪.‬‬ ‫‪?(1) ÖjQóJ ‘ ¥ ¿GÎbÓd ¢ù«FôdG πeÉ©ŸG IQÉ°TG Ée‬‬ ‫‪?¬dÉ› πc ≈∏Y ¬°übÉæJ hGC ¥ ¿GÎb’G ójGõàH ∂dP ábÓY Éeh‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٢‬‬ ‫�ر�شم منحنى ق(�س)= ‪�2‬س‪� ، 1 + 3‬س [‪ ] 5 ،5-‬ثم �أجب عن كل ‡ا ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬جد عدد �لمر�ت �لتي يقطع بها منحنى �لاقتر�ن ق محور �ل�شينات‪.‬‬ ‫‪ )2‬عدد مر�ت �لتغ ّي في �إ�شارة ق‪.‬‬ ‫‪?(2) ÖjQóJ ‘ ¥ ¿GÎbÓd ¢ù«FôdG πeÉ©ŸG IQÉ°TG Ée‬‬ ‫‪?¬dÉ› πc ≈∏Y ¬°übÉæJ hGC ¥ ¿GÎb’G ójGõàH ∂dP ábÓY Éeh‬‬ ‫ما‪P‬ا تلاحظ?‬ ‫لا بد أ�نك تو�شلت من �ل أامثلة �ل�شابقة إ�لى �لقاعدة �لاآتية‪:‬‬ ‫اإ‪P‬ا ‪c‬ان ق(�س) = اأ�س‪ , Ü + 3‬و ‪c‬ان‪ â‬اأ ‪ , ì Ü ,‬أا ≠ ‪U‬س‪k Ø‬را ‪a‬ان‪:‬‬ ‫م‪æ‬ح‪æ‬ى ق(�س) مت‪õ‬اي‪ ó‬إا‪P‬ا ‪c‬ان‪ â‬اأ >‪ ,0‬وم‪æ‬ح‪æ‬ى ق(�س) مت‪æ‬اق‪ü‬س إا‪P‬ا ‪c‬ان‪ â‬اأ < ‪0‬‬ ‫‪55‬‬

‫مثال (‪¢U )4‬‬ ‫‪30‬‬ ‫�ر�شم منحنى �لاقـتر�ن ق(�س) = ( ‪� -2‬س)‪ ،3‬حيث ‪20‬‬ ‫�س [‪.] 4 ،1-‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4- 3- 2- 1- 0 1 2 3 4‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫ومن خلال �لر�شم جد عدد �لمر�ت �لتي يقطع بها منحنى‬ ‫‪10-‬‬ ‫�لاقتر�ن ق محور �ل�شينات ‪.‬‬ ‫الحل ‪20-‬‬ ‫�ل�شكل (‪.)7 -2‬‬ ‫يمثل �ل�شكل (‪ ) 7 -2‬منحنى ق‪.‬‬ ‫ونلاحظ من �لر�شم �أن‪ :‬منحنى ق يقطع محور �ل�شينات في نقطة و�حدة فقط‪ ،‬وهي (‪،)0 ،2‬‬ ‫وعدد مر�ت �لتغ ّي في �إ�شارة ق مرة و�حدة فقط‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫�ر�شم منحنى �لاقتر�ن ق(�س) = �س‪ 4 + 3‬بالفترة [‪ ]4 ،4-‬ومن خلال �لر�شم جد عدد �لمر�ت‬ ‫�لتي يقطع بها منحنى �لاقتر�ن محور �ل�شينات وعدد مر�ت �لتغ ّي في إ��شارة ق‪.‬‬ ‫ماذ� تلاحظ من خلال در��شتك مثال (‪ )4‬وحل تدريب (‪)3‬؟‬ ‫ﻧﺸاﻁ‬ ‫��شتخدم برمجية ( إ�ك�شل) لر�شم �لاقتر�نات �لاآتية‪ ،‬و��شتخدم �لر�شومات في �إيجاد علاقة بين‬ ‫عدد �لمر�ت �لتي يقطع بها منحنى ُك ِّل �قتر�ن محور �ل�شينات‪.‬‬ ‫‪� ،‬س [‪] 6 ،6-‬‬ ‫‪ )1‬ل(�س) = �س‪8 – 3‬‬ ‫‪� ،‬س [‪] 9 ،9-‬‬ ‫‪ )2‬هـ(�س) = ‪� – 3‬س‪3‬‬ ‫‪� ،‬س [‪] 12 ،12-‬‬ ‫‪ )3‬ك(�س) = ( �س – ‪3) 6‬‬ ‫• ماذ� تلاحظ؟‬ ‫• ما علاقة منحنى كل من �لاقتر�نات ل‪ ،‬هـ‪ ،‬ك ‪Ã‬نحنى �لاقتر�ن ق(�س) = �س‪ 3‬؟‬ ‫• �شجل ملاحظاتك‪.‬‬ ‫‪56‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ )1‬ار�سم منحنى كل من الاقترانات ل آاتية في الفترة [‪ ،]9 ، 9-‬وبين في ما إ�ذا كان كل منها‬ ‫ب) ك(�س) = ‪� –27‬س‪3‬‬ ‫متزاي ًدا أ�م متناق ً�صا‪.‬‬ ‫�أ ) ق(�س) = ‪�3‬س‪ 3 + 3‬‬ ‫جـ) ل(�س) = – �س‪ 1–3‬د ) هـ(�س) = ( �س –‪�( )1‬س‪� + 2‬س ‪)1 +‬‬ ‫‪ )2‬ا�ستخدم برمجية اك�سل لر�سم منحنيات كل من الاقترانات لاآتية‪:‬‬ ‫�أ ) ق(�س) = (‪�2‬س‪� ، )1 – 3‬س [‪] 4 ،4-‬‬ ‫ب) هـ(�س) = – �س‪� ، 7 + 3‬س [‪] 20 ،20-‬‬ ‫‪� ،‬س [‪] 0 ،30-‬‬ ‫جـ ) ل(�س) = ( �س ‪ 3 )10+‬‬ ‫‪� ،‬س [‪] 2 ،2-‬‬ ‫)‪ 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫م(�س) = ( �س –‬ ‫د)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� )3‬إذا كان ق كثير حدود معر ًفا على الفترة [‪ ،]4 ،2-‬وكان عدد مرات التغير في إ��شارة ق‬ ‫ثلاث مرات فقط‪ ،‬بالاعتماد على الجدول لاآتي الذي يمثل بع�ض قيم ق‪� ،‬أجب عما يليه‪:‬‬ ‫‪4321‬‬ ‫‪0‬‬ ‫�س –‪1– 2‬‬ ‫–‪17 3٫5– 9– 5٫5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(�س) –‪4٫5 1‬‬ ‫أ� ) ار�سم ر�س ًما تقريب ًّيا لمنحنى ق‪.‬‬ ‫ب) جد عدد نقاط تقاطع منحنى ق مع محور ال�سينات‪.‬‬ ‫‪ُ )4‬ح َّل الم�س أ�لة الواردة في مق ّدمة الدر�س‬ ‫‪ )5‬هل هناك علاقة بين عدد �أ�صفار الاقتران‪ ،‬وعدد مرات التغير في إ��شارته؟ د ِّعم �إجاب َتك‬ ‫ب�أمثلة‪.‬‬ ‫‪57‬‬

‫ﺍﻻﻗﺘﺮﺍﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪The Real Function‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟثاﻧﻲ‬ ‫ال‪æ‬تا‪L‬ات‬ ‫• تحدد مجال �قتر�ن حقيقي‪.‬‬ ‫• تر�شم منحنى �قتر�ن حقيقي‪.‬‬ ‫�أر�دت �شركة تنفيذ بناء ج�شر فوق م�شطح مائي‪ ،‬بحيث يكون �لج�شر مدعو ًما باأعمدة‬ ‫فولاذية د�ئرية �ل�شكل قطر كل عمود منها ‪� 30‬شم‪ ،‬إ�ذ� كانت كمية �لفولاذ �للازمة لعمل عمود‬ ‫ي�شتطيع �أن يحمل وز ًنا ما تعطى بالعلاقة و = ‪ 8‬ق‪2‬‬ ‫حيث و‪� :‬لوزن بالطن‪.‬‬ ‫ق‪ :‬قطر �لعمود بال�شم‪.‬‬ ‫�كتب قاعدة يتم من خلالها ح�شاب قطر �لعمود �للازم لدعم وزن معطى مثل و؟‬ ‫تعرفت �شاب ًقا على طريقة ر�شم �قتر�نات كثي�ت �لحدود ولاحظت �أن مجالها مجموعة �لاأعد�د‬ ‫�لحقيقية (ح)‪.‬‬ ‫و�شتتعرف �ل آان كيف تحدد مجال �قتر�نات حقيقية أ�خر‪ i‬وتر�شم منحنياتها‪.‬‬ ‫تعريف‬ ‫ي�شمى �لاقتر�ن ق �قتر�ن ًا حقيقي ًا إ�ذ� كان مجاله مجموعة �ل أاعد�د �لحقيقية (ح) �أو مجموعة جزئية‬ ‫منها‪ ،‬ومد�ه مجموعة �لاأعد�د �لحقيقية (ح) أ�و مجموعة جزئية منها‪.‬‬ ‫اقتران ال‪ Qòé‬التر‪H‬يع»‬ ‫ي�شمى ق(�س) = هـ(�س) ‪ ،‬هـ (�س) ≥‪ .‬حيث هـ �قتر�ن كثي حدود‪ ،‬باقتر�ن ا÷‪ Qò‬التر‪H‬يع»‪.‬‬ ‫ولر�شم منحنى �قتر�ن �لجذر �لتربيعي نحتاج إ�لى تحديد مجال �لاقتر�ن ثم إ�يجاد �شور بع�س عنا�شر‬ ‫�لمجال و “ثيلها في �لم�شتو‪� i‬لبيا‪ Ê‬و�لتو�شيل بينها بخط منحنٍ �أمل�س‪.‬‬ ‫‪58‬‬

‫و‪ûH‬س‪µ‬ل عا‪ :Ω‬إ�ذ� كان ق(�س) = هـ(�س) حيث هـ �قتر�ن كثي حدود فان مجال �لاقتر�ن ق هو‬ ‫مجموعة جميع قيم �س �لحقيقية �لتي تجعل هـ (�س) ≥ �شف ًر�‪.‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫�إذ� كان ق(�س) = �س ‪ ،‬حدد مجال ق و�ر�شم منحناه‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫ل إايجاد مجال ق نح ّل �لمتباينة �س ≥ ‪ 0‬وعليه ف إان‪:‬‬ ‫مجال ق= }�س ‪� :‬س ح ‪� ،‬س ≥ ‪.) ∞ ، 0 [ = { 0‬‬ ‫كون جدولا يت�شمن قيما من �لمجال و�شورها في قاعدة �لاقتر�ن ق كما يلي‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫�س‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ق(�س) ‪0‬‬ ‫وعند “ثيل هذه النقاط ‘ ا‪�Ÿ‬ستوى البيا‪ Ê‬والتو‪U‬سيل بين¡ا ب‪ §x î‬منح ‪C øm‬امل�س –‪ü‬سل على ال�سكل‬ ‫(‪.)8 - 2‬‬ ‫ق(�س) = �س‬ ‫�ل�شكل (‪.)8 - 2‬‬ ‫‪59‬‬

‫مثال (‪)٢‬‬ ‫�إذ� كان ع(�س) = �س ‪ ، 1 +‬حدد مجال ع و�ر�شم منحناه‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫لاإيجاد مجال ع نح ّل �لمتباينة �س ‪ ، 0 ≥ 1 +‬وعليه ف إان‪:‬‬ ‫مجال ع= }�س ‪� :‬س ح ‪� ،‬س ≥ ‪.) ∞ ، 1- [ = { 1-‬‬ ‫ومن خلال كتابة بع�س �لاأزو�ج �لمرتبة �لتي “ثل ع مثل‪:‬‬ ‫( ‪ ،) 2 ، 3( ،)1 ، 0( ،)0 ،1-‬وتـمثيلها في‬ ‫�لم�شتو‪� i‬لبيا‪ Ê‬و�لتو�شيل بينها بخ ٍّط منح ٍن‬ ‫أ�مل�س نح�شل على منحنى ع كما في �ل�شكل‬ ‫(‪.)9-2‬‬ ‫لاحــظ �أن منحنى �لاقتر�ن ع(�س) = �س ‪1 +‬‬ ‫ينتج عن �ن�شــحاب للي�شار ‪Ã‬قد�ر وحدة و�حدة‬ ‫لمنحنى �لاقتر�ن ق(�س) = �س ‪.‬‬ ‫�ل�شكل (‪.)9 - 2‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫إ�ذ� كان ق(�س) = �س ‪ ، 3 -‬فجد مجال �لاقتر�ن ق و�ر�شم منحناه‪.‬‬ ‫ماذ� تلاحظ على منحنى �لاقتر�ن ق؟ وما علاقته ‪Ã‬نحنى �لاقتر�ن �س ؟‬ ‫‪60‬‬

‫مثال (‪)3‬‬ ‫إ�ذا كان ك(�س) = ‪� -‬س فحدد مجال ك وار�سم منحناه‪ ،‬وا�ستنتج منه ر�سم منحنى الاقتران‬ ‫هـ(�س) = ‪� -‬س ‪. 2 +‬‬ ‫الحل‬ ‫لايجاد مجال ك ُح َّل المتباينة ‪� -‬س ≥‪0‬‬ ‫∴ مجال ك = ( ‪ ]0 ، ∞-‬والجدول لاآتي يمثل بع�ض القيم للاقتران ك‪:‬‬ ‫�س ‪4- 3- 2- 1- 0‬‬ ‫ك(�س) ‪2 3 2 1 0‬‬ ‫ال�شكل (‪.)10 - 2‬‬ ‫وبتمثيل هذه النقاط بالم�ستوى البياني‪،‬‬ ‫والتو�صيل بينها بخ ٍّط منح ٍن �أمل�س نح�صل على‬ ‫منحنى الاقتران ك كما في ال�شكل (‪.)10 -2‬‬ ‫لاحظ أ�ن منحنى ك(�س) انعكا�س لمنحنى‬ ‫الاقتران ق(�س) = �س‬ ‫في محور ال�صادات‪.‬‬ ‫ولر�سم منحنى الاقتران هـ(�س)= ‪� -‬س ‪،2 +‬‬ ‫ف�إ ّن مجال هـ = ( ‪( ]2، ∞-‬لماذا؟)‬ ‫وعليـــ��ه ف�� إ� ّن منحنى ه��ـ ينتج عن ان�س��حاب‬ ‫مـنحـن��ى ك(�س) = ‪� -‬س بـاتـجــاه اليـمـين‬ ‫بمقدار وحـــدتين (لماذا؟) كمـــا في ال�ش��كل‬ ‫(‪ .)11-2‬‬ ‫ال�شكل (‪.)11 - 2‬‬ ‫‪61‬‬

‫ن‪ù‬ست‪æ‬ت‪‡ è‬ا �سب≥ أان¬‪:‬‬ ‫�إذ� كان هـ(�س) = �س ‪� ،‬س≥‪ 0‬فاإن‪:‬‬ ‫‪ )1‬منحنى ق(�س) = �س ‪ -‬أ� نا‪ œ‬عن �ن�شحاب منحنى هـ ‪Ã‬قد�ر أ� وحدة لليمين‪.‬‬ ‫‪ )2‬منحنى ل(�س) = �س ‪ +‬أ� نا‪ œ‬عن �ن�شحاب منحنى هـ ‪Ã‬قد�ر أ� وحدة للي�شار‪.‬‬ ‫‪ )3‬منحنى ع(�س) = �س ‪ +‬أ� نا‪ œ‬عن �ن�شحاب منحنى هـ للاأعلى ‪Ã‬قد�ر �أ وحدة‪.‬‬ ‫‪ )4‬منحنى م(�س) = �س ‪� -‬أ نا‪ œ‬عن �ن�شحاب منحنى هـ ‪Ã‬قد�ر �أ وحدة لل أا�شفل‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٢‬‬ ‫�ر�شم منحنى �لاقتر�ن ك(�س) = ‪� -‬س ‪ ، 2 -‬وقارنه ‪Ã‬نحنى ق(�س)= ‪� -‬س‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫ح ّدد مجال �لاقتر�ن ل(�س) = ‪� + 3‬س ‪ ،2-‬و�ر�شم منحناه‬ ‫الحل‬ ‫مجال ل = }�س ‪� :‬س ح ‪� ،‬س ≥ ‪{ 3-‬‬ ‫= [ ‪.) ∞ ، 3-‬‬ ‫منحنى ل نا‪ œ‬عن �شحب منحنى �س‬ ‫‪3‬وحد�ت للي�شار ووحدتين لل أا�شفل‪.‬‬ ‫�ل�شكل (‪.)12 - 2‬‬ ‫ويمثل �ل�شكل (‪ )12 -2‬منحنى �لاقتر�ن‬ ‫ل‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫�إذ� كان ك(�س)= ‪� - 1 + 4‬س ‪ ،‬فحدد مجاله و�ر�شم منحناه‪.‬‬ ‫‪62‬‬

‫‪µq a‬ر وناق‪û‬س‬ ‫• ما علاقة منحنى �لاقتر�ن ك في تدريب (‪ )3‬بمنحنى �لاقتر�ن ق(�س) = ‪� - 1‬س ؟‬ ‫• �إذ� كان ق(�س) = ‪� -‬س ‪ ،‬هـ(�س) = ‪� -‬س ‪ ،‬فهل ق(�س) = هـ(�س)؟ ب ِّرر إ�جابتك‪.‬‬ ‫مثال (‪)٥‬‬ ‫�إذ� كان ق(�س) = �س‪َ ، 1 - 2‬فحدد مجال ق و�ر�شم منحناه‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫لتحديد مجال ق نجد �أ�شفار �لمقد�ر �س‪ 1 –2‬وندر�س إ��شارته حول كل منها‪.‬‬ ‫( إ�يجاد أ��شفار �لاقتر�ن)‬ ‫�س‪0 =1 –2‬‬ ‫(تحليل �لطرف �ل أاي�شر)‬ ‫(�س ‪�( )1+‬س ‪0 = )1-‬‬ ‫(حل �لمعادلة �لناتجة)‬ ‫�شفر �شفر‬ ‫�س = ‪1 ، 1-‬‬ ‫‪� + + + + + + - - - - - - - + + + + + +‬إ�شارة �س‪1-2‬‬ ‫‪ ∞-‬قيم �س‬ ‫∞‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و‪Ã‬ا �أن �إ�شارة �س‪� 1-2‬شالبة في �لفترة (‪ )1 ،1 -‬ف إا َّن ق غي مع َّرف في هذه �لفترة‪.‬‬ ‫مجال ق= }�س ‪� :‬س ح ‪� ،‬س ≤ ‪ 1-‬أ�و �س ≥ ‪{1‬‬ ‫إ�ذن مجال ق هو �لفترتان‬ ‫(‪.)∞ ،1 [ ، ]1- ، ∞-‬‬ ‫ويمثل �ل�شكل (‪ )13-2‬منحنى ق‪.‬‬ ‫�ل�شكل (‪.)13 - 2‬‬ ‫‪63‬‬

(٤) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ .√Éæëæe º°SQGh ¥ ∫É› Oóëan , 2¢S - 4 = (¢S)¥ ¿GÎb’G ¿Éc GPEG CG `g = (¢S)¥ IQƒ°üdG ≈∏Y »Ñ°ùædG ¿Gôàb’G (¢S) `(g¢,SGC )∫`gå=«M(¢S()(¢¥¢SS))¿`∫gGôàb=’G(¢≈Sæë)¥æeIºQ°ƒS°QühdG∫≈É.é∏ÉY«k ªÑ°¬dùGàfHóÉÉàjfcóGôëøàbJµG ≈≈ªª∏jY°…ùIjòódGMôGk ؃¿°dUGGô√à≠bò’g(G¢»¿SaCG)`ÉÉgæ≤k àH,°ÉS°OGSQhOâóôMª°ü∏…©à≤Jôà°«Sãch .»≤«≤M OóY CG ,»q £q N ¿GôàbG (¢S)`g å«ëH (٦) ‫ﻣﺜﺎل‬ 1 = (¢S)¥ »Ñ°ùædG ¿GÎb’G ≈æëæe º°SQG ¢S :’hCG »J’B G ∫hó÷G ¿ƒµf 1 πëdG ¢S = (¢S)¥ ¿GÎb’G ≈æëæe º°Sôd 1- 1- 1- 1- 1- 0 1 1 1 1 ¢S 2 3 4 10 4 3 2 1- 2- 3- 4- 10- ±ô©e ÒZ 4 3 2 1 (¢S)¥ .Gôk Ø°U ≠¢S , 1 =(¢S)¥ ¿Gôàb’G ≈æëæe πãªj (14 - 2) πµ°ûdGh ¢S Üôà≤Jh áÑLƒe ¢S º«b âfÉc GPGE ¬fCG º°SôdG øe ßMÓf ,OhóM ÓH OGOõJh kGóL Iô«Ñc íÑ°üJ ¥ º«b ¿s EÉa ôØ°üdG øe kGóL Iô«¨°U ¿ƒµJ ¥ º«b ¿s EÉa Iô«Ñc ¢S º«b âfÉc ɪ∏ch ¬fCG É°†k jGC ßMÓfh ,áÑLƒe ≈≤ÑJ É¡æµdh ôØ°üdG øe Üôà≤Jh ô¨°üJ ¥ º«b ¿s EÉa ôØ°üdG øe Üôà≤Jh áÑdÉ°S ¢S º«b âfÉc GPGE ¥ º«b ¿s ÉE a Iô«Ñc áLQóH ¢S º«b äô¨°U GPGh ,OhóM ÓH .(14 - 2) πµ°ûdG .áÑdÉ°S ≈≤ÑJ É¡æµdh ôØ°üdG øe Üôà≤J 64

‫‪ ،‬نلاحظ أ�ن مجال �لاقتر�ن‬ ‫‪1‬‬ ‫للاقتر�ن ق(�س) =‬ ‫وبالاعتماد على �لجدول و�لمنحنى �لبياني‬ ‫�س‬ ‫ق هو ح – }‪� ، {0‬أي �أن ق غير معرف عند �س= �شف ًر�‪.‬‬ ‫مثال (‪)٧‬‬ ‫�شف ًر�‪.‬‬ ‫وح ّدد مجاله‪،‬حيث �س≠‬ ‫‪3+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�ر�شم منحنى �لاقتر�ن هـ(�س) =‬ ‫�س‬ ‫الحل‬ ‫منحنى �لاقتر�ن هـ ينتج‬ ‫معنجا�نل�شهـحا=بحلل–أاع}ل‪0‬ى{بم‪،‬قودب�ارلا‪3‬عتوماحدد�علتىلممننححننىى�لاققت=ر� �ن‪1‬سق(‪�،‬وس�ل)�ش=ك�ل‪1‬س( ف‪2‬اإ َّ‪-‬ن‬ ‫‪ ) 15‬يمثل منحنى هـ‪.‬‬ ‫�ل�شكل (‪.)15 - 2‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٥‬‬ ‫�س‬ ‫‪ ،‬و�ر�شم منحناه‪.‬‬ ‫حدد مجال �لاقتر�ن ق(�س) =‬ ‫‪65‬‬

‫مثال (‪)٨‬‬ ‫و�ر�شم منحناه‪.‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫حدد مجال ك(�س)‬ ‫�س ‪2 +‬‬ ‫الحل‬ ‫‪1‬‬ ‫مجال ك = ح ‪( ، { 2- } -‬لماذ�؟)‬ ‫�س‬ ‫وبالاعتماد على منحنى �لاقتر�ن ق(�س) =‬ ‫نلاحظ �أن منحنى ك ينتج عن �ن�شحاب للي�شار‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .‬كما في‬ ‫�س‬ ‫‪Ã‬قد�ر وحدتين لمنحنى ق(�س) =‬ ‫�ل�شكل ( ‪.) 16– 2‬‬ ‫�ل�شكل (‪.)16 - 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و‪üH‬سو‪Q‬ة عامة‬ ‫�س‬ ‫�س ‪ -‬أ�‬ ‫باتجاه �ليمين بمقد�ر �أ‬ ‫عن �ن�شحاب منحنى ق(�س) =‬ ‫منحنى ك(�س) =‬ ‫ينتج‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫َوحدة‪ ،‬حيث �أ >‪0‬‬ ‫�س‬ ‫�س ‪ +‬أ�‬ ‫باتجاه �لي�شار‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫منحنى‬ ‫عن �ن�شحاب‬ ‫ينتج‬ ‫كما �أن منحنى ل(�س) =‬ ‫بمقد�ر أ� َوحدة‪ ،‬حيث �أ >‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٦‬‬ ‫�س ‪1 +‬‬ ‫و�ر�شم منحناه‪.‬‬ ‫حدد مجال �لاقتر�ن ق(�س)=‬ ‫‪66‬‬

‫مثال (‪)٩‬‬ ‫منحناه‪.‬‬ ‫و�ر�شم‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫�لاقتر�ن‬ ‫مجال‬ ‫حدد‬ ‫�س ‪-‬‬ ‫الحل‬ ‫مجال ق = ح ‪( ، { 1 } -‬لماذ�؟)‬ ‫ولر�شم منحنى ق يمكن كتابة �لاقتر�ن ق على �شورة �قتر�ن ن�شبي ب�ش ُط ُه ثابت‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫�س‬ ‫=‬ ‫�س‪1+1-‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‬ ‫لاحظ أ�ن ق(�س) =‬ ‫�س ‪-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫�س‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫�س ‪-‬‬ ‫‪ 1+‬و�عتما ًد� على‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫أ�ن‬ ‫يعني‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�شيكون منحنى ق تركيب‬ ‫�س‬ ‫منحنى هـ(�س) =‬ ‫�ن�شحابين �أحدهما لليمين بمقد�ر وحدة و�حدة‬ ‫و�ل آاخر لل أاعلى بمقد�ر وحدة و�حدة كما في‬ ‫�ل�شكل (‪.)17-2‬‬ ‫�ل�شكل (‪.)17 - 2‬‬ ‫لحظ اأن‪:‬‬ ‫�إذ� كان ق(�س) �قتر�نا ن�شبيا فاإ َّن مجاله ح ‪ } -‬أ��شفار �لمقام{ ‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٧‬‬ ‫‪.‬‬ ‫�س ‪5 +‬‬ ‫حدد مجال �لاقتر�ن ل(�س) =‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫‪67‬‬

‫القتران ال‪ùµ‬سر…‬ ‫حيث‬ ‫هـ (�س)‬ ‫تعريف‬ ‫م (�س)‬ ‫ي�شمى �لاقتر�ن ك �قتر� ًنا ك�شريًا �إذ� �أمكن كتابته على �ل�شورة ك(�س) =‬ ‫هـ‪ ،‬م �قتر�نات حقيقية‪ ،‬م(�س) ≠ �شف ًر�‬ ‫ولتحديد مجال �لاقتر�ن �لك�شري فاإننا نجد مجال كل من �لب�شط و�لمقام و أ��شفار �لمقام‪،‬‬ ‫ويكون م‪é‬ا∫ القتران ال‪ùµ‬سر… = م‪é‬ا∫ الب‪ù‬س§ ∩ م‪é‬ا∫ المقا‪ } - Ω‬أا‪U‬س‪Ø‬ا‪ Q‬المقا‪. {Ω‬‬ ‫مثال (‪)1٠‬‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫حدد مجال �لاقتر�ن ق(�س) =‬ ‫�س‪4 - 2‬‬ ‫الحل‬ ‫نجد مجال ك ٍّل من �لب�شط و�لمقام و أ��شفار �لمقام ثم نطبق �لقاعدة �ل�شابقة كالاآتي‪:‬‬ ‫يكون �لب�شط معرفا عندما �س –‪� ≥1‬شف ًر� ومنها تكون �س ≥‪ ، 1‬أ�ي أ�ن‪:‬‬ ‫مجال �لب�شط = [‪ ،)∞ ،1‬و بما أ�ن �لمقام كثير حدود فاإن مجال �لمقام ي�شاوي ح‬ ‫أ�ما أ��شفار �لمقام فهي ‪ 2 ، 2-‬وعليه يكون‪:‬‬ ‫مجال ق(�س) = [ ‪ ∩ )∞ ، 1‬ح ‪{2 } - )∞ ،1[= {2 ،2- } -‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٨‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫حدد مجال �لاقتر�ن ق(�س) =‬ ‫‪� - 8‬س‬ ‫‪?ɪ¡æe πx c ∫É›h ,…ô°ùµdG ¿GÎb’Gh ,»Ñ°ùædG ¿GÎb’G ÚH ¥ôØdG Ée‬‬ ‫‪68‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫ب) هـ(�س) = ‪� + 4‬س ‪5 -‬‬ ‫‪ )1‬حدد مجال كل من الاقترانات الآتية‪:‬‬ ‫�أ ) ق(�س) = ‪� - 6‬س ‬ ‫‪1‬‬ ‫ز(�س) =‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫جـ) ع(�س) = ‪� - 1 - 3‬س ‬ ‫‪� + 2‬س‬ ‫�س ‪6 +‬‬ ‫و ) م(�س) =‬ ‫‪ 3‬‬ ‫�س‬ ‫=‬ ‫ك(�س)‬ ‫هـ )‬ ‫�س‪3 + 2‬‬ ‫�س ‪-‬‬ ‫�س ‪2 -‬‬ ‫ح) و(�س) =‬ ‫‪ 11 --‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫ز ) ل(�س) =‬ ‫‪� + 7‬س‬ ‫�س‪2‬‬ ‫�س‪4 - 2‬‬ ‫=‬ ‫د(�س)‬ ‫)‬ ‫ط‬ ‫�س(�س‪)1-3‬‬ ‫ب) هـ(�س) = �س ‪2 - 1 +‬‬ ‫‪ )2‬ار�سم منحنى كل من الاقترانات الآتية‪:‬‬ ‫�أ ) ق(�س) = ‪� - 3‬س‬ ‫‪2-‬‬ ‫م(�س) =‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫�س‬ ‫جـ) ع(�س ) = ‪�-‬س ‪1 -‬‬ ‫هـ ) ك(�س) = ‪� + 1‬س‪ 2 +2‬‬ ‫و ) ل(�س) = ‪�3‬س‪1-‬‬ ‫‪ )3‬ار�سم منحنى كل من ق(�س) = �س ‪ ، 3 +‬هـ(�س) = ‪�-‬س ‪. 3 -‬‬ ‫وقارن بين منحنييهما ‪.‬‬ ‫ب) هـ(�س) = ‪� 4‬س ‪5 +‬‬ ‫‪ )4‬جد مجال كل من الاقترانين ا آلتيين‪:‬‬ ‫�أ ) ق(�س) = ‪� 3‬س ‪ 2 -‬‬ ‫‪69‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟثاﻟﺚ ﺍﻗﺘﺮﺍﻧاﺕ ﺧاﺻﺔ ‪Special Functions‬‬ ‫ال‪æ‬تا‪L‬ات‬ ‫•‬ ‫�لاقتر�ن �لمت�شعب‪ ،‬وتمثله بيانـ ًّيا‪.‬‬ ‫تتعرف‬ ‫•‬ ‫�قتر�ن �لقيمة �لمطلقة وتمثله بيانـ ًّيا‪.‬‬ ‫تتعرف‬ ‫•‬ ‫�قتر�ن أ�كبر عدد �شحيح وتمثله بيانـ ًّيا‪.‬‬ ‫تتعرف‬ ‫‪Piecewise Function‬‬ ‫أوﻻ‪ :‬اﻻﻗﺘﺮان اﻟﻤﺘﺸﻌﺐ‬ ‫�ذ� أ�ردت �أن تعرف كيف تتم عملية ح�شاب تعرفة ��شتهلاك �لطاقة �لكهربائية للمنازل‬ ‫�شتجد أ�ن �لتعرفة في فاتورة �لكهرباء للا�شتر�ك �لمنزلي مق�شمة �لى فئات كالاآتي‪:‬‬ ‫التعر‪a‬ة‬ ‫‪c‬مية ال�ست¡لا∑ ال‪û‬س¡ر…‬ ‫ال‪ÄØ‬ة‬ ‫‪a 33‬ل�س‪c /‬يلو واط‬ ‫من ‪c 160-1‬يلو واط ‪� /‬ساعة‬ ‫�لاأولى‬ ‫‪a 77‬ل�س‪c /‬يلو واط‬ ‫�لثانية‬ ‫‪a 86‬ل�س‪c /‬يلو واط‬ ‫من ‪c 300-161‬يلو واط ‪� /‬ساعة‬ ‫�لثالثة‬ ‫‪a 114‬ل�س‪c /‬يلو واط‬ ‫من ‪c 500-301‬يلو واط ‪� /‬ساعة‬ ‫�لر�بعة‬ ‫�أكثر من ‪c 500‬يلو واط ‪� /‬ساعة‬ ‫و�ل آان هـل ت�شتطيع كتابـة �قتر�ن يمثل �لتعرفـة وكيفيـة ح�شابها لكل �شريحة ��شـتهلاك (�س)‬ ‫‪c‬يلو واط‪� /‬ساعة?‬ ‫لاحظ أ�ن �لاقتر�ن في �لم�شاألة �ل�شابقة �شوف ي أاخذ �ل�شكل �لاآتي‪:‬‬ ‫‪� ≤1 ،‬س ≤‪160‬‬ ‫‪� 33‬س‬ ‫‪� <160 ،‬س ≤‪300‬‬ ‫‪�(77‬س‪160× 33 +)160-‬‬ ‫ق(�س)=‬ ‫‪�(86‬س‪� <300 ، 77×)160-300(+160× 33 +)300-‬س ≤‪500‬‬ ‫‪�(114‬س‪� ، 86×200+77×140+160×33+)500-‬س>‪500‬‬ ‫نلاحظ من كتابتنا للاقتر�ن ق �أن له أ�كثر من قاعدة وكل قاعدة معرفة على مجال معين‪ ،‬مثل هذ�‬ ‫�لاقتر�ن ي�شمى اقتران‪k‬ا مت‪û‬سعب‪k‬ا‪ ،‬و�لنقطة (�س ‪ ،‬ق(�س)) �لتي تتغير حولها قاعدة ق ت�شمى نقطة الت‪û‬سع‪.Ö‬‬ ‫‪70‬‬

:ÉeóæY áYÉ°S /•Gh ƒ∏«c ¢S ∑Ó¡à°SG ᪫b Ö°ùMG •Gh ƒ∏«c 350 = ¢S (2 •Gh ƒ∏«c 150= ¢S (1 (١) ‫ﻣﺜﺎل‬ (3>1 ¿’C ≈dhC’G IóYÉ≤dG øe Ö°ùëj ) :¿GÎb’G ≈æëæe º°SQG (≈dh’C G IóYÉ≤dG øe Ö°ùëj ) 3 ≥¢S , ¢S - 3<¢S , 2 =(¢S)¥ (3<6 ¿’C á«fÉãdG IóYÉ≤dG øe Ö°ùëj ) .(6)¥ , (3)¥ , (1)¥ óL ºK πëdG 1 - = (1)¥ 3- = (3)¥ 2 = (6)¥ ¬«∏Y áaôq ©ªdG ∫ÉéªdG »a IóYÉb πc π«ãªJ ºàj å«M ,¥ ¿Gôàb’G ≈æëæe (18-2) πµ°ûdG ø«Ñjh .¬°ùØf »fÉ«ÑdG º°SôdG ≈∏Yh IóYÉ≤dG ∂∏J ¿GôàbÓd Ö©°ûJ á£≤f »g 3 = ¢S ¿GC ßM’ ¢S - = (¢S)¥ IóYÉ≤dG øe Ö°ùëJh ¥ á«fÉãdG IóYÉ≤dG »a áaôq ©e ô«Z 3 = ¢S ¿GC h ≈∏Y (2,3) á£≤ædG óæY á≤∏M ™°VƒJ Gòd .≈æëæªdG .(18 - 2) πµ°ûdG 71

‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫�ر�شم منحنى �لاقتر�ن ق حيث‪:‬‬ ‫‪� ،‬س≤‪2-‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫ق(�س) = ‪� -‬س‪�<2 - ، 1+ 2‬س< ‪2‬‬ ‫‪� ،‬س≥ ‪2‬‬ ‫‪�2‬س‬ ‫ثم جد ق(‪ ، )2-‬ق(‪ ، )0‬ق(‪.)4‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫مثال (‪)٢‬‬ ‫‪(¢S)¥‬‬ ‫‪4‬‬ ‫�ل�شكل (‪ )19-2‬يمثل منحنى �لاقتر�ن ق‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )1‬جد ال إاحداثي ال�سيني لنقاط الت�سعب لمنحنى الاقت‪ô‬ان ق‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� )2‬كتب قاعدة �لاقتر�ن ق‪.‬‬ ‫‪3- 2- 1-‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫�ل�شكل (‪.)19- 2‬‬ ‫الحل‬ ‫‪� )1‬لاإحد�ثي �ل�شيني لنقطة �لت�شعب لمنحنى ق ي�شاوي �شف ًر�‪.‬‬ ‫‪ )2‬نلاحظ �أن �لجزء �لمر�شوم على �لفترة ( ‪ ]0، ∞ -‬في �ل�شكل (‪ )19 -2‬يمثل منحنى‬ ‫�لاقتر�ن ق(�س)= ‪� -‬س‪ ،‬أ�ما �لجزء �لمر�شوم على �لفترة [‪ )∞ ،0‬في �ل�شكل نف�شه فيمثل‬ ‫منحنى �لاقتر�ن ق(�س) = �س‪ ،2‬وعليه فاِإ َّن �لاقتر�ن ق يكتب على �شكل �قتر�ن مت�شعب‬ ‫�س≤ ‪0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪� -‬س‬ ‫كالاآتي‪:‬‬ ‫�س>‪0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫ق(�س) =‬ ‫‪72‬‬

¢ûbÉfh ôµq a ?(19 -2) πµ°ûdG »a Ö©°ûàdG á£≤f óæY ¥ ≈æëæe ≈∏Y á≤∏M ™r °Vn ƒJo ºd GPɪd (٢) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ .ì ≈∏Y ±ôs ©ªdGh ¥ ¿Gôàb’G ≈æëæe πãªj (20 - 2)πµ°ûdG .(20 - 2) πµ°ûdG .¥ ¿Gôàb’G ≈æëæªd Ö©°ûàdG •É≤æd »æ«°ùdG »KGóME’G óL (1 .¥ ¿Gôàb’G IóYÉb ÖàcG (2 73

‫تمارين و مسائل‬ ‫�س<‪0‬‬ ‫‪ ) 1‬اذا كان‪� - :‬س ‪ ، 5 +‬‬ ‫‪� ≤ 0‬س< ‪3‬‬ ‫ق(�س)= ‪، 4‬‬ ‫�س ≥ ‪3‬‬ ‫�س‪، 1+‬‬ ‫َفجد‪ :‬ق(‪ ، )1-‬ق(‪ ، )0‬ق(‪ ، )3‬ق(‪ ، )7‬ثم ار�سم منحنى ق‪.‬‬ ‫‪ )2‬إ�ذا كان‪:‬‬ ‫�س – ‪� ، 2‬س≤‪0‬‬ ‫م(�س) = �س‪� ، 1 + 2‬س>‪0‬‬ ‫فجد‪ :‬م(‪ ، )3-‬م(‪ ، )0‬م(‪ ، )2‬ثم ار�سم منحناه‪.‬‬ ‫‪ )3‬اكتب قاعدة كل اقتران من الاقترانات المر�سومة في ال�شكلين الآتيين‪:‬‬ ‫(‪.)22-2( ،)21 -2‬‬ ‫هـ(�س)‬ ‫ق(�س)‬ ‫ال�شكل (‪.)22 - 2‬‬ ‫ال�شكل (‪.)21 - 2‬‬ ‫‪ )4‬يتقا�ضى �صاحب موقف �سيارات با ألجرة مبلغ ن�صف دينار عن �أول �ساعة أ�و أ�ي جزء منها‪،‬‬ ‫ثم يتقا�ضى ‪ 30‬قر�ًشا عن كل �ساعة �أو أ� ّي جزء منها بعد ذلك‪ ،‬أ�جب عن ك ٍّل مما ي أ�تي‪:‬‬ ‫أ� ) اكتب قاعدة الاقتران الذي يمثل ا ألجرة لهذا الموقف‪.‬‬ ‫ب ) ما نوع هذا الاقتران؟‬ ‫جـ) ار�سم منحنى هذا الاقتران‪.‬‬ ‫‪74‬‬

‫‪ )5‬عامل في م�صنع يعمل �س �ساعة في لاأ�سبوع‪� ،‬إذا كانت �أجرته (‪ )4‬دنانير في ال�ساعة‪ ،‬ويح�صل‬ ‫على أ�جرة �إ�ضافية تعادل أ�جرة �ساعة ون�صف عن كل �ساعة عمل إ�ذا كان عدد �ساعات العمل‬ ‫�أكثر من (‪� )40‬ساعة‪ ،‬اكتب الاقتران جـ(�س) الذي يمثل لاأجرة ل أا�سبوعية للعامل‪ ،‬حيث‪:‬‬ ‫‪� ≤ 0‬س ≤ ‪60‬‬ ‫‪� < 2-‬س ≤ ‪1-‬‬ ‫‪� * )6‬إذا كان الاقتران‪:‬‬ ‫‪� < 1-‬س ≤ ‪0‬‬ ‫‪� -‬س ‪، 1 -‬‬ ‫‪� < 0‬س ≤ ‪1‬‬ ‫‪� < 1‬س ≤ ‪2‬‬ ‫�س ‪، 1 +‬‬ ‫ق(�س)= ‪� -‬س ‪، 1 +‬‬ ‫�س ‪، 1 -‬‬ ‫أ�ي من ل أا�شكال لاآتية تعبر عن الاقتران ق(�س)؟‬ ‫‪¢U ¢U‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪2- 1- 0‬‬ ‫‪2- 1- 0‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫(ب)‬ ‫( أ� )‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪2- 1- 0‬‬ ‫‪2- 1- 0‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫(د)‬ ‫(جـ)‬ ‫‪75‬‬ ‫* من أ��سئلة الاختبارات الدولية‪.‬‬

‫‪Absolute Value Function‬‬ ‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‪ :‬اﻗﺘﺮان اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﻄﻠﻘﺔ‬ ‫يدفع تاجر حبوب ( ‪ ) 10‬دنانير عن‬ ‫كل طن يدخل �أو يخرج من م�شتودعه‬ ‫�أجر َة تحميل أ�و تنزيل‪ ،‬فاإذ� كانت �لاأعد�د‬ ‫�لموجبة ت�شير �إلى عدد �ل أاطنان �لتي تدخل‬ ‫إ�لى �لم�شتودع‪َ ،‬و�لاأعد�د �ل�شالبة ُت�شير �إلى‬ ‫عدد �لاأطنان �لخارجة من �لم�شتودع‪.‬‬ ‫فهل ت�شتطيع كتابة �لاقتر�ن �لذي يمثل تكاليف �لتحميل �أو �لتنزيل؟‬ ‫أ�كمل �لجدول �ل آاتي �لذي ي�شير إ�لى تكلفة �لتحميل �أو �لتنزيل �لتي يدفعها �لتاجر‪.‬‬ ‫‪� 3- 5-‬شفر ‪5 3 1‬‬ ‫عدد �ل أاطنان �س‬ ‫�لتكلفة بالدينار ق(�س) ‪30 50‬‬ ‫لاحظ �أن �لاإ�شارة لا توؤثر في ح�شاب �لتكلفة في عدد �ل أاطنان �لد�خلة إ�لى �لم�شتودع‬ ‫و�لخارجة منه‪ ،‬و�نما تدل على �تجاه حركة �لحبوب‪ ،‬وعند تعاملك مع �ل أاعد�د بغ�س �لنظر عن‬ ‫�ل إا�شارة فانك ت�شتخدم �لقيمة �لمطلقة للعدد أ� �لتي يرمز لها بالرمز | أ� |‪.‬‬ ‫فاذ� كان �أ ح فان‪ | :‬أ� | تقر�أ القيمة المطلقة للعدد أ� وتعني ُبعد �لنقطة �أ عن �ل�شفر على خط �ل أاعد�د‪.‬‬ ‫‪ ،‬أ�≥‪0‬‬ ‫أ�‬ ‫وب�شكل عام فاِإ َّن‪:‬‬ ‫‪� ،‬أ <‪0‬‬ ‫‪ -‬أ�‬ ‫| أ� | =‬ ‫فمثلا‪3 =|3| :‬‬ ‫|‪4 =|4-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫|=‬ ‫‪2-‬‬ ‫|‬ ‫‪76‬‬

‫وبناء على ما �سبق يمكن كتابة اقتران القيمة المطلقة ق(�س) =|�س|دون ا�ستخدام رمز القيمة المطلقة‪،‬‬ ‫�س ‪� ،‬س ≥ ‪0‬‬ ‫‪� -‬س ‪� ،‬س < ‪0‬‬ ‫ق(�س) = |�س| =‬ ‫كالآتي ‪:‬‬ ‫وال�شكل (‪ ) 23 -2‬يمثل ر�سم منحنى الاقتران ق(�س) =|�س|‪.‬‬ ‫ولإعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة ق(�س) =|هـ(�س)|نتبع‬ ‫الخطوات الآتية‪:‬‬ ‫‪ )1‬نجد �أ�صفار الاقتران هـ داخل رمز القيمة المطلقة‪.‬‬ ‫‪ ) 2‬نعين �أ�صفار الاقتران هـ على خط ل أاعداد‬ ‫وندر�س ل إا�شارة حول هذه ل أا�صفار‪.‬‬ ‫ال�شكل (‪.)23 - 2‬‬ ‫‪ )3‬تكون قاعدة الاقتران ق هي ق(�س) = هـ(�س)‬ ‫على الفترات التي تكون فيها إ��شارة هـ موجبة‪.‬‬ ‫وتكـــــون قاعـــدة الاقـــتران ق هــــــي‬ ‫ق(�س) = ‪ -‬هـ(�س) على الفترات التي تكون‬ ‫فيها إ��شارة هـ �سالبة‪.‬‬ ‫‪ )4‬تكتب قاعدة الاقتران ق على �شكل اقتران مت�شعب‪ ،‬وتكون الإحداثيات ال�سينية لنقاط‬ ‫الت�شعب هي أ��صفار الاقتران هـ‪.‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫أ�عد تعريف الاقتران ق(�س) = |�س ‪|2 -‬دون ا�ستخدام رمز القيمة المطلقة ثم ار�سم منحناه‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫( إ�يجاد �أ�صفار الاقتران داخل رمز القيمة المطلقة )‬ ‫�س ‪0 = 2 -‬‬ ‫�س = ‪2‬‬ ‫( َح ُّل المعادلة الناتجة )‬ ‫‪� – 2‬س قاعدة ق‬ ‫�س – ‪2‬‬ ‫‪------- 2 ++++++‬‬ ‫‪77‬‬

‫وبناء على ما �شبق تكون قاعدة �لاقتر�ن ق كال آاتي‪:‬‬ ‫ق(�س)‬ ‫�س ‪� ، 2-‬س ≥ ‪2‬‬ ‫ق(�س) = ‪� - 2‬س ‪� ،‬س<‪2‬‬ ‫و�ل�شكل (‪ )24-2‬يبين ر�شم منحنى �لاقتر�ن ق‪.‬‬ ‫�ل�شكل (‪.)24 - 2‬‬ ‫‪|¢S|= (¢S)¥ ≈æëæe h|2-¢S|=(¢S)¥ ≈æëæe ÚH ¿QÉb‬‬ ‫‪.äÉæ«°ùdG Qƒ ™e ™WÉ≤àdG á£≤fh ΩÉ©dG πµ°ûdG å«M øe‬‬ ‫مثال (‪)٢‬‬ ‫�أعد تعريف �لاقتر�ن د(�س) = |‪�2‬س ‪|4 +‬‬ ‫الحل‬ ‫(�إيجاد �شفر �لاقتر�ن د�خل �لقيمة �لمطلقة)‬ ‫‪�2‬س ‪0 = 4+‬‬ ‫( َح ُّل �لمعادلة �لناتجة)‬ ‫�س = ‪2 -‬‬ ‫‪�2-‬س – ‪ 4‬قاعدة د(�س)‬ ‫‪�2‬س ‪4 +‬‬ ‫‪- - - - - - - 2- + + + + + +‬‬ ‫وبناء على ما �شبق تكون قاعدة �لاقتر�ن د كال آاتي‪:‬‬ ‫‪� 2‬س ‪� ، 4 +‬س≥ ‪2-‬‬ ‫د(�س) = ‪� 2-‬س ‪� ، 4-‬س< ‪2-‬‬ ‫‪78‬‬

‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫أ�عد تعريف �لاقتر�ن هـ(�س) = |‪�2-‬س| و�ر�شم منحناه‪.‬‬ ‫تع ‪q‬لم‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫�إذ� كان ل(�س)= ق(�س) ‪ +‬أ� وكان‬ ‫�كتب قاعدة �لاقتر�ن ق(�س) �لمر�شوم بال�شكل (‪)25-2‬‬ ‫أ� >‪ 0‬ف إانه يمكن �لح�شول على‬ ‫ر�شم �لاقتر�ن ل من ر�شم منحنى‬ ‫ق(�س)‬ ‫�لاقتر�ن ق وذلك بعمل �ن�شحاب‬ ‫لر�شم ق للاأعلى بمقد�ر( �أ ) وحدة‪.‬‬ ‫�ل�شكل (‪.)25 - 2‬‬ ‫الحل‬ ‫بما �أن ر�شم منحنى �لاقتر�ن ق هو �شعاعان ينطلقان من �لنقطة (‪ )2 ،0‬ومحور �لتماثل هو محور‬ ‫�ل�شاد�ت وبما �أنه تم �ن�شحاب منحنى �لاقتر�ن ق(�س) =|�س| لل أاعلى بمقد�ر وحدتين ف إاِ َّن قاعدة‬ ‫�لاقتر�ن �لمر�شوم هي ق(�س) = |�س|‪.2+‬‬ ‫تع ‪q‬لم‬ ‫ق(�س)‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٢‬‬ ‫�ل�شكل (‪.)26 - 2‬‬ ‫إ�ذ� كان ل(�س)= ق(�س) ‪ -‬أ� وكان‬ ‫�كتب قاعدة �لاقتر�ن‬ ‫أ� > ‪ 0‬فاإنــه يمكن �لح�شــول على‬ ‫ق �لمر�شوم منحناه‬ ‫ر�شم �لاقتر�ن ل من ر�شم �لاقتر�ن‬ ‫بال�شكل (‪)26-2‬‬ ‫ق وذلك بعمل �ن�شحاب لر�شم ق‬ ‫للاأ�شفل بمقد�ر( أ� ) وحدة‪.‬‬ ‫‪79‬‬

‫مثال (‪)4‬‬ ‫أ�عد تعريف �لاقتر�ن هـ(�س) = |�س‪� - 2‬س|‬ ‫الحل‬ ‫(�إيجاد أ��شفار �لاقتر�ن د�خل �لقيمة �لمطلقة)‬ ‫�س‪� - 2‬س = ‪0‬‬ ‫(تحليل �لمعادلة �لتربيعية)‬ ‫�س( �س – ‪0 = )1‬‬ ‫(ح ُّل �لمعادلة �لناتجة)‬ ‫�س =‪ 0‬أ�و �س = ‪1‬‬ ‫قاعدة هـ(�س) �س‪� – 2‬س �س– �س‪� 2‬س‪� – 2‬س‬ ‫�ل إا�شارة ‪+ + + + + - - - - - + + + + +‬‬ ‫قيم �س ∞ ‪∞- 0 1‬‬ ‫�س‪� - 2‬س ‪� ،‬س< ‪0‬‬ ‫∴ هـ(�س) = �س – �س‪�≤0 ، 2‬س≤ ‪1‬‬ ‫�س‪� - 2‬س ‪� ،‬س> ‪1‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫�كتب قاعدة �لاقتر�ن د(�س) = |�س‪�3 - 2‬س ‪ |4 -‬دون ��شتخد�م رمز �لقيمة �لمطلقة‪.‬‬ ‫وبناء على ما �شبق يمكن ��شتخد�م تعريف �لقيمة �لمطلقة في حل �لمعادلات و�لمتباينات �لتي‬ ‫تت�شمن �لقيمة �لمطلقة‪ ،‬كما في �لاأمثلة �لاآتية‪:‬‬ ‫مثال (‪)٥‬‬ ‫جد مجموعة �لحل للمعادلة |�س‪5 =|1-‬‬ ‫الحل‬ ‫من تعريف �لقيمة �لمطلقة نجد �أنه‪:‬‬ ‫�إما �س‪ 5 = 1-‬ومنها �س= ‪6‬‬ ‫�أو �س‪ 5- = 1-‬ومنها �س= ‪4-‬‬ ‫وبالتا‹ ف إا ّن مجموعة �لحل هي‪}6 ،4- { :‬‬ ‫‪80‬‬

‫تﺪريﺐ (‪)4‬‬ ‫جد مجموعة �لحل للمعادلة |‪�3‬س‪4 = |1-‬‬ ‫‪?|Ü|+|GC | , |Ü+CG|ÚH ábÓY ∑Éæg πg‬‬ ‫‪.∂àHÉLEG ô°qùa ì Ü , CG å«M‬‬ ‫‪H‬ع†س ‪üN‬سا‪üF‬س القيمة المطلقة‪:‬‬ ‫�إذ� كان أ� ‪ +ì‬وكانت �س‪� ،‬س ح فاإِ َّن‪:‬‬ ‫�س= أ� ‪� ،‬س= ‪ -‬أ�‬ ‫‪�| )1‬س| = أ�‬ ‫‪ -‬أ� < �س < أ�‬ ‫‪�| )2‬س| < أ�‬ ‫�س > �أ �أو �س< ‪ -‬أ�‬ ‫‪�| )3‬س| > أ�‬ ‫‪�| )4‬س‪� = |2‬س‪2‬‬ ‫‪� )5‬س‪�| = 2‬س|‬ ‫‪�| )6‬س ‪� +‬س|≤|�س|‪�|+‬س|‬ ‫(ح�شب خا�شية (‪))3‬‬ ‫مثال (‪)٦‬‬ ‫جد مجموعة حل �لمتباينة |�س‪ 5 > |2+‬وم ِّثلها على خط �لاأعد�د‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫|�س‪5 > |2+‬‬ ‫�إ ّما �س‪ 5-<2+‬أ�و �س‪5 > 2+‬‬ ‫‪81‬‬

( áæjÉÑàŸG §«°ùÑJ) :¿GC èàæj ÚàæjÉÑàŸG πëH 3 < ¢S hCG , 7- > ¢S Éeq GE ,( ∞ , 3) ∪ (7- , ∞-) :áæjÉÑàŸG πM áYƒª› ¿ƒµJ ‹ÉàdÉHh :»JB’Éc OGóY’C G §N ≈∏Y É¡«∏ã“h (٧) ‫ﻣﺜﺎل‬ .OGóYC’G §N ≈∏Y É¡∏ãu eh 3 ≥|1+¢S2| áæjÉÑàŸG πM áYƒª› óL πëdG 3 ≥ |1+¢S2| ((2) á«°UÉN Ö°ùM) 3 ≥ 1+ ¢S2 ≥ 3- (áKÓãdG ±GôWÓC d 1- áaÉ°VGE ) 2 ≥ ¢S2 ≥ 4- (2 ≈∏Y ±GôW’C G ™«ªL ᪰ùb) 1 ≥ ¢S ≥ 2- :»JB’Éc OGóYC’G §N ≈∏Y É¡∏«ã“h , ] 1 ,2- ] áæjÉÑàŸG πM áYƒª› ¿ƒµJ ‹ÉàdÉHh 8< |6-¢S4| (2 (٥) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ :á«J’B G äÉæjÉÑàŸG øe πx c πu M áYƒª› óL 4 > |7+¢S2| >1 (1 ∂àHÉLEG QôH ?(¢S)`g = (¢S)¥ π¡a , 2¢S = (¢S)`g ,2( ¢S ) = (¢S)¥ ¿Éc GPEG .(¿GÎbG πc ≈æëæe º°SQG :OÉ°TQEG) 82

‫تمارين و مسائل‬ ‫) ‪ ،‬ق(‪.)4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪�1‬إذا كان ق(�س)=|‪�3‬س‪َ ،|2-‬فجد ق(‪ ، )0‬ق(‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 )2‬اكتب قاعدة الاقتران ق(�س) =|‪�2 -6‬س|‪ ،‬دون ا�ستخدام رمز القيمة المطلقة ثم ار�سم منحناه‪.‬‬ ‫‪�3 )3‬أعد تعريف كل من الاقترانات لاآتية وار�سم منحنى كل منها‪.‬‬ ‫�أ ) هـ(�س) = |‪�2‬س‪ 4 + |3-‬‬ ‫ب) م (�س) = ‪�| -2‬س ‪|1+‬‬ ‫جـ) ع(�س) = |‪�3‬س ‪� ، |6 -‬س [ ‪]5 ،1-‬‬ ‫د ) ل(�س) = |‪�2 + 6‬س| ‪1 -‬‬ ‫‪ ) 4‬جد مجموعة حل كل من المعادلات لاآتية‪:‬‬ ‫أ� ) |‪�2‬س‪ 5 = |1+‬ب) |‪�3‬س‪�| = |1+‬س‪|4+‬‬ ‫جـ) �س ‪�| -‬س| ‪0 = 3 +‬‬ ‫‪ ) 5‬جد مجموعة حل كل من المتباينات لاآتية ومثلها على خط لاأعداد‪.‬‬ ‫ب) |‪�2‬س‪7 > |12 +‬‬ ‫أ� ) |‪� - 4‬س| ≤ ‪ 2‬‬ ‫جـ) ‪� - 5| < 2‬س| < ‪4‬‬ ‫‪ )6‬اكتب قاعدة الاقتران ق(�س) =|�س‪ ،|4 - 2‬دون ا�ستخدام رمز القيمة المطلقة ثم ار�سم‬ ‫منحناه‪.‬‬ ‫‪ )7‬اعتمد على ال�شكل (‪ )27 -2‬والذي يمثل ق(�س)‬ ‫ر�سم منحنى الاقتران ق(�س) = | أ��س‪ +‬ب| في‬ ‫�إيجاد قيم الثابتين �أ ‪ ،‬ب‪.‬‬ ‫ال�شكل (‪.)27 - 2‬‬ ‫‪83‬‬

‫‪ ) 8‬ت�يرس دراجة ب�سرعة ثابتة مقدارها ‪40‬كم ‪� /‬ساعة من الموقع ( أ� ) إ�لى الموقع (جـ) مرو ًرا بالموقع‬ ‫(ب) دون توقف‪ ،‬وي�ستغرق و�صول الدراجة من الموقع ( أ� ) �إلى الموقع (ب) ‪� 3‬ساعات‪ ،‬إ�ذا‬ ‫علمت �أن الم�سافة بين الدراجة و الموقع(ب) تح�سب وفق القاعدة‪:‬‬ ‫ف(ن) =‪ -3|40‬ن|‪ ،‬حيث ن‪ :‬الزمن بال�ساعات‪ ،‬ف‪ :‬الم�سافة بالكيلومترات‪،‬‬ ‫اح�سب الم�سافة بين الدراجة و الموقع (ب) في ك ٍّل من الحالات ل آاتية‪:‬‬ ‫ب) بعد ثلاث �ساعات‪.‬‬ ‫أ� ) بعد �ساعتين‪.‬‬ ‫د ) ماذا تلاحظ؟ ف�سر إ�جابتك‪.‬‬ ‫جـ) بعد أ�ربع �ساعات‪.‬‬ ‫)‪(ê‬‬ ‫) ‪(GC‬‬ ‫)‪(Ü‬‬ ‫‪84‬‬

‫‪Greatest integer Function‬‬ ‫ﺛﺎﻟ ًﺜﺎ‪ :‬اﻗﺘﺮان أﻛﺒﺮ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫أ�علن أ�حد �لمحلات �لتجارية عن �لخ�شم �لمبين في �لجدول �ل آاتي‪:‬‬ ‫مقد�ر �لخ�شم بالدينار‬ ‫قيمة �لم�شتريات بالدينار‬ ‫�أقل من ‪ 10‬دناني ‪0‬‬ ‫من ‪ 10‬دناني إ�لى أ�قل من ‪ 20‬دينا ًر� ‪1‬‬ ‫من ‪ 20‬دينا ًر� �إلى أ�قل من ‪ 30‬دينا ًر� ‪2‬‬ ‫من ‪ 30‬دينا ًر� إ�لى أ�قل من ‪ 40‬دينا ًر� ‪3‬‬ ‫�إذ� ��شترت �شيدة من �لمحل ب�شاعة بمبلغ ‪ 15‬دينا ًر�‪ ،‬فما مقد�ر �لخ�شم �لذي تح�شل‬ ‫عليه؟ وكم �شتدفع للبائع؟ وكم تدفع �شيدة ��شترت ب�شاعة بمبلغ ‪ 20‬دينا ًر�؟‬ ‫بفر�س �أن مقد�ر �لخ�شم يمثل �قتر� ًنا مثل ق فانه يمكنك كتابة قاعدة �لاقتر�ن �ل�شابق‪ ،‬حيث‬ ‫�س تمثل قيمة �لم�شتريات بالدينار‪ ،‬بال�شورة �ل آاتية‪:‬‬ ‫‪� ≤0 ،‬س < ‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪� ≤10 ،‬س < ‪20‬‬ ‫‪� ≤20 ،‬س <‪30‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(�س) =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� ≤30 ، 3‬س <‪40‬‬ ‫�ل�شكل (‪.)28 - 2‬‬ ‫وعند ر�شم منحنى �لاقتر�ن ق فاإنه ي أاخذ‬ ‫�شكل قطع م�شتقيمة تو�زي محور �ل�شينات‬ ‫�نظر �ل�شكل(‪.)28 -2‬‬ ‫�إن مثل هذ� �لاقتر�ن ي�شمى (اقتران اأ‪ Èc‬ع‪ó‬د ‪U‬سحي‪. )í‬‬ ‫‪µq a‬ر وناق‪û‬س‬ ‫هل ل‪Ó‬قت‪ô‬ان ق نقاط ت�سعب? ا‪ôcP‬ها‪.‬‬ ‫‪85‬‬

‫تعريف‬ ‫�لاقتر�ن ق �لذي يقرن كل عدد حقيقي �س ب أاكبر عدد �شحيح �أقل من �أو ي�شاوي �س‪ ،‬ي�شمى‬ ‫اقتران أا‪ Èc‬ع‪ó‬د ‪U‬سحي‪ í‬ويرمز له بالرمز [�س]‬ ‫وب�شورة عامة إ�ذ� كان ن ≤ �س< ن‪ 1+‬حيث ن عدد �شحيح‪ ،‬ف ِإا َّن ق(�س) = [�س] = ن‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫إ�ذ� كان ق(�س) = [�س ]‪ ،‬جد‪:‬‬ ‫ق(‪ ، )1-‬ق(‪ ، )4‬ق(‪ ، )2٫5-‬ق(‪)1٫8‬‬ ‫الحل‬ ‫ق(‪1- = ] 1-[ = )1-‬‬ ‫ق(‪4 =] 4[ = )4‬‬ ‫ق(‪1 = ] 1٫8[ = )1٫8‬‬ ‫ق(‪3- = ] 2٫5-[ = )2٫5-‬‬ ‫ومن تعريف �قتر�ن أ�كبر عدد �شحيح يمكن ملاحظة أ�ن‪:‬‬ ‫[�س ] = ‪ 1-‬عندما ‪� ≤1-‬س < ‪0‬‬ ‫[�س ] = ‪ 0‬عندما ‪� ≤0‬س <‪1‬‬ ‫[�س ] = ‪ 1‬عندما ‪� ≤1‬س <‪ 2‬وهكذ� ‪....‬‬ ‫مثال (‪)٢‬‬ ‫�كتب قاعدة �لاقتر�ن ق(�س)= [ �س ] ‪� ،‬س [ ‪ ] 3 ، 1-‬دون ��شتخد�م رمز �أكبر عدد �شحيح‪،‬‬ ‫و�ر�شم منحناه‪.‬‬ ‫‪86‬‬

‫الحل‬ ‫يمكن كتابة �لاقتر�ن ق على �لنحو �لاآتي‪:‬‬ ‫‪� ≤1- ،‬س <‪0‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪� ≤0 ،‬س < ‪1‬‬ ‫‪� ≤1 ،‬س < ‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫[�س ] =‬ ‫‪� ≤2 ،‬س < ‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� ، 3‬س = ‪3‬‬ ‫�ل�شكل (‪.)29- 2‬‬ ‫و�ل�شكل (‪ )29 -2‬يو�شح ر�شم منحنى �لاقتر�ن ق‪.‬‬ ‫‪.≥HÉ°ùdG ∫ÉãŸG ‘ ¥ ¿GÎbÓd Ö©°ûàdG •É≤f óL‬‬ ‫‪.≥HÉ°ùdG ∫ÉãŸG ‘ ¥ ¿GÎb’G ióe óL‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫�ر�شم منحنى هـ(�س) = [ �س ] ‪ ،1 +‬حيث �س [ ‪] 2 ، 2-‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫�أعد تعريف �لاقتر�ن ق(�س)= [ ‪�2‬س ] ‪،‬حيث ‪� ≤1-‬س< ‪. 1‬‬ ‫الحل‬ ‫‪Ã‬ا أ�ن ‪� ≤1-‬س < ‪ 1‬ف إاِ َّن‪�2 ≤2- :‬س < ‪ 2‬وبالتا‹ [ ‪�2‬س ] ياأخذ إ�حد‪� i‬لقيم �لتالية ‪:‬‬ ‫‪ 1 ، 0 ، 1- ، 2-‬لماذ�؟ �أي أ� َّن‪:‬‬ ‫‪�2 ≤2- ، 2-‬س <‪1-‬‬ ‫‪�2 ≤1-‬س < ‪0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫ق(�س) =‬ ‫‪�2 ≤0‬س < ‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪�2 ≤1 ، 1‬س < ‪2‬‬ ‫‪87‬‬

‫وبتب�شيط �لمتباينات في �لتعريف و�لتي على �ل�شورة ن ≤ ‪�2‬س < ن‪ ، 1+‬ف إِا َّن‪:‬‬ ‫‪� ≤ 1- ، 2-‬س < ‪0٫5-‬‬ ‫‪� ≤ 0٫5-‬س <‪0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫ق(�س) =‬ ‫‪� ≤ 0‬س < ‪0٫5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪� ≤ 0٫5 ، 1‬س < ‪1‬‬ ‫‪µq a‬ر وناق‪û‬س‬ ‫لماذ� و�شعت �إ�شارة �لم�شاو�ة على يمين �لفترة �لجزئية في جميع �لفتر�ت �لجزئية في مجال ق؟‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٢‬‬ ‫أ�عد تعريف كل من �لاقتر�نات �ل آاتية و�ر�شم منحناه ‪:‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = [‪�3‬س ] ‪،1 -‬حيث ‪� ≤1-‬س <‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‪ ،]1 +‬حيث ‪� ≤2-‬س ≤‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫[‬ ‫=‬ ‫هـ(�س)‬ ‫‪)2‬‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫�كتب قاعدة �لاقتر�ن ق(�س)= [‪� - 4‬س] ‪ ،‬حيث ‪� <2-‬س ≤‪.2‬‬ ‫دون ��شتخد�م رمز �أكبر �ل�شحيح‪.‬‬ ‫(تب�شيط �لمتباينة)‬ ‫الحل‬ ‫‪Ã‬ا أ�ن ن ≤ ‪� -4‬س < ن‪ 1+‬فاإن‬ ‫ن ‪� - ≤ 4-‬س < ن‪ 3-‬وبالتا‹‬ ‫‪ -3‬ن < �س ≤ ‪ -4‬ن‬ ‫وبالتعوي�س في ن بالقيم ‪ 5 ، 4 ، 3 ، 2‬لماذ�؟ ف إِا َّن‪:‬‬ ‫‪� < 2- ،‬س ≤‪1-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪� < 1- ،‬س ≤ ‪0‬‬ ‫‪� <0 ،‬س ≤ ‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ق(�س)=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� <1 ،‬س ≤‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪88‬‬

‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫�ر�شم منحنى ق(�س) = [‪� - 3‬س ] ‪� ،‬س [‪]3 ، 3-‬‬ ‫ملاح¶ة‪ :‬لر�شم منحنى ق(�س)= [�أ�س ‪ +‬ب] ‪ ،‬حيث أ� ‪ ،‬ب ح فاإننا نكتب هذ� �لاقتر�ن دون‬ ‫��شتخد�م رمز أ�كبر عدد �شحيح‪� ،‬أي نكتب ق ب�شورة مجز أ�ة حيث تتغي قاعدة �لاقتر�ن بعد كل‬ ‫فترة جزئية طولها |�أ‪ |1‬من مجال ق‪.‬‬ ‫مثال (‪)٥‬‬ ‫�س] ‪ 3+‬على �لفترة [‪)6 ، 2-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(�س)=[‬ ‫�لاقتر�ن‬ ‫منحنى‬ ‫�ر�شم‬ ‫‪2‬‬ ‫الحل‬ ‫لر�شم منحنى �لاقتر�ن ق لا ب َّد من إ�عادة تعريفه; حيث طول �لفترة �لجزئية �لتي تتغير وفقها‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪ 2‬وعليه يكون‪:‬‬ ‫|‬ ‫‪1‬‬ ‫|‬ ‫قاعدة هذ� �لاقتر�ن هي‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� ≤ 2- ، 2‬س <‪0‬‬ ‫‪� ≤0 ،‬س <‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ق(�س)=‬ ‫‪� ≤2 ،‬س < ‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪� ≤4 ، 5‬س < ‪6‬‬ ‫�ل�شكل (‪.)30 - 2‬‬ ‫و�ل�شكل (‪ )30 -2‬يو�شح ر�شم منحنى �لاقتر�ن ق‪.‬‬ ‫‪89‬‬ ‫مثال (‪)٦‬‬ ‫جد مجموعة حل �لمعادلة [‪�3‬س] = ‪4‬‬ ‫الحل‬ ‫ل إايجاد حل �لمعادلة [‪�3‬س] = ‪ 4‬ن�شتخدم �لقاعدة‪:‬‬

‫إ�ذ� كان [�س] = ن ‪ ،‬ف إان ن ≤ �س< ن‪1+‬حيث ن عدد �شحيح‪.‬‬ ‫وعليه يكون‪�3[ :‬س] =‪ 4‬إ�ذ� كان ‪�3 ≤4‬س <‪5‬‬ ‫(ق�شمة حدود �لمتباينة على ‪)3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫�س<‬ ‫≤‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫[‬ ‫)‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫�لحل‬ ‫مجموعة‬ ‫أ� َّن‬ ‫أ�ي‬ ‫مثال (‪)٧‬‬ ‫جد مجموعة حل �لمعادلة [ ‪�2 -3‬س] = ‪1‬‬ ‫الحل‬ ‫حل هذه �لمعادلة كال آاتي‪:‬‬ ‫‪�2 -3 ≤ 1‬س < ‪2‬‬ ‫(طرح ‪ 3‬من جميع �لاأطر�ف)‬ ‫‪�2 - ≤ 2-‬س <‪1-‬‬ ‫( ق�شمة جميع �ل أاطر�ف على ‪)2-‬‬ ‫‪� �<≥121‬سس>≤‪112‬‬ ‫أ�ي �أ َّن مجموعة �لحل‬ ‫(ترتيب �لمتباينة)‬ ‫]‬ ‫‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)4‬‬ ‫جد مجموعة حل �لمعادلة [‪�2-‬س] = ‪ 5‬وم ِّث ْلها على خط �لاأعد�د‪.‬‬ ‫مثال (‪)٨‬‬ ‫جد مجموعة حل �لمتباينة ‪� [< 2‬س ‪ 4 <] 1+‬وم ِّث ْلها على خط �لاأعد�د‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫بما �أن قيمة �قتر�ن �أكبر عدد �شحيح ت�شاوي د�ئما عدد�ً �شحيح ًا ف ِاإ َّن‪:‬‬ ‫�لعدد �ل�شحيح �لذي يقع بين ‪ 4 ، 2‬هو فقط ‪ ، 3‬وعليه يكون‪:‬‬ ‫[�س ‪3 = ]1 +‬‬ ‫‪90‬‬

‫(تعريف أ�كبر عدد �شحيح)‬ ‫أ�ي �أ َّن ‪� ≤3‬س ‪4< 1 +‬‬ ‫(حل �لمتباينة)‬ ‫‪� ≤ 2‬س <‪3‬‬ ‫أ�ي أ�ن مجموعة �لحل = [‪.) 3 ، 2‬‬ ‫و ُتم َّثل مجموعة �لحل على خط �لاأعد�د كما في �ل�شكل‪:‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٥‬‬ ‫جد مجموعة حل �لمتباينة ‪�2 [ ≤4‬س – ‪ 6< ] 1‬وم ِّثلها على خط �لاأعد�د‪.‬‬ ‫‪H‬ع†س ‪üN‬سا‪üF‬س اأ‪ Èc‬ع‪ó‬د ‪U‬سحي‪�[ í‬س]‪ ,‬حي‪:ì å‬‬ ‫‪�[ )1‬س] ≤ �س‬ ‫‪�[ )2‬س ‪� +‬أ] = [�س] ‪ +‬أ� حيث أ� �س‬ ‫‪� ≤0 )3‬س ‪�[ -‬س] < ‪1‬‬ ‫‪.¢üFÉ°üÿG √òg áë°U ÈàNGh ¢S Ò¨àª∏d ɪk «b ÎNG‬‬ ‫مثال (‪)٩‬‬ ‫�كتب قاعدة �لاقتر�ن ق(�س) = [�س‪ ،]0٫5+‬حيث ‪� ≤1٫5-‬س ≤ ‪ 2‬دون ��شتخد�م رمز �أكبر‬ ‫عدد �شحيح ثم �ر�شم منحناه‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫لاحظ �أن هذ� �لاقتر�ن هو �قتر�ن �أكبر عدد �شحيح‪ ،‬ولكي نختار بد�ية ل إاحد‪� i‬لفتر�ت �لجزئية‬ ‫لهذ� �لاقتر�ن‪ :‬ن�شاوي ما د�خل �أقو��س �أكبر �شحيح بعدد �شحيح مثل ‪ ، 1-‬أ�ي �أن �س‪1- =0٫5+‬‬ ‫�ذ�ً ت�شبح �س = ‪ 1٫5 -‬بد�ية لاإحد‪� i‬لفتر�ت �لجزئية‪ ،‬وعليه يكون‪:‬‬ ‫‪91‬‬

0٫5- < ‫ ≤ �س‬1٫5- ، 1- 0٫5 < ‫ ≤ �س‬0٫5- ، 0 = )‫ق(�س‬ 1٫5 < ‫ ≤ �س‬0٫5 ، 1 2 ≤ ‫ ≤ �س‬1٫5 ، 2 .‫) يو�شح منحنى ق‬31 -2( ‫و�ل�شكل‬ .)31 - 2( ‫�ل�شكل‬ IÎØdG »g (9) ∫Éãe ‘ ¥ ¿GÎb’G ∞jô©J ‘ IÎa ôNGB âfÉc GPÉŸ .∂àHÉLGE QôH ? 2^5 ,1^5[ IÎØdG ¢ù«dh 2 ,1^5[ )٦( ‫تﺪريﺐ‬ ‫ دون ��شتخد�م‬2< ‫≤ �س‬0٫2- ‫] حيث‬0٫4 + ‫�س‬2[ =)‫�كتب قاعدة �لاقتر�ن هـ(�س‬ .‫رمز أ�كبر عدد �شحيح و�ر�شم منحناه‬ .∂àHÉLGE QôH ?ájOó©dG ᪫≤dG å«M øe ¢1S , 1 ÚH ábÓY ∑Éæg πg ]¢S[ 92

‫تمارين و مسائل‬ ‫)‬ ‫‪1-‬‬ ‫ق(‬ ‫)‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(‬ ‫‪،‬‬ ‫ق(‪)0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ق(‪)1-‬‬ ‫فجد‪:‬‬ ‫‪]1+‬‬ ‫[�س‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫كان‬ ‫‪�1‬إذا‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 )2‬اكتب قاعدة كل من الاقترانات ا آلتية دون ا�ستخدام رمز �أكبر عدد �صحيح‪ ,‬وار�سم منحنى‬ ‫كل منها‪.‬‬ ‫أ� ) ق(�س) = [�س ‪ ، ]4 +‬حيث ‪� ≤2-‬س < ‪2‬‬ ‫ب ) ك(�س) = [‪� -2‬س] ‪ ،‬حيث ‪� ≤1-‬س < ‪3‬‬ ‫حيث ‪� ≤0‬س ≤ ‪6‬‬ ‫‪،‬‬ ‫�س ‪]0.3 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫[‬ ‫=‬ ‫ل(�س)‬ ‫جـ) ‬ ‫‪2‬‬ ‫فجد كل ًّا من‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫هـ(�س) =‬ ‫‪،‬‬ ‫�‪1‬س‬ ‫‪�3‬إذا كان ق(�س) =‬ ‫‪)3‬‬ ‫[�س]‬ ‫‪1-‬‬ ‫�أ ) ق(‪ ،)2‬هـ(‪)2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫)‬ ‫)‪ ،‬هـ(‬ ‫‪3‬‬ ‫ق(‬ ‫ب)‬ ‫جـ) ق(‪ ، )1٫7‬هـ(‪.)1٫7‬‬ ‫[‪] 5 ، 3-‬‬ ‫حيث �س‬ ‫‪،‬‬ ‫‪� +‬س‬ ‫�س‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪�4‬أعد تعريف الاقتران ق(�س) =‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 )5‬جد مجموعة حل المعادلة �س ‪�[ -‬س] = �صف ًرا ‪ ،‬حيث ‪� ≤ 2-‬س <‪1‬‬ ‫‪6 )6‬جد مجموعة حل كل من المعادلات ا آلتية‪:‬‬ ‫�أ ) [‪�2 – 6‬س] = �صف ًرا ب) [�س ‪1.5 = 2.3 - ]4 -‬‬ ‫‪7 )7‬جد مجموعة حل كل من المتباينات الآتية‪:‬‬ ‫ب) ‪�4[ ≤ 2-‬س ‪0 < ]2 -‬‬ ‫ �أ ) ‪�3[ ≤ 3‬س ‪4 < ]1+‬‬ ‫جـ ) ‪�5 [ <1‬س ‪2 < ] 1 +‬‬ ‫‪93‬‬

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﺍﻟﻌمﻠﻴاﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻻﻗﺘﺮﺍﻧاﺕ ‪Operations on Functions‬‬ ‫ال‪æ‬تا‪L‬ات‬ ‫• تتعرف �لاقتر�ن �لعك�شي‪.‬‬ ‫• نتعرف مفهوم تركيب �قتر�نين‪.‬‬ ‫• تجد ناتج تركيب �قتر�نين‪.‬‬ ‫• تجد �لاقتر�ن �لعك�شي لاقتر�ن معطى (�إن �أمكن)‪.‬‬ ‫• ت�شتخدم تركيب �قتر�نين في حل م�شائل حياتية‪.‬‬ ‫‪Composition of Functions‬‬ ‫أو ًﻻ‪ :‬ﺗﺮﻛﻴﺐ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎت‬ ‫�إذ� كان وزن دما‪� Æ‬لطفل لحظة �لولادة ُيعطى بالعلاقة ق(�س) = ‪� 0٫025‬س‪ ،‬حيث‬ ‫�س وزن �لطفل عند �لولادة‪ ،‬و�إذ� كــان وزن دماغــه عند بلوغه �ل�شنة �لثالثة من �لعمر يعطى‬ ‫بالعلاقة هـ(�س)= �س‪ ، 0٫05 +‬حيث �س وزن دماغه عند �لولادة‪ ،‬جد وزن دما‪ Æ‬طفل بلغ‬ ‫�ل�شنة �لثالثة من عمره إ�ذ� كان وزنه عند �لولادة ثلاثة كيلوغر�مات‪.‬‬ ‫لح�شاب وزن دما‪� Æ‬لطفل عند بلوغه �ل�شنة �لثالثة من �لعمر يجب ح�شاب وزن �لدما‪ Æ‬عند‬ ‫�لولادة‪ ،‬ثم �لاعتماد على �لنتيجة لح�شاب وزن �لدما‪ Æ‬عند بلوغه �ل�شنة �لثالثة من �لعمر‪ ،‬وبذلك‬ ‫يكون وزن دما‪� Æ‬لطفل عند �لولادة ق(‪ 0٫075 = 3 × 0٫025 = )3‬كغ‪.‬‬ ‫ويكون وزن دما‪� Æ‬لطفل عند بلوغه �ل�شنة �لثالثة ‪:‬‬ ‫هـ(‪ 0٫125=0٫05 +0٫075 = )0٫075‬كغ‪.‬‬ ‫نلاحظ أ�نه يمكنك ح�شاب وزن دما‪� Æ‬لطفل عند بلوغه �ل�شنة �لثالثة بالاعتماد على وزنه‬ ‫عند �لولادة با�شتخد�م �قتر�ن جديـــد هو ع(�س) ينتــج من تــركيب �لاقتر�ن ْي ِن ق‪ ،‬هـ بحيث �إ َّن‬ ‫ع(�س)= هـ(ق(�س)) و ُتق َر أ� هـ بعد ق لـ �س ونعبر عن ذلك (هـ‪o‬ق)(�س)‪.‬‬ ‫‪94‬‬

‫�نظر �ل�شكل (‪.)32-2‬وعليه يكون ع(�س) = ‪� 0٫025‬س ‪ 0٫05 +‬حيث �س وزن �لطفل عند �لولادة‪.‬‬ ‫‪0٫125‬‬ ‫ق هـ‬ ‫‪0٫075‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(هـ ‪ o‬ق) (�س)‬ ‫�ل�شكل (‪.)32-2‬‬ ‫‪ûH‬س‪µ‬ل عا‪ Ω‬يتم تركيب �لاقتر�نين ق ‪ ،‬هـ �إذ� كان مد‪ i‬ق مجموعة جزئية من مجال هـ‪ ،‬ونعبر‬ ‫عن ذلك بال�شورة (هـ ‪ o‬ق) (�س) وي�شاوي هـ(ق(�س))‪.‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫�إذ� كان ق(�س) = ‪�2‬س ‪ ، 1 +‬هـ(�س) = ‪�4‬س – ‪. 3‬‬ ‫فجد قيمة كل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫(هـ ‪ o‬ق) (‪( ، )2‬ق ‪ o‬هـ) (‪( ، )2‬هـ ‪o‬ق) (‪( ، )0‬ق‪o‬هـ) (‪)0‬‬ ‫الحل‬ ‫(هـ ‪ o‬ق) (‪ = )2‬هـ(ق(‪ = ))2‬هـ(‪17= )5‬‬ ‫(ق ‪ o‬هـ) (‪ = )2‬ق(هـ(‪ = ))2‬ق(‪11 = )5‬‬ ‫(هـ ‪o‬ق) (‪ = )0‬هـ(ق(‪ = ))0‬هـ(‪1 = )1‬‬ ‫(ق‪o‬هـ) (‪ = )0‬ق(هـ(‪ = ))0‬ق(‪5 - = )3 -‬‬ ‫‪?á«∏jóÑJ á«∏ªY äÉfGÎb’G Ö«côJ á«∏ªY πg‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫إ�ذ� كان ق(�س)= �س‪ ، 2‬هـ(�س) = �س ‪ 3 +‬فجد‪:‬‬ ‫(ق ‪ o‬هـ) (‪( ، )1‬هـ ‪ o‬ق) (‪( ، )1‬ق ‪ o‬هـ) (‪( ، )2-‬هـ ‪ o‬ق) (‪)2-‬‬ ‫‪95‬‬

‫مثال (‪)٢‬‬ ‫�إذ� كان ق(�س) = ‪�2‬س‪ ،3 –2‬هـ(�س) = ‪�4‬س ‪ 1+‬فجد قاعدة كل من‪:‬‬ ‫‪( )3‬هـ‪o‬هـ) (�س) ‪.‬‬ ‫‪( )2‬هـ ‪o‬ق) (�س)‬ ‫‪( )1‬ق‪o‬هـ) (�س)‬ ‫الحل‬ ‫‪( )1‬ق‪o‬هـ) (�س) = ق(‪�4‬س ‪�4(2 = )1 +‬س ‪3 –2)1 +‬‬ ‫= ‪�16(2‬س‪�8 + 2‬س ‪�32 = 3 – ) 1 +‬س‪�16 + 2‬س – ‪1‬‬ ‫‪( )2‬هـ ‪o‬ق) (�س) = هـ(‪�2‬س‪�2(4 = ) 3 –2‬س‪1 + )3 –2‬‬ ‫= ‪�8‬س‪�8 = 1+ 12 –2‬س‪11 –2‬‬ ‫‪( )3‬هـ ‪o‬هـ) (�س) = هـ(‪�4‬س ‪�4(4 = )1 +‬س ‪�16 = 1+ )1 +‬س ‪5 +‬‬ ‫نلاحظ أ�ن (ق ‪ o‬هـ) (�س) ≠ (هـ ‪o‬ق) (�س)‪.‬‬ ‫هـ‪�)(2‬س()هـ=‪13o‬ق)(�(س�س‪،)2 )+‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٢‬‬ ‫فجد قاعدة كل من‪:‬‬ ‫‪،2‬‬ ‫–‬ ‫ق(�س) = ‪�3‬س‬ ‫�إذ� كان‬ ‫‪( )3‬ق ‪ o‬ق) (�س)‬ ‫‪ o‬هـ) (�س)‬ ‫‪( )1‬ق‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.∂àHÉLEG QôH ?(¢S)(¥o `g) IóYÉb OÉéjGE ™«£à°ùJ π¡a , ¢S = (¢S)`g , 2 + ¢S =(¢S)¥ ¿Éc GPEG‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫�س‪� ، 7+‬س < ‪2‬‬ ‫�إذ� كان ق(�س) = ‪�3‬س‪ ، 5 + 2‬هـ(�س) = ‪�2‬س ‪� ،‬س ≥ ‪2‬‬ ‫فجد قيمة كل من‪( )1 :‬ق ‪ o‬هـ) (‪)3‬‬ ‫‪( )2‬هـ ‪ o‬ق) (‪)0‬‬ ‫الحل‬ ‫‪( )1‬ق ‪ o‬هـ) (‪ = )3‬ق(هـ(‪ = ))3‬ق(‪113 = 5+ 36 × 3 = )6‬‬ ‫‪( )2‬هـ ‪ o‬ق) (‪ = )0‬هـ(ق(‪ = ))0‬هـ(‪10 = 5 × 2 = )5‬‬ ‫‪96‬‬

‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫إ�ذ� كان ق(�س) = �س‪ ، 3‬هـ(�س) = |‪�2‬س ‪|3 +‬‬ ‫هـ)(�س)‬ ‫‪o‬‬ ‫(ق‬ ‫‪،‬‬ ‫ق)(�س)‬ ‫‪o‬‬ ‫(هـ‬ ‫‪،‬‬ ‫)‬ ‫‪1-‬‬ ‫هـ)(‬ ‫‪o‬‬ ‫(ق‬ ‫‪،‬‬ ‫)‬ ‫‪1-‬‬ ‫ق)(‬ ‫‪o‬‬ ‫(هـ‬ ‫فجد ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫�إذ� كان ق(�س) = �س‪ ، 1 + 2‬هـ(�س) = ‪�3‬س ‪ ،‬فجد قيم �س �لتي تحقق‪:‬‬ ‫‪( )1‬ق ‪ o‬هـ) (�س) = ‪( )2 ، 10‬هـ ‪ o‬ق) (�س) =‪15‬‬ ‫الحل‬ ‫‪( )1‬ق ‪ o‬هـ)(�س) = ‪10‬‬ ‫ق(هـ(�س)) =‪10‬‬ ‫ق(‪�3‬س) = ‪10‬‬ ‫(‪�3‬س)‪10=1+2‬‬ ‫‪�9‬س‪� ⇐ 10 = 1+2‬س‪� ⇐ 1 =2‬س= ‪1 - ، 1‬‬ ‫‪( )2‬هـ ‪ o‬ق)(�س) =‪15‬‬ ‫هـ(ق(�س)) = ‪15‬‬ ‫هـ(�س‪15 = )1+2‬‬ ‫‪�(3‬س‪15= )1+2‬‬ ‫�س‪� ⇐ 5 = 1+2‬س‪� ⇐ 4 =2‬س = ‪2- ، 2‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)4‬‬ ‫�إذ� كان ق(�س) = �س‪ ، 2‬هـ(�س) = ‪� 3‬س ‪، 3 -‬ع(�س) = �س ‪ 9 -‬فجد ك ًّلا مما ي أاتي‬ ‫( إ�ن أ�مكن) ‪:‬‬ ‫ب) (ق ‪ o‬هـ) (�س)‬ ‫أ� ) قيمة �س حيث (هـ ‪ o‬ق)(�س) = ‪1‬‬ ‫د ) (ع ‪ o‬ق)(�س)‬ ‫جـ) (ق ‪ o‬ع)(�س)‬ ‫‪97‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪1 )1‬جد قيمة كل من‪( :‬ق ‪ o‬هـ) (‪( ، )1‬هـ ‪ o‬ق) (‪( ، )2-‬هـ ‪ o‬ق) (‪ )3-‬في كل مما ي أ�تي‪:‬‬ ‫أ� ) ق(�س) = ‪�4‬س‪ ، 2‬هـ(�س) = ‪�2‬س ‪7 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫هـ(�س)‬ ‫‪،‬‬ ‫ب ) ق(�س) = ‪�3-‬س‬ ‫�س‪+ 2‬‬ ‫فجد‪:‬‬ ‫‪، 2+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫هـ(�س) =‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ 2 )2‬إ�ذا كان ق(�س) = ‪�2‬س‪3‬‬ ‫‪�2‬س‬ ‫�أ ) (ق‪o‬هـ) (�س)‬ ‫ب) (هـ ‪ o‬ق) (�س)‬ ‫‪ 3 )3‬إ�ذا كان ق(�س) = ‪� 3‬س ‪ ، 3 -‬هـ(�س) = (�س‪، 2)3+‬فجد ‪:‬‬ ‫�أ ) (ق‪o‬هـ) (‪)1‬‬ ‫ب) (هـ ‪o‬ق) (‪)2‬‬ ‫جـ) (ق‪o‬هـ ‪o‬ق) (‪)8 -‬‬ ‫‪�4 )4‬إذا كان ق(�س) = �س‪ ، 3‬هـ(�س) = ‪�|2‬س‪ ، |1+‬فجد‪:‬‬ ‫�أ ) (ق‪o‬هـ) (‪)2-‬‬ ‫ب) (هـ ‪o‬ق) (‪)2‬‬ ‫جـ) (هـ ‪o‬ق) (�س)‪.‬‬ ‫‪5 )5‬تب ّين �أ َّن حجم ثمرة ي�أخذ �شكل ًا كرو ًّيا تقري ًبا يعطى ح�سب الاقتران ح(ر) = ‪ π‬ر‪1٫5+ 3‬‬ ‫حيث ر‪ :‬ن�صف قطر الثمرة بالمليمتر‪ ،‬و�أن ن�صف قطر هذه الثمرة يزداد وفق القاعدة‪:‬‬ ‫ر = ف(ن) = ‪ 0٫006‬ن‪ 0٫02 + 2‬ن ‪0٫5 +‬حيث ن‪ :‬الزمن بالأيام بعد تك ُّون الثمرة ‪،‬‬ ‫اح�سب حجم الثمرة بعد مرور ‪ 50‬يو ًما على بدء تكونها‪.‬‬ ‫‪98‬‬