أول ثانوي علمي 2018م

‫مجـموعة حل �لمتباينة �س‪� -2‬س‪ 0 < 6-‬هي الفترة‪)3 ، 2-( :‬‬ ‫∴ مجـال �لاقتر�ن م هو‪)3 ،2-( :‬‬ ‫�لمدى هو‪ :‬ح‬ ‫تﺪريﺐ (‪)6‬‬ ‫جـد مجـال ومدى كل من �لاقتر�نات �لاآتية‪:‬‬ ‫‪ )2‬ل(�س) = لــــو(�س‪� +2‬س‪)12-‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = لــــو(�س‪)11+2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ )4‬م(�س) = ‪+1‬لــــو(‪� - 2‬س)‬ ‫‪ )3‬ك(�س) = لــــو(‪�-9‬س‪)2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ا’‪ôàb‬ا¿ ال∏‪ »ªàjQÉZƒ‬ال‪»©«Ñ£‬‬ ‫هنالك اقترانات لوغاريتمية يكثر ا�ستخدامها مثل اقتران اللوغاريتم الطبيعي الذي يرمز له بالرمز‬ ‫الحا�سبة‬ ‫الاآلة‬ ‫في‬ ‫الطبيعي‬ ‫اللوغاريتم‬ ‫ويرمزلاقتران‬ ‫النايبيري)‬ ‫(العدد‬ ‫هـ‬ ‫=‪n‬لـ‪L‬ــ)ـ‪.‬وهـ�س‪،‬حيث‬ ‫)‬ ‫ق(�س‬ ‫(‬ ‫بالرمز‬ ‫مثال (‪)٨‬‬ ‫با�ستخدام الاآلة الحا�سبة اح�سب قيمة ك ٍّل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ )2‬لــــوهـ‪ )3 0.7‬لــــوهـ ‪0.0001‬‬ ‫‪ )1‬لــــوهـ‪5‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬با�ستخدام الاآلة الحا�سبة لــــو ‪1.60943 = 5‬‬ ‫هـ‬ ‫�لجـدول �لاآتي يمثل حل �لفرعين (‪ )3( ،)2‬با�ستخدام الاآلة الحا�سبة‬ ‫�لنتيجـة‬ ‫ال إاجـرا‪A‬ات‬ ‫العدد‬ ‫‪- 0.356674‬‬ ‫‪Ln 0.7‬‬ ‫لــــو‪0.7‬‬ ‫‪- 9.210340‬‬ ‫‪Ln 0.0001‬‬ ‫لــــو‪0.0001‬‬ ‫‪249‬‬

‫تﺪريﺐ (‪)7‬‬ ‫با�ستخدام ال آالة الحا�سبة اح�سب قيمة ك ٍّل مما ياأتي ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )2‬لــــوهـ‪ )3 8‬لــــوهـ‪0.004‬‬ ‫‪3‬‬ ‫لــــوهـ‬ ‫‪)1‬‬ ‫مثال (‪)٩‬‬ ‫ار�سم منحنى الاقتران ق(�س) = لــــو�س بالفترة [‪ ]9 ،1‬با�صتخد�م برمجـية �إك�صل‪.‬‬ ‫هـ‬ ‫الحل‬ ‫‪� )1‬صغل برمجـية �إك�صل (‪ ،)Excel‬تظهر لك نافذة اك�سل كما في ال�سكل (‪:)22-5‬‬ ‫ال�سكل (‪.)22-5‬‬ ‫‪ )2‬اختر عمو ًدا وليكن ‪ ،A‬و�صع �لم ؤو�صر في �لخلية ‪ A1‬اكتب القيمة الاأولى للمتغير �س وهي‬ ‫(‪ ،)1‬ثم ن�صع �لم ؤو�صر في �لخلية ‪ A2‬واكتب القيمة الثانية وهي للمتغير �س وهي (‪ .)2‬ثم ظلل‬ ‫�لخليتين ثم ��صحب �لم ؤو�صر للاأ�صفل حتى تظهر آ�خر قيمة للمتغير كما في �ل�صكل (‪.)23-5‬‬ ‫ال�سكل (‪.)23-5‬‬ ‫‪250‬‬

‫‪� )3‬ضع الم ؤ��شر في الخلية (‪ .)B1‬ومن تبويبة ال�صيغ (‪ ,)Formulas‬اختر �أداة إ�دراج دالة فيظهر‬ ‫لك حوار �إدراج كما في ال�شكل (‪.)24-5‬‬ ‫ال�شكل (‪.)24-5‬‬ ‫‪ )4‬اختر الدالة (‪ )LN‬وانقر على موافق‪ ,‬يظهر لك �صندوق حوارالدالة‪ ،‬ثم اكتب أ��سا�س الاقتران‬ ‫ق في م�ستطيل (‪ )Base‬واكتب ‪ A1‬كما في ال�شكل (‪.)25 -5‬‬ ‫ال�شكل (‪.)25-5‬‬ ‫‪251‬‬

‫‪ )5‬ا�سحب الم ؤ��شر على جـميع الخلايا التي كتبتها ليظهر لك مجـموعة �صور قيم المتغير �س‬ ‫كما في العمود ‪ .B‬كما في ال�شكل (‪.)26-5‬‬ ‫ال�شكل (‪.)26-5‬‬ ‫‪ )6‬ظلل العمودين ‪ A,B‬ثم اختر من تبويبة إ�دراج مجـموعة مخططات نوع المخطط (‪)Line‬‬ ‫ثم اختر من لاأ�شكال ال�شكل �س‪� ,‬ص مبعثر (‪ )XY-Scatter‬ثم اختر نوع المنحنى كما في‬ ‫ال�شكل (‪.)27-5‬‬ ‫ال�شكل (‪.)27-5‬‬ ‫‪252‬‬

.(28 -2) πµ°ûdG »a ɪc ¢S ƒ````d =(¢S)¥ ¿Gôàb’G ≈æëæe º°SQ ∂d ô¡¶«d (≥aGƒe) ôàNG (7 3 .(28-2) πµ°ûdG (٨) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ ¢S`gƒ````d = (¢S)¥ :ø«fGôàb’G øe πc ≈æëæe º°SQ »a π°ùcEG á«`éeôH Ωóîà°SG .óMGh »fÉ«H iƒà°ùe ≈∏Y ∂dPh , ¢S `g =(¢S)∫ ,ájOÉ©dG äɪàjQÉZƒ∏dG ≈ª°ùJh , 10 ¢SÉ°SC’G äGP äɪàjQÉZƒ∏dG áeóîà°ùªdG äɪàjQÉZƒ∏dG øeh ádB’G »a É¡d õeôjh ,10 ¢SÉ°SCÓd 8 Oó©dG ºàjQÉZƒd »æ©Jh 8ƒ``d πãe ¢SÉ°SGC ¿hO kGQÉ°üàNG ÖàµJh log :õeôdÉH áÑ°SÉëdG (١٠) ‫ﻣﺜﺎل‬ :»JCÉj ɪe πx c ᪫b ó`L ,áÑ°SÉëdG ád’B G Éek óîà°ùe 0^7ƒ````d (3 3^6ƒ````d (2 12ƒ````d (1 πëdG :¿q CG ó`éf áÑ°SÉëdG ádB’G ΩGóîà°SÉH 1^07 = 12ƒ````d (1 0^55 = 3^6ƒ````d (2 0^15- = 0^7ƒ````d (3 253

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ ) 1‬اكتب كل من ال�صيغ ا أل�سية الآتية ب�صورة لوغاريتمية‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪16=4-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫ب)‬ ‫أ� ) ‪9= 2 3‬‬ ‫د ) أ�هـ‪= 1+‬جــ‬ ‫جـ) �س‪�=2-‬ص‬ ‫‪ ) 2‬اكتب كل من ال�صيغ اللوغاريتمية الآتية ب�صورة أ��سية‪:‬‬ ‫ب) لــــو ‪.5 = 243‬‬ ‫أ� ) لــــو�س = ‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫)=‪4‬‬ ‫‪625‬‬ ‫(‬ ‫لــــو‬ ‫جـ )‬ ‫د ) لــــوب‪� = 2‬ص‪.‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪ ) 3‬جد مجال الاقتران ق(�س) = لــــو(�س‪ )1+‬ثم ار�سم منحناه‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� )4‬إذا كان هـ (�س)= ‪ +2‬لــــو(�س)‪ ،‬ار�سم منحنى الاقتران هـ با�ستخدام برمجـية �إك�سل‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪� )5‬أثبت أ� ّن لــــو(لــــو أ�) = ‪0‬‬ ‫أ� أ�‬ ‫‪� )6‬إذا كان ق(�س ) = لــــو‪�( 3‬س– ‪ )1‬فجـد ما ي�أتي‪:‬‬ ‫�أ ) مجـال الاقتران ق‪.‬‬ ‫ب ) مدى الاقتران ق‪.‬‬ ‫جـ ) هل ُيع ُّد الاقتران ق متزاي ًدا �أم متناق ً�صا؟‬ ‫د ) حدد نقطة تقاطع الاقتران ق مع محورال�سينات‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )7‬ا�ستخدم لاآلة الحا�سبة إليجـاد القيم لاآتية‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‬ ‫لــــوهـ(‬ ‫جــ)‬ ‫ب) لــــوهـ(‪ )0 .0022‬‬ ‫�أ ) لــــوهـ‪ 24‬‬ ‫‪� )8‬إذا كان ق ={ (‪،} ) 3 ، 1000( ، ) 2 ،100( ، ) 1، 10( ، ) 0 ، 1‬‬ ‫فجد قاعدة الاقتران ق‪.‬‬ ‫‪� )9‬إذا كان ق(�س) = لــــو( ‪�3‬س ‪ ، ) 3 +‬فما مجـال الاقتران ق؟‬ ‫‪10‬‬ ‫‪254‬‬

‫‪ )10‬جـد قيمة ك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫�أ ) لــــو (‪4)243‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ب ) لــــو ( ‪) 125‬‬ ‫‪5‬‬ ‫جـ ) لــــو (‪) 121‬‬ ‫‪11‬‬ ‫د ) لــــو( لــــو( لــــو(‪)))16‬‬ ‫‪222‬‬ ‫‪ )11‬كرة حجـمها ‪ 8.601‬د�سم‪ ، 3‬اح�سب م�ساحة �سطح الكرة م�ستخدما اللوغاريتمات‪.‬‬ ‫‪ )12‬ار�سم منحنى الاقتران ق(�س ) = لــــوهـ( �س ‪ )1+‬م�ستخد ًما برمجـية إ�ك�سل‪.‬‬ ‫‪� )13‬إذا كان ق(�س) = لــــو �س ‪ ,‬فجد قاعدة ق‪ 1-‬ثم �أثبت أ� ّن‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�أ ) (ق ‪ ο‬ق‪�( )1-‬س) = �س‬ ‫ب ) ( ق‪ ο1-‬ق) (�س) = �س‬ ‫‪� )14‬إذا كان ق(�س) = ‪�)2(3‬س‪ ، 1-‬جـد ق‪�(1-‬س)‬ ‫‪� )15‬إذا كان ق(�س) = ‪�)2(3‬س‪ ،1+‬جـد ق‪)5(1-‬‬ ‫‪255‬‬

‫‪Logarithms Laws‬‬ ‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‪ :‬ﻗﻮاﻧﻴﻦ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﺎت‬ ‫من خلال درا�ستك ال�سابقة للاقتران ق(�س) = لــــو �س حيث اأ≠ ‪ ، 1‬اأ > ‪ 0‬اأجب عن ال آاتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬ما قيمة لــــو أا ؟ اأ‬ ‫اأ‬ ‫‪ )2‬ما قيمة لــــو ‪ 1‬؟‬ ‫اأ‬ ‫تعلمت �ساب ًقا أان ق(�س) = لــــو �س هو اقتران واحد لواحد وهذا يعني اأ ّن‪:‬‬ ‫أا‬ ‫لــــو �س = لــــو �س إاذا وفقط اإذا كان �س = �س‪.‬‬ ‫أا اأ‬ ‫وبما أا ّن أا‪ = 1‬اأ فاإ ّن لــــو أا = ‪ ، 1‬واأي ً�سا بما أا ّن أا‪ 1 = 0‬فاإ ّن لــــو ‪0 = 1‬‬ ‫هل هناك قو�نين �أخرى لأالوغاريتمات؟ اأ‬ ‫‪:á«JB’G ájOó©dG ôjOÉ≤ŸG ᪫b óL‬‬ ‫‪ )2‬لــــو ‪32‬‬ ‫‪4‬‬ ‫لــــو‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫لــــو‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )3‬لــــو ‪ + 3‬لــــو ‪9‬‬ ‫‪ )4‬لــــو ‪27‬‬ ‫‪33‬‬ ‫ماذا تلاحظ؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(1)¿ƒfÉb‬‬ ‫اإذا كانت أا ‪� ،‬س ‪� ،‬س اأعدا ًدا حقيقية موجبة وكانت أا ≠‪ 1‬ف إا ّن‪:‬‬ ‫لــــو �س �س = لــــو �س ‪ +‬لــــو �س‬ ‫اأ‬ ‫أا أا‬ ‫ﺍﻟﺒﺮﻫاﻥ‬ ‫(التحويل إالى ال�سورة ال أا�سية )‬ ‫افر�س اأ ّن لــــو �س = ن‬ ‫�س = اأن اأ‬ ‫(التحويل اإلى ال�سورة ال أا�سية )‬ ‫لــــو �س = ل‬ ‫(قوانين ال أا�س�س)‬ ‫�س اأ= أال‬ ‫ومنه‪� :‬س �س = أان × األ = أان‪+‬ل‬ ‫‪256‬‬

‫بالتحويل اإلى ال�سورة اللوغاريتمية ‪:‬‬ ‫لــــو �س �س= ن ‪ +‬ل‬ ‫لكناأن = لــــو �س‬ ‫ل= لــــو �س اأ‬ ‫ومنه ‪ :‬لــأاــو �س �س = لــــو �س ‪ +‬لــــو �س‬ ‫اأ اأ‬ ‫اأ‬ ‫‪:á«JB’G ájOó©dG ôjOÉ≤ŸG øe πc ᪫b óL‬‬ ‫‪ )2‬لــــو ‪2‬‬ ‫‪ )1‬لــــو ‪ - 16‬لــــو ‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪ )4‬لــــو ‪9‬‬ ‫‪ )3‬لــــو ‪ - 81‬لــــو ‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪33‬‬ ‫ماذا تلاحظ؟‬ ‫‪(2)¿ƒfÉb‬‬ ‫ف إا ّن‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أا≠‬ ‫وكانت‬ ‫موجبة‬ ‫أاعدا ًدا حقيقية‬ ‫�س ‪� ،‬س‬ ‫اأ ‪،‬‬ ‫اإذا كانت‬ ‫‪ -‬لــــو �س‬ ‫لــــو �س‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫لــــو‬ ‫اأ‬ ‫اأ‬ ‫اأ‬ ‫ﺍﻟﺒﺮﻫاﻥ‬ ‫افر�س اأ ّن �س = اأم‬ ‫(بالتحويل اإلى ال�سورة اللوغاريتمية)‬ ‫م = لــــو �س‬ ‫(بالتحويل إالى ال�سورة اللوغاريتمية)‬ ‫أا‬ ‫(قوانين الاأ�س�س)‬ ‫(تعريف اللوغاريتم)‬ ‫�س = األ‬ ‫‪257‬‬ ‫ل = لــــو �س‬ ‫أام‬ ‫اأ �س‬ ‫ل‬ ‫‪-‬‬ ‫م‬ ‫=‬ ‫األ‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫اأ ّن‪:‬‬ ‫وبما‬ ‫اأ‬ ‫=م–ل‬ ‫�س‬ ‫لــــو‬ ‫�س‬ ‫أا‬ ‫�س‬ ‫= لــــو �س – لــــو �س‪.‬‬ ‫�س‬ ‫لــــو‬ ‫ومنها‬ ‫اأ أا‬ ‫اأ‬

:á«J’B G ájOó©dG ôjOÉ≤ŸG øe πc ᪫b óL 3 4 ƒ````d (2 4 ƒ````d×3 (1 2 2 9 ƒ````d ×2 (4 29 ƒ````d (3 3 3 ?ßMÓJ GPÉe (3)¿ƒfÉb :¿ÉE a ø«ÑLƒe ø«r «s ≤«≤M øjOóY ¢S , CG âfÉc GPEG ¢Sƒ````d ׿ = ¿ ¢S ƒ````d CG CG (¿ ¢SCÓd ø«aô£dG ™aQ) ‫اﻟﺒﺮﻫﺎن‬ ( ¢ù°S’C G ø«fGƒb) ¢S = ΩCG : ¬æeh , Ω =¢S ƒ````d ¿q GC ¢VôaG ( Ω øY ¢†jƒ©àdG) CG ¿(ΩCG) = ¿¢S : ¬æeh Ω׿CG = ¿¢S : ¿q GC èàæj ᫪àjQÉZƒ∏dG IQƒ°üdG ≈dEG πjƒëàdÉHh Ω ¿ = ¿¢S ƒ````d ¢Sƒ````d ¿ = ¿¢S ƒ````d : ¿q CGGC èàæj CG CG (١) ‫ﻣﺜﺎل‬ : »JÉC j ɪe πx c ᪫b ó`éa 0^631 = 2 ƒ````d ,1^465 = 5 ƒ````d ¿Éc GPEG 3 3 0^4 ƒ````d ( 2 10 ƒ````d (1 3 3 258

(äɪàjQÉZƒ∏dG ø«fGƒb ) πëdG (2×5) ƒ````d = 10 ƒ````d (1 33 2 ƒ````d + 5 ƒ````d = 33 0^631 + 1^465 = 2 2^096 = 5 4 (§«°ùÑJ) ƒ````d = 10 3ƒ``d = 0^4 ƒ````d (2 (äɪàjQÉZƒ∏dG ø«fGƒb ) –2 ƒ````d = 3 3 5 ƒ````d 33 1^465 - 0^631= 0^834 - = (١) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ : »JÉC j ɪs e πx co ᪫b ó`éa 0^477= 3 ƒ````d , 0^699 = 5 ƒ````d ¿Éc GPEG 10 10 45 ƒ````d ( 3 0^6 ƒ````d ( 2 90 ƒ````d ( 1 10 10 10 (٢) ‫ﻣﺜﺎل‬ : »JÉC j ɪe πc ᪫b ó`éa 0^ 6309=2 3ƒ``d ¿Éc GPGE 5 ƒ````d – 10 ƒ````d (3 9 ƒ````d (2 8 ƒ````d (1 33 3 3 πëdG (3 ¿ƒfÉ≤dG) 2 ƒ````d3 = 3 2 ƒ````d = 8 ƒ````d (1 3 0^63093×3 3 = = 1^8927 (3 ¿ƒfÉ≤dG) 3 ƒ````d2 = 2 3 ƒ````d = 9 ƒ````d (2 (2 ¿ƒfÉ≤dG) 3 33 2 = 1×2 = 10 5 ƒ````d = 5 ƒ````d – 10 ƒ````d (3 3 3 3 (≥≤ëà∏d áÑ°SÉëdG ád’B G ΩGóîà°SG ∂浪j) 0^6309 = 2 ƒ````d = 3 259

‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫إاذا كان لــــو‪ ، 0.699 = 5‬لــو‪ ، 0.7782=6‬فجـد ك ‪v‬لا من‪:‬‬ ‫‪ )2‬لــــو‪ – 75‬لــــو‪15‬‬ ‫‪ )3‬لــــو ‪50‬‬ ‫‪ )1‬لــــو‪25‬‬ ‫‪ )7‬لــــو ‪36‬‬ ‫‪ )4‬لــــو ‪ )5 30‬لــــو ‪ )6 900‬لــــو‪1.2‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أاثبت أا ّن‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لــــو(جــ‪ ،)4+‬حيث جـ > ‪3-‬‬ ‫=‬ ‫جـ‪4+‬‬ ‫لــــو (جــ‪7+2‬جــ‪ – )12+‬لــــو(جــ‪ – )3+‬لــــو‬ ‫الحل‬ ‫بما أان‪ :‬لــــو(جــ‪ 7 + 2‬جــ ‪)12 +‬‬ ‫(بالتحليل الى العوامل)‬ ‫= لــــو(جــ‪( )3+‬جــ‪)4+‬‬ ‫(قوانين اللوغاريتمات)‬ ‫= لــــو(جــ‪ + )3+‬لــــو(جــ‪)4+‬‬ ‫إاذن الطرف ال أايمن = لــــو (جــ‪ 7 + 2‬جــ ‪ – )12 +‬لــو(جــ ‪ - )3 +‬لــــو جـ‪4+‬‬ ‫= لــــو(جــ‪ +)3+‬لــــو(جــ‪ – )4+‬لــــو(جــ ‪ - )3 +‬لــــو جـ‪( 4+‬بالتعوي�س)‬ ‫‪1‬‬ ‫= لــــو(جــ‪ -)4+‬لــــو جـ‪4+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫(جــ‪()4+‬‬ ‫لــــو‬ ‫=‬ ‫جـ‪4+‬‬ ‫= لــــو‬ ‫(قوانين ال أا�س�س)‬ ‫لــو (جــ‪)4+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫= الطرف الاي�سر‬ ‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫أاثبت اأن‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ‪ ، 1-3‬حيث جـ > ‪1‬‬ ‫= لــو‬ ‫جـ‪+2‬جـ‪1+‬‬ ‫لــو ( جــ ‪ + )1 -‬لــو‬ ‫‪2‬‬ ‫‪260‬‬

‫مثال (‪)4‬‬ ‫اكتب المقادير الآتية ب�أب�سط �صورة ممكنة‪:‬‬ ‫‪ 2 )1‬لــــو ‪ – 9‬لــــو ‪4 – 27‬لــــو ‪81 4‬‬ ‫‪3 33‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬لــــو ‪ + 3‬لــــو ‪ - 4‬لــــو‬ ‫‪) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5 55‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حيث �س > �صفر‪.‬‬ ‫لــــو ‪4‬‬ ‫�س‪+ ) 2‬‬ ‫لــــو‬ ‫�س –‬ ‫لــــو‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2‬لــــو ‪ – 9‬لــــو ‪ 4 - 27‬لــــو ‪81 4‬‬ ‫الحل‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬لــــو(‪)81‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪33‬‬ ‫لــــو‬ ‫–‬ ‫= ‪ 2‬لــــو(‪2)3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬لــــو‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫لــــو‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬لــــو‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪4- 3 - 4‬‬ ‫=‪4-1‬‬ ‫= ‪3-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لــــو‬ ‫‪ +‬لــــو ‪- 4‬‬ ‫‪ 3‬لــــو ‪3‬‬ ‫‪ )2‬‬ ‫‪ )3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= لــــو(‪ +3)3‬لــــو ‪ -4‬لــــو‬ ‫(قوانين اللوغاريتمات)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪5‬‬ ‫( إ�نطاق مقام)‬ ‫‪2‬‬ ‫= لــــو ‪ – 108‬لــــو‬ ‫‪2‬‬ ‫= لــــو ‪ -4×27‬لــــو‬ ‫(قوانين اللوغاريتمات)‬ ‫‪55‬‬ ‫‪55‬‬ ‫(قوانين اللوغاريتمات)‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫= لــــو (‪÷108‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= لــــو ‪54‬‬ ‫‪5‬‬ ‫لــــو ‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫�س‪2‬‬ ‫لــــو‬ ‫–‬ ‫�س‬ ‫لــــو‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬لــــو(‪)4‬‬ ‫)‬ ‫�س‪2‬‬ ‫لــــو‬ ‫�س‪–2‬‬ ‫لــــو‬ ‫(‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= لــــو ‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪261‬‬

‫مثال (‪)5‬‬ ‫أاثبت اأ ّن لــــو ‪ + 11‬لــــو ‪ - 30‬لــــو ‪1 = 33‬‬ ‫الحل‬ ‫لــــو‪ +11‬لــــو ‪ – 30‬لــــو‪( = 33‬لــــو‪ + 11‬لــــو ‪ - )30‬لــــو‪33‬‬ ‫= لــــو(‪ - )30 ×11‬لــــو ‪33‬‬ ‫= لــــو ‪ - 330‬لــــو ‪33‬‬ ‫‪330‬‬ ‫لــــو‬ ‫=‬ ‫‪33‬‬ ‫= لــــو ‪10‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)4‬‬ ‫بين اأ ّن لــــوب( أا‪ – )81-4‬لــوب (اأ‪ - )3+‬لــــوب( أا‪ = )3-‬لــــوب(اأ‪ ،)9+2‬حيث أا > ‪3‬‬ ‫تعلم اأن اللوغاريتمات ال�سا‪F‬عة في ال آالات الحا�سبة هي العادية والطبيعية ‪ ،‬والقانون ال آاتي ي�ساعدك‬ ‫على ح�ساب اللوغاريتمات ذات الاأ�سا�سات غير ال�سا‪F‬عة‪.‬‬ ‫‪:á«J’B G ájOó©dG ôjOÉ≤ŸG øe πc ᪫b óL‬‬ ‫‪ )2‬لــــو ‪16‬‬ ‫‪ )1‬لــــو ‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫لــــو‬ ‫‪×81‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫لــــو‬ ‫‪ )4‬لــــو ‪81‬‬ ‫‪39‬‬ ‫ماذا تلاحظ؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(4)¿ƒfÉb‬‬ ‫إاذا كانت اأ ‪ ،‬ب ‪ ،‬جــ اأعداداً حقيقية موجـبة ‪ ،‬وكان اأ ≠ ‪ ، 1‬ب≠ ‪ 1‬ف إا ّن‪:‬‬ ‫لــــوب جــ‬ ‫=‬ ‫اأ‬ ‫لــــوب‬ ‫×‬ ‫جــ‬ ‫لــــو‬ ‫أا‬ ‫‪262‬‬

:πµ°ûdG ≈∏Y ≥HÉ°ùdG ¿ƒfÉ≤dG áHÉàc øµªj :á¶MÓe `L܃````d ÜCGƒ````d = ``L ƒ````d CG ‫اﻟﺒﺮﻫﺎن‬ ¢U =:¿``LƒµCGƒ`j``á`«d°,S’C ¢GSI=QƒCG°Üüƒd`G``≈`d d:GE ¿q GC ¢VôaG πjƒëàdÉH ¢UGC = ``L , ¢SÜ = CG :¿CG èo àæj ```L »a GC ᪫b ¢†jƒ©àHh ¢U ¢SÜ = ¢U(¢SÜ) = ``L :᫪àjQÉZƒ``∏dG IQƒ°üdG ≈dGE πjƒëàdÉHh ``L ƒ````d × CG ܃````d = ¢U ¢S = ``L܃````d GC ?¿ƒfÉ≤dG ‘ 1 ≠Ü , 1≠GC •ô°T ™°Vh ” GPÉŸ ô°ùa (٦) ‫ﻣﺜﺎل‬ 2 ƒ````d × 9 ƒ````d ᪫b Ö°ùMG 32 πëdG 9 ƒ````d = 2 ƒ````d × 9 ƒ````d (4 ¿ƒfÉ≤dG) 33 2 ( 2 ¿ƒfÉb) 2 3 ƒ````d = 3 263 3 ƒ````d 2 = 3 2 = × 2 = 1 (٥) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ 16 ƒ````d × 9 ƒ````d ᪫b Ö°ùMG 34

‫مثال (‪)7‬‬ ‫اح�سب قيمة لــــو ‪14‬‬ ‫‪5‬‬ ‫لــــو‪14‬‬ ‫الحل‬ ‫لــــو‪5‬‬ ‫(قانون ‪)4‬‬ ‫=‬ ‫‪14‬‬ ‫لــــو‬ ‫تكتب‬ ‫اأن‬ ‫يمكنك‬ ‫(با�ستخدام الاآلة الحا�سبة)‬ ‫‪5‬‬ ‫(تقري ًبا)‬ ‫(تقري ًبا)‬ ‫‪1.14‬‬ ‫ومنه لــــو ‪= 14‬‬ ‫(تقري ًبا)‬ ‫‪0.69‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪1.65‬‬ ‫‪38‬‬ ‫=‬ ‫‪23‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)6‬‬ ‫جـد قيمة لــــو ‪ 9‬با�ستخدام ال آالة الحا�سبة‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال (‪)٨‬‬ ‫اح�سب قيمة كل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ )3‬لــــو هـ‬ ‫‪ )2‬لــوهـ ‪5‬‬ ‫‪ )1‬لــــو ‪13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫لــــو ‪13‬‬ ‫الحل‬ ‫هـ‬ ‫=‬ ‫‪)1‬لــــو ‪13‬‬ ‫لــــوهـ‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪1.85‬‬ ‫‪2.56‬‬ ‫=‬ ‫‪1.38‬‬ ‫لــــو ‪5‬‬ ‫هـ‬ ‫=‬ ‫‪ )2‬لــــوهـ ‪5‬‬ ‫لــــو هـ‬ ‫هـ‬ ‫= ‪1.6‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫لــــوهـهـ‬ ‫= ‪1.45‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫لــــوهـ‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪ )3‬لــــو هـ‬ ‫‪0.69‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪264‬‬

(٩) ‫ﻣﺜﺎل‬ :»JÉC j ɪe πx c ᪫b Ö°ùMG (1^4)ƒ````d (3 (7^4)`gƒ``d (2 7ƒ````d (1 9 7 ƒ````d πëdG (äɪàjQÉZƒ∏dG ø«fGƒb) `g = 7 ƒ````d (1 (äɪàjQÉZƒ∏dG ø«fGƒb) 10 ƒ````d (ÉÑk jô≤J) `g 1^9 (áÑ°SÉëdG ád’B G ∫ɪ©à°SÉH) 0^82 = 2^3 = 7^4`gƒ``d (2 74 (10)`gƒ``d – (74)`gƒ``d = ( 10 )`gƒ``d = 2 = 2^3 – 4^3 = 1^4`gƒ````d = 1^4 ƒ````d (3 9`gƒ````d 9 0^33 = 2^1 0^15 = 11 = 70 (٧) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ : »JÉC j Ée OÉ`éjE’ áÑ°SÉëdG ádB’G Ωóîà°SG `g ƒ````d (3 5 ƒ````d (2 2ƒ````d (1 12 8 265

‫مثال (‪)1٠‬‬ ‫�كتب �لعبارة �للوغاريتمية �ل آاتية على �صكل لوغاريتم و�حد‪:‬‬ ‫حيث �س > �سفر‬ ‫‪،‬‬ ‫لــو �س ‪ 3 -‬لــــو(�س ‪)1 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(�س)‬ ‫‪1‬‬ ‫الحل‬ ‫‪2‬‬ ‫لــــو‬ ‫‪ -‬لــــو(�س ‪= 3)1 +‬‬ ‫= لــــو�س‪2‬‬ ‫‪ 3‬لــــو(�س ‪)1 +‬‬ ‫لــــو �س ‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(�س‪3)1+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٨‬‬ ‫�كتب �لعبارة �للوغاريتمية �ل آاتية على �صكل لوغاريتم و�حد‪:‬‬ ‫‪ ×2‬لــــوهـ(�س ‪ + )2 +‬لــــوهـ�س ‪ -‬لــــوهـ�س‪ ، 2‬حيث �س > �سفر‬ ‫‪266‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ )1‬عبر عن لــــو ‪ 175‬بدلالة لــــو ‪5‬‬ ‫‪77‬‬ ‫‪ )2‬عبر عن لــــو ‪ 108‬بدلالة لــــو ‪2‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪ ) 3‬اكتب ما ي�أتي ب�أب�سط �صورة ممكنة‪:‬‬ ‫�أ ) (‪4‬لــــوب‪ –3‬لــــوب‪3( ÷ ) 4‬لــــوب‪ – 9‬لــــوب‪ , ) 8‬ب>‪ ,0‬ب≠ ‪1‬‬ ‫حيث �أ‪ ،‬ب‪ ،‬جـ >‪� ، 0‬أ‪ ،‬جـ ≠ ‪1‬‬ ‫لــــو ب‪3‬‬ ‫جـ ÷‬ ‫× لــــو‬ ‫(لــــوجـ ب‬ ‫ب )‬ ‫�أ‬ ‫�أ‬ ‫‪� )4‬إذا كان لــــو‪� = 5‬س ‪ ،‬لــــو ‪� = 4‬ص ‪ ،‬جـد قيمة لــــو ‪ 400‬بدلالة �س ‪� ،‬ص ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≠‬ ‫ب‬ ‫‪،1‬‬ ‫≠‬ ‫أ�‬ ‫‪,‬‬ ‫>‪0‬‬ ‫ب‬ ‫‪,0‬‬ ‫>‬ ‫أ�‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫لــــوب�أ‬ ‫أ� ّن‪:‬‬ ‫‪� )5‬أثبت‬ ‫لــــو ب‬ ‫أ�‬ ‫‪ )6‬جـد قيمة كل مما ي أ�تي ‪:‬‬ ‫أ� ) لــــو ‪ × 5‬لــــو ‪10‬‬ ‫‪625 10‬‬ ‫ب ) لــــو ‪ × 49‬لــــو ‪64‬‬ ‫‪78‬‬ ‫جـ ) لــــو(لــــو(لــــو ‪))729‬‬ ‫‪365‬‬ ‫د ) لــــو (لــــو ‪)625‬‬ ‫‪5‬‬ ‫لــــو‪(12‬‬ ‫‪ ،‬حيث أ� > ‪0‬‬ ‫)‬ ‫�أ أ�‬ ‫هـ ) ‬ ‫لــــو‬ ‫أ� �أ‬ ‫≠‬ ‫جـ>‪,0‬‬ ‫ب>‪,0‬‬ ‫أ�>‪,0‬‬ ‫×جـ‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ب‬ ‫لــــو‬ ‫‪+‬‬ ‫�أ‬ ‫لــــو‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫ب‬ ‫أ�‬ ‫(‬ ‫لــــو‬ ‫�أ ّن‪:‬‬ ‫) أ�ثبت‬ ‫‪7‬‬ ‫جـ‬ ‫جـ‬ ‫جـ‬ ‫‪ ،‬حيث ب > ‪0‬‬ ‫= ‪ -‬لــــوجـ ب‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� )8‬أثبت �أ ّن‪ :‬لــــوجـ‬ ‫ب‬ ‫‪ )9‬إ�ذا كان لــــو ‪ ، 0٫477 = 3‬لــو ‪ ، 0٫845= 7‬فجـد قيمة ك ٍّل مما ي أ�تي‪:‬‬ ‫�أ ) لــــو ‪ 147‬ب ) لــــو‪ 63‬جـ ) لــــو ‪210‬‬ ‫‪267‬‬

‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪18‬‬ ‫(‬ ‫لــــو‬ ‫)‪-‬‬ ‫‪170‬‬ ‫(‬ ‫لــــو‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪72‬‬ ‫(‬ ‫لــــو‬ ‫‪� )10‬أثبت أ� ّن ‪:‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪� )11‬إذا كان لــــو أ� = ‪ ، 1٫6543‬لــــو ب = ‪ ، 3٫6543‬فجـد قيمة �أ بدلالة ب ‪.‬‬ ‫‪ )12‬يتزايد حجـم مادة ح بمعدل ‪ %4‬في ال�ساعة وفق العلاقة الآتية‪:‬‬ ‫ح = ح‪+1 (0‬ز)ن ‪ ,‬حيث ح‪ :0‬الحجـم لاأ�صلي‪ ,‬ز‪ :‬معدل الزيادة في الحجـم ‪ ،‬ن‪ :‬الزمن‬ ‫بال�ساعات‪ ،‬بعد كم �ساعة ي�صبح حجـم المادة أ�ربعة أ��ضعاف حجـمها لاأ�صلي‪.‬‬ ‫‪268‬‬

‫ﺛﺎﻟ ًﺜﺎ‪ :‬اﻟﻤﻌﺎدﻻت واﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎت اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻴﺔ ‪Logarithmic Equation and Identities‬‬ ‫فــي اأحد مختبرات العلــوم الحياتية‪ ،‬تو�ســل باحث إالى اأ ّن عــدد البكتيريا يتزايــد وفق‬ ‫العلاقة ع = ع‪)2( ×1‬ن ‪ ،‬حيث (ن) عدد �ل�صاعات‪ .‬فجـد �لزمن �لمتوقع لي�صبح عدد �لبكتيريا‬ ‫(ع ) ثلاثة أا�سعاف عددها الحالي (ع‪.)1‬‬ ‫تعرفت �ساب ًقا المعادلات ال أا�سية وطريقة حلها‪ ،‬و�ستتعرف في هذا الدر�س المعادلات‬ ‫اللوغاريتمية وطريقة ح ِّلها أاي ً�سا‪.‬‬ ‫‪∞jô©J‬‬ ‫ت�سمى كل معادلة تت�سمن مقدا ًرا لوغاريتم ًّيا اأو أاكثر (معادلة لوغاريتمية)‪.‬‬ ‫فالمعادلات ال آاتية أامثلة على معادلات لــوغاريتمية‪:‬‬ ‫‪ )1‬لــــو (‪�2‬س ‪ )2 3 = )3+‬لــــو (‪�2‬س‪ - )3+‬لــــو (�س) = ‪2‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪2‬‬ ‫× لــــ�وس ‪5‬‬ ‫�س‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪ )3‬لــــو‬ ‫‪5‬‬ ‫ولح ِّل المعادلة اللوغاريتمية نحول المعادلة من ال�سيغة اللوغاريتمية اإلى ال�سيغة ال أا�سية‪.‬‬ ‫(تعريف اللــوغاريتم)‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫(تب�سيط)‬ ‫ُح ّل المعادلة اللوغاريتمية‪ :‬لــو‪�2( 2‬س ‪3 = ) 3 +‬‬ ‫(‪�2‬س ‪3) 2 ( = )3 +‬‬ ‫‪�2‬س ‪8 =3 +‬‬ ‫‪�2‬س = ‪5‬‬ ‫�س = ‪2.5‬‬ ‫مجـموعة �لحل هي‪}2.5{ :‬‬ ‫‪269‬‬

‫مثال (‪)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫�س‬ ‫(‪+1‬‬ ‫لــــو‬ ‫–‬ ‫)‬ ‫�س‬ ‫–‬ ‫(‪2‬‬ ‫لــــو‬ ‫المعادلة‪:‬‬ ‫ُح ّل‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الحل‬ ‫لــــو (‪� - 2‬س) ‪ -‬لــــو (‪� + 1‬س) = ‪2‬‬ ‫‪33‬‬ ‫�س‬ ‫(قوانين اللــوغاريتمات)‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫�س‬ ‫‪-2‬‬ ‫(‬ ‫لــــو‬ ‫(تعريف اللــوغاريتم)‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(تعريف اللــوغاريتم)‬ ‫ ‬ ‫)‪9 = 2‬‬ ‫=(‪3‬‬ ‫‪�-2‬س‬ ‫‪�+1‬س‬ ‫‪� -2‬س = ‪�( 9‬س ‪) 1 +‬‬ ‫‪� – 2‬س = ‪�9‬س ‪9 +‬‬ ‫‪� 10‬س = ‪7-‬‬ ‫�س = ‪0٫7 -‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫(�س‪2+‬‬ ‫لــــو‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫لــــو‬ ‫المعادلة‬ ‫ُح ّل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الحل‬ ‫بتطبيق قوانين اللــوغاريتمات نح�صل على‪:‬‬ ‫لــــو (�س (�س‪3 = ))2+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ثم نحول الى ال�صيغة ا أل�سية‬ ‫�س(�س ‪ 3)2( = ) 2+‬‬ ‫�س‪�2 + 2‬س = ‪8‬‬ ‫�س‪�2 + 2‬س – ‪0 = 8‬‬ ‫(�س‪�( )4+‬س ‪0 = )2 -‬‬ ‫إ�ما �س‪ 0 = 4+‬ومنها �س= ‪( 4-‬تهمل‪ ،‬لماذا؟)‬ ‫‪270‬‬

‫أاو �س‪ 0 = 2 -‬ومنها �س= ‪2‬‬ ‫مجـموعة �لحل هي‪}2{ :‬‬ ‫تحقق من �سحة الحل‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫لــــو(�س‪)1+‬‬ ‫–‬ ‫)‬ ‫�س‬ ‫لــــو(‪-3‬‬ ‫ال آاتية‪:‬‬ ‫المعادلة‬ ‫ُح ّل‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫يتكاثر نوع من الكا‪F‬نات الدقيقة ح�سب العلاقة‪ :‬ع = ع‪ +1 ( 0‬ز )ن ‪ ،‬حيث ز ‪ :‬ن�سبة الزيادة في‬ ‫ال�ساعة الواحدة‪ ،‬ن ‪ :‬عدد ال�ساعات‪ ،‬ع‪ = 0‬العدد الحالي‪ ،‬ع ‪ :‬العدد المتوقع بعد ن �ساعة‪ ،‬إاذا‬ ‫كانت ن�سبة الزيادة ‪ ،%3‬ما الوقت اللازم لي�سل العدد الى ثلاثة أا�سعاف العدد ال أا�سلي؟‬ ‫(ع = ‪3‬ع‪)0‬‬ ‫الحل‬ ‫(اأخذ اللــوغاريتم للطرفين )‬ ‫ع = ع‪ +1 ( 0‬ز )ن‬ ‫(تعريف اللــوغاريتم)‬ ‫‪3‬ع‪ = 0‬ع‪) 0.03 +1 ( 0‬ن‬ ‫‪) 1.03 ( = 3‬ن‬ ‫لــــو‪ = 3‬لــــو ( ‪)1.03‬ن‬ ‫لــــو‪ = 3‬ن لــــو ( ‪)1.03‬‬ ‫ن = (لــــو‪ ( ÷ ) 3‬لــــو (‪)1.03‬‬ ‫= ‪� 37 = 0.013 ÷ 0.477‬ساعة تقري ًبا‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫ُح ّل الم�س أالة الــواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫وبعد أان تعرفت المعادلة اللــوغاريتمية وطريقة ح ِّلها �ستتعرف المتطابقة اللــوغاريتمية‪.‬‬ ‫ا‪ á≤HÉ£àŸ‬ال∏‪ :᫪àjQÉZƒ‬عبارة ريا�سية تت�سمن مقدا ًرا لوغاريتم ًّيا أاو أاك‪ ،Ì‬وتكون �سحيحة لجـميع‬ ‫قيم المتغ ّير فيها‪.‬‬ ‫‪271‬‬

‫يمكن �إثبات المتطابقة ب�إحدى الطرق ا آلتية‪:‬‬ ‫‪ )1‬نبد�أ بالطرف ا أليمن للو�صول للطرف الأي�سر‪.‬‬ ‫‪ )2‬نبد�أ بالطرف ا ألي�سر للو�صول للطرف الأيمن‪.‬‬ ‫‪ )3‬تب�سيط الطرفين م ًعا للو�صول �إلى المقدارنف ِ�سه‪.‬‬ ‫مثال (‪)5‬‬ ‫�أثبت �صحة المتطابقة ا آلتية‪:‬‬ ‫د‬ ‫لــــو ن �سد‬ ‫‪ ،‬حيث �س > ‪0‬‬ ‫لــــو �س‬ ‫ن‬ ‫=‬ ‫�أ‬ ‫�أ‬ ‫الحل‬ ‫الطرف الأيمن = لــــو ن �سد‬ ‫أ�‬ ‫(التحويل �إلى ال�صيغة ا أل�سية)‬ ‫�س دن ‬ ‫=‬ ‫(تعريف اللــوغاريتم)‬ ‫أ�‬‫لــــو‬ ‫ ‬ ‫لــــو �س‬ ‫د‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫أ�‬ ‫= الطرف الأي�سر‬ ‫مثال (‪)6‬‬ ‫‪ ،‬حيث ب > ‪ ، 0‬جـ > ‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫لــــوب‬ ‫‪-‬‬ ‫ب‪2‬‬ ‫لــــو‬ ‫‪1‬‬ ‫�أثبت �أن‬ ‫جـ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�أ‬ ‫أ�‬ ‫لــــو جـ‬‫أ�‬ ‫لــــوب‬ ‫‪-‬‬ ‫ب‪2‬‬ ‫لــــو‬ ‫‪1‬‬ ‫الطرف ا أليمن =‬ ‫جـ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�أ‬ ‫�أ‬ ‫لــــو جـ‬ ‫أ�‬ ‫لــــوجـ‪ - 2‬لــــوب‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لــــوب‪- 2‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫�أ �أ‬ ‫لــــو جـ‬ ‫�أ‬ ‫أ�‬ ‫‪272‬‬

‫لــــوب ‪ -‬لــــوجـ ‪ -‬لــــوب‬ ‫�أ‬ ‫أ�‬ ‫�أ‬ ‫=‬ ‫لــــو جـ‬ ‫‪ -‬لــــوجـ أ�‬ ‫=‪1-‬‬ ‫أ�‬ ‫=‬ ‫لــــوجـ‬‫�أ‬ ‫= الطرف ا ألي�سر‬ ‫مثال (‪)7‬‬ ‫�أثبت أ� ّن‪:‬‬ ‫‪ ،‬حيث �س > ‪� , 0‬ص > ‪0‬‬ ‫�صف ًرا‬ ‫=‬ ‫لــــو�س‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�ص)‬ ‫(�س‬ ‫‪2‬لــــو‬ ‫لــــو�ص‪–2‬‬ ‫أ�‬ ‫أ�‬ ‫أ�‬ ‫الحل‬ ‫الطرف ا أليمن = لــــو �ص‪ 2 - 2‬لــــو (�س �ص) ‪ +‬لــــو �س‪2‬‬ ‫�أ �أ أ�‬ ‫= ‪2‬لــــو�ص – ‪(2‬لــــو �س ‪ +‬لــــو�ص) ‪2 +‬لــــو �س‬ ‫أ� أ� �أ �أ‬ ‫= ‪2‬لــــو�ص ‪2 -‬لــــو�س ‪2 -‬لــــو�ص ‪2 +‬لــــو�س‬ ‫�أ أ� أ� �أ‬ ‫= �صف ًرا‬ ‫= الطرف ا ألي�سر‬ ‫‪273‬‬

(٨) ‫ﻣﺜﺎل‬ 0 < ¢U < ¢S å«M , (2¢U -2¢S)ƒ````d 1 = ¢U+¢S ƒ````d + ¢U-¢S ƒ````d :¿q GC âÑKCG 2 2 2 2 πëdG øªjC’G ±ô£dG ¢U+¢S 2ƒ``d + ¢U-¢S ƒ````d = 2 (¢U + ¢S ) ƒ````d 1 + ( ¢U – ¢S) ƒ````d 1 = 2 2 2 2 1 (¢U + ¢S ) (¢U – ¢S) ƒ````d 2 = 2 1 2 (2¢U –2¢S) ƒ````d = 2 .ô°ùjC’G ±ô£dG = (٣) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ 2 -¢S :á«J’B G á≤HÉ£àªdG áë°U âÑKCG 1+¢S 2 < ¢S , ƒ````d = (2 – ¢S) 2(1 + ¢S)ƒ````d - 2(2 – ¢S) ( 1+ ¢S )ƒ````d 3 3 3 274

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ُ ) 1‬ح ّل كلاًّ المعادلات الآتية‪:‬‬ ‫�أ ) لــــو �س – لــــو (�س – ‪ 3 = )1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫ب) لــــو �س ‪ +‬لــــو (‪� – 6‬س) = ‪2‬‬ ‫‪33‬‬ ‫جـ) لــــو( �س‪ – )1 +‬لــــو (�س – ‪1 = )1‬‬ ‫‪55‬‬ ‫د ) ‪�2 2‬س – ‪�3 7 = 3‬س ‪5 +‬‬ ‫هـ ) ‪� -7‬س ‪28 = 1-‬‬ ‫‪ )2‬يتزايد عدد �سكان مدينة بن�سبة زيادة ‪� %4‬سنو ًّيا وفقا لعلاقة النمو والا�ضمحلال‪ ،‬بينما كانت‬ ‫ن�سبة الوفيات ‪� %1‬سنو ًّيا‪ ،‬حدد الــوقت اللازم لي�صبح عدد ال�سكان مثلي العدد الحالي‪.‬‬ ‫‪ُ )3‬ح ّل المعادلة الآتية‪ :‬لــو ‪�3‬س ‪ +‬لــو (�س – ‪.0 = )2‬‬ ‫‪ ) 4‬تتناق�ص كتلة مادة م�شعة مع مرور الزمن وف ًقا للعلاقة‪:‬‬ ‫ك = ك‪24-10 × 1‬ن‪ ،‬حيث ك‪ :1‬الكتلة الأ�صلية‪ ،‬ك‪ :‬الكتلة بعد مرور ن �ساعة‪.‬‬ ‫جـد الزمن الذي تكون عنده الكتلة م�ساوية ن�صف الكتلة الأ�صلية‪.‬‬ ‫‪ ) 5‬ترتبط قوة زلزال (ق) على مقيا�س ريختر بالطاقة النا�شئة (�ش) مقا�سة بالجـول وف ًقا للعلاقة‬ ‫لاآتية‪ :‬لــو �ش = ‪ 5.1 + 14.4‬ق‬ ‫جـد مقدر الطاقة النا�شئة عن زلزال قوته ‪ 8.2‬على مقيا�س ريختر‪.‬‬ ‫‪ ) 6‬تحتاج كتلة من الراديوم تبلغ (‪)50‬غ �إلى (‪� )5615‬سنة لت�صبح (‪ )5‬غرامات نتيجـة للتحلل‬ ‫لاإ�شعاعي‪ ،‬ف�إذا كانت العلاقة بين الكتلة والزمن تعطى بالعلاقة‪:‬‬ ‫ك = ك‪- )2( × 0‬جـن حيث ك‪ : 0‬الكتلة ا أل�صلية‪ ،‬ك‪ :‬الكتلة بعد مرور ن �سنة ‪ ،‬جـ‪ :‬عمر‬ ‫الن�صف لمادة الراديوم‪.‬‬ ‫جـد عمر الن�صف لمادة الراديوم‪.‬‬ ‫‪275‬‬

‫‪� ) 7‬أثبت �صحة المتطابقات ا آلتية‪:‬‬ ‫�أ ) لــــو (�س ‪ ÷ 3)1 +‬لــــو(�س‪�2 + 2‬س‪ = ) 1+‬لــــو �س ‪� ، 1 +‬س > ‪1-‬‬ ‫‪2 22‬‬ ‫ب) لــــو �س ‪ +‬لــــو (�س‪ = )1+‬لــــو ( (�س‪� + 2‬س) ÷ ‪ + ) 5‬لــــو‪� ، 5‬س > ‪0‬‬ ‫جـ) لــــو( �س – ‪ + )2‬لــــو ( �س‪ + )2 +‬لــــو( �س‪ = )4+ 2‬لــــو ( �س‪� ، )16 –4‬س > ‪2‬‬ ‫‪2 222‬‬ ‫‪� < 0 ،‬س < ‪1‬‬ ‫لــــو(‪�-1‬س)‬ ‫د ) لــــو ‪�+1‬س‪ + 0٫5‬لــــو ‪�-1‬س‪= 0٫5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪276‬‬

‫ﺃﺳﺌﻠﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫‪ )1‬حول ك ًّلا من ال�سيغ الاأ�سية ال آاتية اإلى ال�سيغة اللـوغاريتمية‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫=‬ ‫‪4-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب)‬ ‫اأ ) ‪125 = 3 5‬‬ ‫د ) �سن = �س‬ ‫جـ) ‪32 = 5 2‬‬ ‫‪ )2‬حول ك ًّلا من ال�سيغ اللــوغاريتمية ال آاتية اإلى ال�سيغة الاأ�سية‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪8‬‬ ‫(‬ ‫لــــو‬ ‫جـ)‬ ‫ب) لــــو‪0 = 1‬‬ ‫اأ) لــــو ‪4 = 81‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هـ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪�2‬س‪) (.‬‬‫‪1‬‬ ‫‪ )3‬حل ك ًّلا من المعادلات الاآتية‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ب) ‪� -32‬س =‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪�3‬س–‪1‬‬ ‫‪243‬‬ ‫=‬ ‫اأ‬ ‫د ) لــــو �س – لــــو(�س‪2 = )1-‬‬ ‫جـ) لــــو(�س‪ + )1+‬لــــو(�س‪2 = )5+‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪22‬‬ ‫و ) لــــو(لــــو �س) = ‪1‬‬ ‫هـ) لــــو(لــــو(لــــو�س)) = ‪0‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪356‬‬ ‫‪ )4‬جـد �لمجـال و�لمقطع �ل�صاد… للاقتر�ن ق �لمعطى بالقاعدة �لاآتية‪:‬‬ ‫ق(�س) = ‪ +2‬هـ‪�-‬س ‪.‬‬ ‫‪ )5‬با�ستخدام ال آالة الحا�سبة جـد ‪:‬‬ ‫جـ) هـ‪1.2‬‬ ‫ب) لــــو ‪0.874‬‬ ‫أا ) لــــو ‪4.372‬‬ ‫‪ )6‬ار�سم منحنى ك ٍّل من الاقترانات ال آاتية‪:‬‬ ‫ب) �س = ‪ + 2‬لــــوهـ�س‪3‬‬ ‫اأ ) �س = ‪2 -3‬هـ �س‬ ‫د ) ك (�س) = (‪�-3 )2‬س‬ ‫جـ) ق(�س) = ‪ + 4-‬لــــو�س‬ ‫هـ‬ ‫‪277‬‬

‫‪ )7‬اأثبت �سحة ك ٍّل من المتطابقات الاآتية‪.‬‬ ‫أا ) لــــو(جــ‪7 + 2‬جــ ‪ - )10+‬لــو(( جـ ‪ × )2 +‬جـ‪) 5+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫لــو ( جــ ‪ ، )5 +‬حيث جـ > ‪2-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪ ،‬حيث جـ > ‪1‬‬ ‫جـ‪1-3‬‬ ‫لــو ‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1+‬‬ ‫جـ‬ ‫‪3‬جـ‪+2‬‬ ‫لــو‬ ‫‪+‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫(جـ‬ ‫لــــو‬ ‫‪1‬‬ ‫ب)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )8‬جـد قيمة ك ٍّل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫))‬ ‫‪2‬‬ ‫ب) لــــو ((‪()16‬‬ ‫‪1‬‬‫اأ ) لــــو ‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫لــــو ‪ × )5‬لــــو‬ ‫–‬ ‫(لــــو ‪30‬‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫‪1‬‬ ‫لــــو‬ ‫‪1‬‬ ‫‪×3‬‬ ‫لــــو‬ ‫جـ)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫و ) لــــو ‪ × 49‬لــــو ‪ × 4‬لــــو ‪16‬‬ ‫لــــو‪ - 32‬لــــو ‪64‬‬ ‫‪55‬‬ ‫هـ)‬ ‫‪78‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لــــو ‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪� )9‬كتب �لعبار�ت �للــوغاريتمية �ل آاتية على �صكل لــوغاريتم و�حد‪:‬‬ ‫�سفر‬ ‫>‬ ‫�س‬ ‫حيث‬ ‫‪،‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(�س‬ ‫لــــو‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫لــــو �س‪ × 1-‬لــــو‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‬ ‫لــــو‬ ‫–‬ ‫أا )‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)م‬ ‫‪5‬‬ ‫× لــــو(‬ ‫لــــو ‪ 12‬م‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ 2‬لــــو ‪9‬م – لــــو ‪ 15‬م‬ ‫ب)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪ )10‬اإذا كان لــو‪ ، 0.699 = 5‬لــو‪0.9542 = 9‬‬ ‫جـد قيمة ك ٍّل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د) لــــو‪3 5‬‬ ‫جـ) لــــو ‪.2‬‬ ‫ب) لــــو ‪.6‬‬ ‫لــــو‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اأ )‬ ‫‪ )11‬جـد قيمة ك ٍّل مما ياأتي ‪:‬‬ ‫أا ) لــو ‪ + 5‬لــو ‪2‬‬ ‫× لــــو ‪81‬‬ ‫‪5‬‬ ‫× لــــو‬ ‫‪3‬‬ ‫ب) لــــو‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪278‬‬

‫لــــو ‪+ 2‬لــــو ‪4‬‬ ‫‪55‬‬ ‫جــ)‬ ‫لــــو ‪ + 4‬لــــو ‪16‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪ُ )12‬ح ّل كل ًّا من المعادلات الاآتية‪:‬‬ ‫أا ) لــــو (‪�2‬س – ‪ × )3‬لــــو ‪4 = 5‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ب) ‪2‬لــــو( �س‪6= )19– 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جــ) لــــو ( لــو�س‪1 = ) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د ) لــــو �س‪ + 2‬لــــو �س‪8 = 2‬‬ ‫‪ )13‬اكت�سف العلما‪ A‬أا ّن المادة تتحول إالى طاقة‪ ،‬والمعادلة التي اكت�سفها ( آاين�ستاين) للعلاقة‬ ‫بين �لطاقة ط ‪ ،‬وكتلة �لمادة ك هي‪ :‬ط = ك × (ع�س)‪ 2‬حيث ك‪ :‬الكتلة بالكيلــو غرام ‪،‬‬ ‫ع�س ‪� :‬سرعة ال�سو‪ 810×2.99 = A‬م ‪ ،ç /‬وعندها تكون �لطاقة �لمقدرة بالجـول‪،‬‬ ‫جـد الطاقة التي تعادل اإلكترو ًنا واح ًدا‪( ،‬كتلة ال إالكترون هي‪25- 10×9 :‬كغ)‪.‬‬ ‫‪ )14‬أا ُّي الاقترانات ال آاتية يكون متزاي ًدا و أا ُّيها يكون متناق ً�سا؟‬ ‫�س( )‬ ‫‪5‬‬ ‫ق(�س) = ‪100‬‬ ‫أا )‬ ‫‪2‬‬ ‫ب) ق(�س) = ‪�8 × .005‬س‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫ق (�س) = ‪155‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪279‬‬

‫‪ )15‬إ�ذ� كانت �لعلاقة �لتي تربط قوة �لزلز�ل بالطاقة �لناتجـة عنه هي ‪:‬‬ ‫ط‬ ‫ق = لــــو‬ ‫‪11.810‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حيث ق ‪ :‬قوة �لزلز�ل بالدرجـة‪ ،‬ط ‪� :‬لطاقة �لناتجـة عن �لزلز�ل ‪.‬‬ ‫�ح�صب كمية �لطاقة �لناتجـة عن زلز�ل قوته ‪ 8.1‬وحدة على مقيا�س ريختر ‪.‬‬ ‫‪ )16‬تتحلل مادة م�سعة وفق العلاقة ت = ت‪( * 0‬هـ)‪ * .0238-‬ن‪ ،‬حيث ت‪ :0‬الكمية الابتدا‪F‬ية‬ ‫بالغر�م‪ ،‬ت‪� :‬لكمية �لمتبقية بالغر�م‪ ،‬ن‪� :‬لزمن (�ل�صنو�ت)‪ ،‬كم ي�صبح �لجـز‪� A‬لمتبقي‬ ‫من المادة بعد ‪� 25‬سنة‪ ،‬علم ًا اأ ّن ت‪ 40 = 0‬غم؟‬ ‫‪ )17‬وجـد عالم مخطوطة‪ ،‬وا ّدعى اأ ّن عمرها (‪� )2000‬سنة‪ ،‬إاذا كانت المخطوطة تحتوي‬ ‫على ‪ %78‬من الكربون الاأ�سلي (الكربون ‪ ،)14‬ب ّين فيما اإذا كان ا ّدعا‪ A‬العالم �سحيح‬ ‫عل ًما باأن الكربون يتحلل ح�سب العلاقة ع (ت) = ع‪ * 0‬ت * هـ‪ * .00012-‬ت‬ ‫حيث ت‪ :‬الزمن بال�سنوات‪ ،‬ع‪ : 0‬الكمية قبل التحلل‪.‬‬ ‫‪� )18‬سف متى يكون الاقتران ق(�س) = أا × (ب)�س خ ًّطا م�ستقي ًما أافق ًّيا‪.‬‬ ‫‪ )19‬يتكون ه‪� �ò‬ل�صوؤ�ل من �صبع فقر�ت من نوع �لاختيار من متعدد‪ ،‬لكل فقرة أ�ربعة‬ ‫بدا‪F‬ل‪ ،‬واحد فقط منها�سحيح‪� ،‬سع دا‪F‬رة حول رمز البديل ال�سحيح‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪ )1‬قيمة ‪ 5 243-‬ت�ساوي ‪:‬‬ ‫ب) ‪3-‬‬ ‫اأ ) ‪7‬‬ ‫د ) ‪7-‬‬ ‫جـ) ‪3‬‬ ‫‪280‬‬

‫) ت�ساوي‪:‬‬ ‫‪81‬‬ ‫(‬ ‫لــــو‬ ‫قيمة‬ ‫(‪)2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫ب) ‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‬ ‫اأ‬ ‫د ) ‪4-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪9‬‬ ‫(‪ )3‬مجـال �لاقتر�ن �لمعطى بالقاعدة ق(�س) = لــــو(‪� – 2‬س ) ي�ساوي‪:‬‬ ‫ب) {‪}2‬‬ ‫اأ ) (‪)2،∞-‬‬ ‫د ) (‪)∞،2‬‬ ‫جـ) (‪]2،∞-‬‬ ‫(‪ )4‬مدى �لاقتر�ن �لمعطى بالقاعدة ق(�س) = ‪� – 3‬س ي�ساوي‪:‬‬ ‫ب) (‪)0 ،∞-‬‬ ‫أا ) (‪)∞،1‬‬ ‫د ) (‪)1،∞-‬‬ ‫جـ) (‪)∞،0‬‬ ‫(‪ )5‬قيمة �س التي تحقق المعادلة ‪ -3‬لــــو �س = ‪: 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أا ) ‪ 1‬ب) ‪2‬‬ ‫جـ) ‪ 1-‬د ) ‪4‬‬ ‫(‪ )6‬نقطة تقاطع المنحنى �س‪�3 -‬س‪0 = 2+‬مع محور ال�سادات‪:‬‬ ‫ب) (‪)2- ،0‬‬ ‫اأ ) (‪)3،0‬‬ ‫د ) (‪)9 ،0‬‬ ‫جـ) (‪)0 ،9‬‬ ‫لــوب‪ 32‬ي�ساوي‪:‬‬ ‫‪ ،‬فاإ َّن‬ ‫‪1‬‬ ‫*(‪ )7‬إاذا كان لــوب‪= 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ب) ‪5‬‬ ‫اأ ) ‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫د)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫* �ل�ص ؤو�ل من �أ�صئلة �لاختبار�ت �لدولية‬ ‫‪281‬‬

‫ﻃﺮاﺋﻖ اﻟﻌﺪ‬ ‫‪6‬‬ ‫الع ‪t‬د مهارة اأ�سا�سية نحتاج إاليها في مجالت الحياة المختلفة‪ ،‬ويعتمد ا إلح�ساء على طرق‬ ‫العد في اختيار العينات التي يحللها ومن خلالها ي�سدر بع�س النتائج‪ ،‬فمثل ًا اإذا أاراد مر�ّسح في‬ ‫النتخابات النيابية أان يعرف فر�س نجاحه فهو يعتمد على جمع البيانات وتحليلها‪ ،‬وكذل∂‬ ‫ا ألمر بالن�سبة للطبيب الذي يرغب في معرفة مدى انت�سار مر�س معين‪ ،‬والمزارع الذي يرغب‬ ‫في معرفة مدى نجاح زراعة نوع معين من النباتات‪.‬‬ ‫تعتمد طريقة العد التي ن�ستخدمها على طبيعة الموقف‪ ،‬فطريقة العد التي نتبعها عندما يكون‬ ‫التكرار م�سمو ًحا به تختلف عن طريقة العد التي نتبعها عندما ل يكون التكرار م�سمو ًحا به‪،‬‬ ‫�سنتعر�س في هذه الوحدة إالى مبداأ العد ا أل�سا�سي و م�سروب العدد ال�سحيح والتباديل و التوافيق‪.‬‬

‫‪Counting Methods‬‬ ‫يتو‪b‬ع م‪ ø‬ال‪£‬ال‪ Ö‬بع‪ ó‬د‪Q‬ا‪S‬صة ‪ √òg‬الو‪ IóM‬أا¿ ي‪µ‬و¿ ‪b‬اد‪Q‬ا ‪Y‬ل≈‪:‬‬ ‫‪ ‬التعرف إالى مبداأ العد الأ�سا�سي‪.‬‬ ‫‪ ‬ا�ستخدام مبداأ العد الأ�سا�سي في ح ّل م�سائل حياتية‪.‬‬ ‫‪ ‬ا�ستق�ساء التباديل والتوافيق وم�سروب العدد ال�سحيح غير ال�سالب‪.‬‬ ‫‪ ‬ح ّل م�سائل حياتية‪ ،‬با�ستخدام التباديل والتوافيق‪.‬‬

‫‪Counting Principle‬‬ ‫مﺒﺪﺃ الﻌﺪ‬ ‫الﻔﺼل اﻷول‬ ‫النتاجات‬ ‫• تتعرف مبد أا العد‪.‬‬ ‫• ت�ستخدم مبد أا العد في ح ّل م�سائل حياتية‪.‬‬ ‫أامام فتاة �سحن فيه ب�سكويت يحتوي على ع�‪ö‬ين‬ ‫قطعة‪ ،‬اثنتا ع�‪ö‬ة قطعة طرية والباقي قا�سية‪ ،‬كم عدد الطرق‬ ‫التي ت�ستطيع من خلالها هذه الفتاة اختيار ثلا‪ ç‬قطع‬ ‫ب�سكويت بحيث ُيوجد قطعتان قا�سيتان وواحدة طرية؟‬ ‫مثال (‪)١‬‬ ‫يريد محمد �سراء �سيارة وعندما ذهب اإلى معر�س ال�سيارات وجد نوعين من ال�سيارات و كل‬ ‫منهما بثلاثة األوان ( أا�سود‪ ،‬اأحمرواأخ�سر)‪ ،‬بكم طريقة يمكن لمحمد اختيار �سيارة؟‬ ‫نوع‪ 1‬أاحمر‬ ‫الحل‬ ‫نوع‪ 1‬أاخ�سر‬ ‫إليجــاد عــدد الطرائــق �سيتم الختيــار على‬ ‫مرحلتيــن‪ ،‬المرحلــة ا ألولــى اختيــار نــوع النوع‪1‬‬ ‫نوع‪ 1‬اأ�سود‬ ‫ال�سيــارة وتتم بطريقتيــن‪ ،‬والمرحلــة الثانية‬ ‫نوع‪ 2‬اأحمر‬ ‫اختيار اللــون وتتم بثــلا‪ ç‬طرائق وبح�سب‬ ‫نوع‪ 2‬أاخ�سر‬ ‫طريقة ال�سجرة‬ ‫المو�سحة في ال�سكل (‪ )1-6‬ي�سبح عدد النوع‪2‬‬ ‫نوع‪ 2‬اأ�سود‬ ‫الطرائق التي من خلالها يمكن لمح َّمد‬ ‫اختيار ال�سيارة بها هو ‪ 6‬طرق‪ ،‬و يمكن كتابة‬ ‫ال�سكل (‪.)1-6‬‬ ‫الختيارات على ال�سكل {النوع‪ 1‬اأحمر‪ ،‬النوع‪ 1‬أاخ�سر‪ ،‬النوع‪ 1‬أا�سود‪ ،‬النوع‪ 2‬اأحمر‪ ،‬النوع‪2‬‬ ‫أاخ�سر‪ ،‬النوع‪ 2‬اأ�سود}‪ .‬لكن هذه الطريقة تكون �سعبة لو كان عدد المراحل اأكثر‪.‬‬ ‫‪284‬‬

‫لحظ أان الختيارتم على مرحلتين المرحلة ا ألولى ولها طريقتان و المرحلة الثانية لها ثلا‪ç‬‬ ‫طرائق‪ ،‬وعليه يكون عدد الطرائق هو‪ 6= 3×2 :‬طرائق وهو نف�سه عدد فروع ال�سجرة في الر�سم‪.‬‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫كم عد ًدا مك ّو ًنا من منزلتين يمكن تكوينه من مجموعة الأرقام {‪}9 ،7 ،5‬؟‬ ‫‪55 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫الحل‬ ‫‪75 7‬‬ ‫‪95 9‬‬ ‫بما أان المطلوب تكويــن اأعداد فاإن التكرار‬ ‫م�سموح اأي اأننا ن�ستطيع اختيار منزلة ا آلحاد‬ ‫واختيــار منزلــة الع�ســرات بثــلا‪ ç‬طرائق‪،‬‬ ‫‪57 5‬‬ ‫وبذل∂ تكون الخيارات كما هو مو�سح في‬ ‫‪77 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ال�سكل(‪ ،)2-6‬و ِبع ‪u‬د فروع ال�سجرة يكون‬ ‫‪97 9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫عدد ا ألعداد هو‪.9‬‬ ‫‪59 5‬‬ ‫لكن اإذا �سربنا عدد اختيارات منزلة ا آلحاد‬ ‫‪79 7‬‬ ‫‪99 9‬‬ ‫بعدد اختيارات منزلة الع�سرات ينتج‪:‬‬ ‫‪.9 = 3 × 3‬‬ ‫ال�سكل (‪.)2-6‬‬ ‫‪ádõæŸG ‘ ºbôdG QGôµJ ¿Éc GPGE (2) ∫ÉãŸG ‘ œÉædG ¿ƒµ«°S GPÉe‬‬ ‫‪?¬H 샪°ùe ÒZIóMGƒdG‬‬ ‫لحظ اأن المثالين ال�سابقين يقدمان مب‪ ó‬أا الع‪.ó‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)١‬‬ ‫أالقي حجر نرد وقطعة نقد معدنية م ًعا مرة واحدة‪ ،‬ما عدد النتائج المتوقع ظهورها؟‬ ‫‪285‬‬

‫مثال (‪)3‬‬ ‫أاراد �سمير الذهاب إالى حفلة وعندما نظر في خزانته‬ ‫وجد اأمامه قمي�سين واأربعة بناطيل وحذاءين و ثلاثة‬ ‫معاطف‪ ،‬ما عــدد خيارات �سميــر لختيار ملاب�سه‬ ‫المك ّونة من قمي�س وبنطال وحذاء ومعطف؟‬ ‫الحل‬ ‫لـو اأردنـا ح ّل الم�ساألة با�ستخدام ال�سجرة لوجدنا �سعوبة بع�س ال�سيء‪ .‬لختيار الملاب�س �سيقوم‬ ‫�سمير بالختيار على أاربـع مراحل المرحلـة ا ألولى اختيار قمي�س ولهـا طريقتان مختلفتان‪،‬‬ ‫والمرحلة الثانية اختيار بنطال ولها ‪ 4‬طرق مختلفة والمرحلة الثالثة اختيار حذاء ولهـا طريقتان‬ ‫مختلفتان‪ ،‬والمرحلة الرابعة اختيار معطف ولها ثلا‪ ç‬طرق مختلفة‪ ،‬وبذل∂ ي�سبح عدد‬ ‫الخيارات هو‪ 48 = 3 × 2 × 4 × 2 :‬طريقة لختيار ملاب�سه‪.‬‬ ‫اإن ح�ساب عدد الطرق للاأمثلة ال�سابقة يعتمد على مبد أا ي�سمى مب‪ ó‬أا الع‪ ó‬ا أل‪S‬صا‪S‬صي‪.‬‬ ‫مب‪ ó‬أا الع‪ ó‬ا أل‪S‬صا‪S‬صي‬ ‫اإذا ” اإجراء عملية على ∑ من ا‪Ÿ‬راحل حيث اإ ّن ا‪Ÿ‬رحلة ا ألولى لها ن‪ 1‬من الطرق‪ ،‬ا‪Ÿ‬رحلة الثانية‬ ‫لها ن‪ 2‬من الطرق ‪ ،‬ا‪Ÿ‬رحلة الثالثة لها ن‪ 3‬من الطرق‪ ،‬وهكذا حتى ا‪Ÿ‬رحلة ا ألخ‪Ò‬ة (∑) التي‬ ‫لها ن∑من الطرق‪ ،‬فاإنه ‪Á‬كن إاجراء العملية كاملة بطرائق عددها = ن‪×1‬ن‪× 2‬ن‪×.....×3‬ن∑‬ ‫طريقة‪ ،‬على فر�س أان الختيار ‘ أاي مرحلة ل ي ؤوثر ‘ الختيار ‘ ا‪Ÿ‬راحل الأخرى‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫ذهبت �سارة إالى مطعم لتناول وجبة طعام وعندما نظرت في قائمة الطعام وجدت اأمامها‬ ‫ثلاثة اأنواع من اللحوم‪� ،‬سبعة أانواع من الع�سير‪ ،‬و أاربعة اأنواع من الحلوى‪ ،‬بكم طريقة‬ ‫يمكن اختيار وجبة مك ّونة من نوع واحد من اللحم ونوع واحد من الع�سير ونوع واحد‬ ‫من الحلوى؟‬ ‫‪286‬‬

‫مثال (‪)4‬‬ ‫إاذا أالقيت ثلاثة أاحجار نرد منتظمة مرة واحدة‪ ،‬ما عدد النتائج المتوقع ظهورها؟‬ ‫الحل‬ ‫تتم العملية على ثلا‪ ç‬مراحل كل مرحلة لها �ستة اختيارات فيكون عدد النتائج المتوقع ظهورها هو‪:‬‬ ‫(ا�ستخدام مبد أا العد)‬ ‫‪216 = 36 = 6 ×6 ×6‬‬ ‫وفي هذه الحالة التي يكون عدد الخيارات( ∑) لكل مرحلة من مراحل التجربة م�ساويًا لعدد‬ ‫الخيارات في المراحل الأخرى ولنرمز له بالرمز ∑‪ ،‬وعدد المراحل ن‪ ،‬يكون عدد النتائج‬ ‫المتوقعة = ( ∑)ن‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫ما عدد النتائج المتوقعة في تجربة اإلقاء قطعة نقد معدنية منتظمة خم�س مرات متتالية؟‬ ‫تﺪريﺐ (‪)4‬‬ ‫كم كلمة مكونة من أاربعة اأحرف‪ ،‬يمكن تكوينها من مجموعة ا ألحرف {و‪ ،‬أا‪ ،‬هـ‪ ،‬م‪ ،‬ن‪،‬‬ ‫�س}‪ ,‬ولا ي�شترط �أن يكون للكلمة معنى مع مر�عاة عد‪ Ω‬تكر�‪� Q‬لحر‪±‬؟‬ ‫‪287‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ )1‬هنال∂ ثلا‪ ç‬مدن أا ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ وهنال∂ ‪ 5‬طرق ت�سل المدينة أا بالمدينة ب و ‪ 3‬طرق ت�سل‬ ‫المدينة ب بالمدينة جـ‪ ،‬انظر ال�سكل (‪ )3-6‬اإذا اأراد �سخ�س الو�سول اإلى المدينة جـ‬ ‫انطلا ًقا من المدينة أا مرو ًرا بالمدينة ب ما عدد الطرائق التي يمكنه �سلوكها؟‬ ‫أا ب جـ‬ ‫ال�سكل (‪.)3-6‬‬ ‫‪ )2‬في أاحد محلات بيع اأ�سما∑ الزينة يحتوي أاحد اأحوا�س هذا المحل على ‪� 7‬سمكات ذهبية‬ ‫و ‪� 8‬سمكات �سوداء‪ ،‬أاجب عن ك ٍّل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫اأ ) ما عدد طرق اختيار‪� 3‬سمكات اإذا كانت ال�سمكة التي نختارها ل تعاد اإلى الحو�س‬ ‫(بغ�ّس النظر عن لون ال�سمكة)؟‬ ‫ب) ِب ‪n‬ك ْم طريق ًة يمكن اختيار ‪� 3‬سمكات أاول اثنتين ذهبيتين علم ًا ب أا ّن البائع يتفقد ال�سمكة‬ ‫ثم يعيدها إالى الحو�س؟‬ ‫‪ )3‬أاراد �سخ�س اختيار رقم �سري لهاتفه الخلوي مكون من أاربع اأرقام‪ ،‬ما عدد الخيارات‬ ‫المتاحة أامام هذا ال�سخ�س في ك ٍّل من الحالت الآتية‪:‬‬ ‫�أ ( �‪ �PE‬ل‪ º‬تو‪V‬شع ‪T‬شروط على �ل‪î‬يا‪.ä�Q‬‬ ‫‪T� �P�E (Ü‬شترط �أن �ل‪î‬انة �لاأولى لا ت‪ù‬شاو… ‪U‬ش‪k Ø‬ر�‪.‬‬ ‫جـ) إاذا لم ي�سمح بتكرارالرقم في العدد‪.‬‬ ‫‪288‬‬

‫‪4 )4‬كم عد ًدا فرد ًّيا مك ّو ًنا من منزلتين يمكن تكوينه من مجموعة ا ألرقام‪}5،3،6،4 ،1 ،2{ :‬‬ ‫في ك ٍّل من الحالات الآتية‪:‬‬ ‫�أ ) �إذا �ُسمح بتكرار الرقم في العدد‪.‬‬ ‫ب) إ�ذا لم ُي�سمح بتكرار الرقم في العدد‪.‬‬ ‫‪5 )5‬بكم طريقة يمكن تكوين عدد مك ّون من (‪ )3‬منازل من مجموعة الارقام { ‪،3،4 ،2 ،1‬‬ ‫‪ }6 ،5‬بحيث يكون العدد الناتج �أكبر من ‪300‬؟‬ ‫‪6 )6‬بكم طريقة يمكن كتابة اقتران على ال�صورة ق(�س) = �أ �س‪+ 3‬ب �س‪+2‬جـ �س ‪ . 5 -‬حيث‬ ‫(�أ ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ) معاملات م�أخوذة من المجموعة {– ‪� } 2 ،1 ،1- ،2‬إذا كان ‪:‬‬ ‫أ� ) تكرار المعاملات غير م�سموح به‪.‬‬ ‫ب ) تكرار المعاملات م�سمو ًحا به‪.‬‬ ‫‪ُ 7 )7‬ح ّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪289‬‬

‫‪Factorial‬‬ ‫المﻀروﺏ‬ ‫الﻔﺼل الثاﻧﻲ‬ ‫النتاجات‬ ‫• تتعرف م�سروب العدد ال�سحيح غير ال�سالب‪.‬‬ ‫• ت�ستخدم الم�سروب في ح ّل م�سائل حياتية‪.‬‬ ‫اجتمع ع�‪ö‬ة اأ�سخا�س ‘ م ؤو“ر وقبل الجتماع‬ ‫قام كل �سخ�س ‪�Ã‬سافحة الباق‪ ،Ú‬بكم طريقة ‪Á‬كن اأن‬ ‫–د‪ ç‬ا‪�Ÿ‬سافحات؟‬ ‫مثال (‪)١‬‬ ‫في أاحد ال�سفوف أاراد خم�سة طلاب الجلو�س على خم�سة مقاعد على ا�ستقامة واحدة‪ ،‬ما عدد‬ ‫الطرق الممكنة لجلو�س الطلبة؟‬ ‫الحل‬ ‫اأمام الطالب ا ألول خم�س طرق لختيار مقعده‪ ،‬وبعد اأن يجل�س الطالب ا ألول يكون أامام الطالب‬ ‫الثاني أاربع طرق لختيار مقعده‪ ،‬وهكذا‪:‬‬ ‫(مبداأ العد)‬ ‫وبذل∂ يكون عدد طرق الجلو�س الممكنة للطلبة هو‪:‬‬ ‫‪120 =1×2×3×4×5‬طريقة‪.‬‬ ‫وهذا ما ُيعرف بم†صروب الع‪ó‬د‪.‬‬ ‫الم†شروب‬ ‫ليكن ن عد ًدا �سحي ًحا غ‪� Ò‬سالب‪ ،‬يعرف م�‪ö‬وب العدد ن الذي يرمز له بالرمز ن! على أانه‬ ‫ا‪Ÿ‬قدار‪ :‬ن×(ن‪(×)1-‬ن‪ 1×2×3×......×)2-‬ويكون م�‪ö‬وب ال�سفر=‪1= !0‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)١‬‬ ‫بكم طريقة يمكن تكوين عدد مك ّون من أاربع منازل من مجموعة الأرقام‪:‬‬ ‫{ ‪ ،} 7،8،5،3‬مع مراعاة عدم تكرارالرقم في العدد‪.‬‬ ‫‪290‬‬

‫مثال (‪)2‬‬ ‫‪!1)3‬‬ ‫‪!8‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫جد قيمة كل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪!6‬‬ ‫‪!4 )1‬‬ ‫(تعريف الم�سروب )‬ ‫(تعريف الم�سروب)‬ ‫الحل‬ ‫‪24=1×2×3×4 = !4 )1‬‬ ‫(اخت�سار)‬ ‫‪1×21××32××43××54××65××76×8‬‬ ‫‪!8‬‬ ‫=‬ ‫‪!6‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫= ‪7×8‬‬ ‫= ‪56‬‬ ‫ويمكن الحل بطريقة اأخرى أاكثر اخت�ساراً‪:‬‬ ‫‪!6×7×8‬‬ ‫(تعريف الم�سروب)‬ ‫‪!6‬‬ ‫=‬ ‫‪!8‬‬ ‫(اخت�سار)‬ ‫‪!6‬‬ ‫= ‪7×8‬‬ ‫= ‪56‬‬ ‫‪1 = !1 )3‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫‪!6!×8!2 )3‬‬ ‫‪!20‬‬ ‫جد قيمة كل مما ياأتي‪:‬‬ ‫‪!16‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪!7)1‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫اح�سب قيمة ن‪ ،‬حيث ن �س‪ ،+‬في ك ٍّل مما ياأتي‪:‬‬ ‫(ن‪!)2+‬‬ ‫=‪72‬‬ ‫ن!‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪(4)1‬ن!) =‪96‬‬ ‫الحل‬ ‫(بق�سمة الطرفين على ‪)4‬‬ ‫‪(4 )1‬ن!)= ‪96‬‬ ‫‪291‬‬

‫(تحليل)‬ ‫ن! =‪24‬‬ ‫ن! = ‪1×2×3×4‬‬ ‫(تعريف الم�سروب)‬ ‫ن! = ‪!4‬‬ ‫(تعريف الم�سروب)‬ ‫(اخت�سار)‬ ‫ن =‪4‬‬ ‫(تحليل اإلى عوامل)‬ ‫‪72‬‬ ‫=‬ ‫(ن‪!)2+‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫(مقارنة الطرفين)‬ ‫ن!‬ ‫(ن‪()2+‬ن‪)1+‬ن!‬ ‫(طرح ‪ 2‬من الطرفين)‬ ‫= ‪72‬‬ ‫ن!‬ ‫(ن‪()2+‬ن‪72=)1+‬‬ ‫(ن‪()2+‬ن‪8×9=)1+‬‬ ‫(ن‪9=)2+‬‬ ‫ن= ‪7‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫اح�سب قيمة ن‪ ،‬ن �س‪ ،+‬في ك ٍّل مما ياأتي‪:‬‬ ‫(ن‪!)3+‬‬ ‫‪( 5)2‬ن!)=‪3600‬‬ ‫=‪336‬‬ ‫ن!‬ ‫‪)1‬‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫ا�ستخدم ا آللة الحا�سبة إليجاد ‪!7‬‬ ‫فيظهر الناتج على ال�سا�سة ‪5040‬‬ ‫ثم‬ ‫الحل‬ ‫ا�سغط على ‪ 7‬ثم ثم‬ ‫تﺪريﺐ (‪)4‬‬ ‫ا�ستخدم ا آللة الحا�سبة إليجاد‪:‬‬ ‫‪!11)3‬‬ ‫‪!13 )2‬‬ ‫‪!12 )1‬‬ ‫‪292‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫ ‪ ) 1‬عبر عن ك ٍّل من المقادير الآتية با�ستخدام الم�ضروب‪:‬‬ ‫أ� ) ‪7×6×5×4×3×2×1‬‬ ‫ب) ‪13×14×15×16‬‬ ‫جـ ) ‪4×1×5×2×6×37‬‬ ‫(ن‪!)4+‬‬ ‫ ‪ )2‬ب�ّسط كلاًّ من المقادير الآتية‪:‬‬ ‫(ن‪!)2+‬‬ ‫ب) ‪ !5!×1!21018‬‬ ‫أ� ) ‪ !2! 2!108‬‬ ‫جـ)‬ ‫جـ) ‪!5!×1!611‬‬ ‫ ‪ ) 3‬جد قيمة ُك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫و ) ‪)!4(5‬‬ ‫ أ� ) ‪ !5‬ب) ‪ !6-!8‬‬ ‫ ‬ ‫هـ ) (‪ !)4 -9‬‬ ‫ ‬ ‫‪!8‬‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫‪!6‬‬ ‫د) (‪!)5×4‬‬ ‫ ‪ )4‬جد قيمة ُك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫أ� ) (‪ !)5+4‬ب) ‪ !5 + !4‬جـ) ‪ !5× !4‬‬ ‫ ‪ )5‬اح�سب قيم ن في ما ي�أتي‪ ،‬ن �ص‪:+‬‬ ‫ب) (‪4‬ن‪720= !)2-‬‬ ‫أ� ) ‪5((2‬ن)!) =‪240‬‬ ‫ ‪ُ ) 6‬ح ّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫ ‪� )7‬أراد ثلاثة أ��شخا�ص الخروج من غرفة بابها يت�سع ل�شخ�ص واحد فقط‪ ،‬ما عدد الطرق التي‬ ‫يخرج بها ه�ؤلاء ا أل�شخا�ص من الغرفة؟‬ ‫ ‪ )8‬ت�سع �سيدات‪ ،‬مع كل �سيدة طفل‪ُ ،‬يراد ترتيب جل�ستهم ب�شكل م�ستقيم‪ ،‬بحيث تجل�س‬ ‫ال�سيدات متجاورات وا ألطفال متجاورين‪ .‬بكم طريقة يمكن �أن يجل�سوا؟‬ ‫ ‪ )9‬أ�رادت �سلمى �إر�سال ‪ 7‬ر�سائل ن ّ�ص ّية مختلفة �إلى �صديقاتها ال�سبع للتهنئة بحلول عيد الفطر‬ ‫ال�سعيد‪ ،‬ما عدد الطرق التي يمكن لها من خلالها �إر�سال هذه الر�سائل ل�صديقاتها؟‬ ‫‪293‬‬

‫‪Permutation‬‬ ‫الﺘﺒاﺩيل‬ ‫الﻔﺼل الثالﺚ‬ ‫النتاجات‬ ‫• تتعرف التباديل‪.‬‬ ‫• ت�ستخدم التباديل في ح ّل م�سائل حياتية‪.‬‬ ‫اجتمع ع�‪ö‬ون �سخ ً�سا ‘ أاحد ا‪Ÿ‬طاعم واأراد �ساحب‬ ‫ا‪Ÿ‬طعم تقد‪ Ë‬ثلا‪ ç‬جوائز ‪‬تلفة لثلاثة أا�سخا�س من ا‪Ÿ‬وجودين‬ ‫فو�سع بطاقات –مل أارقام مقاعد ا◊ا�‪ö‬ين ‘ �سندوق وقام‬ ‫ب�سحب ثلا‪ ç‬بطاقات على التوا‹‪ ،‬ما عدد الطرق التي ‪Á‬كن‬ ‫أان يختار بها �ساحب ا‪Ÿ‬طعم البطاقات الثلا‪ç‬؟‬ ‫مثال (‪)١‬‬ ‫يريد محمد و�‪n‬ش ‪r‬عد و ‪L‬ما∫ �لتقاط ‪U‬شو‪Q‬ة ‪L‬ماعية ل¡‪a ,º‬قا‪� Ω‬لم‪ü‬شو‪ Q‬بو‪V‬شع ‪KÓK‬ة مقاعد على‬ ‫ا�ستقامة واحدة لت�سويرهم‪ ،‬ما عدد طرائق ترتيب جل�ستهم؟‬ ‫الحل‬ ‫هنال∂ ثلاثة مقاعد وثلاثة اأ�سخا�س‪ ،‬يمكن اأن يكون محمد في المنت�سف وعلى يمينه �سعد وعلى‬ ‫ي�ساره جمال ويمكن اأن يكون محمد في المنت�سف وعلى ي�ساره �سعد وعلى يمينه جمال‪ ،‬فتكون‬ ‫ال�سورة الأولى مختلفة عن ال�سورة الثانية‪.‬‬ ‫بذل∂ تكون التراتيب المختلفة لل�سورة هي‪:‬‬ ‫�سعد‪ ،‬محمد‪ ،‬جمال‬ ‫�سعد‪ ،‬جمال‪ ،‬محمد‬ ‫محمد‪� ،‬سعد‪ ،‬جمال‬ ‫محمد‪ ،‬جمال‪� ،‬سعد‬ ‫جمال‪ ،‬محمد‪� ،‬سعد‬ ‫جمال‪� ،‬سعد‪ ،‬محمد‬ ‫‪294‬‬

‫وكل واحدة من هذه ال�سور تختلف عن ا ألخرى ولذل∂ يعتبر فيها الترتيب مه ًّماوطريقة الترتيب‬ ‫هذه ت�سمى التباديل‪.‬‬ ‫‪J‬عريف التبادل‬ ‫اإذا ” اختيار عنا�‪ ö‬عددها ر من ›موعة عدد عنا�‪ö‬ها ن بحيث يكون ترتيب الختيار مه ًّما‪.‬‬ ‫فاإن هذا الختيار ي�سمى تباديل‪.‬‬ ‫و ُيرمز لعددها بالرمز ل(ن‪ ،‬ر) حيث ن ‪ ،‬ر عددان طبيعيان‪ ≥0 ،‬ر≥ ن‬ ‫ن!‬ ‫(ن‪-‬ر)!‬ ‫=‬ ‫ر)‬ ‫ل(ن‪،‬‬ ‫يكون‬ ‫و‬ ‫تﺪريﺐ (‪)١‬‬ ‫ما عدد طرق اختيار لجنة ثنائية ِم ْن ع�سرة طلاب بحيث يكون أاحدهم قائ ًدا لل�سف وا آلخر‬ ‫م�ساع ًدا له؟‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫بكم طريقة يمكن تكوين عدد مك ّون من منزلتين مختلفتين من مجموعة الأرقام {‪}5،3،2،8‬‬ ‫الحل‬ ‫العدد مكون من منزلتين والترتيب فيها مهم فالعدد ‪ 35‬يختلف عن العدد ‪ ،53‬وبذل∂ يكون‬ ‫‪!4‬‬ ‫(تعريف التباديل)‬ ‫‪!2‬‬ ‫=‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪،4‬‬ ‫ل(‬ ‫هو‪:‬‬ ‫الختيارات‬ ‫عدد‬ ‫(تعريف الم�سروب)‬ ‫‪!1×!21××323××44‬‬ ‫=‬ ‫( اخت�سار)‬ ‫=‬ ‫= ‪12‬‬ ‫‪295‬‬

‫و يمكن ح ّل المثال بطريقة �أخرى با�ستخدام مبد�أ العد‪:‬‬ ‫يتم اختيار منزلة الآحاد و�أمامها ‪ 4‬اختيارات‪ ،‬ثم منزلة الع�شرات و أ�مامهـا ‪ 3‬اختيارات فيكون‬ ‫الناتج‪12= 3 × 4 :‬‬ ‫ويمكن ح�ساب ل(ن ‪ ،‬ر) بطريقة �أخرى على النحو الآتي‪:‬‬ ‫ن!‬ ‫(تعريف التباديل)‬ ‫(نن×‪(-‬ر)ن!‪×)1-‬ن‪ (×... ..... ×)2 -‬ن‪ (-‬ر‪(×) )1-‬ن ‪-‬ر)!‬ ‫=‬ ‫ر)‬ ‫ل(ن‪،‬‬ ‫=‬ ‫(تعريف الم�ضروب)‬ ‫(ن‪-‬ر)!‬ ‫(تب�سيط)‬ ‫= ن × (ن‪(×)1-‬ن‪(×.........×)2-‬ن‪ -‬ر‪ )1+‬‬ ‫ويمكن اعتماد النتيجة ال�سابقة في حل التباديل‪.‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫‪ )3‬ل(‪)3، 8‬‬ ‫‪ )2‬ل(‪ )3 ،5‬‬ ‫اح�سب قيمة ك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪ )5‬ل(‪)2 ،7‬‬ ‫‪ ) 1‬ل(‪ )2 ،5‬‬ ‫‪ ) 4‬ل(‪) 4 ،6‬‬ ‫‪!5‬‬ ‫الحل‬ ‫(‪ !)2-5‬‬ ‫(تعريف التباديل)‬ ‫=‬ ‫ل(‪)2،5‬‬ ‫‪) 1‬‬ ‫(تعريف الم�ضروب)‬ ‫==‪ 2!30×=!434××55‬‬ ‫(اخت�صار)‬ ‫‪!5‬‬ ‫=‬ ‫‪)3‬‬ ‫ل(‪،5‬‬ ‫ ‪ )2‬‬ ‫(تعريف التباديل)‬ ‫(‪ !)3-5‬‬ ‫‪!2×3×4×5‬‬ ‫(تعريف الم�ضروب)‬ ‫ ‬ ‫‪!2‬‬ ‫=‬ ‫(اخت�صار)‬ ‫‪3×4×5‬‬ ‫=‬ ‫= ‪60‬‬ ‫‪296‬‬

‫(تعريف التباديل)‬ ‫‪!8‬‬ ‫=‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ل(‪8‬‬ ‫‪ )3‬‬ ‫(‪ !5× 6!×)37-×88‬‬ ‫(تعريف الم�ضروب)‬ ‫‪ 6!×57×8‬‬ ‫=‬ ‫(اخت�صار)‬ ‫=‬ ‫(تعريف التباديل)‬ ‫‪ )4‬ل(‪ 36!02 *=33× *!424!×)×43!556-3××6666(==== )4 ،6‬‬ ‫(تعريف الم�ضروب)‬ ‫‪!7‬‬ ‫=‬ ‫‪)2‬‬ ‫ل(‪،7‬‬ ‫‪) 5‬‬ ‫(اخت�صار)‬ ‫(‪ !5!)×26-×77‬‬ ‫‪ !542‬‬ ‫=‬ ‫(تعريف التباديل)‬ ‫=‬ ‫(تعريف الم�ضروب)‬ ‫(اخت�صار)‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫‪ )3‬ل(‪)4 ، 4‬‬ ‫‪ )2‬ل( ‪ )1 ، 4‬‬ ‫اح�سب قيمة ك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪ )6‬ل( ‪)7 ، 7‬‬ ‫‪ )5‬ل( ‪ )1 ، 7‬‬ ‫‪ ) 1‬ل(‪ )0 ، 4‬‬ ‫‪ )4‬ل(‪) 0 ، 7‬‬ ‫‪!4‬‬ ‫‪!4‬‬ ‫الحل‬ ‫‪!4‬‬ ‫(‪!)0-4‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪)0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ل(‬ ‫‪ )1‬‬ ‫=‪4‬‬ ‫‪!3×4‬‬ ‫=‬ ‫‪!4‬‬ ‫=‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ل(‪4‬‬ ‫‪) 2‬‬ ‫‪!3‬‬ ‫(‪!)1-4‬‬ ‫=‪24‬‬ ‫=‪!4‬‬ ‫‪!4‬‬ ‫=‬ ‫‪!4‬‬ ‫=‬ ‫‪!4‬‬ ‫‪=)4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ل(‪4‬‬ ‫‪ )3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪!0‬‬ ‫(‪!)4-4‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪!7‬‬ ‫=‬ ‫‪!7‬‬ ‫‪=)0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ل(‪7‬‬ ‫‪ )4‬‬ ‫‪!7‬‬ ‫(‪!)0-7‬‬ ‫‪297‬‬

‫=‪7‬‬ ‫‪!6×7‬‬ ‫=‬ ‫‪!7‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)1 ، 7‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫‪!6‬‬ ‫(‪!)1-7‬‬ ‫=‪5040= !7‬‬ ‫‪!7‬‬ ‫=‬ ‫‪!7‬‬ ‫=‬ ‫‪!7‬‬ ‫‪=)7‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪7‬‬ ‫(‬ ‫ل‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪!0‬‬ ‫(‪!)7-7‬‬ ‫‪µq a‬ر ونا‪¢ûb‬‬ ‫ا ّدعى �سمير اأ ّن‪ :‬ل(ن ‪ ،‬ن) = ل ( ن ‪ ،‬ن‪)1-‬‬ ‫ناق�س ا ّدعائه مبر ًرا اإجابت∂ من خلال تقديم اأمثلة‪.‬‬ ‫‪ )5‬ل(‪)19 ،20‬‬ ‫‪ )2‬ل(‪)0 ،100‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫‪ )4‬ل(‪)1 ،20‬‬ ‫اح�سب قيمة ك ٍّل مما ياأتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬ل(‪)3 ،7‬‬ ‫‪ )3‬ل(‪)8 ،8‬‬ ‫ل(ن‪ ،‬ن‪ = )1-‬ن!‬ ‫ب‪û‬ص‪µ‬ل ‪Y‬ا‪Ω‬‬ ‫ل(ن‪ ،‬ن)= ن!‬ ‫ل(ن‪ =)1 ،‬ن‬ ‫ل(ن‪1= )0 ،‬‬ ‫مثال (‪)٥‬‬ ‫يريد خم�سة أا�سخا�س الجلو�س حول طاولة م�ستديرة‪ ،‬ما عدد الطرائق التي يمكن أان يجل�س بها‬ ‫هوؤلء الأ�سخا�س في ك ‪m‬ل من الحالت ا آلتية‪:‬‬ ‫‪O (1‬ون و‪V‬شع �أ… ‪T‬شرط على ‪W‬ريقة ‪L‬لو�ش¡‪º‬؟‬ ‫‪ )2‬اإذا كان اأحدهم �سيجل�س بجوار باب الغرفة؟‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬نوع التبديل تبديل دائري‪.‬‬ ‫هنا الخيارات ‪ 24‬خيا ًرا‪ ،‬وب‪û‬ص‪µ‬ل ‪Y‬ا‪ Ω‬التب‪ó‬يل ال‪ó‬ا‪F‬ري ‪óY‬د ‪N‬يا‪Q‬ا‪!(1-¿) ¬J‬‬ ‫‪298‬‬