أول ثانوي علمي 2018م

π3 π (١) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ 2 2 :øe πx co ᪫b óéa , >¢S > , 1- = ¢S ÉàL ¿GC âª∏Y GPEG 3 ¢S2 ÉàL (2 ¢S2ÉL(1 (٢) ‫ﻣﺜﺎل‬ ˚22^5 ÉàL˚22^5 ÉL :᪫b óL áÑ°SÉëdG ád’B G ΩGóîà°SG ¿hO πëdG (ájhGõdG ∞©°V Ö«L á≤HÉ£àe ) ¢SÉàL ¢SÉL2 = ¢S2ÉL (˚45 = 2 × ˚22^5 ) ˚45 ÉL 1 =˚22^5 ÉàL˚22^5 ÉL (§«°ùÑJ ºq Ko ¢†jƒ©J ) 2 1 1 2 ×2 = 2 × 1 = 2 (٢) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ .(˚15 2ÉàL) :᪫b óL áÑ°SÉëdG ádB’G ΩGóîà°SG ¿hO ájhGõdG ∞°üf äÉ≤HÉ£àe ¢S 2ÉL 2 = ¢SÉàL -1 É¡æeh ¢SÉàL-1 ±= ¢S ÉL (1 2 2 2 ¢S 2ÉàL 2 = ¢SÉàL +1 É¡æeh ¢SÉàL+1 ±= ¢S ÉàL (2 2 2 2 ¢SÉàL-1 ±= ¢S ÉX (3 ¢SÉàL+1 2 199

:ájhGõdG ∞°üf äÉ≤HÉ£àe øe (2) ´ôa äÉÑKGE ‫اﻟﺒﺮﻫﺎن‬ (ΩɪàdG Ö«éd ájhGõdG ∞©°V á≤HÉ£àe) 1 – ¢S2ÉàL 2 = ¢S2ÉàL (á≤HÉ£àªdG »a ¢S2 ∫óH ¢S ¢†jƒ©J) ¢S 1- 2 2ÉàL 2 = ¢SÉàL (§«°ùÑJ) ¢SÉàL+1 = ¢S 2ÉàL ( ø«aô£dG QòL) 2 2 ܃∏£ªdG ƒgh ¢SÉàL+1 ±= ¢S ÉàL 2 2 ¢SÉàL-1 (٣) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ 2 ¢S ±= 2 ÉL ¿q CG âÑKCG (٣) ‫ﻣﺜﺎل‬ `g ÉàL óéa , π3 > `g > π , 4 = `gÉX ¿q GC âª∏Y GPEG 2 2 2 3 πëdG `g (?GPɪd) .»fÉãdG ™HôdG »a ™≤J 2 ¿q ÉE a ådÉãdG ™HôdG »a ™≤J `g ¿CG ɪH (ådÉãdG ™HôdG »a `g ájhGõdG ,Qƒ°ùµdG ƒD aɵJ ) 3 - =¢S , 4 - =¢U ¢U = 4 = `gÉX ¢S 3 (IôFGódG ádOÉ©e ) 2¢U + 2¢S = 2Q (¢U ,¢S º«b ¢†jƒ©J ) 2(4-) + 2(3 -) = (ø«aô£dG QòL) 3 ¢S 5 =Q 5 Q -= = `gÉàL (»fÉãdG ™HôdG »a `g ájhGõdG ¿q ’C áÑdÉ°S ᪫≤dG) `gÉàL+1 -= `g ÉàL 2 2 2 (§«°ùÑJ) 1 - = 1 × 2 -= 3 -1 -= 5 2 5 5 2 200

¢S π (٤) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ 2 2 . ÉL ᪫b óéa , π > ¢S > , 3 = ¢SÉL ¿q GC âª∏Y GPGE 5 (٤) ‫ﻣﺜﺎل‬ ¢SÉL ± = ¢S ÉX ¿q CG âÑKCG ¢SÉàL+1 2 πëdG (π¶dG á≤HÉ£àe ) ¢2¢S2SÉÉàLL¢=SÉàL¢2-S 1ÉX :øªj’C G (ájhGõdG ∞°üf äÉ≤HÉ£àe ¢†jƒ©J) ¢SÉàL+1 = ±ô£dG ± (≥aGôªdÉH Üô°†dG) ¢¢SSÉÉààLL++11×¢¢SSÉÉààLL+-11 ± = ¢SÉL ± = ¢S2ÉL ± = ¢S2ÉàL-1 ±= ¢SÉàL+1 2(¢SÉàL+1) 2(¢SÉàL+1) (ô°ùjC’G ±ô£dG) = (٥) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ ¢SÉàL-1 ± = ¢S ÉX ¿q CG âÑKG ¢SÉL 2 201

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪1 )1‬دون ا�ستخدام ا آللة الحا�سبة جد قيمة ك ٍّل مما ي أ�تي‪:‬‬ ‫أ� ) جتا ‪˚50‬جا ‪ - ˚80‬جا‪ ˚50‬جا ‪˚10‬‬ ‫ب ) جتا ‪ ˚70‬جتا ‪ +˚25‬جا‪ ˚70‬جتا‪˚65‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ 2‬جتا‪2‬‬ ‫جـ) ‬ ‫ظاجا‪π8π152‬‬ ‫د )‬ ‫هـ )‬ ‫‪ُ )2‬ح ّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪-1‬جتا‪�2‬س‬ ‫‪ )3‬أ�ثبت �صحة ك ٍّل من المتطابقات ا آلتية‪:‬‬ ‫جا‪�2‬س‬ ‫ظتا�س‪1-‬‬ ‫جتا‪�2‬س‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫ظا‬ ‫ب)‬ ‫ظتا�س‪1+‬‬ ‫=‬ ‫‪+1‬جا‪�2‬س‬ ‫)‬ ‫أ�‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫د ) ‪ 4‬جتا‪� 2‬س – جا‪�2 2‬س = ‪ 4‬جتا‪� 4‬س‬ ‫ظتا�س‪-‬ظا�س‬ ‫=‬ ‫‪�2‬س‬ ‫ظا‬ ‫جـ )‬ ‫= (قتاهـ ‪ -‬ظتاهـ)‪2‬‬ ‫‪-1‬جتاهـ‬ ‫و)‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫جا�س‬ ‫هـ) ‬ ‫‪+1‬جتاهـ‬ ‫ظا�س‪+‬ظتا�س‬ ‫قا�س‬ ‫جـ‬ ‫ظا‬ ‫=‬ ‫جتاجـ‬ ‫×‬ ‫جا‪2‬جـ‬ ‫)‬ ‫ح‬ ‫‪+1‬جتا�س‬ ‫‪±‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫ظتا‬ ‫ز) ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+1‬جتاجـ‬ ‫‪+1‬جتا‪2‬جـ‬ ‫جا�س‬ ‫‪2‬‬ ‫فجد قيم ظا جـ ‪.‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ ) 4‬إ�ذا كان ظا ‪2‬جـ =‬ ‫‪35‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ي�أتي‪:‬‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫فجد‬ ‫‪،π2‬‬ ‫<‬ ‫<هـ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪5‬‬ ‫كان جتاهـ =‬ ‫‪� )5‬إذا‬ ‫جـ) ظا ‪2‬هـ‬ ‫ب) جا ‪2‬هـ ‬ ‫أ� ) جتا ‪2‬هـ ‬ ‫هـ‬ ‫ظا‬ ‫و)‬ ‫هـ‬ ‫جتا‬ ‫هـ)‬ ‫ ‬ ‫هـ‬ ‫جا‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أ� ‪ -‬ب( )‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أ� َو ب زاويتان حادتان َف ِج ْد قيمة جتا‬ ‫‪،‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫ب‬ ‫‪ ،‬جتا‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫أ�‬ ‫‪ )6‬إ�ذا كان جتا‬ ‫(دون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة )‬ ‫‪202‬‬

‫‪Solving Trigonometric Equations‬‬ ‫ﺛﺎﻟ ًﺜﺎ‪َ :‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ناعورة ماء دوارة قطرها ‪ 20‬م تـدور بـمعدل‬ ‫‪2.5‬دورة في الدقيقة‪ ” ،‬ر�شد دلو ماء مركب عليها‪،‬‬ ‫فاإذا كان ارتفاع الـدلو عن �شطح ال أار�س يعطى بالمعادلة‬ ‫ل = ‪ 20 – 21‬جتا ‪ π3‬ن‪ ،‬حيث ل الارتفاع‪ ،‬ن الزمن‬ ‫بالدقيقة‪ .‬بعد كم دقيقة يكون ارتفاع الدلو ‪11‬م ؟‬ ‫ُتع ّرف ال‪©ª‬ا‪O‬ل‪ á‬ال‪ á«ã∏ãª‬على أانها المعادلة التي تحوي اقترا ًنا مثلث ًّيا أاو أاكثر‪ ،‬وح ّل المعادلة‬ ‫المثلثية يعني إايجاد قيم المتغير فيها‪ ،‬إاما هند�ش ًّيا أاو جبر ًّيا‪.‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حل المعادلة جتا�س =‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0^5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫الحل‬ ‫‪0^5-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫ال�شكل (‪.)25-4‬‬ ‫نقوم بر�شم الاقتران‬ ‫أافق ٍّي‬ ‫ق(�س) = جتا�س‪ ،‬ور�شم خ ٍّط‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س=‬ ‫يمثل الم�شتقيم‬ ‫ايلت{ت�شي‪ π3‬اإح‪،‬حمد‪5‬ان‪3‬ثاي‪π‬لاتر}�هش‪،‬ا املواأ�الشنينحيمنةلحهفنييى‪:‬االلفات‪π3‬قرتةرا‪[،‬ن‪π3،50‬ق‪π�،(2‬فست])كُي=و�شنجمتماى�اجلسمحوولاعلاةم‪’C‬ال�‪h‬شلتح»قيلللمفميع�ااسلدلف=تةر‪.‬ة‪0j [12‬ت‪،‬قا‪πW2‬ع]اه¿ فيي النقاط‬ ‫ق(�س)=جتا�س‪،‬‬ ‫الاقتران‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫الحقيقية‪ ،‬لي�شبح‬ ‫م‪35‬ج‪π‬م‪+‬وع‪2‬ةنال‪ π‬أا‪:‬عنداد‬ ‫الحل على‬ ‫و{ي�مس‪:‬ك�نست=عمي‪π3‬م‬ ‫هي دورة‬ ‫�س} حيث ‪π2‬‬ ‫‪2 +‬ن‪، π‬‬ ‫وهذا ما يعرف بالحل ال©ا‪.Ω‬‬ ‫‪203‬‬

‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫ُح َّل المعادلة الاآتية‪:‬‬ ‫جا‪�2‬س = ‪ 0.5‬هند�ش ًيا‪.‬‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫ُح َّل المعادلة جا ‪�4‬س = ‪ 1‬جبر ًّيا‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫(ق�شمة الطرفين على ‪)4‬‬ ‫نف�دباالسولجبردحة= أاحلالناال‪π8‬ثقعت‪4‬اع�رومانسه‪:‬ناذلا={زقاه�(و�ويس‪π2‬ةا‪:‬سل�ا)لتسح=يل=جاالجاأ‪π8‬ي‪4‬بو�لهاسي‪.+‬ه=ي‪42π21‬ن‪،π‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ن‬ ‫�س}‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫ُح َّل المعادلة جتا ‪�2‬س = ‪� ، 0.5‬س [ ‪]π ، 0‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫ُح َّل كل ًّا من المعادلات ال آاتية ح ًّلا عا ًّما‪:‬‬ ‫‪ )1‬جا‪�2‬س – جا�س = ‪2‬‬ ‫‪ )2‬جا‪�2‬س ‪+‬جا�س = �شف ًرا‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬جا‪�2‬س‪ -‬جا�س =‪2‬‬ ‫( طرح ‪ 2‬من الطرفين)‬ ‫جا‪�2‬س – جا�س ‪�= 2-‬شف ًرا تحلل ك أا ِّي معادلة تربيعية فينتج ‪:‬‬ ‫‪204‬‬

(øªjC’G ±ô£dG π«∏ëJ) Gôk Ø°U= (1+ ¢SÉL) ( 2- ¢SÉL) (ôØ°üH Üô°†dG á«°UÉN) Gôk Ø°U= (2 – ¢SÉL) ÉeEG 2= ¢SÉL ¬æeh ?(GPɪd) πª¡Jo Gôk Ø°U = 1+ ¢SÉL hCG 1- = ¢SÉL π3 »dh’C G πëdG 2 =¢S {¢U ¿ ,π¿2 + π3 =¢S:¢S } :ΩÉ©dG πëdG 2 Gôk Ø°U = ¢SÉL + ¢S2ÉL (2 ( Éck ôà°ûe Ók eÉY ¢SÉL êGôNEG) Gôk Ø°U = (1+ ¢SÉL) ¢SÉL (ôØ°üH Üô°†dG á«°UÉN) Gôk Ø°U = ¢SÉL ÉeEG π hCG Gôk Ø°U = ¢S 1- = ¢SÉL hCG π3 π3 2 =¢S 2 { , π , ôØ°U } : »g »dh’C G πëdG áYƒªée íÑ°üJ ∂dòHh {¢U ¿ , π¿2 + π3 ,π ¿2+ π , π ¿2+ôØ°U} :ƒ¡a ΩÉ©dG πëdG ÉeGC 2 ¢S (٣) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ 2 π2 >¢S >ôØ°U å«M ôØ°U = ÉL - ¢SÉL : á«JB’G ádOÉ©ªdG πs Mo (٤) ‫ﻣﺜﺎل‬ :ádOÉ©ªdG πs Mo .É«v dhCG Óv M , ¢SÉàL = ¢S2ÉL2+ ¢S2ÉàL2 205

‫الحل‬ ‫(جتا‪�2‬س = ‪ 2‬جتا‪�2‬س‪)1-‬‬ ‫نكتب المعادلة بدلالة اقتران مثلثي واحد فت�صبح المعادلة‪:‬‬ ‫(جا‪�2‬س = ‪ - 1‬جتا‪�2‬س)‬ ‫‪2(2‬جتا‪�2‬س‪ -1 ( 2 + )1-‬جتا‪�2‬س ) – جتا�س = �صف ًرا‬ ‫( فك الأقوا�س)‬ ‫(اخت�صار)‬ ‫‪4‬جتا‪�2‬س‪ 2-2+ 2-‬جتا‪�2‬س –جتا�س = �صف ًرا‬ ‫‪2‬جتا‪�2‬س – جتا�س = �صف ًرا‬ ‫(�إخراج جتا�س عاملاً م�شتر ًكا)‬ ‫جتا�س (‪ 2‬جتا�س – ‪�= )1‬صف ًرا‬ ‫‪π3‬‬ ‫إ�وممانهجت�اس�س==‪�π2‬ص�أفو ًرا�س=‬ ‫‪2‬‬ ‫�أو (‪ 2‬جتا �س ‪�= ) 1-‬صف ًرا‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π352،‬‬ ‫جتا�س =‬ ‫}‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π‬‬ ‫الحل الأولي{‬ ‫يكون‬ ‫وبذلك‬ ‫‪π‬‬ ‫�س=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال (‪)5‬‬ ‫ُح َّل المعادلة جا�س ‪ 3 -‬جتا�س = �صفر ‪� < 0 ،‬س < ‪π2‬‬ ‫الحل‬ ‫نح ِّول �صورة المعادلة ال�سابقة �إلى ظا�س بق�سمة المعادلة على جتا�س حيث جتا�س≠ �صف ًرا‪،‬‬ ‫فت�صبح المعادلة على النحو الآتي‪:‬‬ ‫( ق�سمة الطرفين على جتا�س)‬ ‫�صف ًرا‬ ‫=‬ ‫جتا�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫جا�س‬ ‫جتا�س‬ ‫جتا�س‬ ‫جتا�س‬ ‫( تب�سيط)‬ ‫ظا�س ‪� = 3 -‬صف ًرا‬ ‫ظا�س = ‪� < 0، 3‬س < ‪π2‬‬ ‫‪π4‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫}‬ ‫‪،‬‬ ‫مجموعة الحل ا ألولي هي‪{ :‬‬ ‫‪206‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ ) 1‬جد الحل العام لك ٍّل من المعادلات ا آلتية‪:‬‬ ‫ب ) جا‪�2 2‬س‪ +‬جتا‪� 2‬س = �صف ًرا‬ ‫�صف ًر ا‬ ‫جتا�س =‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫جتا�س‬ ‫جا�س‬ ‫ )‬ ‫�أ‬ ‫‪2‬‬ ‫د ) ‪2‬جا‪� 2‬س – ‪� = 1‬صف ًرا‬ ‫جـ) جتا‪�2‬س ‪ +‬جتا�س ‪� = 1+‬صف ًر ا‬ ‫�س‬ ‫=‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) جا�س ‪ +‬جا‬ ‫ و‬ ‫هـ ) جتا�س ‪ 2-‬جتا�س جا�س = �صف ًرا ‬ ‫ح ) جتا‪�2‬س – جا‪�2‬س‪� = 2+‬صف ًرا‬ ‫= ‪ 4‬‬ ‫جتا�س‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+1‬جا�س‬ ‫ز ) ‬ ‫‪+1‬جا�س‬ ‫جتا�س‬ ‫‪ ) 2‬اكتب كل معادلة من المعادلات المثلثية الآتية بدلالة اقتران مثلثي واحد‪:‬‬ ‫ ب) جا�س = جتا�س‬ ‫�أ ) ‪ 2‬جتا‪�2‬س = جا�س‪1+‬‬ ‫ د ) ‪ +1‬ظتا‪�2‬س = ‪ 3‬قتا�س‬ ‫جـ ) ‪ 5‬ظا‪�2‬س=‪ 6‬قا�س‪5-‬‬ ‫‪ )3‬دون اللجوء �إلى الحل‪ ،‬اذكر عدد الحلول الممكنة لك ٍّل معادلة إ�ذا علمت �أن‬ ‫‪� < 0‬س< ‪ ،π2‬مبرراً إ�جابتك ‪:‬‬ ‫ ب) ظا�س = ‪1‬‬ ‫�أ ) ‪3‬جا�س = ‪4‬‬ ‫جـ) ظا�س ‪ +‬ظتا�س = �صفر‬ ‫‪ )4‬إ�ذا علمت �أن‪ :‬ب جا هـ = ‪ ، 3‬ب جتاهـ = ‪ ،1‬فاح�سب‪:‬‬ ‫�أ ) قيم هـ التي تحقق العلاقتين م ًعا‪ .‬ب ) قيم ب الممكنة‪.‬‬ ‫‪ )5‬إ�ذا كان ق(�س) = جا�س‪ ،‬هـ(�س) = جا‪�2‬س‬ ‫ �أ ) مثل ك ًّال من الاقترانين بيان ًيا‪.‬‬ ‫ب ) جد نقاط تقاطع المنحنيين‪.‬‬ ‫ج ـ ) ح ّل المعادلة جا�س = جا‪�2‬س جبريًا‪ .‬ماذا تلاحظ؟‬ ‫‪ )6‬ح ّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪207‬‬

‫أﺳﺌﻠﺔ اﻟﻮﺣﺪة‬ :…ôFGódG ôjó≤àdG ≈dEG »æ«à°ùdG ¢SÉ«≤dG øe á«J’B G ÉjGhõdG ∫ƒM (1 ˚22^5 (Ü ˚75 ( CG :»æ«à°ùdG ¢SÉ«≤dG ≈dEG …ôFGódG ôjó≤àdG øe á«JB’G ÉjGhõdG ∫ƒM (2 π7 π 6 (Ü 10 ( CG `gÉàb × `gÉàL (Ü :á«JB’G äGQÉÑ©dG §°uùH (3 `gÉX `g2ÉàX - `g2Éàb ( GC ( `gÉL +1 ) ( `gÉL -1 ) ( O `g Éb + `g2ÉX `gÉb (`L (`g-) ÉàL (h `g 2ÉL2-2 (`g (`g-) ÉL :§≤a (Ö«édG) ΩGóîà°SÉH á«J’B G ôjOÉ≤ªdG øY ôÑY (4 (`g2ÉàL -1) `gÉL (Ü `g2ÉàL `g ÉX ( CG `g2ÉX - `g2ÉàX ( O `g2Éàb ( `g - π )ÉàL (`L 2 Q ΩGóîà°SÉH ¢VQC’G í£°S øY ∫É≤K’C G ¢†©H ™aôJo (5 Ω10 í£°S øY É¡YÉØJQG hn ,Q Égô£b ∞°üf IôµH ´ ,°`g QhóJ IôµÑdG ¿CG âª∏Y GPGE Ω 10 ¢VQ’C G .(26 - 4) πµ°ûdG :á«J’B G ä’ÉëdG »a π≤ãdG ´ÉØJQG Ö°ùMÉa º°S4 = Q ˚720 = `g ( GC Ω2=Q ˚180= `g (Ü Ω2=Q π Ω3=Q π4 = `g ( `L 4 = `g ( O 208

‫‪ )6‬يقوم لاعب بركل كرة بزاوية قيا�شها ‪˚22.5‬مع �شطح ال أار�س ب�شرعة ابتدائية متجهة‬ ‫مقدارها ‪10‬م‪ ç/‬إاذا كانت الم�شافة التي تقطعها الكرة تعطى بال�شيغة‬ ‫حيث جـ ثابت الجاذبية ال أار�شية =‪10‬م‪ ،2ç/‬ع �شرعة الكرة‬ ‫جتا�س‬ ‫جا�س‬ ‫‪2‬ع‬ ‫د=‬ ‫جـ‬ ‫ف أاجب عن ك ٍّل مما ياأتي‪:‬‬ ‫اأ ) ب�ِّشط المقدار ال�شابق‬ ‫ب) ا�شتخدم التب�شيط في ح�شاب الم�شافة‪.‬‬ ‫‪ )7‬اأثبت ك ًّلا مما ياأتي‪:‬‬ ‫جا�س‪-‬جتا�س‪1+‬‬ ‫=‬ ‫‪+1‬جا�س‬ ‫اأ )‬ ‫جا�س‪+‬جتا�س‪1-‬‬ ‫جتا�س‬ ‫ظا�س‪+‬قا�س‪1-‬‬ ‫ظا�س ‪ +‬قا�س =‬ ‫ب)‬ ‫ظا�س‪-‬قا�س‪1+‬‬ ‫جـ) قا‪� 2‬س‪ +‬قتا‪� 2‬س = قا‪�2‬س × قتا‪� 2‬س‬ ‫د ) (جا�س‪+‬جتا�س)‪(+ 2‬جا�س – جتا�س )‪2 = 2‬‬ ‫جا‪�2‬س‬ ‫هـ ) ‪-1‬جتا�س = ‪ +1‬جتا�س‬ ‫و ) (‪ 2‬ب جا�س جتا�س )‪+ 2‬ب‪( 2‬جتا‪�2‬س –جا‪�2‬س)‪ = 2‬ب‪2‬‬ ‫ز ) جا‪�8‬س = ‪ 8‬جا�س جتا�س جتا‪�2‬س جتا‪�4‬س‬ ‫ح ) (جا�س ‪2+‬جتا�س)‪ 2(+ 2‬جا�س – جتا�س)‪5 = 2‬‬ ‫‪ُ )8‬ح ّل ك ًّلا من المعادلات ال آاتية ‪:‬‬ ‫أا ) ‪2‬جتا‪�2‬س ‪ +‬جا�س ‪� = 1-‬شف ًرا‬ ‫ب) ‪ - 2‬جا�س = ‪ 2‬جتا‪�2‬س‬ ‫جـ) جا�س ‪ +‬جتا‪�2‬س = ‪1‬‬ ‫‪209‬‬

‫د ) قا‪�2‬س – ظا‪�4‬س = ‪1-‬‬ ‫هـ) ‪4‬جا�س = ‪ 4‬قا�س‬ ‫و ) جا‪�2‬س ‪ -‬جتا�س = �شف ًرا‬ ‫ز ) جا�س ‪ +‬جتا‪�2‬س ‪ -‬جا ‪�3‬س = �شف ًرا‬ ‫‪ )9‬اأثبت اأ ّن‪:‬‬ ‫أا ) قتا‪�2‬س‪ -‬ظتا‪�2‬س = ظتا�س ظا�س‬ ‫ب) ظتا‪�2‬س – جتا‪�2‬س= ظتا‪�2‬س جتا‪�2‬س‬ ‫جـ) جتا�س ×جتا(‪� -‬س) ‪ -‬جا�س × جا(‪� -‬س) =‪1‬‬ ‫د ) قا�س × قتا�س = ظا�س ‪ +‬ظتا�س‬ ‫هـ ) قتا�س ‪ -‬جا�س = جتا�س ظتا�س‬ ‫و ) جا�س قتا�س ‪ +‬ظتا‪�2‬س = قتا‪�2‬س‬ ‫= ‪. 0.5‬‬ ‫ظتا ب‬ ‫×‬ ‫ظتا أا‬ ‫‪ )10‬إاذا كانت اأ ‪ +‬ب = ‪ ، ˚225‬أاثبت أا ّن‬ ‫‪ +1‬ظتاب‬ ‫‪+1‬ظتا اأ‬ ‫‪� )11‬شيارة �شرعتها ‪ 6‬كم ‪�/‬شاعة ت�شير على طريق دائري طول ن�شف قطره ‪ 7‬كم ‪ ،‬ما قيا�س‬ ‫الزاوية المركزية التي تقابل م�شار ال�شيارة بعد مرور‪ 22‬دقيقة ؟‬ ‫‪ )12‬يمثل ال�شكل المجاور جز ًءا من منحنى الاقتران ق (�س) = جا (�س ‪ +‬م)‬ ‫‪¢U‬‬ ‫جد ك ًّلا م َّما ياأتي‪:‬‬ ‫‪`L‬‬ ‫اأ ) قيمة اأ‬ ‫ب) اإحداثيا النقطة جـ‪Ü .‬‬ ‫‪CG ¢S‬‬ ‫جـ) أا�شغر قيمة ل ِـ م‪.‬‬ ‫د ) إاحداثيا النقطة ب‪.‬‬ ‫ال�شكل (‪.)27 - 4‬‬ ‫‪210‬‬

‫‪ )13‬يتكون هذا ال�ش ؤوال من أاربع فقرات من نوع الاختيار من متعدد‪ ،‬لكل فقرة أاربعة‬ ‫بدائل‪ ،‬واحد فقط منها �شحيح‪� ،‬شع دائرة حول رمز البديل ال�شحيح‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪π-‬‬ ‫قيمة جا‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫د) ‪32 -‬‬ ‫جـ) ‪32‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب) ‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫أا‬ ‫‪π2‬‬ ‫(‪� )2‬شعة الاقتران ق (�س) = ‪ 2‬جا ‪�5‬س‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫د) ‪π‬‬ ‫جـ)‬ ‫ب) ‪2‬‬ ‫أا ) ‪5‬‬ ‫(‪ )3‬طول قو�س الدائرة التي ن�شف قطرها ‪�30‬شم و الذي يقابل زاوية مركزية قيا�شها‬ ‫جـ) ‪ π5‬د) ‪5‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ب)‬ ‫‪= ˚30‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اأ ) ‪5π‬‬ ‫(‪ )4‬زاوية المرجع للزاوية (– ‪ )˚700‬هي‪:‬‬ ‫د) ‪˚300‬‬ ‫اأ ) ‪ ˚700‬ب) ‪ ˚20-‬جـ) ‪˚20‬‬ ‫‪211‬‬

‫اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎت ا ﺳﻴﺔ‬ ‫‪5‬‬ ‫واﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻴﺔ‬ ‫نواجـه في حياتنا م�سا‪F‬ل تت�سمن مقادير ح�سابية ي�سعب التعامل معها بالطرا‪F‬ق التقليدية‪،‬‬ ‫وعليه لابد من البحث عن طرا‪F‬ق وقوانين جـديدة لت�سهيل الح�سابات‪� ،‬سنتعرف في هذه الوحدة‬ ‫الاقترانات ال أا�سية واللوغاريتمية التي ن�ستفيد منها في تب�سيط المقادير الح�سابية من خلال قوانين‬ ‫ال أا�س�س واللوغاريتمات وتطبيقاتها الفيزيا‪F‬ية والبيولوجـية ومعادلات النمو والا�سمحلال وغيرها‬ ‫من التطبيقات‪.‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(¢S) ¥‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5 ¢S‬‬ ‫‪1- 12 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪4-‬‬

‫‪Exponential and‬‬ ‫‪Logarithmic Functions‬‬ ‫‪ øe ™bƒàj‬ال‪É£‬ل‪QO ó©H Ö‬ا‪ √òg á°S‬ال‪C IóMƒ‬ا¿ ‪QOÉb ¿ƒµj‬ا ‪:≈∏Y‬‬ ‫‪ ‬تحويل الاقترانات من ال�سيغة الاأ�سية اإلى ال�سيغة اللوغاريتمية وبالعك�س‪.‬‬ ‫‪ ‬تو�سيح العلاقة بين قوانين الاأ�س�س وقوانين اللوغاريتمات‪.‬‬ ‫‪n ‬ح ُّل معادلات اأ�سية ولوغاريتمية‪.‬‬ ‫‪ ‬تمثيل الاقترانات الاأ�سية واللوغاريتمية بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪ ‬تحويل الاقترانات ال أا�سية واللوغاريتمية (التي أا�سا�سها ب> ‪ )0‬إالى اقترانات أا�سية‬ ‫ولوغاريتمية أا�سا�سها (هـ)‪.‬‬ ‫‪ ‬برهنة متطابقات اأ�سية ولوغاريتمية‪.‬‬ ‫‪ ‬ا�ستخدام الاقترانات ال أا�سية واللوغاريتمية في حل م�سـا‪F‬ل حياتية‪.‬‬ ‫‪ ‬توظيف التكنولوجـيا في ح�ساب لوغاريتمات الاأعداد‪.‬‬

‫ﺍﻻﻗﺘﺮﺍﻧاﺕ وﺍﻟمﻌاﺩﻻﺕ ﺍﻷﺳﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷول‬ ‫‪Exponential Functions and their Equations‬‬ ‫• تحل معادلات اأ�سية‪.‬‬ ‫ا•ل‪æ‬ت‪à‬ت‪É‬عر‪ÉL‬ف ال‪ä‬اقتران ال أا�سي‪.‬‬ ‫• تتعرف المتطابقة ال أا�سية‪.‬‬ ‫• تثبت �سحة متطابقات اأ�سية‪.‬‬ ‫• تمثل الاقتران ال أا�سي وت�ستق�سي خ�سا‪�F‬سه‪.‬‬ ‫• تتعرف المعادلة الاأ�سية‪.‬‬ ‫‪Exponential Functions‬‬ ‫أو ًﻻ‪ :‬اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎت ا ﺳﻴﺔ‬ ‫يتزايد ثمن قطعة أار�س بمعدل ‪� %5‬سنو ًّيا‪ ،‬إاذا كان �سعرها حال ًّيا‪ 80000‬دينار‪ ،‬فما ثمن‬ ‫القطعة بعد ‪� 8‬سنوات؟‬ ‫يمكن حل هذه الم�ساألة بتكوين الجـدول ال آاتي‪:‬‬ ‫ال�سنــة ‪8 7 6 5 4 3 2 1‬‬ ‫القيمة‬ ‫ويمكن ا�ستخدام الاآلة الحا�سبة في الحل‪.‬‬ ‫إان لعبة ال�سطر„ هي لعبة الاأذكيا‪ ،A‬واكت�ساف ال�سطر„ يدل على عبقرية مخترع هذه اللعبة‪،‬‬ ‫حيث إا َّنه طلب مكاف أاة من الملك على ال�سكل التالي‪ :‬أان يح�سل على حبة قمح واحدة عن المربع‬ ‫ال أاول‪ ،‬وحبتين من القمح عن المربع الثا‪ ،Ê‬واأربع حبات من القمح عن المربع الثالث‪ ،‬وثما ِن‬ ‫حبات عن المربع الرابع وهكذا‪.‬‬ ‫هل با�ستطاعتك معرفة عدد حبات القمح في المربع رقم ‪20‬؟ رقم ‪60‬؟‬ ‫هل با�ستطاعتك تعريف اقتران يع‪ È‬عن عدد حبات القمح الموجودة في كل مربع من مربعات‬ ‫رقعة ال�سطر„؟‬ ‫لا بد أانك لاحظت أان عدد حبات القمح في المربع رقم ‪ 1‬هو ‪1= 0 2‬‬ ‫و أان عدد حبات القمح في المربع رقم ‪ 2‬هو‪2= 1 2 :‬‬ ‫و أان عدد حبات القمح في المربع رقم ‪ 3‬هو‪4= 2 2 :‬‬ ‫واأن عدد حبات القمح في المربع رقم ‪4‬هو‪ 8= 3 2 :‬وهكذا‪....‬‬ ‫لهذا يمكن القول باأن عدد حبات القمح في المربع رقم �س هو ‪�2‬س‪1-‬‬ ‫‪214‬‬

øY „ô£°ûdG áÑ©d ´Îfl É¡«∏Y π°üM »àdG íª≤dG äÉÑM OóY ≈∏Y ∫GódG ¿GÎb’G ∞jô©J øµÁ ¿PGE :IóYÉ≤dÉH „ô£°ûdG á©bQ äÉ©Hôe øe ™Hôe πc 1-¢S2 = (¢S)¥ ™HôŸG ‘ íª≤dG äÉÑM OóYh 19 2 »g 20 ºbQ ™HôŸG ‘ íª≤dG äÉÑM OóY ¿EÉa ∂dP ≈∏Y Ak ÉæHh 59 2 »g 60 ºbQ .»°SC’G ¿GÎb’G ¿GÎb’G Gòg πãe ≈ª°ùj ∂dòd Ò¨àe ¬°SoCG ¿GÎb’G Gòg πãe ¿CG ßM’ ∞jô©J ¿GÎbG (¢S)∫ å«M ,Év«°SGC ÉkfGÎbG `L + (¢S)∫Ü × GC = (¢S)¥ IóYÉ≤dÉH ±ôq ©ŸG ¿GÎb’G ≈ª°ùj ≈ª°ùjh Ék °SCG (¢S)∫ ¬«a ¿ƒµj ¿GÎbG ƒgh ,1≠Ü ,0 <Ü ,0≠ CG ,ì `L , Ü ,CG »≤«≤M .¥ ¿GÎb’G ¢SÉ°SGC Ü âHÉãdG Oó©dG :»JCÉj Ée á«°S’C G äÉfGÎb’G ≈∏Y á∏ãeC’G øeh 1+ ¢S2 = (¢S)Ω (2 ¢S(3)4 = (¢S)¥ (1 ¢S ¢S 1 2 = (¢S)h (4 2 = (¢S)`g (3 5 ¢S- 1 = (¢S)∫ (6 2-¢S(5)×3 = (¢S)`g (5 2+ 5 (١) ‫ﻣﺜﺎل‬ :É«v °SCG ÉfGÎbG ó©j á«J’B G äÉfGÎb’G øe …w GC 5 + ¢S2 = (¢S) Ω (2 1-¢S15 = (¢S)¥ (1 7 + (¢S)3×5 = (¢S) ∑ (4 ¢S = (¢S)`g (3 2+¢S- 3 2 = (¢S)∫ (5 πëdG (?GPÉŸ) `g ¿GÎb’G AÉæãà°SÉH á«°SCG á≤HÉ°ùdG äÉfGÎb’G ™«ª`L 215

‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫اأ ‪w‬ي من الاقترانات الاآتية يعد اقترانا أا�س ًّيا‪:‬‬ ‫‪ )2‬م(�س) = ‪�2‬س‪5-‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = �س‪7- 5‬‬ ‫‪ )4‬ك(�س) = ‪�3×5‬س‪6+‬‬ ‫‪ )3‬هـ(�س) = ‪� +7‬س‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫ل(�س) =‬ ‫‪)5‬‬ ‫‪12-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪¢ûbÉfh ôµq a‬‬ ‫ما قيمة الثابت م التي ‪Œ‬ـعل الاقتران ق(�س) = (‪�3‬س ‪ +‬م‪�2‬س) اقترا ًنا أا�س ًّيا؟‬ ‫للتعرف على التمثيل البيا‪ Ê‬للاقتران ال أا�سي ندر�س المثال ال آاتي‪:‬‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫ار�سم منحنى الاقتران ق(�س) = ‪�3‬س‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬نختار قي ًما للمتغير �س لتكن حول العدد �سفر‪ ،‬مثل {‪}2 ،1 ،0 ،1- ،2-‬‬ ‫‪‚ )2‬ـد قيم ق(�س) المناظرة لقيم �س المختارة بالتعوي�س في قاعدة الاقتران ق‪0‬‬ ‫ق(‪1 = 0 3 = )0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق (‪= 1-3 = )1-‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(‪= 2-3 = )2-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ق(‪ ،3 = 1 3 = )1‬ق(‪9 = 2 3 = )2‬‬ ‫‪ )3‬نكون الجدول ال آاتي‪:‬‬ ‫‪21‬‬ ‫�س ‪� 1- 2-‬سفر‬ ‫‪93‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪�3‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ )4‬نر�صم �لم�صتوى �لاإحد�ثي ونعين عليه �لنقاط �لو�ردة في �لجدول �ل�صابق‪.‬‬ ‫‪216‬‬

‫) الذي يمثل منحنى الاقتران‬1-5 ( ‫√ �لنقاط بخ ٍّط منحن أ�مل�س كما في �ل�صكل‬ò‫) ن�صل بين ه‬5 . ‫�س‬3 = )‫ق( �س‬ ¢U 3 2 (¢S)¥ 1 (1,0) ¢S 3- 2- 1- 12 3 1- 2- .)1-5( ‫ال�سكل‬ :á«JB’G á∏Ä°SC’G øY Ö`LCG (1-5) πµ°ûdG ≈∏Y GOk ɪàYG ?¥ ¿GÎbÓd …OÉ°üdG ™£≤ŸG Ée (1 ?äÉæ«°ùdG Qƒfi ¥ ¿GÎb’G ™£≤j πg (2 ?GPÉŸh ?¢übÉæàe ΩGC ójGõàe ¥ ¿GÎb’G πg (3 ?GPÉŸh ? óMGƒd óMGh ¥ ¿GÎb’G πg (4 ?¥ ¿GÎb’G ∫É`› Ée (5 ?¥ ¿GÎb’G ióe Ée (6 ?ßMÓJ GPÉe )2( ‫تﺪريﺐ‬ . ‫�س‬2 = )‫ار�سم منحنى الاقتران ق(�س‬ 217

‫مثال (‪)3‬‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫ار�سم منحنى الاقتران ق(�س)=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫نختار قيم المتغير �س حول العدد �صفر ولتكن‪2 ، 1 ، 0 ، 1- ، 2- :‬‬ ‫‪4=2-)1-2( = 2-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(‪= )2-‬‬ ‫(قوانين ا أل�س�س)‬ ‫=‪ 2‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫‪1-)1-2‬‬ ‫(‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ق( ‪= )1-‬‬ ‫(�س‪)1=0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫(قوانين ا أل�س�س)‬ ‫ ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق( ‪= )0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق( ‪= )1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(‪= )2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫�س ‪� 1- 2-‬صفر ‪2 1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(�س) ‪2 4‬‬ ‫نعين مجـموعة النقاط في الجـدول على الم�ستوى الاحداثي ون�صل بينها بخ ٍّط منح ٍن �أمل�س ينتج‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫ال�شكل ( ‪ ) 2–5‬الذي يمثل منحنى الاقتران ق( �س) =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪1 (1,0‬‬ ‫‪3- 2- 1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(¢S)¥‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪218‬‬ ‫ال�شكل (‪.)2-5‬‬

:ôjÈàdG ™e á«J’B G á∏Ä°SC’G øY Ö`LGC ,(2-5) πµ°ûdG ≈∏Y OɪàY’ÉH ?äÉæ«°ùdG Qƒfi ¥ ¿GÎb’G ™£≤j πg (1 ?¥ ¿GÎb’G ióe Ée (2 ?¥ ¿p GÎbÓd …OÉ°üdG ™£≤ŸG Ée (3 ?¥ ¿GÎb’G ∫É`› Ée (4 ?óMGƒd óMGh ¥ ¿GÎb’G πg (5 ?¢übÉæàe ΩGC ójGõàe ¥ ¿GÎb’G πg (6 ?ßMÓJ GPÉe ‫�س‬ 1 )3( ‫تﺪريﺐ‬ 3 = )‫ار�سم منحنى الاقتران ق(�س‬ )4( ‫تﺪريﺐ‬ ‫)�س‬2( - = )‫ل(�س‬ :‫ار�سم منحنى ك ٍّل من الاقترانات الاآتية‬ ‫�س‬-6 = )‫هـ(�س‬ )2 ‫�س‬5 = )‫) ق(�س‬1 )4 ‫)�س‬2(3 = )‫) ع(�س‬3 ‫�س‬- 1 = )‫م(�س‬ )5 4 219

‫وب�شكل عام لاحظ �أنه لأ ِّي اقتران �أ�سي ق(�س ) = �أ ×ب�س ‪� ،‬أ>‪ ،0‬ب >‪ ،0‬ب≠‪،1‬‬ ‫ف�إن‪:‬‬ ‫‪ )1‬مجـاله ح‪.‬‬ ‫‪ )2‬مداه = ح‪+‬‬ ‫‪ )3‬مقطعه ال�صادي �أ ‪ ،‬بمعنى �أنه يمر بالنقطة (‪� ,0‬أ )‪.‬‬ ‫‪ )4‬الاقتران ق يكون متزاي ًدا‪� ،‬إذا كانت ب >‪ ،1‬ويكون متناق ً�صا إ�ذا كان ‪ <0‬ب <‪1‬‬ ‫‪ ) 5‬منحناه لا يقطع محور ال�سينات‪.‬‬ ‫‪ ) 6‬الاقتران واحد لواحد‪.‬‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫اكتب قاعدة الاقتران ا أل�سي الذي على �صورة ق(�س)= �أ×ب(�س‪ )1+‬الذي مقطعه ال�صادي ‪ 6‬ويمر‬ ‫بالنقطة (‪.)24 ,1‬‬ ‫الحل‬ ‫بما �أ ّن المقطع ال�صادي للاقتران هو ‪ 6‬ف إ� ّن الاقتران يمر بالنقطة (‪ )6 ,0‬وعليه ف�إ َّن ق(‪6 = )0‬‬ ‫وهذا يعني �أن‪ :‬ق(‪ = )0‬أ� × ب(‪)1+0‬‬ ‫‪ = 6‬أ� × ب‬ ‫‪6‬‬ ‫ب‬ ‫=‬ ‫∴ أ�‬ ‫بما أ� ّن الاقتران ق يمر بالنقطة (‪ )24 ,1‬ف إ� ّن ق(‪24=)1‬‬ ‫(بالتعوي�ض)‬ ‫∴ أ� × ب‪24 = 2‬‬ ‫(التعوي�ض بقيمة �أ )‬ ‫× ب‪24 = 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ب‬ ‫∴ ‪ 6‬ب = ‪24‬‬ ‫ومنها ب = ‪4‬‬ ‫لك ّن أ� × ب‪24 = 2‬‬ ‫‪220‬‬

‫لذلك فاِإ ّن‪:‬‬ ‫أا × (‪24 = 2)4‬‬ ‫‪ 16‬أا = ‪24‬‬ ‫(الاخت�سار)‬ ‫‪3‬‬ ‫∴ اأ =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫× ‪�(4‬س‪)1+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∴ ق(�س) =‬ ‫تﺪريﺐ (‪)5‬‬ ‫جـد قاعدة الاقتران الاأ�سي ل(�س) = جـ × (د)�س الذي يمر بنقطة تقاطع الم�ستقيمين‬ ‫�س‪�+‬س=‪�2 ،2‬س‪� -‬س=‪ ،1‬ومقطعه ال�سادي ‪2‬‬ ‫مثال (‪)5‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) =‪�5 -25‬س‪ ،‬فجـد �لمجـال و�لمدى و�لمقطع �ل�صيني و�لمقطع �ل�صاد… دون ��صتخد�م‬ ‫الر�سم‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫�لمجـال ح‪ .‬لماذا؟‬ ‫�لمدى = ( ‪ .)25، ∞-‬لماذا؟‬ ‫يقطع الاقتران محور ال�سينات عندما �س=‪ 2‬لماذا؟‬ ‫يقطع الاقتران محور ال�سادات عندما تكون �س=‪0‬‬ ‫ق(‪05 -25 = )0‬‬ ‫(لاأ َّن ‪)1= 05‬‬ ‫= ‪1-25‬‬ ‫=‪24‬‬ ‫∴ المقطع ال�سادي ‪( 24‬يقطع الاقتران ق محور ال�سادات في النقطة (‪)24 ،0‬‬ ‫‪221‬‬

‫تﺪريﺐ (‪)6‬‬ ‫جـد �لمجـال و�لمدى و�لمقطع �ل�صيني و�ل�صاد… من خلال �لقاعدة دون ��صتخد�م �لر�صم لكل‬ ‫من الاقترانين ال آاتيين‪:‬‬ ‫‪ )1‬هـ(�س) = ‪�-32‬س ‪1+‬‬ ‫‪ )2‬ل(�س) = ‪�2 -4‬س‪2-‬‬ ‫‪¢ûbÉfh ôµq a‬‬ ‫هل الاقتران ال أا�سي الذي على ال�سورة ق(�س) = اأ × ب�س الذي يمر بالنقطتين (‪، )1،1‬‬ ‫(‪ )3،1-‬متزايد اأم متناق�س؟‬ ‫مثال (‪)6‬‬ ‫ار�سم منحنى كل من الاقترانين ق( �س ) = ‪�2‬س ‪ ،‬هـ( �س ) = ‪�-2‬س في �لم�صتوى �لاحد�ثي نف�صه‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫يمثل ال�سكل ( ‪ ) 3 –5‬منحنى كل من الاقترانين ق ‪ ،‬هـ‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪2^36‬‬ ‫‪(¢S)¥‬‬ ‫)‪(1,0‬‬ ‫‪(¢S) `g‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪3^53-‬‬ ‫‪0^2‬‬ ‫‪3^53‬‬ ‫‪0^2‬‬ ‫ال�سكل (‪.)3-5‬‬ ‫نلاحظ من ال�سكل (‪ )3-5‬أا ّن المنحنيين انعكا�س لبع�سهما في محور ال�سادات بمعنى اأ ّن‪:‬‬ ‫ق( �س ) = هـ ( ‪� -‬س ) لكل �س ح‪.‬‬ ‫‪222‬‬

‫ويمكن تعميم ذلك على الاقترانات الاأ�سية كا ّف ًة وب�سكل عام‪:‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) = أا �س ‪ ،‬ل (�س ) = أا‪� -‬س ‪ ،‬اأ > ‪ ، 0‬اأ ≠ ‪1‬‬ ‫ف إاِ ّن منحنى الاقتران ل هو انعكا�س لمنحنى الاقتران ق في محور ال�سادات والعك�س �سحيح‪.‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)7‬‬ ‫ار�سم منحنى كل من الاقترانين ق(�س ) = ‪�3‬س ‪ ،‬هـ(�س) = ‪�-3‬س في م�صتوى بياني و�حد‪.‬‬ ‫تتطلب بع�س التطبيقات الحياتية اقترانات خا�سة مثل ا’‪Îb‬ا¿ ا’‪ »°SC‬ال‪ ،»©«Ñ£‬وقاعدته ق(�س) = هـ�س‪،‬‬ ‫وهو اقتران اأ�سا�سه هـ‪ ،‬حيث هـ العدد النيبيري وهو عدد غير ن�سبي وي�ساوي تقري ًبا (‪ .)2.7‬ويمكن‬ ‫��صتخد�م �لاقتر�ن �لاأ�صي �لطبيعي في �لعديد من �لتطبيقات �لعملية في جـميع �لمجـالات ومنها ‪OÉ©e‬ل‪ á‬ال‪ƒªæ‬‬ ‫‪h‬ا’‪ª°V‬ح‪ ∫Ó‬ال�سكا‪ Ê‬حيث إا ّن عدد ال�سكان في �سنة معينة يمكن تقديره وفق العلاقة‪:‬‬ ‫ع = ع‪ ( 0‬هـ) أا × ن حيث ع‪ : 0‬عدد ال�سكان الحالي‬ ‫ع ‪ :‬عدد ال�سكان المتوقع في �سنة ما‬ ‫أا ‪ :‬ن�سبة الزيادة أاو النق�سان‬ ‫ن ‪ :‬فرق ال�سنوات بين ال�سنة الحالية والمتوقعة‪.‬‬ ‫مثال (‪)7‬‬ ‫إاذا كان عدد �سكان مدينة ( ‪ )40000‬ن�سمة‪ ،‬ويتزايد عدد ال�سكان بن�سبة ‪� %5‬سنو ًّيا ‪ ،‬جـد عدد‬ ‫ال�سكان المتوقع بعد (‪� ) 20‬سنة ‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫ع = ع‪ 0‬هـاأ × ن = ‪ 40000‬هـ ‪20× 0.05‬‬ ‫= ‪40000‬هـ‪ ×40000 = 1‬هـ‬ ‫= ‪ 108000‬ن�سمة تقري ًبا‪.‬‬ ‫‪223‬‬

‫تﺪريﺐ (‪)٨‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) =‪×2‬هـ�س‪ ، 1+‬فجـد �لمقطع �ل�صاد… و�لمجـال و�لمدى له‪� �ò‬لاقتر�ن دون‬ ‫ا�ستخدام الر�سم‪.‬‬ ‫يمكن ا�ستخدام الحا�سوب في ر�سم الاقتران الاأ�سي‪ .‬والمثال ال آاتي يو�سح طريقة ر�سم الاقتران‬ ‫�ل أا�صي با�صتخد�م برمجـية إ�ك�صل(‪.)Excel‬‬ ‫مثال (‪)٨‬‬ ‫ار�سم منحنى الاقتران ق(�س) = (‪�)3‬س بالفترة [‪ ]3 ،3-‬با�صتخد�م برمجـية �ك�صل‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫‪� )1‬ص ‪u‬غل برمجـية �ك�صل (‪ ،)Excel‬فتظهر لك نافذة اك�سل كما في ال�سكل(‪.)4-5‬‬ ‫ال�سكل (‪.)4-5‬‬ ‫‪ )2‬اختر عمو ًدا وليكن ‪ ، A‬و�صع �لموؤ�شر في �لخلية ‪ A1‬واكتب‬ ‫القيمة ال أاولى للمتغير �س وهي (‪ ،)3-‬ثم �صع �لموؤ�شر في‬ ‫الخلية ‪ A2‬واكتب القيمة الثانية للمتغير �س وهي (‪.)2.5-‬‬ ‫‪ )3‬ظلل �لخليتين ثم ��صحب �لم ؤو�شر للاأ�صفل حتى تظهر آ�خر قيمة‬ ‫للمتغير �س وهي (‪ .)3‬كما في ال�سكل (‪.) 5-5‬‬ ‫‪� )4‬صع �لم ؤو�شر في �لخلية (‪.)B1‬‬ ‫ال�سكل (‪.)5-5‬‬ ‫‪224‬‬

‫‪ ) 5‬من تبويبة ال�صيغ (‪ ,)Formulas‬اختر �أداة �إدراج دالة‪ ,‬فيظهر لك �صندوق حوار �إدراج كما‬ ‫في ال�شكل (‪.)6-5‬‬ ‫ال�شكل (‪.)6-5‬‬ ‫‪ )6‬اختر الدالة (‪ )POWER‬وانقر على موافق‪ ,‬يظهر لك �صندوق حوار الدالة كما في ال�شكل (‪.)7 -5‬‬ ‫ال�شكل (‪.)7-5‬‬ ‫‪225‬‬

‫‪ )7‬اكتب �أ�سا�س الاقتران ق في م�ستطيل (‪ ,)Number‬واكتب ‪ A1‬في م�ستطيل (‪ ,)Power‬ثم انقر‬ ‫موافق‪ ,‬فيظهر لك �صورة القيمة ‪ A1‬في الخلية ‪.B1‬‬ ‫‪ )8‬ا�سحب الم�ؤ�شر على جـميع الخلايا التي كتبتها ليظهر لك مجـموعة �صور قيم المتغير �س كما في‬ ‫العمود ‪ .B‬كما في ال�شكل (‪.)8-5‬‬ ‫ال�شكل (‪.)8-5‬‬ ‫‪226‬‬

‫‪ )9‬ظلل العمودين ‪ A،B‬ثم �ختر من تبويبة �إدر�ج مجـموعة ‪‬ططات نوع �لمخطط (‪ )Line‬ثم‬ ‫�ختر من �ل أا�صكال �ل�صكل �س‪� ،‬س مبعثر (‪ )XY-Scatter‬ثم اختر نوع المنحنى كما في‬ ‫ال�سكل (‪.)9 -5‬‬ ‫ال�سكل (‪.)9-5‬‬ ‫‪ )10‬اختر موافق ليظهر لك ر�سم الاقتران ق(�س) = ( ‪�)3‬س كما في ال�سكل (‪)10 -5‬‬ ‫ال�سكل (‪.)10-5‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)٩‬‬ ‫ار�سم منحنى الاقتران ق(�س)= (‪�-)6‬س‪ ،‬با�صتخد�م برمجـية إ�ك�صل‪.‬‬ ‫‪227‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ ) 1‬ار�سم منحنى ك ٍّل من الاقترانات الآتية‪:‬‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫ب) هـ(�س) = ‪�2‬س‪1+‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫أ� ) ق(�س) =‬ ‫د ) ع(�س) = ‪�-3‬س ‪2 +‬‬ ‫جـ) ل(�س) = ‪�3‬س ‪ 1-‬‬ ‫هـ ) ك(�س) = ‪�-3‬س ‪2 -‬‬ ‫‪ )2‬يتزايد عدد �سكان مدينة ما وفق المعادلة التالية ع‪=2‬ع‪+1(1‬ز)ن‪،‬حيث ع‪:1‬عدد �سكان‬ ‫المدينة الحالي ‪ ،‬ز‪ :‬ن�سبة الزيادة ال�سنوية في عدد ال�سكان ‪ ،‬ن‪:‬عدد ال�سنوات‪،‬ع‪:2‬عدد �سكان‬ ‫المدينة المتوقع‪ ،‬جـد عدد �سكان المدينة بعد (‪�)5‬سنوات‪ ،‬إ�ذا علمت أ�ن عدد ال�سكان الحالي‬ ‫(‪)40000‬ن�سمة‪ ،‬ون�سبة الزيادة ‪� %5‬سنو ًّيا‪.‬‬ ‫�أ�س‬ ‫أ�‪�-‬س ‪+‬‬ ‫�أن‪:‬‬ ‫ف أ�ثبت‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫كان‬ ‫‪� )3‬إذا‬ ‫ق(�س‪�-‬ص)‬ ‫ق(�س‪�+‬ص) ‪+‬‬ ‫=‬ ‫ق(�ص)‬ ‫ق(�س)×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )4‬ار�سم منحنى الاقتران ق في الفترة [ ‪ ]3،3-‬حيث ‪:‬‬ ‫‪� -2‬س ‪� ≤ 3- ،‬س ≤ ‪0‬‬ ‫ق(�س) = ‪�2‬س ‪� <0 ،‬س ≤ ‪3‬‬ ‫‪ )5‬ناق�ش خا�صية الانعكا�س في ال�س ؤ�ال ال�سابق‪.‬‬ ‫‪ ) 6‬ار�سم منحنى الاقتران ق(�س)= هـ�س‬ ‫‪ )7‬ار�سم منحنى الاقترانين ق(�س)= هـ�س ‪ ,‬ل(�س)= هـ‪�-‬س في م�ستوى بياني واحد‪.‬‬ ‫‪ ) 8‬ينفق �أحمـد �أ�سبوعيا بمعدل ثابت مقداره ‪ %10‬ح�سب العلاقة م‪ = 2‬م‪+ 1( 1‬ر )ن ‪ ،‬حيث‬ ‫م‪ :2‬المبلغ بعد ن �أ�سبوع‪ ،‬م‪ :1‬المبلغ لاأ�صلي‪ ،‬ر‪ :‬المعدل الثابت للإنفاق‪ .‬ف�إذا علمت أ� ّن لدى‬ ‫�أحمد (‪ )3000‬دينار‪ ،‬كم ي�صبح المبلغ المتبقي مع أ�حمد بعد ثلاثة أ��سابيع؟‬ ‫‪ُ )9‬ح ّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪ ) 10‬ار�سم منحنى الاقتران ق(�س)= ‪�)2 ( × 3-‬س با�ستخدام برمجـية �إك�سل‪.‬‬ ‫‪228‬‬

‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‪ :‬اﻟﻤــﻌﺎدﻻت واﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎت ا ﺳﻴﺔ ‪Exponential Equations and Identities‬‬ ‫إ�ذ� كانت �لعلاقة بين �صدة �لتيار ت بالاأمبير‪ ،‬و�لزمن ن بالثو�ني هي‪ :‬ت = ‪ -2‬ن فبعد كم‬ ‫ثانية ت�صبح �صدة �لتيار ت�صاو… (‪ ) 0.225‬أامبير؟‬ ‫تعرفت �سابقا مفهوم المعادلة‪ ،‬حيث ِإا ّن المعادلة جـملة مفتوحة تت�سمن متغي ًرا أاو أاك‪ ،Ì‬وهي‬ ‫مكونة من طرفين مت�ساويين‪ ،‬والمعادلة اأنواع منها المعادلة الخطية مثل‪�4 :‬س ‪، 5 = 7+‬‬ ‫والمعادلة التربيعية مثل‪� :‬س( ‪� -1‬س ) = ‪، 6-‬‬ ‫والمعادلة المثلثية مثل‪ :‬جا�س –‪0= 0.25‬‬ ‫و�سنتعرف في هذا الدر�س نو ًعا جدي ًدا من المعادلات مثل‪:‬‬ ‫‪�2‬س = ‪64‬‬ ‫�س‬ ‫‪16‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪3‬‬ ‫لاح‪ ß‬أ�ن �لمتغير يظهر على �صكل أ��س ل‪ �ò‬ي�صمى ه‪� �ò‬لنوع من �لمعادلات ا‪ ä’OÉ©Ÿ‬ا ‪á«°S’C‬‬ ‫‪∞jô©J‬‬ ‫�لمعادلة �لاأ�صية هي �لمعادلة �لتي يظهر فيها �لمتغير على �صكل أ��س‪.‬‬ ‫ومن ال أامثلة اأي ً�سا على المعادلة الاأ�سية‪:‬‬ ‫‪�2 3 ) 1‬س = ‪81‬‬ ‫‪� -15 ) 2‬س = ‪125‬‬ ‫‪�4- ) 3‬س‪� +2‬س = ‪64-‬‬ ‫يعتمد حل المعادلة الاأ�سية على فكرة الح�سول على مقدارين اأ�سيين مت�ساويين لهما ال أا�سا�س نف�سه‬ ‫من ال�سورة‪ :‬أا ق(�س)= اأ ل(�س)‬ ‫حيث أا ≠ ‪1‬‬ ‫‪º«ª©J‬‬ ‫حيث أا ≠ ‪1‬‬ ‫‪ )1‬اذا كان اأ ق(�س)= اأ ل(�س) ‪ ،‬ف إان ق(�س)= ل(�س)‬ ‫‪ )2‬اذا كان أا ق(�س) = ‪ ، 1‬ف إان ق(�س) = �سفر‬ ‫‪229‬‬

‫وا ألمثلة الآتية تو�ضح كيفية ح ّل بع�ض المعادلات الأ�سية‪:‬‬ ‫( تحويل العدد ‪ 81‬الى ال�صيغة ا أل�سية )‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫ُح ّل المعادلة الأ�سية ‪�43‬س = ‪81‬‬ ‫الحل‬ ‫‪�4 3‬س = ‪4 3‬‬ ‫ومنه ‪�4‬س = ‪ 4‬أ�ي �س =‪1‬‬ ‫‪ ‬مجـموعة الحل هي { ‪} 1‬‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫‪�2-1‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫ُح ّل المعادلة‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪�27‬س‪1-‬‬ ‫الحل‬ ‫الطرف الأيمن من المعادلة‪:‬‬ ‫‪�2-1‬س‬ ‫(قوانين ا أل�س�س)‬ ‫‪1‬‬ ‫= (‪�2-1)1-3‬س = ‪�23‬س‪1-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪) 33 =27‬‬ ‫(م�ساواة الطرفين)‬ ‫الطرف الأي�سر من المعادلة‪:‬‬ ‫(م�ساواة ا أل�س�س)‬ ‫(‪�)27‬س‪�()3)3((= 1-‬س‪�33 = )1-‬س ‪ 3-‬‬ ‫ومنه ‪�23‬س‪�33 = 1-‬س‪ 3-‬‬ ‫إ�ذن ‪�2‬س ‪�3 =1-‬س‪ 3-‬‬ ‫ومنه ‪�3‬س‪�2-‬س =‪1-3‬‬ ‫�س = ‪2‬‬ ‫‪ ‬مجـموعة الحل هي‪} 2 { :‬‬ ‫‪230‬‬

‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫حل المعادلة ال آاتية‪:‬‬ ‫‪�-6 2‬س‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫( ل أان ‪) 1 = 04‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫(التحليل ب إاخراج العامل الم�سترك �س)‬ ‫ُح ّل المعادلة‪� :‬س‪�2 + 3‬س‪�3- 2‬س‪1 = 4‬‬ ‫(خوا�س ال أاعداد الحقيقية)‬ ‫(تحليل العبارة التربيعية)‬ ‫الحل‬ ‫(قوانين ال أا�س�س)‬ ‫�س‪�2 + 2‬س‪�3 - 2‬س = ‪0‬‬ ‫(تحويل العدد ‪ 256‬إالى ال�سيغة الاأ�سية)‬ ‫�س(�س‪�2 + 2‬س ‪0= )3 -‬‬ ‫(قوانين ال أا�س�س)‬ ‫اإما‪� :‬س = ‪0‬‬ ‫اأو‪� :‬س‪�2 + 2‬س – ‪0 =3‬‬ ‫‪231‬‬ ‫(�س‪�( )3+‬س‪0= )1-‬‬ ‫�س = ‪ 3-‬اأو �س = ‪1‬‬ ‫‪ ‬مجـموعة �لحل= {‪}1 ،0 ،3-‬‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫ُح ّل المعادلة الاأ�سية ‪�2 4‬س‪256 = 6+‬‬ ‫الحل‬ ‫‪�2 4‬س‪�2( 2)2( = 6+‬س‪�4()2( = )6+‬س‪)12+‬‬ ‫‪8 2 = 256‬‬ ‫‪�4 2‬س‪8 2 = 12+‬‬ ‫‪�4‬س ‪8 = 12+‬‬ ‫‪�4‬س= ‪4 -‬‬ ‫�س = ‪1 −‬‬ ‫‪ ‬مجـموعة �لحل = { ‪}1-‬‬

‫‪¢ûbÉfh ôµq a‬‬ ‫هل يمكن حل مثال (‪ )4‬بطريقة أ�خرى؟‬ ‫مثال (‪)5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪� -5‬س ‪1-‬‬ ‫ال أا�سية‪:‬‬ ‫المعادلة‬ ‫ُح ّل‬ ‫‪625‬‬ ‫(‪)45=625‬‬ ‫‪4-5‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫الحل‬ ‫‪45‬‬ ‫( ‪) )2(3 =9‬‬ ‫‪�-5‬س ‪1-‬‬ ‫( قوانين ال أا�س�س )‬ ‫إاذن‬ ‫‪� -‬س‪4- = 1 -‬‬ ‫ومنه �س = ‪3‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫‪�-25+5 )2‬س =‪630‬‬ ‫ُح ّل كل ًّا من المعادلات ال آاتية‪:‬‬ ‫‪�32-‬س ‪16 + 1 +‬‬ ‫‪.‬‬ ‫�سف ًرا‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫=‬ ‫‪�-3‬س‪1-‬‬ ‫مثال (‪)6‬‬ ‫ُح ّل المعادلة الاأ�سية ‪�9‬س ‪�3 × 28 -‬س ‪0 = 27 +‬‬ ‫الحل‬ ‫( ‪�)23‬س‪�) 3( 28 -‬س‪0 = 27 +‬‬ ‫((‪�)3‬س )‪�) 3( 28 -2‬س‪0 = 27 +‬‬ ‫نفر�س اأن‪� :‬س = ‪�3‬س‬ ‫فالمعادلة ‪�9‬س‪�)3(28-‬س ‪ 0= 27+‬ت�سبح على ال�سورة‪:‬‬ ‫�س‪ 2‬ـــ ‪�28‬س‪0=27 +‬‬ ‫‪232‬‬

(π«∏ëàdÉH ) 0 = (1 – ¢U) (27- ¢U) (27 h ¢U ∫óH ¢†jƒ©J ) 1 = ¢U hCG 27 = ¢U 1 = ¢S3 33 = ¢S3 0 =¢S 3 = ¢S {3 ,0 }:»g π◊G áYƒª`›  (٣) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ : á«J’B G á«°SC’G ä’OÉ©ŸG πq M 0 = 16 + ¢S(2)10 - ¢S4 (1 26 = 2–¢S 5 + ¢S5 (2 8 = 2–¢U2 - 1–¢U2 (3 .á«°S’C G á≤HÉ£àŸG ¿B’G ±ô©àà°S ,É¡∏M á≤jôWh á«°S’C G ádOÉ©ŸG âaô©J ¿GC ó©Hh .É¡«a Ò¨àŸG º«b ™«ª÷ áë«ë°U ¿ƒµJh ,¢x SoCG πµ°T ≈∏Y Ò¨àŸG É¡«a ô¡¶j :á«°qS’C G á≤HÉ£àŸG á«°VÉjQ IQÉÑY »g (٧) ‫ﻣﺜﺎل‬ á≤HÉ£àŸG áë°U âÑKCG ¿ 3 + 1 = ¿(9) + ¿(3)2 +1 πëdG øÁ’C G ±ô£dÉH CGóÑf á≤HÉ£àŸG áë°U äÉÑKE’ ¿2(3) + ¿(3)2 +1 = øÁC’G ±ô£dG ¿3 = ¢U ¿CG ¢VôØf 2(¿3) = 2¢U ∴ ¿2 3 = ¿ (2 3) = ¿9 = 233

‫( �س‪�| = 2‬س|)‬ ‫الطرف ال أايمن = �س‪�2 + 2‬س ‪1 +‬‬ ‫(ل أان �س دا‪F‬م ًا موجـبة)‬ ‫= (�س‪�( )1+‬س‪)1+‬‬ ‫= (�س‪2)1+‬‬ ‫= |�س‪|1 +‬‬ ‫= ‪3‬ن ‪1 +‬‬ ‫= الطرف ال أاي�سر‬ ‫مثال (‪)٨‬‬ ‫أاثبت �سحة المتطابقة الاأ�سية‪:‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪+32‬ن ‪+52-‬ن‬ ‫‪ 2 (3‬ن‪2 - 3+‬ن‪) 4+‬‬ ‫‪+32‬ن ‪+52 -‬ن‬ ‫الحل‬ ‫‪2(3‬ن‪2 - 3+‬ن‪)4+‬‬ ‫الطرف الاأيمن =‬ ‫‪2‬ن(‪)52 - 32‬‬ ‫=‬ ‫‪2(3‬ن(‪))42 - 32‬‬ ‫‪32 - 8‬‬ ‫‪)16 - 8(3‬‬ ‫=‬ ‫‪24-‬‬ ‫=‬ ‫‪) 8-(3‬‬ ‫‪24-‬‬ ‫‪24-‬‬ ‫=‬ ‫=‪1‬‬ ‫= الطرف ال أاي�سر‬ ‫تﺪريﺐ (‪)4‬‬ ‫= ‪�2 6‬س‬ ‫‪�3‬س‪�2 × 2+‬س‪3+‬‬ ‫أاثبت أان‪:‬‬ ‫‪�-23‬س × ‪�-32‬س‬ ‫‪234‬‬

‫تمارين و مسائل‬ ‫‪ُ ) 1‬ح ّل كلاًّ من المعادلات الآتية ‪:‬‬ ‫�أ ) ‪�42‬س– ‪�2)2(12‬س ‪0 = 32 +‬‬ ‫ب) ‪�3‬س‪�+ 3‬س‪�5+2‬س ‪1= 7-‬‬ ‫‪�3 25‬س‪2-‬‬ ‫=‬ ‫‪�2-1‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ) ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫د ) ‪�3 -9)2(3‬س = ‪48‬‬ ‫هـ ) ‪�25‬س‪�)5( 30- 2+‬س‪0= 125 + 1+‬‬ ‫و ) ‪�2‬ص–‪�2 - 1‬ص–‪64 = 2‬‬ ‫ز ) ‪�3‬س = ‪�-3‬س‬ ‫‪� ) 2‬أثبت �صحة كل من المتطابقات الآتية‪:‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=.‬‬ ‫× ن‪5‬‬ ‫‪2‬ن ‪3‬‬ ‫)‬ ‫أ�‬ ‫‪2‬ن ‪3‬‬ ‫ن ‪15‬‬ ‫‪�2×12‬س‪�2×9 -1-‬س‪1+‬‬ ‫= ‪1-‬‬ ‫‪�2‬س‪�2 +2+‬س‪3+‬‬ ‫ب)‬ ‫‪235‬‬

‫ﺍﻻﻗﺘﺮﺍﻧاﺕ وﺍﻟمﻌاﺩﻻﺕ ﺍﻟﻠﻮﻏاريﺘمﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟثاﻧﻲ‬ ‫‪Logarithmic Functions and Equations‬‬ ‫• تتعرف المعادلة والمتطابقة اللوغاريتمية‪.‬‬ ‫ا•ل‪æ‬ت‪à‬ت‪É‬عر‪ÉL‬ف ال‪ä‬اقتران اللوغاريتمي‪.‬‬ ‫• تحل معادلات لوغاريتمية‪.‬‬ ‫• تحول من ال�سيغة ال أا�سية إالى اللوغاريتمية‪.‬‬ ‫•‬ ‫• تثبت �سحة متطابقة لوغاريتمية‪.‬‬ ‫بيان ًّيا‪.‬‬ ‫تمثل منحنى الاقتران اللوغاريتمي‬ ‫•‬ ‫ت�ستق�سي قوانين اللوغاريتمات‪.‬‬ ‫‪Logarithmic Functions‬‬ ‫أو ًﻻ‪ :‬اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎت اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻴﺔ‬ ‫ﻧﺸاﻁ‬ ‫معتم ًدا ال�سكل (‪ )11-5‬الذي يمثل منحنى اقتران ي�سمى لوغاريتم �س للاأ�سا�س ‪ 2‬ويرمز له‬ ‫بالرمز لـــو �س‪ ،‬أاجب عن ال أا�س‪Ä‬لة الاآتية‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )1‬من خلال الر�سم جد نا‪ُ œ‬ك ٍّل ‡ا ي أاتي‪¢U :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(¢S) ¥‬‬ ‫أا ) لــــو ‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5 ¢S‬‬ ‫ب) لــــو ‪2‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪12 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫جـ) لــــو ‪1‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪4-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫لــــو‬ ‫د)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ال�سكل (‪.)11-5‬‬ ‫‪ )2‬جد القيمة العددية لكل ‡ا ياأتي‪:‬‬ ‫أا ) ‪ 2 2‬ب) ‪ 1 2‬جـ) ‪ 0 2‬د ) ‪1-2‬‬ ‫ماذا تلاحظ؟‬ ‫لا بد أ�نك لاحظت �أن هناك علاقة بين �ل أا�صئلة �لمتناظرة في �ل�صوؤ�لين �ل�صابقين‪ ،‬ويمكن �لقول‬ ‫اأن لــــو �س = أا اإذا وفقط اإذا كان �س = ‪2‬اأ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪236‬‬

‫‪∞jô©J‬‬ ‫إاذا كانت �س> ‪ ،0‬اأ > ‪ ، 0‬أا≠‪ ،1‬فاإن‪� :‬س = لــــو �س إاذا وفقط إاذا كان �س= اأ�س ‪ ،‬وي�سمى‬ ‫الاقتران المعرف بالقاعدة ق(�س) = لــــو �س بالاقترا أان اللوغاريتمي‪ .‬حيث اأ‪ :‬اأ�سا�س اللوغاريتم‪.‬‬ ‫أا‬ ‫ويمكن ا�ستخدام هذا التعريف للتحويل من ال�سيغة ال أا�سية إالى ال�سيغة اللوغاريتمية وح�ساب قيم‬ ‫المقادير اللوغاريتمية‪.‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫جـد قيمة كل ‡ا ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ )4‬لــــو ‪1‬‬ ‫‪ )3‬لــــو ‪0.5‬‬ ‫‪ )2‬لــــو ‪125‬‬ ‫‪ )1‬لــــو ‪81‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫الحل ‪3‬‬ ‫(التحويل اإلى �سيغة اأ�سية)‬ ‫‪ )1‬لــــو ‪� = 81‬س‬ ‫‪�3 3‬س = ‪81‬‬ ‫‪�3‬س = ‪43‬‬ ‫�س = ‪4‬‬ ‫(التحويل إالى �سيغة اأ�سية)‬ ‫‪ )2‬لــــو ‪� = 125‬س‬ ‫(‪)35=125‬‬ ‫‪�5 5‬س = ‪125‬‬ ‫‪�5‬س = ‪35‬‬ ‫�س = ‪3‬‬ ‫(التحويل إالى �سيغة أا�سية)‬ ‫‪ )3‬لــــو ‪� = 0.5‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪�2 2‬س = ‪0.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪)1-2‬‬ ‫(‪=0.5‬‬ ‫‪�2‬س =‪1-2‬‬ ‫�س = ‪1-‬‬ ‫( لماذا؟ )‬ ‫‪ )4‬لـــو ‪� = 1‬سفر‬ ‫‪5‬‬ ‫‪237‬‬

‫‪ ) 3‬لــــو ‪625‬‬ ‫‪ ) 2‬لــــو ‪256‬‬ ‫تﺪريﺐ (‪)1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫جـد قيمة ك ٍّل ‡ا ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ ) 1‬لــــو ‪729‬‬ ‫‪ )6‬لــــو ‪4‬‬ ‫‪ )5‬لــــو ‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ )4‬لــــو ‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫اكتب ال�سيغ اللوغاريتمية المقابلة لل�سيغ ال أا�سية ال آاتية‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )3‬بو =ع‬ ‫‪243‬‬ ‫=‬ ‫(‪5-)3‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪343 = 3)7( )1‬‬ ‫الحل‬ ‫(تعريف اللوغاريتم)‬ ‫‪ )1‬لــــو ‪3= 343‬‬ ‫(تعريف اللوغاريتم)‬ ‫‪7‬‬ ‫(تعريف اللوغاريتم)‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪243‬‬ ‫لــــو‬ ‫‪3‬‬ ‫و‬ ‫=‬ ‫لــــو ع‬ ‫‪)3‬‬ ‫ب‬ ‫تﺪريﺐ (‪)2‬‬ ‫اكتب ال�سيغ اللوغاريتمية المقابلة لل�سيغ ال أا�سية الاآتية‪:‬‬ ‫‪81= 4)3( )1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫=‬ ‫(‪4-)2‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪27‬‬ ‫=‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪256‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪625‬‬ ‫)‪= 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪ )5‬أا�س = �س‪2‬‬ ‫‪238‬‬

‫مثال (‪)3‬‬ ‫اكتب ال�سيغ ال أا�سية المقابلة لل�سيغ اللوغاريتمية الاآتية‪:‬‬ ‫‪ )1‬لــــو ‪3 = 27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )2‬لــــو ‪2- = 0.25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4-‬‬ ‫=‬ ‫‪81‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫لــــو‬ ‫‪3‬‬ ‫ال‪)4‬حللــــوع�س = �س‪.‬‬ ‫( تعريف ال ُّلوغاريتم )‬ ‫‪27 = 3 3 )1‬‬ ‫‪0.25 = 2-2 )2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪81‬‬ ‫=‬ ‫‪)4-(3‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪ )4‬ع�س = �س‬ ‫تﺪريﺐ (‪)3‬‬ ‫اكتب ال�سيغ الاأ�سية المقابلة لل�سيغ اللوغاريتمية الاآتية‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ) 3‬لــــو ‪2 = 121‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫لــــو‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪ )1‬لــــو ‪3 = 125‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪∞jô©J‬‬ ‫كان‬ ‫اإذا‬ ‫وفقط‬ ‫اإذا‬ ‫لوغاريت ًّما‬ ‫اقتران ًا‬ ‫)‬ ‫�س‬ ‫ل(‬ ‫لــــو‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫الاقتران‬ ‫ي�سمى‬ ‫أا‬ ‫ل(�س) = ( أا )ق(�س) ‪ ،‬حيث أا > ‪ 0‬اأ ≠ ‪ ،1‬ل(�س) > �سفر‪.‬‬ ‫‪º∏s ©J‬‬ ‫لاحظ أان‪ :‬ل(�س) > �سفر‪ .‬لماذا؟‬ ‫مجال ق(�س) = لــــول(�س) هو‬ ‫مجموعة حل �لمتباينة أال(�س)>‪0‬‬ ‫‪239‬‬

‫مثال (‪)4‬‬ ‫ار�سم منحنى الاقتران ق‪ :‬ق(�س)= لــــو�س‪� ،‬س [‪ ]9 ،1‬با�ستخدام برمجـية إ�ك�سل‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الحل‬ ‫‪� )1‬شغل برمجـية �إك�سل(‪ ,)Excel‬فتظهر لك نافذة �إك�سل كما في ال�شكل ( ‪.)12-5‬‬ ‫ال�شكل (‪.)12-5‬‬ ‫‪ )2‬اختر عمو ًدا وليكن ‪ ,A‬و�ضع الم ؤ��شر في الخلية ‪ A1‬اكتب القيمة ا ألولى للمتغير �س وهي‬ ‫(‪ ,)1‬ثم ن�ضع الم�ؤ�شر في الخلية ‪ A2‬واكتب القيمة الثانية للمتغير �س وهي (‪.)2‬‬ ‫‪ ) 3‬ظلل الخليتين ثم ا�سحب الم�ؤ�شر ل أل�سفل حتى تظهر �آخر قيمة للمتغير كما في ال�شكل (‪.)12-5‬‬ ‫ال�شكل (‪.)13-5‬‬ ‫‪240‬‬

‫‪� ) 4‬ضع الم ؤ��شر في الخلية (‪.)B1‬‬ ‫‪ ) 5‬من تبويبة ال�صيغ (‪ ,)Formulas‬اختر �أداة �إدراج دالة فيظهر لك �صندوق حوار إ�دراج‪ ،‬كما‬ ‫في ال�شكل (‪ ،)14-5‬واختر الدالة (‪. )LOG‬‬ ‫ال�شكل (‪.)14-5‬‬ ‫انقر على موافــق‪ ,‬يظهر لك �صندوق حـــوار الدالة كما في ال�شكل ( ‪.) 15 -5‬‬ ‫‪ )6‬ثم اكتب �أ�سا�س الاقتران ق في م�ستطيل (‪ )Base‬واكتب ‪ A1‬في م�ستطيل (‪)Number‬‬ ‫فيظهر لك �صورة القيمة في ‪ A1‬في الخلية ‪.B1‬‬ ‫ال�شكل (‪.)15-5‬‬ ‫‪241‬‬

‫‪ )7‬ا�سحب الم�ؤ�شر على جـميع الخلايا التي كتبتها ليظهر لك مجـموعة �صور قيم المتغير �س كما في‬ ‫العمود ‪ .B‬كما في ال�شكل (‪.)16 -5‬‬ ‫ال�شكل (‪.)16-5‬‬ ‫‪ )8‬ظلل العمودين ‪ A,B‬ثم اختر من تبويبة إ�دراج مجـموعة \"مخططات\" نوع المخطط (‪)Line‬‬ ‫ثم اختر من ل أا�شكال ال�شكل �س‪� ,‬ص مبعثر (‪ )XY-Scatter‬ثم اختر نوع المنحنى كما في‬ ‫ال�شكل (‪.)17 -5‬‬ ‫ال�شكل (‪.)17-5‬‬ ‫‪242‬‬

‫‪ ) 9‬اختر (موافق) ليظهر لك ر�سم الاقتران ق(�س) = لــــو �س كما في ال�شكل(‪.)18-5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ال�شكل (‪.)18-5‬‬ ‫ويمكن ر�سم الاقتران يدو ًّيا‪ ،‬من خلال تكوين الجدول الآتي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪9‬‬ ‫�س‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ق(�س) ‪2- 1- 0 1 2‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫ق(‪ = )9‬لــــو ‪2= 9‬‬ ‫‪2 (¢S)¥‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(‪ = )3‬لــــو ‪1=3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫ق(‪ = )1‬لــــو ‪0 =1‬‬ ‫‪12 345 678 9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪،1-‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫لــــو‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ال�شكل (‪.)19-5‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫لــــو‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫نعين مجموعة النقط (�س‪� ،‬ص) من الجـدول في الم�ستوى البياني‪ ,‬ون�صل بين النقاط بخ ٍّط‬ ‫منح ٍن أ�مل�س لينتج ال�شكل (‪.)19 -5‬‬ ‫‪243‬‬

‫مثال (‪)5‬‬ ‫إ�ذاكان ق(�س) = لــــو �س‪ ،‬ار�سم منحنى الاقتران ق‪ ،‬وقارنه مع منحنى الاقتران ل (�س) = ‪�2‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫الحل‬ ‫‪42 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‬ ‫نك ِّون جدولاً كما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 1 0 1- 2-‬‬ ‫لــو‪�2‬س‬ ‫‪1-‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫لــــو‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(‬ ‫‪2 -‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫لــــو(‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ق (‪ = ) 2‬لــــو(‪1 = )2‬‬ ‫ق(‪ = ) 1‬لــــو(‪ 0 = )1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ق(‪ = ) 4‬لــــو(‪2= )4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بطريقة مماثلة يمكن الح�صول على مجـموعة نقاط تقع على منحنى ل‪ ,‬كما يت�ضح في الجـدول لاآتي‪:‬‬ ‫�س ‪2 1 0 1- 2-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪�2‬س‬ ‫ونقوم بتمثيل الاقتران ْن ِي على م�ستوى بياني واحد كما هو مو�ضح في ال�شكل (‪.)20-5‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫∫)‪(¢S‬‬ ‫‪(¢S)¥‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫ال�شكل (‪.)20-5‬‬ ‫‪244‬‬

‫‪º∏s ©J‬‬ ‫يبين ال�سكل(‪ )20-5‬منحنى ك ٍّل من‬ ‫ق(�س) = لــــو(�س)‪ ،‬ل(�س) = ‪�2‬س‪ ،‬نلاحـــظ اأن‬ ‫‪ )1‬الاقتران العك�سي للاقتران ق(�س) = اأ�س‬ ‫‪2‬‬ ‫هو الاقتران ق‪�(1-‬س) = لــــو �س‪.‬‬ ‫المنحنيين انعكا�س لبع�سهما حول الم�ستقيم �س= �س‪،‬‬ ‫اأ‬ ‫وهذا ي�سير إالى اأن الاقتران اللوغاريتمي هو اقتران‬ ‫‪ )2‬الاقتران العك�سي للاقتران ل(�س) =‬ ‫عك�سي للاقتران ال أا�سي‪.‬‬ ‫لــــو �س هو الاقتران ل‪�(1-‬س) = اأ�س‬ ‫أا‬ ‫‪á«JB’G á∏Ä°S’C G øY Ö`LGC , ¢S ƒ````d = (¢S)¥ ≈æëæe ≈∏Y OɪàY’ÉH‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:ôjÈàdG ™e‬‬ ‫‪ )1‬مامجـال �لاقتر�ن ق؟‬ ‫‪ )2‬ما مدى �لاقتر�ن ق؟‬ ‫‪ )3‬ما المقطع ال�سيني للاقتران ق؟‬ ‫‪ )4‬ما المقطع ال�سادي للاقتران ق؟‬ ‫‪ )5‬هل الاقتران ق متزايد اأم متناق�س؟‬ ‫‪ )6‬هل الاقتران ق واحد لواحد؟‬ ‫تﺪريﺐ (‪)4‬‬ ‫اإذا كان ق(�س)= لــــو �س‪ ،‬فار�سم منحنى الاقتران ق‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال (‪)6‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) = لــو �س ‪ ،‬فار�سم منحنى الاقتران ق‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الحل ‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫لــو‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(‬ ‫‪3‬‬ ‫لــو‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪245‬‬

‫ق(‪ = )1‬لــو (‪0 = )1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ق(‪= )3‬لــو (‪1- = )3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ق(‪ = )9‬لــو ‪2- = 9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪11‬‬ ‫�س‬ ‫‪39‬‬ ‫‪2- 1- 0 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لــو �س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫نعين �لنقاط على �لم�صتوى �لديكارتي ثم ن�صل بينها بخ ٍّط منح ٍن �أمل�س فيظهر �ل�صكل (‪.)21-5‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 (¢S)¥‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪12 345 678 9‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫ال�سكل (‪.)21-5‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪ƒ```d‬‬ ‫=‬ ‫‪(¢S)¥‬‬ ‫‪¿GÎb’G‬‬ ‫‪≈æëæe‬‬ ‫‪≈∏Y‬‬ ‫‪GOk ɪàYG‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )1‬جـد مجـال �لاقتر�ن ق‪3 .‬‬ ‫‪ )2‬جـد مدى �لاقتر�ن ق‪.‬‬ ‫‪ )3‬هل الاقتران ق متزايد اأم متناق�س؟ لماذا؟‬ ‫‪ )4‬هل الاقتران ق واحد لواحد؟‬ ‫‪246‬‬

:¿Éa (¢S) ƒ````d = (¢S)¥ ¿Éc GPG ¬fGC ßM’ GC +ì :¥ ∫É`› (1 ì :¥ ióe (2 .(0,1) á£≤ædG óæY äÉæ«°ùdG Qƒfi ¥ ™£≤j (3 .äGOÉ°üdG Qƒfi ¥ ™£≤j ’ (4 1> CG >0 ÉeóæY É°ük bÉæàe ¿ƒµjh , 1< GC ÉeóæY Gók jGõàe ¿ƒµj (5 .óMGƒd óMGh ¥ ¿GÎb’G (6 (٥) ‫ﺗﺪرﻳﺐ‬ .√Éæëæe º°SQG ºK ¥ ∫É› óL ,(2-¢S) ƒ````d = (¢S)¥ ¿ÉcGPGE 3 (٧) ‫ﻣﺜﺎل‬ :á«J’B G äÉfGôàb’G øe πx µd ióªdGh ∫É`éªdG ó`L (12-¢S -2¢S)ƒ````d = (¢S)∫ (2 (1+2¢S)ƒ````d = (¢S)¥ (1 (16-2¢S)ƒ````d = (¢S)∑ (3 7 5 (2¢S-¢S+6)ƒ````d = (¢S)Ω (4 4 πëdG OGóYC’G áYƒª`ée »gh 0 <1+2¢S áæjÉÑàªdG πM áYƒª`ée ƒg ¥ ¿Gôàb’G ∫É`ée (1 (∂ª∏©e ™e ∂dP ¢ûbÉf) á«≤«≤ëdG (∞ ,0] =ióªdG 0 < 12-¢S -2¢S áæjÉÑàªdG πM áYƒª`ée ƒg ∫ ¿Gôàb’G ∫É`ée (2 (πeGƒ©dG ≈dG á«©«HôàdG IQÉÑ©dG π«∏ëJ) 0 <(3+¢S)(4-¢S) 0=12-¢S-2¢S :á«©«HôàdG ádOÉ©ªdG Qhò`L »g 4 , 3- :»JÉC j ɪc ∫É`éªdG äGôàa ójóëàd IQÉ°TE’G åëÑfh ,OGóY’C G §N ≈∏Y Qhò`édG Oóu ëf 247

‫�صفر �صفر‬ ‫�إ�شارة �س‪� -2‬س ‪12 -‬‬ ‫‪++++++ ------- ++++++‬‬ ‫∞‬ ‫قيم �س‬ ‫‪∞-‬‬ ‫∞)‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∴‬ ‫(‪،4‬‬ ‫∪‬ ‫‪)3-‬‬ ‫(‪،∞-‬‬ ‫هو‪:‬‬ ‫الاقتران ل‬ ‫مجـال‬ ‫المدى هو‪ :‬ح‬ ‫‪ )3‬مجـال الاقتران ك(�س) = لــــو(�س‪ )16-2‬هو مجموعة حل المتباينة‪:‬‬ ‫�س‪5 0>16-2‬‬ ‫(تحليل العبارة التربيعية الى العوامل)‬ ‫(�س‪�( )4-‬س‪ 0> )4+‬‬ ‫‪ 4، 4-‬هي جـذور المعادلة التربيعية �س‪0 =16-2‬‬ ‫�إ�شارة �س‪16 -2‬‬ ‫�صفر �صفر‬ ‫قيم �س‬ ‫‪++++++ ------- ++++++‬‬ ‫∞ ‪∞- 4- 4‬‬ ‫∴ مجـموعة حل المتباينة �س‪ 0> 16 -2‬هي‪:‬‬ ‫(‪)∞ ،4( ∪ )4- ،∞-‬‬ ‫∴ مجـال الاقتران ك(�س) هو‪)∞،4( ∪ )4-،∞-( :‬‬ ‫المدى هو‪ :‬ح‬ ‫‪ ) 4‬مجـال الاقتران م(�س) = لــــو(‪� + 6‬س‪� -‬س‪ )2‬هو مجموعة حل المتباينة‪:‬‬ ‫‪� + 6‬س ‪� -‬س‪4 0 > 2‬‬ ‫(ب�ضرب طرفي المتباينة بالعدد ‪)1-‬‬ ‫�س‪� -2‬س ‪ 0 < 6-‬‬ ‫(تحليل العبارة التربيعية إ�لى العوامل)‬ ‫(�س‪�( )3-‬س‪ 0 < )2+‬‬ ‫‪ 3 ، 2-‬هي جـذور المعادلة التربيعية �س‪� - 2‬س ‪0 = 6 -‬‬ ‫�صفر �صفر‬ ‫‪� - - - - - - + + + + + + + - - - - - -‬إ�شارة ‪� + 6‬س ‪� -‬س‪2‬‬ ‫∞ ‪ ∞- 2- 3‬قيم �س‬ ‫‪248‬‬