วารสาร "โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานด้านคณิตศาสตร์ ครั้งที่ 7"

Type of the Article: Seminar SE-AP 02 81 แบบจำลองทางคณติ ศาสตรเกย่ี วกบั โรคชิคุนกนุ ยา ดว ยอบุ ตั ิ การณมาตรฐานและอัตราการเสียชวี ติ เน่อื งจากการติดเชื้อไวรัส A Mathematical Model on Chikungunya Disease with Standard Incidence and Disease Induced Death Rate ผแู ตง : Meena Mandwariya, Pradeep Porwal and Sandeep Tiwari จัดทำโดย: วาสนิ ี อนิ ทรฉตั ร1* 1หลักสตู รสาขาวชิ าคณิตศาสตร, คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี, มหาวทิ ยาลัยราชภัฎพิบูลสงคราม, พิษณโุ ลก, 65000, ประเทศไทย *Correspondence: [email protected] บทคดั ยอ ในบทความวจิ ยั [10] ไดขยายงานของ [17] โดยนำเสนออัตราการตายเนอ่ื งจากการตดิ เชือ้ ไวรสั ของโรคชิ คุนกุนยา และพจิ ารณาจดุ สมดลุ ของแบบจำลองที่ศกึ ษา คือจดุ สมดุลท่ีไมม ีเชอื้ ไวรัสและจดุ สมดลุ ท่ีมีเชื้อ ไวรสั เเละวเิ คราะหเสถียรภาพ ผลการศกึ ษาพบวา เสถยี รภาพของจดุ สมดุลสามารถควบคุมดวยคาสบื พนั ธุ พื้นฐาน R0 คำสำคัญ: แบบจำลองคณิตศาสตร, เสถยี รภาพ, คา สืบพนั ธพุ น้ื ฐาน, จุดสมดลุ , โรคชินคนุ กนุ ยา Abstract In this paper, [10] extend the work of [17] by introducing the disease induced death rate of Chikungunya model and consider the equilibrium points of the model, disease free equilib- rium point and endemic equilibrium point and analyzed for stability. The results showed that the stability of equilibrium points can be controlled by the basic reproduction number R0. Keywords: mathematic madeling, stability, reproduction number, equilibrium point, Chikun- gunya disease 1. บทนำ ชิคุนกุนยา เปน โรคที่เกิดจากการติดเช้ือไวรัสชิคุนกนุ ยา โดยมียงุ ลายสวน (Aedes albopic- tus) และยงุ ลายบา น (Aedes aegypti) เปน พาหะนำโรค อาการของโรคคลา ยกบั ไขเลอื ดออก มีผน่ื และมีไขสูงอยางเฉยี บพลัน ทง้ั น้ียังพบผนื่ แดงตามรา งกาย ตาแดง และภาวะปวดตามขอ ที่อาจปวดขอ นานกวาหนึง่ ป ซ่งึ ในบางรายถกู พัฒนาไปสอู าการเลือดออกมากซึ่งอันตรายถึงแกช วี ิต ในป 2004 มกี าร โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

82 วาสนิ ี อนิ ทรฉัตร ระบาดของโรคท่ีสำคญั ในเมอื งลามู ประเทศเคนยา ทำใหมีผูปว ยจำนวน 13,500 คน ในระยะเวลาส่ีป การแพรระบาดของไวรัสเกดิ ขน้ึ ทว่ั เกาะอินเดยี ประเทศอินเดยี และบางสวนของเอเชยี ตะวันออกเฉยี ง ใต ในกรณีนักทอ งเท่ยี วท่ีเดินทางไปยังยโุ รปและอเมรกิ าเหนือเกดิ การแพรระบาดของโรคชิคุนกนุ ยา กวา งขวางข้ึน และเปนโรคประจำถ่นิ ในเอเชยี ทีม่ ผี ปู ว ยหลายรายและบางรายถงึ ขนั้ เสียชีวิต [10] แบบจำลองทางคณิตศาสตรไดกลายเปน เครอ่ื งมอื สำคญั ในการอธิบายการแพรกระจายและ การควบคุมของโรค โดยมีนกั วจิ ยั หลายทานไดศ กึ ษาเกย่ี วกับแบบจำลองทางคณติ ศาสตรข องโรคระบาด ชคิ ุนกุนยา ไดแ ก [1], [3], [5, 6], [8, 9], [11-15], [18] ในการศึกษานี้มีความสนใจท่ีจะศกึ ษาโรคชิคุนกุนยาท่ีมีการเสยี ชีวิตเนื่องจากการตดิ เชือ้ ไวรัส โดยนำเสนอแบบจำลองทางคณติ ศาสตรท่ีพัฒนางานวจิ ัยของ [17] และพิจารณาจุดสมดุลที่ไมม ีเชอ้ื ไวรัสและจดุ สมดุลทม่ี เี ชอ้ื ไวรสั ของแบบจำลอง อกี ทั้งยงั วเิ คราะหเสถียรภาพของแบบจำลองท่ีสรา งขึ้น 2. ความรูพ้นื ฐาน บทนิยาม 2.1. [10] แบบจำลอง เอสh ไอh อารh เอส0 ไอ0 เปน แบบจำลองท่ี แบงกลุมประชากรท่ี ศึกษาออกเปน 5 กลุม ยอย และกำหนดบทบาทของแตล ะกลมุ ประชากรยอย ดงั นี้ 1. กลุมมนษุ ยที่เส่ยี งตอการตดิ เชื้อไวรสั (Susceptibles : Sh) เปนมนษุ ยที่ยังไมไดรบั เช้อื ไวรสั และมโี อกาสทจี่ ะตดิ เชอ้ื ไวรสั ได 2. กลุม มนุษยท่ีตดิ เชือ้ ไวรสั (Infectives : Ih) เปนมนุษยที่รบั เชื้อไวรัสและสามารถแพรเช้ือ ไวรัสไปสผู ูอืน่ ได 3. กลุมมนษุ ยท ีห่ ายจากการติดเชื้อไวรสั (Recovered : Rh) เปนมนษุ ยทม่ี ีภมู ิคมุ กนั 4. กลมุ ยงุ ที่เสี่ยงตอ การตดิ เช้อื ไวรสั (Susceptibles : S0) เปนยุงที่ยงั ไมไดรบั เชอ้ื ไวรัส และมี โอกาสทีจ่ ะตดิ เชือ้ ไวรัสได 5. กลุมยุงทตี่ ดิ เชอ้ื (Infectives : I0) เปน ยุงทรี่ บั เชอื้ ไวรัสและสามารถแพรเ ชื้อไวรัสไปสูผูอ ื่นได บทนิยาม 2.2. [4] Basic reproduction number (R0) หมายถึง จำนวนเฉลยี่ ของผูต ิดเชื้อไวรสั ราย ใหมใ นประชากรทีไ่ มมีภมู ิคุมกนั ทเ่ี กิดขึ้นจากผูปว ยรายแรกแพรเชื้อไวรสั ให บทนยิ าม 2.3. [4] จุดสมดุล (Equilibrium point) ให dx = f (x(t), y(t), z(t)) dt dy (1) = g(x(t), y(t), z(t)) dt dz = h(x(t), y(t), z(t)) dt จุดสมดลุ ของระบบสมการ (1) คือ (x¯, y¯, z¯) ที่ทำให f(x¯, y¯, z¯) = g(x¯, y¯, z¯) = h(x¯, y¯, z¯) = 0 โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

แบบจำลองทางคณิตศาสตรเ กี่ยวกับโรคชคิ นุ กุนยา ดวยอบุ ัตกิ ารณมาตรฐา… 83 บทนิยาม 2.4. [4] เมทริกซจ าโคเบียน (Jacobian matrix) ณ จุด (x¯, y¯, z¯) ของระบบสมการ (1) คอื ∂f ∂f ∂f  J (x¯, y¯, z¯) =  ∂x ∂y ∂z  ∂g ∂g ∂g ∂x ∂y ∂z ∂h ∂h ∂h ∂x ∂y ∂z (x¯,y¯,z¯) บทนิยาม 2.5. [16] ให J = [aij]n×n ที่ซึ่ง i = 1, 2, 3, ..., n และ j = 1, 2, 3, ..., n สมการลกั ษณะเฉพาะ (Characteristic equation) ของเมทรกิ ซ J คอื det(J − λI) = λn + a1λn−1 + ... + an−1λ + an = 0 ทซี่ ง่ึ λ คอื คาราก (Characteristic root) ของเมทริกซ J I คอื เมทรกิ ซเ อกลักษณ (Identity matrix) ai เมือ่ i = 1, 2, 3, ..., n คอื คาคงตวั ทฤษฎบี ท 2.6. [4] ระบบสมการ (1) เปน ระบบท่ีเสถยี รภาพกำกับเฉพาะที่ (Locally asymptoti- cally stable) ก็ตอเมอื่ ทุก ๆ คา ราก λk ของเมทริกซ J(x¯, y¯, z¯) มี Re(λk) < 0 ทฤษฎีบท 2.7. [7] เงือ่ นไขของรูทเฮอรว ทิ ซ (Routh-Hurwitz Criterion) พิจารณาสมการ λn + a1λn−1 + a2λn−2 + ... + an−1λ + an = 0 (2) กำหนดให [] H1 = a1  H2 = a1 1  a3 a2  H3 = aa13 1 a01 a2 a5 a4 a3 และสำหรบั เมทริกซข นาด j × j ที่ j = 1, 2, 3, ..., n โดยที่ l แทนแถว และ m แทนหลัก ... ... ... ... ... ...Hj = a2aaaj531−3a0a−1···a2−j+1 a2−j  a2 a1 ··· a4−j+1 a2−j a4 a3 ··· a6−j+1 a6−j a2j−4 a2j−5 ... a2(j−1)−j+1 aj−2 a2j−1 a2j−2 a2j−3 . . . a2j−j+1 aj ซ่ึงสมาชกิ ในเมทรกิ ซ Hj คอื โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

84 วาสินี อนิ ทรฉัตร a2l−m เมอ่ื 0 < 2l − m ≤ n 1 เมอื่ 2l = m 0 เมอื่ 2l < m หรอื 2l > m + k คารากทั้งหมดของสมการ (2) จะมสี วนจรงิ ท่เี ปน ลบ (Negative real part) ก็ตอเม่อื ∀det(Hj) > 0 j = 1, 2, 3, ..., n สำหรบั n = 2, 3, 4 สามารถใชเครื่องหมายตอ ไปน้ี แทนการพจิ ารณา ∀det(Hj) > 0 สำหรับ j = 1, 2, 3, ..., n n = 2; a1 > 0, a2 > 0 n = 3; a1 > 0, a3 > 0, a1a2 > a3 3. แบบจำลองคณติ ศาสตร กำหนดให N เปน ประชากรรวมมนุษย โดยท่ี N = S + I + R และ N0 เปน ประชากรรวม ยุง โดยท่ี N0 = S0 + I0 แบบจำลองคณติ ศาสตรข องโรคชิคนุ กนุ ยา มดี งั นี้: dS = B(1 − p)N − (bβ1 I0 + µ)S dt N dI = Bβ1S I0 − (γ + µ + α)I dt N dR = γI − µR (2.1) dt dS0 = A − ( bβ2I + µ0)S0 dt N0 dI0 = bβ2S0I − µ0I0 dt N0 โดยท่ี B คือ อัตราการเกดิ ของมนุษย µ คือ อัตราการตายของมนษุ ย A คือ อตั ราการเขา มาในระบบของประชากรยงุ γ คอื อตั ราการหายจากการตดิ เช้ือไวรัสของมนุษย b คือ อตั ราการกัดของยงุ α คือ อัตราการตายเนอ่ื งจากการติดเช้ือไวรัส β1 คือ อัตราการติดเช้ือ CHIKV จากยุงท่ีติดเชื้อไวรัสไปยงั มนุษย β2 คอื อตั ราการติดเชอื้ CHIKV จากคนท่ตี ดิ เช้อื ไวรัสไปยงั ยุง µ0 คือ อัตราการตายของประชากรยงุ p คือ ประสทิ ธภิ าพของยากันยงุ สำหรบั การปกปอ งยุงในมนษุ ย โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

แบบจำลองทางคณติ ศาสตรเ กย่ี วกับโรคชิคุนกุนยา ดวยอุบตั กิ ารณมาตรฐา… 85 พิจารณาอตั ราการเปลี่ยนแปลงของประชากรรวมยุง คือ dN = A − µ0N0 จะไดวา จุดสมดุล dt ของประชากรรวมยงุ คอื N0 = A µ0 เน่ืองจาก R = N − S − I และ S0 = N0 − I0 ผวู จิ ัยจึงเลือกแบบจำลองโรคชคิ นุ กนุ ยาทีข่ น้ึ อยกู บั ตวั แปร Sh, Ih, Im และพิจารณาสัดสว นประชากรโดย กำหนดให และS I R Sm S0 , Im I0 Sh = N , Ih = N , Rh = N = N0 = N0 ดงั นั้นแบบจำลองทางคณิตศสาสตรข องโรคชิคนุ กนุ ยาท่ีศกึ ษา คือ A bβ1ShIm( µ0 ) dSh = B(1 − p) − N − µSh dt A bβ1ShIm( µ0 ) dIh = N − (γ + µ + α)Ih (2.2) dt dIm = bβ2SmIhN − µ0Im dt N0 จดุ สมดลุ ของแบบจำลอง ให E∗ = (Sh∗, Ih∗, Im∗ ) เปน จดุ สมดุลใด ๆ ของระบบสมการ (2.2) และ จากบทนยิ าม (2.3) จะไดว า bβ1 Sh∗Im∗ ( A ) µ0 0 = B(1 − p) − − µSh∗ N bβ1Sh∗Im∗ ( A ) µ0 0 = − (γ + µ + α)Ih∗ N 0 = bβ2Sm∗ Ih∗N − µ0Im∗ N0 - พจิ ารณา ณ จดุ สมดุลทไี่ มมีเช้ือไวรัส E0 = (Sh0, Ih0, Im0 ) นั่นคือ E∗ = E0 = (Sh0, 0, 0) จะ ไดว าจุดสมดลุ ทไ่ี มมีเชอ้ื ไวรสั คือ E0 = (Sh0, Ih0, Im0 ) = B(1 − p) 0, 0) ( , µ - พิจารณา ณ จดุ สมดลุ ท่ีมีเชื้อไวรัส E+ = (Sh+, Ih+, Im+) น่นั คือ Ih+ ≠ 0 และ Im+ ̸= 0 จะ ไดวาจดุ สมดลุ ทมี่ ีเชื้อไวรัส คือ โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

86 วาสนิ ี อนิ ทรฉตั ร Sh+ = B(1 − p) µ M1M2Ih+ + Ih+ = M1M2B(1 − p) − (γ + µ + α)µ (γ + µ + α)M1M2 Im+ = M2Ih+ โดยท่ี M1 = bβ1A µ0N bβ2SmN M2 = N0µ0 เสถยี รภาพของแบบจำลอง − เสถียรภาพของจดุ สมดุลทไ่ี มม ีเชือ้ ไวรัส เราพิจารณาสมการตอไปน้ี A ) bβ1ShIm( µ0 F1 = B(1 − p) − N − µSh A bβ1ShIm( µ0 ) N F2 = − (γ + µ + α)Ih F3 = bβ2SmIhN − µ0Im N0 เมทริกซจ าโคเบียนของแบบจำลอง (2.2) ณ จดุ สมดลุ ใด ๆ จะไดวา  ∂F1 ∂F1 ∂F1  J =  ∂ Sh ∂Ih ∂Im  ∂ F2 ∂F2 ∂F2 ∂ Sh ∂Ih ∂Im ∂ F3 ∂F3 ∂F3 ∂Sh ∂Ih ∂Im (Sh∗,Ih∗,Im∗ ) และ J = −bbβµβ1µ01I0NImNmAA 0 − bβ1ShA  0 µ0N  −(γ + α + α) bβ2SmN bβ1ShA N0 µ0N −µ0 โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

แบบจำลองทางคณิตศาสตรเ กยี่ วกับโรคชิคนุ กุนยา ดวยอุบัตกิ ารณม าตรฐา… 87 เมทริกซจาโคเบียน ณ จุดสมดุลที่ไมมีเชอ้ื ไวรัส E0 = (Sh0, Ih0, Im0 ) = B(1 − p) 0) ( , 0, จะไดวา µ   −µ 0 −M1Sh  J0 =  0 M1Sh −(γ + α + α) 0 bβ2SmN −µ0 N0 พิจารณาสมการลักษณะเฉพาะเพ่อื หารากลกั ษณะเฉพาะ จาก det(J0 − λI) = 0 จะไดวา 0 = (−µ − λ)(−(γ + µ + α) − λ)(µ0 − λ) − bβ2SmN (M1Sh)(−µ − λ) N0 [] bβ2SmN 0 = (−µ − λ) (−γ − µ − α − λ)(µ0 − λ) − N0 (M1Sh) 0 = (−µ − λ)(λ2 + a1λ + a2) 0 = (µ + λ)(λ2 + a1λ + a2) โดยที่ a1 = γ + µ + α + µ0 a2 = (γ + µ + α)µ0 − bβ2SmN M1Sh N0 จะเหน็ ไดชัดวา มีรากลกั ษณะเฉพาะคาหนึ่งที่เปน ลบ คอื λ = −µ จงึ เหลอื การพิจารณารากลกั ษณะ เฉพาะของ λ2 + a1λ + a2 = 0 จากเง่ือนไขของรทู เฮอรวิทซ กรณี n = 2 เพอ่ื ใหไ ดร ากลักษณะเฉพาะเปนลบท้งั หมด จะตอ งสอดคลอง กับเงอื่ นไข a1 > 0 และ a2 > 0 ซงึ่ จะเห็นไดช ัดวา a1 > 0 สำหรับ a2 จะมคี า มากวา ศนู ยไ ดห าก R0 = bβ2SmN M1Sh < 1 (γ + µ + α)µ0N0 ดังนนั้ จุดสมดุลทไ่ี มมเี ชื้อไวรัส E0 มเี สถียรภาพกำกับเฉพาะที่ − เสถียรภาพของจดุ สมดุลที่มเี ช้ือไวรัส พิจารณาเมทริกซจ าโคเบียน ณ จุดสมดลุ ทม่ี เี ชือ้ ไวรสั จะไดว า  0  J1 = MM1Im1∗Im−∗ µ −MM11SSh∗h∗ −(γ + µ + α) 0 bβ2SmN −µ0 N0 โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

88 วาสินี อนิ ทรฉัตร พิจารณาสมการลกั ษณะเฉพาะเพอ่ื หารากลกั ษณะเฉพาะ คือ det(J1 (− λI) = 0 )จะไดวา bβ2SmN 0 = −(M1Im∗ + µ + λ)(γ + µ + α + λ)(µ0 + λ) − (M1Sh∗)(M1Im∗ ) N0 () bβ2SmN +(M1Im∗ + µ + λ)(M1Sh∗) N0 ( ) 0 = (M1Im∗ + µ + λ) [ + µ + α)µ0 + (γ + µ + α + µ0)λ + λ2] − bβ2SmN (γ N0 ( bβ2SmN M1Sh∗ ) ( bβ2SmN M1Sh∗ ) N0 N0 +(M1Im∗ + µ) + λ 0 = (M1Im∗ + µ)(γ + µ + α)µ0 + (M1Im∗ + µ)(γ + µ + α + µ0)λ +(M1Im∗ + µ)λ2 + (γ + µ + α)µ0λ + (γ + µ + α + µ0)λ2 + λ3 ( bβ2SmN M1Sh∗ ) ( bβ2 SmN M1Sh∗ )( bβ2SmN M1Sh∗ ) N0 −(M1Im∗ +µ) N0 − N0 +(M1 Im∗ ) λ 0 = λ3 + [(M1Im∗ + µ) + (γ + µ + α + µ0)] λ2 [ ( bβ2SmN M1Sh∗ )] (M1Im∗ N0 + + µ)(γ + µ + α + µ0) + (γ + µ + α)µ0 − λ [ +(Mµ1+Im∗α))(µ0bβ−2Sµm(NNb0Mβ21SSmhN∗N)0M−1(SMh∗ )1Im∗ ( bβ2SmN M1Sh∗ )] + (M1Im∗ + µ)(γ + µ + N0 α)µ0 + + µ) λ3 + b1λ2 + b2λ + (M1Im∗ + µ)(γ 0 = 0 = λ3 + b1λ2 + b2λ + b3 โดยท่ี b1 = M1Im∗ + γ + 2µ + α + µ0 b2 = (M1Im∗ + µ)(γ + µ + α + µ0) + (γ + µ + α)µ0 − bβ2SmN M1Sh∗ N0 b3 = (M1Im∗ + µ)(γ + µ + α)µ0 − µ bβ2SmN M1Sh∗ N0 จากเงอื่ นไขรูทเฮอรวทิ ซ กรณี n = 3 เพ่อื ใหไดรากลักษณะเฉพาะเปนลบทั้งหมด จะตอ ง สอดคลอ งกับเง่ือนไข b1 > 0, b3 > 0, b1b2 > 0 ดังนั้นจุดสมดลุ ท่ีมีเชื้อไวรสั E+ มีเสถยี รภาพกำกับ เฉพาะท่ี โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้ังท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

แบบจำลองทางคณิตศาสตรเก่ยี วกบั โรคชคิ นุ กุนยา ดว ยอบุ ตั ิการณม าตรฐา… 89 4. สรุป ในบทความวิจยั นี้ ผูวิจัยไดศกึ ษาการแพรระบาดของโรคชิคุนกนุ ยาดว ยการสรางแบบจำลอง ทางคณติ ศาสตรโรคชิคุนกนุ ยากบั อัตราการตายเน่อื งจากการตดิ เชือ้ ไวรัส และพิจารณาเสถียรภาพของ จุดสมดุลทง้ั สอง พบวา ถา R0 < 1 แลว จดุ สมดลุ ทไี่ มมีเชื้อไวรัส มเี สถียรภาพกำกับเฉพาะที่ ถา R0 > 1 แลวจุดสมดุลท่ีมเี ชอื้ ไวรสั มเี สถียรภาพกำกบั เฉพาะที่ เอกสารอา งอิง [1] A. W. Woodruff , E. T. Bowen and G. S. Platt , ”Viral infections in travellers from tropical Africa,” Br Med J, vol. 1, pp. 956–958, 1987. [2] C. Kuttler, ”Mathematical Models Biology.” http//www.m6.ma.tum.de/-Kuttler/ Script1.pdf, February 5, 2009. Accessed: 2019-11-05. [3] D. Moulay , M.A. Aziz-Alaoui and M. Cadivel, ”The Chikungunya disease: Modeling, vector and transmission global dynamics,” Math Biosci, vol. 229, pp. 50-63, 2011. [4] E. Keshet and Leah, Mathematical Model in Biology. Random House, 1988. [5] E. Martin, S. Moutailler, Y. Madec and A. B. Failloux, ”Differential responses of the mosquito Aedes albopictus from the Indian Ocean region to two chikungunya isolates,” BMC Ecol, vol 10, pp. 1-13, 2010. [6] J. E. Staples, R. F. Breiman and A. M. Powers, ”Chikungunya Fever: An Epidemiolog- ical Review of a Re-Emerging Infectious Disease,” Clinical Infectious Diseases , vol. 49, pp. 942–948, 2014. [7] K. Jack and Hale, Ordinary Differential Equations, Krieger Publishing Company, 2009 [8] M. Chhabra, V. Mittal, D. Bhattacharya, U. Rana and S. Lal, ”Chikungunya fever: a re–emerging viral infection,” Indian J Med Microbiol, vol. 26, pp. 5–12, 2008. [9] M. Dubrulle, L. Mousson, S. Moutailler, M. Vazeille and A. B. Failloux, ”Chikungunya virus and Aedes mosquitoes: Saliva is infectious as soon as two days after oral infection”. PLoS One 4, 2009. [10] M. Mandwariya, P. Porwal and S. Tiwari,”A Mathematical Model on Chikungunya Disease with Standard Incidence and Disease Induced Death Rate,” MAYFEB Journal of Mathematics, vol. 2, pp. 1-6, 2016. โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

90 วาสนิ ี อนิ ทรฉัตร [11] M. Vazeille, S. Moutailler, D. Coudrier , C. Rousseaux ,H. Khun , et al., ”Two Chikun- gunya Isolates from the Outbreak of La Reunion (Indian Ocean) Exhibit Different Patterns of Infection in the Mosquito,” Aedes albopictus, PLoS ONE, pp. 1-9, 2007. [12] M. Vazeille , C. Jeannin, E. Martin, F. Schaffner and A. B. Failloux , ”Chikungunya: a risk for Mediterranean countries?,” Acta Trop, vol. 105, pp. 200–202, 2008. [13] N. Bacaer, ”Approximation of the basic reproduction number R0 for vector-borne diseases with aperiodic vector population,” Bull Math Biol 69, 1067–1091, 2007 [14] P. Porwal and V. H. Badshah, ”Dynamical Study of an Sirs Epidemic Model with Vaccinated Susceptibility,” Canadian Journal of Basic and Applied Sciences, vol. 2, pp. 90-96, 2014. [15] R.M. Anderson, and R.M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and Con- trol , Oxford University Press, 1992. [16] S. Barnett and R.G. Cameron, Introduction to Mathematical control theory Univer- sity of Bradford, 1985. [17] S. Naowarat, P. Thongjaem and M. Tang, ”Effect of Mosquito Repellent on the Transmission Model of Chikungunya Fever,” American Journal of Applied Sciences, vol. 9, pp. 563-569, 2012. [18] Y. Dumont, F. Chiroleu and C. Domerg, ”On a temporal model for the Chikungunya disease: modeling, theory and numerics,” Math Biosci, vol. 213, pp. 80–91, 2008. โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-AP 03 91 การพยากรณสำหรบั ขอ มูลเชิงปริมาณ Forecasting at Scale ผูแ ตง: Sean J. Taylor and Benjamin Letham จดั ทำโดย: ธีรภทั ร ประจำถิน่ 1, ชดิ ชนก สุขวงคตานนท1* และ สตรวี ิทย ชาลกี ร1 1สาขาวิชาคณิตศาสตรแ ละสถติ ิ คณะวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค *Correspondence: [email protected] บทคดั ยอ การพยากรณเปนการจัดการขอมูลท่ีชว ยใหองคก รสามารถกำหนดเปาหมาย วางแผนกำลังการผลติ และ ตรวจจับความผดิ ปกติไวลว งหนา แมวา การพยากรณจะมีความสำคญั แตมีความทา ทายเกี่ยวกับการคาด การณที่มีคณุ ภาพและความนา เช่ือถอื โดยเฉพาะอยางยิ่งเมื่อขอ มูลมีการเปล่ียนแปลงตามเวลาที่มีความ หลากหลาย และนักวเิ คราะหที่มีความเช่ยี วชาญในการสรางตวั แบบพยากรณขอ มูลอนกุ รมเวลาคอ นขา ง หายาก เพ่ืออธิบายถงึ ความทา ทายเหลา นี้ในบทความน้ีไดอธิบายแนวปฏิบตั ิในการพยากรณ “ขอมลู เชงิ ปริมาณ” ซงึ่ รวมตวั แบบท่ีกำหนดคาไดกับการวิเคราะหท่ีมีประสทิ ธิภาพแบบวนซำ้ ผูวิจยั ไดนำเสนอตัว แบบการถดถอยแบบแยกสวน ซึง่ สามารถอธบิ ายคา พารามเิ ตอรของตัวแบบ และปรบั ปรุงคา ดงั กลาวได โดยนกั วิเคราะหท่ีมีความรูเกย่ี วกับขอ มูลอนุกรมเวลา ผูวจิ ยั ยงั ไดอธบิ ายถงึ การวิเคราะหประสทิ ธิภาพ เพอื่ นำไปเปรยี บเทยี บและทำการประเมินขัน้ ตอนของการสรางตัวแบบการพยากรณ และกำหนดคา การ พยากรณอตั โนมัติสำหรบั การตรวจสอบและการปรบั คาที่เหมาะสมดวยตนเอง การพยากรณขอมูลอนกุ รม เวลาทางธุรกจิ เปนเครือ่ งมอื ทีช่ ว ยใหนักวเิ คราะหส ว นใหญไ ดใชความเชีย่ วชาญ ของตนเองอยา งมปี ระสิทธิภาพ และมคี วามนาเช่ือถอื ไดมากที่สดุ คำสำคัญ: อนุกรมเวลา, แนวทางปฏบิ ตั ใิ นการพยากรณ, การถดถอยเชงิ เสน Abstract Forecasting is a common data science task that helps organizations with capacity planning, goal setting, and anomaly detection. Despite its importance, there are serious challenges associated with producing reliable and high quality forecasts – especially when there are a variety of time series and analysts with expertise in time series modeling are relatively rare. To address these challenges, we describe a practical approach to forecasting “at scale” that combines configurable models with analyst-in-the-loop performance analysis. We propose a modular regression model with interpretable parameters that can be intu- itively adjusted by analysts with domain knowledge about the time series. We describe performance analyses to compare and evaluate forecasting procedures, and automatically โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

92 ธีรภทั ร ประจำถิน่ และคณะ flag forecasts for manual review and adjustment. Tools that help analysts to use their expertise most effectively enable reliable, practical forecasting of business time series. Keywords: Time Series, Statistical Practice, Nonlinear Regression 1. บทนำ 1.1 ความเปน มาและความสำคัญของปญ หา การพยากรณเปนศาสตรการวิเคราะหขอ มูลซง่ึ เปนศนู ยก ลางของการจัดการตา งๆ ภายใน องคกร ตัวอยางเชน ทกุ ภาคสวนขององคกรอตุ สาหกรรม ตองมีสวนรว มในการวางแผนกำลงั การผลติ เพอื่ ตัง้ เปาหมาย และจัดสรรทรพั พยากรในการผลติ เพ่อื วดั ประสทิ ธภิ าพการทำงานการพยากรณ การ ผลิตที่มีคุณภาพสงู เปน ปญหาท่ียากสำหรบั นกั วิเคราะหสว นใหญ สังเกตได 2 ประเด็นหลกั สำหรับการ พยากรณทางธุรกิจ ประเดน็ แรก เทคนิคการพยากรณอตั โนมัติอยางสมบูรณอาจเปน เรื่องยากในการ สรางตัวแบบ และมักรวมสมมตฐิ านท่ีเปนประโยชนหรือการวิเคราะหพฤตกิ รรมตา งๆไวดวย ประเดน็ ที่สอง นกั วิเคราะหที่รบั ผดิ ชอบดา นการวิเคราะหขอ มูลท้ังหมดขององคกร มกั มีความเช่ยี วชาญเกย่ี ว กบั ผลิตภณั ฑหรือการสนับสนนุ บรกิ ารตางๆแตมกั จะไมไดรับการฝก อบรมเก่ียวกบั การพยากรณขอมลู อนุกรมเวลา นักวเิ คราะหทส่ี ามารถสรางตัวแบบการพยากรณที่มคี ุณภาพสงู คอ นขา งหายาก เพราะการ พยากรณเปนทกั ษะทตี่ องการประสบการณอ ยางมาก ผลลัพธก็คือความตองการการพยากรณท่ีมีคณุ ภาพสงู มักจะกาวลำ้ กวากาวที่มีอยูในปจจบุ นั ดว ยเหตุน้ีจงึ เปนแรงจูงใจในการวิจัยครงั้ น้ีที่จะใหคำแนะนำท่ีเปน ประโยชนในการสรางตวั แบบการ พยากรณใ นขอ มลู แขนงตางๆ ขอ มลู เชิงปรมิ าณ 2 ประเภทแรกที่จะกลา วถึงคอื วธิ ีการพยากรณทางธุรกิจที่เหมาะสำหรับ 1)ผคู นจำนวนมากท่ีทำการพยากรณ อาจไมมีความชำนาญในการวเิ คราะหขอมูลอนกุ รมเวลา 2)ปญ หา การพยากรณท่ีหลากหลายกับคณุ สมบตั ิที่อาจจะเปน ไปได หรืออาจจะเปน ไปไมได ในสว นท่3ี เปน การ นำเสนอตัวแบบเกี่ยวกับขอมลู อนกุ รมเวลา ซ่ึงมีความเสถียรเพยี งพอสำหรับขอ มูลอนกุ รมเวลาทาง ธรุ กิจซึ่งหลากหลาย แตเชื่อมั่นไดโดยผูเชีย่ วชาญที่มีความรูเกยี่ วกบั การสรา งขอมลู แมจะมีความรูเพียง เล็กนอ ยเก่ียวกบั ตวั แบบและวธิ กี ารวเิ คราะหข อมูลอนุกรมเวลา ขอ มลู เชงิ ปริมาณประเภทท่ี 3จะกลาวถึง การกำหนดจำนวนขอ มลู ที่สมจริงทสี่ ุด สำหรบั การ สรางตวั แบบการพยากรณ ซงึ่ จำเปนตอ งใชว ิธกี ารอัตโนมัติในการประเมนิ และเปรียบเทยี บการพยากรณ เหลานนั้ รวมถงึ การตรวจจบั เมือ่ มีแนวโนมวา จะทำงานไดไมดี เมอื่ มีการพยากรณซำ้ หลายๆรอบ เปน ส่ิงสำคญั ท่ีทำใหเครอ่ื งจักรทำงานหนักในการประเมนิ และการเปรียบเทยี บประสิทธิภาพ โดยใชความ คิดเหน็ ของมนษุ ยเพือ่ แกไขปญ หาประสิทธภิ าพการทำงาน ในสวนท4ี่ จะอธบิ ายระบบการตรวจสอบ ตัวแบบการพยากรณท่ีใชพยากรณขอ มลู ในอดีต เพอ่ื ประเมนิ ประสทิ ธภิ าพของตัวอยา ง และระบุการ พยากรณท่ีมีปญหาสำหรับนกั วิเคราะห เพื่อทำความเขาใจและทำการปรบั ปรุงตัวแบบท่ีจำเปน เปน ท่ี นาสงั เกตวา กระบวนการน้ีไมไดมุงเนนที่จะพิจารณาจำนวนของการทำซ้ำ การคำนวณและการจัดเก็บ โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

การพยากรณส ำหรบั ขอมลู เชิงปริมาณ 93 รูปที่ 1. แผนผงั ของการวิเคราะหการวนซำ้ ซง่ึ จะทำงานโดยอัตโนมตั ิและวนซำ้ จนกวา จะไดตัวแบบที่ดที ี่สดุ หากแตพบปญ หาของการคำนวณและโครงสรางพนื้ ฐานของการพยากรณขอ มลู อนุกรมเวลาจำนวน มากใหตรงไปตรงมาโดยทั่วไปแลว สิ่งเหลานี้ มีข้นั ตอนการกำหนดคาคอนขา งงา ยและการพยากรณคา ตา งๆไมไดถูกจดั เก็บไวในรปู แบบของขอ มูลเชิงสัมพนั ธ ปญหาที่เกดิ ขน้ึ จริงท่ีสงั เกตไดในทางปฏิบัติน้ัน เก่ยี วของกบั ความซบั ซอน ซึ่งเกิดจากความหลากหลายของปญ หาการพยากรณและการสรางความเชอื่ มัน่ ในการพยากรณเม่ือมีการผลติ จำนวนมาก กระบวนการวธิ ีวเิ คราะหขอ มลู แบบวนซำ้ เพื่อการพยากรณขอ มูลทางธูรกจิ ดังแสดงในรปู ท่1ี เร่ิมตน จากการสรา งตวั แบบการพยากรณ สำหรบั แบบจำลองน้ีและเสน ขอบเขตที่เหมาะสมในการ พยากรณ การจำลองวันที่ท่ีหลากหลายในอดีต การพยากรณมีประสทิ ธิภาพตำ่ เม่อื มีการแทรกแทรง ความตองการของมนุษย ปญหาเหลาน้ีเกดิ ข้นึ กับนกั วิเคราะหในซงึ่ มีความสำคัญ นกั วิเคราะหสามารถ ตรวจสอบการพยากรณแ ละปรบั ปรุงตวั แบบตามความเหมาะสม รปู ที่ 2. จำนวนการดำเนินการธุรกจิ ผานทาง Facebook สำหรับแตล ะวนั ซง่ึ จะกำหนดสีตามวันรอบสปั ดาห คุณลักษณะของขอมูลอนุกรมวลาน้ีเปน ตัวแทนของการเปลย่ี นแปลงตามเวลาของการดำเนินการทางธุรกิจ จำนวนมาก ; ฤดูกาลที่มีความหลากหลาย แนวโนม การเปล่ียนแปลงของคา ที่ผิดปกติ และผลกระทบของวนั หยดุ 1.2 วัตถุประสงคของงานวจิ ยั 1.เพื่ออธบิ ายแนวปฏิบัตใิ นการพยากรณข อ มลู เชงิ ปริมาณ โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

94 ธรี ภทั ร ประจำถนิ่ และคณะ 2.เพอื่ นำไปเปรยี บเทยี บและทำการประเมนิ ข้นั ตอนของการสรา งตัวแบบการพยากรณ และการ กำหนดคา การพยากรณอ ัตโนมัติ 2. แนวคิด/ทฤษฎี ทเ่ี กยี่ วขอ ง 2.1 การพยากรณขอมูลอนกุ รมเวลา (Time Series Data Forecasting) ขอ มูลอนกุ รมเวลา (Time Series Data) หมายถึง ขอมลู ท่ีมีการเปล่ยี นแปลงไปตามเวลาเปน ชว งๆ อยา งตอ เนื่องกนั ซง่ึ อาจเก็บขอมูลเปน รายวนั รายเดือน รายไตรมาส หรือรายป ข้นึ อยูกับ ประโยชนท่ีจะนำไปใช ลักษณะขอมูลอนุกรมเวลา โดยทวั่ ไปแลว ประกอบดวย 4 องคประกอบ ดวยกนั ไดแ ก 1) แนวโนม (Trend: T) เปน การเปล่ียนแปลงเคลือ่ นไหวขน้ึ หรอื ลงของขอ มูลอยา งชาๆ ในชว งเวลา นานๆ มีหลายรูปแบบอาจเปน เสนตรง เสน โคง หรือลกั ษณะอ่นื ๆ ก็ได เชน ปริมาณการใชไฟฟา ของ ประเทศไทย เปนตน 2) ฤดูกาล (Seasonality: S) เปน การเปล่ยี นแปลงเคลอ่ื นไหวของ ขอ มลู ทีเ่ กิดข้ึนเน่ืองจากอิทธิพลของ ฤดกู าล ซึ่งจะเคลอื่ นไหวข้ึนๆลงๆ ซ้ำกันในชวงเวลาเดยี วกันของ แตล ะป มกั พบในขอ มลู ชวงเวลานอย กวา 1 ป โดยอาจจะ 3เดือน 1 เดือน หรือรายสัปดาหก็ได เชน ภมู ิอากาศ หรือจากสภาวะทม่ี นษุ ยส ราง ขน้ึ เอง เชน การเกดิ อุบัตเิ หตใุ น ชว งเทศกาลตางๆ อตั ราการจองหองของโรงแรม รสี อรท ในชว งเทศกาล เปน ตน การที่สามารถหา ลกั ษณะของการเปลี่ยนแปลงตามฤดกู าลไดจ ะเปนประโยชนแ กผูค วบคุมดูแล ในการวางแผนลว งหนา เก่ยี วกับการลดจำนวนการเกิดอุบตั ิเหตุ 3) วฏั จกั ร (Cycle : C) เปน การเปลย่ี นแปลงเคลอ่ื นไหวของขอ มูล ท่ีเกดิ ขนึ้ ซ้ำๆกนั คลายกบั การ เปลย่ี นแปลงความเคล่อื นไหวตามฤดูกาล เพียงแตความเคล่อื นไหวนี้เกดิ ขนึ้ เปนวัฏจักร ในระยะเวลา มากกวา 1 ป และมักจะเกิดขอมลู รายป วัฏจักรเหลานี้มีแบบแผนการเปล่ียนแปลงไมแนนอนจึงทำให ยากท่ีจะพยากรณ และมกั จะมีสาเหตุจาก สภาพทางเศรษฐกิจโดยท่ัวไป การเปลยี่ นแปลงนโยบาย ของรัฐ หรือการเปลย่ี นแปลงในรสนยิ มของผูบริโภคและนสิ ัยการจับจา ย ใชส อย ซึ่งวฏั จักรโดยทั่วไป จะประกอบดวย 4 ระยะเวลาคอื ท่ีรงุ เรอื ง (Prosperity) ระยะ ฝด เคอื ง (Recession) ระยะตกต่ำ (Depression) และระยะฟน ตัว (Recovery) แลว จะยอนกลับมาสูระยะ รุงเร่อื งอีกคร้งั หน่งึ หมนุ เวียน เปนวัฏจกั รเชนนีเ้ ปน เร่อื ยๆ เชน วัฏจักรธุรกิจ (Business Cycle) วฏั จกั รเศรษฐกจิ (Economic Cycle) วัฏจกั รสภาพอากาศ (Weather Cycle) 4) ความผิดปกติ (Irregularity : I) เปน การเปลีย่ นแปลงเคลอื่ นไหวที่ไมแนน อนและไมสามารถคาด การณไดลว งหนา ซ่งึ อาจเกดิ ข้นึ เนื่องจากสาเหตุตามปจ จัยเฉพาะ เชน ภยั ธรรมชาติ สงคราม การนดั หยดุ งาน การประทว ง ปฏิวตั ิรฐั ประหาร การเลอื กตั้ง เปนตนซึง่ การเปลย่ี นแปลงนี้มไิ ดเกิดข้นึ เปน ประจำ ตวั แบบของอนกุ รมเวลาที่นยิ มใชมีอยู 2 แบบ คือ ตวั แบบผลคณู (Multiplicative Model) และตัวแบบผลบวก (Additive Model) กลาวคอื ถา กำหนดให Yแทนขอ มูลอนุกรมเวลาจะไดวา โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

การพยากรณส ำหรับขอ มลู เชิงปรมิ าณ 95 ตัวแบบผลคณู ของ Y คือ Y =T ×S×C×I และตวั แบบผลบวกของ Y คอื Y =T +S+C+I ส่งิ ที่สำคัญของการเลือกวธิ ีที่ใชในการพยากรณขอมลู อนุกรมเวลาก็คือ ความถูกตอง ของการ พยากรณ คำวา ความถูกตอ งในท่ีน้ีหมายถึง คา พยากรณที่ไดเมื่อนำไปเปรยี บเทยี บกบั คา ขอ มูลจรงิ มี ความใกลเคียงกนั หรอื กลา วอกี นัยหน่งึ วา คาความคลาดเคลือ่ นของการพยากรณ (Forecast Error) มีคา นอยๆ คาที่ใชวัดความถกู ตอ งของการพยากรณมีหลายคาดว ยกนั แตท่ีนยิ มใชก็มี คา เฉล่ยี คลาด เคลื่อนกำลงั สองเฉลย่ี ของคาพยากรณ (Prediction Mean Square Error : PMSE) กำลังสองของ ความคลาดเคลื่อน (Mean Squared Error หรือ MSE) หรอื คา เฉลีย่ ของคาสัมบูรณ ของความเบย่ี ง เบน (Mean Absolute Deviation หรือ MAD) ฯลฯ เนอื่ งจากวธิ กี ารพยากรณ ทางธรุ กจิ มีหลากหลาย วิธีดวยกัน ดงั นน้ั การเลือกวธิ ีพยากรณใหเหมาะสมกับขอมลู ที่จะพยากรณ ก็เปน สิง่ ท่ีสำคัญ ทัง้ นี้อาจ ตอ งคำนงึ ถงึ ในเรอื่ งของความถกู ตองของการพยากรณ ลกั ษณะของขอมลู ระดับความรูของผูพยากรณ และหนว ยเวลาท่จี ะใชในการพยากรณ 2.2 Generalized Additive Model (GAM) GAM ซึ่งเปนแบบจำลองที่มีประสทิ ธิภาพดานการวิเคราะหความถดถอยแบบ Non-Parametric มีความยืดหยนุ ในการกำหนดความสัมพนั ธระหวางตวั แปรอิสระและตัวแปรตามมีความยดื หยนุ ในการ คน หารูปแบบของฟง กช่ันการเชือ่ มโยง ( Link Function ) สำหรับการสรา งความสมั พนั ธระหวาง ตัวแปรอิสระและตวั แปรตามในลักษณะของเสน โคงโดยที่ตัวแปรตามจะตอ งมีลักษณะการกระจาย ตวั ภายในรปู แบบของ Exponential Family Distribution ซึง่ ตางออกไปจากการวิเคราะหดวยแบบ จำลองเชงิ เสน แบบปกติท่ีจำกดั การใชเฉพาะลักษณะการกระจายตัวบางประเภทรายละเอียดแบบ จำลอง Generalized Additive Model แสดงดงั สมการที่ 1 ∑ E(Y |Xp) = S0 + Sp(Xp) เมือ่ S0, ..., Sn = ฟง กช น่ั ทท่ี ำใหเ สน โคง ราบเรียบ แบบจำลอง GAM จะปรบั ปรงุ ปญหาดงั กลา วดว ยการเพิ่มฟง กช ั่นใหส ามารถวเิ คราะหวเิ คราะห รปู แบบการกระจายตัวไดหลากหลายประเภทไปจำกดั เฉพาะการกระจายตวั แบบปกติ ซง่ึ ทำใหแบบ จำลอง GAM สามารถนำไปใชใ นการวิเคราะหขอมูลหรอื แกไขปญ หาไดห ลากหลายมากกวา รปู แบบอน่ื ๆ อยางไรก็ตาม แบบจำลอง GAM ยังมีความคลา ยคลงึ กับแบบจำลอง Generalized Liner Model (GLM) โดยมีองคประกอบ ตัวแปรสุม (Random),ตัวแปรเสริม (Additive) และฟงกชันในการ เช่อื มตอ ระหวางตัวแปรแตกตางกันที่ในการวิเคราหตวั แปร Y คา ของตัวแปรสุม (Random) จะถกู โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

96 ธรี ภัทร ประจำถิ่น และคณะ สมมติใหมีลักษณะการกระจายตวั ภายในรปู แบบของ Exponentail Family Distribution ซงึ่ สามารถ แสดงไดดงั สมการท่ี 2 yθ − bθ fY (y; θ; ϕ) = exp a(ϕ) + c(y, θ) เม่อื θ = ตัวแปรตามธรรมชาติ ϕ = scale parameter แมวา แบบจำลอง GAM และ GLM จะสามารถนำไปใชไ ดในสถานการณท คี่ ลา ยคลงึ กนั แตก าร ตอบสนองตอวตั ถุประสงคในการวิเคราะหจะแตกตา งกนั โดยที่ GLM เนน ไปท่ีการประมาณคาสำหรบั พารามิเตอรของแบบจำลอง ในขณะที่ GAM เนนไปท่ีสรา งความสมั พันธของขอมลู ในลักษณะ Non- Paramrter ทำให GAM มีความเหมาะสมมากกวา แบบจำลองประเภทอืน่ ๆ สำหรบั ใชในการวเิ คราะห ขอ มลู และสรา งความสัมพนั ธระหวา งตัวแปรตามและตัวแปรอสิ ระ 3. วธิ ดี ำเนินการวจิ ยั 3.1 ตวั อยางท่ีใชในงานวิจัย ขอมลู ที่ใชในการศึกษาครงั้ นี้ไดแ ก ขอมลู ในการดำเนินการทางธรุ กิจบน Facebook ต้ังแตป ตนปข อง ปค.ศ2013 ถงึ กลางปของ ปค.ศ.2016 3.2 ขน้ั ตอนการดำเนินการวจิ ัย 1.เก็บรวบรวมขอ มลู ของการดำเนนิ การทางธรุ กจิ ท่เี กดิ ข้ึนบน Facebook 2.นำขอมลู มาพล็อตกราฟเพ่อื วเิ คราะหแ ละดูการกระจายตวั ของขอมูล 3.สรา งตวั แบบ 4.สรางแบบจำลองการวิเคราะหแ บบวนซำ้ 5.ประเมินผลการพยากรณอ ัตโนมตั ิ 5.1เปรยี บเทียบการพยากรณกับการพยากรณพ ้นื ฐาน 5.2ตรวจสอบความแมน ยำ 6.ทำการจำลองการพยากรณใ นอดตี 4. ผลการศึกษา 4.1 คุณสมบัตขิ องอนกุ รมเวลาทางธุรกจิ ปญหาการพยากรณทางธรุ กิจมีหลากหลาย และมคี ุณสมบตั ิหลาย ๆอยา งที่เหมือนกนั ตวั อยา ง เชน ขอมลู ปญ หา ในรปู ที่ 2 แสดงขอมูลของการดำเนนิ การทางธุรกจิ ท่ีเกิดขน้ึ บน Facebook ซึง่ ผูใช โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

การพยากรณส ำหรับขอ มลู เชงิ ปรมิ าณ 97 Facebook สามารถสรา งเพจของตัวเองบน Facebook เพอื่ ชวนเชญิ ผูอน่ื และมีการสือ่ สารสำหรบั การ ดำเนินทางธรุ กิจ ขอมลู ชดุ น้ีเปนรายวนั ของจำนวนกิจกรรมท่ีเกิดขึน้ บน Facebook ซึง่ จะเหน็ ไดวามี ลกั ษณะการเคลอ่ื นไหวขน้ึ ลงท่ีเปน รปู แบบหรือกลาวไดวา มีการเปลีย่ นแปลงตามฤดกู าลท่ีสามารถมอง เห็นไดชัดเจน โดยฤดูกาลในท่ีนี้เกิดขึ้นแบบ รอบรายสปั ดาห และยังมีจำนวนลดลงอยา งชดั เจนในชวง คริสตมาสและปใหม ผลกระทบตามฤดูกาลเหลา นี้เกดิ ขึน้ ตามธรรมชาติและสามารถพยากรณขอมลู อนุกรมเวลาท่ีเกดิ จากการกระทำของมนุษยได ขอ มูลอนกุ รมเวลายังแสดงการเปลี่ยนแปลงที่ชัดเจน ของแนวโนมในชวง 6 เดือนที่ผานมา ซ่งึ เกดิ ขึ้นในขอ มลู อนกุ รมเวลาท่ีไดรับผลกระทบจากการเปลี่ยน ผลติ ภัณฑใหมหรือการเปลยี่ นแปลงของเศรษฐกิจ ชดุ ขอมลู จริงของอนุกรมเวลามกั จะมีคาผดิ ปกติและ ไมมีขอยกเวน ขอมลู อนุกรมเวลาชดุ น้ีแสดงผลของการวเิ คราะหท่ีทำใหเห็นความยากในการพยากรณที่สม เหตุสมผลดวยวิธกี ารอตั โนมัตทิ ้ังหมดในรปู ที่ 3 ซง่ึ เปน การพยากรณโ ดยใชก ระบวนการอัตโนมตั ิทง้ั หมด 4 วิธี ขัน้ ตอนการพยากรณโดยใชโปรแกรม R อธิบายรายละเอยี ดไวในงานวิจยั ของ Hyndman และ คณะ (2007) การพยากรณถูกสรา งข้นึ สามชวงในอดตี แตล ะชวงใชขอ มูลเฉพาะสว นของชว งเวลาน้นั ๆ ในการสรางตวั แบบการพยากรณของชวง วิธีการในรูปคือ auto.arima ซงึ่ เปน สว นหน่งึ ของตวั แบบ ARIMA และจะเลือกรปู แบบที่ดีที่สดุ โดยอตั โนมัติ วิธี Exponential Smoothing ซงึ่ เปน ตัวแบบมีการ ปรบั ใหเรยี บแบบเอ็กโพเนนเชียล และเลอื กสิง่ ท่ีดีทส่ี ุด (Hyndman และคณะ 2002) snaive เปน ตวั แบบการเดินแบบสมุ ที่ทำใหการพยากรณคงท่ีตามฤดกู าลรายสปั ดาหและตวั แบบ TBATS ที่มีท้ัง ฤดกู าลรายสปั ดาหแ ละรายป( De Livera et al. 2011) เม่อื การพยากรณมขี อผดิ พลาดผวู จิ ยั ตอ งการทจี่ ะปรบั พารามเิ ตอรข องตัวแบบเพือ่ แกไ ขปญ หา ทีเ่ กิดขนึ้ การปรบั วิธกี ารเหลานจี้ ำเปนตองมีความเขาใจอยา งละเอียดเกีย่ วกับวธิ กี ารทำงานของอนกุ รม เวลาพ้ืนฐาน การนำขอ มลู พารามเิ ตอรตวั แรกเขา ไปยัง ARIMA อตั โนมตั ิ ตวั อยา งเชนเปนการกำหนด ของการสง่ั ซ้ือสงู สดุ สว นประกอบการถดถอยอตั โนมัติ และสว นประกอบคาเฉล่ยี เคล่ือนที่ นักวิเคราะห ทวั่ ไปจะไมทราบวิธีการปรบั คำสงั่ เหลาน้ี เพื่อหลกี เลี่ยงปญหาท่ีเกิดในรปู ที่ 3 ซ่ึงตอ งอาศัยความ เชย่ี วชาญเนือ่ งจากเปนการยากที่จะปรับคา พารามเิ ตอรต า งๆ โดยท่ัวไปวิธีการที่แสดงในรูปที่ 3 มกั จะทำการพยากรณที่ตรงกบั ลักษณะของขอมลู อนกุ รม เวลา การพยากรณ ARIMA อตั โนมัติมีแนวโนมท่ีจะมีแนวโนม ท่ีมีขอ ผดิ พลาดขนาดใหญ เมอ่ื มีการ เปล่ยี นแปลงของแนวโนม ใกลชวงเวลาท่ีถกู ตัดออกและตัวแบบการพยากรณไดไมดีนักเม่อื มีการจบั ภาพฤดกู าลใด ๆการปรับใหเรยี บแบบเอกซโปเนนเชยี ลและการพยากรณตามฤดูกาลอยา งเทยี่ งตรงที่ เปน ไปตามฤดูกาลรายสัปดาห แตไมเทยี่ งตามฤดูกาลในระยะยาว วิธีการเหลา น้ีไม สามารถรวบรวม ขอ มูลทเี่ พยี งพอของฤดกู าลเมื่อถงึ สน้ิ ป 4.2 ตัวแบบการพยากรณ การสรา งตวั แบบการพยากรณขอ มลู อนกุ รมเวลาที่ออกแบบมาเพ่ือจัดการกับคุณสมบัติทว่ั ไป ของชุดขอ มูลที่แสดงในรูปที่ 2 สง่ิ ท่ีสำคญั คือ ตัวแบบท่ีไดควรจะใชงานงา ยและคาพารามิเตอรสามารถ โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

98 ธีรภทั ร ประจำถ่ิน และคณะ ปรับไดโดยไมทราบคารายละเอยี ดของตวั แบบพื้นฐาน เปนสง่ิ สำคัญสำหรับนกั วิเคราะหในการปรบั ตวั แบบไดอยางมีประสทิ ธิภาพตามท่ีอธบิ ายไวในรปู ท่ี 1 การใชงานตัวแบบ ARIMA สามารถรวมตวั แปร ตามฤดูกาลได การเพิ่มตวั เเปรเหลา น้ีเขา ในตัวแบบจะทำใหตัวแบบมีความเหมาะสมมากข้ึน แตตอ ง รูปท่ี 3. เปน การพยากรณในอนกุ รมเวลาจากรูปท่ี 2 โดยใชการรวบรวมขนั้ ตอน การคาดการณถูกสรางขน้ึ ที่จดุ ตัวอยา งสามจุดในอดตี แตล ะการใชงานเฉพาะสว นของอนุกรมเวลาจนถงึ จดุ น้นั การคาดการณสำหรบั แตละวนั จะถูกจดั กลมุ และสีตามวนั ในสัปดาห เพ่ือใหเหน็ ภาพฤดูกาลรายสัปดาห เราลบคา ผดิ ปกติในระหวาง พล็อตเพ่อื ใหมพี ืน้ ทแ่ี นวต้ังในรูปมากขน้ึ ใชความเช่ยี วชาญในการสรา งตวั แบบดังกลา ว และนำสวนประกอบหลกั ใสในตัวแบบ ไดแ ก แนวโนม ฤดูกาลและวนั หยดุ ไดเปน ตัวแบบตอ ไปนี้ y(t) = g(t) + s(t) + h(t) + εt (1) g( t ) หมายถึง ฟง กช ันแนวโนม s( t ) หมายถึง การเปล่ียนแปลงเนือ่ งจากฤดกู าล เชน รายสัปดาห รายป h( t ) หมายถึง อทิ ธพิ ลของวนั หยดุ ท่ีเกิดขึ้น ตามวนั เวลาท่ไี มแนนอน εt หมายถงึ ความคลาดเคล่ือน ซ่งึ มีการแจกแจงแบบปกติ ตวั แบบในสมการท1่ี มีลกั ษณะคลายกับตัวแบบ Generalized Additive Model(GAM)ซึ่ง เปนตวั แบบการถดถอยที่ประยุกตใชก ับ non-linear ในงานวิจัยน้ีใชเ วลาเปน ตัวถดถอย ซึ่งองคป ระกอบ ฟง กช ันของเวลาอาจเปนเชงิ เสน และไมเชงิ เสน อาจมีความสัมพันธ ฤดกู าลถกู ใชเปน องคประกอบเพ่มิ เตมิ ซึ่งเปนวิธีเดยี วกับวธิ ีการปรับใหเรยี บแบบเอก็ ซโพเนนเชยี ล (Gardner,1998)อทิ ธพิ ลของฤดูกาล เปนปจจยั หนึ่งทส่ี ามารถทำไดโ ดยการแปลงลอการิทมึ สตู ร GAM มีขอดีคอื สามารถแยกออกเปนสวนยอยๆไดงา ยและรองรับสว นประกอบใหมตาม ความจำเปน ตวั อยางเชนเมือ่ มีการระบุแหลง ทมี่ าของฤดูกาลใหม GAM ยังใชไดดี และรวดเรว็ ไมวาจะ เปน การยอ นกลบั หรือ L-BFGS ดงั นัน้ ผูใ ชสามารถเปลยี่ นพารามเิ ตอรของตวั แบบได ในงานวิจัยนี้กำหนดกรอบของการพยากรณเปน เสนโคง ซึ่งแตกตา งจากตวั แบบอนกุ รมเวลาที่ มีการอธิบายโครงสรง ของขอมูลอยา งชดั เจน ขอ ไดเปรียบของการใชตวั แบบทวั่ ไป เชน ตวั แบบARIMA ตัวแบบGAM มขี อไดเ ปรียบในทางปฎิบตั ิดงั น้ี โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้ังท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

การพยากรณส ำหรับขอ มูลเชงิ ปริมาณ 99 - ความยดื หยุน : สามารถรองรับฤดกู าลท่ีมีหลายชวงเวลาและอนุญาติใหนักวิเคราะหต้ัง สมมติฐานตา งๆเก่ยี วกับแนวโนม - แตกตา งจากตวั แบบ ARIMA การตรวจสอบไมจำเปนตองเวน ระยะเสมอและไมจำเปนตอง แกไ ขคา ที่สญู หายไป เชน การตดั คา ผดิ ปกติออก - การสรางตัวแบบทำไดรวดเร็ว นกั วิเคราะหสามารถสรา งตวั แบบได ตัวอยางเชนในแอพพลิ เคชัน่ Shiny (Chang et al.2015) - ตัวแบบการพยากรณมพี ารามิเตอรท ี่ตีความไดง าย ซ่งึ สามารถเปล่ยี นแปลงไดนักวเิ คราะหตัง้ สมมตฐิ านบนการพยากรณ นอกจากน้ีนักวิเคราะหที่มีประสบการณเกย่ี วกบั การถดถอย และสามารถขยายตวั แบบไดงาย โดยการเพิ่มองคประกอบใหมในตวั แบบการพยากรณอัตโนมัติมีประวตั ิอันยาวนาน โดยมีวธิ ีการสรา ง ตัวแบบมากมายรวมถงึ ขอมลู อนกุ รมเวลาท่ีมีลักษณะเฉพาะ (Tashman and Leach 1991, De Gooi- jer and Hyndman 2006) วธิ ีการในงานวจิ ัยน้ีประกอบดว ยธรรมชาติของขอ มลู อนุกรมเวลาซ่งึ จะใช ขอ มูล Facebook(แนวโนม ฤดกู าล วันหยดุ ) รวมทง้ั ความทา ทายที่เก่ยี วขอ งกบั การพยากรณข อ มลู เชงิ ปริมาณ 4.2.1 ตวั แบบแนวโนม (The Trend Model) ในงานวิจยั น้ีไดนำตวั แบบแนวโนมสองรปู แบบคือตัวแบบการเตบิ โตแบบอิ่มตัว(Saturating Growth Model)และตวั แบบเชิงเสน(Piecewise Linear Model)ที่ครอบคลุมแอปพลิเคชัน Face- book มาใช (1). การเตบิ โตทีอ่ ม่ิ ตัวแบบไมเ ชิงเสน(Nonlinear,Saturating Growth) สำหรับการพยากรณการเตบิ โต องคประกอบหลกั ของกระบวนการสรางขอ มลู เปน ตัวแบบ สำหรับการเตบิ โตของประชากรและคาดวา จะเตบิ โตตอ ไปไดอยางไร ตวั แบบการเติบโตของการดำเนนิ การธุรกิจบนFacebook มักจะคลา ยกับการเติบโตของประชากรในระบบนิเวศธรรมชาติ (e.g., Hutchin- son 1978) ท่ีมีการเตบิ โตแบบไมเชิงเสนท่ีอมิ่ ตวั บนขดี ความสามารถ ตวั อยางเชน ขีดความสามารถใน การรองรับจำนวนผูใช Facebook ในพ้ืนท่ีเฉพาะซ่งึ อาจมีจำนวนคนที่สามารถเขา ถงึ อนิ เทอรเ นต็ โดย ทั่วไปแลวการเติบโตแบบนมี้ ักใชต วั แบบการเตบิ โตแบบโลจิสติกส ซ่ึงมีรูปแบบพน้ื ฐานดังน้ี C (2) g(t) = 1 + exp(−k(t − m))′ เม่ือ C คอื ขีดความสามารถ , K คอื อตั ราการเตบิ โต และ m พารามเิ ตอร Facebook มีการเตบิ โตท่ีสำคัญสองประการ ท่ีไมไดรวมอยูในสมการที2่ ประการแรกคือ ความสามารถในการรองรบั คา ไมค งท่ี กลา วคือจำนวนคนในโลกทีส่ ามารถเขา ถงึ อนิ เทอรเน็ตไดมีจำนวน เพิม่ ขน้ึ เชน เดียวกบั การเติบโตจนถงึ ขดี สงู สดุ ดงั นนั้ จงึ แทนท่ีขีดความสามารถท่ีจำกดั C ดว ยขดี ความ สามารถท่ีเปล่ยี นไปตามเวลา C(t) ประการท่ีสองคือ อตั ราการเตบิ โตไมคงที่ ผลิตภัณฑใหมสามารถ เปลยี่ นแปลงอัตราการเติบโต ดงั น้นั ตัวแบบจะตองสามารถรวมอตั ราตางๆเหลา น้ี เพ่ือใหเหมาะสมกบั โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

100 ธรี ภัทร ประจำถ่ิน และคณะ ขอ มูลในอดีต ผวู จิ ัยรวมการเปลยี่ นแปลงของแนวโนมในตัวแบบการเตบิ โตโดยกำหนดจุดเปลย่ี นอยา งชดั เจน ซ่ึงอนุญาตใหอัตราการเตบิ โตเปลยี่ นแปลงได สมมติวาจุดเปลี่ยน S จุดท่ีเวลา sj โดยที่ j = 1,2,3,…,S กำหนดเวกเตอรข องการปรบั คาอัตราตางๆ δ ϵ R2 โดยท่ี δj คืออตั ราการเปลย่ี นแปลงทีเ่ กดิ ขน้ึ ในเวลา sj อตั รา ณ เวลาใดๆ t คืออตั ราการเตบิ โต k รวมถงึ การปรับท้งั หมดจนถึงจุด k + Σj:t>sjδjสงิ่ น้ีแสดง ใหเห็นอยา งชัดเจนยิ่งขนึ้ โดยการหาเวกเตอร a(t) ∈ 0, 1s ดงั นน้ั  if t ≥ sj, 1, otherwise. aj(t) = 0, อัตรา ณ เวลา t คือ k + a(t)T δ เมือ่ ปรับอตั รา k แลว ชดุ พารามิเตอร m จะตอ งมีการปรบั เพ่ือเชื่อม ตอจุดสิ้นสุดของกลมุ การปรับท่ถี ูกตองทีจ่ ุดเปล่ียน j สามารถคำนวณไดงายจากสมการ γj = (sj − m − ∑ − k + ∑ δl γl)(1 k + ∑l<j ) l<j l≤j δl ดงั น้ันตวั แบบการเติบโตโลจิสติกแบบเชิงเสนคอื C (t) (3) g(t) = 1 + exp(−(k + a(t)T δ)(t − (m + a(t)T γ))). ชดุ พารามิเตอรท่ีสำคัญในตวั แบบคือ (t) หรือความสามารถท่ีคาดหวงั ของระบบ ณ จดุ ใดกไ็ ด นักวเิ คราะหมกั เขา ใจถงึ ขนาดของตลาดและสามารถตั้งคาเหลานี้ตามลำดับ อาจมีแหลงขอมูลภายนอก ท่ีสามารถรองรับขีดความสามารถ เชน การพยากรณป ระชากรจากธนาคารโลก ตวั แบบการเตบิ โตแบบโลจิสติกท่ีนำเสนอน้ีเปนกรณีพิเศษของแนวโนมการเตบิ โตแบบโลจิสติ กท่วั ไปซึ่งเปน เสน โคง sigmoid การขยายของตวั แบบแนวโนม นี้ไปยังเสน โคงชนิดอนื่ ๆนั้นเปน ไปอยา ง เหมาะสม (2).แนวโนมเชงิ เสนทีม่ จี ดุ เปลี่ยน สำหรบั ปญ หาของการพยากรณที่ไมแสดงการเติบโตท่ีอม่ิ ตัว อัตราการเตบิ โตท่ีคงท่ีคงท่ีแบบ ตอ เนอื่ ง จัดเปน ตัวแบบท่ีเปนทางเลือกและมปี ระโยชน ตัวแบบแนวโนม ดังกลา วเขยี นไดด งั น้ี g(t) = (k + a(t)T δ)t + (m + a(t)T γ). (4) เมื่อ k คอื อตั ราการเตบิ โต , δ คอื การปรับอตั รา, m คอื พารามิเตอร และ γj มีคา เปน −sjδj เพ่ือทำใหฟงกช นั ตอ เนอ่ื ง (3).การเลือกจดุ เปล่ียนอัตโนมัติ จดุ เปลยี่ น sj สามารถระบุไดโดยใชวนั ท่ีของการเปด ตวั ผลิตภัณฑแ ละเหตกุ ารณท่ีเปล่ยี นแปลง การเตบิ โตอื่น ๆหรอื อาจถกู เลอื กโดยอัตโนมัติจากชดุ ของขอมลู ที่นำเสนอ การเลือกอตั โนมตั ิสามารถ ทำไดค อ นขา งเปน ธรรมชาติโดยใชสมการที่ (3) และ (4) โดยแยกการวเิ คราะหกอน δ. โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

การพยากรณสำหรบั ขอมลู เชิงปริมาณ 101 จุดเปลย่ี นมักจะถูกระบุไวเปนจำนวนมาก(เชนหนงึ่ ครง้ั ตอเดอื นสำหรบั ขอมูลในอดตี หลาย ป)และใชคา δj ซึง่ มีการแจกแจงแบบ Laplace(0,τ) พารามเิ ตอร τ ควบคมุ ความยดื หยุนของตวั แบบ ในการเปล่ียนแปลงอตั ราของมัน ท่ีสำคัญการกระจายของการปรบั คา δ ไมม ีผลกระทบตออัตราการ เติบโตของ k ดังนน้ั เมอ่ื τ มีคา เขาสู 0 คาพยากรณจะลดรูปเหลอื การเตบิ โตแบบโลจิสติกสหรอื การ เตบิ โตแบบเชิงเสน (4). การพยากรณค วามไมแ นนอนของแนวโนม เมอ่ื ตวั แบบถกู พยากรณผา นขอมูลในอดตี เพ่อื ทำการพยากรณ แนวโนมจะมีอัตราคงที่ การ ประมาณคาความไมแนนอนของแนวโนม การพยากรณโดยขยายการกำเนดิ ตวั แบบไปขางหนา ตวั แบบกำเนิดสำหรบั แนวโนม คือมีจดุ เปลีย่ นท้งั หมด S จุดซง่ึ ครอบคลุมขอ มลู ในอดีต T จดุ แตล ะจดุ มีอตั ราการเปลย่ี นแปลง δj มีการแจกแจง Laplace(0, τ). อัตราการเปล่ยี นแปลงในอนาคตถูกจำลอง โดยการเลียนแบบขอ มลู ในอดตี โดยแทนคา τ ดว ยความแปรปรวนที่อนมุ านจากขอ มูล ภายใตกรอบ ของเบส (สถติ ิเบยเซยี น) สง่ิ น้ีสามารถทำไดดว ยการหาคาช้นั กอ นของ τ เพ่ือท่ีจะหาคา สวนหลังของ มนั มิฉะนั้น สามารถใชการประมาณคาภาวะความนาจะเปนสงู สุดของพารามเิ ตอร มาตราสว นอตั รา ∑S λ = 1 |δj |. จดุ เปลยี่ นในอนาคตจะถูกเลอื กอยางสุม ในลกั ษณะท่ีความถี่เฉลย่ี ของจดุ เปล่ียนท่ี S j=1 ตรงกบั ในอดีต  δj = 0w.p. T −S δj ∼ T ∀j > t Laplace(0, λ)w.p. S . T จากนน้ั จึงวัดความไมแนน อนในแนวโนมการพยากรณโดยสมมติวาในอนาคตจะเหน็ ความถี่ เฉลี่ยและขนาดของอตั ราการเปลยี่ นแปลงที่เหน็ ในอดตี เทาเดิม เมอื่ คา λ ถูกอนุมานจากขอ มลู แลว จะ ใชต วั แบบนเ้ี พอื่ พยากรณแ นวโนมในอนาคตทเี่ ปนไปได และใชต วั แบบแนวโนมดังกลาวเพ่อื คำนวณชว ง ความไมแ นนอน จากขอกำหนดท่ีวา แนวโนมจะยังคงเปลีย่ นแปลงดว ยความถี่เดยี วกันและขนาดท่ีมีอยูในอดตี นัน้ คอ นขา งมัน่ คง ดงั น้นั จงึ ไมคาดหวังวาชว งเวลาท่ีไมแนน อนจะไดรับความคมุ ครองที่แนน อน อยางไร กต็ ามส่ิงเหลา นี้ เปน ตัวบง ชี้ท่ีเปนประโยชนของระดบั ความไมแนน อน และโดยเฉพาะตวั บง ช้ที ม่ี ีคา มาก เกนิ ไป เม่อื คา τ เพิม่ ขน้ึ ตัวแบบมีความยืดหยนุ มากข้นึ ในการตัง้ คาในอดตี และขอ ผดิ พลาดในการสรา ง ตัวแบบจะลดลง อยา งไรก็ตามเม่ือมีการพยากรณไวลวงหนาความยืดหยนุ เหลา นี้จะทำใหชวงความไม แนนอนกวา งมากขน้ึ 4.2.2 ฤดูกาล(Seasonality) ขอ มูลอนกุ รมเวลาทางธรุ กจิ มักมีฤดูกาลหลายชวงเวลาซ่งึ เปนผลมาจากพฤตกิ รรมของมนษุ ย เชน การทำงาน 5 วนั /สัปดาห สามารถผลิตขอมูลอนุกรมเวลาท่ีทำซ้ำในแตล ะสปั ดาห ซึ่งวันหยุดและ วันปด ภาคเรียนของโรงเรยี น ก็สามารถผลติ ขอมลู อนุกรมเวลาท่ีทำซ้ำในแตละป เพ่อื ใหก ารพยากรณ เหมาะสมตอผลกระทบเหลาน้ี ผูวิจัยตอ งระบุแบบจำลองตามฤดกู าลที่ t เปนฟงกช นั คาบของเวลา โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

102 ธีรภทั ร ประจำถิ่น และคณะ ผูวจิ ยั ใชแบบจำลองขอมูลอนุกรมเวลาของฟูริเยรท่ีสามารถทำการพยากรณไดทงั้ แบบจุดและ แบบชวง เพอ่ื ทำแบบจำลองที่สามารถตัดผลกระทบตามระยะเวลาได ให P เปนชว งเวลาท่ีเราคาดหวัง อนกุ รมเวลาจะมี ( เชน P = 365.25 สำหรับขอ มูลรายป หรอื P = 7 สำหรับขอ มูลรายสัปดาห เม่อื เรา ปรบั ขนาดตวั แปรเวลาเปนวัน ) เราสามารถทำการประมาณคา ตามฤดกู าลไดอยางงายดายดวยอนุกรม ฟรู ิเยรมาตรฐาน ∑n 2πnt 2πnt s(t) = (an cos( P ) + bn sin( P )) n=1 ฤดูกาลท่ีเหมาะสมตอ งมีการประมาณคา พารามเิ ตอร 2N β = [a1, b1, , an, b1]T คา พารา- มิเตอรเหลา นี้สามารถทำไดโดยการสรา งเมทริกซของเวกเตอร สำหรบั แตละคาของ t ในขอมลู ของอดตี และอนาคต เชน ฤดกู าลรายป (P=365.25) และ N = 10 แทนคาลงในสมการขา งตนจะได X(t) = [cos( 2π(1)t ), ..., sin( 2π(10)t )] (5) (6) 365.25 365.25 สวนประกอบฤดกู าลคอื s(t) = X(t)β ในการสรา งตัวแบบผูวจิ ัยใช β ∼ Normal(0, σ2) เพื่อกำหนดคาใหเรยี บของฤดกู าล การตัดขอมูลอนุกรมเวลาที่ N ในฤดกู าลท่ีตำ่ ทำใหตวั แบบฤดูกาลราบเรยี บขน้ึ ดังนน้ั การเพ่มิ N ทำใหตวั แบบของฤดูกาลเปล่ียนแปลงเร็วข้นึ แมจะมีความเสย่ี งเพ่ิมข้นึ สำหรบั ฤดูกาลรายปและราย สัปดาหเราพบวา N = 10 และ N = 3 ตามลำดบั การเลือกพารามเิ ตอรเปนไปโดยอัติโนมัติ โดยใชข้ัน ตอนการเลือกแบบจำลอง เชน AIC 4.2.3 เหตกุ ารณสำคญั และวันหยดุ (Holidays and Events) เหตุการณสำคัญและวนั หยดุ มีผลกระทบคอ นขา งมากสำหรับการพยากรณขอ มลู อนุกรมเวลา ทางธุรกจิ จำนวนมาก และมกั มีขอ มูลบางชว งท่ีไมเปน ไปตามรปู แบบของฤดูกาล ดงั น้ันจึงไมมีวฏั จักร ทร่ี าบเรยี บ เชน วันขอบคณุ พระเจาในสหรฐั อเมรกิ า ในวันพฤหัส ท่ี 4 พฤศจิกายน , วันซปุ เปอรโบว ในวนั อาทติ ยสดุ ทายของเดือนมกราคมหรอื เดือนกมุ ภาพันธ หนึง่ ในกจิ กรรมถายทอดสดทางโทรทัศน ท่ีใหญท่ีสดุ ในสหรฐั อเมรกิ าซ่ึงจะประกาศโดยโปรแกรม หลายประเทศทว่ั โลกมีวนั หยุดที่สำคญั ตาม ปฏทิ ินจนั ทรคติมกั คลายกนั ทกุ ป โดยวันหยุดจะมีผลกระทบกบั ขอ มูลอนุกรมเวลา ดังน้ันจึงมีความ สำคัญที่จะรวมวันหยุดเขา ไปไวใ นตวั แบบการพยากรณ ในท่ีน้ีอนุญาติใหนักวิเคราะหจดั ทำรายการวนั หยดุ ทงั้ เหตุการณในอดตี และที่จะเกิดข้นึ ใน อนาคต โดยระบุชือ่ ของเหตกุ ารณหรอื วนั หยุด ดังแสดงในตารางที่ 1 ซ่งึ รวมหัวขอสำหรับการเกบ็ รายการวันหยดุ เฉพาะของแตล ะประเทศเพม่ิ เตมิ จากวนั หยุดของทั่วโลก ปญ หาสำหรบั การพยากรณ ที่เราใชคือการรวบรวมความหลากหลายของวนั หยุดสากลและวันหยุดเฉพาะของแตละประเทศเขาไว ดว ยกัน การรวบรวมรายการวนั หยดุ ไวในแบบจำลองนน้ั ถกู สรา งขน้ึ โดยใหสมมติวา วันหยุดมีความ โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้ังท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

การพยากรณส ำหรบั ขอมูลเชิงปริมาณ 103 อิสระตอ กัน ให Di เปนขอ มูลของวนั หยดุ ในอดีตและอนาคต สำหรบั วนั หยุดท่ี i ตารางที่ 1 : ตัวอยางรายการวันหยุด ระบุไวเนือ่ งจากวันหยุดของแตล ะประเทศมคี วามแตกตา งกนั เราเพ่มิ ฟง กชันตวั บงช้เี วลาวา t = ชว งวันหยดุ ของ i และกำหนดพารามิเตอร วันหยุด ประเทศ ป วนั /เดือน/ป วนั ขอบคณุ พระเจา สหรฐั อเมรกิ า 2015 26 พฤศจกิ ายน 2015 วันขอบคณุ พระเจา สหรัฐอเมรกิ า 2016 24 พฤศจิกายน 2016 วนั ขอบคุณพระเจา สหรัฐอเมรกิ า 2017 23 พฤศจิกายน 2017 วันขอบคณุ พระเจา สหรัฐอเมริกา 2018 22 พฤศจกิ ายน 2018 วนั ครสิ ตมาส * 2015 25 ธันวาคม 2015 วนั คริสตมาส * 2016 25 ธันวาคม 2016 วันคริสตมาส * 2017 25 ธันวาคม 2017 วันคริสตม าส * 2018 25 ธนั วาคม 2018 เพม่ิ ฟงกช ันตัวบง ชี้เวลา t = เปนชว งวนั หยดุ ที่ i และกำนดพารามิเตอร ki ในแตล ะชว งวนั หยุด ซงึ่ เปน การเปล่ียนแปลงท่ีสอดคลองกับการพยากรณทำไดเชน เดยี วกบั การหาคาฤดูกาล โดยการ สรา งเมทริกซของการถดถอยดงั นี้ Z(t) = [1(t ϵ D1), ..., 1(t ϵ DL)] และกำหนดให h(t) = Z(t)κ (7) เชน เดียวกับฤดูกาลใหใช κ ∼ Normal(0, ν2) น่ีเปนสิ่งสำคญั ท่ีจะรวมอิทธิพลของวันหยุดไวในตัวแบบโดยกำหนดเปนพารามิเตอรเพม่ิ เตมิ เชน วนั หยดุ สุดสปั ดาหของวันขอบคณุ พระเจา 4.2.4 การสรางตวั แบบ เมื่อลักษณะของฤดูกาลและวันหยุดสำหรับคา สังเกตแตละคา ถูกรวมเปน เมทริกซ X และตวั ชี้ วดั จดุ เปลี่ยน a (t) ในเมทริกซ A ตวั แบบในสมการ (1) สามารถแสดงเปน รหสั stan ไมกี่บรรทดั (Car- penter et al. 2017) ดังแสดงใน Listing 1 สำหรบั การสรา งตวั แบบใช L-BFGS ของ Stan เพ่ือหา คา ประมาณ posteriori ท่ีสงู ที่สุด แตยังสามารถทำรายการ 1: ตัวอยา งรหสั Stan สำหรับแบบจำลอง ท่ีสมบูรณของเรา การอนุมานคา posterior เพ่ือรวมความไมแนนอนของพารามเิ ตอรของตวั แบบใน ความไมแนนอนของการพยากรณ Listing 1: Example Stan code for our complete model. model // Priors k ∼ normal(0, 5); โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

104 ธีรภัทร ประจำถ่ิน และคณะ m ∼ normal(0, 5); epsilon ∼ normal(0, 0.5); delta ∼ (0,doubleexponential tau); beta ∼ normal(0, sigma); // Logistic likelihood y ∼ normal(C ./ (1 + exp(-(k + A * delta) .* (t - (m + A * gamma)))) + X * beta, epsilon); // Linear likelihood y ∼ normal((k + A * delta) .* t + (m + A * gamma) + X * beta, sigma); รปู ท่ี 4 แสดงตัวแบบการพยากรณอนุกรมเวลาของเหตุการณบน Facebook ของรูปที่ 3การ พยากรณเหลา นี้จัดทำขนึ้ โดยใหสามวนั เดยี วกบั ท่ีใชในรปู ที่ 3 สำหรบั การพยากรณสามารถทำนายทั้ง ฤดูกาลรายสปั ดาหและรายป และไมเหมอื นกบั เสน เขตแดนในรูปที่ 3 ไมไดทำเกินจริงไปวนั หยดุ ปแรก ในการคาดการณครง้ั แรกตวั แบบพยากรณมีคา ฤดูกาลรายปมีคาเกินจรงิ เล็กนอ ยเม่ือใชขอมลู เพียงป เดยี ว ในการคาดการณครั้งท่ีสามตวั แบบยังไมไดเรียนรูวาแนวโนม มีการเปล่ยี นแปลง รูปท่ี 5 แสดงการ คาดการณผสมผสานขอ มลู สามเดือนลา สดุ ท่แี นวโนมมีการเปลย่ี นแปลงแนวโนม (เสน ประ) ประโยชนท่ีสำคญั ของแบบจำลองแยกองคประกอบคือสามารถแยกพจิ ารณาทีละองคป ระกอบ ไดรปู ที่ 6 แสดงแนวโนม ฤดูกาลรายสัปดาหและ ฤดูกาลรายปที่สอดคลองกับการพยากรณคร้ังสดุ ทาย ในรปู ท่ี 4 สิ่งน้ีใหเครือ่ งมอื ท่ีมีประโยชนสำหรับนกั วเิ คราะหเพือ่ ทำความเขาใจปญ หาของการพยากรณ นอกเหนือจากเพียงแคการพยากรณ พารามิเตอร tau และ sigma ใน Listing 1 ตกควบคมุ สำหรบั ปรมิ าณของการทำใหเปน มาตรฐานบนจุดเปลี่ยนและฤดกู าลของตัวแบบ การทำใหเปนมาตรฐานเปนสง่ิ สำคญั สำหรบั ท้งั สอง คานี้ เพ่ือหลกี เล่ยี งการประมาณคาเกินจรงิ รูปที่ 4. การพยากรณที่สอดคลองกบั ขอมลู ในรปู ท่ี 3 เชน เดยี วกบั กอนหนาน้ีการพยากรณถกู จดั กลุมตามวนั ใน รอบ 1 สปั ดาหเ พ่ือใหเห็นฤดูกาลแบบรายสปั ดาห อยา งไรกต็ ามมีแนวโนม วา ขอมูลในอดีตไมเ พยี งพอทจี่ ะเลือกพารามิเตอรก ารทำใหเ ปน มาตรฐาน โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

การพยากรณสำหรับขอ มูลเชงิ ปรมิ าณ 105 รูปที่ 5. การพยากรณโดยใชขอมูลท่ีมีท้งั หมดรวมถึงการใชขอ มลู ในอดีต เสน ทึบอยูในตัวอยา งพอดี เสน ประคือ การพยากรณที่ไมอ ยใู นกลุมตัวอยาง รปู ที่ 6. สวนประกอบของการพยากรณในรูปท่ี 5 จุดเปล่ียนของตวั แบบและฤดูกาล ทำใหเปน มาตรฐานเปน ส่ิง สำคญั สำหรบั ทง้ั สองคานี้เพอื่ หลีกเลีย่ งการพยากรณเ กนิ จริง ที่ดีทีส่ ดุ ผานการตรวจสอบการกำหนดเรม่ิ ตนท่ีเหมาะสมสำหรับปญ หาการพยากรณสวนใหญและ พารามเิ ตอรเหลานีจ้ ำเปน ตอ งทำการประมาณโดยใชการวนลูป 4.2.5 การสรา งตัวแบบการวิเคราะหแ บบวนซ้ำ นกั วิเคราะหทท่ี ำการพยากรณจะมีความรูเก่ยี วกบั ปรมิ าณของขอมูลทพี่ วกเขาทำการพยากรณ แตมีความรูทางสถิติไมมากนัก ในการระบุแบบจำลองหลายมีตำแหนงท่ีนักวิเคราะหท่ที ำการพยากรณ สามารถปรบั เปลี่ยนตัวแบบ เพ่อื ใชความรูและความเช่ียวชาญของตนเอง โดยไมตองมีความเขาใจใน สถติ พิ ้ืนฐาน ความสามารถ : นักวิเคราะหอาจมีขอมูลเชิงปริมาณภายนอกทางธรุ กิจท้งั หมด และสามารถ ใชค วามรโู ดยผา นขอ มลู เชงิ ปริมาณภายนอกทางธรุ กจิ ท่มี อี ยู โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

106 ธรี ภัทร ประจำถ่ิน และคณะ จดุ เปลี่ยนของขอ มลู : สามารถระบุวันที่ขอมลู มีการเปลี่ยนแปลงอยา งกระทนั หนั เชน วนั ที่มี การเปล่ยี นแปลงผลติ ภณั ฑ วันหยุดและฤดูกาล : นักวิเคราะหที่มีประสบการณพบวาวันหยุดสง ผลกระทบตอ การเติบโต ในบริเวณใดบรเิ วณหน่ึง และสามารถระบุวนั หยุดและชว งเวลาของฤดูกาลทีเ่ กีย่ วของไดโ ดยตรง การปรับพารามเิ ตอรใหเรยี บ : นักวเิ คราะหสามารถเลอื กปรับ τ ภายในชว งของตัวแบบ ทั้งหมดหรือเฉพาะสวน คาพารามิเตอรการปรับใหเรียบของ ฤดกู าลและวนั หยุด ( σ, ν ) ยอมใหนกั วเิ คราะหระบุวาตัวแบบการพยากรณมีความแปรผนั ตามฤดูกาลในอดีตมากนอ ยเพยี งใด ซ่งึ จะเปนการ คาดการณค า ในอนาคต นกั วเิ คราะหสามารถใชพารามิเตอรเหลานี้เพอ่ื ปรบั ปรุงตัวแบบ เมอื่ ตวั แบบถูกพลอ็ ตโดยใช ขอ มลู ในอดีตจะเหน็ ไดอยา งรวดเร็ว หากมีจุดเปล่ยี นหายไปก็จะเลอื กจดุ เปลยี่ นใหมม าแทนโดยอัตโนมัติ พารามิเตอร τ สามารถปรบั เพ่อื เพิม่ หรอื ลดความยดื หยนุ ของแนวโนม และ σ สามารถปรับเพอื่ เพมิ่ หรอื ลดประสทิ ธิภาพขององคประกอบฤดกู าล นกั วเิ คราะหสามารถทำการสรา งขอมลู ไดมากมาย : แนวโนมเชิงเสน หรอื การเติบโตทางโลจิสติก,การระบุชวงเวลาของฤดูกาล และการระบุชว งเวลาท่ีอยู สูงกวา ปกติที่ควรเอาออกจากการสรา งตัวแบบเล็กนอ ยเพ่ือความเหมาะสม ส่ิงตา งๆ เหลานี้สามารถ ทำไดโดยไมตอ งมีความเชย่ี วชาญทางสถิติและเปน วิธีที่มีความสำคัญสำหรบั นกั วเิ คราะหในการใชความ รูเชงิ ลกึ หรือความรูข องตนเอง วรรณกรรมการพยากรณทำใหเกิดความแตกตา งระหวา งการพยากรณเชงิ สถิติ ซงึ่ สรางโดยใช ขอมลู ในอดีต และการพยากรณเชงิ ตดั สนิ ( เรยี กอีกอยางหนึง่ วาการพยากรณเชิงการจดั การ ) ซ่ึงผู เชย่ี วชาญอาศัยประสบการณการทำงานของตนเองในการพยากรณขอ มูลอนุกรมเวลา สองวิธีดงั กลา ว ตา งก็มขี อ ดี การพยากรณเชิงสถิติตอ งใชความรูเ ก่ยี วกับขอบเขตของขอ มลู และตอ งอาศัยความพยายาม จากนักพยากรณ ซึง่ ทำใหสามารถสามารถปรับการพยากรณจำนวนมากไดอยา งงาย การพยากรณเชงิ ตดั สนิ ประกอบดวยขอมลู จำนวนมาก และตอบสนองตอ เงือ่ นไขที่มีเปลี่ยนแปลงไดมากแตนกั วเิ คราะห อาจจะตอ งทำงานหนัก(Sanders,2005) วิธีการสรา งตัวแบบการวเิ คราะหแบบวนซำ้ เปนทางเลือกที่เกดิ จากการผสมผสานขอ ดีของการ พยากรณเชิงสถิติและการพยากรณเชงิ ตดั สิน โดยมุงเนน การปรับปรุงตัวแบบเมื่อมีความจำเปนมากกวา ท่ีจะสรา งการพยากรณ โดยผานขนั้ ตอนท่ีไมไดแสดงใหเห็น เราพบวา วิธีการนี้ใกลเคยี งกับ “ตัวแบบ การแปลงภาพ” แบบวนซำ้ ที่เสนอโดย Wickham and Grolemund (2016) ซงึ่ ขอบเขตความรูของ มนุษยเ ปน การรวบรวมตัวแบบทป่ี รับปรงุ ใหมห ลงั จากการทำซ้ำหลายๆ รอบ การเพมิ่ ปรมิ าณขอ มลู ของการพยากรณโดยทว่ั ไปขน้ึ อยูกับขน้ั ตอนอตั โนมตั ิอยางสมบรู ณ แต การพยากรณเชงิ ตัดสินแสดงใหเห็นวา มีความแมนยำสูงในหลายๆ แอปพลิเคช่นั (Lawrence et al., 2006) วิธีการท่ีนำเสนออนุญาติใหนกั วเิ คราะหประยุกตใชการตัดสินใจในการพยากรณผา นขอมูล พารามเิ ตอรของตัวแบบ และเลอื กตวั แบบที่ใชงานงา ย ในขณะที่ยังคงรักษาความสามารถในการ พยากรณทางสถติ ิโดยอตั โนมัติเม่อื จำเปน จากงานเขียนน้ีเรามีหลักฐานท่ีชดั เจนเพยี งอยางเดยี วสำหรับ การปรับปรงุ ความถูกตองทีเ่ ปนไปได แตเ ราหวงั วาจะมีการวิจยั ในอนาคตทส่ี ามารถประเมินการปรับปรุง โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

การพยากรณส ำหรับขอ มูลเชงิ ปริมาณ 107 ทนี่ กั วิเคราะหสามารถทำได ความสามารถในการวิเคราะหแบบวนซำ้ ขนึ้ อยูกับการประเมนิ คุณภาพการพยากรณโดยอัต- โนมัตแิ ละเครื่องมือการสรา งขอมลู ภาพทด่ี ี ตอนน้เี ราอธบิ ายวาการประเมินการพยากรณสามารถดำเนิน การอตั โนมัติ เพ่อื ใหน กั วเิ คราะหส ามารถระบขุ อ มูลทเี่ กยี่ วขอ งกบั การพยากรณมากทส่ี ุด 4.3 การประเมนิ ผลการพยากรณอัตโนมัติ ในสวนนี้นำเสนอขัน้ ตอนสำหรับการประเมินประสิทธิภาพการพยากรณ โดยการเปรยี บเทยี บ วธิ ีตา ง ๆ และระบุการพยากรณท่ีอาจรับประกนั การแทรกแซงดว ยตนเอง สว นน้ีไมเชอื่ เร่อื งวิธีการ พยากรณท่ีใช และมีแนวทางการปฏบิ ตั ิท่ีดีทส่ี ดุ ท่ีไดเลง็ ไว ในขณะที่การพยากรณทางธุรกจิ เกย่ี วกับ การผลติ การจัดสงสนิ คาผา นทางแอปพลิเคชันที่หลากหลาย 4.3.1 การใชการพยากรณพ้ืนฐาน ในการประเมินข้ันตอนของการพยากรณสิง่ สำคัญคอื การเปรยี บเทียบการพยากรณกับวธิ ีการ พยากรณพ้นื ฐาน ในงานวจิ ัยนี้เลอื กใชก ารพยากรณแ บบงายทม่ี ีขอ กำหนดเบ้อื งตนเก่ียวกับกระบวนการ พ้นื ฐาน แตสามารถสรางการพยากรณท่ีสมเหตุสมผลในทางปฏบิ ตั ิ ซง่ึ พบวามีประโยชนในการเปรียบ เทยี บตัวแบบแบบงาย (คาสดุ ทายและคา เฉลี่ยของตวั อยา ง) รวมถงึ ขนั้ ตอนการพยากรณอัตโนมตั ิท่ี อธบิ ายไวในบทนำ 4.3.2 ความแมน ยำของตัวแบบการพยากรณ การพยากรณเกดิ ข้นึ ในชว งระยะเวลาหนึง่ กำหนดใหเปน H ระยะเวลาการพยากรณคอื จำนวน วนั ในอนาคตทเ่ี ก่ยี วกับการพยากรณ โดยทัว่ ไปแลว ในแอปพลเิ คชนั คือ 30 วัน หรือ 1 เดือน 90 วนั หรอื 1 ไตรมาส 180 วนั หรือครึง่ ป 365 วัน หรือหน่ึงป ดังน้นั สำหรบั การพยากรณใด ๆ ท่ีมีขอมลู เปน ราย วนั จะสรา งคาประมาณของอนาคตสูงสุดจนถึงคา H ซึ่งแตล ะคา จะมีความสมั พนั ธกับความผดิ พลาด จงึ จำเปน ตองแสดงวตั ถปุ ระสงคของการพยากรณเพื่อเปรียบเทียบวิธีการและตรวจสอบประสทิ ธิภาพ นอกจากน้ีการทำความเขาใจวา ขน้ั ตอนการพยากรณของเราเกดิ ขอผิดพลาดไดอยางไร สามารถชว ยให ผูใชการพยากรณทางธรุ กจิ เลอื กวา จะเชอ่ื ถอื ไดหรอื ไม กำหนดให yˆ(t|T )แทนการพยากรณสำหรบั เวลาt จากขอ มูลในอดตี จนถงึ T และ d(y, y′) เปน ตัวชี้วดั ระยะทาง เชน คา เฉลย่ี สัมบูรณ d(y, y′) = |y − y′| ทางเลอื กของฟง กช นั ระยะทางควรเปน ปญหาเฉพาะ De Gooijer and Hyndman (2006) ไดทบทวนเกย่ี วกับความคลาดเคล่อื นดังกลาว พบ วาในทางปฏิบตั ิคา เฉลย่ี คลาดเคลือ่ นสมบูรณ(MAPE)จะถูกนำไปใชอธบิ ายหรือแปลผลความแมน ยำเชงิ ประจักษของการพยากรณ h ϵ (0, H) พยากรณไป T ชว งเวลาขางหนา หาไดจาก ϕ(T, h) = d(yˆ(T + h|T ), y(T + h)) โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

108 ธรี ภัทร ประจำถนิ่ และคณะ เพอ่ื จดั ทำประมาณการความถูกตองนี้และ h มีคาท่ีหลากหลาย มันเปน เรือ่ งธรรมดาท่ีจะระบุ รูปแบบพารามิเตอรสำหรับความผดิ พลาดและเพอ่ื ประเมินพารามเิ ตอรจากขอมลู ยกตัวอยางเชน เรา ใชต ัวแบบ AR(1), y(t) = α + βy(t − 1) + ν(t), เราสมมตวิ า ν(t) ∼ Normal(0, σv2)และมุง เนน ไป ที่การประมาณคา ความแปรปรวนของ σν2 จากขอมลู นัน้ เราสามารถสรา งความคาดหวังโดยใชฟงกช นั ระยะทางผานตัวแบบ หรอื โดยใชนิพจนการวเิ คราะหสำหรบั คาคาดหมายของผลรวมคา คลาดเคลื่อน นา เสยี ดายท่ีวธิ ีเหลาน้ีใหการประมาณคาท่ีถูกตองของขอ ผดิ พลาดตามเงอื่ นไข โดยระบุแบบตวั แบบที่ ถกู ตองสำหรบั กระบวนการซ่ึงเปนเงอ่ื นไขทีไ่ มนาจะถอื ไดในทางปฏิบตั ิ เราตองการวิธีท่ีไมใชพารามิเตอรเพอ่ื ประเมินความคลาดเคล่ือนของคาคาดหวงั จะมีผลบังคับ ใชในรุนตา งๆ วธิ ีน้ีคลา ยกบั การใชการตรวจสอบขา มเพื่อประเมนิ ขอผิดพลาดท่ีมีอยูในกลมุ ตัวอยาง สำหรบั ตวั แบบทีท่ ำการพยากรณในขอมูลที่เปน อสิ ระกนั และมีการแจกแจงเหมือนกัน เมือ่ ไดรับชุดการ พยากรณเชงิ อดีตเราไมไดเปนแบบจำลองของความคลาดเคล่อื นท่ีคาดหวัง เราจะทำในชวงระยะการ พยากรณใ นอนาคต h ξ(h) = E[ϕ(T, h)]. (8) ตวั แบบนี้ควรมีความยืดหยุน แตสามารถกำหนดสมมตฐิ านบางอยา งได อนั ดับแรกฟงกช นั ควรราบรื่นในระดับทอ งถนิ่ เนอ่ื งจากเราคาดวาขอ ผิดพลาดใดๆที่เราทำในวนั ตดิ ตอกนั จะคอนขาง คลายคลงึ กนั ประการที่2 เราอาจกำหนดสมมตฐิ านวาฟง กช นั ควรเพมิ่ ขน้ึ เล็กนอยในh แมวา ส่งิ น้ีไม จำเปน ทกุ กรณีสำหรบั ตวั แบบการพยากรณ ในทางปฏบิ ัติเราใช local regression (Cleveland and Devlin 1998)หรอื isotonic regression (Dykstra 1981) เปน ตัวแบบ non-parametric ท่ีสามารถ ยดื หยนุ ไดของเสน โคง ท่ีคลาดเคลื่อน เพอ่ื สรา งขอ ผดิ พลาดการคาดการณในอดีต เราใชขัน้ ตอนที่เรียก วา การจำลองการพยากรณใ นอดตี 4.4 ตัวแบบการพยากรณข อ มลู ในอดีต เราตอ งการตัวแบบท่ีมีขอมูลท่ีมีการเปล่ียนแปลงอยา งกระทนั หนั ที่คาดหวังไวใน (8) เพ่ือ ทำการประเมนิ และเลือกตัวแบบ แตการใชวิธีการตรวจสอบแบบขา มขอ มลู ไมสามารถแลกเปล่ียนคา สังเกตได เราจึงไมสามารถสุมแบง ขอมลู ไดอ ยา งงายดาย เราใชแบบจำลองการพยากรณใ นอดตี เพื่อสราง K พยากรณ ทีเ่ ลอื กจุดตัดทแ่ี ตกตางกันในอดีต เพอื่ ใหขอบเขตการพยากรณในอดตี กวา งข้ึนและสามารถประเมินขอ ผดิ พลาดทง้ั หมดได ขน้ั ตอนนี้ขน้ึ อยูกบั ข้ันตอนการประเมินการพยากรณพืน้ ฐาน “ จุดเร่ิมตนของการพยากรณแบบวนซำ้ ” แตใชการ ตดั ลำดบั วนั ที่ออกเลก็ นอ ยแทนท่ีจะทำการพยากรณหนึ่งคร้งั ตอวนั ในอดีต ขอดีของการใชงานของการ จำลองจำนวนวันที่นอ ยลง ( การประเมนิ จดุ เรม่ิ ตนของการพยากรณแบบวนซำ้ ทำใหเกิดการพยากรณ หน่งึ คร้ังตอ วัน ) คือมีการคำนวณนอยลง แตขอเสยี ของมันคอื ความแมน ยำก็จะนอยลง การจำลองการพยากรณขอมูลที่เปลีย่ นแปลงอยา งกระทนั หันท่ีเกิดขึน้ ในอดตี ถาเราใชวิธี การพยากรณที่จดุ ในอดตี เหลา นน้ั การพยากรณในรปู ที่ 3 และ รูปที่4 เปน ตวั อยา งของการจำลอง โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

การพยากรณส ำหรบั ขอ มูลเชิงปรมิ าณ 109 การคาดการณในอดีต ขอดีของวิธีนี้คือ สามารถใหนักวเิ คราะหและผูตัดสินใจเขา ใจถงึ ขอมลู ท่ีมีการ เปลีย่ นแปลงอยางกระทนั หนั ในการพยากรณ มีสองประเดน็ หลกั ท่ีควรระวังเมอ่ื ใชวธิ ีการจำลองการ พยากรณในอดตี เพื่อประเมินและเปรียบเทยี บการพยากรณ ประเด็นแรกคอื หากการจำลองการพยากรณมีจำนวนมากขนึ้ ขอผดิ พลาดในการพยากรณก็ จะมากขน้ึ ในกรณีที่การพยากรณอยูนอกขอบเขตที่กำหนด การพยากรณจะไมคอ ยมีการเปล่ียนแปลง เนอื่ งจากเราเก็บขอมูลวันตอ วนั และเมอ่ื ระยะวันใกลเคยี งกันขอ ผดิ พลาดก็จะใกลเคยี งกนั (ขอ ผิดพลาด ก็จะนอย) แตถา วันมีระยะเวลาของวันหางกันมากขอผิดพลาดก็จะมาก ในทางกลบั กนั หากเราทำการ จำลองการพยากรณจำนวนวันไวนอย แลว จำนวนวันท่ีเราทำการพยากรณไมมีคา ผิดปกติ (เหตกุ ารณ สำคญั หรือวนั หยุด) เมื่อนำมาเปรยี บเทยี บกับเหตุการณจริง หากเหตุการณจริงมีคา ผดิ ปกติ (เหตกุ ารณ สำคัญหรอื วันหยดุ ) จะทำใหคาการพยากรณกับคาเหตกุ ารณจรงิ มีคา แตกตางกนั มาก ดังน้นั เราจะมี การสงั เกตขอ มูลท่มี กี ารเปล่ียนแปลงอยางกระทันหันในการพยากรณในอดตี นอยลง เพอื่ เปน พื้นฐานใน การเลือกตัวแบบของเรา ในขณะทกี่ ารแกป ญหาสำหรับขอบเขตการพยากรณ H โดยท่วั ไปเราสรางการ จำลองการพยากรณทุกๆ ระยะ H/2 แมว าการพยากรณท่ีมีความสมั พันธกนั จะไมทำใหเกิดความเอน เอียงในการประเมินความถูกตองของแบบจำลอง เราทำการพยากรณท ่มี จี ำนวนวันนอ ยและทำการคาด การณอยา งชาๆ ประเดน็ ท่2ี การพยากรณจ ะสามารถทำไดด ีหรอื แยลงขึ้นอยกู ับจำนวนขอมลู จำนวนเหตุการณ ในอดีตท่มี ากข้ึนอาจทำใหก ารพยากรณแยล ง หรืออาจจะทำใหค วามผดิ พลาดในการพยากรณ เนื่องจาก เราใชระยะเวลาในอดีตมากเกินไป ตัวอยา งเชน การใชคาเฉล่ยี ของตวั อยางเพ่อื พยากรณอนุกรมเวลาที่ มแี นวโนม รูปท่ี 7. คา MAPE ของวธิ ีการพยากรณและขอมูลอนุกรมเวลาของรปู ที่ 3 และ 4 ตัวแบบการพยากรณดวย auto.arima มขี อผิดพลาดในการพยากรณต ำ่ กวา วิธีการพยากรณอ ตั โนมตั ิอนื่ ๆ โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

110 ธีรภทั ร ประจำถ่ิน และคณะ รูปที่ 7 แสดงคาประมาณ ξ(h), คา MAPE ท่ีคาดหวงั ในชวงเวลาทที่ ำการพยากรณโดยใช โปรแกรม LOESS สำหรบั ชดุ ขอ มลู อนุกรมเวลาของรูปท่3ี และรูปท4ี่ การประมาณคาเหลานี้เกดิ จาก จำลองการพยากรณ 9 วันตอ 1 ไตรมาส เร่มิ ตน หลงั จากปแรก ผูทำการพยากรณพบวา มีขอ มลู ที่ เปลย่ี นแปลงอยา งกระทันหนั ในการพยากรณนอยกวา ขอบเขตที่ กำหนดเม่ือเทียบกับการพยากรณอ่ืน ๆ การพยากรณนี้ถกู สรางขึน้ ดวยการกำหนดและปรบั เปล่ียนพารามเิ ตอรเรม่ิ ตน ซงึ่ สามารถชวยในการ ปรับปรุงประสทิ ธภิ าพการทำงานตอ ไป เมอื่ สามารถมองเห็นเสนการพยากรณแลว เราตองใชจ ดุ แทนเสนเพื่อแสดงขอ มลู ในอดตี เนื่องจาก สงิ่ เหลา นี้เปนตัวแทนของการวดั ความแมนยำซ่ึงไมเคยถกู แกไ ข จากนน้ั เราจะวางจดุ ทับเสน ที่มีการ พยากรณ การจำลองการพยากรณในอดตี มีประโยชนในการแสดงภาพท่ีตวั แบบทำขอ ผิดพลาดท่ีเกดิ ขึ้นในขอบเขตตา งๆ ทงั้ ในแบบอนกุ รมเวลา (ดังรูปที่3) และรวมเขากับการจำลองการคาดการณในอดตี (ดงั รูปที7่ ) แมแ ตในชุดขอ มลู เวลาเดียวกนั การจำลองการพยากรณในอดีตก็ตอ งการการพยากรณจำนวน มากและขอมลู เชิงปริมาณท่ีเราตอ งการดารพยากรณ อาจมีตัวช้ีวดั หลายๆแบบท่ีมีการรวบรวมขอ มลู ไว มากๆ การจำลองการพยากรณในอดตี สามารถคำนวณไดอยางอสิ ระบนเครอื่ งแยกตา งหากเทา ท่ีเคร่ือง เหลานัน้ สามารถเขียนไปยงั ขอมลู เดียวกนั ได เราจัดเกบ็ การพยากรณและขอ มลู ท่ีเปลี่ยนแปลงอยา ง กระทันหันไวใน Hive หรอื MySQL ขึน้ อยกู ับการใชง าน 4.5 การระบุขอ ผิดพลาดขนาดใหญข องการพยากรณ เม่อื การพยากรณมีคา เกนิ จรงิ มากเกินไป ส่ิงสำคัญที่นกั วเิ คราะหจะตอ งทำการตรวจสอบคอื ตองระบุปญ หาการพยากรณที่อาจเกดิ ข้ึนโดยอตั โนมตั ิ สิ่งนี้สามารถชว ยใหนักวเิ คราะหใชเวลาท่ีมีอยู อยา งจำกัดไดม ากท่ีสดุ และใชความเช่ียวชาญของตนเองแกปญหาได วธิ ีท่ใี ชตัวแบบการพยากรณข อมูล ในอดีตเพื่อระบปุ ญ หาทีอ่ าจเกดิ ขนึ้ กับการพยากรณ มีดงั นี้ -เม่ือการพยากรณมีขอมูลท่ีผิดพลาดสูงกวา เสนขอบเขตที่กำหนด ซงึ่ อาจจะเกิดขอ ผิดพลาด จากตวั แบบการพยากรณ นักวิเคราะหสามารถปรบั ตวั แบบการพยากรณหรอื ฤดกู าลไดตามความตองการ -เมื่อขอ มูลมีคาผดิ ปกติจำนวนมาก นักวิเคราะหจะตองระบุวนั ที่ไวในคาผดิ ปกติ และสามารถ เอาคาผดิ ปกตอิ อกได -เมอ่ื มีขอ ผิดพลาดเกดิ ข้นึ ในตวั แบบการพยากรณขอ มลู ในอดีต ซ่ึงเกิดจากการตัดขอผดิ พลาด ตวั หน่ึงออกไป บงชี้วา การสรางตวั แบบทำใหขอ มลู มีการเปลี่ยนแปลงจาก การเพิม่ จดุ เปลี่ยน ซ่ึงการ สรา งแบบตวั แบบแบบแยกขน้ั ตอนสามารถแกไ ขปญ หาได มีความผดิ ปกติท่ีแกไ ขไดยาก แตปญ หาสว นใหญท่ีพบสามารถแกไขไดโดยการระบุจดุ เปลี่ยน และการตดั คา out liner ส่ิงตางๆเหลาน้ีสามารถกำหนดและแกไขไดอยา งงา ย เมอ่ื การพยากรณมีการ ทบทวนแบบวนซ้ำและเมอ่ื ตรวจจับคา ผิดปกตไิ ด โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

การพยากรณส ำหรับขอมูลเชงิ ปริมาณ 111 5. สรุปผลการวิจยั สง่ิ ที่สำคญั ของการสรา งตัวแบบการพยากรณขอมูลเชิงปริมาณคอื นกั วเิ คราะหควรจะมีความ รูพน้ื ฐานที่หลากหลายและสามารถนำเทคนิคการสรา งตัวแบบการพยากรณตา งๆ มาประยุกตใชกบั ขอมูลจริง สวนประกอบแรกของการพยากรณคอื ตัวแบบใหมท่ีถูกปรบั ปรงุ และพัฒนาดว ยเทคนิคการ วนซำ้ หลายรอบ ในการพยากรณข อมูลทีม่ คี วามหลากหลายเชน การทำธุรกจิ บน Facebook ถกู นำมาส รา งตวั แบบพยากรณโดยใชตัวแบบการถดถอยแบบแยกสว น ซึง่ ทำงานไดดีกับพารามเิ ตอรเร่ิมตน ของ ตวั แบบ และอนุญาตใหนักวเิ คราะหเลอื กองคประกอบท่ีมีความสัมพนั ธกบั ปญ หาของการพยากรณ ได นอกจากน้ียังทำการปรบั ปรงุ ความเหมาะสมของตัวแบบไดงายตามความตอ งการของผูใช สว น ประกอบท่ีสองคอื ระบบสำหรับการวัดและการตรวจสอบคาความแมนยำของตัวแบบการพยากรณ เพ่ือชวยนักวเิ คราะหทำการปรับปรุงตวั แบบใหมีประสิทธิภาพเพม่ิ มากขึ้น ซึง่ เปน สว นสำคัญท่ีอนุญาต ใหนกั วเิ คราะหระบุไดวา เม่อื ใดตองมีการปรับปรุงตัวแบบ หรอื เมือ่ ใดท่ีตวั แบบมีความแตกตางกันอยาง เหมาะสม ดงั นัน้ ในการพิจารณาการพยากรณขอมูลเชงิ ปริมาณ สำหรบั ขอ มูลอนกุ รมเวลาท่ีมีความ หลากหลาย นกั วเิ คราะหจำนวนมากจะเลอื กใชตวั แบบที่ปรบั ปรงุ หรอื พฒั นาไดงา ย และมีระบบการ ตรวจสอบความเหมาะสมของตวั แบบท่ีมีประสิทธิภาพ เอกสารอางอิง [1] Taylor S. and Letham B.”Forecasting at scale.”(2017) [2] เฉลมิ สิน สงิ หส นอง. ”การจัดการการพยากรณข อมลู ทางธุรกจิ เมอื่ พบคา นอกเกณฑ” ฉบับท่ี 29, เลม ที่ 91, หนาที่ 33–36, 2015. [3] “Fourier series.” https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fourier_series. Accessed: 2019-10-30. [4] พรณรงค เคลอ่ื นเพ็ชร, เทอดศักดิ์ รองวริ ยิ ะพาณชิ , และศักด์ิดา พรรณไวย.”การพัฒนาแบบ จำลองการใชไ หลท างบนทางพิเศษ.” โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

112 ธีรภัทร ประจำถิน่ และคณะ โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-AP 04 113 ตวั ประมาณคา แบบอัตราสวนเม่ือใชแผนการสมุ ตัวอยา งแบบ ชน้ั ภูมโิ ดยทีแ่ ตละชน้ั ภมู สิ มุ ตัวอยา งแบบงา ยและแบบเรยี งอนั ดับ Ratio Estimators Using Stratified Random Sampling and Stratified Ranked Set Sampling ผแู ตง: Monika Saini and Ashish Kumar จดั ทำโดย: ชูเกยี รติ โพนแกว1* และ วริ าวรรณ ไชยรบ1 1หลักสตู รสาขาวิชาคณิตศาสตร คณะวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั ราชภฏั เพชรบูรณ *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ การศึกษาในครั้งนม้ี วี ัตถุประสงคเ พื่อนำเสนอตัวประมาณแบบอัตราสว นสำหรบั ประมาณคา เฉลีย่ ประชากร เมอื่ ทราบขอ มลู ของตวั แปรชวย ภายใตการสมุ ตวั อยางแบบชัน้ ภูมิโดยที่แตล ะชั้นภมู ิสุมตัวอยา งแบบงาย และสุมตวั อยา งแบบเรยี งอนั ดบั รวมถงึ หาคาความเอนเอียงและคาเฉล่ียของความคลาดเคลอ่ื นยกกำลัง สอง ของตวั ประมาณคา ที่นำเสนอภายใตแ ผนการสมุ ดังกลา ว คำสำคัญ: ประชากรขนาดจำกัด แผนการสมุ ตัวอยางแบบช้ันภูมิ แผนการสุมตวั อยางแบบเรียงอันดบั ตวั แปรชวย ตวั ประมาณอตั ราสวน Abstract The aim of present study is to propose ration estimators for the population mean using auxiliary information efficiently under stratified random sampling (SRS) and stratified ranked set sampling (SRSS). Here,bias and mean square error (MSE) for the proposed estimators have been obtained. Keywords: Finite population, stratified random sampling, stratified ranked set sampling, Auxiliary Variable 1. บทนำ พจิ ารณาประชากร U = {1, 2, ..., N} ขนาด N และตัวอยาง S = {i1, i2, ..., in} ขนาด n เมอื่ li ∈ U เม่ือ l = {1, 2, .., n} y แทนตัวแปรที่สนใจศึกษา (study Variable) สวน x แทน ตวั แปรชว ย (Auxiliary Variable) ที่มีความสมั พันธกับ y พารามเิ ตอรท่ีสนใจจะศึกษา ไดแกคา เฉลย่ี โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

114 ชูเกยี รติ โพนแกว และ วิราวรรณ ไชยรบ ประชากร (Population Mean) เขียนแทนดว ย µy และมีคา ทแ่ี สดงในสมการท่ี (1.1) 1 1N yi (1.1) µy = N yi = N 1∈U i=1 ภายใตก ารสุมอยางงายและไมใสค นื (Simple random sampling without replacement) ตวั ประมาณคา เฉล่ียของประชากร เขยี นแทน (△SRS) และมคี า ตามท่ีแสดงในสมการ (1.2) (△SRS ) = y¯ (1.2) x¯ µx เม่ือ 1 1 n n n y¯ = yi = yi i∈S i=1 n 1 1 x¯ = n xi = n xi i∈S i=1 ความแปรปรวนของ (△SRS) เขยี นแทนดวย V (△SRS) และมีคาตามทีแ่ สดงใน (1.3) V (△SRS ) =∼ 1−f N 1 (yi − Rxi)2 (1.3) n −1 i∈U ภายใตการแผนการสุม ตัวอยา งแบบชน้ั ภูมิ (Stratified sampling : ST) ประชากร U ถกู แบงออกเปน K ช้นั ภมู ิ U = U1 ∪ U2 ∪ U3 ∪ ... ∪ UK โดยท่ี Ui ∩ Uj = ϕ เม่อื i ̸= j และ Uh = {1, 2, 3, ..., Mh} กำหนดใหตัวอยาง S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ ... ∪ Shโดยท่ี Si ∩ Sj = ϕ เม่อื i ≠ j Sh = {1, 2, 3, ..., mh} เมือ่ Mh และ mh เปน ขนาดของประชากรและตวั อยา งตามลำดับ Cochran [6] นำเสนอคาตวั ประมาณคาของคา เฉลี่ยของประชากร ตามท่แี สดงในสมการท่ี (1.4) (△SRS )T R = y¯st µx = Rˆµx (1.4) x¯st เมื่อ m = K mh แทนขนาดตวั อยางและ M = K Mh แทน ขนาดของประชากร Y¯h = 1 Mh yhi = h=1 h=1 Mh i=1 Mh K xhi y¯st = Qhy¯h i=1 h=1 1 X¯h = 1 1 x¯st = Mh Mh และ ตามลำดับ ให และMh yhi = xhi i∈U i∈U mh mh yhi xhi i=1 i=1 K y¯h = 1 = 1 1 = 1 Mh mh mh mh mh M ท่ี และ และQhx¯h h=1 yhi x¯h = xhi Qh = i∈S i∈S สำหรับคาความแปรปรวนของ (△SRS )T R = y¯st µx = Rˆµx เขยี นแทนดว ย V (△SRS )T R x¯st และมคี าตามที่แสดงใน (1.5) K (1.5) V (△SRS) =∼ Q2hδh Sy2h + Rh2 Sx2h − 2RhρSxhSyh TR h=1 Mh Mh (yhi (xhi i=1 i=1 เมื่อ และ , และδh Y¯h = ( 1 ) Rh = X¯h Sy2h = 1 − Y¯h)2 Sx2h = 1 − X¯h)2 mh Mh−1 Mh−1 Mh (yhi i=1 และSyxh Syx = 1 − Y¯h)(xhi − X¯h) ρ = Sy Sx Mh−1 โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

ตวั ประมาณคาแบบอัตราสว นเมือ่ ใชแผนการสมุ ตัวอยางแบบ ช้นั ภูมิโดย… 115 นอกจากตัวประมาณคา ที่ Cochran [6] นำเสนอ Takshasi และ wakimoto [17] Mclntyre [10] Swami และ Muttlak [14] Bouza [4, 5],Patil [11],Jemain และ Al-Omari [8],Tien-suwan และคณะ,Al-Omariและ Jaber [1],Al-Omari และคณะ [2],Kadilar et al [9],Saini และ Kumar [12]ฯลฯ ไดกลาวถึงการประมาณคา เฉลย่ี ของประชากรภายใตการสมุ ชน้ั ภมู ิและแตละชั้นภมู ิสุมแบบ เรียงอันดับ (Stratified ranked set sampling :SRSS) และ Samawi [13]ไดนำเสนอตัวประมาณคา เฉลยี่ ประชากร ภายใตการสุม ดงั กลาว กำหนดให (yh[i : nh]j, xh[i : nh]j) หมายถงึ หนวยอนั ดบั ที่ i ในตวั อยางที่ j ของช้ันภมู ิที่ h ของตวั แปรท่ีสนใจศกึ ษาและตัวแปรชวย เมอ่ื h = 1, 2, ..., K; j = 1, 2, ..., d; i = 1, 2, ..., nd และ mh = nhd ตัวประมาณคา ที่เสนอโดย Samawi และ Siam [15] นำ เสอนแสดงดังสมการท่ี (1.6) (△SRSS )T R = Y¯srss µx = Rˆµx (1.6) X¯srss เมือ่ และK K y¯srss = Qhy¯h[rss] x¯srss = Qhx¯h[rss] h=1 h=1 y¯h[rss] = 1 nh d : nh]j และ x¯h[rss] = 1 nh d : nh]j สำหรบั คา ความแปรปรวน nhd nhd yh[i xh[i i=1 j=1 i=1 j=1 ของ (△SRSS )T R = µY¯srss x = Rˆµx เขยี นแทนดวย V (△SRSS )T R มีคาทีแ่ สดงใน (1.7) X¯srss K 1 nhd V (△SRSS )T R =∼ Qh2 {Sy2h + R2Sx2h − 2RhSyxh} h=1 − 1 nh △2yh[i] + Rh2 nh △2xh[i] − 2Rh nh △2yxh[i]] (1.7) n2hd [ i=1 i=1 i=1 เมอ่ื KK V (y¯srss) = Qh 1 Sy2h − 1 △2yh[i] nhd nh h=1 i=1 KK 1 Sy2h 1 △x2h[i] V (x¯srss) = Qh nhd − nh i=1 h=1 KK 1 Sy2h 1 △2yxh[i] C ov (y¯srss x¯srss ) = Qh nhd − nh i=1 h=1 △yh[i] = (µyh[i] − Y¯h), △xh[i] = (µxh[i] − X¯h), △yxh[i] = (µyh[i] − Y¯h)(µxh[i] − X¯h) 2. ความรูพ้นื ฐาน บทนิยาม 2.1. ถา y เปนตัวแปรสุม และ f(y) เปนฟง กช ันความนา จะเปน ของ y แลว µy คือ คาคาด หวัง (Expectation) ของ y โดย (1) µy = E(y) = yf(y) เม่ือ y เปนตัวแปรสุมวยิ ุต ∀y (2) µy = E(y) = ∀y yf(y)dy เมอื่ y เปน ตัวแปรสมุ ชนิดตอ เนอื่ ง โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

116 ชเู กียรติ โพนแกว และ วิราวรรณ ไชยรบ บทนิยาม 2.2. กำหนดให µy แทนพารามิเตอรท ่ตี อ งการศึกษา และ Y¯ˆ เปนตวั ประมาณคาของ µy (1) Yˆ¯ เปนตัวประมาณคาท่ีไมเอนเอียง (Unbiased estimator) ของ µy ก็ตอ เมือ่ E(Y¯ˆ ) = µy นนั้ คอื Bias(Y¯ˆ ) = E(Yˆ¯ ) − µy = 0 (2) Y¯ˆ เปนตวั ประมาณคา ท่ีไมเอนเอียงโดยประมาณของ (Approxiomately unbiased estimator) µy ก็ตอ เม่อื E(Yˆ¯ ) =∼ µy นน้ั คอื Bias(Yˆ¯ ) = E(Yˆ¯ ) − µy ∼= 0 บทนิยาม 2.3. กำหนดให y แทนตวั แปรทีส่ นใจ และ x แทนตวั แปรชวย จากประชากร U = {1, 2, 3, ..., N} กำหนดให (yi, xi) แทนคาสงั เกตของหนวยตวั อยางท่ี i ของ y และ x เมอ่ื i ∈ U คาเฉลีย่ ประชากร ของ y และ x เขียนแทนดวย µy และ µx ตามลำดบั (1) µy = 1 yi N i∈U (2) µx = 1 xi N i∈U บทตัง้ 2.4. กำหนดให y แทนตัวแปรท่ีสนใจศกึ ษาและ y1, y2, y3, ..., yn แทนคา สังเกตของตวั อยา ง ภายใตก ารสมุ แบบงายและไมใ สค นื (1) ตวั ประมาณคาของ µy เขยี นแทนดวย y¯ และกำหนดคา ดังนี้ 1 y¯ = yi n i∈S ตัวประมาณคา ของ µx เขียนแทนดว ย x¯ และกำหนดคาดงั นี้ 1 x¯ = xi n i∈S (2) y¯ เปนตวั ประมาณคาทีไ่ มเ อนเอียงของ µy (3) ความแปรปรวนของ y¯ เขยี นแทนดวย V (y¯) และกำหนดคาดงั นี้ V (y¯) = 1−f N 1 (yi − µy)2 n −1 i∈U (4) ตวั ประมาณคา ของ V (y¯) เขยี นแทนดวย Vˆ (y¯) และกำหนดคาดงั น้ี Vˆ (y¯) = 1 − f 1 (yi − y¯)2 n n−1 i∈s 3. ตัวประมาณที่ Monika และ Ashish นำเสนอ ในหัวขอนี้ผูศกึ ษาจะกลาวถึงตวั ประมาณท่ี Monika และ Ashish เสนอแผนการสมุ ตวั อยาง แบบช้นั ภูมิ โดยที่ แตละชน้ั ภูมิสมุ ตวั อยา งแบบงายและไมใสค ืน หรือสุมตัวอยางแบบเรยี งอนั ดับ ดงั น้ี โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

ตัวประมาณคา แบบอัตราสว นเมื่อใชแ ผนการสุมตวั อยางแบบ ช้ันภูมโิ ดย… 117 3.1 แผนการสมุ ตัวอยางแบบชน้ั ภูมิ และ แตละชน้ั ภูมิสมุ ตวั อยา งแบบงายและไมใ สคืน กำหนดให qt แทนควอไทลที่ t เม่ือ t = 1, 3 ของตัวแปรตวั แปรชวย ตวั ประมาณคาท่ี Monika และ Ashish นำเสนอคามคี าตามทแี่ สดงในสมการ (3.1) (△SRS )t = y¯st µx − x¯st + qt ; t = 1, 3 (3.1) µx + x¯st + qt เม่อื y¯st และ x¯st กำหนดคา ตามที่เเสดงในสมการที่ (1.4) ตอ ไปผูศึกษาจะไดกลาวถึงคุณสมบัติของ (△SRS)t ในทฤษฏบี ทท่ี (3.1) ทฤษฎบี ท 3.1. กำหนดให (△SRS)t มีคา ตามท่แี สดงในสมการที่ (3.1) (1) (△SRS)t เปนตวั ประมาณคา ทไ่ี มเ อนเอยี ง µy (2) ความแปรปรวนของ (△SRS)t เขยี นแทนดวย V (△SRS)t มคี า ดงั น้ี K V (△SRS)t ∼= Q2hδh Sy2h + Uh2Sx2h − 2UtSyxh h=1 พิสจู น. (1) จะแสดงวา (△SRS)t เปน ตัวประมาณคา ทไ่ี มเ อนเอยี ง µy จากสมการ (3.1) จะเห็นวา (△SRS)t ไมเปน สมการเชิงเสน (Nonlinear estimator) จำเปน ตอ งใช เทเลอรแบบเชงิ เสน ในการปรับ (△SRS)t ใหเปน ตวั ประมาณคา แบบเชิงเสน ดังน้ี จากสมการ (3.1) สามารถเขยี น (△SRS)t ใหอยูใ นรูปของฟง กช นั ปรับเรียบตามท่ีแสดงในสมการ(??) (△SRS )t = y¯st µx − x¯st + qt = tˆ1 µx − tˆ2 + qt = h(tˆ) (3.2) µx + x¯st + qt µx + tˆ2 + qt เมอื่ tˆ = tˆ1 tˆ2 ′ = K K′ ดังนน้ั Qhy¯h Qhx¯h h=1 h=1 E(tˆ) = E tˆ1 tˆ2 ′ = µy µx ′ = t1 t2 ′ เมอ่ื แทนคา tˆ1 ดว ย t1 = µy และ tˆ2 ดวย t2 = µx ในสมการ (3.2) ไดวา h(t) = tˆ1 µx − tˆ2 + qt = µy µx − µx + qt = µy qt µx + tˆ2 + qt µx + µx + qt 2µx + qt จากขา งตนสามารถเขียน (△SRS)t ใหอ ยใู นรูปตวั ประมาณคา แบบเชิงเสน ไดดังน้ี (△SRS )t,lin ∼= h(t) + 2 ∂h(tˆ) (tˆi − ti) i=1 ∂tˆi tˆ=t โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

118 ชเู กียรติ โพนแกว และ วริ าวรรณ ไชยรบ = µy qt + qt (tˆ1 − t1) − Ut(tˆ2 − t2) 2µx + qt 2µx + qt (△SRS)t,lin =∼ µy + (tˆ1 − t1) − Ut(tˆ2 − t2) (3.3) จากสมการที่ (3.3) หาคาคาดหมายของ E (△SRS)t =∼ E (△SRS)t,lin ดงั น้ี E (△SRS )t ∼= E (△SRS )t,lin = E µy + (tˆ1 − t1) − Ut(tˆ2 − t2) = µy + (t1 − t1) − Ut(t2 − t2) = µy E (△SRS)t =∼ µy โดยนยิ าม (2.2) ขอ (2) จะไดวา (△SRS)t เปน ตัวประมาณคาที่ไมเอนเอียงโดยประมาณของ µy (2) หาคา V (△SRS)t,lin จากสมการ (3.3) (△SRS)t,lin ∼= µy + (tˆ1 − t1) − Ut(tˆ2 − t2) (△SRS)t,lin − µy ∼= (tˆ1 − t1) − Ut(tˆ2 − t2) ((△SRS)t,lin − µy)2 ∼= (tˆ1 − t1)2 − Ut2(tˆ2 − t2)2 − 2Ut(tˆ1 − t1)(tˆ2 − t2) E ((△SRS)t,lin − µy)2 ∼= E(tˆ1 − t1)2 − Ut2E(tˆ2 − t2)2 − 2UtE(tˆ1 − t1)(tˆ2 − t2) M ES(△SRS)t ∼= V (△SRS)t = E(y¯st − µy)2 − Ut2E(x¯st − µx)2 − 2UtE(y¯st − µy)(x¯st − µx) = V (y¯st) + Ut2V (x¯st) − 2UtCov(y¯st, x¯st) (3.4) เมอื่ V (y¯st) = E(y¯st − µy)2 V (x¯st) = E(x¯st − µx)2 V (y¯st, x¯st) = E (y¯st − µy)(x¯st − µx) สำหรบั คา V (y¯st), V (x¯st), Cov(y¯st, x¯st) มคี าตามทแ่ี สดงในสมการ(3.5) − (3.7) V (y¯st) = K Qh2 1 − fh 1 mh − Y¯h)2 (3.5) h=1 mh Mh − (3.6) 1 (yhi i=1 V (x¯st) = K Qh2 1 − fh 1 mh − X¯h)2 h=1 mh Mh − 1 (xhi i=1 โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

ตวั ประมาณคา แบบอตั ราสว นเมอ่ื ใชแผนการสุม ตวั อยางแบบ ช้นั ภูมิโดย… 119 Cov(y¯st, x¯st) = K Qh2 1 − fh 1 mh − Y¯h)(xhi − X¯h) (3.7) h=1 mh Mh − 1 (yhi i=1 สำหรับพสิ ูจนนแ้ี สดงในภาคผนวก แทนคา V (y¯st), V (x¯st), Cov(y¯st, x¯st) ในสมการท่ี (3.4) ดังนน้ั V (△SRS )t = K Qh2 (1 − f ) 1 Mh − Y¯h)2 + Ut2 K Qh2 (1 − f ) 1 Mh − X¯h)2 h=1 mh Mh − h=1 mh Mh − 1 (yhi 1 (xhi i=1 i=1 − 2Ut K Qh2 (1 − f ) 1 Mh − Y¯h)(xhi − X¯h) h=1 mh Mh − 1 (yhi i=1 = K Q2h (1 − f ) 1 1 Mh − Y¯h)2 + Ut2 1 1 Mh − X¯h)2 h=1 mh Mh − Mh − (yhi (xhi i=1 i=1 − 1 1 Mh − Y¯h)(xhi − X¯h) 2Ut Mh − (yhi i=1 K V (△SRS)t =∼ Qh2 δh Sy2h + Uh2Sx2h − 2UtSyxh h=1 Mh Mh (yhi (xhi i=1 i=1 เมือ่ และ และ และδh Y¯h = ( 1 ) Rh = X¯h Sy2h = 1 − Y¯h)2 Sx2h = 1 − mh Mh−1 Mh−1 และX¯h)2 Syxh = 1 Mh − Y¯h)(xhi − X¯h) Mh−1 (yhi i=1 3.2 แผนการสมุ ตวั อยางแบบจัดอันดบั กำหนดให qt แทนควอไทลที่ t เมอื่ t = 1, 3 ตัวประมาณคา Monika และ Ashish เสนอแสดงดังสมการที่ 3.8 (△SRSS )t = y¯srss µx − x¯srss + qt (t = 1, 3) (3.8) µx + x¯srss + qt เมอื่ y¯srss และ x¯srss แทนคา เฉลยี่ ของตวั แปรที่สนใจศึกษา y และตัวแปรชว ยของ x ภายใตแผนสมุ ตวั อยางจดั อันดบั ทฤษฎีบท 3.2. กำหนดให (△SRSS)t มคี าตามทีแ่ สดงในสมการที่ (3.8) (1) (△SRSS)t เปน ตัวประมาณคา ทีไ่ มเอนเอยี ง µy (2) ความแปรปรวนของ (△SRSS)t เขยี นแทนดว ย V (△SRSS)t มคี า ดังน้ี K 1 Sy2h + Ut2Sx2h − 2UtSyxh 1 nh nhd − nh2 d V [(△SRSS)t] =∼ Qh2 △2yh[i] h=1 i=1 nh nh + Ut2 △2xh[i] − 2Ut △yxh[i] i=1 i=1 การพิสูจนเชน เดียวกับทฤษฎีท่ี (3.1) โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

120 ชูเกียรติ โพนแกว และ วริ าวรรณ ไชยรบ 4. สรปุ ผล บทความนี้ Saini และ Kumar ไดนำเสนอตัวประมาณคาแบบอตั รสวน เพ่อื ใชประมาณคา เฉลย่ี ประชากร กรณีที่ทราบขอมลู ของตัวแปรชว ยท่ีมีความสัมพันธกับตวั แปรที่สนใจศึกษา ดวยการ เพิ่มคาควอนไทลที่ 1 หรอื ควอนไทลที่ 3 ของตัวแปรชวยเขาไปในตวั ประมาณคา เดิม และศกึ ษา ภาย ใตแผนการสมุ ตวั อยางแบบชั้นภมู ิ แตในแตละชน้ั ภมู ิสมุ ภายใต 2 แผนการสุมตวั อยางท่ีแตกตา งกนั ประกอบดวย 1) แผนการสมุ ตัวอยางแบบงา ยและไมใสคืน 2) แผนการสุมตัวอยา งแบบเรยี งอนั ดับ ใน ทางทฤษฎสี ามารถแสดงไดว า ตวั ประมาณคาแบบอัตราสว นที่ Saini และ Kumar เปน ตวั ประมาณคา ที่ เอนเอียงโดยประมาณ ดังนัน้ คาความคลาดเคลอ่ื นเฉล่ยี ยกกำลงั มคี าเทากับคา ความแปรปรวน 5. ภาคผนวก (1) หาคา V (y¯st) K 1 mh V (y¯st) = V h=1 Qh mh yhi i=1 K 1 mh mh i=1 yhi = Q2hV h=1 = K Qh2 1 − fh 1 mh − Y¯h)2 h=1 mh Mh − 1 (yhi i=1 (2) คา V (x¯st) มวี ิธกี ารหาคาเชนเดียวกับ V (y¯st) (3) หาคา Cov (y¯st), (x¯st) K 1K , K 1K Cov (y¯st), (x¯st) = Cov Qh mh yhi h=1 Qh mh h=1 xhi h=1 h=1 K 1 Mh Mh Mh h=1 m2h = Q2h Cov(yhiIhi, xhiIhi) + Cov(yhiIhi, xhiIhi) i=1 i=1 j/i=1 = K Q2h 1 Mh yhixhi mh 1 − mh h=1 m2h i=1 Mh Mh + Mh Mh yhi xhi mh 1 − mh − 1 − mh mh i=1 j/i=1 Mh Mh − 1 Mh Mh = K Q2h 1 Mh yhixhi mh 1 − mh h=1 mh2 i=1 Mh Mh + Mh Mh yhi xhi mh 1 − mh − 1 1 i=1 j/i=1 Mh Mh Mh − โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

ตัวประมาณคาแบบอตั ราสว นเมื่อใชแ ผนการสมุ ตัวอยางแบบ ช้นั ภูมโิ ดย… 121 = K Qh2 1 mh 1 − mh Mh 1 Mh Mh h=1 mh2 Mh Mh Mh − 1 yhixhi − yhixhi i=1 i=1 j/i=1 = K Qh2 1 1 1 − fh Mh 1 Mh Mh h=1 mh Mh Mh − 1 yhixhi − yhixhi i=1 i=1 j=1 Mh − yhixhi i=1 = K Qh2 1 1 1 − fh Mh − 1 Mh Mh h=1 mh Mh Mh − 1 yhixhi + yhixhi i=1 i=1 j=1 1 Mh + yhixhi Mh − 1 i=1 = K Qh2 1 1 1 − fh Mh Mh 1 Mh Mh h=1 mh Mh Mh − 1 Mh − 1 yhixhi − yhixhi i=1 i=1 j=1 = K Q2h 1 − fh 1 Mh 1 Mh Mh h=1 mh Mh − 1 Mh − 1 yhixhi − yhi xhi i=1 i=1 j=1 = K Qh2 1 − fh 1 Mh 1 Mh h=1 mh Mh − 1 Mh − 1 yhixhi − (yhi − Y¯h)(xhi − X¯h) i=1 i=1 เอกสารอางองิ [1] AI. Al-Omari and K. Jaber, “Percentile double ranked set sampling,” J Math Stat, vol. 4, pp. 60–64,2008 [2] AI. Al-Omari, AA. Jemain and K. Ibrahim, “New ratio estimators of the meanusing simple random sampling and rank set sampling methods,” Revista Investigacion Operacional, vol. 30, no. (2), pp. 97–108, 2009. [3] BC. Arnold, N. Balakrishnan and HN. Nagaraja, “A first course in order statistics,” Wiley,New York, 1992. [4] CN. Bonza, “Model assisted ranked survey sampling,” Biom J, vol. 36, pp. 753–764, 2001. [5] CN. Bonza, “Ranked set subsampling the non-response strata for estimating the difference of means,” Biom J, vol. 44, pp. 903-915, 2002. [6] WG. Cocharn, “Sampling techniques, 3rd edn,” Wiley,New York,1977 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

122 ชูเกียรติ โพนแกว และ วริ าวรรณ ไชยรบ [7] TR. Dell and JL. Clutter, “Ranked set sampling theory with order statistics- background,” Biometrics, vol. 28, pp. 545–555, 1972. [8] AA. Jemain and AI. Al-Omari, “Double quartile ranked set sampling,” Pak J Stat, vol. 22, pp. 217–228, 2006. [9] C. kadilar, Y. Unyazici and H. Cingi, “Ratio estimators for the population mean using ranked set Sampling,” Stat Pap, vol. 50, pp. 301–309, 2009. [10] GA. Mclntyre, “A method for unbiased selective sampling using ranked sets,” Crop Pasture Sci, vol. 3, no. (4), pp. 385-390, 1952. [11] GP. payil, “Ranked set sampling,” In: El-Shaarawi AH, Pieegoshed WW (eds) Ency- clopedia of enviromentrics, vol. 3, Wiley, Chichester, pp. 1684–1690, 2002. [12] M. Saini and A. Kumar, “Ratio estimators for the finite population mean under simple random sampling and rank set sampling. Int J Syst Assur Eng Manag,” https: //doi.org/10.1007/s13198-016-0454-y, 2016. [13] HM. Samawi, “Stratifi ranked set simple,” Pak J Stat, vol. 12, no. (1), pp. 9-16, 1996. [14] HM. Samawi and HA. Muttlak, “Estimation of ratio using rank set sampling,” Biom J, vol. 38, no. (6), pp. 753–764, 1996. [15] HM. Samawi and MI. Siam, “Ratio estimation using stratified ranked set sample,” Metron Int J Stat LXI,(1), pp. 75–90, 2003. [16] K. Takshasi and K. Wakimoto, “On unbiased estimates of the population mean based on the sample stratified by means of ordering,” Ann Inst Stat Math, vol. 20, no. (1), pp. 1-31, 1968. [17] M. Tiensuwan, S. Sarikavanij and BK. Sinha, “Nonnegative unbiased estimation of scale parameters and associated quartiles based on a ranked set sample,” Com- mun Stat Simul Comput, vol. 36, pp. 331, 2007. โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-AP 05 123 การประมาณคาชวงความเชอื่ ม่นั คา เฉล่ยี ของการแจกแจงแบบ ปว ซงส PAopipssroonximDiastteribCuotniofindence Interval for the Mean of ผแู ตง: Manad Khamkong จัดทำโดย: ชูเกยี รติ โพนแกว 1* และ ปย ธิดา หุน เฮฮา1 1หลักสูตรสาขาวิชาคณติ ศาสตร คณะวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏเพชรบรู ณ *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ ขอ มูลท่ีมีการแจกแจงแบบปว ซงสนิยมสรางชวงความเชอ่ื มน่ั ของคา เฉล่ยี ดว ยการปรบั การแจกแจงของ คาเฉลีย่ ของตัวอยาง โดยใชวิธีของวาลว อยางไรก็ตามชวงความเชื่อม่นั ท่ีไดจากวธิ ีดังกลา ว อาจจะไมม ี ประสิทธิภาพเม่อื พิจารณาจากคาความนา จะเปนคมุ รวม และคา ความกวา งของชวงความเชอื่ ม่นั ในกรณี ที่ คา เฉล่ียมีขนาดเล็ก และตวั อยา งไมม ีขนาดใหญ ดังน้นั การศึกษาในคร้งั น้ีมีวตั ถุประสงคเพอ่ื หาชวงความ เช่อื ม่ันของคา เฉลยี่ ของการแจกแจงแบบปวซงส กรณีท่ีคา เฉลีย่ มีขนาดเล็ก และตวั อยางไมม ีขนาดใหญโดย การปรบั ปรงุ วธิ ขี องวาลว ดวยการ เพิ่มปลายหางของการแจกแจงตัวอยา งสุม คำสำคญั : ชว งความเชอื่ ม่ัน, คา ความนา จะเปน คมุ รวม, การแจกแจงปว ซงส, วิธขี องวาลว Abstract A Poisson distribution is well used as a standrd model for analyzing count data. Most of the usual constructing confidence intervals are based on an asymptotic approximation to the distribution of the sample mean by using the Wald method. That is, the Wald method has poor performance in terms of coverage probabilities and average widths interval for small means and small to moderate sample sizes. In this paper, an approximate confidence interval for a Poisson mean is proposed and is based on an empirically determined the tail probabilities. Keywords: Confidence Interval, Converage Probability, Poisson Distribution, Wald Method 1. บทนำ กำหนดให X เปน ตวั แปรสมุ ท่มี กี ารแจกแจงแบบปวซงส เขยี นแทนดวยสญั ลกั ษณ X∼Poi(λ) และมีฟง กช ันความนาจะเปนตามท่แี สดงในสมการที่ (1.1) โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

124 ชูเกยี รติ โพนแกว และ ปย ธิดา หุน เฮฮา f (x) = P (X = x) = e−λλx ; x = 0, 1, 2, ... (1.1) x! เมื่อ λ แทนคาเฉล่ยี ในชวงเวลาท่ีสนใจศึกษาและ λ > 0 ให X1, X2, ..., Xn เปนตวั แปรสมุ ท่ีมีการ แจกแจงแบบปว ซงสเชน เดยี วกบั X และเปน อิสระตอกัน (Independent Identically Distributed :iid) ดังนนั้ f (xi) = e−λ λxi ; xi = 0, 1, 2, ..., ; i = 1, 2, ..n, λ > 0 และ xi! E(xi) = λ = V (xi); i = 1, 2, 3 . . . , n (1.2) โดยปกตคิ า λ จะไมทราบคา และสามารถประมาณคา ไดจากวิธีภาวะความนา จะเปน สงู สดุ (Maximum Likelihood) ดังนี้ ทฤษฎบี ท 1.1. กำหนดให Xi; i = 1, 2, . . . , n เปน ตัวแปรสมุ ท่ีมีการแจกแจงแบบปวซงสและมีการ แจกแจงเชน เดียวกบั X ∼Poi(λ) ; λ > 0 ตัวประมาณคา ของ λ โดยใชวธิ ีภาวะความนาจะเปนสูงสุด มคี าเทา กบั λˆ = X¯ = n−1 n Xi i=1 พิสูจน. กำหนดให เปน ตัวแปรสุมทมี่ ีการแจกแจงแบบปวซงสและมีการแจกแจงเชนเดียวกบั X ∼Poi(λ) ; λ > 0 X− = (x1, x2, . . . , xn)′ และ L(λ)= n f (xi; λ) โดยที่ i=1 nn L(λ) = f (X− ; λ) = f (xi; λ) i=1 i=1 e−λλx1 e−λλx2 e−λλxn = · ··· x1! x2! xn e−nλλx1+x2+···xn =n xi! i=1 ดงั น้นั ∑n (1.3) e−nλλi=1 xi L(λ) = n xi! i=1 จากสมการที่ (1.3) ใสคา log เขาทงั้ สองขา งของสมการจะไดวา ∑n n e−nλλi=1 xi l(λ) = log L(λ) = log n xi! i=1 n = −nλ log e + xi log λ − log xi! i=1 i=1 ดังน้ัน nn l(λ) = −nλ + xi log λ − log xi! i=1 i=1 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

การประมาณคา ชวงความเชอ่ื ม่ันคา เฉลีย่ ของการแจกแจงแบบปวซงส 125 หาคา อนพุ ันธข อง l(λ) เทียบกับ λ ไดวา dl (λ) d n n = −nλ + xi log λ − log xi! d (λ) dλ i=1 i=1 n 1 (1.4) xi λ = −n + i=1 กำหนดให dl(λ) = 0 ทำใหไดวา d(λ) n1 −n + xi λ = 0 i=1 1n λ= xi n i=1 ดงั นั้นตัวประมาณคา ของ ท่ไี ดจากวธิ ีภาวะความนา จะเปนสูงสุดคือ λˆ 1 n X¯ n λ = xi = i=1 สำหรบั คา คาดหมาย (Expectation) และความแปรปรวน (Variance) ของ λˆ = X¯ มีคา ตาม ทแ่ี สดงในทฤษฎบี ท 1.2 ทฤษฎีบท 1.2. กำหนดให Xi; i = 1, 2, . . . , n เปน ตวั แปรสุมท่ีมีการแจกแจงแบบปวซงสและมีการ แจกแจงเชนเดียวกบั X ∼P oi(λ) ; λ > 0 และ λˆ = X¯ = n−1 n Xi i=1 (1) λˆ = X¯ เปนตวั ประมาณคา ทีไ่ มเอนเอยี ง (Unbiased estimator) ของ λ หรอื E(λˆ) = E(X¯) = λ (2)V (λˆ) = V (X¯ ) = λ n พสิ จู น. (1) จะแสดงวา E(X¯) = λ n จากทฤษฎีบท 1.1 λˆ = X¯ 1 ดังนัน้ = n xi i=1 E(λˆ) = E(X¯ ) = E( 1 n n xi) i=1 1 E(x1) + E(x2) + · · · + E(xn) = n 1n 1n λ = E(xi) = n n i=1 i=1 = 1 + · · · + λ) (λ + λ n 1 = λn = λ n ดังน้นั E(λˆ)= E(X¯ ) = λ (2) ตอไปจะแสดงวา V (λˆ) = V (X¯ ) = λ n โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

126 ชูเกยี รติ โพนแกว และ ปยธดิ า หุนเฮฮา เน่ืองจาก λˆ = X¯ 1 n ดังนั้น n = xi i=1 V (λˆ) = V 1n n xi i=1 1n 1n = n2 V (xi) = n2 λ i=1 i=1 1λ = n2 λn = n ดังน้ัน V (λˆ)= V (X¯ ) = λ n ในทฤษฎบี ท 1.2 ไดกลาวถงึ คา คาดหมายและความแปรปรวนของ λˆ = X¯ ซ่งึ เปน ตัวประมาณ คาแบบจดุ (Point estimator) ของ λ สำหรับชา งความเช่ือมัน่ (1 − α)100% ของ λ ท่ีไดจากวิธีของ วาลว (Wald ’ s method) มีคาตามที่แสดงในสมการ (1.5) X¯ ±Z α X¯ (1.5) 2n และชวงความเช่ือมน่ั (1 − α)100% ของ λ เมือ่ ใชวิธีของวาลว แบบปรบั คาความตอเนอ่ื ง (Wald with continuity correction method) มคี าตามท่แี สดงในสมการ (1.6) X¯ ±Z α X¯ + 0.5 (1.6) 2n นอกจากนมี้ ีหลายวธิ ีท่ีถกู นำเสนอโดย Cai [1] , Byrne and Kabaila [2], Guan [3], Krishnamoorthy และ Peng [4], Stamey และ Hamillton [5], Swifi [6] และคณะ. เพ่อื หาความเชอ่ื มัน่ ของ λ ตอมา Guan [3] ไดใ ชวิธสี คอร (Score method) เพ่อื หาชวงความเชอ่ื ม่ัน (1 − α)100% ของ λ ตามทแี่ สดง ในทฤษฎบี ท 1.3 ทฤษฎบี ท 1.3. กำหนดให Xi ; i = 1, 2, . . . , n เปนตัวแปรสมุ ที่มีการแจกแจงแบบปวซงและมีการ แจกแจงเชนเดยี วกับ X ∼Poi(λ) ; λ > 0 เมอื่ ใชวิธีสคอร (Score method) ชวงความเชือ่ มัน่ (1 − α)100% ของ λ มคี า ดงั น้ี Z 2 X¯ Z 4 α α + 2 X¯ 1 + 2 ± Zα 4n 2n 2 n พิสูจน. กำหนดให X¯ = n−1 n Xi และจากทฤษฎบี ท 1.2 E(λˆ) = E(X¯) = λ และ V (λˆ) = 30 i=1 (Central Theorem) จะได ในกรณที ี่ โดยใชทฤษฎีแนวโนม เขาสศู นู ยกลาง Limit V (X¯ ) = λ n≥ n วา T = X¯ − E(X¯ ) = X¯ −λ ∼ appN (0, 1) V (X¯ ) λ n โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

การประมาณคา ชวงความเชอ่ื ม่ันคา เฉลย่ี ของการแจกแจงแบบปวซงส 127 ดังนั้น (1.7) P (−Z α T Z α ) = 1 − α (1.8) 22 (1.9) พจิ ารณาอสมการ (1.7) −Z α T Z α 22 λ X¯ λ + Zα λ λ − Zα 2n 2n L1(λ) X¯ L2(λ) เมื่อ L1(λ) = λ − Z α λ และ L2(λ) = λ + Zα λ 2 n 2 n พจิ ารณาคา L1(λ) X¯ L2(λ) เน่ืองจาก L1(λ) X¯ ทำใหไดว า λ L−1 1(X¯ ) X¯ L2(λ) ทำใหไ ดวา L−2 1X¯ λ ดงั นัน้ L2−1(X¯ ) λ L1−1(X¯ ) นนั่ คอื λ1 λ λ2 จากนั้นพจิ ารณาคา λ1 λ λ2 ในอสมการ (1.8) λ1 = L2−1(X¯ ) X¯ = L2(λ1) X¯ = λ1 + Zα λ1 2 n X¯ − λ1 = Zα λ1 2 n จากสมการ (1.8) ยกกำลังสองท้ังสองขา งจะไดวา (X¯ − λ1)2 = Z 2 λ1 n α 2 λ21 2(X¯ Z 2 1 X¯ 2 n )λ1 α − + 2 + = 0 2 ดงั นนั้ 2(X¯ Z 2 1 4(X¯ Z 2 1 )2−4(1)X¯ 2 α n α n + 2 ) ± + 2 λ1 = 2 2 2(1) Z 2 X¯ Z 4 α α + 2 X¯ 1 = + 2 ± Zα 4n 2n 2 n โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

128 ชเู กียรติ โพนแกว และ ปย ธดิ า หุนเฮฮา สำหรบั คา λ2 ใชว ิธีการหาเชนเดยี วกบั λ1 และไดค ำตอบคือ Z 2 X¯ Z 4 α α + 2 X¯ 1 λ2 = + 2 n ± Zα 4n 2 2 n ดง้ั นัน้ ชวงความเชอ่ื มัน่ (1 − α)100% ของ λ คือ X¯ Z 2 1 X¯ + Z 4α α 2 + 2 ± Zα 4n 2n 2 n นอกจากนี้ Guan [3] ไดท ำการปรับปรุงชว งความเชื่อม่ันของสคอรว (Moved score interval) ดังนี้ Z 2 X¯ Z 4 α α + 2 X¯ 1 (1.10) + 0.46 2 ± Zα 4n 2n 2 n ในบทความน้ี Manad [11]ไดนำเสนอวธิ ีการประมาณคา λ ดว ยการเพิม่ ปลายหางของการแจกแจง ตวั อยา งสมุ ตามทแ่ี สดงในหัวขอ ที่ 3 สวนหัวขอที่ 2 เปนความรูพ้ืนฐาน และหวั ขอที่ 4 การสรุปผลการ ศึกษา 2. ความรพู ื้นฐาน บทนยิ าม 2.1. ทฤษฎีเขาสูส วนกลาง กำหนดให y แทนตวั แปรทีส่ นใจศกึ ษา และ y1, y2, . . . , yn แทน คาสังเกตของตัวอยาง s ขนาด n ท่ีถูกสมุ จากประชากร U ขนาด N ภายใตการสมุ ตวั อยางใดๆ แและ y = [y1, y2, . . . , yn]′  = yyy...n12 กำหนดให Y¯ˆ = f(y) เปนตวั แปรสมุ และไมท ราบการแจกแจง E(Yˆ¯ )=Y¯ แทน คา คาดหมาย ของ Yˆ¯ และ V (Y¯ˆ ) แทนความแปรปรวนของ Yˆ¯ (1) กรณีที่ทราบคา ความแปรปรวนของตัวประมาณคา หรือทราบ V (Y¯ˆ ) และ n 30 Z = f (Yˆ¯ ) = Yˆ¯ − Y¯ ∼ appN (0, 1) (2.1) V (Y¯ˆ ) โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

การประมาณคาชวงความเชอื่ มนั่ คา เฉลี่ยของการแจกแจงแบบปวซงส 129 (2) กรณีทไ่ี มท ราบคา ความแปรปรวนของตวั ประมาณคา หรือไมท ราบ V (Yˆ¯ ) กำหนดให Vˆ (Yˆ¯ ) เปน ตัว ประมาณคา V (Yˆ¯ ) และ n 30 Z = f (Yˆ¯ ) = Yˆ¯ − Y¯ ∼ appN (0, 1) (2.2) Vˆ (Yˆ¯ ) ทฤษฎบี ท 2.2. กำหนดให X1, X2, ..., Xn เปน ตัวแปรสุม ที่มีการแจกแจงแบบปวซงสและมีการ n แจกแจงเชน เดียวกับ ∼P oi(λ) ; λ > 0 กำหนดให X¯ 1 และ c เปนคาคงทใ่ี ดๆ X = n xi (1) E(X¯ + c) = λ + c i=1 (2) V (X¯ + c) = λ n พิสูจน. (1) จะแสดงวา E(X¯ + c) = λ + c E(X¯ + c) = E(X¯ ) + E(c) =λ+c ดังนัน้ E(X¯ + c) = λ + c (2) ตอไปจะแสดงวา V (X¯ + c) = λ n V (X¯ + c) = V (X¯ ) + V (c) λ = n ดังน้ัน V (X¯ + c) = λ n บทนยิ าม 2.3. การแจกแจงปว ซงส (Poisson distribution) การทดลองสุมปว ซงส (Poisson Experiment) ถา การทดลองใด ๆ เปนการกระทำใดๆ ท่ีใหความสนใจตอจำนวนครัง้ ของการเกดิ เหตุการณ ในชวง เวลา หรอื บริเวณท่จี ำกัด เรยี กวา เปนการทดลองแบบปวซง โดยมลี กั ษณะดงั น้ี (1) จำนวนผลลพั ทที่เกิดขึ้นในชวงเวลาหนึ่ง หรอื บริเวณที่จำกดั จะเปน อสิ ระกับจำนวนที่ เกิด ขึน้ ในชว งเวลาอ่ืน หรอื บรเิ วณอื่น (2) ความนาจะเปน ท่ีเกดิ ผลลพั ทในชว งเวลาที่สน้ั มากหรือบริเวณที่เล็กมาก จะเปนปฎิภาค โดยตรงกับชว งเวลา หรอื ขนาดของบรเิ วณนนั้ ๆ และไมข้ึนอยกู ับจำนวนผลลพั ทท่ี เกดิ ขึน้ นอกชวงเวลา หรือบรเิ วณดงั กลา ว (3) ความนาจะเปนที่จะเกิดผลลพั ทมากกวา 1 ครัง้ ในชวงเวลาท่ีสนั้ มาก หรอื บรเิ วณท่ีเลก็ มาก จะมีคานอ ยมากจนตัดท้ิงได บทนยิ าม 2.4. ตัวแปรสมุ และฟงกช ันการแจกแจงของตัวแปรสุมทีม่ ีการแจกแจงแบบปวสซง โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

130 ชเู กียรติ โพนแกว และ ปย ธดิ า หุนเฮฮา สำหรับการทดลองแบบปวซงส กำหนดตัวแปรสุม X คอื จำนวน คร้ังของการเกดิ เหตกุ ารณท่ี สนใจ ในชวงเวลา หรือบริเวณทีก่ ำหนด ดงั นน้ั f (x) = eλλx x = 0, 1, 2, 3, . . . xi! เมอื่ λ คือ คา เฉลย่ี ของจานวนคร้งั ของการเกดิ เหตุการณนั้น e ≈ 2.71828 จะไดวาตัวแปรสุม X เปนตวั แปรสมุ ท่มี ีการแจกแจงแบบปว ซง โดยมีพารามิเตอร λ เขียนไดเ ปน X ∼ P oi(x; λ) 3. ตัวประมาณคาแบบท่ีชวง Manad นำเสนอ หวั ขอนี้จะไดกลาวถึงชว งความเช่ือมนั่ (1 − ℵ)100% ของ λ ท่ีไดจากการเพ่ิมปลายหางของ การแจกแจงตวั อยางสมุ ดงั น้ี ทฤษฎบี ท 3.1. กำหนดให X1, X2, ..., Xn เปนตวั แปรสมุ ท่มี ีการแจกแจงแบบปวซงและมกี ารแจกแจง เชน เดียวกับ X ∼P oi(λ) ; λ > 0 และ X¯ 1 n xi และ c = Z 2 ในชว งความเช่ือมั่น (1−α)100% n α = 2 i=1 2n มคี าดงั น้ี (1) E(X¯ + c) = λ + c (2) V (X¯ + c) = λ n Z 2 X¯ n α X¯ + 2 ± Z α 2n 2 พสิ ูจน. ให X1, X2, ..., Xnเปนตัวแปรสมุ ที่มีการแจกแจงแบบปว ซงและมีการแจกแจงเชน เดยี วกบั X ∼P oi(λ) ; λ > 0 , n 30 และ c = Z 2 โดยที่ E(X¯ และ (X¯ = λ จะไดวา α n 2 + c) = λ + c V + c) 2n T = X¯ − E(X¯ + c) = √n(X¯√+ c − λ) ∼ appN (0, 1) V (X¯ + c) λ ดงั น้ัน P (−Z α T Z α ) = 1 − α (3.1) 22 พิจารณาอสมการ (3.1) −Z α −√Znα2(X¯√T+ c Zα Zα 2 2 2 − λ) λ โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค