วารสาร "โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานด้านคณิตศาสตร์ ครั้งที่ 7"

การประมาณคา ชวงความเชือ่ มั่นคาเฉลยี่ ของการแจกแจงแบบปวซงส 131 √ √n(X¯ + c − λ) √ −Z α λ Zα λ √2 √2 −Z α λ √1 X¯ + c − λ Z α λ √1 2n 2n √ √ Z α λ √1 −X¯ − c + λ −Z α λ √1 2n 2n √ √ X¯ + Zα λ √1 −c + λ X¯ − Zα λ √1 2n 2n √ √ c + X¯ + Zα λ √1 λ c + X¯ − Zα λ √1 2n 2n X¯ + c − Z α X¯ λ c + X¯ + c + Z α X¯ 2n 2 n Z 2 X¯ Z 2 X¯ α α n X¯ + 2 − Z α λ X¯ + 2 + Z α 2n 2 n 2n 2 เน่อื งจาก λˆ = X¯ Z 2 X¯ Z 2 X¯ n α α X¯ + 2 − Z α X¯ + 2 + Z α 2n 2 λ 2n 2 n ดัง้ นัน้ ชว งความเชือ่ ม่ัน (1 − α)100% ของ λ คอื Z 2 X¯ n α X¯ + 2 ± Z α 2n 2 4. สรุป การแจกแจงแบบปว ซงส เปนการแจกแจงวิยุต และมี λ เปน คาพารามิเตอรและปกติจะไม n ทราบคา ตัวประมาณคาแบบจดุ ของ เมอ่ื ใชวธิ ีภาวะความนาจะเปน สงู สดุ คอื λˆ 1 X¯ λ = n xi = i=1 สวนตัวประมาณคาแบบชวง หรือชว งความเช่ือมั่น (1 − α)100% ของ λ สามารถหาไดจากวิธีของ วาลว วธิ ิของวาลวแบบปรับคา ความตอเน่ือง หรอื วธิ ีของสคอร แตวธิ ีดงั กลาวเหมาะสำหรบั ตวั อยาง สมุ ท่ีมีขนาดเลก็ หรือขนาดปานกลาง ดังนัน้ Manad จงึ เสนอทางเลอื กหนงึ่ ในการ ประมาณชวงความ เช่ือมนั่ สำหรบั การประมาณคา λ แบบชวงดว ยการ เพมิ่ ปลายหางของการแจกแจงตัวอยา งสุม เอกสารอางอิง [1] T. T. Cai, “One-Sided Confidence Intervals in Discrete Distributions,” Jour- nal of Statistical Planning and Inference, Vol. 131, No 1, 2005, pp. 63-88. doi:10.1016/j.jspi.2004.01.005 [2] J. Byrneand and P. Kabaila, “Comparison of Poisson Confidence Interval,” Com- munications in Statistics-Theory and Methods, Vol. 34,No 3, 2005, pp. 545-556. doi:10.1081/STA-200052109 โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

132 ชเู กยี รติ โพนแกว และ ปย ธดิ า หนุ เฮฮา [3] Y.Guan, “Moved Score Confidence Intervals for Means of Discrete Distributions,” American Open Journal Statistics,, Vol. 1, 2001, pp. 81-86. doi:10.4236/ojs.2011.12009 [4] K. Krishnamoorthy and J. Peng, “Improved Closed-Form Predicition Intervals for Binomial and Poisson Distribution,” Journal of Statistical Planning and Inference, Vol. 141, No. 5, 2011,pp. 1709-1718. doi:10.1016/j.jspi.2010.11.021 [5] J. Stamey and C. Hamillton, “A Note on Confidence Intervals for a Linear Function of Poisson Rates.” Communications in Statistics-Theory and Methods, Vol. 35, No. 4, 2005,pp.849-856. doi:10.1080/03610920802255856 [6] M. B. Swifi, “Comparison of Confidence Intervals for a Poisson Mean-Further Con- sideideration.” Communications in Statistics-Theory and Methods, Vol. 38, No. 5, 2009,pp.748-759. [7] L. A. Barker, “Comparison of Nine Confidence Intervals for a Poisson Parameter When the Expected Number of Events Is 5,” The American Statistician, Vol. 56, No. 2, 2002,pp.85-89. dio:10.1198/000313002317572736 [8] R Development Core Team, “R: A Language and Environment for Statistical Com- puting,” R Foundation for Statistical Computing, Vienna, 2011 [9] N. Gurtl and N. Henze, “Recent and Classical Goodness-of-fit Tests for the Poisson Distribution,” Journal of Statistical Planning and Inference, Vol. 90, No. 2, 2000,pp. 207-225. doi:10.1016/S0378-3758(00)00114-2 [10] P. Blaesild and J. Granfeldt, “Statistics with Applications in Biology and Geology,” Chapman & Hall/CRC, New York, 2003. [11] M. Khamkong., “Approximate Confidence Interval for the Mean of Poisson Distribu- tion,” Open Journal of Statistics, No. 2, 2012,pp. 204-207. โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-AP 06 133 การประยุกตใชอัลกอริทึมพนั ธกุ รรม เพอื่ พัฒนาความแมน ยำ ของการจำแนกประเภทขอ มลู สำหรับชุดขอ มลู ทไ่ี มสมดุล Using Genetic Algorithm to Improve Classification Accuracy on Imbalanced Data ผแู ตง : J. Cervantes, X. Li and W. Yu จัดทำโดย: เมธาวี บัวกลนิ่ 1*, กชกร โพธพิ์ นั ธ1 และ ศุภศักดิ์ โรพันดงุ 1 1 สาขาวชิ าคณติ ศาสตรแ ละสถติ ิ คณะวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค *Correspondence: [email protected] บทคดั ยอ ชุดขอมลู จรงิ หลายชดุ มีความไมสมดุลของขอ มลู กลาวคอื เม่อื มีการจำแนกขอมลู ขอมูลกลุมแรกมีจำนวน มากและอกี กลุมทเี่ หลอื มจี ำนวนนอ ยมาก วิธีการจำแนกประเภทขอมลู ทัว่ ไปเชน ซพั พอรต เวกเตอรแมชชนิ (Support Vector Machine : SVM) ทำงานไดไมดีสำหรบั ชดุ ขอมูลที่มีความบิดเบือนเหลา น้ี ในบทความ นผ้ี วู จิ ัยได น ำเสนออลั กอริทมึ ทางพนั ธกุ รรม (Genetic Algorithm : GA) สำหรบั การจำแนกประเภทขอมลู ข้นั แรกเทคนิค SVM ถกู นำมาใชเพือ่ สรางเสน ไฮเปอรเพลนและกำหนดเวกเตอรซพั พอรต จากน้ันจะนำ เทคนคิ GA มาประยกุ ตใชเพื่อหาชุดขอมูลใหมในพ่ืนที่ท่ีเหมาะสมหรือระยะขอบการจำแนก หลังจากที่ ไดชดุ ขอ มูลที่สรา งข้ึนใหมแลว นำมาสรางตวั แบบดว ย เทคนคิ SVM จะถกู นำมาใชอกี ครัง้ เพ่ือคน หาเสน ไฮเปอรเพลนท่ีดีทสี่ ุดจากขอ มูลชุดดงั กลา ว เมื่อนำผลลพั ธที่ไดไปเปรียบเทยี บกับอลั กอริทมึ การจำแนก ประเภทขอ มูลอ่ืนๆ พบวา ผลท่ีไดจากวธิ ีการท่ีนำเสนอนี้มีความแมนยำในการจดั หมวดหมูขอ มลู ท่ีดีกวา สำหรบั ชดุ ขอ มูลท่ไี มสมดุล คำสำคัญ: ขอมลู ทไ่ี มสมดลุ , ซพั พอรต เวกเตอร, อลั กอริทึมทางพนั ธุกรรม Abstract Many real data sets are imbalanced, which contain a large number of certain type objects and a very small number of opposite type objects.Normal classication methods,such as support vector machine (SVM), do not work well for these skewed data sets. In this paper we propose a genetic algorithm (GA) based classication method. We rst use SVM to generate a draft hyperplane and support vectors. Then GA is applied to nd new data points in the sensible region or classication margin. Finally, SVM is used again to nd the best hyperplane from the generated data points. Compared with the other popular classication algorithms, the proposed method has better classication accuracy for several skewed data sets. Keywords: Imbalanced Data, Support Vector Machine, Genetic Algorithm โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

134 เมธาวี บัวกลิ่น และคณะ 1. บทนำ 1.1 ความเปน มาและความสำคัญของปญ หา ชดุ ขอ มลู จริงหลายชุดเปน ชดุ ขอมลู ที่ไมสมดุล ตัวอยา งเชน ในปญหาการตรวจสอบความผดิ พลาดสว นท่ีไมสมดลุ ของกลมุ ขอ มูลหลกั และกลมุ ขอ มลู รอง ไดจ าก 100 ถงึ 1,000 มีแอปพลเิ คชั่นอ่ืนๆ เชนการจำแนกโปรตีน การวนิ จิ ฉยั ทางการแพทย การเจ็บปวยที่เปนอันตราย ตรวจจบั การบุกรุก การ จำแนกขอมูล และการระเบดิ ของแผน ดินไหวหรอื นวิ เคลียร มีขอ มลู ที่ไมสมดลุ สำหรับอัลกอริทมึ ที่มี การจำแนกประเภทมากทสี่ ดุ ความแมน ยำในการจำแนกประเภทไมดีเพราะการทดลองตอ งการขอ มูล ทส่ี มดุลและอลั กอริทมึ ไมไดพ จิ ารณาการกระจายตัวของแบบทดลอง การจำแนกประเภทสำหรบั ชดุ ขอมลู ที่ไมสมดุล โดยนำขอ มูลเขา สูกระบวนการทดลอง ภาย ใตการสมุ ตวั อยางและมากกวา วธิ ีการสมุ ตัวอยาง ความสมดลุ ของชดุ ขอมูลโดยการสุมเลอื กกลุมจำนวน นอย จากกลุมขอมูลจำนวนมาก เพิม่ ขอ มูลเปน สองเทาในกลมุ จำนวนนอย ขอเสียหลักคือบางชดุ นำ เขา เชน (support vector Machine : SVM) อาจถกู ท้งิ โดยอัลกอริทึมแบบสมุ ช้ีใหเหน็ วา ภายใตการ สมุ ตัวอยาง ไมใ ชทางเลือกท่ีดีสำหรับ SVM และการสมุ ตัวอยางมากเกนิ ไป ไมสามารถปรับปรงุ ความ แมนยำในขน้ั ตอนสุดทา ยได เทคนคิ การสุมชุดขอมลู ที่มีจำนวนนอ ยมาวิเคราะห( Synthetic Minor- ity Over-sampling Technique: SMOTE) สรางขอ มูลเทยี มในกลุมจำนวนนอย โดยการคูณตัวเลข ที่สุมในแตละวตั ถุเรมิ่ ตน ในการใชงานท่ีหลากหลายแสดงใหเหน็ ประสิทธภิ าพของ SMOTE ดีกวาการ สุมตัวอยางเพิม่ ของขอ มูลจำนวนนอย ในเกณฑการปรับปรุงที่แตกตางกัน ใน kernel version ของ SMOTE ท่ีเสนอ และมีขอ เสนออื่นๆที่สนใจจาก SMOTE วตั ถุใหมที่สรา งขน้ึ โดย การคำนวณความใกล เคยี งและความแตกตา งกนั มีปญ หาท่ัวไปในอัลกอริทึมดานบน ความแมน ยำในการจำแนกลดลงมาก เมือ่ สวนขอมลู ไมส มดลุ มมจี ำนวนมาก เพราะไมพ จิ ารณาถึงวตั ถสุ ำคัญ อัลกอริทมึ ทางพนั ธกุ รรม(GA) เปนกระบวนการคน หาทางดานวิวฒั นาการตามธรรมชาติ มัน ถกู ใชอยา งกวางขวางในหลาย ๆ ดา นเชน ชวี สารสนเทศศาสตร ซงึ่ รวมถงึ การหาลำดับ DNA และการ สรางดเี อน็ เอใหม , การทำนาย,การจำแนกทางการเงิน, การควบคมุ กระบวนการทางเคมี, การจดั ตาราง การผลติ , รถยนตอสิ ระ และ หุน ยนต เปนตน มีการใชอลั กอริธมึ พันธุกรรมในการจำแนกปญ หาในการ ปรบั พารามิเตอร,ลดมติ ิขอ มลู การปอ นขอ มูล, ปรบั ปรงุ ความแมนยำในการจำแนกประเภท และ การ สรางกฎเกณฑขอ มูลขนาดเล็กจากชดุ ปอนขอมลู เม่อื เร็วๆนี้ มีการนำเสนออลั กอริทมึ บางสวน สำหรับชดุ ขอ มูลที่ไมสมดุล ในอลั กอริทมึ ทางพันธกุ รรม ใชในการสรางขอมูลที่บดิ เบือนเพื่อความแมน ยำของชดุ ขอมูล และความแมนยำในการ จำแนกประเภทดีกวาการสุมตัวอยาง ถูกนำมาใชเพอ่ื สรา งประชากรเริม่ ตน อลั กอริทมึ ทางพนั ธุกรรม ถกู ใชเพื่อเลอื กขอ มลู ท่ีสำคญั ที่สุด ใสอัลกอริทมึ เพ่ือศกึ ษาโดยยึดตามวิธีการแบบทว่ั ไป และใช GA เพอื่ สรางและเลอื กขอ มลู ท่ีเหมาะสมทสี่ ดุ เพอ่ื เพม่ิ ประสทิ ธิภาพในการจำแนกประเภทมากกวา ขอมลู ที่ ไมสมดลุ โดยใช GA เพื่อเปน แนวทางกระบวนการคนหา ถงึ จะชดุ ขอ มลู ในการจัดหมวดหมูของ SVM การสรา งขอมลู ใหม อาจจะไมเก่ยี วขอ งหรือไมร วมขอมลู ทเ่ี หมาะสมกับการจำแนกประเภท ในทางกลบั โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

การประยกุ ตใชอลั กอรทิ มึ พนั ธกุ รรม เพ่ือพฒั นาความแมน ยำของการจำแนก… 135 กนั พนื้ ที่การคนหา สามารถสรา งชดุ ขอ มลู ท่ีปรบั ปรงุ ประสิทธิภาพนนั้ มีขนาดใหญมาก ทั้งหมดนี้ เปน เหตุผลหลักในการรวม GA กบั SVM เขากัน ในบทความนี้ รวม GA กับ SVM เขาดว ยกัน เพ่อื แกปญ หาการจำแนกประเภทของชุดขอ มลู ที่ บดิ เบอื นที่แตกตางกัน กบั ชดุ ขอมลู ทไี่ มส มดุลคือ ชดุ ขอมูลทส่ี รา งข้นึ โดย GA และ SVM ทดี่ ที ีส่ ดุ ดังนน้ั ขอมลู ท่ีรวมกันมีความสมเหตุสมผล และความแมน ยำของการจำแนกประเภทไดรับการปรับปรงุ ครง้ั แรกใช SVM ในการทดสอบขอมูลท้งั หมด เละคน หา SV จากนนั้ ใช GA สรางขอ มูลใหมใ กลกบั SV และ ขอบเขตการตัดสนิ ใจ ไดรบั การปรบั ปรงุ จนถึงเกณฑประสิทธภิ าพ ชดุ ขอมลู มาตรฐานที่ไมสมดุลหลาย ชุด ใชเ ปรยี บเทยี บอลั กอรทิ ึม ผลการวิจัยพบวาความแมน ยำในการจำแนกประเภทของชุดขอ มลู ดขี ้ึน 1.2 วตั ถุประสงคข องงานวิจยั 1.การประยุกตใชเทคนคิ GA กบั SVM เพื่อแกป ญหาการจำแนกขอ มลู ที่ไมส มดลุ 2.เพือ่ ศกึ ษาวิธีการเพมิ่ ประสทิ ธภิ าพ ของตวั แบบการจำแนกประเภทขอมลู 2. แนวคิด/ทฤษฎี ทเี่ กยี่ วของ 2.1 ขอ มลู ท่ไี มสมดลุ (Inbalanced Data) ขอมูลไมสมดลุ หมายถงึ ขอมูลในกลุมหนึ่งมีจำนวนมากกวา ขอ มูลในอกี กลมุ หนงึ่ เปน จำนวน มาก ขอ มลู ไมสมดลุ นนั้ มีสาเหตุมาจากหลายปจ จยั เชน ขอมลู ไมสมดลุ ที่เกดิ จากลักษณะทางธรรมชาติ ของขอ มูลเอง ดงั ที่พบในขอมูลทางการแพทยที่พบวามีผูปวยท่ีปว ยเปน โรครายแรงนอยกวาผูที่มี สขุ ภาพแขง็ แรง เปน จำนวนมาก ขอ มูลท่ีเกิดจากขอ จำกดั ในการเก็บขอ มลู เน่ืองจากมีคา ใชจา ยในการ เก็บขอ มลู ท่ีสูงมาก หรอื ขอมูลผูใชบัตรเครดติ ท่ีมีขอ มลู ลกู คา ท่ีใชจายปกติมากกวาลูกคา ที่ใชจา ยผิด ปกติ เปนตน นอกจากนี้ ขอ มูลไมส มดุลอาจเกดิ จากการเกบ็ ขอ มลู ทผ่ี ิดพลาดดวยเชนกัน 2.2 การจัดการขอมูลทไี่ มส มดลุ การจำแนกขอ มลู ที่ขอมลู กลุมหนง่ึ มีจำนวนมากกวาอกี กลุม หน่งึ จะนำมาสูปญ หาของขอมูล ที่ไมสมดลุ (Imbalance Data) ทำใหผลลพั ธท่ีไดจากการจำแนกขอมูลมีความบิดเบือนไปทางกลมุ ท่ีมี จำนวนมาก วธิ ีการแกป ญ หาของขอ มูลทีไ่ มสมดุลแบงออกเปน 4 กลุม ไดแก 1. วธิ ีการสมุ เกิน (Over Sampling) วิธีสมุ เกนิ เปน เทคนิคหรอื วิธีใชในการเพมิ่ ขอมูลท่ีอยูในกลุมที่มีจำนวนนอ ยใหมีจำนวนใกล เคยี ง หรือเทากบั จำนวนขอ มูลในกลุมที่มีจำนวนมาก โดยการสุมเกนิ เพื่อเพม่ิ ขอมูลใหกลุม ที่มีจำนวน นอ ย จะเพ่ิมขอมลู โดยการสมุ เลอื กขอ มูลจากขอ มูลเดมิ หรือสรา งขอ มลู ขึน้ มาใหมจากตัวอยางของ ขอ มลู เดมิ 2.วธิ ีการสมุ ลด (Under Sampling) โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

136 เมธาวี บัวกลิน่ และคณะ วธิ ีการสุม ลด เปนเทคนิคหรือวธิ ีท่ีใชในการลดจำนวนขอมูลท่ีอยูในกลมุ ที่มีจำนวนมาก ใหมี จำนวนใกลเคยี งหรือเทา กับจำนวนขอ มูลในกลมุ ที่มีจำนวนนอย โดยการลดจำนวนขอมลู จากกลมุ ท่ีมี จำนวนมากลง 3. วิธผี สมผสาน (Hybrid Methods) วธิ ีผสมผสาน เปนวธิ ีการท่ีนำเทคนคิ วธิ ีสมุ เกินและวธิ ีสมุ ลดมาทำงานรว มกัน โดยการใช เทคนคิ น้ีจะเปน การสุม ลดจำนวนขอมลู จากกลุม ท่ีมีจำนวนมาก และทำการสมุ เพม่ิ ขอ มูลในกลมุ ท่ีมี จำนวนนอ ย ใหจำนวนขอ มลู จากทง้ั สองคลาสมีจำนวนใกลเคียงกนั หรือเทา กัน 4. วธิ ีสังเคราะหข อ มลู เพิ่ม (Synthetic Minority Over-Sampling TEchnique : SMOTE) เปน การสังเคราะหขอ มลู ใหม เพมิ่ จำนวนขอ มลู ประเภทที่มีจำนวนขอมูลนอ ยใหใกลเคยี งกับ ประเภทท่ีมีจำนวนขอมูลมาก โดยการสมุ คาขน้ึ มา 1 คา และหาระยะหางระหวา งคาที่เลอื กกบั ทกุ ๆคา เลือกคาท่ีใกลเคียงทสี่ ดุ เชน กำหนดมา 5 คา สุมคาจากที่เลือก 1 ใน 5 และหาคา ท่ีอยูระหวา งคา ที่ เลือกตอนแรกและคา ที่สุมมาตอนหลัง เพ่ือนำคาที่ไดมาเพ่ิมจำนวนขอ มลู ดงั สมการน้ี xnew = xi + (xˆi − xi) × δ โดยท่ี xnew = ขอ มลู ใหม xi = ขอมลู ที่สุมในตอนแรก xˆi = ขอ มูลทส่ี ุมมาอกี เชน สมุ มาอกี 5 ชุด δ = คาสุมตั้งแต 0-1 2.3 การจำแนกประเภทขอมูลดว ย SVM สำหรบั ขอมูลทไ่ี มส มดลุ การจำแนกประเภท (Support Vector Machine:SVM) ไดรับแรงบนั ดาลใจจากสถิติ ทฤษฎี การเรยี นรูที่พัฒนาโดย Vapnik ในยุค 70 โดยประสบความสำเร็จการจำแนกประเภทที่ดีท่สี ดุ ใน กรณที ่ีแยกไดเ ชงิ เสน จะดีกวาเครอื ขายประสาท ตน ไมต ัดสินใจและ Bayesian ในบางแอปพลเิ คชัน SVM เสนอไฮเปอรเพลนท่แี สดงถงึ การแยกทใ่ี หญท ่สี ุด(หรือระยะขอบ) ระหวา งสองกลุมแบบ น้ี ไฮเปอรเ พลนระยะขอบสงู สุดอาจไมม อี ยเู นอ่ื งจากกลุมตวั อยา งท่ีทับซอ นกันหรือตดิ ฉลากผิด อตั รา กำไรขนั้ ตน ออ น SVM โดยการแนะนำใหรูจักกับตวั แปรหยอนสามารถหาไฮเปอรเพลนทีแ่ ยกตัวอยาง ไดช ัดเจนทส่ี ดุ เทา ทจี่ ะทำได อยางไรกต็ าม SVM ตองการขอ มูลสมดลุ และไมพิจารณาประเภทการก ระจาย การจำแนกประเภท SVM มีหลายวิธีสำหรับขอมูลท่ีไมสมดุล วิธีการเหลาน้ีสามารถแบง ออกเปน 2 กลุม ดงั นี้ 1.วธิ ีการภายในปรบั ขอบเขตการตัดสินใจผานการแกไขหนา ท่ีการตดั สนิ ใจฟงกชันเคอรเนล และระยะขอบ 2.วธิ ีการภายนอกประมวลผลขอมูลลว งหนาเพือ่ ลดผลกระทบของความไมสมดุล เชน ปรบั สมดุลขอ มูลใหมรวมการสมุ ตัวอยา งและแนะนำขอ มูลสังเคราะหใ นระดับชนกลุมนอย โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

การประยกุ ตใ ชอ ัลกอริทึมพันธุกรรม เพ่อื พฒั นาความแมนยำของการจำแนก… 137 ตามหลกั การฝก อบรมของ SVM เร่มิ ดวยชุดทดลอง Xtr โดยกำหนดให Xtr = (xi, yi)in=1 (1) โดย xi ϵ Rd และ yi ϵ (+1, −1) ฟง กช ันการจำแนกจะถกู กำหนดโดย (2)  ∑n yi = sign  αiyjK⟨xi · xj⟩ + b j=1 ท่ี αi เปน ตัวคูณลากรองจ K ⟨ xi · xj ⟩ เปน เคอรเนลเมทริกซและ b คอื ความบดิ เบอื นที่ ปรับปรงุ ใหเหมาะสม จาก min ( 1 wiT wi + C ∑n ηi2) (3) 2  i=1  subject to yi(wiT K⟨xi · xj⟩ + bi) ≥ 1 − ηi โดย C คือ margin พารามเิ ตอรเพอื่ กำหนดนำ้ หนกั ที่ผิดพลาด ηi ระยะขอบน้ันเหมาะสม ที่สุดในดานของ (3) รบั ชุดขอมลู {(xi, yi)}ni=1 และการแยกไฮเปอรเพลนระยะทางที่ส้ันที่สุดจากการแยกไฮ เปอรเพลนไปยงั ตัวอยางบวกที่ใกลเ คียงท่ีสุดในแบบแยกไมไ ด กรณีนีค้ อื γ+ = minγi, ∀γi ∈ class + 1 (4) ระยะทางทีส่ น้ั ที่สดุ จากการแยกไฮเปอรเ พลนไปยังท่ีใกลท สี่ ดุ ตัวอยางเชงิ ลบคอื γ− = minγi, ∀γi ∈ class − 1 (5) ท่ี γi ไดร บั จาก yi(wiT K⟨xi · xj⟩ + bi) (6) ระยะขอบคอื ||w|| γ = γ+ + γ− การศกึ ษาลา สดุ แสดงใหเห็นวาเมอื่ ชุดขอ มูลมีความไมสมดุลสูง ขอบเขตการตัดสนิ ใจที่ไดรบั จากขอ มลู ท่ีเกบ็ มานนั้ เอนเอยี งไปทางชนกลมุ นอย ปญหานย้ี งั เกดิ ข้ึนในการจัดหมวดหมู SVM โดยท่ี ระยะขอบสงู สดุ เอยี งเม่อื SVM ใชชดุ ขอ มลู ทไี่ มสมดลุ ในบางกรณี ขอ มูลระดบั ชนกลุมนอ ยไดร ับการ พิจารณาจาก SVM วาเปน เสียงรบกวน ดังนัน้ ขอบเขตการตัดสินใจ(การแยกไฮเปอรเพลน) ทำให คนสวนใหญเอยี ง แสดงระยะขอบที่ไดร ับดวย a. จดุ ขอ มูลด้ังเดิม และ b.จดุ ขอ มลู ด้ังเดิมทม่ี สี องจดุ เพิ่มเติม เทคนิค SMOTE ที่เปน ท่ีนิยมเพม่ิ จดุ ขอมูลใหมระหวา งชดุ ขอ มลู สองจุดในระดับกลุมที่มี โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

138 เมธาวี บัวกลน่ิ และคณะ จำนวนนอ ยด้ังเดมิ ชดุ ดขอ มูลใหมชวยปรับสมดลุ ชดุ ขอมลู แตไมเพิ่มขอ มูลใหมใหกบั ตวั จำแนก เปน ไปไดทจี่ ะเพิ่มขอ มูลใหมไ ปยังตัวจำแนกการปรับ SV และการเพิม่ ขอ มูลท่ีสมเหตุสมผล แสดงวิธกี าร ปรับระยะขอบโดยการแนะนำชดุ ขอ มูลเทยี มซึ่งอยูใกลกบั support vector ชุดขอ มูลเทียมที่ไดรับ จาก SV ไมเพียงแคลดระยะขอบแตยงั ทำใหพื้นที่ของชนกลุมนอ ยมีขนาดเลก็ ลง อยางไรก็ตามใน บางกรณีเราสามารถแนะนำเสียงรบกวนในพน้ื ที่สำคัญโดยใชเทคนคิ น้ีและแตกตางกัน เพื่อหาชุดขอ มลู ที่เพิม่ ขอมูลใหมใหกบั classifer เพราะพ้นื ที่การคน หามีขนาดใหญมาก กญุ แจสำคัญในการแก ปญหาน้ีคือการตรวจสอบความสำคัญของชดุ ขอมลู ใหมที่เพ่มิ เขา มาและเปน แนวทางในการคนหาจาก จดุ ขอมลู ที่ดีที่สดุ โดยสามารถรบั รูไดดวย GA อัลกอริทึมท่ีเสนอไดรบั ชดุ ขอ มลู ใหมใกลกับ SV ซึง่ เปนการประเมนิ เพื่อท่ีจะไมแนะนำเสยี งรบกวนในตัวจำแนกและรบั ชดุ ขอมลู ท่ีดีท่ีสดุ ในแตล ะรนุ GA จะไดรบั จดุ ขอมูลที่ดที ี่สดุ ในพ้นื ทก่ี ารคน หาซง่ึ อยูตดิ กับชดุ ขอมลู ใหมด วยขอ มลู ทส่ี มเหตุสมผล 2.4 เทคนิค อลั กอริทึมทางพนั ธุกรรม (Genetic Algorithm : GA) เทคนิค อลั กอริทึมทางพันธกุ รรม หมายถงึ เปนวิธีการจากกระบวนการทางพันธุกรรม ของสง่ิ มีชวี ติ จากกระบวนการทางขบวนการทางพันธกุ รรมของสงิ่ มีชวี ติ จากการวิวัฒนาการ หรอื การอยูรอด ของส่ิงมชี ีวติ เราจึงไดนำวธิ ีการแกป ญหาทใี่ ชแ นวทางเดียวกัน มาชว ยหาคำตอบทเี่ หมาะสมท่สี ุด ใหก ับ ปญหาโดยใชกระบวนการทางพันธุศาสตร เขามาชวยในกระบวนการคน หาความแมนยำของปญ หา ซงึ่ มีข้ันตอนแสดงในรูปที่ 1 รูปที่ 1. ขั้นตอน อลั กอรทิ ึมทางพันธุกรรมแบบงาย ข้ันตอนวิธกี ารอลั กอริทมึ ทางพนั ธกุ รรมอยางงาย (Simple Genetic Algorithm : SGA) โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

การประยกุ ตใ ชอัลกอรทิ ึมพนั ธุกรรม เพอื่ พัฒนาความแมน ยำของการจำแนก… 139 2.4.1 การเขารหสั (Chromosome encoding) การเขารหัส เปนสวนหนึ่งของข้ัน ตอนวิธีอัลกอริทมึ ทางพนั ธกุ รรมที่สำคัญเพราะ จำเปนที่จะ ตองผา นการเขา รหัส กอนจึงดำเนินกระบวนการอ่นื ๆ การสรา งหรอื การกำหนดผลลพั ธทเี่ ขา ใจไดงาย มี ดว ยกัน 4 วธิ ี ดังน้ี 1.Binary Encoding วธิ ีการเขา รหัส ใหแตละตำแหนงจะมีรปู แบบ Big String คอื กำหนด ตัวเลข 1 และ 0 เทาน้ัน ดงั รปู ท่ี 2 รปู ท่ี 2. แสดงการเขา รหสั แบบเลขฐานสอง 2.Value Encoding แตล ะตำแนง จะแสดงดวยคา ตางๆ ซ่งึ เปน ตัวแทนของคาท่ีสามารถเชอื่ ม โยงคาท่ีใชในการแกปญหาไดโดยมีรปู แบบตางๆ เชน ตัวอักษร จำนวนจริง และคำสั่งตางๆ เปน ตน ซ่ึง รปู แบบน้เี หมาะสมกับปญหาทค่ี อ นขางซับซอ น ดงั รูปที่ 3 รปู ที่ 3. แสดงการเขารหสั แบบคา ตา งๆ 3.Permutation Encoding การเขารหัสแบบเพอมิวเตชั่น รูปแบบนี้ ทุกตำแหนงจะเปน คา ของจำนวนนับของตำแหนง ในแตละลำดับ เชน ปญหาของ Traveling Salesman Problem หรอื ปญ หาของ Scheduling Problem ดังรูปท่ี 4 รปู ท่ี 4. แสดงการเขารหัสแบบเพอมวิ เตชน่ั โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

140 เมธาวี บวั กลิน่ และคณะ 4.Tree Encoding การเขารหสั แบบทรี เปนรปู แบบท่ีทุกตำแหนง จะเปน note ของตนไม เหมาะกับปญ หาทเ่ี กย่ี วกบั การพฒั นา ดังรูปที่ 5 รปู ที่ 5. แสดงการเขา รหสั แบบทรี 2.4.2 การสรา งประชากรเรม่ิ ตน (Poplation inialization) เปนการดำเนนิ การถัดไปหลังจากการเลอื กรปู แบบการเขา รหสั ไดแ ลว กอนท่ีจะเขาสูก ระบวนการ ของขน้ั ตอนวิธกี ารอัลกอริทึมทางพันธกุ รรม โดยประชากรกลมุ แรกจะเกิดจากการสุม(RanDom) คา ข้ึน มาจากกลุมขอมลู ที่มีอยู เพือ่ นำประชากรเขาสูกระบวนการ โดยในกลมุ จะตองสมุ ใหไดจำนวนเทากบั ขนาดประชากร (Population Size) ที่กำหนดไว โดยทย่ี งั ไมมีการสนใจคา ความเหมาะสม 2.4.3 ฟงกช ันคา ความเหมาะสม (Fitness Function) เปนการกำหนดคา เหมาะสม เพือ่ ใหไ ดคา สำหรบั คำตอบตางๆ ท่เี ปน ไปไดของปญหา ขอ มูลจะ บง บอกถงึ ความเหมาะสมของตวั เองเพ่อื ใชส ำหรับพิจารณา โดยวธิ ีการสำหรบั คิดคา เหมาะสมนัน้ จะใช สมการที่สอดคลองกับแตละปญหา การกำหนดฟงกชนั ท่ีเกย่ี วกกบั เง่ือนไขตางๆ ที่ตองการขึ้นมาเพ่ือใช ในการหาคาความเหมาะสม ดังนี้ 1.ฟง กชนั แบบจดุ ประสงคเดยี ว (Single Objective Function) เปน การกำหนดฟงกชันขึ้นมา หนึ่งฟงกชนั ทีต่ องการเพียงคำตอบเดียว เหมาะสำหรับปญ หาท่ีซับซอนนอ ย และไมข ัดแยงกัน 2.ฟง กชนั แบบหลายจุดประสงค(MultiObjective Function) เปนการกำหนดฟง กช นั หลายๆ ฟง กชันท่ตี อ งการคำตอบหลายๆ คำตอบ เหมาะสำหรบั ปญ หาทซี่ บั ซอ นมาก และขดั แยงกนั 2.4.4 ตัวดำเนนิ การคดั เลือกสายพนั ธุ (Selection) เปนการสนบั สนนุ ใหสมาชิกที่มีความเหมาะสมในปจ จุบนั ถูกสงตอไปยังรนุ ถัดไปขน้ั ตอนใน การคัดเลอื กขอ มลู ท่ีดีทีส่ ุดจากกลมุ ประชากรท้ังหมด ในกระบวนการคัดเลอื กน้ีจะมีเทคนคิ ในการคัด เลือกอยหู ลายเทคนคิ ที่จะนำมาชว ยกระบวนการคดั เลือกใหด ีข้นึ เชน 1.การคดั เลอื กแบบวงลอ รูเลต็ (Roulette Wheel Selection) เปนขอ มลู ท่ีมีคาความเหมาะ โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

การประยุกตใชอ ัลกอรทิ มึ พันธกุ รรม เพ่อื พฒั นาความแมนยำของการจำแนก… 141 สมที่ดีกวา มีโอกาสถูกเลอื กมากกวา ขอ มลู ที่ดอ ยกวา ซ่งึ ขนาดพนื้ ท่ีของวงลอ เลย่ี งหรือความกวา งของ ชอ งของวงลอรเู ลต็ ไดจ ากคา ความเหมาะสมสมาชิกแตล ะตัว กำหนดตวั ช้ีตำแหนง ตายตัว(Fixed Point) และทำการหมนุ วงลอรูเลต็ ซึง่ วธิ ีน้ีจะมีความบดิ เบือน(Bias Roulette Wheel) ในการเลอื กคอนขา ง มากเนอื่ งจากขอมลู ที่มีคา ความเหมาะสมที่ดีกวา จะมีโอกาสถูกเลือกซ้ำหลายครัง้ เมื่อมีการหมนุ วงลอรู เล็ตขอ มลู ทีม่ ีคา ความเหมาะสมมาก จะถูกเลอื กไดบอ ยกวาขอ มลู ทม่ี คี วามเหมาะสมนอ ย ดงั รูปท่ี 6 รูปที่ 6. การคัดเลอื กแบบวงลอวูเล็ต 2.การคัดเลือกแบบจัดอนั ดบั (Ranking Selection) เปน การใหคา โอกาสในการถูกคดั เลอื กที่ไมแปรผนั ไปตามขนาดของคาความเหมาะสม จะ ทำใหขอ มลู ทุกตวั มีโอกาสที่จะไดรับการคัดเลอื กเปน ประชากรในรนุ ตอไปมากขึ้น เพ่ือใชในกรณีท่ี ขอ มลู ท่มี ีคา ความเหมาะสมทดี่ ที ีส่ ดุ เดน กวาขอ มลู อืน่ ดงั รปู ที่ 7 รูปท่ี 7. การคัดเลือกแบบจดั อนั ดบั โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

142 เมธาวี บวั กลนิ่ และคณะ 3.การคัดเลือกแบบการแขง ขนั (Tournamet Selection) เปนการสุมแบงกลุมคดั เลอื กขอมูล แลว เลอื กเอาขอ มลู ที่ดีทีส่ ดุ ในกลมุ นน้ั เพอื่ หาขอมูลชนะ เปนตนกำเนิดสายพนั ธุต อ ไป ดงั รปู ที่ 8 รปู ท่ี 8. การคดั เลอื กแบบการแขง ขัน 2.4.5 การดำเนนิ การสลับสายพันธ(ุ Crossover) เปนกระบวนการที่สำคัญ ทำใหเกิดการเปล่ียนแปลงของส่ิงมีชวี ิตท่ีหลากหลาย จะนำสมาชิก ของประชากรท่ีผา นการคัดเลอื กมาเปน คูๆ กำหนดใหเปนสมาชิกรนุ พอ และสมาชิกรุนแม (Parent Individual) มาผสมกนั เพ่ือใหไดขอ มูลใหม มีวิธีการสลบั สายพนั ธุมีอยูดว ยกันหลายวธิ ีเชน แบบ One Point,Two Point เปนตน การใชงาน Cross Method น้ันจะข้ึนอยูกับการเลือกใชรูปแบบผลลพั ธ ของ ขอมูลดวย ดงั รปู ที่ 9 รปู ท่ี 9. การสมุ เลอื กสมาชกิ รนุ พอ กบั สมาชิกรนุ แมมาทำการสลับสายพันธุ 1.การสลบั สายพนั ธุแบบ 1 ตำแหนง (One-point Crossover) เปนการแลกเปล่ียนแถวกนั ระหวางขอ มูลพอ แมท ่ีมาจับคูกนั ณ จุดใดจุดหนึ่ง ดังรูปที่ 10 รปู ที่ 10. การสลบั สายพันธุแบบ 1 ตำแหนง (One-point Crossover) โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

การประยุกตใชอ ลั กอริทึมพันธุกรรม เพือ่ พฒั นาความแมน ยำของการจำแนก… 143 2.การสลบั สายพนั ธุแ บบ 2 ตำแหนง (Two-point Crossover) เปน การเปล่ยี นแปลงแถวของขอมูล ณ จุดสุม 2 จดุ มีความหลากหลายกวาการทำครอส โอเวอรแบบจดุ เดยี ว อนั จะมีผลใหการลูเขาสูคำตอบของระบบสามารถครอบคลุมพืน้ ท่ีของคำตอบ ไดมากย่งิ ขนึ้ ดังรปู ที่ 11 รปู ที่ 11. การสลบั สายพันธุแบบ 2 ตำแหนง (Two-point Crossover) 2.4.6 การดำเนนิ การกลายพันธุ (Mutation) เปน กระบวนการท่ีเกดิ ขึ้นกระบวนการสลบั สายพนั ธุ วัตถปุ ระสงคเพื่อทำใหคาของขอมูลที่ มีอยูเดิมเกดิ การเปลยี่ นแปลง และชว ยหลกี เลย่ี งปญหาการเวียนซำ้ อยูกบั คา ใดคาหนง่ึ (Iteration Search) ทำการสมุ ตำแหนงท่ีตอ งการการกลายพนั ธุขึ้นมาภายใตความนาจะเปน ในการกลายพนั ธุ (Probaboility of Mutation) เพ่อื ใหสมาชกิ ของกลมุ ประชากรมีความหลากหลายมากขน้ึ ความนาจะ เปนในการกลายพนั ธุจ ะอยรู ะหวาง 0 ถงึ 0.1 เทคนิคการกลายพันธุ (Mutation) มีหลายวธิ เี ชน 1.การกลายพนั ธุแ บบกลับบิต(Bit-Flipped Mutation) เปน เทคนิคที่เขา รหัสขอ มลู เปนเลขฐานสอง สามารถทำไดโดยการกลับคาบติ เปนคาตรงขา ม จากคา เดมิ (Complement)คือ จาก 0 เปน 1 หรือ 1 เปน 0 จากตำแหนง ที่สุมไดตามคาความนาจะ เปน ของการกลายพนั ธุ ดงั รปู ท่ี 12 รปู ท่ี 12. แสดงการกลายพนั ธุแ บบบติ โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

144 เมธาวี บวั กล่นิ และคณะ 2.การกลายพันธุแ บบผกผัน(Inversion Mutation) เปน การสลบั ตำแหนงแบบหลงั ไปหนา โดยสุมเลอื กสมาชิกมาหนึ่งตัว ทำการสุมเลือกชวงที่จะ ทำการกลายพนั ธแุ ละทำการสลบั ตำแหนง ภายในชว งการตดั ดังรปู ที่ 13 รปู ท่ี 13. แสดงการกลายพนั ธแุ บบผกผนั 3.การกลายพันธแุ บบแทรก (Insertion Mutation) เปนการเปลยี่ นตำแหนงโดยการแทรกตำแหนง โดยสุม เลอื กสมาชิกมาหนง่ึ ตวั ทำการสมุ เลอื ก ตำแหนง ทีจ่ ะแทรก และทำการสุมเลือกตวั ทีจ่ ะแทรกเขามาทำการแทรกในตำแหนงทถ่ี กู สมุ ดังรูปที่ 14 รปู ที่ 14. แสดงการกลายพันธแุ บบแทรก 2.4.7 การแทนที่ (Replacement) เปนข้ันตอนที่เมอ่ื ผานขนั้ ตอนของการสลับสายพนั ธุและการกลายพนั ธุ จะทำใหเกิดขอมลู ลูกหลานเรียบรอยแลว นำไปแทนประชากรรนุ เกา จดุ ประสงค ในการแทนที่เพอ่ื ทำใหขอ มูลที่ดีกวา เพราะไดสายพนั ธุท่ีดีจากตนกำเนิดสายพันธุท่ีผานการคัดเลอื กแลววิธีในการคดั เลือกวา ขอ มลู ไหนจะ ถูกแทนท่ีมีดว ยกนั 2 วิธีคอื โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

การประยกุ ตใชอัลกอรทิ ึมพันธุกรรม เพอ่ื พฒั นาความแมน ยำของการจำแนก… 145 1.การแทนทปี่ ระชากรทัง้ รุน(Generational Genetic Algorithm) เปนการนำผลลพั ธช ดุ ใหมแทนผลลพั ธช ุดเกา ขอ เสยี ผลลพั ธถ ัดไปจะไมม ีการเปล่ยี นแปลง 2.การแทนทีป่ ระชากรแบบบางสว น(Partial Genetic Algorithm) เปนการนำผลลพั ธชดุ ใหม แทนผลลัพธชุดเกา บางสว น โดยการสมุ หาคา หรอื กำหนดคา 2.4.8 การกำหนดการตดั สินสุดของการทำงาน (Termination Condition) เปน กระบวนการสดุ ทา ย ในการตรวจสอบผลลพั ธ วา เหมาะสมหรอื ไม ถา เหมาะสมผลลัพธชุด ใหม จะถกู นำไปเปนตวั ตัง้ ตนหรือจบกระบวนการ ถา ไมเหมาะสมจะทำการหาคาเหมาะสม 3. วธิ ีดำเนนิ การวิจยั ในบทวิจัยน้ี ผูวจิ ยั ประยกุ ตใ ช GA กับ เทคนิคการจำแนกขอ มูล SVM แบบ 2 ชั้น เพอื่ ลดผลกระทบของความไมสมดลุ ในชดุ ขอมลู จงึ เสนอวิธีการใหมเพ่อื สรางชุดขอ มลู ระดบั กลุม จำนวนนอ ยใหม การสัพพอรต เวกเตอร โดยท่ีไดจากขอ มลู ที่ไมสมดุลดง้ั เดิม การคน หาและเพ่มิ ความสำคญั ของชุดขอ มูลไดรับการรับรูโดยอัลกอริทึม ทางพนั ธกุ รรม (Genetic Algorithm:GA) จะ แสดงใหเห็นถงึ ข้ันตอนการทำงาน ของการจำแนกประเภทขอมลู ที่เสนอมา ซ่งึ มีขั้นตอนการดำเนนิ การ ดังแสดงในรปู ที่ 15 รปู ท่ี 15. ข้ันตอนการทงานของการจำแนกประเภทขอ มูล โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

146 เมธาวี บวั กลิ่น และคณะ อลั กอริทึม 1 : ขน้ั ตอนการแบงคลาส SVM สองข้นั ตอน การนำเขาขอมูล : ชุดขอมูลบิดเบอื น การสง ออกขอ มลู : Hf : {xi ϵ SV } 1. {xi ∈ X : y = +1}, (i = 1, ..., m) −→ X+ : กลุมท่ีมีจำนวนนอ ย 2. {xi ∈ X : y = −1}, (i = 1, ..., m) −→ X− : กลมุ ท่ีมีจำนวนมาก 3. สำหรบั X+ และ X− จะไดวา Xt+r , Xt−r , Xt+f , Xt−f , Xt+e , Xt−e จะได 70%และ 15% 15%ตามลำดบั 4.ชุดขอมูล SVM จะไดวา (Xt+e, Xt−e) −→ H1 5.การสนบั สนุนโดยเวกเตอร Xs−vi และXs+vi −→สำหรบั H1 6.รับประชากรเริ่มตน ตาม ขอ (7) และ (8) (Xsvi+ ∈ ·Vi) −→ Xsvg 7.รับชดุ ขอ มลู ท่ีสรางขน้ึ ท่ีดที สี่ ุด (Xe+vg, Xs−vg) ∈ XNsvg ใชอลั กอริทึมทางพนั ธุกรรม (อัลกอรทิ ึม 2) 8.รปู แบบ SVM จะได (Xs+vg, Xs−vg) และ ไดรบั รปู แบบทด่ี ี ของ Hf A. การจำแนกขอมูล/การแบงขอมูล คณุ สมบตั ิการจำแนกกลุมตวั อยา งเปนสงิ่ สำคญั ของ machine leaning ในการทดสอบ ไม สามารถใชวิธกี ารเดยี วในการตดั สินใจท่ีจะไดขอบเขตที่ดที ีส่ ุดขึน้ อยูกับลักษณะขอ มลู เราจำแนกลกั ษณะของขอมูลยอ ย 100% ออกเปน 3 สวนยอ ย ดังนี้ 1. training data(tr) (70%) เปนการนำขอมลู ไปใชในการสรา งสมการ 2. testting data(te) (15%) เปนการนำขอ มลู ไปใชใ นการทดสอบ 3. testing fitness data(tf) (15%) เปนการนำขอมูลไปใชในข้ันตอนของ GA กำหนดให x− เปน กลุมที่มจี ำนวนมาก(majority) x+ เปน กลุมท่มี จี ำนวนนอ ย(minority) ในการแบง กลมุ ท่มี จี ำนวนมากไดส มการ ดังน้ี x− = {xj }nj=1, xj ∈ Rd การแบงกลมุ ทม่ี ีจำนวนนอยไดด ังนี้ x+ = {xi}jm=1, xi ∈ Rd ตัวอยางเชน ปญหาการจำแนกประเภท 2 กลุม มีจำนวน 1000 ตัวอยาง -กลมุ ท่ีมจี ำนวนมาก (x−) 800 ตวั อยา ง -กลุม ที่มจี ำนวนนอย (x+) 200 ตัวอยา ง โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

การประยุกตใชอ ัลกอรทิ มึ พนั ธกุ รรม เพอ่ื พฒั นาความแมน ยำของการจำแนก… 147 ดงั นั้น กลุม training data (Xtr) 70% Xt−r 560 ตวั อยาง Xt+r 140 ตวั อยา ง กลุม testting data (Xte) 15% Xt−e 120 ตวั อยาง Xt+e 30 ตวั อยา ง กลมุ testting fitness data (Xtf) 15% Xt−f 120 ตวั อยาง Xt+f 30 ตวั อยา ง B. สรา งตัวแบบดวยเทคนคิ SVM สำหรบั ขอ มลู เดิม ในข้ันตอนนี้ SVM สรางขน้ึ โดย Xt+r และ Xt−r เพ่อื รับ support vectors ไฮเปอร เพลนท่ไี ดรบั ในขน้ั ตอนนคี้ อื min ( 1 wiT wi + C ∑n ηi2)  2 i=1  subject to yi(wiT K⟨xi · xj⟩ + bi) ≥ 1 − ηi และฟงกชนั การตัดสนิ ใจคอื  ∑n yi = sign  αiyjK⟨xi · xj⟩ + b j=1 เกดิ การบดิ เบอื นเนอื่ งจาก Xt+r, Xt−r เปนขอ มลู ทไี่ มส มดลุ เราตองการใช support vectors เพื่อสรา งชดุ ขอ มลู ใหมแ ละแกไ ขไฮเปอรเ พลนทีบ่ ิดเบือน ในข้นั ตอนแรกจะยาย support vectors ของกลมุ ท่ีมีจำนวนนอย ไปยังกลุมท่ีมีจำนวนมาก การคำนวณทศิ ทางการเคลือ่ นท่ีโดย vi = x+svi − x−ij , i = 1, ..., |Xr−| (7) ||xi−j − xs+vi||2 เน่อื งจาก x−svi ∈ SV ของ Xt−r, x+svj ∈ SV ของ Xt+r, และ x−ij = jmin||xsvi − xsvj||2, j = 1, ..., |Xr+| (8) ไดรบั ชดุ ขอมูลใหมโดย xsvg = xsvi + ϵ · vi (9) โดยท่ขี นาดขั้นตอนคอื ϵ เลือกระหวาง 0.1 และ 0.001 โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

148 เมธาวี บวั กลนิ่ และคณะ รูปที่ 16. การสรางชุดขอมูลใหมจ าก SVs จากรูปท่ี 16 แสดงใหเหน็ วธิ ีการสรางจดุ ขอมูลใหมจาก SVs ตามคุณสมบัติทางเรขาคณติ ของ SVM การเคลอ่ื นท่ีของกลมุ ท่ีมีจำนวนนอยจาก SV ไปยงั กลมุ ที่มีจำนวนมาก สามารถปรับปรงุ ความ แมน ยำในการจำแนกขอ มูลไดไว C. จดั การขอ มลู ทไี่ มส มดุล ดว ยวธิ ีการสงั เคราะหขอมูลใหม โดยใชเทคนิค GA กลุมเร่มิ ตน ถกู สรางขนึ้ โดย Xsvg แตละชดุ ขอ มูลใหมรวมกับขอ มลู เร่มิ ตน (SV Xs+viUx+svj) โดย Gray code และคำนวณหาคาในชดุ ขอมลู จุดขอ มลู ที่มีความเหมาะสมทีส่ ดุ ถกู จดั การโดยการ ดำเนินการทางพันธกุ รรม เพือ่ ใหไดขอ มลู ชดุ ใหมและเพ่ิมประสทิ ธภิ าพการแกปญ หา โดยการดำเนิน การทางพนั ธุกรรม สามารถหาวิธีแกปญหาในพ้ืนที่เลก็ ๆ โดยการควบคุมการดำเนนิ การ(crossover operators) และการสำรวจใหมในพืน้ ที่วา งๆ โดยการดำเนินการท่ีแยกออกไป (Mutation operator) การกลายพนั ธุ fitness function วธิ ีการหาความเหมาะสม ทำใหเกิดความมัน่ ใจในการปรับปรงุ โดย fitness score สำหรับแตละขอ มลู กระบวนการยงั คงดำเนนิ ตอ ไป จนไดขอ มลู ทตี่ องการ algorithm บางตวั ที่สรางชดุ ขอ มูลเทียมเพ่ือปรบั ปรงุ ประสิทธิภาพของ SVM อยางไรก็ตาม algorithm เหลาน้ี เปน การใชขอ มลู แบบสมุ โดยพจิ ารณาขอบเขตการตัดสินใจหรือจดุ ขอ มูลใหมโดยไม คำนงึ ความเหมาะสมของการจำแนก เนอ่ื งจากการเปลีย่ นแปลงเลก็ นอยในคุณสมบตั ิของขอ มูลทำให ประสิทธิภาพของ SVM ลดลงอยางมาก วธิ ีการเดิมไมสามารถตดั สนิ ใจไดที่ชุดขอ มลู ใหม สามารถ ปรับปรุงประสทิ ธิภาพของ SVM ไดในชดุ ขอมูลท่ีไมสมดลุ เพราะฉะน้นั การคน หาจะไมเปนที่นา สนใจ มคี วามซบั ซอน GA มคี วามสามารถในการสำรวจพื้นท่ขี นาดใหญเพ่ือ หาจดุ ขอมลู ใหม ถือวา เปน ปญ หา ในการคนหาของ GA เนอ่ื งจากมคี วามซบั ซอ น ดังนัน้ การใช GA algorithm ชวยปรบั ปรงุ ประสทิ ธิภาพ โดยการสำรวจชุดขอ มูลเทียม รถู ึงปญหา สำคัญในการทดสอบ 2 ประเดน็ ดังนี้ 1.การกำหนดคำตอบ 2.การกำหนดคา โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

การประยกุ ตใชอลั กอรทิ ึมพนั ธุกรรม เพอ่ื พัฒนาความแมนยำของการจำแนก… 149 จะถกู ดำเนินการโดยอลั กอรทิ ึมตอ ไปน้ี อลั กอริทึม 2 : ขนั้ ตอนวธิ ีการอลั กอริทึมทางพันธกุ รรม ในการสรางขอมูลเทียมของกลุมท่ีมี จำนวนนอย input : ประชากรเร่มิ ตน output : Hf : xi ∈ SV 1.m(k) = m(0) = m 2.สำหรบั i = 1 ถงึ m(k) 3.Ha ←−ทดลองSV M (x svi ∪ x svi ∪ x svg ) − − (i) 4.รบั คาเหมาะสมของ Ha ดว ย (X tf , X tf ) = − 5.จบกระบวนการ 6การสรา งประชากรใหม XNsvg ดวยการเลือก การสลับ หรอื การกลายพันธุ 7.เพิม่ ประชากรทดี่ ที ่ีสดุ ใน XNsvg ไปยงั XNsvg เพ่อื จดั รปู แบบใหมเ พอื่ ประชากกรรนุ ถดั ไป 8.m(k)=ขนาดรุน ของ XNsvg 9.กลบั ไปดขู อ 2 ใหมเ ม่ือไมต รงตามท่กี ำหนดไว เพอื่ ประเมนิ ลกั ษณะของชดุ ขอมูลขนาดใหญและบดิ เบอื น จำเปนตอ งใชการวดั ประสทิ ธิภาพ ที่แตกตางกัน สำหรับกรณีของชดุ ขอมูลท่ีบิดเบือน การวดั ความแมน ยำเทา นน้ั อาจนำไปสูขอสรปุ ท่ี ผดิ เพราะกลุม ท่ีมีจำนวนนอ ยมีผลกระทบตอ ความแมนยำนอยเม่อื เทียบกบั ขอ มลู สว นใหญ สำหรับ ตัวอยา ง ชดุ ขอ มูลที่มีอตั ราสว นความไมส มดุลระหวาง 99 ถงึ 1 ตวั จาํ แนกท่ีใชง านไดถึง 99% ของความ แมนยำถอื วา ดสี ําหรบั กรณีทั่วไป อยางไรกต็ ามสำหรบั ตัวอยา งที่มีการจดั ประเภทขอมลู ท่ีบิดเบอื นนน้ั ไมมปี ระโยชน เราใชความไวและความจำเพาะ เพื่อประเมนิ ประสิทธภิ าพ การหาความไว โดย Tp (10) SnT = TN + Fp และการหาความจำเพาะ โดย Tp (11) SnF = TN + FP โดยท่ี Tp เปน วตั ถุเชงิ บวกทีค่ าดการณว า เปน +1, Tn เปนวตั ถุเชิงลบทคี่ าดการณว า -1, Fpเปนวัตถุเชงิ ลบท่ีคาดการณวา +1Fn วัตถุเชิงบวกท่ีคาดการณวา -1 ความไวคือสดั สวน ของตัวอยา งเชิงบวกท่ีระบุอยางถกู ตอ ง ในขณะท่ีความจำเพาะคอื สดั สวนของตัวอยางเชงิ ลบท่ีระบุ อยางถกู ตอ ง นอกจากการแสดงตัวเลขเหลานี้แลว ในงานวจิ ัยน้ีไดใชคุณลกั ษณะการทำงานของตัว รบั สัญญาณ (ROC) และ ROC (AUC) การวิเคราะห ROC ใชกนั อยางแพรหลายสำหรับการวิเคราะห ประสิทธภิ าพของตวั แยกประเภทไบนารี ROC curve แสดงถึงจำนวนของวัตถุสองตัวที่แยกกันได โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

150 เมธาวี บวั กลนิ่ และคณะ สามารถสรา งเสนโคง ROC โดยใชเลเบลของชดุ ขอ มลู อนิ พุตและเอาตพ ุต ขอไดเปรยี บที่สำคัญทสี่ ุด ของการวเิ คราะห ROC คือไมจำเปน ตองมีคา ใชจายในการจำแนกประเภทผิดพลาด เกณฑภาพและ ตัวเลขท่ีเก่ยี วขอ งกับวิธีนี้ชว ยใหก ารวิเคราะหประสิทธภิ าพมีความยดื หยุนมากขึ้น เราใชการเขา รหัส สีเทาเพื่อแสดงถึงฟงกช ันการหาคาเหมาะสม ซงึ่ เปนฟงกช นั วตั ถุประสงคสำหรับปญหา มันมีวธิ ีที่จะ มาถงึ โซลชู ่นั การคนหา และยังควบคมุ กระบวนการคดั เลอื ก สำหรับการจำแนกประเภท เราสามารถ พิจารณาปจจยั ตางๆเชน ความแมนยำในการทำนายและอัตราความผดิ พลาดเปน F itness = F · G · AU C (12) เมอื่ √ SnF F = 2 × precision × recall = × SnT ,G precision + recall AUC เปนพ้ืนที่ใตเ สน โคง กำหนดให (13) 1 + T rue_P ositive_rate − F alse_P ositive_Rate AU C = 2 ในบทความนี้ เราเพม่ิ AUC เพอ่ื รบั ฟง กชนั ความเหมาะสมท่ีดีความถูกตอ งของการจำแนก ไดรบั การปรับปรุงเมอ่ื เทยี บกับแตละคำ การเลอื กบทความน้ีขึ้นอยูกับการรกั ษาระดับสูง แตละคนมี ชีวติ รอดในรุนตอ ไปตามสดั สว นของระดับความเหมาะสม บุคคลที่ดีทีส่ ดุ ในประชากรถูกสรา งขนึ้ เพือ่ คงไวซึ่งคนรุนตอไปเพ่อื ปอ งกนั บคุ คลที่ดีทส่ี ุดจากการถกู กำจัดโดยกองพันธุกรรม Stochastic โอเปอเร เตอรการครอสโอเวอรรวบรวมขอ มูลทางพนั ธุกรรมของบุคคลสองคน(ผูปกครอง) ไดรบั จากการเลอื ก โอเปอเรเตอรและสรา งสองบุคคลใหม (เด็ก ๆ ) เรยี กวา เปนลูก,เราใชจุดครอสโอเวอรสองจดุ ในการ ดำเนนิ การกลายพันธุยีนที่แสดงโดยศนู ย (0) จะถูกเปลีย่ นเปน หน่ึง (1) และในทางกลบั กนั โอเปอเรเต อรการครอสโอเวอรอนญุ าตใหฟงกชนั คาเหมาะสมววิ ฒั นาการไปสูการปรับใหเหมาะสม โอเปอเรเตอร การกลายพนั ธุชว ยในการคนหาทางออกที่ดีทสี่ ดุ ของปญหา มันถกู เรยี กวาโอเปอเรเตอรการสำรวจ เรา ใชค วามนาจะเปนแบบไขวของ pc = 0.9 และความนา จะเปน แบบกลายพนั ธขุ อง pm = 1/n โดยที่ความยาวสตรงิ สำหรบั รหัสสีเทา ไฮเปอรเพลนสดุ ทา ยจะไดรับจนกวาจะถงึ เกณฑการ หยุด เราใชสามชวั่ อายคุ นหรือเม่ือความแมนยำไมดขี ึน้ เกณฑหยดุ ทำหนา ท่ีเปนกลไกในการหลกี เล่ียงการไดรบั ขอมลู การฝกอบรมมากเกินไป การ ศกึ ษาเชิงประจักษของเราแสดงใหเ หน็ วาสามช่วั อายคุ นทำงานอยางเหมาะสม โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

การประยกุ ตใชอลั กอรทิ ึมพนั ธกุ รรม เพอ่ื พัฒนาความแมนยำของการจำแนก… 151 D. สรา งตัวแบบ ดว ยเทคนิค SVM สำหรับขอ มลู ใหม ในขัน้ ตอนน้ีเราใช SVM อกี ครัง้ ชุดขอมลู การจัดการที่ใชจะไดรับในข้ันตอนกอ นหนาดว ย อลั กอรทิ ึมทางพันธกุ รรม Xsvg ซ่ึงมี support vectors ทไ่ี ดรบั ในคร้ังแรก ข้ันของ SVM และ จุดขอ มูลทสี่ รา งขนึ้ ดว ยพันธกุ รรม ข้นั ตอนวธิ ี SVM ทำใหเรามฟี ง กช ันการตัดสนิ ใจ  ∑n yi = sign  αiyjK⟨xi · xj⟩ + b j=1 Xsvg = {(xsvg, ysvg)}in=1 (14) โดย Xsvg ∈ (xs−vi ∪ x+svj ∪ XN svg) และ ysvg ∈ (+1, −1) ฟง กช ันการจำแนกประเภทถูก กำหนดโดย   ∑n (15) yi = sign  αiyjK⟨xsvgi · xsvgi⟩ + b j=1 4. ผลการวิจยั ในสว นนี้ เปรียบเทียบอลั กอริทมึ กบั การดำเนนิ ตางๆ การใชงานผานชุดขอมูลท่ีไมสมดุลหลาย ชดุ ในทุกดา น การทดลองท้งั หมดท่ีใชโครงขา ยประสาทเทียมแบบเรเดียลเบซิสฟงกชนั (Radial Basis Function:RBF) เชน Kernel กำหนดฟง กชนั โดย K(xi − xj ) = eγ||xi−xj||, γ > 0 จากการตรวจสอบความแมน ยำและอัลกอริทึมทางพนั ธุกรรมจะใชการคน หาพารามเิ ตอร γ เชน การจำแนกลำดบั โปรตีนท่ีเปน อนั ตราย เราใชการเลอื กรปู แบบจำลองเพ่อื รบั พ้นื ท่ีพารามิเตอรไ ฮ เปอร มีการสำรวจดวย γ = [10−2,, 10−1, 100, 101] และการทำงานมาตรฐานของพารามเิ ตอร C = [100,, 101,, 102, 103, 104] ในการทดลองชดุ ขอ มลู ท้งั หมด ทำใหมีประสิทธิภาพและใชวธิ ีการตรวจสอบท่ีแมน ยำ 10 เทา สำหรับการดำเนินการ 30 ครง้ั ในแตละการทดลอง สำหรับการสรา งชดุ การทดลองและชุดการทดสอบ ใช 70% จากชดุ ขอมูลเพื่อการทดลอง 15% เพอ่ื ความเหมาะสมจากขอ มูลเทียม และการจำแนก ประเภทของตวั อยางท่ีมองไมเหน็ 15% เพอื่ ทดสอบ ดงั ตารางท่ี 1 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

152 เมธาวี บัวกลน่ิ และคณะ ตารางท่ี 1. ขอ มลู ท่ีำมสมดลุ Dataset mc (+1) Mc(-1) Features (f) Imbalance ratio fourclass 307 555 2 1:01.808 glass0 70 144 9 1:02.057 vehicle3 212 634 18 1:02.991 ecoli1 77 259 7 1:03.364 diabetes 268 500 8 1:01.866 yeast4 51 1433 8 1:28.098 yeast5 44 1440 8 1:32.727 yeast6 35 1449 8 1:41.400 ใชชดุ ขอมูล benchmark 8 ชุด จากชุดขอ มูล KEEL ไปยงั ท่ีเกบ็ ตารางที่ 1 แสดงชุดขอมูล ที่ใชในการทดลอง เพื่อวดั ประสทิ ธภิ าพของวิธีที่เสนอในการดำเนินการตา งๆ ชุดขอ มลู ท่ีเลือกมามี อตั ราสวนความไมสมดุลระหวาง 1 ถึง 1.248 ถึง 1 ถงึ 41.4 ตารางทส่ี รุปคณุ สมบัตขิ องชุดขอมูลที่เลือก ซ่งึ แสดงสำหรับแตล ะชดุ ขอมลู กำหนดจำนวนตวั อยา งในกลมุ ท่ีมีจำนวนนอ ย (mc) กลมุ ที่มีจำนวนมาก (Mc) จำนวนคณุ สมบตั ิ (f) และอตั ราสว นความไมสมดุล ในกรณีของคา ที่หายไปเราไดลบอินสแตนซ เหลานั้นออกจากชุดขอมูล วธิ ีการถกู นำมาใชใน Matlab นอกจากน้ีเรายงั วิเคราะห ROC เราจะเหน็ วา เสน โคง ROC ของ GA-SVM ของเรานั้นดีกวา การใชงานอน่ื ๆ สิ่งนี้พิสูจนไดชดั เจนวาวธิ ีท่ีเสนอนั้นดี กวา อลั กอริทมึ อนื่ สำหรับชดุ ขอมลู ท่ีไมสมดลุ ในการคนหานี้ ตัวอยางวิธีการใช สงั เกตวา เมือ่ อตั ราสว น ความไมสมดุลมขี นาดใหญป ระสิทธภิ าพท่ที ำไดโดยวธิ ที ่เี สนอนัน้ ดกี วา วิธีการด้งั เดิม เราสรุปขอดีของวิธี การทีเ่ รานำเสนอดังตอไปน้ี รปู ที่ 17. SVM แบบปกติ (แดง) , SMOTE (เขียว) โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

การประยุกตใ ชอ ัลกอรทิ มึ พนั ธุกรรม เพ่อื พัฒนาความแมนยำของการจำแนก… 153 วธิ ีการของเราใหผลลพั ธความแมน ยำโดยเฉลย่ี ท่ีดีกวา อีกสามวิธีท่ีมีความสามารถสำหรับชดุ ขอมลู ใด ๆ โดยไมคำนึงถึงโดเมนขนาดมติ ขิ อมลู และความไมสมดุลของธรรมชาตขิ องขอ มลู ความแมนยำของวธิ ีการทเ่ี สนอนั้นไดร ับการปรบั ปรุงอยา งมนี ัยสำคญั สำหรับชุดขอ มูลทัง้ 8 ชุด วิธีอ่ืนไมสามารถปรับปรุงความแมน ยำในการจำแนกประเภทสำหรบั ชดุ ขอมลู ทไ่ี มสมดลุ เหลา นี้ท้งั หมด รปู แบบการปรบั จนู แบบววิ ัฒนาการท่ีเสนอในบทความน้ีชว ยปรับปรุงผลการจำแนกสำหรับ ชดุ ขอมูลท่ีไมสมดุล SVM กบั GA มีการทำงานรวมกนั ในเชงิ บวกกับการปรับแตง ดานขางและนำไปสู พฤตกิ รรมระดับโลกท่ดี ี สำหรบั ชดุ ขอ มูลบางอยา งเชนส่ีคลาสและยานพาหนะ 3 เสนโคง ROC จะเพิ่มข้ึนอยางนาทง่ึ ผลการเปรียบเทียบยังแสดงใหเห็นวา ประสทิ ธิภาพการทำนายน้ันดีขนึ้ เนื่องจากลักษณะของ SVM พ้นื ผวิ การตดั สนิ ใจอาศยั เวกเตอรสนับสนุนบวก หรอื ลบ SVM มี ความไวตอคณุ สมบัติทางสถติ ิของคุณสมบตั ินอยกวา การสรา งจุดขอ มูลใหมน้นั ไมนาพึงพอใจเนื่องจาก ตวั อยา งที่จำแนกผิดประเภทของคลาสของชนกลุมนอยสามารถสรางการลดลงอยางมีนยั สำคญั ของ ประสทิ ธิภาพของตวั จาํ แนกในบางกรณี อยางไรกต็ ามในบทความน้ีเราใช GA เพื่อเพมิ่ จดุ ขอมูลใหม และคน หาจดุ ขอมลู ในระยะขอบการจำแนกท่ีปรับปรุงประสทิ ธภิ าพของ SVM ROC รูปท่ี 17 แสดง วิธีการปรับปรงุ ประสทิ ธิภาพของวธิ ีท่ีเสนอโดยใชจุดขอ มูลท่ีพบกับ GA ในการทดลองของเราเราใช มาตรการส่ี performace เพ่ือแสดงประสทิ ธิภาพของวิธกี ารทเี่ สนอ ผลการวจิ ยั พบวา ความแมนยำในการจัดหมวดหมูนน้ั ดีขึ้นมากเมื่ออัตราสว นความไมสมดุล ใหญ การปรบั ปรงุ ไมดีเมือ่ วทิ ยุไมสมดุลมีขนาดเลก็ เนือ่ งจากความถกู ตอ งของการจดั ประเภทข้ึนอยูกับ พนื้ ผิวการตัดสนิ ใจท่ีเรยี นรูจากขอมลู การฝก อบรม 5. สรุปผลการวจิ ยั และขอ เสนอแนะ ในบทความนี้ เปนการนำเสนอวธิ ีการที่ชว ยปรบั ปรงุ ประสทิ ธิภาพของการสรา งตัวแบบดวย วิธซี พั พอรตเวกเตอรแมชชนี (Support Vector Machine:SVM) สำหรับชดุ ขอมลู ท่มี คี วามไมสมดุล วิธี การน้ีทำไดโดยการสรา งชดุ ขอ มูลใหมท่ีมีการปรบั อัตราสวน ระหวา งจำนวนขอ มูลของกลุม ที่มีจำนวน มากและกลมุ ท่ีมีจำนวนนอ ยใหเกิดความสมดุล โดยการประยุกตใชเทคนิคอลั กอริทึมทางพันธุกรรม (Genetic Algorithm:GA) ซ่ึงเปนวธิ ีการท่ีไมงายและมีความแตกตา งจากวิธีการอื่นๆ โดยจะมีการเพ่ิม จำนวนขอ มูลของกลมุ ที่ใชสำหรับทดสอบตวั แบบอกี ดวย เพ่ือเปนการเพมิ่ ประสทิ ธภิ าพการทำงานของ ตัวแบบ SVM สำหรบั ชุดขอ มูลทม่ี คี วามไมส มดุล เอกสารอางองิ [1] J.Cervantes X.Li and W.Yu, “Using Genetic Algorithm to Improve Classification Ac- curacy on Imbalanced Data”,pp.2659-2664 (2013) โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

154 เมธาวี บัวกล่ิน และคณะ [2] P.Palwisut, “Improving Decision Tree Technique in Imbalanced Data Sets Using SMOTE for Internet Addiction Disorder Data” ,pp.54-63 (2016) [3] พัชรียา ทองพูล,พิมพชนก จำเรอื ง,รมยนลิน บญุ ฤทธ และ สายชล สินสมบูรณทอง, “การเปรยี บ เทียบประสทิ ธิ ภาพในการทำนายผลการปรบั ความไมสมดุลของขอมูลในการจำแนกดวยเทคนคิ การทำเหมืองขอมูล” ,หนา 567-568 (2562) [4] รณุ ี ไกรทอง, “ข้นั ตอนวิธเี ชงิ พันธกุ รรมทีม่ วี ิวัฒนาการทำงานรวมกัน เพื่อสรางกลยทุ ธการซอื้ ขาย หลักทรัพย” ,หนา 8-20 (2557) โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-AP 07 155 การแปลงเอลซากิและสมการเชิงอนุพนั ธอนิ ทิโกรพรอมดวย ฟง กช ันบลั จ Elzaki Transform and Integro-Differential Equation with a Bulge Function ผูแตง : Mohand M. Abdelrahim Mahgob and Tarig M. Elzaki จัดทำโดย: ราชาวดี เคร่อื งวิชา1* 1สาขาวชิ าคณิตศาสตรแ ละสาขาวชิ าสถิตปิ ระยกุ ต คณะวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลัยราชภฏั สุรินทร *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ ในบทความน้ีเปนการศกึ ษาเก่ยี วกบั สมการเชงิ อนุพันธอนิ ทิโกรพรอมดวยฟง กช นั บลั จเพือ่ หาผลเฉลย แมน ตรง โดยใชการแปลงเอลซากิ การแปลงเอลซากิผกผนั และทฤษฎีบทสงั วตั นาการ ซง่ึ วิธีน้ีเปน วธิ ีที่มี ประสิทธิภาพมากและงายตอการแกปญ หาสมการเชิงอนพุ ันธยอยและสมการเชิงอนุพันธอนิ ทิโกรพรอม ดวยฟงกชันบัลจเมื่อเปรยี บเทยี บกับวธิ ีอืน่ ผลลัพธท่ีไดแสดงใหเหน็ ถึงความแมนตรงและประสทิ ธภิ าพของ วิธกี ารแปลงเอลซากิ คำสำคญั : การแปลงเอลซากิ, สมการเชิงอนุพันธอ นิ ทโิ กร, ทฤษฎบี ทสังวัตนาการ Abstract The aim of this paper, is to study the integro-differential equations with a bulge function, to find the exact solution we use Elzaki transform, inverse Elzaki transform and the convo- lution theorem. This method is more efficient and easy to handle such partial differential equations and integrodifferential equations with a bulge function in comparison to other methods. The result showed the efficiency, accuracy and validation of Elzaki transform method. Keywords: Elzaki transform, Integro-differential equations, convolution theorem 1. บทนำ สมการไมเชงิ เสนมีความสำคัญอยางยิง่ ตอโลกในยคุ ปจจบุ ันโดยมีความสัมพนั ธอยางใกลชดิ กบั ปรากฏการณไมเชิงเสน ซ่งึ มีความสำคัญในการใชงานในสาขาคณิตศาสตรประยกุ ต ฟส ิกส และปญ หา ที่เก่ียวขอ งกับวศิ วกรรมศาสตร ถึงแมจะมีความสำคญั ในการแกปญหาเพื่อใหไดผลเฉลยแมน ตรงของ โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

156 ราชาวดี เครื่องวิชา สมการเชิงอนุพนั ธยอ ยแบบไมเชงิ เสนในฟสกิ สและคณติ ศาสตรประยุกต แตก็ยงั คงพบปญหาที่นา กงั วล ในการหาวธิ กี ารใหมเพอื่ หาผลเฉลยแมนตรงหรอื ผลเฉลยโดยประมาณ ในชวงไมกี่ปที่ผา นมามีนักวิจัยหลายคนใหความสนใจกบั การศกึ ษาหาวิธีการแกปญ หาสมการ เชงิ อนุพนั ธยอยแบบไมเชงิ เสน โดยใชวธิ ีการตาง ๆ เชน วิธีการแยกอาโดเมียน (Adomian decom- position method) วิธีโฮโมโทปเพอรเทอรเบชนั (homotopy perturbation method) วธิ ีการทำ ซ้ำแปรผนั (variational iteration method) [1–5] วธิ ีทำซำ้ แปรผันลาปลาซ (Laplace variational iteration method) [6–8] วธิ ีการแปลงเชิงอนพุ ันธ (differential transform method) การแปลง เอลซากิ (Elzaki transform) [14–17] และวธิ ีการแปลงเชงิ อนุพนั ธท่ีคาดการณไว (projected differ- ential transform method) สำหรับวิธเี ชงิ วิเคราะหแ ละวธิ เี ชิงตวั เลขจำนวนมากไดมีการนำเสนอเพือ่ หาผลเฉลยของสมการ เชิงอนพุ นั ธยอ ยไมเชงิ เสน ดว ยอนพุ นั ธเศษสว น (fractional derivatives) เชน วิธีการทำซ้ำเศษสว น เฉพาะที่ (local fractional variational iteration method) [9] วิธีการฟูเรยี รเศษสว นเฉพาะที่ (lo- cal fractional Fourier method) การแปลงหยางฟูเรียร (Yang-Fourier transform) การแปลงหยาง ลาปลาซ (Yang-Laplace transform) และวิธีอืน่ ๆ นอกจากน้ีวิธีทำซ้ำแปรผนั ของสองลาปลาซได นิยามเมอื่ เรว็ ๆ น้ีโดย Wu [10–13] ซึง่ จดุ ประสงคของงานวจิ ยั ดงั กลา วเปน การหาวธิ ีการประมาณ คาเชิงตวั เลขแบบใหมโดยการจดั ระเบียบพหุนามเทยเลอรเพื่อหาผลเฉลยเชงิ ตวั เลขของสมการเชิงอนุ พนั ธอินทโิ กรดเี ลย ในบทความนี้เราไดศกึ ษาสมการเชงิ อนพุ นั ธพรอ มดวยฟงกช ันบลั จ โดยผลเฉลยของสมการดัง กลา วไดจากการใชการแปลงเอลซากิ การแปลงเอลซากิผกผนั ทฤษฎีบทสังวัตนาการ และการกระจาย ของอนุกรมเทยเ ลอร 2. ความรพู ืน้ ฐาน ในหัวขอน้ีจะกลา วถึงสมบตั ิและนิยามตาง ๆ ที่เปนความรูพน้ื ฐาน ซง่ึ ผูศกึ ษาในเรอ่ื งนี้จำเปน ตอ งศกึ ษาเพื่ออำนวยความสะดวกตอการศึกษาและเขาใจถงึ เนอ้ื หาในบทความไดด ีขน้ึ 2.1 บทนยิ ามและทฤษฎบี ทที่เกี่ยวขอ ง พิจารณาฟง กช ันทอ่ี ยูในเซต A ซงึ่ เซต A นิยามโดย { k1 และ k2 > 0, |f (t)| < M e|t|kj สำหรบั t ∈ (−1)j } A = f (t) : ∃M, × [0, ∞) โดยท่ี M เปนคาคงตวั จำกดั ในขณะท่ี k1 และ k2 เปน คาคงตวั จำกดั หรืออนนั ต บทนิยาม 2.1 (การแปลงเอลซากิ). กำหนดใหฟง กช นั f(t) สำหรับทกุ t ≥ 0 แลว การแปลงเอลซากิ ของ f คอื ฟงกช นั T นิยามโดย ∫t E[f (t), v] = T (v) = v f (t)e− t dt, v ∈ (k1, k2) (2.1) v 0 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

การแปลงเอลซากแิ ละสมการเชงิ อนพุ ันธอินทโิ กรพรอมดวยฟง กช นั บัลจ 157 ตัวอยา ง 2.2. กำหนดใหฟ งกช ัน f(t) นยิ ามดงั ตอ ไปน้ี 1. f (t) = 2t + e3t 2. f (t) = 2 sin 3t − 5t2 แลวเราจะไดการแปลงเอลซากิดงั ตอ ไปน้ี 1. E{2t + e3t} = E{2t} + E{e3t} = 2E{t} + E{e3t} ( v2 ) = 2(v3) + 1 − 3v = 2v3 + 1 v2 , v>0 − 3v และ 2. E{2 sin 3t − 5t2} = E{2 sin 3t} − E{5t2} = 2E{sin 3t} − 5E{t2} ( 3v3 ) 2 + 9v2 = 1 − 5(2v4) = 1 6v3 − 10v4, v>0 + 9v2 ทฤษฎีบท 2.3. สงั วัตนาการ [3]. กำหนดให f(t) และ g(t) นิยามบนเซต A , M(v) เปน การแปลง เอลซากิของฟงกช นั f(t) และ N(v) เปน การแปลงเอลซากิของ g(t) แลวการแปลงเอลซากิของสังวตั นาการของ f(t) และ g(t) คอื E[(f ∗ g)(t)] = 1 (2.2) M (v)N (v) (2.3) v โดยท่ี ∫t ตวั อยา ง 2.4. กำหนดให (f ∗ g)(t) = f (x − t)g(t)dt 0 f (t) = et และ g(t) = t ดังน้นั สังวตั นาการของ f(t) และ g(t) พิจารณาได ดังน้ี ∫t (f ∗ g)(t) = eτ (t − τ )dτ ∫0t = (teτ − τ et)dτ 0 โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

158 ราชาวดี เครื่องวิชา ∫t ∫t = teτ dτ − τ eτ dτ 0 ∫t 0 = [teτ ]0t − τ eτ dτ 0 ให u = τ จะได du = dτ แลว dv = eτ dτ จะได v = eτ โดยใชเทคนิคการปริพนั ธโดยการแยกสว น จะไดว า (f ∗ g)(t) = [teτ ]t0 − [τ eτ − eτ ]0t = [tet − te(0)] − [(tet − et) − ((0)e(0) − e(0))] = (tet − t) − (tet − et + 1) = tet − t − tet + et − 1 = et − t − 1 สมการเชงิ อนุพันธอนิ ทิโกรเปนสมการที่เกย่ี วขอ งกบั ท้งั ปริพันธและอนุพนั ธของฟงกชนั ที่ไม ทราบคา ทีอ่ ยูในรปู แบบ d ∫x (2.4) y(t) + f (t, y(t))dt = g(x, y(x)) , y(x0) = x0 dx x0 หลกั เกณฑเชงิ สี่เหลีย่ มคางหมูสามารถนำมาใชเพอื่ หาผลเฉลยเชงิ ตวั เลขของสมการเชงิ อนุ พันธอ นิ ทโิ กรได ดังตอไปนี้ ∫ xk+h (2.5) f (x, y(x))dx = h[f (xk, yk) + f (xk+1, yk + hyk)] + O(h3) xk ∫ xk+h ∫ x h [∫ x ∫x ] (2.6) xk F (x, s, y(s))dsdx = f (xk, s, y(s)) + f (xk+1, yk + hyk) x0 2 x0 x0 3. ทฤษฎีบทหลกั 3.1 การแกส มการเชงิ อนพุ นั ธอนิ ทิโกรพรอ มดวยฟงกช ันบลั จโดยการใชการแปลงเอลซากิ บทต้ัง 3.1. การแปลงเอลซากิของฟง กช นั บลั จ f (t) = e− (t−l)2 แสดงโดย 2 {} (t−l)2 l2 (3.1) E e− 2 = e− 2 [v2 + lv3 + (−1 + l2)v4 + (−3l + l3)v5] พสิ จู น. ฟง กชนั บัลจ สามารถเขียนในรปู อนกุ รมไดด ังนี้ (t−l)2 l2 l2 l2 ( l2 ) l2 ( + l3 ) t3 (3.2) 2 2 2 2 −1 2 −l e− = e− + e− lt + e− + t2 + e− 22 26 โดยการใชก ารแปลงเอลซากใิ นสมการ (3.2) เราจะได {} (t−l)2 l2 (3.3) E e− 2 = e− 2 [v2 + lv3 + (−1 + l2)v4 + (−3l + l3)v5] โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

การแปลงเอลซากิและสมการเชงิ อนุพนั ธอนิ ทิโกรพรอ มดว ยฟงกชนั บัลจ 159 ทฤษฎบี ท 3.2. ผลเฉลยของสมการเชงิ อนุพนั ธอนิ ทโิ กรพรอ มดว ยฟง กช นั บัลจ dy = e− (t−l)2 ∫ t (3.4) 2 + y(t − u) cos udu dt 0 พรอ มดว ยเงื่อนไขเริม่ ตน y(0) = δ สามารถแสดงไดโ ดย y(t) = e− l2 t[720 + 360tl + 120t2l2 + 30(−3l + l3)t3 + 6(−1 + l2)t4 + (−3l + l3)t5] + δ(2 + t2) 2 720 2 (3.5) พิสูจน. โดยการใชการแปลงเอลซากใิ นสมการ (3.4) เราจะได {} { } {∫ t} dy (t−l)2 y(t − u) cos udu (3.6) = E e− 2 +E (3.7) E dt 0 โดยการประยุกตใชทฤษฎีบทสังวัตนาการจะได {} { } dy (t−l)2 E =E e− 2 + E {y(t)} E {cos t} dt นำทฤษฎบี ทสังวตั นาการและสมการบทตง้ั (3.2) มาประยุกตใชในสมการ (3.7) จะได T (v) l2 1 [ v2 ] (3.8) v 2 v T (v) + v2 − vf (0) = e− [v2 + lv3 + (−1 + l2)v4 + (−3l + l3)v5] + 1 หรือ T (v) = e− l2 [v2 + lv3 + (−1 + l2)v4 + (−3l + l3)v5] v + v3 + v2 + v4 (3.9) 2 δ 11 เราสามารถใชวิธีการกระจายการคณู ในสมการ (3.9) จะได E[f (t)] = e− l2 [v3 + lv4 + l2v5 + (−3l + l3)v6 + (−1 + l2)v7 + l(−3l + l3)v8] + δ(v2 + v4) 2 (3.10) โดยใชการแปลงเอลซากิผกผันในสมการ (3.10) จะได y(t) = e− l2 t[720+360tl+120t2l2 +30(−3l+l3)t3 +6(−1+l2)t4 +(−3l+l3)t5]+ δ(2 + t2) 2 720 2 3.2 ตวั อยา ง ตัวอยาง 3.3. พิจารณาสมการเชงิ อนพุ ันธอนิ ทโิ กรพรอ มดวยฟงกชนั บลั จจ ากทฤษฎบี ท (3.2) dy = e− (t−l)2 ∫ t cos udu 2 + y(t − u) dt 0 พรอมดว ยเง่ือนไขเรมิ่ ตน y(0) = 1 ให l = 2, 6, δ = 1 และ h = 0.1 ในหลักเกณฑเชิงส่เี หลีย่ ม คางหมูเราจะเปรียบเทียบสมการแมนตรง (3.5) กบั วิธีการประมาณคา ท่ีไดจากหลกั เกณฑเชิงส่เี หลีย่ ม คางหมู ดังแสดงในรูปแบบกราฟบนสมการเชิงอนุพนั ธ โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

160 ราชาวดี เครอ่ื งวชิ า รปู ที่ 1. สมการแมน ตรงและวธิ กี ารหาผลเฉลยเชิงตวั เลข สำหรบั l = 2 และ h = 0.1 รูปท่ี 2. สมการแมน ตรงและวิธีการหาผลเฉลยเชงิ ตัวเลข สำหรบั l = 6 และ h = 0.1 4. บทสรปุ และขอ เสนอแนะ ในบทความน้ี เราศึกษาสมการเชิงอนุพนั ธอนิ ทิโกรพรอมดวยฟงกชนั บัลจ เราประยกุ ตหลัก เกณฑเชงิ ส่ีเหลยี่ มคางหมูในการประมาณคาเพ่ือหาผลเฉลยเชิงตวั เลข และใชวธิ ีการแปลงเอลซากิ การ แปลงเอลซากิผกผนั อนุกรมเทยเลอรและทฤษฎีบทสงั วตั นาการในการหาผลเฉลยแมน ตรง สามารถ สรุปไดตามตวั อยางขางตน นั่นคอื การแกปญหาโดยการใชการประมาณคา จากหลกั เกณฑเชงิ สีเ่ หล่ียม คางหมูสอดคลองกบั ผลเฉลยแมน ตรง โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

การแปลงเอลซากแิ ละสมการเชิงอนุพันธอนิ ทิโกรพรอ มดว ยฟง กช ันบัลจ 161 เอกสารอา งอิง [1] J. Biazar and H. Ghazvini, “He’s variational iteration method for solving linear and non-linear systems of ordinary differential equations,” Applied Mathematics and Computation, vol. 191, pp. 287–297, 2007. [2] J. H. He, “ Variational iteration method for delay differential equations,” Commu- nications in Nonlinear Science and Numerical Simulation , vol. 2, no. 4, pp. 235– 236, 1997. [3] J. H. He, “ Variational iteration method—a kind of non-linear analytical technique: some examples,” International Journal of Non-Linear Mechanics , vol. 34, pp. 699–708, 1999. [4] J. H. He, “ Variational iteration method for autonomous ordinary differential sys- tems,” Applied Mathematics and Computation , vol. 114, pp. 115–123, 2000. [5] J. H. He and X.H. Wu, “ Variational iteration method: new development and ap- plications,” Computers and Mathematics with Applications , vol. 54, pp. 881–894, 2007. [6] S. A. Khuri and A. Sayfy, “ A Laplace variational iteration strategy for the solution of differential equations,” Applied Mathematics Letters , vol. 25, pp. 2298–2305, 2012. [7] E. Hesameddini and H. Latifizadeh, “ Reconstruction of variational iteration algo- rithms using the Laplace transform,” International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, vol. 10, no. 11-12, pp. 1377–1382, 2009. [8] G. C. Wu and D. Baleanu, “ Variational iteration method for fractional calculus - a universal approach by Laplace transform,” Advances in Difference Equations , pp. 18-27, 2013. [9] X. J. Yang and D. Baleanu, “Fractal heat conduction problem solved by local fractional variation iteration method,” Thermal Science , 2012, Doi: 10.2298/ TSCI121124216Y. [10] G. C. Wu, “ Variational iteration method for solving the time-fractional diffusion equations in porous medium,” Chinese Physics B B, vol. 21, 2012, 120504. โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

162 ราชาวดี เคร่อื งวิชา [11] G. C. Wu and D. Baleanu, “ Variational iteration method for the Burgers’ flow with fractional derivatives-New Lagrange multipliers,” Applied Mathematical Modelling, vol. 37, pp. 6183–6190, 2012. [12] G. C. Wu, “ Challenge in the variational iteration method-a new approach to iden- tification of the Lagrange multipliers,” Journal of King Saud University-Science, vol. 25, pp. 175-178, 2013. [13] G. C. Wu. “ Laplace transform Overcoming Principle Drawbacks in Application of the Variational Iteration Method to Fractional Heat Equations,” THERMAL SCIENCE , vol. 16, no. 4, pp. 1257-1261, 2012. [14] Tarig M. Elzaki, “ Application of Projected Differential Transform Method on Nonlin- ear Partial Differential Equations with Proportional Delay in One Variable,” World Applied Sciences Journal, vol. 30, no. 3, pp. 345-349, 2014. DOI: 10.5829/idosi.wasj. 2014.30.03.1841. [15] Tarig M. Elzaki, and J. Biazar, “Homotopy Perturbation Method and Elzaki Trans- form for Solving System of Nonlinear Partial Differential Equations,” World Ap- plied Sciences Journal, vol. 24, no. 7, pp. 944-948, 2013. DOI: 10.5829/idosi.wasj. 2013.24.07.1041. [16] Tarig. M. Elzaki , Salih M. Elzaki and Elsayed A. Elnour, “ On the New Integral Trans- form ‘ELzaki Transform’ Fundamental Properties Investigations and Applications,” Global Journal of Mathematical Sciences: Theory and Practical. , ISSN 0974-3200, Vol. 4, no. 1, pp. 1-13, 2012. © International Research Publication House. [17] Tarig M. Elzaki, and Salih M. Elzaki, “ On the Connections Between Laplace and Elzaki Transforms,” Advances in Theoretical and Applied Mathematics. , ISSN 0973- 4554, Vol. 6, no. 1, pp. 1, 2011. โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้ังท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-PU 01 163 สมาชิกรักษาปกตใิ นก่งึ กรุปอนั ดับปกติ OdenrethdeSReemguiglraoruitpy-spreserving Elements in Regular Or- ผูแตง : รณสรรพ ชินรัมย และ วินิตา ยลธรรมธ รรม จัดทำโดย: ววิ ฒั น มูลสุข1* 1หลกั สูตรสาขาวชิ าคณติ ศาสตร, คณะวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลย,ี มหาวทิ ยาลยั ราชภฎั พิบูลสงคราม, พิษณโุ ลก, 65000, ประเทศไทย *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ ก่งึ กรุปอันดบั ปกติ (S, ∗, ≤) และ a ∈ S นิยามการดำเนนิ การ ◦a หมายถึง x ◦a y = x ∗ a ∗ y สำหรบั ทกุ ๆ x, y ∈ S จะเรียก a วา ตัวแปรของ S และจะเรยี ก a วา สมาชกิ รกั ษาปกติ ถา (S, ◦a, ≤) เปนก่งึ กรุ ปอันดบั ปกติ ในบทความนี้ใหล ักษณะเฉพาะของสมาชกิ รักษาปกติ ในกึ่งกรุปอนั ดับปกติ คำสำคัญ: ตวั แปร, สมาชิกปกติ, สมารักษาปกต,ิ กึ่งกรุปอันดบั Abstract A variant of an ordered semigroup (S, ·, ≤) with respect to a is an ordered semigroup (S, ◦, ≤) with multiplication ◦ defined by x ◦ y = xay for all x, y ∈ S. An element a ∈ S is a regularity-preserving element of S if a variant of S with respect to a is regular. In this paper, we characterize the regularity-preserving elements of regular ordered semigroups. Keywords: Variants, regular elements, regularity-preserving elements, ordered semigroup 1. บทนำ ในป 1976, Magill [3] ไดศึกษาตวั แปร (variant) ของก่งึ กรุปรูปธรรม (concrete semi- group) ตอ มาในป 1982, Hickey [2] ไดพิสูจนวา เซตของสามาชิกรักษาปกติสามารถแทนที่การเปน ฟง กชันของกรปุ หนึง่ หนว ย (unit group) S ทไี่ มมีเอกลกั ษณ (identity) และ Hickey ใหล ักษณะเฉพาะ (characterise) ของสมาชิกรกั ษาปกติในก่ึงกรปุ เมทรกิ ซ certain Rees ( certain Rees matrix semi- group) และในป 2001, Khan และ Lawson [7] อธบิ ายลกั ษณะเฉพาะ (characterise) ของสมาชิก รกั ษาปกติ (regularity preserving element) ในกึง่ กรปุ ปกติ นอกจากนใี้ นป 2009, Chinram [5] ได นิยามตวั แปรของรงิ (ring) โดยใชแนวคดิ ของตัวแปรในกึ่งกรุป ย่งิ กวา นน้ั Chinram ไดอธบิ ายลกั ษณะ เฉพาะของสมาชกิ รกั ษาปกตใิ นริงปกติ โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

164 ววิ ฒั น มลู สขุ 2. ความรูพ ืน้ ฐาน บทนยิ าม 2.1. [6] จะเรยี ก (S, ∗, ≤) วา ก่ึงกรุปอันดับ (order semigroup) ถามสี มบัติ 1. x ∗ y ∈ S; ∀x, y, z ∈ S 2. x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z; ∀x, y, z ∈ S 3. x ≤ x; ∀x ∈ S 4. x ≤ y และ y ≤ x ⇒ x = y; ∀x, y ∈ S 5. x ≤ y และ y ≤ z ⇒ x ≤ z; ∀x, y, z ∈ S 6. x ≤ y ⇒ z ∗ x ≤ z ∗ y และ x ∗ z ≤ y ∗ z; ∀x, y, z ∈ S บทนยิ าม 2.2. [6] ให (S, ∗, ≤) เปน กง่ึ กรุปอันดบั จะเรียก (S, ∗, ≤) วา กง่ึ กรุปอันดบั ปกติ (regular ordered semigroup) ถา x ≤ x ∗ s ∗ x; ∀x ∈ S∃s ∈ S ขอ ตกลง 2.3. ให (S, ∗, ≤) เปนก่ึงกรุปอันดบั และ A, B ⊆ S, x ∈ S นิยาม A ∗ B, A ∗ x, x ∗ A และ (A] หมายถึง 1. A ∗ B = {a ∗ b|a ∈ A, b ∈ B} 2. A ∗ x = A ∗ {x} 3. x ∗ A = {x} ∗ A 4. (A] = {s ∈ S|s ≤ a; ∃a ∈ A} ตามลำดบั หมายเหตุ 2.4. จากขอตกลง 2.3 จะไดว า 1. m ∈ A ∗ B ⇔ m = m1 ∗ m2; ∃m1 ∈ A, m2 ∈ B 2. m ∈ A ∗ x ⇔ m = m ∗ x; ∃m ∈ A 3. m ∈ x ∗ A ⇔ m = x ∗ m; ∃m ∈ A 4. m ∈ (A] ⇔ m ≤ b; ∃b ∈ A ตามลำดบั โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

สมาชกิ รักษาปกติในกึง่ กรปุ อนั ดับปกติ 165 3. เนื้อหา บทนยิ าม 3.1. [6] ให (S, ∗, ≤) เปน ก่ึงกรุปอันดับปกตแิ ละ a ∈ S นยิ ามการดำเนนิ การ ◦a หมายถงึ x ◦a y = x ∗ a ∗ y; ∀x, y ∈ S จะเรียก a วา ตวั แปร (variant) ของ S หมายเหตุ 3.2. จากบทนยิ าม 2.3 เหน็ ไดช ัดเจนวา (S, ◦a, ≤) จะเปนก่งึ กรุปอนั ดับ บทนยิ าม 3.3. [6] ให (S, ∗, ≤) เปนกง่ึ กรุปอันดับปกติและ a ∈ S จะเรียก a วา รกั ษาปกติ (regularity preserving) ถา (S, ◦a, ≤) เปนกงึ่ กรปุ อนั ดับปกติ ขอ ตกลง 3.4. ให (S, ∗, ≤) เปน กึ่งกรุปอันดบั ปกติ นยิ าม RP (S) หมายถงึ RP (S) = {a ∈ S|(S, ◦a, ≤) เปน ก่งึ กรุปอนั ดับปกติ } ทฤษฎบี ท 3.5. [6] ให (S, ∗, ≤) เปน กง่ึ กรปุ อันดบั และ RP (S) ≠ ∅ จะไดวา สมบัตติ อ ไปนี้เปนจริง 1. (S, ∗, ≤) เปน ก่งึ กรุปอนั ดับปกติ 2. RP (S) ∗ RP (S) ⊆ RP (S) พสิ จู น. 1. พจิ รณา x ∈ S เปนก่งึ กรปุ อันดบั และ RP (S) ̸= ∅ z ∈ RP (S) ⇒ (S, ◦z, ≤)เปน กึ่งกรปุ อนั ดับปกติ ⇒ x ≤ x ◦z s ◦z x; ∃s ∈ S ⇒ x ≤ x ∗ (z ∗ s ∗ z) ∗ x; ∃s ∈ S ⇒ x ∈ (x ∗ S ∗ x] ⇒ x ≤ x ∗ y ∗ x; ∃y ∈ S ดงั นั้น (S, ∗, ≤) เปนก่ึงกรปุ อนั ดบั ปกติ 2. จะแสดงวา RP (S) ∗ RP (S) ⊆ RP (S) i ∗ j ∈ RP (S) ∗ RP (S) ⇒ i, j ∈ RP (S) ⇒ (S, ◦i, ≤)และ(S, ◦j, ≤)เปนกง่ึ กรปุ อนั ดบั ปกติ โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

166 วิวัฒน มลู สุข และ m ∈ S ⇒ m ≤ m ◦i s ◦i m; ∃s ∈ S, m ≤ m ◦j s ◦j m; ∃s ∈ S, i ≤ i ◦i s ◦i i; ∃s ∈ S, i ≤ i ◦j s ◦j i; ∃s ∈ S, j ≤ j ◦i s ◦i j; ∃s ∈ S ∧ j ≤ j ◦j s ◦j j; ∃s ∈ S ⇒ m ≤ m ∗ i ∗ s ∗ i ∗ m; ∃s ∈ S, m ≤ m ∗ j ∗ s ∗ j ∗ m; ∃s ∈ S, i ≤ i ∗ i ∗ s ∗ i ∗ i; ∃s ∈ S, i ≤ i ∗ j ∗ s ∗ j ∗ i; ∃s ∈ S, j ≤ j ∗ i ∗ s ∗ i ∗ j; ∃s ∈ S, ∧j ≤ j ∗ j ∗ s ∗ j ∗ j; ∃s ∈ S ⇒ m∗i∗s∗i∗m≤m∗i∗s∗i∗m∗j∗s∗j∗m ⇒ m≤m∗i∗s∗i∗m∗j∗s∗j∗m ⇒ m∗i≤m∗i∗j∗s∗j∗i ⇒ m∗i∗s∗i∗m∗j∗s∗j∗m ≤m∗i∗j∗s∗j∗i∗s∗i∗m∗j∗s∗j∗m ⇒ m<m∗i∗j∗s∗j∗i∗s∗i∗m∗j∗s∗j∗m ⇒ j∗m≤j∗i∗s∗i∗j∗m ⇒ m∗i∗j∗s∗j∗i∗s∗i∗m∗j∗s∗j∗m ≤m∗i∗j∗s∗j∗i∗s∗i∗m∗j∗s∗j∗i∗s∗i∗j∗m ⇒ m≤m∗i∗j∗s∗j∗i∗s∗i∗m∗j∗s∗j∗i∗s∗i∗j∗m ⇒ m ∈ (m ∗ i ∗ j ∗ S ∗ i ∗ j ∗ m] ⇒ m ≤ m ∗ i ∗ j ∗ k ∗ i ∗ j ∗ m; ∃k ∈ S ⇒ m ≤ m ◦i∗j k ◦i∗j m; ∃k ∈ S ⇒ (S, ◦i∗j, ≤) เปน ก่งึ กรุปอันดบั ปกติ ⇒ i ∗ j ∈ RP (S) ดงั นัน้ RP (S) ∗ RP (S) ⊆ RP (S) ทฤษฎีบท 3.6. [6] ให (S, ∗, ≤) เปน กึง่ กรุปอันดับปกติและ a ∈ S จะไดวา a ∈ RP (S) ก็ตอ เมอื่ (b ∗ a ∗ S] = (b ∗ S] และ (S ∗ a ∗ b] = (S ∗ b] ; ∀b ∈ S พสิ ูจน. (=⇒) สมมติให a ∈ RP (S) จะแสดงวา (b ∗ a ∗ S] = (b ∗ S] x ∈ (b ∗ a ∗ S] ⇒ x ≤ b ∗ a ∗ s; ∃s ∈ S ⇒ x ≤ b(a ∗ s); ∃s ∈ S ⇒ x ∈ (b ∗ S] ดงั น้ัน (b ∗ a ∗ S] ⊆ (b ∗ S] โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

สมาชกิ รักษาปกตใิ นกึง่ กรปุ อันดับปกติ 167 ให y ∈ (b ∗ S] ⇒ y ≤ b ∗ m; ∃m ∈ S a ∈ RP (S) ⇒ (S, ◦a, ≤) เปนก่ึงกรุปอันดบั ปกติ ⇒ b ≤ b ◦a s ◦a b; ∃s ∈ S ⇒ b ≤ b ∗ a ∗ (s ∗ a ∗ b); ∃s ∈ S ⇒ b ∈ (b ∗ a ∗ S] ⇒ b ≤ b ∗ a ∗ k; ∃k ∈ S ⇒ b ∗ m ≤ b ∗ a ∗ k ∗ m; ∃k, m ∈ S จะได y ≤ b ∗ a ∗ (k ∗ m); ∃k, m ∈ S ⇒ y ∈ (b ∗ a ∗ S] ดงั นัน้ (b ∗ S] ⊆ (b ∗ a ∗ S] สรุปไดวา (b ∗ a ∗ S] = (b ∗ S] สมมติให a ∈ RP (S) จะแสดงวา (S ∗ a ∗ b] = (S ∗ b] x ∈ (S ∗ a ∗ b] ⇒ x ≤ s ∗ a ∗ b; ∃s ∈ S ⇒ x ≤ (s ∗ a) ∗ b; ∃s ∈ S ⇒ x ∈ (S ∗ b] ดังนัน้ (S ∗ a ∗ b] ⊆ (S ∗ b] ให y ∈ (S ∗ b] ⇒ y ≤ m ∗ b; ∃m ∈ S a ∈ RP (S) ⇒ (S, ◦a, ≤) เปนก่ึงกรปุ อนั ดบั ปกติ ⇒ b ≤ b ◦a s ◦a b; ∃s ∈ S ⇒ b ≤ (b ∗ a ∗ s) ∗ a ∗ b; ∃s ∈ S ⇒ b ∈ (S ∗ a ∗ b] ⇒ b ≤ k ∗ a ∗ b; ∃k ∈ S ⇒ m ∗ b ≤ m ∗ k ∗ a ∗ b; ∃k, m ∈ S จะได y ≤ (m ∗ k) ∗ a ∗ b; ∃k, m ∈ S ⇒ y ∈ (b ∗ a ∗ S] ดังนั้น (S ∗ b] ⊆ (S ∗ a ∗ b] สรปุ ไดวา (S ∗ a ∗ b] = (S ∗ b] (⇐=) ให (b ∗ a ∗ S] = (b ∗ S] และ (S ∗ a ∗ b] = (S ∗ b] ; ∀b ∈ S จะแสดงวา a ∈ RP (S) x ∈ S ⇒ x ≤ x ∗ s ∗ x; ∃s ∈ S ⇒ x ∈ (x ∗ S] ∧ x ∈ (S ∗ x] ⇒ x ∈ (x ∗ a ∗ S] ∧ (S ∗ a ∗ x] โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

168 ววิ ฒั น มูลสขุ และ x ∈ (x ∗ a ∗ S] ∧ (S ∗ a ∗ x] ⇒ x ≤ x ∗ a ∗ m; ∃m ∈ S ∈และ x ≤ n ∗ a ∗ x; ∃n ∈ S ⇒ x∗s∗x≤x∗a∗m∗s∗x ∧x ∗ a ∗ m ∗ s ∗ x ≤ x ∗ a ∗ m ∗ s ∗ n ∗ a ∗ x; ∃n, m ∈ S ⇒ x≤x∗a∗m∗s∗x ⇒ x ≤ x ∗ a ∗ (m ∗ s ∗ n) ∗ a ∗ x; ∃n, m ∈ S ⇒ x ∈ (x ∗ a ∗ S ∗ a ∗ x] ⇒ x ≤ x ∗ a ∗ k ∗ a ∗ x; ∃k ∈ S ⇒ x ≤ x ◦a k ◦a x; ∃k ∈ S ⇒ (S, ◦a, ≤) เปน กึ่งกรุปอนั ดับปกติ ⇒ a ∈ RP (S) ดงั น้นั a ∈ RP (S) สรปุ ไดวา a ∈ RP (S) ก็ตอ เมอ่ื (b ∗ a ∗ S] = (b ∗ S] และ (S ∗ a ∗ b] = (S ∗ b] ; ∀b ∈ S ขอตกลง 3.7. ให (S, ∗, ≤) เปน ก่ึงกรปุ อันดบั และ x ∈ S นิยาม E≤(S) และ V≤(x) หมายถงึ 1. E≤(S) = {a ∈ S|a ≤ a ∗ a} 2. V≤(x) = {y ∈ S|y ≤ y ∗ x ∗ y ∧ x ≤ x ∗ y ∗ x} ตามลำดบั หมายเหตุ 3.8. จากขอ ตกลง 3.7 จะไดวา 1. m ∈ E≤(S) ⇔ m ≤ m ∗ m 2. m ∈ V≤(x) ⇔ m ≤ m ∗ x ∗ m ∧ x ≤ x ∗ m ∗ x ทฤษฎีบท 3.9. [6] ให (S, ∗, ≤) เปนก่งึ กรุปอนั ดบั ปกติและ e ∈ E≤(S) ถา e ∈ RP (S) แลว V≤(f ) ∩ e ∗ S ∗ e ̸= ∅; ∀f ∈ E≤(S) พิสจู น. จะแสดงวา V≤(f) ∩ e ∗ S ∗ e ≠ ∅; ∀f ∈ E≤(S) f ∈ E≤(S) ⇒ f ≤ f ∗ f ⇒ f ∈ (S ∗ f ] ∧ f ∈ (f ∗ S] ⇒ f ∈ (S ∗ f ] ∩ (f ∗ S] e ∈ RP (S) ⇒ (f ∗ e ∗ S] = (f ∗ S] และ (S ∗ e ∗ f ] = (S ∗ f ] ⇒ f ∈ (f ∗ e ∗ S] ∧ f ∈ (S ∗ e ∗ f ] ⇒ f ≤ f ∗ e ∗ m; ∃m ∈ S ∧ f ≤ n ∗ e ∗ f ; ∃n ∈ S โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

สมาชิกรกั ษาปกติในกึง่ กรปุ อันดับปกติ 169 ตอไปจะแสดงวา e ∗ m ∗ f ∗ n ∗ e ∈ V≤(f) f ≤f ∗f ⇒e∗m∗f ≤e∗m∗f ∗f f ≤n∗e∗f ⇒ e∗m∗f ∗f ≤e∗m∗f ∗n∗e∗f ⇒ e∗m∗f ≤e∗m∗f ∗n∗e∗f ⇒ e∗m∗f ∗n∗e≤e∗m∗f ∗n∗e∗f ∗n∗e f ≤f ∗f ⇒ e∗m∗f ∗n∗e∗f ≤e∗m∗f ∗n∗e∗f ∗f ⇒ e∗m∗f ∗n∗e∗f ∗n∗e≤e∗m∗f ∗n∗e∗f ∗f ∗n∗e ⇒ e∗m∗f ∗n∗e≤e∗m∗f ∗n∗e∗f ∗n∗e f ≤f ∗e∗m ⇒ e∗m∗f ∗n∗e∗f ≤e∗m∗f ∗n∗e∗f ∗e∗m ⇒ e∗m∗f ∗n∗e∗f ∗f ∗n∗e≤e∗m∗f ∗n∗e∗f ∗e∗m∗f ∗n∗e ⇒ e∗m∗f ∗n∗e≤e∗m∗f ∗n∗e∗e∗m∗f ∗n∗e f ≤f ∗f ⇒f ∗f ≤f ∗f ∗f f ≤ f ∗ e ∗ m ⇒ f ∗ f ∗ ∗f ≤ f ∗ e ∗ m ∗ f ∗ f ⇒ f ≤f ∗e∗m∗f ∗f f ≤n∗e∗f ⇒ f ∗e∗m∗f ∗f ≤f ∗e∗m∗f ∗n∗e∗f ⇒ f ≤f ∗e∗m∗f ∗n∗e∗f จะได e ∗ m ∗ f ∗ n ∗ e ∈ V≤(f) เนือ่ งจาก e ∗ (m ∗ f ∗ n) ∗ e ∈ e ∗ S ∗ e ดงั น้ัน e ∗ m ∗ f ∗ n ∗ e ∈ V≤(f ) ∩ e ∗ S ∗ e ̸= ∅ บทนิยาม 3.10. [6] ให (S, ∗, ≤) เปนกง่ึ กรุปอันดบั และ x ∈ S จะเรียก x วา เอกลักษณกลาง (mididentity) ของ S ถา a ∗ x ∗ b = a ∗ b; ∀a, b ∈ S ทฤษฎีบท 3.11. [6] ให (S, ∗, ≤) เปน ก่งึ กรปุ อนั ดับปกติทม่ี ีเอกลกั ษณกลางเปน x และ a ∈ S นยิ าม M = {x ∈ S|a ∗ b ≤ a ∗ x ∗ b; ∀a, b ∈ S} จะไดว า a ∈ RP (S) กต็ อ เม่อื (a ∗ S]∩(S ∗ a]∩M ≠ ∅ พิสูจน. (=⇒) สมมตใิ ห a ∈ RP (S) จะแสดงวา (a ∗ S] ∩ (S ∗ a] ∩ M ̸= ∅ a ∈ RP (S) ⇒ (S, ◦a, ≤) เปนกึง่ กรุปอันดบั ปกติ ⇒ x ≤ x ◦a m ◦a x; ∃m ∈ S ⇒ x ≤ x ∗ a ∗ m ∗ a ∗ x; ∃m ∈ S a ∗ m ∗ a ≤ a ∗ (m ∗ a) ∈ S ⇒ a ∗ m ∗ a ∈ (a ∗ S] ; ∃m ∈ S a ∗ m ∗ a ≤ (a ∗ m) ∗ a ∈ S ⇒ a ∗ m ∗ a ∈ (S ∗ a] ; ∃m ∈ S ⇒ a ∗ m ∗ a ∈ (a ∗ S] ∩ (S ∗ a] โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

170 วิวฒั น มูลสขุ b, c ∈⇒ b ∗ c ≤ b ∗ x ∗ c x ≤ x ∗ a ∗ m ∗ a ∗ x ⇒ b ∗ x ∗ a ∗ m ∗ a ∗ x; ∃m ∈ ⇒ b ∗ c ≤ (b ∗ x ∗ a) ∗ m ∗ (a ∗ x ∗ c); = (b ∗ a) ∗ m ∗ (a ∗ c)∃m ∈ S ⇒ b ∗ c ≤ b ∗ (a ∗ m ∗ a) ∗ c; ∃m ∈ S ⇒ a∗a∗m∗a∈M ⇒ a ∗ m ∗ a ∈ (a ∗ S] ∩ (S ∗ a] ∩ M ≠ ∅ ดังน้นั (a ∗ S] ∩ (S ∗ a] ∩ M ≠ ∅ (⇐=) ให (a ∗ S] ∩ (S ∗ a] ∩ M ̸= ∅ จะแสดงวา a ∈ RP (S) z ∈ (a ∗ S] ∩ (S ∗ a] ∩ M ⇒ z ∈ (a ∗ S] ∧ z ∈ (S ∗ a] ∧ z ∈ M ⇒ z ≤ a ∗ b ∧ z ≤ c ∗ a; ∃b, c ∈ S ∧ e ∗ y ≤ e ∗ z ∗ y; ∃e, y ∈ S g ∈ S ⇒ g ≤ g ∗ s ∗ g; ∃s ∈ S g∗s≤g∗z∗s ⇒ g∗s∗g≤g∗z∗s∗g ⇒ g ≤ (g ∗ z ∗ s) ∗ g ≤ g ∗ z ∗ s ∗ z ∗ g z≤a∗b ⇒ g∗z≤g∗a∗b ⇒ g∗z∗s∗z∗g≤g∗a∗b∗s∗z∗g ⇒ g≤g∗a∗b∗s∗z∗g z≤c∗a ⇒ z∗g≤c∗a∗g ⇒ g∗a∗b∗s∗z∗g≤g∗a∗b∗s∗c∗a∗g ⇒ g ≤ g ∗ a ∗ (b ∗ s ∗ c) ∗ a ∗ g ⇒ g ∈ (g ∗ a ∗ S ∗ a ∗ g] ⇒ g ≤ g ∗ a ∗ m ∗ a ∗ g; ∃m ∈ S ⇒ g ≤ g ◦a m ◦a g; ∃m ∈ S ⇒ (S, ◦a, ≤) เปน ก่งึ กรุปอันดับปกติ ⇒ a ∈ RP (S) ดังนั้น a ∈ RP (S) สรุปไดวา a ∈ RP (S) ก็ตอ เมอื่ (a ∗ S] ∩ (S ∗ a] ∩ M ≠ ∅ บทนยิ าม 3.12. [6] ให (S, ∗, ≤) เปน กึ่งกรปุ อนั ดบั และ e ∈ S จะเรยี ก e วา เอกลักษณ (identity) ถา e ∗ x = x = x ∗ e; ∀x ∈ S บทนิยาม 3.13. [6] ให (S, ∗, ≤)เปนกงึ่ กรุปอันดบั ที่มี e เปนเอกลักษณและ a ∈ S จะเรียก a วา ตัวผกผัน (inverse) ใน S ถา มสี มบัติ โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

สมาชกิ รกั ษาปกติในกง่ึ กรปุ อันดับปกติ 171 1. e ≤ x ∗ a; ∃x ∈ S 2. e ≤ a ∗ y; ∃y ∈ S ทฤษฎบี ท 3.14. [6] ให (S, ∗, ≤) เปน กึง่ กรุปอนั ดับปกติที่มี e เปนเอกลักษณ จะไดวา b ∈ RP (S) กต็ อ เมอื่ b เปนตวั ผกผันใน S พสิ จู น. (=⇒) สมมตใิ ห b ∈ RP (S) จะแสดงวา b เปน ตัวผกผันใน S b ∈ RP (S) ⇒ (S, ◦b, ≤) เปน กงึ่ กรุปอันดับปกติ ⇒ e ≤ e ◦b s ◦b e; ∃s ∈ S ⇒ e ≤ e ∗ b ∗ s ∗ b ∗ e; ∃s ∈ S ⇒ e ≤ (b ∗ s ∗ b) ∗ e ⇒ e≤b∗s∗b ⇒ e ∈ (b ∗ S] ∧ e ∈ (S ∗ b] ⇒ e ≤ b ∗ m ∧ e ≤ n ∗ b; ∃m, n ∈ S ⇒ b เปนตวั ผกผันใน S ดงั นน้ั b เปน ตวั ผกผันใน S (⇐=) ให b เปนตัวผกผนั ใน S ⇒ e ≤ x ∗ b ∧ e ≤ b ∗ y; ∃x, y ∈ S m∈S ⇒ m∗e=m=e∗m ⇒ m ≤ m ∗ s ∗ m; ∃s ∈ S ⇒ m ∗ e ≤ m ∗ b ∗ y; ∃y ∈ S ⇒ m ≤ m ∗ b ∗ y; ∃y ∈ S ⇒ m ∗ s ∗ m ≤ m ∗ b ∗ y ∗ s ∗ m; ∃y ∈ S ⇒ m ≤ m ∗ b ∗ y ∗ s ∗ m; ∃y ∈ S e≤x∗b ⇒ e∗m≤x∗b∗m ⇒ m≤x∗b∗m ⇒ m ∗ b ∗ y ∗ s ∗ m ≤ m ∗ b ∗ y ∗ s ∗ x ∗ b ∗ m; ∃s ∈ S ⇒ m ≤ m ∗ b ∗ (y ∗ s ∗ x) ∗ b ∗ m; ∃s ∈ S ⇒ m ∈ (m ∗ ∗b ∗ S ∗ b ∗ m] ⇒ m ≤ m ∗ b ∗ a ∗ b ∗ m; ∃a ∈ S ⇒ m ≤ m ◦b a ◦b m; ∃a ∈ S ⇒ (S, ◦b, ≤) ⇒ b ∈ RP (S) ดังนน้ั b ∈ RP (S) สรปุ ไดวา b ∈ RP (S) ก็ตอเมอื่ b เปน ตัวผกผันใน S โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

172 วิวฒั น มลู สขุ เอกสารอางองิ [1] สภุ าวณิ ี สตั ยาภรณ, ทฤษฎกี ง่ึ กรปุ . โรงพมิ พม หาวยิ าลยั ราชภัฎอตุ รดิตถ, 2554. [2] J. B. Hickey, “Semigroups under a sandwich operation,” Proc. Edinb. Math. Soc, vol. 26, pp. 371–382, 1983. [3] K. D. Magill, Jr., “Semigroup structures for families of functions I,” Some homomor- phism theorems. J. Aust. Math. Soc, vol. 7, pp. 81–94, 1967. [4] L. Fuchs, Partially ordered algebraic systems.Pergamon Press U.K.,1963. [5] R. Chinram, “Regularity-preserving elements of regular rings,” ScienceAsia, vol. 35, pp. 111–112, 2009. [6] R. Chinram and W. Yonthanthum,“On the regularity-preserving elements in regu- lar ordered semigroups,”International Journal of Mathematics and Computer Sci- ence, vol. 14, pp. 729–736, 2019. [7] T. A. Khan ,and M. V. Lawson, “Variants of regular semigroups,” Semigroup Forum, vol. 62, pp. 358–374, 2001. โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-PU 02 173 คณุ สมบัตบิ างอยางของจุดตรึงรวมในปริภมู เิ มตริกคาเชิงซอ น Property of Some Common Fixed Points in Complex Valued Metric Space ผูแ ตง: Warinsinee Chantakun, Issara Inchan and Urairat Deepan จัดทำโดย: วรินทรญา อินทรฉำ่ 1, สุดารตั น ติครบรุ ี1* และ วชิ ุดา ไหมท อง1 1สาขาคณิตศาสตรและสถิติ คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฎนครสวรรค *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ ในบทความนี้เราเสนอคณุ สมบัติ 2 ประการสำหรบั การสง S, T : X → X เพ่ือพิสูจนท ฤษฎบี ทจุดตรึงรว ม ของ S และ T ทส่ี อดคลองคณุ สมบัติ (CLRS) และ (CLRT ) และคุณสมบตั บิ างอยางในปรภิ ูมเิ มตริกคา เชงิ ซอ น (X, d) งานวิจัยน้ีขยายและปรบั ปรงุ ผลลพั ธบางสวนของ Ali (Ali,2016) คำสำคญั : ปริภมู ิเมตรกิ คาเชิงซอน, จดุ ตรงึ รวม, สามารถเขากันไดแบบออน, คุณสมบัติ CLR, คุณสมบตั ิ E.A. Abstract In this paper, we purpose some properties of two mappings to prove some common fixed point theorems of S, T : X → X ,satisfying (CLRS) and (CLRT ) properties and some properties in complex valued metric space (X, d).This work extends and improve some results of Ali (Ali, 2016). Keywords: Complex valued metric space, Common fixed point, Weakly compatible, CLR property, Property E.A. 1. บทนำ การพัฒนาเชิงสัจพจนของปรภิ มู ิเมตริกถูกดำเนินการโดย Frechet นกั คณิตศาสตรช าวฝร่งั เศส ในป 1906 [8] ตอมาในป 1922 ทฤษฎีบทจุดตรงึ ของบานาค [4] ถกู นำเสนอบนปริภมู เิ มตริกบริบูรณซ่ึง เปนวางนยั ทั่วไปของปริภมู ิอืน่ หลายปรภิ มู ิ ทฤษฎีบทกลา วถึงการมีอยูเพยี งจดุ เดียวของจุดตรงึ สำหรบั การสงหดตัว ในป 2011 Azam, Fisher และ Kham [3] ไดแนะนำแนวคิดเกยี่ วกบั ปรภิ มู ิเมตริกคา เชงิ ซอนและสรา งเง่ือนไขท่ีเพียงพอสำหรับการมีอยูของจดุ ตรงึ รว มของคูของการสงหดตัว ซ่งึ ปรภิ มู ิ เมตรกิ คา เชิงซอ นเปนวางนัยท่ัวไปของปริภูมิเมตรกิ ในปเดียวกันนี้ Bhatt, Chaukiyal และ Dimri [5] พิสูจนทฤษฎบี ทจดุ ตรงึ รวมของการสงท่ีเขากันไดแบบออนในปรภิ มู ิเมตรกิ คาเชงิ ซอน และเมื่อไมนาน โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

174 วรนิ ทรญ า อนิ ทรฉำ่ และคณะ มานี้ [2, 2016] Ali ไดศ กึ ษาทฤษฏีบทจุดตรงึ รว มสำหรับคขู องการสงที่เขา กันไดแบบออน ซ่ึงสอดคลอ ง กับคณุ สมบตั ิ (CLR) ในปรภิ ูมิเมตรกิ คาเชงิ ซอ น ไดผลลัพธแ สดงในทฤษฎบี ทตอไปน้ี ทฤษฎบี ท 1.1 ([2]). ให (X, d) ปรภิ ูมิเมตริกคา เชงิ ซอ น และ S, T : X → X เปน การสงที่เขา กันได แบบออ น ซง่ึ (i) S และ T สอดคลองกับคุณสมบัติ (CLRS) (ii) d(T x, T y) λd(Sx, Sy) + µd(T x, Sy)d(T y, Sx), สำหรับทุก ๆ x, y ∈ X 1 + d(Sx, Sy) โดยที่ λ, µ จะตอ งปน จำนวนจริงทีไ่ มต ิดลบ λ+µ < 1 แลว S และ T มีคาเดยี วและรว มกันของจดุ ตรงึ จดุ ประสงคข องบทความนี้คือการปรับปรงุ เงื่อนไขบางอยางในทฤษฎีบท 1.1 จากน้นั เราพสิ ูจน การมีจดุ ตรงึ รวมเพียงจุดเดยี วของการสง S และ T ที่เขากันไดแบบออน ซึง่ สอดคลอ งกับคุณสมบัติ (CLRS) และ (CLRT ) ตามลำดบั 2. ความรูพน้ื ฐาน ให C เปนเซตของจำนวนเชิงซอ นและ z1, z2 ∈ C ความสมั พันธอันดับบางสว น “ ” บน C สามารถนยิ ามไดดงั นี้ z1 z2 ก็ตอ เมื่อ Re(z1) Re(z2) และ lm(z1) lm(z2) ดังน้นั z1 z2 ถา ขอใดขอหน่งึ ตอไปนเี้ ปน จรงิ (1) Re(z1) = Re(z2) และ lm(z1) = lm(z2) (2) Re(z1) < Re(z2) และ lm(z1) = lm(z2) (3) Re(z1) = Re(z2) และ lm(z1) < lm(z2) (4) Re(z1) < Re(z2) และ lm(z1) < lm(z2) ในกรณีเฉพาะเราจะเขยี นแทนดว ย z1 z2 ถา z1≠z2 และหน่งึ ในขอ (2) , (3) หรือ (4) เปน จริง และ จะเขยี นแทนดวย z1 ≺ z2 ถา z1 และ z2 สอดคลอ งกบั คุณสมบตั ขิ อ (4) เทา น้ัน หมายเหตุ 2.1 ([11]). เราสามารถตรวจสอบอยา งงา ยไดด งั น้ี (i) ถา a, b ∈ R, 0 a b และ z1 z2 แลว az1 bz2, สำหรบั ทุก ๆ z1, z2 ∈ C (ii) 0 z1 z2 ⇒ |z1| < |z2| (iii) z1 z2 และ z2 ≺ z3 ⇒ z1 ≺ z3 โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

คุณสมบัติบางอยางของจดุ ตรงึ รว มในปรภิ มู ิเมตรกิ คาเชิงซอน 175 Azam และคณะ [3] ไดใ หนยิ ามปรภิ ูมิเมตริกคา เชิงซอนดังนิยามตอไปน้ี บทนิยาม 2.2 ([3]). ให X เปนเซตท่ีไมเปน เซตวา ง และ d : X × X → C สอดคลองกบั เงื่อนไขตอ ไป นี้ (C1) 0 d(x, y), สำหรบั ทุก ๆ x, y ∈ X และ d(x, y) = 0 ก็ตอเม่อื x = y (C2) d(x, y) = d(y, x), สำหรับทกุ ๆ x, y ∈ X (C3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z), สำหรับทกุ ๆ x, y, z ∈ X แลว จะเรยี ก d วาเมตรกิ คา เชงิ ซอน และเรยี ก (X, d) วาปริภมู เิ มตรกิ คาเชงิ ซอน ตัวอยาง 2.3 ([2]). ให X = C นิยาม d : X × X → C โดย d(z1, z2) = i|z1 − z2|, สำหรับทกุ ๆ z1, z2 ∈ X สามารถตรวจสอบไดโ ดยงายวา (X, d) เปนปรภิ มู เิ มตรกิ คา เชงิ ซอ น บทนิยาม 2.4 ([3]). ให (X, d) เปน ปริภมู เิ มตริกคาเชงิ ซอน และ {xn} เปนลำดบั ใน X (i) ถา สำหรบั ทกุ ๆ r ∈ C ซง่ึ 0 ≺ r มี m ∈ N ซง่ึ d(xn, x) ≺ r สำหรับทุก ๆ n > m แลว จะ กลา ววา {xn} ลเู ขาสู x ∈ X และเขยี นแทนดวย lim xn = x n→∞ (ii) ถาสำหรบั ทุก ๆ r ∈ C ซึง่ 0 ≺ r มี m ∈ N ซงึ่ d(xn, xn+k) ≺ r สำหรับทกุ ๆ k ∈ N แลว จะ เรียก {xn} วา ลำดบั โคชีใน (X, d) (iii) ถา ทกุ ๆ ลำดบั โคชีใน X ลูเ ขา ใน X แลว (X, d) จะเรยี กวาปรภิ ูมเิ มตริกคา เชิงซอนบริบรู ณ บทนยิ าม 2.5 ([3]). ให (X, d) เปนปรภิ มู ิเมตรกิ คา เชิงซอ นแลว จะกลาววา (i) S และ T สามารถสลบั ทไี่ ด (Commuting) ถา ST x = T Sx, สำหรับทกุ ๆ x ∈ X (ii) S และT สอดคลอ งกนั (Compatible) ถา lim d(ST xn, T Sxn) = 0 n→∞ เมื่อไรกต็ ามที่ {xn} เปน ลำดบั ใน X ซ่งึ lim T xn = lim Sxn = t, สำหรับบาง t ∈ X n→∞ n→∞ (iii) S และ T สอดคลองกนั แบบออ น (weakly compatible) ถา STx = TSx เมอ่ื ไรก็ตามท่ี Sx = Tx นน่ั คอื S และ T สลับท่ีกนั ไดที่จุดซอ นทับ (Coincidence point) โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

176 วรินทรญา อนิ ทรฉ ่ำ และคณะ จากนิยาม 2.5 จะเหน็ วา การสงท่ีสอดคลองกันจะสอดคลอ งกนั แบบออน บทนิยาม 2.6 ([12]). ให (X, d) เปน ปริภูมิเมตรกิ คาเชิงซอ น การสง S และ T บน X จะสอดคลอ ง กับ (E.A.) ถา มลี ำดบั {xn} ใน X ซง่ึ lim Sxn = lim T xn = t, สำหรับบาง t ∈ X n→∞ n→∞ คณุ สมบตั ิ (CLRg) มีประสิทธิภาพมากกวาคุณสมบัติ (E.A.) ซงึ่ นยิ ามไวโดย Sintunavarat และ Kumam (Sintunavarat and Kumam, 2011) ในปริภมู ิเมตริก X สำหรบั การสง สองการสงจาก X →X บทนิยาม 2.7 ([11]). กำหนดให (X, d) เปน ปรภิ ูมเิ มตริกคา เชงิ ซอ นและ f, g : X → X แลวจะกลาว วา f และ g สอดคลองกบั คุณสมบัติ (CLRg) ถามีลำดับ {xn} ใน X ซึ่ง lim f xn = lim gxn = gx, สำหรบั บาง x∈ X n→∞ n→∞ ตวั อยาง 2.8 ([2]). ให X = C และ d เปนคาเชงิ ซอนของเมตริกใด ๆ บน X นิยาม f, g : X → X โดย fz = 2z + i และ gz = 3z − 1 สำหรับทกุ ๆ z ∈ X พจิ ารณาลำดับ {zn} = {i+1+ 1 } แลว n 1 lim f zn = lim [2(i + 1 + ) + i] = 3i + 2 และ n→∞ n→∞ n 1 lim gzn = lim [2(i + 1 + ) − 1] = 3i + 2 = g(i + 1) n→∞ n→∞ n เราจะเห็นวา x = i + 1 ดังนน้ั f และ g สอดคลอ งกบั คณุ สมบตั ิ (CLRg) บทต้ัง 2.9 ([3]). ให (X, d) เปนปรภิ ูมิเมตริกคา เชิงซอ นและ {xn} เปน ลำดบั ใน X แลว {xn} ลูเขา สู x ∈ X ก็ตอ เม่ือ |d(xn, x)| → 0 เมอ่ื n → ∞ บทตง้ั 2.10 ([3]). ให (X, d) เปน ปรภิ ูมิเมตริกคา เชิงซอ นและ {xn} เปนลำดับใน X แลว {xn} เปน ลำดบั โคชี กต็ อเมอื่ d(xn, xn+m) → 0 เมอ่ื n → ∞, สำหรับทุก ๆ m ∈ N บทตง้ั 2.11 ([7]). ให (X, d) เปน ปรภิ ูมิเมตรกิ คา เชงิ ซอนและ {xn } เปนลำดบั ใน X ซึ่ง lim xn = x แลว สำหรับทกุ จะไดว า n→∞ a ∈ X lim d(xn, a) = d(x, a) n→∞ บทนิยาม 2.12 ([1]). ให X ≠ ∅ และ T : X → X เปน ฟง กชนั จะเรียกวา x ∈ X วาจุดตรงึ ถา T (x) = x และนิยมเขยี นแทนดว ยสญั ลักษณ T x = x บทนยิ าม 2.13. ให X ≠ ∅ และ S, T : X → X เปนฟง กช ันจะเรียกวา x ∈ X วาจุดตรึงรวม ถา Tx = Sx = x โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้ังท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

คุณสมบตั ิบางอยางของจุดตรงึ รว มในปรภิ ูมเิ มตริกคาเชิงซอ น 177 3. ทฤษฎีบทหลัก ในหวั ขอ นี้เราเสนอเงอื่ นไขบางประการสำหรับปรภิ มู ิเมตรกิ คา เชงิ ซอ นและพสิ ูจนการมีจุดตรงึ รว มเพยี งจุดเดยี วของ S และ T ซ่งึ สอดคลองกับคุณสมบตั ิ (CLRS) และ (CLRT ) ตามลำดับ ทฤษฎบี ท 3.1. ให (X, d) เปนปรภิ ูมเิ มตรกิ คาเชงิ ซอ น และ S, T : X → X เปน การสงสอดคลอ งกัน แบบออน ซึง่ (i) S และ T สอดคลองกบั คณุ สมบตั ิ (CLRS) และ (ii) d(T x, T y) λd(Sx, Sy)+ µd(T x, Sy)d(T y, Sx) + γd(T x, Sx)d(Sy, T y) , สำหรบั 1 + d(Sx, Sy) ทกุ ๆ x, y ∈ X โดยท่ี λ, µ, γ เปนจำนวนจริงทีไ่ มติดลบ ซ่งึ λ + µ < 1 แลว S และ T มจี ุดตรงึ รวมเพียงจดุ เดียว พสิ ูจน. ขัน้ แรกเราจะแสดงใหเ ห็นวา S และ T มีจดุ ตรึงรวม เนอ่ื งจาก S และ T สอดคลองกับคุณสมบตั ิ (CLRS) จะมลี ำดบั {xn} และ u ∈ X ซง่ึ lim T xn = lim S xn = Su (3.1) n→∞ n→∞ จากเงื่อนไข (ii) จะได d(T xn, T u) λd(Sxn, Su) + µd(T xn, Su)d(T u, Sxn) + γd(T xn, Sxn)d(Su, T u) (3.2) 1 + d(Sxn, Su) จาก (3.2) และหมายเหตุ 2.1 (ii) จะไดวา |d(T xn, T u)| ≤ λd(Sxn, Su) + µd(T xn, Su)d(T u, Sxn) + γd(T xn, Sxn)d(Su, T u) 1 + d(Sxn, Su) ≤ |λd(Sxn, Su)| + µd(T xn, Su)d(T u, Sxn) + γd(T xn, Sxn)d(Su, T u) 1 + d(Sxn, Su) = |λ| |d(Sxn, Su)| + µd(T xn, Su)d(T u, Sxn) + γd(T xn, Sxn)d(Su, T u) 1 + d(Sxn, Su) ≤ λ |d(Sxn, Su)| + µ |d(T xn, Su)| |d(T u, Sxn)| + γ |d(T xn, Sxn)| |d(Su, T u)| (3.3) |1 + d(Sxn, Su)| ดงั นน้ั µ |d(T xn, Su)| |d(T u, Sxn)| + γd |(T xn, Sxn)| |d(Su, T u)| |1 + d(Sxn, Su)| 3.4)|d(T ( xn, T u)| ≤ λ |d(Sxn, Su)|+ จาก (3.1) เราจะไดวา lim d(T xn, Sxn) = d(Su, Su) = 0 (3.5) n→∞ จากบทตง้ั 2.9 และ (3.1) จะไดว า lim |d(T xn, Su)| = 0 และ lim |d(Sxn, Su)| = 0 n→∞ n→∞ โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

178 วรินทรญ า อินทรฉ ่ำ และคณะ จาก (3.4) จะไดว า lim |d(T xn, T u)| = 0 n→∞ ดงั นั้น lim T xn = T u เราจะไดวา S u = T u n→∞ เนื่องจาก S และ T เปนการสงทเ่ี ขากนั ไดแบบออ น ดังนัน้ TTu = TSu = STu = SSu (3.6) จากเง่อื นไข (ii) ไดว า µd(T xn, SSu)d(T Su, Sxn) + γd(T xn, Sxn)d(SSu, T Su) 1 + d(Sxn, SSu) 3.7)d(T xn, T Su) ( λd(Sxn, SSu) + จาก (3.7) และ SSu = T Su จะไดว า d(T xn, T Su) λd(Sxn, SSu) + µd(T xn, SSu)d(SSu, Sxn) + γd(T xn, Sxn)(0) 1 + d(Sxn, SSu) = λd(Sxn, SSu) + µd(T xn, SSu)d(SSu, Sxn) (3.8) 1 + d(Sxn, SSu) ดังนนั้ d(T xn, T Su) λd(Sxn, SSu) + µd(T xn, SSu)d(SSu, Sxn) (3.9) 1 + d(Sxn, SSu) (3.10) เนอื่ งจาก lim Sxn = S u และบทตัง้ 2.11 เราจะไดว า n→∞ lim d(Sxn, T Su) = d(Su, T Su) n→∞ จาก SSu = T Su และ (3.10) เพราะฉะนน้ั lim d(Sxn, SSu) = d(Su, SSu) (3.11) n→∞ จาก lim T xn = Su และบทตงั้ 2.11 จะไดวา n→∞ lim d(T xn, T Su) = d(Su, T Su) = d(Su, SSu) = lim d(T xn, SSu) n→∞ n→∞ จาก (3.9) และบทตงั้ 2.11 เมือ่ n → ∞ จะได µd(Su, SSu)d(Su, SSu) d(Su, SSu) λd(Su, SSu) + 1 + d(Su, SSu) µd(Su, SSu) = λd(Su, SSu) + 1 = (λ + µ)d(Su, SSu) (λ + µ)d(Su, SSu) โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

คณุ สมบตั บิ างอยางของจุดตรงึ รวมในปรภิ ูมเิ มตรกิ คาเชิงซอ น 179 จากหมายเหตุ 2.1 (ii) จะไดว า |d(Su, SSu)| ≤ |(λ + µ)d(Su, SSu)| = |λ + µ| |d(Su, SSu)| = (λ + µ) |d(Su, SSu)| ดังนั้น |d(Su, SSu)| − (λ + µ) |d(Su, SSu)| ≤ 0 เพราะฉะนัน้ [1 − (λ + µ)] |d(Su, SSu)| ≤ 0 (3.12) เนือ่ งจาก 0 ≤ λ + µ < 1 ดงั น้นั |d(Su, SSu)| = 0 และ SSu = Su ดังน้ัน T Su = SSu = Su เราจะไดวา Su เปนจดุ ตรงึ รวมของ S และ T ตอ ไปเราจะพสิ จู น Su เปน จดุ ตรึงรว มเพียงจดุ เดยี วของ S และ T สมมตุ ิให Sw = Tw = w สำหรับบาง w ∈ X เนื่องจาก T u = Su จะไดวา d(T u, Su) = 0 และจากเงอ่ื นไข (ii) ไดว า d(T u, w) = d(T u, T w) µd(T u, Sw)d(T w, Su) + γd(T u, Su)d(Sw, T w) λd(Su, Sw) + 1 + d(Su, Sw) µd(T u, Sw)d(T w, Su) (3.13) λd(Su, Sw) + 1 + d(Su, Sw) เน่ืองจาก µd(Su, w)d(w, Su) µd(Su, w)(1 + d(Sw, Su)) = µd(Su, w) (3.14) 1 + d(Su, w) เมอื่ แทน (3.14) ลงใน (3.13) จะไดวา d(Su, w) = d(T u, w) λd(Su, w) + µd(Su, w) = (λ + µ)d(Su, w) จากหมายเหตุ 2.1 (ii) เราไดว า |d(Su, w)| ≤ |(λ + µ)d(Su, w)| = (λ + µ) |d(Su, w)| เนือ่ งจาก 0 ≤ λ + µ < 1 จะไดวา |d(Su, w)| = 0 ดังนั้น Su = w ดังน้ัน Su เปนจุดตรึงรว มเพยี ง จดุ เดียวของ S และ T บทแทรก 3.2. ให (X, d) เปนปริภมู เิ มตริกคา เชงิ ซอ น และ S, T : X → X สามารถสลบั ที่กนั ไดซ งึ่ (i) S และ T สอดคลองกบั คณุ สมบัติ (CLRS) และ โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

180 วรินทรญา อนิ ทรฉำ่ และคณะ (ii) d(T x, T y) λd(Sx, Sy)+ µd(T x, Sy)d(T y, Sx) + γd(T x, Sx)d(Sy, T y) , สำหรบั 1 + d(Sx, Sy) ทุก ๆ x, y ∈ X โดยท่ี λ, µ, γ เปน จำนวนจริงทไี่ มต ดิ ลบซึ่ง λ + µ < 1 แลว S และ T มจี ดุ ตรงึ รวมเพียงจุดเดยี ว พิสจู น. จากบทนิยาม 2.5 จะเห็นวาการสง ที่สลับท่ีกนั ไดจะเปน การสง ที่เขา กนั ไดแบบออน ดังนัน้ S และ T เขา กันไดแบบออน โดยทฤษฎบี ท 3.1 จะไดวา Su เปนจุดตรึงรว มเพียงจดุ เดียวของ S และ T บทแทรก 3.3 ([2]). ให (X, d) เปนปริภมู ิเมทริกคาเชิงซอ น และ S, T : X → X เปน การสง ท่เี ขากัน ไดแบบออน ซงึ่ (i) S และ T สอดคลองกับคณุ สมบตั ิ (CLRS) และ (ii) d(T x, T y) λd(Sx, Sy) + µd(T x, Sy)d(T y, Sx) สำหรับทกุ ๆ x, y ∈ X , 1 + d(Sx, Sy) โดยท่ี λ, µ เปน จำนวนจริงท่ีไมต ดิ ลบ ซึ่ง λ + µ < 1 แลว S และ T มีจดุ ตรงึ รวมเพียงจดุ เดียว พิสูจน. พจิ ารณา d(T x, T y) µd(T x, Sy)d(T y, Sx) λd(Sx, Sy) + 1 + d(Sx, Sy) µd(T x, Sy)d(T y, Sx) + γd(T x, Sx)d(Sy, T y) λd(Sx, Sy) + 1 + d(Sx, Sy) สำหรับทกุ ๆ x, y ∈ X ดงั น้นั S และ T สอดคลองกบั เงื่อนไข (ii) ในทฤษฎีบท 3.1 ทำใหไดผลลัพธ ของ Ali [2] ทฤษฎีบท 3.4. ให (X, d) เปนปรภิ ูมิเมทรกิ คา เชิงซอนและ S, T : X → X เปนการสงที่เขากันได แบบออน ซ่ึง (i) S และ T สอดคลองกบั คุณสมบตั ิ (CLRT ) (ii) T X ⊂ SX และ (iii) d(T x, T y) λd(Sx, Sy)+ µd(T x, Sy)d(T y, Sx) + γd(T x, Sx)d(Sy, T y) , สำหรับ 1 + d(Sx, Sy) ทกุ ๆ x, y ∈ X โดยที่ λ, µ, γ เปน จำนวนจรงิ ท่ไี มติดลบซง่ึ λ + µ < 1 แลว S และ T มจี ดุ ตรงึ รว มเพียงจุดเดยี ว พิสจู น. จาก S และ T สอดคลอ งกับคณุ สมบตั ิ (CLRT ) จะมลี ำดับ {xn} และ v ใน X ซ่ึง lim T xn = lim Sxn = Tv (3.15) n→∞ n→∞ เน่ืองจาก T X ⊂ SX ดังนนั้ T v ∈ SX ไดว า จะมี u ∈ X ซง่ึ T v = Su ดังน้ัน S และ T สอดคลอ ง กับคณุ สมบตั ิ (CLRS) เชน เดียวกับทฤษฎีบท 3.1 เราจะไดว า Su เปน จดุ ตรงึ รวมเพียงจดุ เดยี วของ S และ T โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค