วารสาร "โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานด้านคณิตศาสตร์ ครั้งที่ 7"

เซตเปดแบบนาโนวคิ ลีย 281 (⊇) โดยตรงกนั ขาม ถา A ∈ NSO(U, X) ∩ NPO(U, X) ไดว า A ⊆ NCl(NInt(A)) และ A ⊆ NInt(NCl(A)) จาก A ⊆ NCl(NInt(A)) โดยสมบตั นิ าโนอินทเิ รียและนาโนโคลสเชอร ไดวา NInt(NCl(A)) ⊆ NInt(NCl(NCl(NInt(A)))) = NInt(NCl(NInt(A))) จาก A ⊆ NInt(NCl(A)) จึงไดว า A ⊆ NInt(NCl(NInt(A))) ทำให A ∈ τRα(X) จงึ ไดว า NSO(U, X) ∩ NPO(U, X) ⊆ τRα(X) จาก (⇒) และ (⇐) จงึ สรปุ ไดว า τRα(X) = NSO(U, X) ∩ NPO(U, X) ทฤษฎีบท 3.7. ถา (U, τR(x)) เปน ปริภมู ินาโนทอพอโลยี และ LR(X) = UR(X) = X แลว U, ϕ, LR(X) และ A ⊃ LR(X) เทานนั้ ท่ีเปน เซตเปด แบบนาโนแอลฟาใน U พิสจู น. เนือ่ งจาก τR(x) = {U, ϕ, LR(X), UR(X), BR(X)} และจากกำหนดให LR(X) = UR(X) ทำให τR(x) = {U, ϕ, LR(X)} เนอ่ื งจากทกุ ๆ เซตเปด แบบนาโนเปน เซตเปด แบบนาโนแอลฟา ทำให U, ϕ, LR(X) เปน เซตเปดแบบนาโนแอลฟา ........⃝1 ตอ ไปจะแสดงวา A ที่ A ⊃ LR(X) เทานน้ั ทเ่ี ปน เซตเปดแบบนาโนแอลฟา ถา A ⊂ LR(X) เนอ่ื งจาก ϕ เปนเซตเปด แบบนาโนเซตเดียวท่เี ปนสบั เซตของ A ทำให NInt(A) = ϕ ไดวา NCl(NInt(A)) = NCl(ϕ) = ϕ และไดวา NInt(NInt(A)) = NInt(ϕ) = ϕ เปนผลทำให A NInt(NCl(NInt(A))) ดังน้ัน A ไมเ ปน เซตเปดแบบนาโนแอลฟา ถา A ⊃ LR(X) เน่ืองจาก LR(X) เปนเซตเปดแบบนาโน จึงไดว า LR(X) = NInt(LR(X)) ⊆ NInt(A) ∪ ให x ∈ NInt(A) จาก NInt(A) = {G ⊂ A : G เปน เซตเปดแบบนาโน} ทำให x ∈ LR (X ) เปนผลทำให NInt(A) ⊂ LR(X) ดงั น้นั NInt(A) = LR(X) ไดว า NCl(NInt(A)) = NCl(LR(X)) ไดว า NInt(NCl(NInt(A))) = NInt(NCl(LR(X))) ........⃝2 เนื่องจาก BR(X) = UR(X) − LR(X) = UR(X) − UR(X) = ϕ ดังนน้ั BR(X)c = ϕc = U ทำให NInt(BR(X)c) = NInt(U) = U เนื่องจาก U เปน เซตปดแบบนาโนเพยี งเซตเดยี วท่ี LR(X) เปนสับเซต ดงั นนั้ NCl(LR(X)) = U เปนผลทำให NInt(NCl(LR(X))) = NInt(U) = U ........⃝3 จาก ⃝2 และ ⃝3 ไดว า NInt(NCl(NInt(A))) = U ทำให A ⊆ NInt(NCl(NInt(A))) ดงั นน้ั A เปน เซตเปด แบบนาโนแอลฟา ........⃝4 จาก ⃝1 และ ⃝4 สรปุ ไดวา U, ϕ, LR(X) และ A ⊃ LR(X) เทานนั้ ที่เปน เซตเปดแบบนาโนแอลฟา ใน U โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

282 อาดลุ ย จงรักษ และ พรรณราย พั้วปอ ง ทฤษฎบี ท 3.8. ให (U, τR(x)) เปน ปริภูมินาโนทอพอโลยี และ ถา LR(X) = ϕ แลว จะไดวา U, ϕ, UR(X) และ A ⊃ UR(X) เทา น้นั ท่ีเปนเซตเปดแบบนาโนแอลฟา พสิ ูจน. ให LR(X) = ϕ เนือ่ งจาก BR(X) = UR(X) − LR(X) = UR(X) − ϕ = UR(X) ดังนนั้ τR(x) = {U, ϕ, UR(X)} เนอ่ื งจาก ทุก ๆ เซตเปดแบบนาโนเปนเซตเปดแบบนาโนแอลฟา ดังนน้ั U, ϕ, UR(X) เปน เซตเปดแบบนาโนแอลฟา ........⃝1 ให A ⊂ U จะแสดงวา A ⊃ UR(X) เทา นัน้ ท่ีเปนเซตเปดแบบนาโนแอลฟา ถา A ⊃ UR(X) และ A ≠ ϕ เน่อื งจาก ϕ ซ่งึ เปน เซตเปด แบบาโนแอลฟาเพียงเซตเดียวท่เี ปนสบั เซตของ A ดงั นั้น NInt(A) = ϕ ไดวา NCl(NInt(A)) = NCl(ϕ) = ϕ ไดว า NInt(NCl((A))) = NInt(ϕ) = ϕ เปนผลทำให A NInt(NCl(NInt(A))) ดงั นั้น A ไมเปนเซตเปดแบบนาโนแอลฟา ใน U ถา A ⊃ UR(X) เนื่องจาก UR(X) เปน เซตเปด แบบนาโนแอลฟาท่ใี หญท สี่ ดุ เปนสบั เซตของ A ดงั นั้น NInt(A) = UR(X) แลว NCl(NInt(A)) = NCl(UR(X)) ไดว า NInt(NCl(NInt(A))) = NInt(NCl(UR(X))) ........⃝2 เนอื่ งจากเซตปดแบบนาโนทีม่ ี UR(X) เปน สบั เซตมีเพียง U เทานน้ั ทำให NCl(UR(X)) = U ........⃝3 จาก ⃝2 และ ⃝3 จึงไดวา NInt(NCl(NInt(A))) = NInt(U) = U ทำให A ⊆ NInt(NCl(NInt(A))) ดังนน้ั A เปน เซตเปดแบบนาโนแอลฟา ........⃝4 จาก ⃝1 และ ⃝4 สรุปไดวา U, ϕ, UR(X) และ A ⊃ UR(X) เทา นนั้ ที่เปน เซตเปดแบบนาโน แอลฟา ทฤษฎีบท 3.9. ให (U, τR(x)) เปนปริภมู ินาโนทอพอโลยี และ ถา UR(X) = U และ LR(X) ̸= ϕ แลว U, ϕ, LR(X) และ BR(X) เทานน้ั ทเ่ี ปน เซตเปดแบบนาโนแอลฟาใน U พิสูจน. เนอื่ งจาก τR(x) = {U, ϕ, LR(X), UR(X), BR(X)} ........⃝1 และจากกำหนดให UR(X) = U ทำให τR(x) = {U, ϕ, LR(X), BR(X)} เน่อื งจากเซตเปด แบบนาโนเปน เซตเปด แบบนาโนแอลฟา ดังน้นั U, ϕ, LR(X) และ BR(X) เปน เซตเปด แบบนาโนแอลฟา ให A ⊆ U ถา A = ϕ ไดวา A เปน เซตเปด แบบนาโนแอลฟา แตถ า A ̸= ϕ จะแสดงวา A ไมเปนเซตเปดแบบนาโนแอลฟา กรณีท่ี A ⊂ LR(X) เนอื่ งจากเซตเปดแบบนาโนทเ่ี ปนสับเซตของ A คือ ϕ เทา นั้น ดังนน้ั NInt(A) = ϕ เปนผลทำให NInt(NCl(NInt(A))) = ϕ ไดว า A NInt(NCl(NInt(A))) ดงั นั้น A ไมเปนเซตเปดแบบนาโนแอลฟา โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

เซตเปด แบบนาโนวิคลยี  283 กรณที ่ี LR(X) ⊂ A เนือ่ งจากเซตเปดแบบนาโนทีใ่ หญท สี่ ดุ ทีเ่ ปน สบั เซตของ A คอื LR(X) ดงั น้ัน NInt(A) = LR(X) ไดว า NInt(NCl(NInt(A))) = NInt(NCl(LR(X))) ........⃝2 เนอ่ื งจาก BR(X)c = (UR(X) − LR(X))c = U − (U − LR(X)) = LR(X) ไดว า NInt(BR(X)c) = NInt(LR(X)) = LR(X) ⊂ A ........⃝3 และไดว า NCl(LR(X)) = NCl(BR(X)c) = BR(X)c ........⃝4 จาก ⃝2 , ⃝3 , ⃝4 ไดวา NInt(NCl(NInt(A))) ⊆ A เปนผลทำให A NInt(NCl(NInt(A))) ไดว า A ไมเปน เซตเปด แบบนาโนแอลฟา ดังน้ัน เซตเปด แบบนาโนแอลฟาใน U มีเพียง U, ϕ, LR(X) และ BR(X) บทแทรก 3.10. ถา UR(X) = U แลว τR(x) = τRα ทฤษฎีบท 3.11. ให (U, τR(x)) เปนปริภูมินาโนทอพอโลยี ถา LR(X) ≠ UR(X) ซึง่ LR(X) ̸= ϕ และ UR(X) ̸= U แลว U, ϕ, LR(X), BR(X), UR(X) และ A ⊃ UR(X) เทา นน้ั ท่ีเปนเซตเปด แบบนาโนแอลฟา ใน U พสิ จู น. ให τR(x) = {U, ϕ, LR(X), BR(X), UR(X)} เปน นาโนทอพอโลยสี ำหรบั U เนือ่ งจากทกุ ๆ เซตเปด แบบนาโนเปนเซตเปดแบบนาโนแอลฟา จะไดว า U, ϕ, LR(X), BR(X) และ UR(X) เปนเซตเปดแบบนาโนแอลฟาใน U ให A ⊆ U ซง่ึ A ⊃ UR(X) จะแสดงวา A เปนเซตเปดแบบนาโนแอลฟา เนือ่ งจาก UR(X) เปน เซตเปด แบบนาโนที่ใหญทส่ี ดุ ท่เี ปนสับเซตของ A จงึ ไดว า NInt(A) = UR(X) ........⃝1 ดงั นนั้ NCl(NInt(A)) = NCl(UR(X)) เปนผลทำให A ⊆ NInt(NCl(NInt(A))) ดังน้นั A เปน เซตเปดแบบนาโนแอลฟา เน่อื งจาก U เปนเซตปดแบบนาโนเซตเดียวที่ UR(X) ท่ีเปนสบั เซต จึงไดวา NCl(UR(X)) = U ดังนัน้ NInt(NCl(UR(X))) = NInt(U ) = U ........⃝2 จาก ⃝1 และ ⃝2 ไดว า NInt(NCl(NInt(A))) = U ถา A ⊂ UR(X) จะแสดงวา A ไมเ ปน เซตเปดแบบนาโนแอลฟา เนื่องจากเซตเปดแบบนาโนทเี่ ปนสบั เซตของ A มเี พียง ϕ เทา น้ัน จงึ ทำให NInt(A) = ϕ ไดว า NCl(NInt(A)) = NCl(ϕ) = ϕ และไดวา NInt(NCl(NInt(A))) = NInt(ϕ) = ϕ ทำให A NInt(NCl(NInt(A))) ดงั นัน้ A ไมเ ปนเซตเปด แบบนาโนแอลฟา ในทำนองเดยี วกนั ถา A ⊂ LR(X) แลว A ไมเ ปนเซตเปดนาโนแบบแอลฟา และถา A ⊂ BR(X) แลว A ไมเปนเซตเปดแบบนาโนแอลฟา ดงั นน้ั U, ϕ, LR(X), BR(X), UR(X) และ A ⊃ UR(X) เทา นัน้ ท่ีเปนเซตเปดแบบนาโนแอลฟา ใน U โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

284 อาดุลย จงรกั ษ และ พรรณราย พัว้ ปอง เอกสารอางอิง [1] M.Lellis Thivagar and Carmel Richard, Note on nano topological spaces, Commu- nicated. [2] N.Levine, Semi-open sets and semicontinuity in topological spaces, Amer.Math.Monthly, 70(1963), 36-41. [3] A.S.Mashhour, M.E.Abd EI-Monsef and S.N.EI-Deeb, On pre-topological spaces, Bull.Math.de la Soc. R.S. de Roumanie, 28(76)(1984), 39-45. [4] Miguel Caldas, A Note on some application of α-open sets, IJMMS, 2(2003), 125-130. [5] O. Njastad, On some classes of nearly open sets, Pacific J.Math, 15(1965), 961-970. [6] Z.Pawlak, Rough sets, International journal of computer and Information Sciences, 11(1982), 341-356. [7] I.L.Reilly and M.K.Vamanamurthy, On α-sets in topological spaces, Tamkang J.Math, 16(1985), 7-11. โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-PU 11 285 ความตอ เนอ่ื งแบบนาโน On Nano Continuity ผแู ตง : M. Lellis Thivagar และ Carmel Richard จดั ทำโดย: อาดุลย จงรกั ษ1* และ เสาวลักษณ คำวิเศษ1 1หลักสูตรสาขาวิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั ราชภฏั เพชรบูรณ *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ ในบทความน้ีผูวิจัยไดนำเสนอฟง กช นั แบบใหมบนปริภูมินาโนทอพอโลยีซึ่งเรียกวา ฟงกชันตอเนอื่ งแบบ นาโนในเทอมของเซตปดแบบนาโน นาโนโคลสเชอร นาโนอินทิเรยี และศึกษาคุณลักษณะตา งๆของฟง กชัน ดังกลาวในเทอมของเซตปด แบบนาโน นาโนโคลสเชอร นาโนอนิ ทเิ รีย คำสำคญั : นาโนทอพอโลยี , เซตเปดแบบนาโน , เซตปดแบบนาโน , ฟง กช ันตอเน่อื งแบบนาโน Abstract The purpose of this paper to the propose a new class of function called nano continuous function and derive their characteizations in terms of nano closed sets, nano closure and nano interior. Keywords: Nanotopology, Nano-open sets, Nano closed sets, Nano continuous functions 1. บทนำ ในป 1991 Z. Pawlak ไดนิยามปรภิ มู ิแอบพร็อกซิเมชนั และศึกษาสมบัติตา งๆของปริภูมิน้ีตอ มาในป 2013 M. Lellis Thivagar และ Carmel Richard ไดสรา งและศกึ ษานาโนทอพอโลยีซง่ึ นยิ าม จากสับเซตของเอกภพสมั พัทธดวยการใชความสมั พันธสมมูลบนเอกภพสัมพทั ธดังกลาวอยูในเทอมของ แอบพร็อกซิเมชันและบาวดดารี่รีเจียนของสับเซตดังกลา ว จากนนั้ เขาไดนยิ ามเซตปดแบบนาโน นาโน อนิ ทิเรยี นาโนโคลสเชอรและศึกษาสมบัติตางๆทางทอพอโลยี สำหรับบทความนี้ศึกษาความตอ เน่ือง แบบนาโน 2. ความรูพื้นฐาน บทนิยาม 2.1. ให X เปนเซตซงึ่ ไมใ ชเซตวางและτ เปน เซตยอ ยของเซตกำลังของ X ท่มี ีคณุ สมบัตดิ งั น้ี (1) ϕ ∈ τ และ X ∈ τ โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

286 อาดุลย จงรักษ และ เสาวลกั ษณ คำวเิ ศษ (2) ถา G1, G2, ..., Gn ∈ τ แลว ∩n Gi ∈ τ (3) ถา ∈ ทกุ คา ∈ i=1 เปนเซตดรรชนี แลว ∪ ∈ เรียก(x, τ) วา ปรภิ มู ิเชงิ ทอ Gα τ α J เมือ่ J Gα τ พอโลยี (topological space) เรียก τ วา ทอพอโลยี (topoαl∈oJgy) บน X และเรียกสมาชิกของ τ วา เซตเปด (open set) และเรียก F ⊂ X วาเซตปดใน X ถาคอมพรีเมนตของ F เปน เซตเปด ใน X คณุ สมบัตขิ อ (2)ในบทนิยามที่ 2.1 น้ี เราสามารถแสดงเพียงใหไ ดว า ถา G1, G2 ∈ τ แลว G1∩G2 ∈ τ ก็พอทั้งน้ีเพราะ ถา ประพจนนี้จริงแลวโดยอาศัยอปุ นัยเชงิ คณิตศาสตร สามารถแสดงไดวา คุณสมบัติ ขอ (2) เปนจริงดวย บทนิยาม 2.2. ให {U} ̸= ϕ ซ่งึ เรยี กวา เอกภพสมั พทั ธ และ R เปน ความสัมพนั ธสมมลู บน U ซงึ่ เรยี ก วาความสมั พนั ธ อินดสิ เซอนิบิลิตี (Indiscernibility) U จะถกู แบงดว ยชัน้ สมมูลใน U เรยี ก(U, R) วา ปริภูมิแอบพรอกชิเมชนั (approximation space) ให X ⊆ (U, R(x)) เปนชนั้ สมมูลของ x ภายใต R (1) โลเวอร แอบพรอกซิเมชัน (lower approximation) ของ X เทียบกบั R คือ ∪ LR(X) = {R(x) : R(x) ⊆ X} x∈U (2) อัปเปอรแ อบพรอกซิมาชนั (upper approximation) ของ X เทียบกบั R คือ ∪ UR(X) = {R(x) : R(x) ∩ X ̸= ϕ} x∈U (3) บาวดารรี ีเจียน (boundary region) ของ X เทียบกบั R คือ BR(X) = UR(X) − LR(X) บทนยิ าม 2.3. ให {U} ̸= ϕ เรียกวา เอกภพสัมพทั ธแ ละ R เปนความสัมพันธส มมูลบน U ให X ⊆ U ให τR(X) = {U, ϕ, LR(X), UR(X), BR(X)} แลว τR(x) เปน โทโพโลยบี น U และเรียกวานาโนทอ พอโลยี (nano topology)ที่เทยี บกบั X สมาชกิ ของนาโนทอพอโลยี เรียกวา เซตเปดแบบนาโน (nano- open sets)ใน U และ (U, τR(X)) เรียกวา ปรภิ ูมินาโนทอพอโลยี (nano topology space)สมาชกิ ท่อี ยใู น [τR(X)]c เรยี กวา เซตปดแบบนาโน(nano closed sets)ใน U หมายเหตุ 2.4. เบซิส(basis) ของนาโนทอพอโลยี τR(X) เทยี บกับ X คือ BR = {U, ϕ, LR(X), BR(X)} บทนยิ าม 2.5. ให (U, τR(X)) เปน ปรภิ ูมนิ าโนทอพอโลยที ่ีเทยี บกบั X โดยที่ X ⊆ U และ A ⊆ U (1) นาโนอนิ ทีเรีย(nano interior) ของ A หมายถงึ ผลผนวกของ เซตเปด แบบนาโน ทัง้ หมดท่ีเปน สับ เซตของเซต A เขยี นแทนดว ย NInt(A) นั่นคอื NInt(A) = ∪ ⊆ A|G เปนเซตเปดแบบนาโนใน U} {G (2) นาโนโคลสเชอร( nano closure) ของ A หมายถึงผลตัดของ เซตปดแบบนาโน ท่ีบรรจเุ ซต A เขียน แทนดวย NCl(A) น่ันคอื โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

ความตอเน่อื งแบบนาโน 287 NCl(A) = ∩ ⊇ A|F เปน เซตปด แบบนาโนใน U} {F หมายเหตุ 2.6. จากนิยาม 4.3 จะไดวา NInt(A)เปน เซตเปดแบบนาโน ที่เปน สับเซตของ A ท่ีใหญ ท่ีสดุ และ NCl(A) เปนเซตปด แบบนาโน ทเี่ ล็กทสี่ ุดท่ีบรรจุใน A หมายเหตุ 2.7. ในบทความนี้ U กับ V เปนเซตจำกดั ท่ีไมเปนเซตวาง X ⊆ U และ Y ⊆ V ; U/R และ V/R′ เปนเซตของชัน้ สมมูลโดยความสมั พนั ธสมมลู R และ R′ ใน U และ V ตามลำดับโดยท่ี (U, τR(X))และ (V, τR′(Y )) เปน ปรภิ ูมินาโนทอพอโลยที ่ีเทยี บกบั X และ Y ตามลำดับ บทนิยาม 2.8. ให (U, τR(X)) และ (V, τR′(Y )) เปน ปริภมู ินาโนทอพอโลยี และ f : (U, τR(X)) → (V, τR′(Y )) ตอ เน่อื งแบบนาโน(nano continuous) บน U กต็ อเม่ือ อนิ เวอรส อิม เมจ ของทกุ ๆเซตเปด แบบนาโน ใน V เปนเซตเปดแบบนาโน ใน U นั่นคือ f−1(G) ∈ τR(X), ∀G ∈ τR′(Y ) ตัวอยาง 2.9. ให U = {a, b, c, d} กับ U/R = {{a, c}, {b}, {d}} โดยที่ให X = {a, d} ⊆ U จะ แสดงวา τR(X) = {U, ϕ, {d}, {a, b, c}, {a, c}} พสิ จู น. U/R = {{a, c}{b}, {d}} R(a) = [a] = {a, c} R(b) = [b] = {b} R(c) = [c] = {c, a} R(d) = [d] = {d} LR(X) = ∪ {R(x) : R(x) ⊆ X} = {d} x∪∈U UR(X) = {R(x) : R(x) ∩ X ̸= ϕ} = {a, c}U {d}U {c, a} = {a, c, d} x∈U BR(X) = UR(X) − LR(X) = {a, c, d} − {d} = {a, c} ดงั นัน้ τR(X) = {U, ϕ, {d}, {a, c, d}, {a, c}} ให V = {x, y, z, w} กบั V/R′ = {{x}{y, z}, {w}} โดยทใี่ ห Y = {x, z} ⊆ V จะแสดงวา τR′(X) = {V, ϕ, {x}, {x, y, z}, {y, z}} จาก V /R′ = {{x}{y, z}, {w}} R(x) = [x] = {x} R(y) = [y] = {y, z} R(z) = [z] = {z, y} R(w) = [w] = {w} ∪ LR′(Y ) = {R(y) : R(y) ⊆ Y } = {x} y∪∈V UR′(Y ) = {R(y) : R(y) ∩ Y ̸= ϕ} = {x}U {y, z}U {z, y} = {x, y, z} y∈V BR′(y) = UR′(Y ) − LR′(Y ) = {x, y, z} − {x} = {y, z} โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

288 อาดลุ ย จงรกั ษ และ เสาวลักษณ คำวิเศษ ดงั น้นั τR′(Y ) = {V, ϕ, {x}, {x, y, z}, {y, z}} ให f : (U, τR(X)) → (V, τR′) เปนฟง กช นั โดยที่ f(a) = y, f(b) = w, f(c) = z, f(d) = x จะแสดงวา f ตอเนื่องบน U เน่อื งจากเซตเปด แบบนาโนใน V ไดแ ก V, ϕ, {x}, {x, y, z}, {y, z} และจากการนิยามฟง กชนั จะได f −1({x}) = {d} ∈ τR(X) f −1({y, z}) = {a, c} ∈ τR(X) f −1({x, y, z}) = {d, a, c} ∈ τR(X) f −1({V }) = U ∈ τR(X) f −1(ϕ) = ϕ ∈ τR(X) โดยบทนิยาม 2.8 จึงไดวา f เปน ฟง กชนั ตอ เนอ่ื งแบบนาโนบน U 3. ทฤษฎบี ทหลัก ทฤษฎบี ท 3.1. ให (U, τR(X)) และ (V, τR′(Y )) เปน ปริภูมนิ าโนทอพอโลยจี ะไดวา f : (U, τR(X)) → (V, τR′(Y )) ตอ เน่ืองแบบนาโน ก็ตอ เมอ่ื อนิ เวอรสอมิ เมจของทกุ เซตปดแบบ นาโนใน V เปนเซตปดแบบนาโนใน U พสิ จู น. (⇒) ให f เปน ตอ เน่ืองเเบบนาโนบน U และให F เปนเซตปดแบบนาโนใน V จะแสดงวา f−1(F ) เปนเซตปดแบบนาโนใน U เนือ่ งจาก F เปนเซตปดแบบนาโนใน V ดงั น้นั V − F เปนเซตเปด แบบนาโนใน V แต f เปน ฟงกชันตอเนอ่ื งแบบนาโน โดยนยิ ามความตอ เน่อื งแบบนาโน จะไดว า ที่ f−1(V − F ) เปน เซตเปด แบบนาโนใน U จะไดว า f−1(V − F ) = f−1(v) − f−1(F ) = U − f−1(F ) เปน เซตเปด แบบนาโนใน U ดงั น้นั U − (U − f−1(F )) = f−1(F ) เปนเซตปดแบบนาโนใน U (⇐) ให อินเวอรส อิมเมจ ของทกุ ๆเซตปดแบบนาโนเปนเซตปดแบบนาโนใน U จะแสดงวา f เปนฟง กช นั ตอ เนอ่ื งแบบนาโน ให G เปนเซตเปดแบบนาโน ใน V ดังนนั้ V − G เปน เซตปดแบบนาโนใน V จากท่ีกำหนดใหอินเวอรสอิมเมจของทุก ๆ เซตปดแบบนาโนเปน เซตปด แบบนาโนใน U จะไดว า f−1(V − G) เปน เซตปดแบบนาโนใน U จะไดว า f−1(V − G) = f−1(v) − f−1(G) = U − f−1(G) เปน เซตปด แบบนาโนใน U ทำให U − (U − f−1(G)) = f−1(G) เปนเซตเปดแบบนาโนบน U ดงั นัน้ f เปน ฟง กชันตอเนื่องแบบนาโนบน U ทฤษฎบี ท 3.2. ให (U, τR(X)) และ (V, τR′(Y )) เปน ปริภมู นิ าโนทอพอโลยีจะไดวา f : (U, τR(X)) → (V, τR′(Y )) เปน ฟงกชันตอ เน่อื งแบบนาโน ก็ตอเมอื่ f(NCl(A)) ⊆ NCl(f(A)) สำหรบั ทุกๆ A ⊆ U โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

ความตอเนื่องแบบนาโน 289 พิสจู น. (⇒) ให f เปนฟง กชัน ตอเน่ืองแบบนาโน และ A ⊆ U จะแสดงวา f(NCl(A)) ⊆ NCl(f(A)) เนอื่ งจาก A ⊆ U จะไดวา f(A) ⊆ f(U) แต f(U) ⊆ V เพราะฉะนนั้ f(A) ⊆ V จาก f ตอ เน่อื งแบบนาโน โดยทฤษฎีบท 3.1 ไดว า f−1(NCl(f(A))) เปนเซตปด แบบนาโนใน U เนอื่ งจาก f(A) ⊆ NCl(f(A)) จะไดวา f−1f(A) ⊆ f−1(NCl(f(A))) แตเน่อื งจาก A ⊆ f−1(f(A)) ดังน้ัน A ⊆ f−1(NCl(f(A))) เนอื่ งจาก f−1(NCl(f(A))) เปนเซตปดแบบนาโน และ A ⊆ f−1(NCl(f(A))) แต NCl(A) เปน เซตปด แบบนาโนท่ีเล็กทีส่ ุดท่ี A เปนสบั เซต ดังนั้น NCl(A) ⊆ f−1(NCl(f(A))) ทำให f (NCl(A)) ⊆ f (f −1(NCl(f (A)))) = NCl(f (A)) นั่นคือ f (NCl(A)) ⊆ NCl(f (A)) (⇐) ให f(NCl(A)) ⊆ NCl(f(A)) สำหรับทกุ ๆ A ⊆ U และให F เปน เซตปดแบบนาโนใน V จะแสดงวา f เปนฟง กช นั ตอเนอื่ งแบบนาโน เน่อื งจาก f−1(F ) ⊆ U จะไดว า f (NCl(f −1(F ))) ⊆ NCl(f (f −1(F ))) ⊆ NCl(F )(∵ f f −1(F ) ⊆ (F )) ไดว า f (NCl(f −1(F ))) ⊆ NCl(F ) ดังน้ัน f −1f (NCl(f −1(f ))) ⊆ f −1(NCl(F )) นนั่ คือ NCl(f −1(F )) ⊆ f −1(NCl(F )) เน่ืองจาก F เปนเซตปดแบบนาโน ทำให F = NCl(F ) ดงั นั้น NCl(f−1(F )) ⊆ f−1(F ) แตเ นอื่ งจาก f−1(F ) ⊆ NCl(f−1(F )) เพราะฉะน้นั NCl(f−1(F )) = f−1(F )NCl(f−1(F )) เปนเซตปด แบบนาโนใน U ดงั นัน้ f−1(F ) เปน เซตปดแบบนาโนใน U โดยทฤษฎีบท 3.1 ทำใหไดวา f เปนฟงกชันตอ เน่อื งแบบนาโน หมายเหตุ 3.3. ถา f : (U, τR(X)) → (V, τR′(Y )) เปนฟง กช ันตอ เนื่องแบบนาโน แลว f(NCl(A)) ไมจ ำเปนตองเทา กับ NCl(f(A)) เม่อื A ⊆ U ให U = {a, b, c, d} : U/R = {{a}, {b, d}, {c}} ให X = {a, c, d} แลว TR(X) = {U, ϕ, {a, c}, {b, d}} ให V = {x, y, z, w} กบั V /R′ = {V, ϕ, {y}, {x, y, z}, {x, z} ให f : (U, τR(X)) → (V, τR′(Y )) กำหนดโดย f(a) = y, f(b) = X, f(c) = y, f(d) = x แลว f −1(V ) = U, f −1(ϕ) = ϕ, f −1({y}) = {a, c}f −1({x, y, z}) = U และ f −1({x, z}) = {b, d} พบวา อินเวอรส อมิ เมจของทุก ๆ เซตเปด แบบนาโนของ V เปนเปดแบบนาโนใน U ดงั น้นั f ตอเนอ่ื งแบบนาโน บน U และถาให A = {a, c} ⊆ V แลว f(NCl(A)) = f({a, c}) = {y} แต NCl(f (A)) = NCl({y}) = {y, w} ดงั น้นั f(NCl(A)) ̸= NCl(f(A)) ถงึ แมวา f เปนฟง กช นั ตอ เน่ืองแบบนาโน นน่ั คอื ไมตอ งเทา กนั เหมอื นอยางเชนทฤษฎบี ท 3.2 เม่ือ f เปน ฟงกช ันตอเนื่องแบบนาโน โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

290 อาดุลย จงรักษ และ เสาวลกั ษณ คำวิเศษ ทฤษฎบี ท 3.4. ให (U, τR(X)) และ (V, τR′(Y )) เปนปรภิ มู ินาโนทอพอโลยที ี่ X ⊆ U และ Y ⊆ V โดยที่ τR′(Y ) = {V, ϕ, LR′(Y ), UR′(Y ), BR′(Y )} ซง่ึ มเี บซสิ เปน BR′ = {V, ϕ, LR′(Y ), BR′(Y )} จะไดวาฟงกชัน f : (U, τR(X)) → (V, τR′(Y )) เปน ฟงกช นั ตอเนือ่ งแบบนาโน กต็ อ เม่อื อินเวอรส อิม เมจ ของทกุ ๆ สมาชกิ BR′ เปน เซตเปดแบบนาโนใน U พสิ จู น. (⇒) ให f เปนฟงกช ันตอ เน่ืองแบบนาโนบน U และให BR′ เปนเบสสำหรับ τR′(Y ) โดยที่ B ∈ BR′ จะแสดงวา f−1(B) เปนเซตเปด แบบนาโนใน U เนื่องจาก B ∈ BR′ ไดว า B ∈ τR′(Y ) โดยนิยามฟง กชันตอเน่ืองแบบนาโน ไดวา f−1(B) ∈ τR(X) นน่ั คอื อินเวอรส อิมเมจของทกุ ๆ สมาชิกของ BR′ เปน เซตเปด แบบนาโนใน U (⇐) ใหอินเวอรส ของทกุ ๆ สามชกิ ใน BR′ เปนเซตเปด แบบนาโนใน U และให G ∈ τR′(Y ) ∪ จะไดวา G = {B|B ∈ BI } โดยท่ี BI ⊂ BR′ จะไดว า f −1(G) = f −1(∪{B|B ∈ BI }) = ∪ −1 (B)|B ∈ BI } {f ซึ่งแตละ f−1(B) เปน เซตเปดแบบนาโนใน U เนื่องจาก ผลผนวกแบบใด ๆ ของเซตเปด แบบนาโนยังคงเปน เซตเปด แบบนาโน เปน ผลทำให f−1(G) เปน เซตเปด แบบนาโนใน U ดังนั้น f เปน ฟงกชนั ตอ เน่ืองแบบนาโนบน U ทฤษฎบี ท 3.5. ให (U, τR(X)) และ (V, τR′(Y )) เปน ปริภมู ินาโนทอพอโลยี จะไดวา f : (U, τR(X)) → (V, τR′(Y )) เปน ฟง กชันตอ เนอื่ งแบบนาโน กต็ อเมอ่ื NCl(f−1(B)) ⊆ f−1(NCl(B)) สำหรบั ทุก ๆ B ⊆ V พิสูจน. (⇒) ให f เปน ฟงกช ันตอ เน่อื งแบบนาโน และให B ⊆ V เนือ่ งจาก NCl(B) เปนเซตปดแบบนาโนใน V โดยทฤษฎีบท 3.3 ไดว า f−1(NCl(B)) เปนเซตปด แบบนาโนใน U เนื่องจาก B ⊆ NCl(B) ทำให f−1(B ⊆ f−1(NCl(B)) เปนผลทำให NCl(f −1(B)) ⊆ NCl(f −1(NCl(B))) = f −1(NCl(B)) น่ันคอื NCl(f −1(B)) ⊆ f −1(NCl(B)) (⇐) ให B ⊆ V และ NCl(f −1(B)) ⊆ f −1(NCl(B)) ให B เปนเซตปด แบบนาโนใน V จะไดว า NCl(B) = B จากสมมตฐิ านไดว า NCl(f−1(B)) ⊆ f−1(NCl(B)) = f−1(B) ดังนัน้ NCl(f−1(B)) ⊆ f−1(B) แตเ นอ่ื งจาก f−1(B) ⊆ NCl(f−1(B)) เปน ผลทำให NCl(f−1(B)) = f−1(B) นนั่ คือ f−1(B) เปนเซตปด แบบนาโนใน U สำหรับทุกๆสบั เซต B ทีเ่ ปนเซตปดแบบนาโนใน V โดยทฤษฎีบท 3.3 ไดวา f เปนฟงกช นั ตอ เน่อื งแบบนาโน บน U โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

ความตอ เน่อื งแบบนาโน 291 ทฤษฎีบท 3.6. ให (U, τR(X)) และ (V, τR′(Y )) เปน ปรภิ มู นิ าโนทอพอโลยี จะไดวา f : (U, τR(X)) → (V, τR′(Y )) เปน ตอเน่ืองแบบนาโน ก็ตอเมื่อ f−1(NInt(B)) ⊆ NInt(f−1(B)) สำหรับทุก ๆ B ⊆ V พิสูจน. (⇒) ให f เปนฟง กช นั ตอ เนือ่ งแบบนาโนและ B ⊆ V . . . (1) เน่อื งจาก NInt(B) เปน เซตเปด แบบนาโนใน V . . . (2) โดยหมายเหตุ 3.3 ไดวา f−1(NInt(B)) เปนเซตเปดแบบนาโนใน U ทำให NInt(f −1(NInt(B))) = f −1(NInt(B)) เน่อื งจาก NInt(B) ⊆ Bf−1(NInt(B)) ⊆ f−1(B) ไดวา NInt(f −1(NInt(B))) ⊆ NInt(f −1(B)) จาก (1) และ (2) จงึ ไดวา f−1(NInt(B)) ⊆ NInt(f−1(B)) (⇐) ให f−1(NInt(B)) ⊆ NInt(f−1(B)) สำหรบั ทุก B ⊆ V ให B เปน เซตเปดแบบนาโนใน V จะไดว า NInt(B) = B แตเ นอ่ื งจาก f−1(NInt(B)) ⊆ NInt(f−1(B)) ทำให f−1(B) ⊆ NInt(f−1(B)) แตเ นอ่ื งจาก NInt(f−1(B)) ⊆ f−1(B) จึงไดวา f−1(B) = NInt(f−1(B)) แต NInt(f−1(B)) เปน เซตเปด แบบนาโนใน U ทำให f−1(B) เปน เซตเปดแบบนาโนใน U โดยหมายเหตุ 3.3 จงึ ไดวา f เปน ฟงกช ันตอเนื่องแบบนาโน ตัวอยา ง 3.7. ให U = {a, b, c, d} ท่ี U/R = {{a}, {b}, {c}} และ X = {a, c} โดยท่ี τR(x) = {u, ϕ, {c}, {a, c, d}, {a, d}} และให V = {x, y, z, w} ซง่ึ V /R′ = {V, ϕ, {x}, {y}, {z}, {w}} และ Y = {x, w} โดยที่ τR′(Y ) = {V, ϕ, {x, w}} กำหนด f : (U, τR(X)) → (V, τR′(Y )) โดยที่ f (a) = x, f (b) = y, f (c) = z, f (d) = w จะแสดงวา f เปนฟง กชันตอเน่อื งแบบนาโนบน U พสิ ูจน. เนื่องจากเซตเปดแบบนาโนบน U ไดแก U, ϕ, {c}, {a, c, d}, {a, d} ทำใหเ ซตปด แบบนาโนใน U ไดแ ก ϕ, U, {a, b, d}, {b} และ {b, c} จากนยิ าม f จะไดวา f−1(ϕ) = ϕ ∈ NC(U) f −1(V ) = U ∈ N C(U ) f −1({y, z}) = {b, c} ∈ N C(U ) โดยทฤษฎีบท 3.1 ไดวา f ตอ เนอ่ื งแบบนาโนใน U จากตัวอยาง 3.7 ยงั พบวา f−1(ϕ) = ϕ ∈ NO(U) f −1(V ) = U ∈ N O(U ) f −1({x, w}) = {a, d} ∈ N O(U ) นนั่ คือ อินเวอรสของทุก ๆ เซตเปดแบบนาโนใน V เปนเซตเปดแบบนาโนใน U ถา ให B = {y} ⊂ V จะไดว า f−1(NCl(B)) = f−1({y, z}) = {b, c} และ NCl(f−1(B)) = {b} ดังนั้น NCl(f −1(B)) ≠ f −1(NCl(B)) โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้ังท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

292 อาดุลย จงรกั ษ และ เสาวลักษณ คำวเิ ศษ แต NCl(f−1(B)) ⊆ f−1(NCl(B)) ซงึ่ เปนไปตามทฤษฎบี ท 3.5 ถาให A = {x, z, w} ⊂ V จะไดว า f −1(NInt(A)) = f −1({x, w}) = {a, d} และ NInt(f −1(A)) = NInt({a, c, d}) = {a, c, d} ถาให A = {x, z, w} ⊂ V จะไดว า f −1(NInt(A)) = f −1({x, w}) = {a, d} และ NInt(f −1(A)) = NInt({a, c, d}) = {a, c, d} ดังนนั้ f −1(NInt(A)) ̸= NInt(f −1(A)) แต f−1(NInt(A)) ⊆ NInt(f−1(A)) ซงึ่ เปน ไปตามทฤษฎบี ท 3.6 เอกสารอา งองิ [1] Lashin E.F.,Kozae A.M.,Abo Khadrea A.A.$ Medthat T.(2005),”Rough set theory for topological spaces”,International Journal of Approximate Resoning,40/1-2,35-43, [2] Lashin E.F.& Medhat T. (2005)”Topoligical reduction of information sys- tems”,Chaos,Solitons and Fractals,25 277-286,. [3] Lellis Thivagar & Carmel Richard.”Note on Nanotopological Spaces”(commuicated). [4] Pawlak Z.(1982),”Rough sets”,International Journal of Information and Computer Science,11(5);341-356,. [5] Pawlak Z.(1991),”Rough sets-Theoretical Aspects of Reasoning about data”,Kluwer Academic Publishers,Dordrecht,Boston,London,. [6] Rady E.A. (2004),Kozae A.M.and Abd El-Monsef M.M.E.,”Generalized Rough Sets”,Chaos,Solitons and Frectals,21,49-53. [7] Salama S.(2001),”some topological properties of rough sets with tools for data min- ing”,Internation Journal of computer Science Issues,Vol.8,Issue3,No2,588-595. [8] Skowron A.(1988),.”On Topology in Information System”,Bull.Polish Acad.Sci.,Math., 36/7-8,477-479,. โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-PU 12 293 นิจพลใน Semimedial Semigroup Idempotent in Semimedial Semigroup ผแู ตง: Fitore Abdullahu จัดทำโดย: ภทั รศักดิ์ โทนหงสษา1* 1สาขาวชิ าคณติ ศาสตร คณะวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏมหาสารคาม 80 ถ.นครสวรรค ต.ตลาด อ.เมอื ง จ.มหาสารคาม 44000 *Correspondence: [email protected] บทคดั ยอ ให S เปน semigroup จะเรียก S วา I-semimedial semigroup ถา S เปน I-left semimedial (xyxx2yz = z) และ S เปน I-right semimedial (zxyzyx2 = x) ในสัมมนานี้เปน การกลาวถงึ I- semimedial semigroup และคลาสอน่ื ๆของ semigroup ในการพิสูจน I-semimedial semigroup และ I-medial semigroup และ I-distributive semigroup พสิ จู นเหมอื นกันและการพิสจู น left semi- medial weakly separative semigroup ไมมสี มาชิก left magnifying คำสำคญั : I-semimedial semigroups, I-distributive semigroups Abstract We say that a semigroup S is a I-semimedial semigroup if it is both I-left (xyxx2yz = z) and I-right (zxyzyx2 = x) semimedial, where x, y, z belong to S and where x and y are idem- potents. In this paper it is presented the connection between I-semimedial semigroups and some special classes of semigroups. It is proved that the class of I-semimedial sem- groups, I-medial semigroups and Idistributive semigroups are the same. It is also proved that the left semimedial weakly separative semigroup has no left magnifying element Keywords: I-semimedial semigroups, I-distributive semigroups 1. บทนำ ให S เปน semigroup จะเรยี ก S วา medial semigroup ถา สอดคลองกบั (xy)(zu) = (xz)(yu) เมอ่ื x, y, z, u ∈ S ให S เปน semigroup จะเรียก S วา left semimedial ถา สอดคลอ ง กบั (x2)(yz) = (xy)(xz) เม่อื x, y, z ∈ S ในทำนองเดียวกันจะเรยี ก S วา right semimedial ถา สอดคลองกับ (zy)(x2) = (zx)(yx) เม่อื x, y, z, ∈ S ให S เปน semigroup จะเรยี ก S วา semimedial ถา S เปน left และ right semimedial คลาสอน่ื ๆ ของ semimedial semigroup จะ พิจารณาใน [1] และ [7] โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

294 ภทั รศกั ด์ิ โทนหงสษ า ความคิดของ I-medial semigroup และ I-commutative semigroup ถูกนำมาใชใน [3] ในสมั มนาน้ีเปน เรอ่ื งเกี่ยวกบั semigroup ก็คือ I-left semimedial และ I-right semimedial กอนอืน่ ตองอางผลลัพธบางอยางซงึ่ ใชในการพิสจู นแลว นำเสนอระหวาง I-semimedial semigroup และ I-distributive semigroup และคลาสอๆ่ื นของ semigroup ในการพิสจู น I-semimedial semi- group, I-distributive semigroup และ I-medial semigroup พิสจู นเหมือนกัน สุดทา ยคอื การ พิสูจน left semimedial weakly separative semigroup ไมมีสมาชิก left magnifying สำหรบั หมายเหตแุ ละความคดิ อางอิงจาก [5] และ [6] 2. ความรพู ืน้ ฐาน บทนิยาม 2.1. ให a และ b เปน สมาชกิ ของเซต ซงึ่ อาจจะเปนเซตเดียวกนั หรอื ตางเซตกันกไ็ ด คูอนั ดบั (ordered pair) ของ a และ b เขยี นแทนดว ย (a, b) โดยเรยี ก a วาสมาชกิ ทห่ี นงึ่ และเรียก b วาสมาชกิ ทสี่ อง บทนยิ าม 2.2. คูอันดับ (a, b) = (c, d) ก็ตอ เมอื่ a = c และ b = d จากบทนิยาม 2.1 จะเหน็ ไดว าการเทา กนั ของคูอนั ดบั นัน้ ไมเ หมือนการเทากนั ของเซต เนอ่ื งจาก อันดบั ที่หน่ึงและสองของสมาชิกจะมีสว นสำคญั ที่แสดงถึงการเทากันดว ยเชน {2, 3} = {3, 2} แต (2, 3) ̸= (3, 2) เปนตน บทนิยาม 2.3. ให A และ B เปนเซตใด ๆ ผลคณู คารทีเชยี น ของ A และ B คือเซตของคูอันดับ (a, b) ทุกคอู ันดบั โดยที่ a ∈ A และ b ∈ B เขยี นแทนดวย A × B นั่นคือ A × B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B} หมายเหตุ สำหรบั A เปน เซตใด ๆ จะไดวา A × ∅ = ∅ = ∅ × A ตวั อยา ง 2.4. ให A = {1, 2, 3} และ B = {a, b} จะไดวา A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} A × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} B × B = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)} จากตัวอยา งจะเห็นวา A × B ≠ B × A บทนิยาม 2.5. ให A และ B เปน เซตใด ๆ 1. จะเรยี ก r วาเปน ความสมั พนั ธจ าก A ไป B (relation from A to B) ก็ตอเมอื่ r ⊆ A × B 2. จะเรยี ก r วา เปน ความสมั พนั ธบน A (relation on A) ก็ตอ เมือ่ r ⊆ A × A โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

นจิ พลใน Semimedial Semigroup 295 ตัวอยาง 2.6. กำหนดให A = {1, 2, 3} และ B = {a, b} จะไดวา r1 = {(1, a), (2, a), (3, b)} เปน ความสมั พนั ธจ าก A ไป B เน่ืองจาก r1 ⊆ A × B r2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} เปน ความสัมพนั ธบน A เน่อื งจาก r2 ⊆ A × A บทนยิ าม 2.7. ให A และ B เปนเซตใด ๆ และ r เปนความสมั พนั ธจ าก A ไป B 1. โดเมน (domain) ของrเขียนแทนดวยDrหมายถึงเซตของสมาชกิ ตวั หนาของทุกคอู ันดบั ใน r Dr = {x | (x, y) ∈ r สำหรับบาง y ∈ B} 2. เรนจ (rang) ของ r เขยี นแทนดวย Rr หมายถงึ เซตของสมาชกิ ตวั หลังของทุกคอู ันดับใน r Rr = {y | (x, y) ∈ r สำหรบั บาง x ∈ A} ตัวอยาง 2.8. จากตวั อยาง 2.7 จงหา Dr1 และ Rr1 จะไดวา Dr1 = {1, 2, 3} และ Rr1 = {a, b} บทนยิ าม 2.9. ให A และ B เปนเซตใด ๆ และ f เปนความสมั พันธจาก A ไป B จะเรียก f วา ฟงกชนั (function) จาก A ไป B กต็ อเมอ่ื 1. Df = A 2. สำหรบั ทุก ๆ x ∈ A จะไดว า ถา (x, y) ∈ f และ (x, z) ∈ f แลว y = z ถา f เปนฟงกช ันจาก A ไป B แลว จะเขยี นแทนดว ย f : A −→ B หมายเหตุ โดยทว่ั ๆ ไป ถา (x, y) ∈ f แลว จะเขยี นดวยสญั ลกั ณ y = f(x) ซง่ึ เรียก y วา เปนคา ของฟง กชัน f ที่ x นั่นคือ ถา f : A −→ B จะไดวา Df = A และ Rf ⊆ B ตวั อยาง 2.10. ให A = {1, 2, 3} และ B = {a, b} 1. ให f = {(1, a), (2, a), (3, b)} จะไดวา f เปน ฟง กช ันจาก A ไป B 2. ให g = {(1, a), (2, a), (2, b), (3, b)} จะไดวา g ไมเปน ฟง กชนั จาก A ไป B เพราะวา (2, a) ∈ g และ (2, b) ∈ g แต a ≠ b 3. ให h = {((1, 1), 1), ((1, 2), 2), ((1, 3), 3), ((2, 1), 1), ((2, 2), 2), ((2, 3), 3), ((3, 1), 1), ((3, 2), 2), ((3, 3), 3)} เปนฟง กชันจาก A ไป B จะเหน็ วา h เปนฟง กช นั จาก A × A ไป A บทนยิ าม 2.11. ให S เปนเซตใด ๆ และ S ≠ ∅ จะเรียก ∗ วา การดำเนินการทวภิ าค (binary operation) บน S ก็ตอ เมอื่ ∗ เปนฟงกช ันจาก S × S ไป S เขยี นแทนดวย ∗ : S × S → S และ สำหรบั ทกุ ๆ a, b, c ∈ S และจะเขียน a ∗ b = c แทน ∗(a, b) = c บทนยิ าม 2.12. ให ∗ เปน การดำเนินการทวิภาคบน S และ H ⊆ S จะเรียก H วามี สมบัติปด (closed) ภายใต ∗ ก็ตอ เม่อื a ∗ b ∈ H สำหรบั ทุก a, b ∈ H โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

296 ภัทรศักด์ิ โทนหงสษ า บทนยิ าม 2.13. ให ∗ เปนการดำเนนิ การทวิภาคบน S จะเรยี ก ∗ วามี สมบตั ิการจัดหมู (associa- tive) ถา a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c สำหรบั ทกุ a, b, c ∈ S บทนิยาม 2.14. ให S ≠ ϕ และ ∗ เปน การดำเนนิ การทวภิ าคบน S จะเรยี ก (S, ∗) วา กึง่ กรุป (semigroup) กต็ อ เมอ่ื (S, ∗) มีสมบตั กิ ารจัดหมู หมายเหตุ 2.15. จะเขียน ab แทน a ∗ b และจะเขียน (ab)c แทน (a ∗ b) ∗ c บทนยิ าม 2.16. ให a ∈ S และ S เปน semigroup จะเรยี ก a วา idempotents ถา a2 = a บทนยิ าม 2.17. ให S เปน semigroup และ I⊆ S จะเรียก I วา idempotents ถา a2 = a สำหรับทุก ๆ a ∈ I บทนยิ าม 2.18. ให x, y, z, u ∈ S และ S เปน semigroup จะเรยี ก S วา 1. I-left commutative ถา สอดคลอ งกับ (xy)z = (yx)z เมื่อ x, y เปน idempotents 2. I-right commutative ถา สอดคลอ งกับ z(xy) = z(yx) เมอื่ x, y เปน idempotents 3. I-commutative ถา สอดคลอ งกบั xy = yx เมื่อ x, y เปน idempotents 4. I-medial ถา สอดคลอ งกบั (xy)(zu) = (xz)(yu) เมอ่ื y, z เปน idempotents 5. I-left semimedial ถา สอดคลอ งกับ x2(yz) = (xy)(xz) เมือ่ x, y เปน idempotents 6. I-right semimedial ถาสอดคลองกบั (zy)x2 = (zx)(yx) เมอ่ื x, y เปน idempotents 7. I-semimedial ถา S เปน I-left semimedial และ I-right semimedial 8. I-left distributive ถาสอดคลองกบั x(yz) = (xy)(xz) เมอ่ื x, y เปน idempotents 9. I-right distributive ถา สอดคลอ งกบั (zy)x = (zx)(yx) เมื่อ x, y เปน idempotents 10. I-distributive ถา S เปน I-left distributive และ I-right distributive 11. diagonal ถาสอดคลอ งกับ x2 = x และ (xy)z = xz 12. weakly separative ถา มี x, y ∈ S ทที่ ำให x2 = xy = y2 แลว x = y ประพจน 2.19. ให S เปน semigroup จะไดว า 1. ถา S เปน I-commutative semigroup แลว S เปน I-medial semigroup 2. ถา S เปน I-medial semigroup แลว S เปน I-semimedial semigroup 3. ถา S เปน I-semimedial semigroup แลว S เปน I-distributive semigroup พสิ ูจน. ขอ 1. ให S เปน I-commutative semigroup จะแสดงวา S เปน I-medial semigroup นัน่ คือแสดงวา (xy)(zu) = (xz)(yu) สำหรบั ทุกๆ x, y, z, u ∈ S เมอ่ื y, z เปน idempotents ให x, y, z, u ∈ S และ y, z เปน idempotents พิจารณา โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

นจิ พลใน Semimedial Semigroup 297 (xy)(zu) = (xy2)(zu) ; y = y2 = (x(yy))(zu) ; y2 = yy = x((yy)(zu)) ; associative = x((zu)(yy)) ; I-commutative semigroup = x((zu)y2) ; yy = y2 = x((zu)y) ; y2 = y = x(z(uy)) = x(z(yu)) ; associative = (xz)(yu) ; I-commutative semigroup ; associative ดงั นั้น S เปน I-medial semigroup ขอ 2. ให S เปน I-medial semigroup จะแสดงวา S เปน I-semimedial semigroup นัน่ คอื จะแสดงวา 2.1 S เปน I-left semimedial semigroup 2.2 S เปน I-right semimedial semigroup ขอ 2.1 จะแสดงวา S เปน I-left semimedial semigroup นนั่ คือจะแสดงวา x2(yz) = (xy)(xz) สำหรบั ทุกๆ x, y, z ∈ S เมอ่ื x, y เปน idempotents ให x, y, z ∈ S และ x, y เปน idempotents พจิ ารณา x2(yz) = (xx)(yz) ; x2 = xx = (xy)(xz) ; I-medial semigroup ดงั น้นั S เปน I-left semimedial semigroup ขอ 2.2 จะแสดงวา S เปน I-right semimedial semigroup น่ันคือจะแสดงวา (zy)x2 = (zx)(yx) สำหรบั ทกุ ๆ x, y, z ∈ S เมือ่ x, y เปน idempotents ให x, y, z ∈ S และ x, y เปน idempotents พจิ ารณา (zy)x2 = (zy)(xx) ; x2 = xx = (zx)(yx) ; I-medial semigroup ดงั นนั้ S เปน I-right semimedial semigroup จากขอ 2.1 และ 2.2 จะไดว า S เปน I-semimedial semigroup ขอ 3. ให S เปน I-semimedial semigroup จะแสดงวา S เปน I-distributive semigroup นัน่ คอื จะแสดงวา 3.1 S เปน I-left distributive semigroup 3.2 S เปน I-right distributive semigroup โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

298 ภัทรศกั ด์ิ โทนหงสษา ขอ 3.1 จะแสดงวา S เปน I-left distributive semigroup นนั่ คอื จะแสดงวา x(yz) = (xy)(xz) สำหรบั ทกุ ๆ x, y, z ∈ S เมือ่ x, y เปน idempotents ให x, y, z ∈ S และ x, y เปน idempotents พจิ ารณา x(yz) = x2(yz) ; x = x2 = (xy)(xz) ; I-left semimedial semigroup ดงั นน S เปน I-left distributive semigroup ขอ 3.2 จะแสดงวา S เปน I-right distributive semigroup น่ันคือจะแสดงวา (zy)x = (zx)(yx) สำหรับทุกๆ x, y, z ∈ S เม่ือ x, y เปน idempotents ให x, y, z ∈ S และ x, y เปน idempotents พจิ ารณา (zy)x = (zy)x2 ; x = x2 = (zx)(yx) ; I-right semimedial semigroup ดังนั้น S เปน I-right distributive จากขอ 3.1 และ 3.2 จะไดวา S เปน I-distributive semigroup ประพจน 2.20. ให S เปน semigroup จะไดว า 1. ถา S เปน I-left commutative semigroup แลว S เปน I-left semimedial semi- group 2. ถา S เปน diagonal semigroup แลว S เปน I-semimedial semigroup พสิ ูจน. ขอ 1. ให S เปน I-left commutative semigroup จะแสดงวา S เปน I-left semimedial semigroup นัน่ คอื จะแสดงวา x2(yz) = (xy)(xz) สำหรบั ทุกๆ x, y, z ∈ S เมอ่ื x, y เปน idem- potents ให x, y, z ∈ S และ x, y เปน idempotents พิจารณา x2(yz) = (xx)(yz) ; x2 = xx = ((xx)y)z ; associative = (y(xx))z ; I-left commutative semigroup = ((xy)x)z ; associative = (xy)(xz) ; associative ดงั นนั้ S เปน I-left semimedial semigroup ขอ 2. ให S เปน diagonal semigroup จะแสดงวา S เปน I-semimedial semigroup นนั่ คอื จะแสดงวา โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

นิจพลใน Semimedial Semigroup 299 2.1 S เปน I-left semimedial semigroup 2.2 S เปน I-right semimedial semigroup ขอ 2.1 จะแสดงวา S เปน I-left semimedial semigroup นน่ั คอื จะแสดงวา x2(yz) = (xy)(xz) สำหรับทุกๆ x, y, z ∈ S เมอื่ x, y เปน idempotents ให x, y, z ∈ S และ x, y เปน idempotents พิจารณา x2(yz) = (xx)(yz) ; x2 = xx = ((xx)y)z ; associative = ((xy)x)z ; associative = (xy)(xz) ; associative ดังนนั้ นั้น S เปน I-left semimedial semigroup ขอ 2.2 จะแสดงวา S เปน I-right semimedial semigroup นน่ั คอื จะแสดงวา (zy)x2 = (zx)(yx) สำหรบั ทกุ ๆ x, y, z ∈ S เมอื่ x, y เปน idempotents ให x, y, z ∈ S และ x, y เปน idempotents พจิ ารณา (zy)x2 = (zy)(xx) ; x2 = xx = ((zy)x))x ; associative = ((zx)y)x ; associative = (zx)(yx) ; associative ดังนั้นน้ัน S เปน I-right semimedial semigroup จากขอ 2.1 และ 2.2 จะไดวา S เปน I-semimedial semigroup ตัวอยา ง 2.21. กำหนดให S = {a, b, c} และ นยิ ามการดำเนนิ การทวภิ าค ∗ บน S ดงั ตารางตอ ไปน้ี * abc a b bb b bbb c ccc จากตารางจะไดวา 1. S เปน semigroup 2. S เปน I-semimedial semigroup 3. S ไมเปน I-commutative semigroup เนือ่ งจาก b ∗ c = b และ c ∗ b = c จะไดวา b ∗ c ̸= c ∗ b ดังนนั้ S ไมเ ปน I-commutative semigroup โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

300 ภทั รศกั ด์ิ โทนหงสษา 4. S ไมเปน diagonal semigroup เน่ืองจาก a2 = a ∗ a = b และ a = a จะไดวา a2 ̸= a ดงั นัน้ S ไมเ ปน diagonal semigroup 5. S ไมเปน I-left commutative semigroup เนือ่ งจาก ((b∗c)∗a) = (b∗a) = b และ ((c∗b)∗a) = (c∗a) = c จะไดว า ((b∗c)∗a) ≠ ((c∗b)∗a) ดังน้ัน S ไมเ ปน I-left commutative semigroup ตัวอยาง 2.22. กำหนดให S = {a, b, c} และ นยิ ามการดำเนนิ การทวิภาค ∗ บน S ดงั ตารางตอ ไปนี้ * ab c a b ba b bbb c bbc จากตารางจะไดว า 1. S เปน semigroup 2. S เปน I-semimedial semigroup 3. S ไมเ ปน I-commutative semigroup เน่อื งจาก c ∗ a = b และ a ∗ c = a จะไดว า c ∗ a ≠ a ∗ c ดังนัน้ S ไมเ ปน I-commutative semigroup 4. S ไมเปน I-left commutative semigroup เน่ืองจาก (a ∗ c) ∗ c = a ∗ c = a และ (c ∗ a) ∗ c = b ∗ c = b จะไดวา (a ∗ c) ∗ c ≠ (c ∗ a) ∗ c ดงั น้นั S ไมเ ปน I-left commutative semigroup 5. S ไมเ ปน diagonal semigroup เนอ่ื งจาก a2 = a ∗ a = b และ a = a จะไดว า a2 ≠ a ดงั นนั้ S ไมเปน diagonal semigroup บทแทรก 2.23. [1] ให S เปน idempotents semigroup จะไดว า 1. S เปน I-left semimedial semigroup กต็ อ เมือ่ S เปน I-left distributive semigroup 2. S เปน I-semimedial semigroup กต็ อเม่ือ S เปน I-medial semigroup 3. เนือ้ หา ประพจน 3.1. ให S เปน semigroup จะไดว าเง่อื นไขตอ ไปนสี้ มมลู กัน 1. S เปน I-medial semigroup 2. S เปน I-semimedial semigroup 3. S เปน I-distributive semigroup โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

นจิ พลใน Semimedial Semigroup 301 พสิ ูจน. (1) ⇒ (2) ให S เปน I-medial semigroup จะแสดงวา S เปน I-semimedial semigroup นนั่ คือจะแสดงวา 1. S เปน I-left semimedial semigroup 2. S เปน I-right semimedial semigroup จะแสดงวา 1. S เปน I-left semimedial semigroup นน่ั คอื จะแสดงวา x2(yz) = (xy)(xz) สำหรบั ทกุ ๆ x, y, z ∈ S เมื่อ x, y เปน idempotents ให x, y, z ∈ S และ x, y เปน idempotents พิจารณา x2(yz) = (xx)(yz) ; x2 = xx = (xy)(xz) ; I − medial semigroup ดงั น้ัน S เปน I-left semimedial semigroup 2. จะแสดงวา S เปน I-right semimedial semigroup นนั่ คือจะแสดงวา (zy)x2 = (zx)(yx) สำหรับทุกๆ x, y, z ∈ S เมือ่ x, y เปน idempotents ให x, y, z ∈ S และ x, y เปน idempotents พจิ ารณา (zy)x2 = (zy)(xx) ; x2 = xx = (zx)(yx) ; I − medial semigroup ดังนน้ั S เปน I-right semimedial semigroup จากขอ 1. และ 2. จะไดว า S เปน I-semimedial semigroup (2) ⇒ (3) ให S เปน I-semimedial semigroup จะแสดงวา S เปน I-distributive semi- group น่ันคือจะแสดงวา 1. S เปน I-left distributive semigroup 2. S เปน I-right distributive semigroup จะแสดงวา 1. S เปน I-left distributive semigroup น่ันคือจะแสดงวา x(yz) = (xy)(xz) สำหรับทกุ ๆ x, y, z ∈ S เมื่อ x, y เปน idempotents ให x, y, z ∈ S และ x, y เปน idempotents พิจารณา x(yz) = x2(yz) ; x = x2 = (xy)(xz) ; I − lef t semimedial semigroup ดงั นน้ั S เปน I-left distributive semigroup จะแสดงวา 2. S เปน I-right distributive semigroup น่นั คือจะแสดงวา (zy)x = (zx)(yx) สำหรบั ทุกๆ x, y, z ∈ S เมอื่ x, y เปน idempotents โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

302 ภัทรศกั ด์ิ โทนหงสษา ให x, y, z ∈ S และ x, y เปน idempotents พิจารณา (zy)x = (zy)x2 ; x = x2 = (zx)(yx) ; I-right semimedial semigroup ดังนนั้ S เปน I-right distributive semigroup จากขอ 1. และ 2. จะไดว า S เปน I-semimedial semigroup (3) ⇒ (1) ให S เปน I-distributive semigroup จะแสดงวา S เปน I-medial semigroup นน่ั คือจะแสดงวา (xy)(zu) = (xz)(yu) สำหรบั ทุกๆ x, y, z, u ∈ S เมอ่ื y, z เปน idempotents ให x, y, z, u ∈ S และ y, z เปน idempotents พิจารณา (xy)(zu) = y(x(zu)) ; associative = y((xz)u) ; associative = (y(xz))u ; associative = ((yx)(yz))u ; I-left distributive semigroup = (((yx)y)z)u ; associative = (((yy)x)z)u ; associative = ((y2x)z)u ; yy = y2 = ((yx)z)u ; y2 = y = ((xz)y)u = (xz)(yu) ; associative ; associative ดงั น้นั S เปน I-medial semigroup บทต้งั 3.2. ให S เปน I-left semimedial semigroup ถา สอดคลองกบั y(xy) = x สำหรบั ทุกๆ x, y ∈ S เมอื่ x, y เปน idempotents จะไดว า S เปน I-commutative semigroup พิสจู น. ให S เปน I-left semimedial semigroup ถา สอดคลอ งกบั y(xy) = x สำหรบั ทุกๆ x, y ∈ S เมอื่ x, y เปน idempotents จะแสดงวา S เปน I-commutative semigroup นน่ั คอื จะแสดงวา xy = yx สำหรับทุกๆ x, y ∈ S เมอ่ื x, y เปน idempotents ให x, y ∈ S และ x, y เปน idempotents พิจารณา โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

นจิ พลใน Semimedial Semigroup 303 xy = x2y2 ; x = x2, y = y2 = (xx)(yy) ; x2 = xx, y2 = yy = x(x(yy)) ; associative = x(y(xy)) ; associative = xx ; y(xy) = x = (y(xy))x ; x = y(xy) = ((yy)x)x ; associative = (yy)(xx) ; associative = y2x2 ; yy = y2, xx = x2 = yx ; y2 = y, x2 = x ดังนั้น S เปน I-commutative semigroup บทต้งั 3.3. ให S เปน I-left semimedial semigroup ถา สอดคลองกบั (xy) = y สำหรับทุกๆ x, y ∈ S เมอ่ื x, y เปน idempotents จะไดวา S เปน I-left commutative semigroup พิสูจน. ให S เปน I-left semimedial semigroup ถา สอดคลอ งกับ (xy) = y สำหรบั ทุกๆ x, y ∈ S เม่ือ x, y เปน idempotents จะแสดงวา S เปน I-left commutative semigroup น่นั คือจะแสดงวา (xy)z = (yx)z สำหรบั ทกุ ๆ x, y, z ∈ S เม่อื x, y เปน idempotents ให x, y, z ∈ S และ x, y เปน idempotents พิจารณา (xy)z = (x2y)z ; x = x2 = ((xx)y)z ; x2 = xx = ((xy)x)z ; associative = (yx)z ; (xy) = y ดงั นน้ั S เปน I-left commutative semigroup บทต้ัง 3.4. ให S เปน semigroup จะไดว าขอ ความตอ ไปนีส้ มมลู กนั 1. S เปน diagonal semigroup 2. S เปน I-left semimedial semigroup ซ่ึง (xy)x = x สำหรับทุกๆ x, y ∈ S พิสูจน. (1) ⇒ (2) ให S เปน diagonal semigroup จะแสดงวา S เปน I-left semimedial semigroup นัน่ คอื จะแสดงวา (xy)x = x สำหรบั ทุกๆ x, y ∈ S ให x, y ∈ S พจิ ารณา โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

304 ภัทรศกั ด์ิ โทนหงสษ า (xy)x = xx ; diagonal semigroup = x2 ; xx = x2 = x ; x2 = x ดังนั้น S เปน I-left semimedial semigroup ถาสอดคลอ งกบั (xy)x = x สำหรบั ทุกๆ x, y ∈ S (2) ⇒ (1) ให S เปน I-left semimedial จะแสดงวา S เปน diagonal semigroup นัน่ คือจะแสดงวา (xy)z = xz สำหรบั ทกุ ๆ x, y, z ∈ S ให x, y, z ∈ S พิจารณา (xy)z = ((xx)y)z ; x = xx = ((xy)x)z ; associative = xz ; (xy)x = x ดงั น้ัน S เปน diagonal semigroup เอกสารอา งอิง [1] F. Abdullahu, A. Zejnullahu, Notes on semimedial semigroups, Comment. Math. Univ. Carolin. 50, 3 (2009) 321-324. [2] J. Dudek, Medial idempotent grupoids. I, Czechoslovak Mathematical Journal, 41(1991) 249-259. [3] F. P. Gangon, A representation theorem for I-medial and for generalized inverse semigroups, Semigroup Forum 23(1981) 49-72. [4] H. Jurgensen, F. Migliorini and J. Szép, Semigroups, Akademini. Kiadó, Budapest, 1991. [5] J. Ježek, T. Kepka, Selfdistributive groupoids.Part D1: Left distributive semigroups, Acta. Univ. Carolinae, 47/1(2006), 15-56. [6] A. Nagy, Special Classes of Semigroups, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, Boston, London, 2001. [7] A. Zejnullahu, Medial semigroups and their generalization, Dissertation, University of Prishtina, Prishtinë (1989). โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-PU-13 305 (m, n)-ไอดีลในกง่ึ กรปุ LA On (m, n)-ideals in LA-Semigroups ผูแตง: Muhammad Akram, Naveed Yaqoob and Madad Khan จดั ทำโดย: ราชนั ขนั ชา1* 1สาขาวิชาคณิตศาสตร คณะวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั มหาสารคาม 80 ถ.นครสวรรค ต.ตลาด อ.เมอื ง จ.มหาสารคาม 44000 *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ ในงานสัมมนาน้ี เราจะศึกษาสมบตั ิ (m, n)-ideals ใน LA-semigroups พรอมทัง้ ศกึ ษาสมบตั ิบางประการ ของ (m, n)-ideals ใน locally associative LAsemigroups คำสำคญั : LA-semigroups,(m, n)-ideals Abstract The purposeof this paper is to study (m, n)-ideals in LA-semigroups. Some properties of (m, n)-ideals in LA-semigroups and in locally associative LA-semigroups has been provided Keywords: LA-semigroups,(m, n)-ideals 1. บทนำ แนวคิด (m, n)-ไอดลี ของ Semigroups ถูกแนะนำโดย Lajos [2] ในป ค.ศ. 1972 [1] LA- semigroups ถูกแนะนำโดย Kazim และ Naseerudin ตอ มา Mushtaq [3, 4] และคนอืน่ ๆไดศกึ ษา และเพม่ิ ผลบางอยางใน LA-semigroups ในป ค.ศ. 1979 Mushtaq และ Yusuf ไดใหผลบางอยา ง ใน locally associative LA-semigroup พวกเขายงั ไดกำหนดความสอดคลองขององคประกอบใน locally associative LA-semigroup ในบทความน้ีเราจะศกึ ษาสมบัติบางประการของ (m, n)-ไอดลี ใน locally associative LA-semigroups 2. ความรูพ ้นื ฐาน บทนิยาม 2.1. ให a และ b เปนสมาชิกของเซต ซง่ึ อาจจะเปนเซตเดียวกัน หรือ ตา งเซตกันก็ได คูอนั ดบั (ordered pair) ของ a และ b เขียนแทนดวย (a, b) โดยเรียก a วา สมาชกิ ที่หนงึ่ และเรียก b วา สมาชิกทส่ี อง บทนิยาม 2.2. คูอันดบั (a, b) = (c, d) กต็ อเมื่อ a = c และ b = d โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

306 ราชนั ขันชา จากบทนยิ าม 2.0.2 จะเห็นไดวาการเทากนั ของคูอนั ดับนน้ั ไมเหมือนการเทากันของเซต เน่ืองจากอนั ดับที่หนง่ึ และสองของสมาชกิ จะมีสวนสำคญั ที่แสดงถงึ การเทากันดวยเชน {2, 3} = {3, 2} แต (2, 3) ≠ (3, 2) เปน ตน บทนิยาม 2.3. ให A และ B เปน เซตใด ๆ ผลคูณคารทีเชียน ของ A และ B คอื เซตของ (x, y) ทุก คูอนั ดับ โดยท่ี x เปน สมาชิกของ A และ y เปน สมาชกิ ของ B เขียน A × B แทนผลคณู คารทีเชียนข อง A และ B A × B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B} หมายเหตุ สำหรับ A เปนเซตใด ๆ จะไดวา A × ∅ = ∅ = ∅ × A ตัวอยา ง 2.4. ให A = {2, 3, 4} และ B = {5, 6} จะไดวา A × B = {(2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6)} A × A = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} (A × A) × A = {((2, 2), 2), ((2, 2), 3), ((2, 2), 4), ((2, 3), 2), ((2, 3), 3), ((2, 3), 4), ((2, 4), 2), ((2, 4), 3), ((2, 4), 4), ((3, 2), 2), ((3, 2), 3), ((3, 2), 4), ((3, 3), 2), ((3, 3), 3), ((3, 3), 4), ((3, 4), 2), ((3, 4), 3), ((3, 4), 4), ((4, 2), 2), ((4, 2), 3), ((4, 2), 4), ((4, 3), 2), ((4, 3), 3), ((4, 3), 4), ((4, 4), 2), ((4, 4), 3), ((4, 4), 4)} บทนยิ าม 2.5. ให A และ B เปนเซตใด ๆ จะเรยี ก r วาเปน ความสัมพันธ(relation) จาก A ไป B กต็ อ เม่อื r ⊆ A × B ถา r ⊆ A × A จะกลาววา r เปน ความสัมพนั ธบน A ตัวอยา ง 2.6. กำหนด A = {2, 3, 4} และ B = {5, 6} จะไดวา r1 = {(2, 5), (3, 5), (4, 6)} เปนความสัมพันธจาก A ไป B เนื่องจาก r1 ⊆ A × B แต r2 = {(2, 5), (3, 4), (4, 6)} ไมเ ปนความสมั พันธจ าก A ไป B เนือ่ งจาก r2 A × B บทนยิ าม 2.7. ให A และ B เปน เซตใด ๆ และ r เปนความสมั พันธจาก A ไป B 1. โดเมนของ r เขยี นแทนดว ย Dr หมายถงึ เซตของสมาชกิ ตัวหนา ของทกุ คูอนั ดับใน r Dr = {x | (x, y) ∈ r สำหรบั บาง y ∈ B} 2. เรนจข อง r เขียนแทนดว ย Rr หมายถึงเซตของสมาชิกตวั หลงั ของทุกคูอนั ดบั ใน r Rr = {y | (x, y) ∈ r สำหรับบาง x ∈ A} โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้ังท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

(m, n)-ไอดลี ในก่ึงกรุป LA 307 ตัวอยาง 2.8. จากตัวอยา ง 2.6 จะไดว า Dr1 = {2, 3, 4} และ Rr1 = {5, 6} บทนยิ าม 2.9. ให A และ B เปนเซตใด ๆ และ f เปนความสมั พันธจ าก A ไป B จะเรียก f วา ฟงกชัน(function) จาก A ไป B กต็ อเมือ่ 1. Df = A 2. สำหรบั ทกุ ๆ x ∈ A จะไดว า ถา (x, y) ∈ f และ (x, z) ∈ f แลว y = z ถา f เปนฟง กชนั จาก A ไป B แลว จะเขยี นแทนดวย f : A −→ B หมายเหตุ โดยท่วั ๆ ไป ถา (x, y) ∈ f แลวจะเขยี นดวยสญั ลักณ y = f(x) ซึ่งเรียก y วา เปน คา ของฟง กช ัน f ที่ x นัน่ คือ ถา f : A −→ B จะไดวา Df = A และ Rf ⊆ B ตัวอยาง 2.10. ให A = {2, 3, 4} และ B = {5, 6} 1. ให f = {(2, 5), (3, 5), (4, 6)} จะไดวา f เปนฟงกช ันจาก A ไป B 2. ให g = {(2, 5), (3, 5), (3, 6), (4, 6)} จะไดว า g ไมเ ปน ฟงกช ันจาก A ไป B เพราะวา (3, 5) ∈ g และ (3, 6) ∈ g แต 5 ≠ 6 3. ให h = {((2, 2), 2), ((2, 3), 3), ((2, 4), 4), ((3, 2), 2), ((3, 3), 3), ((3, 4), 4), ((4, 2), 2), ((4, 3), 3), ((4, 4), 4)} จะไดว า h เปนฟง กช นั จาก A × A ไป A บทนยิ าม 2.11. ให A เปน เซตใด ๆ ที่ไมเปนเซตวาง จะเรียก · วา การดำเนนิ การทวิภาค (binary operation) บน A ก็ตอ เมอ่ื · เปนฟงกชันจาก A × A ไป A เขียนแทนดวย · : A × A → A และ สำหรับทุก ๆ a, b, c ∈ A และจะเขยี น a · b = c แทน ·(a, b) = c ตัวอยา ง 2.12. จากตวั อยา ง 2.10 ขอ 3. จะไดวา h เปน ฟงกชันจาก A × A ไป A นน่ั คือ h เปน การดำเนนิ การทวิภาคบน A บทนิยาม 2.13. ให S เปนเซตท่ีไมเปนเซตวาง และ · เปนการดำเนินการทวิภาคบน S จะเรยี ก (S, ·) วา กรุปปอยด (groupoid) ตวั อยา ง 2.14. จากตวั อยา ง 2.10 ขอ 3. จะไดว า (A, h) เปนกรุปปอยด หมายเหตุ 2.15. ในสมั มนาเรอ่ื งนี้ จะเขยี น S แทน (S, ·) เปน กรุปปอยด และจะเขียน ( ) แทน · เชน (a · b) · c จะเขียนแทนดว ย (ab)c และจะเขยี น aa = a2 บทนยิ าม 2.16. ให S เปนกรุปปอยดจะเรยี ก S วา กง่ึ กรุป (Semigroup) ถา (xy)z = x(yz) สำหรับทกุ ๆ x, y, z ∈ S โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

308 ราชนั ขนั ชา บทนิยาม 2.17. ให S เปนเซตใดๆที่ไมเปนเซตวา ง จะเรียกฟง ก · : S × S → S วา การดำเนินการ ทวภิ าค (binary operation) บน S บทนิยาม 2.18. [1] ให S เปน กรุปปอยด จะเรยี ก S วา เปน ก่งึ กรุป LA ( LA-semigroup ) ถา สอดคลองกับสมบตั ิ (ab)c = (cb)a สำหรบั ทกุ ๆ a, b, c ∈ S และเรียกสมบัตนิ วี้ า left invertive ตวั อยาง 2.19. ให S = {a, b, c} และกำหนดการดำเนินการทวิภาค · บน S จะไดวา S เปน กง่ึ กรุป LA ภายใต · ดงั ตารางตอไปนี้ ·abc a c cb b b bb c b bb บทนิยาม 2.20. [4] ให S เปนกึ่งกรุป LA จะเรยี ก S วา locally associative LA-subsemigroup กต็ อเมื่อ (aa)a = a(aa) สำหรับทุกๆ a ∈ S ตัวอยาง 2.21. จากตัวอยา ง 2.19 จะไดว า S เปน locally associative LA-subsemigroup หมายเหตุ 2.22. ให S เปน locally associative LA-semigroup และ a ∈ S จะเขียน a1 = a, an+1 = ana สำหรับ n ≥ 1 หมายเหตุ 2.23. ให S เปน locally associative LA-semigroup ที่มี e เปน เอกลกั ษณทางซายของ S และ a ∈ S จะไดว า 1). aman = am+n = an+m, amn = (am)n = (an)m สำหรบั ทกุ a ∈ S และ m, n ∈ N 2). (ab)n = anbn สำหรับทกุ a, b ∈ S และ n ∈ N หมายเหตุ 2.24. ให S เปน locally associative LA-semigroup ถา A, B ⊆ S แลว (AB)n = AnBn สำหรับ n ≥ 1 บทนิยาม 2.25. ให S เปน กงึ่ กรุป LA จะกลาววา S มี medial law ถา (ab)(cd) = (ac)(bd) สำหรบั ทุก ๆ a, b, c, d ∈ S บทนยิ าม 2.26. ให S เปน ก่งึ กรุป LA จะกลา ววา S มี paramedial law ถา (ab)(cd) = (db)(ca) สำหรบั ทกุ ๆ a, b, c, d ∈ S โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

(m, n)-ไอดีลในกึ่งกรุป LA 309 บทแทรก 2.27. ถา S เปน ก่งึ กรุป LA ท่ีมี e เปน เอกลกั ษณทางซาย แลว a(bc) = b(ac) สำหรับ ทกุ ๆ a, b, c ∈ S บทนิยาม 2.28. ให S เปน กึง่ กรุป LA และ ∅ ̸= A ⊆ S จะเรยี ก A วาเปน กึ่งกรุปยอ ย LA (LA-subsemigroups ) ของ S ถา AA ⊆ A ตวั อยา ง 2.29. กำหนดให S = {a, b, c} และ A = {b, c} จากตวั อยา ง ๒.o.๗ จะไดวา A เปน กง่ึ กรุ ปยอย LA ของ S บทแทรก 2.30. ถา S เปน LA-semigroups ทม่ี ีเอกลกั ษณท างซาย e แลว SS = S และ S = eS 3. (m, n)-ไอดีลใน ก่ึงกรปุ LA บทนยิ าม 3.1. ให S เปน กงึ่ กรุป LA และ ∅ ̸= A ⊆ S 1. จะเรยี ก A วา เปน ไอดีลทางซา ย (left ideal) ของ S ถา SA ⊆ A 2. จะเรียก A วา เปน ไอดีลทางขวา (right ideal) ของ S ถา AS ⊆ A 3. จะเรียก A วา เปน ไอดีล (ideal) ของ S ถา A เปน ทงั้ ไอดีลทางซายและไอดลี ทางขวาของ S หมายเหตุ 3.2. ให S เปนกึง่ กรุป LA และ ∅ ̸= A ⊆ S กำหนดความหมายของ An สำหรับทุก n ∈ N ดงั นี้ A1 = A A2 = AA A3 = (AA)A A4 =... ((AA)A)A An = (...((AA)A)...)A บทนยิ าม 3.3. ให S เปนก่ึงกรุป LA และ ∅ ̸= A ⊆ S สำหรับ m, n ∈ N 1. จะเรยี ก A วา (m, 0)-ไอดีล ของ S ถา AmS ⊆ A 2. จะเรียก A วา (0, n)- ไอดลี ของ S ถา SAn ⊆ A บทต้งั 3.4. ให S เปน LA-semigroup ถา e เปนเอกลกั ษณทางซา ย ของ S แลว em = e สำหรบั ทุก m∈N พิสูจน. สมมติวา e เปน เอกลักษณทางซาย ของ S จะแสดงวา em = e สำหรบั ทุก m ∈ N ให P (m) แทนขอ ความ em = e , ∀m ∈ N 1. จะแสดงวา P (1) เปนจริง เน่อื งจาก e1 = e ดังนั้น P (1) เปน จรงิ โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

310 ราชัน ขนั ชา 2. ให k ∈ N สมมติวา P (k) เปน จริง จะแสดงวา P (k + 1) เปนจรงิ เนื่องจาก P (k) เปนจรงิ จะไดว า ek = e พิจารณา ek+1 = eke ; หมายเหตุ 2.22 = ee ; P (k) เปน จรงิ =e ; e เปนเอกลกั ษณทางซา ย ดังนนั้ P (k + 1) เปน จริง จึงสรุปวา em = e สำหรบั ทุก m ∈ N ทฤษฎีบท 3.5. ให S เปน ก่งึ กรปุ LA ท่ี e เปนเอกลกั ษณทางซา ยของ S และ A ⊂ S จะไดว า (1) ถา A เปน (m, 0)-ไอดลี ของ S แลว e ∈/ A (2) ถา A เปน (0, n)-ไอดีล ของ S แลว e ∈/ A พสิ ูจน. เราจะพิสจู นโดยขอขดั แยง (1) สมมตวิ า A เปน (m, 0)-ไอดีล ของ S จะแสดงวา e ∈/ A สมมติวา e ∈ A พิจารณา S = eS ; บทแทรก 2.30 ⊆ AS ; สมมติฐาน e ∈ A ⊆ AmS ; A ⊆ Am ⊆A ; A เปน (m, 0)-ไอดีล ของ S นัน่ คอื S ⊆ A ซง่ึ เกิดขอขดั แยง กบั A ⊂ S จงึ สรุปไดว า e ∈/ A (2) สมมตวิ า A เปน (0, n)-ไอดีล ของ S จะแสดงวา e ∈/ A สมมติวา e ∈ A พจิ ารณา S = eS ; บทแทรก 2.30 = (ee)S = (Se)e ; ee = e = (Sen)en ⊆ (SA)A ; left invertive law ⊆ (SAn)An ; บทตงั้ 3.4 ; บทตัง้ 3.4 และ e ∈ A ; A ⊆ An โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

(m, n)-ไอดลี ในกงึ่ กรปุ LA 311 ⊆ AAn ; A เปน (0, n)-ไอดลี ของ S ⊂ SAn ;A ⊂ S ⊆A ; A เปน (0, n)-ไอดลี ของ S ดงั นัน้ S ⊂ A ซ่ึงเกิดขอ ยังแยง กับ A ⊂ S จงึ สรปุ ไดว า e ∈/ A หมายเหตุ 3.6. ให S เปนก่ึงกรุป LA และให T, M, N ⊆ S เราเขยี น (T M)N = (MN)T ใหหมายความวา (ab)c = (cb)a สำหรับทกุ a ∈ T, b ∈ M, c ∈ N บทนยิ าม 3.7. ให S เปนกง่ึ กรปุ LA และ A เปน ก่งึ กรปุ ยอ ย LA ของ S จะเรยี ก A วาเปน (m, n)− ไอดีล ของ S ถา สอดคลองกับเง่อื นไขน้ี (AmS)An ⊆ A โดยท่ี m, n เปน จำนวนเตม็ ท่ีไมเปน ลบ ทฤษฎีบท 3.8. ให S เปนก่งึ กรปุ LA ถา B เปนกงึ่ กรุปยอย LA ของ S และ A เปน (m, n)−ไอดลี ของ S แลว ∅ ̸= A ∩ B เปน (m, n)−ไอดีล ของ B พิสูจน. สมมติวา B เปน ก่ึงกรุปยอ ย LA ของ S และ A เปน (m, n)−ไอดลี ของ S จะแสดงวา (A ∩ B) เปน (m, n)−ไอดีล ของ B นัน่ คือจะแสดงวา 1. A ∩ B ⊆ B 2. (A ∩ B) เปน LA-subsemigroup ของ B 3. (A ∩ B) เปน (m, n)−ไอดลี ของ B 1. จะแสดงวา A ∩ B ⊆ B ให x ∈ A ∩ B จะแสดงวา x ∈ B เนื่องจาก x ∈ A ∩ B จะไดวา x ∈ A และ x ∈ B ดังนน้ั x ∈ B เพราะฉะนน้ั A ∩ B ⊆ B 2. จะแสดงวา (A ∩ B) เปน LA-subsemigroup ของ B น่นั คือตองแสดงวา (A ∩ B)(A ∩ B) ⊆ (A ∩ B) เน่ืองจาก (A ∩ B)(A ∩ B) = {xy | x ∈ A ∩ B , y ∈ A ∩ B} ให mn ∈ (A ∩ B)(A ∩ B) จะแสดงวา mn ∈ A ∩ B เน่ืองจาก mn ∈ (A ∩ B)(A ∩ B) จะไดว า m ∈ A ∩ B และ n ∈ A ∩ B เนื่องจาก m ∈ A ∩ B จะไดวา m ∈ A และ m ∈ B เนื่องจาก n ∈ A ∩ B จะไดวา n ∈ A และ n ∈ B จาก m ∈ A และ n ∈ A และ A เปน LA-subsemigroup ของ S โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

312 ราชัน ขนั ชา จะไดว า mn ∈ AA ⊆ A ดงั นั้น mn ∈ A และจาก m ∈ B และ n ∈ B และ B เปน LA-subsemigroup ของ S จะไดว า mn ∈ BB ⊆ B ดงั น้ัน mn ∈ B ดังนั้น mn ∈ A ∩ B เพราะฉะนั้น (A ∩ B)(A ∩ B) ⊆ (A ∩ B) จึงไดว า (A ∩ B) เปน LA-subsemigroup ของ B 3. จะแสดงวา (A ∩ B) เปน (m, n)−ไอดลี ของ B น่นั คือจะแสดงวา ((A ∩ B)mB)(A ∩ B)n ⊆ A ∩ B พจิ ารณา ((A ∩ B)mB)(A ∩ B)n ⊆ (AmB)An ; (A ∩ B)m ⊆ Am และ (A ∩ B)n ⊆ An ⊆ (AmS)An ; B⊆S ⊆A ; A เปน (m, n)-ideal ของ S และ ((A ∩ B)mB)(A ∩ B)n ⊆ (BmB)Bn ; (A ∩ B)m ⊆ Bm และ (A ∩ B)n ⊆ Bn ⊆ (BmS)Bn ;B ⊆ S ⊆B ; B เปน (m, n)-ideal ของ S ดงั นนั้ ((A ∩ B)mB)(A ∩ B)n ⊆ A ∩ B จงึ สรุปวา (A ∩ B) เปน (m, n)−ไอดลี ของ B ทฤษฎบี ท 3.9. ให S เปนก่ึงกรปุ LA ถา Ai เปน (m, n)-ไอดลี ของ S สำหรบั ทุกๆ i ∈ I แลว ∩n Ai ̸= ∅ เปน (m, n)−ไอดลี ของ S i=1 พิสจู น. สมมติวา Ai เปน (m, n)-ไอดีล ของ S สำหรับทุกๆ i ∈ I จะแสดงวา ∩n Ai เปน (m, n)−ไอดีล ของ S i=1 นั่นคือตอ งแสดงวา 1. ∩n Ai ⊆ S i=1 2. ∩n เปน LA-subsemigroup ของ S Ai i=1 3. ∩n เปน (m, n)−ไอดีล ของ S Ai i=1 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

(m, n)-ไอดลี ในกงึ่ กรุป LA 313 1. จะแสดงวา ∩n Ai ⊆ S i=1 ให x ∈ ∩n Ai จะแสดงวา x ∈ S i=1 เนือ่ งจาก x ∈ ∩n Ai จะไดว า x ∈ Ai สำหรับทกุ i ∈ I i=1 เนอ่ื งจาก Ai เปน (m, n)-ไอดีล ของ S สำหรบั ทกุ i ∈ I จะไดว า Ai ⊆ S สำหรับทกุ i ∈ I ดังนน้ั x ∈ S จึงไดว า ∩n Ai ⊆ S i=1 2. จะแสดงวา ∩n Ai เปน LA-subsemigroup ของ S i=1 ∩n ∩n Ai ∩n นั่นคอื ตองแสดงวา ( Ai ) ( ) ⊆ Ai ∩n i=1 i=1 i=1 Ai ∩n ∩n ให xy ∈ ( ) ( Ai ) จะแสดงวา xy ∈ Ai i=1 i=1 i=1 ∩n ∩n ∩n Ai และ y ∈ ∩n Ai เน่อื งจาก xy ∈ ( Ai )( Ai ) จะไดวา x ∈ i=1 i=1 i=1 i=1 ดังนน้ั x ∈ Ai สำหรบั ทุก i ∈ I และ y ∈ Ai สำหรบั ทกุ i ∈ I เนื่องจาก Ai เปน (m, n)- ไอดลี ของ S สำหรับทกุ i ∈ I จะไดวา xy ∈ Ai สำหรบั ทุก i ∈ I ดงั นัน้ xy ∈ ∩n Ai i=1 ∩n ∩n ∩n จงึ ไดว า ( Ai )( Ai ) ⊆ Ai i=1 i=1 i=1 3.จะแสดงวา ∩n Ai เปน (m, n)-ไอดีล ของ S i=1 ∩n ∩n ∩n น่ันคือ จะแสดงวา (( Ai )mS) ( Ai )n ⊆ Ai i=1 i=1 i=1 ให ∩n ∩n ∩n ∩n (( Ai )mS) ( Ai )n = {(ams)bn | am ∈ ( Ai )m , s ∈ S , bn ∈ ( Ai )n} i=1 i=1 i=1 i=1 ∩n ∩n Ai )n จะแสดงวา (xmy)zn ∈ ∩n Ai ให (xmy)zn ∈ (( Ai )mS) ( i=1 i=1 i=1 ∩n ∩n เนื่องจาก (xmy)zn ∈ (( Ai )mS) ( Ai )n i=1 i=1 ∩n ∩n จะไดว า xm ∈ ( Ai )m ,y∈S และ zn ∈ ( Ai )n i=1 i=1 ∩n เน่อื งจาก ( Ai )m ⊆ Aim สำหรับทุก i∈I จะไดว า xm ∈ Ami สำหรบั ทุก i ∈ I i=1 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

314 ราชัน ขนั ชา และเนือ่ งจาก ( ∩n )n ⊆ Ain สำหรับทุก i∈I จะไดว า zn ∈ Ain สำหรับทุก i∈I Ai i=1 จะไดวา (xmy)zn ∈ (AimS)Ain ⊆ Ai สำหรบั ทุก i ∈ I ดังน้นั (xmy)zn ∈ ∩n Ai ∩n ∩n ∩n i=1 Ai Ai Ai ดงั นน้ั (( )mS) ( )n ⊆ i=1 i=1 i=1 จึงสรุปวา ∩n Ai เปน (m, n)-ไอดีล ของ S i=1 บทนิยาม 3.10. ให S เปน ก่ึงกรุป LA และ a ∈ S จะเรียก a วา idempotent ถา aa = a = a2 ให I ⊆ S จะเรยี ก I วา idempotent ถา aa = a = a2 สำหรบั ทกุ ๆ a ∈ I หมายเหตุ 3.11. ถา I เปน idempotent แลว I2 = I ทฤษฎีบท 3.12. ถา B2 = B แลว Bn = B สำหรบั ทกุ ๆ n ∈ N พสิ ูจน. สมมตวิ า B2 = B จะแสดงวา Bn = B สำหรับทกุ ๆ n ∈ N ให P (n) แทนขอ ความ Bn = B สำหรับทุกๆ n ∈ N 1. จะแสดงวา P (1) เปน จริง จาก B1 = B ดงั นัน้ P (1) เปน จริง 2. ให k ∈ N สมมติวา P (k) เปนจริง จะแสดงวา P (k + 1) เปนจรงิ เนอ่ื งจาก P (k) เปน จริง จะไดวา Bk = B พจิ ารณา Bk+1 = BkB ; หมายเหตุ 2.22 = BB ; P(k) เปนจรงิ = B2 ; หมายเหตุ 3.2 =B ; สมมติฐาน B2 = B ดังนนั้ P (k + 1) เปนจรงิ นัน่ คอื Bn = B สำหรับทุก n ∈ N ทฤษฎีบท 3.13. ให S เปน locally associative LA-semigroup ทีม่ ี e เปนเอกลกั ษณท างซาย ถา B เปน idempotant (m, m)-ไอดีล ของ S แลว B จะเปน (m, 0)-ไอดีล และ (0, m)-ไอดีล ของ S พสิ ูจน. สมมติวา B เปน idempotant (m, m)-ไอดลี ของ S จะแสดงวา B เปน (m, 0)-ไอดลี และ (0, m)-ไอดีล ของ S น่ันคอื จะแสดงวา BmS ⊆ B และ SBm ⊆ B ตามลำดบั สำหรบั ทกุ m ∈ N โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

(m, n)-ไอดีลในกึ่งกรปุ LA 315 ให m ∈ N จะแสดงวา BmS ⊆ B ; idempotent พิจารณา ; หมายเหตุ 2.23 ขอ 1. ; หมายเหตุ 3.2 BmS = (B2)mS ; left invertive law = (Bm)2S ; idempotent = (BmBm)S ; paramedial law = (SBm)Bm ; left invertive law = (SBm)(BmBm) ; B เปน (m, m)-ideal ของ S = (BmBm)(BmS) ; ทฤษฎีบท 3.11 = ((BmS)Bm)Bm ; idempotent ⊆ BBm = BB =B ดังนนั้ BmS ⊆ B นน่ั คอื B เปน (m, 0)-ideal ของ S ตอ ไปจะแสดงวา SBm ⊆ B ให m ∈ N พจิ ารณา SBm = S(BmBm) ; idempotent = Bm(SBm) ; บทแทรก 2.27 = (BmBm)(SBm) ; idempotent = (BmS)(BmBm) ; medial law = (BmS)Bm ; idempotent ⊆B ; B เปน (m, m)-ideal ของ S ดงั น้นั SBm ⊆ B นัน่ คอื B เปน (0, m)-ideal ของ S จึงสรุปวา B เปน (m, 0)-ไอดีล และ (0, m)-ไอดลี ของ S หมายเหตุ : ให S, M, N เปนเซต (SM)N = (MN)S ใหห มายความวา สมาชิกในเซต กระทำกนั เชน (ab)c = (cb)a สำหรับทุก a ∈ S, b ∈ M, c ∈ N ทฤษฎบี ท 3.14. ให S เปน locally associative LA-semigroup ทมี่ ี e เปน เอกลกั ษณทางซา ย และ A เปน LA-subsemigroup ของ S ถา A เปน (0, m)-ไอดลี ของ S และ B เปน (m, n)-ไอดลี ของ S แลว BA เปน (m, n)-ไอดีล ของ S พิสูจน. สมมตวิ า A เปน (0, m)-ไอดีล ของ S และ B เปน (m, n)-ไอดลี ของ S จะแสดงวา BA เปน (m, n)-ไอดีล ของ S นัน่ คอื จะแสดงวา โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

316 ราชัน ขนั ชา 1. BA ⊆ S 2. BA เปน LA-subsemigroup ของ S 3. BA เปน (m, n)-ideal ของ S 1. จะแสดงวา BA ⊆ S เนื่องจาก A เปน (0, m)-ไอดีล ของ S จะไดวา A ⊆ S และเนอื่ งจาก B เปน (m, n)-ไอดลี ของ S จะไดว า B ⊆ S นัน่ คอื BA ⊆ S 2. จะแสดงวา BA เปน LA-subsemigroup ของ S นั่นคอื จะแสดงวา (BA)(BA) ⊆ BA พจิ ารณา (BA)(BA) = (BB)(AA) ; medial law ⊆ BA ; LA-subsemigroup ดงั นั้น (BA)(BA) ⊆ BA 3.จะแสดงวา BA เปน (m, n)-ideal ของ S ; หมายเหตุ 2.24 นั่นคือจะแสดงวา ((BA)mS)(BA)n ⊆ BA ; by left invertive law พิจารณา ; by left invertive law ; by left invertive law ((BA)mS)(BA)n = ((BmAm)S)(BnAn) ; ทฤษฎีบท 3.11 = ((SAm)Bm)(BnAn) = ((BnAn)Bm)(SAm) ; A⊆S = ((BmAn)Bn)(SAm) = ((BmA)Bn)(SAm) ; (m, n)-ไอดลี ,(0, n)-ไอดลี ของ S ⊆ ((BmS)Bn)(SAm) ⊆ BA จึงสรุปไดวา BA เปน (m, n)-ไอดลี ของ S ทฤษฎบี ท 3.15. ให S เปน locally associative LA-semigroup ทมี่ ี e เปน เอกลกั ษณท างซา ย จะ ไดวาผลคณู ของสอง (m, n)-ไอดลี ของ S เปน (m, n)-ไอดีล ของ S พิสจู น. สมมติวา A และ B เปน (m, n)-ไอดีล ของ S จะแสดงวา ผลคณู ของ A และ B เขยี นแทน ดวย AB เปน (m, n)-ไอดลี ของ S นั่นคือจะแสดงวา 1. AB ⊆ S โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้ังท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

(m, n)-ไอดลี ในกึง่ กรปุ LA 317 2. AB เปน LA-subsemigroups ของ S 3. AB เปน (m, n)-ไอดีล ของ S 1. จะแสดงวา AB ⊆ S เน่ืองจาก A และ B เปน (m, n)-ไอดีล ของ S จะไดวา A และ B เปน LA-subsemigroups ของ S ดงั นั้น A ⊆ S และ B ⊆ S จึงสรปุ ไดว า AB ⊆ S 2. จะแสดงวา AB เปน LA-subsemigroups ของ S นั่นคือตองแสดงวา (AB)(AB) ⊆ AB พจิ ารณา (AB)(AB) = (AA)(BB) ; medial law ⊆ AB ; LA-subsemigroup ดงั นั้น (AB)(AB) ⊆ AB 3.จะแสดงวา AB เปน (m, n)-ไอดลี ของ S น่ันคือตอ งแสดงวา ((AB)mS)(AB)n ⊆ AB เน่ืองจาก A เปน (m, n)-ไอดีล ของ S ดงั นัน้ (AmS)An ⊆ A และเนื่องจาก B เปน (m, n)-ไอดีล ของ S ดังนัน้ (BmS)Bn ⊆ B พิจารณา ((AB)mS)(AB)n = ((AmBm)S)(AnBn)) ; หมายเหตุ 2.24 = ((AmBm)(SS))(AnBn) ; บทแทรก 2.30 = ((AmS)(BmS))(AnBn) ; medial law = ((AmS)An)((BmS)Bn) ; medial law ⊆ AB ; (m, n)-ไอดีล ของ S นน่ั คอื ((AB)mS)(AB)n ⊆ AB จงึ สรุปวา AB เปน (m, n)-ไอดีล ของ S ทฤษฎบี ท 3.16. ให S เปน locally associative LA-semigroup และ A, B เปน LA-subsemigroups ของ S ถา AB ⊆ A, A เปน (m, 0)−ไอดลี ของ S และ B เปน (0, n)−ไอดีล ของ S แลว ผลคูณ ของ AB เปน (m, n)-ไอดลี ของ S พิสจู น. สมมตวิ า AB ⊆ A , A เปน (m, 0)-ไอดลี ของ S และ B เปน (0, n)-ไอดลี ของ S จะแสดง วา ผลคูณของ AB เปน (m, n)-ไอดลี ของ S โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

318 ราชนั ขนั ชา นัน่ คือจะแสดงวา 1. AB ⊆ S 2. AB เปน LA-subsemigroups ของ S 3. AB เปน (m, n)-ไอดีล ของ S 1. จะแสดงวา AB ⊆ S เน่ืองจาก A เปน LA-subsemigroups ของ S จะไดว า A ⊆ S และเนือ่ งจาก B เปน LA-subsemigroups ของ S จะไดวา B ⊆ S ดังนัน้ AB ⊆ S 2. จะแสดงวา AB เปน LA-subsemigroups ของ S นนั่ คือตองแสดงวา (AB)(AB) ⊆ AB พจิ ารณา (AB)(AB) = (AA)(BB) ; medial law ⊆ AB ; LA-subsemigroup ดงั นนั้ (AB)(AB) ⊆ AB 3. AB เปน (m, n)-ไอดลี ของ S ; หมายเหตุ 2.24 นนั่ คอื ตองแสดงวา ((AB)mS)(AB)n ⊆ AB ; จากสมมติฐาน AB ⊆ A พจิ ารณา ; A เปน (m, 0)-ไอดีล ของ S ((AB)mS)(AB)n = ((AmBm)S)(AnBn)) ;A ⊆ S ⊆ (AmS)(AnBn) ; B เปน (0,n)-ไอดลี ของ S ⊆ A(AnBn) ⊆ A(SBn) ⊆ AB น่นั คอื ((AB)mS)(AB)n ⊆ AB จึงสรุปวา ผลคูณ AB เปน (m, n)-ไอดีล ของ S เอกสารอางองิ [1] M.A. Kazim and M. Naseerudin, On almost-semigroup, Aligarh Bull. Math., 2 (1972), 1-7. [2] S. Lajos, Generalized ideals in semigroups, Acta Sci. Math., 22 (1961), 217-222. โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

(m, n)-ไอดลี ในกึ่งกรุป LA 319 [3] Q. Mushtaq and S.M. Yusuf, On LA-semigroups, Aligarh Bull. Math., 8 (1978), 65-70. [4] Q. Mushtaq and S.M. Yusuf, On locally associative LA-semigroups, J. Nat. Sci. Math., 19 (1979), 57-62. [5] N. Yaqoob, M. Aslam, B. Davvaz and A.B. Saeid, On rough (m,n) bi -hyperideals in -semihypergroups, U.P.B. Scientific Bulletin. Series A, 75(1) (2013) 119-128. [6] M. Aslam, M. Shabir, N. Yaqoob and A. Shabir, On rough(m, n)-bi-ideals and gen- eralized rough(m, n)-bi-ideals in semigroups, Ann. Fuzzy Math. Inform., 2(2) (2011) 141-150. โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

320 ราชัน ขนั ชา โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

บทคัดยอผลงานวิจัยอ่ืน ๆ ท่รี ว มนำเสนอในโครงการ



Research RE-AP 03 323 wOinthVaoBltuelrgrea FInutnecgtrioalnEbqyuUastiinongsthoefMthoehaSnedcoTnradnsKfionrdm Chadaporn Khamhaeng, Jantra Udorn and Somthawin Khunkhet* Department of Mathematics, Faculty of Science Ubon Ratchathani Rajabhat University Ubon Ratchathani, 34000, Thailand *Correspondence: [email protected] Abstract In this paper, we study the Volterra integral equations of the second kind with a bulge function. The Mohand transform, inverse Mohand transform and the convolution theorem are used in this study. The modified Simpson’s method to find the numerical solutions. Then, we compare the results among Mohand transform and modified Simpson’s method in our example. We found that,the results are good excellent accuracy. Keywords: Mohand transform, Volterra integral equations, Convolution theorem โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

324 Research RE-AP 06 การวเิ คราะหแนวโนมของคุณภาพนำ้ แมน ้ำบางปะกง Trend Analysis of Water Quality Bang Pakong เพชรพริง้ ทองโสภณ1, อภศิ ักดิ์ ไชยโรจนวฒั นา1* Petchpink Thongsophon1, Apisak Chairojwattana1* 1ภาควชิ าคณิตศาสตร คณะวทิ ยาศาสตร มหาวทิ ยาลัยบรู พา 1Department of Mathematics, Faculty of Science, Burapha University *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ การศกึ ษาการวเิ คราะหแนวโนมของคุณภาพน้ำแมนำ้ บางปะกงในคร้ังน้ี ประกอบดว ยขอ มูล คาออกซิเจน ละลายนำ้ (DO) อุณหภูมิ และความเค็ม โดยทำการเกบ็ รวบรวมขอ มูลทกุ 20 นาที ตัง้ แตวันท่ี 12 สงิ หาคม พ.ศ.2557 ถงึ วันท่ี 11 มิถุนายน พ.ศ.2558 ซง่ึ ไดรบั ความอนเุ คราะหขอ มูลจาก ภาควชิ าวารชิ ศาสตร คณะวทิ ยาศาสตร มหาวิทยาลัยบูรพา โดยทำการวิเคราะหขอมูลดว ยวธิ ีการทางสถติ ิดังน้ี สถติ ิทดสอบ สัมประสิทธส์ิ หสัมพนั ธล ำดบั ทขี่ องสเปย รแมน (Spearman Rank Correlation test : SRC) ความชันของ เซน (Sen’s slope) และสถติ ิทดสอบแมนน - เคนดัล (Mann - Kendall test) ผลการศึกษาพบวา คา DO คาอุณหภูมแิ ละคาความเคม็ มแี นวโนม เพิ่มข้นึ อยางมนี ัยสำคญั ทางสถติ ทิ รี่ ะดับนัยสำคัญ 0.05 คำสำคัญ: การวเิ คราะหแ นวโนม คณุ ภาพน้ำ Abstract The objective of this research is to study a trend analysis of water quality in Bang Pakong River. Data consists of dissolved oxygen (DO), temperature and salinity by collecting data every 20 minutes from 12 August 2014 to 11 June 2015 with courtesy of Department of Aquatics Science, Faculty of Science, Burapha University. Spearman Rank Correlation test, Sen’s Slope and Mann-Kendall test were used to analyze in this study. The study found that DO, temperature and salinity tend to slightly increase at significant level 0.05. Keywords: Trend Analysis, Water quality โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

Research RE-AP 07 325 Optical Solitons of Biswas-Arshed Equation by The Generalized (G′/G)-Expanding Method Orapin Sangduck*, Arunya Mawiang and Montri Torvattanabun Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Loei Rajabhat University,Loei 42000, Thailand *Correspondence: [email protected] Abstract In this work, we investigate the new celebrated Biswas-Arshed equation. This model con- tains higher order spatio-temporal dispersion in compensation with negligibly small group velocity dispersion. A class of solitary wave solutions are obtained by the generalized (G′/G)-expansion method. The solutions are derived in terms of trigonometric functions, hyperbolic functions and rational functions respectively. In addition, the graphical repre- sentations of these solutions are showed in the work. Keywords: The Biswas-Arshed equation,The generalized (G′/G)-extension method, soliton โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

326 Research RE-AP 08 การวางนยั ทัว่ ไปของการประสานลำดับฟโ บนกั ชแี ละลำดบั ลคู สั อนั ดับสี่ มอดโุ ล 3 และการประยุกต Generalization of Coupled Fibonacci Sequences and Lucas Sequences of Fourth Order Modulo 3 and Application เสฏฐวุฒิ บญุ ดี*, อนิรุธ สุขขงั และ ฐติ ิกาญจน มลู สาร Seattawut Boondee*, Anirut Sukkhang and Titikan Moonsan สาขาวิชาคณติ ศาสตร คณะวิทยาศาสตร มหาวทิ ยาลัยราชภัฏอดุ รธานี Department of Mathematics, Faculty of Science, Udon Thani Rajabhat University. *Correspondence: [email protected] บทคดั ยอ ในการศึกษาโครงงานคร้ังน้ี ไดศึกษาเกยี่ วกับการวางนัยทั่วไปของการประสานการบวกลำดับฟโบนักชีและ ลำดับลคู สั อนั ดับส่ี มอดโุ ล 3 และการประยุกตใชในการออกแบบลายผาและทอไดจริง มีรปู แบบดงั นี้ αn,3 ≡ αn (mod 3) ; n ≥ 4 γn,3 ≡ γn (mod 3) ; n ≥ 4 เมอ่ื กำหนดให α0 = a, α1 = b, α2 = c, α3 = d, α4 = e, γ0 = f, γ1 = g, γ2 = h, γ3 = i และ γ4 = j เมือ่ a, b, c, d, e, f, g, h, i และ j เปน จำนวนเต็มทีเ่ ปนสว นตกคา งคานอ ยสุดของมอดุโล 3 คำสำคัญ: ลำดับฟโ บนักชี ลำดับลคู สั การวางนัยทวั่ ไปของการประสานลำดับฟโ บนักชแี ละลำดับลูคัส Abstract This study mathematics projects. We study the generalization coupled Fibonacci sequences and Lucas sequences of fourth order modulo 3. And applied to woven fabric design can used as a model to tie-dyeing and woven practical. Scheme by αn,3 ≡ αn (mod 3) ; n ≥ 4 γn,3 ≡ γn (mod 3) ; n ≥ 4 With intial conditions α0 = a, α1 = b, α2 = c, α3 = d, α4 = e, γ0 = f, γ1 = g, γ2 = h, γ3 = i and γ4 = j where a, b, c, d, e, f, g, h, i and j are integer number of residues modulo 3. Keywords: Fibonacci sequences, Lucas sequences, Generalized of coupled Fibonacci se- quences and Lucas sequences. โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

Research RE-AP 09 327 TSehceonSodlKuitniodnwoitfhVaoBltuelgrreaFIunntecgtiroanl bEqyuUastiinogntshoefYathneg Transform Saralee Khannak, Supichaya Rayabsri and Somthawin Khunkhet* Department of Mathematics, Faculty of Science Ubon Ratchathani Rajabhat University Ubon Ratchathani, 34000, Thailand *Correspondence: [email protected] Abstract In this paper, we study the Volterra integral equations of the second kind with a bulge function. The Yang transform, inverse Yang transform and the convolution theorem are used in this study to obtain the exact solution. The modified Simpson’s method to find the numerical solutions. Then, we compare the results among Yang transform and modified Simpson’s method in our example. We found that,the results are good excellent accuracy. Keywords: Yang transform, Volterra integral equations, Convolution theorem โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

328 Research RE-PU 03 ทฤษฎีจุดตรงึ ของคาสโนเซสกิบนปริภูมิฟรีเชทสำหรบั การสง หดตวั แบบ φ The Krasnoselskii Fixed-Point Theorems on Frechet Space for φ-Contraction Mapping นฤมล กล่นั มาลัย*, ทิพวรรณ พัวเฮง และ อารรี ตั น อรณุ ชยั Narumol Klanmalai*, Tippawan Phouheng and Areerat Arunchai สาขา วชิ า คณิตศาสตร และ สถิติ คณะ วิทยาศาสตร และ เทคโนโลยี มหาวทิ ยาลัย ราชภฏั นครสวรรค นครสวรรค 60000 ประเทศไทย Division of Mathematics and Statistics, Faculty of Science and Technology, Nakhon Sawan Rajabhat University, Nakhon Sawan Rajabhat 60000, Thailand *Correspondence: [email protected] บทคดั ยอ งานวิจัยนี้ ไดศึกษาทฤษฎีบทจดุ ตรงึ ของคาสโนเซสกิบนปริภูมิฟรีเชทเชงิ ทอพอโลยี สำหรบั ผลบวกของการ สงหดตวั แบบ φ และการสง แบบกระชบั อยา งออน คำสำคญั : ทฤษฎีจุดตรงึ ,ปริภูมิฟรีเชทบนโทโพโลยี, ทฤษฎบี ทจุดตรงึ ของคาสโนเซสกิ, คุณสมบตั ิของ ดัน ฟอรด-เพททสิ . Abstract In this manuscript, we study some Fixed-point theorems of the Krasnoselskii type in a Frechet topological vector space of a sum of φ-Contraction Mapping and which is for every weakly compact map Keywords: Fixed-point theory, Frechet topological vector space, Krasnoselskii Fixed-point theorems, Dunford– Pettis property. โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

Research RE-PU 04 329 สูตรการหาจำนวนตนไมแผทวั่ ของกราฟ 2-วฏั จกั ร AofFBoircmyculilcarGfroarpthhse Number of Spanning Trees ปฐ ยา มสี ขุ * และ นริ ุตติ์ พพิ รรธนจินดา Padtaya Meesuk*, and Nirutt Pipattanajinda โปรแกรมวิชาคณติ ศาสตร คณะวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั กำแพงเพชร กำแพงเพชร 62000 Program of Mathematics, Faculty of Sciences and Technology, Kamphaeng Phet Rajabhat University, Kamphaeng Phet, 62000 *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ สำหรับแตล ะ k ∈ Z+ และ G เปน กราฟเช่ือมโยงที่มีอันดับ n จะเรียก G วาเปน กราฟ k-วฏั จักร ถา G เปนกราฟที่มีขนาดเปน m = n + k − 1 ในงานวจิ ยั นี้จะเปนการหาสูตรของจำนวนตน ไมแผท่ัวของกราฟ 2-วัฏจักร ดวยการหาจำนวนตน ไมแผทั่วของกราฟ k-วฏั จักรท่ีแตกตา งกนั และการหาความสมั พนั ธของ จำนวนของตนไมแผท ั่วในกราฟ k-วฏั จกั ร กบั (k − 1)-วฏั จักร คำสำคัญ: ตน ไมแ ผทั่ว, 2-วัฏจักร, สตู รการหาจำนวนตนไมแ ผทว่ั Abstract For each k ∈ Z+ and G is a connected graph of order n, G is said to be k-cyclic graph if G is the graph of size m = n+k−1. In this project, to find a formula for the number of spanning trees of bicyclic (2-cyclic), by finding the number of spanning trees of k-distinct cyclic graph and finding the relation of the number of spanning trees on k-cyclic with (k − 1)-cyclic graphs. Keywords: Spanning tree, bicyclic, formula for the number of spanning trees โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

330 Research RE-PU 05 การหารแบบใหมของ 3-ลำดบั ฟโ บนัชชี On Quotient Sequence of 3-Fibonacci Sequences พิทยา โพธิจนั ทร*, ณัฐพล บรรพตะธิ และ โกสุมภ จนั ทรแ สงกระจาง Phittaya Photijan*, Natthaphon Banpatati and Kosum Chansaengkrachang สาขาวชิ าคณติ ศาสตรและสาขาวิชาสถติ ิประยุกต คณะวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏสุรินทร 186 หมู 1 ถ.สรุ ินทร- ปราสาท ตำบลนอกเมอื ง อำเภอเมืองสุรนิ ทร จังหวัดสรุ ินทร 32000 Mathematics and Statistics Program, Faculty of Science and Technology, Surindra Rajabhat University, 186 Moo 1, Surin-Prasat Road, Nok Mueang Subdistrict, Mueang Surin District, Surin Province 32000 *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ โครงงานฉบับน้ีจัดทำขน้ึ โดยมีวตั ถปุ ระสงค เพ่ือศึกษาการหารแบบใหมของ 3-ลำดับฟโบนัชชี และแสดง สูตรการหารแบบใหมข อง 3-ลำดบั ฟโบนัชชี อีกทัง้ ใชห ลักการอุปนัยเชงิ คณิตศาสตรใ นการพิสจู นทฤษฎีบท คำสำคญั : ลำดับฟโบนชั ชี , 3-ลำดบั ฟโ บนชั ชี Abstract This project aims to study the new division of 3-Fibonacci sequences and presents a new division formula of 3-Fibonacci sequences. In addition, the mathematical induction is ap- plied to prove the theorem. Keywords: Fibonacci sequence, 3-fibonacci sequences โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค