วารสาร "โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานด้านคณิตศาสตร์ ครั้งที่ 7"

Type of the Article: Seminar SE-PU 06 231 การแปลงวางนัยท่ัวไปของพชี คณติ BCC Generalized Derivations of BCC-Algebras ผูแตง: S.M.Bawazeer, N.O.Alsheri and Rawia Saleh Babusail จัดทำโดย: สุรัตนล ดา หอมจำปา1* และ อรปรยี า วารีวิไลธรรม1 1มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏอตุ รดิตถ *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ ในงานวิจยั นี้จะแนะนำแนวคดิ เกย่ี วกับ generalized derivation ของพชี คณิต และพิจารณา regular generalized derivation และ -invariant บน ideal ของพชี คณติ และนอกจากน้ียงั ไดอธบิ ายลกั ษณะ ของ KerD สำหรบั generalized derivation คำสำคัญ: พชี คณติ -BCC, พีชคณติ -BCI, พชี คณติ -BCK Abstract The notion of generlized derivation of BCC-algebras is introduced, and some relaed prop- erties are investigated. Also, we consider regular generlized derivation and the D-invariant on ideals of BCC-algebras. We also characterizrd KerD by generlized derivation. Keywords: BCC-algebras, BCI-algebras, BCK-algebras 1. บทนำ ในป 1966 Y. Imai และ K.Lseki [1] ไดแนะนำแนวคิดพีชคณติ -BCK และตอมาในป 1984 Y. Komorri [3] ไดแนะนำแนวคดิ พีชคณติ -BCC ตอมาในป 1998 W. A. Dudek และ X. Zhang [5] ไดแนะนำแนวคดิ ideal กับ congruences ของพีชคณิต-BCC ตอมาในป 2004 Y. B. Jun และ X. L. Xin [6] ไดแนะนำแนวคดิ derivataion พีชคณิต-BCI ตอมาในป 2009 C. Prabayak และ U. Leerawat [6] ไดแ นะนำแนวคดิ derivataion พชี คณิต-BCC ในงานวจิ ัยน้ีจะพิจารณาสมบัติท่ีเก่ียวของกับ D-invaraian บน ideal ของ พชี คณิต-BCC ท่ี อธิบายลกั ษณะ KerD ที่ generalized derition 2. ความรูพ้นื ฐาน ให A และ B เปน เซตใด ๆ ผลคณู คารทีเซยี น ของ A และ B คอื เซตของ (x, y) โดยท่ี x เปน สมาชิก A และ B เปน สมาชกิ ของ A × B เขยี น แทนผลคณู คารท ีเซยี นของ A และ B น่นั คือ โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

232 สุรตั นล ดา หอมจำปา และ อรปรียา วารีวไิ ลธรรม A × B = {(x, y) : x ∈ A และ y ∈ B} ตัวอยา ง 2.1. ให A = {2, 3, 4} และ B = {5, 6} จะไดวา A × B = {(2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6)} A × A = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} (A × A) × A = {((2, 2), 2), ((2, 2), 3), ((2, 2), 4), ((2, 3), 2), ((2, 3), 3), ((2, 3), 4), ((2, 4), 2), ((2, 4), 3), ((2, 4), 4), ((3, 2), 2), ((3, 2), 3), ((3, 2), 4), ((3, 3), 2), ((3, 3), 3), ((3, 3), 4), ((3, 4), 2), ((3, 4), 3), ((3, 4), 4), ((4, 2), 2), ((4, 2), 3), ((4, 2), 4), ((4, 3), 2), ((4, 3), 3), ((4, 3), 4), ((4, 4), 2), ((4, 4), 3), ((4, 4), 4)} บทนยิ าม 2.2. ให A และ B เปน เซตใด ๆ (1) จะเรยี ก r วาเปน ความสัมพันธ (relation) จาก A ไป B ถา r ⊆ A × B (2) จะเรยี ก r วาเปน ความสมั พนั ธ (relation) บน A ถา r ⊆ A × A ตวั อยาง 2.3. ให A = {2, 3, 4} และ B = {5, 6} ให r = {(2, 6), (3, 6), (4, 6)} จะไดว า r เปนความสัมพันธจ าก A ไป B เนอ่ื งจาก r ⊆ A × B บทนิยาม 2.4. ให A และ B เปนเซตใดๆและ f เปนความสมั พนั ธจาก A ไป B จะเรยี ก f วา เปน ฟง กชนั (function) จาก A ไป B เขียนแทนดว ย f : A → B ก็ตอเมือ่ (1) Df = A (2) สำหรับทุก ๆ x ∈ A และ y, z ∈ B จะไดว า ถา (x, y) ∈ fและ (x, z) ∈ f แลว y = z บทแทรก 2.5. โดยทว่ั ไป ถา (x, y) ∈ f แลว จะเขยี นดวยสัญลักษณ y = f(x) ซง่ึ เรียก y วา เปน คา ของฟงกช ัน f ที่ x ตวั อยาง 2.6. กำหนดให A = {2, 3, 4} และ B = {5, 6} 1. ให f = {(2, 5), (3, 5), (4, 6)} จะไดวา f เปน ฟงกชันจาก A ไปB 2. ให g = {(2, 5), (3, 5), (3, 6), (4, 6)} จะไดวา g ไมเปน ฟง กชันจากA ไป B เพราะวา (3, 5) ∈ g และ (3, 6) ∈ g แต 5 ̸= 6 3. ให h = {((2, 2), 2), ((2, 3), 3), ((2, 4), 4), ((3, 2), 2), ((3, 3), 3), ((3, 4), 4), ((4, 2), 2), ((4, 3), 3), ((4, 4), 4)} จะไดวา h เปน ฟงกชันจาก A × A ไป A บทนยิ าม 2.7. ให A เปน เซตใดๆ ทไ่ี มใ ชเซตวา ง จะเรียก ∗ วา การดำเนินการทวิภาค (binary oper- tions) บน A ก็ตอเมอื่ ∗ เปนฟง กชันจาก A × A ไป A เขียนแทนดวย ∗ : A × A → A และสำหรบั ทุก ๆ a, b ∈ A จะเขยี น a ∗ b แทน ∗((a, b)) โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

การแปลงวางนัยทั่วไปของพชี คณติ BCC 233 ขอตกลง สำหรับ a, b ∈ A จะไดวา a ∗ b ∈ A สำหรบั เง่อื นไขนจ้ี ะกลาววา A มีสมบตั ปิ ด (closed) ภายใต ∗ ตวั อยาง 2.8. จากตวั อยา ง 2.6 ขอ 3 จะไดวา h เปนฟง กชันจาก A × A ไป A น่ันคอื h เปน การ ดำเนินการทวภิ าค บน A บทนยิ าม 2.9. กำหนดให X เปนเซตใดๆทีไ่ มใ ชเซตวา ง และ ∗ เปนการดำเนนิ การทวภิ าคบน X และ 0 เปน คา คงตัว จะเรียก (X, ∗, 0) วา เปน พีชคณติ BCC (BCC-Algebras) ถาสอดคลอ งกับเง่อื นไขตอ ไปน้สี ำหรบั ทุกๆ x, y, z ∈ X (1) ((x ∗ y) ∗ (z ∗ y)) ∗ (x ∗ z) = 0 (2) 0 ∗ x = 0 (3) x ∗ 0 = x (4) x ∗ x = 0 (5) ถา x ∗ y = 0 และ y ∗ x = 0 แลว x = y ตวั อยาง 2.10. ให X = {0, 1, 2} และ ∗ เปน การดำเนนิ การทวภิ าคบน X ดังตารางตอไปนี้ ∗012 0000 1100 2210 จะไดวา X เปน พชี คณติ BCC บทนยิ าม 2.11. ให X เปนพชี คณิต BCC กำหนดใหความสัมพนั ธ ≤ บน X โดยที่ x ≤ y ก็ตอเมื่อ x ∗ y = 0 สำหรับทุกๆ x, y ∈ X ทฤษฎีบท 2.12 (8). ให X เปนพีชคณติ BCC จะเรียก (X, ≤) วา เปนเซตอนั ดบั บางสวน (partial order set) จะไดวาขอ ความตอไปนเี้ ปน จรงิ สำหรบั ทกุ ๆ x, y, z ∈ X (1) (x ∗ y) ∗ x = 0 (2) ถา x ≤ y แลว x ∗ z ≤ y ∗ z (3) ถา x ≤ y แลว z ∗ y ≤ z ∗ x จะเห็นวาพีชคณติ BCK ใดๆเปนพชี คณิต BCC แตพีชคณติ BCC ไมจำเปนตองเปน พชี คณิต BCK และ พีชคณิต BCCเปน พชี คณติ BCK ก็ตอเมอ่ื ขอความตอไปน้ีเปนจริง (4) (x ∗ y) ∗ z = (x ∗ z) ∗ y (5) (x ∗ (x ∗ y) ∗ y) = 0 โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

234 สุรัตนล ดา หอมจำปา และ อรปรียา วารีวิไลธรรม บทนิยาม 2.13. ให X เปน พีชคณิต BCC และ ∅ ̸= S ⊆ X จะเรียก S วา เปน พชี คณิตยอ ย (subalgebra) ถา x ∗ y ∈ S สำหรับทกุ ๆ x, y ∈ S เพื่อความสะดวกตอไปน้จี ะเขยี น X แทน (x, ∗, 0) และจะเขยี น x ∧ y สำหรับทุกๆ x, y ∈ S หมายเหตุ 2.14. ให X เปน พชี คณติ BCC สำหรบั ทุกๆ x, y ∈ X จะไดว า (1) 0 ∧ x = 0 (2) x ∧ y ≤ y บทนยิ าม 2.15. ให X เปนพชี คณิต BCC จะเรยี ก X วามีสมบตั ิสลับท่ี (commutative) ถา สอดคลอง ตามเง่ือนไขตอ ไปนี้ สำหรับทุกๆ x, y ∈ X x ∗ (x ∗ y) = y ∗ (y ∗ x) ขอสงั เกต จากบทนยิ าม 2.13 จะไดวา x ∧ y = y ∧ x บทนยิ าม 2.16. ให X เปน พชี คณิต BCC และ ∅ ̸= I ⊆ X จะเรยี ก I วาเปน ไอดีล (Ideal) ของ x ถาสอดคลองตามเง่ือนไขตอไปนี้ สำหรับทุกๆ x, y ∈ X (1) 0 ∈ I (2) ถา x ∗ y ∈ I และ y ∈ I แลว x ∈ I บทนยิ าม 2.17. [9] ให X เปนพชี คณติ BCC (1) จะเรียก d : X → X วาเปน left-right derivation ของ X เขยี นแทนดวย (l, r)-derivation ถาสอดคลองกบั เงอ่ื นไขตอไปนี้ d(x ∗ y) = (d(x) ∗ y) ∧ (x ∗ d(y)) สำหรบั ทุกๆ x, y ∈ X (2) จะเรียก d : X → X วาเปน right-left derivation ของ X เขยี นแทนดวย (r, l)-derivation ถาสอดคลอ งกบั เงื่อนไขตอไปนี้ d(x ∗ y) = (x ∗ d(y)) ∧ (d(x) ∗ y) สำหรบั ทุกๆ x, y ∈ X (3) จะเรยี ก d วาเปน derivation ของ X ถา d เปน ทัง้ (l, r)−derivation และ (r, l)−derivation ตัวอยาง 2.18. จากตัวอยา ง 2.10 ให X = {0, 1, 2} และ ∗ เปน การดำเนินการทวิภาคบน X ดัง ตารางตอ ไปน้ี ∗012 0000 1100 2210 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

การแปลงวางนัยท่ัวไปของพีชคณติ BCC 235 จะไดว า X เปน พชี คณติ BCC กำหนดฟง กชนั d : X → X โดยที่   0 ถา x = 0, ถา x = 1, d(x) =  1 ถา x = 2 2 จะไดวา d วาเปน derivation ของ X บทนยิ าม 2.19. ให X เปนพีชคณติ BCC ถา d : X → X จะกลาววา d เปน regular ถา d(0) = 0 บทแทรก 2.20. ให X เปนพีชคณติ BCC ถา d วา เปน derivation ของ X แลว d เปน regular พิสจู น. สมมตวิ า d วาเปน derivation ของ X จะแสดงวา d เปน regular น่ันคอื จะตอ งแสดงวา d(0) = 0 เนื่องจาก d(0) = d(0 ∗ x) บทนยิ าม 2.9 = (d(0) ∗ x) ∧ (0 ∗ d(x)) ;บทนยิ าม 2.17 ขอ 1 = (0 ∗ d(x)) ∗ ((0 ∗ d(x)) ∗ (d(0) ∗ x)) ;บทนยิ าม 2.13 = 0 ∗ (0 ∗ (d(0) ∗ x)) ;บทนยิ าม 2.9 ขอ 2 =0∗0 ;บทนิยาม 2.9 ขอ 2 = 0 ∧ (0 ∗ d(x)) ;บทนิยาม 2.9 ขอ 4 ดงั นัน้ d(0) = 0 บทนยิ าม 2.21. ให X เปนพีชคณติ BCC ถา d วาเปน derivation ของ X และ A เปนไอดลี ของ X จะเรยี กวา A วา เปน d - invariant ของ X ถา d(A) ⊆ A เมอ่ื d(A) = {d(x) : x ∈ A} ทฤษฎบี ท 2.22. ให X เปน พชี คณิต BCC กับอนั ดับบางสวน ≤ และ d เปน derivation ของ X จะ ไดว า ขอ ความตอ ไปน้เี ปนจริง สำหรับทกุ ๆ x, y ∈ X (1) d(x) ≤ x (2) d(x ∗ y) ≤ d(x) ∗ y (3) d(x, y) ≤ x ∗ d(y) (4) d(d(x)) ≤ x (5) d(x ∗ d(x)) = 0 (6) d−1(0) = {x ∈ X : d(x) = 0} เปนพีชคณิตยอ ยของ X โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

236 สุรตั นลดา หอมจำปา และ อรปรยี า วารีวไิ ลธรรม 3. ทฤษฎบี ทหลัก 3.1 generalized derivation ของพชี คณติ BCC บทนยิ าม 3.1. ให X เปนพีชคณติ BCC (1) จะเรยี ก D : X → X วา เปน generalized (l, r)-derivation ของ X ถามี d : X → X เปน (l, r)-derivation ซ่งึ D(x ∗ y) = (D(x) ∗ y) ∧ (x ∗ d(y)) สำหรบั ทกุ ๆ x, y ∈ X (2) จะเรยี ก D : X → X วา เปน generalized (r, l)-derivation ของ X ถามี d : X → X เปน (r, l)-derivation ซ่งึ D(x ∗ y) = (x ∗ D(y)) ∧ (d(x) ∗ y) สำหรบั ทุกๆ x, y ∈ X (3) จะเรยี ก D วาเปน generalized derivation ของ X ถา D เปนท้งั generalized (l, r)- derivation และ generalized (r, l)-derivation ตัวอยาง 3.2. ให X = {0, 1, 2, 3} กำหนดการดำเนนิ การทวิภาค ∗ บน X ดังตาราง ∗0123 00000 11000 22200 33310 จะไดว า X เปน พชี คณติ BCC กำหนดฟงกช ัน d : X → X โดยท่ี   0 ถา x = 0, 1, 3 d(x) =  2 ถา x = 2 จะไดว า d วาเปน generalized ของ X กำหนดฟง กช นั d : X → X โดยท่ี   0 ถา x = 0, 2 D(x) =  x ถา x = 1, 3 จะไดวา D วา เปน generalized (r, l)-derivation ของ X ทฤษฎีบท 3.3. ให X เปน พีชคณิต BCC ถา D เปน generalized derivation ของ X แลว D เปน regular โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

การแปลงวางนยั ทั่วไปของพชี คณติ BCC 237 พสิ ูจน. สมมติวา D เปน generalized (r, l)-derivation ของ X จะแสดงวา D เปน regular นน่ั คอื จตอ งแสดงวา D(0) = 0 เนื่องจาก D(0) = D(0 ∗ x) บทนยิ าม 2.9 ขอ 2 = (D(0) ∗ x) ∧ (0 ∗ d(x)) ;บทนิยาม 3.1 ขอ 1 = (D(0) ∗ x) ∧ 0 ;บทนยิ าม 2.9 ขอ 2 = 0 ∗ (0 ∗ (D(0) ∗ x)) ;บทนยิ าม 2.9 ขอ 2 =0∗0 ;บทนยิ าม 2.9 ขอ 2 = 0 ∧ (0 ∗ d(x)) ;บทนยิ าม 2.9 ขอ 4 ดังนน้ั D(0) = 0 ทฤษฎบี ท 3.4. ให X เปน พชี คณติ BCC และ D : X → X จะไดวา (1) ถา D เปน generalized (l, r)-derivation ของ X แลว D(x) = D(x) ∧ x สำหรับทกุ ๆ x ∈ X (2) ถา D เปน generalized (r, l)-derivation ของ X แลว D(x) = x ∧ d(x) สำหรบั ทุกๆ x ∈ X พสิ จู น. ให x ∈ X (1) สมมติวา D เปน generalized (l, r)-derivation ของ X จะแสดงวา D(x) = D(x) ∧ x เนือ่ งจาก D เปน generalized (l, r)-derivation ของ X จะไดวา d(l, r)-derivation เน่ืองจาก D(x) = D(x ∗ 0) ;บทนิยาม 2.9 ขอ 3 = (D(x) ∗ 0) ∧ (x ∗ d(0)) ;บทนยิ าม 3.1 ขอ 1 = D(x) ∧ (x ∗ d(0)) ;บทนยิ าม 2.9 ขอ 3 = D(x) ∧ (x ∗ 0) ;บทนยิ าม 2.19 = D(x) ∧ x ;บทนยิ าม 2.9 ขอ 2 (2) สมมตวิ า D เปน generalized (r, l)-derivation ของ X จะแสดงวา D(x) = x ∧ d(x) เน่อื งจาก D เปน generalized (r, l)-derivation ของ X จะไดวา มี d(r, l)-derivation ของ X เนอื่ งจาก D(x) = D(x ∗ 0) ;บทนยิ าม 2.9 ขอ 3 = (x ∗ D(0)) ∧ (d(x) ∗ 0) ;บทนิยาม 3.1 ขอ 2 = (x ∗ 0) ∧ d(x) ;บทนยิ าม 2.9, ทฤษฎีบท 3.3 = x ∧ d(x) ;บทนยิ าม 2.9 ขอ 3 โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

238 สรุ ตั นล ดา หอมจำปา และ อรปรยี า วารีวิไลธรรม ทฤษฎีบท 3.5. ให X เปนพีชคณิต BCC กบั อันดับบางสว น ≤ และ D เปน generalized derivation ของ X จะไดวา ขอ ความตอไปน้เี ปน จรงิ สำหรับๆ x, y ∈ X (1) D(x) ≤ d(x) ≤ x (5) D(D(x) ∗ x) = 0 (2) D(x ∗ y) ≤ x ∗ d(y) (6) D(d(x) ∗ x) = 0 (3) D(x ∗ y) ≤ d(x) ∗ y (7) D(x ∗ d(x)) = 0 (4) D(x ∗ D(x)) = 0 (8) D(D(x)) ≤ x พสิ จู น. ให x, y ∈ X (1) จะแสดงวา D(x) ∧ d(x) ∧ x เน่อื งจาก D(x) = D(x ∗ 0) ;บทนยิ าม 2.9 ขอ 3 = (x ∗ D(0)) ∧ (d(x) ∗ 0) ;บทนยิ าม 3.1 ขอ 2 = (x ∗ 0) ∧ d(x) ;บทนิยาม 2.9, ทฤษฎีบท 3.3 = x ∧ d(x) ;บทนิยาม 2.9 ขอ 3 ≤ d(x) ;หมายเหตุ 2.14 ดังนน้ั D(x) ≤ d(x) ≤ x (2) จะแสดงวา D(x ∗ y) ≤ x ∗ d(y) เนือ่ งจาก D(x ∗ y) = (D(x) ∗ y) ∧ (x ∗ d(y)) ;บทนิยาม 3.1 ขอ 1 ≤ x ∗ D(x) ;หมายเหตุ 2.14 ดังนัน้ D(x ∗ y) ≤ x ∗ d(y) (3) จะแสดงวา D(x ∗ y) ≤ d(x) ∗ y เน่อื งจาก D(x ∗ y) = (x ∗ D(y)) ∧ (d(x) ∗ y) ;บทนยิ าม 3.1 ขอ 2 ≤ d(x) ∗ y ;หมายเหตุ 2.14 ดังนน้ั D(x ∗ y) ≤ d(x) ∗ y (4) จะแสดงวา D(x ∗ D(x)) = 0 เนื่องจาก D(x ∗ D(x)) = (D(x) ∗ D(x)) ∧ (x ∗ d(D(x))) ;บทนยิ าม 3.1 ขอ 1 = 0 ∧ (x ∗ d(D(x))) ;บทนิยาม 2.9 =0 ;หมายเหตุ 2.14 ดงั น้นั D(x ∗ D(x)) = 0 โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้ังท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

การแปลงวางนัยท่วั ไปของพีชคณิต BCC 239 (5) จะแสดงวา D(D(x) ∗ x) = 0 เนื่องจาก D(D(x) ∗ x) = (D(x) ∗ D(x)) ∧ (d(D(x)) ∗ x) ;บทนยิ าม 3.1 ขอ 2 = 0 ∧ (d(D(x)) ∗ x) ;บทนิยาม 2.9 =0 ;หมายเหตุ 2.14 ดังนน้ั D(D(x) ∗ x) = 0 (6) จะแสดงวา D(d(x) ∗ x) = 0 เนื่องจาก D(d(x) ∗ x) = (D(d(x)) ∗ x) ∧ (d(x) ∗ d(x)) ;บทนยิ าม 3.1 ขอ 1 = (D(d(x)) ∗ x) ∧ 0 ;บทนิยาม 2.9 ขอ 4 = 0 ∗ (0 ∗ (D(d(x)) ∗ x)) ;บทนยิ าม 2.13 =0∗0 ;บทนิยาม 2.9 ขอ 2 =0 ;บทนิยาม 2.9 ขอ 2 ดังน้ัน D(d(x) ∗ x) = 0 (7) จะแสดงวา D(x ∗ d(x)) = 0 เนอ่ื งจาก D(x ∗ d(x)) = (x ∗ D(d(x))) ∧ (d(x) ∗ d(x)) ;บทนยิ าม 3.1 ขอ 2 = (x ∗ D(d(x))) ∧ 0 บทนิยาม 2.9 ขอ 4 = 0 ∗ (0 ∗ (x(D(d(x))))) ;บทนยิ าม 2.13 =0∗0 ;บทนยิ าม 2.9 ขอ 2 =0 ;บทนิยาม 2.9 ขอ 4 ดังน้ัน D(x ∗ d(x)) = 0 (8) จะแสดงวา D(D(x)) ≤ x เนอื่ งจาก D(D(x)) = D(x ∧ d(x)) ;ทฤษฎีบท 3.5 ขอ 2 = D(d(x) ∗ (d(x) ∗ x)) ;บทนิยาม 2.13 = (d(x) ∗ D(d(x) ∗ x)) ∧ ((d(d(x)) ∗ (d(x) ∗ x))) ;บทนยิ าม 3.1 ขอ 2 = (d(x) ∗ D(0)) ∧ d(d(x) ∗ 0) ;ทฤษฎีบท 2.22 ขอ 1 = (d(x) ∗ 0) ∧ d(d(x)) ;ทฤษฎบี ท 3.3, บทนิยาม 2.9 = d(x) ∧ d(d(x)) ;บทนิยาม 2.9 ขอ 3 ≤ d(d(x)) ;หมายเหตุ 2.14 ≤ x ;ทฤษฎบี ท 2.22 ขอ 4 ดังน้นั D(D(x)) ≤ x โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

240 สรุ ัตนลดา หอมจำปา และ อรปรยี า วารีวิไลธรรม ทฤษฎบี ท 3.6. ให X เปน พีชคณติ BCC จะไดว า Dn (Dn−1 (. . . (D2 (D1(x))) . . . )) ≤ x สำหรบั ทกุ n ∈ N โดยท่ี D1, D2, . . . , Dn เปน generalized derivation ของ X พสิ ูจน. ให Pn แทนขอความ Dn (Dn−1 (. . . (D2 (D1(x))) . . . )) ≤ x สำหรับทุก n ∈ N โดยท่ี D1, D2, . . . , Dn เปน generalized derivation ของ X (1) จะแสดงวา P1 เปน จรงิ น่ันคือจะตองแสดงวา D1(x) ≤ x จากทฤษฎบี ท 3.5 ขอ (1) จะไดวา D1(x) ≤ x ดงั น้นั P1 เปน จรงิ (2) ให k ∈ N สมมตวิ า P (k) เปนจริง จะไดวา Dk (Dk−1 (. . . (D2 (D1(x))) . . . )) ≤ x ตอ ไปจะแสดงวา P (k + 1) เปน จริง ให Tk = Dk (Dk−1 (. . . (D2 (D1(x))) . . . )) ≤ x เนอ่ื งจาก Dk+1(Tk) = (Dk+1(Tk) ∗ 0) ;บทนิยาม 2.9 ขอ 3 = ((Tk ∗ Dk+1) ∧ (d(Tk) ∗ 0)) ;บทนิยาม 3.1 ขอ 2 = ((Tk ∗ 0) ∧ (d(Tk) ∗ 0)) ;ทฤษฎีบท 3.3 = Tk ∧ d(Tk) ;บทนิยาม 2.9 ≤ d(Tk) ;หมายเหตุ 2.14 ≤ Tk ;ทฤษฎีบท 2.22 ขอ 1 ≤x ;สมมตฐิ าน ดงั น้ัน Dk−1 ( (. . . (D2 (D1(x))) . . . ) ≤ x เพราะฉะนน้ั P (k + 1) เปน จรงิ D(k+1)−1 ) จาก (1) และ (2) โดยหลกั การเชิงอปุ นัยคณติ ศาสตรจ ะไดวา Dn (Dn−1 (. . . (D2 (D1(x))) . . . )) ≤ x สำหรับทกุ n ∈ N โดยที่ D1, D2, . . . , Dn เปน generalized derivation ของ X บทนิยาม 3.7. ให X เปน พีชคณติ BCC และ D เปน เปน generalized derivation ของ X และ A เปนไอดีลของ X จะเรียก A วาเปน D-invariant ของ X ถา D(A) ⊆ A โดยท่ี D(A) = {D(x) : x ∈ A} ทฤษฎีบท 3.8. ให X เปน พีชคณติ BCC และ D เปน เปน generalized derivation ของ X และ A เปนไอดีลของ X จะไดวา A วา เปน D-invariant พิสูจน. ให A เปนไอดลี ของ X จะแสดงวา D(A) ⊆ A ให y ∈ D(A) จะไดว า y = D(x) สำหรับบาง x ∈ A น่ันคอื y ∗ x = D(x) ∗ x = 0 ∈ A ดังนนั้ y ∗ x ∈ A โดยบทนิยาม 2.16 จะไดวา y ∈ A ดังน้ัน D(A) ⊆ A เพราะฉะน้ัน A เปน D-invariant โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

การแปลงวางนยั ทั่วไปของพชี คณติ BCC 241 บทนิยาม 3.9. ให X เปน พชี คณติ BCC และ D เปน เปน generalized derivation ของ X และ กำหนดให KerD โดยท่ี KerD = {x ∈ X : D(x) = 0} ทฤษฎีบท 3.10. ให X เปนพีชคณิต BCC และ D เปน generalized derivation ของ X ถา y ∈ KerD และ x ∈ X แลว x ∧ y ∈ KerD พสิ จู น. สมมติวา y ∈ KerD และ x ∈ X จะแสดงวา x ∧ y ∈ KerD นน่ั คือจะตอ งแสดงวา D(x ∧ y) = 0 จาก y ∈ KerD จะไดวา D(y) = 0 และ x ∈ X เนอื่ งจาก D(x ∧ y) = D(y ∗ (y ∗ x)) ;บทนยิ าม 2.13 = D(y) ∗ (y ∗ x) ∧ (y ∗ d(y ∗ x)) ;บทนิยาม 3.1 ขอ 1 = (0 ∗ (y ∗ x)) ∧ (y ∗ d(y ∗ x)) ; D(y) = 0 = 0 ∧ (y ∗ d(y ∗ x)) =0 ;บทนยิ าม 2.9 ขอ 2 ;หมายเหตุ 2.14 ดังนน้ั x ∧ y ∈ KerD ทฤษฎบี ท 3.11. ให X เปนพชี คณติ BCC ที่มีสมบตั ิสลับท่ี และ Dเปน generalized derivation ของ X ถา x ≤ y และy ∈ KerD แลว x ∈ KerD พสิ จู น. สมมติวา x ≤ y และy ∈ KerD จะแสดงวา x ∈ KerD น่นั คือจะตองแสดงวา D(x) = 0 จาก x ≤ y และy ∈ KerD จะไดวา x ∗ y = 0 และ D(y) = 0 เน่อื งจาก D(x) = D(x ∗ 0) ;บทนยิ าม 2.9 ขอ 3 = D(x ∗ (x ∗ y)) ;แทนคา x ∗ y = 0 = D(y ∗ (y ∗ x)) ;บทนยิ าม 2.15 = (D(y) ∗ (y ∗ x)) ∧ (y ∗ d(y ∗ x)) ;บทนิยาม 3.1 ขอ 1 = (0 ∗ (y ∗ x)) ∧ (y ∗ d(y ∗ x)) ;แทนคา D(y) = 0 = 0 ∧ (y ∗ d(y ∗ x)) ;บทนิยาม 2.9 ขอ 2 =0 ;หมายเหตุ 2.14 ดังนัน้ x ∈ KerD ทฤษฎีบท 3.12. ให X เปนพีชคณติ BCC และ D เปน generalized derivation ของ X ถา x ∈ KerD แลว x ∗ y ∈ KerD สำหรบั ทุก y ∈ X โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

242 สรุ ตั นล ดา หอมจำปา และ อรปรยี า วารวี ิไลธรรม พสิ จู น. ให y ∈ X และ x ∈ KerD จะแสดงวา x ∗ y ∈ KerD น่ันคือจะตอ งแสดงวา D(y ∗ x) = 0 จาก x ∈ KerD จะไดวา D(x) = 0 เนื่องจาก D(y ∗ x) = (D(x) ∗ y) ∧ (x ∗ d(y)) ;บทนิยาม 3.1 ขอ 1 = (0 ∗ y) ∧ (x ∗ d(y)) ; แทนคา D(x) = 0 = 0 ∧ (x ∗ d(y)) ;บทนิยาม 2.9 ขอ 2 =0 ; หมายเหตุ 2.14 ดังน้นั D(y ∗ x) = 0 ทฤษฎีบท 3.13. ให X เปนพีชคณติ BCC และ D เปน generalized derivation ของ X จะไดวา KerD เปนพชี คณยิ อย ของ X พสิ ูจน. ให x, y ∈ KerD จะแสดงวา KerD เปนพีชคณติ ยอ ยของ X น่นั คอื x ∗ y ∈ KerD นนั่ คอื จะตองแสดงวา D(x ∗ y) = 0 จาก x, y ∈ KerD จะไดวา D(x) = 0 และ D(y) = 0 เนอื่ งจาก D(x ∗ y) = (D(x) ∗ y) ∧ (x ∗ d(y)) ;บทนยิ าม 3.1 ขอ 1 = (0 ∗ y) ∧ (x ∗ d(y)) ;แทนคา D(x) = 0 = 0 ∧ (x ∗ d(y)) ;บทนิยาม 2.9 ขอ 2 =0 ;หมายเหตุ 2.14 ดงั นั้น x ∗ y ∈ KerD บทนิยาม 3.14. ให X เปนพีชคณติ BCC และ D เปน generalized derivation ของ X และกำหนด F ixD(X) โดยที่ F ixD(X) = {x ∈ X : D(x) = x} ทฤษฎบี ท 3.15. ให X เปน พชี คณติ BCC และ D เปน generalized derivation ของ X ถา x ∈ F ixD(X) แลว d(x) = x พสิ ูจน. สมมตวิ า x ∈ F ixD(X) จะแสดงวา d(x) = x จาก x ∈ F ixD(X) จะไดวา D(x) = x จากทฤษฎบี ท 3.13 ขอ 1 D(x) ≤ d(x) ≤ x ดังนนั้ x = D(x) ≤ d(x) ≤ x จะไดวา x ≤ d(x) และ d(x) ≤ x ดงั นน้ั x ∗ d(x) = 0 และ d(x) ∗ x = 0 โดยบทนิยาม 2.9 ขอ 5 จะไดวา d(x) = x ดังน้ัน d(x) = x โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

การแปลงวางนยั ทัว่ ไปของพชี คณิต BCC 243 ทฤษฎบี ท 3.16. ให X เปน พีชคณติ BCC และ D เปน generalized derivation ของ X จะไดวา F ixD(X) เปนพชี คณติ ยอยของ X พสิ ูจน. ให x, y ∈ F ixD(D) จะแสดงวา x∗y ∈ F ixD(X) นั่นคือจะตองแสดงวา D(x∗y) = x∗y จาก x, y ∈ F ixD(D) จะไดวา D(x) = x และ d(y) = y ดงั น้ัน D(x ∗ y) = (D(x) ∗ y) ∧ (x ∗ d(y)) ;บทนิยาม 3.1 ขอ 1 = (x ∗ y) ∧ (x ∗ y) ;D(x) = x, d(y) = y = (x ∗ y) ∗ ((x ∗ y) ∗ (x ∗ y)) ;บทนิยาม 2.13 = (x ∗ y) ∗ 0 ;บทนิยาม 2.9 =x∗y ;บทนิยาม 2.9 ดงั นั้น x ∗ y ∈ F ixD(X) ทฤษฎีบท 3.17. ให X เปนพีชคณิต BCC และ D เปน generalized derivation ของ X ถา x, y ∈ F ixD(X) แลว x ∧ y ∈ F ixD(X) พสิ จู น. สมมตวิ า x, y ∈ F ixD(X) จะแสดงวา x∧y ∈ F ixD(X) น่นั คือจะตองแสดงวา D(x∧y) = x∧y จาก x, y ∈ F ixD(X) จะไดวา D(x) = x และ D(y) = y จากทฤษฎีบท 3.16 จะไดว า y ∗ x ∈ F ixD(X) นน่ั คอื d(y ∗ x) = y ∗ x เนอื่ งจาก D(x ∧ y) = D(y ∗ (y ∗ x)) ;บทนยิ าม 2.13 = (D(y) ∗ (y ∗ x)) ∧ (y ∗ d(y ∗ x)) ;D(y) = y = (y ∗ (y ∗ x)) ∧ (y ∗ (y ∗ x)) ;บทนิยาม 2.13 = (y ∗ (y ∗ x)) ∗ ((y ∗ (y ∗ x)) ∗ (y ∗ (y ∗ x))) ;บทนิยาม 2.9 = (y ∗ (y ∗ x)) ;บทนิยาม 2.9 =x∧y ;บทนยิ าม 2.13 ดงั นัน้ x ∧ y ∈ F ixD(X) เอกสารอางองิ [1] Y. Imai and K. Iseki, On axiom systems of propositional calculi. XIV, Proceedings of the Japan Academy, vol. 42, pp. 19–22, 1966. [2] A. Wronski, BCK-algebras do not form a variety, Mathematica Japonica, vol. 28, no. 2, pp. 211–213, 1983. โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

244 สรุ ตั นล ดา หอมจำปา และ อรปรยี า วารีวิไลธรรม [3] Y. Komori, The class of BCC-algebras is not a variety, Mathematica Japonica, vol. 29, no. 3, pp. 391–394, 1984. [4] W. A. Dudek, The number of subalgebras of finite BCCalgebras, Bulletin of the Institute of Mathematics, vol. 20, no. 2, pp. 129–135, 1992. [5] W. A. Dudek and X. Zhang, On ideals and congruences in BCC-algebras, Czechoslo- vak Mathematical Journal, vol. 48, no.123, pp. 21–29, 1998. [6] Y. B. Jun and X. L. Xin, On derivations of BCI-algebras, Information Sciences, vol. 159, no. 3-4, pp. 167–176, 2004. [7] C. Prabayak and U. Leerawat, On dervations of BCC-algebra, Kasetsart Journal, vol. 43, no. 398, 401 pages, 2009. โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-PU 07 245 สมาชิกคงสภาพปรกตใิ นกง่ึ กรุปอนั ดับปรกติ OOrndetrheed RSeegmuilgarroituyp-psreserving Elements in Regular ผแู ตง : Ronnason Chinram and Winita Yonthanthum จดั ทำโดย: วายุพงษ ทงั่ ทอง1, ศรัณย ศกั ดิว์ ริ ิยะวฒั นะ1* และ ชยั รัตน บญุ เยน็ 1 1สาขาวชิ าคณติ ศาสตรแ ละสถิติ คณะวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ ตวั แปรของกง่ึ กรุปอันดบั (S, ·, ≤) ทส่ี อดคลอง ไปยัง a เปน ก่งึ กรปุ อันดับ (S, ◦, ≤) ดว ยการคูณ ◦ กำหนด โดย x ◦ y = xay สำหรับทุก x, y ∈ S ให a ∈ S เปนสมาชกิ คงสภาพปรกตขิ อง S ถา a เปน ตวั แปรของ S สอดคลอ งไปยงั a เปนปรกติ ในบทความวจิ ัยนี้เราจะอธบิ ายลกั ษณะ สมาชกิ คงสภาพปรกติ ของกงึ่ กรุ ปอนั ดับปรกติ คำสำคัญ: ตวั แปร, สมาชิกปรกต,ิ สมาชิกคงสภาพปรกต,ิ ก่งึ กรปุ อนั ดบั . Abstract A variant of an ordered semigroup (S, ·, ≤) with respect to a is an ordered semigroup (S, ◦, ≤) with multiplication ◦ defined by x◦y = xay for all x, y ∈ S. An element a ∈ S is a regularity- preserving element of S with respect to a is regular. In this paper, we characterize the regularity-preserving elements of regular ordered semigroups. Keywords: Variants, regular elements, regularity-preserving elements, ordered semigroup. 1. บทนำ ในป ค.ศ. 1967 Magill. ไดศกึ ษาเรอ่ื งของตัวแปรกง่ึ กรุปรูปธรรมของความสัมพนั ธ ตอ มาใน ป ค.ศ. 1983 Hickey. เปน คนแรกท่ีศึกษาเรอ่ื งตัวแปรของก่ึงกรปุ นามธรรม ป ค.ศ. 2001 Khan. และ Lawson. ไดศึกษาตัวแปรของกงึ่ กรุปนามธรรม และสุดทา ยในป ค.ศ. 2009 Chinram. ไดกำหนด ตัวแปรของรงิ โดยการใชแนวคิดตวั แปรของกง่ึ กรุป และลักษณะเฉพาะสมาชกิ คงสภาพปรกติของรงิ ปรกติ โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

246 วายุพงษ ทั่งทอง และคณะ 2. ความรพู นื้ ฐาน บทนยิ าม 2.1. ให S เปนเซตไมว า งและ · เปน การดำเนินการบน S จะไดว า (S, ·) เปน กึ่งกรปุ (semigroup) กต็ อเม่ือ 1. a · b ∈ S สำหรบั ทกุ a, b ∈ S 2. (a · b) · c = a · (b · c) สำหรับทุก a, b, c ∈ S ตวั อยาง 2.2. 1. กำหนดให Z เปน เซตของจำนวนเตม็ จะไดวา (Z, +) เปนกงึ่ กรปุ แต (Z, −) ไม เปนก่ึงกรุป เนอื่ งจาก (1 − 2) − 3 ̸= 1 − (2 − 3) 2. ให n เปนจำนวนเต็มบวก และ Zn = {0, 1, 2, ..., n − 1} กำหนดการดำเนินการ ⊗ โดย a ⊗ b = ab สำหรับทุก a, b ∈ Zn เน่ืองจาก ab เปนสมาชกิ ของจำนวนเตม็ บวก ดงั นั้น ab ∈ Zn น่นั คอื (Zn, ⊗) มีคุณสมบตั ิปด ให a, b และ c ∈ Zn เราจะพบวา (a ⊗ b) ⊗ c = ab ⊗ c = abc a ⊗ (b ⊗ c) = a ⊗ bc = abc น่ันคือ (Zn, ⊗) มคี ุณสมบตั ิเปลีย่ นกลุม ดังนนั้ (Zn, ⊗) เปน กง่ึ กรปุ บทนยิ าม 2.3. ให S เปน กึง่ กรปุ และ A เปน เซตยอยทไี่ มว างของ S เราจะกลา ววา A เปนก่งึ กรปุ ยอ ย(subsemigroup) ของ S ก็ตอเมื่อ ab ∈ A สำหรับทุก a, b ∈ A ตัวอยาง 2.4. จากตัวอยาง 2.2 เราพบวา (Z, +) เปน ก่งึ กรุป กำหนดให A = {2k | k ∈ Z} เราจะ ไดวา A ⊆ Z ให a, b ∈ A จะไดวา a = 2n และ b = 2m สำหรับบาง n, m ∈ Z นั่นคอื a + b = 2n + 2m = 2(n + m) ทำใหไ ดวา a + b ∈ A ดังน้นั A เปนกึ่งกรุปยอ ยของ (Z, +) ตัวอยาง 2.5. จากตัวอยา ง 2.2 เราพบวา (Z, +) เปน กึง่ กรุป กำหนดให B = {2k + 1 | k ∈ Z} แลว B ⊆ Z ให x, y ∈ B จะไดว า x = 2s + 1 และ y = 2t + 1 สำหรบั บาง s, t ∈ Z นน่ั คอื x + y = 2s + 1 + 2t + 1 = 2s + 2t + 2 = 2(s + t + 1) ทำใหไ ดว า x + y ∈/ B ดงั น้ัน B ไมเ ปน กึง่ กรุปยอยของ(Z, +) โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

สมาชกิ คงสภาพปรกตใิ นก่งึ กรปุ อนั ดบั ปรกติ 247 บทนยิ าม 2.6. กำหนดให ≤ เปน ความสัมพนั ธบนเซต S เราจะกลาววา ≤ เปนความสมั พันธอนั ดบั บางสว น(partial order relation) ก็ตอ เมอื่ สอดคลองกับสมบัตติ อไปนี้ 1. คณุ สมบตั ิสะทอ น (reflexive) น่นั คอื (a, a) ∈≤ สำหรับทกุ a ∈ S 2. คณุ สมบัติปฏิสมมาตร (antisymmetic) นน่ั คอื สำหรับแตล ะ a, b ∈ S ถา (a, b) ∈≤ และ (b, a) ∈≤ แลว a = b 3. คณุ สมบตั ิถา ยทอด (transitive) นัน่ คอื สำหรับแตล ะ a, b, c ∈ S ถา (a, b) ∈≤ และ (b, c) ∈≤ แลว (a, c) ∈≤ ตวั อยาง 2.7. 1. ให Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และกำหนดความสมั พนั ธ ≤ ดังนี้ ≤:= {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} เราจะไดวา (Z6, ·, ≤) เปนอันดบั บางสวน 2. ให Z3 = {0, 1, 2} และกำหนดความสัมพนั ธ ≤ โดย ≤:= {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (1, 0), (2, 0)} เราจะไดว า (Z3, ·, ≤) เปนอันดับบางสวน 3. ให Z3 = {0, 1, 2} และกำหนดความสมั พันธ ≤ โดย ≤:= {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (1, 0), (0, 1), (2, 0)} เราจะไดวา (Z3, ·, ≤) ไมเปนอันดับบางสวน บทนิยาม 2.8. กำหนดให (S, ·) เปน ก่งึ กรุปและ ≤ เปนอนั ดบั บางสว นบนเซต S เราจะกลา ววา (S, ·, ≤) เปนกง่ึ กรปุ อันดับ(ordered semigroup) ถา สอดคลองกบั เงือ่ นไข สำหรับทุก a, b, c ∈ S ถา a ≤ b แลว ac ≤ bc และ ca ≤ cb ตัวอยา ง 2.9. ให Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และกำหนดความสมั พันธ ≤ โดย ≤:= {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} เราจะไดว า (Z6, ·, ≤) เปนกึง่ กรุปอันดบั บทนิยาม 2.10. ให a ∈ S เราจะกลาววา a เปน สมาชิกปรกติอันดบั (ordered regular element) ของ S กต็ อ เมื่อ มี x ∈ S ซ่งึ a ≤ axa ถา สมาชกิ ทกุ ตวั ของ S เปนสมาชิกปรกติอนั ดับเราจะเรียก (S, ·, ≤) วาเปน ก่ึงกรุปอนั ดบั ปรกติ(regular ordered semigroup) โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

248 วายุพงษ ทงั่ ทอง และคณะ ตัวอยาง 2.11. ให Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และกำหนดความสมั พนั ธ ≤ โดย ≤:= {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} เราจะไดวา (Z6, ·, ≤) เปนก่ึงกรุปอนั ดับปรกติ บทนยิ าม 2.12. ให (S, ·, ≤) เปน ก่งึ กรุปอันดับและ a ∈ S จะเรยี ก a วานจิ พล(idempotent) ก็ตอ เม่ือ a ≤ a2 เราใชสัญลกั ษณ E≤(S) แทนเซตของสมาชกิ นจิ พลของ S นน่ั คือ E≤(S) = {a ∈ S | a ≤ a2} ตวั อยา ง 2.13. ให Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และกำหนดความสัมพนั ธ ≤ โดย ≤:= {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} จากตวั อยาง 2.9 ไดวาจะไดวา (Z6, ·, ≤) เปน กง่ึ กรุปอนั ดับและจากบทนยิ าม 2.12 ทำใหไดวา E≤(Z6) = {0, 1, 3, 4} บทนยิ าม 2.14. ให (S, ·, ≤) เปน กึ่งกรปุ อนั ดับและ a, b ∈ S เราจะกลาววา b เปน ตวั ผกผนั (inverse) ของ a ก็ตอ เม่อื a ≤ aba และ b ≤ bab เราจะใชสัญลักษณ V≤(a) แทนเซตของสมาชิกตวั ผกผันของ a น่นั คอื V≤(a) = {b ∈ S | a ≤ aba และ b ≤ bab} ตวั อยา ง 2.15. ให Z3 = {0, 1, 2} และกำหนดความสมั พันธ ≤ โดย ≤:= {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (1, 0), (2, 0)} ทำใหไดว า V≤(1) = {0, 1} บทนิยาม 2.16. ให (S, ·, ≤) เปนกงึ่ กรุปอนั ดบั และ e ∈ S เราจะกลาววา e เปน สมาชกิ เอกลกั ษณ (identity element) ของ S กต็ อ เมื่อ ex = x = xe สำหรับทกุ x ∈ S ตัวอยา ง 2.17. ให Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และกำหนดความสมั พนั ธ ≤ โดย ≤:= {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} สมาชิกเอกลักษณของ Z6 คอื 1 บทนิยาม 2.18. สำหรบั กึ่งกรุปอนั ดบั S และ e เปน สมาชิกเอกลกั ษณ(identity element) ของ S ให x ∈ S เราจะกลา ววา x เปนสมาชกิ หาตัวผกผนั ได (invertible element) ก็ตอ เมอ่ื จะมี y, z ∈ S ซงึ่ e ≤ yx และ e ≤ xz โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

สมาชกิ คงสภาพปรกติในกงึ่ กรปุ อันดบั ปรกติ 249 ตวั อยาง 2.19. ให Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และกำหนดความสมั พนั ธ ≤ โดย ≤:= {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} จากตัวอยาง 2.17 เราจะไดวา 1 เปนสมาชกิ เอกลักษณใน Z6 และจากบทนิยาม 2.18 ไดวา {1, 5} เปนเซตของสมาชกิ ทหี่ าตัวผกผนั ไดใ น Z6 บทนยิ าม 2.20. ให (S, ·, ≤) เปน กงึ่ กรุปอนั ดับและให u ∈ S เราจะกลาววา u เปน สมาชิกเอกลกั ษณ กึง่ กลาง(mididentity element) ของ S ก็ตอ เม่อื xuy = xy สำหรับทกุ x, y ∈ S ตวั อยา ง 2.21. ให Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} จะมี 1 ทีท่ ำให a · 1 · b = ab สำหรับทุก a, b ∈ Z6 จึงสรุป ไดว า 1 เปนสมาชกิ เอกลกั ษณก่ึงกลางใน Z6 บทนยิ าม 2.22. สำหรบั A ทเ่ี ปน เซตยอ ยทีไ่ มว า งของกึ่งกรุปอนั ดบั S เราเขียน (A] แทนเซตยอ ย(subset) ของก่งึ กรุปอนั ดบั S โดย (A] := {s ∈ S|s ≤ a สำหรับบาง a ∈ A} ขอสังเกต 1. สำหรับ A ทเ่ี ปน เซตยอยของก่ึงกรุปอนั ดบั S เราจะไดว า A ⊆ (A] พิสจู น. ให x ∈ A จะไดวา x ∈ S เนอ่ื งจาก S เปนกง่ึ กรุปอันดบั จะมีคณุ สมบตั ิสะทอน ทำใหไดวา x ≤ x จงึ สรปุไดว า x ∈ (A] ดงั นนั้ A ⊆ (A] ขอสงั เกต 2. สำหรับเซตยอย A และ B กงึ่ กรุปอนั ดับของ S ถา A ⊆ B แลว (A] ⊆ (B] พสิ ูจน. สมมติวา A ⊆ B และให x ∈ (A] แลว x ≤ y สำหรบั บาง y ∈ A เนอ่ื งจาก A ⊆ B ท่ีทำให ไดว า y ∈ B ดงั นั้น x ∈ (B] ขอ สงั เกต 3. ถา S เปน กึง่ กรปุ อันดบั ปรกติ แลว a ∈ (aS] ∩ (Sa] สำหรับทุก a ∈ S พิสจู น. สมมติ S เปน กง่ึ กรุปอนั ดบั ปรกติ และ a ∈ S จากสมมติฐาน เราไดวา a ≤ axa ทำให a(xa) ∈ aS และ (ax)a ∈ Sa จงึ ไดวา a ∈ (aS] และ a ∈ (Sa] ดงั น้ัน a ∈ (aS] ∩ (Sa] สำหรบั ทกุ a ∈ S บทนิยาม 2.23. กำหนดให (S, ·, ≤) เปนกึง่ กรุปอันดบั และ a ∈ S กำหนดให ◦ เปนการดำเนินการ บนเซต S โดย x ◦ y = xay สำหรบั ทุก x, y ∈ S แลว (S, ◦, ≤) เปน ก่ึงกรุปอันดบั เราเรียก a วาเปน ตัวแปร(variant) ของ S โดยทวั่ ไปเราเขียน (S, a, ≤) แทน (S, ◦, ≤) โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

250 วายพุ งษ ท่ังทอง และคณะ จากนิยามขางตนเราพบวา ตัวแปรกงึ่ กรุปอนั ดบั ปรกตไิ มจำเปนตอ งเปน สมาชกิ ปรกติ แสดงได ตามตวั อยา งตอไปนี้ ตัวอยาง 2.24. ให Z3 = {0, 1, 2} และกำหนดความสมั พนั ธ ≤ โดย ≤:= idZ3 = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} พิจารณา 0 ≤ 0 · Z3 · 0, 1 ≤ 1 · 1 · 1, 2 ≤ 2 = 2 · 2 · 2 พบวา (Z3, ·, ≤) เปน กง่ึ กรปุ อันดับปรกติ ตอ ไปพจิ ารณา (Z3, 0, ≤) นั่นคอื 0 ≤ 0(0)x(0)0 = 0 สำหรบั ทกุ x ∈ Z3, (0, 0) ∈ idZ3 1 ≤ 1(0)x(0)1 = 0 สำหรับทุก x ∈ Z3, (1, 0) ∈/ idZ3 2 ≤ 2(0)x(0)2 = 0 สำหรับทกุ x ∈ Z3, (2, 0) ∈/ idZ3 เราไดวา 1 และ 2 ไมเปน สมาชิกปรกติอนั ดับใน (Z3, 0, ≤) ดังนัน้ (Z3, 0, ≤) ไมเปน กง่ึ กรุปอนั ดบั ปรกติ บทนยิ าม 2.25. ให (S, ·, ≤) เปนกึ่งกรุปอันดับและ a ∈ S เรากลาววา a เปน สมาชกิ คงสภาพ ปรกติ(regularity-preserving) กต็ อ เม่อื กึ่งกรปุ อนั ดบั (S, a, ≤) เปน กง่ึ กรปุ ปรกติ 3. ผลการศกึ ษา ให S เปน ก่งึ กรุปอนั ดบั ปรกติ เราใชสญั ลักษณ RP(S) แทนเซตของสมาชิกคงสภาพปรกติ ท้ังหมดของ S ทฤษฎีบท 3.1. ให S เปนกงึ่ี กรุปอันดับโดยที่ RP(S) ≠ ∅ เราไดวา ไดขอความตอ ไปน้เี ปน จรงิ 1. S เปน กึ่งกรปุ อนั ดบั ปรกติ 2. RP (S) เปน กึ่งกรปุ ยอ ยของ S พิสูจน. (1) เน่ืองจาก RP (S) ̸= ∅ จะมี a ∈ S โดยท่ี a เปน สมาชิกคงสภาพปรกติของ S จะไดวา (S, a, ≤) เปน ปรกติ ให x ∈ S แลว x ≤ xayax สำหรับบาง y ∈ S นั่นคือ x ≤ xayax = x(aya)x จาก x ≤ x(aya)x ไดว า x เปน สมาชกิ ปรกตอิ นั ดับของ S จึงสรปุ ไดวา S เปนก่งึ กรุปอนั ดบั ปรกติ (2) ให a, b ∈ RP (S) จากบทนยิ าม 2.25 ทำใหไดว า (S, a, ≤) และ (S, b, ≤) เปนกึง่ กรุปอนั ดับปรกติ และให x ∈ S แลว x ≤ xayax และ x ≤ xbzbx เน่อื งจาก a, b ∈ RP (S) โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้ังท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

สมาชกิ คงสภาพปรกตใิ นก่ึงกรปุ อนั ดบั ปรกติ 251 ทีท่ ำให s, t ∈ S น่ันคือ b, a ∈ S แลว a ≤ absba และ b ≤ batab พิจารณา x ≤ xayax ≤ x(absba)ya(xbzbx) = x(ab)(sbayaxbz)(bx) ≤ x(ab)(sbayaxbz)(batab)x = x(ab)(sbayaxbzbat)(ab)x ทำใหไดวา x ≤ x(ab)(sbayaxbzbat)(ab)x ดังนนั้ (S, ab, ≤) เปนกึ่งกรุปอนั ดบั ปรกติ และ x เปน สมาชิกปรกติอนั ดับของ S ดังนั้น ab ∈ RP (S) สรุปไดว า RP (S) เปนกึง่ กรุปยอ ยของ S ทฤษฎีบท 3.2. ให S เปนก่งึ กรปุ อนั ดบั และ a ∈ RP (S) 1. (SaS] = S 2. ถา b ∈ S และ a ∈ (bS] ∩ (Sb] แลว b ∈ RP (S) พิสูจน. (1.) ให x ∈ (SaS] แลว x ≤ y สำหรับบาง y ∈ SaS ทำใหไดวา (SaS] ⊆ S ให x ∈ S เนอื่ งจาก a ∈ RP (S) ทำไดวา (S, a, ≤) เปนก่งึ กรุปอนั ดับปรกติ แลวมี y ∈ S ที่ทำให x ≤ xayax = xa(yax) สำหรบั บาง xa(yax) ∈ SaS นัน่ คือ x ∈ (SaS] ฉะนัน่ S ⊆ (SaS] ดังน้นั (SaS] = S (2.) ให b ∈ S และ a ∈ (bS] ∩ (Sb] แลว a ∈ (bS] และ a ∈ (Sb] นัน่ คือ a ≤ by และ a ≤ zb สำหรบั บาง by ∈ bS และ zb ∈ Sb ให x ∈ S เน่ืองจาก (S, a, ≤) เปนกึง่ กรุปปรกติ ทำใหได วา x ≤ xawax สำหรับบาง w ∈ S นนั่ คอื x ≤ xawax ≤ x(by)w(zb)x = xb(ywz)bx เนือ่ งจาก ywz ∈ S ทำใหไ ดวา (S, b, ≤) ดังนัน้ b ∈ RP (S) ทฤษฎบี ท 3.3. ให S เปนกง่ึ กรปุ อนั ดบั ปรกติและ a ∈ S จะไดว า a ∈ RP (S) ก็ตอเม่ือ (baS] = (bS] และ (Sab] = (Sb] สำหรบั ทกุ b ∈ S พสิ ูจน. สมมติให a ∈ RP (S) และ b ∈ S ให x ∈ (baS] ทำใหไ ดวา x ≤ baz สำหรับบาง baz ∈ baS นัน่ คอื x ≤ baz สำหรับบาง baz ∈ bS ดงั น้ัน x ∈ (bS] ทำใหไดว า (baS] ⊆ (bS] ให y ∈ (bS] ไดวา y ≤ bz สำหรับบาง bz ∈ bS เนอื่ งจาก a ∈ RP (S) จะไดวา (S, a, ≤) เปน กง่ึ กรปุ อนั ดับปรกติ ให b ∈ S แลว b ≤ baxab สำหรบั บาง x ∈ S แลว y ≤ bz = baxabz = ba(xabz) จะไดวา x = ba(xabz) สำหรบั บาง xabz ∈ S นนั่ คอื x ∈ baS ทำใหไดวา y ∈ (baS] เพราะฉะนั้น (bS] ⊆ (baS] สรปุ ไดวา (baS] = (bS] ตอมาเราจะทำการพิสูจน (Sab] = (Sb] ให x ∈ (Sab] ทำใหไดว า x ≤ zab สำหรบั บาง zab ∈ Sab นนั่ คือ x ≤ zab สำหรับบาง zab ∈ Sb ดงั น้ัน x ∈ (Sb] ทำใหไดว า (Sab] ⊆ (Sb] โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

252 วายุพงษ ทง่ั ทอง และคณะ ให y ∈ (Sb] จะไดวา y ≤ zb สำหรบั บาง zb ∈ Sb เน่อื งจาก a ∈ RP (S) จะไดว า (S, a, ≤) เปนก่ึงกรปุ อนั ดับปรกติ ให b ∈ S แลว b ≤ baxab สำหรบั บาง x ∈ S แลว y ≤ zb = zbaxab = (zbax)ab จะไดวา x = (zbax)ab สำหรบั บาง zbax ∈ S นัน่ คือ x ∈ Sab ทำใหไดวา y ∈ (Sab] เพราะฉะน้นั (Sb] ⊆ (Sab] สรปุ ไดว า (Sab] = (Sb] สมมติให (baS] = (bS] และ (Sab] = (Sb] สำหรับทุก b ∈ S ให x ∈ S จากสมมตฐิ านจะได วา (xaS] = (xS] และ (Sax] = (Sx] เนอื่ งจาก S เปน กึ่งกรุปอันดับปรกติ จะไดวา จะมี x ∈ (xS] และ x ∈ (Sx] เนอ่ื งจาก (xS] = (xaS] จะไดวา x ∈ (xaS] และเน่ืองจาก (Sx] = (Sax] จะไดวา x ∈ (Sax] นนั่ คือ เนอ่ื งจาก S เปน ก่งึ กรปุ อันดับปรกติ และ x ∈ S เราจะไดวา x ≤ xyx สำหรับบาง y ∈ S ดงั นั้น x ≤ xyx ≤ (xas)y(tax) = xa(syt)ax จะไดว า x เปน ปรกตอิ นั ดับใน (S, a, ≤) ดวยเหตุนี้ a ∈ RP (S) ทฤษฎบี ท 3.4. ให S เปนก่ึงกรปุ อันดับปรกตแิ ละ e ∈ E≤(S) ถา e ∈ RP (S) แลว V≤(f ) ∩ eSe ≠ ∅ สำหรบั ทกุ f ∈ E≤(S) พสิ ูจน. ให e, f ∈ E≤(S) สมมติ e ∈ RP (S) จากทฤษฎีบท 3.3 จะไดวา (feS] = (fS] และ (Sef] = (Sf] เน่อื งจาก S เปน กงึ่ กรุปอันดับปรกติ จะไดวา f ∈ (fS] ∩ (Sf] เน่อื งจาก f ∈ (fS] และ (fs] = (feS] แลว f ∈ (feS] นั่นคือ f ≤ fex สำหรบั บาง fex ∈ feS จาก f ∈ (Sf] และ (Sf] = (Sef] ดังน้ัน f ∈ (Sef] สำหรับบาง f ≤ yef จาก f ∈ E≤(S) ไดวา f ≤ f2 น่นั คอื f 2 ≤ f 3 แลว f ≤ f 2 ≤ f 3 = f f f ≤ (f ex)f (yef ) = f (exf ye)f จึงจะไดวา f ≤ f(exfye)f และ exf ye ≤ exf 2ye ≤ exf exf ye ≤ exf 2exf ye ≤ exf yef exf ye = (exf ye)f (exf ye) นัน่ คือ exfye ∈ V≤(f) ทำใหไ ดว า exfye ∈ eSe ดงั นัน้ exfye ∈ V≤(f) ∩ eSe ตวั อยาง 3.5. ให ≤:= {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), 4, 4), (5, 5)} เราพบวา (Z6, ·, ≤) เปน ก่งึ กรปุ อนั ดับปรกติ และ E≤(Z6) = {0, 1, 3, 4} พบวา V≤(1) ∩ 0 · Z6 · 0 = {1} ∩ {0} = ∅ V≤(1) ∩ 3 · Z6 · 3 = {1} ∩ {0, 3} = ∅ V≤(1) ∩ 4 · Z6 · 4 = {1} ∩ {0, 2, 4} = ∅ โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

สมาชกิ คงสภาพปรกติในก่ึงกรุปอนั ดบั ปรกติ 253 จากทฤษฎี 3.4 จะไดว า 0, 3, 4 ∈/ RP (Z6) ตวั อยา ง 3.6. ให ≤:= {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (1, 0), (2, 0)} เราจะแสดงวา (Z3, ·, ≤) เปน กึ่งกรุปอนั ดบั ปรกติ จะไดว า E≤(Z3) = {0, 1}, V≤(0) = {0, 1, 2} และ V≤(1) = {0, 1} เมือ่ RP (Z3) = {0, 1, 2} จะเห็นไดวา 0, 1 ∈ V≤(f) ∩ e · Z3 · e เม่ือ e, f ∈ E≤(Z3) ทฤษฎีบท 3.7. ให S เปนกึ่งกรปุ อันดับปรกติและ e เปน เอกลักษณข อง S แลว a ∈ RP (S) ก็ตอ เมือ่ a หาตวั ผกผนั ได พิสจู น. สมมติ a ∈ RP (S)จะไดวา (S, a, ≤) เปนกง่ึ กรปุ อันดับปรกติเน่อื งจาก S เปนก่ึงกรุปอนั ดับปรกติและ e เปนเอกลักษณของ S จะมี x ∈ S ทำใหไดวา e ≤ eaxae = axa จาก e ≤ axa จะได e ≤ (ax)a และ e ≤ a(xa) สำหรับบาง ax, xa ∈ S ดงั น้นั a หาตวั ผกผันได สมมติ a หาตัวผกผนั ได แลวจะไดวา e ≤ ax และ e ≤ ya สำหรบั บาง x, y ∈ S ให b ∈ S เนอื่ งจาก S เปนกึง่ กรุปอันดบั ปรกติจะไดว า b ≤ bzb สำหรบั บาง z ∈ S จาก e เปน เอกลกั ษณข อง S จะไดว า b ≤ bezeb ≤ baxzyab = ba(xzy)ab ดังน้นั b เปน สมาชกิ ปรกตใิ น (S, a, ≤) จึงสรปุ ไดว า a ∈ RP (S) ตัวอยาง 3.8. เนื่องจาก (Z6, ·, ≤) เปน ก่ึงกรุปอนั ดับปรกติ และกำหนดความสมั พนั ธ ≤ บนเซต Z6 โดย ≤:= {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} จะไดวา 1 เปนเอกลกั ษณข อง Z6 ภายใตการคูณปกติ เราพจิ ารณา 1 ≤ 1 · 1 = 1 และ 1 ≤ 1 · 1 = 1 ฉะนน้ั 1 ≤ 1 และเมื่อเราพจิ ารณา 1 ≤ 5 · 5 = 1 และ 1 ≤ 5 · 5 = 1 จะไดว า 1 ≤ 1 จึงไดว า สมาชกิ ที่หาตัวผกผันไดใน Z6 คือ 1 และ 5 น่ันคอื V≤(Z6) = {1, 5} จากทษฏีบท 3.7 ไดว า RP (Z6) = {1, 5} ตัวอยาง 3.9. เนอ่ื งจาก (Z3, ·, ≤) เปน กึ่งกรุปอนั ดบั ปรกติ และกำหนดความสมั พันธ ≤ บนเซต Z6 โดย ≤:= {(0, 0), (1, 1)(2, 2), (1, 0), (2, 0)} จากตวั อยา ง 3.6 ไดว า RP (Z3) = {0, 1, 2} จากทฤษฎบี ท3.7 เซตท่ีหาตัวผกผนั ไดของ (Z3, ·, ≤) คือ {0, 1, 2} ทฤษฎบี ท 3.10. ให S เปนก่งึ กรุปอันดบั ปรกติพรอ มดว ยเอกลกั ษณก ่ึงกลางและ a ∈ S กำหนดให M := {b ∈ S | xy ≤ xby สำหรบั ทุก x, y ∈ S} จะไดว า a ∈ RP (S) ก็ตอเม่ือ (aS] ∩ (Sa] ∩ M ≠ ∅ โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

254 วายพุ งษ ทัง่ ทอง และคณะ พิสูจน. ให u เปน เอกลกั ษณกึง่ กลาง สมมติให a ∈ RP (S) จะไดวา u ≤ uazau สำหรบั บาง z ∈ S จาก aza ∈ S และ S เปน กงึ่ กรปุ อนั ดบั ทำใหไดว า aza ≤ aza แลว a(za) ∈ aS และ (az)a ∈ Sa น่นั คือ aza ∈ (aS] ∩ (Sa] ให x, y ∈ S พิจารณา xy = xuy ≤ xuazauy = x(aza)y ดังนั้น aza ∈ M นน่ั คือ aza ∈ (aS] ∩ (Sa] ∩ M ≠ ∅ จึงสรปุ ไดว า (aS] ∩ (Sa] ∩ M ̸= ∅ สมมตใิ ห (aS]∩(Sa]∩M ≠ ∅ น่นั คือมี b ∈ (aS]∩(Sa]∩M แลว b ∈ (aS] และ b ∈ (Sa] และ b ∈ M ทำใหไ ดวา b ≤ as และ b ≤ ta สำหรบั บาง s, t ∈ S ให x ∈ S เนอ่ื งจาก S เปน ก่งึ กรปุ อันดับปรกติ ทำใหไ ดวา x ≤ xyx สำหรบั บาง y ∈ S จาก b ∈ M ทำใหไ ดว า x ≤ xyx ≤ xbyx ≤ xbybx ≤ x(as)y(ta)x ≤ xa(syt)ax จะไดวา x เปน สมาชิกปรกตอิ นั ดับใน (S, a, ≤) ดงั น้นั a ∈ RP (S) ตัวอยาง 3.11. พจิ ารณาก่งึ กรปุ อนั ดบั ปรกติ (Z6, ·, ≤) และกำหนดความสัมพันธ ≤ โดย ≤:= {(0, 0), (1, 1), (2, 2), 3, 3), (4, 4), (5, 5)} จะไดว า 1 เปนเอกลกั ษณก ึ่งกลางของ Z6 และ M = {1} เราพบวา RP (Z6) = {1, 5} จากทฤษฎีบท 3.10 ไดวา (1 · Z6] ∩ (Z6 · 1] ∩ M ≠ ∅ และ (5 · Z6] ∩ (Z6 · 5] ∩ M ̸= ∅ ตวั อยา ง 3.12. พิจารณากงึ่ กรุปอนั ดบั ปรกติ (Z3, ·, ≤) และกำหนดความสมั พนั ธ ≤ โดย ≤:= {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (1, 0), (2, 0)} จะไดวา 1 เปนเอกลกั ษณก่งึ กลางของ Z3 และ M = {0, 1} และ RP (Z3) = {0, 1, 2} จะไดวา (0 · Z3] ∩ (Z3 · 0] ∩ M ≠ ∅ และ (1 · Z3] ∩ (Z3 · 1] ∩ M ≠ ∅ และ (2 · Z3] ∩ (Z3 · 2] ∩ M ≠ ∅ 4. อภปิ รายผล เปนที่ทราบกนั ดีวาทกุ ก่ึงกรุปสามารถพิจารณาเปน กึง่ กรุปอันดบั ปรกติไดโดยการใช ≤:= ids เมือ่ กำหนด ids เปนความสมั พันธเอกลักษณบ น S ในบทความน้ีเราจะพูดถึงทฤษฎบี ทบางอยางใน [4]. ผลลพั ธทั้งหมดในบทความนี้สามารถนำมาใชในกรณีกึ่งกรุปและก่งึ กรุปอนั ดบั ปรกติ โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

สมาชกิ คงสภาพปรกตใิ นกึ่งกรุปอนั ดับปรกติ 255 เอกสารอา งอิง [1] วิ รตั น สุ วรรณ าภิ ชาติ, พชี คณิต นามธรรม เบอ้ื ง ตน , กรุงเทพฯ: สำนกั พิมพ มหาวทิ ยาลัย เกษตรศาสตร, (2556) [2] R. Chinram, Regularity-preserving elements of regular rings, ScienceAsia, 35, (2009), 111-112. [3] L. Fuchs, Partially ordered algebraic systems. Pergamon Press, U.K., 1963. [4] J. B. Hickey, Semigroups under a sandwich operation, Proc. Edinb. Math. Soc., 26, (1983), 371-382. [5] T. A. Khan , M. V. Lawson, Variants of regular semigroups, Semigroup Forum, 62, (2001), 358-374. [6] K. D. Magill, Jr., Semigroup structures for families of functions I. Some homomor- phism theorems. J. Aust. Math. Soc., 7, (1967), 81-94. โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

256 วายุพงษ ท่งั ทอง และคณะ โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-PU 08 257 สาทสิ สณั ฐานบน B-algebras ON Hom (-,-) AS B-ALGEBRAS ผแู ตง: N.O.AL-SHEHRI จัดทำโดย: พรธิดา ศรีดาพนั ธ1* 1มหาวทิ ยาลัยราชภัฏสรุ ินทร *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ ในบทความนี้ตอ งการศึกษาโฮโมมอรฟ ซมึ บน B-พีชคณิต นอกจากนี้เรายังแนะนำแนวคิดเกีย่ วกบั เซตยอ ย ของการตงั้ ฉาก และคณุ สมบัติเก่ยี วของกับสาทิสสณั ฐาน คำสำคญั : B-พชี คณิตแบบเปลยี่ นหม,ู 0-สลับท่ี B-พชี คณิต, B-พชี คณติ Abstract In this paper, we give an example to show that Hom(-, -) may not, in general, be a B-algebra. Moreover, we find conditions under which Hom(-, -) is a B-algebra. Also, we introduce the notion of an orthogonal subset and discuss some related properties. Keywords: associative B-algebra, 0-commutative B-algebra, B-algebra. 1. บทนำ ในป 1978 Iseki และ Tanaka แนะนำ พีชคณิตนามธรรมสองชนั้ BCK-พชี คณติ และ BCI- พชี คณิต เปน ทีท่ ราบกนั วา ช้ันของ BCK-พชี คณติ เปนชั้นยอยทเ่ี หมาะสม ของชั้นของ BCI-พีชคณติ ตอมาในป 1983 Hu และ Li แนะนำ พีชคณติ นามธรรมชั้นกวา ง : BCH-พชี คณิต พวกเขา แสดงใหเ ห็นวาชั้นของ BCI-พชี คณิต เปน ชน้ั ยอยท่ีเหมาะสมของชน้ั ของ BCI-พีชคณิต ตอมาในป 1995 Jun และ meng ตรวจสอบบางคณุ สมบตั ิของ Hom (X,Y) เซตของสาทิส สณั ฐานทั้งหมดของ Bฺ CI-พีชคณิต X เขา สกู ฏเกณฑข อง Bฺ CI-พีชคณิต Y ตอมาในป 1998 Jun และคณะ แนะนำแนวคิดใหมที่เรยี กวา ฺBH-พีชคณติ ซ่ึงเปน ลกั ษณะ ทวั่ ไปของ Bฺ CH,BCI,BCK-พีชคณิต พวกเขายังนิยามแนวคิดของ BH-พีชคณิต ตอ มาในป 1999 Neggers และ Kim แนะนำแนวคดิ ของ d-พีชคณติ ซงึ่ เปน ประโยชนทั่วไปอกี ประการหนงึ่ ของ BCK-พีชคณติ และจากนนั้ พวกเขาก็ตรวจสอบความสมั พนั ธหลายประการ ระหวาง d-พชี คณิต และ BCK-พชี คณิต รวมถึงความสมั พันธอืน่ ๆท่ีนา สนใจ ระหวาง d-พีชคณิต และ เชงิ กราฟ ตอมาในป 2001 Neggers และ Kim นำเสนอแนวคิดของ Bฺ -พีชคณิต และดงั นน้ั Cho และ Kim ศึกษาคุณสมบัติบางประการของมัน โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

258 พรธิดา ศรดี าพันธ ในบทความนี้ ตอ งการศึกษาโฮโมมอรฟ ซมึ บน B-พชี คณติ นอกจากน้ีเรายงั แนะนำแนวคดิ เกีย่ วกบั เซตยอยของการตงั้ ฉาก และคุณสมบตั เิ กีย่ วของกบั สาทิสสัณฐาน 2. ความรูพ นื้ ฐาน ในบทน้ีเราจะศึกษาสจั พจนบางประการของ B-พชี คณติ คณุ สมบัติท่ีเกย่ี วขอ งกบั B-พีคณติ โดยมบี ทนิยามและทฤษฎีบททเ่ี ก่ียวขอ งดงั ตอ ไปน้ี บทนยิ าม 2.1. ให X เปนเซตท่ีไมเปนเซตวาง จะไดวา การดำเนนิ การทวภิ าค (Binary operation) บนเซต X คือฟงกชนั ทส่ี ง จาก X × X ไปยัง X ตวั อยา ง 2.2. กำหนดฟงกช ัน ∗ : R × R → R นยิ ามโดย a ∗ b = a + b สำหรบั ทุก a, b ∈ R จะเห็นไดว า ฟงกชัน ∗ เปนการดำเนินการทวภิ าคบนเซต R เน่ืองจาก a + b ∈ R สำหรบั ทกุ a, b ∈ R บทนิยาม 2.3. ให X เปน เซตทไี่ มเ ปนเซตวา ง และ ∗ เปน การดำเนนิ การทวิภาค จะเรยี ก (X, ∗, 0) วา เปน B-พชี คณิต (B − algebra) ถาสอดคลองกบั สัจพจนดังตอ ไปน้ี (A1) x ∗ x = 0 (A2) x ∗ 0 = x (A3) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (z ∗ (0 ∗ y)) สำหรับทุก x, y, z ∈ X ตัวอยาง 2.4. ให X = {0, 1, 2} และ ∗ เปนการดำเนินการทวิภาคดังตารางเคยเลย ตอไปนี้ ∗012 0021 1102 2210 จะแสดงวา (X, ∗, 0) เปน B-พีชคณติ วิธที ำ. จะแสดงวา (X, ∗, 0) สอดคลองกับสัจพจน B-พชี คณิต ดังตอไปนี้ (A1) จากตารางจะเหน็ ไดวา 0∗0=0 1∗1=0 2∗2=0 โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

สาทสิ สณั ฐานบน B-algebras 259 ดงั น้นั x ∗ x = 0 (A3) สำหรับทุก x ∈ X (A1) (A2) (A2) จากตารางจะเหน็ ไดวา (A3) (A1) 0∗0=0 (A3) (A3) 1∗0=1 2∗0=2 ดงั นน้ั x ∗ 0 = x สำหรบั ทุก x ∈ X (A3) จากตารางจะเหน็ ไดวาสจั พจนข อ (A3) เปน จรงิ ดงั นน้ั (X, ∗, 0) เปน B- พชี คณติ ประพจน 2.5. ให (X, ∗, 0) เปน B-พีชคณิต แลว (B1) (x ∗ y) ∗ (0 ∗ y) = x (B2) x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ (0 ∗ z)) ∗ y (B3) ถา x ∗ y = 0 แลว x = y (B4) 0 ∗ (0 ∗ x) = x สำหรับทุก x, y, z ∈ X พิสูจน. ให (X, ∗, 0) เปน B-พชี คณติ และให x, y, z ∈ X (B1) พจิ ารณา (x ∗ y) ∗ (0 ∗ y) = x ∗ ((0 ∗ y) ∗ (0 ∗ y)) =x∗0 =x ดังนั้น (x ∗ y) ∗ (0 ∗ y) = x สำหรับทุก x, y ∈ X (B2) พิจารณา x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ 0) ∗ (y ∗ z) = x ∗ ((y ∗ z) ∗ (0 ∗ 0)) = x ∗ ((y ∗ z) ∗ 0) = x ∗ (y ∗ (0 ∗ (0 ∗ z)) = (x ∗ (0 ∗ z)) ∗ y ดงั น้นั x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ (0 ∗ z)) ∗ y สำหรบั ทุก x, y, z ∈ X (B3) สมมตวิ า x ∗ y = 0 [จะแสดงวา x = y] โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

260 พรธดิ า ศรดี าพนั ธ พจิ ารณา x=x∗0 (A2) =x∗x∗y (A1) =0∗y =y ดงั นัน้ ถา x ∗ y = 0 แลว x = y สำหรบั ทกุ x, y ∈ X (B4) พิจารณา 0 ∗ (0 ∗ x) = (x ∗ x) ∗ (0 ∗ x) (A1) = x ∗ ((0 ∗ x) ∗ (0 ∗ x)) (A3) =x∗0 (A1) =x แสดงวา 0 ∗ (0 ∗ x) = x สำหรบั ทุก x ∈ X ดังนัน้ (X, ∗, 0) เปน B-พชี คณติ ทฤษฎีบท 2.6. ให (X, ∗, 0) เปน B-พีชคณิต ก็ตอ เมอ่ื (X, ∗, 0) สอดคลอ งกับสจั พจนด ังตอ ไปน้ี (C1) x ∗ x = 0 (C2) 0 ∗ (0 ∗ x) = x (C3) (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) = x ∗ y (C4) 0 ∗ (x ∗ y) = y ∗ x สำหรับทกุ x, y, z ∈ X พิสูจน. (=⇒) สมมติวา (X, ∗, 0) เปน B-พชี คณิต (C1) ให x ∈ X จากบทนิยาม (A1) จะเห็นไดวา x ∗ x = 0 ดงั นน้ั x ∗ x = 0 (C2) ให x ∈ X พจิ ารณา 0 ∗ (0 ∗ x) = (x ∗ x) ∗ (0 ∗ x) (A1) = x ∗ ((0 ∗ x) ∗ (0 ∗ x)) (A3) =x∗0 (A2) =x ดงั นั้น 0 ∗ (0 ∗ x) = x (C3) ให x, y, z ∈ X พจิ ารณา (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) = x ∗ ((y ∗ z) ∗ (0 ∗ z)) (A3) โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

สาทิสสณั ฐานบน B-algebras 261 = x ∗ (y ∗ (0 ∗ z) ∗ (0 ∗ z) (A3) = x ∗ (y ∗ 0) (A2) =x∗y (A1) ดงั นั้น (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) = x ∗ y (A3) (C4) ให x, y ∈ X พิจารณา (A3) (A2) 0 ∗ (x ∗ y) = (y ∗ y) ∗ (x ∗ y)) = y ∗ (x ∗ y) ∗ (0 ∗ y) (C1) = y ∗ (x ∗ (0 ∗ y) ∗ (0 ∗ y)) = y ∗ (x ∗ 0) (C2) =y∗x (C1) (C2) แสดงวา 0 ∗ (x ∗ y) = y ∗ x ดังนน้ั (X, ∗, 0) สอดคลองกับสัจพจน (C1) - (C4) (C2) (⇐=) สมมติวา (C1) - (C4) เปนจริง [ตองการแสดงวา (X, ∗, 0) เปน B-พชี คณิต] (A1) ให x ∈ X พิจารณา x∗x=0 ดังนนั้ x ∗ x = 0 (A2) ให x ∈ X พจิ ารณา x ∗ 0 = 0 ∗ (0 ∗ x) ∗ 0 = (0 ∗ 0) ∗ (0 ∗ x) = 0 ∗ (0 ∗ x) =x ดงั น้ัน x ∗ 0 = x (A3) ให x, y, z ∈ X พิจารณา (x ∗ y) ∗ z = (x ∗ y) ∗ (0 ∗ (0 ∗ z)) = x ∗ ((0 ∗ y) ∗ z) = x ∗ (z ∗ (0 ∗ y)) แสดงวา (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (z ∗ (0 ∗ y)) ดังนั้น (X, ∗, 0) เปน B-พชี คณิต โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

262 พรธิดา ศรดี าพนั ธ บทนิยาม 2.7. จะเรยี ก B-พีชคณิต (X, ∗, 0) วาเปน 0-สลับท่ี ถา (A3) (บทนยิ าม (2.7)) x ∗ (0 ∗ y) = y ∗ (0 ∗ x) (B4) สำหรับทกุ x, y ∈ X (C4) ประพจน 2.8. ให (X, ∗, 0) เปน 0-สลบั ท่ี B-พีชคณติ แลว (A3) (D1) (0 ∗ x) ∗ (0 ∗ y) = y ∗ x (A3) (D2) (z ∗ y) ∗ (z ∗ x) = x ∗ y (D1) (D3) (x ∗ y) ∗ z = (x ∗ z) ∗ y (B2) (D4) (x ∗ (x ∗ y)) ∗ y = 0 (บทนิยาม (2.7)) (D5) (x ∗ z) ∗ (y ∗ t) = (t ∗ z) ∗ (y ∗ x) (A3) (B4) สำหรบั ทกุ x, y, z, t ∈ X (A1) พิสูจน. ให (X, ∗, 0) เปน 0-สลบั ที่ B-พีชคณติ (D1) ให x, y ∈ X พิจารณา (0 ∗ x) ∗ (0 ∗ y) = 0 ∗ ((0 ∗ y) ∗ (0 ∗ x)) = 0 ∗ (x ∗ (0 ∗ (0 ∗ y)) = 0 ∗ (x ∗ y)) =y∗x ดังน้ัน (0 ∗ x) ∗ (0 ∗ y) = y ∗ x (D2) ให x, y, z ∈ X พิจารณา (z ∗ y) ∗ (z ∗ x) = z ∗ ((z ∗ x) ∗ (0 ∗ y)) = z ∗ (z ∗ ((0 ∗ y) ∗ (0 ∗ x))) = z ∗ (z ∗ (x ∗ y)) = (z ∗ (0 ∗ (x ∗ y))) ∗ z = ((x ∗ y) ∗ (0 ∗ z)) ∗ z = (x ∗ y) ∗ (z ∗ (0 ∗ (0 ∗ z))) = (x ∗ y) ∗ (z ∗ z) = (x ∗ y) ∗ 0 =x∗y ดงั น้นั (z ∗ y) ∗ (z ∗ x) = x ∗ y โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

สาทิสสณั ฐานบน B-algebras 263 (D3) ให x, y, z ∈ X พิจารณา (A3) (บทนยิ าม (2.7)) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (z ∗ (0 ∗ y)) (A3) = x ∗ (y ∗ (0 ∗ z)) (A3) = (x ∗ z) ∗ y (บทนยิ าม (2.7)) ดังน้นั (x ∗ y) ∗ z = (x ∗ z) ∗ y (B2) (D4) ให x, y ∈ X พิจารณา (B4) (A1) (x ∗ (x ∗ y)) ∗ y = x ∗ (y ∗ (0 ∗ (x ∗ y))) = x ∗ ((x ∗ y) ∗ (0 ∗ y)) (A3) = (x ∗ (0 ∗ (0 ∗ y))) ∗ (x ∗ y) (A3) = (x ∗ y) ∗ (x ∗ y) (D1) (B2) =0 (บทนยิ าม (2.7)) (A3) ดงั นัน้ (x ∗ (x ∗ y)) ∗ y = 0 (B4) (D5) ให x, y, z, t ∈ X พิจารณา (x ∗ z) ∗ (y ∗ t) = x ∗ ((y ∗ t) ∗ (0 ∗ z)) = x ∗ (y ∗ ((0 ∗ z) ∗ (0 ∗ t))) = x ∗ (y ∗ (t ∗ z)) = (x ∗ (0 ∗ (t ∗ z))) ∗ y = ((t ∗ z) ∗ (0 ∗ x)) ∗ y = (t ∗ z) ∗ (y ∗ (0 ∗ (0 ∗ x))) = (t ∗ z) ∗ (y ∗ x) แสดงวา (x ∗ z) ∗ (y ∗ t) = (t ∗ z) ∗ (y ∗ x) ดังน้นั (X, ∗, 0) เปน 0-สลับท่ี B-พชี คณิต บทนยิ าม 2.9. ให B-พชี คณิต X จะเรยี ก X วามีคณุ สมบัตกิ ารเปลี่ยนหมู ถา (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) สำหรบั ทกุ x, y, z ∈ X. บทนยิ าม 2.10. ให S ⊆ X ไมเ ปนเซตวาง จะเรยี กวา พีชคณิตยอยของ X ถา x∗y ∈ S สำหรบั ทกุ x, y ∈ S โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

264 พรธดิ า ศรดี าพนั ธ บทนิยาม 2.11. ให N ⊆ B-พชี คณติ X ไมเปนเซตวาง จะเรียกวา เปน พีชคณิตยอยปกติของ X ถา (x ∗ a) ∗ (y ∗ b) ∈ N. สำหรับ x ∗ y, a ∗ b ∈ N ใดๆ บทนยิ าม 2.12. กำหนดฟงกชนั f สงจาก B-พีชคณิต X ไปยงั B-พีชคณติ Y เขยี นแทนดว ย f : X → Y จะเรียก f วาเปน สาทสิ สณั ฐาน ถา f (x ∗ y) = f (x) ∗ f (y) สำหรบั ทุก x, y ∈ X หมายเหตุ 2.13. กำหนด โฮโมมอรฟซึมชดั f เชน f(x) = 0 สำหรบั ทกุ x ∈ X แสดงโดย Hom(X, Y ) เซตของทุกสาทสิ สัณฐาน ของ B-พชี คณิต X ไปยงั B-พีชคณิต Y ตัวอยาง 2.14. กำหนดฟง กช นั f : (Z, +) → (Z, +) นิยามโดย f(a) = 2a สำหรับทกุ a ∈ Z จงแสดงวา f เปนสาทิสสัณฐาน หรอื ไม วิธที ำ. ให a, b ∈ Z จาก f(a) = 2a สำหรับทกุ a ∈ Z จะไดว า f (a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f (a) + f (b) จะเห็นไดว า f(a + b) = f(a) + f(b) สำหรบั ทุก a, b ∈ Z ดังนัน้ f เปน สาทสิ สณั ฐาน 3. ทฤษฎบี ทหลกั ในบทความนี้ตอ งการศกึ ษาโฮโมมอรฟซมึ บน B-พชี คณิต นอกจากนี้เรายงั แนะนำแนวคิด เกีย่ วกับเซตยอ ยของการต้ังฉาก และคณุ สมบตั ิท่ีเกี่ยวขอ งกบั สาทิสสัณฐาน โดยมบี ทนิยามและทฤษฎีบท ดงั ตอ ไปน้ี 3.1 โฮโมมอรฟซ ึมบน B-พีชคณติ บทนิยาม 3.1. จะเรียก Hom(X, Y ) วาเปนเซตของสาทิสสัณฐานของ B-พชี คณติ X ไปยงั B- พีชคณติ Y ถา (f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x), ∀f, g ∈ Hom(X, Y ), ∀x ∈ X โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

สาทสิ สัณฐานบน B-algebras 265 หมายเหตุ 3.2. 0 เปน โฮโมมอรฟ ซ ึมชดั จาก B-พชี คณิต X ไปยงั B-พชี คณิต Y เนือ่ งจาก 0(x ∗ y) = 0(x) ∗ 0(y) (A1) =0∗0 =0 ตัวอยา ง 3.3. ให X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} เปน B-พชี คณติ กบั ตารางเคยเลย (ตาราง 1) ดงั น้ี ∗012345 0021345 1102453 2210534 3345021 4453102 5534210 กำหนดการสง f : X → X โดยท่ี f(x) = 0 สำหรบั ทุก x ∈ X และการสง g : X → X โดยท่ี g(x) = x สำหรบั ทกุ x ∈ X จากนั้นจะตรวจสอบไดงา ยวา f, g ∈ Hom(X, Y ) แต f ∗ g ∈/ Hom(X, Y ) สำหรับ (f ∗ g)(3 ∗ 1) = (f ∗ g)(4 = f (4) ∗ g(4) = 4 และ (f ∗ g)(3) ∗ (f ∗ g)(1) = (f (3) ∗ g(3)) ∗ (f (1) ∗ g(1)) = 3 ∗ 2 = 5 ดงั นน้ั (f ∗ g)(3 ∗ 1) ≠ (f ∗ g)(3) ∗ (f ∗ g)(1) ดว ยเหตุนี้ Hom(X, Y ) ไมเปน B-พชี คณติ ทฤษฎีบท 3.4. ให (X, ∗, 0) เปน B-พีชคณิต และ (Y, ∗, 0) เปน B-พชี คณิตทม่ี คี ณุ สมบัติเปลี่ยนหมู แลว Hom(X, Y ) เปน B-พชี คณิตแบบเปลี่ยนหมู พิสจู น. ให (X, ∗, 0) เปน B-พีชคณิต และ (Y, ∗, 0) เปน B-พีชคณิตท่มี คี ณุ สมบัตเิ ปลีย่ นหมู และให f, g ∈ Hom(X, Y ) และ x ∈ X จะไดว า (f ∗ g)(x ∗ y) = f (x ∗ y) ∗ g(x ∗ y) = (f (x) ∗ f (y)) ∗ (g(x) ∗ g(y)) = f (x) ∗ ((f (y) ∗ g(x)) ∗ g(y)) โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

266 พรธดิ า ศรดี าพนั ธ = (f (x) ∗ (0 ∗ g(y))) ∗ (f (y) ∗ g(x)) (B2) = ((f (x) ∗ 0) ∗ g(y)) ∗ (f (y) ∗ g(x)) = (f (x) ∗ g(y)) ∗ (f (y) ∗ g(x)) (A2) = (f (x) ∗ (g(y) ∗ f (y))) ∗ g(x) = f (x) ∗ (g(x) ∗ (0 ∗ (g(y) ∗ f (y)))) (A3) = f (x) ∗ (g(x) ∗ (f (y) ∗ g(y))) (C4) = (f (x) ∗ g(x)) ∗ (f (y) ∗ g(y)) = (f ∗ g)(x) ∗ (f ∗ g)(y) สงผลให (f ∗ g)(x ∗ y) = (f ∗ g)(x) ∗ (f ∗ g)(y) ดงั นนั้ f ∗ g ∈ Hom(X, Y ) สำหรับทกุ f, g ∈ Hom(X, Y ) น้นั คอื Hom(X, Y ) เปน B-พชี คณติ ตอไปจะแสดงวา Hom(X, Y ) เปน B-พชี คณติ แบบเปล่ียนหมู ให f, g, h ∈ Hom(X, Y ) และ x ∈ X จะไดวา ((f ∗ g) ∗ h)(x) = (f(x) ∗ g(x)) ∗ h(x) ∵ จากคุณสมบัตกิ ารแจกแจง = f(x) ∗ (g(x) ∗ h(x)) ∵ จากคณุ สมบตั กิ ารเปลยี่ นหมู = (f ∗ (g ∗ h))(x) สงผลให ((f ∗ g) ∗ h)(x) = (f ∗ (g ∗ h))(x) เนอ่ื งจาก (Y, ∗, 0) เปน B-พีชคณติ ทีม่ ีคณุ สมบตั เิ ปลย่ี นหมู ดังนนั้ Hom(X, Y ) เปน B-พชี คณติ แบบเปล่ียนหมู ทฤษฎบี ท 3.5. ให (X, ∗, 0) เปน B-พชี คณติ และ (Y, ∗, 0) เปน 0-สลับท่ี B-พชี คณติ แลว Hom(X, Y ) เปน 0-สลับที่ B-พีชคณติ พสิ จู น. ให (X, ∗, 0) เปน B-พีชคณิต และ (Y, ∗, 0) เปน 0-สลับท่ี B-พีชคณติ และให f, g ∈ Hom(X, Y ) และ x ∈ X จะไดว า (f ∗ g)(x ∗ y) = f (x ∗ y) ∗ g(x ∗ y) (D5) = (f (x) ∗ f (y)) ∗ (g(x) ∗ g(y)) (C4) = (g(y) ∗ f (y)) ∗ (g(x) ∗ f (x)) (D1) = (0 ∗ (f (y) ∗ (g(y))) ∗ (0 ∗ (f (x) ∗ g(x))) = (f (x) ∗ g(x)) ∗ (f (y) ∗ g(y)) = (f ∗ g)(x) ∗ (f ∗ g)(y) โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

สาทิสสัณฐานบน B-algebras 267 สง ผลให (f ∗ g)(x ∗ y) = (f ∗ g)(x) ∗ (f ∗ g)(y) ดังนั้น f ∗ g ∈ Hom(X, Y ) สำหรับทุก f, g ∈ Hom(X, Y ) น้นั คอื Hom(X, Y ) เปน B-พีชคณิต ตอ ไปจะแสดงวา Hom(X, Y ) เปน 0-สลับท่ี B-พีชคณติ ให f, g ∈ Hom(X, Y ) และ x ∈ X จะไดว า ((f ∗ 0) ∗ g)(x) = (f (x) ∗ 0(x)) ∗ g(x) ∵ จากคณุ สมบตั ิการแจกแจง = g(x) ∗ (0(x) ∗ f (x)) ∵ จากคุณสมบตั ิการสลบั ท่ี = (g(x) ∗ 0(x)) ∗ f (x) ∵ จากคณุ สมบตั ิการเปล่ยี นหมู = ((g ∗ 0) ∗ f )(x) สง ผลให ((f ∗ 0) ∗ g)(x) = ((g ∗ 0) ∗ f)(x) เนอ่ื งจาก (Y, ∗, 0) เปน 0-สลบั ท่ี B-พีชคณิต ดังนั้น Hom(X, Y ) เปน 0-สลบั ท่ี B-พีชคณติ บทนยิ าม 3.6. ให M ⊆ X และ Θ ⊆ Hom(X, Y ) เรากำหนด เซตยอ ยเชงิ ต้ังฉาก M⊥ และ Θ⊥ ของ M และ Θ ตามลำดับ โดย M⊥ = {f ∈ Hom(X, Y )|f(x) = 0, สำหรบั ทกุ x ∈ M} และ Θ⊥ = {x ∈ X|f(x) = 0, สำหรับทุก f ∈ Hom(X, Y )} ทฤษฎบี ท 3.7. ให (X, ∗, 0) เปน B-พีชคณิต (Y, ∗, 0) เปน B-พีชคณติ ที่มีคณุ สมบัติเปลี่ยนหมู M ⊆ X และ Θ ⊆ Hom(X, Y ) จะไดวา M⊥และ Θ⊥ เปนพีชคณิตยอ ยปกติของ Hom(X, Y ) และ X ตามลำดับ พสิ จู น. ให (X, ∗, 0) เปน B-พชี คณิต (Y, ∗, 0) เปน B-พชี คณิตที่มีคุณสมบัติเปล่ยี นหมู M ⊆ X และ Θ ⊆ Hom(X, Y ) และให f ∗ g, h ∗ k ∈ M⊥ จะไดว า (f ∗ g)(x) = 0 สำหรับทุก x ∈ M และ (h ∗ k)(x) = 0 สำหรับทุก x ∈ M จากทฤษฎบี ท 3.4 เราจะไดวา Hom(X, Y ) เปน B-พีชคณิตแบบเปลยี่ นหมู ดงั น้ี ((f ∗ h) ∗ (g ∗ k))(x) = (((f ∗ h) ∗ g) ∗ k)(x) (A3) = ((f ∗ (g ∗ (0 ∗ h))) ∗ k)(x) (A2) = ((f ∗ ((g ∗ 0) ∗ h)) ∗ k)(x) = ((f ∗ (g ∗ h)) ∗ k)(x) โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

268 พรธิดา ศรีดาพนั ธ = ((f ∗ g) ∗ (h ∗ k))(x) = ((f ∗ g)(x) ∗ (h ∗ k))(x) =0 สงผลให ((f ∗ h) ∗ (g ∗ k))(x) = 0 สำหรับทกุ x ∈ M ดังนั้น (f ∗ h) ∗ (g ∗ k) ∈ M⊥ และ M⊥ อ่ืนๆเปนพีชคณติ ยอยปกติของ Hom(X, Y ) ตอไปจะแสดงวา Θ⊥ เปนพชี คณิตยอยปกติของ X ในทำนองเดยี วกันเราสามารถพสิ ูจนไ ดวา f((x ∗ a) ∗ (y ∗ b)) = 0 สำหรบั ทกุ f ∈ Hom(X, Y ) เมอ่ื ให x ∗ y, a ∗ b ∈ Θ⊥ จะไดวา f(x ∗ y) = 0 สำหรบั ทกุ f ∈ Hom(X, Y ) และ f(a ∗ b) = 0 สำหรบั ทุก f ∈ Hom(X, Y ) เนื่องจาก (Y, ∗, 0) เปน B-พีชคณิตทีม่ คี ณุ สมบัตเิ ปลย่ี นหมู จะไดวา f ((x ∗ a) ∗ (y ∗ b)) = f ((x ∗ a) ∗ y) ∗ b) (A3) = f ((x ∗ (y ∗ (0 ∗ a))) ∗ b) (A2) = f ((x ∗ ((y ∗ 0) ∗ a)) ∗ b) = f ((x ∗ (y ∗ a)) ∗ b) = f ((x ∗ y) ∗ a) ∗ b) = f ((x ∗ y) ∗ (a ∗ b)) = f (x ∗ y) ∗ f (a ∗ b) =0∗0 =0 สงผลให f((x ∗ a) ∗ (y ∗ b)) = 0 จะเห็นไดว า (x ∗ a) ∗ (y ∗ b) ∈ Θ⊥ สำหรับทกุ f ∈ Hom(X, Y ) ดังนน้ั Θ⊥ เปนพีชคณิตยอยปกติของ X ทฤษฎบี ท 3.8. ให (X, ∗, 0) เปน B-พชี คณติ และ (Y, ∗, 0) เปน 0-สลับที่ B-พีชคณิต M ⊆ X และ Θ ⊆ Hom(X, Y ) จะไดวา M⊥ และ Θ⊥ เปนพีชคณติ ยอ ยปกติของ Hom(X, Y ) และ X ตามลำดบั พสิ ูจน. ให (X, ∗, 0) เปน B-พชี คณิต และ (Y, ∗, 0) เปน 0-สลบั ที่ B-พีชคณติ M ⊆ X และ Θ ⊆ Hom(X, Y ) และให f ∗ g, h ∗ k ∈ M⊥ จะไดวา (f ∗ g)(x) = 0 สำหรบั ทุก x ∈ M และ (h ∗ k)(x) = 0 สำหรบั ทกุ x ∈ M โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

สาทสิ สณั ฐานบน B-algebras 269 จากทฤษฎีบท 3.5 เราจะไดวา Hom(X, Y ) เปน 0-สลับที่ B-พชี คณิต ดงั น้ี ((f ∗ h) ∗ (g ∗ k))(x) = ((k ∗ h) ∗ (g ∗ f ))(x) ( D5) = ((0 ∗ (h ∗ k)) ∗ (0 ∗ (f ∗ g)))(x) (C4) = (0(x) ∗ (h ∗ k)(x)) ∗ (0(x) ∗ (f ∗ g)(x)) =0 สำหรบั ทุก x ∈ M ดงั นน้ั (f ∗ h) ∗ (g ∗ k) ∈ M⊥ และ M⊥ อ่ืนๆเปนพีชคณิตยอ ยปกติของ Hom(X, Y ) ตอไปจะแสดงวา Θ⊥ เปนพชี คณติ ยอ ยปกติของ X ในทำนองเดยี วกันเราสามารถพิสจู นไดว า f((x ∗ a) ∗ (y ∗ b)) = 0 สำหรบั ทุก f ∈ Hom(X, Y ) เมอื่ ให x ∗ y, a ∗ b ∈ Θ⊥ จะไดวา f(x ∗ y) = 0 สำหรับทุก f ∈ Hom(X, Y ) และ f(a ∗ b) = 0 สำหรบั ทุก f ∈ Hom(X, Y ) เนือ่ งจาก (Y, ∗, 0) เปน 0-สลบั ท่ี B-พีชคณติ จะไดวา f ((x ∗ a) ∗ (y ∗ b)) = f ((b ∗ a) ∗ (y ∗ x)) (D5) = f ((0 ∗ (a ∗ b)) ∗ (0 ∗ (x ∗ y))) (C4) = f (0 ∗ (a ∗ b)) ∗ f (0 ∗ (x ∗ y)) = f (0) ∗ f (a ∗ b) ∗ f (0) ∗ f (x ∗ y) = f (0) ∗ 0 ∗ f (0) ∗ 0 = (f (0) ∗ f (0)) ∗ (0 ∗ 0) (A1) =0∗0 =0 สง ผลให f((x ∗ a) ∗ (y ∗ b)) = 0 จะเหน็ ไดวา (x ∗ a) ∗ (y ∗ b) ∈ Θ⊥ สำหรบั ทุก f ∈ Hom(X, Y ) ดงั นน้ั Θ⊥ เปน พชี คณิตยอยปกติของ X 4. บทสรปุ และขอเสนอแนะ จากบทความนี้ เราไดศกึ ษาโฮโมมอรฟซึมบน B-พีชคณติ แนวคิดเกีย่ วกับเซตยอ ยของการตัง้ ฉาก และคุณสมบตั ิท่ีเก่ยี วขอ งกบั สาทิสสัณฐาน นอกจากนี้ ทฤษฎบี ท พรอพโพซิชัน ในบทความเรอ่ื ง นี้ยงั มีการดำเนนิ การในแกปญ หา การพสิ จู นอยา งเปนข้นั ตอน มีระบบ เปน สงิ่ ท่ีนา สนใจ และสามารถ นำความรทู ่ีไดจากการศกึ ษาบทความเรอื่ งน้ี ไปพฒั นาและตอยอด โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

270 พรธิดา ศรดี าพันธ เอกสารอา งองิ [1] J. R. Cho and H. S. Kim, On B-algebras and quasigroups, Quasigroups and Related Systems 8 (2001), 1-6. [2] Q. P. Hu and X. Li, On BCH-algebras, Math. Seminar Notes 11 (1983), 313-320. [3] Q. P. Hu and X. Li, On proper BCH-algebras, Math. Japo. 30 (1985), 659-661. [4] K. Iseki, On BCI-algebras, Math. Seminar Notes 8 (1980), 125-130. [5] K. Iseki and S. Tanaka, An introduction to theory of BCK-algebras, Math. Japo. 23 (1978), 1-26. [6] Y. B. Jun and J. Meng, On Hom(-, -) as BCK/BCI-algebras, Kyungpook Math. J. 35 (1995), 77-83. [7] Y. B. Jun, E. H. Roh and H. S. Kim, On BH-algebras, Sci. Math. Japonica Online 1 (1998), 347-354. [8] H. S. Kim and H. G. Park, On 0-commutative B-algebras, Sci. Math. Japonica Online e-2005, 31-36. . [9] J. Neggers and H. S. Kim, On d-algebras, Math. Slovaca 49 (1999), 19-26. [10] J. Neggers and H. S. Kim, On B-algebras, Mate. Vesnik 54 (2002), 21-29. [11] J. Neggers and H. S. Kim, A fundamental theorem of B-homomorphism for B- algebras, Inter. Math. J. 2 (2002), 207-214. โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-PU 09 271 สมการไดโอแฟนไทน 3x + 5y = z2 On the Diophantine Equation 3x + 5y = z2 ผูแตง : Banyat Sroysang จดั ทำโดย: ยศกร สายสังข1* 1หลักสูตรวชิ าสาขาวิชาคณติ ศาสตร คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภฏั เพชรบูรณ *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ การศกึ ษาสัมมนาเรือ่ งสมการไดโอแฟนไทน 3x + 5y = z2 มีวัตถุประสงคเ พ่อื หาผลเฉลยทเ่ี ปน จำนวนเตม็ ที่ไมเปนลบของสมการ 3x + 5y = z2 และพบวา (x, y, z) = (1, 0, 2) เปนเพยี งผลเฉลยเดยี วของสมการ ดงั กลาว คำสำคัญ: สมการไดโอแฟนไทน Abstract In this paper, we show that the Diophantine equation 3x + 5y = z2 has a unique non- negative integer solution. The solution (x, y, z)is(1, 0, 2). Keywords: exponential Diophantine equation 1. บทนำ ในป 1844, Catalan [2] ไดตัง้ ขอคาดการณเอาไววา (3, 2, 2, 3) = (a, b, x, y) เปน เพียง ผลเฉลยเดยี วของสมการไดโอแฟนไทน ax − by = 1 โดยท่ี a, b, x และ y เปน จำนวนเตม็ และ min{a, b, x, y} > 1 และในป 2004 Mihailescu [4] ไดท ำการพิสจู นขอ คาดการณข อง Catalan ในป 2007 Acu [1] ไดพิสจู นวา (x, y, z) = (3, 0, 3) และ (x, y, z) = (2, 1, 3) เปน 2 ผล เฉลยของสมการไดโอแฟนไทน 2x + 5y = z2 โดยท่ี x, y และ z ไมเ ปน จำนวนเต็มลบ วิธีการพิสูจนใ ช ขอ คาดการณของ Calatan ในป2 011 Suvarnamani, Singta และ Chotchaishit [6] ไดพ สิ ูจนว า 2 สมการ คอื 4x+7y = z2 และ 4x + 11y มผี ลเฉลยเปน จำนวนเต็มลบ วิธกี ารพิสจู นใชขอคาดการณของ Calatan ในปเดยี วกัน Suvarnamani [5] ไดทำการหาจำนวนเต็มบวกบางตวั เพือ่ หาผลเฉลยสมการได โอแฟนไทน 2x + px = z2 โดยที่ p เปน จำนวนเตม็ บวกทเี่ ปนเลขค่ี เขาพสิ ูจนใ หเ หน็ วา ถา p = 2 แลว สมการน้ีจะมคี ำตอบมากมาย วธิ ีการพิสูจนใ ชขอคาดการณข อง Calatan โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

272 ยศกร สายสงั ข ในป 2012 Chotchaishit [3] ไดคน หาผลเฉลยท่ไี มเ ปนจำนวนเตม็ ลบทั้งหมดของสมการไดโอ แฟนไทน 4x + px = z2 โดยที่ p เปนจำนวนเตม็ บวกที่เปนเลขคี่ วิธีการพิสจู นใชขอ คาดการณของ Calatan ในบทความน้ี เราใชขอคาดการณของ Calatan เพอ่ื พิสจู นวา (x, y, z) = (1, 0, 2) เปนเพียง ผลเฉลยเดียวของสมการไดโอแฟนไทน 3x + 5y = z2 โดยท่ี x, y และ z เปน จำนวนเตม็ ทไี่ มเ ปน ลบ 2. ความรูพ นื้ ฐาน บทนิยาม 2.1. จำนวนเต็ม คอื จำนวนทไี่ มม ีเศษสว นและทศนยิ มรวมอยูในจำนวนนนั้ สมบตั ิบางประการของจำนวนเต็ม สำหรับจำนวนเตม็ a, b ใด ๆ ถา a, b เปน จำนวนเตม็ คี่ แลว a · b เปน จำนวนเต็มค่ี สำหรับจำนวนเตม็ a, b ใด ๆ ถา a, b เปนจำนวนเตม็ คู แลว a · b เปนจำนวนเตม็ คู บทนยิ าม 2.2. สมการไดโอแฟนไทน (Diophantine equations) คอื สมการใด ๆ ที่มีคัวแปรหนึ่งตัว หรือมากกวา หน่ึงตวั และผลเฉลยเปน จำนวนเต็ม บทนิยาม 2.3. สมการไดโอแฟนไทนเชิงเสน n ตวั แปร ( Linear diophantine equation in n vari- ables) คือสมการท่ีอยูในรปู a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b หรือ a1, a2, ..., an และ b เปนจำนวนเต็มซงึ่ a1, a2, ..., an ไมเ ทา กับ 0 และ x1, x2, ..., xn เปนตวั แปรจำนวน n ตวั และเรยี ก (c1, c2, ..., cn) เปน คำตอบของสมการ a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b ⇔ a1c1 + a2c2 + ... + ancn = b บทนยิ าม 2.4. กำหนด a, bเปน จำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0 b หาร a ลงตัว ก็ตอ เมื่อ มีจำนวนเตม็ n ที่ทำให a = bn และเขียนแทน “b หาร a ลงตวั ” ไดด วยสญั ลักษณ b | a บทนยิ าม 2.5. กำหนดให a, b, m เปน จำนวนเตม็ ใด ๆ และm > 0 แลวaสมภาคกับ b มอดโุ ล m ก็ ตอเมอ่ื m | (a − b) และใชสัญลกั ษณ a ≡ b(mod m) แทน “a สมภาคกับ b มอดโุ ล m” บทต้งั 2.6. [4](3, 2, 2, 3) = (a, b, x, y) เปนเพียงผลเฉลยเดยี วของสมการไดโอแฟนไทน ax−by = 1 โดยท่ี a, b, x และ y เปนจำนวนเต็ม และ min {a, b, x, y} > 1 บทต้งั 2.7. สมการไดโอแฟนไทน 3x + 1 = z2 เม่อื x และ z ไมเปนจำนวนเต็มลบ สมการน้จี ะมีเพยี ง ผลเฉลยเดยี ว คือ (x, y) = (1, 2) พสิ จู น. ให x, z ∈ I+ ∪ {0} และสมการไดโอแฟนไทน 3x + 5y = z2 โดยจะพิจาณาเปน 2 กรณี คือ x = 0 และ x ≥ 1 √ 2 ถา x = 0 จะได 30 + 1 = z2 นนั่ คอื z2 = 2 ไดว า z = ∈/ I+ ∪ {0} โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

สมการไดโอแฟนไทน 3x + 5y = z2 273 ถา x ≥ 1 จะได z2 = 3x + z ≥ 31 + 1 ≥ 4 น้นั คือ z ≥ 2 พิจารณาสมการ z2 − 3x = 1 ไมสอดคลองกบั บทตง้ั 2.6 ถา หาก x > 1 นั้นคือ x = 1 ดงั นั้น (1, 2) เปนเพยี งคำตอบเดียวของสมการ 3x + 1 = z2 เมือ่ x และ z ไมเปนจำนวนเต็มลบ บทตั้ง 2.8. สมการไดโอแฟนไทน 1 + 5y = z2 ไมม ผี ลเฉลยที่เปนจำนวนเต็มไมเ ปน ลบ พสิ จู น. สมมติ y และ z ∈ I+ ∪ {0} และสมการไดโอฟแนไทน 3x + 5y = z2 √ ถา y = 0 จะได 1 + 50 = z2 นั่นคอื z2 = 2 ไดว า z = 2 ∈/ I+ ∪ {0} ถา y ≥ 1 จะได z2 = 1 + 5y ≥ 1 + 51 ≥ 6 น่ันคือ z > √ = 2.449 ดังน้นั z ≥ 3 6 พิจารณาสมการ z2 − 5y = 1 ไมส อดคลองกบั บทต้ัง 2.6 ดังนนั้ สมการ 1 + 5y = z2 ไมม ผี ลเฉลยท่ีเปน จำนวนเต็มไมเ ปน ลบ บทต้ัง 2.9. ถา 3x ≡ 3(mod 4) แลว x เปนจำนวนค่ี พสิ จู น. จาก 3x ≡ 3(mod 4) จะได 4 | (3x − 3) สมมติ x เปน จำนวนคู จะได x = 2n; n ∈ I จะได 4 | (32n − 3) ดงั นนั้ 4 | 3(32n−1 − 1) แต 4 3 ดงั น้นั 4 | (32n−1 − 1) น่ันคอื 32n − 1 = 4m; m ∈ I 32n − 1 = m ∈/ I 4 ดังนนั้ x ไมเปน จำนวนคู นน่ั คือ x เปนจำนวนคี่ บทต้ัง 2.10. ถา n เปน จำนวนเตม็ บวกใด ๆ แลว 34n−1 ≡ 2(mod 5) พสิ ูจน. ให p(n) แทน 34n−1 ≡ 2(mod 5) 1 จะแสดงวา p(1) เปนจริง เนือ่ งจาก 33 − 2 = 25 และ 5 | 25 นัน้ คือ 33 ≡ 2(mod 5) ดังนนั้ p(1) เปน จรงิ 2 ให p(k) เปนจรงิ จะแสดงวา p(k + 1) เปนจรงิ จะได 34k−1 ≡ 2(mod 5) 34k−1 × 34 ≡ 2 × 34(mod 5) 34(k−1)−1 ≡ 2 × 34(mod 5) 34(k−1)−1 ≡ 2(mod 5) ดงั น้นั p(k + 1) เปน จริง สรุป ถา n เปนจำนวนเต็มบวกใด ๆ แลว 34n−1 ≡ 2(mod 5) โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้ังท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

274 ยศกร สายสงั ข บทต้งั 2.11. ถา n เปนจำนวนเต็มบวกใด ๆ แลว 3x ≡ 3(mod 5) พสิ ูจน. ให p(n) แทน 34n−3 ≡ 3(mod 5) 1. จะแสดงวา p(1) เปนจริง เนือ่ งจาก 3 ≡ 3(mod 5) นนั้ คอื 34(1)−3 ≡ 3(mod 5) ดังน้นั p(1) เปนจริง 2. ให p(k) เปนจริง จะแสดงวา p(k + 1) เปน จรงิ จะได 34k−3 ≡ 3(mod 5) 34k−3 × 34 ≡ 3 × 34(mod 5) 34k+1 ≡ 3 × 34(mod 5) 34(k+1)−3 ≡ 3 × 34(mod 5) 34(k+1)−3 ≡ 3(mod 5) ดงั นน้ั p(k + 1) เปน จริง สรปุ ถา n เปนจำนวนเตม็ บวกใด ๆ แลว 34n−3 ≡ 3(mod 5) 3. ทฤษฎบี ทหลกั ทฤษฎบี ท 3.1. (x, y, z) = (1, 0, 2) เปน ผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน 3x + 5y = z2 เมื่อ x, y และ z ไมเปน จำนวนเต็มลบ พสิ ูจน. ให x, y และ z ไมเ ปน จำนวนเต็มลบ สมมติ x = 0 จะได 30 + 5y = z2 ซ่ึงคือ 1 + 5y = z2 ทำใหสมการที่กำหนดใหไมม คี ำตอบ โดยบทต้งั 2.8 เรามี x ≥ 1 แยกพิจารณา y ออกเปน 2 กรณี กรณี y ≥ 1 เราทราบวา z เปนจำนวนคู จะได z = 2k น่นั คือ 2|z ดงั นน้ั 22|z2 ไดว า 4|z2 เพราะฉะนนั้ z2 ≡ 0(mod 4) เนื่องจาก 5 ≡ 1(mod 4) ทำใหได 3x ≡ 3(mod 4) ดงั นัน้ x เปนจำนวนค่ี จะไดวา 3x ≡ 2(mod 5) หรือ 3x ≡ 3(mod 5) จะได z2 ≡ 2(mod 5) หรือ z2 ≡ 3(mod 5) กรณี y = 0 โดยบทตั้ง 2.7 เรามี x = 1 และ z = 2 ดงั น้นั (x, y, z) = (1, 0, 2) เปนผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน 3x + 5y = z2 เมอื่ x, y และ z ไมเ ปนจำนวนเตม็ ลบ บทแทรก 3.2. สมการไดโอแฟนไทน 3x + 5y = w4 ไมม ผี ลเฉลยทีไ่ มเ ปน ลบ พิสจู น. สมมติ x, y และ w เปน จำนวนเต็มลบ ให z = w2 จะได 3x + 5y = z2 โดยทฤษฎีบท 3.1 เรามี (x, y, z) = (1, 0, 2) ซงึ่ เกิดการขัดแยง ดงั นั้น สมการไดโอแฟนไทน 3x + 5y = w4 ไมม ผี ลเฉลยท่ไี มเปน ลบ โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

สมการไดโอแฟนไทน 3x + 5y = z2 275 เอกสารอางอิง [1] D. Acu, On a Diophantine equation 2x + 5y = z2, Gen. Math., 15 (2007),145-148. [2] E. Catalan, Note extraite dune lettre adressee a lediteur, J. Reine Angew.Math., 27 (1844), 192. [3] S. Chotchaisthit, On the Diophantine equation 4x + py = z2 where p is a prime number, Amer. J. Math. Sci., 1 (2012), 191-193.. [4] P. Mihailescu, Primary cycolotomic units and a proof of Catalan’s conjec-ture, J. Reine Angew. Math., 27 (2004), 167-195. [5] A. Suvarnamani, Solotions of the Diophantine equation 2x + py = z2, Int.J. Math. Sci. Appl., 1 (2011), 1415-1419. [6] A. Suvarnamani, A. Singta, S. Chotchaisthit, On two Diophantine equa- tions 4x + 7y = z2 and 4x + 11y = z2, Sci. Technol. RMUTT J., 1 (2011),25-28. โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

276 ยศกร สายสังข โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-PU 10 277 เซตเปดแบบนาโนวิคลยี  On Nano Forms of Weakly Open Sets ผูแตง : M.Lellis Thivagar and Carmel Richard จัดทำโดย: อาดลุ ย จงรกั ษ1*และ พรรณราย พัว้ ปอ ง1 1หลักสูตรสาขาวิชาคณติ ศาสตร คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั เพชรบูรณ *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ บทความน้ีจะกลาวถึงบทนยิ ามและศกึ ษาสมบตั ิพืน้ ฐานของเซตเปด แบบนาโนวิคลีย 4 แบบไดแ ก เซดเปด แบบนาโนแอลฟา, เซตเปด แบบนาโนเซไม, เซตเปด แบบนาโนพร,ี เซตเปดแบบนาโนเรกลู าร คำสำคญั : นาโนทอพอโลย,ี เซดเปดแบบนาโนแอลฟา , เซตเปด แบบนาโนเซไม, เซตเปดแบบนาโนพร,ี เซต เปดแบบนาโนเรกลู าร Abstract The purpose of this paper is to define and study certain weak forms of nano-open sets namely, nano α-open sets , nano semi-open sets and nano pre-open sets. Various forms of nano α-open sets and nano semi-open sets corresponding to different cases of appoxi- mations are also derived. Keywords: Nanotopology, nano α-open sets , nano semi-open sets , nano pre-open sets, nano regular open sets. 1. บทนำ ในป คศ.1965 Njastad, O. นยิ ามและศึกษาเซตเปดแบบแอลฟา ในป คศ.1963 Levine, N. นิยามและศกึ ษาเซตเปด แบบเซไม และ ในป คศ.1984 Masshour, A.S. นยิ ามและศึกษาเซตเปดแบบ พรี และในบทความนี้ไดนำแนวคิดท้ัง 3 ทา นดงั ท่ีกลา วมาขางตน มานิยามและทำการศึกษาเซตเปด แบบนาโนแอลฟา, เซตเปด แบบนาโนเซไม, เซตเปดแบบนาโนพรี และ เซตเปด นาโนเรกูลาร ในปรภิ มู ิ นาโนทอพอโลยี 2. ความรพู ืน้ ฐาน บทนยิ าม 2.1. ให X เปนเซตซง่ึ ไมใ ชเซตวา ง และ τ เปนเซตยอยของเซตกำลงั ของ X ที่มีสมบัติดงั น้ี (1) ϕ ∈ τ และ X ∈ τ โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้ังท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

278 อาดลุ ย จงรักษ และ พรรณราย พ้วั ปอ ง (2) ถา G1, G2,...,Gn ∈ τ แลว ∩n G1 ∈ τ (3) ถา ∈ ทุกคา ∈ i=1 เปน เซตดรรชนี แลว ∪ ∈ Gα τ α J เม่อื J Gα τ เรียก (X, τ) วา ปริภมู ิทอพอโลยี (topological space) เรยี ก τ วา ทα∈อJพอโลยี (topology) บน X และเรยี กสมาชิกของ τ วา เซตเปด (open set) คุณสมบัตขิ อ (2) ในบทนยิ าม 2.1 นี้ เราสามารถแสดง เพียงใหไดวา ถา G1, G2 ∈ τ แลว G1 ∩ G2 ∈ τ ก็พอทั้งน้ีเพราะ ถา ประพจนนี้จริงแลว โดยอาศยั อปุ นัยเชงิ คณิตศาสตร สามารถแสดงไดวา คณุ สมบัติขอ (2) เปนจริงดวย บทนิยาม 2.2. ให (X, τ) เปนปรภิ มู เิ ชิงทอพอโลยี และ A ⊆ X จะเรียก A วา (1) เปน เซตเปดแบบเซไม (semi-open set) ถา A ⊆ Cl(Int(A)) (2) เปน เซตเปด แบบพรี (pre-open set) ถา A ⊆ Int(Cl(A)) (3) เปน เซตเปด แบบแอลฟา (α-open set) ถา A ⊆ Int(Cl(Int(A))) (4) เปน เซตเปดแบบเรกลู าร (regular-open set) ถา A = Int(Cl(A)) บทนิยาม 2.3. ให U เปนเซตจำกัดท่ีไมเ ปนเซตวางซงึ่ เรยี กวา เอกภพสมั พัทธ และ R เปนความสัมพนั ธ สมมูลบน U ซง่ึ เรยี กวาความสมั พันธ อินดสิ เซอนิบิลิตี (Indiscernibility) U จะถูกแบงดว ยชั้นสมมูล ใน U เรียก (U, R) วาปรภิ มู ิแอบพรอกชิเมชนั (approximation space) ให X ⊆ U, R(x) เปนชน้ั สมมลู ของ x ภายใต R (1) โลเวอรแ อบพรอกซเิ มชนั (lower approximation) ของ X เทยี บกับ R คอื ∪ LR(X) = {R(x) : R(x) ⊆ X} (2) อัปเปอรแอบพรอXก∈ซUิเมชัน (upper approximation) ของ X เทยี บกับ R คือ ∪ UR(X) = {R(x) : R(x) ∩ X} ̸= ϕ (3) บลาวดารี รเี จยี นX(b∈Uoundary region) ของ X เทยี บกบั R คือ BR(X) = UR(X) - LR(X) บทนยิ าม 2.4. ให U เปนเอกภพสมั พทั ธ และ R เปน ความสมั พนั ธช น้ั สมมูลบน U และ X ⊆ U กำหนด τR(X) = {U, ϕ, LR(X), UR(X), BR(X)} ซึง่ มีคุณสมบัตดิ ังนี้ (1) U และ ϕ ∈ τR(X) (2) ผลผนวก (Union) ของสมาชิกใน τR(X) เปน สมาชกิ ของ τR(X) (3) ผลตดั (Intersection) แบบจำกัดของสมาชกิ ใน τR(X) เปนสมาชิกของ τR(X) นน่ั คือ τR(X) เปน ทอพอโลยีบน U เรยี กวา นาโนทอพอโลยี (Nanotopology) บน U ที่เกี่ยวกับ X เขียนแทนดวย (U, τR(X)) ซงึ่ เรียกวา ปรภิ ูมินาโนทอพอโลยี (Nanotopology space) และเรยี ก สมาชิกใน τR(X) วา เซตเปด แบบนาโน (Nano open set) สวนสมาชกิ ท่ีอยูใน [τR(X)]c เรียกวา เซต ปด แบบนาโน (Nano-closed sets) ใน U โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

เซตเปด แบบนาโนวคิ ลีย 279 หมายเหตุ 2.5. ถา τR(x) เปนนาโนทอพอโลยี บน U ที่เทียบกับ X ดังน้นั เซต B = {U, LR(X), BR(X)} เปน เบส (basis) สำหรับ τR(x) บทนิยาม 2.6. ถา (U, τR(x)) คอื ปริภูมินาโนทอพอโลยี โดยท่ี X ⊆ U และถา A ⊆ U แลว นาโนอนิ ทิเรีย (Nano interior) ของ A คอื ยูเนยี นของเซตยอยเปดแบบนาโน ทั้งหมดของ A กำหนดดวยสญั ลกั ษณ NInt(A) นาโนโคสเชอร (Nano closure) ของ A คอื อนิ เตอรเซคชนั ของเซตปด แบบนาโนทั้งหมดท่ีมี A เปนเซตยอย กำหนดดวยสัญลักษณ NCl(A) หมายเหตุ 2.7. NInt(A) เปนเซตเปด แบบนาโนที่ใหญท่ีสุดที่เปนสับเซตของ A และ NCl(A) เปน เซตปดแบบนาโนท่เี ล็กที่สดุ ทม่ี ี A เปน เซตยอ ย บทนยิ าม 2.8. ให (U, τR(x)) คือ ปรภิ ูมินาโนทอพอโลยี กลาววาเปน เอกซทริมลั ลีดสิ คอนเนค (Ex- tremally disconnected) ถา นาโนโคสเชอรของแตล ะเซตเปด แบบนาโน เปน เซตเปดแบบนาโน. บทนิยาม 2.9. ให (U, τR(x)) เปนปรภิ ูมินาโนทอพอโลยี และ A ⊆ U จะเรียก A วา (1) เปน เซตเปด แบบนาโนเซไม (Nano semi-open set) ถา A ⊆ NCl(NInt(A)) (2) เปน เซตเปด แบบนาโนพรี (Nano pre-open set) ถา A ⊆ NInt(NCl(A)) (3) เปน เซตเปด แบบนาโนแอลฟา (Nano α-open set) ถา A ⊆ NInt(NCl(NInt(A))) NSO(U, X), NPO(U, X) และ τRα แทนเซตของเซตเปดแบบนาโนเซไม, เซตของเซตเปดแบบนาโน พร,ี เซตของเซตเปดแบบนาโนแอลฟา ตามลำดับ. สำหรบั B ⊆ U จะเรยี ก B วา เซตปด แบบนาโนแอลฟา (เซตปด แบบนาโนเซไม, เซตปด แบบนาโนพรี) ถา คอมพลิเมนตของ B เปนเซตเปด แบบนาโนแอลฟา (เซตเปดแบบนาโนเซไม, เซตเปด แบบนาโนพรี) บทนยิ าม 2.10. ให (U, τR(x)) เปน ปริภมู ินาโนทอพอโลยี และ A ⊆ U คอื เซตเปดแบบนาโนเรกู ลาร (Nano regular-open set) ถา NInt(NCl(A)) = A ตัวอยาง 2.11. ให U = {a, b, c, d} กบั U/R = {a, c, b, d} และ X = {a, b} จะแสดงวา τR(x) = {U, ϕ, {a}, {a, b, d}{b, d}} , เซตปด นาโน คอื U, ϕ, {b, c, d}, {c} และ {a, c} แลว NSO(U, X) = {U, ϕ, {a}, {a, c}, {a, b, d}, {b, c, d}} และ NPO(U, X) = {U, ϕ, {a}, {b}, {d}, {a, b}, {a, d}, {b, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}} และ τRα = {U, ϕ, {a}, {b, d}{a, b, d}} 3. ทฤษฎบี ทหลัก ทฤษฎบี ท 3.1. ให (U, τR(x)) เปนปริภมู ินาโนทอพอโลยี และ A ⊆ U ถา A เปน เซตเปดแบบนาโน แลว A เปน เซตเปดแบบนาโนแอลฟา ใน U โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

280 อาดลุ ย จงรกั ษ และ พรรณราย พวั้ ปอง พิสจู น. ให A เปนเซตเปดแบบนาโน ใน U โดยทฤษฎีบทพื้นฐานของเซตเปดนาโน และความรพู ืน้ ฐานของนาโนอนิ ทิเรยี จะไดว า NInt(A) = A และโดยคณุ สมบัติของนาโนโคสเชอร จะไดว า NCl(NInt(A)) = NCl(A) และ A ⊆ NCl(A) .....⃝1 ดงั นั้น A ⊆ NCl(NInt(A)) และโดยคณุ สมบัตินาโนอนิ ทิเรยี จะไดวา NInt(A) ⊆ NInt(NCl(NInt(A))) .....⃝2 จาก ⃝1 , ⃝2 จงึ ไดว า A ⊆ NInt(NCl(NInt(A))) โดยนิยามของเซตเปด แบบนาโนแอลฟา จะไดว า A เปน เซตเปดแบบนาโนแอลฟา. ทฤษฎบี ท 3.2. ให (U, τR(x)) เปน ปรภิ ูมินาโนทอพอโลยี และ A ⊆ X จะไดว า τRα(X) ⊆ NSO(U, X) พิสจู น. ให A ∈ τRα(X) จะแสดงวา τRα(X) ⊆ NSO(U, X) โดยนยิ ามเซตเปดแบบนาโนแอลฟา ไดวา A ⊆ NInt(NCl(NInt(A))) และโดยคุณสมบัติของนาโนอนิ ทเิ รีย จะไดวา NInt(NCl(NInt(A))) ⊆ NCl(NInt(A)) โดยนิยามเซตเปดแบบนาโนเซไม ไดว า A ∈ NSO(U, X) ดงั นั้น ไดวา τRα(X) ⊆ NSO(U, X). หมายเหตุ 3.3. บทกลับของทฤษฎบี ท 3.2 ไมจรงิ พจิ ารณาตวั อยา ง 2.11 {a, c} และ {b, c, d} เปน เซตเปดแบบนาโนเซไม แตไมเปนเซตเปด แบบนาโนแอลฟา ทฤษฎีบท 3.4. ให (U, τR(x)) เปน ปรภิ ูมนิ าโนทอพอโลยี และ A ⊆ X จะไดวา τRα(X) ⊆ NPO(U, X) พสิ ูจน. ให A ∈ τRα(X) จะแสดงวา τRα(X) ⊆ NPO(U, X) โดยนิยามเซตเปดแบบนาโนแอลฟา ไดว า A ⊆ NInt(NCl(NInt(A))) แตเ นือ่ งจาก NInt(A) ⊆ A โดยคณุ สมบัตินาโนโคลสเชอรแ ละนาโนอนิ ทิเรีย จึงไดวา NInt(NCl(NInt(A))) ⊆ NInt(NCl(A)) โดยนยิ ามเซตเปดแบบนาโนพรี ไดว า A ⊆ NInt(NCl(A)) จะไดวา A ∈ NPO(U, X) ดังนัน้ τRα(X) ⊆ NPO(U, X). หมายเหตุ 3.5. บทกลบั ของทฤษฎบี ท 3.4 ไมจรงิ พจิ ารณาตวั อยาง 2.11 {b} เปน เซตเปดแบบนาโน พรี แตไมเ ปนเซตเปดแบบนาโนแอลฟา ใน U ทฤษฎบี ท 3.6. ให (U, τR(x)) เปนปรภิ มู ินาโนทอพอโลยี จะไดวา τRα(X) = NSO(U, X) ∩ NPO(U, X) พิสจู น. (⊆) ให A ∈ τRα(X) จะแสดงวา τRα(X) = NSO(U, X) ∩ NPO(U, X) โดยทฤษฎบี ท 3.2 และ ทฤษฎีบท 3.4 ไดวา A ∈ NSO(U, X) ∩ NPO(U, X) ดงั น้ัน τRα(X) ⊆ NSO(U, X) ∩ NPO(U, X) โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค