วารสาร "โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานด้านคณิตศาสตร์ ครั้งที่ 7"

คุณสมบัตบิ างอยางของจุดตรึงรวมในปรภิ ูมิเมตริกคา เชงิ ซอน 181 ทฤษฎบี ท 3.5. ให (X, d) เปนปริภมู ิเมทริกคา เชงิ ซอ น และ S, T : X → X เปนการสงท่ีเขากันได แบบออน ซึ่ง (i) S และ T สอดคลอ งกับคณุ สมบัติ (E.A.) (ii) SX เปนปริภมู ยิ อ ยบรบิ รู ณของ X และ (iii) d(T x, T y) λd(Sx, Sy)+ µd(T x, Sy)d(T y, Sx) + γd(T x, Sx)d(Sy, T y) , สำหรบั 1 + d(Sx, Sy) ทุก ๆ x, y ∈ X โดยที่ λ, µ, γ เปน จำนวนจริงทไ่ี มตดิ ลบ ซึ่ง λ + µ < 1 แลว S และ T มจี ดุ ตรึงรวมเพียงจุดเดยี ว พิสจู น. จาก S และ T สอดคลอ งกบั คณุ สมบตั ิ (E.A.) จะมีลำดับ {xn} และ t ใน X ซึ่ง lim T xn = lim S xn = t (3.16) n→∞ n→∞ จาก SX เปน ปรภิ ูมิยอ ยบริบรู ณของ X จะมี u ∈ X ซง่ึ Su = t ดังนนั้ S และ T สอดคลอ งกับ คณุ สมบตั ิ (CLRS) เชน เดยี วกับทฤษฎีบท 3.1 เราจะไดวา Su เปน จดุ ตรงึ รว มเพียงจดุ เดียวของ S และ T 4. บทสรปุ จากการศึกษางานวจิ ยั น้ี เปนการศกึ ษาเก่ียวกับการหาจุดตรงึ รว มของการสง บนปรภิ ูมิเมตริก คาเชิงซอน จากทฤษฎบี ท 3.1 จะสามารถพสิ ูจนไดวาการสง S และ T บนปรภิ มู ิเมตรกิ คา เชงิ ซอน X ท่ีสอดคลอ งกับคณุ สมบตั ิบางประการ มีจดุ ตรงึ รวมเพียงจุดเดียวบนใน X และไดใชเปน ทฤษฎีบทหลัก ในการวจิ ยั นี้ เพอ่ื ใชรองรับทฤษฎีและบทแทรกอ่ืน ๆ วาสามารถหาจุดตรงึ รวมไดเชน เดียวกัน สำหรับ บทแทรก 3.2 จะเห็นวามีเงอ่ื นไข 2 ขอเหมอื นกบั ทฤษฎี 3.1 แตการสง S และ T สามารถสลบั ที่กนั ไดซ่งึ จะไดตอ มาวาการสงดงั กลาวจะเขา กนั ไดแบบออน ดงั น้ันจงึ พสิ จู นไดเหมือนกันกับทฤษฎบี ท 3.1 สำหรบั บทแทรก 3.3 มีเงื่อนไข 2 ขอ ซึ่งขอ (i) เหมอื นกบั ทฤษฎี 3.1 และจะพสิ ูจนไดภายหลงั วา ขอ (ii) ของบทแทรก 3.3 สอดคลอ งกบั ขอ (ii) ของทฤษฎี 3.1 สำหรับทฤษฎบี ท 3.4 มีเงอ่ื นไข 3 ขอ ซ่ึง จะพสิ จู นไดวาขอ (i) กบั (ii) สงผลใหเกดิ เงอ่ื นไขขอ (i) ในทฤษฎี 3.1 และเงอื่ นไขขอ (iii) ของบทแทรก เหมือนกบั ขอ (ii) ในทฤษฎีบท 3.1 อยูแลว สำหรบั ทฤษฎบี ท 3.5 มเี งือ่ นไข 3 ขอ ซึ่งจะพิสูจนไดวา ขอ (i) กับ (ii) สงผลใหเ งื่อนไขขอ (i) ในทฤษฎีบท 3.1 เปนจริง และเง่อื นไขขอ (iii) ของบทแทรกเหมอื นกบั ขอ (ii) ในทฤษฎบี ท 3.1 อยูแลว ซ่ึงจะพบวา ในแตล ะบทแทรกและทฤษฎี จะใชทฤษฎีบท 3.1 มาชวย ในการพสิ จู นหาคำตอบ ดงั นั้นจะไดวา การสง S และ T ใน ทุกบทแทรกและทฤษฎบี ทจะมีจดุ ตรงึ รว ม เพียงจดุ เดยี ว โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

182 วรนิ ทรญ า อินทรฉ ่ำ และคณะ 5. กติ ติกรรมประกาศ การศึกษางานวิจัยน้ีสำเรจ็ ลงไดดวยความกรณุ าจากอาจารย ดร.วันชัย ตาปญโญ อาจารยท่ี ปรึกษา ผูซึง่ ใหความรู คำแนะนำ คำปรกึ ษา และตรวจแกไ ขจนการศกึ ษาวจิ ยั เสร็จสมบรู ณ คณะผู ศึกษาขอกราบขอบพระคณุ เปนอยางสงู ไว ณ โอกาสนี้ ขอกราบขอบพระคุณอาจารยบญุ ญฤทธ์ิ เงินคำ และอาจารย ดร.อาวีพร ปานทอง ท่ีกรณุ าให ความรูและคำแนะนำตา ง ๆ เก่ยี วกบั รปู แบบการจัดรปู เลม สัมมนา และโปรแกรม Latex ของการศึกษา วิจัยคร้งั น้ี รวมทั้งอาจารยทานอน่ื ๆในสาขาวิชาที่ไดใหความชว ยเหลอื และกำลังใจในการทำการศึกษา วจิ ยั ครั้งนี้ สุดทายน้ี หากมีสิง่ ขาดตกบกพรองหรอื ผิดพลาดประการใด คณะผูศึกษาขออภยั เปน อยางสูง ในขอ บกพรอ งและความผิดพลาดนั้น และคณะผูศกึ ษาหวงั วา การศกึ ษาวิจัยน้ีคงมีประโยชนบางไมมาก ก็นอยสำหรบั ผูที่สนใจในงานวิจยั นี้ เอกสารอา งองิ [1] อทิ ธิเดช มูลม่ังมี. Contraction Mapping [ออนไลน]. 2012, แหลงท่มี า: https://www.slideshare.net/profittidej/contraction-mapping [27 พฤศจกิ ายน 2562] [2] Ali, S. (2016). Some common fixed point theorems for two weakly compatible mapping in complex valued metric spaces. Thai Journal of Mathematics, articie inpress. [3] Azam, A., Brain, F., and Khan, M. (2011). Common fixed point theorem in complex valued metric space. Numer. Funce. Anal. Optim. 32(3): 243-253. [4] Banach, S. (1922). Sur operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrals. Fund. Math. 3: 133-181. [5] Bhatt, S., Chaukiyal, S., and Dimri, R. C. (2011). A common fixed point theorem for weakly compatible maps in complex valued metric space. Int. J. Math. Sci. Appl. 1(3):1385-1389. [6] Browder, F. E. (1965). Nonlinear monotone operators and convex sets in Banach spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 71: 780-785. โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

คณุ สมบัตบิ างอยา งของจุดตรงึ รว มในปริภูมเิ มตรกิ คาเชงิ ซอน 183 [7] Datta, S. K., and Ali, S. (2012). A Common Fixed Point Theorem Under Contractive Condition in Complex Valued Metric Spaces. International journal of ad- vanced scientific and technical Research. 6(2): 467-475. [8] Frechet, M. (1906). Sur quelques points du calcul functional. Rendiconti del Circolo Mathematico di Palermo. 22(1): 1-72. [9] Jungck, G. (1976). Commuting maps and fixed points. Amer. Math. Monthly. 83: 261-263. [10] Jungck, G. (1996). Common fixed points for non-continuous non-self mappings on a non-numeric spaces. Far East J. Math. Sc. 4(2): 199-212. [11] Sintunavarat, W., and Kumam, P. (2011). Common fixed point theorem for a pair of weakly compatible mappings in fuzzy metric spaces. J. Appl. Math.14: 14 p. [12] Verma, R. K., and Pathak, H. K. (2013). Common fixed point theorems using property (E.A) in Complex valued metric spaces. Thai Journal of Mathematics. 11(2): 347-355. โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

184 วรนิ ทรญา อนิ ทรฉ ำ่ และคณะ โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-PU 03 185 บนจุดสมดุลของสมการเชงิ ผลตา งตรรกยะในระนาบทีม่ ีส่พี ารา มเิ ตอร OSynsttehme EoqfuDilifibferiraenocfeaEFqouuart-pioanrsameter Rational Planar ผูแตง: Jacob Weiss จัดทำโดย: ศศวิ ิมล ต่ิงมัง1* 1คณะวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏพิบลู สงคราม *Correspondence: [email protected] บทคดั ยอ ในบทความนี้เราไดพิจารณาจุดสมดลุ ของระบบสมการเชิงผลตา งในระนาบที่นยิ ามบนจตุภาคที่หนึ่งซึ่ง พฤติกรรมตา ง ๆ ของจุดสมดุลดังกลา วไดขึน้ อยูกับพารามิเตอรท่ีไมเปน ลบทง้ั สี่ของระบบสมการนี้และ ระบบสมการนไ้ี ดถกู ดชั นีไวเปน ระบบสมการท่ี (21, 21) โดย Ladas (Open problems and conjectures, J. Differential Equ. Appl., 15(3) (2009) pp. 303–323) ซ่ึงระบบสมการดงั กลาวเปนหนึ่งในปญหา ปลายเปดทถ่ี กู ใหไ วใ นบทความดงั กลา วเปน ระบบสมการทย่ี ังมีผศู ึกษาพฤตกิ รรมของระบบสมการนอย คำสำคญั : สมการเชิงผลตาง, สมการเชงิ ผลตา งตรรกยะ, ระบบสมการในระนาบ, ผลเฉลยสมดลุ Abstract In this paper, we consider aspects of equilibrium solutions of a planar system of difference equations defined on the open first quadrant and whose behavior is governed by four independent, nonnegative parameters. This system, indexed as (21,21) in the notation of Ladas (Open problems and conjectures, J. Differential Equ. Appl., 15(3) (2009) pp. 303– 323), is one of the open problems listed about which little is known. Keywords: Difference equation, rational difference equation, planer system, equilibrium solutions 1. บทนำ พจิ ารณาระบบสมการ xn+1 = a + bxn (1.1) yn (1.2) yn+1 = c + dyn xn โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

186 ศศิวมิ ล ต่งิ มัง เมอ่ื a, b, c และ d เปนพารามิเตอรที่ไมเปน ลบและเง่ือนไขเรม่ิ ตน (x0, y0) อยูในจตุภาคที่หนง่ึ นยิ าม โดย Q10 = (0, ∞) × (0, ∞) จากบทความ [1] ระบบสมการขางตนเปนปญ หาปลายเปด ซง่ึ เราตอ งการ ที่จะตอบคำถามดังตอ ไปน้ี (1) จดุ สมดลุ ระบบสมการคืออะไร (2) ความเสถยี รเฉพาะที่ของจุดสมดุลคืออะไร (3) ระบบสมการดงั กลาวมีไพรม พเี รียดสองอยูหรือไม ซึ่งการวิเคราะหเ ก่ียวกับคำถามขางตนไดทำการสำรวจในบทความ [2] กบั ระบบสมการท่ีตา งออกไป เราสามารถพิจารณาระบบสมการดังกลาวเปน การสง F (x, y) : Q01 → Q10 นิยามโดย F (x, y) = (f(x, y), g(x, y)) โดยที่ f (x, y) = a + bx , g(x, y) = c + dy yx กำหนดให F 0(x, y) = (x, y) และ F k(x, y) = F (F k−1(x, y)) ผลเฉลยของระบบสมการไดแก {(x0, y0), (x1, y1), . . .} ซง่ึ เปนการทำซำ้ จากเงื่อนไขเร่ิมตน (x0, y0) ดังน้นั จะไดอ อบทิ ของผลเฉลยท่ี มเี ง่อื นไขเริ่มตน (x0, y0) เขยี นแทนดว ย OF (x0, y0) = {F k(x0, y0)|k = 0, 1, 2, . . .} 2. สมบัติพ้ืนฐานของ F (x, y) สำหรบั a, b, c, d > 0 บทตงั้ 2.1. F เปน การสง ที่ตอ เนือ่ งจาก Q01 ไปยัง Q = [0, ∞) × [0, ∞) และถา max{a, b} > 0 และ max{c, d} > 0 แลว F เปน การสงทตี่ อ เนอ่ื งจาก Q01 ไปยงั Q01 พสิ ูจน. จากนพิ จน α+βr สำหรบั α, β ≥ 0 เปนฟง กชนั ตรรกยะของตวั แปร r, s ดงั น้ัน นพิ จนด งั กลา ว s เปน ฟงกชนั ตอ เน่อื ง บนโดเมนของ F ซงึ่ s ≠ 0 และหากเง่อื นไข max{α, β} > 0 และ r > 0 จะได วา α + βr > 0 และไดวา α+βr > 0 s บทตงั้ 2.2. กำหนดให a, b, c, d เปน จำนวนจรงิ บวกจะไดวา a. f (x, y) = x ←→ y = a + bx x b. g(x, y) = y ←→ y = c x−d c. F (x, y) มจี ดุ สมดลุ เพยี งหนึง่ เดียวใน Q01 d. F 2(x, y) มีจุดสมดุลเพียงหนึ่งเดียวใน Q01 โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

บนจดุ สมดุลของสมการเชงิ ผลตา งตรรกยะในระนาบท่มี ีส่พี ารามเิ ตอร 187 พิสจู น. สามารถพิสูจน a. และ b. ไดโดยงาย สำหรบั c. เราจะเริม่ ทำการหาจุดสมดลุ จากการแก สมการ a + bx c x = x−d ทำใหไ ดมาซงึ่ สมการกำลังสอง bx2 + (a − bd − c)x − ad = 0 และหน่ึงรากเปน เปน บวกของสมการกำสองไดแก √ −a + bd + c + (a − bd − c)2 + 4abd x= 2b ดงั น้ันจดุ สมดุลของ F เปนไปไดเพยี งหนึง่ เดยี วใน Q10 ตามตองการ สำหรับ d. เราจะพิจารณาสมการ f2(x, y) = x และ g2(x, y) = y สำหรบั เงื่อนไข f2(x, y) = x จะไดว า () a+b a+bx y =x c+dy x ซึง่ สมการดงั กลา วสามารถจดั ใหอยใู นรปู ของพาราโบลา x = d y2 + c −a − a b2 b2 y b ซึ่งเปนพาราโบลาเปด ขวาและตดั แกน y ท้ังบวกและลบ ในทำนองเดยี วกันจากเงื่อน g2(x, y) = y เรา จะไดพ าราโบลาทีอ่ ยใู นรปู ของ y = b x2 + a− c − c d2 d2 x d ซงึ่ เปนพาราโบลาเปด ดานบนและตดั แกน x ทง้ั บวกและลบ จากลกั ษณะของพาราโบลาท้ังสองทำใหไ ด จุดตดั ของพาราโบลาทง้ั สองทีอ่ ยใู น Q01 มีเพียงจุดเดียว เน่ืองจากจุดสมดลุ ของแตละฟงกช ัน F และ F2 มเี พียงหนึง่ เดียวเราจะเรียก จดุ สมดุลดงั กลาว วา (u, v) 3. สมบตั ขิ องจุดสมดลุ (u, v) จากการพิสจู นบ ทต้ัง 2.2 เราไดค า u ของจุดสมดลุ ไดแก √ −a + bd + c + (a − bd − c)2 + 4abd u= 2b สงั เกตไดวา (u, v) สอดคลองกบั เงื่อนไข a + bu c + dv u = ,v = vu โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

188 ศศิวิมล ตง่ิ มัง ดังนั้น a + bu v= u ประพจน 3.1. จดุ สมดลุ (u, v) สอดคลอ งกับเง่อื นไข u > d และ v > b พิสจู น. เนอ่ื งจาก u คือ พิกัดท่ี 1 ท่ีเกิดจากการตดั กันของพาราโบลา y = a + bx และ y = c x − x d ในจตุภาคที่หนง่ึ และเสน กำกบั แนวตัง้ ของพาราโบลา y = x c d คอื x = d ทำใหยนื ยันไดวา u > d − และในทำนองเดยี วกันพาราโบลา y = a + bx มีเสน กำกบั แนวนอนคือ y = b ทำใหยนื ยันไดวา x v>b ประพจน 3.2. ถา (u, v) เปนจดุ สมดลุ ของ F (x, y) แลว a + bu = c + dv พิสูจน. กำหนดให (u, v) เปนจุดสมดุลของ F (x, y) จะไดวา bu2 + (a − bd − c)u − ad = 0 bu2 + au − bdu − cu − ad = 0 bu2 + au = bdu + cu + ad () ad u(a + bu) = u c + bd + u bdu + ad a + bu = c + u bu + a a + bu = c + d u a + bu = c + dv ประพจน 3.3. กำหนดให 0 < α < 1 และ 0 < β < 1 จะไดวา √√ (α − β)2 + 4 −1 < α + β − (α − β)2 + 4 α+β+ <0<1< 22 √ พสิ ูจน. เราจะเริ่มจากการแสดงวา −1 < α + β − (α − β)2 + 4 จากสมมตฐิ านขา งตน เราจะได วา 2 4α + 4β + 4αβ > 0 และไดวา 4 + 4α + 4β + 2αβ + α2 + β2 > α2 − 2αβ + β2 + 4 และไดวา √ 2 + α + β > (α − β)2 + 4 โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

บนจุดสมดุลของสมการเชงิ ผลตา งตรรกยะในระนาบท่มี สี พี่ ารามเิ ตอร 189 ดงั นั้น √ −2 − α − β < − (α − β)2 + 4 น่ันคือ √ −1 < α + β − (α − β)2 + 4 2 √ จากนน้ั ทำการแสดงวา α + β − (α − β)2 + 4 < 0 จากสมมติฐานขา งตนเราจะไดวา 2 4αβ < 4 และไดว า α2 + 2αβ + β2 < α2 − 2αβ + β2 + 4 และไดว า √ α + β < (α − β)2 + 4 ดังนนั้ √ α + β − (α − β)2 + 4 < 0 นน่ั คอื √ α + β − (α − β)2 + 4 <0 2 √ สดุ ทา ยจะแสดงวา α + β + (α − β)2 + 4 > 1 เน่อื งจาก √ − β)2 + 4 > 2 จะไดว า (α 2 √ α + β + (α − β)2 + 4 > 2 ดังน้ัน √ ตามตอ งการ α + β + (α − β)2 + 4 >1 2 4. ผลวิจัยหลัก เนื่องจากฟงกช นั f(x, y) และ g(x, y) สามารถหาอนพุ นั ธยอยเทยี บกับตัวแปรทง้ั x และ y ไดโ ดยทฤษฎีบทใน [3] จะไดท ฤษฎบี ทดังตอไปน้ี ทฤษฎบี ท 4.1. F เปนฟง กช ันทส่ี ามารถที่ทำใหเปน เชงิ เสนไดในยานใกลเ คยี งของ (u, v) ทฤษฎบี ท 4.2. จดุ สมดลุ ของ F เปนจดุ อานมาท่มี กี ารสะทอ น พิสจู น. จาโคเบียนเมทริกซท่ีจุดสมดุลคือ   b −(a+bu) JF (u, v) =  v v2  −(c+dv) d u2 u โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

190 ศศวิ มิ ล ตง่ิ มัง และสมการลักษณะเฉพาะของจาโคเบยี นเมทริกซคือ () (a + bu)(c + dv) bd bd u2v2 λ2 − + λ + uv − = 0 vu จาก v = a + bu ดงั นน้ั u2v2 = (a + bu)2 และจากประพจน 3.2 a + bu = c + dv สมการลกั ษณะ เฉพาะสามารuถเขียนใหอยูในรปู () bd λ + bd − 1 = 0 λ2 − + vu uv และสามารถหาคา เฉพาะคือ √ b + d ± ( b − d )2 + 4 v u v u λ= 2 โดยประพจน 3.1 และ 3.3 จะไดดวา −1 < λ1 < 0 < 1 < λ2 โดยทฤษฎีบทใน [4] สามารถสรุปได วา จดุ สมดุลเปน จดุ อานมา สะทอ น 5. การวเิ คราะหใ นกรณที บี่ างพารามเิ ตอรเ ปน ศูนย ในหัวขอน้ีจะทำการพจิ ารณาคาของพารามิเตอร สองใน ส่พี ารามิเตอร a, b, c, d เปนศนู ย ( ) และเรา ไมสามารถหา F 2(x, y) ไดเราจึงไม ถา a = b = 0 แลว F (x, y) = 0, c+dy x พจิ ารณาในกรณีน้ี เชนเดียวกันกับกรณีท่ี c = d = 0 ดังน้ันเราจะยังคงเหลอื กรณีท่ีพิจารณาจำนวนสี่ กรณดี งั ตอ ไปน้ี 1. a = c = 0 และ b, d > 0 2. b = d = 0 และ a, c > 0 3. a = d = 0 และ b, c > 0 4. b = c = 0 และ a, d > 0 ในกรณแี รกจะทำการพจิ ารณาในกรณี a = c = 0 และ b, d > 0 นัน่ คือพิจารณาฟง กช นั () bx dy F (x, y) = , yx บทตง้ั 5.1. ถา a = c = 0 และ b, d > 0 แลว จะไดว า 1. F มีจดุ สมดุลเพียงหนง่ึ เดยี วคือ (d, b) 2. จดุ สมดุล (d, b) ไมเ สถยี ร 3. พฤติกรรมของการวนซำ้ มดี งั ตอไปนี้ โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

บนจุดสมดุลของสมการเชงิ ผลตา งตรรกยะในระนาบที่มีสี่พารามิเตอร 191 a) ถา y < bx แลว F k(x, y) → (∞, 0) สำหรับ k →∞ d b) ถา y > bx แลว F k(x, y) → (0, ∞) สำหรับ k →∞ d c) ถา y = bx แลว F k(x, y) → (d, b) สำหรบั k ≥ 1 d พสิ ูจน. 1. จากการแกร ะบบสมการ x = bx และ y = dy จะไดจดุ สมดุล (d, b) ตามตองการ y x 2. จากการหาจาโคเบียนทจ่ี ดุ สมดลุ   JF (d, b) =  1 −b −d d b 1 ซ่งึ จะไดคา เฉพาะไดแ ก λ = 0 และ λ = 2 และจากการท่ี pectral radius r(J) > 1 จะไดวา จดุ สมดุลไมเ สถียร 3. จากการหาการวนซำ้ ที่ k จะไดวา ( ( bx )2k−1 ( dy )2k−1 ) d F k(x, y) = , b dy bx เราสามารถแสดงไดวา a) - c) เปน จรงิ ไดโ ดยงา ย ตอไปจะทำการพจิ ารณากรณีท่ี b = d = 0 และ a, c > 0 เราจะแบง เปน กรณียอ ยไดแก a = c และ a ≠ c บทตง้ั 5.2. ถา b = d = 0 และ a = c > 0 แลว จะไดว า 1. ทกุ จดุ บนไฮเพอรโ บลา y = a เปน จุดสมดลุ ของ F x 2. ทกุ จุดใน Q10 เปน จุดสมดุลของ F 2k 3. ( ) () a a a a OF (x, y) = { y , x , (x, y), y , x , (x, y), . . .} บทตง้ั 5.3. ถา b = d = 0 และ a ≠ c > 0 แลวจะไดวา 1. F ไมม ีจุดสมดลุ 2. F 2 ไมมีจุดสมดุล 3. พฤติกรรมของการวนซ้ำมีดังตอ ไปน้ี a) ถา a < c แลว F k(x, y) → (0, ∞) สำหรับ k → ∞ b) ถา a > c แลว F k(x, y) → (∞, 0) สำหรบั k → ∞ บทตั้ง 5.4. ถา a = d = 0 และ b, c > แลว โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

192 ศศวิ มิ ล ตง่ิ มัง 1. F มีจดุ สมดุลเพยี งหนง่ึ เดยี ว ( c , ) b b 2. จุดสมดลุ เปนจุดอานมาท่ีมกี ารสะทอน 3. F k(x, y) = ( )brk+2−1xrk+1 crk yrk−1 โดยที่ rk คอื สมาชิกที่ k ในลำดับฟโบโนนกั ชี ,crk+1−1yrk brk+1−1xrk {1, 1, 2, 3, 5, 8, ...} บทต้งั 5.5. ถา b = c = 0 และ a, d > 0 แลว 1. F มจี ุดสมดุลเพยี งหนึ่งเดียว ( a) d, d 2. จดุ สมดุลเปน จุดอานมาท่มี ีการสะทอน 3. F k(x, ( drk+2 −1 y rk+1 ) โดยท่ี คอื สมาชกิ ที่ ในลำดับฟโ บนักชี ark+1 −1 xrk y) = ark xrk−1 , rk k drk+1 −1 y rk {1, 1, 2, 3, 5, 8, ...} เอกสารอางอิง [1] G. Ladas, “Open problems and conjectures,” Journal of Difference Equations and Applications, vol. 15, no. 3 pp. 303–323, 2009. [2] A. Clark and J. Weiss, “On the geometry of a four-parameter rational planar system of difference equations,” Journal of Difference Equations and Applications, vol. 18, no. 3, pp. 509–524, 2012. [3] R. Bartle, The elements of Real Analysis. New York, NY: Wiley, 1964. [4] W. Kelley and A. Peterson, Difference Equations, An Introduction with Applica- tions. San Diego, CA: Academic Press, 2001. โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-PU 04 193 สมบตั ขิ องกึง่ รงิ ปรกติบรบิ ูรณ Properties of Completely Regular Semirings ผแู ตง : เอ็น ซโู ลชานา (N.Sulochana) และ ที วาซานติ (T.Vasanthi) จัดทำโดย: สายชล ตายธานี1*, จุฑามาศ กลิ่นตาย1 และ มณรี ัตน เครอื ศรี1 1สาขาคณติ ศาสตรและสถิติ คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค *Correspondence: [email protected] บทคดั ยอ งานวิจยั นี้ จะขยายแนวคิดของกึิง่ รงิ ปรกติบริบรู ณ และศกึ ษาสมบตั ิบางประการของกึ่งรงิ ปรกติ บริบูรณ นอกจากน้ไี ดพ ิสจู นว า ถา S เปน กึง่ ริงปรกตบิ ริบรู ณ และ S เปนกงึ่ ริงเกอื บนจิ พล แลว S เปนก่งึ รงิ นจิ พล คำสำคญั : กง่ึ กรุปปรกติบริบรู ณ, กงึ่ รงิ ปรกตบิ รบิ รู ณ, ลดทอนการบวก Abstract In this paper, we extend the concept of completely regular semirings and study some properties . Also we prove that, if S is a completely regular semirings and S is almost idempotent semirings, then S is an idempotent semirings. Keywords: Completely regular semigroups, Completely regular semirings, Additive reducts 1. บทนำ กง่ึ กรุปปรกติบริบูรณ เปน ก่งึ กรุปปรกติที่มีลักษณะพเิ ศษเพม่ิ ข้นึ ในการศึกษาของก่งึ กรุป ปรกติบริบูรณเปนการศกึ ษาที่ดีอยา งหนึ่งของกง่ึ กรุป เนือ่ งจากมีการอธิบายโครงสรางท่ีหลากหลาย ของก่ึงกรุป งานวจิ ยั แรกท่ีตีพมิ พเกย่ี วกับกง่ึ กรุป ไดตีพมิ พในป 1941 ซึง่ เปน ผลงานของ คลิฟฟอรด (Clifford) ในงานวิจัยน้ไี ดแ ยกกรปุ และก่งึ กรปุ บรบิ รู ณ หรอื กลาวไดอ ีกหนึ่งวา เปน การยูเนยี น ของกรปุ ตอจากนัน้ มีการศกึ ษากง่ึ ริงปรกติบริบูรณใน [9] เปน การกลาวถงึ กงึ่ รงิ ปรกติการบวกโดยรวม ที่ดี ในทศวรรษท่ีผานมาไดมีการกลา วถงึ กง่ึ ริงปรกติบรบิ ูรณท่ีมีลักษณะแตกตางกนั ดงั นัน้ เพ่ือการ ศึกษาโครงสรางเก่ียวกบั การลดทอนการบวกของก่งึ ริงปรกตบิ ริบูรณ พาสติจน (Pastijn) และ ก่ัว (Guo) ไดวเิ คราะหกงึ่ ริง ซง่ึ เปน สวนประกอบของกึ่งรงิ ทแ่ี ตกตางกนั ย่ิงไปกวานน้ั ไมตี้ (Maity) และ ซมู (Shum) เขาคาดวา สำหรับแตละสมาชิก a ของกึ่งรงิ ปรกติบริบรู ณ จะมีสมาชิก x ของกึง่ รงิ ปกติ บรบิ รู ณ ซ่ึง a = a + x + a , a + x = x + a และ a(a + x) = a + x นี้นำไปสู กึ่งริง ซ่ึงประกอบไป โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

194 สายชล ตา ยธานี และคณะ ดว ยริงเสมือน น่นั คือกง่ึ ริงท่มี ีลดทอนการบวกเปน กรุป แตไ มจ ำเปนตอ งมสี มบัตสิ ลับท่ี น้เี ปน วิธที ัว่ ไปทเ่ี ปลยี่ นการคดิ ของ ก่งึ กรปุ ปกตบิ รบิ รู ณในทฤษฎขี องพาสติจน (Pastijn) และ กัว่ (Guo) 2. ความรูพน้ื ฐาน บทนิยาม 2.1. กำหนดให S เปน เชตทีไ่ มเ ปนเชตวาง การดำเนินการทวภิ าค (binary operation) บน S คือ ฟง กชนั * : SxS → S เมื่อ SxS คอื ผลคณู คารท เี ซยี นของ S บทนิยาม 2.2. ให S เปน เชตที่ไมเปนเชตวาง และ * เปนการดำเนนิ การทวภิ าคบน S แลวจะเรียก (S, *) วา กงึ่ กรุป (semigroup) ถา * มีสมบตั ิการเปล่ียนหมูบนเชต S บทนิยาม 2.3. *(S, ) เรียกวา กรปุ (group) ถา มสี มบัติดังน้ี 1. มี e ∈ S ซึ่ง a*e = a = e*a สำหรบั ทกุ ๆ a ∈ S เรียก e วาเอกลกั ษณของ S 2. สำหรับทกุ ๆ a ∈ S จะมี b ∈ S ซึง่ a*b = e = b*a เรียก b วา ตัวผกผนั ของ a เขยี นแทนดว ย a−1 บทนิยาม 2.4. ให S เปน กรปุ เราจะกลา ววา S เปน กรุปอาบีเลียน (abelian group) หรือ กรปุ สลบั ที่ (commutative group) ถา ab = ba สำหรบั ทกุ ๆ a, b ∈ S บทนยิ าม 2.5. ให S เปน เชตที่ไมเปนเซตวาง และมีการดำเนนิ การทวิภาคคือการบวก + และการคณู · บน S เรยี ก S วา ริง (ring) ถา S มีสมบตั ดิ ังตอไปน้ี 1. (S, +) กรปุ อาบีเลยี น 2. (S, · ) เปนก่ึงกรุป 3. S มีสมบตั ิการแจกแจง นั่นคอื a· (b+c) = (a· b)+(a· c) และ (b+c)· a = (b· a)+(c· a) สำหรบั ทุกๆ a, b, c ∈ S บทนิยาม 2.6. ให S เปนเชตท่ไี มเ ปน เชตวาง เรยี ก (S, +, · ) วา ก่งึ ริง (semiring) ถา 1. (S, +) เปนก่ึงกรปุ 2. (S, · ) เปน กง่ึ กรปุ 3. S มีคณุ สมบัตแิ จกแจง นนั้ คือ a(b + c) = ab + ac และ (b + c)a = ba + ca สำหรบั ทุกๆ a, b, c ∈ S บทนิยาม 2.7. ก่งึ กรุป (S, +) เรียกวา แถบ (band) ถา a + a = a สำหรับทกุ ๆ a ∈ S บทนยิ าม 2.8. กงึ่ กรุป (S, · ) จะเรยี ก วา แถบ (band) ถา a2 = a สำหรบั ทกุ ๆ a ∈ S และ แถบสลับ ทีเ่ รยี กวา ก่ึงแลตทิซ (semilattice) นั่นคือ (S, · ) เรียกวากงึ่ แลตทซิ ถา 1. a2 = a 2. ab = ba 3. (ab)c = a(bc) โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

สมบตั ิของกง่ึ ริงปรกติบรบิ ูรณ 195 บทนยิ าม 2.9. สำหรบั สมาชกิ a ของก่งึ รงิ S เรยี ก a วา เกอื บนิจพล (almost idempotent) ถา a + a2 = a2 บทนิยาม 2.10. กง่ึ รงิ S เปน นิจพล (idempotent) ถา a + a = a และ a2 = a สำหรับทุกๆ a ∈ S บทนยิ าม 2.11. สำหรบั ก่งึ ริง S เรยี กวา เกอื บนจิ พล ถา ทุกๆ สมาชกิ ของ S เปนเกือบนิจพล เขยี น แทนเชต เกอื บนิจพลของกึง่ ริง S ดว ย Ek(S) บทนยิ าม 2.12. กึ่งริง (S, +, · ) เรยี กวา โดเมนตรรกยะบวก (positive rational domaim:PRD) กต็ อเม่ือ ถา (S, · ) เปนกรุปอาบเี ลยี น บทนยิ าม 2.13. กงึ่ ริง (S, +, · ) เรยี กวา กงึ่ ริงเดียว (mono semiring) ถา a + b = ab สำหรบั ทุกๆ a, b ∈ S บทนิยาม 2.14. ก่งึ กรปุ (S, · ) จะเรียกวา เอกฐานทางซาย (left singular) ถา สอดคลองกบั เอกลกั ษณ ทางซาย ab = a และเรยี กวา เอกฐานทางขวา (right singular) ถา สอดคลองกับเอกลักษณทางขวา ab = b สำหรับทกุ ๆ a, b ∈ S บทนยิ าม 2.15. กง่ึ กรุป (S, +) จะเรยี กวา เอกฐานทางซา ย ถาสอดคลอ งกบั เอกลักษณทางซาย ซึง่ a + b = a และเรยี กวา เอกฐานทางขวา ถา สอดคลองกับเอกลักษณทางขวา ซงึ่ a + b = b สำหรับ ทกุ ๆ a, b ∈ S บทนิยาม 2.16. ให (S, +) เปน กงึ่ กรุป และ a ∈ S เรยี ก a วา อี-ผกผนั (E-inverse) ถามีสมาชกิ x ∈ S ซ่งึ ax + ax = ax นนั้ คอื ax ∈ E(S) เมอื่ E(S) คอื เชตของสมาชกิ ของ S ที่เปน นจิ พลภาย ใตการบวก (addtive idempotent) บทนิยาม 2.17. กงึ่ กรุป S เรียกวา อ-ี ผกผันกึ่งกรุป (E-inverse semigroup) ถาทกุ ๆสมาชิกของ S เปน อ-ี ผกผนั บทนิยาม 2.18. ให S เปน กงึ่ รงิ และ a ∈ S เรียก a วา นจิ พลยอ ยภายใตการคณู (multiplicatively subidempotent) กต็ อเมอื่ a + a2 = a เรยี ก กง่ึ ริง (S, +, · ) วา นิจพลยอยภายใตการคูณ ก็ตอเม่อื สมาชิกทุกตัวของ S เปนนิจพลยอ ยภายใตการคูณ บทนยิ าม 2.19. สมาชกิ a เรยี กวา คาบ (periodic) ถา am = an โดยท่ี m และ n เปน จำนวนเตม็ บวก บทนยิ าม 2.20. กึ่งกรปุ (S, · ) จะเรยี กวา คาบ ถาสมาชิกทุกตัวของ S เปน คาบ บทนยิ าม 2.21. กึ่งรงิ (S, +, · ) ซงึ่ มีศูนยเปนเอกลักษณก ารบวกและการคูณ เปน ศูนยการคูณ เรยี กวา ก่ึงรงิ กำลังสองศูนย (zoro square semiring) ถา x2 = 0 สำหรับทุกๆ x ∈ S โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

196 สายชล ตายธานี และคณะ บทนิยาม 2.22. เรียกก่ึงริง (S, +, · ) วา ปรกติภายใตการบวก (additive regular) ถา สำหรบั ทุกๆ สมาชิก a ∈ S จะไดวา มี x ∈ S ซึง่ a + x + a = a กงึ่ ริงปรกติบริบูรณภายใตการบวก ถูกศกึ ษาครงั้ แรก โดย เจ เซเลซเนโกว (J.Zeleznekow) [9] ในป 1981 และในป 2005 โดย เอม็ .เค.เซน (M.K.Sen), เอส.เค.ไมต้ี (S.K.Maity) และ เค.พ.ี ซมู (K.P.Shum) [4] ไดศกึ ษาเรอื่ ง ก่ึงรงิ ปรกติบรบิ ูรณ สำหรบั งานวจิ ยั น้ี จะศกึ ษาเก่ียวกับสมบตั ิของก่งึ ริง ปรกติบริบูรณ บทนิยาม 2.23. สำหรบั สมาชิก a ของกง่ึ รงิ (S, +, · ) เรยี กวา ปรกตบิ ริบรู ณ (completely regular) ถา มสี มาชกิ x ∈ S ซึ่ง 1. a + x + a = a 2. a + x = x + a 3. a(a + x) = a + x จะเห็นวา 1) และ 2) ไดถกู นิยามไวแลว ในบทนิยามของปรกติบรบิ ูรณ เมื่อลดทอนการบวก (S, +) ของกง่ึ รงิ (S, +, · ) เปน ก่ึงกรุปปรกติบรบิ รู ณ ย่ิงไปกวา นนั้ เงื่อนไข 3) เปน การเพมิ่ เง่ือนไข สำหรบั สมาชกิ a ในกึ่งริง (S, +, · ) ท่ีเปน ปรกติบรบิ ูรณ โดยทัว่ ไปจะเรียก (S, +, · ) วาปกติบริบูรณ ถา สำหรับสมาชกิ a ทกุ ตัวของ S เปน ปรกตบิ ริบูรณ บทนิยาม 2.24. S เรยี กวา อนั ดับทกุ สว น (totally ordered) (S, ≥) ก็ตอเมอื่ 1. ถา a ≥ b และ b ≥ a แลว a = b 2. ถา a ≥ b และ b ≥ c แลว a ≥c 3. a ≥ b หรือ b ≥ a บทนยิ าม 2.25. ก่งึ กรุปอันดบั ทกุ สวน (totally ordered semigroup : t.o.r.g) (S, · ) จะเรยี กวา ไมเปนอนั ดับเชงิ ลบ ( non-negatively ordered) ถา ทกุ ๆ สมาชิกไมเปนลบ (non-negative) และ จะเรียกวาไมเปนอนั ดับเชิงบวก (non-positively ordered) ถาทกุ ๆ สมาชกิ ไมเปน อบั ดับบวก (non- positive) (S, · ) เปน อันดับบวก ถา xy ≥ x และ xy ≥ y และ เปน อนั ดับลบ ถา xy ≤ x และ xy ≤ y สำหรบั ทกุ ๆ x, y ∈ S บทนยิ าม 2.26. กึ่งริง (S, +, · ) เรยี กวา ก่งึ ริงอนั ดับทุกสว น (totally ordered semiring: t.o.s.r) ถา ก่ึงกรุปการบวก (S, +) และกง่ึ กรุปการคณู (S, · ) เปนกึ่งกรุปอันดบั ทุกสว น ภายใตอันดบั ความ สัมพันธเดียวกัน (S, +, ≥) เรียกวา อนั ดับเชิงบวกทกุ สวน (positively totally ordered: p.t.o.) ถา a + b ≥ a และ a + b ≥ b สำหรับทุกๆ a, b ∈ S. บทนิยาม 2.27. กึ่งกรุปอันดับทุกสวน (S, +, ≤) เรยี กวา ไมเปนลบ (non-negatively) ถาทกุ ๆ สมาชกิ ของ S ไมเปนลบ และจะเรียกวา ไมเปน บวก (non-positively) ถา ทกุ ๆ สมาชิกของ S ไมเปน บวก โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

สมบตั ขิ องกง่ึ รงิ ปรกตบิ ริบรู ณ 197 บทนยิ าม 2.28. สำหรบั สมากชิก x ในกงึ่ ริงอันดบั ทุกสวน เรยี กวา ต่ำสุด (minimal) ถา x ≤ a และ จะเรียกวา สงู สดุ (maxsimal) ถา x ≥ a สำหรบั ทกุ ๆ a ∈ S. บทนยิ าม 2.29. ให I เปนเซตยอ ยที่ไมเปนเซตวางของรงิ R เรียก I วา กลมุ อดุ มคติ (ideal) ของ R ถา 1. I เปน กรุปยอ ยของ R ภายใตก ารบวก 2. สำหรบั ทุกๆสมาชกิ a ∈ I แลว ar, ra ∈ I เมือ่ r ∈ R 3. ทฤษฎีบทหลกั ในหัวขอนี้จะกลาวถึงทฤษฎบี ทที่ผูวิจยั ไดทำการศึกษาคดิ คน ซึ่งประกอบดว ยทฤษฎีบทจำนวน 12 ทฤษฎีบท ดังน้ี ทฤษฎีบท 3.1. ให S เปน ก่งึ รงิ ปรกติบริบูรณ และ e เปน เอกลกั ษณภายใตการบวกและการคูณ แลว a + x = a และ S เปนกึ่งรงิ นจิ พล พิสจู น. ให S เปน ก่งึ ริงปรกตบิ รบิ ูรณ แลวสำหรับทุกๆ a ∈ S จะมสี มาชิก x ∈ S ซง่ึ a + x + a = a และ a + x = x + a จากสมมตฐิ าน e เปน เอกลกั ษณก ารบวกและการคูณ พิจารณา a + (x + a) = a (1) a + (a + x) = a (a + a) + x = a a(e + e) + x = a a(e) + x = a a+x=a นำ a บวกเขาทัง้ สองขางของสมการ (1) จะได a+x+a=a+a a=a+a จากสมบตั ขิ องกึง่ ริงปกติบริบรู ณขอ 3) a(a + x) = a + x (2) จากสมการ (1) a + x = a แทนในสมการ (2) จะได a(a) = a โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

198 สายชล ตายธานี และคณะ ดงั น้ัน a2 = a น่ันคอื S เปน กึ่งริงนิจพล ทฤษฎบี ท 3.2. ให S เปนกึง่ รงิ ปรกตบิ ริบูรณ และ (S, +) เปนแถบ แลว 1. (S, · ) เปน แถบ 2. ถา (S, +) มีสมบัตกิ ารตดั ออก แลว (S, · ) เปนเอกฐานทางขวา พสิ ูจน. กำหนดให S เปนกึ่งริงปรกตบิ รบิ รู ณ และ (S, +) เปน แถบ ดังนั้นสำหรับทกุ ๆ a ∈ S จะมี x ∈ S ซ่ึง a + x + a = a และ a + x = x + a 1. พจิ ารณา a + (x + a) = a a + (a + x) = a (a + a) + x = a เน่อื งจาก (S, +) เปนแถบ ซึ่ง a + a = a สำหรบั ทุกๆ a ∈ S จะไดว า a+x=a จากสมบตั ขิ อ 3) ของกึ่งรงิ ปรกติบรบิ รู ณ ซ่งึ a(a + x) = a + x a(a) = a a2 = a ดงั น้นั (S, · ) เปน แถบ 2. จากสมบตั ขิ องกึง่ รงิ ปรกติบรบิ รู ณข อ 3) ซงึ่ a(a + x) = a + x ทำใหไดวา aa + ax = a + x a2 + ax = a + x จาก a2 = a จะได a + ax = a + x เน่อื งจาก (S, +) มีสมบัตกิ ารตดั ออก จะได ax = x ดงั้ นนั้ (S, · ) เปน เอกฐานทางขวา ทฤษฎีบท 3.3. ให S เปนกง่ึ ริงปรกตบิ ริบรู ณ ซ่งึ มี 0 เปน เอกลกั ษณภ ายใตการบวก ถา S เปน กง่ึ ริงกำลงั สองศนู ย แลว (S, +) เปน อ-ี ผกผัน และสำหรับทกุ ๆ a ∈ S จะมี x ∈ S ซง่ึ ax + a = a พสิ จู น. กำหนดให S เปนกึ่งรงิ ปรกติบริบรู ณ ซึ่งมี 0 เปน เอกลักษณภ ายใตการบวก สำหรับทุกๆ a ∈ S จะมี x ∈ S โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

สมบัติของกง่ึ รงิ ปรกติบรบิ ูรณ 199 แลว จะไดว า (3) a+x+a=a นำ x คูณทางขวาท้ังสองขา งของสมการ (3) จะได (a + x + a)x = ax ax + xx + ax = ax ax + x2 + ax = ax เนือ่ งจาก S เปน กำลังสองศนู ย จะได ax + 0 + ax = ax ax + ax = ax ดงั นน้ั (S,+) เปน อี-ผกผนั จากสมบัตขิ อ 3) ของกง่ึ ริงปรกติบรบิ รู ณ ซ่ึง a(a + x) = a + x a2 + ax = a + x จาก S เปนกำลังสองศนู ย จะได 0 + ax = a + x ax = a + x นำ a บวกทางขวาเขา ทงั้ สองขา งของสมการจะได ax + a = a + x + a ax + a = a ทฤษฎบี ท 3.4. ถา S เปน กึง่ ริงปรกตบิ รบิ ูรณ และ S เปนนลิ จพลยอ ยการคูณ แลว 1. (S, · ) เปนคาบ และสำหรบั ทกุ ๆ a ∈ S จะมี x ∈ S ซ่ึง ax + a = a 2. ถา (S, +) มสี มบัตกิ ารตดั ออก แลวสำหรบั ทุกๆ a ∈ S จะมี x ∈ S ซ่ึง a + x = ax พสิ ูจน. ให S เปน ก่งึ รงิ ปรกติบริบรู ณและ S เปนนจิ พลยอยภายใตก ารคูณ 1. ให S เปน กีง่ ริงปรกติบริบรู ณ ดงั น้นั จะไดว า สำหรบั ทกุ ๆ a ∈ S จะมี x ∈ S ซึ่ง จาก a + x + a = a (a + x) + a = a โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

200 สายชล ตา ยธานี และคณะ นำ a คณู ทางซา ยทั้งสองขางของสมการ จะได a(a + x) + aa = aa a(a + x) + a2 = a2 จากสมบตั ิขอ 3) ของกึง่ ริงปรกติบรบิ รู ณ ซึง่ a(a + x) = a + x ดงั น้นั (a + x) + a2 = a2 จากสมบตั ิขอ 2) ของกึง่ ริงปรกติบรบิ รู ณ จะไดวา (x + a) + a2 = a2 (4) x + (a + a2) = a2 จาก S เปน นจิ พลยอยภายใตการคูณ ซึง่ a + a2 = a ดังน้ัน x + a = a2 a + x = a2 จากสมบัตขิ อ 3) ของกงึ่ ริงปรกตบิ ริบรู ณ ซ่ึง a(a + x) = a + x จาก สมการ (4) a + x = a2 จะได a(a2) = a2 a3 = a2 ดังนน้ั (S, · ) เปบ คาบ (a + x) + a = a ตอไปนีจ้ ะแสดงวา ax + a = a จาก a(a + x) + a = a a(x + a) + a = a (ax + a2) + a = a ax + (a2 + a) = a ax + (a + a2) = a ax + a = a 2. ให (S, +) มสี มบตั ิการตดั ออก จะแสดงวา สำหรับทกุ ๆ a ∈ S จะมี x ∈ S ซงึ่ a + x = ax จาก S เปนนจิ พลยอ ยการคณู ดังนน้ั สำหรบั ทกุ ๆ a ∈ S จะไดวา a + a2 = a จากสมบตั ิขอ 2) ของก่งึ รงิ ปรกติบรบิ ูรณ ทำใหไดวา a2 + a = a บวก ax เขาทางซา ยทง้ั สองขางของสมการ จะได ax + a2 + a = ax + a a(x + a) + a = ax + a โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

สมบัตขิ องก่งึ รงิ ปรกตบิ รบิ รู ณ 201 เน่ืองจาก (S, +) มสี มบัตกิ ารตดั ออก จะได a(x + a) = ax จากสมบัตขิ อ 2) ของกึ่งริงปรกตบิ รบิ ูรณ จะไดวา a(a + x) = ax จากสมบตั ิขอ 3) ของกงึ่ ริงปรกตบิ ริบูรณ จะได a + x = ax ดังนัน้ a + x = ax ทฤษฎบี ท 3.5. ให S เปนกีง่ รงิ ปรกติบริบรู ณ ถา S กึง่ รงิ เกือบนลิ จพล แลว S เปน กง่ึ รงิ นจิ พล พสิ ูจน. ให S เปนก่ึงรงิ ปรกติบริบรู ณและ ถา S กง่ึ ริงเกอื บนลิ จพล ดังน้ัน สำหรบั ทุกๆ a ∈ S จะมี x ∈ S ซึ่ง a + x + a = a นำ a คูณเขา ทางซา ยท้ังสองขางของสมการ จะได a(a + x + a) = aa a2 + ax + a2 = a2 [a(a + x)] + a2 = a2 (a + x) + a2 = a2 (x + a) + a2 = a2 x + (a + a2) = a2 จาก Sเปนกงึ่ รงิ เกอื บนิจพล ซึ่ง a + a2 = a2 ดงั น้ัน x + a2 = a2 นำ ax บวกเขาทางขวาทง้ั สองขา งของสมการจะได x + a2 + ax = a2 + ax x + a(a + x) = a(a + x) x + (a + x) = a + x นำ a บวกเขา ทางขวาท้ังสองขางของสมการ จะได (x + a + x) + a = (a + x) + a x + (a + x + a) = a + x + a x+a=a บวก a เขาทางซาย a+x+a=a+a (5) a=a+a โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

202 สายชล ตายธานี และคณะ จากเง่อื นไขขอ 3) ของกงี่ รงิ ปรกตบิ รบิ รู ณ ซ่ึง a(a + x) = a + x จะไดว า a(x + a) = a + x (6) (7) a(a) = a a2 = a จากสมการ (5) และ (6) ดงั นั้น S เปนกึง่ รงิ นิจพล ทฤษฎบี ท 3.6. ถา S เปน กง่ึ รงิ ปรกติบริบูรณ และ S เปน กง่ึ รงิ เดยี ว แลว 1. S เปนนิจพลยอยภายใตก ารคณู 2. สำหรับทุกๆ a ∈ S จะมี x ∈ S ซงึ่ a(a + ax) = a + x พิสูจน. ให S เปนกง่ึ รงิ ปรกตบิ รบิ รู ณ และ S เปน ก่งึ รงิ เดยี ว 1. จาก S เปนกึ่งริงเดยี วจะไดวา สำหรบั ทุกๆ a, x ∈ S และ ax = a + x จากเงื่อนไขขอ 1) ของกง่ึ ริงปรกติบรบิ ูรณ ซึง่ (a + x) + a = a ax + a = a จากเงื่อนไขขอ 3) ของกึ่งรงิ ปรกตบิ รบิ ูรณ ซึ่ง a(a + x) = a + x นำ a บวกเขา งทางขวาทั้งสองขาง จะได a(a + x) + a = a + x + a (a2 + ax) + a = a a2 + (ax + a) = a a2 + a = a a + a2 = a ดงั นัน้ S เปน นจิ พลยอ ยภายใตการคูณ 2. เน่อื งจาก S เปน ก่งึ ริงปรกติบรบิ รู ณ ดงั นน้ั สำหรบั ทุกๆ a ∈ S จะมี x ∈ S ซึ่ง a(a + x) = a + x และจาก S เปน ก่ึงริงเดียว ซึ่ง ax = a + x จะได a(ax) = ax a2x = ax (8) (9) จากเง่ือนไขขอ 3) ของกึ่งรงิ ปรกตบิ รบิ ูรณ ซง่ึ a(a + x) = a + x จะได a2 + ax = a + x แทนสมการ (8) ในสมการ (9) จะไดว า a2 + a2x = a + x a(a + ax) = a + x โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

สมบตั ขิ องกงึ่ ริงปรกติบรบิ รู ณ 203 หมายเหตุ C = {a | a เปน ปรกตบิ ริบรู ณ } หรือ C เปนเชตของสมาชกิ ปรกติบรบิ ูรณ ทฤษฎบี ท 3.7. ให S เปน กงึ่ ริง และ (S, +) เปนเอกฐานทางขวา ถา a ∈ C แลว ทกุ ๆ กำลงั ของ a เปนปรกติบริบรู ณ พิสจู น. ให S เปน กึ่งรงิ และ a ∈ S และให a ∈ C เปนสมาชกิ ปรกติบรบิ รู ณ แลว จะมี x ∈ S ซ่งึ a + x + a = a, a + x = x + a และ a(a + x) = a + x จาก (S, +) เปนเอกฐานทางขวา ซึ่ง a + x = x และจากเงอื่ นไข 3) พิจารณา a(a + x) = a + x a(x) = x ax = x a2x = ax a2x = x ดังนน้ั จะไดว า a2x = ax = x (10) จากเง่อื นไขขอ 1) ซง่ึ a + x + a = a คูณ a เขา ทางซายทัง้ สองขางของสมการ จะได a(a + x + a) = a(a) (11) a2 + ax + a2 = a2 a2 + x + a2 = a2 พจิ ารณาเง่อื นไขขอ 2) ซง่ึ a + x = x + a จะได a(a + x) = a(x + a) (12) a2 + ax = ax + a2 a2 + x = x + a2 พิจารณา a2 + x = a2 + ax = a(a + x) = a(x) = ax =x โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

204 สายชล ตายธานี และคณะ ดงั นัน้ a2(a2 + x) = a2x = x จาก a2(a2 + x) = a4 + a2x = a4 + x จะได a4 + x = x นั้นคอื a2(a2 + x) = x = a2 + x ดังน้นั a2(a2 + x) = a2 + x (13) จาก (11), (12), และ(13), a2 ∈ C สามารถทำไดใ นทำนองเดยี วกนั จะไดว า an ∈ C ดังนนั้ ทกุ กำลังของ a เปนปรกติบรบิ ูรณ ทฤษฎีบท 3.8. ให S เปนกง่ึ ริง และ (S, · ) เปนกึ่งแลตทซิ ถา a ∈ C แลว C เปน อดุ มคติการคูณของ S พิสจู น. ให S เปนกง่ึ รงิ และ a ∈ C แลว จะมี x ∈ S ซงึ่ จากสมบัตขิ องกึ่งริงปรกตบิ รบิ รู ณ ขอ 1) จะไดวา a + x + a = a (a + x + a)x = ax (14) ax + x2 + ax = ax เนอื่ งจาก (S, · ) เปนกง่ึ แลตทซิ จะไดวา (S, · ) เปน แถบ ดังนน้ั ทกุ ๆ x ∈ S จะไดว า x2 = x ดังน้นั จากสมการ (14) จะได ax + x + ax = ax (15) คูณ x เขาในเงอื่ นไข 2) ของกึ่งริงปรกติบรบิ ูรณ จะได (a + x)x = (x + a)x (16) ax + x2 = x2 + ax ax + x = x + ax ในทำนองเดียวกัน คูณ x เขาท้งั สองขา งของเงื่อนไข 3) ของก่ึงริงปรกตบิ รบิ รู ณ จะได [a(a + x)]x = (a + x)x เนื่องจาก (S, · ) เปน กึ่งแลตทิซ ดงั นน้ั (S, · ) มีสมบัติสลับท่ี จะไดวา x[a(a + x)] = (a + x)x ⇒ xa(a + x) = (a + x)x ⇒ ax(a + x) = (a + x)x คูณ x เขาทางขวาท้งั สองขา งของสมการขา งตน จะได ax(a + x)x = (a + x)xx ax(ax + x2) = (a + x)x2 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

สมบตั ิของกึ่งริงปรกติบริบรู ณ 205 เน่ืองจาก (S, · ) เปน แถบ ทำใหไ ดว า ax(ax + x) = (a + x)x (17) ax(ax + x) = ax + x2 ax(ax + x) = ax + x จากสมการ (15), (16) และ (17) สรุปไดวา ax ∈ C และ จาก (S, · ) มีสมบตั ิการสลับท่ี จะได ax = xa ดงั นน้ั xa ∈ C สำหรับทกุ ๆ x ∈ S ดังน้ัน C เปน อุดมคตกิ ารคณู ของ S ทฤษฎบี ท 3.9. สมมติให S เปน โดเมนตรรกยะบวก แลว a = 1 (น่ันคอื 1 เปน สมาชิกปรกติบรบิ รู ณ เพยี งตวั เดยี วในโดเมนตรรกยะบวก) พสิ จู น. ให a ∈ C แลว จะมี x ∈ S ซง่ึ a(a + x) = a + x เนื่องจาก S เปน โดเมนตรรกยะบวก จะไดวา (S, · ) เปนกรุปอาบีเลียน จะไดวา จะมี (a + x)−1 ซึ่ง (a + x)(a + x)−1 = 1 ดังน้ัน a(a + x)(a + x)−1 = (a + x)(a + x)−1 a=1 ทฤษฎีบท 3.10. สำหรบั แตละสมาชกิ a ของก่ึงรงิ ปรกตบิ ริบรู ณ S จะมี x ∈ S ซงึ่ a + ax = x ถา (S, +) มีสมบัติการตัดออกทางซาย แลว a2 = 2a พิสจู น. ให S เปน ก่งึ รงิ ปรกตบิ รบิ รู ณ และ a ∈ S จะไดวา จะมี x ∈ S ซงึ่ a+x+a=a (18) x+a+a=a x + 2a = a จากเง่ือนไขขอ 3) และเง่อื นไขขอ 2) ของ S จะได a(x + a) = x + a (19) ax + a2 = x + a (20) บวก a เขาทัง้ สองขา งของสมการ (19) จะได a + ax + a2 = a + x + a จากกำหนดให a + ax = x และเง่อื นไขขอ 1) a + x + a = a จะไดว า x + a2 = a จาก (18) และ (20) จะไดวา x + a2 = x + 2a จากกฎการตัดออกทางซายจะไดว า a2 = 2a โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

206 สายชล ตา ยธานี และคณะ ทฤษฎีบท 3.11. ให S เปนกึ่งร่ิงปกตบิ ริบูรณอ ันดับทกุ สวน และ (S, +, ≥) เปนอนั ดับเชงิ บวกทกุ สวน แลว จะไดว า 1. S เปน กง่ึ รงิ นจิ พล 2. สำหรับทุกๆ a ∈ S จะมี x ซง่ึ a ≥ x พิสูจน. ให S เปนก่ึงริงปรกตบิ รบิ ูรณ จะไดวา สำหรับทุกๆ a ∈ S จะมี x ∈ S ซง่ึ a + x = x + a 1. จาก S เปน กง่ึ ริงอนั ดับทกุ สว น จะไดวา สำหรบั a, x ∈ S จะไดวา a + x ≥ a และ a + x ≥ x นั้นคอื x + a ≥ a และ x + a ≥ x บวก a ทัง้ สองขา งของอสมการ จะได a + x + a ≥ a + a และ a + x + a ≥ x + a โดยใชเงอ่ื นไขขอ 1) ของกึง่ ริงปรกติบรบิ รู ณ จะได a ≥ a + a ≥ a และ a ≥ x + a ≥ a ดังนนั้ a = a + a และ a = a + x จากเง่ือนไข 3) ของกง่ึ ริงปรกตบิ รบิ ูรณ ซงึ่ a(a + x) = a + x a(a) = a a2 = a ดงั้ นน้ั S เปน กง่ึ ริงนจิ พล 2. เนือ่ งจาก a + x ≥ x คณู a เขาทงั้ สองขา งของอสมการขา งตน จะได a(a + x) ≥ ax และคูณ x เขาทัง้ สองขา งของอสมการขางตน จะได (a + x)x ≥ xx จากเงอื่ นไข 3) a(a + x) = a + x และใช a + x = a ดงั นนั้ จาก a(a + x) ≥ ax (21) a + x ≥ ax และจาก (a + x)x ≥ xx (22) ax ≥ x2 จากอสมการ (21) และ (22) จะได a + x ≥ ax ≥ x2 จาก a + x = a จะได a ≥ ax ≥ x2 ดังน้นั a ≥ x2 จะไดวา a ≥ x โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

สมบัติของกึง่ ริงปรกติบริบูรณ 207 ทฤษฎบี ท 3.12. ให S กึ่งรงิ ปรกติบริบูรณอันดบั ทุกสว น และ (S, · ) เปน อนั ดบั เชงิ บวกทุกสว น แลว ขอความตอ ไปนเี้ ปนจรงิ 1. (S, +) ไมเ ปนอนั ดบั บวก 2. ถา (S, +) เปน การตัดออกางซาย แลว (S, · ) เปน เอกฐานทางขวาและเปนแถบ 3. ถา (S, +) เปน เอกฐานทางขวา แลว (S, +) เปนอนั ดับเชงิ บวกทุกสว น พสิ ูจน. เนอ่ื งจาก (S, · ) เปนอนั ดับเชงิ บวกทุกสว น น่นั คือ สำหรบั ทุกๆ a, x ∈ S จะไดว า a(a + x) ≥ a 1. จากเงื่อนไขขอ 3) ของกง่ึ รงิ ปรกติบริบูรณ ซง่ึ a(a + x) = a + x จะทำใหไดวา a+x≥a บวก a เขา ทง้ั สองขา งอสมการ จะได a + x + a ≥ a + a โดยสมบตั ขิ อ 1) ของกงึ่ ริงปรกตบิ รบิ รู ณ ทำใหไ็ ดว า a ≥ a + a ดังนนั้ (S, +) ไมเปนอันดบั เชงิ บวก 2. จาก (S, · ) เปนกง่ึ กรุปอนั ดับทกุ สว น ดังน้นั a2 ≥ a และ ax ≥ x สำหรบั ทุกๆ a, x ∈ S นำ ax บวกเขา ทงั้ สองขา งของอสมการ a2 ≥ a และนำ a บวกเขาท้ังสองขางของอสมการ ax ≥ x a2 + ax ≥ a + ax (23) a + ax ≥ a + x (24) จากอสมการ (23) และ (24) จะไดวา a2 + ax ≥ a + ax ≥ a + x เนอ่ื งจาก a2 + ax = a(a + x) = a + x ดังน้นั a + x ≥ a + ax ≥ a + x นนั่ คอื a + ax = a + x เนื่องจาก (S, +) มีสมบตั ิการตดั ออกทางซา ย ทำใหไดวา ax = x ในทำนองเดยี วกันจะไดวา ax = a นำ a2 บวกเขา ทงั้ สองขางของสมการ ax = x จะได ax + a2 = x + a2 a(x + a) = x + a2 a + x = x + a2 x + a = x + a2 จากกฎการตัดออกทางซายจะไดว า a = a2 ดังนนั้ (S, · ) เปน เอกฐานทางขวาและ (S, · ) เปนแถบ โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

208 สายชล ตา ยธานี และคณะ 3. เนื่องจาก (S, · ) เปน อันดบั เชงิ บวก จะไดว า ax ≥ a และ ax ≥ x สำหรับทุกๆ a, x ∈ S นำ a2 บวกเขา ท้ังสองขา งของอสมการ ax ≥ a จะได a2 + ax ≥ a2 + a (26) a(a + x) ≥ a2 + a a + x ≥ a2 + a และนำ a2 บวกเขาทงั้ สองขา งของอสมการ ax ≥ x จะได a2 + ax ≥ a2 + x (27) a(a + x) ≥ a2 + x a + x ≥ a2 + x เนื่องจาก (S, +) เปน เอกฐานทางขวา จะมี a2 + a = a และ a2 + x = x จากอสมการ (26) และ (27) ขางตน จะไดว า a + x ≥ a2 + a = a a+x≥a a + x ≥ a2 + x = x a+x≥x ดังน้ัน (S, +) เปนอันดับเชงิ บวกทุกสวน 4. บทสรุป การศกึ ษางานวจิ ยั สมบตั ิของก่ึงริงปรติบรบิ รู ณน้ี ไดทราบบทนยิ ามที่เกี่ยวกับการดำเนนิ การ ทวภิ าค กรุป กึ่งกรุป กรุปอาบีเลียน รงิ กึ่งริง แถบ เกอื บนิจพล กง่ึ นจิ พล โดเมนตรรกยะบวก ก่ึงริง เดยี ว นจิ พลยอยภายใตการบวกและการคณู คาบ ก่งึ รงิ ปกติบรบิ รู ณ ก่ึงริงอนั ดบั ทกุ สว น ก่งึ กรุปอันดับ ทกุ สวน และอันดับเชิงบวกทกุ สว น เปน ตน และทำใหไดท ฤษฎบี ทใหมท้งั หมดดงั น้ี ทฤษฎบี ท 1 ให S เปนกงึ่ ริงปรกติบริบรู ณ และ e เปนเอกลักษณภายใตการบวกและการคณู แลว a + x = a และ S เปนกง่ึ รงิ นิจพล ทฤษฎีบท 2 ให S เปน กึ่งริงปรกติบริบรู ณ และ (S, +) เปนแถบ ทฤษฎบี ท 3 ให S เปนกง่ึ ริงปรกตบิ ริบรู ณ ซง่ึ มี 0 เปนเอกลกั ษณภ ายใตการบวก ถา S เปนก่งึ รงิ กำลงั สองศนู ย แลว (S, +) เปน อ-ี ผกผนั และสำหรับทุกๆ a ∈ S จะมี x ∈ S ซ่ึง ax + a = a ทฤษฎบี ท 4 ถา S เปนกง่ึ ริงปรกตบิ รบิ รู ณ และ S เปนนิลจพลยอ ยการคณู ทฤษฎีบท 5 ให S เปนกงี่ รงิ ปรกติบรบิ ูรณ ถา S ก่ึงริงเกือบนิลจพล แลว S เปนกงึ่ ริงนิจพล โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

สมบตั ขิ องกึง่ ริงปรกติบรบิ ูรณ 209 ทฤษฎบี ท 6 ถา S เปนกึ่งริงปรกตบิ รบิ ูรณ และ S เปนก่งึ รงิ เดยี ว ทฤษฎีบท 7 ให S เปน กง่ึ ริง และ (S, +) เปนเอกฐานทางขวา ถา a ∈ C แลว ทุกๆ กำลังของ a เปนปรกติบรบิ รู ณ ทฤษฎบี ท 8 ให S เปน ก่ึงริง และ (S, · ) เปนกึง่ แลตทซิ ถา a ∈ C แลว C เปน อดุ มคตกิ ารคูณ ของ S ทฤษฎีบท 9 ให S เปนโดเมนตรรกยะบวก แลว a = 1 (นน่ั คอื 1 เปนสมาชิกปรกติบรบิ ูรณเพียงตัว เดียวในโดเมนตรรกยะบวก) ทฤษฎบี ท 10 สำหรบั แตล ะสมาชิก a ของก่งึ ริงปรกติบรบิ รู ณ S จะมี x ∈ S ซ่ึง a + ax = x ถา (S, · ) มสี มบัตกิ ารตัดออกทางซาย แลว a2 = 2a ทฤษฎบี ท 11 ให S เปนกึง่ ริ่งปกติบรบิ รู ณอันดบั ทกุ สว น แลว (S, +, ≥) เปน อันดับเชงิ บวกทุกสว น ทฤษฎบี ท 12 ให S กงึ่ ริงปรกติบริบูรณอนั ดบั ทุกสว น แลว (S, · ) เปนอนั ดับเชิงบวกทุกสว น เอกสารอางอิง [1] ววิ รรธน วณิชาภชิ าต,ิ พีชคณติ นามธรรม 1, มหาวิทยาลยั นเรศวร, 2545 [2] J.S. Golan, Semirings and their Applications, Kluwer Academic Publishers, Dor- drecht, 1999. [3] J. Hanumanthachari, T. Vasanthi, ”On the additive and multiplicative structure of certain classes of ordered semirings,” Asian Bull. Math. 17 (1) (1993) 3-10 [4] K.S.S. Nambooripad, Structure of regular semigroups, I fundamental regular Semi- groups, Semigroup Fourm 9 (1975) 354-363. [5] M.K. Sen, S.K. Maity, K.P. Shum, Clifford Semirings and generalized Clifford. semir- ings, Taiwanese Journal of Mathematics 9 (3) (2005) 433-444. [6] T. Vasanthi and N. Sulochana, Semirings satisfying the identities, Inter.J. Math Archieve 3 (9) (2012) 3393-3399. [7] T. Vasanthi, Semirings with IMP, Southeast Asian Bull. Math. 32 (3) (2008) 995- 998. [8] T. Vasanthi, Y. Monikarchana, K. Manjula, Structure of semirings, Southeast Asian Bull. Math. 35 (2011) 149-156. 18 [9] T. Vasanthi and N. Sulochana, On the additive and multiplicative structure of semir- ings, Annals of Pure and Applied Mathematics 3 (1) (2013) 78-84. [10] J. Zeleznekow, Regular semirings, Semigroup Forum 23 (1981) 119-136. โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

210 สายชล ตายธานี และคณะ โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

Type of the Article: Seminar SE-PU 05 211 ทฤษฎีบทจุดตรึงสำหรบั อนั ดับการหดตัวในปรภิ มู ิ b-เมตริกบาง สว น Some Fixed Point Theorem for Ordered Contractions in Partial b-Metric Spaces ผูแตง : Satish Shukla จดั ทำโดย: ปภาวดี ขมขำ1, กุญจเร ชเู ฉลิม1* และ เกศสรินทร สิงหโขง 1 1สาขาวิชาคณติ ศาสตรแ ละสถิติ คณะวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี มหาวอทยาลัยราชภฏั นครสวรรค *Correspondence: [email protected] บทคัดยอ ในบทความน้ี เปน การพสิ จู นทฤษฎีจุดตรึงในปริภูมิ b-เมตรกิ บางสวนประกอบกับอันดับบางสวน ผลลัพธ ของบทความนี้เปน วางนัยท่วั ไป และขยายหลักการหดตวั บานาค และผลลพั ธอื่นๆ ที่เปน ที่รูจกั ในปริภูมิ b-เมตรกิ บางสวนประกอบกับอนั ดับบางสวน มีตัวอยา งท่ีแสดงถงึ กรณีที่สามารถใชผลลัพธใหมไดในขณะท่ี ผลลพั ธเ กาไมส ามารถทำได คำสำคญั : อันดับบางสวน, ปริภูมิ b-เมตริกบางสว น, ปริภูมิ b-เมตรกิ , การหดตวั และจดุ ตรงึ Abstract In this paper, some fixed point theorems in a partial b-metric space endowed with a partial order are proved. The results of this paper generalize and extend the Banach contraction principle and some other known results in partial b-metric spaces endowed with a partial order. Some examples are given which illustrate the cases when new results can be applied while old ones cannot. Keywords: Partial order, Partial b-metric space, b-metric space, Contraction, Fixed point 1. บทนำ Bakhtin [8] และ Czerwik [29] แนะนำปริภูมิ b-เมตรกิ ซึง่ เปนวางนัยทว่ั ไปของปริภมู ิเมตรกิ ในปริภมู ินี้อสมการสามเหล่ียมของฟง กช ันเมตรกิ ปกติ ถกู แทนโดยอสมการวางนยั ทว่ั ไปซึง่ ประกอบ ดว ยคาคงที่ s ≥ 1 สำหรบั s = 1 จะไดเมตรกิ ปกติและวางนยั ทัว่ ไปของหลักการหดตวั บานาคใน ปริภูมิน้ัน ๆ หลังจากงานนี้ มนี กั วิจัยจำนวนมากใหค วามสนใจในปริภูมิ b-เมตริก เหน็ ไดจ ากในเอกสาร อา งอิง ([1],[17],[21],[23],[24],[26],[32]) โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครงั้ ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

212 ปภาวดี ขมขำ และคณะ ทฤษฎีบท 1.1. กำหนดให (X, d) เปนปริภมู ิเมตริกบริบูรณและ f : (X, d) −→ (X, d) เปน การสง แบบหดตวั แลว F มีจุดตรึงเพยี งจดุ เดียว หลงั จากงานนี้ มีนกั วิจัยจำนวนมากใหความสนใจในปริภมู ิ b-เมตริกเหน็ ไดจากเอกสารอางอิง ([1], [17], [21], [23], [24], [26], [32] และการอา งอิงในนนั้ ) Matthews [31] ไดแนะนำความคิดของปรภิ มู ิเมตรกิ บางสวนเปนสว นหนงึ่ ในปริภูมินี้เมตรกิ ปกติเปน วางนยั ทั่วไปโดยการแนะนำระยะทางในตัวเองที่ไมใ ชศูนยของจุดในปรภิ ูมิ Matthews จะ แสดงวา หลกั การหดตัวบานาคถกู ตอ งในปรภิ ูมิเมตริกบางสวน โดย ทฤษฎบี ท 1.2. (ทฤษฎีการสง หดตัวเมตรกิ บางสวน) สำหรับแตล ะ p-เมตริกบรบิ ูรณ P : U2 −→ R และ สำหรบั แตละฟง กช นั f : U −→ U จะไดว า สำหรับบาง 0 ≤ c ≤ 1 สำหรบั ทุก ๆ x, y ∈ U p(f(x), f(y)) ≤ c × p(x, y) เรียกวา การหดตวั ประการแรกจะไดวา a ∈ U เพยี งหนงึ่ เดยี ว จะไดวา a = f(a) และประการที่สอง p(a, a) = 0 ในทางกลับกนั Ran และ Reurings [4] และ Nieto และ Lopez [13], [14] ไดวา มีจุดตรึงของ การสงดว ยตัวเองของปริภมู ิเมตรกิ ซง่ึ ประกอบกบั อนั ดบั บางสวน ผลลพั ธของจดุ ตรึงในปรภิ มู ิประกอบ กบั อันดับบางสวน ทฤษฎบี ท 1.3. ให T เปน เซตอนั ดับบางสว น ซึ่ง ทกุ ๆ คู x, y ∈ T มีขอบเขตลา งและมีขอบเขตบน นอกจากน้ี ให d เปน เมตรกิ บน T ซ่ึง (T, d) เปนปริภูมิเมตริกสมบรู ณ ถา F ตอเนอื่ งเพยี งหน่ึงเดียว สงจาก T ไปยงั T ซง่ึ 1. สำหรบั บาง 0 < c < 1 ที่ d(F (x), F (y)) ≤ cd(x, y) สำหรับทุก ๆ x ≥ y 2. สำหรบั บาง x0 ∈ T ท่ี x0 ≤ F (x0) หรือ x0 ≥ F (x0) แลว F จะมี x เปนจดุ ตรงึ เพยี งหนง่ึ เดียว ยิ่งไปกวานั้น สำหรับทุก ๆ x ∈ T lim F n(x) = x h→∞ เราจะสามารถประยกุ ตในการพิสจู นวา มีจริงและความเปน ไปไดอยางเดียวของผลเฉลยสำหรับ สมการเมตริก เชน เดยี วกบั ขอ ปญ หาคา ขอบของสมการเชิงอนุพันธสามญั สมการปริพันธ สมการฟซ ซี ของปญ หาในปริภูมิแอล เปน ตน ( [2], [4], [7], [9], [10], [12], [13], [14], [15], [16], [25] ) ผลลัพธ ของ Ran และ Reuring [4] และ Nieto และ Lopez [13], [14] เปนวางนัยทั่วไปโดยผูเขยี นที่หลาก หลาย ( [2], [5], [6], [9], [11], [12], [18], [28], [33], [34] ) Shukla [32] b-เมตริกวางนัยทว่ั ไปและปริภูมิเมตรกิ บางสวนโดยแนะนำแนวคดิ ของปรภิ มู ิ b- เมตรกิ บางสว นและขอ พิสจู นโดยหลักการหดตัวบานาคในปรภิ ูมิ b-เมตริกบางสวน โดยทฤษฎีหลักการ หดตวั บานาค จะสามารถพบไดใน [3], [19], [20], [35] ในบทความน้ีเราพสิ ูจนวางนัยทว่ั ไปของหลกั การหดตวั บานาคในปริภมู ิ b-เมตรกิ บางสว นประกอบกับอนั ดับบางสว น ผลลพั ธของวางนยั ท่ัวไปใน โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้ังท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

ทฤษฎีบทจุดตรึงสำหรบั อนั ดับการหดตวั ในปรภิ มู ิ b-เมตรกิ บางสว น 213 ผลลพั ธของ Bakhtin [8], Czerwik [29], Ran และ Reurings [4], Nietonและ Lopez [13], [14], Matthews [31] และผลลัพธลา สุดของ Shukla [32] ตวั อยา งท่ีไดรับที่คำตอบของนทิ ศั นและแสดงให เห็นวา วางนยั ทว่ั ไปมคี วามเหมาะสม 2. ความรูพ้ืนฐาน บทนิยาม 2.1. ให X ไมเปน เซตวาง และ T : X −→ X เปนการสง จะเรยี ก x ∈ X วาจดุ ตรึง ถา T (x) = x และแทนสัญลักษณ T x = x บทนยิ าม 2.2. ให X ไมเปนเซตวา ง และ S และ T : X −→ X เปนฟงกช ันเรียกวา x ∈ X วา จดุ ตรงึ รว ม ถา T x = Sx = x บทนิยาม 2.3. ให X ไมเปน เซตวางและการสง d : X × X −→ R+ (R+ ยอ มาจากจำนวนจรงิ ท่ีไม เปน ลบ) สอดคลองกับเงอ่ื นไขตอไปนี้ (bM1) d(x, y) = 0 กต็ อเมอื่ x = y (bM 2) d(x, y) = d(y, x) (bM3) มจี ำนวนจรงิ s ≥ 1 จะไดว า d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)] สำหรับทุก ๆ x, y ∈ X แลว เรยี ก d วา b-เมตรกิ บน X และเรยี ก (X, d) วาปริภูมิ b-เมตริก ท่มี สี ัมประสิทธิ์ s บทนิยาม 2.4. เมตรกิ บางสวนไมเ ปน เซตวางบน X เปนฟง กช ัน p : X × X −→ R+ จะไดว า สำหรบั ทุก ๆ x, y, z ∈ X (P 1) x = y ก็ตอเม่อื p(x, x) = p(x, y) = p(y, y) (P 2) p(x, x) ≤ p(x, y) (P 3) p(x, y) = p(y, x) (P 4) p(x, y) ≤ p(x, z) + p(z, y) − p(z, z) ปริภูมเิ มตรกิ บางสว นเปน คู (X, p) จะไดวา X ไมเ ปนเซตวาง และ p คือ เมตริกบางสวนบน X บทนยิ าม 2.5. b-เมตรกิ บางสวนไมเ ปนเซตวา งบน X คือ ฟง กช นั b : X × X −→ R+ จะไดวา สำหรบั ทุก ๆ x, y, z ∈ X (P b1) x = y กต็ อเมือ่ b(x, x) = b(x, y) = b(y, y) (P b2) b(x, x) ≤ b(x, y) (P b3) b(x, y) = b(y, x) (P b4) มีจำนวนจรงิ s ≥ 1 จะไดว า b(x, y) ≤ s[b(x, z) + b(z, y)] − b(z, z) ปรภิ ูมิ b-เมตริกบางสวนเปนคู (X, b) จะไดวา X ไมเปนเซตวาง และ b เปน b-เมตรกิ บางสว นบน X เรยี กจำนวน s วา สัมประสทิ ธขิ์ อง (X, b) หมายเหตุ 2.6. ([32]) ในปรภิ มู ิ b-เมตริกบางสวน (X, b) สำหรับทุก ๆ x, y ∈ X ถา b(x, y) = 0 แลว x = y แตบ ทกลับอาจไมเปน จรงิ โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร คร้งั ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

214 ปภาวดี ขมขำ และคณะ เปน ที่ชัดเจนวา ทกุ ๆ ปรภิ มู ิเมตริกบางสวน เปน ปริภมู ิ b-เมตริกบางสวน ที่มีสัมประสิทธิ์ s = 1 และทกุ ปรภิ ูมิ b-เมตริก เปน ปรภิ ูมิ b-เมตริกบางสวน ท่ีมีสมั ประสทิ ธ์ิเดียวกัน และระยะทาง เปน ศนู ย อยางไรก็ตาม บทกลับของขอเท็จจริงนไ้ี มจำเปน ตองเปน จรงิ หมายเหตุ 2.7. ([32]) เปนท่ีชดั เจนวา ทุก ๆ ปรภิ มู ิเมตรกิ บางสว น คอื ปรภิ ูมิ b-เมตรกิ บางสว น ที่มี สมั ประสิทธ์ิ s = 1 และทกุ ปริภมู ิ b-เมตรกิ คือ ปรภิ มู ิ b-เมตรกิ บางสวน ท่ีมีสมั ประสทิ ธ์ิเดยี วกนั และ ระยะทางเปน ศนู ย อยา งไรก็ตาม บทกลบั ของขอเท็จจรงิ นี้ไมจำเปนตองเปน จรงิ ตวั อยาง 2.8. ให X = R+, p > 1 เปนคา คงที่ และ b : X × X −→ R+ แลวนยิ ามโดย b(x, y) = [max{x, y}]p + |x − y|p สำหรับทกุ ๆ x, y ∈ X แลว (X, b) เปนปรภิ ูมิ b-เมตริกบางสวน ที่มีสัมประสิทธ์ิ s = 2p > 1 แตไมใ ช b-เมตริก และไมเปน ปรภิ ูมิเมตริกบางสวน แทจริงแลว สำหรับทุก ๆ x > 0 เราจะไดวา b(x, x) = xp ≠ 0 ดงั น้ัน b ไมเปน b-เมตรกิ บน X เชนเดยี วกนั สำหรบั x = 5, y = 1, z = 4 เราจะได b(x, y) = 5p + 4p และ b(x, z) + b(z, y) − b(z, z) = [max{5, 4}]p + |5 − 4|p + [max{4, 1}]p + |4 − 1|p − ([max{4, 4}]4 + |4 − 4|4) = 5p + 1p + 4p + 3p − 4p − 0 = 5p + 1 + 3p ดังน้นั b(x, y) > b(x, z) + b(z, y) − b(z, z) สำหรับทุก ๆ p > 1 ดังน้นั b ไมเ ปน เมตรกิ บางสว นบน X สำหรบั ตวั อยางเพม่ิ เติมของปรภิ มู ิ b-เมตริกบางสว น เราอางอิงใน [32] เราจะนยิ ามลำดับโคชี และลำดับลูเขา ในปรภิ มู ิ b-เมตรกิ บางสวน บทนยิ าม 2.9. ให (X, b) เปนปริภมู ิ b-เมตริกบางสวน ที่มีสมั ประสิทธ์ิ s ให {xn} เปนลำดบั ใด ๆ ใน X และ x ∈ X จะไดวา 1. ลำดับ {xn} เรยี กวา ลำดบั ลเู ขา และลเู ขาสู x ก็ตอเมอื่ lim b(xn, x) = b(x, x) n→∞ 2. ลำดับ {xn} เรียกวา ลำดับโคชี (Cauchy Sequence) ใน (X, b) กต็ อเม่อื lim b(xn, xm) n,m→∞ มีอยูจริงและมีขอบเขตจำกัด 3. (X, b) เรียกวา ปรภิ ูมิ b-เมตริกบางสว นบริบรู ณ กต็ อ เมื่อสำหรับทุก ๆ ลำดบั โคชี (Cauchy Sequence) {xn} ใน X จะมี x ∈ X ซง่ึ lim b(xn, xm) = lim b(xn, x) = b(x, x) n,m→∞ n→∞ โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

ทฤษฎีบทจดุ ตรึงสำหรับอันดับการหดตัวในปริภูมิ b-เมตรกิ บางสวน 215 หมายเหตุ: ในปรภิ มู ิ b-เมตริกบางสว น ลิมติ ของลำดับลูเขา อาจจะไมม ีเพยี งจุดเดียว (สามารถดูไดจาก ตัวอยา งท่ี 2 ใน [32]) ถา X ไมเปนเซตวา งประกอบดว ยลำดับบางสว น ⊑ ซง่ึ (X, b) เปนปริภมู ิ b-เมตริกบางสว น ท่ี มีสัมประสิทธิ์ s ≥ 1 แลว (X, b, ⊑) เรียกวา อนั ดบั ปริภูมิ b-เมตรกิ บางสว น สมาชิก x, y ∈ X เรยี ก วา comparable ถา x ⊑ y หรอื y ⊑ x สบั เซต A ของ X จะเรียกวา อนั ดับอยางดี ถาสมาชกิ ทั้งหมด ของ A เปน ลำดบั {xn} ใน X เรียกวา ลำดับไมลดซงึ่ ขึ้นอยูกับ ⊑ ถา xn ⊑ xn+1 สำหรบั ทกุ ๆ n ∈ N การสง T : X −→ X เรียกวา การสงไมลดซงึ่ ข้นึ อยูกบั ⊑ ถา x ⊑ y แลว T x ⊑ T y เรา กำหนดให เซตของจดุ ตรึงท้ังหมดของ T โดย F ix(T ) ซึง่ F ix(T ) = {x ∈ X : T x = x} บทนยิ าม 2.10. ให (X, b, ⊑) เปน อนั ดบั ปรภิ มู ิ b-เมตรกิ บางสวน ท่มี สี มั ประสทิ ธิ์ s ≥ 1 และ T : X −→ X เปน การสง แลว T เรียกวา อนั ดับการหดตัวบานาค (ordered Banach contrac- tion) ก็ตอ เมือ่ มี λ ∈ [0, 1) ซึง่ ถา x ⊑ y แลว b(T x, T y) ≤ λb(x, y) สำหรับทุก ๆ x, y ∈ X (1) คา คงที่ λ เรยี กวา คาคงทีก่ ารหดตัวของ T บทนิยาม 2.11. ให (X, b) เปน ปริภมู ิ b-เมตรกิ บางสว น และ f : X −→ X เปนการสง แลว f เรยี ก วา 1. ตอ เนอ่ื ง ก็ตอ เมื่อสำหรบั ลำดับ {xn} ใน X lim b(xn, x) = b(x, x) n→∞ สำหรับบาง x ∈ X แลว lim b(f xn, f x) = b(f x, f x) n→∞ 2. f เรียกวา ลำดบั ลูเ ขา ก็ตอเมอ่ื สำหรับ ลำดบั {xn} ใน X ซ่งึ ถา lim b(xn, x) = b(x, x) n→∞ สำหรบั บาง x ∈ X เมอ่ื lim b(f xn , y) = b(y, y) n→∞ สำหรับบาง y ∈ X บทนิยาม 2.12. f จะเปนฟงกช ันไมลด (non decreasing) บนชวง A ก็ตอ เม่ือ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใด ๆ ใน A ถา x1 ≤ x2 แลว f(x1) ≤ f(x2) บทนยิ าม 2.13. ให S เปนกึ่งกรุป และ ≤ เปน ความสมั พันธบน S จะเรยี ก ≤ วา อันดับบางสว น (partial order) ถา ≤ มคี วามสัมพันธด งั ตอไปน้ี โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

216 ปภาวดี ขมขำ และคณะ 1. ความสมั พันธส ะทอน(reflexive relation) a ≤ a สำหรับทกุ ๆ a ∈ S 2. ความสมั พันธปฏิสมมาตร(antisymmetric relation) ถา a ≤ b และb ≤ a แลว a = b สำหรบั ทกุ ๆ a, b ∈ S 3. ความสัมพนั ธถายทอด(transitive relation) น่นั คือ ถา a ≤ b และ b ≤ c แลว a ≤ c สำหรบั ทุกๆ a, b, c ∈ S บทนิยาม 2.14. หลกั การจัดอนั ดบั อยา งดี (Well-ordering principle) สำหรบั เซตยอ ยใด ๆ ของ จำนวนนับ โดยไมเปน เซตวา ง จะมสี มาชิกทีน่ อ ยทสี่ ดุ เสมอ นัน่ คือ ถา A ⊆ N และไมเปน เซตวาง จะมี a ∈ A ซึ่ง a x สำหรบั ทกุ ๆ x ∈ A 3. ทฤษฎบี ทจุดตรึง บทต้ัง 3.1. ให (X, b, ⊑) เปนปรภิ มู ิอนั ดบั b-เมตริกบางสว น และ T : X −→ X เปนการสง ถา T เปน การสง ไมล ดซ่ึงขึ้นอยกู ับ ⊑ และ T เปนอันดับการหดตวั บานาค (ordered Banach contraction) ทีม่ ี λ เปน คา คงท่ีการหดตัว แลว สำหรับทกุ ๆ k ∈ N การสง F : X −→ X นิยามโดย F x = T kx สำหรบั ทุก ๆ x ∈ X เปน การสง ไมล ด ซงึ่ ขน้ึ อยูก ับ ⊑ และ F เปน อันดบั การหดตวั บานาค (ordered Banach contraction) ท่ีมี λk เปน คา คงท่ีการหดตัว พสิ จู น. เนอื่ งจาก T เปนการสงไมล ด (non decreasing) ซึ่งขน้ึ อยกู บั ⊑ สำหรับทุก ๆ x, y ∈ X ซึ่ง x ⊑ y เราจะได Tx ⊑ Ty T (T x) ⊑ T (T y) kk T T...(T x) ⊑ T T...(T y) Tkx ⊑ Tky Fx ⊑ Fy ดังนนั้ F เปนการสงไมล ดซง่ึ ข้นึ อยูกับ ⊑ ถา x ⊑ y แลวเนอื่ งจาก T เปน การสง ไมล ดซึง่ ขนึ้ อยกู บั ⊑ เราจะไดว า T nx ⊑ T ny สำหรบั ทุก ๆ n ∈ N เราจะได อันดบั การหดตวั บานาค (ordered Banach contraction) b(F x, F y) = b(T kx, T ky) = b(T T k−1x, T T k−1y) โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

ทฤษฎีบทจุดตรึงสำหรับอนั ดบั การหดตวั ในปรภิ ูมิ b-เมตรกิ บางสวน 217 ≤ λb(T k−1x, T k−1y) = λb(T T k−2x, T T k−2y) ≤ λλb(T k−2x, T k−2y) = λb(T T k−3x, T T k−3y) ... ≤ λkb(x, y) ดังนนั้ F เปน อันดบั การหดตวั บานาคท่มี ี λk เปนคาคงทก่ี ารหดตวั ทฤษฎบี ท 3.2. ให (X, b, ⊑) เปน อนั ดับและปรภิ ูมิ b-เมตริกบางสวน บรบิ รู ณ ที่มีสัมประสิทธ s ≥ 1 และ T : X −→ X เปนการสง ซง่ึ สอดคลองกบั เงอื่ นไขตอ ไปน้ี 1. T เปน อนั ดบั การหดตวั บานาคท่ีมคี า คงท่ีการหดตวั λ 2. มี x0 ∈ X ซงึ่ x0 ⊑ T x0 3. T เปนการสงไมล ดซึง่ ข้นึ อยกู ับ ⊑ 4. ถา {xn} เปน ลำดบั ไมล ดใน X และลเู ขา สูบาง z แลว xn ⊑ z สำหรับทุก ๆ n ∈ N แลว T มีจดุ ตรงึ u ∈ X และ b(u, u) = 0 ย่ิงไปกวานั้นแทนเซตของจดุ ตรงึ T เปน F ix (T ) เปน อันดับอยางดี ก็ตอ เมอ่ื จดุ ตรงึ ของ T มเี พยี งจุดเดียว พิสจู น เนอ่ื งจาก λ ∈ [0, 1) เราสามารถเลอื ก n0 ∈ N ซึง่ ให 0 < ε < 1 เราจะไดว า λn0 < ε ให T n0 ≡ F และ F kx0 = xk สำหรบั ทกุ ๆ k ∈ N 4s2 โดยบทตั้ง 3.1 F เปนการสง ไมล ดขน้ึ อยูก บั ⊑ และ F เปนอันดับการหดตัวบานาคกบั คา คงทก่ี ารหดตัว λn0 เน่อื งจาก x0 ⊑ T x0 และ T เปน การสง ไมล ดซึ่งขน้ึ อยูก บั ⊑ เราจะไดวา T x0 ⊑ T T x0 และ ดังนน้ั x0 ⊑ T x0 ⊑ T 2x0 ( ทำอยางตอ เน่อื งในลักษณะนี้ ) x0 ⊑ T x0 ⊑ T 2x0 ⊑ · · · ⊑ T nx0 ⊑ T n+1x0 ⊑ · · · สำหรบั ทกุ ๆ n ∈ N จะไดวา x0 ⊑ T n0x0 ⊑ T 2n0x0 ⊑ · · · ⊑ T nn0x0 ⊑ · · · สำหรบั ทกุ ๆ n ∈ N ดังนั้น x0 ⊑ F x0 ⊑ F 2x0 ⊑ · · · ⊑ F nx0 ⊑ · · · x0 ⊑ x1 ⊑ x2 ⊑ · · · ⊑ xk ⊑ xk+1 ⊑ · · · สำหรบั ทุก ๆ k ∈ N ดังนัน้ ลำดบั {xn} เปนลำดบั ไมล ดขนึ้ อยูก ับ ⊑ สำหรบั ทกุ ๆ k ∈ N เน่อื งจาก xk−1 ⊑ xk และ F เปนอนั ดบั การหดตัวบานาคสอดคลอ งกบั λn0 b(xk, xk+1) = b(F kx0, F k−1x0) = b(F (F k−1x0), F (F kx0)) = b((F xk−1, F xk) ≤ λn0 b(F k−1x0, F kx0) โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

218 ปภาวดี ขมขำ และคณะ ... ≤ λkn0b(x0, x1) −→ 0 k −→ ∞ ดงั นนั้ เราสามารถเลือก l ∈ N จะได b(xl, xl+1) < ε 8s2 XBb⊑: [xxll,⊑4εsy],ไbป(ยxังl,ตyวั )ม≤นั เอ4εงs ให Bb⊑[xl, ε ] := {y ∈ + b(xl, xl)} 4s เราจะแสดงวา F สง จาก ตอนนี้เปนทช่ี ัดเจนวา xl ∈ Bb⊑[xl, ε ] 4s ดังน้ัน Bb⊑[xl, ε ] ≠ ∅ 4s ให z ∈ Bb⊑[xl, ε ] แลว จะไดวา xl ⊑ z และ 4s เน่อื งจาก F เปนการสงไมลดถา xl ⊑ z แลว F xl ⊑ F z ดังนนั้ xl+1 ⊑ F z และ ดังนัน้ xl ⊑ xl+1 ⊑ F z และ ดงั นน้ั xl ⊑ F z เนอื่ งจาก F เปน อนั ดับการหดตัวบานาคขึน้ อยูกบั คาคงท่ีการหดตวั λn0 เราจะไดวา b(F xl, F x) ≤ λn0 b(xl, z) < εε + b(xl, xl)] 4s2 [ 4s เชน เดยี วกนั b(xl, F xl) = b(xl, F (F lx0)) = b(xl, F l+1x0) = b(xl, xl+1) < ε 8s2 ดังนั้น b(xl, F z) ≤ s[b(xl, F xl) + b(F xl, F z)] − b(F xl, F xl) < ε + ε { ε + b(xl, xl})] s[ 8s2 4s2 4s ε ε2 ε = 8s + 16s2 + 4s b(xl, xl) ε 2+ε ε =( ) + 4s b(xl, xl) 4s 4s ε < 4s + b(xl, xl) ดังนน้ั F z ∈ Bb⊑[xl, ε ] 4s ดงั นน้ั F สงจาก Bb⊑[xl, ε ] ไปยงั ตัวมันเอง ซ่ึง xl ∈ Bb⊑[xl, ε ] 4s 4s ดังน้นั F xl ∈ Bb⊑[xl, ε ] และทำซำ้ สง n รอบจะไดว า F nxl ∈ Bb⊑[xl, ε ] ทกุ ๆ n ∈ N 4s 4s ดังนน้ั xm ∈ Bb⊑[xl, ε ] ทุก ๆ m ≥ l ดงั น้นั สำหรับทุก ๆ m, n > l 4s จะไดวา b(xn, xm) ≤ s[b(xn, xl) + b(xl, xm)] − b(xl, xl) โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครง้ั ที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

ทฤษฎบี ทจดุ ตรึงสำหรับอนั ดับการหดตัวในปริภูมิ b-เมตริกบางสว น 219 εε xl)] < s[ + b(xl, xl) + + b(xl, 4s 4s = 2ε + 2b(xl, xl)] s[ 4s ε = 2 + 2sb(xl, xl) ≤ ε + 2sb(xl, xl+1) 2 εε ε < 2 + 2s( 8s2 ) ; b(xl, xl+1) < 8s2 ε ε εε = + < + =ε 2 4s 2 2 ดังนั้น ลำดบั {xn} เปนลำดับโคชี และ b(xn, xm) < ε สำหรับทกุ ๆ n, m > l โดยความบรบิ ูรณ ของ X จะไดวา u ∈ X ซึ่ง lim b(xn, u) = lim b(xn, xm) = b(u, u) = 0 (2) (3) n→∞ n,m→∞ เราจะแสดงวา u เปนจุดตรึงของ T โดยบทนิยาม (2.9) เราจะไดว า Xn ⊑ u สำหรบั ทกุ ๆ n ∈ N โดย (1) เราจะมี b(u, T u) ≤ s[b(u, T xn) + b(T xn, T u)] − b(T xn, T xn) ≤ s[[s{b(u, xn) + b(xn, T xn)} − b(xn, xn)] + λb(xn, u)] ≤ s2(b(u, xn)) + s2b(xn, T xn) − s2b(xn, xn) + sλb(xn, u) = (s2 + sλ)b(xn, u)) + s2b(xn, T xn) ; b(u, xn) = b(xn, u) = (s2 + sλ)b(xn, u) + s2b(F nx0, T F nx0) = (s2 + sλ)b(xn, u) + s2b(F nx0, F nT x0) ทำอกี ครง้ั เนอ่ื งจาก x0 ⊑ T x0 ดงั นน้ั F nx0 ⊑ F nT x0 สำหรับทกุ ๆ n ∈ N ( ซึง่ F เปนการสงไมลดขึน้ อยกู บั ⊑ ) และเนื่องจาก F เปน อนั ดบั การหดตัวบานาคสอดคลอ งกับคาคงทกี่ ารหดตวั λn0 b(F nx0, F nT x0) = b(F F n−1x0, F F n−1T x0) ≤ λn0 b(F n−1x0, F n−1T x0) = λn0 b(F (F n−2x0), F (F n−2)T x0) ≤ λ2n0 b(F n−2x0, F n−2T x0) ... โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร คร้งั ที่ 7 มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

220 ปภาวดี ขมขำ และคณะ ≤ λnn0 b(x0, T x0) ดังน้ัน เราจะไดวา จากสมการ (3) ได b(u, T u) = (s2 + sλ)b(xn, u) + s2b(F nx0, F nT x0) ≤ (s2 + λs)b(xn, u) + s2λnn0b(x0, T x0) รว มกับสมการ (2) จะไดว า b(u, T u) = 0 ดงั นั้น u เปน จดุ ตรึงของ T จะแสดงวา T มจี ุดตรึงเพยี งหน่งึ เดียว สมมตวิ า F ix(T ) เปน อนั ดบั อยางดี และ u, v ∈ F ix (T ) จะได T u = u, T v = v สมมติวา b(u, v) > 0 เนอื่ งจาก Fix (T) เปนอันดับอยางดี สมมตวิ า u ⊑ v โดยนิยามอนั ดับการหดตวั บานาค จะไดว า b(u, v) = b(T u, T v) ≤ λb(u, v) < b(u, v) เกดิ ขอขัดแยง นี้จะไดว า b(u, v) = 0 ดงั นัน้ u = v ในทำนองเดยี วกัน ถา v ⊑ u จะไดว า u = v ดังน้ัน จดุ ตรงึ ของ T มเี พียงจุดเดยี ว ถาจดุ ตรงึ ของ T มีเพียงจุดเดยี ว แลว Fix (T) เปนเซตทีม่ สี มาชกิ เพยี งหนง่ึ เดียว และดงั นน้ั F ix (T ) เปน อนั ดับอยางดี ตัวอยา งตอ ไปนี้เปน ตวั อยางงายๆ ซึ่งแสดงถงึ ทฤษฏีขา งตน และแสดงเงื่อนไขของความเปน อันดับอยา งดีของ Fix(T) สำหรับการมีจดุ ตรึงเพยี งจุดเดียว นอกจากนี้ยังแสดงใหเหน็ วาทฤษฏีบท ขา งตน เปน วางนัยท่ัวไปของผลลพั ธท ่ที ราบ ตวั อยา ง 3.3. ให X = {1, 2, 3, 4} และ b : X × X −→ R นิยามโดย  ถา x ≠ y  |x − y|2 + max{x, y} ถา x = y ∈ {2, 3} ถา x = y ∈ {1, 4} b(x, y) =  x 0 แลว (X, b) เปน ปรภิ มู ิ b-เมตรกิ บางสว นบรบิ ูรณ ทม่ี ีสัมประสิทธิ์ s = 4 > 1 ซ่ึง b(2, 2) = 2 ̸= 0 ดังนน้ั b ไมเ ปน b-เมตริก พิจารณา b(4, 1) = |4 − 1|2 + max{4, 1} = 9 + 4 = 13 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครัง้ ที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

ทฤษฎบี ทจดุ ตรงึ สำหรับอันดบั การหดตวั ในปรภิ ูมิ b-เมตริกบางสวน 221 b(4, 3) + b(3, 1) − b(3, 3) = |4 − 3|2 + max{4, 3} + |3 − 1|2 + max{3, 1} − 3 =1+4+4+3−3=9 ดงั นั้น b(4, 1) > b(4, 3) + b(3, 1) − b(3, 3) ดังน้นั ไมเ ปน b-เมตรกิ บางสว น นิยามการสง T : X −→ X และอันดบั บางสว น ⊑ โดย T 1 = 1, T 2 = 1, T 3 = 2, T 4 = 4 และ ⊑ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 3), (1, 3)} จะไดว า T ไมสอดคลอ งกบั เง่อืิ นไขการหดตัวของ Ran and Reurings [4] ในปริภูมิเมตริกปกติ (X, d) ดงั นน้ั d(T 2, T 3) = |T 2 − T 3| = 1 = |2 − 3| = d(2, 3) ดงั น้ันจะมี λ ∈ [0, 1) ซง่ึ d(T 2, T 3) ≤ λd(2, 3) น่ันคือคำตอบของ Czerwik[29] และ Matthews[31] ไมสามารถใชได อกี คร้งั เน่ืองจาก b(T 2, T 4) = |T2 − T4|2 + max{T2, T4} = |1 − 4|2 + max{1, 4} = 9 + 4 = 13 b(2, 4) = |2 − 4|2 + max{2, 4} =4+4=8 ดงั นัน้ b(T 2, T 4) > b(2, 4) ดงั นั้นผลลพั ธ Ran and Reurings[4] ไมส ามารถใชกับ T เชนเดียวกับ (X, b) ตา งกไ็ มเปน b-เมตรกิ หรอื ปริภูมเิ มตรกิ บางสว น ดังนนั้ ผลลัพธ Czerwik[29] และ Matthews[31] ไมส ามารถใชไ ด เนอื่ งจาก b(T 2, T 4) = |T2 − T4|2 + max{T2, T4} = |1 − 4|2 + max{1, 4} = 9 + 4 = 13 b(2, 4) = |2 − 4|2 + max{2, 4} =4+4=8 ดังน้นั b(T 2, T 4) > b(2, 4) ดงั น้นั T ไมสอดคลอ งกับนยิ ามอันดับการหดตัวบานาค สำหรับทกุ ๆ x, y ∈ X โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

222 ปภาวดี ขมขำ และคณะ และ ดังน้นั ผลลพั ธของ Shukla[32] ไมสามารถใชไ ด สรุปไดวา เงอื่ นไขของทฤษฎบี ทท่ี 3.2 ( ยกเวนเซตของ Fix (T) เปน อนั ดบั อยางดี ) สอดคลองกบั λ ∈ [ 3 , 1) และ T มจี ุดตรึง 2 จุด 4 แทจรงิ แลว F ix (T ) = {1, 4} และ (1, 4) กบั (4, 1) ∈/⊑ ดงั น้ัน F ix (T ) ไมเ ปน อนั ดับอยางดี ดังนน้ั เม่ือเราพิจารณาการมีจุดตรงึ เพียงจดุ เดียวของอนั ดบั การหดตัวบานาคในปรภิ ูมิ b-เมตรกิ บางสวน แลว อนั ดบั อยางดีของ Fix (T) เปน อันดับอยางดี บทนิยาม 3.4. ให (X, b, ⊑) เปนอนั ดับปริภูมิ b-เมตริกบางสวนบรบิ ูรณ ท่ีมีสมั ประสิทธิ์ s ≥ 1 และ f : X −→ X และ T : X −→ X เปนสองการสง จะเรียกวา อนั ดับ f–การหดตัว ถา มี λ ∈ [0, 1) ซึง่ ถาx ⊑ y แลว b(fT x, fT y) ≤ λb(fx, fy) สำหรบั ทุกๆ x, y ∈ X เรียกคาคงที่ λ วา คาคงที่การหดตวั ของ T ตอ ไป เราจะพสิ จู นจ ุดตรงึ รว มสำหรบั การสงของทฤษฎี 3.2 บทแทรก 3.5. ให (X, b, ⊑) เปน อนั ดบั ปริภูมิเมตริกบางสวนบรบิ รู ณ ท่ีมีสมั ประสทิ ธ s ≥ 1 ให f : X −→ X และ T : X −→ X เปน สองการสงซง่ึ เงื่อนไขตอ ไปน้เี ปน จริง 1. T เปนอันดบั f–การหดตัว 2. มี x0 ∈ X ซ่ึง x0 ⊑ T x0 3. T การสงท่ไี มลดลงท่ขี ้นึ อยูกับ ⊑ 4. ถา {fxn} เปน ลำดับไมลดใน X และลเู ขา สูบาง fz แลว xn ⊑ z สำหรบั ทุก ๆ n ∈ N ถา f เปนฟง กชันตอ เน่ือง ฟง กชนั หน่ึงตอ หนึง่ และลำดับลูเขา แลว T เปน จุดตรงึ u ∈ X และ b(u, u) = 0 ยิง่ ไปกวา นั้น เซตของจดุ ตรึงของ T, F ix (T ) เปนอันดบั อยางดี ก็ตอเมอื่ จดุ ตรึง ของ T มเี พยี งจุดเดียว พสิ จู น นยิ าม b1 : X × X −→ R+ โดย b1(x, y) = b(fx, fy) สำหรับทุก ๆ x, y ∈ X เราจะแสดงวา (X, b1) เปนปริภมู ิ b-เมตรกิ บางสว นบรบิ รู ณ ท่มี ีสัมประสิทธ s ≥ 1 แลว สำหรบั ทุก ๆ x, y, z ∈ X เราจะไดวา (P b1) ถา b1(x, y) = b1(x, x) = b1(y, y) แลว b(f x, f y) = b(f x, f x) = b(f y, f y) ดงั นั้น fx = fy และ f เปน ฟง กช นั หน่งึ ตอ หนึง่ ดังน้นั x = y (P b2) b1(x, x) = b(f x, f x) ≤ b(f x, f y) = b1(x, y) (P b3) b1(x, y) = b(f x, f y) = b(f y, f x) = b1(y, x) โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวิทยาลัยราชภฏั นครสวรรค

ทฤษฎีบทจดุ ตรงึ สำหรบั อนั ดับการหดตวั ในปริภมู ิ b-เมตริกบางสว น 223 (P b4) b1(x, y) = b(f x, f y) ≤ s[b(f x, f z) + b(f z, f y)] − b(f z, f z) = s[b1(x, z) + b1(z, y)] − b1(z, z) ดังนนั้ (X, b1) เปนปริภมู ิ b-เมตริกบางสว น ท่ีมีสมั ประสิทธิ์ s ≥ 1 ให {xn} เปนลำดับโคชใี น (X, b1) แลว lim b1(xn, xm) = lim b(f xn, f xm) มีอยจู รงิ n,m→∞ n,m→∞ ดังนัน้ {fxn} เปนลำดับโคชีใน (X, b) และ (X, b) เปนบริบรู ณ ดังนน้ั จะมี y ∈ X ซึ่ง lim b(f xn , y) = b(y, y) n→∞ ดังน้ัน {fxn} ลเู ขา ใน (X, b) นัน่ คอื โดยนยิ ามของ f จะมี x ∈ X ซง่ึ lim b(xn, x) = b(x, x) n→∞ โดยนยิ ามของ f อีกครง้ั จะไดว า lim b(f xn, f x) = b(f x, f x) n→∞ นั่นคอื lim b1(xn, x) = b1(x, x) n→∞ ดงั น้นั {xn} ลูเขาใน (X, b1) และดงั นนั้ (X, b1) เปน บริบรู ณ ซง่ึ การหดตัวเง่ือนไข (a) คอื ลดลงดังเง่อื นไขตอ ไปนี้ ซง่ึ เง่อื นไขการหดตัว (a) เปน การแปลงรปู เปน (a’) ดังน้ี (a′)x ⊑ y แลว b1(T x, T y) ≤ λb1(x, y) สำหรบั ทุก ๆ x, y ∈ X ดงั นนั้ T เปน อนั ดบั การหดตัวบานาคใน (X, b1) โดยทฤษฎบี ท 3.2 จะไดวา T เปน จุดตรงึ u ∈ X และ b1(u, u) = b(fu, fu) = 0 เง่ือนไขการมีจดุ ตรึงเพยี งจดุ เดยี วใหพิสูจนเหมือนทฤษฎบี ท 3.2 หมายเหตุ 3.6. คู (T, f) ของการสง ของเซตไมวา ง X ไปยงั ตวั มนั เอง เรยี กวา คูบานาค ถา T fx = fT x สำหรับทุก ๆ x ∈ F ix (T ) ถาสอดคลองเงือ่ นไขทัง้ หมดของขอพสิ จู นข า งตน และยง่ิ ไปกวานนั้ (T, f) เปน คูบานาค แลว T และ f มจี ุดตรึงรวมเพียงจุดเดียว แทจริงแลว ถา (T, f) เปนคบู านาค และถา T เปน จุดตรึงเพยี งจุดเดียว u ∈ X (ซึง่ รองรับโดยบทแทรก 3.5) แลว T fu = fT u = fu และโดยการมีจุดตรึงรวมเพียงจุดเดยี วของ T จะไดว า fu = u ดงั นนั้ คู (T, f) มจี ดุ ตรึงเพยี งจดุ เดยี วรว มกนั โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

224 ปภาวดี ขมขำ และคณะ ในบทแทรกขางบน สำหรับ u ∈ F ix (T ) จะไดวา b1(u, u) = 0 แต b(u, u) ไมตอ งการให เปน 0 เม่ือเราจะพิจารณาการมีจุดตรงึ รว ม ของคู (T, f) แลว เง่อื นไข (T, f) เปนคูบ านาคไมสามารถ ละเวนได โดยจะแสดงในตัวอยา งตอ ไปนี้ ตัวอยาง 3.7. ให X = {1, 2, 3, 4} และ b : X × X −→ R นิยามโดย   0 ถา x = y = 4 b(x, y) =  |x − y|2 + max{x, y} อน่ื ๆ แลว (X, b) เปนปรภิ มู ิ b-เมตรกิ ที่มีสมั ประสิทธ์ิ s = 4 > 1 นิยามใหก ารสง T และ ƒ: X −→ X โดย T 1 = 1, T 2 = 1, T 3 = 2, T 4 = 1 และ ƒ1 = 4,ƒ2 = 2,ƒ3 = 3,ƒ4 = 1 และอนั ดับบางสว นโดย ⊑= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (4, 2)} แลว f เปนการสงตอ เนอ่ื ง การสงหน่งึ ตอหน่งึ และเปนลำดบั ลูเ ขา ดังนนั้ T เปน อันดบั f −การหดตวั ทค่ี า คงทีก่ ารหดตวั λ ∈ [ 2 , 1) 3 ซง่ึ สอดคลองกบั เงื่อนไขทงั้ หมดของ บทแทรกท่ี 3.5 และ T มีจุดตรึงเพยี งจุดเดียวซง่ึ F ix (T ) = {1} จะไดว า b(ƒ1,ƒ1) = b(4, 4) = 0 แต b(1, 1) = |1 − 1|2 + max{1, 1} =0+1=1 เนื่องจาก T f1 ̸= fT 1 ดงั นน้ั (T,ƒ) ไมเ ปน คบู านาคแลว T และ f ไมมีจดุ ตรึงรวม สุดทายน้ี T ไมเปน อันดบั การหดตวั บานาค เนอื่ งจาก b(T 4, T 4) = b(1, 1) = 1 λ · 0 = λb(4, 4) สำหรบั ทุก λ ที่เปนจริง ในทฤษฎีถดั ไปความบริบูรณของปริภมู ิถูกแทนดว ยฟง กชันทางเดยี วของ T ทฤษฎีบท 3.8. ให (X, b, ⊑) เปน อันดบั ปริภมู ิ b-เมตริกบางสวนและ T : X −→ X เปนการสง สอดคลองกบั เง่ือนไขดังตอ ไปน้ี ถา x ⊑ y แลว b(T x, T y) ≤ λb(x, y) (4) สำหรับทกุ ๆ x, y ∈ X ท่ี λ ∈ [0, 1) สมมติวามี u ∈ X ซ่ึง u ⊑ T u และ b(u, T u) ≤ b(x, T x) สำหรบั ทุก x ∈ X แลว u เปน จดุ ตรงึ ของ T และ b(u, u) = 0 โครงการสัมมนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครสวรรค

ทฤษฎีบทจุดตรึงสำหรับอันดบั การหดตัวในปรภิ ูมิ b-เมตริกบางสว น 225 ยิ่งไปกวานน้ั เซตของจุดตรึงของ T, Fix (T ) เปน อนั ดับอยางดี (5) ก็ตอเมื่อ จุดตรึงของ T มเี พียงหนงึ่ เดียว พิสูจน ให F (x) = b(x, T x) สำหรบั ทุก ๆ x ∈ X แลว โดยขอ สมมตจิ ะไดว า F (u) ≤ F (x) สำหรบั ทกุ ๆ x ∈ X สมมตใิ ห F (u) > 0 แลว เนื่องจาก u ⊑ T u และจาก (4) จะไดว า F (T u) = b(T u, T T u) ≤ λb(u, T u) = λF (u) < F (u) ดังน้ัน เราจะไดว า F (T u) < F (u) ซ่งึ ขดั แยงกับอสมการ (5) ดังนนั้ เราจะตองมี F (u) = b(u, T u) = 0 นัน้ คอื T u = u ดงั นั้น u เปนจุดตรึงของ T ตอนน้ีสำหรับจดุ ตรงึ z ∈ X ของ T ถา b(z, z) > 0 แลว จาก (4) เราจะไดว า b(z, z) = b(T z, T z) ≤ λb(z, z) < b(z, z) ซ่งึ เกิดความขัดแยง แสดงวา b(z, z) = 0 สำหรบั การมจี ุดตรึงเพียงจดุ เดยี ว สมมติ F ix (T ) เปนอันดับอยา งดี และ u, v ∈ F ix (T ) แลว T u = u, T v = v และ b(u, u) = b(v, v) = 0 สมมติ b(u, v) > 0 แลว เน่ืองจาก F ix (T ) เปน อันดบั อยา งดี สมมตวิ า u ⊑ v โดย (5) จะไดวา b(u, v) = b(T u, T v) ≤ λb(u, v) < b(u, v) ดงั น้ัน เราจะตอ งมี b(u, v) = 0 นน้ั คือ u = v ในทำนองเดียวกัน v ⊑ u จะไดวา u = v ดงั นัน้ จุด ตรงึ ของ T มเี พียงจดุ เดียว ยงิ่ ไปกวา น้นั ถา จดุ ตรงึ ของ T มีเพียงจดุ เดียว Fix (T) เปนเซตโทนและอันดับอยางดี 4. บทสรุป โดยทฤษฎบี ท 1 ให (X, b, ⊑) อยูในอันดับและปริภูมิ b-เมตริกบางสวน ท่ีสมบรู ณซง่ึ สัมประสทิ ธ s ≥ 1 และ T : X −→ X เปนการสง จะไดเ งอ่ื นไขดังตอไปนี้เปน จรงิ 1. T คอื อันดับการหดตวั บานาคที่มีคา คงทก่ี ารหดตวั λ โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร คร้ังที่ 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

226 ปภาวดี ขมขำ และคณะ 2. จะมี x0 ∈ X ไดวา x0 ⊑ T x0 3. T คอื ฟง กชันไมลดซึง่ ข้นึ อยกู บั ⊑ 4. ถา {xn} คือลำดับไมลดลงใน X และกำลงั ลเู ขาสบู าง z เม่ือ xn ⊑ z สำหรบั ทุก ๆ n ∈ N แลว T คือจดุ ตรึง u ∈ X และ b(u, u) = 0 ในสวนที่เพ่มิ เซตของจุดตรงึ ของ T, F ix(T ) คืออนั ดับอยางดี กต็ อ เมื่อจุดตรึงของ T มเี พียงจดุ เดยี ว โดยทฤษฎบี ท 2 ให (X, b, ⊑) เปน อันดบั ปรภิ มู ิb-เมตรกิ บางสว น และ T : X −→ X เปนการสง สอดคลอ งกับเง่อื นไขดงั ตอ ไปนี้ ถา x ⊑ y แลว b(T x, T y) ≤ λb(x, y) (5) สำหรับทกุ ๆ x, y ∈ X ที่ λ ∈ [0, 1) สมมตวิ า จะมี u ∈ X จะได u ∈ T u และ b(u, T u) ≤ b(x, T x) สำหรบั ทุก ๆ x ∈ X แลว u กลายเปน จุดตรงึ ของ T และ b(u, u) = 0 ย่ิงไปกวา น้ัน เซตของจดุ ตรึง ของ T, F ix(T) คอื อันดับอยางดกี ต็ อ เมื่อจดุ ตรงึ ของ T มเี พยี งจุดเดยี ว 5. กติ ตกิ รรมประกาศ การนำเสนอสมั มนาทางวชิ าการ เรอื่ งทฤษฎีจดุ ตรงึ สำหรบั อนั ดับการหดตัวในปริภมู ิ b-เมตริก บางสว น ในครัง้ น้ีขา พเจาขอขอบคุณผูตรวจสอบความคิดเห็นเพ่ือพัฒนาบทความน้ี รวมถงึ ทำให ขา พเจามีความเขา ใจเก่ียวกบั ทฤษฎีบทตางๆ ในทฤษฎีจดุ ตรึงสำหรบั อนั ดบั การหดตัวในปริภูมิ b- เมตรกิ บางสวน สำหรับนำไปประยกุ ตใ นการศกึ ษางานวิจยั อื่นๆอกี ตอ ไป ทายสดุ นขี้ า พเจาขอขอบคณุ อาจารย ดร.อารรี ตั น อรณุ ชยั อาจารยท ี่ปรกึ ษาสัมมนา ซ่งึ มีสว น รวมในการใหขอมูลและใหความเขาใจเกยี่ วกับความรูในดา นตาง ๆ ทำใหการทำรายงานฉบับน้ีสำเร็จ ลลุ วงไปไดด ว ยดี เอกสารอางอิง [1] A. Aghajani, M. Abbas, and J. R. Roshan, “Common fixed point of generalized weak contractive mappings in partially ordered b-metric spaces,” Mathematica Slovaka, 64(4) (2014), 941-960. [2] A. Author, “The title of the article,” The name of the journal, vol. Volume, pp. FirstPage–LastPage, Month year. [3] P. J. Cohen, “The independence of the continuum hypothesi,” Nattional Academy of Science, vol. 50, no. 6, pp. 1143–1148, 1963. โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครั้งที่ 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค

ทฤษฎบี ทจดุ ตรงึ สำหรบั อนั ดบั การหดตวั ในปรภิ ูมิ b-เมตริกบางสวน 227 [4] A.C. M. Ran and M. C. B Reurings, “A fixed point theorem in partially ordered sets and some application to matrix equations,”Proc. Amer. Math.Sco., 132 (2004), 1435-1443. N [5] D. -Dorić, Z. Kadelburg, S. Radenović and P. Kumam, “A note on fixed point results without monotone property in partially ordered metric space,”Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales. Serie A. Matematicas (2013) DOI 10.1007/s13398-013-0121-y [6] D- Dorić, Z. Kadelburg, S. Radenović, “Coupled fixed point results for mappings without mixed monotone property,”Appl. Math. Lett. 25 (2012), 1803-1808. [7] D. O’ Regan, A. Petrusel, “Fixed point theorems for generalized contractions in ordered metric spaces,”J. Math. Anal. Appl. 341 (2008), 1241-1252. [8] LA. Bakhtin, “The contraction mapping principle in qeasi-metric spaces,”Funct. Anal., Unianowsk Gos Ped. Inst. 30 (1989), 26-37 [9] J. Caballero, J. Harjani, K. Sadaranganı, “ Contractive-like mapping principles in ordered metric spaces and application to ordinary differential cquations,”Fixed Point Theory Appl. (2010), Article ID 916064, 14 pages, doi:10.1155/2010/916064 [10] J. Harjani, K. Sadarangani, “Fixed peint theorems for monotone gencralizred contractions in partially ordered metric spaces and applications to integral cqua- tions,”J. Convex Anal. 19 (2012), 853-864 [11] J. Harjani, K. Sadarangani, “Fixed point thoorems for weakly contractive mappings in partially ordered sets,”Nonlinear Anal. 71 (2009), 3403-3410 [12] J. Harjani, K. Sadarangani, “Generalized contractions in partially ordered met- ric spaces and applications to ordinary differential equations,”Nontinear Anal. 72 (2010), 118x-1197 [13] JJ. Nieto. R. Rodrigucz-Lopez, “Contractive mapping thoorems in partially ordered sets and applications to ordinary differential cpuations,”Order 22 (2005), 223-239 [14] J.J. Nieto, R. Rodriguez-Lopez, “Exisience and uniqueness of fixced point in par- tially ordered sets and applications to ordinary differential equations,”Acta Math. Sinica, English series 23 (2007), 2205-2212. โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณติ ศาสตร ครงั้ ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภัฏนครสวรรค

228 ปภาวดี ขมขำ และคณะ [15] [J.J. Nieto, R Rodriguez-Lopez, “Existence of extrenal solutions for quadratic fuzzy equations,”Fixed Point Theory Appl. 2005 (2005), 321-342 [16] JJ. Nieto, R. Rodriguez-Loper, “Fixed point theorcns in ordered abstract spaces,”Proc. Am. Math. Soc. 135 (2007), 2505-2517 [17] J.R. Roshan, V. Parvanch, S. Sedghi, N. Shobkolaci and W. Shatanawi, “Conmon fixed points of almost generalized ,”contractive marpings in ordered b-metric spaces. Fixed Point Theory and Applications 2013 2013:159 [18] Lj. Ciric, N. Cakie, M. Rajovic, J.S Ume, “Monoto generalized nonlincar contrac- tions in partially ordered metric spaces,”Fixed Point Thcory Appl. (2008), Article ID 131294, doi:10.1155/2008/131294. [19] N. Hussain, J.R. Roshan, V. Parvanch, A Latif, A unification of G-Metric, “partial metric, and b-metric spaces, Abstract and Applied Analysis,”Volume 2014 (2014). Article ID 180698, 14 pages http://dx.doi.org/10.1155/2014/1806.98 [20] N. Hussain, J.R. Roshan, V. Parvanch, Z Kadelburg. Fixed points of contrac- tive mappings in b-metric- like spaces, “The Scientific World Journal,”Volune 2014 (2014), Article ID 471827, 15 pages, http://dx.doi.org/10.1155/2014 471827 [21] M.A. Khamski, N. Hussain, KKM mappings in meric type spaces, “Nonlinear Anal.,” 73(9)(2010), 3123-3129. [22] M. Abbas, Vv. Parvanch, “A Razani Periodic points of T -Ciric generalized con- traction mappings in ordered metric spaces,”Georgian Mati. J. (2012) DO: 10.1515/ gmj-2012-0036 [23] M. Boriceanu, M. Bota, A. Petruscl, Mutivalued frctals in b-metric spaces, Cen. Eur. J. Math. 8(2) (2010), 367-377 [24] M. Bota, A. Molnar, V. Csaba, “On Ekcland’s variational principle in b-metric spaces,” Fixed Point Theory, 12(2011), 21-28 [25] M.C.B. Rcurings, “Contractive maps cn normed line: spaces and their applications to nonlinear matrix equations,”Lin. Algebra Appl. 418 1(2006). 292-311. [26] M. Jovanovic, Z. Kadelburg, and S Radcnovic, “Common fixed point results in metric type spaces,”Fixed Point Theory Appl. Vol. 2010, Article ID 315398 โครงการสมั มนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดานคณิตศาสตร ครัง้ ท่ี 7 มหาวิทยาลัยราชภัฏนครสวรรค

ทฤษฎบี ทจุดตรึงสำหรับอันดบั การหดตวั ในปรภิ มู ิ b-เมตรกิ บางสว น 229 [27] R. Kannan, “Some results on fixed points,”Amer. Math Monthly, 76, (1969), 405- 408 [28] R.P. Agarwal, W. Sintunavarat, P im, “Coupled coincidence point and common coupled fixed point theorems with lacking the mixed monotone property,”Fixed Point Theory Appl. 2013:22 (2013), doi:10.1186/1687-1812-2013-22. [29] S Czerwik, “Contraction Mappings in b-mctric Spaces,”Acta Mathematica et In- formatica Universitatis Ostraviensis, 1(1993), 5-11. [30] S. Czerwik, “Nonlincar set-valucd contraction mappings in b-metric spaces,”Atti Sem. Mat Univ. Modena, 1998, 46, 263-276 [31] S.G. Matthews, “Partial metric topology,”in: Proc. 8th Summer Conference on Gencral Topology and Application, in: Ann. New York Acad Sci., vol. 728, (1994) pp. 183-197 [32] S. Shukla, “Partial b-metric spaces and fixed point theorems,”Meditcrr. J. Math., May 2014, Volume 11, Issue 2, pp 703-711. DOI 10.1007/s00009-013-0327-4 [33] S. Shukla, “Reich type contractions on coae rectangular metric spaces endowed with a graph,” Theory and Applications of Mathematics and Computer Science 4(1) (2014), 14-25 [34] S. Radenovic, Z Kadelburg, “Generalized weak contractions in partially ordered metric spaces,”Comput. Math. Appl. 60 (2010), 1776-1783 [35] Z. Mustafa, JR. Roshan, V. Parvanch. Z. Kadelburg, “Some common fixed point results in ordered partial b-metric spaces,”Journal of Incqualitics and Applications 2013, 2013.562 [36] Xun Ge, Shou Lin, “A note on partial b-metric spaces,”Mediterr. J. Math. 13 (2016), 1273-1276. doi.10.1007/s00009-015-0548-9 โครงการสัมมนาวชิ าการและนำเสนอผลงานดา นคณิตศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครสวรรค

230 ปภาวดี ขมขำ และคณะ โครงการสมั มนาวิชาการและนำเสนอผลงานดานคณติ ศาสตร ครง้ั ท่ี 7 มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครสวรรค