mathm6_1

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน 89 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 12. ทฤษฎบี ท 5 ถา f และ g เปน ฟงกช นั ตอเนื่อง ที่ x = a แลว 1) f + g เปนฟงกช นั ตอเนอ่ื งท่ี x = a 2) f − g เปน ฟงกชันตอเน่อื งที่ x = a 3) f ⋅ g เปน ฟง กชนั ตอ เนือ่ งที่ x = a 4) f เปน ฟงกชันตอ เน่อื งที่ x = a เม่ือ g (a) ≠ 0 g 13. ทฤษฎบี ท 6 สําหรบั จาํ นวนจริง a ใด ๆ ฟงกชนั พหนุ าม p เปน ฟงกช นั ตอเนื่องที่ x = a 14. ทฤษฎีบท 7 ถา f เปนฟงกชันท่ี f ( x) = p(x) เมื่อ p และ q เปนฟงกชันพหุนาม แลว f เปน q(x) ฟง กช ันตอ เนื่องท่ี x = a เม่อื a เปนจาํ นวนจริงใด ๆ ซ่งึ q(a) ≠ 0 15. ความตอ เนอ่ื งของฟง กช ันบนชว งที่กาํ หนด 1) ฟงกช ัน f เปนฟง กชนั ตอเน่ืองบนชว ง (a, b) ก็ตอเมื่อ f เปนฟง กช ันตอเน่ืองที่ ทุกจดุ ในชวง (a, b) 2) ฟง กช นั f เปนฟงกชนั ตอเนื่องบนชวง [a, b] ก็ตอ เมอ่ื (1) f เปนฟงกชันตอ เนือ่ งที่ทกุ จดุ ในชว ง (a, b) และ (2) lim f ( x) = f (a) และ lim f ( x) = f (b) x→a+ x→b− 3) ฟง กช ัน f เปน ฟง กช นั ตอ เนอ่ื งบนชวง (a, b] กต็ อเมอ่ื (1) f เปน ฟง กชนั ตอเน่ืองท่ีทุกจดุ ในชวง (a, b) และ (2) lim f ( x) = f (b) x→b− 4) ฟง กช ัน f เปน ฟงกช นั ตอเนื่องบนชว ง [a, b) ก็ตอ เม่ือ (1) f เปนฟง กช ันตอ เนือ่ งท่ที กุ จุดในชวง (a, b) และ (2) lim f ( x) = f (a) x→a+ สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 90 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 16. บทนยิ าม 2 ให f เปนฟง กช นั และ a อยูในโดเมนของ f อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f เทียบกับ x เมื่อคาของ x เปลี่ยนจาก a เปน a + h คือ f (a + h)− f (a) h อตั ราการเปล่ียนแปลงของ f เทยี บกบั x ขณะที่ x = a คอื f (a + h)− f (a) lim h→0 h 17. สําหรับฟงกชัน f ถาอัตราการเปล่ียนแปลงของ f เทียบกับ x เปนจํานวนจริงบวก แสดงวา เมื่อ x เพ่ิมข้ึน คาของ f ( x) จะเพ่ิมข้ึน แตถาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f เทยี บกับ x เปน จาํ นวนจรงิ ลบ แสดงวาเมอื่ x เพิ่มข้ึน คา ของ f ( x) จะลดลง 18. บทนยิ าม 3 ให f เปน ฟง กช นั อนพุ ันธข องฟง กช นั f ท่ี x เขียนแทนดว ย f ′( x) คือ f ′( x) = lim f ( x + h) − f ( x) h→0 h 19. ถา f ′( x) มีคา จะกลา ววาฟง กชัน f มีอนพุ ันธที่ x หรือฟง กชัน f หาอนุพนั ธไดท่ี x ถา f ′( x) ไมมีคา จะกลาววาฟงกชัน f ไมมีอนุพันธที่ x หรือฟงกชัน f หาอนุพันธ ไมไดท ี่ x 20. กําหนดให f เปนฟงกชันท่ีนิยามโดยสมการ y = f (x) เขียนแทน อนุพันธของฟงกชัน f ที่ x ดว ยสัญลกั ษณ dy (อา นวา ดวี ายบายดเี อกซ) หรอื d f (x) หรือ y′ dx dx 21. จาก f ′( x) = lim f ( x + h) − f ( x) เปน อนพุ นั ธข องฟงกชัน f ท่ี x ใด ๆ h→0 h ดงั น้ัน สาํ หรบั a ใด ๆ ที่อยูในโดเมนของ f อนุพนั ธของฟงกช ัน f ท่ี x = a คือ f ′(a) = lim f (a + h) − f (a) h→0 h อาจใชสญั ลักษณ d f (x) หรอื dy แทน f ′(a) dx x=a dx x = a สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้อื งตน 91 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 22. สูตรการหาอนพุ ันธข องฟงกช นั สูตรท่ี 1 ถา f (x) = c เมอื่ c เปนคาคงตวั แลว f ′(x) = 0 สตู รท่ี 2 ถา f ( x) = x แลว f ′( x) =1 สตู รท่ี 3 ถา f ( x) = xa เมอื่ a เปนจาํ นวนจรงิ แลว f ′( x) = a xa−1 สูตรท่ี 4 ถา ฟง กช ัน f และ g หาอนพุ นั ธไ ดที่ x แลว ( f + g)′ ( x) =f ′( x) + g′( x) สตู รท่ี 5 ถาฟง กชนั f และ g หาอนพุ นั ธไ ดท ่ี x แลว ( f − g)′ (x) =f ′(x) − g′( x) สูตรที่ 6 ถา c เปนคาคงตวั และฟงกช ัน f หาอนุพันธไดท่ี x แลว (cf )′ ( x) = c( f ′( x)) สตู รที่ 7 ถาฟงกชนั f และ g หาอนุพันธไ ดท ่ี x แลว =( fg )′ ( x) f ( x) g′( x) + g ( x) f ′( x) สูตรท่ี 8 ถา ฟง กชนั f และ g หาอนพุ ันธไ ดท่ี x และ g (x) ≠ 0 แลว  f ′ ( x ) = g ( x) f ′(x)− f (x)g′(x)  g    (g (x))2 สูตรท่ี 9 กฎลูกโซ ถา f หาอนพุ นั ธไดท ่ี x และ g หาอนพุ นั ธไ ดท ่ี f (x) แลว ( g = f )′ ( x) g′( f ( x))⋅ f ′( x) 23. บทนยิ าม 4 กาํ หนดเสน โคงซึ่งเปนกราฟของฟงกชัน y = f (x) และ P(a, f (a)) เปนจดุ บนเสน โคง เสนสัมผัสเสนโคงที่จุด P(a, f (a)) คือ เสนตรงท่ีผานจุด P และมีความชันเทากับ f ′(a) จะเรยี กความชนั ของเสน สัมผัสเสนโคง ทีจ่ ดุ P วา ความชันของเสนโคง ท่ีจดุ P 24. บทนิยาม 5 ให f เปน ฟง กช ันที่สามารถหาอนุพนั ธได และอนุพันธข องฟงกชัน f ที่ x เปน ฟงกช นั ทีส่ ามารถหาอนพุ ันธไ ด จะเรยี กอนพุ นั ธข องฟง กชนั f ′ ท่ี x วา อนพุ นั ธอ นั ดับที่ 2 ของ ฟง กชัน f ท่ี x และเขยี นแทนดวย f ′′(x) 25. อาจใชส ญั ลักษณ d2y d2 f (x) หรือ y′′ แทนอนุพันธอ ันดับท่ี 2 ของฟง กช นั f ที่ x dx2 , dx2 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบือ้ งตน 92 คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 26. อนพุ นั ธอ นั ดบั อืน่ และสัญลักษณทใ่ี ชเ ขียนแทน มดี ังนี้ อนุพนั ธอ นั ดบั ที่ 3 ของ f เปน อนพุ ันธของอนพุ ันธอ ันดบั ที่ 2 ของ f เขียนแทนดว ย f ′′′( x) หรอื d3y หรือ y′′′ dx3 อนุพนั ธอ ันดับท่ี 4 ของ f เปนอนพุ นั ธของอนุพันธอันดับที่ 3 ของ f เขยี นแทนดว ย f (4) ( x) หรือ d4y หรอื y(4) dx4  อนพุ นั ธอ นั ดบั ท่ี n ของ f เปนอนุพันธข องอนุพนั ธอ ันดบั ที่ n −1 ของ f เขยี น แทนดวย f (n) ( x) หรือ dny หรือ y(n) dxn 27. เน่ืองจากอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y = f (x) เทียบกับ x ขณะ x ใด ๆ คืออนุพันธของ ฟงกชัน f ที่ x ดังน้ัน อนุพันธอันดับท่ี 2 ของ f ที่ x คือ อัตราการเปล่ียนแปลงของ y = f ′(x) เทยี บกับ x ขณะ x ใด ๆ 28. ในการเคล่ือนที่ของวัตถุในแนวตรง มีปริมาณ 3 ชนิดท่ีเกี่ยวของกับเวลา ไดแก ตําแหนง ของวตั ถุ ความเร็วของวตั ถุ และความเรง ของวัตถุ • การเคล่ือนท่ีของวัตถุสามารถอธิบายไดดวยฟงกชัน y = s(t) โดยท่ี s(t) คือ ตําแหนงของวัตถุ ณ ขณะเวลา t ใด ๆ • ความเร็วของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ คอื อตั ราการเปล่ยี นแปลงของ s เทียบกับ t ณ ขณะเวลา t นั่นคือ ความเร็ว v เปนอนุพันธของ s เทียบกับ t ดังน้ัน v เปนฟงกช นั ของเวลา t กําหนดโดย v=(t ) s=′(t ) s(t + h) − s(t) lim h→0 h จะเหน็ วา v เปน ฟง กชันของเวลา t สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 93 คูม อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 • ความเรงของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คืออัตราการเปล่ียนแปลงของความเร็ว v เทียบกับ t ณ ขณะเวลา t นั่นคือ ความเรง a เปนอนุพันธของ v เทียบกับ t นั่นคอื a=(t ) v=′(t ) s′′(t) ดงั นั้น ความเรง คืออนุพันธอ นั ดบั ท่ี 1 ของฟงกช ันความเร็ว v และเปน อนพุ นั ธอันดับ ที่ 2 ของฟงกชนั ตาํ แหนง s 29. กาํ หนดให f เปน ฟง กช ันซึ่งมีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง และ A เปนสบั เซตของโดเมน f เปน ฟงกชันเพิ่ม บนเซต A ก็ตอเม่ือ สําหรับ x1 และ x2 ใด ๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f ( x1 ) < f ( x2 ) f เปน ฟงกชันลด บนเซต A ก็ตอเมื่อ สําหรับ x1 และ x2 ใด ๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f ( x1 ) > f ( x2 ) 30. ทฤษฎีบท 8 ให f เปน ฟง กช ันทห่ี าอนุพันธไ ดบนชว ง A ซึง่ เปน สบั เซตของโดเมนของฟงกช นั f ถา f ′(x) > 0 สําหรับทุก x ในชว ง A แลว f เปนฟงกช ันเพิ่มบนชวง A ถา f ′(x) < 0 สาํ หรับทกุ x ในชวง A แลว f เปนฟง กชันลดบนชวง A 31. บทนิยาม 6 ฟงกชัน f มีคาสูงสุดสัมพัทธท่ี x = c ถามีชวง (a, b) ซ่ึง c∈(a, b) และ f (c) ≥ f (x) สําหรับทุก x ในโดเมนของฟงกชัน f ที่อยูในชวง (a, b) เรียก f (c) วา คาสูงสุดสัมพัทธ ของฟงกชัน f และเรียกจุด (c, f (c)) วา จุดสูงสุดสัมพัทธ ของ ฟงกชัน f ฟงกชัน f มีคาต่ําสุดสัมพัทธท่ี x = c ถามีชวง (a, b) ซึ่ง c∈(a, b) และ f (c) ≤ f (x) สําหรับทุก x ในโดเมนของฟงกชัน f ท่ีอยูในชวง (a, b) เรียก f (c) วา คาตํ่าสุดสัมพัทธ ของฟงกชัน f และเรียกจุด (c, f (c)) วา จุดต่ําสุดสัมพัทธ ของ ฟงกช นั f สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 94 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 32. ทฤษฎบี ท 9 ให f เปนฟงกชันท่ีนิยามบนชวง (a, b) และ c∈(a, b) ถาฟงกชัน f มีคาสูงสุด สัมพัทธหรอื คาต่าํ สดุ สมั พัทธท่ี x = c และ f ′(c) มคี า แลว f ′(c) = 0 33. บทนิยาม 7 ให f เปน ฟง กชันท่ีนิยามบนชวง (a, b) เรียกจาํ นวนจริง c∈(a, b) ซึง่ ทาํ ให f ′(c) = 0 หรือ f ′(c) ไมมีคา วา คาวิกฤต ของฟงกชัน f และเรียกจุด (c, f (c)) วา จุดวิกฤต ของฟงกชนั f 34. ทฤษฎีบท 10 ให f เปนฟงกชันท่ีหาอนุพันธไดบนชวง (a, b) และ c∈(a, b) เปนคาวิกฤตของ f ถา f ′(x) เปล่ียนจากจํานวนจริงบวกเปนจํานวนจริงลบ เม่ือ x เพ่ิมขึ้นรอบ ๆ c แลว f (c) เปน คา สงู สุดสมั พัทธข อง f ถา f ′(x) เปลี่ยนจากจํานวนจริงลบเปนจํานวนจริงบวก เมื่อ x เพ่ิมข้ึนรอบ ๆ c แลว f (c) เปน คาตา่ํ สุดสัมพทั ธของ f 35. ทฤษฎีบท 11 กําหนดให f เปนฟงกชันท่ีตอเน่ืองบนชวง (a, b) และ c∈(a, b) เปนคาวิกฤตของ f ซึ่ง f ′(c) = 0 และ f ′′(c) มีคา 1) ถา f ′′(c) > 0 แลว f (c) เปน คา ต่าํ สุดสมั พทั ธของ f 2) ถา f ′′(c) < 0 แลว f (c) เปนคา สูงสดุ สัมพทั ธข อง f 36. บทนยิ าม 8 ฟง กช ัน f มีคาสงู สุดสัมบรู ณ ท่ี x = c เม่ือ f (c) ≥ f ( x) สําหรบั ทุก x∈ Df ฟง กชนั f มีคา ตา่ํ สุดสมั บูรณ ท่ี x = c เมือ่ f (c) ≤ f ( x) สาํ หรับทกุ x∈ Df 37. ทฤษฎบี ท 12 ถา f เปนฟงกชันตอเน่ืองบนชวงปด [a, b] แลว f จะมีท้ังคาสูงสุดสัมบูรณและ คา ตาํ่ สดุ สมั บูรณบ นชวงปด [a, b] สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้อื งตน 95 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 38. ถา ฟง กช ัน f เปน ฟง กชันตอเนื่องบนชว งปด [a, b] และหาอนุพันธไดบนชวงเปด (a, b) แลว สามารถหาคาสูงสุดสัมบูรณและคาต่ําสุดสัมบูรณของฟงกชัน f บนชวงปด [a, b] ไดดงั นี้ 1) หาคา วกิ ฤตทงั้ หมดในชว งเปด (a, b) 2) หาคา ของฟง กช ัน ณ คา วิกฤตท่ีไดจ ากขอ 1) 3) หาคาของฟงกชนั ทจี่ ดุ ปลายของชว งปด [a, b] นนั่ คือ หา f (a) และ f (b) 4) เปรยี บเทียบคาทไี่ ดทงั้ หมดจากขอ 2) และ 3) ซ่งึ จะทําใหไดขอสรุปวา • คามากทสี่ ดุ เปนคา สูงสดุ สมั บูรณของฟงกชัน f • คานอ ยท่สี ุดเปน คาตาํ่ สดุ สมั บูรณข องฟง กช ัน f 39. หลกั การทัว่ ไปในการแกโ จทยปญหาเก่ียวกับคา สูงสดุ หรอื คาต่าํ สดุ 1) ทําความเขาใจปญหาอยางละเอียด วามีปริมาณใดบางท่ีเก่ียวของกัน และเขียน สมการแสดงความสัมพันธระหวางตัวแปรท่ีแทนปริมาณท่ีเก่ียวของใหอยูในรูปของ ฟงกช นั บนชว งทส่ี อดคลองกบั เง่ือนไขของโจทยป ญหา 2) หาคาสูงสดุ หรือคาต่ําสุดของฟง กชันนนั้ 40. บทนยิ าม 9 ให f เปนฟงกชัน ถา F เปนฟงกชันซึ่ง F′(x) = f (x) สําหรับทุก x ที่อยูในโดเมน ของ f แลว จะเรยี กฟง กชัน F วา เปน ปฏยิ านุพนั ธ หน่งึ ของฟง กช นั f 41. F (x) + c เปนรูปทั่วไปของปฏิยานุพันธของฟงกชัน f ซึ่งแทนดวยสัญลักษณ ∫ f (x)dx เรียกวา ปริพันธไมจํากัดเขต ของฟงกชัน f เทียบกับตัวแปร x เรียกส้ัน ๆ วา ปริพันธของฟงกช นั f เทียบกบั ตัวแปร x ดังน้ัน ถา F′(x) = f (x) แลว ∫ f (x)dx = F (x) + c เมอ่ื c เปน คา คงตวั กลาวคอื ปริพันธไมจ ํากัดเขตของ f กค็ ือ รปู ทว่ั ไปของปฏิยานพุ ันธของ f นน่ั เอง สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอื้ งตน 96 คูมอื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 เรียกการหา ∫ f (x)dx วา การหาปริพันธ เรียกเครื่องหมาย “ ∫ ” วา เคร่ืองหมาย ปริพันธ และเรียก f (x) วา ปริพัทธ โดยสัญลักษณ dx คือ การบอกวาหาปริพันธน้ี เทยี บกับตวั แปร x เคร่ืองหมายปริพันธ ปรพิ ทั ธ รปู ท่ัวไปของปฏยิ านพุ นั ธข องฟง กชนั 42. สตู รสําหรับหาปรพิ นั ธไ มจ าํ กัดเขตของฟง กช นั บางฟงกชนั สูตรที่ 1 ถา k เปน คา คงตวั แลว ∫ k d=x k x + c เมอ่ื c เปนคา คงตัว สูตรที่ 2 ถา a เปน จาํ นวนจริงและ a ≠ −1 แลว ∫ x=a dx xa+1 + c a +1 เม่ือ c เปนคาคงตวั สูตรท่ี 3 ถา k เปน คาคงตวั แลว ` ∫ k f (x)dx = k∫ f (x)dx สูตรท่ี 4 ∫( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx สตู รที่ 5 ∫( f ( x) − g ( x))dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx 43. ถา k1, k2,  , kn เปน คา คงตัว แลว ∫ ∫ ∫ ∫(k 1 f1 ( x) + k 2 f2 ( x) +  + k n fn=( x)) dx k1 f1 ( x) dx + k2 f2 ( x) dx +  + kn fn ( x) dx 44. ในการหาปฏิยานพุ ันธของฟง กช ัน f เมื่อกาํ หนด dy = f (x) มาให สามารถทําไดดังนี้ dx จาก dy = f ( x) dx ดงั น้นั ∫ dy dx = ∫ f ( x)dx dx หรอื y = ∫ f ( x)dx สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบือ้ งตน 97 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 45. ปรพิ ันธจํากัดเขต ของฟงกชนั f บนชวงปด [a, b] เขยี นแทนดว ยสัญลกั ษณ b ∫ f ( x)dx a เรียก a วา ลมิ ติ ลา ง ของปรพิ นั ธ และเรียก b วา ลมิ ติ บน ของปรพิ ันธ 46. ทฤษฎบี ท 13 ทฤษฎบี ทหลักมลู ของแคลคลู สั กําหนด f เปนฟงกชันตอเน่ืองบนชวง [a, b] ถา F เปนปฏิยานุพันธของฟงกชัน f แลว b f ( x=)dx F (b)− F (a) ∫ a 47. กาํ หนดให F (x) b คอื F (b) − F (a) a 48. ทฤษฎบี ท 14 ให f เปนฟง กชันตอเน่อื งบนชว ง [a, b] และ A เปนพนื้ ท่ที ปี่ ด ลอมดว ยเสน โคง y = f ( x) กบั แกน X จาก a ถึง b 1) ถา f (x) ≥ 0 สาํ หรบั ทกุ x∈[a, b] แลว b A = ∫ f ( x)dx a 2) ถา f (x) ≤ 0 สําหรบั ทกุ x∈[a, b] แลว b A = −∫ f ( x)dx a สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 98 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 2.2 ขอเสนอแนะเกีย่ วกับการสอน ลมิ ิตของฟงกชนั กิจกรรม : ลิมิตของฟงกช นั จดุ มุงหมายของกิจกรรม กจิ กรรมน้ีใชเ พอื่ สอน เรอ่ื ง ลมิ ติ ของฟงกชนั แนวทางการดาํ เนนิ กิจกรรม 1. ครูใหนักเรียนพจิ ารณาและยกตวั อยา งประกอบขอความ “ x เขา ใกล 2 แต x ≠ 2 ” แนวคาํ ตอบ คําตอบของนักเรียนมไี ดหลายแบบ ซึ่งคําตอบของนักเรียนจะมี 2 กลุม คือ กลุม คาของ x ท่ีมีคานอยกวา 2 ท่ีเขาใกล 2 เชน 1.9 , 1.99, 1.999, … และกลุมคาของ x ที่มีคา มากกวา 2 ท่ีเขาใกล 2 เชน 2.1 , 2.01, 2.001, … 2. จากคําตอบท่ีไดในขอ 2 ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายเพื่อใหไดวา x เขาใกล 2 แต x ≠ 2 สามารถสรุปไดเ ปน 2 กรณี ดงั นี้ • กรณีที่ x เขาใกล 2 แต x ≠ 2 โดยที่ x < 2 จะเรียกวา x เขาใกล 2 ทาง ดานซา ย แทนดว ยสญั ลักษณ x → 2− x2 • กรณีที่ x เขาใกล 2 แต x ≠ 2 โดยที่ x > 2 จะเรียกวา x เขาใกล 2 ทาง ดานขวา แทนดวยสญั ลกั ษณ x → 2+ 2x 3. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา x เขาใกล 2 แต x ≠ 2 เปนการพิจารณา x ที่เขาใกล 2 ทั้ง ทางดา นซา ยและขวาของ 2 ( x < 2 และ x > 2 ) แทนดวยสญั ลักษณ x → 2 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 99 คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 4. ครูจบั คนู กั เรียนแบบคละความสามารถ แลวใหนักเรยี นแตล ะคูเ ปดไฟล ipst.me/11546 5. ครูใหนักเรียนแตละคูศึกษาการหาคาของฟงกชั=น y f=(x) x2 เม่ือ x เขาใกล 2 ทางดา นซาย โดยใหน ักเรียนคลกิ ท่รี ูปสี่เหล่ียมหนาขอความ “ x เขา ใกล 2 ทางดา นซาย” จากนั้นคลกิ ลากปุมบนสไลเดอร d และสังเกตคา ท่ีเปลี่ยนไปของ x และ f (x) 6. จากขอ 5 ครูและนักเรียนรวมกันสรุปใหไดวา “เม่ือ x เขาใกล 2 ทางดานซาย แลว f (x) จะมีคา เขาใกล 4” 7. ครใู หน ักเรียนแตละคูคลกิ ท่ีรูปสีเ่ หล่ยี มหนาขอ ความ “ x เขาใกล 2 ทางดา นซา ย” อีก ครั้ง เพื่อซอน x และ f (x) เมือ่ x เขาใกล 2 ทางดานซาย 8. ครูใหนักเรียนแตละคูศึกษาการหาคาของฟงกช=ัน y f=(x) x2 เมื่อ x เขาใกล 2 ทางดา นขวา โดยใหนักเรียนคลิกที่รูปสี่เหลี่ยมหนาขอความ “ x เขาใกล 2 ทางดา นขวา” จากน้ันคลิกลากปมุ บนสไลเดอร e และสังเกตคาทเ่ี ปลยี่ นไปของ x และ f (x) 9. จากขอ 8 ครูและนักเรียนรวมกันสรุปใหไดวา “เม่ือ x เขาใกล 2 ทางดานขวา แลว f (x) จะมีคา เขาใกล 4” 10. จากคําตอบที่ไดในขอ 7 และ 9 ครูสรุปวา • เม่ือ x เขาใกล 2 ทางดานซาย แลว f (x) จะมีคาเขาใกล 4 ซึ่งเรียกวา ลิมิตของ ฟงกชัน f (x) = x2 เมื่อ x เขาใกล 2 ทางดานซาย เทากับ 4 เขียนแทนดวย lim f ( x) = 4 x→2− • เม่ือ x เขาใกล 2 ทางดานขวา แลว f (x) จะมีคาเขาใกล 4 ซง่ึ เรียกวา ลมิ ติ ของ ฟงกชัน f (x) = x2 เมื่อ x เขาใกล 2 ทางดานขวา เทากับ 4 เขียนแทนดวย lim f ( x) = 4 x→2+ 11. จากขอ 10 ครูสรุปวา เมื่อ x เขาใกล 2 ทางดานซายและดานขวา แลว f (x) มีคาเขา ใกล 4 จะกลาววา ลิมิตของฟงกชัน f (x) = x2 เมื่อ x เขาใกล 2 เทากับ 4 เขียนแทน ดวย lim f ( x) = 4 x→2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบื้องตน 100 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 12. ครอู ธบิ ายสรปุ เกีย่ วกับกรณีท่ัวไปดงั นี้ • สําหรบั ฟง กชนั f ใด ๆ ทม่ี โี ดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจาํ นวนจริง ถาคาของ f (x) เขาใกลจํานวนจริง L เมื่อ x เขาใกล a ท้ังทางดานซาย และขวาของ a แลวจะเรียก L วา ลิมิตของ f ที่ a ซ่ึงเขียนแทนดวย สญั ลกั ษณ lim f (x) = L และกลาววา lim f (x) มคี าเทา กับ L x→a x→a แตถาไมมีจํานวนจริง L ซ่ึง f (x) เขาใกล L เมื่อ x เขาใกล a แลวจะ กลาววา “ f ไมม ลี ิมติ ท่ี a ” หรือกลาววา “lim f (x) ไมมคี า” x→a • สําหรับฟงกชัน f ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของจํานวนจรงิ ถา f (x) เขาใกลจํานวนจริง L1 เมื่อ x เขาใกล a ทางดานซายแลว จะ เรียก L1 วา ลิมิตซายของ f (x) เม่ือ x เขาใกล a ทางดานซาย เขียนแทน ดว ย lim f ( x) = L1 x→a− ถา f (x) เขาใกลจํานวนจริง L2 เมื่อ x เขาใกล a ทางดานขวา จะเรียก L2 วา ลิมิตขวาของ f (x) เมื่อ x เขาใกล a ทางดานขวา เขียนแทนดวย lim f (x) = L2 x→a+ สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 101 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 ประเด็นสาํ คัญเก่ียวกับเนอื้ หาและสิ่งทค่ี วรตระหนกั เกยี่ วกบั การสอน • เม่อื สอนเร่อื งลิมิตของ f ที่ a ครคู วรใหน กั เรียนเขาใจความหมายของ x เขาใกล a กอน ซึ่งสามารถแบง ไดเ ปน 2 กรณี ไดแ ก o กรณีที่ x เขาใกล a โดยที่ x < a จะเรียกวา x เขาใกล a ทางดานซาย แทนดวย สัญลักษณ x → a− o กรณีที่ x เขาใกล a โดยท่ี a > 2 จะเรียกวา x เขาใกล a ทางดานขวา แทนดวย สัญลักษณ x → a+ ทั้งน้ี การพิจารณาวา x เขาใกล a ซึ่งแทนดวยสัญลักษณ x → a ตองพิจารณาท้ัง x เขาใกล a ทางดา นซา ยและ x เขาใกล a ทางดา นขวา • การพิจารณาวา lim f (x) มีคาหรือไม ในตัวอยางท่ี 2 อาจพิจารณาโดยไมใชกราฟได x→0 ดังนี้ จาก f (x) = 1 ;x≥ 0 −1 ;x< 0 เม่อื x เขาใกล 0 ทางดา นซา ย นนั่ คอื x < 0 จะไดวา f (x) = −1 ดังนั้น lim f ( x) =lim (−1) =−1 x→0− x→0− เมือ่ x เขา ใกล 0 ทางดา นขวา น่นั คือ x > 0 จะไดว า f (x) =1 ดังนน้ั lim f=( x) l=im 1 1 x→0+ x→0+ จะเห็นวา lim f ( x) ≠ lim f ( x) ดงั นั้น lim f ( x) ไมมคี า x→0− x→0+ x→0 • ครูควรเนนย้ํากับนักเรียนวา สําหรับฟงกชัน f ใด ๆ ถึงแมวา f (x) เขาใกล L เมื่อ x เขาใกล a แต L อาจไมเทา กบั f (a) ก็ได • การหา lim  f (x) โดยใชทฤษฎีบท 2 ขอ 5 จะทําไดในกรณีท่ี lim f ( x) และ   x→a g ( x) x→a lim g ( x) หาคาได และ lim g (x) ≠ 0 เทาน้ัน สําหรับกรณีท่ี lim g (x) = 0 อาจหา x→a x→a x→a lim  f (x) ไดโ ดยการจัดรปู ของฟง กช นั ดังแสดงในตัวอยางท่ี 10 และ 11  g ( x)  x→a สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 102 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 • ลิมติ “ไมมีคา” ที่กลา วถงึ ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 หมายถึงกรณีที่ลิมิตซายไมเทากับลิมิตขวา สําหรับลิมิตไมมีคาในกรณีอื่น ๆ นกั เรียนจะไดศึกษาในระดบั อดุ มศึกษา • ในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 น้ี สําหรับ ฟงกชัน f ที่มีโดเมนเปน [a, b], [a, b), (a, b] หรือ (a, b) จะไมพิจารณา lim f ( x) x→a และ lim f (x) เชน ฟง กชนั f (x) = x ที่มีโดเมนเปน [0, 1) จะไมพ จิ ารณา lim f (x) x→b x→0 และ lim f (x) แตน กั เรยี นจะไดศ กึ ษาในระดบั อุดมศึกษา x→1 • ในการจัดการเรียนรูในบทที่ 2 แคลคูลัสเบ้ืองตน ของหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 จะไมพ ิจารณาลมิ ติ ของฟงกชนั เมือ่ x เพ่มิ ขึ้น เร่ือย ๆ อยางไมมีท่ีสิ้นสุด (x → ∞) และลิมิตของฟงกชัน เม่ือ x ลดลงเร่ือย ๆ อยาง ไมม ีท่สี น้ิ สดุ (x → −∞) ซ่งึ นักเรียนจะไดศึกษาในระดบั อุดมศกึ ษา • ในการจัดการเรียนรูในบทท่ี 2 แคลคูลัสเบื้องตน ของหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 จะไมกลาวถึงฟงกชันเอกซโพเนนเชียล ฟง กช นั ลอการทิ ึม ฟง กชันตรีโกณมิติ ซ่ึงนกั เรียนจะไดศ ึกษาในระดับอุดมศกึ ษา ประเดน็ สําคัญเก่ยี วกบั แบบฝก หดั • การหาลิมิตของฟงกชันที่กําหนดให โดยพิจารณาจากกราฟของฟงกชัน เชน แบบฝกหัด 2.1ก ขอ 2 – 6 นั้น ครูควรสนับสนุนใหนักเรียนใหเหตุผลประกอบการพิจารณาวาลิมิต ของฟง กชนั ในขอ ใดมคี า และลมิ ิตของฟง กชนั ในขอ ใดไมม ีคา • การหาลิมิตของฟงกชันบางฟงกชันโดยใชทฤษฎีบท 2 อาจมีลําดับข้ันตอนการหาที่ แตกตา งกนั เชน แบบฝกหัด 2.1ข ขอ 1 4) อาจหาคําตอบโดย สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลัสเบอ้ื งตน 103 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 ( ( )) ( )วธิ ที ่ี 1 จาก lim ( x + 3) x2 + 2 =  lim ( x + 3)   lim x2 + 2  (ท.บ.2 ขอ 4) x → −1 x→ −1 x→ −1 ( )( )= lim x + lim 3 lim x2 + lim 2 (ท.บ.2 ขอ 2) x→−1 x→−1 x→−1 x→−1 ( )= (−1+ 3) (−1)2 + 2 (ท.บ.1) =6 ดังน้ัน ( )( )lim ( x + 3) x2 + 2 =6 x → −1 วิธีท่ี 2 ( )จาก ( x + 3) x2 + 2 = x3 + 3x2 + 2x + 6 จะได ( )( )lim ( x + 3) x2 + 2 x → −1 ( )= lim x3 + 3x2 + 2x + 6 x → −1 ( )= lim x3 + lim 3x2 + lim (2x) + lim 6 (ท.บ.2 ขอ 2) x → −1 x → −1 x → −1 x → −1 (ท.บ.2 ขอ 1) = lim x3 + 3 lim x2 + 2 lim x + lim 6 (ท.บ.1) x → −1 x → −1 x→−1 x→−1 = (−1)3 + 3(−1)2 + 2(−1) + 6 =6 ดงั นน้ั ( )( )lim ( x + 3) x2 + 2 =6 x → −1 • การหาลิมิตของฟงกชันท่ีมีการกําหนดโดเมนออกเปนชวงยอยมากกวา 1 ชวง เชน ใน แบบฝก หัด 2.1ข ขอ 4 ครูควรตรวจสอบวา นกั เรยี นเลือกใชคา ของฟงกช นั ไดตรงกบั ชวง ยอ ยท่ีพจิ ารณาหรอื ไม เชน เมอื่ พจิ ารณา lim f (x) ในขอ 2) ตอ งเลือกใช f (x) = x2 x→0− ความเขา ใจคลาดเคล่ือน • นักเรียนบางคนอาจเขาใจผดิ เกี่ยวกับสญั ลักษณ x → a− และ x → a+ วา x → 2− หมายถงึ x เขาใกล −2 ทงั้ นี้ ครูควรย้าํ นกั เรยี นวา x → a− แสดงถึงการพิจารณาคา ของ x ท่ีนอยกวา a และ x → a+ แสดงถึงการพิจารณาคา ของ x ทีม่ ากกวา a สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 104 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 • นกั เรยี นบางคนอาจเขา ใจผิดวา lim f (x) = f (a) เสมอ ทั้งนค้ี รคู วรยกตัวอยางฟงกชันท่ี x→a lim f ( x) ≠ f (a) เชน ฟง กช ัน f ( x ) =  1, x≠0 มี f (0) = 0 แต lim f ( x) = 1  0, x=0 x→a  x→0 จะเห็นวา lim f ( x) ≠ f (0) x→0 ความตอเน่อื งของฟงกชนั กจิ กรรม : ฟงกชันตอ เนอ่ื ง จดุ มงุ หมายของกิจกรรม กิจกรรมนใ้ี ชเพอ่ื สอน เรอ่ื ง ความตอ เนอ่ื งของฟง กชัน แนวทางการดาํ เนนิ กิจกรรม 1. ครูจบั คนู ักเรียนแบบคละความสามารถ จากน้ันครูแสดงกราฟของฟงกช ันตอไปนี้ รปู ท่ี 1 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู ัสเบือ้ งตน 105 คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 รปู ท่ี 2 รปู ที่ 3 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบื้องตน 106 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 2. ครูใหนักเรียนแตละคูพิจารณากราฟของฟงกชันในแตละรูปท่ีกําหนดใหในขอ 1 และ เตมิ ขอ มูลลงในตารางตอไปน้ีใหส มบรู ณ รูปท่ี lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) f (a) 1 x→a− x→a+ x→a f (a) 2 3 lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) L2 L2 แนวคําตอบ x→a− x→a+ x→a L รูปท่ี L1 L2 ไมมีคา 1 L1 L1 L L L1 2 3 L 3. จากคาํ ตอบทไี่ ดใ นขอ 2 ครูใหนกั เรียนพิจารณาวาฟงกชนั f รูปใดที่ lim f (x) = f (a) x→a แนวคาํ ตอบ รูปท่ี 3 4. ครูอธิบายวาฟงกชัน f ท่ีมีสมบัติ lim f (x) = f (a) จะกลาววา f เปนฟงกชัน x→a ตอ เน่อื งที่ x = a ดังน้ัน ฟง กชนั f ในรูปที่ 3 เปนฟง กชนั ตอ เนอื่ งที่ x = a 5. ครแู ละนกั เรียนรว มกันสังเกตลกั ษณะกราฟของฟงกช ันในรูปท่ี 1 – 3 ในประเด็นตอไปน้ี • กราฟของฟงกช นั ในแตละรปู ขาดตอนหรือไม • โดเมนของฟงกชันในแตล ะรูปมีการแบงเปน ชวงยอยหรือไม สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบือ้ งตน 107 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 แนวคาํ ตอบ กราฟของฟงกชัน f ในรูปท่ี 1 มีลักษณะขาดตอน และโดเมนของฟงกชันแบง ออกเปน 2 ชว งยอ ย ไดแก x < a และ x ≥ a กราฟของฟงกชัน f ในรูปท่ี 2 มีลักษณะขาดตอน และโดเมนของฟงกชันแบง ออกเปน 2 ชว งยอย ไดแก x = a และ x ≠ a กราฟของฟงกชัน f ในรูปที่ 3 มีลักษณะไมขาดตอน และโดเมนของฟงกชันไมมี การแบงเปน ชว งยอ ย 6. ครอู ธบิ ายเก่ียวกบั บทนิยามของความตอ เน่ืองของฟงกช นั ตามบทนยิ าม 1 หมายเหตุ • จากคําตอบทีไ่ ดใ นขอ 2 และ 3 ครอู าจอธิบายเพิม่ เตมิ วา o จากรปู ที่ 1 จะเห็นวา f (a) หาคาได ( f นยิ ามที่ a ) แต lim f (x) ไมมคี า x→ a o จากรปู ที่ 2 จะเห็นวา f (a) หาคาได ( f นยิ ามท่ี a ) และ lim f (x) มีคา แต x→ a lim f ( x) ≠ f (a) x→ a • ฟง กชนั f ในรูปท่ี 1 และ 2 เปน ฟง กชนั ไมต อเนื่องที่ x = a • ครอู าจเปลย่ี นกราฟของฟงกช นั ทีใ่ หนักเรยี นพจิ ารณาในขอ 1 เปน รปู แบบอนื่ ประเดน็ สาํ คัญเกี่ยวกบั เนอ้ื หาและสง่ิ ที่ควรตระหนักเกยี่ วกบั การสอน • ในการยกตัวอยางฟงกชนั เพื่อใหนกั เรียนตรวจสอบการเปนฟงกชันตอเน่ืองที่ x = c ครู ควรเลอื กฟงกชนั ที่นยิ ามบนชว ง (a, b) และ c∈(a, b) • การพิจารณาวาฟงกชันท่ีกําหนดใหเปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด x = c หรือไม อาจ พิจารณาโดยใชก ราฟ เชน ฟงกช นั f ในตัวอยางที่ 14 เขยี นกราฟไดด ังน้ี สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 108 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 จากกราฟจะเหน็ วา lim f ( x) = 4 แต f (2) = 3 x→2 ดังนัน้ f เปน ฟง กช นั ไมตอเน่อื งที่ x = 2 และฟง กชัน f ในตัวอยา งท่ี 15 เขยี นกราฟไดดังนี้ จากกราฟจะเหน็ วา lim f ( x) = 4 และ f (2) = 4 x→2 ดังนั้น f เปน ฟง กช นั ตอ เนือ่ งที่ x = 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบื้องตน 109 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 • การตรวจสอบความตอเนอ่ื งของฟง กช นั ในตวั อยา งท่ี 17 อาจทาํ ไดดังน้ี จาก f (x) = x2 x2 − 9 6 − 5x + จะได f (0) = 02 − 9 = −9 = −3 6 2 02 − 5(0) + 6 และ lim f ( x) = lim x2 − 9 x→0 x→0 x2 − 5x + 6 เน่อื งจาก (lim x2 − 5x + 6) =6 ≠ 0 โดยทฤษฎบี ท 4 จะได x→0 lim x2 − 9 = 02 − 9 = −9 = −3 6 2 x→0 x2 − 5x + 6 02 − 5(0) + 6 เนื่องจาก lim f ( x) = f (0) x→0 ดงั น้ัน ฟง กชัน f เปน ฟง กชนั ตอเนื่องท่ี x = 0 • ครูควรเนนยํ้าเก่ียวกับการแสดงวา f เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง (a, b) น้ัน จะตอง แสดงวา f เปนฟงกชันท่ีตอเน่ืองท่ีทุกจุดในชวง (a, b) โดยสมมติให c เปนจุดใด ๆ ในชว ง (a, b) แลว แสดงวา f ตอเนอ่ื งที่ x = c • สําหรับฟงกชัน f ที่ตอเนื่องบนชวง [a, b], (a, b] หรือ [a, b) จะมีความตอเนื่องที่ จดุ ปลายของชวงเปน ดงั นี้ o สําหรับฟงกชัน f ท่ีตอเนื่องบนชวง [a, b] ซ่ึง lim f (x) = f (a) และ x→a+ lim f (x) = f (b) น้ัน จะไดวา f ตอเนื่องทางดานขวาท่ี x = a และ f x→b− ตอเนอื่ งทางดานซา ยท่ี x = b ตามลาํ ดบั o สําหรับฟงกชัน f ท่ีตอเน่ืองบนชวง (a, b] ซึ่ง lim f (x) = f (b) น้ัน จะไดวา x→b− f ตอเนื่องทางดา นซา ยท่ี x = b o สําหรับฟงกชัน f ท่ีตอเน่ืองบนชวง [a, b) ซึ่ง lim f (x) = f (a) น้ัน จะไดวา x→a+ f ตอ เนอ่ื งทางดานขวาท่ี x = a หมายเหตุ o f ตอเนื่องทางดานขวาท่ี x = a คอื f is continuous from the right at x = a o f ตอ เนื่องทางดานซายท่ี x = b คือ f is continuous from the left at x = b สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบื้องตน 110 คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 • ชวงท่ีพิจารณาความตอเน่ืองของฟงกชันตองเปนสับเซตของโดเมนของฟงกชันนั้น เชน ตวั อยางท่ี 18 – 19 ประเดน็ สําคัญเกีย่ วกับแบบฝก หัด การพิจารณาความตอเนื่องของฟงกชัน g บนชวง (−∞, 1] ในแบบฝกหัด 2.2 ขอ 4 ซ่ึงมี ขนั้ ตอนการพจิ ารณา ไดแ ก 1) g เปน ฟง กชนั ตอ เนอ่ื งทที่ ุกจดุ ในชว ง (−∞, 1) และ 2) lim g ( x) = g (1) x→1− เนื่องจากฟงกชัน g ท่ีกําหนดให มีโดเมนเปนชวงยอย 3 ชวง ไดแก (−∞, − 2), [−2, 1] และ (1, ∞) ดังนนั้ การพจิ ารณาความตอเน่ืองของฟงกชนั g ท่ีทุกจดุ ในชว ง (−∞, 1) ตอ ง พจิ ารณาความตอเนอื่ งของฟง กช นั g บนชวง (−∞,−2) และ [−2,1) อนพุ นั ธข องฟงกชนั ประเดน็ สาํ คัญเกี่ยวกบั เนอ้ื หาและสงิ่ ทค่ี วรตระหนักเก่ียวกับการสอน • การแกปญหาเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลงที่สอดคลองกับชีวิตจริง ครูควรสงเสริมให นักเรียนแปลความหมายจากผลลัพธท่ีได เชน จากตัวอยางท่ี 20 ซึ่งอัตราการเปลี่ยนแปลง ของ V เทียบกับ r เปนจํานวนจรงิ บวก แสดงวาเมื่อ r เพิ่มข้ึน V (r) จะเพ่ิมข้ึน จึง อธิบายไดวาเม่ือความยาวของรัศมีของลูกบอลเพ่ิมข้ึน ปริมาตรของลมในลูกบอลจะ เพิ่มขึ้น แตในตัวอยางท่ี 21 ซึ่งอัตราการเปลี่ยนแปลงของ Q เทียบกับ t เปนจํานวน จริงลบ แสดงวาเม่ือ t เพ่ิมข้ึน Q(t) จะลดลง จึงอธิบายไดวาเม่ือเวลาเพิ่มขึ้น ปรมิ าตรของนํา้ ในสระจะลดลง สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู ัสเบือ้ งตน 111 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 • นักเรียนสามารถเลือกใชสัญลักษณแทนอนุพันธของฟงกชัน f ท่ี x ดวย f ′(x), dy , dx d f (x) หรือ y′ โดยในกรณีที่ใชสัญลักษณ y′ ครูควรช้ีแนะใหนักเรียนระมัดระวัง dx วา เปนการเขียนแทนอนุพันธของฟงกชันท่ีมีการละตัวแปรตนไว ซ่ึงนักเรียนควรทราบ วาฟง กช นั ท่ีกาํ หนดใหม ีตวั แปรใดเปน ตวั แปรตน เชน สมการ y = f (x) ดังนัน้ y′ จะแทนอนพุ นั ธเทยี บกบั ตวั แปร x สมการ y = g(t) ดงั นน้ั y′ จะแทนอนพุ ันธเทียบกับตวั แปร t • สําหรบั ฟง กชันที่หาอนุพันธไดท่ี x ใด ๆ ในโดเมน จะพบวา ฟง กช ันนน้ั ตอเน่ืองท่ี x ดวย แตในทางกลับกัน ฟงกชันท่ีตอเนื่องที่ x อาจหาคาอนุพันธที่ x ไมได เชน ฟงกชัน f ( x) = x พบวา f เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x = 0 ( lim f ( x) = f (0) ) แตจาก x→0 ตวั อยางท่ี 25 จะเห็นวา f ′(0) ไมม คี า ประเดน็ สําคญั เกย่ี วกับแบบฝก หดั ปริมาตรของกรวยกลมตรงในแบบฝกหัด 2.3 ขอ 8 หาไดจาก V = 1π r2h เม่ือ r แทน 3 ความยาวของรัศมีของฐาน และ h แทนสวนสูง ทั้งน้ี ในขอ 1) กําหนดใหสวนสูงเปน คาคงตัว ดังนั้น V เปนฟงกชันของตัวแปร r ในทํานองเดียวกัน ขอ 2) V เปนฟงกชัน ของตวั แปร h สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 112 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 การหาอนพุ ันธข องฟง กชนั โดยใชส ูตร ประเดน็ สาํ คัญเกยี่ วกับเน้ือหาและสิ่งทีค่ วรตระหนักเกีย่ วกับการสอน • ครูควรยกตัวอยางฟงกชันที่จะหาอนุพันธโดยใชสูตรที่ 4 – 8 ใหสอดคลองกับความรู พ้นื ฐานของนกั เรยี น • การหา f ′(a) โดยใชสูตร จะตองหา f ′(x) กอน แลวจึงแทน x ดวย a ดังแสดงใน ตวั อยา งที่ 33 • การหาอนุพันธของฟงกชันที่จุดแบงของชวงในกรณีท่ีฟงกชันมีการกําหนดโดเมน ออกเปน ชว งยอ ยมากกวา 1 ชวง นน้ั ไมส ามารถหาอนุพนั ธข องฟงกชันทจ่ี ุดแบง ของชวง โดยใชสูตรได แตตองใชบทนิยาม 3 ในการหาอนพุ ันธของฟง กช นั ความเขา ใจคลาดเคลอ่ื น • นักเรียนบางคนอาจเขาใจผิดวา อนุพันธของผลคูณเทากับผลคูณของอนุพันธของ แตละฟงกชัน เชน นักเรียนเขาใจผิดวาอนุพันธของฟงกชัน y =(2x +1)(2x −1) คือ dy= d (2x +1)⋅ d (2x −1=) 2(2=) 4 ในกรณีนี้ ครูควรแสดงรายละเอียดการหา dx dx dx อนพุ นั ธข องผลคูณโดยใชสตู รที่ 7 ดังนี้ dy = d ((2x +1)(2x −1)) dx dx = (2x +1) d (2x −1) + (2x −1) d (2x +1) dx dx = (2x +1)(2) + (2x −1)(2) = 8x สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู ัสเบ้ืองตน 113 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 • นักเรียนบางคนอาจเขาใจผิดวา อนุพันธของผลหารเทากับผลหารของอนุพันธของแตละ ฟงกช นั เชน นักเรยี นเขา ใจผดิ วา อนพุ นั ธข องฟงกชนั y = x2 =คือ dy d (x2 ) =dx 2x x − 2 dx d ( x − 2) dx ในกรณีนี้ ครคู วรแสดงรายละเอยี ดการหาอนพุ ันธของผลหารโดยใชสตู รที่ 8 ดงั นี้ dy = d  x2  dx   dx  x − 2  (x − 2) d (x2 ) − (x2 ) d (x − 2) = dx dx ( x − 2)2 (x − 2)(2x) − x2 = ( x − 2)2 = x2 − 4x ( x − 2)2 อนพุ นั ธของฟงกชันประกอบ ประเดน็ สาํ คญั เกยี่ วกับเนอ้ื หาและสง่ิ ทค่ี วรตระหนักเกีย่ วกบั การสอน นักเรียนอาจประสบปญหาในการกําหนดฟงกชัน u ซึ่งเปนฟงกชันของตัวแปร x และเขียน ฟงกชัน y ใหอยูในรูปของฟงกชันของตัวแปร u เมื่อกําหนด y เปนฟงกชันของตัวแปร x ดงั นั้น ครคู วรใหนักเรยี นฝก ทักษะเพิม่ เติม ตามลําดับขนั้ ตอนตอ ไปนี้ ขน้ั ที่ 1 กาํ หนดฟงกชนั u ซึ่งเปน ฟง กชันของตวั แปร x ขัน้ ท่ี 2 เขยี นฟง กช ัน y ใหอ ยูใ นรปู ของฟงกช นั ของตัวแปร u (ฟงกช นั y ตองเปนฟงกช ันทหี่ าอนพุ นั ธโดยใชส ตู รได) เชน สาํ หรบั ฟงกชนั =y 2x −1 สามารถทําไดด ังน้ี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 114 คูม ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 วิธีท่ี ข้นั ที่ 1 ขนั้ ที่ 2 1 ให u = 2x จะได =y u −1 จะได y = u 2 ให =u 2x −1 จะเห็นวาในขั้นที่ 2 ของวิธีที่ 1 ฟงกชัน =y u −1 ไมสามารถหาอนุพันธโดยใชสูตรได โดยตรง แตในขัน้ ที่ 2 ของวิธีที่ 2 ฟงกช นั y = u สามารถหาอนพุ นั ธโ ดยใชสูตรได ดงั น้ัน ควรเลอื ก =u 2x −1 เสนสัมผัสเสน โคง ประเด็นสาํ คญั เกย่ี วกับเน้อื หาและสง่ิ ทค่ี วรตระหนักเก่ียวกับการสอน • การหาสมการของเสนสัมผัสเสนโคงท่ีจุด P(a, f (a)) หรอื ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง ที่จดุ P(a, f (a)) ครคู วรตระหนกั วา จะพิจารณาเฉพาะจดุ ท่ี f ′(a) หาคา ได • การแกปญหาเกี่ยวกับเสนสัมผัสเสนโคงบางปญหาตองใชความรูเกี่ยวกับเรขาคณิต วเิ คราะห ดังน้ันครคู วรทบทวนเนือ้ หาที่เกีย่ วของใหกบั นักเรียนดว ย • จากหมายเหตุในตัวอยางที่ 42 สามารถใชความรูเรื่อง เรขาคณิตวิเคราะหในการหา ความชนั และสมการของเสนสมั ผสั วงกลมได ดงั น้ี จากสมการวงกลม x2 + y2 =25 จะไดว า วงกลมน้มี ีจดุ ศูนยกลางอยูที่ (0, 0) และมีรัศมียาว 5 หนวย เนอ่ื งจาก จุด (−3, 4) อยบู นเสนรอบวงของวงกลมนี้ จะไดวา สวนของเสน ตรงที่เช่ือมระหวา ง (0, 0) และ (−3, 4) เปน รัศมีของวงกลม ซึง่ มีความชนั เปน 4 − 0 = − 4 −3 − 0 3 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบื้องตน 115 คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 เนอ่ื งจาก รศั มีของวงกลมท่ีลากผา น (−3, 4) ต้ังฉากกับเสนสมั ผัสวงกลมที่จดุ นน้ั จะไดว า ผลคณู ของความชนั ของรัศมวี งกลมทล่ี ากผาน (−3, 4) กบั ความชนั ของ เสนสัมผัสวงกลมที่จดุ น้ันเปน −1 เน่ืองจาก รัศมีของวงกลมที่ลากผา น (−3, 4) มีความชันเปน − 4 3 จะไดวา เสน สมั ผสั วงกลมท่ี (−3, 4) มคี วามชนั เปน 3 4 ดังน้นั สมการของเสนสมั ผสั วงกลมที่จดุ (−3, 4) คือ y −=4 3 (x − (−3)) 4 หรอื =y 3 x + 25 44 อนุพันธอ นั ดับสงู ประเดน็ สาํ คัญเก่ยี วกบั เนอื้ หาและสิง่ ทค่ี วรตระหนักเก่ียวกบั การสอน การหาอนุพันธอันดับสูงที่ x = a จะตองหาอนุพันธอันดับสูงท่ี x กอน แลวจึงแทน x ดว ย a ดังแสดงในตวั อยางที่ 48 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบื้องตน 116 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 การประยกุ ตของอนุพันธ กจิ กรรม : ความชันของเสนสัมผัสเสน โคง ของฟงกชนั เพิ่มและฟงกชนั ลด จดุ มุงหมายของกิจกรรม กิจกรรมน้ใี ชเ พือ่ สอน เร่ือง ความชนั ของฟงกชนั เพิ่มและฟงกช ันลด แนวทางการดาํ เนนิ กจิ กรรม 1. ครทู บทวนบทนยิ าม 4 2. ครูจบั คูนักเรียนแบบคละความสามารถ จากนน้ั ครใู หนักเรียนเปดเวบ็ ไซต ipst.me/11547 3. ครใู หนกั เรียนสํารวจความชันของเสน สัมผัสเสน โคง บนชวง (a, b), (b, c), (c, d ) และ (d, e) โดยคลิกลากจุด P ไปตามแนวเสนโคง พรอมท้ังสังเกตความชันของเสนโคงท่ี จดุ P ซึ่งแสดงบนหนา จอ แลว ตอบคําถามตอไปนี้ 3.1 ชว งใดบางท่ีความชนั ของเสน โคงเปนจาํ นวนจรงิ บวก แนวคําตอบ ชวง (b, c) และ (d, e) 3.2 ชวงใดบางทคี่ วามชันของเสน โคง เปนจาํ นวนจริงลบ แนวคําตอบ ชวง (a, b) และ (c, d ) 4. ครูทบทวนความรูข องนักเรยี นเกย่ี วกบั ฟงกช ันเพิ่มและฟง กช ันลด 5. จากขอ 2 ครใู หนกั เรยี นหาวาชวงใดบา งที่ f เปน ฟง กชันเพิม่ และฟง กชนั ลด แนวคําตอบ • f เปนฟงกชนั เพม่ิ ในชว ง (b, c) และ (d, e) • f เปน ฟงกชนั ลดในชวง (a, b) และ (c, d ) สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู ัสเบือ้ งตน 117 คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 6. ครใู หน กั เรยี นเปรียบเทียบคําตอบท่ีไดในขอ 3 และขอ 5 โดยเตมิ ขอมลู ลงในตารางตอไปนี้ ชวง ความชนั ของเสน โคง ฟงกชนั เพม่ิ / ลด เปน จํานวนจริงบวก/ ลบ (a, b) (b, c) (c, d ) (d, e) แนวคาํ ตอบ ความชันของเสนโคง ฟง กชนั เพิม่ / ลด ชวง เปนจาํ นวนจริงบวก/ ลบ ฟง กชนั ลด (a, b) เปนจาํ นวนจริงลบ ฟงกชนั เพ่ิม (b, c) ฟงกชันลด (c, d ) เปน จํานวนจริงบวก ฟง กช ันเพ่มิ (d, e) เปนจํานวนจรงิ ลบ เปน จํานวนจรงิ บวก 7. ครูอธิบายสรุปวา ถาทุก ๆ จุดในชวงมีความชันของเสนโคงเปนจํานวนจริงบวก แลว ฟงกชันจะเปนฟงกชันเพ่ิมในชวงน้ัน ในทางตรงกันขาม ถาทุก ๆ จุดในชวงมีความชัน ของเสน โคง เปนจํานวนจริงลบ แลว ฟง กชนั จะเปน ฟงกชนั ลดในชว งนั้น 8. ครอู ธบิ ายทฤษฎบี ท 8 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 118 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 กิจกรรม : คาสงู สุดสัมพัทธ คาตํ่าสุดสมั พทั ธ และจดุ วกิ ฤต จุดมงุ หมายของกิจกรรม กิจกรรมนี้ใชสอนทฤษฎีบท 9 บทนิยาม 7 และทฤษฎีบท 10 ท้ังนี้ครูควรทบทวน ความหมายของคา สูงสุดสัมพทั ธแ ละคาตํ่าสุดสัมพทั ธใ นบทนยิ าม 6 กอ นใหนักเรยี นทํากิจกรรม แนวทางการดาํ เนนิ กจิ กรรม 1. ครจู บั คนู กั เรยี นแบบคละความสามารถ จากนนั้ ครูใหนกั เรยี นเปดเว็บไซต ipst.me/11548 2. จากกราฟของฟงกชัน f ที่แสดงบนหนาจอ ครูใหนักเรียนหาจุดสูงสุดสัมพัทธและจุด ต่าํ สดุ สัมพทั ธของฟง กชนั f แนวคําตอบ • ฟงกช นั f มีจุดสูงสดุ สัมพัทธอ ยูท ีจ่ ุด B(−1, 3) หรอื ท่ี x = −1 • ฟงกชัน f มีจุดตํ่าสุดสัมพัทธอยูท่ีจุด A(−8, −1) และ C (6, − 4) หรือ x = −8 และ x = 6 ตามลําดบั 3. ครูใหนกั เรียนสํารวจความชนั ของเสนโคงของฟงกชัน f ทจี่ ดุ สูงสดุ สมั พัทธและจุดต่ําสุด สัมพัทธ โดยคลิกลากจุด P ไปตามแนวเสนโคง แลวหาความชันของเสนโคงของฟงกชัน ทีจ่ ดุ สงู สุดสมั พทั ธและจดุ ตํ่าสุดสมั พัทธแ ตล ะจุด แนวคําตอบ • ความชนั ของเสนโคง ของฟงกช ัน f ทีจ่ ดุ สูงสดุ สมั พัทธ B เทากบั 0 • ความชันของเสน โคง ของฟง กช ัน f ทจ่ี ุดตา่ํ สดุ สมั พัทธ A เทากับ 0 • ความชันของเสน โคงของฟง กช ัน f ที่จุดต่ําสดุ สมั พทั ธ C เทา กบั 0 4. ครูอธบิ ายเชือ่ มโยงคําตอบที่ไดจากขอ 3 กบั บทนยิ าม 4 ดังน้ี • ที่จดุ สูงสุดสมั พัทธ B จะไดวา f ′(−1) =0 • ทีจ่ ดุ ตาํ่ สุดสมั พัทธ A จะไดวา f ′(−8) =0 • ท่จี ุดตํ่าสดุ สัมพทั ธ A จะไดวา f ′(6) = 0 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลัสเบอื้ งตน 119 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 5. จากคําตอบที่ไดในขอ 4 ครอู ธิบายสรุปทฤษฎีบท 9 จากนั้นแนะนําคาวิกฤตและจุดวิกฤต ในบทนยิ าม 7 6. ครใู หนกั เรียนหาคาวกิ ฤตและจุดวกิ ฤตของฟงกชัน f ในขอ 1 แนวคาํ ตอบ • คา วกิ ฤตของฟงกชัน f คอื −8, −1 และ 6 • จดุ วิกฤตของฟง กช ัน f คือ (−8, −1), (−1, 3) และ (6, − 4) 7. ครูใหนักเรียนสํารวจการเปลี่ยนแปลงคาของอนุพันธของฟงกชัน f รอบ ๆ จุดวิกฤต โดยคลิกลากจุด P ไปตามแนวเสนโคง จากดานซายไปดานขวาของจุดวิกฤตแตละจุด และหาวา คา ของอนุพันธของฟงกช นั f มีการเปลย่ี นแปลงอยางไร แนวคาํ ตอบ • ท่ีจุดวกิ ฤต (−8, −1) พบวา คาของอนุพันธของฟงกช ัน f เปลี่ยนจากจํานวนจริงลบ เปน จํานวนจรงิ บวก • ท่ีจุดวิกฤต (−1, 3) พบวา คาของอนุพันธของฟงกชัน f เปล่ียนจากจํานวนจริงบวก เปนจาํ นวนจริงลบ • ท่ีจุดวิกฤต (6, − 4) พบวา คาของอนุพันธของฟงกชัน f เปลี่ยนจากจํานวนจริงลบ เปนจาํ นวนจรงิ บวก 8. ครอู ธบิ ายสรุปทฤษฎีบท 10 ประเด็นสําคญั เกย่ี วกับเนอ้ื หาและสิง่ ทค่ี วรตระหนักเกย่ี วกับการสอน • ความเร็วและอตั ราเรว็ ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 มีความหมายไมแตกตางกันและสามารถใชแทนกันได แตในวิชาฟสิกสความเร็ว และอัตราเร็วมีความหมายที่แตกตางกัน โดยความเร็วเปนปริมาณเวกเตอร สวน อัตราเรว็ เปน ปริมาณสเกลาร สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 120 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 • การหาคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดสัมพัทธ สามารถทําไดโดยใชบทนิยาม 6 หรือ ทฤษฎีบท 10 หรือ ทฤษฎีบท 11 แตการใชทฤษฎีบท 11 มีขอจํากัดท่ีคาวิกฤต c ของฟงกชัน f ซง่ึ f ′(c) =0 และ f ′′(c) มีคาและไมเทากับ 0 เชน ในการหาคาสูงสุดสัมพัทธหรือจุด ตํา่ สดุ สัมพัทธข องฟง กชัน f (x=) x4 − 2x3 ทาํ ไดดังนี้ จาก f ( x=) x4 − 2x3 จะได f ′( x) = 4x3 − 6x2 = x2 (4x − 6) ดังนั้น f ′( x) = 0 เม่ือ x = 0 หรอื x = 3 2 จะไดวา คาวิกฤตของฟงกช นั f มี 2 คา คอื 0 และ 3 2 ตอไปหาอนพุ นั ธอ นั ดบั ทีส่ องของฟง กชัน f จะได f ′′=(x) 12x2 −12x เนื่องจาก f ′′(0) = 0 และ f ′′  3  = 9  2  จากทฤษฎบี ท 11 จะไดว า f ′ 3  = 0 และ f ′′ 3  = 9 ซึง่ มากกวา 0 2  2  ดงั น้นั f มคี าตาํ่ สุดสัมพัทธท่ี x= 3 และคาต่ําสดุ สมั พัทธ คอื f  3  2  2  แตในกรณีที่ x = 0 จะได f ′′(0) = 0 จงึ ไมส ามารถใชทฤษฎีบท 11 ได ดงั นน้ั จะพจิ ารณาคาสงู สดุ สัมพัทธแ ละคา ตา่ํ สุดสมั พัทธโ ดยใชทฤษฎีบท 10 ดังน้ี จาก f ′(=x) 4x3 − 6x2 และคาวิกฤตของฟงกชัน f มี 2 คา คือ 0 และ 3 2 จะไดว า การเปลย่ี นแปลงของอนพุ ันธข องฟง กช ัน f เปน ดังนี้ 0 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 121 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 จากรปู จะเห็นวา คา ของอนุพันธข องฟงกชนั f รอบ x = 0 ไมม ีการเปลี่ยนแปลง จากจํานวนจริงบวกเปนจํานวนจริงลบ หรือไมมีการเปล่ียนแปลงจากจํานวนจริง ลบเปน จํานวนจรงิ บวก ดังนัน้ x = 0 เปนคา วกิ ฤตท่ไี มไ ดทาํ ใหฟ ง กชัน f มคี าสงู สดุ สมั พัทธหรอื คา ตํ่าสุด สัมพัทธ ดังจะเหน็ ไดจ ากกราฟของฟง กช ัน f ดังนี้ • การแกโจทยปญหาเก่ียวกับคาต่ําสุดหรือคาสูงสุดในหัวขอ 2.8.3 ครูควรเนนยํ้าวาการ กําหนดโดเมนของฟงกชันตองพิจารณาบริบทของปญหาดวย เชน ตัวอยางท่ี 56 ซึ่ง กําหนดฟงกชันแสดงความสัมพันธระหวางพ้ืนท่ีและความกวางของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก จะไดว า 0 ไมอยใู นโดเมนของฟงกชันน้ี เนอื่ งจากความกวางของรปู ส่ีเหล่ยี มมมุ ฉากตอง มากกวา 0 หนวย และในตัวอยางที่ 59 ซึ่งกําหนดฟงกชันแทนรายไดตอวันของเจา ของ โรงแรม จะไดวา 0 อยูในโดเมนของฟงกชันนี้ เน่ืองจากเจาของโรงแรมอาจไมขึ้นราคา คา หอ งพกั ตอวัน สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 122 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 ปฏิยานุพันธแ ละปริพนั ธไ มจ ํากัดเขต ประเดน็ สําคัญเกี่ยวกบั เนอ้ื หาและสิง่ ท่คี วรตระหนกั เกี่ยวกบั การสอน • ในการหาปฏยิ านุพนั ธของฟงกช ัน f ที่กําหนดให นักเรียนอาจหาปฏิยานุพันธของฟงกชัน f ไดแตกตางกัน ครูควรใหนักเรียนตรวจสอบคําตอบที่ไดโดยหาอนุพันธของคําตอบที่ได แลวพิจารณาวาเทากับฟงกชัน f หรือไม เชน นักเรียนอาจตอบวาปฏิยานุพันธของ 2x − 1 คือ x2 + 1 + c หรือ x2 + x−1 + c เมื่อ c เปนคาคงตัว ทั้งน้ี ครูควรช้ีแนะ x2 x ใหนกั เรยี นตรวจสอบโดยหาอนพุ ันธข องปฏยิ านพุ ันธทไ่ี ด ซ่งึ จะไดวา d  x2 + 1 + c  = 2x − 1 dx  x  x2 d x2 + x−1 + c 1 dx x2 ( )และ = 2x − จะเหน็ วา อนพุ นั ธของคําตอบท้งั สองเทากัน ซง่ึ เทากับ 2x − 1 x2 • การหาปฏิยานุพันธของ 1 หรือ x−1 ไมสามารถทําไดโดยใชสูตรท่ี 2 ท้ังนี้นักเรียนจะได x ศึกษาในระดับอดุ มศึกษาตอไป • ตัวอยางท่ี 74 ขอ 3) จะไดคําตอบจากการแกสมการกําลังสองเปน t = 0 หรือ t = 4 แต t = 0 คอื เวลาเริม่ ตนโยนวัตถุไมใชเวลาทีว่ ตั ถุตกถึงพื้นดนิ ดังนั้นเม่ือเวลาผานไป 4 วนิ าที วตั ถจุ ึงจะตกถึงพ้นื ดิน สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 123 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 ความเขาใจคลาดเคล่ือน นักเรียนอาจเขาใจผิดวา ∫ dy dx = ∫ dy dx = ∫ dy ท้ังน้ี ครูควรชี้แจงวา dy ไมใชเศษสวน dx dx dx แตเปนสัญลักษณท่ีใชแทนอนุพันธอันดับ 1 ของ y เทียบกับ x แต ∫ dy dx คือ การหา dx ปริพันธท่ีมี dy เปนปริพัทธ และมี dx เปนสัญลักษณท่ีบอกวาการหาปริพันธน้ีเทียบกับ dx ตวั แปร x ประเดน็ สาํ คญั เก่ยี วกบั แบบฝก หดั • การหาปริพันธไมจํากัดเขตของฟงกชันในแบบฝกหัด 2.9 ขอ 2 อาจตองจัดรูปฟงกชันท่ี กาํ หนดให กอนใชสูตรการหาปริพนั ธไมจํากัดเขต เชน ขอ 8) สามารถจดั รปู x2 (x − 3) ไดเปน x3 − 3x2 • แบบฝกหัด 2.9 ขอ 7 3) จะไดคําตอบจากการแกสมการกําลังสองเปน t = 3 หรือ t =17 ซึ่งเปนไปไดท้ัง 2 คําตอบ โดย t = 3 เปนเวลาท่ีวัตถุกําลงั เคล่ือนที่ขึ้นและอยูใน ตําแหนงท่ีสูงจากพ้ืนดิน 249.9 เมตร และ t =17 เปนเวลาท่ีวัตถุกําลังเคลื่อนที่ลงและ อยใู นตาํ แหนงทสี่ ูงจากพนื้ ดนิ 249.9 เมตร สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบื้องตน 124 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 ปรพิ ันธจํากัดเขตและพื้นทปี่ ดลอ มดวยเสนโคง ประเด็นสาํ คัญเกยี่ วกับเนื้อหาและสง่ิ ที่ควรตระหนกั เกี่ยวกบั การสอน • ครูอาจเริ่มตนการสอนเก่ียวกับพนื้ ทีป่ ดลอมดวยเสนโคงโดยยกตวั อยางการหาพื้นที่ปดลอม ดวยเสนตรง y = x , แกน X , เสนตรง x =1 ถึง x = 2 โดยใชสูตรหาพื้นท่ีของรูป เรขาคณิตท่ีนักเรียนเคยเรียนมาแลว จากนั้นจึงเปรียบเทียบกับการใชป ริพันธจํากัดเขต ดงั นี้ วิธีที่ 1 การหาพืน้ ทสี่ วนทีแ่ รเงาโดยใชสตู รหาพืน้ ที่ของรปู เรขาคณติ จะเห็นวา พ้ืนท่สี ว นท่ีแรเงาเปนพน้ื ท่ีของรปู ส่ีเหลย่ี มคางหมู ดังนน้ั พื้นทส่ี วนท่แี รเงา = 1 × ผลบวกของความยาวดา นคขู นาน× ความสงู 2 = 1 × (1+ 2) ×1 2 = 3 ตารางหนวย 2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู ัสเบื้องตน 125 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 วธิ ีท่ี 2 การหาพน้ื ทส่ี วนทแี่ รเงาโดยใชป ริพันธจ าํ กดั เขต จะได พ้ืนทสี่ ว นทีแ่ รเงา = 2 ∫ x dx 1 = x2 2 2 1 = 4−1 22 = 3 ตารางหนว ย 2 จะเห็นวา พ้ืนทท่ี ี่ไดจากการหาวธิ ที ี่ 1 เทา กบั วธิ ที ี่ 2 • ให A เปน พื้นที่ทปี่ ด ลอ มดว ยเสน โคง y = f (x) กับแกน X จาก a ถงึ b จะพบวา o ถา f (x) ≥ 0 สาํ หรบั ทุก x ∈[a, b] แลว b A = ∫ f ( x )dx a o ถา f (x) ≤ 0 สําหรบั ทกุ x ∈[a, b] แลว A= b −∫ f ( x )dx a o ถา c∈[a,b] ซึ่ง f ( x) ≥ 0 สําหรับทุก x∈[a,c] และ f ( x) ≤ 0 สําหรับทุก x ∈[c,b=] แลว A cb ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x )dx ac สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบื้องตน 126 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 2.3 แนวทางการจดั กจิ กรรมในหนังสือเรยี น กจิ กรรม : สรางถนนอยา งไรใหป ระหยดั งบ หมูบาน A และหมูบาน B อยูหางกัน 2 กิโลเมตร และหมูบานทั้งสองอยูหางจากถนนสาย หลัก 10 กิโลเมตร ดังรปู ถาตองการสรางถนนเชื่อมระหวางหมบู านท้ังสองเชื่อมกับถนนสายหลักโดยมีเง่ือนไขวาระยะ ทางจากแตล ะหมบู านไปยงั ถนนสายหลักตองเทากัน จะสรางถนนใหม ีความยาวสัน้ ท่ีสดุ เพ่ือให ประหยดั งบประมาณในการสรา งมากที่สุด ไดอ ยางไร ขนั้ ตอนการปฏิบตั ิ 1. นักเรยี นมีแนวคิดที่จะสรา งถนนอยางไร ใหส อดคลองกับเง่ือนไขขางตน 2. นําแผนผงั ของหมูบา นท้ังสองและถนนสายหลัก มาเขยี นลงในระบบพกิ ดั ฉาก โดยใหแ กน X แทนถนนสายหลัก จุด A(−1, 10) แทนตําแหนงของหมูบาน A และจุด B(1, 10) แทน ตาํ แหนง ของหมูบาน B 3. กาํ หนด c∈[0, 10] และจุด C เปน จดุ บนเสนตรง y = c จงหาพกิ ัดของจุด C ทท่ี ําให AC = BC 4. ใหจดุ D อยูบนแกน X จงหาพกิ ัดของจุด D ท่ีทาํ ให CD นอ ยท่ีสุด และจงหา CD ท่ีนอยท่ีสุดในรูปของ c สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 127 คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 5. จงหา c ทท่ี าํ ให AC + BC + CD นอ ยท่ีสุด และจงหา AC + BC + CD ทน่ี อยทีส่ ดุ 6. จากขอ 2 – 5 จงอธิบายวาจะสรางถนนเช่ือมระหวางหมูบานท้ังสองและเช่ือมกับถนนสาย หลักอยางไร ใหร ะยะทางจากแตละหมูบ านไปยังถนนสายหลักเทากัน และถนนมีความยาว สั้นท่ีสุด พรอมทั้งหาความยาวของถนนท่สี ั้นท่ีสุดและระยะทางจากแตละหมูบานไปยงั ถนนสายหลัก สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบื้องตน 128 คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 เฉลยกิจกรรม : สรา งถนนอยา งไรใหป ระหยดั งบ 1. คําตอบในขอน้ีเปนเพียงการคาดการณ นักเรียนสามารถตอบไดอยางอิสระ ท้ังนี้ นักเรียน สวนใหญอาจมีแนวคิดที่จะสรางถนนโดยเริ่มจากสรางถนนเช่ือมระหวา งหมูบา นท้ังสอง แลวสรางถนนอีกเสนจากจุดกึ่งกลางถนนเสนแรกไปตั้งฉากกับถนนเสนหลัก จะได ความยาวของถนนท้ังหมด 12 กิโลเมตร ซ่ึงยังไมใชถนนที่ส้ันท่ีสุด โดยนักเรียนจะได ศกึ ษาวิธีการหาถนนที่ส้ันท่ีสุดในขน้ั ตอนตอ ๆ ไป 2. นาํ แผนผงั ของหมบู านทัง้ สองและถนนสายหลกั มาเขยี นลงในระบบพกิ ัดฉากไดด งั นี้ 3. พิกดั ของจุด C คอื (0, c) 4. CD นอ ยทีส่ ดุ เมอื่ CD ตั้งฉากกบั แกน X ดงั นน้ั จดุ D ตองมีพกิ ัดเปน (0,0) และ CD ท่ีนอ ยที่สดุ คือ c กโิ ลเมตร 5. เน่อื งจาก AC + BC + CD= 2 1+ (c −10)2 + c ให f (c)= 2 1+ (c −10)2 + c เมื่อ c ∈[0,10] =ดงั นน้ั f ′(c) 2(c −10) +1 1+ (c −10)2 ถา f ′(c) = 0 แลว จะได 2(c −10) +1 =0 นั่นคือ =c 10 − 1 1+ (c −10)2 3 ดงั นั้น คาวกิ ฤตในชว งเปด (0,10) คือ 10 − 1 3 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบอ้ื งตน 129 คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 ตอ ไปคาํ นวณหา f (0), f 10 − 1 และ f (10) 3  จะได f (0) = 2 101 f 10 − 1  =10 + 3 3  f (10) = 12 สรุปไดวา =c 10 − 1 จะใหค าต่ําสุดสัมบูรณบ นชว ง [0,10] 3 และคา ตาํ่ สุดสัมบรู ณ คือ f 10 − 1  =10 + 3 ≈ 11.732 3  ดังนัน้ AC + BC + CD นอ ยทีส่ ดุ เมื่อ =c 10 − 1 3 และ AC + BC + CD ท่ีนอ ยท่สี ดุ คอื 10 + 3 ซ่ึงมคี า ประมาณ 11.732 6. จากรูป เนื่องจากจุด C มีพิกัดเปน  0, 10 − 1 ดังน้ัน จะตองสรางถนนจากแตล ะหมบู า น  3  มาเชื่อมกันที่จุดท่ีหางจากจดุ ก่ึงกลางระหวางหมูบานท้ังสอง (ซ่ึงมีพิกัดเปน (0, 10) ) เปน ระยะทาง 10 − 10 − 1  =1 กิโลเมตร หรือประมาณ 577 เมตร จากน้ัน สรางถนน 3  3 จากจดุ นีไ้ ปตงั้ ฉากกบั ถนนสายหลัก จึงจะทาํ ใหความยาวของถนนท่สี รางส้ันทส่ี ดุ โดยถนน ท่สี รางจะมคี วามยาวประมาณ 11.732 กิโลเมตร แตเนื่องจากระยะทางจากแตละหมบู านไป สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้อื งตน 130 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ยังจุด C มีความยาวประมาณ  − 10 − 1 2 +1 =2 กิโลเมตร หรือประมาณ 10 3  3  1.155 กโิ ลเมตร ดงั น้นั ระยะทางจากแตล ะหมบู า นไปยงั ถนนสายหลักมีความยาวประมาณ 11.732 −1.155 =10.577 กิโลเมตร สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 131 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 แนวทางการจัดกิจกรรม : สรา งถนนอยางไรใหประหยดั งบ เวลาในการจัดกิจกรรม 50 นาที กิจกรรมนี้เสนอไวใหนักเรียนใชความรู เรื่อง แคลคลู ัสเบ้ืองตน เพ่อื แกปญหาในสถานการณท่ี กาํ หนดให โดยกจิ กรรมนมี้ ีส่ือ/แหลงการเรยี นรู และขน้ั ตอนการดําเนินกจิ กรรม ดังนี้ สอ่ื /แหลงการเรียนรู 1. ใบกจิ กรรม “สรางถนนอยา งไรใหป ระหยดั งบ” 2. เคร่อื งคาํ นวณซ่ึงสามารถเขยี นกราฟได ข้ันตอนการดําเนินกิจกรรม 1. ครูจับคูนักเรียนแบบคละความสามารถ จากนั้นแจกใบกิจกรรม “สรางถนนอยางไรให ประหยัดงบ” ใหกบั นกั เรียนทกุ คน แลว ใหน ักเรียนศกึ ษาสถานการณป ญหา 2. ครคู วรนําอภิปรายเกีย่ วกับสถานการณปญ หาในใบกิจกรรมเพ่ือใหน ักเรียนทกุ คนเขาใจ ตรงกนั 3. ครใู หนักเรยี นตอบคําถามท่ีปรากฏในขั้นตอนการปฏิบตั ขิ อ 1 ในใบกิจกรรม 4. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายคําตอบท่ีไดในข้ันตอนการปฏิบัติขอ 1 – 3 โดยไมตอง คาํ นงึ ถึงความถูกตองของคําตอบ 5. ครูใหนักเรียนแตละคูรวมกันตอบคําถามที่ปรากฏในข้ันตอนการปฏิบัติขอ 2 – 6 ในใบ กิจกรรม ทั้งน้ีครูควรช้ีแนะใหนักเรียนใชเคร่ืองคอมพิวเตอรเปนเครื่องมือชวยในการ เขยี นกราฟและการคํานวณหาคา ประมาณ 6. ครูและนักเรียนรวมกนั อภิปรายเกย่ี วกับคาํ ตอบทไี่ ดในขนั้ ตอนการปฏิบัติขอ 2 – 6 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 132 คูมือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 2.4 การวดั ผลประเมนิ ผลระหวา งเรียน การวัดผลระหวางเรียนมีจุดมุงหมายเพ่ือปรับปรุงการเรียนรูและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเรื่องที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การให นักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหน่ึงท่ีครูอาจใชเพื่อประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ นักเรียน ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 ไดนําเสนอ แบบฝกหัดท่ีครอบคลุมเนื้อหาท่ีสําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทท่ี 2 แคลคูลัสเบื้องตน ครูอาจใชแ บบฝก หดั เพือ่ วัดผลประเมินผลความรใู นแตล ะเน้อื หาไดด ังนี้ เน้ือหา แบบฝก หดั การหาลิมิตของฟง กช นั จากตารางและกราฟ 2.1ก ขอ 1 – 7 การหาลิมติ ของฟง กชันโดยใชท ฤษฎีบทเกยี่ วกบั ลมิ ิต 2.1ข ขอ 1 – 6 การพจิ ารณาความตอ เน่ืองของฟง กช นั ทจ่ี ดุ 2.2 ขอ 1, 5 การพิจารณาความตอ เน่ืองของฟง กช ันบนชวง 2.2 ขอ 2 – 4 อัตราการเปล่ยี นแปลงเฉลี่ยและการหาอนุพันธข องฟงกช นั โดยใช 2.3 ขอ 1 – 12 บทนยิ าม การหาอนพุ นั ธของฟงกช ันโดยใชส ตู ร 2.4 ขอ 1 – 7 การหาอนพุ นั ธของฟงกช นั ประกอบ 2.5 ขอ 1 – 7 การหาความชนั ของเสน โคง และเสนสมั ผสั เสน โคง 2.6 ขอ 1 – 11 การหาอนพุ นั ธอ นั ดับสูง 2.7 ขอ 1 – 5 การประยุกตของอนุพันธเ ก่ียวกบั การเคล่ือนท่ีแนวตรง 2.8.1 ขอ 1 – 4 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 133 คูม อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 เน้อื หา แบบฝกหัด การประยุกตข องอนุพันธเกี่ยวกับคาสงู สุดและคาต่ําสุดของฟง กช นั 2.8.2 ขอ 1 – 4 การแกโ จทยป ญ หาเกี่ยวกบั คาสูงสดุ และคาตํา่ สดุ 2.8.3 ขอ 1 – 16 การหาปฏยิ านุพันธและปริพนั ธไ มจํากัดเขต และการแกโจทยป ญหา 2.9 ขอ 1 – 12 โดยใชความรเู ก่ยี วกับปฏยิ านุพันธและปริพนั ธไ มจ ํากัดเขต การหาปริพันธจํากัดเขตและการแกโจทยปญหาโดยใชความรู 2.10 ขอ 1 – 2 เก่ยี วกับปรพิ ันธไมจ ํากัดเขต การหาพื้นทปี่ ดลอ มดว ยเสน โคง 2.11 ขอ 1 – 4 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบอ้ื งตน 134 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 2.5 การวิเคราะหแบบฝกหัดทายบท หนงั สอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 มีจุดมุงหมายวาเม่ือนักเรียน ไดเรยี นจบบทท่ี 2 แคลคลู สั เบือ้ งตน แลว นักเรียนสามารถ 1. หาลมิ ติ ของฟง กชนั ที่กาํ หนดให 2. ตรวจสอบความตอเนอื่ งของฟงกชนั ทก่ี าํ หนดให 3. หาความชนั ของเสน โคง 4. หาอนุพันธของฟง กช นั ทก่ี าํ หนดใหแ ละนาํ ไปใชแกปญหา 5. หาปริพันธไมจ ํากัดเขตและจํากัดเขตของฟงกช ันท่กี าํ หนดให และนาํ ไปใชแกป ญ หา ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 ไดนําเสนอแบบฝกหัด ทา ยบททป่ี ระกอบดว ยโจทยเ พ่ือตรวจสอบความรูห ลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพื่อวัดความรูความ เขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ซ่ึงประกอบดวยโจทยฝกทักษะหรือโจทยที่มีความนาสนใจ และโจทยทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตาม จุดมุงหมายของบทเพื่อตรวจสอบวานักเรียนมีความสามารถตามจุดมุงหมายเมื่อเรียนจบ บทเรยี นหรือไม ทงั้ นี้ แบบฝกหัดทายบทแตล ะขอในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 บทท่ี 2 แคลคลู สั เบื้องตน สอดคลองกับจุดมงุ หมายของบทเรียน ดงั น้ี จดุ มุงหมาย แบบฝก หดั ทา ยบทขอ ท่ี 1. หาลมิ ิตของฟงกช นั ทก่ี าํ หนดให 1 1) – 8) 2 1) – 6) 3 1) – 4) 9* 10 1) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 135 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 จดุ มงุ หมาย แบบฝกหดั ทา ยบทขอ ที่ 2. ตรวจสอบความตอ เน่ืองของฟงกช ันท่กี าํ หนดให 4 1) – 4) 3. หาความชนั ของเสนโคง 5 1) – 4) 4. หาอนพุ นั ธข องฟง กช นั ทก่ี าํ หนดใหและนาํ ไปใชแกปญหา 6 1) – 4) 7 1) – 2) 8 9* 10 2) 12 1) – 2) 15 1) – 2) 16 17 19 20 13 1) – 4) 14 1) – 10) 18 21 22 23 24 25 26 27 1) – 4) สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน 136 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 จุดมุง หมาย แบบฝกหดั ทา ยบทขอ ที่ 4. หาอนพุ นั ธของฟงกช ันที่กําหนดใหและนําไปใชแกป ญหา (ตอ ) 28 1) – 3) 5. หาปรพิ นั ธไ มจ าํ กดั เขตและจํากดั เขตของฟงกช ันที่กาํ หนดให 29 1) – 2) และนาํ ไปใชแกปญหา 30 1) – 4) 31 32 1) – 2) 33 34 35 36 1) – 2) 37 1) – 4) 38 1) – 2) 39 40 44 45 1) – 8) 46 47 1) – 2) 48 1) – 2) 50 51 52 53 1) – 3) 55 1) – 4), 6) – 7) สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 137 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 จุดมงุ หมาย แบบฝก หัดทา ยบทขอที่ 5. หาปริพันธไมจาํ กัดเขตและจาํ กดั เขตของฟง กชนั ท่ีกาํ หนดให 56 1) – 3) และนําไปใชแ กปญหา (ตอ) 57 58 โจทยฝกทักษะ/โจทยที่มคี วามนาสนใจ 59 โจทยทาทาย 60 62 1) – 2) 63 1) – 2) 64 11 49 41 42 43 1) – 2) 54 55 5), 8) 61 หมายเหตุ แบบฝก หัดทายบทขอ 9 สอดคลองกับจดุ มุง หมายของบทเรียนมากกวา 1 จุดมงุ หมาย สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 138 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 2.6 ความรูเ พมิ่ เตมิ สําหรบั ครู ความรูเพ่ิมเติมสําหรับครูที่จะกลาวถึงในคูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 บทท่ี 2 แคลคลู สั เบ้ืองตน มี 3 หวั ขอ ไดแก 1. การพิสูจนทฤษฎีบทเก่ียวกับแคลคูลัสที่กลาวถึงแตไมไดแสดงการพิสูจนไวใน หนังสอื เรยี นรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 2. ความสัมพนั ธระหวา งอนพุ ันธแ ละความตอเนื่องของฟง กช นั f ทจ่ี ุด c 3. ปรพิ ันธไมต รงแบบ (Improper Integral) โดยมีรายละเอียดในแตละหัวขอ เปน ดังน้ี การพิสูจนทฤษฎีบทเกยี่ วกับแคลคลู ัสที่กลา วถึงในหนงั สอื เรยี น หวั ขอนแ้ี บง การนาํ เสนอเปน 2 สว น ไดแก สว นท่ี 1 ทฤษฎีบท บทนิยาม และบทแทรกทใ่ี ชใ นการพิสจู น สวนท่ี 2 แนวทางการพิสูจนทฤษฎีบทในหนงั สอื เรยี น โดยมีรายละเอยี ดในแตล ะสวนเปน ดงั น้ี สวนที่ 1 ทฤษฎบี ท บทนยิ าม และบทแทรกท่ีใชในการพิสจู น • ทฤษฎีบท i ให a และ b เปน จาํ นวนจรงิ ใด ๆ 1. a − b = b − a 2. a + b ≤ a + b (อสมการสามเหลี่ยม : Triangle Inequality) 3. a − b ≤ a + b 4. a − b ≤ a − b • ทฤษฎีบท ii ให x และ a เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ และ n เปน จาํ นวนเตม็ บวก แลว ( )xn − an = ( )x − a ⋅ xn−1 + axn−2 + a2 xn−3 + ... + an−1 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี