mathm6_1

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 489 10. 1) 1.1 lim f ( x) = −1 x→−3− 2) 11. 1) 1.2 lim f ( x) = 1 x→−3+ 1.3 lim f ( x) ไมมีคา เน่ืองจาก lim f ( x) ≠ lim f ( x) x→−3 x→−3− x→−3+ 1.4 lim f ( x) = −2 x→−1 1.5 lim f ( x) = −2 x→0 1.6 f (2) = 3 1.7 lim f ( x) = 1 x→2 1.8 f (4) = 3 1.9 lim f ( x) ไมม ีคา เนื่องจาก lim f ( x) = 4 ≠ 3 = lim f ( x) x→4 x→4− x→4+ 2.1 ไมม ีคา เนือ่ งจาก lim x2 มคี า x→4 และ ถา (lim x2 + f ( x)) มีคาแลว จะทาํ ให x→4 lim f ( x=) (lim x2 + f ( x) − )x2= (lim x2 + f ( x)) − lim( x2 ) มีคา ดว ย x→4 x→4 x→4 x→4 ซ่งึ ขดั แยง กบั ขอ 1.9 2.2 ควรนยิ ามคาของ f (−1) =− 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

490 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 2) 3) 3.1 เนอ่ื งจาก ( )limf1 x = lim x2 − 4 x→−2 x + 2 x→−2 = (x − 2)(x + 2) lim x→−2 x+2 = lim ( x − 2) x→−2 = −4 และ f1 (−2) ไมม ีคา ดังนั้น f1 เปน ฟง กช นั ไมต อเนื่องแบบขจัดไดท ี่ x = −2 เน่ืองจาก ( )limf2 x = lim (−x) x→0− x→0− =0 และ ( )lim f2 x = lim x x→0+ x→0+ =0 ดังน้นั lim f2 ( x) = 0 x→0 เนื่องจาก f2 (0) = 1 ดงั นั้น f2 (0) ≠ lim f2 ( x) x→0 ดังน้ัน f2 เปนฟงกช ันไมตอเน่ืองแบบขจดั ไดที่ x = 0 3.2 ตอ งนิยามคา ของ f1 (x) ท่ี x = −2 โดยนยิ ามให f1 ( −2 ) =lim f1 ( x) =− 4 x→−2 ตองนยิ ามคา ของ f2 ( x) ท่ี x = 0 ใหม โดยนิยามใ=ห f2 (0) lxi=→m0 f2 ( x) 0 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 491 12. 1) ตัวอยางกราฟของฟงกชันทส่ี อดคลอง 2) ตัวอยา งกราฟของฟง กชนั ทีส่ อดคลอง สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

492 คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 13. ใ=ห y f=( x) 1 จะได อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทยี บกับ x เมื่อ x เปลย่ี น x2 จาก a เปน a + h คือ f (a + h)− f (a) (a 1 − 1 a2 = + h)2 hh −2ah − h2 = ha2 (a + h)2 = −2a − h a2 (a + h)2 1) อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลยี่ ของ y เทียบกับ x เม่อื x เปลย่ี นจาก 2 เปน 3 คอื f (2 +1) − f (2) −2(2) −1 1 = 22 (2 +1)2 = −5 36 2) อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉล่ยี ของ y เทยี บกับ x เม่ือ x เปลยี่ นจาก 2 เปน 2.1 คอื f (2 + 0.1) − f (2) −2(2) − 0.1 0.1 = 22 (2 + 0.1)2 = − 4.1 17.64 = − 205 882 3) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลีย่ ของ y เทยี บกบั x เมอ่ื x เปล่ียนจาก 2 เปน 2.01 คือ f (2 + 0.01) − f (2) −2(2) − 0.01 0.01 = 22 (2 + 0.01)2 = − 4.01 16.1604 ≈ −0.25 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 493 4) อตั ราการเปล่ียนแปลงของ y เทยี บกบั x ขณะที่ x = 2 คือ 14. 1) f (2 + h) − f (2) lim −2(2) − h 2) lim = h→0 22 ( 2 + h )2 h→0 h −2(2) − 0 = 22 (2 + 0)2 = −1 4 เนื่องจาก y= x3 + x − 2 x จะได 32 = ให y′ = x3 + x 1 จะได = 32 − 2x2 = u= d  x3 + x − 1  dx  3 2  2x2 3x2 + 1 − 2  1  x − 1 3 2  2  2 x2 + 1 − 1 2x x2 + 3x − 4 y = u3 ดงั นน้ั y′ = dy ⋅ du du dx ( )= d (u)3 ⋅ d x2 + 3x − 4 du dx = 3u2 ⋅ (2x + 3) ( )= 3 x2 + 3x − 4 2 (2x + 3) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

494 คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 3) ให u = 4x2 − 5x + 7 จะได ดงั นน้ั y = u−5 4) วธิ ีท่ี 1 y′ = dy ⋅ du du dx ( )= d (u)−5 ⋅ d 4x2 − 5x + 7 du dx = −5u−6 ⋅ (8x − 5) ( )= −5 4x2 − 5x + 7 −6 (8x − 5) เนือ่ งจาก y = x2 (2x +1)3 = 8x5 +12x4 + 6x3 + x2 ( )จะได y′ = d 8x5 +12x4 + 6x3 + x2 dx = 8 d ( x5 ) +12 d ( x4 ) + 6 d ( x3 ) + d ( x2 ) dx dx dx dx = 8(5x4 ) +12(4x3 ) + 6(3x2 ) + (2x) วิธีท่ี 2 = 40x4 + 48x3 + 18x2 + 2x เนื่องจาก y = x2 (2x +1)3 ( )จะได y′ = d x2 (2x +1)3 dx ( ) ( )= x2 d (2x +1)3 + (2x +1)3 d x2 dx dx ( )= x2 d (2x +1)3 + (2x +1)3 (2x) dx ให u = 2x +1 ( )จะได d (2x +1)3 = d (u3 )⋅ d (2x +1) dx du dx = (3u2 )(2) = 6(2x +1)2 y′ = x2 d (2x +1)3 + (2x +1)3 (2x) ( )ดังนัน้ dx ( )= x2 6(2x +1)2 + (2x +1)3 (2x) = (2x)(2x +1)2 (3x + 2x +1) สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 495 = (2x)(2x +1)2 (5x +1) = 40x4 + 48x3 + 18x2 + 2x 5) วิธีท่ี 1 เนื่องจาก y= (2x +1)2 (1− x)3 วิธีที่ 2 x4 = x−4 + x−3 − 5x−2 − x−1 + 8 − 4x จะได ( )y′ = d x−4 + x−3 − 5x−2 − x−1 + 8 − 4x dx เนอ่ื งจาก จะได = − 4x−5 − 3x−4 +10x−3 + x−2 + 0 − 4 = − 4 − 3x +10x2 + x3 − 4x5 x5 y = (2x +1)2 (1− x)3 x4 y′ = d  ( 2 x + 1)2 (1 − x )3  dx   x4 ( ) ( )x4 d (2x +1)2 (1− x)3 − (2x +1)2 (1− x)3 d x4 = dx dx (x4 )2 ( ) ( )x4 d (2x +1)2 (1− x)3 − (2x +1)2 (1− x)3 4x3 = dx x8 ( ) ( ) ( )จาก d (2x +1)2 (1− x)3 = (2x +1)2 d (1− x)3 + (1− x)3 d (2x +1)2 dx dx dx ให u = 1− x และ v = 2x +1 ( )จะได ( )d (1− x)3 = d u3 ⋅ d (1− x) dx du dx = (3u2 )(−1) = −3(1− x)2 ( )และ d (2x +1)2 = d (v2 )⋅ d (2x +1) dx dv dx = (2v)(2) = 4(2x +1) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

496 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 ( ) ( )จะได d (2x +1)2 (1− x)3 = (2x +1)2 −3(1− x)2 + (1− x)3 (4(2x +1)) dx = (1−10x)(1− x)2 (2x +1) ( )x4 d (2x +1)2 (1− x)3 − (2x +1)2 (1− x)3 4x3 ( )ดังนน้ั y′ = dx x8 ( )x4 (1−10x)(1− x)2 (2x +1) − (2x +1)2 (1− x)3 4x3 = x8 =− ( )(2x +1)( x −1)2 2x2 + 3x + 4 x5 = − 4 − 3x +10x2 + x3 − 4x5 x5 6) ให u = 6x +1 2 − 3x จะได y = u5 ดังน้นั y′ = dy ⋅ du du dx = d ( u )5 ⋅ d  6 x +1  du dx  2 − 3x  = 5u 4 ⋅ d  6 x +1  dx  2 − 3x   6 x +1 4 ( 2 − 3x ) d ( 6 x +1) − (6x + 1) d ( 2 − 3x )  2 − 3x  dx (2 − 3x )2 dx = 5 ⋅ = 5  6 x +1 4 ⋅ ( 2 − 3x ) ( 6) −(6x + 1) ( −3 )  2 − 3x  ( 2 − 3x )2 = 5  6 x +1 4 ⋅ ( 15 )2  2 − 3x  − 3x 2 75(6x +1)4 = (2 − 3x )6 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 497 1 7) เนอื่ งจาก y = x = x2 ( x +1)3 ( x +1)3  1 d  x2  จะได y′ =   dx  ( + 1)3  x ( ) ( )=(x + 1)3 d  1  − 1 d ( x +1)3 dx   dx x2 x2 ( x +1)3 2 ( )=  1 − 1  1 d ( x + 1)3  2 2  − x 2 dx ( x +1)3 x ( x +1)6 ให u = x +1 ( )จะได ( )d ( x +1)3 = d u3 ⋅ d ( x +1) dx du dx = (3u2 )(1) = 3( x +1)2 ( )จะได + 1)3  1 −1  1 ( x  2  − x 2 3( x +1)2 x2 y′ = ( x +1)6 ( x + 1)2  ( x + 1)  1 −1  − 3x 1    2  2  x2 = ( x +1)6 (x + 1)2  1 1 + 1 −1 1   2 2  x2 x2 − 3x2 = ( x +1)6  1 −1 − 5 1   2 2  x2 x2 = ( x +1)4 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

498 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 = 1 − 5x 2 x ( x +1)4 2( x +1)4 1− 5x = 2 x ( x +1)4 8) วธิ ีที่ 1 เนื่องจาก y= x −1 x + 2x −1 (2x −1) − x = x + 2x −1 ( 2x −1+ x)( 2x −1− x) = x + 2x −1 = 2x −1 − x 11 = (2x −1)2 − x2 จะได y′ = d  (2x 1 − 1  dx   − 1) 2 x2 = d  ( 2 x − 1) 1  − d  x 1  dx  2  dx  2  = d  (2x 1  − 1 −1 dx   2 − 1) 2 x2 ให u = 2x −1 จะได d  (2x 1  = d  u 1  ⋅ d ( 2 x − 1) dx   du  2  dx − 1) 2 =  1 u − 1  ( 2 )  2 2  =1 2x −1 จะได y′ = 1 − 1 −1 2x −1 2 x2 = 1 −1 2x −1 2 x สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 499 วธิ ีท่ี 2 เน่ืองจาก y= x −1 จะได x + 2x −1 y′ = d  x −1  dx  x + 2x −1  ( ) ( )x + 2x −1 d ( x −1) − ( x −1) d x + 2x −1 dx dx 2 ( )= x + 2x −1  d x +d   dx dx  ( ) ( ) ( )=x+ 2x −1 (1) − ( x −1) 2x −1 ( )x + 2x −1 2 ให u = 2x −1 ( )จะได d d  ( − 1) 1  dx dx  2  2x −1 = 2 x = d  u 1  ⋅ d ( 2 x − 1) du  2  dx =  1 u − 1  ( 2)  2 2  =1 2x −1 ( )และ d x = d  x 1  dx dx  2  = 1 −1 2 x2 =1 2x  d x +d   dx dx  ( ) ( ) ( )จะได x+ 2x −1 − ( x −1) 2x −1 y′ = ( )x + 2x −1 2 2x −1 − ( x −1) 2 1 x + 1 ( )= x+ 2x −1  ( )x + 2x −1 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

500 คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 9) เนื่องจาก y= 1 = ( )x4 −1 ให 4 x4 − 6x3 + 3 − 6x3 +3 4 u = x4 − 6x3 + 3 จะได −1 y = u4 ดังนนั้ ( )y′ = d  −1  d 10) เนื่องจาก du  u 4  ⋅ dx x4 − 6x3 + 3 ( )= 1 −5 − ⋅ 4x3 −18x2 4 u4 ( ) ( )= −1 −5 x4 − 6x3 +3 4 ⋅ 4x3 −18x2 4 ( )y = 1  x5 1 −5  x3 − x 3 5= + 2 ( )x5 + x3 − x 3   1 u = x5 + x3 − x 2 ( )ให จะได −5 y = u3 ดังนั้น ( )y′ = d  −5  d  x5 1 ให du  u 3  ⋅ dx  + x3 − x 2  ( ) ( )=  5 −8   d d  1   − 3 u 3   dx x5 + dx  x3 − x 2   ( ) ( )= 5  1 −83  d  1  − 3  x5 + x3 − x 2   5x4 + dx  x3 − x 2   v = x3 − x ( ) ( )จะไดd  1 d  1  d dx  x3 − x 2  = dv  v 2  ⋅ dx x3 − x ( )=  1 −1   2  3x2 −1 v2 ( ) ( )= 1 −1 x3 − x 2 3x2 −1 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 501 ดงั นน้ั ( ) ( )y′5 1 −83  d  1  = − 3  x5 + x3 − x 2   5x4 + dx  x3 − x 2   5  1 − 8  1 −1  3  2 3  2 2  ( ) ( ) ( )= − x5 + x3 − x  5x4 + x3 − x 3x2 −1 15. 1) ให f ( x) = x3 − 3x2 + 4 จะได f ′(=x) 3x2 − 6x เมอื่ x = −1 จะได f (−1) =(−1)3 − 3(−1)2 + 4 =0 และ f ′(−1) = 3(−1)2 − 6(−1) = 9 ดงั น้นั ความชนั ของเสนโคง ที่จดุ (−1, 0) คือ 9 สมการของเสน ตรงทผ่ี านจดุ ( x1, y1) และมคี วามชัน m คอื y − y1= m( x − x1) เนอ่ื งจากเสน สัมผัสเสน โคงทจี่ ุด (−1, 0) ทีม่ ี x = −1 เปน เสน ตรงทผ่ี า นจุด (−1, 0) และมีความชัน 9 ดงั นั้น สมการของเสนสัมผสั เสนโคง ที่จุด (−1, 0) ทมี่ ี x = −1 คอื y −=0 9(x − (−1)) นั่นคอื =y 9x + 9 2) ให f ( x) = x2 − 2 3x − 5 จะได f ′(x) = (3x − 5)(2x) − (x2 − 2)(3) (3x − 5)2 ( )=ดงั นัน้ f ′(4) (3(4) − 5)(2(4)) − (4)2 − 2 (3) 2 = (3(4) − 5)2 7 น่นั คอื ความชนั ของเสนโคง ท่ีจุด (4, 2) คอื 2 7 สมการของเสน ตรงทีผ่ านจดุ ( x1, y1) และมคี วามชัน m คือ y − y1= m( x − x1) เนอ่ื งจากเสนสมั ผัสเสนโคงท่จี ุด (4, 2) เปน เสน ตรงทผ่ี า นจดุ (4, 2) และมคี วามชัน 2 7 ดังน้นั สมการของเสนสมั ผัสเสน โคงทจ่ี ดุ (4, 2) คอื y − 2= 2 (x − 4) 7 นัน่ คือ=y 2 x + 6 77 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

502 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 16. ฟงกชัน f จะมีเสนสัมผัสเสนโคง ทจี่ ดุ (0, 2) กต็ อ เมอื่ lim f (0 + h) − f (0) หาคาได h→0 h เนื่องจาก f (0 + h) − f (0) (0 + h) − 2 − 2 lim = lim h→0− h h→0− h = lim h−2 −2 h→0− h = −(h − 2) − 2 lim h→0− h = lim −h + 2 − 2 h→0− h = lim (−1) h→0− = −1 ( )และ f (0 + h) − f (0) 2 − 2(0 + h) − (0 + h)2 − 2 lim = lim h→0+ h h→0+ h = −2h − h2 lim h→0+ h = lim (−2 − h) h→0+ = −2 จะไดว า lim f (0 + h) − f (0) f (0 + h) − f (0) h→0− ≠ lim h h→0+ h นัน่ คอื lim f (0 + h) − f (0) หาคา ไมได h→0 h ดังนน้ั ฟง กช ัน f ไมมีเสน สมั ผัสเสน โคง ท่ีจุด (0,2) 17. ให f ( x) = 2x2 +11x +15 จะได f ′( x=) 4x +11 และ f ′(−3) =4(−3) +11 =−1 น่นั คือ ความชนั ของเสน สมั ผัสเสนโคงทจ่ี ดุ (−3,0) คอื −1 เนอื่ งจากเสนตรง =y mx + c ตั้งฉากกบั เสน สมั ผสั เสนโคงที่จดุ (−3,0) จะได m ⋅(−1) = −1 นน่ั คือ m = 1 เน่อื งจาก (−3,0) เปน จดุ อยบู นเสน ตรง =y mx + c ดังนน้ั 0= (1)(−3) + c จะได c = 3 ดังน้ัน c − m = 3 −1 = 2 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 503 18. เนอ่ื งจาก f (x) = x2 + 3 จะได f ′(x) = x +1 = = d  x2 + 3    dx  x +1  ( x +1) d ( x2 + 3) − ( x2 + 3) d ( x +1) dx dx ( x +1)2 ( x +1)(2x + 0) − ( x2 + 3)(1+ 0) ( x +1)2 x2 + 2x −3 = ( x +1)2 ดงั นนั้ f ′(0) = 02 + 2(0) − 3 และ (0 +1)2 = −3 f ′(1) = 12 + 2(1) − 3 (1 + 1)2 =0 19. จาก x2 + y2 =4 จะได y 1 ( )= ± 4 − x2 2 เนอ่ื งจากจุดทีต่ องการหาความชันคอื (1, − 3) ดงั น้ันตอ งใชส มการ y = 1 ( )− 4 − x2 2 ตอไปจะหาเสน สมั ผสั เสนโคง (1 ที่จดุ 1, − 3) ( )y =− 4 − x2 2 ให u = 4 − x2 จะได 1 y = −u 2 ดงั น้ัน ( )dy = d  1  d du  2  dx dx   −u ⋅ 4 − x2 =  − 1 u − 1  ( −2 x )  2 2    x = 4 − x2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

504 คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 จะได dy = 1 dx x=1 4 −12 =1 3 ดังนน้ั ความชันของเสน โคงที่จดุ (1, − 3) คอื 1 3 สมการของเสนตรงที่ผา นจดุ ( x1, y1) และมคี วามชัน m คอื y − y1= m( x − x1) เน่ืองจากเสนสมั ผัสเสน โคง ทจ่ี ุด (1, − 3) เปนเสนตรงทผ่ี า นจดุ (1, − 3) และมีความชนั 1 3 ดังนัน้ สมการของเสนสัมผัสเสน โคง ที่จดุ (1, − 3) คือ y − (− =3) 1 (x −1) 3 น่ันคอื=y 1 x − 4 33 ดงั นั้น สมการของเสนสมั ผสั วงกลม x2 + y2 =4 ที่จดุ (1, − 3) ค=อื y 1 x − 4 33 20. จาก y = x3 + ax2 + b จะได dy = 3x2 + 2ax ดงั น้ัน dx dy = 3(−1)2 + 2a (−1) dx x=−1 = 3 − 2a น่ันคอื ความชันของเสน โคงทจ่ี ดุ (−1, 3) คือ 3 − 2a เน่อื งจากเสนสมั ผัสเสนโคง ที่จุด (−1, 3) ตั้งฉากกับเสนตรง 3y = x ซ่งึ มีความชนั 1 และ 3 เสนตรงสองเสน ที่ตั้งฉากกันจะมผี ลคณู ของความชันของเสนตรงสองเสนนั้นเปน −1 ดงั นั้น เสนสมั ผัสเสน โคง ท่จี ดุ (−1, 3) จะตองมีความชันเปน −3 นน่ั คอื dy = −3 dx x=−1 3 − 2a = −3 จะได a = 3 เนื่องจาก จุด (−1, 3) อยูบนเสน โคง y = x3 + 3x2 + b จะได 3 = (−1)3 + 3(−1)2 + b สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 505 ดังนน้ั b = 1 น่นั คอื สมการของเสนโคง คือ y = x3 + 3x2 +1 เม่ือ x = 1 จะได y = 13 + 3⋅12 +1 = 5 ดงั น้นั พิกัดของจดุ ตดั ของเสนโคงนก้ี ับเสน ตรง x =1 คอื (1, 5) 21. วธิ ีที่ 1 ให a = 3x + 5 จะได x = 1 (a − 5) 3 จาก f (3x + 5) = x2 − x +1 จะได f (a) =  1 (a − 5) 2 − 1 (a − 5) +1 ดงั นน้ั  3  3 = 1 a2 − 13 a + 49 9 99 f ′(a) = d  1 a2 − 13 a + 49  da  9 9 9  = 2 a − 13 99 f ′′(a) = d  2 a − 13  da  9 9  = 2 9 และ f ′′′(a) = d 2 da  9  =0 จะได f ′(2) = 2 (2) − 13 = −1 99 f ′′(2) = 2 9 และ f ′′′(2) = 0 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

506 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 วธิ ที ี่ 2 จาก f (3x + 5) = x2 − x +1 จะได d ( f (3x + 5)) = d ( x2 − x +1) dx dx f ′(3x + 5)⋅ d (3x + 5) = 2x −1 dx f ′(3x + 5)⋅3 = 2x −1 f ′(3x + 5) = 2 x − 1 33 ดงั น้ัน d ( f ′(3x + 5)) = d  2 x − 1  dx  3 3  dx f ′′(3x + 5) ⋅ d (3x + 5) = 2 dx 3 f ′′(3x + 5) ⋅ 3 = 2 3 f ′′(3x + 5) = 2 9 และ d ( f ′′(3x + 5)) = d 2 dx  9  dx f ′′′(3x + 5) ⋅ d (3x + 5) = 0 dx f ′′′(3x + 5) ⋅ 3 = 0 f ′′′(3x + 5) = 0 เนอ่ื งจาก 3x + 5 =2 เมื่อ x = −1 ดังนน้ั f ′(2) =f ′(3(−1) + 5) =2 (−1) − 1 =−1 33 f ′′(=2) f ′′(3(−1) +=5) 2 9 และ f ′′′(=2) f ′′′(3(−1) +=5) 0 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 507 22. สมมติวา พหุนามดีกรีสามทตี่ อ งการคือ P( x) = ax3 + bx2 + cx + d จะได P′( x) = 3ax2 + 2bx + c และ P′′(=x) 6ax + 2b เน่ืองจาก P′(0) = 5 จะไดวา 5 = 3a(0)2 + 2b(0) + c นน่ั คอื c = 5 เนือ่ งจาก P′′(1) = 2 จะไดว า =2 6a + 2b ----- (1) เน่ืองจาก P′′(2) = 9 จะไดวา =9 12a + 2b ----- (2) จาก (1) และ (2) จะได a = 7 และ b = − 5 62 ดังนน้ั P( x)= 7 x3 − 5 x2 + 5x + d 62 เนอ่ื งจาก P(−1) =2 จะไดว า 2 = 7 (−1)3 − 5 (−1)2 + 5(−1) + d 62 นน่ั คอื d = 32 3 ดงั น้นั พหุนามดีกรสี ามท่ีตองการ คือ P( x)= 7 x3 − 5 x2 + 5x + 32 62 3 23. เนื่องจาก F (x) = g( f (x)) โดยกฎลกู โซ จะได F′( x) = g′( f ( x)) ⋅ f ′( x) ดังนน้ั F′( g (3)) = g′( f ( g (3))) ⋅ f ′( g (3)) เนือ่ งจาก g (3) = 3, g′(3) = 5, f (3) = 3, f ′(3) = −2 จะได F′( g (3)) = g′( f (3)) ⋅ f ′(3) = g′(3) ⋅ (−2) = 5(−2) 24. เนือ่ งจาก = −10 โดยกฎลกู โซ จะได F (x) = f (g(x)) F′(x) = f ′(g(x))⋅ g′(x) เนื่องจาก f (x) = (g (x))2 − 4x โดยกฎลูกโซ จะได f ′( x) = 2( g ( x)) ⋅ g′( x) − 4 ทําใหไ ดว า f =′(1) 2( g (1)) ⋅ g′(1) =− 4 2(1)(5) =− 4 6 ดังนน้ั F′(1) = f ′( g (1)) ⋅ g′(1) = f ′(1) ⋅5 = 6× 5 = 30 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

508 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 25. ให u = x⋅ g(x)+ g2 (x) จะได 3 f (x) = u2 ดงั นั้น ( )f ′( x) =d  3  d เนื่องจาก du  u 2  ⋅ dx x⋅g(x)+ g2 (x)   ( )=  3 1   d ( )) d   2 u 2   dx x ⋅ g ( x + dx g2 (x)    = 3 x ⋅ g ( x ) + g 2 ( x)  d ( x ⋅ g ( x)) + d ( g 2 ( x ))  2  dx dx  d (x⋅ g(x)) = x d (g(x))+ g(x) d (x) dx dx dx = x⋅ g′(x) + g (x) และ d ( g2 ( x)) = (2g ( x))⋅ d ( g ( x)) dx dx = 2g(x)⋅ g′(x) ดังนน้ั f ′(x) = 3 x⋅ g(x) + g2 (x)(x⋅ g′(x) + g(x) + 2g(x)⋅ g′(x)) จะได 2 26. จาก f ′(6) = 3 6⋅ g(6) + g2 (6) (6⋅ g′(6) + g(6) + 2g(6)⋅ g′(6)) 2 = 3 6 ⋅ 2 + 22  6 ⋅ 1 + 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1  2  2 2  = 42 D(x) = 2x3 +1 x6 จะได D(1) = 2(1)3 +1 3 = 16 และ D(10) = 2(10)3 +1 2, 001 = 106 1, 000 2x=3 + 1 1 x6 2x−3 + x−6 2 ( )ตอ ไปหา D′(x) จาก D=( x) ให u = 2x−3 + x−6 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 509 จะได ( )D′( x) d  1  d ดังน้นั = du  u 2  ⋅ dx 2x−3 + x−6 ( )= 1 − 1   2 2  −6x−4 − 6x−7 u = − 3x−4 + 3x−7 2x−3 + x−6 D′(1) = 3(1)−4 + 3(1)−7 = −2 3 − 2(1)−3 + 1−6 และ D′(10) = 3(10)−4 + 3(10)−7 = − 3, 003 − 2(10)−3 + (10)−6 10,000 2,001 27. 1) เนื่องจาก คา กอสรางเรมิ่ ตนคิดเปน 10 ลา นบาท และคากอสรา งตอ ชัน้ คิดเปน 7.9 + 0.04(x −1) ลา นบาทตอชัน้ ดังน้ัน คา กอสรางทั้งหมดเม่ือตอ งการสรางคอนโดมเิ นยี มจํานวน x ชนั้ คอื C ( x) = 10 + (7.9 + 0.04( x −1)) x = 0.04x2 + 7.86x +10 ลา นบาท 2) เนือ่ งจาก ( ) ( )C (11) − C (10) = 0.04(11)2 + 7.86(11) +10 − 0.04(10)2 + 7.86(10) +10 ( )= 0.04 112 −102 + 7.86(11−10) = 8.7 ดังนน้ั ตนทุนทเ่ี พิม่ ขึน้ เม่อื เพ่ิมจาํ นวนชน้ั ของคอนโดมเิ นียม จาก 10 ชัน้ เปน 11 ชัน้ คือ 8.7 ลา นบาท 3) เนอ่ื งจาก C ( x) = 0.04x2 + 7.86x +10 d 0.04x2 + 7.86x +10 dx ( )จะได C′(x) = = 0.08x + 7.86 ดังนน้ั C′(10) = 0.08(10) + 7.86 = 8.66 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

510 คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 4) จะเหน็ วาการคํานวณ (0.04 112 )−102 + 7.86(11−10) มคี วามยุงยากมากกวา การคํานวณ 0.08(10) + 7.86 แตคา ที่ไดจ ากการคํานวณทง้ั สองแบบมคี าตางกนั เพียง 0.04 ซ่งึ คิดเปน 40,000 บาท จงึ พออนุโลมไดว า ไมแ ตกตา งกันมาก 28. 1) R (200 +1) − R (200) = 400 1000(201) − 2012 − 400 1000(200) − 2002 R(400 +1) − R(400) R(600 +1) − R(600) ≈ 299.22 R(800 +1) − R(800) = 400 1000(401) − 4012 − 400 1000(400) − 4002 2) ใ=ห u 1000x − x2 ≈ 81.22 = 400 1000(601) − 6012 − 400 1000(600) − 6002 ≈ −82.08 = 400 1000(801) − 8012 − 400 1000(800) − 8002 ≈ −300.78 ดงั นนั้ =R( x) 400 1000=x − x2 1 400u 2 โดยกฎลูกโซ จะได R′(x) = dR ⋅ du du dx ( )=d  1  d du  400u 2  ⋅ dx 1000x − x2   =  − 1  (1000 − 2x )  2  200u  200(1000 − 2x) = 1000x − x2 ดงั นน้ั R′(200) = 200(1000 − 2(200)) = 300 1000(200) − 2002 R′(400) = 200(1000 − 2(400)) ≈ 81.65 1000(400) − 4002 R′(600) = 200(1000 − 2(600)) ≈ −81.65 1000(600) − 6002 และ R′(800) = 200(1000 − 2(800)) = −300 1000(800) − 8002 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 511 3) คาทไี่ ดมคี วามใกลเ คียงกนั แตความซับซอนในการคาํ นวณ R(x +1) − R(x) มีมากกวาการคํานวณ R′(x) เพราะมกี ารดําเนินการปรากฏในการคํานวณ R(x +1) − R(x) มากกวาท่ีปรากฏใน การคํานวณ R′(x) 29. 1) จาก F (t ) = 60 − 140 ให 12 + t2 −140 ⋅ d −1 F′(t) ( )= 2 12 + t2 dt u = 12 + t2 d −1 d −1 d 2 u 2⋅ ( ) ( )จะได 12 + t2 = 12 + t2 dt du dt = − 1 −3 ( 2t ) 2 u2 =− t 3 ( )12 + t2 2 น่นั คือ F′(t) = 140t 3 ( )12 + t2 2 ดังน้ัน F′(5) = 140 ( 5) = 700 ≈ 3.1103 3 3 37 2 ( )12 + 52 2 F′(10) = 140 (10 ) = 1, 400 ≈ 1.1811 3 3 112 2 ( )12 +102 2 F′(20) = 140 ( 20 ) = 2,800 ≈ 0.3348 3 3 412 2 ( )12 + 202 2 F′(40) = 140 ( 40 ) = 5, 600 ≈ 0.0865 3 3 ( )12 + 402 2 1, 612 2 2) คาํ ตอบที่คาํ นวณไดใ นขอ 1) มคี า ลดลงเขาใกล 0 เม่ือ t มีคาเพิ่มข้นึ จงึ สามารถแปลความหมายไดวา เม่ือเวลาผานไปนานขึ้นความสามารถในการสแกน สนิ คาของพนักงานแทบจะคงท่ี สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

512 คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 30. 1) จาก f ( x) = 5 − 3x2 + 6x4 − x5 จะได ดงั นน้ั f ′( x) = −6x + 24x3 − 5x4 และ f ′′( x) = −6 + 72x2 − 20x3 2) เนอ่ื งจาก จะได f ′′′( x) = 144x − 60x2 ดงั นั้น f ( x) = 3 x − x2 + x−2 = 1 − x2 + x−2 และ 3) เนื่องจาก 66 x3 66 จะได ดังนน้ั f ′(x) = −2 − 2⋅x + (−2) ⋅ x−3 = 1 −x− 1 และ 2 3 3x3 4) จาก x3 จะได 36 6 3x 3 ให f ′′( x) =  − 2  −5 − 1 − (−3) ⋅ x−4 = − 2 −1+ 1  3  3 5 3 x4 x3 3 9x3 3 f ′′′( x) =  − 2  − 5  −8 − 4 x −5 = 10 − 4  9   3  8 x5 x3 27 x 3 ( )f ( x)  1  =  x − 3x  2x3 − 3x2 = −6x4 + 9x3 + 2x2 − 3x f ′( x) = −4(6x3 ) + 3(9x2 ) + 2(2x) −1(3) = −24x3 + 27x2 + 4x − 3 f ′′( x) = −3(24x2 ) + 2(27x) +1(4) = −72x2 + 54x + 4 f ′′′( x) = −2(72x) +1(54) = −144x + 54 f (x) = x − 2 x−4 (x − 4) d (x − 2) −(x − 2) d (x − 4) f ′(x) = dx dx ( x − 4)2 (x − 4) −(x − 2) = ( x − 4)2 = −2 ( x − 4)2 u = x−4 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 513 จะได f ′(x) = −2 ดงั นั้น u2 = −2u−2 f ′′( x) = (−2)(−2)u−3 d u dx = 4u−3 d ( x − 4) dx = 4u−3 = 4( x − 4)−3 4 = ( x − 4)3 จาก f ′′( x) = 4u−3 จะได f ′′′( x) = 4(−3)u−4 d ( x − 4) dx = −12u−4 = − ( 12 )4 −4 x 31. จาก f (x) = 4 = 4(1 − 2x)−1 จะได = 4(1)(2)(1− 2x)−2 1− 2x f ′( x) = 4(−1)(1− 2x)−2 (−2) f ′′( x) = 4(1)(2)(−2)(1− 2x)−3 (−2) = 4(22 )(1⋅ 2)(1 − 2x)−3 f ′′′( x) = 4(22 )(1⋅ 2)(−3)(1− 2x)−4 (−2) = 4(23 )(1⋅ 2 ⋅ 3)(1− 2x)−4 โดยการทําซาํ้ เชน นเ้ี รือ่ ยไป จะไดว า ( )f (n) ( x) = 4 2n (n!)(1− 2x)−n−1 2n+2 ⋅ n! = (1 − 2x)n+1 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

514 คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 32. 1) จาก F ( x) = x f ( x) 2) จะได F′( x) = d ( x f ( x)) dx = x d ( f (x)) + f (x) d (x) dx dx = x f ′(x) + f (x) F′′( x) = d ( xf ′( x) + f ( x)) dx = d ( xf ′( x)) + d ( f ( x)) dx dx = x d ( f ′(x)) + f ′(x) d (x) + f ′(x) dx dx = xf ′′( x) + f ′( x) + f ′( x) = xf ′′( x) + 2 f ′( x) F′′′( x) = d ( xf ′′( x) + 2 f ′( x)) dx = d ( xf ′′( x)) + 2 d ( f ′( x)) dx dx = x d ( f ′′( x)) + f ′′( x) d ( x) + 2 f ′′( x) dx dx = xf ′′′( x) + f ′′( x) + 2 f ′′( x) = xf ′′′( x) + 3 f ′′( x) และ F (4) ( x) = d ( xf ′′′( x) + 3 f ′′( x)) dx = d ( xf ′′′( x)) + 3 d ( f ′′( x)) dx dx = x d ( f ′′′( x)) + f ′′′( x) d ( x) + 3 f ′′′( x) dx dx = xf (4) ( x) + f ′′′( x) + 3 f ′′′( x) = xf (4) ( x) + 4 f ′′′( x) F(n) ( x) = x f (n) (x) + n f (n−1) (x) เมือ่ n เปน จาํ นวนเต็มบวกที่มากกวา หรือเทา กบั 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 515 33. เริ่มตน ดวยการหาอนพุ ันธข องฟงกช นั f ดังน้ี f ′(x) = d  x2 + x −1   dx  x −1  ( x −1) d ( x2 + x −1) − ( x2 + x −1) d ( x −1) = dx dx ( x −1)2 ( x −1)(2x +1− 0) − ( x2 + x −1)(1− 0) = ( x −1)2 x2 − 2x = ( x −1)2 x(x − 2) = ( x −1)2 ดังน้นั f ′( x) = 0 เมื่อ x = 0 หรอื x = 2 ตรวจสอบคา ของ f ′(x) โดยเขียนเสนจํานวนและจดุ แบงชวง ดงั น้ี จะไดว า f ′( x) > 0 บนชวง (−∞,0) และชว ง (2,∞) และ f ′( x) < 0 บนชวง (0,1) และชว ง (1,2) ดังนนั้ f เปน ฟงกชนั เพ่ิมบนชว ง (−∞,0) และชวง (2,∞) และ f เปน ฟง กชันลดบนชว ง (0,1) และชว ง (1,2) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

516 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 34. จาก f ( x) = g (x2 − 3) จะได f ′( x) = (g′ x2 − 3) ⋅ d ( x2 − 3) = g′( x2 − 3)⋅(2x) dx ดังนั้น f ′( x) = 0 เมื่อ x = 0 หรือ g′( x2 − 3) =0 เนื่องจาก 1 เปนคา วิกฤตเพียงคาเดียวของ g ดังนนั้ g′( x2 − 3) =0 เม่ือ x2 − 3 =1 น่ันคอื x = −2 หรอื x = 2 จะได f ′( x) = 0 เม่อื x = 0, x = −2 หรือ x = 2 สรปุ ไดวา คา วกิ ฤตทงั้ หมดของ f คอื 0, − 2 และ 2 35. เนอื่ งจาก f ( x) = x3 + ax2 − bx + 2 และ f (1) = −1 จะได ( )13 + a 12 − b(1) + 2 = −1 น่ันคอื b = a + 4 เน่ืองจาก ( )f ′( x) = d x3 + ax2 − bx + 2 dx = 3x2 + 2ax − b = 3x2 + 2ax − (a + 4) ดงั น้นั f ′(1) = 3(1)2 + 2a(1) − (a + 4) = a −1 เน่ืองจาก f มีคา ตาํ่ สุดสัมพทั ธท่ี x =1 ดงั นนั้ f ′(1) = 0 น่ันคือ a −1 = 0 จะได a = 1 และ b = 1+ 4 =5 ดังน้นั a + b = 1+ 5 =6 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 517 36. 1) จาก f ( x) = x4 −18x2 จะได f ′( x) = 4x3 − 36x = 4x( x − 3)( x + 3) ดงั น้นั f ′( x) = 0 เม่อื x =−3, x =0 หรอื x = 3 จะไดวา คาวิกฤตของ f มี 3 คา คือ −3, 0 และ 3 ตอ ไปหาอนุพันธอ ันดบั ที่ 2 ของ f จะได f ′′( x) = 12x2 − 36 เนอื่ งจาก f ′′(−3) = 72 ซ่ึง 72 > 0 f ′′(0) = −36 ซึง่ −36 < 0 และ f ′′(3) = 72 ซง่ึ 72 > 0 ดงั นัน้ f มคี า สงู สดุ สัมพัทธที่ x = 0 โดยคา สูงสุดสัมพทั ธ คือ f (0) = 0 และ f มีคา ต่าํ สดุ สัมพัทธที่ x = −3 และ x = 3 โดยคาตา่ํ สดุ สมั พัทธ คือ f (−3) =f (3) =−81 2) จาก f ( x) = 27 − 2x4 จะได f ′( x) = −8x3 ดังนั้น f ′( x) = 0 เมื่อ x = 0 จะไดวา คา วิกฤตของ f มี 1 คา คอื 0 พิจารณาคาของ f ′(x) เมื่อ x เปน คาวกิ ฤตและจํานวนจรงิ ในชว งตาง ๆ โดยใชเสนจาํ นวน ดังนี้ จะเห็นวา f ′(x) ที่ x = 0 เปนจดุ แบง ทท่ี ําให f ′(x) เปลย่ี นจากจาํ นวนจรงิ บวกเปน จาํ นวนจริงลบ ดงั นน้ั f มคี า สูงสุดสัมพัทธท่ี x = 0 โดยคาสูงสดุ สัมพัทธ คือ f (0) = 27 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

518 คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 37. 1) จาก f ( x) = 5 − 2x − x2 2) จะได f ′( x) = −2 − 2x = −2(1+ x) 3) ดงั นัน้ f ′( x) = 0 เมือ่ x = −1 จะไดว า คาวกิ ฤตของ f ในชว งเปด (−2, 3) มี 1 คา คือ −1 ตอ ไปหา f (−2), f (−1) และ f (3) จะได f (−2) = 5 − 2(−2) − (−2)2 = 5 f (−1) = 5 − 2(−1) − (−1)2 = 6 f (3) = 5 − 2(3) − (3)2 = −10 ดังนนั้ f มคี า สูงสดุ สมั บูรณท ่ี x = −1 โดยคาสงู สุดสัมบรู ณ คือ f (−1) =6 และ f มคี าตํา่ สุดสมั บูรณท ่ี x = 3 โดยคา ต่ําสดุ สมั บูรณ คอื f (3) = −10 จาก f ( x) = x3 − 6x2 −15x + 7 จะได f ′( x) = 3x2 −12x −15 = 3( x +1)( x − 5) ดงั นัน้ f ′( x) = 0 เมือ่ x = −1 หรือ x = 5 เนือ่ งจาก 1∉(0, 6) จะไดวา คาวกิ ฤตของ f ในชวงเปด (0, 6) มี 1 คา คือ 5 ตอ ไปหา f (0), f (5) และ f (6) จะได f (0) = 03 − 6(0)2 −15(0) + 7 = 7 f (5) = 53 − 6(5)2 −15(5) + 7 = −93 f (6) = 63 − 6(6)2 −15(6) + 7 = −83 ดงั นั้น f มคี าสงู สุดสมั บรู ณท่ี x = 0 โดยคาสงู สดุ สัมบรู ณ คือ f (0) = 7 และ f มคี าตา่ํ สุดสมั บรู ณที่ x = 5 โดยคาตาํ่ สดุ สมั บูรณ คอื f (5) = −93 จาก f ( x) = 3x4 + 6x3 − 24x2 +18x − 7 จะได f ′( x) = 12x3 +18x2 − 48x +18 = 6( x −1)(2x −1)( x + 3) ดงั น้ัน f ′( x) = 0 เมื่อ=x 1,=x 1 หรอื x = −3 เน่ืองจาก −3∉(−3,2) 2 จะไดวา คา วิกฤตของ f ในชวงเปด (−3,2) มี 2 คา คือ 1 และ 1 2 ตอ ไปหา f (−3), f  1  , f (1) และ f (2)  2  สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 519 จะได f (−3) = 3(−3)4 + 6(−3)3 − 24(−3)2 +18(−3) − 7 = −196 f  1  = 3 1 4 + 6  1 3 − 24  1 2 + 18 1  − 7 = −3.0625  2  2   2  2  2  = −4 f (1) = 3(1)4 + 6(1)3 − 24(1)2 +18(1) − 7 f (2) = 3(2)4 + 6(2)3 − 24(2)2 +18(2) − 7 = 29 ดังนัน้ f มคี า สูงสดุ สมั บรู ณท ี่ x = 2 โดยคา สูงสดุ สัมบรู ณ คือ f (2) = 29 และ f มคี า ตาํ่ สุดสมั บูรณท่ี x = −3 โดยคาต่ําสดุ สมั บรู ณ คอื f (−3) =−196 4) จาก f ( x) = 6x5 +15x4 −130x3 − 210x2 + 720x + 976 38. 1) จะได f ′( x) = 30x4 + 60x3 − 390x2 − 420x + 720 = 30( x + 4)( x + 2)( x −1)( x − 3) ดังน้นั f ′( x) = 0 เม่อื x =−4, x =−2, x =1 หรือ x = 3 เนอ่ื งจาก −2, 4∉(−2,4) จะไดวา คา วิกฤตของ f ในชว งเปด (−2, 4) มี 2 คา คอื 1 และ 3 ตอ ไปหา f (−2), f (1), f (3) และ f (4) จะได f (−2) = 30(−2)4 + 60(−2)3 − 390(−2)2 − 420(−2) + 720 = −216 f (1) = 30(1)4 + 60(1)3 − 390(1)2 − 420(1) + 720 = 1,377 f (3) = 30(3)4 + 60(3)3 − 390(3)2 − 420(3) + 720 = 409 f (4) = 30(4)4 + 60(4)3 − 390(4)2 − 420(4) + 720 = 2,160 ดงั น้ัน f มคี าสูงสุดสัมบรู ณท่ี x = 4 โดยคาสูงสดุ สัมบูรณ คือ f (4) = 2,160 และ f มีคาตาํ่ สดุ สัมบรู ณที่ x = −2 โดยคา ตา่ํ สดุ สมั บูรณ คอื f (−2) =−216 จดุ บนเสนโคง y = x2 จะอยูในรปู ( x, x2 ) ให d (x) แทนระยะทางระหวางจุด (3,0) กับจุด ( x, x2 ) จะได ( )d ( x) = ( x − 3)2 + x2 − 0 2 ( x − 3)2 + x4 ให u = ( x − 3)2 + x4 จะได 1 d (x) = u2 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

520 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ( )ดังน้ัน d  1  d d′(x) = du  u 2  ⋅ dx ( x − 3)2 + x4    1 −1  d  2  dx  u2  ( )= ⋅ x4 + x2 − 6x + 9  1  ( )=    4x3 + 2x − 6 + 0  − 3)2  2 (x + x4 2x3 + x − 3 = ( x − 3)2 + x4 ( x −1)(2x2 + 2x + 3) = ( x − 3)2 + x4 ถา d′(x) = 0 แลว จะได ( x −1)(2x2 + 2x + 3) =0 ( x − 3)2 + x4 เนื่องจาก 2x2 + 2x + 3 = ( x +1)2 + x2 + 2 > 0 และ ( x − 3)2 + x4 > 0 ดงั น้ัน x −1 =0 นั่นคอื x =1 ดังน้ัน คา วิกฤตในชวงเปด (−∞,∞) มี 1 คา คือ 1 เนือ่ งจาก d′( x) < 0 เมอ่ื x <1 และ d′( x) > 0 เม่ือ x >1 ดังนั้น d มีคา ตาํ่ สุดสัมพทั ธที่ x =1 เพียงคาเดียวในชวงเปด (−∞,∞) นั่นคือ d มีคาตาํ่ สดุ สมั บูรณท ่ี x =1 โดยคาต่าํ สดุ สมั บรู ณ คอื d (1) = 5 ดังนน้ั ระยะทางระหวา งจดุ (3, 0) กบั เสนโคง y = x2 คอื 5 หนวย 2) จดุ บนเสนโคง y = x2 เมอ่ื −3 ≤ x ≤ 3 จะอยูในรูป ( x, x2 ) ให d ( x) แทนระยะทางระหวางจุด (0,3) กบั จดุ (x, x2 ) เมอ่ื −3 ≤ x ≤ 3 จะได d ( x) = ( )( x − 0)2 + x2 − 3 2 ( )= x2 + x2 − 3 2 เมอ่ื −3 ≤ x ≤ 3 ให ( )u = x2 + x2 − 3 2 จะได 1 d (x) = u2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 521 ( )ดังนนั้d  1  d du  2  dx x2 − 3 2 ( )d′( x)   = u ⋅ x2 + ( )= 1 − 1  d  2 2  ⋅ dx x4 − 5x2 + 9  u    1   x2 + x2 − 3  ( ) ( )= 2  2 4x3 −10x + 0 2x3 − 5x = ( )x2 + x2 − 3 2 x(2x2 −5) เมือ่ −3 ≤ x ≤ 3 = ( )x2 + x2 − 3 2 ถา d′( x) = 0 แลวจะได x(2x2 −5) =0 ( )x2 + x2 − 3 2 เนอื่ งจาก ( )x2 + x2 − 3 2 > 0 ดังนั้น x(2x2 − 5) =0 นั่นคอื x = 0 , x = − 2.5 หรอื x = 2.5 ดังนัน้ คา วกิ ฤตในชวงเปด (−3,3) มี 3 คา คอื − 2.5 , 0 และ 2.5 ตอไปคํานวณหา (d (−3) , d − ) (2.5 , d (0) , d 2.5) และ d (3) จะได d (−3) = 3 5 ( )d − 2.5 = 11 2 d (0) = 3 ( )d 2.5 = 11 2 d (3) = 3 5 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

522 คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 สรุปไดวา d มคี า ตาํ่ สุดสัมบูรณท่ี x = − 2.5 และ x = 2.5 โดยคา ตาํ่ สุดสัมบูรณ คอื d (− )2.5= d ( )2.5= 11 2 ดงั นน้ั ระยะทางระหวา งจดุ (0,3) กับเสนโคง y = x2 เมอื่ −3 ≤ x ≤ 3 คอื 11 หนวย 2 39. ให A(x) แทนพนื้ ที่ของรปู สามเหลย่ี มหนาจว่ั ที่มีความยาวเสนรอบรูป 6 เซนตเิ มตร และมคี วามยาวฐาน x เซนตเิ มตร จากรปู สามเหลี่ยมหนาจัว่ ทม่ี ีความยาวเสนรอบรูป 6 เซนตเิ มตร และมีความยาวฐาน x เซนตเิ มตร จะสูง  6− x 2 −  x 2 =9 − 3x เซนตเิ มตร  2   2  เนอ่ื งจาก 9 − 3x > 0 จะไดวา x < 3 ดังนั้น A(x) = 1 x 9 − 3x = 1 9x2 − 3x3 เมอื่ 0 < x < 3 ให 2 2 u = 9x2 − 3x3 จะได A(x) = 1 u 1 2 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 523 ดงั นัน้ ( )A′( x)d  1 1  d = du  2 u 2  ⋅ dx 9x2 − 3x3   ( )= 1 − 1   u 2  18x − 9x2   4 = 18x − 9x2 4 9x2 − 3x3 9(2− x) เมอ่ื 0 < x < 3 = 4 9 − 3x เนือ่ งจาก 9 − 3x > 0 เมอ่ื 0 < x < 3 ดังนน้ั A′( x) = 0 เมอื่ x = 0 ดังนน้ั คาวิกฤตในชว งเปด (0, 3) มี 1 คา คอื 2 เนื่องจาก A′( x) > 0 เมือ่ x < 2 และ A′( x) < 0 เมอ่ื x > 2 ดงั น้ัน A มีคา สูงสุดสมั พัทธท่ี x = 2 เพยี งคา เดยี วในชวงเปด (0, 3) นนั่ คือ A มีคาสูงสดุ สมั บรู ณท ี่ x = 2 โดยคาสงู สดุ สัมบรู ณ คือ A(2) = 3 ดงั น้นั ความยาวฐานของรปู สามเหลยี่ มหนาจ่วั นี้ทีท่ ําใหรปู สามเหลย่ี มมีพ้ืนที่มากทีส่ ดุ คือ 2 เซนติเมตร 40. ให r แทนรศั มีของฐานของทรงกระบอก h แทนความสูงของทรงกระบอก และ C แทนคาวสั ดทุ ี่ใชใ นการทําบรรจุภัณฑทรงกระบอก ที่มรี ศั มีของฐานของยาว r เซนติเมตร และมคี วามสงู h เซนติเมตร เน่ืองจากทรงกระบอกมีความจุ 20π ลูกบาศกเ ซนติมเมตร ดังนน้ั π r2h = 20π จะได h = 20 เมื่อ r ∈(0,∞) เนอ่ื งจาก r2 C = 2(100)π r2 + 80(2π rh) = 2(100)π r2 + 80  2π r  20    r2   นั่นคือ C (r ) = 200π r2 + 3, 200π เมื่อ r ∈(0,∞) r สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

524 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 ดงั นน้ั C′(r) = 400π r − 3, 200π r2 400π (r3 − 8) = r2 ถา C′(r) = 0 แลวจะได r = 2 เน่อื งจาก C′(r) < 0 เมอ่ื r < 2 และ C′(r) > 0 เม่อื r > 2 ดังน้ัน C มคี า ตา่ํ สุดสมั พัทธท ่ี r = 2 เพยี งคาเดยี วในชว งเปด (0,∞) นัน่ คอื C มคี า ต่าํ สดุ สมั บูรณท่ี r = 2 โดยคา ต่าํ สุดสัมบรู ณ คือ C (2)= ( )200π 22 + 3,200π ≈ 7,539.82 2 ดงั นนั้ โรงงานตองออกแบบบรรจุภัณฑใหมคี วามยาวรัศมีของฐานเปน 2 เซนตเิ มตร และมีความสูง 20 = 5 เซนติเมตร โดยจะใชต น ทุนนอยท่สี ดุ ประมาณ 7, 539.82 บาท 22 ในการผลติ บรรจภุ ัณฑ 1 ช้นิ 41. ให r แทนรัศมีของฐานของกรวย และ l แทนสวนสงู เอียงของกรวย เนอื่ งจากกรวยมพี ืน้ ที่ผิวขางเปน 30π ตารางหนว ย ดังน้ัน π rl = 30π นั่นคอื l = 30 เมื่อ r > 0 r โดยทฤษฎีบทพที าโกรัส จะไดวา กรวยมคี วามสงู l 2 −=r 2  30 2 − r2 หนว ย  r  ตอไปหาชว งท่เี ปนไปไดของ r เน่อื งจาก  30 2 − r2 >0 และ r >0  r  จะได r4 − 302 < 0 (r2 − 30)(r2 + 30) < 0 ( )( )( )r − 30 r + 30 r2 + 30 < 0 นัน่ คอื r ∈(− 30, 30 ) แตเนอื่ งจาก r > 0 ดงั นัน้ (r ∈ 0, 30 ) สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 525 ให V (r) แทนปริมาตรของกรวยท่ีมีพน้ื ที่ผวิ ขา งเปน 30π ตารางหนวย และรัศมฐี าน ยาว r หนวย จะได V (r) = 1πr2  30 2 − r2 3  r  นน่ั คือ ให V (r ) = 1 π 900r2 − r6 เมือ่ (r ∈ 0, 30 ) 3 u = 900r2 − r6 จะได V (r) = 1 π u 1 2 3 ดงั นนั้ ( )V ′(r) d  1 1  d = du  3 π u 2  ⋅ dx 900r2 − r6   ( )= 1 − 1   π u 2  1,800r − 6r5   6 π (300 − r4 ) เม่ือ (r ∈ 0, 30 ) = 900 − r4 ดังน้ัน V ′(r) = 0 เม่ือ 1 หรือ r 1 r = −3004 = 3004 เน่อื งจาก (1 30 ) −3004 ∉ 0, ดงั น้ัน คา วกิ ฤตในชว งเปด (0, 30 ) มี 1 คา คอื 1 300 4 เนอ่ื งจาก V′(r) > 0 เมือ่ 1 และ V′(r) < 0 เมอ่ื r 1 r < 3004 > 3004 ดังนน้ั V มคี า สูงสุดสมั พัทธที่ r 1 เพยี งคาเดยี วในชวงเปด (0, 30 ) = 3004 นั่นคือ V มีคา สูงสดุ สมั บูรณท ่ี 1 โดยคาสูงสดุ สัมบรู ณ คอื r = 3004  1 = 1π  1 2  1 6 V  3004  3 900 3004  −  3004      = 1 π  1  900 − 300 3    300 4  = 20 15 π 3 34 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

526 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ดังน้นั รัศมีของฐานของกรวยควรจะยาว 1 = 1 10 หนว ย และจะไดสวนสงู เอยี ง คือ 300 4 34 30 3 10 หนว ย 1 = 34 34 10 ดังนน้ั สว นสูงเอยี งและรัศมีของฐานของกรวยที่ทาํ ใหกรวยมีปรมิ าตรมากท่สี ุด คือ 1 10 หนวย 34 และ 3 10 หนว ย ตามลาํ ดบั 34 42. ให r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก และ h แทนความสูงของทรงกระบอก เนือ่ งจากพื้นทีผ่ ิวของทรงกระบอกคอื 80π ตารางหนวย ดังน้ัน 2π r2 + 2π rh = 80π น่นั คือ h = 40 − r เมื่อ r > 0 r ตอไปหาชว งทเ่ี ปนไปไดของ r เนื่องจาก 40 − r > 0 และ r > 0 จะได r2 − 40 < 0 r นั่นคอื (r + 2 10 )(r − 2 )10 < 0 ดงั นนั้ (r ∈ 0, 2 10 ) ให V (r) แทนปรมิ าตรของทรงกระบอกท่มี ีพ้นื ท่ีผิวเปน 80π ตารางหนว ย และรัศมฐี าน ยาว r หนวย จะได V (r) = π r2h = π r 2  40 − r   r  น่นั คอื V (r ) = 40π r − π r3 เมือ่ ( )r ∈ 0, 2 10 ดงั น้นั V ′(r) = d (40π r )− π r3 dr = 40π − 3π r2 เมื่อ ( )r ∈ 0, 2 10 ดังนน้ั V ′(r) = 0 เมอื่ r = − 40 หรือ r = 40 33 เนือ่ งจาก − (40 ∉ 0, 2 10 ) 3 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 527 ดงั นนั้ คา วกิ ฤตในชวงเปด (0, 2 10) มี 1 คา คือ 40 3 เน่ืองจาก V ′(r) > 0 เม่อื r < 40 และ V ′(r) < 0 เมอื่ r > 40 33 ดงั นนั้ V มคี าสูงสดุ สมั พัทธท่ี r = 40 เพียงคาเดยี วในชว งเปด (0, 2 10) 3 น่ันคือ V มคี าสูงสุดสัมบูรณที่ r = 40 โดยคาสูงสุดสัมบรู ณ คอื V  40  = 160 10 π 3  3  3 3 ดังน้ัน รัศมขี องฐานของทรงกระบอกควรยาว 40 = 2 30 หนว ย และจะไดวา ความสูง 33 ของทรงกระบอก คือ 40 − 40 =4 30 หนวย 40 3 3 3 ดังนนั้ ความสงู และรัศมีของกระปองนี้ท่ที ําใหกระปองมีปริมาตรมากที่สดุ คือ 4 30 หนวย 3 และ 2 30 หนวย ตามลาํ ดบั 3 43. 1) จาก h(t ) = 10t2 − t3 เมือ่ 0 ≤ t <10 2 เม่ือ 0 < t <10 เม่ือ 10 ≤ t ≤15 + 5 5 จะได h′ (t ) = d  2 − t3  dt 10t 2    = 20t − 3t2 2 จาก h(t ) = 625 − 5(t −15)2 ( )จะได h′(t) = d 625 − 5(t −15)2 เมื่อ 10 < t <15 + 5 5 dt ( )= d −5t2 +150t − 500 dt = −10t +150 ตอ ไปจะหา h′(10) โดยจะพจิ ารณาวา lim h(10 + k ) − h(10) = lim h(10 + k ) − h(10) k →0− k k →0+ k พจิ ารณา h(10 + k ) − h(10) lim k →0− k สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

528 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 จาก  2 − t3 , 0 ≤ t < 10 10t 2 h(t) =  625 − 5(t −15)2 , 10 ≤ t ≤ 15 + 5 5  (10 + k )3  2  10 (10 ( )จะได h(10 + k ) − h(10) + k )2 − − 625 − 5(10 −15)2 lim = lim k →0− k k →0− k  + k )2 − (10 + k )3  − 500 2  10 (10 = lim k →0− k (10 + k )2 10 − 10 + k  − 500 2  = lim k →0− k (10 + k )2  10 − k  − 500  2  = lim k →0− k = lim 100k −10k 2 − k3 k →0− 2k = lim 100 −10k − k 2 k →0− 2 = 50 พจิ ารณา h(10 + k ) − h(10) lim k →0+ k ( ) ( )จะได h(10 + k ) − h(10) 625 − 5((10 + k ) −15)2 − 625 − 5(10 −15)2 lim = lim k →0+ k k →0− k = lim ( )625 − 5((10 + k ) −15)2 − 500 k →0− k = lim 50k − 5k 2 k →0− k = lim (50 − 5k ) k →0− = 50 เน่ืองจาก l=im h(10 + k ) − h(10) l=im h(10 + k ) − h(10) 50 k →0− k k →0+ k ดงั นัน้ lim h(10 + k ) − h(10) = 50 k→0 k สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 529 น่ันคอื h′(10) = 50 =5200t − 32t2 ,, t0 <t< 10 10 =สรปุ ไดว า h′(t) −10t +150 , 10 < t < 15 + 5 5  2) เน่ืองจาก h′(t ) = 20t − 3t 2 = t  20 − 3t  เมือ่ 0 < t < 10 2  2  และ t  20 − 3t  =0 เมอ่ื t =0 หรือ t = 40  2  3 ดังนัน้ h′(t) ≠ 0 เมือ่ 0 < t <10 นน่ั คือ h ไมมีคาวกิ ฤตบนชว งเปด (0, 10) เน่ืองจาก h′(10=) 50 ≠ 0 ดังน้นั 10 ไมเ ปนคา วิกฤตของ h เน่อื งจาก h′(t) =−10t +150 เมอ่ื 10 < t <15 + 5 5 และ −10t +150 =0 เม่อื t =15 ดังนั้น 15 เปน คา วิกฤตของ h สรปุ ไดว า จุดวกิ ฤตทง้ั หมดของ h บน (0, 15 + 5 5) คอื t =15 คํานวณหา h(0), h(15) และ (h 15 + 5 5) h(0) = 0 h(15) = 625 ( )h 15 + 5 5 = 0 สรปุ ไดว า h มคี าสูงสดุ สมั บูรณที่ t =15 โดยคา สงู สดุ สมั บูรณ คือ h(15) = 625 ดงั นัน้ บงั้ ไฟเคลอ่ื นทไี่ ดส ูงทส่ี ุด 625 เมตร ณ เวลา 15 วนิ าที 44. จากโจทยจ ะไดวา เงื่อนไขของงบประมาณเขียนแทนไดด วยสมการ น่นั คอื 100x +100 y = 100,000 เม่อื 0 ≤ x ≤ 1,000 y = 1,000 − x ภายใตเ ง่อื นไขนจี้ ะไดว า 13 P = 10x4 (1,000 − x)4 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

530 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 ให 13 f ( x) = 10x4 (1,000 − x)4 ตอ งการหาคาสูงสุดของ f บนชวงปด [0,1000] หาจดุ วกิ ฤตโดยพจิ ารณา f ′(x) = 1 ⋅ 3 (1, 000 − )x −1 ( −1) + (1, 000 − 3 ⋅10  1  −3 4 4 4  10x 4 x)4 x4 13 5(1,000 − x)4 = − 15x 4 + 13 2(1,000 − x)4 2x4 ให f ′( x) = 0 31 5(1,000 − x)4 จะได 15x 4 = 1 3 2x4 2(1,000 − x)4 1,000 − x = 3x x = 250 ดงั นั้น คา วกิ ฤตในชว งเปด (0, 1000) คือ 250 ตอ ไปคาํ นวณหา f (0), f (250) และ f (1,000) จะได f (0) = 0 3 f (250) = 2,500 ⋅ 34 ≈ 5,698.77 f (1,000) = 0 ดงั นั้น ถา x = 250 จะใหคาสูงสดุ สัมบูรณบนชว ง [0,1000] นนั่ คือ จาํ นวนเสอ้ื ท่ีมากทสี่ ุดท่โี รงงานนจี้ ะผลิตไดใน 1 ชัว่ โมงภายใตง บประมาณ 100,000 บาท คือ 5,698 ตวั สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 531 45. 1) ( )∫ 5x4 − 4x3 + 6x2 − 2x + 7 dx =  x5  −  x4  +  x3  −  x2  + 7x + c 2) 5 5  4 4  6 3  2 2      3)     4) 5) = x5 − x4 + 2x3 − x2 + 7x + c เมื่อ c เปนคา คงตัว ∫ 4 − 3 − x2 + 1  ∫= 4 − 3 − x2 + x−2   3x 3 x2  dx  3x 3  dx  4x4  4x4   7  7     x3 x−1 = 3 x3  − 4 x4 − 3 + −1 + c 7  7    3 4 = 9 7 − 16 7 − x3 − 1 + c เมอื่ c เปนคา คงตวั x3 x4 3x 77 1 ( )∫ 3x2 + x +1 dx = 3∫ x2 dx + ∫ x2 dx + ∫1dx 3 =  x3  + x2 +x+c 3 3  3   2 3 = x3 + 2x2 + x + c เมอ่ื c เปนคาคงตัว 3 ∫ ( 2 x ) ( x2 + )2 dx ∫ ( )= 2x5 + 4x3 + 2x dx 1 ∫ ∫ ∫= 2 x5dx + 4 x3dx + 2 x dx =  x6  +  x4  +  x2  + c 2 6  4 4  2 2        = x6 + x4 + x2 + c เมือ่ c เปน คา คงตัว 3 ∫ x − 1  dx −1  x  ∫ ∫= x dx − x 2dx 1 = x2 − x2 + c 21 2 = x2 − 2 x + c เมื่อ c เปนคา คงตวั 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

532 คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 ∫ ( ) ∫ 7 5 3 1  6) x x3 + x2 + x + 1 dx =  x 2 + x 2 + x 2 + x 2  dx 7531 ∫ ∫ ∫ ∫= x2dx + x2dx + x2dx + x2dx 9753 = x2 + x2 + x2 + x2 + c 9753 ∫7) x2 + x3 2222 x5 dx 9753 = 2x2 + 2x2 + 2x2 + 2x2 + c เมื่อ c เปนคาคงตวั 9753 ∫ ( )= x−3 + x−2 dx ∫ ∫= x−3dx + x−2dx = x−2 + x−1 + c −2 −1 = − 1 − 1 + c เม่ือ c เปนคาคงตวั 2x2 x 8) ∫( x2 +1)( x4 − x2 +1)dx = ∫( x6 +1)dx ∫ ∫= x6dx + 1dx 46. จาก = x7 + x + c เมือ่ c เปนคา คงตวั จะได 7 f ′′( x) = 6x − 2 f ′( x) = ∫ f ′′( x)dx = ∫ (6x − 2)dx =  x2  − 2x + c1 6 2    = 3x2 − 2x + c1 เมอ่ื c1 เปนคา คงตัว เนอื่ งจาก f มีคาต่ําสดุ สมั พัทธ เมอ่ื x =1 จะได f ′(1) = 0 3(1)2 − 2(1) + c1 = 0 นัน่ คอื c1 = −1 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 533 ดงั นั้น f ′(x) = 3x2 − 2x −1 และไดวา f ( x) = ∫ (3x2 − 2x −1)dx =  x3  −  x2  − x + c 3 3  2 2      = x3 − x2 − x + c เมอ่ื c เปนคา คงตวั เนื่องจาก f มคี าตาํ่ สดุ สัมพัทธเทา กบั −1 เมอื่ x =1 จะได f (1) = −1 (1)3 − (1)2 − (1) + c = −1 นั่นคือ c = 0 ดังน้นั f ( x) = x3 − x2 − x 47. 1) เน่ืองจาก dy = 4x3 + 9x2 − 5 dx จะได y= ∫(4x3 + 9x2 − 5)dx ดงั นั้น สมการเสนโคง คอื y = x4 + 3x3 − 5x + c เมอื่ c เปน คา คงตัว เนือ่ งจาก เสน โคงน้ีผานจดุ (0, 5) นน่ั คอื x = 0 และ y = 5 สอดคลองกบั สมการเสน โคง แทน x และ y ในสมการเสน โคง ดวย 0 และ 5 ตามลําดบั จะได 5 =04 + 3(0)3 − 5(0) + c หรือ c = 5 ดังนั้น สมการเสน โคงท่ตี อ งการคือ y = x4 + 3x3 − 5x + 5 2) เนอื่ งจาก dy =5 − 3 x − x3 dx จะได (y =∫ 5 − 3 )x − x3 dx ดงั นน้ั สมการเสน โคง คือ 3 − x4 +c เม่ือ c เปน คา คงตัว 4 y =5x − 2x2 และเสน โคง นผี้ า นจดุ (4, − 2) น่ันคอื x = 4 และ y = −2 สอดคลอ งกับ สมการเสน โคง แทน x และ y ในสมการเสน โคงดว ย 4 และ −2 ตามลําดบั สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

534 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 จะได −=2 3 (4)4 +c หรอื c = 58 5(4) − 2(4)2 − 4 ดังน้ัน สมการเสน โคง ทีต่ อ งการคือ y =5x − 3 − x4 + 58 2x2 4 48. 1) เน่ืองจาก v(t) = 5t2 − 2t − 8 2) จะได a(t) = v′(t ) = 10t − 2 ดงั นน้ั a(t) = 10t − 2 เนอ่ื งจาก s(t) = ∫v(t)dt จะได s(t ) = ∫(5t2 − 2t − 8)dt = 5t3 − t2 − 8t + c เม่อื c เปน คา คงตัว 3 เน่ืองจาก s(3) = 6 จะได 6 = 5(3)3 − (3)2 − 8(3) + c 3 c = −6 ดังนน้ั s(t ) = 5t3 − t2 − 8t − 6 3 เนอื่ งจาก v(t) = 5t − 6t2 − 4t3 จะได a(t ) = v′(t ) = 5 −12t −12t2 ดังนน้ั a(t ) = 5 −12t −12t2 เนื่องจาก s(t) = ∫v(t)dt จะได s(t) = ( )∫ 5t − 6t2 − 4t3 dt = 5t2 − 2t3 − t4 + c เม่อื c เปนคาคงตัว 2 เนอ่ื งจาก s(3) = −4 จะได −4 = 5(3)2 − 2(3)3 − (3)4 + c ดงั น้นั 2 c = 217 2 s (t ) = 217 + 5t2 − 2t3 − t4 22 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 535  x2 + 3x + 2xf ( x) + 6 f ( x)  (x + 2 f (x))(x + 3) = ∫ x + 3 dx 49. ∫  x + 3  dx = ∫( x + 2 f ( x))dx = ∫ x dx + 2∫ f ( x)dx = x2 + 2F ( x) + c เม่อื x ≠ −3 และ c เปน คาคงตวั 2 50. จาก dN 1 dt = 6 t = 6t 2 จะได 1 ∫N (t ) = 6t 2dt  3   = 6 t2  + c 3   2 3 เมอื่ c เปน คา คงตวั = 4t 2 + c เนอ่ื งจาก N (0) = 100 ดงั นนั้ 3 4(0)2 + c = 100 น่ันคือ c = 100 3 จะได N (t) = 4t 2 +100 ดังนน้ั 3 N (10) = 4(10)2 +100 = 40 10 +100 ≈ 226.4911 ดังนั้น จะมีตนไมถ ูกเผาประมาณ 226 ตนเมือ่ เวลาผา นไป 10 ช่ัวโมง 51. จาก H ′( x) = 25 − 2x จะได H ( x) = ∫(25 − 2x)dx = 25x − x2 + c เมื่อ c เปนคาคงตวั เนอ่ื งจาก H (0) คอื จํานวนชัว่ โมงที่ตอ งใชใ นการผลติ สนิ คา 0 ช้นิ ดงั น้ัน H (0) = 0 25(0) − 02 + c = 0 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

536 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 นั่นคอื c = 0 จะได H ( x) = 25x − x2 ดงั นน้ั H (6) = 25(6) − 62 = 114 และ H (12) = 25(12) −122 = 156 ดงั นน้ั จํานวนช่วั โมงท่ีตอ งใชในการผลติ สนิ คา 6 และ 12 ช้ินแรก คอื 114 และ 156 ชั่วโมง ตามลาํ ดับ จะเห็นวา จํานวนชวั่ โมงท่ีตอ งใชในการผลิตสินคา 6 ชนิ้ แรก คือ 114 ชั่วโมง ดงั น้ัน จาํ นวนช่วั โมงเฉล่ยี ที่ตองใชใ นการผลติ สินคา 1 ชิ้น คอื 114 =19 ช่วั โมง 6 และเน่ืองจากจํานวนชั่วโมงท่ีตองใชในการผลิตสินคา 12 ชนิ้ แรก คอื 156 ชั่วโมง ดงั นั้น จํานวนชวั่ โมงเฉลย่ี ทตี่ องใชในการผลิตสินคา 1 ช้นิ คือ 156 =13 ชัว่ โมง 12 สรุปไดวา เม่ือผลิตสินคา มากขึน้ จาํ นวนชั่วโมงเฉล่ียท่ตี องใชใ นการผลติ สินคา 1 ชนิ้ จะลดลง 52. จาก v′(t) = a จะได v(t) = ∫ a dt เมื่อ c1 เปน คาคงตัว เนือ่ งจาก = at + c1 ดังน้ัน จะได v(0) = 0 จาก a (0) + c1 = 0 c1 = 0 s′(t ) = v(t) = at จะได s(t) = ∫ at dt = at 2 + c2 เมื่อ c2 เปนคา คงตัว 2 เนื่องจาก s(0) = 0 ดงั น้นั a ( 0)2 2 + c2 = 0 จะได c2 = 0 น่ันคือ s(t) = at2 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 537 53. 1) ความสงู ของดาดฟา ตึกมีคา เทากับความสงู ของวตั ถจุ ากพื้นดนิ ขณะเวลา 0 วนิ าที ดงั น้ัน ความสูงของดาดฟาตึก คือ s(0) =−4.9(02 ) − 0 + 20 =20 เมตร 2) จาก s (t ) = −4.9t2 − t + 20 จะได v(t) = s′(t) = −9.8t −1 ดังนั้น ความเร็วตน ของวัตถุ คือ v(0) =−9.8(0) −1 =−1 เมตรตอ วนิ าที 3) ข้นั แรกหาเวลาขณะท่วี ัตถุมีความเรว็ −10.8 เมตรตอวนิ าที เน่ืองจาก v(t) = −9.8t −1 จะได −10.8 = −9.8t −1 นัน่ คือ t = 1 วินาที จาก s (t ) = −4.9t2 − t + 20 จะได s(1) = −4.9(1)2 − (1) + 20 = 14.1 เมตร ดงั นั้น ขณะทว่ี ัตถุมีความเร็ว −10.8 เมตรตอ วินาที วัตถุอยูสูงจากพนื้ ดิน 14.1 เมตร 54. ให a1, v1 และ s1 แทนฟง กช ันแสดงความเรง ความเร็ว และตําแหนง ของรถยนตค ันหนา ขณะเวลา t ชั่วโมง ตามลําดบั และ a2, v2 และ s2 แทนฟงกช นั แสดงความเรง ความเรว็ และตําแหนง ของรถยนตค นั หลงั ขณะเวลา t ชั่วโมง ตามลาํ ดบั เมอื่ กําหนดใหขณะเวลาที่คนขับรถยนตทง้ั สองคันเรงเคร่ือง เปนเวลา t = 0 ชั่วโมง จะได =v1 (0) v=2 (0) 40 เนอ่ื งจาก คนขับรถยนตคนั หนาขบั ดว ยความเรง 40 กโิ ลเมตรตอชั่วโมง2 จะได a1 (t ) = 40 เนอื่ งจาก คนขับรถยนตคนั หลังขับดวยความเรง 90 กโิ ลเมตรตอช่ัวโมง2 จะได a2 (t ) = 90 จาก v(t) = ∫ a(t) dt จะได v1 (t) = ∫ 40 dt = 40t + c1 เมอ่ื c1 เปนคาคงตวั และ v2 (t) = ∫90 dt = 90t + c2 เมอื่ c2 เปนคาคงตัว สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

538 คูม อื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 เนือ่ งจาก =v1 (0) v=2 (0) 40 จะได v1 (=t ) 40t + 40 และ v2 (=t ) 90t + 40 จาก s(t) = ∫ v(t) dt จะได s1 (t) = ∫(40t + 40) dt = 20t2 + 40t + k1 เมอื่ k1 เปน คา คงตัว และ s2 (t) = ∫(90t + 40) dt = 45t2 + 40t + k2 เม่ือ k2 เปนคาคงตวั ดงั นั้น ( ) ( )s1 (t ) − s2 (t ) = 20t2 + 40t + k1 − 45t2 + 40t + k2 = −25t2 + (k1 − k2 ) เน่อื งจากขณะเวลา t = 0 ชั่วโมง รถยนตท ง้ั สองอยหู า งกัน 1 กโิ ลเมตร 36 จะได k1 − k2 = 1 36 นน่ั คอื s1 (t ) − s2 (t ) = −25t2 + 1 36 จะไดว า เมื่อเวลาผานไป 2 นาที s1  2  − s2  2  = −25  2 2 + 1 = 0 กโิ ลเมตร  60   60   60  36 นนั่ คือ เมื่อเวลาผานไป 2 นาที หากคนขับรถยนตท ั้งสองคันไมลดความเรง รถคนั หลังจะชนคันหนา 55. 1) ∫ ( x3 − 3x2 + 3) dx = x4 − x3 + 3x + c เม่อื c เปน คาคงตัว 2) 4 ∫ ( )ดงั นนั้ 1 x3 − 3x2 + 3 dx =  x4 − x3 1 −2  4   + 3x  −2 =  (1)4 − (1)3 +  −  ( −2 )4 − ( −2 )3 +    4 3(1)  4 3( −2 )  = −15 4 ∫(4 − 5x4 )dx = 4x − x5 + c เม่อื c เปนคาคงตวั ดงั นนั้ 3 ∫ (4 − 5x4 ) dx = ( )4x − x5 3 1 1 ( )= 4(3) − (3)5 − (4(1) −15 ) = −234 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี