mathm6_1

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 289 12. ให a เปนจํานวนทบี่ วกกับ 5, 22 และ 107 แลว 5 + a, 22 + a, 107 + a เปนลาํ ดบั เรขาคณติ จะไดอตั ราสว นรว มของลําดบั เรขาคณติ นี้หาไดจาก 22 + a หรอื 107 + a 5 + a 22 + a นั่นคอื 22 + a = 107 + a 5+a 22 + a (22 + a)(22 + a) = (107 + a)(5 + a) 484 + 44a + a2 = 535 +112a + a2 −68a = 51 a = −3 4 ดงั นั้น a = − 3 ทําให 5 + a, 22 + a, 107 + a เปน ลาํ ดับเรขาคณติ 4 13. ให a1, a1r และ a1r2 เปน สามพจนแ รกของลาํ ดับเรขาคณติ ทมี่ ีอัตราสว นรวม คือ r (r ≠ 0) เนือ่ งจากผลบวกของสามพจนน้ี คอื −3 จะไดวา a1 + a1r + a1r2 = −3 ( )a1 1+ r + r2 = −3 ----- (1) เนอื่ งจากผลคูณของสามพจนน ้ี คอื 8 จะไดวา ( )(a1 )(a1r ) a1r2 = 8 a13r3 = 8 a1r = 2 a1 = 2 r แทน a1 ดว ย 2 ใน (1) จะได r ( )2 1+ r + r2 = −3 r 2r2 + 5r + 2 = 0 (2r +1)(r + 2) = 0 นน่ั คือ r = − 1 หรือ r = −2 2 กรณี r = − 1 จะได a1 = − 4 2 ดังน้นั พจนทัว่ ไปของลําดับนี้ คือ ( − 4)  − 1 n−1  2  สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

290 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 กรณี r = −2 จะได a1 = −1 ดงั นั้น พจนท ่ัวไปของลําดบั น้ี คือ (−1)( )−2 n−1 14. การรณรงคลดการใชถ งุ พลาสติกในอาํ เภอหนึง่ ทําใหจ ํานวนถุงพลาสตกิ ท่ใี ชแ ลวลดลงปล ะ 5% ของจํานวนถงุ พลาสตกิ ทใ่ี ชแลว ในปกอ นหนา จาก ปที่เรม่ิ ตนการรณรงคมีจํานวนถงุ พลาสติกท่ีใชแ ลว 100,000 ถงุ จะไดว า ในการรณรงคปท่ี 1 จะมจี ํานวนถงุ พลาสตกิ ท่ใี ชแ ลว 100,000(0.95) ถุง ในการรณรงคปที่ 2 จะมีจาํ นวนถงุ พลาสติกท่ีใชแลว 100,000(0.95)(0.95) =100,000(0.95)2 ถงุ ในการรณรงคป ที่ 3 จะมีจํานวนถุงพลาสติกทใ่ี ชแลว 100,000(0.95)2 (0.95) =100,000(0.95)3 ถงุ ในทํานองเดียวกนั ในการรณรงคป ท ี่ n จะมจี ํานวนถุงพลาสติกทใ่ี ชแลว 100,000(0.95)n ถงุ จะไดวา ในการรณรงคปที่ 1, 2, 3, , n จะมจี ํานวนถุงพลาสติกใชแลว 100000(0.95), 100000(0.95)2 , 100000(0.95)3 , , 100000(0.95)n ซ่งึ เปนลําดบั เรขาคณิตทมี่ ีพจนแรก คือ 100,000(0.95) อัตราสว นรว ม คือ 0.95 และพจนท่วั ไป คือ 100,000(0.95)n ดังน้ัน สตู รการคาํ นวณจาํ นวนถุงพลาสตกิ ทีใ่ ชแ ลวในการรณรงคแตล ะป คือ 100,000(0.95)n และจาํ นวนถุงพลาสตกิ ท่ีใชแลว ในการรณรงคป ท่ี 10 คอื 100,000(0.95)10 หรือประมาณ 59,874 ถุง 15. พิจารณาเมือง A ซ่งึ มพี ืน้ ทป่ี า 400 ตารางกโิ ลเมตร โดยพืน้ ที่ปา ลดลงเฉลย่ี ปละ 4% ของ พ้นื ทป่ี า ในปก อนหนา จะไดว า อีก 1 ปข างหนา เมือง A จะมีพน้ื ทป่ี า 400(0.96) ตารางกิโลเมตร อกี 2 ปขา งหนา เมอื ง A จะมพี น้ื ทปี่ า 400(0.96)(0.96) = 400(0.96)2 ตารางกิโลเมตร อกี 3 ปขางหนา เมอื ง A จะมพี ืน้ ท่ีปา 400(0.96)2 (0.96) = 400(0.96)3 ตารางกโิ ลเมตร  จะเหน็ วา อกี 1, 2, 3, … ปขางหนา เมอื ง A จะมีพ้ืนทีป่ า 400(0.96), 400(0.96)2 , 400(0.96)3 ,  ตารางกโิ ลเมตร ซงึ่ เปน ลาํ ดับเรขาคณติ ที่มพี จนแรก คือ 400(0.96) และอัตราสวนรว ม คือ 0.96 ให an แทนลาํ ดบั ของพืน้ ทีป่ าของเมอื ง A โดยพจนท วั่ ไป คือ an = 400(0.96)n ----- (1) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 291 พจิ ารณาเมือง B ซง่ึ มีพ้นื ท่ีปา 60 ตารางกิโลเมตร โดยพื้นทปี่ าเพมิ่ ขึน้ ทกุ ปเ ฉลีย่ ปล ะ 2% ของพ้นื ท่ปี าในปก อ นหนา จะไดวา อีก 1 ปข างหนา เมือง B จะมีพ้นื ทปี่ า 60(1.02) ตารางกโิ ลเมตร อกี 2 ปข า งหนา เมือง B จะมีพ้นื ท่ีปา 60(1.02)(1.02) = 60(1.02)2 ตารางกโิ ลเมตร อกี 3 ปขางหนา เมือง B จะมพี ้นื ทป่ี า 60(1.02)2 (1.02) = 60(1.02)3 ตารางกิโลเมตร  จะเหน็ วา อีก 1, 2, 3, … ปขางหนา เมอื ง B จะมีพ้นื ท่ีปา 60(1.02), 60(1.02)2 , 60(1.02)3 ,  ตารางกิโลเมตร ซึ่งเปนลําดบั เรขาคณิตท่ีมีพจนแรก คอื 60(1.02) และอตั ราสว นรวม คอื 1.02 ให bn แทนลาํ ดับของพนื้ ท่ีปา ของเมอื ง B โดยพจนท ว่ั ไป คอื bn = 60(1.02)n ----- (2) 1) พจิ ารณาพื้นที่ปาในอีก 10 ปข างหนาของเมือง A และ B โดยแทน n ดว ย 10 ใน (1) และ (2) =จะได a10 400(0.96)10 ≈ 265.93 =และ b10 60(1.02)10 ≈ 73.14 ดงั นน้ั อกี 10 ปข างหนา เมือง A จะมีพืน้ ท่ีปา มากกวาเมอื ง B อยูประมาณ 265.93 − 73.14 =192.79 ตารางกิโลเมตร 2) สมมตใิ หอกี n ปข างหนา เมอื ง B มพี นื้ ทปี่ า มากกวาเมือง A นั่นคือ bn > an จาก (1) และ (2) จะไดวา 60(1.02)n > 400(0.96)n  1.02 n > 400  0.96  60  17 n > 20  16  3 log  17 n > log  20   16   3  n log  17  > log  20   16   3  สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

292 คูมือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 log  20   3  n> ≈ 31.29  17  จาก n เปนจํานวนเตม็ บวก log  16  จะไดวา อีกอยางนอย 32 ป เมอื ง B จะมีพื้นท่ีปามากกวา เมือง A 16. 1) พจนทห่ี ายไปของลาํ ดบั นี้ คอื a4, a5 และ a6 กรณีทีล่ ําดับนเ้ี ปนลาํ ดบั เลขคณิต จะตอ งไดวา a2 − a1 = a3 − a2 เนอ่ื งจาก a2 − a1 = 27 −11 = 5 และ a3 − a2 =16 − 27 = 5 2 2 2 2 จะเห็นวา a2 − a1 = a3 − a2 ดังนั้น ลาํ ดับนเ้ี ปนลาํ ดับเลขคณิต ที่มี a1 = 11 และ d = 5 2 จาก an = a1 + (n −1) d จะได a4 = 11 + (4 − 1)  5  = 37  2  2 a5 = 11+ (5 − 1)  5  = 21  2  a6 = 11 + (6 − 1)  5  = 47  2  2 ดงั นนั้ พจนท ่ขี าดหายไป คอื 37 , 21 และ 47 ตามลาํ ดบั 22 กรณที ลี่ ําดับนเี้ ปน ลําดับเรขาคณติ จะตอ งไดวา a2 = a3 a1 a2 27 เนือ่ งจาก a=2 =2 27 และ =a3 1=6 32 ซงึ่ 27 ≠ 32 a1 11 27 22 a2 27 22 27 2 จะเห็นวา a2 ≠ a3 a1 a2 ดงั น้นั ลําดับนีไ้ มเ ปนลาํ ดับเรขาคณติ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 293 2) พจนท่ีหายไปของลาํ ดับนี้ คือ a3, a5 และ a6 กรณีทลี่ ําดบั นเ้ี ปนลําดบั เลขคณิต จะตองไดว า d = a2 − a1 = 11 − 7 = 72 7 11 77 a1 = 7 และ a4 = 265 11 77 จาก an = a1 + (n −1) d จะได a4 = 7 + (4 −1) 72 = 265 77 11 77 ดงั นั้น ลําดบั นเี้ ปน ลําดับเลขคณติ ทม่ี ี a1 =7 และ d = 72 11 77 จะได a3 = 7 + (3 −1) 72  = 193 11 77  77 a5 = 7 + (5 − 1)  72  = 337 11  77  77 a6 = 7 + (6 − 1)  72  = 409 11 77  77 ดังนนั้ พจนท ี่ขาดหายไป คอื 193, 337 และ 409 ตามลาํ ดับ 77 77 77 11 กรณที ลี่ าํ ดับน้ีเปน ลําดับเรขาคณิต จะตอ งไดว า =r a=2 7= 121 และ a4 = 265 a1 7 49 77 11 จาก an = a1rn−1 =จะได a4 17=1 14291 3−1 102, 487 ซึ่ง 102, 487 ≠ 265 539 539 77 นั่นคอื ลาํ ดับนไ้ี มเปน ลําดับเรขาคณิต 3) พจนท ี่หายไปของลาํ ดบั น้ี คอื a4, a5 และ a6 กรณีที่ลาํ ดบั นเ้ี ปนลาํ ดบั เลขคณติ จะตอ งไดว า a2 − a1 = a3 − a2 เนือ่ งจาก a2 − a1 =4 − 6 =−2 และ a3 − a2 =8 − 4 =− 4 33 จะเห็นวา a2 − a1 ≠ a3 − a2 ดังนน้ั ลาํ ดบั นี้ไมเ ปน ลาํ ดบั เลขคณติ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

294 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 กรณที ล่ี ําดบั นี้เปน ลําดบั เรขาคณิต จะตอ งไดว า a2 = a3 a1 a2 8 เน่ืองจาก a2= 4= 2 และ a3= 3= 2 a1 6 3 a2 4 3 จะเหน็ วา a2 = a3 a1 a2 ดังน้นั ลําดับนีเ้ ปน ลาํ ดบั เรขาคณติ ทีม่ ี a1 =6 และ r = 2 3 จาก an = a1rn−1 จะได= a4 6= 23 4−1 16 9 =a5 6= 32 5−1 32 27 =a5 6= 32 6−1 64 81 ดงั นนั้ พจนท ขี่ าดหายไป คอื 16 , 32 และ 64 ตามลําดับ 9 27 81 4) พจนท ี่หายไปของลาํ ดบั น้ี คอื a3, a5 และ a6 กรณที ่ีลําดับน้ีเปนลาํ ดบั เลขคณิต จะตองไดว า d =a2 − a1 =− 5 − 5 =− 15 3 6 6 a1 = 5 และ a4 = − 20 6 3 จาก an = a1 + (n −1) d จะได a4 =5 + (4 − 1)  − 15  =− 20 6 6  3 ดงั นน้ั ลาํ ดบั นี้เปน ลําดับเลขคณิต ทมี่ ี a1 = 5 และ d = − 15 6 6 จะได a3 =5 + (3 − 1)  − 15  =− 25 6  6  6 a5 =5 + (5 − 1)  − 15  =− 55 6  6  6 a6 =5 + (6 − 1)  − 15  =− 35 6 6  3 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 295 ดงั นัน้ พจนที่ขาดหายไป คือ − 25 , − 55 และ − 35 ตามลาํ ดบั 3 66 กรณที ่ีลาํ ดบั น้เี ปนลาํ ดบั เรขาคณิต จะตอ งไดว า r = a2 = −5 = −2 a1 3 5 6 a1 = 5 และ a4 = − 20 6 3 จาก an = a1rn−1 จะได a4 =5 (−2)4−1 =− 20 3 6 ดงั นัน้ ลําดับนเี้ ปนลําดับเรขาคณิต ที่มี a1 = 5 และ r = −2 6 จะได a3 =5 ( )−2 3−1 =10 6 3 a5 =5 ( )−2 5−1 =40 6 3 a6 =5 (−2)6−1 =− 80 3 6 ดงั น้ัน พจนท ขี่ าดหายไป คือ 10 , 40 และ − 80 ตามลําดบั 33 3 17. ให t เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ และกาํ หนดให a = t เนอื่ งจาก a,b,c เปนลําดบั เรขาคณิต ทม่ี ีอตั ราสว นรว ม คอื r จะไดวา b = tr และ c = tr2 เนือ่ งจาก b,a,c เปน ลาํ ดบั เลขคณติ ที่มผี ลตา งรว ม คอื d จะไดวา t= b + d และ c= t + d ดงั น้ัน tr = t − d ----- (1) tr2 = t + d ----- (2) จาก (1) และ (2) จะได tr2 + tr − 2t = 0 t (r + 2)(r −1) = 0 ดังน้ัน t = 0 หรอื r = −2 หรอื r =1 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

296 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 กรณี t = 0 จะไดวา=a 0=, b 0=, c 0 ซ่ึงไมเ ปนลาํ ดับเรขาคณิต เนอ่ื งจากอตั ราสว นรวมไมนิยาม กรณี r = −2 จาก (1) จะได d = 3t นั่นคอื b = −2t และ c = 4t จะไดวา a, b และ c คอื t, − 2t และ 4t ตามลาํ ดบั เม่อื t เปนจํานวนจริงใด ๆ ทไี่ มเทากับ 0 กรณี r =1 จาก (1) จะได d = 0 นั่นคอื b = t และ c = t จะไดวา a, b และ c คือ t, t และ t ตามลาํ ดบั เมื่อ t เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ ที่ไมเทากบั 0 ดังนัน้ จาํ นวนจริง a,b และ c ทัง้ หมด ทท่ี าํ ใหล าํ ดับ a,b,c เปนลาํ ดับเรขาคณิต และลาํ ดับ b,a,c เปนลําดับเลขคณิต มี 2 กรณี คือ กรณที ่ี 1 a = t, b = −2t และ c = 4t กรณีที่ 2 =a t,=b t และ c = t เมื่อ t เปนจํานวนจริงใด ๆ ที่ไมเทากบั 0 18. ให 10, a2, a3 เปนลาํ ดับเลขคณติ ท่ีมีผลตางรว ม คือ d และ 10, b2, b3 เปนลาํ ดบั เรขาคณติ ท่ีมีอตั ราสว นรวม คอื r เน่อื งจาก a2 = b2 และ b3 − a3 =2.5 จะไดวา 10 + d = 10r d = 10r −10 ----- (1) ----- (2) และ 10r2 − (10 + 2d ) = 2.5 จาก (1) และ (2) จะไดว า 10r2 − (10 + 2(10r −10)) = 2.5 10r2 − 20r +10 = 2.5 4r2 − 8r + 3 = 0 (2r − 3)(2r −1) = 0 จะไดวา r = 3 หรือ r = 1 22 กรณี r = 3 จะได d = 5 2 ดงั น้นั พจนท วั่ ไปของลาํ ดบั เลขคณติ คือ 10 + (n −1)(5) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 297 และ พจนท ่ัวไปของลาํ ดับเรขาคณิต คือ  3 n −1  2  10 กรณี r = 1 จะได d = −5 2 ดังน้ัน พจนท ัว่ ไปของลําดบั เลขคณิต คอื 10 + (n −1)(−5) และ พจนทัว่ ไปของลาํ ดับเรขาคณิต คอื  1 n −1  2  10 19. พิจารณาบรษิ ัท A ซึง่ ใหเงนิ เดอื นเริ่มตน 20,000 บาท และแตละปจ ะขนึ้ เงนิ เดอื นให 1,500 บาท จะไดว า ปท่ี 1 ของการทํางาน เจาหนาทฝ่ี ายทรัพยากรบุคคลของบริษัท A จะไดร ับเงินเดือน 20,000 บาท ปท ี่ 2 ของการทาํ งาน เจา หนา ท่ฝี ายทรพั ยากรบคุ คลของบริษัท A จะไดรับเงินเดอื น 20,000 +1,500 บาท ปท ่ี 3 ของการทํางาน เจาหนา ทีฝ่ า ยทรพั ยากรบุคคลของบริษัท A จะไดร ับเงนิ เดือน (20,000 +1,500) +1,500= 20,000 + 2(1,500) บาท ในทาํ นองเดยี วกัน จะไดว า ปที่ n ของการทํางาน เจาหนาที่ฝา ยทรพั ยากรบุคคลของบริษัท A จะไดร บั เงนิ เดอื น 20,000 + (n −1)(1,500) บาท นน่ั คอื ปท ่ี 1, 2, 3, , n ของการทํางาน เจาหนาทฝ่ี า ยทรัพยากรบุคคลของบรษิ ัท A จะได รับเงนิ เดอื น 20000, 20000 +1500, 20000 + 2(1500), , 20000 + (n −1)(1500) บาท ซึ่งเปน ลําดบั เลขคณิตทมี่ ีพจนแ รก คอื 20,000 และผลตา งรว ม คอื 1,500 ให an แทนลาํ ดับของเงนิ เดือนของเจาหนา ท่ฝี ายทรัพยากรบุคคลของบรษิ ทั A โดยพจนท ั่วไป คือ a=n 20000 + (n −1)(1500) ----- (1) พิจารณาบริษทั B ซงึ่ ใหเงินเดือนเรมิ่ ตน 20,000 บาท และแตล ะปจ ะขึน้ เงินเดอื นให 5% ของเงนิ เดอื นปก อ นหนา จะไดวา ปท ่ี 1 ของการทํางาน เจา หนาท่ฝี า ยทรพั ยากรบุคคลของบริษัท B จะไดรบั เงินเดือน 20,000 บาท ปท่ี 2 ของการทํางาน เจาหนา ทฝ่ี ายทรัพยากรบุคคลของบริษัท B จะไดรบั เงนิ เดือน 20,000(1.05) บาท ปท ่ี 3 ของการทํางาน เจาหนาท่ฝี ายทรพั ยากรบคุ คลของบริษทั B จะไดรบั เงินเดอื น 20,000(1.05)(1.05) = 20,000(1.05)2 บาท สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

298 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 ในทํานองเดยี วกนั จะไดวา ปท่ี n ของการทาํ งาน เจาหนาท่ีฝา ยทรพั ยากรบุคคลของบริษัท B จะไดร บั เงนิ เดือน 20,000(1.05)n−1 บาท นนั่ คือ ปท่ี 1, 2, 3, , n ของการทาํ งาน เจา หนา ทฝี่ ายทรัพยากรบคุ คลของบริษัท B จะไดร ับ เงนิ เดือน 20000, 20000(1.05), 20000(1.05)2 , , 20000(1.05)n−1 บาท ซง่ึ เปนลําดบั เรขาคณิตทมี่ พี จนแรก คอื 20,000 และผลอัตราสวนรวม คอื 1.05 ให bn แทนลําดับของเงินเดือนของเจา หนาทฝ่ี า ยทรพั ยากรบคุ คลของบรษิ ัท B โดยพจนท่ัวไป คอื bn = 20000(1.05)n−1 ----- (2) 1) สําหรับเจา หนา ท่ีทรัพยากรบคุ คลของบรษิ ทั A จาก ปที่ 1, 2, 3, , n ของการทาํ งาน เจาหนาที่ฝา ยทรัพยากรบุคคลของบรษิ ัท A จะไดร บั เงนิ เดือน 20000, 20000 +1500, 20000 + 2(1500), , 20000 + (n −1)(1500) บาท ดังน้ัน ลําดบั แทนเงินเดอื นเจา หนา ท่ฝี า ยทรัพยากรบคุ คลของบรษิ ทั A ในแตล ะป คือ 20000, 20000 +1500, 20000 + 2(1500), , 20000 + (n −1)(1500) สําหรับเจา หนาทท่ี รพั ยากรบคุ คลของบริษทั B จาก ปท่ี 1, 2, 3, , n ของการทาํ งาน เจาหนา ท่ีฝายทรัพยากรบุคคลของบรษิ ัท B จะไดร ับ เงินเดอื น 20000, 20000(1.05), 20000(1.05)2 , , 20000(1.05)n−1 บาท ดังนน้ั ลาํ ดับแทนเงินเดือนเจาหนาที่ฝายทรัพยากรบุคคลของบรษิ ัท B ในแตละป คือ 20000(1.05), 20000(1.05)2 , 20000(1.05)3 , , 20000(1.05)n 2) พิจารณาเงินเดอื นในปที่ 10 โดยแทน n ดว ย 10 ใน (1) และ (2) จะได a1=0 20000 + (10 −1)(1500=) 33,500 =และ b10 20000(1.05)10−1 ≈ 31,027 น่ันคือ เงนิ เดือนในปท่ี 10 ของเจาหนา ทฝ่ี า ยทรัพยากรบุคคลของบริษัท A เทา กบั 33,500 บาท และบริษทั B ประมาณ 31,027 บาท ดงั นน้ั ผลตางของเงนิ เดอื นในปที่ 10 ของเจา หนา ทฝ่ี ายทรัพยากรบคุ คลของทง้ั สอง บรษิ ัทประมาณ 33,500 – 31,027 = 2,473 บาท สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 299 20. 1) จาก an = 2cos nπ 6 เขยี นกราฟของลาํ ดบั ไดดงั นี้ จากกราฟ จะเหน็ วา แตละพจนของลาํ ดบั an คือ จาํ นวนจรงิ ซ่ึงอยใู นชว ง [−2, 2] น่ันคือ เม่ือ n มากขนึ้ โดยไมมที ่ีสน้ิ สุด an ไมเ ขา ใกลจ ํานวนใดจาํ นวนหน่ึง ดงั นน้ั ลําดบั นีเ้ ปนลาํ ดบั ลูออก 2) จาก an = 1 sin 2  nπ  n  12  เขยี นกราฟของลาํ ดับไดดงั น้ี จากกราฟ จะเห็นวา แนวของจุดในกราฟจะเขาใกล 0 ซ่งึ หมายความวา เมื่อ n มากข้ึนโดยไมม ีที่สิ้นสุด an จะเขา ใกล 0 แตไ มเ ทากบั 0 ดงั นัน้ ลําดบั น้เี ปนลําดบั ลเู ขา และลมิ ิตของลําดับเทากบั 0 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

300 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 3) จาก an = 8 n2 + 8 เขียนกราฟของลําดบั ไดด ังนี้ จากกราฟ จะเห็นวา แนวของจุดในกราฟจะเขาใกล 0 ซึ่งหมายความวา เมื่อ n มากขึ้นโดยไมมที ีส่ ้นิ สุด an จะเขา ใกล 0 แตไมเทา กับ 0 ดังนั้น ลําดับนีเ้ ปน ลาํ ดบั ลูเ ขา และลมิ ติ ของลาํ ดบั เทา กับ 0 4) จาก an = log(n +10) n เขียนกราฟของลําดับไดดังนี้ จากกราฟ จะเหน็ วา แนวของจดุ ในกราฟจะเขาใกล 0 ซ่ึงหมายความวา เมื่อ n มากขึ้นโดยไมม ีทส่ี ิน้ สุด an จะเขา ใกล 0 แตไมเทากบั 0 ดังนั้น ลาํ ดบั นีเ้ ปน ลําดับลูเขา และลิมิตของลาํ ดับเทากบั 0 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 301 5) จาก an = 2n n2 เขียนกราฟของลําดับไดด งั นี้ จากกราฟ จะเห็นวา เมื่อ n มากขน้ึ โดยไมมที ่ีส้นิ สดุ an มีคา เพ่ิมขึ้นและไมเขาใกล จํานวนใดจาํ นวนหนึ่ง ดงั นัน้ ลําดับน้ีเปนลําดับลูอ อก 6) จาก an = 2n n! เขียนกราฟของลําดับไดดงั น้ี จากกราฟ จะเห็นวา แนวของจุดในกราฟจะเขาใกล 0 ซ่ึงหมายความวา เมื่อ n มากข้ึนโดยไมม ที ่ีส้นิ สุด an จะเขาใกล 0 แตไมเทา กับ 0 ดงั น้นั ลาํ ดบั นเี้ ปนลําดบั ลูเขา และลมิ ิตของลําดับเทา กับ 0 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

302 คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 เนื่องจาก  1  n2  1    2n2 +1    n2   21. 1) lim = lim     1   2) n→∞ n→∞  n2  2 + n2   3) 1   = lim  n2    n→∞ 2 + 1 n2 = lim  1   n2  n→∞ lim  2 + 1   n2  n→∞ = lim  1   n2  n→∞ lim 2 + lim  1   n2  n→∞ n→∞ =0 2+0 =0 ดังนนั้ lim  1 = 0  2n2 + 1  n→∞ นัน่ คือ ลําดับน้ีเปนลาํ ดับลูเ ขา และลิมิตของลาํ ดับคือ 0 เน่อื งจาก lim 2n = lim  2 n 7n  7  n→∞ n→∞ และ 2 <1 จะได lim  2 n = 0 7  7  n→∞ นนั่ คอื lim 2n =0 7n n→∞ ดังน้นั ลําดับน้ีเปน ลาํ ดับลเู ขา และลมิ ติ ของลําดบั คือ 0 ( )เนอื่ งจาก ( )−1 4n+3 =(−1)4n (−1)3 =(−1)4 n (−1) =1n (−1) =1(−1) =−1 สําหรับ ทุกจาํ นวนนบั n จะได lim ( )−1 4n+3 =lim (−1) =−1 n→∞ n→∞ ดังนัน้ ลาํ ดบั น้ีเปน ลาํ ดับลเู ขา และลมิ ิตของลาํ ดบั คอื 0 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 303   4) พจิ ารณา lim 1  1  n→∞ an = lim  5 n   2   n→∞ 3 = 1 lim  2 n 3  5  n→∞ เน่ืองจาก 2 <1 จะได lim  2 n = 0 5  5  n→∞ น่นั คอื 1 lim  =52 n 1=(0) 0 3  n→∞ 3 จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลําดับ an เปน ลําดับลูอ อก 5) จาก an =2 + n =6 + n 3 3    พจิ ารณา 1 = lim  6 1 n  lim  +  n→∞ an n→∞ 3 = lim  6 3 n   +  n→∞  n  3     n   = lim     6 n   n→∞  n  n + n   3   = lim  6 n   +  n→∞ 1 n  = lim  3   n  n→∞ lim  6 + 1  n n→∞ 3 lim  1   n  = n→∞ lim  6  + lim 1  n  n→∞ n→∞ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

304 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 3 lim  1   n  = n→∞ 6 lim  1  + lim 1  n  n→∞ n→∞ = 3(0) 6(0) +1 =0 1 =0 จากทฤษฎีบท 4 จะไดว า ลาํ ดบั an เปนลาํ ดบั ลอู อก 6) เนือ่ งจาก 3n2 (n − 2)! 3n2 (n − 2)! 3n n(n −1)(n − 2)! = n −1 = n! จะได 3n2 (n − 2)! lim 3n lim = n→∞ n −1 n→∞ n! 3 = lim n→∞ 1− 1 n lim 3 = n→∞ lim1 − lim 1 n→∞ n→∞ n =3 1− 0 =3 ดังน้นั 3n2 (n − 2)! lim = 3 n→∞ n! นั่นคอื ลาํ ดบั น้เี ปนลาํ ดับลเู ขา และลิมติ ของลาํ ดับน้ี คอื 3 7) เนือ่ งจาก lim 1 = 1 และ lim=3 3 lim=1 3=(0) 0 n→∞ 2 2 n→∞ n n→∞ n จะได lim  1 + 3  = lim 1 + lim 3  2 n  n→∞ 2 n→∞ n n→∞ = 1+0 2 =1 2 ดงั นนั้ ลาํ ดบั นีเ้ ปนลาํ ดบั ลเู ขา และลิมติ ของลําดับน้ี คอื 1 2 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 305 8) เน่อื งจาก ( ) ( )(n +1)2 − (n −1)2 n2 + 2n +1 − n2 − 2n +1 4=n 2 == 2n 2n 2n จะได (n +1)2 − (n −1)2 lim = l=im 2 2 = lim 2 n→∞ 2n n→∞ n→∞ ดังน้ัน ลาํ ดับนเี้ ปนลําดบั ลูเขา และลิมิตของลําดบั นี้ คือ 2 9) เนื่องจาก lim (n +1)2 = lim n2 + 2n +1 n2 − 2n + 2 n→∞ (n − 1)2 +1 n→∞ n2 1 + 2 + 1  n n2  = lim n→∞ n2 1 − 2 2  n + n2  1+ 2 + 1 n n2 = lim 2 2 n→∞ 1− n + n2 lim1 + lim 2 + lim 1 n n2 = n→∞ n→∞ n→∞ lim 1 − lim 2 + lim 2 n n2 n→∞ n→∞ n→∞ = 1+0+0 1− 0 + 0 =1 ดงั นัน้ lim (n +1)2 =1 n→∞ (n − 1)2 +1 น่ันคอื ลาํ ดบั นเ้ี ปนลําดบั ลูเ ขา และลมิ ติ ของลาํ ดบั น้ี คือ 1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

306 คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 ( () )จาก10) =an 23=nn−+33 3n 1  3 n = 27 ⋅8  2  27 ⋅ 8 2n   พิจารณา lim 1  1  n→∞ an = lim  1 n   27 ⋅8    n→∞ 3 2    = lim  27 ⋅8   3 n  n→∞   2      1  = ( 27 ⋅8) lim  3 n  n→∞  2     = ( 27 ⋅ 8) lim  2 n  3  n→∞ เน่ืองจาก 2 <1 จะได lim  2 n = 0 3  3  n→∞ นั่นคือ ( 27 ⋅ 8) lim  2 n =(27 ⋅8)(0) =0  3  n→∞ จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลาํ ดับ an เปน ลําดับลูออก จาก ( ) ( )11) 4 4n an = 4n+1 + 23n+2 = 9n 4 8n = 4  4 n + 4  8 n 32n + 9  9  9n พิจารณา lim  4  4 n + 4  8 n  = lim 4  4 n + lim 4  8 n   9   9    9   9  n→∞ n→∞ n→∞ = 4 lim  4 n + 4 lim  8 n  9   9  n→∞ n→∞ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 307 เนอื่ งจาก 4 <1 และ 8 <1 จะได lim  4 n =0 และ lim  8 n =0 9  9   9  9 n→∞ n→∞ ดังนัน้ lim  4  4 n + 4  8 n  = 4(0) + 4 (0) = 0   9   9   n→∞ นน่ั คอื ลําดับนเี้ ปน ลาํ ดับลเู ขา และลมิ ติ ของลาํ ดบั คือ 0 12) จา=ก an =n 1 และ 3 n +1 n2 1 n3 +1 lim 1 1  n→∞ an  n3 +1 = lim  1  n→∞ n 2  1   n3 1  = lim 1 +   n 2 1  n→∞ n2 =  −1 −1  lim  n 6 +n 2  n→∞  1 1  = lim  +  1 1 n→∞ 6 n2 n  1   1      = lim  1  + lim  1   n→∞ n6 n→∞ n2  = 0+0 =0 จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลําดบั an เปน ลาํ ดับลอู อก สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

308 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 13) เน่ืองจาก lim n3 + 8 n3 1 + 8  n→∞ 8n3 + n − 8 n3  = lim n→∞  1 8  n3  8 + n2 − n3  1+ 8 n3 = lim n→∞ 1 8 8+ n2 − n3 lim 1 + lim 8 n3 = n→∞ n→∞ lim 8 + lim 1 − lim 8 n2 n→∞ n3 n→∞ n→∞ = 1+0 8+0−0 =1 8 จะได lim n3 + 8 = lim n3 + 8 8n3 + n − 8 n→∞ n→∞ 8n3 + n − 8 =1 8 =2 4 ดงั นน้ั ลาํ ดบั นี้เปน ลําดบั ลูเขา และลิมติ ของลําดับ คอื 2 4 ( ) ( )=14) จาก (n +1)3 − (n −1)3 n3 + 3n2 + 3n + 1 − n3 − 3n2 + 3n −1 3n2 + 1 = 2n 2n n    จะได lim 1 = lim  1  n→∞ an n→∞  3n2 + 1  n = lim  n  3n2 + 1  n→∞  n2  n     n2   = lim  1    3n2 n2   n→∞  n2  n2 +     สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 309  1    n   = lim     1   n→∞   3 + n2   = lim  1   n  n→∞ lim  3 + 1   n2  n→∞ = lim  1   n  n→∞ lim 3 + lim  1   n2  n→∞ n→∞ =0 3+0 =0 จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลําดบั an เปนลําดบั ลูออก ( )15) จาก =n − n2 + 3 n(n − 7) − n2 + 3 −7n − 3 = n−7 n−7 n−7 จะได lim  n − n2 + 3  = lim  −7n − 3   n−7   n−7  n→∞   n→∞  n  − 7n − 3     n n   = lim   n→∞   n 7    n  n − n   = lim  −7 − 3   n  n→∞    1− 7   n lim  −7 − 3   n  = n→∞ lim 1 − 7  n  n→∞ สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

310 คูมือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 lim ( −7 ) − lim  3   n  = n→∞ n→∞ lim 1 − lim  7   n  n→∞ n→∞ lim ( −7 ) − 3 lim  1   n  = n→∞ n→∞ lim 1 − 7 lim  1   n  n→∞ n→∞ −7 − 3(0) = 1− 7(0) = −7 ดังนั้น ลําดบั นี้เปนลําดับลเู ขา และลิมติ ของลําดับ คอื −7 ( )16) จาก=n +1 + n − 3n2 2 6n − 5 (n +1)(6n − 5) + 2 n − 3n2 3n − 5 2=(6n − 5) 12n −10 จะได lim  n +1 + n− 3n2  = lim  3n −5   2 6n −5   12n − 10  n→∞   n→∞  n  3n − 5     n n   = lim     12n 10   n→∞  n  n − n    3 − 5   −  = lim  n  10  n→∞  12  n lim  3 − 5   n  = n→∞ lim 12 − 10  n  n→∞ lim 3 − lim  5   n  = n→∞ n→∞ lim 12 − lim  10   n  n→∞ n→∞ สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 311 lim 3 − 5 lim  1   n  = n→∞ n→∞ lim 12 − 10 lim  1   n  n→∞ n→∞ 3 − 5(0) = 12 −10(0) =1 4 ดงั นั้น ลาํ ดบั นี้เปนลาํ ดบั ลเู ขา และลิมิตของลําดับ คอื 1 4 22. วธิ ีการหาลมิ ติ ของลําดับ an ท่ีกําหนดให ซง่ึ เปนการใชทฤษฎบี ท 3 ขอ 6) นัน้ ไมถ ูกตอง เนื่องจาก การหาลิมิตโดยใชความรูวา lim an = lim an จะใชไดเม่ือ lim an และ lim bn n→∞ n→∞ n→∞ bn→∞ lim bn n n→∞ หาคา ได และ lim bn ≠0 n→∞ แต (lim 2n4 )− n2 และ (lim 3n4 +13) ไมม คี า จึงไมส ามารถใชวธิ ดี งั กลาวได n→∞ n→∞ 23. ให x เปน จาํ นวนเต็ม สมมตใิ หล าํ ดับ an เปนลําดบั ลูเ ขา โดยที่ an =  2x2 +1 n  x2 + 5    จะไดว า ลําดับ an เปน ลาํ ดบั เรขาคณิตท่มี ี a1 = 2x2 +1 และ r = 2x2 +1 x2 + 5 x2 + 5 จากลาํ ดบั an เปน ลาํ ดับลูเ ขา จะไ=ดวา r 2x2 +1 <1 x2 + 5 ดังน้ัน −1 < 2x2 +1 <1 ----- (1) x2 + 5 จาก x เปนจํานวนเต็ม จะไดว า x2 ≥ 0 ดงั นนั้ x2 + 5 > 0 จาก (1) จะไดวา −x2 − 5 < 2x2 +1 < x2 + 5 พจิ ารณา −x2 − 5 < 2x2 +1 จะไดว า −2 < x2 ซง่ึ เปนจรงิ สาํ หรับทกุ จํานวนเต็ม x พิจารณา 2x2 +1 < x2 + 5 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

312 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 จะไดวา x2 < 4 ดังน้นั −2 < x < 2 จะไดว า จาํ นวนเตม็ x ท่ีสอดคลอ งกับ −2 < x < 2 คอื −1, 0 และ 1 ดังนั้น จํานวนเต็ม x ทัง้ หมดทที่ ําให an เปนลําดับลูเขา คือ x =−1, x =0 และ x = 1 24. จาก an = a1 + (n −1) d อนุกรมทก่ี ําหนดใหม ี a1 =19, d = 4 และ an = 999 จะได 999 = 19 + (n −1)(4) 999 = 19 + 4n − 4 n = 246 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S246 = 246 (19 + 999) = 125,214 2 ดงั น้ัน ผลบวกของอนกุ รมเลขคณิตน้ี คือ 125,214 25. 1) อนุกรมทีก่ ําหนดใหมี a1 = 2 และ d = 4 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S40 = 40 (2(2) + (40 −1)(4)) = 3,200 2 ดังน้ัน ผลบวก 40 พจนแรกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 3,200 2) อนุกรมท่ีกําหนดใหมี a1 = 20 และ d = −3 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S70 = 70 (2(20) + (70 −1)(−3)) = −5,845 2 ดังน้ัน ผลบวก 70 พจนแรกของอนุกรมเลขคณติ นี้ คือ −5,845 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 313 3) อนกุ รมทกี่ าํ หนดใหมี a1 = −1 และ d = 2 3 3 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S100 = 100  2  − 1  + (100 − 1)  2   = 9,800 2   3   3   3   ดงั นัน้ ผลบวก 100 พจนแรกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 9,800 3 26. จาํ นวนเต็มต้งั แต 9 ถึง 357 ทน่ี อยท่สี ดุ ทีห่ ารดว ย 7 ลงตัว คอื 14 = 7(2) และจํานวนเต็มตงั้ แต 9 ถงึ 357 ท่ีมากท่สี ุดท่ีหารดวย 7 ลงตัว คือ 357 = 7(51) จะไดวา ลําดบั ของจาํ นวนเตม็ ตงั้ แต 9 ถงึ 357 ทีห่ ารดวย 7 ลงตัว คือ 14, 21, 28, , 357 ซ่ึงเปน ลาํ ดับเลขคณติ ทีม่ ีพจนแ รกเปน 14 ผลตา งรวมเปน 7 และพจนท่ี n เปน 357 จาก an = a1 + (n −1) d จะไดว า 357 =14 + (n −1)(7) น่นั คอื n = 50 จากผลบวกของจาํ นวนเตม็ ตงั้ แต 9 ถงึ 357 ทีห่ ารดว ย 7 ลงตวั คอื 14 + 21+ 28 +  + 357 พจิ ารณา 14 + 21+ 28 +  + 357 = 14 + 21+ 28 +  + (14 + (50 −1)(7)) 50 = ∑(14 + (i −1)(7)) i =1 50 = ∑(7i + 7) i =1 50 50 = ∑(7i) + ∑7 =i 1 =i 1 50 50 = 7∑i + ∑7 =i 1 =i 1 = 7  50 ( 50 + 1)  + 50 ( 7)  2    = 9,275 ดังนน้ั ผลบวกของจํานวนท่ี 7 หารลงตัว ตั้งแต 9 ถึง 357 คอื 9,275 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

314 คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 27. ให a4 = 11 และ a9 = − 4 ----- (1) จะได 11 = a1 + (4 −1)d ----- (2) นนั่ คอื 11 = a1 + 3d และ − 4 = a1 + (9 −1)d นน่ั คือ − 4 = a1 + 8d จาก (1) และ (2) จะได d = −3 และ a1 = 20 พจิ ารณาผลบวกของพจนท ี่ 12 ถึงพจนท ี่ 25 คอื a12 + a13 + a14 +  + a25 = (a1 + a2 + a3 +  + a25 ) − (a1 + a2 + a3 +  + a11 ) = S25 − S11 จาก S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S25 = 25 (2(20) + (25 −1)(−3)) = − 400 2 และ S11 = 11(2(20) + (11−1)(−3)) = 55 2 นน่ั คือ S25 − S11 =− 400 − 55 =− 455 ดงั น้ัน ผลบวกของพจนท่ี 12 ถงึ พจนท่ี 25 ของลําดับเลขคณิตนี้ คอื −455 28. โรงละครแหงหนงึ่ จัดเกาอ้ีแถวแรกไว 12 ตวั แถวทส่ี อง 14 ตัว แถวที่สาม 16 ตัว เชน นี้ไปเรื่อย ๆ นน่ั คอื จํานวนเกาอี้ในแถวที่ 1, 2, 3, … เทากับ 12, 14, 16, … ซึง่ เปนลําดับเลขคณิตท่มี ี พจนแรก คอื 12 และอัตราสว นรวม คือ 2 1) ตอ งการจดั เกา อีไ้ วทัง้ หมด 20 แถว พิจารณาผลบวกของจาํ นวนเกาอี้ตั้งแตแ ถวที่ 1 ถึงแถวที่ 20 คือ a1 + a2 + a3 +  + a20 =S20 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S20 = 20 (2(12) + (20 −1)(2)) = 620 2 ดังนน้ั ถา ตอ งการจัดเกา อ้ีไวทงั้ หมด 20 แถว จะตองใชเกาอท้ี ัง้ หมด 620 ตัว สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 315 2) จากขอ 1) ถาจัดเกาอี้ 20 แถว จะมเี กาอท้ี ้งั หมด 620 ตวั แตตองการจดั เกา อีเ้ พยี ง 600 ตวั ดงั นนั้ จะพิจารณาวา ถามีเกา อ้ี 19 แถว จะมีเกาอ้ีทง้ั หมดกี่ตัว นั่นคือ ตอ งหาคา ของ S19 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S19 = 19 (2(12) + (19 −1)(2)) = 570 2 จะเหน็ วาเมอื่ จดั เกาอี้ตามเงอ่ื นไขที่กําหนดจาํ นวน 19 แถว จะมีเกาอที้ ั้งหมด 570 ตวั จึงตอ งจัดเกาอ้ีเพิ่มเปน แถวที่ 20 อีก 30 ตวั จึงจะไดเกา อีท้ ัง้ หมด 600 ตัว ดังนนั้ จะตอ งจัดเกาอ้ีท้ังหมด 20 แถว และในแถวสุดทาย (แถวที่ 20) จะมเี กาอ้ี 30 ตัว 29. 1) ระยะหา งระหวา งตะกรากับชามใบท่ี 1 เทากบั 5 เมตร 2) ระยะหางระหวางตะกรากบั ชามใบท่ี 2 เทา กับ 5 + 3 =8 เมตร 3) ระยะหา งระหวางตะกรา กับชามใบท่ี 3 เทากับ 5 + 3 + 3 =11 เมตร 4) จากขอ 1), 2) และ 3) จะไดวา ระยะหางระหวา งตะกรากับชามใบที่ 1, 2, 3, … คอื 5, 8, 11, … ซงึ่ เปน ลาํ ดบั เลขคณิตท่ีมี a1 = 5 และ d = 3 จาก an = a1 + (n −1)d จะได an = 5 + (n −1)(3) = 5 + 3n − 3 = 3n + 2 ดังนน้ั ระยะหางระหวา งตะกรากับชามใบที่ n เทา กับ 3n + 2 เมตร 5) ใหก ารแขง ขนั นีม้ ีชาม n ใบ จากขอ 4) จะไดวา 23 = 3n + 2 n=7 ดังนนั้ จาํ นวนชามทั้งหมด เทา กบั 7 ใบ สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

316 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 6) 6.1) จากขอ 5) และผูเขา แขงขนั ไมทาํ ลกู ปง ปองตกเลย จะไดว า การตักลูกบอลลูกที่ 1 ไปยงั ชามใบท่ี 1 ผเู ขา แขงขันตองวง่ิ ไปและกลับเปนระยะทาง 5 +=5 2(5=) 2a1 เมตร การตกั ลูกบอลลูกที่ 2 ไปยังชามใบที่ 2 ผูเขาแขงขันตอ งวิง่ ไปและกลับเปน ระยะทาง 8 +=8 2(8=) 2a2 เมตร การตกั ลกู บอลลูกที่ 3 ไปยังชามใบที่ 3 ผเู ขา แขงขันตองวิง่ ไปและกลบั เปนระยะทาง 11+1=1 2(11=) 2a3 เมตร ในทาํ นองเดยี วกัน จะไดวา การตกั ลูกบอลลูกท่ี 7 ไปยงั ชามใบที่ 7 ผูเขาแขง ขันตอง วง่ิ ไปและกลับเปนระยะทาง 2a7 เมตร ดังนน้ั ระยะทางจากจดุ เร่มิ ตน จนสิน้ สดุ การแขงขัน เทากบั 2a1 + 2a2 + 2a3 +  + 2a7 = 2(a1 + a2 + a3 +  + a7 )= 2S7 เมตร จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S7 = 7 (2(5) + (7 −1)(3)) = 98 2 ดงั นั้น ถาผเู ขาแขงขนั ไมทําลูกปง ปองตกเลย จะได ระยะทางจากจดุ เรมิ่ ตน จนสนิ้ สุดการแขงขัน คือ 2×98 =196 เมตร 6.2) จากผเู ขาแขง ขันทําลกู ปงปองตกระหวางทน่ี ําลูกปง ปองไปใสใ นชามใบท่ี 4 โดยทาํ ตกหางจากตะกรา 3 เมตร จะไดว า ผูเขา แขงขันตอ งวงิ่ กลบั ไปยงั จุดเริ่มตนเปนระยะทาง 3 เมตร เพ่ือตักลกู ปงปองลูกใหม ดังนั้น ผูเขาแขงขันจะตอ งว่ิงเปน ระยะทางที่เพ่มิ ขนึ้ 3 + 3 =6 เมตร จากขอ 6.1) จะไดว า ผูเขาแขงขันจะตองวิ่งเปนระยะทางทั้งหมด 196 + 6 = 202 เมตร ดงั นั้น ถาผูเ ขาแขง ขันทําลูกปงปองตกระหวา งทนี่ าํ ลกู ปง ปองไปใสในชามใบที่ 4 โดยทาํ ตกหา งจากตะกรา 3 เมตร จะไดร ะยะทางจากจดุ เริ่มตน จนส้ินสุดการ แขงขนั คือ 202 เมตร สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 317 30. ปรมิ าตรของอิฐท่ใี ชส รา งบันไดขน้ั ท่ี 15 (ขนั้ บนสดุ ) คือ 1× 0.25× 0.35 ลกู บาศกเมตร ปรมิ าตรของอิฐท่ใี ชส รางบนั ไดขน้ั ท่ี 14 คือ 1× 0.25× 2(0.35) ลูกบาศกเมตร ปริมาตรของอิฐท่ีใชส รางบนั ไดขน้ั ที่ 13 คือ 1× 0.25×3(0.35) ลกู บาศกเมตร ในทํานองเดียวกนั จะไดว า ปรมิ าตรของอิฐทีใ่ ชส รา งบนั ไดขั้นที่ 1 คือ 1× 0.25×15(0.35) ลกู บาศกเมตร ดงั นั้น ปริมาตรรวมของอิฐท่ใี ชสรา งบันไดนี้ เทากับ (1× 0.25× 0.35) + (1× 0.25× 2(0.35)) + (1× 0.25× 3(0.35)) +  + (1× 0.25×15(0.35)) =1× 0.25× 0.35(1+ 2 + 3 +  +15) ลูกบาศกเ มตร ∑เนอ่ื งจาก 1+ 2 + 3 +  +15=15 15 (1+15=) 120 =i i=1 2 จะได ปรมิ าตรรวมของอิฐที่ใชส รา งบนั ไดน้ี เทากับ 1× 0.25× 0.35(1+ 2 + 3 +  +15) =1× 0.25× 0.35(120) =10.5 ลกู บาศกเ มตร 31. อนุกรมเลขคณิตทกี่ าํ หนดใหมี =a1 6=, r 3 และ an =1,458 จาก an = a1rn−1 จะได 1,458 = 6( )3 n−1 243 = ( )3 n−1 นน่ั คือ 35 = (3)n−1 n −1 = 5 n= 6 ( )Sn แทน n ดวย 6 ใน = a1 rn −1 r −1 จะได 6(36 −1) S6 = 3 −1 = 2,184 ดงั นั้น 6 +18 + 54 + +1, 458 =2,184 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

318 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 31. จากอนุกรมเรขาคณิต 6 +18 + 54 + +1,458 จะได =a1 6=, r 3 และ an = 1,458 จาก an = a1rn−1 จะได 1,458 = 6( )3 n−1 243 = ( )3 n−1 นนั่ คอื 35 = ( )3 n−1 จะได n −1 = 5 n= 6 ( )Sn แทน n ดวย 6 ใน = a1 rn −1 r −1 จะได 6(36 −1) S6 = 3 −1 = 2,184 ดังนน้ั 6 +18 + 54 + +1, 458 =2,184 32. 1) จากลาํ ดับเรขาคณิต 1, 4,16, 64, จะได a1 =1 และ r = 4 แทน n ดว ย 30 ใน Sn = ( )a1 rn −1 r −1 ( ) ( )จะได S30 1 430 −1 = 1 430 −1 = 3 4 −1 2) จากลาํ ดบั เรขาคณติ − 3 , 3 , − 3 , 3 , 32 16 8 4 จะได a1 = −3 และ r = −2 32 แทน n ดว ย 43 ใน Sn = ( )a1 1− rn 1− r − 3 1 − (−2)43 ( )จะได (−2)43 −1 S43 = 32 = 1− (−2) 32 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 319 3) จากลาํ ดับเรขาคณติ 27 , 9 , 3, 1 , 32 16 8 4 จะได a1 = 27 และ r=2 32 3 แทน n ดว ย 28 ใน Sn = ( )a1 1− rn 1− r 27  −  2 28   28  32 1  3   1   จะได S28 = = 81  2 1− 2 32 −  3 3 33. ให a5 = − 4 และ a8 = 1 2 จะได − 4 = a1r5−1 นน่ั คือ − 4 = a1r4 ----- (1) และ 1 = a1r8−1 2 นั่นคือ 1 = a1r7 ----- (2) 2 จาก (1) และ (2) จะได r = −1 และ a1 = − 64 2 พจิ ารณาผลบวกของพจนท ่ี 2 ถึงพจนท่ี 9 คือ a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 = (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 ) − a1 = S9 − a1 ( )จาก Sn = a1 1 − rn 1− r − 64  −  − 1 9  1  2   จะได S9 = = − 171  1  4 1 −  − 2  จะได S9 − a1 = −171 − (− 64) = 85 4 4 ดงั น้ัน ผลบวกของพจนท ่ี 2 ถงึ พจนท ่ี 9 คอื 85 4 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

320 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 34. วิทยามเี งนิ 6,561 บาท เขาไปเท่ยี วและใชเงินทกุ วนั โดยที่แตล ะวันใชเงนิ 1 ของเงินทเ่ี หลือจากวันกอ นหนา จะไดว า 3 วันที่ 1 วทิ ยาใชเงินไป 1 (6,561) บาท 3 นัน่ คอื เมอ่ื ครบ 1 วัน วิทยาเหลอื เงินอยู 6,561− 1 (6,561) =2 (6,561) บาท 33 วันท่ี 2 วทิ ยาใชเ งนิ ไป 1  2 ( 6, 561)  บาท 3  3  น่นั คอื เมอื่ ครบ 2 วัน วทิ ยาเหลือเงนิ อยู 2 ( 6, 561) − 1  2 ( 6, 561)  = 32 2 (6,561) บาท 3 3  3  วนั ท่ี 3 วิทยาใชเงินไป 1   2 2 ( 6, 561)  บาท 3   3   นน่ั คอื เมอื่ ครบ 3 วนั วทิ ยาเหลอื เงนิ อยู  2 2 ( 6, 561) − 1   2 2 ( 6, 561)  = 23 3 (6,561) บาท  3  3   3   ในทาํ นองเดียวกนั วนั ท่ี วิทยาใชเงินไป 1   2 n −1  บาท 3   3   n ( 6, 561) นัน่ คอื เม่อื ครบ n วนั วทิ ยาเหลือเงินอยู  2 n ( 6, 561) บาท  3  ดังนน้ั เมือ่ ครบ 8 วัน วิทยาจะมีเงนิ เหลือ  2 8 ( 6, 561) = 256 บาท  3  35. 1) การแขง ขันรอบที่ 1 มผี เู ขา แขงขนั ทัง้ หมด 32 คน จะมีการแขงขัน 16 คู การแขง ขันรอบที่ 2 มีผเู ขา แขง ขนั คอื ผูช นะจากรอบท่ี 1 ซึง่ มี 16 คน จะมกี ารแขงขัน 8 = 1 (16) คู 2 การแขง ขนั รอบที่ 3 มีผูเขาแขงขนั คือ ผชู นะจากรอบท่ี 2 ซึ่งมี 8 คน จะมกี ารแขง ขนั 4 =  1 2 (16 ) คู  2  ในทาํ นองเดยี วกัน จะไดวา การแขง ขนั รอบท่ี n จะมีการแขง ขนั  1 n−1 (16) คู  2  ดังนน้ั ในรอบท่ี n มผี ูเขาแขงขัน  1 n−1 (16) คู  2  สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 321 2) เนอ่ื งจากรอบสดุ ทายทจี่ ะไดผ ชู นะ จะมกี ารแขง ขนั เพยี ง 1 คู นนั่ คอื หา n ทท่ี าํ ให an =1 จะไดว า 1 =  1 n−1 (16)  2  1 =  1 n−1 16  2   1 4 =  1 n−1  2   2  4 = n −1 นัน่ คอื n = 5 ดงั นั้น รายการลกู ทงุ เสียงทองมกี ารแขงขนั ทั้งหมด 5 รอบ 3) จาก 1) และ 2) จะไดว า รายการลกู ทุงเสยี งทองมกี ารแขงขันทั้งหมด 5 รอบ โดยรอบท่ี 1, 2, 3 และ 5 มกี ารแขงขัน 16, 8, 4 และ 1 คู ตามลาํ ดบั พจิ ารณาการแขงขนั รอบท่ี 4 จะไดวา มีการแขง ขัน  1 4−1 (16) = 2 คู  2  ดังนน้ั รายการลกู ทงุ เสยี งทองมีการแขงขันทัง้ หมด 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31 คู 36. คอนโดมิเนียมแหงหนึ่งไดป ระมาณจํานวนแมลงสาบท่ีมีอยูข ณะเรมิ่ ตน โครงการไว 6,000 ตัว หลังจากวางยากําจัดแมลงสาบในจดุ ตา ง ๆ พบวา อตั ราการลดลงของจาํ นวนแมลงสาบ เทากบั 17% ตอ วนั นนั่ คือ จํานวนแมลงสาบลดลงวนั ละ 17% ของจํานวนแมลงสาบท่เี หลืออยูในวันกอนหนา ถา ไมมแี มลงสาบเพิ่มข้นึ ในระยะเวลา 7 วัน จะไดว า จํานวนแมลงสาบทถี่ ูกกําจดั ในวนั ที่ 1 ท่ดี ําเนินโครงการ เทากบั 17 (6,000) ตวั 100 ทาํ ใหเหลือจํานวนแมลงสาบอยู 6,000 − 17 (6,000) =83 (6,000) ตัว 100 100 จํานวนแมลงสาบท่ถี ูกกาํ จดั ในวนั ที่ 2 ที่ดําเนินโครงการ เทากับ 17  83 (6, 000)  ตัว 100  100  ทาํ ใหเ หลือจาํ นวนแมลงสาบอยู 83 ( 6, 000 ) − 17  83 ( 6, 000 )  = 18030 2 (6,000) ตัว 100 100  100  สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

322 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 จํานวนแมลงสาบท่ีถูกกาํ จดั ในวันที่ 3 ทด่ี ําเนนิ โครงการ เทา กบั 17   83 2 ( 6, 000)  ตัว 100   100   ทําใหเ หลือจํานวนแมลงสาบอยู  83 2 ( 6, 000 ) − 17   83 2 ( 6, 000)  = 18030 3 (6,000) ตวั  100  100   100   ในทาํ นองเดยี วกนั จาํ นวนแมลงสาบท่ถี กู กาํ จัดในวันที่ n ที่ดําเนินโครงการ เทา กับ 17   83 n−1 ( 6, 000 )  ตวั ทําใหเ หลือจํานวนแมลงสาบอยู  83 n ( 6, 000) ตวั 100   100    100  1) เนอื่ งจาก จํานวนแมลงสาบที่ถูกกําจัดในวันที่เริ่มตน โครงการ คอื จํานวนแมลงสาบที่ ถกู กาํ จัดในวนั ท่ี 1 ทดี่ ําเนินโครงการ ซ่งึ เทา กบั 17 (6,000) =1,020 ตวั 100 ดังนน้ั จาํ นวนแมลงสาบทถี่ ูกกําจดั ในวันที่เรม่ิ ตน โครงการ เทา กับ 1,020 ตวั 2) เน่ืองจาก จํานวนแมลงสาบขณะเริ่มตนโครงการ เทากับ 6,000 ตวั และจาํ นวนแมลงสาบท่ีถูกกาํ จัดในวนั ท่ี 1 ทด่ี าํ เนนิ โครงการ เทา กบั 1,020 ตัว ดงั น้นั จาํ นวนแมลงสาบที่เหลืออยหู ลงั จากดาํ เนนิ โครงการไปแลว 1 วัน เทากับ 6,000 – 1,020 = 4,980 ตัว 3) เน่ืองจาก จาํ นวนแมลงสาบที่ถูกกาํ จัดในวันที่ 1, 2, 3, , n ทีด่ ําเนินโครงการ เทากับ 17 17  83  17   83 2  17   83 n −1  100 100  100  100   100   100   100   ( 6, 000 ) , ( 6, 000) , ( 6, 000 ) , , ( 6, 000 ) ซึ่งเปนลาํ ดบั เรขาคณิตที่มีพจนแ รก คือ 17 (6,000) ผลตางรวม คอื 83 และ 100 100 พจนทัว่ ไป คือ 17   83 n−1 ( 6, 000)  100   100   และจํานวนแมลงสาบท้ังหมดทถ่ี ูกกําจดั หลงั จากดําเนินโครงการไปแลว 7 วัน คอื ผลรวมของ จาํ นวนแมลงสาบทถี่ ูกกําจดั ในวันที่ 1, 2, 3, , 7 ทด่ี ําเนนิ โครงการ ซึ่งเทา กับ a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 =S7 ( )จาก Sn = a1 1− rn 1− r สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 323 6, 000  17   −  83 7   100  1  100   จะได S7 = ≈ 4,372 ตัว 1− 83 100 ดังนน้ั จาํ นวนแมลงสาบทงั้ หมดท่ีถูกกาํ จดั หลังจากดําเนนิ โครงการไปแลว 7 วัน มปี ระมาณ 4,372 ตัว 4) เน่ืองจาก จาํ นวนแมลงสาบขณะเร่มิ ตน โครงการ เทากบั 6,000 ตวั และจํานวนแมลงสาบท้ังหมดที่ถกู กาํ จัดหลงั จากดาํ เนินโครงการไปแลว 7 วนั ประมาณ 4,372 ตัว ดังนน้ั จาํ นวนแมลงสาบท่ีเหลืออยูห ลงั จากดําเนนิ โครงการไปแลว 7 วนั ประมาณ 6,000 – 4,372 = 1,628 ตัว 37. จาก จํานวนวนั ในการปฏิบตั ิภารกจิ 25 วัน จะไดว า แบบที่ 1 เศรษฐีจะจายคาตอบแทนท้ังหมด 25×50,000 =1,250,000 บาท แบบที่ 2 เศรษฐจี ะจายคาตอบแทน ในวนั ท่ี 1, 2, 3, … เปน เงิน 5, 10, 20, … สตางค ซึง่ เปนลําดับเรขาคณติ ที่มี a1 = 5 และ r = 2 จะไดว า เศรษฐจี ะจายคาตอบแทนรวมในแบบที่ 2 เทากับ S25 ( )จาก Sn = a1 rn −1 r −1 ( )จะได S25 5 225 −1 = = 167,772,155 2 −1 นนั่ คอื เศรษฐีจะจายคา ตอบแทนรวมในแบบที่ 2 เทา กับ 167,772,155 สตางค หรอื 1,677,721.55 บาท 1) เนอื่ งจาก เศรษฐีจะตองจา ยคา ตอบแทนรวมในแบบที่ 1 เทากบั 1,250,000 บาท และ เศรษฐีจะตอ งจา ยคา ตอบแทนรวมในแบบท่ี 2 เทา กับ 1,677,721.55 บาท ดังนน้ั เศรษฐคี วรเลือกจายคา ตอบแทนแบบที่ 1 จงึ จะประหยัดเงนิ ที่สุด สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

324 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 2) ถาใชเวลาปฏิบตั ภิ ารกิจ 30 วนั 3) แบบที่ 1 จะเสียคา ตอบแทน 30× 50,000 =1,500,000 บาท 38. 1) แบบที่ 2 จะเสียคา ตอบแทน S30 = ( )5 1− 230 หรอื เทากับ 1− 2 5,368,709,115 สตางค หรอื 53,687,091.15 บาท ดงั นนั้ ถา เลอื กจา ยคาตอบแทนแบบที่ 1 จะประหยัดเงินกวาการจายคาตอบแทน แบบท่ี 2 เปนจํานวนเงิน 52,187,091.15 บาท การจา ยคา ตอบแทนแบบทีเ่ ลอื กในขอ 1) อาจไมประหยดั กวาอกี แบบ เชน เม่อื จาํ นวนวัน ในการปฏบิ ัตภิ ารกิจเปน 24 วนั จะไดวา แบบที่ 1 จะเสยี คา ตอบแทน 24× 50,000 =1,200,000 บาท แบบท่ี 2 จะเสยี คาตอบแทน S24 = ( )5 1− 224 หรือเทากับ 1− 2 83,886,075 สตางค หรอื 838,860.75 บาท จะเห็นวา การจา ยคา ตอบแทนแบบที่ 2 ประหยัดกวา การจา ยคา ตอบแทนแบบท่ี 1 กรณีทอี่ นกุ รมนี้เปน อนกุ รมเลขคณิต จะตองไดว า a2 − a1 = a3 − a2 เนื่องจาก a2 − a1 = 8 − 2 = 6 และ a3 − a2 = 32 − 8 = 24 จะเหน็ วา a2 − a1 ≠ a3 − a2 ดงั นั้น อนุกรมน้ไี มเ ปนอนกุ รมเลขคณิต กรณที อ่ี นกุ รมนี้เปนอนกุ รมเรขาคณิต จะตอ งไดวา a2 = a3 a1 a2 เน่ืองจาก a2= 8= 4 และ a=3 3=2 4 a1 2 a2 8 จะเห็นวา a2 = a3 a1 a2 ดงั นัน้ อนุกรมนเี้ ปนอนุกรมเรขาคณิต ทีม่ ี =a1 2=, r 4 และ an = 8,192 จาก an = a1rn−1 จะได 8,192 = 2( )4 n−1 4,096 = 4n−1 46 = 4n−1 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 325 น่ันคือ n −1 = 6 n=7 ดงั นน้ั 8,192 เปน พจนที่ 7 ของอนุกรมนี้ ( )จาก Sn = a1 rn −1 r −1 ( )จะได S7 = 2 47 −1 = 10,922 4 −1 ดังนน้ั 2 + 8 + 32 + + 8,192 เปนอนุกรมเรขาคณติ ที่มีผลบวกของอนกุ รม เทา กับ 10,922 2) กรณีท่ีอนุกรมนเ้ี ปน อนุกรมเลขคณติ จะตองไดว า a2 − a1 = a3 − a2 เนื่องจาก a2 − a1 = 14 − 7 = 7 และ a3 − a2 = 21−14 = 7 จะเหน็ วา a2 − a1 = a3 − a2 ดงั นัน้ อนกุ รมนเี้ ปนอนกุ รมเลขคณติ ทีม่ ี=a1 7=, d 7 และ an = 98 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 98 = 7 + (n −1)(7) 98 = 7n n = 14 ดังนั้น 98 เปน พจนท ่ี 14 ของอนุกรมน้ี จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S14 = 14 (7 + 98) = 735 2 ดังนน้ั 7 +14 + 21++ 98 เปน อนกุ รมเลขคณิตทมี่ ีผลบวกของอนุกรม เทา กบั 735 กรณที ่ีอนกุ รมนีเ้ ปน อนกุ รมเรขาคณิต จะตองไดว า a2 = a3 a1 a2 เนื่องจาก a=2 1=4 2 และ a=3 2=1 3 a1 7 a2 14 2 จะเหน็ วา a2 ≠ a3 a1 a2 ดงั นั้น อนุกรมนไ้ี มเปน อนุกรมเรขาคณิต สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

326 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 3) กรณีที่อนุกรมนเ้ี ปน อนุกรมเลขคณิต จะตอ งไดวา a2 − a1 = a3 − a2 เน่อื งจาก a2 − a1 =1 − 1 =1 และ a3 − a2 = 3 −1= 1 2 2 2 2 จะเหน็ วา a2 − a1 = a3 − a2 ดงั นนั้ อนุกรมนี้เปน อนกุ รมเลขคณติ ท่ีม=ี a1 1=, d 1 และ an = 30 2 2 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 30 = 1 + ( n − 1)  1  2  2  30 = 1 n 2 n = 60 ดงั นน้ั 30 เปน พจนท่ี 60 ของอนกุ รมน้ี จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S60 = 60  1 + 30  = 915 2  2  ดังน้ัน 1 +1+ 3 ++ 30 เปน อนกุ รมเลขคณิตทีม่ ีผลบวกของอนุกรม เทา กบั 915 22 กรณีทอี่ นกุ รมนี้เปน อนกุ รมเรขาคณิต จะตองไดวา a2 = a3 a1 a2 3 เนื่องจาก a2= 1= 2 และ a3= 2= 3 a1 1 1 2 a2 2 จะเหน็ วา a2 ≠ a3 a1 a2 ดงั นน้ั อนกุ รมนไี้ มเปน อนกุ รมเรขาคณิต 4) กรณที ี่อนุกรมนีเ้ ปนอนกุ รมเลขคณิต จะตอ งไดว า a2 − a1 = a3 − a2 เนอ่ื งจาก a2 − a1 =8 −16 =−8 และ a3 − a2 =4 − 8 =− 4 จะเหน็ วา a2 − a1 ≠ a3 − a2 ดังนัน้ อนุกรมนี้ไมเ ปน อนุกรมเลขคณิต สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 327 กรณที ีอ่ นกุ รมนี้เปน อนกุ รมเรขาคณิต จะตองไดวา a2 = a3 a1 a2 เนอ่ื งจาก a=2 8= 1 และ a3= 4= 1 a1 16 2 a2 8 2 จะเห็นวา a2 = a3 a1 a2 ดังนนั้ อนุกรมนีเ้ ปน อนกุ รมเรขาคณิต ที่ม=ี a1 1=6, r 1 และ an = 1 2 32 จาก an = a1rn−1 จะได 1 = 16  1 n−1 32  2  1  1 n −1 25  2  = 24 1  1 n−1 25 ⋅ 24 =  2   1 9 =  1 n−1  2   2  นัน่ คือ n −1 = 9 n = 10 ดังน้นั 1 เปน พจนที่ 10 ของอนุกรมนี้ 32 ( )จาก Sn = a1 1 − rn 1− r 16  −  1 10  1  2   จะได S10 1, 023 = 1− 1 = 32 2 ดงั นน้ั 16 + 8 + 4 ++ 1 เปนอนุกรมเรขาคณติ ทม่ี ผี ลบวกของอนกุ รม เทากบั 1,023 32 32 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

328 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 5) กรณที อี่ นุกรมน้ีเปนอนกุ รมเลขคณิต จะตองไดวา a2 − a1 = a3 − a2 เน่อื งจาก a2 − a1 = 3 − (−1) = 4 และ a3 − a2 =−9 − 3 =−12 จะเหน็ วา a2 − a1 ≠ a3 − a2 ดงั นัน้ อนกุ รมนีไ้ มเ ปนอนุกรมเลขคณติ กรณที ่ีอนกุ รมนเ้ี ปนอนุกรมเรขาคณติ จะตองไดวา a2 = a3 a1 a2 เน่ืองจาก a2 = 3 = −3 และ a3 = −9 = −3 a1 −1 a2 3 จะเห็นวา a2 = a3 a1 a2 ดังนนั้ อนุกรมนเ้ี ปน อนกุ รมเรขาคณติ ที่มี a1 =−1, r =−3 และ an = −729 จาก an = a1rn−1 จะได −729 = −1( )−3 n−1 729 = ( )−3 n−1 (−3)6 = ( )−3 n−1 นน่ั คอื n −1 = 6 n=7 ดังนน้ั −729 เปนพจนท ่ี 7 ของอนุกรมน้ี ( )จาก Sn = a1 1 − rn 1− r ( )จะได S7 = (−1) 1− (−3)7 = −547 1− (−3) ดงั นัน้ (−1) + 3 + (−9) ++ (−729) เปนอนกุ รมเรขาคณิตท่ีมีผลบวกของอนุกรม เทา กับ −547 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 329 6) กรณีท่อี นุกรมนเ้ี ปนอนกุ รมเลขคณิต จะตองไดว า a2 − a1 = a3 − a2 39. 1) เนอ่ื งจาก a2 − a1 =−6 − (−10) =4 และ a3 − a2 =−2 − (−6) =4 จะเห็นวา a2 − a1 = a3 − a2 ดังน้นั อนกุ รมน้เี ปน อนุกรมเลขคณติ ท่มี ี a1 =−10, d =4 และ an = 90 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 90 = −10 + (n −1)(4) 90 = −14 + 4n n = 26 ดังนัน้ 90 เปน พจนท ่ี 26 ของอนุกรมน้ี จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S26 = 26 (−10 + 90) = 1,040 2 ดังนน้ั −10 − 6 − 2 ++ 90 เปนอนกุ รมเลขคณิตทม่ี ีผลบวกของอนุกรม เทากับ 1,040 กรณที ีอ่ นุกรมนเี้ ปนอนุกรมเรขาคณติ จะตอ งไดว า a2 = a3 a1 a2 เน่อื งจาก =a2 =−6 3 และ a=3 −=2 1 a1 −10 5 a2 −6 3 จะเห็นวา a2 ≠ a3 a1 a2 ดงั นน้ั อนกุ รมน้ไี มเปนอนกุ รมเรขาคณติ จากอนุกรม 9  3 n −1 จะได 5  5  5+3+ +  + 5 + S1 = 5 S2 = 5 + 3 = 8 S3 = 5+3+ 9 = 49 5 5 พิจารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี (Sn ) จากอนุกรมที่กาํ หนดใหเ ปน อนกุ รมเรขาคณติ ท่ีมี a1 =5 และ r = 3 5 และผลบวกยอ ย n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ คือ Sn = ( )a1 1− rn 1− r สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

330 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 5  −  3 n   n  1  5   1   จะไดว า Sn = = 25 −  3 1− 3 2  5 5 ดังนนั้ ลาํ ดบั ของผลบวกยอยของอนุกรมนี้ คือ 5, 8, 49 , , 25  −  3 n  ,  5 2 1  5   2) จากอนุกรม 9 + 3 + 1 +  + 9  5 n−1 +  จะได 25 5 25  3  S1 = 9 25 S2 = 9 +3 = 24 25 5 25 S3 = 9 + 3 +1 = 49 25 5 25 พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมนี้ (Sn ) จากอนุกรมท่ีกําหนดใหเ ปนอนุกรมเรขาคณติ ที่มี a1 = 9 และ r =5 25 3 และผลบวกยอย n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ คือ Sn = ( )a1 1− rn 1− r จะได Sn = 9   5 n  = 27   5 n  25   3  − 1 50   3  − 1 5 −1 3 ดงั นั้น ลําดบั ของผลบวกยอ ยของอนกุ รมน้ี คอื 9 , 24 , 49 , , 27   5 n   25 25 25 50   3  − 1 , 3) จากอนุกรม 1 +  − 1  + 1 ++ ( )−1 n−1 + จะได 9  27  81 3n+1 S1 = 1 9 S2 = 1 +  − 1  = 2 9  27  27 S3 = 1 +  − 1  + 1 = 7 9  27  81 81 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 331 พิจารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี (Sn ) จากอนุกรมที่กาํ หนดใหเปน อนกุ รมเรขาคณิต ที่มี a1 = 1 และ r = −1 9 3 และผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ คือ Sn = ( )a1 1− rn 1− r 1  −  − 1 n  1   1 n  9 1  3   12 1  3   จะได Sn = = − −  1  1 −  − 3  ดังนนั้ ลําดับของผลบวกยอ ยของอนกุ รมน้ี คือ 1, 2 , 7, , 1  −  − 1 n   9 27 81 12 1  3   , 4) จากอนุกรม 1+ (−1) + (−3) + + (3 − 2n) + จะได S1 = 1 S2 = 1+ (−1) = 0 S3 = 1+ (−1) + (−3) = −3 พิจารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี (Sn ) จากอนุกรมท่ีกาํ หนดใหเ ปนอนกุ รมเลขคณิต ท่มี ี a1 =1 และ d = −2 และผลบวกยอ ย n พจนแ รกของอนุกรมเลขคณติ คอื =Sn n ( a1 + an ) 2 จะได Sn = n (1+ (3 − 2n)) = n (4 − 2n) = 2n − n2 2 2 ดงั นัน้ ลาํ ดับของผลบวกยอ ยของอนุกรมน้ี คอื 1, 0, − 3, , 2n − n2,  5) จากอนุกรม (4 + 0 + (−14) + + 4 + n2 )− n3 + จะได S1 = 4 S2 = 4 + 0 = 4 S3 = 4 + 0 + (−14) = −10 พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี เน่อื งจากผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี คือ ∑(n )− i3 4 + i2 i =1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

332 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 จะได n ∑( )Sn = 4 + i2 − i3 i =1 nn n = ∑4 + ∑i2 − ∑i3 =i 1 =i 1 =i 1 n(n +1)(2n +1)  n(n +1) 2 = 4n + −  6  2  ( ) ( )48n + 4n3 + 6n2 + 2n − 3n4 + 6n3 + 3n2 = 12 = −3n4 − 2n3 + 3n2 + 50n 12 ดังนัน้ ลาํ ดับของผลบวกยอยของอนกุ รมนี้ คือ 4, 4, −10, , −3n4 − 2n3 + 3n2 + 50n ,  12 6) จากอนุกรม 18 +1.8 + 0.18 + +18(0.1)n−1 + จะได S1 = 18 S2 = 18 +1.8 = 19.8 S3 = 18 +1.8 + 0.18 = 19.98 พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมนี้ (Sn ) จากอนุกรมท่ีกําหนดใหเปน อนกุ รมเรขาคณิต ที่มี a1 =18 และ r = 0.1 และผลบวกยอย n พจนแรกของอนกุ รมเรขาคณติ คือ Sn = ( )a1 1− rn 1− r ( ) ( )จะได 18 1− (0.1)n Sn = 1− 0.1 = 20 1− (0.1)n ( )ดังนัน้ ลาํ ดบั ของผลบวกยอยของอนกุ รมนี้ คอื 18, 19.8, 19.98, , 20 1− (0.1)n ,  7) จากอนกุ รม 3 + 5 + 7 ++ 2n +1 + จะได 1⋅ 4 4⋅9 9 ⋅16 n2 (n +1)2 S1 = 3 4 S2 =3 + 5 =8 4 36 9 S3 =3 + 5 + 7 =15 4 36 144 16 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 333 สําหรบั จํานวนนับ k ใด ๆ จะได ( )2k +1 2k +1+ k2 − k2 = k 2 (k +1)2 k 2 (k +1)2 ( )k 2 + 2k +1 − k 2 = k 2 (k +1)2 (k +1)2 − k 2 = k 2 (k +1)2 = (k +1)2 − k2 k2 k 2 (k +1)2 (k +1)2 = 1− 1 k 2 (k +1)2 น่ันคือ 3 + 5 + 9 7 +  + 2n +1 1⋅ 4 4⋅9 ⋅16 n2 (n + 1)2 = 1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  + +  1 − (n 1   1 4   4 9   9 16   n2   + 1)2  = 1 − ( 1 n + 1)2 n(n + 2) = (n +1)2 ดงั นน้ั ลาํ ดับของผลบวกยอ ยของอนกุ รมนี้ คือ 3, 8 , 15 , , n(n + 2) ,  4 9 16 (n +1)2 8) สําหรับจาํ นวนนบั k ใด ๆ จะได k +1− k k +1 − k = 1− 1 = k ⋅ k +1 k ⋅ k +1 k ⋅ k +1 k k +1 จะได S1 = 2 −1 = 1− 1 1⋅ 2 2 S2 = 2 −1+ 3− 2 = 1− 1  +  1− 1 = 1− 1 1⋅ 2 2⋅ 3 2   2 3  3 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

334 คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 S3 = S2 + 2 − 3 = 1− 1  +  1 − 1  =1 3 2 3   3 2  2 ⋅ สาํ หรับพจนท ่ัวไปของลําดบั ของผลบวกยอ ยของอนุกรม พิจารณา Sn = 2 −1+ 3 − 2 + 2− 3 ++ n+1− n 1⋅ 2 2⋅ 3 3⋅2 n ⋅ n+1 = 1 − 1  +  1− 1  +  1− 1  +  +  1− 1 2   2 3   3 4   n n +1  = 1− 1 n +1 ดงั นน้ั ลาํ ดบั ของผลบวกยอ ยของอนุกรมน้ี คอื 1− 1 , 1− 1 , 1 , , 1− 1 ,  2 32 n +1 40. 1) 5+3+ 9 +  + 5  3 n−1 +  เปน อนุกรมเรขาคณติ ที่มี a1 =5 และ r = 3 2) 5  5  5 3) เนอื่ งจาก r= 3 <1 จะไดวา อนุกรมนเ้ี ปน อนุกรมลเู ขา 4) 5 และผลบวกของอนกุ รม คอื a1 = 5 = 25 1− 3 2 1− r 5 9 + 3 + 1 +  + 9  5 n−1 +  เปน อนกุ รมเรขาคณิตท่มี ี a1 = 9 และ r=5 25 5 25  3  25 3 เนือ่ งจาก r= 5 >1 จะไดว า อนุกรมนีเ้ ปน อนกุ รมลูออก 3 1 +  − 1  + 1 +  + ( )−1 n−1 + เปน อนกุ รมเรขาคณติ ท่ีมี a1 = 1 และ r = −1 9  27  81 9 3 3n+1 เนือ่ งจาก r= 1 <1 จะไดวา อนกุ รมน้เี ปน อนกุ รมลเู ขา 3 1 และผลบวกของอนกุ รม คือ a1 = 9 = 1 1− r 12 1 −  − 1   3  1+ (−1) + (−3) + + (3 − 2n) + เปนอนุกรมท่ีมีผลบวกยอย n พจนแรกคือ S=n 2n − n2 จากลําดับของผลบวกยอ ยของอนุกรมซ่ึงคือ S1, S2, S3, , Sn,  สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 335 พจิ ารณา lim 1 = lim 1 n→∞ Sn n→∞ 2n − n2 n2  1   n2  = lim n→∞  2 − 1 n2  n 1 = lim n2 n→∞ 2 −1 n = lim  1   n2  n→∞ lim  2 − 1  n n→∞ = lim  1   n2  n→∞ lim  2  − lim 1  n  n→∞ n→∞ = lim  1   n2  n→∞ 2 lim  1  − lim 1  n  n→∞ n→∞ = 0 2(0) −1 =0 จากทฤษฎีบท 4 จะไดว า ลาํ ดบั นเี้ ปนลําดบั ลอู อก ดงั นน้ั อนุกรมนี้เปน อนุกรมลูออก ( )5) 4 + 0 + (−14) +  + 4 + n − n3 +  เปน อนุกรมทม่ี ผี ลบวกยอย n พจนแรกคอื Sn = −3n4 − 2n3 + 3n2 + 50n 12 จากลาํ ดับของผลบวกยอยของอนุกรมซึ่งคือ S1, S2, S3, , Sn,  สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

336 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 พจิ ารณา 1 = lim  −3n4 − 12 3n2 + 50n  lim  2n3 +  n→∞ Sn n→∞  n 4  12     n4   = lim   n→∞   2 3 50    n 4  −3 − n + n2 + n3    12    = lim  2 n4 50  n→∞  n +3 n3  −3 − + n2 = lim  12   n4  n→∞ lim  −3 − 2 + 3 + 50   n n2 n3  n→∞ = lim  12   n4  n→∞ lim (−3) − lim  2  + lim  3  + lim  50   n   n2   n3  n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 12 lim  1   n4  = n→∞ − lim 3 − 2 lim  1  + 3 lim  1  + 50 lim  1   n  n→∞  n2   n3  n→∞ n→∞ n→∞ = 12(0) −3 − 2(0) + 3(0) + 50(0) =0 จากทฤษฎีบท 4 จะไดว า ลาํ ดบั น้ีเปนลําดบั ลูออก ดงั นน้ั อนุกรมน้ีเปนอนุกรมลูออก 6) 18 +1.8 + 0.18 + +18(0.1)n−1 เปนอนกุ รมเรขาคณิตท่ีมี a1 = 18 และ r =1 10 เนื่องจาก =r 1 <1 จะไดว า อนกุ รมนี้เปน อนกุ รมลูเ ขา 10 และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 18 = 20 1− r 1− 1 10 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 337 7) 3 + 5 + 7 +  + 2n +1 +  1⋅ 4 4⋅9 9 ⋅16 n2 (n +1)2 เปนอนกุ รมทม่ี ีผลบวกยอย n พจนแ รก=คือ Sn n(n + 2) n2 + 2n n2 + 2n +1 = (n +1)2 จากลาํ ดบั ของผลบวกยอ ยของอนกุ รมซง่ึ คือ S1, S2, S3, , Sn,  พจิ ารณา 1  n2 + 2n +1 lim = lim   n→∞ Sn n→∞  n2 + 2n   n2 1 + 2 + 1    n n2   = lim   n→∞  1 2    n2 + n    1 +2+ 1   n n2  = lim  1+ 2   n  n→∞ lim 1 + 2 + 1  n n2  = n→∞ lim 1 + 2  n  n→∞ lim 1 + lim  2  + lim  1   n   n2  = n→∞ n→∞ n→∞ lim 1 + lim  2   n  n→∞ n→∞ lim 1 + 2 lim  1  + lim  1   n   n2  = n→∞ n→∞ n→∞ lim 1 + 2 lim  1   n  n→∞ n→∞ 1+ 2(0) + 0 = 1+ 2(0) =1 ดังนน้ั อนกุ รมนีเ้ ปนอนุกรมลูเ ขา และผลบวกของอนุกรม คอื 1 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

338 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 8) 2 −1 + 3 − 2 + 2 − 3 +  + n +1 − n +  1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅2 n ⋅ n+1 เปน อนุกรมทีม่ ีผลบวกยอย n พจนแ รกคอื Sn =1− 1 =1− 1 n +1 n +1 จากลําดับของผลบวกยอ ยของอนกุ รมซงึ่ คือ S1, S2, S3, , Sn,  พิจารณา lim Sn =  − 1 lim 1 n +1  n→∞ n→∞ = lim 1 − lim  1  n +1  n→∞ n→∞ = lim 1 − lim  n 1 1   +  n→∞ n→∞  n  1     n   = lim 1 − lim   n→∞  n 1 + 1   n→∞  n   1   = lim 1 − lim  n   n→∞ n→∞ 1+ 1  n = lim1− lim  1   n  n→∞ n→∞ lim 1 + 1  n  n→∞ = lim1− lim  1   n  n→∞ n→∞ lim 1 + lim  1   n  n→∞ n→∞ = 1− 0 1+ 0 =1 ดังนน้ั อนกุ รมนี้เปน อนุกรมลูเขา และผลบวกของอนกุ รม คอื 1 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี