mathm6_1

คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 189 แบบฝก หัด 1.1.3 1. 1) จาก 7, 9, 11, 13, , 2n + 5 พิจารณาผลตางของพจนท่อี ยตู ิดกนั จะไดว า a2 − a1 = 9 − 7 = 2 a3 − a2 = 11 − 9 = 2 a4 − a3 = 13 −11 = 2 an − an−1 = (2n + 5) − (2(n −1) + 5) = (2n + 5) − (2n + 3) = 2 ดังน้ัน ผลตางของพจนทีอ่ ยตู ดิ กนั เปน คาคงตัวท่เี ทากัน ซ่งึ เทากบั 2 พิจารณาอัตราสวนของพจนทอี่ ยูติดกัน จะไดวา a2 = 9 a1 7 a3 = 11 a2 9 จะเหน็ วา อตั ราสว นของพจนท อ่ี ยูตดิ กันไมเ ปน คา คงตวั ท่เี ทากัน ดงั นนั้ ลําดับนเี้ ปนลําดับเลขคณิตท่ีมีผลตา งรวมเทา กับ 2 แตไมเ ปนลําดับเรขาคณติ 2) จาก 6, − 6, 6, − 6, , 6( )−1 n−1 พิจารณาผลตางของพจนทอ่ี ยตู ิดกนั จะไดวา a2 − a1 =(−6) − 6 =−12 a3 − a2 = 6 − (−6) = 12 จะเห็นวา ผลตา งของพจนท ีอ่ ยูต ิดกนั ไมเ ปนคาคงตัวที่เทากัน พจิ ารณาอตั ราสวนของพจนท อี่ ยูต ดิ กนั จะไดว า a2 = −6 = −1 a1 6 a3 = 6 = −1 a2 −6 a4 = −6 = −1 a3 6 an = 6 ( −1)n = −1 an−1 6( )−1 n−1 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

190 คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 จะเห็นวา อตั ราสว นของพจนท่ีอยตู ิดกันเปน คาคงตัวท่เี ทา กนั ซึง่ เทากบั −1 ดังน้นั ลําดับนี้ไมเ ปนลาํ ดับเลขคณิต แตเปนลําดบั เรขาคณิตทม่ี อี ตั ราสว นรว มเทา กบั −1 3) จาก 4, 2, 0, − 2, , 6 − 2n พจิ ารณาผลตา งของพจนที่อยูต ิดกัน จะไดวา a2 − a1 =2 − 4 =−2 a3 − a2 =0 − 2 =−2 a4 − a3 =(−2) − 0 =−2 an − an−1 =(6 − 2n) − (6 − 2(n −1)) =(6 − 2n) − (8 − 2n) =−2 จะเห็นวา ผลตา งของพจนทอ่ี ยูติดกนั เปนคา คงตัวที่เทากนั ซึ่งเทา กบั −2 พจิ ารณาอตั ราสวนของพจนท ีอ่ ยูตดิ กนั จะไดวา a2= 2= 1 a1 4 2 a3= 0= 0 a2 2 จะเหน็ วา อตั ราสวนของพจนท อี่ ยูตดิ กันไมเปนคาคงตวั ท่เี ทากนั ดังน้นั ลําดบั นเ้ี ปนลําดบั เลขคณิตทมี่ ีผลตางรว มเทากับ −2 แตไมเ ปนลาํ ดบั เรขาคณติ 4) จาก 3, 1, 1, 1 , , 9  1 n 3 9  3  พิจารณาผลตางของพจนท อ่ี ยตู ิดกัน จะไดวา a2 − a1 =1− 3 =−2 a3 − a2 =1 −1 =− 2 3 3 จะเห็นวา ผลตางของพจนท ี่อยูติดกันไมเปน คาคงตวั ท่เี ทา กนั พิจารณาอตั ราสว นของพจนท ีอ่ ยูตดิ กนั จะไดวา a2 = 1 a1 3 1 1 3 a3= 3= a2 1 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 191 1 a4= 9= 1 a3 1 3 3 =an 9=91313nn−1 1 an−1 3 จะเหน็ วา อตั ราสว นของพจนท อ่ี ยตู ดิ กันเปน คา คงตวั ทเี่ ทากัน ซ่งึ เทา กับ −1 ดงั น้ัน ลําดับนไ้ี มเ ปนลาํ ดับเลขคณิต แตเ ปน ลาํ ดบั เรขาคณติ ทมี่ อี ตั ราสวนรว มเทากับ −1 5) จาก − 1 , − 2 , − 1 , − 4 , , − n 4527 n+3 พจิ ารณาผลตา งของพจนทอี่ ยูตดิ กนั จะไดวา a2 − a1 = − 2  −  − 1  =− 3 5   4  20 a3 − a2 = − 1  −  − 2  =− 1 2   5  10 จะเห็นวา ผลตา งของพจนท ี่อยูติดกนั ไมเ ปนคาคงตัวทเ่ี ทากนั พิจารณาอตั ราสวนของพจนท่ีอยูติดกัน จะไดว า=a2 =− 52  8  1  5 a1  − 4  =a3 =− 12  5 a2  2  4  − 5  จะเหน็ วา อัตราสว นของพจนท อี่ ยูตดิ กันไมเ ปนคาคงตวั ท่เี ทากัน ดังน้นั ลําดับนไี้ มเ ปน ลําดับเลขคณติ และไมเปน ลาํ ดบั เรขาคณิต สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

192 คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 2. 1) จากลําดบั เรขาคณิต 1, 7, 49, 343, จะได a1 = 1 และ r= 7= 7 1 พจนท ี่ n ของลําดบั เรขาคณิต คอื an = a1rn−1 ( )จะได a5 = a1r5−1 = 1 74 = 74 = 2,401 ( )a6 = a1r6−1 = 1 75 = 75 = 16,807 ( )a7 = a1r7−1 = 1 76 = 76 = 117,649 ดงั นัน้ สามพจนถัดไปของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คือ 2401, 16807 และ 117,649 2) จากลําดับเรขาคณติ −1, 2, − 4, 8, จะได a1 = −1 และ r= 2= −2 −1 พจนท ่ี n ของลําดบั เรขาคณติ คือ an = a1rn−1 จะได a5 = a1r5−1 = (−1)(−2)4 = −16 a6 = a1r6−1 = (−1)(−2)5 = 32 a7 = a1r7−1 = (−1)(−2)6 = −64 ดังน้นั สามพจนถ ัดไปของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คอื −16, 32 และ −64 3) จากลําดับเรขาคณิต 3,1, 1 , 1 , 39 จะได a1 =3 และ r =1 3 พจนท ่ี n ของลาํ ดับเรขาคณติ คือ an = a1rn−1 จะได a5 = a1r 5−1 = 3 1 4 = 1 = 1 3  33 27 a6 = a1r 6−1 = 3 1 5 = 1 =1 3  34 81 a7 = a1r 7−1 = 3 1 6 = 1 =1 3  35 243 ดังนน้ั สามพจนถ ัดไปของลําดับเรขาคณิตนี้ คือ 1 , 1 และ 1 27 81 243 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 193 3. จากลาํ ดับเรขาคณติ 2, 4, 8,16, จะได a1 = 2 และ r= 4= 2 2 จาก ( )=an a=1rn−1 2 =2 n−1 2n จะได a=9 2=9 512 ดังนนั้ พจนท ี่ 9 ของลําดับเรขาคณิตนี้ คือ 512 4. จากลําดับเรขาคณิต 2, −10, 50, − 250, จะได a1 = 2 และ r= −10 = −5 2 จาก ( )a=n a1rn−=1 2 −5 n−1 จะได a11 =2(−5)11−2 =2(−5)10 =2(5)10 ดังนนั้ พจนท่ี 11 ของลําดบั เรขาคณิตน้ี คือ ( )2 510 5. จากลาํ ดับเรขาคณติ 1 , 1 , 1 , 1 , 2 6 18 54 1 จะได a1 = 1 และ =r 6= 1 2 1 3 2 จาก=an a=1r n−1 1  1 n−1 2  3  จะไ=ด a8 1 =13 8−1 12= 13 7 1 2 2 × 37 ดงั นั้น พจนท ่ี 8 ของลําดบั เรขาคณติ น้ี คือ 1 2 × 37 6. 1) จากลําดบั เรขาคณติ −3, − 6, −12, จะได a1 = −3 และ r = 2 จาก an = a1rn−1 จะได an = −3(2)n−1 ดงั น้ัน พจนท ี่ n ของลาํ ดบั เรขาคณติ นี้ คือ −3( )2 n−1 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

194 คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 2) จากลําดับเรขาคณิต 10, − 5, 5 , 2 จะได a1 = 10 และ r = −1 2 จาก an = a1rn−1 จะได =an 10  − 1 n−1  2  ดงั น้ัน พจนท่ี n ของลาํ ดบั เรขาคณิตน้ี คือ 10  − 1 n−1 2  3) จากลําดบั เรขาคณิต 1 , 5 , 25 , 44 4 จะได a1 = 1 และ r =5 4 จาก an = a1rn−1 จะได ( )an 1 = 4 5n−1 ดังนน้ั พจนท ี่ n ของลาํ ดบั เรขาคณติ นี้ คือ ( )1 5n−1 4 4) จากลาํ ดบั เรขาคณิต 5 , 5 , 10 , 63 3 จะได a1 = 5 และ r=2 6 จาก an = a1rn−1 จะได ( )an 5 = 6 2n−1 ดังนั้น พจนท ี่ n ของลําดับเรขาคณิตนี้ คือ ( )5 2n−1 6 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 195 5) จากลําดบั เรขาคณิต − 2 , 1 , − 1 , 9 12 32 จะได a1 = −2 และ r= −3 9 8 จาก an = a1rn−1 จะได an =− 2  − 3 n−1 9  8  ดังน้นั พจนที่ n ของลาํ ดบั เรขาคณิตน้ี คือ − 2  − 3 n−1 9  8  6) จากลําดับเรขาคณติ 2, 2 3, 6, จะได a1 = 2 และ r = 3 จาก an = a1rn−1 ( )จะได an = 2 n−1 3 ดังน้ัน พจนที่ n ของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คือ 2( )n−1 3 7) จากลาํ ดับเรขาคณิต −1, 0.3, − 0.09, ... จะได a1 = −1 และ r= 0.3 = −0.3 −1 จาก an = a1rn−1 จะได an =−1(−0.3)n−1 =−(−0.3)n−1 =(−1)n (0.3)n−1 ดังน้นั พจนท ี่ n ของลาํ ดับเรขาคณติ นี้ คือ (−1)n (0.3)n−1 8) จากลําดับเรขาคณิต ab3, a2b2, a3b, เม่อื a และ b เปนจาํ นวนจริงที่ไมเ ปนศนู ย จะได a1 = ab3 แล=ะ r a=2b2 a ab3 b จาก an = a1rn−1 ( )จะได=an =ab3  ba n−1 anb4−n ดงั นัน้ พจนที่ n ของลาํ ดบั เรขาคณิตนี้ คือ anb4−n เม่ือ a และ b เปนจํานวนจรงิ ที่ไมเ ปน ศนู ย สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

196 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 7. เนื่องจาก ลําดบั เรขาคณติ นีม้ ีพจนทีห่ า คือ 16 และอัตราสวนรว ม คือ 2 นนั่ คอื a5 =16 และ r = 2 จาก an = a1rn−1 จะได= a5 a=1r5−1 a1r4 ดังน้ัน 16 = a1 (2)4 จะได a1 = 1 ดงั นน้ั พจนแรกของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คือ 1 8. เนอื่ งจาก ลาํ ดบั เรขาคณติ นี้มี a3 =12 และ a6 = 96 จาก an = a1rn−1 จะได= a3 a=1r3−1 a1r2 และ=a6 a=1r6−1 a1r5 ดังน้นั 12 = a1r2 ----- (1) และ 96 = a1r5 ----- (2) จาก (1) และ (2) จะได r3 = 8 นนั่ คือ r = 2 ดังนนั้ อตั ราสว นรวมของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คอื 2 9. เนอื่ งจาก ลําดับเรขาคณติ นีม้ ี a1 = 2, a2 = −6 และ a3 =18 จาก an = a1rn−1 จะได −6 =2r2−1 นน่ั คอื −6 =2r ----- (1) และ 18 = 2r3−1 นนั่ คอื 18 = 2r2 ----- (2) จาก (1) และ (2) จะได r = −3 น่นั คือ a=n 2( )−3 n−1 2 ( −3)n−1 เมอ่ื an =162 จะได 162 = 81 = ( )−3 n−1 (−3)4 = ( )−3 n−1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 197 น่ันคือ n −1 = 4 จะได n = 5 ดังนน้ั 162 เปนพจนท ี่ 5 ของลาํ ดบั เรขาคณิตน้ี 10. 1) พจนท ห่ี ายไปของลําดับเรขาคณิตนี้ คอื a3, a4 และ a5 จากลําดับเรขาคณิตทีก่ ําหนดให จะได a1 =4 และ r = 1 4 จาก an = a1rn−1 จะได=an a=1r n−1 4  14=n−1  1 n−2   4  นัน่ คือ a3 =  1 3−2 = 1  4  4 a4 =  1 4−2 = 1  4  16 a5 =  1 5−2 = 1  4  64 ดงั นัน้ พจนทข่ี าดหายไป คอื 1 , 1 และ 1 ตามลาํ ดบั 4 16 64 2) พจนที่หายไปของลาํ ดบั เรขาคณิตน้ี คอื a2, a4 และ a5 จากลําดับเรขาคณติ ทีก่ าํ หนดให จะได a1 =2 และ a3 = 2 9 จาก an = a1rn−1 จะได 2 = 2(r )3−1 9 2 = 2r2 9 r2 = 1 9 นัน่ คือ r = 1 หรือ r = − 1 33 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

198 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 กรณี r = 1 จะได an = 2  1 n−1  3  3 น่นั คอื a2 = 2  1 2−1 = 2 3  3 a4 = 2  1 4−1 = 2 3  27 a5 = 2  1 5−1 = 2 3  81 กรณี r = − 1 จะได a=n 2  − 1 n−1  3  3 น่ันคอื a2 = 2  − 1 2−1 = −2  3  3 a4 = 2  − 1 4−1 = −2  3  27 a5 = 2  − 1 5−1 = 2  3  81 ดังนนั้ กรณี r = 1 พจนท่ีขาดหายไป คอื 2 , 2 และ 2 ตามลําดบั 3 3 27 81 และกรณี r = − 1 พจนท่ขี าดหายไป คอื − 2 , − 2 และ 2 ตามลําดับ 3 3 27 81 3) พจนท หี่ ายไปของลําดับเรขาคณติ นี้ คอื a2, a3, a4 และ a6 จากลําดับเรขาคณิตทก่ี าํ หนดให จะได a1 = 3 และ a5 =3 7 343 จาก an = a1rn−1 จะได 3 = 3 (r )5−1 343 7 3 = 3 r4 343 7 r4 = 1 49 นน่ั คือ r = 1 หรอื r = − 1 77 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 199 กรณี r = 1 จะได an = 3  1 n−1 7 7  7  นัน่ คอื 3  1 2−1 =3 a2 = 7  7  77 a3 = 3  1 3−1 =3 7  7  49 a4 = 3  1 4−1 3 7  7  = 49 7 a6 = 3  1 6−1 =3 7  7  343 7 กรณี r = − 1 จะได a=n 3  − 1 n−1 7  7  7 น่นั คือ a2 = 3  − 1 2−1 = −3 7  7  77 a3 = 3  − 1 3−1 = 3 7  7  49 a4 = 3  − 1 4−1 = −3 7  7  49 7 a6 = 3  − 1 6−1 = −3 7  7  343 7 ดังน้ัน กรณี r = 1 พจนท ่ีขาดหายไป คือ 3 , 3 , 3 และ 3 ตามลาํ ดับ 7 7 7 49 49 7 343 7 และกรณี r = − 1 พจนท ี่ขาดหายไป คือ − 3 , 3 , − 3 และ − 3 ตามลําดับ 7 7 7 49 49 7 343 7 4) พจนท ีห่ ายไปของลําดับเรขาคณิตนี้ คอื a1, a2, a4, a5 และ a7 จากลําดบั เรขาคณติ ทก่ี าํ หนดให จะได a3 =1 และ a6 = 8 27 จาก an = a1rn−1 จะได 1 = a1 (r )2 ----- (1) 8 = a1 (r )5 ----- (2) 27 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

200 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 จาก (1) และ (2) จะได r=2 และ a1 = 9 3 4 นัน่ =คอื an 94= 32 n−1  2 n−3  3  จะได a2 =  2 2−3 = 3  3  2 a4 =  2 4−3 = 2  3  3 a5 =  2 5−3 = 4  3  9 a7 =  2 7−3 = 16  3  81 ดงั น้นั พจนท ีข่ าดหายไป คอื 9 , 3 , 2 , 4 และ 16 ตามลําดับ 4239 81 11. 1) ให a เปนพจนท ี่อยรู ะหวา ง 5 และ 20 2) จะได 5, a, 20 เปน สามพจนท่เี รยี งตดิ กันในลําดบั เรขาคณิต จาก r = an+1 an จะได a = 20 5a a2 = 100 น่นั คือ a =10 หรือ a = −10 ดงั นัน้ พจนท ี่อยูร ะหวา ง 5 และ 20 ในลําดับเรขาคณิตน้ี คือ 10 หรอื −10 ให a เปนพจนท ีอ่ ยูร ะหวาง 8 และ 12 จะได 8, a,12 เปนสามพจนท เ่ี รยี งติดกนั ในลําดับเรขาคณิต จาก r = an+1 an จะได a = 12 8a a2 = 96 นั่นคอื a = 4 6 หรือ a = −4 6 ดงั นั้น พจนที่อยูระหวาง 8 และ 12 ในลําดบั เรขาคณิตน้ี คือ 4 6 หรือ −4 6 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 201 12. จาก r = an+1 an จะได a + 20 = a +105 a + 3 a + 20 (a + 20)(a + 20) = (a + 3)(a +105) a2 + 40a + 400 = a2 + 108a + 315 68a = 85 a=5 4 จะได a + 3 = 5 + 3 = 17 44 a + 20 =5 + 20 =85 44 และ a +105 =5 +105 =425 44 ดังนน้ั สามพจนแรกของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี คอื 17 , 85 และ 425 44 4 นน่ั คือ a1 = 17 และ r =5 4 จะได พจนทวั่ ไป คือ an = a1r n−1 = 17 (5)n−1 4 ดังน้นั a = 5 และ พจนท่ัวไป คือ ( )17 5n−1 44 13. ในการคาํ นวณจํานวนประชากรในแตละป จะพิจารณาเมื่อสน้ิ ปน้ัน ๆ จาก พ.ศ. 2550 ประชากรในอําเภอหน่งึ มี 60,000 คน และประชากรในอําเภอน้เี พ่ิมขน้ึ ปล ะ 2% จะไดวา ใน พ.ศ. 2551 (ครบ 1 ป) จะมปี ระชากร 60,000 + 60,000(0.02) =60,000(1.02) คน ใน พ.ศ. 2552 (ครบ 2 ป) จะมปี ระชากร 60,000(1.02) + 60,000(1.02)(0.02) =60,000(1.02)2 คน ใน พ.ศ. 2553 (ครบ 3 ป) จะมีประชากร 60,000(1.02)2 + 60,000(1.02)2 (0.02) =60,000(1.02)3 คน ในทํานองเดยี วกัน เมื่อครบ n ป จะมปี ระชากร 60,000(1.02)n คน จะได จาํ นวนประชากรเม่ือครบ 1, 2, 3, , n,  ป คือ 60000(1.02), 60000(1.02)2 , 60000(1.02)3 ,, 60000(1.02)n ,  ซึง่ เปนลาํ ดบั เรขาคณติ ทีม่ ี a1 = 60,000(1.02) และ r =1.02 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

202 คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 จาก an = a1rn−1 =จะได an (=60,000(1.02))(1.02)n−1 60,000(1.02)n ดงั น้นั สตู รการคํานวณจํานวนประชากรในแตล ะป คือ 60,000(1.02)n เมอ่ื n เปนจํานวน เตม็ บวกทีใ่ ชแทนจาํ นวนปที่คํานวณจํานวนประชากรหลงั จาก พ.ศ. 2550 เนอ่ื งจาก พ.ศ. 2565 คอื ปท่ี 15 หลงั จาก พ.ศ 2550 จะได จํานวนประชากรในพ.ศ. 2565 เทากับ 60,000(1.02)15 ≈ 80,752 คน ดังนัน้ สตู รการคาํ นวณจาํ นวนประชากรในแตละป คือ 60,000(1.02)n เมอ่ื n เปน จาํ นวน เตม็ บวกท่ใี ชแ ทนจาํ นวนปทคี่ ํานวณจํานวนประชากรหลงั จาก พ.ศ. 2550 และจํานวน ประชากรใน พ.ศ. 2565 ประมาณ 80,752 คน หมายเหตุ การหาคําตอบในขอน้ี อาจพิจารณาลําดับเรขาคณิตที่มีพจนแรกเทากับ 60,000 และ อตั ราสวนรวมเทากับ 1.02 ซ่งึ จํานวนประชากรใน พ.ศ. 2565 จะเปนพจนท ี่ 16 ของลาํ ดับน้ี 14. ในทีน่ ้ี ความสงู ของลกู บอล คือ ระยะท่ลี กู บอลอยสู งู ทีส่ ดุ เมื่อวดั จากระดับพืน้ ดิน จาก ความสงู ของลกู บอลเมื่อเรม่ิ ปลอ ยลกู บอลเทา กับ 2 เมตร และเม่ือลกู บอลกระทบพ้ืน ความสูงของลูกบอลทก่ี ระดอนข้ึนจะลดลง 8% ของความสูงของลูกบอลกอ นหนา จะไดวา ความสงู ของลูกบอลเมื่อกระทบพื้นครงั้ ท่ี 1 เทา กับ 2 − 2(0.08) =2(0.92) เมตร ความสงู ของลูกบอลเม่ือกระทบพื้นคร้งั ท่ี 2 เทากบั 2(0.92) − (2(0.92))(0.08) =2(0.92)2 เมตร ความสงู ของลูกบอลเม่ือกระทบพื้นครง้ั ท่ี 3 เทา กบั 2(0.92)2 − (2(0.92)2 )(0.08) =2(0.92)3 เมตร ในทาํ นองเดยี วกนั เม่ือลูกบอลกระทบพ้ืนคร้งั ท่ี n ความสงู ของลกู บอลจะเทากบั 2(0.92)n เมตร จะได ความสงู ของลูกบอลเม่ือกระทบพื้นคร้งั ที่ 1, 2, 3, , n,  คอื 2(0.92), 2(0.92)2 , 2(0.92)3 , , 2(0.92)n ,  ซึ่งเปนลําดับเรขาคณ=ติ ท่ีมี a1 2=(0.92), r 0.92 และพจนท วั่ ไป คอื 2(0.92)n ให f เปนฟงกช ันแสดงความสูงของลูกบอลเมื่อลูกบอลกระทบพื้นคร้ังท่ี n เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก จะได f (n) = 2(0.92)n ดงั นน้ั ฟง กชันแสดงความสูงของลูกบอลเมื่อลูกบอลกระทบพื้นคร้ังท่ี n เมื่อ n เปนจาํ นวนเต็มบวก คือ f (n) = 2(0.92)n สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 203 แบบฝก หดั 1.1.4 1. กําหนด bn = 1 จะไดว า bn เปน ลาํ ดบั เลขคณติ an จาก b=3 1= 1 และ b=6 1= 1 a3 3 a6 6 จะได 1 = b1 + 2d ----- (1) 3 และ 1 = b1 + 5d ----- (2) 6 จาก (1) และ (2) จะได d = −1 และ b1 = 4 18 9 จาก b4 =b1 + (4 −1) d = 4 + 3 − 1  =5 จะได a=4 1= 18 9 18  18 b4 5 และจาก b5 =b1 + (5 −1) d = 4 + 4  − 1  = 2 จะได a=5 1= 9 9  18  9 b5 2 ดังน้นั a4 + a5 = 18 + 9 = 81 52 10 2. ให an = log2n 3 จะสามารถเขียน an ไดเ ปน=an =log 3 log 3 log 2n n log 2 กาํ หนด bn = 1 จะได bn = n log 2 an log 3 สังเกตวา b=n+1 − bn (n +1)log 2 −=n log 2 log 2 log 3 log 3 log 3 ดังนนั้ ลําดับ bn เปน ลาํ ดับเลขคณติ น่ันคือ ลําดับ an เปน ลําดับฮารมอนกิ ดงั น้ัน log2 3, log4 3, log8 3, ,log2n 3,  เปนลาํ ดับฮารมอนกิ 3. ให bn = 1 จะไดวา ลาํ ดับ bn เปน ลาํ ดบั เลขคณติ โดยที่ an ≠0 เม่อื n เปนจาํ นวนเต็มบวก an เนื่องจาก a1 =1 และ a2 + a3 =1 จะได b1= 1= 1= 1 a1 1 b2 = 1 โดยท่ี a2 ≠ 0 a2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

204 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 และ b=3 1= 1 โดยที่ 1− a2 ≠ 0 หรอื a2 ≠ 1 a3 1 − a2 เน่อื งจาก ลาํ ดับ bn เปน ลําดบั เลขคณติ จะไดว า b2 − b1 = b3 − b2 น่นั คอื 1 −1 = 1 − 1 a2 1 − a2 a2 1 − a2 = a2 − (1− a2 ) a2 a2 (1− a2 ) (1 − a2 )2 = 2a2 −1 1 − 2a2 + a22 = 2a2 −1 a22 − 4a2 + 2 = 0 จะได −(−4) ± (−4)2 − 4(1)(2) a2= 2(1) = 2 ± 2 ดงั นน้ั คาท่ีเปน ไปไดของ a2 คือ 2 + 2 และ 2 − 2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 205 แบบฝกหัด 1.2 1. 1) จาก an = sin nπ 2 เขยี นลําดับไดเปน 1, 0, −1, 0, 1,0,−1, 0, 1, 0, −1,  , sin nπ ,  2 เขียนกราฟของลาํ ดับไดด ังนี้ จากกราฟ จะเหน็ วา เม่ือ n เปน 1, 5, 9, … พจนท่ี n เปน 1 เมอื่ n เปน 2, 4, 6, … พจนท ี่ n เปน 0 เมอื่ n เปน 3, 7, 11, … พจนท ี่ n เปน −1 นน่ั คือ เม่ือ n มากขึน้ โดยไมมที ่ีสิน้ สดุ an ไมเขา ใกลจ ํานวนใดจํานวนหน่งึ ดังนัน้ ลําดับนเี้ ปน ลําดบั ลอู อก สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

206 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 2) จาก an = 1 sin nπ n2 เขียนลําดบั ไดเปน 1, 0, − 1 , 0, 1 , 0, − 1 , 0 , 1 sin nπ ,  35 7 n2 เขียนกราฟของลําดบั ไดดงั นี้ จากกราฟ จะเหน็ วา แนวของจดุ ในกราฟจะเขาใกล 0 ซงึ่ หมายความวา เม่ือ n มากขึ้นโดยไมมที ่ีสน้ิ สุด an จะเขา ใกล 0 แตไ มเ ทากบั 0 ดังนน้ั ลาํ ดับนีเ้ ปน ลําดบั ลูเขา และลิมิตของลาํ ดับเทา กบั 0 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 207 3) จาก an = 5 n +1 เขียนลําดบั ไดเ ปน 5, 5, 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 ,, 5 , 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n +1 เขยี นกราฟของลาํ ดบั ไดด งั นี้ จากกราฟ จะเห็นวา แนวของจดุ ในกราฟจะเขาใกล 0 ซ่งึ หมายความวา เม่ือ n มากข้ึนโดยไมมีท่ีสิ้นสุด an จะเขาใกล 0 แตไมเทากับ 0 ดงั น้นั ลําดบั น้ีเปน ลาํ ดับลเู ขา และลิมติ ของลําดับเทา กับ 0 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

208 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 4) จาก an = 2n n เขียนลําดบั ไดเ ปน 2, 2, 8 , 4, 32 , , 2n ,  n 35 เขียนกราฟของลําดับไดด ังน้ี จากกราฟ จะเหน็ วา เมอื่ n มากขึ้นโดยไมม ีท่สี ้นิ สุด an มคี าเพ่ิมขึ้นและไมเ ขาใกล จํานวนใดจาํ นวนหน่งึ ดังนนั้ ลําดบั นีเ้ ปน ลาํ ดบั ลอู อก ( )5) จาก an= n 1+ (−1)n ( )เขียนลาํ ดบั ไดเปน 0, 4, 0, 8, 0, 12, , n 1+ (−1)n ,  เขยี นกราฟของลําดบั ไดด ังน้ี สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 209 จากกราฟ จะเห็นวา เมอ่ื n เปน 1, 3, 5, … พจนท ่ี n เปน 0 เมอื่ n เปน 2, 4, 6, … พจนท ่ี n เปน 2n นั่นคอื เม่ือ n มากขึน้ โดยไมมที ่ีส้นิ สุด an ไมเ ขา ใกลจาํ นวนใดจาํ นวนหนึ่ง ดังน้นั ลาํ ดบั นี้เปนลําดบั ลอู อก 6) จาก an= 4 − 1 2n เขยี นลาํ ดับไดเ ปน 7 , 15 , 31 , 63 , , 4 − 1 ,  24 8 16 2n เขยี นกราฟของลาํ ดบั ไดดังน้ี จากกราฟ จะเหน็ วา แนวของจุดในกราฟจะเขาใกล 4 ซึ่งหมายความวา เม่ือ n มากข้ึนโดยไมมที สี่ ้ินสุด an จะเขาใกล 4 แตไ มเทากบั 4 ดังน้นั ลําดบั นเี้ ปนลาํ ดับลูเขา และลมิ ิตของลําดับเทา กับ 4 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

210 คูมือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 7) จาก an = 4(0.5)n−1 เขยี นลาํ ดับไดเปน 4, 2, 1, 1 , 1 , , 4(0.5)n−1 ,  24 เขียนกราฟของลาํ ดบั ไดดงั น้ี จากกราฟ จะเหน็ วา แนวของจุดในกราฟจะเขาใกล 0 ซึง่ หมายความวา เมื่อ n มากขึ้นโดยไมม ีท่สี ้ินสดุ an จะเขา ใกล 0 แตไ มเทา กบั 0 ดงั น้ัน ลาํ ดบั น้เี ปนลําดบั ลเู ขา และลมิ ิตของลําดบั เทากบั 0 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 211 1 8) จาก an =  2  n  3  11 1 11 1 เขียนลําดบั ไดเปน 2 ,  2  2 ,  2  3 ,  2  4 ,  2  5 ,  2  6 ,,  2  n ,  3  3   3   3   3   3   3  เขียนกราฟของลาํ ดบั ไดด ังนี้ จากกราฟ จะเหน็ วา แนวของจดุ ในกราฟจะเขาใกล 1 ซึ่งหมายความวา เม่ือ n มากข้ึนโดยไมม ที ีส่ ้ินสุด an จะเขา ใกล 1 แตไมเ ทากับ 1 ดงั นนั้ ลาํ ดับนีเ้ ปนลําดับลเู ขา และลมิ ิตของลาํ ดบั เทา กบั 1 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

212 คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 9) จาก an =  − 4 n  3  เขยี นลําดับไดเ ปน − 4 ,  4 2 , −  4 3 ,  4 4 , ,  − 4 n ,  3  3   3   3   3  เขยี นกราฟของลําดบั ไดด งั นี้ จากกราฟ จะเหน็ วา แนวของจุดในกราฟมลี ักษณะขึ้นและลงสลบั กัน โดยไมเขาใกลค า ใดคาหน่งึ ดังน้นั ลาํ ดับน้ีเปนลาํ ดับลอู อก สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 213 10) จาก an = n 2 2n + เขยี นลาํ ดับไดเ ปน 1, 2, 3 , 4 , 5 , 6, 7 , 8 , , 2n n 2 ,  4 6 10 18 34 66 130 258 + เขียนกราฟของลาํ ดบั ไดดังนี้ จากกราฟ จะเหน็ วา แนวของจุดในกราฟจะเขาใกล 0 ซึง่ หมายความวา เม่ือ n มากขึ้นโดยไมม ที ่ีสนิ้ สุด an จะเขาใกล 0 แตไมเ ทา กับ 0 ดงั นั้น ลาํ ดับนีเ้ ปนลําดบั ลเู ขา และลมิ ิตของลาํ ดับเทา กับ 0 2. 1) เน่อื งจาก lim 8 = 8  lim 1 = 8(0) = 0 n→∞ 3n 3  n  n→∞ 3 ดงั นนั้ lim 8 = 0 n→∞ 3n น่นั คือ ลาํ ดบั น้เี ปน ลาํ ดับลูเขา และลมิ ติ ของลาํ ดับคือ 0 2) เน่ืองจาก 7 <1 8 พิจารณา li=m 1 lni=→m∞ 78nn lni→m∞= 87 n 0 an→∞ n จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลําดบั นี้เปน ลาํ ดับลูออก สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

214 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 เนือ่ งจาก3) =an 24=81−−2nn 22=82−−22nn 1 26 จะได lim 41−n = lim  1  28−2n  26  n→∞ n→∞ =1 26 ดังนัน้ lim 41−n =1 n→∞ 28−2n 26 นัน่ คอื ลําดบั นเ้ี ปนลําดับลูเขา และลิมติ ของลําดบั คือ 1 26 4) เน่ืองจาก 1 <1 จะได lim  1 n = 0 2  2  n→∞ ดงั น้นั lim 3 1 n = 3 lim  1 n =3× 0 =0 2  n→∞  2  n→∞ นั่นคอื ลาํ ดับน้เี ปน ลําดบั ลเู ขา และลมิ ิตของลาํ ดับคอื 0 5) เน่ืองจาก lim  4 + 1  = lim 4 + lim 1  n  n→∞ n→∞ n n→∞ = 4+0 =4 ดงั นนั้ lim  4 + 1  =4  n  n→∞ นนั่ คือ ลาํ ดบั น้เี ปนลาํ ดบั ลูเ ขา และลิมติ ของลําดบั คอื 4 6) เนอื่ งจาก 6n − 4 n  6 − 4  lim  n  n→∞ 6n = lim n→∞ 6n 6− 4 = lim n n→∞ 6 lim  6 − 4   n  = n→∞ lim 6 n→∞ lim 6 − lim 4 = n→∞ n→∞ n lim 6 n→∞ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 215 lim 6 − 4 lim 1 = n→∞ n→∞ n lim 6 n→∞ 6 − 4(0) = 6 =1 ดังนนั้ lim 6n − 4 =1 n→∞ 6n น่นั คอื ลาํ ดับนีเ้ ปน ลําดบั ลูเขา และลิมิตของลาํ ดับคอื 1 7) พจิ ารณา lim 1 = lim 6 n→∞ an n→∞ 3n + 5 n  6   n  = lim n→∞  5 n  3 + n  6 = lim n n→∞ 3 + 5 n lim 6 = n→∞ n  5  lim  3 + n  n→∞ lim 6 = n→∞ n lim 3 + lim 5 n→∞ n→∞ n 6 lim 1 = n→∞ n lim 3 + 5 lim 1 n→∞ n→∞ n 6(0) = 3+ 5(0) =0 จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลําดับ an เปนลาํ ดบั ลูออก สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

216 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 8) เนื่องจาก lim n = lim n n→∞ n +1 n→∞ n 1 + 1 n  = lim 1 n→∞ 1 + 1 n lim 1 = n→∞ 1 1  lim + n  n→∞ lim 1 = n→∞ lim 1 + lim 1 n→∞ n→∞ n 1 = 1+ 0 =1 ดงั น้นั lim n =1 n→∞ n +1 นั่นคือ ลําดบั นเี้ ปน ลําดบั ลูเขา และลมิ ติ ของลําดบั คอื 1 9) เนอ่ื งจาก lim 4 + 5n = lim  4 + 5 n2  n2 n  n→∞ n→∞ = lim 4 + lim 5 n→∞ n2 n→∞ n = 0+0 =0 ดังนนั้ lim 4 + 5n = 0 n2 n→∞ นั่นคอื ลาํ ดบั นี้เปนลาํ ดบั ลเู ขา และลิมิตของลําดับคือ 0 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 217 10) เนอ่ื งจาก 2n −1 n  2 − 1  lim  n  n→∞ 3n + 1 = lim n→∞ n 3 + 1 n  2− 1 = lim n n→∞ 3 + 1 n lim  2 − 1   n  = n→∞ lim  3 + 1   n  n→∞ lim 2 − lim 1 = n→∞ n→∞ n lim 3 + lim 1 n→∞ n→∞ n = 2−0 3+0 2 = 3 ดังนนั้ lim 2n −1 = 2 3n +1 3 n→∞ นั่นคือ ลําดบั นีเ้ ปนลาํ ดบั ลูเ ขา และลมิ ติ ของลําดบั คือ 2 3 11) พิจารณา lim 1 = lim 7n −1 n→∞ an 3n2 − 5n n→∞ n2  7 − 1   n n2  = lim n→∞  5  n 2  3 − n  7− 1 = lim n n2 n→∞ 3 − 5 n สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

218 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 lim  7 − 1   n n2  = n→∞ lim  3 − 5   n  n→∞ = lim 7 − lim 1 n n→∞ n2 n→∞ lim 3 − lim 5 n→∞ n→∞ n = 0−0 3−0 =0 จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลาํ ดับ an เปน ลาํ ดับลอู อก 12) เนอื่ งจาก lim 7n2 = lim 7n2 n→∞ 5n2 −3 n→∞ n2  5 − 3   n2  = lim 7 3 n→∞ n2 5− lim 7 = n→∞  3  lim  5 − n2  n→∞ lim 7 = n→∞ 3 lim 5 − lim n2 n→∞ n→∞ 7 = 5−0 7 = 5 ดงั นนั้ lim 7n2 = 7 5n2 − 3 5 n→∞ น่ันคือ ลําดับนเี้ ปนลําดบั ลเู ขา และลมิ ติ ของลําดับคอื 7 5 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 219 13) เนื่องจาก lim 4n2 − 2n + 3 = lim  4 − 2 + 3  n2  n n2  n→∞ n→∞ = lim 4 − lim 2 + lim 3 n→∞ n n→∞ n2 n→∞ = 4−0+0 =4 ดงั นน้ั lim 4n2 − 2n + 3 = 4 n2 n→∞ น่นั คือ ลําดบั นี้เปนลําดับลเู ขา และลิมิตของลาํ ดบั คอื 4 14) เนื่องจาก 3n2 −1 n2  3 − 1  10n − 5n2  n2  lim = lim n→∞  10  n→∞ n2  n − 5  3− 1 n2 = lim n→∞ 10 − 5 n lim  3 − 1   n2  = n→∞ lim  10 − 5   n  n→∞ lim 3 − lim 1 n2 = n→∞ n→∞ lim 10 − lim 5 n→∞ n n→∞ 3−0 = 0−5 = −3 5 ดังนั้น lim 3n2 −1 = −3 10n − 5n2 5 n→∞ นั่นคอื ลําดับนี้เปน ลาํ ดบั ลูเขา และลิมิตของลําดบั คอื − 3 5 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

220 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 พจิ ารณา 1− 1 n +1− n 1= n2  1  1 n n+1 n2 + n  n2  15) = n(n +1) = = n2 1 1  1+ 1 n2 + n  n 1 ดงั นั้น lim 1 − 1 = lim n2  n n +1 n→∞ 1 + 1 n→∞ n = lim 1 n2 n→∞ lim 1 + lim 1 n→∞ n→∞ n =0 1+ 0 =0 นัน่ คือ ลําดบั น้เี ปนลําดบั ลเู ขา และลมิ ิตของลาํ ดบั คอื 0 เน่อื งจาก16) lim 3n+1 = lim 3 ⋅ 3n 5n+2 52 ⋅ 5n n→∞ n→∞ = 3 lim  3 n 25  5  n→∞ และ 3 <1 จะได lim  3 n = 0  5  5 n→∞ ดังนั้น 3 lim  3 n = 3 ×0= 0 25  5  25 n→∞ น่นั คือ lim 3n+1 =0 5n+2 n→∞ ดังน้นั ลาํ ดบั นีเ้ ปน ลําดับลเู ขา และลมิ ิตของลาํ ดบั คอื 0 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 221 เนื่องจาก17) 2n−1 + 3 = 2n−1 + 3 = 1  2 n + 1  1 n 3n+2 3n+2 3n+2 18  3  3  3  จะได lim 2n−1 + 3 = lim  1  2 n + 1  1 n  n→∞ 3n+2  18  3  3  3   n→∞ = lim 1  2 n + lim 1  1 n 18  3  3  3  n→∞ n→∞ = 1 lim  2 n + 1 lim  1 n 18  3  3  3  n→∞ n→∞ เนื่องจาก 2 <1 จะได lim  2 n = 0 3  3  n→∞ ดงั น้นั 1 lim  2 n = 1 ×0= 0 18  3  18 n→∞ เนื่องจาก 1 <1 จะได lim  1 n = 0 3  3  n→∞ ดงั น้นั 1 lim  1 n = 1 × 0 = 0 3  3  3 n→∞ นั่นคอื lim 2n−1 + 3 =0+0 =0 3n+2 n→∞ ดังนน้ั ลําดบั นีเ้ ปนลาํ ดบั ลเู ขา และลมิ ติ ของลําดบั คือ 0 18) เนื่องจาก n −1 = lim n 1− 1 lim n→∞ n  n→∞ n +1 n 1+ 1 n  1− 1 n = lim 1 n→∞ 1 + n lim 1− lim 1 n→∞ n→∞ n = 1 lim 1+ lim n→∞ n→∞ n สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

222 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 lim 1− lim 1 n→∞ n→∞ 1 = n2 lim 1+ lim 1 n→∞ n→∞ 1 n2 1− 0 = 1+ 0 =1 ดังน้นั lim n −1 =1 n→∞ n +1 นน่ั คอื ลาํ ดบั นี้เปนลําดับลเู ขา และลมิ ิตของลาํ ดับคือ 1 19) เนอ่ื งจาก lim n2 −1 n2 1 − 1  n→∞ 4n n2  = lim n→∞ 4n n 1− 1 lim n2 = n→∞ 4n 1 − 1 n2 = lim n→∞ 4 = lim 1− lim 1 n2 n→∞ n→∞ lim 4 n→∞ = 1−0 4 =1 4 ดงั น้ัน lim n2 −1 = 14 n→∞ 4n น่นั คอื ลาํ ดบั นเี้ ปน ลาํ ดับลูเ ขา และลมิ ติ ของลาํ ดบั คอื 1 4 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 223 20) เนื่องจาก 4n2 −1 n2  4 − 1  lim  n2  n→∞ 2n + 3 n3 + 2 = lim n→∞ n3 1 + 2  2n + 3 n3  n 4 − 1 n2 = lim n→∞ 2 2n + n3 1+ n3 n 4 − 1 n2 = lim n→∞   n 2 + 2  3 1+ n3   4 − 1 n2 = lim n→∞ 2 2+ 3 1+ n3 lim 4 − lim 1 n→∞ n→∞ n2 = 2 lim 2 + 3 lim 1 + lim n3 n→∞ n→∞ n→∞ 4−0 = 2+ 31+0 2 = 3 ดังน้นั lim 4n2 −1 = 2 n→∞ 2n + 3 n3 + 2 3 นัน่ คือ ลําดับนเี้ ปนลําดบั ลเู ขา และลมิ ติ ของลําดบั คอื 2 3 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

224 คูม อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 21) เนื่องจาก lim 23n+2 4(8n ) n→∞ 32n−1 = lim ( )n→∞ 1 9n 3 = 12 lim  8 n n→∞  9  และ 8 <1 จะได lim  8 n =0  9  9 n→∞ ดังนน้ั 12 lim  8 n = 12 × 0 = 0 n→∞  9  นน่ั คอื lim 23n+2 =0 n→∞ 32n−1 ดังน้นั ลาํ ดับน้ีเปน ลําดบั ลูเ ขา และลิมิตของลาํ ดับคือ 0 22) เนอื่ งจาก lim 1 = lim 3 + 2n 2 8n2 + 5n + n→∞ an n→∞ n2  3 + 2  n2 n  = lim n→∞  5 2  n2  8 + n + n2  3 +2 = lim n2 n n→∞ 5 2 8 + n + n2 = lim 3 + lim 2 n2 n→∞ n n→∞ lim 8 + lim 5 + lim 2 n→∞ n n→∞ n2 n→∞ 0+0 = 8+0+0 =0 จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลาํ ดบั an เปน ลาํ ดบั ลอู อก 23) จาก r > 0 จะได r > 0 และ 1+ r >1 12 12  n   จาก 1 <1 จะได lim  1 r  =0 1+ r  +  n→∞ 1 12  12  สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 225 พจิ าร=ณา lim 1   n 0  lni=→m∞  1 +1 r  an→∞ lni→m∞= 1 +11r2 n  n  12  จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลําดบั an เปนลาํ ดับลอู อก 24) พจิ ารณา ( )( ) ( )lim ( )n→∞  n2 − 5 + 1− n3  n2 − 5 n2 + 3n + 1 − n3 (n + 2)  n+2 n2 + 3n  = lim (n + 2) n2 + 3n   n→∞ = lim ( ) ( )n4 + 3n3 − 5n2 −15n + n + 2 − n4 − 2n3 n→∞ n3 + 5n2 + 6n = lim n3 − 5n2 −14n + 2 n→∞ n3 + 5n2 + 6n n3 1 − 5 − 14 + 2 n n2 n3  = lim n→∞ 1 + 5 6  n3 n + n2  = lim 1 − lim 5 − lim 14 + lim 2 n n→∞ n2 n→∞ n3 n→∞ n→∞ lim 1 + lim 5 + lim 6 n n→∞ n2 n→∞ n→∞ = 1−0−0+0 1+ 0 + 0 =1 ดังน้ัน ลาํ ดบั น้เี ปน ลําดับลเู ขา และลมิ ติ ของลําดับคือ 1 3. 1) เปนเทจ็ ให an = n และ bn = −n จะไดว า lim an = lim n ซ่งึ ไมม ีคา และ nli→m∞=bn lim (−n) ซงึ่ ไมม คี า n→∞ n→∞ n→∞ ดังนน้ั ลําดับ an และ ลําดับ bn เปนลาํ ดบั ลอู อก พจิ ารณา an + bn = n + (−n) = 0 จะไดว า lim (an + bn ) = lim 0 = 0 n→∞ n→∞ ดังนัน้ ลําดับ an + bn เปนลําดบั ลูเขา สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

226 คูม ือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 2) เปนเท็จ ให an = 0 และ bn = n จะไดวา nli→m=∞ an l=im 0 0 และ lim bn = lim n ซ่ึงไมมคี า n→∞ n→∞ n→∞ ดงั น้ัน an เปนลาํ ดับลเู ขา และ bn เปน ลําดบั ลูอ อก พิจารณา an + bn = 0 + n = n จะไดวา lim =1 l=im 1 0 n→∞ an + bn n→∞ n ดงั น้ัน an + bn เปนลําดับลูอ อก 4. 1) บริษัทแหงน้มี ีงบรายจา ยปแ รก 2.5 พนั ลานบาท และวางแผนจะปรบั ลดงบรายจา ยลง 20% ของปก อ นหนา จะไดว า งบรายจายในปที่ 1 หลงั จากปรับลดงบ เทากับ 2.5(0.8) พันลา นบาท งบรายจา ยในปที่ 2 หลงั จากปรับลดงบ เทากับ (2.5(0.8))(0.8) = 2.5(0.8)2 พนั ลานบาท งบรายจา ยในปที่ 3 หลังจากปรบั ลดงบ เทากบั ( )2.5(0.8)2 (0.8) = 2.5(0.8)3 พนั ลา นบาท งบรายจายในปท ี่ 4 หลงั จากปรบั ลดงบ เทากับ ( )2.5(0.8)3 (0.8) = 2.5(0.8)4 พันลานบาท ดังนน้ั งบรายจา ยในปท ีส่ ่หี ลงั จากปรับลดงบ เทา กับ 2.5(0.8)4 =1.024 พนั ลานบาท 2) จากขอ 1) จะไดว า n ปห ลังจากปรับลดงบ งบรายจา ยเทากับ 2.5(0.8)n พันลานบาท ดังนั้น งบรายจายในปท ่ี n หลงั จากปรบั ลดงบ เทากับ 2.5(0.8)n พนั ลานบาท 3) จากขอ 1) และ 2) จะได งบรายจา ยในปท ่ี 1, 2, 3, , n,  หลงั จากปรบั ลดงบ คือ 2.5(0.8), 2.5(0.8)2 , 2.5(0.8)3 , , 2.5(0.8)n ,  ซ่ึงเปนลําดับเรขาคณิตท่ีมี พจนแ รกเปน 2.5(0.8) และอัตราสวนรว มเปน 0.8 ( )พจิ ารณา lim 2.5(0.8)n = 2.5 lim (0.8)n n→∞ n→∞ เนอ่ื งจาก 0.8 <1 จะได lim (0.8)n = 0 n→∞ ดังน้นั 2.5 lim (0.8)n = 2.5× 0= 0 n→∞ ( )นน่ั คือ lim 2.5(0.8)n = 0 n→∞ ดังนนั้ ลาํ ดบั ของงบของรายจายนเ้ี ปนลาํ ดับลูเ ขา สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 227 แบบฝกหัด 1.3.1 1. 1) จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S4 = 4 (2(3) + (4 −1)(2)) = 24 2 ดงั นนั้ ผลบวก 4 พจนแ รกของอนกุ รมเลขคณติ นี้ คือ 24 2) จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S11 = 11(2(−7) + (11−1)(3)) = 88 2 ดงั นนั้ ผลบวก 11 พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตน้ี คือ 88 3) จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S14 = 14 (2(−5) + (14 −1)(−2)) = −252 2 ดงั นั้น ผลบวก 14 พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ −252 4) จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S7 = 7 (5 + 29) = 119 2 ดงั นั้น ผลบวก 7 พจนแ รกของอนกุ รมเลขคณิตน้ี คือ 119 5) จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S9 = 9 (−3 + 37) = 153 2 ดงั นั้น ผลบวก 9 พจนแรกของอนุกรมเลขคณติ น้ี คือ 153 2. 1) อนกุ รมทกี่ าํ หนดใหม ี a1 = 5 และ d = 2 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S50 = 50 (2(5) + (50 −1)(2)) = 2,700 2 ดงั น้นั ผลบวก 50 พจนแรกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คอื 2,700 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

228 คูม ือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 2) อนกุ รมที่กําหนดใหมี a1 = 0 และ d = 2 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S30 = 30 (2(0) + (30 −1)(2)) = 870 2 ดังนั้น ผลบวก 30 พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คอื 870 3) อนุกรมที่กําหนดใหม ี a1 = −2 และ d = 5 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S60 = 60 (2(−2) + (60 −1)(5)) = 8,730 2 ดังนัน้ ผลบวก 60 พจนแ รกของอนุกรมเลขคณติ นี้ คอื 8,730 4) อนกุ รมท่ีกําหนดใหม ี a1 = 5 และ d = −3 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S75 = 75 (2(5) + (75 −1)(−3)) = −7, 950 2 ดังนน้ั ผลบวก 75 พจนแรกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ −7,950 5) อนกุ รมที่กาํ หนดใหม ี a1 = 1 และ d = 1 2 2 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S50 = 50  2  1  + (50 − 1)  1   = 1, 275 2   2  2   2   ดงั น้ัน ผลบวก 50 พจนแรกของอนุกรมเลขคณิตน้ี คอื 1,275 2 3. 1) จาก an = a1 + (n −1) d อนกุ รมที่กําหนดใหมี a1 = 6, d = 3 และ an = 99 จะได 99 = 6 + (n −1)(3) 99 = 6 + 3n − 3 n = 32 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 229 จะได S32 = 32 (6 + 99) = 1,680 2 ดังนั้น ผลบวกของอนกุ รมเลขคณิตนี้ คือ 1,680 2) จาก an = a1 + (n −1) d อนุกรมที่กาํ หนดใหมี a1 = −7, d = −3 และ an = −109 จะได −109 = −7 + (n −1)(−3) −109 = −7 − 3n + 3 n = 35 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S35 = 35 (−7 + (−109)) = −2, 030 2 ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมเลขคณติ นี้ คือ −2,030 3) จาก an = a1 + (n −1) d อนุกรมที่กาํ หนดใหม ี a1 = −7, d = 3 และ an =131 จะได 131 = −7 + (n −1)(3) 131 = −7 + 3n − 3 n = 47 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S47 = 47 (−7 +131) = 2, 914 2 ดงั นนั้ ผลบวกของอนกุ รมเลขคณติ น้ี คือ 2,914 4. ให a10 = 20 และ a5 = 10 จะได 20 = a1 + (10 −1)d น่นั คอื 20 = a1 + 9d ----- (1) ----- (2) และ 10 = a1 + (5 −1) d น่นั คือ 10 = a1 + 4d จาก (1) และ (2) จะได d = 2 และ a1 = 2 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

230 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 พิจารณาผลบวกของพจนท ่ี 8 ถงึ พจนท ่ี 15 คือ a8 + a9 + a10 +  + a15 = (a1 + a2 + a3 +  + a15 ) − (a1 + a2 + a3 +  + a7 ) = S15 − S7 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S7 = 7 (2(2) + (7 −1)(2)) = 56 2 และ S15 = 15 (2(2) + (15 −1)(2)) = 240 2 น่นั คอื S15 − S7 = 240 − 56 = 184 ดงั น้นั ผลบวกของพจนท ่ี 8 ถึงพจนท ี่ 15 ของอนุกรมเลขคณติ น้ี คอื 184 5. จากทก่ี ําหนดให จะไดว า ทบั ทมิ ออมเงินวนั แรก 1 บาท ออมเงินในวันที่สอง 1 + 1 = 2 บาท ออมเงินในวนั ท่ีสาม 2 + 1 = 3 บาท ในทํานองเดยี วกัน จะไดวา ทับทมิ ออมเงนิ ในวันท่ี n เทา กับ n บาท จะได เงนิ ที่ทบั ทิมออมในวันที่ 1, 2, 3, , n คือ 1, 2, 3, , n บาท ซง่ึ เปนลําดับ เลขคณติ ที่มพี จนแรกเปน 1 และผลตางรวมเปน 1 ให Sn แทนจาํ นวนเงนิ ออมทัง้ หมดของทับทิม เม่ือออมครบ n วัน ดังนน้ั จํานวนเงนิ ออมทง้ั หมดของทับทิม เม่ือออมครบ 30 วนั คือ S30 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S30 = 30 (2(1) + (30 −1)(1)) = 465 2 ดงั น้นั ถา ทบั ทิมออมเงินจนครบ 30 วัน ทับทมิ จะมีเงนิ ออมทง้ั หมด 465 บาท 6. ให a1 = 6, d = 4 และ an = 26 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 26 = 6 + (n −1)(4) 26 = 6 + 4n − 4 n =6 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 231 จะได S6 = 6 (6 + 26) = 96 2 ดงั น้นั ผลบวกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 96 7. ลาํ ดบั ของจาํ นวนคี่บวก คือ 1, 3, 5, 7,, 2n −1,  ซง่ึ เปนลาํ ดบั เลขคณิตท่ีมีพจนแรกเปน 1 และผลตา งรวมเปน 2 ให Sn แทนผลบวกของจาํ นวนค่บี วก n จํานวนแรก พจิ ารณาผลบวกของจาํ นวนค่ีบวก 100 จาํ นวนแรก ซึ่งคือ S100 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S100 = 100 (2(1) + (100 −1)(2)) = 10,000 2 ดังน้ัน ผลบวกของจํานวนค่บี วก 100 จํานวนแรก คอื 10,000 8. ลาํ ดบั ของจํานวนเต็มบวกท่เี ปนพหุคูณของ 3 คือ 3, 6, 9,12,, 2n +1,  ซง่ึ เปนลาํ ดบั เลขคณิตท่ีมีพจนแรกเปน 3 และผลตา งรวมเปน 3 ให Sn แทนผลบวกของจํานวนเต็มบวก n จํานวนแรกทเ่ี ปนพหคุ ณู ของ 3 พจิ ารณาผลบวกของจาํ นวนเตม็ บวกยส่ี ิบจาํ นวนแรกทเ่ี ปนพหุคณู ของ 3 ซ่งึ คือ S20 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S20 = 20 (2(3) + (20 −1)(3)) = 630 2 ดังน้ัน ผลบวกของจาํ นวนเต็มบวกยส่ี บิ จํานวนแรกท่ีเปน พหุคูณของ 3 คือ 630 9. ลาํ ดับของจาํ นวนคี่ต้งั แต 17 ถึง 379 คือ 17, 19, 21, …, 379 เปน ลําดบั เลขคณิตท่ีมีพจนแรก เปน 17 พจนส ุดทา ยเปน 379 และผลตา งรว มเปน 2 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 379 = 17 + (n −1)(2) 379 = 17 + 2n − 2 n = 182 ดงั นน้ั ผลบวกของจาํ นวนค่ีตั้งแต 17 ถงึ 379 คอื ผลบวกของ 182 พจนแรกของอนุกรม เลขคณิตท่ไี ดจ ากลําดับเลขคณติ น้ี ซึง่ คือ S182 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

232 คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S182 = 182 (17 + 379) = 36,036 2 ดงั นน้ั ผลบวกของจาํ นวนคี่ตั้งแต 17 ถงึ 379 คือ 36,036 10. การจดั แผนไมต ามเง่ือนไขที่กําหนดเปน ดงั รปู ช้นั ที่ n แผน ไม 5 แผน ชัน้ ที่ 4 แผน ไม 27 แผน ช้นั ท่ี 3 แผนไม 28 แผน ชัน้ ท่ี 2 แผน ไม 29 แผน ชั้นท่ี 1 แผน ไม 30 แผน จากการจัดวางแผนไมใ นชั้นท่ี 2 โดยใหแ นวกึ่งกลางของแผนไมแ ตล ะแผน อยูตรงกบั รอยตอ ของแผน ไมแ ตล ะคูในช้ันท่ี 1 จะไดว า ชั้นท่ี 2 มีแผนไมทวี่ างจํานวนท้งั หมด 30 −1=29 แผน จากการจัดวางแผนไมในชนั้ ที่ 3 โดยใหแ นวก่งึ กลางของแผนไมแตละแผน อยูตรงกบั รอยตอ ของแผน ไมแตล ะคูในชน้ั ที่ 2 จะไดว า ชน้ั ที่ 3 มีแผน ไมท ่ีวางจาํ นวนท้งั หมด 29 −1=28 แผน ให n เปน ช้ันทมี่ ีแผนไมทวี่ างจาํ นวนทง้ั หมด 5 แผน จะไดวา จํานวนแผน ไมท ี่วางในช้ันท่ี 1, 2, 3, , n คือ 30, 29, 28,, 5 ซ่ึงเปน ลําดับ เลขคณิตที่มพี จนแรกเปน 30 พจนท ี่ n เปน 5 และผลตางรว มเปน −1 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 5 = 30 + (n −1)(−1) 5 = 30 − n +1 n = 26 ดังน้ัน จาํ นวนแผน ไมตัง้ แตช นั้ ท่ี 1 จนถงึ ชัน้ ทม่ี ีแผน ไม 5 แผน คอื ผลบวกของ 26 พจนแ รก ของอนกุ รมเลขคณติ ที่ไดจ ากลาํ ดบั เลขคณติ นี้ ซึ่งคือ S26 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S26 = 26 (30 + 5) = 455 2 ดงั น้นั แผนไมกองไมน ี้มี 26 ชน้ั และมแี ผน ไมทั้งหมด 455 แผน สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 233 แบบฝก หดั 1.3.2 ( )1. 1) จาก Sn = a1 1 − r n 1− r จะได 3(1− 24 ) S4 = 1 − 2 = 45 ดังนั้น ผลบวก 4 พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ นี้ คือ 45 ( )2) จาก Sn = a1 1 − r n 1− r ( )จะได 5 1− 47 S7 = 1 − 4 = 27,305 ดังนน้ั ผลบวก 7 พจนแ รกของอนกุ รมเรขาคณติ นี้ คือ 27,305 ( )3) จาก Sn = a1 1 − r n 1− r ( )(−3) 1− 59 = 3 1 − 59 4 ( )จะได S9 = 1−5 ดังนน้ั ผลบวก 9 พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ น้ี คือ 3 (1− 59 ) 4 ( )4) จาก Sn = a1 1 − r n 1− r ( )( )จะได S11 = (−7) 1 − 311 = 7 1 − 311 2 1−3 ดังน้ัน ผลบวก 11 พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณิตนี้ คอื ( )7 1− 311 2 ( )5) จาก Sn = a1 1 − r n 1− r ( ) ( )จะได S14 = (−5) 1− (−2)14 = 5 214 −1 3 1− (−2) ดงั นนั้ ผลบวก 14 พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิตน้ี คอื (5 214 −1) 3 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

234 คูม ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 2. 1) อนกุ รมเรขาคณิตท่ีกําหนดใหมี a1 = 2 และ r= 6= 3 2 แทน n ดว ย 9 ใน Sn = ( )a1 1− rn 1− r ( )จะได 2 1 − 39 S9 = 1 − 3 = 39 −1 = 19,682 ดงั น้ัน ผลบวก 9 พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ นี้ คือ 19,682 2) อนกุ รมเรขาคณิตที่กําหนดใหมี a1 = 9 และ =r 1=2 4 9 3 แทน n ดว ย 8 ใน Sn = ( )a1 1− rn 1− r 9  −  4 8  9  −  4 8   8  1  3   1  3   1   จะได S8 = = = −27 −  4 1− 4 −1  3 33 ดงั นนั้ ผลบวก 8 พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิตน้ี คือ −27  −  4 8  1  3   4 3) อนกุ รมเรขาคณติ ที่กาํ หนดใหมี a1 = 2 และ =r 92= 2 3 3 3 แทน n ดวย 10 ใน Sn ( )= a1 1− rn 1− r 2  −  2 10   10  3 1  3   1   จะได S10 = = 2 −  2 1− 2  3 3 ดังนน้ั ผลบวก 10 พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ น้ี คือ 2  −  2 10  1  3   สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 235 3. 1) อนกุ รมทกี่ าํ หนดใหม ี a1 = 9, =r 2=7 3 และ an = 729 9 จาก an = a1rn−1 จะได ( )729 = 9 3n−1 น่นั คือ 81 = 3n−1 34 = 3n−1 n −1 = 4 n=5 แทน n ดวย 5 ใน Sn = ( )a1 rn −1 r −1 ( )S5 จะได = 9 35 −1 = 9 (243 −1) = 1,089 3−1 2 ดังน้นั ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตน้ี คือ 1,089 2) อนุกรมท่กี าํ หนดใหมี a1 = 4, r= 2= 1 และ an =1 4 2 512 จาก an = a1rn−1 จะได 1  1 n −1 512  2  = 4 1 =  1 n−1 211  2   1 11 =  1 n−1  2   2  น่นั คือ n −1 = 11 n = 12 แทน n ดวย 12 ใน Sn = ( )a1 1− rn 1− r 4  −  1 12   12  1  2   1   จะได S12 = = 8 −  1 1− 1  2 2 ดังนั้น ผลบวกของอนกุ รมเรขาคณิตน้ี คือ  −  1 12  81  2   สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

236 คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 3) อนุกรมที่กาํ หนดใหม ี a1 = 1, r= −2 = −2 และ an = 256 1 จาก an = a1rn−1 จะได 256 = 1(−2)n−1 (−2)8 = (−2)n−1 นั่นคือ n −1 = 8 n=9 แทน n ดวย 9 ใน Sn = ( )a1 1− rn 1− r ( )จะได 1 1− (−2)9 = 1 (1+ 512) = 171 S9 = 1− (−2) 3 ดงั นั้น ผลบวกของอนกุ รมเรขาคณิตน้ี คือ 171 4. จากที่กาํ หนดให จะไดวา มังกรออมเงินวันแรก 1 บาท ออมเงนิ ในวันที่สอง 2(1)= 2= 21 บาท ออมเงนิ ในวันทส่ี าม 2(2)= 4= 22 บาท ออมเงนิ ในวันทีส่ ี่ 2(4)= 8= 23 บาท ในทาํ นองเดียวกัน จะไดวา มังกรออมเงนิ ในวันท่ี n เทา กับ 2n−1 บาท จะได เงนิ ทม่ี ังกรออมในวนั ที่ 1, 2, 3, , n,  คือ 1, 21, 22, , 2n−1,  บาท ซึง่ เปน ลําดับเรขาคณิตทมี่ ีพจนแ รกเปน 1 และอตั ราสว นรว มเปน 2 ให Sn แทนจาํ นวนเงนิ ออมท้ังหมดของมังกร เม่ือออมครบ n วนั ดังน้ัน จํานวนเงนิ ออมทงั้ หมดของมังกร เมื่อออมครบ 15 วัน คอื S15 ( )จาก Sn = a1 r n −1 r −1 ( )จะได 1 215 −1 S15 = 2 −1 = 215 −1 = 32,767 ดงั นนั้ เม่ือครบ 15 วัน มังกรจะมเี งนิ ออมทง้ั หมด 32,767 บาท สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 237 5. จาก ยอดขายของบรษิ ัทแหงนใี้ นไตรมาสแรกของปที่ 1 คือ 300,000 บาท และผูจดั การฝา ยขายของบรษิ ัทตอ งการเพิ่มยอดขายขน้ึ ไตรมาสละ 3% ของยอดขายใน ไตรมาสกอนหนา จะไดว า ไตรมาสแรกของปท ี่ 1 ผูจดั การฝา ยขายทํายอดขายได 300,000 บาท เมอ่ื ผานไป 1 ไตรมาส (ไตรมาสสองของปท่ี 1) ผจู ัดการฝายขายทํายอดขายได 300,000(1.03) บาท เมอ่ื ผา นไป 2 ไตรมาส (ไตรมาสสามของปที่ 1) ผจู ัดการฝา ยขายทาํ ยอดขายได (300,000(1.03))(1.03) = 300,000(1.03)2 บาท เมื่อผานไป 3 ไตรมาส (ไตรมาสสข่ี องปท่ี 1) ผจู ดั การฝา ยขายทํายอดขายได ( )300,000(1.03)2 (1.03) = 300,000(1.03)3 บาท เมือ่ ผา นไป 4 ไตรมาส (ไตรมาสหน่ึงของปที่ 2) ผูจัดการฝายขายทํายอดขายได ( )300,000(1.03)3 (1.03) = 300,000(1.03)4 บาท ในทาํ นองเดียวกัน เมื่อผานไป n ไตรมาส ผจู ัดการฝายขายควรทํายอดขายได 300,000(1.03)n บาท จะไดวา เมื่อผา นไป 1, 2, 3, , n,  ไตรมาส จากไตรมาสแรกของปท่ี 1 ผูจัดการฝา ยขายควรทาํ ยอดขายได 300000(1.03), 300000(1.03)2 , 300000(1.03)3 , , 300000(1.03)n ,  บาท ซึ่งเปน ลําดับเรขาคณติ ท่ีมีพจนแ รกเปน 300000(1.03) และอตั ราสว นรว มเปน 1.03 1) เน่ืองจาก ไตรมาสแรกของปท ี่ 3 คอื ไตรมาสท่ี 8 นับจากไตรมาสแรกของปท่ี 1 จะได ยอดขาย ณ ไตรมาสแรกของปท ่ี 3 คือ ยอดขายทผี่ ูจ ัดการฝายขายควรทํายอดได เมื่อผา นไป 8 ไตรมาส ซง่ึ เทากับ 300,000(1.03)8 ≈ 380,031.02 บาท ดงั นนั้ ผจู ัดการฝายขายควรทํายอดขายไตรมาสแรกของปท่ี 3 ใหไดป ระมาณ 380,031.02 บาท 2) ให Sn แทนยอดขายรวมทผ่ี จู ดั การฝา ยขายควรทําได เมื่อผา นไป n ไตรมาส นับจาก ไตรมาสแรกของปท่ี 1 พิจารณา ยอดขายรวมที่ผจู ัดการฝายขายควรทําไดต้ังแตไตรมาสสองของปท่ี 1 ถึงไตรมาสส่ี ของปท่ี 2 ซงึ่ คือ ยอดขายรวมทผ่ี จู ดั การฝายขายควรทาํ ไดเ มือ่ ผา นไป 7 ไตรมาส นับจาก ไตรมาสแรก หรือ S7 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

238 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ( )จาก Sn = a1 r n −1 r −1 ( )จะได S7 = 300,000(1.03) (1.03)7 −1 ≈ 2,367,700.81 1.03 −1 น่ันคือ เมื่อครบสองป ผูจดั การฝา ยขายควรทํายอดขายรวมไดเทา กบั ยอดขายที่ไดใ น ไตรมาสแรกของปท่ี 1 รวมกับยอดขายรวมทผ่ี จู ัดการฝา ยขายควรทําไดตั้งแตไตรมาสสอง ของปท ี่ 1 ถึงไตรมาสส่ีของปที่ 2 ซง่ึ เทากบั 300,000 + S7 บาท ดังน้ัน เมอ่ื ครบสองป ผจู ัดการควรทํายอดขายทงั้ หมดใหไดประมาณ 300,000 + 2,367,700.81 = 2,667,700.81 บาท 6. ถังใบหนง่ึ มีนํ้าอยู 5,832 ลิตร แตละวันจะใชน าํ้ 1 ของปรมิ าณนา้ํ ท่อี ยูในถงั 3 วันท่ี 1 จะใชน้ําไป 1 (5,832) ลิตร และเหลอื น้ําอยูในถงั 5,832 − 1 (5,832) =2 (5,832) ลติ ร 3 33 วนั ท่ี 2 จะใชนา้ํ ไป 1  2 (5,832)  ลติ ร และเหลอื นํ้าอยูในถัง 3  3  2 ( 5, 832) − 1  2 ( 5, 832 )  = 23 2 (5,832) ลติ ร 3 3  3  วนั ท่ี 3 จะใชนาํ้ ไป  2 2 (5,832) ลิตร และเหลอื น้ําอยูในถัง  3   2 2 ( 5, 832 ) − 1   2 2 ( 5, 832)  = 23 3 (5,832) ลติ ร  3  3   3   ในทํานองเดียวกนั วันที่ จะใชนาํ้ ไป  2 n −1 ลิตร  3  n (5, 832 ) จะได ปริมาณนาํ้ ท่ีใชไ ปในวันที่ 1, 2, 3, , n,  คอื 1 ( 5832 ) ,  2   1 ( 5832)  ,  2 2  1 ( 5832 )  , ,  2 n−1  1 ( 5832 )  ,  3  3   3   3   3   3   3  ซง่ึ เปน ลาํ ดับเรขาคณติ ท่ีมพี จนแรกเปน 1 (5,832) และอตั ราสวนรว มเปน 2 33 ให Sn แทนปรมิ าณนํ้าท่ีใชไปทั้งหมด เม่อื ครบ n วัน ดงั นั้น ปรมิ าณนํา้ ทีใ่ ชไปทั้งหมด เมื่อครบ 6 วัน คือ S6 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี