คูมือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 389 2) ให V แทน ปรมิ าตรของกรวยกลมตรงที่มีความสูง h โดยรศั มขี องฐานมีคาคงตัว เทา กบั r จะได V (h) = 1π r2h 3 อตั ราการเปลย่ี นแปลงของปริมาตรของกรวยกลมตรงเทียบกบั สวนสูง ขณะสว นสูงยาว h หนวย เมือ่ ความยาวของรัศมีของฐานมีคาคงตวั เทากับ r คือ V (h + k)−V (h) 1πr2 (h + k) − 1πr2h = lim 3 3 lim k→0 k k→0 k = lim π r2k k→0 3k = lim π r2 k→0 3 = π r2 ลกู บาศกห นวยตอ หนวย 3 9. ให F ( r ) = k r2 อตั ราการเปล่ียนแปลงของ F เทียบกับ r ขณะที่ r เปนจํานวนจริงทม่ี ากกวา 0 คอื F (r + h) − F (r) (r k − k r2 lim = lim + h)2 h→0 h h→0 h = lim −2rkh − kh2 h→0 hr 2 ( r + h)2 = lim −2rk − kh h→0 r 2 ( r + h )2 = − 2k นวิ ตนั ตอ เมตร r3 ดงั น้ัน อัตราการเปลย่ี นแปลงของ F เทยี บกบั r ขณะท่ี r เปนจํานวนจริงทีม่ ากกวา 0 คือ − 2k นวิ ตนั ตอเมตร r3 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
390 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 10. จาก s(t) แทนความสูงของปะการังเทยี มจากระดบั นํ้าทะเล ณ เวลา t หลังจากหยอ น ปะการงั เทยี มจากเฮลิคอปเตอร ดังนนั้ s(5) = 0 หมายถึง ความสูงของปะการังเทียมจากระดบั น้าํ ทะเลเทา กับ 0 ณ เวลา 5 วินาที s′(5) = − 27 หมายถึง ณ เวลา 5 วนิ าที หลงั จากหยอนปะการงั เทียมจากเฮลิคอปเตอร อัตราการเปลย่ี นแปลงของความสงู ของปะการังเทียมเปน −27 เมตรตอ วนิ าที หรือเมื่อเวลา เพิ่มขนึ้ ความสูงของปะการังเทยี มลดลงดวยอตั รา 27 เมตรตอ วินาที 11. 1) f ′(x) = 3( x + h)2 − 3x2 2) 3) lim h→0 h = lim 6xh + 3h2 h→0 h = lim(6x + 3h) h→0 = 6x f ′(x) = lim ( x + h)3 − x3 h→0 h = lim 3x2h + 3xh2 + h3 h→0 h ( )= lim 3x2 + 3xh + h2 h→0 = 3x2 x 1 h − 1 + x f ′(x) = lim h→0 h = lim −h h→0 hx ( x + h ) = lim −1 h→0 x ( x + h ) = −1 x2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 391 11 (x + h)3 − x3 4) f ′(x) = lim 12. 1) h→0 h lim ( x + 1 − 1 ⋅ (x + 2 +(x+ 1 1 + 2 (x + +(x+ + h→0 h)3 x3 h)3 h)3 x3 x3 = h 2 1 1 2 h)3 h)3 x3 x3 (x + h)− x = lim 2 1 1 2 h→0 ( +(x h)3 h)3 x3 x3 h x + + + h lim = 2 1 1 2 h→0 ( h)3 +(x h)3 x3 x3 h x + + + lim 1 = 2 1 1 2 h→0 (x+ ( h)3 h)3 x3 x3 x + + + 1 =2 3x 3 จาก f ( x=) x2 − x จะได f ′(0) = f (0 + h) − f (0) lim h→0 h = lim f (h) − f (0) h→0 h = lim (h2 − h) − 0 h→0 h = lim(h −1) h→0 = −1 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
392 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 12. 2) จาก f (=x) 2x3 +1 3) จะได f ′(2) = f (2 + h) − f (2) lim h→0 h = lim ( ) ( )2(2 + h)3 +1 − 2(2)3 +1 h→0 h = lim ( )(2 8 +12h + 6h2 )+ h3 +1 − (2(8) +1) h→0 h = lim 24h + 12h2 + 2h3 h→0 h ( )= lim 24 +12h + 2h2 h→0 = 24 จาก f (x) = 1 x2 จะได f ′(−1) = f (−1+ h) − f (−1) lim h→0 h 1 h)2 − 1 = lim ( −1 + ( −1)2 h→0 h = lim 1− (−1+ h2 ) h→0 ( −1 + h )2 ( −1) h = lim 1− (1− 2h + h2 ) h→0 −h(−1+ h)2 = lim 2h − h2 h→0 −h ( −1 + h )2 = lim h−2 h→0 ( −1 + h )2 −2 = −1 =2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 393 แบบฝกหดั 2.4 y = −3 1. 1) จาก dy = d (−3) จะได dx 2) จาก dx จะได =0 3) จาก y = x3 + x จะได 3 4) จาก dy = d x3 + x จะได dx dx 3 ( )=d x3 + d x dx dx 3 = d (x3 ) + 1 d (x) dx 3 dx = 3x2 + 1 3 y = x3 − 3x + 7 d x3 − 3x + 7 dx ( )dy= dx = d (x3 ) − d (3x) + d (7) dx dx dx = d (x3 ) − 3 d (x) + d (7) dx dx dx = 3x2 − 3 + 0 = 3x2 − 3 y = −5x2 + x + 2 x − 1 x = −5x2 + x + 1 − − 1 2 2x2 x dy = d −5 x2 + x + 1 − − 1 dx dx 2 2x2 x ( )=dy dy ( x) dy 1 dy − 1 dx −5x2 + dx + dx − dx 2 2x2 x −5 dy dy dy 1 dy − 1 dx dx dx 2 dx 2 ( )= x2 + ( x) + 2 x − x สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
394 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 = −5( 2x ) + 1 + 2 1 − 1 − − 1 − 3 2 2 2 2 x x = −10x +1 + 1 + 1 x 2x x 5) จาก s = 4t5 − 3t2 + t − 8 จะได ds dt d 4t5 − 3t2 + t − 8 6) วิธที ่ี 1 dt เนอ่ื งจาก ( )= วิธที ่ี 2 = d (4t5 ) − d (3t2 ) + d (t ) − d (8) 7) จาก จะได dt dt dt dt = 4 d (t5 ) − 3 d (t2 ) + d (t) − d (8) dt dt dt dt = 4(5t4 ) − 3(2t ) +1− 0 = 20t4 − 6t + 1 s = (4t2 + t −1)(t + 2) ds d (4t2 + t −1)(t + 2) dt dt ( )จะได = = (4t2 + t −1) d (t + 2) + (t + 2) d (4t2 + t −1) dt dt = (4t2 + t −1)(1+ 0) + (t + 2)(8t +1− 0) ( ) ( )= 4t2 + t −1 + 8t2 +17t + 2 = 12t2 +18t +1 เน่ืองจาก s = (4t2 + t −1)(t + 2) = 4t3 + 9t2 + t − 2 ( )ds dt จะได = d 4t3 + 9t2 + t − 2 dt = d (4t3 ) + d (9t2 ) + d (t ) − d (2) dt dt dt dt = 4(3t2 ) + 9(2t ) +1− 0 = 12t2 +18t +1 y = x( x +1)( x + 2) dy = d ( x( x +1)( x + 2)) dx dx สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 395 = x d (( x +1)( x + 2)) + ( x +1)( x + 2) d ( x) dx dx = x ( x + 1) d ( x + 2) + ( x + 2) d ( x + 1) + ( x + 1) ( x + 2) (1) dx dx = x(( x +1)(1+ 0) + ( x + 2)(1+ 0)) + ( x +1)( x + 2) = x(x +1+ x + 2) + (x2 + 3x + 2) 8) จาก = 2x2 + 3x + x2 + 3x +1 จะได = 3x2 + 6x + 2 9) จาก จะได y = (4x − x2 )(x2 + 3) 10) จาก d (4x − x2 )(x2 + 3) จะได dx ( )dy= dx = (4x − x2 ) d (x2 + 3) + (x2 + 3) d (4x − x2 ) dx dx = (4x − x2 )(2x + 0) + (x2 + 3)(4 − 2x) = −4x3 + 12x2 − 6x + 12 y = x( x2 +1) d x x2 +1 dx ( )( )dy= dx = x d ( x2 +1) + ( x2 +1) d ( x) dx dx = x(2x + 0) + ( x2 +1)(1) = 3x2 +1 x3 + 2 y= x dy d x3 + 2 = dx dx x x d (x3 + 2) − (x3 + 2) d (x) = dx dx x2 x(3x2 + 0) − ( x3 + 2)(1) = x2 2x3 − 2 = x2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
396 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 11) จาก y =3 จะได 3x2 +1 12) จาก dy d 3 จะได dx = dx 3x2 +1 13) จาก (3x2 +1) d (3) − 3 d (3x2 +1) จะได dx dx 3x2 +1 2 ( )= (3x2 +1)(0) − 3(3(2x) + 0) ( )= 3x2 +1 2 − 18x 3x2 +1 2 ( )= y = 1+ 3x 1− 3x dy d 1 + 3x dx = dx 1 − 3x (1− 3x) dy (1+ 3x) − (1+ 3x) dy (1− 3x) dx dx = (1− 3x)2 (1− 3x)(0 + 3) − (1+ 3x)(0 − 3) = (1− 3x)2 (3−9x) + (3+ 9x) = (1− 3x)2 6 = (1− 3x)2 s = t 12 − 1 t2 ds = d t 12 − 1 dt dt t2 = t d 12 − 1 + 12 − 1 d (t) dt t2 t2 dt ( )=td 12 1 d (t ) dt 12 − t −2 + − t2 dt สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 397 ( )= 12 1 (1) t 0 − (−2)t−3 + − t2 = t 2 + 12 − 1 t3 t2 = 1 + 12 t2 14) จาก x5 − 3x2 + 5x − 2 จะได y= 15) จาก x2 จะได dy d x5 − 3x2 + 5x − 2 = dx dx x2 ( ) ( ) ( )x2 d x5 − 3x2 + 5x − 2 − x5 − 3x2 + 5x − 2 d x2 = dx dx (x2 )2 ( ) ( )x2 5x4 − 6x + 5 − 0 − x5 − 3x2 + 5x − 2 (2x) = x4 ( ) ( )5x6 − 6x3 + 5x2 − 2x6 − 6x3 +10x2 − 4x = x4 3x6 − 5x2 + 4x = x4 = 3x2 − 5 + 4 x2 x3 s = 5t6 + t − 3 t ds d 5t6 + t − 3 = dt dt t ( )t d (5t6 + t − 3) − (5t6 + t − 3) d t = dt dt ( )2 t ( )( ) ( )t 1 − 1 30t5 + 1 − 0 − 5t6 + t − 3 2 t 2 = ( )2 t สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
398 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 1 11 1 − 5 t 11 − t2 + 3 t − 1 2 2 30t 2 +t2 2 22 = t = 55t4 t + 1 + 3 2 2 t 2t t 16) จาก ( )y 1 1 จะได = x + x2 3x3 + 27 17) จาก ( )dy d 1 1 จะได dx x x2 dx = + 3x3 + 27 ( ) ( )= 1 1 d d 1 1 x + x2 dx 3x3 + 27 + 3x3 + 27 dx x + x2 ( ) ( )= 1 1 1 2 x + x2 9x2 + 0 + 3x3 + 27 − x2 − x3 = 6x + 3 − 27 − 54 x2 x3 y = 4x +1 x2 − 5 dy dx d 4x +1 = dx x2 − 5 ( x2 − 5) d (4x +1) − (4x +1) d ( x2 − 5) dx dx x2 − 5 2 ( )= ( x2 − 5)(4 + 0) − (4x +1)(2x − 0) ( )= x2 − 5 2 − 4x2 + 2x + 20 x2 − 5 2 ( )= 3x + 2 x ( )18) จาก y = x−5 +1 จะได d 3x + 2 dx x ( )dy = x−5 +1 dx ( ) ( )=3x +2 d d 3x + 2 x dx x−5 +1 + x−5 +1 dx x สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 399 ( ) ( )=3x +2 x−5 x d (3x + 2) − (3x + 2) d (x) x −5x−6 + 0 + +1 dx x2 dx ( ) ( )=3x +2 x(3+ 0) − (3x + 2)(1) x −5x−6 + x−5 +1 x2 ( ) ( )= (3x + 2) −5x−7 + x−7 + x−2 (−2) = −15x−6 −10x−7 − 2x−7 − 2x−2 = − 2 − 15 − 12 x2 x6 x7 19) จาก y= 3 x +2 จะได dy = d 3 dx dx x + 2 ( ) (x + 2 d (3) − 3 d x + 2) dx dx 2 ( )= x +2 ( )= x +2 ( 0 ) − 3 1 x −1 2 2 + 0 ( )x + 2 2 3 2 ( )= − 2 x x+2 20) จาก ( )y x −1 จะได = 2x7 − x2 x +1 ( )dy d x −1 dx x +1 dx = 2x7 − x2 ( ) ( )= d x −1 x −1 d 2x7 − x2 dx x +1 + x +1 dx 2x7 − x2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
400 คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 ( x + 1) d ( x −1) − ( x − 1) d ( x + 1) x −1 dx ( x +1)2 dx x +1 ( ) ( )= 2x7 − x2 + 14x6 − 2x ( x + 1) (1 − 0) − ( x −1) (1 + 0) x −1 ( x +1)2 x +1 ( ) ( )= 2x7 − x2 + 14x6 − 2x ( ) ( )2x7 − x2 (2) + ( x −1) 14x6 − 2x ( x +1) = ( x +1)2 14x8 + 4x7 −14x6 − 2x3 − 2x2 + 2x = ( x +1)2 2. 1) จาก f ( x) = 2x3 − 1 = 2x3 − −1 x x2 จะได f ′(x) = d 2x3 − −1 ดงั น้ัน dx x2 = 6x2 − − 1 −3 2 x2 = 6x2 + 1 3 2x2 f ′(1) = 6(1)2 + 1 13 = 3 2 (1) 2 2 2) จาก f ( x) = 1 x5 − 1 x3 + 1 x2 − 4x + 5 532 จะได f ′(x) = d 1 x5 − 1 x3 + 1 x 2 − 4 x + 5 dx 5 3 2 ดงั น้ัน = x4 − x2 + x − 4 f ′(1) = 14 −12 +1− 4 = −3 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 401 3) จาก f ( x) = (2x2 – 3x +1)( x – x2 ) ( )จะได ( )( )f ′( x) = d 2x2 – 3x +1 x – x2 dx ( ) ( ) ( ) ( )= 2x2 – 3x +1 d x – x2 + x – x2 d 2x2 – 3x +1 dx dx ( ) ( )= 2x2 – 3x +1 (1– 2x) + x – x2 (4x – 3 + 0) ( ) ( )= 2x2 – 3x +1 (1– 2x) + x – x2 (4x – 3) ดงั น้ัน ( ) ( )f ′(−1) = 2(−1)2 – 3(−1) +1 (1– 2(−1)) + (−1) – (−1)2 (4(−1) – 3) = 32 4) จาก f (x) = 2x −1 จะได x +1 ดังนั้น f ′(x) = d 2x −1 dx x +1 ( x +1) d (2x −1) − (2x −1) d ( x +1) dx dx = ( x +1)2 ( x +1)(2 − 0) − (2x −1)(1+ 0) = ( x +1)2 = 3 ( x +1)2 f ′(2) = 3 1 = (2 +1)2 3 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
402 คูมือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 3. 1) จาก g ( x) = x f ( x) 1 = x2 f (x) จะได g′(x) = d 1 f ( x) ดังน้นั dx x2 = 1 d ( f ( x)) + f (x) d 1 dx dx x2 x2 = x f ′( x) + f ( x) 1 −1 2 x2 = x f ′(x)+ f (x) 2x g′(4) = 4 f ′(4)+ f (4) 24 = 4 (−5) + 3 24 = − 37 4 2) จาก g(x) = f (x) จะได x ดังนั้น g′(x) = d f (x) dx x x d ( f (x))− f (x) d (x) = dx dx x2 x ⋅ f ′( x) − f ( x)(1) = x2 x⋅ f ′(x)− f (x) = x2 g′(4) = 4⋅ f ′(4)− f (4) 42 4 ⋅(−5) − 3 = 42 = − 23 16 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 403 4. 1) จาก F ( x) = 2 f ( x) + 4g ( x) จะได F′( x) = d (2 f ( x) + 4g ( x)) dx = 2 f ′(x)+ 4g′(x) ดังน้ัน F′(2) = 2 f ′(2) + 4g′(2) = 2(−1) + 4(0) = −2 2) จาก F(x) = f (x) + 3g (x) f ( x) + 3 g(x)= g ( x) จะได F′(x) = d f ( x) + dx g ( x) 3 = g(x) f ′(x) − f (x)g′(x) (g (x))2 ดงั นน้ั F′(2) = g(2) f ′(2) − f (2)g′(2) (g (2))2 (2)(−1) − (1)(0) = (2)2 5. จาก = −1 2 P ( x) = ax2 + bx + c จะได P′( x) ( )= d ax2 + bx + c dx จาก P′(0) = 2ax + b จะได 2a(0) + b = −3 น่ันคอื จะไดว า = −3 จาก จะได b = −3 P′( x) = 2ax − 3 P′(1) = −1 2a(1) − 3 = −1 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
404 คูม ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 นนั่ คือ a =1 จะไดว า และ P′( x) = 2x − 3 จาก P( x) = x2 − 3x + c P(1) = 1 จะได (1)2 − 3(1) + c = 1 นน่ั คือ ดังน้นั c =3 P(x) = x2 − 3x + 3 6. 1) จาก s( x) = 3x +145 เมอื่ x แทนจํานวนวนั ต้ังแตเ ริม่ ตนงานมหกรรมลดราคา x+8 และ ณ เวลาเร่มิ ตน มหกรรมลดราคา ซึง่ x = 0 จะได s(0) = 3(0) +145 0 + 8 = 18.125 ดังน้ัน จาํ นวนสินคา ณ เวลาเร่มิ ตน มหกรรมลดราคา มีอยูประมาณ 1,813 ช้นิ 2) จะได s (10) = 3(10) +145 ≈ 9.722 10 + 8 ดังนัน้ จํานวนสินคาคงเหลอื ในวันที่ 10 มีประมาณ 972 ชิน้ จาก s′( x) = d 3x +145 dx x + 8 ( x + 8) d (3x +145) − (3x +145) d ( x + 8) dx dx = (x + 8)2 ( x + 8)(3 + 0) − (3x +145)(1+ 0) = ( x + 8)2 = − ( 121 x + 8)2 จะได s′(10) = − 121 ≈ − 0.373 (10 + 8)2 ดังนั้น อตั ราการเปลี่ยนแปลงของจาํ นวนสินคาในวนั ท่ี 10 คือ − 37 ชิน้ ตอ วนั สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 405 3) จะได s (15) = 3(15) +145 ≈ 8.261 15 + 8 ดงั นนั้ จาํ นวนสินคา คงเหลอื ในวนั ท่ี 15 มีประมาณ 826 ชิ้น จาก s′( x) = − ( 121 x + 8)2 จะได s′(15) = − 121 ≈ −0.229 (15 + 8)2 = − 121 529 ดงั น้ัน อตั ราการเปลย่ี นแปลงของจาํ นวนสนิ คา ในวันที่ 15 คอื − 23 ชิ้นตอวนั 4) จะได s (25) = 3(25) +145 ≈ 0.667 25 + 8 ดงั นั้น จาํ นวนสินคา คงเหลอื ในวันที่ 25 มปี ระมาณ 667 ชนิ้ จาก s′( x) = − ( 121 x + 8)2 จะได s′(25) = − ( 121 )2 ≈ − 0.111 25 + 8 ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของจํานวนสินคาในวนั ท่ี 25 คอื −11 ชน้ิ ตอวัน 5) จาก S′( x) = − 121 ( x + 8)2 และ ( x + 8)2 > 0 สาํ หรบั ทุก x ∈ ดังนนั้ S′( x) < 0 สําหรับทกุ x∈ จะเหน็ วา อตั ราการเปลย่ี นแปลงของจํานวนสินคา คงเหลือเปนจาํ นวนลบ หมายความ วา จาํ นวนสนิ คา ท่ีเหลอื จะลดลงเมื่อจํานวนวันเพิ่มขึ้น นน่ั คือ มลี กู คา เขามาอุดหนุนสินคาอยูตลอด แตอตั ราการเปลยี่ นแปลงของจาํ นวนสนิ คา คงเหลอื จาก 2), 3) และ 4) จะเหน็ วา 121 > 121 > 1 324 529 9 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
406 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 แสดงวาการเปล่ยี นแปลงของจาํ นวนสินคา คงเหลือลดลงเม่ือเวลาเพิ่มขนึ้ นน่ั คอื ยอดขายสนิ คาของรานน้ีลดลง เมื่อเวลาเพ่ิมข้นึ ดังนั้น ในชวงวันที่ 10 ถึงวนั ท่ี 25 รานคานี้ขายสินคาไดท ุกวัน แตขายไดนอยลงเมื่อเวลาเพ่ิมข้ึน 7. ให P แทนรายรบั รวม (หนว ยเปนบาท) ทไี่ ดจ ากการขายสินคาหลังจากปป จ จุบนั จะไดวา P = P( x) n แทนจํานวนสนิ คาทข่ี ายได (หนวยเปน ชิ้น) ในปที่ x ปห ลังจากปป จ จบุ ัน q(x) แทนราคาของสินคา (หนวยเปน บาท) ในปท ่ี x ปห ลังจากปปจจบุ ัน จะได n( x) = 200,000 − 6,000x q ( x) = 250 +10x และ P( x) = n( x) ⋅ q( x) = (200,000 − 6,000x)(250 +10x) จะได P(x) = d ((200,000 − 6,000x)(250 +10x)) น่ันคือ = dx P′(3) = (200,000 − 6,000x)(10) + (250 +10x)(−6,000) (200,000 − 6,000(3))(10) + (250 +10(3))(−6,000) = 140,000 ดังนั้น อตั ราการเปล่ียนแปลงของรายรับรวมท่ไี ดจากการขายสนิ คา ชนดิ นใี้ นปที่ 3 คือ 140,000 บาท สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 407 แบบฝกหดั 2.5 1. 1) ให =u 2x + 3 ดังน=้ัน y (=2x + 3)5 u5 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx d u5 ⋅ d (2x + 3) du dx ( )= = (5u4 )(2) = 10(2x + 3)4 2) ให u =1– 3x ดงั น=นั้ y (1=– 3x)3 u3 โดยกฎลูกโซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx d u3 ⋅ d (1 – 3x) du dx ( )= = (3u2 )(−3) = −9(1 – 3x)2 3) ให u = 3 – 4x2 ดัง=นัน้ y ( )=3 – 4x2 4 u4 โดยกฎลูกโซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx d u4 ⋅ d 3 – 4x2 du dx ( ) ( )= = (4u3 )(–8x) ( )= −32x 3 – 4x2 3 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
408 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 4) ให u = 2 – 3x + 4x2 =ดงั นน้ั y ( )=2 – 3x + 4x2 3 u3 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx d u3 ⋅ d 2 – 3x + 4x2 du dx ( ) ( )= = (3u2 )( –3 + 8x) ( )= 3 2 – 3x + 4x2 2 ( –3 + 8x) 5) ให u = x3 – 2x ดัง=นนั้ y ( )=x3 – 2x 4 u4 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx d u4 ⋅ d x3 – 2x du dx ( ) ( )= = (4u3 )(3x2 – 2) ( ) ( )= 4 x3 – 2x 3 3x2 – 2 6) ให u= 1− 2x 1 ดงั นัน้ y = 1− 2x =u 2 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx = d u 1 ⋅ d (1 − 2 x ) du 2 dx 1 u − 1 ( −2) 2 2 = = − 1 1− 2x สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 409 7) ให =u 3x2 + 2 1 ดังนน้ั =y 3x2 +=2 u 2 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx ( )=d 1 d du u 2 ⋅ dx 3x2 + 2 1 u − 1 ( 6 x ) 2 2 = 3x = 3x2 + 2 8) ให =u x2 − 3 1 ดังนน้ั y= 3 x2 − 3= u3 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx ( )=d 1 d du u 3 ⋅ dx x2 −3 1 u − 2 ( 2x ) 3 3 = 2x =2 ( )3 x2 − 3 3 9) ให u = 2t2 – 1 ( )ด=งั นั้น s =2t2 – 1 −3 u−3 โดยกฎลูกโซ จะได ds = ds ⋅ du dt du dt d u−3 ⋅ d 2t2 – 1 du dt ( ) ( )= ( )= −3u−4 (4t ) สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
410 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 ( )= −4 −12t 2t2 – 1 = − 12t ( )2t2 −1 4 10) ให u = t2 − 3t + 2 ( )=ดงั นน้ั s =t2 − 31t + 2 2 u−2 โดยกฎลกู โซ จะได ds = ds ⋅ du dt du dt d u−2 ⋅ d t2 − 3t + 2 du dt ( ) ( )= ( )= −2u−3 (2t − 3) − 2(2t − 3) t2 − 3t + 2 3 ( )= 11) ให =u x2 + 2x ดังน=ัน้ y =1 −1 x2 + 2x u2 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx ( )=d −1 d du ⋅ dx x2 + 2x u2 − 1 u − 3 ( 2 x + 2 ) 2 2 = =− x +1 3 ( )x2 + 2x 2 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 411 12) ให u = x2 − 2x + 3 =ดงั นั้น y =1 −1 3 x2 − 2x + 3 u3 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx ( )=d − 1 d du u 3 ⋅ dx x2 − 2x + 3 − 1 u − 4 ( 2x − 2) 3 3 = =− 2x − 2 4 ( )3 x2 − 2x + 3 3 13) จาก y = ( x – 3)3 (2x +1) dy d ( x – 3)3 (2x +1) dx dx ( )จะได = ( x – 3)3 d (2x +1) + (2x +1) d ( x – 3)3 dx dx ( )= ( x – 3)3 (2) + (2x +1) d ( x – 3)3 dx ( )= พจิ ารณา d ( x − 3)3 dx ให u = x – 3 ดงั นัน้ ( x – 3)3 = u3 d u3 ⋅ d ( x – 3) du dx โดยกฎลูกโซ จะได ( ) ( )d (x – 3)3 = dx = (3u2 )(1) = 3( x – 3)2 dy ( x – 3)3 (2) + (2x +1) d ( x – 3)3 dx dx ( )ดังนัน้ = ( )= ( x – 3)3 (2) + (2x +1) 3( x – 3)2 = (8x − 3)( x – 3)2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
412 คูมือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 14) ให u = 2x +1 1− 2x ดงั น=้นั y =12−x +2x13 u3 โดยกฎลูกโซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx ( )= d u3 ⋅ d 2x +1 du dx 1− 2x ( )= (1 − 2 x ) d ( 2 x +1) − (2x + 1) d (1 − 2 x ) dx (1− 2x)2 dx 3u 2 3 2x +1 2 (1 − 2 x ) (2) − (2x + 1) ( −2 ) 1− 2x (1− 2x)2 = = 3 2x +1 2 (1 4 1− 2x − 2x)2 12(2x +1)2 = (1− 2x)4 15) จาก (2x + 3)3 ( )y = 4x2 −1 8 dy d (2x + 3)3 ( )จะได dx = dx 4x2 −1 8 ( ) ( )( ) ( )4x2 −1 8 d (2x + 3)3 − (2x + 3)3 d 4x2 −1 8 dx dx 4x2 −1 8 2 ( )( )= พิจารณา d (2x + 3)3 dx ให =u 2x + 3 ดังน้นั (2x + 3)3 =u3 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 413 d (2x + 3)3 d (u3)⋅ d (2x + 3) dx du dx ( )โดยกฎลกู โซ จะได = = (3u2 )(2) = 6(2x + 3)2 พิจารณา ( )d 4x2 −1 8 dx ให =y 4x2 −1 ดงั น้นั ( )4x2 −1 8 =y8 ( )โดยกฎลูกโซ จะได ( )d 4x2 −1 8 = d ( y8 ) ⋅ d (4x2 −1) dx dx dx = (8y7 )(8x) ( )= 64x 4x2 −1 7 ( ( ) ) ( )ดังนนั้ 4x2 −1 8 d (2x + 3)3 − (2x + 3)3 d 4x2 −1 8 dx dx 4x2 −1 8 2 ( ) ( )dy ( )dx = ( ) ( )( ) ( )4x2 −1 8 6(2x + 3)2 − (2x + 3)3 64x 4x2 −1 7 ( )( )= 4x2 −1 8 2 ( ) ( ( ) )4x2 −1 7 (2x + 3)2 6 4x2 −1 − (2x + 3)64x ( )= 4x2 −1 16 ( )(2x + 3)2 24x2 − 6 −128x2 −192x ( )= 4x2 −1 9 ( )(2x + 3)2 −104x2 −192x − 6 ( )= 4x2 −1 9 ( )2 52x2 + 96x + 3 (2x + 3)2 ( )= − 4x2 −1 9 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
414 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 2. วธิ ีท่ี 1 จาก f (x) = x จะได f ′(x) = x2 +1 d x = dx x2 +1 = ( x2 +1) d ( x) − x d ( x2 +1) dx dx = ( )x2 +1 2 ( x2 +1)(1) − x(2x + 0) ( )x2 +1 2 1− x2 ( )x2 +1 2 จาก g ( x) = 3x −1 ให u = 3x −1 จะไดว า g (x=) 1 3x −1= u 2 โดยกฎลกู โซ จะได g′(x) = dg ⋅ du du dx = d u 1 ⋅ d ( 3x − 1) du 2 dx 1 u − 1 ( 3) 2 2 = 3 = 2 3x −1 F(x) = เนือ่ งจาก F′(x) = f (g(x)) โดยกฎลูกโซ จะได = ( fog )′ ( x) ( )1− (g ( x))2 3 3x −1 (g ( x))2 +1 2 ⋅ 2 ( )1− 3x −1 2 = ( ) 2 + 12 ⋅ 3 2 3x −1 3x −1 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 415 วิธที ่ี 2 จาก = 2 − 3x ดังน้นั 6x2 3x −1 F(x) = f (g(x)) = = f ( )3x −1 = 3x −1 F′(x) = ( )2 3x −1 +1 = 3x −1 = 3x = d 3x −1 dx 3x ( )3x d 3x −1 − 3x −1 d (3x) dx dx (3x)2 ( )3x d 3x −1 − 3x −1(3) dx 9x2 ให u = 3x −1 ( )d u ⋅ d (3x −1) 1 du dx จะไดวา 3x −1 =u2 โดยกฎลูกโซ จะได d ( )3x −1 dx = 1 u −1 (3) 2 2 3 = 2 3x −1 ดงั นน้ั F′( x) = ( )3x d 3x −1 − 3x −1(3) dx 9x2 3 − 1 − 3 3x −1 3x 3x = = 2 9x2 9x − 6(3x −1) ( )9x2 2 3x −1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
416 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 6 −9x ( )= 9x2 2 3x −1 2 − 3x = 6x2 3x −1 3. จาก F ( x) = f ( g ( x)) โดยกฎลูกโซ จะได F′(x) = f ′(g(x))⋅ g′(x) ดงั นัน้ F′(2) = f ′( g (2))⋅ g′(2) = f ′(4)⋅5 = 9×5 = 45 4. จาก f (x) = g ( x) x−1g ( x) x จะได f ′(x) = d g(x) dx x x d (g(x))− g(x) d (x) = dx dx x2 x⋅ g′(x)− g(x) = x2 จาก F ( x) = f ( g ( x)) โดยกฎลกู โซ จะได F′( x) = f ′( g ( x))⋅ g′( x) ดงั น้ัน F′(2) = f ′( g (2))⋅ g′(2) = f ′(3)⋅9 3g′(3) − g (3) ⋅9 = 32 3(8) − 2 ⋅9 = 32 = 22 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
คูม ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 417 5. 1) จาก x(t) = 300t 2 จะได 1+ t2 dx d 300t2 = dt dt 1+ t2 ( ) ( ) ( )1+ t2 d 300t2 − 300t2 d 1+ t2 dt dt 1+t2 2 ( )= ( )1+ t2 (600t ) − 300t2 (2t ) ( )= 1+ t2 2 600t ( )= 1+ t2 2 1 จาก P( x) = 2 x − 20 = 2x2 − 20 จะได dP d 1 − dx = dx 20 2x2 = 1 −1 − 0 2 2 x2 1 =x 2) โดยกฎลกู โซ จะได dP = dP ⋅ dx dt dx dt 1⋅ 600t x 1+ t2 ( )= 2 1 ⋅ 600t 300t 2 1+ t2 ( )= 2 1+ t2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
418 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 dP 1 600 ( 2 ) dt t=2 = 300 ( 2 )2 1+ 22 2 ( )ดงั น้ัน ⋅ 1+ 22 600 ( 2 ) = 2(10 3) ⋅ 25 5 4 15 = 5 6. ให u = t +10 จาก N (t ) = (t +10)5 = u5 โดยกฎลูกโซ จะได dN dN ⋅ du dt = du dt = d (u5 ) ⋅ d (t +10) = du dt (5u4 )(1) = 5(t +10)4 จากที่ t แทนจํานวนชั่วโมง จะไดว า t > 0 น่นั คือ 5(t +10)4 > 0 จะไดวา อตั ราการ เปล่ยี นแปลงของจาํ นวนแบคทีเรยี เปนบวก น่ันคือ แบคทีเรยี มจี ํานวนเพ่มิ ขน้ึ เม่อื เวลาผาน ไปโดยอยูในรปู กําลงั ส่ีของเวลา ดังนนั้ d=N 5(t +10)4 และแบคทเี รียมีจาํ นวนเพม่ิ ข้นึ เมอ่ื เวลาผานไปโดยอยใู นรูปกําลงั ส่ี dt ของเวลา สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 419 7. ให u = 1+ r 1200 เน่อื งจาก A(r) = 106 1 + r 216 =106 u216 1200 โดยกฎลกู โซ จะได A′(r ) = dA ⋅ du du dr ( )= d d 1 + r du 106 u216 ⋅ dr 1200 ( )= 1 106 (216)u215 1200 = 180, 000 1 + r 215 1200 ดังนนั้ A′(1.5) = 180, 000 1 + 1.5 215 1200 A′(2.5) = 180, 000 1 + 2.5 215 1200 A′(3) = 180, 000 1 + 3 215 1200 ดังน้นั อัตราการเปล่ียนแปลงของจํานวนเงินในบัญชขี องวนดิ า เทียบกบั อตั ราดอกเบ้ยี 1.5%, 2.5% และ 3% ตอ ป คือ 180, 000 1 + 1.5 215 , 180, 000 1 + 2.5 215 และ 1200 1200 180, 000 1 + 3 215 ตามลําดับ 1200 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
420 คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 แบบฝกหัด 2.6 1. 1) จาก =y x2 − 3x จะได ( )dy = d x2 − 3x = 2x − 3 dx dx ดงั นนั้ ความชนั ของเสน โคงที่จุด (3, 0) คือ dy = 3 dx x=3 เน่ืองจากเสนสัมผัสเสน โคง ท่จี ุด (3, 0) เปน เสน ตรงทผี่ านจดุ (3, 0) และมคี วามชัน 3 ดงั น้ัน สมการของเสนสัมผัสเสน โคง ทจ่ี ุด (3, 0) คือ y − 0= 3(x − 3) นั่นคือ =y 3x − 9 2) จาก =y 5x2 − 6 จะได ( )=dy d 5x2 −=6 10x dx dx ดังนนั้ ความชันของเสนโคงท่ีจดุ (2, 14) คอื dy = 20 dx x=2 เนือ่ งจากเสนสัมผัสเสนโคงทจ่ี ุด (2, 14) เปน เสนตรงที่ผา นจดุ (2, 14) และมีความชัน 20 ดังนน้ั สมการของเสน สัมผสั เสนโคง ทจี่ ุด (2, 14) คอื y −14= 20(x − 2) นั่นคือ=y 20x − 26 3) จาก y= x − x2 จะได ( )dy =d x − x2 =1− 2x dx dx เมอ่ื x=1 จะได y =1 − 1 2 =1 2 2 2 4 ดังนัน้ ความชันของเสนโคงท่ีจดุ 1 , 1 คอื dy = 0 2 4 dx x=1 2 เนอ่ื งจากเสน สัมผัสเสน โคง ทจี่ ุดซ่ึง x = 1 เปน เสน ตรงท่ผี านจดุ 1, 1 และมคี วามชนั 0 2 4 2 ดงั นน้ั สมการของเสนสมั ผสั เสนโคงที่จุดซึง่ x=1 คอื y − 1= 0 x − 1 2 4 2 นน่ั คอื y = 1 4 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
คูมือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 421 4) จาก y = x2 + 2 x dy d x2 + 2 d x + 2x−1 = dx dx dx x ( )จะได = = 1 − 2x−2 เม่ือ x =1 จะไ=ด y 1=2 + 2 3 1 ดังนัน้ ความชันของเสน โคง ที่จุด (1,3) คือ dy = −1 dx x=1 เนอื่ งจากเสน สัมผัสเสนโคง ท่ีจุดซ่งึ x =1 เปน เสนตรงท่ีผานจุด (1, 3) และมีความชัน −1 ดังนน้ั สมการของเสนสัมผสั เสน โคงทีจ่ ุดซึ่ง x =1 คอื y − 3 =−(x −1) นน่ั คอื y =−x + 4 5) จา=ก y 3 3x2 − 4 ให u = 3x2 − 4 1 ดังนน้ั y = u3 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx ( )= d 1 d du u 3 ⋅ dx 3x2 − 4 1 u − 2 ( 6 x ) 3 3 = 2x = ( )3 3x2 − 4 2 ดงั นน้ั ความชนั ของเสน โคงท่ีจดุ (−2,2) คือ dy = −1 dx x=−2 เนอื่ งจากเสน สมั ผสั เสนโคงท่จี ุด (−2,2) เปนเสน ตรงทีผ่ า นจดุ (−2,2) และมีความชนั −1 ดงั นนั้ สมการของเสน สัมผัสเสน โคงทจ่ี ดุ (−2,2) คือ y − 2 = (−1)(x − (−2)) นนั่ คือ y = −x สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
422 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 จาก y= 5 x2 − x −1 2 ( )6) ให u = x2 − x −1 ดงั นน้ั y = 5 u2 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx ( )= d 5 d du u2 ⋅ dx x2 − x −1 = − 10 ( 2 x − 1) u3 10(2x −1) − x2 − x −1 3 ( )= ดังนน้ั ความชันของเสนโคงที่จุด 3, 1 คือ dy = −2 5 dx 5 x=3 เน่ืองจากเสน สมั ผัสเสน โคง ทจี่ ุด 3, 1 เปน เสนตรงท่ผี านจดุ 3, 1 และมีความชนั −2 5 5 5 ดังนน้ั สมการของเสน สมั ผสั เสนโคงที่จุด 3, 1 คอื y − 1 = − 2 ( x − 3) 5 5 5 นั่นคอื y =− 2 x + 7 55 2. เนือ่ งจาก กราฟของ y = ax ขนานกับเสน สัมผสั เสน โคง =y 3x2 + 8 ท่ีจดุ (1, 11) ดงั นน้ั เสนตรง y = ax มคี วามชันเทากับความชนั ของเสนสมั ผัสเสนโคง =y 3x2 + 8 ทจ่ี ดุ (1, 11) จะได =dy d (3x2 +=8) 6x dx dx ดังนน้ั ความชันของเสน โคงท่ีจดุ (1, 11) คอื dy = 6 dx x=1 เน่ืองจาก ความชันของเสนตรง y = ax คือ a ดังน้นั a = 6 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 423 3. 1) จากเงอ่ื นไขของโจทย สามารถเขยี นกราฟของเสนตรง 1 และกราฟของฟง กชนั f ไดม ากกวาหนงึ่ แบบ แตในทน่ี ี้จะนาํ เสนอเปนแนวทางตวั อยางเพียงแบบเดียวเทา นน้ั 2) จากเงอ่ื นไขของโจทย สามารถเขียนกราฟของเสนตรง 2 และกราฟของฟงกช นั g ไดมากกวา หนึ่งแบบ แตในท่ีน้ีจะนาํ เสนอเปนแนวทางตวั อยางเพียงแบบเดียวเทาน้ัน สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
424 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 3) จากเงอื่ นไขของโจทย สามารถเขยี นกราฟของเสนตรง 3 และกราฟของฟงกชัน h ไดม ากกวา หน่ึงแบบ แตใ นที่น้ีจะนําเสนอเปนแนวทางตวั อยา งเพียงแบบเดียวเทา นนั้ 4. เน่อื งจาก f ′(2) คือ ความชันของเสน โคง y = f ( x) ทีจ่ ุด (2, f (2)) และเสน ตรง 3x − y =1 เปนเสน สมั ผสั เสน โคง y = f ( x) ท่จี ุด (2, f (2)) ดงั นน้ั f ′(2) คอื ความชนั ของเสนตรง 3x − y =1 นน่ั คือ f ′(2) = 3 5. เนอ่ื งจาก f ′(3) คอื ความชนั ของเสนโคง y = f ( x) ท่ีจดุ (3, f (3)) และ f (3) = −1 ดังน้นั ความชันของเสน โคง ที่จุด (3, −1) คอื 5 เนอ่ื งจากเสนสัมผสั เสนโคง ทจี่ ุด (3, −1) เปน เสนตรงที่ผานจุด (3, −1) และมคี วามชัน 5 ดงั นน้ั สมการของเสนสมั ผัสเสนโคง ทีจ่ ดุ (3, −1) คอื y − (−1=) 5(x − 3) นน่ั คอื =y 5x −16 6. เนอ่ื งจาก y =−x + x2 จะได ( )dy =d −x + x2 =−1+ 2x dx dx ดังน้นั ความชนั ของเสนสมั ผัสเสน โคงที่จุด (a, b) คอื dy =−1+ 2a dx x=a เนอ่ื งจาก ความชันของเสน สัมผัสเสน โคงที่จุด (a, b) คือ 3 ดังน้ัน −1+ 2a =3 นัน่ คอื a = 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 425 เน่อื งจาก เสน โคง y =−x + x2 ผานจุด (a, b) ดงั นน้ั b =−a + a2 =−2 + 22 =2 จะได a = 2 และ b = 2 7. เน่อื งจาก =y 3x2 − 5 จะได dy = ( )d 3x2 − 5 = 6x − 0 = 6x dx dx ดงั นั้น ความชนั ของเสนสัมผัสเสน โคงทจ่ี ดุ (1, − 2) คอื dy= 6=(1) 6 dx x=1 เนื่องจาก เสนตรง =y mx + c ขนานกบั เสนสมั ผสั เสน โคงทจี่ ุด (1, − 2) ดงั นัน้ เสน ตรง =y mx + c มคี วามชัน 6 และ c เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ นน่ั คอื m = 6 และ c เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ 8. เนื่องจาก y = x3 จะได= dy ( )d=x3 3x2 dx dx ดงั น้นั ความชนั ของเสนสัมผัสเสนโคง ที่จุด (1, 1) คือ dy= 3=(12 ) 3 dx x=1 จะไดวา เสนตรงทีต่ องการมีความชนั 3 และผา นจดุ (2, 3) ดงั นนั้ สมการเสนตรงทต่ี องการ คือ y − 3= 3(x − 2) น่ันคอื =y 3x − 3 9. ให (a, b) เปน จุดบนเสนโคง =y x3 − 3x ซง่ึ เสนสัมผสั เสน โคง ทีจ่ ดุ น้ีขนานกบั แกน X เนื่องจาก =y x3 − 3x จะได ( )dy = d x3 − 3x = 3x2 − 3 dx dx ดงั นั้น ความชนั ของเสน สัมผัสเสน โคง ท่ีจุด (a, b) คอื dy = 3a2 − 3 dx x=a เนอื่ งจาก เสน สมั ผัสเสน โคงที่จุด (a, b) ขนานกบั แกน X ดงั นน้ั เสนสมั ผัสเสน โคงท่จี ดุ (a, b) มีความชันเปน 0 นั่นคือ 3a2 − 3 =0 จะได a = −1 หรอื a =1 เนื่องจาก (a, b) เปนจุดบนเสน โคง =y x3 − 3x สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
426 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 ดังนน้ั =b a3 − 3a ดงั นัน้ เมือ่ a = −1 จะได b =(−1)3 − 3(−1) =2 และ เมื่อ a =1 จะได b =13 − 3(1) =−2 ดงั นั้น จุดบนเสน โคง =y x3 − 3x ซง่ึ เสนสัมผัสเสน โคงทีจ่ ดุ นขี้ นานกบั แกน X คือ (−1, 2) และ (1, − 2) 10. ให (a, b) เปนจดุ บนเสนโคง y = x4 ซง่ึ เสนสัมผัสเสนโคง ที่จดุ น้มี คี วามชัน 1 2 เน่ืองจาก y = x4 จะได= dy ( )d=x4 4x3 dx dx ดงั นน้ั ความชนั ของเสนสมั ผัสเสนโคงท่จี ดุ (a, b) คอื dy = 4a3 dx x=a เนอ่ื งจาก เสน สมั ผัสเสน โคง ท่ีจดุ (a, b) มีความชนั 1 2 ดงั นั้น 4a3 = 1 2 นนั่ คือ a = 1 2 เน่ืองจาก (a, b) เปน จุดบนเสน โคง y = x4 ดงั นนั้ =b a=4 1 =4 1 2 16 จะไดวา เสนตรงที่มคี วามชัน 1 และสัมผัสเสนโคง y = x4 จะผา นจุด ( a, b ) = 1 , 1 2 2 16 เนือ่ งจากเสนตรงทตี่ องการ เปน เสน ตรงทผ่ี า นจดุ 1 , 1 และมีความชัน 1 2 16 2 ดังน้นั เสนตรงทม่ี คี วามชัน 1 และสัมผัสเสนโคง y = x4 คอื y− 1 = 1 x − 1 16 2 2 2 นนั่ คือ =y 1 x − 3 2 16 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 427 11. เนอ่ื งจาก y = ax2 จะ=ได dy d=(ax2 ) 2ax dx dx ดงั น้นั ความชนั ของเสนสมั ผัสเสน โคงท่จี ดุ ซ่ึง x = 2 คือ d=y 2=a(2) 4a dx x=2 เน่อื งจาก สมการของเสน สัมผัสเสน โคงท่ี x = 2 คือ 4x + y =b ดังนน้ั เสน สัมผสั เสน โคงท่ี x = 2 จะมีความความชัน −4 นั่นคือ −4 =4a จะได a = −1 เน่อื งจาก เสนตรง 4x + y =b สมั ผสั เสน โคง y = −x2 ที่ x = 2 และจดุ (2, − 22 ) =(2, − 4) เปนจุดบนเสนโคง y = −x2 ดังน้นั เสน ตรง 4x + y =b ผานจุด (2, − 4) นัน่ คอื =b 4(2) + (−=4) 4 ดังนั้น a = −1 และ b = 4 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
428 คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 แบบฝก หัด 2.7 1. 1) จาก f ( x) = 5x2 – 4x + 2 จะได d 5x2 – 4x + 2 dx ( )f ′( x) = = 10x – 4 ดงั นั้น f ′′( x) = d (10x – 4) dx 2) จาก = 10 f ( x) = 5 + 2x + 4x3 – 3x5 จะได f ′(x) = ( )d 5 + 2x + 4x3 – 3x5 ดังนนั้ 3) จาก = dx 2 +12x2 – 15x4 f ′′( x) = ( )d 2 +12x2 –15x4 = dx f (x) = 24x – 60x3 1 3x4 − 2x + x − 5 = 3x4 − 2x + x2 − 5 จะได f ′(x) = d − 2x + 1 ดังน้ัน dx 3x4 − 5 x2 = 12 x3 − 2 + 1 −1 2 x2 f ′′( x) = d − 2 + 1 −1 dx 12x3 2 x2 = 36x2 − 1 −3 4 x2 = 36x2 − 1 3 4x2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 429 4) จาก f (x) = 3 x − 2 + 4x2 = 1 จะได f ′(x) = x x3 − 2x−1 + 4x2 ดังนั้น = d 1 − 2 x −1 + 4x2 5) จาก f ′′( x) = dx จะได x3 ดังนั้น = = 1 −2 + 2 x −2 + 8x 6) จาก จะได f (x) = 3 x3 ดังนั้น d 1 −2 + 2 x −2 dx 3 + 8x x3 − 2 −5 − 4 x −3 + 8 9 x3 − 2 − 4 +8 x3 5 9x3 ( )( )5x2 – 3 7x3 + x = 35x5 −16x3 − 3x d 35x5 −16x3 − 3x dx ( )f ′( x) = = 175x4 − 48x2 − 3 d 175x4 − 48x2 − 3 dx ( )f ′′( x) = = 700x3 − 96x f (x) = x +1 = 1+ x−1 x d 1+ x−1 dx ( )f ′( x) = = −x−2 d −x−2 dx ( )f ′′( x) = = 2x−3 2 = x3 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
430 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 7) จาก f (x) = 3x − 2 = 3 − 2 x−1 5x 5 5 จะได f ′(x) = d 3 − 2 x−1 dx 5 5 = 2 x−2 5 ดงั นัน้ f ′′( x) = d 2 x−2 dx 5 = − 4 x−3 5 = − 4 f (x) = 5x3 2. 1) จาก x–5 + x5 จะได d x–5 + x5 dx ( )f ′( x) = = −5x–6 + 5x4 d −5x–6 + 5x4 dx ( )f ′′( x) = = 30x–7 + 20x3 ดงั นน้ั f ′′′( x) = ( )d 30x–7 + 20x3 dx = −210x–8 + 60x2 = − 210 + 60 x 2 x8 2) จาก f (x) = 5x2 – 4x + 7 จะได d 5x2 – 4x + 7 dx ( )f ′( x) = = 10x – 4 f ′′( x) = d (10x – 4) dx = 10 ดงั น้ัน f ′′′( x) = d (10) dx =0 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
คูม อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 431 3) จาก f ( x) = 3x–2 + 4x–1 + x d 3x–2 + 4x–1 + x dx ( )จะได f ′(x) = = −6x–3 − 4x–2 +1 d −6x–3 − 4x–2 +1 dx ( )f ′′( x) = = 18x– 4 + 8x–3 ดังน้นั f ′′′( x) = ( )d 18x–4 + 8x–3 dx = −72x–5 − 24x–4 = − 72 − 24 x5 x4 4) จาก f (x) = x x +1 จะได f ′(x) = d x dx x +1 ( x +1) d ( x) − x d ( x +1) dx dx = ( x +1)2 ( x +1)(1) − x(1) = ( x +1)2 = ( x +1)−2 d ( x +1)−2 dx ( )f ′′( x) = = −2( x +1)−3 d ( x +1) dx = −2( x +1)−3 d −2( x +1)−3 dx ( )ดังน้นั f ′′′( x) = = 6( x +1)−4 d ( x +1) dx = 6( x +1)−4 6 = ( x +1)4 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
432 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 3. จาก f ( x) = 3x2 – 2 จะได d 3x2 – 2 dx ( )f ′(x) = = 6x f ′′( x) = d (6x) dx =6 และ f ′′′( x) = d (6) dx =0 ดงั นน้ั f ′′′(2) = 0 4. จาก y = 6 6x−4 จะได dy x4 = dx ดงั นัน้ d 6x−4 5. จาก d2y dx dx2 ( )= จะได d3y = −24x−5 dx3 d −24x−5 d4y dx dx4 ( )= f (x) = 120x−6 f ′(x) d 120x−6 dx ( )= = −720x−7 d −720x−7 dx ( )= = 5,040x−8 = 1 = (1 − x)−1 1− x = d (1 − )x −1 dx = −1(1− x)−2 d (1− x) dx = −1(1− x)−2 (−1) = (1 − x)−2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 433 f ′′( x) = d (1− )x −2 dx = −2(1− x)−3 d (1− x) dx = −2(1− x)−3 (−1) = (1)(2)(1− x)−3 ( )f ′′′( x) = d 2(1− x)−3 dx = 2 d (1 − x)−3 dx = 2 −3(1 − )x −4 d (1 − x) dx ( )= 2 −3(1− x)−4 (−1) = (1)(2)(3)(1− x)−4 ดงั นนั้ f (n) ( x) = (1)(2)(3)(n)(1− x)−(n+1) n! = (1 − x)n+1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
434 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 แบบฝก หดั 2.8.1 1. จาก s(t )= 2t3 − t + 5 จะไดวา v(t) = s′(t) = 6t2 −1 และ a=(t ) v=′(t ) 12t ดงั นน้ั ระยะหา งของวัตถจุ ากตําแหนง เรมิ่ ตน ขณะเวลา 1 วนิ าที ( ) ( )คือ s(1) − s(0) = 2(1)3 − (1) + 5 − 2(0)3 − (0) + 5 = 1 =1 เมตร ความเรว็ ของวัตถุขณะเวลา 1 วินาที คือ v(=1) 6(1)2 =−1 5 เมตรตอวินาที และ ความเรง ของวัตถขุ ณะเวลา 1 วนิ าที คือ a(1) =12 เมตรตอ วนิ าที2 2. จาก s (t ) = t3 – 3t2 + t + 5 จะไดว า v(t ) = s′(t ) = 3t2 − 6t +1 และ a(t=) v′(t=) 6t − 6 ดังนนั้ ระยะหา งของวัตถุจากตาํ แหนงเริ่มตน ขณะ t = 1 ( ) ( )คอื ( ) ( )s(1) − s(0) = 13 − 3 12 +1+ 5 − 03 − 3 02 + 0 + 5 = −1 =1 เมตร ความเร็วของวัตถุขณะ t =1 คอื ( )v(1) =3 12 − 6(1) +1 =−2 เมตรตอวินาที และความเรงของวตั ถุขณะ t =1 คือ a(1=) 6(1) − 6= 0 เมตรตอ วนิ าท2ี 3. จาก s(t ) =−5t2 + 50 จะไดว า v(t) = s′(t) = −10t และ a(t ) = v′(t ) = −10 1) ระยะหา งของวตั ถจุ ากตาํ แหนงเรมิ่ ตน หลังจากปลอยวตั ถุไปแลว 3 วนิ าที ( ) ( )คือ s(3) − s(0) =−5(3)2 + 50 − −5(0)2 + 50 =45 =45 เมตร 2) ความเรว็ ของวัตถขุ ณะเวลา 2 วินาที คือ v(2) =−10(2) =−20 เมตรตอวินาที 3) ความเรงของวตั ถุขณะเวลา 5 วินาที คอื a(5) = −10 เมตรตอวนิ าที2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 435 4. จาก s (=t ) 10t − 5t2 จะไดว า v(t=) s′(t=) 10 −10t และ a(t ) = v′(t ) = −10 1) ความเรว็ ของกอนหินขณะเวลา t ใด ๆ คือ 10 −10t เมตรตอวนิ าที 2) ความเรง ของกอนหนิ ขณะเวลา t ใด ๆ คอื −10 เมตรตอวินาท2ี 3) วิธีท่ี 1 เน่อื งจาก s(=t) 10t − 5t2 จะได s(t) =−5(t −1)2 + 5 น่นั คือ กราฟของ s เปนพาราโบลาควาํ่ ท่ีมจี ดุ ยอดอยูที่ (1, 5) ดังนั้น เมื่อเวลาผา นไป 1 วินาที กอ นหนิ จงึ จะอยูในตาํ แหนงสูงทสี่ ุดจาก ตําแหนงเรม่ิ ตน วธิ ที ่ี 2 จาก s(=t) 10t − 5t2 จะได v(t=) s′(t=) 10 −10t เนอ่ื งจาก เม่ือกอนหนิ อยใู นตําแหนงที่สูงทีส่ ุดจากตาํ แหนงเรม่ิ ตน กอ นหนิ จะ มคี วามเรว็ เปน 0 เมตรตอ วินาที นน่ั คอื v(t) = 0 จะได 10 −10t = 0 t =1 ดังน้นั เมอ่ื เวลาผานไป 1 วนิ าที กอนหินจึงจะอยูในตําแหนงสูงท่สี ดุ จาก ตําแหนง เริ่มตน สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
436 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 แบบฝก หดั 2.8.2 1. 1) เนื่องจาก f ′( x) =−2 − 2x =−2( x +1) ดังน้ัน f ′( x) = 0 เมื่อ x = −1 พิจารณาคาของ f ′(x) โดยเขียนเสน จํานวนและจุดแบง ชวง ดงั น้ี จะไดว า f ′( x) > 0 บนชว ง (−∞,−1) และ f ′( x) < 0 บนชวง (−1,∞) ดงั นั้น f เปนฟง กชันเพิ่มบนชวง (−∞,−1) และ f เปนฟงกช นั ลดบนชวง (−1,∞) 2) เน่ืองจาก f ′( x=) 4x −1 ดังนั้น f ′( x) = 0 เมอ่ื x = 1 4 พจิ ารณาคา ของ f ′(x) โดยเขียนเสน จํานวนและจดุ แบง ชวง ดังน้ี จะไดวา f ′(x) < 0 บนชวง −∞, 1 4 และ f ′(x) > 0 บนชว ง 1 , ∞ 4 ดังนั้น f เปน ฟง กช นั ลดบนชว ง −∞, 1 และ f เปน ฟง กช ันเพิ่มบนชวง 1, ∞ 4 4 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 437 3) เนือ่ งจาก f ′( x)= 3x2 − 2x − 8= (3x + 4)( x − 2) ดงั นน้ั f ′( x) = 0 เม่ือ x = − 4 หรือ x = 2 3 พจิ ารณาคาของ f ′(x) โดยเขยี นเสน จํานวนและจุดแบงชว ง ดงั น้ี จะไดว า f ′(x) > 0 บนชว ง −∞, − 4 และชว ง (2, ∞) 3 และ f ′(x) < 0 บนชว ง − 4, 2 3 ดังนั้น f เปน ฟงกชนั เพิม่ บนชวง −∞, − 4 และชวง (2, ∞) 3 และ f เปน ฟงกช นั ลดบนชวง − 4, 2 3 4) เนอื่ งจาก f ′( x) = 6x2 + 6x − 36 = 6( x + 3)( x − 2) ดงั น้นั f ′( x) = 0 เมื่อ x = −3 หรือ x = 2 พจิ ารณาคาของ f ′(x) โดยเขยี นเสน จํานวนและจุดแบง ชว ง ดังนี้ จะไดวา f ′( x) > 0 บนชว ง (−∞, − 3) และชวง (2, ∞) และ f ′( x) < 0 บนชว ง (−3, 2) ดงั นน้ั f เปน ฟงกชนั เพม่ิ บนชวง (−∞, − 3) และชว ง (2, ∞) และ f เปนฟงกชนั ลดบนชว ง (−3, 2) สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
438 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 5) เน่อื งจาก f ′( x)= 3x2 − 4x − 4= (3x + 2)( x − 2) พจิ ารณาคา ของ f ′(x) โดยเขียนเสนจํานวนและจุดแบงชวง ดังน้ี จะไดว า f ′(x) > 0 บนชวง −∞, − 2 และชวง (2, ∞) 3 และ f ′(x) < 0 บนชวง − 2, 2 3 ดังนั้น f เปนฟง กช นั เพ่ิมบนชวง −∞, − 2 และชวง (2, ∞) 3 และ f เปน ฟง กชันลดบนชว ง − 2, 2 3 2. 1) จาก f ( x) = x2 − 8x + 7 จะได f ′( x) = 2x − 8 = 2( x − 4) ดังนั้น f ′( x) = 0 เมอ่ื x = 4 จะไดวา คาวกิ ฤตของฟง กช นั f คือ 4 ตอ ไปหาอนุพันธอ นั ดบั ที่ 2 ของฟงกชัน f จะได f ′′(x) = 2 เนือ่ งจาก f ′′(4) = 2 ซงึ่ 2 > 0 ดงั นน้ั f มีคาตาํ่ สุดสมั พัทธท ี่ x = 4 และคา ตา่ํ สุดสัมพัทธค อื f (4) = −9 2) จาก f ( x) = x3 − 3x + 6 จะได f ′( x)= 3x2 − 3= 3( x2 −1)= 3( x −1)( x +1) ดังน้นั f ′( x) = 0 เมอื่ x = −1 หรอื x =1 จะไดวาคาวกิ ฤตของฟง กช ัน f มี 2 คา คอื −1 และ 1 ตอไปหาอนุพนั ธอ ันดับที่ 2 ของฟงกช นั f จะได f ′′(x) = 6x เนอื่ งจาก f ′′(−1) = −6 ซึ่ง −6 < 0 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- 269
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- 275
- 276
- 277
- 278
- 279
- 280
- 281
- 282
- 283
- 284
- 285
- 286
- 287
- 288
- 289
- 290
- 291
- 292
- 293
- 294
- 295
- 296
- 297
- 298
- 299
- 300
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- 306
- 307
- 308
- 309
- 310
- 311
- 312
- 313
- 314
- 315
- 316
- 317
- 318
- 319
- 320
- 321
- 322
- 323
- 324
- 325
- 326
- 327
- 328
- 329
- 330
- 331
- 332
- 333
- 334
- 335
- 336
- 337
- 338
- 339
- 340
- 341
- 342
- 343
- 344
- 345
- 346
- 347
- 348
- 349
- 350
- 351
- 352
- 353
- 354
- 355
- 356
- 357
- 358
- 359
- 360
- 361
- 362
- 363
- 364
- 365
- 366
- 367
- 368
- 369
- 370
- 371
- 372
- 373
- 374
- 375
- 376
- 377
- 378
- 379
- 380
- 381
- 382
- 383
- 384
- 385
- 386
- 387
- 388
- 389
- 390
- 391
- 392
- 393
- 394
- 395
- 396
- 397
- 398
- 399
- 400
- 401
- 402
- 403
- 404
- 405
- 406
- 407
- 408
- 409
- 410
- 411
- 412
- 413
- 414
- 415
- 416
- 417
- 418
- 419
- 420
- 421
- 422
- 423
- 424
- 425
- 426
- 427
- 428
- 429
- 430
- 431
- 432
- 433
- 434
- 435
- 436
- 437
- 438
- 439
- 440
- 441
- 442
- 443
- 444
- 445
- 446
- 447
- 448
- 449
- 450
- 451
- 452
- 453
- 454
- 455
- 456
- 457
- 458
- 459
- 460
- 461
- 462
- 463
- 464
- 465
- 466
- 467
- 468
- 469
- 470
- 471
- 472
- 473
- 474
- 475
- 476
- 477
- 478
- 479
- 480
- 481
- 482
- 483
- 484
- 485
- 486
- 487
- 488
- 489
- 490
- 491
- 492
- 493
- 494
- 495
- 496
- 497
- 498
- 499
- 500
- 501
- 502
- 503
- 504
- 505
- 506
- 507
- 508
- 509
- 510
- 511
- 512
- 513
- 514
- 515
- 516
- 517
- 518
- 519
- 520
- 521
- 522
- 523
- 524
- 525
- 526
- 527
- 528
- 529
- 530
- 531
- 532
- 533
- 534
- 535
- 536
- 537
- 538
- 539
- 540
- 541
- 542
- 543
- 544
- 545
- 546
- 547
- 548
- 549
- 550
- 551
- 552
- 553
- 554
- 555
- 556
- 557
- 558
- 559
- 560
- 561
- 562
- 563
- 564
- 565
- 566
- 567
- 568
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 500
- 501 - 550
- 551 - 568
Pages: