Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore mathm6_1

mathm6_1

Published by waewwai Jansongkrod, 2022-05-16 13:39:57

Description: mathm6_1

Search

Read the Text Version

คูมือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 389 2) ให V แทน ปรมิ าตรของกรวยกลมตรงที่มีความสูง h โดยรศั มขี องฐานมีคาคงตัว เทา กบั r จะได V (h) = 1π r2h 3 อตั ราการเปลย่ี นแปลงของปริมาตรของกรวยกลมตรงเทียบกบั สวนสูง ขณะสว นสูงยาว h หนวย เมือ่ ความยาวของรัศมีของฐานมีคาคงตวั เทากับ r คือ V (h + k)−V (h) 1πr2 (h + k) − 1πr2h = lim 3 3 lim k→0 k k→0 k = lim π r2k k→0 3k = lim π r2 k→0 3 = π r2 ลกู บาศกห นวยตอ หนวย 3 9. ให F ( r ) = k r2 อตั ราการเปล่ียนแปลงของ F เทียบกับ r ขณะที่ r เปนจํานวนจริงทม่ี ากกวา 0 คอื F (r + h) − F (r) (r k − k r2 lim = lim + h)2 h→0 h h→0 h = lim −2rkh − kh2 h→0 hr 2 ( r + h)2 = lim −2rk − kh h→0 r 2 ( r + h )2 = − 2k นวิ ตนั ตอ เมตร r3 ดงั น้ัน อัตราการเปลย่ี นแปลงของ F เทยี บกบั r ขณะท่ี r เปนจํานวนจริงทีม่ ากกวา 0 คือ − 2k นวิ ตนั ตอเมตร r3 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

390 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 10. จาก s(t) แทนความสูงของปะการังเทยี มจากระดบั นํ้าทะเล ณ เวลา t หลังจากหยอ น ปะการงั เทยี มจากเฮลิคอปเตอร ดังนนั้ s(5) = 0 หมายถึง ความสูงของปะการังเทียมจากระดบั น้าํ ทะเลเทา กับ 0 ณ เวลา 5 วินาที s′(5) = − 27 หมายถึง ณ เวลา 5 วนิ าที หลงั จากหยอนปะการงั เทียมจากเฮลิคอปเตอร อัตราการเปลย่ี นแปลงของความสงู ของปะการังเทียมเปน −27 เมตรตอ วนิ าที หรือเมื่อเวลา เพิ่มขนึ้ ความสูงของปะการังเทยี มลดลงดวยอตั รา 27 เมตรตอ วินาที 11. 1) f ′(x) = 3( x + h)2 − 3x2 2) 3) lim h→0 h = lim 6xh + 3h2 h→0 h = lim(6x + 3h) h→0 = 6x f ′(x) = lim ( x + h)3 − x3 h→0 h = lim 3x2h + 3xh2 + h3 h→0 h ( )= lim 3x2 + 3xh + h2 h→0 = 3x2  x 1 h  − 1  +  x f ′(x) = lim h→0 h = lim −h h→0 hx ( x + h ) = lim −1 h→0 x ( x + h ) = −1 x2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 391 11 (x + h)3 − x3 4) f ′(x) = lim 12. 1) h→0 h lim  ( x + 1 − 1 ⋅ (x + 2 +(x+ 1 1 + 2   (x + +(x+ +  h→0 h)3 x3 h)3 h)3 x3 x3   =  h 2 1 1 2  h)3 h)3 x3 x3    (x + h)− x  = lim     2 1 1 2   h→0  ( +(x   h)3 h)3 x3 x3   h x + + +    h lim   =   2 1 1 2   h→0    ( h)3 +(x h)3 x3 x3   h x + + +     lim  1  =  2 1 1 2  h→0 (x+ ( h)3 h)3 x3 x3 x + + + 1 =2 3x 3 จาก f ( x=) x2 − x จะได f ′(0) = f (0 + h) − f (0) lim h→0 h = lim f (h) − f (0) h→0 h = lim (h2 − h) − 0 h→0 h = lim(h −1) h→0 = −1 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

392 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 12. 2) จาก f (=x) 2x3 +1 3) จะได f ′(2) = f (2 + h) − f (2) lim h→0 h = lim ( ) ( )2(2 + h)3 +1 − 2(2)3 +1 h→0 h = lim ( )(2 8 +12h + 6h2 )+ h3 +1 − (2(8) +1) h→0 h = lim 24h + 12h2 + 2h3 h→0 h ( )= lim 24 +12h + 2h2 h→0 = 24 จาก f (x) = 1 x2 จะได f ′(−1) = f (−1+ h) − f (−1) lim h→0 h 1 h)2 − 1 = lim ( −1 + ( −1)2 h→0 h = lim 1− (−1+ h2 ) h→0 ( −1 + h )2 ( −1) h = lim 1− (1− 2h + h2 ) h→0 −h(−1+ h)2 = lim 2h − h2 h→0 −h ( −1 + h )2 = lim h−2 h→0 ( −1 + h )2 −2 = −1 =2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 393 แบบฝกหดั 2.4 y = −3 1. 1) จาก dy = d (−3) จะได dx 2) จาก dx จะได =0 3) จาก y = x3 + x จะได 3 4) จาก dy = d  x3 + x  จะได dx dx  3  ( )=d x3 + d  x  dx dx  3  = d (x3 ) + 1 d (x) dx 3 dx = 3x2 + 1 3 y = x3 − 3x + 7 d x3 − 3x + 7 dx ( )dy= dx = d (x3 ) − d (3x) + d (7) dx dx dx = d (x3 ) − 3 d (x) + d (7) dx dx dx = 3x2 − 3 + 0 = 3x2 − 3 y = −5x2 + x + 2 x − 1 x = −5x2 + x + 1 − − 1 2 2x2 x dy = d  −5 x2 + x + 1 − − 1  dx dx  2  2x2 x   ( )=dy dy ( x) dy  1  dy  − 1  dx −5x2 + dx + dx   − dx  2   2x2   x  −5 dy dy dy  1  dy  − 1  dx dx dx  2  dx  2  ( )= x2 + ( x) + 2  x  −  x  สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

394 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 = −5( 2x ) + 1 + 2  1 − 1  −  − 1  − 3  2 2   2  2  x  x = −10x +1 + 1 + 1 x 2x x 5) จาก s = 4t5 − 3t2 + t − 8 จะได ds dt d 4t5 − 3t2 + t − 8 6) วิธที ่ี 1 dt เนอ่ื งจาก ( )= วิธที ่ี 2 = d (4t5 ) − d (3t2 ) + d (t ) − d (8) 7) จาก จะได dt dt dt dt = 4 d (t5 ) − 3 d (t2 ) + d (t) − d (8) dt dt dt dt = 4(5t4 ) − 3(2t ) +1− 0 = 20t4 − 6t + 1 s = (4t2 + t −1)(t + 2) ds d (4t2 + t −1)(t + 2) dt dt ( )จะได = = (4t2 + t −1) d (t + 2) + (t + 2) d (4t2 + t −1) dt dt = (4t2 + t −1)(1+ 0) + (t + 2)(8t +1− 0) ( ) ( )= 4t2 + t −1 + 8t2 +17t + 2 = 12t2 +18t +1 เน่ืองจาก s = (4t2 + t −1)(t + 2) = 4t3 + 9t2 + t − 2 ( )ds dt จะได = d 4t3 + 9t2 + t − 2 dt = d (4t3 ) + d (9t2 ) + d (t ) − d (2) dt dt dt dt = 4(3t2 ) + 9(2t ) +1− 0 = 12t2 +18t +1 y = x( x +1)( x + 2) dy = d ( x( x +1)( x + 2)) dx dx สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 395 = x d (( x +1)( x + 2)) + ( x +1)( x + 2) d ( x) dx dx = x  ( x + 1) d ( x + 2) + ( x + 2) d ( x + 1)  + ( x + 1) ( x + 2) (1)  dx dx  = x(( x +1)(1+ 0) + ( x + 2)(1+ 0)) + ( x +1)( x + 2) = x(x +1+ x + 2) + (x2 + 3x + 2) 8) จาก = 2x2 + 3x + x2 + 3x +1 จะได = 3x2 + 6x + 2 9) จาก จะได y = (4x − x2 )(x2 + 3) 10) จาก d (4x − x2 )(x2 + 3) จะได dx ( )dy= dx = (4x − x2 ) d (x2 + 3) + (x2 + 3) d (4x − x2 ) dx dx = (4x − x2 )(2x + 0) + (x2 + 3)(4 − 2x) = −4x3 + 12x2 − 6x + 12 y = x( x2 +1) d x x2 +1 dx ( )( )dy= dx = x d ( x2 +1) + ( x2 +1) d ( x) dx dx = x(2x + 0) + ( x2 +1)(1) = 3x2 +1 x3 + 2 y= x dy d  x3 + 2  =   dx dx  x  x d (x3 + 2) − (x3 + 2) d (x) = dx dx x2 x(3x2 + 0) − ( x3 + 2)(1) = x2 2x3 − 2 = x2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

396 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 11) จาก y =3 จะได 3x2 +1 12) จาก dy d  3  จะได dx = dx  3x2 +1  13) จาก (3x2 +1) d (3) − 3 d (3x2 +1) จะได dx dx 3x2 +1 2 ( )= (3x2 +1)(0) − 3(3(2x) + 0) ( )= 3x2 +1 2 − 18x 3x2 +1 2 ( )= y = 1+ 3x 1− 3x dy d  1 + 3x  dx = dx  1 − 3x  (1− 3x) dy (1+ 3x) − (1+ 3x) dy (1− 3x) dx dx = (1− 3x)2 (1− 3x)(0 + 3) − (1+ 3x)(0 − 3) = (1− 3x)2 (3−9x) + (3+ 9x) = (1− 3x)2 6 = (1− 3x)2 s = t 12 − 1  t2  ds = d  t 12 − 1   dt dt  t2     = t d 12 − 1  + 12 − 1  d (t) dt t2  t2  dt ( )=td 12 1  d (t ) dt 12 − t −2 + − t2  dt สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 397 ( )= 12 1  (1) t 0 − (−2)t−3 + − t2  = t  2  + 12 − 1   t3  t2  = 1 + 12 t2 14) จาก x5 − 3x2 + 5x − 2 จะได y= 15) จาก x2 จะได dy d  x5 − 3x2 + 5x − 2  =   dx dx  x2  ( ) ( ) ( )x2 d x5 − 3x2 + 5x − 2 − x5 − 3x2 + 5x − 2 d x2 = dx dx (x2 )2 ( ) ( )x2 5x4 − 6x + 5 − 0 − x5 − 3x2 + 5x − 2 (2x) = x4 ( ) ( )5x6 − 6x3 + 5x2 − 2x6 − 6x3 +10x2 − 4x = x4 3x6 − 5x2 + 4x = x4 = 3x2 − 5 + 4 x2 x3 s = 5t6 + t − 3 t ds d  5t6 + t − 3  =   dt dt  t ( )t d (5t6 + t − 3) − (5t6 + t − 3) d t = dt dt ( )2 t ( )( ) ( )t  1 − 1  30t5 + 1 − 0 − 5t6 + t − 3  2 t 2    = ( )2 t สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

398 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 1 11 1 − 5 t 11 − t2 + 3 t − 1 2 2 30t 2 +t2 2 22 = t = 55t4 t + 1 + 3 2 2 t 2t t 16) จาก ( )y  1 1  จะได =  x + x2  3x3 + 27 17) จาก ( )dy d   1 1  จะได dx   x x2   dx = + 3x3 + 27 ( ) ( )= 1 1  d d  1 1   x + x2  dx 3x3 + 27 + 3x3 + 27 dx  x + x2  ( ) ( )= 1 1   1 2   x + x2  9x2 + 0 + 3x3 + 27  − x2 − x3  = 6x + 3 − 27 − 54 x2 x3 y = 4x +1 x2 − 5 dy dx d  4x +1 = dx  x2 − 5  ( x2 − 5) d (4x +1) − (4x +1) d ( x2 − 5) dx dx x2 − 5 2 ( )= ( x2 − 5)(4 + 0) − (4x +1)(2x − 0) ( )= x2 − 5 2 − 4x2 + 2x + 20 x2 − 5 2 ( )=  3x + 2   x  ( )18) จาก y = x−5 +1 จะได d  3x + 2   dx   x   ( )dy = x−5 +1 dx  ( ) ( )=3x +2 d d  3x + 2   x  dx x−5 +1 + x−5 +1 dx  x  สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 399 ( ) ( )=3x +2 x−5  x d (3x + 2) − (3x + 2) d (x)   x  −5x−6 + 0   + +1  dx x2 dx     ( ) ( )=3x +2  x(3+ 0) − (3x + 2)(1)   x  −5x−6 + x−5 +1   x2   ( ) ( )= (3x + 2) −5x−7 + x−7 + x−2 (−2) = −15x−6 −10x−7 − 2x−7 − 2x−2 = − 2 − 15 − 12 x2 x6 x7 19) จาก y= 3 x +2 จะได dy = d 3 dx dx  x + 2  ( ) (x + 2 d (3) − 3 d x + 2) dx dx 2 ( )= x +2 ( )= x +2 ( 0 ) − 3  1 x −1   2 2 + 0 ( )x + 2 2 3 2 ( )= − 2 x x+2 20) จาก ( )y  x −1 จะได = 2x7 − x2  x +1 ( )dy d  x −1 dx   x +1   dx = 2x7 − x2 ( ) ( )= d  x −1   x −1  d 2x7 − x2 dx  x +1  +  x +1  dx 2x7 − x2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

400 คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1  ( x + 1) d ( x −1) − ( x − 1) d ( x + 1)   x −1   dx ( x +1)2 dx   x +1  ( ) ( )=   2x7 − x2   + 14x6 − 2x   ( x + 1) (1 − 0) − ( x −1) (1 + 0)   x −1   ( x +1)2   x +1  ( ) ( )= 2x7 − x2 + 14x6 − 2x ( ) ( )2x7 − x2 (2) + ( x −1) 14x6 − 2x ( x +1) = ( x +1)2 14x8 + 4x7 −14x6 − 2x3 − 2x2 + 2x = ( x +1)2 2. 1) จาก f ( x) = 2x3 − 1 = 2x3 − −1 x x2 จะได f ′(x) = d  2x3 − −1  ดงั น้ัน dx   x2 = 6x2 −  − 1  −3  2  x2 = 6x2 + 1 3 2x2 f ′(1) = 6(1)2 + 1 13 = 3 2 (1) 2 2 2) จาก f ( x) = 1 x5 − 1 x3 + 1 x2 − 4x + 5 532 จะได f ′(x) = d  1 x5 − 1 x3 + 1 x 2 − 4 x + 5  dx  5 3 2  ดงั น้ัน = x4 − x2 + x − 4 f ′(1) = 14 −12 +1− 4 = −3 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 401 3) จาก f ( x) = (2x2 – 3x +1)( x – x2 ) ( )จะได ( )( )f ′( x) = d 2x2 – 3x +1 x – x2 dx ( ) ( ) ( ) ( )= 2x2 – 3x +1 d x – x2 + x – x2 d 2x2 – 3x +1 dx dx ( ) ( )= 2x2 – 3x +1 (1– 2x) + x – x2 (4x – 3 + 0) ( ) ( )= 2x2 – 3x +1 (1– 2x) + x – x2 (4x – 3) ดงั น้ัน ( ) ( )f ′(−1) = 2(−1)2 – 3(−1) +1 (1– 2(−1)) + (−1) – (−1)2 (4(−1) – 3) = 32 4) จาก f (x) = 2x −1 จะได x +1 ดังนั้น f ′(x) = d  2x −1 dx  x +1  ( x +1) d (2x −1) − (2x −1) d ( x +1) dx dx = ( x +1)2 ( x +1)(2 − 0) − (2x −1)(1+ 0) = ( x +1)2 = 3 ( x +1)2 f ′(2) = 3 1 = (2 +1)2 3 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

402 คูมือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 3. 1) จาก g ( x) = x f ( x) 1 = x2 f (x) จะได g′(x) = d  1 f ( x)  ดังน้นั dx   x2 = 1 d ( f ( x)) + f (x) d  1  dx dx   x2 x2 = x f ′( x) + f ( x) 1 −1  2  x2 = x f ′(x)+ f (x) 2x g′(4) = 4 f ′(4)+ f (4) 24 = 4 (−5) + 3 24 = − 37 4 2) จาก g(x) = f (x) จะได x ดังนั้น g′(x) = d  f (x)   dx  x  x d ( f (x))− f (x) d (x) = dx dx x2 x ⋅ f ′( x) − f ( x)(1) = x2 x⋅ f ′(x)− f (x) = x2 g′(4) = 4⋅ f ′(4)− f (4) 42 4 ⋅(−5) − 3 = 42 = − 23 16 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 403 4. 1) จาก F ( x) = 2 f ( x) + 4g ( x) จะได F′( x) = d (2 f ( x) + 4g ( x)) dx = 2 f ′(x)+ 4g′(x) ดังน้ัน F′(2) = 2 f ′(2) + 4g′(2) = 2(−1) + 4(0) = −2 2) จาก F(x) = f (x) + 3g (x) f ( x) + 3 g(x)= g ( x) จะได F′(x) = d  f ( x) +  dx  g ( x) 3 = g(x) f ′(x) − f (x)g′(x) (g (x))2 ดงั นน้ั F′(2) = g(2) f ′(2) − f (2)g′(2) (g (2))2 (2)(−1) − (1)(0) = (2)2 5. จาก = −1 2 P ( x) = ax2 + bx + c จะได P′( x) ( )= d ax2 + bx + c dx จาก P′(0) = 2ax + b จะได 2a(0) + b = −3 น่ันคอื จะไดว า = −3 จาก จะได b = −3 P′( x) = 2ax − 3 P′(1) = −1 2a(1) − 3 = −1 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

404 คูม ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 นนั่ คือ a =1 จะไดว า และ P′( x) = 2x − 3 จาก P( x) = x2 − 3x + c P(1) = 1 จะได (1)2 − 3(1) + c = 1 นน่ั คือ ดังน้นั c =3 P(x) = x2 − 3x + 3 6. 1) จาก s( x) = 3x +145 เมอื่ x แทนจํานวนวนั ต้ังแตเ ริม่ ตนงานมหกรรมลดราคา x+8 และ ณ เวลาเร่มิ ตน มหกรรมลดราคา ซึง่ x = 0 จะได s(0) = 3(0) +145 0 + 8 = 18.125 ดังน้ัน จาํ นวนสินคา ณ เวลาเร่มิ ตน มหกรรมลดราคา มีอยูประมาณ 1,813 ช้นิ 2) จะได s (10) = 3(10) +145 ≈ 9.722 10 + 8 ดังนัน้ จํานวนสินคาคงเหลอื ในวันที่ 10 มีประมาณ 972 ชิน้ จาก s′( x) = d  3x +145  dx  x + 8  ( x + 8) d (3x +145) − (3x +145) d ( x + 8) dx dx = (x + 8)2 ( x + 8)(3 + 0) − (3x +145)(1+ 0) = ( x + 8)2 = − ( 121 x + 8)2 จะได s′(10) = − 121 ≈ − 0.373 (10 + 8)2 ดังนั้น อตั ราการเปลี่ยนแปลงของจาํ นวนสินคาในวนั ท่ี 10 คือ − 37 ชิน้ ตอ วนั สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 405 3) จะได s (15) = 3(15) +145 ≈ 8.261 15 + 8 ดงั นนั้ จาํ นวนสินคา คงเหลอื ในวนั ท่ี 15 มีประมาณ 826 ชิ้น จาก s′( x) = − ( 121 x + 8)2 จะได s′(15) = − 121 ≈ −0.229 (15 + 8)2 = − 121 529 ดงั น้ัน อตั ราการเปลย่ี นแปลงของจาํ นวนสนิ คา ในวันที่ 15 คอื − 23 ชิ้นตอวนั 4) จะได s (25) = 3(25) +145 ≈ 0.667 25 + 8 ดงั นั้น จาํ นวนสินคา คงเหลอื ในวันที่ 25 มปี ระมาณ 667 ชนิ้ จาก s′( x) = − ( 121 x + 8)2 จะได s′(25) = − ( 121 )2 ≈ − 0.111 25 + 8 ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของจํานวนสินคาในวนั ท่ี 25 คอื −11 ชน้ิ ตอวัน 5) จาก S′( x) = − 121 ( x + 8)2 และ ( x + 8)2 > 0 สาํ หรบั ทุก x ∈  ดังนนั้ S′( x) < 0 สําหรับทกุ x∈  จะเหน็ วา อตั ราการเปลย่ี นแปลงของจํานวนสินคา คงเหลือเปนจาํ นวนลบ หมายความ วา จาํ นวนสนิ คา ท่ีเหลอื จะลดลงเมื่อจํานวนวันเพิ่มขึ้น นน่ั คือ มลี กู คา เขามาอุดหนุนสินคาอยูตลอด แตอตั ราการเปลยี่ นแปลงของจาํ นวนสนิ คา คงเหลอื จาก 2), 3) และ 4) จะเหน็ วา 121 > 121 > 1 324 529 9 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

406 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 แสดงวาการเปล่ยี นแปลงของจาํ นวนสินคา คงเหลือลดลงเม่ือเวลาเพิ่มขนึ้ นน่ั คอื ยอดขายสนิ คาของรานน้ีลดลง เมื่อเวลาเพ่ิมข้นึ ดังนั้น ในชวงวันที่ 10 ถึงวนั ท่ี 25 รานคานี้ขายสินคาไดท ุกวัน แตขายไดนอยลงเมื่อเวลาเพ่ิมข้ึน 7. ให P แทนรายรบั รวม (หนว ยเปนบาท) ทไี่ ดจ ากการขายสินคาหลังจากปป จ จุบนั จะไดวา P = P( x) n แทนจํานวนสนิ คาทข่ี ายได (หนวยเปน ชิ้น) ในปที่ x ปห ลังจากปป จ จบุ ัน q(x) แทนราคาของสินคา (หนวยเปน บาท) ในปท ่ี x ปห ลังจากปปจจบุ ัน จะได n( x) = 200,000 − 6,000x q ( x) = 250 +10x และ P( x) = n( x) ⋅ q( x) = (200,000 − 6,000x)(250 +10x) จะได P(x) = d ((200,000 − 6,000x)(250 +10x)) น่ันคือ = dx P′(3) = (200,000 − 6,000x)(10) + (250 +10x)(−6,000) (200,000 − 6,000(3))(10) + (250 +10(3))(−6,000) = 140,000 ดังนั้น อตั ราการเปล่ียนแปลงของรายรับรวมท่ไี ดจากการขายสนิ คา ชนดิ นใี้ นปที่ 3 คือ 140,000 บาท สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 407 แบบฝกหดั 2.5 1. 1) ให =u 2x + 3 ดังน=้ัน y (=2x + 3)5 u5 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx d u5 ⋅ d (2x + 3) du dx ( )= = (5u4 )(2) = 10(2x + 3)4 2) ให u =1– 3x ดงั น=นั้ y (1=– 3x)3 u3 โดยกฎลูกโซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx d u3 ⋅ d (1 – 3x) du dx ( )= = (3u2 )(−3) = −9(1 – 3x)2 3) ให u = 3 – 4x2 ดัง=นัน้ y ( )=3 – 4x2 4 u4 โดยกฎลูกโซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx d u4 ⋅ d 3 – 4x2 du dx ( ) ( )= = (4u3 )(–8x) ( )= −32x 3 – 4x2 3 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

408 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 4) ให u = 2 – 3x + 4x2 =ดงั นน้ั y ( )=2 – 3x + 4x2 3 u3 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx d u3 ⋅ d 2 – 3x + 4x2 du dx ( ) ( )= = (3u2 )( –3 + 8x) ( )= 3 2 – 3x + 4x2 2 ( –3 + 8x) 5) ให u = x3 – 2x ดัง=นนั้ y ( )=x3 – 2x 4 u4 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx d u4 ⋅ d x3 – 2x du dx ( ) ( )= = (4u3 )(3x2 – 2) ( ) ( )= 4 x3 – 2x 3 3x2 – 2 6) ให u= 1− 2x 1 ดงั นัน้ y = 1− 2x =u 2 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx = d  u 1  ⋅ d (1 − 2 x ) du  2  dx  1 u − 1  ( −2)  2 2  = = − 1 1− 2x สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 409 7) ให =u 3x2 + 2 1 ดังนน้ั =y 3x2 +=2 u 2 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx ( )=d  1  d du  u 2  ⋅ dx 3x2 + 2  1 u − 1  ( 6 x )  2 2  = 3x = 3x2 + 2 8) ให =u x2 − 3 1 ดังนน้ั y= 3 x2 − 3= u3 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx ( )=d  1  d du  u 3  ⋅ dx x2 −3  1 u − 2  ( 2x )  3 3  = 2x =2 ( )3 x2 − 3 3 9) ให u = 2t2 – 1 ( )ด=งั นั้น s =2t2 – 1 −3 u−3 โดยกฎลูกโซ จะได ds = ds ⋅ du dt du dt d u−3 ⋅ d 2t2 – 1 du dt ( ) ( )= ( )= −3u−4 (4t ) สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

410 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 ( )= −4 −12t 2t2 – 1 = − 12t ( )2t2 −1 4 10) ให u = t2 − 3t + 2 ( )=ดงั นน้ั s =t2 − 31t + 2 2 u−2 โดยกฎลกู โซ จะได ds = ds ⋅ du dt du dt d u−2 ⋅ d t2 − 3t + 2 du dt ( ) ( )= ( )= −2u−3 (2t − 3) − 2(2t − 3) t2 − 3t + 2 3 ( )= 11) ให =u x2 + 2x ดังน=ัน้ y =1 −1 x2 + 2x u2 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx ( )=d  −1  d du   ⋅ dx x2 + 2x u2  − 1 u − 3  ( 2 x + 2 )  2 2  = =− x +1 3 ( )x2 + 2x 2 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 411 12) ให u = x2 − 2x + 3 =ดงั นั้น y =1 −1 3 x2 − 2x + 3 u3 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx ( )=d  − 1  d du  u 3  ⋅ dx x2 − 2x + 3  − 1 u − 4  ( 2x − 2)  3 3  = =− 2x − 2 4 ( )3 x2 − 2x + 3 3 13) จาก y = ( x – 3)3 (2x +1) dy d ( x – 3)3 (2x +1) dx dx ( )จะได = ( x – 3)3 d (2x +1) + (2x +1) d ( x – 3)3 dx dx ( )= ( x – 3)3 (2) + (2x +1) d ( x – 3)3 dx ( )= พจิ ารณา d ( x − 3)3 dx ให u = x – 3 ดงั นัน้ ( x – 3)3 = u3 d u3 ⋅ d ( x – 3) du dx โดยกฎลูกโซ จะได ( ) ( )d (x – 3)3 = dx = (3u2 )(1) = 3( x – 3)2 dy ( x – 3)3 (2) + (2x +1) d ( x – 3)3 dx dx ( )ดังนัน้ = ( )= ( x – 3)3 (2) + (2x +1) 3( x – 3)2 = (8x − 3)( x – 3)2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

412 คูมือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 14) ให u = 2x +1 1− 2x ดงั น=้นั y =12−x +2x13 u3 โดยกฎลูกโซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx ( )= d u3 ⋅ d  2x +1  du dx  1− 2x  ( )=  (1 − 2 x ) d ( 2 x +1) − (2x + 1) d (1 − 2 x )   dx (1− 2x)2 dx  3u 2      3 2x +1 2  (1 − 2 x ) (2) − (2x + 1) ( −2 )  1− 2x   (1− 2x)2  = = 3 2x +1 2  (1 4  1− 2x     − 2x)2  12(2x +1)2 = (1− 2x)4 15) จาก (2x + 3)3 ( )y = 4x2 −1 8 dy d  (2x + 3)3  ( )จะได   dx = dx  4x2 −1 8  ( ) ( )( ) ( )4x2 −1 8 d (2x + 3)3 − (2x + 3)3 d 4x2 −1 8 dx dx 4x2 −1 8 2 ( )( )= พิจารณา d (2x + 3)3 dx ให =u 2x + 3 ดังน้นั (2x + 3)3 =u3 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 413 d (2x + 3)3 d (u3)⋅ d (2x + 3) dx du dx ( )โดยกฎลกู โซ จะได = = (3u2 )(2) = 6(2x + 3)2 พิจารณา ( )d 4x2 −1 8 dx ให =y 4x2 −1 ดงั น้นั ( )4x2 −1 8 =y8 ( )โดยกฎลูกโซ จะได ( )d 4x2 −1 8 = d ( y8 ) ⋅ d (4x2 −1) dx dx dx = (8y7 )(8x) ( )= 64x 4x2 −1 7 ( ( ) ) ( )ดังนนั้ 4x2 −1 8 d (2x + 3)3 − (2x + 3)3 d 4x2 −1 8 dx dx 4x2 −1 8 2 ( ) ( )dy ( )dx = ( ) ( )( ) ( )4x2 −1 8 6(2x + 3)2 − (2x + 3)3 64x 4x2 −1 7 ( )( )= 4x2 −1 8 2 ( ) ( ( ) )4x2 −1 7 (2x + 3)2 6 4x2 −1 − (2x + 3)64x ( )= 4x2 −1 16 ( )(2x + 3)2 24x2 − 6 −128x2 −192x ( )= 4x2 −1 9 ( )(2x + 3)2 −104x2 −192x − 6 ( )= 4x2 −1 9 ( )2 52x2 + 96x + 3 (2x + 3)2 ( )= − 4x2 −1 9 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

414 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 2. วธิ ีท่ี 1 จาก f (x) = x จะได f ′(x) = x2 +1 d x  = dx  x2 +1  = ( x2 +1) d ( x) − x d ( x2 +1) dx dx = ( )x2 +1 2 ( x2 +1)(1) − x(2x + 0) ( )x2 +1 2 1− x2 ( )x2 +1 2 จาก g ( x) = 3x −1 ให u = 3x −1 จะไดว า g (x=) 1 3x −1= u 2 โดยกฎลกู โซ จะได g′(x) = dg ⋅ du du dx = d  u 1  ⋅ d ( 3x − 1) du  2  dx  1 u − 1  ( 3)  2 2  = 3 = 2 3x −1 F(x) = เนือ่ งจาก F′(x) = f (g(x)) โดยกฎลูกโซ จะได = ( fog )′ ( x) ( )1− (g ( x))2 3 3x −1 (g ( x))2 +1 2 ⋅ 2 ( )1− 3x −1 2 = ( ) 2 + 12 ⋅ 3 2 3x −1 3x −1 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 415 วิธที ่ี 2 จาก = 2 − 3x ดังน้นั 6x2 3x −1 F(x) = f (g(x)) = = f ( )3x −1 = 3x −1 F′(x) = ( )2 3x −1 +1 = 3x −1 = 3x = d  3x −1  dx  3x  ( )3x d 3x −1 − 3x −1 d (3x) dx dx (3x)2 ( )3x d 3x −1 − 3x −1(3) dx 9x2 ให u = 3x −1 ( )d u ⋅ d (3x −1) 1 du dx จะไดวา 3x −1 =u2 โดยกฎลูกโซ จะได d ( )3x −1 dx =  1 u −1  (3)  2 2  3 = 2 3x −1 ดงั นน้ั F′( x) = ( )3x d 3x −1 − 3x −1(3) dx 9x2  3 − 1  − 3 3x −1 3x  3x  =  = 2 9x2 9x − 6(3x −1) ( )9x2 2 3x −1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

416 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 6 −9x ( )= 9x2 2 3x −1 2 − 3x = 6x2 3x −1 3. จาก F ( x) = f ( g ( x)) โดยกฎลูกโซ จะได F′(x) = f ′(g(x))⋅ g′(x) ดงั นัน้ F′(2) = f ′( g (2))⋅ g′(2) = f ′(4)⋅5 = 9×5 = 45 4. จาก f (x) = g ( x) x−1g ( x) x จะได f ′(x) = d  g(x)   dx  x  x d (g(x))− g(x) d (x) = dx dx x2 x⋅ g′(x)− g(x) = x2 จาก F ( x) = f ( g ( x)) โดยกฎลกู โซ จะได F′( x) = f ′( g ( x))⋅ g′( x) ดงั น้ัน F′(2) = f ′( g (2))⋅ g′(2) = f ′(3)⋅9  3g′(3) − g (3)  ⋅9 =   32  3(8) − 2  ⋅9 =    32 = 22 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 417 5. 1) จาก x(t) = 300t 2 จะได 1+ t2 dx d  300t2  =   dt dt  1+ t2  ( ) ( ) ( )1+ t2 d 300t2 − 300t2 d 1+ t2 dt dt 1+t2 2 ( )= ( )1+ t2 (600t ) − 300t2 (2t ) ( )= 1+ t2 2 600t ( )= 1+ t2 2 1 จาก P( x) = 2 x − 20 = 2x2 − 20 จะได dP d  1 −  dx = dx  20  2x2 =  1 −1  − 0 2  2  x2 1 =x 2) โดยกฎลกู โซ จะได dP = dP ⋅ dx dt dx dt 1⋅ 600t x 1+ t2 ( )= 2 1 ⋅ 600t 300t 2 1+ t2 ( )= 2 1+ t2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

418 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 dP 1 600 ( 2 ) dt t=2 = 300 ( 2 )2 1+ 22 2 ( )ดงั น้ัน ⋅ 1+ 22 600 ( 2 ) = 2(10 3) ⋅ 25 5 4 15 = 5 6. ให u = t +10 จาก N (t ) = (t +10)5 = u5 โดยกฎลูกโซ จะได dN dN ⋅ du dt = du dt = d (u5 ) ⋅ d (t +10) = du dt (5u4 )(1) = 5(t +10)4 จากที่ t แทนจํานวนชั่วโมง จะไดว า t > 0 น่นั คือ 5(t +10)4 > 0 จะไดวา อตั ราการ เปล่ยี นแปลงของจาํ นวนแบคทีเรยี เปนบวก น่ันคือ แบคทีเรยี มจี ํานวนเพ่มิ ขน้ึ เม่อื เวลาผาน ไปโดยอยูในรปู กําลงั ส่ีของเวลา ดังนนั้ d=N 5(t +10)4 และแบคทเี รียมีจาํ นวนเพม่ิ ข้นึ เมอ่ื เวลาผานไปโดยอยใู นรูปกําลงั ส่ี dt ของเวลา สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 419 7. ให u = 1+ r 1200 เน่อื งจาก A(r) = 106 1 + r 216 =106 u216 1200  โดยกฎลกู โซ จะได A′(r ) = dA ⋅ du du dr ( )= d d 1 + r  du 106 u216 ⋅ dr 1200  ( )= 1 106 (216)u215  1200  = 180, 000 1 + r 215 1200  ดังนนั้ A′(1.5) = 180, 000 1 + 1.5 215 1200  A′(2.5) = 180, 000 1 + 2.5 215 1200  A′(3) = 180, 000 1 + 3 215 1200  ดังน้นั อัตราการเปล่ียนแปลงของจํานวนเงินในบัญชขี องวนดิ า เทียบกบั อตั ราดอกเบ้ยี 1.5%, 2.5% และ 3% ตอ ป คือ 180, 000 1 + 1.5 215 , 180, 000 1 + 2.5 215 และ 1200  1200  180, 000 1 + 3 215 ตามลําดับ 1200  สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

420 คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 แบบฝกหัด 2.6 1. 1) จาก =y x2 − 3x จะได ( )dy = d x2 − 3x = 2x − 3 dx dx ดงั นนั้ ความชนั ของเสน โคงที่จุด (3, 0) คือ dy = 3 dx x=3 เน่ืองจากเสนสัมผัสเสน โคง ท่จี ุด (3, 0) เปน เสน ตรงทผี่ านจดุ (3, 0) และมคี วามชัน 3 ดงั น้ัน สมการของเสนสัมผัสเสน โคง ทจ่ี ุด (3, 0) คือ y − 0= 3(x − 3) นั่นคือ =y 3x − 9 2) จาก =y 5x2 − 6 จะได ( )=dy d 5x2 −=6 10x dx dx ดังนนั้ ความชันของเสนโคงท่ีจดุ (2, 14) คอื dy = 20 dx x=2 เนือ่ งจากเสนสัมผัสเสนโคงทจ่ี ุด (2, 14) เปน เสนตรงที่ผา นจดุ (2, 14) และมีความชัน 20 ดังนน้ั สมการของเสน สัมผสั เสนโคง ทจี่ ุด (2, 14) คอื y −14= 20(x − 2) นั่นคือ=y 20x − 26 3) จาก y= x − x2 จะได ( )dy =d x − x2 =1− 2x dx dx เมอ่ื x=1 จะได y =1 −  1 2 =1 2 2  2  4 ดังนัน้ ความชันของเสนโคงท่ีจดุ  1 , 1  คอื dy = 0  2 4  dx x=1 2 เนอ่ื งจากเสน สัมผัสเสน โคง ทจี่ ุดซ่ึง x = 1 เปน เสน ตรงท่ผี านจดุ  1, 1 และมคี วามชนั 0  2 4  2 ดงั นน้ั สมการของเสนสมั ผสั เสนโคงที่จุดซึง่ x=1 คอื y − 1= 0  x − 1  2 4 2  นน่ั คอื y = 1 4 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 421 4) จาก y = x2 + 2 x dy d  x2 + 2  d x + 2x−1 =  dx dx dx  x  ( )จะได = = 1 − 2x−2 เม่ือ x =1 จะไ=ด y 1=2 + 2 3 1 ดังนัน้ ความชันของเสน โคง ที่จุด (1,3) คือ dy = −1 dx x=1 เนอื่ งจากเสน สัมผัสเสนโคง ท่ีจุดซ่งึ x =1 เปน เสนตรงท่ีผานจุด (1, 3) และมีความชัน −1 ดังนน้ั สมการของเสนสัมผสั เสน โคงทีจ่ ุดซึ่ง x =1 คอื y − 3 =−(x −1) นน่ั คอื y =−x + 4 5) จา=ก y 3 3x2 − 4 ให u = 3x2 − 4 1 ดังนน้ั y = u3 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx ( )= d  1  d du  u 3  ⋅ dx 3x2 − 4  1 u − 2  ( 6 x )  3 3  = 2x = ( )3 3x2 − 4 2 ดงั นน้ั ความชนั ของเสน โคงท่ีจดุ (−2,2) คือ dy = −1 dx x=−2 เนอื่ งจากเสน สมั ผสั เสนโคงท่จี ุด (−2,2) เปนเสน ตรงทีผ่ า นจดุ (−2,2) และมีความชนั −1 ดงั นนั้ สมการของเสน สัมผัสเสน โคงทจ่ี ดุ (−2,2) คือ y − 2 = (−1)(x − (−2)) นนั่ คือ y = −x สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

422 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 จาก y= 5 x2 − x −1 2 ( )6) ให u = x2 − x −1 ดงั นน้ั y = 5 u2 โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du dx du dx ( )= d  5  d du  u2  ⋅ dx x2 − x −1 =  − 10  ( 2 x − 1)  u3  10(2x −1) − x2 − x −1 3 ( )= ดังนน้ั ความชันของเสนโคงที่จุด  3, 1 คือ dy = −2  5  dx 5 x=3 เน่ืองจากเสน สมั ผัสเสน โคง ทจี่ ุด  3, 1 เปน เสนตรงท่ผี านจดุ  3, 1 และมีความชนั −2  5   5  5 ดังนน้ั สมการของเสน สมั ผสั เสนโคงที่จุด  3, 1  คอื y − 1 = − 2  ( x − 3)  5  5 5  นั่นคอื y =− 2 x + 7 55 2. เนือ่ งจาก กราฟของ y = ax ขนานกับเสน สัมผสั เสน โคง =y 3x2 + 8 ท่ีจดุ (1, 11) ดงั นน้ั เสนตรง y = ax มคี วามชันเทากับความชนั ของเสนสมั ผัสเสนโคง =y 3x2 + 8 ทจ่ี ดุ (1, 11) จะได =dy d (3x2 +=8) 6x dx dx ดังนน้ั ความชันของเสน โคงท่ีจดุ (1, 11) คอื dy = 6 dx x=1 เน่ืองจาก ความชันของเสนตรง y = ax คือ a ดังน้นั a = 6 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 423 3. 1) จากเงอ่ื นไขของโจทย สามารถเขยี นกราฟของเสนตรง 1 และกราฟของฟง กชนั f ไดม ากกวาหนงึ่ แบบ แตในทน่ี ี้จะนาํ เสนอเปนแนวทางตวั อยางเพียงแบบเดียวเทา นน้ั 2) จากเงอ่ื นไขของโจทย สามารถเขียนกราฟของเสนตรง 2 และกราฟของฟงกช นั g ไดมากกวา หนึ่งแบบ แตในท่ีน้ีจะนาํ เสนอเปนแนวทางตวั อยางเพียงแบบเดียวเทาน้ัน สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

424 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 3) จากเงอื่ นไขของโจทย สามารถเขยี นกราฟของเสนตรง 3 และกราฟของฟงกชัน h ไดม ากกวา หน่ึงแบบ แตใ นที่น้ีจะนําเสนอเปนแนวทางตวั อยา งเพียงแบบเดียวเทา นนั้ 4. เน่อื งจาก f ′(2) คือ ความชันของเสน โคง y = f ( x) ทีจ่ ุด (2, f (2)) และเสน ตรง 3x − y =1 เปนเสน สมั ผสั เสน โคง y = f ( x) ท่จี ุด (2, f (2)) ดงั นน้ั f ′(2) คอื ความชนั ของเสนตรง 3x − y =1 นน่ั คือ f ′(2) = 3 5. เนอ่ื งจาก f ′(3) คอื ความชนั ของเสนโคง y = f ( x) ท่ีจดุ (3, f (3)) และ f (3) = −1 ดังน้นั ความชันของเสน โคง ที่จุด (3, −1) คอื 5 เนอ่ื งจากเสนสัมผสั เสนโคง ทจี่ ุด (3, −1) เปน เสนตรงที่ผานจุด (3, −1) และมคี วามชัน 5 ดงั นน้ั สมการของเสนสมั ผัสเสนโคง ทีจ่ ดุ (3, −1) คอื y − (−1=) 5(x − 3) นน่ั คอื =y 5x −16 6. เนอ่ื งจาก y =−x + x2 จะได ( )dy =d −x + x2 =−1+ 2x dx dx ดังน้นั ความชนั ของเสนสมั ผัสเสน โคงที่จุด (a, b) คอื dy =−1+ 2a dx x=a เนอ่ื งจาก ความชันของเสน สัมผัสเสน โคงที่จุด (a, b) คือ 3 ดังน้ัน −1+ 2a =3 นัน่ คอื a = 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 425 เน่อื งจาก เสน โคง y =−x + x2 ผานจุด (a, b) ดงั นน้ั b =−a + a2 =−2 + 22 =2 จะได a = 2 และ b = 2 7. เน่อื งจาก =y 3x2 − 5 จะได dy = ( )d 3x2 − 5 = 6x − 0 = 6x dx dx ดงั นั้น ความชนั ของเสนสัมผัสเสน โคงทจ่ี ดุ (1, − 2) คอื dy= 6=(1) 6 dx x=1 เนื่องจาก เสนตรง =y mx + c ขนานกบั เสนสมั ผสั เสน โคงทจี่ ุด (1, − 2) ดงั นัน้ เสน ตรง =y mx + c มคี วามชัน 6 และ c เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ นน่ั คอื m = 6 และ c เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ 8. เนื่องจาก y = x3 จะได= dy ( )d=x3 3x2 dx dx ดงั น้นั ความชนั ของเสนสัมผัสเสนโคง ที่จุด (1, 1) คือ dy= 3=(12 ) 3 dx x=1 จะไดวา เสนตรงทีต่ องการมีความชนั 3 และผา นจดุ (2, 3) ดงั นนั้ สมการเสนตรงทต่ี องการ คือ y − 3= 3(x − 2) น่ันคอื =y 3x − 3 9. ให (a, b) เปน จุดบนเสนโคง =y x3 − 3x ซง่ึ เสนสัมผสั เสน โคง ทีจ่ ดุ น้ีขนานกบั แกน X เนื่องจาก =y x3 − 3x จะได ( )dy = d x3 − 3x = 3x2 − 3 dx dx ดงั นั้น ความชนั ของเสน สัมผัสเสน โคง ท่ีจุด (a, b) คอื dy = 3a2 − 3 dx x=a เนอื่ งจาก เสน สมั ผัสเสน โคงที่จุด (a, b) ขนานกบั แกน X ดงั นน้ั เสนสมั ผัสเสน โคงท่จี ดุ (a, b) มีความชันเปน 0 นั่นคือ 3a2 − 3 =0 จะได a = −1 หรอื a =1 เนื่องจาก (a, b) เปนจุดบนเสน โคง =y x3 − 3x สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

426 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 ดังนน้ั =b a3 − 3a ดงั นัน้ เมือ่ a = −1 จะได b =(−1)3 − 3(−1) =2 และ เมื่อ a =1 จะได b =13 − 3(1) =−2 ดงั นั้น จุดบนเสน โคง =y x3 − 3x ซง่ึ เสนสัมผัสเสน โคงทีจ่ ดุ นขี้ นานกบั แกน X คือ (−1, 2) และ (1, − 2) 10. ให (a, b) เปนจดุ บนเสนโคง y = x4 ซง่ึ เสนสัมผัสเสนโคง ที่จดุ น้มี คี วามชัน 1 2 เน่ืองจาก y = x4 จะได= dy ( )d=x4 4x3 dx dx ดงั นน้ั ความชนั ของเสนสมั ผัสเสนโคงท่จี ดุ (a, b) คอื dy = 4a3 dx x=a เนอ่ื งจาก เสน สมั ผัสเสน โคง ท่ีจดุ (a, b) มีความชนั 1 2 ดงั นั้น 4a3 = 1 2 นนั่ คือ a = 1 2 เน่ืองจาก (a, b) เปน จุดบนเสน โคง y = x4 ดงั นนั้ =b a=4  1 =4 1  2 16 จะไดวา เสนตรงที่มคี วามชัน 1 และสัมผัสเสนโคง y = x4 จะผา นจุด ( a, b ) =  1 , 1  2  2 16  เนือ่ งจากเสนตรงทตี่ องการ เปน เสน ตรงทผ่ี า นจดุ  1 , 1  และมีความชัน 1  2 16  2 ดังน้นั เสนตรงทม่ี คี วามชัน 1 และสัมผัสเสนโคง y = x4 คอื y− 1 = 1  x − 1  16 2  2  2 นนั่ คือ =y 1 x − 3 2 16 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 427 11. เนอ่ื งจาก y = ax2 จะ=ได dy d=(ax2 ) 2ax dx dx ดงั น้นั ความชนั ของเสนสมั ผัสเสน โคงท่จี ดุ ซ่ึง x = 2 คือ d=y 2=a(2) 4a dx x=2 เน่อื งจาก สมการของเสน สัมผัสเสน โคงท่ี x = 2 คือ 4x + y =b ดังนน้ั เสน สัมผสั เสน โคงท่ี x = 2 จะมีความความชัน −4 นั่นคือ −4 =4a จะได a = −1 เน่อื งจาก เสนตรง 4x + y =b สมั ผสั เสน โคง y = −x2 ที่ x = 2 และจดุ (2, − 22 ) =(2, − 4) เปนจุดบนเสนโคง y = −x2 ดังน้นั เสน ตรง 4x + y =b ผานจุด (2, − 4) นัน่ คอื =b 4(2) + (−=4) 4 ดังนั้น a = −1 และ b = 4 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

428 คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 แบบฝก หัด 2.7 1. 1) จาก f ( x) = 5x2 – 4x + 2 จะได d 5x2 – 4x + 2 dx ( )f ′( x) = = 10x – 4 ดงั นั้น f ′′( x) = d (10x – 4) dx 2) จาก = 10 f ( x) = 5 + 2x + 4x3 – 3x5 จะได f ′(x) = ( )d 5 + 2x + 4x3 – 3x5 ดังนนั้ 3) จาก = dx 2 +12x2 – 15x4 f ′′( x) = ( )d 2 +12x2 –15x4 = dx f (x) = 24x – 60x3 1 3x4 − 2x + x − 5 = 3x4 − 2x + x2 − 5 จะได f ′(x) = d  − 2x + 1  ดังน้ัน dx  3x4 − 5 x2 = 12 x3 − 2 + 1 −1 2 x2 f ′′( x) = d  − 2 + 1 −1  dx 12x3 2  x2 = 36x2 − 1 −3 4 x2 = 36x2 − 1 3 4x2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 429 4) จาก f (x) = 3 x − 2 + 4x2 = 1 จะได f ′(x) = x x3 − 2x−1 + 4x2 ดังนั้น = d  1 − 2 x −1 + 4x2  5) จาก f ′′( x) = dx   จะได x3 ดังนั้น = = 1 −2 + 2 x −2 + 8x 6) จาก จะได f (x) = 3 x3 ดังนั้น d  1 −2 + 2 x −2  dx  3 + 8x  x3 − 2 −5 − 4 x −3 + 8 9 x3 − 2 − 4 +8 x3 5 9x3 ( )( )5x2 – 3 7x3 + x = 35x5 −16x3 − 3x d 35x5 −16x3 − 3x dx ( )f ′( x) = = 175x4 − 48x2 − 3 d 175x4 − 48x2 − 3 dx ( )f ′′( x) = = 700x3 − 96x f (x) = x +1 = 1+ x−1 x d 1+ x−1 dx ( )f ′( x) = = −x−2 d −x−2 dx ( )f ′′( x) = = 2x−3 2 = x3 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

430 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 7) จาก f (x) = 3x − 2 = 3 − 2 x−1 5x 5 5 จะได f ′(x) = d  3 − 2 x−1  dx  5 5  = 2 x−2 5 ดงั นัน้ f ′′( x) = d  2 x−2  dx  5  = − 4 x−3 5 = − 4 f (x) = 5x3 2. 1) จาก x–5 + x5 จะได d x–5 + x5 dx ( )f ′( x) = = −5x–6 + 5x4 d −5x–6 + 5x4 dx ( )f ′′( x) = = 30x–7 + 20x3 ดงั นน้ั f ′′′( x) = ( )d 30x–7 + 20x3 dx = −210x–8 + 60x2 = − 210 + 60 x 2 x8 2) จาก f (x) = 5x2 – 4x + 7 จะได d 5x2 – 4x + 7 dx ( )f ′( x) = = 10x – 4 f ′′( x) = d (10x – 4) dx = 10 ดงั น้ัน f ′′′( x) = d (10) dx =0 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 431 3) จาก f ( x) = 3x–2 + 4x–1 + x d 3x–2 + 4x–1 + x dx ( )จะได f ′(x) = = −6x–3 − 4x–2 +1 d −6x–3 − 4x–2 +1 dx ( )f ′′( x) = = 18x– 4 + 8x–3 ดังน้นั f ′′′( x) = ( )d 18x–4 + 8x–3 dx = −72x–5 − 24x–4 = − 72 − 24 x5 x4 4) จาก f (x) = x x +1 จะได f ′(x) = d x  dx  x +1  ( x +1) d ( x) − x d ( x +1) dx dx = ( x +1)2 ( x +1)(1) − x(1) = ( x +1)2 = ( x +1)−2 d ( x +1)−2 dx ( )f ′′( x) = = −2( x +1)−3 d ( x +1) dx = −2( x +1)−3 d −2( x +1)−3 dx ( )ดังน้นั f ′′′( x) = = 6( x +1)−4 d ( x +1) dx = 6( x +1)−4 6 = ( x +1)4 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

432 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 3. จาก f ( x) = 3x2 – 2 จะได d 3x2 – 2 dx ( )f ′(x) = = 6x f ′′( x) = d (6x) dx =6 และ f ′′′( x) = d (6) dx =0 ดงั นน้ั f ′′′(2) = 0 4. จาก y = 6 6x−4 จะได dy x4 = dx ดงั นัน้ d 6x−4 5. จาก d2y dx dx2 ( )= จะได d3y = −24x−5 dx3 d −24x−5 d4y dx dx4 ( )= f (x) = 120x−6 f ′(x) d 120x−6 dx ( )= = −720x−7 d −720x−7 dx ( )= = 5,040x−8 = 1 = (1 − x)−1 1− x = d (1 − )x −1 dx = −1(1− x)−2 d (1− x) dx = −1(1− x)−2 (−1) = (1 − x)−2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 433 f ′′( x) = d (1− )x −2 dx = −2(1− x)−3 d (1− x) dx = −2(1− x)−3 (−1) = (1)(2)(1− x)−3 ( )f ′′′( x) = d 2(1− x)−3 dx = 2 d (1 − x)−3 dx = 2  −3(1 − )x −4 d (1 − x)  dx  ( )= 2 −3(1− x)−4 (−1) = (1)(2)(3)(1− x)−4  ดงั นนั้ f (n) ( x) = (1)(2)(3)(n)(1− x)−(n+1) n! = (1 − x)n+1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

434 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 แบบฝก หดั 2.8.1 1. จาก s(t )= 2t3 − t + 5 จะไดวา v(t) = s′(t) = 6t2 −1 และ a=(t ) v=′(t ) 12t ดงั นน้ั ระยะหา งของวัตถจุ ากตําแหนง เรมิ่ ตน ขณะเวลา 1 วนิ าที ( ) ( )คือ s(1) − s(0) = 2(1)3 − (1) + 5 − 2(0)3 − (0) + 5 = 1 =1 เมตร ความเรว็ ของวัตถุขณะเวลา 1 วินาที คือ v(=1) 6(1)2 =−1 5 เมตรตอวินาที และ ความเรง ของวัตถขุ ณะเวลา 1 วนิ าที คือ a(1) =12 เมตรตอ วนิ าที2 2. จาก s (t ) = t3 – 3t2 + t + 5 จะไดว า v(t ) = s′(t ) = 3t2 − 6t +1 และ a(t=) v′(t=) 6t − 6 ดังนนั้ ระยะหา งของวัตถุจากตาํ แหนงเริ่มตน ขณะ t = 1 ( ) ( )คอื ( ) ( )s(1) − s(0) = 13 − 3 12 +1+ 5 − 03 − 3 02 + 0 + 5 = −1 =1 เมตร ความเร็วของวัตถุขณะ t =1 คอื ( )v(1) =3 12 − 6(1) +1 =−2 เมตรตอวินาที และความเรงของวตั ถุขณะ t =1 คือ a(1=) 6(1) − 6= 0 เมตรตอ วนิ าท2ี 3. จาก s(t ) =−5t2 + 50 จะไดว า v(t) = s′(t) = −10t และ a(t ) = v′(t ) = −10 1) ระยะหา งของวตั ถจุ ากตาํ แหนงเรมิ่ ตน หลังจากปลอยวตั ถุไปแลว 3 วนิ าที ( ) ( )คือ s(3) − s(0) =−5(3)2 + 50 − −5(0)2 + 50 =45 =45 เมตร 2) ความเรว็ ของวัตถขุ ณะเวลา 2 วินาที คือ v(2) =−10(2) =−20 เมตรตอวินาที 3) ความเรงของวตั ถุขณะเวลา 5 วินาที คอื a(5) = −10 เมตรตอวนิ าที2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 435 4. จาก s (=t ) 10t − 5t2 จะไดว า v(t=) s′(t=) 10 −10t และ a(t ) = v′(t ) = −10 1) ความเรว็ ของกอนหินขณะเวลา t ใด ๆ คือ 10 −10t เมตรตอวนิ าที 2) ความเรง ของกอนหนิ ขณะเวลา t ใด ๆ คอื −10 เมตรตอวินาท2ี 3) วิธีท่ี 1 เน่อื งจาก s(=t) 10t − 5t2 จะได s(t) =−5(t −1)2 + 5 น่นั คือ กราฟของ s เปนพาราโบลาควาํ่ ท่ีมจี ดุ ยอดอยูที่ (1, 5) ดังนั้น เมื่อเวลาผา นไป 1 วินาที กอ นหนิ จงึ จะอยูในตาํ แหนงสูงทสี่ ุดจาก ตําแหนงเรม่ิ ตน วธิ ที ่ี 2 จาก s(=t) 10t − 5t2 จะได v(t=) s′(t=) 10 −10t เนอ่ื งจาก เม่ือกอนหนิ อยใู นตําแหนงที่สูงทีส่ ุดจากตาํ แหนงเรม่ิ ตน กอ นหนิ จะ มคี วามเรว็ เปน 0 เมตรตอ วินาที นน่ั คอื v(t) = 0 จะได 10 −10t = 0 t =1 ดังน้นั เมอ่ื เวลาผานไป 1 วนิ าที กอนหินจึงจะอยูในตําแหนงสูงท่สี ดุ จาก ตําแหนง เริ่มตน สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

436 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 แบบฝก หดั 2.8.2 1. 1) เนื่องจาก f ′( x) =−2 − 2x =−2( x +1) ดังน้ัน f ′( x) = 0 เมื่อ x = −1 พิจารณาคาของ f ′(x) โดยเขียนเสน จํานวนและจุดแบง ชวง ดงั น้ี จะไดว า f ′( x) > 0 บนชว ง (−∞,−1) และ f ′( x) < 0 บนชวง (−1,∞) ดงั นั้น f เปนฟง กชันเพิ่มบนชวง (−∞,−1) และ f เปนฟงกช นั ลดบนชวง (−1,∞) 2) เน่ืองจาก f ′( x=) 4x −1 ดังนั้น f ′( x) = 0 เมอ่ื x = 1 4 พจิ ารณาคา ของ f ′(x) โดยเขียนเสน จํานวนและจดุ แบง ชวง ดังน้ี จะไดวา f ′(x) < 0 บนชวง  −∞, 1   4  และ f ′(x) > 0 บนชว ง  1 , ∞   4  ดังนั้น f เปน ฟง กช นั ลดบนชว ง  −∞, 1  และ f เปน ฟง กช ันเพิ่มบนชวง  1, ∞   4   4  สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 437 3) เนือ่ งจาก f ′( x)= 3x2 − 2x − 8= (3x + 4)( x − 2) ดงั นน้ั f ′( x) = 0 เม่ือ x = − 4 หรือ x = 2 3 พจิ ารณาคาของ f ′(x) โดยเขยี นเสน จํานวนและจุดแบงชว ง ดงั น้ี จะไดว า f ′(x) > 0 บนชว ง  −∞, − 4  และชว ง (2, ∞)  3  และ f ′(x) < 0 บนชว ง  − 4, 2   3  ดังนั้น f เปน ฟงกชนั เพิม่ บนชวง  −∞, − 4  และชวง (2, ∞)  3  และ f เปน ฟงกช นั ลดบนชวง  − 4, 2   3  4) เนอื่ งจาก f ′( x) = 6x2 + 6x − 36 = 6( x + 3)( x − 2) ดงั น้นั f ′( x) = 0 เมื่อ x = −3 หรือ x = 2 พจิ ารณาคาของ f ′(x) โดยเขยี นเสน จํานวนและจุดแบง ชว ง ดังนี้ จะไดวา f ′( x) > 0 บนชว ง (−∞, − 3) และชวง (2, ∞) และ f ′( x) < 0 บนชว ง (−3, 2) ดงั นน้ั f เปน ฟงกชนั เพม่ิ บนชวง (−∞, − 3) และชว ง (2, ∞) และ f เปนฟงกชนั ลดบนชว ง (−3, 2) สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

438 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 5) เน่อื งจาก f ′( x)= 3x2 − 4x − 4= (3x + 2)( x − 2) พจิ ารณาคา ของ f ′(x) โดยเขียนเสนจํานวนและจุดแบงชวง ดังน้ี จะไดว า f ′(x) > 0 บนชวง  −∞, − 2  และชวง (2, ∞)  3  และ f ′(x) < 0 บนชวง  − 2, 2   3  ดังนั้น f เปนฟง กช นั เพ่ิมบนชวง  −∞, − 2  และชวง (2, ∞)  3  และ f เปน ฟง กชันลดบนชว ง  − 2, 2   3  2. 1) จาก f ( x) = x2 − 8x + 7 จะได f ′( x) = 2x − 8 = 2( x − 4) ดังนั้น f ′( x) = 0 เมอ่ื x = 4 จะไดวา คาวกิ ฤตของฟง กช นั f คือ 4 ตอ ไปหาอนุพันธอ นั ดบั ที่ 2 ของฟงกชัน f จะได f ′′(x) = 2 เนือ่ งจาก f ′′(4) = 2 ซงึ่ 2 > 0 ดงั นน้ั f มีคาตาํ่ สุดสมั พัทธท ี่ x = 4 และคา ตา่ํ สุดสัมพัทธค อื f (4) = −9 2) จาก f ( x) = x3 − 3x + 6 จะได f ′( x)= 3x2 − 3= 3( x2 −1)= 3( x −1)( x +1) ดังน้นั f ′( x) = 0 เมอื่ x = −1 หรอื x =1 จะไดวาคาวกิ ฤตของฟง กช ัน f มี 2 คา คอื −1 และ 1 ตอไปหาอนุพนั ธอ ันดับที่ 2 ของฟงกช นั f จะได f ′′(x) = 6x เนอื่ งจาก f ′′(−1) = −6 ซึ่ง −6 < 0 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook