mathm6_1

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 339 41. ให a1 + a2 + a3 + เปนอนกุ รมเรขาคณิตทมี่ ีพจนแ รก คอื a1 อัตราสวนรว ม คือ r และผลบวกของอนุกรมเทากบั 1 จะไดวา r <1 และ a1 =1 ----- (1) 1− r นัน่ คือ a1 = 1− r จาก ผลบวกยอ ยสองพจนแรกของอนุกรมนคี้ ือ 3 4 จะไดว า a1 + a2 =3 4 น่นั คือ a1 (1+ r) =3 ----- (2) 4 จาก (1) และ (2) จะได (1− r )(1+ r ) = 3 4 1− r2 = 3 4 r2 = 1 4 ดังน้นั r = 1 หรอื r = − 1 22 กรณี r=1 จะได a1 = 1 2 2 ( )Sn =12 1 −  1 10  จาก = a1 1− rn จะได S10  2   =1 −  12 10 =1023 1− r  1024 1− 1 2 กรณี r = −1 จะได a1 = 3 2 2 ( )จาก 3  −  − 1 10  a1 1− rn 2 1  2   10 Sn = 1− r จะได S10 = = 1 −  − 1  = 1023  1   2 1024 1 −  − 2  ดังนน้ั ผลบวก 10 พจนแ รกของลาํ ดบั เรขาคณติ น้ี คือ 1023 1024 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

340 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 42. 1) จาก 0.123 = 0.123123123 2) 3) = 0.123 + 0.000123 + 0.000000123 + = 123 + 123 + 123 + 1,000 1,000,000 1,000,000,000 = 123 + 123 + 123 +  103 106 109 จะไดวา 123 + 123 + 123 +  เปน อนกุ รมเรขาคณติ ทมี่ ี a1 = 123 และ r = 1 103 106 109 103 103 เน่อื งจาก =r 1 < 1 จะไดว า อนกุ รมนีเ้ ปนอนกุ รมลูเ ขา และผลบวกของอนุกรม 103 123 คอื a1 = 103 = 41 1 333 1− r 1 − 103 จะไดว า 0.123 = 41 333 จาก 0.112 = 0.11222 = 0.11+ 0.002 + 0.0002 + 0.00002 + = 11 + 2 + 2 + 2 +  100 1,000 10,000 100,000 จะไดวา 2 + 2 + 2 + เปนอนกุ รมเรขาคณิตทม่ี ี a1 = 1, 2 และ r= 1 1,000 10,000 100,000 000 10 เนอื่ งจาก =r 1 <1 จะไดว า อนุกรมนีเ้ ปน อนุกรมลเู ขา และผลบวกของอนกุ รม 10 2 คือ a1 = 1, 000 = 1 1− r 1− 1 450 10 จะไดวา 0.112 = 11 + 1 = 101 100 450 900 จาก 1.9 = 1.999 = 1+ 0.9 + 0.09 + 0.009 + = 1+ 9 + 9 + 9 + 10 100 1,000 จะไดวา 9 + 9 + 9 + เปน อนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 = 9 และ r= 1 10 100 1,000 10 10 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 341 เนอื่ งจาก =r 1 <1 จะไดว า อนุกรมนี้เปน อนุกรมลูเขา และผลบวกของอนุกรม 10 9 คอื a1 = 10 = 1 1−r 1− 1 10 จะไดว า 1.9 = 1+1 = 2 4) จาก 0.0989898 = 0.098 + 0.00098 + 0.0000098 + = 98 + 98 + 98 +  1,000 100,000 10,000,000 จะไดว า 98 + 98 + 98 +  เปนอนุกรมเรขาคณิตทมี่ ี a1 = 98 1,000 100,000 10,000,000 1, 000 และ r = 1 100 เนื่องจาก=r 1 <1 จะไดว า อนุกรมน้เี ปนอนุกรมลเู ขา และผลบวกของอนกุ รม 100 98 คือ a1 = 1,000 = 49 1−r 1− 1 495 100 จะไดว า 0.0989898 = 49 495 จาก43. a1 + a1r + a1r2 + a1r3 +  + a1rn−1 +  = 3 2 จะเหน็ วา a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + + a1rn−1 + เปน อนกุ รมเรขาคณิตทม่ี ีพจนแ รก คือ a1 อตั ราสวนรวม คือ r และมีผลบวกเปน 3 2 จะได a1 = 3 1−r 2 2a1 + 3r = 3 ----- (1) และจาก a1 − a1r + a1r 2 − a1r3 +  + ( )−1 n−1 a1r n−1 +  =3 4 จะเห็นวา a1 − a1r + a1r2 − a1r3 + + ( )−1 n−1 a1rn−1 + เปน อนุกรมเรขาคณิตทม่ี ี พจนแรก คอื a1 อัตราสว นรวม คือ −r และมผี ลบวก คอื 3 4 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

342 คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 จะได a1 =3 4 1− (−r) 4a1 − 3r = 3 ----- (2) จาก (1) และ (2) จะได a1 = 1 และ r=1 3 44. เน่อื งจากรปู สามเหลีย่ มดา นเทา รูปหนง่ึ มดี า นยาวดา นละ 10 นว้ิ จะได ครึ่งหนึ่งของดานของรปู สามเหลี่ยมดานเทายาว 1 (10) น้วิ 2 น่นั คือ ดา นของรูปสามเหล่ยี มดา นเทา รปู ที่ 2 ทเี่ กดิ จากการลากสวนของเสน ตรงเชอื่ ม จดุ กึ่งกลางดา นทั้งสามของรปู สามเหล่ยี มดานเทา รูปแรกยาว 1 (10) นิว้ 2 และ คร่ึงหน่งึ ของดา นของรปู สามเหลี่ยมดา นเทา รปู ที่ 2 ยาว 2.5 =  1  1  (10 ) นิว้  2   2 นั่นคือ ดา นของรูปสามเหลีย่ มดา นเทา รปู ที่ 3 ท่เี กดิ จากการลากสวนของเสนตรงเช่อื ม จุดกึ่งกลางดา นทั้งสามของรปู สามเหลย่ี มดานเทารปู ที่ 2 ยาว  1  1  (10) นว้ิ ดงั รปู  2  2  จะได ความยาวของเสน รอบรูปของรปู สี่เหล่ียมดานเทารปู ท่ี 1 เทา กับ 3(10) น้ิว ความยาวของเสนรอบรปู ของรูปส่ีเหลีย่ มดานเทารูปท่ี 2 เทากบั 3 1  (10 ) น้ิว 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 343 ความยาวของเสนรอบรูปของรูปส่ีเหล่ยี มดานเทารูปท่ี 3 เทากบั 3 1   1  (10) = 3 1 2 (10 ) นวิ้ 2   2  2  ในทํานองเดียวกัน จะไดว า ความยาวของเสน รอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทา รปู ท่ี n เทากบั 3  1 n−1 (10) นิ้ว  2  จะไดว า ความยาวของเสน รอบรปู ของรปู สามเหลยี่ มดานเทารูปท่ี 1, 2, 3, , n,  เทา กับ  1   1 2  1 n −1 นว้ิ  2   2   2  3 (10 ) , 3 (10 ) , 3 (10) , , 3 (10) ,  ถา สรางรูปสามเหลยี่ มดา นเทาตามกระบวนการท่ีกําหนดนไ้ี ปเร่ือย ๆ ไมส้นิ สดุ จะไดผลบวกของความยาวของเสนรอบรปู ของรปู สามเหล่ยี มดา นเทาทง้ั หมด  1   1 2  1 n −1 นว้ิ  2   2   2  3(10 ) + 3 (10 ) + 3 (10) +  + 3 (10 ) +  พิจารณาอนุกรม 3(10 ) + 3  1  (10 ) + 3  1 2 (10 ) +  + 3  1 n−1 (10 ) +  ซงึ่ เปน  2   2   2  อนุกรมเลขคณิตท่มี ี a1 = 3(10) และ r = 1 2 เน่ืองจาก =r 1 <1 จะไดว าอนุกรมนเ้ี ปน อนกุ รมลเู ขา 2 และผลบวกของอนุกรมนี้ คอื =a1 3=(10) 60 1− r 1− 1 2 ดงั น้ัน ถา สรา งรูปสามเหล่ียมดา นเทา ดวยกระบวนการทก่ี ําหนดไปเรอ่ื ย ๆ ไมส นิ้ สดุ ผลบวก ของความยาวของเสน รอบรูปของรปู สามเหลี่ยมดา นเทาท้ังหมด เทา กบั 60 นวิ้ 45. ในชว งเวลากลางวันของแตละวัน หอยทากจะคลานข้นึ มาได 5 เมตร และในเวลากลางคนื หอยทากจะลืน่ ลงไปเปนระยะทางครึ่งหน่งึ ของระยะหางระหวา งตวั มนั กับกน บอ ในวนั ท่ี 1 ชว งเวลากลางวนั หอยทากจะคลานขน้ึ มาได 5 เมตรจากกนบอนาํ้ และในเวลากลางคืนจะล่ืนลงไป 1 (5) = 5 เมตร 22 ดงั นั้น เม่อื สิน้ วนั ที่ 1 หอยทากจะอยูหา งจากกนบอ 5 − 5 = ( )5 = 5(1) = 5 21 −1 เมตร 22 21 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

344 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 ในวันท่ี 2 ชว งเวลากลางวัน หอยทากจะคลานข้ึนมาได 5 เมตรจากวนั แรก ทาํ ใหอยทู ี่ ตาํ แหนง 5 + 5 =15 เมตร จากกนบอ 22 และในเวลากลางคืนจะลืน่ ลงไป 1  15  = 15 เมตร 2  2  4 ดังน้นั เมือ่ สน้ิ วนั ที่ 2 หอยทากจะอยูหางจากกน บอ 15 − 15 = 15 = 5(3) 5(22 −1) เมตร 244 22 = 22 ในวันท่ี 3 ชวงเวลากลางวนั หอยทากจะคลานขน้ึ มาได 5 เมตรจากวนั ทีส่ อง ทําใหอยูท่ี ตาํ แหนง 15 + 5 =35 เมตร จากกนบอ 44 และในเวลากลางคนื จะลนื่ ลงไป 1  35  = 35 เมตร 2  4  8 ดังนั้น เม่อื สน้ิ วันที่ 3 หอยทากจะอยูหางจากกนบอ 35 − 35 = 35 = 5(7) 5(23 −1) เมตร 48 8 = 23 23 ในทาํ นองเดียวกนั เม่ือส้นิ วนั ที่ n หอยทากจะอยูหางจากกน บอ 5(2n −1) เมตร 2n จะไดว า เมอื่ ส้นิ วนั ท่ี 1, 2, 3, …, n, … หอยทากจะอยูหา งจากกน บอ ( )5 , 15 , 35 , , 52n −1 , เมตร 2n 24 8 เมื่อหอยทากเคลื่อนท่ีในรูปแบบน้ีโดยไมมีที่ส้ินสุด จะไดวาหอยทากจะอยูหางจากกนบอ 5( )เทา กับ2n −1 lim 2n n→∞ จะได ( )5 2n −1 lim 5 ⋅ 1 − 1 = lim 5 ⋅  lim 1 − lim 1 = 5(1− 0=) 5 lim = 2n  2n n→∞ 2n n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ จะเหน็ วา เมอื่ ส้นิ แตละวัน หอยทากตัวนีจ้ ะอยหู างจากกนบอไมเกิน 5 เมตร แตเ นอื่ งจากบอ นํ้านล้ี ึก 10 เมตร ดงั นน้ั หอยทากตัวน้ไี มสามารถคลานออกจากบอนาํ้ นี้ได สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 345 46. 1) จากอนุกรม (−2) + 8 + (−24) +  + n(−2)n +  จะได 2) S1 = −2 S2 = −2 + 8 = 6 S3 = −2 + 8 − 24 = −18 ----- (1) ให Sn แทนผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมนี้ จะได Sn = 1(−2) + 2 ⋅(−2)2 + 3⋅(−2)3 + + n ⋅(−2)n จาก (1) จะได (−2) Sn = 1(−2)2 + 2 ⋅ (−2)3 + 3⋅ (−2)4 + + (n −1) ⋅ (−2)n + n( )−2 n+1 ----- (2) จาก (1) และ (2) จะได 3Sn = (−2) + (2 −1)(−2)2 + (3 − 2)(−2)3 + + (n − (n −1))(−2)n − n ⋅ ( )−2 n+1 ( )3Sn = (−2) + (−2)2 + (−2)3 + + (−2)n − n ⋅ (−2)n+1 ----- (3) จะเหน็ วา (−2) + (−2)2 + (−2)3 + + (−2)n เปน อนุกรมเรขาคณิตท่มี ี a1 = −2 และ r = −2 จาก (3) และสูตรการหาผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเรขาคณติ จะได ( )(−2) 1− (−2)n 3Sn = 1− (−2) − n ⋅ ( )−2 n+1 ( )3Sn −2 − n ⋅ (−2)n+1 = 3 1− (−2)n − 2 1 − (−2)n n ⋅ (−2)n+1 9 − =( )Sn 3 ( )ดังนั้น ลําดับของผลบวกยอยของอนุกรมน้ี คือ −2, 6, −18, , − 2 1− (−2)n − n ⋅(−2)n+1 ,  93 จากอนกุ รม 1+ 0.2 + 0.03 +  + 10  n  +  จะได  10n  S1 = 1 S2 = 1+ 0.2 = 1+ 2 10 S3 = 1+ 0.2 + 0.03 = 1+ 2 + 3 10 100 ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนุกรมนี้ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

346 คูม อื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 จะได Sn =1 + 2 +3 +  + n −1 ----- (1) 10 102 10n จาก (1) จะได 1 Sn = 1 +2 +3 + +n ----- (2) 10 10 102 103 10n จาก (1) และ (2) จะได 9 Sn = 1+ (2 −1) 1 + (3− 2 ) 1 ++ (n −(n )−1) 1 − n ⋅ 1 10 102 10n−1 10n 10 9 = 1+ 1 + 1 ++ 1 − n ⋅ 1 ----- (3) 10 Sn 10 102 10n−1 10n จะเห็นวา 1 + 1 + 1 +  + 1 เปน อนุกรมเรขาคณติ ทมี่ ี a1 = 1 และ r= 1 10 102 10n−1 10 จาก (3) และสตู รการหาผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเรขาคณิต จะได  −  1 n  11  10   9 = 1 − n ⋅ 1 10 Sn 10n 1− 10 9 Sn = 10  −  1 n  − n 10 9 1  10   10n Sn = 100  −  1 n  − 9 n −1 81 1  10   ⋅10n ดังนนั้ ลาํ ดับของผลบวกยอ ยของอนุกรมน้ี คอื 1, 1.2, 1.23, , 100  −  1 n  − 9 n ,  81 1  10   ⋅10n−1 3) จากอนุกรม 1+ 4 +18 +  + n ⋅ n!+  จะได S1 = 1 S2 = 1+ 4 = 5 S3 = 1 + 4 +18 = 23 ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนุกรมนี้ จะได Sn = 1⋅1!+ 2 ⋅ 2!+ 3⋅ 3!+ + n ⋅ n! สงั เกตวา สาํ หรับจํานวนนับ k ใด ๆ จะได สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 347 k ⋅ k! = (k +1−1) ⋅ k! = ((k +1) −1) ⋅ k! = (k +1)k!− k! = (k +1)!− k! ดังนั้น Sn = 1⋅1!+ 2 ⋅ 2!+ 3⋅ 3!+ + n ⋅ n! = (2!−1!) + (3!− 2!) + (4!− 3!) + + (n!− (n −1)!) + ((n +1)!− n!) = −1!+ (n +1)! = (n +1)!−1! น่ันคือ ลาํ ดบั ของผลบวกยอยของอนุกรมนี้ คอื 1, 5, 23, , (n +1)!−1,  47. พนกั งานหางสรรพสนิ คาแหง หนงึ่ จดั เรียงสมสายน้ําผ้งึ ใหม ลี กั ษณะคลา ยพีระมิดฐาน ส่ีเหล่ยี มจัตรุ ัส โดย ในชั้นท่ี 1 (ชัน้ ลา งสุด) วางสม จาํ นวน 100 ผล ในชน้ั ท่ี 2 วางสม จาํ นวน 81 ผล ในช้นั ท่ี 3 วางสม จํานวน 64 ผล และวางสม เชน น้ีตอไปเรือ่ ย ๆ จนกระทัง่ ในช้นั ที่ n (ชั้นบนสุด) ซึง่ วางสม จาํ นวน 1 ผล จะไดวา พนักงานคนน้วี างสมในชัน้ ที่ 1, 2, 3, , n จาํ นวน 100, 81, 64, , 1 ผล 1) จาํ นวนสม ท้งั หมดท่ีวาง เทา กับ 100 + 81+ 64 + + 9 + 4 +1 พิจารณาอนุกรม 100 + 81+ 64 + + 9 + 4 +1 จะได 100 + 81+ 64 + + 9 + 4 +1 = 1+ 4 + 9 + +100 = 12 + 22 + 32 + +102 10 ∑= n2 n=1 10(10 +1)(20 +1) = 6 = 385 ดงั นั้น จะมสี ม วางอยูที่ชน้ั วางนี้ 385 ผล 2) เนอ่ื งจากในชนั้ ท่ี 5 และชัน้ ที่ 7 วางสมจํานวน 62 และ 42 ตามลําดบั จะไดวา ถา ไมน ับสมในชั้นท่ี 5 และ 7 จะเหลอื สม (385 − 62 )+ 42 =333 ผล สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

348 คูม อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 3) ตอ งการนาํ สม 1,015 ผล มาจดั เรยี งเปน พีระมิดฐานสเี่ หลีย่ มจตั ุรัสในลักษณะเดียวกับทก่ี ําหนด โดยในชั้นที่ 1 (ช้นั ลางสุด) วางสมจาํ นวน n2 ผล ในช้ันที่ 2 วางสมจาํ นวน (n −1)2 ผล ในชั้นท่ี 3 วางสมจํานวน (n − 2)2 ผล และวางสม เชน นต้ี อ ไปเรอ่ื ย ๆ จนกระทง่ั ในชน้ั ที่ n (ช้ันบนสดุ ) ซึง่ วางสม จาํ นวน 1 ผล จะไดวา พนักงานคนน้ีวางสมในชัน้ ท่ี 1, 2, 3, , n จาํ นวน n2, (n −1)2 , (n − 2)2 , , 1 ผล ดงั นนั้ จาํ นวนสมทง้ั หมดท่วี าง เทา กบั n2 + (n −1)2 + (n − 2)2 +  +1 ผล พิจารณาอนุกรม n2 + (n −1)2 + (n − 2)2 +  +1 จะได n2 + (n −1)2 + (n − 2)2 +  +1 = 1+ 4 + 9 +  + n2 n ∑= i2 i =1 n(n +1)(2n +1) = 6 เนื่องจากมสี ม ท้ังหมด 1,015 ผล จะได นั่นคอื n(n +1)(2n +1) = 1,015 6 n = 14 ดังน้ัน จะตองวางสมในชั้นแรก 142 =196 ผล และจะวางสม ไดท ัง้ หมด 14 ชน้ั 48. ฝากเงิน 5,000 บาท ไดรบั อตั ราดอกเบ้ียรอยละ 1.5 ตอป โดยคิดดอกเบ้ยี แบบทบตนทุก 3 เดือน ในทนี่ ี้ไมม ีการฝากและถอนในระหวา ง 3 ป ให =P 5000=, k 4=, n 3 และ i =1.5 จะไดวา =r =i 1=.5 0.015 100 100 จากทฤษฎบี ท 10 จะไดวา จํานวนเงินในบญั ชีเมอื่ ฝากเงินครบ 3 ป คอื 5, 000 1 + 0.015 4(3) บาท 4  หรอื ประมาณ 5,229.70 บาท สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 349 49. ฝากเงนิ 18,600 บาท ไดรบั อัตราดอกเบ้ียรอยละ 4 ตอป โดยคดิ ดอกเบี้ยแบบทบตนทุก 6 เดือน ในทีน่ ไี้ มมกี ารฝากและถอนในระหวาง 15 ป ให =P 18600=, k 2=, n 15 และ i = 4 จะไดว า=r =i =4 0.04 100 100 จากทฤษฎีบท 10 จะไดวา จํานวนเงินในบญั ชีเมื่อฝากเงนิ ครบ 15 ป คือ 18, 600 1 + 0.04 2(15) บาท 2  หรอื ประมาณ 33,691.33 บาท 50. แมของสทุ ัศนตองการฝากเงนิ ในธนาคาร 10,000,000 บาท เปนเวลา 10 ป โดยไมม ีการ ฝากถอนในระหวาง 10 ปน ้ี พิจารณา ธนาคาร A ซึง่ กําหนดอัตราดอกเบีย้ 12% ตอ ป โดยคดิ ดอกเบย้ี ทบตน ทุกส้ินเดือน ให= P 1000000=0, k 1=2, n 10 และ i =12 จะไดว า=r =i 1=2 0.12 100 100 จากทฤษฎีบท 10 จะไดว า เม่อื แมข องสทุ ัศนเลือกฝากเงินในธนาคาร A ครบ 10 ป จะได เงนิ รวม 10, 000, 000 1 + 0.12 12(10) บาท หรอื ประมาณ 33,003,868.95 บาท 12  พิจารณา ธนาคาร B ซงึ่ กาํ หนดอตั ราดอกเบี้ย 12.5% ตอ ป โดยคดิ ดอกเบ้ียแบบทบตนทุกส้ินป =ให P 1=0000000, n 10 และ i = 12.5 จะไดวา =r =i 12=.5 0.125 100 100 จากทฤษฎีบท 9 จะไดว า เม่ือแมข องสทุ ัศนเลอื กฝากเงินในธนาคาร B ครบ 10 ป จะได เงนิ รวม 10,000,000(1+ 0.125)10 บาท หรอื ประมาณ 32,473,210.25 บาท ดังน้ัน แมของสทุ ศั นค วรเลอื กฝากเงินกับธนาคาร A จงึ จะไดเงินรวมมากที่สุด และไดเงินรวม เมือ่ ส้ินปท ่ี 10 ประมาณ 33,003,868.95 บาท 51. เอกฝากเงิน 100,000 บาท โดยธนาคารคดิ ดอกเบยี้ แบบทบตนทกุ 6 เดือน และอัตราดอกเบ้ยี คงที่ตลอดระยะเวลาท่ีฝากเงิน เมอื่ ฝากเงนิ ครบ 10 ป เขาพบวา มีเงนิ ในบัญชีประมาณ 148,595 บาท ให= P 100000=, k 2=, n 10 และมีเงินรวม 148,595 บาท สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

350 คูมือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 จากทฤษฎีบท 10 จะไดว า 148,595 = 100, 000 1 + r 2(10) 2  1.48595 = 1 + r 20 2  นั่นคอื 1 + r = 20 1.48595 2 ( )r = 2 20 1.48595 −1 r ≈ 0.04 ดงั นั้น ธนาคารแหงน้ีกาํ หนดอตั ราดอกเบ้ียประมาณ 4% ตอป 52. ตนตระการกเู งินจากวิทวัสจํานวน 200,000 บาท โดยมกี ําหนดชําระหน้ีท้งั หมดในอกี 2 ป ขา งหนา เปน เงิน 300,000 บาท และดอกเบีย้ ทีว่ ทิ วัสเรยี กเก็บคิดดอกเบ้ียแบบทบตน ทุกป =ให P 1=00000, n 2 และมเี งินรวม 300,000 บาท จากทฤษฎบี ท 9 จะไดวา 300,000 = 200,000(1+ r )2 นน่ั คอื 1.5 = (1+ r )2 r = 1.5 −1 r ≈ 0.2247 ดงั นั้น ดอกเบ้ยี ท่วี ทิ วสั เรียกเก็บสามารถคิดเปนอัตราดอกเบ้ียรอยละ 0.2247×100 =22.47 ตอ ป ซ่ึงอัตราดอกเบย้ี ดังกลาวไมเปนไปตามท่ีกฎหมายกําหนด 53. แตละเดือนบรษิ ัทตอ งจา ยเงนิ ชดเชยรายไดร วมเปน เงนิ 23,000 + 37,000 =60,000 บาท เปนเวลา 3 ป บริษัทแหงน้นี ําเงินที่จะใชใ นการจายเงินชดเชยรายไดไปฝากธนาคาร ซ่ึงกําหนดอัตราดอกเบยี้ 5% ตอ ป โดยคิดดอกเบย้ี แบบทบตนทกุ เดอื น (หรืออตั ราดอกเบ้ยี ตอเดือน คือ 5 % ) 12 5 จะไดว า =r 1=2 1 100 240 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 351 เขยี นแผนภาพแสดงมลู คาปจ จบุ ันของเงนิ ทบ่ี รษิ ัทนําไปฝากธนาคารเปน เวลา 36 เดอื น (3 ป) ไดดังนี้ จากแผนภาพจะไดว า มลู คาปจ จบุ ันของเงินชดเชยรายไดทต่ี องจายในเดอื นแรก คือ 60, 000 1 + 1 −1 =60, 000  240  บาท 240  241  มูลคาปจ จบุ ันของเงนิ ชดเชยรายไดท ตี่ องจายในเดอื นที่ 2 คอื 60, 000 1 + 1 −2 =60, 000  240 2 บาท 240  241  มลู คาปจจบุ นั ของเงนิ ชดเชยรายไดทต่ี องจา ยในเดอื นที่ 3 คอื 60, 000 1 + 1 −3 =60, 000  240 3 บาท 240  241   มูลคา ปจ จบุ นั ของเงินชดเชยรายไดท่ีตองจา ยในเดอื นที่ 36 คือ 60, 000 1 + 1 −36 =60,000 224401 36 บาท 240   สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

352 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 น่นั คอื เม่ือครบ 3 ป ยอดเงนิ รวมของเงินชดเชยรายไดท่ีตองจา ย เทากับ 60, 000  240  + 60, 000  240 2 + 60, 000  240 3 +  + 60, 000  240 36 บาท  241   241   241   241  ซ่ึงเปน อนุกรมเรขาคณิตทม่ี ี a1 = 60, 000  240  และ r= 240 241  241 จะได ยอดเงินรวมของเงินชดเชยรายไดท่ตี องจา ย เทา กบั 60, 000  240   −  240 36   241  1  241   ≈ 2,001,942.08 บาท 1− 240 241 ดงั น้ัน นายจางตอ งนําเงินไปฝากอยา งนอย 2,001,924.08 บาท 54. วชิ ยั ตอ งการฝากเงินกบั ธนาคารแหง หนึ่งซงึ่ กําหนดอัตราดอกเบย้ี 5% ตอป โดยคดิ ดอกเบีย้ แบบทบตน ทกุ ป และวิชยั ตองการใหมีเงนิ ในบัญชีประมาณ 250,000 บาท ในเวลา 10 ป โดยไมมกี ารฝากถอนในระหวาง 10 ปน ้ี ให=S 250000,=k 1,=n 10 และ i = 5 นัน่ คอื =r =5 0.05 100 จะได P = 250, 000 1 + 0.05 −1(10) ≈ 153, 478.31 1  ดังน้ัน วิชยั ตอ งฝากเงนิ ตน ไวอ ยา งนอย 153,479 บาท 55. ธรี ะฝากเงินไวกบั ธนาคารแหงหนึ่ง เมอื่ เวลาผานไป 10 ป โดยไมม ีการฝากถอนในระหวาง 10 ปน ้ี พบวา มเี งนิ ในบญั ชี 122,079.42 บาท โดยธนาคารกาํ หนดอัตราดอกเบย้ี 2% ตอ ป และคดิ ดอกเบ้ียแบบทบตนทุก 3 เดือน ให= S 122079.42=, k 4=, n 10 และ i = 2 น่ันคอื =r =2 0.02 100 จะได P= 122, 079.42 1 + 0.02 −4(10) ≈ 100,000 4  ดงั นัน้ เงินตนท่ธี รี ะฝากไวเ มือ่ 10 ปก อน ประมาณ 100,000 บาท สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 353 56. หมากฝากเงนิ กับธนาคารแหง หนง่ึ เดือนละ 2,000 บาท ทกุ สิน้ เดือน และธนาคารกาํ หนดอัตราดอกเบ้ยี รอยละ 3 ตอป โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบตน ทุกเดือน น่ันคือ ธนาคารคดิ ดอกเบย้ี แบบทบตนรอยละ 3 = 1 ตอ เดอื น 12 4 1 จะไดวา =r =4 0.0025 100 เขียนแผนภาพแสดงการฝากเงินและมูลคา ของเงินเม่ือสิน้ เดือนที่ 24 ไดดงั นี้ จากแผนภาพจะไดวา เม่ือส้ินงวดท่ี 24 เงนิ ฝากเม่ือสิน้ เดอื นที่ 1 จํานวน 2,000 บาท จะมมี ลู คา 2,000(1.0025)23 บาท เงินฝากเมื่อสน้ิ เดือนท่ี 2 จํานวน 2,000 บาท จะมมี ลู คา 2,000(1.0025)22 บาท เงนิ ฝากเมื่อสิน้ เดือนที่ 3 จาํ นวน 2,000 บาท จะมมี ูลคา 2,000(1.0025)21 บาท  เงนิ ฝากเมื่อสน้ิ เดือนท่ี 23 จาํ นวน 2,000 บาท จะมีมลู คา 2,000(1.0025) บาท เงนิ ฝากเม่ือสน้ิ เดอื นท่ี 24 จํานวน 2,000 บาท จะมมี ูลคา 2,000 บาท น่นั คอื เม่ือสน้ิ เดอื นที่ 24 หมากจะไดเงินรวม 2,000(1.0025)23 + 2,000(1.0025)22 + 2,000(1.0025)21 +  + 2,000 บาท หรือ 2,000 + 2,000(1.0025) + 2,000(1.0025)2 +  + 2,000(1.0025)23 บาท ซ่ึงเปนอนุกรมเรขาคณิตท่มี ี 24 พจน พจนแ รก คือ 2,000 และอัตราสว นรว ม คือ 1.0025 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

354 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 ( )จะไดผ ลบวก 24 พจนแ รกของอนุกรมน้ี คอื 2,000 (1.0025)24 −1 หรือประมาณ 49,405.64 บาท 1.0025 −1 ดังนนั้ เมื่อส้นิ เดือนท่ี 24 หมากจะมเี งนิ รวมประมาณ 49,405.64 บาท 57. มะปรางมีรายรบั เดอื นละ 20,000 บาท และตองการออมเงนิ ทกุ ส้นิ เดอื น เดอื นละ 10% ของรายรับ น่ันคอื มะปรางออมเงนิ ทุกสิ้นเดือน เดอื นละ 10 (20,000) = 2,000 บาท 100 มะปรางฝากเงินเขา บญั ชธี นาคารท่กี ําหนดอตั ราดอกเบ้ีย 12% ตอ ป และคดิ ดอกเบ้ยี แบบ ทบตนทุกเดอื น นนั่ คอื ธนาคารกาํ หนดอตั ราดอกเบีย้ 12 =1% ตอเดอื น 12 จะไดวา =r =1 0.01 100 เขยี นแผนภาพแสดงการฝากเงินและมูลคาของเงนิ เม่ือส้ินเดือนที่ 24 (ครบ 2 ป) ไดดังน้ี จากแผนภาพจะไดวาเมื่อสิ้นงวดที่ 24 เงินฝากเม่ือสิน้ เดือนที่ 1 จํานวน 2,000 บาท จะมมี ูลคา 2,000(1.01)23 บาท เงินฝากเม่ือส้ินเดือนท่ี 2 จํานวน 2,000 บาท จะมีมูลคา 2,000(1.01)22 บาท เงินฝากเม่ือสิน้ เดอื นท่ี 3 จํานวน 2,000 บาท จะมมี ลู คา 2,000(1.01)21 บาท  เงินฝากเมื่อส้ินเดอื นที่ 23 จาํ นวน 2,000 บาท จะมีมูลคา 2,000(1.01) บาท เงินฝากเมื่อสิ้นเดอื นท่ี 24 (ครบ 2 ป) จาํ นวน 2,000 บาท จะมมี ูลคา 2,000 บาท สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 355 นน่ั คือ เมื่อเวลาผา นไป 2 ป มะปรางจะไดเ งินออมทั้งหมด 2,000(1.01)23 + 2,000(1.01)22 + 2,000(1.01)21 +  + 2,000 บาท หรือ 2,000 + 2,000(1.01) + 2,000(1.01)2 +  + 2,000(1.01)23 บาท ซึ่งเปน อนุกรมเรขาคณิตท่ีมี 24 พจน พจนแ รก คือ 2,000 และอตั ราสว นรวม คือ 1.01 ( )จะไดผ ลบวก 24 พจนแ รกของอนุกรมน้ี คือ 2,000 (1.01)24 −1 หรือประมาณ 53,946.93 บาท 1.01 − 1 ดงั นั้น เมือ่ เวลาผานไป 2 ป มะปรางจะมีเงนิ ออมทงั้ หมดประมาณ 53,946.93 บาท 58. ในวันที่ 1 มิถนุ ายน 2561 สม ซาฝากเงนิ 100,000 บาท เขา บัญชเี งนิ ฝากออมทรพั ยท่ีให อัตราดอกเบีย้ รอยละ 1.2 ตอป โดยคดิ ดอกเบี้ยแบบทบตนทุกเดือน นั่นคอื ธนาคารใหอ ตั ราดอกเบย้ี รอ ยละ 1.2 = 0.1% ตอเดือน 12 ถาไมมีการฝากถอนในระยะเวลา 1 ป จากทฤษฎีบท 10 จะไดว า เมอ่ื ครบ 1 ป สม ซา จะมเี งนิ ในบญั ชที ั้งหมด 100, 000 1 + 0.1 12(1) บาท หรอื ประมาณ 101,206.62 บาท 100  จาก สม ซา โอนเงินใหน อ งสาวทกุ วันที่ 1 ของเดือน ตัง้ แตเดือนมิถุนายน 2561 โดย ไมเ สยี คา ธรรมเนยี มในการโอน จะไดวา เมื่อตนเดือนที่ 1 (มิถุนายน) สม ซาถอนเงนิ ไป 5,000 บาท ทาํ ใหเมื่อครบ 1 ป เงินในบัญชีของสมซาจะลดลง 5,000(1.001)12 บาท เมื่อตนเดือนท่ี 2 สมซาถอนเงินไป 5,000 บาท ทําใหเมื่อครบ 1 ป เงนิ ในบัญชีของสม ซาจะ ลดลง 5,000(1.001)11 บาท เม่ือตนเดือนที่ 3 สมซาถอนเงินไป 5,000 บาท ทําใหเมื่อครบ 1 ป เงนิ ในบัญชีของสมซาจะ ลดลง 5,000(1.001)10 บาท ในทาํ นองเดยี วกัน จะไดวา เม่ือตน เดือนท่ี 12 สม ซาถอนเงินไป 5,000 บาท ทาํ ใหเ ม่ือครบ 1 ป เงนิ ในบัญชขี องสม ซา จะลดลง 5,000(1.001) บาท ดังนน้ั เมื่อครบ 1 ป เงนิ ในบญั ชขี องสมซาจะลดลงทั้งหมด 5,000(1.001)12 + 5,000(1.001)11 + 5,000(1.001)10 +  + 5,000(1.001) หรอื 5,000(1.001) + 5,000(1.001)2 + 5,000(1.001)3 +  + 5,000(1.001)12 ซงึ่ เปน สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

356 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 อนกุ รมเรขาคณิตที่มี 12 พจน พจนแรก คือ 5,000(1.001) และอตั ราสว นรวม คอื 1.001 นั่นคอื เม่ือครบ 1 ป เงินในบัญชีของสม ซาจะลดลงท้ังหมด ( )(5,000(1.001)) 1.00112 −1 บาท 1.001 − 1 หรอื ประมาณ 60,391.43 บาท ดงั นัน้ เม่ือครบ 1 ป สมซา จะมีเงนิ เหลือในบัญชีประมาณ 101,206.62 – 60,391.43 = 40,815.19 บาท เน่อื งจาก เมอื่ ครบ 1 ป หากไมน าํ ดอกเบยี้ จากธนาคารมาคํานวณ สมซาจะเหลือเงนิ 100,000 −12(5,000) =40,000 จะไดวา เมอื่ ครบ 1 ป สม ซาจะไดรบั ดอกเบ้ยี จากบญั ชีเงินฝากนีป้ ระมาณ 40,815.19 – 40,000 = 815.19 บาท 59. ยอดรักผอ นตูเ ย็นราคา 30,000 บาท ดวยยอดชาํ ระเทากันทกุ เดือน เดอื นละ R บาท เปน เวลา 6 เดือน โดยผอ นชําระทกุ ส้ินเดือน อัตราดอกเบ้ีย 18% ตอ ป โดยคดิ ดอกเบ้ยี แบบ 18 ทบตน ทกุ เดอื น (หรอื อตั ราดอกเบี้ยตอ งวด คือ 18 % ) จะไดว า =r 1=2 203 12 100 200 เขียนแผนภาพแสดงการผอนตเู ย็นของยอดรักเปนเวลา 6 เดือน ไดด ังนี้ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 357 จากแผนภาพจะไดวา มูลคา ปจ จบุ ันของเงินผอ นงวดที่ 1 คอื R 1+ 3 −1 =R  220003  บาท 200  มูลคาปจจุบันของเงินผอ นงวดท่ี 2 คอื R 1+ 3 −2 =R  220003 2 บาท 200  มูลคาปจจุบันของเงินผอนงวดที่ 3 คือ R 1+ 3 −3 =R  220003 3 บาท 200   มลู คาปจ จุบนั ของเงินผอ นงวดท่ี 6 คือ R 1+ 3 −6 =R  220003 6 บาท 200  น่ันคอื เม่ือครบ 6 เดอื น ยอดเงินรวมที่ยอดรกั จา ยเพ่อื ผอ นตูเย็น เทา กบั R  200  + R  200 2 + R  200 3 +  + R  200 6 บาท  203   203   203   203  ซ่งึ เปน อนกุ รมเรขาคณิตท่ีมี 6 พจน พจนแ รก คือ R  200  และอัตราสวนรวม คือ 200  203  203 R  200   −  200 6   203  1  203   จะไดผ ลบวก 6 พจนแรกของอนกุ รมนี้ คือ บาท 1− 200 203 เน่อื งจาก ยอดรกั ผอนตเู ยน็ ราคา 30,000 บาท R  200   −  200 6   203  1  203   จะได 30,000 = 1− 200 203 นน่ั คอื 30, 000 1 − 200  203  R= ≈ 5,265.76  6   200  1 −  200    203   203 ดงั นัน้ ยอดรักจะตองผอนชาํ ระเดือนละประมาณ 5,265.76 บาท สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

358 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 60. อนงคซอ้ื รถยนตราคา 600,000 บาท โดยตกลงจายเงินดาวน 15% ของราคารถยนต นั่นคอื อนงคจ า ยเงนิ ดาวน 15 (600,000) = 90,000 บาท 100 และผอนชาํ ระสว นที่เหลือเปน จาํ นวนเงนิ เทากันทุกเดือน เปนเวลา 4 ป โดยผอ นชาํ ระทุก สนิ้ เดอื น เดอื นละ R บาท อัตราดอกเบ้ยี 6% ตอป (หรืออตั ราดอกเบย้ี ตอ งวด คอื 6 % ) 12 6 จะไดวา=r 1=2 1 100 200 เขยี นแผนภาพแสดงการจายเงนิ ผอ นรถยนตข องใบเตยเปนเวลา 4 ป (48 งวด) ไดด ังน้ี จากแผนภาพจะไดว า มูลคาปจจบุ นั ของเงินผอ นงวดที่ 1 คือ R 1 + 1 −1 =R  220001  บาท 200  มูลคา ปจ จบุ นั ของเงินผอ นงวดท่ี 2 คอื R 1+ 1 −2 =R  220001 2 บาท 200  มลู คา ปจจุบันของเงนิ ผอนงวดท่ี 3 คือ R 1+ 1 −3 =R  220001 3 บาท 200   สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 359 มูลคาปจจุบันของเงนิ ผอ นงวดท่ี 48 คอื R 1+ 1 −48 =R  220001 48 บาท 200  นัน่ คือ เมอ่ื ครบ 4 ป (48 เดือน) ยอดเงินรวมท่อี นงคจา ยเพ่อื ผอ นรถยนต เทากับ R  200  + R  200 2 + R  200 3 +  + R  200 48 บาท  201   201   201   201  ซ่ึงเปนอนกุ รมเรขาคณติ ท่ีมี 48 พจน พจนแรก คอื R  200  และอตั ราสวนรว ม คือ 200  201  201 R  200   −  200 48   201  1  201   จะไดผลบวก 6 พจนแ รกของอนกุ รมน้ี คือ บาท 1 − 200 201 เน่ืองจากอนงคเ หลอื เงินท่ีตอ งชําระอีก 600,000 – 90,000 = 510,000 บาท R  200   −  200 48   201  1  201   จะได 510,000 = 1 − 200 201 นั่นคอื R= 510,0001 − 200  ≈ 11,977.36 201   200   −  200 48   201  1  201   ดังนน้ั อนงคจ ะตอ งผอนชําระเดอื นละประมาณ 11,977.36 บาท และเสียดอกเบย้ี ทัง้ หมด 48(11,977.36) − 51,000 =64,913.28 บาท สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

360 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 บทท่ี 2 แคลคลู ัสเบื้องตน แบบฝกหัด 2.1ก 1. 1) แสดงคาของ f (x) = x −2 เม่ือ x เปน คา ตามทก่ี ําหนด x−4 x f (x) x f (x) 3.9 0.251582 4.1 0.248457 3.99 0.250156 4.01 0.249844 3.999 0.250016 4.001 0.249984 จากตารางจะเห็นวา f (x) เขา ใกล 0.25 เมื่อ x เขา ใกล 4 ท้ังทางดานซายและขวาของ 4 ดังนั้น lim x − 2 = 0.25 x→4 x − 4 2) แสดงคาของ f ( x) = x−2 6 เมอ่ื x เปน คา ตามท่กี าํ หนด x2 + x − x f (x) x f (x) 1.9 0.204082 2.1 0.196078 1.99 0.200401 2.01 0.199601 1.999 0.200401 2.001 0.199601 จากตารางจะเห็นวา f (x) เขาใกล 0.2 เม่ือ x เขาใกล 2 ทั้งทางดา นซา ยและขวาของ 2 ดังนนั้ lim x2 x−2 6 = 0.2 +x− x→2 3) แสดงคา ของ f ( x ) = 3x −3 เม่อื x เปน คา ตามทกี่ ําหนด x3 −1 x f (x) x f (x) 0.9 1.107011 1.1 0.906344 0.99 1.010067 1.01 0.990066 0.999 1.001001 1.001 0.999001 จากตารางจะเห็นวา f (x) เขาใกล 1 เมื่อ x เขา ใกล 1 ทงั้ ทางดานซา ยและขวาของ 1 ดงั นัน้ lim 3x −3 =1 x3 −1 x→1 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 361 4) แสดงคาของ f (x) = ex −1 เมอ่ื x เปนคา ตามท่ีกาํ หนด x x f (x) x f (x) −0.1 0.951626 0.1 1.051709 −0.01 0.995017 0.01 1.005017 −0.001 0.999500 0.001 1.000500 จากตารางจะเหน็ วา f (x) เขา ใกล 1 เม่ือ x เขา ใกล 0 ท้งั ทางดานซา ยและขวาของ 0 ดังน้นั lim ex −1 =1 x→0 x 5) แสดงคาของ f (x) = sin x เมือ่ x เปนคา ตามท่กี ําหนด x x f (x) x f (x) −1 0.841471 1 0.841471 −0.5 0.958851 0.5 0.958851 −0.1 0.998334 0.1 0.998334 −0.05 0.999583 0.05 0.999583 −0.01 0.999983 0.01 0.999983 จากตารางจะเห็นวา f (x) เขาใกล 1 เม่อื x เขา ใกล 0 ทง้ั ทางดา นซา ยและขวาของ 0 ดงั นน้ั lim sin x =1 x→0 x 6) แสดงคาของ f (x) = xln x เมือ่ x เปน คา ตามท่ีกําหนด x f (x) 0.1 −0.230259 0.01 −0.046052 0.001 −0.006908 0.0001 −0.000921 0.00001 −0.000115 จากตารางจะเห็นวา f (x) เขา ใกล 0 เม่ือ x เขา ใกล 0 ทางดา นขวาของ 0 ดงั นนั้ lim xln x = 0 x→0+ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

362 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 7) แสดงคา ของ f ( x) = | x| เม่อื x เปนคาตามท่ีกําหนด x2 +x x f (x) x f (x) −0.1 −1.111111 0.1 0.909091 −0.01 −1.010101 0.01 0.990099 −0.001 −1.001001 0.001 0.999001 จากตารางจะเห็นวา f (x) เขา ใกล −1 เมื่อ x เขาใกล 0 ทางดา นซายและ f (x) เขาใกล 1 เม่ือ x เขาใกล 0 ทางดานขวา ดังน้นั lim |x| ไมมีคา x2 + x x→0 2. 1) f (1) = 2 2) เม่ือ x →1− หมายถึง x เขา ใกล 1 ทางดานซา ย (x <1) จะไดว าคา ของ f (x) เขาใกล 2 ดงั นนั้ lim f ( x) = 2 x→1− 3) เม่ือ x →1+ หมายถงึ x เขาใกล 1 ทางดานขวา (x >1) จะไดว าคาของ f (x) เขา ใกล 3 ดงั นนั้ lim f ( x) = 3 x→1+ 4) เนอื่ งจาก lim f ( x) ≠ lim f ( x) x→1− x→1+ ดังนน้ั lim f (x) ไมม ีคา x→1 5) จาก f (x) ไมนยิ ามที่ x = 5 ดังน้นั f (5) ไมม ีคา 6) เม่ือ x → 5+ หมายถึง x เขา ใกล 5 ทางดานขวา (x > 5) จะไดว าคาของ f (x) เขาใกล 4 ดังน้ัน lim f ( x) = 4 x→5+ 7) เมื่อ x → 5− หมายถึง x เขาใกล 5 ทางดานซา ย (x < 5) จะไดว าคา ของ f (x) เขาใกล 4 ดังนน้ั lim f ( x) = 4 x→5− 8) เน่ืองจาก l=im f ( x) l=im f ( x) 4 x→5− x→5+ ดังนัน้ lim f ( x) = 4 x→5 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 363 3. 1) f (0) = 3 2) เม่ือ x เขา ใกล 0 ทั้งทางดา นซา ย (x < 0) และขวา (x > 0) จะไดว า คา ของ f (x) เขาใกล 3 ดังน้นั lim f ( x) = 3 x→0 3) f (3) = 3 4) เมื่อ x เขาใกล 3 ทางดา นซา ย (x < 3) จะไดว าคาของ f (x) เขา ใกล 4 ดังนั้น lim f ( x) = 4 x→3− 5) เมื่อ x เขา ใกล 3 ทางดานขวา (x > 3) จะไดวา คาของ f (x) เขาใกล 2 ดงั นน้ั lim f ( x) = 2 x→3+ 6) เน่อื งจาก lim f ( x) ≠ lim f ( x) x→3− x→3+ ดงั นน้ั lim f (x) ไมม ีคา x→3 4. 1) g (0) = −1 2) เมื่อ x เขา ใกล 0 ทางดา นซา ย (x < 0) จะไดวาคา ของ g (x) เขา ใกล −1 ดงั นั้น lim g ( x) = −1 x→0− 3) เม่ือ x เขา ใกล 0 ทางดานขวา (x > 0) จะไดว า คาของ g (x) เขา ใกล −2 ดงั น้ัน lim g ( x) = −2 x→0+ 4) เนื่องจาก lim g ( x) ≠ lim g ( x) x→0− x→0+ ดังนั้น lim g (x) ไมมีคา x→0 5) g (2) =1 6) เม่ือ x เขา ใกล 2 ทางดานซาย (x < 2) จะไดวาคาของ g (x) เขาใกล 2 ดงั นั้น lim g ( x) = 2 x→2− 7) เม่ือ x เขา ใกล 2 ทางดา นขวา (x > 2) จะไดวาคา ของ g (x) เขา ใกล 0 ดังนั้น lim g ( x) = 0 x→2+ 8) เนอื่ งจาก lim g ( x) ≠ lim g ( x) x→2− x→2+ ดงั นั้น lim g (x) ไมม ีคา x→2 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

364 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 9) เม่ือ x เขาใกล 4 ทั้งทางดา นซา ย (x < 4) และขวา (x > 4) จะไดว า คาของ g (x) เขาใกล 3 ดังนั้น lim g ( x) = 3 x→4 5. 1) f (1) = 0 2) เม่ือ x เขา ใกล 1 ทางดา นซา ย (x <1) จะไดวาคา ของ f (x) เขา ใกล −1 ดงั นั้น lim f ( x) = −1 x→1− 3) เมื่อ x เขา ใกล 1 ทางดา นขวา (x >1) จะไดว า คาของ f (x) เขา ใกล 0 ดงั นน้ั lim f ( x) = 0 x→1+ 4) เนื่องจาก lim f ( x) ≠ lim f ( x) x→1− x→1+ ดังนั้น lim f (x) ไมมีคา x→1 6. 1) เมื่อ x เขา ใกล 2 ทางดานซาย (x < 2) จะไดวา คา ของ f (x) เขา ใกล 2 ดังนน้ั lim f ( x) = 2 x→2− 2) เม่ือ x เขาใกล 2 ทางดานขวา (x > 2) จะไดว าคา ของ f (x) เขาใกล −2 ดงั นน้ั lim f ( x) = −2 x→2+ 3) เน่อื งจาก lim f ( x) ≠ lim f ( x) x→2− x→2+ ดงั นน้ั lim f (x) ไมม ีคา x→2 4) เม่ือ x เขา ใกล −2 ทางดา นซา ย (x < −2) จะไดว า คาของ f (x) เขาใกล 0 ดังน้ัน lim f ( x) = 0 x→−2− 5) เมื่อ x เขาใกล −2 ทางดานขวา (x > −2) จะไดวาคาของ f (x) เขาใกล 0 ดงั นน้ั lim f ( x) = 0 x→−2+ 6) เน่อื งจาก l=im f ( x) l=im f ( x) 0 x→−2− x→−2+ ดังนน้ั lim f ( x) = 0 x→−2 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 365 7. 1) เขยี นกราฟของฟง กชัน f (x)= 1+ x ไดดังรปู จากกราฟ เม่ือ x เขา ใกล 4 ทางดานซาย (x < 4) จะไดว าคาของ f (x) เขา ใกล 5 ดงั นนั้ lim (1+ x) =5 x→4− 2) เขยี นกราฟของฟง กชัน f ( x) =  2 1 ,x > 2 ไดดังรปู  x + ,x≤2 จากกราฟ จะได lim f ( x) = 3 และ lim f ( x) = 2 x→2− x→2+ แต lim f ( x) ≠ lim f ( x) x→2− x→2+ ดงั นั้น lim f (x) ไมม คี า x→2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

366 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 แบบฝกหัด 2.1ข ( ) ( )1. 1) lim 3x2 + 7x −12 = lim 3x2 + lim(7x) − lim12 x→0 x→0 x→0 x→0 = 3lim x2 + 7 lim x −12 x→0 x→0 = 3(0)2 + 7(0) −12 = −12 ( )2) lim x5 − 2x ( )= lim x5 − lim (2x) x→−1 x→−1 x→−1 ( )= lim x5 − 2 lim x x→−1 x→−1 = (−1)5 − 2(−1) =1 3) lim x5 ( x − 2) ( )( )= lim x5 lim( x − 2) x→5 x→5 x→5 = (55 )(5 − 2) = 9,375 ( )( )( ) ( )4) lim ( x + 3) x2 + 2 = lim ( x + 3) lim x2 + 2 x→−1 x→−1 x→−1 ( )= (−1+ 3) (−1)2 + 2 =6 5) เนอื่ งจาก lim( 2x − 5) =2(3) − 5 =1 ≠ 0 x→3 จะได lim x +1 lim( x +1) x→3 x→3 2x − 5 = lim(2x − 5) x→3 = 3+1 1 =4 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 367 6) เนือ่ งจาก lim (x + 5) =0 จึงไมส ามารถใชท ฤษฎบี ท 2 ขอ 5 ไดโ ดยตรง x→−5 จัดรปู ฟงกชันใหม ดังนี้ x2 − 25 ( x − 5)( x + 5) x+5 = x+5 = x − 5 เม่ือ x ≠ −5 ดังนนั้ lim x2 − 25 =lim ( x − 5) =−5 − 5 =−10 x→−5 x + 5 x→−5 7) เนือ่ งจาก lim( x2 − )x − 2 =(1)2 −1− 2 =−2 ≠ 0 x→1 x +1 lim( x +1) x→1 lim x2 − x − 2 ( )จะได lim x2 − x − 2 = x→1 x→1 = 1+1 −2 = −1 8) เน่อื งจาก lim( x2 )+ 4x + 3 = (1)2 + 4(1) + 3 = 8 ≠ 0 x→1 จะได lim x2 − x − 2 = ( )lim x2 − x − 2 x2 + 4x + 3 x→1 x→1 ( )lim x2 + 4x + 3 x→1 12 −1 − 2 = 8 = −1 4 9) เนอ่ื งจาก lim(1− x) =0 จงึ ไมสามารถใชท ฤษฎีบท 2 ขอ 5 ไดโดยตรง x→1 จัดรูปฟง กช ันใหม ดงั นี้ ( )( )1− x = 1− x 1− x 1− x 1+ x ดังนน้ั 1 เมอื่ x ≠ 1 1= =1 1 = lim1+ lim x 1+ 1 2 lim 1 1+ x x→1 x→1 lim 1=− x lim =1 ( )x→1= x→1 1 − x x→1 1 + x lim 1+ x x→1 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

368 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 10) เนือ่ งจาก lim(9 − x) =0 จงึ ไมส ามารถใชท ฤษฎีบท 2 ขอ 5 ไดโดยตรง x→9 จัดรปู ฟงกชันใหม ดังนี้ ( )( )3− x = 3− x 9−x 3− x 3+ x =1 เมอื่ x ≠ 9 3+ x lim 3=− x lim =1 lim 1 1= =1 1 x→9 9 − x x→9 3 + x x→9= lim3 + lim x 3+ 9 6 lim 3 + x ( )ดงั นัน้ x→9 x→9 x→9 11) เน่อื งจาก lim(x −1) =0 จึงไมสามารถใชท ฤษฎีบท 2 ขอ 5 ไดโ ดยตรง x→1 จดั รูปฟงกช นั ใหม ดังน้ี 2− x+3 = 2− x+3⋅2+ x+3 x −1 x −1 2+ x+3 4 − ( x + 3) ( )= ( x −1) 2 + x + 3 =− 1 เมอ่ื x ≠ 1 2+ x+3 ดังนั้น lim 2 − x + 3= lim  − 2 + 1 x→1 x −1  x + 3  x→1 ( )lim(−1) =−1 =− 1 =− 1 x +3 2+ 1+3 4 =x→1 lim 2 + x + 3 lim 2 + lim x→1 x→1 x→1 ( )12) lim 3 x2 −1 2 ( )= 3 lim x2 −1 2 x→0 x→0 ( )( ) 2 = 3 lim x2 −1 x→0 ( )= 3 02 −1 2 =1 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 369 2. 1) เน่ืองจาก x + 4 = −( x + 4) เม่อื x < − 4 จะได lim x + 4 = lim − ( x + 4) = 0 x→− 4− x→ − 4− เน่ืองจาก x + 4 = x + 4 เม่ือ x > −4 จะได lim x + 4 = lim ( x + 4) = 0 x→− 4+ x→− 4+ จะไดว า lim x + 4 =0 = lim x + 4 x→− 4− x→− 4+ ดังน้นั lim x + 4 =0 x→− 4 2) เนื่องจาก x − 2 = −( x − 2) เมื่อ x < 2 จะได x−2 = −(x − 2) = lim (−1) = −1 lim x→2− x − 2 lim x→2− x→2− x − 2 และเนอ่ื งจาก x − 2 = x − 2 เมือ่ x > 2 จะได x − 2 = lim x − 2 = lim 1 = 1 x→2+ x − 2 x→2+ lim x→2+ x − 2 จะไดว า lim x − 2 ≠ lim x − 2 x→2− x − 2 x→2+ x − 2 ดังนัน้ lim x−2 ไมม ีคา x−2 x→2 3) เนือ่ งจาก x + 4 = −( x + 4) เมื่อ x < −4 จะได x+4 = −(x + 4) = lim (−1) = −1 lim x→−4− x + 4 lim x→−4− x + 4 x→− 4− 4) เนือ่ งจาก x = −x เมื่อ x < 0 จะได lim  1 + 1 = lim  1 − 1  = lim 0 = 0  x x   x x  x→0− x→0− x→0− 5) เนื่องจาก 2x − 3 = −(2x − 3) เมือ่ x < 3 2 จะได 2x2 − 3x lim x(2x − 3) = lim (−x) = −3 lim = 2 x→3− 2x − 3 x→ 3 − − ( 2x − 3) x→ 3 − 222 เนือ่ งจาก 2x − 3 = 2x − 3 เมอ่ื x > 3 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

370 คูม ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 จะได 2x2 − 3x x(2x − 3) 3 lim = lim = lim x = x→3+ 2x − 3 x→3+ 2x − 3 x→ 3 + 2 22 2 จะไดวา lim 2x2 − 3x ≠ lim 2x2 − 3x x→3− 2x − 3 x→3+ 2x − 3 22 ดังน้นั 2x2 − 3x ไมม คี า lim x→3 2x − 3 2 3. 1) เมอ่ื x < 2 จะไดว า f ( x) = x −1 ดงั น้นั lim f ( x) = lim ( x −1) x→2− x→2− = 2–1 =1 2) เมอ่ื x > 2 จะไดวา f ( x) = x2 − 4x + 6 ดงั นั้น ( )lim f ( x) = lim x2 − 4x + 6 x→2+ x→2+ = 22 − 4(2) + 6 =2 3) จาก 1) และ 2) จะไดวา lim f ( x) ≠ lim f ( x) x→2− x→2+ ดังนนั้ lim f ( x) ไมม ีคา x→2 4) เมอ่ื x เขาใกล 0 จะไดวา f ( x) = x −1 และ lim f ( x) = lim( x −1) x→0 x→0 = 0–1 = −1 ดังนัน้ lim f ( x) = −1 x→0 5) เมื่อ x เขา ใกล 5 จะไดว า f ( x) = x2 − 4x + 6 ( )และ lim f ( x) = lim x2 − 4x + 6 x→5 x→5 = 52 − 4(5) + 6 = 11 ดงั นั้น lim f ( x) =11 x→5 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 371 4. 1) เมื่อ x เขาใกล 0 ทางดา นขวา จะไดว า f ( x) = x2 และ lim f ( x) = lim x2 = 02 = 0 x→0+ x→0+ ดังนนั้ lim f ( x) = 0 x→0+ 2) เมื่อ x เขา ใกล 0 ทางดานซา ย จะไดว า f (x) = x จะได lim f ( x) = lim x = 0 x→0− x→0− ดังน้ัน lim f ( x) = 0 x→0− 3) จาก 1) และ 2) จะไดว า l=im f ( x) l=im f ( x) 0 x→0− x→0+ ดังนัน้ lim f ( x) = 0 x→0 4) เม่ือ x เขาใกล 2 ทางดา นซาย จะไดว า f (x) = x2 และ lim f ( x) = lim x2 = 22 = 4 x→2− x→2− 5) เมือ่ x เขาใกล 2 ทางดา นขวา จะไดวา f (x) = 8 − x และ lim f ( x) = lim (8 − x) = 8 – 2 = 6 x→2+ x→2+ 6) จาก 4) และ 5) จะไดว า lim f ( x) ≠ lim f ( x) x→2− x→2+ ดงั น้ัน lim f ( x) ไมมีคา x→2 7) เมือ่ x เขา ใกล 1 จะไดว า f ( x) = x2 จะได lim f ( x) = lim x2 = 12 = 1 x→1 x→1 ดังนน้ั lim f ( x) =1 x→1 8) เมื่อ x เขา ใกล 6 จะไดว า f ( x) = 8 − x จะได lim f ( x) = lim(8 − x) = 8 – 6 = 2 x→6 x→6 ดังนนั้ lim f ( x) = 2 x→6 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

372 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 5. 1) จาก x เขาใกล 0 ทางดานซาย น่นั คอื x < 0 จะได x = −x และ f ( x) = −x = −1 x ดงั น้ัน lim f ( x) = −1 x→0− จาก x เขาใกล 0 ทางดานขวา นั่นคอื x > 0 จะได x = x และ f ( x=) x= 1 x ดงั นั้น lim f ( x) =1 x→0+ จะไดว า lim f ( x) ≠ lim f ( x) x→0− x→0+ ดงั นนั้ lim f ( x) ไมม ีคา x→0 2) จะไดว า lim g ( x) = lim x = 0 x→0 x→0 ดงั นัน้ lim g ( x) = 0 x→0 3) กรณี x เขา ใกล 0 ทางดา นซา ย จะไดว า x < 0 ดงั น้นั x = −x จะไดวา f ( x) = x = −x = −1 xx นน่ั คอื lim ( f ( x) ⋅ g ( x)) = lim (−1) ⋅ x x→0− x→0− = lim (−x) x→0− =0 กรณี x เขา ใกล 0 ทางดานขวา จะไดวา x > 0 ดังนนั้ x = x จะไดวา f (x=) x x= 1 = xx จะได lim f ( x)⋅ g ( x) = lim 1⋅ x x→0+ x→0+ = lim x x→0+ =0 จะไดว า lim f ( x)⋅ g (=x) lim f ( x)⋅ g (=x) 0 x→0− x→0+ ดงั นน้ั lim f ( x)⋅ g ( x) =0 x→0 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 373 6. 1) เนื่องจาก f ( x) = 1 เมอื่ 1≤ x < 2 จะได lim f ( x) = lim 1 x→1+ x→1+ =1 2) เน่อื งจาก f ( x) = 0 เม่อื 0 ≤ x <1 จะได lim f ( x) = lim 0 x→1− x→1− =0 3) เน่ืองจาก lim f ( x) ≠ lim f ( x) x→1− x→1+ ดงั น้นั lim f ( x) ไมมีคา x→1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

374 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 แบบฝกหดั 2.2 1. 1) จากฟงกชนั f ทก่ี ําหนด จะได f (0) = −1 และ lim f ( x) = lim(3x −1) = 3(0) −1 = −1 x→0 x→0 จะเห็นวา lim f ( x) = f (0) x→0 ดงั นั้น ฟงกช ัน f เปนฟงกชนั ตอเนอื่ งที่ x = 0 2) จากฟง กชนั f ทก่ี ําหนด จะได f (4) = − 1 4 และ lim f ( x) = lim x2 −16 x→4 x→4 x − 4 (x − 4)(x + 4) = lim x→4 x − 4 = lim( x + 4) x→4 =8 จะเหน็ วา lim f ( x) ≠ f (4) x→4 ดังน้นั ฟงกช นั f ไมเ ปนฟงกช ันตอเน่อื งท่ี x = 4 3) จากฟง กช นั f ทกี่ าํ หนด จะได f (1) = − 2 3 และ lim f ( x) = lim x2 −1 x3 −1 x→1 x→1 ( x −1)( x +1) ( )= lim x→1 ( x −1) x2 + x + 1 = lim x2 x +1 1 +x+ x→1 =2 3 จะเห็นวา lim f ( x) ≠ f (1) x→1 ดังน้ัน ฟงกชนั f ไมเ ปนฟงกชันตอ เนอ่ื งที่ x =1 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 375 4) จากฟงกช นั f ที่กาํ หนด  x เมือ่ x ≥ 0  เม่อื x < 0 จะได f ( x) =   −x ดังนน้ั f (0) =0 จาก lim f ( x=) lim (−x=) 0 และ lim =f ( x) l=im x 0 x→0− x→0− x→0+ x→0+ จะไดวา lim f ( x)= 0= lim f ( x) x→0− x→0+ ดังนน้ั lim f ( x) = 0 x→0 เนื่องจาก lim f ( x) = f (0) x→0 ดงั น้ัน ฟงกช ัน f เปน ฟง กชันตอเนอื่ งท่ี x = 0 5) จากฟง กช นั f ที่กําหนด จะได f (−1) =−1 และจาก x +1 = x +1 เมอ่ื x ≥ −1 และ x +1 =− ( x +1) เมื่อ x < −1 จะได lim f ( x) = lim =x +1 lim =x +1 l=im 1 1 x→−1+ x→−1+ x + 1 x→−1+ x + 1 x→−1+ และ lim f ( x) = lim x +1 − ( x + 1) =− lim 1 =−1 =lim x→−1− x→−1− x + 1 x→−1− x + 1 x→−1− = lim (−1) x→−1+ = −1 ดังนั้น lim f ( x) ≠ lim f ( x) x→−1+ x→−1− นัน่ คือ lim f (x) ไมมีคา x→−1 ดงั น้ัน ฟง กชนั f ไมเ ปน ฟงกช ันตอ เนอ่ื งท่ี x = −1 2. 1) พจิ ารณาฟงกชัน f จะเห็นวา f (1) = 2 แต lim f ( x) มีคา นอยกวา 1 x→1− ซง่ึ ไดว า f (1) ไมเทากับ lim f (x) x→1− ดังนัน้ ฟงกช นั f ไมเ ปน ฟงกช ันตอเน่ืองบน [−1, 1] สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

376 คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 พิจารณาฟง กช นั g จะเหน็ วา g (0) = 2 แต lim g ( x) =1 จงึ ไดว า g (0) ≠ lim g ( x) x→0 x→0 นั่นคอื ฟงกชัน g ไมต อเนื่องที่ x = 0 จะไดวา ฟงกชนั g ไมตอเน่ืองทที่ กุ จุดในชวง [−1, 1] ดงั น้ัน ฟงกชนั g ไมเ ปนฟงกช ันตอ เนือ่ งบน [−1, 1] พิจารณาฟง กชนั h จาก lim h( x) = 2 และ lim h( x) =1 x→0− x→0+ จึงไดว า lim h( x) ≠ lim h( x) นั่นคอื lim h( x) ไมมีคา x→0− x→0+ x→0 นนั่ คือ ฟงกชนั h ไมตอเนื่องที่ x = 0 จะไดว า ฟงกชนั h ไมตอ เนื่องที่ทุกจดุ ในชวง [−1, 1] ดงั น้ัน ฟง กช ัน h ไมเ ปน ฟงกช ันตอเนื่องบน [−1, 1] 2) พจิ ารณาฟง กช ัน f ให c ∈(−1,1) จะเหน็ วา lim f ( x) = f (c) x→c นั่นคอื ฟงกชนั f เปน ฟงกช ันตอเน่อื งทที่ ุกจุดในชว ง (−1,1) ดังนัน้ ฟงกช ัน f เปนฟง กช นั ตอเนอ่ื งบน (−1,1) พจิ ารณาฟงกชนั g จะเห็นวา g (0) = 2 แต lim g ( x) =1 ซงึ่ ไดวา g (0) ≠ lim g ( x) x→0 x→0 ดังนน้ั ฟง กช นั g ไมตอเนื่องท่ี x = 0 นนั่ คอื ฟงกช ัน g ไมตอ เนื่องที่ทกุ จดุ ในชว ง (−1,1) ดังนัน้ ฟง กช นั g ไมเปนฟงกช ันตอ เนอื่ งบน (−1,1) สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 377 พิจารณาฟงกช นั h จะเหน็ วา lim h( x) = 2 และ lim h( x) =1 ซึ่งไดว า lim h( x) ≠ lim h( x) x→0− x→0+ x→0− x→0+ น่นั คอื limh( x) ไมมคี า x→0 ดงั นัน้ ฟงกช ัน h ไมตอเน่ืองท่ี x = 0 น่นั คอื ฟงกช นั h ไมต อเน่ืองที่ทุกจุดในชว ง (−1,1) ดังน้ัน ฟง กช ัน h ไมเ ปนฟงกช ันตอ เนื่องบน (−1,1) 3) พจิ ารณาฟง กช นั f เน่อื งจาก f (1) = 2 แต lim f ( x) มีคา นอยกวา 1 x→1− ซงึ่ ไดวา f (1) ไมเ ทา กบั lim f (x) x→1− นัน่ คือ f ไมเปน ฟง กช นั ตอเน่ืองท่ี x =1 จะไดว า f ไมเปน ฟงกช นั ตอ เน่ืองทุกจดุ บน [0,1] ดงั นนั้ ฟง กชนั f ไมเปนฟงกชันตอเนือ่ งบน [0,1] พิจารณาฟงกชนั g จะเห็นวา g (0) = 2 แต lim g ( x) =1 จะไดวา g (0) ≠ lim g ( x) x→0+ x→0+ นัน่ คอื g ไมเ ปนฟง กชนั ตอ เน่ืองท่ี x = 0 จะไดว า g ไมเปน ฟงกชนั ตอเนื่องทุกจดุ บน [0,1] ดงั นัน้ ฟง กช นั g ไมเปน ฟงกชันตอ เน่อื งบน [0,1] พจิ ารณาฟง กช นั h จาก h(0) = 2 แต lim h( x) =1 จะไดวา h(0) ≠ lim h( x) x→0+ x→0+ น่ันคือ h ไมเ ปน ฟงกชนั ตอเนื่องที่ x = 0 จะไดวา h ไมเปน ฟง กชนั ตอเน่ืองทุกจุดบน [0,1] ดงั น้ัน ฟงกช ัน h ไมเปนฟงกช ันตอ เน่ืองบน [0,1] สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

378 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 4) พจิ ารณาฟงกชัน f ให c∈(−1,0) จะเหน็ วา lim f ( x) = f (c) x→c พจิ ารณาที่ x = 0 จะไดว า f (0) =1 และ lim f ( x) =1 x→0− นั่นคอื f (0) = lim f (x) ดังนัน้ f เปนฟงกช นั ตอเน่ืองที่ x = 0 x→0 นนั่ คือ ฟงกช ัน f เปนฟง กช นั ตอเน่อื งทท่ี ุกจดุ ในชวง (−1,0] ดงั น้ัน ฟงกช นั f เปน ฟง กชันตอเนื่องบน (−1,0] พิจารณาฟงกช ัน g จะเห็นวา g (0) = 2 แต lim g ( x) =1 จึงไดว า g (0) ≠ lim g ( x) x→0− x→0− น่ันคือ g ไมเปน ฟง กช นั ตอเน่ืองท่ี x = 0 จะไดว า g ไมเ ปนฟงกช ันตอ เน่ืองทุกจุดบน (−1,0] ดงั น้ัน ฟง กชัน g ไมเปน ฟงกชันตอ เนื่องบน (−1,0] พจิ ารณาฟงกชนั h ให c∈(−1,0) จะเห็นวา limh(x) = h(c) ดงั น้ัน h เปน ฟงกช ันตอ เนื่องบนชว ง (−1,0) x→c พจิ ารณาที่ x = 0 จะได h(0) = 2 และ lim h( x) = 2 x→0− นัน่ คอื h(0)= 2= lim h( x) x→0− จะไดวา h เปน ฟง กช ันตอ เนอ่ื งทุกจดุ บนชว ง (−1,0] ดงั นน้ั ฟงกชนั h เปน ฟง กช ันตอเนอ่ื งบน (−1,0] 3. 1) ให c ∈(−∞,4) จะไดวา lim f=( x) =2 f (c) x→c c − 4 นน่ั คือ ฟงกช ัน f เปน ฟง กช นั ตอเน่ืองที่ทุกจดุ ในชว ง (−∞,4) ดงั นน้ั ฟงกช นั f เปน ฟง กช นั ตอเนอื่ งบน (−∞,4) 2) ให c∈(4,6) จะไดว า lim f=( x) =2 f (c) x→c c−4 นนั่ คอื ฟงกชัน f เปน ฟง กช ันตอเนื่องที่ทุกจดุ ในชวง (4, 6) พจิ ารณา กรณี x = 6 จะได f (6) =1 และ lim f=( x) =2 1 x→6 6−4 น่ันคือ f (6)= 1= lim f ( x) x→6− สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 379 ดงั นัน้ ฟง กชัน f เปน ฟงกช ันตอเนอ่ื งทจ่ี ดุ x = 6 จะไดวา ฟงกชัน f เปน ฟงกช นั ตอ เน่อื งทท่ี ุกจุดในชว ง (4,6] ดังน้นั ฟง กชนั f เปน ฟงกชนั ตอเนอ่ื งบน (4,6] 3) ให c∈(4,∞) จะไดวา lim f=( x) =2 f (c) x→c c−4 นั่นคือ ฟงกชนั f เปน ฟงกชนั ตอเน่อื งทที่ ุกจดุ ในชว ง (4,∞) ดังนนั้ ฟง กชัน f เปนฟงกชนั ตอเนือ่ งบน (4,∞) 4. 1) จาก (−∞,1] = (−∞,− 2) ∪{−2} ∪ (−2,1) ∪{1} และจากฟง กช ัน g ท่กี าํ หนดให จะไดว า (1) ให c ∈(−∞,−2) จะไดว า g ( x=) 2x − 2 และ lim g ( x) = lim(2x − 2) = 2c − 2 = g (c) x→c x→c นน่ั คอื ฟงกชัน g เปน ฟงกชันตอเน่ืองทที่ ุกจดุ ในชว ง (−∞,−2) ดังน้ัน ฟง กช นั g ตอเน่อื งบนชวง (−∞,−2) (2) พิจารณาความตอ เน่ืองทจี่ ุด x = −2 เมื่อ x เขาใกล −2 ทางดานซา ย จะได g (x=) 2x − 2 ดงั นน้ั lim g ( x) =lim (2x − 2) =2(−2) − 2 =−6 x→−2− x→−2− เมอื่ x เขาใกล −2 ทางดา นขวา จะได g (x)= x − 4 ดังนัน้ lim g ( x) =lim ( x − 4) =−2 − 4 =−6 x→−2+ x→−2+ จะไดวา lim g ( x) = lim g ( x) ดังนั้น lim g ( x) = −6 x→−2− x→−2+ x→−2 จาก g (−2) =(−2) − 4 =−6 จะไดว า g (−2) =−6 =lim g ( x) x→−2 ดังนัน้ ฟง กชนั g ตอเน่อื งที่จุด x = −2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

380 คูม ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 (3) ให c ∈(−2,1) จะไดว า g ( x)= x − 4 ดังนนั้ เนือ่ งจาก lim g ( x) = lim( x − 4) = c − 4 = g (c) x→c x→c น่นั คือ ฟงกชนั g เปน ฟง กช นั ตอเนอื่ งที่ทุกจดุ บนชว ง (−2,1) จาก lim g ( x) =lim ( x − 4) =1− 4 =−3 =g (1) x →1− x →1− จะไดวา ฟงกชัน g เปน ฟงกช ันตอเน่อื งท่ีจุด x =1 ดงั น้นั ฟงกช ัน g เปน ฟงกช นั ตอเน่อื งบนชวง (−2,1] จาก (1), (2) และ (3) จะไดว าฟง กช นั g เปน ฟงกชันทต่ี อเนื่องทท่ี ุกจดุ บนชว ง (−∞,−2), {−2} และ (−2,1] ดังนนั้ ฟง กชนั g เปนฟงกชันตอเนอื่ งบนชว ง (−∞,1] 2) จากขอ 1) จะไดว า ฟง กชัน g เปนฟง กช นั ตอเนื่องบนชว ง (−2,1] 3) จาก lim g ( x) =lim ( x − 4) =1− 4 =−3 x →1− x →1− แต lim g ( x) = lim (4 − x) = 4 −1 = 3 จะไดวา lim g ( x) ไมม ีคา x →1+ x →1+ x→1 น่ันคือ ฟงกช ัน g ไมตอเน่ืองท่ี x =1 ดังนน้ั ฟง กช ัน g ไมเปนฟงกชันตอเนอ่ื งบนชวง (−2,2] 4) จาก lim g ( x) = lim (4 − x) = 4 −1 = 3 แต g (1) = −3 x →1+ x →1+ จะไดวา lim g (x) ≠ g (1) ไมมีคา x→1+ น่นั คอื ฟงกชนั g ไมต อ เนื่องที่ x =1 ดังนน้ั ฟงกช ัน g ไมเปน ฟงกชันตอเนอ่ื งบนชว ง [1,∞) 5. 1) ตองการใหฟงกชัน f เปน ฟง กชนั ตอ เนอ่ื งทีท่ กุ จุด ซงึ่ คือ ฟง กชนั f เปน ฟง กชนั ตอเนอื่ งบนชว ง (−∞,∞) และ (−∞,∞) = (−∞,1) ∪{1} ∪ (1,∞) จะไดวา (1) f เปน ฟง กช ันตอเนอ่ื งท่ี x =1 (2) f เปนฟง กช ันตอ เน่ืองบนชวง (−∞,1) (3) f เปน ฟงกชนั ตอ เนื่องบนชวง (1,∞) จาก (1) พิจารณา ทจ่ี ุด x =1 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 381 จาก lim f =( x) lim (7x −=2) 5 และ lim=f ( x) l=im kx2 k x →1− x →1− x→1+ x→1+ และ f เปนฟงกชันตอ เน่ืองที่ x =1 จะไดวา lim f (x) = lim f ( x) x →1− x →1+ นน่ั คอื k = 5 ดงั นั้น lim f ( x) = 5 x→1 และจะเห็นวา f (1)= 5= lim f ( x) จรงิ x→1 จาก (2) พจิ ารณาบนชวง (−∞,1) จะไดวา f (x=) 7x − 2 ซ่ึงเปน ฟงกช ันพหุนาม โดยทฤษฎบี ท 6 จะไดว าฟง กชัน f เปนฟงกช ันตอเน่ืองที่ทุกจดุ บนชว ง (−∞,1) น่นั คอื f เปน ฟง กชนั ตอ เน่อื งบนชวง (−∞,1) จริง จาก (3) พจิ ารณาบนชว ง (1,∞) จะไดว า f (=x) k=x2 5x2 ซงึ่ เปนฟง กช นั พหนุ าม โดยทฤษฎบี ท 6 จะไดวาฟงกชัน f เปน ฟง กชนั ตอ เนื่องท่ีทุกจุดบนชว ง (1,∞) นนั่ คือ f เปน ฟงกช ันตอเนอื่ งบนชว ง (1,∞) จรงิ ดงั นั้น จาก (1), (2) และ (3) จะไดวา ถา k = 5 แลว ฟง กชัน f เปน ฟง กช นั ตอเน่อื งท่ี ทุกจุด 2) จาก f เปน ฟงกชนั ตอเน่ืองทุกจุด พิจารณาที่จุด x = 2 จะไดว า l=im f ( x) l=im (kx2 ) 4k x→2− x→2− lim f ( x) =lim (2x + k ) =4 + k x→2+ x→2+ เนอ่ื งจาก f เปนฟงกชนั ตอ เนื่องท่ี x = 2 จะได lim f (x)= lim f (x)= 4k= 4 + k x→2+ x→2− น่ันคือ k = 4 3 พิจารณา f (x) = 2x +4 ,x > 2  3 ,x ≤ 2  4 x2  3 จะเห็นวา กรณี x > 2 จะได f (x=) 2x + 4 ซึ่งเปน ฟงกช นั พหุนาม โดยทฤษฎบี ท 6 3 จะไดวา ฟงกช ัน f เปนฟง กชนั ตอเนื่องทท่ี ุกจดุ สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

382 คูม อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 ในทํานองเดยี วกัน กรณี x ≤ 2 จะได f (x) = 4 x2 ซึ่งเปนฟง กช นั พหนุ าม 3 โดยทฤษฎีบท 6 จะไดว า ฟงกชัน f เปนฟง กชนั ตอเนื่องท่ีทุกจดุ ดงั นน้ั ฟง กชนั f เปน ฟงกชันตอเนื่องท่ีทุกจดุ เม่ือ k = 4 3 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 383 แบบฝกหัด 2.3 1. ให= y f (=x) 2x2 − 3 จะไดอัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x เปล่ยี นจาก a เปน a + h คือ ( )f (a + h) − f (a) ( )2(a + h)2 − 3 − 2a2 − 3 h= h 4ah + 2h2 =h = 4a + 2h 1) อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี ของ y เทียบกบั x เมื่อ x เปลย่ี นจาก 2 เปน 2.2 คอื f (2 + 0.2) − f (2) = 4(2) + 2(0.2) 0.2 = 8.4 2) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลยี่ ของ y เทยี บกับ x เมอ่ื x เปลี่ยนจาก 2 เปน 2.1 คือ f (2 + 0.1) − f (2) = 4(2) + 2(0.1) 0.1 = 8.2 3) อตั ราการเปล่ยี นแปลงเฉลย่ี ของ y เทียบกบั x เมอ่ื x เปล่ยี นจาก 2 เปน 2.01 คอื f (2 + 0.01) − f (2) 4(2) + 2(0.01) = 0.01 = 8.02 4) อัตราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x ขณะที่ x = 2 คอื f (2 + h) − f (2) = lim(4(2) + 2h) lim h→0 h h→0 =8 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

384 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 2. ใ=ห y f=( x) 1 x จะไดอัตราการเปลีย่ นแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x เมอื่ x เปลี่ยนจาก a เปน a + h คอื f (a + h)− f (a) 1 −1 a+h a h = h −h = ha(a + h) = − 1 h) a(a + 1) อตั ราการเปลีย่ นแปลงเฉลยี่ ของ y เทียบกับ x เมอ่ื x เปลีย่ นจาก 4 เปน 5 คอื f (4 +1) − f (4) = − 1 1 4(4 +1) = −1 20 2) อตั ราการเปล่ยี นแปลงเฉลี่ยของ y เทยี บกบั x เมอ่ื x เปลย่ี นจาก 4 เปน 4.1 คือ f (4 + 0.1) − f (4) = − 4(4 1 0.1) + 0.1 = − 1 =− 5 16.4 82 3) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ยี ของ y เทยี บกบั x เมือ่ x เปลี่ยนจาก 4 เปน 4.01 คือ f (4 + 0.01) − f (4) = − 4(4 1 0.01 + 0.01) = − 1 =− 25 16.04 401 4) อตั ราการเปลย่ี นแปลงของ y เทียบกับ x ขณะท่ี x = 4 คอื f (4 + h) − f (4) = lim  − 4 ( 1 h )   4+  lim h→0 h→0 h = −1 16 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 385 3. 1) ให A เปนพนื้ ที่วงกลม (หนวยเปนตารางเซนตเิ มตร) r เปนรัศมีของวงกลม (หนว ยเปนเซนติเมตร) โดยท่ี A(r) = π r2 อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของพื้นท่วี งกลมเทยี บกับความยาวของรัศมี เม่อื ความยาวของรศั มีเปลย่ี นจาก r เปน r + h เซนตเิ มตร คือ A(r + h) − A(r) π (r + h)2 −π r2 = hh ( )π r2 + 2rh + h2 − π r2 = h = 2π rh + π h2 h = 2π r + π h ดังนัน้ อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลยี่ ของพ้ืนทว่ี งกลมเทยี บกับความยาวของรัศมี เม่อื ความยาวของรัศมีเปล่ยี นจาก r เปน r + h เซนตเิ มตร คือ 2π r + π h ตาราง เซนตเิ มตรตอเซนติเมตร 2) อัตราการเปลย่ี นแปลงของพ้นื ทีว่ งกลมเทียบกบั ความยาวของรัศมี ขณะรศั มียาว r เซนติเมตร คอื A(r + h) − A(r) = lim(2π r + π h) lim h→0 h h→0 = 2π r ดงั น้ัน อตั ราการเปล่ยี นแปลงของพ้นื ท่ีวงกลมเทียบกบั ความยาวของรัศมี ขณะรัศมี ยาว r เซนติเมตร คอื 2π r ตารางเซนตเิ มตรตอเซนตเิ มตร 4. 1) ให x เปน ความยาวดานของรูปสี่เหล่ียมจตั รุ สั (หนว ยเปนเซนตเิ มตร) A เปนพืน้ ที่ของรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรสั (หนวยเปนตารางเซนติเมตร) โดยที่ A( x) = x2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

386 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลยี่ ของพื้นทรี่ ูปสีเ่ หลย่ี มจตั ุรสั เทียบกับความยาวดาน เมื่อความยาวดา นเปลยี่ นจาก 10 เปน 12 เซนติเมตร คือ A(10 + 2) − A(10) = (10 + 2)2 −102 22 = 22 ดงั นนั้ อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลีย่ ของพน้ื ท่รี ูปสเ่ี หลย่ี มจัตุรัสเทียบกบั ความยาวดา น เม่อื ความยาวดานเปลีย่ นจาก 10 เปน 12 เซนติเมตร คอื 22 ตารางเซนติเมตรตอ เซนตเิ มตร 2) อัตราการเปล่ยี นแปลงของพ้ืนทีร่ ปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั เทยี บกับความยาวดา น ขณะดา นยาว 10 เซนติเมตร คือ A(10 + h) − A(10) (10 + h)2 −102 lim = lim h→0 h h→0 h = lim 20h + h2 h→0 h = 20 ดังนนั้ อัตราการเปลี่ยนแปลงของพ้ืนทรี่ ปู สเ่ี หลี่ยมจตั รุ ัสเทียบกับความยาวดานขณะ ดานยาว 10 เซนตเิ มตร คอื 20 ตารางเซนติเมตรตอ เซนตเิ มตร 5. 1) ให x เปน ความยาวดานของรูปสามเหลีย่ มดานเทา (หนวยเปนเซนติเมตร) A เปน พน้ื ที่ของรปู สามเหล่ยี มดา นเทา (หนว ยเปนตารางเซนตเิ มตร) โดยท่ี A( x) = 3 x2 4 อัตราการเปล่ยี นแปลงเฉลย่ี ของพน้ื ทร่ี ูปสามเหลยี่ มดานเทา เทยี บกบั ความยาวดา น เม่ือความยาวดา นเปลย่ี นจาก 10 เปน 9 เซนตเิ มตร คอื A(10 −1) − A(10) = 3 (9)2 − 3 (10)2 −1 44 = −1 19 3 4 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 387 ดังน้นั อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลีย่ ของพ้ืนที่รูปสามเหล่ียมดา นเทาเทียบกับความยาวดาน เม่ือความยาวดา นเปลยี่ นจาก 10 เปน 9 เซนตเิ มตร คือ 19 3 ตารางเซนตเิ มตรตอ 4 เซนตเิ มตร 2) อตั ราการเปลีย่ นแปลงของพน้ื ทรี่ ูปสามเหล่ยี มดา นเทาเทยี บกับความยาวดา นขณะดา น ยาว 10 เซนตเิ มตร คอื A(10 + h) − A(10) = lim 4 3 (10 + h)2 − 3 (10)2 4 lim h→0 h h→0 h =5 3 ดังนัน้ อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นทร่ี ปู สามเหลีย่ มดา นเทา เทียบกบั ความยาวดาน ขณะดานยาว 10 เซนติเมตร คอื 5 3 ตารางเซนตเิ มตรตอเซนติเมตร 6. จากอตั ราการเปลีย่ นแปลงของ N เทียบกบั t ขณะที่ t = 3 คือ N (3 + h) − N (3) ( 3 + 8 + 1 − 3 8 1 + lim = lim h) h→0 h h→0 h = lim 32 − 8(4 + h) h→0 h(4 + h)(4) = −8 16 = −1 2 ดงั นนั้ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ N เทียบกบั t ขณะที่ t = 3 คอื − 1 กรมั ตอนาที 2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

388 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 7. จาก PV = 6,000 นั่นคือ P = 6,000 V ให P(V ) = 6,000 V จะได อัตราการเปล่ียนแปลงของ P เทียบกับ V ขณะท่ี V =100 คอื P (100 + h) − P (100) = 6,000 − 6,000 = lim 100 + h 100 lim h→0 h h→0 h lim 6000 − 60(100 + h) h→0 h(100 + h) = − 60 100 = −0.6 ดงั น้ัน อตั ราการเปลย่ี นแปลงของ P เทยี บกบั V ขณะที่ V =100 คือ −0.6 8. ให r แทน ความยาวของรัศมีของฐานของกรวยกลมตรง และ h แทน ความสงู ของกรวยกลมตรง 1) ให V แทน ปริมาตรของกรวยกลมตรงที่มรี ัศมขี องฐานยาว r โดยสว นสงู มีคาคงตวั เทา กับ h จะได V (r) = 1π r2h 3 ดังน้ัน อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของกรวยกลมตรงเทยี บกบั ความยาวของ รศั มีของฐาน ขณะรศั มียาว r หนวย เมื่อสว นสูงมีคา เทา กับ h คอื V (r + k)−V (r) 1π (r + k )2 h − 1π r2h = lim 3 3 lim k→0 k k→0 k = lim 2π rkh + π k 2h k→0 3k 2π rh + π kh = lim k→0 3 = 2π rh ลกู บาศกหนว ยตอหนว ย 3 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี